Fundamentos de
transferencia
de calor
Fundam entos de
transferencia
de calor
CUARTA EDICIÓN
FRANK P. INCROPERA
DAVID P. D f WITT
School o f Mechanical Engineering
Purdue Universiíy
TRA D U C C IÓ N
Ricardo Cruz
Investigador Fundación Javier Barros Sierra
REV ISIÓ N TÉCN IC A
Enrique M uñoz Díaz
Ingeniero M ecánico Electricista
Facultad de Ingeniería - U niversidad N acional A utónom a de M éxico
D irector de la C arrera de Ingeniería M ecánica Electricista
Instituto Tecnológico de E studios Superiores de M onterrey
Cam pus M onterrey
A SESO RÍA TÉC N IC A
Lourdes Delgado Núñez
D epartam ento de Energía
U niversidad A utónom a M etropolitana
Unidad A zcapotzalco
PEARSON
Educación
I®
M éxico • Argentina • Brasil • Colombia • Costa Rica • Chile • Ecuador
España • Guatemala • Panamá • Perú • Puerto R ico • Uruguay • Venezuela
Datos de catalogación bibliográfica
Incropera, Frank P.
Fundamentos de transferencia de calor. 4a ed
PRENT1CE HALL, México. 1999
ISBN 970-17-0170-4
AREA: UNIVERSITARIOS
FORMATO: 20 X 25.5 cm
PAGINAS 912
ED IC IO N EN ESPAÑOL.:
EDITOR
SUPERVISOR DE TRADUCCIÓN
SUPERVISORA DE EDICION
PABLO EDUARDO ROIG VAZQUEZ
ENRIQUE PALOS BAEZ
REBECA RUIZ ZAMITES BONILLA
ED IC IÓ N EN INCJl E S:
Acquisuion> editor: Cliíí Robichaud
Marketing manager. Debra Riegert
Produclion manager. LuciIIe Buonocorc
Sénior produclion editors: Nancy Prin/.Tracey Kuchn
Texl designer: Nancy Eield
Cover dcsigner Karin Kincheloe
Manufacturing manager: Mark CiriIIo
Illustration editor: Edward Starr
INC ROPERA E UNDAMENTOS D L IR A N SFEREN CIA D E CALOR. 4o e d _________________________
Traducido del inglés de la obra: Fundam entáis o flle a t and Mass Transfer, 4th ed
A1I rights reserved. Authorized translation from Engllsh language edítion pubhshed by John Wiley & Sons, Inc
Todos los derechos reservados. Traducción autorizada de la edición en inglés publicada por John Wiley & Sons. Inc.
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clectronic or mechanical. íncluding pholocopying, rccording or by any Information storage and retricval
systcm, without permission in writing from the publisher.
Prohibida la reproduce on total o parcial de esta obra, por cualquier medio o método sin autorización por
escrito del editor
Derechos reservados © 1999 respecto a la primera edición en español publicada por
PRENTICE HAI I HISPANOAMERICANA, S. A
Atlacomulco 500-5to piso
Industrial Atoto
53519 Naucalpan de Juárez, Edo de México
ISBN 970-17-0170-4
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial, Reg. Núm. 1524.
Original Enghsh Language Edil ion Pubhshed by John Wiley &. Sons, Inc
Copyright© 1996
All rights reserved
ISBN 0-471-30460-3
IMPRESO EN MÉXICO / PRINTED IN MEXICO
D edicado a mu ‘'tras num erosas familias y a sus lujos,
¡Vichólas D c W itt fíifa n o 9J o h n W a lla ce, M ic h a e l A n th o n y
y B r a n d a n P a tr ic k ía f e ls k i
q u ie n e s lian in c r e m e n ta d o los n iv e le s de am o r,
p a c ie n c ia \ c o m p r e n sió n en n u e str a s v id a s.
•r
y M a llo ry R e n e e Da-rU; P a tr ic ia A n a y D a v id Á n d n w F o le y
M ic h a e l D eW itt y S a ra h J o a n n e I r e d e r ic k ;
Con el paso de aproxim adam ente quince anos desde la publicación de la prim era edición,
este texto ha llegado con toda claridad a ser una representación m adura de la enseñanza
de la transferencia de calor. No obstante esta m adurez, pensam os que. si bien algunos
principios básicos siguen siendo válidos, nuestro tratam iento del tem a ha estado en evo­
lución constante
Preparar la prim era edición se basó en la convicción de que un prim er curso de trans­
ferencia de calor debe, sobre todo, propiciar dos cosas: inculcar una apreciación de los
orígenes físicos del tem a y establecer la relación de estos orígenes con el com portam ien­
to de los sistem as térm icos. Para llevar esto a cabo son necesarias las m etodologías que
faciliten la aplicación del tem a a una am plia variedad de problem as prácticos, y debe
lom entarse la facilidad para realizar la clase de análisis de ingeniería que, aunque no
exacto, proporcione inform ación útil con respecto al diseño y/o funcionam iento de un sis­
tem a o proceso. Los requisitos de este tipo de análisis incluyen la capacidad de distinguir
procesos de transporte relevantes y sim plificar suposiciones, identificar las variables de­
pendientes c independientes adecuadas, desarrollar las expresiones apropiadas a partir
de los principios fundam entales y em plear las herram ientas necesarias a partir de la base
del conocim iento de la transferencia de calor En la prim era edición, el logro de este ob­
jetivo se procuro planteando m uchos de los ejem plos y problem as de fin de capitulo en
térm inos de sistem as de ingeniería reales
La segunda edición tam bién se guio por los objetivos antcrioies. asi com o por consi­
deraciones derivadas de un cuestionario que se m andó a más de cien colegas que usaron
la prim era edición o se fam iliarizaron con ella L na de las principales consecuencias de
estas consideraciones fue la publicación de dos versiones del libro- Fundamentáis ofUeat
andMass Transfer (Fundam entos de transferencia de calor y masa) e Intwduction to Heat
Tiransfer ( Introducción a la transferencia de calor). C om o en la prim era edición, la versión
de ‘ Fundam entos” com prendió la transferencia de m asa y proporciono un tratam iento
integrado de transferencia de calor, m asa y m om ento m ediante convección, así com o
tratam ientos aparte de transferencia de calor y masa por difusión La versión de ‘‘Introduc­
ción*’ del libro se destinó a usuarios que desearan abarcar el tratam iento de la transferencia
de calor, pero que no desearan ver los efectos de la transferencia de masa. En am bas
versiones, se realizaron m ejoras significativas en el tratam iento de los métodos num éri­
cos y de la transferencia de calor con cam bio de fase.
En la tercera edición, los cam bios estuvieron m otivados por el deseo de incrementar
el alcance de las aplicaciones y de realzar la exposición de los principios físicos Se am ­
plió la cobertura del material existente sobre resistencia térm ica de contacto, análisis de
I'rúlavi» ■
resistencia interna despreciable y m étodos de dilercncias finitas e intercam biadores de
calor com pactos, adem ás de que se agregó nuevo material sobre convección forzada en
chorros sum ergidos y convección libre en canales abiertos de placas paralelas. También
se incluyeron cerca de 300 problem as nuevos. Con el espíritu de pasados esfuerzos, mu­
chos de los problem as tratan tem as contem poráneos de la practica de la ingeniería, com o
la conversión y utilización de la energía, la protección térm ica, el enfriam iento electróni­
co, la fabricación y el procesam iento de materiales. Seguim os creyendo que, adem ás de
reforzar en el estudiante la com prensión de principios y aplicaciones, los problem as sir­
ven de m otivación, pues relacionan el tem a con necesidades reales de la ingeniería.
En la preparación de la presente edición, m íluyó m ucho el intenso análisis al que ha
estado sujeta recientem ente la educación en ingeniería. Por un lado, oím os decir que. si se
pone énfasis en el análisis y las ciencias de la ingeniería, se descuidan las capacidades de
síntesis e integración de sistem as que por lo general se requieren en la práctica de la pro­
fesión. Por el contrario, los defensores de los m étodos de educación en ingeniería poste­
riores a la década de los 50 argum entan que una valoración cuidadosa de los principios
básicos de ingeniería es esencial para com prender y m ejorar la operación de los disposi­
tivos, procesos y sistem as existentes, asi com o para el desarrollo de nuevas tecnologías.
En nuestro caso, estam os de acuerdo con am bas aseveraciones Es posible un m ejor tra­
bajo en la preparación de nuestros estudiantes para la práctica de la ingeniería, y es im por­
tante que com prendan los principios básicos y que sean capaces de aplicarlos. Sin
em bargo, tam bién consideram os que estos dos objetivos no son m utuam ente excluyentes.
sino que se pueden acoplar para beneficio mutuo
Pocos educadores se han salvado de Ja frustración de ver que muchos de los estudian­
tes que com pletaron de form a satisfactoria las ciencias esenciales de la ingeniería com e­
ten errores al intentar aplicar incluso los principios más rudim entarios a problem as en el
nivel de diseño y sistemas. Creem os que este tipo de dificultades son resultado de una for­
m a de pensam iento que considera que cada problem a tiene una solución única (la correc­
ta) y que existe sólo un cam ino hacia esa solución Con el propósito de 110 equivocarse
para encontrar el cam ino a la solución adecuada, la solución del problem a corre el nesgo
de llegar a ser un ejercicio restringido al reconot¿miento de patrones. Es decir, el método de
solución de problem as se concentra en la búsqueda de soluciones existentes para proble­
mas similares.
En Purdue. com o en m uchas otras instituciones, se utiliza la educación por objetivos
com o m edio de enfrentar las anteriores deficiencias. Una im portante característica de
nuestro m étodo im plica el propósito inte viador a lo largo del programa de estudios , que
incluye cursos, com o el de transferencia de calor, basados en las ciencias de la ingeniería.
En estos cursos, los problemas de diseño \ los problemas ubiet tos proveen tierra fértil pa­
ra relacionar los fundam entos con modelos de ingeniería útiles y, a su vez, para relacio­
nar estos m odelos con decisiones de diseño A unque los problem as pueden ser de alcance
lim itado y quizá no requieran más de unas cuantas horas fuera del salón de clase, se refie­
ren a necesidades reales y perm iten planteam ientos alternativos, que incluyen considera
ciones del tipo de qué sucedería si De esta m anera, proporcionan el contexto necesario
para que los estudiantes adquieran confianza en la aplicación de los principios básicos a
problem as reales abiertos y utilicen estas aplicaciones com o una base para tom ar decisio­
nes de diseño. A través del estim ulo que proporcionan, los problem as tam bién aum entan
el interés y profundizan en la com prensión de los principios básicos.
Por lo tanto, en esta edición agregam os un núm ero significativo de problem as abier­
tos que aum entarán el interés del estudiante en la transferencia de calor, fortalecerán su
capacidad para aplicar el tem a a necesidades reales, y lo prepararán m ejor para la prácti­
ca de la ingeniería. D ebido a que m uchos de estos problem as implican consideraciones de
■ Prefacio
¡Y
tipo exploratorio, de que sucedería si, y de sensibilidad de parámetros, se recom ienda
que se traten en com putadora con un paquete de .software para solución de ecuaciones.
A unque los estu d ian tes ciertam ente pueden crear y solucionar los m odelos con un
softw are con el que ya estén fam iliarizados, hay softw are basado en W indow s que ofre­
ce algunas v entajas diferentes com o herram ienta de productividad y aprendizaje. D eno­
m inado Interactive Heat Transfer (T ransferencia de calor interactiva, ¡HT) y diseñado en
colaboración con IntelhP ro. Tnc.. de N ew B runsw ick. N ueva Jersev.
el softw are está inte*
grado por co m pleto con el texto, pues em p lea las m ism as m etodologías y nom enclatura.
IHT proporciona un am biente para co n struir m odelos y solucionar problem as que
com prende un preprocesador, un solía ionador y un posproi esador. El preprocesador
tiene un espacio de trabajo en el que se puede introducir ecuaciones y com entarios desde
m ódulos preexistentes y/o herram ientas (así com o desde el teclado). Los m ódulos co n ­
sisten en modelos, que cubren tem as m ás am plios, com o balances de energía y circuitos
térm icos, m ientras que las h erram ientas proporcionan ecuaciones específicas para proce­
sos de conducción, convección y radiación, asi com o propiedades termofísicn.s para sus­
tancias seleccionada: El solu cio n ad o r brinda la capacidad de auxiliar en la solución de
ecu acio n es de form a com prensible, m ientras que el posprocesador cuenta con una opción
de exploración para estu d io s de sen sib ilid ad de parám etros, un visor para tabular resu l­
tados y una opción gráfica para graficar los resultados. La capacidad de construcción de
m odelos y solución de problem as del IH T facilita la aplicación de las m etodologías que
se presentan en el texto, así com o la ejecución de problem as de diseño y del tipo co n jetu ­
ral de (pié sucedería si.
Los m odelos accesibles desde el prepro cesador están contenidos en seis diferentes
módulos, cada uno de los cu ales tiene uno o m ás m odelos. Los m ódulos y modelos rela­
cionados. siguiendo el orden en que aparecen en el texto, son los siguientes.
1. Prim era ley: balances de energía de estado estable para
• geometrías tsorc rmicas planas, c iffndricas y esjéi iras con efectos multimodales:
• paredes planas no isotérmicas con efec ros multimodales;
• flujo por un banco de tubos;
• flujo Por lm tubo.
2. R ed es de resistencia térm ica: co n stru cto r y solucionador (solver) d e circuitos térm i­
cos para
•
candín ción unidimensional en paredes planas, cilíndi u as y esféricas en condicio­
nes de superficie convectivas v/o radiativas.
3. C ond u cción unidim ensional de estado estable: distribuciones de tem peratura y
transferencia de calor con o sin generación uniform e de energía para
•
conducción unidimensional en geometrías planas, ailindi u as y esfét ic as i on con­
diciones de p a n tera de la primera, segunda o ten cía i lase
4. Superficies extendidas: m odelos para
•
distribuciones de temperatura y transferencia de calor en una aleta rectangular
recta o en form a de alfiler:
• desempeño de una aleta rectangular reí ta. en form a de alfiler, triangulen o parabó­
lica y de una aleta circular de peifil rectangular;
• desempeño de arreglos de aletas rectas de alfiler y circulares.
\
Pr«*fa«*io ■
5. R e siste n c ia in te r n a d e s p re c ia b le : co n stru cto r de m odelos para
•
respuesta transitoria de sistemas isotérmicos espaciales en condiciones de super­
ficie de radiación y/o convección, con o sin generación de energía.
6 . C o n d u c c ió n tr a n s ito r ia : m odelos para co n d u cción transitoria unidim ensional en
•
geometrías finitas planas, cilindricas y esféricas:
•
sólidos semiinfinitos.
A u m enta la cap acid ad de co n stru cció n de m odelos y de solución de problem as con
las características de los sig u ien tes g r u p o s d e h e r r a m ie n ta s y funciones relacionadas
1. Tinunciones d e flu jo : ecu acio n es b ásicas de flujo pa a
•
conducción en estado estable (p ared es planas, cilin d ricas y esféricas):
•
convección (superficies planas, cilin d ricas y esféricas):
•
radiación (superficies planas, cilin d ricas y esféricas).
2. R e siste n c ia s té rm ic a s : ex p resio n es para
•
conducción (p ared es p lanas, cilin d ricas y esféricas):
•
convección (superficies planas, cilin d ricas y esféricas):
•
radiación (superficies p lanas, cilin d ricas y esféricas).
3. E c u a c io n e s d e d ife re n c ia fin ita : form as están d ar de ecu acio n es de d iferencia finita
para
•
sistemas unidimensionales transitorios y en estado estable:
• sistemas tridimensionales transitorios y en estado estable.
4. C o rre la c io n e s d e c o n v e c c ió n : ecuaciones de correlación para
•
convección forzada externa (placa plana, cilindro, esfera, banco de tubos):
•
convección forzada interna:
• convección libre (placas verticales y h orizontales, sistem as radiales):
•
ebullición (n u clead a. de p elícula y de transferenci i de calo r m áxim o y m ínim o):
•
condensación de película (placa vertical, sistem as radiales).
5. I n te r c a m b ia d o r e s d e c a lo r: relaciones de efectiv id ad N U T para d iseño y rendim ien­
to de
•
tubos concéntricos, configuraciones de coraza y tubo y de flujo cruzado.
6 . I n te r c a m b io p o r r a d ia c ió n : ex p resio n es están d ar p ara calcular
• funciones de cuerpo negro (tacto res de intensidad esp ectral, potencia em isiv a y
em isión de banda):
• factores de form a (relacio n es y fórm ulas):
•
intercambio por radiación en un recinto.
7. P ro p ie d a d e s : d ep en d en cia de tem p eratu ra de propiedades term o fisicas para m ateria­
les esco g id o s com o
•
sólidos (alu m in io 2024, acero inoxidable 302. cobre, nitruro de silicio):
•
líquidos (agua, aceite lubricante, etilen g lico l. R 1 2 R 113):
•
gases vapores (a b e , agua, helio, R 12. R 1 13).
Prefacio
xi
Los usuarios del program a IH T deben entender que no se trata de una colección de
m odelos resueltos previam ente para ejercicios con diferentes condiciones de entrada.
Más bien es una herram ienta de productividad que facilita la construcción y solución de
m odelos para la am plia variedad de problem as de transferencia de caloi que abarca este
texto. La construcción se facilita con la capacidad para arrastrar material de cualquiera
de los m ódulos y herram ientas al área de trabajo y, coino se requiere para com pletar el
m odelo, introducir ecuaciones adicionales desde el teclado Por ejem plo, si se desea uti ■
lizar el m étodo de resistencia interna despreciable (capítulo 5) para determ inar la respues­
ta térm ica transitoria de un sólido que se enfria m ediante convección libre y radiación, el
m odelo apropiado se generaría com binando características del m ódulo 5 y de las herra­
m ientas 1 , 4 y 7. A lternativam ente, el balance de energía apropiado, y las ecuaciones o
m odelos de transferencia de calor, correlaciones y propiedades se introducirían desde el
teclado. El solucíonador serviría después para calcular la historia de tem peratura desea
da, así com o para evaluar y trazar gráficas de los efectos de las variaciones de los param etros apropiados. Para facilitar su uso. el softw are tam bién incluye un tutorial, ejem plos
resueltos y opciones para ayuda en línea
A fin de m inim izar las frustraciones asociadas con la obtención de resultados in­
coa ec tos a partir de un modelo incorrecto, m uchos de los problem as abiertos de este tex­
to aparecen com o extensiones a problem as de una sola solución. De esta form a los estu­
diantes pueden prim ero elaborar y probar su m odelo bajo condiciones prescritas para las
que sólo hay una respuesta Una vez establecida la confianza en la validez de su modelo,
pueden usar entonces 1HT (o algún otro solucíonador) para llevar a cabo cálculos param étricos desde los que es posible determ inar los diseños o las condiciones de operación óp­
timos. Estos problem as se identifican por tener encerrada su parte exploratoria con un
rectángulo, por ejem plo, ( b ) , (c) o (d)|. b sta característica tam bién perm ite a los ins­
tructores tratar la transferencia de calor sin el uso de com putadoras para aprovechar la ri­
queza de estos problem as incluso asignando todas las porciones excepto las realzadas
Los problem as para los que el núm ero m ism o está resaltado, com o por ejem plo, 1.18, de­
ben resolverse con com putadora
R especto al uso de IHT com o una herramienta de productividad, se recom ienda que
se solicite a los estudiantes que elaboren sus m odelos en papel y hagan cálculos m anuales
lim itados antes de recurrir al softw are para consideraciones de diseño y exploración. Una
vez que los estudiantes dom inan los conceptos de transferencia de calor y se fam iliarizan
con el softw are, están habilitados para tratar con muchas de las com plejidades asociadas
con el com portam iento de sistem as térm icos reales. En relación con el uso del IHT com o
lien amienta de aprendizaje, el contenido y jerarquía del softw are refuerza la asim ilación
subsecuente y la aplicación de los fundam entos de transferencia de calor que se tratan en
el texto.
En los preparativos de esta edición influyeron también los resultados de un cuestiona­
rio con el que se procuró obtener rctroalim entación en cuatro temas principales: ¿es dem a­
siado largo el texto9; ¿ hay un balance satisfactorio entre los tratam ientos de la i icncia y la
práctica de la transferencia de calor?; ¿se debe acoplar un paquete de software al texto?; y
¿cual es un balance apropiado entre problem as de final de capítulo cerrados y abiertos?
C om o sólo 18 por ciento de los 310 que respondieron consideraron que el texto era
dem asiado largo, no se hizo intento de reducirlo Se agrego una cantidad lim itada de m a­
terial nuevo para m ejorar los tratam ientos de varios tem as (la prim era ley; conducción en
estado estable unidim ensional con generación interna; superficies extendidas: cuerpos se­
m iinfinitos). pero en cada caso con poco efecto sobre la longitud total del texto. Aunque
los que respondieron consideraron que el libro tenía buen equilibrio entre fundam entos y
P refa cio ■
aplicaciones, se recom endó que la nueva edición incluyera m ás problem as abiertos de
propósito orientado (aproxim adam ente 25 por ciento del total) y que se recom endara soft
vvare de sim ulación para acelerar el proceso de solución C om o se explicó en parratos an­
teriores, respondim os a am bas sugerencias.
E stam os en deuda con m uchos de nuestros colegas de Purdue y con todos los que
aportaron las sugerencias e ideas que no en poco contribuyeron a la producción de este
texto. Siem pre procuram os estar conscientes de las necesidades y dilicultades de apren­
dizaje de los estudiantes, y agradecem os a todos los alum nos de Purdue y de otros luga­
res. que proporcionaron un refuerzo positivo a nuestra tarea
West Lafayette, Indiana
Frank P I n c r o p e r a d p ite e n .purdue.edu)
David P DeW itt (d p d é e c n purdue edu)
Contenido
Símbolos
X\I
CAPÍ TI 1.0 1
Introducción
1
1. 1
1.2
1.3
1.4
1.5
1. 6
1.7
¿Qué y cómo ?
Orígenes tísicos y modelos
1.2.1 Conducción 3
1.2.2 Convección 5
1.2.3 Radiación 8
1.2.4 Relación con la termodinámica 12
Requerimiento de conservación de la energía
1.3.1 Conservación de la energía para un volumen de control 12
1.3.2 Balance de energía en una superficie 19
1.3.3 Aplicación de las leyes de conservación: metodología 21
Análisis de problemas de transferencia de calor: metodología
Relevancia de la transferencia de calor
Unidades y dimensiones
Resumen
Problemas
2
Introducción a la conducción
2
3
12
22
25
25
28
30
CAPTTUI 0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
El modelo para la conducción
Propiedades térmicas de la materia
2.2.1 Conductividad térmica 46
2.2.2 Otras propiedades relevantes
Ecuación de difusión de calor
Condiciones iniciales y de frontera
Resumen
Bibliografía
Problemas
13
44
46
49
52
60
63
63
63
vi\
Contenido ■
( U 'ÍT U L O S
Conducción unidimensional de estado estable
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
CAPÍTULO
La pared plana
3.1.1 Distribución de temperatura 74
3.1.2 Resistencia térmica 70
3.1.3 Pared compuesta 77
3. i .4 Resistencia de contacto 79
Análisis de conducción alternativa
Sistemas radiales
3.3 1 El cilindro 90
3.3.2 La esfera 96
Resumen de resultados de la conducción unidimensional
Conducción con generación de energía térmica
3.5 1 La pared plana 100
3.5.2 Sistemas radiales 100
3.5 3 Aplicación de los conceptos de resistencia 110
Transferencia de calor en superficies extendidas
3 .6 ) Análisis de conducción general 113
3.6.2 Aletas de área de sección transversal uniforme 114
3.6.3 Desempeño de una aleta 120
3.6 4 Aletas de arca de sección transversal no uniforme 124
3.6 5 Eficiencia global de la superficie 126
Resumen
Bibliografía
Problemas
•»
i •>
74
86
90
99
100
110
133
134
134
4
Conducción bidimensional en estado estable
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
Enfoques alternativos
Método de separación de variables
Método gráfico
4.3 .1 Metodología de la construcción de una gráfica de flujo 167
4.3.2 Determinación de la transferencia de calor 169
4.3 3 Factor de forma de conducción 169
Ecuaciones de diferencias finitas
4.4 .1 Red nodal 173
4.4 2 Forma de diferencias finitas de la ecuación de calor / 74
4 4 3 Método del balance de enercía 175
Solución de las ecuaciones de diferencias finitas
4.5.1 Método de inversión de matrices 181
4.5.2 Iteración de Gauss-Seidel 182
4.5 3 Algunas precauciones 188
Resumen
Bibliografía
Problemas
161
162
163
167
173
181
193
193
194
■ Contenido
x\
C A P JT l LO O
Conducción en estado transitorio
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
C A PÍTU LO
Método de la resistencia interna despreciable
Validez del método de la resistencia interna despreciable
Análisis general del método de resistencia interna despreciable
hfectos espaciales
Pared plana con convección
5.5.1 Solución exacta 225
5 5 2 Solución aproximada 226
5 5 3 Transferencia total de energía 226
5 5 4 Consideraciones adiciónale^ 228
Sistemas radiales con convección
5 6 1 Soluciones exactas 229
5 6.2 Soluciones aproximadas 230
5.6.3 Transferencia total de energía 230
5.6.4 Consideraciones adicionales 231
Solido semiinfinito
Lfectos multidimensionales
Métodos de diferencias finitas
5 9 1 Discretización de la ecuación de caloi método explícito 248
5 9 2 Discretización de la ecuación de calor: método implícito 256
Resumen
Bibliografía
Problemas
211
212
215
218
223
225
229
236
242
248
263
263
263
6
introducción a la convección
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
El problema de la transferencia de caloi por convección
Capas límite de convección
6.2.1 Capa limite de velocidad o hidrodinámica 289
6.2.2 Capa límite térmica 290
6.2.3 Capa límite de concentración 2 9/
6 2.4 Significado de las capas límite 293
Flujo laminar y turbulento
Ecuaciones para la transferencia por convección
6.4 1 Capa limite de velocidad o hidrodinámica 296
6.4.2 Capa limite térmica 301
6.4 3 Capa límite de concentración 303
Aproximaciones y condiciones especiales
Similitud de capas límite: ecuaciones de transferencia por convección
normalizadas
6 .6 .1 Parámetros de similitud de la capa límite 31/
6.6.2 I orma funcional de las soluciones 313
Significado físico de los parámetros adimensionales
Analogías de la capa límite
6.8 1 Analogía de la transferencia de calor y masa 32/
6.8.2 Enfriamiento evaporativo 325
283
284
289
294
296
308
311
318
321
C o iilm ú lo ■
6.9
6.10
6.11
6.8.3 Analogía de Reynolds
Efectos de la turbulencia
Coeficientes de convección
Resumen
Bibliografía
Problemas
327
328
331
332
332
333
345
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
Método em pírico
Placa plana en un Mujo paralelo
7.2.1 riu jo laminar solución de similitud 349
7 2.2 Flujo turbulento 355
7.2.3 Condiciones de capa límite mezclada 355
7 2.4 Casos especiales 357
M etodología para un cálculo de convecc ion
Flujo alrededor de un cilindro
7.4.1 Consideraciones de ílujo 366
7.4.2 Transferencia de calor y de masa por convección 368
Esfera
Flujo a través de un banco de tubos
Chorros de choque
7 7 1 Consideraciones hidrodinámicas y geométricas 387
1.7.2 Transferencia de calor y de masa por convección 389
L e c h o s com pactados
Resumen
Bibliografía
Problemas
347
348
359
366
374
377
387
393
394
396
396
419
8.1
8.2
8.3
8.4
Consideraciones hidrodinámicas
8 . 1.1 Condiciones de flujo 420
8.1.2 Velocidad media 421
8 1 .3 Perfil de velocidad en la región completamente desarrollada 422
8 . 1 .4 Gradiente de presión y factor de fricción en un flujo completamente
desarrollado 424
Consideraciones térmicas
8.2.1 Temperatura media 426
8.2.2 Ley de enfriamiento de New ton 427
8.2.3 Condiciones completamente desarrolladas 427
Balance de energía
8 3.1 Consideraciones generales 431
8.3.2 Flujo de calor superficial constante 432
8 3.3 Temperatura superficial constante 435
F lujo laminar en tubos circulares análisis térmico y correlaciones
de convección
8.4.1 Región completamente desarrollada 439
420
425
431
439
CAPÍTULO
■ Contenido
'vvu
8.4.2 Región de entrada 443
8.5
Correlaciones de convección flujo turbulento en tubos circulares
8.6
Correlaciones de convección tubos no circulares
8.7
Anillos de tubos concéntricos
8.8
Aumento de la transferencia de calor
8.9
Transferencia de masa por convección
8.10 Resumen
Bibliografía
Problemas
444
44<>
454
456
457
459
461
461
9
Convección libre
m
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
9.10
9.11
C A P iru i o
Consideraciones físicas
Ecuaciones gobernantes
Consideraciones de similitud
Convección libre laminar sobre una superficie vertical
Efectos de turbulencia
Correlaciones empíricas: flujos externos de convección libre
9.6 1 Placa vertical 493
9.6.2 Placas horizontales e inclinadas 496
9.6.3 Cilindro largo horizontal 501
9.6 4 Esferas 504
Convección libre dentro de canales de placas paralelas
9 7 1 Canales verticales 506
9 7 2 Canales inclinados 505
Correlaciones empíricas: rec ntos
9.8 1 Cavidades rectangulares 509
9.8.2 Cilindros concéntricos 5 /2
9.8.3 Esteras concéntricas 5 13
Convección libre y forzada combinada
Transferencia de masa por convección
Resumen
Bibliografía
Problemas
482
484
486
487
490
492
506
509
515
516
516
517
518
10
Ebullición y condensación
10.1
10.2
10.3
10.4
Parámetros adimensionales en la ebullición y la condensación
Modos de ebullición
Ebullición de alberca
10.3.1 Curva de ebullición 538
10.3.2 Modos de ebullición de alberca 540
Correlaciones de ebullición de alberca
10.4.1 Ebullición nucleada de alberca 543
10.4.2 Flujo critico de calor para ebullición de alberca nucleada 545
10.4.3 Flujo mínimo de calor 545
10.4 4 Fbulhción de alberca de película 546
10.4.5 Efectos parametricos sobre la ebullición de alberca 547
535
536
537
538
543
Contenido ■
10.5
Ebullición por convección forzada
10 5.1 Ebullición de conv ección forzada externa 552
10.5 2 Flu jo bifásico 553
10.6 Condensación: m ecanism os físicos
10.7 Condensación de película laminar sobre una placa vertical
10.8 Condensación de película turbulenta
10.9 Condensación de película en sistemas radiales
10.10 Condensación de película en tubos horizontales
10.11 Condensación de gotas
10.12 Resumen
Bibliografía
Problemas
552
554
556
560
565
567
568
569
569
571
CAPÍTULO I I
intercanihiadorps dp calor
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
11.6
11.7
Tipos de intercambiadores’de calor
Coeficiente global de transferencia de calor
Análisis de intercam biador de calor: uso de la diferencia de temperatura
media logarítmica
11.3 1 Intercambiado!' de calor de flujo paralelo 588
11 .3.2 Intcrcam biador de calor en contraflujo 590
11.3.3 Condiciones especiales de operación 591
113 4 Intcrcam biadores de calor de pasos múltiples y de flujo cruzado 592
Análisis del intcrcam biador de calor: método de eficicncia-NUT
11.4.1 Definiciones 599
114.2 Relaciones de eficiencia N L T 600
M etodología del cálculo de un intcrcam biador de calor
1 ntercam biadorcs de calor com pactos
Resumen
Bibliografía
Problemas
5ttl
582
584
587
599
607
613
618
619
619
CAPÍTULO 1 2
Radiación: procesos
y
propiedades
Conceptos fundam entales
1 2 . 2 Intensidad de radiación
12 2 1 Definiciones 637
12 2 2 Relación con la em isión o 40
12.2.3 Relación con la irradiación 643
12 2.4 Relación con la radiosidad 645
12.3 Radiación de cuerpo negro
12.3 .1 Distribución de Planck 647
12 3.2 Ley de desplazam iento de Wien 647
1 2 3.3 Ley de Steían-Boltzm ann 648
12 3.4 Emisión de banda 649
12.4 Emisión superficial
12.5 Absorción, reflexión y transmi ion superficiales
12.5.1 Absortividad 664
12.1
633
634
637
646
654
662
■ Contenido
12.6
12.7
12.X
12.9
12.5.2 Reflectividad 665
12.5.3 Transmisividad 666
12.5.4 Consideraciones especiales
Ley de Kirchhoff
Superficie gris
Radiación ambiental
Resumen
Bibliografía
Problemas
x ix
667
*
672
673
680
686
688
689
C A PÍTU LO 1 3
Intercambio de radiación entre superficies
13.1
13.2
13.3
13.4
13.5
13.6
CAPÍTULO
i \ i
Factor de forma
13.1.1 Factor de forma integral 718
13.1.2 Relaciones del factor de forma 719
Intercambio de radiación de cuerpo negro
Intercambio de radiación entre superficies grises, difusas, en un recinto
13.3.1 Intercambio neto de radiación en una superficie 732
13.3.2 Intercambio de radiación entre superficies 732
13.3.3 Recinto de dos superficies 738
13.3.4 Cubiertas de radiación 738
13.3.5 Superficie rerradiante 742
Transferencia de calor mullimodal
Lfcctos adicionales
13.5.1 Absorción volumétrica 750
13.5.2 Emisión y absorción gaseosas 750
Resumen
Bibliografía
Problemas
718
728
731
746
749
754
755
755
14
Transferencia de masa por difusión
14.1
14.2
14.3
14.4
14.5
Orígenes físicos y ecuaciones de conservación
14.1.1 Orígenes físicos 784
14.1.2 Composición de una mezcla 785
14.1.3 Ley de difusión de Fick 786
14.1.4 Condiciones restrictivas 787
14.1.5 Coeficiente de difusión de masa 791
Conservación de especies
14.2.1 Conservación de especies para un volumen de control 792
14.2.2 Ecuación de difusión de masa 792
Condiciones iniciales y de frontera
Difusión de masa sin reacciones químicas homogéneas
14.4.1 Medios estacionarios con concentraciones superficiales específicas
14.4.2 Medios estacionarios con reacciones superficiales catalíticas 802
14.4.3 Contradifusión equimolar 805
14.4.4 Evaporación en una columna 808
Difusión de masa con reacciones químicas homogéneas
783
784
791
795
798
799
810
\\
( OllltMIltio ■
14.6
Difusión transitoria
Bibliogra ía
Problemas
813
817
818
APÉNDICE A
Propiedades termojisicas de ¡a materia
823
APENDICE B
Relaciones y junciones matemáticas
•APÉNDICE
833
C
Condiciones térmicas asociadas con la generación uniforme
de energía en sistemas undimensiomdes de estallo estable
801
■APÉND1CI I I
Representación grájica de conducción transitoria
undimensional en una panul plana , cilindro largo y esfera
809
APÉNDICE E
Solución integral de capa limite laminar
para Jlujo paralelo en una placa plana
875
*
Indice
88J
Símbolos
A
A
A-
Ar
A
A
A
a
B,
Bo
C
C'o
Cí
c,
c
cp
t\
D
^AB
Oh
E
Ec
Á
p
^
entrada
^salida
Alm
área, m
área de la sección transversal, m
área de flujo libre en la coraza de un
intercamhiador de calor compacto
(área de sección transversal mínima
disponible para flujo a través de la
coraza), nr
urea frontal de un intercambiador de
calor, m2
área de la superficie pr ncipal
(sin aletas), m2
razón de area de boquilla
área superficial, m2
aceleración, m/s2
numero de Biot
numero de Bond
concentración molar, kmol/m
capae idad de flujo de calor. W/K
coef cíente de arrastre
coerciente de fricción
capacitancia térmica J/K
calor específico J/kg • K. velocidad de
la luz, m/s
calor específico a presión constante.
J/kg-K
calor especifico a volumen constante
J/kg • K
diámetro, m
coeficiente binar o de difusión de
masa. m2/s
diámetro hidráulico, m
energía interna térmica (sensible), J;
potencial eléctrico. V; potencia
em siva. VV/m
numero de Eckert
generación de energía. W
transferencia de energía que entra a un
volumen de control, W
transferencia de energía que sale de un
volumen de control, W
incremento de la energía almacenada
dentro de un volumen de control. W
e
F
Fo
f
G
0r
Gz
Z
Zc
H
h
hf*
hm
^ ruJ
I
i
.1
la
j,
Jh
jm
k
energía «ermica interna por unidad de
masa. J/kg. rugos dad de superficie, m
fuerza, N, factor de corrección para un
intercambiador de calor; fracción de
radiación de cuerpo negro en una banda
de longitud de onda; factor de forma
número de Fourier
factor de fricción, variable de similitud
irradiación, W/m , velocidad de masa.
kg/s • m
número de Grashof
número de Gnetz
aceleración grav nacional, m/s2
constante gravitacional, 1 kg • m/N * s2 o
32.17 p es • lbm/lbt • s
altura de boquilla, m
coeficiente de transferencia de calor por
convección W/m • K constante de
Planck
calor latente de evaporación, J/kg
coeficiente de transferencia de masa por
convección, m/s
coeficiente de transferencia de calor por
radiación, W/m’ • K
corriente eléctrica. A, intensidad de
radiación. W/m2 • sr
densidad de corriente eléctrica A/m2;
entalpia por unidad de masa J/kg
radiosidad, W/m
número de Jakob
flujo molar difusivo de la especie / con
relación a la velocidad promedio molar
de la mezcla, kmol/s*in­
flujo de masa difusivo de la especie i con
relación a la velocidad promedio de
masa de la mezcla kg/s • m
factor de Colbum para transferencia de
calor
factor j de Co bum para transferencia de
masa
conductividad térmica, W/m • K; constante
de Bolizmann
v x ii
S ím b olos ■
constante de rapidez de reacción
homogénea de orden cero, kmol/s • nró
constante de rapidez de reacción
homogénea de primer orden. s_l
constante de rapidez de reacción
*7
homogénea de primer orden, m/s
longitud característica, m
Le
número de Lewis
masa, kg: número de bandas de
M
transferencia de caloren una gráfica de
flu jo; recíproco del número de Fourier
para soluciones en diferencias finitas
transferencia de masa para la especie /'.
\l
kg/s
incremento de masa de la especie / debido
ú,,
a reacciones químicas, kg/s
Halada entrada de masa a un volumen de control.
kg/s
■HahiU salida de musa de un volumen de control.
kg/s
aumento de la masa almacenada dentro de
•K,
un volumen de control, kg/s
peso molecular de la especie /. kg/mol
Jl,
masa, kg
m
11 ujo más ico. kg/s
m
fracción de masa de la especie /. pjp
número de incrementos de temperatura en
N
una gráfica de llujo: número total de
tubos en un banco de tubos número de
superficies en un recinto
número de Nusselt
Nh
número de unidades de transferencia
NUT
transferencia molar de la especie i con
a,
relación a coordenadas fijas, kmol/s
flujo molar de la especie i con relación
•V;
a coordenadas fijas, kmol/s • irf
aumento de la especie / por unidad de
'V;
volumen debido a reacciones químicas.
kmol/s • m1
reacción superficial de la especie i.
kmol/s • nrr
tt
flujo másico de la especie / con relación
n.
a coordenadas tijas, kg/s • maumento de masa de la especie / por unidad
>h
de volumen debido a reacciones
químicas, kg/s • m
S l.N , número de tubos en la dirección
longitudinal y transversal
/ v /», separación adimensional longitudinal >
transversal de un banco de tubos
perímetro, m; designación de la propiedad
p
general de un fluido
número de Peclet (RePr)
Pe
número de Prandll
Pr
presión, N/nr
P
^0
Q
i
</
/
f*
</
R
.ti
Ra
Re
R,
Rf
Rm
Rm.n
R,
R,c
*/./
R,.o
r„
r. </>. r
r. 0. $
S
s.
Se
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Sn< $i.>
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t
U
U. V. w
ll*\ V*.
ve*
V
V
W
lí
We
X. Y. Z
x. y. ~
a.
AId..
A'fd. h
A-td./
x.
transferencia de energía. J
transferencia de calor, W
generación de energía por unidad de
volumen. W/m
transferencia de calor por unidad de
longitud, VV/ni
flujo de calor. W/m2
radio cilindrico, in
constante universal de los gases
número de Rayleigh
número de Reynolds
resistencia eléctrica. Í 1
factor de impureza, in2 • K/W
resistencia de transferencia de masa, s/nv*
residuo para el punto nodal m, ii
resistencia térmica, K/W
resistencia térmica de contacto. K/W
resistencia térmica de una aleta. K, W
\esistencia térmica de un arreglo de aletas.
K/W
radio de cilindro o esfera, m
coordenadas cilindricas
coordenadas esféricas
solubilidad, kmol/m^atm; factor de fonna
para conducción bidimensional. ni;
separación de boquilla; espaciamiento
de placa, m
constante solar
número de Schmidl
número de Shervvood
número de Stanton
separación diagonal, longitudinal y
transversal de un banco de tubos, m
temperatura. K
tiempo, s
coeficiente global de transferencia de cal oí
W/m2 • K; energía interna. J
componentes de la velocidad promedio de
flujo de masa, m/s
componentes de la velocidad molar
promedio, m/s
volumen, m1; velocidad de fluido, m/s
volumen específico, m’/kg
ancho de abertura de una boquilla, m
tasa a la que se realiza trabajo. W
número de Weber
componentes de la fuerza de cuerpo por
unidad de volumen. N/m*
coordenadas rectangulares, m
posición crítica para la transición
a turbulencia, m
longitud de entrada de concentración, in
longitud de entrada hidrodinámica, m
longitud de entrada térmica, in
fracción de mol de la especie /. CJC
■ Símbolos
Letras griegas
difusividad térmica, nr/s; área de la
a
superficie de un intercambiador de calor
por unidad de volumen, m2/m3;
absorbencia (o absortividad)
coeficiente de expansión térmica
P
volumétrica, K 1
flujo de masa por unidad de anchura en
V
condensación de película, kg/s • m
<5
espesor de capa límite hidrodinámica, m
ó.
espesor de capa límite de concentración, m
espesor de capa límite térmica, m
emisividad; porosidad de un lecho
£
empacado: efectividad de un
intercambiador de calor
efectividad de una aleta
*)
difusividad turbulenta para transferencia
£h
de calor, nr/s
difusividad turbulenta para transferencia
£\1
de momento, rrr/s
difusividad turbulenta para transferencia
£m
de masa, m2/s
variable de similitud
*7
eficiencia de una aleta
*):
eficiencia de un arreglo de aletas
Vo
ángulo cenital, rad: diferencia de
0
temperaturas. K
coeficiente de absorción, m- '
K
longitud de onda, /xm
A
viscosidad dinámica, kg/s • m
viscosidad cinemática. m2/s; frecuencia de
radiación, s -1
densidad de masa, kg/mJ: reflectividad
p
cr
constante de Stefan-Bolizmann;
conductividad eléctrica. 1 /íl • m;
esfuerzo viscoso normal, N/m2; tensión
superficial. N/m: razón del área de la
sección transversal mínima al área
frontal del intercambiador de calor
cl>
función de disipación viscosa, s 2
ángulo acimutal, rad
</>
función de corriente, nr/s
«//
r
esfuerzo cortante. N/m2: transmisividad
O)
ángulo sólido, sr
Subíndices
A.B
especies en una mezcla binaria
absorbido
abs
media aritmética
ain
b
base de una superficie extendida: cuerpo
negro
sección transversal: concentración; fluido
c
x x iii
cr
cond
conv
CF
D
dif
e
evap
/
fd
*
H
h
¡
L
l
lat
Im
M
m
max
o
R
r, ref
rad
S
.V
sat
sky
sur
i
tr
V
X
A
cc
espesor critico de aislamiento
conducción
convección
contraflujo
diámetro; arrastre
difusión
exceso; emisión
vaporización
propiedades de flu do; condiciones de
aleta: condiciones de líquido saturado
condiciones completamente desarrolladas
condiciones de vapor saturado
condiciones de transferencia de calor
hidrodinámico; fluido caliente
denominación general de especies:
superficie interna de un anillo: condició
inicial; condición de entrada de tubo:
radiación incidente
basado en la longitud característica
condiciones de líquido saturado
energía latente
condición media logarítmica
condición de transferencia de momento
condición de transferencia de masa; valor
medio en una sección transversal
de un tubo
velocidad máxima de fluido
condición central o de medio plano;
condición de salida de tubo; exterior
superficie rerradiante
radiación reflejada
radiación
condiciones solares
condiciones de superficie; propiedades
de sólido
condiciones saturadas
cond» ones de cielo
alrededores
térmico
transmitido
condiciones de vapor saturado
condiciones locales sobre una superficie
espectral
condiciones de corriente libre'
Supe índices
l
cantidad fluctuante
*
promedio molar: cantidad sin dimensiones
Barra superior
—
condiciones promedio de superficie: medi¡
temporal
CAPITULO
1
In tro d u cció n
C apítulo 1 ■ Introducción
D
el estudio de la term odinám ica usted aprendió que la energía se puede transferir
m ediante las interacciones de un sistem a con su alrededor, listas interacciones se deno­
minan ti ahajo y calor. Sin em bargo, la term odinám ica trata de los estados finales del
proceso durante el cual ocurre una interacción y no proporciona inform ación alguna
con respecto a la naturaleza de esta interacción o la rapidez con la que esta se produce.
til objetivo de este texto es am pliar el análisis termodinámica) a través del estudio
de los modos de transferencia de calor y por m edio del desarrollo de relaciones m ate­
m áticas para calcular velocidades de transferencia de calor, En este capitulo sentam os
las bases de gran parte del m aterial que se trata en el texto Lo hacem os form ulando
varias preguntas. ¿Que es la transferencia de talor? ¿Como se transfiere este ? ¿Por
qué es importante su estudio? Al contestar a estas preguntas, com enzarem os a valorar
los m ecanism os físicos que son el fundam ento de los procesos de transferencia de calor
\ la relevancia de estos procesos para los problem as industriales y am bientales.
1.1
¿Q ue y có m o ?
Una definición sencilla, aunque general, da respuesta suficiente a la pregunta: ¿Q ué es
la transferencia de calor?
Transferem iü de calor (o <olor) es la energía en tránsito debido a una diferem ¡a
de temperaturas.
Siem pre que exista una diferencia de tem peraturas en un cuerpo o entre cuerpos, debe
ocurrir una transferencia de calor
Según se m uestra en la figura 1.1, nos referim os a los diferentes tipos de procesos
de transferencia de calo r com o modos. C uando existe un gradiente de tem peratura en
un m edio estacionario — que puede ser un sólido o un Huido— utilizam os el térm ino
conducción para referim os a la transferencia de calor que se producirá a través del me­
dio En cam bio, el térm ino c o m e d ión se refiere a la transferencia de calor que ocurrirá
entre una superficie y un Huido en m ovim iento cuando están a diferentes tem peraturas.
I I tercer m odo de transferencia de calor se denom ina radiación térmica Todas las su­
perficies con tem peratura finita em iten energía en form a de ondas electrom agnéticas.
Por tanto, en ausencia de un m edio, existe una transferencia neta de calor por radiación
entre dos supeilidies a diferentes tem peraturas
Conducción a través de un
sólido o un fluido estacionario
11 > /
T\
Tj
Convección de una superficie
a un fluido en movimiento
T,
1
Intercambio neto de calor por
radiación entre dos superficies
^
- Superficie, Ti
Fluido en movimiento,
\\T *
1
1
F l t . l 1C V 1 . 1
M o d o s d e I r a n s f e r r . m ia d o c a l o r
< o m l u c r i ó n , c o n v » (< m u v r a d i a c i ó n
Superficie, T2
1 .2
■ Orígenes físicos y modelos
3
1.2
Orígenes físicos y modelos
Com o ingenieros es im portante que entendam os los mecanismos físicos que sirven de
base a los modos de transferencia de calor y seam os capaces de usar los modelos que
proporcionan la cantidad de energía que se transfiere por unidad de tiem po
I.2 .I
Conducción
A la m ención de la palabra conducción debem os evocar de inm ediato conceptos de ac­
tividad atómica y molecular , pues hay procesos en estos niveles que sustentan este m o­
do de transferencia de calor. La conducción se considera com o la transferencia de
energía de las partículas más energéticas a las menos energéticas de una sustancia debi­
do a las interacciones entre las mismas.
El m ecanism o físico de conducción se explica más fácilmente considerando un
gas y usando ideas que le sean fam iliares, propias de su experiencia en term odinám ica
Piense en un gas en el que existe un gradiente de tem peratura y suponga que no hay
movimiento global. El gas puede ocupar el espacio entre dos superficies que se m antie­
nen a diferentes tem peraturas, com o se m uestra en la figura 1 2 A sociam os la tem pera­
tura en cualquier punto con la energía de las m oléculas del gas en la proxim idad del
punto. Esta energía esta relacionada con el m ovim iento traslacional aleatorio, asi com o
con los m ovim ientos internos de rotación y vibración de las moléculas.
Las tem peraturas m ás altas se asocian con las energías m oleculares m as altas y,
cuando las m oléculas vecinas chocan, com o lo hacen constantem ente, debe ocurrir una
transferencia de energía de las m oléculas más energéticas a las m enos energéticas En
presencia de un gradiente de tem peratura, la transferencia de energía por conducción
debe ocurrir entonces en la dirección de la tem peratura decreciente Esta transferencia
es evidente en la figura 1.2. Las m oléculas, procedentes de arriba y de abajo, cruzan
constantem ente el plano hipotético en x0 gracias a su m ovim iento aleatorio. Sin em ­
bargo, las m oléculas de arriba están asociadas con una tem peratura m ayor que la que
tienen las de abajo, en cuyo caso debe haber una transferencia neta de energía en la di­
rección positiva de v Se habla de la transferencia neta de energía debida al m ovim ien­
to m olecular aleatorio com o una difusión de energía.
f ll.l HA J .2
Asociación de la trans erenria de c alor por conducción con la dilusión de energía
debida ti la actividad molecular.
4
C apítulo 1 ■ Introducción
La situación es muy sim ilar en los líquidos, aunque las m oléculas están m enos es­
paciadas y las interacciones m oleculares son m as fuertes y frecuentes. De igual m ane­
ra. en un sólido, la conducción se atribuye a la actividad atóm ica en form a de
vibraciones reticulares. El punto de vista m oderno es atribuir la transferencia de ener­
gía a ondas reticulares inducidas por el m ovim iento atóm ico. En un no conductor, la
transferencia de energía se da exclusivam ente por la vía de estas ondas reticulares; en
un conductor, la transferencia de energía tam bién se debe al m ovim iento de traslación
de los electrones libres. Las im portantes propiedades asociadas con los fenóm enos de
la conducción se analizan en el capitulo 2 y en el apéndice A.
Los ejem plos de transferencia de calor por conducción son innum erables. El extre­
mo expuesto de una cuchara m etálica introducida súbitam ente en una taza de café ca­
llente se calentará debido a la conducción de energía a través de la cuchara. En un día
invernal hay una perdida significativa de energía de una habitación caliente hacia el ex­
terior, esta pérdida se debe principalm ente a la transferencia de calor por conducción a
través de la pared que separa el aire de la habitación del aire exterior.
Es posible cuantificar los procesos de transferencia de calor en térm inos de las
ecuaciones o modelos apropiados. Estas ecuaciones o m odelos sirven para calcular la
cantidad de energía que se transfiere por unidad de tiempo. Para la conducción de ca­
lor, la ecuación o m odelo se conoce com o ley de Fourier. Para la pared plana unidi­
mensional que se m uestra en la figura 1.3. la cual tiene una distribución de tem peratura
T(x), la ecuación o m odelo se expresa com o
Flírl ka 1.3
Transferencia
unidimensional de calor
por conducción (difusión
«le energía).
El flujo de calor o transferencia de calor por unidad de úrea q"x (W /m ) es la velocidad
con que se transfiere el calor en la dirección x por área unitaria perpendicular a la d i­
rección de transferencia, y es proporcional al gradiente de tem peratura, cííldx en esta
dirección. La constante de proporcionalidad, k, es una propiedad de transporte conoci­
da com o conductividad térmica (W /m • K) y es una característica del m aterial de la pa­
red. El signo m enos es una consecuencia del hecho de que el calor se transfiere en la
dirección de la tem peratura decreciente En las condiciones de estado estable que se
m uestran en la figura 1 .3, donde la distribución de tem peratura es lineal, el gradiente
de tem peratura se expresa com o
dT
T2 - T x
dx
L
y el flujo de calor entonces es
72-7,
o
7i ~ 7o
a" — k —
L
AT
= k —
L
( 1 .2 )
O bserve que esta ecuación proporciona un flujo de calor , es decir, la velocidad del ca­
lor transferido por unidad de úrea. El calor transferido por conducción por unidad de
tiem po, <yv(W ), a través de una pared plana de área A. es entonces el producto del flujo
y el área, qx = q”x • A.
E je m p l o 1 .1
La pared de un horno industrial se construye con ladrillo de arcilla refractaria de 0.15 m
de espesor que tiene una conductividad térm ica de 1.7 W /m • K. M ediciones realizadas
1 J2 ■ Orígenes físicos y modelos
5
durante la operación en estado estable revelan tem peraturas de 1400 y 1150 K en las
superficies interna y externa, respectivam ente. ¿Cuál es la velocidad de pérdida de calor
a través de una pared que tiene 0.5 m por 3 m de lado?
SO U C.IÓN
S e c o n o c e : C ondiciones de estado estable con espesor de pared, área, conductivi­
dad térm ica y tem peraturas superficiales preestablecidas.
E n c o n tr a r :
Pérdida de calor por la pared.
E squem a:
S u p o s ic io n e s :
1. C ondiciones de estado estable.
2. C onducción unidim ensional a través de la pared.
3. C onductividad térm ica constante.
A n á lisis: C om o la transferencia de calor a través de la pared se realiza por conduc­
ción, el flujo de calor se determ ina a partir de la ley de Fourier. Al usar la ecuación 1.2,
tenem os
AT
250 K
q" = k - — = \ . l W /m • K X
— = 2833 W /m2
L
0.15 m
El flujo de calor representa la velocidad de transferencia de calor a través de una sec­
ción de área unitaria. La pérdida de calor de la pared es entonces
qx = CH W ) q"x = (0.5 m X 3 0 m) 2833 W /m2 = 4250 W
<¡
C o m e n ta r io s : Note la dirección del flujo de calor y la distinción entre flujo de calor
y velocidad de transferencia de calor.
1.2.2
Coiiv eceión
El m odo de transferencia de calor por convección se com pone de dos mecanismos.
A dem as de la transferencia de energía debida al m ovim iento m olecular aleatorio (difu­
sión), la energía también se transfiere m ediante el m ovim iento global, o macroscópico
del fluido. El m ovim iento del fluido se asocia con el hecho de que, en cualquier instan­
te, grandes núm eros de moléculas se m ueven de form a colectiva o com o agregados. Tal
C apítulo 1 ■ Introducción
Distribución
de temperatura
T(v)
F m ;i k a
-► h( v)
Superficie
calentada
1.1
Desarrollo de la capa límite en la
transferencia de calor por convección.
L
m ovim iento, en presencia de un gradiente de tem peratura, contribuye a la transferencia
de calor. C om o las m oléculas en el agregado mantienen su m ovim iento aleatorio, la
transferencia total de calor se debe entonces a una superposición de transporte de ener­
gía por el m ovim iento aleatorio de las m oléculas y por el m ovim iento global del fluido
Se acostum bra utilizar el térm ino convección cuando se hace referencia a este transpor­
te acum ulado y el térm ino advección cuando se habla del transporte debido al m ovi­
m iento volum étrico del fluido
Estam os especialm ente interesados en la transferencia de calor por convección que
ocurre entre un fluido en m ovim iento y una superficie lim itante cuando estos tienen di­
ferentes tem peraturas. C onsidere el flujo del fluido sobre la superficie calentada de la
figura 1.4. Una consecuencia de la interacción fluido-superficie es el desarrollo de una
región en el fluido en la que la velocidad varía de cero en la superficie a un valor finito
«oo asociado con el flujo. Esta región del fluido se conoce com o capa limite hidrodiná­
mica o de velocidad. M as aún, si las tem peraturas de la superficie y del fluido difieren,
habrá una región del fluido a través de la cual la tem peratura varía de Ts en y = 0 a 7 X
en el flujo exterior. Esta región, denom inada capa límite térmica , puede ser más peque­
ña, más grande o del m ism o tam año que aquella en la que varía la velocidad. En cual­
quier caso, si T. > 7 X, ocurrirá la transferencia de calor por convección entre la
superficie y el flujo exterior.
El modo de transferencia de calor por convección se sustenta tanto en el m ovi­
m iento m olecular aleatorio com o en el m ovim iento volum étrico del fluido en la capa
limite. La contribución debida al m ovim iento m olecular aleatorio (difusión) dom ina
cerca de la superficie donde la velocidad del fluido es baja. De hecho, en la interfaz en­
tre la superficie y el fluido (y = 0 ), la velocidad del fluido es cero y el calor se transfie­
re sólo por este m ecanism o. La contribución debida al m ovim iento volum étrico del
fluido se origina del hecho de que la capa lim ite crece a medida que el flujo avanza en
la dirección ,v. En efecto, el calor que se conduce en esta capa es arrastrado corriente
abajo y finalmente se transfiere al fluido fuera de la capa límite. La apreciación de los
fenóm enos de la capa limite es esencial para la com prensión de la transferencia de ca­
lor por convección Es por esta razón que la disciplina de la m ecánica de fluidos desem ­
peñará un papel vital en nuestro análisis posterior de la convección
La transferencia de calor por convección se clasifica de acuerdo con la naturaleza
del flujo. H ablam os de convección forzada cuando el flujo es causado por medios ex ­
ternos, com o un ventilador, una bom ba o vientos atm osféricos. C om o ejem plo, consi­
dérese el uso de un ventilador para proporcionar enfriam iento por aire mediante
convección forzada de los com ponentes eléctricos calientes sobre un arreglo de tarjetas
de circuitos im presos (figura 1.5a). En cam bio, en la convección libre (o natural) el
flujo es inducido por fuerzas de em puje que surgen a partir de diferencias de densidad
ocasionadas por variaciones de tem peratura en el fluido. Un ejem plo es la transferencia
de calor por convección libre, que ocurre a partir de com ponentes calientes sobie un
c/
w
1.2
■ Orígenes jísiros y modelos
Flujo inducido
por empuje
Flujo
forzado
Aire
►
►
►
Componentes
calientes de
tarjetas de
circuitos
impresos
/
-►
-►
(</>
ib)
Agua
fría
Burbujas
de vapor
(<)
I* I d It \ l . . i
Agua
Placa caliente
un
M
i l
l >i'(H't,Mi>> d e l i a i i x I n c m L i d e e a K ir por c o iu v c r ió n . («) C u n v e c c i ó u (o r/ad a.
(/>) C o n v e c c i ó n n a l m a l . (< ) K b n l l i c i ó i i . (</) C o n d e n s a c ió n .
arreglo vertical de tarjetas de circuitos en aire inmóvil (figura 1.5h). El aire que hace
contacto con los com ponentes experim enta un aum ento de tem peratura y, en conse­
cuencia, una reducción en su densidad. C om o ahora es más ligero que el aire de los al­
rededores, las fuerzas de em puje inducen un m ovim iento vertical por el que el aire
caliente que asciende de las tarjetas es reem plazado por un flujo de entrada de aire am ­
biental más frío.
Aunque supusim os convección forzada pura en la hgura 1.5c/ y convección natu­
ral pura en la figura 1.5/;, pueden existir las condiciones correspondientes a convec­
ción m ezclada (com binada ) fo rza d a y convección natural. Por ejem plo, si las
velocidades asociadas con el flujo de la figura 1.5c/ son pequeñas y/o las fuerzas de em ­
puje son grandes, sería posible inducir un flujo secundario com parable al flujo forzado
im puesto. El flujo de em puje inducido sería normal para el flujo forzado y tendría un
efecto significativo sobre la transferencia de calor por convección a partir de los com ­
ponentes. En la figura 1.5/; habría convección m ezclada si >>e usara un ventilador para
forzar aire hacia arriba a través de las tarjetas de circuitos, ayudando con ello al flujo
de em puje, o hacia abajo, oponiéndose a dicho flujo
Hemos descrito el m odo de transferencia de calor por convección com o la transfe­
rencia de energía que ocurre dentro de un fluido debido a los efectos com binados de
conducción y m ovim iento global del fluido. Por lo general, la energía que se transfiere
es la energía sensible o energía térm ica interna del fluido. Sin em bargo, hay procesos
de convección en los que existe, ademas, intercambio de calor ¡atente. Éste generalmente
se asocia con un cam bio de fase entre los estados líquido y vapor del fluido. Dos
casos especiales de interés en este texto son la ebullición y la condensac ióm. Por ejem ­
plo, la transferencia de calor por convección resulta del m ovim iento de Huido inducido
por las burbujas de vapor generadas en el fondo de una cacerola en la que se está hir­
viendo agua (figura 1.5c) o por la condensación de vapor de agua sobre la superficie
externa de una tubería de agua fría (figura 1.5J).
Capítulo 1 ■ Inirtulitecián
1
UtLA 1 . 1
V a lo r e s típicos di 1 t oefk lente
de U ansliT cucia d e calor por con vección
/»
(VV/in2• k)
Proceso
Convección libre
Gases
Líquidos
C onvección forzada
G ases
Líquidos
C onvección con cam bio de tase
Ebullición o condensación
2-25
50-1000
25-250
50-20 000
2500-100,000
Sin im portar la naturaleza particular del proceso de transferencia de calo r por convec­
ción. la ecuación o m odelo apropiado es de la form a
<y" = //CT - T , )
(1 3a)
donde q '. el Jlujo di t olor por convección (\V n r ) , es proporcional a la diferencia entre
las tem peraturas de la superficie y del Huido, Ts y loa. respectivam ente, lista expresión
se conoce com o la ley de enfriamiento de New ton. y la constante de proporcionalidad h
(W /m • k ) se denom ina coeficiente de transferencia de calor por convección. í s t e de­
pende de las condiciones en la capa lim ite, en las que influyen la geom etría de la super­
ficie. la naturaleza del m ovim iento del fluido y una variedad de propiedades
term odinám icas del fluido v de transporte.
C ualquier estudio de convección se reduce finalm ente a un estudio de los m edios
por los que es posible d eterm inar h A unque la consideración de estos m edios se difie­
re para el capítulo 6 , la transferencia de calor po r convección con frecuencia aparecerá
com o una condición de frontera en la solución de problem as de conducción (capítulos
2 a 5). En la solución de este tipo de problem as suponem os que se conoce h , con el uso
de los v alores típicos que se dan en la tabla 1 . 1 .
C uando se usa la ecuación 1 3a. se supone que el flujo de calor por convección es
positivo si el calo r se transfiere desde la superficie (Ts > TJ) y negativo si el calor se
transfiere liana la superficie (T > Ts) Sin em bargo. s \T oc> ¡ . no hay nada que nos
im pida expresar la le> de enfriam iento de New ton com o
</" = />(
(1.3b)
en cuyo caso la transferencia de calor es positiva si es hacia la superficie.
Radiación
La radiación térm ica es la energía emitida por la m ateria que se encuentra a una tem ­
peratura finita. A unque centrarem os nuestra atención en la radiación de superficies
sólidas, esta radiación tam bién puede provenir de líquidos y gases. Sin im portar la fo r­
ma de la m ateria, la radiación se puede atribuir a cam bios en las configuraciones elec­
trónicas de los átom os o m oléculas constitutivos. I a energía del cam po de radiación
es transportada por ondas electrom agnéticas (o alternativam ente, fotones). M ientras la
transferencia de energía por conducción o por convección requiere la presencia de un
1 *2 ■ Orígenes físicos y modelos
9
m edio m aterial, la radiación no lo precisa. De hecho, la transferencia de radiación
ocurre de m anera más eficiente en el vacío
C onsidere los procesos de transferencia de radiación para la superficie de la figura
1 6a. La radiación que la superficie emite se origina a partir de la energía térm ica de la
m ateria lim itada por la superficie, y la velocidad a la que libera energía por unidad de
área (W /m 2) se denom ina la potencia emisiva superficial E . Hay un lim ite superior p a­
ra la potencia em isiva, que es establecida por la ley de Stefcin-Boltzmann
Eb = o T ?
(1 4)
donde Tx es la temperatura absoluta (K) de la superficie y cr es la constante de Stefan
Boltzmann (cr = 5.67 X 10 “ 8 W /m 2 • K4). D icha superficie se llama radiador ideal o
cuei po negro.
El flujo de calor em itido por una superficie real es m enor que el de un cuerpo ne­
gro a la m ism a tem peratura y esta dado por
E — eoT*
(1.5)
donde f e s una propiedad radiativa de la superficie denom inada emisividad. Con valo­
res en el rango 0 < e < 1 . esta propiedad proporciona una m edida de la eficiencia con
que una superficie em ite energía en relación con un cuerpo negro. Esto depende m arca­
dam ente del material de la superficie y del acabado; en la tabla A .l 1 se proporcionan
valores representativos.
La radiación tam bién puede incidir sobre una superficie desde sus alrededores La
radiación se origina desde una fuente especial, com o el sol, o de otras superficies a las
que se expone la superficie de interés. Sin tener en cuenta la fuente, designam os la ve­
locidad a la que toda esa radiación incide sobre un área unitaria de la superficie com o
la irradiación G (figura 1 .6 a)
Una parte de la irradiación, o toda, tal vez sea absorbida por la superficie, y así se
increm entaría la energía térm ica del m aterial La velocidad a la que la energía radiante
es absorbida por área superficial unitaria se evalúa a partir del conocim iento de una
propiedad adiali va de la superficie denom inada ahsortividad a Es decir,
^abs
(16)
OcG
donde 0 < o; < 1. Si a < 1 y la superficie es opaca, partes de la irradiación se reflejan.
Si la superficie es semitransparente, partes de la irradiación tam bién se transmiten. Sin
Gas
TK.h
Superficie con emisividad
e. absortividad a, y
temperatura l s
(a)
Fim
KA 1
.6
Superficie con emisividad
e = a, área A y
temperatura Ts
(b)
Intercambio de radiación: («) en la superficie, y (b) entre una superficie y sus alrededores
C apítulo 1 ■ Introducción
em bargo, m ientras la radiación absorbida y em itida aum enta y dism inuye, respectiva­
m ente. la energía térm ica de la m ateria, la radiación reflejada y transm itida no tiene
ningún efecto sobre esta energía. A dvierta que el valor de a depende de la naturaleza
de la irradiación así com o de la superficie mism a. Por ejem plo, la fibsortividad de una
superficie en cuanto a la radiación solar e s diferente de su absortividad a la radiación
em itida por las paredes de un hom o.
Un caso especial que ocurre con frecuencia im plica el intercam bio de radiación
entre una superficie pequeña a Ts y una superficie isotérm ica m ucho m as grande que
rodea por co m pleto a la pequeña (figura 1 6 b). Los alrededores podrían ser, por ejem ­
plo. las paredes de un cuarto o un h o m o cuya tem peratura ! ah es diferente de la de una
superficie rodeada (7*alr =f T j. M ostrarem os en el capítulo 12 que, para tal condición, la
irradiación se aproxim a con la em isión de un cuerpo negro a ir. caso en el que
trTi |r. Si se supone que la superficie es tal que a = f (superficie gris), la velocidad ne­
to de transferencia de calor por radiación desde la superficie, expresada por unidad de
área de la superficie, es
T
‘/rLd = t
=
e£b(~<xG =
e trf/’J - 7 J,r)
G=
( 17)
Esta expresión proporciona la diferen cia entre la energía térm ica que se libera debido a
la em isión por radiación y la que se gana debido a la absorción de radiación.
H ay m uchas aplicaciones para las que es conveniente expresar el intercam bio neto
de calor por radiación en la form a
<7r;.d =
\ A ( T S-
7’alr)
(1.8)
donde, de la ecuación 1.7. el coeficiente de transferencia de calvi por radiac ión h es
l,r= e a a , + r alrX7\> + Ti,)
A quí m odelam os el m odo de radiación de form a sim ilar a la convección. En este senti­
do linealizamos la ecuación de la velocidad de radiación, haciéndola proporcional a la
d iferencia de tem peraturas en lugar de a la diferencia entre dos tem peraturas a la cuar­
ta potencia. O bserve, sin em bargo, que hr depende m arcadam ente de la tem peratura,
m ientras q u e la dependencia de la tem peratura del coeficiente de transferencia de calor
por convección h es por lo general débil.
Las superficies de la figura 1 6 tam bién pueden transferir sim ultáneam ente calor
por convección a un gas contiguo. Para las condiciones de la figura I 6 h, la velocidad
total de transferencia de calo r desde la superficie es entonces
q = <7coi,v + </rad “ hA(Ts - /* ) + s A o iT \ - 7 4alr)
( 110)
Kj i mi mo 1 . 2
U na tubería de vapor sin aislam iento pasa a través de un cuarto en el que el aire y las
paredes están a 25 C. El diám etro exterior de la tubería es 70 nuil, y la tem peratura su­
perficial y em isividad son 200°C y 0.8, respectivam ente. ¿C uánto vale la potencia em isiva de la superficie y la irradiación? Si el coeficiente asociado con la transferencia de
calor por convección libre de la superficie al aire es 15 W /n r • K. ¿cuál es la velocidad
de pérdida de calo r de la superficie por unidad de longitud de la tubería?
12
C apítulo I ■ introducción
1 ó rn e n la rio*:
1. N ote que la tem peratura puede expresarse en unidades de °C u K cuando se evalúa
la diferencia de tem peratura para una velocidad de transferencia de calor por con­
vección (o conducción). Sin em bargo, la tem peratura debe expresarse en K clvin
(K ) cuando se evalúa una velocidad de transferencia de calor por radiación.
2 . Hn esta situación las velocidades de transferencia de calor por radiación y convec­
ción son com parables, pues Ts es grande com parada con T-aln y el coeficiente aso­
ciado con la convección libre es pequeño Para valores m ás m oderados de Ts y
valores tna>ores de /; asociados con la convección forzada, el efecto de la radia­
ción a m enudo se deja de lado. El coeficiente de transferencia de calor por radiación
se calcula a partir de la ecuación 1.9. > para las condiciones de este problem a su
valor es // = 1 1 W /m 2 • k .
1 .2 . 1
Relación con la temiodimímica
En este punto es conveniente notar las diferencias fundam entales entre transferencia de
calor y term odinám ica. A unque la term odinám ica trata de la interacción del calor y del
papel vital que ésta desem peña en la prim era y segunda leyes, no considera los m ecanis
m os que realizan el intercam bio de calor ni los m étodos que existen para calcular la u lot ¡dad de este intercam bio. La term odinám ica trata de estados en equilibrio de la
m ateria, donde un estado de equilibrio necesariam ente excluye la existencia de un g ra­
diente de tem peratura. A unque la term odinám ica sirve para determ inar la cantidad
de energía que se requiere en form a de calor para que un sistem a pase de un estado de
equilibrio a otro, no reconoce que la trans/ciencia de calor es inherentemente un proce­
so de no equilibrio . Para que ocurra la transferencia de calor, debe haber un gradiente de
tem peratura, es decir, un desequilibrio term odinám ico. La disciplina de la transferencia
de calor busca llevar a cabo lo que la term odinám ica es intrínsecam ente incapaz de ha
ccr, esto es, cuantificar la velocidad a la que ocurre la transferencia de calor en térm inos
del grado de desequilibrio térm ico Esto se lleva a cabo a través de las ecuaciones o m o­
delos para los tres m odos, expresadas, por ejem plo, por las ecuaciones 1.2, 1.3 y 1.7.
1 .3
Requerimiento de con sensación de lo energía
Los tem as de la term odinám ica y de la transferencia de calor son sum am ente com ple­
m entarios. Por ejem plo, com o la prim era trata la veloc idad a la que se transfiere calor,
el tem a de la transferencia de calor se considera una extensión de la term odinám ica. A
su vez, para m uchos problem as de transferencia de calor, la primera ley de la term odi­
nám ica (ley de co m en ación de la energía) proporciona una herram ienta útil, a m enudo
esencial En previsión de este tipo de problem as se obtendrán ahora las form ulaciones
generales de la prim era ley.
.
1 3.1
Conservación de la energía para un volumen de control
Para aplicar la prim era ley. necesitam os prim ero identificar el volumen de control. una
región de espacio lim itada por una superficie de control a través de la cual pueden pasar
la energía y la m ateria Una vez que se identifica el volum en de control, debe especifi­
carse una base temporal adecuada Hay dos opciones C om o la prim era ley debe satis-
1 - 3 ■ Requerimiento de conservación de la energía
13
facerse en todos y cada uno de los instantes de tiem po /. una opcion im plica form ular la
ley sobre una base de velocidades, es decir, en cualquier instante debe haber un balan­
ce entre todas las velocidades de energía m edidas en joules por segundo (W ) De m ane­
ra alternativa, la prim era ley tam bién debe satisfacerse sobre cualquier intervale de
tiem po Ar Para este intervalo tiene que existir un balance entre las cantidades de todos
los cam bios de energía, m edidos en joules
De acuerdo con la base tem poral, las form ulaciones de la prim era ley más conve
nientes para el análisis de transferencia de calor se expresan com o sigue.
En tui Instante (í)
La velocidad a la que la energía térm ica \ m ecánica ingresa en un volumen de
control, m ás la velocidad a la que se genera energía térm ica dentro del volumen
de control m enos la t elocidad a la que sale energía térmic a y mee cínica del volu­
m en de control debe ser igual a la velocidad de increm ento de la energía alm ace­
nada dentro d el \ olum en de control
Fn un intervalo de tiempo (Af)
La cantidad de energía térm ica y m ecánica que ingresa en un volumen de con­
trol m ás la cantidad de energía térm ica que se genera dentro del volum en de
control, m enos la cantidad de energía térm ica s m ecánica que sale del volumen
de con ti o! debe ser igual al increm ento en la cantidad de energía alm acenada en
el volumen de control.
Si el flujo entrante y la generación de energía exceden al flujo saliente habrá un aum en­
to en la cantidad de energía alm acenada (acum ulada) en el volumen de control, si
ocurre lo contrario, habra una dism inución en el alm acenam iento de energía Si el flu­
jo entrante y la generación de energía igualan al flu]o de salida, debe prevalecer una
condición de estado estable en la que no habrá cam bio en la cantidad de energía alm a­
cenada en el volum en de control
Considérese la aplicación de la conservación de la energía al volumen de control
que se muestra en la figura 1 7 El prim er paso es identificar la superficie de control tra
zando una linea punteada. El siguiente es identificar los térm inos de energía. En un ins
tante. estos térm inos incluyen la velocidad a la que la energía térm ica y m ecánica entra
y sale a través de la superficie de control, Ecn[ y £ sa!c. También es posible generar ener­
gía térm ica dentro del volumen de control debido a la conversión de otras formas de
energía Nos referim os a este proceso com o gene i ación de energía, y la velocidad a la
que ocurre se denom ina E La velocidad de cam bio de la energía alm acenada dentro
del volumen de control, dE A\m/dt. se designa É a)m. Una forma general del requerim iento
de conservación de la energía se expresa entonces en una base de \ eloc uladc s com o
■
•
(Illa)
/
ii—
►
\
\
\
\
F n a u tA 1 . 7
Conservación de la energía para
un volumen de control. Aplicación
a un instante.
C apítulo 1 ■ Introducción
La ecuación 1.11a se aplica en cualquier instante de tiempo, l^a form a alternativa
que se aplica para un intervalo de tiempo A t se obtiene integrando la ecuación 1 . 1 1 a
sobre el tiempo:
£ em + Eg - £ sale = A £ n]m
(1 1 1b)
Expresada en palabras, esta relación indica que las cantidades del flujo de entrada y ge­
neración de energía actúan para increm entar la cantidad de energía alm acenada dentro
del volum en de control, m ientras que el flujo saliente actúa para dism inuir la energía
alm acenada.
