SéRIE AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
FUNDAMENTOS DE
ELETROTÉCNICA
CONFEDERAÇÃO NACIONAL DA INDÚSTRIA – CNI
Robson Braga de Andrade
Presidente
Diretoria de Educação e Tecnologia
Rafael Esmeraldo Lucchesi Ramacciotti
Diretor de Educação e Tecnologia
SENAI-DN – SERVIÇO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL
Conselho Nacional
Robson Braga de Andrade
Presidente
SENAI – Departamento Nacional
Rafael Esmeraldo Lucchesi Ramacciotti
Diretor-Geral
Gustavo Leal Sales Filho
Diretor de Operações
SéRIE AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
FUNDAMENTOS
DE ELETROTÉCNICA
© 2012. SENAI – Departamento Nacional
© 2012. SENAI – Departamento Regional do Rio Grande do Sul
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Esta publicação foi elaborada pela equipe da Unidade Estratégica de Desenvolvimento
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Unidade de Educação Profissional e Tecnológica – UNIEP
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Distância – NEAD
FICHA CATALOGRÁFICA
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Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial. Departamento Nacional
Fundamentos da eletrotécnica / Serviço Nacional de Aprendizagem
Industrial.Departamento Nacional, Serviço Nacional de Aprendizagem
Industrial. Departamento Regional do Rio Grande do Sul. Brasília: SENAI/DN, 2012.
188 p.: il. (Série Automação Industrial)
ISBN 978-85-7519-502-4
1.Eletrotécnica 2. Matemática 3. Magnetismo 4. Eletromagnetismo.
I.Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial.
Departamento Regional do Rio Grande do Sul. IITítulo .III.Série
CDU- 621.3
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Aprendizagem Industrial
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Simonsen . 70040-903 . Brasília – DF . Tel.: (0xx61)3317-9190
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Lista de ilustrações
Figura 1 - Pizza...................................................................................................................................................................25
Figura 2 - Frações prórias...............................................................................................................................................26
Figura 3 - Frações imprórias..........................................................................................................................................26
Figura 4 - Frações aparentes.........................................................................................................................................26
Figura 5 - Frações equivalentes....................................................................................................................................26
Figura 6 - Números mistos.............................................................................................................................................27
Figura 7 - Decimais infinitos inteiros..........................................................................................................................30
Figura 8 - Decimais infinitos fracionários.................................................................................................................30
Figura 9 - Conversão decimal binário........................................................................................................................36
Figura 10 - Conversão decimal hexadecimal..........................................................................................................37
Figura 11 - Função de 1º grau.......................................................................................................................................41
Figura 12 - Função de 1º grau - 1.................................................................................................................................42
Figura 13 - Função de 1º grau - 2.................................................................................................................................42
Figura 14 - Função de 1º grau - 3.................................................................................................................................43
Figura 15 - Função de 1º grau - 4.................................................................................................................................43
Figura 16 - Função de 2º grau.......................................................................................................................................43
Figura 17 - Vértice e eixo de simetria.........................................................................................................................45
Figura 18 - Sistema com 2 LEDs...................................................................................................................................45
Figura 19 - Gráfico da função logarítmica................................................................................................................47
Figura 21 - Trigonometia básica arco.........................................................................................................................49
Figura 22 - Trigonometia básica ângulo...................................................................................................................49
Figura 20 - Potenciômetro logarítmico.....................................................................................................................49
Figura 23 - Trigonometia básica..................................................................................................................................50
Figura 24 - Arco com o ângulo determindado.......................................................................................................50
Figura 25 - Pitágoras........................................................................................................................................................51
Figura 26 - Ciclo trigonométrico..................................................................................................................................51
Figura 27 - Função seno..................................................................................................................................................52
Figura 28 - Valores notáveis do seno..........................................................................................................................52
Figura 29 - Gráfico da função seno.............................................................................................................................52
Figura 30 - Função cosseno...........................................................................................................................................53
Figura 31 - Valores notáveis do cosseno...................................................................................................................53
Figura 32 - Gráfico da função cosseno......................................................................................................................53
Figura 33 - Função tangente.........................................................................................................................................54
Figura 34 - Valores notáveis do tangente.................................................................................................................54
Figura 35 - Gráfico da função tangente....................................................................................................................54
Figura 36 - Relação trigonométrica............................................................................................................................55
Figura 37 - Teorema de Pitágoras................................................................................................................................55
Figura 38 - Bola de bilhar...............................................................................................................................................59
Figura 39 - Átomo.............................................................................................................................................................60
Figura 40 - Experiência de Rutherford.......................................................................................................................60
Figura 41 - Modelo planetário do átomo.................................................................................................................61
Figura 42 - Átomo 1..........................................................................................................................................................61
Figura 43 - Máquinas eletrostáticas antigas............................................................................................................62
Figura 44 - Repulsão.........................................................................................................................................................64
Figura 45 - Atração...........................................................................................................................................................64
Figura 46 Figura 47 Figura 48 Figura 49 Figura 50 Figura 51 Figura 52 Figura 53 Figura 54 Figura 55 Figura 56 Figura 57 Figura 58 Figura 59 Figura 60 Figura 61 Figura 62 Figura 63 Figura 64 Figura 65 Figura 66 Figura 67 Figura 68 Figura 69 Figura 70 Figura 71 Figura 72 Figura 73 Figura 74 Figura 75 Figura 76 Figura 77 Figura 78 Figura 79 Figura 80 Figura 81 Figura 82 Figura 83 Figura 84 Figura 85 Figura 86 Figura 87 Figura 88 Figura 89 Figura 90 Figura 91 Figura 92 Figura 93 -
Eletrostática..................................................................................................................................................64
Pulseira antiestática...................................................................................................................................64
Aterramento.................................................................................................................................................64
Eletrização por contato.............................................................................................................................65
Equacionamento da distribuição de cargas......................................................................................65
Equacionamento da distribuição de cargas1...................................................................................65
Equacionamento da distribuição de cargas2...................................................................................66
Eletrização por atrito.................................................................................................................................66
Eletrização por indução............................................................................................................................67
Tensão elétrica.............................................................................................................................................68
Simbologia do voltímetro em um circuito elétrico........................................................................69
Simbologia de uma fonte........................................................................................................................69
Pilha.................................................................................................................................................................69
Pilhas em série.............................................................................................................................................69
Pilhas em série e contrapostas...............................................................................................................69
Corrente elétrica..........................................................................................................................................70
Simbologia do amperímetro no circuito elétrico............................................................................70
Simbologia do amperímetro ligado em série a um circuito elétrico.......................................70
Caminho do elétron livre.........................................................................................................................71
Simbologia do ohmímetro no circuito................................................................................................71
Simbologia do ohmímetro ligado em paralelo no circuito elétrico.........................................71
Resistência elétrica.....................................................................................................................................73
Tensão alternada.........................................................................................................................................74
Determinação da corrente elétrica.......................................................................................................77
Determinação da tensão elétrica..........................................................................................................78
Determinação da resistência elétrica..................................................................................................79
Multímetro ...................................................................................................................................................80
Osciloscópio.................................................................................................................................................83
Osciloscópio 1..............................................................................................................................................83
Represenção característica Lei de Ohm..............................................................................................88
Bipolo ôhmico..............................................................................................................................................88
Bipolo ôhmico 1..........................................................................................................................................89
Resistores em série.....................................................................................................................................89
Resistores em paralelo..............................................................................................................................90
Resistores em paralelo 1...........................................................................................................................90
Resistores em paralelo 2...........................................................................................................................91
Resistores em paralelo 3...........................................................................................................................91
Circuito elétrico...........................................................................................................................................92
Rede elétrica.................................................................................................................................................92
Circuito elétrico 1........................................................................................................................................93
Representação de circuitos elétricos...................................................................................................93
Circuito...........................................................................................................................................................94
Representação das malhas ADEFA e BCDEB.....................................................................................94
Malha...............................................................................................................................................................95
Malha 1...........................................................................................................................................................95
Malha 2...........................................................................................................................................................95
Malha 3...........................................................................................................................................................95
Malha ABEFA.................................................................................................................................................95
Figura 94 - Malha BCDEB................................................................................................................................................95
Figura 95 - Esquema de circuito..................................................................................................................................97
Figura 96 - Esquema de circuito 1...............................................................................................................................98
Figura 97 - Esquema de circuito 2...............................................................................................................................98
Figura 98 - Esquema de circuito 3...............................................................................................................................98
Figura 99 - Circuito ligado em série......................................................................................................................... 103
Figura 100 - Circuito ligado em série 1................................................................................................................... 104
Figura 101 - Circuito ..................................................................................................................................................... 105
Figura 102 - Circuito 1.................................................................................................................................................. 106
Figura 103 - Divisores de tensão e corrente......................................................................................................... 109
Figura 104 - Divisor de corrente............................................................................................................................... 109
Figura 105 - Circuito misto.......................................................................................................................................... 110
Figura 106 - Circuito 3.................................................................................................................................................. 111
Figura 107 - Circuito 4.................................................................................................................................................. 111
Figura 108 - Circuito misto 1...................................................................................................................................... 111
Figura 109 - Circuito 5.................................................................................................................................................. 111
Figura 110 - Circuito equivalente............................................................................................................................. 112
Figura 111 - Teorema da superposição - circuito ............................................................................................... 112
Figura 112 - Teorema da superposição - circuito 1............................................................................................ 113
Figura 113 - Teorema da superposição - circuito 2............................................................................................ 113
Figura 114 - Teorema de Thévenin - circuito ....................................................................................................... 115
Figura 115 - Teorema de Thévenin - circuito 1..................................................................................................... 115
Figura 116 - Teorema de Thévenin - circuito 2..................................................................................................... 116
Figura 117 - Teorema de Thévenin - circuito 3..................................................................................................... 116
Figura 118 - Teorema de Thévenin - circuito 4..................................................................................................... 116
Figura 119 - Teorema de Norton - circuito ........................................................................................................... 117
Figura 120 - Teorema de Norton - circuito 1......................................................................................................... 118
Figura 121 - Teorema de Norton - circuito 2......................................................................................................... 118
Figura 122 - Teorema de Norton - circuito 3......................................................................................................... 118
Figura 123 - Teorema de Norton - circuito 4......................................................................................................... 119
Figura 124 - Hidrelétrica.............................................................................................................................................. 121
Figura 125 - Gráfico da tensão alternada em graus........................................................................................... 121
Figura 126 - Gráfico da tensão alternada em radiano...................................................................................... 121
Figura 127 - Tensão e corrente alternada - gráfico 1......................................................................................... 122
Figura 128 - Gráficos de ciclos e períodos de diversas formas de onda CA.............................................. 122
Figura 129 - Circuito resistivo puro.......................................................................................................................... 124
Figura 130 - Circuito resistivo puro - grafico senoidal...................................................................................... 124
Figura 131 - Circuito resistivo puro - gráfico fasorial......................................................................................... 124
Figura 132 - Circuito indutivo puro......................................................................................................................... 125
Figura 133 - Circuito induivo puro - diagrama fasorial..................................................................................... 126
Figura 134 - Circuito capacitivo puro...................................................................................................................... 126
Figura 135 - Circuito capacitivo puro - diagrama fasorial................................................................................ 126
Figura 136 - Circuito RLC em paralelo 2................................................................................................................. 127
Figura 137 - Fios enrolados em forma helicoildal.............................................................................................. 131
Figura 138 - Simbologia de bobinas....................................................................................................................... 131
Figura 139 - Indutores.................................................................................................................................................. 133
Figura 140 - Associação em série aditiva............................................................................................................... 134
Figura 141 - Associação em série subtrativa........................................................................................................ 134
Figura 142 Figura 144 Figura 143 Figura 145 Figura 146 Figura 147 Figura 148 Figura 149 Figura 150 Figura 151 Figura 152 Figura 153 Figura 154 Figura 155 Figura 157 Figura 156 Figura 158 Figura 159 Figura 160 Figura 161 Figura 162 Figura 163 Figura 164 Figura 165 Figura 166 Figura 167 Figura 168 Figura 169 Figura 170 Figura 171 Figura 172 Figura 173 Figura 174 Figura 175 Figura 176 Figura 177 Figura 178 Figura 179 Figura 180 Figura 181 Figura 182 Figura 183 Figura 184 Figura 185 Figura 186 Figura 187 Figura 188 Figura 189 -
Associação em paralelo - circuito.................................................................................................... 135
Perfil magnético de Automóvel....................................................................................................... 135
Associação em paralelo - circuito 1................................................................................................ 135
Bobinas..................................................................................................................................................... 136
Sensor indutivo...................................................................................................................................... 136
Simbologia capacitores....................................................................................................................... 137
Capacitores de diferentes capacitancias....................................................................................... 137
Capacitor em paralelo......................................................................................................................... 138
Capacitor em paralelo 1...................................................................................................................... 138
Associação de capacitores em série............................................................................................... 139
Capacitor.................................................................................................................................................. 140
Capacitor eletrolítico de 25uF 100V............................................................................................... 140
Capacitores cerâmicos......................................................................................................................... 141
Capacitores plásticos........................................................................................................................... 141
Capacitor de Von Musschenbroek.................................................................................................. 142
Capacitores eletrolíticos..................................................................................................................... 142
Esquema elétrico................................................................................................................................... 145
Esquema elétrico 1............................................................................................................................... 146
Gráfico senoidal..................................................................................................................................... 146
Representação fasorial........................................................................................................................ 146
Gráfico senoidal 1.................................................................................................................................. 147
Representação fasorial 1..................................................................................................................... 147
Gráfico senoidal 2.................................................................................................................................. 148
Representação fasorial 2..................................................................................................................... 148
Gráfico senoidal com três tensões.................................................................................................. 148
Representação fasorial 3..................................................................................................................... 148
Resolução de circuitos RLC - circuito.............................................................................................. 149
Resolução de circuitos RLC - representação fasorial................................................................. 149
Resolução de circuitos RLC - representação fasorial 1............................................................. 149
Resolução de circuitos RLC - representação fasorial 2............................................................. 150
Resolução de circuitos RLC - circuito 1.......................................................................................... 150
Resolução de circuitos RLC - representação fasorial 3............................................................. 150
Resolução de circuitos RLC - representação fasorial 4............................................................. 150
Impedância no circuito RLC em série - representação fasorial............................................. 151
Impedância no circuito RLC em série - representação fasorial 1.......................................... 151
Impedância no circuito RLC em série - representação fasorial 2.......................................... 152
Impedância no circuito RLC em série - representação fasorial 3.......................................... 152
Impedância no circuito RLC em série - representação fasorial 4.......................................... 152
Impedância no circuito RLC em série - representação fasorial 5.......................................... 152
Impedância no circuito RLC em série - representação fasorial 6.......................................... 152
Impedância da associação - Pitágoras........................................................................................... 153
Impedância da associação - Pitágoras 1....................................................................................... 153
Impedância no circuito RLC em série - circuito.......................................................................... 153
Circuito RLC em paralelo..................................................................................................................... 154
Circuito RLC em paralelo 1................................................................................................................. 155
Circuito RLC em paralelo - gráfico senoidal................................................................................. 155
Circuito RLC em paralelo - representação fasorial..................................................................... 155
Circuito RLC em paralelo - gráfico senoidal 1.............................................................................. 156
Figura 190 Figura 191 Figura 192 Figura 193 Figura 194 Figura 195 Figura 196 Figura 197 Figura 198 Figura 199 Figura 200 Figura 201 Figura 202 Figura 203 Figura 204 Figura 205 Figura 206 Figura 207 Figura 208 Figura 209 Figura 210 Figura 211 Figura 212 Figura 213 Figura 214 Figura 215 Figura 216 Figura 217 Figura 218 Figura 219 Figura 220 Figura 221 Figura 222 Figura 223 Figura 224 Figura 225 Figura 226 Figura 227 Figura 228 Figura 229 Figura 230 Figura 231 Figura 232 Figura 233 Figura 234 -
Circuito RLC em paralelo - representação fasorial 1................................................................. 156
Circuito RLC em paralelo - representação fasorial 2................................................................. 156
Circuito RLC em paralelo - circuito.................................................................................................. 156
Circuito RLC em paralelo - circuito 1............................................................................................... 157
Determinação gráfica da frequência de ressonância............................................................... 157
Representação fasorial da correntes na ressonância............................................................... 158
Ressonância - circuito.......................................................................................................................... 159
Imã.............................................................................................................................................................. 163
Material ferromagnético..................................................................................................................... 164
Material paramagnético..................................................................................................................... 164
Imã 2.......................................................................................................................................................... 164
Imã 3.......................................................................................................................................................... 164
Divisão de Imã........................................................................................................................................ 164
Propriedades dos imãs........................................................................................................................ 165
Linhas de força representando o campo magnético............................................................... 165
Experiência.............................................................................................................................................. 165
Imã 4.......................................................................................................................................................... 165
Circuito não-energizado..................................................................................................................... 166
Circuito energizado.............................................................................................................................. 166
Limalhas de ferro distribuídas aleatoriamente .......................................................................... 166
Circuito energizado com linhas de indução do campo magnético.................................... 167
Regra da mão direita............................................................................................................................ 167
Atração...................................................................................................................................................... 167
Repulsão................................................................................................................................................... 168
Campo eletromagnético em espira................................................................................................ 168
Direção campo eletromagnético em espira................................................................................ 169
Campo eletromagnético em espira 1............................................................................................ 169
Carretel...................................................................................................................................................... 170
Bobina sem núcleo de ferro.............................................................................................................. 170
Bobina com núcleo de ferro.............................................................................................................. 170
Espiral da bobina................................................................................................................................... 170
Espiral da bobina 1............................................................................................................................... 170
Representação da regra da mão direita........................................................................................ 171
Representação da regra da mão direita 1..................................................................................... 171
Eletroimã.................................................................................................................................................. 172
Eletroimã 1............................................................................................................................................... 172
Circuito Magnético............................................................................................................................... 172
Entreferro................................................................................................................................................. 173
Entreferro 1.............................................................................................................................................. 173
Tipos de núcleo...................................................................................................................................... 175
Forma de onda....................................................................................................................................... 175
Transformador com mais de uma bobina.................................................................................... 175
Derivação central.................................................................................................................................. 175
Transformador trifásico....................................................................................................................... 176
Autotransformador trifásico.............................................................................................................. 176
Quadro 1 - Fontes de energia geradoras de força eletromotriz .......................................................................73
Quadro 2 - Observação da malha ABEFA ..................................................................................................................95
Quadro 3 - Observação da malha BCDEB..................................................................................................................96
Tabela 1: Técnico em Automação Industrial.............................................................................................................19
Tabela 2: Nomenclatura das casas decimais.............................................................................................................29
Tabela 3: Múltiplos e submúltiplos do sistema métrico.......................................................................................32
Tabela 4: Prefixos de conversões..................................................................................................................................33
Tabela 5: Dígitos hexadecimais.....................................................................................................................................36
Tabela 6: Resistividade dos principais tipos de condutores...............................................................................73
Tabela 7: Força eletromotriz gerada por diferentes eletrodos...........................................................................74
Tabela 8: Relação dos resultados adquiridos........................................................................................................ 100
Tabela 9: Principais tipos de capacitores................................................................................................................ 140
Lista de Abreviaturas
ABNT: Associação Brasileira de Normas Técnicas.
IHM: Interface homem máquina.
ANEEL: Agencia Nacional de Energia Elétrica.
CLP: Controlador lógico programável.
MVA: Mega Volt Amper.
Y: Estrela.
Δ: Triângulo.
PVI: Parcela variável por indisponibilidade.
VE: Tensão de entrada.
VS: Tensão de saída.
FCA: Fator de correção de agrupamento.
FCT: Fator de correção de temperatura.
RFF: Relé falta de fase.
TC: Transformador de corrente.
S: Potência aparente.
PE: Proteção equipotencial
NBR: Norma Brasileira Regulamentadora.
Nº: Número.
NA: Normalmente Aberto
NF: Normalmente Fechado
A/D: Analógico para digital
Term.: Termomagnético
Q.T: Queda de tensão
IEC: International Electrotechnical Commission (Comissão Eletrotécnica Internacional).
CC ou DC: Corrente contínua
I: Entrada analógica
IRR: Receptor Infravermelho (Infrared Receiver)
IRT: Transmissor Infravermelho (Infrared Transmiter)
LED: Diodo emissor de luz (Ligth Emmiting Diode)
Q: Saída à relé
V: volts - Unidade de medida de tensão
Ω: ohms - Unidade de medida de resistência elétrica
BCD: Código binário decimal
CI: Circuito integrado
GND: Ponto comum ou terra
MOS: Metal oxide semiconductor
A: ampère
Ca: Corrente alternada
Cc: Corrente contínua
ℓ: Litro
RPM- Rotações por minuto
V: volt
W: watt
Ladder: Linguagem de contatos elétricos
R: Resistor
Vs/Vo: Tensão de saída
Ve/Vi: Tensão de entrada
Sumário
1 Introdução.......................................................................................................................................................................19
2 Conceitos..........................................................................................................................................................................21
2.1 Potência de base dez..................................................................................................................................21
2.1.1 Representando quantidades numéricas com potência de dez................................22
2.1.2 Operações aritméticas com potências de dez.................................................................24
2.2 Números fracionários e decimais...........................................................................................................25
2.2.1 Números fracionários...............................................................................................................25
2.2.2 Números decimais.....................................................................................................................29
2.3 Múltiplos e submúltiplos..........................................................................................................................32
2.3.1 Características do sistema métrico decimal.....................................................................32
2.3.2 Prefixos métricos........................................................................................................................32
2.4 Conversão de base numérica..................................................................................................................34
2.4.1 Sistema de numeração binário.............................................................................................35
2.4.2 Conversão binário decimal.....................................................................................................35
2.4.3 Conversão decimal binário.....................................................................................................36
2.4.4 Sistema de numeração hexadecimal..................................................................................36
2.4.5 Conversão de hexadecimal para decimal.........................................................................37
2.4.6 Conversão de decimal para hexadecimal.........................................................................37
2.5 Sistema linear................................................................................................................................................37
2.5.1 Classificação dos sistemas lineares......................................................................................38
2.5.2 Equação linear.............................................................................................................................38
2.5.3 Sistema linear com solução por matrizes..........................................................................39
2.6 Funções de 1º grau, 2º grau, exponencial, logarítmica e trigonométricas.............................41
2.6.1 Função de 1º grau......................................................................................................................41
2.6.2 Função de 2º grau......................................................................................................................43
2.6.3 Função exponencial..................................................................................................................45
2.6.4 Propriedades de potenciação...............................................................................................46
2.6.5 Equações exponenciais...........................................................................................................46
2.6.6 Função logarítmica....................................................................................................................46
2.6.7 Trigonometria básica................................................................................................................49
2.7 Representação gráfica de funções.........................................................................................................51
2.7.1 Função seno.................................................................................................................................51
2.7.2 Função cosseno..........................................................................................................................52
2.7.3 Função tangente........................................................................................................................53
2.8 Relações trigonométricas.........................................................................................................................55
2.8.1 Teorema de Pitágoras...............................................................................................................55
2.8.2 Relações trigonométricas de ângulos................................................................................56
3 Conceitos de eletricidade básica.............................................................................................................................59
3.1 Eletrostática...................................................................................................................................................59
3.1.1 Carga elétrica...............................................................................................................................61
3.1.2 Princípios de eletrostática.......................................................................................................63
3.1.3 Força elétrica – A lei de Coulomb........................................................................................67
3.2 Grandezas elétricas.....................................................................................................................................68
3.2.1 Tensão elétrica............................................................................................................................68
3.2.2 Corrente elétrica.........................................................................................................................70
3.2.3 Resistência elétrica....................................................................................................................71
3.3 Fontes de energia........................................................................................................................................73
3.4 Potência e energia elétrica.......................................................................................................................75
3.5 Instrumentos de medidas.........................................................................................................................77
3.5.1 Classificação dos instrumentos de medidas elétricas..................................................77
3.5.2 Medição de corrente.................................................................................................................77
3.5.3 Medição de tensão....................................................................................................................78
3.5.4 Medição da resistência.............................................................................................................79
3.5.5 Medição por meio de multímetro digital..........................................................................80
3.5.6 Osciloscópio.................................................................................................................................82
4 Lei de Ohm e Kirchhoff................................................................................................................................................87
4.1 Lei de Ohm.....................................................................................................................................................87
4.2 Associação dos resistores..........................................................................................................................89
4.3 Leis de Kirchhoff...........................................................................................................................................91
4.3.1 Aplicação das leis de Kirchhoff para a determinação de intensidades de
correntes e tensões em redes elétricas........................................................................................93
5 Circuitos de corrente contínua.............................................................................................................................. 103
5.1 Circuitos série de corrente contínua.................................................................................................. 103
5.1.1 Cálculo da tensão na associação em série..................................................................... 103
5.1.2 Cálculo da resistência equivalente de associação em série.................................... 104
5.2 Circuito paralelo de corrente contínua............................................................................................. 106
5.2.1 Resistência equivalente de associação paralela.......................................................... 107
5.2.2 Associação paralela de resistores de mesmo valor..................................................... 108
5.2.3 Associação paralela de dois resistores ........................................................................... 108
5.2.4 Divisores de tensão e corrente........................................................................................... 109
5.2.5 Divisor de corrente................................................................................................................. 109
5.3 Circuito misto............................................................................................................................................. 110
5.4 Teorema da superposição...................................................................................................................... 112
5.5 Teorema de Thévenin.............................................................................................................................. 115
5.6 Teorema de Norton.................................................................................................................................. 117
5.7 Circuitos corrente alternada................................................................................................................. 120
5.7.1 Tensão e corrente alternada................................................................................................ 121
5.7.2 Circuito resistivo puro........................................................................................................... 124
5.7.3 Circuito indutivo puro........................................................................................................... 125
5.7.4 Circuito capacitivo puro....................................................................................................... 126
5.7.5 Ressonância.............................................................................................................................. 128
6 Indutores e capacitores............................................................................................................................................ 131
6.1 Indutores...................................................................................................................................................... 131
6.1.1 Indutância (L)............................................................................................................................ 132
6.1.2 Associação de indutores....................................................................................................... 133
6.2 Capacitores.................................................................................................................................................. 136
6.2.1 Capacitância ............................................................................................................................ 137
6.2.2 Associação de capacitores................................................................................................... 137
6.2.3 Reatância capacitiva (XC)..................................................................................................... 139
6.2.4 Principais tipos de capacitores........................................................................................... 140
7 Circuitos RLC em corrente alternada................................................................................................................... 145
7.1 Circuitos RLC em CA................................................................................................................................. 145
7.1.1 Associação RLC em série...................................................................................................... 145
7.1.2 Resolução de circuitos RLC.................................................................................................. 149
7.1.3 Impedância no circuito RLC em série............................................................................... 151
7.1.4 Circuito RLC em paralelo...................................................................................................... 154
7.1.5 Circuito RLC série na ressonância...................................................................................... 157
8 Magnetismo, eletromagnetismo e transformadores.................................................................................... 163
8.1 Magnetismo e eletromagnetismo...................................................................................................... 163
8.1.1 Campo magnético.................................................................................................................. 165
8.1.2 Eletromagnetismo.................................................................................................................. 166
8.1.3 Campo eletromagnético em espiras................................................................................ 168
8.1.4 Força de atração eletromagnética em eletroimãs...................................................... 171
8.2 Transformadores....................................................................................................................................... 173
8.2.1 Transformador monofásico................................................................................................. 173
8.2.2 Transformadores com mais de uma bobina no primário e no secundário........ 175
8.2.3 Transformador trifásico......................................................................................................... 176
8.2.4 Autotransformador trifásico............................................................................................... 176
Referências......................................................................................................................................................................... 179
Minicurrículo dos Autores............................................................................................................................................ 180
Índice................................................................................................................................................................................... 181
Introdução
1
Nesta unidade curricular conheceremos os principais assuntos que contribuem para o desenvolvimento das competências de um técnico em Automação Industrial, que proporcionará a aquisição de fundamentos técnicos e científicos necessários à Automação Industrial, bem como capacidades sociais, organizativas e metodológicas adequadas a diferentes situações profissionais.
Esta unidade curricular“Fundamentos da Eletrotécnica”permite aos alunos, por meio dos fundamentos de eletroeletrônica aplicáveis aos sistemas de controle e automação, a construção de uma base consistente que possibilite o desenvolvimento das competências profissionais do Técnico em Automação
Industrial. Considera o desenvolvimento de fundamentos matemáticos, elétricos e eletrônicos. (DCN-DN)
Ainda nesta unidade curricular iremos reconhecer fundamentos de eletricidade aplicáveis
aos sistemas de controle e automação. É importante identificar os tipos de instrumentos de
teste. Aplicar fundamentos de eletricidade na medição de grandezas elétricas. E ainda, interpretar representações gráficas aplicáveis aos sistemas automatizados de manufatura.
A seguir são descritos na matriz curricular os módulos e as unidades curriculares previstos
e as respectivas cargas horárias.
Tabela 1: Técnico em Automação Industrial
MóDuLOS
DENOMINAÇÃO
uNIDADES CuRRICuLARES
CARgA
CARgA HORÁRIA
HORÁRIA MóDuLO
Módulo Básico
Fundamentos Técnicos e
• Fundamentos da Comunicação
100h
Científicos
• Fundamentos da Eletrotécnica
140h
• Fundamentos da Mecânica
100h
160 h
Módulo
Fundamentos Técnicos e
• Acionamento de Dispositivos
Introdutório
Científicos
Atuadores
Específico I
• Processamento de Sinais
180 h
Manutenção e Implemen-
• Gestão da Manutenção
34h
tação de Equipamentos e
• Implementação de Equipamentos 136h
Dispositivos
Dispositivos
340h
340h
340 h
• Instrumentação e Controle
Específico II
• Manutenção de Equipamentos e
102h
Dispositivos
68h
Desenvolvimento de
• Desenvolvimento de Sistemas de
100h
Sistemas de Controle e
Controle
Automação
• Sistemas Lógicos Programáveis
160h
• Técnicas de Controle
80h
Fonte: SENAI
340h
Conceitos
2
Para iniciarmos os estudos de Fundamentos de Eletrotécnica há a necessidade da compreensão de alguns conhecimentos relativos aos fundamentos técnicos e científicos, são eles:
• Potência de base dez;
• Números decimais e fracionários;
• Múltiplos e submúltiplos;
• Conversão de base numérica;
• Resolução de sistemas lineares;
• Funções de 10 grau, 20 grau, exponencial, logarítmica e trigonométricas;
• Representação gráfica de funções;
• Relações trigonométricas.
