УДК 51
ББК 22.1
Э53
Художественное оформление —
Алексея Закопайко
Э53
Элькин, Борис Михайлович
Математика: для тех, кто не открывал
учебник / Б.М. Элькин. – Москва : Издательство АСТ, 2020. – 384 с. – (Наука на пальцах).
ISBN 978-5-17-120370-2
Для многих математика — это скучный обязательный
предмет, по которому сдают ЕГЭ. Чтобы разрушить этот
стереотип, приведём простой пример: математические
расчёты позволили создать навигаторы, а иначе мы бы
до сих пор пользовались бумажными картами.
Математика — это не абстракция, а наука, помогающая лучше понять окружающий нас мир.
Автор расскажет о том, как она устроена: откуда появились термины, для чего строятся графики, зачем
решаются уравнения, как записывается информация
с помощью цифр, букв и формул. Объяснит, как математика связана с другими науками (физикой, астрономией,
экономикой) и различными направлениями искусства
(архитектурой, скульптурой, музыкой), что общего между алгеброй и геометрией. В книге собраны интересные
факты из истории и курьезные случаи из жизни выдающихся математиков, так что скучно точно не будет!
УДК 51
ББК 22.1
ISBN 978-5-17-120370-2
© Элькин Б.М., текст, 2020
© Издательство АСТ, оформление, 2020
ВМЕСТО ПРЕДИСЛОВИЯ
Когда разум спит, фантазия в сонных
грёзах порождает чудовищ,
но в сочетании с разумом фантазия
становится матерью искусства
и всех его чудесных творений.
Франсиско Гойя
1 «Он математический гений». — Пер. ред.
(Вместо предисловия)
В 1998 году американская журналистка Сильвия Назар написала биографию математика и нобелевского
лауреата в области экономики Джона Нэша. Книга
мгновенно стала бестселлером. В 2001 году по ее
мотивам был снят фильм, получивший четыре «Оскара» (за лучший фильм, лучший сценарий, режиссуру
и женскую роль второго плана). В российский прокат
кинолента вышла под названием «Игры разума».
Джон Нэш действительно был необычным человеком. Уже в возрасте 19 лет он окончил частный Политехнический институт Карнеги сразу с двумя дипломами: бакалавра и магистра. Нэш решил продолжить
обучение в Принстонском университете, и институтский преподаватель снабдил его одним из самых лаконичных рекомендательных писем. В нём была только одна строчка: «He is a mathematical genius»1. Джону
ещё не было 25 лет, когда он опубликовал четыре революционные работы по математической теории игр.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
(4)
К 30 годам к математическим добавились еще игры
разума: у Нэша появились признаки шизофрении (его
преследовали слуховые галлюцинации). Но Джон не
сдавался, продолжал преподавать и заниматься математикой и, к удивлению врачей, почти победил собственное безумие. Он научился контролировать своё
заболевание и отличать реальность от галлюцинаций.
Если заинтересовали подробности жизни Джона
Нэша, то можно прочесть книгу Сильвии Назар. Она
издана на русском языке. Но удивительный факт:
в школе Нэш учился средне, а математику вообще не любил! Её скучно преподавали. Поворотным
моментом, по-видимому, стала удачная книга. Вот
как об этом он написал в автобиографии: «К тому
времени, когда я поступил в высшую школу,
я читал классическую книгу Е. Т. Белла «Люди
математики», и, я помню, мне удалось доказать
малую теорему Ферма, о целом числе, умноженном на себя Р раз, где Р – простое число».
Отмечу только, что Джону было тогда 14 лет.
Мы все изучали математику в школе, и далеко не
у всех этот предмет вызывал неподдельный интерес. Почти нет, к сожалению, на уроках увлекательных и интересных для общего обсуждения задач.
У А. П. Чехова есть замечательный рассказ «Кто
виноват?» о котёнке, которого насильно учили ловить мышей. Котёнок, став солидным котом, при
одном только виде мыши пугался и удирал. Так
и «натаскивание» на решение однообразных стандартных задач вынуждает искать предметы более
интересные, чем математика.
Где-то за пределами школы остаются оригинальные и при этом довольно простые задачи, имеющие
(5)
(Вместо предисловия)
приложения в физике, экономике, информатике…
Они способны увлечь и расширить кругозор.
Не рассказывают в школе, что у математики есть
важнейшие черты, общие с языкознанием, музыкой, живописью, архитектурой…
И, что уж совсем печально, математика в старших классах преподаётся как два слабо зависимых
предмета: алгебра и геометрия.
На взгляд автора было бы полезным стереть резкие грани между различными разделами математической науки и усилить её прикладную составляющую.
А. Эйнштейн как-то заметил, что «всё нужно
сделать настолько простым, насколько возможно, но не проще». Этого принципа и буду стараться придерживаться. В тех случаях, когда всё же
возникнет необходимость выбора между математической строгостью и ясностью изложения, автор
осознанно будет отдавать предпочтение ясности.
Все математические преобразования представлены в более подробном виде, чем это делается обычно. Но, однако, должен честно предупредить, что
чтение не предполагает совсем уж лёгкой прогулки.
К сожалению, «в математике нет царских путей!».
Надеюсь, что книжку с интересом прочтут учащиеся, которые планируют стать инженерами, IT–
специалистами, экономистами или будут работать
в области естественных наук. Тем не менее хочется
написать всё так, чтобы и тем, кто мыслит себя «совершенным гуманитарием», также всё оказалось
доступно, интересно и полезно. Весь текст старательно адаптирован под уровень знаний ученика 8-9
класса и не предполагает знаний математического
анализа.
Глава 1.
ХУДОЖЕСТВЕННЫЙ ТЕКСТ
И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ТЕКСТ
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
В действительности всё иначе,
чем на самом деле.
Антуан де Сент-Экзюпери
Представим, что перед нами на столе — текст художественного произведения. Он первозданный,
то есть именно такой, каким его создал автор. Мы
читаем, и наше сознание создаёт череду связанных с текстом образов. Можно ли сказать, что текст
и создаваемые в нашем мозге образы взаимосвязаны однозначно? Ясно, что нет! Что бы это понять,
достаточно представить себе другого читателя.
Тем более, мы ничего не можем утверждать об
эмоциональном восприятии: одним нравится Набоков, а другие терпеть его не могут. Да и сам Набоков, например, считал Достоевского посредственным писателем.
Н. В. Гоголь в поэме «Мёртвые души» подробно, со свойственным ему мастерством, описывает
внешность персонажей. Но если мы посмотрим на
тех же героев в разных фильмах и спектаклях, то
вряд ли найдем абсолютное сходство портретов.
Очевидно, есть трудность однозначной трансформации литературного текста в зрительный об-
(7)
Приведём пока лишь в качестве иллюстрации
пример математического текста.
Пусть задано множество точек следующей
формулой:
(x2 + y2 – 1)3 = x2 y3 (1.1).
Изобразить это множество на координатной
плоскости.
Результатом будет рисунок 1.1 на следующей
странице.
Вполне можно считать, что «текст» формулы (1.1) однозначно отображает рисунок 1.1.
Глава 1.
(Художественный текст и математический текст)
раз. Более того, известна проблема идентичного
переложения с одного языка на другой даже для
прозаического текста, не говоря уже о стихотворном. Существуют, например, разные переводы
«Гарри Поттера». Читатель может выбирать, какой
из них ему нравится больше.
Аналогично обстоит дело с нотами (музыкальным текстом). Не только профессионалы, но и «продвинутые» любители музыки легко чувствуют разницу в исполнении этюда ля-бемоль мажор Шопена,
например, Э. Гилельсом и С. Рихтером. То есть существует и проблема однозначной трансформации
нотной записи в звуковой образ.
Возникает вопрос: можно ли так модифицировать
запись (текст), чтобы его трансформация в зрительный образ прошла без потерь? Ответ — да. Для этого надо текст сделать математическим. Такой текст
записывается в виде формул, специальных математических знаков и иногда сопровождается краткими
словесными пояснениями.
(8)
1
-1
0
1
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
-1
Рис. 1.1
То есть достаточно любому математику в любой
стране предъявить эту формулу, и он «увидит» её
образ, изображённый на рисунке. Можно даже
сказать, что в формуле (1.1) «закодирован» рисунок 1.1. Представьте, что нужно словесно описать, как выглядит эта кривая, с указанием точных
размеров. Очевидно, что для этого понадобится
много текста!
Какими могут быть формулы, из каких знаков
и обозначений они могут состоять, что такое множество и координатная плоскость — об этом речь
пойдёт далее.
Глава 2.
О МАТЕМАТИЧЕСКОМ ЯЗЫКЕ
Великая книга природы написана
на языке математики.
Галилео Галилей
Глава 2.
(О математическом языке)
Невероятные успехи математики оказались возможными лишь благодаря постепенно выработанному
специфическому математическому языку, позволяющему объединять исследователей, работающих
в разных научных областях. Поэтому они понимают
друг друга, вне зависимости от их национальностей.
Примерно также нотная запись позволяет успешно
взаимодействовать музыкантам разных стран мира.
Очевидно, что структура этого языка должна быть
гибкой, чтобы он имел возможность развиваться
вместе с развитием математической науки. Но вместе с тем — «жёсткой», чтобы любая, написанная
фраза допускала лишь единственное толкование
(т.е. была строго однозначной). Именно поэтому
математики так придирчиво следят за точностью
формулировок.
Создание и развитие языка математики облегчается использованием бинарной логики, то есть
предполагается, что высказывания могут быть только истинными или ложными.
(10)
Для краткости и удобства записи используются
различные математические знаки и обозначения.
Сравним, две записи:
α+b=c
и
a plus b equal c,
и представим себе, что вторым образом надо записать хотя бы формулу решения квадратного уравнения или решение ещё более сложной задачи.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
«Следует заботиться о том, чтобы обозначения были удобны для открытий. Это достигается
в наибольшей мере тогда, когда знаки коротко
выражают и как бы отображают глубочайшую
природу вещи; при этом удивительным образом
сокращается работа мышления».
Готфрид Вильгельм Лейбниц
История развития математики как науки насчитывает, по крайней мере, более 3000 лет, но первые современные математические обозначения появились
лишь в XVI — XVII веках. Примерно в это время в научных работах начали использоваться такие хорошо
известные нам с младшей школы знаки арифметических действий:
+ знак сложения; — знак вычитания; · знак умножения; : знак деления.
Знаки сравнения:
= знак равенства; > знак «больше»; < знак «меньше»;
≥ знак «больше или равно»; ≤ знак «меньше или
равно».
Знаки плюса и минуса впервые использованы
в учебнике Йоханнеса Видмана «Быстрый и прият-
(11)
ный счёт для всех торговцев», изданном в 1489 году.
Знак плюс символизировал прибыль, знак минус —
убытки. Оба символа вскоре получили распространение в Европе.
Знак умножения в виде косого крестика ввёл
в 1631 году англичанин Уильям Оутред. Позднее
Готфрид Вильгельм Лейбниц заменил крестик
точкой, чтобы не путать его с буквой x.
Знаки > и < ввёл в использование Томас Хэрриот (английский астроном, математик, этнограф
и переводчик) в своём сочинении, изданном посмертно в 1631 году.
Символы нестрогого сравнения первым предложил английский математик Джон Валлис
в 1670 году.
Современный символ знака равенства предложил Роберт Рекорд (валлийский врач и математик)
в 1557 году.
Далее у нас будут появляться новые математические знаки, и мы будем вводить их по мере необходимости.
Глава 3.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
ВИЗУАЛЬНОСТЬ В МАТЕМАТИКЕ
Под визуализацией литературного текста обычно
понимают иллюстрации, кино и театр. Но это, конечно, весьма условно. К этому можно, например,
добавить и экспозицию в литературном музее, посвящённую роману писателя.
Страницы романа информационно объёмнее.
Они вмещают в себя образы героев, какими рисует их наше воображение. А поскольку у каждого оно
своё, то и результат у всех будет разный.
Способов визуализации математических данных
довольно много: таблицы, диаграммы, графики…
Нас в наибольшей степени будут интересовать последние. Они, как мы уже видели на примере рис.
1.1, дают хорошее представление о геометрическом образе формульного выражения.
Это стало возможным благодаря Рене Декарту
(1596–1650 гг.), который придумал очень хороший
способ визуализации не только алгебраических, но
и геометрических объектов.
О судьбе и творчестве знаменитого философа
и математика написано много. Только в русскоязычном сегменте Википедии указано более 20 источников. Но следует учитывать, что с того времени
(13)
Глава 3.
(Визуальность в математике)
прошло более 400 лет, и поэтому многие связанные
с жизнью этого безусловно
выдающегося человека события обросли легендами.
Напомним, очень кратко,
об основных не подвергающихся сомнению фактах.
Рене Декарт родился
31 марта 1596 года во Франции в маленьком городке Лаэ. Он происходил из старинного, но обедневшего дворянского рода. Его мать
умерла, когда ему был только 1 год, и воспитанием
маленького Рене занималась бабушка по матери.
Его отец был судьёй в городе Ренн и приезжал редко.
Начальное образование Декарт получил в иезуитском колледже.
Так как врачи считали, что у мальчика слабое здоровье, то, несмотря на суровую дисциплину в колледже, ему разрешили свободное посещение занятий.
В 1612 году Рене закончил колледж, и некоторое
время изучал право в Пуатье, а затем уехал в Париж.
Там он впервые начал заниматься математическими исследованиями.
В 1617 году — поступил на военную службу сначала в Голландии, затем в Германии и принимал
участие в битве за Прагу в ходе «Тридцатилетней
войны» — первой всеевропейской и одной из самых
жестоких, упорных и кровопролитных войн в истории
Европы. В промежутках между военными действиями
Декарт успевал заниматься научной работой в Париже. Затем было ещё несколько лет участия в войне,
в том числе — в осаде Ла-Рошели (1628).
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
(14)
Затем Декарт увольняется с военной службы
и переезжает в Голландию, где продолжает свои
исследования по математике, физике и философии
и ведёт обширную переписку с лучшими учёными
Европы. Наконец, в 1634 году он заканчивает свою
первую программную книгу под названием «Мир»,
собирается её напечатать. Но момент для издания
оказался неудачным, так как годом ранее инквизиция чуть не замучила Галилея. Известно письмо, которое Декарт написал своему другу, французскому
математику Мерсенну: «Это меня так поразило,
что я решил сжечь все свои бумаги, по крайней
мере, никому их не показывать; ибо я не в состоянии был вообразить себе, что он, итальянец,
пользовавшийся расположением даже Папы,
мог быть осуждён за то, без сомнения, что хотел
доказать движение Земли… Признаюсь, если
движение Земли есть ложь, то ложь и все основания моей философии, так как они явно ведут
к этому же заключению».
Но всё-таки, несмотря на трения с церковью Декарт относительно спокойно мог заниматься наукой, благодаря покровительству кардинала Ришелье и либерального принца Оранского. Поэтому
в 1637 году была издана книга «Рассуждение о методе…». Можно считать, что в тот год появился и новый
раздел математики — Аналитическая геометрия.
К 50 годам Декарт достиг известности и стал
всемирно знаменитым учёным. Его жизнь стала
спокойной и размеренной, но неожиданно в ней
произошёл ещё один крутой поворот: 19-летняя
шведская королева Кристина решила заполучить
Рене в качестве своего личного учителя и присла-
(15)
ла за ним на корабле адмирала Флеминга, и он
убедил Декарта перебраться в Швецию. Встретили его в Стокгольме по-королевски, но режим его
жизни кардинально изменился. Он должен был
начинать занятия в 5 утра и участвовать в работе
по организации Шведской королевской Академии
наук. Такой «жёсткий» режим дня и суровая зимняя погода Швеции отрицательно сказались на
здоровье ученого. Он заболел воспалением лёгких. Несмотря на старания присланных королевой
докторов (антибиотиков в то время, к сожалению,
ещё не было) 11 февраля 1650 года Рене Декарт
ушёл из жизни.
Существует также гипотеза об отравлении Декарта, поскольку симптомы болезни напоминали отравление мышьяком. Якобы католическая церковь опасалась, что общение с учёным-вольнодумцем помешает
обращению королевы Кристины в католичество. Это
действительно случилось в 1654 году, вскоре после
смерти Декарта. Но большинство специалистов с недоверием относятся к этой гипотезе.
Глава 3.
(Визуальность в математике)
Рассмотрим, в чём заключался метод Декарта,
на конкретном примере.
Идея состояла в следующем:
Z Проведём две взаимно перпендикулярные,
пересекающиеся в точке О линии (оси), как
показано на рис. 3.1.
Они разобьют всю плоскость на 4 части, которые именно в указанном порядке называют 1,
2, 3 и 4 четвертями. Горизонтальную ось именуют осью абсцисс (или осью оx), вертикальную ось — осью ординат (или осью оy).
(16)
4
2
-4
-2
0
2
4
-2
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
-4
Рис. 3.1
Z Точка О — это начало координат. На каждой
из осей выберем масштаб (желательно одинаковый). Полученный рисунок является системой координат, а плоскость, которую
образуют оси, называется координатной
плоскостью. Теперь любая точка на этой плоскости может быть задана двумя числами, которые называют координатами точки. Обозначим их x0 и y0. Например, на рис. 3.1 точка
А имеет координаты x0 = 3, y0 = 2 . Это записывается: А(3; 2).
Пусть теперь мы имеем следующее (не самое
простое) алгебраическое выражение:
(17)
y+
1
1
= x + , где x > 0, y > 0
y
x
(3.1)
Для наглядного анализа этого равенства нам целесообразно получить его геометрический образ.
В формуле (3.1) x и y – некоторые произвольные
числа, удовлетворяющие условиям x > 0, y > 0. Рассмотрим конкретную пару чисел (x0, y0). Эта пара чисел может либо обращать выражение (3.1) в верное
равенство, либо нет.
1
1
Например, пара (2; 2 ) (то есть x0 = 2, y0 = 2 ) обращает (3.1) в верное равенство, а пара (2; 3) — нет.
Каждой паре чисел в системе координат соответствует некоторая точка. Отмечая в системе координат точками только пары (точки), которые удовлетворяют уравнению (3.1), получим множество
3
2
0
1
2
3
Рис. 3.2
Глава 3.
(Визуальность в математике)
1
(18)
точек, отображающих это уравнение. На рис. (3.2)
показано это множество точек.
Правда возникает разумный вопрос: а как найти
все пары чисел, нужные для построения рисунка?
Для ответа на этот вопрос придётся немного позаниматься простыми (на уровне 7 класса) алгебраическими преобразованиями:
y+
1
1
=x+
y
x
⎛
⎞
⇒ (y − x) + ⎜ 1 − 1 ⎟ = 0 ⇒
⎝y
x⎠
⎛ x −y ⎞
1
⇒ (y − x) + ⎜
(y − x) = 0 ⇒
⎟ = 0 ⇒ (y − x) −
x
y
xy
⎝
⎠
⎛
⎞
⇒ (y − x) ⎜ 1 − 1 ⎟ = 0
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
⎝
xy ⎠
Произведение равно нулю, если хотя бы один
из сомножителей равен нулю, а второй не теряет
смысла.
Поэтому:
Z y – x = 0, то есть y = x;
Z
1−
1
1
= 0 или
xy
xy
1 или y
1.
x
Вспоминаем 7 класс: y = x — это уравнение пря1
мой линии, y
— гипербола.
x
С учётом условия x > 0, y > 0 получаем изображённую на рис. 3.2 картинку.
Посмотрим, как одним простым математическим
значком можно изменить полученную картинку. Запишем:
1
1
y+ = x +
(3.2).
y
x
(19)
5
-5
0
5
Рис. 3.3
Глава 3.
(Визуальность в математике)
Две вертикальные черты справа и слева от x являются знаком модуля. Модуль любого числа положителен, модуль нуля равен нулю, то есть |73| = 73,
|–2,73| = 2,73, |0| = 0. Так как в формуле (3.2) теперь ничего не меняется от замены x на –х, то слева
от оси ОУ добавляется картинка симметричная той,
которая находится справа от оси ОУ.
Результат мы видим на рис. 3.3.
Теперь уже понятно, что произойдёт, если дополнительно добавить знак модуля у переменной y, то
есть построить множество точек, соответствующих
уравнению:
1
1
y + = x +
(3.3).
y
x
(20)
5
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
0
5
-5
Рис. 3.4
Результат построения — на рис. З.4.
Следует учитывать, что x A 0 и y A 0. В математике в этом случае говорят, что точка O(0; 0) является
«выколотой».
Представьте себе, что эти преобразования надо
описать словесно. А здесь — всего лишь добавление двух чёрточек к переменным. Очевидно, что
слов понадобится довольно много. Оцените краткость и точность математического языка!
А вот и ещё два простых примера связи алгебры
и геометрии.
Z Выражение |x| + |y| = 4 — это квадрат с указанием своих точных размеров (рис. 3.5).
(21)
Z Если построить множество точек, соответствующее уравнению |x| + 2 ·|y| = 4, то получится ромб (рис. 3.6).
Чтобы в этом убедиться, достаточно сначала построить рисунки лишь в 1 четверти, где x > 0 и y > 0.
Z Для квадрата: x + y = 4 или y = –x + 4 — прямая.
Строится лишь участок этой прямой в первой
четверти. Затем он отражается симметрично
относительно оси ox, и полученное изображение отражается относительно оси oy.
5
-5
0
5
Рис. 3.5
1
Z Для ромба: x + 2 · y = 4 или y = − x + 2 — пря2
мая. Аналогично, строится лишь участок этой
прямой в первой четверти. Затем он отража-
Глава 3.
(Визуальность в математике)
-5
(22)
4
2
-4
-2
0
2
4
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
-2
-4
Рис. 3.6
ется симметрично относительно оси ox, и полученное изображение отражается относительно оси oy.
Из школьного курса геометрии известно, что
очень простые алгебраические формулы являются
прообразами окружности радиуса R:
Z x2 + y2 = R2 — окружность, центр которой находится в начале координат;
Z (x – x0)2 + (y – y0)2 = R2 — окружность, центр которой находится в точке А с координатами x0
и y0 .
Глава 4.
ФУНКЦИИ И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Всякий знает, что такое кривая,
пока не выучится математике
настолько, что вконец запутается
в бесконечных исключениях.
Феликс Клейн
Глава 4.
(Функции и их геометрические преобразования)
Ранее мы поняли, как можно «увидеть» формулы
с помощью декартовой системы координат. Теперь
стоит приступить к систематическому изучению
графиков функций.
Смысл понятия «функция» существенно менялся
в ходе развития математики. Самое широкое определение состоит в том, что любое отношение двух
множеств можно назвать функцией. Например, есть
несколько точек на плоскости (А, B, C, D) и у каждой
из них свой цвет: у А – красный, у B – зелёный, у С –
синий и у D – фиолетовый. Тогда можно сказать, что
цвет точки является функцией её имени. Здесь, как
говорят математики, область определения функции состоит из четырёх имён точек, а область значений функции состоит из четырёх цветов.
Функцией является и экспериментально установленная зависимость между давлением воздуха
и высотой над уровнем Земли.
(24)
Функция может быть задана формулой (или несколькими формулами), таблицей, графиком и даже
словесным описанием.
Поскольку появилось новое понятие, то мы должны дать ему (как это принято в математике) определение. У нас уже раньше встречались некоторые
понятия, но пока мы не заботились об их строгом
определении и считали их интуитивно понятными.
ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
Определение. Если даны числовое множество x
и правило f, позволяющее поставить в соответствие
каждому элементу x из множества X определён-
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
5
-5
0
5
-5
Рис. 4.1
(25)
ное (единственное) число y, то говорят, что задана
функция y = f(x) с областью определения X. Пусть
x «пробегает» все допустимые значения из множества X. Тогда множество всех получаемых при этом
y называют областью значений функции.
Обозначения: D(f) — область определения
функции;
E(f) — область значений функции.
x
Пример: y = 2
.
x −4
Глава 4.
(Функции и их геометрические преобразования)
В этой формуле x может приобретать любые
числовые значения, кроме x = 2 и x = –2 так как при
этих значениях знаменатель дроби обращается
в ноль.
Поэтому D(f) = (–u; –2) 2 (–2; 2) 2 (2; +u). В круглых скобках указываются числовые промежутки,
которые объединяются знаком 2. Круглые скобки
показывают, что концы промежутков, то есть числа
-2 и 2 — исключаются.
Знаки бесконечности –u и +u всегда берутся
с круглыми скобками.
На рис. 4.1 — график этой функции. Из рисунка
видно, что E(f) = (–u; +u), то есть y может принимать любые значения.
Обратите внимание, что на всех, приведённых
ранее рисунках изображены НЕ функции, так как
значениям переменной x соответствует более, чем
одно значение y.
Определение. Задать функцию — это значит
указать правило, которое позволяет по произвольно выбранному значению x из области определения
вычислить соответствующее значение y.
(26)
Не следует думать, что любому произвольно заданному выражению соответствует какой-то график. Например, если y = x − 3 + 2 − x , то, т.к. под
корнем не должны быть отрицательные числа:
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
⎧x − 3 ≥ 0 ⎧x ≥ 3 .
⎨2 − x ≥ 0 ⇒ ⎨ x ≤ 2
⎩
⎩
Последнее невозможно, поэтому никакого графика в декартовой системе мы в этом случае нарисовать не сможем.
График может состоять из одной или нескольких
точек. Например, графиком функции y = x − 3 +
+ 3 − x является единственная точка М(3;0).
Чуть позже мы увидим, что бывают и совсем удивительные функции, своего рода «монстры». Например, функция, которая определена во всех точках
(на всей числовой оси), и при этом её нельзя изобразить ни на одном из участков!
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУНКЦИЙ
Нам придётся графики преобразовывать в зависимости от решаемых нами задач.
Представьте, что мы уже знаем, как выглядит
график некоторой функции y = f(x). Приняв его за
основу, можно получить значительное количество
других графиков, которые строятся из исходного
с помощью некоторых весьма простых преобразований.
Для иллюстрации этих преобразований мы возьмём не самую простую функцию:
6+ x − x 2
f(x) = 2
.
x − 3x + 4
(27)
4
2
-4
-2
0
2
4
-2
Рис. 4.2
1. y = f(x) + A — сдвиг исходного графика на А единиц вдоль оси oy (Рис. 4.3):
• вверх, если А > 0,
• вниз, если А < 0
6+ x − x 2
+ 2.
1) g(x) = 2
x − 3x + 4
2
2) f(x) = 62+ x − x .
x − 3x + 4
6+ x − x 2
− 2.
3) h(x) = 2
x − 3x + 4
Глава 4.
(Функции и их геометрические преобразования)
Строить график в данном случае целесообразно
с использованием методов математического анализа (исследования функций с помощью производной). Но мы график возьмём в готовом виде (см.
рис. 4.2). С его помощью мы и будем демонстрировать все преобразования.
(28)
5
1
-5
0
5
2
3
-5
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Рис. 4.3
2. y = f(x + a) — сдвиг исходного графика на a единиц вдоль оси ox (Рис. 4.4)
5
1
2
3
-5
0
5
Рис. 4.4
(29)
•
•
влево, если a > 0,
вправо, если a < 0.
1) g(x) =
6 + (x + 2)− (x + 2)2
(x + 2)2 − 3 (x + 2)+ 4
(a = 2).
2
2) f(x) = 62+ x − x . (a = 0).
x − 3x + 4
3) h(x) =
6 + (x − 2) − (x − 2)2
(x − 2)2 − 3 (x − 2) + 4
(a = –2).
3. y = –f(x) — исходный график «зеркально» отображается относительно оси ox.
6+ x − x 2
f(x) = − 2
.
x − 3x + 4
5
-5
Рис. 4.5
4. y = k · f(x), k > 0 —
• исходный график растягивается вдоль оси oy
в k раз, если k >1;
• исходный график сжимается вдоль оси oy,
1
если 0 < k < 1. Коэффициент сжатия .
k
Глава 4.
(Функции и их геометрические преобразования)
0
(30)
1
5
2
3
5
0
3
2
1
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Рис. 4.6
⎛ 6+ x − x ⎞
1) g(x) = 2 ⋅ ⎜ 2
⎟.
⎝ x − 3x + 4 ⎠
2
2
2) f(x) = 62+ x − x .
x − 3x + 4
3) h(x) =
1 ⎛ 6+ x − x 2 ⎞
⋅⎜
⎟.
2 ⎝ x 2 − 3x + 4 ⎠
Примечание. Если коэффициент k < 0, то последовательно (в любом порядке) применяются преобразования 3 и 4.
5. y = f(–x) — исходный график заменяется своим
«зеркальным» отображением относительно оси oy (Рис. 4.7).
2
1) f(x) = 62+ x − x .
x − 3x + 4
(31)
4
1
2
2
-4
-2
2) g(x) =
0
6 + (−x) − (−x)2
(−x)2 − 3(−x) + 4
2
4
Рис. 4.7
.
6a. y = f(k · x), k > 0 — исходный график сжимается
вдоль оси ox в k раз, если k > 1 (Рис. 4.8);
1
2
-2
0
2
1
4
2
-2
Рис. 4.8
Глава 4.
(Функции и их геометрические преобразования)
2
(32)
2
1) f(x) = 62+ x − x .
x − 3x + 4
2) g(x) =
6 + (3⋅ x) − (3⋅ x)2
(3⋅ x)2 − 3(3⋅ x) + 4
.
6b. исходный график растягивается вдоль оси ox,
если 0 < k < 1 (Рис. 4.9). Коэффициент растяжения
1
.
k
2
1) f(x) = 62+ x − x .
x − 3x + 4
1
3
2
1
3
.
1
− 3( x) + 4
3
6 + ( x) − ( x)2
2) g(x) = 1
( x)
3
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
5
1
-5
0
2
5
Рис. 4.9
Примечание. Если коэффициент k < 0, то последовательно (в любом порядке) применяются преобразования 5 и 6.
(33)
7. y = |f(x)| — часть исходного графика, находящаяся над осью ox остаётся без изменений;
часть графика, находящаяся под осью ox, «зеркально» отражается над осью ox.
4
2
-4
-2
0
2
4
6+ x− x
g(x) = 2
.
x − 3x + 4
8. y = f(|x|) — часть исходного графика, находящаяся справа от оси oy остаётся без изменений;
часть исходного графика, находящаяся слева от
оси oy «стирается» и заменяется «зеркальным отражением правой части графика.
g(x) =
6 +|x|−|x|2
|x|2 − 3|x|+ 4
(*)
или
6 +|x|− x 2
g(x) = 2
(**)
x − 3|x|+ 4
Глава 4.
(Функции и их геометрические преобразования)
Рис. 4.10
2
(34)
5
-5
0
5
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Рис. 4.11
Формулы (*) и (**) не отличаются, так как |x|2 = x2.
9. |y| = f(x) — часть исходного графика, находящаяся над осью ox остаётся без изменений;
часть графика, находящаяся под осью ox, «стирается» и заменяется «зеркальным» отражением
верхней части графика.
6+ x − x 2
f(x) = 2
. (Рис. 4.12)
x − 3x + 4
Это множество точек на плоскости уже не является функцией, так как каждому значению x из
промежутка –2 < x <3 соответствую два значения y.
Примечание. Употреблённый нами термин «зеркальное отражение» не является математическим
и употреблялся для наглядности.
(35)
2
-2
0
2
4
-2
10. Последнее преобразование, которое нам
надо рассмотреть, носит особенный характер. Оно
используется, когда необходимо понять, какой формулой будет записываться наша функция в новой
системе координат, повёрнутой относительно исходной на угол α.
Для вывода требуемых нам формул напомним
некоторые из соотношений прямоугольного треугольника (только те, которые будут нам необходимы). Рис. 4.13
В любом прямоугольном треугольнике:
• АВ — гипотенуза, АС и ВС — катеты;
BC
• Отношение
называется синусом угла α.
AB
Это записывается: BC = sin α;
AB
Глава 4.
(Функции и их геометрические преобразования)
Рис. 4.12
(36)
B
4
2
A
00
2
α
C
4
6
Рис. 4.13
AC
называется косинусом угла α.
AB
AC
Это записывается:
= cos α.
AB
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
• Отношение
Теперь, пользуясь полученными знаниями, можем приступить к выводу необходимой нам формулы. Воспользуемся рис. 4.14. Новая система повёрнута относительно старой на угол α.
• Координаты точки D в исходной системе координат: D(AG, AH) = D(x, y).
AG = х, AH = y.
• Координаты точки D в новой системе координат: D(AF, AE) = D(x*, y*).
AF = х*, AE = y*.
• Так как AEDF — прямоугольник, то AE = DF = y*
и угол FAG = углу DFI = α.
AJ
• Из треугольника AJF:
= cosα AF
AJ = AF• cosα = x* • cosα.
(37)
4
E
H
I
D
α
2
F
-2
0A
G
α
J
2
4
Рис. 4.14
• Из треугольника FID:
FI
= cosα DF
FI = DF• cosα = y* • cosα.
Из треугольника AJF:
FJ
= sinα AF
FJ = AF• sinα = x* • sinα.
Отсюда:
FI+FJ = AH = y = x* • sinα + y* • cosα.
Получили второе необходимое нам уравнение:
y = x*•sinα + y*•cosα (2)
Глава 4.
(Функции и их геометрические преобразования)
DI
Из треугольника FID:
= sinα DF
DI = DF• sinα = y* • sinα.
Но DI = GJ, поэтому GJ = y*• sinα. Так как
AJ –GJ = x = х* • cosα – y*• sinα, то получили первое
из необходимых нам уравнений:
x = x* • cosα – y*• sinα (1)
(38)
Выпишем отдельно полученную систему уравнений:
⎧ x = x ⋅ cos α − y ⋅ sin α,
⎨ y = x * ⋅ sin α + y *⋅ cos α (4.1)
⎩
*
*
Не сложно из системы (4.1) получить и обратное
преобразование. Для этого умножим обе части первого уравнения системы (4.1) на cos α, а обе части
второго уравнения на sin α. Получим:
⎧⎪ x ⋅ cos α = x ⋅ (cos α)2 − y ⋅ sin α ⋅ cos α,
*
*
⎨
2
⎪⎩ y ⋅ sin α = x * ⋅ (sin α) + y* ⋅ sin α ⋅ cos α
Cложим левую часть уравнений полученной системы с левой, а правую часть с правой:
x•cosα + y•sinα = x*•(cosα)2 + x*• (sinα)2
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
или
x*•((sinα)2 + (cosα)2) = x•cosα + y•sinα
Если мы вспомним из 8 класса, что
(sinα)2 + (cosα)2 = 1, то получим:
x* = x•cosα + y•sinα (3)
Аналогично, умножим обе части первого уравнения системы (4.1) на (–sinα), а обе части второго
уравнения на cos α. Получим:
⎧⎪ x ⋅ (− sin α) = − x ⋅ sin α ⋅ cos α + y ⋅ (sin α )2,
*
*
⎨
2
⎪⎩ y ⋅ cos α = x * ⋅ sin α ⋅ cos α + y* ⋅(cos α)
Cложим левую часть уравнений полученной системы с левой, а правую часть с правой:
x•(–sinα) + y•cosα = y*•(sinα)2 + y*• (cosα)2
(39)
или
y*•((sinα)2 + (cosα)2) = – x•sinα + y•cosα
Так как (sinα)2 + (cosα)2 = 1 то:
y* = – x•sinα + y•cosα (4)
Выпишем систему из уравнений (3) и (4):
⎧ x = x ⋅ cos α + y ⋅ sin α,
⎨ y * = − x ⋅ sin α + y ⋅ cos α (4.2)
⎩ *
Глава 4.
(Функции и их геометрические преобразования)
Можно выдохнуть, мы забрались на эту гору!
Остаётся вопрос: насколько преобразования нужны, и как применить добытую только что информацию на практике?
Рассматривая преобразования 1-10, можно заметить, что все графики подчиняются общим закономерностям. Поэтому можно сформулировать
общие законы вне зависимости от функций. Это позволяет не только облегчить построение графиков
различных функций, но и найти пути более простого
решения уравнений и неравенств, встречающихся
в задачах математики и физики. Примеры практического использования указанных трансформаций
графиков мы увидим в следующих главах книги.
Список стандартных преобразований, как мы видели, не так уж велик. Но умение их использовать
при решении задач подобно умению литератора использовать различные метафоры для усиления эмоциональности и убедительности.
В различных комбинациях преобразований графиков есть некоторая, хотя и ограниченная, аналогия с творчеством в гуманитарной сфере. В искусстве тоже есть основной сюжет, а его трактовка
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
(40)
и воплощение зависит от взглядов и мастерства
автора картины, спектакля, музыкального произведения и т.д. Этот список каждый из нас легко продолжит.
Способы преобразования исходного материала
в искусстве практически безграничны. Сравните,
например, иллюстрации к тем же «Мёртвым душам» Петра Боклевского и Марка Шагала. Сравните
экранизации «Ромео и Джульетты» Франко Дзеффирелли и База Лурмана. Сравните оперу «Отелло»
Джузеппе Верди и одноимённую оперу Джоаккино
Россини.
В искусстве правила «игры» формирует сам художник. Он хозяин положения и может их нарушать
в процессе работы.
Математик в этом отношении более скован. Он
может устанавливать свои правила, но уже не любые, а соответствующие бинарной логике. В этом
нет ничего страшного. В конце концов, у Геракла
тоже не было свободы выбора. Он должен был выполнять приказы Эврисфея. Такова была воля богов.
Кроме того, в математике должны быть даны
точные определения понятий (почти всех, кроме
первичных). Например, мы не можем подсчитать
количество лысеющих людей в кинозале, пока не
поймём, как их выделять среди остальных.
Но математикам нет смысла жаловаться. Физик
скован ещё больше: его ограничивает сама Природа. Критерием истины в физике служит опыт. Если
физическая теория входит в противоречие с опытом, то, как бы красива она ни была, её приходится
отбросить.
(41)
Глава 4.
(Функции и их геометрические преобразования)
Полная, не ограниченная никакими рамками,
свобода творчества находит очень много сторонников. Но не стоит забывать, что «полная свобода
щуки — это смерть пескаря». Какие-то рамки, вроде бы нужны. Но какие? У Святой инквизиции тоже
были правила, по которым она работала.
Удивительным образом философские идеи Декарта оказали влияние не только на математику (что
естественно), но и на художественное творчество
(классицизм в искусстве XVII–XIX вв.). Рационализм выдающегося мыслителя на некоторое время
примирил их. Но через пару столетий дороги математики и искусства опять разошлись.
Приведённый выше математический текст не является сложным и соответствует учебному материалу 8-ого класса обычной школы. Однако следует
помнить, что совсем лёгких путей в изучении математики, к сожалению, нет.
Глава 5.
АЗБУКА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
И ГРАФИКОВ. ЧАСТЬ 1
Азбука — наука, а ребятам мука,
Сперва аз да буки, а там и науки.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Русские пословицы
Приступим к систематическому изучению (а скорее
к повторению) элементарных (известных со школы)
функций и построению их графиков.
ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
Графиком этой функции является прямая линия.
На рис. 5.1:
1) y = x.
1
2) y = x.
2
3) y = 2x.
На рис. 5.2:
1) y = x +2.
1
2) y = x +2.
2
3) y = 2x +2.
(43)
3
1
Рис. 5.1
2
1
3
Рис. 5.2
Глава 5.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 1)
5
0
1
3
2
5
5
0
-5
1
3
5
2
2
(44)
1
3
2
5
0
5
2
3
1
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Рис. 5.3
На рис. 5.3:
1) y = – x + 2.
1
2) y = – x + 2.
2
3) y = – 2x + 2.
По рисункам легко вспомнить, как меняется вид
графика в зависимости от коэффициента перед независимой переменной x. Этот коэффициент меняет угол наклона прямой по отношению к оси OX.
Напомним, что переменную x часто ещё называют
аргументом.
На рис. 5.3 те же графики, что и на рис. 5.2, но
при отрицательных значениях коэффициента перед x.
(45)
-2
0
-2
2
4
y = –2,5
-4
Рис. 5.4
Пример: y = –2,5. (См. рис. 5.4).
Примечание. Вертикальные линии функциями
не являются. Они записываются в виде: x = 0y + a.
Это означает, что при любом значении y x = a. Обычно это уравнение так и записывают.
Пример: x = 1,5. (См. рис. 5.5).
Нужно ли объяснять, чем прямая «заслужила»
привилегию быть упомянутой первой в нашей «Азбуке»? Понятие прямой интуитивно ясно и является
одним из тех редких в математике, которое не определяется.
Глава 5.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 1)
Общий вид линейной функции: y = kx + b, где
k и b – некоторые числа.
В частном случае, когда k = 0, уравнение приобретает вид: y = 0x + b. Это означает, что при любом значении x y = b. Обычно это уравнение так и записывают. График такой функции — горизонтальная прямая.
(46)
4
2
-2
0
x = 1,5
2
4
-2
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Рис. 5.5
КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ПАРАБОЛА
Итак, имеем честь представить Вам её величество
параболу.
Приведём перечень лишь некоторых из её «заслуг».
• Если вращать параболу вокруг её оси симметрии, то получится интересная поверхность,
которая называется параболоидом вращения. Эту поверхность можно увидеть, если помешать ложечкой в стакане чая.
• Если в пустоте бросить камень под некоторым
углом к горизонту, то он полетит по параболе.
• В зеркальных телескопах применяют параболические зеркала: свет звезды, идущий параллельным пучком, упав на зеркало телескопа, собирается в фокусе.
(47)
• У прожекторов зеркало делается в форме параболоида. Если поместить источник света
в фокусе параболоида, то лучи, отразившись
от параболического зеркала, образуют параллельный пучок.
Все эти свойства выполняются для кривой, построенной по следующему правилу.
Определение 5.1. Параболой называется геометрическое место точек на плоскости, расстояния
от которых до некоторой точки, называемой фокусом, и до некоторой прямой, называемой директрисой, равны.
несколько
тяжеловесного
A
-1
0
1
2
B
3
4
5
6
7
Шаг 1. Научимся находить расстояние AB между
точками на координатной прямой.
a) AB = xB – xA = 6 – 2 = 4.
B
A
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0
1
2
b) AB = xB – xA = 2 – (–3) = 5.
B
A
-6
-5
-4
-3
-2
-1
c) AB = xB – xA = –1 – (–5) = 4.
Из рассмотренных примеров видно, что во всех
случаях AB = xB – xA.
Глава 5.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 1)
Объясним смысл
определения 5.1.
(48)
Шаг 2. Научимся находить расстояние AC между
точками на координатной плоскости (рис 5.6).
Пусть (xA; yA) — координаты точки А, то есть
A(xA; yA)
Пусть (xC; yC) — координаты точки C, то есть
С(xC; yC)
Тогда длина отрезка АВ (в соответствии с шагом
1) равна:
AB = xC – xA, так как xC = xB.
Длина отрезка ВC (в соответствии с шагом 1)
равна:
5.5
C
5
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
4.5
4
3.5
3
2.5
2
B
A
1.5
1
0.5
–0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
–0.5
–1
Рис. 5.6
(49)
BC = yC – yA, так как yA = yB.
По теореме Пифагора:
AC2 = AB2 + BC2 = (xC – xA)2 + (yC – yA)2
или AC = (xC − xA )2 + (yC − yA )2.
B
2
1
0E
2
y = -1
D
C
-2
Рис. 5.7
Шаг 3. Переходим к объяснению смысла определения параболы (Опр. 5.1).
• Есть некоторая точка на оси oy (на нашем рисунке она обозначена А). (Фокус).
• Есть некоторая горизонтальная прямая (на рисунке она проходит через точку С). (Директриса)
• Есть некоторое множество точек (геометрическое место точек), равноудалённых от фокуса
и директрисы. Рис. 5.7
Глава 5.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 1)
-2
A
(50)
Это множество точек и называется параболой.
Найдём уравнение этого геометрического места
точек (то есть уравнение параболы).
Возьмём произвольную точку В(x;y) такую, что
AB = BC, где ВС перпендикулярно директрисе.
Нам нужно получить уравнение кривой, все точки которой обладают этим свойством (AB = BC).
Обратим внимание, что если произвольная точка
В переместится в начало координат (в точку Е), то
по условию Е также должна быть равноудалена от
фокуса (А) и директрисы (прямой CD). Пусть длина
AD = p.
p
Тогда AE = 2 .
p
p
1) B(x; y), A(0; ) ] AB2 = (x – 0)2 + (y – 2 )2
2
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
2) B(x; y), C(x; –
p
2
p
) ] BC2 = (x – x)2 + (y – (– 2 ))2
3) Так как должно быть AB = BC, то
p
p
AB2 = BC2 ] (x – 0)2 + (y – 2 )2 = (x – x)2 + (y – (– 2 ))2
или
p
p
x2 + y2 – py + ( 2 )2 = 02 + y2 + py + ( 2 )2 ] y =
1
x 2.
2p
Вот, оказывается, откуда берётся знаменитое
школьное уравнение параболы: y = ax2 (5.1).
А в школе об этом, как правило, не говорят!
Число р называется фокальным параметром.
Для изображённой на рисунке параболы p = 2, значит уравнение данной параболы:
y=
1 2
⋅x .
4
(51)
y
α
E
α
F
α
D
A
B
x
C
Рис. 5.8
Глава 5.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 1)
Геометрические (оптические) и физические
свойства параболы
Все мы со школы помним о том, что угол падения
луча света равен углу его отражения. Для параболы
это свойство даёт неожиданный и полезный результат, который используется на практике.
Возьмём некоторую произвольную точку Е (см.
рис. 5.8). Проведём в этой точке касательную к параболе. Тогда луч света, параллельный оси параболы, после отражения попадёт точно в её фокус.
Так как точка Е – произвольная, то такой же результат будет с любым лучом, параллельным оси
OY. В результате все лучи соберутся в фокусе (в точке F), и температура в этой точке резко повысится.
До нашего времени дошла легенда, о том, что
в 212 году до н.э. во время штурма римлянами Сиракуз Архимед придумал, как сжечь римские корабли. Согласно этой легенде, Архимед распорядился отполировать до зеркального блеска щиты,
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
(52)
и велел воинам со щитами распределиться по дуге
в форме параболы. День был солнечный и световые
лучи сфокусировались на одном из кораблей, который находился на расстоянии 300 локтей (то есть
150 метров). И корабль удалось поджечь!
В 2005 году группа исследователей из Массачусетского технологического института попробовали на практике проверить, возможно ли это. И им
удалось с помощью большого количества расположенных по параболе зеркал поджечь небольшую
модель корабля на расстоянии 50 метров. Вместе
с тем, были повторы эксперимента в 2006 и 2010 годах, которые закончились неудачно. Поэтому большинство исследователей считают, что если греки
и предпринимали такую попытку, то эффект был
скорее ослепляющим.
Параболические зеркала используют для зажигания олимпийского факела, причём для этого требуется всего несколько секунд. На том же принципе
(концентрации сигнала) устроены параболические
антенны и рефлекторы.
Рис. 5.9
(53)
Если поместить источник света в фокусе параболы, то получится «эффект наоборот». Лучи от источника после отражения от параболы будут распространяться параллельно её оси. Именно так устроены
мощные прожектора (см. рис. 5.9).
Так как все рассмотренные устройства «объёмны», то зеркала имеют форму параболоида (каждое его сечение, параллельное оси вращения, является параболой).
Ранее мы упоминали, что форму параболоида
принимает жидкость в стакане, после того, как её
«раскрутили» ложкой (Рис. 5.11).
Рис. 5.11
Параболоиды вращения можно увидеть в очертаниях купола Московского планетария.
•
Из школьного курса физики мы знаем, что
тело, брошенное под углом к горизонту в поле
тяжести Земли (при отсутствии атмосферы),
движется по параболе. Напомним, почему
это происходит.
Глава 5.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 1)
Рис. 5.10 (параболоид)
(54)
y
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
ymax
v
0
g
x
0
Рис. 5.12
Для простоты примем, что тело брошено горизонтально, причём начинает движение при x = 0
и y = ymax (см. рис. 5.12). Обозначим:
x, y — координаты тела;
v0 — начальная скорость;
g — ускорение свободного падения;
t — время движения.
Так как движение вдоль горизонтальной оси начинается при x = 0, то x = v0 · t (*)
Равноускоренное движение под действием
силы тяжести в направлении противоположном оси
g
У определяется уравнением y = ymax − ⋅ t2. (**)
2
(55)
Выразим t из уравнения (*) и подставим в уравнение (**). Получим: y = ymax − g ⋅ x 2.
2⋅(v0 )2
Тем самым доказали, что движение происходит
по параболе!
Глава 5.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 1)
Небольшое отступление от нашей основной
темы.
Поскольку мы слегка затрагивали художественную литературу, то, наверное, стоит сказать об
этом. Термин «парабола» используют филологи!
Надеюсь, они не обидятся, если я напомню остальным смысл этого понятия. Из «Словаря литературоведческих терминов»:
«Парабола — (от греч. parabole — сравнение,
сопоставление, подобие, приближение)
1) Небольшой рассказ иносказательного характера, имеющий поучительный смысл и особую форму повествования, которое движется
как бы по кривой (параболе): начатый с отвлеченных предметов, рассказ постепенно приближается к главной теме, а затем вновь возвращается к началу, например, притча о блудном сыне
в Новом Завете.
2) Жанр, близкий притче, в драме и прозе
ХХ века».
Если верить Википедии, то в зарубежной литературе XX века авторами, критиками и искусствоведами к произведениям такого характера принято относить, например, роман У. Голдинга «Повелитель
мух», повесть Э. Хемингуэя «Старик и море», «Скотный двор» Дж. Оруэлла, «Солярис» С. Лема. В русскоязычной литературе — «Котлован» А. Платонова.
(56)
Получается, что литература и математика имеют
даже терминологические пересечения!
ГРАФИКИ РАЗЛИЧНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ
ФУНКЦИЙ (ПАРАБОЛ)
Все приведённые ниже рисунки парабол получены
с помощью преобразований, рассмотренных в предыдущей главе.
1 2
x . 3) y = 2x2.
2
1
На рис. 5.14: 1) y = –x2. 2) y = – x2. 3) y = –2x2.
2
На рис. 5.13: 1) y = x2. 2) y =
На рис. 5.15: 1) y = x2. 2) y = (x + 2)2. 3) y = (x – 2)2.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
На рис. 5.16: 1) y = x2. 2) y = (x + 2)2 + 3. 3) y = (x – 2)2 – 3.
3
1
2
4
2
-2
0
2
Рис. 5.13
(57)
Рис. 5.14
4
4
2
0
3
2
Рис. 5.15
Глава 5.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 1)
6
2
-2
-4
1
2
3
1
2
1
3
4
2
0
-2
-4
-2
-4
-6
(58)
2
1
2
3
1
3
5
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
-5
0
5
-5
Рис. 5.16
У параболы есть ветви (они направлены вверх,
если коэффициент при x2 — положителен и вниз,
если он отрицателен), вершина и ось (это вертикальная линия, которая проходит через вершину).
Влияние величины коэффициента при x2 можно проследить на рис. 5.13 и 5.14. Перемещение вершины параболы вдоль осей x и y можно проследить по
рис. 5.15 и 5.16 и соответствующим формулам.
Общий вид квадратичной функции:
y = a(x + b)2 + c
или после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых y = ax2 + px + q. Здесь a A 0, остальные
коэффициенты могут принимать любые значения.
(59)
Покажем на четырёх примерах, что может «вытворять» знак модуля с графиком параболы.
Пример 1. Построить график функции
y = x2 – 3x – 4 (Рис.5.17).
Пример 2. Построить график функции
y = |x2 – 3x – 4| (Рис.5.18).
Пример 3. Построить график функции
y = x2 – 3|x| – 4 (Рис.5.19).
Пример 4. Построить график функции
y = |x2 – 3|x| – 4| (Рис.5.20).
-5
0
5
-5
Рис. 5.17
Глава 5.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 1)
5
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
(60)
10
5
-5
0
-5
5
Рис. 5.18
5
0
5
-5
Рис. 5.19
(61)
10
5
Рис. 5.20
5
-5
Рис. 5.21
Глава 5.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 1)
5
0
-5
5
0
-5
(62)
Пример 5. Построить множество точек, соответствующее равенству |y| = |x2 – 3|x| – 4| (Рис.5.21).
Множество на рис. 5.21 нельзя назвать функцией, так как одному значению х может соответствовать сразу два значения у.
Изучая эти графики, можно ещё раз убедиться
в ёмкости и лаконичности математического языка!
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
КУБИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА
Это функция вида y = a · x3, где a A 0 , но часто кубической параболой называют график кубической функции: y = ax3 + bx2 + cx + d (многочлен третьей степени)
• Без этой функции нельзя обойтись при нахождении объёма шара и объёмов других фигур.
• Кубические параболы в виде многочлена широко используются в инженерной практике
при создании сплайнов. На практике часто
возникает следующая ситуация: в процессе эксперимента получены отдельные точки
(xK; yK), где k = 1, 2, 3, ... в то же время, аналитическая зависимость, связывающая эти
точки в некоторую плавную кривую неизвестна. В этом случае стараются последовательно для каждых ближайших нескольких
точек неизвестной зависимости подбирать
коэффициенты кубического многочлена
так, чтобы получаемая в результате кривая
(сплайн) проходила через все экспериментальные точки и была плавной (то есть не
имела изломов).
На рисунках 5.22 — 5.27 приведены графики некоторых кубических функций.
(63)
1
2
2
2
-2
1
2
0
2
-2
-2
0
2
-2
1
1
2
2
Рис. 5.23
Рис. 5.22
4
2
-2
0
2
2
-2
0
2
-2
-2
Рис. 5.24
Рис. 5.25
Глава 5.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 1)
1 3
На рис. 5.22:
1) y = 2 · x3 2) y =
·x
2
3
Между этими графиками y = x .
1
На рис. 5.23:
1) y = –2 · x3 2) y = – · x3
2
Между этими графиками y = –x3.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
(64)
2
2
0
2
-2
0
Рис. 5.26
2
-2
-4
Рис. 5.27
Рис. 5.28
(65)
На рис. 5.24: y = x3 – 4х;
На рис. 5.25: y = –0,6x3 + х + 1,2;
На рис. 5.26: y = –1,5x3 + 2,9х2 + х – 3;
На рис. 5.27: y = –1,5x3 + 2,9х2 + х – 1,5.
ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ
(ГИПЕРБОЛА)
Это ещё один ценный экспонат нашего музея. Ввиду
особой ценности мы изучим эту функцию подробнее, чем её изучают в школе (примерно так мы уже
поступили с параболой).
Глава 5.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 1)
На рис. 5.28 приведён пример приближения
полученной в эксперименте функции кубическим
сплайном.
• Кубическая парабола возникает при решении некоторых физических задач. Например,
на погружённое в жидкость тело по закону
Архимеда действует выталкивающая сила,
равная объёму жидкости, вытесненной частью тела, погружённой в жидкость. То есть,
в соответствии с этим законом можно записать: FA = ρgV.
В этой формуле:
ρ — плотность жидкости;
g — ускорение свободного падения;
V — объём части тела, погружённой в жидкость;
FA — сила Архимеда.
Если куб целиком погружаем в жидкость, и так
как объём куба V со стороной x равен x3, то сила Архимеда FA = ρg · x3. Эта функция представляет собой
кубическую параболу.
(66)
Определение 5.2.
Геометрическое место точек плоскости, для которых разность расстояний до двух фиксированных
точек есть величина постоянная, называют гиперболой.