Los térm inos de flujo de entrada y de salida son fenómenos de superficie. Es decir,
se asocian exclusivam ente con procesos que ocurren en la superficie de control y son
proporcionales al área de la superficie. Una situación com ún com prende los flujos de
entrada y de salida debido a la transferencia de calor por conducción, convección y/o
radiación. En situaciones que abarcan un flujo de fluido a través de la superficie de
control, los térm inos tam bién incluyen energía transm itida con la m ateria que entra y
sale del volum en de control, bsta energía puede estar com puesta de las form as interna,
cinética y potencial. Los térm inos del flujo de entrada y de salida tam bién incluyen in­
teracciones de trabajo que ocurren en las fronteras del sistema.
El término generación de energía se asocia con la conversión de otra form a de
energía (quím ica, eléctrica, electrom agnética o nuclear) a energía térm ica. Es un fenó­
meno volumétrico. Es decir, ocurre dentro del volum en de control y es proporcional a
la m agnitud de su volum en. Por ejem plo, al convertir energía quím ica a térm ica tal vez
ocurra una reacción quím ica exotérm ica. El efecto neto es un aum ento en la energía
térm ica de la m ateria dentro del volum en de control. O tra fuente de energía térm ica es
la conversión de energía eléctrica que ocurre debido al calentam iento de la resistencia
cuando se hace pasar una corriente eléctrica por un conductor. Es decir, si una corrien­
te eléctrica / pasa a través de una resistencia R en el volum en de control, se disipa
energía eléctrica a una razón de / R. que corresponde a la velocidad a la que se genera
(libera) energía térm ica dentro del volumen. A unque es posible tratar alternativam ente
este proceso com o uno en el que se realiza trabajo eléctrico sobre el sistem a (flujo en­
trante de energía), el efecto neto sigue siendo la creación de energía térm ica.
El alm acenam iento de energía es tam bién un fenómeno volumétrico y los cam bios
dentro del volum en de control se deberán a cam bios en las energías interna, cinética y/o
potencial de su contenido. En consecuencia, para un intervalo de tiem po, Ar, el térm ino
de alm acenam iento de la ecuación 1.11b. A £a)m, se puede igualar a la sum a, A U +
AKE + APE. El cam bio en la energía interna , A i/, consiste en un componente sensible
o térmico, que explica los m ovim ientos traslacional, rotacional y vibracional de los áto­
mos y m oléculas que com ponen la materia; un componente latente , que relaciona las
fuerzas interm oleculares que influyen en el cam bio de fase entre los estados sólido, lí­
quido y vapor; un componente químico, que explica la cncigia alm acenada en las unio­
nes quím icas entre átom os; y un componente nuclear, que explica las fuerzas de unión
en el núcleo del átomo.
En todas las aplicaciones de interés en este texto, si existen efectos quím icos o nu­
cleares, éstos se tratan com o fuentes de energía térm ica y por ello se incluyen en los
térm inos de generación, antes que en los de alm acenam iento, de las ecuaciones 1.1 la y
1.11b. A dem ás, los efectos de energía latente sólo necesitan considerarse si hay un
cam bio de fase com o, por ejem plo, de sólido a líquido (fusión) o de líquido a vapor
(vaporización, evaporación . ebullición). En estos casos, la energía latente aumenta. Por
el contrario, si el cam bio de fase es de vapor a líquido ( condensación ) o de líquido a
sólido ( solidificación. congelación ), la energía latente dism inuye. Por tanto, si los efee-
15
I .«t ■ Requerimiento de conservación de la energía
►m
(m pi V)0
m
(u.pv.Y )
\v
Altitud de referenc a
UD
( «msrrvarión d f la «•m-rgía: («) aplicación a un sistema cerrado en un intervalo de
licmpn. \ (b) aplicación a un sistema abirrto de flujo *->lal>li* en un instante.
K l(.t HA
l.f t
tos de la energía cinética y potencial se pueden dejar de lado, com o casi siem pre es el
caso en el análisis de la transferencia de calor, los cam bios en el alm acenam iento de
energía se deben só lo a cam bios en las energías térm ica interna y/o. en el caso de un
cam bio de tase, en la*» energías latentes f A /ia)m = A U = A V, + A r/lal).
1 -as ecuaciones 1 l i a y 1 1 1 b sirven para desarrollar form as m ás específicas del
requerim iento de conservación de la energía, que incluyen las exigencias consideradas
anteriorm ente en su estudio de la term odinám ica. C onsidere un sistema cerrado de mu
sa fija (figura 1 .8 o). a través de cuyos lím ites la energía es transferida por las interac­
ciones de calo r y trabajo. Si en un intervalo de tiem po A/ se transfiere calor al sistem a
en la cantidad Q (flujo de entrada de energía), el sistem a realiza trabajo en la cantidad
U (flujo saliente de energía), no ocurre conversión de energía dentro del sistem a (E =
ü) y los cam bios de energía cinética y potencial son insignificantes. Ui ecuación 1 1 1 b
se reduce a
Q — \V — A i/
(1.11c)
Id térm ino de trabajo VI se deberá al desplazam iento de una frontera, un eje rotatorio
v/o a efectos electrom agnéticos. De form a alternativa, en un instante, el requerim iento
de conserv ación de la energía es
dü
q — \V — ——
dt
(1.1 Id)
I a otra form a del requerim iento de conservación de la energía con el que ya esta
fam iliarizado pertenece a un sistema abierto (figura 1.8/?). donde el flujo de m asa pro­
p orciona el transporte de energía interna, cinética y potencial hacia dentro y fuera del
sistem a. En tales casos, es habitual d iv id ir el intercam bio de la energía en form a de tra­
bajo en dos contribuciones La prim era contribución, denom inada trabajo de fhi/o, se
asocia con el trabajo realizado por fuerzas de presión que m ueven el Huido a través de
las fronteras del sistem a Para una masa unitaria , la cantidad de trabajo es equivalente
al producto de la presión por el volum en específico del Huido (jw). R especto a todos
los otros trabajos se supone que los realizo el sistem a ) se incluyen en el térm ino \V.
De aquí, si se supone que se transferirá calo r al sistem a, no ocurre conversión de enerm
gía dentro de éste, y la operación se encuentra en condiciones de estado estable f 'a|m =
0 ), la ecuación 1 1 la se reduce a la siguiente form a de la ecuación de energía de flujo
estable:
C apítulo 1 ■ Introducción
La sum a de la energía interna y del trabajo de llujo se puede, por supuesto, reem plazar
por la entalpia, i — it + pv.
E j e m p l o 1 .3
Una varilla larga de diám etro D y resistencia eléctrica por unidad de longitud R'e se en ­
cuentra inicialm cnte en equilibrio térm ico con el aire del am biente y sus alrededores.
Este equilibrio se altera cuando una corriente eléctrica I pasa a través de la varilla. D e­
sarrolle una ecuación que sirva para calcular la variación de la tem peratura de la varilla
con respecto al tiem po en que pasa la corriente.
S o n riÓN
Se conoce:
La tem peratura de una varilla de diám etro conocido y los cam bios en
la resistencia eléctrica con el tiem po debido al paso de una corriente eléctrica.
E n c o n tr a r :
de la varilla.
Ecuación que gobierna el cam bio de tem peratura eon el tiem po a través
E squem a:
S u p o s ic ió n e s :
1. En eualquier tiem po t la tem peratura de la varilla es uniform e.
2. Propiedades constantes (p, r , e = a).
3. El intercam bio de radiación entre la superficie exterior de la varilla y los alrededo­
res se da entre una pequeña superficie y un recipiente grande.
Antilisis:
A m enudo la prim era ley de la term odinám ica sirve para determ inar una
tem peratura desconocida. En este caso, los térm inos relevantes incluyen la transferen­
cia de calor por convección y radiación desde la superficie, generación de energía debi­
do al calentam iento óhm ico dentro del conductor y un cam bio en la energía te m ic a
alm acenada. C om o deseam os determ inar la razón de cam bio de la tem peratura, hay
que aplicar la prim era ley para un instante de tiem po. Así, al aplicar la ecuación 1.11a
a un volum en de control de longitud L alrededor de la varilla, se infiere que
Ef,
£jsale
^alm
donde la generación de energía se debe al calentam iento de la resistencia eléctrica
4
= l l R'cL
1 .3 ■ Requerimiento de conservarían de la energía
17
El calentam iento ocurre de manera uniform e dentro del volumen de control y también
puede expresarse en térm inos de una velocidad de generación de calor volumétrica
q (W /m ). La velocidad de generación para todo el volum en de control es entonces E
= c/V, donde q = 1 R'el(7rD2/4). El flujo saliente de energía se debe a la convección y a
la radiación neta de la superficie, ecuaciones 1.3a y 1.7, respectivam ente,
¿sale
=
n
T
(h
)LD- r
j
+
£<J í tt D L ) ( T 4 - )
y el cam bio en el alm acenam iento de energía se debe al cam bio de tem peratura,
dU,
d
e^
= t ¡t =
m
El térm ino £ aim se asocia con la velocidad de cam bio en la energía térm ica interna de
la varilla, donde p y e son densidad y calor específicos, respectivam ente, del material
de la varilla, y V es el volum en de la varilla, V = ( ttD 2/4)L. Sustituyendo las ecuacio­
nes o m odelos en el balance de energía se infiere que
- r« ) L)T
D
(n
h
I 2R ' J - -
e o { ttL)(T
O- 7 <a„.) =
( ~
L
De aquí,
dT
dt
I 2R ^_ - ir D h iT ^ 7*) - TrDeojT 4 - T \ lr)
PcíttD 2I4)
C o m e n ta r io s :
La ecuación anterior se resuelve para la dependencia temporal de la
tem peratura de la varilla con integración num érica Finalm ente se alcanzaría una con­
dición de estado estable para la cual dTldt — 0. La tem peratura de la varilla se determ i­
na entonces m ediante una ecuación algebraica de la form a
ttD íi(T
- Tx) -T ttD eu í T 4 - T 4álr) = I 2R'C
Para condiciones am bientales fijas (/;, 7^, 7 alr). así com o para una varilla de geom etría
fija (D) y propiedades (e, R e' ). la tem peratura depende de la velocidad de generación de
energía térm ica y, por consiguiente, del valor de la co m en te eléctrica Considere un
alam bre de cobre sin aislam iento (D = 1 mm, e = 0.8, R'e = 0.4 fl/m ) en un recinto
relativam ente grande (7 air = 300 K) a través del cual se hace circular aire de enfria­
m iento (// = 100 W /m - • K, Tx = 300 K) Al sustituir estos valores en la ecuación ante­
rior, se calculó la tem peratura de la varilla para corrientes de operación en el rango de
0 ^
^ l O A y s c obtuvieron los siguientes resultados:
150
125
100
o
t
75
60
50
25
4
5.2 6
/ (amperes)
C apítulo I ■ introducción
Si se establece una tem peratura de operación m áxim a de T = 60°C por razones de se­
guridad. la corriente no debe exceder 5.2 A. A esta tem peratura, la transferencia de ca­
lor por radiación (0.6 W /m ) es m ucho m enor que la transferencia de calor por
convección (10.4 W /m). Por tanto, si se desea operar a una corriente m ayor m ientras
se m antiene la tem peratura de la varilla dentro del lím ite de seguridad, el coeficiente
convectivo tendría que increm entarse aum entando la velocidad del aire que circula.
Para h — 250 W /m 2 • K la corriente m áxim a perm isible aum entaría a 8.1 A.
E jK .v im .) 1 .4
Se guarda hielo de m asa M a la tem peratura de fusión (T = 0°C ) en una cavidad cúbi­
ca de lado W. La pared de la cavidad es de espesor L y conductividad térm ica k. Si la
superficie exterior de la pared está a una tem peratura T x > T , obténgase una expresión
para el tiem po que se requiere para fundir por com pleto el hielo.
SOLI CIÓN
Se conoce:
M asa y tem peratura del hielo. D im ensiones, conductividad térm ica y
tem peratura de la superficie exterior de la pared del contenedor.
E n co n tra r:
Exprés ón del tiem po necesario para fundir el hielo.
E sq u em a :
k
Sección A-A
“ 7-1
i
Mezcla de hielo
con agua (T¿)
L
S u p o sicio n es:
1. La superficie interna de la pared está a Tf a lo largo del proceso.
2. Propiedades constantes.
3. C onducción unidim ensional en estado estable a través de cada pared.
4. El área de conducción de una pared se aprox ma a W~ (L <§ VP).
A nálisis:
D ado que es necesario determ inar el tiem po de fusión tm, hay que aplicar la
prim era ley en el intervalo de tiem po Ar = tm. Así. al aplicar la ecuación 1.11 b a un vo­
lumen de control alrededor de la m ezcla hielo-agua, se infiere que
^ent
^^alm
donde el aum ento en la energía alm acenada dentro del volum en de control se debe ex­
clusivam ente al cam bio en la energía latente asociada con la conversión del estado sóli­
do al líquido. Se transfiere calor al hielo por m edio de la conducción a través de la
1 .3
■ Requerimiento de conservación de lo energía
19
pared del contenedor y, com o la diferencia de tem peratura a través de la pared se supo­
ne que perm anece a (Ti — T ) a lo largo del proceso de fusión, la velocidad de conduc­
ción en la pared es una constante
<z,x.„d = k m r-) - - l - l
y la cantidad de flujo entrante de energía es
F
=
tm
La cantidad de energía que se requiere para efectuar tal cam bio por unidad de masa de
solido se denom ina calor latente de fusión h^. De aquí, el aum ento en la energía alm a­
cenada es
Mhsf
Al sustituir en la expresión de la prim era ley se míierc que
MhsfL
t — -------- —^-------m
6W 2k(;T, - T )
<1
C o m e n ta r io s : Surgirían varias com plicaciones si el hielo estuviera inicialm ente
subenfriado. El térm ino de alm acenam iento tendría que incluir el cam bio en la energía
sensible (interna) que se requiere para llevar el hielo de la tem peratura de suben friam iento a la de fusión. D urante este proceso, se desarrollarían gradientes de tem peratu
ra en el hielo.
1.3.2
Balance ele energía en una superficie
Con frecuencia tendrem os oportunidad de aplicar el requerim iento de conservación de
la energía a la superficie de un medio. En este caso especial la superficie de control no
incluye m asa o volumen y aparece com o se m uestra en la figura 1.9. En concordancia,
los térm inos de generación y alm acenam iento de la expresión de conservación, ecua­
ción 1 . 1 1 a, ya no son relevantes y sólo es necesario tratar con el fenóm eno superficial.
Para este caso el requerim iento de conservación se convierte en
F io
ir a
1.9
Balance de energía para conservación
en la superficie de un medio.
C apítulo I ■ introducción
4n, -
4
ue =
0
(1
12
)
A unque la generación de energía térm ica ocurriera en el m edio, el proceso no afectaría
al balance de energía en la superficie de control A dem ás, este requerim iento de con­
servación es valido para las condiciones de estado estable y transitorio.
En la figura 1.9 se m uestran tres formas de transferencia de calor para la superficie
de control. En una base de área unitaria, éstas son conducción desde el medio hacia la
superficie de control (<7 coiui)> convección desde la superficie hacia el fluido (<y"onv) e in­
tercam bio de radiación neta desde la superficie hacia los alrededores (<7 ^ 1). El balance
de enercia tom a entonces la forma
d cond - d conv “ <?rad = 0
(1-13)
y es posible expresar cada uno de los térm inos con las ecuaciones o m odelos adecua­
dos, ecuaciones 1 2, 1.3a. y 1 7.
E j k .u p l o 1 .5
Los gases calientes de com bustión de un horno se separan del aire am biental y sus alre­
dedores, que están a 25°C. m ediante una pared de ladrillos de 0 15 m de espesor El la­
drillo tiene una conductividad térm ica de 1.2 W /m • K y una em isividad superficial de
0.8 Se mide una tem peratura de la superficie externa de I00°C en condiciones de esta­
do estable. La transferencia de calor por convección libre al aire contiguo a la superfi­
cie se caracteriza por un coeficiente de convección de h = 20 W /m 2 • K. ¿C uál es la
tem peratura de la superficie interior del ladrillo?
S o l u c ió n
S o c o n o c e : Tem peratura de la superficie externa de una pared de un hom o cuyo es­
pesor, conductividad y em isividad son conocidos. Condiciones am bientales.
E n c o n tr a r :
Tem peratura de la superficie interior de la pared
E squem a:
S u p a s te i on e s :
1. C ondiciones de estado estable.
2. Transferencia de calor unidimensional por conducción a tiavés de la pared.
1 .3
■ Requerimiento do conservación do la energía
21'
3. El intercam bio de radiación entre la superficie externa de la pared y los alrededo­
res se realiza entre una pequeña superí cié y un recinto grande.
A n á lisis:
l^a tem peratura de la superficie in terior se obtiene llevando a cabo un ba­
lance de energía en la superficie externa. D e la ecuación 1.12,
F
— '-'sale
#?,=()
^cnt
se sigue que. sobre una base de área unitaria.
//
*7cond
n___ _
*/cnnv
//
*7rad
n
^
o, al reaco m o d ar y su stitu ir de las ecuacio n es 1.2, 1.3a y 1.7.
k
^
= h(T2 - r » ) =0 + faA T \ - n , r)
Por tanto, al su stitu ir los valores num éricos apropiados, encontram os
1.2 W /m • K -f '
K = 20 W /m 2 * K (373 - 298) K
0 . 15 m
+ 0.8(5 67 X
= 1500 W n r +
lO " 8 W /m 2 •K4) (373 4 - 2984) K 4
520 W /m 2= 2020 W /m 2
R esolviendo para 7^,
T, = 3 7 3 K + —
1
™— (2 0 2 0 W /m 2) = 6 2 5 K = 3 5 2 °C
1.2 W /m • K
<
C oin on t a rio s:
1. A d v ierta que la co ntribución de la radiación a la transferencia de calo r de la super­
ficie ex tern a es significativa. Sin em bargo, esta contribución dism inuiría al aum en­
tar h y/o d ism in u ir T2.
2 . C u an d o se usan balances de en erg ía que incluyen intercam bio de radiación y otros
m odos, es b u en a práctica ex p resar todas las tem peraturas en grados K elvin. Este
p ro ced im ien to es necesario cu an d o la tem peratura desconocida aparece en el té r­
m ino de radiación y en uno o m ás de los otros térm inos.
1.3.3
Aplirarión «Ir las loyrs <1«* coiiiervaeinn: metodología
A dem ás de estar fam iliarizado con las ecuaciones o m odelo de transporte que se d es­
criben en la sección 1 . 2 . el analista de la transferencia de calor debe ser capaz de traba­
ja r con los requerim ientos de conserv ació n de la energía de las ecuaciones 1 . 1 1 y 1 . 1 2 .
l a aplicación de estos balances se sim plifica si se siguen unas cuantas reglas básicas.
1. Se debe definir el volum en de control apropiado con la superficie de control repre­
sentada por una línea punteada.
2. Hay que identificar la base de tiem po apropiada
22
C apítulo 1 ■ Introducción
3. Tienen que identificarse los procesos de energía relevantes Cada proceso ha de
m ostrarse en el volum en de control m ediante una flecha etiquetada en form a apro­
piada.
4. Hay que escribir la ecuación de conservación, y las expresiones de flujo apropia­
das deben sustituirse para los térm inos en la ecuación.
Es im portante observar que el requerim iento de conservación de la energía se aplica a
un volum en de control finito o a un volum en de control diferencial (infinitesim al) En
el prim er caso, la expresión resultante determ ina el com portam iento general del siste­
ma. En el segundo, se obtiene una ecuación diferencial que se resuelve para condicio­
nes en cada punto del sistem a En el capítulo 2 se introducen volúm enes de control
diferencial, y am bos tipos de volúm enes de control se usan m ucho a lo largo del texto
1 .4
Análisis de problemas de transferencia
de calor: metodología
Un objetivo principal de este texto es preparar al estudiante para resolver problem as de
ingeniería que incluyan procesos de transferencia de calor Para este lin se proporcio­
nan num erosos problem as al final de cada capitulo Resolver estos problem as le perm i­
tirá com prender en profundidad los fundam entos del tem a y obtendrá confianza en su
capacidad para aplicar estos fundam entos a la solución de problem as de ingeniería
Para resolver problem as, recom endam os un procedim iento sistem ático que se ca­
racteriza por un form ato establecido Em pleam os de form a consistente este procedi­
miento en nuestros ejem plos y pedim os a nuestros estuchantes que lo utilicen en sus
soluciones de los problem as: consiste en los siguientes pasos:
1. Se conoce . D espués de leer cuidadosam ente el problem a, establezca breve y conci­
sam ente lo que se conoce de éste. No repita el planteam iento del problem a
2. Encomiar: Plantee de forma breve y concisa qué se debe encontrar
3. Esquema: Dibuje un esquem a del sistem a físico. Si prevé la aplicación de las leyes
de conservación, represente la superficie de control que se requiere mediante lí­
neas punteadas sobre el esquem a. Identifique los procesos de transferencia de calor
relevantes con flechas apropiadam ente etiquetadas sobre el esquem a.
4. Suposiciones I laga una lista de todas las suposiciones de simplificación pertinentes.
5. Propiedades: Reúna los valores de las características necesarias para los cálculos
siguientes e identifique la fuente de la que se obtienen.
6 . Análisis: C om ience el análisis aplicando las le>es de conservación apropiadas, e
introduzca las ecuaciones de flujo necesarias D esarrolle el análisis lo más com ple­
to que sea posible antes de sustituir valores num éricos Ejecute los cálculos nece­
sarios para obtener los resultados deseados
7. Comentarios A nalice sus resultados Este análisis incluirá un resum en de conclu­
siones clave, una crítica de las suposiciones originales y una inferencia de las ten­
dencias obtenidas ejecutando cálculos adicionales del tipo qué sucedería si y de
sensibilidad de parameños
1.4 ■ Análisis de problemas de transferencia de calor: metodología
23
La im portancia de seguir los pasos 1 a 4 no debe subestímense Estos proporcionan
una guía útil para estudiar un problem a antes conseguir su solución En el paso 7 espe­
ram os que tom e la iniciativa para agudizar su ingenio ejecutando cálculos para los que
puede convenirle el auxilio de una com putadora
E je m p lo 1 .6
El recubrim iento sobre una placa se cura exponiendo ésta a la acción de una lampara
infrarroja que proporciona una irradiación de 2000 W /m ’. El recubrim iento absorbe
80% de la irradiación y tiene una em isividad de 0.50; tam bién es expuesto a un flujo de
aire y a am plios alrededores para los cuales las tem peraturas son 20 C y 30 C, respec
tivam ente.
1. Si el coeficiente de convección entre la placa y el aire am biente es 15 W /nv • K,
i cuál es la tem peratura de curación de la placa?
2. Las características finales del recubrim iento, incluidos uso y durabilidad, se sabe
que dependen de la tem peratura a la que ocurre la curación Un sistem a de flujo de
aire es capaz de controlar la velocidad del aire (y por ello el coeficiente de convec­
ción) sobre la superficie curada, pero el ingeniero de procesos necesita saber en
qué form a depende la tem peratura del coeficiente de convección. Proporcione la
inform ación deseada con el cálculo y graíicación de la tem peratura de la superficie
com o función de h para 2 ^ h ^ 200 W /m 2 • K. ¿Q ué valor de h proporcionaría
una tem peiatura de curación de 50 C?
S O L I U O TN
S e c o n o c e : El recubrim iento con propiedades de radiación establecidas se cura m e­
diante irradiación de una lám para infrarroja. La transferencia de calor del recubrim ien­
to es por convección al aire am biente e intercam bio de radiación con los alrededores
E n c o n tr a r :
1. Tem peratura de curación para h = 15 W /m - • K.
2. Efecto del flujo del aire sobre la tem peratura de curación para 2 á h ^ 200 W /m •
K Valor de h para el que la tem peratura de curación es 50 C.
E squem a:
7 alr = 3 0 °C
C a r - = ? n n n W /m 2
t
*/conv
Vr'ad
«klamp
?n°r
2°°<s h < 200 W/m2 • K
Aire
»
T
<«' = 0 8
s = 0 .5
S u p o s ic io n e s :
1. C ondiciones de estado estable.
2. Perdida de calor insignificante de la superficie inferior de la placa.
C apitulo 1 ■ Introducción
3. La placa es un objeto pequeño en alrededores grandes y el recubrim iento tiene una
absortividad de a a|r = e = 0.8 con respecto a la irradiación de los alrededores.
A n á lisis:
1. C om o el proceso corresponde a condiciones de estado estable y no hay transferen­
cia de calor en la superficie inferior, la placa debe ser isotérm ica ( Ts = T). De aquí
la tem peratura deseada se determ ina colocando una superficie de control alrededor
de la superficie expuesta y aplicando la ecuación 1 . 1 2 o colocando la superfic ie de
control alrededor de toda la placa y aplicando la ecuación 1.1 la. Si se adopta el últim o enfoque y se reconoce que no hay generación de energía interna (ER = 0 ), la
ecuación 1 . 11 a se reduce a
•
•
^ent
£s*,e
^
donde É a|m = 0 para condiciones de estado estable. Con el flujo entrante de ener­
gía debido a la absorción de la irradiación de la lámpara por el recubrim iento y el
flujo de salida debido a la convección y transferencia de radiación a los alrededo­
res, se sigue que
conv “ </r'ad = 0
Al sustituir de las ecuaciones 1.3a y 1.7, obtenem os
(«C)utap - K T ~ r „ ) - e tr íj4 - T \ lr) = 0
Sustituyendo los valores num éricos
0.8
X
2000 W/m2 - 15 W/m2 • K(T - 293) K
- 0.5
X
5.67
X
10“8 W/m2 • K4(T4 - 3034) K4 = 0
y resolviendo por prueba y error, obtenem os
T = 377 K = 104°C
<
2. Al resolver el balance de energía anterior para valores seleccionados de h en el
rango establecido y elaborar giaficas de los resultados, obtenem os
240
200
160
o 120
o
80
50
40
0
0
20
40
51 60
A(W/m2 • K)
80
100
Si se desea una tem peratura de curación de 50°C, el flujo de aire debe proporcio­
nar un coeficiente de convección de
h(T = 50°C) = 51.0 W /m 2 • K
<
C o m e n ta r io s :
1. La tem peratura del recubrim iento (placa) se reduce dism inuyendo
y 7 a|r, así
com o tam bién aum entando la velocidad del aire y con ello el coeficiente de con­
vección.
I .( i ■ Ihiidades y dimensiones
25
2. Las contribuciones relativas de la convección y la radiación a la transferencia de
calor de la placa varían m ucho con h. Para h = 2 W /m 2 * K, T = 477 K y dom ina
la radiación (</"ad ~ 1232 W /m 2, q"com
368 W /m 2). De m anera inversa, para h =
200 W /m 2 • K y T = 301 K y dom ina la convección (c/"onv 555 1606 W /m 2, q'^á ~
—6 W /m 2). De hecho, para esa condición la tem peratura de la placa es ligeramente
m enor que la de los alrededores y el intercam bio de radiación neta Huye hacia la
placa.
1.5
Relevancia fie la transferencia de calor
A través del tiem po, la transferencia de calor ha sido en verdad un tem a relevante, para
no m encionar que es en sí parte fascinante de las ciencias de la ingeniería. D edicare­
mos m ucho tiem po al aprendizaje de los electos de la transferencia de calor y de las
técnicas necesarias para predecir velocidades de transferencia de calor. ¿Cuál es el va­
lor de este conocim iento y a que clase de problem as puede aplicarse?
Los fenóm enos de transferencia de calor tienen un papel im portante en muchos
problem as industriales y am bientales. Por ejem plo, considere el área vital de la produc­
ción y conversión de energía. No hay una sola aplicación en esta área que no implique
efectos de transferencia de calor de alguna manera. En la generación de potencia eléc­
trica —ya sea m ediante fisión o fusión nuclear— , la com bustión de com bustibles fósi­
les, los procesos m agnetohidrodinám icos o el uso de fuentes de energía geotérm ica,
hay num erosos problem as de transferencia de calor que deben resolverse. Estos proble­
mas incluyen procesos de conducción, convección y radiación que se relacionan con el
diseño de sistem as com o calderas, condensadores y turbinas. A menudo nos vem os en
la necesidad de m axim izar las velocidades de transferencia de calor y m antener la inte­
gridad de los m ateriales en am bientes de alta tem peratura.
En una escala más pequeña hay m uchos problem as de transferencia de calor rela­
cionados con el desarrollo de sistem as de conversión de energía solar para calenta­
m iento de espacios, así com o para la producción de energía eléctrica. Los procesos de
transferencia de calor tam bién afectan al funcionam iento de sistem as de propulsión,
com o los m otores de com bustión interna, de turbinas de gas y propulsión de cohetes.
Los problem as de transferencia de calor surgen en el diseño de sistem as de calenta­
m iento de espacios convencionales y de agua, en el diseño de incineradores y de equi­
po de alm acenam iento criogénico, en el enfriam iento de equipo electrónico, en el
diseño de sistem as de refrigeración y de acondicionam iento de aire y en m uchos proce­
sos de producción. La transferencia de calor tam bién es relevante para la contam ina­
ción del aire y del agua e influye fuertem ente en el clim a local y global. .
1.6
Unidades y dimensiones
Las cantidades físicas de la transferencia de calor se especifican en térm inos de dimen­
siones . que se m iden en térm inos de unidades. Se requieren cuatro dim ensiones bási­
cas para el desarrollo de la transferencia de calor: longitud (L), m asa (A/), tiempo (/), y
C apítulo 1 ■ Introducción
tem peratura (7’). Todas las otras cantidades físicas de ínteres se relacionan con estas
cuatro dim ensiones básicas
En Estados U nidos es costum bre m edir dim ensiones en térm inos del sistema in­
glés de unidades, para el que las unidades base son
Dimensión
Unidad
Longitud (L)
—>
pie (ft)
M asa (M)
—»
libra masa (lbm)
Tiem po (r)
—»
segundo (s)
Tem peratura (F)
—>
grados Fahrenheit (°F)
Las unidades que se requieren para especificar otras cantidades físicas se infieren de
este grupo. Por ejem plo, la dim ensión de fuerza se relaciona con la masa a través de la
segunda ley de m ovim iento de N ew ton,
1
F = — Ma
(1-14)
8c
donde la aceleración a tiene unidades de pie por segundo cuadrado, y g es una cons­
tante de proporcionalidad. Si esta constante se fija de manera arbitraria igual a la uni­
dad y se hace sin dimensiones , las dim ensiones de fuerza son (F) = (M) • (L)l(t)2 y la
unidad de fuerza es
1 poundal = 1 lbm • pies/s 2
C om o alternativa, es posible trabajar con un sistem a de dim ensiones básicas que inclu­
ya masa y fuerza. Sin em bargo, en este caso la constante de proporcionalidad debe te­
ner las dim ensiones (M) • (L)I(F) • (/)2. Es m as, si se define la libra fuerza (lbf) com o
una unidad de fuerza que acelerara una libra m asa a 32 17 pies/s2, la constante de pro­
porcionalidad debe tener la form a
gc = 32.17 lbm • pies/lbf • s 2
Las unidades de trabajo se infieren a partir de esta definición com o el producto de
una fuerza por una distancia, en cuyo caso las unidades son pie • lbf. Las unidades
de trabajo y energía son, por supuesto, equivalentes, aunque es norm al usar la unidad
térm ica británica (B tu) com o la unidad de energía térm ica Una unidad térm ica britá­
nica elevará la tem peratura de 1 lbm de agua a 6 8 °F en l°F. Es equivalente a 778.16
pie • lbt, lo que se denom ina equivalente mecánico del calor.
En anos recientes ha habido una fuerte tendencia hacia el uso m undial de un con­
ju n to estándar de unidades. En 1960, la U ndécim a C onferencia G eneral de Pesos y
M edidas definió el sistem a de unidades SI (Systém e International d'U m tes) y lo reco­
m endó com o estándar m undial. En respuesta a esta tendencia, se le pidió a la Am erican
Society o f M cchanical Engineers, A SM E, que usara las unidades SI en todas sus publi­
caciones desde el 1 de ju lio de 1974. Por esta razón y debido a que es operacionalm ente m as conveniente que el sistem a ingles, el sistem a SI se usa para los cálculos de
este texto Sin em bargo, ya que por algún tiem po los ingenieros tam bién tendrán que
trabajar con resultados expresados en el sistem a inglés, los ingenieros deben ser capa­
ces de convertir de un sistem a al otro. Para conveniencia del lector se proporcionan
factores de conversión en las cubiertas posteriores del texto.
I .t t ■ Unidades y dimensiones
TABLA 1 . 2
27
U n id ad es Sí b ase y co m p lem e n ta ria s
Cantidad y sím bolo
Unidad y símbolo
Longitud (L )
M asa (M)
Concentración (C)
Tiem po (/)
Corriente eléctrica (/)
Temperatura term odinám ica (77
Angulo plano" (0)
Angulo sólido'' ( ío)
metro (m)
kilogramo (kg)
mol (mol)
segundo (s)
ampere (A)
kelvin (K)
radian (rad)
estereorradián (sr)
•' Unidad suplementaria.
Las unidades SI ha se que se requieren para este texto se resum en en la tabla I 2
Con respecto a estas unidades observe que 1 mol es la cantidad de sustancia que tiene
tantos átom os o m oléculas com o átom os hay en 1 2 g de carbono 1 2 ( 2C). éste es el
gram o mol (mol). A unque el sistem a SI recom ienda el mol com o la unidad de cantidad
de m ateria, es m ás congruente trabajar con el kilogram o mol (kmol, kg-m ol). Un kmol
es sim plem ente la cantidad de sustancia que tiene tantos átom os o m oléculas com o áto­
mos hay en 12 kg de C. M ientras el uso sea uniform e dentro de un problem a dado, no
surgirán dificultades si se usa mol o kmol. El peso m olecular de una sustancia es la ma­
sa asociada con un m ol o kilogram o mol. Para el oxígeno, com o ejem plo, el peso m o­
lecular J í es 16 g/mol o 16 kg/kmol.
A unque la unidad SI de tem peratura es el kelvin, el uso de la escala Celsius de
tem peratura aun está muy difundido. Cero en la escala Celsius (0°C) es equivalente a
273.15 K en la escala term odinám ica , 1 en cuyo caso
T(K) = T(°C) + 273.15
Sin em bargo, las diferencias de tem peratura son equivalentes para las dos escalas y se
denotan com o °C o K. A sim ism o, aunque la unidad Sí de tiem po es el segundo, otras
unidades de tiem po (m inuto, hora y día) son tan com unes que su uso con el sistema SI
se acepta norm alm ente.
Las unidades SI com prenden una form a coherente del sistem a métrico. Es decir,
todas las unidades restantes se derivan de las unidades base con el uso de fórm ulas que
no incluyen ningún factor num érico. La tabla 1.3 es una lista de unidades derivadas
para cantidades seleccionadas. O bserve que la fuerza se mide en new tons. donde una
fuerza de I N acelerará una masa de 1 kg a 1 tn/s . De aquí 1 N = 1 kg • m /s2. La uni-
Fü símbolo de grados se conserva para la designación de la lemperaiura Celsius (°C). a fin de evitar confusión con el uso de
C pura la unidad de carga eléctrica (coulomb).
TABLA 1 .3
U n id ad es SI d e riv a d as p a ra c a n tid a d e s se le c c io n a d a s
Cantidad
Nombre
y símbolo
Fórmula
Expresión en unidades
SI básicas
Fuerza
Presión y esfuerzo
Hnergía
Potencia
nevvton (N)
pascal (Pa)
joule (J)
watt (W)
m • kg/s 2
N /m 2
N • ni
J/s
m ■ kg/s 2
kg/m • s2
m ■kg/s
m 2 • kg/s
28
C apítulo 1 ■ Introducción
T abla 1 .4
P refijo
Prefijos m ultiplicadores
A b re * la tu ra
M u ltip lica d o r
P
io - ' 2
i(r9
pico
nano
micro
mili
centi
hecto
kilo
mega
g«ga
tera
n
10 6
m
c
h
k
M
G
T
I0 - 3
10 2
102
IO3
106
109
I O 12
dad de presión (N /n r) con frecuencia se denom ina pascal. En el sistem a SI hay una
unidad de energía (térm ica, m ecam ca o eléctrica), llam ada joule (J), y I J = 1 N • m
La unidad para la velocidad de energía, o potencia, es entonces J/s. donde un joule por
segundo es equivalente a un w att (I J/s = 1 W). Dado que a m enudo es necesario tra­
bajar con núm eros extrem adam ente grandes o pequeños, se introduce un conjunto de
prefijos estándar para sim plificar los cálculos (tabla 1.4). Por ejem plo. 1 m egawatt
(M W ) = JO6 W, y 1 m icrom etro (yum) = 10 6 m.
1 .7
Resumen
Aunque gran parte del m aterial de este capitulo se analizará con gran detalle, ya debe­
mos tener ahora una noción general ra onable de la transferencia de calor: asim ism o,
debem os estar conscientes de los diversos modos de transferencia y de sus orígenes fí­
sicos. M ás aún, dada una situación física, tenem os que ser capaces de percibir el rele-
T \B L A 1 . 5
Modo
Conducción
Convección
Radiación
R esum en d e los procesos d e tra n sfe re n c ia de calo r
M ecanismo(s)
Difusión de energía
debido al m ovimiento
molecular aleatorio
Difusión de energía
debido a) movimiento
m olecular aleatorio mas
transferencia de energía
debido al movimiento
global (advección)
Transferencia de energía
por ondas electromagnéticas
Numero
de ecuación
Propiedad
de transporte
o coeficiente
clT"
q" (W /m 2) = - k — dx
(1.1)
k (W/m • K)
c f (W /m 2) = h(Ts - T*)
(1 3 a )
h (W /m 2 • K)
c f (W /m 2) = eo {T* -- n h)
o q (W) - h,A(Ts — 7~alr)
(1 7)
e
hr (W /m 2 • K)
Ecuación
o modelo
(1.8)
1 «7 ■ Resumen
29
vante fenóm eno de transporte. La im portancia de desarrollar esta capacidad no debe
subestim arse. Tom ará m ucho tiem po aprender el uso de las herram ientas necesarias pa­
ra calcular los fenóm enos de transferencia de calor. Sin em bargo, antes de que com ien­
ce a usar estas herram ientas para resolver problem as prácticos, debe tener la intuición
para determ inar lo que sucede físicam ente. Kn pocas palabras, debe ser capaz de ver un
problem a e identificar los fenóm enos de transporte pertinentes. El ejem plo y los pro­
blem as al final de este capítulo le ayudarán a iniciar su cultivo de esta intuición.
Tam bién debe apreciar el significado de las ecuaciones de flujo o modelos y sentir­
se confiado al utilizarlas para calcular las velocidades de transporte. Estas ecuaciones,
resum idas en la tabla 1.5, deben ser aprendidas de memoria. También hay que recono­
cer la im portancia de las leyes de conservación y la necesidad de identificar de forma
cuidadosa los volúm enes de control. Con las ecuaciones de flujo o modelos, las leyes
de conservación sirven para resolver num erosos problem as de transferencia de calor.
Fjkmplo 1.7
Un recipiente cerrado, lleno de café caliente, se encuentra en un cuarto cuyo aire y pa­
redes están a una tem peratura fija. Identifique todos los procesos de transferencia de
calor que contribuyen a enfriar el café. C om ente las características que contribuirían a
un m ejor diseño del recipiente.
S o l í c ió n
S e c o n o c e : El café caliente está separado de sus alrededores más fríos por un frasco
de plástico, un espacio de aire y una cubierta de plástico.
E n c o n tr a r :
Los procesos relevantes de transferencia de calor.
E s tiu e n w ■
Las trayectorias de la transferencia de energía del café son las siguientes:
<7 i : convección libre del café al frasco
c¡2 : conducción a través del frasco
r/3 : convección libre del frasco al aire
( a p íl a l o I ■ I n t n n h n i iá n
q A : c o n v ec ció n libre (leí aire a la cu b ie rta
í/ .
: in te rc a m b io de rad ia ció n n eta cu tre la su p e rfic ie e x te rio r del Irasco ) la superlicie in te rio r de la c u b ie rta
(f(i: c o n d u c c ió n a tra v é s de la c u b ie rta
f/7 : c o n v e c c ió n libre de la c u b ie rta al aire del c u a rto
<ys : in te rc a m b io d e ra d ia c ió n neta e n tre la 'superficie e x te rio r de la c u b ie rta \ los a l­
re d e d o re s
( t n m 'i i ia r in s : Las m ejo ras de d ise ñ o se aso cian con ( 1 ) uso de su p erficies aluniim
zudas (b aja em i.sividad) para el frasco v c u b ie rta para red u c ir la rad iació n neta, \ (2) va
ciar el e sp a t io d e aire o u tiliza r un m aterial de rellen o para reta rd ar la convccc ion libre.
P r o h h 'n u tis
('o n d u c c io n
%
1.1
1.5
1:1
1.6
¿Cuál es el espesor que se requiere de una pared de
manipostería que tiene una eonductiv idad térmica
de 0.73 W m • k . si la velocidad del calor será S(K7 de la
velocidad del calor a través de una pared de estructura
compuesta que tiene una conductividad térmica de 0.23
W m • k v un espesor de 100 mm? Ambas paredes e s
tan sujetas a la misma diferencia de tempe ral tira su peí
he ial
1.7
l n cbip cuadrado Je silieio ik - 150 \\ ni ■ k ) tiene
un ancho u = 3 mm de lado v espesor i — 1 mm L1
Chip se monta en un sustrato de modo que s u s latios \
la superficie inferior quedan aisladas, mientras que la
superficie frontal se expone a un Huido refrigerante.
Un llujo de ea or de 3 k \ \ se conduce a naves de una
sección de un material aislante de área de sección
transversal 10 m \ espesor 2.ó cm Si l.i temperatura
de la superficie interna (caliente) es de 415ÜL \ la con­
ductividad térmica del material es 0.2 W/m • k . ¿cual
es la temperatura de Ja superficie externa?
J^2] Una pared de concreto, que tiene un área superficial de
20 m v 0.30 m de espesor, separa el aire acondiciona­
do de tina habitación del aire ambiental La tem peratu­
ra de la superficie interna de la pared se mantiene
a 25 C. v la conductividad térmica del concreto es
1 W/m • k .
(a) Determine la perdida tic calor a través tic la pared
para temperaturas ambientes en el rango de —15°C
a 3XCC. que corresponden a extrem os de ñn ierno y
verano, respectivamente. Muestre en forma gráfica
stts resultados.
(bJ hn su gráfica, también trace la pérdida de calor co­
mo 1 unción de la temperatura ambiente para m ate­
riales de la pared que tengan conductividades
térmicas de 0.73 y I 23 W m • k L.xpliquc la fa­
milia tic curvas que obtiene.
1.3
Se determina que el flujo de calor a través de una tabla
de madera de 30 mm de espesor, cuyas tem peraturas
sobre las superficies interna \ externa son 40 y 20°C.
respectivamente, e s 40 W /nr. ¿Cuál e s la conductivi­
dad térmica de la madera?
1.4
Las temperaturas de las superficies interna v externa de
una ventana de vidrio de 3 m m de espe.soi son 13 v
5°C\ Cuál e s la pérdida de calor a través de una veluti­
na que mide I X 3 m de lado? La conductividad térm i­
ca del \ idrio e s I 4 W/m - k
compartim iento de un congelador consiste en una
cavidad cubica que tiene 2 m de lado. Suponga que el
fondo está perfectamente aislado. ¿Cuál e s el espesor
mínimo Je aislante de espuma de poliuretano {k :
0.030 W/m • k i que debe aplicarse en las paredes su­
perior \ laterales partí asegurar una carga de calor de
menos tic 300 \V. cuando la s superficies interior > exte­
rior están a — 10 v 35ÜC?
Fluido
refrigerante
*
**
Si se disipan 4 W de los circuitos montados en la siiperlicie posterior del chip, ¿cuál es la diferencia de
temperaturas de estado estable entre las superficies intériot v íronial?
31
Problemas
1.8
Una galga para medir el flujo de calor en una superficie
o a través de un material laminado em plea term opares
de película delgada de crom el/alum el (tipo K) deposi­
tados sobre las superficies superior e inlenor de una
plaquita con una conductividad térm ica de 1 4 W /m •
K y un espesor de 0 25 mm.
1
450
2
658
4
983
8
1507
12
1963
T
(a) Determine el coeficiente de convección para cada
velocidad, y muestre gráficamente los resultados.
(b) Suponiendo que la dependencia del coeficiente de
convección con la velocidad es de la forma h =
C V . determine los parám etros C y n a partir de los
resultados de la parte (a)
í
1.11 Un calentador de resistencia eléctrica se encapsula en
i— Alumel (B)
Cromel (A)
térmica, k
Galga montada
sobre una
superficie
Galga
conectada
entre láminas
(a) Determine el flujo de calor q" a través de la galga
cuando el voltaje de salida en los conductores de
cobre es 350 ¡xV. El coeficiente de Seebeck de los
materiales tipo K del term opar es aproxim adam en­
te 40 /xV/°C
(b) ¿Que precaución es necesaria al usar una galga de
esta naturaleza para m edir el flujo de calor a través
de la estructura laminada que se m uestra arriba?
Convección
1.9
Velocidad del aire, V (m/s)
Potencia. P (W/in)
Usted ha experimentado el enfriamiento por convección
si alguna ve/ saco la mano por la ventana de un vehícu­
lo en movimiento o si la sumergió en una corriente de
agua Si la superficie de la mano se considera a una
temperatura ele 30°C, determine el flujo de calor por
convección para (a) una velocidad del vehículo de 35
km/h en aire a —5°C con un coeficiente de convección
de 40 W /m 2 • K y (b) una velocidad de 0 2 m/s en una
corriente de agua a I0°C con un coeficiente de convec­
ción de 900 W/m • K. ¿En cuál condición se sentina
más frío? Compare estos resultados con una perdida de
calor de aproximadamente 30 W /m 2 en condiciones am­
bientales normales.
un cilindro largo de 30 mm de diámetro. Cuando fluye
agua con una temperatura de 25°C y velocidad de 1 m/s
cruzando el cilindro, la potencia por unidad de longitud
que se requiere para m antener la superficie a una tem ­
peratura uniforme de 90°C es 28 kW /m Cuando fluye
aire, también a 25°C, pero con una velocidad de 10 m/s,
la potencia por unidad de longitud que se requiere para
mantener la misma temperatura superficial es 400 W/m
Calcule y compare los coeficientes de convección para
los flujos de agua y aire.
1.12 Un calentador eléctrico de cartucho tiene forma cilin­
drica de longitud L = 200 mm y diámetro exterior D =
20 mm. En condiciones de operación normal el calen
tador disipa 2 kWr. mientras se sumerge en un flujo de
agua que está a 20°C y provee un coeficiente de trans­
ferencia de calor por convección de h = 5000 W /m 2 •
K Sin tom ar en cuenta la transferencia de calor de los
extrem os del calentador, determine la temperatura su­
perficial Tx. Si el flujo de agua cesa sin advertirlo mien­
tras el calentador continúa operando, la superficie del
calentador se expone al aire que también está a 20°C.
pero para el que h = 50 W /m 2 • K. ¿Cuál es la tem pe­
ratura superficial correspondiente? ¿Cuáles son las
consecuencias de tal evento?
1.13 Un chip cuadrado isotérmico tiene un ancho ve = 5 mm
de lado y está montado en un sustrato de modo que sus
superficies lateral e inferior estén bien aisladas, mien­
tras que la superficie frontal se expone a la corriente de
un fluido refrigerante a T„ = 15°C A partir de consi­
deraciones de confiabilidad. la temperatura del chip no
debe exceder T = 85°C.
Fluido
refrigerante
r* , h
1.10 Sobre un cilindro largo, de 25 mm de diám etro con un
calentador eléctrico interno, fluye aire a 40°C En una
serie de pruebas, se realizaron m ediciones de la poten­
cia por unidad de longitud. P ', que se requiere para
mantener la tem peratura superficial del cilindro a
3ü0°C. a diferentes velocidades V de la corriente libre
del aire Los resultados son los siguientes:
Si el fluido refrigerante es aire y el coeficiente de con­
vección correspondiente es h = 200 WVrrr • K, ¿cuál
es la potencia máxima admisible del chip? Si el fluido
C apítulo 1 ■ Introducción
32
refrigerante es un líquido dieléctrico para el que h =
3000 W /n r • K, ¿cuál es la potencia máxima admisible?
1.14 Se propone el uso de la colisión de chorros de aire co­
rno medio de enfriar de manera efectiva chips lógicos
de alta potencia en una computadora. Sm embargo, pa
ra que la técnica se pueda aplicar debe conocerse el
coeficiente de convección asociado con el chorro que
choca contra la superficie de un chip Diseñe un expcri
ncnto que sirva para determinar los coeficientes de
convección asociados con el choque de un chorro de aire
sobre un chip que mide aproxim adam ente 10 mm
por 10 mm de lado.
1.181
Un paquete de instrumentación tiene una superficie ex­
terior esférica de diám etro D — 100 mm y emisividad
e = 0.25. El paquete se coloca en una cantara de si­
mulación espacial grande cuyas paredes se mantienen
a 77 K. Si la operación de los componentes electróni­
cos se restringe al rango de temperaturas 40 < T ^
85°C. ¿cuál es el rango de disipación aceptable de po­
tencia para el paquete? Muestre los resultados en forma
gráfica, y también el efecto de las variaciones en la
emisividad al considerar valores de 0.20 y 0 30.
1.19 Una superficie de 0.5 n r de área, emisividad 0.8, y
consiste en un conm utador bimetálico montado sobre
un calentador eléctrico unido a una alm ohadilla aislan­
te instalada en la pared.
150°C de temperatura se coloca en una cámara grande
al vacio cuyas paredes se mantienen a 25°C ( Cuál es la
velocidad a la que la superficie emite radiación? ¿Cuál
es la velocidad neta a la que se intercambia radiación
entie la superficie y las paredes de la cámara?
Pared de la secadora
1.20| Si Ts ~ Ta|r en la ecuación 1.9, el coeficiente de transfe­
1.15 El control de temperatura para una secadora de ropa
Almohadilla aislante
Calentador eléctrico
Conmutador bimetálico
El conm utador se fija para abrirse a 70°C, que es la
tem peratura máxima del aire de secado. A fin de operar
la secadora a una temperatura de aire más baja, se su­
ministra potencia suficiente al calentador de modo que
el conm utador alcance 70°C (T,my) cuando la tempera­
tura del aire7 * sea menor que TmÁy. Si el coeficiente de
transferencia de calor por convección entre el aire y la
superficie expuesta del conm utador de 30 m m 2 es 25
W /m 2 ■ K. ¿cuánta potencia de calentam iento Pe se re­
quiere cuando la temperatura deseada del aíre es Tx =
50°C?
1.16 El coeficiente de transferencia de calor por convección
libre sobre una placa delgada vertical caliente en aire
quieto se determina observando el cam bio en la tempe
ratura de la placa al paso del tiempo, a medida que ésta
se enfría. Suponiendo que la placa es isotérmica y que
el intercambio de radiación con sus alrededores es in­
significante, evalúe el coeficiente de convección en el
momento en que la temperatura de la placa es de 225°C
y que el cambio en la temperatura de la placa con el
tiempo U fí/clt) es —0.022 K/s, La tem peratura del aire
am biente es de 25°C y la placa mide 0 3 X 0.3 m con
una masa de 3 75 kg y un calor específico de 2770
J/kg • K
R adiación
1.17 Una sonda interplanetaria esférica de 0.5 m de diámetro
contiene dispositivos electrónicos que disipan 150 W. Si
la superficie de la sonda tiene una emisividad de 0 8 ,
y la sonda no recibe radiación de otras superficies
como, por ejemplo, del Sol, ¿cuál es la temperatura de
la superficie?
rencia de calor por radiación puede aproximarse como
hra = 4fi<r7' 3
donde T = (Ts + T ^x)¡2. Deseamos evaluar la valide/
de esta aproximación com parando los valores de hr y
hr a para las siguientes condiciones. En cada caso re­
presente los resultados en forma gráfica y comente la
validez de la aproximación.
(a) Considere una superficie de aluminio pulido (e =
0 05) o pintura negra (e = 0 9), cuya temperatura
puede exceder la de los alrededores (TA\r = 25°C)
en 10 a 100°C. También compare sus resultados
con los valores del coeficiente asociado con la con­
vección libre en aire (7« = 7 alr), donde h (W /m- ■
K) = 0.98 A T
(b) Considere condiciones iniciales relacionadas con
la colocación de una pieza a 7\ — 25°C en un hor­
no grande cuya temperatura de las paredes varía en
el rango 100 < Talr ^ 1000°C. De acuerdo con el
terminado o recubrimiento de la superficie, la em i­
sividad tomará los valores 0.05, 0.2 y 0.9. Para ca­
da emisividad. elabore una gráfica del error
relativo. (hr — hr a)/hr, com o función de la tem pe­
ratura del horno
1.21 Considere las condiciones del problema 1 13 Con
transferencia de calor por convección al aire, se en ­
cuentra que la potencia máxima permisible del chip es
0 35 W Si también se considera la transferencia neta
de calor por radiación de la superficie del chip a alrede­
dores a 15°C, ¿cuál es el porcentaje de aumento en la
potencia máxima permisible en el chip proporcionada
por esta consideración? La superficie del chip tiene una
emisividad de 0 9
1.22 Un sistema al vacío, como los que se usan para la de­
posición eléctrica por sublimación catódica de pelícu­
las delgadas conductoras en microcircuitos, consta de
una placa base sostenida por un calentador eléctrico a
■ Problemas
33
300 K y un recubrim cnto dentro del re* into que
mantiene a 77 K mediante un circuito refrigerante
nitrógeno líquido. La placa base, aislada en el lado
ferior. tiene 0.3 m de diám etro y una emisividad
0 25.
se
de
in
de
Recinto
al vacio
Recubrimiento
lleno de
nitrógeno
liquido
(b) Si se disipa energía eléctrica de manera uniforme
dentro del resistor, que es un cil ndro de diámetro
D = 60 min y longitud £ = 25 mm, ¿cuál es la ve
locidad de generación de calor volumétrica,
</(W/m )?
(c) Sin tener en cuenta la radiación del resistor, ¿cuál
es el coeficiente de convección?
1.24 La variación de tem peratura con la posición en una pa
red se muestra abajo para un tiempo específico,
du
rante un proceso transitorio (variante con el tiempo
T(a ) en t¡
Calentador eléctrico
Placa base
¿La pared se está calentando o enfriando?
i) ¿Qué potencia eléctrica debe proporcionarse al ca
lcntador de la placa base?
(b) ¿A qué flujo debe sum inistrarse el nitrógeno liqui­
do al recubrimiento si su entalpia de vaporización
es 125 kJ/kg?
(c) Para reducir el consum o de nitrógeno líquido, se
propone unir una placa del ada de hoja de alum i­
nio (e = 0.09) a la placa base. ¿Tendrá esto el
efecto que se d esea 7
Bulan* o ele energía y efectos inultmiodales
1.23 Se conecta un resistor eléctrico a una batería, com o se
muestra en el esquema. Después de una breve fluctua­
ción transitoria, la resistencia toma una tem peratura de
estado estable casi uniforme de 95°C, mientras que la
batería y los alambres de conexión permanecen a la tcm
peratura ambiente de 25°C No tome en cuenta la resis
tencia eléctrica de los alambres de conexión
/ = 6A
Batería
1.25 Una esfera sólida de diámetro D = 1 m y emisividad
superficial e = 0 30 se prevalicnta y después se suspen­
de en una cámara grande de vacío enfriada criogénica­
mente, cuyas superficies interiores se mantienen a 80 K.
¿Cuál es la velocidad de cambio de la energía almace­
nada por el sólido cuando su temperatura es 600 K?
1.26 Una esfera solida de alum inio de emisividad e esta inicialm ente a una tem peratura elevada y se enfría colo­
cándola en una cámara. Las paredes de la cámara se
mantienen a una tem peratura baja, y se hace circular un
gas frío a través de la cámara. Obtenga una ecuación
que sirva para predecir la variación de la temperatura
del aluminio con el tiempo durante el proceso de en­
friamiento. No intente obtener la solución.
1.27 Una placa de aluminio de 4 mm de espesor se monta
en posición horizontal, con su superficie inferior bien
aislada. Se aplica un recubrimiento delgado c: pccial a
la superficie superior que absorbe 80 i de cualquier ra
diación solar incidente, mientras tiene una em sividad
de 0.25. Se sabe que la densidad p y el ca or específico
í del alum inio son 2700 kg/m y 900 J/kg • K, respecti­
vamente.
V = 24 V
(a
N
Alambre
de conexión
(al Considere el resistor como un sistema alrededor de
cual se coloca una super icie de control y se aplica
la ecuación 1 l i a Determine los valores corres­
pondientes de £cm(W). £i,(W), £ sat(W ), y Éalm(W)
Si se coloca una superficie de control alrededor del
sistema entero, ¿cuáles son los valores de £e „. £ .
•
•
l- ni' ) £;ilnr
Considere las condiciones para h s que la placa es­
tá a una tem peratura de 25°C y la superficie supe
rior se expone súbitamente al aire ambiente a T ,=
20°C y a rad ación solar que proporciona un flujo
incidente de 900 W/m El coeficiente de transfe­
rencia de calor por convección entre la superficie y
el aire es h = 20 W/m • K ¿Cuál es la velocidad
inicial de cam bio de la tem peratura de la placa?
(b) ¿Cuál será la tem peratura de cquil brío de la placa
cuando se alcancen las condiciones de estado esta­
ble?
31
C apitulo 1 ■ introducción
(c) Las propiedades radiactivas de la superlicie depen­
den de la naturaleza específica del recubrimiento
aplicado. Calcule y elabore una gráfica de la tem ­
peratura de estado estable como tunción de la em i­
sividad para 0 05 ^ e ^ I. mientras todas las
demas condiciones permanecen com o se estable­
ció. Repita los cálculos para valores de a s = 0.5 y
I 0 y elabore una gráfica de los resultados con los
que se obtuvieron para ^ = 0 8 Si la finalidad e s
m axim izar la tem peratura de la placa, ¿cuál es la
combinación m as'deseable de emisividad de placa
y su absortividad. debido a la radiación solar >
1.28 bu una estac ión espacial orbital, un paquete electrónico
se almacena en un com partim iento que tiene un área
superficial i4f = 1 m 2. que se expone al espacio En
condiciones normales de operación, los dispositivos
electrónicos disipan I kW. que debe transferirse en su
totalidad de la superficie expuesta al espacio. Si la em isiv dad de la superficie es 1.0 y la superficie no se ex­
pone al sol, ¿cuál es su tem peratura de estado estable?
Si la superficie se expone a un flujo solar de 750 W /m 2
y su absortividad a la radiación solar es 0.25, ¿cuál es
su temperatura de estado estable?
agua sobre la tira. El agua se mantiene en fase liquida a
través de gran parte de la región de choque del chorro,
pero las grandes temperaturas de la placa inducen la
ebullición y la producción de un manto de vapor en
una región de ebullición laminar.
L\, / 3 — Zonas de enfriamiento por aire
¿2 - Zona de enfriamiento acelerado
con arreglo de chorros planos
-/
Ultimos
odillos
de
trabajo
□
□
W
PC
C h o r^
l
-u-
T T
Rodillo de
transporte
Bobina
Extensión de la región
de choque del agua
Extensión de la región
de ebullición laminar
C - Interfaz placa-rodillo
/
Liquido
Vapor
1.29 El consumo de energía relacionado con un calentador
de agua domestico tiene dos componentes: (i) la energía
que debe suministrarse para llevar la temperatura del
agua de la red de abastecimiento a la temperatura de al­
macenamiento del calentador, conforme se introduce
para reemplazar el agua caliente que se ha usado, y (ii)
la energía necesaria para compensar las pérdidas de ca­
lor que ocurren mientras el agua se almacena a la tem ­
peratura establecida. En este problema, evaluaremos el
primero de esos componentes para una familia de cua­
tro personas, cuyo consumo diario de agua caliente es
aproximadamente 100 galones Si el agua de la red está
disponible a 15°C. ¿cuál es el consum o anual de energía
relacionado con el calentamiento del agua a una tempe­
ratura de almacenamiento de 55°C'? Para un costo imi­
tar o de potencia eléctrica de $0.08/kW h, ¿cuál es el
costo anual asociado con el suministro de agua caliente
por medio de (a) calentamiento con resistencia eléctrica
o (b) una bomba de calor que tiene un CÜP de 3 y una
eficiencia de compresor (conversión de energía eléctrica
a trabajo mecánico) de 85 por ciento?
1.30 El laminado en caliente es un proceso en el que se
aplanan lingotes de acero sucesivamente a su paso por
una serie de rodillos de compresión. Del último con­
junto de rodillos salen tiras (hojas) de metal que se en­
frían a medida que se desplazan por los rodillos de
transporte antes de ser enrolladas. Es posible identificar
tres zonas de enfriamiento. Precisamente adelante del
último conjunto de rodillos y poco antes de la bobina,
hay regiones en las que la tira se expone a los alrededo­
res fríos. Entre estas regiones, hay una zona de enfria­
miento acelerado en la que se lanzan chorros planos de
(a) Para la producción de tiras de acero bajo en cromo
(p = 7840 kg/m , cp = 970 J/kg • K), las condicio­
nes de operación representativas corresponden a
una temperatura de salida del rodillo de compresión
de T ( a = 0) = Te = 940°C, una temperatura del
agua de 25°C en los chorros de choque, y una velo­
cidad de la tira, ancho y espesor de
— 1 0 rn/s.
Ws = 2 m. y ts = 4 inm. respectivamente. ¿Cuál es
la velocidad a la que debe extraerse calor de la tira
para alcanzar una temperatura de bobinado de la ti­
ra de T(.\ = L, + L2 + L ) = Tt = 540°C?
( b ) Identifique todos los procesos de transferencia de
calor que contribuyen al enfriam iento de la placa
1.31 En una etapa de un proceso de recocido, 304 hojas de
acero inoxidable se llevan de 300 K a 1250 K conforme
pasan a través de un horno calentado eléctricamente a
una velocidad de V — 10 min/s El espesor y ancho de
la hoja son /, = 8 inm y W< = 2 m. respectivamente,
mientras que la altura, ancho y largo del horno son
//„ = 2 m. W0 = 2.4 m. y L0 = 25 m, respectivamente
La parte superior y cuatro lados del homo se exponen
al aire ambiental y a alrededores, cada uno a 300 K. y
la temperatura de la superficie, coeficiente de convec­
ción y emisividad respectivos son T %= 350 K. h = 10
W/m • K, y e = 0.8. La superficie inferior del homo
también está a 350 K y reposa en una placa de concreto
de 0.5 m de espesor cuya base está a 300 K
■ Problema*
35
Hoja de
acero
l )
p
_
0
0
^ >)
0 J
ls
lh
Placa de concreto
1 stinic la potencia eléctrica, P, f<.(, que se requiere su
ministrar al horno.
1.32 En un contenedor cilindrico largo de pared delgada se
empacan desechos radiactivos Estos generan energía
térmica de manera no uniforme de acuerdo con la rela­
ción q = í/„[I ~ (r/r,j21, donde q es la velocidad local
de generación de energía por unidad de volumen. qn es
una constante, y rp es el radio del contenedor. Las con­
diciones de estado estable se mantienen sumergiendo el
contenedor en un liquido que esta a / y proporciona
un coeficiente de convección h uniforme
(a) Suponiendo gradientes de temperatura insignifi­
cantes en la pared del contenedor y un flujo de
calor constante q’¡, desarrolle una ecuación que go­
bierne la variación de la temperatura de la pared
con el tiempo durante el proceso transitorio. ¿Cuál
es la velocidad inicial de cambio de la temperatura
de la pared si q" = 10 W/m’?
(b) ¿Cuál es la temperatura de estado estable de la pa­
red 9
(c) El coeficiente de convección depende de la veloci­
dad asociada con el flujo de fluido sobre el conte­
nedor > de si la temperatura de la pared es o lio
suficientemente grande para inducir la ebullición
en el liquido Calcule y elabore una gráfica de la
temperatura de estado estable como función de h
para el rango 100 ^ h < 10.000 W n r • K ¿Exis­
te un valor de h por debajo del cual la operación
resulte inaceptable?
1.34 En un contenedor esférico de pared delgada se empa­
can desechos radiactivos. Estos generan energía térm i­
ca de manera no uniforme de acuerdo con la relación
</ =
1 — </'//*.,):J, donde í) es la velocidad local de
generación de energía por unidad de volumen, q es
una constante, y r0 es el radio del contenedor. Las con­
diciones de estado estable se mantienen sumergiendo el
contenedor en un liquido que esta a T * y proporciona
un coeficiente de convección h uniforme.
Fluido
refrigerante
h = ka 11 “ (r/r„)2l
11 -
(r/r0)-J
Obtenga tina expresión para la velocidad total a la que
se genera energía por unidad de longitud del contene­
dor Aproveche este resultado > obtenga una expresión
para la temperatura Ts de la pared del contenedor.
1.33 Se usa un contenedor esférico de acero inoxidable (AI
SI 302) para almacenar químicos reactivos que propor­
cionan un ílujo de calor uniforme q a la superficie
interior. I 1 contenedor se sumerge repentinamente en
un baho líquido de temperatura T < Tn donde T, es la
temperatura inicial de la pared del contenedor.
Contenedor
Químicos reactivos
r0 = 0.6 m
I - 500 K
,» - 8055 kg/m3
.
510 JAg-K
t f 7\ = 300 K
| 1 h 500 W/m2*K
Baño
- 0.5 m
Obtenga una expresión para la velocidad total a la que
se genera energía térmica en el contenedor Con este
resultado obtenga una expresión para la temperatura Ts
de la pared del contenedor
1.35 I n un contenedor esférico cuya superficie externa es
de 500 mm de diámetro y está a una temperatura de
—10°C se almacena oxígeno líquido, que tiene un pun­
to de ebullición de 90 K y un calor latente de vaporiza­
ción de 214 kJ/kg El contenedor se almacena en un
laboratorio t uvo aire y paredes están a 25°C
(a) Si la cmisividad de la superficie es 0.20 v el coefi­
ciente de transferencia de calor asociado con la con
vección libre en la superficie externa del contenedor
es 10 W/m 2 • K. ¿cuál es el flujo, en kg/s, al que se
debe descargar vapor de oxigeno del sistema?
ib)
formación de escarcha en el contenedor, lo que
causará que la cniisividad de la superficie aumente
Suponiendo que la temperatura de la superficie y el
coeficiente de convección |>ermtinecen a —10 C y
10 W/m 2 * k respectivamente, calcule la rapidez
C apítulo 1 ■ introducción
36
de evaporación de oxígeno (kg/s) com o función de
la emisividad de la superficie sobre el rango 0 2 ^
r < 0.94.
1.36 Un trozo de hielo en un contenedor de paredes delgadas
de 10 mm de espesor y 300 mm por lado se coloca en
una almohadilla bien aislada. En la superficie superior,
el hielo se expone al aire ambiental para el que
=
25°C y el coeficiente de convección es 25 W /m 2 • K
Sin tomar en cuenta la transferencia de calor de los la­
dos y suponiendo que la mezcla de hielo-agua permane­
ce a 0°C. ¿cuanto tiempo tardara en fundirse por
completo el hielo? l a densidad y calor latente de fusión
del hielo son 920 kg/nf y 334 kJ/kg, respectivamente.
1.37 Siguiendo el vacío caliente que forma una mezcla de
pulpa de papel, el producto, un cartón de huevo. s.e
transporta por una banda 18 s hacia la entrada de un
hom o de gas donde se seca a un contenido final desea­
do de agua. Para aumentar la productividad de la línea,
se propone que se instale sobre la banda un banco de
calentadores de radiación infrarroja, que proporciona
un flujo radiante uniforme de 5000 W /m . El cartón tie
ne un área expuesta de 0.0625 m 2 y una masa de 0.220
kg, 75% de la cual es agua después del proceso de for
mación
Banco de calentadores radiantes infrarrojos
j~ Cartón
i i-i
0
Banda transportadora
El jefe de ingenieros de su planta aprobará la compra
de los calentadores si el contenido de agua del cartón
se reduce de 75 a 65%. ¿Recom endaría la co m p ra } Su­
ponga que el calor de vaporización del agua es hjg —
2400 kJ/kg.
1.38 Unos dispositivos electrónicos de potencia se montan
en un disipador de calor que tiene un area de superficie
expuesta de 0.045 m 2 y una emisividad de 0.80. Cuando
los dispositivos disipan una potencia total de 20 W y el
aire y los alrededores están a 27°C. la temperatura pro­
medio del disipador es de 42°C. ¿Cuál temperatura
promedio alcanzará el disipador cuando los dispositivos
disipen 30 W para la misma condición ambiental?
1.39 El techo de un autom óvil en un estacionam iento ab ­
sorbe un flujo solar radiante de 800 W /m 2, mientras
que el lado contrario está perfectamente aislado. El
coeficiente de convección entre el techo y el aire am ­
biente es 12 W /m 2 • K.
(a) Sin tomar en cuenta el intercambio de radiación
con los alrededores calcule la temperatura del te
d io bajo condiciones de estado estable si la tem pe­
ratura del aire ambiente es 20°C.
(b) Para la misma tem peratura del aire ambiental,
calcule la tem peratura del techo si la emisividad de
la superficie es 0.8
(c) El coeficiente de convección depende de las con­
diciones del flujo de aire sobre el techo, y se in­
crem enta con el aum ento de la velocidad del aire.
Calcule y elabore una gráfica de la temperatura
de placa com o función de h para 2 s // <
200 W /m 2 • K.
1.40 ba tem peratura de operación de un detector infrarrojo
para un telescopio espacial se controla ajustando la
potencia eléctrica, <yclct, para un calentador delgado in­
tercalado entre el detector y el '‘dedo frío" cuyo extre­
mo opuesto esta inmerso en nitrógeno liquido a 77 K.
Fa varilla del dedo frío de 5 mm de diám etro tiene una
conductividad térm ica de 10 W/m • K y se extiende
50 mm sobre el nivel del nitrógeno liquido en un fras­
co Dewar. Suponga que la superficie del detector tiene
una emisividad de 0.9 y el vacío del recinto se m antie­
ne a 300 K.
Ventana
Talr
= 300 i
Detector
Recinto
al vacio
Calentador
eléctrico
Dedo frío
Dedo frío
Nitrógeno
liquido
/
Ti = 77 K
Dispositivos de potencia
- 7 * = 27°C
Frasco
Dewar
Disipador de calor,
7\.,A.v. e
Aire
Ta - 27°C
(a) ¿Cuál es la tem peratura del detector cuando no se
suministra ninguna potencia al calentador?
(b) <Qué potencia de calentam iento se requiere para
mantener al detector a 195 K?
(e)| Calcule y elabore una gráfica de la potencia de ca­
lentamiento requerida para mantener una tempera­
■ Problemas
tura de detector de 195 K com o función de la con­
ductividad térmica del dedo frío para 0.1 < k ^
400 W/m • K. Seleccione un material adecuado del
dedo que permita m antener la tem peratura estable­
cida del detector a un nivel bajo de consum o de
potencia.
(b) Considere condiciones en las que la temperatura
de la superficie interna se mantiene a 600 K, mien­
tras el aire y los alrededores a los que está expues­
ta la superficie externa se mantienen a 300 K.
Explore los efectos de las variaciones en k, h, y e
sobre (i) la temperatura de la superficie externa,
(ii) el flujo de calor a través de la pared y (íii) los
flujos de calor asociados con la transferencia de
calor por convección y la radiación de la transfe­
rencia de calor de la superficie externa. D t manera
específica, calcule y elabore una gráfica de las va­
riables dependientes anteriores para variaciones
param étncas alrededor de las condiciones base de
k = 10 W /m 2 • K, h = 20 W /m 2 ■ K y e = 0.5.
Los rangos sugeridos de las variables independien­
tes son 0.1 < k < 400 W/m • k . 2 < h < 200
W /m 2 • K, y 0.05 < e < 1. Exponga las implica­
ciones físicas de sus resultados. ¿En qué condicio­
nes la lem peratuia de la superficie externa será
m enor que 45°C. lo cual es un límite superior ra­
zonable para evitar daños por quemadura si se ha­
ce contacto?
1.41 Considere el sistema físico que se describe en el ejem ­
plo 1.5 bajo condiciones en las que los gases de com ­
bustión están a 1300°C y la transferencia de calor por
convección de los gases a la superficie interna se carac­
teriza por un coeficiente de convección de /q = 50
W /m 2 • K. La pared del horno está construida con un
ladrillo de sílice diatóm ico para el que k = 0.3 W/m •
K y e = 0.8 mientras que el medio circundante permanecc a 25°C. El intercambio de radiación entre los ga­
ses de combustión y la superficie interior se puede
dejar de lado. Calcule y elabore una gráfica de las tem ­
peraturas de las supcrfic es interior y exterior. Tx y T2,
como función del espesor de la pared (0.025 < L <
0.50 m) para un coeficiente de convección externo
de fu = 10 W/m~ • K y como función del coe icicntc de
convección (2 ^ fu ^ 50 W /m 2 ■ K) para /. = 0.15 m
Sugiera valores de L y h2 adecuados para mantener a T2
por debajo de un valor máximo perm isible de 100°C.
1.42 Se sabe que el flujo de calor por difusión a través de
una pared plana hasta la superfic e es 400 W /m 2. Detern me la tem peratura de la superficie para cada una de
las siguientes condiciones:
(a) Convección entre la superficie y un flujo de aire a
20°C con coeficiente de transferencia de calor h =
10 W /m 2 ■ K.
(b) El mismo proceso de convección ocurre junto con
transferencia radiativa de calor entre la superficie y
los alrededores fríos a —150°C. con un coeficiente
de transferencia radiativa hr = 5 W /m- • K.
1.43 Una superficie cuya tem peratura se mantiene a 400°C
está separada de un flujo de aire por una capa aislante
de 25 mm de espesor, cuya conductividad térm ica es
0.1 W/m • K. Si la tem peratura del aire es 35°C y el
coeficiente de convección entre el aire y la superficie
exterior del aislante es 500 W /m 2 • K. ¿cuál es la tem ­
peratura de esta superficie exterior?
1.44 La pared de un hom o que se usa para curar partes de
plástico tiene un espesor L = 0.05 m y la superficie ex­
terna está expuesta a alrededores y aire, que están a
300 K.
(a) Si la temperatura de la superficie externa es 400 K
y el coeficiente de convección y la emisividad son
h = 20 W /m 2 • K y e = 0.8 respectivamente, ¿cuál
es la temperatura de la superficie interna si la pared
tiene una conductividad térmica k = 0.7 W/m • K?
1.45 Un experimento para determ nar el coeficiente de con­
vección relac onado con el flujo de aire sobre la super­
ficie de un molde grueso de acero implica la inserción
de termopares en el molde a una distancia de 10 y 20
mm de la superficie a lo largo de una línea hipotética
normal a la superficie. El acero tiene una conductividad
térm ica de 15 W /m • K. Si los termopares miden tem ­
peraturas de 50 y 40°C en el acero cuando la tempera­
tura del aire es 100°C. ¿cuál es el coeficiente de
convección?
1 46 Un elem ento delgado de calentam iento eléctrico pro­
porciona un flujo de calor uniforme q'¿ a la superficie
externa de un ducto a través del cual fluye aire. La pa­
red del ducto tiene un espesor de 10 mm y una conduc­
tividad térmica de 20 W /m • K.
Aire
Di
T¡
Pared
~del ducto
‘ T„
Calentador
eléctrico
Aislante
(a) En una cierta posición, la temperatura del aire es
30°C y el coeficiente de transferencia de calor por
convección entre el aire y la pared interna del duc­
to es 100 W/m • K. ¿Qué flujo de calor q"} se re­
quiere para m antener la superficie interna del
ducto a T¡ = 85°C ?
C apítulo 1 ■ introducción
(b) Para las condiciones del inciso (a). <cual es la tem ­
peratura (T,,) de la superficie del dueto contigua al
calentador?
