Guía de reforzamiento
Conceptos básicos de Mecánica para el
análisis del movimiento
Preparado por:
Sing-hi Wang Molina
2022
Contenido
1.
INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................ 3
2.
UNIDADES DE MEDIDA ................................................................................................................ 4
2.1.
Unidades del Sistema Internacional ......................................................................................... 4
2.2.
Conversión de unidades .......................................................................................................... 4
2.2.1.
3.
4.
Ejercicios de práctica ........................................................................................................ 7
VECTORES .................................................................................................................................... 8
3.1.
Componentes de un vector ...................................................................................................... 8
3.2.
Notación vectorial .................................................................................................................... 8
3.3.
Cálculos con vectores. ............................................................................................................. 9
3.3.1.
Determinación del módulo o magnitud de un vector. ........................................................ 9
3.3.2.
Determinación del ángulo de un vector ........................................................................... 10
3.3.3.
Descomposición vectorial ............................................................................................... 12
3.3.4.
Suma de vectores........................................................................................................... 13
3.3.5.
¿Por qué es útil conocer cómo realizar cálculos con vectores? ...................................... 14
CINEMÁTICA ............................................................................................................................... 15
4.1.
Cinemática lineal ................................................................................................................... 15
4.2.
Conceptos básicos en cinemática:......................................................................................... 16
4.2.1.
Sistema de referencia ..................................................................................................... 16
4.2.2.
Posición .......................................................................................................................... 16
4.2.3.
Movimiento y reposo....................................................................................................... 16
4.2.4.
Trayectoria ..................................................................................................................... 17
4.2.5.
Desplazamiento .............................................................................................................. 17
4.2.6.
Rapidez media................................................................................................................ 19
4.2.7.
Velocidad media ............................................................................................................. 19
4.2.8.
Rapidez y velocidad instantánea .................................................................................... 20
4.2.9.
Aceleración media .......................................................................................................... 20
4.2.10. Ejercicios de práctica ...................................................................................................... 22
4.3.
5.
Cinemática rotacional ............................................................................................................ 22
4.3.1.
Conceptos básicos del movimiento circular uniforme:..................................................... 23
4.3.2.
Ejercicio de práctica........................................................................................................ 27
DINÁMICA .................................................................................................................................... 28
5.1.
Fuerza ................................................................................................................................... 28
5.1.1.
Ejercicio de práctica........................................................................................................ 30
1
5.2.
Algunas fuerzas de la naturaleza ........................................................................................... 30
5.2.1.
Peso ............................................................................................................................... 30
5.2.2.
Normal ............................................................................................................................ 31
5.2.3.
Fricción o Roce............................................................................................................... 32
5.2.4.
Fuerza elástica ............................................................................................................... 34
5.2.5.
Tensión........................................................................................................................... 35
5.2.6.
Ejercicio de práctica........................................................................................................ 35
5.3.
Leyes de Newton ................................................................................................................... 36
5.3.1.
Diagrama de cuerpo libre (DCL) ..................................................................................... 37
5.3.2.
Análisis de fuerzas usando DCL ..................................................................................... 38
5.3.3.
Ejercicio de práctica:....................................................................................................... 41
6.
SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE PRÁCTICA ................................................................. 42
7.
REFERENCIAS ............................................................................................................................ 43
8.
ANEXO: ........................................................................................................................................ 44
8.1.
Uso de la calculadora científica ............................................................................................. 44
2
1. INTRODUCCIÓN
La Física está compuesta de varias áreas del conocimiento, entre las que está la Mecánica, la cual
estudia las leyes de movimiento de los cuerpos. Esta rama de la Física, a su vez, se divide en Cinemática
y Dinámica, la primera describe el movimiento, mientras que la segunda, se enfoca en las causas que
lo provocan.
El cuerpo humano es una máquina altamente sofisticada, compuesta de una variedad de subsistemas.
Y, al igual que un objeto, debe seguir las leyes convencionales de la Física.
En el marco de la kinesiología se estudia un conjunto de procedimientos terapéuticos encaminados a
restablecer la normalidad de los movimientos del cuerpo humano. Por lo tanto, como futuros
profesionales de esta disciplina, resulta relevante el desarrollo del pensamiento lógico y la capacidad de
resolver problemas en el ámbito físico-mecánico.
En esta guía de reforzamiento se presentan, de manera resumida, aspectos esenciales como son las
unidades de medida y el cálculo vectorial, así como los conceptos básicos de la Mecánica, con el
propósito de reforzar herramientas matemáticas, geométricas y físicas para una adecuada comprensión
y resolución de problemas aplicados a las ciencias de la salud.
3
2. UNIDADES DE MEDIDA
Al momento de observar un fenómeno es posible investigar factores determinantes que lo explican o
describen, a éstos se les llama magnitudes físicas. Para conocer el valor de una determinada magnitud
física se compara con una similar que se elige de forma arbitraria como patrón de referencia, que
llamamos unidad de medida.
2.1.
Unidades del Sistema Internacional
En 1960 se creó el Sistema Internacional (SI) de unidades en la undécima Conferencia General de Pesas
y Medidas, a fin de tener un marco general de unidades de medida que fuesen utilizados a nivel
internacional. Actualmente contamos con siete magnitudes físicas fundamentales, a partir de las cuales
se pueden expresar todas las demás magnitudes físicas. De ellas, las que usaremos en Mecánica son
tres: longitud, tiempo y masa.
Tabla 1. Magnitudes físicas fundamentales en Mecánica y sus unidades de medida en el SI.
Magnitud
Longitud
Tiempo
Masa
Unidad
metro
segundo
kilogramo
Símbolo
m
s
kg
A partir de ellas podemos derivar, por ejemplo, las siguientes unidades:
Tabla 2. Algunas magnitudes físicas derivadas y sus unidades de medida en el SI.
Magnitud
Fuerza
Presión
Energía
Potencia
Unidad
Newton
Pascal
Joule
Watt
Símbolo
N
Pa
J
W
Equivalencia
kg m/s2
N/m2
Nm
J/s
Observa en la Tabla 2 que todas las unidades descritas se puedes representar a partir de las unidades
fundamentales de m, s y kg, sólo que se les ha colocado nombres y símbolos propios para simplificar su
expresión.
2.2.
Conversión de unidades
Si queremos medir la longitud de la pizarra utilizamos una huincha que tiene marcas predeterminadas
que indican, por ejemplo, los metros. Si viajamos de Santiago a Valparaíso, ya no usaremos metros para
expresar la distancia (longitud) recorrida, sino que indicaremos el valor en kilómetros. De esta forma la
unidad de medida que normalmente usaremos dependerá de las dimensiones de lo que estemos
midiendo. Sin embargo, no hay que perder de vista que siempre será posible convertir una unidad en
otra asociada a la magnitud física que estamos estudiando. Por ejemplo, si viajamos por carretera de
4
Santiago a Valparaíso recorreremos 120 km, que son equivalentes a 120 000 metros. Podemos hacer
la conversión porque ambos, kilómetros y metros, son unidades de longitud.
Para hacer correctamente la conversión debemos tener en cuenta el uso de los prefijos para las unidades
de medida (Figura 1). Cada prefijo tiene asociado un factor que es una potencia de diez. Esto nos permite
obtener unidades útiles para diferentes escalas de medición.
Figura 1. Prefijos, abreviaturas y factores utilizados en el SI.
Por ejemplo, a partir de la magnitud de longitud cuya unidad fundamental es el metro, podremos usar
kilómetros, centímetros, milímetros, micrómetros, nanómetros, etc. Si la magnitud es la masa tenemos
kilogramos, centigramos, miligramos, microgramos, etc.
Veamos algunos ejemplos de equivalencias usando los factores de la tabla:
•
1 kilómetro = 103 metros.
•
1 centímetro = 10-2 metros.
•
1 miligramo = 10-3 gramos.
•
1 microgramo = 10-6 gramos.
Para hacer la conversión de unidades, es decir, expresar una magnitud en una unidad de medida
diferente, podemos, por ejemplo, usar la regla de tres considerando los factores indicados en la tabla.
