Universidad Digital del Estado de Hidalgo
Licenciatura en Ingeniería de Software
Asignatura: Matemáticas Discretas
Reglas de inferencia básicas
Reglas que permiten obtener conclusiones a partir de una y dos premisas.
En la primera fila de la tabla de izquierda a derecha se muestra una o dos hipótesis de las que se
obtiene una conclusión, si se expresa ese razonamiento como una inferencia (condicional) se
obtiene una tautología, que se muestra en la fila de en medio.
Regla de
inferencia
𝑝
𝑝∨𝑞
𝑝∧𝑞
∴
𝑝
∴
Tautología
Nombre
𝑝 → (𝑝 ∨ 𝑞)
Adición
(𝑝 ∧ 𝑞) → 𝑝
Simplificación
((𝑝) ∧ (𝑞)) → (𝑝 ∧ 𝑞)
Conjunción o ley de
combinación
[𝑝 ∧ (𝑝 → 𝑞)] → 𝑞
Modus Ponens
[¬𝑞 ∧ (𝑝 → 𝑞)] → ¬𝑝
Modus Tollens
[(𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑞 → 𝑟)] → (𝑝
→ 𝑟)
Silogismo hipotético
[(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬𝑝] → 𝑞
Silogismo disyuntivo
[(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (¬𝑝 ∨ 𝑟)]
→ (𝑞 ∨ 𝑟)
Ley de resolución
𝑝
𝑞
∴
𝑝∧𝑞
𝑝
𝑝→𝑞
∴
𝑞
¬𝑞
𝑝→𝑞
∴
¬𝑝
𝑝→𝑞
𝑞→𝑟
∴
𝑝→𝑟
𝑝∨𝑞
∴
¬𝑝
𝑞
𝑝∨𝑞
¬𝑝 ∨ 𝑟
∴
𝑞∨𝑟
Se utilizan las reglas de inferencia para obtener conclusiones válidas a partir de un razonamiento
lógico, como se muestra en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 1. Dadas las siguientes hipótesis, obtener una conclusión válida.
ℎ1 : 𝑝 ∨ 𝑞
ℎ2 : 𝑡 ∧ 𝑠
ℎ3 : 𝑡 → (¬𝑝 ∨ ¬𝑟)
ℎ4 : 𝑟
Paso
Razonamiento
1. 𝑡 ∧ 𝑠
Hipótesis 2
2. 𝑡
Simplificación del paso 1
3. 𝑡 → (¬𝑝 ∨ ¬𝑟)
Hipótesis 3
4. ¬𝑝 ∨ ¬𝑟
Modus Ponens utilizando los pasos
2y3
5. 𝑟
Hipótesis 4
6. ¬𝑝
Ley de resolución utilizando los
pasos 4 y 5
7. 𝑝 ∨ 𝑞
Hipótesis 1
8. 𝑞
Ley de resolución utilizando los
pasos 6 y 7
Ejemplo 2. Muestra que las hipótesis “Si realizas la tarea entonces jugarás fútbol”, “Si no realizas
la tarea, te irás a la cama temprano” y “Si te vas a la cama temprano, te levantas descansado”,
llevan a la conclusión “Si no juego fútbol, me levantaré descansado”.
Sean:
𝑝: “Realizas la tarea”
𝑞: “jugarás fútbol”
𝑟: “Me iré a la cama temprano”
𝑠: “Me levantaré descansado”
Las hipótesis son:
ℎ1 : 𝑝 → 𝑞
ℎ2 : ¬𝑝 → 𝑟
ℎ3 : 𝑟 → 𝑠
Conclusión:
¬𝑞 → 𝑠
Para realizar la demostración se utilizan las equivalencias lógicas (vistas en lógica
proposicional) y las reglas de inferencia para obtener:
Paso
Razonamiento
1. 𝑝 → 𝑞
Hipótesis 1
2. ¬𝑞 → ¬𝑝
Contrarrecíproca del paso 1
3. ¬𝑝 → 𝑟
Hipótesis 2
4. ¬𝑞 → 𝑟
Silogismo hipotético a partir de los
pasos 2 y 3
5. 𝑟 → 𝑠
Hipótesis 3
6. ¬𝑞 → 𝑠
Silogismo hipotético a partir de los
pasos 4 y 5