(b) Calcule la elevación de tem peratura del agua, T , —
si el flujo es 0.01 kg/s. Suponga que el calor es­
pecifico del agua es 4179 .l/kg • K
(c) Con T, = X5 C , calcule > elabore una gráfica de y
T como función del coeficiente de convección aire
lado interior h para el intervalo 10 ^ /? á 200
W /n r • K Analice brevemente sus resultados
(c) La eficiencia del colector 17 se define com o la ra
zon del calor útil colectado a la rapidez con que in­
cide la energía solar sobre el colector ¿Cuál es el
valor de 771
1.47 La superficie de una pared de 10 mm de ancho de ace­
ro inoxidable (k = 15 W /m • K) se m antiene a 90”C
mediante la condensación de vapor, m ientras que la su­
perficie opuesta se expone a un flujo de aire para el que
T = 20°C > h = 25 W /m 2 ■ K ¿Cual es la tem peratu­
ra de la superficie adyacente al aire?
1.50 Considere un colector solar plano que opera en condi­
ciones de estado estable. I-a radiación solar incide, por
unidad de área superficial del colector, a una rapidez
Gs (W /m ) La cubierta de vidrio e s completamente
transparente a esta radiación, y la fracción de la radia­
ción absorbida por la placa negra de absorción se de
signa a (absortividad) La fracción de la radiación no
absorbida por la placa de absorción (1 — a ) se supone
que s e refleja a través de la cubierta y regresa a la at­
m osfera y al espacio.
Se obtiene energía útil del colcctoi al pasar un flui­
do de trabajo a través de una tubería de cobre que esta
pegada al lado inferior de la placa de absorción. La tu­
bería forma un arreglo en serpentín para el que el flui­
do. a uii flujo constante m y calor específico cp, se
calienta de una tem peratura de entrada / j a una tempe
ratura de salida 7 ,. Aunque el fondo del colector se su­
pone que esta perfectam ente aislado (ninguna pérdida
de calor), habrá una pérdida de calor de la placa de ah
soreión debido a la convección a través del espacio de
aire e intercam bio de radiación con la cubierta. Supo­
niendo que las placas de absorción y de cubierta tienen
tem peraturas uniformes Ta y T , respectivam ente, los
flujos paralelos de calor por convección y radiación se
expresan com o ha(Ta — 7 \) y h, tU(T a — T(). lai canti­
dad ha es el coeficiente de transferencia de calor por
convección asociado con el espacio de aire, mientras
que h, ac es el coeficiente de transferencia de calor por
radiación asociado con la com binación placa de absor­
ción-placa de cubierta. La cubierta de vidrio también
transfiere calor por convección al aire am biente
{T — T„). e intercam bia energía en la forma de radia­
ción con sus alrededores. hr , ,(TC — ^alr)- La tem pera­
tura efectiva lÓT del cielo y superficies circundantes
vistas por el vidrio de la cubierta e s por lo general m e­
nor que la tem peratura del aire am biente.
1.4X Una placa de vidrio a 600 C se enfría al pasar aire so­
bre la superficie de modo que el coeficiente de transfe­
rencia de calor por convección es h = 5 W m • K
Para evitar fracturas, se sabe que el gradiente de tem pe­
ratura no debe exceder l5°C/m m en punto alguno de
vidrio durante el proceso de enfriam iento. Si la con
dtictividad térmica del vidrio es 1.4 W /m • K y la em i­
sividad superficial es 0 .8 . ¿cuál es la tem peratura mas
baja del aire que se puede usar iuieialm ante para el en­
friado ? Suponga que la tem peratura del aire es igual a
la de los alrededores
1.49 l n flujo solar de 700 W/m incide sobre un colector
solar plano que se utili/a para calentar agua. El área
del colector es 3 m 2. y 9 0 ^ de la radiación solar pasa a
través de la cubierta de v idrio y es absorbida por la pla­
ca de absorción El colector refleja el I0c/t restante.
Fluye agua por la tubería en la parte posterior de la pla­
ca de absorción, y se calienta de una tem peratura de
entrada 7j a una tem peratura de salida T0 La cubierta
de vidrio, que opera a 30°C. tiene una em isividad de
0.94 y experim enta un intercam bio de radiación con el
espacio abierto a —10°C. El coeficiente de convección
entre la cubierta de vidrio y el aire am biente a 25°C es
10 W in 2 • K
Cubierta de vidrio
Espacio de aire
Placa de absorción
Tubería de agua
Aislante
(a) Lleve a cabo un balance de energía general sobre
el colector para obtener una expresión de la rapi­
dez a la que se colecta calor útil por unidad de área
del colector, r/". Determine el valor de t/".
(a) Escriba una ecuación para la v elocidad a la que el
fluido de trabajó colecta energía útil qu (W ), y ex­
prese los resultados en términos de til, ( , Tr y Ta.
(b) Lleve a cabo un balance de energía sobre la placa
de absorción. Con este balance obtenga una expre­
sión para qu en térm inos de G s. a . Ta, T . ha, h, ac y
A (área de la superficie de las placas de absorción
v cubierta)
■ Problemas
39
Alrededores
Irradiación
solar, 6\
/aln ^r.rv
Aire
ambiental
Tx, h x
Cubierta de vidrio (7“,.)
Recinto
Espacio de aire [hir hrat)
toj
to7
Placa de absorción
[T(l a)
Tubería para el
paso de fluido
lm. cr)
Placa del
fondo
- Aislante
Entrada: 7,
Salida: T(,
(c) Lleve a cabo un balance de energía sobre la placa
de la cubierta
(d) Haga un balance de energía general sobre todo el
colector, trabajando con un volumen de control al­
rededor del colector. Com pare sus resultados con
los que se obtienen en las partes (b) y (c).
(e) La eficiencia r] del colector se define com o la ra­
zón del calor útil colectado a la rapidez con que in­
cide la energía solar sobre el colector. Obtenga una
expresión para 77.
(0 Comente que efecto tendrá el valor de m sobre Ta,
Ta y V- ¿Que pasaría con Ta si se quitara la placa
de la cubierta?
1.51 Considere un transistor montado en superficie sobre
una tarjeta impresa para circuitos cuya tem peratura se
mantiene a 35°C Fluye aire a 20°C sobre la superficie
superior de dimensiones 4 mm por 8 mm con un coefi­
ciente de convección de 50 W /m 2 • K Tres alambres
conductores, cada uno de sección transversal 1 mm por
0.25 mm y longitud 4 mm. conducen calor desde la ca­
ja a la tarjeta impresa. El hueco entre la caja y la tarje­
ta es 0.2 mm.
Caja del
transistor
Alambre
conductor
Tarjeta
impresa
para circuitos
(a) Suponiendo que la caja es isotérmica y sin tom ar
en cuenta la radiación, estim e la tem peratura de la
caja cuando el transistor disipa 150 mW y ( 1 ) aire
estancado o (ii) una pasta conductora llena el hue­
co. Las conductividades térm icas del alambre con­
ductor, aire y pasta conductora son 25, 0.0263 y
0.12 W/m * K, respectivamente
(b) Con el uso de la pasta conductora para llenar el
hueco, deseamos determinar el punto al que la di­
sipación de calor aumentada se puede acomodar,
sujeta a la restricción de que la tem peratura de la
caja no exceda 40°C. Las opciones incluyen
aumentar la velocidad del aire para lograr un mayor
coeficiente de convección h y/o cam biar el m ate­
rial del alambre conductor a uno de m ayor conduc­
tividad térmica. Considerando independientemente
los conductores fabricados con materiales cuyas
conductividades térmicas sean de 200 y 400 W/m •
K, calcule y elabore una gráfica de la disipación de
calor máxima admisible para variaciones en h so­
bre el rango 50 < /; < 250 W/m • K
IdtMit i< a<
011
«Irl proceso
1.52 Al analizar el funcionamiento de un sistema térmico el
ingeniero debe ser cap a/ de identificar los procesos de
transferencia de calor relevantes Sólo entonces es po­
sible cuantiíicar de forma apropiada el comportamiento
del sistema. Para los siguientes sistemas, identifique
los procesos pertinentes designándolos mediante fle­
chas etiquetadas apropiadamente en un bosquejo del
sistema. Conteste las preguntas adicionales que apare­
cen en el planteam iento del problema.
(a) Identifique los procesos de transferencia de calor
que determ inan la tem peratura de un pavim ento de
asfalto en un día de verano. Escriba un balance
de energía para la superficie del pavimento
(b) Se sabe que la radiación de microondas es transm i­
tida por plásticos, vidrio y ceram cas, pero es ab­
sorbida por materiales que tienen moléculas
polares como el agua. Las moléculas de agua ex­
puestas a la radiación de microondas se alinean e
invierten la alineación con la radiación de m i­
croondas a frecuencias por arriba de 1 0 9 s _l, oca
sionando que se genere calor. Compare el acto de
cocinar en un horno de microondas con el de coci­
nar en 1111 horno convencional de radiación o en
uno de convección. En cada caso, ¿cuál es el m e­
canism o físico responsable de calentar la comida?
¿Cuál horno tiene la mayor eficiencia de utiliza­
ción de la en erg ía? ¿Por qué? El calentam iento por
microondas se esta considerando para el secado de
ropa. ¿ Fn que diferiría la operación de una secado­
ra de ropa de microondas de la de una secadora
convencional? ¿Cuál es probable que tenga la ma­
yor eficiencia de utilización de energía y por qué?
(c) Considere una parte de su cuerpo expuesta (por
ejemplo, su antebrazo si viste una playera de man­
ga corta) mientras está sentado en una habitación.
Identifique todos los procesos de transferencia de
calor que ocurren en la superficie de su piel. Para
conservar combustible y recursos, la esposa del in-
( apituln L ■ Introducción
geniero insiste en m antener el term ostato de su ca­
sa en 15°C (59°F) en los meses de invierno El in­
geniero es capaz de tolerar esta condición si la
tem peratura del aire ambiental exterior está por en­
cinta de —10°C ( 14°F), pero se queja de tener frío
si la temperatura ambiente cae muy por abajo de
este valor. ¿Esta imaginando cosas el ingeniero?
(d) Considere una tuente de luz incandescente que
consiste en un filamento de tungsteno encerrado en
un bulbo de vidrio lleno de gas. Suponiendo una
operación de estado estable con el filamento a
una temperatura de aproxim adam ente 2900 K. ela­
bore una lista de lodos los procesos de transferen­
cia de calor pertinentes para (i) el filamento y (ii)
el bulbo de vidrio.
(e) Hay considerable Ínteres por desarrollar materiales
de construcción con aislamiento de m ejor calidad.
El desarrollo de tales m ateriales contribuiría mu­
cho a la conservación de la energía reduciendo los
requerimientos de calentam iento espacial Se su­
giere que sería posible obtener cal idades estructu­
rales y de aislamiento superiores con el compuesto
que se muestra. El material consiste en un panal,
con celdas de sección transversal cuadrada, inter­
caladas entre losas sólidas, l as celdas están llenas
de aire, y las losas, asi como la matriz del panal, se
fabrican con plásticos de baja conductividad térm i­
ca. Identifique todos los procesos de transferencia
de calor pertinentes para el funcionamiento del
compuesto. Sugiera form as en las que sería posible
mejorar este funcionamiento.
Losas
superficiales
Espacios
celulares de aire
(f) Se usa la unión de un term opar para medir la tem ­
peratura de un chorro de gas caliente, que Huye a
través de un canal, insertando la unión en el chorro
de gas. La superficie del canal se enfria de modo
que su temperatura está por debajo de la del gas.
Identifique los procesos de transferencia de calor
asociados con la superficie de la unión. ¿La unión
percibirá una temperatura menor, igual o mayor
que la del gas? Una coraza de radiación es un tubo
pequeño de extremos abiertos que encierra la
unión del termopar. pero que permite el paso del
gas. ¿Cómo mejora el uso de tal coraza la preci­
sión de la medición de la temperatura.1’
Canal frió
Coraza
ases
A
Unión del
termopar
(g) Una pantalla de vidrio doble contra fuego se inser­
ta entre el hogar de una chim enea y el interior de
una habitación. La pantalla consiste en dos placas
verticales de vidrio separadas por un espacio a tra­
vés del cual puede fluir aire de la hab tación (el es­
pacio esta abierto en la parte superior y en la
inferior). Identifique los procesos de transferencia
de calor asociados con la pantalla contra f uego.
Canal de aire
Placa
de vidrio
1
Aire
1.53 Al considerar los siguientes problema» referentes a la
transferencia de calor con el ambiente natural (exterior),
se reconoce que la radiación solar tiene componentes de
longitud de onda larga y corta. Si esta radiación incide
sobre un medio semitransparente, como el agua o el vi­
drio. le sucederán dos cosas a la parte no reflejada de la
radiación. El componente de longitud de onda larga sera
absorbido en la superficie del medio, mientras que el
componente de longitud de onda corta será transmitido
por la superficie.
(a) El número de vidrios de una ventana puede influir
de manera muy notable en la perdida o transferen­
cia de calor de una habitación caliente al aire am­
biente exterior. Compare las unidades de un solo
vidrio y de dos vidrios que se muestran identifican­
do los procesos de transferencia de calor relevantes
para cada caso.
O
Vidrio
doble
Aire
ambiental
Aire de la
habitación
Un solo
vidrio
■ Problemas
(b) En un colector solar plano típico, la energía se
colecta mediante un Huido de trabajo que se hace
circular a través de tubos que están en buen contac­
to con la cara posterior de una placa de absorción.
La cara posterior está aislada de los alrededores, y
la placa de absorción recibe la radiación solar so­
bre la cara frontal, que normalmente esta cubierta
por una o mas placas transparentes. Identifique los
procesos de transferencia de calor relevantes, pri­
mero para la placa de absorción sin cubierta y des­
pués para la placa de absorción con cubierta de una
sola placa.
(c) El diseño de colector de energía solar que se m ues­
tra en la figura siguiente se u tili/a en aplicaciones
de agricultura. Se hace circular aire a través de una
tubería larga de sección transversal que tiene la
forma de un triángulo equilátero. Un lado del
triangulo se compone de una cubierta sem itranspa­
rente de dos vidrios, mientras que los otros dos la­
dos están construidos con hojas de aluminio
pintadas de negro mate en el lado interno y cubier­
tas en el exterior con una capa de aislante de espu­
ma de poliuretano Durante los periodos soleados,
el aire que entra en el sistema se calienta para que
vaya a un invernadero, una unidad de secado de
granos o un sistem a de almacenamiento.
Identifique todos los procesos de transferencia de
calor asociados con los vidrios de la cubierta, las
placas de absorción y el aire
Cubierta
de dos
vidrios
y
V
Espuma de
poliuretano
41
(d) Los colectores solares de tubos al vacío son capa­
ces de dar m ejor rendimiento en relación con los
colectores planos. El diseño consiste en un tubo in­
terior eueapsulado en un tubo externo que es trans­
parente a la radiación solar. El espacio anular entre
los tubos esta al vacío La superficie opaca exterior
del tubo interior absorbe la radiación solar, y un
Huido de trabajo pasa por el tubo para colectar la
energía solar. LI diseño del colector por lo general
consiste en una fila de estos tubos acomodados
frente a un panel reflector. Identifique lodos los
procesos de transferencia de calor relevantes para
el funcionamiento de este dispositivo.
Radiación
solar 5n /
/
/
/
/
Tubos
al vacio
Panel
reflector1
Fluido de
trabajo
Tubo exterior
transparente
Espacio
al vacio
Tubo
interior
CAPITULO
Introducción
a la conducción
•■ 1
45
■ El modelo para In conducción
donde A, la conductividad térmica (W /m • K). es una propiedad im portante del m ate­
rial. Al ev alu ar esta expresión en el lím ite conform e A \ —» 0, obtenem os para la rapidez
de transferencia de calo r
di
,
(2 1)
o para el flujo de calor
<L _
dx
_
A
Kiu ka 2.2
H d a c ió n e n tr e e l s i s t e m a
«■uurderiHilu. la d ir e c c iA n
del flujo d e c a l o r y e l
gradiente d e le iii|K *ra lu ra
en una d im e n s ió n .
<tí
<in
to rto r (le flu jo d o c a l o r
nurmul a u n a is o te r m a
en un siste m a l»i(linicn.si«uial
de (oim len ad a-s.
(2.2)
R ecuerde que el signo m enos es necesario puesto que el calor siem pre se tran íicre en
la dirección de la tem peratura decreciente.
La ley de Fouricr, escrita en la ecuación 2.2, im plica que el llujo de calor es una
cantidad direecional. Fn particular, la dirección de q" es normal hacia el arca A de la sec­
ción transversal O. de form a m as general, l.i dirección del flujo de calor siem pre sera
norm al hacia una superficie de tem peratura constante, denom inada superficie isotérmi­
ca La figura 2.2 ilustra la dirección del flujo de calor q" en una pared plana para la que
el gradiente de temperatura cíí/dx es negativo. De la ecuación 2.2, se sigue que q" es po­
sitiva. A dvierta que las superficies isotérm icas son planos norm ales a la dirección x
Si aceptam os que el flujo de calo r es una cantidad vectorial, es posible escribir un
p lanteam iento m ás general de la ecuación de conducción (ley de Fouricr) com o sigue:
d onde V es el o p erad o r nabla tridim ensional y T(.r, y, r) es el cam po escalar de tem pe
raturas E stá im plícito en la ecuación 2.3 que el v ector de flujo de calor se encuentra en
una dirección perpendicular a las superficies isotérmica'». Una form a alternativa de la
ley de F ourier es. por tanto,
dT
Fu.i R A 2.3
kd
q"„= - k — (2.4)
donde q" es el flujo de calo r en una dirección n. que es norm al a una isoterma , com o se
m uestra en el caso bidim ensional de la figura 2.3. La transferencia de calor se sostiene
por un gradiente de tem peratura a lo largo de n N ote tam bién que el vector de flujo de
calo r se resuelve en com ponentes de m odo que, en coordenadas cartesianas, la expre­
sión general para c f es
9 " = (•<?.: + K + kq "
(2 5)
donde, de la ecuación 2.3, se sigue que
ch ~
k
(l" = ~ k ^ 7
(1 ( ) >
C ada una de estas exp resio n es relaciona el flujo de calo r a través de una superficie con
el gradiente de tem p eratu ra en una dirección p erpendicular a la superficie. Tam bién e s­
ta im plícito en la ecuación 2.3 que el m edio en el que ocurre la conducción es isotrópico. Para este m edio el valor de la conductividad térm ica es independiente de las
direcciones coordenadas.
16
C apitulo 2 ■ Introducción n la conducción
C om o la ley de F o u n cr es la piedra angular de la transferencia de calor por con­
ducción. sus características clave se resum en com o sigue. No es una expresión que de­
rive de principios fundam entales: es. en cam bio, una generalización que se basa en
pruebas experim entales, lis tam bién una expresión que define una propiedad material
im portante, la conductividad térm ica. A dem ás, la ley de Fouricr es una expresión vec­
torial que indica que el flujo de calor es normal a una isoterm a y en la dirección de la
tem peratura decreciente Finalm ente, observe que la ley de Fourier se aplica para toda
la m ateria sin im portar su estado, sólido, liquido o gaseoso
2.2
P r o p ie d a d e s térm icas d e la m a teria
B1 uso de la ley de Fourier hace obligatorio el conocim iento de la conductividad térm i­
ca. Esta propiedad, a la que se hace referencia com o propiedad de transporte, propor­
ciona una indicación de la velocidad a la que se transfiere energía m ediante el proceso
de difusión, y depende de la estructura tísica de la m ateria, atóm ica y molecular, que se
relaciona con el estado de la materia. En esta sección consideram os varias formas de
m ateria, m ediante la identificación de aspectos im portantes de su com portam iento y la
presentación de valores típicos de sus propiedades.
Comlucliv ¡dad térmica
Por la ley de Fourier. ecuación 2.6. la conductividad térm ica se define com o
(3773*)
Se sigue que. para un gradiente de tem peratura establecido, el flujo de calor por con­
ducción aum enta con el increm ento de la conductividad térmica. Recordando el m eca­
nism o físico asociado con la conducción (sección 1.2.1), se tiene que, en general, la
conductividad térm ica de un solido es m ayor que la de un liquido, que a su vez es m a­
yor que la de un gas. Com o se ilustra en la figura 2.4, la conductividad térm ica de un
sólido puede ser más de cuatro órdenes de m agnitud más grande que la de un gas. Esta
tendencia se debe en gran parte a las diferencias en el espacio interm olecular para los
dos estados.
Cinc
Plata
METALES PUROS
Níquel
Aluminio
ALEACIONES
Plásticos
Hielo
Óxdos
SÓLIDOS NO METÁLICOS
Espumas
Fibras
SISTEMAS AISLANTES
Aceites
Agua
Mercurio
Dióxido de
LIQUIDOS
carbono
Hidrogeno
CASES
Fu á ka 2 . 4
E s c a la
<l<‘ c o n d u c t iv id a d té r m ic a
p a r a d iv e r s o s e s t a d o s
0.01
0.1
1
10
Conductividad térmica (W/m-k)
100
1000
d e la m a te r ia a te m p e r a tu r a
y p r e s ió n n o r m a le s .
2 .2
VI
■ Propiedades térmicas de la molería
E s t a d o s ó li d o t n la visión m oderna de los m ateriales, un sólido se com pone de
electrones libres y de átom os unidos en un arreglo periódico denom inado estructura
cristalina Por consiguiente, el transporte de energía térm ica se debe a dos electos* la
m igración de electrones libres y las ondas vibracionales de la estructura cristalina. Estos efectos son aditivos, de m odo que la conductividad térm ica k es la sum a del com po
nente electrónico k. y el com ponente de la estructura cristalina k¡
\
k = ke + k¡
Ln una prim era aproxim ación, k es inversam ente proporcional a la resistencia eléctrica
p Para m etales puros, que son de baja p ,, k es m ucho m ayor que k . En contraste, pa
ra aleaciones, que son sustancialm ente de p grande, la contribución de k¡ a k ya no es
insignificante. Para sólidos no m etálicos, k esta determ inada principalm ente por k . que
depende de la frecuencia de las interacciones entre los átom os de la estructura cristali­
na La regularidad del arreglo de la estructura cristalina tiene un electo im portante so­
bre k¡, en los m ateriales cristalinos (bien ordenados) com o el cuarzo que tienen una
conductividad térm ica m as alta que los m ateriales am oríos com o el vidno. De hecho,
en solidos cristalinos no m etálicos, com o el diam ante y el óxido de berilio, k puede ser
bastante grande y exceder los valores de k asociados con buenos conductores, com o el
alum inio
1 a dependencia de k con respecto a la tem peratura se m uestra en la figuia 2.5 para
sólidos m etálicos y no m etálicos representativos. En las tablas A .l (sólidos m etálicos),
\ .2 y A .3 (sólidos no m etálicos) tam bién se proporcionan valores para m ateriales s»e-
100
300
500
1000
2000
4000
Temperatura (K)
F lG lU A 2 . 5
D e p e n d e n c i a d e la c o n d u c t i v i d a d I c im ie u c o n r e s p e c t o
a la t e m p e r a t u r a di- íó lid o s . s e l e c c i o n a d o s
I
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
O
C apítulo 2 ■ Introducción u la conducción
leccionados de im portancia técnica En diferentes publicaciones [1 ], se encuentran dis­
ponibles tratam ientos más detallados de la conductividad térm ica.
S is te m a s a is la n te s Los aislantes térm icos se com ponen de m ateriales de baja con­
ductividad térm ica com binados para lograr un sistem a de conductividad térm ica aun
mas baja. En aislantes tipo fibra, polvo y escamas, el material solido se dispersa fina­
m ente en el espacio de aire Estos sistem as se caracterizan por una conducto idad téi mi­
ca efectiva, que depende de la conductividad térm ica y de las propiedades radiativas de
la superficie del material sólido, asi com o de la naturaleza y fracción volum étrica del
aire o espacio vacío Un parám etro especial del sistem a es su densidad global (masa
del sólido/volum en total), que depende en gran m edida de la form a en la que se interconecta el m aterial solido
Si se form an pequeños vacíos o espacios huecos al pegar o fundir partes del m ate­
rial sólido, se crea una matriz rígida Cuando estos espacios se sellan, el sistem a se de­
nom ina aislante celular Ejem plos de estos aislantes rígidos son los sistem as de
espuma, en particular los que se hacen con m ateriales plásticos y de vidrio. Los aislan­
tes reflecto/es se com ponen de lám inas u hojas delgadas m ulticapa paralelas de alta re
flexividad, que están espaciadas para reflejar el calor radiante de regreso a su fuente El
espacio entre las hojas se diseña para restringir el m ovim iento del aire, y el espacio in­
cluso está al vacío en aislantes de alto rendim iento. En todos los tipos de aislantes, la
evacuación del aire en el espacio vacio reduce la conductividad térm ica del sistema.
Es im portante reconocer que la transferencia de calor a través de cualquiera de es­
tos sistem as aislantes incluye varios m odos, conducción por los m ateriales sólidos;
conducción o convección a través del aire en los espacios vacíos; y, si la tem peratura es
suficientem ente alta, intercam bio de radiación entre las superficies de la m atriz sólida
La conductividad térm ica efectiva da cuenta de todos estos procesos, y en la tabla A.3
se resum en valores para sistem as aislantes seleccionados Hay m uchas publicaciones
con inhum ación basica adicional y datos |2 , 3J.
E s ta d o lí(¡uido y g a s e o s o C om o el espacio intennolecular es m ucho m ayor y el
m ovim iento de las m oléculas es más aleatorio para el estado líquido y gaseoso que pa­
ra el sólido, el transporte de energía térm ica es m enos efectivo 1.a conductividad tér­
m ica de los gases y líquidos es por tanto m enor que la de los solidos en general
El electo de la tem peratura, presión y especies quím icas en la conductividad térmi­
ca de un gas se explica en térm inos de la teoría cinética de los gases [4] De esta teoría
se sabe que la conductividad térm ica es directam ente proporcional al num ero de partícu­
las por unidad de volumen n. la velocidad m olecular m edia c y la trayectoria libre me
día A, que es la distancia prom edio que viaja una m olécula antes de sufrir una colisión.
De aquí
k a licÁ
Dado que c aum enta con el increm ento de la tem peratura y la dism inución de la masa
molecular, la conductividad térm ica de un gas aum enta con el increm ento de la tempe
ratura y con la dism inución del peso m olecular Estas tendencias se muestran en la figu­
ra 2 6 Sm em bargo, com o n y A son directa e inversam ente proporcionales a la presión
del gas, la conductividad térm ica es independiente de la presión Esta suposición es
apropiada para las presiones de gas de interés en este texto. En consecuencia, aunque
los valores de k que se presentan en la tabla A 4 se obtuvieron a la presión atmosférica
2 .2
49
■ Propiedades térmicas de la materia
O
200
400
600
800
1000
Temperatura (K)
F lG L R A
2 .6
Dependencia de la conductividad térmica de la temperatura
de gases seleccionados a presiones normales.
o a la presión de saturación que corresponde a la tem peratura establecida, se aplican
tam bién en un rango m ucho más am plio.
Las condiciones m oleculares asociadas con el estado líquido son más difíciles de
describir, y los m ecanism os físicos para explicar la conductividad térm ica no están
bien com prendidos [5]. C om o se m uestra en la figura 2.7, la conductividad térm ica de
líquidos no m etálicos por lo general dism inuye al aum entar la tem peratura; las excep­
ciones notables son la glicerina y el agua. Esta propiedad es insensible a la presión ex­
cepto cerca del punto crítico. Tam bién, por lo com ún se sigue que la conductividad
térm ica dism inuye con el aum ento en el peso molecular. Los valores de la conductivi­
dad térm ica norm alm ente se tabulan com o función de la tem peratura para el estado sa­
turado del líquido. Las tablas A.5 y A .6 presentan estos datos para varios líquidos
com unes.
Los m etales líquidos norm alm ente se usan en aplicaciones en flujos altos, com o
ocurre en las plantas nucleares. En la tabla A .7 se da la conductividad térm ica de estos
líquidos. N ote que los valores son m ucho m ayores que los de los líquidos no m etáli­
cos 16J.
2.2*2
Otras propiedades relevantes
En nuestro análisis de problem as de transferencia de calor, será necesario utilizar m u­
chas propiedades de la materia. Estas propiedades por lo general se denom inan propie-
DCPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
Unlverftldad Suiuh» ¿Jaiív^r
<\ , i
C apítulo 2 ■ introducción a la conducción
Temperatura (K)
F lG I RA 2 . 7
Dependencia de temperatura de la conductividad tcmiiea
de líquidos no metálicos obtenidos bajo condiciones saturadas.
dudes tennofísicas e incluyen dos categorías distintas: las propiedades de transporte y
las termodinámicas, l^as propiedades de transporte incluyen coeficientes de la veloci­
dad de difusión com o k, conductividad térm ica (para transferencia de calor), y v, visco­
sidad cinem ática (para transferencia de mom ento). Las propiedades term odinám icas,
por otro lado, se relacionan con el estado de equilibrio de un sistem a. La densidad (p) y
el calor específico ( cp) son dos de estas propiedades que se usan extensam ente en el
análisis term odinám ico. El producto p cp (J/m 3 • K), norm alm ente denom inado capaci­
dad térmica volumétrica , mide la capacidad de un material para alm acenar energía tér­
mica. Puesto que las sustancias de densidad grande se caracterizan por pequeños
calores específicos, m uchos sólidos y líquidos, que son excelentes m edios de alm ace­
nam iento de energía, tienen capacidades térm icas com parables (p cp > 1 M J/m 3 • K).
Sin em bargo, debido a sus m uy pequeñas densidades, los gases son muy poco adecua­
dos para el alm acenam iento de energía térm ica (p cp ~ 1 kJ/m 3 • K). En las tablas del
apéndice A se proporcionan densidades y calores específicos para una am plia gam a de
sólidos, líquidos y gases.
En el análisis de transferencia de calor, la razón de la conductividad térm ica a la
capacidad térm ica es una im portante propiedad denom inada difusividad térmica a , que
tiene unidades de m2rs:
k
a = ------
PCp
M ide la capacidad de un material para conducir energía térm ica en relación con su ca­
pacidad para alm acenar energía térm ica. M ateriales de a grande responderán rápida­
2 .2
■ Propiedades térmicas da la materia
51
m ente a cam bios en su m edio térm ico, m ientras que los m ateriales de ex pequeña res­
ponden más lentam ente y tardan más en alcanzar una nueva condición de equilibrio.
La precisión de los cálculos de ingeniería depende de la precisión con la que se
conozcan las propiedades term ofísicas [7-9] Se podrían citar num erosos ejem plos de
defectos en el diseno de equipo y procesos o fallas en el cum plim iento de especifica­
ciones de funcionam iento, que fueron atribuibles a inform ación errónea asociada con
la selección de los valores de las propiedades clave que se utilizaron en el análisis ini­
cial del sistem a. La selección de datos confiables de las propiedades es una parte inte­
gral de cualquier análisis cuidadoso de ingeniería. Ha de evitarse el uso ocasional de
datos de publicaciones o m anuales que no hayan sido bien caracterizados o evaluados.
De la referencia 10 se obtienen valores recom endados de datos para muchas propieda­
des term ofísicas. Esta referencia, disponible en la m ayor parte de las bibliotecas insti­
tucionales. fue preparada por el T herm ophysical Propcrties Research C enter (TPRC)
de la U niversidad de Purdue. Se m antiene un program a continuo para proporcionar una
cobertura extensa actualizada de propiedades term ofísicas [ 11J.
E jem plo 2 .1
La ditusividad térm ica a es la propiedad de transporte de control para la conducción
transitoria. Con valores apropiados de k, p y cp del apéndice A. calcule a para los si­
guientes m ateriales a las tem peraturas que se especifican: alum inio puio, 300 y 700 K:
carburo de silicio, 1000 K: paralina, 300 K
Sol l CIÓN
Se conoce:
Definición de la difusividad térm ica a.
E n c o n tr a r :
Valores num éricos de a para m ateriales y tem peraturas seleccionadas.
P ro p ie d a d e s:
Tabla A .l , alum inio puro (300 K):
p = 2702 k g /m 3
= 903 J/k g • K
k = 237 W /m • K
a =
k
237 W /m ■ K
p cp
2702 k g /m 3 X 903 J/k g • K
= 97.1 X 10~6 m 2/s
<
Tabla A. 1, alum inio puro (700 K):
p = 2702 kg/m 3
a 300 K
cp = 1090 J kg • K
a 700 K (por interpolación lineal)
k = 225 W /m • K
a 700 K (por interpolación lineal)
De aquí
k
225 W / m - K
t ,
a = ------ = ------------------;---------------------------= 76 X 10 m /s
p c„
2702 k g /m 3 X 1090 J/k g • K
<
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
Universidad Simón Bolívar Sodp dal Litoral
52
C apítulo 2 ■ Introducción a la conducción
Tabla A 2, carburo de silicio (1000 K).
p = 3160 kg/m 3
cp = 1195 J/kg • K
k = 87 W, m • K
a 300 K
87 W/m • K
a 1000 K> a =
3 1 6 0 k g /m 3 X 1195 J/k g ■ K
a 1000 K,
= 23 X 10 6 m 2/s
<3
Tabla A 3, parafina (300 K )p = 900 kg/m 3
k
cp = 2890 J kg • K a =
pcp
k = 0.024 W /m • K,
0.0 2 4 W /m • K
90 0 k g /m 3 X 2890 J/kg • K
— 9.2 X 10 9 m 2/s
<
C a m e n ta r ía s :
1. A dvierta la dependencia de la tem peratura de las propiedades term ofísicas del alu­
minio y del carburo de silicio. Por ejem plo, para el carburo de silicio, «(1000 K)
0 1 X a(3 0 0 K); en consecuencia, las propiedades de este material tienen una fuer­
te dependencia de la temperatura.
2. La interpretación física de a es la que proporciona una m edida del transporte de
calor (k) en relación con el alm acenam iento de energía (p cf ) En general, los solí
dos m etálicos tienen a más alta, m ientras que los no m etálicos (por ejem plo, para
fina) tienen valores de a m ás bajos.
3. La interpolación lineal de los valores de las propiedades es por lo general acepta­
ble en los cálculos de ingeniería
4. El uso de densidad de baja tem peratura (300 K) en altas tem peraturas deja de lado
los efectos de la expansión térm ica, pero tam bién es aceptable para cálculos de in­
geniería.
Uno de los objetivos principales en un análisis de conducción es determ inar el campo
de temperatura en un m edio que resulta de las condiciones im puestas sobre sus fronte
ras. Es decir, deseam os conocer la distribución de temperaturas , que representa como
varia la tem peratura con la posición en el medio. Una vez que se conoce esta distribu­
ción, el flujo de calor por conducción en cualquier punto en el m edio o en la superficie
se calcula a partir de la ley de Founcr. Tam bién es posible determ inar otras cantidades
importantes. Para un sólido, el conocim iento de la distribución de tem peraturas sirve
para com probar la integridad estructural m ediante la determ inación de los esfuerzos
térm icos, sus expansiones y deflexiones. La distribución de tem peraturas también es
útil para optim izar el espesor de un m aterial aislante o para determ inar la com patibili­
dad de recubrim ientos o adhesivos especiales que se usen con el material.
Considerem os ahora la forma en que se determ ina la distribución de temperaturas
El m étodo sigue la m etodología que se describe en la sección 1.3 3 de aplicación del
requerim iento de conservación de la energía. Fs decir, definim os un volum en de con
trol diferencial, identificam os los procesos de transferencia de energía relevantes e in-
2.3 ■ Ecuación de difusión de calar
T(x.
y.
53
z)
k.
£s
F lC I
KA
2 .8
V u lu m e ii d r c o n tro l d ift r c n c u i l .
dx d y d z ,
p a r a el a n íü s is d e c o n
n c rirtn en c o o r d e n a d a s
a r t e s ia n a s .
troducim os las ecuaciones de flujo apropiadas. El resultado es una ecuación diferencial
cuya solución, para las condiciones de frontera que se establecen, proporciona la distri
bución de tem peraturas en el m edio
C onsidere un m edio hom ogéneo dentro del cual no hay m ovim iento de volum en
(adveccion) y en el que la distribución de tem peraturas T(x, y, r) se expresa en coorde
nadas cartesianas. Al seguir la m etodología de aplicar la conservación de la energía
sección 1 3 3), definim os prim ero un volum en de control infim tesim alm cnte pequeño
(diferencial), dx • dy • dz , com o se m uestra en la figura 2.8. Después de elegir que se
form ule la prim era ley en un instante, el segundo paso es considerar los procesos de
energía que son relevantes para este volum en de control. Si hay gradientes de tem pera­
tura, la transferencia de calor por conducción ocurrirá a través de cada una de las su­
perficies de control. Las velocidades de transferencia de calor por conducción
perpendiculares a cada una de las superficies de control en las coordenadas .v, y y z se
indican con los térm inos qx, qy y qz, respectivam ente Las velocidades de transferencia
de caloi por conducción en las superficies opuestas se expresan com o una expansión en
senes de Taylor donde, dejando de lado térm inos de orden superior.
(2.7a)
W
= qy + - g - dy
(2.7b)
(2.7c)
Expresado en palabras, la ecuación 2.7a sim plem ente afirma que el com ponente \ de la
rapidez de transferencia de calor en v + dx es igual al valor de este com ponente en x
más la cantidad por la que cam bia con respecto a x veces dx.
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Universidad Simún boc
54
Capítulo 2 ■ Introducción a la conducción
Dentro del m edio tam bién puede haber un term ino de fuente de energía asociado
con la velocidad de generación de energía térmica. Este térm ino se representa com o
É g = q d x dy dz
(2-.8)
donde q es la rapidez a la que se genera energía por unidad de volum en del medio
(W /m '). A dem ás, pueden ocurrir cam bios en la cantidad de la energía térm ica interna
alm acenada por el material en el volum en de control. Si el material no experim enta un
cam bio de fase, los efectos de energía latente no existen, y el term ino de almacena­
miento de energía se expresa com o
dT
£ aim= P
— dx dy dz
(2 9)
donde p cp dTlDt es la rapidez de cam bio tem poral de la energía sensible del medio por
unidad de volumen.
•
•
Una vez más es im portante advertir que los térm inos E y Ea\m representan diferen­
tes procesos físicos. El térm ino de generación de energía Eg es una m anifestación de al­
gún proceso de conversión de energía que incluye energía térm ica por un lado y energía
quím ica, eléctrica o nuclear por el otro. El term ino es positivo (fuente) si la energía tér­
m ica se genera en el material a expensas de alguna otra form a de energía, es negativo
(sumidero) si la energía térm ica se consum e. En cam bio, el térm ino de almacenam iento
de energía £ alm se refiere a la tasa de cam bio de la energía térm ica alm acenada por
la materia.
El ultim o paso en la m etodología que se señala en la sección 1.3.3 es expresar la
conservación de la energía con el uso de las ecuaciones de flujo anteriores. Sobre una
base de rapidez, la form a general del requerim iento de conservación de la energía es
Ég
^ent
£sale
^alm
0
Así, al reconocer que las velocidades de transferencia de calor por conducción consti•
•
tuyen el flujo entrante de energía, £ ent, y el flujo de salida, Esaie, y al sustituir las ecua­
ciones 2 8 y 2.9, obtenem os
+ Qz + q d x d y d z ~ qx+dx ~ qy, dy
dT
~ Qz+dz = P cr ~ f r dx dy dz
10)
Sustituyendo de las ecuaciones 2.7, se sigue que
dqx
dq^
dq ,
dT
- —— dx — r — dy — —- dz + q dx dy dz — pc„ — dx dy dz
ox
óy
oz,
oí
(2.11)
La rapidez de conducción de calor se evalúa a partir de la ley de Fourier,
dT
qx = —k d y d z *r—
dx
dT
q = —k d x d z —
dy
dT
q .= - k d x d y —
dz
(2.12a)
(2.12b)
(2.12c)
2.3
■ E c u a c i ó n fie d ifu s ió n tic c a l a r
55
donde cada com ponente de flujo de calor de la ecuación 2 6 se m ultiplica por el área de
la superficie (diferencial) de control apropiada para obtener la rapidez de transferencia
de calor Al sustituir las ecuaciones 2 12 en la ecuación 2 11 y dividir las dimensiones del
volum en de control (dx dy dz ), obtenem os
d_
k
dx \
dx
d
d f, d r )
( , d r ) -J-------+ — + k —
k—
dz s dz j
dy
,
dy,
+ q = pc.
dT_
~di
(2.13)
La ecuación 2.13 es la form a general, en coordenadas cartesianas, de la ecuación
de difusión de calor. Esta ecuación, conocida norm alm ente com o la ecuación de calen ,
proporciona la herram ienta básica para el análisis de conducción de calor. De su solu­
ción obtendrem os la distribución de tem peraturas T(.\, y, z) com o luncion del tiem po
La aparente com plejidad de esta expresión no debe ocultar el hecho de que describe
una condición física importante, es decir, la conservación de la energía. Se debe tener una
com prensión clara del significado físico de cada term ino que aparece en la ecu a­
ción Por ejem plo, el térm ino ¿Kk dTldx)'f)x se relaciona con el flujo neto de calor por
conducción en el volum en de control para la dirección de la coordenada .v. Esto es, al
m ultiplicar por dx.
d T \) dx
/ -- qx" - qx+dx
—3 I( ik —
(2.14)
con expresiones sim ilares aplicadas para los flujos en las direcciones y y z. Expresado
en palabras, la ecuación de calor, ecuación 2 13. establece que en cualquier punto den-
tio del medio, la rapidez de transferencia de energía pót conducción en un volumen
unitario mas la rapidez de generación volumétrica de energía térmica debe ser igual a
la rapidez ele cambio de la energía térmica almacenada dentro del volumen
A m enudo es posible trabajar con versiones sim plificadas de la ecuación 2.13 Por
ejem plo, si la conductividad térm ica es una constante, la ecuación de calor es
d 2T
d 2T
d 2T
q _
dz
k
\_cfr_
(2.15)
dx2
d y2
Oí d t
donde a = k p cp e s la difusmdad térmica Con frecuencia son posibles simplificaciones
adicionales de la form a general de la ecuación de calor. Por ejem plo, en condiciones de
estado estable, tal vez no haya cam bio en la cantidad de energía alm acenada, de aquí la
ecuación 2 .13 se reduce a
A dem ás, si la transferencia de calor es unidimensional (por ejem plo, en la dirección x)
y no hay generación de energía, la ecuación 2 16 se reduce a
d í
dT'
k — 1= 0
dx l dx
(2.17)
La im plicación más im portante de este resultado es que en condiciones unidiniensiona
les de estado estable, sin generación de energía, el flujo de calor es una constante en la
dirección de transferencia ( dq"/d\ = 0)
C apitulo 2 ■ Introducción a la conducción
17: + íL
I* IGUltA 2 . 9
Volumen de control diferencial, (Ir • r f/cj> • dz. pura el análisis
de conducción en coordenadas cilindricas (r , (f). r).
También es posible expresar la ecuación de calor en coordenadas cilindrica^ y csféncas. Los volúm enes diferenciales de control para estos dos sistem as coordenados se
m uestran en las íiguras 2.9 y 2 10
C o o rd en a d a s cilindricas
Cuando el operador habla V de la ecuación 2.3 se expre
sa en coordenadas cilindricas, la form a general del vector de flujo de calor, y por ello
de la ley de Fourier, es
(2.18)
donde
dT
k dT
<?</> =
r d<j)
do t do
F NU K \ 2 . 19
Volum.cn diíeretu ídl de control, dr • r sen 0 dtf) * dO, para
el análisis de conducción en coordenadas esféricas (r. ó . 0).
dT
(2.19)
■ Enlacian de difusión de calor
son los com ponentes del Hujo de calor en las direcciones, radial, angular y axial, res­
pectivam ente. A plicando un balance de energía al volum en de control diferencial de la
figura 2.9. se obtiene la siguiente form a general de la ecuación de calor:
i d ( m
di
kr —— + — — k ——
r dr
d r ) r* d0\
I d (,
di
*
( 2. 20 )
* 1
C o o r d e n a d a s e s f é r ic a s En coordenadas esféricas la form a general del vector de
llujo de calo r y de la ley de Fourier es
q " = —k T T = - k
/ ar
i ar
i
\
r oO
+ * -------- « 3 7
rsen 6 oq> j
dr
a r\
(2 .2 1 )
donde
df
// _
< /« -
k dT
k
U
7 de
dT
r s e n 6 d(p
( 2 .22 )
son los com ponentes del flujo de calor en las direcciones radial, polar y azim utal, res­
pectivam ente. Al aplicar un balance de energía al volum en de control diferencial de la
figura 2.10. se obtiene la siguiente form a general de la ecuación de calor
1
o ( k?L
dr
kr4- — - | +
r 2 dr
di
r 2se n 2 0 dó
d(p
1 d (.
r 2sen" #
d(.
d(p f
dr\
"
.
dr
l o ) * = p c p d~í
(2.23)
Ya que es im portante que sea usted capaz de aplicar los principios de c o n se n ación
a los volúm enes diferenciales de control, debe tratar de derivar la ecuación 2.20 o 2.23
(véanse los problem as 2 32 y 2.33). A dvierta que el gradiente de tem peratura en la ley
de F ourier debe tener unidades ele K/m. Por tanto, cuando se evalúa el gradiente para
una coordenada angular, debe expresarse en térm inos del Cambio diferencial en longi­
tud de arco. Por ejem plo, la com ponente del flujo de calor en la dirección angular de
un sistem a coordenado cilindrico es í/J = —( klr)(í)Tldó) y no q% — -A(rf/7r¿</>).
Eje m pl o 2 . 2
La distribución de tem peraturas a través de una pared de 1 m de espesor en cierto ins­
tante está dada com o
T{ v) = u + fu + ex2
donde T esta en grados C elsius y a en m etros, m ientras que a = 9(X)0C. b = —30U°C/m.
y c = —50°C /m 2. U na generación de calor uniform e, ¿j = 1000 W /m , esta presente
en la pared de área 10 m 2 que tiene las propiedades p = 1 6 0 0 kg/m 1. k = 40 W /m * K ,
y cp = 4 kJ/kg • K.
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Universidad Simón Bolívar S*de de! Litoral
C apítulo 2 ■ introducción u la conduce ion
1. D eterm ine la rapidez de transferencia de calor que entra en la pared (x = 0) y sale
de la pared ( v = 1 m).
2. D eterm ine la rapidez de cam bio del alm acenam iento de energía en la pared.
3. D eterm ine la rapidez con respecto al tiem po del cam bio de tem peratura en x = 0.
0.25, y 0.5 m.
SOLI CIÓN
S o c o n o c e : D istribución de tem peraturas T(x) en un instante de tiem po t en una pa­
red unidim ensional con generación uniform e de calor.
E n c o n tr a r :
1. Transferencias de calor de entrada a, ¿yent(.v = 0), y de salida, ¿/sa|e(v = 1), de la pa­
red.
2. Rapidez de cam bio del alm acenam iento de energía en la pared. £ a|m.
3. Velocidad, respecto al tiem po, del cam bio de tem peratura en v = 0, 0.25. y 0.5 m.
E squem a:
A = 10 m2
i) = 1000 W/m3
k = 40 W/m-K
p = 1600 kg/m3
cp = 4 kJ/kg-K
T(x) =
a + hx + cor
E
E-abn
-► 9salc
-H
S u p o s ic io n e s :
1. Conducción unidim ensional en la dirección .v.
2. M edio hom ogéneo con propiedades constantes.
3. G eneración interna de calor uniform e, r/(W /m 3).
A n á lisis:
1. Recuerde que. una vez que se conoce la distribución de tem peraturas para un me­
dio, es sencillo determ inar la rapidez de transferencia de calor por conducción en
cualquier punto dentro del medio, o en las superíicics, con la ley de Fourier. Por
eso, las transferenc as de calor deseadas se determ inan m ediante la distribución de
tem peratura que se estableció con la ecuación 2.1. Un consecuencia.
& m = <7,(0) = ~ k A
Í —
dx
= —kA(b + 2cx)x=0
x= Q
qM = - b k A = 30 0 °C /m X 4 0 W /m • K X 10 m 2 = 120 kW
<
2 .i t ■ Ecttat itm (/<* difusión de calar
5<>
De m anera sim ilar.
dr
<7^
= —kA(b + 2 cx)x=L
= <7.(0
= - (/> + 2cL)kA = —[ —3 0 0 °C /m
+ 2(-50°C /m 2) X 1 m] x 40 W/m ■K X 10 m2 = 160 kW
<
2. La rapidez de cam bio del alm acenam iento de energía en la pared / . m se determ i
na aplicando un balance de energía general a la pared. Con la ecuación 1.11a para
un volum en de control alrededor de la pared,
*
^'eni
donde
*
"
Eg
%
^alm
= qAL, se sigue que
^ a lm
^ g
^ent
^ » *lc
*?eni
^/salc
É m= 120 k W + 1000 W /m 3 X 10 n r X J m - 160 k\V
Éalm= - 3 0 k W
<]
3. L a rapidez, respecto al tiem po, del cam bio de la tem peratura en cualquier punto en
el m edio se determ ina de la ecuación de calor, ecuación 2.15. reescrita com o
dT
dt
k d2T
pcp dx2
+
q
pcp
De la distribución de tem peraturas establecida, se sigue que
a 27 _
a
/3 7 ’>
a ? -
a.* ( a *
= — (b + 2 ex) = 2c = 2 ( - 5 0 ° C / m 2) = - l0 0 °C /m 2
ax
O bserve que esta derivada es independiente de la posición en el medio. De aquí
que la rapidez respecto al tiem po del cam bio de tem peratura tam bién es indepen­
diente de la posición y está dada por
dT
40 W /m • K
d i = ’ 1600 k g /m 5 X 4 k J/k g ^ K X (
100 ° m7)
1000 W/m’
+
3T
at
1600 kg/m
= -6 .2 5 x 10
= -4 .6 9
X
X
4 kJ/kg • K
C/s + 1.56 x lü"4oC/s
10_4oC/s
<
Comentarían:
1. Del resultado anterior es evidente que la tem peratura en cualquier punto dentro de
la pared dism inuye con el tiem po.
60
C apitulo 2 ■ Introducción a la conducción
2. La ley de F ourier puede usarse siem pre para calcular la transferencia de calor por
conducción a partir del conocim iento de la distribución de tem peraturas, aun
para condiciones no estables con generación interna de calor.
22 4
C o n d ic io n es inicíalos y di* f r o n t e r a
Para d eterm inar la distribución de tem peraturas en un m edio es necesario resolver la
form a apropiada de la ecuación de calor. Sin em bargo, esta solución depende de las
condiciones tísicas que existan en las fronteras del m edio y, si la situación depende del
tiem po, tam bién dependerá de las condiciones que existan en el m edio en algún tiempo
inicial. C on respecto a las condiciones de frontera , ha> varias posibilidades com unes
que sim plem ente se expresan en form a m atem ática. C om o la ecuación de calor es de se­
gundo orden en las coordenadas espaciales, deben expresarse dos condiciones de fronte­
ra para cada coordenada necesaria en la descripción del sistem a. Sin em bargo, dado que
la ecuación es de prim er orden en el tiem po, debe cspccilicarse solo una condición, de­
nom inada iaudición inicial.
Las tres clases de condiciones de frontera que norm alm ente se encuentran en la
transferencia de calor se resum en en la tabla 2.1. Las condiciones se especifican en
la superficie i - 0 para un sistem a unidim ensional. La transferencia de calor es en la
dirección \ positiva con la distribución de tem peraturas, que puede sei dependiente del
tiem po, designada com o T{x. t ). La prim era condición corresponde a una situación en
TABLA 2 .1
Condiciones de frontera para la ecuación
de difusión de calor en la superficie (x = 0)
1.
Temperatura superficial constante
7(0. t ) = Ts
(2.24)
TU. t)
2.
Flujo de calor superficial constante
(a) Flujo finito de calor
dT
*
~ </»
—
■o
Tu, i)
(b) Superficie adiabática o aislada
dT
.-o
= 0
(2.26)
7(.r. i)
T(0. /)
3. Condición de convección superficial
dT
= /»ir. - 7(0. o l
(2.27)
*-0
TU. t)
2 .4
■ Condiciones iniciales y do frontera
61
que la superficie se m antiene a una tem peratura fija Ts. Ésta se denom ina norm alm ente
condición de Dirichlet, o condición de frontera de primera clase. Se aproxim a m ucho,
por ejem plo, cuando la superficie está en contacto con un sólido que se funde o con un
líquido en ebullición. En am bos casos hay transferencia de calor a la superficie, m ien­
tras que la superficie perm anece a la tem peratura del proceso de cam bio de fase. La se­
gunda condición corresponde a la existencia de un flujo de calor fijo o constante q" en
la superficie. Este flujo de calor se relaciona con el gradiente de tem peratura en la su­
perficie m ediante la ley de Fourier, ecuación 2.6, que se expresa com o
dT
ox
q
"
M
= -k —
x=0
Esta se denom ina condición de Neumann , o condición de frontera de segunda clase , y
se logra uniendo un calentador eléctrico de película delgada o de parche a la superficie.
Un caso especial de esta condición corresponde a la superficie perfectamente aislada, o
adiabática , para la que HTIOx^ _ 0 = 0. La condición de frontera de tercera c lase corres­
ponde a la existencia de calentam iento (o enfriam iento) por convección en la superficie
y se obtiene del balance de energía en la superficie que se exam inó en la sección 1.3.2.
E jk m p l o 2 . 3
Una barra larga de cobre de sección transversal rectangular, cuyo ancho w es mucho
más grande que su espesor L, se m antiene en contacto con un sum idero de calor en la
superficie inferior, y la tem peratura a lo largo de la barra es aproxim adam ente igual a
la del sum idero, T0. De pronto, se hace pasar una corriente eléctrica a través de la barra
y una corriente de aire de tem peratura
se hace pasar sobre la superficie superior,
m ientras que la superficie inferior continúa m anteniéndose a Ta. O btenga la ecuación
diferencial y las condiciones de frontera e inicial que se tendrían para determ inar la
tem peratura com o función de la posición y del tiem po en la barra.
S o l u c ió n
Se conoce:
U na barra de cobre inicialm ente en equilibrio térm ico con un sum idero
de calor calentado de súbito por el paso de una corriente eléctrica.
E n c o n tra r:
La ecuación diferencial y las condiciones de frontera e inicial necesa­
rias para determ inar la tem peratura com o función de la posición y del tiem po dentro de
la barra.
E sq u em a :
i- Barra de cobre (A. a)
T{\, v. t) ~ T(x. t)
Capitulo 2 ■ Introducción a In conducción
Suposicion es:
1. Puesto que vi > L . los efectos colaterales son insignificantes y la transferencia de
calor dentro de la barra es principalm ente unidim ensional en la dirección v.
2. G eneración volum étrica uniform e de calor, q
3. Propiedades constantes
Análisis:
La distribución de tem peraturas es gobernada por la ecuación de calor
(2.13) que. para las condiciones de propiedades unidim ensional > constante del proble­
ma actual, se reduce a
d2T
q
+
ox~
7
k
1
=
dT
a di
(l)
<
donde la tem peratura es una función de la posición y del tiem po, 7(.v, t). C om o esta
ecuación diferencial es de segundo orden en la coordenada espacial .\ y de prim er or­
den en el tiem po t, debe haber dos condiciones de frontera para la dirección \ v una
condición, llam ada condición inicial, para el tiem po. La condición de frontera en la su­
perficie inferior corresponde al caso 1 de la tabla 2.1. 1 n particular, com o la tem peratu­
ra de esta superficie se m antiene a un valor, Tfí, que se lija con eltiem po, se sigue que
7X0, /) = T0
(2)
<3
Ln cam bio, la condición de convección de superficie, caso 3 de la tabla 2 1. es apropia­
da para la superficie superior De aquí
dT
=
~
k
~fc
h[T(L.t) - 7 -J
(3)
x=L
La condición inicial se infiere del reconocim iento de que, antes del cam bio en las con­
diciones, la barra está a una tem peratura uniform e T„. Por ello
'/( v, 0) = T0
(4)
<
Si se conocen T„%Lx. ¿¡ v h, se resuelven las ecuaciones 1 a 4 para obtener la distri­
bución de tem peraturas que varían con el tiem po T {\ . t) siguiendo la im posición de la
corriente eléctrica.
( 'o m e n t a rio s :
1. L1 sumidero de rulot en v = 0 se m antiene exponiendo la superficie a un baño de
hielo o uniéndola a una placa fría. Una placa fría contiene canales refrigerantes fa­
bricados de un sólido de conductividad térm ica grande (usualm ente cobre). Al ha­
cer circular un liquido (por lo com ún agua) a travos de los canales, la placa, y de
aquí la superficie a la que se une. se m antiene a una tem peratura casi uniforme.
2. La tem peratura de la superficie superior T(L, t) cam biará con el tiem po. Lsta tem­
peratura es una incógnita y se obtiene después de encontrar T{ i. /).
3. ¿C óm o espera que v an e la tem peratura con a a diferentes tiem pos después del
cam bio en las condiciones? V éase el problem a 2.40.
■ Problemas
63
2.5
Resumen
Los propósitos principales de este capitulo fueron el de rae orar su com prensión de la
ecuación de la transfciencia de calor por conducción (ley de Lourier) y fam iliarizarlo
con la ecuación de calor Debe conocer los orígenes c im plicaciones de la ley de Fou
rier, y entender las propiedades térm icas clave y com o varían para diferentes sustan­
cias Tam bién debe conocer el significado físico de cada térm ino que aparece en la
ecuación de calor ¿A qué form as se reduce esta ecuación para condiciones sim plifica­
das y que clases de condiciones de frontera sirven para solucionarla? En resum en, debe
haber com prendido la esencia del proceso de conduce on y su descripción m atem ática
En los tres capítulos que siguen em prendem os el análisis de conducción para num ero­
sos sistem as y condiciones.
Bibliografía
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Sol d , en R. P. lye. ed., Therm al Conductivity, vol. 1 ,
Academic Press, Londres, 1969.
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perúes o f Matter, The TPRC Data Series (13 volúmenes
sobre propiedades term oíísicas: conductividad térmica,
calor específico, rad ación térmica, difusividad térmica y
expansión lineal térm ica), Plenum Press, Nueva Y^rk,
1970 a 1977.
11. Center for Information and Numerical Data Analysis and
Synthesis (CINDAS , Purdue University, 2595 Ycagcr
Road, West Lafayette, IN 47906.
Problemas
Ley de L o u rie r
2.1 Suponga una conducción de calor unidimensional de
estado estable a i ravés de la forma s métrica ax al que
se mué tra abajo.
Suponiendo propiedades constantes y ninguna genera­
ción de calor interna, bosqueje la distribución de tem ­
peratura en las coordenadas T —x. bxpliquc con
brevedad la forma de la curva que resulte
2.2 Una tubería de agua caliente con radio exterior /•, tiene
una tem peratura T {. Se aplica un aislante grueso de ra
d o r2 y temperatura T para reducir la pérdida de calor.
Sobre coordenadas T —r. bosqueje la distribución de
tem peratura en el ais ante para una transferencia de ca­
lor un dimensional de estado estable con propiedades
64
C apítulo 2 ■ Introducción a In conducción
constantes. Dé una breve explicación que justifique la
forma de la curva que muestre.
2.3 Una capa esférica con radio interior r, y radio exterior
r2 tiene temperaturas superficiales 7j y T2. respectiva­
mente, donde T > T2. Dibuje la distribución de tem pe­
ratura sobre coordenadas T —r. suponiendo conducción
unidimensional de estado estable con propiedades
constantes. De una breve explicación en la que justifi­
que la forma de la curva que resulte.
ción de tem peratura de estado estable asociada con la
transferencia de calor en una pared plana para tres ca­
sos que corresponden a a > 0 , a = 0 y a < 0 .
2.7 En el sistema mostrado se produce una conducción de
estado estable unidimensional sin generación de calor.
L.a conductividad térmica es 25 W/m • K y el espesor L
es 0.5 m.
-
T\ —
2.4 Suponga una conducción de calor unidimensional de
estado estable a través de la form a simétrica que se
muestra.
t2
/
Determine las cantidades desconocidas para cada caso
en la tabla siguiente y dibuje la distribución de tempe
ratura, indicando la dirección del flujo de calor.
u *
Suponiendo que no hay generación interna de calor, de­
rive una expresión de la conductividad térmica k(x) pa
ra estas condiciones: /Uv) = (1 — x). T(x) = 300(1 —
2v — .v3), y q — 6000 W, donde A está en metros cua
drados, T en kelvin y x en metros.
2.5 Un cono truncado sólido sirve de soporte de un sistema
que mantiene la cara superior (trunca) del cono a una
temperatura T x, mientras que la base del cono está a
una temperatura T2 < T X.
C aso
Tx
T,
1
2
400 K
300 K
3
4
5
2.6 Para determ inar el efecto de dependencia de la tem pe­
ratura de la conductividad térmica sobre la distribución
de temperatura en un sólido, considere un material para
el que esta dependencia puede representarse como
k = k„ + aT
donde k(l es una constante positiva y a es un coeficiente
que puede ser positivo o negativo. Dibuje la distribu-
Qx
(K /m )
(W/m2)
-2 5 0
I00°C
80°C
+200
—5°C
4000
30°C
-3 0 0 0
2.8 Considere condiciones de estado estable para una con­
ducción unidimensional en una pared plana que tiene
una conductividad térm ica k — 50 W/m • K y un espe­
sor L — 0.25 m, sin generación interna de calor.
T \-
Ua conductividad térmica del sólido depende de la tem ­
peratura de acuerdo con la relación k = ka — aT, donde
a es una constante positiva, y los lados del cono están
bien aislados. Las siguientes cantidades ¿aumentan,
disminuyen o permanecen igual con el aumento en a; la
velocidad de transferencia de calor qx, el (lujo de calor
<y", la conductividad térmica k y el gradiente de tem pe­
ratura d i d x l
dTIdx
- T>
Determine el flujo de calor y la cantidad desconocida
para cada caso y dibuje la distribución de temperatura,
indicando la dirección del flujo de calor.
('a so
7',(°C)
7 2(°C)
1
2
50
-3 0
-20
-10
3
4
70
5
40
30
dT ldx (K/ni)
160
-8 0
200
2.9 Considere una pared plana de 100 mm de espesor
y conductividad térm ica 100 W /m • K. Se sabe que
existen condiciones de estado estable con 7, = 400 K
y 7 . = 600 K. Determine el flujo de calor q"x y el gra­
diente de tem peratura cJTIdx para el sistema coordena­
do que se muestra.
65
■ Problemas
ax
7u>
V
.1
ui)
(¿)
(<-)
u
2.10 Un cilindro de radio rt„ longitud L y conductividad tér­
mica k esta inmerso en un Huido de coeficiente de con­
vección h y temperatura desconocida Tx . En cierto
instante la distribución de temperatura en el cilindro es
T(r) = a + hr1, donde a y b son constantes. Obtenga
expresiones para la velocidad de transferencia de calor
en r y la temperatura del Huido
2.11 I n el cuerpo bidimensional
que se ilustra, se encuentra
que el gradiente en la superficie A es HT/dy = 3U k/m
. Cuanto valen dTfdy y ñTUix en la superficie B ?
.
(a) Escriba una expresión para la rapidez de conduc­
ción de calor. q x( v). Use esta expresión para deter­
minar la distribución de temperatura 7‘(.v) y dibuje
cualitativamente la distribución para 7(0) > 7\ L) .
(b) Ahora considere condiciones para las que se gene­
ra energía térmica en la varilla a una rapidez volu­
métrica q = q 0 cxp( - m ) , donde q„ es una
constante Obtenga una expresión para </,(') cuan­
do la cara izquierda (v = 0) está bien aislada.
Priipiriliulrs termofísieus
2.14 Una varilla cilindrica sólida 0 . 1 m de longitud y 25 mm
de diámetro está bien aislada en la parte lateral, mien­
tras que las caras de sus extremos se mantienen a
temperaturas de 100 y 0°C. ¿Cuál c.s la rapidez de
transferencia de calor a través de la varilla si se cons­
truye de (a) cobre puro, (b) aleación de aluminio 2024T6, (e) acero inoxidable A1S1 302, (d) nitruro de
silicio, (e) madera (roble), (f) óxido magnésico, 85% y
(g) Pyrex?
2.12 Algunas secciones del oleoducto de Alaska están tendi­
das sobre tierra, sostenidas por columnas verticales de
acero (k = 25 W/m • K) de I m de longitud y sección
transversal de 0.005 m2. En condiciones normales de
operación, se sabe que la variación de temperatura
de un extremo a otro de la longitud de una columna se
rige por una expresión de la forma
/ = 100 -
ISO i + lO r
donde l > v tienen unidades de °C y metros, respecti
vamenté. Las variaciones de temperatura son insignifi­
cantes sobre la sección transversal de la columna.
Evalúe la temperatura y rapidez de conducción de calor
en la unión columna ducto (r = 0) y en la interfaz eo
lunuta tierra (.v = I m) Explique la diferencia en las
transferencias de calor.
2.13 Lna conducción unidimensional en estado estable se
produce en una varilla de conductividad térmica cons­
tante. k. y de área variable de la sección transversal.
A (x)
A„ea‘. donde A y a son constantes La super
ficie lateral de la varilla esta bien aislada.
2.15 Un sistema unidimensional sin generación de calor tic
nc un espesor de 20 mm con superficies que se mantie­
nen a temperaturas de 275 y 325 K Determine el flujo
de calor a través del sistema si se construye con (a) alu­
minio puro, (b) acero ordinario al carbono, (c) acero
inoxidable 316 A1SI. (d) pyroceram. (c) Teflon y ( 0
concreto
2.16 Un anuncio por televisión de un bien coiUKido fabri­
cante de aislantes afirma: no es el espesor del material
aislante lo que cuenta, sino el valor R El comercial
muestra que, para obtener un valor R de 19, necesita 18
pies de piedra. 15 pulgadas de madera o sólo 6 pulga­
das del aislante del fabricante. ¿Es técnicamente razo
nable este comercial? Si usted es com o la mayoría de
los telespectadores, no sabe que el valor R se define c o ­
mo U k , donde ¿.(pulgadas) es el espesor del aislante y
A(Btu • pulgada;'lir • pie2 • ‘ F) es la conductividad tér­
mica del material.
2.17 Un aparato para medir la conductividad térmica emplea
un calentador eléctrico intercalado entre dos muestras
idénticas de 30 mm de diámetro y 60 mm de longitud,
prensadas entre placas que se mantienen a una tempe
66
C apítulo 2 ■ Introducción a la conducción
ratura uniforme T0 = 77°C mediante la circulación de
un fluido. Se pone grasa conductora entre todas las su
perficies para asegurar un buen contacto térmico. Se
empotran termopare^ diferenciales en las muestras con
un espaciado de 15 mm. Las caras laterales de las
muestras se aíslan para asegurar una transferencia de
calor unidimensional a través de las muestras.
sertan en las muestras con un espaciado de 10 mm in­
dican ATr = 2.49°C y A 7 ,, = ATl2 = 3.32°C para las
muestras de referencia y de prueba, respectivamente.
(a) ¿Cuál es la conductividad térmica del material de
prueba? ¿Qué temperatura asignaría a este valor
m edido?
(b) ¿Bajo qué condiciones esperaría que AT,A no fuera
igual a A7", 2 ?
\
/ Fuente de calor,
Th = 400K
Muestra
de prueba 1
Material
de referencia
(a) Con dos muestras de SS316 en el aparato, el calen­
tador toma 0.353 A a 100 V y los term opares dife­
renciales indican A7j = AT2 = 25 0°C ¿Cual es la
conductividad térmica del material de la muestra
de acero inoxidable? ¿Cuál es la tem peratura pro­
medio de las m uestras? Com pare sus resultados
con el valor de conductividad térm ica de que se in­
forma para este material en la tabla A .2
(b) Por error, se ha puesto una m uestra de hierro Arin­
co en la posición inferior del aparato con una de
las muestras de SS316 de la parte (a) en la parte
superior. Para esta situación, el calentador toma
0.601 A a 100 V, y los term opares diferenciales in­
dican A /-, = A I'2 — 15 0°C. ¿Cual es la conducti­
vidad térm ica y la tem peratura promedio de la
muestra de hierro Arm co 9
(c) ¿Cuál es la ventaja de construir el aparato con el
calentador intercalado entre dos muestras idénticas
y en lugar de construirlo con una sola combinación
muestra-calentador? ¿Cuándo resulta significativo
el escape de calor por la superficie lateral de las
muestras? ¿Bujo qué condiciones esperaría que
A7j * A/Y?
Muestra
de prueba 2
\ Sumidero frío,
■A r = 300K
2.19 Un método para determinar la conduct vidad térmica k
y el calor específico cp de un material se ilustra en el
diagrama. Inicialmente las dos muestras idénticas de
diámetro D = 60 mm y espesor L = 10 mm y el delga­
do calentador están a una temperatura uniforme de T =
23 00°C. mientras está rodeado por un polvo aislante.
Súbitamente el calentador se energiza para proporcio­
nar un flujo de calor uniforme cj"a en cada una de las in­
terfaces de la muestra, y el flujo de calor se mantiene
constante durante un intervalo AT(l. Poco tiempo des­
pués de que se inicia el calentamiento subito, la tempe­
ratura en su interfaz T0 se relaciona con el flujo de calor
como
TjLo -
t,
=
2 <?;;
1/2
7TpCpk j
2.18 l n método comparativo común para medir la conduc­
tividad térmica de metales se ilustra en el diagrama.
Muestras de prueba cilindricas (1 y 2) y una muestra de
referencia de igual diám etro y longitud se apilan bajo
presión y bien aisladas (no se muestran en el diagrama)
sobre las superficies laterales La conductividad térm i­
ca del material de referencia, hierro A m ico en este ca­
so. se da por conocida con referencia a la tabla A.2.
Para la condición de extremo sum idero de Th = 400 K
y R, = 300 K. los term opares diferenciales que se in­
Pata un ejercicio de prueba particular el calentador
eléctrico disipa 15.0 W por un periodo ATa = 120 s y la
temperatura en la interfaz es 7’,,(30 s) = 24.57°C des­
pués de 30 s de calentamiento. M ucho tiempo después
de que el calentador se desconecta. / > A /'„ las mues­
tras alcanzan la temperatura uniforme TJ*>) =
33.50°C. La densidad de los materiales de la muestra,
determinada por mediciones de volumen y masa, es p 3965 kg/m .
■ Problemas
. «•• «i* • # • i »»' »_ . » • »» » _«~ %
'«»» -» »,%»-i i »' »*
• .
Muestra 1. D, l , p
Conductores
del calentador
Muestra 2 D .L.p
Determine el calor especifico y la conductividad térm i­
ca del material de prueba Con los valores de las pro­
edades term oíisicas de la tabla A 2 identifique el
material de la muestra de prueba.
h e n a r io n ‘le c a l o r
2.20
fin un instante determ inado la distribución de tempera
tura dentro de un cuerpo infinito hom ogéneo est. dada
p ir la funu n
T(.\, y, z) — \
— 2y 2 + z2 — .v\ + 2v :
67
(a) Tomando como base un area unitaria, determ ne la
veloc idad de transferencia de calor hacia dentro v
hacia tuera de la pared y la rapidez de cam bio de
energía alm acenada por la pared
(b) Si la superficie fría se expone a un fluido a 100 C.
,cual es el coeficiente de convección 7
2.24 Un estanque so ar con gradiente salino es un cuerpo de
agua poco profundo que consiste en tres capas fluidas
distintas y se utiliza para colectar energía solar Las ca
pas superior e interior están bien mezcladas y sirven
para m antener las super cíes superior e inferior de la
capa central a temperaturas uniformes T y T , donde
T2 > 7’,. Aunque hay un mov miento de fluido global
en las capas mezcladas, no existe este tipo de movi
miento en la capa central Considere condiciones para
las que la absorción de la radiación solar en la capa
central proporciona una encrac on no uniforme de ca
lor de la forma i) — A t
y la distribución de tempera
tura en la capa central es
Suponiendo prop edades constantes y n iguna genera
ción interna de c* lor, determine las regiones donde la
temperatura cambia con el tiempo
2.21 fin una \a r lia ci ndrica de 50 mm de diam etr >de com­
bustible de un reactor nuclear ocurre generación interna
de calor a q ~ 5 X 10 W /m . y en condiciones de es­
tad.) estable li distribución de temperatura es T t) —
n + b r \ donde T esta en grados Celsius y r en metros,
mientras a = 800°C y h — —4 167 X 10 °C/m . Las
propiedades de la var lia de com bust'ble son k
30 W/m • K, p — 1100 kg/m , y cp — 800 J k • K.
a) ¿Cuál es la velo» idad de transferencia de calor por
t
unidad de longitud de la var lia en i = 0 (linea
central) y en /- — 25 mm (superficie )9
(b) S el n \e l de potenc a del reactor aumenta súbita
mente a . = I0 8 W m , cuál es la velocidad de
cambio de emperat ra en el tiempo inicial en r =
0 y r — 25 mm?
2.22 Se observa que la d str bucion de ten peratura de estado
estab e en lina pared unidimensional de conductividad
térmica 50 \ \ n • K y cspcsoi 50 mm es T C> = o +
¡hx2, donde a = 200‘C. h = —2000°C/m , y x esta en
metros
(a) ¿Cuál es i r< pidez de gener i ion de ca or </ en la
pared?
(b) Determine los flu jos de calor en las dos caras de la
pa ’d ¿,De que n a lera se relac onan estos flujos
de calor con la rapidez de generac ión de c alo r 7
2.23 La distrib ici in d t temperatura a través de una pared de
0.3 m de espeso en cierto instante es T (\) = a + bx +
ca . donde T está en g ados Celsius y \ en metros a =
2(K)°C h = - 200 C m. y f = 3 0 C/m La pared tiene
una conductividad term ca de I W /m • K
A
T(x) = - — t
+ Bx + C
ka~
Las cantidades A (W /m3), a (1 ni), B (K/m), y C (K )
son constantes conocidas que tienen las unidades que
se establecen, y k es la conductividad térmica, que tam ­
bién es constante.
Radiación
Capa mezclada
s
Capa centra
estancada)
Capa
ezc ada—
-------------------------
K ■
■
<■
■
■
*
q x k
~
r —h----------
----------------------------------------------------------
(a) Obtenga expresiones para la rapidez a la que se
transfiere calor por unidad de arca de la capa infe
rior mezclada a la capa central y de la capa central
a la capa superior mezclada
(b) Determine si las condiciones son estables o transi­
torias.
(c) Obtenga una expresión para la rapidez a la que se
genera energía térm ica en la capa central, por uni­
dad de área super cial.
2.25 La distribución de temperaturas de estado estable en un
material semitransparente con conductividad térmica k
y espesor L expuesto a irradiación láser es de la forma
C apítulo 2 ■ Introducción a la conducción
68
T(x) = -
ka2
e
¿Es posible la distribución de temperaturas que se des­
cribe? Explique en forma breve su razonamiento. Con
la temperatura en v = 0 , y la temperatura del fluido fija
en 7 0) = 0°C y T c = 20°C, respectivamente, calcule
y elabore una gráfica de la temperatura en i = / , T{L),
com o función de h para 10 < /? < 100 W/m • K Ex
plique sus resultados de manera concisa
+ B x+ C
donde A, a. B, y C son constantes conocidas. Para esta
situación, la absorción de radiación en el m atenal se
manifiesta por un term ino de generación de calor distri­
buido, ¿7(.v).
Irradiación láser
Medio semitransparente, T(x)
2.28 Una capa plana de carbón de espesor L = 1 m experi­
menta una generación volum étrica uniforme a razón
de c¡ = 20 W /m 3 debido a la oxidación lenta de las par­
tículas de carbón. Prom ediada en un periodo diario, la
superficie superior de la capa transfiere calor por con­
vección al aire del ambiente para el que h = 5 W/m 2 ■
K y Toe = 25°C. mientras recibe irradiación solar por
la cantidad Gs = 400 W m2. La absortividad y emisivi­
dad solar de la superficie son cada una a s = e = 0.95
(a) Obtenga expresiones para los flujos de calor por
conducción en las superficies superior c interior
(b) Derive una expresión para </(.v).
(c) Derive una expresión para la rapidez a la que se
absorbe la radiación en todo el material, por uni­
dad de área superficial. Fxprcsc el resultado en
térm inos de las constantes conocidas para la dis­
tribución de tem peraturas, conductividad térmica
del material y espesor.