Фиксированные точки в определении гиперболы
называют фокусами гиперболы. Обозначим их F1
и F2. Расстояние между фокусами обозначим 2с.
Пусть F1O = F2O = c. Пусть M(x;y) — произвольная
точка, принадлежащая гиперболе. По определению
гиперболы для точки M(x;y) должно выполняться
условие: F2M – F1M = 2a, где a — некоторое постоянное число (считаем, что F2M > F1M.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
10
5
F2
-10
-5
M
F1
0
5
10
-5
-10
Рис. 5.29
(67)
Координаты точек: F1(c; 0), F2(–c; 0) и M(x;y).
Напомним, что расстояние между точками A(a;b)
и B(c;d), заданных своими координатами находится
по формуле: AB = (c − a)2 + (d − b)2 .
По формуле расстояния между точками на плоскости:
F1M = (x − c)2 + y 2 и F2 M = (x + c)2 + y 2 .
Так как F2M – F1M = 2a, то
(x + c)2 + y 2 − (x − c)2 + y 2 = 2a или
(x + c)2 + y 2 = (x − c)2 + y 2 + 2a .
Возведём обе части этого уравнения в квадрат:
или
x 2 + 2cx + c2 + y2 = x 2 – 2cx + c2 + y2 + 4a · (x − c)2 + y 2 + 4a2
или
4a · (x − c)2 + y 2 = 4cx – 4a2 или a · (x − c)2 + y 2 = cx – a2
Предполагая, что сх ≥ а2, возведём обе части последнего равенства в квадрат:
a2 · ((x – c)2 + y2) = (cx – a2)2
или
a2 · (x2 – 2cx + c2 + y2) = c2x2 – 2cxa2 + a4
или
c2x2 – 2cxa2 + a4 = a2x2 – 2cxa2 + c2a2 + a2y2
или
(c2x2 – a2x2) – a2y2 = c2a2 – a4
или
(c2 – a2)x2 – a2y2 = a2(c2 – a2)
Глава 5.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 1)
(x + c)2 + y2 = (x – c)2 + y2 + 4a · (x − c)2 + y 2 + 4a2
(68)
Введём новое обозначение: c2 – a2 = b2, тогда
b2x2 – a2y2 = a2b2.
Разделим обе части последнего неравенства на
2 2
a b . Получим:
x2 y2
−
=1
a2 b2
Получили так называемое каноническое уравнение гиперболы!
Из этого уравнения следует, что
• если y = 0, то x2 = a2, то есть x = a или x = –a.
С учётом последних результатов, можем дополнить рисунок 5.29:
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
10 y
5
b
F2
-10
-5
a
0
x
F1
5
10
-5
-10
Рис. 5.30
(69)
Вершины ветвей гиперболы имеют координаты
(a; 0) и (–a; 0).
На рисунке 5.30 появились две пунктирные прямые. Выясним их смысл.
Из канонического уравнения следует, что
⎛ x2 ⎞
y 2 = ⎜ 2 − 1⎟ ⋅ b2 .
⎟
⎜a
⎠
⎝
Так как a2 — некоторое фиксированное число, то
при значительном увеличении x (по величине, вне
2
зависимости от знака) дробь x2 станет значительно
a
больше единицы и поэтому единицей можно прене2
бречь. y2 всё более приближается к величине b x 2
2
(но не достигает её). То есть
b2
y2 ≈ 2 · x2. Поэтому y2 – 2 · x2 ≈ 0
a
a
или (y –
b
b
· x) · (y +
· x) ≈ 0
a
a
Значит, по мере роста величины x величина y
b
приближается либо к прямой y =
· x, либо к пряa
b
мой y = –
· x.
a
Эти прямые называются асимптоты. Именно эти
прямые и изображены на рис. 5.30.
Следует признать, что вывод уравнений параболы и гиперболы несколько тяжеловесен. Но есть два
момента, которые, я надеюсь, Вас утешат.
• В школе это рассказывают лишь в «продвинутых» математических классах;
• В университетах это рассказывается на первом курсе в разделе «Аналитическая геометрия»;
Глава 5.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 1)
b2
a
(70)
• На страницах книги я постарался изложить
всё максимально понятно и использовал только материал 8 класса обычной школы.
Остаётся вопрос: в школе (кто помнит) в качестве гиперболы были хоть и похожие, но несколько
другие картинки.
На рис. 5.31.
1) y =
2
4
x
2) y = x
3) y =
1
x
На рис. 5.32.
1) y = –
4
x
2
2) y = – x
3) y = –
1
x
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
5
2
3
1
-5
0
5
3
2
1
-5
Рис. 5.31
(71)
5
1
2
3
5
-5
0
3
2
1
Рис. 5.32
Примечание. В школе также рассматривается
функция вида y =
ax b
. При c ≠ 0 это выражение такcx d
же является гиперболой! Чтобы в этом убедиться,
надо проделать следующие преобразования:
ax + b ⎛ ax + b a ⎞ a acx + bc − acx − ad a
+ =
y = cx + d = ⎜ cx + d − c ⎟ + =
c
(cx + d)c
⎠ c
⎝
b ad
−
k
bc−
− ad a c c2 a
=
+ =
+ =
+ n,
c(cx + d) c
c x +m
x+d
c
b ad
где k = c − 2 , n =
c
a
, m = dc .
c
То есть после замены получили функцию:
Глава 5.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 1)
-5
(72)
y =
k
+ n.
x +m
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Это гипербола, которая строится элементарными преобразованиями (см. предыдущую главу).
Покажем, как возникает «школьный» вид параболы.
Для гипербол общего вида мы получили формулу
⎛ 2 ⎞
y 2 = ⎜ x − 1⎟ ⋅ b2. (*)
2
⎝a
⎠
Часто рассматривают частный случай — равнобочной (или равносторонней) гиперболы. В этом
случае полагается a = b. Тогда формула (*) приобретает вид: y2 = x2 – a2. (**)
Обратим внимание, что оси гипербол общего
вида и гипербол «школьного» вида отличаются поворотом осей на 45°. В предыдущей главе были выведены формулы (4.1) для случая поворота на угол α:
⎧ x = x ⋅ cos α − y ⋅ sin α
⎨ y = x* ⋅ sin α + y *⋅ cos α
⎩
*
*
В данном случае α = –45°.
Так как sin(−45°) = −
1
1
. cos(−45°) =
, то:
2
2
⎧ x = (x + y ) ⋅ 1
⎧x = x ⋅ 1 + y ⋅ 1
⎪
⎪
* 2
* 2
*
*
2
⇒⎨
⎨
1
1
1
+y ⋅
y = −(x − y ) ⋅
⎪ y = −x* ⋅
⎪
* 2
*
*
2
2
⎩
⎩
Подставим полученные выражения в формулу (**):
2
2
⎛
1 ⎞ ⎛
1 ⎞
2
⎟ = ⎜ (x* + y* ) ⋅
⎜ (x* − y* ) ⋅
⎟ −a ⇒
2⎠ ⎝
2⎠
⎝
1
1
⇒ ⋅ (x − y )2 = ⋅ (x + y )2 − a2
2 * *
2 * *
(73)
T
максимальному значению излучательной способности абсолютно чёрного тела, обратно
пропорциональна его абсолютной температуре (закон смещения Вина). T – температура,
b – постоянная Вина;
Z p
const
— при постоянной температуре давV
ление данной массы газа обратно пропорционально его объёму (закон Бойля-Мариотта);
Z a
v2
— центростремительное ускорение при
R
движении тела по окружности прямо пропорционально квадрату линейной скорости и обратно пропорционально радиусу окружности.
Z Конечно, было бы неправильным не упомянуть
о важном оптическом свойстве гиперболы:
Глава 5.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 1)
Или (x* – y*)2 = (x* + y*)2 – 2a2 или
(x*)2 – 2x*y* + (y*)2 = (x*)2 + 2x*y* + (y*)2 – 2a2
0,5 ⋅ a2
Или 4x*y* = 2a2 или y =
.
*
x
Обозначая 0,5•a2 = k, *получаем привычный
k
.
«школьный» вид гиперболы: y
x
Гипербола является геометрическим выражением обратной пропорциональности и встречается во
всех науках и в инженерной практике также часто,
как прямая пропорциональность, геометрическим
выражением которой является прямая линия.
Приведём лишь несколько примеров (им несть
числа).
U
Z I
— сила тока прямо пропорциональна наR
пряжению и обратно пропорциональна сопротивлению (закон Ома);
b
Z λm
— длина волны λm , соответствующая
(74)
10 y
5
F2
-10
-5
x
F1
0
5
10
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
-5
-10
Рис. 5.33
Если поместить в один из фокусов гиперболы точечный источник света, то каждый луч после отражения от зеркальной «поверхности» гиперболы видится исходящим из другого фокуса (см. рис. 5.33).
Один из наиболее распространённых астрономических телескопов (телескоп Ричи-Кретьена) содержит именно гиперболические зеркала.
В 1910 году американец Джордж Ричи и его помощник физик-оптик из Франции Анри Кретьен
изобрели систему рефлектора, в которой вторичные зеркала были не традиционно параболические,
а гиперболические. Такая система оказалась очень
эффективной и в наше время используется почти во
всех крупных рефлекторах.
(75)
Рис. 5.34
Глава 5.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 1)
Z При вращении гиперболы вокруг одной из её
осей получается либо однополостный гиперболоид, либо двуполостный гиперболоид (они изображены на рис. 5.34).
Однополостный гиперболоид обладает одним
удивительным свойством. Через любую точку на его
поверхности проходят две прямые, целиком лежащие на этом гиперболоиде.
Это свойство имеет большое практическое значение в архитектуре, так как появляется возможность оптимально размещать арматуру в железобетонных оболочках.
В России эту форму конструкций ввёл в архитектуру выдающийся инженер В. Г. Шухов.
Шуховская телевизионная башня расположена
в Москве на улице Шухова рядом с телецентром на
Шаболовке. Она была построена в 1920–1922 годах.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
(76)
Античные геометры изучали самые разные плоские фигуры. Но особого внимания удостоились
кривые, которые получались при пересечении прямого кругового конуса плоскостями, не проходящими через его вершину. В зависимости от наклона секущей плоскости получались либо парабола,
либо гипербола, либо эллипс (об эллипсе речь
впереди).
Греческие математики интересовались построениями только с циркулем и линейкой. При этом
предполагалось, что речь идёт об идеальных инструментах, то есть:
Z Линейка не имеет делений и имеет только
одну сторону бесконечной длины;
Z Циркуль может иметь, какой угодно, большой
или малый раствор (то есть может чертить
окружность произвольного радиуса).
Используя эти инструменты, они научились выполнять чисто геометрически все арифметические
операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Кроме того, они нашли чисто геометрическую процедуру для извлечения квадратного корня
(см. Приложение к этой главе).
Но были три задачи (об удвоении куба, квадратуре круга и трисекции угла), которые не удавалось
решить никакими хитроумными способами.
Z Первая задача предполагала возможность построения ребра куба, объём которого вдвое
больше объёма заданного куба. Это знаменитая Делосская задача. Своё название она
получила от острова Делос в Эгейском море.
По легенде, чтобы избавить жителей от эпи-
(77)
Читателям, заинтересовавшимся этими задачами и желающим узнать больше, можно порекомендовать книгу Прасолова В.В. «Три классические
задачи на построение», М., «Наука», 1992 г.
Глава 5.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 1)
демии, оракул повелел удвоить алтарь, имеющий форму куба.
Пусть a — ребро исходного куба, тогда его
объём V = a3. Пусть x — длина стороны вдвое
большего куба. Тогда получаем соотношение
x3 = 2a3. Это кубическое уравнение. Только
в 1837 году французский математик П. Ванцель доказал, что найти решение этого уравнения геометрическим построением невозможно.
Z Квадратура круга — задача построения квадрата, равного по площади данному кругу.
Пусть R – радиус круга. Тогда его площадь:
πR2 . Площадь квадрата со стороной x равна x2,
поэтому получаем равенство x2 = πR2. Отсюда
x = √πR. Греки были искусными математиками. С помощью циркуля и линейки они умели
выполнять все 4 арифметических действия
и извлекать квадратный корень. Но точное
построение числа π оказалось невозможным.
Это было доказано в 1882 году немецким математиком Карлом Линдеманом.
Z Трисекция угла — это задача построения лучей, делящих произвольный заданный угол
на три равные части. Уже упомянутый нами
П. Ванцель доказал, что трисекция угла α
разрешима только тогда, когда уравнение
x3 – 3x – 2•cosα = 0 разрешимо с использованием квадратных корней.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
(78)
Античным математикам стало ясно, что получить решение этих трёх задач построением прямых
и окружностей не удастся. Тогда они попробовали
добиться успеха, определяя точки пересечения кривых. И выбор пал на конические сечения (парабола,
гипербола и эллипс). Свойства этих кривых изучали многие учёные, в числе которых были Архимед
и Евклид. Однако наиболее важные результаты получил Аполлоний Пергский в III веке до н. э. Он же
ввёл их современные названия. Отсюда гипербола — «образное преувеличение».
«Образное преувеличение» — окно из математики в литературу. Гипербола в литературе — это художественное преувеличение. Некоторая аналогия, не
смотря на предметную полярность взглядов на мир,
всё-таки существует. Так же, как гипербола в телескопе помогает увидеть отдалённые уголки пространства, так и литературная гипербола позволяет
приблизить и детально рассмотреть особенности
характера художественного персонажа. Например,
у того же Гоголя в «Мертвых душах»: Собакевич
«похожий на средней величины медведя»; черты
лица Манилова «не лишены приятности, но в эту
приятность, казалось, чересчур было передано
сахару».
ЭЛЛИПС
Определение 5.3.
Множество всех точек на плоскости, для которых
сумма расстояний до двух фиксированных точек F1
и F2 есть заданная постоянная величина, называется эллипсом.
(79)
5
y
D
M
B x
A
-5
F1
F2
0
5
C
Рис. 5.35
Определение эллипса даёт следующий способ
его построения. Фиксируем на плоскости две точки F1 и F2. Пусть расстояние между ними равно 2с.
Представим себе нерастяжимую нить длиной 2a,
так что а > c. Пусть эта нить закреплена в точках F1
и F2, например, с помощью двух гвоздей. Натянув
нить карандашом, начертим линию, которая и будет
эллипсом. Рис. 5.35
Ясно, что a > c > 0.
Фиксированные точки F1 и F2 называются фокусами, расстояние 2c между ними — фокальным
расстоянием.
Точки A, B, C, D – вершины эллипса. Заметим, что если точка М перемещается в точку В, то
Глава 5.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 1)
-5
(80)
длина нити 2a = F1M + F2B = AB, так как AF1 = F2B ⇒
AO = OB = a.
Если точка М перемещается в точку D, то по теореме Пифагора из треугольника F1OD следует,
что F1M2 – F1O2 =DO2. DO — обозначают b, и так как
F1M = F2M = a, F1О = F2О = с, то a2 –c2 = b2.
Выведем уравнение эллипса.
Запишем координаты точек: F1(–с; 0), F2(с; 0),
M(x; y).
Тогда F1M = (x − (−c))2 + (y − 0)2 = (x + c)2 + y 2,
F2 M = (x − c)2 + (y − 0)2 = (x − c)2 + y 2.
По условию: F1M + F2B = 2a ⇒
(x + c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2 = 2a.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
(x + c)2 + y 2 = 2a − (x − c)2 + y 2.
Или
Возведём
в квадрат обе части последнего уравнения:
(x + c)2 + y 2 = 4a2 − 4a (x − c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2. Или
x 2 + 2xc + c2 + y 2 = 4a2 − 4a (x − c)2 + y 2 + x 2 − 2xc + c2 + y 2.
Или 4a (x − c)2 + y 2 = 4a2 − 4xc ⇒
a (x − c)2 + y 2 = a2 − xc.
Возведём обе части последнего равенства в квадрат. Это можно сделать, так как a2 – cx > 0.
(Даже если точка М совпадёт с точкой В, то x = a
и a2 – ac > 0, a > c).
a2 ((x − c)2 + y 2) = a4 − 2xca2 + x 2c2 ⇒
a2 x 2 − 2cxa2 + a2c2 + a2y 2 = a4 − 2cxa2 + x 2c2 ⇒
(a2 x 2 − c2 x 2) + a2y 2 = a4 − a2c2 ⇒
(a2 − c2)x 2 + a2y 2 = a2(a2 − c2).
(81)
Ранее мы обозначили, что a2 – c2 = b2, поэтому
b2x2 + a2y2 = a2b2.
Или
x2
y2
+ 2 = 1 — каноническое уравнение
a
b
2
эллипса.
5
y
n
D
A
-5
F1
0
M
N
F2
Bx
5
C
Рис. 5.36
Глава 5.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 1)
При a = b получаем частный случай: x2 + y2 = a2 —
уравнение окружности с центром в начале координат.
Эллипс обладает целым рядом замечательных
свойств.
Z Каждая из планет движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце
(первый закон Кеплера);
Z Оптическое свойство эллипса.
Для любой точки М и касательной, проведённой
к эллипсу в точке М углы между F1M и касательной
и F2M и касательной равны.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
(82)
Это свойство имеет наглядный физический
смысл.
Если в фокусе F1 расположить источник света, то
луч, выходящий из этого фокуса, после отражения
от эллипса пойдёт по прямой F2M и пройдёт через
фокус F2. (То есть, если поместить в точку F1 лампу,
то будет полная иллюзия, что такая же лампа находится и в точке F2 ). Часто это свойство называют
фокальным свойством.
Фокальное свойство лежит в основе акустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах
и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму. Если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего далеко
в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он
находится рядом. Это свойство используют архитекторы для создания звуковых эффектов («мистического» шёпота).
Z Фигура, получаемая при вращении эллипса
в пространстве относительно одной из его
главных осей, называется эллипсоидом
вращения (рис. 5.37). Свойство вытянутого эллипсоида вращения отражать лучи,
направленные в один из фокусов, в другой
фокус используется в телескопах системы Грегори и в антеннах Грегори. Джеймс
Грегори (шотландский математик и астроном) ещё в 1663 году предложил отражательный телескоп, первичное зеркало которого — параболоид с центральным отверстием,
а вторичное — эллипсоид. В честь Грегори
назван один из кратеров на обратной стороне Луны.
(83)
Рис. 5.37
Мы уже неоднократно наблюдали терминологические пересечения в математике и литературе. Не является исключением и термин эллипс.
В переводе с древнегреческого это «недостаток».
В математическом отношении речь идёт о понятии
эксцентриситета. Эксцентриситетом эллипса наc
зывается величина e
. Так как c < a, то e < 1. Элa
липс — «недостаток эксцентриситета до единицы».
Глава 5.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 1)
Z Ещё в конце XVII века было установлено, что
Земля не имеет точной сферической формы
и скорее напоминает эллипсоид вращения
(сплюснута у полюсов из-за центробежной
силы). Сложность реальной формы Земли
приходится учитывать при точном позиционировании объектов на её поверхности системами GPS и ГЛОНАСС.
Z Эллипсоид вращения с успехом используется
в строительстве: стальной купол над стадионом в Сан-Пауло (Бразилия), спортзал в Атланте (США), огромный эллиптический купол
храма св. Девы Марии в Викофорте, недалеко
от Турина (Италия).
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
(84)
В литературе эллипсис (эллипс) также имеет
смысл «недостатка» или чего-то «выпущенного».
То есть это пропуск элемента высказывания, легко
восстанавливаемого в данном контексте или ситуации. Например:
«Во всех окнах — любопытные, на крышах —
мальчишки». (А. Н. Толстой, Хождение по мукам);
«Вместо хлеба — камень, вместо поучения —
колотушка». (М. Е. Салтыков-Щедрин, Господа
Головлёвы).
Конечно, возникает вопрос о причине таких лингвистических совпадений. Частичным ответом на
этот вопрос может быть мнение физика Нильса
Бора. Он писал: «Мы не будем рассматривать
чистую математику как отдельную область знания; мы будем считать её скорее усовершенствованием общего языка…»
Будем надеяться, что гуманитариев не обидит
такой физико-центричный взгляд на мир, в котором
мы занимаемся наукой и читаем художественную
литературу.
КОРЕНЬ КВАДРАТНЫЙ
Эта функция (она обозначается y = √x) не обладает такой «респектабельностью», как парабола,
гипербола или эллипс. (Кстати, напомним, что гипербола и эллипс в том общем виде, который мы
рассматривали, функциями не являются!). Поэтому y = √x находится в тени своих математических
собратьев.
Тем более что и чисто геометрически она выглядит всего лишь, как половинка развёрнутой на 90°
параболы. Вы можете увидеть это на рис. 5.38.
(85)
5
0
5
10
-5
Область определения этой функции D(f) = [0; +∞)
область значений так же E(f) = [0; +∞).
Для построения графика используются, прежде
всего, «удобные» целочисленные точки:
y(0) = √0 = 0, y(1) = √1 = 1, y(4) = √4 = 2,
y(9) = √9 = 3, y(16) = √16 = 4, ...
Также есть удобные для вычисления рациональные точки, например y(6,25) = √6,25 = 2,5.
Если есть калькулятор, то вычисление значения
корня не представляет трудностей.
Существуют и различные способы извлечения
корня «вручную». Один из самых эффективных —
итерационный аналитический алгоритм.
Он основан на использовании функции
1
y = ⋅ ⎛⎜ x + a ⎞⎟ , где a – число, из которого извлека2 ⎝
x⎠
ется корень. Например, для случая a = 7 график изображён на рис. 5.39.
Глава 5.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 1)
Рис. 5.38
(86)
6
B
C
4
E
F
D
2
x
y=
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
0
2
4
A
6
8
Рис. 5.39
1 ⎛
⎞
⎝
n−1 ⎠
7
Подсчёт ведётся по формуле x n = ⋅ ⎜⎜ xn−1 +
⎟.
2
x ⎟
1 ⎛
7 ⎞
Z Пусть n = 1 ⇒ x1 = ⋅ ⎜⎜ x0 + ⎟⎟ .
2 ⎝
x0 ⎠
x0 — «прикидочное» значение, которое мы
предполагаем в качестве результата извлечения корня. Чем мы лучше его угадаем, тем
быстрее найдём результат. Мы в качестве
исходного приближения возьмём очевидно
«плохое» значение x0 = 7 (точка В на графике).
И покажем, что даже в этом случае процесс
подсчёта довольно быстро приблизится к истинному значению числа √7.
x1 = ⋅ ⎛⎜ 7 + 7 ⎞⎟ = 4. (точка С на рис. 5.39).
1
2 ⎝
7⎠
(87)
1 ⎛
⎞
7
7⎞
⎛
Z Пусть n = 2 ⇒ x2 = ⋅ ⎜⎜ x1 + ⎟⎟ = ⋅ ⎜ 4 + ⎟ = .
2 ⎝
4⎠ 8
x1 ⎠ 2 ⎝
1
23
(точка Е на рис. 5.39).
1 ⎛
⎞
7
Z Пусть n = 3 ⇒ x3 = ⋅ ⎜⎜ x2 + ⎟⎟ =
2
x
2⎠
⎝
1 ⎛ 23
23 ⎞ 1 ⎛ 23 56 ⎞ 977
+
= ⋅⎜
+ 7: ⎟ = ⋅ ⎜
= 2, 654891...
⎟=
2 ⎝ 8
8 ⎠ 2 ⎝ 8 23 ⎠ 368
1 ⎛
⎞
1 ⎛
⎞
7
977
977
+ 7:
Z Пусть n = 4 ⇒ x4 = ⋅ ⎜⎜ x3 + ⎟⎟ = ⋅ ⎜
⎟=
2 ⎝
2
368 ⎠
x3 ⎠
⎝ 368
=
1 ⎛ 977 2576 ⎞ 1902497
= 2, 6457670...
⋅⎜
+
⎟=
2 ⎝ 368 977 ⎠ 719072
мулы y =
(
1
a
x+
2
x
) даёт возможность извлекать кор-
ни. Для этого сделаем замену переменных: x = √а•t
и y = √а•v. Получим:
1⎛
a⎞
1
1
a ⋅v = ⎜ a ⋅t +
или v(t) = t + .
2⎝
t ⎟⎠
t
2
Докажем, что эта функция достигает своего минимального значения при t = 1. Проще всего это
было бы сделать с помощью производной. Но мы
стараемся не выходить за рамки 8-ого класса, поэтому поступим по-другому.
Предположим, что t = 1 + Δ, где Δ — какое-то очень
маленькое по величине (по сравнению с единицей)
число. При этом Δ может быть как положительным,
так и отрицательным.
( )
Глава 5.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 1)
Истинное значение: √7 = 2,6457513... Погрешность: 0,0000157, то есть менее 0,00059%.
Очевидно, что это очень хороший результат! Кроме
того, такая процедура позволяет получать приближённые значения корней в виде рациональных дробей.
Теперь разберёмся, почему использование фор-
(88)
Тогда v(1) =
( )
(
)
1
1
1+ = 1, v(1+ Δ) = 1 1+ Δ + 1 =
2
1
2
1+ Δ
1 ⎛ 2+ 2Δ + Δ2 ⎞ 1 ⎛ (2+ 2Δ)+ Δ2 ⎞ 1 ⎛ 2(1+ Δ)+ Δ2 ⎞
= ⎜
⎟= ⎜
⎟= ⎜
⎟=
2 ⎝ 1+ Δ ⎠ 2 ⎝
1+ Δ
1+ Δ
⎠ 2⎝
⎠
2 ⎞
2
⎛
1
Δ
1 Δ
= ⎜2+
> 1 при любых Δ таких, что 0 ≤|Δ|<1
⎟ = 1+
2⎝
1+ Δ ⎠
2 1+ Δ
Доказали, что при t = 1 функция v(t) достигает своего минимального значения, причём v(1) =1.
При этом x = √a•t = √a•1 = √a, y = √a•v = √a•1 = √a.
Это означает, что функция
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
y=
(
1
a
x+
2
x
) достигает своего минимума в точке с
координатами (√а; √а).
Это объясняет, почему итерации, изображённые
на рис. 5.39 дают правильный результат.
Функция y = √x естественно возникает при изучении различных физических процессов. Приведём
несколько примеров.
Z Математический маятник.
Колебания точечной массы, подвешенной
на нерастяжимой нити, под действием силы
тяжести. Период Т колебаний выражается
Рис. 5.40
формулой:
T = 2π ⋅
0
L
,
g
где L – длина нити;
g – ускорение
свободного падения.
y0
y1
h
(89)
Z Пружинный маятник
Маятник на пружине — механическая система, состоящая из пружины с коэффициентом упругости
k (закон Гука), один конец
которой жёстко закреплён,
а на втором находится груз
массы m.
Период колебаний пружинного маятника может
быть вычислен по следующей формуле:
T = 2π ⋅
Рис. 5.41
Z Электрический колебательный контур
Электромагнитные колебания могут возникать в цепи, содержащей индуктивность
L и емкость C (рис. 5.42). Такая цепь называется колебательным контуром. Возбудить
колебания в таком контуре можно, например, предварительно зарядив конденсатор от
внешнего источника напряжения, соединив
его затем с катушкой индуктивности.
T = 2π ⋅ LC. (Т - период колебаний)
Рис. 5.42
Глава 5.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 1)
m
.
k
(90)
Z Скорость распространения звука в газах
Скорость v звуковых волн в газе можно найти по формуле:
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
p
v = γ⋅ ,
ρ
где γ – отношение теплоёмкости газа при
постоянном давлении к его теплоёмкости при
постоянном объёме;
p — давление невозмущённого волной
газа;
ρ — плотность невозмущённого волной
газа.
Z Формула скорости молекул газа
Скорость частиц газа зависит от температуры и их массы. Чем выше температура, тем
быстрее движутся молекулы газа, а чем они
тяжелее, тем медленнее их скорость.
Идеальным считается настолько разряженный газ, что в нем можно пренебречь взаимодействием между молекулами. Иными словами, в таком газе молекул настолько мало,
что между ними почти не происходит столкновений и нет взаимного притяжения.
При небольшом давлении и невысоких температурах обычные газы близки к идеальному
состоянию.
Формула средней квадратичной скорости
молекул идеального газа (v) и имеет вид:
v=
2kT
m
2RT
.
M
(91)
Здесь: R – универсальная газовая постоянная;
Т – температура;
М – молярная масса;
k – постоянная Больцмана;
m – масса одной молекулы идеального
газа.
Ещё два важных момента:
Z Следует не забывать, что все приведённые
графики могут трансформироваться с помощью преобразований, приведённых в предыдущей главе.
Z Список элементарных функций не ограничивается уже рассмотренными. Позже у нас
появятся тригонометрические, показательные и логарифмические. Они существенно
расширят нашу «азбуку» и нашу «портретную
галерею».
Глава 5.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 1)
Во всех приведённых формулах подразумевается, что входящие в них переменные заданы в системе СИ.
Подведём некоторые предварительные итоги.
К элементарным (азбучным) в школе принято относить зависимости, представленные ниже
в таблице. Эти зависимости можно представить
либо в виде y = f(x), либо в виде F(x; y) = 0 (когда
переменную y не удаётся (или нежелательно) выразить в явном виде). (Смотри таблицы на страницах 92–95.)
(92)
Уравнение
F(x; y) = 0
ax + by + c = 0,
a2 + b2 ≠ 0
Уравнение
y = f(x)
y = kx + b
Название
функции
или
множества точек
Прямая общего вида
Линейная
функция
Название
кривой
Прямая линия
Прямая линия
5
5
Вид на
плоскости
-5
0
-5
5
-5
0
-5
5
(93)
y = px2
(x = ky2)
y = ax2 + bx + c,
a≠0
Каноническое
уравнение
параболы
Квадратичная
функция
Парабола
Парабола
5
4
-5
-2
0
2
2
0
-5
2
-2
0
4
Глава 5.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 1)
2
(94)
x2
y2
−
=1
a2 b2
Уравнение
F(x; y) = 0
Уравнение
y = f(x)
y=
k
, k ≠0
x
Название
функции
или
множества точек
Каноническое уравнение гиперболы
Обратная
пропорциональность
Название
кривой
Гипербола
Гипербола
5
Вид на
плоскости
-5
0
-5
5
5
-5
0
5
-5
(95)
x2
y2
+
=1
a2 b2
x, x I 0
y
Каноническое
уравнение
эллипса
Корень
квадратный
Эллипс
Корень
квадратный
2
2
-2
0
-2
2
0
2
4
6
Глава 5.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 1)
4
(96)
ПРИЛОЖЕНИЕ.
ʶ̡̌ ̸̛̦̯̦̼̖̌ ̡̛̛̥̯̖̥̯̌̌ ̨̛̭̖̬̹̣̏̌ ̴̸̡̛̛̛̬̥̖̯̖̭̖̌
̶̸̶̨̡̡̨̛̛̛̛̛̛̛̪̖̬̦̭̣̥̬̱̣̖̥̣̦̖̜̜̌̌̔̌
C
D
Рис. 5.43
B
A
B
C
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
A
D
m
Пусть нам даны отрезки длины a и b.
1. Построение с = a + b.
Пусть даны два отрезка AB = a, CD = b.
Проведём по линейке произвольную прямую m.
Возьмём на прямой m произвольную точку и обозначим её А. Рис. 5.43
Отмерим циркулем отрезок АВ и отложим его на
прямой m от точки А.
Отмерим циркулем отрезок CD и отложим его на
прямой m от точки B как продолжение отрезка АВ.
C
D
Рис. 5.44
A
A
B
D
B
C
m
(97)
Получили отрезок AD = AB + CD или с = a + b. Например, если при заданных единицах измерения
a = 5, b = 3, то мы эти числа сложили и получили число c = 8.
Задача а)
Пусть дана прямая m и заданная на ней точка А.
Надо построить перпендикуляр к прямой m, проходящий через точку А. Порядок действий следующий:
Z Проводим окружность произвольного радиуса
с центром в точке А. Обозначим M и N — точки
пересечения этой окружности с прямой m;
Глава 5.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 1)
2. Построение с = a –b.
Пусть даны два отрезка AB = a. CD = b.
Проведём по линейке произвольную прямую m.
Возьмём на прямой m произвольную точку и обозначим её А. Рис. 5.44
Отмерим циркулем отрезок АВ и отложим его на
прямой m от точки А.
Отмерим циркулем отрезок CD и отложим его на
прямой m от точки B по направлению к точке А.
Получили отрезок AD = AB – CD или с = a –b.
Например, если при заданных единицах измерения a = 8, b = 3, то мы сделали вычитание и получили
число c = 5.
Для построения произведения длин отрезков
a
c = a•b, частного от деления c
и c = √a необхоb
димо уметь:
а) строить перпендикуляр к заданной прямой,
проходящий через точку на этой прямой;
б) строить угол, равный заданному углу;
в) находить середину заданного отрезка.
(98)
Z Проведём окружность с центром M радиусом MN;
Z Проведём окружность с центром N радиусом MN;
Z Через точку пересечения последних двух
окружностей и точку А проведём прямую.
Эта прямая и будет искомый перпендикуляр.
Задача б)
D
F
Рис. 5.45
m
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
C
A E
B
Пусть дана прямая m и точки А и В на этой прямой. Пусть также задан угол α, вершина которого
находится в точке А, а одна из сторон принадлежит
прямой m. Надо построить равный ему угол, вершина которого находится в точке В, а одна из сторон
также принадлежит прямой m (рис. 5.45).
Z Из точки А произвольным радиусом проводится дуга, которая пересекает стороны первого
угла в точках C и D;
Z Тем же радиусом проводится дуга l с центром в точке В. Эта дуга пересекает прямую
m в точке Е;
Z Циркулем замеряется отрезок CD и из точки
Е радиусом CD проводится дуга до пересечения в точке F с дугой l.
(99)
Z Соединяем точки В и F. Полученный угол
FBE — искомый угол, равный заданному углу
CAD.
3. Построение c = a•b.
Пусть даны два отрезка AB = a, AC = b.
Проведём по линейке произвольную прямую m.
Возьмём на прямой m произвольную точку и обозначим её А.
Построим перпендикуляр к прямой m, проходящий через точку А (см. задачу а)). Назовём его n.
Рис. 5.46
Отложим на прямой m отрезок AT = 1.
Отложим на перпендикуляре n отрезок AC = b.
Соединим точки С и Т.
Глава 5.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 1)
Задача в)
Пусть дана прямая m и точки А и В на этой прямой. Надо с помощью циркуля и линейки найти середину отрезка АВ.
Z Из точки А радиусом АВ проведём окружность p;
n
Рис. 5.46
Z Из точки В радиу- D
сом АВ проведём
окружность q;
Z Соединим прямой
n точки пересечения окружностей C
p и q;
Z Точка пересечения
прямых m и n — исm
комая точка сереA
1
B
T
дины отрезка АВ.
(100)
Отложим на прямой m отрезок AB = a.
Построим угол DBA = углу CTA (см. задачу б)).
AD = AB•AC или получили искомое произведение
c = a•b.
Например, если a = 3, b = 2, то c = 3•2 = 6.
Доказательство
Треугольник САТ подобен треугольнику DAB ֜
֜
AC AD
b AD
=
⇒ =
⇒ AD =ab, что и требовалось
AT AB
1
a
доказать.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
a
.
4. Построение c
b
Пусть даны два отрезка AB = a, AC = b.
Проведём по линейке произвольную прямую m.
Возьмём на прямой m произвольную точку и обозначим её А.
n
Построим перпендиРис. 5.47
B
куляр к прямой m, проходящий через точку
А (см. задачу а)). Назовём его n.
Отложим на прямой
D
m отрезок AT = 1.
Рис. 5.47
Отложим на перm
пендикуляре n отрезок
A
1
T
C
AB = a.
Отложим на прямой m отрезок AC = b.
Соединим точки С и B.
Построим угол DTA = углу BCA (см. задачу б)).
a
AB
AD
или получили искомое отношение c
.
AC
Например, если a = 5, b = 2,5. то с =
5
= 2.
2,5
b
(101)
n
D
T 1 A
O
B
m
Рис. 5.48
DA BA
DA a
a
=
⇒
= ⇒ AD = , что и требовалось
1
AT AC
b
b
доказать.
5. Построение c = √a.
Пусть дан отрезок AB = a.
Проведём по линейке произвольную прямую m.
Возьмём на прямой m произвольную точку и обозначим её В.
От точки В с помощью циркуля отложим отрезок
ВА. Рис. 5.48
От точки А отложим единичный отрезок АТ = 1
Найдём середину О отрезка ВТ (см. задачу в)).
Из точки О как из центра построим окружность
радиуса ВО.
Глава 5.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 1)
Доказательство
Треугольник DАТ подобен треугольнику BAC ֜
(102)
Построим перпендикуляр n к прямой m, проходящий через точку А (см. задачу а)).
Точку пересечения перпендикуляра n и окружности обозначим D.
Длина отрезка AD и есть искомое значение c = √a.
Например, если a = 9, то c = √a = √9 = 3.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Доказательство
В 8-ом классе во всех школьных учебниках геометрии есть теорема о свойстве отрезков любых
пересекающихся хорд.
В нашем случае (см. рис. 5.49) это свойство записывается следующим образом: DA•AC = TA•AB. Рассмотрим прямоугольные треугольники DAO и CAO.
D
1 A
Рис. 5.49
(103)
AO — общий катет. Гипотенузы DO и CO равны, так
как это радиусы. ] Треугольники DAO и CAO равны по катету и гипотенузе ] DA = AC. Обозначим
DA = AC = c. DA•AC = TA•AB или так как TA = 1, AB = a,
то с2 = 1•a, или c = √a, что и требовалось доказать.
Глава 5.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 1)
В Древней Греции в большей степени ценились
геометрические методы численных преобразований. Они считали, что при выбранном масштабе
длину любого отрезка можно выразить либо целым
числом, либо отношением двух целых чисел. Неудачи в попытках выразить диагональ квадрата со стороной, равной единице в виде отношения двух целых
чисел воспринималась очень болезненно. Легенда
гласит, что некто Гиппас (из школы пифагорейцев)
доказал, что такого дробного числа не существует
и ему велели держать это открытие в тайне. Но он
раскрыл эту тайну и был наказан богами — погиб во
время кораблекрушения.
Числа для пифагорейцев представлялись точками, которые располагались в виде правильных геометрических фигур. При таком подходе неудивительно, что за основу были взяты преобразования
с циркулем и линейкой.
Слова «цирк» (круглая арена) и циркуль конечно
лингвистически связаны. Оно происходит от латинского circus — круг. Слово «линейка» происходит от
латинского linea — черта.
Глава 6.
МАТЕМАТИКА. МИРЫ ИЗ НИЧЕГО
Вначале существовал лишь вечный,
безграничный Хаос.
В нём заключался источник жизни мира.
Всё возникло из безграничного Хаоса —
весь мир и бессмертные Боги.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Гесиод. Теогония
Для начальной организации «математического
мира» нам необходимо какое-то первичное понятие. Большинство математиков в качестве такого
понятия рассматривают множество.
Любая область человеческой деятельности связана не только с одним предметом, объектом, а с целой совокупностью. Например, медицина изучает не
одну отдельно взятую болезнь, а все болезни, зоология изучает не отдельно взятое животное, а совокупность всех животных.
Математика, также изучает не отдельные объекты,
а их совокупность, сгруппированную по какому-то признаку. Например, в геометрии изучают свойства, присущие любым треугольникам, а не отдельно взятому.
В конце XIX в. немецкий математик Георг Кантор
создал общую теорию таких совокупностей, имею-
(105)
щую название «теория множеств», которая лежит
в основе всей математики.
Раскрыть смысл этого понятия помогает данное
им определение:
«Под множеством мы понимаем любое соединение S определённых различных (различимых) объектов нашего умозрения или нашей
мысли (которые будут называться элементами S) в единое целое».
1 Использован перевод с немецкого А. И. Фета по
изданию: Georg Cantor, Ernst Zermelo, ed., Gesammelte
Abhandlungen mathematischen und philosophischen inhalts,
mit erläuternden anmerkungen sowie mit ergänzungen aus
dem briefwechsel Cantor-Dedekind, Berlin, Verlag von Julius
Springer, 1932. — Комм. автора.
Глава 6.
(Математика. Миры из ничего)
Вклад Кантора в современное состояние математики
настолько велик, что целесообразно привести краткое
описание его жизни.1
Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор родился
4 марта 1845 года в Санкт-Петербурге в образованной
и известной семье.
В биографических источниках отмечается, что
он обладал обширным образованием, был исключительно начитанным человеком и за свою
жизнь собрал огромную книжную библиотеку.
Наряду с этим великолепно владел живописью,
о чем свидетельствуют его сохранившиеся картины.
В молодости хорошо играл на скрипке. Но главным
делом его жизни стала математика.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
(106)
Оба его родителя были евреями. Отец, Георг Вольдемар Кантор — португальский еврей и датский подданный, был родом из Копенгагена. По некой причине
он в ранней молодости переселился в Петербург, где
владел фирмой посреднических услуг, деятельность
которой протекала весьма успешно, и был членом Петербургской фондовой биржи. В дальнейшем это позволило ему оставить семье вполне внушительное состояние. Он обладал блестящими знаниями в области
гуманитарных наук, был глубоко религиозным человеком, поддерживающим взгляды христиан-евангелистов, и побуждал своих детей жить в духе христианского учения. Отец хотел видеть сына инженером.
Мать Георга Кантора, Мария Бём, происходила из
известной музыкальной семьи. Ее отец был капельмейстером Императорской оперы в Петербурге, брат
отца — профессором скрипичной музыки Венской
консерватории. Широко прославились в истории музыки и многие другие представители из рода Бёмов.
Георг был старшим из шести детей. Мать дала ему
отличное музыкальное образование. Он виртуозно
играл на скрипке, унаследовав от своих родителей значительные художественные и музыкальные таланты.
В Петербурге Георг Кантор прожил всего лишь
11 лет. (В 1856 году отец будущего математика заболел и семья Канторов-Бёмов, рассчитывая на более мягкий климат, переехала в Германию: сначала
в Висбаден, а потом во Франкфурт.)
Интерес к математике Георг ощутил еще в раннем
детстве и пронес его через всю жизнь. В 1860 году он
с отличием окончил реальное училище в Дармштадте.
Учеба доставляла ему удовольствие. «Его трудолюбие и прилежание образцовы; его знания по эле-
(107)
ментарной математике, включая тригонометрию,
очень хорошие; его достижения достойны похвалы» — написано в свидетельстве Георга Кантора об
окончании реального училища города Дармштадта.
В 1862 году будущий знаменитый учёный поступил в Федеральный политехнический институт в Цюрихе (ныне — Швейцарская высшая техническая
школа Цюриха). Через год умер его отец. Получив
солидное наследство, Георг переводится в Берлинский университет имени Гумбольдта, где начинает
посещать лекции таких знаменитых учёных, как Леопольд Кронекер, Карл Вейерштрасс и Эрнст Куммер. Лето 1866 года он провёл в Гёттингенском университете, тогда, да и сейчас очень важного центра
математической мысли.
После защиты докторской диссертации по математике в Берлинском университете (1867) ему была
присвоена степень доктора философии.
После непродолжительной работы в качестве
преподавателя в Берлинской школе для девочек
и прохождения процедуры хабилитации1 (за свою
Глава 6.
(Математика. Миры из ничего)
1
Во многих европейских странах (в том числе в Германии) для получения права на занятие профессорской должности в университете необходимо пройти так называемую
процедуру хабилитации (habilitation, от лат. habilis — способный, пригодный). Это процедура получения высшей
академической квалификации, следующей после ученой
степени доктора. При этом титул доктора соответствует
учёной степени кандидата наук по российской системе,
а титул хабилитированного доктора соответствует российской степени доктора наук. Основным этапом хабилитации является защита диссертации. Подготовка данной
диссертации предполагает выполнение научной работы
значительно более высокого уровня, чем это требуется для
исследования, после которого присваивают ученую степень доктора.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
(108)
диссертацию по теории чисел) Кантор занимает место в Галльском университете Мартина Лютера, где
и пройдёт вся его карьера.
В то же время Кантор познакомился со своей будущей супругой Валли Гуттманн (Vally Guttmann).
В 1872 году он стал экстраординарным профессором в Галле, весной 1874 года состоялась помолвка,
а летом свадьба. Во время свадебного путешествия
молодожены встретились в Интерлакене с Рихардом
Дедекиндом (1831-1916) — немецким математиком,
известным своими работами по абстрактной алгебре и основаниям вещественных чисел. Это знакомство привело, наряду с частыми личными встречами,
впоследствии происходившими обычно в Гарцбурге,
также к переписке, от которой сохранилось 38 писем.
У Кантора было четыре дочери и два сына. Никто
из детей не проявил особой математической одаренности. Несмотря на скромное академическое
жалование, ученый был в состоянии обеспечить семье безбедное проживание благодаря полученному
от отца наследству.
Кантор получил звание Внештатного Профессора в 1872 году, а в 1879 стал Полным Профессором.
Получить это звание в 34 года было большим достижением, но Георг мечтал о должности в более престижном университете, например, Берлинском —
в то время ведущем университете Германии.
Однако его теории встречают серьёзную критику,
и мечтам не удаётся воплотиться в жизнь. Кронекер (один из бывших его учителей), возглавлявший
кафедру математики Берлинского университета,
был не в восторге от перспективы получить такого
коллегу, как Кантор, воспринимая его как «развра-
(109)
Глава 6.
(Математика. Миры из ничего)
тителя молодёжи», наполнявшего своими идеями
головы молодого поколения математиков. Более
того, Кронекер, будучи заметной фигурой в математическом сообществе, был в корне не согласен
с канторовской теорией множеств. Георг понял, что
позиция Кронекера не позволит ему уйти из Галльского университета. (Кстати, в противоположность
Кронекеру, Вейерштрасс уже тогда проявил полное
понимание идей своего прежнего ученика.)
В 1884 году Кантор в первый раз испытал приступ депрессии. Критика работ по теории множеств
повергала его в уныние. Эмоциональный кризис
заставил его сместить свой интерес от математики
к философии и начать читать лекции по ней. Кроме
того, он стал интенсивно изучать английскую литературу эпохи Елизаветы; он пытался доказать, что
те пьесы, которые приписывались Шекспиру, на самом деле написал Френсис Бэкон. Результаты этой
работы были опубликованы в двух проспектах 1896
и 1897 годов.
Через несколько лет Георг сумел восстановиться, и сразу же сделал несколько важных дополнений
к своей теории (1899). В этот год супруги Кантор отпраздновали в Гарце серебряную свадьбу, и 54-летний исследователь вновь со всей энергией обратился к математическому творчеству.
В 1890 году он способствовал организации Германского математического общества и был председателем первого его сбора в Галле в 1891 году;
в то время его репутация была достаточно сильна,
даже, несмотря на оппозицию Кронекера, который
хотел, быть избранным первым президентом этого
общества.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
(110)
В 1899 году Кантор был второй раз помещён
в психиатрическую клинику. Вскоре после второй
госпитализации, внезапно умер его младший сын
Рудольф и (в 1903 году) Георгу вновь потребовалась
госпитализация. Кантор не оставлял полностью занятия математикой, хотя страдал от хронической
депрессии всю оставшуюся жизнь (и по этой причине был освобождён от преподавания).
По свидетельству современников, в человеческом
отношении он был верным и отзывчивым другом своих слушателей-студентов. Дом его всегда был открыт
для них, как и для многих учащихся других специальностей, привлекая их уютной атмосферой, музыкой
и по-юношески свежей общительностью. Значительную роль в этом играла его гостеприимная супруга.
Даже в пожилом возрасте он не щадил усилий, чтобы
оказать помощь своим ученикам или просто доставить им радость. В частности, к молодым приват-доцентам он относился с исключительной благожелательностью, и в их круге было известно, что каждый,
обратившийся к Кантору с просьбой, важной или не
столь важной, всегда найдёт в нем дружески расположенного слушателя и советчика.
Все знавшие математика рассказывали о его
искрящейся, остроумной, оригинальной натуре,
склонной к внезапным экспромтам и всегда чистосердечно радовавшейся собственным шуткам. Он
был человеком неутомимого темперамента, что наряду с его внушительной, крупной фигурой, придавало особую привлекательность математическим
собраниям, в которых он участвовал. Всем было известно о его честном характере, верности друзьям,
готовности прийти на помощь. Он был дружелюбен
(111)
Глава 6.
(Математика. Миры из ничего)
и отзывчив в общении и, наряду с этим, обладал характерной рассеянностью ученого.
Убеждение в величии и значительности своего
труда не сделало Кантора надменным, как это случалось со многими выдающимися исследователями.
Так, даже в 1905 году, посылая, по желанию редакции журнала, свой портрет для «Acta Mathematica»,
он пишет при этом: «Я предпочел бы, чтобы Вы
не печатали моего портрета, так как считаю это
для себя чрезмерной честью».
В 1900-е годы к Георгу Кантору пришло запоздалое, но тем более желанное научное признание,
а также и внешние почести, которым он от души радовался. Его избрали в почетные члены Лондонского
математического общества (1901) и Харьковского
математического общества, а также в члены-корреспонденты Королевского венецианского института
наук, литературы и искусств (1904). Ему были присуждены степень доктора математики honoris causa
университетом Христиании (1902), медаль Сильвестра британским Королевским обществом (1904),
степень почетного доктора университетом Сент-Эндрью (1911). Однако состояние нервной системы
неоднократно вынуждало его в эти годы прерывать
чтение лекций. В 1905 году он был освобожден от
служебных обязанностей, а в 1913 году окончательно отказался от университетской должности. Международное празднование его семидесятилетия
было намечено на 1915 год, но не могло состояться
из-за войны. Все же многие немецкие математики
приехали в Галле воздать ему честь. Тогда же был
заложен его мраморный бюст с 1928 года стоящий
в вестибюле университета Галле. Его золотой док-
(112)
торский юбилей не мог быть публично отмечен, изза состояния его здоровья. 6 января 1918 года Кантор скончался в психиатрической клинике в Галле.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
О ПОНЯТИИ МНОЖЕСТВА
Вернёмся к понятию множества. Оно задаёт «поле»,
на котором происходит математическая «игра».
Z Принадлежность множеству
Множество полностью определяется входящими в него элементами. Если в отношении какого-нибудь элемента у нас нет полной ясности
по поводу его принадлежности, то мы не имеем
права его в это множество включать.
Например, мы хотим рассмотреть множество
планет Солнечной системы. Включать ли в это множество Плутон? Первоначально его действительно
считали планетой. Но сейчас астрономы изменили
своё мнение и называют его карликовой планетой,
входящей в пояс Койпера, напоминающий пояс
астероидов, но находящийся за планетой Нептун.
Ещё пример. В студенческой группе по результатам экзаменов 5 отличников. Но есть шестой, который всегда все экзамены сдавал на
«отлично», включая последнюю сессию. Но перед последним экзаменом он заболел. Включать
ли его во множество «отличников группы»?
Если нет ясности с принадлежностью, то появляется возможность возникновения так называемых «парадоксов». Приведём лишь один классический пример: парадокс брадобрея.
В древне Риме, по некоторым легендам, было
положено сбривать бороды воинам. Чтобы враг
не схватил их за волосы и не стянул с коня. Им-
(113)
Глава 6.
(Математика. Миры из ничего)
ператор приказал одному из воинов брить всех,
кто не бреется сам и обещал казнить всех, кто не
подчинится приказу. Воин сбрил бороды всем,
кто сам не брился и после этого решил, что пора
побриться самому. И в этот момент он понял, что
не выполнит приказ в любом случае:
• если он побреется сам, то он нарушит приказ,
так как не имел права себя брить;
• если он не побреется, то он должен себя
брить (таков приказ).
Получается, что в любом случае он должен
быть казнён!
На самом деле это псевдопарадокс, так как
в отношении несчастного воина не решена проблема принадлежности (его нельзя включать
в исходное множество воинов).
Z Элементы множества
Элементами множества может быть всё что
угодно: числа, люди, насекомые, геометрические
фигуры, дни недели, фильмы, произведения искусств и т.д. Основное условие: должен быть задан чёткий (недвусмысленный) критерий принадлежности множеству. (Согласимся, что не каждое
творение человека можно отнести к произведению
искусств).
Z Способы задания множества
Существуют различные способы задания множеств.
• Дать полный список элементов.
Примеры:
а) список учеников данного класса;
б) перечень инструментов в коробке с инструментами;
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
(114)
в) перечень химических элементов в таблице Менделеева.
• Указать некоторое характеристическое
свойство.
Примеры:
а) множество натуральных чисел;
б) множество праздничных дней в этом году;
в) множество правильных многоугольников;
г) множество букв в поэме Гоголя «Мёртвые души».
Примечание. В последнем пункте необходимо уточнение года издания, так как правила
орфографии менялись за последние 180 лет
неоднократно.
Z Обозначение множеств и их элементов
Множества обычно обозначаются заглавными
буквами: A, B, C, …
а) A = {Петя, Саша, Миша} — перечисление
элементов множества;
б) B = {п, в, с, ч, пт, сб, вс} — перечисление
дней недели;
в) С = {π, Δ, ⇒, ≤, ♠, %, @, 2, k} — перечисление
букв, цифр, символов;
Примечание. Порядок расположения элементов в списке не играет никакой роли.
г) D = {x|a(x)} — задание множества D своим
характеристическим свойством. Читается так:
«Множество D элементов x таких, что выполняется условие a(x)».
Пример: Y = {x|0 < x < 5} — множество Y таких чисел x, которые находятся в промежутке
от 0до 5.
(115)
Иногда трудно сказать, является ли множество
пустым. Например, множество яванских тигров (последнего из них видели на острове Ява в 1976 году).
По определению считают, что пустое множество является элементом любого множества.
Пустое множество только одно!
Глава 6.
(Математика. Миры из ничего)
д) E = {x|x2 – 2x – 3 = 0} — множество решений
уравнения x2 – 2x – 3 = 0. Для тех, кто не забыл, как
решаются квадратные уравнения, это числа x1 = –1
и x2 = 3.
Z Множества бывают конечные и бесконечные
Примеры:
а) множество рыб в океане — это конечное
множество;
б) множество прямоугольных треугольников — бесконечное множество;
в) множество простых чисел — близнецов (это
простые числа вида n и n +2).
Например, 17 и 19, 29 и 31, 41 и 43, … До сих
пор неизвестно, есть ли последняя такая пара
в бесконечном множестве простых чисел или нет.
Пока эта математическая проблема не решена —
неизвестно, конечное ли это множество!
Z Пустое множество
Определение 6.1. Множество, в котором нет
элементов, называется пустым множеством.
Обозначается: Х.
Примеры: а) множество людей, имеющих
рост 0 м;
б) множество треугольников, сумма углов которых равна 37°;
в) множество корней уравнения x2 + 1 = 0.
(116)
Если говорить образным языком, то усвоив понятие множества, мы увидели поляну, на которой происходит вся «математическая игра». Но нам важно
понимать правила этой игры:
1) Какие действия мы можем производить с множествами;
2) Каких правил мы должны придерживаться при
преобразованиях множеств.
ПОДМНОЖЕСТВА
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Определение 6.2. Множество А называется подмножеством множества В, если либо А ∈ Х, либо любой элемент множества А принадлежит множеству В.
Обозначение: ∈ — заменяет слово «принадлежит».
Если множество А является подмножеством
множества В, то пишут A ⊆ B, где знак ⊆ называется
знаком включения.