2.1 pOTêNCIA DE bASE DEz
Potência de base dez é uma forma prática de representar e utilizar algebricamente quantidades numéricas e também converter unidades de medidas maiores em unidades de medidas
menores e vice-versa. A potência de base dez possui algumas propriedades que são utilizadas
nestas conversões, são elas:
Propriedades:
• Multiplicação de potências = conserva a base e soma os expoentes.
10m x 10n = 10(m+n)
• Divisão de potências = conserva a base e diminui os expoentes.
10m : 10n = 10m / 10n = 10(m-n)
• Potência de potências = conserva a base e multiplica os expoentes.
(10m)n = 10(m.n)
22
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Veja alguns exemplos destas propriedades:
102 x 103 = 10(2+3) = 105
103 : 102 = 10(3-2) = 101
(102)3 = 10(2x3) = 106
Compreenda, ainda, as seguintes propriedades:
• 100 = 1
• 101 = 10
• 10-1 = 1/10
• 10-n = (10-1)n = 1 / 10n
• 10n =
10 x 10 x 10 x 10....... x 10
nº de fatores
Sendo n> 0:
O “n” indica quantas vezes multiplicamos um número pela base dez.
Assim:
1x100 =1x1=1
1x101 =1x10=10
1x102 =1x10 x 10=100
2x102 =2x10x10=200
Sendo n<0:
O “n” indica quantas vezes dividimos um número pela base dez. Assim:
1x10-1 = 1 / 101 =1 / 10 =0,1
1x10-2 = 1 / 102 =1 / 10x10 =1/100=0,01
1x10-3 = 1 / 103 =1 / 10x10x10=1/1000=0,001
2.1.1 Representando quantidades numéricas com potência de dez
Considere a necessidade de efetuar uma operação algébrica (soma,
subtração, divisão ou multiplicação) com uma carga elétrica elementar,
E=0,00000000000000000016C (Coulomb). A utilização dessa quantidade na forma como foi expressa é, na prática, inviável. Para viabilizar sua utilização, vamos
reescrevê-la na forma de potência de dez.
Assim: 0,00000000000000000016 C = 1,6x10-19 C.
2 CONCEITOS
Para representar numerais menores que a unidade (1) como numerais inteiros,
devemos deslocar a casa decimal, ou seja, deslocar a vírgula para a direita, até obter uma casa de inteiros. A seguir, multiplicamos o número obtido por 10 elevado
a uma potência negativa igual ao número de casas decimais deslocadas.
Observe:
0,
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
6
0
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
1,
6
1
10 11 12 13 14 15 16 17 18
2
0
0
3
4
0
5
0
0
6
7
0
8
9
19
>
Deslocamos a vírgula 19 vezes para a direita
1,6
Agora, devemos multiplicar o numeral obtido (1,6) por 10, 10 elevado a
uma potência negativa igual ao número de casas deslocadas (19). Fica, portanto, 1,6x10-19.
Considere, agora, a distância percorrida pela luz durante um ano. Essa grandeza é denominada 1 ano-luz e equivale à distância de 94600000000000 metros.
Para representar essa distância em metros com potência de dez, devemos deslocar a casa decimal, ou seja, a vírgula para a esquerda, até obter uma casa de
inteiros. A seguir, multiplicamos o número obtido por 10, elevado a uma potência
igual ao número de casas deslocadas.
Assim:
9
4
6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
9,
4,
6,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
>
9,46
Deslocamos a vírgula 13 vezes para a esquerda
Agora, multiplicamos o número obtido por 10, elevado a uma potência igual
ao número de casas deslocadas. Fica, portanto, a distância percorrida pela luz durante um ano, igual a 9,46x1013 metros.
Para converter um número expresso como uma potência positiva de 10 num
número decimal, deslocamos a casa decimal para a direita tantas casas ou posições quanto o valor do expoente.
Exemplos:
3,14x102 = 314
234,16x106 = 234160000
23
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Para converter um número expresso como uma potência negativa de 10
num número decimal, deslocamos a vírgula para a esquerda tantas casas
quanto o valor do expoente.
Exemplos:
567,67x10-2 = 5,6767
345,8x10-3 = 0,3458
2.1.2 Operações aritméticas com potências de dez
• Adição e subtração:
Para efetuar a adição de dois ou mais numerais expressos em potência de 10,
somamos ou subtraímos os numerais conservando o expoente, quando estes forem iguais, conforme demonstrado no exemplo a seguir.
Exemplos:
5x103 +15x103 = (5+15)x103 = 20x103
5x103 - 15x103 = (5-15)x103 = -10x103
Porém, quando os expoentes não são iguais, devemos ajustá-los ao mesmo expoente antes de efetuar a adição, conforme é demonstrado no exemplo a seguir.
Exemplo:
>
>
>
6x103 + 9x102 -> 60x102 + 9x102 = (60+9)x102 = 69x102
>
24
Observe que 6x103 = 60x102. Quando diminuímos em uma vez o expoente
devemos aumentar uma casa decimal.
• Multiplicação:
Para efetuar a multiplicação de dois ou mais numerais expressos em potência
de 10, multiplicamos os coeficientes e somamos os expoentes.
Exemplo:
8x102 x 4x105 = (8x4)(2+5) = 32x107
• Divisão:
Para efetuar a divisão de dois ou mais numerais expressos em potência de 10,
dividimos os coeficientes e subtraímos os expoentes.
Exemplo:
8x105 ÷ 4x102 = (8÷4)(5-2) = 2x103
2 CONCEITOS
SAIBA
MAIS
A divisão de dois ou mais numerais expressos em potência de
10 resolveram, por exemplo, o problema de repartir grandes
quantidades de terras em pedaços menores.
Vamos compreender melhor a importância do uso destes números.
2.2 NÚMEROS FRACIONáRIOS E DECIMAIS
Por muito tempo o ser humano utilizou apenas os números inteiros; porém,
com o passar do tempo e a necessidade de efetuar medições, foi necessária a
criação de outros tipos de números, surgindo, então, os números fracionários ou
racionais. Eles resolveram o problema, de por exemplo, repartir grandes quantidades de terras em pedaços menores. Vamos compreender melhor a importância
do uso destes números.
2.2.1 númeRos FRacionáRios
Os numerais fracionários surgiram para facilitar a representação e a operação com os números não-inteiros utilizados no cotidiano.
Quando dividimos a unidade (inteiro) em partes iguais e tomamos uma ou mais
partes, estamos tomando uma fração da unidade. Fazendo uma analogia com uma
pizza, ela inteira é a unidade, e cada pedaço cortado dela é uma fração da pizza.
Figura 1 - Pizza
Fonte: Autor
As frações são representadas pelo conjunto dos números racionais, representado pela letra Q.
Definimos os números racionais como:
a a Z; b Z* }
Q= { b
Dos resultados acima temos, então, que:
Q vem de “quotient” e significa quociente.
Z representa o conjunto dos números inteiros
Z* representa o conjunto dos números inteiros excluindo o zero.
25
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
No exemplo da pizza, dividimos a unidade em seis partes iguais e tomamos
uma parte. O pedaço da pizza que tomamos é representado pela fração: a/b ,
onde: “a” é o “numerador” e “b” é o denominador. Numa fração, lemos em primeiro
lugar o numerador e em segundo lugar o denominador. Quando o denominador
é um número natural entre 2 e 9, devemos ler como: 2 = meio; 3 = terço; 4 = quarto; 5= quinto; 6 = sexto; 7 = sétimo; 8 = oitavo e 9 = nono.
Como exemplo temos: 1/6, neste caso lemos: “um sexto”. Porém quando o denominador é maior do que 10, lemos o numeral, acompanhado da palavra “avos”.
Retomando o exemplo da pizza se fosse tamanho família, ela estaria dividida
em 12 pedaços, ou seja, cada pedaço desta pizza seria representado como 1/12 e
sendo assim, lemos “um doze avos”.
1
2
V
• Frações próprias: são as frações menores que a unidade.
Numerador
V
26
Denominador
Nas frações próprias, o numerador
é menor que o denominador.
Figura 2 - Frações prórias
Fonte: Autor
• Frações impróprias: são frações maiores que a unidade.
7
4
Nas frações impróprias, o numerador
é maior que o denominador.
Figura 3 - Frações imprórias
Fonte: Autor
• Frações aparentes: são frações em que o numerador é sempre múltiplo do
denominador.
12
4
As frações aparentes representam inteiros.
Figura 4 - Frações aparentes
Fonte: Autor
• Frações equivalentes: são frações que representam o mesmo valor.
Figura 5 - Frações equivalentes
Fonte: Autor
Para obtermos uma fração
equivalente a outra, basta multiplicar ou dividir o
numerador e o denominador
pelo mesmo número.
2 CONCEITOS
• Números mistos: são números que representam uma parte inteira e
mais uma fração.
=
Figura 6 - Números mistos
Fonte: Autor
• Extração de inteiros: é a representação de uma fração imprópria por um
3 , representá-la com um número misto
número misto. Sendo a fração imprópria 4
significa evidenciar a parte inteira e a parte fracionária. Para tanto, devemos dividir o numerador pelo denominador. O quociente será a parte inteira. O resto será
o numerador e conservamos o mesmo denominador.
Assim:
3
1 quociente
1 inteiro , sobra 1
Dai: inteiro
V
4
3
1 resto
1 1
3
sobra
denominador
Obtendo uma fração imprópria a partir de um número misto:
Multiplicamos a parte inteira pelo denominador e adicionamos o numerador
ao produto obtido, mantendo o denominador.
Considere agora o número misto 1 1
3
1
x
parte inteira
3
+
denominador
1
numerador
=
4
(numerador da fração)
Executando:
Dai:
1 1
3
->
4
3
Redução de frações ao mesmo denominador
Para reduzir duas os mais frações ao mesmo denominador, devemos efetuar
três procedimentos:
1º Calcular o m.m.c. (mínimo múltiplo comum).
2º Dividir o m.m.c. pelos denominadores das frações dadas.
27
28
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
3º Multiplicar o quociente encontrado em cada divisão pelo numerador da respectiva fração. O produto encontrado é o novo numerador.
Tendo as frações: 3 ; 1 ; 5
4 2 6
1º Determinação do m.m.c:
4
2
6
2
2
1
3
2
1
1
3
3
1
1
1
12
2º Divisão do mmc pelos respectivos denominadores:
12 ÷ 4 = 3
12 ÷ 2 = 6
12 ÷ 6 = 2
3º Multiplicação dos respectivos numeradores pelo quociente encontrado:
3x3 6x1 2x5 Ficando, então: 9 6 10
12 12 12
12 12 12
Operação com frações
• Adição e subtração
Adição e subtração com o mesmo denominador: Adicionamos ou subtraímos
os numeradores e mantemos o denominador.
7
5
2
Assim: 7 + 5 = 12
8 ou 8 - 8 = 8
8
8
Adição e subtração de frações com denominadores diferentes: reduzimos as
frações ao mesmo numerador calculando o mmc e procedemos, agora, à soma ou
à subtração de frações com o mesmo denominador.
Assim: 3 + 2 = 15 + 8 = 23 ou 3 - 2 = 15 - 8 = 7
5
20
20
20
4
5
20 20
20
4
• Multiplicação:
A multiplicação de frações é efetuada multiplicando os numeradores entre si e
os denominadores entre si.
Assim: 5 x 7 = 35
4
24
6
Numa multiplicação de frações, costumamos simplificar os fatores comuns ao
numerador e ao denominador antes de efetuá-la. Exemplo:
Simplificado
>
4 x 5 -> 4 x 5 -> 4 x 1 = 4 =
5
8
5
8
1
8
8
1
2
2 CONCEITOS
• Divisão de frações:
A divisão de duas frações é efetuada multiplicando a primeira fração pela fração inversa da segunda.
Alguns procedimentos devem ser observados:
1º Transformar os números mistos em frações impróprias, se for o caso.
2º Transformar os números inteiros em frações aparentes, se for o caso.
3º Simplificar.
4º Multiplicar os numeradores e os denominadores entre si.
5º Extrair os inteiros.
Exemplo:
4
7
3 = 4 x 5 = 20
5
7
3
21
3
4
5 = 3 x 7 = 21 = 1 1
7
4
5
20
20
2.2.2 Números decimais
Os numerais decimais surgiram da necessidade de efetuar operações aritméticas por meio de números inteiros sem o uso de frações. O método foi desenvolvido por Simon Stevin (1548-1620), matemático e engenheiro holandês.
Os números decimais têm origem nas frações decimais. Como por exemplo:
A fração 1 dá origem ao numeral decimal 0,5.
2
Casa decimal:
Casa decimal é a posição que um algarismo (signo gráfico que representa um número) ocupa após a vírgula. A vírgula separa a parte inteira da parte fracionária do número.
Tabela 2: Nomenclatura das casas decimais
VALOR
NOME
CASAS DECIMAIS
1x10
décimo
1
1x10
centésimo
2
1x10-3
milésimo
3
1x10
décimo de milésimo
4
1x10
centésimo de milésimo
5
1x10-6
milionésimo
6
1x10
décimo de milionésimo
7
1x10
centésimo de milionésimo
8
1x10-9
bilionésimo
9
-1
-2
-4
-5
-7
-8
29
30
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
continuação Tabela 2: Nomenclatura das casas decimais
VALOR
NOME
CASAS DECIMAIS
1x10
décimo de bilionésimo
10
1x10-11
centésimo de bilionésimo
11
1x10
trilionésimo
12
1x10
décimo de trilionésimo
13
1x10-14
centésimo de trilionésimo
14
1x10
quatrilhonésimo
15
1x10
décimo de quatrilhonésimo
16
1x10-17
centésimo de quatrilhonésimo
17
1x10
quintilhonésimo
18
1x10
décimo de quintilhonésimo
19
1x10
centésimo de quintilhonésimo
20
-10
-12
-13
-15
-16
-18
-19
-20
Fonte: Autor
Decimais Infinitos
Também chamados de dízima periódica, apresentam repetição de algarísmos.
Exemplo:
2,222222222222...
Representação:
inteiros
fracionados
Classe dos milhões Classe dos milhares Classe das unidades
c
d
c: centena
u
c
d
u
d: dezena
c
d
u
décimo centésimos milésimos
u: unidade
Figura 7 - Decimais infinitos inteiros
Fonte: Autor
Para separar as classes dos inteiros usamos o ponto, e para separar a parte inteira da parte fracionária usamos a vígula.
Exemplo:
Figura 8 - Decimais infinitos fracionários
Fonte: Autor
2 CONCEITOS
Operações com números decimais
• Adição e subtração
Para adicionar números decimais, devemos posicionar o número inteiro
abaixo de número inteiro, vírgula abaixo de vírgula e casa decimal abaixo de
casa decimal.
Exemplos:
Somando os números:
3, 456
3, 456 <- três casas decimais
+ 20, 12 <- duas casas decimais + 20, 12 acertando a posição da virgula
23, 576
23, 576
Subtraindo os números:
33, 456 <- três casas decimais
- 20, 12 <- duas casas decimais
13, 336
33, 456
- 20, 12 acertando a posição da virgula
13, 336
• Multiplicação e divisão
Para multiplicar números decimais, multiplicamos os números decimais
como se fossem naturais e no produto colocamos a vírgula contando da direita para a esquerda um número de casas decimais igual à soma das casas
decimais dos fatores.
Exemplo:
3,456 x 20,12
3, 456 <- três casas decimais
<- duas casas decimais
- 20, 12
69,53472 <- cinco casas decimais
Para multiplicar um número decimal por 10,100,1000,.... deslocamos a vírgula
para a direita tantas casas quantos forem os zeros do multiplicador.
Exemplo: 2,35x100 = 235
Para dividir um número decimal por 10,100,1000,.... deslocamos a vírgula no
dividendo para a esquerda tantas casas quantos forem os zeros do divisor.
Exemplo: 67,789 ÷ 10 = 6,7789
31
32
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
2.3 MÚLTIpLOS E SUbMÚLTIpLOS
Em 1795 foi introduzido na França o Sistema Métrico Decimal que, por sua racionalidade, logo se espalhou por todo o mundo. Vários sistemas foram utilizados
desde então, a exemplo do Metro-Quilograma-Segundo (MKS) e do Centímetro-Grama-Segundo (CGS), que usavam as bases do sistema métrico decimal, até
que em 1960, durante a 11ª Conferência de Pesos e Medidas realizada em Paris,
foi formulado um novo sistema baseado também do Sistema Métrico Decimal,
ao qual se denominou Sistema Internacional de Unidades (SI). Este Sistema passa
por revisões periódicas.
VOCÊ
SABIA?
Até meados do século XVIII, as unidades de medida eram
arbitrárias, variando de um país para outro, o que trazia
enormes transtornos nas conversões. Por causa disso, os
cientistas propuseram unidades de medida universais.
2.3.1 caRacteRÍsticas do sistema métRico decimal
O sistema métrico é de base decimal e apresenta múltiplos e submúltiplos, racionalmente escolhidos, utilizando prefixos gregos e latinos, segundo potências
de dez, conforme demonstrado no quadro a seguir:
Tabela 3: Múltiplos e submúltiplos do sistema métrico
Valores
Prefixos
Símbolos
Valores
Prefixos
Símbolos
10
exa
E
10
1
unidade
fundamental
1015
peta
P
10-1
deci
d
10
tera
T
10
centi
c
10
giga
G
10
mili
m
106
mega
M
10-6
micro
μ
10
quilo
k
10
nano
n
10
hecto
h
10
pico
p
101
deca
d
10-15
femto
f
10
1
unidade
fundamental
10
atto
a
18
12
9
3
2
0
0
-2
-3
-9
-12
-18
Fonte: Autor
2.3.2 pReFixos métRicos
Em eletricidade básica algumas unidades de medidas podem ser ou muito
pequenas ou muito grandes para serem expressas. Por exemplo: no caso de resistência frequentemente são utilizados valores de resistência da ordem de milhares
de ohms. O prefixo “k” (quilo) é uma forma conveniente de se representar mil,
assim como o prefixo “M” (mega), milhão.
2 CONCEITOS
Dessa forma, um resistor de 12.000 Ω (ohm: unidade de medida para resistência
elétrica) pode ser representado, convenientemente, por 12k Ω (doze quiloohm), e
um resistor de 1.000.000 de ohms pode ser representado por 1M Ω (um megaohm).
Os prefixos “kilo” e mega referem-se aos múltiplos da unidade fundamental.
No caso da corrente elétrica, é muito frequente a utilização de milésimos ou
milionésimos de ampères (A = unidade de medida de intensidade de corrente
elétrica). Assim, uma corrente de 0,001A pode ser representada por 1mA (miliampère), que é um submúltiplo da unidade fundamental, enquanto uma corrente de
0,000002A pode ser representada por 2μA (microampères).
Veja a seguir alguns exemplos do uso destes prefixos nas conversões:
Tabela 4: Prefixos de conversões
12.500 Ω
12,5k Ω
ou 12k5 Ω
4.700.000 Ω
4,7M Ω
ou 4M7 Ω
35.000V
35kV
1.500V
1,5kV
0,0034A
3,4mA
200mA
0,2A
14.000μA
0,014A
2.200W
2,2kW
ou 14mA
Fonte: Autor
Frequentemente é necessário converter uma unidade de medida maior em
outra menor ou vice-e-versa, principalmente quando desejamos efetuar operações como soma e subtração.
Assim, para somar 0,23V (V (volt) = unidade de medida de tensão elétrica) com
2mV, é necessário que as unidades de medidas sejam iguais, ou V (volt) ou mV
(milivolt), ou seja necessitamos igualar as unidades de medida. E para tal devemos fazer com que 0,23V se transforme em 230mV.
Logo: 230mV + 2mV = 232mV ou, ainda, podemos transformar 2mV em 0,002V,
neste caso temos: 0,23V + 0,002V = 0,232V.
Quando o deslocamento no sentido vertical for para cima,
desloque a vírgula para a esquerda.
FIQUE
ALERTA
Quando o deslocamento no sentido vertical for para baixo,
desloque a vírgula para a direita.
Considere sempre a unidade fundamental (UF) = 100.
Lembre-se de que qualquer número inteiro pode ser
mentalizado como um número precedido de uma vírgula e
zeros, em conformidade com a aproximação desejada.
Vejamos os exemplos de conversão de unidades a seguir:
• Converter 12.000mV em V (volt):
33
34
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Analisando a Tabela 4, anterior, verificamos que, para converter 12.000mV para
V (volt), o deslocamento no sentido vertical ocorre para cima. Isto significa que
devemos deslocar a vírgula para a esquerda. Mas, quantas casas devemos deslocar à esquerda? A diferença entre os expoentes do mV (10-3) para a unidade fundamental (100) é 3. Logo, deverão ser deslocadas três casas à esquerda.
Assim: 12.000mV = 12V
Levando em conta que 12.000 pode ser escrito como 12.000,00... e deslocando
a vírgula 3 casas à esquerda, teremos então 12,000, que é representado por 12.
• Converter 4.500V em kV (kilovolt):
Neste caso, o deslocamento vertical também é para cima e por isso a vírgula deve ser deslocada à esquerda. A diferença entre os expoentes também é 3.
Logo: 4.500V = 4,5kV.
• Um resistor de 33.000 Ω pode ser representado como 33x(1x103) onde na base
10, o expoente 3 faz o deslocamento em três casas, sendo assim: 33.000 Ω = 33k Ω.
2.4 Conversão de base numérica
Na grande maioria das vezes, ao ouvirmos a palavra “números”, a associamos
ao sistema decimal, porque é com ele que estamos acostumados a operar. O sistema decimal está fundamentado em algumas regras que são base para qualquer
outro sistema. Sendo assim, é importante estudar estas regras e aplicá-las aos sistemas de numeração binária, decimal e hexadecimal.
Uma das regras demonstra que um dígito (numeral) no sistema decimal (base
10) tem dois significados: um é o valor propriamente dito do dígito, e o outro está
relacionado com a posição do dígito no número (peso).
Vamos compreender melhor com o seguinte exemplo:
O numeral 7 no número 70 corresponde a sete dezenas, ou seja 7 x 10, devido à posição que ele ocupa no número. Este princípio é aplicável a qualquer
sistema de numeração onde os dígitos possuem “pesos” determinados por seu
posicionamento. Sendo assim, um sistema de numeração genérico pode ser
expresso da seguinte maneira:
N = dn . Bn + . . . + d3. B3 + d2. B2 + d1 . B1 + d0 . B0
Onde:
N = representação do número na base B
dn = dígito na posição n
B = base do sistema utilizado
n = valor posicional do dígito.
2 CONCEITOS
Veja como o número 1587 fica representado no sistema decimal:
N = d3 . B3 + d2 . B2 + d1 . B1 + d0 . B0
1587 = 1 . 103 + 5 . 102 + 8 . 101 + 7 . 100
1000 + 500 + 80 + 7
2.4.1 Sistema de numeração binário
O sistema binário utiliza dois dígitos (base 2) para representar qualquer quantidade. De acordo com a definição de um sistema de numeração qualquer, o número binário 1101 pode ser representado da seguinte forma:
1101 = 1 . 23 + 1 . 22 + 0 . 21 + 1 . 20
1101 =
8 +
4 +
0 +1
= 13
Note que os índices foram especificados em notação decimal, o que possibilita a conversão binária-decimal como descrito acima. Através do exemplo anterior, podemos notar que a quantidade de numerais necessária para representar um número qualquer, no
sistema binário, é muito maior quando comparada ao sistema decimal. A grande vantagem do sistema binário reside no fato de que, possuindo apenas dois dígitos, eles são facilmente representados por uma chave aberta e uma chave fechada, ou um relé ativado
e um relé desativado, ou um transistor saturado e um transistor cortado; o que torna simples a implementação de sistemas digitais mecânicos, eletromecânicos ou eletrônicos.
Em sistemas eletrônicos, o dígito binário (0 ou 1) é chamado de BIT, enquanto
um conjunto de 8 bits é denominado BYTE.
2.4.2 Conversão binário decimal
A conversão de um número do sistema binário para o sistema decimal é efetuada simplesmente adicionando os pesos dos dígitos binários 1, como mostramos os exemplos a seguir:
Solução:
a) 11010 = 1 . 24 + 1 . 23 + 0 . 22 + 1 . 21 + 0 . 20
11010 = 16 +
8 + 0 +
2 +0
11010 = 26 (D)
b) 1100100 = 1 . 26 + 1 . 25 + 0 . 24 + 0 . 23 + 1 . 22 + 0 . 21 + 0 . 20
1100100 =
64 + 32 + 0 + 0
1100100 = 100 (D)
+
4 +
0 + 0
35
36
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
2.4.3 Conversão decimal binário
Para converter um número decimal em binário, dividimos sucessivamente o
número decimal por 2 (base do sistema binário), até que o último quociente seja
1. Os restos obtidos das divisões e o último quociente compõem um número binário equivalente, como mostra o exemplo a seguir.
Exemplo: Converter os seguintes números decimais em binário:
Figura 9 - Conversão decimal binário
Fonte: Autor
2.4.4 Sistema de numeração hexadecimal
O sistema hexadecimal, ou sistema de base 16, é largamente utilizado nos computadores de grande porte e em vários microcomputadores. Neles são utilizados 16 símbolos para representar cada um dos dígitos hexadecimais, conforme a tabela a seguir:
Tabela 5: Dígitos hexadecimais
Nº DECIMAL
DÍGITO HEXADECIMAL
Nº BINÁRIO
Decimal
Hexa
Binário
0
0
0000
1
1
0001
2
2
0010
3
3
0011
4
4
0100
5
5
0101
6
6
0110
7
7
0111
8
8
1000
9
9
1001
10
A
1010
11
B
1011
12
C
1100
13
D
1101
14
E
1110
15
F
1111
Fonte: Autor
2 CONCEITOS
Note que as letras A, B, C, D, E, F representam dígitos associados às quantidades 10, 11, 12,13, 14, 15, respectivamente.
2.4.5 Conversão de hexadecimal para decimal
Novamente aplicamos a Tabela 2 para o sistema hexadecimal a definição de
um sistema de numeração qualquer. Assim, temos:
N = d3.163 + d2.162 + d1.161 + d0.160
Para efetuar a conversão, basta adicionar os membros da segunda parcela da
igualdade, como ilustrado nos exemplos a seguir:
Converter em decimal os seguintes números hexadecimais:
a) 23 (H) = 2 . 161 + 3 . 160
b) 3B (H) = 3 . 161 + B . 160
23 (H) = 2 . 16 + 3 . 1
3B (H) = 3 . 16 + B . 1
23 (H) =
3B (H) = 48 + 11
32
+ 3
23 (H) = 35(D)
3B (H) = 59 (D)
Observe que o dígito hexadecimal “B”, no exemplo (b), equivale ao número 11
decimal, como indica na Tabela 2.
2.4.6 Conversão de decimal para hexadecimal
A conversão decimal hexadecimal é efetuada através das divisões sucessivas
do número decimal por 16, como demonstrado no exemplo a seguir.
Exemplo: Converter os seguintes números decimais em hexadecimal:
Figura 10 - Conversão decimal hexadecimal
Fonte: Autor
2.5 Sistema linear
Sistema linear é um método algébrico para solucionar equações matemáticas
com duas ou mais variáveis.
37
38
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
2.5.1 classiFicação dos sistemas lineaRes
Os sistemas lineares são classificados, quanto ao número de soluções,
da seguinte forma:
Possível ou compatível
quando admite solução
Sistema
linear
Determinado
Admite uma única solução
Indeterminado
Admite infinitas soluções
Impossível ou incompatível
quando não admite solução
2.5.2 equação lineaR
Toda equação da forma a1x1 + a2x2 + ... + axxx = b é denominada equação
linear, em que:
a1, a2, ..., an
são coeficientes.
x1, x2, ..., xn
são as incógnitas.
b
é um termo independente.
Exemplo:
a) 2x1 - 3x2 + x3 = 5 é uma equação linear de três incógnitas.
b) x + y - z + t = 1
é uma equação linear de quatro incógnitas.
Quando o termo independente “b” for igual a zero,
a equação linear será denominada equação linear
homogênea. Exemplo: 5x+y = 0 .
FIQUE
ALERTA
Uma equação linear não apresenta termos da forma
x21, x23, x53, etc.; isto é, cada termo da equação tem uma única
incógnita cujo expoente é sempre 1.
As equações 3x12 + 2x2 = -3 e 4x.y + z = 2 não são lineares.
A solução de uma equação linear a “n” incógnitas é a sequência
de números reais que, colocados respectivamente no lugar
de x1, x2, ..., xn, tornam verdadeira a igualdade dada.
Uma solução evidente da equação linear homogênea 3x +
y = 0 é (0,0).
Exemplos:
1) Dada a equação linear 4x - y + z = 2, encontre uma de suas soluções.
Resolução: Vamos atribuir valores arbitrários a x e y e obter o valor de z.
2 CONCEITOS
4.2 - 0 + z = 2
V
x=2
y=0
z = -6
Resposta: Uma das soluções é a tripla ordenada (2, 0, -6).
2) Dada a equação 3x - 2y = 5, determine a para que a dupla (-1, a ) seja a solução
da equação.
x = -1
y=a
V
(-1, a)
V
Resolução:
3.(-1) - 2 a = 5
-3 - 2 a = 5
-2 a = 8 -> a = -4
Resposta: a = – 4
2.5.3 Sistema linear com solução por matrizes
Denominamos sistema linear de m equações nas n incógnitas x1, x2, ..., xX todo
sistema da forma:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
...
V
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
a11, a12, ..., a1n, b1, b2, ..., bn são números reais.
...
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bn
Se o conjunto ordenado de números reais a satisfizer todas as equações do
sistema, será denominado solução do sistema linear.
Observações:
Se o termo independente de todas as equações do sistema for nulo, isto é,
b1 = b2 = ... = bn, o sistema linear será dito homogêneo. Veja o exemplo:
2x + y - z = 0
x + y + 4z = 0
5x - 2y + 3z = 0
Uma solução evidente do sistema linear homogêneo é x = y = z = 0.