Es importante tener en cuenta que, en cada columna de la regla de tres estén las mismas unidades de
medida.
Ejemplo:
Tenemos un objeto de masa 0,003 gramos (g) y queremos saber el valor en miligramos (mg), entonces,
vemos en la tabla que el prefijo mili corresponde al factor 10-3, y planteamos la regla de tres como sigue:
1 mg
𝑥 mg
10-3 g
0,003 g
5
𝑥=
1 ∙ 0,003
= 3 𝑚𝑔
10−3
Ejemplo:
Realice la conversión de 41,5 centímetros (cm) en metros (m).
En este caso podemos plantear la regla de tres así:
10-2 m
𝑥m
1 cm
41,5 cm
𝑥=
41,5 ∙ 10−2
= 0,415 𝑚
1
Ejemplo:
Realice la conversión de 150 centímetros (cm) en kilómetros (km).
Considerando el prefijo centi, podemos determinar que: 150 𝑐𝑚 = 150 ∙ 10−2 𝑚 = 1,5 𝑚.
En este caso podemos plantear la regla de tres así:
103 m
1,5 m
1 km
𝑥 km
𝑥=
1 ∙ 1,5
= 1,5 ∙ 10−3 𝑘𝑚
103
Ejemplo:
En el caso de unidades más complejas, resulta más práctico utilizar multiplicaciones sucesivas.
Supongamos que debemos convertir 30 km/h en m/s. En este caso hay dos magnitudes físicas: longitud
(medida en km y m) y tiempo (medido en h y s).
Las equivalencias que ocuparemos son:
1 km = 103 m
1 h = 3600 s
Luego planteamos el cálculo de la conversión partiendo del valor conocido y realizando multiplicaciones
sucesivas con las equivalencias anteriores, acomodándolas de tal manera que se puedan simplificar las
unidades, es decir:
30
𝑘𝑚 103 𝑚 1 ℎ
∙
∙
ℎ 1 𝑘𝑚 3600 𝑠
Simplificando:
6
30
𝑘𝑚 103 𝑚 1 ℎ
∙
∙
ℎ 1 𝑘𝑚 3600 𝑠
Finalmente queda lo siguiente:
30 ∙
103 𝑚
1
∙
1
3600 𝑠
Reordenando y calculando:
30 ∙
2.2.1.
103 𝑚
𝑚
∙
= 8,33
3600 𝑠
𝑠
Ejercicios de práctica
Realiza las siguientes conversiones de unidades. Podrás revisar las soluciones en la página 42.
1. 25 (cm) a (km)
2. 6 (h) a (s)
3. 3 (mg) a (kg)
4. 15 (cm/s) a (m/h)
5. 7 (kg m/s2) a (g cm/s2)
7
3. VECTORES
Los vectores son magnitudes que «se dirigen» hacia algún punto. En términos formales, un vector es
una medida de cantidad que posee dirección, sentido y módulo. Todo vector se encuentra representado
por una flecha.
Por ejemplo, se usan vectores para expresar velocidad, fuerza, desplazamiento, entre otros.
En el caso de la velocidad, un vector podría ser 100 km/h en dirección noreste. Entonces se dibujaría
una flecha de módulo 100 km/h apuntando en dirección noreste.
3.1.
Componentes de un vector
La flecha del vector posee los siguientes componentes o características:
•
Longitud del segmento rectilíneo: Representa la magnitud (módulo) del vector. El largo de la
flecha es proporcional a la magnitud y corresponde a una escala dada.
•
El ángulo que el segmento forma con la horizontal: Representa la dirección del vector.
•
La flecha en el extremo final del segmento: Indica el sentido del vector.
Figura 2. Elementos de un vector.
3.2.
Notación vectorial
Los vectores típicamente se designan con una letra y una flecha encima. Por ejemplo: 𝑎⃗.
El vector 𝑎⃗ de la figura puede representarse como:
•
Par ordenado:
𝑎⃗ = (𝑎𝑥 , 𝑎𝑦 )
•
Componentes rectangulares:
𝑎⃗ = 𝑎𝑥 𝑖̂ + 𝑎𝑦 𝑗̂
A continuación, se muestra la representación gráfica del vector 𝑎⃗ y sus componentes rectangulares.
8
Figura 3. Representación de un vector en el plano cartesiano XY (dos dimensiones). La letra griega alfa (α) representa el ángulo existente
entre el eje X y el vector 𝑎⃗.
Se debe tener en cuenta que los vectores se pueden representar también en tres dimensiones. Sin
embargo, por simplicidad en esta guía sólo trabajaremos con vectores en un plano, es decir, en dos
dimensiones.
Figura 4. Representación de un vector en el plano cartesiano XYZ (tres dimensiones).
3.3.
3.3.1.
Cálculos con vectores.
Determinación del módulo o magnitud de un vector.
El módulo o magnitud del vector (largo de la flecha) se puede calcular con la siguiente fórmula:
|𝑎⃗| = √𝑎𝑥 2 + 𝑎𝑦 2
Donde
|𝑎⃗| es el módulo o magnitud del vector 𝑎⃗.
9
𝑎𝑥 es la coordenada en el eje X.
𝑎𝑦 es la coordenada en el eje Y.
Ejemplo:
Determine el módulo del vector u representado en la figura.
Es posible determinar de la figura que la
notación par ordenado del vector es:
u = (3,4)
Usamos la fórmula para determinar el
módulo:
|𝑢| = √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5
Por lo tanto, el módulo del vector u es 5.
Pero ¿qué significa eso? Significa que, si
medimos el largo de la flecha, mide
justamente 5.
Consejo:
La herramienta online Geogebra permite, de manera amigable, trabajar con vectores y funciones matemáticas.
Para utilizarlo visita el enlace: https://www.geogebra.org/calculator
3.3.2.
Determinación del ángulo de un vector
El ángulo de un vector equivale a la dirección del vector, como se muestra en la Figura 2 y Figura 3. En
este caso para determinar el ángulo alfa (𝛼), que tiene el vector con el eje X debemos aplicar fórmulas
trigonométricas.
A continuación, se indican tres maneras de calcular el ángulo alfa (𝛼). Dependiendo de los datos
disponibles podremos usar la función tan−1 , sin−1 o cos −1.
10
𝛼 = tan−1 (
𝑎𝑦
𝑎𝑦
𝑎𝑥
) = sin−1 ( ) = cos −1 ( )
|𝑎⃗|
|𝑎⃗|
𝑎𝑥
Donde
𝛼 es el ángulo del vector (en grados)
𝑎𝑥 es la coordenada en el eje X.
𝑎𝑦 es la coordenada en el eje Y.
|𝑎⃗| es el módulo o magnitud del vector.
Consejo:
Para repasar trigonometría te recomendamos revisar el siguiente enlace:
https://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trigonometry-right-triangles
Para el uso de la calculadora científica con funciones trigonométricas consulta el anexo de esta guía.
Ejemplo:
¿Cuál es el ángulo del vector 𝑎⃗ = (3 , 8)?
En este caso se está indicando el vector en notación par ordenado, por lo tanto 𝑎𝑥 = 3 y 𝑎𝑦 = 8. Entonces
podemos usar la fórmula y reemplazar los datos:
𝛼 = tan−1 (
𝑎𝑦
8
) = tan−1 ( ) = 69, 44°
𝑎𝑥
3
Ejemplo:
Dibuje los siguientes vectores, luego determine sus módulo y ángulos respecto al eje x más cercano:
u = (2,7)
v = (-5,11)
11
Módulo vector u:
|𝑢| = √22 + 72 = √4 + 49 = √53 = 7,28
Ángulo vector u:
7
𝛼 = tan−1 ( ) = 74,05°
2
Módulo vector v:
|𝑢| = √(−5)2 + 112 = √25 + 121 = √146
= 12,08
Ángulo vector v:
𝛼 = tan−1 (
11
) = 65,55°
5
Como puedes notar en el caso del vector v,
donde la coordenada en el eje x es negativa
(-5), usamos paréntesis en el cálculo del
módulo, y colocamos el valor positivo en el
cálculo del ángulo. Para aplicar la
funciones trigonométricas usaremos los
valores positivos.