Таким образом, у любого множества М есть, по
крайней мере, два подмножества: само М и пустое
множество Х.
Очевидно, что для любого множества М справедливо: М ⊆ М.
Определение 6.3. Множество А называется
собственным подмножеством множества В, если
A ⊆ B и A ≠ B.
Если множество А является собственным подмножеством множества В, то пишут: A ⊂ B.
Фундаментальную роль играет очевидное, непосредственно вытекающее из определений подмно-
(117)
жества и равенства множеств, утверждение: A = B ⇔
A ⊆ B и B ⊆ A (Множество А равно множеству В тогда
и только тогда, когда А – подмножество В и В – подмножество А).
Отметим еще, что если A ⊆ B и B ⊆ С, то A ⊆ С.
Такое отношение между А, В и С называется
транзитивностью.
Аналогично можно записать, что если A ⊂ B
и B ⊂ С, то A ⊂ С.
Пустое множество является собственным подмножеством любого непустого множества.
Примеры.
У одноэлементного множества {а}, других (кроме Х) собственных подмножеств нет.
У двухэлементного множества {а, b} уже три
собственных подмножества: Х, {а} и {b}.
Ничто из сказанного выше не запрещает, чтобы
элементами множества были множества. Например, М = {{1, 2}, {3, 4, 5}} — двухэлементное множество, элементами которого являются, в свою очередь, два множества: {1, 2} и {3, 4, 5}.
Множества можно комбинировать между собой
и получать другие множества. Среди бесчисленного количества мыслимых способов комбинирования
некоторые оказались полезными.
Для визуализации этих операций часто используется их геометрическая интерпретация. Впервые
круги для иллюстрации логических связей между
понятиями применил Лейбниц. Затем этот способ
использовали в своих работах английский логик
и философ Венн и великий Эйлер. В историю ма-
Глава 6.
(Математика. Миры из ничего)
ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
(118)
тематики эти иллюстрации вошли как диаграммы
Эйлера-Венна.
Определение 6.4. Обычно все множества, которые рассматриваются в том или ином рассуждении,
являются подмножествами некоторого фиксированного множества U. Это множество называется
универсальным (универсумом).
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Пример. Пусть универсальным множеством
U является множество всех учащихся данной школы. При этом можно рассматривать множества, состоящие только(!) из учащихся данной школы.
Определение 6.5. Объединением (суммой)
двух множеств A и B называется множество C, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A и B.
Рис. 6.1
Обозначение: C = AUB. (Рис. 6.1)
Сделаем только одно очевидное замечание о том,
что элементы, входящие в объединение множеств,
нужно учитывать один раз.
Примеры.
(119)
Z A ={1; 2; 3}, B = {2; 3; 4; 5}, тогда C = AUB =
{1; 2; 3; 4; 5}.
Z Если А – множество студентов, не сдавших
первый экзамен, В – второй, то АUВ — множество студентов–задолжников после двух
экзаменов (возможно, кто-то не сдал оба экзамена).
Аналогично определяется объединение любого
количества множеств A1, A2, ..., Aк, ... . n
Обозначение: A1U A2U A3U ...UАn = U A i – для
i 1
конечного числа множеств;
∞
A1U A2U A3U ...U АkU... =
UA i
i =1
— для бесконечно-
го (знаки стоящие в правых частях равенств называются знаками сокращенного объединения
и нужны только для более краткой записи). Построенные объединения (суммы) состоят из всех элементов, входящих по крайней мере в одно из множеств Аk.
Пример: Аk = {k} — натуральное число k, тогда
∞
A1UA2U A3U ...UАkU... = U A i = N – множество натуi =1
ральных чисел.
Глава 6.
(Математика. Миры из ничего)
Определение 6.6. Пересечением (произведением) множеств A и B называется множество C,
состоящее из тех элементов, которые принадлежат
одновременно каждому из множеств A и B.
Обозначение: C = A•B. (Рис. 6.2)
Пример: Пусть A={1; 2; 3}, B={2; 3; 4; 5},
D={10; 11}, тогда C=A•B={2; 3}, A•D = Х.
Аналогично определяется пересечение для любого количества множеств A1, A2, ..., Aк, ....
(120)
Рис. 6.2
n
A i — для
Обозначение: A1•A2•A3•...•Аn =
i 1
конечного числа множеств,
A1•A2•A3•...•Аn•... =
A i — для бесконечного
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
i 1
числа множеств (знаки стоящие в правых частях равенств называются знаками сокращенного пересечения и нужны только для более краткой записи).
Пример. Студент, сдавший все экзамены на «отлично» получает повышенную стипендию. Сессия
состоит из четырех экзаменов. Пусть Аi — множество студентов, сдавших i - й экзамен на «отлично»
4
(i = 1, 2, 3, 4), тогда: A1•A2•A3•А4 =
A i — множестi 1
во студентов, получающих повышенную стипендию.
Определение 6.7. Разностью множеств A и B
называется множество C, состоящее из элементов
множества A, не входящих в B.
Обозначение: C = A \ B. (Рис. 6.3)
Примеры.
Z А1 \ А2 — множество студентов, получивших
«отлично» на первом экзамене, а на втором —
другую оценку (см. предыдущий пример).
(121)
Рис. 6.3
Z A ={1; 2; 3}, B = {2; 3; 4; 5}, тогда C = A \ B = {1}.
Определение 6.8. Если B ⊂ A, то множество
C = A \ B называется дополнением множества B до
множества A.
Обозначение: B или BA.
Пример. Пусть А – множество студентов
в группе, В – множество студентов, сдавших первый экзамен, тогда B – множество студентов, не
сдавших первый экзамен.
Определение 6.9. Симметрической разностью множеств A и B называется множество C, состоящее из элементов множества A,
Глава 6.
(Математика. Миры из ничего)
Рис. 6.4
(122)
Рис. 6.5
не входящих в B и элементов множества В не входящих в А.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Обозначение: C = A Δ B. (Рис. 6.5)
Глава 7.
ОБ АКСИОМАТИКЕ.
ЗАЧЕМ ОНА НУЖНА?
Если теорему так и не смогли доказать, то она становится аксиомой.
Евклид
Глава 7.
(Об аксиоматике. Зачем она нужна?)
Когда мы формулировали операции над множествами, мы говорили, что природа входящих в них предметов нас не интересует. Главное, чтобы мы умели отделять эти предметы от остальных. Но основные правила
работы с множествами должны быть нами сформулированы на основании некоторых принципов.
Приведём поясняющий пример:
Z Два множества равны, если они содержат
одни и те же элементы.
Можно, конечно, сказать, что это и так понятно,
что это очевидно. Но математика, если она хочет
быть эталоном точности, должна заботиться о фундаменте, который заложен в её основу. Любое сформулированное положение должно восприниматься
совершенно однозначно!
До конца XIX века математики не слишком об этом
заботились. Их высокая квалификация была достаточна, чтобы получаемые ими результаты были не-
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
(124)
противоречивы. Но наука развивалась так динамично, что возникла потребность в пересмотре самих
основ математики.
Во-первых, стало ясно, что привычная геометрия Евклида не является единственно возможной.
Появились альтернативные геометрии Лобачевского и Римана.
Во-вторых, после разработки Георгом Кантором основ теории множеств в математике стали появляться объекты с необычными свойствами.
Например, был построен алгоритм, в соответствии
с которым может быть построена кривая, проходящая через все точки квадрата!
В-третьих, стали рассматриваться функции,
имеющие на любом, сколь угодно малом промежутке бесконечное число точек разрыва.
Этот список можно продолжать. Но и этого было
достаточно для того, чтобы математики всерьёз занялись основами своей науки.
Нельзя сказать, что основами математики совсем не занимались до этого. Достаточно напомнить, что данному вопросу пристальное внимание
уделял ещё Евклид. Он понимал, что надо заложить
логический фундамент математики.
Наука должна начинаться с исходных (неопределяемых) понятий. Такими понятиями у Евклида
были точка, линия, прямая, поверхность. Евклид,
тем не менее, попытался дать к ним некоторые пояснения. Например:
• Точка есть то, что не имеет частей;
• Линия — длина без ширины.
Нельзя автору отказать в остроумии, но и назвать
это определениями, конечно, тоже нельзя.
(125)
Глава 7.
(Об аксиоматике. Зачем она нужна?)
На основе неопределяемых понятий формулируются все вновь вводимые понятия, которые определяются уже с использованием исходных.
Далее. Исходные понятия находятся в некоторых первоначальных отношениях, которые также не
удаётся изначально определить. Например, «точка
принадлежит данной прямой» (или, что тоже самое, «точка лежит на данной прямой»). Об этом уже
речь в «Началах» Евклида совсем не идёт.
Далее необходимо строго логическим путём доказывать теоремы. Но они должны также основываться на некоторой первичной базе. Речь идёт об
«аксиомах». Это некоторые положения, принимаемые за истинные без их доказательства. У Евклида
такая система аксиом была (она, в первую очередь,
касалась геометрии):
1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
В школьных учебниках: «Через любые две точки проходит прямая и при том только одна».
2. Ограниченную прямую можно непрерывно
продолжать по прямой (формулировка Евклида).
3. Из всякого центра всяким радиусом может
быть описан круг.
4. Все прямые углы равны между собой.
5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие
двух прямых углов, то, продолженные неограниченно, эти прямые встретятся с той стороны, где углы
меньше двух прямых углов.
В школьных учебниках: «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной и при том только одна».
(126)
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Последнюю пятую аксиому долгое время считали
теоремой и пытались доказать, используя первые
четыре аксиомы. Николаю Лобачевскому удалось
разобраться с этим вопросом и доказать, что это
аксиома, не зависящая от первых четырёх. Изменение этой аксиомы приводит к появлению другой
геометрии. Независимо от Лобачевского к тем же
результатам пришли венгерский математик Бойяи
и великий Карл Гаусс.
C появлением канторовской теории множеств
и проблем, связанных с развитием математического анализа и других новых разделов математики,
возникла необходимость пересмотреть первоначальные понятия и улучшить аксиоматику Евклида.
Основной вклад в это внёс немецкий математик Давид Гильберт.
Выдающийся немецкий математик Давид Гильберт родился в 1862 году в семье судьи Отто Гильберта, в городке Велау близ Кёнигсберга в Пруссии
(после второй мировой войны — российский посёлок Знаменск Калининградской области). В семье,
кроме Давида, была ещё дочь.
В 1880 году Гильберт окончил гимназию Вильгельма (Wilhelm Gymnasium). В том же году он поступил
в Кёнигсбергский университет, где подружился с Германом Минковским и Адольфом Гурвицем. Вместе
они часто совершали долгие «математические прогулки», где деятельно обсуждали решение научных
проблем; позднее Давид узаконил такие прогулки как
неотъемлемую часть обучения своих студентов.
В 1885 году он защитил диссертацию по теории
инвариантов, научным руководителем которой был
(127)
Глава 7.
(Об аксиоматике. Зачем она нужна?)
Линдеман, а в следующем
году стал профессором
математики в Кёнигсберге.
В последующие несколько
лет фундаментальные открытия Гильберта в теории
инвариантов
выдвинули
его в первые ряды европейских математиков.
В 1892 году женился на
Кэте Ерош (Käthe Jerosch,
1864–1945). В следующем году родился их единственный сын, Франц.
В 1895 году по приглашению Феликса Клейна
Гильберт переходит в Гёттингенский университет.
в котором проработал следующие 35 лет, фактически до конца жизни. Последнюю лекцию в Гёттингене Давид прочитал в 1933 году.
Среди прямых учеников Гильберта в Гёттингене были Эрнст Цермело, Герман Вейль, Джон фон
Нейман, Рихард Курант, Гуго Штейнгауз, шахматный чемпион Эммануил Ласкер и другие. Намного
больше круг учёных, которые считали себя его учениками, в их числе, например, Эмми Нётер и Алонзо Чёрч.
В 1897 году выходит капитальная монография
Гильберта «Zahlbericht» («Отчёт о числах») по теории
алгебраических чисел.
В 1900 году на Втором Международном математическом конгрессе он формулирует знаменитый
список 23 нерешённых проблем математики, послуживший направляющим указателем приложения
усилий математиков на протяжении всего XX века.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
(128)
С 1902 года Давид — редактор самого авторитетного математического журнала «Mathematische
Annalen».
В 1910-х годах Гильберт создаёт в современном
виде функциональный анализ, вводя понятие, получившее название гильбертова пространства. Одновременно он консультирует Эйнштейна и помогает
ему в разработке четырёхмерного тензорного анализа, послужившего фундаментом для Общей теории относительности.
В 1920-х годах Давид и его школа сосредоточили
усилия на построении аксиоматического обоснования математики.
В 1930 году Гильберт ушёл в отставку, хотя время
от времени читал лекции студентам.
После прихода гитлеровцев к власти в Германии
жил в Гёттингене в стороне от университетских дел.
Многие его коллеги, имевшие недостаточно арийских предков или родственников, были вынуждены
эмигрировать. Однажды Бернхард Руст, нацистский министр образования, спросил Гильберта:
«Как теперь математика в Гёттингене, после того
как она освободилась от еврейского влияния?» Давид грустно ответил: «Математика в Гёттингене?
Её больше нет».
Умер Гильберт 14 февраля в военном 1943 году
в Гёттингене. За его гробом шло всего около десятка человек.
Исследования Давида Гильберта оказали большое влияние на развитие многих разделов математики, а его деятельность в Гёттингенском университете в значительной мере содействовала тому, что
Гёттинген в первой трети XX века являлся одним из
(129)
основных мировых центров математической мысли.
Диссертации большого числа крупных математиков
(среди них Г. Вейль, Р. Курант) были написаны под
его научным руководством.
Научная биография Гильберта резко распадается на периоды, посвящённые работе в какой-либо
одной области математики:
Z теория инвариантов (1885–1893),
Z теория алгебраических чисел (1893–1898),
Z основания геометрии (1898–1902),
Z принцип Дирихле и примыкающие к нему проблемы вариационного исчисления и дифференциальных уравнений (1900–1906),
Z теория интегральных уравнений (1900–1910),
Z решение проблемы Варинга в теории чисел
(1908–1909),
Z основы математической физики (1910–1922),
Z логические основы математики (1922–1939).
Ещё в 1770 году английский математик Эдуард
Варинг высказал следующую гипотезу: «Любое
натуральное число можно представить в виде
суммы одинаковых степеней натуральных чисел (включая ноль), если взять достаточное
количество слагаемых». Другими словами, пусть
k – количество слагаемых, n – показатель степени
Глава 7.
(Об аксиоматике. Зачем она нужна?)
Трудно на конкретных примерах проиллюстрировать вклад Гильберта в каждую из перечисленных
выше областей математики. Уровень знаний школьника 8–9 класса, к сожалению, не позволяет это
сделать. Пожалуй, исключением может быть лишь
проблема Варинга.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
(130)
и x – некоторый набор натуральных чисел (включая ноль). Тогда всякое натуральное число N может
быть представлено в виде:
x1n + x2n + x3n + ...x kn = N , n = 2, 3, 4, ...
Довольно быстро выяснилось, что суммы четырёх квадратов чисел достаточно для получения
любого натурального числа (теорема Лежандра).
Например, 31 = 52 + 22 + 12 + 12, 9 = 32 + 02 + 02 + 02.
Но для n ≥ 3 гипотезу Варинга очень долго не удавалось доказать. Это удалось впервые сделать
лишь Давиду Гильберту в 1909 году. Его доказательство было очень сложным, с использованием
математического анализа и кратных интегралов.
Через 15–20 лет новые доказательства этой теоремы были даны Харди и Литлвудом в Англии
и И. Виноградовым в СССР. В 1942 году молодому советскому математику Ю. Линнику удалось
найти элементарное доказательство (то есть не
использующее методы математического анализа).
Но элементарность доказательства в данном случае не означает его простоты! Тем не менее, неоспоримый приоритет в решении задачи Варинга
принадлежит Гильберту.
Математика
Давид сразу показал себя убеждённым сторонником канторовской теории множеств и защищал
её от критики многочисленных противников. Он
говорил: «Никто не изгонит нас из рая, созданного
Кантором». Сам он, впрочем, эту область не разрабатывал, хотя косвенно затрагивал в трудах по
функциональному анализу.
(131)
Глава 7.
(Об аксиоматике. Зачем она нужна?)
Обоснование математики
Классические «Основания геометрии» Гильберта (1899) стали образцом для дальнейших работ по аксиоматическому построению геометрии.
К 1922 году у него сложился значительно более обширный план обоснования всей математики путём
её полной формализации с последующим «метаматематическим» доказательством непротиворечивости формализованной математики.
Два тома «Оснований математики», написанных Гильбертом совместно с П. Бернайсом, в которых эта концепция подробно развивается, вышли
в 1934-м и 1939-м годах. Первоначальные надежды
Давида в этой области не оправдались: проблема
непротиворечивости формализованных математических теорий, как показал К. Гёдель (1931), оказалась глубже и труднее, чем Гильберт предполагал.
Но вся дальнейшая работа над логическими основами математики в большой мере идёт по намеченному им пути и использует созданные им концепции.
Считая с логической точки зрения полную формализацию математики необходимой, Давид в то
же время верил в силу творческой математической
интуиции. Он был большим мастером в высшей степени наглядного изложения математических теорий.
В этом отношении замечательна «Наглядная геометрия», написанная им совместно с С. Кон-Фоссеном.
Для творчества Гильберта характерны уверенность в неограниченной силе человеческого разума, убеждение в целостности математической
науки и единстве математики и естествознания.
Собрание сочинений ученого, изданное под его наблюдением (1932—1935), заканчивается статьёй
(132)
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
«Познание природы», а эта статья — лозунгом «Мы
должны знать — мы будем знать».
Физика
В физике Гильберт был сторонником строгого аксиоматического подхода, и считал, что после аксиоматизации математики необходимо будет проделать
эту процедуру с физикой. Наиболее известным его
вкладом в эту науку является вывод уравнений Эйнштейна — основных уравнений общей теории относительности, проведённый им в ноябре 1915 года
практически одновременно с Эйнштейном.
Представляет интерес также следующий случай:
в 1926 году после создания матричной квантовой
механики Макс Борн и Вернер Гейзенберг решили проконсультироваться у Гильберта, существует
ли область математики, в которой применялся бы
подобный формализм. Давид ответил им, что с похожими матрицами он встречался, когда разбирал
вопросы существования решений дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных. Физикам показалось, что математик их
не понял, и они решили не изучать далее этот вопрос. Менее чем через полгода Эрвин Шрёдингер
создал волновую квантовую механику, основное
уравнение которой — уравнение Шрёдингера, является уравнением второго порядка в частных производных, и доказал эквивалентность обоих подходов: старого матричного и нового волнового.1
1
Подробно с биографией Д. Гильберта можно ознакомиться в книге Констанс Рид «Гильберт», изд. «Наука», гл.
ред. Физико-математической литературы, М., 1977 г. —
Комм. автора.
(133)
Глава 7.
(Об аксиоматике. Зачем она нужна?)
Преимущество аксиоматического метода заключается в том, что из небольшого числа допущений
можно построить огромное здание теории.
Гильберт пересмотрел аксиоматику Евклида самым серьёзным образом. Он хотел доказать (и это
ему удалось), что всю геометрию можно вывести
чисто логически из небольшого числа аксиом. Впервые он привёл эти аксиомы в первом издании «Оснований геометрии». Эта книга вышла в 1899 году.
Мы не будем здесь приводить все аксиомы Гильберта, которых оказалось намного больше, чем у Евклида (20 аксиом). Для фундамента такого огромного
здания науки как «геометрия», это вполне приемлемо. Расскажем только об основной структуре этого
фундамента.
Z Основными неопределяемыми понятиями являются «точки», «прямые» и «плоскости»;
Z Основные отношения между понятиями: «принадлежит», «между», «конгруэнтен».
(Конгруэнтность — это некоторое отношение,
по которому можно судить об эквивалентности (равенстве) двух фигур. Дело в том, что
понятие равенства фигур не так просто определить).
Z Все аксиомы разбиты на 5 групп:
1. Аксиомы принадлежности (8);
2. Аксиомы порядка (4);
3. Аксиомы конгруэнтности (5);
4. Аксиомы непрерывности (2);
5. Аксиома о параллельных (1).
Этих понятий и аксиом оказалось совершенно
достаточно. Все теоремы и результаты в геометрии
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
(134)
могут быть выведены только из приведённых понятий и аксиом.
Конечно, в полном виде систему аксиом Гильберта в школе не изучают. Попытки полностью формализовать обучение геометрии в школе обречены
на провал. Очень трудно убедить школьника, что
ему, например, необходимо при доказательстве теоремы использовать аксиому о том, что «на каждой
прямой лежат, по крайней мере, две точки».
Настаивая на этом можно лишь вызвать отвращение к предмету. Поэтому полной строгости в школе
не пытаются достичь. Ищется определённый компромисс между строгостью и ясностью изложения
предмета. И это разумно. Но для геометрии как науки аксиоматика — необходимость.
Остаётся ещё один вопрос. Можно ли в качестве
аксиом принимать любые положения или есть некоторые ограничения. Естественно, они есть!
1. Непротиворечивость.
Система аксиом противоречива, если из неё логически следует два утверждения, противоречащие
друг другу. Такая «аксиоматика» позволяет доказать всё, что угодно. В качестве иллюстрации можно
привести историю, которая произошла с известным
английским математиком, специалистом по теории
чисел Годфри Харди1.
«Когда однажды на обеде известный математик Годфри Харди сделал подобное замечание
[что тогда можно доказать всё, что угодно (Б. Э.)],
кто-то из присутствующих потребовал обосно1
Эта история приведена по книге Яна Стюарта «Концепции современной математики», Минск, «Вышэйшая
школа», 1980 г. (стр. 149) — Комм. автора.
(135)
вать его: предложив, например, что 2 + 2 = 5,
доказать, что Мак-Таггарт [английский философ
(Б. Э.)] — папа римский. Харди ненадолго задумался и ответил: «Мы знаем также, что 2 + 2 = 4,
значит 5 = 4. Вычитая 3, получаем 2 = 1. Мак-Таггарт и папа римский — это два человека, следовательно, Мак-Таггарт и папа римский — это
один человек».
Глава 7.
(Об аксиоматике. Зачем она нужна?)
2. Независимость.
При рассмотрении системы аксиом может возникнуть ещё один вопрос: все ли аксиомы, входящие в систему, являются необходимыми. Возможно ли, что какую-нибудь из них можно доказать, как
теорему, используя оставшиеся аксиомы? Если ни
одна из аксиом не является следствием других, то
такая система аксиом является независимой.
В отличие от непротиворечивости, требование
независимости может безболезненно нарушаться.
Например, в школьном курсе геометрии можно ввести дополнительное (не являющееся необходимым)
положение и назвать его ещё одной аксиомой. Это
будет целесообразно, если значительно облегчит
понимание учебного материала.
3. Полнота.
Непротиворечивая система аксиом называется
полной, если для любого утверждения, выраженного в рамках её основных понятий можно доказать
его справедливость или его ложность. Например,
если отбросить теорему о параллельных прямых, то
аксиоматика будет неполной. Целый ряд теорем не
удастся ни доказать, ни опровергнуть.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
(136)
Любые сравнения отрезков, углов, площадей
и объёмов в геометрии связаны с понятием числа.
В упомянутой выше теории множеств в качестве
элементов могут использоваться различные объекты, и числа — лишь один из таких объектов.
Первую аксиоматизацию теории множеств опубликовал немецкий математик Эрнст Цермело
в 1908 году. Затем в 1922 году она была усовершенствована Абрахамом Френкелем, который
также родился и получил образование в Германии,
но затем работал и преподавал в университете Иерусалима. В настоящее время эта система аксиом
наиболее известна (хотя используются и другие системы). В этой системе (она часто обозначается, для
краткости ZFC) всего только 9 аксиом и единственное неопределяемое отношение принадлежности ∈.
В начале этой главы мы привели первую аксиому:
Z Два множества равны, если они содержат
одни и те же элементы.
Вторая аксиома устанавливает существование
пустого множества. Она так и формулируется:
Z Существует пустое множество.
Мы не будем приводить остальные аксиомы.
Хотя их понимание и не требует особой квалификации, но потребуется их объёмное разъяснение
и обсуждение.
Таким образом, программа формализации
всей математики, необходимость которой понимали математики, и основным инициатором разработки которой был Давид Гильберт, казалось,
была завершена. Однако в 1931 году неожиданно
была опубликована теорема австрийского математика Курта Гёделя о неполноте. Она показа-
(137)
Глава 7.
(Об аксиоматике. Зачем она нужна?)
ла, что программа Гильберта полностью неосуществима. Гёдель доказал, что полнота любой
достаточно широкой формальной теории несовместима с её непротиворечивостью. Это означало следующее:
Z возможны теоремы, которые не удастся ни
доказать, ни опровергнуть в рамках существующей аксиоматики (назовём их «теоремы-призраки»);
Z мы не можем заранее определить, является
ли изучаемая проблема теоремой-призраком
(или просто не сумели найти доказательство,
но через некоторое время доказательство
всё-таки будет найдено).
Эта проблема в художественной форме была
блестяще обыграна в романе греческого писателя Апостолоса Доксиадиса «Дядюшка Петрос
и проблема Гольдбаха». Этот роман переведён
на десятки языков, в том числе и русский. Возможно, что именно гипотеза Гольдбаха о том, что любое чётное число, начиная с 4, можно представить
в виде суммы двух простых является теоремой-призраком. До сих пор, во всяком случае, не предложено реальных подходов к её решению.
Далее мы будем иметь дело только с числовыми
множествами.
Глава 8.
МОРЯ В ОКЕАНЕ ЧИСЕЛ.
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Бог создал натуральные числа;
всё остальное — дело рук человека.
Леопольд Кронекер
Определение. Простейшими числами являются целые положительные числа 1, 2, 3,… и т.д., используемые при счёте. Они называются натуральными
числами.
Обозначение множества натуральных чисел: N.
Определение. Если к множеству натуральных чисел добавляют число 0, то полученное в результате
множество 0, 1, 2, 3, 4, … называется расширенным множеством натуральных чисел.
Обозначение расширенного множества натуральных чисел: N0.
Множество натуральных чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения. Это означает, что при сложении или умножении натуральных чисел обязательно снова получается натуральное число.
(139)
Глава 8.
(Моря в океане чисел. Натуральные числа)
Как мы видим, настало время добавить некоторые математические обозначения. Это позволит
нам вести запись математического текста более
компактно. Итак:
Z u — бесконечность;
Z ∀ — обозначение понятия «любой» (читается
как — «для любого», «для всех», «для каждого»);
Z ∃ — обозначение понятия «существует» (читается как «найдётся», «существует», «существуют»);
Z ∃⁄ — знак отрицания существования, т.е. «не
существует»;
Z ∃! — обозначение понятия «существует единственный» (читается как «найдётся ровно
один», «существует один и только один»…);
Z ∈ — знак принадлежности к множеству (читается «принадлежит…»);
Z ∈⁄ — знак не принадлежности к множеству (читается «не принадлежит...»).
Далее у нас будут появляться новые математические знаки, и мы будем вводить их по мере необходимости.
С натуральных чисел начинается обучение математике. Одним этим создаётся ощущение их
простоты. Это просто последовательный счёт. Ну
какие тут могут быть загадки? Но это ощущение
обманчиво. В одном из сложнейших разделов математики — теории чисел изучаются свойства натуральных (и целых) чисел и закономерности (иногда удивительные!), которые скрыты за их внешней
простотой. Многих это удивляет, но методы теории чисел широко применяются в криптографии,
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
(140)
вычислительной математике, информатике. Среди
нерешённых проблем (а некоторым из них уже не
одна сотня лет) теории чисел и гипотеза Гольдбаха, о которой мы упоминали в предыдущей главе.
Приведём ещё лишь две нерешённые проблемы
с очень простыми формулировками.
Z Гипотеза Лежандра: «Для любого натурального n между n2 и (n+1)2 найдётся хотя бы
одно простое число».
(Напомним, что простые числа — это натуральные числа (начиная с двух), которые делятся только
на единицу и на само себя).
Z Проблема «совершенного кубоида» — прямоугольного параллелепипеда, у которого
все семь основных величин (три ребра, диагонали его граней и диагональ самого параллелепипеда) являются натуральными числами.
До сих пор неизвестно, существует ли такой
параллелепипед. Компьютерный перебор
не нашёл ни одного совершенного кубоида
с рёбрами до 3·1012 .
И таких нерешённых проблем — великое множество.
Далее мы в этой главе говорим только о натуральных числах.
Для удобства изучения натуральные числа разбивают на группы, определяемые свойствами этих
чисел. Например.
Z Чётные и нечётные числа.
Z Арифметическая и геометрическая прогрессии.
Z Простые и составные числа.
(141)
Z
Z
Z
Z
Совершенные числа.
Дружественные числа.
Фигурные числа.
Числа Фибоначчи.
Далее нам понадобится несколько понятий. Хотя
они известны со школы, но, на всякий случай, напомним.
Определение. Делителем натурального числа
a называется натуральное число b, на которое a делится нацело.
Этому определению делителя часто дают иную
формулировку.
ЧЁТНЫЕ И НЕЧЁТНЫЕ ЧИСЛА
Чётное число — натуральное число, которое делится без остатка на 2.
Нечётное число — натуральное число, которое
не делится без остатка на 2.
В расширенном множестве натуральных чисел
нуль является чётным числом.
Чётное число n можно представить в виде n = 2k,
где k ∈ N0.
Нечётное число n можно представить в виде
n = 2k + 1, где k ∈ N0.
Сумма двух чётных чисел — число чётное.
Сумма двух нечётных чисел — число чётное.
Глава 8.
(Моря в океане чисел. Натуральные числа)
Определение. Натуральное число b называется
делителем целого числа a, если существует такое
натуральное число q, что справедливо равенство
a = b·q.
(142)
Сумма чётного и нечётного чисел — число нечётное.
Произведение чётного числа на чётное — число
чётное.
Произведение чётного числа на нечётное — число чётное.
Произведение нечётного числа на нечётное —
число нечётное.
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
ПРОГРЕССИИ
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
В дальнейшем нам понадобятся понятия арифметической и геометрической прогрессий, и связанные
с ними формулы.
Определение. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член
которой, начиная со второго, равен предыдущему,
сложенному с одним и тем же числом. Это число
d называется разностью арифметической прогрессии.
Пример: 1, 3, 5, 7, …, 21, 23. Здесь a1 = 1, a2 = 3,
... , a11 = 21, a12 = 23. d = 2.
Если d > 0, то прогрессия называется возрастающей;
если d < 0, то прогрессия называется убывающей;
если d = 0, то все члены прогрессии равны a1.
Из определения арифметической прогрессии
следует, что:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
(143)
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
a5 = a4 + d = (a1 + 3d) + d = a1 + 4d.
Понаблюдав за индексами, можно написать:
……………………………………………..
an = an-1 + d = (a1 + (n –2)d) + d = a1 + (n –1)d.
Получили формулу: an = a1 + (n –1)d. (8.1)
Выведем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии.
S(n) = a1 + a2 + a3 + ... + an–2 + an–1 + an
S(n) = an + an–1 + an–2 + ... + a3 + a2 + a1
Сложим эти два уравнения:
2·S(n) = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + ... +
+ (an-2 + a3) + (an-1 + a2) + (an + a1)
Кроме того, таких скобок n.
Поэтому: 2·S(n) = (a1 + an)·n.
Окончательно для суммы арифметической прогрессии получили формулу:
a +a
S(n) = 1 n ⋅ n . (8.2)
2
Определение. Геометрической прогрессией
называется последовательность отличных от нуля
чисел, каждый член которой, начиная со второго,
равен предыдущему члену, умноженному на одно
и то же число.
Глава 8.
(Моря в океане чисел. Натуральные числа)
Легко проверить, что все выражения в круглых
скобках равны между собой. Например:
a3 + an-2 = (a1 + 2d) + (a1 + (n – 3)d) = a1 + 2d + a1 + nd –
– 3d = a1 + a1 + (nd – d) = a1 + (a1 + (n – 1) d) = a1 + an
(144)
Таким образом, геометрическая прогрессия —
это числовая последовательность заданная соотношениями bn+1 =bn · q, где bn ≠ 0, q ≠ 0. q – называется
знаменателем прогрессии.
b
q = n+1
bn
Геометрическая прогрессия является возрастающей, если b1 > 0, q > 1.
Например: 1, 3, 9, 27, 81,.... Здесь q = 3.
Геометрическая прогрессия является убывающей, если b1 > 0, 0 < q < 1.
Например: 3, 3 , 3 , 3 , 3 , … Здесь q
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
2 4 8 16
1
.
2
Из определения геометрической прогрессии
следует:
b2 = b1·q
b3 = b2·q = b1·q2
b4 = b3·q = b1·q3
……………………….
bn = bn–1·q = b1·qn–1.
Таким образом, формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: bn = b1· qn–1. (8.3)
Теорема. Сумма Sn первых n членов геометриче-
b (qn − 1)
.
ской прогрессии равна Sn = 1
q −1
Доказательство
Sn = b1 + b1q + b1q2 + b1q3 + ... + b1q n–1. (Всего число
слагаемых равно n). Добавим к левой и правой части уравнения число b1qn.
(145)
Получим:
Sn + b1qn = b1 + b1q + b1q2 + b1q3 + ... + b1qn – 1 + b1qn =
= b1 + (b1 + b1q + b1q2 + b1q3 + ... + b1qn –1) q = b1 + Snq.
Отсюда Sn(q – 1) = b1·(qn – 1) , и мы получаем неb (qn − 1)
обходимую формулу Sn = 1
, (8.4)
q −1
что и требовалось доказать.
ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА
Определение. Простое число — это натуральное
число, имеющее ровно два различных натуральных
делителя — единицу и самого себя. Все остальные
натуральные числа называются составными.
Теорема. Каждое натуральное число n однозначно (если не учитывать порядок сомножителей),
Глава 8.
(Моря в океане чисел. Натуральные числа)
Простые числа — это часть натуральных чисел.
Последовательность, в которой они расположены,
имеет сложный характер. Выписать годную для реального использования формулу, с помощью которой можно будет найти простое число по его порядковому номеру, по всей видимости, невозможно.
Простые числа изучаются в каждом учебнике теории чисел, но при этом математики вынуждены обходиться, сравнительно немногими теоремами. Эти
теоремы часто просты по своей формулировке, но
обычно сложно доказываются. Многие проблемы,
связанные со свойствами простых чисел, ещё ожидают своего решения.
Мы приведём лишь несколько простых теорем.
Но наряду с этим сообщим о некоторых интересных
результатах из этой области математики.
(146)
представимо в виде произведения простых чисел
m
m
m
n = p1 1 ⋅ p2 2 ⋅ ... ⋅ pk k , где p1 < p2 < ... < pk, mi I 1,
1 J i J k.
Раскроем смысл теоремы на примерах.
Пример 1: 468 = 22·32·131.
Пример 2: 1224 = 23·32·171.
Пример 3: 56487 = 31·191·9911.
Пример 4: 42017326344 = 23·38·72·171·312.
Теорема. Количество k(n) делителей числа
m
m
m
n = p1 1 ⋅ p2 2 ⋅ ... ⋅ pk k равно
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
k(n) = (1 + m1)·(1 + m2)·... ·(1 + mk).
Доказательство
Z Так как число m*1 может принимать любое из
значений 0, 1, …, m1, то каждое из чисел
m*
p1 1 является делителем числа n. Всего таких делителей 1 + m1.
Z Так как число m*2 может принимать любое из
значений 0, 1, …, m2, то каждое из чисел
m*2
p2 является делителем числа n. Всего таких делителей 1 + m2.
……………………………………………………
Z Так как число m*k может принимать любое из
значений 0, 1, …, mk, то каждое из чисел
m*
pk k является делителем числа n. Всего таких делителей 1 + mk.
Так как числа p1, p2, ... pk — разные простые чис*
*
*
m
m
m
ла, то среди чисел p1 1, p2 2, ..., pk k не может
(147)
быть одинаковых. Значит, общее число k(n) делителей исходного числа n равно:
k(n) = (1 + m1) · (1 + m2)·...·(1 + mk), что и требовалось доказать.
Пример. Количество делителей числа 42017326344 =
= 23·38·72·171·312 равно: k(n) = k(42017326344) =
(1 + 3)·(1 + 8)·(1 + 2)·(1 + 1)·(1 + 2) = 648.
Теорема. Сумма σ(n) делителей числа
m
m
m
n = p1 1 ⋅ p2 2 ⋅ ... ⋅ pk k вычисляется по формуле
m +1
m1+1
m +1
p k −1
−1 p2 2 −1
.
⋅
⋅ ... ⋅ k
p
σ(n) = 1
p1−1
p2 −1
p k −1
m
m
σ(n) = (1+ p1+ p12... + +p1 1) ⋅ (1+ p 2 + p22... + +p2 2) ⋅ ... ⋅
m
⋅ (1+ p k + p2k... + +p k k ).
В каждой из скобок — геометрическая прогрессия. Каждую из них можно преобразовать по формуле
суммы членов геометрической прогрессии. В первой
Глава 8.
(Моря в океане чисел. Натуральные числа)
Доказательство
Сначала рассмотрим пример: 1224 = 23·32·171.
Запишем сумму делителей:
σ(n) = (1 + 2 + 22 + 23)·(1 + 3 + 32)·(1+17).
σ(n) = (1 + 1·3 + 1·32 + 2·1 + 2·3 + 2·32 + 22·1 + 22·3 +
+ 22·32 + 23·1 + 23·3 + 23·32)·(1+17).
Теперь ясно, что если продолжить раскрывать
скобки, то все слагаемые в полученной сумме окажутся различны между собой и каждое из слагаемых — делитель исходного числа.
Этот пример показывает, что так можно действовать и в общем случае:
(148)
скобке m1 + 1 слагаемых, во второй m2 + 1 — слагаемых, …., в k – ой — mk + 1 слагаемых. Поэтому:
m +1
m1+1
m +1
p k −1
−1 p2 2 −1
⋅
⋅ ... ⋅ k
p
σ(n) = 1
p1−1
p2 −1
p k −1
, что и требова-
лось доказать.
Пример: 42017326344 = 23·38·72·171·312.
σ(42017326344) =
3
24 −1 39 −1 73 −1 172 −1 31 −1
⋅
⋅
⋅
⋅
=
2−1 3−1 7 −1 17 −1 31−1
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
= 15 ⋅ 9841⋅ 57 ⋅ 18 ⋅ 993 = 150392819070.
Следующий факт был приведён уже в «Началах»
Евклида. Его доказательство осуществим методом
«от противного».
Примечание.
Возможность использования такого типа доказательства отрицается определённой группой математического сообщества, которых называют «интуиционистами». Дело в том, что доказательство
«от противного» не показывает непосредственный
способ вычисления нового простого числа. Интуиционисты полагают, что любое утверждение о числе
n имеет смысл лишь в том случае, если оно содержит
фактическое предписание для вычисления этого числа. Среди сторонников интуиционистов не так много
математиков, но среди них такие величайшие математики как Кронекер, Пуанкаре, Брауэр и Вейль.
Теорема. Простых чисел бесконечно много.
Доказательство
Пусть нам дан список из n простых чисел p1,
p1, ... , pn . Покажем, что есть простые числа, кото-
(149)
рые не входят в этот список. Для этого составим новое число N = p1·p1·...·pn + 1. Это число не делится ни
на одно из чисел p1, p1, ..., pn (так как остаток 1 при
делении на любое из этих чисел). Это означает, что
в разложение числа N на простые множители должны входить простые числа, отсутствующие в первоначальном списке, что и требовалось доказать.
x
10
102
103
104
105
(x)
4
25
168
1 229
(x)/x
40 %
25 %
16,8 %
12,3 %
9 592
9,59 %
Глава 8.
(Моря в океане чисел. Натуральные числа)
Пример 1: N = 2·3·5·7+1 = 211 – это простое число.
Но возможна ситуация (доказательство этого не
запрещает), что само число N – не будет простым.
В этом случае оно разлагается на множители, среди
которых всё равно будут простые числа, не входящие в первоначальный спиок.
Пример 2: N = 2·3·5·7·11·13·17 + 1 = 510511.
В исходный список входят числа 2, 3, 5, 7, 11, 13
и 17. Разложим число 510511 на простые множители: 510511 = 191·971·2771. Простые числа 19, 97
и 277 — не входят в первоначальный список!
Таблицы простых чисел имеются в интернете.
Кроме того, в интернете существуют сайты, с помощью которых можно разложить исходное натуральное число на множители online.
Простые числа расположены среди натуральных
чисел неравномерно. Проиллюстрируем это с помощью таблицы.
(150)
x
106
107
108
109
1010
(x)
78 498
664 579
5 761 455
50 847 534
455 052 511
(x)/x
7,85 %
6,65 %
5,76 %
5,08 %
4,55 %
В таблице:
Z x — количество чисел натурального ряда, начиная с 1;
Z π(x) — количество простых чисел в заданном
промежутке;
Z
n(x)
относительное количество простых чисел
x
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
в заданном промежутке (в процентах).
Из таблицы следует, что по мере увеличения x
простые числа появляются всё реже и реже.
Более того, можно доказать, следующую теорему:
Теорема. Существуют любые, сколь угодно
длинные отрезки натурального ряда, в которых нет
ни одного простого числа.
(и это притом, что число простых чисел — бесконечно!).
Доказательство
Введём обозначение: n! — факториал натурального числа, n! = 1·2·3·4· ... ·(n – 1)·n. Например,
5! = 1·2·3·4·5 = 120. (По определению: 1! = 1, 0! = 1).
Ясно, что для любого n ≥ 2 число n! — чётное.
Рассмотрим для примера промежуток, возникающий при n = 5:
5! + 2, 5! + 3, 5! + 4, 5! + 5 или, что тоже самое
1·2·3·4·5 + 2, 1·2·3·4·5 + 3, 1·2·3·4·5 + 4, 1·2·3·4·5 + 5.
(151)
Первое число делится на 2, второе число делится на 3, третье число делится на 4, четвёртое число
делится на 5.
Рассуждая совершенно аналогично:
Выберем некоторое натуральное число n и рассмотрим следующие друг за другом числа
n!+ 2, n! + 3, n! + 4, ... , n! + (n – 1), n! + n.
p+1
p−1
, m=
. В этом случае мы имеем
2
2
2
2
⎛ p+1⎞ ⎛ p−1⎞
единственное разложение p = ⎜
⎟ . Тео⎟ −⎜
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
Поэтому n =
рема доказана.
Как исторически, так и с точки зрения теории чисел интересными оказываются так называемые числа Ферма.
Глава 8.
(Моря в океане чисел. Натуральные числа)
Первое число делится на 2, второе число делится
на 3, третье число делится на 4,…, (n – 1)-ое число
(этим числом будет число n! + n) делится на n.
Мы можем выбирать сколь угодно большие n
и получать сколь угодно большие промежутки без
простых чисел. Теорема доказана.
Теорема. Каждое простое число p ≥ 3 представимо в виде разности двух квадратов натуральных
чисел и притом только одним способом.
Доказательство
Предположим, что простое число р разлагается на разность двух квадратов натуральных чисел: p = n2 – m2. Естественно, что n > m. Отсюда
p = (n – m)·(n + m) и, значит, n – m и n + m — натуральные числа. Значит, каждое из них — делитель
числа p. При этом n – m < n + m. Но так как число p –
простое, то его делителями могут быть только 1 и p.
(152)
Пьер Ферма (1601–1665) — французский математик-любитель. По профессии он был юрист, но
успешно решил очень много важных для развития
математики задач. Он считается также одним из
основателей (наряду с Блезом Паскалем) теории
вероятностей. Его имя особенно известно в связи
с формулировкой Великой теоремы Ферма. Эта
теорема утверждает, что для любого натурального n > 2 уравнение an + bn = cn не имеет решений
в целых ненулевых числах. Окончательное доказательство теоремы было получено английским математиком Эндрю Уайлсом лишь совсем недавно,
в 1996 году.
Определение. Числами Ферма называются
k
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
числа вида Fk = 22 + 1, где k = 0, 1, 2, …
k
Примечание. Запись 22 понимается в матемаk
тике как 2(2 ) .
Пьер Ферма предполагал что все такие числа являются простыми. Это справедливо для
k = 0, 1, 2, 3, 4. Но Эйлер в 1732 году обнаружил, что
5
F5 = 22 + 1 = 4294967297 является составным:
оно делится на 641. Для всех последующих исследованных значений k числа Ферма оказываются составными. Большинство математиков склонны полагать, что других простых чисел Ферма нет.
Оказалось, что числа Ферма тесно связаны с геометрией. Карл Гаусс доказал, что если n- простое
число Ферма, то правильный n – угольник можно
построить циркулем и линейкой (то есть он доказал
достаточное условие). А в 1837 году французский
математик Пьер Ванцель, доказал, что с помощью
(153)
Глава 8.
(Моря в океане чисел. Натуральные числа)
этих же инструментов невозможно построить правильный многоугольник, число сторон которого не
удовлетворяет условию n = 2k·p1·p2·...pm, k ≥ 0. где
где p1, p2, ..., pm — различные простые числа Ферма (то есть он доказал, что условие Гаусса является
необходимым). Таким образом, правильный n —
угольник можно построить циркулем и линейкой
при n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 17, ..., тогда как при
n = 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, ... — n — угольник построить нельзя.
Наибольшие простые числа удаётся получить,
используя числа Мерсенна. (Мерсенн — французский математик, физик и философ).
Определение. Числами Мерсенна называют
числа вида Mn = 2n – 1, где n = 1, 2, 3, ...
M2 = 3, M3 = 7, M5 = 31, M7 = 127 — это простые числа.
Вообще говоря, Mn – простое, только если n –
простое число. Но этого условия не достаточно.
Например, M11 = 2047 = 23·89. Всего на декабрь
2018 года известно 51 число Мерсенна.
Изучение свойств простых чисел и (теперь уже
компьютерный) поиск огромных по величине простых чисел имеет теоретическое и научное значение. Но есть и другая, более практическая причина. С развитием интернета и электронных средств
связи появилась необходимость шифрования. Необходимо защитить мобильную связь, банковские
операции, кредитные карты специальными секретными кодами. Свойства простых чисел помогают
это надёжно сделать. Основная идея связана с тем,
что сравнительно легко перемножить два огромных
(имеющих сотни цифр) простых числа. Но нет эффективных алгоритмов с помощью которых можно
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
(154)
найти за приемлемое время обратное разложение
на множители полученного после умножения числа.
На сайте The Largest Known Primes–A Summary
можно найти дополнительные сведения о самых
больших на данный момент найденных простых числах. Этот сайт постоянно пополняется новыми данным. В 2018 (2018-12-07) году было найдено простое число 282589933 –1, число знаков в котором равно
24862048. Это 51–ое число Мерсенна. Математики
твёрдо верят в бесконечность множества простых чисел Мерсенна, хотя этот факт до сих пор не доказан.
Очень непростым оказывается вопрос о визуализации расположения простых чисел на числовой оси.
Простые числа расположены на ней весьма прихотливо. Одна из удачных находок в этом отношении
принадлежит польскому и американскому математику Станиславу Уламу. По рассказу самого Улама,
однажды ему пришлось быть на одном скучном докладе. И чтобы развлечься он стал нумеровать клет-
(155)
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ulam_1.png
Глава 8.
(Моря в океане чисел. Натуральные числа)
ки тетрадного листка. Делал он это, как показано на
рисунке. При этом он стал отмечать простые числа.
Оказалось, что простые числа выстраивались вдоль
диагональных прямых. Исследования были продолжены на компьютере. Полученная картина, названная
«скатерть Улама», не вносит полной ясности, но какая-то регулярность их расположения всё-таки прослеживается. Обнаружение связей между простыми числами представляет как научный, так и практический
интерес. Делаются попытки рисовать подобные картины в других системах координат или даже на других
поверхностях (например, на поверхности конуса).
Было бы неправильным не упомянуть здесь об
одной любопытной проблеме, связанной с простыми числами. Это, так называемая, проблема «чисел-близнецов». Так называют простые числа, расстояние между которыми равно двум: (3;5), (5;7),
(156)
(11;13), (17;19), (29;31) и т.д. С помощью компьютеров в настоящее время найдены огромные по величине «числа-близнецы». Но до сих пор у математиков
нет ответа на вопрос, есть ли последняя такая пара
чисел. Делались различные попытки решения этой
задачи. Например, рассматривались суммы вида
1 1 1 1 1
1
1
1
1
...,
3 5 7 11 13 17 19 29 31
где в знаменателе — «числа-близнецы». Эту сумму называют константой Бруна и обозначают B2. Её
точное значение неизвестно. B2 ≈ 1,902160583104.
Может быть, это число удастся выразить через
какие-нибудь известные математические константы (например, π или e)? Ведь, например, Эйлеру
удалось доказать, что:
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
1+
1+
1+
1
22
1
4
2
1
26
+
+
+
1
32
1
34
1
36
+
+
+
1
42
1
44
1
46
+
+
+
1
52
1
54
1
56
+ ... =
π2
6
+ ... =
π4
90
+ ... =
π6
945
Кстати, получить подобные результаты для нечётных степеней до сих пор никому также не удалось.
Простые числа используются в различных областях математики, и поэтому любые продвижения
в понимании связанных с этими числами свойств
являются очень важными в математической науке.
СОВЕРШЕННЫЕ ЧИСЛА
Определение. Совершенным называют натуральное число, равное сумме всех своих положительных делителей, включая единицу, но исключая само
число.
(157)
Наименьшим совершенным числом является 6:
6 =1+ 2+ 3.
Следующее совершенное число — 28:
28 =1+ 2+4 +7 +14.
По мере того как натуральные числа возрастают,
совершенные числа встречаются всё реже.
До Евклида были известны только эти два совершенных числа, и никто не знал, существуют ли другие совершенные числа и сколько таких чисел может быть.
Евклиду удалось доказать теорему (и это примерно 2300 лет назад!):
Теорема (Евклид). Число n является совершенным тогда и только тогда, когда оно может
быть представлено в виде n = 2k–1·(2k – 1), где
k
2 – 1 — простое число.
Другими словами: число делится на 4 тогда
и только тогда, когда число, составленное из последних двух цифр исходного, делится на 4.
Глава 8.
(Моря в океане чисел. Натуральные числа)
Примечание. Выражение «тогда и только тогда» в математике выражает необходимое и достаточное условия. Для пояснения приведём пример:
Z Чтобы число делилось на 4, необходимо,
чтобы оно было чётным (но недостаточно!);
Z Чтобы число делилось на 4, достаточно, чтобы оно оканчивалось двумя нулями (но это не
является необходимым!).
Z Чтобы число делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы число, составленное из последних двух цифр исходного, делилось на 4.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
(158)
Доказательство теоремы Евклида
Пусть имеется натуральное число n. Обозначим
сумму всех натуральных делителей числа n (включая 1 и само n) через σ(n).
Для доказательства используем следующие
4 свойства функции σ(n).
Z Только для простого числа р выполняется
равенство σ(p) = p + 1 (делителями простого
числа являются только 1 и р).
Z Если числа m и n взаимно простые, то
σ(m·n) = σ(m)·σ(n). Взаимно простые числа не
имеют общих делителей.
Например, числа m = 20 = 22·51 и n = 441= 32·72
не имеют общих делителей.
σ(20·441) = σ(20)·σ(441) =
= ((2 + 1)·(1 + 1))·((2 + 1)·(2 + 1)) = 6·9 = 54
Z Для простого р и натурального k для числа
n = p k выполняется равенство:
σ(n) =
pk +1−1
.
p−1
Это следует из ранее доказанной формулы,
m
m
m
что для числа n = p1 1 ⋅ p2 2 ⋅ ... ⋅ pk k сумма делителей равна:
m +1
m1+1
m +1
p k −1
−1 p2 2 −1
.
⋅
⋅ ... ⋅ k
p
σ(n) = 1
p1−1
p2 −1
p k −1
Z Число n по своему определению считается совершенным тогда и только тогда, когда сумма
всех его делителей σ(n) (кроме самого числа n)
равна числу n. То есть σ(n) – n = n или σ(n) = 2n.
Теперь можем непосредственно приступить
к доказательству теоремы, то есть, что возмож-
(159)
ность представления числа n в виде n = 2k-1·(2k – 1),
где 2k – 1 — простое, является необходимым и достаточным условиями того, что n – совершенно. Для
этого проверим выполнение условия σ(n) = 2n.
Обозначим p = 2k – 1. Тогда n = 2k–1·p. Числа 2k–1
и 2k – 1 — взаимно простые. Поэтому σ(n) = σ(2k–1·p) =
= σ(2k–1)·σ(p) = σ(2k–1)·(p + 1). Так как для p k число
pk +1−1
2k −1
k −1) =
= 2k − 1.
, то σ(2
слагаемых σ(pk) =
2−1
p−1
Значит:
k
p + 1 = 2⇒
σ(n) = σ(2k −1) ⋅ (p + 1) = (2k − 1) ⋅ (p + 1) ==========
(2k − 1) ⋅ 2k = 2 ⋅ (2k −1 ⋅ (2k − 1)) = 2n.
что и требовалось доказать.
При k = 2 ⇒ 2k – 1 = 3 — простое ⇒
⇒ n = 2k-1·(2k – 1) = 2·3 = 6
k
При k = 3 ⇒ 2 – 1 = 7 — простое ⇒
⇒ n = 2k-1·(2k – 1) = 4·7 = 28
За последующие 1500 лет математики не сумели
добавить к уже известным четырём числам ни одного числа. Нашедшему пятое совершенное число
Святая церковь обещала спасение души и уготованное ему вечное блаженство. Тем не менее, только
в XV веке такое число было обнаружено. Ему соответствовало значение к = 13. Это число 33 550 336.
Глава 8.
(Моря в океане чисел. Натуральные числа)
С помощью этой теоремы Евклиду удалось найти
ещё два совершенных числа: 496 и 8128.
При k = 5 ⇒ 2k – 1 = 31 — простое ⇒
⇒ n = 2k-1·(2k – 1) = 16·31 = 496
При k = 7 ⇒ 2k – 1 = 127 — простое ⇒
⇒ n = 2k-1·(2k – 1) = 64·127 = 8128
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
(160)
Во всех случаях число делителей совершенного
числа (не считая само число) равно 2k – 1.
По формуле Евклида числа было легко вычислить, но для доказательства их «совершенства»
было необходимо доказывать простоту числа 2k – 1.
А вот с этим были большие проблемы.
Только в XVIII веке Эйлер доказал, что числа, соответствующие k = 17,19 — совершенные. Но осталось загадкой, каким образом эти шестое и седьмое
совершенные числа были найдены ещё за 250 лет
до Эйлера (и даже за 100 лет до Мерсенна) профессором математики из Флоренции Катальди. Числа
были обнаружены в его записках.
Итак: 8 589 869 056 — шестое число,
137 438 691 328 — седьмое число.
Восьмое число, доказательство «совершенства»
которого принадлежит исключительно Эйлеру:
2 305 843 008 139 952 128. Девятое совершенное число было вычислено только в 1883 году. В нём
оказалось 37 значащих цифр. Вычислительных машин не было. И можно только удивляться каким образом его смог найти сельский священник из-под
Перми Иван Первушин.
