GESTIÓN MATEMÁTICA DE LA INFORMACIÓN
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GESTIÓN DE LA MATEMÁTICA PARA
LA INFORMACIÓN
GESTIÓN MATEMÁTICA DE LA INFORMACIÓN
RESULTADO DE APRENDIZAJE DE LA SESIÓN:
Al finalizar la sesión el estudiante
elabora una plantilla de elementos de
programación
lineal,
utilizando
GeoGebra con precisión y orden.
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SESIÓN Nº 07
MODELOS MATEMÁTICOS
PROGRAMACIÓN LINEAL CON GEOGEBRA
MATHEMATICAL MODELS
LINEAR PROGRAMMING WITH GEOGEBRA
Semestre Académico 2023 – I
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ANTES
Los estudiantes observan el siguiente video:
https://www.youtube.com/watch?v=ceHLG7IuQlM
Luego de ver el vídeo, responder las siguientes
preguntas:
¿Cuál es el propósito de un modelo
matemático?
¿Qué tipo de problemas o fenómenos se
pueden resolver con un modelo matemático?
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INICIO
Se recogen saberes previos y contestan las preguntas que se dan a
continuación en clase:
1. ¿Qué es la programación lineal?
2. ¿Cuál es la utilidad de la programación lineal?
3. ¿Cómo están compuestos los modelos matemáticos de programación
lineal?
Conflicto cognitivo
¿Por qué la programación lineal constituye un
campo importante de la optimización?
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MODELOS MATEMÁTICOS
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MODELO MATEMÁTICO:
FUNCIÓN LINEAL
MODELO MATEMÁTICO
FUNCIÓN
CUADRÁTICA
SITUACIÓN PROBLEMA
FUNCIÓN
FUNCIÓN CÚBICA
FUNCIÓN
EXPONENCIAL
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Modelización de Funciones
Las funciones son muy utilizadas para modelar
matemáticamente situaciones y problemas de la vida
real.
Un modelo matemático se define como una descripción
desde el punto de vista de las matemáticas de un
hecho o fenómeno del mundo real, desde el tamaño de
la población, hasta fenómenos físicos como la
velocidad, aceleración o densidad.
El objetivo del modelo matemático es entender
ampliamente el fenómeno y tal vez predecir su
comportamiento en el futuro.
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PASOS PARA ELABORAR UN MODELO MATEMÁTICO:
1
2
3
4
5
•• Leer y entender el problema.
•• Definir las variables
•• Determinar la regla de correspondencia
•• Determinación de dominio
•• Respuesta
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Modelización con función lineal
Ejercicio 1
Una empresa importante del Perú de telefonía celular, proporciona una nueva
oferta.
•Un pago fijo de 30 Soles mensuales, que incluye 150 minutos para
llamadas.
•Se cobrará 0.20 Soles por cada minuto adicional a los 150 minutos incluidos
en el pago de 30 Soles.
Muestra una representación gráfica de la función que representa el pago (en
Soles) por x minutos de llamadas.
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Solución:
Planteamiento:
Vamos a establecer las condiciones que nos plantean
de forma que permita realizar el gráfico de la función.
Condición 1: Un pago fijo de 30 Soles mensuales, que
incluye 150 minutos para llamadas.
Sea x la cantidad de minutos disponibles para las
llamadas, se entiende que x se encuentra entre 0 y
150, inclusive. Esta restricción es el dominio de la
función que modela la oferta 1. Por tanto, se plantea la
expresión.
Condición 2: Se cobrará 0.20 Soles por cada minuto
adicional a los 150 minutos incluidos en el pago de 30
Soles.
Sea x la cantidad de minutos disponibles para las
llamadas, se entiende que x es mayor a 150. Esta
restricción es el dominio de la función que modela la
oferta 2. Por tanto, se plantea la expresión.
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Solución:
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Modelización con función cuadrática
Ejercicio 2
Se desea encerrar un lote con 200 metros de malla. Cuál
deben ser las longitudes de los lados del rectángulo formado,
para obtener el área mayor posible, si solo se necesita
encerrar tres de sus lados.