3.3.3.
Descomposición vectorial
La descomposición vectorial es una operación trigonométrica cuya finalidad es obtener los vectores
componentes en cada eje, a partir del módulo y el ángulo del vector. Para ello aplicamos las fórmulas
siguientes:
𝑎𝑥 = |𝑎⃗|∙ cos 𝛼
𝑎𝑦 = |𝑎⃗|∙ sen 𝛼
A partir de dichos cálculos podremos determinar la notación par ordenado del vector, es decir: 𝑎⃗ =
(𝑎𝑥 , 𝑎𝑦 ). La notación por componentes rectangulares sería 𝑎⃗ = 𝑎𝑥 𝑖̂ + 𝑎𝑦 𝑗̂
Ejemplo:
El módulo de vector 𝑎⃗ es 5, y su ángulo α es de 30°. Determine los componentes en cada eje y escriba
el vector en notación par ordenado y por componentes rectangulares.
Para conocer 𝑎𝑥 y 𝑎𝑦 aplicamos las fórmulas:
𝑎𝑥 = |𝑎⃗|∙ cos 𝛼 = 5 ∙ cos 30° = 4,33
12
𝑎𝑦 = |𝑎⃗|∙ sen 𝛼 = 5 ∙ sen 30° = 2,5
Entonces
𝑎⃗ = (𝑎𝑥 , 𝑎𝑦 ) = (4,33, 2,5) = 4,33 𝑖̂ + 2,5𝑗̂
3.3.4.
Suma de vectores
⃗⃗ = (𝑏1 , 𝑏2 ) se desea obtener el vector resultante de la suma de ellos.
Sean los vectores: 𝐴⃗ = (𝑎1 , 𝑎2 ) 𝐵
Hay varios métodos posibles para sumar vectores, los que se indican a continuación.
•
Suma de vectores por método algebraico
Se suman las coordenadas en X y en Y respectivamente:
Usando notación par ordenado:
⃗⃗ = (𝑎1 + 𝑏1 , 𝑎2 + 𝑏2 )
𝐴⃗ + 𝐵
Usando notación por componentes rectangulares:
⃗⃗ = 𝑎1 𝑖̂ + 𝑎2 𝑗̂ + 𝑏1 𝑖̂ + 𝑏2 𝑗̂ = (𝑎1 + 𝑏1 )𝑖̂ + (𝑎2 + 𝑏2 )𝑗̂
𝐴⃗ + 𝐵
⃗⃗ = (−7 , 4). Entonces 𝐴⃗ + 𝐵
⃗⃗ = (−2 + −7 , 5 + 4) = (−9 , 9) = −9 𝑖̂ + 9𝑗̂
Ejemplo: 𝐴⃗ = (−2 , 5) 𝐵
•
Suma de vectores por el método del polígono
Se realizan los siguientes pasos:
a. El primer vector se dibuja respetando su tamaño, dirección y sentido.
b. Al finalizar el primero, se dibuja el segundo también en su tamaño, dirección y sentido.
c. Se conecta el origen del primer vector con la punta del segundo vector y este será el resultado.
d. La magnitud y dirección del vector resultante se mide directamente sobre la gráfica, obteniendo
valores aproximados.
Este procedimiento se puede extender para más de dos vectores repitiendo el paso 2 hasta que se
dibujen todos los vectores de la suma.
Figura 5. Suma de vectores por el método del polígono.
13
•
Suma de vectores por método del paralelógramo
Sirve para sumar dos vectores. Estos se dibujan desde el mismo origen y se traza un paralelógramo
completando con líneas punteadas (Figura 6). El vector que representa la suma de ambos comienza del
origen y llega al vértice opuesto del paralelógramo. Al igual que en el método anterior la magnitud y
dirección del vector resultante se mide directamente sobre la gráfica, obteniendo valores aproximados.
Figura 6. Suma de vectores por el método del paralelógramo.
Consejo:
Practica cálculos vectoriales a través de la actividad interactiva disponible en:
https://phet.colorado.edu/sims/html/vector-addition/latest/vector-addition_es.html
3.3.5.
¿Por qué es útil conocer cómo realizar cálculos con vectores?
El análisis de vectores mejora el entendimiento del movimiento y las fuerzas que causan dicho
movimiento. Por ejemplo, el efecto de varios músculos ejerciendo sus fuerzas combinadas sobre un solo
hueso también se clarifica cuando se trata cuantitativamente como una combinación (suma) de
cantidades vectoriales para obtener una resultante.
Por ejemplo, en la Figura 7 se representan los vectores fuerza que actúan en distintos puntos del pie,
podremos analizar la fuerza resultante mediante cálculos vectoriales.
Figura 7. Diagrama de cuerpo libre que ilustra las cargas externas en el pie, así como las fuerzas de reacción presentes en el tobillo.
En el capítulo de Dinámica revisaremos ejemplos prácticos aplicando cálculos vectoriales.
14
4. CINEMÁTICA
La cinemática es el área de la Mecánica que describe las características del movimiento, sin tener en
cuenta las causas que lo producen. El movimiento se puede clasificar en dos tipos: traslacional y
rotacional, como se indica en la Figura 8. También se puede dar la combinación de ambos.
Traslacional
Describe la trayectoria
de un cuerpo en línea
recta.
Rotacional
Describe la trayectoria
de un cuerpo que rota
o gira alrededor de un
eje.
Movimiento
Figura 8. Tipos de movimiento.
Debido a que el sistema esquelético está organizado en piezas óseas articuladas, los movimientos de
los huesos van a revestir un carácter rotatorio a través del eje de movimiento ubicado en uno de sus
extremos.
La combinación de movimientos rotatorios puede generar un movimiento de traslación.
4.1.
Cinemática lineal
Tiene en cuenta el estudio del movimiento de un cuerpo que describe una trayectoria en traslación, o en
línea recta.
Dentro de la cinemática lineal podremos encontrar estos casos básicos:
•
Movimiento rectilíneo uniforme (MRU): La velocidad es constante
•
Movimiento rectilíneo uniforme acelerado (MRUA): La velocidad varía con aceleración
constante.
Además de ellos, podemos tener situaciones más complejas donde la aceleración no es constante, es
decir, varía a lo largo del tiempo.
A continuación se explica con mayor detalle de qué trata los conceptos de velocidad, aceleración, así
como otros elementos esenciales de la cinemática.
15
4.2.
4.2.1.
Conceptos básicos en cinemática:
Sistema de referencia
Un sistema de referencia es un conjunto de convenciones usado por un observador para poder medir la
posición y otras magnitudes físicas de un sistema físico y de mecánica. Normalmente lo
representaremos a través de un sistema de coordenadas en dos dimensiones (XY) o en tres dimensiones
(XYZ).
Consejo:
Para repasar el concepto de sistema de referencia te recomendamos revisar el siguiente video
disponible en Youtube.
https://www.youtube.com/watch?v=18F3bqyWBqk&ab_channel=Cinematik3D
4.2.2.
Posición
La posición de un cuerpo es el lugar que ocupa respecto a un sistema de referencia determinado. Se
representa por un vector que une el origen del sistema de coordenadas con dicho cuerpo.
Figura 9. Vector posición (P) en un sistema de coordenadas de tres dimensiones.
4.2.3.
Movimiento y reposo
El movimiento es el cambio de posición que experimenta un cuerpo a través del tiempo en un sistema
de referencia determinado. Cuando un cuerpo no se mueve respecto al sistema de referencia se dice
que está en reposo.
Los conceptos de reposo y movimiento de un cuerpo son relativos, y dependen de su estado con
respecto a otro cuerpo que sirve de referencia. Para entender mejor esta idea, revisa en detalle la Figura
10.
16
Figura 10. El movimiento es relativo, ya que depende del sistema de referencia utilizado.