2.26 La distribución de temperaturas de estado estable en
una pared unidimensional de conductividad térmica k y
espesor L es 7 = ax3 + bx2 + ex + d. Derive expresio­
nes para la rapidez de genera lón de calor por unidad
de volumen en la pared y los flujos de calor en las dos
caras de la pared (je = 0, L).
2.27| En una pared plana de conductividad térm ica constante
está ocurriendo una conducción unidimensional en e s ­
tado estable sin generación de energía interna
1
Aire del
ambiente
-.T — h
0
.
I
L-
7
(a) Escriba la forma de estado estable de la ecuac ón
de difusión de calor para la capa de carbón Veril que que esta ecuación se satisface para una distrbución de tem peraturas de la forma
qL2
T(x) = Ts +
2k
1-
A partir de esta distribución, , qué puede decir so­
bre las condiciones en la superficie inferior (.v =
0)? Dibuje la distribución de temperaturas y mar­
que las características clave.
7TC)
(b) Obtenga una expresión para la velocidad de trans
ferencia de ca or por conducción para un area uni­
taria en v = L. Aplique un balance de energía a
una superficie de control sobre la superficie supe­
rior de la capa y obtenga una expresión para Tf.
Evalué 7\ y 7(0) para las condiciones que se esta­
blecen.
<7 = 0
k = 4.5 W/m-K
(c)| Los valores promedio diarios de G* y h dependen
de un numero de factores como la época del año, la
nubosidad y las cond ciones de viento Para h = 5
W ni • K, calcule y elabore una gráfica de Ts y
7(0) como función de G, para 50 ^ G v ^ 500
W m Para Gs = 400 W /n v , calcule y elabore una
Problemas
69
granea de Ts y T(0) como función de h para 5 ^ /?
< 50 W/m 2 • K.
2.29 El sistema cilindrico que se ilustra tiene una variación
de temperatura insignificante en las direcciones r y r.
Suponga que A/- = ra — r es pequeña comparada con /
y denote la longitud en la dirección z. normal a la pági
na. como L.
<t>
(a) Comenzando con un volumen de control definido
de forma apropiada y considerando los efectos de
generación y alm acenam iento de energía, derive la
ecuación diferencial que describe la variación en
la temperatura con la coordenada angular $. C om ­
pare su resultado con la ecuación 2 2 0 .
T(r) = C,
—
+ a
' - ( i )
¿Son condiciones de estado estable o transitorias? ¿C ó­
mo varían el flujo de calor y la rapidez de transferencia
de calor con el radio?
2.35 Para un tubo circular largo de radios intento y externo
/'i y r2, respectivamente, se mantienen temperaturas
uniformes 7j y T2 en las superficies interna y externa,
mientras la generación de energía térm ica ocurre den­
tro de la pared del tubo (/-j < r < r2). Considere condi­
ciones de estado estable para las que 7j > T2. ¿Es
posible m antener una distribución de temperaturas ra­
dial lineal en la pared? Si es así, ¿qué condiciones es­
peciales deben existir 9
2.36 El paso de una corriente eléctrica a través de una larga
varilla conductora de radio r¡ y conductividad térmica
k, tiene como resultado un calentamiento volumétrico
uniforme a una velocidad de q. La varilla conductora se
envuelve en un material de revestimiento no conductor
de radio externo /„ y conductividad térmica kc, y se su­
ministra enfriamiento por convección med inte un flui­
do contiguo.
(b) Para condiciones de estado estable sin generación
interna de calor y con propiedades constantes, de­
termine la distribución de tem peratura T (é ) en tér­
minos de las constantes T,. T2,
y r0. ¿Es lineal
en <£ esta distribución?
(c) Para las condiciones de la parte (b) escriba la ex­
presión para la transferencia de calor q$.
2.30 Comenzando con un volumen de control diferencial en
la forma de una coraza cilindrica, derive la ecuación de
difusión de calor para un sistema coordenado radial ci­
lindrico unidimensional con generación interna de ca­
lor. Compare sus resultados con la ecuación 2.20
2.31 Comenzando con un volumen de control diferencial en
la forma de una cora/a eslénca, derive la ecuación de
difusión de calor para un sistema coordenado, radial,
esférico y unidimensional con generación interna de
calor. Compare su resultado con la ecuación 2.23
2.32 Derive la ecuación de difusión de calor, ecuación 2 20,
para coordenadas cilindricas, com enzando con el volu­
men de control diferencial que se muestra en la hgura
2.9.
2.33 Derive la ecuación de difusión de calor, ecuación 2.23,
para coordenadas esféricas, com enzando con el volu­
men de control diferencial que se muestra en la figura
. .
2 10
IJ
.34 Se cubre un tubo de vapor con un aislante de radios in­
terior y exterior, r y /•„, respectivamente. En un instante
particular se sabe que la distribución radial de tempera
turas en el aislante es de la forma
Para condiciones de estado estable, escriba las formas
apropiadas de las ecuaciones de calor para la varilla y
el revestimiento. Exprese condiciones de frontera apro­
piadas para la solución de estas ecuaciones.
2.37 Un cable eléctrico de radio
y conductividad térmica
kL, envuelto por una cubierta aislante cuya superficie
exterior tiene radio r2, experimenta transferencia de ca­
lor por convección e intercambio de radiación con el
aire contiguo y alrededores, respectivamente. Cuando
pasa corriente eléctrica a través del cable, se genera
energía térmica dentro del cable a razón de q.
TT
Cable eléctrico
Aislante
rx, i
Aire dei
ambiente
, l~ h
í í
DEPARTAM ENTO DE BIBLIOTECA
OhIvviíSitiuú
i -*•>...
■Sddfc ■'
*■.! a
o
Cu]>ítulo 2 ■ Introducción a la conducción
(a) Escribí! las formas de estado estable de la ecuación
de difusión de calor para el aislante y el cable. Ve­
rifique que estas ecuaciones sean satisfechas por
las siguientes distribuciones de temperatura:
200 mm. y la reacción exotérmica genera calor a una ra­
zón volumétrica uniforme, pero dependiente de la tem­
peratura de q - q exp( —A
donde qv — 5000 W m ,
.4 = 75 K. y ro es la temperatura de la mezcla en kelvin. El recipiente está encerrado por un material aislante
de nidio exterior r2. conductividad térmica k y emisividad f La superficie externa del aislante experimenta
una transferencia de calor por convección y un inter­
cambio neto de radiación con el aire adyacente y los al­
rededores, respectiv ámente
ln (r/r2)
Aislante:
F(r) = Ts2 + (Ts t - Ts2)
ln (r,/r2)
2
Cable:
T(r) = 7,1 +
S
(
-
í
r
)
Dibuje la distribución de temperaturas. T(r). en el
cable y en la cubierta, señalando las características
clave.
(b) Aplicando la ley de Fourier. muestre que la rapidez
de transferencia de calor por conducción por uni­
dad de longitud a través de la cubierta puede ex­
presarse como
¿Ir =
2irkJLTtA - Ts2)
ln (r2/r ,)
Aplicando un balance de energía a una superficie
de control colocada alrededor del cable, obtenga
una expresión alternativa para q'r que exprese sus
resultados en términos de q y r,.
(c) Aplicando un balance de energía a una superficie
de control colocada alrededor de la superficie ex­
terna de la cubierta, obtenga una expresión de la
que r , i se determine como función de q. /•,. h, Tx,
£ y Ta,r.
(d) Considere condiciones para las que 250 A pasan a
través de un cable que tiene una resistencia eléc­
trica por unidad de longitud de /?' = 0.005 íi/m .
un radio de r, = 15 mm y una conductividad tér­
mica de k{ = 200 W7ni • K. Para kx = 0.15 W/m •
K. r2 = 15.5 mm. h = 25 W W * K, e = 0.9, Tx =
25°C, y Taj, = 35°C: evalúe las temperaturas de las
superficies. Ts , y Ts2, &sí como la temperatura T
en la línea central del cable.
Reacción
química, ¿¡(T )
Aislante,
k, í:
(a) Escriba la forma de estado estable de la ecuación
de difusión de calor para el aislante Verifique que
esta ecuación se satisfaga con la distribución de
temperaturas
f 1 - (r,/r) 1
T(r)
Dibuje la distribución de temperaturas. T(r), y se­
ñale las características clave.
(b) Aplicando la ley de Fourier, muestre que la rapidez
de transferencia de calor por conducción a través
del aislante se expresa como
<lr =
(e)| Con todas las otras condiciones sin cambio, calcu­
le y elabore una gráfica de T,„ Ts ,, y Ts2 como fun­
ción de r2 para 15.5 ^ r2 ^ 20 mm
38 Una cubierta esférica de radios interior y exterior r, y
r(>. respectivamente, contiene componentes disipadores
de calor y se sabe que en un instante particular la distri­
bución de temperaturas es
C,
T(r) = — + C,
r
¿Son condiciones de estado estable o transitorias? ¿Có­
mo varían el flujo de calor y la rapidez de transferencia
de calor con el radio?
39 Una mezcla química reactiva se almacena en un conte­
nedor esférico de pared delgada cuyo radio es /•, =
Aire del
ambiente
4 irk{T%A ~ Ts2)
( l / r , ) - ( l / r 2)
Aplicando un balance de energía a una superficie
de control alrededor del recipiente, obtenga una
expresión alternativa para q , y exprese sus resulta­
dos en términos de q y r,.
(c) Aplicando un balance de energía a una superficie
de control alrededor de la superficie externa del
aislante, obtenga una expresión de la cual 7f2 pue­
da determinarse como función de q. r¡, h, T , e , y
7 » i r-
(d) El ingeniero de procesos desea mantener una
temperatura de reactor de Tn — 7(/ j) = 95°C en
condiciones paia las que k = 0.05 W m * K, r2 —
■ Problemas
71
208 111111. h = 5 W /n r • K, e = 0 .9, 7 a = 25°C y
7 alr = 35°C. ¿C uál es la tem peratura de la super­
ficie externa del aislante, Ts 2 ?
(c) En coordenadas q "x—/. dibuje el flujo de calor q ”(x,
i) en los planos x = 0, x = L/2. y x = L como fun­
ción del tiempo.
(e) Calcule y elabore una gráfica de la variación de
7í 2 to n r2 para 201 < r2 ^ 2 1 0 mm. El ingeniero
está preocupado por las lesiones y quemaduras que
pueda sufrir el personal que esté en contacto con la
superficie expuesta del aislante. ¿El aumento del
espesor del aislante es una solución práctica para
mantener 7 , 2 ^ 45°C? ¿.Que otros parámetros hay
que variar para reducir 7i2 ?
(d) Después de transcurrido un tiempo /. se anula la
potencia del calentador. Suponga que el aislante es
perfecto, el sistema cvcntualmente alcanzará una
temperatura uniforme 7 Derive una expresión que
sirva para determ inar 7 como función de los pará­
metros q'¡„ te, 7,, y las características del sistema
M, cr . y A , (área de la superficie del calentador).
Representaciones! gráficas
2.40 En el ejemplo 2 3. consideram os una barra de cobre
que inicialmente estaba a una tem peratura uniforme y
se calentó de pronto mediante el paso de una corriente
eléctrica Suponga que 7 X > 7„.
(a) En coordenadas T ^ —x, dibuje las distribuciones de
temperaturas para las siguientes condiciones: con­
dición inicial (t ^ 0 ). condición de estado estable
(t —» 3°) y para dos tiempos intermedios. Suponga
que la corriente eléctrica es lo bastante grande
para que la superficie externa de la barra (v = L)
este mas caliente que el aire.
(b) En coordenadas q'[—t, dibuje el flujo de calor en
las caras de la barra. Es decir, muestre de forma
cualitativa como í/"(0, /) y q'[{L, t) varían con el
tiempo.
2.41 El sistema unidimensional de masa, M . con propieda­
des constantes y sin generación interna de calor que se
muestra en la figura está inicialmente a una tem peratu­
ra uniforme 7 El calentador eléctrico se encrgiza súbi­
tamente proporcionando un flujo de calor uniforme q"G
en la superficie x = 0. Las fronteras en x = L y en
cualquier parte están muy bien aisladas
Aislante
L—
Sistema,
masa M
Calentador
eléctrico
la) Escriba la ecuación diferencial c identifique las
condiciones inicial y de frontera que se podrían
asar para determinar la tem peratura como función
de la posición y el tiempo en el sistema
(b) En coordenadas 7 —v, dibuje las distribuciones de
temperatura para la condición inicial (r < 0 ) y para
varios periodos después de que se energiza el ca­
lentador ¿Se alcanzará en algún momento una dis­
tribución de temperaturas de estado estable?
2.42 La pared plana con propiedades constantes y sin gene­
ración interna de calor que se muestra en la figura esta
inicialmente a una temperatura uniforme 7,. La superfi­
cie en x = I. se calienta de pronto con un fluido a 7*
que tiene un coeficiente de transferencia de calor por
convección h. La frontera en x = 0 está perfectamente
aislada.
Aislante
L ,
(a) Escriba la ecuación diferencial e identifique las
condiciones inicial y de frontera que servirían para
determinar la tem peratura como función de la posi­
ción y del tiempo en la pared.
(b) En coordenadas T—x\ dibuje las distribuciones de
tem peratura para las siguientes condiciones: con­
dición inicial (/ ^ 0 ), condición de estado estable
(/ —» se) y dos tiempos intermedios.
(c) En coordenadas q"x—t, dibuje el flujo de calor en x
= 0 y x = L Es decir, muestre de forma cualitativa
cóm o í/"(0 , /) y </"(/., t) varían con el tiempo.
(d) Escriba una expresión para la energía total transfe­
rida a la pared por unidad de volumen de la pared
(J/m 3).
2.43 Una pared plana tiene propiedades constantes, no pre­
senta generación interna de energía y esta inicialmente
a una temperatura uniforme Tr De pronto, la superficie
en a — L se calienta por un fluido a 7 * que tiene un
coeficiente de convección h. En el mismo instante, el
calentador eléctrico se conecta y proporciona un flujo
de calor constante q"fí en x = 0 .
C apítulo 2 ■ Introducción a la conducción
2
T„h
Calentador
<r u
Aislante
(a) Un coordenadas T —x, dibuje l*s distribuciones de
temperaturas para las siguientes condiciones: con­
dición inicial (t ^ 0 ), condición de estado estable
(t
ce) y para dos periodos intermedios.
(b) En coordenadas q "—x. dibuje el (lujo de calor que
corresponde a las cuatro distribuciones de tem pe­
ratura de la parte (a).
(c) En coordenadas q "x—/, dibuje el llujo de calor en
las posiciones i = 0 y .v = L. Es decir, muestre de
forma cualitativa cóm o varían con el tiempo í/"(0 ,
i) y q ’[{U t).
(d) Derive una expresión para la tem peratura de estado
estable en la superficie del calentador. 7(0. •). en
términos de q"0, 7*. k. h y L .
44 Una pared plana con propiedades constantes está inicialm entc a una tem peratura uniforme T0. De pronto, la
superficie en x = L se expone a un proceso de convec­
ción con un Huido a T x ( > Ta) que tiene un coeficiente
de convección h. También repentinam ente la pared ex­
perimenta un calentam iento volumétrico interno uni­
forme q que es suficiente para inducir una tem peratura
de estado estable máxima dentro de la pared, tem pera­
tura que excede la del fluido. La frontera en x = 0 per­
manece a T0.
k, q(r ^0 )
2.45 Una hoja muy delgada, conductora eléctrica, se interca­
la entre dos paredes planas no conductoras de electrici­
dad de espesor equivalente L y conductividad térmica
k. Si se hace pasar una corriente eléctrica a través de la
hoja, se genera calor dentro de la hoja, lo que crea un
flujo de calor uniforme en la interfaz entre las paredes.
Considere condiciones para las que las paredes estén
inicialmente a una tem peratura T, y el calentamiento
óhm ico mantenga un flujo de calor uniforme q"} en la
interfaz para i ^ 0. Al mismo tiempo, las superficies
expuestas se mantienen a la temperatura lija T0 que ex­
cede Tr
Hoja, q<!
T
—
—
T
—L
(a) En un sistema coordenado T—x. dibuje la distribu­
ción de tem peraturas 7 (.v) en las paredes ( —L <
v < + L) para la condición inicial (t = 0). paia a
condición final de estado estable (/ —> <*) y para
dos instantes de tiem po intermedios.
(b) En coordenadas </"—t. dibuje la variación del flujo
de calor local para las posiciones \ = 0 y x' = L. es
decir. </"(0 . i) y q ”{L. t). respectivamente.
2.46 Una pared plana que está aislada en uno de sus lados
(jc = 0 ] está inicialmente a una tem peratura uniforme
T¡, cuando la superficie expuesta en v = L se eleva de
pronto a una tem peratura Ts.
(a) Verifique que la siguiente ecuación caracteriza de
forma correcta la variación subsecuente de la tem­
peratura de la pared, V’(.v, /), con la posición y el
tiempo:
To­
T (x, t) - Ts
donde C\ es una constante y a es la difusividad
térmica.
la) En coordenadas T —x, dibuje las distribuciones de
temperatura para las siguientes condiciones: condi­
ción inicial (t í 0 ), condición de estado estable
(/ —> °°). y para dos lapsos intermedios. Muestre
también la distribución para la condición especial
cuando no hay un flujo de calor en la frontera x — L.
(b) En coordenadas q"—t, dibuje el flujo de calor en
las posiciones v = 0 y x = L , es decir, q"( 0 . t) y
q'[(L. (), respectivamente.
(b) Obtenga expresiones para el flujo de calor en x =
0 y a‘ = L.
(e) Dibuje la distribución de temperaturas T(x) en / =
0. t —> °c y en un periodo intermedio. Dibuje la va­
riación con el tiem po del flujo de calor en v = L.
cí'LU).
d) <Qué efecto tiene a sobre la respuesta térmica del
material a un cambio en la temperatura de la super­
ficie?
CAPÍTULO
Conducción unidimensional
de estado estable
(u p itu ln 3 ■ ( omlncción unidimensional tle estado estable
E
n este capítulo tratam os situaciones en las que el calor se transfiere por difusión en
condiciones unidimensionales de estado estable. Lo de “ unidim ensionales” se refiere al
hecho de que sólo se necesita una coordenada para describir la variación espacial de las
variables dependientes. Así. en un sistema unidimensional existen gradientes de tempe
ratura a lo largo de una sola dirección coordenada y la transferencia de calor ocurre ex­
clusivam ente en esa dirección. F1 sistem a se caracteriza por condiciones de estado
estable si la tem peratura en cada punto es independiente del tiem po. A pesar de su sim­
plicidad inherente, los m odelos unid m ensionalcs de estado estable sirven para repre­
sentar de form a precisa num erosos sistem as de ingeniería.
Iniciam os el análisis de la conducción unidim ensional de estado estable con el aná­
lisis de la transferencia de calor sin generación interna (sección 3.1 a 3.3). L1 objetivo
es determ inar expresiones para la distribución de tem peratura y para la transferencia de
calor en geom etrías com unes. Se introduce el concepto de resistencia térm ica (análo a
a la resistencia eléctrica) com o una ayuda para resolver problem as de transferencia de
calor por conducción. D espués se trata el efecto de la generación interna de calor sobre
la distribución de tem peratura y la conducción de calor (sección 3.4). Finalmente, el
análisis de la conducción describe el funcionam iento de superficies extendidas o aletas,
en donde debe considerarse el papel de la convección en la frontera (sección 3.5).
3 .1
Íaí p a re d plana
Para la conducción unidim ensional en una pared plana, la tem peratura es una función
sólo de la coordenada ,v. y el calor se transfiere exclusivam ente en esta dirección. En la
figura 3.1«. una pared plana separa dos fluidos con tem peraturas diferentes. La transk
rencia de calor ocurre por convección del fluido caliente a Tx , hacia una superficie de
la pared a T
por conducción a través de la pared y por convección de la otra superfi­
cie de la pared a Ts 2 Fluido frío a Tx 2C om enzam os por tom ar en cuenta las condiciones dentro de la pared. Primero de­
term inam os la distribución de tem peratura, de la que se obtiene la transferencia de ca­
lor por conducción.
3 .1 .1
l)i>tril>uemii do temperatura
La distribución de tem peratura en la pared se determ ina resolv iendo la ecuación de ca­
lor con las condiciones de frontera apropiadas. Para condiciones de estado estable sin
una fuente o sum idero de encigía dentro de la pared, la form a apropiada de la ecuación
de calor, ecuación 2.17, es
d t
dT\
* (* * )-°
a"
En consecuencia, de la ecuación 2.2 se sigue que, para la conduce ión unidimensional de
estado estable en una pared plana sin generai ión interna de calor, el flujo de calor es
3 .1
■ Im pared plana
x=L
Fluido frío
r S 2.*2
1
-► o—/V W - o _1_
-AA VL
7» . 2
n.2
-o—A /v V ~ °
j
LA
hpA
! s,
F lM UV 3 . J
Transferencia de c ilor a través de una pared plana
(«) D isliilm rim i de temperatura (/;) Circuito térmico equivalente.
///7a constante, independiente de \ Si la conductividad térm ica del material de la pared
se supone constante, la ecuación se integra dos veces para obtener la solución general
T(\) = C,.v + Cz
(3 2)
Para obtener las constantes de integración, Cy y C 2. deben introducirse las condiciones
de frontera. Elegim os aplicar condiciones de la prim era clase en x = 0 y x = L. en
cuvo caso
mi
T(0) = Ts, ,
y
T(L) = Ts ,
Al aplicar la condición en x = 0 a la solución general, se sigue que
T s, , = C2
De m anera sim ilar, en .v = L.
/, 2 —
+ c 2 = C |/. +
i
en cuyo caso
Al sustituir en la solución general, la distribución de tem peratura es
R r ) = (7\
7 v. ,) j
+ T ,tl
(3.3)
76
Lapítulu 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
De este resultado es evidente que, para la conducción unidimensional en estado esta­
ble de una pared plana sin generación interna de calor ni conductividad térmica cons­
tante , la temperatura varía de forma lineal con x.
A hora que tenem os la distribución de tem peraturas, utilizarem os la ley de Fouricr,
ecuación 2 I. para determ inar la transferencia de calor por conducción. Es decir,
c,x
= -k A —
=
dT
kA
dx
L
—
(7 , , - 7 , 2 )
(3.4)
A dvierta que A es el área de la pared normal hacia la dirección de la transferencia de
calor y. para la pared plana, es una constante independiente de x. El flujo de calor es
entonces
<!"x=- J - =
l
,.- 7 , 2)
O
Las ecuaciones 3 4 y 3.*5 indican que tanto la transferencia de calor q x com o el flujo de
calor q" son constantes independientes de x
En los párrafos precedentes usam os el enfoque esteindai para resolver problemas
de conducción. Es decir, la solución general para la distribución de tem peraturas se
obtiene resolviendo prim ero la form a apropiada de la ecuación de calor. Las condicio­
nes de frontera se aplican después para obtener la solución particular, que se usa con la
ley de Fourier para delernunai la transferencia de calor Note que optam os por estable­
cer tem peraturas superficiales en x = 0 y x = L com o condiciones de frontera, aunque
son las tem peraturas del fluido y no las tem peraturas de las superficies las que se cono­
cen norm alm ente. Sin em bargo, com o las tem peraturas contiguas del fluido y de la su­
perficie se relacionan con facilidad m ediante un balance de energía en la superficie
(véase la sección 1.3.2), es sencillo expresar las ecuaciones 3.3 y 3.5 en términos de
las tem peraturas del fluido, en lugar de las de la superficie. De m anera alternativa, es
posible obtener resultados equivalentes utilizando los balances de energía en la super­
ficie com o condiciones de frontera de la tercera clase al evaluar las constantes de la
ecuación 3.2 (véase el problem a 3.1).
3 .1 .2
Resistencia térmica
En este punto notam os que la ecuación 3.4 propone un concepto muy importante. Fia
particular, existe una analogía entre la difusión de calor y la carga eléctrica. De la
m ism a m anera que se asocia una resistencia eléctrica con la conducción de electricidad,
se asocia una resistencia térmica con la conducción de calor. Al definir la resistencia co­
mo la razón de un potencial de transm isión a la transferencia de calor correspondiente,
se sigue de la ecuación 3 4 que la resístale ¡a térmie a para la i omine e ion es
T*. / ~ Jj. 2
K,.cond =
(/>
L
- ^
0-6)
De m anera sim ilar, para la conducción eléctrica en el m ism o sistem a, la ley de Ohm
proporciona una resistencia de la form a
_
_
/
(3.7)
erA
3 .1
■ La pared plana
La analogía entre las ecuaciones 3.6 y 3.7 es obvia. Una resistencia térm ica tam bién se
asocia con la transferencia de calor m ediante convección a una superficie. De la ley de
enfriam iento de Nevvton,
q = hA{Ts ~ Tr)
(3.8)
la resistencia térm ica para convección es entonces
I
T -T
*,.co„v *
” =—
q
(3.9)
liA
Las representaciones de circuitos proporcionan una herram ienta útil para conceptualizar y cuantificar problem as de transferencia de calor. El circuito térmico equiva­
lente para la pared plana con condiciones de convección superficiales se muestra en la
figura 3.1 h La transferencia de calor se determ ina mediante la consideración por sepa­
rado de cada elem ento en el enm allado C om o qx es constante a través del enm allado,
se sigue que
rI 1
= —ooj 1
Hx
v i
v i
=
\lh xA
'l1
v 2
=
L/kA
v 2
oo 2
(3 10)
\th2A
En térm inos de la diferencia total de temperatura , Tx x — Y, 2, y de la resistencia tér­
mica total. RtoX, la transferencia de calor tam bién se expresa com o
^OC
I
2
c¡x = ------
(3.11)
*'tot
C om o las resistencias de conducción y convección están en serie y pueden sum arse, se
sigue que
Rtot —
L
1
h xA
b
kA
1
b -----
h2A
(3.12)
Con todo, sería pertinente otra resistencia si una superficie está separada de los alrededores por un gas (sección 1.2.3) En particular, el intercam bio de radiación entre la
superficie y sus alrededores puede ser im portante, y la transferencia se establece con
la ecuación 1.8. Se sigue que una resistencia térmica para radiación se define com o
T, - 71,-'
Kví ., rad
r ,d—
=
— =
‘/rad
I
7-7
(3 13)
M
donde hF se determ ina a partir de la ecuación 1.9. Las resistencias de radiación y con­
vección superficiales actúan en paralelo, y si Tx — / l)r, se com binan para obtener una
sola resistencia electiva de la superficie.
3 .1 .3
Pared compuesta
Los circuitos térm icos tam bién sirven para sistem as más com plejos, com o las paredes
compuestas. Estas paredes incluyen cualquier núm ero de resistencias térm icas en serie
y en paralelo debido a capas de diferentes m ateriales. C onsidere la pared com puesta en
serie de la figura 3.2. La transferencia unidim ensional de calor para este sistem a se ex­
presa com o
78
C apítulo 3 ■ Conducción unidimensionttl de estado estable
i» 1
J2
7
— Lb—
s* Fluido^L
’7oo.4
*c
J» caliente i
B
til
C
*■—►A
J_
h\A
<ix
F
ig u r a
L a.
La .
Le.
k^'A
Fluido frió
r . 4 *4
_L
h$A
o-AAAr<>AAAr-o-AtyVK>-AA/V-o-AA/V-o
7o. 1
7. 1
f2
T3
TSm4
700.4
3 .2
C ir c u it o té rm ic o «equivalente p a ra u n a p a re d c o m p u e s ta e r serie
T
—T
Q .=
(3 ,4 )
donde 7 » j — 7^ 4 es la diferencia total de tem peratura, y la sum a incluye todas las re­
sistencias térm icas. Por tanto,
7 o c .
i
T o e , 4
^
q' = [(1 /h,A ) + (LAlkAA) + (L D/k BA ) + (Lc /kc A) + (l/h AA)]
(
f
D e m anera alternativa, la transferencia de calor se relaciona con la diferencia de tem­
peratura y la resistencia asociadas con cada elem ento. Por ejem plo,
T ,a - T , a
t„
, -
t2
t2 - t,
a — ----------------- = ----------------= ---------------- — •••
Hx
(M hxA)
( LA/kAA )
(LBlkBA)
(3.16)
C on sistem as com puestos suele ser conveniente trabajar con un coeficiente global
de transferencia de calor, U, que se define con una expresión análoga a la ley de en­
friam iento de Newton. En consecuencia,
qx = U A \ T
(3 17)
donde A 7 es la diferencia total de tem peratura. El coeficiente global de transferencia
de calor se relaciona con la resistencia térm ica total, y de las ecuaciones 3.14 y 3.17
vem os que UA = 1¡RUíl. De aquí, para la pared com puesta de la figura 3.2
1
U ~ RtMA ~
1
[(l/ / i,) +
(LA/kA) + ( LB/kB) + (Lc/kc) +
(1//,4)1
(318)
En general, se puede escribir
^2"
|
« ,» = ! « ,= — = —
a
UA
(3.19)
it.l
■ Ixt /Hircd plana
79
Area A
— Lt
J
I.
"t
T\
k
*F
E
H
L ,
k¿W )
keA
—vw w —
ÍH
ó—AA/V-0
-► o—v v M
k^AfT)
A V vW
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/-K
Js
—W V
*H(A/2)
kf{AÍ2)
kfiA/2)
-AA/W V
AA/V-i
► O 'i
ó r,
At(A/2)
L-AA/V
T¿ÁÍ2)
*h(a /2)
A /V W V
A /W —1
(b )
F lC l KA 3 . 3
Circuitos trrm icos equivalentes para una pare*!
«■ompuesta en «.crie-paralelo.
Las paredes co m p u estas tam bién se caracterizan por configuraciones en serie-p a­
ralelo. com o la que se m uestra en la figura 3.3. A unque el flujo de calo r es ahora bidi
m ensional, a m enudo es razonable suponer condiciones unidim ensionales. S ujetos a
esta suposición, nos es posible usar dos circuitos térm icos diferentes. Para el caso (a) se
supone que las superficies norm ales a la dirección x son isotérm icas, m ientras que para
el caso ( b ) se supone que las superficies paralelas a la dirección \ son adiabáticas. Se
obtienen diferentes resultados para RM, y los valores correspondientes de q relacionan
la transferencia real de calor, b stas diferencias aum entan con el increm ento de kF —
kc,]. conform e lo* efectos bidim ensionales se vuelven m ás significativos.
3 .1 .1
Resistencia <1<* contarlo
A unque se d esestim ó hasta ahora, es im portante reconocer que, en sistem as co m p u es­
tos, la caída de tem p eratu ra a lo largo de la interfaz entre los m ateriales puede ser
grande Este cam b io de tem p eratu ra se atribuye a lo que se conoce com o resistan ni
térmica de contacto, R, (. b l efecto se m uestra en la figura 3.4. y para una unidad de
área de la interfaz, la resistencia se define com o
r,
Ta - T u
= - *■■— »*71
(3.20)
La ex isten cia de una resistencia de con tacto finita se debe principalm ente a los
efectos de la rugosidad en la superficie. Se entrem ezclan puntos de contacto con hue-
C apítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
Flíil
RA
3. 1
Caída dr U‘in j)f ralura debido
l.i resistencia térmica
fie contacto.
eos que en m uchos casos se llenan con aire. La transferencia de calor se debe, por tan­
to, a la conducción a través del área de contacto real y a la conducción y/o radiación
por los huecos. La resistencia de contacto se considera com o dos resistencias paralelas:
la que se debe a los puntos de contacto y la de los huecos. El área de contacto es nor­
m alm ente pequeña y, en especial para superficies rugosas, la contribución principal a
la resistencia la realizan los huecos.
Para sólidos cuyas conductividades térm icas exceden la del fluido de la interfaz, la
resistencia de contacto se reduce aum entando el área de los puntos de contacto. Este
aum ento se genera m ediante el increm ento de la presión en la unión y/o reduciendo la
rugosidad de las superficies acopladas. La resistencia de contacto tam bién se reduce
con la selección de un fluido en la interfaz de conductividad térm ica grande. A este res­
pecto, quitar el fluido (interfaz al vacío) elim ina la conducción a través del hueco, con
lo que aum enta la resistencia de contacto.
A unque existen teorías para predecir R ” t . los resultados más confiables son los
que se han obtenido de m anera experim ental. El efecto de presionar interfaces metáli­
cas se ve en la tabla 3.1a, que presenta un rango aproxim ado de resistencias térmicas
en condiciones de vacío. El efecto del fluido de interfaz sobre la resistencia térmica de
una interfaz de alum inio se m uestra en la tabla 3.1/?.
Contrariam ente a los resultados de la tabla 3.1, muchas aplicaciones implican con­
tacto entre sólidos diferentes y/o una am plia gam a de posibles m ateriales intersticiales
T abla 3 . 1
R e siste n c ia térm ica de con tacto p ara a) in te rfac es m etálicas
en co n d ic io n e s de vacío, y (/>) interfaz d e alu m in io (rugosidad de la superficie
d e 1 0 ¡j l i h . 1 0 ’ N /n r con d ifere n te s fluidos de interfaz [ 1 J
Resistencia térmica, R'¡ c X 104 (ni2 • K W)
(a) Interfaz al vacío
Presión de contacto
Acero inoxidable
Cobre
Magnesio
Aluminio
(b) Fluido en la interfaz
100 kiNVm2
6-25
1-10
1.5-3.5
1.5-5.0
10,000 kN/m2
0.7-4.0
0.1-0.5
0.2-0.4
0.2-Q.4
Aire
Helio
Hidrógeno
Aceite de silicio
Glicerina
2.75
1.05
0.720
0.525
0.265
3 *1
■ Iai partid plana
TABLA 3 . 2
R esistí tu ia térm ica d e interfui
81
sólid o /só lid o rep re se n ta tiv a s
R”c X I04 (m2 • K/W)
Fuente
0 3-0.6
[21
Alum inio/alum inio con relleno de hoja
de indio (—100 kN/m 2)
- 0 .0 7
[1 ,3 ]
Acero inoxidable/acero inoxidable con
relleno de hoja de indio (—3500 kN/m2)
- 0 .0 4
|l,3
0 .0 1 4 ) 1
14]
Alum inio/alum inio con grasa
Dow Corning 340 (—100 k N /n r)
- 0 .0 7
[ L3]
Acero inoxidable/acero inoxidable con
grasa Dow Corning 340 (—3500 kN/m2)
- 0 .0 4
[L 3]
0 2-0.9
151
0 025-0.14
[6
Interfaz
Chip de silicio/aluminio recubierto en
aire (27-500 k N /n r)
Alum inio/alum inio con recubrimiento
metálico (Pb)
Chip de silicio/aluminio con resina
epoxica de 0.02 mm
Bronce/bronce con soldadura de estaño
de 15/xm
(de relleno) (tabla 3 2) C ualquier sustancia intersticial que llene el hueco entre superfi­
cies en contacto, y cuya conductividad térm ica exceda la del aire, hará dism inuir la re­
sistencia de contacto. D os clases de m ateriales adecuados para este propósito son los
metales suaves y las grasas térm icas. Los m etales, que incluyen indio, plom o, estaño y
plata, se insertan com o una hoja delgada o aplican a m odo de recubrim iento delgado a
uno de los m ateriales base. Las grasas térm icas basadas en silicio son atractivas porque
tienen la capacidad de llenar por com pleto los intersticios con un material cuya con­
ductividad térm ica es 30 veces la del aire
A diferencia de las interfaces precedentes, que no son perm anentes, m uchas inter­
faces im plican uniones perm anentes. La unión podría form arse con una resina epoxica, una soldadura suave rica en plom o o una soldadura am arilla com o una de aleación
oro/estaño D ebido a las resistencias de la interfaz entre los m ateriales base y de unión,
la resistencia térm ica real de la unión excede el valor teórico (L/k) calculado a partir
del espesor L y la conductividad térm ica k del material de unión La resistencia térm ica
de las uniones epóxicas y soldadas tam bién resulta afectada de form a adversa por va­
cíos y grietas, que se forman durante la fabricación o com o resultado de ciclos térm i­
cos durante la operación normal.
En Snaith y colaboradores [3], M adhusudana y Fletcher [7 1 y Yovanovieh 181, se
proporcionan análisis extensos de resultados y m odelos de la resistencia térmica de
contacto.
E
jem p lo
3.1
Uno de los principales fabricantes de electrodom ésticos propone un diseno de horno
con autolim pieza que im plica el uso de una ventana com puesta que separa la cavidad
del horno del aire am biental. El com puesto consistirá en dos plásticos de alta tem pera­
tura (A y B) de espesores LA = 2LH y conductividades térm icas kA = 0.15 W /m • K y
Ab = 0.08 W /m • K Durante el proceso de autohm pieza, las tem peraturas de la pared
y del aire del horno, Tf y Ta, son 400°C, m ientras que la tem peratura del aire del cuarto
DEPARTAM ENTO de biblioteca
Universidad Slm6n ■
*
<?*de del Lito^»
C apítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
Too es 25°C. Los coeficientes de transferencia de calor internos por radiación y convec­
ción h, y hr así com o el coeficiente de convección externa hü, son, cada uno, aproxima­
dam ente 25 W h n 2 • K. ¿C uál es el espesor m ínim o de la ventana, L = ¿ A + LB,
necesario para asegurar una tem peratura que sea 50°C o m enor en la superficie externa
de la ventana? Por razones de segundad, esta tem peratura no debe ser mayor.
Soi.rció.N
Se conoce:
Propiedades y dim ensiones relativas de los m ateriales plásticos que se
utilizan para una ventana com puesta del horno, y las condiciones asociadas con la ope­
ración de autolim pieza.
E n co n tra r:
Espesor com puesto LA + LB necesario para lograr una operación segura.
E sq u em a :
— Cavidad
del horno
Ventana
compuesta,
U = 2LB
lb
»
,
7 \C.(l«¿5
_ 0
C
itl— 1
I
I
1
B, kB = 0.08 W/m • K
U . * A = 0.15 W/m • K
a -
A,re
T x = 400°C
ht, = 25 W/m* • K
S u p o sic io n e s:
1. Existen condiciones de estado estable.
2. La conducción a través de la ventana es unidim ensional.
3. L a resistencia térm ica de contacto es insignificante.
4. La absorción de la radiación dentro de la ventana es insignificante; por ello no hay
generación interna de calor (el intercam bio de radiación entre la ventana y las pa­
redes del horno ocurre en la superficie interna de la ventana).
5. El intercam bio de radiación entre la superficie externa de la ventana y los alrede­
dores es insignificante.
6. C ada plástico es hom ogéneo con propiedades constantes.
Análisis:
El circuito térm ico puede construirse reconociendo que la resistencia al flu­
jo de calor se asocia con la convección en la superficie externa, la conducción en los
plásticos, y la convección y la radiación en la superficie interna. En consecuencia, el cir­
cuito y las resistencias son de la siguiente forma.
1
h¡A
3 .1
■
Tai p a re d plana
«3
C om o la tem peratura de la superficie extem a de la ventana, Ts ,, está establecida, el es­
pesor que se requiere en la ventana se obtiene aplicando un balance de energía en esta
superficie. Es decir, de la ecuación 1.12
F
£ -'ent
= cFsalc
donde, de la ecuación 3.19, con TP = Ta,
T -7
I Rf
' ent
E
=
g
=
«
*.»
y de la ecuación 3 8
La resistencia térm ica total entre la cavidad del horno y la superficie externa de la ven­
tana incluye una resistencia efectiva asociada con la convección y la radiación, que ac­
túan en paralelo en la superficie interna de la ventana, y las resistencias de conducción
de los m ateriales de la ventana. De aquí
i
i
\-i
T T 7 -T + T
[/h,A
^
\lhrA
j
¿A
.
¿B
+ 7 7
+
k HA
kAA
O
A \ h¡ + hr
kA
2kB
Al sustituir en el balance de energía, se sigue que
T
*a - T
x s. o
(h, + hr) 1 4- (LA/kA) 4- (LAl2 kh)
= K (T S' 0 ~ T J
En consecuencia, al resolver para LA.
(1 lhfí){Ta - T,„)/(Ts. a - T J - (h, + hr) 1
La =
(1 /kA 4- 1/2 *„)
/4UU
j U\
/4 0 0—
- 50
0 04 m 2 • K /W — ----- — - - 0 .02 m 2 • K /W
V 5 0 — 25 y
L a = ---------------- — 2-------------A
(1 /0 15 4- 1/0.16) m • K /W
= 0.0418 m
Com o L b = La/2 = 0.0209 m,
L = La 4- L b = 0.0627 m = 62.7 mm
<1
C o m en tarios:
1. La operación de autolim pieza es un proceso transitorio, en lo que se refiere a la
respuesta térm ica de la ventana, y las condiciones de estado estable tal vez no se
alcancen en el tiem po que se requiere para la lim pieza. Sin em bargo, la condición
de estado estable proporciona el valor m áxim o posible de Ts 0 y por ello es ade­
cuada para el cálculo del diseño.
2. El intercam bio de radiación entre las paredes del hom o y la ventana com puesta real­
m ente depende de la tem peratura T5 ,, y, aunque no se toma en cuenta, hay inter­
cam bio de radiación entre la ventana y los alrededores, que dependen de Ts a. Un
DEPARTAMENTO DE B lB LIO rEC A
Universidad Simón Bolívar ■Sede del Litoral
C apitulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
análisis más com pleto se lleva a cabo para determ inar al mism o tiempo Tx , y Ts .
Al aproxim ar la cavidad del hom o com o un recinto grande con relación a la ventana
y aplicar un balance de energía, ecuación 1 12, en la superficie i nterna. se sigue que
w
H rad. i
i
'
n
conv /
Q cond
O
~ n , ) + h,(Tu -
(1)
=
( £ a/* a )
A proxim ando las paredes de la cocina com o un recinto isotérm ico grande en rela­
ción con la ventana, con FP 0 = T^, y esta vez con la aplicación de un balance de
energía en la superficie externa, se sigue que
//
/;
i tt
H cond
H rad o
'
conv, o
O
T
T
* S, I * .Y, o
(LA/kA) + (L B/*B)
= e<rOlm0- T Í m0) + h0{TSm0- T J )
(2)
Si todas las dem ás cantidades se conocen, las ecuaciones I y 2 se resuelven para
r s. i y Ts%oD eseam os explorar el efecto que tenga sobre Ts u una variación de velocidad,
y de ahí el coeficiente de convección, asociado con el flujo de aire sobre la super­
ficie externa. Con e = 0.9 y todas las otras condiciones iguales, las ecuaciones 1 )
2 han sido resueltas para valores de
en el rango 0 <
< 100 W /m 2 • K . y los
resultados se presentan de form a gráfica.
ha
fia
Al aum entar ha se reduce la resistencia de convección correspondiente, y un valor
de hü — 30 W /m 2 • K dará una tem peratura segura al tacto de Ts (, = 43°C. Como
la resistencia de conducción es tan grande, el cam bio en hu tiene un efecto insigni­
ficante sobre Ts ¡. Sin em bargo, influye en la tem peratura de la superficie externa,
y conform e h„ —> ce, Ts „ —> Tx .
L jk v ii ' i .o 3 . 2
Un chip delgado de silicio y un sustrato de alum inio de 8 mm de espesor están separa­
dos por una unión epóxica de 0.02 mm de espesor. 1-1 chip y el sustrato tienen cada uno
• t .l
■ Lu p a r e d [tlana
10 m ni de lado, y las superficies expuestas se enfrían con aire, que está a una tem pera­
tura de 25°C y proporciona un coeficiente de convección de 100 W /m 2 • K. Si el chip
disipa 104 W /m 2 bajo condiciones norm ales, ¿operará por debajo de una tem peratura
m áxim a perm isible de 85°C ?
S o l í c ió n
Se conoce:
D im ensiones, d isipación de calo r y tem peratura m áxim a perm isible de
un ch ip de silicio. El esp eso r del sustrato de alum inio y la unión epóxica. C ondiciones
de convección en las superficies expuestas del ch ip y el sustrato.
E n c o n tr a r :
Si se ex ced e la tem peratura m áxim a perm isible.
E squem a:
^i
25°C
/! = 100 W/m? • K
f
at
T-,
r Aislante
I
h
Union epóxica
(0.02 mm)
L_
k
Sustrato
de aluminio
h
T, = 25°C
h = 100 W/m2 • K
Aire
1
S u p o s ic io n e s :
1. C o n d icio n es de estad o estable.
2. C onducci Sn unidim ensional (tran steren cia de calo r insignificante de los lados del
com puesto).
3. R esistencia térm ica insignificante del chip (chip isotérm ico).
4. P ropiedades constantes.
5. Intercam bio de radiación insignificante con los alrededores
P ro p ie d a d e s:
Pabla A. 1, alum inio puro (T ~ 350 k ): k = 238 W /m • k .
A n á lis is : El calo r que se disipa en el chip se transfiere al aire de m anera directa d es­
de la superficie ex p u esta y de m odo indirecto a través de la unión y el sustrato. Al eje­
cu tar un balance de energía sobre una superficie de control alrededor del chip, se sigue
que. sobre la base de un área unitaria de superficie,
<7,'- =
+ q\
o
Tr - T .
<lc =
( l//i)
T - T
+
' R",.c + (L/k) + (!//))
Para estim ar de m anera conservadora T , . se obtiene de la tabla 3.2 el máx m o valor p o ­
sible de R" ( = 0 9 X 10 4 m 2 • K/W. D e aq u í
C a p it u lo 3
( 'an d a r ción unidimensional de estado estalde
■
- 1
Tc =
t
. + q; h +
R't[c + (L A ) + (1 fh)
o
T = 25°C + 104 W /m 2
-i
I
lü ü +
r, = 25°C
(0.9 + 0.34 4- 100) X 10 4
m2 • KAV
4- 50.3°C = 75.3°C
Por ello el ch ip operará por debajo de su m áxim a tem peratura perm isible.
C o m e n ta rio s ;
1. Las resistencias térm icas de la unión y el sustrato son m ucho m enores que la resis
tencia de convección. La resistencia de la unión tendría que aum entar a un vak
m ayor poco realista de 50 X 10 4m2 • K/W, antes de que la m áxim a temperatun
perm isible del chip se excediera.
2. La disipación de potencia perm isible se increm enta al aum entar los coeficientes dt
convección, ya sea increm entando la velocidad del aire y/o reem plazando el aire
con un fluido para transferencia de calor m ás efectivo. Al explorar esta opciór
para 100 ^ h ^ 2000 W /m 2 • K. se obtienen los siguientes resultados.
2.5
2.0
es:
c:
$
t/i
1.5
O
X
10
&s#
0.5
0
500
1000
1500
2000
h (W/m2 • K)
C onform e h —» q " —> 0 y virtualm ente toda la potencia del chip se transfiere de
m anera directa a la corriente del fluido.
3.2
Análisis d e c o n d u c c ió n a ltern a tiva
h l análisis de conducción de la sección 3.1 se llevó a cabo con el método estándar, lis
decir, la ecuación de calor se resolvió para obtener la distribución de temperaturas,
ecuación 3.3, y después se aplico la ley de Pourier para obtener la transferencia de ca­
lor, ecuación 3 4 Sin em bargo, es posible un m étodo alternativo para las condiciones
3 .2
■ Análisis do conducción alternativa
87
Aislante
tf.t -+■dx
:\
xr
F u u U.\ 3 . 5
^ '
.
ih
Sistema ron una transferencia de calor por conducción
constante.
actuales de ínteres. C onsiderando la conducción en el sistem a de la figura 3.5. se acepta
que, para condii iones de estado estable sin ninguna generación de calor y sin pérdidas
de calor por los lados , la transferencia de calor qx debe ser una constante independien­
te de w es deeir, para cualquier elem ento diferencial dx, qx = q x+dx. Esta condición es,
por supuesto, consecuencia del requerim iento de conservación de la energía y debe
aplicarse aun si el área varía con la posición A(x) y la conductividad térm ica varía con
la tem peratura k(T). A dem as, aunque la distribución de tem peraturas sea bidim ensional,
al variar con a* y y, a m enudo es razonable no tom ar en cuenta la variación v y suponer
una distribución unidimensional en a .
Para las condiciones anteriores es posible trabajar exclusivam ente con la ley de
F ourier cuando se lleva a cabo un análisis de conducción. En particular, com o la trans­
ferencia por conducción es una constante , la ecuación de flujo se integra , aunque no se
conozcan el flujo ni la distribución de tem peraturas. C onsidere la ley de Fourier, ecua­
ción 2.1, la cual se puede aplicar al sistem a de la figura 3.5. A pesar de que tal vez no
conozcam os el valor de qx o de la form a de T ( a ) , sabem os que q x es una constante. De
aquí es posible expresar la ley de Fourier en la form a integral
rx dx
rT
qX
El área de la sección transversal puede ser una función conocida de .v, y la conductivi­
dad térm ica del material variará con la tem peratura de form a conocida. Si la integra­
ción se lleva a cabo desde un punto a 0 en el que se conoce la tem peratura Tlh la
ecuación resultante proporciona la form a funcional de T(x). A dem ás, si la tem peratura
T = T, en alguna x = .v( tam bién se conoce, la integración entre v0 y Aj produce una
expresión para la que se calcula q x. A dvierta que, si el área /\ es uniform e y k es inde­
pendiente de la tem peratura, la ecuación 3.21 se reduce a
qx Aa
— -— = - k AT
(3.22)
donde Av = a , — ,v0 y A7 = 7j — T().
Con frecuencia elegim os resolver problem as de difusión trabajando con formas
integrales de las ecuaciones de difusión. Sin em bargo, deben fijarse firm em ente en
nuestra m ente las condiciones lím ite para las que esto se hace: estado estable y trans­
ferencia unidimensional sin generación de calor.
d e p a rta m e n to
jUnlve rs
d e biblioteca
"DE PB?BU GTIXA
Universidad Simón Bolívar Sede del Litora
C apítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
Ejemplo 3 . 3
El diagram a m uestra una sección cónica fabricada de pirocerám ica. Es de sección
transversal circular con diám etro D = ax, donde a = 0.25. El extrem o pequeño está en
-V| = 50 mm y el grande en v2 = 250 mm. Las tem peraturas extrem as son 7j = 400 K
y T2 = 600 K, m ientras la superficie lateral está bien aislada.
1. Derive una expresión para la distribución de tem peraturas T{x) de form a simbólica
suponiendo condiciones unidim ensionales. Dibuje la distribución de temperaturas.
2. C alcule la transferencia de calor qx a través del cono.
S
o l u c ió n
Se conoce:
a = 0.25.
Conducción en una sección cónica que tiene un diám etro D = ax, donde
E/i r o n tr a r :
1. D istribución de tem peraturas T(x).
2. Transferencia de calor qx.
E squem a:
T2 = 600 K
i
x¡ = Ó.05 m
¡2 = 0.25 m
Piroceramica
S u p o s ic ittn e s :
1. C ondiciones de estado estable.
2. C onducción unidim ensional en la dirección x.
3. No existe generación interna de calor
4. Propiedades constantes.
P ro p ie d a d e s:
De la tabla A 2, pirocerám ica (500 K). k = 3.46 W m • K.
A n á lisis:
1. C om o la conducción de calor ocurre bajo condiciones unidim ensionales de estado
estable sin generación interna de calor, la transferencia de calor qx es una constan-
I
3 .2
■ Análisis tle conducción alternativa
te independiente de r. Kn consecuencia, la ley de lo u rie r. ecuación 2.1, sirve para
d eterm inar la distribución de tem peraturas
dT
q '
C on /\ =
ttD
2/ 4 =
=
~
k A
~ d ic
v~/4 y separando variables
4q,
dx
22 = -k d T
TOTA
Al integrar de .v, a cualquier x dentro del cono, y al recordar que q x y k son cons­
tantes. se sigue que
dT
tto t Jx . j r
j t.
De aquí
7TÜ
o al resolver para
T.
nx) = r,
4 ^ / 1
1
7ra2k \ x l
x
A unque qx es una constante, aún es una incógnita. Sin em bargo, se determ ina eva­
luando la expresión anterior en .v = a 2, donde 7 (,v2) =
Así,
T2.
4?,
2
/ 1
1
W k [x,
1
x j
y al resolver para q x.
m r k ( T l — T2)
=
Al sustituir
qx en
m / x i ) - ( \/x 2)]
la expresión para
T(.v), la distribución de tem peraturas se vuelve
r (1/jr) - (lAr,)
T(x) = T¡ + (T, - r 2)
<
De este resultado, la tem peratura se calcula com o función de v y la distribución es
com o se muestra.
h
90
( a p ítu lo 3
■
Conducción unidimensional de estado estable
A dvierta que, com o dT/dx = —A qjkm P x2 de la ley de Fourier, se sigue que el gra­
diente de tem peratura y el flujo de calor dism inuyen con el aum ento de v.
2. Al sustituir valores num éricos en el resultado precedente para la transferencia de
calor, se obtiene
7 t(0.25)2 X 3.46 W /m • K (400 - 600) K
a = ----------------------------------------------------------------Hx
'
1
1
0.05 m
'
—2.12 W
<
N
0.25 m
C o m entarios:
C uando el parám etro a aum enta, la suposición unidim ensional se ha­
ce m enos apropiada. Es decir, la suposición em peora cuando el cam bio con la distancia
del área de la sección transversal es mas pronunciado
3 .3
Sistemas radiales
Los sistem as cilindricos y esféricos a m enudo experim entan gradientes de temperatura
sólo en la dirección radial y, por consiguiente, se tratan com o unidim ensionales Ade
mas, bajo condiciones de estado estable sin generación interna de calor, estos sistemas
se analizan con el m étodo estándar , que com ienza con la form a apropiada de la ecua­
ción de calor, o el m étodo alternativo , el cual inicia con la fonna apropiada de la ley de
Fourier En esta sección, el sistem a cilindrico se analiza por m edio del m étodo estándar
v el sistem a esférico m ediante el m étodo alternativo.
.
3 3.1
El cilindro
Un ejem plo com ún es el cilindro hueco, cuyas superficies interna y extem a se exponen
a fluidos con diferentes tem peraturas (figura 3.6). Para condiciones de estado estable
sin generación de calor, la form a apropiada de la ecuación de calor, ecuación 2.20, es
1 d (
T
i r
dT>
*
' -
1
™
donde, por el m om ento, k se trata com o una variable El significado físico de este re­
sultado se vuelve evidente si consideram os tam bién la form a apropiada de la ley de
Fourier. La rapidez a la que se conduce la energía a través de cualquier superficie cilin­
drica en el solido se expresa com o
dT
cIT
qr = —kA —— = - k ( 2 m L ) —d¡
dr
(3.24)
donde A = 2 w L es el área normal a la dirección de la transferencia de calor. Como la
ecuación 3.23 dicta que la cantidad kr(dTldr) es independiente de r, se sigue de la ecua-
L
3 .3
91
■ Sistemas radiales
Fluido frío
Toe. 2*h2
► A A V ^ -V v W v -^ A /W »
F l é l KA 3 . 6
1
\r\(r2lr\)
1
h\2-nr\L
2 77-/.A
t^TTTiL
Cilindro hueco con condiciones convectivas en
i superficie.
ción 3 24, que la transferencia de calor por conducción qx (no el flujo de calor q'') es
una constante en la dirección radial.
Es posible determ inar la distribución de tem peraturas en el cilindro resolviendo la
ecuación 3 23 y aplicando las condiciones de frontera apropiadas. Si se supone que el
valor de k es constante, la ecuación 3.23 se integra dos veces para obtener la solución
general
t?
T(r) = C, ln /• + C2
(3.25)
Para obtener las constantes de integración C\ y C , introducim os las siguientes condi­
ciones de frontera'
T(r,) = Ts ,
y
T(r2) = T , 2
Al aplicar estas condiciones a la solución general, se obtiene
T s. i =
C ]
ln r ,
+
C2
y
Ts 2 =
ln r 2 +
C 2
R esolviendo para C] y C y sustituyendo en la solución general se obtiene así
r < '- > = ^ ( ñ /7¡
r
l n ( ^
) + r -
u -2 6 )
Tenga presente que la distribución de tem peraturas asociada con la conducción radial a
través de una pared cilindrica es logarítm ica, no lineal, com o lo es para la pared plana
bajo las m ism as condiciones La distribución logarítm ica se dibuja en el recuadro de la
figura 3.6.
Si la distribución de tem peraturas, ecuación 3.26, se usa ahora con la ley de Fou­
rier. ecuación 3.24, obtenem os la siguiente expresión para la transferencia de calor
2.7rLk(Ts | — 7 \ 2)
( 3 -2 7 )
De este resultado es evidente que, para la conducción radial en una pared cilindrica, la
resistencia térm ica es de la forma
d epa r ta m en to d e
Universidad
b ib l io t e c a
.
../re
( u p itu lo .'i ■
Ctmducrión anidimeusinnal de estado estable
In(r2/rj)
h \2 m \L
~2rí¿.
H C I KV 3 . 7
\r\Ojlr2)
2 7TkgJ.
ln( 74/^3]
1
2 ~ k cL
h/\2w^L
Ihsinbucion de tcmjx“r»turas para una pared riliud nea compuesta
ln (r 2 / r , )
R , comí
(3.28i
2 ttU
Esta resistencia se m uestra en el circuito en serie de la figura 3.6 Note que com o el \alor de qr es independiente de /\ el resultado precedente se pudo obtener con el método
alternativo, es decir, integrando la ecuación 3.24.
C onsidere ahora el sistem a com puesto de la figura 3.7 Si se recuerda com o trata­
mos la pared plana com puesta y dejando de lado las resistencias térm icas de contacto
interfacial, la transferencia de calor se expresa com o
r«., - r *>.4
‘Ir =
1
ln ( r 2/ r , )
2irrxL h x
lir k ^ L
ln ( r 3/ r 2) ^
2TrkBL
ln (r 4/ r 3)
1
2 7rkcL
2irrAlMA
(3.29)
El resultado anterior tam bién se puede expresar en térm inos de un coeficiente global de
transferencia de calor Es decir.
<7r =
R lot
(3.30)
Si U se define en térm inos del área interior A\ = 27nxL. las ecuaciones 3.29 y 3.30se
igualan y dan com o resultado
ii.3
■ Sistemas radiales
93
1
U
hx
kA
kB
r,
(3.31)
r2
kc
r3
r4 h4
Esta definición es arbitraria , y el coeficiente global tam bién se define en térm inos de
A4 o de cualquiera de las áreas interm edias O bserve que
U XA X =
UiA2 =
UyA, =
u4a 4 = c a y - '
(3.32)
y las formas específicas de U2, Uy, y U4 se infieren de las ecuaciones 3.29 y 3.30.
E jK v ip m 3 .4
La posible existencia de un espesor de aislam iento óptim o para sistem as radiales lo su­
giere la presencia de efectos que com piten asociados con un aum ento en este espesor.
En particular, aunque la resistencia de conducción aum enta al agregar un aislante, la
resistencia de convección dism inuye debido al aum ento del área de la superficie exte­
rior. Por ello puede existir un espesor de aislam iento que m inim ice la perdida de calor
al m axim izar la resistencia total a la transferencia de calor. R esuelva este problem a
considerando el siguiente sistem a.
1. Un tubo de cobre con pared delgada de radio r¿ se usa para transportar un fluido re­
frigerante de baja tem peratura y está a una tem peratura T, que es m enor que la del
aire del m edio a
alrededor del tubo. ¿H ay un espesor óptim o asociado con la
aplicación de aislante al tubo?
2. Confirm e el resultado anterior con el cálculo de la resistencia térm ica total por uni­
dad de longitud del tubo para un tubo de 10 m m de diám etro que tiene los siguien­
tes espesores del aislante 0, 2, 5, 10, 20 y 40 mm. El aislante se com pone de vidrio
celular, y el coeficiente de convección de la superficie extem a es 5 W /m2 • K.
S O L I K IO N
S e c o n o c e : Radio r¿ y tem peratura T, de un tubo de cobre de pared delgada que se
aislará del aire del am biente.
E n c o n tr a r :
1. Si existe un espesor optim o de aislam iento que m inim ice la transferencia de calor.
2. La resistencia térm ica asociada con el uso de aislante de vidrio celular de espesor
variable.
E squem a:
T
h = 5 W/mz • K
Aislante, k
d epa rta m en to
d e b ib l io t e c a
Universidad Simón Bonvar • í^de -
C apítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
S u p o s i c ió n e s :
1. C ondiciones de estado estable.
2. T ransferencia unidim ensional de c a lo re n la dirección radial (cilindrica).
3. R esistencia térm ica insignificante de la pared del tubo.
4. Propiedades constantes para el aislante.
5. Intercam bio de radiación insignificante entre la superficie externa del aislante y los
alrededores.
P ro piedades:
De la tabla A.3, el vidrio celular (258 K, supuesta): k — 0.055 W/m • K
Análisis:
1. La resistencia a la transferencia de calor entre el Huido refrigerante y el aire es do­
m inada por la conducción en el aislante y la convección en el aire. Por tanto, el
circuito térm ico es
Tt
r„
o—< V W W o
ln(
1
°
ínk
7>nrh
rfr)
donde las resistencias de conducción y convección por unidad de longitud se si­
guen de la> ecuaciones 3.28 y 3.29. respectivam ente. La resistencia térmica total
por unidad de longitud del tubo es entonces
ln (r/r,)
Kai = ------+
27
rk
1
2 7 t/7 í
donde la transferencia de calor p o r unidad de longitud del tubo es
- t.
r
R\UX
Un espesor óptim o de aislam iento estaría asociado con el valor de r que minimiza
r/' o m nxim iza R'M. Este valor se obtiene del requerim iento que
dR\tot
dr
= 0
D e aquí
1
I
Irrkr
2 irr2h
= 0
o
'
h
Para determ inar si el resultado anterior m axim iza o m inim iza la resistencia total
debe evaluarse la segunda derivada. De aquí
d 22R tot
1
dr2
h rk r2
1
+
T rrh
3 .3
■
Sistemas radiales
95
o, en ;• = k/h,
¿ X ,
1
í/r2
/I
1 \
7?(fc7i)2 VA:
2k )
1
>
27rír7/i2
C om o este resultado siem pre es positivo, se sigue que r = k/h es el radio de aisla­
m iento para el que la resistencia total es un m ínim o, no un máximo. Por ello no
existe un espesor de aislam iento óptimo.
Del resultado anterior tiene m ás sentido pensar en térm inos de un radio de
aislamiento critico
r~ " a
por debajo del cual r/' aum enta al aum entar r y por arriba del cual q' dism inuye
con el aum ento de r.
2. Con h — 5 W /m 2 • K y k — 0.055 W /m • K, el radio critico es
0.0 5 5 W /m • K
r" =
5~W/m2 • K
= 001' m
De aquí rcr > r¡. y la transferencia de calor aum entara al agregar aislante por a rri­
ba de un espesor de
rcr — r¡ = (0.011 — 0 005)m = 0.006 m
Las resistencias térm icas que corresponden al espesor de aislam iento prescrito se
calculan y grafican com o sigue:
8
0
6
10
20
30
r - r, (mm)
40
50
C om entarios:
1. El efecto del radio crítico se revela por el hecho de que, aun para 20 mm de aislan­
te, la resistencia total no es tan grande com o el valor para la ausencia de aislante.
2. Si r¡ < rcr, com o en este caso, la resistencia total dism inuye y, por tanto, la transfe
rencia de calor aum enta al agregar aislante Esta tendencia continúa hasta que el
radio exterior del aislante corresponde al radio critico La tendencia es deseable
para el flujo de corriente eléctrica a través de un alam bre, puesto que agregar ais­
lante eléctrico ayudaría en la transferencia del calor disipado en el alam bre hacia
dep artam ento de b ib lio te ca
Universidad Sir.i-... !»■
H--'
96
C a p ít u lo 3
■
Conducción unidimensional de estado estable
los alrededores A la inversa, si r, > ; cr, cualquier aum ento de aislante incrementa­
ría la resistencia total y, por tanto, dism inuiría la perdida de calor. Este comporta­
m iento seria deseable para el flujo de vapor por un tubo, donde se agrega aislante
para reducir la perdida de calor hacia los alrededores.
3. Para sistem as radiales, el problem a de reducir la resistencia total a través de la apli­
cación de aislante existe solo para alam bres o tubos de diám etro pequeño y para
coeficientes de convección pequeños, tales que /*cr > r¡. Para un aislante típico (k =»
0 03 W /m * K) y convección libre en aire (/i ~ 10 W /m 2 • K), rCT = kfh) ~ 0.003 m.
Fse valor tan pequeño indica que, norm alm ente, r, > rCT y no necesitamos preocu­
parnos por los efectos de un radio critico
4. La existencia de un radio crítico requiere que el área de transferencia de calor
cam bie en la dirección de transferencia, com o para la conducción radial en un ci­
lindro (o en una esfera) En una pared plana, el arca perpendicular a la dirección
del flu |0 de calor es constante y no hay espesor crítico de aislam iento (la resisten­
cia total siem pre se increm enta al aum entar el espesor del aislante).
3*3*2
La esfera
C onsiderem os ahora aplicar el m étodo alternativo para analizar la conducción en la esfe­
ra hueca de la figura 3.8 Para el volumen diferencial de control de la figura, la conservación de la energía requiere que qr = qr + ¿r para condiciones unidim ensionales de estado
estable sin generación interna de calor La forma apropiada de la ley de Fourier es
dT
, dT
qr = - k A — = —&(47rr ) —
dr
dr
(3 33)
donde A = A irr es el área normal a la dirección de la transferencia de calor.
A ceptando que qr es una constante, independiente de r, la ecuación 3 33 se expre­
sa en la form a integral
qr fr* dr _
cT.2
47 t -y
h
r2
1
i,
k(T ) d T
(3.34)
t
Si se supone que k es constante, entonces
4 tt k(T¿' i - 7 \,2)
yr =
( I !r{) - (1 /r2)
(3.35)
Recordando que la resistencia teim ica se define com o la diferencia de temperaturas di­
vidida entie la transferencia de calor obtenem os
ocond
J _
4t7Á.
(1 _ 1 )
\
r2 /
Qr -* flr
Fiel ra 3 .8
Conducción ( n tina ctoraxa esf rica
(3.36)
3 .3
■
97
Sistemas radiales
A dvierta que la distribución de tem peraturas y las ecuaciones 3.35 y 3.36 se obtienen
m ediante el m étodo estándar, que inicia con la forma apropiada de la ecuación de calor.
Ixis com puestos esféricos se pueden tratar de la m ism a form a que las paredes
com puestas y los cilindros, donde es posible determ inar form as apropiadas de la resis­
tencia total y del coeficiente global de transferencia de calor
E je m p l o 3 . 5
Un contenedor m etálico esférico de pared delgada se utiliza para alm acenar nitrógeno
líquido a 77 K El contenedor tiene un diám etro de 0.5 m y está cubierto de un aislante
reflector al vacio com puesto de polvo de dióxido de silicio. El aislante tiene un espesor
de 25 mm, y la superficie externa se expone al aire del am biente a 300 K. Se sabe que
el coeficiente de convección es 20 W /m 1 ■ K La entalpia de vaporización y la densidad
del nitrógeno líquido son 2 X 10 J/kg y 804 kg/m 3, respectivam ente
1. ¿C uál es la transferencia de calor al nitrógeno líquido?
2. ¿C uál es la velocidad a la que se evapora el nitrógeno?
S o l u c ió n
Se conoce:
bl nitrógeno líquido se alm acena en un contenedor esférico aislado y
expuesto al aire del am biente.
E n c o n tra r:
1. La transferencia de calor al nitrógeno.
2. La velocidad de evaporación del nitrógeno.
E sq u em a :
mflfg .
\
f
Aire
ni
Orificio de
ventilación
Contenedor esférico de
pared delgada, rj = 0.25 m
Superficie externa
del aislante,
r2 = 0.275 m
T c 2 - 300 K
’ A = 20 W/m2 • K
/
^
----- ^
q
Nitrógeno liquido
7* i = 77 K
p = 804 kg/m3
hfg = 2 x 10 5 J/kg
S u p o sicio n es:
1. C ondiciones de estado estable.
2.
3.
Transferencia unidim ensional en la dirección radial.
Resistencia insignificante a la transferencia de calor a través de la pared del conte­
nedor, y del contenedor al nitrógeno.
4. Propiedades constantes.
5. Intercam bio de radiación insignificante entre la superficie externa del aislante y los
alrededores.
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
Unlvuisldiul otHMii yuit«^r Sedo v
C apítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
P r o p ie d a d e s : De la tabla A .3. polvo de dióxido de silicio al vacío (300 K): k =
0.0017 W /m • K
A nálisis:
1. El circuito térm ico incluye una resistencia de conducción y una de convección en
serie y es de la form a
7~i
o W W v W W ^
R
Rt conv
*'/, cond
q
*•
donde, de la ecuación 3.36,
1
1
4**
1
U
y de la ecuación 3.9
1
R
h4rrr2
La transferencia de calor al nitrógeno liquido es entonces
r ,,. 2 q
t ,_ ,
( l/4 f f lt) [ ( l/r ,) - ( l / r 2)] + (U h4irr\)
En consecuencia
q = [(300 - 77) K]
I
./_ !
477(0.0017 W /m • K ) \ 0 .25 m
L
0.275 m
l
+
(20 W /m 2 • K )4 tt(0.275 m )2
223
q = --------------------W = 13.06 W
H
17.02 + 0 05
<
2. Al llevar a cabo un balance de energía para una superficie de control alrededor de
nitrógeno, se sigue de la ecuación 1 12 que
■
^ent
■
^sale
0
donde /icnt = q y É ^ Xc = tiih , se asocia con la pérdida de energía latente debido a
la evaporación De aquí
q - thhf g = 0
y la velocidad de evaporación m es
3 .4
Resumen ele resultados de la conducción unidimensional
■
99
La perdida por día es
rh= 6.53 X 1CT5 kg/s X 3600 s/h X 24 h/día
m = 5 .6 4 kg/día
<
o sobre una base volum étrica
V = — = 50^ .k ^ dia = 0.007 m 3/día = 7 litros/día
P
804 kg/m 3
C tunen la r io s :
conv
cond-
2. Con un volum en del contenedor de (4 /3 )( tt/--]) = 0.065 m 3 = 65 litros, las pérdi­
das diarias ascienden a (7 litros/65 litros) 100% = 10.8% de la capacidad.
3.4
Resumen de resultados
de la conducción unidimensional
M uchos problem as im portantes se caracterizan por la conducción unidim ensional de es­
tado estable en paredes planas, cilindricas o esféricas sin generación de energía térmica.
Los resultados clave para estas tres geom etrías se resumen en la tabla 3.3. donde A T se
refiere a la diferencia de tem peraturas, Ts j — Ts 2, entre las superficies interna y externa
que se identifican en las figuras 3.1. 3.6 y 3.8. En cada caso, al com enzar con la ecua­
ción de calor, debe ser capaz de derivar las expresiones correspondientes para la distri­
bución de tem peraturas, flujo de calor, transferencia de calor y resistencia térmica.
TABLA 3 . 3
Soluciones unidim ensionales de estado estable
para la ecuación de calor sin generación interna
Pared plana
Transferencia
de calor (q)
Resistencia térmica
cond)
t- | *
1
U*
r2 dr \
0
ln (r/r2)
Ts■2 +
7 \n (r,/r2)
o
II
Flujo de
calor (q")
7 ^ ( r * ) =
dx?
■o
Distribución
de temperaturas
1 d / . dT\
1 d ¡ dT\
d2T
— T= 0
s
Ecuación
de calor
Pared esférica"
Pared cilindrica0
r 1 - (r,/r) -I
Ts. I
- Ar
. 1 - (r,/r2)_
kA T
kA T
r ln (r2/r,)
r2[(l/r,) - (l/r 2)]
2irLk AT
4 7 rk AT
M L
ln (r2/r,)
(1/r,) - (1/r2)
L
kA
ln (r2/r,)
(1/r,)
AT
k L
AT
I
~
(1 /r2)
4 7 ~k
ttI á
"El radio critico de aislamiento es r<t — k/h para el cilindro y ;tr = 2k/h para la esfera.
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
Uiiiv... siuuO
oiitiun u un«ur ■ S ed o .
100
C a p ít u lo 3
■
(. tinducción unidimensional de estado estable
3 .5
Conducción con generación de energía térmica
En la sección anterior consideram os problem as de conducción para los que la distribu­
ción de tem peraturas en un m edio, se determ inó solam ente m ediante condiciones en las
fronteras del m edio Q uerem os analizar ahora el efecto adicional sobre la distribución
de tem peraturas de procesos que pueden ocurrir dentro del medio. En particular, desea­
m os considerar situaciones para las que la energía térm ica se genera debido a la con­
versión de alguna otra fuente de energía.
Un proceso com ún de generación de energía térm ica im plica la conversión de ener­
gía eléi trica a térmica en un m edio conductor de corriente ( calentamiento óhmico o de
resistencia) La ra/ó n a la que se genera energía al pasar una com ente / a través de un
m edio de resistencia eléctrica Rc es
Eg = l 2Re
(3.37)
Si esta generación de potencia (W ) ocurre de manera uniform e a lo largo del medio de
volum en V, la razón de generación volum étrica (W /m 3) es entonces
(3 38)
q
V
V
La generación de energía tam bién ocurre com o resultado de la desaceleración y
absorción de neutrones en el elem ento com bustible de un reactor nuclear o reacciones
quím icas exotérm icas que ocurren dentro de un medio. Las reacciones endotérmicas
tendrían, por supuesto, el efecto inverso (un sum idero de energía térm ica) de convenir
energía térm ica a energía de enlace quím ico. Finalm ente, puede ocurrir una conversión
de energía electrom agnética a térm ica debido a la absorción de energía dentro del-medio. El proceso puede darse, por ejem plo, a causa de que se absorben rayos gama en
los com ponentes externos de un reactor nuclear (revestim iento de acero inoxidable, es­
cudos térm icos, vasijas de presión, etc.) o de que la radiación visible es absorbida en
un m edio sem itransparente R ecuerde no confundir la generación de energía con el al­
m acenam iento de la m ism a (sección 1.3.1).
3.5.1
La pared plana
C onsidere la pared plana de la figura 3.9c/, en la que hay generación de energía unifor­
me por unidad de volum en (q es constante), y las superficies se m antienen a 7\ , y T 2
Para una conductividad térm ica constante k. la form a apropiada de la ecuación de ca­
lor, ecuación 2 16, es
dT
q
(3.39)
La solución sencral es
T =
X2 + C ,x + C2
(3.40)
3 .5
101
■ Conducción con generación de energía térmica
I Ti*
Q conv
ííí
r^,h
F lC .I K A 5 . 9
Conducción en una pared pLin¿i ron generación uniforme de talor.
(a) Condiciones de frontera asimétricas. (¿) Condiciones de frontera simétricas.
(c) Superficie adiabática en el plano medio.
donde C x y C 2 son las constantes de integración Para las condiciones de frontera que
se establecen,
T ( - L ) = Ts ,
T(L) = Ts 2
y
Las constantes se evalúan y son de la form a
Ts 2 ~ Ts x
’ _ —ÍLZ--------U L
1“
2L
—
q
v
C
T 2 -4-
y
Q " 2k L
T i + T 2
— .
2
en cuyo caso la distribución de tem peraturas es
q l¿ /
r w
= i r
i , -
x 2 \r , 2 7j j
+ “
^
—
Ts, , + r .
a:
1
2
+
(341)
El (lujo de calor en cualquier punto en la pared se determ ina, por supuesto, m ediante el
uso de la ecuación 3.41 con la ley de Fourier. A dvierta, sin em bargo, que c o n g e n e r a ( i ó n e l f l u j o d e c a l o r y a n o e s in d e p e n d i e n te d e x .