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Solución:
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Planteamiento:
Si llamamos uno de sus lados x y el otro lado y, el perímetro de la malla será:
Despejando y nos queda:
El área del terreno la podemos definir como:
Reemplazando la variable y tenemos:
La regla de correspondencia nos quedaría como:
El dominio de la función se determina analizando las restricciones del problema:
Tomando en cuenta que y > 0:
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Despejando x:
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Solución:
El dominio nos queda:
Para obtener el área mayor posible, debemos obtener el vértice de la parábola:
El área máxima que se puede encerrar es de 5000
Unidades cuadradas.
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Modelización con función cúbica
Ejercicio 3
Una caja de cartón tiene base cuadrada, y cada lado de la
base mide x cm. En total las 12 aristas de la caja suman 120
cm.
a. Expresar el volumen de la caja en función de x.
b. Hallar el dominio de la función.
c. Grafique la función y determine el volumen máximo de la
caja.
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Solución:
x
x
Planteamiento:
a.
x
x
Para determinar el volumen de la caja multiplicamos el área de la base por
la altura de la caja:
h
h
h
h
x
x
Como todas las aristas suman 120:
Despejando h:
El volumen nos queda como:
b.
El dominio de la función se determina analizando las restricciones del problema:
Tomando en cuenta que h > 0:
Despejando x:
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Solución:
Planteamiento:
c.
Graficando la función con GeoGebra, obtenemos el volumen máximo:
Cuando x = 10, la función llega a su punto máximo
donde el volumen de la caja es máximo.
El volumen máximo es:
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Modelización con función exponencial
Ejercicio 4
Un cultivo contiene 120 bacterias inicialmente y cada
hora la cantidad se duplica.
a. Encuentre la función que modele el número de
bacterias al cabo de t horas.
b. Encuentre la cantidad de bacterias después de 15
horas.
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Solución:
Planteamiento:
a.
Para modelar el crecimiento de las bacterias en función del tiempo, analizamos el comportamiento
tomando en cuenta que cada hora el número de bacterias se duplica:
t
0
1
B
De esta tabla podemos deducir que, la regla
de correspondencia que relaciona el número
de bacterias en función del tiempo es:
2
3
4
b.
Para encontrar el número de bacterias después de 15 horas, sustituimos en la función:
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PROGRAMACIÓN LINEAL
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MAPA DE CONTENIDOS
Programación Lineal
Restricciones y restricciones de
no negatividad
Función Objetivo
Región Factible, solución óptima
-GeoGebra
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En conclusión:
“La programación lineal es el campo de la programación matemática dedicado a maximizar o
minimizar una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha
función estén sujetas a una serie de restricciones expresadas mediante un sistema de ecuaciones o
inecuaciones también lineales”
Restricciones
o Inecuaciones
Las
restricciones
son
desigualdades
lineales
o
inecuaciones de primer grado
con una o dos variables.
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Restricciones x ≥ 0, y ≥ 0 o llamadas Restricciones de no negatividad
Según Grossman ( 1992)
Prácticamente en todos los problemas de Programación lineal se exige que las variables x e y sean
mayores o iguales que cero; en estos casos, la región factible se dibuja directamente en el primer
cuadrante.
Primer cuadrante
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Función Objetivo, Conjunto Solución y Solución factible.
Según Grossman (1992b):
La función lineal dada por la ecuación a optimizar recibe el nombre de función objetivo. Al
conjunto de puntos en el plano xy que satisface las inecuaciones del problema se llama conjunto
restricción del problema.
Todo punto que esté en el conjunto de restricción recibe el nombre de solución factible. Los
problemas de optimización consisten en hallar el punto o puntos en el conjunto restricción en los
cuales la función objetivo tenga un máximo o un mínimo según lo que pidan. (p.3).