Естественно, что с появлением в начале XX века
механических счётных устройств, а затем ЭВМ дела
пошли быстрее. К настоящему времени найдено
51 совершенное число. Все они чётные.
Приведём два красивых свойства совершенных
чисел.
1. Сумма величин, обратных всем делителям совершенного числа, включая его самого, равна
двум. Например,
(161)
1 1 1
+ + = 2,
2 3 6
1
1 1 1 1
1+ + + +
+
= 2,
2 4 7 14 28
1
1
1
1
1
1 1 1 1
1+ + + +
+
+
+
+
+
= 2.
2 4 8 16 31 62 124 248 496
1+
Подобное свойство выполняется для всех
совершенных чисел. Это прямое следствие их
определения, в чём легко убедиться, умножив
обе части каждого из приведённых равенств на
соответствующее совершенное число.
2. Справедлива следующая красивая теорема.
Теорема. Любое чётное совершенное число
(кроме числа 6) является суммой третьих степеней последовательных нечётных натуральных
чисел.
( )( ( ) )
Но такой вид и имеют совершенные числа при
условии, что 2k – 1 — простое число. Теорема доказана.
Глава 8.
(Моря в океане чисел. Натуральные числа)
Например: 28 = 13 + 33; 496 = 13 + 33 + 53 + 73;
8128 = 13 + 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153.
Доказательство
Воспользуемся формулой
13 + 33 + 53 + ... + (2n – 3)3 + (2n – 1)3 = n2(2n2 – 1)
(вывод этой и трёх других полезных формул мы
приведём сразу после доказательства).
k −1
2
2
Если в выражении n (2n – 1) положить n = 2 2 .
Тогда:
k 1 2
k 1 2
2
2
2
n (2n – 1) = 2
· 2· 2 2 – 1 = 2k – 1·(2·2k – 1 – 1) =
k–1
k
= 2 ·(2 – 1).
(162)
Приложение.
Докажем несколько полезных формул.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Z S1(n) = 1 + 2 + 3 + ... + (n – 2) + (n – 1) + n
S1(n) = n + (n – 1) + (n – 2) + ... + 3 + 2 + 1
Сложим эти две строчки, группируя слагаемые,
как показано:
2·S1(n) = (1 + n) + (2 + (n – 1)) + (3 + (n –2)) + ... +
+ ((n – 2) + 3) + ((n – 1) + 2) + (n + 1).
В каждой скобке (n+1) и количество таких скобок
равно n. Поэтому 2·S1(n) = (1 + n)·n.
Или, окончательно получаем:
n⋅(n+1)
S1(n) = 1 + 2 + 3 + ... + (n – 2)+ (n – 1) + n =
. (8.5)
2
В связи с этой формулой, известна легенда о семилетнем Гауссе. Учитель на уроке хотел освободить себе немного времени, пока ученики будут
складывать натуральные числа от 1 до 100. Он был
очень удивлён, когда маленький Карл сразу положил грифельную доску учителю на стол и сказал:
«Готово». Учитель был убеждён, что ответ неверен.
Он дождался, пока остальные ученики завершили
работу и сложили свои доски на доску Гаусса. В конце урока, посмотрев на результат, учитель был изумлён. Он увидел только одну запись: 5050. Посмотрев на вывод формулы (8.5), Вы поймёте, как это
число нашёл Гаусс. Конечно, результат (8.5) можно
получить непосредственно из формулы (8.2).
Z
Найдём формулу для суммы
S2(n) = 12 + 22 + 32 + ... + (n – 2)2 + (n – 1)2 + n2.
Если мы обратим внимание на то, что для суммы
S1(n) получилась квадратичная функция, и предпо-
(163)
ложим, что для S2(n) получится многочлен третьей
степени, то мы эту формулу довольно быстро сумеем найти. Последние сомнения по поводу верности
формулы мы рассеем, проверив правильность полученного результата по методу математической
индукции. (Подробно о методе индукции мы расскажем в следующей главе.)
Итак, предположим, что S2(n) = An3 + Bn2 +
+ Cn + D, где A, B, C, D – неизвестные коэффициенты. Из формулы S2(n) = 12 + 22 + 32 + ... + (n – 2)2 +
+ (n – 1)2 + n2 следует, что S2(0) = 0, S2(1) = 12 = 1,
S2(2) = 12 + 22 = 5, S2(3) = 12 + 22 + 32 = 14, поэтому получили систему линейных уравнений (7 класс обычной школы):
⎧ 33A + 32B + 3C + D = 14 (n = 3)
⎪ 23A + 22B + 2C + D = 5 (n = 2)
⇒
⎨ 3
2
⎪ 13A + 12B + 1C + D = 1 (n = 1)
⎩ 0 A + 0 B + 0C + D = 0 (n = 0)
8A + 4B + 2C + D = 5
A+B+C+D=1
D=0
⇒
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
A=
B=
C=
1
3
1
2
1
6
D=0
3
2
Поэтому S2(n)= 1 n3 + 1 n2 + 1 n или S2(n)= 2n + 3n + n
3
2
6
6
или
S2(n) = 12 + 22 + 32 + ... + (n – 2)2 + (n – 1)2 + n2 =
n(2n 1)(n 1)
(8.6)
=
6
Z Ещё нам понадобится формула для суммы
S3(n) = 13 + 23 + 33 + ... + (n – 2)3 + (n – 1)3 + n3.
Глава 8.
(Моря в океане чисел. Натуральные числа)
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
27A + 9B + 3C + D = 14
(164)
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Эту формулу будем искать в виде S3(n) = An4 + Bn3 +
+ Cn2 + Dn + E.
Из формулы S3(n) = 13 + 23 + 33 + ... + (n – 2)3 +
+ (n – 1)3 + n3 следует, что S3(0) = 0, S3(1) = 13 = 1,
S3(2) = 13 + 23 = 9, S3(3) = 13 + 23 + 33 = 36, S3(4) = 13 + 23 +
+ 33 + 43 = 100, поэтому получили систему линейных
уравнений:
⎧
⎪⎪
⎨
⎪
⎪⎩
44A + 43B + 42C + 4D + E = 100 (n = 4)
34A + 33B + 32C + 3D + E = 36 (n = 3)
24A + 23B + 22C + 2D + E = 9 (n = 2)
14A + 13B + 12C + 1D + E = 1 (n = 1)
04A + 03B + 02C + 0D + E = 0 (n = 0)
⎧
⎪⎪
⎨
⎪
⎪⎩
256A + 64B + 16C + 4D + E = 100
81A + 27B + 9C + 3D + E = 36
16A + 8B + 4C + 2D + E = 9
A+B+C+D+E=1
E=0
⇒
⇒
⎧
⎪⎪
⎨
⎪
⎪⎩
1
A= 4
1
B= 2
1
C= 4
D=0
E=0
Тогда S3(n)= 1 n4 + 1 n3 + 1 n2
4
2
4
3
4
2
2
или S3(n)= n + 2n + n = n (n+1)
4
2
4
⇒
S3(n) = 13 + 23 + 33 + ... + (n – 2)3 + (n – 1)3 + n3 =
=
n2(n1)2
. (8.7)
4
Z Теперь у нас есть возможность вывести формулу для нужной нам суммы:
S3(n) = 13 + 33 + 53 + ... + (2n – 5)3 + (2n – 3)3 + (2n – 1)3.
Из формулы (8.7) при суммировании до 2n следует:
(165)
S3(2n) = 13 + 23 + 33 + 43 + ... + (n – 2)3 + (n – 1)3 + n3 +
2
2
+ (n + 1)3 + ... + (2n – 1)3 + (2n)3 = (2n) (2n1) или
4
3
3
3
3
S3(2n) = 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 3) + (2n – 1)3 + 23 + 43
+ 63+ ... + (2n – 4)3 + (2n – 2)3 + (2n)3
Обозначим M = 13 + 33 + 53 + ... + (2n – 3)3 + (2n – 1)3,
тогда: S3(2n) = M + 23·(1 + 23 + 33+ ... + (n – 2)3 +
+ (n – 1)3 + n3).
Но выражение в скобках — это S3(n). Поэтому
M = S3(2n) – 23· S3(n) ⇒
M=
(2n)2(2n+1)2
n2(n+1)2
−8⋅
= n2(2n2 − 1) .
4
4
Для следующего совершенного числа 28 треугольник имеет вид:
Глава 8.
(Моря в океане чисел. Натуральные числа)
Мы получили формулу, которую использовали
ранее при доказательстве теоремы.
До сих пор остаются нерешённые проблемы. Вот
только две из них.
Z Бесконечно ли количество совершенных чисел?
Z Существуют ли нечётные совершенные числа?
(Пока их не найдено ни одного).
Совершенные числа имеют необычную геометрическую интерпретацию: они могут быть представлены
в виде составленных в виде равностороннего треугольника точек. Причём количество точек в треугольнике равно данному совершенному числу. Например,
совершенному числу 6 соответствует треугольник:
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
(166)
Если мы рассмотрим равносторонний треугольник, построенный аналогично приведённым, но
в основании которого будет 31 точка, то общее число точек, составляющих данный треугольник будет
496 (следующее совершенное число). Оказывается, что каждому совершенному числу соответствует его правильный треугольник. Это правило будет
доказано далее.
ДРУЖЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
Определение. Два натуральных числа называются
дружественными, если сумма всех собственных
делителей первого числа равна второму числу и наоборот, сумма всех собственных делителей второго
числа равна первому числу.
Такое свойство подметили в античные времена
у чисел 220 и 284.
284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 —
делители числа 220,
220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 — делители числа 284.
Других подобных чисел в те времена не знали.
И не было способа их нахождения.
(167)
Глава 8.
(Моря в океане чисел. Натуральные числа)
Один из способов нахождения дружественных
чисел указал еще в IX веке арабский математик
Сабит ибн Корра. Сабит был врачом, астрономом
и в то же время одним из самых выдающихся мусульманских математиков. Он жил с 836 по 901 г.,
последнюю часть жизни — в Багдаде, где был доверенным лицом и советником халифа аль-Мутадида.
Найденный Сабитом способ получения дружественных чисел позволил получить ещё две пары дружественных чисел: (17 296 и 18 416), (9 363 584
и 9 437 056).
В XVIII веке Эйлер нашёл достаточный критерий
построения пар дружественных чисел, и в его списке было уже 90 пар.
В ХХ веке компьютеры помогли найти десятки
миллионов пар. Но эффективного общего способа
нахождения всех таких пар нет до сих пор.
Любопытно, что одну из пар дружественных чисел (1184 и 1210) обнаружил в 1866 году итальянский школьник Никколо Паганини (полный тёзка
великого скрипача). Эту пару «проглядели» все великие математики!
С дружественными числами связано большое количество открытых проблем. Вот только некоторые
из них.
Z Неизвестно, конечно или бесконечно количество пар дружественных чисел.
Z Все найденные до сих пор дружественные
числа (их на апрель 2016 года было известно
более 1 000 000 000) состоят из чисел одинаковой чётности.
Z Неизвестно, существует ли чётно-нечётная
пара дружественных чисел.
(168)
Z Неизвестно, существуют ли взаимно простые
(то есть не имеющие общих делителей) дружественные числа.
ФИГУРНЫЕ ЧИСЛА
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
В Древней Греции (в особенности в школе Пифагора) обратили внимание, что свойства чисел можно
изучать, представляя эти числа в виде геометрических фигур. Так появилось понятие фигурных
чисел. Это довольно любопытный объект, связывающий алгебру (числовые последовательности)
с геометрией. Рассмотрим его подробней и постараемся выявить некоторые возникающие при изучении этих объектов закономерности.
Z Треугольные числа (рис. 8.1).
Обозначим число точек n-ого треугольника T3(n).
1
3
6
10
15
Рис. 8.1
Запишем числовой ряд, характеризующий количество точек треугольников (см. рис. 8.1)
T3(1) = 1, T3(2) = 3, T3(3) = 6, T3(4) = 10, T3(5) = 15,
T3(6) = 21, ...
Обратим внимание, что T3(1) = 1, T3(2) = 1 + 2,
T3(3) = 1 + 2 + 3, T3(4) = 1 + 2 + 3 + 4 ...
Это означает, что
T3(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n – 1) + n ⇒
T3(n) =
n(n1)
(8.8).
2
(169)
Отметим интересное свойство треугольных
чисел.
Теорема. Сумма двух последовательных треугольных чисел даёт полный квадрат.
Доказательство
n(n1)
(n1)(n 2)
+
=
2
2
(n
1)
(n+1)⋅2⋅(n+1)
=
·(n + n + 2) =
= (n + 1)2,
2
2
T3(n) + T3(n + 1) =
что и требовалось доказать.
Z Четырёхугольные числа (рис. 8.2).
Рис. 8.2
Z Пятиугольные числа (рис. 8.3).
Обозначим число точек n-ого пятиугольника T5(n).
Запишем числовой ряд, характеризующий количество точек пятиугольников (см. рис. 8.3)
T5(1) = 1, T5(2) = 5, T5(3) = 12, T5(4) = 22, T5(5) = 35,
T5(6) = 51, T5(7) = 70, ...
Обратим внимание, что T5(1) = 1, T5(2) = 1 + 4,
T5(3) = 1 + 4 + 7, T5(4) = 1 + 4 + 7 + 10, ...
Глава 8.
(Моря в океане чисел. Натуральные числа)
Обозначим число точек n-ого квадрата T4(n).
Запишем числовой ряд, характеризующий количество точек квадратов (см. рис. 8.2)
T4(1) = 1, T4(2) = 4, T4(3) = 9. T4(4) = 16, T4(5) = 25,
T4(6) = 36, ...
Это означает, что T4(n) = n2. (8.9)
(170)
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Рис. 8.3
Это означает, что:
T5(n) = 1 + 4 + 7 + 10 + ... (3n – 4) + (3n – 2).
По формуле суммы членов арифметической про(a1 + an) ⋅ n
. Поэтому:
грессии: S(n) =
2
3n2 − n
(1+ (3n − 2))
T5(n) =
⋅n=
. (8.10)
2
2
Z Шестиугольные числа (рис. 8.4).
Обозначим число точек n-ого шестиугольника
T6(n). Рис. 8.4
Запишем числовой ряд, характеризующий количество точек шестиугольников (см. рис. 8.4)
Рис. 8.3
(171)
T6(1) = 1, T6(2) = 6, T6(3) = 15, T6(4) = 28, T6(5) = 45,
T6(6) = 66, T6(7) = 91, ...
Обратим внимание, что:
T6(1) = 1, T6(2) = 1 + 5, T6(3) = 1 + 5 + 9, T6(4) = 1 + 5 +
+ 9 + 13, ...
Это означает, что:
T6(n) = 1 + 5 + 9 + 13 + 17 + ... + (4n – 7) + (4n – 3).
По формуле суммы членов арифметической про(a1 + an) ⋅ n
. Поэтому:
грессии: S(n) =
2
4n2 − 2n
(1+ (4n − 3))
T6(n) =
⋅n=
. (8.11)
2
2
Мы намеренно не сокращаем последнюю дробь.
Чуть позже будет ясно почему.
Глава 8.
(Моря в океане чисел. Натуральные числа)
Z Семиугольные числа.
Сделаем ещё один шаг, чтобы выявить закономерность образования фигурных чисел.
Это позволит нам в результате записать общую
формулу, справедливую для любого фигурного
числа.
Обозначим число точек n-ого семиугольника
T7(n).
Запишем числовой ряд, характеризующий количество точек семиугольников
T7(1) = 1, T7(2) = 7, T7(3) = 18, T7(4) = 34, T7(5) = 55,
T7(6) = 81, T7(7) = 112, ...
Обратим внимание, что:
T7(1) = 1, T7(2) = 1 + 6, T7(3) = 1 + 6 + 11, T7(4) = 1 +
+ 6 + 11 + 16, ...
Это означает, что:
T7(n) = 1 + 6 + 11 + 16 + 21 + ... + (5n – 9) + (5n – 4).
(172)
По формуле суммы членов арифметической про(a1 + an) ⋅ n
. Поэтому:
грессии: S(n) =
2
5n2 − 3n
(1+ (5n − 4))
T7(n) =
⋅n=
.
2
2
Чтобы увидеть закономерность, составим таблицу.
Тип числа 2·T3(n) 2·T4(n) 2·T5(n) 2·T6(n) 2·T7(n) 2·T8(n)
Формула
n2+n 2n2–0n 3n2–n 4n2–2n 5n2–3n 6n2–4n
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Теперь нетрудно догадаться, как написать общую формулу Tk(n) для произвольного фигурного
1
числа: Tk(n) = ((k − 2) ⋅ n2 + (4 − k) ⋅ n). (8.12)
2
Оказывается, множество совершенных чисел является частью треугольных!
Теорема. Все чётные совершенные числа являются треугольными.
Доказательство
Ранее получено, что чётные совершенные числа
имеют вид: A = 2k–1·(2k – 1), где 2k – 1 — простое число Мерсенна.
1
A = ·2k·(2k – 1).
2
Обозначим n = 2k – 1. Тогда 2k = n + 1. То есть
1
1
A = ·(n + 1)·n = ·(n2 + n) = T3(n), что и требова2
2
лось доказать.
Напомним, что нечётных совершенных чисел
пока не обнаружено ни одного.
(173)
В Древней Греции рассматривали не только плоские фигурные числа, но и пространственные: кубические и пирамидальные.
ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ
Числа Фибоначчи были известны ещё в Индии
в трудах математиков VIII — XII веков. Но своё название последовательность чисел получила по имени
итальянского математика Леонардо Пизанского
(около 1175 — 1250). Он был сыном Боначчи (фи Боначчи) и поэтому его привыкли называть Леонардо
Фибоначчи. Леонардо был торговым уполномоченным города Пизы, и ему пришлось объездить
Сирию, Грецию, Египет, Сицилию, Францию. В этих
поездках он не терял время и расширял свои математические познания.
Глава 8.
(Моря в океане чисел. Натуральные числа)
Эти числа также описываются очень интересными и полезными числовыми последовательностями, для анализа свойств которых понадобится отдельная книжка.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
(174)
В начале XIII века появилась написанная им книга
«Liber abacci», в которой он познакомил европейского читателя с десятичной системой счисления
и методами решения задач с помощью составления
уравнений.
Сообщаемый в его книге материал поясняется
на большом числе задач, одна из которых — задача
о кроликах.
«Некто поместил пару кроликов в некотором
месте, огороженном со всех сторон стеной,
чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при
этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со
второго месяца после своего рождения».
Получается последовательность следующего
вида: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,
377, 610, …
Каждое из чисел (начиная с третьего) получается, как сумма двух предыдущих. Если перед первым
членом последовательности мы напишем ещё одно
число, равное 1, то этим самым мы не изменим закона составления этой последовательности. Окончательно получаем ряд чисел:
F1
1
F11
89
F2
1
F3
2
F4
3
F5
5
F6
8
F7
13
F8
21
F9
34
F10
55
F12 F13 F14 F15 F16 F17 F18 F19 F20
144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,
610, … (*)
(175)
Определение. Последовательность чисел Фибоначчи Fn задаётся соотношением Fn+2 = Fn+1 + Fn,
где F1 = 1, F2 = 1, n = 1, 2, 3, 4, ...
Определение.
Формула, выражающая каждый следующий
член последовательности через предыдущий (или
несколько предыдущих), называется рекуррентной.
Теорема:
F1 + F2 + F3 + ...+ Fn = Fn+2 – 1
Пример:
F 1 + F2 + F3 + F4 + F5 + F6 + F7 + F8 + F9 = 1 + 1 + 2 + 3 +
+ 5 + 8 + 13 + 21 + 34 = 88.
Fn+2 – 1 = F11 – 1 = 89 – 1 = 88.
То есть, F1 + F2 + F3 + F4 + F5 + F6 + F7 + F8 + F9 = F11 – 1.
Доказательство
Из рекуррентной формулы Fn+2 = Fn+1 + Fn следует
Fn = Fn+2 – Fn+1, поэтому:
Глава 8.
(Моря в океане чисел. Натуральные числа)
Рекуррентная формула Fn+2 = Fn+1 + Fn выражает
следующий член последовательности через два
предыдущих. Поэтому в этом случае говорят, что
это рекуррентное соотношение второго порядка. Например, в последовательности (*) 89 = 55 + 34
или F11 = F10 + F9.
Числа Фибоначчи обладают целым рядом интересных и важных свойств. Рассмотрим некоторые
из них.
(176)
⎧ FF == FF –– FF
⎪⎪ F = F – F
⎨ ......... Складываем левые и правые части равенств.
⎪ FF == FF – –F F
⎪⎩ F = F – F
1
3
2
2
4
3
3
5
4
n–2
n
n–1
n+1
n
n+2
n–1
n
n+1
__________________________________________________
F1 + F2 + F3 + ...+ Fn = Fn+2 – F2 или так как F2 = 1, то:
F1 + F2 + F3 + ...+ Fn = Fn+2 – 1, что и требовалось доказать.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Теорема: F1 + F3 + F5 + ...+ F2n–1 = F2n
Пример:
F1 + F3 + F5 + F7 + F9 + F11 + F13 + F15 + F17 = 1 + 2 +
+ 5 + 13 + 34 + 89 + 233 + 610 + 1597 = 2584.
F2n = F18 =2584. То есть, F1 + F3 + F5 + F7 + F9 + F11 +
+ F13 + F15 + F17 = F18.
Доказательство
Для нечётных номеров последовательности чисел Фибоначчи:
F1 = F2
F3 = F4 – F2
F5 = F6 – F4
......... Складываем левые и правые части равенств.
F2n–5 = F2n–4 – F2n–6
F2n–3 = F2n–2 – F2n–4
F2n–1 = F2n – F2n–2
__________________________________________________
F1 + F3 + F5 + ...+ F2n–1 = F2n, что и требовалось доказать.
⎧
⎪⎪
⎨
⎪
⎪⎩
(177)
Теорема: F2 + F4 + F6 + ...+ F2n = F2n+1 – 1.
Пример:
F2 + F4 + F6 + F8 + F10 + F12 + F14 + F16 + F18 = 1 + 3 + 8 +
+ 21 + 55 + 144 + 377 + 987 + 2584 = 4180.
F2n+1 – 1 = F19 – 1 = 4181 – 1 = 4180.
То есть, F2 + F4 + F6 + F8 + F10 + F12 + F14 + F16 + F18 =
= F19 – 1.
Доказательство
Запишем два только что доказанных равенства
и вычтем из верхнего нижнее:
⎧ F1 + F2 + F3 + ...+ F2n–1 + F2n = F2n+2 – 1
⎪
(Это уравнение записано до F2n)
⎨
⎪
⎩ F1 + F3 + F5 + ...+ F2n–1 = F2n
__________________________________________________
Вычтем из первого уравнения второе:
Теорема: F12 + F22 + F32 + ... + Fn2 = Fn ⋅ Fn+1 .
Пример:
2
2
F12 + F22 + F32 + F42 + F52 + F62 + F72 + F82 + F92 + F10
+ F11
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
= 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 552 +
+ 892 = 12816
Fn ⋅ Fn+1 = F11·F12 = 89·144 = 12816. То есть,
2
2
F12 + F22 + F32 + F42 + F52 + F62 + F72 + F82 + F92 + F10
+ F11
=
= F11·F12
Глава 8.
(Моря в океане чисел. Натуральные числа)
F2 + F4 + F6 + ...+ F2n = F2n+2 – 1 – F2n.
Но F2n+2 – F2n = F2n+1, поэтому:
F2 + F4 + F6 + ...+ F2n = F2n+1 – 1, что и требовалось
доказать.
(178)
Доказательство
Заметим, что
Fn ⋅ Fn+1 − Fn ⋅ Fn−1 = Fn ⋅ (Fn+1 − Fn−1) = Fn ⋅ Fn = Fn2 , поэтому:
⎧F 2 = F ⋅ F
⎪ 12 1 2
⎪ F2 = F2 ⋅ F3 − F1 ⋅ F2
⎪⎪ F 2 = F ⋅ F − F ⋅ F
Сложим левые и правые части
3 4
2 3
⎨ 3
....................
.
..
полученных равенств.
⎪
⎪ Fn2−1 = Fn−1 ⋅ Fn − Fn−2 ⋅ Fn−1
⎪ 2
⎪⎩ Fn = Fn ⋅ Fn+1 − Fn−1 ⋅ Fn
__________________________________________________
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
F12 + F22 + F32 + ... + Fn2 = Fn ⋅ Fn+1 , что и требовалось доказать.
Оказывается, что любое число Фибоначчи можно определить и непосредственно, как некоторую
функцию его номера.
Теорема. Для n – го члена ряда Фибоначчи
справедлива формула:
Fn =
n
⎛
1 ⎜⎛1+ 5 ⎞
⋅ ⎜
−
⎟
5 ⎜⎜ ⎜⎝ 2 ⎟⎠
⎝
n
⎛ 1 − 5 ⎞ ⎞⎟
⎜⎜
⎟⎟ ⎟ — формула Бине.
⎝ 2 ⎠ ⎟⎠
Такая формула позволяет получить значение Fn не
последовательным переходом с предыдущего шага
на последующий, а сразу по его порядковому номеру. Чтобы понять, как эту формулу можно получить,
необходимо подробнее познакомиться с простыми
(линейными) рекуррентными уравнениями и способами их решения. Формулу Бине выведем далее.
(179)
О РЕШЕНИИ ЛИНЕЙНЫХ
РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Решение этой системы даёт недостающие нам
числа A0, B0. Окончательное решение рекуррентного уравнения F(n+2) = 5F(n+1) – 6F(n) имеет вид:
F(n) = A0·2n + B0·3n.
Остаётся вопрос о том, как «угадать» общий вид
решения? Правило для этого следующее.
1. Записывается общий вид уравнения:
Fn+2 = AFn+1 + BFn.
Глава 8.
(Моря в океане чисел. Натуральные числа)
Исследуемая
нами
рекуррентная
формула
Fn+2 = Fn+1 + Fn линейно (то есть Fn+1 и Fn — в первых
степенях и нет их произведений) выражает значение последовательности Fn+2 по двум предыдущим:
Fn+1 и Fn. В этом случае говорят о линейном рекуррентном уравнении второго порядка.
В качестве иллюстративного примера рассмотрим уравнение Fn+2 = 5Fn+1 – 6Fn.
Далее (для удобства) будем записывать его
в виде F(n+2) = 5F(n+1) – 6F(n). Убедимся, что
F(n) = A·2n + B·3n (здесь A, B — некоторые произвольные числа) является решением нашего уравнения:
5F(n+1) – 6F(n) = 5·(A·2n+1 + B·3n+1) – 6·(A·2n + B·3n) =
= 10A·2n + 15B·3n – 6A·2n – 6B·3n = 4A·2n + 9B·3n =
= 22A·2n + 32B·3n = A·2n+2 + B·3n+2 = F(n+2).
Чтобы найти окончательное решение необходимо найти A и B. Для этого используются начальные
условия: F(1) и F(2) Эти числа нам должны быть известны. Тогда:
При n = 1 ⇒ 2A + 3B = F(1)
При n = 2 ⇒ 4A + 9B = F(2)
(180)
2.
Составляется
квадратное
уравнение:
λ = Aλ + B. (Это уравнение называется характеристическим).
3. Если корни характеристического уравнения
λ1 и λ2 различны, то решение записывается в виде
F(n) = A0 ⋅ λ1n + B0 ⋅ λ2n . A0, B0 находятся из начальных
условий.
3.* Если корни характеристического уравнения
λ1 = λ2 = λ0 равны, то решение записывается в виде
F(n) = λ0n ⋅ (A0 + B0 ⋅ n) . A0, B0 находятся из начальных
условий.
2
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Примечание. Линейные рекуррентные уравнения, порядок которых больше двух, решаются аналогично. При решении характеристических уравнений в таких случаях приходится решать уравнения
высоких степеней.
Теперь все приготовления закончены, и мы можем приступить к доказательству формулы Бине.
Доказательство
Последовательность чисел Фибоначчи можно
получить с помощью рекуррентного уравнения второго порядка: F(n+2) = F(n+1) + F(n). Для него характеристическое уравнение имеет вид: λ2 = λ + 1.
1− 5
1+ 5
и λ2 =
.
Корни этого уравнения: λ1 =
2
2
Поэтому общее решение уравнения Фибоначчи
имеет вид:
n
n
⎛1 + 5 ⎞
⎛1 − 5 ⎞
Fn = ⎜
⋅A+ ⎜
⋅ B . Начальными усло⎜ 2 ⎟⎟
⎜ 2 ⎟⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
виями являются F(1) = 1 и F(2) = 1. В соответствии
(181)
с этими начальными условиями получаем для определения коэффициентов А и В следующую систему:
⎧
⎪⎪
⎨
⎪
⎪⎩
1
1
2
2
⎛1 + 5 ⎞
⎛1 − 5 ⎞
⎜⎜
⎟⎟ ⋅ A + ⎜⎜
⎟⎟ ⋅ B = 1 (1)
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎛1 + 5 ⎞
⎛1 − 5 ⎞
⎜⎜
⎟⎟ ⋅ A + ⎜⎜
⎟⎟ ⋅ B = 1 (2)
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
(1 + 5) ⋅ A + (1 − 5) ⋅ B = 2 — обе части уравнения
(1) умножили на 2.
Преобразуем уравнение (2), не забывая, что
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 и (a – b)2 = a2 – 2ab + b2:
1+2 5 +5
1−2 5 +5
⋅A+
⋅ B = 1 или
4
4
Теперь, преобразованная система имеет вид:
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
(1 + 5) ⋅ A + (1 − 5) ⋅ B = 2 (1)
(3 + 5) A + (3 − 5) B = 2 (2)
или
A + 5 A + B − 5 B = 2 (3)
3 A + 5 A + 3 B − 5 B = 2 (4)
Вычтем из уравнения (4) уравнение (3): 2A + 2B = 0
или A = –B.
Заменим в уравнении (3) A на –B:
Глава 8.
(Моря в океане чисел. Натуральные числа)
6+ 2 5
6 −2 5
⋅A+
⋅ B = 1 или после сокращения на 2:
4
4
3+ 5
3− 5
⋅A+
⋅ B = 1 . Умножим обе части послед2
2
него уравнения на 2: (3 + 5) A + (3 − 5) B = 2 .
(182)
− B − 5B + B − 5 B = 2 или B = –
Таким образом
Fn =
зана.
n
⎛
1 ⎜⎛1+ 5 ⎞
⋅ ⎜
−
⎟
5 ⎜⎜ ⎜⎝ 2 ⎟⎠
⎝
1
иA=
5
1
.
5
n
⎛ 1 − 5 ⎞ ⎞⎟
⎜⎜
⎟⎟ ⎟ — формула Бине дока⎝ 2 ⎠ ⎟⎠
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Может показаться удивительным, что при любых
натуральных n число F(n) принимает целые значения, но это так!
Удивителен и ещё один факт. Рассмотрим отношение двух соседних чисел Фибоначчи:
n+1
n+1
⎛
n+1
n+1
⎛ 1− 5 ⎞ ⎞⎟ ⎛
1 ⎜ ⎛ 1+ 5 ⎞
⎛ 1− 5 ⎞
1+ 5 ⎞
⋅ ⎜
−⎜
⎟
⎟
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
5 ⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠ ⎠ ⎝ 2 ⎠
F(n + 1)
⎝
⎝ 2 ⎠
=
=
n
n .
n
n⎞
⎛⎛
F(n)
⎛ 1+ 5 ⎞ ⎛ 1− 5 ⎞
1 ⎜ 1+ 5 ⎞ ⎛ 1− 5 ⎞ ⎟
⋅ ⎜
⎜
⎟ −⎜
⎟
⎟ −⎜
⎟
5 ⎜⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎝
⎠
Так как
1− 5
< 1 , то при увеличении показателя
2
n
⎛ 1− 5 ⎞
⎟⎟ стремится к нулю. Постепени n величина ⎜⎜
⎝ 2 ⎠
этому
n+1
F(n)
n
⎛ 1+ 5 ⎞ 1+ 5
⎜
⎟⋅
2
1+ 5
⎝ 2 ⎠
=
=
.
n
n
2
⎛ 1+ 5 ⎞
⎛ 1+ 5 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎛ 1+ 5 ⎞
⎜
⎟
F(n + 1) ⎝ 2 ⎠
→
1+ 5
Это число обозначают Φ =
— «золотое се2
чение» (или число Фидия).
Такое обозначение принято в честь древнегреческого скульптора Фидия, жившего в V веке до н.э. В то
время золотым сечением называлось деление отрез-
(183)
A
С
B
ка АВ точкой С на две части так, что большая часть относится к меньшей, как весь отрезок к большей:
BC
AC
AB
. Обозначим BC = a, AC = b.
BC
Тогда
a a+ b
=
⇒ a2 = ab + b2.
b
a
Разделим обе части последнего равенства на b2,
обозначив
2
a
b
Φ . Получим квадратное уравнение:
Φ − Φ − 1 = 0 . Корнями этого уравнения являются
1+ 5
1− 5
и ϕ=
. Φ + ϕ = 1.
2
2
В эпоху Возрождения «золотое сечение» было
очень популярно среди художников, скульпторов
и архитекторов. Размеры картины было принято
брать такими, чтобы отношение ширины к высоте
равнялось Ф. Форму «золотого сечения» придавали
числа Φ =
a·
a·4
Рис. 8.5
a·3
a·2
Глава 8.
(Моря в океане чисел. Натуральные числа)
a
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
(184)
книгам, столам, почтовым открыткам. В дальнейшем, книжным листам стали придавать форму прямоугольника с отношением сторон 2 . Это связано
с тем, что при перегибании такого прямоугольника
по средней линии образуется два прямоугольника
с тем же соотношением сторон.
В этом смысле «золотой прямоугольник» также
обладает интересным свойством: если от него отрезать квадрат, то останется вновь «золотой прямоугольник». И этот процесс можно продолжать до
бесконечности (рис. 8.5)!
Но вернёмся к числам Фибоначчи. Это, безусловно, очень интересная последовательность, и мы
уже видели, что она обладает многими удивительными свойствами. Но иногда эмоции настолько захлёстывают (особенно людей склонных к эзотерике),
что в этой последовательности начинают неоправданно находить мистические свойства. Например,
говорят, что «основополагающую роль в законах,
по которым развивается природа, играют числа
Рис. 8.6
(185)
Фибоначчи и золотое сечение». В качестве обоснования такой далеко идущей точки зрения обычно
приводятся красивые картинки, типа приведённых
ниже, в основе которых лежит изображённая на рис.
8.6 спираль.
Сторона каждого изображённого на рис. 8.6 квадратика равна соответствующему числу Фибоначчи.
Эту спираль начинают находить везде: от спиральных галактик (рис. 8.7) до раковин моллюсков (рис.
8.8) и соцветий растений (рис. 8.9). Но семейство
различных спиралей очень велико. Есть ещё логарифмические спирали, «архимедова спираль» и т.д.
Поскольку природа имеет много закономерностей во времени и пространстве, то при желании
можно подобрать различные математические ша-
Глава 8.
(Моря в океане чисел. Натуральные числа)
Рис. 8.7. Снимок телескопа Hubble
(186)
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Рис. 8.8
блоны соответствия. А затем можно утверждать,
что природа выбрала именно тот вариант, который
«исследователь» выдаёт за единственно правильный. Ко всем подобным утверждениям всегда стоит
относиться критически и не принимать их на веру.
Рис. 8.9
Глава 9.
ʽʺʤ˃ʫʺʤ˃ʰˋʫˁʶʽʺʺʫ˃ʽʪʫ
ʺˏˌʸʫʻʰ˔
Одно из основных отличий математики от других
наук заключается в том, что математика допускает
понятие бесконечности. Рассматривая натуральные числа, мы можем указать порядок, в котором
они расположены: знаем, какие больше или меньше
других. Мы также знаем, что существует наименьшее натуральное число — единица, и что за каждым
Глава 9.
(О математическом методе мышления)
Едут в поезде по Швейцарии астроном,
физик и математик.
В окне проносится пастбище, на котором астроном замечает пасущуюся
овцу и говорит:
— О… В этой стране водятся белые овцы!
Физик поправляет:
— Нет, в этой стране есть, по крайней
мере, одна белая овца.
Математик снисходительно:
— В этой стране есть, по крайней мере,
одна овца, не меньше, чем с одним
белым боком.
Старый анекдот
(188)
натуральным числом расположено следующее, отличающееся от него на 1. Остаётся сделать одно
интуитивно оправданное умозаключение: какое бы
большое натуральное число мы не взяли, при добавлении к нему хотя бы единицы, мы получаем ещё
большее натуральное число. Вывод: множество натуральных чисел не ограничено сверху, но ограничено снизу числом 1.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
«Последнего числа не существует (Numbers
go on). Эта интуиция возможности «всегда увеличить на единицу» — открытой … бесконечности — лежит в основе всей математики».
Герман Вейль
Таким образом, мы чисто мыслительно, выходим
за пределы окружающего нас материального мира
и вводим понятие бесконечности.
С использованием примерно такого способа рассуждения (но на строго логической основе) строится набор аксиом итальянского математика Пеано,
которые вводят натуральные числа.
Ещё одной из отличительных черт математики является её дедуктивное построение. Это означает, что все утверждения выводятся только из
нескольких основных положений (аксиом). После
того, как аксиомы сформулированы, все остальные
понятия и теоремы должны строиться только на их
основе с использованием логики (т.е. дедуктивно).
Однако дедукция не является единственным методом математического мышления. Приведём несколько примеров, основанных на наблюдениях за
математическими соотношениями.
(189)
Пример 1.
1 = 12
1 + 3 = 22
1 + 3 + 5 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 42
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52
Возникает подозрение, что сумма нечётных натуральных чисел равна квадрату количества слагаемых. Проверим следующую сумму: 1 + 3 + 5 +
+ 7 + 9 + 11 = 62. Но всё-таки нет уверенности, что
приведённое правило будет выполняться всегда.
Даже если данное правило будет верным для следующих 100 строк, с математической точки зрения это
не будет считаться доказательством того, что для
любых нечётных натуральных чисел 2n – 1, n = 1, 2,
3, 4, ... будет выполняться правило:
1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 3) + (2n – 1) = n2.
Глава 9.
(О математическом методе мышления)
Пример 2 (Пример Эйлера).
f(n) = n2 – n + 41.
При n = 1 f(1) = 41 — простое число.
f(2) = 43 — простое число.
f(3) = 47 — простое число.
f(4) = 53 — простое число.
f(5) = 61 — простое число.
f(6) = 71 — простое число.
f(7) = 83 — простое число.
f(8) = 97 — простое число.
...............................
f(23) = 547 — простое число.
f(24) = 593 — простое число.
f(25) = 641 — простое число.
(190)
...............................
f(33) = 1097 — простое число.
f(34) = 1163 — простое число.
f(35) = 1231 — простое число.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
С помощью таблицы простых чисел можно убедиться, что для всех натуральных n от 1 до 40 приведённая формула даёт простые числа! Но, очевидно,
что при n = 41 число f(41) = 412 – 41 + 41 делится на
41, то есть простым не является.
Пример 3.
Если бы кто-нибудь сформулировал гипотезу:
число 991n2 + 1 никогда не является точным квадратом, то для опровержения этого утверждения ему
пришлось бы перебрать огромное количество чисел. Дело в том, что первое значение n, при котором
число 991n2 + 1 является точным квадратом, насчитывает 29 десятичных знаков!
Эти примеры убеждают, что даже большое число рассмотренных случаев не даёт основания быть
уверенным в правильности выдвинутого предположения.
Тем не менее, существует метод, который даёт
возможность установить окончательную справедливость выдвинутой гипотезы! Это метод математической индукции.
Предположим, требуется установить справедливость бесконечной последовательности утверждений, занумерованных натуральными числами:
A1, A2, ... , An, An+1, ...
(191)
Допустим, что:
1. Установлено, что A1 — верно. (Это утверждение называется базой индукции).
2. Для любого n доказано, что если верно An, то
верно An+1.
Тогда все утверждения нашей последовательности верны.
Доказательство, основанное на принципе математической индукции, называют доказательством
по индукции или доказательством методом математической индукции.
Покажем, как работает метод индукции при доказательстве тождеств, неравенств, в задачах на
делимость на конкретных примерах, которых достаточно много, чтобы увидеть разнообразие используемых приёмов.
Решение
А) Базис индукции. При n=1 утверждение имеет вид:
1⋅ (1+1)
=1 , S1 = 1 — верно.
2
Если сумма из одного члена кажется чем-то
странным, можно проверить и случай
n = 2: в этом случае
2 ⋅ (2+1)
= 3 , S2 = 3 — верно.
2
Глава 9.
(О математическом методе мышления)
Пример 1.
Доказать, что
n(n1)
Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n – 2) + (n – 1) + n =
при
2
всех n ≥ 1.
(192)
Шаг индукции. Предположим, что на k-ом шаге
формула Sk =
k(k +1)
верна.
2
Тогда на следующем (k+1)-ом шаге, если формула верна, то она должна иметь вид:
(k +1)(k + 2) (*).
Sk +1 =
2
Проверим это:
Sk+1 = (1 + 2 +. 3 + 4 + ... + (k – 2) + (k – 1) + k) + (k + 1) =
= Sk + (k + 1) =
k(k 1)
(k 1)(k 2)
k
+ (k + 1) = (k + 1)·( + 1) =
.
2
2
2
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Получили ожидаемый результат (*). Значит исходная формула верна при любом значении n ∈ ‰.
Пример 2.
Доказать, что для любого натурального числа
n сумма первых нечётных натуральных чисел равна
n2: Sn = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1) = n2 (здесь n слагаемых).
Решение
] При n=1: S1 = 12 = 1 — верно.
\
Предположим, что на к-ом шаге формула верна,
т.е. Sk = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2k – 1) = k2 (здесь к слагаемых). Если формула верна на (к+1)-ом шаге, то
должно получиться:
Sk+1 = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2k – 1) + (2k + 1) = (k + 1)2.
Проверим:
Sk+1 = Sk + (2k + 1) = k2 + (2k + 1) = (k + 1)2 — верно.
Получили ожидаемый результат.
Пример 3. Методом математической индукции
можно доказывать и неравенства.
(193)
Доказать, что для любого x I –1 и любого натурального числа n справедливо неравенство:
(1 + x)n I 1 + nx.
Решение
] При n=1: 1 + x I 1 + x — верно.
\
Предположим, что на к-ом шаге формула верна,
т.е. что (1 + x)k I 1 + kx (*) — верно.
Если неравенство верно на (к+1)-ом шаге, то
должно получиться:
(1 + x)k+1 I 1 + (k + 1)·x (**).
Проверим:
( )
*
(1 + x)k+1 = (1 + x)k·(1 + x) I (1 + kx)·(1 + x) =
= 1 + (k + 1)·x + k·x2 I 1 + (k + 1)·x
Получили неравенство (**), т.е. исходное неравенство доказано.
Решение
1⋅ (1+ 1)(2 ⋅1+ 1)
= 1 — верно.
] При n=1: S1=
\
6
Предположим, что на к-ом шаге формула верна,
k(k + 1)(2k + 1)
(здесь к слагаемых). Если
т.е. Sk =
6
формула верна на (к+1)-ом шаге, то должно получиться:
(k + 1)(k + 2)(2k + 3)
(*).
Sk +1 =
6
Глава 9.
(О математическом методе мышления)
Пример 4.
Доказать, что сумма Sn = 12 + 22 + 32 + ... + n2 равна
n(n 1)(2n 1)
.
6
(194)
Проверим:
k(k + 1)(2k + 1)
Sk +1 = Sk + (k + 1)2 =
+ (k + 1)2 =
6
1
⎛ k(2k + 1)
⎞
= (k + 1) ⋅ ⎜
+ k + 1⎟ = (k + 1) ⋅ ⋅ (2k 2 + 7k + 6) =
6
6
⎠
⎝
1
= ⋅ (k + 1) ⋅ (k + 2)(2k + 3) — верно (см. (*)).
6
Получили ожидаемый результат.
Пример 5.
Задача ал-Караджи (Иран, XI в.).
Доказать, что для любого натурального числа
n верно равенство:
Sn = 13 + 23 + 33 + ... + n3 = (1 + 2 + 3 + ... + n)2 =
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
=
1 2
·n ·(n + 1)2.
4
Решение
12⋅ (1+1)2
= 1 — верно.
] При n=1: S1 =
\
4
Предположим, что на к-ом шаге формула верна,
т.е. Sk =
k 2⋅ (k +1)2
(здесь к слагаемых). Если форму4
ла верна на (к+1)-ом шаге, то должно получиться:
Sk +1 =
(k +1)2⋅ (k + 2)2
(*).
4
Проверим это:
Sk +1 = Sk + (k + 1)3 =
k 2⋅ (k +1)2
+ (k + 1)3 =
4
⎞ (k +1)2⋅ (k + 2)2
⎛ k2
.
= (k + 1)2 ⎜
+ k + 1⎟ =
⎟
⎜ 4
4
⎠
⎝
Получили ожидаемый результат.
(195)
Пример 6.
Доказать, что
(n−1)⋅n⋅(n+1)
1·2 + 2·3 + 3·4 + ... + (n – 1)·n =
.
3
Решение
] При n=1: S1 = (1 – 1)·1 = 0 — верно, т.к.
\
(1−1)⋅1⋅(1+1)
= 0.
3
Предположим, что на к-ом шаге формула верна,
т.е.
(k −1)⋅k ⋅(k +1)
Sk = 1·2 + 2·3 + 3·4 + ... + (k – 1)·k =
3
(здесь к – 1 слагаемых). Если формула верна на
(к+1)-ом шаге, то должно получиться:
Sk+1 = (1·2 + 2·3 + 3·4 + ... + (k – 1)·k) + k · (k + 1) =
=
k ⋅(k +1)⋅(k + 2)
.
3
Проверим:
(k −1)⋅k ⋅(k +1)
Sk+1 = Sk + k · (k + 1) =
+ k · (k + 1) =
ожидаемый результат.
Пример 7.
Доказать, что:
1·2·3 + 2·3·4 + 3·4·5 + ... + n(n + 1)(n + 2) =
=
n(n1)(n 2)(n 3)
.
4
Решение
] При n=1 S1 = 1·2·3 = 6 — верно, т.к.
\
1⋅(1+1)(1+ 2)(1+ 3)
= 6.
4
Глава 9.
(О математическом методе мышления)
3
k
⋅
(
k
+
1
)⋅(k + 2)
⎛ (k −1) ⎞
+1⎟ =
= k · (k + 1) ⎜
— верно. Получили
3
⎠
⎝ 3
(196)
Предположим, что на к-ом шаге формула верна,
т.е. Sk = 1·2·3 + 2·3·4 + 3·4·5 + ... + k(k + 1)(k + 2) =
= k(k 1)(k 2)(k 3) (здесь к слагаемых). Если фор4
мула верна на (к+1)-ом шаге, то должно получиться:
Sk+1 = 1·2·3 + 2·3·4 + 3·4·5 + ... + k(k + 1)(k + 2) +
+ (k + 1)(k + 2)(k + 3) =
(k 1)(k 2)(k 3)(k 4)
.
4
Проверим:
Sk+1 = Sk + (k + 1)(k + 2)(k + 3) = k(k 1)(k 2)(k 3) +
4
+ (k + 1)(k + 2)(k + 3) = (k + 1)(k + 2)(k + 3)· ⎛⎜ k +1⎞⎟ =
=
⎝4 ⎠
(k 1)(k 2)(k 3)(k 4)
— верно, т.е. это — ожидае4
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
мый результат.
Пример 8.
Доказать, что: 1·1! + 2·2! + 3·3! + ... + n·n! = (n + 1)! –1.
Решение
] При n=1: S1 = 1·1! = 1 — верно, т.к. (1+1)! — 1 =
\
= 2! — 1 = 1.
Предположим, что на к-ом шаге формула верна, т.е.
Sk = 1·1! + 2·2! + 3·3! + ... + k·k! = (k + 1)! –1 (здесь
к слагаемых). Если формула верна на (к+1)-ом
шаге, то должно получиться:
Sk+1 = (1·1! + 2·2! + 3·3! + ... + k·k!) + (k + 1)·(k + 1)! =
= (k + 2)! – 1.
Проверим:
Sk+1 = Sk + (k + 1)·(k + 1)! = (k + 1)! – 1 + (k + 1)·(k + 1)! =
= (k + 1)!·(1 + k + 1) – 1 = (k + 2)·(k + 1)! – 1 = (k + 2)! – 1 —
верно, т.е. это — ожидаемый результат.
(197)
Пример 9. С помощью метода математической
индукции можно решать задачи на делимость.
Доказать, что: An = 11n+2 + 122n+1 делится на 133,
n ≥ 0.
Решение
] При n=1: A1 = 111+2 + 122·1+1 = 1331 + 1728 = 3059.
\
3059:133 = 23. — верно.
Предположим, что при n = k Ak = 11k+2 + 122k+1 делится на 133 (нацело).
Докажем, что Ak+1 = 11k+3 + 122(k+1)+1 = 11k+3 + 122k+3
делится на 133.
Ak+1 = 11k+3 + 122k+3 = 11·11k+2 + 122·122k+1 =
= 11·11k+2 + 144·122k+1 = (11·11k+2 + 11·122k+1) + 133·122k+1 =
= 11·(11k+2 + 122k+1) + 133·122k+1.
Первое слагаемое делится на 133 по предположению, а второе, т.к. сомножитель равен 133. Задача решена.
2+1
2+ 2
3
4
12
24
Предположим, что при n = k
1
1 13 — верно.
1
Ak =
+
+ ... +
>
k +1 k + 2
2k 24
Докажем, что и при n = k+1 неравенство остаётся
верным.
Глава 9.
(О математическом методе мышления)
Пример 10.
Доказать, что при любом натуральном n > 1 справедливо неравенство:
1
1 13
1
An =
+
+ ... +
>
(здесь n слагаемых).
n +1 n + 2
2n 24
Решение
1
]
+ 1 = 1 + 1 = 7 > 13 – верно.
\ При n = 2: A 2 =
(198)
1
1
1
1
+
+ ... +
+
=
k +2 k +3
2k + 1 2k + 2
A k +1 =
1
1
1 ⎞ ⎛ 1
1
1 ⎞
⎛ 1
=⎜
+
+
+ ... +
+
−
⎟+⎜
⎟=
2k ⎠ ⎝ 2k + 1 2(k + 1) k + 1⎠
⎝ k +1 k + 2 k + 3
1
1
1 ⎞ ⎛ 1
1 ⎞
⎛ 1
=⎜
+
+
+ ... +
−
⎟+⎜
⎟=
2k ⎠ ⎝ 2k + 1 2(k + 1) ⎠
⎝ k +1 k + 2 k + 3
= Ak +
Ak 1
13
>
,
(2k +1)⋅(2k + 2) 24
т.к. по предположению
13
. Задача решена.
24
Пример 11.
Доказать, что при любом натуральном n истинно
тождество:
1
2
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
1− +
1 1
1
1
1
1
1
− + ... +
−
=
+
+ ... +
.
3 4
2n−1 2n n+1 n+ 2
2n
Решение
1 1
] При n=1 оно принимает вид 1− = , и поэто\
2 2
му тождество справедливо.
Запишем теперь доказываемое тождество при
n = k + 1 и при n = k:
1
2
1− +
1 1
1
1
1
1
1
− + ... +
−
+
−
=
+
3 4
2k −1 2k 2k +1 2(k +1) k + 2
+
1
2
и 1− +
1
1
1
1
(*)
+ ... +
+
+
k +3
2k 2k +1 2k + 2
1 1
1
1
1
1
1
− + ... +
−
=
+
+ ... +
. (**).
3 4
2k −1 2k k +1 k + 2
2k
Вычитая соответствующие части тождеств друг
из друга, приходим к истинному равенству:
1
1
1
1
1
−
+
=
−
.
2k +1 2(k +1) 2k +1 2k + 2 k +1
(199)
Значит, если истинно равенство (**), то истинно
равенство (*), а поэтому в силу математической индукции исходное тождество справедливо для всех
значений n.
Пример 12.
Доказать, что при любом натуральном n I 2 истинно тождество:
⎛
1 ⎞ n +1
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞
.
⎜ 1− ⎟⋅⎜ 1− ⎟ ⋅ ... ⋅⎜ 1− 2 ⎟ =
4
9
⎠
⎝
⎠⎝
⎝ n ⎠ 2n
Решение
1 3
] При n=2 оно принимает вид 1− =
\
4
4
и
n+1 2+1 3
=
= — и поэтому тождество справедливо.
2n
2⋅2 4
Запишем теперь доказываемое тождество при
n = k + 1 и при n = k:
1 ⎞⎛
1 ⎞ k +2
⎛
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞
(*) и
⎟=
⎜ 1− ⎟⋅⎜ 1− ⎟ ⋅ ... ⋅⎜ 1− 2 ⎟⋅⎜ 1−
⎝ 4⎠⎝ 9⎠
⎝ k ⎠ ⎝ (k + 1)2 ⎠ 2(k + 1)
Найдём отношение левых и правых частей равенств (*) и (**):
k ⋅ (k + 2) — это равенство означает, что,
1
1−
=
2
(k +1)
(k + 1)2
если справедливо (**), то помножив обе его части
на одно и тоже число, получим равенство (*), которое также окажется верным. Поэтому в силу математической индукции исходное тождество справедливо для всех значений n.
Глава 9.
(О математическом методе мышления)
⎛
1 ⎞ k +1
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞
(**).
⎜ 1− ⎟ ⋅ ⎜ 1− ⎟ ⋅ ... ⋅ ⎜ 1− 2 ⎟ =
⎝ 4⎠ ⎝ 9⎠
⎝ k ⎠ 2k
(200)
Пример 13.
Доказать, что при любом натуральном n > 1
1
+ 1 + 1 + ... + 1 > n .
1
2
3
n
Доказательство
1
1
1
] При n=2:
\
+
= 1+
> 2 – верно.
1
2
2
Обозначим: Ak = 1 + 1 + 1 + ... + 1 , Bk
1
Ak++1=
2
k
3
k,
1
+ 1 + 1 + ... + 1 + 1 , Bk++1 = k + 1 .
k
k +1
1
2
3
Предположим, что Ak > Bk. Составим разности:
Δ1 = Ak+1– Ak и Δ2 = Bk+1– Bk и сравним их:
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Δ1 =
1
k 1
Δ2 =
k +1− k =
1
,
k +1+ k
то есть Δ1 > Δ2 ⇒ Ak+1 > Bk+1.
Исходное неравенство доказано для любых натуральных n > 1.
Пример 14.
Доказать, что при любом натуральном n > 1 спра4n (2n)!
.
ведливо неравенство:
<
n + 1 (n!)2
Доказательство
42 (2⋅2)! 16
] При n=2:
⇒
< 6 — верно.
<
\
3
2 + 1 (2!)2
Обозначим:
Bk +1 =
(2(k +1))!
.
((k +1)!)2
Ak =
4k ,
Bk
k +1
(2k)!
2
(k !)
,
Ak+1 =
4k +1 ,
k +2
(201)
Предположим, что Ak < Bk. Составим отношения:
Δ1 =
Δ1 =
Δ2 =
=
Ak 1
Ak
и Δ2 =
B k 1
Bk
, и сравним их:
4k ⋅ 4 ⋅ (k + 1) 4 ⋅ (k + 1)
4k +1
4k
=
:
=
.