El resultado anterior se sim plifica cuando am bas superficies se mantienen a una
tem peratura com ún, Tx j = Ts 2 = Ts. Entonces la distribución de tem peraturas es si­
métrica con respecto al plano m edio, figura 3.9 b, y está dada por
q l? (
T(x) = ^ l l
x2
- T j l + r,
(3.42)
DEPARTAMENTO DE BlBLIG.-wrt
Universidad Simón Bolívar
Sede del Litora
102
C apítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
La tem peratura m áxim a se tiene en el plano medio
q l2
7X0) ^ T a = ^—
2k
+ T,
(3 43)
en cuyo caso la distribución de tem peraturas, ecuación 3.42, se expresa com o
(3 44)
Es im portante notar que en el plano de sim etría en la figura 3 9 b, el gradiente de
tem peratura es cero, (dT/dx)x - 0 = 0 En consecuencia, no hay transferencia de calora
través de este plano, y se representa con la superficie adiabática que se muestra en la ligura 3.9c. Una im plicación de este resultado es que la ecuación 3.42 también se aplica
a paredes planas que están perfectam ente aisladas en un lado (.r = 0 ) y mantienen una
tem peratura fija Ts en el otro lado {x — L).
Para utilizar los resultados precedentes debe conocerse la tem peratura o temperatu
ras de las superficies. Sin em bargo, una situación com ún es aquella para la que se cono­
ce la tem peratura de un fluido contiguo, T m, y no Ts. Entonces es necesario relacionar T
con Toe. Esta relación se desarrolla aplicando un balance de energía en la superficie.
C onsidere la superhcie en x = L para la pared plana sim étrica (figura 3.9 b) o la pared
plana aislada (figura 3.9c). D ejando de lado la radiación y sustituyendo las ecuaciones
de flujo apropiadas, el balance de energía dado por la ecuación 1 . 1 2 se reduce a
-k
dT
dx
= h(Ts - T J
(3 45)
x=L
Al sustituir de la ecuación 3.42 para obtener el gradiente de tem peratura en x = L, se
sigue que
T
* s = Too +
1
qL
(3.46)
Por tanto. Ts se calcula a partir del conocim iento de T&, q ,L y h.
La ecuación 3.46 tam bién se obtiene aplicando un balance global de energía a la
pared plana de la figura 3.9 b o 3 9c. Por ejem plo, en relación con una superficie de
control alrededor de la pared de la figura 3 9c, la razón a la que se genera energía den­
tro de la pared debe equilibrarse con la rapidez a la que la energía sale por convección
a la frontera La ecuación 1.1 la se reduce a
Eg
^sale
(3.47)
o, para un área superficial unitaria.
qL = h(Ts - T„)
(3.48)
Al resolver para Ts, se obtiene la ecuación 3 46.
La ecuación 3.46 se com bina con la ecuación 3.42 para elim inar Ts de la distribu­
ción de tem peraturas, que se expresa entonces en térm inos de las cantidades conocidas
q, L, k , h y Too. Se obtiene el m ism o resultado de form a directa usando la ecuación 3.45
com o condición de frontera para evaluar las constantes de integración que aparecen en
la ecuación 3.40.
3.5 ■ Conducción con generación de energía térmica
103
E je m p l o 3 . 6
Una pared plana se com pone de dos m ateriales, A y B La pared de m aterial A tiene
una generación de calor uniform e q — 1 .5 X 106 W /m 3. kA = 75 W /m • K, y un espe­
sor La = 50 mm. El m aterial B de la pared no tiene generación y su kB = 150 W /m • K
y espesor L fí = 20 mm La superficie interior del material A está bien aislada, m ientras
que la superficie exterior del material B se enfria con un flujo de agua con T » = 30°C
y h = 1000 W /m 2 • K.
1. Dibuje la distribución de tem peratura que existe en el com puesto bajo condiciones
de estado estable.
2. D eterm ine la tem peratura T0 de la superficie aislada y la tem peratura T2 de la su­
perficie enfriada
S O L I LTÓ IS
Se conoce:
La pared plana de material A, con generación interna de calor, se aísla
en uno de los lados y se une con una segunda pared de material B, que no tiene genera­
ción interna de calor y está sujeta a enfriam iento por convección.
E n c o n tr a r :
1. D ibujar bosquejo de la distribución de tem peraturas de estado estable en el com ­
puesto.
2. Tem peraturas de las superficies interna y extem a del com puesto.
E sq u em a :
T
T „ = 30°C
h = 1000 W/m2 • K
Aislante
í í t
qk = 1.5 x 106 W/m3
*A = 75 W/m • K
Agua
¿A = 50 mm
kB = 150 W/m • K
4 = 0
Lb -
20 mm
S u p o s ic io n e s :
1 . C ondiciones de estado estable.
2. C onducción unidim ensional en la dirección .v.
3. R esistencia térm ica de contacto insignificante entre las paredes.
4. Superficie interna de A adiabática.
5. Propiedades constantes para los m ateriales A y B
A n álisis:
1. Se sabe de las condiciones físicas prescritas que la distribución de tem peraturas en
el com puesto tiene las siguientes características:
(a) Parabólica en el material A
(b) Pendiente cero en la frontera aislada.
104
C apítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
(c) Lineal en el material B.
(d) C am bio de la pendiente = kB/kA = 2 en la interfaz.
La distribución de tem peraturas en el agua se caracteriza por:
(e) G radientes grandes cerca de la superficie.
X
2. La tem peratura de la superficie externa T2 se obtiene m ediante un balance de ener­
gía en un volum en de control alrededor del material B Com o no hay generación
en este m aterial, se sigue que. para condiciones de estado estable y un área unitaria
superficial, el flujo de calor hacia el material en .v = LA debe ser igual al flujo ác
calor desde el material debido a la convección en \ = L A + LB De aquí
q
h(T2 ~ Too)
=
(lj
El flujo de calor q" se determina ejecutando un segundo balance de energía sobre un
volumen de control alrededor del material A En particular, com o la superficie en
x = 0 es adiabática, no hay flujo entrante y la razón a la que se genera la energía
debe ser igual al flujo saliente En consecuencia, para un área superficial unitaria.
c¡L a
= q"
(2)
Al com binar las ecuaciones 1 y 2, la tem peratura de la superficie externa es
7", = T„ +
h
2
1.5
X
T-, = 30°C + — —
106 W/ m3 X 0.05 m
2 „ ---------= 105°C
1000 W/ m2 - K
De la ecuación 3.43 la tem peratura en la superficie aislada es
qLj
T° =
~2 ¡'•Ar +
T>
0)
donde T { se obtiene del siguiente circuito térm ico.
q"
7i
T2
T„
►c H y v w W W V \A ^
ü"
no
A cond. B
conv
Es decir,
= T X + (/?cond. B + ^ c o n v V '
donde las resistencias para un área superficial unitaria son
r>"
^cond. B
=
Lb
,
kB
o"
conv
=
1
—
,
h
3 .5
■ Conducción con generación de energía térmica
105
P or tanto.
0.02 m
T x = 30°C +
1
- — — ----- — +
150 W / m - K
1000 W / m 2 - K
X 1.5 X 106 W /m 3 X 0.05 m
T x = 30°C + 85°C = 1 15°C
S ustituyendo en la ecuación 3.
1.5 X 10 6 W /m 3(0.05 m )2
Tn = ---------------------------------------- + 1 15°C
0
2 X 75 W /m ■ K
T0 = 2 5 °C + 1 15°C = 140°C
<]
C ontení a rio s :
1. El m aterial A, que tiene generación de calor, no se puede representar m ediante un
elem ento de circuito térm ico.
2. C om o la resistencia a la transferencia de calor por convección es significativam en­
te m ayor que la que se debe a la conducción en el material B, R"onx ¡R"or\<i ~ 7.5, la
diferencia de tem peraturas superficie a fluido es m ucho m ayor que la caída de tem ­
peratura a través del m aterial B, ( T2 ~ TX)I{T\ — T2) = 7.5. Este resultado es con­
gruente con la distribución de tem peraturas que se gráfico en la parte ( 1 )
3. Las tem peraturas de la superficie y de la interfaz (70, 7j y T2) dependen de la ra­
zón de generación q , de las conductividades térm icas kA y
y del coeficiente de
convección h. C ada material tendrá una tem peratura de operación perm isible m á­
xim a, que no es posible exceder si hay que evitar la falla térm ica del sistema. E x­
ploram os los efectos de uno de estos parám etros m ediante el cálculo y el gráfico
de las distribuciones de tem peratura para valores de /? = 200 y 1000 W /m 2 • K. re­
presentativos del aire y del líquido de enfriam iento, respectivam ente.
500
400
_300
oO
^
200
100
0
0
10
20
30
40
50
60
70
v (mm)
Para h = 200 W /m 2 • K, hay un aum ento significativo en la tem peratura a través
del sistem a y, dependiendo de la selección de materiales, la falla térm ica podría ser
un problem a Preste atención a la ligera discontinuidad en el gradiente de tem pera­
turas, dT/dx , en v = 50 mm ¿C uál es la base física de esta discontinuidad 9 Supu­
sim os resistencia de contacto insignificante en este lugar. ¿.Cual sería el efecto de
tal resistencia sobre la distribución de tem peraturas en todo el sistem a? Dibuje una
106
C apítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
distribución representativa. ¿Cuál sería el efecto sobre la distribución de tempera­
turas de un aum ento en ¿¡, kA o AB? Dibuje de forma cuantitativa el efecto de estos
cam bios sobre la distribución de tem peraturas.
3«5«2
S is te m a s r a d ia le s
La generación de calor ocurre en una variedad de geom etrías radiales. Considere el ci-j
Iindro sólido. largo, de la figura 3.10, el cual podría representar un alam bre conductor]
de corriente o un elem ento de com bustible en un reactor nuclear. Para condiciones de
estado estable, la razón a la que se genera calor dentro del cilindro debe ser igual a la
rapidez con que se transm ite calor por convección de la superficie del cilindro a un Hui­
do en m ovim iento. Hsta condición perm ite que la tem peratura de la superficie se man­
tenga en un valor fijo Ts.
A fin de determ inar la distribución de tem peraturas en el cilindro, comenzamos]
con la forma apropiada de la ecuación de calor. Para una conductividad térmica cons­
tante A, la ecuación 2.2 0 se reduce a
d ( dT\
q
Ir—
+ - = 0
dr \ dr
k
1
r
(3.49)
AI separar variables y suponer generación uniform e, esta expresión se integra para ob­
tener
dr
— r 2 + C¡
2k
~d¡-
(3.501
Si el procedim iento se repite, la solución general para la distribución de temperaturas
se convierte en
q
nr) =
4k
.
r + C, ln r 4- C2
(3.51)
Para obtener las constantes de integración Cj y C i, aplicam os las condiciones de fron­
tera
dT
dr r ~0
T{r„) = Ts
= 0
Fluido frío
Fuá
ha
3 .1 0
Conducción fii un cilindro sólido con generación
uniforme de calor.
3 .5
■ Conducción con generación de energía térmica
107
La prim era condición resulta de la sim etría de la situación. Es decir, para el cilindro só­
lido la línea central es una línea de sim etría para la distribución de tem peraturas y el
gradiente de tem peraturas debe ser cero. Recuerde que existen condiciones sim ilares en
el plano m edio de una pared que tiene condiciones de frontera sim étricas (figura 3.9 b).
De la condición de sim etría en r = 0 y de la ecuación 3.50, es evidente que Ci = 0. Al
usar la condición de frontera de la superficie en r = ra con la ecuación 3.51, obtenem os
C2 = Ts + 4 r r l
4k
(3.52)
Por tanto, la distribución de tem peraturas es
,3 M )
E valuando la ecuación 3.53 en la línea central y dividiendo el resultado en la ecuación
3.53, obtenem os la distribución de tem peraturas en la forma adim ensional,
T(r ) - T s
7 T
( ry
= 1- fe )
donde T() es la tem peratura de la línea central. La transferencia de calor en cualquier ra­
dio en el cilindro se puede evaluar, por supuesto, m ediante la ecuación 3.53 con la ley
de Fourier.
Para relacionar la tem peratura de la superficie. 75, con la tem peratura del fluido
frío, Toe, se usa un balance de energía en la superficie o un balance global de energía. Si
se elige el segundo m étodo, obtenem os
q(Trr20L) = h(2irr0L)(Ts - Tx )
o
qr
Ts = T- +
(3 55)
En el apéndice C se proporciona un procedim iento conveniente y sistem ático pa­
ra tratar las diversas com binaciones de condiciones de superficie, el cual se puede
aplicar a geom etrías unidim ensionales cilindricas (y planares) con generación unifor­
me de energía térm ica.
Ej e m p l o 3 . 7
C onsidere un tubo sólido, lareo. aislado en el radio externo
y enfriado en el radio interior /q, con generación uniform e de calor q (W /m 3) dentro del sólido.
1. O btenga la solución general para la distribución de tem peraturas en el tubo.
2. En una aplicación práctica se colocaría un lím ite sobre la tem peratura m áxim a que
es perm isible en la superficie aislada (/- = r2). Especificando este límite com o Ts 2?
identifique las condiciones de frontera adecuadas que sirven para determ inar las
constantes arbitrarias que aparecen en la solución general. Determ ine estas cons­
tantes y la form a correspondiente de la distribución de tem peraturas.
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
Universidad Simo.i S o ...jr - Sede
108
C apítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
3. D eterm ine la rapidez de elim inación de calor por unidad de longitud de tubo.
4. Si se dispone del fluido refrigerante a una tem peratura T», obtenga una expresión
del coeficiente de convección que tendría que m antenerse en la superficie interna
para perm itir la operación a los valores establecidos de Ts 2 y q.
Son ciúrs
Se conoce:
Tubo solido, con generación uniform e de calor, aislado en la superficie
externa y enfriado en la superficie interna.
E n co n tra r:
1. Solución general para la distribución de tem peraturas T(r)
2. C ondiciones de frontera apropiadas y la form a correspondiente de la distribución
de tem peraturas.
3. R apidez de elim inación de calor
4. Coeficiente de convección en la superficie interna.
E sq u em a :
S u p o s ic i o n es:
1. C ondiciones de estado estable.
2. Conducción radial unidim ensional.
3. Propiedades constantes.
4. G eneración volum étrica de calor uniforme.
5. Superficie exterior adiabática.
A nálisis:
1. Para determ inar T(r), hay que resolver la form a apropiada de la ecuación de calor,
ecuación 2.20. Para las condiciones establecidas, esta expresión se reduce a la
ecuación 3.49, y la solución general está dada por la ecuación 3 51 En consecuen
cia, esta solución se aplica a un casco cilindrico, así com o a un cilindro sólido (fi­
gura 3.10).
3 .5
■ Conducción con generación de energía térmica
109
2. Se necesitan dos condiciones de frontera para evaluar C y C , y en este problema
resulta apropiado especificar am bas condiciones en r2,recurriendo al limite de tem ­
peratura que se estableció,
T(i'2) = Ts 2
(1)
y aplicando la ley de Fourier, ecuación 3.24, en la superficie externa adiabática
dT
=
dr
( 2)
0
A plicando las ecuaciones 3.51 y 1, se sigue que
.2
Ts 2 —
C\
r2
^2
(3)
De m anera sim ilar, de las ecuaciones 3 50 y 2
0 =
2k
r\ + C,
(4)
De aquí, de la ecuación 4.
c, = ¿
(5 )
ri
y de la ecuación 3
C 2 = Ts 2 + — r 2 — — r \ ln
2
*’ 2
4k
‘
2k
2
r2
2
(6 )
Sustituyendo las ecuaciones 5 y 6 en la solución general, ecuación 3.51, se sigue
que
Q
<3 ■> r2
T(r) = Ts 2 + — (r¡ - r2) - — r \ ln —
52
4k
2
2k 2
r
(7)
3. La rapidez de elim inación de calor se determ ina obteniendo la transferencia de ca­
lor por conducción en /•[ o evaluando la rapidez total de generación para el tubo.
De la ley de Fourier
dT
q'r = - k l r r r —
Asi, al sustituir de la ecuación 7 y evaluar el resultado en
<lAri) = —k lir r , f - — r, + — — j = - 7rq(r2 - r 7)
(8 )
Deform a alternativa, com o el tubo está aislado en r2, la rapidez a la que segenera
el calor en el tubo debe ser igual a la rapidez de elim inación en /-,. Es decir, para
un volum en de control alrededor del tubo, el requerim iento de conservación de la
energía, ecuación I. I I a, se reduce a E — EVA\C = 0, donde E = c¡7T (r2 — r~\)L y
^saic
q cond^
q
j )E. De aquí
q 'Á r 1) = - r i j i r l -
r ])
(9)
C apítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
4. De la aplicación del requerim iento de conservación de la energía, ecuación I 12, a
la superficie interna, se sigue que
____
i
H conv
r
V cond
O
m/(i*2 - n ) = h 'l™ -\{T s , - T x )
Poi tanto
q{r\ ~ /'i)
k
2r
(Ts
, —
Tx )
(l°
donde Ts , se obtiene evaluando la ecuación 7 en r = /•,.
C o m en ta rio s:
1. Note que, a través de la aplicación de la ley de Fourier en la parte 3, se encontr
que el signo de q',{rx) es negativo, ecuación 8 , lo que im plica que el flujo de calor
ocurre en la dirección negativa de r Sin em bargo, al aplicar el balance de energía,
aprendim os que el flujo de calor estaba fuera de la pared De aquí expresamos
com o —£/'(/'i) y expresam os c/'onv en térm inos de ( Ts j — Tx ), en lugar de (Tx 2. La distribución de tem peraturas, ecuación 7, tam bién se obtiene con los resultados
del apéndice C. Al aplicar un balance de energía superficial en r = / ,, con q(r ) =
—qir(i \ ~ t
se determ ina ( Ts 2 ~ Ts |) de la ecuación C . 8 , y el resultado se
sustitu>e en la ecuación C.2 para elim inar T y obtener la expresión que se desea
3 .5 .3
Aplicación de los conceptos de resistencia
C oncluim os nuestro análisis de los efectos de la generación de calor con una adverten­
cia. En particular cuando están presentes estos efectos, la transferencia de calor no
una constante independiente de la coordenada espacial. En consecuencia, sena incorrec­
to utilizar los conceptos de resistencia de conducción y las ecuaciones de flujo de calor
relacionadas que se desarrollaron en las secciones 3.1 y 3.3
3 .6
Transferencia d e c a lo r en superficies e x ten d id a s
La frase superficie extendida se usa norm alm ente con referencia a un sólido que expe
rim enta transferencia de energía por conducción dentro de sus lim ites, asi como trans­
ferencia de energía por convección (y/o radiación) entre sus limites y los alrededores.
Tal sistem a se m uestra de forma esquem ática en la figura 3 11. Se usa un puntal para
proporcionar soporte m ecánico a dos paredes que están a tem peraturas diferentes.
Un gradiente de tem peratura en la dirección i m antiene la transferencia de calor por
conducción internam ente, al m ism o tiem po que hay una transferencia de enerva
por convección desde la superficie
3 .6
■ Transferencia tic caloren superficies extendidas
Vv2
y
Fluido
7
,
r
h
l2
(kcm
Ti
H
1
7,
F i g l j UA 3 . 1 1
Conducción
> t2
y c o n v e c c ió n c o m b in a d a s c u un elem en to
e structural.
A unque hay m uchas situaciones diferentes que im plican efectos com binados de
conducción y convección, la aplicación mas frecuente es aquella en la que se usa una
superficie extendida de m anera específica para aumentar la rapidez de transferencia de
calor entre un sólido y un fluido contiguo. Esta superficie extendida se denom ina aleta
Considere la pared plana de la figura 3 . 1 2a. Si T es fija, hay dos formas en las que
es posible aum entar la transferencia de calor El coeficiente de convección h podría
aum entarse increm entando la velocidad del fluido, y/o podría reducirse la temperatura de
fluido Tx . Sin em bargo, se encuentran muchas situaciones en las que aum entar h al va­
lor m áxim o posible es insuficiente para obtener la transferencia de calor que se desea o
en las que los costos asociados son prohibitivos. Estos costos están relacionados con los
requerim ientos de potencia del ventilador o de bom ba necesarios para aum entar h a tra­
vés de un creciente m ovim iento de fluido. Más aún. la segunda opción de reducir TWes
a m enudo poco práctica. Sin embargo, al exam inar la figura 3.12/?, vemos que existe una
tercera opción. Es decir, la transferencia de calor se increm enta aum entando el área de
la superficie a través de la cual ocurre la convección. Esto se logra con el em pleo de ale­
tas que se extienden desde la pared al fluido circundante La conductividad térm ica del
m aterial de la aleta tiene fuerte efecto sobre la distribución de tem peraturas a lo largo de
la aleta y, por tanto, influye en el grado al que la transferencia de calor aumenta. Idcal-
T ,, h
► q = hA{Ts
(a)
F i o lili A 3 . 1 2
(b)
lU o fie aletas para aumentar la transirrrncia de talur desde
una pared plana, (o) Superficie desnuda, fb) Superficie con aletas.
DEPARTAMENTO DE O IB LIO .^ h
Universidad Simón Bolívar Sede del Litoral
112
C apitulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
Flujo de liquido
Flujo de
F u , l R\ 3 . 1 3
Ksq u ma de interoiinibiadorcs t pn os
»- ( alor (le tulx
v
( «ni i lelas.
mente, el material de la aleta debe tener una conductividad térm ica grande para minimi­
zar variaciones de tem peratura desde la base hasta la punta. En el límite de la conducti­
vidad térm ica infinita, toda la aleta estaría a la tem peratura de la base de la superficie,
proporcionando con ello el m áxim o aum ento posible de transferencia de calor
Ya está fam iliarizado con varias aplicaciones de aletas Piense en el arreglo para
enfriar cabezas de m otor de m otocicletas y cortadoras de césped o para enfriar trans­
form adores de potencia eléctrica C onsidere tam bién los tubos con aletas unidas que se
usan para prom over intercam bio de calor entre el aire y el fluido de trabajo de un acon­
dicionador de aire En la figura 3 13 se m uestran dos arreglos com unes de tubo-aleta.
En la figura 3.14 se m uestran diferentes configuraciones de aletas. Una aleta recta
es cualquier superficie prolongada que se une a una pared plana Puede ser de área de
sección transversal uniform e, o el área de sección transversal puede variar con la dis­
tancia x desde la pared Una aleta anula) es aquella que se une de forma circunferen­
cial a un cilindro, y su sección transversal varía con el radio desde la línea central del
cilindro. Los tipos de aleta precedentes tienen secciones transversales rectangulares,
cuya area se expresa com o un producto del espesor de la aleta t y del ancho w para ale­
tas rectas o la circunferencia 2rn para aletas anulares En contraste, una aleta de aguja,
o spine. es una superficie prolongada de sección transversal circular Las aletas de agu­
ja tam bién pueden ser de sección transversal uniform e o no uniform e. En cualquier
aplicación, la selección de una configuración de aletas particular depende de considera-
x
Ui)
FlGI
re
RA 3 . 1 4
i((
ir)
( n igu rae iones de a cli s (a) Alt ta re la de sección transversal imifnrnn .
( rión lraiis\ei> d no uniforme. (c) Aleta anular, (d) Ale a le agí a
(b) Aeü
3,í> ■ Transferencia de culor en superficies extendidas
d o n e s de espacio, peso, fabricación y costos, asi com o del punto al que las aleta;» redu­
cen el coeficiente de convección de la superficie y aum entan la caída de presión asocia­
da con un llujo sobre las aletas
Análisis de conducción general
C om o ingenieros estam os interesados principalm ente en conocer el punto al que super­
ficies extendidas particulares podrían m ejorar la transferencia de calor de una superficie
al fluido circundante. Para d eterm inar la transferencia de calor asociada con una aleta,
debem os prim ero obtener la distribución de tem peraturas a lo largo de la aleta. C om o
hicim os para sistem as anteriores, com enzam os por llevar a cabo un balance de eneigia
sobre un elem ento diferencial apropiado. C onsidere la superficie extendida de la figura
3.15 El análisis se sim plifica si se hacen ciertas suposiciones E legim os suponer condi­
ciones unidim ensionales en la dirección longitudinal (v), aunque la conducción dentro
de la aleta es en realidad bidim ensional La rapidez a la que se desarrolla la co n v e c­
ción de energía hacia el fluido desde cu alq u ier punto sobre la superficie de la aleta,
debe balancearse con la rapidez a la que la energía alcanza ese punto debido a la co n ­
ducción en la dirección transversal (v, :). Sin em bargo, en la practica la aleta es d elg a­
d a y los cam bios de tem peratura en la dirección longitudinal son m ucho m as grandes
que los de la dirección transversal. Por tanto, podem os suponer conducción u nidim en­
sional en la dirección .v. C onsiderarem os condiciones de estado estable y tam bién su ­
pondrem os que la condu ctiv id ad térm ica es una constante, que la radiación desde la
superficie es insignificante, que los efectos de la generación de calor están ausentes y
que el coeficiente de transferencia de calo r por convección h es uniform e sobre la su ­
perficie
Al aplicar el requerim iento de conservación de la energía, ecuación 1 l i a , al ele­
m ento diferencial de la figura 3.15. obtenem os.
Qx
Qx+dx 3" ^/conv
(3.56)
De la ley de E ourier sabem os que
dT
q x — —kA c —
dx
dAs
/ f
%
FlCl ItA 3 .1 5
(3.57)
y
I 4,.(A)
1 t
_
I
U
y S ,.,,
c
Balan* t* <1< <nt rp a pura unu snpí rfit u* i*xtemli<la.
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
Univitsidod
kAlu vdf - Sl^db .
vial
114
C apítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
donde A c es el área de la sección transversal , que varía con x. C om o la conducción de
calor en r + dx se expresa com o
<ix+dx = <7* + ~ T dx
dx
<358>
se sigue que
dT
d (
~ k~ ^K
dT\
) dx
(3 59)
La transferencia de calor se expresa com o
¿tyconv = h dAs{T - Tx)
(3.60)
donde dA es el area superficial del elem ento diferencial Sustituyendo las ecuaciones
de flujo anteriores en el balance de energía, ecuación 3.56, obtenem os
d
(
dT\
A c —— )
dx \ c d x )
h dA v
- ~ ~ (T — Tx ) — 0
k dx
o
d 2T
^
( 1 dAt \ d T
+ f e i r ) ^
( I h d A ,\
- f c i ^
) ( r -
r”) = 0
(3 6 l>
Este resultado proporciona una form a general de la ecuación de energía para condi­
ciones unidim ensionales en una superficie extendida. Su solución para condiciones de
frontera apropiadas proporcionara la distribución de tem peraturas, que se usará des­
pués con la ecuación 3.57, para calcular la transferencia de calor por conducción en
cualquier r.
3 .6 .2
Aletas de área de sección transversal uniforme
Para resolver la ecuación 3 61 es necesario ser más específico acerca de la geometna.
C om enzam os con el caso mas sim ple de aletas rectangulares rectas de sección trans­
versal uniform e (figura 3.16). C ada aleta se une a una superficie base de temperatura
7*(0) — Th y se extiende en un fluido de tem peratura T 0.
Para las aletas que se establecen. Ac es una constante y A s= Px, donde A, es el
área de la superficie m edida de la base a . v y P es el perím etro de la aleta. En conse­
cuencia, con dA Jdx = 0 > dAJdx = P , la ecuación 3 61 se reduce a
d rT
hP
— v ~ 7 7 - (T ~ T*) = 0
dx"
kAc
(3.62)
Para sim plificar la forma de esta ecuación, transform am os la variable dependiente defi­
niendo un exceso de temperatura 6 com o
(Ka) s T(x) - r »
(3.63)
donde, com o Tx es una constante, dO/dx = dT/dx. Al sustituir la ecuación 3.63 en la
ecuación 3.62, obtenem os
á 2e
— j - m"6 = 0
dx
(3.64)
3 .6
■ Transferencia de caloren superficies extendidas
t, = Hl
<a)
F H l K \ 3 .1 6
\1« la'- recta» <l« *r» rió n Irausv* r»al iinifoniK . («) Mola
rec tangulni (h) Aleta <in ulhi.
donde
■>
nr =
hP
(3 65)
~kA
La ecuación 3 64 es una ecuación diferencial lineal de segundo orden, hom ogénea,
con coeficientes constantes Su solución general es
0(.t) = C ,c "u + C2c
rnx
(3 6 6 )
Por sustitución se verifica fácilm ente que la ecuación 3.66 es en realidad una solución
de la ecuación 3 64.
Para evaluar las constantes C¡ y C2 de la ecuación 3.66, es necesario especificar
condiciones de frontera apropiadas. U na condición se especifica en térm inos de la tem ­
peratura en la base de la aleta ( \ = 0 )
0(0) = Th - T - ^ f í h
(3.67)
La segunda condición, especificada en el extrem o de la alela (v = L), corresponde a
cualquiera de cuatro diferentes situaciones tísicas.
La prim era condición, caso A, considera la transferencia de calor por convección
desde e! extrem o de la aleta Al aplicar un balance de energía a una superficie de con­
trol alrededor de este extrem o (figura 3.17). obtenem os
dT
hA c[T(L) - Tx ] = - k A —
dx
i -L
O
d6
hO(L) = ~ k
dx
(3.68)
x =>L
Es decir, la rapidez a la que la energía se transfiere hacia el fluido por convección d es­
de el extrem o debe ser igual a la rapidez a la que la energía alcanza el extrem o por con­
ducción a través de la aleta. Al sustituir la ecuación 3.66 en las ecuaciones 3.67 y 3.68,
obtenem os, respectivam ente.
eh = c, + c 7
(3.69)
d epa rta m en to
UllIVLti 6luud
de
b ib l io t e c a
uuiivdf •9p(Ítt v
116
C apítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
y
h{CAeml + C2e mL) + km{C2e~mL ~ C xemL)
Al resolver para C x y C2. es posible dem ostrar, después de algunas manipulaciones,
que
6
co sh m{L — x ) + (hlm k ) senh m{L — x)
6b
co sh m L + {hlmk) senh m L
(3.70)
La configuración de esta distribución de tem peraturas se m uestra de form a esquemática
en la figura 3.17. A dvierta que la m agnitud del gradiente de tem peratura disminuye tü
aum entar x. Esta tendencia es una consecuencia de la reducción en la transferencia de
calor por conducción qx{x) con el aum ento de v debido a las pérdidas por convección
continuas de la superficie de la aleta.
Tam bién estam os interesados en el calor total transferido por la aleta. Según la fi­
gura 3.17, es evidente que la transferencia de calor de la aleta qt se puede evaluaren
dos form as alternativas, que implican el uso de la distribución de temperaturas. El pro­
cedim iento más sim ple, y el que usarem os, im plica aplicar la ley de Fourier a la base
de la aleta. Es decir.
de
dT
qf = qh = ~ k A c —
= -k A c—
*=o
Por tanto, conociendo la distribución de temperaturas. 0(.v).
dx jc=0
(3.71,
se puede evaluar, lo queda
senh mL + {hlmk) cosh mL
hPkAceb co sh mL + (hhnk) senh m L
---------
qf -
(3'7-'
Sin em bargo, la conservación de la energía dicta que la rapidez a la que se transfiere
calor por convección desde la aleta debe ser igual a la rapidez a la que se conduce por
V
F iC l K A 3 . 1 7
(.omliit't'ión y convección en una aleta de sección
transversal uniforme.
3 .6
■ Transferencia de caloren superficies extendidas
117
la base de la aleta. En consecuencia, la form ulación alternativa para q es
qf = \
h[T(x) ~ Tx] dAs
Af
qf = \
hO(x) dAs
(3.73)
donde A es el área total de la superficie de la aleta , incluido el extremo La sustitución de
la ecuación 3.70 en la ecuación 3 73 da la ecuación 3.72
La segunda condición del extrem o, caso B, corresponde a la suposición de que la
pérdida de calor convectiva en el extrem o de la aleta es insignificante, en cuyo caso el
extrem o se trata com o adiabático y
d6
dx
= 0
(3.74)
x=L
Al sustituir de la ecuación 3.66 y dividir entre tu, obtenem os
C ,éwL - C2e~mL = 0
U sando esta expresión con la ecuación 3 69 para resolver C¡ y C2 y sustituir los resul­
tados en la ecuación 3.66, obtenem os
6
co sh m{L — x)
— = ---------------------6b
cosh mL
(3.75)
Al usar esta distribución de tem peraturas con la ecuación 3.71, la transferencia de calor
de la aleta es entonces
qf = \/h P k A c6b tan h m L
(3-76)
De la m ism a m anera se obtiene la distribución de tem peraturas de la aleta y la
transferencia de calor para el caso C. donde la tem peratura se establece en el extrem o
de la aleta. Es decir, la segunda condición de frontera es 0(L) = 6¡, y las expresiones
resultantes son
6
( B J6 b) senh mx + senh m(L — jc)
senh mZ
~8b ~
q, = V h P Ü A
(3'7?)
co sh m L — d J 6 b
s£nhm ¿
(3.78)
La aleta muy larga, caso D, es una extensión interesante de estos resultados. En par­
ticular, cuando L —» °o. dL —> 0 y se verifica fácilm ente que
~
%
(3.79)
q,
=
V h P k A ceb( 3.80)
L os resultados anteriores se resum en en la tabla 3.4. En el apéndice B.J se proporciona
una tabla de funciones hiperbólicas.
^
JEPARTAMÉNTO
Ui*IVw:8iduü
d e b ib l io t e c a
- Sede
c
ural
C apítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
TABLA 3 . 4
Distribuc ión de temperaturas \ pérdidas de calor para aletas
de sección transversal uniforme
Distribución de
tem peraturas 0/0,,
Condición de aleta
Caso
(or - L)
Transferencia de
calor por convección:
hti(L) = -k d 0 /d x \Y=L
A
Transferencia
de calor de la aleta q
cosh m ( L — x ) + ( hhnk ) í>enh m(L
senh rnL + ( himk ) cosh mi
-A )
•V/
cosh m L + ( himk ) senh mi
cosh mL + ( hhnk ) scnh rnL
(3.70)
Adiabática:
dO/dx
=
B
(3.72)
cosh m ( L — x )
0
M tanh mL
cosh mL
(3.75)
Temperatura
establecida:
C
tKD
=
(
Hl ! 6h) senh mx
+
(3.76
senh m(L - x)
M
(cosh mL
(3.77)
D
Aleta infinita
(KL)
=
(3.781
( L —» =c):
0
ff - m.x
M
(3.79)
III
1
E**<
«i
e„ = m
Q¡_ i 0¡>)
senh mL
senh mL
eL
—
(3.Ü0)
m2 = hP/kAc
= Tb - Tx
M = V h P k A c0h
Fjkm plo 3 .8
Una varilla muy larga de 5 mm de diám etro tiene un extrem o que se mantiene a I00°C.
La superficie de la varilla se expone al aire am biente a 25 C con un coeficiente de
transferencia de calor por convección de 100 W m 2 • K.
1. D eterm ine las distribuciones de tem peraturas a lo largo de varillas construidas de
cobre puro, aleación de alum inio 2024 y acero inoxidable tipo AISI 316. ¿Cuáles
son las pérdidas de calor correspondientes de las varillas?
2. C alcule el largo de las varillas para que la suposición de una longitud infinita de
una estim ación exacta de la pérdida de calor.
SOI I ( JÓiN
Se conoce:
Una varilla circular grande expuesta al aire del am biente.
E n co n tra r:
1. D istribución de tem peraturas y pérdida de calor cuando la varilla se fabrica de co­
bre, una aleación de alum inio o acero inoxidable.
2. Qué largo deben tener las varillas para suponer longitud infinita.
Esi¡uem a:
Aire
.a ,
Th = 100°C
r-
0
r
/
/
3 í
k ,L —>*.D = 5 mm
/
= 25°C
h = 100 W/m? • K
, ;
3 .6
■ Transferencia tic calor en superficies extendidas
119
S u p o sic io n e s:
1. C ondiciones de estado estable.
2. C onducción unidim ensional a lo largo de la varilla.
3. Propiedades constantes.
4. Intercam bio de radiación insignificante con los alrededores.
5. C oeficiente convectivo constante y uniform e.
6 . Varilla infinitam ente lanía.
P ro p ie d a d e s:
Tabla A. l , cobre \T = (7/, 4- Tx )/2 = 62.5°C =» 335 Kj: k = 398
W /m • K. Tabla A. 1, alum inio 2024 (335 K): k = 180 W /m • K. Tabla A. I, acero inoxi­
dable, AISI 316 (335 K): k = 14 W /m • K.
A n á lisis:
1. Sujeto a la suposición de una aleta infinitam ente larga, las distribuciones de tem pe­
ratura se determ inan de la ecuación 3.79. que se expresa com o
r = T„ + (Th - Tx )c ”*
donde m = ( hP/kAt.)lí2 = (4 hlkD)12. AI sustituir para h y D . así com o para las con­
ductividades térm icas del cobre, la aleación de aluminio y el acero inoxidable, res­
pectivam ente. los valores de m son 14.2, 21.2, y 75.6 m '. Las distribuciones de
temperatura?» se calculan y trazan entonces según la siguiente gráfica.
100
80
£ 60
40
7,
20
0
50
100
150
200
250
300
.í(mm)
De estas distribuciones, es evidente que hay poca transferencia de calor adicional
asociada con la extensión de la longitud de la varilla m ucho m ás allá de 50. 200 y
300 m m , respectivam ente, para el acero inoxidable, la aleación de alum inio y el
cobre.
De la ecuación 3.80 la pérdida de calor es
i/j = VhPkA,.eb
De aquí, para el cobre.
100 W /m 2 - K X t t X 0.0 05 m
1/2
X 398 W /m • K X - 7 (0.005 m )2
4
= 8.3 W
(1 0 0 - 25)°C
<
C apitulo 3 ■ Conducción uniditnonsional do estado estable
De m anera sim ilar, para la aleación de alum inio y el acero inoxidable, respectiva­
m ente, las perdidas de calor son qj = 5.6 W y 1 6 W.
2. C om o no hay perdida de calor en el extrem o de una varilla infinitamente larga, es
posible estim ar la validez de esta aproxim ación com parando las ecuaciones 3.76 y
3.80. Para una aproxim ación satisfactoria, las expresiones proporcionan resultados
equivalentes si tanh mí > 0.99 o mL 3 2.65. Por tanto, una varilla se supone infi­
nitam ente larga si
2.65
m
= 2.65
Para el cobre.
398 W/ m • K X (tt/4 )(0 .0 0 5 m )2
U = 2.65
100 W /m 2 • K X 77(0.005 m)
1/2
= 0.19 m
Los resultados para la aleación de alum inio y para el acero inoxidable son Lx =j
0.13 m y Lx = 0.04 m, respectivam ente.
C o m entarios:
Los resultados anteriores indican que es posible predecir con preci­
sión la transferencia de calor de la aleta a partir de la aproxim ación de aleta infinita si
mL 3: 2.65. .Sin em bargo, para que la aproxim ación de aleta infinita prediga la distribu­
ción de tem peraturas T(x) con exactitud se requerirá un valor m ayor de mL. Este valor
se infiere de la ecuación 3.79 y del requerim iento de que la tem peratura del extremo
sea muy cercana a la tem peratura del fluido. De aquí, si requerim os que 6(L)f0h = exp
{—mL) > 0.01, se sigue que mL > 4.6, en cuyo caso L& 0.33, 0.23 y 0.07 m para el
cobre, la aleación de alum inio y el acero inoxidable, respectivam ente Estos resultados
son congruentes con las distribuciones que se dibujaron en la parte 1 .
3 .6 .3
Desempeño de una aleta
R ecuerde que las aletas se utilizan para aum entar la transferencia de calor de una fuen­
te porque acrecientan el área efectiva de superficie. Sin em bargo, la aleta misma repre­
senta una resistencia de conducción para la transferencia de calor de la superfu e
original. Por esta razón, no hay seguridad de que la transferencia de calor aumente a
través del uso de aletas U na apreciación de este asunto se obtiene evaluando la efecti­
vidad de la aleta Sj Esta efectividad se define com o la razón de la transferencia de ca­
lor de la aleta a la transferencia de calor que cxistirfa sin ¡a aleta. Por tanto.
donde Ac f, es el área de la sección transversal en la base de la aleta En cualquier dise­
ño racional, el valor de e^debe ser tan grande com o sea posible y, en general, el uso de
aletas raram ente se justifica a m enos que Ef 3 2 .
Sujeta a cualquiera de las cuatro condiciones de aletas que se consideran, la efecti­
vidad para una aleta de sección transversal uniform e se obtiene dividiendo la expresión
apropiada para q^ en la tabla 3 4, entre hAc b6h. A unque la instalación de aletas altera
3 .6
■ I n i rmfi-re ti ría de calar mi superficie* extendidas
121
el coeficiente de convección de la superficie, este efecto norm alm ente no se tom a en
cuenta. De aquí, suponiendo que el coeficiente de convección de la superficie con ale­
tas es equivalente al de la base sin aletas, se sigue que. para la aproxim ación de aleta
infinita (caso D), el resultado es
i kP \
(3.82)
Es posible inferir varias tendencias im portantes de este resultado. O bviam ente, la
efectividad de la aleta aum enta por la elección de un m aterial de alta conductividad tér­
m ica. A leaciones de alum inio y cobre vienen a la m ente. Sin em bargo, aunque el cobre
es superior desde el punto de vista de la conductividad térm ica, las aleaciones de alu­
m inio son la elección m ás com ún debido a sus beneficios adicionales relacionados con
un co sto y peso m ás bajos. La efectividad de la aleta tam bién se intensifica al aum entar
la razón del perím etro al área de la sección transversal. Por esta razón se prefiere el uso
de aletas daigádas, pero poco espaciadas, con la salvedad
que el hueco de la aleta
no se reduzca a un valor para el que el flujo entre las aletas se im pida severam ente, y
por ello se reduzca el coeficiente de convección
La ecuación 3.82 tam bién indica que el uso de aletas se justifica m ejor bajo condi­
ciones para las que el coeficiente de convección h es pequeño. Asi, de la tabla 1.1 es
evidente que la necesidad de alelas es grande cuando el fluido es un gas en lugar de un
líquido y, en particular, cuando la transferencia de calor de la superficie es por convec­
ción libre. Si se van a usar aletas sobre una superficie que separa un gas y un liquido,
por lo general se colocan en el lado del gas. que es el lado del coeficiente de convección
m ás bajo. Un ejem plo com ún es la tubería en el radiador de un autom óvil. Las aletas se
aplican a la superficie exterior del tubo, sobre la cual hay un flujo de aire del am biente
(h pequeña), y no a la superficie interna, a través de la cual hay un flujo de agua (h
grande). N ote que, si z y > 2 se usa com o criterio para justificar la aplicación de aletas,
la ecuación 3.82 lleva al requerim iento de que (kPUi/\l ) > 4.
La ecuación 3.82 proporciona un lím ite superior a Ef . que se alcanza conform e L se
aproxim a a infinito. Sin em bargo, ciertam ente no es necesario usar aletas muy largas
para alcanzar un aum ento de la transferencia de calor cercana a la m áxim a. C uando se
considera una condición de extrem o adiabático, la ecuación 3.76 y la tabla B .l nos indi­
can que 98% de la transferencia de calor m áxim a posible de aleta se alcanza para mL —
2.3. Por esto tiene poco sentido extender las aletas más allá de L = 2.3////.
Hl desem peño de la aleta tam bién se cuantilica en térm inos de una resistencia tér­
mica. Al tratar la diferencia entre las tem peraturas de la base y del fluido com o el po­
tencial de im pulso, una resistencia de aleta se define com o
Vh
R 'J = 7¡f
Este resultado es extrem adam ente útil, en particular cuando se representa una superfi­
cie con aletas m ediante un circuito térm ico. A dvierta que. de acuerdo con la condición
del extrem o de la aleta, una expresión apropiada para tjf se obtiene de la tabla 3.4.
Al dividir la ecuación 3.83 en la expresión para la resistencia térm ica debida a la
convección en la base expuesta.
=
{3K 4'
d epa rta m en to
Universidad Slmdn **
de
61 B U G 11 . 0 A
''"Ifr T*- ' *"
122
C apítulo 3 ■ Conducción unidunensitmal de estado estable
y al sustituir de la ecuación 3.81, se sigue que
ü.uJl
€f
(3 85)
En consecuencia, la efectividad de la aleta se interpreta com o una razón de resistencias
térm icas y, para aum entar
es necesario reducir la resistencia de conduccion/convección de la aleta. Si la aleta es para aum entar la transferencia de calor, su resistencia no
debe exceder la de la base expuesta.
O tra m edida del desem peño térm ico de la aleta la proporciona la eficiencia ele h
aleta rjf. El potencial de impulso m áxim o para la convección es la diferencia de tempe
raturas entre la base (x = 0) y el fluido, 0h = Th — 7*». De aquí, '.e sigue que la rapidez
m áxim a a la que una aleta puede disipar energía es la rapidez que existiría si toda la su­
perficie de la aleta estuviera a la tem peratura de la base. Sin em bargo, com o cualquier
aleta se caracteriza por una resistencia de conducción finita, debe existir un gradiente
de tem peratura a lo largo de la aleta y la condición anterior es una idealización Por
tanto, una definición lógica de eficiencia de aleta es
_
ch
llA ¡O.
«i
*Yináx
(3.
■
donde Aj es el área de la superficie de la aleta. Para una aleta recta de sección transver­
sal uniform e y un extrem o adiabático, las ecuaciones 3.76 y 3.86 dan
M tanh m L
tanh mL
hPL6h
mL
(3 87'
Con referencia a la tabla B. l , este resultado nos indica que 17 se aproxim a a sus valo­
res m áxim o y m ínim o de 1 y 0, respectivam ente, conform e L se aproxim a a 0 e 00.
En lugar de la expresión algo pesada para la transferencia de calor de una aleta
rectangular recta con un extrem o activo, ecuación 3.72. se m ostró que se pueden obte­
ner predicciones aproxim adas, incluso precisas, usando el extrem o adiabático resultan­
te, ecuación 3.76, con una longitud de aleta corregida de la form a Lc — L + (r/2 ) para
una aleta rectangular, y Lc = L + (D/4) para una aleta recta de alfiler [9]. La correc­
ción se basa en la suposición de equivalencia entre la transferencia de calor de la aleta
real con convección en el extrem o y transferencia de calor de una aleta hipotética más
larga con un extrem o adiabático. Así, con la convección en el extrem o, la rapidez de
transferencia de calor de la aleta se aproxim a com o
H¡ — M tanh mLc
(3.88)
y la eficiencia correspondiente com o
tanh mLc
(3.89)
^ = ^ r ~
Los errores asociados con la aproxim ación son insignificantes si (htik) o (hD 2k) <
0.0625 [10].
Si el ancho de una aleta rectangular es m ucho más grande que su espesor, w $>r,el
perím etro se aproxim a com o P = 2vv, y
(hP\
m Lí = \ k X j
1/2
( 2 hy/2
Lc~ \ h )
Lc
Al m ultiplicar el num erador y denom inador por L\i2 e introducir un área de perfil déla
3 .6
■ Transferencia de calar en superficies extendidas
1.0
123
1.5
¿ t' ~(h/kAp)iri
1 K.l |{ \ 3 . 1 8
K licii iu ia (ir alrhi'!
rr<
tas
s r« < taiigulur. triaiif'ul n \ paralnili«
o
aleta corregida, Ap = /., t. se sigue que
/ 2 /t y a
,,,
(3.90)
De aquí, según se m uestra en las figuras 3.18 y 3.19. la eficiencia de una aleta rectan­
gular con convección en el extrem o se puede representar com o una función de
i * 2m A p) ' 2.
100
80
60
£
(T
Si—
40
20
' t L, - ¿ + t/2
l
/V = 111
1.0
1.5
LfHhikA,^
I' K . l K A 3 . 1 9
E f i c i c w ia d e a l e t a s a n u l a r e - . «le p e r lil re< t a n g u la r .
DOARTAMENTO DE BIBLIOTECA
Universidad Snnoi» bolívar Sede i?. * lito rs1
121
C apítulo .'1 ■ Conducción unidimensional de estado estable
3 .6 .4
A leta s d e á r e a d e s e c c ió n tra n sv ersa l n o u n ifo rm e
El análisis del com portam iento térm ico de una aleta se hace m ás com plejo si la aleta es
de sección transversal no uniform e. Para estos casos, el segundo térm ino de la ecua­
ción 3 61 debe conservarse, y las soluciones ya no presentarán la form a de funciones
exponenciales o hiperbólicas sim ples. Com o caso especial, considere la aleta anular
que se m uestra en la figura 3.19. A unque el espesor de la aleta es uniform e (/ indepen­
diente de / ). el área de la sección transversal, Ac = 27771 varía con r. Al reemplazar*
por r en la ecuación 3.61 y expresar el área de la superficie com o As = lid )'1 ~ r ] ), la
forma general de la ecuación de la aleta se reduce a
d 2T
1 dT
2h
—
r +—
dr
r dr
kt
( r - r j =o
o, con m2 = Ihlkt y tí = T — Tv
d2e
—T T H
dr
i de
,
r dr
III $ = 0
La expresión anterior es una etnación de Bessel modificada de orden cero, y la so­
lución general tiene la form a
tí(r) = C\I0(mr) + C2K0(mr)
donde l0 y K()son funciones de Bessel de orden cero m odificadas de prim era y segunda
clase, respectivam ente Si la tem peratura en la base de la aleta se establece, 0 (/|) = fy.
y se supone la periferia adiabática, d6ldr\r2 = 0, C y C2 se pueden evaluar para dar una
distribución de tem peraturas según la forma
6
I0(m r)K i(mr2) + K0(m r)Ix(mr2)
6b
¡ü(m rx)K x{mr2) + K0(m rx)Ix{mr2)
donde / j (/?//) = d[l0(mr)]/d(mr) y K x(mr) = —d[K0(mr)]fd(mr) son funciones de
Bessel de prim er orden m odificadas de prim era y segunda clase, respectivamente. Las
funciones de Bessel se tabulan en el apéndice B.
Si la transferencia de calor de la aleta se expresa com o
de
= —kA c, b
= ~ k{2 irrxt) —
dr
dr r=ri
dT
r—r\
se sigue que
K ¿ m r x) / f m r 2) j - /,( w r , )K j{mr2)
qf = 27Tkrxt6bm
KQ(m rx)Ix{mr2) + l{f m r x)K x{mr2)
de donde la eficiencia de la aleta se vuelve
qf
Vf
h 2 iT {r\
- r 2x)0b
2 r,
/C |(w r,)/,(w r2) - l x{m rx)K x{mr2)
m { r \ - r\) K0(m rx)Ix(mr2) + 70(m r 1 )A ',(w r2)
(3.91
Este resultado se aplica a una periferia activa (de convección), si el radio de la perifeij
r 2 se leem plaza con un radio corregido de la form a r2(. = r2 + (r/2) Los resultados!
presentan de lorm a gráfica en la figura 3.19.
El conocim iento de la eficiencia térm ica de una aleta sirve para evaluar la resisten
cia de la aleta y, de las ecuaciones 3.83 y 3.86, se sigue que
3 .6
125
■ Transferencia de caloren superficies extendidas
* •
' =
^
( 3 -9 2 )
En la tabla 3.5 se resum en expresiones para la eficiencia y el área superficial de varias
geom etrías com unes de aleta. Aunque los resultados para las aletas de espesor o diám e­
tro uniform e se obtuvieron suponiendo una periferia adiabática, los efectos de la con­
vección se pueden tratar con el uso de una longitud (ecuaciones 3.89 y 3.95) o radio
(ecuación 3.91) corregidos. Las aletas triangulares y parabólicas son de espesor no uni­
form e, que se reduce a cero en el extrem o de la aleta.
T a b la 3 . 5
E ficiencia de formas com unes de aletas
Aletas rectas
Rectangulara
A¡ = 2wLc
L = L + (tí 2)
tanh mLc
Triangulara
1
211/2
C, = 11 + (t/L )2}
¡y(2mL)
(3.93)
m L l0(2mL)
Af = 2w\L2 + (t/2)2]u2
Parabólicaa
Af = vv'| C\L2 +
(L2//)ln (t/L + C,)]
(3.89)
mL(.
y = (t/ 2 ) ( 1
-
x/L)2
%
(4 (mL)2 + \] m + 1
(3.94)
Aleta circular
Rectangulara
Af = 2it(r\( - /•?)
r2c = r» + (/. 2 )
AT,(mrl) / l(mr2c) - Ii(m rl)K y(mr2c)
Vi = C2 I0(m ry)K y(mr2c) + K0(m ry)Iy(mr2c)
(3.91)
(2 r jm )
Co =
( d - - r 2)
Aletas de pu n ta
Rectangular1’
Af = ttDL(
L = L + (DIA)
tanh mLc
*lf
mL,.
(3.95)
Continua en la siguiente página
C apítulo 3 ■ Conducción unidiinensiiuial de eslndo estable
Il2í>
T VIH A 3 . 5
t f i n r i K ’ia dt* form as c o m u n e s do a le ta s (continuación)
Triangular0
ttD
Ar = —
\L + <^2)2]
2
1/2
L(2m L)
m L l x(2mL)
(3.«
Parabólii a°
ttC
ó, =
8D
{ c ,c 4 =
L
[4/9(mL)z + l |l/2 + 1
Í39
— Inl(2DC4/L) + C3]}
C, = I + 2 (D /¿)2
C4 = n + (ü/¿)2l,a
-mi >= (2htkt) l \
!'m » 14h / k D ) ' 2.
U na alela triangular recta es atractiva porque, para la transferencia de calor equ.
\alen tó , requiere m ucho m enos volum en (m aterial de la aleta) que un perlil rectangu­
lar. A este respecto, la disipación por unidad de volum en, (¿j/V),, es mas grande para
perlil parabólico. Sin em bargo, com o (q/V), para el perfil parabólico es sólo ligera
m ente m ayor que el del perlil triangular, su uso pocas veces se justifica en vista de I
grandes costos de fabricación, l-a aleta anular de perfil rectangular se usa normalnii
te para aum entar la transferencia hacia o desde tuhos circulares.
Eficiencia gloria! de la superficie
En contraste con la eficiencia rjf de la alela, que caracteriza el rendim iento de una
l*i aleta, la eficiencia global de la superju ¡e rju c a ra c te n /a un arreglo de aletas y la
perh cie base a la que se une. En la figura 3 20 se m uestran arreglos representatm
donde S d esig n a el espaciam iento de las aletas En cada cuso la eficiencia global
define com o
'//
Vn =
*7ina.x
h A ,0 b
(33
donde q¡ es la transferencia de calor total del área de la superficie A, asociada conI
aletas y la parte expuesta de la base (a m enudo denom inada la superficie primaria).
hay N aletas en el arreglo, cada una de las áreas superficiales Af , y el arca de la sup
tície prim aria se designa com o A h, el área de la superficie total es
A,
= NAf +
Af,
(3,5
I a transferencia de calor m áxim a posible resultaría si toda la superficie de la aleta,
com o la base expuesta, mí m antuvieran en Th.
La transferencia total de calor por convección de las alelas \ de la superficie pi
cipal (sin aletas) se expresa com o
q, = NrjfliAjfíh + ¡iAh0¡,
(3.IC
127
.'{.(> ■ Transferencia de cataren superficies extendidas
r». h
<h)
F
k
.IHA 3 . 2 0
\rregl um »lr alelan n*prrsrniali\os. f«t \lettt* rectangulares.
(6) Alelan anular»*'».
donde el coeficiente de convección h se supone equivalente para las superficies princi­
pal y con aletas, y rjf es la eficiencia de una sola aleta. De aquí
NAf
q, = h [ N V l A f + {A, - N A} )\0b = hA,
(h
(3.101)
Al sustituir la ecuación (3.101) en (3.98), se sigue que
NA,
A,
La-nf )
(3.102)
Del conocim iento de 17,,, la ecuación 3.98 sirve para calcular la transferencia total de
calor para un arreglo de aletas.
Si recuerda la definición de la resistencia térm ica de la aleta, ecuación 3.83. la
ecuación 3.98 sirve para inferir una expresión para la resistencia térm ica de un arreglo
de aletas. Es decir.
(3.103)
q,
n .M ,
donde R¡ 0 es una resistencia efectiva que explica las trayectorias de fiujo de calor pa­
ralelas por conducción/convección en las aletas y por convección de la superficie prin­
cipal. La figura 3 .2 \a ilustra los circuitos térm icos correspondientes a las trayectorias
paralelas y su representación en térm inos de una resistencia electiva
Si las alelas se fabrican com o parte integral de la pared de la que se extienden, no
hay resistencia de contacto en su base. Sin em bargo, por lo general, las alelas se fabri­
can por separado y se unen a la pared con una ju ntura m etalúrgica o adhesiva. C om o
alternativa, la unión puede im plicar un ajuste de presión . para el cual las aletas se enca­
jan en ranuras hechas por fresado en el m aterial de la pared. En tales casos (figura
3.21 h). hay una resistencia térm ica de contacto. R, c. que puede influir de m anera ad­
versa sobre el rendim iento térm ico global. De nuevo es posible obtener una resistencia
de circuito efectiva, donde, con la resistencia térm ica de contacto.
1
'V <><<■>
(3.104)
128
( a p í l a l o 3 ■ Cotuliicción
unidimensional de estado estable
(NrjfhAf)
/VNAAA-o T
*a
</h
A W A
|h(A, -NAf ) |
Ti, °~
V W W A
-0 7
(n tM f) 1
(*)
K".cW \,b
/v W V '—
(Ni)fhA/) 1
- W v W -----
Uh
—vVWvNA|/i(A, —NAf) |
-WVWSA-
n*
r
(/>)
FlGl
K\
3.21
Arreglo d r aletas y circuito térmico. (r/) Las alelas son parte integral de la liase.
(6) Las aletas están adherirlas a la base.
Se m uestra fácilm ente que la eficiencia global de superficie correspondiente es
= 15
NAf
A.
(3.105a)
donde
C, = 1 + 7)jJiAj(R"i cIA(. h)
(3.105b)
En la fabricación, se debe tener cuidado de hacer R, c <$ R¡y.
E jemplo 3 . 9
El cilindro del motor de una m otocicleta está fabricado de aleación de aluminio 2024T 6 y tiene una altura H — 0 15 m y un diám etro exterior D = 50 mm. Bajo condicione,
de operación típicas la superficie externa del cilindro está a una tem peratura de 500 Ky
se expone al aire ambiental a 300 K, con un coeficiente de convección de 50 W/m2 • K
Unas aletas anulares están fundidas integralm ente con el cilindro para aumentar la
transferencia de calor a los alrededores. C onsidere cinco de estas aletas, de espesor f =
6 mm. longitud L = 20 mm e igualm ente espaciadas. ¿Cuál es el aum ento en transfe­
rencia de calor debido al uso de las aletas?
3 .6
S
■ Transferencia de calor en superficies extendidas
129
o l í o ió n
Se conoce:
C ondiciones de operación de un cilindro de m otocicleta con aletas.
E n c o n tr a r :
A um ento en la transferencia de calor asociada con el uso de aletas.
E squem a:
Sección transversal
del cilindro de motor
(aleación de Al 2024 T6)
Th = 500 K
H = 0.15 m
= 300 K
h = 50 W/m2 • K
M-----•4 -------------
Aire
n = 25 mm
L = 20 mm
r2 = 45 mm
S u p o s ic io n e s :
1. C ondiciones de estado estable.
2. C onducción radial unidim ensional en las aletas.
3. Propiedades constantes.
4. Intercam bio de radiación insienificante con los alrededores.
5. Coeficiente de convección uniform e sobre la superficie externa (con o sin aletas).
P ro p ie d a d e s:
A nálisis:
Tabla A. l , alum inio 2024-T6 (T = 400 K): k — 186 W /m • K.
Con las aletas colocadas, la transferencia de calor está dada por la ecua­
ción 3.101
NAf
q, = hAt
donde Aj = 277
— r-j) = 2 t t [(0.048 m )2 — (0.025 m )2l = 0.0105 m 2 y, de la ecua­
ción 3.99, A, = NAf + 2777’,( // - Nf ) = 0.0527 m 2 + 27*0.025 m )[0 .15 m - 0.03 m] =
0.0716 m 2. Con
= 1.92, L(. — 0.023 m, Ap = 1.380 X 10“ 4 m2. obtenem os L]!2
{h!kAp) m = 0.15. En consecuencia, de la figura 3.19, la eficiencia de la aleta es rj{ ~
0.95. Con las aletas, la transferencia total de calor es, entonces.
0 .0 5 2 7 m 2
qt = 50 W /m 2 ■ K X 0 .0 7 1 6 nT
1 -
0 .0 7 1 6 m 2
(0.05) 200 K - 690 W
Sin las aletas, la transferencia de calor por convección sería
qwo = /i(27r/’,/7)í/b = 50 W m 2 • K (2 tr X 0.025 m X 0.15 m )200 K = 236 W
De aquí
A<7 = qt~ qwo = 454 W
<
DEPARTAMENTO DE B1BUG»uo A
Universidad Simó j
130
C apítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
C o m e n ta r io s : A unque las aletas aum entan de m anera significativa la transferencia
de calor del cilindro, aún es posible un m ejoram iento considerable si se aum enta el nú­
m ero de aletas. Evaluam os esta posibilidad calculando q, com o función de N. primero
fijando el espesoi de la aleta a / = 6 mm e increm entando el numero de aletas al redu­
cir el espaciado entre las aletas. D eterm inando un espaciado de aletas de 2 mm en cada
extrem o del arreglo y un hueco m ínim o de aleta de 4 mm. el núm ero m áxim o permisi­
ble de aletas es N = H/S = 0.15 m /(0.004 + 0.006)m = 15. Los cálculos de los pará­
metros dan la siguiente variación de qt con N:
-
1600
•
1400
•
t = 6 mm
1200
4»
•
•
"1000
•
«>
800
600
•
9
11
Numero de aletas, N
13
15
El num ero de aletas tam bién aum enta reduciendo el espesor de la aleta. Si el hueco de
la aleta se fija en (S — t) = 4 mm y las restricciones de fabricación dictan un espesor)
de aleta m ínim o perm isible de 2 mm, se pueden acom odar hasta N = 25 aletas. Eim
te caso los cálculos param étricos dan
Los cálculos anteriores se basan en la suposición de que h no resulta afectada pon
reducción en el hueco de la aleta. La suposición es razonable en tanto que no hay inter­
acción entre las capas límite que se desarrollan en las superficies opuestas de ias alea
contiguas. A dvierta que, com o NAj > 2777 ¡( / / — Nt) para las condiciones estableeid
q, aum enta casi linealm ente al aum entar N.
E j km im .o 3 . L O
La transferencia de calor de un transistor se puede aum entar insertándolo en una base
alum inio (k = 200 W /m • K) que tiene 12 aletas longitudinales tabncadas integnilni
sobre su superficie externa El radio del transistor y la altura son / | = 2
3 .6
■ Transferencia (lc calor en superficies extendidas
131
/ / = 6 mm, respectivamente, mientras que las aletas son de longitud L = r$ — r2 = 10 mm
y espesor uniforme t = 0.7 mm. El espesor de la base de la manga es r2 — / | = 1 mm. y
la resistencia de contacto de la interfaz base-transistor es R ” c = 10 -3 n r • K/W. Aire a
Too = 20°C fluye sobre la superficie de la aleta, lo que proporciona un coeficiente de
convección aproxim adam ente uniform e de h = 25 W /m 2 • K.
1. Suponiendo una transferencia unidim ensional en la dirección radial, dibuje el cir­
cuito equivalente para la transferencia de calor de la caja del transistor (r = / |) al
aire M arque claram ente cada resistencia.
2. Evalúe cada una de las resistencias en el circuito anterior. Si la tem peratura de la
caja del transistor es 7 \ = 80°C, ¿cuál es la rapidez de transferencia de calor de
la base?
Sou
uón
Se conoce:
D im ensiones de una base de alum inio con aletas insertada en un transis­
tor. R esistencia de contacto entre la base y el transistor. C ondiciones de convección de
la superficie y tem peratura de la caja del transistor.
E n c o n tr a r :
1. C ircuito térm ico equivalente.
2. Transferencia de calor de la base
E s tp ie m o :
Transistor
H
Base con aletas
longitudinales
r3
H
S u p o s ic io n e s :
1. C ondiciones de estado estable.
2. Transferencia de calor insignificante de las superficies superior e inferior del tran­
sistor.
3. Conducción radial unidim ensional.
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
UiiiVu. Sitiad Snuu . R
k
132
C apítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
4. Propiedades constantes.
5. R adiación insignificante.
A nálisis:
1. El circuito debe explicar la resistencia de contacto, conducción en la base, convec­
ción de la base expuesta y conducción/convección de las aletas.
I
R(. h
— V A /V —
n
Ri . base
—w w —
Rt.f\ 12)
2. Las resistencias térm icas para el contacto de la unión y la base son
* ,.c
10 “ 3 m 2 • K /W
2irrxH
27t(0.002 m )(0 .0 0 6 m )
~
R[[c
= 13.3 K /W
ln (r 2/ r ,)
ln (3/2)
lir k H
2 tt(2 0 0 W /m • K )(0.006 in)
R ¡. base =
= 0 .0 5 4 K /W
Para una sola aleta, R, j = bh!q^ donde de la tabla 3.4,
m
senh mL + (hlmk) cosh mL
qf = {hPkAc)m 6h
cosh mL + {hlmk) senh mL
Con P — 2{H + t) = 13.4 mm = 0.0134 m
Ac = t
X
2 5 W / m 2 - K X 0 .0134 m
hP
m —
y
2 0 0 W /m • K
kAc
4.2
X
X
H = 4.2
X
10 ~6 m2,
\i«
10 ~ 6 m 2
= 20.0 m
mL = 2 0 m _l x 0.01 m = 0 .2 0
h
25 W /m 2 • K
mk
2 0 m _l
X
{hPkAí) w2 = (25 W /m 2 • K
X
4.2
X
= 0.00625
2 0 0 W /m • K
X
0.0134 m
X
200 W /m • K
10 ~6 m 2) 1/2 = 0.0168 W /K
el uso de la tabla B. 1 da, para una sola aleta ,
1.020 + 0.00625
X
0.201
0 .0 1 6 8 W /K (0.201 + 0.00625
X
1.020)
De aquí, para 12 aletas.
*». /( 12)
«...
12
= 24.4 K /W
= 293 K /W
3 .7
■ Resumen
133
Para la base expuesta.
i
ft(2 777*2 — 1 2 f ) #
1
25 W /m 2 • K ( 2 tt X 0.003 -
12 X 0 .0007) m X 0.0 0 6 m
Rt b = 638 K /W
Con
Kccmiv = [(2 4 .4 )"1 + ( 6 8 3 ) - 'l - ‘ = 23.5 K/W
se sigue que
RM = (13.3 + 0.054 + 23.5)K /W = 36.9 K/W
\
7, - 7 *
(8 0 - 2 0 )°C
R tot
36.9 K /W
= 1.63 W
C o m en tarios:
1. Sin la base con aletas, la resistencia de convección de la caja del transistor es
^iran = ( 2 ‘777‘|///z)—1 = 531 KAV. Por tanto hay una ventaja considerable en el uso
de las aletas.
2. Si se supone una aleta de periferia adiabática, tanh mL = 0.197 y R , j = 302. En
consecuencia, la resistencia de aleta está dentro de 3% de la que se obtiene para la
periferia convectiva real.
3. C on r¡f = ( hAjR, f )~l = 0.988, la ecuación 3.102 da r]a = 0.988, de la que se sigue
que R r 0 = ( rjuhAt)~l = 23.5 K/W. Este resultado es, por supuesto, idéntico al que
se obtuvo en la determ inación anterior de R cquiv.
4. El diseño de aleta establecido y las condiciones de operación de ninguna m anera
se han optim izado Si se hiciera necesario disipar más de 1 63 W, m ientras se m an­
tiene la tem peratura de la base a 80°C, ¿qué m edidas tom aría usted para m ejorar el
rendim iento térm ico del sistem a? Puede, por ejem plo, querer considerar los elec­
tos de duplicar /?. dividir entre dos R¡ c, aum entando L. y/o aum entando N.
3.7
Resumen
A pesar de la sim plicidad m atem ática inherente, la transferencia de calor unidim ensio­
nal de estado estable ocurre en num erosas aplicaciones de ingeniería. A unque las con­
diciones de estado estable unidim ensionales no se aplican exactam ente, a menudo se
hacen suposiciones para obtener resultados de exactitud razonable. Por tanto, debe es­
tar fam iliarizado con los m edios por los que se tratan estos problem as. En particular,
debe sentirse cóm odo con el uso de circuitos térm icos equivalentes y con las expresio­
d e p a r t a m en t o
Unlwaldad Siinon
d e b ib l io t e c a
: lt»
^rs'
C apítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
134
nes para las resistencias de conducción que pertenecen a cada una de las tres geome­
trías com unes. Tam bién debe estar fam iliarizado con el hecho de saber en qué forma
la ecuación de calor y la ley de Fourier sirven para obtener las distribuciones de tempe­
ratura y los flujos correspondientes. Las im plicaciones de una fuente de energía inter­
nam ente distribuida tam bién deben entenderse con claridad Finalm ente, debe apreciar
el im portante papel que las superficies extendidas juegan en el diseño de los sistemas
térm icos y debe tener la facilidad de efectuar diseños y ejecutar cálculos para tales su­
perficies.
lii bli o ¿ira jí a
dings of thc International Symposium on Cooling Tech­
nology tor Electronic Equipmcnt. Honolulú. 1987, pp.
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Reporte NACA núm. 158. 1922.
10
Schneidcr, P J , Conduction Heat Transfer. AddisonWesley, Reading, MA. 1955.
Problemas
Pared plana
3.1 Considere la pared plana de la figura 3.1, que separa
los fluidos caliente y frío a temperaturas T« | y T« 2,
respectivamente. Con el uso de balances de energía co­
mo condiciones de frontera en \ = 0 y a — L (véase
la ecuación 2.27), obtenga la distribución de tem pera­
turas dentro de la pared y el flujo de calor en términos
de Toe, i, Toe,2,
h2, * y L -
3.2 La ventana posterior de un automóvil se desempaña
mediante el paso de a re caliente sobre su superficie in­
terna.
(a) Si el aire caliente está a Tx ¡ = 40°C y el coefi­
ciente de convección correspondiente es h =
30 W /m • K, ¿cuales son las tem peraturas de las
superficies interna y externa de la ventana de vidrio
de 4 mm de espesor, si la temperatura del aireant
bientc del exterior es T» 0 = —10°C y el cocficiente de convección asociado es h0 — 65 W/m2 • K?
(b) Ln la práctica. T „ y ha varían de acuerdo con la.
condiciones del clima y la velocidad del automóv;;
Para valores de h„ = 2, 65. y 100 W/m 2 • K. cal
le y trace las tem peraturas de las superficies ínter
na y externa com o función de Tx 0 para -30 s
T
< 0°C
J
* C O--
3.3 La ventana trasera de un autom óvil se desempañi
uniendo un elemento de calentam iento delgado de ti
película transparente a su superficie interior. Al ca'
tar eléctricamente este elemento, se establece un
de calor uniforme en la superficie interna.
■ Problemas
(a) Para una ventana de vidrio de 4 mm. determ ine la
potencia eléctrica que se requiere por unidad de
área de la ventana para m antener una tem peratura
en la superficie interna de I5°C cuando la tem pera­
tura del aire interior y el coeficiente de convección
>on 7 , , = 25°C y h, = 10 W /n r • k . mientras la
temperatura del aire exterior (am biente) y el coefi­
ciente de convección son 7 X „ = —10°C y ht) = 65
W/m 2 * K.
(h) En la practica. í , , y hn varían de acuerdo con las
condiciones clim áticas y la velocidad del autom ó­
vil. Para valores de h0 = 2, 20. 65, y 100 W n r •
K. determine y elabore una gráfica del requeri­
miento de potencia eléctrica com o función de
p
para —30 ^ 7 , 0 ^ 0°C. De sus resultados, ¿qué
concluye acerca de la necesidad de operar el calen­
tador con valores bajos de ht,'l ¿Cóm o resulta afec­
tarla esta conclusión por el valor de Tx „? Si h ^
\ donde V es la velocidad del vehículo y n es un
exponente positivo, ¿cóm o afecta la velocidad del
auto a la necesidad de la operación del calentador?
3.4
En un proceso de tab ricació n se unirá una película
transparente a un sustrato com o se muestra en el dia­
grama Para curar la unión a una tem peratura 70, se uti­
liza una fuente radiante que proporciona un flujo de
calor </"(W m : ). la totalidad del cual es absorbido en la
superficie unida. La parte posterior del sustrato se m an­
tiene a Ti mientras la superficie libre de la película se
expone al aire a 7 . y a un coeficiente de transferencia
de calor por convección h.
Lf = 0.25 mm
kj = 0.025 W/m K
l a = 1.0 mm
L = 0.05 W/m • K
Unión. T0
Sustrato
1
(a) Muestre el circuito térm ico que represente la situa­
ción de transferencia de calor de estado estable.
Asegúrese de etiquetar todos los elem entos, nodos
y flujos de calor. Déjelo en form a sim bólica
Ib) Suponga las siguientes condiciones: 7* = 20°C.
h ~ 50 W/m 2 • K, y 7 , = 30°C. Calcule el flujo de
calor <yó que se requiere para m antener la superfi­
cie unida a 7 0 = 60°C.
íel Calcule y trace el flujo de calor que se requiere
como función del espesor de la película para 0 ^
L, ^ 1 mm.
Si la película no es transparente y la totalidad del
flujo de calor rad ante se absorbe en su superficie
superior, determine el flujo de calor que se requiere
para lograr la unión. Flabore una gráfica de sus re­
sultados com o función de Lf para 0 <
< 1 mm
3.5 Se consideran cobre y acero inoxidable (AIS1 304) co­
mo material para las paredes de la tobera de un cohete
enfriada por líquido. El exterior enfriado de la pared se
mantiene a 150°C. mientras que los gases de com bus­
tión dentro de la tobera están a 2750°C. El coeficiente
de transferencia de calor del lado del gas es h, = 2 X
K)4 W /m 2 • K. y el radio de la tobera es mucho mayor
que el espesor de la pared. Limitaciones térmicas indi­
can que la tem peratura del cobre y la del acero no ex­
ceden 540°C y 9S0°C. respectivamente. ¿Cuál es el
espe or m áxim o de la pared que se podría em plear para
cada uno de los dos m ateriales? Si la lobera se constru­
ye con el espesor máximo de pared, ¿cuál material se
preteriría?
3.6 l*na técnica para m edir coeficientes de transferencia de
calor implica adherir una superficie de una hoja metáli­
ca delgada a un material aislante y exponer la otra su­
perficie a las condiciones de corriente del fluido de
interés.
r^ /i
Hoja (P'¿iéc, Ts)
Aislante de
espuma (k)
Al hacer pasar una corriente eléctrica a través de la ho­
ja se disipa calor de manera uniforme dentro de la hoja
y se infiere el flujo correspondiente, P^\cc* a partir de las
m ediciones de voltaje y corriente relacionadas. Si se
conocen el espesor L del aislante y la conductividad
térm ica k. y se miden las tem peraturas del fluido, hoja
y aislante (7*. 7 t, Th), es posible determ inar el coefi­
ciente de convección. Considere condiciones para las
que 7» = 7„ = 25°C, P ' ^ = 2000 W /m 2, L = 10 mm,
y k = 0.040 W /m • K.
(a) Con un flujo de agua sobre la superficie, la medi­
ción de la tem peratura de la hoja da Ts = 27°C.
Determine el coeficiente de convección. ¿Qué error
se com etería al suponer que toda la potencia disi­
pada se transmite al agua por convección?
(b) Si. en su lugar, fluye aire sobre la superficie y la
medición de tem peratura da 7 f = I25°C, ¿cuál es
el coeficiente de convección? La hoja tiene una
em isividad de 0.15 y se expone a alrededores a
25°C. ¿Qué error se cometería al suponer que toda
la potencia que se disipa se transfiere al aire por
convección?
d epa rta m en to
de
b ib l io t e c a
Universidad Simón Bolívar Seds .
136
C apítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
(c) Normalmente, los indicadores de flujo de calor se
operan a tem peratura fija (Ts). en cuyo caso la disi­
pación de potencia proporciona una medida directa
del coeficiente de convección Para Tt = 27°C,
graíiquc Pgiec com o función de h„ para 10 ^ h0 <
1000 W /m 2 • K. ¿Qué efecto tiene h() sobre el error
asociado con que no se tome en cuenta la conduc­
ción a través del aislante?
/C uál es el valor del coeficiente de transferencia de ca­
lor por convección en la superficie inferior?