Esta solução chama-se solução trivial do sistema homogêneo. Se o sistema homogêneo admitir outra solução em que as incógnitas não forem todas nulas, a
solução será chamada de solução não trivial.
39
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
S1:
V
x + 3y = -5
2x - y = 4
S2:
S1 = {(1,-2)}
3x + y = 2
2
-x + y = -1
3
V
Se dois sistemas lineares, S1 e S2, admitem a mesma solução, eles são ditos sistemas equivalentes. Veja o exemplo:
S2 = {(1,-2)}
Como os sistemas admitem a mesma solução {(1, -2)}, S1 e S2 são equivalentes.
Dentre suas variadas aplicações, as matrizes são utilizadas na resolução de um
sistema de equações lineares por ser um processo mais adequado.
Retomando o sistema linear especificado, temos:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
...
...
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bn
Utilizando matrizes, podemos representar este sistema da seguinte forma:
a11
a21
...
...
a12
a22
...
...
...
...
...
...
a1n
a2n
...
...
am1
am2
... amn
.
x1
x2
...
...
=
xn
b1
b2
...
...
bn
v
v
v
40
matriz constituída pelos
matriz coluna consti-
matriz coluna dos ter-
coeficientes das incógnitas
tuída pelas incógnitas
mos independentes
Observe que, se você efetuar a multiplicação das matrizes indicadas, obterá
a solução do sistema apresentado. Se a matriz constituída pelos coeficientes das
incógnitas for quadrada, seu determinante será o principal do sistema.
Exemplo:
2x1 + 5x2 - x3 = 0
Seja o sistema: 4x1 - 3x2 + 6x3 = -1
7x1 + x2 - 2x3 = 8
Ele pode ser representado por meio de matrizes da seguinte forma:
2 CONCEITOS
2
5
-1
x1
4
-3
6
x2
7
1
-2
x3
0
=
-1
8
2.6 Funções de 1º grau, 2º grau, exponencial, logarítmica e
trigonométricas
As funções são importantes como modelos de fenômenos naturais.
2.6.1 Função de 1º grau
A função linear é determinada pela expressão y = A.x + B. As variáveis “x” e
“y” têm domínio no conjunto dos números reais R. As constantes A e B são os
coeficientes da função. A variável y é a variável dependente; ou seja, o valor de y
depende do valor atribuído a x. Então, dizemos que y é função de x.
O conjunto de valores conferidos a x deve ser chamado de domínio da função,
e os valores determinados de y formam o conjunto imagem da função. O gráfico
de uma função linear é uma reta; isto significa que a variável dependente y tem
variação constante, dada pelo valor do coeficiente A. Veremos que a relação linear
entre duas variáveis tem muita aplicabilidade em modelos eletrônicos.
Exemplos:
A>0, função crescente
A<0, funções decrescente
Figura 11 - Função de 1º grau
Fonte: Autor
O valor do coeficiente A indica se a função é crescente ou decrescente, e o valor de b indica o ponto de intersecção da função com o eixo y do plano cartesiano.
Aplicações:
A) Considere: y= 2x + 5, x
R.
41
42
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
A partir da expressão, podemos construir uma tabela com os valores de
y em função de x. Observe que o coeficiente A é positivo; portanto, y cresce
com x (função crescente).
x
Y = 2x + 5
0
5
1
7
2
9
3
11
Graficamente teremos:
y
x
Figura 12 - Função de 1º grau - 1
Fonte: Autor
B) Considere: y = -2x + 5, x
R.
Observe que o coeficiente A é negativo; portanto, y decresce com x
(função decrescente).
x
Y = -2x + 5
0
5
1
3
2
1
3
-1
Graficamente teremos:
y
x
Figura 13 - Função de 1º grau - 2
Fonte: Autor
Casos particulares da função linear
1) A = 0
Com A = 0, a equação y = A.x + B fica reduzida a y = B. A função y = B recebe o
nome de função constante. Observe que o valor de y não varia com o aumento de x.
Exemplo: Considere: y = 5
x
5
0
5
1
5
2
5
3
5
2 CONCEITOS
Graficamente teremos:
y
x
Figura 14 - Função de 1º grau - 3
Fonte: Autor
2) B = 0
Se B = 0, a equação y = A.x + B fica reduzida a y = A.x. Seu gráfico é uma reta
pela origem.
Exemplo: y = 2x
x
Y
0
0
1
2
2
4
3
6
Graficamente teremos:
y
x
Figura 15 - Função de 1º grau - 4
Fonte: Autor
2.6.2 Função de 2º grau
A função de 2º grau, também chamada de quadrática, é obtida pela expressão
y = A.x2 + B.x + C, com domínio em R, sendo A, B e C números reais e A≠0. O gráfico
da função quadrática é uma parábola que tem concavidade voltada para cima caso A
seja positivo, e concavidade para baixo caso A seja negativo, como representado abaixo:
y = +x2 -2x -3
y = -x2 +2x +3
Figura 16 - Função de 2º grau
Fonte: Autor
43
44
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
O ponto v representado nas figuras 1 e 2 é o vértice da parábola. A parábola apresenta uma simetria em relação à reta que passa pelo vértice e é
perpendicular ao eixo x.
Para representar graficamente uma função de 2º grau precisamos determinar as intersecções da parábola com o eixo x, sua intersecção com o eixo
y e o seu vértice.
Determinação das intersecções com o eixo x
Para determinar os cruzamentos com o eixo x devemos fazer y = 0. Tomemos
como exemplo a função de 2º grau: y = x2 – 2x -3.
Fazendo y = 0, obtemos a equação de 2º grau: 0 = x2 -2x – 3.
Para determinar os valores que x pode assumir para fazer y=0, usaremos a fórmula de Báskara:
+2
x = -B 2A
= B2 - 4AC
Efetuando o equacionamento, determinaremos que a parábola cruza o eixo x
nos pontos (-2,0) e (3,0).
Os pontos (-2,0) e (3,0) são ditos raízes da função.
Determinação da intersecção com o eixo y
O cruzamento com o eixo y é determinado quando fazemos x = 0. Tomando
como exemplo a função de 2º grau y = x2 -2x -3, temos: y = 02 -2x0 -3.
Fica: y = -3
Então a parábola cruza o eixo y no ponto (0,-3).
Determinação do vértice e eixo de simetria
O vértice da parábola tem coordenadas:
Abscissa:
x = -B
2A
Ordenada:
Para o exemplo dado, temos: V = (1,-4) .
O eixo de simetria passa por x= 1
y=
4A
2 CONCEITOS
Representação gráfica:
Figura 17 - Vértice e eixo de simetria
Fonte: Autor
2.6.3 Função exponencial
3 LED
V
2 LED
21 = duas possibilidades de acionamento.
V
1 LED
22 = quatro possibilidades de acionamento, (figura abaixo).
V
O circuito abaixo simula o acionamento de LEDs que é um diodo emissor de luz
que estudaremos em outra unidade curricular - processamentos de sinais. O número
de possibilidades distintas de acionamento é dado em função do número de LEDs.
23 = oito possibilidades de acionamento.
Figura 18 - Sistema com 2 LEDs
Fonte: Autor
Podemos então escrever: f(n)=22 ou y = 2n, com n = 1,2,... A expressão y = 2n é uma função exponencial, onde y é o número de possibilidades e é função de n, número de LEDs.
45
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
2.6.4 pRopRiedades de potenciação
Dados a e b reais e m e n naturais, são verificadas as seguintes propriedades:
am x an = am+n
am = am-n
an
(ab)m = am x bm
m
( a )m= a m (para b≠0)
b
b
(am)n = am.n
a0 = 1
a-n = 1n
a
(para a≠0)
1
an = n a
m
a n =( n a )m =
n
am
com sendo Real positivo e m, n = 1,2,3,....
2.6.5 equações exponenciais
Equações exponenciais são aquelas em que a incógnita aparece nos expoentes. O equacionamento consiste em reduzir os membros da equação a potências
de mesma base a (a>0, a≠1).
5x-1 = 125
solução: 5x-1 = 53
x–1=3
V
Exemplo de aplicação:
V
46
x=4
São vários os fenômenos naturais e as aplicações cotidianas que têm equacionamento exponencial.
2.6.6 Função logaRÍtmica
O termo logaritmo vem do grego: logos = razão e arithmos = número.
A função logarítmica é o modelo adequado para estudar e explicar muitos fenômenos naturais.
VOCÊ
SABIA?
Os logarítmicos são utilizados, também, em equacionamentos
matemáticos em que não é possível resolver equacionamentos
exponenciais por simples igualdade de potências.
A função logarítmica é definida como sendo a função g que associa a cada número real x>0, o número real loga x, com domínio em R+* (Reais positivos, excluído
o zero) e imagem em R(Reais).
2 CONCEITOS
Exemplos:
g(x) = log2 x
g(x) = log1/2 x
O gráfico da função logarítmica é uma hipérbole, conforme demonstrado nas
figuras a seguir:
Figura 19 - Gráfico da função logarítmica
Fonte: Autor
Fique atento para as informações a seguir:
• O gráfico da função logarítmica passa sempre pelo ponto (1,0).
• O gráfico nunca toca o eixo y e não ocupa pontos dos quadrantes II e III.
• Quando a base (a) é maior que um, a função logarítmica é crescente.
• Quando a base (a) é maior que zero e menor que um, a função logarítmica é decrescente.
Definição de logaritmo de um número
Denomina-se logarítmo de um número a, na base b, o número real c que deve
ser o expoente de b para que a potência seja igual ao número a.
Ou seja:
V
V
logb a = c
bc = a
com a > 0, b > 0, b ≠ 1;
Onde:
c: logaritmo;
b: base do logaritmo;
a: logaritmando.
Veja alguns exemplos de aplicação:
• Vamos calcular o logaritmo de 81 na base 3.
Log381 = x
47
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Para calcularmos devemos fatorar o número 81:
81 3
0 27
0
3
9
0
3
3
0
3
1
Então:
3x = 81
Daí:
3x = 34
Donde:
x=4
V
Lembrando que: logb a = c
V
Assim, podemos escrever que 81 = 34
bc = a ;
Logo, log3 81 = 4.
Veja este segundo exemplo: Determinar o valor de log1 3 3
9
3
1
3
log1 3 3 = log3-2 ( 31. 3 2 ) = log3-2 3 2 =
4
9
Usando as propriedades anteriores { log ba = c bc = a }
b= 1 a= 3 3
9
c=
3
4
13/4 = -0,75
9
Para que possamos efetuar alguns cáculos de logarítimos existem algumas
propriedades que são aplicadas, veja:
Propriedades dos logarítmos
1ª
loga1 = 0
2ª
loga a = 1
3ª
loga an = n
4ª
aloga N = N, com N>0
5ª
loga X= loga Y
6ª
loga (M.N)= loga M+ loga N
7ª
loga M = loga M- loga N
N
8ª
loga MN = N . loga M
V
V
48
X=Y
1
M = loga MN = 1 . loga M
N
loga N
10ª logb N =
loga b
9ª
loga
N
2 CONCEITOS
Exemplos nos quais podemos aplicar funções logarítmicas:
Na economia, resolvendo a equação C = C0(1+r)n, onde C
o capital montante futuro resultante de um investimento
inicial C0, com taxas de juros de r% em cada período de
tempo contratado, passados n desses períodos.
Na arqueologia, para datar achados arqueológicos através do
método do carbono 14(C14). Os arqueólogos usam a equação:
N(t) = N0.e(-kt), onde N(t) é a quantidade de C14 presente numa
amostra no instante t e N0 a quantidade de C14 presente no
instante t=0, k é a constante de desintegração radioativa de
C14 e a quantidade e é o número de Euler e vale 2,718.
SAIBA
MAIS
Na construção de escalas para fenômenos naturais. A escala
Ritcher, chamada assim em homenagem ao sismólogo
americano Charles F. Ritcher, baseia a medida da magnitude
de um terremoto numa escala logarítmica de base 10.
Na engenharia, como modelo matemático de funcionamento
de componentes e circuitos. Os
potenciômetros logarítmicos são elementos
de circuitos eletrônicos que variam sua
resistência elétrica numa escala logarítmica,
também de base dez.
Figura 20 - Potenciômetro logarítmico
Fonte: Autor
2.6.7 tRigonometRia básica
A palavra trigonometria vem do grego e significa medida (metria) em triângulos (trigon).
ARCO é uma parte da circunferência determinada por dois de seus pontos.
Figura 21 - Trigonometia básica arco
Fonte: Autor
ÂNGULO é uma abertura determinada pelo
arco de uma circunferência.
O arco AB determina o ângulo AôB.
Figura 22 - Trigonometia básica ângulo
Fonte: Autor
Usamos duas unidades para determinar arcos e ângulos:
Grau: um grau (1º) é a 1 parte de uma circunferência.
360
Radiano: Um radiano (1rad) é determinado por um arco cujo comprimento é
igual ao comprimento do raio da circunferência que contém esse arco.
49
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
0
“Esticando” o arco AB , sendo seu comprimento
igual ao segmento 0A , como 0A =r. Então, a medida do arco AB é um radiano.
r
Anotamos assim: AB = 1 rad
Figura 23 - Trigonometia básica
Fonte: Autor
O comprimento da circunferência (C) é dado por C= 2πr, sendo o raio da circunferência r = 1 rad. Então a medida do comprimento da circunferência em radianos fica
C = 2π rad. Como a circunferência tem 360 graus (360º), podemos escrever a relação:
2π rad = 360º
Essa relação possibilita a conversão de radianos em graus e vice-versa.
2π rad
então
2π rad
x
V
Como
V
Como exemplo, vamos converter 30º em radianos.
360º,
V
50
360º,
30º.
Fazendo: 30º . 2π rad = x . 360º
Determinando x, teremos: x =
(30º . 2π rad)
e
360º
(60π rad)
Simplificando: x =
360
π
Finalmente: x = rad.
6
Fica: x =
(30º . 2π rad)
360º
(60π rad)
x=
360
Relação do comprimento de um arco com o ângulo determinado
Na circunferência abaixo, o arco S determina o ângulo a, a relação algébrica
entre o comprimento do arco S e o ângulo a é dada por: S = a . R.
Figura 24 - Arco com o ângulo determindado
Fonte: Autor
2 CONCEITOS
Teorema de Pitágoras:
O “teorema de Pitágoras” trabalha apenas com os lados do triângulo, não envolvendo os ângulos.
c2= a2 + b2
Exemplos:
a = cateto oposto
b = cateto adjacente
c = hipotenusa
Figura 25 - Pitágoras
Fonte: Autor
2.7 Representação gráfica de funções
As funções podem ser representadas geometricamente por gráficos. Antes de vermos as representações das funções, é importante recapitular o que
é o ciclo trigonométrico.
CICLO TRIGONOMÉTRICO
Denomina-se ciclo trigonométrico a circunferência orientada de raio 1 na qual
o sentido positivo é o anti-horário. No ciclo trigonométrico abaixo, as coordenadas cartesianas x e y determinam quatro quadrantes com origem no ponto A.
em graus
em radianos
Figura 26 - Ciclo trigonométrico
Fonte: Autor
2.7.1 Função seno
Y = sen X
No ciclo trigonométrico abaixo, definimos como seno do ângulo x determinado pelo arco AP como sendo a medida do segmento de reta orientado OY1 .
51
52
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
no ciclo trigonometrico
no triângulo retângulo
sen = cateto oposto
hipotenusa
Notação:
ou
sen x = OY1
sen = a
c
Figura 27 - Função seno
Fonte: Autor
Valores notáveis do seno
Figura 28 - Valores notáveis do seno
Fonte: Autor
O conjunto imagem da função seno y = sen x é o intervalo [-1, 1].
Gráfico da função seno: senóide.
Figura 29 - Gráfico da função seno
Fonte: Autor
2.7.2 Função cosseno
y = cos x
No ciclo trigonométrico abaixo, definimos como cosseno do ângulo x determinado pelo arco AP como sendo a medida do segmento de reta orientado OX1 .
2 CONCEITOS
no ciclo trigonometrico
no triângulo retângulo
cos = cateto adiacente
hipotenusa
Notação:
ou
cos x = OX1
cos = b
c
Figura 30 - Função cosseno
Fonte: Autor
Valores notáveis do cosseno
Figura 31 - Valores notáveis do cosseno
Fonte: Autor
O conjunto imagem da função seno y = cos x é o intervalo [ -1, 1 ].
Gráfico da função seno: cossenoide.
Figura 32 - Gráfico da função cosseno
Fonte: Autor
2.7.3 Função tangente
y = tan x
No ciclo trigonométrico abaixo, definimos como tangente do ângulo x determinado pelo arco AP como sendo a medida do segmento de reta orientado At .
53
54
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
no ciclo trigonometrico
no triângulo retângulo
tan = cateto oposto
cateto adiacente
Notação:
y = tan x
ou
tan = a
b
Figura 33 - Função tangente
Fonte: Autor
Valores notáveis da tangente
Figura 34 - Valores notáveis do tangente
Fonte: Autor
O conjunto imagem da função tangente y = tan x é o conjunto dos números reais R.
Gráfico da função:
Figura 35 - Gráfico da função tangente
Fonte: Autor
2 CONCEITOS
2.8 Relações trigonométricas
Quando de sua criação pelos matemáticos gregos, a trigonometria já dizia
respeito exclusivamente à medição de triângulos. Agora, as relações trigonométricas apresentadas a seguir são aplicadas exclusivamente ao estudo de triângulos retângulos, porém as funções trigonométricas resultantes apresentadas mais
adiante encontram aplicações nas mais vastas áreas da Física e da Engenharia.
Figura 36 - Relação trigonométrica
Fonte: Autor
2.8.1 Teorema de Pitágoras
O grego Pitágoras (570–501 a.C.) formulou o seguinte teorema, que tem hoje
o seu nome e relaciona a medida dos diferentes lados de um triângulo retângulo:
“A soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”.
Ou seja: se x e y forem o comprimento dos dois catetos e h o comprimento da
hipotenusa, teremos:
x² + y² = h²
A demonstração deste teorema pode ser efetuada através do cálculo de
áreas de triângulos retângulos e de quadrados. A área de um quadrado com
comprimento do lado de valor L é dada por L2. Para um retângulo de comprimento de base B e de altura A a área é dada pelo produto destes dois comprimentos, isto é, B×A.
Se dividirmos esse retângulo com uma diagonal, teremos dois triângulos retângulos, com catetos de comprimento a e b. A área de cada um será, então, metade da área do triângulo a . b .
2
Figura 37 - Teorema de Pitágoras
Fonte: Autor
55
56
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
2.8.2 Relações tRigonométRicas de ângulos
Na maioria das aplicações trigonométricas relacionamos os comprimentos dos
lados de um triângulo recorrendo a determinadas relações dependentes de ângulos
internos. Assim, apresentaremos algumas relações trigonométricas com esse fim.
seno de x
É o quociente do comprimento do cateto oposto ao ângulo x pelo comprimento da hipotenusa do triângulo, ou seja,
sen a = cateto oposto = y
hipotenusa
h
O seno de x pode aparecer com uma das seguintes representações:
sen x, sin x sen(x), sin(x).
coseno de x
É o quociente do comprimento do cateto adjacente ao ângulo x pelo comprimento da hipotenusa do triângulo, ou seja,
cos a = cateto adjacente = x
hipotenusa
h
Em geral, o coseno de x aparece com uma das duas representações:
cos x, cos(x).
tangente de x
É o quociente dos comprimentos do cateto oposto pelo cateto adjacente, ou seja,
tan a = cateto oposto = y/h = y . h = y
cateto adjacente
x/h h x x
É usual representar a tangente de a de uma das seguintes maneiras: tan x,
tan(x), tg x, tg(x).
RECApITULANDO
Neste capítulo foi revisto alguns conceitos matemáticos necessários para
a compreensão de alguns conhecimentos que serão estudados ao longo
deste curso. Desde os conhecimentos das operações com números decimais até as funções da trigonometria são aplicadas em Automação.
2 CONCEITOS
Anotações:
57
Conceitos de eletricidade básica
3
Neste capítulo iremos estudar os seguintes fundamentos técnicos e científicos:
• Eletrostática;
• Grandezas elétricas;
• Fontes de energia;
• Potência e energia elétrica;
• Instrumentos de medidas.
3.1 ELETROSTáTICA
O termo eletrostática vem do grego: elektron + statikos, que significa elétron estacionário.
SAIBA
MAIS
Para compreender o que é eletrostática, devemos entender alguns
conteúdos que estão relacionados. Um deles é sobre os modelos
atômicos. Para tal, começaremos com um breve histórico da evolução
desses modelos através dos tempos.
O primeiro modelo atômico de que temos conhecimento foi concebido por Leucípo (450 a.C.),
o primeiro a pensar na divisão da matéria em partículas menores até o limite do indivisível. Já Demócrito (470 a.C. - 380 a.C), discípulo de Leucípo, divulgou o termo átomo, que em grego significa a = não e tomo = parte, ou seja, não parte, “indivisível”. Com isso ele explicou o que chamou de
descontinuidade da matéria. Também é de Demócrito a proposição de que a matéria era formada
a partir da combinação de átomos de quatro elementos: água, ar, terra e fogo.
Em 1808, John Dalton (1766 – 1825) apresentou um modelo de átomo como sendo uma
minúscula esfera maciça, indivisível, impenetrável e indestrutível.
Figura 38 - Bola de bilhar
Fonte: Autor
60
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
É relevante o fato de que no período entre 380 a.C. e 1808 não ocorreram modelos atômicos novos para explicar a matéria. A Idade Média foi, sem dúvida, um
período da história humana bastante complicado para a ciência.
Em 1897, o físico inglês Joseph John Thomson (1856 – 1940) propôs que a
“bola de bilhar” de Dalton teria propriedades elétricas. A grande contribuição de
Thomson foi perceber que o movimento de uma gota ionizada na “câmara de
bolhas”, desenvolvida por seu assistente C.T.R. Wilson, é justamente o mesmo de
uma gota esférica num campo gravitacional. Assim, Thomson concebeu a existência do elétron e de sua carga. O modelo de Thomson ficou conhecido como “bolo
de passas” (Plum Cake). Um átomo ainda maciço recheado de elétrons com carga
elétrica negativa e 1.1x10-19 Coulomb como sendo sua carga alétrica.
Figura 39 - Átomo
Fonte: Autor
Em 1911, o físico neozelandês Ernest Rutherford (1871-1937) realizou um experimento que o consagraria como o “pai” da física nuclear. Rutherford e seus colaboradores bombardearam uma fina lâmina de ouro com partículas alfa (partículas com carga elétrica positiva).
Figura 40 - Experiência de Rutherford
Fonte: Autor, baseado em banco de imagens google
Rutherford verificou que, para aproximadamente cada 10.000 partículas alfa que incidiam na lâmina de ouro, apenas uma era desviada ou refletida. Sendo assim, concluiu
que o raio do átomo era 10.000 vezes maior do que o raio do núcleo atômico. O modelo
nucleado proposto era revolucionário, pois admitia a existência de espaços vazios no
átomo, portanto, na matéria. O modelo planetário do átomo, como ficou conhecido, era
constituído por um núcleo central positivo e a eletrosfera, espaço do entorno do núcleo
contendo os elétrons, com carga elétrica negativa e estática. O modelo atômico concebido pelo físico dinamarquês Niels Bohr (1855-1962) explicava muito bem a dinâmica
do átomo de hidrogênio, mas apresentou-se inadequada para esclarecer os espectros
atômicos mais complexos. Bohr deu velocidade aos eletrons no interior do núcleo.
3 Conceitos de Eletricidade Básica
Figura 41 - Modelo planetário do átomo
Fonte: Autor
O físico alemão Sommerfeld (1868-1951) acrescentou ao modelo de Bohr a
ideia dos orbitais elípticos.
Prêmio Nobel de Física em 1933, o austríaco Erwin Schrödinger desenvolveu
uma concepção ondulatória para o átomo. O átomo, então, deixa de ter uma representação física (“bolinhas”) e passa a ser uma equação que presume a probabilidade de sua determinação. Assim, a região do espaço onde é máxima a probabilidade de encontrarmos o elétron é chamada de orbital. Schrödinger lançou as
bases da Mecânica Quântica ondulatória.
Figura 42 - Átomo 1
Fonte: Autor
3.1.1 Carga elétrica
Benjamin Franklin (1706-1790) elaborou uma teoria para explicar os fenômenos elétricos. Para ele, havia um fluído elétrico em todos os corpos. Se um corpo
possuísse em excesso, era chamado de positivo; se o possuísse de menos, era negativo. Segundo Franklin, a carga elétrica é uma propriedade física da matéria e
todos os corpos na natureza contêm carga elétrica (“quantidade de eletricidade”).
Observações permitiram qualificar e classificar as cargas elétricas em dois tipos:
positivas e negativas. Experimentos como as máquinas elétricas apresentadas a
seguir corroboraram para quantificar a carga elétrica do elétron a um valor bem
próximo ao sugerido por Thomson.
61
62
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Exemplos de máquinas eletrostáticas utilizadas na construção do referencial
teórico de fenômenos elétricos:
Figura 43 - Máquinas eletrostáticas antigas
Fonte: Autor, baseado banco de imagens do google
Robert Millikan (1868-1953) formulou que a carga elétrica de um corpo era
constituída por um múltiplo inteiro de uma constante: q = n.e , onde n = 1,2,3,....
e a constante “e” a carga fundamental (carga do elétron).
unidade de carga elétrica
Unidade é um parâmetro de medida. A unidade que usamos para determinar carga elétrica no sistema CGS é o statcoulomb (Sistema CGS de unidades é baseado nos parâmetros: centímetro, grama e segundo). A carga elétrica de um statcoulomb equivale à carga elétrica puntiforme que, colocada
no vácuo a um centímetro de outra carga puntiforme igual, exerce sobre ela
uma força de repulsão de um dine (unidade de medida, pelos ingleses, da
grandeza Força).
A unidade de medida da carga elétrica no sistema MKS é o Coulomb (o sistema
MKS de unidades é baseado nos parâmetros: metro, quilograma e segundo). A
carga de um Coulomb equivale à carga elétrica de 1,6.1019 elétrons. O Coulomb é
a unidade de medida de carga do Sistema Internacional de Unidades.
3 CONCEITOS DE ELETRICIDADE báSICA
CASOS E RELATOS
Atenção constante com a segurança
Apresentamos um caso real, que aconteceu em uma montadora de
Automóveis de grande porte, localizada na região Metropolitana
de Porto Alegre. Esse caso ressalta a atenção que o técnico deve
ter com a eletrostática em serviços usuais e diários, bem como o
uso correto de equipamentos de proteção. No setor de mistura de
tintas dessa montadora, um determinado funcionário executava
uma rotina diária de abastecimento dos tonéis de mistura de tintas com solventes muito inflamáveis. O funcionário sabia que esse
processo requeria muito cuidado e, por isso, utilizava vários equipamentos de proteção individual e coletivo para sua segurança e
dos demais colegas.
Entretanto, num dia de falta de atenção, esse funcionário se descuidou, e não atentou a um determinado procedimento que orientava
colocar um cabo que prende o tonel a ser abastecido à malha de
aterramento. Esse procedimento evita que o tonel metálico acumule
cargas eletrostáticas. Quando o funcionário iniciou o abastecimento,
as cargas foram se acumulando até que, num determinado momento, houve a descarga entre o tonel e um ponto metálico próximo do
bocal da mangueira de abastecimento, gerando uma pequena faísca
(como um acendedor Automático de fogão).
Essa pequena faísca provocou uma explosão no tonel. Contudo,
como o tonel não estava completamente abastecido, e o local
onde ocorreu essa explosão era um espaço destinado para esse
procedimento, os danos não trouxeram maiores impactos. O funcionário sofreu apenas pequenas queimaduras, pois estava usando
seus equipamentos de segurança, mas ficou a lição: muita atenção
às cargas eletrostáticas!
3.1.2 pRincÍpios de eletRostática
Você já ouviu e já estudou que “cargas elétricas de mesmo sinal se repelem e cargas
elétricas de sinais opostos se atraem”. A isto chamamos de Princípio da atração e repulsão.
63
64
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Figura 44 - Repulsão
Fonte: Ramalho, 2007
Figura 45 - Atração
Fonte: Ramalho, 2007
De acordo com o princípio da conservação das cargas elétricas, a quantidade
de carga elétrica total original é igual à quantidade de carga elétrica que os corpos assumiram após a troca de carga.
Q1 + Q2 = Q’1 + Q’2
Eletrização
Os fenômenos de natureza eletrostática manifestam-se no cotidiano em diversas situações. São choques elétricos em maçanetas de portas, na tela da TV,
no contato com outras pessoas etc. No manuseio de componentes e equipamentos eletrônicos, por exemplo, é comum os técnicos usarem Pulseira antiestática,
como demonstrado na figura a seguir, para eliminar a carga elétrica do corpo que
potencialmente pode causar danos ao equipamento.
Figura 46 - Eletrostática
Fonte: Autor, baseado em banco de imagens google
Figura 47 - Pulseira antiestática
Fonte: Autor, baseado banco de imagens google
Aterramento
Aterramento é o ato de ligar um condutor eletrizado à Terra; com isso ele perde sua eletrização, ou seja, se descarrega.
Figura 48 - Aterramento
Fonte: Autor
3 Conceitos de Eletricidade Básica
Formas de eletrização:
a) Eletrização por contato:
A eletrização é praticada através do contato de um corpo condutor eletrizado
com um corpo condutor neutro.
Os corpos ficam eletrizados com cargas de mesmo sinal. A quantidade de cargas, elétrons, que o corpo eletrizado recebe do corpo neutro ou transfere para o
corpo neutro é função do volume dos corpos.
É importante enfatizar que no processo só elétrons estão em movimento.
Figura 49 - Eletrização por contato
Fonte: Autor
Equacionamento da distribuição de cargas:
Quando os corpos têm as mesmas dimensões e o mesmo volume, as cargas
são distribuídas segundo uma média aritmética.
Q é a carga da esfera carregada antes do contato; Q/2 é a carga nas esferas após o contato.