(k + 2)
k + 2 k +1
(k + 2) ⋅ 4k
(2(k +1))!
2
((k +1)!)
(2k)!
:
2
(k !)
=
(2k + 2)!⋅(k !)2
(k !⋅(k +1))2⋅(2k)!
(2k)!⋅(2k +1)⋅(2k + 2)⋅(k !)2
2
2
(k !) ⋅(k +1) ⋅(2k)!
Δ1 . Δ2 ⇒
=
=
(2k +1)⋅(2k + 2)
2
(k +1)
=
2⋅(2k +1)
.
(k +1)
4 ⋅ (k + 1)
2⋅(2k +1)
.
⇒
(k +1)
(k + 2)
⇒ 2·(k + 1)2 . (2k + 1)·(k+2) ⇒
⇒ 2k2 + 4k + 2 . 2k2 + 5k + 2 ⇒ 4 < 5 ⇒ Δ1 < Δ2.
Пример 15.
Доказать неравенство:
1 1
1 5n−2
+ + ... + <
, n ∈ ‰.
1! 2!
n!
2n
Доказательство
] При n=1: 1 <
\
5⋅1−2 3
= — верно.
2⋅1
2
Обозначим: Ak =
1 1
1
5k −2
,
+ + ... + , Bk =
k!
1! 2!
2k
Глава 9.
(О математическом методе мышления)
Поэтому знак неравенства при переходе от
Ak < Bk к Ak+1 < Bk+1 сохраняется, и в силу математической индукции исходное неравенство справедливо
для всех значений n > 1.
(202)
Ak +1 =
1 1
1
1
5(k +1)−2
+ + ... + +
, Bk +1 =
.
k ! (k +1)!
2(k +1)
1! 2!
Предположим, что Ak < Bk. Составим разности:
Δ1 = Ak+1 – Ak и Δ2 = Bk+1 – Bk , и сравним их:
Δ1 =
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
=
1
5(k +1)−2 5k −2 5k + 3 5k −2
=
=
−
−
, Δ2 =
(k +1)!
2(k +1)
2k
2(k +1)
2k
1
1
1
1
2
1
=
<
⇒ Δ1 =
⋅
=
= Δ2
(k +1)! (k !)⋅(k +1) k ⋅(k +1)
2 k ⋅(k +1) k ⋅(k +1)
⇒ Δ1 < Δ2
Поэтому знак неравенства при переходе от
Ak < Bk к Ak+1 < Bk+1 сохраняется, и в силу математической индукции исходное неравенство справедливо
для всех значений n ∈ ‰.
Следующие два примера демонстрируют эффективность метода математической индукции при
доказательстве двух очень важных для математики
формул: неравенства Коши и знакомой уже нам
формулы Бине.
Пример 16.
Доказать неравенство:
P(n) = x1 + x2 + ... + xn I n, если
x1·x2· ... ·xn = 1 и xi > 0, i = 1, n.
(Использованный знак означает, что i = 1,2,3,...,n)
Доказательство
] При n=1 получим x1 = 1 и, следовательно, x1 I 1,
\
то есть P(1)– справедливое утверждение.
Предположим, что P(n) — истинно, то есть, если
x1, x2, ... , xn — n положительных чисел, произведение
которых равно единице (x1·x2· ... ·xn = 1 и xi > 0, i = 1, n.),
то x1 + x2 + ... + xn I n.
(203)
Необходимо показать, что это предположение
влечёт истинность следующего:
если x1, x2, ... , xn, xn+1 — (n+1) положительных чисел, таких, что x1·x2· ... ·xn ·xn+1 = 1 тогда x1 + x2 + ... + xn +
+ xn+1 I n + 1.
В результате получили:
x1 + x2 + ... + xn–1 + xn + xn+1 I n + 1 + (1 – xn)·(xn+1 – 1).
Поскольку (1 – xn)·(xn+1 – 1) > 0, то
x1 + x2 + ... + xn–1 + xn + xn+1 I n + 1.
Значит, из справедливости P(n) следует справедливость P(n+1).
Глава 9.
(О математическом методе мышления)
Рассмотрим два случая.
1) x1 = x2 = ... = xn = xn+1 = 1. Тогда сумма этих чисел
равна (n+1), и требуемое условие
x1 + x2 + ... + xn + xn+1 I n+1 выполняется.
2) Хотя бы одно число отлично от единицы, пусть,
например, больше единицы. Тогда, поскольку
x1·x2· ... ·xn·xn+1 = 1, существует ещё хотя бы одно число, отличное от единицы (точнее, меньше единицы).
Пусть, например, xn+1 > 1 и xn < 1 (взять можно любые
сомножители, т.к. произведение коммутативно).
Рассмотрим n положительных чисел:
x1, x2, ... , xn–1, (xn·xn+1). Произведение этих чисел
равно единице, и, согласно гипотезе, x1 + x2 + ... +
+ xn–1 + xn·xn+1 I n.
Последнее неравенство перепишем следующим
образом:
x1 + x2 + ... + xn–1 + xn·xn+1 + xn + xn+1 I n + xn + xn+1 или
x1 + x2 + ... + xn–1 + xn + xn+1 I n + xn + xn+1 – xn·xn+1 =
= n + 1 + (xn – 1) – xn·xn+1 + xn+1 = n + 1 – (1 – xn) +
+xn+1(1 – xn) = n + 1 + (1 – xn)·(xn+1 – 1).
(204)
Неравенство доказано.
Примечание. Знак равенства имеет место тогда
и только тогда, когда: x1 = x2 = ... = xn = 1.
Следствие примера 16.
Докажем, что при любых положительных числах
справедливо:
x1 + x2 + ... + x n n
≥ x1 ⋅ x2 ⋅ x3 ⋅ ... ⋅ x n
n
(неравенство О. Коши).
(Среднее геометрическое положительных чисел
не больше их среднего арифметического.)
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Доказательство
] Пусть x1, x2, ... , xn — произвольные положи\
тельные числа.
Рассмотрим следующие n положительных чисел:
x1
,
x2
n x x x ... x n x x x ... x
1 2 3
1 2 3
n
n
,...,
xn
n x x x ... x .
1 2 3
n
Поскольку их произведение равно единице:
x1
x2
xn
=
⋅
⋅ ... ⋅
n x ⋅ x ⋅ x ⋅ ... ⋅ x n x ⋅ x ⋅ x ⋅ ... ⋅ x
n x ⋅ x ⋅ x ⋅ ... ⋅ x
1 2 3
1 2 3
1 2 3
n
n
n
x ⋅ x ⋅ x ⋅ ... ⋅ x n
= 1 2 3
=1,
x1 ⋅ x2 ⋅ x3 ⋅ ... ⋅ x n
то
согласно
доказанному
в примере 16:
x1
x2
+
+ ... +
n x ⋅ x ⋅ x ⋅ ... ⋅ x
n x ⋅ x ⋅ x ⋅ ... ⋅ x
1 2 3
1 2 3
n
n
+
Откуда:
xn
n x ⋅ x ⋅ x ⋅ ... ⋅ x
1 2 3
n
≥n
(205)
x1 + x2 + ... + x n n
≥ x1 ⋅ x2 ⋅ x3 ⋅ ... ⋅ x n .
n
Неравенство Коши доказано.
Пример 17.
Доказать формулу Бине (для чисел Фибоначчи)
Последовательность чисел Фибоначчи {Fn} задаётся линейным рекуррентным соотношением:
F0 = 0, F1 = 1, Fn = Fn–1 + Fn–2, n I 2, n ∈ ‰.
(То есть это числа: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,
89, 144, 233, …)
Формула Бине выражает в явном виде значение
Fn как функцию от n:
n
n
⎛1+ 5 ⎞
⎛1− 5 ⎞
⎜⎜
⎟⎟ − ⎜⎜
⎟
2 ⎠
2 ⎟⎠
⎝
⎝
Fn =
5
(*).
Доказательство
0
1
1
⎛1+ 5 ⎞ ⎛1− 5 ⎞
⎜⎜
⎟−⎜
⎟
2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎠
5
⎝
=1,
F1 =
=
5
5
2
2
⎛1+ 5 ⎞ ⎛1− 5 ⎞
1 + 2 5 + 5 1 −2 5 + 5
⎜⎜
⎟ −⎜
⎟
−
2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎠
5
⎝
4
4
= 1.
F2 =
=
=
5
5
5
То есть, на первом шаге индукции (n = 2) выполняется соотношение:
Глава 9.
(О математическом методе мышления)
0
⎛1+ 5 ⎞
⎛1− 5 ⎞
⎜⎜
⎟⎟ − ⎜⎜
⎟⎟
2
⎝
⎠
⎝ 2 ⎠ = 1−1 = 0
F
=
]
,
\ 0
5
5
(206)
F1 + F0 = F2, то есть 1 + 0 = 1.
Нужно доказать, что для остальных чисел вида (*)
выполняется соотношение:
Fn = Fn–1 + Fn–2, n I 2, n ∈ ‰.
Введём обозначения: t1 =
Тогда t1·t2 = –1 ⇒ t1 = −
1+ 5
1− 5
и t2 =
.
2
2
1
.
t2
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Предположим, что формула Fk = Fk–1 + Fk–2 справедлива на k-ом шаге.
Докажем, что тогда она остаётся справедливой
и на k+1-ом шаге, т.е., что выполняется Fk+1 = Fk + Fk–1.
С учётом справедливости Fk = Fk–1 + Fk–2 достаточно доказать, что Fk+1 = Fk + Fk–1 = (Fk–1 + Fk–2) + Fk–1
или что
Fk+1 = 2·Fk–1 + Fk–2 (**).
Тогда, в результате преобразований правой части формулы (**) мы (в случае справедливости формулы Бине) должны получить:
k +1
k +1 ⎛ 1 ⎞
− ⎜⎜ − ⎟⎟
k +1
k +1 (t1)
(t1) − (t2 )
⎝ t1 ⎠
Fk +1 =
=
5
5
k +1
⎛ 1⎞
(t1)k +1 − (−1)k +1⎜⎜ ⎟⎟
⎝ t1 ⎠
=
5
(t )2k + 2 + (−1)k
= 1
(***).
5 ⋅ (t1 )k +1
=
(t1)k +1 + (−1)k
=
5
1
(t1 )k +1
=
(207)
С другой стороны:
(t )k −1 − (t2 )k −1 (t1)k −2 − (t2 )k −2
2 ⋅ Fk −1 + Fk −2 = 2 ⋅ 1
+
=
5
5
k −1
(t1)
= 2⋅
k −1
⎛ 1⎞
− ⎜⎜ − ⎟⎟
⎝ t1 ⎠
5
k −2
(t1)
+
k −2
⎛ 1⎞
− ⎜⎜ − ⎟⎟
⎝ t1 ⎠
5
=
(t )2k −2 + (−1)k (t1)2k − 4 − (−1)k
= 2⋅ 1
+
=
5 ⋅ (t1 )k −1
5 ⋅ (t1 )k −2
= 2⋅
((t1)2k −2 + (−1)k) ⋅ (t1)2
( 5 ⋅ (t1 )k −1 ) ⋅ (t1)2
+
((t1)2k − 4 − (−1)k) ⋅ (t1)3
( 5 ⋅ (t1 )k −2 ) ⋅ (t1)3
=
(t )2k + (−1)k ⋅ (t1)2 (t1)2k −1 − (−1)k ⋅ (t1)3
=
= 2⋅ 1
+
5 ⋅ (t1 )k +1
5 ⋅ (t1 )k +1
(2 ⋅ (t1)2k + (t1)2k −1 ) + (2 ⋅ (t1)2 − (t1)3) ⋅ (−1)k
5 ⋅ (t1 )k +1
=
(t )2k + 2 ⋅ (2 ⋅ (t1)−2 + (t1)−3) + (2 ⋅ (t1)2 − (t1)3) ⋅ (−1)k
=
= 1
5 ⋅ (t1 )k +1
= [t1 = −(t2)−1] =
(t )2k + 2 ⋅ (2 ⋅ (t2 )2 − (t2 )3) + (2 ⋅ (t1)2 − (t1)3) ⋅ (−1)k
=
= 1
5 ⋅ (t1 )k +1
(t )2k + 2 ⋅ (t2 )2 ⋅ (2 − t2) + (t1)2 ⋅ (2 − t1) ⋅ (−1)k
= 1
(****)
5 ⋅ (t1 )k +1
Глава 9.
(О математическом методе мышления)
=
(208)
Напомним, что t1 =
1+ 5
1− 5
и t2 =
.
2
2
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Легко проверить, что (t2)2·(2 – t2) = (t1)2·(2 – t1) = 1.
Поэтому выражения (***) и (****) совпадают и,
таким образом, справедливость формулы Бине доказана.
Глава 10.
МОРЯ В ОКЕАНЕ ЧИСЕЛ. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА
Числа отрицательные, новые для нас
Лишь совсем недавно изучил наш класс,
Сразу прибавилось всем теперь мороки –
Учат-учат правила дети все уроки.
Детский стишок
ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ И ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА
Глава 10.
(Моря в океане чисел. Целые числа)
Множество натуральных чисел N, как говорят в математике, не замкнуто относительно вычитания (т.е.,
например, число (5 – 7) ∉ ‰). Это послужило поводом
для введения отрицательных чисел. С их использованием операция вычитания становится выполнимой во всех случаях. Наглядным образом отрицательные и положительные числа представляются
с помощью понятий прибылей и убытков. Но, с логической точки зрения, более правильно было бы осознать, что введение отрицательных чисел позволяет
сложение и вычитание «слить» в одну операцию. Вычитание можно рассматривать, как сложение с отрицательным числом, что позволяет трактовать запись
10 – 26 = –16, как упрощение записи 10 + (–26) = –16.
Введение отрицательных чисел позволяет избавиться от вычитания, как самостоятельной операции.
(210)
Отрицательные числа впервые стали употреблять в Китае и Индии. Использовали их для подсчёта долгов и упрощения при решении уравнений.
Но так как этим числам не удавалось приписать никакой материальной сущности, то относились к ним
с осторожностью и недоверием. Эта осторожность
сохранялась практически до XVII века.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Определение. Целые числа — это числовое
множество, получаемое объединением множества
натуральных чисел, отрицательных чисел и нуля.
В этом случае, все свойства операций с целыми
числами остаются такими же, как и для натуральных. По сути дела, эти свойства являются аксиомами множества целых чисел:
Z a + b = b + a — коммутативность сложения; (1)
Z a·b = b·a — коммутативность умножения; (2)
Z (a + b) + с = a + (b + с) — ассоциативность сложения; (3)
Z (a·b)·с = a·(b·с) — ассоциативность умножения; (4)
Z a·(b + с) = a·b + a·с — дистрибутивность умножения относительно сложения. (5)
(a + b)·с = a·с + b·с
К перечисленным свойствам для целых чисел добавляются ещё:
Z a + 0 = a — свойство нуля; (6)
Z a + (–a) = 0 — свойство противоположного элемента; (7)
Z Z a ‚ Ќ Y 1 ‚ Ќ: a·1 = a — для любого целого
числа a существует такое целое число 1, что
a·1 = a. (8)
(211)
Из этих аксиом чисто формально (строго) может
быть доказана, например, единственность нуля, единицы и противоположного элемента. Чтобы пояснить
«язык» подобных доказательств, приведём несколько примеров. Заодно начинаем привыкать к краткой
] — начало
записи математических доказательств: \
доказательства, Z — конец доказательства.
Пример 1: Z a ‚ Ќ a·0 = 0. Для любого целого числа произведение этого числа на ноль равно нулю.
] a·0 = a·0 + (a + (–a)) = (a·0 + a) + (–a) = (a·0 + a·1) + (–a) =
\
(6),(7)
(3)
(2),(8)
(5)
= a·(0 + 1) + (–a) = a·1 + (–a) = a + (–a) = 0 Z
(5)
(1),(6)
(8)
(7)
Под равенствами приведены номера используемых аксиом.
(2),(8)
(5)
(7)
(2),(Пр.1)
откуда следует, что (–1)·a является противоположным элементом для a.
В силу единственности противоположного элемента равенство –a = (–1)·a доказано. Z
Пример 3: Z a ‚ Ќ (–1)·(–a) = a. (То есть надо доказать, что (–1)·(–a) — это элемент, противоположный с (–a). Таким элементом является a.)
] (–a) + (–1)·(–a) = 1·(–a) + (–1)·(–a) = (1 + (–1)) ·(–a) =
\
(2),(8)
= 0 ·(–a) = 0,
(7)
(2),(Пр.1)
(5)
(7)
Глава 10.
(Моря в океане чисел. Целые числа)
Пример 2: Z a ‚ Ќ –a = (–1)·a. (То есть надо доказать, что (–1)·a — это элемент, противоположный
с a. Таким элементом является –a.)
] a + (–1)·a = 1·a + (–1)·a = (1 + (–1))·a = 0 ·a = 0,
\
(212)
откуда следует, что (–1)·(–a) является противоположным элементом для (–a). В силу единственности
противоположного элемента равенство (–1)·(–a) = a
доказано. Z
Пример 4: Z a ‚ Ќ (–a)·(–a) = a·a.
] (–a)·(–a) = ((–1)·a)·(–a) = (a·(–1))·(–a) =
\
(Пр.2)
(2)
(4)
= a·((–1)·(–a)) = a·a. Z
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
(4)
(Пр.3)
В частности, из примера 4 следует, что
(–1)·(–1) = 1 — это вызывающее у многих недоумение равенство — просто следствие из аксиом!
Вот такие, с одной стороны, вполне понятные,
с другой — довольно скучные, формальные доказательства. Но в математике, где всё должно быть
строго обосновано, они совершенно необходимы!
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ
Определение. Диофантовыми уравнениями называют алгебраические уравнения с целыми коэффициентами, для которых надо найти целые или рациональные решения.
Примечание. Рациональные решения — это
решения, выраженные в виде отношения двух целых
чисел (то есть в виде обыкновенной дроби).
Названы эти уравнения по имени греческого математика Диофанта Александрийского, жившего
в III веке н. э. О его жизни практически ничего неизвестно. До нас дошло 6 книг Диофанта (предполагается, что их было 13), которые были объедине-
(213)
ны в «Арифметику». Эта книга содержала большое
количество интересных задач (их всего 189) и её
изучали математики всех поколений. Её можно найти в русском переводе в библиотеке. Наиболее известное уравнение в целых числах — великая теорема Ферма:
Уравнение xn + yn = zn — не имеет ненулевых целых
решений для всех натуральных n > 2.
Глава 10.
(Моря в океане чисел. Целые числа)
Эта простая по формулировке теорема полностью была доказана лишь в 1994 году английским
математиком Эндрю Уайлсом. Правда, многие
частные случаи были доказаны раньше. Так Эйлер
в 1770 году доказал теорему для случая n = 3, Дирихле и Лежандр в 1825 — для n = 5, Ламе — для
n = 7. Куммер доказал, что теорема верна для всех
простых n, меньших 100, возможно, за исключением 37, 59, 67.
Интерес математиков к решению уравнений в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения
тесно связаны со многими проблемами теории чисел. Почти до настоящего времени математики надеялись отыскать общий способ (алгоритм) решения любого диофантова уравнения. Но эти надежды
не оправдались: в 1970 году математик Ю.В. Матиясевич доказал, что такого общего алгоритма решения быть не может.
В качестве иллюстраций ниже будут приведены
некоторые примеры рассуждений, позволяющие
решать алгебраические уравнения в целых числах.
Они позволят получить представление о специфических проблемах, возникающих при решении подобных задач.
(214)
Задача 1. Решить в целых числах уравнение:
x + 1 = 3y.
2
Решение
Z Заметим, что правая часть уравнения делится
на 3 при любом целом y.
Z При делении целого числа на 3 возможны
остатки 0, 1 или 2. Рассмотрим левую часть
уравнения.
Если x = 3k, k ‚ Ќ, то x2 + 1 на 3 не делится.
Если x = 3k + 1, k ‚ Ќ, то x2 + 1 = (3k + 1)2 + 1=
= 9k2 + 6k + 2 = 3(3k2 + 2k) + 2 — на 3 не делится.
Если x = 3k + 2, k ‚ Ќ, то x2 + 1 = (3k + 2)2 + 1=
= 9k2 + 12k + 5 = 3(3k2 + 4k+ 1) + 2 — на 3 не делится.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
15
10
5
-5
0
5
10
Рис. 10.1
(215)
Доказали, что левая часть ни при каких целых x
на 3 не делится. Следовательно, уравнение в целых
числах решений не имеет.
Ответ: Решений нет.
Мы доказали, что график, представленный на
рис. 10.1 функции y =
1 2
1
x + , не проходит ни че3
3
рез одну точку с целочисленными координатами.
Задача 2. Решить в целых числах уравнение:
y3 – x3 = 91.
Решение
Воспользуемся формулой сокращённого умножения и разложим разность кубов:
(y – x)(y2 + xy + x2) = 91.
Делителями числа 91 являются числа ±1, ±7,
±13, ±91.
Покажем, что выражение y2 + xy + x2 I 0 при любых x и y. Пусть x ≠ 0, тогда:
Поэтому (y – x) также больше нуля.
Это означает, что возможны лишь следующие
ситуации:
а) ⎧ y – x = 1
б) ⎧ y – x = 7
⎪
⎨
⎪ y2 + xy + x2 = 91
⎩
⎪
⎨
⎪
⎩
y2 + xy + x2 = 13
Глава 10.
(Моря в океане чисел. Целые числа)
⎛ 2
⎞
y
y2 + xy + x2 = x 2 ⎜ y 2 + y +1⎟ =[обозначим =t] =
x
x
⎝x
⎠
2
⎞
⎛
= x2(t2 + t + 1) = x 2 ⎜ ⎛⎜ t + 1 ⎞⎟ + 3 ⎟ > 0
⎜⎝ 2⎠ 4 ⎟
⎠
⎝
(216)
10
A
C
5
D
-10
-5
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
B
0
5
-5
Рис. 10.2
в) ⎧ y – x = 91
⎪
⎨
⎪ y2 + xy + x2 = 1
⎩
г) ⎧ y – x = 13
⎪
⎨
⎪ y2 + xy + x2 = 7
⎩
Решим систему а): y – x = 1 или y = x + 1.
Подставим в уравнение (*) вместо y.
y2 + xy + x2 = 91 (*)
(x + 1)2 + x(x+1) + x2 = 91 ⇒ 3x2 + 3x – 90 = 0 ⇒
⇒ x2 + x – 30 = 0 ⇒ x1 = 5, x2 = –6
Соответственно y1 = x1 + 1 = 5 + 1 = 6,
y2 = x2 + 1 = –6 + 1 = –5.
Получили решения (5;6) и (–6;–5). Аналогично,
решая вторую систему, получим (–3;4) и (–4;3).
(217)
Легко убедиться, что третья и четвёртая системы
не имеют решений в целых числах.
На рис. 10.2 представлено множество точек, соответствующее уравнению y3 – x3 = 91. Единственные целочисленные точки A(5;6), B(–6;–5), C(–3;4), D(–4;3).
Ответ: (5;6), (–6;–5), (–3;4), (–4;3).
Задача 3. Решить в целых числах уравнение:
x + y = xy.
Решение
Преобразуем исходное уравнение:
x + y = xy ⇒ x + y – xy = 0 ⇒ x(1 –y) + y = 0 ⇒
⇒ x(1 – y) + (y – 1) + 1 = 0 ⇒ x(1 – y) – (1 – y) = –1 ⇒
⇒ (x – 1)·(1 – y) = –1.
5
-5
0
5
-5
Рис. 10.3
Глава 10.
(Моря в океане чисел. Целые числа)
A
(218)
Если x и y целые, то выполнение последнего равенства возможно только в двух случаях:
⎧x – 1 = 1
⎧ x – 1 = –1
⎪
и ⎪
⎨
⎨
⎪ 1 – y = –1
⎪1 – y = 1
⎩
⎩
Решением первой системы является пара (2;2),
а второй (0;0).
На рис. 10.3 представлено множество точек, соответствующее уравнению x + y = xy. Единственные
целочисленные точки A(2;2), O(0;0).
Ответ: (2;2), (0;0).
Задача 4. Решить в целых числах уравнение:
x + xy – y –2 = 0.
2
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Решение
Выразим из данного уравнения y через x:
(x 2 −1)−1
2− x 2
x 2 −2
⇒y=−
⇒y=−
⇒
x −1
x −1
x −1
(x −1)(x +1)−1
1
⇒ y = − (x +1) +
⇒y=−
, (x ≠1)
x −1
x −1
y(x – 1) = 2 – x2 ⇒ y =
Так как x и y целые, то выполнение последнего
равенства возможно только, если дробь
1
— цеx 1
лое число. Это возможно лишь, если x – 1 = 1 или
x – 1 = –1.
Таким образом, возможны два случая:
⎧x – 1 = 1
⎧ x – 1 = –1
⎪
и ⎪
⎨
⎨
⎪ y = –x –1 + 1
⎪ y = –x –1 – 1
⎩
⎩
В первом случае x = 2, y = –2. во втором случае
x = 0, y = –2.
(219)
0
5
A
B
-5
Рис. 10.4
Задача 5. Решить в натуральных числах уравнение: 19x + 98y = 1999.
Решение
1999− 98y
19x + 98y = 1999 ⇒ x =
. Так как по усло19
вию x ‚ ‰, то 1999 – 98y >0 ⇒ y <
1999
39
= 20 +
.
98
98
Глава 10.
(Моря в океане чисел. Целые числа)
На рис. 10.4 представлено множество точек, соответствующее уравнению x2 + xy – y – 2 = 0. Единственные целочисленные точки A(2;–2), B(0;–2).
Ответ: (0;–2), (2;–2).
(220)
20
A
10
0
10
20
30
40
-10
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Рис. 10.5
Так как по условию y ‚ ‰, то y = 1, 2, 3, 4, ... , 19, 20.
В данном случае легко подбирается единственно
возможный y = 14. Этому значению y соответствует
x = 33.
На рис.10.5 представлена прямая 19x + 98y = 1999.
При x ‚ ‰, y ‚ ‰ точка A(33;14) — единственная точка
на прямой, координаты которой натуральные числа.
Ответ: (33; 14).
Задача 6. Решить в целых числах уравнение:
5x2 + 5y2 + 8xy + 2y – 2x +2 = 0.
Решение
Рассмотрим это уравнение, как квадратное относительно переменной x:
5x2 + 5y2 + 8xy + 2y – 2x + 2 = 0 ⇒
5x2 + (8y – 2)x + 5y2 + 2y + 2 = 0
(221)
Дискриминант:
D = (8y – 2)2 – 4·5·(5y2 + 2y + 2) = 64y2 – 32y + 4 – 100y2 –
– 40y – 40 = –36y2 –72y – 36 = –36(y2 + 2y + 1) =
= –36(y + 1)2 ≤ 0.
Уравнение имеет решения, если D = 0, то есть
–36(y + 1)2 = 0 ⇒ y = –1 Теперь можно найти x:
5x2 + (8y – 2)x + 5y2 + 2y + 2 = 0 ⇒
⇒ 5x2 – 10x + 5 – 2 + 2 = 0 ⇒
⇒ 5x2 – 10x + 5 = 0 ⇒ 5(x2 – 2x + 1) = 0 ⇒
⇒ 5(x – 1)2 ⇒ x = 1
Графиком этого уравнения является единственная точка (1; -1) (см. рис. 10.6)
Ответ: (1;–1).
1
0
-1
1
2
A
Рис. 10.6
Глава 10.
(Моря в океане чисел. Целые числа)
-1
(222)
Задача 7. Решить в целых числах уравнение:
(x + 4)·(y2 + 1) = 8xy.
2
Решение
Обратим внимание, что если пара чисел (x0;y0)
является решением уравнения, то пара (–x0;–y0) также является его решением. Числа x = 0, y = 0 решением не являются.
Разделим обе части исходного уравнения на x и y:
x 2 + 4 y 2 +1
4⎞ ⎛
1⎞
⎛
= 8 ⇒ ⎜ x+ ⎟ ⋅ ⎜ y+ ⎟ = 8 .
⋅
x
y
x⎠ ⎝
y⎠
⎝
Предположим, что x > 0 и y > 0.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
2
1
-2
-1
0
1
2
-1
-2
Рис. 10.7
(223)
2
2
4
4
2 ⎞
⎛
+ ≥0⇒ x + ≥ 4
⎜ x−
⎟ ≥ 0⇒ x −2 x ⋅
x
x⎠
x x
⎝
2
⎛
1 1
1
1 ⎞
+ ≥ 0⇒ y + ≥2.
⎜ y−
⎟ ≥ 0⇒ y −2 y ⋅
y
y⎠
y y
⎝
Поэтому исходное равенство возможно только
при одновременном выполнении условий:
4
⇒ x + = 4 и y + 1 = 2 или
x
y
2
x – 4x + 4 = 0 и y2 – 2y + 1 = 0 ⇒
⇒ (x – 2)2 = 0 и (y – 1)2 = 0 ⇒ x = 2 и y = 1.
С учётом симметрии решений вторая пара x = –2,
y = –1.
На рис. 10.7 показаны точки, соответствующие
решению исходного уравнения.
Ответ: (2;1); (–2;–1).
Задача 8. Решить в целых числах уравнение:
2x + xy = 7.
3
лым числом и, следовательно, отношение
7
также
x
должно быть целым. То есть x — может принимать
только значения ±1 и ±7.
Z
Z
Z
Z
Если x = 1, то 2·12 + y = 7 ⇒ y = 5.
Если x = –1, то 2·(–1)2 + y = –7 ⇒ y = –9.
Если x = 7, то 2·72 + y = 1 ⇒ y = –97.
Если x = –7, то 2·(–7)2 + y = –1 ⇒ y = –99.
Глава 10.
(Моря в океане чисел. Целые числа)
Решение
7
2x3 + xy = 7 ⇒ x(2x2 + y) = 7 ⇒ 2x2 + y = .
x
Так как числа x и y — по условию должны быть
целыми, то выражение 2x2 + y — должно быть це-
(224)
10
-10
0
10
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
-10
-20
Рис. 10.8
На рис. 10.8 показано множество точек на плоскости, соответствующее исходному уравнению.
При x = 0 график имеет разрыв.
Ответ: (1;5), (-1;-9), (7; -97), (-7;-99).
Задача 9. Решить в целых числах уравнение:
(x + 1)3 + (x + 2)3 + (x + 3)3 + (x + 4)3 = (x + 5)3.
Решение
(x + 1)3 + (x + 2)3 + (x + 3)3 + (x + 4)3 = (x + 5)3 ⇒
⇒ x3 + 3x2 + 3x + 1 + x3 + 6x2 + 12x + 8 + x3 + 9x2 + 27x +
+ 27 + x3 + 12x2 + 48x + 64 = x3 + 15x2 + 75x + 125 ⇒
(225)
⇒ 3x3 + 15x2 + 15x = 25 ⇒ 3(x3 + 5x2 + 5x) = 25 ⇒
⇒ x3 + 5x2 + 5x =
25
.
3
При любых целых значениях x левая часть последнего равенства остаётся целым числом. Следовательно, исходное уравнение не имеет решения
в целых числах.
Ответ: уравнение не имеет решения в целых
числах.
Задача 10. Найти два решения в натуральных
числах x и y уравнения y(y + 1) = x(x+1)(x+2).
2
0
2
-2
Рис. 10.9
Глава 10.
(Моря в океане чисел. Целые числа)
-2
(226)
Решение
Легко проверить, что решениями в натуральных
числах являются две точки: (1;2) и (5;14). Это как
раз тот случай (не редкий в теории чисел), когда
подобрать решения легко, а доказать, что других
решений нет, очень не просто! Это доказательство привёл английский математик Л. Морделл
(1888–1972). Его имя связано с анализом диофантова уравнения y2 = x3 + k, где k — целое число.
На рис. 10.9 приведено множество точек, соответствующее исходному уравнению и обозначено
одно из решений.
Ответ: (1;2), (5;14).
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Задача 11. Найти все целочисленные решения
уравнения x3 + (x + 1)3 + (x + 2)3 = (x + 3)3.
Решение
Для решения этой задачи достаточно знаний
8 класса. Перед нами — кубическое уравнение. Раскроем скобки:
x3 + x3 + 3x2 + 3x + 1 + x3 + 6x2 + 12x + 8 =
= x3 + 9x2 + 27x + 27 ⇒ x3 – 6x – 9 = 0 ⇒
⇒ x3 – 9x + 3x – 9 = 0 ⇒ (x3 – 9x) – (3x – 9) = 0 ⇒
⇒ x(x2 – 9) – 3(x – 3) = 0 ⇒
⇒ x(x – 3)(x + 3) – 3(x – 3) = 0 ⇒
⇒(x – 3)(x2 + 3x – 3) = 0.
Если первый сомножитель равен нулю, то x = 3.
Если x2 + 3x – 3 = 0, то целые числа не являются решением этого квадратного уравнения.
Ответ: x = 3.
(227)
Задача 12. Найти все решения в целых числах x,
y, z системы двух уравнений
⎧x + y + z = 3
⎪
⎨
⎪ x3 + y3 + z3 = 3
⎩
Решение
Выразим переменную z из первого уравнения системы: z = 3 – (x + y). Подставим во второе уравнение системы:
x3 + y3 + (3 – (x + y))3 = 3 ⇒
⇒ x3 + y3 + 27 – 27(x + y) + 9(x + y)2 – (x + y)3 = 3 ⇒
⇒ x3 + y3 + 27 – 27(x + y) + 9(x + y)2 – x3 – 3x2y –
– 3xy2 – y3 = 3 ⇒ 9 – 9(x + y) + 3(x + y)2 – x2y – xy2 = 1 ⇒
⇒ 9 – 9(x + y) + 3(x + y)2 – xy(x + y) = 1 ⇒
⇒ 9(x + y) – 3(x + y)2 + xy(x + y) = 8 ⇒
8
⇒ 9 – 3(x + y) + xy =
.
xy
Рассмотрим каждый из этих случаев.
Z x + y = 1 ⇒ 9 – 3 + xy = 8 ⇒ xy = 2.
Получили систему уравнений: ⎧ x + y = 1
⎪
⎨
⎪
⎩
xy = 2
(1).
Z x + y = –1 ⇒ 9 + 3 + xy = –8 ⇒ xy = –20.
Получили систему уравнений: ⎧ x + y = –1
⎪
⎨
⎪
⎩
xy = –20
(2).
Глава 10.
(Моря в океане чисел. Целые числа)
Если x и y — целые числа, то левая часть последнего равенства — целое число. Значит, правая часть
также должна быть целым числом. Это означает, что
x + y может приобретать следующие значения:
±1, ±2, ±4, ±8.
(228)
Z x + y = 2 ⇒ 9 – 6 + xy = 4 ⇒ xy = 1.
Получили систему уравнений: ⎧ x + y = 2
⎪
⎨
⎪
⎩
xy = 1
(3).
Z x + y = –2 ⇒ 9 + 6 + xy = –4 ⇒ xy = –19.
Получили систему уравнений: ⎧ x + y = –2
⎪
⎨
⎪
⎩
xy = –19
(4).
Z x + y = 4 ⇒ 9 – 12 + xy = 2 ⇒ xy = 5.
Получили систему уравнений: ⎧ x + y = 4
⎪
⎨
⎪
⎩
xy = 5
(5).
Z x + y = –4 ⇒ 9 + 12 + xy = –2 ⇒ xy = –23.
Получили систему уравнений: ⎧ x + y = –4
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
⎪
⎨
⎪
⎩
xy = –23
(6).
Z x + y = 8 ⇒ 9 – 24 + xy = 1 ⇒ xy = 16.
Получили систему уравнений: ⎧ x + y = 8
⎪
⎨
⎪
⎩
xy = 16
(7).
Z x + y = –8 ⇒ 9 + 24 + xy = –1 ⇒ xy = –34.
Получили систему уравнений: ⎧ x + y = –8
⎪
⎨
⎪
⎩
xy = –34
(8).
Системы (1) и (5) не имеют решений. При решении систем (4), (6), и (8) — корни есть, но они не
являются целыми. Система (2) даёт две пары решений: (4;–5) и (–5;4). Система (3) даёт единственное
решение: (1;1). Система (7) также даёт единственное решение: (4;4).
Так как z = 3 – (x + y), то окончательно получаем
следующие целочисленные решения:
(229)
(4;–5;4), (–5;4;4), (1;1;1), (4;4;–5).
Ответ: (4;–5;4), (–5;4;4), (1;1;1), (4;4;–5).
УРАВНЕНИЕ ПЕЛЛЯ
Определение.
Диофантово уравнение вида x2 – ny2 = 1, где n — натуральное число, не являющееся квадратом, называется уравнением Пелля.
Глава 10.
(Моря в океане чисел. Целые числа)
Этот класс диофантовых уравнений связан со
многими важными задачами теории чисел. В общем случае решение уравнений Пелля — задача
непростая.
История самого термина довольно запутанная.
Доподлинно известно, что первым дал описание
алгоритма и получил решения в трёх частных случаях английский математик Джон Валлис. Но сам
Валлис почему-то приписывал авторство метода
виконту Уильяму Броункеру. Никаких подлинных
свидетельств, подтверждающих авторство виконта нет. Историки полагают, что, возможно, Валлису
надо было добиться расположения Броункера и его
покровительства, и поэтому он приписал ему авторство метода.
Термин «уравнение Пелля» возник в результате
ошибки Леонарда Эйлера, у которого, по-видимому, создалось впечатление, что Валлис приписывал
результаты не Броункеру, а Пеллю, математику, который работал в то же время, что и Валлис. Эйлер
был самым известным математиком своего времени, поэтому сделанная им ошибка авторства вошла
в историю.
(230)
Выясним смысл слов в определении: «где n — натуральное число, не являющееся квадратом». Пусть
n — полный квадрат, то есть n = a2. Тогда уравнение
можно преобразовать:
x2 – a2y2 = 1 (x –ay)(x + ay) = 1.
Возможны два варианта.
Z ⎧ x – ay = 1
⎪
⎨
⎪
⎩
x + ay = 1
Сложим левые и правые части уравнений.
Получим: 2x = 2 или x = 1.
Отсюда следует, что y = 0, так как a ‚ ‰ (то есть a
не равно нулю).
Z ⎧ x – ay = –1
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
⎪
⎨
⎪
⎩
x + ay = –1
Сложим левые и правые части уравнений.
Получим: 2x = –2 или x = –1.
Отсюда также следует, что y = 0, так как a ‚ ‰ (то
есть a не равно нулю).
Получили две пары решений: (1;0) и (–1;0). Такие решения называются тривиальными. Их имеют
любые уравнения Пелля. Ничего особенного в этих
решениях нет. Весь интерес к этим уравнениям обусловлен нетривиальными решениями, то есть, когда n — не является полным квадратом.
Рассмотрим некоторые частные случаи. Первый
случай: n = 2.
Задача 13. Найти натуральные решения уравнения: x2 – 2y2 = 1.
(231)
Решение
Докажем, что если пара (x;y) является решением
исходного уравнения, то пара (3x + 4y;2x + 3y) тоже
его решение:
(3x + 4y)2 – 2(2x + 3y)2 = (9x2 + 24xy + 16y2) –
– 2(4x2 + 12xy + 9y2) = x2 – 2y2
Поэтому если x2 – 2y2 = 1, то и (3x + 4y)2 – 2(2x +
+ 3y)2 = 1. Значит, из тривиального решения (1;0) мы
можем получить следующее решение:
(3x + 4y;2x + 3y) = (3·1 + 4·0;2·1 + 3·0) = (3;2)
Аналогично можно получить следующие пары решений: (17;12), (99;70), (577,408) и так далее.
A
2
-2
0
2
-2
Рис. 10.10
Глава 10.
(Моря в океане чисел. Целые числа)
B
(232)
Решений бесконечное количество. В общем случае, множество точек, соответствующее уравнению
x2 – 2y2 = 1 — это ветви гиперболы (см. рис. 10.10).
Нас же интересуют только целые положительные
решения (точки A, B, …. на рис.10.10).
Ответ: (1;0), (3;2), (17;12), (99;70), (577;408), ...
Без доказательства приведём удивительные
формулы, которые позволяют вычислять целочисленные решения уравнений Пелля x2 – 2y2 = 1 не
рекуррентно (то есть шаг за шагом), а непосредственно:
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
xn =
(1 + 2)n − (1 − 2)n
(1 + 2)n + (1 − 2)n
, yn =
.
2
2 2
Натуральные xn и yn — получаются из формул,
в которые входит иррациональное число 2 ! Вспомните формулу Бинэ. Там аналогичная ситуация.
Задача 14. Найти натуральные решения уравнения: x2 – 3y2 = 1.
Решение
Подбором легко находится первое нетривиальное решение (2;1) Но уже следующую пару целочисленных решений найти труднее. Это пара (7;4). На
самом деле это уравнение имеет бесконечное множество решений в натуральных числах. И найти каждую следующую пару становится всё труднее. Но
можно ли указать алгоритм их поиска?
Докажем, что если пара (x;y) является решением
исходного уравнения, то пара (2x + 3y;x + 2y) тоже
его решение:
(233)
(2x + 3y)2 – 3(x + 2y)2 = (4x2 + 12xy + 9y2) – 3(x2 +
+4xy + 4y2) = x2 – 3y2. Поэтому если x2 – 3y2 = 1, то и
(2x + 3y)2 – 3(x + 2y)2 = 1. Значит, из тривиального
решения (1;0) мы можем получить следующее решение:
(2x + 3y; x + 2y) = (2·1 + 3·0; 1 + 2·0) = (2;1).
Сделаем ещё один шаг:
(2x + 3y; x + 2y) = (2·2 + 3·1; 2 + 2·1) = (7;4).
Следующая пара (26; 15). Затем (97; 56), и так
далее…
Ответ: (1;0), (2;1), (7;4), (26;15), (97;56), ...
Без доказательства приведём формулы, которые позволяют вычислять целочисленные решения
уравнений Пелля x2 – 3y2 = 1 не рекуррентно (то есть
шаг за шагом), а непосредственно:
xn =
(2 + 3)n + (2 − 3)n
(2 + 3)n − (2 − 3)n
, yn =
.
2
2 3
Вообще говоря, справедлива следующая теорема:
Теорема. Всякое решение уравнения x2 – ny2 = 1
при положительном, но не являющимся полным
квадратом, n имеет вид
(x + y n)m + (x1 − y1 n)m
,
xm = 1 1
2
m
(x + y n) − (x1 − y1 n)m
, где (x1;y1) — наименьym = 1 1
2 n
шее нетривиальное решение, m = 1, 2, 3, 4, ...
Эту теорему примем без доказательства.
Глава 10.
(Моря в океане чисел. Целые числа)
Натуральные xn и yn — получаются из формул,
в которые входит иррациональное число 3 !
(234)
Задача 15. Найти натуральные решения уравнения: x2 – 5y2 = 1.
Решение
Подбором легко находится первое нетривиальное решение (9;4). Но уже следующую пару целочисленных решений найти труднее. Поэтому воспользуемся приведённой теоремой.
(9 + 4 5)2 + (9 − 4 5)2 81 + 72 5 + 80+ 81 − 72 5 + 80
=
= 161 .
2
2
(9 + 4 5)2 − (9 − 4 5)2 81 + 72 5 + 80− 81 + 72 5 − 80
y2 =
=
= 72 .
2 5
2 5
x2 =
Сделаем ещё один шаг:
(161 + 72 5)2 + (161 − 72 5)2
=
2
161 2+ 2⋅16172
5 + (72 5)2 +161 2− 2⋅161⋅72 5 + (72 5)2
⋅
= 51841 .
=
2
(161 + 72 5)2 − (161 − 72 5)2
y3 =
=
2 5
161 2+ 2⋅16172
5 +(72 5)2 −161 2+ 2⋅161⋅72 5 −(72 5)2
⋅
= 23184 .
=
2 5
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
x3 =
Ответ: (1;0), (9;4), (161;72), (51841;23184), ...
Для больших значений n находить подстановки
становится намного труднее. Например, для уравнения x2 – 61y2 = 1 наименьшее решение — это
пара (1766319049;226153980).
Для n = 109 — наименьшая пара (158070671986249;
15140424455100).
Глава 11.
МОРЯ В ОКЕАНЕ ЧИСЕЛ.
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Все мы рано или поздно приходим к выводу,
что если в природе и есть что-то
естественное и рациональное,
то придумали это мы сами…
Олдос Хаксли
1 5
9
, , и так далее.
2 7 11
Определение. Рациональное число есть такое
a
число, которое можно представить в виде , где
b
b A 0, a, b „ Ќ.
Множество рациональных чисел обозначается
буквой Љ.
a
a , причём a —
Примечание. Если b = 1, то
1
в этом случае целое число. В этом смысле множе-
Глава 11.
(Моря в океане чисел. Рациональные числа)
Множество натуральных чисел замкнуто относительно сложения и умножения. Множества целых
чисел замкнуто относительно сложения, умножения и вычитания. Но оба этих множества не являются замкнутыми относительно деления. Деление
целых чисел может приводить к дробям, например:
(236)
Љ Ќ
‰
Рис. 11.1
ство целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел. Соответствующая
диаграмма Эйлера приведена на рис. 11.1.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
a
,
Рациональные числа, представленные в виде
b
называются обыкновенными дробями.
Имеется иное представление рационального
числа, отличное от обыкновенных дробей. Это десятичные дроби.
Например:
1
4
0,25, 1
10
0,1,
6
25
0,24, −
7
= −0,109375 .
64
Такие дроби называются конечными.
Но представления некоторых десятичных дробей
могут иметь бесконечный вид:
1
3
0, 33333..., 7
11
0,63636363...
Десятичные дроби можно получить из обыкновенных, деля числитель на знаменатель.
Таким образом, обыкновенные дроби могут быть
представлены:
Z Конечными десятичными дробями;
Z Бесконечными периодическими десятичными
дробями.
(237)
Это означает, что при делении числителя на знаменатель обязательно получится либо конечная
десятичная дробь, либо бесконечная периодическая десятичная дробь.
При записи бесконечной десятичной дроби её
периодическую часть обычно заключают в скобки:
0,(3), 0.(63). –2.73(103) и т.д.
Объясним, почему дробь получается периодической. Для этого рассмотрим пример. Переведём
18
в десятичную.
7
7
В процессе деления на 7 по- –18
14 2,57142857...
сле вычитания могут появиться
–40
35
только цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5 и 6.
50
–
Появление нуля означает окон49
чание деления, то есть резуль–10
7
татом деления будет конечная
30
–
28
десятичная дробь. Допустим,
–20
что после вычитания появляются
14
всё время различные цифры. Но,
–60
56
в данном случае, их только шесть
–40
и неизбежно процесс продолже35
ния деления «пойдёт по кругу».
–50
49
При делении на 7 — число цифр
.....
обыкновенную дробь
1
вопрос для дробей вида p , где р – простое число.
Теорема. Если р — простое число, отличное от 2
1
и 5, то длина периода дроби
является делителем
p
числа р-1.
Глава 11.
(Моря в океане чисел. Рациональные числа)
в периоде — шесть.
Вопрос с длиной периода совсем не прост! Сформулируем одну из теорем, которая отвечает на этот
(238)
Обозначим m длину периода. Составим таблицу1:
p
3
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
m
1
6
2
6
16
18
22
28
15
3
5
p
43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
m 21 46 13 58 60 33 35
p
13 41 44 96
101 103 107 109 113 127 131 137 139
m
p
4
34
53
108 112
42
130
8
46
149 151 157 163 167 173 179 181 191 193
m 148 75
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
8
78
81 166 43 178 180 95 192
Подобная таблица была составлена для простых
знаменателей до 1370471 включительно. Это позволило выявить некоторые закономерности в длине периода. Хотя формулировка теоремы проста,
но остаётся вопрос: какой из делителей числа р–1
рассматривать для определения длины периода?
Изучение периодов дробей вида
1
показывает, что
p
все такие дроби можно подразделить на три категории:
Z длина периода на 1 меньше, чем р;
Z длина периода является нечётной;
Z длина периода является чётной.
Было обнаружено необъяснимое до сих пор, достаточно устойчивое соотношение численностей
упомянутых групп: 9:8:7.
1
Таблица взята из книги: «Репьюниты и десятичные периоды», Ейтс С., пер. с англ. –М., «Мир», 1992 г. — Комм.
автора.
(239)
Вообще, с периодическими дробями связано немало загадок, многие из которых не решены
до сих пор. Десятичные периоды заинтересовали
в своё время молодого Карла Гаусса. Он составил
таблицы десятичных периодов для всех простых
знаменателей и их степеней, меньших 1000. Это
была непростая работа, учитывая отсутствие в то
время технических средств для вычислений.
Важную теорему (малую теорему Ферма) доказал Эйлер.
Теорема. Если р – простое число и a — целое
число, не делящееся на р, то ap – a делится на р.
1
Для того, чтобы прояснить ситуацию рассмотрим
конкретный случай: p = 5, a = 2.
Глава 11.
(Моря в океане чисел. Рациональные числа)
Доказательство
Для доказательства этой теоремы воспользуемся её геометрической интерпретацией.
Рассмотрим правильный многоугольник, у которого р вершин. Пусть имеются краски a различных
цветов. Зададимся таким вопросом: сколько существует способов раскрасить вершины правильного р-угольника в «a» цветов? При этом будем
считать, что раскраски, которые можно совместить
поворотом — одинаковые.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
(240)
2
7
12
3
4
5
8
13
15
6
9
10
11
14
16
(241)
26
25
31
30
21
20
Глава 11.
(Моря в океане чисел. Рациональные числа)
29
28
27
24
23
22
19
18
17
(242)
32
Пятиугольники 1 и 32 не изменяются при повороте вокруг центра симметрии.
Пятиугольники (2–6), (7–11), (12–16), (17–21),
(22–26), (27–31), — тождественны при повороте
вокруг центра симметрии. То есть общее число раз-
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
личных раскрасок равно a +
ap − a
25 −2
=2+
=8.
p
p
Рассмотрим общий случай.
Если у нас, например, 7 красок и 11 вершин, то каждую вершину можно раскрасить семью способами, и, следовательно, 11 вершин
7•7•7•7•7•7•7•7•7•7•7 = 711 — способами. Соответственно, если не принимать во внимание повороты, то p вершин можно раскрасить ap способами.
Среди этих раскрасок есть a одноцветных. Каждая из
оставшихся совмещается при повороте с p раскрасками (также, как на рисунке пятиугольники (2–6),
(7–11), (12–16), (17–21), (22–26) и (27–31)).
Поэтому различных, не одноцветных раскрасок
ap − a
. Но так как чисp
ap − a
целое
ло раскрасок — целое, то и отношение
p
в p-раз меньше, то есть их a +
число. Теорема доказана.
Примечание. Здесь важна простота числа p.
Если p не будет простым, то такого «красивого эффекта» с поворотами вокруг центра симметрии не
(243)
получается. В этом легко убедиться, взяв квадрат
вместо правильного пятиугольника.
Гаусс выразил своё отношение к этой теореме
следующими словами:
«Эта теорема <…> заслуживает величайшего внимания, как вследствие её изящества, так
и ввиду её выдающейся пользы».
С помощью доказанной теоремы легко решаются
некоторые трудные задачи.
Пример. Найти остаток от деления 3102 на 101.
Решение
Число 101 — простое. Согласно малой теореме
Ферма, 3101 – 3 делится нацело на 101. То есть
3101 3
= k ‚ ‰ ] 3101 – 3 = 101k ] 3101 = 101k + 3.
101
Определение. Функцией Эйлера ϕ(n) называется функция, равная количеству натуральных чисел, меньших n и взаимно простых с ним. При этом
по определению ϕ(1) = 1.
Например:
ϕ(4) = 2 (числа 1 и 3), ϕ(12) =4 (числа 1, 5, 7, 11)
ϕ(24) = 8 (числа 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23)
Глава 11.
(Моря в океане чисел. Рациональные числа)
Умножим обе части последнего уравнения на
число 3. Тогда 3102 = 303k + 9. Следовательно, искомый остаток равен 9.
Ответ: 9.
Введём ещё одно понятие и рассмотрим связанную с ним теорему.
(244)
Эйлер впервые использовал эту функцию
в 1760 году для доказательства малой теоремы
Ферма.
Очевидно, что для простого числа p значение
функции Эйлера задаётся формулой
ϕ(p) = p – 1 (если p — простое, то все числа, меньшие p — взаимно просты с ним).
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Теорема. Функцию Эйлера от степени простого
числа p можно вычислить по формуле:
ϕ(pn) = pn – pn–1.
Доказательство
Так как pn = p•p•p•...•p•p (в произведении n сомножителей), то среди чисел от 1 до pn имеются числа не взаимно простые с pn. Это числа, кратные p,
то есть имеющие вид 1•p, 2p, 3p, ..., pn–2p, pn–1p.
Всего таких чисел pn–1. Поэтому количество чисел, взаимно простых с pn, равно pn – pn–1. Теорема
доказана.
Пример. ϕ(53) = 53 – 52 = 125 – 25 = 100.
Прямой подсчёт: 53 = 125.
Не взаимно простые с числом 125 числа: 5, 10,
15, …120, 125. Всего таких чисел 25.
Поэтому количество чисел, взаимно простых
с числом: ϕ(53) = 125 – 100 = 25.
Одним из основных свойств функции Эйлера является её мультипликативность. Это означает, что
ϕ(m•n) = ϕ(m)•ϕ(n) если m и n – взаимно простые
числа.
Это свойство мы примем без доказательства.
(245)
Теперь у нас появляется возможность найти
формулу для функции Эйлера для произвольного
натурального числа n.
Теорема. Для произвольного натурального числа
α
α
α
n = p1 1 ⋅ p2 2 ⋅ ... ⋅ pk k функция Эйлера имеет вид:
⎛
⎛
1⎞ ⎛
1 ⎞
1 ⎞
ϕ(n) = n ⋅ ⎜⎜ 1− ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ 1−
⎟⎟ ⋅ ... ⋅ ⎜⎜ 1−
⎟⎟ .
⎝ p1 ⎠ ⎝ p2 ⎠
⎝ pk ⎠
Доказательство
⎛
1⎞
ϕ(pn) = pn − pn−1 = pn ⋅ ⎜ 1− ⎟ . (*)
p
⎝
⎠
Из основной теоремы арифметики следует, что
всякое натуральное число, большее 1 единственным образом представляется в виде
α
α
α
n = p1 1 ⋅ p2 2 ⋅ ... ⋅ pk k ,где p1 < p2 < ... < pk — простые
α
α
α
ϕ(n) = ϕ(p1 1) ⋅ ϕ(p2 2) ⋅ ... ⋅ ϕ(pk k) =
1 ⎞
1 ⎞
1⎞ α ⎛
α ⎛
α ⎛
= p1 1 ⋅ ⎜⎜ 1− ⎟⎟ ⋅ p2 2 ⋅ ⎜⎜ 1−
−
⎟⎟ ⋅ ... ⋅ pk k ⋅ ⎜⎜ 1−
⎟⎟ =
⎝ p1 ⎠
⎝ p2 ⎠
⎝ pk ⎠
⎛
1⎞ ⎛
1 ⎞
1 ⎞
α
α
α ⎛
= p1 1 ⋅ p2 2 ⋅ ... ⋅ pk k ⋅ ⎜⎜ 1− ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ 1−
⎟⎟ =
⎟⎟ ⋅ ... ⋅ ⎜⎜ 1−
⎝ p1 ⎠ ⎝ p2 ⎠
⎝ pk ⎠
⎛
⎛
1⎞ ⎛
1 ⎞
1 ⎞
= n ⋅ ⎜⎜ 1− ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ 1−
⎟⎟ ⋅ ... ⋅ ⎜⎜ 1−
⎟⎟ ,
⎝ p1 ⎠ ⎝ p2 ⎠
⎝ pk ⎠
что и требовалось доказать.