3.10 Una ventana térm ca de vidrio consiste en dos piezas de
vidrio de 7 mm de espesor que encierran un espacio
de aire de 7 mm de espesor. La ventana separa el aire
del cuarto a 20°C del aire am biente del exterior a
—10°C. El coeficiente de convección asociado con la
superficie interna (lado del cuarto) es 10 W /m 2 • K.
(a) Si el coeficiente de convección asociado con el aire
exterior (ambiente) es h(, = 80 W /m 2 • K, ¿cuál es
la pérdida de calor a través de una ventana que tie­
ne 0.8 m de largo por 0.5 m de ancho? No tome en
cuenta la radiación, y suponga que el aire eneerra- I
do entre las hojas de vidrio está estancado.
3.7 Lo helado de la brisa, que se experimenta en un día frío
y con viento, se relaciona con el incremento de la trans­
ferencia de calor de la piel humana expuesta a la atm ós­
fera circundante. Considere una capa de tejido adiposo
de 3 mm de espesor y cuya superficie interior se m an­
tiene a una temperatura de 36°C. En un día calmado el
coeficiente de transferencia de calor por convección a la
superficie externa es 25 W /m 2 • K. pero con vientos de
30 km/h alcanza 65 W /m 2 • K. En ambos casos, la tem ­
peratura del aire del ambiente es —15°C.
(a) ¿Cuál es la pérdida de calor por unidad de área de
la piel que se produce de un día calmado a un día
con viento?
(b) ¿Cuál será la tem peratura de la superficie externa
de la piel en el día calmado? ¿Cuál en el día con
viento?
(b) Calcule y trace el efecto de //„ sobre la pérdida de
calor para 10 ^ ha ^ 100 W /m 2 • K. Repita este
cálculo para una construcción de tres vidrios en la
que se agrega un tercer vidrio y un segundo espa­
cio de aire de espesor equivalente.
3.11
La pared de un colector solar pasivo consiste en un ma­
terial de cam bio de lase (PCM ) de espesor L encerrado
entre dos superficies estructurales de soporte.
<?rad
(c) ¿Qué tem peratura debería tener el aire en el día
calmado para producir la misma pérdida de calor
que ocurre con una tem peratura del aire de - 15°C
en el día con viento 9
3.8 Considere el transistor montado en superficie que se
ilustra en el problema 1.51. Construya el circuito térmi­
co, escriba una expresión para una temperatura de caja
7'£ y evalúe Tc para dos situaciones, una en la que el
hueco está lleno de aire estancado y otra en la que está
lleno de una pasta conductora.
n
100 °C
85 °C
T , = 20°C, h
n
i, h\
Liqui ■
3.9 Una placa de acero de 1 m de largo (k — 50 W /m • K)
está bien aislada en sus lados, mientras que la superficie
superior está a 100°C y la superficie inferior se enfría
por convección mediante un fluido a 20°C. En condicio­
nes de estado estable sin generación, un termopar en el
punto medio de la placa revela una temperatura de
85°C.
ií
PCM
Sólido, ks
Suponga una condición de estado estable para la que la
absorción de radiación solar en una superficie mantiene
su temperatura ( I s j) por arriba de la temperatura del
fusión del PCM. Las porciones líquida y sólida del
PCM están divididas por una interfaz vertical estrecha
El líquido tiene una temperatura del núeleo de Tmy t j
caracteriza por un flujo recirculantc movido por la fio
tación que mantiene el mismo coeficiente de convec­
ción (hm) en sus interfaces con la superficie (.v. I) vel|
sólido. Considere condiciones para las que el flujo ne
de radiación es q"ad = 1000 W /m2, las tcmperatul*
ambientes y los coeficientes de convección son Tx
Too, 2 = 20°C y /?j = h2 = 20 W /m 2 ■ K, la temperatun
y coeficiente de convección del líquido PCM son
50°C y hm = 10 W /m 2 • K y la conductividad lérn
del sólido PCM es k s = 0.5 W/m • K. Evalúe la tempoJ
j
■ Problemas
ralura de la superficie. 7 \ ( Si el espesor total del PCM
es /. = 0 .10 m. ^ cuál es el espesor de la capa líquida?
Calcule la temperatura de la superficie Ts 23.12 La pared de un edificio es un com puesto que consiste en
una capa de 100 mm de ladrillo com ún, una capa de
100 mm de fibra de vidrio (fornida con papel, 28 Kg/nr').
una capa de 10 mm de revoque de yeso (verm iculita)
y una capa de 6 mm de tabla de pino. Si el coeficiente
de convección interiores 10 W /m 2 • K y el coeficiente de
convección exterior es 70 W /m 2 • K, ¿cuál es la resis­
tencia total y el coeficiente global para la transferencia
de calor?
3.13 La pared compuesta de un horno consiste en tres m ate­
riales. dos de los cuales son de conductividad térm ica
conocida, kA = 20 W /m ■ K y kL| = 50 W /m • K, y de
espesor conocido, /.A = 0.30 m y L ^ = 0 15 m. El ter­
cer material. B. que se intercala entre los m ateriales A
y C. es de espesor conocido, L tt = 0 15 m, pero de con­
ductividad térmica, AB. desconocida.
137
en el esquem a. En un día frío de invierno los coeficien­
tes de transferencia de calor por convección son /?„ =
60 W /m 7 • K y //, = 30 W /m 2 • K. El area total de la su­
perficie de la pared es 350 m \
Capa de fibra de vidrio
(28 kg/m3), k¡,
Tablero de yeso, h
-Tablado de madera
laminada, ks
Jnerio i
Exterior
h„ Tx , =2()°C
10
mm
20
h — 100 mm»
t-b
mm
(a) Determ ine una expresión sim bólica para la resis­
tencia térm ica total de la pared, incluyendo los
efectos de convección interior y exterior para las
condiciones establecidas
(b) Determ ine la perdida total de calor a través de la
pared.
¿a
Lq
Lc
lili condiciones de operación de estado estable, las me
diciones revelan una tem peratura de la superficie exter­
na r< o = 20°C, una tem peratura de la superficie interna
7\ = 600°C. y una tem peratura del aire del horno
7 t. = 80Ü°C. Se sabe que el coehciente de convección
interior h es 25 W /m 2 • k . ¿Cuál es el valor de £B?
3.14 Las paredes exteriores de un edificio son un com puesto
que consiste en un tablero de yeso de 10 m m de espe­
sor. espuma de uretano de 50 mm de espesor y 10 mm
de madera blanda. En un típico día de invierno las tem ­
peraturas del aire exterior e interior son —15°C y 20°C,
respectivamente, con coeficientes de convección exter­
no e interno de 15 W /m 2 • K y 5 W /m 2 • k , respectiva­
mente.
(a) í/-uál es la carga de calentam iento para una sec
eión de I nv de pared?
(b) ¿Cuál es la carga de calentam iento si la pared com
puesta se reemplaza por una ventana de vidrio de 3
mm de espesor?
te)
Cual es la carga de calentam iento si la pared com ­
puesta se reem plaza con una ventana de doble
vidrio que consiste en dos placas de vidrio de 3 mm
de espesor separadas por un hueco de aire estan­
cado de 5 mm de espesor.
j ,\5 \jt\a casa tiene una pared com puesta de madera, aíslan
te de fibra de vidrio y tablero de yeso, com o se indica
(c) Si el viento soplara de manera violenta, elevando
hv a 300 W /m 2 ■ k , determ ine el porcentaje de
aum ento en la pérdida de calor
(d) ¿Cuál es la resistencia controladora que determ ina
la cantidad de flujo de calor a través de la pared?
3.16 Considere la pared com puesta del problem a 3.15 bajo
condiciones para las que el aire interior aun se caracte­
riza por Tx , = 20°C y h, = 30 W /m 2 • K. Sin em bar­
go, utilice las condiciones más realistas en las que el
aire exterior se caracteriza por una tem peratura que va­
ría con el día (tiem po), de la forma
0
7 ^ K ) = 273 + 5 sen
< t <
12
h
( i 1 ')
7V (J(K) = 273 + 1 1
“
( l
í
12 < t <; 24 h
')
con h0 = 60 W /m ? • K. Suponiendo condiciones casi
estables para las que es posible no tom ar en cuenta los
cam bios en el alm acenam iento de energía dentro de la
pared, estim e la perdida diaria de calor a través de esta
si el área total de la superficie es 200 n r
3.17 C onsidere una pared com puesta que incluye un tablado
de m adera dura de 8 mm de espesor, travesafios de
40 mm por 130 mm de m adera dura sobre centros
de 0.65 m con aislante de fibra de vidrio (rccubicrto con
papel. 28 kg/m ) y una hoja de cartón de yeso (vcrmiculita) de 12 nim.
DEPARTAMENTO
j
i
c . i a
..i
de
b ib l io t e c a
f e a f f ti
-
C apitulo 3 ■ Conducción unidimensunnd de estado estable
t
'* *«
130 mm
iV :
ll/A
'i *•**•' ■
•,
•
■-------------* r
V ‘r.; V : my * i .** * m. ¿ ----------------------
1_
Tablado de
madera
Travesano
- ’J-
40 mm —A
• **
-
Aislante
* )•
Cartón
de yeso
¿Cuál es la resistencia térm ica asociada con una pared
que tiene 2 5 m de altura por 6 5 ni de ancho (y 10 tra­
vesanos, cada uno de 2.5 m de altura) f
3.18 l as características térm icas de un pequeño refrigerador
dom estico se determ inan realizando dos experim entos
separados, cada uno con la puerta cerrada y el refrigerndoi colocado en aire am biente a T = 25°C l:n un ca­
so. un calentador eléctrico se suspende en la cavidad
del refrigerador, mientras el refrigerador esta desconec­
tado. Con el calentador disipando 20 W. se registra una
tem peratura de estado estable de 90°C dentro de la ca­
vidad Sin el calentador y con el refrigerador ahora en
operación, el segundo experim ento implica m antener
una tem peratura de la cavidad en estado estable de 5°C
para un intervalo de tiem po fijo y registrar la energía
eléctrica que se requiere para operar el refrigerador 1 n
este experim ento, para el que la operación de estado es­
table se mantiene en un periodo de 12 horas, la energía
eléctrica de entrada es 125.000 J Determine el coeti
cicntc de rendim iento del refrigerador (COP).
3.19 Fin el diseño de edificios, el requerim iento de conserva­
ción de la energía dicta que el area de la superficie ex­
terior. A s. se m inim ice. Este requerim iento implica que.
para un espacio de piso deseado, hay valores óptim os
asociados con el num ero de pisos y con las dim ensio­
nes horizontales del edificio Considere un diseño para
el que se establecen el espacio de piso. A j. > la distan­
cia vertical entre pisos. Hf .
(a) Si el edificio tiene una sección transversal cuadra
da de ancho VV en un lado, obtenga una expresión
para el valor de IV que minimice la perdida de calor
a los alrededores. La perdida de calor se supone
que ocurre de las cuatro paredes verticales y de un
techo plano Exprese sus resultados en térm inos de
Af y H¡.
(b) Si Aj = 32.768 m- y H t = 4 m. ¿para que valores
de W y i\f (num ero de pisos) se m inim iza la pérdi
da de calor? Si el coeficiente global de transferen­
cia de calor prom edio es U = I W /n r • K y la
diferencia entre las tem peraturas del aire amblen
tal interior y exterior es 25°C . ¿cuál es la perdida
de calor correspondiente? ¿Cuál es el porcentaje de
reducción en perdida de calor com parado con 1111
edificio de N, = 2 ?
R e sisten cia té rm ic a de c o n ta c to
3.20 Una pared com puesta separa gases de combustión a
2600°C de un líquido refrigerante a 100°C, con coefi­
cientes de Convección del lado de gas y del liquido de
50 y 1(X)0 W /m 2 • k . La pared se com pone de una ca­
pa de óxido de berilio de 10 mm de espesor en el lado
del gas y una placa de acero inoxidable (AISI 304)de
20 mm de grosor en el lado del líquido. La resistencia
de contacto entre el oxido y el acero es 0 05 m ■K W
<Cual es la perdida de calor por área unitaria de supe?
ficie del com puesto? Dibu e la distribución de tempe­
raturas del gas al liquido
3.21
Dos placas de acero inoxidable de 10 mm de espesor 1
están sujetas a una presión de contacto de 1 bar b p
condiciones de vacío para las que hay lina caída gene
ral de tem peratura de I00°C a lo largo de la> pUc
¿Cual es la caída de tem peratura a través del plana 1
contacto?
3.22 Considere una pared plana com puesta integrada por
materiales de conductividades térmicas Aa = 0.1 W m
k y kB = 0 04 W /m • k y espesores /.,x = 10 mm
= 20 mm Se sabe que la resistencia de eontau
la interfaz entre los dos materiales es 0 30 m2 • K V\
material A está al lado de un fluido a 200°C para el
h = 10 W /m ■ K. y el material B a un Huido a 40CC
para el que h = 20 W /m • k
(a) 6Cuál es la transferencia de calor a través de
pared que tiene 2 m de altura por 2 5 m de and
(b) Dibuje la distribución de temperaturas
3.23 El rendim iento de los m otores de turb ñas di m
mejora aum entando la tolerancia de las hojas de las
binas a los gases calientes que salen del combusior
m étodo para lograr altas tem peraturas de operat ón 1
plica la aplicación de un revestimiento de barrera
m u a (TBC) para la superficie extema de
hoja, mientras pasa aire de enfriamiento a través de la
Por lo común, la hoja está fabricada de una supe
cion de alta tem peratura, com o In co ad U =*= 25 \\
k ) . mientras una cerám ica, com o eirconia (k * i
W m • k ). se usa com o revestimiento de barra ti
TBC.
■ ProUU-mcis
Considere condiciones para la^ que gases calientes a
7
= 1700 k y uire de enfriam iento a 7* , = 4(K) k
proporcionan coeficientes de convección de la superfi­
cie externa e interna de h„ = 1000 VV/m2 • K y h, = 500
\\ in: • K. respectivamente. Si un TRC de circonio de
0.5 min de espesor se une a la pared de una hoja de inconcl de 5 mm de espesor por m edio de un agente de
unión metálico, que proporciona una resistencia térmica
entre las interfaces de R ", = 10 4 m 2 • KAV. ¿es posi­
ble mantener el Inconel a una tem peratura que este por
debajo de su valor m áxim o perm isible de 1250 K? De
je de lado los efectos de radiación, y aproxim e la hoja
de la turbina com o una pared plana, blabore una gráfi­
ca de la distribución de tem peraturas con y sin el TBC.
,1 xiste algún límite al espesor del TBC?
1.24 t n chip de silicio se encapsula de modo que. bajo con­
diciones de estado estable, la totalidad de la potencia
que se disipa se transfiere por convección a una co m en ­
te de fluido para el que h = 1000 W /m 2 • K y /'«. =
25°C. hl chip se separa del fluido m ediante una cu­
bierta de placa de alum inio de 2 mm de espesor, y la
resistencia de contacto de la in te rla / clup alum inio es
0.5 X 10 4 rrr • K/W.
139
(a) Dibuje el circuito térm ico equivalente que corres­
ponde a las condiciones de estado estable. En forma
de variable etiquete las resistencias, temperaturas y
flujos de calor apropiados.
(b) En condiciones de estado estable para las que la di­
sipación de calor del chip es cf’ — 30,000 W/m ,
¿cuál es la tem peratura del chip?
(c)| El flujo de calor permisible máximo, cf'. se determ i­
na mediante la restricción de que la temperatura del
chip no debe exceder 85°C. Determine q"l/n para
las condiciones precedentes. Si se usa aire en lugar
del liquido dieléctrico, el coeficiente de convección
se reduce en aproxim adam ente un orden de magni­
tud ¿Cuál es el valor de q ' m para h„ = 100 W /m 2 •
K? Con enfriam iento de aire, ¿es posible obtener
m ejoras significativas con una tarjeta de circuitos
de óxido de alum inio y o m ediante lina pasta con­
ductora en la interfaz chip/tarjeta para la que
7 " t = 10- 5m 2 • K/W?
A n á lis is d e c o n d u c c ió n a l t e r n a t i v o
Fluido
3.26 El diagram a m uestra una sección cónica construida de
l^ h
Cubierta de
aluminio
Si el área de la superficie del chip es 11)0 m m 2 y la tem ­
peratura máxima perm isible es 85°C, ¿cuál es la disiación de potencia m axuna perm isible en el chip?
3.25 Aproximadamente 106 com ponentes eléctricos discre­
tos se colocan en un solo circuito integrado (chip), con
disipación de calor eléctrico tan alta com o 30.000
W/nr. El chip, que es muy delgado, se expone a un li­
quido dieléctrico en la superficie externa, con h0 =
UXX) W/m 2 • k y 1-* 0 — 20°C. y se une a una tarjeta
de circuitos en la superficie interior La resistencia tér­
mica de contacto entre el chip y la tarjeta es 10 _ 4m 2 •
KAV. y el espesor y conductividad térm ica de la tarjeta
son l.h = 5 mm y kh = 1 W /m • k . respectivam ente. l*a
otra superficie de la tarjeta se expone al aire del am ­
biente para el que h, = 40 W /m 2 ■ K y Tx , = 20°C.
Fluido
refrigerante
U.J»,.
Aire
Tc
Resistencia térmica
— de contacto. R" t.
Tarjeta. kh
C h ip
alum inio puro. E.s de sección transversal circular con
un diám etro D = a x x donde a = 0.5 m ,/2. El extrem o
pequeño se locali/a en v, = 25 mm y el grande en x2 =
125 mm. Las tem peraturas de los extrem os son T { =
600 K y 7 \ = 4(X) K, m ientras que la superficie lateral
está bien aislada.
-H
*
2*
(a) Derive una expresión para la distribución de tem ­
peraturas T (\) en forma simbólica, suponiendo con­
diciones unidim ensionales Dibuje la distribución
de temperaturas.
(b) Calcule la transferencia de calor q K.
3.27 Ln cono truncado sólido tiene sección transversal circu­
lar. y su diám etro está relacionado con la coordenada
axial mediante una expresión de la forma D = ax*'2.
donde a = 1.0 m ~ 1/2.
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
Universidad Simón Boiiv.
r>f'e
C apítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
Suponiendo que la conductividad térm ica tiene una de
pendencia lineal de la tem peratura, k = k (1 + aT).
donde nr es una constante, desarrolle una relación para
evaluar o en térm inos de A
7 , y 7 2.
3.31
Los Licios están bien aislados, m ientras la superficie su
perior del cono en v, se m antiene a 7 ,. y la superficie
inferior en
se conserva a 7 2.
P a re d c ilin d ric a
3.32 Una tubería de vapor de 0 1 2 m de diám etro extenor
aísla con una capa de silicato de calcio.
(a) O b le n la una expresión para la distribución de tem
peraturas 7 ( 0
(a) Si el aislante tiene 20 mm de espesor y las Miperti
cíes interna y externa e mantienen a T , = 800 K
y 7, ^ = 490 k . respectivamente. 6cual es la per ii
de calor por unidad de longitud (</') de la tubería1
(b) ¿Cual es la transferencia de calor a través del cono
si se construye de alum inio puro con
= 0 075 m,
T x = 100 C.
= 0.225 m y 7% = 20°C?
(b) Deseam os explorar el efecto del espesor de aísla
te sobre la perdida de calor c¡ y la temperatura i
la superficie externa I -», con la temperatura deI
'-upcrliue interna fi ja a / , = 800 k La super
extem a se expone a un flujo de aire ( 7 , = 25 T
que m antiene un coeficiente de convección deh
25 W m • K y a grandes alrededore para les i
7„,r = 7 * = 25 °C. La emisividad de la st
L28 De la figura 2.5 es evidente que. en un am plio rango de
tem peraturas, la dependencia con respecto a la tem pe
ratura de la conductividad térm ica de m uchos sólidos
se aproxim a m ediante una expresión lineal de la forma
k = k(t + aT. donde k es una constante positiva y a es
un coeficiente que puede ser positivo o negativo O b­
tenga una expresión para el flujo de calor a través de
una pared plana cuyas superficies interna y externa se
m antienen a 7 0 y Tx. respectivam ente Dibuje las formas de la distribución de tem peraturas correspondien­
tes a a > 0 , a = 0 y a < 0 .
3.29 Considere la pared de un tubo de radios interno y exter­
no r y rt), respectivamente. La conductividad térm ica del
cilindro depende de la tem peratura y se representa me
diante una expresión de la form a k =
I + aT), donde
ku y a son constantes. Obtenga una expresión para la
transferencia de calor por unidad de longitud del tubo
¿Cual es la resistencia térmica de la pared del tubo?
3.30 Ciertas m ediciones muestran que la conducción de es
tado estable a través de una pared plana sin generación
de calor produjeron una distribución de tem peraturas
convexa (al que la tem peratura del punto m edio fue
A / m as alta que la esperada para una distribución li­
neal de temperaturas.
Use el m étodo de análisis de conducción alternativa
para derivar la expresión de la resistencia térmica de un
cilindro hueco de conductividad térm ica k. radios inter­
no y externo r, y r(„ respectivam ente, y longitud L.
cic de silicato de calcio es aproximadamente 0 '
Calcule y dibuje la distribución de temperaturas!
el aislante com o función de la coordenada
adim ensional (r — r,)/(r 2 — r,), donde r, = 0.06;
y r2 es una variable (0 06 < r2 ^ 0 20 m). Calcul
dibuje la perdida de calor com o función del cspeJ
sor del aislante para 0 ^ (r 2 — r ,) ^ 0.14 m
3.33 Considere el calentador de agua que se describe
problem a 1.29 Deseam os ahora determinar la enci]
necesaria para com pensar las pérdidas de calor
ocurren mientras el agua esta alm acenada a la u.mc
tura establecida de 55 C El tanque cilindrico de
ccnam icnto (con extrem os planos) tiene una capacii
de 100 galones, y se usa u re taño en espuma para ai
las paredes lateral y de los extrem os del aire amhc
a una tem peratura prom edio anual de 20°C La
leticia a la transferencia de calor esta domiradai
conducción en el aislante y por la convección libre(
el aire, para el que h ~ 2 W m • k . Si se usa i
miento por resistencia eléctrica para compensar I
didas y el costo de la potencia eléctrica es SO.OHI
especifique las dim ensiones del tanque y del ais
para las que los costos anuales asoc iados con laspé
das de calor son menores de $50.
3.34
Un calentador eléctrico delgado envuelve la sup
externa de un tubo cilindrico largo cuya superficie i
na se mantiene a una tem peratura de 5°C La
tubo tiene radios interno y externo de 25 y 75 mm.1
Problemas
pcctivamente. y una conductividad térm ica de 10 W Tn ■
k 1 a resistencia térmica de contacto entre el calentador
v ln superficie externa del tubo (por unidad de longitud
de tubo) es /?," = 0.01 m • k W La superficie externa
del calentador se expone a un Huido con T = —I0°C
y un coeficiente de convección h = 100 W m 2 • k De
termine la potencia de calentam iento por unidad de ruho que se requiere para m antener el calentador a T =
25°C
J.35 I Fn el problema anterior, la potencia eléctrica que se re­
quiere para m antener el calentador a T„ = 25°C de­
pende de la conductividad térm ica del material de la
pared k. la resistencia térm ica de contacto K , t y el coe­
ficiente de convección h. Calcule y dibuje por separado
el efecto de cambios en k ( 1 < k < 200 W /m • k ). R\ t
(M • K ; , < 0 1 m • k /W ) y h ( 1 0
/, s 1000 W /n r •
k i sobre el requerimiento de potencia total del calenta­
dor. asi como la transferencia de calor a la superficie
interna del tubo y al fluido.
336 l retalio (k = 0.026 W 111 • K) se usa para aislar la pa­
red lateral > las partes superior e inferior de un tanque
cilindrico de agua caliente. El aislante tiene 40 mm de
espesor y se intercala entre lám inas de metal de pared
delgada. La altura y el diám etro interior del tanque son
2 111 y 0.80 m. respectivam ente, y el tanque esta ex­
puesto al aire del ambiente para el que 7*x = I0°C y
h = 10 W n r • K. Si el agua caliente m antiene la su­
perficie interna a 55 C y el costo de la energía ascien
de a SO 15/kWh, ¿cual es el costo diario para m antener
el agua almacenada ?
337
(Jn calentador eléctrico delgado se inserta entre una
varilla circular larga y un tubo concéntrico con radio-,
interior y exterior de 20 y 40 mm La varilla A tiene
una conductividad térm ica de JtA = 0.15 W in • k .
mientras el tubo B tiene una conductiv idad térm ica de
kn - 1.5 W m * k . la superficie externa esta sujeta a
convección con un Muido de tem peratura T* - —15CC
v el coeficiente de transferencia de calor de 50 W /n r ■
k La resistencia térmica J e contacto entre las superfi­
cies del cilindro y el calentador es insignificante.
cíenle de convección entre la superficie y el fluido es
20 W /m • k Lnc uc ñire las tem peraturas en la m terüi/
entre los dos cilindros y la superficie externa.
3.39 Un recubrim iento especial, que se aplica a la superficie
interior de un tubo de plástico, se cura colocando una
fuente de calor por radiación cilindrica dentro del lubo.
El espac io entre el tubo y la fuente se vacia, y la fuente
entrega un Mujo de calor uniforme q". que se absorbe
en la superficie interna del tubo La superficie externa
del lubo se mantiene a una tem peratura uniforme. Ts 2.
r
Fuente de radiación
Tubo de
plástico, k
Espacio - 1
al vacio
Desarrolle una expresión para la distribución de tem pe­
raturas T(r) en la pared del tubo en términos de q . T t 2.
r ,. r 2 y k. Si los radios interior y exterior del tubo son
/, = 25 mm y r 2 = 38 mm. Ccuál es la potencia que se re­
quiere por unidad de longitud de la fuente de radiación
para m antener la superficie interna a T , = 2 5 °C > La
conductividad de la pared del tubo es k = 10 W /m • K.
3.40 Considere un cilindro hueco largo de conductividad
térm ica k con radios interior y exterior r¡ y r . respccti
vamente. La tem peratura de la superficie interna se
mantiene a 7, m ientras que la superficie externa experi­
menta un flujo de calor uniforme q".
ta) Determine la potencia eléctrica por unidad de Ion
gitud de los cilindros (W /m) que se requieren para
mantener la superficie externa del cilindro B a 5 °C.
<b) Cual es la temperatura en el centro del cilindro A?
3.38 Una larga varilla cilindrica de 100 mm de radio está he­
cha de un material de reacción nuclear (k = 0.5 W /m •
K) que genera 24.000 W m de manera uniforme a lo
largo de su volumen 1 sta varilla está encapsuladu denlh> de un tubo que tiene 1111 radio exierno de 200 mm y
una conductividad térmica de 4 VV 111 • k La superficie
externa esta rodeada por un Muido a 100 C. y el coeli
(a) Com enzando con la forma apropiada de la ecua­
ción de difusión de calor, derive una expresión pa­
ra la distribución de tem peratura. /'(; ). en términos
de
L T, y ./"
d epa rta m en to
de
I lnlvM.ratst*H S .irr.í-1 L.I ti
.JT
b ib l io t e c a
S«db
C apítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
(b) Dibuje la distribución de tem peraturas en coorde­
nadas T-r.
Un líquido que se bombea a través del tubo está a una
temperatura T x ¡ y proporciona un coeficiente de con­
vección de //¡en la superficie interna del compuesto. La
superficie externa se expone al anc ambiente, el cual
esta a Ta. n y proporciona un coeficiente de convección
de h(r En condiciones de estado estable, el calentador
disipa un flu jo de calor uniforme q"t.
(c) Escriba una expresión para la transferencia de calor
por unidad de longitud del cilindro en la superficie
interna, q'„{r,), en términos de q ” y los parámetros
de la geometría del cilindro.
41
I-a sección del evaporador de una unidad de refrigera­
ción consiste en tubos de pared delgada de 10 mm
de diámetro a través de los que pasa el fluido refrige­
rante a una tem peratura de —18°C Se enfna aire con­
forme fluye sobre los tubos, manteniendo un coeficiente
de convección de superficie de 100 W /m 2 • K, y en segui­
da se dirige a la sección del refrigerador.
(a) Dibuje el circuito térm ico equivalente del sistema
y exprese todas las resistencias en términos de va­
riables relevantes.
(b) Obtenga una expresión que sirva para determinar
la temperatura del calentador, Th.
(c) Obtenga una expresión para la razón de los fluj<4
de calor a los fluidos externo e interno, q'Jq\. ¿Co­
mo ajustar las variables del problema para minimi
zar esta razón?
(a) Para las condiciones precedentes y una tem peratu­
ra del aire de —3°C, ¿cuál es la rapidez a la que
se extrae calor del aire por unidad de longitud del
tubo?
(b) Si la unidad de descongelación funciona mal. len­
tamente se acum ulará escarcha sobre la superficie
externa del tubo. Evalúe el efecto de la formación
de escarcha sobre la capacidad de enfriam iento de
un tubo para espesores de la capa de escarcha en el
rango 0 < ó £ 4 mm Se supone que la escarcha
tiene una conductividad térmica de 0.4 W m • K.
(c) Se desconecta el refrigerador después de que falla
la unidad de dcscongelam iento y de que se ha for­
m ado una capa de escarcha de 2 mm de grosor. Si
los tubos están en aire ambiente para el que T ^ =
20°C y una convección natural mantiene un coeh
cíente de convección de 2 W /m 2 • K. ¿cuánto tiem ­
po tardara la escarcha en derretirse? Se supone que
la escarcha tiene una densidad de 700 kg/m 3 y una
entalpia de fusión de 334 kJ/kg
42
3.43
Un alambre eléctrico que tiene un radio de r¡ = 5 mm vI
una resistencia por unidad de longitud de 10~4 ÍVm se
cubre con un aislante plástico de conducto idad tcrmic
k = 0.20 W /m • K El aislante se expone al aire del an
biente para el que 7"» = 300 K y /? = 10 W/m 2 • K. 5
el aislante tiene una temperatura máxima permisible!
450 K. ¿cuál es la corriente maxima posible que se pue
de hacer pasar por el alambre?
3 .4 4
Una corriente eléctrica de 700 A fluye a través de un ca­
ble de acero inoxidable que tiene un diámetro de 5 mu!
y una resistencia eléctrica de 6 X 10 4 íl/m (por metic
de longitud de cable). El cable esta en un med o que tí:
ne una temperatura de 30 °C. y el coeficiente total aso­
ciado con la convección y la radiación entre el cable ]
el medio es aproximadamente 25 W /m- • K
(a) Si el cable está expuesto, ¿cuál es la temperatura ¡
de la superficie?
Una pared cilindrica está compuesta por dos materiales
de conductividad térmica kA y A'H, separados por un ca­
lentador de resistencia eléctrica muy delgado para el
cual las resistencias térmicas de contacto de las interfases son insignificantes.
(b) Si se aplica un recubrimiento muy delgado de aiv
lante eléctrico al cable, con una resistencia de con
tacto de 0.02 m 2 • K/W, ¿cuáles son las temperatura!j
superficiales del aislante y del cable?
Calentador de resistencia
(c) Hay cierta preocupación sobre la capacidad
aislante para resistir temperaturas elevadas. Ca
espesor de este aislante (k = 0.5 W /m • K) dará:
valor más bajo de la temperatura máxima del as­
íante? ¿Cuál es el valor de la temperatura máxii
cuando se usa dicho espesor?
3.45
Aire
ambiente
'7*. tí?
Un tubo de acero de pared delgada de 0.20 m de dián
tro se utiliza para transportar vapor saturado a una|
sión de 20 bar en un cuarto para el que la tempera
del aire es 25°C y el coeficiente de transferencia de i
lor en la superficie externa del tubo es 20 W/m2 • K
■ Problemas
(a) ¿Cuál es la perdida de calor por unidad de longitud
del tubo expuesto (sin aislante)? Estime la perdida de
calor por unidad de longitud si se agrega una capa
de 50 mm de aislante (óxido de magnesio. 85%).
Suponga que el acero y el oxido de m agnesio tiene
cada uno una emisividad de 0 .8 . y no tome
en cuenta la resistencia de convección del lado
del vapor.
(b) Se sabe que el costo asociado con la generación
del \ap o r y la instalación del aislante son $4/10g J
y S10()/m de longitud de tubo, respectivamente. Si
la línea de vapor operara 7500 h/año, ¿cuántos años
se necesitan para recuperar la inversión inicial en
aislante?
3.46 A través de un tubo de acero (A1S1 1010), de 60 mm de
diámetro interior y 75 mm de diám etro exterior, fluye
vapor a una temperatura de 250°C. El coeficiente de
convección entre el vapor y la superficie interna del tu­
bo es 500 W /m 2 • K. mientras que entre la superficie
extema del tubo y los alrededores es 25 W /n r • K. La
emisividad del tubo es 0 .8 . y la tem peratura del aire y
los alrededores es 20°C. ¿Cuál es la pérdida de calor
por unidad de longitud de tubo?
3 .47 1 Deseamos determinar el
efecto de agregar una capa ais­
lante de óxido de m agnesio al tubo de vapor del pro­
blema anterior. Suponga que el coeficiente de
convección en la superficie externa del aislante perm a­
nece a 25 W/m 2 • K, y que la emisividad es e = 0.8.
Determine y trace la perdida de calor por unidad de
longitud de tubo y la tem peratura de la superficie exter­
na como función del espesor del aislante. Si el costo de
generación del vapor es $4/10° J y la línea de vapor
opera 7000 h/año. recomiende un espesor de aislante y
determine el ahorro anual correspondiente en costos de
energía. Elabore una gráfica de la distribución de tem ­
peraturas para el espesor recomendado
3.48 Ln tubo de pared delgada de 100 mm de diám etro sin
aislar se usa para transportar agua a equipo que opera
en el exterior y u tili/a el agua como refrigerante, hn
condiciones de invierno particularm ente adversas la
pared del tubo alcan/a una tem peratura de - 15°C y se
forma una capa cilindrica de hielo sobre la superficie
interna de la pared. Si la tem peratura media del agua es
3 °C y se mantiene un coeficiente de convección de
2000 W/m 2 • K en la superficie interna del hielo, que
está a 0 °C, ¿cuál es el espesor de la capa de hielo?
3.49 F1 vapor que
fluye a través de un tubo largo de pared
delgada mantiene la pared del tubo a una temperatura
uniforme de 500 K. El tubo está cubierto con una m an­
ta aislante compuesta con dos materiales diferentes,
A v B.
113
50 mm
r2 =
100
mm
kA = 2 W/m • K
= 0.25 W/m K
f, i =
Se supone que la interfaz entre los dos materiales tiene
una resistencia de contacto infinita, y que toda la super­
ficie externa está expuesta al aire, para el cual T« = 300
K y /; = 25 W /m 2 • K.
(a) Dibuje el circuito térmico del sistema. Usando Ion
sím bolos precedentes, marque todos los nodos y
resistencias pertinentes.
(b) Para las condiciones que se establecen, ¿cuál es la
pérdida total de calor del tubo? ¿Cuáles son las
temperaturas de la superficie externa Ts 2{A) y T$. 2(b>?
3.50 Un recubrimiento de baquelita se usará con una varilla
conductora de 10 mm de diámetro, cuya superficie se
mantiene a 200°C mediante el paso de una corriente
eléctrica. La varilla está en un fluido a 25 °C, y el coefi­
ciente de convección es 140 W/m 2 • K. ¿Cuál es el ra­
dio crítico asociado con el recubrimiento? ¿Cuál es la
transferencia de calor por unidad de longitud para la va­
rilla desnuda y para la varilla con un recubrimiento de
baquelita que corresponde al radio crítico? ¿Cuánta baquclita debe agregarse para reducir en 25% la transfe­
rencia de calor asociada con la varilla desnuda?
Pared esférica
3.51 Un tanque de alm acenam iento consiste en una sección
cilindrica que tiene una longitud y diám etro interior de
L = 2 m y D, = 1 m, respectivamente, y dos secciones
extrem as hemisféricas. El tanque se construye de vi­
drio (Pyrcx) de 20 mm de espesor y se expone al aire
del ambiente para el que la tem peratura es 300 K y el
coeficiente de convección es 10 W /m 2 • K. F.l tanque se
utiliza para alm acenar aceite caliente, que mantiene la
superficie interior a una temperatura de 400 K. Deter­
mine la potencia eléctrica que debe suministrarse al
calentador sumergido en el aceite para mantener las
condiciones establecidas. Deje de lado los efectos de
radiación y suponga que el Pyrex tiene una conductivi­
dad térmica de 1.4 W/m • K.
3.52 Considere el sistema de almacenamiento de oxígeno li­
quido y las condiciones ambientales del laboratorio del
problema 1.35. Para reducir la pérdida de oxígeno de­
bida a la vaporización debe aplicarse una capa de ais­
lante a la superficie externa el contenedor. Considere el
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
144
C apítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
uso de un aislante de hoja de alum inio laminado/vidrio
mate, para el que la conductividad térmica y la emisividad superficial son k = 0.00016 W/m • K y e — 0.20,
respectivamente.
(a) Si el contenedor se cubre con una capa de aislante
de 10 mm de espesor, ¿cuál es el porcentaje de re­
ducción en la perdida de oxígeno en relación con
el contenedor sin recubrimiento?
(b) Calcule y trace la masa de evaporación (kg/s) co­
mo función del espesor del aislante t para 0 ^ t ^
50 mm.
3.53 En el ejemplo 3.4, se derivó una expresión para el ra­
dio crítico de aislamiento de un tubo cilindrico aislado.
Derive la expresión apropiada para una esfera aislada.
3.54 Una esfera hueca de aluminio, con un calentador eléc­
trico en el centro, se utiliza en pruebas para determinar
la conductividad térmica de materiales aislantes. Los
radios interior y exterior de la esfera son 0.15 y 0.18 m.
respectivamente, y la prueba se hace en condiciones de
estado estable, en las que la superficie interna del alu­
minio se mantiene a 250°C En una prueba particular,
una capa esférica de aislante se funde sobre la superfi­
cie externa de la esfera y alcanza un espesor de 0 .12 m.
El sistema está en un cuarto para el que la temperatura
del aire es 20°C, y el coeficiente de convección en la
superficie externa del aislante es 30 W /m 2 • K Si se
disipan 80 W por el calentador bajo condiciones de es­
tado estable, ¿cuál es la conductividad térmica del ais­
lante?
3.55 Un tanque esférico para alm acenar oxígeno líquido
en un transbordador espacial se construye de acero
inoxidable de 0.80 m de diám etro exterior y una pared
de 5 mm de espesor. El punto de ebullición y la ental­
pia de fusión del oxígeno liquido son 90 K y 213 kJ/kg,
respectivamente El tanque se instalará en un com parti­
miento grande cuya tem peratura se mantendrá a 240 K.
Diseñe un sistema de aislam wnto térmico que manten­
ga las perdidas de oxígeno debidas a la ebullición por
debajo de 1 kg/día.
3.56 Una sonda esférica crioquinirgica se incrusta en tejido
enferm o con el propósito de congelarlo y, por tanto,
destruirlo. Considere una sonda de 3 mm de diámetro
cuya superficie se mantiene a —30°C cuando se incrus­
ta en tejido que está a 37°C. Una capa esférica de tejido
congelado se forma alrededor de la sombra, con una tem­
peratura de ()°C en la fase frontal (interfaz) entre el
tejido normal y el congelado. Si la conductividad
térmica del tejido congelado es aproximadamente
1.5 W/m • K y la transferencia de calor en la fase
frontal se caracteriza por un coeficiente de convección
efectivo de 50 W /m 2 • K, ¿cuál es el espesor de la capa
del tejido congelado?
3.57 Una capa esférica compuesta de radio interior r, =
0.25 m se construye de plomo de radio exterior r2 = 0.30 m
y acero inoxidable A1SI 302 de radio exterior r 3 =
0.31 m. La cavidad se llena de desechos radioactivos
que generan calor a una razón de q = 5 X 105 W/m3.
Se propone sumergir el contenedor en aguas oceánicas
que están a una tem peratura de Tx = 10°C y que pro­
porcionan un coeficiente de convección uniforme h =
500 W/m 1 ■ K en la superficie externa del contenedor.
¿Hay algún problema asociado con esta propuesta?
3.58 C om o una alternativa para alm acenar materiales ra
dioactivos en aguas oceánicas, se propone que el siste­
ma del problema 3.57 se coloque en un tanque grande
en el cual se controle el flujo de agua y. por consiguien­
te, el coeficiente de convección //. Calcule y trace la
temperatura máxima del plomo, 7 (r,), como función de
h para 100 ^ // ^ 1000 W/m • K. Si la temperatura 1
del plomo no deberá exceder 500 K. ¿cual es el valor
mínimo permisible de //? Para mejorar la seguridad drfi
sistema, es deseable aumentar el espesor de la capa ét I
acero inoxidable. Para // = 300. 500 y 1000 W'mn2 • K,..1
calcule y trace la temperatura máxima del plomo con»
función del espesor de la capa para r3 2 : 0.30 m. ¿Cuw
les son los valores correspondientes del espesor m¡ni
mo permisible?
3.59 La energía que se transfiere de la cámara anterior del
ojo a través de la córnea varía considerablemente de­
pendiendo del uso de un lente de contacto. Trate al ñu
como un sistema esférico y suponga que el sistema*
encuentra en estado estable. El coeficiente de conveccion ha se mantiene inalterable con y sin el lente 4
contacto en su sitio. La córnea y el lente cubren un t«-j
ció del área de la superficie esférica.
Los valores de los parámetros que representan esta ■
tuación son los siguientes:
rj =
/-3
10.2
mm
= 16.5 mm
T x ¡ = 37°C
r2 — 12.7 mm
7* „ = 21°cl
1
■ Problemas
A, = 0.35 W/m • K
f, =
12
W /m 2 • K
O btenga una expresión general para la distribución de
tem peraturas del sustrato y evalúe la tem peratura su­
perficial de la fuente de calor para q = 4 W.
k 2 = 0 80 W /m • K
h0 =
6
W /n r • K
ÍJl Conslru)a los circuitos térm icos, m arcando todos
los potenciales y flujos para los sistemas excluyen
do c incluyendo los lentes de contacto. Escriba los
elementos de resistencia en térm inos de parám etros
apropiados
ib) IX’termine la perdida de calor de la cám ara ante­
rior con los lentes de contacto y sin ellov
c ' Discuta la implicación de los resultados
3.60 La superticic externa de una estera hueca de radio r2 se
sujeta a un flujo de calor uniforme q 2. La superficie in­
terna en r se conserva a una tem peratura constante T, t.
¡a) Desarrolle una expresión para la distribución de
temperaturas T(r) en la pared de la esfera en ter
minos de r/'.
t. r x. / _, y la conductividad tém uca
del material de la pared k.
(b) Si los radios interno y externo son r, = 50 mm y
r , = KX) mm. ¿que flujo de calor q " se requiere
para mantener la superficie externa a T 2 — 50 °C,
mientras que la superlicie interna está a 7 , , =
20°C? I a conductividad térm ica del material de la
pared es k — 10 W /m • K.
3.61 Una capa esférica de radios interior y exterior r, y
respectivamente, se llena con un material generador de
calor que proporciona una rapidez de generación volu­
métrica umtormc (W m3) de c¡ La superficie externa de
Id capa se expone a un Huido que tiene una tem peratura
/ > un coeficiente de convección ¡i. O btenga una ex­
presión para la distribución de tem peraturas de estado
otable T(r) en la capa, y exprese los resultados en ter
minos de r . rn., q, h. 7 X. y la conductividad térm ica k
del material de la capa.
3.63 Una m odalidad para destruir tejido m aligno implica in­
crustar una pequeña fuente de calor esférica de radio r
dentro del tejido y m antener tem peraturas locales por
arriba de un valor critico Tc por un periodo extenso. Su­
ponga que el tejido que se extirpa de la fuente permane­
ce a la tem peratura normal del cuerpo (Tb = 37°C).
Obtenga una expresión general para la distribución ra­
dial de tem peraturas en el tejido bajo condiciones de
estado estable en las que se disipa calor a una velocidad
q Si ra = 0 5 mm. ¿qué transferencia de calor debe su­
ministrarse para m antener una tem peratura del tejido de
T > Tt = 42°C en el dom inio 0.5 < r < 5 mm? La
conductividad térm ica del tejido es aproximadamente
0 5 W /m • K.
C onducción con generación interna de calor
3.64 Considere co ra/as cilindricas y esféricas con superfi­
cies interior y exterior en r , y r2 que se mantienen a
tem peraturas uniform es T t y 7, 2. respectivamente. Si
hay generación uniforme de calor dentro de las cora­
zas, obtenga expresiones para las distribuciones radia­
les unidim ensionales de la tem peratura, flujo de calor v
transferencia de calor. Com pare sus resultados con los
que se resum en en el apéndice C
3.65 La distribución de tem peraturas de estado estable en
una pared plana com puesta con tres diferentes materia­
les, cada uno de conductividad térm ica constante, se
m uestra a continuación
162 l n transistor, que se aproxima com o una fuente de ca­
lor hemisférica de radio r = 0 1 mm, se empotra en un
sustrato de silicio grande (k = 125 W m • k ) y disipa
c.ilor a una velocidad q Todas las fronteras del silicio se
mantienen a una temperatura ambiente de 7* = 27°C.
excepto para una superficie plana que esta bien aislada
(a) Com ente las m agnitudes relativas de q 2 y q'í y de
(h y 41
(b) Haga com entarios sobre las m agnitudes relativas
de k^ y *B y ile kB y kc .
(c) Dibuje el Mujo de calor com o función de i
Sustrato
de sil ció
-------------------------------------/ x
3.66
Una pared plana de espesor 0 1 m y conductividad tér­
mica 25 W /m • K, con una generación de calor volu­
m étrica uniform e de 0.3 M W /m \ >e aísla en uno de sus
lados mientras que el otro lado se expone a un fluido a
92°C El coeficiente de transferencia de calor por con­
vección entre la pared y el fluido es 500 W /m 2 • K De­
term ine la tem peratura máxima en la pared
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
U t t i V u l 8 l ú k í l O.* •
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C apítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
146
3.67 Considere la conducción unidunensional en una pared
plana compuesta. Las superficies externas se exponen a
un fluido a 25°C y un coeficiente de transferencia de ca­
lor de 1000 W /m 2 • K. La pared intermedia B experi­
menta una generación uniforme de calor qB. mientras
que no hay generación en las paredes A y C. Las tempe­
raturas en las mterfases son 7, = 261 °C y 7 \ = 21 1 °C
7*2
T Ji
T ccJi
a a
a
<h
k - /-AAa = 25 W/m • K
kr = 50 W/m • K
2LB
-1
Lc
k ~
La = 30 mm
La = 30 mm
Lq = 20 mm
(a) Suponiendo una resistencia de contacto insignifi­
cante en las interfases, determine la generación vo­
lumétrica de calor c/ti y la conductividad térmica kB
(b) Elabore una gráfica de la distribución de tem pera­
turas mostrando sus características importantes.
(c) Considere condiciones que correspondan a una p é r­
dida de refrigerante en la superficie expuesta de
material A (/? = 0). Determ ine 7, y 7 2 y elabore
una gráfica de la distribución de temperaturas a tra­
vés del sistema.
3.68 Considere la pared plana compuesta del problem a 3.67
sujeta a las mismas condiciones de convección La pa­
red intermedia tiene una conductividad térmica de
kB = 15 W/m • K y experimenta una generación de calor
uniforme de qB = 4 X I0 6 W /m \ mientras que las pa­
redes externas no tienen generación
(a) Deje de lado las resistencias de contacto en las in­
terfaces. y determine 7, y 7 2, así com o también los
fiujos de calor a través de las paredes A y C
(b) Considere condiciones para las que existen resisten­
cias de contacto de 0 0025 y 0 001 m 2 • K/W en las
interfases A/B y B/C, respectivamente. Determine
7| y 72, y dibuje la distribución de temperaturas.
3.69 Cuando pasa una corriente eléctrica /. una barra colecto
ra de cobre de sección transversal rectangular (6 mm X
150 mm) experim enta una generación uniforme de ca
lor a una razón c¡ (W/m ) dada por q — ai , donde a =
0 015 W/rrr' • A2. Si la barra está en aire ambiental con
h = 5 W/m~ ■ K y su tem peratura máxima no excede la
del aire en más de 30°C. ¿cuál es la capacidad de co­
rriente permisible para la barra colectora?
3.70 Un material sem iconductor de conductividad térmica
k = 2 W/m • K. y resistividad eléctrica pe = 2 X
10
í i • m, se usa para fabricar una varilla cilindrica
de 10 mm de diámetro y 40 mm de longitud. La superficie
longitudinal de la varilla está bien aislada, mientras(juJ
los extremos se mantienen a temperaturas de 100
0 °C Si la varilla conduce una corriente de 10 A.
es la temperatura del centro? ¿Cual es la transferenc
de calor en cada uno de los extremos?
3.71 El desempañante de la ventana posterior de un autoinó|
vil consiste en alambres de alta resistencia distribuid!
de manera uniforme moldeados en el vidrio. Guandos
aplica potencia a los alambres se supone que oci
una generación de calor uniforme por la parte inu.
de la ventana. Durante la operación, el calor que se j
ñera se transfiere por convección de las superficies]
tenor y exterior de la ventana. Sin embargo, debido,
los efectos de la velocidad del vehículo y los vicii
atmosféricos, el coeficiente de convección del lado n
terior más caliente h t es menor que el del ladoextctj
h(,. Ln el mismo sistema coordenado, dibuje la disrit
ción de temperaturas de estado estable que existiría!
el vidrio antes de que el desempañante se cune
después de que ha estado conectado por algún tie np
3.72 Un elemento de combustible nuclear de espesor 2¿
cubre con un encam isado de acero de espesor/? Ele
lor generado dentro del combustible nuclear a una i
zón q se elim ina por un fluido a T x. que está contigu
una superficie y se caracteriza por un coeficiente i
convección h. La otra superficie está bien aislada, i
combustible y el acero tienen conductividades térn
de kj y ks, respectivamente
Acero
Aislante
Combustible nuclear
i
- Acero
í í í
Tx.h
-b
(a) Obtenga una ecuación para la distribución del
peraturas 7(.v) en el combustible nuclear. Exp
sus resultados en términos de i/, k}, 7, />, Kf>h\]
(b) Dibuje la distribución de temperaturas T(\)
para el sistema completo.
3.73 El aire dentro de una cám ara a T x ¡ = 50°C se ca
convectivam ente con h¡ = 20 W/m • K mediante,
pared de 200 mm de espesor que tiene una condiii
dad térmica de 4 W/m • k y una generación de.
uniforme de 1000 W/m Para prevenir que algo de.
lor generado dentro de la pared se pierda hacia el i
ñ o r de la cám ara a Tx 0 = 25°C con h0 = 5 W m-.
se coloca un calentador de listón muy delgado soh
pared exterior para proporcionar un flujo de calor ,
forme. q"u.
Problema»
calentador de listón, q " -
Pared M
t
Camara
exterior
1
'
Cámara
interior
/ . ,, h,
i
L
(a) Dibuje la distribución de tem peraturas en la pared
en coordenadas T -x para la condición donde no se
pierde nada del calor generado dentro de la pared
hacia el exterior de la cámara.
ib) t Cuales son las tem peraturas en los limites de las
paredes, 7(0) y T{1), para las condiciones de la
parte (a)?
(c) Determine el valor de </" que debe sum inistrar el
calentador de listón de modo que todo el calor ge
iterado dentro de la pared se transfiera al interior
de la cámara.
id) Si la generación de calor en la pared se cortara
mientras el flujo de calor al calentador de listón
permanece constante, ¿cuál seria la tem peratura de
estado estable. /'(O), de la superficie de la pared
exterior?
3/ 74] En el
problema anterior, el calentador de listón actúa a
manera de protección contra las perdidas de calor hacia
el exterior, y el flujo de calor que se requiere, q"t)%depen­
de de las condiciones de operación de la cám ara com o
é¡y
r Como primer paso en el diseño de un controla­
dor para el calentador de protección, calcule y trace q
y 7(0) como función de q para 200 — q — 2000 W/m y
Txt, = 30. 50. y 70 °C.
3.7 5 Se
hace pasar una corriente eléctrica / a través de un
alambre metálico delgado de diám etro D y conductivi­
dades térmica y eléctrica k y <7 . respectivam ente Sobre
el alambre fluye aire a T *. con lo que se mantiene un
coeficiente de transferencia de calor por convección h
(a) Com en/ando con un volumen de control diferen­
cial. derive la ecuación diferencial que gobierna la
distribución de tem peraturas T{\) en el alambre
ib) Comenzando con una transform ación apropiada de
la variable dependiente, m uestre que la solución
general es de la form a
4 12
T(x) = C > " “ + C 2e
+ T» +
ttV /iD 3
donde m = (M ikD )U2.
(c) Considere condiciones para las que el alambre se
conecta a dos electrodos separados por una distan
cía L y cada uno se m antiene a la tem peratura Tt .
t CuaI es la distribución de tem peraturas corres­
pondiente?
(d) Fs posible controlar la corriente / de modo que no
se transflora calor del alambre a los electrodos O b­
tenga una expresión para esta corriente en términos
de cr. D . h. Tt y Tx .
3.76 La superficie expuesta (.v = 0) de una pared plana de
conductividad térmica k está sujeta a radiación de mi
croondas que ocasiona que el calentam iento volum étn
co varíe com o
<?(*)
■
*
(
-
9
donde qa (W/m^) es una constante La frontera en \ =
/ esta bien a slada. mientras que la superficie expuesta
se mantiene a una tem peratura constante Ta. Determine
la distribución de tem peraturas T (\) en térm inos de v,
f - k, q{, y Tír.
3.77 Considere una pared plana de espesor L, que actúa co ­
mo protección para un reacioi nuclear La superficie in
terna (v = 0 ) recibe radiación gama que se absorbe
parcialm ente dentro de la coraza y tiene el electo de
una tuente de calor distribuida internam ente l n par
ticulnr. se genera calor por unidad de volumen dentro
de la coraza de acuerdo con la relación
qix) = q"0cte m
donde q n es el flujo de radiación incidente y ex et una
propiedad (coeficiente de absorción) del material de la
coraza.
(a) Si las superficies interna (i = 0 ) y externa ( a = L)
de la coraza se mantienen a tem peraturas 7”, y 7 \,
respectivam ente, ¿cual es la forma de la distribu
ción de tem peraturas dentro de la coniza?
(b) Obtenga una expresión que sirva para determ inar
la posición v en la coraza para la cual la tem peratu­
ra es un máximo.
3.78 Una ventana de cuarzo de espesor L sirve como portilla
de observación en un hom o que se usa para recocer ace
ro La superficie interior (v = 0) de la ventana se irradia
con un flujo de calor uniforme q ”
0 debido a la emisión
de gases calientes en el horno Una fracción. )3. de esta
radiación se supone que se absorbe en la superficie
interna, m ientras que la radiación restante se absorbe
parcialm ente conforme pasa a través del cuarzo. La ge
neración volumétrica de calor debido a esta absorción
se describe mediante una expresión de la forma
<7( v) =
(1
- /3) q",cte ttl
donde a es el coeficiente de absorción del cuarzo
Ocurre una transferencia de calor por convección desde
la superficie exterior ( x = L) de la ventana Inicia el aíre
ambiental a T y se caracteriza por el coeficiente de
convección //. La convección y emisión por radiación
de la superficie interior no se toman en cuenta, junto
con la emisión de radiación desde la superficie externa.
Determ ine la distribución de tem peraturas en el cuarzo
y exprese los resultados en términos de los parámetros
precedentes.
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
UiilVt.1 HÍdlíá oii>u ■rfw.i •Jf ecM
C ap itu lo .'1 ■ Conducción unidimensional de estado estable
148
3.79 Un cable de cobre de 30 mm de diámetro tiene una re­
sistencia eléctrica de 5 X 10“ ' U/m y se usa para con­
ducir una corriente eléctrica de 250 A. Ll cable se
expone al aire del ambiente a 20°C. y el coelicicnte de
convección asociado es 25 W m : • k ¿Cuáles son las
temperaturas de la superficie > de la linea central del
cobre?
3.80 Para las condiciones que ^e describen en el problema
1 32. determine la distribución de temperaturas. T(i ).
en el contenedor: exprese el resultado en términos de
</,>. ro' T ■* b' > conductividad térmica k de los dese­
chos radioactivos.
3.81
L na capa cilindrica de radios interior y exterior, r, y r ,
respectivamente, se llena con un material generador de
calor que proporciona una rapidez de generación volu­
métrica uniforme (W /m') de q l a superfi :ie interna es­
tá aislada, mientras que la superficie externa de lu capa
se expone a un fluido a T y con un coeficiente de con­
vección h.
(a) Obtenga una expresión para la distribución de tem­
peraturas de estado estable. T(r). en la capa: expre­
se los resultados en términos de rr r0. q. h. T^, y la
conductividad térmica k del material de la capa.
(b) Determine una expresión para la transferencia de
calor, q 'ir j, en el radio exterior de la capa en tér­
minos de q y de las dimensiones de la capa.
3.82 Se muestra la sección transversal de un elemento de
combustible, cilindrico, largo, en un reactor nuclear La
generación de energía ocurre de manera uniforme en la
varilla de combustible de torio, que tiene un diámetro
D — 25 mm y está envuelto en un encamisado delgado
de aluminio.
Fluido
refrigerante
7
>
— ->
Varilla de
combustible de torio
Encamisado
delgado de aluminio
(a) Se propone que, en condiciones de estado estable,
el sistema opere con una rapidez de generación de
q = 7 X 10* W /m' y con características del siste­
ma de enfriamiento de 7* = 95 C y h — 7000
W/m 2 • K. ¿Es satisf actoria la propuesta?
(b) Explore el efecto de las variaciones en t/ y h trazan­
do las distribuciones de temperaturas, T(r). para un
rango de valores de los parámetros. Sugiera una cu­
bierta de condiciones de operación aceptables
3.83
Un elemento de combustible de reactor nuclear consiste
en una punta cilindrica sólida de radio rx y conductivi­
dad térmica kf . La punta de combustible está en buen
contacto con un material de encamisado de radio exter­
no /*2 y conductividad térmica k . Considere condiciones
de estado estable para las que ocurre una generación de
calor uniforme dentro del combustible a una razón volu­
métrica q y la superficie externa del encamisado se ex­
pone a un Huido refrigerante que se caracteriza por una
temperatura Tx y un coeficiente de convección h.
(a) Obtenga ecuaciones para las distribuciones de tem­
peraturas T {i ) y T (r >en el combustible y en el en­
camisado. respectivamente. Exprese los resultados
exclusivamente en términos de las variables prece­
dentes.
(b) Considere una punta de combustible de óxido
uranio para la que Kf = 2 W/m ■K y / j = 6 mm )
un encamisado para el que KL = 25 W/m • K y /y
9 mm Si q = 2 X 10 KW/m3. h = 2000 W/nr ■K
y T = 300K. ¿cual es la temperatura maxima en
el elemento de combustible?
(c) Calcule y dibuje la distribución de temperatur
/(/•). para valores de h = 2000 . ^000 , y Ifi.Oi
W n r • K Si el operador desea mantener la temp
ratura de la línea central del elemento de combust
ble por debajo de 1000 K, ¿es posible esto ajustan
el flujo de refrigerante y. por tanto, el valor de h’
3.84 Considere la configuración del ejemplo 3 7, donde el i
lentamiento volumétrico uniforme dentro de un tubo de
acero inoxidable se induce mediante una corriente eli
trica y el calor se transfiere por convección al aire qu
fluye a través del tubo. La pared del tubo tiene radios i
tenor y extenor de r, = 25 mm y r2 = 35 mm, una ec
duetividad térmica de k = 15 W/m • K. una resisiivid
eléctrica de p, = 0.7 X 10-<s f i * m y una temperatura!
operación máxima permisible de 1400 K.
(a) Suponiendo que la superficie externa del tuboi
perfectamente aislada y que el flujo de aire ¡>ei
ractenza por una temperatura y un coeficiente i
convección de Tx , = 400 K y /q = 100 W m
k determíne la maxima com ente eléctrica / pctJ
nusible.
(b)| Calcule y trace la distribución de la temperatura i
dial en la pared del tubo para la corriente elécti
de la parte (a) y con los valores de /q ( 100, 50j
1000 W m • k). Para cada valor de /q. dete?
la transferencia de calor al aire por unidad de
del tubo.
(c) Fn la practica, aun el mejor material aislante
incapaz de mantener condiciones adiabáticas enj
superficie externa del tubo Considere el usodei
material aislante refractario de conductividad
mica k = 1 0 W/m • K y no tome en cuenta el ¡i
cambio de radiación en la superficie extema.
/q = 100 W /nr • k y la corriente máxima per
ble determinada en la parte (a), calcule y iraeej
distribución de temperaturas en la pared tomp
para dos valores del espesor del aislante ífi =
Problemas
50 mm). La superficie externa del aislante se e x ­
pone al aiie del cuarto para el que
= 300 k y
h2 — 25 W /m 2 • k Para cada espesor del aislante,
determine la transferencia de calor por unidad de
longitud de tubo al llujo de aire interior y al aire
ambiente.
3.85 El propietario de una casa, cuya tubería se congelo du­
rante un periodo dt clima frío, decide tundir el hielo
haciendo pasar una corriente eléctrica / a través de la
paied de la tubería. Los radios interno y externo de la
pared se designan rj y r 2, y su resistencia eléctrica por
unidad de longitud se designa com o R ’ (íí/m ). La tuber a esta bien aislada en el exterior, y durante la fusión
el hielo (y agua) perm anece en la tubería a una tem pe­
ratura constante T„ asociada con el proceso de fusión
(a) Suponiendo que se alcanzan condiciones de estado
estable poco después de la aplicación de la corrien­
te. determine la form a de la distribución de tem pe­
raturas de estado estable T{r) en la pared de la
tubería durante el proceso de fusión.
(b) Desarrolle una expresión para el tiem po ím que se
requiere para fundir por com pleto el hielo Calcule
este tiempo para / = 1(X) A. R'c = 0.30 fi/m . y r\ =
50 mm
3.86 Un reactor nuclear de altas tem peraturas enfriado por
gas consiste en una pared cilindrica com puesta para la
que un elemento de com bustible de torio (k *= 57 W /m •
k) se encapsula en grafito (k
3 W /m • K) y para la
cual fluye helio gaseoso por un canal anular de enfria­
miento Considere condiciones para las que la tem pe
ratura del helio es 7* = 600 K y el coeficiente de
convección en la superficie externa del grafito es h =
2000 W/m * K
Canal de enfria­
miento con flujo
de helio (T „ , h)
3.87
L na varilla cilindrica larga, de 200 mm de diám etro
y conductividad térm ica de 0 5 W /m • K. experim en­
ta una generación volum étrica uniforme de calor de
24.000 W /m l a varilla esta encapsulada en una man­
ga circular que tiene un diám etro externo de 400 mm
y una conductividad térm ica de 4 W/m • k La superíi
cié externa de la m anga se expone a un flujo de aire
cru ado a 2 ' C con un coeficiente de convección de
25 W /m 2 • K
(a) Encuentre la tem peratura en la interfaz entre la va­
rilla y la m anga y en la superficie externa.
^b) ¿Cuál es la tem peratura en el centro de la varilla?
3.88 Un material radioactivo de conductividad térm ica k es
m oldeado com o una esfera solida de radio rDy coloca­
do en un baño liquido para el que se conocen la tempe
ratura. 7’ . y el coeficiente de convección h Dentro del
sólido se genera calor de m anera uniforme a una rapi­
dez volum étrica de q O btenga la distribución de tem
pe ratura radial de estado estable en el sólido: exprese
los resultados en térm inos de rp, q, k h y T x .
3.89
Para las condiciones que se describen en el problem a
1 34, determ ine la distribución de tem peraturas. 7’(r),
en el contenedor Exprese el resultado en términos de
</,„ r0. 7 .. h y la conductividad térm ica k de los desc
chos radiactivos
3.9U Se alm acenan desechos radiactivos (ká[ = 20 W /m • K)
en un contenedor esférico de acero inoxidable (A , =
15 W /m • K) de radios interior y exterior r, = 0.5 m y
rv = 0 6 m Se genera calor de forma volum étrica den
tro de los desechos a una razón uniform e de q = 10 5
W /ra . y la superficie externa del contenedor se expone
a un flujo de agua para el que h = 1000 W /m 2 • K y
T„ = 25°C.
Agua
T .. h
Desechos radiactivos,
Grafito
Torio, <7
Ti
T?
Air’ v
*>
inox dable.
7*3
(a) Si se genera energía térm ica de m anera uniforme
en el elemento de com bustible a una rapidez q =
10 W/m . ¿cuales son las tem peraturas T { y T 2 en
la superficies intenta y externa, respectivam ente,
del elemento de com bustible?
(a) Evalué la tem peratura de la superficie externa en
estado estable, Ts c.
(b)] Calcule y elabore una gráfica de la distribución de
temperaturas en la pared com puesta para valores
seleccionados de q. ¿Cuál es el valor m áxim o per­
misible de ¿¡
(c) Obtenga una expresión para la distribución de tem ­
peraturas. T(r), en los desechos radioactivos. Ex­
prese los resultados en térm inos de r¿, Ts ¡, Adr y q.
Evalué la tem peratura en r = 0
(b) Evalué la tem peratura de la superficie interna en
estado estable. í ¡.
DEPARTAMENTO d e b ib l io t e c a
Universidad om* *.» «'“ ••• ,r
ral
( npitulo .'1 ■ Candín ción unuliinvnsional dv estada estable
150
(d) Una extensión propuesta del diseño anterior impli
ea alm acenar materiales de desecho que tienen la
misma conductividad térm ica pero el doble de ge­
neración de calor (q = 2 X 10 W /m ’) en un contenedor de acero inoxidable de radio interior
equivalente (r = 0.5 ni) Consideraciones de segu
ndad dictan que la tem peratura m áxim a del sistema
no exceda 475 C y que el espesor de la pared del
contenedor no debe ser m enor que / = 0.04 m. >
que de preferencia sea seti igual o cercana al diseño
original (1 = 0 1 m) Evalué el efecto de hacer va
riar el coeficiente de convección exterior a un \alo r
máximo factible de h = 5000 W /m 2 • k (aum entan­
do la velocidad del agua) y el grosor de la pared del
contenedor ¿ 1 s factible la extensión que se propo
nc? Si lo es. recom iende condiciones de operación
y diseño adecuadas para h y f. respectivamente.
3.91
Las características únicas de m ateriales biológicam ente
activos, com o las frutas, las xerduras y otros productos,
requieren cuidado especial en su m anejo En seguida
de la cosecha y separación de las plantas productoras,
la glucosa se cataboliza para producir bióxido de carbo­
no. vapor de agua y calor, con la generación de energía
interna conconntante. Considere una caja de manzanas,
cada m anzana de 80 mm de diám etro, que se ventila
con aire a 5°C \ a una velocidad de 0 5 m/s. El valor
correspondiente del coeficiente de transferencia de ca­
lor es 7.5 V> m • k Dentro de cada manzana la energía
térm ica se genera de manera uniforme a una razón total
de 4000 J/kg • día. 1.a densidad y conductividad tér­
m ica de la manzana son 840 kg/m y 0.5 W /m • k .
respectivamente.
Manzana,
80 mm de
d ametro
Superficies extendidas
3.92 El m edidor de calor por radiación que se muestra en el
diagram a esta construido con hoja metálica de constantan. que se cubre de negro y tiene la forma de un disco
circular de radio R y espesor t f I medidor se localiza
en un recinto al vacío El flujo de radiación incidente
que absorbe la hoja. q\. se difunde hacia la circunferen­
cia exterior y al anillo grande de cobre, que actúa como:
un sumidero de Calor a tem peratura con tante T(R). Do
alam bres conductores de cobre se unen al centro de lu
hoja y al anillo para com pletar un circuito termopar
que perm ite la m edición de la diferencia de tempeuturas entre el centro de la hoja y su extremo. SI T(0) - 'I(R).
Recinto
al vacio
i
l
i
l
i
!
I
I
1*'
Obtenga la ecuación diferencial que determina T(n.
distribución de tem peraturas en la hoja, en condiciom
de estado estable Resuelva esta ecuación para ohte®
una expresión que relacione AT con q'¡. No tome
cuenta el intercambio de radiación entre la hoja )
alrededores.
3.93 Una tubería de cobre se une al absorbedor de un cc
tor solar de placa plana com o se muestra.
Placa de
cutxeda
T
Aire
5°C
(a) Determine las tem peraturas del centro y de la su­
perficie de la manzana
|(b)[ Para el arreglo apilado de m anzanas dentro del car­
tón de em paque, el co d icíente de convección d e­
pende de la velocidad com o h = C j\ ,42\ donde
C | = 10.1 W /m 2 • K • (m/s)0425. Calcule y trace la
gráfica de las tem peraturas del centro y de la su­
perficie com o función de la velocidad del aire para
0 .1 :S \ < 1 m/s.
La placa de absorción de aleación de aluminio i20K
16) tiene 6 mm de espesor y esta bien aislada en
parte inferior. La superficie superior de la placa w
separada de una placa de cubierta por un espacio al i
cío Los tubos están espaciados una distancia L
0.20 in entre ellos, y circula agua a través de los i
151
Prttltlvmas
para quitar la energía colectada Suponga que el agua
esta a una tem peratura uniforme de 7 agua = 60 °C Ba
jo condiciones de operación de estado estable para las
que el flujo neto de calor por radiación a la superficie
es
= 800 W /m2, ¿cuál es la tem peratura máxima
sobre la placa y la transferencia de calor por unidad de
longitud del tubo? Note que c/í'ad representa el efecto
neto de la absorción de radiación solar por la placa de
absorción y el intercam bio de radiación entre las pla­
cas de absorción y de cubierta. Puede suponer que la
temperatura de la placa de absorción directamente arri­
ba de un tubo es igual a la del agua.
3.94 Se une una tubería a la placa de espesor t de un colec­
tor solar, y el fluido de trabajo m antiene la temperatura
de la placa sobre los tubos a Tp. Hay un flujo neto uni­
forme de calor por radiación <y'rat] hacia la superficie su
pcrior de la placa, mientras que la superficie inferior
está bien aislada. La superficie superior también se ex­
pone a un fluido a T que proporciona un coeficiente
de convección uniforme h
Aire
(!tad
■1 — ^
Placa de
absorción
Fluido de
trabajo
Fluido de
trabajo
2L~
a) Derive la ecuación diferencial que rige la distribu­
ción de temperaturas T{x) en la placa.
(b) Obtenga una solución de la ecuación diferencial pa­
ra condiciones de frontera apropiadas.
3.95 Una placa delgada de longitud L , espesor t y ancho
W > L se une térm icamente a dos grandes sumideros
de calor que se mantienen a una temperatura T La
parte interior de la placa está bien aislada, mientras que
se sabe que el flujo neto de calor hacia la superficie su
perior de la placa tiene un valor uniforme de q"0.
(b) Resuelva la ecuación anterior para la distribución
de temperatura.-, y obtenga una expresión para la
transferencia de calor de la placa a los sumideros
de calor.
3.96 Considere la placa plana del problema 3.95. pero con
los sumideros de calor a diferentes temperaturas, 7(0) =
Tü y T(L) ~ Tl , y con la superficie inferior ya sin aislar.
Se permite que ahora la transferencia de calor por con
vccción ocurra entre esta superficie y un fluido a T ,
con un coeficiente de convección h.
(a) Derive la ecuación diferencial que determina la dis­
tribución de temperaturas de estado estable T{\) en
la placa.
(b) Resuelva la ecuación anterior para la distribución
de temperaturas y obtenga una expresión para la
transferencia de calor de la placa a los sumideros
de calor.
(c) Para q"0 = 20,000 W /m 2, T0 = 100 °C, T¡_ = 35°C.
7* = 25°C. k = 25 W/m • K, h = 50 W /m 2 • K, L =
100 mm. t = 5 mm, y un ancho de placa de
VV = 30 mm. trace la distribución de temperaturas
y determine las transferencias de calor de sumide­
ro, </,(0) y </,(L). En la misma gráfica, dibuje tres
distribuciones de temperaturas adicionales corres
pondientes a cambios en los siguientes parámetros,
sin que cambien los parámetros restantes: (i) q"0 =
30.000 W /m2, (ii) h = 200 W /m 2 • K. y (iii) el va­
lor de q" para el cual </,(()) = 0 cuando h = 200
W /m 2 • K
3.97 Una operación de unión utiliza un láser para propor­
cionar un flujo de calor constante. q ”
0, a través de la su­
perficie superior de una delgada película plástica con
adhesivo en la parte posterior que se fijara a una c nta
metálica, como se muestra en el dibujo La cinta metáli
ca tiene un espesor d - 1.25 mm y su anchura es grande
en relación con la de la película. Las propiedades termofísicas de la cinta son p = 7850 kg/m , cp = 435 J/kg *
K. y k = 60 W ón • K. La resistencia térm ica de la pe
lícula plástica de ancho vv, = 40 mm es insignificante
Las superficies superior e inferior de la cinta (incluida
la película plástica) experimentan convección con el
aire a 25°C y un coeficiente de convección de 10 W/m •
K La cinta y la película son muy largas en la dirección
normal a la página. Suponga que los extremos de la cin­
ta metálica están a la temperatura del aire (T^).
■ .v
<l»
Sumidero
Sumidero
de calor I I I I I I I de calor
T1/j
T
.** i *s '
• «x’
-*
/
(a) Derive la ecuación diferencial que determina la dis­
tribución de tem peraturas de estado estable T(x) en
la placa.
Fuente láser, q"0
Película
plástica
Cinta
metálica
7X, h
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
Universidad biiuon Bolívar >Sede del Lftorf»
C apítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
152
(a) Derive una expresión para la distribución de tem­
peraturas en la parte de la cinta de acero con la pe­
lícula plástica ( —vr,/2 ^ a ^ +ve,/ 2 ).
(b) Si el flujo de calor que proporciona el láser es
10.000 W /m 2, determ ine la tem peratura de la pe
lícula plástica en el centro (x = 0 ) v sus extremos
( v = ± u‘,/2 ).
3.100 Una varilla larga pasa a través de la abertura en un
hom o que tiene una temperatura del aire de 400°C y
se prensa firmemente en la superficie de un lingote.
Termopares em potrados en la varilla a 25 y 120 mm
del lingote registran tem peraturas de 325 y 375°C
respectivamente. ¿Cuál es la temperatura del lingote?
Varilla
(c) Elabore una gráfica de la distribución de tem pera­
turas para toda la cinta y señale sus características
especiales.
Pared
del homo
s
3.98 Un alambre metálico delgado de conductividad térm ica
k, diámetro D, y longitud 27 es recocido al hacer pasar
una corriente eléctrica a través del alambre para inducir una
generación de calor volumétrico uniforme q El aire del
ambiente alrededor del alambre está a una temperatura
7.x. mientras que los extremos del alambre en .v = ± L
también se mantienen a 7 La transferencia de calor
del alambre al aire se caracteriza por el coeficiente
de convección h. Obtenga una expresión para la distri­
bución de estado estable T(x) a lo largo del alambre.
3.99 Un motor consume potencia eléctrica 7 cl¿c de una línea
de sum inistro y entrega potencia mecánica P mcc a una
bomba a través de un eje rotatorio de cobre con con­
ductividad icn».ica ks, longitud L y diámetro D. El m o­
tor se monta sobre una base cuadrada de ancho W,
espesor t y conductividad térm ica kp. La superficie de
la cubierta expuesta al aire ambiental a 7» tiene área
A h. Los extremos opuestos del eje están a tem peraturas
7/i y 7 o. y la transferencia de calor del eje al aire am ­
biental se caracteriza por el coeficiente de convección
hs. La base de la carpeta está a 7*.
^
Termt pares I
Aire,
400DC
3.101 Una sonda de longitud total L = 200 mm y díame
D = 12 5 mm se inserta a través de la pared de
ducto de modo que una parte de su longitud, deno
nada longitud de inmersión L,, esta en contacto con el
flujo de agua cuya tem peratura, 7 *. „ se deterniin
Los coeficientes de convección sobre la longitud
inmersión y la longitud expuesta al ambiente son h,
1100 W/m • K y h„ = W /m 2 • K. respectivamente, b
sonda tiene una conductividad térmica de 177 W/m
K y está en contacto térmico deficiente con la
del ducto.
