UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y DE ENERGÍA
COMPLEMENTO DE MATEMÁTICA
TALLER N.º 1
1. Conociendo los vértices adyacentes de un paralelogramo ABCD con 𝐴(2,0), 𝐵(−3,3) y el punto
de intersección de sus diagonales 𝑄(−1,0). Halle los otros dos vértices.
2. Sean A, B y C vértices de un triángulo. 𝑃1 es punto medio del segmento ̅̅̅̅
𝐴𝐵, 𝑃2 y 𝑃3 son puntos
̅̅̅̅ . 𝑃4 es punto medio del segmento ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
de trisección del segmento 𝐵𝐶
𝑃1 𝐶 . Expresar el vector 𝑃
4 𝑃3
̅̅̅̅ y 𝐴𝐶
̅̅̅̅ .
como combinación lineal de los vectores 𝐴𝐵
̅̅̅̅, 𝑄 ∈ 𝐵𝐶
̅̅̅̅ , 𝐴𝑃
̅̅̅̅ = 2 𝐴𝐵
̅̅̅̅ y 𝐵𝑄
̅̅̅̅ = 4 𝐵𝐶
̅̅̅̅ .
3. Sean 𝐴, 𝐵 y 𝐶 vértices de un triángulo tal que 𝑃 ∈ 𝐴𝐵
5
7
Expresar ̅̅̅̅
𝑃𝑄 como combinación lineal de ̅̅̅̅
𝑃𝐶 y ̅̅̅̅
𝐵𝑄 .
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4. Los vectores 𝑎̅ y 𝑏̅ son los lados de un paralelogramo. Si ‖𝑎̅‖ = 6, ‖𝑎̅‖ = 2‖𝑏̅‖ y 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑏𝑎̅̅ = 3 .
Determine ‖𝑎̅ − 𝑏̅‖
5. Sean los vectores fuerza dados por los vectores de posición 𝑎̅ = (1,3), 𝑏̅ = (3,5), 𝑒̅, 𝑐̅ = (−4,2)
y 𝑑̅ = (0, −5). Graficar dichos vectores y halle el vector 𝑒̅ para que el sistema esté en equilibrio.
6. En un sistema de tres cables, dos de ellos están fijados en puntos distintos a un cielo raso
formando ángulos de 50° y 30°, estos cables están unidos en un punto común y de allí el tercer
cable sostiene un peso de 100 𝑙𝑏. Halle los vectores tensión para que este sistema esté en
equilibrio.
7. Sea un triángulo isósceles ABC con vértices 𝐴(0, −1), B y C con lados iguales ‖𝐴𝐵‖ = ‖𝐵𝐶‖ .
Si 𝑃𝑟𝑜𝑦𝐴𝐸 𝐹𝐷 = (2, √3), 𝑚 > 0, 𝑃𝑟𝑜𝑦𝐴𝐶 𝐴𝐵 = (4,0),
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𝐴𝐸
𝐸𝐵
𝐵𝐷
= 𝐷𝐶 = 3 y
𝐴𝐹
𝐹𝐶
1
= 3, donde 𝐸 ∈ 𝐴𝐵,
𝐷 ∈ 𝐵𝐶 y 𝐹 ∈ 𝐴𝐶. Halle las ecuaciones vectoriales de las rectas que contienen los lados del
triángulo DEF.