4.2.4.
Trayectoria
La trayectoria de un cuerpo es la curva imaginaria que va trazando un cuerpo al moverse. La medida de
la trayectoria que describe en un intervalo de tiempo es la distancia recorrida, d. La distancia recorrida
es una magnitud escalar.
4.2.5.
Desplazamiento
El desplazamiento 𝛥𝑥⃗ es el vector que une la posición inicial con la final. Se obtiene como la diferencia
de los vectores posición final (𝑥
⃗⃗⃗⃗⃗)
⃗⃗⃗⃗).
𝑓 y posición inicial (𝑥
𝑖
𝛥𝑥⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑥𝑓 − ⃗⃗⃗⃗
𝑥𝑖
17
Figura 11. Diferencia entre trayectoria (en verde) y desplazamiento (en rojo).
¿Un objeto podría moverse, pero tener un desplazamiento de magnitud cero? Sí, ya que el
desplazamiento es la diferencia entre la posición final e inicial. Si el objeto se mueve, pero vuelve a su
punto de partida entonces su posición inicial y final serían iguales, por ende, el desplazamiento total
tendría magnitud cero, pese a que el objeto realmente se movió. En la vida cotidiana consideramos a
distancia recorrida y el desplazamiento como si fueran sinónimos, pero esto no es así en Física.
•
Ejemplo:
Una persona se mueve en línea recta siguiendo la trayectoria C de la figura. ¿Cuál es fue la distancia
recorrida y su desplazamiento? Asuma que la escala del eje horizontal está en metros (m).
Desarrollo:
Posición inicial: ⃗⃗⃗⃗
𝑥𝑖 = (2,0) = 2 𝑚 𝑖̂ + 0 𝑚 𝑗̂
Posición final: ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑥𝑓 = (10,0) = 10 𝑚 𝑖̂ + 0 𝑚 𝑗̂
Desplazamiento:
18
𝛥𝑥⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑥𝑓 − 𝑥
⃗⃗⃗⃗𝑖 = (10,0) − (2,0) = (8,0) = 8 𝑚 𝑖̂ + 0 𝑚 𝑗̂
Distancia recorrida:
d=8+2+2=12 m
4.2.6.
Rapidez media
Es una magnitud escalar que se calcula dividiendo la distancia recorrida por el tiempo que le tomó al
cuerpo recorrer dicha distancia.
𝑣=
𝑑
𝑡
Donde
𝑣= rapidez media (m/s)
𝑑= distancia (m)
𝑡= tiempo (t)
4.2.7.
Velocidad media
Es una magnitud vectorial que se calcula dividiendo el desplazamiento por el tiempo.
𝑣⃗ =
𝑥𝑓 − ⃗⃗⃗⃗
𝑥𝑖
𝛥𝑥⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
=
𝛥𝑡
𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
Donde
𝑣⃗ = velocidad (m/s). El vector velocidad tiene la misma dirección que el vector desplazamiento.
𝛥𝑥⃗= desplazamiento del objeto entre los puntos ⃗⃗⃗⃗
𝑥𝑖 y ⃗⃗⃗⃗⃗.
𝑥𝑓 Se mide en metros.
𝛥𝑡= tiempo que le toma al objeto moverse entre esos puntos.
En la mayoría de los casos, la convención que escogeremos es elegir la derecha (o arriba) como la
dirección positiva para los vectores y la izquierda (o abajo) como la dirección negativa. Si adoptamos
esta convención, las velocidades de un móvil dirigidas hacia la izquierda son negativas y las velocidades
dirigidas hacia la derecha son positivas.
Por supuesto, no hay nada que nos impida elegir la izquierda como positiva y la derecha como negativa,
siempre y cuando seamos consistentes con nuestra elección. Si escogemos la izquierda como positiva,
todos los signos deben intercambiarse, pero la conclusión general se mantendría.
19
•
Ejemplo:
Considere en el ejemplo anterior que a la persona le tomó 5 segundos completar el recorrido C. ¿Cuál
es su rapidez media? ¿cuál es su velocidad media?
Desarrollo:
Rapidez media:
𝑣=
𝑑 12 𝑚
𝑚
=
= 2,4
𝑡
5𝑠
𝑠
Velocidad media:
𝑣⃗ =
𝛥𝑥⃗ 8 𝑚 𝑖̂
𝑚
=
= 1,6 𝑖̂
𝛥𝑡
5𝑠
𝑠
Note en este ejemplo que las magnitudes de la rapidez y la velocidad son diferentes, esto es porque la
rapidez considera la distancia total recorrida, mientras que la velocidad considera el desplazamiento. La
velocidad media es positiva porque el desplazamiento es hacia la derecha y utilizamos la convención de
signos antes explicada.
4.2.8.
Rapidez y velocidad instantánea
Cuando viajamos en un vehículo, normalmente la aguja del velocímetro (espidómetro o rapidómetro) no
señala una rapidez constante. La rapidez en cualquier instante se denomina rapidez instantánea. Si a
esto agregamos la dirección y sentido del movimiento llegamos a la velocidad instantánea.
Esto se puede determinar para cualquier objeto, o cuerpo en movimiento.
4.2.9.
Aceleración media
Si un móvil está viajando a cierta velocidad y luego de cierto tiempo la cambia (en magnitud, dirección o
sentido), se dice que ha sufrido una aceleración.
𝑎⃗ =
𝑣𝑓 − ⃗⃗⃗⃗
𝑣𝑖
𝛥𝑣⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
=
𝛥𝑡
𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
Donde
𝑎⃗ = aceleración (m/s2). El vector aceleración apunta en la misma dirección que el cambio de
velocidad 𝛥𝑣⃗.
𝛥𝑣⃗= variación de velocidad. Se mide en m/s.
𝛥𝑡= tiempo que le toma al objeto variar su velocidad.
A continuación, revisa las aceleraciones en la Figura 12, en donde un automóvil accidentalmente se
mete al lodo (que lo hace disminuir su rapidez) o persigue una dona (que lo hace aumentar su rapidez).
20
Si suponemos que ir hacia la derecha tiene signo positivo, la velocidad es positiva siempre que el
automóvil se mueva hacia la derecha, y la velocidad es negativa siempre que el automóvil se mueva
hacia la izquierda. La aceleración apunta en la misma dirección que la velocidad si el automóvil está
aumentando su rapidez, y apunta en la dirección contraria si el automóvil está disminuyendo su
rapidez. Es decir que cuando la velocidad y la aceleración apuntan en la misma dirección (es decir,
tienen el mismo signo), el automóvil estará aumentando su rapidez, y cuando la velocidad y la
aceleración apuntan en direcciones opuestas (es decir, tienen signos contrarios) el automóvil
estará disminuyendo su rapidez.
Figura 12. Convención de signos de velocidad y aceleración.
•
Ejemplo:
Un auto se mueve hacia la derecha sobre el eje x con una rapidez de 5m/s; al cabo de 10s se mueve
hacia la izquierda con una rapidez de 5m/s. ¿Cuál es la aceleración media del auto? Responde usando
un sistema de coordenadas en donde la dirección hacia la derecha sea positiva.
Desarrollo:
Identificamos primero las velocidades considerando la convención de signos (moverse a la derecha es
signo + y moverse a la izquierda es signo -)
𝑣𝑖 = +5
⃗⃗⃗⃗
𝑚
𝑖̂
𝑠
𝑣𝑓 = −5
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑚
𝑖̂
𝑠
21
Reemplazamos en la fórmula de aceleración media:
𝑚
𝑚
𝑚
𝛥𝑣⃗ −5 𝑠 𝑖̂ − +5 𝑠 𝑖̂ −10 𝑠 𝑖̂
𝑚
𝑎⃗ =
=
=
= −1 2 𝑖̂
𝛥𝑡
10 𝑠
10 𝑠
𝑠
4.2.10.