Aire
ambiental
Ten iH.ho
Pared del
ducto
Agua
ilr* 1.1
V 1F
T„ hh ----- ► Cubierta del motor, Th, Ah
Toe, hs
Motor
eléctrico
Conductores
Sensor, 7 pUn[3 —¡
\
/
Bomba
elec
Th
N
— Base, L
y
Eje, ks,
v » 'P,mee
To
(a) Exprese el resultado en térm inos de Pc
7 mec* 7 L , D, VV, t, kp, Ah. hh y //_„ y obtenga una expresión
para (Th - 7 M).
(b) ¿Cuál es el valor de Th si P eléc = 25 kW, P mec =
15 kW, kx = 400 W /m • K. L = 0 5 m, D = 0.05 m.
W — 0.7 m, t = 0.05 m, kp = Q 5 W /m • K, A h =
2 m 2, hh = 10 W m 2 • K, hs = 300 W m 2 • K, y
7» = 25 °C?
(a) Derive una expresión para evaluar el error de
dición, A7err = 7 punta - Tw ¡, que es la diferen
entre la temperatura de la punta, 7puma, y la
agua. Toa ¡. Sugerencia: Defina un sistema coorde­
nado con el origen en la pared del ducto y trateij
sonda como dos aletas que se extienden hacia <
tro y hacia fuera del ducto. pero que tengan
misma temperatura de la base Use los resultdel caso A de la tabla 3.2.
(b) Con las tem peraturas del agua y del a re am‘
tal a 80 y 20°C, respectivamente, calcule el e
de medición, A7crr, com o función de la lone
■ Problemas
de inmersión para las condiciones L r L = 0.225.
0.425 v 0.625
Caja del
transistor
[(cTj Calcule y trace la gráfica de los efectos de la con­
ductividad térm ica y la velocidad del agua (h,) so­
bre el error de medición.
3.1(12 Una varilla de diám etro D = 25 mm y conductividad
térmica k = 60 W /m • K sobresale norm alm ente de la
pared de un horno que está a 7 p<uetj = 200CC y está
cubierta de un aislante de espesor L a[^ = 200 mm. La
\ari!lu esta soldada a la pared del horno y se usa com o
soporte para cargai cables de instrum entación. Para
evitar que se dañen los cables, la tem peratura de la v a ­
rilla en la superficie expuesta. T . debe m antenerse
por debajo de un límite de operación específico de
7nu%
100°c. La tem |)eraüira del aire ambiental es
T, = 25°C. v el coeficiente de convección es h =
15 W m • K.
</t >
Alambre
conductor
U)
Tarjeta de
circuitos
cr¡,)
(a) Derive una ecuación de la que sea posible deter
m inar la distribución de tem peraturas en un alam ­
bre conductor. E num ere todas las suposiciones
pertinentes.
(b) D eterm ine la distribución de tem peraturas en un
alam bre conductor y exprese los resultados en tér­
minos de las variables establecidas
3.1(14 Los alabes de turbina m ontados en un disco rotatorio
de una turbina de gas se exponen a un flujo de gas que
esta a T. = 120 0 C > mantiene un coeficiente de con­
vección h = 250 W /m - • K sobre los álabes
Pared
caberte
del homo
“
as
Punta del álabe
Aislante
V
ta) Derive una expresión para la tem peratura de la su­
perficie expuesta Ta com o función de los param e­
ñ o s térmicos y geom étricos establecidos. I.a
varilla tiene una longitud expuesta L„. y su punta
esta bien aislada.
|d>j]t Liia varilla con L0 = 200 mm cum plirá con el
limite de operación especificado? Si no. ¿que pa­
rámetros de diseño cam biaría? Considere otro m a­
terial. aumente el espesor del aislante y la longitud
de la varilla Ademas, considere com o unir la base de
la varilla a la paicd del horno com o un m edio para
reducir T
3.103 Del problema I 51, considere los alam bres conducto­
res que conectan el transistor a l.i tarjeta. Los conduc
tores tienen conductividad térm ica k, espesor r. ancho
» v longitud / l'n extrem o de un conductor se man
tiene a una temperatura T que corresponde a la caja
del trans stor. mientras que el otro extrem o toma la
temperatura Th de la tarjeta Durante la operación de
estado estable, la corriente que lluye por los conducto­
res proporciona un calentam iento volum étrico unifor­
me en un monto </. mientras hay un enlnam iento por
convección al aire que está a T , y m antiene un coefi­
ciente de convección //.
Disco
rotatorio
Aíre
refrigerante
Los álab es, que están fab ricad o s de In co n eL k ~
20 W /m • K, tienen una longitud de L — 50 mm El
perfil del alabe tiene un área de sección transversal
= 6 X 10 4 rrr y un perím etro P = 110 mm. Un
esquem a de enfriam iento del alabe que se propone, el
cual implica dirigir aire a través del disco de soporte,
es capaz de m antener la base de cada alabe a una tem ­
peratura /'alabe ~ 300°C.
(a) Si la tem peratura máxima permisible del alabe es
I050°C y se supone que la punta del álabe es adia­
bática. ¿es satisfactorio el esquema de cnlriam iuito
que se propone ?
(b) Para el esquem a de enfriam iento propuesto, ¿cuál
es la transferencia de calor de cada alabe al fluido
refrigerante?
DEPARTAMENTO DE b ib lio te c a
UnlVwfíiüff • •“
•*j v if * S©dé
i*
Litera
131
C apítulo 3 ■ Conducción unidimenstontd de estado estable
3.105 En una prueba para determ inar el coeficiente de fric­
ción, fi, asociado con un freno de disco, un disco y su
eje rotan a una velocidad angular a>, m ientras que un
ensam ble disco/eje equivalente perm anece estaciona­
rio Cada disco tiene un radio exterior r2 — 180 mm.
un radio del eje r, = 20 inin. un espesor i = 12 mm. y
una conductividad térm ica k = 15 W /m • K. Una fuer­
za conocida F se aplica al sistem a, y se mide el mo­
mento de torsión r correspondiente que se requiere
para m antener la rotación. Suponga que la presión de
contacto del disco es uniforme (es decir, independiente
de la posición en la interfaz), y que los discos están
bien aislados de los alrededores
/ —H k —
T
n
3.108 Dos varillas de cobre largas de diám etro D = 10 mn:
se sueldan juntas extrem o con extremo; la soldadura]
tiene un punto de fusión de 650°C. Las varillas est¡
en aire a 25°C con un coeficiente de convección de
10 W m 2 • K ¿Cual es la potencia mínima de ei
necesaria para efectuar la soldadura 7
3.109 Varillas de cobre circulares de diám etro D = 1 mnv
longitud L = 25 mm se usan para reforzar la transfe­
rencia de calor de una superficie que se maní
a Ti | = 100°C Un extrem o de la varilla se uncí
esta superficie (en \ = 0 ), mientras el otro (.v = 25 un
se une u una segunda superficie que se mantiene a 7
0°C El aire que fluye entre las superficies (y sobre
varillas) tam bién está a un.i temperatura T
0 C , y se m antiene un coeficiente de convección A
100 W /m 2 - K.
(a) ¿Cuál es la transferencia de calor por convcecii
de una sola varilla de cobre al aire?
--EE
Interfaz del disco,
coeficiente de
fricción, n
(a) Obtenga una expresión que sirv a para evaluar /x a
partir de cantidades conocidas
(b) Para la región r, iS r ^ r2, determ ine la distribu­
ción radial de tem peraturas, 7(r). en el disco, don­
de se supone que se conoce T (r,) = T x.
(c) Considere condiciones de prueba para las que F =
200 N, (o = 40 rad/s, r = 8 N • m, y 7j = 80°C
Evalúe el coeficiente de fricción y la tem peratura
máxim a del disco.
(b) ¿Cuál es la transferencia total de calor de uní i
ción de 1 X 1 m de la superficie a I00°( m
arreglo de varillas se instala en centros de 4 mm
3.110 Las aletas rectas se usan ampliamente en sistemas(
irónicos para proporcionar enfriamiento, así comoi
sostener dispositivos Considere la aleta recta de i
ción circular de diám etro uniforme D, longitud L\
conductividad térm ica k que conecta dos dispositi»
idénticos de longitud L y área de superficie M
dispositivos se caracterizan por la generación v
trica uniforme de energía térm ica q y una conduc
dad térmica kg. Suponga que he» superficies evpue
de los dispositivos están a una temperatura unifo
que corresponde a la de la base de la punta, Tf„ y
calor se transfiere por convección de las supcrfick
puestas a un fluido contiguo. Las parte posterior j|
lados de los dispositivos están perfectamente aislad
A letas sim ples
Aleta de punta, D. k
3". 106 Una varilla larga circular de alum inio se une en un ex­
trem o a una pared calentada y transfiere calor por con­
vección a un fluido trio.
(a) Si el diám etro de la varilla se triplica, ¿en cuánto
cam biaría la rapidez de elim inación de calor?
(b) Si una varilla de cobre del m ismo diám etro se usa
en lugar de la de alum inio 0en cuánto cam biaría la
rapidez de elim inación de calor?
3.107 Una varilla de estaño de 100 mm de longitud y 5 mm
de diám etro se extiende horizontalm entc de un molde
a 200°C . La varilla está en un aire am biental con
= 20°C y h — 30 W /m 2 • K. ¿Cuál es la temperatura
de la varilla a 25. 50 y 100 mm del m olde 7
í í
k -/ -
Í
M
í í
-------------------L --------------------
Derive una expresión para la temperatura de lal
en térm inos de los parám etros de los dispositiv
q. L g, Ag), los parám etros de convección (7*, An|
parám etros de la alela (k, D, L).
3.111 Considere dos varillas delgadas largas del mismo!
metro pero de diferentes materiales. Un extremot
■ Problemas
da varilla se une a una superficie base que se mantiene
a KK)°C. mientras que las superficies de las varillas
se exponen al aire ambiental a 20°C Al recorrer la lon­
gitud de cada varilla con un term opar. se observa que
las temperaturas de las varillas eran iguales en las po­
siciones rA = 0.15 m y
= 0.075 m, donde x se mi­
de desde la superficie base. Si se sabe que la
conductividad térmica de la varilla A es kA = 70 W /m ■
K. determine el valor de kB para la varilla B
3.112 Considere una varilla delgada de longitud / . que se
expone a enfriam iento por convección (7 .. //) y tiene
ambos extremos a T,, > Tx . Para cada uno de los tres
casos que se describen a continuación, dibuje la distri
bucion de temperaturas en coordenadas T - \ e identifi­
que las características de la distribución. Suponga que
las temperaturas de los extrem os y el coeficiente de
transferencia de calor por convección son los m ismos
para todos los casos
Ui) 1 .a varilla tiene una conductividad térm ica kA.
(b) La varilla tiene una conductividad térm ica k H.
donde k\\ < k A.
(c) Se trata de una varilla com puesta con kA para 0 ^
» S U 2 y kB para U 2 < < L.
3.113 Un arreglo experimental para m edir la conductividad
térmica de materiales sólidos implica el uso de dos va­
rilla^ largas que son equivalentes en lodos los aspee
los. excepto que una esta fabricada de un material
esiandar de conductividad térm ica conocida. kA. m ien­
tras que el otro está fabricado con el material cuya
conductividad térmica. kB, se desea conocer. Ambas
vanllas se unen en un extrem o a una fuente de calor de
temperatura tija 7 h, se exponen a un Huido de tem pera­
tura. 7 *. > se instrumentan con term opares para medir
la temperatura a una distancia fija .i| de la fuente de
tulor Si el material estándar es alum inio, con kA ~ 2CX)
W m • K. y las medidas revelan valores de TA = 75°C >
r B = 60°C a v, para Th = 10()DC y 7* = 25°C,
nal es la conductividad térmica kH del material de
uv
prueba.’
Sistemas v arreglos de aletas
1114 Vmenudo se forman pasajes de alelas entre placas pa
raiclai para rcfor/ar la transferencia de calor por con­
vección en núcleos compactos de intercam biadores de
calor Una aplicación importante es el enfriam iento
de equipo electrónico, donde una o m as pilas en triadas
por aire se colocan entre com ponentes eléctricos que
iliopan calor. Considere una sola pila de aletas rcctan
guiares de longitud L y espesor /. en condiciones de
convección que corresponden a h y T*.
------ 200 mm
100
mm
______
14
mm
(a) Obtenga expresiones para las transferencias de ca­
lor de las aletas, q 0 y qt
en térm inos de las
tem peraturas de base, T„ y T¡
(b) bn una aplicación especifica, una pila de 200 mm
de ancho y 100 mm de profundidad contiene 50
aletas, cada una de longitud L = 12 mm. l.a pila
com pleta esta fabricada de alum inio que mide
uniform em ente 1.0 mm de espesor. Si las lim ita­
ciones de tem peratura asociadas con los com po­
nentes eléctricos unidos a placas opuestas dictan
tem peraturas m áximas de placa perm isibles de
T0 = 400 k y I L = 350 K, ¿cuáles son las corres­
pondientes disipaciones m áxim as de potencia si
h = 150 W /m 2 • K y Tx = 300 K?
3.115 bl arreglo de aletas del problema 3 114 se encuentra
norm almente en intercambiadores com pactos de ca­
lor, cu>a función es proporcionar un área superficial
grande por unidad de volumen para transferir calor de
un fluido a otro, bn este tipo de aplicaciones, es desea­
ble m inim i/ar la resistencia térmica R, t) del arreglo de
aletas. Considere el núcleo de un intercam biador
de calor unitario de 1 m de longitud en la dirección del
flujo del aire y 1 m de ancho en una dirección normal
al flujo de aire y a las superficies de las aletas. La Ion
gitud de los pasajes de aletas entre placas paralelas
contiguas es L = 8 mm. mientras que la conductividad
térm ica de la aleta y el coeficiente de convección son
k = 200 W /m • k (alum inio) y h = 150 W /m 2 • K,
respectivamente.
(a) Si el espesor y espaciam icnio de las aletas son / =
1 mm > 5 = 4 mm. respectivam ente, ¿cuál es el
valor de R,
(b)| Sujeto a las restricciones de que el espesor y espa
ciam iento de las aletas no puede ser m enor que
0.5 y 3 mm. respectivamente, evalúe el efecto de
cam bios en i y S.
3.116 Un transistor en forma de disco, que se monta en un
medio aislante, disipa 0.25 W durante la operación de
estado estable. Para reducir la tem peratura del transis­
tor, se propone que se una un tubo de cobre hueco al
transistor com o se muestra.
d epa rta m en to
DE BIBLIOTECA
I _ I ■|4«
C apítulo 3 ■ C o n d u cció n u n id im en sio n al d e e s ta d o e s ta b le
156
3.118| En el problem a 3.117, el valor establecido de h„ =
IODO W /m 2 • K es grande y característico del enfria­
miento por líquido. En la práctica sería preferible uti­
lizar en friam ien to por aire, para el que un límite
razonable del coeficiente de convección sería ii0 =
250 W /m 2 • K. Evalué el efecto de cambios en la geo­
metría de la aleta recta sobre la transferencia de calor
del chip si las demás condiciones del problema 3.117
incluida una tem peratura máxima permisible de 75 'C
del chip, permanecen válidas. Las variaciones param
tricas a considerar incluyen el número total de alet
/V, en el arreglo cuadrado, el diámetro de la punta Drt
la longitud de la punta Lf . Sin embargo, el proiluc
/V1 D , no debe exceder 9 mm para asegurar un ad
cuado paso del flujo de aire a través del arreglo. Re
miende un diseño que refuerce el enfriamiento del
chip.
•*- / = 0.25 mm
n n m
Aire
L = 15 mm
h = 50 W/m2 • K
/:* = 25°C
Tubo de cobre
Transistor
La superficie externa del uibo se expone a aire am ­
biental a Tor = 25°C con un coeficiente de convección
h = 50 W /m 2 • K. Com o primera aproxim ación, no to­
me en cuenta la transferencia de calor de la superficie
interior del tubo y de la superficie expuesta del transis­
tor. ¿Cuál es la temperatura del transistor con la aleta?
¿Cuál es la temperatura del transistor sin la aleta si h y
T& permanecen iguales?
3.117 Conform e se colocan más y más com ponentes en un
solo circuito integrado (chip), la cantidad de calor que
se disipa continúa en aumento. Sin embargo, este in­
cremento está limitado por la tem peratura máxima
permisible de operación del chip, que es alrededor de
75°C. Para m axim izar la disipación de calor se propo­
ne que un arreglo de 4 X 4 aletas rectas circulares de
cobre se una metalúrgicamente a la superficie externa
de un chip cuadrado que tiene 12.7 mm de lado
H
I
I
Aletas rectas — i
i,
Ir.. circulares, D,
.
Vista superior
———
o
"
~
1
O
O
O
o
O
O
o
o
o
o
o
o
W = 12.7 mm
^
3.119 Com o un m edio de aum entar la transferencia de c
de chips lógicos de alto rendimiento, es común unirti
sumidero de calor a la superficie del chip a fin
aum entar el arca de superficie disponible para la tr
fercncia de calor por convección. Debido a la facili
con la que se fabrican (con cortes ortogonales en
bloque de material), una opción atractiva es útil
un sumidero de calor que consiste en un arreglo de
cuadradas de ancho w en un lado. El espacio entre
tas contiguas se determinaría por el ancho de una
de sierra, y la suma de este espacio y el ancho de
aleta designado será el espaciado de la aleta S. El
lodo por el que el sum idero de calor se une al
terminaría la resistencia de contacto interfacial, R'¡
.
latera[
T.x, ,>«/it»
' □ D O O d D D O D O C
□ □ □ □ □ □ □ □ □ a c
[“ Chip, qc. Tc
’
sistencia
de contacto,
Aire
r , hf
« V At
«■
Tarjeta, kh
(a) Dibuje el circuito térm ico equivalente para el con­
junto aleta-chip-tarjcta. suponiendo condiciones
unidimensionales de estado estable y resistencia
de contacto insignificante entre las puntas y el
chip. En forma variable, etiquete las resistencias,
temperaturas y transferencias de calor apropiadas.
(b) Para las condiciones que se establecieron en el
problema 3.25. ¿cuál es la transferencia máxima a
la que se puede disipar calor en el chip cuando las
puntas están colocadas? Es decir, ¿cuál es el valor
de qt para Tc = 75°C? El diám etro y longitud de
la punta son Df} = 1.5 mm y Lp = 15 mm.
□ □ □ □ i
□ □
h n n n n .
| s -m
Considere un chip de ancho W, = 16 m y condi
para las que el enfriamiento lo proporciona un r
dieléctrico con T , = 25°C y h = 1500 W/m2 ■K
■ Problemas
157
t i sumidero de calor se fabrica de cobre (k = 400
W m • k ). y sus dim ensiones características son w =
0.25 mm. S = 0.50 mm. Lf = 6 mm y Lh = 3 mm.
1 os valores establecidos de w y S representan m íni­
mos impuestos por restricciones de fabricación y la
necesidad de m antener un flujo adecuado en los paso»
entre aletas
(a) Si una unión metalúrgica proporciona una resis
tencia de contacto de K'¡ c = 5 X 10 (,m 2 • K/W
y la temperatura máxim a perm isible del chip es
85°C, ¿cuál es la disipación de potencia máxima
permisible del chip </(? Suponga que la totalidad
del calor se transferirá a través del sum idero de
calor.
(Fj"l t s posible aumentar la disipación de calor incre
mentando ic, sujeto a la restricción que (5 — u ) 2e
0.25 mm. y/o aum entando L j (sujeto a la restric­
ciones de fabricación
s 10 mm). Evalúe el
efecto de estos cambios.
1 m \ Debido al gran número de dispositivos en los chips de
PC actuales, a menudo se utilizan sum ideros de calor
con aletas para mantener el chip a una tem peratura de
operación aceptable. Se evaluarán dos diseños de ale­
ta. los cuales tienen dim ensiones de área base (sin
aletas) de 53 mm X 57 mm. Las aletas son de sección
transversal cuadrada ) fabricadas de una aleación de
aluminio troquelado con una conductividad térm ica
de 175 W/m • K. hl aire de enfriam iento se suministra
i 25°C. > la temperatura m axim a perm isible del chip
es 75°C. Otras características de las condiciones de di­
seño y operación se presentan en la tabla siguiente
el estado real dentro de la computadora es importante,
com pare la transferencia de calor total por unidad de
volumen para los dos diseños.
3.121 l na pared de un recinto eléctrico esta fabricada de pla­
ca de cobre (k = 400 W/m * K). 160 mm X 160 mm
de ancho y 5 mm de espesor. Para aumentar la transle
rcncia de calor a través de la placa. 400 aletas rectas
de coba*, cada una de 4 mm de diámetro y 20 mm de
longitud, se fabrican integralmente en ambos lados de la
placa en centros de separación cuadrada de 8 mm.
Aire caliente en el recinto a una temperatura de 65°(
y circulación natural proporcionan un coeficiente de
convección prom edio de 5 W /m 2 • K en la superfi­
cie interna de la placa. Un flujo forzado de aire
ambiente a 20 °C proporciona un coeficiente de con
vcccion prom edio de 1(K) W /n r • k sobre la superficie
externa de la placa.
(a) Estime la transferencia de calor a través de la placa
Suponiendo el mismo coeficiente de convección sin
las aletas, determine el monto de aumento de la
transferencia de calor permitido por las aletas
tb) Se recom ienda que los costos de fabricación se re
duzcan soldando las puntas a la placa con plata, en
lugar de recurrir a un proceso costoso como la lu­
bricación con descarga eléctrica para lograr una
construcción continua placa/aleta Si la resistencia
de contacto correspondiente es 5 X 10 6 m2 • K/W.
¿cuál es la transferencia de calor a través de la
placa?
3.122 Una varilla larga de 20 mm de diám etro y una conduc­
tividad térm ica de 1.5 W /m • K tiene una generación
de energía térm ica volumétrica interna uniforme de
1l()f>W /m La varilla se cubre con una manga aislante
eléctrica de 2 mm de espesor y conductividad térmica
de 0.5 W /m • K. Una estrella con 12 rayos y dimensio­
nes com o se muestran en el dibujo tiene una conducti
vidad térmica de 175 W /m • K. > se usa para sostener
la varilla > m an ten er co n cen tricid ad con un tubo de
80 mm de diám etro Aire a la misma temperatura que
la de la superficie del tubo. Ts = T x = 25°C, pasa so­
bre la supcrhcic de la estrella y el codicíente de con
vece ion es 20 W /m 2 • K
Dimensiones de la aleta
Sección
IransuTsal
Diseño
h < w (mm)
1 on^itud
L (mm)
A
3x3
30
B
1X 1
7
Numero de
aletas en el
arreglo
Coeficiente
de convección
(W/m1 K )
6X 9
125
375
14 x 17
K /. = 30 mm-H
Estrella con
12 rayos
Varilla, ¿¡
57 mm
arreglo de 54 aletas.
9
x
3 mm x 3 mm
sección
transversal
Th - 75°C
6 (Diseño A)
Determine cual arreglo de aletas es superior En su
análisis, calcule la transferencia de calor, eficiencia y
efectividad de una sola aleta, así com o la transferencia
de calor total y la cliciencia global del arreglo Com o
Manga
aislante
Aire
7 ,, = 25°C
Tubo
Ts
* 25°C
ri = 12 mm r2 = 17 mm
r 3 = 40 mm i = 4 mm
L » r 3 —r 2 — 23 mm
DEPARTAMENTO DE DiBLlOTECA
Universidad Simón Bolívar
del Litoral
158
C a p í t u l o 3 ■ C tn ifh iccián u n id itn vn sittn a l <tr v sttu la r e ta b lo
(a) Genere un circuito térmico que sirva para determi­
nar ia temperatura de la superficie externa de la
varilla. Evalué esta temperatura.
(b) ¿Cuál es la temperatura en el centro de la varilla?
3.123] Considere el sistema físico y las condiciones del pro­
blema 1 . 1 2 2 . |>ero ahora suponga que la superficie ex­
terna del tubo esta bien aislada. Deseamos aumentar el
calentamiento volumétrico dentro de la varilla, al tiem­
po que no se permite que la temperatura de la línea
central exceda IOO°C. Determine el impacto de los si­
guientes cambios que se pueden efectuar independien­
temente o al mismo tiempo: (i) aumentar la velocidad
del aire y oor ello el coeficiente de convección; (ii)
cambiar el numero > o espesor de los rayos; y (iii) usar
una manga de material no conductor eléctrico de con­
ductividad térmica grande (por ejemplo, carbón amor­
fo o cuarzo). Recomiende una configuración realista
que de un aumento significativo en </
3.124 Un calentador de aire consiste en un tubo de acero
(k = 20 W/m • K), con radios interno y externo de
/•| = 13 mm y r2 = 16 mm. respectivamente, y ocho
aletas longitudinales fabricadas integralmente, cada
una de espesor t = 3 mm. I-as aletas se extienden a un
tubo concéntrico, que tiene radio r* = 40 mm y aisla­
do en la superficie externa. Agua a temperatura Tx , =
90°C Huye a través del tubo interno, mientras que aire
a l\c n = 25°C fluye a través de la región anular for­
mada por el tubo concéntrico más grande
de longitud y están igualmente espaciadas a una distan­
cia de 4 mm (250 aletas, m). El coeficiente de convec*
ción asociado con la pared desnuda es 40 W/m2 • K.
mientras que el que resulta de la unión de las aletas*
30 W/m: • K.
3.126 Considere el uso de aletas rectas de acero inoxidable
(304) de perfiles rectangulares y triangulares entra
pared plana cuya temperatura es de 100°C. El fluid)
contiguo está a 20°C. y el coeficiente de convecciÉ
asociado es 75 W/m • K. Cada aleta tiene 6 mm dt
espesor y 20 mm de longitud. Compare la eficiencia
la efectividad y la pérdida de calor por unidad deapj
cho asociadas con los dos tipos de aletas
3.127 Aletas de aluminio de perfil triangular se unen a
pared plana cuya temperatura superficial es 25()CC El
espesor de la base de la aleta es 2 mm. y su longitud
6 mm. El sistema está en aire ambiental a una te
ratura de 20°C. y el coeficiente de convección su|
cial es 40 W/m 2 • K.
(a) ¿Cuáles son la eficiencia y eíectiv ¡dad de la ai
(b) ¿.Cuál es el calor disipado por unidad de ancho
una sola aleta?
3.128 Una aleta anular de aluminio de perfil rectangular
une a un tubo circular que tiene un diámetro ex
de 25 mm y una temperatura superficial de 250 CC
aleta es de I mm de espesor y 10 mm de longitud,
temperatura y el coeficiente de convección asoa
con el fluido adyacente son 25 °C y 25 W/m2 • K.
pectivamente.
(a) ¿Cuál es la pérdida de calor por aleta?
(b) Si 200 de estas aletas están espaciadas en ii
mentos de 5 mm a lo largo de la longitud del tub
¿cuál es la pérdida de calor por metro de Ion
del tubo?
(a) Dibuje el circuito térmico equivalente del calenta­
dor y relacione cada resistencia térmica con los
parámetros apropiados del sistema
(b) Si h, = 5000 W/m 2 • K y h, = 200 W n r • K,
¿cuál ex la transferencia de calor por unidad de
longitud?
(c) Evalué el efecto de aumentar el número de aletas A
y o el espesor de la aleta i sobre la transferencia de
calor, sujeto a la restricción de que Nr < 50 mm.
3.125 Determine el porcentaje de aumento en transferencia
de calor asociado con el hecho de unir aletas de perfil
rectangular a una pared plana. Las aletas son de 50 mm
3.129 Unas aletas anulares de aluminio de perfil rectal
están unidas a un tubo circular que tiene un dd
externo de 50 mm y una temperatura de superficie i
tema de 200°C. Las aletas tienen 4 mm de esp
15 mm de longitud. El sistema está en aire ambic
una temperatura de 2()°C, y el coeficiente de coi
ción de la superficie es 40 W m2 • K.
(a) ¿Cuales son la eficiencia y efectividad de la¡
(b) Si hay 125 de estas aletas por metro de lo
de tubo, ¿cuál es la transferencia de calor i
dad de longitud del tubo?
3.130 Se instalan aletas anulares de aluminio de 2 ia
espesor y 15 mm de longitud sobre un tubo de
nio de 30 mm de diámetro. Se sabe que la re
de contacto térmico entre una aleta y el tubo es
10 4 n r • k/W. Si la pared del tubo está a lOíffi
fluido contiguo está a 25°C. con un coeficiente del
vección de 75 VV n r • K. ¿cuál es la transterenca
1S9
■ Problemas
calor de una sola aleta? ¿Cuál sería la transferencia
de calor si la resistencia de contacto pudiera e lim i­
narse?
3.131 Se propone entnar con aire los cilindros de una canta­
ra de combustión mediante la unión de una cubierta de
aluminio con aletas angulares (A = 240 W/m • K) a la
pared del cilindro (A = 50 W /m • K
ño y/o las condiuoncsxle operación, de modo que la
disipación de calor aumente mientras m antiene una
tem peratura de la cubierta de 80°C. En palabras, eva­
lúe los m éritos relativos de cada medida. Elija las tres
m edidas que considere más prometedoras, y evalúe de
forma num érica el efecto de los cam bios correspon­
dientes en el diseño y/o en las condiciones de opera­
ción sobre el rendimiento térmico.
r Cubierta de aluminio
r = 2 mm
5 = 2 mm
3.134 Se calienta agua sumergiendo tubos de cobre con pa­
red delgada de 50 mm de diám etro en un tanque y
haciendo pasar gases calientes de combustión (Tg =
750 K) a través de los tubos. Para reforzar la transfe­
rencia de calor al agua, se insertan en cada tubo cuatro
aletas rectas de sección transversal uniforme, para for­
mar una cruz Las aletas tienen un espesor de 5 mm y
también están fabricadas de cobre (A = 400 W /m • K).
50 mm
Ts = 350 K
Agua
Aletas {t = 5 mm)
El aire esta a 320 K > el coeficiente de convección
correspondiente es 100 W /m • K. Aunque el calenta­
miento en la superficie intenta es periódico, es razo­
nable suponer condiciones de estado estable con un
(lujo de calor promedio respecto al tiem po de q" =
|()' W/m Suponiendo una resistencia de contacto
insignificante entre la pared y la cubierta, determine la
temperatura interna de la pared T , la tem peratura de
la interfaz T y la temperatura base de la aleta Th. De­
termine estas temperaturas si la resistencia de contacto
de la interfaz es R" c = 10_ 4m 2 • K/W.
VI32] Considere el cilindro de com bustión enfriado por aire
del problema 3.131. pero en lugar de im poner un flujo
de calor uniforme en la superficie intenta, considere
condiciones para las que la tem peratura prom edio res­
pecto al tiempo de los gases de combustión es / =
ll(K) K. \ el coeficiente de convección correspondiente
es h = 150 W/m 2 • K. Todas las demás condiciones,
incluida la resistencia de contacto cilindro/cubierta,
permanecen iguales. Determine la transferencia de
calor por unidad de longitud del cilindro W ni), así
tomo la temperatura interna del cilindro T , las tem ­
peraturas de las interfaces T 1 ¡ y T¡ f, y la tem peratura
base de la aleta Th Imponga la restricción de que el in­
tervalo entre aletas se lija en 8 = 2 mm. y evalúe el
electo de aumentar el espesor a expensas de reducir
el número de aletas.
7 (Tt
|:(l e| ejemplo 3 10. consideramos un diseño de sum i­
dero de calor y condiciones de operación que m antie­
nen una temperatura de la cubierta de un transm isor
de S()°C. mientras el transistor disipa 1.63 W Identilique todas las medidas posibles para m ejorar el dise­
Pared
del tubo
Si la tem peratura de la superficie del tubo es Ts =
350 K y el coeficiente de convección del lado del gas
es /i? = 30 W /n r • K, ¿cuál es la transferencia de ca­
lor al agua por metro de longitud del tubo?
13.1351 Considere las condiciones del problema 3.134. pero
ahora tenga en cuenta un espesor de la pared del tubo
de 5 mm (diámetros interior y exterior de 50 y 60 mm),
una resistencia térmica de contacto alela-tubo de
10_4in 2 • K/W, y el hecho de que se conozca la tempe­
ratura del agua, TM = 350 K. y no la temperatura de la
superficie del tubo. El coeficiente de convección del
lado del agua es //„, = 2000 W /m 2 • K. Determine la
transferencia de calor por unidad de longitud de tubo
(W /m) al agua ¿Cuáles serán los efectos separados de
cada uno de los siguientes cambios de diseño sobre la
transferencia de calor: (i) eliminación de la resistencia
de contacto; (ii) aumento del número de aletas de cua­
tro a ocho; y (iú) cam biar el material de la pared del
tubo y de la aleta de cobre a acero inoxidable AISI
304(A = 20 W/m • K)?
1.136 Un esquema para calentar de forma concurrente flujos
de agua y aire por separado implica hacerlos pasar a
través de un arreglo de tubos y sobre éste, respectiva­
mente, mientras la pared del tubo se calienta con elec­
tricidad. Para reforzar la transferencia de calor del lado
c-ioin i *-h ^P^b •,B/VlL'3 uyuusj pep¡SJ3A|un
10,1616
3 3LI
Universidad Simón Bolívar - Sede dei Litor?
C apítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
160
un adhesivo dieléctrico que aísla eléctricamente las
aletas de la pared del tubo que conduce electricidad.
Flujo de gas
(a) Suponiendo una generación volum étrica de calor
uniform e dentro de la pared del tubo, obtenga ct
presiones para la transferencia de calor por um
dad de longitud de tubo (W /m ) en las superficie
interna (/-,) y externa (/ ,) de la pared fcxprcsc l
resultados en térm inos de las tem peraturas de
superficies interna > externa del tubo. T, , y T<,
de otros parám etros pertinentes
(b) O btenga expresiones que sirvan para determ
7.i.i y T, #>cn térm inos de los parám etros asoci.
con las condiciones del lado del agua y del aire.
Tubo. <y
Adhesivo. R" (
del gas. se unen alelas anulares de perfil rectangular a
la superficie exlerna del tubo. La unión se Facilita con
| fe) | Considere condiciones para las que el agua y
aire esten a T c x — T. „ = 300 K. con coeficiente <fc
convección correspondientes de h, = 2000 W/r
K y hít — 100 W íti2 • K. L1 calor se disipa de m
ñera uniform e en un tubo de acero inoxida
= 15 W /m • K). que tiene radios interior y
terior r, = 25 mm y r„ = 30 mm, y se unen al
de alum inio (/ = 8 = 2 mm, r, = 55 mm) a la s
perficie externa, con R'¡ t = 10 4m 2 ■ K/A\ De
mine las transferencias de calor y temperaturas
las superficies interna y externa com o función
la rapidez de calentam iento volumétrico q B!
mi te superior para q se determ inara por las rest
ciones de que Ts ¡ no exceda el punto de ebull
del agua ( 100°C) y que T, no exceda la tem
tura de descom posición del adhesivo (250°C).
CAPÍTULO
Conducción bidimensional
en estado estable
162
Capítulo 4 ■ C o n d u cció n hidirnensional en e s ta d o e s ta b le N,
II
asta aquí restringimos nuestra atención a problemas de conducción en los que el
gradiente de temperatura es significativo sólo para una dirección coordenada. Sin em-,
bargo. en muchos casos estos problemas se simplifican enormemente cuando se utili7a
un tratamiento unidimensional y es necesario explicar efectos multidimensionalcs. h
este capítulo examinamos varias técnicas para tratar sistemas bidimcnsionales en con­
diciones de estado estable.
4.1
E n fo </tt es alt ern a tiro s
Considere un solido pnsmátieo largo en el que los efectos de conducción en dos
mensiones son importantes (figura 4.1). Con dos superficies aisladas y las otras a di
rentes temperaturas. 7j > 72, la transferencia de calor por conducción ocurrirá de
superficie 1 a la 2. De acuerdo con la ley de Fourier. ecuación 2.3 o 2 4, el llujo k
de calor en el sólido es un vector que en todas partes es perpendicular a las lineas
temperatura constante ( isoterm as ). Las direcciones del vector flujo de calor se repsentan mediante las líneas de flujo de calor de la figura 4.1. y el vector mismo rev
de los componentes del flujo de calor en las direcciones x y v. Estos componentes
determinados por la ecuación 2 .6 .
Recuerde que. en cualquier análisis de conducción, hay dos objetivos principales,
primero es determinar la distribución de temperaturas en el medio que. para el proble
actual, necesita determinar T (x .y) Este objetivo normalmente se logra resolviendo la f
ma apropiada de la ecuación de calor. Para condiciones de estado estable en dos dim
siones sin generación y con una conductividad térmica constante, esta forma es. de
ecuación 2.16.
d 2T
dx 2
+
d2T
dy
= 0
Í4.
Si la ecuación 4 1 se resuelve para T(x, y), es entonces asunto sencillo satisfacer el
gundo objetivo principal, que es determinar las componentes de flujo de calora/ y
con la aplicación de las ecuaciones de flujo (2.6). Los métodos para resolver laec
ción 4 I incluyen los enfoques analítico . gráfico y num érico (ele diferencias finitas,
elem ento fin ito o de elem ento de frontera).
El método analítico implica obtener una solución matemática exacta a la ecur
4.1. El problema es más difícil que los planteados en el capítulo 3, pues ahora implica
F iG IR A 4 .1
Conducción en dos dimensiones.
i. 2
■ M é t o d o d e s e p a r a r io n d e v a r i a b l e s
ecuación diferencial en derivadas parciales, en lugar de una ordinaria. Aunque se dispone
de varias técnicas para resolver estas ecuaciones, las soluciones implican típicamente se­
nes y funciones matemáticas complicadas que es posible obtener sólo para un conjunto
restringido de geometrías simples y condiciones de Irontera [ 1-5J. No obstante, las solu­
ciones son de valor considerable, pues la variable dependiente T se determina como una
función continua de las variables independientes ( v. v). Por tanto, la solución es útil para
calcular la temperatura en c ualquicr punto de interés en el medio. Para ilustrar la natura­
leza e importancia de las técnicas analíticas, en la sección 4.2 se obtiene una solución
exacta de la ecuación 4 .1 mediante el método de separación de variables.
En contraste con los métodos analíticos, que proporcionan resultados exactos en
cualquier punto, los métodos gráfico y numérico proporcionan solo resultados aproxim a­
dos en puntos di si teros. Sin embargo, como los métodos se adaptan a geometrías comple
jas y condiciones de frontera, a menudo ofrecen los únicos medios para resolver
problemas de conducción multidmiensional. El método grálico. o de trazo del flujo, (sec­
ción 4 3) sirve de estimación aproximada del campo de temperaturas, mientras que el mé­
todo numérico (secciones 4 4 y 4 5) se utiliza para obtener resultados extremadamente
precisos en cuanto a geometrías complejas.
4.2
Método de sep a ra ció n d e variables
A lin de apreciar cómo se aprovecha el método de separación de variables para resolver
problemas de conducción en dos dimensiones, consideremos el sistema de la figura 4.2
Tres lados de la placa rectangular se mantienen a una temperatura constante 7j. mientras
el cuarto lado se mantiene a una temperatura constante T2 9Í T ] Estamos interesados en
la distribución de temperaturas T(x. y), pero para simplificar la solución introducimos la
transformación
T -T x
0= — —r
*2
11
(4 2)
Al sustituir la ecuación 4.2 en la ecuación 4 I, la ecuación diferencial transformada e s
d26
3 20
I x 2 + dC
|
~ 0
(4 3)
r r 2, 0 = 0
F u á ka 4 . 2
Conducción Im hnirnsi nnl en una placa
red ingular.
DEPARTAMENTO DE B lB LlO ítCA
Universidad Simón Bolívar Sede del Litoral
164
Capitulo 1 ■ C o n d u c c ió n b id im e n sio n u l en e s lu d o e s ta b le
Como la ecuación es de segundo orden en x y y. se necesitan dos condiciones de frontera
para cada una de las coordenadas. Éstas son
0(0 . y) = 0
y
0(.v, 0 ) = 0
0
y
0( a ,
tXL, y )
=
W)
= 1
Advierta que, a través de la transformación de la ecuación 4.2, tres de las cuatro co <j
ciones de frontera son ahora homogéneas y el valor de 0 está restringido al intervalo en­
tre 0 y 1 .
Aplicamos ahora la técnica de separación de variables suponiendo que es posible*»
presar la solución deseada como el producto de dos funciones, una de las cuales deper
sólo de .v mientras que la otra depende sólo de y. Es decir, suponemos la existencia i
una solución de la forma
0(.r. y) = X (x) • Y(y)
(4|
Al sustituir en la ecuación 4.3 y dividir entre XV, obtenemos
I d 2X
1 d 2Y
X dx2
Y dy:
y es evidente que la ecuación diferencial es. de hecho, separable. Ls decir, el lado izquic
do de la ecuación depende sólo de .v y ei lado derecho sólo doy. Asi la igualdad seaf
en genera] (para cualquier \ o y) sólo si ambos lados son iguales a la misma constante,j
identificar esta constante de separación — hasta ahora desconocida — como A2, tener
<*2x
dx2
+ Á2X = 0
(41
— \ 2y = o
w
d 2Y
W
y la ecuación diferencial parcial se reduce a dos ecuaciones diferenciales ordinarias./
vierta que la designación de A2 como una constante positiva no fue arbitraria. Si se
cionara un valor negativo o se eligiera un valor A2 = 0, seria fácil demostrar (problema!
que es imposible obtener una solución que satisfaga las condiciones de frontera quesei
tableccn.
Las soluciones generales a las ecuaciones 4.6 y 4.7 son. respectivamente.
X = C| eos Aa + C 2 sen Aa
y
= c y Av + c 4e A»
en cuyo caso la forma general de la solución en dos dimensiones es
(I =
(C, eos A.v + C 2 sen
A a ) ( C V ~ Av + C 4e ~Av)
Al aplicar la condición que 0(0, y) = 0. es evidente que C\ =
to que ü{.\, 0 ) = 0 . obtenemos
C 2 sen A_r(C3 + C4) =
0 . Ademas del requerir
0
que solo se satisface si C 3 = —C4. Aunque el requerimiento también podría satisfac
con C 2 = 0 , esta igualdad eliminaría por completo la dependencia de.\ y por ello i
4 .2 ■ M é to d o d e se p a r a c ió n d e n i n a bles
165
donaría una solución inaceptable. Si recurrimos al requerimiento 0(L, y) = 0. obtene­
mos
C 2C4 sen AL (cx' — e ~Av )=
0
La única forma de satisfacer esta condición (y aun tener una solución aceptable) es hacer
que A tome valores discretos para los que sen AL = 0. Estos valores deben entonces, ser
de la forma
htt
A = ——
n = 1 ,2 ,3 -----
(4.9)
donde se excluye el entero n = 0 pue> proporciona una solución inaceptable. La solución
que se desea se expresa como
b = C 2C4 sen - ~
(4 . 10 )
(enmiL - cnmlL)
Al combinar constantes y reconocer que la nueva constante depende de n, obtenemos
n
t tx
(fx . y) — C„ sen — — senh
n
tt \
donde también hemos utilizado el hecho de que (en7n'L — c"m L) — 2 senh (niryll . ). En la
forma anterior obtuvimos realmente un número infinito de soluciones que satisfacen
la ecuación diferencial original y las condiciones de frontera. Sin embargo, como el pro­
blema es lineal, se obtiene una solución mas general a partir de una superposición de la
forma
Z
(K:
m rx
írnry
Cn sen —j — senh — —
/i=i
L
(4.11)
L
Para determinar C„ aplicamos ahora la condición de frontera restante, que es de la
forma
X Cn sen
„=i
m tx
n tt\V
— — senh — —
L
L
(4 12)
Aunque la ecuación 4.12 parecería ser una relación extremadamente complicada para
evaluar C„, se dispone de un método estándar. Este implica escribir una expansión en se­
rie infinita análoga en términos de fu n c io n es ortogonales. Un conjunto infinito de funcio­
nes £ i ( a ) , g 2(.v), ■■• - ¿'«(-O... - se dice que es ortogonal en el dominio a < v ^ b si
b
Hm (x)gn(x) dx = 0
(4 13)
m ¥^n
í
Muchas funciones exhiben ortogonal idad. incluidas las funciones trigonométricas
sen(/í ttx ¡ L ) y cos(//7tv/L) para 0 < .v < L. Su utilidad en el problema actual radica en el he­
cho de que cualquier función f\ v) se expresa en términos de una serie infinita de funciones
ortogonales
■
yt-v) =
£ A„g,,M
II
(4 14)
1
DE e b l i o t e c a
Universidad Simón R<sií-»*
*“ ** ' 1’*
d epa rta m en to
166
Capitulo I
■
Conducción bidimensional en estado estable
La forma de los coeficientes A n en esta serie se determina multiplicando cada lado de
ecuación por g„ (x) e integrando entre los límites a y b.
rh
"
rh
g n(x) ¿
f ( x ) g n(x) d x =
Ja
Ja
A „gn{x) dx
„=]
(4.15
Sin embargo, de la ecuación 4 13 es evidente que todos excepto uno de los términos ene
lado derecho de la ecuación 4.15 deben ser cero, lo que nos deja con
[ flx ) g n(x) dx = A n \ g;,(x) dx
Ja
Ja
De aquí
S a f(x)g „ (x) d x
(ií
S a g f a ) ¿X
Las propiedades de las funciones ortogonales sirven para resolver la ecuación 4.1
para C„ a través de una serie infinita análoga para la forma apropiada de / ( a ) . De laecu
ción 4 12 se desprende que debemos elegir /(.y) = 1 y la función ortogonal #„(.\) = ¡
(m rx/L). Al sustituir en la ecuación 4 16 obtenemos
L
í
sen
o
ti 7TX
dx
2
L
L
f '
Jo
sen 2
nrrx
( - l ) " +l +
1
n
tt
dx
Por tanto, de la ecuación 4.14. tenemos
“
• =
2
( - l ) " +l +
i - tí
1
n= 1 77
m rx
sen
L
(41
que es simplemente la expansión de la unidad en una sene de Fourier Al comparar,
ecuaciones 4.12 y 4 17obtenemos
2 [ ( - i r i + ii
Aí7rsenh ( httW/L)
o=
n = 1.2.3.
1
ti =
F
k
;i
ka
4 .3
Isotermas para la conduc ( iór» liidimeusional
ei una p a a rec angular
i
4 .3
■
M étodo gráfico
167
Al sustituir la ecuación 4.18 en la ecuación 4.11, obtenemos entonces la solución final
2 A
«(*■ >') =
- 1
( —1)"
1+
1
nirx
Sen
L
senh (m rylL)
ÍTcnh T « « m
(4
,9)
La ecuación 4.19 es una serie convergente, de la que el valor de 0 se calcula para cual­
quier .v y y. Los resultados representativos se muestran en forma de isotermas para un es­
quema de la placa rectangular (figura 4.3). La temperatura T, que corresponde a un valor
de 0, se puede obtener con la ecuación 4.2. En la bibliografía 11-5] se proporcionan solu­
ciones exactas para otras geometrías y condiciones de frontera.
1.3
Método gráfico
El método gráfico se emplea para problemas bidimensionales que incluyen fronteras
adiabáticas e isotérmicas. El planteamiento demanda algo de paciencia y talento artístico
(sin mencionar el uso de papel grueso y una buena goma de borrar) y ha sido reemplaza­
do en gran medida por las soluciones de computadora que se basan en procedimientos nu­
méricos. A pesar de sus limitaciones, el método permite obtener una primera estimación
de la distribución de temperaturas y desarrollar una valoración física de la naturaleza del
campo de temperaturas y del flujo de calor en un sistema.
4*3*1
iYIetOflología de la construcción de una gráfica de flujo
La base del método gráfico viene del hecho de que las líneas de temperatura constante de­
ben ser perpendiculares a las líneas que indican la dirección del flujo de calor (figura 4.1).
El objetivo del método gráfico es construir de manera sistemática dicha red de isotermas
y líneas de flujo de calor. Esta red, normalmente denominada gráfica de flu jo , se usa para
inferir la distribución de temperaturas y el flujo de calor en el sistema.
Considere un canal bidimensional cuadrado cuyas superficies interior y exterior se
mantienen a 7j y 7’2, respectivamente. En la figura 4.4r/ se muestra una sección transver­
sal del canal. Los pasos de un procedimiento para construir la gráfica de flujo, parte de la
cual se muestra en la figura 4.4/?, se enumeran a continuación.
1. El primer paso en cualquier gráfica de flujo debe ser la identificación de todas las lí­
neas de sim etría relevantes. Estas líneas se determinan por condiciones térmicas así
como por condiciones geométricas Para el canal cuadrado de la figura 4.4¿/, estas lí­
neas incluyen las verticales, horizontales y diagonales que se designan Por tanto, pa­
ra este sistema es posible consideiar sólo un octavo de la configuración, como se
muestra en la figura 4.4/?.
2. Las lineas de sim etría son adiabáth as en el sentido de que quizá no haya transferen­
cia de calor en una dirección perpendicular a las lineas Por tanto, son lineas de flujo
de calor y deben tratarse como tales. Como no hay flujo de caloren una dirección per­
pendicular a la línea de flujo de calor, esta línea se denomina adiabática.
d epa rta m en to
de
b i b l io t e c a
Universidad Simón Bolívar - Sede del Litoral
168
C a p ít u lo t ■
(.inuiurrit'm hidimensitmul vn estada estable
A.»
F h .I H\ I . I
(
_
Itiilimi n*ioiml t*n un «.-«mal cuatlnulo tic longitud /. (a) Plano»
d«- simetría. (//) Gráfica de- flujo. (<) C «adrad»)» u n ilínco típico.
3. Después de que todas las lincas conocidas de temperatura constante asocia
las fronteras del sistema hayan sido identificadas, debe hacerse un intento de
líneas de temperatura constante dentro del sistema. Advierta que las isoiemu:
pre deben ser perpendiculares a las adiabáticas.
4. La> líneas de flu jo de calor deben entonces dibujarse con la finalidad de crear
de cuadrados i urvilíneos. Esto se logra haciendo que las ¡meas de flujo deca
isoterm as se intersequen en Angulos rectos y que todos los lados de c a d a m
sean de aproxim adam ente la m ism a longitud. A menudo es imposible satisface*
segundo requerimiento con exactitud, y resulta más realista procurar la eqim
entre las sumas de los lados opuestos de cada cuadrado, como se muestra en
ra 4.4c. Al asignar la coordenada v a la dirección del flujo de calor y la eoord
a la dirección normal a este flujo, el requerimiento se expresa como
ab + cd
A_t =
ac + bd
~ Av = ----- ------
Es difícil crear una red satisfactoria de cuadrados curvilíneos al primer ¡mentí
frecuencia deben realizarse numerosas iteraciones. I ste proceso de ensayo y error
ca ajustar las isotermas y adiabáticas hasta que se obtienen cuadrados curvilínr
factorios para la mayor parte de la red .1 Una vez que se logra la gráfica de flujo, se
para inferir la distribución de temperaturas en el medio. A partir de un análisis
puede obtenerse la transferencia de calor.
hn cierta» regiones, como las esquinas, tal vez sea imposible aproximarse a los requerimientos del cuadrad»
Sin embargo, estas dificultades por lo general tienen poco electo sobre la precisión global de los resultados que tí
la griíficK de flujo
4 .3
■
4 .3 .2
M étodo gráfico
169
D e te r m in a c ió n (le la tr a n sfe r e n c ia d e ca lo r
La rapidez a la que se conduce energía a través de una banda, que es la región entre adia­
báticas contiguas, se designa como q . Si la gráfica de flujo se construye de forma apropia­
da, el valor de q será el mismo para todas las bandas y la transferencia de calor se expresa
como
M
q=
1=1
= Mci>
<4 2 1 )
donde M es el num ero de bandas asociado con la gráfica. A partir del cuadrado curvilíneo
de la figura 4 4c y aplicando la ley de Fourier, q, se expresa como
A Tt
A7.
~ k (A y • l) —
q, * k A t —
(4 22)
donde A7 es la dilereneia de temperaturas entre isotermas sucesivas. A, es el area de
transferencia de calor por conducción para la banda y / es la longitud del canal normal a
la página. Sin embargo, si la gráfica de flujo está construida de forma apropiada, el incre­
mento de temperatura es el mismo para todas las isotermas contiguas, y la diferencia glo­
bal de temperaturas entre las fronteras, A7, 2. se expresa como
N
A7-,_2 = 2
A T , = N A T y(4.23)
j= I
donde N es el número total de incrementos de temperatura. Al combinar las ecuaciones
4.21 a 4 23 y reconocer que A.\ Ay para cuadrados curvilíneos, obtenemos
La manera en que se aprovecha una gráfica de flujo para obtener la transferencia de
calor en un sistema bidimensional es evidente según se muestra en la ecuación 4 24. La
razón aritmética entre el número de bandas de flujo de calor y el numero de incrementos
de temperatura (el valor de M /N) se obtiene de la gráfica Recuerde que la especificación de
N se basa en el paso 3 del procedimiento anterior, y el valor, que es un entero, se hara
grande o pequeño dependiendo de la precisión que se desea F1 valor de M es entonces una
consecuencia de seguir el paso 4. Note que M no necesariamente es un entero, pues se ne­
cesitara una fracción de banda para llegar a una red satisfactoria de cuadrados curvilíneos.
Para la red de la figura 4 A b, N = 6 y M = 5. Por supuesto, conforme la red, o m alla , de cua
drados curvilíneos se hace más fina, N y M aumentan y la estimación de M !N se hace mas
exacta
Factor de forma de conducción
La ecuación 4.24 es útil para definir el fa( tot de fin nía , S, de un sistema bidimensional. Es
decir, la transferencia de calor puede expresarse como
q = Sk A 7 |_2
(4.25)
d epa rta m en to
de
b ib l io t e c a
Universidad Simón Bol t .■ Sn-i#.
Capitulo 4 ■ C o n d u cció n bidiruensional en e s ta d o e s ta b le
170
donde, para una gráfica de flujo.
MI
(4.26)
N
De 11 ecuación 4.25, también se sigue que una
se expresa como
r e s is te n c ia ci( c a n d ín i io n b id im en sia m
1
R
(4.27*
’s k
Se han obtenido factores de forma para numerosos sistemas bidimensionales, v losraJ
sultados se resumen en la tabla 4.1 para algunas con figuraciones comunes. En cada caá
se supone que la conducción bidimensional ocune entre las fronteras que se mantienen]
temperaturas uniformes, con A7,1_2 = 7", —7V También es posible definir factores de fc
ma para geometrías unidimensionales y, de los resultados de la tabla 3.3, se sigue quep
paredes planas cilindricas y esféricas los factores de forma son. respectivamente. M
27rL/\n(r2/ r \). y Arn^rdO 'j ~ r i). Se dispone de resultados para muchas otras conligurr
nes [6-9].
T a IU A 4 . 1
f .k:lores de fonn i dt c< nd u t ion p u i sistem as bidim ensionales seleec ¡oí dos
\q = m rl\ - T2)]
Sistema
Esquema
Caso 1
Restricciones
I actor de forma
z > D!2
I ttD
T2
Esfera isotérmica enterrada en
un medio semiinfinito
1 - D/4z J
r r
D
72-1
Caso 2
D
1
Cilindro isotern ico horizontal
de longitud L enterrado en un
medio semiinfinito
Caso 3
2 7tL
cosh 1 (2dD)
L$> D
2itL
z> 3D 2
ln (4zJD)
7*2
Cilindro vertical en un medio
semiinfinito
T
T\
j
i
i
2 ttL
t
/.
1
i
In{4UD)
o
Caso 4
Conduceiói entre dos
cilindros de longitud L en
un medio infinito
D\
r
i
02
i
f
L
D ,. D 2
L $> ve
2 ttL
¡ 4w2 - D]
cosh 1 —
2D,D3
Caso 5
Cilindro circular horizontal
de longitud L en medio de
planos paralelos de igual
longitud y ancho infinito
Z>D 2
L > z
2 ttL
I..J ■ Método fgrújiro
I
T ib í \ i . I
Continuación
Sistema
Esquema
Cas» 6
r
Cilindro circular de longitud L
centrado en un solido cuadrado
de igual longitud
Restricciones
Factor de forma
r2
27tL
ln (1.08 w /D )
Cas» 7
Cilindro circular excéntrico
de longitud L en un cilindro de
igual longitud
27tL
D > d
L>D
ÍD 2 + < P -4 z2
COSh
( as» 8
W iT ~
[
Conducción a través de la esquina
de paredes contiguas
D > U5
0.54 D
( aso 9
Conducción entre la esquina
de tres paredes con diferencia
Je temperaturas 1 T ] _2
através de las paredes
L ^ longitud
y ancho de la pared
0.1 5L
Caso 10
Dixo de diámetro D y T ] sobre
un medio semiinfinito de
conductividad térmica Ay T2
Ninguna
F j k w i .o
2D
4 .1
Se hace un orificio de diámetro D = 0.25 m a través del centro de un bloque sólido de
sección transversal cuadrada con w = 1 m por lado. El orificio se hace a lo largo de la
longitud, / = 2 m, del bloque, que tiene una conductividad térmica de A = 150 W/m • K.
Un fluido caliente que pasa por el orificio mantiene la superficie interna a una tempera­
tura /'| = 75°C, mientras que la superficie externa del bloque se conserva a T2 = 25°C.
1. Con el método de la gráfica de flujo, determine el factor de forma para el sistema.
2. ¿Cuál es la transferencia de calor a través del bloque?
S o l u c ió n
Dimensiones y conductividad térmica de un bloque con un orificio circular
practicado a lo largo de su longitud.
S e co n o c e :
C a p ít u lo t
■
Conducción biditncnsional cn estado estable
E n c o n tr a r :
1.
I actor de forma.
2. La transferencia de calor para las temperaturas superficiales que se establecen.
E sq u e m a :
S u p o sic io n e s :
1. Condiciones de estado estable.
2. Conducción bidimcnsional.
3. Propiedades constantes.
4. I^ys extremos de los bloques están bien aislados.
A n á lisis :
1. La gráfica de flujo se simplifica identificando líneas de simetría y reduciendo el
tema al octavo de sección que se muestra en el esquema. La gráfica de flujo se
ró con una red bastante burda que implica N = 6 incrementos de temperatura. U
resultante de cuadrados curvilíneos es como sigue.
Línea de s metr a
\
Con el numero de bandas de llujo de caloi para la sección que corresponde a
se sigue de la ecuación 4 26 que el factor de forma para el bloque entero es
3
MI
5 = 8 —
N
= 8
2m
X
6
= 8 in
donde el factor 8 resulta del número de secciones simétricas. La exactitud de/
sultado se determina mediante la referencia a la tabla 4.1, en la cual, en cuan»
tema establecido, se desprende que
27tL
5 =
ln (1.08 veID )
2 tt X 2 m
ln (1.08
X
1 m/0.25 m)
= 8.59 m
4.4- ■
173
Ecuaciones de diferencias Jinitas
En consecuencia, el resultado de la gráfica de (lujo predice aproximadamente 1% por
debajo el factor de forma. Advierta que, aunque el requerimiento / > ve no se satisfa­
ce para este problema, el factor de forma que resulta de la tabla 4 1 es válido si hay
una conducción axial insignificante en el bloque. Esta condición se satislace si los
extremos están aislados
2. Utilizando S = 8.59 m con la ecuación 4 25. la transferencia de calor es
q = S k (T x - 72)
q = 8.59 m X 150 W/m • K (75 - 25)°C = 64.4 kW
<
La precisión de la gráfica de flujo se me jorará usando una red más fina
(aumentando el valor de N). ¿ Como cambiarían las líneas de simetría y de flujo de ealor si
los lados verticales se aislaran? ¿Si un lado vertical y uno horizontal estuvieran aislados?
¿Si ambos verticales y uno horizontal se aislaran?
C o m e n ta rio s:
1.4
E c u a c io n e s
de diferencias fin ita s
Como pudimos ver en las secciones 4.1 y 4.2, los métodos analíticos, en ciertos casos,
sirven para obtener soluciones matemáticas exactas a problemas de conducción bidimcnsional en estado estable. Estas soluciones se generan para una variedad de geometrías
simples y condiciones de frontera, y están bien documentadas en muchas publicaciones
[1-5]. Sin embargo, con frecuencia los problemas bidimensionales implican geometrías
v/o condiciones de frontera que excluyen este tipo de soluciones. En estos casos, la mejor
alternativa es a menudo la que utiliza una técnica num érica como lo es el método de dife­
rencias finitas. del elem ento fin ito o del elem ento de frontera. Debido a la facilidad de su
aplicación, el método de diferencias finitas es adecuado para un tratamiento introductorio
de las técnicas numéricas.
4 .4 .1
Red nodal
En contraste con una solución analítica, que permite la determinación de la temperatura
en cualquier punto de interés en un medio, una solución numérica permite determinar la
temperatura sólo en puntos disi retos. El primer paso en cualquier análisis numérico debe
ser. por tanto, seleccionar estos puntos Con referencia a la figura 4 5, esto se hace al sub
dividir el medio de interés en un número de pequeñas regiones y asignar a cada una un
punto de referencia en su centro. El punto de referencia suele denominarse punto nodal (o
simplemente nodo), y el agregado de puntos se conoce como red nodal, malla o rejilla.
Los puntos nodales se designan por un esquema numérico que. para un sistema bidimen
sional. toman la forma que se muestra en la figura 4 5a. Las posiciones \ y v se designan
con lo^ índices m y n. respectivamente.
Cada nodo representa cierta región, y su temperatura es una medida de la temperatu
ra prom edio de la región. Por ejemplo, la temperatura del nodo m . n de la figura 4.5 a se ve
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
Universidad Simón Bolívar Sede
i Of fl
Capítulo I- ■ C o n d u cció n b id im en sio n a l en e s ta d o e s ta b le
ni. n + 1
m. n
X
_J
(«)
— 1 n m 1. n
DT
dx
T m,
ni —112. n
DT
Dx
-T
T[x)
m-
ni + 1, n
I
m. n —1
1
Ax
_ T
m+ \. n - T m, n
ni + 1/2, n
Ax
(h)
FIGURA 1 .5
(b) Aproximación
Conducción hiriimensional. (a) Hcd nodal,
por diferencias
finitas.
como la temperatura promedio del área sombreada circundante. La selección de p
nodales rara vez es arbitraria y, a menudo, depende de cuestiones como la convenie'
geométrica y la precisión que se desea. La precisión deseada de los cálculos dependa
gran medida del número de puntos nodales designados. Si este número es grande i!
m alla fin a ) es posible obtener soluciones extremadamente precisas.
4*4*2
Forma de diferencias finitas de la ecuación de
calor
La determinación numérica de la distribución de temperaturas dicta que se escribiré
ecuación de conservación apropiada para cada uno de los puntos nodales de tempe,
desconocida. El conjunto de ecuaciones resultante se resuelve de manera simultái a
la temperatura en eada nodo. Para cualquier nodo interior de un sistema bidimensio
generación y de conductividad térmica uniforme, la forma exacta del requerimie
conservación de la energía está dada por la ecuación de calor, ecuación 4 .1 . Sin em
si el sistema se caracteriza en términos de una red nodal, es necesario trabajar con
ma aproxim ada , o de diferencias fin ita s , de esta ecuación.
Una ecuación de diferencias finitas adecuada para los nodos interiores de un>
bidimcnsional se infiere directamente a partir de la ecuación 4 .1 . Considere las
derivada, d2T/dx2. De la figura 4.5 b, el valor de esta derivada en el punto nodal/?;
aproxima eomo
d 2t
a?
\
DTIDx
i/2, „
Ax
DTlDx
i/2
„
I. 1 ■ E c u a c ió n *’s d e d ife re n c ia s Jim ias
Los gradientes de temperatura se expresan, a su vez, como función de las temperaturas
nodales. Es decir,
T ni 4- 1. n — TMni. n
dr
d7
T
* m .n — 1Tm —1. n
dT
d7
(4.29)
A*
m + 1/ 2 . n
(4.30)
Ax
n i — 1/2. i
Al sustituir las ecuaciones 4.29 y 4.30 en la 4.28. obtenemos
T
1ni + 1. n 4 - *Tm* I. n — ~>T
Mm, n
A2
(Av)
d2r
a i7
(4.31)
Si se procede de manera similar, se muestra fácilmente que
a2r
a>.2
1/2
-
dTIdyL . „
1/2
Av
m. n
T
* m, n +
1 4-
*T m, n—1 — ~>Tm, /i
(4.32)
(A.v)2
Con una red para la que *A\ = A v y sustituyendo las ecuaciones 4 .3 1 y 4.32 en la ecuación
4 1, obtenemos
Tm.n t i +
1 + r /«+ l.n + T.n i-\.n
m. n —
0
(4.33)
De ahí que para el nodo m . n la ecuación de calor, que es una ecuación diferencial exacta.
se reduzca a una ecuación algebran a aproxim ada Esta fo rm a aproxim ada en diferencias
ju n ta s de la ecuación de calor se aplica a cualquier nodo interior que sea equidistante de
sus cuatro nodos vecinos. Simplemente requiere que la suma de las temperaturas asocia
das con los nodos vecinos sea cuatro veces la temperatura de interés.
4 .4 .3
Metcnlo del balance de energía
La ecuación en diferencias finitas para un nodo también se obtiene aplicando la conserva­
ción de la energía a un volumen de control alrededor de la región nodal. Como la dirección
real del flujo de calor (dentro o fuera del nodo) a menudo se desconoce, es conveniente
formular el balance de energía suponiendo que todo el flujo de calor es hacia el nodo Tal
condición es. por supuesto, imposible, pero si las ecuaciones de flujo se expresan de ma
ñera congruente con esta suposición, se obtiene la forma correcta de la ecuación de dife­
rencias finitas. Para condiciones de estado estable con generación, la forma apropiada de
la ecuación 1.11 a es entonces
¿ cnl 4- £’g = 0
(4.34)
Considere la aplicación de la ecuación 4 34 a un volumen de control alrededor del
nodo interior m , n de la figura 4.6. Para condiciones bidimensionales, el intercambio de
energía está influido por la conducción entre rn. n y sus cuatro nodos contiguos, así como
también por la generación Por tanto, la ecuación 4.34 se reduce a
¿ <7<0 -¡m.n) + <7(Av • Ay • 1) = 0
/=!
nCDART AM ENTO DE BIBLIO TECA
Capítulo I ■ C o n d u c c ió n b id im e n sio n a l en e s ta d o e s ta b le
1
Av
J
F n a r a 4,(>
Conducción a un nodo interior desde su* nodos
contiguos.
donde i se refiere a los nodos vecinos,
n) es la transferencia por conducción
nodos, y se supone profundidad unitaria. Para evaluar los términos de la rapidez de
ducción. suponem os que la transferencia por conducción ocurre de manera exclusiva
las bandas que se orientan en la dirección voy. Por tanto, es posible usar las formasii
plificadas de la ley de Fourier. Por ejemplo, la rapidez a la que se transfiere la energíir
conducción del nodo m — 1 , n a m , n se expresa como
i/ A
^ ( m - l . / i ) — (m.n) ~
* (& }’ '
0
Tm
—T
1 m,
- \ . n
n
^
(4
l^a cantidad (Av • 1) es el área de transferencia de calor, y el término
j „ —T_,^
es la aproximación en diferencias finitas del gradiente de temperatura en la fronterat
los dos nodos. Las velocidades de conducción restantes expresan como
T
— T
* m+ 1 n
* m .n
Ax
Qim, n +
1) —
*(m. n)
n—1) —»Im, n)
&(Ax 1)
T
* m ,n + \ — Tni
1)
(4
Ay
T
1 m, n — 1
^ (A x
n
Av
T
* m, n
(4.
Advierta que al evaluar cada rapidez de conducción, restamos la temperatura del
m , n de la temperatuia del nodo contiguo. Esta convención se necesita por la suposx
del flujo de calor en rn. n y es congruente con la dirección de las flechas que se mu
en la figura 4.6. Al sustituir las ecuaciones 4.35 a 4 38 en el balance de energía y r<r
que A \ = Ay, se sigue que la ecuación en diferencias finitas para un nodo interior con
ncración es
Tm. n+ 1 +
c t(\x )2
+ Tm+Un + r m_ Iin +
Si no hay una fuente de energía internamente distribuida (¿/ = 0 ), esta expresión se
ce a la ecuación 4.33.
Es importante considerar que una ecuación en diferencias finitas es necesaria
cada punto nodal en el que la temperatura es desconocida Sin embargo, no siempreex
1.1- ■
177
Ecuaciones de diferencias Jinitas
sihle clasificar la totalidad de estos puntos como interiores y por ello usar la ecuación 4.33
o la 4.39. Por ejemplo, la temperatura tal ve/ sea desconocida en una superficie aislada o
en una superficie que se expone a condiciones convectivas. Para puntos sobre este tipo de
superficies, la ecuación cn diferencias finitas debe obtenerse aplicando el método de ba­
lance de energía.
Para ilustrar este método, examine el nodo que corresponde a la esquina interna de la
figura 4.7. Este nodo representa la sección sombreada de tres cuartos e intercambia ener­
gía por convección con un fluido contiguo a 7**. La conducción a la región nodal (ni. n)
ocurrirá a lo largo de cuatro bandas diferentes desde los nodos vecinos en el sólido. Las
transferencias de calor por conducción ^ cond se expresan como
., T* m—l.n — T
J m,n
<7<m- 1.«) - ím. „) = *(Av • 1)
—
(4.40)
T m.u+1— T
x m.n
1 ) -------------
(4.41)
,, a
<?(„.
=
_
.v
A
/A v
,
2
»(m.n)
»
(m.n) —
&
l A-r
í 2
, . , . .
, \ Tm + - r m,„
* I
AAjc
\ T„,
J
(4.4-)
- T
* m,n
¡\y
(4.43)
Observe que las áreas para conducción de las regiones nodales {ni — 1 . //) y {ni, n + 1)
son proporcionales a Ay y Av, respectivamente, mientras que la conducción de {ni + 1 , n)
y (ni. n — 1 ) ocurre de manera correspondiente a lo largo de las bandas de ancho medio
Av/2 y Av/2.
Ln la> condiciones en la región nodal m. n también influye el intercambio convectivo
con el fluido, y se considera que este intercambio ocurre a lo largo de medias bandas en
las direcciones i y v. La transferencia total por convección <yCünv se expresa como
h^
9 , - , =
• i ) (T„ -
f y
• 1j
Ln esta expresión está implícita la suposición de que las superficies expuestas en la es­
quina se encuentran a una temperatura uniforme que corresponde a la temperatura nodal
Tm Esta suposición es congruente con el concepto de que toda la región nodal está ca­
racterizada por una sola temperatura, que representa un promedio de la distribución real
<7cond
I* Vconv
F ia iía L 7
Fui ululación de la ecuación cn difcieueias Imitas para
una esquina interna de un sólido con convección
de superficie.
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
Ullfvursldml Siiiiüii uonwa# • SotítJ u
- (4.44)
178
Capítulo 1
T A B LA
1 .2
■
Conducción bidimensumul en estado estable
Resum en de ecuaciones nodales en d iferencias finitas
Configuración
Ecuación en diferencias finitas para A a- = Ay
m.#» + 1
m + 1. n
4 r„.„
- o
(4.
Caso 1 Nodo interior
Ax —
wi + 1 . n
2(Tm- hn + Tm n+l) + {Tm+X n + Tm
h Ax
h Ar
+ 2 ■ ■7L
T
*oo - 2^3 +
* m. n = 0v
m
k
Caso 2 Nodo en una esquina interna con convección
1
2h Ax
7W»
(2Tm-l.n + Tm.n+l +
.n-l) +
^
/i Ajc
T.
- 2(
^
+
2
7^ =
0
(4.
Caso 3 Nodo en una superficie plana con convección
1
— 1. H
. I
y
h Ax
(h Ax
(Tn,.n-y + Tm_ Un) + 2 — — T ^ - 2 f — Y ~
\
+ 1 ) Tm n ~ 0
Í4.i
m, n
Caso 4 Nodo en una esquina externa con convección
m—
(27’w_,.„ + Tmn+l + Tm
+
2q" Ax
~
4 Tmn = 0
(4.
Caso 5 Nodo en una superficie plana con flujo de calor uniforme
1
P a r a o b te n e r la e c u a c ió n en d ife r e n c ia s fin ita s p a ra un a s u p e r fic ie a d ia b á tic a (o s u p e r fic ie d e s im e tr ía ), s im p le m e n te h a g a
h o q" igual a
1.1
■
Ecuaciones tic diferencias j u i l a s
de temperaturas en la región. En ausencia de efectos transitorios, tridimensionales y de
generación, la conservación de la energía, ecuación 4.34. requiere que la suma de las
ecuaciones 4.40 a 4.44 sea cero. Al sumar estas ecuaciones > reacomodar, obtenemos
h \x
T m - i . „ + T m n+ , + h{Tm¥X n + T m n_ , ) + — —
/
Tx -
í3
h \x \
4-
— j — J Tm n = 0
t
(4.45)
donde nuevamente la malla es tal que Aa = A\.
Las ecuaciones nodales del balance de energía concernientes a varias geometrías co­
munes se presentan en la tabla 4 2.
E je m p l o 4 . 2
Con el método del balance de energía, derive la ecuación en diferencias fin ita s para el
punto nodal n i. n localizado en una superficie plana aislada de un medio con generación
uniforme de calor.
S o l í c ió n
S e conoce:
Red de puntos nodales contiguos a una superficie aislada.
E n c o n tr a r :
licuación en diferencias finitas para el punto nodal superficial.
E squem a:
1
m. n +
— Superficie aislada
k.q
mn
v. n
ni
:
91
93
(normal al papel)
i
1________I
■a . m
I Ay = A.t
Av Profundidad unitaria
t
92
ni. n — 1
S u p o s ic io n e s :
1. Condiciones de estado estable.
2. Conducción bidimensional.
3. Propiedades constantes.
4. Generación uniforme de calor interno.
DEPARTAMENTO DE BIBLIG
Universidad Simón Bolívar S*ni
Capítulo I
■
Conducción biditnensioiud en estado estable
Al aplicar el requerimiento de conservación de la energía, ecuación 4.34, a |¡
superficie de control alrededor de la región (Ai 2 • A\ 1 ) asociada con el nodo m , n, se si
gue que, con generación volumétrica de calor a una velocidad q.
A n á lis is :
<i\
+
<¡2 + <?3 + </4+
* Ay • 1j = 0
q
donde
q x = k(A y • 1)
A*
H2
k
q3
o
q4
k
1
T m — I. n — T m , n
Ax
\
)
T m. n -
\\ T‘ m. n f
1
_
T* m, n
Ay
T m, n
I
Ay
Al sustituir en el balance de energía > dividir entre 172. se sigue que
á { A x ■Ay)
27'„,_l.„ +
+ Tm
7-------
, - 4 T m,„ +
=
0
C o m e n ta r io s : TI mismo resultado se obtendría usando la condición de simetif
T„,+l n = 7WI_| W
, con la ecuación en diferencias finitas (ecuación 4.39) para un punto no­
dal interior. Si ¿¡ = 0, el resultado que se desea se lograría al hacer h = 0 .n laecuac
4.46 (tabla 4 2).
Es útil notar que las transferencias de calor entre nodos contiguos también se formulan
términos de las resistencias térmicas correspondientes Con referencia, por ejemplo.;
figura 4.7, la transferencia de calor por conducción del nodo {ni - 1, n) al {m, n) se ex
sa como
t
* m
—I . /i
—T
* rn.n
T
1 m
* 7 (/ n — 1 . n ) —* ( m , n )
R,
—
1, n
— T1 r n , n
A x / k ( A \ *1)
cond
que da un resultado equivalente al de la ecuación 4.4(). De manera similar, la transfe
cia de calor por convección a (/;/. n) se expresa como
T
'» - T
* m, n
*7( 00) —♦ (,n. n)
conv
T
1* - T
1 ni, n
[ h \(\x l2 ) •
1
+ (Av/2) -
1 1 }- i
que es equivalente a la ecuación 4.44.