Figura 50 - Equacionamento da distribuição de cargas
Fonte: Autor
Q1 e Q2 são as cargas das esferas antes do contato; (Q1+Q2)/2 são as cargas nas
esferas após o contato.
Figura 51 - Equacionamento da distribuição de cargas1
Fonte: Autor
Quando os corpos têm dimensões diferentes, as cargas resultantes são obtidas
por uma média ponderada dos raios dos corpos.
65
66
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Q’1 =
R1
. Q1 + Q2
(R1 + R2)
Q’2 =
R2
. Q1 + Q2
(R1 + R2)
Figura 52 - Equacionamento da distribuição de cargas2
Fonte: Autor
Q1 e Q2 são as cargas das esferas antes do contato; Q’1 e Q’2 são as cargas nas
esferas após o contato.
b) Eletrização por atrito:
O atrito de corpos de naturezas diferentes motiva a passagem de elétrons de
um corpo para o outro. Os corpos ficam carregados com a mesma quantidade de
carga, porém com sinais diferentes.
Figura 53 - Eletrização por atrito
Fonte: Ramalho, 2007
c) Eletrização por indução:
Na eletrização por indução, um corpo induz uma carga elétrica em outro corpo
sem contato físico. O processo de indução de carga é demostrado nos passos abaixo:
Passo1
Considere um corpo condutor B neutro
e isolado.
Passo2
A figura ao lado mostra que, aproximando do corpo B um corpo condutor A carregado positivamente, provocamos a polarização do corpo B; isto é, elétrons são atraídos
para um polo (lado) do corpo B. Assim, um
polo fica com excesso de elétrons e o outro,
com falta destes. O corpo A é chamado de
indutor, e o corpo B é chamado de induzido.
3 CONCEITOS DE ELETRICIDADE báSICA
Passo3
Na presença do indutor, o induzido é
conectado à Terra. Elétrons são atraídos
pelo polo positivo do corpo B.
Passo4
Na presença do indutor é desfeita a conexão do corpo B à Terra.
Passo5
Afastando o indutor os elétrons, agora
em excesso no induzido, espalham-se imediatamente por sua superfície, ficando o
corpo B eletrizado negativamente.
Figura 54 - Eletrização por indução
Fonte: Ramalho, 2007
VOCÊ
SABIA?
Que ao atritar um pente em uma flanela e depois colocar
perto dos cabelos estes são atraídos pelo pente eletrizado?
Faça esta experimento e veja na prática o que é eletrização
por indução.
3.1.3 FoRça elétRica – a lei de coulomb
Após minuciosas observações, Coulomb constatou que:
“A força de interação entre duas cargas elétricas pontuais é proporcional ao
produto destas cargas”.
F a Q1 . Q2
“A força de interação, de atração ou repulsão, entre duas cargas pontuais é
inversamente proporcional ao quadrado da distância entre as cargas.”
F a 12
d
Daí: F a
Q1 . Q2
d2
Para converter uma proporcionalidade em igualdade, é necessária uma constante de proporcionalidade. Coulomb estabeleceu essa constante em função do
meio onde as cargas se deparam. Assim, experimentalmente, fica determinada a
constante k como sendo:
k = 8,9875 . 109 Nm
c2
2
no vácuo.
67
68
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Para simplificar os cálculos, usaremos o valor aproximado:
k = 9 x 109 N.m
C2
2
Então, duas cargas pontuais, Q1 e Q2, separadas por uma distância d, se atraem
ou se repelem com uma força F dada por:
F = k. Q1 . Q2
d2
[ N ], unidade no SI : Newton.
A direção da força F é dada pela reta que une as duas cargas.
O sentido da força F será de atração se as cargas apresentarem sinais diferentes, e de repulsão se possuírem o mesmo sinal.
A distância entre as cargas deve estar representada em metros.
3.2 Grandezas elétricas
Para o estudo dos fenômenos elétricos não podemos imaginar uma disciplina
de estudo isoladamente. Serão necessários estudos em outras disciplinas, como a
Química, por exemplo. Assim como a Física visa explicar os fenômenos da natureza,
a Eletricidade (parte da física) visa explicar os fenômenos elétricos, às vezes sem
justificá-los; afinal, são fenômenos da natureza. Mas a compreensão deles é muito
útil para aplicá-los, seja na elaboração de um aparelho ou de uma máquina elétrica.
Vamos compreender alguns destes fenômenos, ou seja, destas grandezas.
3.2.1 Tensão elétrica
Tensão elétrica é a diferença de potencial (ddp) entre dois corpos. Ela mede o
quanto um corpo está carregado eletricamente em relação ao outro. O símbolo
para a tensão elétrica pode ser V, E ou U. Em nosso estudo adotaremos a letra V. A
unidade de medida da tensão elétrica é o Volt (V).
Na figura 55, considere os corpos:
Figura 55 - Tensão elétrica
Fonte: Autor
Em todas as medições, o corpo A está mais carregado que o corpo B.
3 Conceitos de Eletricidade Básica
Assim como em medidas de comprimento, para medir uma diferença de potencial precisamos estabelecer uma referência, ou seja, com o que estamos comparando. Neste caso, então, vamos analisar uma pilha elétrica. Ela possui dois polos: um positivo e outro negativo. No polo positivo haverá falta de elétrons, e no
polo negativo haverá excesso deles.
Sabemos que a pilha é de 1,5 Volts, mas o que isto representa? Representa que no
polo positivo há uma diferença de potencial de 1,5 V em relação ao polo negativo.
Uma pilha comum:
Figura 56 - Simbologia do voltímetro em um circuito elétrico
Fonte: Autor
Figura 57 - Simbologia de uma fonte
Fonte: Autor
O instrumento utilizado para medir a grandeza elétrica de tensão é o voltímetro. Como ele mede a diferença de potencial (ddp) entre os terminais de um componente, no exemplo uma pilha? Para medir a ddp de uma pilha, o instrumento
deve ser conectado em paralelo com ele.
Veja nos exemplos a seguir como devemos proceder para medir com o instrumento voltímetro:
Exemplo 1 – Uma pilha
Exemplo 2 – Duas pilhas em série
Figura 58 - Pilha
Fonte: Autor
Figura 59 - Pilhas em série
Fonte: Autor
Exemplo 3 – Pilhas em série e contrapostas
Figura 60 - Pilhas em série e contrapostas
Fonte: Autor
Observe que, quando as pilhas estão contrapostas, o resultado será uma soma
algébrica de valores.
69
70
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
3.2.2 coRRente elétRica
É a circulação de cargas elétricas em um meio material. O símbolo para Intensidade de corrente elétrica é a letra I, e sua unidade de medida é o Ampère (A).
Como a corrente elétrica é um fluxo de cargas, devemos medir este fluxo por uma
unidade de tempo; logo, ampère significa fluxo de cargas por segundo.
Na figura 61 verificamos que os corpos A e B estão carregados eletricamente
e entre eles há um corpo neutro que proporciona um caminho para a circulação
de cargas elétricas.
Figura 61 - Corrente elétrica
Fonte: Autor
O corpo B, positivamente carregado, “roubará” um elétron do primeiro átomo
do corpo neutro, que ficará em desequilíbrio e “roubará” um elétron do átomo vizinho, até que o último átomo do corpo neutro “roube” elétrons do corpo A, onde
há justamente excesso de elétrons.
A essa circulação de cargas elétricas (no caso o elétron) damos o nome de corrente elétrica, e é ela que executará algum tipo de, aquecimento, iluminação, força etc. O instrumento para medir a intensidade de corrente elétrica é o amperímetro (A). Como a corrente elétrica é um fluxo, para sua medição ela deverá passar
através do instrumento, que deve ser ligado em série ao corpo neutro.
Figura 62 - Simbologia do amperímetro no
circuito elétrico
Fonte: Autor
SAIBA
MAIS
Figura 63 - Simbologia do amperímetro ligado em
série a um circuito elétrico
Fonte: Autor
“Um ampére equivale ao fluxo de 6,25 x 1018 elétrons por
segundo”.
3 Conceitos de Eletricidade Básica
3.2.3 Resistência elétrica
Vimos no exemplo anterior que um corpo eletricamente neutro serviu de
caminho para a corrente elétrica do corpo A para o corpo B, isto porque os
elétrons da última camada podem ser capturados por outros átomos. Porém,
se estes elétrons estivessem firmemente presos ao núcleo, não haveria condução de corrente elétrica.
Existem materiais que possuem os elétrons da última camada com pouca atração ao núcleo, sendo facilmente capturados por outros átomos. Na
verdade, estes elétrons não são ligados a átomo algum e estão ali apenas
para dar equilíbrio ao átomo e ficar circulando pela estrutura do material.
Damos-lhes o nome de elétrons livres.
Resistência é a oposição que um material apresenta à passagem de corrente
elétrica. O símbolo para resistência é a letra R e sua unidade de medida é o Ohm
(Ω). Para medir a resistência elétrica de um material utilizamos o ohmímetro.
Veja na figura 64 o caminho do elétron livre.
Figura 64 - Caminho do elétron livre
Fonte: Autor
Como o ohmímetro utiliza um circuito eletrônico propriamente alimentado,
não devemos conectar este instrumento a um material submetido a uma tensão
elétrica, pois pode danificá-lo. Portanto, para medir resistência elétrica o circuito
deve estar desenergizado.
Figura 65 - Simbologia do ohmímetro
no circuito
Fonte: Autor
Figura 66 - Simbologia do ohmímetro ligado em
paralelo no circuito elétrico
Fonte: Autor
71
72
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Existem materiais que conduzem a corrente elétrica e são chamados de condutores; outros impedem a passagem de corrente elétrica e são chamados de
isolantes. Vamos compreender melhor: condutores são os materiais que possuem grande número de elétrons livres, servindo como meio de condução da
corrente elétrica. Temos como exemplos cobre, ouro, alumínio, zinco, chumbo
etc.; já isolantes são os materiais que não possuem elétrons livres um sua estrutura, portanto, não conduzem corrente elétrica. Exemplos: borracha, amianto,
madeira, vidro, mica, plástico etc.
Dos materiais que dificultam a passagem de corrente elétrica dizemos que
possuem alta resistência elétrica. A resistência elétrica é função da força com que
os elétrons são atraídos ao núcleo. Mesmo os materiais condutores, na prática,
possuem resistência elétrica, e ela depende de três fatores: resistência específica,
seção do material e comprimento do material.
• Resistência específica (ρ) - É uma característica física da matéria e está estabelecida em uma tabela de referência. Será aplicada no capítulo de Resistores.
• Seção do material - Quanto maior a seção, mais elétrons podem passar
ao mesmo tempo.
• Comprimento do material - Quanto maior o comprimento, maior a resistência apresentada.
Determinação da resistência elétrica
Para qualquer material condutor dado, a resistência de um determinado comprimento depende de sua resistividade, do comprimento do fio e da área da seção reta do fio de acordo com a fórmula.
O fator ρ (letra grega que se lê “rô”) permite a comparação da resistência de
diferentes materiais de acordo com a natureza, independentemente de seus comprimentos ou áreas. Valores mais altos de ρ representam maior resistência.
Os valores de resistência elétrica variam de acordo com quatro fatores: natureza, comprimento, seção transversal e temperatura do material.
3 Conceitos de Eletricidade Básica
Figura 67 - Resistência elétrica
Fonte: Autor
A resistividade de alguns materiais condutores mais comuns pode ser vista na
tabela 6.
Tabela 6: Resistividade dos principais tipos de condutores
Materiais condutores
Resistividades ( Ω . m)
Alumínio
2,38 . 10-8
Latão
7 . 10-8
Cobre recozido
1,72 . 10-8
Cobre duro
1,78 . 10-8
Ouro
2,45 . 10-8
Platina
10 . 10-8
Prata
1,64 . 10-8
Estanho
11,50 . 10-8
Zinco
6,23 . 10-8
Fonte: Autor
3.3 Fontes de energia
Fontes de energia são dispositivos que convertem uma forma de energia, seja
ela eólica, química, térmica ou outra em energia potencial elétrica. Esta energia
potencial é conhecida como força eletromotriz (fem). As tensões medidas nas fontes de fem são simbolizadas pela letra V.
Veja a seguir, no quadro 1, exemplos de alguns tipos de dispositivos que convertem outras energias em energia elétrica potencial.
Fonte de energia
Dispositivo típico
Química
Célula combustivel, bateria (célula voltaica), pilha
Mecânica
Gerador, alternador
Térmica
Termo acoplador
Fotoelétrica (luz)
Célula solar, fotocélula
Piezoelétrica (pressão)
Cristal
Quadro 1 - Fontes de energia geradoras de força eletromotriz
Fonte: Autor
73
74
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
As fontes de energia elétrica são classificadas em corrente contínua (cc) e
corrente alternada (ca).
Como exemplo mais comum de fonte de energia de Corrente Contínua, podemos citar as pilhas e as baterias. Tanto as pilhas como as baterias são compostas
por células químicas. A célula química ou voltaica é a unidade básica para converter energia química em energia elétrica. Ela consiste em um par de metais diferentes imersos em um líquido ou pasta de solução de material iônico chamado
eletrólito. O eletrólito é ionizado ou dissociado na solução.
Os íons positivos entram em reação química com um condutor metálico, ou
eletrodo, e os íons negativos, com o outro eletrodo. Os eletrodos então adquirem
carga líquida, positiva, e o outro, negativa.
Dependendo do material da célula em uso, a f.e.m gerada será na ordem de 1
a 2V, como demonstrado na tabela 7, a seguir:
Tabela 7: Força eletromotriz gerada por diferentes eletrodos
ELETRODOS
ELETRóLITOS (V)
FEM NOMINAL (V)
Zinco e cobre
Ácido sulfúrico
1,0
Níquel e cádmio
Hidróxido de potássio
1,2
Zinco e dióxido de manganês
Cloreto de amônia
1,5 (célula de luz de flash)
Magnésio e dióxido de manganês Brometo de mangésio
1,5 (célula de magnésio)
Zinco e dióxido de manganês
Hidróxido de potássio
1,5 (célula alcalina)
Chumbo e peróxido de chumbo
Ácido sulfúrico
2,0 (célula Automotiva)
Fonte: Autor
SAIBA
MAIS
As pilhas chamadas de alcalinas são as que possuem como
solução a substância química hidróxido de potássio, pois ele
é um álcali, daí o termo pilhas alcalinas.
Já como exemplo mais comum de fonte de energia de Corrente Alternada (CA)
podemos citar os geradores ou os alternadores. A tensão alternada e a corrente
alternada são aquelas cuja intensidade e sentido variam periodicamente, sendo o
valor médio da intensidade durante um período igual a zero.
Veja nos gráficos a seguir exemplos de tensão alternada:
Figura 68 - Tensão alternada
Fonte: Autor
3 Conceitos de Eletricidade Básica
As centrais elétricas produzem a corrente alternada e os consumidores residenciais e industriais a consomem, pois é esta a corrente utilizada por transformadores que irá compatibilizar os níveis de tensão para o trabalho. Além disto, nas
indústrias, principalmente, os motores mais utilizados são os de corrente alternada, mais simples, resistentes e de baixo custo se comparados com os motores de
corrente continua (CC).
É de suma importância a possibilidade de transformar a energia elétrica. A
corrente alternada de pequena intensidade e alta tensão pode ser transformada
de maneira simples, e com pequenas perdas, em correntes de alta intensidade e
baixa tensão, e vice-versa.
3.4 Potência e energia elétrica
Potência elétrica é a capacidade de realizar o trabalho ou transformar energia
por unidade de tempo; ou seja, a transformação da energia elétrica em outros
tipos de energia, tais como energia calorífica (forno), energia mecânica (motor),
energia luminosa (lâmpada) etc.
Em um resistor, quanto maior for a tensão elétrica aplicada, mais o resistor tenderá a se aquecer, pois, pela Lei de Ohm, será maior a corrente que circulará por
ele. A potência é proporcional à tensão e à corrente aplicadas a um resistor. Logo,
podemos escrever que:
Potência = Tensão X Corrente
A unidade da potência no sistema MKS é joules por segundo (J/s) ou watts (W).
Na forma matemática, temos:
P=VxI
I
V
V
potência em watts (W)
tensão elétrica em volts (V)
V
P
V
Onde:
corrente elétrica em ampère (A)
A potência em função da resistência e corrente:
P = R x I2
A potência em função da resistência e tensão, sendo a unidade da resistência
dada em ohms.
P = V2 / R
75
76
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
A potência elétrica determina a energia dissipada por um resistor em um determinado tempo. Para calcular a energia gasta durante este intervalo de tempo, basta
multiplicar a potência dissipada durante este tempo pelo intervalo de tempo.
Energia = Potência x Tempo
Onde as unidades de medidas são:
Energia é dada em joule.
Potência é dada em watts.
Tempo em segundos.
Como esta unidade de medida de energia é muito pequena, a unidade mais
utilizada na prática é o quilowatt - hora (kWh). Note que a unidade de potência é
dada em quilowatt, e o tempo, em hora.
Veja a aplicação desta equação nos exemplos a seguir:
• Um gerador de corrente contínua, com uma tensão de 50V, está fornecendo
uma corrente de 10A ao circuito externo. Determine a potência, desprezando a
resistência interna do gerador:
P=VxI
P = 50V x 10A -> P = 500W
• A corrente solicitada por um motor de corrente contínua é de 75A. A tensão
nos terminais do motor é 230 Volts. Qual é a potência de entrada do motor em KW?
P=VxI
P = 230V x 75A -> P = 17,25KW
• Um gerador de corrente contínua apresenta os seguintes dados entre as características: 150KW e 220V. Qual é a sua corrente nominal?
P=VxI
I= P/V
I = 150.000W / 220V -> I = 681,81A
• Um chuveiro consome 30A para produzir uma potência de 6.500W. Com estes
dados anteriores, qual é a tensão necessária para esta potência?
P=VxI
V=P/I
V = 6.500W / 30A -> V = 216,67V
3 Conceitos de Eletricidade Básica
3.5 Instrumentos de medidas
Os instrumentos de medidas elétricas são aparelhos que fornecem um valor determinado da grandeza elétrica com base em efeitos físicos causados
por essa grandeza. Vários são os efeitos aplicáveis, tais como: forças eletromagnéticas, forças eletrostáticas, efeito Joule, efeito termoelétrico, efeito da
temperatura na resistência etc.
3.5.1 Classificação dos instrumentos de medidas elétricas
Os instrumentos de medidas elétricas são classificados quanto ao princípio de
funcionamento, ao tipo de corrente elétrica e à grandeza a ser medida.
Quanto ao princípio de funcionamento: são os intrumentos eletromagnéticos,
eletrodinâmicos, eletroquímicos e dinâmicos.
Quanto à corrente: são os instrumentos de corrente contínua – CC e instrumentos de corrente alternada - CA.
E quanto à grandeza a ser medida: são amperímetros, voltímetros e ohmímetros.
3.5.2 Medição de corrente
Todos os instrumentos destinados a medir correntes elétricas atualmente utilizados baseiam seu funcionamento na ação magnética da corrente. Medidores
de corrente ou amperímetros são ligados em série com o circuito de corrente,
apresentando uma pequena resistência interna.
Para medir a corrente elétrica, ligamos ao instrumento um resistor em
paralelo, designado por derivador (antigamente shunt), conforme demonstrado na figura 69:
Figura 69 - Determinação da corrente elétrica
Fonte: Autor
Caso o amperímetro seja utilizado para uma faixa de medição n vezes superior
à existente (fator de amplificação n), então uma parte da corrente passará pelo
amperímetro e (n-1) partes passarão pelo derivador.
77
78
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Ri
n-1
Onde:
Rn =
Rn = resistência
Ri = resistência do instrumento
n =fator de amplificação
Veja o exemplo a seguir:
A faixa de medição de amperímetro deve ser ampliada de 100μA para 1A. A
resistência interna é de 2Ω. Qual é o tamanho do derivador Rn?
n = 1 = 10, Rn = Ri = 2 = 2 = 0,22 ohms
0,1
n-1
10-1
9
Para a medição de correntes alternadas elevadas são usados transformadores de corrente.
3.5.3 Medição de tensão
Medidores de tensão ou voltímetros são medidores de corrente com elevada
resistência interna. Quando da aplicação de uma tensão, circula nos aparelhos
uma determinada corrente, que provoca a deflexão do ponteiro.
Devido à resistência interna inalterável do instrumento, a escala pode ser ajustada em volts. Voltímetros são ligados em paralelo com o consumidor ou rede.
MEDIÇÃO DE TENSÃO MAIS ELEVADA
Para a medição de tensão mais elevada utilizamos um resistor de pré-ligação.
Voltímetro com resistor de pré-ligação
Figura 70 - Determinação da tensão elétrica
Fonte: Autor
Se a tensão a ser medida é n vezes superior à faixa de medição existente, então
o valor de tensão a ser consumido pelo resistor é de (n - 1) volts.
3 Conceitos de Eletricidade Básica
Rp = Ri x (n - 1)
Onde:
RP = resistor de pré-ligação
Ri = resistência interna do instrumento
Veja o exemplo a seguir:
A faixa de medição de um voltímetro de 12 volts deve ser ampliada para 60
volts. A resistência interna do instrumento é de 2000 ohms. Qual o valor de Rp?
Fator n = 60 = 5; Rp = Ri (n-1) = 2000 (5-1) = 8000 ohms
12
Para a medição de tensões alternadas elevadas empregamos transformadores
de potencial.
3.5.4 Medição da resistência
A determinação da resistência de uma carga pode ser feita por medição indireta. Para tanto, o elemento resistivo é ligado a uma tensão, medindo-se sua
queda de tensão e a absorção da corrente. O valor da resistência é obtido através da aplicação da Lei de Ohm:
R= V/I
Onde:
R é a resistência dada em ohms,
V é a tensão dada em volts, e
I é a intensidade de corrente elétrica dada em ampères.
Nas medições de grande precisão devem ser levadas em consideração a resistência interna e a corrente absorvida pelo instrumento de medição.
Ligações para a determinação indireta de resistências
Figura 71 - Determinação da resistência elétrica
Fonte: Autor
79
80
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
3.5.5 medição poR meio de multÍmetRo digital
O multímetro digital é uma ferramenta utilizada para medir várias grandezas, como:
• resistência elétrica;
• tensão elétrica contínua (DC) ou alternada (AC);
• corrente elétrica contínua (DC) ou alternada (AC);
Dependendo do modelo do multímetro podemos ter
medições para capacitância, frequência de sinais alternados,
tipos de transistores, temperatura etc.
SAIBA
MAIS
Veja a seguir como proceder para utilizar o instrumento
na medição de resistência, tensão e corrente. Quando a
medição é de resistência, o multímetro estará na função
ohmímetro; quando a medição for de tensão, a função será
voltímetro; e quando for a medição de corrente elétrica, a
função será a de amperímetro.
Figura 72 - Multímetro
Fonte: Autor
multímetro
Para medir a resistência elétrica com o ohmímetro proceda da seguinte maneira:
1º - Conecte a ponta de prova vermelha ao terminal V Ω Hz e a ponta preta ao
comum do aparelho marcado como COM.
2º - Posicione a chave rotativa na maior escala de valores e ligue o multímetro,
o símbolo MΩ aparecerá no display.
3º - Confirmando o símbolo, conecte as pontas de prova aos terminais do componente a ser medido e faça a leitura, ajustando a escala para melhor visualização.
FIQUE
ALERTA
Evite tocar nos terminais durante a medição, pois isto
poderá afetar as medidas.
3 CONCEITOS DE ELETRICIDADE báSICA
Para medir a tensão elétrica com o voltímetro, proceda da seguinte maneira;
sem esquecer de que:
JAMAIS poderá tocar nos terminais da ponteira do aparelho durante a
medição, pois há o risco de acidente!
1º - Conecte a ponta de prova vermelha ao terminal V Ω Hz e a ponta preta ao
comum do aparelho marcado como COM.
2º - Posicione a chave rotativa na maior escala de valores de tensão e ligue o
multímetro. O símbolo V aparecerá no display.
3º - Confirmando o símbolo, conecte as pontas de prova aos pontos a serem
medidos e faça a leitura, ajustando a escala para melhor visualização.
FIQUE
ALERTA
Verificar também o tipo de tensão selecionado na escala;
ou seja, se estamos medindo tensões em AC ou DC. Existem
aparelhos que informam no display e um botão apenas
para trocar; em outros casos, a escolha é automática.
Verifique antes o manual de seu aparelho.
Para medir a corrente elétrica com o amperímetro, proceda da seguinte maneira, mas não se esqueça:
JAMAIS toque nos terminais da ponteira durante a medição, pois há o risco
de acidente! E verifique no aparelho o novo ponto terminal para a ponta de
prova vermelha.
1º - Conecte a ponta de prova vermelha ao terminal A. Normalmente nos aparelhos este terminal fica no lado oposto aos terminais de tensão e resistência e
conecte a ponta preta contínua ao comum do aparelho marcado como COM.
2º - Posicione a chave rotativa na maior escala de valores de corrente e ligue o
multímetro. O símbolo A aparecerá no display.
3º - Confirmando o símbolo, conecte as pontas de prova aos pontos a serem
medidos e faça a leitura, ajustando a escala para melhor visualização.
FIQUE
ALERTA
Verificar também o tipo de corrente selecionada na escala;
ou seja, se estamos medindo AC ou DC. Existem aparelhos
que informam no display e um botão apenas para trocar;
em outros casos, a escolha é Automática. Verifique antes o
manual do seu aparelho.
81
82
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
CASOS E RELATOS
A necessidade criou a norma
Em nosso dia a dia de trabalho, constatamos que há um grande número de
técnicos que apresentam problemas na hora de executar as medições de
energia, principalmente, em relação a normas de segurança. Como sabemos, a energia elétrica só é verificada por meio de medições corretas em
seus meios de transmissão (fios e cabos). Contudo, observamos que em
várias empresas os técnicos que trabalham em manutenção elétrica têm
por norma verificar a constatação de energia somente após solicitar o desligamento. Isso aconteceu em uma empresa de grande porte, localizada no
Distrito Industrial de Cachoeirinha, cidade metropolitana de Porto Alegre,
que fabricava medidores de energia. Um determinado eletricista dessa empresa precisou realizar um serviço de manutenção e solicitou, por telefone,
o desligamento do circuito três ao seu colega. Entretanto, esse colega entendeu que era para desligar o circuito seis. Assim, houve um curto-circuito
quando o funcionário cortou os cabos de alimentação.
A partir desse caso, a empresa se antecipou a futuros problemas e criou, bem
antes da popularização da NR10, a seguinte norma: todos os eletricistas deveriam realizar em suas bancadas de manutenção, com níveis e equipamentos
de segurança, testes em seus multímetros para confirmar seu funcionamento.
Além disso, quando fosse necessário solicitar um desligamento, o funcionário
deveria, antes de fazer a solicitação, realizar um teste para confirmar se existia
tensão onde iria trabalhar. Após a solicitação de desligamento, o funcionário
deveria confirmar se havia ausência de tensão. Com esse procedimento, houve
uma grande redução dos riscos e das causas de acidentes nessa empresa.
3.5.6 osciloscÓpio
Outro aparelho de medida utilizado na medição de sinais elétricos é o osciloscópio, uma ferramenta com muitos recursos. Devido a isto, devemos SEMPRE consultar
o manual para evitar acidentes e com isso aproveitar todos os seus recursos. A principal função do osciloscópio é a de visualizar a forma de onda que está sendo medida.
Com este aparelho, é possível visualizar e medir ondas quadradas, medições realizadas pelos valores selecionados nos botões de cada canal em vertical e horizontal. Os valores selecionados informam o tamanho da escala quadriculada da tela.
3 Conceitos de Eletricidade Básica
Valores verticais são de tensão da forma de onda, e valores horizontais são do
tempo usado para a frequência da forma de onda.
Figura 73 - Osciloscópio
Fonte: Autor
Com o osciloscópio podemos também visualizar e medir formas de ondas
senoidais, medições realizadas Automaticamente, devido a equipamentos mais
modernos, ou seja, digitais, que aumentam os recursos do equipamento, como
conexão a computadores para registro, por longo do tempo, das formas de onda
e forma mais simples de operação.
Figura 74 - Osciloscópio 1
Fonte: Autor
Medição de frequência com osciloscópio
Para executarmos uma medida de frequência de 1kHz, seguimos o seguinte
procedimento, como está explicado a seguir:
Para iniciar a medição de frequência com osciloscópio, você deve ligar o gerador e osciloscópio, como está apresentado na figura 75.
Figura 75 - Conjunto gerador e osciloscópio
Fonte: Autor
83
84
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Com os aparelhos ligados, regule em 1kHz o gerador, conforme a figura 76.
Figura 76 - Gerador ajustado para 1kHz
Fonte: Autor
Conecte os cabos do gerador e do osciloscópio nos respectivos aparelhos, de
acordo com a figura 77.
Figura 77 - Conexão do osciloscópio com o gerador
Fonte: Autor
Calibre o osciloscópio utilizando as escalas de tensão (volts) e de tempo (time).
Figura 78.
Figura 78 - Escalas de tensão e tempo
Fonte: Autor
O resultado final será a obtenção de um sinal de fácil visualização e medição,
como pode ser visto na figura 79.
3 CONCEITOS DE ELETRICIDADE báSICA
Figura 79 - Sinal medido no osciloscópio de origem no gerador
Fonte: Autor
RECApITULANDO
Neste capítulo, foram abordados os conceitos de eletricidade que serão
aplicados em um sistema de Automação. Vimos os modelos atômicos
que subsidiam a existência da carga elétrica por meio da eletrostática.
Vimos, também, grandezas elétricas como, corrente elétrica, tensão elétrica e resistência elétrica, bem como suas respectivas unidades de medida e seus múltiplos e submúltiplos. Para podermos mensurar essas
grandezas elétricas, estudamos os instrumentos de medidas, voltímetro,
amperímetro e ohmímetro, e o procedimento de mensuração por meio
de um equipamento que reúne todos esses instrumentos – o multímetro.
Finalizando, abordamos os conceitos de energia elétrica e suas formas
de conversão. Verificamos que o exemplo mais comum de fonte de
energia alternada (CA) é produzido por um equipamento conhecido
como gerador ou alternador. Para que se possa visualizar a forma do
sinal, proveniente da fonte de energia, utilizamos um equipamento
chamado de osciloscópio.