Ejercicios de práctica
1. Si un cuerpo se encuentra en la posición (1,2) y transcurridos 2 segundos se encuentra en la
posición (1,-2). ¿Cuál será su velocidad media durante el movimiento considerando que todas
las unidades pertenecen al Sistema Internacional?
2. Un auto de carrera atraviesa la meta y el piloto frena. A los 9 s de aplicados los frenos la velocidad
del auto es de 25 m/s î, a los 14 s es de 12 m/s î. Determine la aceleración media del auto.
4.3.
Cinemática rotacional
El Movimiento Circular Uniforme (MCU) corresponde al movimiento de un cuerpo que gira equidistante
a un punto fijo, describiendo una trayectoria circular, es decir, recorre ángulos iguales en tiempos iguales.
En la Figura 13 se muestra cómo varía el vector posición y el ángulo en un movimiento circular. En un
tiempo inicial t=0 el cuerpo se encuentra en la posición P0 formando un ángulo θ0 con respecto al eje X.
En el tiempo t, el cuerpo se encuentra en la posición P, formando un ángulo θ con el eje X. Durante el
movimiento entre P0 y P el cuerpo ha barrido un ángulo θ - θ0. En esta figura:
θ0 es la posición angular inicial del cuerpo.
θ0 es la posición angular final del cuerpo.
θ - θ0 es el desplazamiento angular del cuerpo en el tiempo t.
Figura 13. Variación del ángulo y vector posición en MCU.
22
En el cuerpo humano, cada segmento está unido a su adyacente dando forma a las articulaciones, que
son puntos fijos sobre los que tienen lugar los cambios de posición (o rotación) de los segmentos. Por
lo tanto, resulta útil tener nociones básicas sobre cómo se describe el movimiento circular en Física.
Figura 14. Tipos de articulaciones en el cuerpo humano.
4.3.1.
•
Conceptos básicos del movimiento circular uniforme:
Ángulo
En Física para medir ángulos se usa una unidad llamada radián. Para transformar ángulos de grados a
radianes se utiliza la siguiente fórmula:
𝑅𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 =
𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 ∙ 𝜋
180
En la Figura 15 se muestra la equivalencia entre grados y radianes. Por ejemplo 180° equivale a π
radianes.
23
Figura 15. Equivalencia entre grados y radianes.
•
Periodo
El período (T) es el tiempo que tarda una partícula/cuerpo en dar una vuelta completa respecto a un
punto o eje de rotación. Por ejemplo, la Tierra demora 365 días en dar una vuelta completa en torno al
Sol, por lo tanto, su período de traslación T, es de 365 días. En el SI se mide en segundos (s).
•
Frecuencia
La frecuencia (f) es una magnitud que mide el número de vueltas o de revoluciones por unidad de tiempo
de cualquier fenómeno periódico. En el SI se mide en Hertz (Hz)
•
Velocidad angular y velocidad tangencial
En la Figura 16 se muestra el movimiento circular de una partícula P. Su posición se indica con el vector
𝑟⃗, que tiene como origen el centro de la circunferencia (O). En el movimiento circular se definen dos tipos
de velocidades: la velocidad angular es un vector representado por 𝜔
⃗⃗, mientras que la velocidad
tangencial es el vector 𝑣⃗. Notar que 𝜔
⃗⃗ es perpendicular al plano donde ocurre el movimiento.
Figura 16. Representación de los vectores de posición, velocidad tangencial y velocidad angular.
24
Figura 17. Cálculo de la velocidad angular y la velocidad tangencial.
Si bien en los movimientos de rotación todas las partículas recorren un mismo ángulo durante un mismo
período de tiempo; la distancia recorrida por cada una de ellas va a ser mayor cuanto más lejos del
centro de rotación se ubiquen. Para entender mejor esta idea, revisemos el siguiente ejemplo.
•
Ejemplo:
En la Figura 18 se presenta el movimiento de abducción, y a su lado hay una representación simplificada
del movimiento utilizando pelotas de colores: azul y roja, que se mueven en torno a un eje de rotación,
que en este caso corresponde al hombro. La pelota roja señala la posición del codo y la pelota azul
indica la posición de la mano.
Suponiendo que en el movimiento de abducción ambas pelotas se mueven al mismo tiempo y
describiendo el mismo ángulo (en sentido antihorario), entonces, tendrían la misma velocidad angular.
Sin embargo, la pelota azul (mano), al encontrarse más lejos del eje de rotación (hombro) describe un
arco de mayor longitud, por ende, su velocidad tangencial es mayor que la de la pelota roja (codo).
d1
d2
Figura 18. Representación simplificada del movimiento circular que ocurre durante la abducción
Para el ejemplo consideremos los siguientes datos para un adulto:
Longitud hombro – codo (d1) = 30 cm = 0,3 m
Longitud hombro – mano (d2) = 65 cm = 0,65 m
25
Si durante la abducción, la mano y el codo se mueven por 2 segundos describiendo un ángulo de 60°.
Determine:
a. Magnitud de las velocidades angulares de la mano y el codo.
b. Magnitud de las velocidades tangenciales de la mano y el codo.
Desarrollo:
a) Velocidad angular: Si mano y hombro se mueven al mismo tiempo describiendo el mismo ángulo
tendrían la misma velocidad angular.
Transformamos el ángulo de 60° a radianes:
𝜃=
60 ∙ 𝜋
= 1,05 𝑟𝑎𝑑
180
Por lo tanto, la velocidad angular sería:
𝜔
⃗⃗ =
𝜃 1,05 𝑟𝑎𝑑
𝑟𝑎𝑑
=
= 0,525
𝑡
2𝑠
𝑠
b) Para el cálculo de la velocidad tangencial necesitamos primero determinar el periodo (T). Si se
describen 60° en 2 segundos entonces una rotación completa (360°) se realizaría en 12
segundos (=360°/60° x 2).
Luego reemplazamos los datos en la fórmula:
Mano:
𝑣⃗ =
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅 2 ∙ 𝜋 ∙ 0,65 𝑚
𝑚
=
= 0,34
𝑇
12 𝑠
𝑠
𝑣⃗ =
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅 2 ∙ 𝜋 ∙ 0,30 𝑚
𝑚
=
= 0,157
𝑇
12 𝑠
𝑠
Codo:
Recuerda:
La abducción es un movimiento que se realiza en el plano coronal, en articulaciones proximales de las
extremidades inferiores y superiores, con el objetivo de alejarlas de la línea media. Por lo tanto, es una
posición que nos permite conseguir objetos que se encuentran más distanciados de nosotros. Esta,
además, tiene un movimiento contrario, que es llamado aducción.
26
4.3.2.
Ejercicio de práctica
1. Considere los siguientes datos para un infante:
Longitud hombro – codo (d1) = 10 cm
Longitud hombro – mano (d2) = 25 cm
Si durante la abducción, la mano y el codo se mueven por 3 segundos describiendo un ángulo
de 70°. Determine:
a) Magnitud de las velocidades angulares de la mano y el codo.
b) Magnitud de las velocidades tangenciales de la mano y el codo.
27
5. DINÁMICA
Las fuerzas (tanto internas como externas) que producen el movimiento siguen los preceptos
provenientes de la física mecánica. La rama de la Mecánica encargada del estudio de dichas fuerzas
que causan el movimiento se denomina Dinámica.
Los movimientos del cuerpo humano se deducen desde la estructura o la función básica de cada sistema
en movimiento (esqueleto, articulaciones, tendones, músculos, etc.), aplicando conceptos que provienen
de la fisiología y de la física mecánica.
5.1.
Fuerza
Levantar un cuerpo y empujar un objeto son actividades que requieren un esfuerzo muscular. En Física
este hecho se explica diciendo que es necesario ejercer una fuerza. Se pueden mencionar muchos
ejemplos de fuerzas: un resorte tensionado ejerce fuerza sobre los cuerpos sujetos a sus extremos, el
aire comprimido ejerce fuerza sobre las paredes del recipiente que lo contiene, la Tierra ejerce una
fuerza sobre los cuerpos próximos a su superficie, etc.