Рассмотрим пару примеров, поясняющих «на
пальцах» этот формальный вывод и возникновение
столь внушительного вида формулы в результате.
Глава 11.
(Моря в океане чисел. Рациональные числа)
числа, α1, α1, ..., αk — натуральные числа. Используя
мультипликативность функции Эйлера и формулу
(*), получаем:
(246)
Пример. Найти ϕ(n) = ϕ(45). То есть необходимо
найти количество чисел, не имеющих общие делители с числом 45.
Решение
n = 45 = 32·51. Выпишем все числа от 1 до 45.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,
16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28,
29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41,
42, 43, 44, 45.
Вычеркнем числа, кратные числу 3, то есть числа
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45.
Всего таких чисел 15, или
45
15 .
3
Вычеркнем числа, кратные числу 5, то есть числа
5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45.
Всего таких чисел 9, или
45
5
9.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Обратим внимание, что числа 15, 30, 45 мы вы45
черкнули по два раза: 3⋅5 = 3 .
Поэтому, количество чисел n, не имеющих общие
делители с числом 45 равно:
ϕ(n) = ϕ(45) = 45 – 15 – 9 + 3 = 24 (прибавить три,
так как мы вычеркнули три числа по два раза).
Рис. 11.2
(247)
Переведём эту запись на формульный язык:
n = 45, p1 = 3, p2 = 5, поэтому
⎛
n n
n
1 1
1 ⎞
−
+
= n ⎜⎜ 1− −
+
⎟⎟ =
p1 p2 p1⋅ p2
⎝ p1 p2 p1⋅ p2 ⎠
⎛⎛
⎛⎛
1⎞ ⎛ 1
1 ⎞⎞
1⎞ 1 ⎛
1 ⎞⎞
= n ⎜ ⎜⎜ 1− ⎟⎟ − ⎜⎜
−
n
=
1
−
1
−
⋅
−
⎟
⎜
⎟=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟⎟
⎜
⎜ ⎜ p1 ⎟ p2 ⎜ p1 ⎟⎟ ⎟
⎝
⎠⎠
⎠
⎝ ⎝ p1 ⎠ ⎝ p2 p1⋅ p2 ⎠ ⎠
⎝⎝
⎛
1⎞ ⎛
1 ⎞
= n ⋅ ⎜⎜ 1− ⎟⎟ ⋅ ⎜ 1−
⎟.
⎝ p1 ⎠ ⎝ p2 ⎠
ϕ(n) = n −
На рис. 11.2 изображена диаграмма Эйлера-Венна, поясняющая решение задачи. Весь
прямоугольник символически отображает всё множество n. Вне эллипсов, но внутри прямоугольника — элементы множества ϕ(n).
Решение
n = 84 = 22•31•7. Выпишем все числа от 1 до 84.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,
16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28,
29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41,
42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54,
55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67,
68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80,
81, 82, 83, 84.
Вычеркнем все числа, кратные числу 2, то есть
числа 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26,
28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52,
Глава 11.
(Моря в океане чисел. Рациональные числа)
Пример. Найти ϕ(n) = ϕ(84). То есть необходимо
найти количество чисел, не имеющих общие делители с числом 84.
(248)
54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78,
80, 82, 84.
84
42 .
Всего таких чисел 42, или
2
Вычеркнем числа, кратные числу 3, то есть числа
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42,
45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81,
84.
84
28 .
Всего таких чисел 28, или
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
3
Вычеркнем числа, кратные числу 7, то есть числа
7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84.
84
12 .
Всего таких чисел 12, или
7
Обратим внимание, что:
Z числа, кратные 2 и 3 мы вычеркнули по 2 раза:
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72,
78, 84,
84
или 14 =
.
2⋅3
Z числа, кратные 2 и 7 мы вычеркнули по 2 раза:
84
14, 28, 42, 56, 70, 84, или 6 =
.
2⋅7
Z числа, кратные 3 и 7 мы вычеркнули по 2 раза:
84
21, 42, 63, 84, или 4 =
.
3⋅7
Z числа, кратные 2, 3 и 7 мы вычеркнули по
84
3 раза: 42, 84, или 2 =
.
2⋅3⋅7
Поэтому, количество чисел n, не имеющих общие делители с числом 84 равно:
ϕ(n) = ϕ(84) = 84 – 42 – 28 – 12 +14 + 6 + 4 –2 = 24
Примечание. Почему мы вычитаем количество
чисел, вычеркнутых трижды, поясняет диаграмма
Эйлера-Венна, приведённая на рис. 11.3.
(249)
Переведём эту запись на формульный язык:
n = 84, p1 = 2, p2 = 3, p3 = 7, поэтому
ϕ(n) = n −
n n n
n
n
n
n
− −
+
+
+
−
=
p1 p2 p3 p1⋅ p2 p1⋅ p3 p2 ⋅ p3 p1⋅ p2 ⋅ p3
Рис. 11.3
Глава 11.
(Моря в океане чисел. Рациональные числа)
⎛
⎞
1
1
1
1
1
1 1
−
+
+
+
−
= n ⎜⎜ 1− −
⎟⎟ =
⎝ p1 p2 p3 p1⋅ p2 p1⋅ p3 p2 ⋅ p3 p1⋅ p2 ⋅ p3 ⎠
⎛⎛ 1 ⎞ ⎛ 1
⎞⎞
1 ⎞ ⎛ 1
1 ⎞ ⎛ 1
1
= n ⎜ ⎜⎜ 1− ⎟⎟ − ⎜⎜ −
− ⎜⎜ −
+ ⎜⎜
−
⎟⎟ ⎟⎟ =
⎟
⎟
⎟
⎟
⎜
⎝ ⎝ p1 ⎠ ⎝ p2 p1⋅ p2 ⎠ ⎝ p3 p1⋅ p3 ⎠ ⎝ p2 ⋅ p3 p1⋅ p2 ⋅ p3 ⎠ ⎠
⎛⎛
⎛
1⎞
1
1 ⎞⎞
1⎞ 1 ⎛
1⎞ 1 ⎛
= n ⎜ ⎜⎜ 1− ⎟⎟ − ⋅ ⎜⎜ 1− ⎟⎟ −
⋅ ⎜⎜ 1− ⎟⎟ +
⋅ ⎜⎜ 1− ⎟⎟ ⎟ =
⎜
⎟
⎝ ⎝ p1 ⎠ p2 ⎝ p1 ⎠ p3 ⎝ p1 ⎠ p2 ⋅ p3 ⎝ p1 ⎠ ⎠
⎛
1
1
1 ⎞
1 ⎞⎛
−
+
= n ⎜⎜ 1− ⎟⎟ ⎜⎜ 1−
⎟⎟ =
⎝ p1 ⎠ ⎝ p2 p3 p2 ⋅ p3 ⎠
⎛
1 ⎞⎛⎛
1 ⎞ ⎛ 1
1 ⎞⎞
= n ⎜⎜ 1− ⎟⎟ ⎜ ⎜⎜ 1−
−
−
⎜
⎟⎟ ⎟⎟ =
⎟
⎟ ⎜
⎜
⎝ p1 ⎠ ⎝ ⎝ p2 ⎠ ⎝ p3 p2 ⋅ p3 ⎠ ⎠
⎛
1 ⎞⎛⎛
1 ⎞ 1 ⎛
1 ⎞⎞
= n ⎜⎜ 1− ⎟⎟ ⎜ ⎜⎜ 1−
⋅ ⎜⎜ 1−
⎟⎟ −
⎟⎟ ⎟⎟ =
⎜
⎝ p1 ⎠ ⎝ ⎝ p2 ⎠ p3 ⎝ p2 ⎠ ⎠
⎛
1⎞ ⎛
1 ⎞ ⎛
1 ⎞
= n ⎜⎜ 1− ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ 1−
⎟ ⋅ ⎜⎜ 1−
⎟
⎟⎟ .
⎝ p1 ⎠ ⎝ p2 ⎠ ⎝ p3 ⎠
На рис. 11.3 изображена соответствующая рассмотренному примеру диаграмма Эйлера-Венна.
(250)
В общем случае формула вида
⎛
⎛
1⎞ ⎛
1 ⎞ ⎛
1 ⎞
1 ⎞
ϕ(n) = n ⎜⎜ 1− ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ 1−
⎟⎟ ⋅ ... ⋅ ⎜⎜ 1−
⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ 1−
⎟⎟
⎝ p1 ⎠ ⎝ p2 ⎠ ⎝ p3 ⎠
⎝ pk ⎠
часто используется в теории вероятностей и называется формулой «включений-исключений».
В теории чисел часто используется теорема
Эйлера.
Теорема. Если a и n взаимно просты, то aϕ(n) – 1
делится нацело на n, где ϕ(n) — функция Эйлера.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Эта теорема является обобщением малой теоремы Ферма, которая получается из неё для случая простого n. Ведь если n = p и p — простое, то
ϕ(p) = p – 1 и получаем, что ap–1 – 1 делится на р.
Отсюда следует, что ap – a должно делиться на р.
Именно это и утверждается в малой теореме Ферма.
Теорема Эйлера применяется при вычислении
остатков от деления степени любого числа на заданное число.
Пример. Найти остаток от деления числа 632315
на 35.
Решение
Так как 632 = 35·18 +2, то 632315 = (35•18 + 2)315.
Это означает, что при возведении в степень все
получаемые слагаемые, кроме последнего, будут
делиться на 35. Поэтому искомый остаток равен
остатку от деления 2315 на 35. Так как числа 2 и 35
взаимно просты, то можно применить теорему
Эйлера:
(251)
aϕ(n) − 1
= k ∈ ‰ ] aϕ(n) – 1 = kn ] 2ϕ(35) – 1 = 35•k.
n
ϕ(35) = ϕ(7)• ϕ(5) = 4•6 = 24.
Поэтому 224 = 35•k + 1.
13
2315 = 224•13+3 = ⎛⎜ 224 ⎞⎟ ⋅ 23 = (35k + 1)13•23.
⎝
⎠
Очевидно, что остаток от деления последнего
выражения на 35 будет равен 8.
Ответ: 8.
О ВЗАИМООБРАЩЕНИИ ОБЫКНОВЕННЫХ
И ДЕСЯТИЧНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ
Z Рассмотрим равенство
1
= 0,333333... Умно3
жим обе части равенства на 3. Получим до-
Глава 11.
(Моря в океане чисел. Рациональные числа)
Между обыкновенными и десятичными (конечными
и бесконечными периодическими) дробями существует взаимно однозначное соответствие — биекция. Это означает, что каждой обыкновенной дроби
соответствует единственная десятичная. Справедливо и обратное: каждой десятичной дроби (конечной или бесконечной периодической) соответствует единственная обыкновенная дробь.
Примечания.
Z Любая конечная дробь может быть записана в виде бесконечной периодической дроби
добавлением нулевого периода. Например:
6,25 = 6,25(0). Вообще говоря, в физике и инженерной практике добавление «лишних»
нулей имеет смысл, связанный с указанием
точности производимых измерений. Указание
массы m = 2,370 кг говорит о том, что масса
измерялась с точностью до грамма.
(252)
вольно странный, на первый взгляд, результат:
1 = 0,999999... Данный результат понимается
как верное равенство (два способа записи единицы). Аналогично, верными равенствами являются: 0,1 = 0,0999999..., 0,01 = 0,00999999...,
0,38 = 0,37999999... и так далее.
В принципе, такой приём позволяет любую
обыкновенную дробь записать как бесконечную периодическую.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Перевод обыкновенной дроби в десятичную осуществляется делением углом числителя на знаменатель дроби либо до нулевого остатка (тогда дробь
конечная), либо до выделения периодической части.
Несколько сложнее осуществляется обратный перевод. Рассмотрим на примерах, как это делается.
Примеры (перевод конечной десятичной дроби):
244
244
61
= 37
= 37
,
Z 37,244 = 37 +
1000
Z
1000
250
84
21
−243,84 = −243
= −243 .
100
25
Для перевода бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную удобно воспользоваться формулой для определения суммы геометриb ⋅ (q n − 1)
ческой прогрессии. Напомним её: Sn = 1
.
q −1
Здесь b1 — первый член геометрической прогрессии, q — её знаменатель. Преобразуем эту формулу:
b ⋅ (q n − 1) b1⋅ q n b1 (*).
−
=
Sn = 1
q −1
q −1 q −1
(253)
Нас далее будет интересовать случай, когда
|q| < 1. Как легко убедиться, в этом случае первое
слагаемое формулы (*) уменьшается при увеличении n. Если n → ∞, то второе слагаемое всё более
доминирует и в результате (как говорят в матемаb
тике «в пределе») можно записать: S∞ = 1 . По1− q
лученную формулу называют формулой суммы
бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Именно эта формула нам и понадобится
для перевода бесконечной периодической дроби
в обыкновенную.
Z 58,00(63) = 58 + (0,0063 + 0,000063 + 0,00000063 + ...) =
= 58 +
1
•(0,63 + 0,0063 + 0,000063 + ...).
100
Найдём указанную в скобках сумму. В данном
0,0063
= 0,01.
случае b1 = 0,63, q =
0,63
b
0,63
63 7
Поэтому S∞ = 1 =
=
=
1− q 1− 0,01 99 11
Глава 11.
(Моря в океане чисел. Рациональные числа)
Примеры (перевод бесконечной периодической
десятичной дроби):
Z 36,(678) = 36 + (0,678 + 0,000678 + 0,000000678 + ...).
Сложим указанную в скобках сумму. Для этого
b
воспользуемся формулой S∞ = 1 .
1− q
0,000678
В данном случае b1 = 0,678, q =
= 0,001.
0,678
b
0,678
678 226
=
=
Поэтому S∞ = 1 =
.
1− q 1− 0,001 999 333
226
Поэтому 36,(678) = 36
.
333
(254)
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Поэтому 58,00(63) = 58 +
1 7
7
⋅ = 58
.
100 11
1100
Остаётся вопрос: являются ли полностью тождественными множества обыкновенных и десятичных
дробей? Ответ на этот вопрос прост и бескомпромиссен: конечно, нет! Дело в том, что десятичные
дроби, кроме рассмотренных, могут быть и бесконечными непериодическими. Приведём лишь
один пример:
0.101001000100001000001000000100000001...
(количество нулей перед каждой следующей единицей увеличивается на один). Ясно, что эта дробь
не будет периодической. С одной стороны, в её периоде обязательно должны присутствовать и нули,
и единицы (хотя бы одна). С другой стороны, какой
бы длины не был период этой дроби, двигаясь вдоль
её записи, можно найти промежуток, состоящий из
одних нулей, такой, что его длина будет превышать
любую заранее нами выбранную длину предполагаемого периода. Что делать с таким (и подобными
ему) числами?
Такое число — не является рациональным!
Надо ли их вообще рассматривать? Об этом —
в следующей главе.
Глава 12.
О СРАВНЕНИИ
БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ
Иногда приходится говорить о трудных вещах,
но следует это делать как можно проще.
Годфри Х. Харди
Глава 12.
(О сравнении бесконечных множеств)
Нет ничего проще, чем сравнивать конечные множества. Их сравнивают по количеству содержащихся в них элементов. Но в том случае, когда
элементов слишком много, то даже это может оказаться сложной задачей. Например, как оценить
количество людей в кинозале перед началом сеанса, если они всё время перемещаются? Самый
простой способ — попросить всех занять свои места. Если все зрители сели и остались пустые кресла, то множество кресел больше, чем множество
зрителей. Если зрителей в зале больше, чем кресел, то либо проданы лишние билеты, либо часть
зрителей прошла без билета. Третья возможная
ситуация: все зрители заняли все кресла, то есть
множества равны. На языке математики это означает, что установлено взаимно однозначное соответствие (биекция) между множествами кресел и зрителями.
(256)
Более сложный вопрос — сравнение бесконечных
множеств. Ясно, что в этом случае нельзя сравнивать
их по количеству. Поэтому при количественной оценке в этом случае говорят о мощности множеств.
Одинаковы ли «по запасу» множества ‰, Ќ и Љ? Обратим внимание на то, что Գ‫ؿ‬Ǵ‫ؿ‬ǫ. Данный вопрос
и ответ на него не оказываются простыми.
Г. Кантор построил естественную и изящную математическую теорию, которая содержит ответ на
поставленный выше и другие подобные вопросы.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
СЧЁТНЫЕ МНОЖЕСТВА
Определение. Если между элементами двух множеств
можно установить взаимно однозначное соответствие,
то говорят, что эти множества равномощны.
Два конечных множества равномощны тогда
и только тогда, когда они имеют одно и то же количество элементов.
Понятие равномощности применимо к множествам,
не являющимся конечными. В этом случае, однако,
могут иметь место факты, которые на первый взгляд
кажутся парадоксальными. Так, например, множество
всех натуральных чисел равномощно множеству всех
четных положительных чисел. Взаимно однозначное
соответствие между элементами этих множеств можно установить, сопоставив каждому натуральному числу вдвое большее положительное число.
(257)
Мы имеем здесь пример бесконечного множества, равномощного некоторой своей части.
Не существует ни одного конечного множества,
равномощного какой-либо своей части.
Определение. Множества, равномощные множеству всех натуральных чисел, называют счётными.
Остальные бесконечные множества называют несчётными.
Глава 12.
(О сравнении бесконечных множеств)
Следовательно, счетное множество — это такое
бесконечное множество, все элементы которого
можно перенумеровать с помощью натуральных чисел таким образом, чтобы каждому элементу множества соответствовал определенный номер, и чтобы каждый номер соответствовал определенному
и единственному элементу множества.
Другими словами, элементы счетного множества
можно расположить в виде бесконечной последовательности a1, a2, a3, ... по порядковым номерам (индексам). Обратно — множество всех членов любой
данной бесконечной последовательности (с различными членами) является счетным.
Очевидно, что часть счетного множества, если
она не является конечным множеством, будет счетным множеством. Это следует из того, что элементы
любой части множества можно расположить в виде
последовательности в порядке возрастания индексов. Например, множества всех нечетных чисел,
всех простых чисел, всех чисел, являющихся квадратами натуральных чисел, — счётные.
Приведём примеры счётных множеств.
(258)
Пример 1.
Любое подмножество счётного множества конечно или счётно.
(Это означает, что не может существовать бесконечное множество, мощность которого была бы
меньше мощности счетного множества).
Пример 2.
Объединение конечного или счётного числа
счётных множеств счётно.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Пример 3.
Если плоскость разбить на прилегающие один
к другому квадраты, то множество этих квадратов
будет счётно. Перенумеровать все эти квадраты
можно следующим образом (см. рис.):
12
13
11
10
25
14
3
2
9
24
15
4
1
8
23
16
5
6
7
22
17
18
19
20
21
(259)
Пример 4.
Можно также доказать, что, разбив трехмерное
пространство на равные кубы, мы получим счетное
множество этих кубов. И в этом случае можно поочередно обходить кубы по ломаной, соединяющей
центры смежных кубов.
Пример 5.
Множество натуральных чисел равномощно множеству нечётных чисел, так как между ними можно
установить взаимно однозначное соответствие, например, по следующему правилу:
1
2
3
џ
џ
џ
1
3
5
...
n
...
џ
...
2n — 1
...
0
-1
1
-2
2
-3
3
...
џ
џ
џ
џ
џ
џ
џ
џ
1
2
3
4
5
6
7
...
Пример 7.
Множество положительных рациональных чисел Љ! счётно. Действительно, если представить
каждое рациональное число в виде несократимой
дроби и записать его в следующую таблицу, а затем
пронумеровать, как указано на рисунке, то окажет-
Глава 12.
(О сравнении бесконечных множеств)
Пример 6.
Множество всех целых чисел счётно. Это становится очевидным, если применить следующую процедуру нумерации:
(260)
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
ся, что множество рациональных положительных
чисел счётно.
(«Выбрасываются» все сократимые дроби.)
Легко установить биекцию между множествами
положительных и отрицательных рациональных чисел, просто поставив в соответствие каждому рациональному числу противоположное ему. Таким
образом, множество отрицательных рациональных
чисел Љ — тоже счётно, а значит, счётно и всё множество рациональных чисел Љ.
Кроме конечных и счётных множеств существуют и другие бесконечные множества, мощность которых больше, чем мощность счётных множеств.
Так, множество всех точек отрезка [0; 1] не равномощно множеству натуральных чисел ‰. Но речь об
этом пойдёт в следующей главе, в котором мы будем рассматривать действительные числа.
Глава 13.
МОРЯ В ОКЕАНЕ ЧИСЕЛ.
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Мир реальности имеет свои пределы,
мир воображения — безграничен.
Жан- Жак Руссо
AC2 = a2 =
AD2 + CD2 = 12 + 12= 2 .
Но 2 — это всего лишь обозначение числа, квадрат которого равен 2. Мы понимаем (как и древние
греки), что дробь — это отношение двух целых чи-
C
B
a
A
1
1
D
Глава 13.
(Моря в океане чисел. Действительные числа)
Выйти за пределы рациональных чисел нас заставляет геометрия. Представим себе квадрат со
стороной 1.
По теореме Пифагора
(262)
сел. Поэтому было бы естественно попытаться выразить число 2 — в знакомой нам форме (то есть
в виде дроби
p
=
q
2 и найти эту дробь. Попробуем
это сделать. При этом было бы естественно считать,
что дробь
p
не сократимая. В противном случае мы
q
можем её заранее сократить.
Проделаем небольшие преобразования:
2
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
⎛ ⎞
p
= 2 ⇒ ⎜ p⎟ =2⇒
q
⎝q⎠
p2
q2
= 2 ⇒ p2 =2⋅q2 . (*)
Так как в произведении появился множитель 2,
то число p2 = p•p чётное. Но только чётное число,
умноженное на себя, даёт чётное. Поэтому число
p — также чётное. В любом чётном числе можно выделить множитель 2, то есть представить число p
в виде p = 2•m, где m ∈ ‰ . Равенство (*) в этом случае примет вид:
p2 = 2•q2 ⇒ (2m)2 = 2•q2 ⇒ 2•q2 = 4m2 ⇒ q2 = 2m2
Аналогичное рассуждение приводит к тому, что q
также чётное. Получается, что дробь
p
сократима,
q
не смотря на наше исходное предположение о её не
сократимости. Полученное противоречие является
основанием для вывода о том, что 2 ѓ Љ.
Определение. Числа, которые не являются рациональными, то есть не могут быть представлены
в виде обыкновенной дроби
m
, где m ∈ Ќ, n ∈ ‰,
n
называются иррациональными.
Множество иррациональных чисел обозначается ЏЋ.
(263)
Иррациональные числа — это бесконечные непериодические десятичные дроби.
Вообще говоря, справедлива следующая теорема.
Теорема. Если число a ∈ ‰, то a либо натуральное число, либо иррациональное.
Доказательство
С логической точки зрения у нас есть три возможных ситуации:
1) a ∈ ‰; 2) a ∈ Љ; 3) a ∈ ЏЋ.
a = m , где m ∈ ‰, n ∈ ‰, n ≠ 1, причём m и
n
n — взаимно простые. (При этом не забываем,
что по условию a ∈ ‰).
m2
m2
то есть 2 ∈ ‰. Но m2 и n2 — взаимn2
n
но простые, поскольку числа m и n не имеют общих
Тогда a =
делителей и n2 ≠ 1. Значит,
m2
n2
∉ ‰. Пришли к про-
тиворечию.
Это означает, что возможно лишь две ситуации:
a ∈ ‰ или a ∈ ЏЋ. Теорема доказана.
Определение. Множество, являющееся объединением числовых множеств Љ и ЏЋ, называется
множеством действительных чисел.
Глава 13.
(Моря в океане чисел. Действительные числа)
Z Первая ситуация соответствует извлечению
квадратного корня нацело (в этом случае говорят, что «корень извлёкся»). Например:
196 = 14 ∈ ‰.
Z Вторая ситуация соответствует тому, что
(264)
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Обозначение: Љ 2 ЏЋ = Њ.
Схематически структура числовых множеств показана на рис. 13.1.
Пример. Докажем, что 2 3 ∈ ЏЋ.
Доказательство
Проведём доказательство методом «от противного». Предположим, что 2 3 ∈ Љ. Обозначим
исходное число буквой r. Тогда
2 3 = r ⇒ ( 2 3 )2 = r2 ⇒ 5 + 2 2 • 3 = r 2 ⇒
⇒ 2 6 = r2 – 5.
Или
6=
r2 − 5
r2 − 5
. Но
∈ Љ, а
2
2
6 ∈ ЏЋ. Следова-
тельно, предположение не верно и 2 3 ≠ r . То
есть 2 3 ∉ Љ ⇒ 2 3 ∈ ЏЋ, что и требовалось
доказать.
ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ
Для геометрического изображения чисел служит
числовая прямая.
(265)
Определение. Числовая прямая — это прямая,
имеющая направление, начало отсчёта и единицу
масштаба.
0
1
Z Натуральные числа (как и целые положительные) изображаются точками на числовой прямой, отстоящими вправо от начала отсчёта на
целое число единиц масштаба.
Z Целые отрицательные числа изображаются
точками на числовой прямой, отстоящими
влево от начала отсчёта на целое число единиц масштаба.
Z Рациональные числа вида
m
n
(m ≤ n, m ∈ ‰,
Z Множество рациональных чисел обладает
следующим очень важным свойством.
Теорема. Между любыми двумя рациональными
числами a и b всегда найдётся третье.
Доказательство
Пусть даны два произвольных рациональных числа a и b. Для определённости примем, что a < b (то
есть на числовой оси число a находится левее, чем
число b). В этом случае a – b < 0 и b – a > 0. Соединим эти два неравенства в одно двойное:
Глава 13.
(Моря в океане чисел. Действительные числа)
n ∈ ‰) изображаются следующим образом:
отрезок [0;1] делится на n частей и берется
m таких частей.
(266)
a – b < 0 < b – a. Прибавим к каждой части этого
неравенства число a + b. Получим
(a – b) + (a + b) < 0 + (a + b) < (b – a) + (a + b)
или 2a < a + b < 2b, или a <
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Обозначим:
казана.
a+ b
2
a+ b
2
< b.
= c . Тогда a < c < b. Теорема до-
Из доказанной теоремы после повторного её
применения следует, что между любыми рациональными числами a и b всегда заключено бесконечное
количество рациональных чисел. Это свойство называется в математике свойством плотности множества рациональных чисел (то есть это множество
всюду плотно).
Z Тем не менее, множество рациональных
чисел не заполняет всю числовую прямую.
Например, есть такие числа, как 2 или
0,101001000100001000001... (то есть числа
иррациональные).
Так как 2 ∉ Љ, то соответствующая этому
числу точка разбивает всё множество точек на
числовой прямой на два множества (класса)
А < 2 и В > 2 , причём каждое число класса
А меньше каждого числа класса В.
Определение. Всякое разбиение множества
действительных чисел Њ на два непустых класса
А и В, таких, что каждое число класса А меньше каждого числа класса В называется сечением множества Њ.
(267)
Глава 13.
(Моря в океане чисел. Действительные числа)
Сечения множества Њ мы можем строить самыми
различными способами. Так, относя к классу А все
рациональные числа a ≤ 3, а к классу В – все рациональные числа b > 3, мы также получим некоторое
определённое сечение множества Њ. Если обычным
образом изображать числа точками на прямой линии, то всякое сечение изобразится некоторым разбиением рациональных точек прямой на два множества, из которых первое (А) целиком расположено
влево от второго (В). Число 3 в этом случае является наибольшим значением множества А.
В примере с числом 2 у множества А отсутствует наибольшее значение, а у множества В отсутствует наименьшее значение. В этом случае 2
называется точной верхней гранью множества
А и точной нижней гранью множества В.
В общем случае, точные грани могут, как принадлежать одному из множеств (А или В), так и не принадлежать ни одному из них. Это следует из приведённых примеров.
Пример с числом 2 наглядно показывает, что
на числовой прямой находится точка, которой никакое рациональное число не соответствует. Но от
мысли о существовании данной точки мы отказаться не можем. Без неё наша прямая утратила бы свою
непрерывность. Учитывая, что иррациональных
точек очень много (на самом деле — бесконечное
количество), принимая за существующие только рациональные точки, при движении вдоль прямой нам
приходилось бы всё время «перепрыгивать» через
пустоты. Чтобы этого не произошло необходимо
разместить всё множество иррациональных точек
на числовую ось.
(268)
Каждое иррациональное число занимает своё
место на числовой прямой, так как их можно упорядочить в зависимости от их величины. Сравнение
иррациональных чисел легко осуществляется по их
десятичной записи. Например, a = 54,237893567…
и b = 54,237893581… Для сравнения расположим
эти числа одно под другим следующим образом:
a = 54,237893567…
b = 54,237893581…
Сравнение соответствующих разрядов десятичной записи всегда помогает установить правильное
соотношение между числами по величине. В данном случае a < b.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Теорема. Между любыми двумя иррациональными числами a и b всегда найдётся рациональное
число.
Доказательство
Пусть даны два произвольных иррациональных
числа a и b. Запишем их соответствующие разряды
следующим образом (a < b):
a1 a2 a3 a4...
b1 b2 b3 b4...
Здесь ai и bi — десятичные цифры. Так как a < b,
то найдётся такое n, что an < bn. Возьмём рациональное число
a a a a ...a + b b b b ...b
c= 1 2 3 4 n 1 2 3 4 n .
2
В этом случае a < c < b. Теорема доказана.
Итак, мы убедились, что между любыми двумя
иррациональными числами найдётся рациональное
(269)
число, а значит, и бесчисленное множество рациональных чисел.
Теорема. Между любыми двумя иррациональными числами a и b всегда найдётся иррациональное число.
Это следует из того, что существуют сколь угодно малые иррациональные числа. Например, числа
вида
2
n
, где n ∈ ‰. Из этого следует, что никакой
отрезок прямой не может целиком состоять только
из рациональных чисел.
Одним из основателей
современного понятия непрерывности является Рихард Дедекинд. Его имя
непременно присутствует
в толстых университетских
учебниках по математическому анализу.
Дедекинд родился 5 октября 1831 года в Брауншвейге, родном городе
Глава 13.
(Моря в океане чисел. Действительные числа)
Очевидно, что множества иррациональных чисел и действительных чисел также являются всюду
плотными.
В итоге можем сказать, что между точками числовой прямой и действительными числами имеется
взаимно однозначное соответствие (биекция).
По сути дела, мы можем теперь сказать, что точки на числовой прямой расположены непрерывно.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
(270)
Гаусса. Его отец был профессором права и администратором колледжа Collegium Carolinum, который
окончил и Гаусс, мать — внучка императорского
почтмейстера.
Рихард был младшим из четырёх детей. С 7 до
16 лет он учился в гимназии, увлекаясь химией
и физикой, но потом его интересы сместились к математике. С 1848 по 1850 год он обучался в Collegium Carolinum, изучая аналитическую геометрию,
алгебру, механику и анализ.
В 1850 году он поступил в Геттингенский университет, где подружился с Риманом. В зимнем семестре 1850/1851 годов Дедекинд посещал лекции
Гаусса и впоследствии оставил очень интересные
воспоминания об этом. В 1859 году он вместе с Риманом совершил поездку в Берлин, где встречался
с Вейерштрассом и Куммером.
В 1862 году в его родном Брауншвейге Collegium
Carolinum был преобразован в технический университет. Дедекинд вернулся туда и преподавал в нём
до 1894 года. Был избран членом Берлинской, Римской и Французской Академий наук.
Он был очень скромным и молчаливым человеком (как сейчас сказали бы — интровертом). Известен любопытный факт его жизни. В 1904 году «Математический календарь» опубликовал сообщение
о смерти Дедекинда, якобы случившейся 4 сентября 1899 года. В письме к редактору Рихард с юмором писал: «По моим собственным наблюдениям
я в тот день был вполне здоров и вёл оживлённый разговор о теории множеств с моим гостем
и уважаемым другом Георгом Кантором…».
(271)
Люди, знавшие Рихарда, отмечали, что в течение
жизни его отличали большая научная порядочность
и деликатность. Например, его исследования по алгебраическим структурам (кольцам, идеалам и модулям) были изданы в виде приложения к «Теории
чисел» Дирихле. Биограф Дедекинда Эдвардс полагает, что эта книга, изданная после смерти Дирихле,
в действительности написана Рихардом. Развитие
оснований высшей алгебры во многом обязано открытиям Дедекинда.
КОНТИНУУМ
Теорема (Кантора). Множество действительных
чисел отрезка [0, 1] несчётно.
Здесь: aij — j-ая десятичная цифра числа ai. Построим дробь:
β = 0, β1 β2 β3... βn...
диагональной процедурой Кантора, а именно:
за β1 примем число 2, если a11 = 1 и примем β1 равным
1, если a11 ≠ 1 Аналогично, за β2 примем число 2, если
a22 = 1 и примем β2 равным 1, если a22 ≠ 1 и т.д. Во-
Глава 13.
(Моря в океане чисел. Действительные числа)
Доказательство
(Доказательство от противного). Предположим,
что имеется только счётное множество действительных чисел a1, a2, ... an, ... лежащих на отрезке [0; 1]:
a1 = 0, a11 a12 a13... a1n...
a2 = 0, a21 a22 a23... a2n...
a3 = 0, a31 a32 a33... a3n...
....................
an = 0, an1 an2 an3... ann...
....................
(272)
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
обще, за βn примем число 2, если ann = 1 и примем βn
равным 1, если ann ≠ 1. Полученная десятичная дробь
не может совпасть ни с одной дробью из исходного
перечня. Действительно, от a1 дробь β отличается, по
крайней мере, первой цифрой, от a2 — второй цифрой
и т.д. Вообще, т.к. βn ≠ ann для всех n, то дробь β отлична от любой из дробей ai, входящих в исходный перечень. Таким образом, никакое счётное множество
действительных чисел, лежащих на отрезке [0; 1]
не исчерпывает этого отрезка. Теорема доказана.
Итак, отрезок [0; 1] даёт пример несчётного
множества. Приведём некоторые примеры множеств, эквивалентных отрезку [0; 1].
Определение. Мощность множества всех действительных чисел (или, что то же самое, множества всех точек отрезка [0;1]) обозначается символом c и называется континуум.
Пример 1.
Отрезок [0; 1] равномощен любому отрезку
[a; b]. Взаимно однозначное соответствие между
ними устанавливает формула y = (b − a) · x + a, где
x ~ [0; 1], y ~ [a;b]
Здесь при x = 0, y = a; при x = 1, y = b; при x, принадлежащих отрезку [0;1], y «пробегает» все значения от a до b.
Пример 2.
Интервал (0; 1) равномощен множеству всех точек на прямой. Биекцию можно установить с помощью формулы: y = ctg(πx). Это функция «котангенс».
(О тригонометрических функциях — в главе 16.)
(273)
1
-2
0
2
На графике значения х отложены по вертикальной оси. На горизонтальной оси — значения y.
Пример 3. Множество бесконечных последовательностей, состоящих из цифр 0 и 1, имеет мощность континуума.
Доказывается использованием диагональной
процедуры Кантора.
Кантору удалось доказать следующую теорему:
Он также доказал, что не только множество точек
квадрата со стороной 1 равномощно множеству
точек отрезка [0;1], но и множество точек куба.
Континуум гипотеза
Мы познакомились пока что с двумя типами бесконечных множеств. Одни из них имеют столько же
элементов, сколько и множество натуральных чисел, а другие — столько же, сколько и множество точек на прямой. Оказалось, что во втором множестве
больше элементов. Естественно, возникает вопрос,
а нет ли «промежуточного» множества, которое
имело бы больше элементов, чем множество нату-
Глава 13.
(Моря в океане чисел. Действительные числа)
Теорема. Множество точек квадрата со стороной 1 равномощно множеству точек отрезка [0;1].
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
(274)
ральных чисел, и меньше, чем множество точек на
прямой? Этот вопрос получил название проблемы
континуума. Над ним думали многие выдающиеся
математики, начиная с самого Георга Кантора, но
до самого последнего времени проблема оставалась нерешенной.
«В течение долгих лет думал над проблемой континуума один из крупнейших математиков, основатель отечественной научной школы теории функций
действительного переменного, академик Н. Н. Лузин. Но решение ускользало, как мираж в пустыне
(правда, в ходе размышлений над этой проблемой
Н. Н. Лузин решил целый ряд труднейших задач теории множеств и создал целый раздел математики —
дескриптивную теорию множеств).
Однажды к Н. Н. Лузину привели пятнадцатилетнего мальчика Льва Шнирельмана, обладавшего
исключительными математическими способностями (впоследствии он стал одним из виднейших советских математиков, членом-корреспондентом АН СССР). Чтобы проверить способности
юного математика, Н. Н. Лузин предложил ему
тридцать труднейших задач. Решения 29 задач он
знал, а одной была... проблема континуума. Через
неделю молодой математик пришел к Н. Н. Лузину и грустно сказал: «Одна задача почему-то не
выходит».
Неудачи попыток решить проблему континуума
не были случайными. Положение дел здесь напоминает историю постулата о параллельных прямых.
Этот постулат пытались на протяжении двух тысячелетий вывести из остальных аксиом геометрии.
После работ Н. И. Лобачевского, К. Гаусса и вен-
(275)
герского математика Яноша Бойаи, выяснилось,
что он не противоречит остальным аксиомам, но
и не может быть выведен из них.
Точно так же оказалось, что в аксиоматике теории множеств утверждение о существовании промежуточной мощности не противоречит остальным
аксиомам (результат немецкого математика К. Гёделя), но и не выводимо из них (это почти одновременно и независимо друг от друга доказали американец П. Д. Коэн, и чех П. Вопенка)»1.
СУЩЕСТВУЕТ ЛИ МНОЖЕСТВО
САМОЙ БОЛЬШОЙ МОЩНОСТИ?
Определение. Множества, между которыми
можно установить взаимно однозначное соответствие, называются эквивалентными.
Определение. Если два множества A и B, конечные или бесконечные, эквивалентны, мы скажем,
что им соответствует одно и то же кардинальное
число (или мощность).
1
Н.Я. Виленкин «Рассказы о множествах», М., МЦНМО,
2005 г.
Глава 13.
(Моря в океане чисел. Действительные числа)
Пока что самой большой мощностью, которую мы
знаем, является мощность множества точек на прямой, то есть мощность континуума. Ни множество
точек квадрата, ни множество точек куба не имеют большей мощности. Не является ли мощность
континуума самой большой? Оказывается, что нет.
Более того, вообще нет множества самой большой мощности!
(276)
В случае конечных множеств кардинальное число сводится к обыкновенному натуральному числу,
но понятие кардинального числа носит более общий
характер.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Теорема. Пусть X – некоторое множество,
и пусть Z – множество, элементами которого являются всевозможные подмножества множества X.
Тогда Z имеет мощность большую, чем мощность
исходного множества X.
Доказательство
Предположим, что существует взаимно однозначное соответствие между множествами X и Z, то
есть, каждому элементу x ∈ X взаимно однозначно
сопоставлено некоторое подмножество A(x) ∈ Z
этого множества. При этом элемент x может принадлежать подмножеству A(x) или ему не принадлежать. Элементы первого типа назовем «хорошими»
(xh), а элементы второго типа назовем «плохими»
(xp). Соберем все плохие элементы и пусть множество P означает совокупность элементов xp.
В силу взаимно однозначного соответствия между
x и A(x), любому подмножеству P (которое само является одним из подмножеств множества всех A(x)),
соответствует некоторый элемент xhp (это то ли
xh, то ли xp). Исследуем две возможности: элемент
xhp = xh (является хорошим) или элемент xhp = xp (является плохим). Если xhp = xh, то он принадлежит
подмножеству, которое ему соответствует, то есть
xhp = xh ∈ P. Но подмножество P состоит только из
плохих элементов. Тем самым первая возможность
исключается.
(277)
Если xhp = xp, то он не принадлежит соответствующему ему подмножеству, то есть элемент xhp = xp ∉ P.
Но подмножество P по построению содержит все
плохие элементы. Поэтому исключается и вторая
возможность.
Мы получили, что элемент xhp не может быть ни
хорошим, ни плохим элементом. Это означает, что
такого элемента вообще не существует, и что наше
исходное предположение, что существует взаимно
однозначное соответствие между множеством X и
множеством Z всех подмножеств X — неверно, другими словами — множества X и Z – не эквивалентны. Далее, так как мощность множества Z не может
быть меньше мощности множества X (множество X
всегда является подмножеством Z), то мощность
множества Z будет больше мощности множества X.
Теорема доказана.
Кантор назвал алеф-нулём кардинальное число множества натуральных чисел |‰| = 0, а кардинальное число множества действительных чисел
R он обозначил термином «континуум» и символом
С. Сделал он так потому, что действительные числа полностью заполняют числовую прямую, а так
как эта прямая представляет собой непрерывную
последовательность чисел (в ней отсутствуют промежутки), её можно обозначить словом «континуум»
(от лат. continuum — «непрерывное»). В соответствии с этим
Глава 13.
(Моря в океане чисел. Действительные числа)
Итак, для любого множества A можно построить
множество B большей мощности. Поэтому множества самой большой мощности не существует.
(278)
|Њ| = С = 2 0.
Числа алеф образуют возрастающую последовательность:
0 < 1 < 2 < 3 < ...
ЧИСЛА АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ
И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Рассмотрим уравнения вида an•xn + an–1•xn–1 + ... +
+ a1•x + a0 = 0, где an ≠ 0, причём все его коэффициенты — целые числа. Разделим все действительные
числа на две группы.
Z Числа, которые могут быть корнями такого
уравнения. Ясно, что это все рациональные
числа и многие (но, оказывается, не все!) иррациональные.
Z Остальные иррациональные числа.
Определение. Числа, являющиеся корнями
уравнения вида an•xn + an–1•xn–1 + ... a1•x + a0 = 0, где
an ≠ 0, и все его коэффициенты — целые числа, называются алгебраическими. Все остальные действительные числа называются трансцендентными.
Справедлива следующая удивительная теорема.
Теорема. Множество алгебраических чисел —
счётно.
Доказательство
Прежде чем нумеровать алгебраические числа,
надо перенумеровать сами алгебраические уравнения. А тогда задача будет уже решена. Ведь каждое
(279)
А теперь будем нумеровать уравнения так: сначала перенумеруем все уравнения высоты 2, потом
все уравнения высоты 3, затем все уравнения высоты 4 и т. д.
В результате все уравнения окажутся занумерованными, а тогда, как уже говорилось, нетрудно
занумеровать и все алгебраические числа. Теорема
доказана.
Доказательство Кантора замечательно тем, что
оно не конструктивно. То есть не предъявляется
в явном виде ни одного трансцендентного числа.
Глава 13.
(Моря в океане чисел. Действительные числа)
алгебраическое уравнение n-й степени имеет не
более n действительных корней.
Итак, займемся нумерацией множества алгебраических уравнений с целыми коэффициентами.
Один из возможных способов состоит в том, что каждому уравнению
an•xn + an–1•xn–1 + ... + a1•x + a0 = 0
ставится в соответствие его «высота», а именно
число h = n+|a0| + |a1| + ... + |an|.
Например, высота уравнения 2x4 − 3x + 5 = 0
равна 4 + 2 + 3 + 5 = 14.
Ясно, что число уравнений заданной высоты конечно. Например:
Z уравнений высоты 1 нет вообще;
Z высоту 2 имеют два уравнения: x = 0 и –x = 0;
Z высоту 3 имеют шесть уравнений:
x2 = 0, –x2 = 0, x + 1 = 0, x – 1 = 0, –x + 1 = 0 и –x – 1 = 0;
Z высоту 4 имеют четырнадцать уравнений:
x3 = 0, –x3 = 0, x2 + 1 = 0, –x2 + 1 = 0, 2x2 = 0, –2x2 = 0,
2x + 1 = 0, –2x + 1 = 0, 2x – 1 = 0, –2x – 1 = 0,
x + 2 = 0, x – 2 = 0, –x + 2 = 0 и –x – 2 = 0. И так далее.
(280)
Вместе с тем, из теоремы не только следует их наличие, но и тот факт, что мощность множества трансцендентных чисел превосходит мощность чисел
алгебраических.
Если множество трансцендентных чисел столь
необъятно, то возникает вопрос, где же они «обитают»? Более ста лет математикам не удавалось
найти хоть какое-нибудь трансцендентное число.
Наконец, в 1844 году французскому математику
Жозефу Лиувиллю удалось построить примеры
таких чисел. Одно из чисел, построенных Лиувиллем, имело следующий вид:
a=
1
1!
10
+
1
2!
10
+
1
3!
10
+ ... ,
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
где n! = 1• 2• 3• 4•...•(n – 1)•n.
В 1873 году французский математик Шарль Эрмит доказал трансцендентность замечательной
константы e = 1+
1 1 1
1
+ + + ... + + ...
n!
1! 2! 3!
В 1882 году немецкий математик Карл Линдеман доказал трансцендентность числа π.
Глава 14.
СТЕПЕНИ С РАЦИОНАЛЬНЫМ
И ИРРАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЯМИ
Не случайно понятия корня n-ой степени и степеней с рациональным и иррациональным показателями изучаются обычно в 10 классе. Сложность
связана с нюансами понятия степени числа. Но нам
необходимо в этом разобраться для полноценного
изучения степенной функции.
Сначала определим понятие корня n-ой степени
(n = 2,3,4,5,6,7,...). Ранее мы рассматривали лишь
квадратный корень, то есть случай n = 2.
Определение. Корнем n-ой степени из числа a
называется такое число b, что bn = a.
Обозначение: b n a . Если n =2, то записывается b = a — квадратный корень.
Примеры.
Z 3 8 = 2, так как 23 = 8.
Глава 14.
(Степени с рациональным и иррациональным показателями)
Nec plus ultra. (Дальше некуда, крайняя степень.)
Латинский афоризм
(282)
Z 5 −243 = −3 , так как (–3)5 = –243.
Z По определению, при n = 2,4,6,8,... и a ≥ 0 считают, что n a ≥ 0.
Это означает, что для чётных показателей корня
считают верным только 4 16 2 , несмотря на то, что
не только 24 = 16, но и (–2)4 = 16.
1
Так как ( n a
n
) = a и ( a n ) = a , то естественно счиn
1
1
1
n
a
тать, что n a =
.
Отсюда становится понятным, почему принято
следующее определение рациональной степени
числа:
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
m
an
n a m , где n ∈ 2,3,4,... При
Определение.
этом:
если a ≥ 0, то m ∈ Ќ, m ≠ 0;
если a > 0, то m ∈ Ќ
(математическая операция 00 и возведение нуля
в отрицательную степень не допускаются).
Объясним, почему в любом случае при рассмотре-
нии формулы
m
an
n am
исключаются значения a < 0.
Мы помним, что, например, выражение 3 a определено и для отрицательных чисел. Рассмотрим за1
пись 3 a
a3 . В случае, если a ≥ 0 никаких проблем не
1
возникает. Но
3
−1 = (−1) 3 = –1. В то же время, если
1
2
необходимо,
6
1
2
чтобы результаты возведения в степень 3 и 6 были
мы хотим пользоваться тем, что 3
2
одинаковыми. Но, по определению, (−1)6 = 6 (−1)2 = 1.
Таким образом, ради того, чтобы иметь возможность
(283)
возводить отрицательные числа в степени с нечётными знаменателями, пришлось бы отказаться от возможности сокращать дробь в показателе степени!
1
Итак, выражения n a и a n при n = 3,5,7,.. существенно различны:
na
Z
— определено для любых действительных значений числа a (при n = 3,5,7,...);
1
Z a n — определено лишь для любых a ≥ 0.
Пример. Вычислить 5 17 с точностью до 0,01.
(Ответ: 1,7623403478…)
Z Пусть a0 = 2. Тогда, по формуле (*):
1 ⎛
17 ⎞ 1 ⎛
17 ⎞ 29
= ⋅⎜ 4 ⋅2 +
=
= 1,8125
a1 = ⋅ ⎜ (5 − 1) ⋅ 2 +
⎟
4⎟
5 ⎝⎛
25−1 ⎠ 5 ⎝
⎛ 2 ⎠ 16
a2 =
=
⎛
⎞
⎛
⎞
1 ⎜
29
17 ⎟ 1 ⎜ 29
17 ⎟
+
⋅ (5 − 1) ⋅
= ⋅ 4⋅
+
=
5 ⎜⎜
16 ⎛ 29 ⎞5−1⎟⎟ 5 ⎜⎜ 16 ⎛ 29 ⎞4 ⎟⎟
⎜
⎜⎜
⎜
⎜
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎛ ⎜⎝⎝
⎝ 16 ⎠ ⎟⎠
⎝ 16 ⎠ ⎟⎠
⎝⎝
⎛
⎞
1 ⎜ 29
17 ⎟ 24967591
+
⋅
=
= 1, 7650 ...
5 ⎜⎜ 4 ⎛ 29 ⎞4 ⎟⎟ 1414562
20
⎜⎜
⎜
⎟ ⎟
⎝ 16 ⎠ ⎟⎠
⎝⎝
Глава 14.
(Степени с рациональным и иррациональным показателями)
В главе 5 был приведён и доказан алгоритм извлечения квадратного корня. Аналогичный алгоритм
существует и для извлечения корня n-ой степени из
числа А. Порядок действий следующий:
Z сделать начальное предположение a0;
1 ⎛
A ⎞
Z находить ak +1 = ⋅ ⎜ (n − 1) ⋅ ak + n−1 ⎟ ; (*)
n ⎜
ak ⎟⎠
⎝
Z повторять шаг 2, пока не будет достигнута необходимая точность.
(284)
Вычисление всего за два шага даёт погрешность
примерно 0,16%.
Осталось разобраться со степенью с иррациональным показателем.
На практике, когда приходится иметь дело, на-
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
пример, с числом a 3 , то 3 заменяют близким
к нему по значению рациональным числом, отличающимся от 3 столь мало, что замена 3 на это
рациональное число не повлияет на решение исходной практической задачи. Например, считаем,
что 3 примерно 1,7320508075 — по недостатку
и 1,7320508076 — по избытку. И процесс уточнения можно продолжать сколь угодно. В пределе этот
процесс поиска значения a 3 сходится к поиску некоторого числа, которому соответствует единственная точка на числовой прямой. Это число и является
значением степени с заданным иррациональным
показателем.
Нуль в положительной иррациональной степени
α равен нулю: 0+α = 0;
Нуль в отрицательной иррациональной степени
α не определён;
Единица в любой иррациональной степени равна
единице: 1α = 1.
Глава 15.
АЗБУКА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
И ГРАФИКОВ. ЧАСТЬ 2
Функции, как и живые
существа, характеризуются
своими особенностями.
Поль Монтель
КОРЕНЬ n-ОЙ СТЕПЕНИ.
Графики имеют различный вид в зависимости от
чётности натурального числа n.
Z n = 2, 4, 6, 8, ...
На рисунке приведены графики функций
y= x,y= 4x,y= 8x.
Аналогичный вид имеют графики функций корень
четной степени при других значениях показателя.
Глава 15.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 2)
Пришло время пополнить наш математический зоопарк новыми экземплярами элементарных функций.
Нам предстоит рассмотреть группу более сложных
зависимостей, которые обычно рассматриваются
в школе лишь в 10 или 11 классах. Но мы по-прежнему постараемся использовать инструменты, доступные любознательному школьнику 8 (не математического) класса.
(286)
x
4
1
8
4
x
8
x
x
x
x
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
0
1
2
Z n = 3, 5, 7, 9, ...
Функция корень n-ой степени с нечетным показателем корня n определена на всем множестве
действительных чисел.
2
5
7
x
3
-2
0
3
7
3
x
x
x
7
5
x
x
-2
x
x
2
3
x
7
x
(287)
На рисунке приведены графики функций
y= 3x ,y= 5x ,y= 7x .
Аналогичный вид имеют графики функций корень
нечетной степени при других значениях показателя.
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
Степенная функция задаётся формулой вида
y = xa. С этой функцией у школьников очень сложные
отношения. Причиной этого является то, что приходится рассматривать много ситуаций.
1. a ∈ ‰. В этом случае область определения:
x ∈ Њ. Вид графика зависит от чётности показателя
степени.
Z a = 1, 3, 5, ...
x3
2
y=x
1
x3
-2
-1
x5
0
x3
-1
y=x
-2
x3
x5
x5
1
2
Глава 15.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 2)
x5
(288)
Z a = 2, 4, 6, ...
x2
x4
4
x6
x6
x4
x2
3
2
1
x2
x4
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
x6
-2
-1
x2
x6
0
1
2
Среди этих функций уже знакомые нам
y = x, y = x3 и y = x2.
2. a ∈ Ќ– (целые отрицательные числа).
В этом случае x ∈ (– u;0) 2 (0;+u) — то есть, любое действительное число, кроме нуля.
Вид графика также зависит от чётности показателя степени.
Z a = –2, –4, –6, ...
Z a = –1, –3, –5, ...
(289)
x–6
x–2
4
x–2
x–6
x–4
3
2
1
x–2
x–4
x–6
-1
-2
0
x–2
x–4
x–6
1
2
x–3
2
x–1
x–5
-2
x–1
–3
x–5
0
x
x–1
-2
x–5
x–3
x–1
x–3
2
Глава 15.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 2)
x–5
(290)
Среди этих функций уже была знакомая нам
функция y
1
или y = x–1 — гипербола.
x
3. a = 0. y = x0. Любое число, кроме нуля в нулевой
степени равно 1.
В этом случае x ∈ (– u;0) 2 (0;+u).
Точка с координатами (0;1) называется «выколотой».
1
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
0,5
-1
-0,5
0,5
1
Мы рассмотрели все целые значения показателя
α. Рассмотрим теперь случай a ∈ Љ и a ∈ Њ.
4. 0 < a < 1.
Рассмотрим степенную функцию a = xa с рациональным или иррациональным показателем α, причем 0 < a < 1.
Приведем графики степенных функций при
a
9
, a
10
2
, a
3
1
. a
5
2
.
7
(291)
9
x 10
2
x3
2
x
1
5
2
x7
1
2
x7
1
x 5
2
x3
9
x 10
1
2
3
5. a > 1.
x2π
7
5
7
x3
x3
x6
2
1
7
5
x3
x3
7
x6
x2π
0
1
2
3
Глава 15.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 2)
0
(292)
Приведем графики степенных функций, задан7
, a
6
ных формулами a
5
, a
3
7
, a = 2π.
3
При других значениях показателя степени a > 1
графики функции a = xa будут иметь схожий вид.
6. –1 < a < 0.
Приведём примеры графиков степенных функций:
1
7
1
1
10
8
2
y= x ,y= x ,y= x
,y= x 6 .
2
7
x 8
1
x 2
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
x
1
x
1
10
1
6
x
1
10
1
x 2
x
1
6
7
x 8
0
1
2
7. a < –1.
Приведём примеры графиков степенных функций:
7
25
5
y = x 6 , y = x 3 , y = x 8 , y = x 37 .
(293)
2
7
x 6
x 37
5
x 3
25
x 8
1
7
x 6
25
x 8
x
5
3
0
1
2
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
Определение. Показательной функцией называется функция вида y = ax, где a > 0, a ≠1, x ∈ Њ.