85
Lei de Ohm e Kirchhoff
4
Neste capítulo iremos estudar os seguintes fundamentos técnicos e científicos:
• Lei de Ohm;
• Associação dos Resistores;
• Leis de Kirchhoff.
4.1 LEI DE OhM
Existe uma relação direta entre a tensão aplicada e a corrente que circula em um circuito elétrico. Quando aplicamos uma tensão entre os terminais de um resistor, verificamos que a intensidade da corrente que o atravessa depende da tensão nele aplicada. Portanto, determinamos
a resistência elétrica de um resistor com a razão entre a tensão nele aplicada e a intensidade da
corrente que o atravessa.
Veja o enunciado da Lei de Ohm:
Nos bipolos lineares, a corrente que os atravessa é diretamente proporcional à tensão aplicada aos seus terminais, resultando na equação a seguir:
I=V
R
onde:
R = resistência em ohms (Ω)
V = tensão (ddp) em volts (V)
I = corrente em ampères (A).
VOCÊ
SABIA?
A equação da Lei de Ohm foi formulada em 1827 por Georges Simon Ohm
(1787-1.854). Ela estabeleceu as bases da Eletricidade e da Eletrônica.
Quando a resistência de um elemento for constante, a razão V/I também
será constante. Neste caso, os elementos são considerados bipolos
lineares ou bipolos ôhmicos.
88
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
No entanto, podemos também partir da definição: em um bipolo ôhmico (razão linear entre a tensão e a corrente) a tensão aplicada em seus terminais é diretamente proporcional à intensidade da corrente que o atravessa, resultando, assim, na equação abaixo:
V = R. I
Podemos calcular a resistência elétrica de um elemento a partir do gráfico
tensão (V) x intensidade de corrente elétrica (I), que recebe o nome de característica elétrica. Levantando experimentalmente a tensão em função da corrente para um bipolo ôhmico, temos uma característica linear, conforme mostra o
gráfico. A seguir, temos a representação tga = V/ I, onde concluímos que a
tangente do ângulo a representa a resistência elétrica do bipolo (fig. 80). Portanto, podemos escrever:
tg a = R
Figura 80 - Representação característica Lei de Ohm
Fonte: Autor
Quando o bipolo não obedece à característica linear mostrada acima, trata-se
de um bipolo não ôhmico (BNH). Em muitos casos, a não-linearidade dos bipolos
não-ôhmicos ocorre em virtude da ação da temperatura, cuja resistência pode
aumentar com o aumento da temperatura. Neste caso, o coeficiente térmico positivo ou, ainda, sua resistência pode diminuir com o aumento da temperatura, e
teremos coeficiente térmico negativo.
Para levantar a representação característica de um bipolo, precisamos medir a
intensidade da corrente que o percorre e a tensão nele aplicada, bastando para tal
aplicar a fórmula adequada da Lei de Ohm.
Observamos a característica linear que foi obtida a partir do circuito experimental da figura 80, constituído por uma fonte variável, onde o bipolo utilizado é
um resistor de 100Ω.
O gráfico a seguir (figura 81) mostra a curva característica de um bipolo ôhmico.
Figura 81 - Bipolo ôhmico
Fonte: Autor
4 Lei de Ohm e Kirchhoff
Figura 82 - Bipolo ôhmico 1
Fonte: Autor
Para cada valor de tensão ajustado obtemos uma corrente. Colocados em uma
tabela, tais valores permitem o levantamento da variação da tensão e da corrente.
Onde temos:
ΔV = ddp = variação da diferença de potencial
ΔI = determina a variação da corrente.
4.2 Associação dos resistores
Os circuitos elétricos podem apresentar dois ou mais resistores interligados em
série, paralelo ou misto (série-paralelo), ou ainda em associações mais complexas.
Devemos saber analisar tais circuitos para determinar e prever o efeito de um
resistor ou uma combinação de resistores no controle da corrente. Para calcular
a resistência total ou equivalente de uma associação em série de resistores, basta
somar os resistores que compõem o circuito:
• Resistores em série
Associar resistores em série significa adicionar resistores.
Req=R1+R2+R3+...
Onde Req significa resistor equivalente à associação dos resistores.
Exemplo:
Figura 83 - Resistores em série
Fonte: Autor
Conforme visto no capítulo anterior (prefixos métricos) podemos representar :
6k8 = 6,8kΩ = 6800Ω
89
90
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
100k = 100kΩ = 100.000Ω
1k = 1kΩ = 1.000Ω
Resultado
Req = 6.800 + 100.000 + 1.000 = 107.800 ohms; ou 107.800Ω
• Resistores em paralelo
Para calcular a resistência total ou equivalente de uma associação em paralelo
de resistores utilizamos a equação:
1 = 1 + 1 + 1 ...
R1 R2
R3
Req
Exemplo:
Figura 84 - Resistores em paralelo
Fonte: Autor
Resultado
1 = 1 + 1 + 1
5
Req 10 10
1 = 0,1 + 0,1 + 0,2 =
Req
1 = 0,4
Req
Req = 1 = 2,5Ω
0,4
FIQUE
ALERTA
Quando se tratar de apenas dois resistores em paralelo, o
resistor equivalente é determinado pelo produto dos dois
resistores, dividido pela soma deles. Como exemplo, se
tivermos R1 e R2 poderemos utilizar a equação abaixo para
determinar o resistor equivalente à associação.
Req = R1 . R2
R1 + R2
Figura 85 - Resistores em paralelo 1
Fonte: Autor
Então:
Req = (10 . 10 ) / (10 + 10 ) = ( 100 ) / ( 20 ) = ( 10 ) / ( 2 ) = 5 Ω
Na associação de três ou mais resistores é possível determinar o resistor equivalente, associando-os dois a dois, com a finalidade de simplificar as operações de álgebra.
4 LEI DE OhM E KIRChhOFF
Exemplo:
Figura 86 - Resistores em paralelo 2
Fonte: Autor
Podemos então fazer:
Req1 = R1 . R2
R1 + R2
e
Req2 = R3 . R4
R3 + R4
Dai:
Req = Req1 . Req2
Req1 + Req2
Em uma associação em paralelo de resistores, a resistência total ou equivalente
será sempre menor do que o menor valor de resistência ôhmica associada ao circuito.
Para “N” resistores iguais associados em paralelo a
resistência total ou equivalente será:
SAIBA
MAIS
onde:
Req = R
N
N é o número de resistores
R é a resistência ôhmica
Então, para:
Figura 87 - Resistores em paralelo 3
Fonte: Autor
Podemos fazer:
Req = R / N = 10 / 2 = 5 Ω
4.3 LEIS DE KIRChhOFF
As Leis de Kirchhoff complementaram a Lei de Claude Pouillet (1790 - 1868) que
permite determinar o valor da intensidade da corrente elétrica em circuitos que podem ser reduzidos a uma só malha, demonstrado na figura a seguir. Eles são designados circuitos simples por apresentarem apenas um caminho para a corrente elétrica.
91
92
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
I= V
Req
Onde: V é a ddp (diferença de potencial e Req é a resistência equivalente
do circuito).
Figura 88 - Circuito elétrico
Fonte: Autor
A rede elétrica exibida na figura 84 é constituída por dois geradores. Os circuitos que apresentam mais de uma fonte geradora de energia e não podem ser
reduzidos a um circuito simples necessitam, para o equacionamento de todas as
intensidades de corrente elétrica e tensões, de um modelo mais complexo de solução. Esse modelo foi proposto por Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887), físico
experimental alemão, e ficou conhecido como “Leis de Kirchhoff”.
Figura 89 - Rede elétrica
Fonte: Autor
No esquema elétrico da mesma figura, os pontos B e E são chamados de nós.
Nó é um ponto do circuito onde a corrente elétrica é dividida ou adicionada. Os
trechos de circuito entre dois nós consecutivos são denominados ramos. Na rede
apresentada temos os ramos: BAFE, BE, BCDE.
Qualquer conjunto de ramos formando um percurso fechado recebe o nome
de malha. No diagrama acima temos as malhas: ABEFA (malha 1), BCDEB (malha
2) e ABCDEFA (malha 3).
São duas as leis de Kirchhoff:
A primeira lei de Kirchhoff é conhecida como Lei dos Nós, ou LKI (Lei de Kirchhoff para as correntes).
“Em um nó, a soma das intensidades de correntes que chegam é igual à
soma das intensidades de corrente que saem” (conservação das cargas).
4 Lei de Ohm e Kirchhoff
A expressão algébrica da Lei dos Nós aplicada ao nó B e/ou ao nó E, para os
sentidos de correntes indicados na figura 90, fica:
i3 = i1 + i2
Figura 90 - Circuito elétrico 1
Fonte: Autor
A segunda Lei de Kirchhoff é chamada de Leis das Malhas, ou LKT (Lei de Kirchhoff para as tensões).
“Numa malha, a soma algébrica das ddps (diferença de potenciais) é nula”.
Percorrendo a malha ABEFA num determinado sentido da corrente elétrica,
partindo de um ponto especifico e chegando a este mesmo ponto, a soma das
tensões com as “quedas de tensões” na malha tem resultado nulo.
Então: (VB – VE) + (VF – VA) = 0, considerando que VAB = 0 e VEF = 0
VBE + VFA = 0
4.3.1 Aplicação das leis de Kirchhoff para a determinação de
intensidades de correntes e tensões em redes elétricas
Para que exista deslocamento de elétrons por um elemento de circuito elétrico é necessário que haja uma ddp (diferença de potencial) nos terminais desse componente. Assim,
na medida em que a corrente elétrica se desloca numa malha do circuito, a diferença de
potencial pode ser positiva ou negativa nos terminais do componente (resistor ou bateria).
1
1
Figura 91 - Representação de circuitos elétricos
Fonte: Autor
93
94
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Aplicando a Lei das Malhas, vamos convencionar que os aumentos de potencial sejam positivos e que as diminuições de potencial sejam negativas.
Devemos coletar num membro de uma equação todas essas variações nos
elementos e igualar a zero.
Aplicando a Lei dos Nós, devemos nos lembrar da conservação de carga; ou
seja, o somatório das correntes que chegam a um nó de circuito é igual ao somatório das correntes que saem desse nó.
Como exemplo, devemos determinar a diferença de potencial entre os pontos
B e E ( VBE ) no circuito da figura 92.
Figura 92 - Circuito
Fonte: Autor
A aplicação das Leis de Kirchhoff demanda o ordenamento de alguns passos:
1º passo
Identificar as malhas que compõem a rede: ABEFA, BCDEB e ABCDEFA.
2º passo
Para uma rede de três malhas, que é o caso do exemplo demonstrado na figura, o equacionamento é efetuado com duas equações, pois para fazê-lo temos:
número de equações = número de malhas – 1.
Portanto, vamos escolher duas malhas das três apresentadas para obter
as equações. Vamos selecionar, particularmente, as malhas: ABEFA, BCDEB
da figura 93.
Malha
ABEFA
Malha
BCDEB
Figura 93 - Representação das malhas ADEFA e BCDEB
Fonte: Autor
3º passo
Nas malhas selecionadas, devemos atribuir um sentido positivo para a corrente em cada malha. Existem quatro possibilidades para orientar as correntes nas
duas malhas, conforme demonstrado nas figuras 94, 95, 96 e 97 a seguir.
4 Lei de Ohm e Kirchhoff
• Primeira possibilidade de orienta• Segunda possibilidade de orientação das correntes:
ção das correntes:
Figura 94 - Malha
Fonte: Autor
Figura 95 - Malha 1
Fonte: Autor
• Terceira possibilidade de orienta• Quarta possibilidade de orientação das correntes:
ção das correntes:
Figura 96 - Malha 2
Fonte: Autor
Figura 97 - Malha 3
Fonte: Autor
Suponha que adotemos a primeira possibilidade. A hipótese é que as correntes tenham sentido positivo nas malhas ABEFA, BCDEB, como indicado nas figuras 98 e 99:
Figura 98 - Malha ABEFA
Fonte: Autor
Figura 99 - Malha BCDEB
Fonte: Autor
Estabelecendo, então, uma LKT (Lei de Kirchhoff para Tensão) para a malha 1,
a partir do ponto A, temos:
- R3i2 - V1 + R1i1 = 0
i1 tem o sentido positivo adotado para a malha
ABEFA da figura 94.
Observe que na malha ABEFA da figura 93
Então: i1 . R1 e -V1 pois i1 entra no polo negativo
do gerador.
i2 tem sentido contrário ao adotado para a malha
ABEFA da figura 94.
Então: -i2 . R3
Quadro 2 - Observação da malha ABEFA
Fonte: Autor
Estabelecendo, então, uma LKT (Lei de Kirchhoff para Tensão) para a malha 2,
a partir do ponto B, temos:
R2 . i3 + V2 + R3 . i2 = 0
95
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
i3 tem o sentido positivo adotado para a malha
BCDEB da figura 93.
Observe que na malha BCDEB da
figura 94
Então: i3 . R2 e + V2 pois i3 entra no polo positivo
do gerador.
i2 tem o sentido positivo adotado para a malha
BCDEB da figura 93.
Então: i2 . R3
Quadro 3 - Observação da malha BCDEB
Fonte: Autor
A partir dessas equações podemos facilmente determinar todos os valores de
corrente e tensão do circuito.
i3 = i1 + i2 (equação 1)
-R3 . i2 - V1+ R1 . i1 = 0 (equação 2)
R2 . i3 + V2 + R3 . i2 = 0 (equação 3)
Substituindo nas equações obtidas os valores fornecidos, teremos:
i3 = i1 + i2
10i1 – 15i2 – 20 = 0
15i2 + 10i3 + 12 = 0
Logo, trocando i3 por i3 = i1 + i2 na equação 3, teremos:
15i2 + 10 (i1+i2 ) + 12 = 0
Efetuando a multiplicação indicada, teremos:
15i2 + 10i1 + 10i2 + 12 = 0 ou 10i1 + 25i2 + 12 = 0 (equação 4)
Não é possível resolver uma equação com duas incógnitas. Com duas incógnitas necessitamos de duas equações para montar um sistema de equações, como
representado a seguir:
10i1 - 15i2 - 20 = 0
10i1 + 25i2 + 12 = 0
Multiplicando a equação 4, por -1, teremos:
-1.(10i1 + 25i2 + 12 = 0)
V
96
-10i1 - 25i2 - 12 = 0 (equação 5)
Logo, teremos o seguinte sistema:
10i1 - 15i2 - 20 = 0 (equação 2)
-10i1 - 25i2 - 12 = 0 (equação 5)
Somando a equação 2 com a equação 5, obteremos a equação 6 com uma incógnita:
10i1 - 15i2 - 20 = 0
-10i1 - 25i2 - 12 = 0
4 Lei de Ohm e Kirchhoff
0 - 40i2 - 32 = 0 (equação 6)
Resolvendo a equação 6:
-40i2 - 32 = 0
i2= 32
-40
V
-40i2=32
i2 = - 0,8A
O sinal negativo para i2, significa que o sentido adotado originalmente para o
ramo não é o correto. Verificamos, então, que no ramo BE a corrente tem o sentido
de B para E, não de E para B como originalmente proposto.
Finalmente, podemos determinar a tensão VBE:
VR3 =VBE =i2 . R3
VBE = 0,8 . 15
VBE = 12V
Vamos compreender melhor com um exemplo de aplicação:
No circuito esquematizado abaixo, os amperímetros estão determinando as correntes nos ramos. Vamos aplicar as Leis de Kirchhoff para verificar,
através da fundamentação teórica, a veracidade das medidas apresentadas
nos amperímetros. (fig. 100)
Figura 100 - Esquema de circuito
Fonte: Autor
1º passo: Verificamos que o circuito tem três malhas; portanto, vamos necessitar de duas equações para equacioná-lo.
2º passo: Devemos escolher duas das três malhas do circuito indicado.
97
98
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Figura 101 - Esquema de circuito 1
Fonte: Autor
3º passo: Devemos atribuir (arbitrariamente) um sentido para a corrente em
cada malha determinada.
Figura 102 - Esquema de circuito 2
Fonte: Autor
É importante salientar que os sentidos das correntes I1 e I2 adotados na malha
1 e na malha 2 foram arbitrados.
4º passo: Aplique ∑V= zero à malha 1 e à malha 2 e percorra as malhas no sentido da corrente, determinando as “fontes” e “quedas” de tensão e obtendo duas
expressões da Lei de Kirchhoff para cada malha.
Figura 103 - Esquema de circuito 3
Fonte: Autor
4 Lei de Ohm e Kirchhoff
A corrente I1 na malha 1 “entra” no (-) e “sai” no (+) da bateria 1 (fonte), “entra”
no (+) e “sai” no (-) da resistência R1 (queda), “entra no (+) e ”sai” no menos da resistência R3 (queda). Observe que as correntes das malhas I1 e I2 passam através
de R3, o resistor comum às duas malhas.
Escrevendo a expressão matemática da Lei de Kirchhoff para Tensões, teremos:
Malha 1:
12 - 1 . I1 - 2 . I1 + 2 . I2 = 0
Resumindo:
-3 . I1 + 2 . I2 = 12
Malha 2:
-24 - 2 . I2 - 3 . I2 + 2 . I1 = 0
Resumindo:
2 . I1 - 5 . I2 = 24
Armando um sistema de equações, fica:
-3 . I1 + 2 . I2 = 12
2 . I1 - 5 . I2 = 24
Podemos resolver algebricamente um sistema de equações por diversos
meios. Nesse caso, vamos multiplicar a primeira equação por 2 (x2) e a segunda
equação por 3 (x3). Assim:
-3 . I1 + 2 . I2 = 12
(x2)
fica:
-6 . I1 + 4 . I2 = -24
2. I1 - 5 . I2 = 24
(x3)
fica:
6 . I1 - 15 I2 = 48
Agora, devemos somar as duas equações:
-6 . I1 + 4 . I2 = -24
6 . I1 - 15I2 = 48
Resolvendo a equação acima, temos:
-11 . I2 = 48
V
Portanto:
I2 = 48
I2 = -4,36A
-11
O sinal negativo no resultado obtido significa que devemos alterar o sentido
arbitrado para a corrente I2.
Com valor determinado da corrente I2, devemos determinar a corrente I1.
2 . I1 - 5 . I2 = 24
99
100
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Como I2 vale -4,36 A, a equação fica:
2 . I1 - 5 . (-4,36) = 24
2 . I1 + 21,8 = 24
2 . I1 = 24 -21,8
2 . I1 = 2,2
I1 = 1,1A
O sinal positivo do valor calculado para a corrente I1 significa que o sentido
arbitrado para esta corrente foi correto.
Finalmente, aplicamos a Lei dos Nós para determinar a corrente que circula por R3.
I3 = I1 + I2
I3 = 1,1 + 4,36
I3 = 5,46A
Conclusão:
Tabela 8: Relação dos resultados adquiridos
VALORES SIMuLADOS NO SOFTWARE
VALORES CALCuLADOS
I1 = 1,12 A
I1 = 1,1 A
I2 = 4,27 A
I2 = 4,36 A
I3 = 5,39 A
I3 = 5,46 A
Fonte: Autor
CASOS E RELATOS
Um aspecto importante que deve ser ressaltado para os futuros técnicos é a compreensão de malhas e circuitos, pois ao trabalhar em
projetos maiores, os técnicos são agrupados em cada etapa de execução. Muitas vezes esses grupos trabalham em cada circuito do
projeto, ou seja, um grupo projeta a fonte de alimentação, outro
grupo na comunicação da placa, etc. No final, cada grupo se relaciona com o outro para montar o circuito final, que é composto por
cada malha e cada circuito é montado separadamente.
4 LEI DE OhM E KIRChhOFF
Atualmente, as grandes empresas necessitam que os técnicos trabalhem em grupo discutindo e resolvendo problemas em cada parte
de um projeto, analisando cada circuito. Suponha que uma empresa
de médio porte, que fabrica medidores de energia, pretenda qualificar seus montadores para o nível de técnicos, a fim melhorar o
processo de montagem.
Para tanto, essa empresa pesquisará e acompanhará o trabalho de
produção, e procurará integrar as discussões e soluções de um projeto
entre todos os trabalhadores. Isso porque o gestor sabe que quando
o montador entende seu processo de trabalho, fica mais motivado e
melhora sua etapa de produção, melhorando o processo como um
todo. Por isso, você deve compreender todas as etapas de malhas e
circuitos, pois seu futuro profissional poderá ser bem mais promissor.
RECApITULANDO
As Leis de Kirchhoff baseiam-se em dois princípios de conservação: o princípio de conservação das cargas elétricas e o princípio de conservação da energia. A segunda Lei de Kirchhoff baseia-se no princípio de conservação da energia e estabelece que:
“Percorrendo uma malha em um certo sentido, partindo-se de um ponto
e chegando-se a esse mesmo ponto, a soma algébrica das ddp é nula”.
101
Circuitos de corrente contínua
5
Neste capítulo iremos estudar os seguintes fundamentos técnicos e científicos:
• Circuitos de corrente contínua.
5.1 CIRCUITOS SéRIE DE CORRENTE CONTíNUA
Um circuito série é uma associação de resistores ligados em sequência, de tal forma
que a corrente que circula por um dos resistores é a mesma que circula em todos os resistores da associação.
Para que isto ocorra, é necessário que se forme somente um caminho para a corrente do
circuito. Desta forma, os resistores devem ser ligados com um terminal do resistor ao terminal
do outro, e assim sucessivamente.
A figura 104 apresenta uma ligação de circuito ligado em série.
Figura 104 - Circuito ligado em série
Fonte: Autor
5.1.1 cálculo da tensão na associação em séRie
No circuito da figura acima há somente um caminho para circular corrente, de forma que:
I = I1 = I2 = I3
104
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
A corrente que circula pelos resistores R1, R2 e R3 é a mesma corrente que circula pela fonte V. Aplicando a segunda Lei de Kirchhoff, teremos:
+ V - V1 - V2 – V3 = O
Figura 105 - Circuito ligado em série 1
Fonte: Autor
Logo,
V = V 1 + V 2 + V 3 (A soma das tensões dos resistores é igual à tensão aplicada ao circuito).
Multiplicando a equação acima por I, temos:
V. I = V1 . I + V2 . I + V3 . I
Mas, como a tensão multiplicada pela corrente é igual à potência do circuito, temos:
Pfonte = PR1 + PR2 + PR3
Onde:
Pfonte - potência fornecida pela fonte
PR1 - potência dissipada por R1
PR2 - potência dissipada por R2
PR3 - potência dissipada por R3
A potência fornecida pela fonte é igual à soma das potências dissipadas pelos
resistores do circuito, o que satisfaz a lei da conservação da energia estabelecida
pela segunda Lei de Kirchhoff.
5.1.2 Cálculo da resistência equivalente de associação em série
Resistência equivalente de um circuito de associação em série é o valor da resistência que, ligada à mesma diferença de potencial que a associação, circulará
na mesma corrente que circula na associação. Ou seja, tomando a equação deduzida anteriormente, temos:
5 Circuitos de Corrente Contínua
V = V1 +V2 +V3
Aplicando a Lei de Ohm, onde:
V1 = R1 . I1
V2 = R2 . I2
V3 = R3 . I3
e sabendo que: I = I1 = I2 = I3, temos:
V = R1 . I1 + R2. I2 + R3 . I3
ou:
V = (R1 + R2 + R3) . I
Dividindo por I, temos:
V =R +R +R
1
2
3
I
Note que o valor de Vt dividido por I é igual ao valor de uma resistência, que
relaciona a tensão da fonte com a corrente total do circuito em série.
Logo, uma resistência cujo valor seja a soma das resistências associadas em série no circuito será percorrida por uma corrente de mesmo valor que a associação.
Esta é a resistência equivalente (Req) do circuito série.
Req = R1 + R2 + R3
A ideia pode ser estendida para qualquer quantidade de resistores. No caso de
uma associação de n resistores, a resistência equivalente é:
Req = R1 + R2 + .... + Rn-2 +Rn-1 + Rn
Para compreender os conceitos estudados até aqui, analisemos os exemplos a seguir:
Primeiro exemplo
Com os dados abaixo, calcule a resistência equivalente do circuito:
Figura 106 - Circuito
Fonte: Autor
Tensão V = 12V
R1 = R2 = R3 = 2Ω
105
106
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Corrente I?
Tensões V1, V2 e V3?
Req = R1 + R2 + R3 = 2 + 2 + 2 = 6Ω
I = V = 12 = 2A
Req
6
I = I1 = I2 = I3 = 2A (Circuito Série)
V1 = V2 = V3 onde cada tensão é calculada como:
(R1 = R2 = R3) . I = 2 . 2 = 4V em cada resistência.
VOCÊ
SABIA?
Que o valor da resistência equivalente série, Req, será sempre
maior que o valor da maior resistência da associação?
5.2 CIRCUITO pARALELO DE CORRENTE CONTíNUA
Um circuito paralelo é uma associação de resistores ligados de tal forma que
a tensão elétrica sobre um dos resistores é a mesma em todos os resistores da
associação. Para que isto ocorra, é necessário que se conectem os terminais dos
resistores ao mesmo potencial.
A figura 107 apresenta uma ligação de circuito ligado em paralelo.
Figura 107 - Circuito 1
Fonte: Autor
Neste caso, os resistores estão ligados à mesma diferença de potencial.
Logo:
V = V1 = V2 = V3
Ou seja, a tensão elétrica em R1, R2 é a mesma tensão da fonte V. Aplicando a
Lei de Kirchhoff, temos:
No nó A: +I – I1 – IB = 0
No nó B: +IB – I2 – I3 = 0
IB = I2 + I3
Substituindo no nó A:
+I – I1 – I2 – I3 = 0
5 Circuitos de Corrente Contínua
Como I, a corrente da fonte, temos:
I – I1 – I2 – I3 = 0
Ou:
I = I1 + I2 + I3
Note que a soma das correntes que circulam pelos resistores é igual à corrente
da fonte. Multiplicando a equação acima por V, temos:
V. I = I1 . V + I2 . V + I3 . V
Porém, tensão multiplicada pela corrente elétrica é igual a potência. Então:
Pfonte = PR1 + PR2 + PR3
Onde:
Pfonte - potência fornecida pela fonte
PR1 - potência dissipada por R1
PR2 - potência dissipada por R2
PR3 - potência dissipada por R3
A potência fornecida pela fonte é igual à soma das potências dissipadas pelos
resistores do circuito, o que satisfaz a lei da conservação da energia, estabelecida
pela segunda Lei de Kirchhoff.
5.2.1 Resistência equivalente de associação paralela
Resistência equivalente de um circuito de associação paralela é o valor da resistência que, ligada à mesma diferença de potencial que a associação, circulará
na mesma corrente que circula na associação.
Ou seja, tomando a equação deduzida anteriormente, temos a equação para
cálculo da corrente total do circuito:
I = I1 + I2 + I3
Aplicando a Lei de Ohm (lembre-se de que esta Lei foi trabalhada no capítulo
anterior), onde:
V
V
V
I1 = 1 ; I2 = 2 ; I3 = 3 ;
R1
R3
R2
temos outra expressão para calcular a corrente:
V
V
V
I= 1 + 2 + 3
R
R
R1
2
3
Mas, analisando a tensão, temos:
V = V1 = V2 = V3
107
108
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Então, passando E para o primeiro membro da equação, temos:
I= V + V + V
R2
R1
R3
Lembramos que a condutância G de um condutor é grandeza física definida como
o inverso de sua resistência elétrica. A unidade de medida é denominada Siemens e,
pela definição, G depende dos mesmos fatores que afetam a resistência.
Note que o valor de I dividido por V é igual à soma do inverso das resistências,
que é conhecida como condutância, relaciona a corrente total do circuito paralelo
e a tensão da fonte. Esta condutância é equivalente do circuito paralelo. Para determinar a resistência equivalente Req do circuito paralelo, basta calcular o inverso
da condutância equivalente.
1
= 1 +1 + 1
G=
Req R1 R2 R3
Logo, uma condutância cujo valor é igual à soma das condutâncias associadas
em paralelo em um circuito será percorrida por uma corrente de mesmo valor da
corrente da associação. A resistência equivalente Req do circuito paralelo, será a
ideia que pode ser estendida para qualquer quantidade de resistores. No caso de
uma associação de n resistores, a resistência equivalente é:
1
Req =
1
( +1 + 1)
R1 R2 R3
5.2.2 associação paRalela de ResistoRes de mesmo valoR
No caso de associação paralela de resistores com resistência de mesmo valor,
o valor da resistência equivalente Req da associação será o valor de uma das resistências dividido pelo número de resistores da associação; ou seja, o valor da
resistência equivalente Req de uma associação de n resistores de valor R será:
Req = R
n
5.2.3 associação paRalela de dois ResistoRes
O valor da resistência equivalente Req de uma associação paralela de dois resistores é igual ao produto dos valores dos resistores dividido pela soma dos valores
dos resistores. Esta forma é conhecida como produto pela soma. Em associação
paralela com R1 e R2, a associação equivalente Req será:
(R . R )
Req = 1 2
(R1 + R2)
FIQUE
ALERTA
O valor da resistência equivalente Req de uma associação
paralela é sempre menor que o valor da menor resistência
da associação.
5 Circuitos de Corrente Contínua
5.2.4 Divisores de tensão e corrente
Divisor de tensão e corrente é um circuito em série que tem como objetivo
fracionar a tensão para um determinado valor.
Observe o circuito a seguir: (fig 108)
Figura 108 - Divisores de tensão e corrente
Fonte: Autor
Note que:
• A tensão sobre um resistor em uma associação série é igual ao valor da resistência desse resistor, dividido pela resistência equivalente da associação série,
multiplicado pela tensão total da associação.
• O valor de V é a tensão nos terminais da associação série.
R2
, ma• o valor da tensão V pode ser dividido por um fator K, onde K =
(R1 + R2)
nipulando os valores das resistências da associação.
• A fórmula V2 = R2 . I, denominada divisor de tensão, pode ser estendida para
associação série de n resistores.