Las fuerzas son cantidades vectoriales y por lo tanto para describirlas es necesario indicar la magnitud
y la dirección. En el Sistema Internacional la unidad de medida de fuerza es el Newton (N).
Cuando varias fuerzas actúan sobre un mismo cuerpo se puede hallar la fuerza resultante como la
suma de los vectores que representan a cada una de las fuerzas que actúan sobre éste.
•
Ejemplo:
Un paciente con una luxación en un hombro es colocado en un aparato de tracción como el que se ilustra
⃗⃗ tienen magnitudes iguales y deben combinarse para producir una fuerza
en la figura. Los tirones 𝐴⃗ y 𝐵
de tracción hacia fuera de 5,6 N. ¿De qué magnitud deben ser estos tirones?
28
Desarrollo:
⃗⃗ para ello el siguiente diagrama ayudará a la
Necesitamos realizar la descomposición vectorial de 𝐴⃗ y 𝐵
comprensión del ejercicio:
Aplicamos las fórmulas para descomposición vectorial:
𝐴𝑥 = |𝐴⃗|cos α
𝐴𝑦 = |𝐴⃗|sen α
⃗⃗|cos α
𝐵𝑥 = |𝐵
⃗⃗|sen α
𝐵𝑦 = -|𝐵
Notar que colocamos un signo negativo a 𝐵𝑦 , ya que la componente vertical de dicho vector tiene
coordenada negativa respecto a nuestro sistema de referencia.
⃗⃗ obtendremos un vector horizontal que apunta a la derecha y llamaremos 𝐶⃗.
Si sumamos 𝐴⃗ + 𝐵
⃗⃗ = 𝐶⃗ = 5,6 𝑁 𝑖̂ + 0 𝑁 𝑗̂
Luego se tiene que 𝐴⃗ + 𝐵
⃗⃗| = 𝑐
Además, como los módulos de los tirones son iguales llamaremos |𝐴⃗| = |𝐵
⃗⃗ = 𝐴𝑥 𝑖̂ + 𝐴𝑦 𝑗̂ + 𝐵𝑥 𝑖̂ + 𝐵𝑦 𝑗̂ = (𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 )𝑖̂ + (𝐴𝑦 + −𝐵𝑦 )𝑗̂
𝐴⃗ + 𝐵
⃗⃗ = (𝑐 ∙ cos α + 𝑐 ∙ cos α )𝑖̂ + (𝑐 ∙ cos α − 𝑐 ∙ cos α )𝑗̂
𝐴⃗ + 𝐵
⃗⃗ = 2𝑐 ∙ cos α 𝑖̂ + 0 𝑗̂ = 5,6 𝑁 𝑖̂ + 0 𝑁 𝑗̂
𝐴⃗ + 𝐵
Igualamos los términos para 𝑖̂ y reemplazamos el valor del ángulo:
2𝑐 ∙ cos α = 5,6 𝑁
29
2𝑐 ∙ cos 32° = 5,6 𝑁
Despejando c
𝑐=
5,6 𝑁
= 3,3 𝑁
2 ∙ cos 32°
Por lo tanto, los tirones A y B deben tener magnitud 3,3 N.
5.1.1.
Ejercicio de práctica
1. El hueso de la cadera H (hueso coxal) se conecta con el fémur F en A mediante tres músculos
diferentes, que ejercen sobre el fémur las fuerzas que se ven en la figura. Determine la fuerza
resultante sobre el fémur y especifique su ángulo medido en el sentido contrario de las manecillas
del reloj a partir de la parte positiva del eje x.
5.2.
Algunas fuerzas de la naturaleza
A continuación, se describen algunas fuerzas que aparecen frecuentemente en el estudio de la
Mecánica.
5.2.1.
Peso
Es la fuerza que la Tierra ejerce sobre los cuerpos. El peso del objeto es igual a su masa (m) multiplicado
por la aceleración de gravedad (𝑔⃗) en ese lugar. Es decir:
𝑃⃗⃗ = 𝑚𝑔⃗
30
Donde
𝑃⃗⃗= peso (N)
m = masa (kg)
𝑔⃗= aceleración de gravedad. En la Tierra es 9,8 m/s2
Si tenemos en cuenta la convención inicial para magnitudes vectoriales en la dirección del eje Y el peso
es un vector de magnitud mg y dirección negativa con respecto al eje Y.
5.2.2.
Normal
La normal es una fuerza perpendicular a la superficie sobre la que se apoya un cuerpo y actúa sobre
⃗⃗. Por ejemplo, al apoyar nuestros pies sobre el suelo, este ejerce
éste generalmente se nota como 𝑁
sobre ellos una fuerza normal perpendicular a la superficie (Figura 19).
Figura 19. Fuerza normal.
En la Figura 20 se muestra cómo debería representarse la fuerza normal y el peso si el objeto está
apoyado en una superficie horizontal o inclinada. Si bien la fuerza peso siempre se dirige verticalmente
hacia abajo, la fuerza normal se representa formando un ángulo de 90° con la superficie.
Ten en cuenta que en algunos casos no existe una fuerza normal, por ejemplo, si un objeto está colgando
⃗⃗ no existe.
de una cuerda y no está apoyado en una superficie entonces 𝑁
31
Figura 20. Fuerzas Peso y Normal sobre un bloque apoyado en una superficie horizontal (izquierda) y un bloque apoyado en una superficie
inclinada (derecha).
5.2.3.
Fricción o Roce
La fricción o roce se manifiesta como una resistencia al movimiento debido a la interacción de contacto
del objeto con el medio que lo rodea. Las fuerzas de fricción son muy importantes en la vida diaria ya
que nos permiten caminar, sostener objetos, etc.
Existen dos tipos de fuerza de roce:
•
Fuerza de roce estático ⃗fs
Cuando el cuerpo está en reposo, la fuerza de roce estático es una fuerza variable, que equilibra las
fuerzas que tienden a poner en movimiento al cuerpo. No tiene un valor único, pero sí un valor límite
(máximo).
𝑓⃗𝑠 = 𝜇𝑠 ⋅ 𝑁
Donde:
𝜇𝑠 : Coeficiente de roce estático.
N: Fuerza normal.
•
Fuerza de roce cinético ⃗f𝑘
Cuando un cuerpo está en movimiento, en la zona de contacto entre el móvil y la superficie actúa la
fuerza de roce cinético.
𝑓⃗𝑘 = 𝜇𝑘 ⋅ 𝑁
Donde:
𝜇𝑘 : Coeficiente de roce cinético.
N: Fuerza normal.
32
Es importante destacar que hasta que no empiece el movimiento de un cuerpo el valor de la fuerza de
roce no tiene un valor fijo, pero siempre será menor que 𝜇𝑠 ⋅ 𝑁. En el instante en el que se vence esa
resistencia al movimiento, la fuerza de roce toma su valor máximo (𝜇𝑠 ⋅ 𝑁) y cuando ya están en
movimiento la fuerza de rozamiento vale 𝜇𝑘 ⋅ 𝑁. En la Figura 21 se ilustra este hecho.
Figura 21. Evolución de la fuerza de roce, desde la zona estática (objeto en reposo) hasta la zona cinética (objeto en movimiento).
Imaginemos la siguiente situación para comprender mejor ambos tipos de fuerzas de roce. Supongamos
que vas con un grupo de tres amigos en un auto y este queda en pana en la carretera, por lo que deberán
empujarlo hacia la berma. Primero sólo uno de los amigos comienza a empujar, no logra mover el auto,
porque la fuerza que aplica no es suficiente para vencer la fuerza de roce estático (𝜇𝑠 ⋅ 𝑁), luego se
suman los otros dos amigos quienes empujan con todas sus fuerzas. El momento que logran vencer el
roce estático (𝜇𝑠 ⋅ 𝑁) el auto comienza a moverse, por lo que la fuerza de roce ahora es el cinético (𝜇𝑘 ⋅
𝑁), que normalmente es menor que el estático, como se observa en la figura anterior, por eso se percibe
que es más fácil empujar el auto cuando ya está en movimiento.