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Teorema:
Grossman (1992) señala que “los valores máximos y mínimo de la función objetivo de cualquier problema de programación
lineal siempre ocurren en los puntos de esquina” (p.23).
Método del punto esquina.
Según el mismo autor: Grossman (1992), los pasos son:
a. Determinense todos los puntos de esquina posible del conjunto restricción. Estos puntos se obtienen tomando exactamente n de las
n + m inecuaciones o restricciones convirtiéndolas en igualdades y resolviendo el sistema resultante de n ecuaciones con n
incógnitas.
b. Determinense los puntos esquinas reales probando cada punto de esquina posible, viendo si satisface o no las m inecuaciones
restantes de las planteadas.
c. Evalúe f(x) en cada punto esquina.
Determinense los puntos de esquina donde la f(x) toma sus valores máximo y mínimo. Si f(x) toma su valor máximo en
dos puntos de esquina, entonces toma este valor en todo punto de la recta que une estos dos puntos de esquina. (p.29).
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Las Soluciones posibles se encuentran en los vértice de la región factible
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Solución óptima Según Grossman (1992)
Se obtiene en los puntos de la región factible donde la función objetivo alcanza su valor óptimo, es decir, el máximo
o el mínimo. Si la solución óptima es única, está ubicada en uno de los vértices de la región factible. Si existen
varias soluciones, entonces son todos los puntos que están sobre uno de los lados de la región factible.
Solución
Óptima
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Pasos para desarrollar problemas de Programación Lineal
Siguiendo el procedimiento de Grossman (1992)
a. Elegir las incógnitas
b. Elaborar una tabla de especificaciones
c. Escribir la función objetivo en función de los datos del problema.
d. Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.
e. Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando gráficamente las restricciones.
f. Calcular las coordenadas de los vértices de la región factible (si son pocos).
g. Evaluar la función objetivo en cada uno de los vértices. Esto será consignado en una tabla de evaluación de la
función objetivo.
Ahí observamos que se pueden presentar valores máximo o mínimo según nos pida el problema
Recordemos que en P.L.se puede tener : solución única, infinitas soluciones o bien no tener solución.
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PROBLEMA DE ELABORACIÓN DE TIPOS DE LÁMPARAS
Una fábrica produce y vende dos modelos de lámparas Arco y Ibiza. Para su fabricación se
necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo Arco y de 30 minutos para el Ibiza; y un
trabajo de máquina para Arco de 20 minutos y de 10 minutos para Ibiza. Se dispone para el trabajo
manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que la ganancia por unidad
es de 15 y 10 dólares para Arco y Ibiza, respectivamente. Determinar la cantidad de lámparas que
debe fabricar para obtener la máxima ganancia.
LÁMPARAS ARCO
LÁMPARAS IBIZA
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Variables de decisión: x= Número de Lámparas de Arco
y= Número de Lámparas Ibiza
Tiempo de disponible 100 horas trabajo manual = 6000 min
80 horas de trabajo de máquina = 4800 min
Lámparas Arco : x
Lámparas Ibiza: y
Tiempo total (min)
Tiempo manual (min)
20
30
6000
Tiempo máquina (min)
20
10
4800
Ganancia
15
10
Función Objetivo:
Restricciones:
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Gráfica de la región factible y determinación de sus vértices usando GeoGebra
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Evaluando los vértices en la región factible
Vértices
F(x,y)= 15x+10y
0
) + 10 (
Respuesta $
A=(0, 0)
15 (
0
)
B = (0, 200)
15 ( 0
C = (210, 60 )
15 ( 210 ) + 10 ( 60
)
3750
D = (240 , 0)
15 ( 240 ) + 10 ( 0
)
3600
) + 10 ( 200 )
0
2000
Interpretación de la respuesta :
¿Calcular la cantidad de lámparas que debe fabricar para obtener la máxima ganancia?