5.2.5 Divisor de corrente
Considerando o circuito a seguir, mostraremos o cálculo utilizando o método
de divisor de corrente para calcular a corrente através de R2:
Figura 109 - Divisor de corrente
Fonte: Autor
O valor da corrente I2 será:
I2 = V
R2
Mas:
V = Rp . I t
e
Rp =
(R1 . R2)
(R1 + R2)
109
110
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
R1 . R2 . It
(R1 + R2)
(R . R )
1
Dai, I2 fica: I2 = 1 2 . It . R
(R1 + R2)
2
Simplificando:
R1
.I
I2 =
(R1 + R2) t
Então:
V=
Note que:
• A corrente sobre um resistor, em uma associação paralela, é igual ao valor da
outra resistência dividido pela soma do valor das resistências da associação, multiplicado pela corrente total da associação.
• O valor de I é a corrente nos terminais da associação paralela.
R1
, ma• O valor da corrente I pode ser dividido por um fator Z, onde Z =
(R1 + R2)
nipulando os valores das resistências da associação.
• A fórmula acima é utilizada em associação paralela de dois resistores.
5.3 CIRCUITO MISTO
É o circuito mais comumente encontrado porque tem os dois tipos de associações, série e paralela. Para determinar a resistência equivalente de um circuito
misto devemos identificar os tipos de associações e resolver em partes até obter
o valor de somente urna resistência que, ligada à mesma fonte do circuito misto,
fornecerá a mesma corrente que circula no circuito.
Observe o circuito a seguir: (fig. 110)
Figura 110 - Circuito misto
Fonte: Autor
SAIBA
MAIS
Estes circuitos foram trabalhados na associação de resistores
e agora serão retomados nos próximos capítulos como em
circuitos RLC em CA.
Os resistores R2 e R3 estão em paralelo, pois seus terminais estão ligados, de
forma que temos a mesma diferença de potencial.
Então, podemos calcular uma resistência Rp, que equivale a esta associação, e
substituí-la no circuito. Logo, temos o seguinte circuito equivalente ao anterior:
5 Circuitos de Corrente Contínua
Figura 111 - Circuito 3
Fonte: Autor
Onde:
Rp é igual a R2 paralelo com R3. O novo circuito apresenta uma associação em
série com R1 e Rp.
Calculamos o valor de uma resistência equivalente desta associação, que será
o valor da resistência equivalente Req de todo o circuito. O circuito equivalente
do circuito total será:
Figura 112 - Circuito 4
Fonte: Autor
Observação:
Este circuito apresenta uma associação paralela (R2 e R3) e uma associação em
série (R1 + Rp). Logo, é denominado circuito misto.
Veja o exemplo a seguir:
Calcular o valor da resistência equivalente (Req) para o circuito misto da figura 113:
Figura 113 - Circuito misto 1
Fonte: Autor
Solução:
Fazendo o paralelo entre R2 e R3, temos:
Figura 114 - Circuito 5
Fonte: Autor
111
112
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Continuando, temos uma associação em série com R1 e Rp.
Calculando a resistência equivalente dessa associação, teremos:
Req = 270 + 193,9 = 463,9 Ω
O circuito equivalente fica:
= 463,9 Ω
Figura 115 - Circuito equivalente
Fonte: Autor
5.4 Teorema da superposição
A corrente em qualquer circuito ou a tensão através de qualquer elemento em
um circuito é a soma algébrica das correntes ou tensões produzidas separadamente por cada fonte.
Como o efeito de cada fonte é considerado separadamente, as outras
fontes são retiradas do circuito mantendo suas resistências internas. Para
determinar o efeito de uma fonte, as outras devem ser “zeradas”, conforme demonstrado abaixo:
• Fontes de tensão devem ser trocadas por um curto-circuito.
• Fontes de corrente devem ser trocadas por um circuito aberto.
Depois de considerado o efeito de cada fonte, esses efeitos são somados algebricamente. O resultado da soma é o efeito produzido em cada elemento por
todas as fontes juntas.
Veja o exemplo a seguir:
Calcular a tensão e a corrente em cada elemento do circuito da figura 116,
utilizando o Teorema da Superposição:
Figura 116 - Teorema da superposição - circuito
Fonte: Autor
5 Circuitos de Corrente Contínua
Solução:
Considerando que a fonte é de 20V e substituindo a fonte de 3V por um curto
circuito, temos:
Figura 117 - Teorema da superposição - circuito 1
Fonte: Autor
Cálculo das correntes e tensões em cada elemento do circuito:
R .R
Req = R1 + 2 3
R2 + R3
Req = 5Ω + (1Ω ) = 5,83Ω
5Ω
Cálculo das correntes:
V
I1 = V
Req
I1 = 20 = 3,43A
5,83
R3
I2 =
.I
I2 = 5 . 3,43 = 2,86A
R2 + R3 1
6
I3 = 1 . 3,43 = 0,57A
6
Cálculo das tensões:
V1 = R1 . I1 = 5 . 3,43 = 17,15V
V2 = R2 . I2 = 1 . 2,86 = 2,86V
V3 = R3 . I3 = 5 . 5,57 = 2,85V
Observação:
Considerando que a fonte é de 3V e substituindo a fonte de 20V por um curto
circuito, temos:
Figura 118 - Teorema da superposição - circuito 2
Fonte: Autor
Calcular as correnter e tensões em cada elemento do circuito.
a) Cálculo da resistência total.
113
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Req = R2 +
R1 . R3
R1 + R3
Req = 1Ω + ( 5.5 )Ω = 3,50Ω
5+5
b) Cálculo das correntes.
I2 = -3 = -0,86Ω
I2 = V
3,50
Req
R2
.I
R1 + R2 2
I3 =
R1
.I
R1 + R2 2
V
I1 =
I1 = -5 . 0,86 = -0,43A
10
V
V
I3 = -5 . 0,86 = -0,43A
10
Observação:
Os sinais atribuídos nos cálculos aparecem, em vista que as correntes da fonte
de 3V estão no sentido contrário ao indicado na figura.
Calculando as tensões, temos:
V1 = R1 . I1 = 5 . (-0,43) = -2,14V
V2 = R2 . I2 = 1 . (-0,86) = -0,86V
V3 = R3 . I3 = 5 . (+,043) = +2,14V
Cabe salientar que estes valores são referentes à fonte de 3V. Fazendo a soma
algébrica dos resultados obtidos para cada fonte, temos o resultado final utilizando as duas fontes, no caso, agindo simultaneamente no circuito:
V2 = V2 (-F3v) + V2 (-F20V )
V3 = V3 (-F3v) + V3 (-F20V )
E as correntes:
I1 = 3,43 - 0,43 = 3,00 A
I2 = 2,86 - 0,86 = 2,00 A
I3 = 0,57 + 0,43 = 1,00 A
Ou ainda:
I1 =
15,01
= 3,00 A
5
I2 =
1,99
= 2,00 A
1
I3 =
4,99
= 1,00 A
5
V
V1 = V1 (-F3v) + V1 (-F20V )
V1 = 17,15 - 2,14 = 15,01 V
V
Observe que os resultados conferem com os calculados anteriormente, validando o Teorema.
V2 = -0,86 + 2,85 = 1,99 V
V
114
V3 = 2,14 + 2,85 = 4,99 V
5 Circuitos de Corrente Contínua
5.5 Teorema de Thévenin
O Teorema de Thévenin diz que qualquer rede de dois terminais contendo fontes de tensão pode ser representada por um circuito equivalente, consistindo de
uma fonte de tensão, de valor igual à tensão de circuito aberto do circuito original, em série, com uma resistência medida entre os terminais do circuito aberto,
com as fontes “desligadas”.
Considerando um ramo do circuito como carga, o ramo que desejamos calcular as grandezas elétricas, sendo o restante considerado como a rede que queremos o equivalente de Thévenin. (fig. 119)
Figura 119 - Teorema de Thévenin - circuito
Fonte: Autor
Os passos para determinar o circuito equivalente de Thévenin são os seguintes:
1º - Retirar a carga do circuito, ou seja, o ramo considerado como carga, e identificar sua polaridade.
2º - Calcular a tensão nos terminais que ficaram abertos, de onde foi retirada a
carga. Para tal, você pode utilizar qualquer método estudado anteriormente.
3º - Retirar as fontes do circuito. Fontes de tensão são substituídas por um curto circuito, e fontes de corrente por um circuito aberto.
4º - Calcular a resistência equivalente neste circuito nos terminais que ficaram abertos.
5º - Montar o circuito equivalente de Thévenin.
Exemplo de aplicação:
Seja o circuito da figura 120, calcular usando o Teorema de Thévenin o valor da
tensão e da corrente no resistor RL para:
a) RL = 10 Ω
b) RL = 50 Ω
Figura 120 - Teorema de Thévenin - circuito 1
Fonte: Autor
115
116
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Para solucionar o exemplo, devemos seguir estes passos:
1º - Retirar a carga do circuito, ou seja, o ramo considerado como carga, e identificar sua polaridade.
Figura 121 - Teorema de Thévenin - circuito 2
Fonte: Autor
2º - Calcular a tensão nos terminais que ficaram abertos de onde tiramos a
carga. Para tal, você pode utilizar qualquer método estudado anteriormente. Observe que a tensão Vth é a tensão sobre o resistor de 20 ohm, pois no resistor de 15
ohm não circula corrente. Por divisor de tensão temos:
20 . 10 = 6,67 V
10+20
3º - Retirar as fontes do circuito. Fontes de tensão são substituídas por um curto circuito, e fontes de corrente por um circuito aberto.
Vth =
Figura 122 - Teorema de Thévenin - circuito 3
Fonte: Autor
4º - Calcular a resistência equivalente neste circuito a partir dos terminais que
ficaram abertos.
10
= 21,67Ω
Rth = 15 +
20
5º - Montar o circuito equivalente de Thévenin.
Figura 123 - Teorema de Thévenin - circuito 4
Fonte: Autor
6º - Atribuir valor para RL no circuito equivalente de Thévenin e calcular a corrente e a tensão. Estes valores são os mesmos para o circuito completo, visto que
este é um circuito equivalente.
a) Para RL = 10 Ω temos:
10
. 6,67 = 2,1V
VRL =
10+21,67
5 Circuitos de Corrente Contínua
IRL =
6,67
= 211mA
10+21,67
b) Para RL = 50 Ω temos;
50
. 6,67 = 4,7V
VRL =
50+21,67
IRL =
6,67
= 93mA
50+21,67
5.6 Teorema de Norton
O teorema de Norton diz que qualquer rede de dois terminais contendo fontes
de tensão e/ou corrente pode ser representada por um circuito equivalente, consistindo de uma fonte de corrente, de valor igual à corrente de um curto circuito
no circuito original, em paralelo com uma resistência medida entre os terminais
do circuito aberto, com as fontes “desligadas”.
Considerando um ramo do circuito como carga, o ramo que desejamos calcular as grandezas elétricas, sendo o restante visto como a rede que se queremos o
equivalente de Norton.
Figura 124 - Teorema de Norton - circuito
Fonte: Autor
Os passos para determinar o circuito equivalente de Norton são os seguintes:
1º - Retirar a carga do circuito, ou seja, o ramo considerado como carga, e identificar sua polaridade.
2º - Calcular a corrente em um curto-circuito nos terminais que ficaram abertos
de onde foi tirada a carga. Para tal, você pode utilizar qualquer método estudado
anteriormente.
3º - Retirar as fontes do circuito. Fontes de tensão são substituídas por um curto circuito, e fontes de corrente por um circuito aberto.
4º - Calcular a resistência equivalente neste circuito nos terminais que ficaram abertos.
5º - Montar o circuito equivalente de Norton.
Seja o circuito da figura 120, calcular usando o Teorema de Norton o valor da
tensão e da corrente no resistor RL para:
117
118
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
a) RL = 10 Ω
b) RL = 50 Ω
Figura 125 - Teorema de Norton - circuito 1
Fonte: Autor
Para solucionar o exemplo, devemos seguir estes passos:
1º - Retirar a carga do circuito, ou seja, o ramo considerado como carga, e identificar sua polaridade.
Figura 126 - Teorema de Norton - circuito 2
Fonte: Autor
2º - Calcular a corrente nos terminais que ficaram abertos de onde foi tirada a carga,
por meio de um curto-circuito. Para tal, pode ser usado qualquer método estudado anteriormente. Observe que a corrente IN é a corrente através do resistor de 15 ohms temos:
15
= 18,57Ω
Req = 10 +
20
10
Ieq =
= 538,46Ω
18,57
Daí, por divisor de corrente:
Ieq =
20
. 538,46 = 307,69 mA
20+15
3º - Retir as fontes do circuito. Fontes de tensão são substituídas por um curto,
e fontes de corrente por um circuito aberto, da mesma forma que calculamos Rth.
Figura 127 - Teorema de Norton - circuito 3
Fonte: Autor
4º - Calcular a resistência equivalente neste circuito nos terminais que ficaram abertos.
10
RN = 15 +
= 21,67Ω
20
5º - Montar o circuito equivalente de Norton.
5 CIRCUITOS DE CORRENTE CONTíNUA
Figura 128 - Teorema de Norton - circuito 4
Fonte: Autor
6º - Substituindo o valor de RL no circuito equivalente de Norton, calcular a
corrente e a tensão. Estes valores são os mesmos para o circuito completo, visto
que este é um circuito equivalente.
a) Para RL = 10 Ω temos:
21,67
. 307,69 = 211 mA
IRL =
10+21,67
VRL = 211,17 . 10 = 2,1 V
b) Para RL = 50 Ω temos:
21,67
. 307,69 = 93 mA
IRL =
50+21,67
VRL = 93 . 50 = 4,6 V
CASOS E RELATOS
Reduzindo materiais e custos
Uma empresa de grande porte sediada no distrito industrial de Cachoeirinha, cidade metropolitana de Porto Alegre, solicitou aos seus projetistas
a redução dos circuitos para execução de um projeto em escala industrial. Consequentemente, essa ação reduziria também a quantidade de
materiais empregados na montagem. A solução encontrada pelos projetistas foi a utilização intensa de circuitos de corrente contínua, pois o
diferencial da sua marca era exatamente o tamanho e peso reduzidos em
seus produtos. Por meio dessa ação, os projetistas também conseguiram
a diminuição na demanda de materiais empregados, reduzindo a quantidade de estoques, materiais e produtos, tanto diretos como indiretos, na
produção. Consequentemente, houve redução de custos e aumento no
lucro da empresa.
119
120
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Esse caso mostra como é importante que todos os profissionais tenham
uma visão completa de sua fábrica e seus produtos. Isso porque, cada
etapa de um projeto está ligada diretamente às outras etapas, formando
um projeto integrado. Uma análise precisa de circuitos também influi na
competitividade da empresa.
5.7 Circuitos corrente alternada
Corrente alternada é aquela cuja intensidade e direção variam periodicamente, sendo o valor médio da intensidade durante um período igual a zero. As centrais elétricas produzem e os consumidores (residenciais e industriais) consomem
a corrente alternada, pois é a corrente utilizada por transformadores que irá compatibilizar os níveis de tensão para o trabalho. Além disto, nas indústrias principalmente, os motores mais utilizados são os de corrente alternada, mais simples,
resistentes e de baixo custo se comparados com os motores de corrente contínua.
É de extrema importância a possibilidade de transformar a energia elétrica.
A corrente alternada de pequena intensidade e alta tensão pode ser transformada de maneira simples e com pequenas perdas em correntes de alta intensidade e baixa tensão, e vice-versa.
A corrente alternada é um processo periódico: seus valores instantâneos são senoidais (variam em função do seno do ângulo formado entre as linhas de indução e os
condutores da espira) e podem ser demonstrados pela seguinte expressão matemática:
Onde
5 CIRCUITOS DE CORRENTE CONTíNUA
VOCÊ
SABIA?
A tensão alternada é obtida através do terceiro fenômeno do
eletromagnetismo, que diz: “Se um condutor estiver imerso
num campo magnético, desde que haja movimento relativo
entre eles, surgirá entre seus terminais uma força eletromotriz
(fem) induzida.” De forma bem simplificada, o enunciado da Lei
de Faraday pode ser visualizado através da figura a seguir, que
apresenta um gerador de uma hidrelétrica.
É a forma mais utilizada para a geração de energia elétrica no Brasil em virtude
do aproveitamento da energia mecânica das águas para a conversão de energia.
Figura 129 - Hidrelétrica
Fonte: Autor
Figura 130 - Gráfico da tensão alternada em graus
Fonte: Autor
Figura 131 - Gráfico da tensão alternada em radiano
Fonte: Autor
Para a melhor compreensão dos conceitos fundamentais de uma forma de
onda senoidal é necessário o estudo da representação gráfica de um parâmetro
elétrico (V, I, P) em função do tempo ou ângulo. Por exemplo: é comum dizer que
forma de onda é um gráfico V x t, I x t, P x t. Geralmente para sinais elétricos a forma de onda segue uma função matemática, sendo sua variação dada em função
do tempo, ângulos (graus ou radianos).
5.7.1 tensão e coRRente alteRnada
É aquela que varia sua intensidade e polaridade em intervalos regulares de tempo.
Como a tensão CA apresenta diversos valores ao longo de seu percurso, na
figura a seguir destacamos alguns destes valores característicos.
121
122
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Figura 132 - Tensão e corrente alternada - gráfico 1
Fonte: Autor
Para determinar os valores médios, o valor eficaz da forma de onda, ou seja,
um parâmetro rms, e de pico-a-pico da tensão CA apresentados acima, utilizamos
as expressões a seguir:
Vm = 0,637 . Vp;
Vrms = 0,707 . Vp;
Vpp = 2 . Vp.
Onde:
Vm = valor médio da tensão C.A.
Vrms = valor médio quadrático da tensão C.A. ou Valor eficaz da tensão C.A.
Vpp = valor de pico-a-pico da tensão C.A.
Vp = valor de pico ou valor máximo da tensão C.A.
Existem ainda outros parâmetros, que são:
• Ciclo - É a menor porção não-repetitiva de uma forma de onda periódica, ou seja, é
a sucessão de valores de uma forma de onda sem que ocorra a repetição do processo.
• Período (T) - É o intervalo de tempo para que um ciclo se complete. Sua unidade é o segundo (S).
A seguir, apresentamos alguns exemplos de gráficos de ciclos e períodos de
diversas formas de onda CA:
Figura 133 - Gráficos de ciclos e períodos de diversas formas de onda CA
Fonte: Autor
5 Circuitos de Corrente Contínua
• Frequência (f ) - É o número de ciclos que a forma de onda descreve durante o
tempo de 1 segundo. Sua unidade é o hertz, Hz. Uma forma de onda tem a frequência de 1 Hz, quando completa um ciclo em 1 segundo.
Então:
1 ciclo / s = 1Hz. Sabendo o valor do período da forma de onda T, calculamos
a frequência:
T= 1
f
Onde:
f - é a frequência da grandeza I ou V e
T - é o período da forma de onda.
A velocidade angular ω é a razão entre o ângulo descrito pela espira com o
tempo gasto, como:
ω=Φ
t
Onde:
ω - é a velocidade angular,
Φ - é o fluxo magnético e
t - é o tempo.
Em uma volta completa, o ângulo ω vale 2π (rd) e o tempo gasto para descrevê-lo é igual ao período T em segundos. Portanto, podemos deduzir que:
Analise o exemplo a seguir:
Dada uma tensão senoidal que possui como expressão V = 100 sen (1000t +
45°), determine:
a) a frequência e o período da forma de onda;
b) o primeiro instante em que a forma da onda da tensão passa por zero;
Então, calculando a velocidade angular, temos:
a) A velocidade angular é ω = 1000 rad/seg. Então, temos:
Como o período T é o inverso da frequência, temos:
123
124
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
T = 1 T = 6,28 ms , ou seja, 1 ciclo é completado a cada 6,28 ms.
f
b) Como a expressão está adiantada da referência 0° de 45°, determinamos o
primeiro instante em que a forma de onda passa por zero. Substituindo 45° para
seu valor em radianos, que é = π/4, temos:
5.7.2 Circuito resistivo puro
Como a resistência de um material só varia em função de natureza do material,
da sua seção transversal, de seu comprimento e da temperatura, ela pode ser considerada constante para este caso. A corrente é determinada, então, pela tensão
da fonte que alimenta o circuito e pela resistência do resistor:
Figura 134 - Circuito resistivo puro
Fonte: Autor
Diagrama fasorial de uma circuito puramente resistivo
A corrente no circuito que contém apenas a resistência R coincide, quanro à fase, com a tensão, ou seja, no cirucuito resistivo puro a tensão e a corrente estão em fase.
Figura 135 - Circuito resistivo puro - gráfico senoidal
Fonte: Autor
Figura 136 - Circuito resistivo puro gráfico fasorial
Fonte: Autor
5 Circuitos de Corrente Contínua
5.7.3 Circuito indutivo puro
Figura 137 - Circuito indutivo puro
Fonte: Autor
A indutância em um circuito que tem o elemento indutor puro surge devido a:
L=Φ
i
Onde:
L - é a indutância;
Φ – é o fluxo magnético e;
I - é a corrente elétrica.
Para converter uma forma de onda cossenoidal para senoidal basta adicionar
a forma de onda senoidal 90° ou π/2.
Então, para determinar a tensão no indutor usamos a expressão:
Onde:
VL - é a tensão induzida;
L - é a indutância e;
Im - é a corrente do indutor.
A corrente num circuito indutivo puro está atrasada da tensão em 90°.
Para determinar a reatância indutiva utilizamos a expressão matemática:
ω. L = XL
Onde:
ω - é a velocidade angular e;
L - é a indutância.
XL = 2 πf
Onde:
XL= reatância indutiva
A unidade da reatância indutiva é o ohm (Ω). A reatância indutiva XL é a oposição que a corrente alternada encontra ao passar por um indutor.
125
126
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Figura 138 - Circuito indutivo puro - diagrama fasorial
Fonte: Autor
5.7.4 Circuito capacitivo puro
A corrente surge somente quando o capacitor é submetido à tensão e desaparece quando sua carga se iguala à tensão da fonte CA aplicada ao circuito.
Figura 139 - Circuito capacitivo puro
Fonte: Autor
Figura 140 - Circuito capacitivo puro - diagrama fasorial
Fonte: Autor
Quando ligado a uma tensão alternada senoidal (V = Vm sen ωt), esta varia
periodicamente e também faz variar, da mesma forma, a carga do capacitor, pois
Q = V. C
Onde:
Q - é a carga do capacitor;
V - é a tensão e;
C- é o valor do capacitor.
As variações da carga originam a corrente alternada no circuito, pois quando a
carga aumenta os elétrons nos fios se deslocam numa direção, e quando a carga
diminui os elétrons se deslocam em sentido contrário.
Se a variação da carga fosse uniforme, teríamos para calcular a corrente:
i=Q
t
5 Circuitos de Corrente Contínua
Onde:
Q - é a carga do capacitor;
I - é a corrente e;
t - é o tempo.
Mas no circuito capacitivo puro, a corrente está adiantada da tensão em
90°. Para tornar a expressão coerente com a Lei de Ohm, a corrente é expressa da seguinte forma:
A oposição à passagem da corrente CA que um capacitor oferece é conhecido
po reatância capacitiva ( Xc ). A retância capacitiva pode ser obtida pela expessão:
Onde:
Xc = reatância capacitiva, Ω;
f = frequência, Hz;
C = capacitância do capacitor, f.
π = 3,14
Resolução de um circuito RLC em paralelo
Figura 141 - Circuito RLC em paralelo 2
Fonte: Autor
1º passo: Determinar a corrente total do circuito:
i = iR2 + (iC - iL)2
i = 102 + (18 - 12)2
i =11,7mA
2º passo: Determinar a impedância do circuito:
127
128
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Z=V
i
Z = 12v
0,0117A
Z = 1026Ω
5.7.5 Ressonância
A ressonância num circuito CA acontece quando XL = XC. A frequência de ressonância (Fr) produz XL = XC e é determinada pela expressão:
1
fR =
2 . π . L.C
RECApITULANDO
Os circuitos mistos são os mais comuns em qualquer projeto. Inicialmente
trabalhamos em separado os circuitos série e paralelo, porém o circuito
misto é o mais usual. Vale apena lembrar também que para solucionar de
forma mais rápida essas questões, é fundamental o conhecimento sobre
as Leis de Kirchhoff, que vimos no capítulo anterior. Como observamos, as
Leis de Kirchhoff se baseiam em dois princípios de conservação, o princípio de conservação das cargas elétricas e o princípio de conservação da
energia. A segunda lei de Kirchhoff se baseia no princípio de conservação
da energia e estabelece que: “Percorrendo-se uma malha em certo sentido, partindo-se de um ponto e chegando-se a esse mesmo ponto, a soma
algébrica das ddp é nula”.
5 Circuitos de Corrente Contínua
Anotações:
129
Indutores e capacitores
6
Neste capítulo iremos estudar os seguintes fundamentos técnicos e científicos:
• Indutores
• Capacitores
6.1 INDUTORES
Os indutores são fios condutores enrolados de forma helicoidal (conforme figura 142) chamados também de bobinas ou solenoides. Nos circuitos elétricos, as bobinas são elementos
que geram campo magnético a partir da passagem de uma corrente elétrica.
Figura 142 - Fios enrolados em forma helicoildal
Fonte: Autor
Na identificação das bobinas utilizamos os símbolos a seguir:
A : núcleo de ar;
B : núcleo de ferrite;
C : núcleo de ferro laminado.
Figura 143 - Simbologia de bobinas
Fonte: Autor
132
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
A propriedade elétrica fundamental do indutor está no fato de que uma variação da corrente elétrica em seus terminais acarreta nele, indutor, uma variação de
campo eletromagnético. Essa variação de campo magnético induz (daí, o termo
indutor) uma tensão em seus terminais. Essa característica é equacionada a partir
de duas grandezas: indutância e reatância indutiva.
Vamos compreender o que são indutância e reatância indutiva.
6.1.1 Indutância (L)
Chamamos de indutância a capacidade que um indutor possui de induzir tensão em seus terminais. Ela deve ser entendida como uma oposição que o indutor
oferece às variações de corrente em seus terminais. A Indutância tem como simbologia a letra L, e sua unidade de medida é o Henry (H).
L=
Vi
∆i / ∆t
Onde:
L: indutância [H];
Vi: tensão induzida no indutor [V];
∆i / ∆t: taxa de variação da corrente.
A corrente varia na razão de um ampère por segundo.
∆
Reescrevendo a equação anterior Vi = L . ∆i , temos que a tensão induzida nos tert
minais do indutor é diretamente proporcional à indutância e à variação da corrente no
indutor. Significa dizer que, quando a corrente tender a variar nos terminais do indutor,
a oposição a essa variação da corrente se dará através de uma tensão induzida Vi.
A indutância depende da constituição dos indutores, tais como:
• a forma como os fios são enrolados;
• o material do núcleo em torno do qual a bobina foi “enrolada”;
• o número de espiras ou espirais da bobina que formam o enrolamento;
• a área abrangida em cada espira;
• o comprimento da bobina.
REATÂNCIA INDUTIVA (XL)
A reatância indutiva, XL, é a medida da oposição que um indutor oferece à variação
da corrente em seus terminais. A unidade de medida da reatância indutiva é o ohm (Ω).
6 Indutores e Capacitores
Equacionando XL:
XL = ω.L
ω = taxa de alternância da corrente
L = indutância da bobina.
Como:
ω = 2.π.f
Onde:
π = valor de referência 3,14
f = frequência em que ocorre a alternância.
Sendo assim, a equação para determinar a reatância indutiva será:
XL = 2.π.f.L
6.1.2 Associação de indutores
A associação de indutores se dará em série ou em paralelo.
ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE
Indutores em série são dispostos suficientemente afastados, de modo
que não interajam eletromagneticamente um no outro, porém ligados juntos, conforme a figura 144:
Figura 144 - Indutores
Fonte: Autor
Leq = L1 + L2
Onde:
Leq = indutância equivalente à associação
L1 e L2 = indutores 1 e 2
• Associação em série aditiva
133
134
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
A associação de indutores em série é aditiva quando os indutores são colocados suficientemente próximos e quando existe interação eletromagnética.
Leq = L1 +L2 + LM
Onde:
Leq = indutância equivalente à associação;
L1 e L2 = indutores 1 e 2;
LM = indutância mútua.
Figura 145 - Associação em série aditiva
Fonte: Autor
• Associação em série subtrativa
A associação de indutores em série é subtrativa quando a corrente comum
produz campos magnéticos opostos.
Figura 146 - Associação em série subtrativa
Fonte: Autor
Leq = L1 + L2 – 2LM
Onde:
Leq = indutância equivalente à associação;
L1 e L2 = indutores 1 e 2;
LM = indutância mútua.
ASSOCIAÇÃO EM PARALELO
Na associação em paralelo, os indutores não possuem acoplamento mútuo, ou
seja, ficam dispostos como na figura 142, porém também afastados de modo que
um não interfira eletromagneticamente no outro.
6 INDUTORES E CApACITORES
Figura 147 - Associação em paralelo - circuito
Fonte: Autor
Para determinar a indutância equivalente em paralelo, utilizamos a seguinte expressão:
L .L
Leq = 1 2
L1 + L2
Onde:
Leq = indutância equivalente à associação
L1 e L2 = indutores 1 e 2
Uma aplicação prática de indutores está na fabricação de
filtros de sinais elétricos. O esquema abaixo apresenta um
filtro “passa-baixa”. O circuito tem a função de deixar passar
sinais de baixa frequência e anular sinais de alta frequência.
Os filtros “passa-baixa” são usados em sistemas de som.
SAIBA
MAIS
Figura 148 - Associação em paralelo - circuito 1
Fonte: Autor
VOCÊ
SABIA?
O controle de velocidade em vias urbanas é realizado, muitas
vezes, por sensores indutivos. É assentada sob o asfalto uma
bobina formada por um cabo em espiral que gera um campo
eletromagnético (loop indutivo). Quando uma massa de metal,
como o carro, passa sobre ela, alterando a indutância, provoca
mudança no campo. Um sensor testa constantemente essa
mudança, registrando a passagem e a velocidade do Automóvel.
Perfil magnético de Automóvel a 50 km/h. Perfil magnético de Automóvel a 143 km/h.