Recuerda:
En ocasiones debemos reducir la fuerza de roce para facilitar el movimiento; por ejemplo, se emplean
lubricantes en el caso del aceite en los motores para reducir el desgaste de las piezas en contacto. El
cuerpo humano posee su propio sistema interno para reducir la fricción. Por ejemplo, en todas las
articulaciones hay cartílago, que está formado por dos partes: una externa y otra interna (Figura 22).
Esta última está formada por la membrana sinovial. La membrana sinovial es como una bolsa que
envuelve la articulación por la parte interior y segrega el líquido sinovial que reduce el roce entre los
cartílagos de cada hueso, por lo que son más fáciles y suaves los movimientos de la articulación.
33
Figura 22. Anatomía de una articulación.
5.2.4.
Fuerza elástica
Normalmente se refiere a la fuerza que ejerce un resorte sobre un cuerpo y cuya magnitud depende de
qué tan estirado o comprimido esté el resorte. En el lenguaje cotidiano se habla con frecuencia de
resortes duros o blandos según se requiere una fuerza grande o pequeña para estirarlos o comprimirlos
una determinada longitud. En ciertas condiciones, la fuerza es proporcional a la longitud del estiramiento
o de compresión, y actúa en dirección contraria. En términos matemáticos esto se expresa mediante la
fórmula que corresponde a la ley de Hooke:
𝐹⃗𝑒 = 𝑘 ⋅ 𝛥𝑥 = 𝑘(𝑥1 − 𝑥0 )
k es la constante elástica del resorte, que relaciona fuerza y alargamiento. Mientras que 𝑥0 es el largo
inicial del resorte y 𝑥1 el largo final del resorte.
Cuanto mayor es el valor de k, más trabajo costará estirar el resorte.
Figura 23. Fuerza elástica en un resorte.
34
5.2.5.
Tensión
Es la fuerza que una cuerda (considerada flexible y de masa despreciable) ejerce sobre los cuerpos
⃗⃗ y se representa como un vector dirigido a lo largo de la
atados a sus extremos. Suele notarse como 𝑇
cuerda. Una cuerda ideal es inextensible, es decir no sufre deformaciones por acción de la fuerza.
Recuerda:
Los tendones tienen una alta resistencia a la tracción y se doblan bajo compresión, por lo que tienen
un comportamiento similar a una cuerda. La función de los tendones es transferir la fuerza desde el
músculo al hueso para producir el movimiento de la articulación.
A diferencia de una cuerda ideal los tendones presentan un comportamiento viscoelástico, lo que
quiere decir que frente a la deformación presenta un comportamiento intermedio entre un material
viscoso y un material elástico. Por consiguiente, las tensiones y esfuerzos que es capaz de resistir
dependen tanto del grado de deformación como de la velocidad de deformación. Como consecuencia,
a medida que se le aplica una tensión mayor a un tendón, éste se elonga hasta un punto de falla en el
cual se corta, pero esta resistencia es dependiente de la velocidad con que se realice la tensión.
5.2.6.
Ejercicio de práctica
1. La figura muestra la forma que tiene el tendón del cuádriceps al pasar por la rótula. Si la tensión
del tendón es 1372 N, ¿cuál es (a) el módulo y (b) la dirección de la fuerza de contacto Fc ejercida
por el fémur sobre la rótula?
35
5.3.
Leyes de Newton
Las leyes enunciadas por Isaac Newton, y consideradas como las más importantes de la mecánica
clásica, son tres:
•
Primera ley (la ley de inercia).
•
Segunda ley (relaciona fuerza y aceleración).
•
Tercera ley (ley de acción y reacción).
Newton planteó que todos los movimientos se atienen a estas tres leyes principales, formuladas en
términos matemáticos. Revisemos a continuación cada una de ellas.
La primera ley de Newton establece que un cuerpo sobre el que no actúan fuerzas o sobre el cual la
suma de las fuerzas aplicadas (fuerza neta) sea cero se moverá con velocidad constante o estará en
reposo.
La segunda ley de Newton establece que si la fuerza neta aplicada a un cuerpo de masa m es 𝐹⃗𝑛𝑒𝑡𝑎 ,
dicho cuerpo se moverá con aceleración 𝑎⃗ y se cumple la relación:
𝐹⃗𝑛𝑒𝑡𝑎 = ∑ 𝐹⃗ = 𝑚 ∙ 𝑎
∑ 𝐹⃗ es la representación matemática de sumatoria de fuerzas, es decir, el vector resultante de sumar
todas las fuerzas ejercidas sobre el cuerpo.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
La tercera ley de Newton establece que si un cuerpo 1 ejerce sobre un cuerpo 2 una fuerza 𝐹
12 , este
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
cuerpo 2 ejerce su vez una fuerza 𝐹
21 sobre el cuerpo 1 y estas fuerzas son iguales en magnitud y
opuestas en dirección:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹
12 = −𝐹21
Es importante resaltar que estas dos fuerzas se caracterizan porque:
a. Tienen la misma magnitud.
b. Tienen direcciones opuestas.
c. Actúan sobre cuerpos diferentes.
d. Una de las fuerzas se denomina de acción y la otra de reacción.
Recuerda:
El valor de la fuerza normal depende de las condiciones de cada problema y su valor se determina
aplicando la segunda ley de Newton en el eje correspondiente. No es la reacción al peso, ya que el
peso está ejercido por la Tierra sobre el cuerpo y la normal es ejercida por la superficie sobre la que
se apoya. Sólo bajo ciertas condiciones el módulo de ambas fuerzas coincide.
36
5.3.1.
Diagrama de cuerpo libre (DCL)
Es una representación visual y gráfica de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo en estudio. Es una
gran herramienta que nos permite estudiar las fuerzas y analizar problemas.
Cada vez que tengamos que resolver un ejercicio realizaremos el DCL para analizar las fuerzas
presentes. La Figura 24, la Figura 25 y Figura 27 muestran ejemplos de DCL en distintos casos.
Figura 24. Diagrama de cuerpo libre de un bloque apoyado en un plano inclinado y conectado a una masa que cuelga en una polea.
Figura 25. Diagrama de cuerpo libre que representa las fuerzas que afectan la articulación del codo.
Figura 26. Diagrama de cuerpo libre que describe las fuerzas entre el suelo y el pie durante la parte inicial del ciclo de marcha. Las fuerzas
de reacción del suelo (flechas rojas) actúan en sentido superior y posterior, mientras que las fuerzas podales (flechas negras) actúan en
sentido inferior y anterior.
37
5.3.2.
Análisis de fuerzas usando DCL
Para resolver problemas utilizando un DCL, se recomienda seguir los siguientes pasos:
1. Realizar un esquema eligiendo los ejes de coordenadas (X, Y) más convenientes. Se aconseja
que la orientación de los ejes sea tal que coincidan con el mayor número de vectores posibles.
Si el cuerpo está acelerado es aconsejable que un eje sea paralelo a la aceleración.
2. Dibujar las fuerzas sobre cada cuerpo (DCL).
3. Plantear la segunda ley de Newton 𝐹⃗𝑛𝑒𝑡𝑎 = ∑ 𝐹⃗ = 𝑚 ∙ 𝑎 para cada eje y cuerpo que intervenga
en el problema.
4. Resolver ecuaciones. Usando como convención de signos que las fuerzas hacia arriba y hacia
la derecha son positivas y las fuerzas hacia la izquierda y hacia abajo son negativas.
5. Interpretar resultados.
•
Ejemplo:
𝑚
Se desea mover un bloque de madera de masa M = 10 kg para que se mueva con aceleración 2𝑠2 sobre
una superficie sin roce. ¿Cuánta fuerza debo aplicar?
Desarrollo:
Realizamos el DCL del bloque.