График показательной функции принимает различный вид в зависимости от значения основания a.
1. Рассмотрим случай, когда основание показательной функции принимает значение от нуля до
единицы, то есть, 0 < a < 1.
Для примера приведем графики показательной
функции при a
1
, a
2
2
.
3
Глава 15.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 2)
x 37
(294)
⎛2⎞
⎜ ⎟
⎝ 3⎠
x
⎛ 1⎞
⎜ ⎟
⎝2⎠
x
10
5
⎛2⎞
⎜ ⎟
⎝ 3⎠
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
-5
0
⎛ 1⎞
⎜ ⎟
⎝2⎠
x
x
5
Аналогичный вид имеют графики показательной
функции при других значениях основания из интервала 0 < a < 1.
2. Рассмотрим случай, когда основание показательной функции принимает значение больше единицы, то есть, a > 1.
Для примера приведем графики показательных
⎛ 3⎞
⎝2⎠
x
функций y = ⎜ ⎟ и y = ex. При других значениях основания, больших единицы, графики показательной
функции будут иметь схожий вид.
(295)
10
ex
⎛ 3⎞
⎜ ⎟
⎝2⎠
x
5
⎛ 3⎞
⎜ ⎟
⎝2⎠
x
0
5
Приведём несколько задач, при решении которых возникает потребность в использовании показательной функции.
Z История хранит легенду о двух торговцах
(А и В), заключивших соглашение, по которому в течение месяца первый (А) будет давать
второму (В) каждый день $10000. Второй (В)
будет возвращать первому (А) в первый день 1
цент, во второй — 2 цента, в третий — 4 цента,
в четвёртый — 8 центов и т.д. Рассмотрим результат такой сделки.
Доход (D) торговца (В):
D = 10000•n, где n — количество дней.
Глава 15.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 2)
ex
(296)
Расход (R) торговца (В):
R = 0,01 + 0,02 + 0,04 + ... + 0,01•2(n–1) =
=0,01•(1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2(n–1))
В скобках — геометрическая прогрессия, в которой b1 = 1, q = 2. Поэтому её сумма Sn равна:
b ⋅ (qn − 1) 1⋅(2n −1)
Sn = 1
=
= 2n − 1 .
q −1
2−1
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Расход R = 0,01•(2n – 1).
На рисунке приведены графики роста доходов D
и расходов R второго торговца. Из графика следует,
что примерно через 25 дней его доходы и расходы
уравняются.
200000
D = 10000•n
100000
R = 0,01•(2n – 1)
0
10
20
30
(297)
Через 24 дня:
D = 10000•n = 10000•24 = 240000
R = 0,01•(2n – 1) = 0,01•(224 – 1) = 167772,15
Через 25 дней:
D = 10000•n = 10000•25 = 250000
R = 0,01•(2n – 1) = 0,01•(225 – 1) = 335544,31
Ясно, что до конца месяца второй торговец будет
полностью разорён.
через n лет мы можем снять со своего вклада
Глава 15.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 2)
Z Второй пример использования показательной
функции — сложные проценты.
Когда проценты периодически добавляются
к основной сумме, а новая сумма используется как
основная для следующего временного периода
(капитализация процентов), говорят о начислении
сложных процентов.
Допустим, мы положили в банк Р0 рублей под j%
годовых. Тогда:
через 1 год мы можем снять со своего вклада
j%
j% ⎞
⎛
= P0 ⋅ ⎜ 1+
P1 = P0 + P0 ⋅
⎟ руб.;
100
⎝ 100 ⎠
через 2 года мы можем снять со своего вклада
2
j% ⎞
j% ⎞
⎛
⎛
P2 = P1⋅ ⎜ 1+
=
P
⋅
1
+
0 ⎜
⎟
⎟ руб.;
⎝ 100 ⎠
⎝ 100 ⎠
через 3 года мы можем снять со своего вклада
3
j% ⎞
j% ⎞
⎛
⎛
P3 = P2 ⋅ ⎜ 1+
=
P
⋅
1
+
0 ⎜
⎟
⎟ руб.;
⎝ 100 ⎠
⎝ 100 ⎠
……………………………………………………
(298)
n
j% ⎞
j% ⎞
⎛
⎛
Pn = Pn−1⋅ ⎜ 1+
= P0 ⋅ ⎜ 1+
⎟
⎟ руб.;
⎝ 100 ⎠
⎝ 100 ⎠
n
j% ⎞
⎛
Полученная формула Pn = P0 ⋅ ⎜ 1+
⎟ называ100
⎝
⎠
ется формулой сложных процентов. В таком виде
она может быть использована, если наращение
процентов (капитализация) происходит 1 раз в год.
Если наращение процентов происходит m раз в год,
то формула сложных процентов принимает вид:
m⋅n
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
j% ⎞
⎛
Pn = P0 ⋅ ⎜ 1+
. (*)
⎟
⎝ 100 ⋅ m ⎠
Для пояснения приведём два примера.
Пример 1. Рассчитать сумму начисленных процентов и сумму погашения кредита, если выдана
ссуда в размере 100000 руб. на срок 3 года при
начислении сложных процентов по ставке 12% годовых.
Решение
n
3
j% ⎞
⎛
12 ⎞
⎛
Pn = P0 ⋅ ⎜ 1+
⇒ P3 = 100000 ⋅ ⎜ 1+
⎟ =
⎟
⎝ 100 ⎠
⎝ 100 ⎠
= 140492,8 руб.
Ответ: 140492,8 руб.
Пример 2. Кредит в 100000 рублей предоставлен на 4 года под 9% годовых. Найти сумму долга
для трёх случаев:
a) с ежегодным начислением сложных процентов;
b) с ежеквартальным начислением сложных процентов;
c) с ежедневным начислением сложных процентов.
(299)
Решение
n
j% ⎞
⎛
a) Pn = P0 ⋅ ⎜ 1+
⎟ ⇒
⎝
100 ⎠
4
9 ⎞
⎛
P4 = 100000 ⋅ ⎜ 1+
⎟ = 141158,16 руб.;
⎝ 100 ⎠
b) m = 4. По формуле (*):
m⋅n
j% ⎞
⎛
Pn = P0 ⋅ ⎜ 1+
⇒
⎟
⎝ 100 ⋅ m ⎠
4⋅4
9 ⎞
⎛
⇒ P4 = 100000 ⋅ ⎜ 1+
2,15 руб.;
= 142762
⎟
⎝ 100 ⋅ 4 ⎠
с) m = 365. По формуле (*):
m⋅n
j% ⎞
⎛
Pn = P0 ⋅ ⎜ 1+
⎟
⎝ 100 ⋅ m ⎠
⇒
365⋅4
43326,58 руб.
= 14
Ответ: a) 141158,16 руб. b) 142762,15 руб.
с) 143326,58 руб.
ЧИСЛО e
С математической точки зрения интересен случай
непрерывного начисления процентов, то есть рассмотреть результат при m f u. Тогда:
m⋅n
j% ⎞
⎛
Pn = P0 ⋅ ⎜ 1+
100
⋅ m ⎟⎠
⎝
n
m
⎛⎛
j % ⎞ ⎞⎟
= P0 ⋅ ⎜ ⎜ 1+
⎜ ⎝ 100 ⋅ m ⎟⎠ ⎟
⎝
⎠
и необходимо понять, что происходит с выражением
m
j% ⎞
⎛
⎜ 1+ 100 ⋅ m ⎟ при стремлении m к бесконечности.
⎝
⎠
m
j% ⎞
⎛
m ⎜
⎟
j% ⎞
⎛
100
⎜ 1+ 100 ⋅ m ⎟ = ⎜ 1+ m ⎟ .
⎝
⎠
⎟⎟
⎜⎜
⎠
⎝
Глава 15.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 2)
9
⎛
⎞
⇒ P4 = 100000 ⋅ ⎜ 1+
⎟
⎝ 100 ⋅ 365 ⎠
(300)
Обозначим
j%
= k.
100
Тогда:
k
m⎞
m
m ⎛
j% ⎞
⎛
⎜⎛
k⎞
k ⎞k ⎟
⎛
⎜ 1+ 100 ⋅ m ⎟ = ⎜ 1+ m ⎟ = ⎜ ⎜ 1+ m ⎟ ⎟ =
⎝
⎠
⎠ ⎟
⎝
⎠
⎜⎝
⎝
⎠
m
q]
[обозначим
k k
q⎞
⎛⎛
1⎞
= ⎜ ⎜ 1+ ⎟ ⎟ .
⎜⎝ q ⎠ ⎟
⎝
⎠
q
⎛
1⎞
Для значений ⎜ 1+ ⎟ составим таблицу.
q
⎝
⎠
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
y=e
1⎞
⎛
y = ⎜ 1+ ⎟
x⎠
⎝
x
2
1
0
10
20
(301)
q
1
2
4
8
16
32
q
⎛
1⎞
⎜ 1+ ⎟
⎝ q⎠
q
1,0000 2,2500 2,4414 2,5658 2,6379 2,6770
64
128
256
512
1024
2,6973
2,7077
2,7130
2,7156
2,7170
q
⎛
1⎞
⎜ 1+ ⎟
⎝ q⎠
Во второй строке указаны результаты с точностью до 0,0001.
На предыдущей странице приведён соответствующий график. Число, к которому стремится значеq
Число е – значение, к которому стремится
q
⎛
1⎞
⎜ 1+ ⎟
⎝ q⎠
при q f u. Записывается это так:
q
⎛
1⎞
lim ⎜ 1+ ⎟ = e . (15.1)
q⎠
q→∞ ⎝
Число е (также как и число π) является трансцендентным. e = 2,718281828459...
Так же, как и число π, оно играет фундаментальную роль не только в математике, но и в естественных науках.
В дополнение к примеру 2 у нас теперь появилась возможность найти сумму долга в случае непрерывного начисления процентов.
j%
n
kn
100
Pn = P0 ⋅ e = P0 ⋅ e
⇒
Глава 15.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 2)
⎛
1⎞
ние выражения ⎜ 1+ ⎟ , называется число е.
⎝ q⎠
(302)
9
⋅4
100
⇒ P4 = 100000 ⋅ e
= 143332,94 руб.
В повседневной практике коммерческих расчётов непрерывное начисление процентов не используется. Из расчётов становится ясно, что чем чаще
взимаются проценты, тем больше их объём.
Z Показательная функция используется и в физических расчётах.
Количество радиоактивного вещества, оставшегося к моменту времени t описывается формулой
t
T
m(t) = m0 ⋅ 2 , где m0 — первоначальная масса ве−
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
щества, T – период полураспада. Рассмотрим численный пример.
Пример. Пусть в сосуде находится кусок радиоактивного вещества массой 60 грамм. Период полураспада 6 часов. Найти график изменения массы
вещества в течение 18 часов.
Решение
t
t
−
6
T
m(t) = m0 ⋅ 2 = 60 ⋅ 2 .
−
t
m(t)
t
m(t)
0
60,00
10
18,90
2
47,62
12
15,00
4
37,80
14
11,91
6
30,00
16
9,45
8
23,81
18
7,50
(303)
60
40
t
6
m(t) = 60 ⋅ 2
−
20
10
20
Z Можно доказать, что предел
n
⎛ 1⎞
lim ⎜ 1+ ⎟ = e равен пределу числового ряда
n⎠
n→ ∞ ⎝
1
1
1 1 1
e = 1+ + + + ... +
+ + ...
1! 2! 3!
(n − 1)! n!
при n f u, а для ex справедливо:
e = 1+
x
+
x2
+
x3
+ ... +
x n−1
+
xn
+ ...
(n − 1)! n !
1! 2! 3!
Отсюда следует, что при малых значениях величины x справедливо приближённое равенство
ex C 1 + x.
Приведём пример применения этого приближённого равенства.
Глава 15.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 2)
0
(304)
Пример. В курсе физики доказывается формула
для определения атмосферного давления на различных высотах над уровнем Земли. Эта формула
(показательная функция) имеет вид:
ρ ⋅g ⋅ h
− 0
p(h) = p0 ⋅ e p0 .
Здесь:
p0 — атмосферное давление на поверхности
Земли;
ρ0 — плотность воздуха на уровне моря;
g — ускорение свободного падения.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
1
p(h) = e−0,12⋅h
0.5
0
5
10
(305)
ρ ⋅g
Обозначим коэффициент k = 0 .
p0
Подсчёты этого коэффициента (с использованием справочника по физике) дают следующий результат:
k = 0,12 (км–1)
В результате получаем расчётную формулу:
ρ ⋅g ⋅ h
− 0
p(h) = p0 ⋅ e p0 = p0 ⋅ e−0,12⋅h
На поверхности Земли p0 = 1 атмосфере. Поэтому давление p(h) в атмосферах: p(h) = e−0,12⋅h . (*)
Составим таблицу и построим соответствующий
график.
P(h)
0
1
2
3
4
5
6
1,000 0,887 0,787 0,698 0,619 0,549 0,487
x
7
8
9
10
11
12
P(h)
0,432
0,383
0,340
0,301
0,267
0,237
Воспользуемся приближённой формулой ex C 1 + x.
В этом случае формула (*) приобретает вид:
p(h) C 1 – 0,12•h.
По этой формуле:
x
0
1
2
3
4
P(h)
1,000
0,880
0,760
0,640
0,520
%
0%
0,8%
3,5%
8,3%
16,0%
Глава 15.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 2)
x
(306)
Очевидно, что приближённая формула при небольших высотах даёт очень хорошие результаты.
На высотах, меньших 1,1 км, погрешность не превышает 1%.
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Мы рассмотрели показательную функцию y = ax. При
вычислении её значений мы задавали значение переменной x и вычисляли значение y. Но очень часто
на практике приходится решать обратную задачу:
по известному значению y находить значение x. Для
этой цели и приходится вводить понятие логарифма.
Определение. Логарифмом положительного
числа b по основанию a , где a > 0, a ≠1, называется
показатель степени c, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить число b.
Мы не будем здесь приводить все формулы преобразований с логарифмами. Они есть в любом
учебнике. Просто рассмотрим некоторые примеры,
показывающие полезность этого понятия.
Логарифм — это число, которое иногда найти
очень легко, а иногда совсем не просто. Рассмотрим
пример: 2x = 32. Очевидно, что x = 5. Второй пример:
3x
1
. Легко сообразить, что в этом случае x = –4.
81
Здесь значения логарифма — целые числа. Теперь
рассмотрим уравнение 2x = 7. С одной стороны, не
возникает сомнений, что такой показатель степени,
который обеспечивает верное равенство, суще-
(307)
ствует. Достаточно представить пересекающиеся
в некоторой точке x непрерывные графики функций
y = 2x и y = 7. В данном случае x — действительное
число. Но как же его записать? Подобная ситуация
уже была с квадратными уравнениями. Например,
корнями уравнения x2 = 3 являются иррациональные
числа 3 и – 3 (приходится использовать знак
квадратного корня). Для записи решения уравнения 2x = 7 также приходится использовать новый вид
записи: x = log27. Записанное таким образом число
и является решением. Так же, как и в случае корня
существуют алгоритмы вычисления любого количества знаков этого числа.
Теперь, имея эту запись и определение логарифма, можно записать основное логарифмическое
Основание логарифмов может быть любым положительным числом не равным 1. Но некоторые
числа в основании логарифма являются (и этому
есть причины) «любимыми»: у физиков, химиков,
биологов — число е, у программистов (в информатике) — число 2, у инженеров — число е и число 10.
У логарифмов по основаниям е и 10 — собственное
обозначение и собственное название:
logex = ln x — натуральный логарифм;
log10x = lg x — десятичный логарифм.
На рисунках приведены графики логарифмических функций y = logax, которые принимают различный вид в зависимости от значения основания а.
Глава 15.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 2)
тождество: aloga b b . Число a называется основанием логарифма.
(308)
y
log0,7 x
y
0
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
-5
1
log0,5 x
5
10
y
log0,5 x
y
log0,7 x
Z На левом рисунке: 0 < a < 1.
В качестве примера приведены графики при
a = 0,5, a = 0,7. При других значениях основания, не
превосходящих единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.
Z На правом рисунке: a > 1.
В качестве примера приведены графики при
a = 1,7, a = e. При других значениях основания, превосходящих единицу, графики логарифмической
функции будут иметь схожий вид.
Графики показательных и логарифмических
функций отличаются перестановкой переменных x
(309)
5
y
log1,7 x
y
1
0
y
5
ln x
log1,7 x
и y. Именно это приводит к тому, что они обладают
осевой симметрией, причём осью симметрии служит прямая y = x.
Рассмотрим пример на использование логарифмов.
Пример. Вода в озере содержит примеси, которые уменьшают проходимость света в воде. Эксперименты показали, что при прохождении каждых
50 см воды интенсивность света уменьшается на
5%. Измерительный прибор, фиксирующий количество света через каждые 50 см, начали опускать
на дно озера. На какой глубине h прибор впервые
покажет отсутствие света, если он способен обнаруживать 0,12% дневного света?
Глава 15.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 2)
y
ln x
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
(310)
Решение
Найдём интенсивность света E(k) в процентах на
глубине h = 50•k(см), k = 1, 2, 3, 4, ...
На глубине h = 50 интенсивность света составляет E(1) = 0,95• E(0), на глубине h = 50•2 интенсивность света составляет E(2) = 0,95• E(1) = 0,952• E(0).
Аналогично на глубине h = 50•3 интенсивность
света составляет E(3) = 0,95• E(2) = 0,953• E(0).
Продолжая эти рассуждения, получаем, что
E(k) = 0,95• E(k–1) = 0,95k• E(0).
Считая E(0) = 100%, получаем: E(k) = 0,95k• 100.
Так как по условию E(k) = 0,12%, то
100•(0,95)k = 0,12 ⇒ (0,95)k = 0,0012.
Эту задачу можно, конечно, решить подбором
с помощью калькулятора. Но мы воспользуемся лоln 0,0012
гарифмами:
k log 0,950,0012
131,12 .
ln 0,95
Следовательно, при k = 131 прибор ещё покажет наличие света, а при k = 132 — уже нет. То есть при
h = 50•132 = 6600 см. Итак, искомая глубина равна
66 м.
Ответ: 66 м.
Примечание.
Для преобразования log 0,950,0012
ln 0,0012
мы
ln 0,95
воспользовались формулой перехода к новому осlogc b
нованию логарифма: loga b
.
logc a
В нашей задаче были вычислены натуральные
логарифмы. С этим легко справляется любой калькулятор, но полезно ознакомиться с алгоритмом
вычисления натурального логарифма.
(311)
Мы приводили формулу для удобного вычисления выражения ex:
e x = 1+
xn
x x2 x 3
x n−1
+
+
+ ... +
+
+ ...
(n − 1)! n!
1! 2! 3!
Аналогичное выражение (в виде суммы ряда) существует и для натурального логарифма:
2
3
4
ln(1 + x) = x − x + x − x + ... (15.2)
2
3
4
С помощью этой формулы не сложно вычислить,
например, ln 0,95:
ln(0,95) = ln(1 – 0,05) = ln(1 + (–0,05)) =
= −0,05 −
(−0, 05)2 (−0, 05)3 (−0, 05)4
+
−
+ ... C –0,05129
2
3
4
1
2
ln(2) = 1− +
1 1 1 1
− + − + ...
3 4 5 6
Вообще говоря, с числом е и натуральным логарифмом связано большое количество математических фактов, которые не только важны в теории чисел, но и используются при расчётах в естественных
науках. Приведём лишь некоторые из них.
Глава 15.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 2)
(на компьютере: –0,05129329…).
Но подсчитывать по этой формуле ln (0,0012) по
этой формуле неудобно: ряд (как говорят в математике) слишком медленно сходится:
ln (0,0012) = ln (1 – 0,9988).
В этом легко убедиться, выписав несколько слагаемых ряда.
Для вычисления натурального логарифма в таких
случаях существуют другие, несколько более сложные, но эффективные алгоритмы.
При x = 1 формула (15.2) даёт красивый, но малополезный результат:
(312)
2
1
S=1
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
0
11
e 3
2
1
Z Рассмотрим гиперболу y = x . Её положительная ветвь представлена на рисунке.
Если мы на оси OX отметим отрезок [1; e], то
1
площадь S между осью OX и кривой x в точности
равна 1.
Z Второй пример связан с понятием гармонического ряда. Гармоническим рядом называется
1 1 1
1
ряд вида Н = 1; ; ; ;...; ;...
2 3 4
n
Члены гармонического ряда убывают и стремятся к нулю. Однако, удивительным образом частичные суммы членов ряда неограниченно (!) возрас-
(313)
тают. Существует много различных доказательств
этого факта, но здесь приводится то, которое
обычно связывают с именем средневекового французского философа и математика Николая Орема. Под частичными суммами мы будем понимать
1 3
S1 = 1, S2 = S1 + = , S3 = S2 + 1 = 11 и так далее.
2
2
3
6
Доказательство
Для доказательства сгруппируем слагаемые следующим образом:
⎛ 1⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 1 1 1⎞
S∞ = 1+ ⎜ ⎟ + ⎜ + ⎟ + ⎜ + + + ⎟ +
⎝2⎠ ⎝ 3 4⎠ ⎝5 6 7 8⎠
1
1
1⎞
1
⎛1 1 1 1
+⎜ +
+ +
+
+
+
+ ⎟ + ... >
⎝ 9 10 11 12 13 14 15 16 ⎠
1
1
1
1⎞
1
1
1
⎛ 1
+
+
+ ⎟ + ... =
+⎜
+
+
+
+
⎝ 16 16 16 16 16 16 16 16 ⎠
1
1
1
1
=1+
+
+
+
+ ...
2
2
2
2
( ) ( ) ( ) ( )
Последняя сумма, очевидно, не ограничена.
В таком случае, как говорят в математике, гармонический ряд расходится, что и требовалось доказать.
Мы доказали, что частичные суммы неограниченно возрастают. Однако этот рост происходит
удивительно медленно. Например, S1000 C 7,48,
а S1000000 C 14,39.
Леонарду Эйлеру пришла в голову мысль сравнить возрастание этого расходящегося ряда с ln(n).
Если провести вычитание шаг за шагом, то мы получим результаты, приведённые в таблице:
Глава 15.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 2)
⎛ 1⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 1 1 1⎞
> 1+ ⎜ ⎟ + ⎜ + ⎟ + ⎜ + + + ⎟ +
⎝2⎠ ⎝ 4 4⎠ ⎝8 8 8 8⎠
(314)
n
1
2
3
4
5
Sn
1
1,5
1,8333
2,0833
2,2833
ln(n)
0
0,6931
1,0986
1,3863
1,6094
Sn– ln(n)
1
0,8069
0,7347
0,6970
0,6739
n
6
7
8
9
Sn
2,4500
2,5929
2,7179
2,8290
ln(n)
1,7918
1,9459
2,0794
2,1972
Sn– ln(n)
0,6582
0,6470
0,6385
0,6318
Эта разность стабилизируется и в пределе дает
постоянную величину: ϒ – постоянная Эйлера.
То есть lim (Sn − ln(n)) = γ . γ C 0,5772.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
q→∞
Сам Эйлер вычислил 19 знаков этого числа.
Итальянский математик Лоренцо Маскерони
в 1790 году сумел найти 32 её знака.
О константе ϒ мало что известно, мы даже не знаем, рациональное это число или иррациональное.
Нам известно только, что если оно окажется рациональным (что маловероятно), то его знаменатель
будет состоять не менее чем из 244 663 цифр десятичной системы исчисления.
Константа Эйлера используется в математическом
анализе, в квантовой механике и электродинамике.
Z Третий пример использования натурального
логарифма связан с распределением простых чисел на числовой прямой. Они, по мере
увеличения, встречаются всё реже и реже. Но
закон, по которому они распределены, долгое
время оставался неизвестен.
(315)
n
10
102
103
104
105
π(n)
4
25
168
1229
9592
π(n)
n
0,4
0,25
0,17
0,123
0,096
n
106
107
108
109
π(n)
78498
664579
5761455
50847534
π(n)
n
0,078
0,066
0,058
0,051
На основании табличных данных Лежандр подπ(n)
бирал функцию, мало отличающуюся от
.
n
Глава 15.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 2)
Среди первых 10 чисел — 4 простых, среди первых ста — 25, среди первой тысячи —168. Видно,
что доля простых чисел убывает. Это, в общем-то,
естественно: ведь чем больше число, тем больше
у него потенциальных делителей, и тем меньше
у него шансов оказаться простым.
Но с какой скоростью убывает эта доля? Ответ на
этот вопрос был получен в конце XIX в.
Значительный вклад в решение этой проблемы сделал французский математик Адриен Мари
Лежандр. Двухтомная «Теория чисел» Лежандра
представляла собой самое полное изложение теории чисел в свое время.
Обозначим через π(n) число простых чисел, не
превосходящих n. По всей видимости, Лежандр
анализировал таблицу, подобную приведённой
π(n)
ниже. Отношение
назовём плотностью расn
пределения простых чисел.
(316)
Такой функцией оказалась функция
Отсюда π(n) ≈
n
.
ln(n)−1,08366
1
.
ln(n)−1,08366
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Российский математик Пафнутий Чебышев нашёл ещё одну уточняющую формулу. Он доказал,
что при достаточно больших значениях n выполняются неравенства:
π(n)
0,92129 <
•ln(n) < 1,10555.
n
Позднее удалось несколько сузить это диапазон.
Наверно, будет интересно узнать, что существует ещё одна функция, дающая хорошее приближение к значению π(n). Эта функция использует так
называемый сдвинутый интегральный логарифм
Li(x). Интегральный логарифм относят не к элементарным, а к другой группе функций, называемых
«специальные функции». π(n) C Li(n). Для простых
чисел, вычисленных до начала XX века было известно, что функция Li(n) слегка превышает значения
π(n). Математики тогда предполагали, что так будет
всегда. Однако в 1914 году английский математик
Джон Литлвуд доказал, что, начиная с некоторого
огромного числа, Li(n) становятся слегка меньше,
чем π(n). В 1933 году Стенли Скьюз доказал, что
34
10
это точно случится при достижении n 1010
.
Долгое время это число (его до сих пор принято называть числом Скьюза) было наибольшим числом,
когда-либо используемым в серьёзном математическом доказательстве. С тех пор исследования
позволили уменьшить значение этого пограничного
числа до 10316.
(317)
В словаре «The Penguin Dictionary of Curious
and Interesting Numbers» Дэвид Уэллс рассказывает, об одном способе, с помощью которого математику Харди удалось осмыслить размер числа
Скьюза:
«Харди думал, что это «самое большое число,
когда-либо служившее математике», и предположил, что если играть в шахматы со всеми частицами Вселенной как фигурами, один ход состоял бы в перестановке местами двух частиц,
то число всех возможных партий было бы примерно равно числу Скьюза».
Глава 15.
(Азбука элементарных функций и графиков. Часть 2)
Глава 16.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Постоянные колебания
простительны только маятнику.
Эмиль Кроткий
Как только речь заходит о любых колебательных
процессах в технике или научных исследованиях
возникает необходимость в использовании тригонометрических функций.
Со школьной скамьи мы знаем, что к таким
функциям относятся функции y = sin(x), y = cos(x),
y = tg(x) и y = ctg(x). (Несколько ранее (лет 50-60 назад) наряду с этими функциями рассматривались
y = sec(x), y = cosec(x), но сейчас они уже «вышли из
моды» и в школьных учебниках отсутствуют.)
Особенность тригонометрии в том, что введение
в математику всего нескольких определений и понятий дало возможность эффективно изучать и рассчитывать так присущие окружающему нас миру колебательные движения.
Прежде всего, вводится понятие тригонометрической (или единичной) окружности. Радиус этой
окружности равен единице.
(319)
y
B
+
II
I
1
R=
C
A
0
III
x
IV
D
-
1
ющий 360 части окружности, называется углом
в 1 градус (1°).
Глава 16.
(Тригонометрические функции)
Оси координат разбивают её на 4 четверти (их
часто называют квадрантами). Их очерёдность показана на рисунке.
При перемещении точки по окружности радиус,
проведённый в эту точку, образует определённый
угол с положительным направлением оси ОХ. Договорились, что положительные углы отсчитываются
против часовой стрелки, а отрицательные — по часовой стрелке.
Углы измеряются либо в градусах, либо в радианах.
При градусном измерении вся окружность делится на 360 равных частей и угол, соответству-
(320)
1
часть градуса называется угловой минутой.
60
1
часть угловой минуты называется угловой
60
секундой.
При измерении углов в радианах окружность
делится не на некоторое произвольно выбранное
число частей (например, 360), а выбран критерий,
непосредственно следующий из свойств самой
окружности. Известно, что связь длины окружности С и радиуса окружности R задаётся формулой
C = 2πR. Отсюда следует
C
2π , то есть, если «отклаR
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
дывать» радиус окружности по её дуге, то он «уложится» 2π раз. Причём, указанное свойство будет
выполняться для окружности любого радиуса.
(321)
Установим связь между двумя единицами измерения: градусами и радианами. Естественно, что
360° = 2π радиан. Приведём рисунок окружности
с указанием на ней углов в градусах и радианах.
У любой точки А на единичной окружности имеются координаты (A x; A y).
Определение. Число A y называется синусом
угла α.
Определение. Число A x называется косинусом
угла α.
Ay
Определение. Число, равное отношению
Ax
называется тангенсом угла α.
A
Определение. Число, равное отношению x
Ay
называется котангенсом угла α.
Обозначения: y = sin(x), y = cos(x), y = tg(x),
y = ctg(x).
Глава 16.
(Тригонометрические функции)
Из понятия тригонометрического круга и приведённых определений следуют многочисленные
следствия и формулы. Например, знаки тригонометрических функций по координатным четвертям,
пределы изменения и т. д. Мы не будем здесь приводить все эти формулы. Они есть в учебниках
и справочниках.
Зависимость между углами и значениями тригонометрических функций носит периодический характер. Именно эта особенность и делает их удобными при описании колебательных процессов.
(322)
ГРАФИКИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
На рисунках приведены графики
y = sin(x), y = cos(x), y = tg(x), y = ctg(x).
функций:
y = sin(x)
1
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
-225
0
225
450
-1
y = cos(x)
1
-225
0
-1
225
450
(323)
y = tg(x)
1
-225
0
225
450
-1
y = ctg(x)
1
0
-1
225
450
Глава 16.
(Тригонометрические функции)
-225
(324)
На графиках по оси абсцисс отложены градусы.
Периодичность Т синуса и косинуса: T = 360°
(или 2π).
Периодичность Т тангенса и котангенса: T = 180°
(или π).
Естественно возникает проблема подсчёта значений тригонометрических функций для разных
значений углов. Углы 0°, 30°, 45°, 60°, 90° называются
основными. Ниже приведена таблица значений тригонометрических функций для этих углов. Процесс
заполнения таблицы очень прост.
Z При нулевом угле Ax = cos(x) = 1; Ay = sin(x) = 0;
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Ay
Ax
sin(x)
cos(x)
tg(x) = 0.
Ax
Ay
cos(x)
sin(x)
ctg(x) — не существует, т.к. деле-
ние на ноль запрещено.
α
град.
0°
рад.
0
30°
45°
60°
90°
π
π
π
π
6
4
3
2
2
3
1
sin (α)
0
1
2
cos (α)
1
3
tg (α)
0
ctg (α)
–
2
3
3
3
2
2
2
1
2
2
1
1
3
3
3
Z При угле 90° Ax = cos(x) = 0; Ay = sin(x) = 1;
0
–
0
(325)
Ay
sin(x)
cos(x)
Ax
tg(x) — не существует, т.к. деле-
ние на ноль запрещено.
Ax
Ay
cos(x)
sin(x)
ctg(x) = 0.
OM2 = ON2 + MN2 ⇒
2
2
2
2
( ) = 1 – 41 = 43 .
1
⇒ MN = OM – ON = 1 –
2
2
Поэтому MN = My = sin (60°) =
3
2
.
Для вычисления значений тригонометрических
функций углов 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°,
Глава 16.
(Тригонометрические функции)
В качестве примера, объясняющего заполнение остальных ячеек таблицы, найдём, например,
sin (60°). Пусть угол α в треугольнике MNO на рисунке равен 60°. OM = 1, так как круг единичного радиуса. Угол MNO прямой, то есть равен 90°. Значит,
угол OMN = 30°. Катет, лежащий напротив угла в 30°,
равен половине гипотенузы. То есть
1
1
1
ON = •OM =
•1 = . По теореме Пифагора:
2
2
2
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
(326)
270°, 300°, 315° и 330° достаточно внимательно следить за периодичностью функций и за изменением
их знаков по четвертям. В результате таблица примет такой вид.
Значения тригонометрических функций остальных углов вычисляется либо с помощью тригонометрических формул, либо численно (с помощью разложения в ряд). При этом точные выражения могут
оказаться весьма сложными. Например:
Z cos 18° = sin 72° =
Z tg 36° = ctg 54° =
5 5
;
2 2
52 5 ;
Z cos 21° = sin 69° =
=
2 ⋅( 3 +1)⋅( 5 +1)+ 2( 3 −1)⋅ 5− 5
16
Z tg 3° = ctg 87° =
=
;
2⋅( 5 + 2)− 3 ⋅( 5 + 3)+ (2− 3)⋅( 3 ⋅( 5 +1)−2)⋅ 5−2 5
2
;
Но, к сожалению, не для всех углов можно получить такие, хоть и громоздкие, но точные выражения.
Например, для угла 200 это сделать невозможно.
(327)
3!
cos x = 1−
tg x = x 2
5!
7!
4
11!
x
x
x
x
x10
+
− + −
+ ...
2! 4 ! 6! 8! 10!
8
1 3 2 5 17 7 62 9
x x x x ...
3
15
3
ctg x =
9!
6
315
5
2835
7
x
2x
1 x x
...
x 3 45 945 4725
Если в формулах для синуса и косинуса изменение коэффициентов очевидно, то в формулах для
Глава 16.
(Тригонометрические функции)
Кроме того, существуют таблицы Брадиса, где
с точностью до четырех знаков после десятичной
запятой приведены приближенные значения синусов и косинусов, а также четыре цифры приближенных значений тангенсов и котангенсов острых углов,
содержащих целое число градусов и целое число
минут. Правда ими сейчас пользуются мало, так как
есть множество удобных для расчётов калькуляторов.
Приведём разложения тригонометрических
функций в ряд. Согласитесь, что они весьма красивы.
x 3 x 5 x 7 x 9 x11
+ ...
sin x = x − + − + −
(328)
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
тангенса и котангенса коэффициенты меняются более сложным образом с использованием, так называемых чисел Бернулли и чисел Эйлера.
Приведём пример использования приведённых
формул. Вычислим синус угла в 1 радиан.
°
1 рад = 180 C 57°18'
π
В приведённых числовых рядах считается, что
угол измеряется в радианах.
Чтобы оценить точность вычислений по формуле
приведём значение sin 1 с точностью до 0,00001:
sin 1 = 0,84147...
sin 1 C x −
x3
13
1 5
= 1−
= 1 − = C 0,83333;
3!
12
⋅ ⋅3
6 6
sin 1 C x −
x3 x5
13
15
+
= 1−
+
=
3! 5!
12
⋅ ⋅3 12
⋅ ⋅3⋅4⋅5
= 1−
1
101
1
+
=
C 0,84167;
6 120 120
x3 x5 x7
13
15
17
+
−
= 1−
+
−
=
3! 5! 7 !
12
⋅ ⋅3 12
⋅ ⋅3⋅4⋅5 12
⋅ ⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7
1
1
1
= 1− +
−
C 0,84167.
6 120 5040
sin 1 C x −
Мы видим, что при взятии даже трёх первых слагаемых результат получается довольно точный (погрешность менее 0,03%). Необходимая нам очень
высокая точность обеспечивается при взятии четырёх первых слагаемых.
Естественно, точность вычисления при данном
числе слагаемых зависит от величины угла. С возрастанием углов погрешность растёт. Но даже для
такого большого угла (1 рад C 57°18'), как мы видим,
можно простыми средствами добиться очень хоро-
(329)
шего результата. А для малых углов приближённо
справедливо выражение sin x C x, где угол x выражен
в радианах.
Рассмотрим практический пример использования тригонометрических функций.
Решение
Введём обозначения: угол NAC = β, угол MAC = γ,
NM = H, MC = h, AC = x.
Глава 16.
(Тригонометрические функции)
Пример. Космический аппарат вдоль прямой
АС пролетает мимо астероида вытянутой эллипсообразной формы (см. рис.).
На аппарате установлена камера для фотосъёмки поверхности астероида. Угол, под которым камера «видит» астероид равен α. Он меняется по мере
приближения аппарата к астероиду и в некоторый
момент времени α = αmax. Найти αmax, если размер
MN астероида равен 9км, а расстояние МС, на котором пролетает аппарат мимо астероида — 16км.
(330)
Тогда tg (β) =
NM + MC H + h
MC h
=
. tg (γ) =
. Одна
AC
x
AC x
из формул тригонометрии имеет вид:
tg(β) − tg(γ)
tg (β – γ) = 1 + tg(β)⋅ tg(γ) .
Поэтому, так как α = β – γ, то
H+h h
−
x
x
tg(α) =
=
H+h h
1+
⋅
x
x
H
H
H
H
x
=
=
=
=
+
⋅
(H + h)⋅h
(
)
H
h
h
k
⎞
⎛
x
x+
x+
1+
+ k ⎟⋅ k
⎜
x
x
x2
x ⎠
⎝ k
, где
k = (H + h)• h.
x
Оценим стоящее в знаменателе выражение
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
⎛
⎜
⎝
x −
k
2
k
x
⎛
Так как ⎜
⎝
или
x
⎞
x − 2⋅
⎟ =
k
⎠
x −
k
k
x
k
x ⋅
k
k +
x
k
k .
x
k = x + k −2 .
x
x
k
2
k
x
⎞
x
k –2≥0
⎟ ≥ 0, то
x
k
⎠
≥ 2.
Равенство достигается лишь при
⎛ x
⎞
Итак, ⎜
+ k ⎟ =2.
x ⎠min
⎝ k
При этом tg(α) =
H
k ⋅ ⎛⎜ x + k ⎞⎟
x ⎠
⎝ k
x
k
= k = 1.
x
достигает макси-
мального значения.
Получили, что
H
H
(tg(α))max =
.
=
2 ⋅ k 2 ⋅ (H + h) ⋅ h
(331)
Пусть H = 9 км, h = 16 км. Тогда
(tg(α))max =
9
9
9
=
=
.
2 ⋅ (9 + 16) ⋅ 16 2 ⋅ 5 ⋅ 4 40
По таблицам или на калькуляторе можно определить, что это соответствует αmax C 12°41’.
Определим, на каком расстоянии угол будет равен максимуму:
x
k
= 1 ⇒ x = k = (9 + 16) ⋅16 = 20 км.
Ответ: αmax C 12°41' при x = 20 км.
Ещё один пример, демонстрирующий эффективность применения тригонометрических функций
при решении, казалось бы, обычных алгебраических задач.
Пример. Решить систему уравнений:
Решение
Преобразуем исходную систему к виду
⎧
2x
,
⎪y =
1− x2
⎪
⎪
2y
,
⎨z =
1− y 2
⎪
⎪ x = 2z .
⎪⎩
1 − z2
Легко убедиться, что мы при этом преобразовании не нарушили равносильность, так как значения
Глава 16.
(Тригонометрические функции)
⎧2x + x 2y = y,
⎪⎪
2
⎨2y + y z = z,
⎪2z + z2 x = x.
⎪⎩
(332)
x = 1, y = 1, z = 1 не являются решениями. Об2x
напоминаратим внимание, что выражение y =
1− x2
2⋅tg(α)
ет одну из формул тригонометрии tg(2g)=
.
1 − tg2(α)
То есть, если x = tg (α), то y = tg (2α). В свою очередь, z = tg (4α). Отсюда (из третьего уравнения
системы) следует, что x = tg (8α). Получили равенство tg (8α) = tg (α). Значит, углы α и 8α отличаются
на любое целое число периодов тангенса. То есть
πn
, где n — любое целое число.
8α = α + π•n или α
7
Соответственно
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
⎛ πn ⎞
⎛ 2πn ⎞
⎛ 4πn ⎞
x = tg ⎜
⎟ , y = tg ⎜
⎟ , z = tg ⎜
⎟ , n ∈ Ќ.
⎝ 7 ⎠
⎝ 7 ⎠
⎝ 7 ⎠
⎛ πn ⎞
⎛ 2πn ⎞
⎛ 4πn ⎞
Ответ: x = tg ⎜
⎟ , y = tg ⎜
⎟ , z = tg ⎜
⎟ , n ∈ Ќ.
⎝ 7 ⎠
⎝ 7 ⎠
⎝ 7 ⎠
Не правда ли, неожиданное решение!
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
Историки математики считают, что самый первый тригонометрический ряд был написан Эйлером в его «Дифференциальном исчислении»
в 1755 году. Это было следующее равенство:
π−
−x
= sin(x) + sin(2x) + sin(3x) ...
2
2
3
Лет на пятьдесят позже французскому математику (и барону) Жану Фурье пришла гениальная идея,
что любую периодическую функцию можно представить в виде суммы синусов и косинусов (то есть
тригонометрического ряда):
(333)
a0
(a1cos(x) b1sin(x)) (a2cos(2x) b2sin(2x)) 2
(a3cos(3x) b3sin(3x)) ... (an cos(nx) bn sin(nx)) ...
где a0, a1, b1, a2, b2, a3, b3, ..., an, bn, ... — некоторые
действительные числа, которые надо вычислять по
определённым формулам, и которые зависят от
вида периодической функции f(x).
Идея оказалась удивительно плодотворной.
Ряды Фурье плотно вошли в нашу жизнь. Им
пользуются не только математики, но и физики,
химики, медики, астрономы, сейсмологи, океанографы и многие другие. Кроме того, ряды Фурье
можно использовать для решения весьма сложных уравнений, которые описывают динамические процессы, возникающие под действием тепловой, световой или электрической энергии.
Приведём несколько примеров (без доказательств).
Разложение в ряд Фурье:
f(x) =
1 2
2
2
+ sin(x) + sin(3x) + sin(5x) + ...
2 π
3π
5π
На рисунке приведено разложение, ограниченное слагаемым
2
sin(11x) . При увеличении числа
11π
Глава 16.
(Тригонометрические функции)
⎧0, − π ≤ x ≤ 0
Пример 1: f(x) = ⎨
(периодическая
⎩1, 0 ≤ x ≤ π
ступенчатая функция).
(334)
1
0.5
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
-4.5
0
4.5
слагаемых отличия от исходной функции становятся исчезающе малы.
Пример 2: f(x) = x, –π ≤ x ≤ π (пилообразная функция).
Разложение в ряд Фурье:
2
1
2
2
2
3
f(x) = sin(x) − sin(2x) + sin(3x) −
2
4
2
5
− sin(4x) + sin(5x) − ...
На рисунке приведено разложение, ограниченное слагаемым
2
sin(9x) . При увеличении числа
9
(335)
2
-9
-4.5
0
4.5
9
-2
слагаемых отличия от исходной функции становятся исчезающе малы.
Разложение в ряд Фурье:
f(x) =
π2 4
4
4
− cos(x) + 2 cos(2x) − 2 cos(3x) +
3 12
2
3
4
4
+ 2 cos(4x) − 2 cos(5x) − ...
4
5
На рисунке приведено разложение, ограниченное слагаемым
4
82
cos(8x) . При увеличении числа
Глава 16.
(Тригонометрические функции)
Пример 3: f(x) = x2, –π ≤ x ≤ π (периодическая
функция из фрагментов парабол).
(336)
10
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
5
-9
-4.5
0
4.5
9
слагаемых отличия от исходной функции становятся исчезающе малы.
Глава 17.
ФУНКЦИИ-МОНСТРЫ
— Что же, выходит, что все меня
считают таким уж чудовищем?
— Не надо преувеличивать. Не все...
не таким уж чудовищем...
Кинофильм «Служебный роман»
Глава 17.
(Функции-монстры)
Длительное время математика развивалась без
ощущения серьёзных противоречий между получаемыми результатами и интуитивными представлениями. Такое положение сохранялось примерно до
конца XIX века. К началу ХХ века большинство математиков осознали недостаточность и ненадежность интуиции, на которой основывалась математика Античности и Нового времени. Постепенно
увеличивалось число строго доказанных (аналитически) положений, которые представлялись противоречащими непосредственным данным интуиции
и потому подрывающими ее значение для обоснования науки.
Например, долгое время считалось интуитивно
очевидной аксиомой положение, что целое больше
своей части. Это значит, что если некоторая совокупность объектов есть часть другой их совокупности, то она содержит меньше элементов. Но, как мы
(338)
уже видели, это справедливо лишь для конечных
множеств.
Кроме того, были открыты непрерывные функции, не имеющие касательных ни в одной точке,
кривые, проходящие через все точки квадратной
площадки и т.д.
Рассмотрим лишь несколько примеров множеств
на плоскости, обладающих необычными свойствами.
ФУНКЦИЯ ДИРИХЛЕ.
Определение. Функция Дирихле — функция,
принимающая единицу на рациональных значениях,
и нуль — на иррациональных.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
⎧1, x ∈ Љ
D(x) = ⎨
⎩0, x ∈ Ћ
Это стандартный пример всюду разрывной функции. Функция является периодической. Её периодом является любое рациональное число. Поэтому
наименьшего периода она не имеет. Как Вы сами
понимаете, изобразить график этой функции не получится.
Z y = sin (
1
).
x
А вот, что может произойти с обычной функцией
y = sin (x) при замене x на
1
.
x
Необычным является поведение функции
в окрестности нуля. На любом, сколь угодно малом промежутке x ∈ (–ε; ε), x ≠ 0 функция достигает
значений (-1) и (+1) бесконечное количество раз.
Другими словами, «частота волны синуса» неогра-
(339)
y = sin(1/x)
1
0.5
-0.45
-0.225
0
0.225
0.45
-0.5
-1
ниченно растёт с приближением к точке x = 0. При
x = 0 эта функция, конечно, не определена.
СНЕЖИНКА КОХА
Глава 17.
(Функции-монстры)
Эта фигура была впервые построена шведским
математиком Хельге фон Кохом в 1904 году.
Процесс её построения ясен из рисунка. Стоит
только пояснить, что во всех случаях сторона соответствующего треугольника делится на три равные части.
Эта кривая была придумана как пример непрерывной линии, к которой нельзя провести касательную ни в одной точке.
(340)
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Теорема. Периметр снежинки Коха имеет бесконечную длину.
Доказательство
Пусть сторона исходного равностороннего
треугольника равна 1. Тогда его периметр P1 = 3.
4
(см. рис.). Поэтому
3
4⋅3
16
P2 =
= 4 . Сторона третьей снежинки
. Поэто3
9
16⋅3 16
=
. На каждом шаге построения мы заму P3 =
9
3
Сторона второй снежинки
меняем каждый из составляющих линию отрезков
на ломаную, которая в 4/3 раза длиннее. Значит,
и длина всей ломаной на каждом шаге умножается
на 4/3. Поэтому предельной линии ничего не остается, кроме как быть бесконечно длинной. Теорема
доказана.
Теорема. Снежинка Коха ограничивает конечную площадь.
(341)
И это при том, что ее периметр бесконечен!
Доказательство
Пусть сторона исходного равностороннего треугольника равна 1. Тогда его площадь равна S0
3
.
4
Далее можно считать, что к уже имеющемуся многоугольнику пристраиваются маленькие равносторонние треугольнички. В первый раз их всего 3. Каждый следующий раз их в 4 раза больше, чем было
в предыдущий. То есть на n-м шаге будет достроено
Tn = 3 • 4n–1 треугольничков. Длина стороны каждого из них составляет треть от стороны треугольника, достроенного на предыдущем шаге. Значит, она
n
⎛ 1⎞
⎝ 3⎠
равна ⎜ ⎟ . Площади пропорциональны квадратам
сторон. Значит, площадь n-ого треугольника будет
2n
равна Sn = S0 ⋅ ⎛⎜ 1 ⎞⎟
⎝ 3⎠
=
3
4⋅9n
. Суммарный вклад SS этих
треугольничков в площадь снежинки равен
SS(n) = TnSn = 3⋅4n−1 ⋅
3
4⋅9n
=
3 3 ⋅4 n − 2 3 3 ⎛ 4 ⎞
=
⋅⎜ ⎟ .
16 ⎝ 9 ⎠
9n
n
Итоговая площадь Sснеж снежинки после n-ого
шага будет равна:
Sснеж = S0 + T1•S1 + T2•S2 + ... + Tn•Sn =
1
2
n
3 3 3
+
4
16
4
3 3 3 9
3 3 3 4 2 3
=
+
⋅
=
+
⋅ =
4
16 1− 4
4
16 5
5
9
Получили конечную площадь. Теорема доказана.
Глава 17.
(Функции-монстры)
3 3 ⎛4⎞
⎛4⎞ 3 3 ⎛4⎞
⋅ ⎜ ⎟ + ... =
⋅ ⎜ ⎟ + ... +
⋅⎜ ⎟ +
16 ⎝ 9 ⎠
16 ⎝ 9 ⎠
⎝9⎠
1
2
n
⎞
3 3 3 ⎛⎜ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 4 ⎞
⎛4⎞
=
+
⋅ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ...+ ⎜ ⎟ + ...⎟ =
⎟
4
16 ⎜ ⎝ 9 ⎠ ⎝ 9 ⎠
⎝9⎠
⎝
⎠
=
(342)
ФУНКЦИЯ ВЕЙЕРШТРАССА
Речь идёт о функции представляющей собой бесконечный тригонометрический ряд.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
f(x) = 1+
cos(3πx) cos(32πx) cos(33πx) cos(34πx)
+
+
+
+ ...
2
22
23
24
Вейерштрасс доказал, что хотя эта функция
и непрерывна, но ни в какой своей точке не имеет
касательной: на любом конечном промежутке она
имеет бесконечно большое число бесконечно малых колебаний. Математикам, работавшим в одно
время с Вейерштрассом, эта функция представлялась уродливой и отвратительной (см. рис.).
В то время предполагалось, что у любой непрерывной кривой не может быть «сплошь» неровных
кусков. То есть обязательно должны быть и промежутки «гладкости».
Впервые на «сплошь» неровную функцию натолкнулся Риман. Но она была очень сложна для
исследований и не вызвала особого беспокойства.
(343)
Большинство математиков считало, что эта функция
имеет очень малые промежутки гладкости. Но функцию, предложенную к рассмотрению Вейерштрассом, уже нельзя было игнорировать. Отсутствие
компьютеров не позволяло надлежащим образом
визуализировать эту функцию, но аналитические
методы не оставляли сомнений в её «уродливости».
Великий математик Анри Пуанкаре называл эту
функцию «оскорблением здравого смысла». Он
полагал, что такого рода «чудовища» не имеют отношения к реально существующему физическому
миру. Но довольно быстро выяснилось, что такие
необычные объекты окружают нас на каждом шагу.
Например, молекулы в замкнутом пространстве испытывают при своём движении столь огромное количество столкновений, что их траектория никогда
не будет «гладкой». Поэтому функции, подобные
функции Вейерштрасса, стали рассматриваться
в практических исследованиях. Однако для получения результатов пришлось переходить к вероятностным (стохастическим) методам исследований.
Неожиданным оказалось и то, что подобный подход
оказался эффективным и в финансовой математике
при изучении случайным образом меняющегося поведения биржевого курса.
Глава 17.
(Функции-монстры)
Глава 18.
МОРЯ В ОКЕАНЕ ЧИСЕЛ.
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Комплексные числа помогают
из-за обратной стороны зеркала
справиться с недостатками
вещественных чисел.
Карл Вейерштрасс
Мнимые числа — это прекрасное
и чудесное убежище божественного
духа, почти что сочетание бытия
с небытием.
Готфрид В. Лейбниц
При предварительном подведении итогов изучения
числовых множеств складывается следующая картина.
Числа
Возможные
операции
Невозможные
операции
с некоторыми
числами
Натуральные
числа (‰)
Сложение
Умножение
Вычитание
Деление
Целые числа
(Ќ)
Сложение
Умножение
Вычитание
Деление
(345)
Рациональные числа (Љ)
Сложение
Умножение
Вычитание
Деление
Извлечение
корней
Иррациональные
числа (Ћ)
Сложение
Умножение
Вычитание
Деление
Извлечение
корней
Извлекать корни
с чётным показателем корня
из отрицательных чисел
Действительные числа (Њ)
Сложение
Умножение
Вычитание
Деление
Извлечение
корней
Извлекать корни
с чётным показателем корня
из отрицательных чисел
Комплексные
числа (‹)
Возможны любые виды
операций
------Глава 18.
(Моря в океане чисел. Комплексные числа)
Обратим внимание на последнюю стоку таблицы.
Дело в том, что математика чувствует себя несколько скованно, оставаясь в рамках действительных
чисел. В чём, например, это выражается?
Z Нет возможности получить решение уравнений типа x2 + 1 = 0;
Z Нет возможности разложить на множители
выражения типа a2 + b2.
Использование комплексных чисел снимает
преграды в решении алгебраических уравнений.
Например, квадратное уравнение всегда (вне зависимости от коэффициентов) имеет два решения,
уравнение третьей степени — три решения. И вообще, алгебраическое уравнение n-ой степени всег-
(346)
да имеет n — решений (среди которых возможны
и кратные, то есть совпадающие решения).
Многие математические положения на языке
комплексных чисел формулируются кратко и изящно. Доказательство многих теорем становится
компактным и простым. Вычисления в технических
расчётах, а также в таких науках, как физика, астрономия, метеорология и т.д. становятся намного
проще. При этом, действительные числа, с которыми мы уже привыкли иметь дело, являются частью
комплексных, множество которых принято обозначать буквой ‹.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
КАК «ВЫСТРАИВАЮТ» КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА?
Новые (комплексные) числа вводят как пары старых
(действительных) чисел.
Назовём комплексным числом z упорядоченную пару действительных чисел (a,b).
То есть, z = (a,b). Упорядоченную — значит, что
числа z1 = (a,b) и z2 = (b,a) — различны.
Тот факт, что «новые» числа вводятся как пары
«старых», совершенно не должен нас удивлять. Ведь
и рациональное число
m
при желании можно опреn
делить как упорядоченную пару целых чисел (m,n).
На языке пар можно определить и операции над рациональными числами, хотя это и будет несколько
непривычно. Можем вспомнить также о таких математических объектах, как векторы на плоскости. Они
также задаются упорядоченными парами чисел (координатами) и далее определяются операции с векторами (то есть операции с задающими их числами).
(347)
С комплексными числами ситуация аналогична.
Нам остаётся только определить разумные правила
работы с парами задающих их действительных чисел.
ОПЕРАЦИИ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ
Определение. Комплексные числа z1 = (a,b) и
z2 = (c,d) называются равными тогда и только тогда,
когда a = c и b = d.
Определение. Пусть дано комплексное число
z = (a,b). Тогда действительное число a называется
действительной частью числа z, а действительное число b — мнимой частью числа z.
Определение. Пусть даны комплексные числа
z1 = (a,b) и z2 = (c,d). Тогда суммой чисел z1 и z2 называется число (a + c,b + d).
Определение. Пусть даны комплексные числа
z1 = (a,b) и z2 = (c,d). Тогда произведением чисел z1
и z2 называется число (ac – bd, ad + bc).