Figura 149 - Perfil magnético de automóvel
Fonte: Autor
135
136
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
As bobinas nos sistemas elétricos de Automóveis provocam uma
∆
tensão vl em seus terminais, segundo a equação vl = L . i , com
∆t
a finalidade de manter a corrente elétrica ou impedir que ela, a
corrente, se estabeleça.
FIQUE
ALERTA
Figura 150 - Bobinas
Fonte: Autor, baseado sistemasautomotivos.blogspot, 2009
Essa tensão atinge vários milhares de volts, configurando
risco de acidente elétrico para leigos.
A variação da indutância em uma bobina é consequência
da variação da posição do núcleo no interior da bobina,
ou devido à variação da distância da bobina a um objeto
metálico externo. O sensor indutivo é um componente de
circuito eletrônico que usa essa propriedade para constatar
a presença de objetos metálicos, conforme demonstra a
imagem a seguir:
SAIBA
MAIS
Figura 151 - Sensor indutivo
Fonte: Autor, baseado banco de imagens google
6.2 CApACITORES
Os capacitores são componentes eletroeletrônicos dotados de duas placas condutoras de metal paralelas, separadas por um material isolante, chamado de dielétrico.
Podemos definir o símbolo do capacitor como um par de traços, onde os dois
são paralelos e iguais. O símbolo dos capacitores é sempre o mesmo, independente
mente de serem esféricos, planos ou cilíndricos. Vejamos os símbolos mais usuais:
6 INDUTORES E CApACITORES
Figura 152 - Simbologia capacitores
Fonte: Autor
Os capacitores possuem formas variadas, conforme demonstrado na figura 135.
6.2.1 capacitância
A capacitância simbolizada por C é determinada a partir da carga elétrica armazenada por um capacitor e a tensão elétrica aplicada aos seus terminais. A unidade de medida da capacitância é o Farad (F), e a expressão que a determina é:
C= Q
V
Onde:
C = capacitância do capacitor;
Q = carga elétrica;
V = diferença de potencial.
MF 333K
400V CTA
154
Figura 153 - Capacitores de diferentes capacitancias
Fonte: Autor
6.2.2 associação de capacitoRes
Tanto os capacitores como os resistores podem ser associados em paralelo ou
em série. O capacitor equivalente da associação dos capacitores é aquele que conserva quantidades iguais de cargas elétricas, sob a mesma tensão da associação.
associação de capacitoRes em paRalelo
Nos capacitores, também chamados de condensadores, as placas paralelas existentes são as placas coletoras, que são as positivas, e as placas condensadoras que
são as negativas. As positivas (coletivas) ficam ligadas entre si, apresentando, assim,
o mesmo potencial, representado por VA, já as negativas (condensadoras), também
ficam ligadas entre si, porém apresentam um potencial comum, representado por VB.
137
138
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Vejamos a figura de um capacitor em paralelo:
Figura 154 - Capacitor em paralelo
Fonte: Autor
É importante saber que todos os capacitores que estiverem em paralelo estarão sujeitos a uma mesma tensão, como: V = VA – VB.
Figura 155 - Capacitor em paralelo 1
Fonte: Autor
Vejamos agora a carga total que foi armazenada pelo sistema:
Q = Q1 + Q2 + ... + Qn
Onde:
Q1 = C1 . V
Q2 = C2 . V
Q3 = C3 . V ...
Qn = Cn . V
Então:
Para o capacitor equivalente teremos:
Ceq = C1 + C2 + C3 + ...
ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES EM SÉRIE
Na associação em série, a placa condensadora, ou seja, a placa negativa está
ligada diretamente à placa coletora, ou seja, a placa positiva.
Vejamos a figura 156:
6 Indutores e Capacitores
Figura 156 - Associação de capacitores em série
Fonte: Autor
A carga que foi induzida, representada por + Q, fluirá na direção da placa coletora do outro condensador. Com isso, a carga –Q será induzida na placa condensadora e a carga positiva fluirá para a placa coletora de um terceiro capacitor, que
induzirá a carga negativa em sua placa coletora, e assim por diante.
Com isso podemos concluir que, quando os capacitores estão em série, eles apresentarão cargas iguais. Quando falamos da tensão representada por V, podemos afirmar que
ela, na associação, é considerada a soma de todas as tensões individuais de cada capacitor.
Vejamos:
Veq = V1 + V2 + V3 + ...
Cada capacitor apresenta:
V1 = Q / C1
V2 = Q / C2
V3 = Q / C3 ...
Se considerarmos Ceq como sendo a capacitância do capacitor total ou também chamada de equivalente, teremos:
Ceq como: ( 1 ) = ( 1 ) + ( 1 ) + ( 1 ) ...
C1
C2
C3
Ceq
6.2.3 Reatância capacitiva (XC)
Reatância capacitiva é a oposição que o capacitor oferece à passagem da corrente alternada. Ela é simbolizada por Xc, e sua unidade de medida é o ohm Ω. Ela
mesma varia conforme varia a frequência. A reatância capacitiva é dada por:
Xc = 1
2.π.f.C
Onde:
XC = reatância capacitiva medida em Ohm, Ω;
π = valor de referência 3,14;
f = frequência da rede medida em Hertz, Hz;
C = capacitância medida em Farad, F.
139
140
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Os capacitores em geral tem o valor de sua capacitância
indicado em seu corpo. Alguns fabricantes usam uma
simbologia especial para informá-la capacitância, como no
exemplo da figura a seguir:
TOLERÂNCIA
Até 10 pF
Acima de 10 Pf
B = 0,10pF
F= 1%
C = 0,25pF
G = 2%
D = 0,50pF
H = 3%
F = 1pF
J = 5%
G = 2pF
K= 10 %
M = 20%
P = + 100% - 0%
SAIBA
MAIS
Figura 157 - Capacitor
Fonte: Autor
S = +50% - 20%
Z = +80% - 20%
Figura 158 - Capacitor
eletrolítico de 25uF 100V
Fonte: Autor
No capacitor do exemplo acima
temos: os algarismos 4 e 7 e o
multiplicador 2, que significa
o exponte de base 10 (no caso
102=100) e D é a tolerância de ±
0,50 pF. A tolerância é o quanto a
capacitância pode variar, seja para
mais ou para menos. Na tabela a
seguir são informados os valores de
tolerância. O valor obtido é dado em
picofarad. Assim, o valor comercial
da capacitância será:
C= 47X100 = 4700pF com uma
tolerância de. ± 0,50 pF
6.2.4 pRincipais tipos de capacitoRes
Os capacitores comerciais são denominados de acordo com o material que
isola eletricamente as placas do capacitor, e a este material chama-se dielétrico.
A seguir, apresentamos uma tabela com exemplos dos principais tipos de capacitores:
Tabela 9: Principais tipos de capacitores
DIELÉTRICO
CONSTRuÇÃO
CAPACITÂNCIA
Ar
placas condutoras entrelaçadas
10pF a 400pF
Mica
folhas condutoras superpostas
10pF a 5.000pF
Papel
folha condutora enrolada
0,001µF a 1µF
Cerâmica
tubular
0,5µF a 1.600pF
disco
0,002µF a 1µF
Eletrolítico
alumínio
5µF a 1.000µF
tântalo
0,01µF a 300µF
Fonte: Eletricidade Básica. Milton Gussow
Os principais tipos de capacitores, conforme sua fabricação, são os cerâmicos,
os plásticos e os eletrolíticos.
6 Indutores e Capacitores
CAPACITORES CERÂMICOS
Os capacitores cerâmicos são os mais usados para valores baixos de carga e
capacitância, conforme a figura a seguir:
154
Figura 159 - Capacitores cerâmicos
Fonte: Autor
Os capacitores cerâmicos são classificados conforme o dialétrico (cerâmicas e
óxidos) e a construção do disco. Seus parâmetros de capacitância variam de 1 a
10.000pF, e suas capacidades variam em volts de 25 a 250VCC ou VCA.
CAPACITORES PLÁSTICOS
Os capacitores plásticos também são muito usados em valores baixos de
carga e capacitância.
Figura 160 - Capacitores plásticos
Fonte: Autor
Os capacitores plásticos são classificados conforme o dialétrico (Poliéster/
Mylar PET, Polipropileno – PP e Polietieno – PEN). Sua construção (folha e metalizado) e seus parâmetros de capacitância variam de 0,02 a 22uF, e sua capacidade
em volts varia de 63 a 380VCC ou VCA.
CAPACITORES ELETROLÍTICOS
Os capacitores eletrolíticos já possuem uma capacidade de carga maior
que a dos anteriores. Podemos notar que sua carga varia conforme seu tamanho e tipo de construção.
141
142
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Figura 161 - Capacitores eletrolíticos
Fonte: Autor
Os capacitores eletrolíticos são classificados conforme sua construção (polar/
monopolar e bipolar). Seus parâmetros de capacitância variam de 1 a 22.000uF, e
suas capacidades em volts variam de 25 a 250VCC ou VCA.
VOCÊ
SABIA?
Inventada na Holanda por Von
Musschenbroek, em 1745, a “garrafa
de Leiden” é considerada o primeiro
capacitor construído e foi a primeira
forma efetiva de acumular carga
elétrica com altos potenciais.
Figura 162 - Capacitor de Von Musschenbroek
Fonte: Autor
CASOS E RELATOS
Automação e qualificação profissional
Uma empresa de grande porte da região metropolitana de Porto
Alegre monta automóveis para todo Brasil e para alguns países da
América Latina. A empresa baseia sua Automação Industrial em
sensores e, consequentemente, reduz seus custos. Em um mercado
extremamente competitivo, como temos atualmente, muitas empresas buscam melhorar sua margem de lucro, por meio da inovação da automação, já que é a diferença na produção que vai alterar seus ganhos.
6 INDUTORES E CApACITORES
Nessa empresa montadora que citamos, as gerências incentivam todos
seus técnicos a adotarem a Automação nos processos industriais, a fim
de que a empresa obtenha maior precisão, velocidade e, principalmente,
redução nos custos de material. O que verificamos com a adoção de
processos de Automação é que, inicialmente, essa decisão pode induzir
a redução de funcionários. Entretanto, o que acontece na realidade, é a
transformação dos funcionários em técnicos qualificados, caso o profissional busque seu desenvolvimento profissional.
RECApITULANDO
Neste capítulo, estudamos as características e o funcionamento de importantes componentes eletroeletrônicos, que são os indutores e os capacitores. Vimos que os indutores são constituídos de bobinas que convertem a energia elétrica em campo magnético, e que a capacidade do
indutor de induzir tensão em seus terminais é conhecido como indutância. Observamos que os indutores podem ser associados em série ou em
paralelo, e que a sua oposição à passagem da corrente CA é conhecida
como reatância indutiva (XL).
Por último, estudamos os capacitores, que são elementos constituídos de
duas placas de metal paralelas, separadas por um material isolante, conhecido como dielétrico, bem como sua capacidade de armazenar cargas
elétricas em seu interior, conhecido como capacitância. Vimos os principais tipos de capacitores, e que eles podem ser associados, assim como
os indutores, em série ou em paralelo e que sua oposição a passagem da
corrente CA é chamada de reatância capacitiva (XC).
143
Circuitos RLC em corrente alternada
7
Neste capítulo iremos estudar os seguintes fundamentos técnicos e científicos:
• Circuitos RLC
• Circuitos CA
7.1 CIRCUITOS RLC EM CA
No capítulo anterior você compreendeu o que é reatância capacitiva e indutiva, o que será importante para que você equacione adequadamente o circuito RLC, que é uma associação de resistores, indutores e capacitores. Existem, ainda, duas formas de associação: em série e em paralelo.
7.1.1 associação Rlc em séRie
O circuito RLC série é formado por uma série de resistores, indutores e capacitores. A figura
163, demonstra essa forma de associação. Onde:
Figura 163 - Esquema elétrico
Fonte: Autor
R = O resistor tem resistência R
L = O indutor oferece reatância indutiva:
XL = 2 . π . f . L
146
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
C = O capacitor oferece reatância capacitiva:
Xc = 1
2.π.f.C
Na associação em série, como já foi estudado anteriormente, a corrente I que
passa pelos elementos é a mesma. Para calcular as tensões nos componentes utilizamos a lei de Ohm, lembrando que no indutor e no capacitor suas oposições à
passagem da corrente elétrica são respectivamente a reatância indutiva (XL) e a reatância capacitiva (XC).
Figura 164 - Esquema elétrico 1
Fonte: Autor
Para que exista corrente elétrica no resistor R, é necessário que exista tensão, VR
nos seus terminais. Segundo a Lei de Ohm, essa tensão será determinada por VR = I . R.
A tensão VR está na mesma fase que a corrente I, ou seja, não existe diferença
de fase entre tensão e corrente. Por exemplo, se analisarmos no gráfico senoidal
na figura 165, veremos que os valores máximos de VR e I estão na mesma fase, ou
seja, ocorrem no mesmo instante no tempo. Outra maneira de representar é por
diagrama de fasores. Um fasor tem a mesma representação de um vetor; a diferença é que o vetor varia no espaço e o fasor varia no tempo. No caso da representação fasorial, a seguir, I e VR estão “apontando na mesma direção”; logo, não
há diferença de fase entre elas. (fig. 166)
Figura 165 - Gráfico senoidal
Fonte: Autor
Figura 166 - Representação fasorial
Fonte: Autor
7 CIRCUITOS RLC EM CORRENTE ALTERNADA
FIQUE
ALERTA
Na realidade, fasor é um tratamento vetorial que se dá
a uma grandeza escalar e não vetorial. Por exemplo: a
distância entre dois pontos é um vetor, pois necessita de
orientação, ou seja, indicação de norte, sul, leste e oeste;
já no caso da corrente elétrica, para defini-la somente são
necessárias a quantidade e a unidade. Porém, neste estudo
há necessidade de referenciar esta corrente no tempo.
RepResentação FasoRial
Nos terminais do indutor podemos determinar a tensão pela equação VL = I .
XL No indutor a tensão VL está adiantada em 90º em relação à corrente I; ou seja,
há uma diferença de fase entre a tensão no indutor e a corrente que passa através dele de 90°. Quando falamos que a tensão está adiantada em 90° quer dizer
que, quando comparamos alguns valores de tensão e corrente, como os valores
máximos ou também chamados de pico, a exemplo do gráfico fasorial, figura 167,
o valor máximo (VP) da tensão VL ocorre 90° antes do valor máximo de corrente
(IP). Esta defasagem também é representada pelo diagrama de fasores, figura 168,
onde temos o fasor de VR e VL formando um ângulo de 90° “apontando para cima”.
Figura 167 - Gráfico senoidal 1
Fonte: Autor
Figura 168 - Representação fasorial 1
Fonte: Autor
Nos terminais do capacitor devemos determinar a tensão VC com a expressão VC = I
. XC. No capacitor, ao contrário do indutor, a tensão VC está atrasada em 90º em relação
à corrente I. Quando falamos que a tensão está atrasada em 90° quer dizer que quando
comparamos alguns valores de tensão e corrente, como os valores máximos ou de pico
(VP e IP), a exemplo, o valor máximo da tensão VC, atinge 90° depois do valor máximo de
corrente Ip. Abaixo mostramos esta defasagem (fig. 164 e 165) por meio de um gráfico
senoidal e representação fasorial. No diagrama de fasores, vemos a diferença de fase entre VR e VC, diferenciando que VC “aponta para baixo”, pois está atrasado em relação a VR.
147
148
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Figura 169 - Gráfico senoidal 2
Fonte: Autor
Figura 170 - Representação fasorial 2
Fonte: Autor
É importante relembrar que no circuito RLC série existe uma única corrente I
e três tensões envolvidas (VR, VL e VC). A seguir, representamos através do gráfico
senoidal e representação fasorial o comportamento das tensões e a função da
corrente. (fig. 171 e 172)
Figura 171 - Gráfico senoidal com três tensões
Fonte: Autor
Figura 172 - Representação fasorial 3
Fonte: Autor
7 Circuitos RLC em Corrente Alternada
7.1.2 Resolução de circuitos RLC
Por exemplo, no circuito abaixo, se fossemos calcular algebricamente a tensão
(V) aplicada ao circuito, teríamos a expressão V = 50V+70V+30V = 150V. Porém, observando o valor de V no circuito, vemos que ele nos mostra 64V. Como já abordado
anteriormente, as tensões no indutor e no capacitor estão defasadas em relação
à corrente. Então, a soma dessas tensões deve computar o ângulo de fase dessas
grandezas e não a soma algébrica. A soma, portanto, deve ser efetuada com álgebra
de vetores, em nosso caso, como já vimos, álgebra de fasores.
I
Figura 173 - Resolução de circuitos RLC - circuito
Fonte: Autor
Utilizando a álgebra de fasores para resolver o circuito, temos a seguinte representação:
Figura 174 - Resolução de circuitos RLC - representação fasorial
Fonte: Autor
Note que, observando o diagrama de fasores acima, o tamanho do fasor de VC
é maior do que o fasor de VL devido ao fato de XC ser maior que XL. Chegamos a esta
conclusão porque VC é maior que VL, já que é um circuito série e o valor da corrente
é o mesmo em cada componente. Utilizamos para esta análise as expressões abaixo:
V
V
e
XL = L
XC = C
I
I
Como na álgebra de vetores, vemos que VL e VC são dois fasores, na mesma direção e sentidos opostos. Logo, temos o fasor resultante, VC-VL, apontando para
baixo devido ao fato de VC ser maior que VL:
Figura 175 - Resolução de circuitos RLC - representação fasorial 1
Fonte: Autor
149
150
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Para determinar V, que é a componente resultante dos fasores de VC-VL com
VR, devemos utilizar o teorema de Pitágoras, visto no capítulo 1:
Figura 176 - Resolução de circuitos RLC - representação fasorial 2
Fonte: Autor
Determinando V, temos V = (VR2 + (VC - VL)2)
Aplicando a equação na analise do circuito RLC série anterior teremos:
V = VR2 + (VC - VL)2
V = 502 + (70 - 30)2
V = 64V
Ao contrário do exemplo anterior, o circuito RLC proposto abaixo possui VL
maior que VC. Logo, chegamos à conclusão de que XL é maior que XC, lembrando
que, como no exemplo anterior a corrente é a mesma.
Figura 177 - Resolução de circuitos RLC - circuito 1
Fonte: Autor
O digrama de fasores fica:
Figura 178 - Resolução de circuitos RLC - representação fasorial 3
Fonte: Autor
Agora, o fasor de VL é maior que o de VC, representando o fasor resultante VL-VC,
no diagrama abaixo:
Figura 179 - Resolução de circuitos RLC - representação fasorial 4
Fonte: Autor
7 Circuitos RLC em Corrente Alternada
Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:
V2= (VR2 + (VL - VC)2)
Resolvendo para V_R , temos:
V2= (VR2 + (VL - VC)2)
V2= VR2 + (VL - VC)2
V2= 45,82 + (80 - 60)2
V2= 45,82 + 202
V = 50V
7.1.3 Impedância no circuito RLC em série
A oposição total que o circuito RLC oferece à passagem da corrente elétrica é
conhecido como impedância. A impedância é simbolizada pela letra Z, e sua unidade de medida é o Ohm (Ω).
A equação para determinar a impedância em um circuito RLC série é definida a
partir do diagrama de fasores das tensões, como o da figura a seguir. Lembramos
que a impedância (Z) é a oposição à passagem da corrente elétrica no circuito RLC.
Figura 180 - Impedância no circuito RLC em série - representação fasorial
Fonte: Autor
Como:
VL = i . XL
VR = i . R
VC = i . XC
Reescrevendo o diagrama das tensões:
= I . XL
=I.R
= I . XC
Figura 181 - Impedância no circuito RLC em série - representação fasorial 1
Fonte: Autor
151
152
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Dividindo por i, teremos o diagrama das impedâncias:
Figura 182 - Impedância no circuito RLC em série - representação fasorial 2
Fonte: Autor
O diagrama vetorial das impedâncias apresenta uma oposição de fase entre a impedância indutiva (XL) e a impedância capacitiva (XC). A partir dessa
constatação, podemos reduzir o sistema de três vetores para dois vetores e
em duas situações:
a) Circuito RLC série, onde XL é maior que XC.
Figura 183 - Impedância no circuito RLC em série - representação fasorial 3
Fonte: Autor
Figura 184 - Impedância no circuito RLC em série - representação fasorial 4
Fonte: Autor
A partir do sistema de dois vetores a 90º, o vetor resultante, ou impedância da
associação, pode ser determinado pelo teorema de Pitágoras.
Z = R2 + (XL - XC)2
b) No circuito RLC série, onde XC é maior que XL .
Figura 185 - Impedância no circuito RLC em série - representação fasorial 5
Fonte: Autor
Figura 186 - Impedância no circuito RLC em série - representação fasorial 6
Fonte: Autor
7 Circuitos RLC em Corrente Alternada
A partir do sistema de dois vetores a 90º, o vetor resultante, ou impedância da
associação, pode ser determinado pelo teorema de Pitágoras.
Z = R2 + (XC - XL)2
Graficamente:
Figura 187 - Impedância da associação - Pitágoras
Fonte: Autor
Figura 188 - Impedância da associação - Pitágoras 1
Fonte: Autor
Corrente no circuito RLC série:
A corrente no circuito RLC série é uma relação entre a tensão aplicada e da
impedância total do circuito, em conformidade com a lei de Ohm.
i= V
Z
Assim, para determinar a corrente num circuito RLC série devemos, antes, calcular sua impedância.
No circuito da figura 184 vamos determinar, como exemplo, a impedância, a
corrente, a tensão no resistor R, a tensão no indutor e a tensão no capacitor.
Figura 189 - Impedância no circuito RLC em série - circuito
Fonte: Autor
1º passo: Determinar a reatância indutiva do indutor (XL) e a reatância capacitiva (XC) do capacitor.
XL = 2 . π . f . l
XL = 754Ω
1
2.π.f.C
XC = 1327Ω
XC =
2º passo: Determinar a impedância do circuito ( Z ):
Z = R2 + (XC - XL)2
Z = 10002 + (1327 - 754)2
Z = 1153Ω
153
154
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
3º passo: Determinar a corrente no circuito:
i= V
z
120v
i=
1153Ω
i = 0,104A
4º passo: Determinar as tensões nos elementos do circuito: R, L e C:
VR = i . R
VR = 0,104 . 1000
VR = 104V
VL = i . XL
VL = 0,104 . 754
VL = 78V
VC = i . XC
VC = 0,104 . 1327
VC = 138V
Como forma de comprovar as tensões calculadas nos elementos do circuito,
vamos determinar a tensão total e comparar com a tensão aplicada ao circuito:
V = VR2 + (VC - VL)2
V = 1042 + (138 - 78)2
V = 120,07V
O resultado confere com o valor da tensão aplicada. A pequena diferença de
0,07V deve-se aos arredondamentos realizados nos cálculos.
7.1.4 Circuito RLC em paralelo
O circuito RLC paralelo é formado por uma associação de resistores, indutores
e capacitores integrados conforme a figura 190:
Figura 190 - Circuito RLC em paralelo
Fonte: Autor
7 Circuitos RLC em Corrente Alternada
Como todo o circuito paralelo, a tensão é a mesma em todos os componentes
e é igual à tensão aplicada pelo gerador. Por essa razão, a tensão serve como referência na determinação dos parâmetros do circuito.
A tensão aplicada ao circuito RLC paralelo produz em cada elemento do circuito uma corrente característica. A corrente no resistor IR está em fase com V. A
corrente no Indutor IL está atrasada de V em 90°, e a corrente no capacitor IC está
adiantada de V em 90°. Lembramos que estas características foram estudadas
anteriormente no circuito RLC série. O circuito com a identificação das correntes
é mostrado a seguir: (fig. 191)
Figura 191 - Circuito RLC em paralelo 1
Fonte: Autor
Analisando primeiro IR, temos que ela está em fase com a tensão aplicada ao
circuito, conforme representado no gráfico senoidal e representação fasorial a
seguir: (fig. 192 e 193)
Figura 193 - Circuito RLC em paralelo - representação
fasorial
Fonte: Autor
Figura 192 - Circuito RLC em paralelo - gráfico senoidal
Fonte: Autor
Para determinar a corrente no resistor utilizamos a expressão:
IR = V
R
A corrente no indutor IL está atrasada em 90º em relação à tensão aplicada, enquanto a corrente no capacitor IC está adiantada de V em 90°. Esta relação de fase
entre as correntes e a tensão em função do tempo é apresentada graficamente e
por meio de representação fasorial:
155
156
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Figura 194 - Circuito RLC em paralelo - gráfico senoidal 1
Fonte: Autor
Figura 195 - Circuito RLC em paralelo - representação
fasorial 1
Fonte: Autor
Para determinar a corrente total do circuito IT utilizaremos também o teorema
de Pitágoras.
• A corrente total é a soma fasorial das correntes nos elementos.
• A corrente total é a soma vetorial das correntes nos elementos.
Figura 196 - Circuito RLC em paralelo - representação fasorial 2
Fonte: Autor
Lembramos que a corrente IC está adiantada em 90º em relação à corrente iR e a corrente iL está atrasada em 90º em relação a iR. A partir desta análise, devemos considerar:
a) Circuito capacitivo, quando iC > iL. Logo, como IC e IL estão em oposição de
fase, devemos utilizar a resultante IC-IL para determinar IT:
Figura 197 - Circuito RLC em paralelo - circuito
Fonte: Autor
Logo, utilizando o teorema de Pitágoras temos a expressão para determinar IT:
IT = IR2 + (IC - IL)2
7 Circuitos RLC em Corrente Alternada
b) Circuito indutivo, quando IL> IC . Logo, como IL e IC estão em oposição de
fase, devemos utilizar a resultante IL-IC para determinar IT:
Figura 198 - Circuito RLC em paralelo - circuito 1
Fonte: Autor
Novamente reduzimos um sistema de três vetores a um sistema de dois vetores a 90º. Assim, o equacionamento é executado com o teorema de Pitágoras.
Para determinar a impedância do circuito RLC paralelo utilizamos a lei de Ohm:
IT = IR2 + (IL - IC)2 Z= V
iT
7.1.5 Circuito RLC série na ressonância
A impedância do circuito RLC série é dada pela equação:
Z = R2 + (XL - XC)2
Como na ressonância XL = XC
Portanto, diminuindo os seus valores XL - XC =0 , teremos zero no resultado.
Então:
Z = R2 + (0)2
No circuito RLC série na ressonância temos: Z=R; ou seja, a impedância é igual
à resistência do resistor.
O gráfico a seguir, (fig. 194) apresenta sobrepostos os comportamentos da reatância
capacitiva e indutiva em função da frequência. Existe um ponto de intersecção onde
a frequência torna XL igual a XC. A abscissa desse ponto é a frequência de ressonância.
Figura 199 - Determinação gráfica da frequência de ressonância
Fonte: Autor
157
158
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Qualquer circuito que contenha um capacitor e um indutor, em série ou paralelo,
tem uma frequência de ressonância. Na frequência de ressonância o circuito RLC série
tem impedância mínima. Portanto, a corrente é máxima nesta frequência específica.
Como já vimos, na ressonância a reatância capacitiva e a reatância indutiva são
iguais (XL = XC). Consequentemente, iL = iC.
Figura 200 - Representação fasorial da correntes na ressonância
Fonte: Autor
Como iL e iC estão em oposição de fase, a resultante iL - iC é nula. Idealmente, na frequência de ressonância o capacitor e o indutor não “absorveriam” correntes do gerador.
Então, a determinação das correntes no circuito fica:
i = iR2 + (iL - iC)2
Como iL = iC
Temos que:
i = iR2 + (0)2
i = iR2
i = iR
No circuito RLC paralelo a corrente total tem o valor mínimo na frequência de
ressonância. Como conseqüência, a impedância do circuito é máxima.
Como:
Z= V
i
Sendo esta corrente mínima teremos a seguinte expressão para calcular Z na
ressonância:
Z= V =Zmáx.
imin.
7 CIRCUITOS RLC EM CORRENTE ALTERNADA
SAIBA
MAIS
As ondas de rádio e TV viajam pelo espaço com frequências
específicas. As emissoras são diferenciadas por frequências
características. Na ressonância, o receptor “capta” a
frequência da onda de rádio ou TV com eficiência máxima
e o sinal da emissora é reproduzido pelo receptor. As ondas
das outras emissoras, com frequências diferentes, não estão
em ressonância com o receptor e são barradas pela alta
impedância do receptor.
Figura 201 - Ressonância - circuito
Fonte: Autor
Na figura 201 temos um receptor AM esquematizado. No circuito, o capacitor
de 100pF e a bobina variável (sintonia) formam o circuito ressonante.
CASOS E RELATOS
Adoção de circuitos RLC
As cabines eram operadas por funcionários e o sistema era baseado em jatos de extintores de CO2, que reduziam a quantidade de
oxigênio para apagar o fogo. Em caso de um disparo do sistema
com funcionários trabalhando, o acidente poderia gerar perda
na produção, devido à parada e retirada dos funcionários de seus
postos de trabalho, ocasionando perda na qualidade da pintura de
todos os automóveis da linha. A solução encontrada foi contratar
um especialista em sinais elétricos, que projetou um circuito RLC,
reduzindo a intensidade dos sinais elétricos e, assim, os problemas
foram resolvidos.
159
160
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
RECApITULANDO
Neste capítulo, fizemos um estudo do comportamento de circuitos com
resistores, indutores e capacitores em série ou em paralelo. Observamos que existe uma relação de fase entre os componentes por meio
da representação fasorial, e que essa representação varia conforme a
diferença dos valores das reatâncias dos componentes. Vimos que a
oposição que um circuito RLC oferece à passagem da corrente elétrica
é conhecida como impedância (Z). Abordamos, também, as características e comportamento da corrente e tensão CA, quando aplicados a um
circuito resistivo e puramente capacitivo e indutivo.
Concluindo, verificamos que podemos fazer um circuito RLC responder
a uma única frequência, conhecida como frequência de ressonância.
Isso possibilita selecionar a frequência desejada, o que é chamado de
circuito sintonizado.
7 Circuitos RLC em Corrente Alternada
Anotações:
161
Magnetismo, eletromagnetismo e
transformadores
8
Neste capítulo iremos estudar os seguintes fundamentos técnicos e científicos:
• magnetismo, eletromagnetismo; e
• transformadores.