Sean 𝐴(−4, −3), 𝐵(4, −2) y 𝐶(1,4) vértices de un triángulo. 𝑃 ∈ 𝐴𝐶, 𝑀 punto medio de 𝐴𝐵,
𝑅 punto medio de 𝑀𝑃 , 𝑃𝑟𝑜𝑦𝐵𝑅 𝐵𝑃//(−2,1). Halle el área del triángulo de vértices 𝐴, 𝑅 𝑦 𝑃
Sea ∆𝑃1 𝑃2 𝑃3 , 𝑃1 (−2, −3), 𝑃2 (1,5), 𝑃4 (4, −1) determinar El ortocentro del ∆𝑃1 𝑃2 𝑃3 y la recta
1
que pasa por (𝑃1 + 𝑃3 ) y forma un ángulo de 30° con el lado 𝑃2 𝑃3
3
Sean A, B y C (etiquetados en sentido anti horario) vértices de un triángulo. 𝑀1 y 𝑀2 son puntos
medios de los segmentos ̅̅̅̅
𝐴𝐶 y ̅̅̅̅
𝐶𝐵 respectivamente. Los puntos 𝑅2 y 𝑅1 (próximo del vértice 𝐵)
son puntos de trisección del segmento ̅̅̅̅
𝐴𝐵. Expresar el vector ̅̅̅̅
𝑃𝐶 como combinación lineal de los
̅̅̅̅ y 𝐴𝐶
̅̅̅̅ cuando:
vectores 𝐴𝐵
a. P es el punto de trisección más próximo del punto final del segmento ̅̅̅̅̅̅̅
R1 M1
̅̅̅̅̅̅̅
b. 𝑃 es el punto de trisección más próximo del punto final del segmento 𝑅
2 𝑀2
Sean R1 y R 2 puntos de trisección del segmento P1 P2 . La recta L2 Pasa por R 2 talque la tangente
del ángulo formado por LP1 P2 y L2 es igual a 2. Halle la ecuación de la recta L2 después de
sufrir una rotación en sentido antihorario de un ángulo de 53° respecto del punto R1 , si P1 (1,3)
y P2 (6,8).
Un objeto de 2 kg se desliza sobre una rampa que tiene un ángulo de 30o con respecto a la
horizontal. Si despreciamos la fricción y sólo actúa la fuerza gravitacional sobre el objeto,
utilizando vectores, halle la componente de la fuerza gravitacional en la dirección del movimiento
del objeto.
En las siguientes preguntas:
a. Halle las coordenadas del punto (15,18) después de sufrir una rotación, en sentido anti
horario, de un ángulo de 30° con respecto al punto (2,5).
b. Determine el ángulo que, rotando, en sentido anti horario, el punto (19, −5) alrededor
del punto (4,3) se obtiene el punto (19,11).
Sean T(2,8), S(8,10), N(10,4) y M(4,2) vértices de un cuadrilátero. Un móvil parte del punto
R 0 (5,5) y se desplaza en la dirección del vector (1, −1) y rebota en los lados del cuadrilátero
en dirección ortogonal a la dirección que poseía antes de cada rebote. Halle las coordenadas
del punto que representa el tercer rebote después de sufrir una rotación, en sentido anti horario,
de un ángulo de 90° con respecto al punto T.
Dadas las rectas L1 : P = P0 + ta̅ , t ∈ R y L2 : P = P0 + rb̅ , r ∈ R en R2 . Verificar que la
familia de rectas que pasan por la intersección de las rectas dadas está dada por LF : L1 +
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kL2 = 0 , k ∈ R.
Sea la recta 𝐿: 𝑥 − 𝑦 − 4 = 0 y el punto 𝑄(5,6). Halle
𝜋
a. Un punto 𝑃0 de 𝐿 de modo que el ∡(𝐿, 𝐿1 ) = 3 . Donde, el vector ̅̅̅̅̅
𝑃0 𝑄 es vector
direccional de la recta 𝐿1 .
b. El punto 𝑄 después de sufrir una rotación, en sentido horario, dos veces el ángulo
∡(𝐿, 𝐿1 ) con respecto al punto 𝑃0 .
Halle los vértices de un triángulo equilátero cuyos lados son representados por vectores de norma
igual a 2 unidades.
Dada la recta 𝐿: 𝑃 = (2,1) + 𝑡(−1,1), 𝑡 ∈ 𝑅 y 𝑄0 (4,6). Halle el punto simétrico de 𝑄0 respecto
a la recta 𝐿.
Sea 𝑇(𝑋) = 𝑋 + 𝐴, 𝐴 = (−1,2) una traslación y U una rotación, en sentido anti horario, de 45°
alrededor del punto (2, −5). Si 𝐿 = {(2,1) + 𝑡(2,3), 𝑡 ∈ 𝑅} halle 𝐿′ = 𝑈(𝑇(𝐿)).
Utilizando la rotación de un vector con respecto a un punto. Halle el punto simétrico de 𝑄(5,8)
con respecto a la recta 𝐿: 𝑃 = (3,2) + 𝑡(2,1) ; 𝑡 ∈ 𝑅.
Rogelio Efren Cerna Reyes
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