El objeto no se mueve respecto al eje Y (vertical), por lo tanto, por primera ley de Newton:
𝐹⃗𝑛𝑒𝑡𝑎(𝑦) = 0 𝑁
El objeto se mueve respecto al eje X (horizontal), ya que nos dicen que hay una aceleración, por lo tanto:
𝐹⃗𝑛𝑒𝑡𝑎(𝑥) ≠ 0 𝑁
38
Usamos la segunda ley de Newton para determinar la fuerza en el eje X:
𝐹⃗𝑛𝑒𝑡𝑎(𝑥) = 𝐹⃗ = 𝑚 ∙ 𝑎
𝐹⃗𝑛𝑒𝑡𝑎(𝑥) = 10 𝑘𝑔 ⋅ 2
•
𝑚
= 20 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛 = 20 𝑁
𝑠2
Ejemplo:
Una lámpara de masa 1,5 kg permanece suspendida mediante un cable que está sujeto al cielo.
¿Cuál es la fuerza de tensión en el cable?
Desarrollo:
Primero realizamos el DCL de la lámpara.
Si el objeto está en reposo, y por primera ley de Newton:
𝐹⃗𝑛𝑒𝑡𝑎(𝑦) = 0 𝑁
𝐹⃗𝑛𝑒𝑡𝑎(𝑥) = 0 𝑁
Planteamos la ecuación para el eje Y (vertical):
⃗⃗ + 𝑃⃗⃗ = 0
𝐹⃗𝑛𝑒𝑡𝑎(𝑦) = 𝑇
Por convención de signos:
𝑇−𝑃 =0
𝑃 = 𝑚𝑔 = 1,5 𝑘𝑔 ∙ 9,8
𝑚
= 14,7 𝑁
𝑠2
Por lo tanto, la fuerza de tensión en el cable es 𝑇 = 14,7 𝑁.
39
•
Ejemplo:
¿Cuál es el DCL de un bloque en movimiento que está apoyado sobre una superficie horizontal y rugosa,
y es tirado hacia la derecha por una cuerda? Señale las fuerzas presentes y determine la aceleración
del bloque anterior si tiene una masa de 10 kg, el coeficiente de roce con la superficie es 0,3 y la tensión
de la cuerda es 30 N.
Desarrollo:
⃗⃗
𝑁
⃗⃗
𝑇
𝑓⃗𝑘
𝑃⃗⃗
⃗⃗ es la fuerza normal, 𝑇
⃗⃗ es la fuerza de tensión con la que se tira el bloque, 𝑓⃗𝑘 es la fuerza de
Donde 𝑁
fricción cinética y 𝑃⃗⃗ es el peso.
Luego, planteamos las ecuaciones de cada eje.
Eje vertical (Y):
⃗⃗ + 𝑃⃗⃗ = 𝑚 ∙ 𝑎𝑦
𝐹⃗𝑛𝑒𝑡𝑎(𝑦) = 𝑁
No hay aceleración en el eje vertical, por lo tanto 𝑎𝑦 = 0
𝑚
𝑠2
⃗⃗ + 𝑃⃗⃗ = 0
𝑁
Por convención de signos:
𝑁 − 𝑚𝑔 = 0
𝑁 = 𝑚𝑔
𝑁 = 10 𝑘𝑔 ∙ 9,8
𝑚
= 98 𝑁
𝑠2
Eje horizontal (X):
⃗⃗ + 𝑓⃗𝑘 = 𝑚 ∙ 𝑎𝑥
𝐹⃗𝑛𝑒𝑡𝑎(𝑥) = 𝑇
40
Por convención de signos:
𝑇 − 𝑓𝑘 = 𝑚 ∙ 𝑎𝑥
Además:
𝑇 = 30 𝑁
𝑓𝑘 = 𝜇𝑘 ⋅ 𝑁 = 0,3 ⋅ 98 N = 29,4 N
Reemplazamos los datos:
30 𝑁 − 29,4 𝑁 = 10 𝑘𝑔 ∙ 𝑎𝑥
0,6 𝑁 = 10 𝑘𝑔 ∙ 𝑎𝑥
Despejamos la aceleración:
𝑎𝑥 =
5.3.3.
0,6 𝑁
𝑚
= 0,06 2
10 𝑘𝑔
𝑠
Ejercicio de práctica:
Una caja de 2,5 kg cuelga en reposo de dos cuerdas aseguradas al techo y a la pared, respectivamente.
Si el ángulo indicado en la figura en 30°. Realice el DCL y determine cuáles son las tensiones T1 y T2
de las cuerdas.
41
6. SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE PRÁCTICA
2.2.1
1. 2,5 ∙ 10−4 𝑘𝑚
2. 21600 𝑠
3. 3 ∙ 10−6 𝑘𝑔
4. 540 𝑚/ℎ
5. 7 ∙ 105 𝑔 𝑐𝑚/𝑠 2
4.2.10
1. 𝛥𝑥⃗ = (0, −4) = −4𝑚 𝑗̂ ; 𝑣⃗ = −2
𝑚
𝑗̂
𝑠
𝑚
2. 𝑎⃗ = −2,6 𝑠2 𝑖̂
4.3.2
1. a) 𝜔
⃗⃗ = 0,407
𝑟𝑎𝑑
𝑠
; b) 𝑣⃗𝑐𝑜𝑑𝑜 = 0,04
𝑚
𝑠
, 𝑣⃗𝑚𝑎𝑛𝑜 = 0,1
𝑚
𝑠
5.1.1
1. R = (115,44 , 210,77), ángulo = 61,29°, módulo = 240,3 N. Por lo tanto, la fuerza resultante sobre el
fémur es de 240,3 N y en ángulo respecto al eje x es de 61,29°.
5.2.6
1. (a) Fc = 1433,7 N; (b) θ = 21,5°
5.3.3.
1. T1= 42,4 N, T2= 49 N.
42
7. REFERENCIAS
•
Libros:
Leal, C. H. (2005). Conceptos básicos de mecánica. 2ª edición. Universidad Nacional de Colombia.
Neumann, D. (2007). Fundamentos de la rehabilitación física: Cinesiología del sistema músculo
esquelético. 1ª edición. Editorial Paidotribo.
Peterson, D. R., Bronzino, J. D. (2008). Biomechanics: Principles and Applications. 2ª edición. CRC
Press.
•
Sitios web:
Cinematik3D (2014). Cinemática 3D: Sistema de Referencia. Recuperado de
https://www.youtube.com/watch?v=18F3bqyWBqk&ab_channel=Cinematik3D
Fisioonline (s.f.). Fisioterapia-online. Recuperado de https://www.fisioterapia-online.com/
Geogebra (2022). Calculadora. Recuperado de https://www.geogebra.org/calculator
Khan Academy. Lecciones de física. Recuperado de https://es.khanacademy.org/science/physics.
Martín Blas, T. Serrano Fernández, A. (s.f.). Ejemplos de fuerzas. EUIT Forestal - Universidad
Politécnica de Madrid. Recuperado de
https://www2.montes.upm.es/dptos/digfa/cfisica/dinam1p/dinam1p_3.html
Phet Colorado (2022). Vectores. Recuperado de https://phet.colorado.edu/sims/html/vectoraddition/latest/vector-addition_es.html
Pontificia Universidad Católica de Chile (s.f.). Biología de los tendones ligamentos y enteséis.
Recuperado de https://www.docenciatraumatologia.uc.cl/biologia-de-los-tendones-ligamentosy-entesis/
Zapata, Fanny. (11 de julio de 2019). Vectores en el espacio: cómo graficar, aplicaciones, ejercicios.
Lifeder. Recuperado de https://www.lifeder.com/vectores-en-el-espacio/
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8. ANEXO:
8.1.
Uso de la calculadora científica
Antes de realizar cálculos trigonométricos la calculadora debe estar configurada en grados (Modo
DEG).
En la calculadora científica: sin=sen, tan=tg
Para calcular las funciones trigonométricas inversas necesitaremos presionar el botón SHIFT y luego
las botones sin, cos, tan, de la siguiente manera:
SHIFT + sin = sin-1
SHIFT + cos = cos-1
SHIFT + tan = tan-1
Figura 27. Ubicación de las funciones trigonométricas en la calculadora científica.
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