8.1 MAgNETISMO E ELETROMAgNETISMO
O termo magnetismo provém de magnetita (Fe3O4), uma rocha que recebeu esse nome por
ter suas propriedades magnéticas primeiramente observadas por um pastor grego chamado
Magnes. Existe também a hipótese de que o nome magnetita se deva ao fato de a rocha ter
sido encontrada em grande quantidade da cidade de Magnésia (Grécia Antiga).
Figura 202 - Imã
Fonte: Autor
A magnetita apresenta propriedades magnéticas naturais em função de sua constituição de
dipolo elétrico (+Fe3O4). A primeira grande aplicação pratica do magnetismo foi a bússola, que
foi fundamental na época dos grandes descobrimentos. Mas foi Gilbert (1544–1603), na Universidade de Cambridge, que, em 1600, escreveu o primeiro tratado sobre magnetismo. Gilbert
foi o primeiro a dizer que a Terra era um grande magneto.
VOCÊ
SABIA?
Posteriormente, os trabalhos de Coulomb, Oersted, Biot Savat, Arago,
Weber, Ampère e principalmente Faraday, que instituiu a ideia de campo
magnético, e Maxwell, que equacionou as observações de Faraday,
proporcionaram a concepção atual de que o magnetismo é devido às
correntes microscópicas no interior da matéria. Existem, na natureza,
três tipos de materiais de interesse ao magnetismo: ferromagnéticos,
paramagnéticos e diamagnéticos. Os materiais diamagnéticos formam
campos contrários aos que os produziram; já os paramagnéticos e
ferromagnéticos têm moléculas com dipolos magnéticos permanentes.
164
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Destes, os ferromagnéticos apresentam os dipolos magnéticos (pequenos imãs) alinhados, como mostra a figura 198, formando o que chamamos
de imã permanente.
Figura 203 - Material ferromagnético
Fonte: Autor
Nos paramagnéticos, esses dipolos magnéticos estão orientados ao acaso, como mostra a figura 199. É necessária a presença de um campo externo orientando esses dipolos para que o material obtenha características de
imã. Esses imãs são denominados imãs artificiais e o processo é chamado de
imantação.
Figura 204 - Material paramagnético
Fonte: Autor
Os imãs apresentam duas regiões de características magnéticas distintas, denominadas polos magnéticos. (fig. 205)
Figura 205 - Imã 2
Fonte: Autor
Experimentalmente, é fácil demonstrar que não é possível separar o polo
Norte do polo Sul de um imã. Esta propriedade dos imãs é chamada de inseparabilidade dos polos. (fig. 206)
Figura 206 - Imã 3
Fonte: Autor
Fracionando o imã, vamos formar dois novos imãs. Se continuarmos dividindo
em 4, 8, 16 partes... enfim, em quantas partes quisermos, por menores que sejam
as partes teremos sempre imãs completos (fig. 207)
Figura 207 - Divisão de Imã
Fonte: Autor
8 Magnetismo, Eletromagnetismo e Transformadores
Outra propriedade importante dos imãs é a atração e repulsão entre os
polos. (fig. 208)
Figura 208 - Propriedades dos imãs
Fonte: Autor
Polos de mesmo nome se repelem e polos de nomes diferentes se atraem.
8.1.1 Campo magnético
V
Campo magnético é uma região no espaço em torno do imã onde ocorrem interações magnéticas. O campo magnético de um imã é uma grandeza vetorial, pois, além de
sua intensidade, precisamos determinar sua direção e seu sentido, para que esse campo
fique perfeitamente definido. Representamos o campo nessa região através de linhas de
indução, como mostra a figura 209. Por convenção, as linhas de indução saem do polo
Norte do imã e entram em seu polo Sul. Observe também que as linhas nunca se cruzam.
Tangente às linhas de indução orientamos o vetor campo magnético B .
Figura 209 - Linhas de força representando o campo magnético
Fonte: Autor, baseado mundoeducação. com br, 2012
A observação de um campo magnético pode ser feita com o seguinte experimento: coloque um ímã sob uma folha de papel e sobre ela colocar limalhas de ferro. Você observará a formação de linhas de orientação desenhadas pelas limalhas,
evidenciando o campo magnético, conforme demonstrado nas figuras 210 e 211.
Figura 210 - Experiência
Fonte: Autor
Figura 211 - Imã 4
Fonte: Autor
165
166
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
As interações nos campos magnéticos são verificadas através das forças magnéticas. Colocando em diversos pontos do campo magnético um condutor energizado, podemos medir a força que o campo magnético exerce sobre o condutor
em cada um desses pontos e obter, dessa forma, uma informação quantitativa
que permitirá definir a intensidade do campo magnético.
Neste estudo, é importante que você associe a força magnética ao campo
magnético, pois isso possibilitará aplicações práticas no eletromagnetismo.
8.1.2 Eletromagnetismo
Em setembro de 1820, a histórica observação de Oersted relacionou os fenômenos magnéticos com os fenômenos elétricos. No experimento das figuras 212
e 213, verificamos que o condutor energizado produz um campo magnético (eletromagnético) capaz de ativar a agulha (imã) da bússola.
Figura 212 - Circuito não-energizado
Fonte: Autor
Figura 213 - Circuito energizado
Fonte: Autor
Campo eletromagnético é o campo gerado pela corrente elétrica no espaço
circundante ao condutor.
A figura 214 demonstra que, sem a corrente elétrica no condutor, a limalha de
ferro é distribuída aleatoriamente no papel.
Figura 214 - Limalhas de ferro distribuídas aleatoriamente
Fonte: Autor
Se existir a corrente elétrica, ela produzirá o campo com o espectro circular demonstrado pela figura a seguir. No esquema desta figura é importante observar que
as linhas de indução que representam geometricamente o campo estão num plano
perpendicular (90º) em relação ao condutor. A orientação das linhas de indução é
determinada pelo sentido da corrente no condutor, como demonstra a figura 215.
8 Magnetismo, Eletromagnetismo e Transformadores
Figura 215 - Circuito energizado com linhas de indução do campo magnético
Fonte: Autor
Para determinar a orientação das linhas de força do campo magnético usamos
a regra da mão direita, é uma regra prática para determinar o sentido das linhas
de indução (ou linhas de força) do campo eletromagnético no espaço do condutor energizado. (fig. 216)
Figura 216 - Regra da mão direita
Fonte: Autor
O polegar deve ser orientado pelo sentido da corrente elétrica no condutor. Os
demais dedos da mão direita orientam o sentido das linhas de indução do campo eletromagnético, como demonstra a figura 216. Se invertermos o sentido da corrente no
condutor, o sentido das linhas de indução também será invertido. Condutores energizados são eletroímãs. Como os imãs, interagem com forças de atração ou repulsão.
Com as linhas de indução no mesmo sentido, os imãs se atraem, observando que as linhas de indução saem
do polo Norte e entram no polo Sul.
Figura 217 - Atração
Fonte: Autor
Idêntica situação existe com as
linhas de indução nos condutores.
Usando a “regra da mão direita” para
determinar o sentido das linhas de indução nos condutores, verificaremos
que essas linhas têm o mesmo sentido.
Portanto, os condutores irão se atrair.
167
168
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Com as linhas de indução no sentido
oposto, os imãs se repelem, a observando que as linhas de indução saem do
polo Norte e entram no polo Sul.
Linhas de indução com sentidos os
condutores irão se repelir.
Figura 218 - Repulsão
Fonte: Autor
Então, quando as correntes nos condutores paralelos tiverem sentidos opostos, os condutores se repelirão pela ação oposta das linhas de força. Os campos
eletromagnéticos não se somam, mas se repelem. Portanto, têm tendência de se
anularem pela ação oposta das linhas de força.
8.1.3 Campo eletromagnético em espiras
O campo eletromagnético também ocorre em espiras, solenóides e bobinas, aumentando a intensidade proporcionalmente e respectivamente.
A espira é um condutor (fio) dobrado segundo uma circunferência de centro O e
raio R. As linhas de indução formam um circuito magnético passando pelo interior da
espira, passando por dentro de espira e retornando por fora. Observe na figura 219
as linhas de indução circular que se unem para formar um único campo magnético.
Figura 219 - Campo eletromagnético em espira
Fonte: Autor
8 Magnetismo, Eletromagnetismo e Transformadores
Para orientar o vetor campo eletromagnético gerado pela espira, vamos usar novamente a regra da mão direita, demonstrado na figura 220. O polegar é orientado
pelo sentido da corrente elétrica na espira. O dedo médio aponta para o centro da
espira e a palma da mão indica o sentido do campo.
Figura 220 - Direção campo eletromagnético em espira
Fonte: Ramalho, 2007
O solenóide é um agrupamento de espiras, e seu campo eletromagnético vem
da soma dos vários campos das espiras. As linhas de força (indução) passam por
dentro do solenóide e retornam por fora. O solenóide energizado tem os polos
como os indicados na figura 221.
Usamos a regra da mão direita para determinar a qualidade desses polos (Norte ou Sul). Envolvendo a solenóide com a mão direita, os dedos da mão são orientados pelo sentido da corrente nas espiras e o polegar indica o polo Norte.
Figura 221 - Campo eletromagnético em espira 1
Fonte: Autor
A intensidade do campo eletromagnético gerado pelo solenoide é dada
pela expressão:
B = μ0 . N/l . i
μ0: permeabilidade magnética do vácuo (ar). É constante e vale: μ0 = 4 . π . 10-7
(T.m)/A.
N: é o número de espiras.
l: é o comprimento do solenóide em metros.
i: é a intensidade de corrente elétrica em ampères.
169
170
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
A unidade da intensidade de campo eletromagnético no SI de Unidades é o Tesla (T).
A bobina é o condutor enrolado em muitas espiras, em camadas sucessivas,
uma sobre a outra. Na verdade, são vários solenóides agrupados. As bobinas são
enroladas com fios de isolação especial feita por uma capa de verniz de alto poder
isolante em bases denominadas carretéis.
Figura 222 - Carretel
Fonte: Autor
Para aumentar a intensidade do campo eletromagnético é usual colocar no
interior da bobina um núcleo de ferro, como nas figuras 223 e 224. A bobina assim
constituída é chamada de eletroímã.
Figura 223 - Bobina sem núcleo de ferro
Fonte: Autor
Figura 224 - Bobina com núcleo de ferro
Fonte: Autor
Também utilizamos a regra da mão direita para determinar os polos de um
eletroímã, porém devemos observar, necessariamente, alguns detalhes:
1º detalhe: Verificar o sentido em que são enroladas as espiras da bobina.
Figura 225 - Espiral da bobina
Fonte: Autor
2º detalhe: Verificar o sentido da corrente. É importante ter presente o terminal
em que a corrente elétrica entra e o terminal em que ela sai.
Figura 226 - Espiral da bobina 1
Fonte: Autor
8 MAgNETISMO, ELETROMAgNETISMO E TRANSFORMADORES
Então, segure (ou imagine segurar) o solenoide com a mão direita mantendo
o polegar esticado, como mostra a figura 227. As pontas dos dedos indicam o
sentido da corrente e o dedo polegar, o polo Norte.
N
Entrada
N
S
Saída
Entrada
S
Saída
NORTE
NORTE
Figura 227 - Representação da regra da mão direita
Fonte: Autor
A regra da mão direita também é aplicada para determinar o sentido da corrente na bobina. No eletroímã da figura temos os polos Sul e Norte como indicados. Aplicando a regra da mão direita à figura 228, devemos determinar que a
corrente elétrica entra pelo terminal x e sai pelo terminal y.
Figura 228 - Representação da regra da mão direita 1
Fonte: Autor
FIQUE
ALERTA
A comunidade cientifica acredita que a energia com baixos
níveis de frequência, como as dos campos magnéticos, são
biologicamente ativos e podem provocar danos a saúde.
Os trabalhadores do setor elétrico, operadores de rádio,
micro-ondas e telefonia celular estão expostos a esses
efeitos de campo.
8.1.4 FoRça de atRação eletRomagnética em eletRoimãs
O eletroimã, como no esquema ao lado, é utilizado para realizar o trabalho.
A expressão que determina a força eletromagnética F é dada por:
F=
B2 . S
unidade: kgf
4 . π . F . 9,18 . 105
171
172
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Figura 229 - Eletroimã
Fonte: Autor
Onde:
B é fluxo magnético em Gauss;
S é a secção transversal do núcleo em cm2 representada na figura acima.
Para calcular o fluxo magnético necessário na(s) bobina(s) do eletroímã para
produzir a força F devemos usar a expressão:
B=
4 . π . F . 9,18 . 105
S
O circuito efetivado pelas linhas de indução é denominado circuito magnético.
As figuras 230 e 231 representam dois circuitos magnéticos clássicos. O eletroímã
da figura 231 é mais eficiente porque as linhas de indução têm maior facilidade
para completar o circuito magnético.
Figura 230 - Eletroimã 1
Fonte: Autor
Figura 231 - Circuito magnético
Fonte: Autor
Neste eletroímã, o circuito magnético é formado, em grande parte, pelo ar.
O circuito magnético neste eletroímã é formado quase exclusivamente, pelo núcleo de ferro.
Outro fator que devemos considerar na avaliação de eletroímãs é o entreferro. Entreferro é o espaço que pode existir entre o núcleo e o fecho do eletroímã,
como mostra as figuras 232 e 233. No ar, a relutância é cerca de 8.000 vezes maior
que a do ferro. A relutância mensura a dificuldade que o meio oferece ao estabelecimento do campo magnético.
8 MAgNETISMO, ELETROMAgNETISMO E TRANSFORMADORES
Figura 232 - Entreferro
Fonte: Autor
SAIBA
MAIS
VOCÊ
SABIA?
Figura 233 - Entreferro 1
Fonte: Autor
O mercado mundial de materiais magnéticos duros (ou
permanentes) é da ordem de US$ 1 bilhão ao ano, mas o
mercado dos bens que deles dependem é dezenas de vezes
mais elevado, e o mercado mundial em gravação magnética
é estimado em torno de US$ 100 bilhões por ano e vem se
expandindo a uma taxa próxima a 17% ao ano.
Existem trabalhos que estão realizando a conexão de
nanopartículas magnéticas a células cancerosas, o que
tornaria possível aplicar um campo magnético alternado
suficientemente forte para movimentar essas partículas
e aquecer localmente o tumor, provocando a eliminação
do câncer sem os indesejados efeitos colaterais da
quimioterapia da radioterapia.
8.2 TRANSFORMADORES
Os transformadores são equipamentos que transformam tensão ou corrente elétrica em níveis de grandeza diferentes, para aplicações específicas. Em princípio, não
há uma transformação de energia, apenas mudanças nos valores de tensão e/ou corrente, porém há perdas, e a energia resultante torna-se menor que a energia inicial.
Veja a aplicação dos transformadores no seu dia-a-dia:
Você ganhou em um sorteio um refrigerador com tensão de trabalho de 110V,
mas você mora em cidade onde a rede elétrica tem a tensão de 220V. O que fazer?
Não buscar o prêmio? Para este caso, você terá que colocar um transformador
com entrada 220V e saída 110V.
8.2.1 tRansFoRmadoR monoFásico
Um transformador é composto de, no mínimo, uma bobina primária e outra
bobina secundária. Quando alimentamos a bobina primária com uma tensão
elétrica, ela gera um campo magnético que interferirá na bobina secundária, induzindo nela uma corrente elétrica e, ocasionado o surgimento de uma tensão
elétrica na bobina do secundário.
173
174
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Porém, para haver corrente induzida é necessário que a espira do secundário
corte linhas de força diferentes. Como o transformador não é móvel, é necessário
que o campo magnético seja variável; portanto, um transformador só funciona
com corrente alternada. Sabemos que o campo magnético de uma bobina é diretamente proporcional à tensão aplicada e ao número de espiras que a compõem.
Assim, também uma bobina que está sendo induzida terá sua corrente induzida
diretamente proporcional ao campo magnético ao qual está exposta e ao número
de espiras que a compõem. Daí surge a seguinte expressão:
V primario
V secundário
=
Nº espiras primário
Nº espiras secundário
Isto resulta na relação de transformação: se um transformador é composto
de 600 espiras no primário e 60 espiras no secundário, terá uma relação de 10:1
(redutor). Isto quer dizer que a tensão injetada no primário será reduzida em 10
vezes no secundário.
Sabemos que o transformador não transforma energia; portanto, a potência
elétrica do primário, desprezando as perdas, será igual à potência do secundário.
P primário(PP) = Psecundário(PS)
Em termos de tensão e corrente, isto quer dizer que:
Vprimário (VP) . Iprimário (IP) = Vsecundário (VS) . Isecundário (IS)
Como exemplo de aplicação temos um transformador com relação de espiras 10:1, com a tensão no primário de 220V e secundário 24V. Com uma
capacidade de drenar 12A, o secundário terá uma capacidade de fornecer
10 vezes esta corrente.
Efetuando os cálculos para determinar a corrente necessária no primário (Ip), temos:
Pp = Ps
Vp . Ip = Vs . Is
220 . Ip = 24 . 12
Ip = 288 / 220
Ip = 1,3 A
Isto porque:
Pp = Ps
Vp . Ip = Vs . Is
220 . 1,3 = 24 . 12
288 W = 288 W.
8 Magnetismo, Eletromagnetismo e Transformadores
Para a melhor condução magnética do campo do primário para o campo do
secundário utilizamos lâminas de material ferroso como núcleo. (fig. 234)
Figura 234 - Tipos de núcleo
Fonte: Autor
Quanto à forma de onda, acontece uma inversão do sinal do primário, devido
à transmissão por campo magnético (defasagem 90° corrente e campo). (fig. 235)
Figura 235 - Forma de onda
Fonte: Autor
8.2.2 Transformadores com mais de uma bobina no primário e
no secundário
Os transformadores podem ter várias bobinas no primário e no secundário,
visto que o campo magnético está concentrado no mesmo núcleo. (fig. 236)
Figura 236 - Transformador com mais de uma bobina
Fonte: Autor
Inclusive a bobina pode ter derivação; neste caso chamamos de Tape Center. (fig. 237)
Figura 237 - Derivação central
Fonte: Autor
175
176
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
8.2.3 Transformador trifásico
Um transformador trifásico é composto de três bobinas primárias e três bobinas secundárias. Cada bobina do primário é enrolada com sua respectiva bobina
do secundário no mesmo núcleo. O primário pode ser ligado tanto em estrela
quanto em triângulo, assim como o secundário, independentemente. (fig. 238)
Figura 238 - Transformador trifásico
Fonte: Autor
Um transformador trifásico possui duas tensões de entrada e duas tensões de
saída, dependendo da ligação que fizemos.
8.2.4 Autotransformador trifásico
Esses autotransformadores são trifásicos que possuem as bobinas de primário e secundário interligadas em um ponto em comum, sendo a bobina
de secundário com tapes para a escolha de tensão. Normalmente, os tapes
são de 50%, 65% e 80%. (fig. 239)
Figura 239 - Autotransformador trifásico
Fonte: Autor
8 MAgNETISMO, ELETROMAgNETISMO E TRANSFORMADORES
RECApITULANDO
Neste capítulo foi abordado que os materiais que possuem principalmente ferro na sua composição apresentam propriedades magnéticas. Estes materiais magnéticos são conhecidos como imãs e que esses
atraem outros materiais como o ferro devido a uma força que existem em
torno dele conhecido como campo magnético.
Vimos que quando um condutor é percorrido por uma corrente elétrica
o mesmo produz um campo magnético em torno dele e que este fenômeno é conhecido como eletromagnetismo e que a orientação das linhas
de força deste campo depende do sentido da corrente que atravessa este
condutor. Vimos também, que se enrolarmos este condutor de modo a
formar um laço ou espira entorno de um núcleo de ferro aumentamos a
intensidade deste campo magnético.
Por último, estudamos sobre os transformadores que é um componente eletroeletrônico usado para transformar uma valor de tensão
CA em outro, maior ou menor, dependendo da sua aplicação em um
determinado circuito elétrico. Vimos que os transformadores são constituídos de duas bobinas enroladas em um núcleo de ferro, onde uma
tensão elétrica aplicada a bobina no primário, induz uma tensão no secundário, por meio de acoplamento magnético. No final vimos sobre os
transformadores trifásicos e autotransformadores, que possuem mais
de uma bobina no primário e no secundário.
177
Referências
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br/fisica/energia-armazenada-no-capacitor-.html> Acesso em 28 set. 2011.
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fenomenos/principios/> Acesso em 24 set. 2011.
Guimarães, Thiago M. Bobina de Tesla. Disponível em: <http://physicsact.wordpress.com/experimentos/> Acesso em 23 set. 2011.
GUSSOW, Milton. Eletricidade Básica. São Paulo: Makron Books, 1997.
LIMA, Marcos. Eletromagnetismo. Cap 9. Disponível em: <http://www.fma.if.usp.br/~mlima/teaching/4320292_2011/Cap9.pdf > Acesso em 18 set. 2011.
Martinho, Edson. Acidentes com a Eletricidade. Disponivel em: <http://acidentescomeletricidade.blogspot.com/> Acesso em 24 set. 2011.
MORETTO, V. P. Eletricidade e Eletromagnetismo: física hoje. 3. ed. São Paulo: Ática, 1989.
PENTEADO, Paulo Cesar Martins. Física: conceitos e aplicações. 1. ed. São Paulo: Moderna, 1998
RAMALHO JR., Francisco; FERRARO, Gilberto; SOARES, Paulo A. de Toledo. Os fundamentos da física. 8. ed. São Paulo: Moderna, 2007.
Santos, C. A. dos. Experimento da gota de óleo de Millikan. Disponivel em :<http://www.
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de Educação Profissional SENAI Ney Damasceno Ferreira, 2000. 143 p. il
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fisica.ufpr.br/cf071/aula_4_2011_indut_RC_v0.pdf> Acesso em 21 set. 2011.
UNIVERSIDADE FESDERAL DO RIO GRANDE DO SUL. Eletromagnetismo Virtual. Cap 1. Disponivel
em:<http://www.if.ufrgs.br/fis/EMVirtual/cap1/cargas.htm> Acesso em 22 set. 2011.
Minicurrículo dos Autores
Rosano Daniel Nunes
Graduação em Engenharia Elétrica pela Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do
Sul-PUCRS, 2003. Especialização em Gestão de Instituições de Ensino, pela Faculdade Porto Alegrense – FAPA, 2011. Técnico em Telecom da CRT Brasil Telecom (1997-2000). Técnico em manutenção Senior da ABB Ltda (2000-2002). Engenheiro Eletricista da URS Division Washington
Group International do Brasil Ltda, (2002-2009). Instrutor nível técnico para turmas de terceiro e
quarto módulo em eletrônica, do SENAI Visconde de Maúa, desde 2009.
Jorge Luis Cardozo
Graduação em Ciências Físicas e Biológicaspela Faculdade Porto Alegrense - FAPA. Licenciatura
em Eletrônicapela Universidade do Vale do Rio dos Sinos – UNISINOS.Especialização em Eficiência
Energética pela Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul-PUCRS.Especialização em
Ciências da Terra pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul-UFRGS. Professor de Física da
Instituição Educacional São Judas Tadeu, desde 1994. Supervisor de Eletrônica doCentro Tecnológico Estadual Parobé, desde 1988. Instrutor de Nível Técnico do SENAI/RS, desde 2005.
Índice
A
Amperímetro 70, 77, 78, 80, 81
Associação de capacitores 129, 131
Associação de indutores 125, 126
Associação dos resistores 87, 89
Associação paralela de dois resistores 108
Associação paralela de resistores de mesmo valor 108
Associação RLC em série 137
C
Campo eletromagnético em espiras 168
Campo magnético 123, 124, 150, 163, 165, 166, 167, 168, 172, 173, 174, 175
Capacitância 80, 129, 131, 132, 133, 134, 156
Capacitância de um capacitor 129
Capacitores 123, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 137, 146
Capacitores cerâmicos 133
Capacitores eletrolíticos 133
Capacitores plásticos 133
Ciclo trigonométrico 51
Circuito capacitivo puro 155
Circuito eletrônico 71, 128
Circuito indutivo puro 154
Circuito misto 110, 111
Circuito paralelo 106, 108, 147
Circuito paralelo de corrente contínua 106
Circuito resistivo puro 153
Circuitos corrente alternada 149
Circuitos de corrente contínua 103
Circuito série 103, 105, 141
Circuitos RLC em CA 137
Circuitos RLC em corrente alternada 137
Circuitos série de corrente contínua 103
Coeficiente 41, 42, 88
Comprimento da circunferência 50
Condutores 72, 73, 123, 149, 167, 168
Conversão binário decimal 35
Conversão de base numérica 21, 34
Conversão decimal binário 36
Conversão decimal hexadecimal 37
conversão de um número do sistema binário 35
Converter 21, 23, 24, 33, 34, 36, 50, 67, 74, 154
Corrente alternada 13, 74, 75, 77, 131, 137, 149, 150, 151, 155, 174
Corrente contínua 74, 76, 77, 103, 106, 149
Corrente elétrica 70
Cosseno 52, 53
Coulomb 22, 60, 62, 67, 163
Curto circuito 113, 115, 116, 117
D
Diagrama de fasores 138, 139, 141, 143
Diferença de potencial 68, 69, 89, 92, 93, 94, 104, 106, 107, 110, 129
Divisor de corrente 109
Divisor de tensão 109
Divisores de tensão e corrente 109
E
Eletroimãs 171
Eletromagnetismo 150, 163, 166, 179
Eletrostática 59, 63, 64
Equação 38, 39, 42, 43, 44, 46, 49, 61, 76, 87, 88, 90, 94, 96, 97, 99, 100, 104, 107, 108, 124, 125, 128,
139, 142, 143, 157
Equação linear 38
Equações exponenciais 46
F
Fontes de energia 59, 73
Força eletromotriz 74
Fórmula de Báskara 44
Função cosseno 52, 53
Função de 2º grau 43, 44
Função exponencial 45
Função linear 41, 42
Função logarítmica 46, 47
Função seno 51, 52
Função tangente 53, 54
Funções de 1º grau, 2º grau, exponencial, logarítmica e trigonometricas 41
G
Gráfico 29, 41, 43, 47, 88, 138, 139, 140, 147, 150, 151, 153, 157
Grandezas elétricas 59, 68
I
Impedância 143, 144, 145, 149, 157, 158, 159
Indutância 124, 125, 126, 127, 128, 154
Indutores 123, 125, 179
Instrumentos de medidas 59, 77
Isolantes 72
K
Kirchhoff 87, 91, 92, 93, 94, 95, 97, 98, 99, 101, 104, 106, 107
L
Lei de Coulomb 67
Lei de Kirchhoff 92
Lei de Ohm 75, 79, 87, 88, 105, 107, 138, 156
Leis de Kirchhoff 87, 91, 92, 94, 97, 101
Logaritmo 46, 47
M
Magnetismo 163
Magnetismo e eletromagnetismo 163
Medição da resistência 79
Medição de corrente 77
Medição de tensão 78
Medição por meio de multímetro digital 80
Multímetro 80, 81
Multímetro digital 80
Múltiplos e submúltiplos 21, 32
N
Números decimais 29, 31, 36, 37, 56
Números fracionários 25
O
Ohm 71, 75, 79, 87, 88, 105, 107, 131, 138, 143, 145, 149, 156
Ohmímetro 71, 80
Operação com frações 28
Operações aritméticas com potências de dez 24
Operações com números decimais 31
Osciloscópio 82, 83
P
Potência de base dez 21
Potência e energia elétrica 59, 75
Potência elétrica 75
Prefixos métricos 32
Princípios de eletrostática 63
Propriedades de potenciação 46
Propriedades dos logarítmos 48
R
Reatância capacitiva 131
Reatância indutiva 124, 125, 137, 138, 145, 154, 155, 158
Redução de frações ao mesmo denominador 27
Regra da mão direita 167, 169, 170, 171
Relações trigonométricas 21, 55, 56
Relações trigonométricas de ângulos 56
Representação fasorial 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 147, 148
Representação gráfica de funções 21, 51
Resistência 71, 72, 73, 104, 107
Resistência elétrica 13, 33, 49, 71, 72, 73, 79, 80, 87, 88, 108
Resistência equivalente 92, 104, 105, 106, 108, 109, 110, 111, 112, 115, 116, 117, 118
Resistência equivalente de associação paralela 107
Resistência específica 72
Resistores em paralelo 90, 91
Resistores em série 89
Ressonância 157, 158, 159
S
Seno 51, 52, 53, 56, 149
Senóide 52
Sistema de numeração binário 35
Sistema de numeração hexadecimal 36
Sistema linear 37, 39
T
Tangente 53, 54, 56, 88
Tensão e corrente alternada 150, 151
Tensão elétrica 68
Teorema da superposição 112, 113
Teorema de Norton 117, 118, 119
Teorema de Pitágoras 51, 55, 143
Teorema de Thévenin 115, 116
Transformadores 75, 78, 79, 149, 163, 173, 175
Trigonometria básica 49
V
Valor eficaz 151
Voltímetro 69, 79, 80, 81
SENAI – DEPARTAMENTO NACIONAL
Unidade de Educação Profissional e Tecnológica – UNIEP
Rolando Vargas Vallejos
Gerente Executivo
Felipe Esteves Morgado
Gerente Executivo Adjunto
Diana Neri
Coordenação Geral do Desenvolvimento dos Livros
SENAI – DEPARTAMENTO REGIONAL DO RIO GRANDE DO SUL
Claiton Oliveira da Costa
Coordenação do Desenvolvimento dos Livros no Departamento Regional
Jorge Luis Cardozo
Rosano Daniel Nunes
Elaboração
Giancarllo Josias Soares
Revisão Técnica
Enrique S. Blanco
Fernando R. G. Schirmbeck
Luciene Gralha da Silva
Maria de Fátima R.de Lemos
Design Educacional
Regina M. Recktenwald
Revisão Ortográfica e Gramatical
Camila J. S. Machado
Rafael Andrade
Ilustrações
Bárbara V. Polidori Backes
Tratamento de imagens e Diagramação
Enilda Hack
Normalização
i-Comunicação
Projeto Gráfico