Para tener la ganancia máxima de : $ 3750
Se debe de fabricar:
210 modelos de lámparas Arco y
60 modelos de lámparas Ibiza
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MÉTODO GRÁFICO DESARROLLADO CON GEOGEBRA
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1) Dibujamos las restricciones como rectas igualando a cero.
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2) Asignamos las restricciones para hallar la región factible.
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3) Determinar los puntos de intersección que conforman la región factible.
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4) Se coloca un deslizador y se asocia a la función objetivo.
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5) Se mueve la función objetivo hasta tocar el punto más alejado del polígono o región factible.
Valor Máximo
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EJERCICIO PROPUESTO:
Un fabricante de tapices dispone de 500kg de hilo de seda, 400kg de hilo de plata y 225kg de hilo de oro. Desea fabricar
dos tipos de tapices que llamaremos A y B. Para los del tipo A se necesita 1kg de hilo de seda y 2kg de hilo de plata, y
para los del tipo B, 2kg de hilo de seda, 1kg de hilo de plata y 1kg de hilo de oro. Cada tapiz del tipo A se vende a 2000
euros y cada tapiz de tipo B a 3000 euros. Si se vende todo lo que se fabrica, ¿Cuántos tapices de cada tipo ha de
fabricar para que el beneficio sea máximo y cuál es ese beneficio?
Restricciones:
Variables de decisión: x= Número de Tapices tipo A
y= Número de Tapices tipo B
Tipo de Hilo
Tapiz tipo A
Tapiz tipo B
Hilo de seda
x
2y
500
Hilo de plata
2x
y
400
y
225
Hilo de oro
Total de Hilo disponible
Función Objetivo:
Aplicar el método gráfico con Geogebra.
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APLIQUEMOS LO APRENDIDO
Trabajo Aplicativo
Los estudiantes trabajan en grupos y de manera
colaborativa realizando un cuadro de enunciados y
respuestas de acuerdo a la actividad programada por el
docente.
El docente actúa como mediador del aprendizaje, brindando
apoyo constante en cada sala de grupo.
Duración entre 40min y 60min
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CIERRE
CONCLUSIONES
1.
¿Qué es lo que más te ha gustado de la sesión desarrollada?
2. ¿Qué es lo que aún puedes mejorar para resolver problemas de
modelos matemáticos y programación lineal?
3. ¿Cómo puedes aplicar lo aprendido en la sesión a tu vida
profesional?
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Metacognición
Conclusiones que plantearon en la parte anterior
CIERRE
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TRANSFERENCIA DE LO APRENDIDO
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CIERRE
https://quizizz.com/admin/quiz/5f067253eab6
a8001d1c3818/programaci%C3%B3n-lineal
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COMPLEMENTARIO
Los estudiantes observarán el siguiente video:
https://www.youtube.com/watch?v=VbPWQACl2lg&t=12s
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COMPLEMENTARIO
DESARROLLA EN GRUPO
LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
PARA LA CREACIÓN DEL
PORTAFOLIO
Revisar en el campus virtual.
Resolver la EPP07
Referencias Bibliográficas
Bello, J. (2013) Mediación del software GeoGebra en el aprendizaje de programación Lineal en alumnos del
quinto grado de educación secundaria. Tesis para optar el grado de Magister en la enseñanza de la
matemática en la PUCP Lima. Recuperado de:
http://repositorio.pucp.edu.pe/index/browse?type=author&value=Bello+Durand %2C+Judith+Beatriz
Inv Operaciones. (2021). Historia de la programación lineal. Optimus,
(100025022), 1. Retrieved from
https://inveoperaciones.wordpress.com/2012/05/07/historia-de-la-program
acion-lineal/
Grossman, S. (1992b). Aplicaciones del álgebra lineal (4ª ed.).
México, D.F.: Graf América.
Recalde Jara, D. L., & Maldonado Villareal, E. (2021). George Dantzig:
Padre de la programacion lineal. ASOiMAT, 7(1), 31–33.
Recuperado a partir de
https://revistaasoimat.epn.edu.ec/index.php/ASOiMAT/article/view/93
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