Примечание. Комплексное число z = (a,0) отождествляют с обычным действительным числом a.
Определение. Комплексное число z = (0,1) называется мнимой единицей и обозначается через i.
Глава 18.
(Моря в океане чисел. Комплексные числа)
Примечание. Когда мы говорим о сумме, мы
имеем в виду алгебраическую сумму, то есть числа
a, b, c, d — могут быть как положительными, так и отрицательными.
(348)
Теперь можно объяснить, почему операция умножения комплексных чисел вводится столь хитро:
i 2 = (0,1)•(0,1) = (0•0 – 1•1, 0•1 + 1•0) = (–1, 0). То
есть, в соответствии с нашей договорённостью, мы
получили действительное число –1. Итак, i 2 = –1.
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФОРМА
КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Теперь у нас появилась возможность записывать
комплексные числа по-новому. В соответствии
с введённым правилом умножения легко убедиться,
что (0,b) = (b,0)•(0,1) = b•i.
Отсюда немедленно следует, что
(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b,0)•(0, 1) = a + b•i.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Определение. Выражение a + b•i называется
алгебраической формой комплексного числа (a, b).
Обратим внимание, что сложение и умножение
чисел в алгебраической форме осуществляется как
сложение и умножение обычных многочленов
с учётом того, что i 2 = –1:
(a + b•i) + (с + d•i) = (a, b) + (c, d) =
= (a + c, b + d) = (a + c) + (b + d)i,
(a + b•i)•(с + d•i) = (a, b)•(c, d) =
= (ac – bd, ad + bc) = (ac – bd) + (ad + bc)i,
или
(a + b•i)•(с + d•i) = ac + adi + bci + bdi2 =
= (ac – bd) + (ad + bc)i,
Также легко проверяется, что для комплексных
чисел справедливы свойства:
(349)
Z коммутативность сложения и умножения;
Z ассоциативность сложения и умножения;
Z дистрибутивность относительно умножения.
Определение. Если z = a + b•i, то число a – b•i
называется комплексно сопряжённым к z и обозначается z.
Установим важное свойство комплексно сопряжённых чисел:
z•z = (a + b•i)•(a – b•i) = a2 – abi + abi – b2i2 = a2 + b2.
Мы получили возможность раскладывать на множители сумму квадратов:
a2 + b2 = (a + b•i)•(a – b•i).
Рассмотрим, как осуществляется деление одного комплексного числа на другое.
z1 a+ b⋅i (a+ b⋅i)⋅(c − d ⋅i) (ac + bd)+ (bc − ad)i
=
=
=
=
z2 c + d ⋅i (c + d ⋅i)⋅(c − d ⋅i)
c2 + d2
ac + bd bc − ad
+
⋅i .
c2 + d2 c2 + d2
Примечание. В отличие от действительных чисел, для комплексных нельзя определить понятия
«больше» и «меньше».
Примеры:
Z (2 + 3i)(3 – i) = 6 – 2i + 9i + 3 = 9 + 7i,
Z i 2 = –1, i 3 = –i , i 4 = 1, i 5 = i , i 6 = –1 и так далее,
Z (2i – i2)2 + (1 – 3i)3 = (2i +1)2 + (1 – 3i)3 =
= (2i)2 + 2•2i + 1 + 1 –3•3i + 3•(3i)2 – (3i)3 =
= –4 + 4i + 2 – 9i – 27 + 27i = –29 + 22i,
Z
2 − i (2 − i)⋅(1 − i) 2−2i − i −1 1− 3i 1 3
=
=
=
= − i.
1 + i (1 + i)⋅(1 − i)
1 +1
2 2 2
Глава 18.
(Моря в океане чисел. Комплексные числа)
=
(350)
ИЗВЛЕЧЕНИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ
ИЗ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Рассмотрим извлечение квадратного корня из
комплексных чисел. Пусть z = a + b•i — комплексное
число. Квадратным корнем из числа z называется
комплексное число β такое, что β2 = z. В этом случае
пишут β = z = a + b ⋅ i . Положим, что β = t + vi. Тогда
(t + vi)2 = a + b•i или t2 – v2 + 2tvi = a + b•i. Так как
два комплексных числа равны только в том случае,
когда равны их действительные и мнимые части, то
получаем систему уравнений для определения t и v:
⎧⎪t2 − v 2 = a
b
откуда v
.
⎨
t
2
2
tv
b
=
⎪⎩
2
Подставим v в первое уравнение: t2 − b = a
2t
или 4t4 – 4at2 – b2 = 0 ⇒
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
( )
t12 =
a + a2 + b2
a − a2 + b2
> 0, t22 =
< 0.
2
2
Так как t — действительное число и t2 > 0, то t22 не
подходит. Поэтому
t12
, =±
a + a2 + b2
2
Обозначим
v1,2 =
a2 + b2 = p . Тогда
p−a
b⋅ p − a
b
b
=±
⋅
=±
.
2
2
⎛ a+ p ⎞
2 ⋅ (p + a) p − a
2
(
)
p
a
⋅
−
±2 ⋅ ⎜
⎟
2 ⎠
⎝
2
Но p2 – a2 = ( a2 + b2 ) – a2 = b2,
поэтому v1,2 = ±
b⋅ p− a
2⋅b2
=±
b
⋅
b
a2 + b2 − a
.
2
(351)
b ⎧1, если b > 0
=⎨
b ⎩ −1, если b < 0
и обозначается sign(b).
Величина
Окончательно получаем ответ:
⎛
a + a2 + b2
a+ b⋅i = ± ⎜
+ i ⋅ sign(b) ⋅
⎜⎜
2
⎝
Пример. Вычислить
⎛
3 + 32 + 42
3+ 4⋅i = ± ⎜
+ i ⋅ sign(4) ⋅
⎜⎜
2
⎝
= ±(2 + i)
⎞
a2 + b2 − a ⎟
⎟⎟
2
⎠
⎞
32 + 42 − 3 ⎟
=
⎟⎟
2
⎠
ГЕОМЕТРИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Комплексные числа допускают геометрическую интерпретацию. Во многом благодаря этому свойству
они получили такое распространение в естественных науках и технических расчётах.
Каждому комплексному числу сопоставляется
точка на числовой плоскости. Начало координат
Глава 18.
(Моря в океане чисел. Комплексные числа)
Таким же образом можно получить формулы для
извлечения кубического корня. Но формулы получаются громоздкими и неудобными к использованию.
Два раза применяя формулу извлечения квадратного корня, можно получить четыре значения
корня четвёртой степени из комплексного числа.
Извлекать корни пятой степени из комплексных
чисел общего вида в алгебраической форме невозможно, так как при этом получится уравнение пятой
степени, не разрешимое в радикалах.
(352)
соединяется с этой точкой вектором. Очевидно,
что между точками координатной плоскости и комплексными числами при этом устанавливается биекция (взаимно однозначное соответствие).
В математике приняты следующие названия
и обозначения для работы с комплексными числами
z = x + y•i.
Z x — вещественная часть комплексного числа.
Обозначение: Re z = x.
Z y — мнимая часть комплексного числа. Обозначение: Im z = y.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Z
x 2 y 2 — модуль комплексного числа.
Обозначение: |z| = x 2 y 2 = r.
Z arg z – аргумент комплексного числа. Обозначение: φ (или α). Это угол, отсчитываемый
против часовой стрелки от оси Re z до вектора
комплексного числа.
Im Z
y
z=x+iy
0
x Re Z
(353)
Примечание 1. По поводу пределов изменения
угла φ в математической литературе существует
разногласие: 0 ≤ ϕ < 2π или –π ≤ ϕ < π. Мы будем использовать первый вариант.
Примечание 2. Для числа z = 0 аргумент не определяют.
Сложение и вычитание чисел z1 и z2 производится
так же, как сложение и вычитание векторов. С умножением всё происходит более необычно.
Рассмотрим, например, число z1 = –3 + 2•i и число z2 = z1•i = –2 – 3•i. Угол между векторами z1 и z2
равен 90°.
Это не случайность. Легко сообразить, что умножение комплексного числа на i геометрически оз-
Z1
22
11
0.5
0.5
A
5
–4
–4
–3.5
–3.5
–3
–3
–2.5
–2.5
–2
–2
–1.5
–1.5
–1
–1
–0.5
–0.5
0
–0.5
–0.5
–1
–1
–1.5
–1.5
–2
–2
–2.5
–2.5
Z2
–3
–3
–3.5
–3.5
0
0.5
0.5
11
1.5
1.5
22
2.5
2.5
Глава 18.
(Моря в океане чисел. Комплексные числа)
1.5
1.5
(354)
начает поворот вектора, соответствующего этому
числу на 90°.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК
НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ
Удивительно лаконичными получаются записи геометрических фигур при использовании комплексной плоскости. Приведём несколько примеров.
Пример 1. |z| = R, R ≥ 0.
По определению модуля комплексного числа
|z| =
x 2 y 2 . Следовательно |z| =
x2 y2 = R ⇒
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
⇒ x2 + y2 = R2 — окружность радиуса R с центром
в начале координат. Записи |z| ≤ R соответствуют
все точки этого круга.
Пример 2. |z – z0| = R, R ≥ 0. — окружность радиуса R с центром в точке (x0,y0).
Иллюстрация:
|z – (2 + 3i)| = 2 ⇒ |(x + iy) – (2 + 3i)| = 2 ⇒
⇒ |(x – 2) + (y – 3)•i| = 2 ⇒
(x − 2)2 + (y − 3)2 = 2 ⇒ (x – 2)2 + (y – 3)2 = 22 —
окружность радиусом 2 с центром в точке (2, 3).
Пример 3. r ≤ |z – z0| ≤ R — кольцо между двумя
окружностями.
π
Пример 4. |arg z| ≤ 3 — все точки угла 120°, биссектриса которого совпадает с положительной полуосью (0, ∞).
(355)
10
5
-5
0
5
10
-5
Пример 5. |z| = Re z + 4.
|(x + iy)| = Re(x + iy) + 4 ⇒ |(x + iy)| = x + 4 ⇒
⇒
x 2 y 2 = x + 4 ⇒ x2 + y2 = (x + 4)2 ⇒
⇒ y2 = 8x + 16, x –2 — Это парабола.
Пример 6. |z| = Im z + 4.
|(x + iy)| = Im(x + iy) + 4 ⇒ |(x + iy)| = y + 4 ⇒
⇒
x 2 y 2 = y + 4 ⇒ x2 + y2 = (y + 4)2 ⇒
⇒ x2 = 8y + 16, y –2 ⇒
⇒y=
1 2
x – 2.
8
Глава 18.
(Моря в океане чисел. Комплексные числа)
-10
(356)
5
-5
0
5
-5
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Это также парабола.
Пример 7. |z + i| – |z – i| =1
|z + i| – |z – i| =1 ⇒ |(x + iy) + i| – |(x + iy) – i| =1 ⇒
⇒ |(x + (y + 1) i| – |(x + (y – 1) i| =1 ⇒
⇒
x 2 + (y + 1)2 − x 2 + (y − 1)2 = 1 ⇒
⇒
x 2 + (y + 1)2 = x 2 + (y − 1)2 + 1 ⇒
⇒ x 2 + (y + 1)2 = x 2 + (y − 1)2 + 1 + 2⋅ x 2 + (y − 1)2 ⇒
⇒ 2y = −2y + 1 + 2⋅ x 2 + (y − 1)2 ⇒
⇒ 2 ⋅ x 2 + (y − 1)2 = 4y − 1 ⇒
⇒ 4x2 + 4(y – 1)2 = 16y2 – 8y + 1 ⇒
⇒ 4x2 + 4y2 – 8y + 4 = 16y2 – 8y + 1 ⇒
⇒ 12y2 – 4x2 = 3 ⇒
(357)
2
-2
0
2
-2
2
⇒ y 2−
2
⎛ 3⎞
⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
= 1 — гипербола.
Пример 8. |z + 1| + |z – 1| = 4.
|z + 1| + |z – 1| = 4 ⇒ |(x + iy) + 1| + |(x + iy) – 1| = 4 ⇒
⇒ |(x + 1) + iy| + |(x – 1) + iy| = 4 ⇒
⇒ (x + 1)2 + y 2 + (x − 1)2 + y 2 = 4 ⇒
⇒ ( (x 1)2 y 2 ) = ( 4 − (x − 1)2 + y 2 ) ⇒
2
2
⇒ (x + 1)2 + y2 = 16 – 8 (x − 1)2 + y 2 + (x – 1)2 + y2 ⇒
⇒ x2 + 2x + 1 + y2 =16 + x2 – 2x + 1 + y2 – 8 (x − 1)2 + y 2 ⇒
⇒ 2 (x − 1)2 + y 2 = 4 – x, x ≤ 4.
Глава 18.
(Моря в океане чисел. Комплексные числа)
⎛ 1⎞
⎜ ⎟
⎝2⎠
x2
(358)
2
-2
0
2
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
-2
Поэтому
4((x –1)2 + y2) = 16 – 8x + x2 ⇒ 4x2 – 8x + 4 + 4y2 =
= 16 – 8x + x2 ⇒ 3x2 + 4y2 = 12
x2
y2
⇒ 2+
= 1 — эллипс.
( 3)2
2
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА
КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
Многие операции с комплексными функциями удобнее (и легче) выполнять, если представить их в тригонометрической форме.
На рисунке |z| = r, ϕ = arg(z). Ясно, что:
(359)
y
M(a,b)
b
r
0
r = a2 + b2 , cos(ϕ) =
a
x
a
2
2
a b
, sin(ϕ) =
b
2
a b2
.
⎛
⎞
a
b
a + bi = a2 + b2 ⋅ ⎜
+
⋅i⎟ =
⎜ a2 + b2
a2 + b2 ⎟⎠
⎝
= r ⋅ (cos(ϕ) + i ⋅ sin(ϕ)) .
Итак, a + bi = r•(cos(ϕ) + i•sin(ϕ)) — тригонометрическая форма записи комплексного числа.
Примеры. Записать в тригонометрической форме числа.
Z z = 1 + i = [a = 1, b = 1] =
⎛ 1
⎛
1 ⎞
⎛ π⎞
⎛ π ⎞⎞
+
⋅ i ⎟ = 2 ⋅ ⎜ cos ⎜ ⎟ + i ⋅ sin ⎜ ⎟ ⎟
= 12 + 12 ⋅ ⎜
4
2 ⎠
⎝ ⎠
⎝ 4 ⎠⎠
⎝
⎝ 2
Глава 18.
(Моря в океане чисел. Комплексные числа)
Следовательно:
(360)
⎛
3π ⎞
⎛ 3π ⎞ ⎞
Z z = –i = 1⋅ ⎜ cos ⎛⎜
⎟ + i ⋅ sin ⎜ 2 ⎟ ⎟ .
2
⎝
⎠
⎝
⎠⎠
⎝
Чтобы записать в тригонометрической форме,
достаточно представить
вектор единичной длины,
направленный вдоль мнимой оси.
i
Z z = 6 – 6i.
r=
6 2 + (−6) 2 = 6 2 , cos(ϕ) =
6
6 2
1
2
2
,
2
6
=− 1 =− 2.
sin(ϕ) = −
2
2
7π
Это означает, что ϕ =
и, следовательно,
4
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
6 2
⎛
⎛ 7π ⎞
⎛ 7π ⎞ ⎞
z = 6 – 6i = 6 2 ⋅ ⎜ cos ⎜
⎟ + i ⋅ sin ⎜ 4 ⎟ ⎟ .
4
⎝
⎠
⎝
⎠⎠
⎝
Z z = 3i.
π
r = 3, cos(ϕ) = 0, sin(ϕ) = 1 ⇒ ϕ = .
2
π
π
Поэтому z = 3i = 3• cos 2 + i•sin 2
(
( )
( ))
Z z = –10.
r = 10, cos(ϕ) = –1, sin(ϕ) = 0 ⇒ ϕ = π.
Поэтому z = –10 = 10•(cos(π) + i•sin(π)).
С помощью тригонометрической формы легко
находятся произведение и частное от деления
двух комплексных чисел. Нам потребуется не-
(361)
сколько формул тригонометрии, и чтобы Вам их не
искать (они и их доказательства есть в любом учебнике), мы их здесь приведём:
sin(ϕ1 + ϕ2) = sin(ϕ1)•cos(ϕ2) + sin(ϕ2)•cos(ϕ1)
sin(ϕ1 – ϕ2) = sin(ϕ1)•cos(ϕ2) – sin(ϕ2)•cos(ϕ1)
cos(ϕ1 + ϕ2) = cos(ϕ1)•cos(ϕ2) – sin(ϕ1)•sin(ϕ2)
cos(ϕ1 – ϕ2) = cos(ϕ1)•cos(ϕ2) + sin(ϕ1)•sin(ϕ2)
Пусть z1 = r1•(cos(ϕ1) + i•sin(ϕ1))
и z2 = r2•(cos(ϕ2) + i•sin(ϕ2)).
Тогда справедливы следующие теоремы:
Теорема. Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов.
Доказательство
= r1 •r2 • (((cos(ϕ1)•cos(ϕ2) – sin(ϕ1)•sin(ϕ2)) +
+ i•(sin(ϕ1)•cos(ϕ2) + sin(ϕ2)•cos(ϕ1))) =
= r1 •r2 • (cos(ϕ1 + ϕ2) + i• sin(ϕ1 + ϕ2)).
Теорема доказана.
Теорема. Модуль частного от деления z1 на z2
равен частному от деления модуля z1 на модуль z2,
а аргумент частного равен разности аргументов
z1 и z2.
Глава 18.
(Моря в океане чисел. Комплексные числа)
z1 •z2 = r1 •r2 • (cos(ϕ1) + i•sin(ϕ1))•(cos(ϕ2) + i•sin(ϕ2)) =
(362)
Доказательство
z1
z2
=
=
=
=
r1⋅(cos(ϕ1)+ i ⋅sin(ϕ1))
r2⋅(cos(ϕ2 )+ i ⋅sin(ϕ2))
=
r1⋅(cos(ϕ
ϕ1)+ i ⋅sin(ϕ1))⋅(cos(ϕ2 )− i ⋅sin(ϕ2))
r2⋅(cos(ϕ2 )+ i ⋅sin(ϕ2))⋅(cos(ϕ2 )− i ⋅sin(ϕ2))
=
r1⋅((cos(ϕ1)⋅cos(ϕ2 )+ sin(ϕ1)⋅sin(ϕ2))+ i ⋅(sin(ϕ1)⋅cos(ϕ2 )−sin(ϕ2)⋅cos(ϕ1))
r2⋅(cos2(ϕ2 )+ sin2(ϕ2))
r1
r2
=
•(cos(ϕ1 – ϕ2) + i• sin(ϕ1 – ϕ2)).
Теорема доказана.
Из теоремы о произведении комплексных чисел
в тригонометрической форме вытекает, что
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
(r•(cos(ϕ) + i•sin(ϕ)))n = rn•(cos(nϕ) + i•sin(nϕ)). (*)
Это следует из n-кратного умножения комплексного числа на само себя.
Z Пример. Вычислить (−1+ 3 ⋅ i)2019 .
Решение
Запишем число z = –1 +
ской форме.
z = –1 +
3 •i в тригонометриче-
3 •i = [a = –1, b =
2
2 ⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞⋅ ⎞ =
= (−1) + ( 3) ⋅⎜⎜ ⎜ − ⎟ + ⎜
⎟ i ⎟⎟
⎝⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎠
⎛
⎛ 2π ⎞
⎛ 2π ⎞ ⎞
= 2 ⋅ ⎜ cos ⎜ ⎟ + i ⋅ sin ⎜ ⎟ ⎟ .
3
⎝ ⎠
⎝ 3 ⎠⎠
⎝
3]=
(363)
Следовательно,
⎛
⎛ 4038π ⎞
⎛ 4038π ⎞ ⎞
22019 = 22019 ⋅ ⎜ cos ⎜
⎟ + i ⋅ sin ⎜ 3 ⎟ ⎟ =
3
⎝
⎝
⎠
⎠⎠
⎝
= 22019•(cos(1346π) + i•sin(1346π)) =
= 22019•(cos(0) + i•sin(0)) = 22019.
Воспользовались тем, что период синуса и косинуса равен 2π.
Ответ: 22019.
Из формулы (*) при r = 1 получаем часто используемую формулу Муавра:
(cos(ϕ) + i•sin(ϕ))n = cos(nϕ) + i•sin(nϕ).
ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЕЙ
ИЗ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Если z = 0, то для любого n ∈ ‰ существует ровно
один корень n–ой степени из z, равный нулю. Пусть
z ≠ 0 и z = r•(cos(ϕ) + i•sin(ϕ)). Пусть комплексное
число w выражено в тригонометрической форме, то есть w = q•(cos(ψ) + i•sin(ψ)). Тогда, так как
wn = z, то
(q•(cos(ψ) + i•sin(ψ)))n = r•(cos(ϕ) + i•sin(ϕ))
или
qn•(cos(nψ) + i•sin(nψ)) = r•(cos(ϕ) + i•sin(ϕ)).
Глава 18.
(Моря в океане чисел. Комплексные числа)
Определение. Пусть n – натуральное число. Корнем n-ой степени из комплексного числа z называется комплексное число w такое, что wn = z.
(364)
Отсюда следует, что qn = r ⇒ q = n r .
Кроме того, nψ = ϕ + 2πk,
ϕ 2πk
где k ∈Ќ ⇒ ψ =
.
n
Так как k ∈ Ќ, то корней может быть много. Общая
формула имеет следующий вид:
(
)
⎛
⎛ ϕ + 2πk ⎞ ⎞
w k = n r ⋅ ⎜ cos ϕ+ 2πk + i ⋅ sin ⎜
⎟⎟
n
n ⎠ ⎠ (**)
⎝
⎝
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Легко убедиться, что при k = 0, 1, 2, 3, ..., n–1 получаются различные корни, а далее они начинают
повторяться.
Подведём итог.
Теорема. Если z — произвольное комплексное
число, отличное от нуля, а n — произвольное натуральное число, то корень n–ой степени из z имеет
ровно n различных значений, которые могут быть
вычислены по формуле (**).
Примеры.
Z z = –1. Найти 4 z .
Решение
z = –1 = 1•(cos(π) + i•sin(π)).
Тогда
π + 2πk
π + 2πk ⎞
⎛
w k = 4 z = 4 1 ⋅ ⎜ cos
+ i ⋅ sin
⎟=
4
4 ⎠
⎝
= cos
π + 2πk
π + 2πk
+ i ⋅ sin
, k = 0, 1, 2, 3.
4
4
(365)
k = 1: w1 = cos
k = 2: w2 = cos
k = 3: w 3 = cos
2
2
π
π
+ i ⋅ sin =
+
i
4
4 2
2
π + 2π
π + 2π
+ i ⋅ sin
=
4
4
3π
3π
2
2
= cos
+ i ⋅ sin
=−
+
i
4
4
2
2
π + 4π
π + 4π
+ i ⋅ sin
=
4
4
5π
5π
2
2
= cos
+ i ⋅ sin
=−
−
i
4
4
2
2
π + 6π
π + 6π
+ i ⋅ sin
=c
4
4
7π
7π
2
2
= cos
+ i ⋅ sin
=
−
i
4
4
2
2
Глава 18.
(Моря в океане чисел. Комплексные числа)
k = 0: w0 = cos
(366)
Все значения корня лежат на окружности радиуса 1 и образуют правильный четырёхугольник (то
есть квадрат).
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Z z = 1. Найти 6 z .
Аналогично можно показать, что все шесть корней из единицы располагаются на единичной окружности, образуя правильный шестиугольник.
Z z = 1. Найти n 1 .
n 1 = n 1⋅ (cos(0) + i ⋅sin(0)) = 1⋅ ⎛ cos ⎛ 0+ 2πk ⎞ + i ⋅ cos ⎛ 0+ 2πk ⎞ ⎞ =
⎜
⎟
⎜
⎟⎟
⎜
⎝
⎝
n
⎠
⎝
n
⎠⎠
⎛ 2πk ⎞
⎛ 2πk ⎞
= cos ⎜
⎟,
⎟ + i ⋅ cos ⎜
⎝ n ⎠
⎝ n ⎠
где k = 0, 1, 2, 3, ..., n–1.
Полученный результат означает, что точки, изображающие все n корней из единицы, лежат на
окружности единичного радиуса с центром в начале координат и делят эту окружность на n равных
частей, причём дуга между любыми двумя точками
(367)
2π
составляет
радиан. Эти точки являются вершиn
нами правильного n–угольника.
Z Использование понятия n 1 в комплексной
области, помогает находить значения тригонометрических функций для нестандартных
углов. Найдём, например, cos(
2π
2π
, sin
.
cos
5
5
(
)
(
π
π
, sin
,
5
5
)
( )
)
Для этого решим уравнение z5 = 1 двумя
способами.
a) z = 5 1 = 5 1⋅ (cos(0) + i ⋅ sin(0)) = cos
2πk
2πk
,
+ i ⋅ cos
5
5
где k = 0, 1, 2, 3, 4.
k = 0: w0 = cos(0) + i ⋅ sin(0) = 1
b) С другой стороны, исходное уравнение можно
решить «обычным» школьным способом.
z5 = 1 ⇒ z5 – 1 = 0 ⇒ (z – 1) (z4 + z3 + z2 + z + 1) = 0.
Первое (тривиальное) решение: z1 = 1.
Решим уравнение z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0. (Это, так
называемое, симметрическое уравнение).
Глава 18.
(Моря в океане чисел. Комплексные числа)
2π
2π
+ i ⋅ sin
5
5
4π
4π
+ i ⋅ sin
k = 2: w2 = cos
5
5
6π
6π
+ i ⋅ sin
k = 3: w 3 = cos
5
5
8π
8π
+ i ⋅ sin
k = 4: w 4 = cos
5
5
k = 1: w1 = cos
(368)
Так как z ≠ 0, разделим обе части последнего
уравнения на z2:
1 1
+
= 0 ⇒ ⎛⎜ z2 + 1 ⎞⎟ + ⎛⎜ z + 1 ⎞⎟ + 1 = 0 . (***)
z z2
z⎠
z2 ⎠ ⎝
⎝
1
Обозначим t = z + . Тогда
z
2
1⎞
1
1
⎛
2
2
+ 2 ⇒ t 2 = z2 +
+2
t =⎜z+ ⎟ = z +
2
z⎠
⎝
z
z2
z2 + z + 1+
или
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
z2 +
1
z2
= t2 − 2 .
Подставим полученный результат в уравнение
(***):
t2 – 2 + t + 1 = 0 ⇒ t2 + t – 1 = 0 ⇒
−1± 5
.
⇒ t1,2 =
2
Получаем два квадратных уравнения:
z+
1 −1− 5 и
1 −1+ 5 или
=
z+ =
z
2
z
2
2z2 + (1+ 5)z + 2 = 0 и 2z2 + (1− 5)z + 2 = 0 .
Несмотря на то, что дискриминанты этих уравнений отрицательны, мы можем получить их решения
обычным образом, помня, что 1 = i. Дискриминант и решения в этих уравнениях:
D1 = (1 +
5 )2 –16 = 2 5 –10 <0 ⇒
−(1+ 5) ± i ⋅ 10 − 2 5
⇒
4
10 − 2 5
1+ 5
±i⋅
⇒ z1,2 = −
.
4
4
⇒ z1,2 =
(369)
D2 = (1–
5 )2 –16 = –2 5 –10 <0 ⇒
−(1− 5) ± i ⋅ 10 + 2 5
⇒
4
10 + 2 5
5 −1
±i⋅
⇒ z3,4 =
.
4
4
⇒ z3,4 =
Ранее получили: w1 = cos
2π
2π
+ i ⋅ sin . Сравнивая
5
5
w1 и полученные для z выражения, а также учитывая,
что cos
2π
2π
0 и sin 0 , получаем следующие ре5
5
зультаты:
5 −1
2π
, sin 2π = sin(72°) = 10+ 2 5 .
= cos(72°) =
4
5
4
5
π
π
Значения cos , sin можно получить, используя
5
5
cos
формулы тригонометрии из школьного учебника:
1
•(1 + cos (2α))
2
1
и sin2(α) = •(1 – cos (2α))
2
cos2(α) =
π 1 ⎛
5 +3
5 −1 ⎞
⎛ ⎞⎞ 1 ⎛
⇒
= ⋅ ⎜ 1 + cos ⎜ 2π ⎟ ⎟ = ⋅ ⎜ 1 +
=
⎟
8
5 2 ⎝
2
4
5
⎝ ⎠⎠
⎝
⎠
π
5
⇒ cos = cos(36°) =
sin2
5 +3
2 2
π 1 ⎛
5 −1 ⎞ 5− 5
⎛ ⎞⎞ 1 ⎛
⇒
= ⋅ ⎜ 1 − cos ⎜ 2π ⎟ ⎟ = ⋅ ⎜ 1 −
=
8
5 2 ⎝
2
4 ⎟⎠
5
⎝ ⎠⎠
⎝
π
5
⇒ sin = sin(36°) =
5 +3
cos(36°) =
2 2
стить:
cos(36°) =
5− 5
2 2
— это выражение можно упро-
(1+ 5)2 1+ 5
5 +3 2
6+ 2 5
.
⋅
=
=
=
4
4
4
2 2
2
Глава 18.
(Моря в океане чисел. Комплексные числа)
cos2
(370)
ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА
В главе про тригонометрические функции мы приводили две красивые формулы:
sin (x) = x −
x 3 x 5 x 7 x 9 x11
+ − + −
+ ... ,
3! 5! 7! 9! 11!
cos (x) = 1−
x 2 x 4 x 6 x 8 x10
+
− + −
+ ...
2! 4 ! 6! 8! 10!
Ещё одна формула, связана с числом е:
2
3
4
5
6
7
2!
3!
4!
5!
6!
7!
ex = 1 x x x x x x x ... .
1!
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Трудно не обратить внимание на схожесть первых двух формул с третьей. Хотя речь идёт о функциях совершенно разной природы.
Сложим первые две формулы:
2
3
4
5
6
7
2!
3!
4!
5!
6!
7!
sin (x) + cos (x) = 1+ x − x − x + x + x − x − x + ... .
Попытки найти связь последнего ряда с рядом
для ex в области действительных чисел не приводят
к успеху. Однако, обратившись к комплексным числам, получить связь этих двух формул не представляет труда. В разложении ex формально заменим x на ix:
eix = 1
(
= 1−
(
ix (ix)2 (ix)3 (ix)4 (ix)5 (ix)6 (ix)7
... =
1!
2!
3!
4!
5!
6!
7!
x 2 x 4 x 6 x 8 x10
+
− + −
+ ... +
2! 4 ! 6! 8! 10!
+ i• x −
)
x 3 x 5 x 7 x 9 x11
+ − + −
+ ... =cos (x) + i• sin (x).
3! 5! 7! 9! 11!
)
Получили знаменитую формулу Эйлера:
eix = cos(x) + i•sin(x).
(371)
Если в формулу Эйлера вместо x подставить (-x)
и воспользоваться нечётностью синуса, то получится ещё одна формула: e–ix = cos(x) – i•sin(x). Из последних двух формул получаются ещё две полезные
формулы:
cos(x) =
eix + e−ix
eix − e−ix
и sin(x) =
2
2i
Комплексные числа (в том числе в показательной
форме) можно успешно использовать для решения
множества различных задач.
Примеры.
⎛ 6π ⎞
⎛ 4π ⎞
⎛ 2π ⎞
Z Вычислить: cos ⎜ ⎟ + cos ⎜ ⎟ + cos ⎜ ⎟ .
⎝ 7 ⎠
⎝ 7 ⎠
⎝ 7 ⎠
⎛ 2π ⎞
⎛ 2π ⎞
Обозначим z = cos ⎜ ⎟ + i ⋅ sin ⎜ ⎟ , тогда по фор⎝ 7 ⎠
⎝ 7 ⎠
муле Муавра:
⎞
⎝ 7 ⎠
z2 = cos ⎛⎜ 4π ⎞⎟ + i ⋅ sin ⎛⎜ 4π ⎟ ,
⎝ 7 ⎠
Глава 18.
(Моря в океане чисел. Комплексные числа)
Если в формуле Эйлера вместо x подставить число π, то получается формула, которую многие называют «жемчужиной математики»:
eiπ = –1.
В этой формуле сходятся обозначения, присущие различным разделам этой науки: –1 — из арифметики, e — из математического анализа, i – из алгебры, π – из геометрии. Полученную связь между
e и π использовал немецкий математик Линдеман,
который (как мы уже говорили об этом) в 1882 году
в работе «О числе π» доказал трансцендентность
числа π, откуда следовала невозможность квадратуры круга.
(372)
⎞
⎝ 7 ⎠
z 3 = cos ⎛⎜ 6π ⎞⎟ + i ⋅ sin ⎛⎜ 6π ⎟ ,
⎝ 7 ⎠
⎞
⎝ 7 ⎠
⎞
⎛
⎝ 7 ⎠
z 4 = cos ⎛⎜ 8π ⎞⎟ + i ⋅ sin ⎛⎜ 8π ⎟ = cos ⎜ 8π ⎟ + i ⋅ sin ⎛⎜ 2π− 6π ⎞⎟ =
⎝ 7 ⎠
7 ⎠
⎝
⎛ 6π ⎞
⎛ 8π ⎞
= cos ⎜
⎟.
⎟ − i ⋅ sin ⎜
⎝ 7 ⎠
⎝ 7 ⎠
⎞
⎛
⎝ 7 ⎠
⎞
⎝ 7 ⎠
z5 = cos ⎛⎜ 10π ⎞⎟ + i ⋅ sin ⎛⎜ 10π ⎟ = cos ⎜ 10π ⎟ + i ⋅ sin ⎛⎜ 2π− 4π ⎞⎟ =
⎝ 7 ⎠
⎝
7 ⎠
⎞
⎛ 4π ⎞
⎛ 10π ⎞
⎟.
⎟ = cos ⎜
⎟ − i ⋅ sin ⎜
⎠
⎝ 7 ⎠
⎝ 7 ⎠
⎞
⎛
⎝ 7 ⎠
⎞
⎝ 7 ⎠
z6 = cos ⎛⎜ 12π ⎞⎟ + i ⋅ sin ⎛⎜ 12π ⎟ = cos ⎜ 12π ⎟ + i ⋅ sin ⎛⎜ 2π− 2π ⎞⎟ =
⎝ 7 ⎠
⎝
7 ⎠
⎛ 2π ⎞
⎛ 12π ⎞
= cos ⎜
⎟ − i ⋅ sin ⎜ ⎟ .
⎝ 7 ⎠
⎝ 7 ⎠
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
Найдём сумму:
z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6 =
⎞
⎛
⎝ 7 ⎠
⎞
⎝ 7 ⎠
⎞
⎛
⎝ 7 ⎠
⎛ 4π
⎛ 2π ⎞
6π
8π
= cos ⎜ ⎟ + cos ⎜ ⎟ + cos ⎜ ⎟ + cos ⎜ ⎟ +
⎝ 7 ⎠
⎞
⎛
⎝ 7 ⎠
⎞
⎛
⎝ 7 ⎠
+ cos ⎛⎜ 10π ⎞⎟ + cos ⎜ 12π ⎟ = cos ⎛⎜ 2π ⎞⎟ + cos ⎜ 4π ⎟ +
⎝ 7 ⎠
⎛
⎝
⎞
7 ⎠
⎝ 7 ⎠
⎛
⎝
⎞
7 ⎠
+ cos ⎛⎜ 6π ⎞⎟ + cos ⎜ 2π− 6π ⎟ + cos ⎛⎜ 2π− 4π ⎞⎟ + cos ⎜ 2π− 2π ⎟ =
⎝ 7 ⎠
⎞
⎝ 7 ⎠
⎝
⎞
⎛
⎝ 7 ⎠
7 ⎠
⎞
⎛
⎝ 7 ⎠
⎛ 4π
⎛ 2π ⎞
6π
6π
⎛ 4π ⎞
= cos ⎜ ⎟ + cos ⎜ ⎟ + cos ⎜ ⎟ + cos ⎜ ⎟ + cos ⎜ ⎟ +
⎝ 7 ⎠
⎝ 7 ⎠
⎛
⎛ 6π ⎞ ⎞
⎛ 4π ⎞
⎛ 2π ⎞
+ cos ⎛⎜ 2π ⎞⎟ = 2 ⋅ ⎜ cos ⎜ ⎟ + cos ⎜ ⎟ + cos ⎜ ⎟ ⎟
⎝ 7 ⎠⎠
⎝ 7 ⎠
⎝ 7 ⎠
⎝ 7 ⎠
⎝
⎛ 2π ⎞
⎛ 2π ⎞
Обратим внимание, что z = cos ⎜ ⎟ + i ⋅ sin ⎜ ⎟ —
7
⎠
⎝ 7 ⎠
⎝
один из корней уравнения z7 = 1.
z7 – 1 ⇒ (z – 1)•(z6 + z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1) = 0 ⇒
⇒ z6 + z5 + z4 + z3 + z2 + z = –1.
(373)
Поэтому
⎛
⎞⎞
⎛
⎞
⎛
2 ⋅ ⎜ cos ⎛⎜ 2π ⎞⎟ + cos ⎜ 4π ⎟ + cos ⎜ 6π ⎟ ⎟ = –1 ⇒
7
7
7
⎠⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎝
⎞
⎛
Примечание. Можно существенно сократить решение, если обратить внимание, что проекции точек
z1 и z6, z2 и z5, z3 и z4 на ось Im равны по величине
и противоположны по знаку, а проекции тех же точек
на ось Re равны по величине.
Z Доказать использованные нами ранее формулы сложения:
sin(α + β) = sin(α)•cos(β) + sin(β)•cos(α) (1)
sin(α – β) = sin(α)•cos(β) – sin(β)•cos(α) (2)
Глава 18.
(Моря в океане чисел. Комплексные числа)
⎛
cos ⎛⎜ 2π ⎞⎟ + cos ⎜ 4π ⎟ + cos ⎜ 6π ⎞⎟ = – 1 .
⎝ 7 ⎠
⎝ 7 ⎠
⎝ 7 ⎠
2
1
Ответ: – .
2
(374)
cos(α + β) = cos(α)•cos(β) – sin(α)•sin(β) (3)
cos(α – β) = cos(α)•cos(β) + sin(α)•sin(β) (4)
Доказательство
ei(α+β) = cos(α + β) + i•sin(α + β). (5)
С другой стороны можем записать:
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
ei(α+β) = eiα•eiβ = (cos(α) + i•sin(α))• (cos(β) + i•sin(β)) =
=(cos(α)• cos(β) – sin(α)•sin(β)) +
+ i•(sin(α)• cos(β) + sin(β)• cos(α)) (6)
Сравнивая формулы (5) и (6) видим, что сразу доказаны формулы (1) и (3).
Формулы (2) и (4) получаются из формул (1) и (3)
заменой β на (–β) с использованием чётности косинуса, то есть cos(–β) = cos(β) и нечётности синуса, то
есть sin(β) = –sin(β).
Указанные свойства чётности и нечётности следуют из рассмотрения графиков синуса и косинуса.
Формулы (1) — (4) доказаны.
Z Ещё две формулы, которые довольно часто используются при решении сложных задач.
⎞
⎞
⎛
−
⎛
⎞
⎛
sin ⎛⎜ 2π ⎞⎟ + sin ⎜ 4π ⎟ + sin ⎜ 6π ⎟ + ... + sin ⎜ 2(n 1)π ⎟ = 0 . (7)
⎝ n ⎠
⎝ n ⎠
⎝ n ⎠
⎝
⎠
n
⎞
⎛
−
⎛ ⎞
⎞
cos ⎛⎜ 2π ⎞⎟ + cos ⎛⎜ 4π ⎟ + cos ⎜ 6π ⎟ + ... + cos ⎜ 2(n 1)π ⎟ = −1 . (8)
⎝ n ⎠
⎝ n ⎠
⎝ n ⎠
⎝
n
⎠
Приведём простое обоснование этих формул.
Возьмём правильный n-угольник, вписанный
в окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Повернём его так, чтобы одна его вершина по-
(375)
пала в точку (1,0). Проведём векторы из начала координат к вершинам правильного многоугольника.
Рассмотрим суммы проекций этих векторов на оси
Im и Re. Сумма проекций на ось Im даст ноль. Но
это сумма синусов в уравнении (7). Сумма проекций на ось Re (то есть сумма косинусов в уравнении
(8)) даст (-1) (аналогично тому, как это произошло
в примечании к первой задаче с семиугольником).
Z Докажем ещё две полезные формулы для тригонометрических сумм вида:
S1 = cos(ϕ) + cos(ϕ + α) + cos(ϕ + 2α) + ... + cos(ϕ + nα) =
⎛
α⎞
1⎞ ⎞
⎛
⎛
sin ⎜ϕ + ⎜ n + ⎟ α⎟ − sin ⎜ ϕ − ⎟
2⎠ ⎠
2⎠
⎝
⎝
⎝
=
(9)
⎛α⎞
2 ⋅ sin ⎜ ⎟
⎝2⎠
S2 = sin(ϕ) + sin(ϕ + α) + sin(ϕ + 2α) + ... + sin(ϕ + nα) =
Доказательство
Составим сумму S = S1 + i•S2:
S1 + i• S2 = (cos(ϕ) + i•sin(ϕ)) + (cos(ϕ + α) + i•sin(ϕ + α)) +
+ ... + (cos(ϕ + nα) + i•sin(ϕ + nα)) = ei•ϕ + ei•(ϕ+α) + ei•(ϕ+2α) +
+ ... + ei•(ϕ+nα) = ei•ϕ + ei•ϕ•ei•α + ei•ϕ•ei•2α + ei•ϕ•ei•3α +
+ ... + ei•ϕ•ei•nα = ei•ϕ•(ei•0α + ei•1α + ei•2α + ... + ei•nα) =
=
ei ⋅ϕ⋅(ei ⋅(n+1)α −1)
ei ⋅α −1
(использовали формулу для суммы геометрической прогрессии).
Глава 18.
(Моря в океане чисел. Комплексные числа)
⎛
α⎞
1⎞ ⎞
⎛
⎛
cos ⎜ ϕ − ⎟ − cos ⎜ϕ + ⎜ n + ⎟ α⎟
2⎠
2⎠ ⎠
⎝
⎝
⎝
=
(10)
⎛α⎞
2 ⋅ sin ⎜ ⎟
⎝2⎠
(376)
Умножим числитель и знаменатель последней
−
(
i ⋅α
2
)
дроби на −i ⋅ e
. Тогда знаменатель этой дроби
становится вещественным и приобретает вид:
i ⋅α ⎞
⎛ i ⋅α
i ⋅α
−
−
⎜
⎟
−i ⋅ e 2 ⋅ (ei ⋅α − 1) = −i ⋅ ⎝ e 2 − e 2 ⎠ =
i ⋅α ⎞
⎛ i ⋅α
−
⎟
⎜ 2
⎛α⎞
⎝e −e 2 ⎠
= 2⋅
= 2 ⋅ sin ⎜ ⎟ .
2i
⎝2⎠
Теперь преобразуем числитель дроби:
−
i ⋅α
−i ⋅ e 2 ⋅ ei ⋅ϕ ⋅ (ei ⋅(n+1)α − 1) =
α
i ⋅α
2
−i ⋅ + i ⋅ϕ+ i ⋅(n+1)α
= −i ⋅ ((e 2
−e
⋅ ei ⋅ϕ) =
i ⋅(ϕ+ (n+ α)
) = −i ⋅ A .
−e
= −i ⋅(e
−
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
1
)
2
α
i ⋅(ϕ− )
2
Воспользуемся ещё раз формулой Эйлера:
eix = cos(x) + i•sin(x).
(e
1
2
i ⋅(ϕ+ (n+ )α)
−e
=cos(ϕ +(n +
α
i ⋅(ϕ− )
2 =cos
1
)α) + i•sin(ϕ +(n + 1 )α).
2
2
(ϕ – α2 ) + i•sin(ϕ – α2 ).
Вычитая из верхней строчки нижнюю, получаем:
1
α
A = (cos(ϕ + (n + )α) – cos(ϕ – ) +
2
2
1
α
+ i•(sin(ϕ + (n + )α) – sin(ϕ – ))).
2
2
1
α
–i•A = sin(ϕ + (n + )α) – sin(ϕ – ) +
2
2
1
α
+ i•( cos(ϕ – ) – cos(ϕ + (n + )α)).
2
2
(377)
⎛ ⎛ 1⎞ ⎞
⎛ α⎞
sin⎜ ϕ+ ⎜ n+ ⎟α ⎟ − sin⎜ ϕ− ⎟
−i ⋅ A
⎝ 2⎠ ⎠
⎝ 2⎠
⎝
=
+
S1 + i•S2 =
α
α
2 ⋅ sin
2 ⋅ sin
2
2
+i⋅
⎛ ⎛ 1⎞ ⎞
⎛ α⎞
cos⎜ ϕ− ⎟ − cos⎜ ϕ+ ⎜ n+ ⎟α ⎟
2
⎠
⎝
⎝ ⎝ 2⎠ ⎠
2 ⋅ sin
α
2
.
Из полученного выражения прямо следуют сразу
обе формулы для выражений (9) и (10):
S1 = cos(ϕ) + cos(ϕ + α) + cos(ϕ + 2α) + ... + cos(ϕ + nα) =
⎛
α⎞
1⎞ ⎞
⎛
⎛
sin ⎜ϕ + ⎜ n + ⎟ α⎟ − sin ⎜ ϕ − ⎟
2⎠ ⎠
2⎠
⎝
⎝
⎝
=
.
⎛α⎞
2 ⋅ sin ⎜ ⎟
⎝2⎠
S2 = sin(ϕ) + sin(ϕ + α) + sin(ϕ + 2α) + ... + sin(ϕ + nα) =
Формулы доказаны.
Примечание.
Последние две формулы с помощью «школьных»
преобразований
x y
xy
sin(x) – sin(y) = 2sin 2 •cos
,
2
yx
xy
cos(x) – cos(y) = 2sin 2 •sin
2
можно представить в другой форме:
Глава 18.
(Моря в океане чисел. Комплексные числа)
⎛
α⎞
1⎞ ⎞
⎛
⎛
cos ⎜ ϕ − ⎟ − cos ⎜ϕ + ⎜ n + ⎟ α⎟
2⎠
2⎠ ⎠
⎝
⎝
⎝
=
.
⎛α⎞
2 ⋅ sin ⎜ ⎟
⎝2⎠
(378)
S1 = cos(ϕ) + cos(ϕ + α) + cos(ϕ + 2α) + ... + cos(ϕ + nα) =
nα ⎞
⎛ (n + 1) α⎞
⎛
sin ⎜
⎟ ⋅ cos ⎜ ϕ +
⎟
2
2 ⎠
⎝
⎠
⎝
=
,
⎛α⎞
sin ⎜ ⎟
⎝2⎠
S2 = sin(ϕ) + sin(ϕ + α) + sin(ϕ + 2α) + ... + sin(ϕ + nα) =
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
nα ⎞
⎛ (n + 1) α⎞
⎛
sin ⎜
⎟ ⋅ sin ⎜ ϕ +
⎟
2
2 ⎠
⎝
⎠
⎝
=
.
⎛α⎞
sin ⎜ ⎟
⎝2⎠
С помощью последних формул можно доказать
ряд красивых теорем для правильного n-угольника,
вписанного в единичную окружность:
Z Сумма квадратов всех его сторон и всех его
диагоналей равна n2;
Z Сумма всех его сторон и всех его диагоналей
( 2nπ );
равна n•ctg
Z Произведение всех его сторон и всех его диагоналей равна
n
2
n
.
(379)
ВМЕСТО ПОСЛЕСЛОВИЯ
(Вместо послесловия)
Понятно, что использованный образ «числовых морей» не вполне точен. Просто море — слово такое
красивое, ёмкое, что показалось целесообразным
именно его использовать. Более точной была бы
цепочка: планета — солнечная система — Млечный
путь… Но земные ассоциации показались более
уместными.
Океан комплексных чисел вбирает в себя все
ранее рассмотренные числовые множества (моря)
в качестве своих составных частей. Теория комплексных чисел — один из самых красивых и мощных разделов математики, играющий важную роль,
как в современной науке, так и в инженерной практике. Комплексные числа с успехом применяются
в квантовой механике, электротехнике, аэродинамике…
Кроме того, комплексные числа дают возможность эффектной цветовой и даже трёхмерной
визуализации таких необычных и «модных» сейчас объектов, как фракталы. Пример одного из
них (без использования комплексных чисел) мы
уже видели: это «снежинка Коха». Фрактальными
свойствами обладает и рассмотренный в той же
главе бесконечный тригонометрический ряд Вейерштрасса.
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
(380)
Фрактальные объекты обладают свойствами самоподобия. То есть при рассмотрении внутренней
части объекта мы наблюдаем полностью тождественную по своим свойствам структуру. Причём
такой эффект наблюдается на любом уровне погружения.
Удивительной является простота используемой математической модели фрактала. Например,
для реализации фрактала Мандельброта используется всего лишь одна рекуррентная формула:
zk +1 = zk2 + c , z0 = 0, k = 0, 1, 2, 3, ..., Здесь с – некоторое заранее выбранное постоянное комплексное
число (например, с = 0,285 + 0,01i). Приведённая
формула означает, что на каждом шаге мы берём
предыдущее комплексное число, возводим его
в квадрат и прибавляем число с.
Красивые картинки с изображением этого фрактала (и многих других) Вы легко найдёте на просторах интернета (к сожалению, чёрно-белый формат
этой книги не позволяет его привести прямо здесь).
На картинке — чёрно-белый вариант одного из цветных фракталов.
Любители программирования смогут легко разобраться и реализовать построение фрактала самостоятельно.
Математика, пожалуй, единственный школьный
предмет, с которым мы не расстаёмся все 11 лет
школьной жизни. И несмотря на это, не представляется возможным изучить и сотой доли всех тех
понятий, что существуют в этой замечательной
науке.
Изучение математики — это подъём со ступеньки на ступеньку. Перепрыгивание через ступеньки
(381)
лишает возможности понять дальнейшее. Высота
ступенек не должна быть слишком большой, иначе
потребуются огромные усилия для их преодоления.
Не все захотят такие усилия тратить, даже обладая
потенциальной способностью это сделать. Цель
этой книжки — не упрощая действительно сложные
вещи, понизить высоту ступенек и облегчить, тем
самым, их понимание. Хочется надеяться, что это
хотя бы отчасти удалось.
(Вместо послесловия)
Б.М. Элькин
(Математика: для тех, кто не открывал учебник)
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Белл Э.Т. «Творцы математики. Предшественники современной математики». — М.: Просвещение, 1979.
2. Рид К. «Гильберт». — М.: Наука, 1977.
3. Стюарт Я. «Концепции современной математики». — Минск, Вышэйшая школа, 1980.
4. Доксиадис А. «Дядя Петрос и проблема Гольдбаха». — М.: АСТ, 2002.
5. Деза Е. «Специальные числа натурального ряда»,
URSS, Москва, 2010.
6. Воробьёв Н.Н. «Числа Фибоначчи», — М.: Наука,
1983.
7. Соминский И.С. «Метод математической индукции», — М.: Наука, 1983.
8. Башмакова И.Г. «Диофант и диофантовы уравнения». — М.: Наука, 1972. — 68 с.
9. Ейтс С. «Репьюниты и десятичные периоды», —
М.: Мир, 1992.
10. Виленкин Н.Я. «Рассказы о множествах». — М.:
МЦНМО, 2005.
11. Епихин В.Е. «Комплексные числа», — М.: Изд-во
Центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2008.
ОГЛАВЛЕНИЕ
(Оглавление)
Вместо предисловия ............................................ 3
Глава 1. Художественный текст
и математический текст ................................ 6
Глава 2. О математическом языке ........................ 9
Глава 3. Визуальность в математике .................. 12
Глава 4. Функции и их геометрические
преобразования .......................................... 23
Глава 5. Азбука элементарных функций
и графиков. Часть 1 ..................................... 42
Глава 6. Математика. Миры из ничего .............. 104
Глава 7. Об аксиоматике. Зачем она нужна? ..... 123
Глава 8. Моря в океане чисел.
Натуральные числа.................................... 138
Глава 9. О математическом методе мышления ... 187
Глава 10. Моря в океане чисел. Целые числа .... 209
Глава 11. Моря в океане чисел.
Рациональные числа ................................. 235
Глава 12. О сравнении бесконечных множеств . 255
Глава 13. Моря в океане чисел.
Действительные числа .............................. 261
Глава 14. Степени с рациональными
и иррациональными показателями ........... 281
Глава 15. Азбука элементарных функций
и графиков. Часть 2 ................................... 285
Глава 16. Тригонометрические функции ........... 318
Глава 17. Функции–монстры ............................ 337
Глава 18. Моря в океане чисел.
Комплексные числа ................................... 344
Вместо послесловия ........................................ 379
Использованная литература ............................. 382
Научно-популярное издание
12+
НАУКА
НА ПАЛЬЦАХ
Борис Михайлович Элькин
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ТЕХ,
КТО НЕ ОТКРЫВАЛ УЧЕБНИК
Все права защищены. Ни одна часть данного издания не может быть
воспроизведена или использована в какой-либо форме, включая
электронную, фотокопирование, магнитную запись и какие-либо
иные способы хранения и воспроизведения информации,
без предварительного письменного разрешения правообладателя.
Шеф-редактор Светлана Якубова
Литературный редактор Анна Шапошникова
Ответственный редактор Лейла Магажанова
Технический редактор Наталья Чернышева
Компьютерная верстка Алексея Филатова
Подписано в печать 15.09.2020. Формат 84x108/32. Усл. печ. л. 20,16.
Печать офсетная. Гарнитура Pragmatica. Бумага офсетная пухлая.
Тираж
экз. Заказ №
Общероссийский классификатор продукции ОК-034-2014 (КПЕС 2008):
– 58.11.1 – книги, брошюры печатные
Произведено в Российской Федерации. Изготовлено в 2020 г.
Изготовитель: ООО «Издательство АСТ»
129085 г. Москва, Звездный бульвар, д. 21, строение 1, комната 705,
помещение I, этаж 7
Наш электронный адрес: www.ast.ru
«Баспа Аст» ЖШ£
129085, М¤скеу ¥., Звёздный гулзар, 21-¦й,
1-¥§рылыс, 705-б¨лме, I жай, 7-¥абат.
Біздін электронды¥ мекенжаймыз: www.ast.ru
Интернет-д¦кен: www.book24.kz
£аза¥стан Республикасында¬ы импорттаушы «РДЦ-Алматы» ЖШС.
£аза¥стан Республикасында дистрибьютор ж¤не ¨нім бойынша арызталаптарды ¥абылдаушыны­ ¨кілі – «РДЦ-Алматы» ЖШС
Алматы ¥., Домбровский к¨ш., 3«а» ¦й, Б литері, 1 ке­се.
Тел.: 8(727) 2 51 59 90,91.
факс: 8 (727) 251 59 92 ішкі 107;
E-mail: RDC-Almaty@eksmo.kz, www.book24.kz
Тауар белгісі: «АСТ»
®ндірілген жылы: 2020
®німні­ жарамдылы¥ мерзімі шектелмеген.
®ндірілген мемлекет: Ресей
Сертификация – ¥арастырылма¬ан