Como ejemplo de la utilidad de los conceptos de resistencia, considere una i.
que separa dos materiales diferentes y que se caracteriza por una resistencia tcrmic
contacto Hr¡ t (figura 4.8) La transferencia de calor del nodo (m.//) al ( / » ,/ / - 1) se cr
sa como
4 .5
■
Solución de los ecuaciones de diferencias finitas
181
Material A
-X V
Av
I
Material B
Ag
F igura 4 . 8
i
Conducción entre materiales diferentes contiguo* con una
resistencia (le contacto en la interfuz.
donde, para una profundidad unitaria,
A y /2
/:A(Aa' - l )
R"t c
Ajc •
A y /2
1
(4 50)
&b(Aa * 1)
Una vez que se establece la red nodal y se escribe una ecuación en diferencias finitas apro­
piada para cada nodo, es posible determinar la distribución de temperaturas. El problema
se reduce a resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales. Se dispone de nume­
rosos métodos para este proposito y se clasifican como directos o iterativos. Los métodos
directos implican un numero fijo predeterminado de operaciones aritméticas y su uso es
adecuado cuando el número de ecuaciones (temperaturas nodales desconocidas) es pe­
queño Sin embargo, estos métodos están sujetos a requerimientos excesivos de memona
y tiempo de computadora, y a menudo es mas eficiente usar una técnica iterativa Aunque
no es posible predeterminar el número requerido de operaciones aritméticas, los métodos
iterativos se caracterizan por requerimientos reducidos de computadora y son especial­
mente apropiados cuando el numero de ecuaciones es grande.
En esta sección consideramos la inversión de matrices y el método de Gauss-Seidel
como ejemplos de los métodos directo e iterativo, respectivamente. En muchas publica­
ciones [ 10 , 111 , se encuentran descripciones más detalladas de estos procedimientos, así
como de algoritmos relativos a ellos.
4 .5 .1
Método de inversión «le matrices
Considere un sistema de N ecuaciones algebraicas generado por diferencias finitas que
corresponden a N tempei aturas desconocidas Identifique los nodos mediante un solo sub­
índice entero, en lugar del doble subíndice (ni /?), el procedimiento para llevar a cabo una
inversión de matrices comienza por la expresión de las ecuaciones como
ü u T i
+
¿71
2^2
4"
+
•••
+
c ixsT
n
C
i
a 2\T\ ~ a 22^2 4" ü23^3 4~ *•' + ü 2¡JTN = C 2
aN\T\ 4" fl/v2^2 4“
+ ••• + aNNTN
CN
d epa rta m en to
( 4 .5 1 )
de
b ib l io t e c a
Universidad oiIuj »uo..*ar - Sedt
Capítulo 4 ■ C o n d u cció n b id im en sio n a l en e s ta d o e s ta b le
donde las cantidades a n , a x2
C j.. . . son coeficientes y constantes conocidos que i
phcan cantidades como Aa, k , h y
Con la notación matricial, estas ecuaciones sce.
presan como
(4.52
[A\\T] = [C]
donde
a *¡\
a N2
a NN
.
T„.
•
C =
O ••
A =
• • •
1
a 22
l
^12
5 %
si a
«11
a 21
1
18 2
La m atriz de coeficientes \A \ es cuadrada (/V X N). y sus elem entos se designan conu¡
notación de doble subíndice, en la que el primer y segundo subíndices se refieren a r
glones y columnas, respectivamente. Las matrices [T J y [C| tienen una sola columna
conocen como Víctores colum na , y suele llamárseles vectores solución y del lado^
cha, respectivamente. Si la multiplicación de matrices implicada por el lado izquierdo
la ecuación 4.52 se lleva a cabo, se obtiene la ecuación 4.51.
El vector solución se expresa ahora como
(4.5
\T] = [A ]-'[C ]
donde [A\
1 es la inversa de [A] y se define como
[A )~ l -
£11
b \2
b 2\
£22
b \N
^2N
•
•
^N\
b N2
”•
b¡\'N _
Al evaluar el lado derecho de la ecuación 4.53, se sigue que
T x — b xlC x + b l2C2 + ••• + £ NCN
^2
=
^21 Ci
b22C2 + *■* + b 2NCN
T n — b NXC x + b N2C2 + ••• + bNNCfr
(4
y el problema se reduce a determinar |/VJ-1. Es decir, si [/\J se invierte, sus elementos
b \ 2, . . . se determinan y las temperaturas desconocidas se calculan de las expresión
teriores.
La inversión de matrices se lleva a cabo fácilmente en una calculadora progra
o una computadora personal, dependiendo del tamaño de la matriz Por tanto, el m'
proporciona un medio conveniente para resolver problemas de conducción bidime
nal. A pesar de esta ventaja, la inversión de matrices rara vez es numéricamente efio
y a menudo es preferible usar un procedimiento numérico iterativo
4 .5 .2
Iteración de Gau»s-Seidel
El método de Gauss-Seidel es una técnica iterativa poderosa y popular en extrema
aplicación del sistema de ecuaciones representada por la ecuación 4.51 se facilita
siguiente procedimiento.
4 .5
■
Salación tic las ecuaciones de diferencias finitas
18 3
1. En la medida de lo posible, las ecuaciones deben reordenarse para proporcionar ele­
mentos diagonales cuyas magnitudes sean mayores que las de otros elementos en la
misma fila o renglón Es decir, es deseable ordenar las ecuaciones de modo que |¿7t i| >
a l2 , t f n ’ • • • * a \N • |t í22Í
a 2\ > \a 23\-> • ■ ■ ' a 2N * >'
sucesivamente.
2. Después de reordenar, hay que escribir cada una de las N ecuaciones en forma explí­
cita para la temperatura asociada con su elemento diagonal. Cada temperatura en el
vector solución será de la forma
donde i = 1.2
El superíndice k se refiere al nivel de iteración.
3. Se supone un valor inicial (k — 0) para cada temperatura I). Los siguientes cálculos
pueden reducirse mediante la selección de valores basados en estimaciones racio­
nales.
4. Los valores nuevos de T, se calculan sustituyendo los valores supuestos (k = 0) o
nuevos (k = 1) de Tj en el lado derecho de la ecuación 4.55. Este paso es la primera
iteración (k = 1 ).
5. Utilizando la ecuación 4.55, se continúa con el procedimiento de iteración calculan­
do valores nuevos de T [f a partir de los valores 7 ^ de la iteración actual, donde 1 <
7 < / —1 , y los valores T (j 1 de la iteración previa, donde / + 1 < y < /V.
6.
L.a iteración termina cuando se satisface un griterío de convergencia establecido. El
criterio se expresa como
\T f -
donde
e
<e
(4.56)
representa un error en la temperatura, que se considera aceptable.
Si el paso 1 se lleva a cabo para cada ecuación, el sistema que resulta se dice que es
diagonalm ente dom inante , y la velocidad de convergencia se maximiza (el número re­
querido de iteraciones se minimiza). Sin embargo, también se logra la convergencia en
muchas situaciones para las que no es posible obtener el dominio diagonal, aunque se
aminora la velocidad de convergencia. La manera en la que valores nuevos de T, se calcu­
lan (pasos 4 y 5) también debe notarse. Debido a que para una iteración particular los T¡
se calculan de forma secuencia!, cada valor se calcula con las estimac iones m ás recientes
de otro Tr Esta característica está implícita en la ecuación 4.55, donde el valor de cada in­
cógnita se actualiza tan pronto como es posible, es decir para 1 < / ' < / — I.
E jem plo 4 . 3
Un homo industrial grande se apoya sobre una columna larga de ladrillo de arcilla refrac­
taria, que tiene 1 X 1 m en un lado. Durante la operación en estado estable, la instalación
es tal que tres superficies de la columna se mantienen a 500 K mientras que la superficie
restante se expone a un flujo de aire para el que T x = 300 K y h = 10 W/m 2 • K. Con un
enmallado de A.v = Ay = 0.25 m, determine la distribución de temperaturas bidimensional en la columna y la transferencia de calor al flujo de aire por unidad de longitud de la
columna.
DEPAFTTAMENTO M BIBLIOTECA
Universidad otiooii uuuvjr Sede
18 t
Conducción bidinwnsional en estado estable
C a p it u lo 1 ■
S oi.l ( ION
S e conoce:
Dimensiones y condiciones de superficie de una columna de apoyo.
E n c o n tr a r :
Distribución de temperaturas y la transferencia de calor por unidad de lon­
gitud.
E squem a:
-► Ts = 300 K
/* = 10 W/m? • K
*
S u p o s ic io n e s :
1. Condiciones de estado estable.
2. Conducción bidimensional.
3. Propiedades constantes.
4. Ninguna generación interna de calor.
P ro p ie d a d e s:
Tabla A.3, ladrillo de arcilla refractaria (T ~ 478 K); k = i W/m -K
La malla que se establece consiste en 12 puntos nodales en los que se i
noce la temperatura. Sin embargo, el numero de incógnitas se reduce a ocho a través:
simetría, en cuyo caso la temperatura de los puntos nodales a la izquierda de la Imeaí
metría debe ser igual a la temperatura de los de la derecha.
Los nodos 1.3 y 5 san puntos interiores para los que las ecuaciones en diferene
nitas se infieren de la ecuación 4.33. Asi,
A n á lis is:
Nodo 1:
T2 4- 7 ,
N o d o 3:
7, + r 4 + 7 , + 500 - 4 7 , = 0
Nodo 5:
7 3 + Tb + 7 7 + 500 - 47’5 = 0
+
1000
-
47, = 0
Las ecuaciones para los puntos 2 ,4 y 6 se obtienen de modo similar o, comodín
sobre una adiabática de simetría, utili/ando la ecuación 4.46 con h = 0. De aquí
Nodo 2 :
27, +
Nodo 4:
T 2 + 2 7 , + 7 6 - 47 4 = 0
Nodo 6
T4 + 2 T5 + T h - 47 6 = 0
T4
+ 500 - 47 2 =
0
■ Solución d e itis ecuaciones d e d ife r e n c ia s finitas
185
De la ecuación 4.46 y del hecho de que h Av/A = 2 5, también se sigue que
Nodo 7:
2T5 + TH + 2000 - 9 / 7 =
0
Nodo 8 :
276 + 277 + 1500 - 97* = 0
Al tener las ecuaciones de diferencias nnitas requeridas se obtiene una solución de inver­
sión de matrices al rcaeomodarlas como sigue:
-4 7\ +
2
r,
—
T2 +
4T2 +
T3 +
0 +
—
47*3 +
T\ +
0
+
0
+
0
+
0
+
0
= — 1000
r4 +
0
+
0
+
0
+
0
— —
50 0
T4 +
T5 +
0 +
0 +
0
= —
500
+
Te, +
0 +
0
=
0
47s +
T6 +
r7 +
0
= —
500
+
0 +
7*8
=
0
—
9 T-J +
T*
= —
2000
0
0
+
T2 + 2 T3 — 4 r 4 +
0
+
0
+
Ty +
0
+
0
+
0
+
T, + 2 T5
0
+
0
+
0
+
0
+ 2 Ts +
0
+
0
+
0
+
0
+
0
—
0
— 47;
0
+ 2 r 6 4- 2T-j - 9 r 8 = — 1500
0
Ln notación matricial, siguiendo la ecuación 4.52. estas ecuaciones son de la forma
[Al m = [C], donde
1
-4
-4
-4
2
1
0
0
0
o
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
1
[A) =
2
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
-4
1
2
2
0
0
0
-4
0
i
4*
0
0
0
0
1
0
0'
0
0
T)
[C] =
0
1
1
-9
2
- 1000 ‘
-5 0 0
-5 0 0
0
-5 0 0
0
-20 0 0
-9
. -1 5 0 0 .
Con una rutina de inversión de matrices estándar, es fácil encontrar la inversa de [A],
[A] , lo que da
m = [A ]-i[ n
donde
m =
.
T\
t2
T,
t4
T5
Te,
t7
T*_
4 8 9 .3 0 '
4 8 5 .1 5
4 7 2 .0 7
462.01
K
4 3 6 .95
4 1 8 .7 4
3 5 6 .9 9
3 39.05
I-a transferencia de calor de la columna al flujo de aire se calcula a partir de la expresión
r/A jc \
(í) ■“
(Ts - T») + Ajc(T7 -
/ A jc\
T J
+
í—
n
J (Ts - Tx)
DEPARTAMENTO DC
Universidad Simón Bolívar - 8
'«* del Litoral
C a p ít u lo 4
■
Conducción tridimensional cn estado estable
donde el factor de 2 fuera de los corchetes se origina de la condición de simetría. De aquí
(y) = 2 x
10 w /m 2 '
K t(°- 125 m (2° o K)
I
+ 0.25 m (56 99 K) + 0 125 m (39.05 K)] = 883 W/m <
C o m e n ta rio s:
1. Para asegurar que no se ha cometido error alguno en la formulación de las ecuai iq
nes generadas por diferencias finitas o al obtener su solución, debe realizarse u*j
comprobación a fin de verificar que los resultados satisfacen la conservación deh
energía para la red nodal Para condiciones de estado estable, el requerimiento dic­
ta que el flujo entrante de energía esté balanceado por el flujo saliente para unasu
perficie de control alrededor de las regiones nodales cuyas temperaturas se /un
evaluado.
T ,~
‘/I <U|1
,2 |l
1
(2)
<n
2<¡
1 •
1
1
ji
<?3
A
3*
4 |
1
•1
l
í/5 »
------ ►
•1
0•
6t
>1
f|
II
8 j¡
7
(2) I
q
(11 |
|
II
Para la media sección simétrica que se muestra esquemáticamente, se sigue que]
conducción en las regiones nodales debe estar balanceada por la convección
las reglones. De aquí
q \ " + tf(,2) + q 2 + q 3 + q5 + <77° = q ? + <7s
La rapidez por conducción acumulada es entonces
9 cond
A
= k Ax
(Ts - T )
x (T, - Tx)
Ax
:--------+ A v ------ :-------+
A*
Ay
(Ts - T2)
A\
a (Ts - T3)
(T s - T 5)
A y(T,-T)
+ Ay
+ Ay
+ —
-----Ax
= 191.31 W /m
Ax
2
Ax
4 .5
■
Solución d e las ecuaciones d e diferen cia s fin ila s
18’
y la transferencia por convección es
=h
Ax
A x (T7 - T ) + — (7'8 - 7 c) = 191.29 W/m
La concordancia entre las transferencias por conducción y convección es excelente
(dentro del error de redondeo), lo que confirma cjue no se han cometido errores al
formular y resolver las ecuaciones generadas por diferencias finitas. Note que la
transferencia por convección de toda la superficie inferior (883 W/m) se obtiene su­
mando la transferencia del nodo del borde a 500 K (250 W/m) a la de los nodos inte­
riores (1913 W/m) y multiplicando por 2 debido a la simetría
2. Aunque las temperaturas calculadas satisfacen las ecuaciones en diferencias finitas,
no proporcionan el campo de temperaturas exacto. Recuerde que las ecuaciones son
aproximaciones cuya exactitud se mejora reduciendo el tamaño de la malla (aumen­
tando el númeio de puntos nodales).
3. La distribución de temperaturas también se determina con el método de iteración de
Gauss-Seidel. Con referencia al arreglo de ecuaciones generadas por diferencias fi­
nitas, es evidente que el orden ya está caracterizado por el dominio diagonal. Este
comportamiento es típico de soluciones de diferencias finitas a problemas de con­
ducción. Por tanto, comenzamos con el paso 2 y expresamos las ecuaciones en forma
explícita
7 ? } = 0 .2 5 7 ? - 0 + 0 .2 5 7 ? - ,) + 250
P2k) = 0.507?0
+
0 .2 5 7 ? _,)
+
125
7 ? } = 0.257?0 + 0 .2 5 7 ? _1) + 0 2 5 7 ? ~ I) + 125
7?> = 0.257 ?0 + 0 .5 0 7 ? } + 0 . 2 5 7 ? 'n
7?> = 0.257?* + 0 .2 5 7 ? _I) + 0 .2 5 7 ? “ 1} + 125
T f = 0 .2 5 7 ? }+ 0 .5 0 7 ? > + 0 2 5 7 ? “ n
7 ? } = 0.22227?* + 0 .1 1 1 1 7 ? '1* +
222.22
7?* - 0 22227?° + 0.22227?* + 166.67
Al tener las ecuaciones generadas por diferencias finitas en la forma requerida, el proce­
dimiento de iteración se lleva a cabo con una tabla que tiene una columna para el número
de iteración (paso) y otra, etiquetada T , para cada uno de los nodos El cálculo procede
como sigue:
1. Para cada nodo, la estimación de la temperatura inicial se introduce en el renglón pa­
ra k = 0. Se seleccionan valores de forma racional para reducir el numero de iteracio­
nes que se requiere.
2. Con N ecuaciones generadas por diferencias finitas y valores de T, del primero y se­
gundo renglones, los nuevos valores de T, se calculan para la primera iteración (k = 1).
Estos nuevos valores se introducen en el segundo renglón.
3. Este procedimiento se repite para calcular 7 ? de los valores previos de 7 ? “ 1}y los
valores actuales de 7 ? , hasta que la diferencia de temperaturas entre iteraciones
cumpla con el criterio establecido, e ^ 0 2 K, en cada punto nodal.
188
C a p ít u lo 4
■
Conducción bidimensional en estado estable
k
Tx
t2
r3
t4
Ts
Tt
T-j
h
0
1
2
3
4
5
6
7
8
480
477.5
480.8
484.6
487.1
488.1
488.7
489.0
489.1
470
471.3
475.7
480 6
482.9
484.0
484.5
484.8
485.0
440
451.9
462.5
467.6
469 7
470.8
471.4
471.7
471.9
430
441.3
543.1
457.4
459.6
460.7
461.3
461.6
461.8
400
428.0
436.6
434.3
435.5
436.1
436.5
436.7
436.8
390
411.8
413.9
415.9
417 2
417.9
418.3
418.5
418.6
370
356 2
355.8
356.2
356 6
356.7
356.9
356.9
356.9
35Ü
337.3
337 7
3382
338.6
338.8
338.9
339.0
339.0
Los resultados que se dan en el renglón 8 muestran excelente concordancia con los
que se obtuvieron mediante la inversión de matrices, aunque se logra mejor concor­
dancia reduciendo el valor de e. Sin embargo, dada la naturaleza aproximada de l&
ecuaciones generadas por diferencias imitas, los resultados aun representan aproxi­
maciones a las temperaturas reales, l^a exactitud de la aproximación se mejora coi
una malla más fina (aumentando el número de nodos).
4 .5 * 3
Aljíiuiah precauciones
Como se señaló previamente, es buena práctica verificar que una solución numérica se
haya formulado de manera correcta al desarrollar un balance de energía sobre una superfi­
cie de control alrededor de las regiones nodales cuyas temperaturas se evaluaron U
temperaturas deben sustituirse en la ecuación de balance de energía y, si el balance nose i
satisface a un alto grado de precisión, las ecuaciones generadas por diferencias
de-;
ben revisarse para corregir errores.
Aun cuando las ecuaciones generadas por diferencias finitas se formulan y resuel­
ven apropiadamente, los resultados representan todavía una aproximación burda de*.I
campo de temperaturas real. Este comportamiento es una consecuencia de los espacia-!
mientos finitos (Aa, Ay) entre nodos y de las aproximaciones en diferencias fimtas.ee-'
mo k( Ay • 1 )(Tm_ , „ — Tm J/A a, para la ley de Fourier de conducción, —k(dy • 1)ldfí<k I
Indicamos antes que las aproximaciones en diferencias finitas se hacen mas precisan|
medida que la red nodal se depura (A a y Ay se reducen). Por tanto, si se desean resu
dos exactos, hay que llevar a cabo estudios de la malla en los que los resultados obteniii
para una malla fina se comparan con los que se lograron con una malla burda. EjI
posible, por ejemplo, reducir Aa y Ay en un factor de 2, aumentando con ello el numeral
de nodos y las ecuaciones generadas por diferencias finitas por un factor de 4. Si lace
cordancia no es satisfactoria, se realizan depuraciones adicionales de la malla hastat
las temperaturas calculadas ya no dependan de la elección de A a y Ay. Estos result\
independientes de la malla proporcionan una solución precisa al problema físico.
Otra opción para validar una solución numérica implica comparar los resultados*
los que se obtienen de una solución exacta. Por ejemplo, una solución en diferencias!
tas del problema físico que se describe en la figura
es comparable con la
finitas
42
soluc
4 .5
■
Solución de las ecuaciones de diferencias finitas
189
exacta dada por la ecuación 4.19. Sin embargo, esta opción está limitada por el hecho de
que rara v e/ buscamos soluciones numéricas a problemas para los que existen soluciones
exactas. No obstante, si buscamos una solución numérica a un problema complejo para el
que no hay solución exacta, es a menudo útil probar nuestros procedimientos de diferen­
cias finitas aplicándolos a una versión más simple del problema.
K
jk m p lo
1 .1
Un objetivo importante en tecnologías avanzadas de motores de turbinas de gas es
aumentar el límite de temperatura asociado con la operación de los álabes de la turbina de
gas. Este límite determina la temperatura permisible de entrada del gas a la turbina que.
a su vez. iníluye mucho en el rendimiento global del sistema. Además, para fabricar ho­
jas de turbina con superaleacioncs especiales de alta resistencia y alta temperatura, es
normal utilizar enfriamiento interno mediante canales de flujo grabados en los álabes y
dirigir aire a través de los canales. Deseamos evaluar el efecto de este esquema aproxi­
mando el álabe como un sólido rectangular en el que se graban canales rectangulares. Id
alabe, que tiene una conductividad térmica de k = 25 W/m • K, mide 6 mm de espesur, y
cada canal tiene una sección transversal rectangular de 2 X 6 mm, con un espaciado de 4
mm entre canales contiguos.
•ases
- Canal
de aire
T* o’
K4 mm*h------- 6 mm----H
i
is e s
Álabe de la turbina, k
1ve, O* A»
En condiciones de operación para las que hn = 1000 W/m 2 • K, T ^ 0 = 1700 K. h¡ = 200
W/m 2 • K. y Tx j = 400 K, determine el campo de temperaturas en el álabe de la turbina y
la transferencia de calor por unidad de longitud al canal. ¿En que lugar la temperatura es
un máximo?
S o lu ció n
Dimensiones y condiciones de operación para un álabe de turbina de gas
con canales encajados.
S e conoce:
Campo de temperaturas en el álabe, incluida una posición de temperatura
máxima. Transferencia de calor por unidad de longitud al canal.
E n c o n tr a r :
19 0
C a p it u lo 1 ■
C a m in a ion bidiniensinnal a i esta do estable
E squem a:
_
tm
71
i
»
Adiabática
de simetría
4
3
*
i
5
- ^ - 4j Ay1 » 1 mm
m
. . . . .
■
Í16¡
•. —1— <
. .J ü
1
l
11 , . ¡ 1 2 ; ;
io. ,
\ d
Ax 1 mm
61
'
T T
•
I l7
í
f 1— -j Adiabática
J ig 1 de simetría
iT * .r * i
_
Adiabática
de simetría
1
S u p o s ic io n e s :
1. Conducción bidimensional de estado estable.
2. Propiedades constantes.
La red anterior se construyó con la adopción de un espaciado de malla]
A.v = Ay = I mm e identificando las tres líneas de simetría. Las ecuaciones gener
por diferencias finitas correspondientes se obtienen aplicando el método del balar
energía a los nodos 1,6, 18, 19 y 21, y con los resultados de la tabla 4.2 para los no
restantes.
La transferencia de calor al nodo 1 ocurre por conducción de los nodos 2 y 7,¡
mo por convección del fluido exterior. Como no hay transferencia de calor de la i
más allá de la adiabática de simetría, la aplicación de un balance de energía al cua
sección, asociado con el nodo 1 . da una ecuación por diferencias finitas de la forma
A n á lis is :
h„Ax
Nodo 1;
T2 + T7 - (2 +
T, =
ho A x
k
Un resultado sim ilares posible para la región nodal 6 . que se caracteriza porcondic
superficiales equivalentes (2 conducción, 1 convección, 1 adiabática). Los nodos]
corresponden al caso 3 de la tabla 4.2, y al elegir el nodo 3 como ejemplo, se sigue»
Nodo 3:
T-> + T a + 2 T 0 ~ 2
K A*
+ 2 7 ,=
*o
k
- T
'°
Los nodos 7, 12. 13 y 20 corresponden al caso 5 de la tabla 4.2, con q" = O.yi
gimos el nodo 12 como ejemplo, se sigue que
Nodo 12:
T6 + 27,, + 7 18 - 4 7 ,2 = 0
Los nodos 8 a 11 y 14 son nodos interiores (caso I ), en cuyo caso la ecuación pon
cias finitas para el nodo 8 es
Nodo 8 :
7 2 + 7 7 + 7 9 + 7 14 — 47 8 = 0
!..*> ■ S o l u c i ó n d e lu s e c u a c i o n e s d e d i f e r e n c i a s fin ita s
El nodo 15 es una esquina interna (caso 2) para la que
Nodo 15:
27’y + 2 r i4 + 7 ’l6 +
r2, - 2 ( 3
+
h, A *
r,5 =
k
h. A*
-2
k
T
mientras los nodos 16 y 17 se sitúan en una superficie plana con convección (caso 3):
Noüo 16:
/ h¿ Ajc
\
27',o + T a + T „ - 2 f —
+ 2 j 7 I#
2 h. Ajc
— T .,
En cada caso la transferencia de calor a las regiones nodales 18 y 21 se caracteriza por la
conduce 5n de dos nodos contiguos y convección del flujo interno, sin transferencia de
calor desde una adiabática contigua. Al ejecutar un balance de energía para la región no­
dal 18, se sigue que
Nodo
18: r12 + ri7 ~ T^g (2 +
h. A *
h, A*
k
k
T
El último caso especial corresponde a la región nodal 19, que tiene dos superficies adia­
báticas ) experimenta transferencia de calor por conducción a través de las otras dos su­
perficies.
Nodo 19:
r
,3 + 7\0 -
2 7 ,9 = 0
Las 21 ecuaciones por diferencias finitas se pueden resolver para las temperaturas
desconocidas, y para condiciones preestablecidas se obtienen los siguientes resultados:
Tt
T2
T3
T4
Ts
T6
1526.0 K
1525.3 K
1523.6 K
1521.9 K
1520.8 K
1520.5 K
T9
T ,0
T„
T ,2
1516.5 K
1514.5 K
1513.3 K
1512.9 K
T i6
T ,7
T .,8
1506.4 K
1505.0 K
1504.5 K
t
7
1519.7 K
1518.8 K
Tis
T,3
T,4
1515.1 K
1513.7 K
1509.2 K
T 19
T 20
T 21
1513.4 K
1511.7 K
1506.0 K
El campo de temperaturas también se representa en forma de isotermas, y se muestran de
forma esquemática cuatro líneas de temperatura constante.
192
C a p ít u lo 1 ■ C o n d u c c i ó n h id ir n e n s io n a l e n t J a d o e s t a b l e
Como se esperaba, la temperatura máxima existe en la posición más alejada del fíu do re­
frigerante, que corresponde al nodo 1. Las temperaturas a lo largo de la superficie en el
álabe de la turbina expuesta a los gases de combustión son de particular ínteres y, con un
esquema de interpolación con predicciones de diferencias finitas, se obtiene la sigu ente
distribución:
(mm)
La transferencia de calor por unidad de longitud de canal se expresa como
<?' = 4/!,[(A>’/2)(7-2i - TmJ + (A y /2 +
+ (A
) ( r l5 - T x ¡)
x r l8 -
x )(T 6
-l r „ . () + A x ( T n - r„ .i) +
o, de manera alternativa, como
q ' = 4 h J ( A x /2 ) ( T x o - T ,) + ( A x ) ( T ^ „ - T2) + (A x)(T „ „ - T j
+ (A x )(T x o - r 4) + (A
x)(T
^-
donde el factor de 4 se origina de las condiciones de simetría. En cualquier caso, obte­
nemos
q ' = 3540.6 W/m
C o m e n ta rio s:
1. La exactitud de la solución en diferencias hnitas se mejora retinando la malla. Pi
ejemplo, si dividimos a la mitad el espaciado de la malla (Aa = Ay = 0.5 mm),y
ello aumentamos el número de temperaturas nodales desconocidas a 65. obtenemi
los siguientes resultados para temperaturas seleccionadas y la transferencia de caled
T, = 1525.9 K,
r 18 = 1504.5 K,
..........
<7' = 3539.9 W/m
1520.5 K,
T „ = 1513.5K,
7 i5
T 2x
1509.2 K,
1505.7 K,
La concordancia entre los dos conjuntos de resultados es excelente. Por supuesto,
uso de una malla más fina aumenta el tiempo de ajuste y de cálculo, aunque en m
chos casos los resultados que se obtienen de una malla burda son satisfactorios I
selección de la malla apropiada es un juicio que debe hacer el ingeniero.
2. En la industria de turbinas de gas, hay gran interés en adoptar medidas que reduzi
las temperaturas de los álabes; este tipo de medidas incluiría el uso de una aleaé
diferente de conductividad térmica mayor y/o aumentar el flujo de refrigerante a1
+ (
193
■ B ib lio g ra fía
vés del canal, incrementando con ello h¡. Con la solución de diferencias finitas con
Aa = Av = 1 mm, se obtuvieron los siguientes resultados de variaciones paramétricas de k y h¡:
k (YY/m • K)
h¡ (YV/m2 • K)
1\ <K)
q' (YV/m)
25
50
25
50
200
200
1000
1000
1526.0
1523.4
1154.5
1138.9
3540.6
3563.3
11,095.5
11,320.7
¿Por qué los incrementos en A: y h¡ reducen la temperatura en el álabe? ¿Por qué el
efecto del cambio en h¡ es más significativo que el de k'l
3. Note que, debido a que la superficie externa del álabe está a una temperatura extrema­
damente alta, las perdidas por radiación a sus alrededores pueden ser significativas.
En el análisis de diferencias finitas, estos efectos se considerarían al lincalizar la ecua­
ción de flujo de radiación (véanse las ecuaciones 1.8 y 1.9) y tratar la radiación de la
misma forma que la convección. Sin embargo, como el coeficiente de radiación hr
depende de la temperatura de la superficie, sería necesaria una solución iterativa en
diferencias finitas para asegurar que las temperaturas superficiales resultantes corres­
ponden a las temperaturas a las que hr se evalúa en cada punto nodal.
4.6
R esum en
Para este momento usted ya debe de tener una apreciación de la naturaleza del problema
de conducción bidimensional y de los métodos de que dispone para solucionarlos. Cuan­
do se enfrente con un problema bidimensional, debe determinar primero si se conoce una
solución exacta. Esto se logra examinando una o más de las muchas excelentes referen­
cias en las que se obtienen soluciones exactas para la ecuación de calor TI —51. También
puede determinar si se conoce el factor forma para el sistema en cuestión [6—9]. Sin em­
bargo, las condiciones a menudo son tales que emplear un factor de forma o una solución
exacta no es posible, y es necesario recurrir a una solución en diferencias finitas. Ya ha de
apreciar la naturaleza inherente del proceso de discretización y saber cómo formular las
ecuaciones por diferencias finitas para los puntos discretos de una red nodal. Aunque tal
vez sea conveniente resolver estas ecuaciones con cálculos manuales para una malla bur­
da. debe de ser capaz de tratar mallas finas con algoritmos estándares de computadora que
incluyen técnicas directas o iterativas.
B ibliografía
Schneidcr. P. J., Concha!ion H eal T ransfer , Addison\Vcsle> Reading, MA. 1955
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DEPARTAMENTO DE BIBLIO ic o A
Universidad Simón Bollvsr - 8®de del Lltora
194
C a p ít u lo 4
■
Conducción biditnetisional en estado estable
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P r o b le m a s
Soluciones exactas
4.1
4.2
En el método de separación de variables (sección 4 2) pa­
ra la conducción de estado estable en dos dimensiones, la
constante de separación A2 en las ecuaciones 4.6 y 4.7 de­
be ser una constante positiva. Muestre que un \ alor nega
tivo o cero de A tendrá como resultado soluciones que no
satisfacen las condiciones de frontera establecidas
Una placa rectangular bidimensional se sujeta a condicio­
nes de frontera preestablecidas. Mediante los resultados
de la solución exacta para la ecuación de calor que se pre­
sentó en la sección 4 2, calcule la temperatura en el punto
medio (1 .0 .5 ) considerando los primeros cinco términos
diferentes de cero de la serie inhnita que debe evaluarse.
Estime el error que resulta de utilizar sólo los primeros
tre> términos de la serie infinita. Elabore una gráfica de las
distribuciones de temperaturas T( \, 0.5) y T( I .O.y).
r=0
/ =
G ráficas de flujo
4.5
Una barra cuadrada infinitamente larga mantiene ur
sus superficies a I00°C mientras que las otras tres \
necen en 0"C. Sin ejecutar una gráhea de flujo, dibu
isotermas de 25 y 50 ’C. Explique cómo llega a susí
mas y posiciones
4.6
Un horno grande, fabricado con ladrillos refracta™
una conductividad térmica de 1.2 Wm • K. tiene lai
cion transversal que se muestra con temperaturas dei
superficies interior y exterior de 600 y 60CC, rcspecii
mente Determine el factor de forma y la transferenc
calor por unidad de longitud con el método de grafic
de llujo.
r 72 = 150°C
7*1 =
0
- / 1 = 50°C
jr(m)
4.3
4.4
Considere la placa rectangular bidimensional del proble
ma 4.2 que tiene una conductividad térmica de 50 Wm ■
K. Comen/ando con la solución exacta para la distribu­
ción de temperaturas, derix e una expresión para la rapidez
de transferencia de calor por unidad de espesor de la pla­
ca a lo largo de la superficie inferior (0 ^ v S 2, y = 0).
Evalué la transferencia de calor con los primeros cinco
términos diferentes de cero de la serie infinita.
Una placa rectangular bidimensional se sujeta a las
condiciones de frontera que se muestran. Derive una
expresión para la distribución de temperaturas de estado
estable T íx. v)
--1
m2 m
_L
1.5 m
2.5 m
4.7
Un tubo caliente se encaja excéntricamente tor
muestra en un material de conductividad tcrmic
0.5 W/m2 • K. Con el método de graficación de flujo
termine el factor de forma y la transferencia de ca
unidad de longitud cuando las temperaturas del tuboi
la superficie externa son 150 y 35°C, respectivaine
193
P ro blotm is
4.10 Por un conducto muy largo de sección transversal interna
circular y conductividad 1 W/m • K pasa un fluido calien
te. que mantiene la superficie interna a 7, = 50°C. Las su­
perficies externas de la sección transversal están aisladas
o se mantienen a una temperatura uniforme de 7 i =
20 C. dependiendo de la aplicación. Encuentre el factor
de forma y la transf erencia de calor para cada caso.
Ln puntal de apoyo construido con un material cuya con­
ducto dad térmica es de 5 Wni • K tiene la sección
transvers I que se muestra Las caras de los extremos estan a diferentes temperaturas 7 , = 10() C y T 2 = 0°C,
mientras que los lados restantes están aislados
—r -
72----
i
40 mn
T
-0.2 m
72
72
G
v
N— y
___ /
>
- V .*.-i • •*.-;;• ..v* .v *7
i*----- 120 mm —
h
4.11 Una larga columna de soporte de sección transversal tra­
pezoidal está bien aislada en sus lados, \ se mantienen
temperaturas de 100 y 0 'C en las superficies superior e
inferior, respectivamente I a columna está hecha de ace
ro AISI 1010, y sus anchos en las superficies superior c
inferior son 0 3 y 0.6, respectivamente.
(a) Estime la temperatura en la posición P
K 0 3 m-*
K 0.3 m-H
b) Con el mí todo de graficación del flujo, estime el fac­
tor de forma y la transferencia de calor a través del
puntal por unidad de longitud
(c) Dibuje las isotermas 2 5 .5 0 y 75°C.
(d) Considere la misma geometría, pero ahora con las
superficies de 0.1 m de ancho aisladas, la superficie
de 45 mantenida a 7, = 100 C, y l a s superficies de
0 2 m de ancho a 7’2 = 0 C Con el método de graficación de flujo, estime el factor de forma correspon­
diente y la transferencia de calor por unidad de
longitud Dibuje las isotermas 2 5 ,5 0 y 75*C.
4.9 Un liquido caliente fluye por un can il en V en un sólido
cuyas superficies superior y lateral están bien aisladas
3 cuya superficie nferior está en contacto con un fluido
Bffngeranto
Ku 4H
(a) Con el método de gráfica de flujo, determine la trans­
ferencia de calor por unidad de longitud de la co ­
lumna.
(b) Si la columna trapezoidal se reemplaza con una barra
de sección transversal rectangular de 0 3 m de ancho
y del mismo material, ¿que altura / / debe tener la
barra para proporcionar una resistencia térmica equi­
valente?
4.12 Se han fabricado barras prismáticas huecas de acero ordi
ñafio al carbono, de 1 m de longitud con superficies supe
rior e inferior, así como ambos extremos, bien aislados
Para cada barra, encuentre el factor de forma y la transfe­
rencia de calor por unidad de longitud de barra si 7 , =
500 K y T2 = 300 K.
•100 mm-
t"— 100 mm
»• • i*
- t2
Ln loiiscc cik a, la superficie del canal en V está a una
un peiatura7 .que excede la de la superficie interior, 7
( i struya un i gralica de flujo apropiada y determine el
factor de forma del sistema.
100 mm
•
‘ y
C a p it u lo 4
196
■
Conducción bidimcnsional en estndo estable
4.13 Unas formas cuadradas tridimensionales se mantienen a
temperaturas uniformes en tramos de sus fronteras y están
bien aisladas por el resto de sus partes Use el método de
la gráfica de flujo para estimar los factores de torma, así
como las temperaturas en los centros de las geometrías
Factores de form a
4.16 Con las relaciones de resistencia térmica que se desarro­
llaron en el capitulo 3 determine expresiones del factor
de forma para las siguientes geometrías.
(a) Pared plana, capa cilindrica y coraza esférica
(b) Esfera isotérmica de diámetro D perforada en un me­
dio infinito.
4.17 Se almacenan temporalmente desechos radiact vosenun
— T2
(o)
(/>)
4.14 Las formas cuadradas biduncnsionales de 1 m de lado se
mantienen a temperaturas uniformes, 7j = 100°C y T2 =
0°C, en partes de sus fronteras y están bien aisladas por el
resto de sus partes.
contenedor esfenco cuyo centro se entierra a una profun­
didad de 10 m bajo la superficie de la tierra. El di imetro
exterior del contenedor mide 2 m, y se liberan 500 Wde
calor como resultado del proceso de descomposición ra­
dioactiva Si la temperatura de la superficie del suelen
2()"C, c cuál es la temperatura de la superficie externa de
contenedor en condiciones de estado estable? En undi
bujo a escala del sistema suelo-contenedor, muestre is
termas representativas y lineas de flujo de calor eni
suelo.
4.18 Un ducto para transporte de petróleo crudo se sepultad
modo que su linea central queda a una profund dad de 1jr
bajo el suelo. El ducto tiene un diámetro externo i
0 5 m y está aislado con una capa de vidrio ceh
de 100 mm de espesor ¿Cuál es la perdida de calor
unidad de longitud del ducto en condiciones en las qued
aceite calentado a 120‘C fluye por el ducto y la superfid
de la tierra esta a una temperatura de 0°C?
(a)
(b)
Utilice el método de la gráfica de flujo para estimar la
transferencia de calor por unidad de longitud normal a
la página si la conductividad térmica es 50 W/m • K
4.15 Las formas circulares bidimensionales que se muestran
mantienen las temperaturas uniformes en partes de sus
fronteras. Use el método de la gráfica de flujo para esti­
mar los factores de forma.
4.19 Un conductor eléctrico largo se entierra en una zanja!
na de arena (k = 0.03 W/m • K) a una profundidaddri
nca central de 0 5 m El conductor tiene un dián
externo de 25 mm, y el flujo de corriente y la resisn
cía del cable ocasionan una disipación de 1 W porm¡
tro de longitud El conductor se cubre con una mal
aislante de 3 mm de espesor y conductividad termi
0 01 W m • K Estime la temperatura en la interfaz
tre el conductor y la manga aislante cuando la ten
tura en la superficie de la arena es 20 C
4.20 Un cable largo de trasmisión de energía se ent enaa
profundidad (distancia tierra a la linea central def
de 2 m El cable esta enfundado en un tubo de pared!
gada de 0 1 m de diámetro, y para hacer al cable api
co n d u cto r (esencialmente cero disipación de cnergtyfl
espacio entre el cable y el tubo está lleno de mtr
quido a 77 K Si el tubo se cubre con un superar
( k¡ = 0 005 W/m ■K) de 0 05 m de espesor y a ir
de la tierra (kg
1 2 W m ■K) está a 300 K. c
carga de enfriamiento en W/m que debe mantener*
fngerador criogénico por unidad de longitud de fe
4.21 Un calentador eléctrico de 100 mm de longitud
(h)
de diámetro se inserta en un hoyo hecho en d
Problemas
normal a la superficie de un bloque largo de material que
tiene una conductividad térmica de 5 W/m • K. Estime la
temperatura alcanzada por el calentador cuando disipa
50 W con la superficie del bloque a 25°C.
4.22 Dos tuberías paralelas espaciadas 0.5 m se entierran en
un suelo de conductividad térmica de 0.5 W/m • K. Las
tuberías tienen diámetros externos de 100 y 75 mm con
temperaturas superficiales de 175 y 5°C, respectivamente.
Estime la transferencia de calor por unidad de longitud
entre las dos tuberías.
4.23 En tubo de 50 mm de diámetro que tiene una temperatu­
ra superficial de 85°C está encajado en el plano central de
una losa de concreto de 0.1 m de espesor con superficies
superior e inferior a 20°C.
ta) Mediante la relación tabulada apropiada para esta
configuración, encuentre el factor de forma. Deter­
mine la transferencia de calor por unidad de longitud
de tubo.
ib) Usando el método de la gráfica de flujo, estime el
factor de forma y compare con el resultado de la par­
te (a).
4.24 Vapor presurizado a 450 K fluye por un tubo largo de
pared delgada de 0.5 m de diámetro. El tubo está en­
vuelto por una funda de concreto de sección transversal
cuadrada de 1.5 m de lado. El eje del tubo se centra en la
funda, y las superficies externas de la funda se mantie­
nen a 300 K. ¿Cuál es la pérd da de calor por unidad de
longitud de tubo?
4 25 Por un tubo de cobre de pared delgada de 30 mm de diá­
metro Huye agua caliente a 85ÜC. El tubo esta forrado de
una capa cilindrica excéntrica que se mantiene a 35°C y
mide 120 mm de diámetro. La excentricidad, definida co­
mo la separación entre los centros del tubo y la capa, es
20 mm. El espacio entre el tubo y la capa esta llena de un
material aislante que tiene una conductividad térmica de
0.05 W/m • K. Calcule la pérdida de calor por unidad
de 1 ngitud de tubo y compare el resultado con la pérdi­
da de calor para un arreglo concéntrico.
4 “*6 1 n homo de forma cúbica, con dimensiones externas de
0.35 m. está hecho de ladrillo refractario (arcilla retracta
r¡u) Si el i pesor de la pared es 50 mm. la temperatura de
•asuperficie interna es 600°C y la de la superficie externa
B 75“C, calcule la pérdida de calor del homo.
factures de forma con circuitos térm icos
4JT l n homo cúbico de fundición de vidrio tiene dimensio■gexteriores de ancho W = 5 m por lado y está construi­
197
do de ladrillo refractario de espesorL = 0.35 m y conduc­
tividad térmica k = 1.4 W/m • K. Los lados y la parte su­
perior del horno se exponen al aire ambiental a 25"C, con
convección libre caracterizada por un coeficiente prome­
dio h = 5 W/m2 • K. La parte inferior del homo descansa
sobre una plataforma enmarcada en la que gran parte de la
superficie se expone al aire ambiental, y puede suponér­
sele un coeficiente de convección h = 5 W/m2 • K como
primera aprox nación. En condiciones de operación para
las que los gases de combustión mantienen las superficies
internas del homo a 1100°C, ¿cuál es la pérdida de calor
del homo?
4.28 Un fluido caliente pasa por canales circulares de una
plancha de hierro colado (A) de espesor L A = 30 mm que
está en contacto pobre con las placas de cubierta (B) de
espesor L B = 7.5 mm. Los canales tienen un diámetro
D = 15 mm con un espaciado de línea eentral de Lc = 60
mm. Las conductividades térmicas de los materiales son
kA = 20 W/m • K y kfí = 75 W/m • K, mientras que la re­
sistencia de contacto entre los dos materiales es R", c =
2.0 X 1 0 '4 m2 • K/W. El fluido caliente está a T, = 150°C.
y el coeficiente de convección es 1000 W/m2 • K. La pla­
ca de cubierta se expone al aire ambiental a Ta¡ = 25°C
con un coeficiente de convección de 200 W/m2 • K.
Placa de
cubierta,
Resistencia
de
Plancha,
Placa de
cubierta, B
(a) Determine la transferencia de calor de un solo canal
por unidad de longitud de la plancha en dirección
normal a la página, q'¡.
(b) Determine la temperatura de la superficie externa de
la placa de cubierta, Ts.
(c) Comente los efectos que cambiar el espaciado de la
línea central tendrá sobre q \ y Ts. ¿Cómo afectaría
aislar la superficie inferior a q ■y 7y?
4.29 Un alambre largo de constantán de 1 mm de diámetro se
suelda a tope a la superficie de un bloque largo de cobre,
lo que forma una unión de termopar. El alambre se com-
DtPARTAMENTO DE 3¡3LIOTEC m
Universidad Simón Bolívar - Sode del Litoral
198
C a p ít u lo 4
■
Conducción bidimensional en estado estable
porta como una aleta, lo que permite al calor fluir desde la
superficie, reduciendo por ello la temperatura de la unión
sensible 7 por debajo de la del bloque Ta.
Aire
rh
Considere condiciones en las que una aleta larga circular
de aluminio de diámetro D = 5 mm se une al materia!ti­
la base cuya temperatura lejos de la unión se mantien
Tb = 100°C. Encuentre condiciones de convección <fj
correspondan a h = 50 W/m2 • K y 7* = 25°C.
(a) ¿Cuáles son la transferencia de calor de la aleta y
temperatura de la unión cuando el material de laba
se es (i) aluminio {k = 240 W/m • K) y íii) a
inoxidable (k = 15 W/m - K)?
Alambre del termopar, D
/ xj, h
U
(b) Repita los cálculos anteriores si una resistencia
contacto térmica R"t c = 3 X 110 5 m2 ■K/W se
cia con el método de unión de la aleta recta circular
material de la base.
Bloque de cobre, r
(a) Si el alambre está en aire a 25"C con un coeficiente
de convección de 10 W/m2 • K, estime el error de me­
dición (7, — T0) para el termopar cuando el bloque
está a 125°C.
(b) Para coeficientes de convección de 5 ,1 0 y 25 W/m ■
K. trace el error de medición como función de la con­
ductividad térmica del material del bloque en el rango
de 15 a 400 W/m • K ¿En que circunstancias es ven­
tajoso usar un alambre de diámetro más pequeño?
4.30 Un conjunto mas realista de condic ones para el ejemplo
4.1 implicaría el establecimiento de temperaturas y coe
ficientes de convección asociados con fluidos contiguos
a las superficies interna y externa, en lugar de la especifi­
cación de las temperaturas de superficie. Considere con­
diciones para las que las superficies externas se expongan
al aire ambiental, con 7'*, 2 = 25UC y h2 = 4 W/m • K.
mientras que el aceite caliente que fluye por el hueco es­
tá caracterizado por Tv_ , = 300°C y /z, = 5 0 W/m2 • K.
Determine la transferencia de calor y las temperaturas de
las superficies correspondientes.
(c) Considere la resistencia térmica de contacto y el
re una gráfica de la transferencia de calor como
ción del coeficiente de convección en el rango
fi < 1 0 0 W/m2 • K para cada uno de los dos
riales.
4.32 Se construye un iglú en forma de hemisferio, con un
dio interno de 1.8 m y paredes de nieve compactadaq¡
tienen 0 5 m de grosor. En el interior del iglú el coefi
te de transferencia de calor superficial es 6 W/m2
el exterior, en condiciones normales de viento, e5
W m • K. La conductividad térmica de la nieve cor
tada es 0.15 W/m ■K. La temperatura de la capa de
sobre la que se asienta el iglú es —20ÜC y tiene la
conductividad térmica que la nieve compactada.
Viento
ártico, T
Capa de hielo, Tit
4.31 hn el capitulo 3 supusimos que, cada vez que se unen ale­
tas a un material base, la temperatura de la base no cam­
bia. Lo que en verdad ocurre es que. si la temperatura del
material de la base excede la temperatura del fluido, la
unión de una aleta disminuye la temperatura de la unión
Tj por debajo de la temperatura de la base, y el flujo de ca­
lor del material de la base a la aleta es bidimensional
T *.. h
— >.—4
Tb
■*.
Base de aluminio
— o acero
inoxidable
1
Aleta recta
— circular
de aluminio
(a) Suponiendo que el calor corporal de los oc
proporciona una fuente continua de 320 Wden
iglú, calcule la temperatura del aire interiore
del aire exteriores 7» = —40°C Asegúrese de
derar las pérdidas de calor a través del piso del
(b) Utilizando el circuito térmico de la parte (a),,
cabo un análisis de sensibilidad de parámet
determinar cuáles variables tienen un electo
cativo sobre la temperatura del aire ínten"
ejemplo, para condiciones de viento muy ft
coeficiente de convección externo se duplicas
cluso triplicará. ¿Tiene sentido construir el i
paredes de la mitad o el doble de espesor?
199
P ro b le m a s
4.33 Un componente electrónico delgado de disipación de po­
tencia tiene un diámetro D = 10 min, y una superficie se
pega con resina epoxica a un bloque grande de aluminio
(A = 237 Wm • K) La resistencia interna para un área
unitaria de la unión epoxica es R" c = 0.5 X 10 4 mJ •
KAV. y en puntos bastante distantes del componente el
bloque se mantiene a una temperatura Th = 25°C. La otra
superficie se expone a un flujo de aire para el que h = 25
W/m2* K y 7 \= 2 5 ° C .
Aire,
/ x» h
Resina epoxica
Kc
Componente
electrónico,
TC,P
a Dibuje el circuito térmico del sistema y etiquete las
resistencias térmicas, las direcciones del flujo de ca­
lor y las temperaturas Th y T .
(b Si la temperatura del componente no puede exceder
j = loo °C, ¿cuál es la potencia de operación P
máxima perm sible?
434 Un dispositivo electrónico en forma de disco de 20 mm
de diámetro disipa 100 W cuando se monta al mismo ni­
vel sobre un bloque grande de aleación de aluminio
(2024) cuya temperatura se mantiene a 27°C. El arreglo
de montaje es tal que hay una resistencia de contacto
R" —5 X 10"5 m2 • K/W en la interfaz entre el disposi­
tivo)' el bloque.
Aletas rectas
(30), D = 1.5 mm
L = 15 mm
Cobre, 5 mm
de espesor
Dispositivo
"a,
4.35 Considere la configuración nodal 2 de la tabla 4.2. Den ■
ve las ecuaciones en diferencias finitas, en condiciones
de estado estable, para las siguientes situaciones.
(b) Ambas fronteras de la esquina interna están perfecta­
mente aisladas ¿Corno se compara este resultado
con la ecuación 4 45 ?
Bloque de
aluminio, l ’b
Tj>P
Ecuaciones en diferencias finitas: derivación
(a) La frontera horizontal de la esquina interna está per­
fectamente aislada y la frontera vertical esta sujeta al
proceso de convección (7,., /?).
D
Dispositivo electrónico.
de cobre (k = 400 Wm • K ) y están expuestas a un
flujo de aire a 27°C para el que el coeficiente de con­
vección es 1000 W/m • K. Para la temperatura del
dispositivo que se calculo en la parte (a), ¿cuál es la
potencia de operación permisible?
/
Resina
epóxica,
R'l.c
i.i) Calcule la temperatura que alcanzará el dispositivo
suponiendo que toda la potencia que el mismo genendebe transferirse por conducción al bloque.
.bi A fin de operar el aparato en un nivel de alta poten­
cia. un diseñador de circuitos propone unir un sumí
dero de calor con aletas en la parte superior del
dispositivo Las aletas rectas circulares están hechas
4.36 Considere la configuración nodal 3 de la tabla 4 2 Den
ve las ecuaciones en diferencias finitas, en condiciones
de estado estable, para las siguientes situaciones
(a) La frontera está aislada. Explique cómo modificar la
ecuación 4.46 para que concucrdc con su resultado.
(b) La frontera está sujeta a un flujo de calor constante
4.37 Considere la configuración nodal 4 de la tabla 4.2. Deri­
ve las ecuaciones en diferencias finitas en condiciones de
estado estable para las siguientes situaciones.
(a) La frontera superior de la esquina externa está per­
fectamente aislada y la frontera lateral está sujeta al
proceso de convección (7’*, h).
(b) Ambas fronteras de la esquina externa están perfec­
tamente aisladas. ¿Cómo se compara este resultado
con la ecuación 4 47?
4.38 Considere la transferencia de calor en un sistema coorde
nado cilindrico unidimens onal (radial), en condiciones
de estado estable, con generación volumétrica de calor.
(a) Derive la ecuación en diferencias finitas para cual­
quier nodo interior m.
(b) Derive la ecuación en diferencias finitas para el nodo
n localizado en la frontera externa sujeto al proceso
de convección (7», h).
4.39 Derive las ecuaciones en diferencias finitas que se re­
quieren en el problema 4 38, pero para un sistema coor­
denado esférico unidimensional (radial).
4.40 En una configuración cilindrica bidimensional, los espa­
ciados radial (Ar) y angular (Ar/>) de los nodos son unifor­
mes. La frontera en r = r es de temperatura uniforme Tr
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
Universidad Simón bolívar - Sede del Litoral
Capítulo 4 ■ C o n d u cció n b id im en sio n a l en e s ta d o e s ta b le
200
Las fronteras en la dirección radial son adiabáticas (aisla­
das) y expuestas a convección de superficie (Tx , h), como
se ilustra. Derive las ecuaciones en diferencias finitas pa­
ra (a) el nodo 2, (b) el nodo 3 y (c) el nodo 1
m - l.n -
(b) Nodo m. n en la punta de una herramienta de
con la superficie superior expuesta a un flujo de
constante q "
a, y la superficie diagonal expuesta a
proceso de enfriamiento por convección con el 11
a 7a y un coeficiente de transferencia de cal
Suponga Av = Av.
Superficie a
temperatura
uniforme, T¡
1
4.41 Las superficies superior e inferior de una barra de con­
ducción se enfrían convectivamente por acción del aire
a 7<x, y hsu¡, ¥* hmf. Los lados se enfrían manteniendo
contacto con sumideros de calor a T 0. a través de una
resistencia térmica de contacto de R'¡ c. La barra tiene
conductividad térmica A, y el ancho es el doble del espe­
sor L.
1
1
1
1
1
-
=
4.43 Considere el punto nodal 0 localizado en la frontsr
materiales de conductividad térmica kA y kü.
1
2
0
Ax
7
Material A
3
-V
# '■ —
= A>Material B
r —i
4*
Ae
•
Derive la ecuación en diferencias finitas, súpome
no hay generación interna
*1*
7X, h¡,^
R"t.i
A
Considere condiciones de estado estable para las que se
genera calor de manera uniforme a una tasa volumétrica
c¡ debido al paso de una com ente eléctrica. Use el méto­
do del balance de energía para derivar ecuaciones en di
fercncias finitas para los nodos 1 y 13.
4.42 Derive las ecuaciones en diferencias finitas nodales para
las siguientes configuraciones.
(a) Nodo ni. n sobre una frontera diagonal sujeta a con­
vección con un fluido a 7 Wy con un coeficiente de
transferencia de calor h Suponga A x = Ay.
4.44 Considere la malla bidimensional (Ax = Av) que
senta condiciones de estado estable sin generar,,«
lumétrica interna para un sistema con cond
térmica A Una de las fronteras se mantiene a uir
ratura constante Ts mientras que las otras son ad a
T
12
•
11
•
10
13
•
4
•
5
«
14
•
3
•
15
•
2
•
Ax -►)
16
1
1
•
e4
9
8
7
i
Av
jL
k
- Fronltera
isotérmica, T
----- Aislante
■
P roblem a *
201
Derivo una expresión para la transferencia de calor por
unidad de longitud normal a la página que cruza la fron­
tera isotérmica ( T s)
4.45 Considere una aleta unidimensional de área de sección
transversal uniforme, aislada en su punta, .t = L. (Véase
U tabla 3 4. caso B). Se conocen las temperaturas en la
huso de la aleta Th y del fluido Tx , asi como el coeficiente
de transferencia de calor h y la conductiv idad térmica k.
(a) Derive la ecuación en diferencias finita?* para cual­
quier nodo interior ni.
(b) Derive la ecuación en diferencias Imitas para un no
do n situado en la punta aislada.
Lcuariones en diferencias finitas: an álisis
Nodo
T, iX)
1
2
3
4
5
6
7
120.55
120.64
121.29
123.89
134.57
150.49
147.14
- r , ioo°c
4.47 Considere el canal cuadrado que se muestra en el d bujo
en operación en condiciones de estado estable. La super­
ficie interior del canal está a una temperatura uniforme de
MX) K. mientras que la superficie extema se expone a la
convección con un fluido a 300 K y un coeficiente de convecum de 50 W/m2 • K. De un elemento simétrico del
canal se ha construido una malla y se han etiquetado los
nodos. Las temperaturas para los nodos 1, 3, 6. 8 y 9 es­
tán identificadas.
4.48 l-as temperaturas de estado estable (K) en tres puntos no­
dales de una varilla rectangular larga son como se mues­
tra. La varilla experimenta una rapidez de generación
volumétrica uniforme de 5 X 107 W/nf* y tiene una con­
ductividad térmica de 20 W/m • K Dos de sus lados se
mantienen a una temperatura constante de 300 k . mien­
tras que los otros están aislados.
—ui*, i—
I ■
1
- 1-
I—
1‘
5 mm---- *|
•
398 0
n
y
5 mm
348 5
374 6
■Temperatura uniforme, 300 K
(a) Determine las temperaturas en los nodos 1 ,2 y 3.
(b) Calcule la transf erencia de calor por unidad de longi­
tud (W m) de la varilla con las temperaturas nodales
Compare este resultado con la transferencia de calor
calculada del conocimiento de la generación volu­
métrica y las dimensiones de la varilla.
4.49 Las temperaturas (K) en los puntos nodales de un sistema
bidimcnsional son com o se muestra La superficie B se
conserva a una temperatura uniforme, mientras que la su­
perficie A se sujeta a una condición de convección de
frontera Calcule la transf erencia de calor que deja la su­
perficie A por unidad de espesor normal a la página. Bstime la conductividad térmica del material
|*-0 2 m-*j
j á f * 30C K
i„jk = 50 W/m2 • K
/
■/
6
7 ./
/
8
Aa - Av = 0 01 m
/ y
!
-
T = 600 K
Tx = 430 K
f 3 - 394
Superficie B
T - 500 K
435*
414l!*. —r
IV I
■ 0.2 m
/
*
t lW/fn-K
(b) Calcule la perdida de calor por unidad de longitud
desde el canal.
>|yu
44<- Considere la red para un sistema bidimcnsional con g e­
neración volumétrica interna que tiene las temperaturas
nodales que se muestran abajo. Si el espacio de la malla
es 125 mm y la conductividad térmica del material es
50 Wm • K, calcule la transferencia de calor por unidad
de longitud normal a la página desde la superficie iso­
térmica iTs).
6
(a) Comenzando con volúmenes de control definidos
apropiadamente, derive las ecuaciones en diferen­
cias finitas para los nodos 2, 4 y 7 y determine las
temperaturas T 2, TAy l n (K).
356,
337, y
T-
1
<>' —L
Superficie A
V
L
.
T8 = T9 «= 600 K
Ts = 492
7 = 300 K
h = 10 W/m2 • K
d epartam ento
de
b ib l io t e c a
U n i v e r s i d a d S im ftn B o liv e - • S e d e d e l L ito ra
202
C a p it u lo I ■
ílttnduccitm hidimfns'umtd
r/i
vsttidn enltiltlo
4.5 h Laj> temperaturas de estado estable Í‘C) asociada', con
puntos nodales seleccionados de un sistema bidimonsio
nal c|ue tiene una conductiv idad temiic a de 1.5 VVm • K se
muestran en la malla.
1
7.. h\
= 30°C
h = 50 W/m2 • K
(a) Con un espaciado de malla de 30 mm, y el mét<
iteración de Gauss-Seidel, determine las ten
ras nodales y la transferencia de calor poruni
longitud normal a la pagina en la barra desde el
(a) Determine las temperaturas en los nodos 1,2 > 3.
(b) Calcule la transtercncia de calor por unidad de espe
sor normal a la pagina del sistema al fluido.
4.51 Se llevo a cabo un análisis en diferencias finitas en esta­
do estable sobre una aleta cilindrica con un diámetro de
12 mm y conductiv idad térmica de 15 Wm • k H1 proce­
so de convección se caracteriza por una temperatura del
fluido de 25' C y un coeficiente de transferencia de calor
de 25 W /nr • K.
(b) Determine el efecto del espaciado de la malla
el campo de temperaturas y la transferencia de
De forma específica, considere un espaciado de
lia de 15 mm. Para esia malla, explore el efe
cambios en h sobre el campo de temperaturas
4.53 Considere la conducción bidimensional de estadueí
en una sección transversal cuadrada con las tem
superficiales que se establecen
(— 100°C
1,
7b - 100.0°C
Tx = 93.4°C
t 2 = 89.5°C
200°C
50°C
4
3
L
(a) Las temperaturas para los primeros tres nodos, sepa­
rados por un incremento espacial de v = 10 mm. se
dan en el dibujo Determine la transferencia de calor
de la aleta.
(b) Determine la temperatura en el nodo 3. T%.
Soluciones en diferencias finitas
4.52 Una barra larga de sección transversal rectangular tiene
60 mm por 90 mm en un lado y una conductiv idad ternn
ca de 1 W ni • k Una de las superficies se expone a un
proceso de convección con aire a I00°C y un coeficiente
de convección de 100 W/m* • K. mientras que las restan­
tes se mantienen a 50 C.
300°C
(a) Determine las temperaturas en los nodos 1.2
Estime la temperatura del punto medio.
(b) Reduciendo el tamaño de la malla por un la
determine las temperaturas nodales corres
tes. Compare sus resultados con los de la m
burda
|(c)| De los resultados para la malla mas fina, trace
termas 55, 150 y 250"C.
4.54 Considere una barra larga de sección transversal
da (0 8 m por lado) y de conductividad térmica2V»'
Tres de estos lados se mantienen a una temper
forme de 300 C. El cuarto lado ; expone a un
100 ‘C para el que el coeficiente de transferencia
por convección es 10 W /nr • K
Problemas
203
(a) Con una técnica numérica apropiada y un espaciado
de malla de 0.2 m. determine la temperatura del pun­
to medio y la transferencia de calor entre la barra y el
fluido por unidad de longitud de la barra
(100 mm por lado) se mantiene a 600 K. Una superficie de
la placa está aislada, mientras la otra tiene una emisiv idad
de 0.9 y esta expuesta a alrededores a una temperatura de
300 K. No tome en cuenta los gradientes de temperatura
en la dirección del espesor de la placa y use el método de
Gauss-Seidel. con un espaciado de malla de 25 mm, para
determinar el intercambio de calor por radiación entre la
placa y sus alrededores. Sugerencia: Linealicc la ecua­
ción de la rapidez de radiación de acuerdo con la ecuación
l 8; después de cada iteración, actualice el valor del coe­
ficiente de transferencia de calor por radiación
[(Ti)] Mediante la reducción del espaciado de la malla por
un factor de 2. determine la temperatura del punto
medio y la transferencia de calor, riaborc una gráfica
de la distribución de temperaturas correspondiente a
través de la superficie expuesta al fluido También di­
buje las isotermas 200 y 250' C.
4.55 Una varilla conductora larga de sección transversal rec­
tangular (20 mm X 30 mm) y conductividad térmica
k = 20 Wm • K experimenta una generación de calor
uniforme a una razón de í/ = 5 X 10 W/m3, mientras
sus superficies se mantienen a 27 °C.
4.59 Un arreglo común para calentar un área superficial grande
es mover aire caliente a través de tubos rectangulares
bajo la superficie. Los tubos son cuadrados y >e localizan
a medio camino entre las supei ficies superior e inferior
que están una expuesta al aire del ambiente y otra, aislada.
(a) Con el método de diferencias finitas y un espaciado
de malla de 5 mm, determine la distribución de tem­
peraturas en la varilla
Tubo de aire—
(b) Si las condiciones de frontera no cambian, ¿que rapi­
dez de generación de calor ocasionará que la tempe­
ratura del punto medio alcance 600' C >
1.5Z.
4 56 Un tubo por el que pasan gases de escape tiene una sec­
ción transversal cuadrada de 300 mm por lado. Las pare­
des son de ladrillo refractario de 1.50 mm de espesor con
conductividad térmica de 0.85 Wm • K Calcule la pérdi
da de calor del tubo de escape por unidad de longitud
cuando las superficies interior y exterior se mantienen a
350 v 25 'C. respectivamente. Use un espaciado de malla
de 75 mm.
4.57 Considere el sistema del problema 4.56. La superficie
interior se expone a gases calientes a 350 °C con un coe­
ficiente de convección de 100 W/m2 ■K. mientras la superficie exterior experimenta convección con aire a 25°C y
un coeficiente de convección de 5 W/m • K.
a) Para un espaciado de malla de 75 mm. calcule el
campo de temperaturas dentro del sistema y determi­
n e la perdida de calor por unidad de longitud por con
veccion desde la superficie externa del escape al aire
Compare este resultado con el calor ganado por convección desde los gases calientes al aire.
I~b~| Determine el efecto del espaciado de la malla sobre
el campo de temperaturas y la pérdida de calor por
unidad de longitud al aire. De manera específica,
considere un espaciado de malla de 25 mm. Para
Aa = Av = 25 mm. explore el efecto de cambios en
los coeficientes de convección sobre el campo de
temperaturas, y la pérdida de calor.
4.58 H! perímetro de una placa de 4 mm de espesor, conducti­
vidad térmica 2 Wm • K y sección transversal cuadrada
j—T2 = 30°C r- 7j = 80°C
— Concreto
r
Cuando las temperaturas del piso y del tubo son 30 y
80°C, respectivamente, y la conductividad térmica del
concreto es 1.4 Wm • K. calcule la transferencia de calor
de cada tubo por unidad de longitud del mismo. Use un
espaciado de la malla con A.v = 2Ay, donde Ay = 0.125 L
y L — 150 mm
4 .6 0 1Considere el esquema de enfriamiento de turbina de gas
del ejemplo 4.4. En el problema 3.23, se describen las
ventajas asociadas con la aplicación de un recubrim iento
d e b arrera térm ica (TBC) a la superficie exterior de un
álabe de la turbina. Si se aplica un recubrimiento de cir­
conio de 0.5 mm de espesor (k = 1 3 W/m • K, R'¡ ( =
10~4 m1 • K/W) a la superficie externa del álabe enfriada
por aire, determine el campo de temperaturas en el alabe
para las condiciones de operación del ejemplo 4.4
4.61 Una barra larga de sección transversal rectangular de
0.4 m X 0.6 m en un lado, que tiene una conductividad
térmica de 1.5 W/m ■ K, está sujeta a las condiciones de
frontera que se muestran en la siguiente página. Dos de los
lados se mantienen a una temperatura uniforme de 200'C
Uno de los lados es adiabático, y el lado restante esta su­
jeto a un proceso de convección con T x = 30‘’C y h = 50
W/m2 • K. Con una técnica numérica apropiada y un espaciado de malla de 0.1 m. determine la distribución de tem
peraturas en la barra y la transferencia de calor entre la
barra y el fluido por unidad de longitud de la barra.
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
Unlvcr8lddQ San .. Buüvur • Sede d>
torp
204
C a p ít u lo 4
■
Conducción bidimensional en estado estable
Temperatura uniforme,
/ = 200°C
4.65 El factor de forma para la conducción a través de los bor­
des de paredes contiguas para las que D > L¡5, dondeD
y L son la profundidad y espesor de la pared, respectiva­
mente. se muestra en la tabla 4 1 El elemento bidinx.Tr
sional del borde, que se representa en el recuadro («).e;
limitado por la adiabática de simetría diagonal y uñase
ción del espesor de la pared sobre la cual la distnbuciói
de temperaturas se supone lineal entre T, y T2.
7V.. h
Temperatura uniforme
T = 200°C
4.62 La superficie superior de una placa, incluidos sus cana­
les. se mantiene a una temperatura uniforme T x = 200°C.
I^a superficie inferior está a T2 = 20°C, la conductividad
térmica es 15 Wm • K y el espaciado del acanalado es
0.16 m
H
v»
*1*
1
H
D str bución lineal
de temperaturas
H
T2
721 t 2 t 2 t 2 r- • •—
1’
o
\
L
• Y j
Ad 3
Y— l
de si
S\
\Y
"
•
•
Av
' K-4- Ax
/
i
~ C
(a) Usando el método de diferencias finitas con un tamano de malla de Aa = Ay = 40 mm, calcule las tempe­
raturas nodales desconocidas y la transferencia de
calor por ancho del espaciado de los canales (wf) y
por unidad de Ion ítud normal a la pagina
| (b) |Con un tamaño de malla de Aa = Av = 10 mm repi­
ta los cálculos anteriores y determine el campo de
temperaturas y la transferencia de calor. Además
considere condiciones para las que la superficie in­
terior no esté a una temperatura uniforme T2 sino
expuesta a un fluido a
= 20 ’C. Con Aa = Ay =
10 mm, determine el campo de temperaturas y la
t ansfcrcncia de calor para valores de h = d, 200 y
1000 W/m • K, así como para h —* ce.
4.63 Refiérase a la placa rectangular bidimcnsional del pro­
blema 4.2. Con un método numérico aprop ado en el que
Aa = Av = 0.25 m, determine la temperatura en el punto
medio (1.0.5).
4.64 Una barra trapezoidal larga está sujeta a temperaturas uní
formes sobre dos superficies, mientras que las superficies
restantes están bien aisladas. Si la conduct vidad térmica
del material es 20 W/m • K, estime la transferencia de ca­
lor por unidad de longitud de la barra con el método de
diferencias finitas Use el método de Gauss Scidel de so
Ilición con un incremento del espacio de 10 mm.
- T
ih
Vt
n • L-
Cb)
(a) Con la red nodal del recuadro (a) para L = 40
determine la distribución de temperaturas en el
mentó para T¡ = 100 ’C y T2 = 0°C Evalúe la
ferencia de calor por unidad de profundidad ifl
Ira si k — 1 W/m • K. Determine el factor de
correspondiente para el borde y compare sus re
dos con los de la tabla 4 1
(b) Elija un valor de/i = 1 o 1 5, y establezca una
dal para el trapezoide del recuadro (6) y detei
campo de temperaturas correspondiente. Ev
validez de suponer distribuciones de tempera
neales a través de las secciones a —a y b b
4.66 La diagonal de una barra triangular larga está bien
da, mientras que los lados de longitud equivale
mantienen a las temperaturas uniformes T y Th.
■
Problemas
20¿>
(a) Establezco una red nodal que conste de cinco nodos
a lo largo de cada uno de los lados. Para uno de los
nodos cn la superficie diagonal, defina un volumen
de control adecuado y derive la ecuación de diferen­
cias finitas correspondiente. Con esta forma para los
nodos diagonales y las ecuaciones apropiadas para
los nodos interiores, encuentre la distribución de
tempei aturas para la barra. En un dibujo a escala
de la lomia. muestre las isotermas 2 5 ,5 0 y 75°C.
(b) Un procedimiento alterno y mas sencillo para obte­
ner las ecuaciones de diferencias finitas para los no­
dos de la diagonal se sigue del reconocimiento de
que la superficie diagonal aislada es un plano de si­
metría. Considere una red nodal cuadrada de 5 X 5 y
represente su diagonal com o una línea de simetría
Reconozca cuáles nodos en cada lado de la diagonal
tienen temperaturas idénticas Si hace esto de forma
apropiada, puede tratar los nodos de la diagonal co­
mo nodos "interiores” y escriba las ecuaciones en di­
ferencias finitas por inspección.
Aplicaciones e sp e c ia le s
4~jyf| Una aleta recta de sección transversal uniforme fabricada
con un material de conductividad térmica 50 W/m ■ K.
espesor n = 6 mm y longitud L = 48 mm. es muy larga
en la dirección normal a la página El coeficiente de
transferencia de calor por convección es 500 W /m2 • K
con una temperatura de aire ambiental T^ = 30' C. La ba­
se de la aleta se mantiene a Tb = 100°C. mientras el extre­
mo de la aleta está bien aislado.
4.68 Una aleta recta tiene un perfil triangular dado por la fun
ción v = 0.2(7. — \ ) y es muy larga en la dirección normal
a la página. Ambas superficies superior e inferior experi­
mentan convección con / « = 15°C y h — 100 W /nr • K
La base de la aleta se mantiene a I h = 115°C y el material
de la aleta tiene una conductividad térmica de 25 W/m •
K Suponga una transferencia de calor unidimensional y
usando el método de diferencias finitas con un incremen­
to de espacio de 10 mm. determine la transferencia de ca­
lor y eficiencia de la aleta.
J
4.6 9 1Una varilla de 10 mm de diámetro y 250 mm de longitud
tiene un extremo que se mantiene a IIXVC. La superficie
de la varilla experimenta convección libre con el aiream
hiemal a 25°C y con un coeficiente de convección que
depende de la diferencia entre la temperatura de la super­
ficie y la del aire ambiental. Específicamente, el coefi­
ciente se establece mediante una correlación de la forma.
/ici = 2 89(0 6 + 0.624(7" — 7*oc)l/fe]2. donde las unidades
son /i^íW/m2 • K) y 7"(K) La superficie de la varilla tiene
una emisividad e = 0.2 y experimenta intercambio de ra­
diación con los alrededores a T * = 25°C. Fl extremo de
la aleta también experimenta convección libre e inter
cambio de radiación
Tac. A
7 * = 25°C —
1
T ir x ./i
Aire quieto,
T = 25°C
ti
Aislado
I
Tb = 100°C
I
Varilla de acero inoxidable
A = 14 W/m • K, e = 0.2
10 mm
(a) Con el método de difeicncias finitas y un incremento
de espacio de 4 mm, estime la distribución de tempe­
raturas dentro de la aleta ¿Es razonable para esta ale
ta la suposición de transferencia unidimensional de
calor?
ib) Estime la transferencia de calor de la aleta por unidad
de longitud normal a la página Compare su resulta
do con la solución analítica unidimensional, ecua­
ción 3.7b.
te) Con la malla de diferencias finitas de la parte (a),
calcule y trace la distribución de temperaturas de la
aleta para valores de h = 10 ,1 0 0 .5 0 0 y 1000 W/m2 •
k Determine y dibuje la transferencia de calor de la
aleta como función de h.
I I
1
i .
iT
"
I
L - 250 mm
Suponiendo una conducción unidimensional y con el
método de diferencias finitas que represente la aleta pa­
ra cinco nodos, estime la distribución de temperaturas
para la aleta. Determine también la transferencia de ca­
lor de la aleta y las contribuciones relativas de convec­
ción libre y de intercambio de radiación. S u g eren cia :
Para cada nodo que requiere un balance de energía, use
la forma lincali/ada de la ecuación de la transferencia de
calor, ecuación 1.8. con coeficiente de radiación h r.
ecuación 1.9. evaluada en cada nodo De forma similar.
206
C a p ít u lo 4
■
Comlurrión hidimensional en esludo estable
para la ecuación de la transferencia por convección aso­
ciada con cada nodo, debe evaluarse el coeficiente de
convección libre /ic, para cada nodo.
4.701Una hoja metálica delgada de 0.25 mm de espesor con un
patrón de hoyos extremadamente pequeños sirve como
una malla de aceleración para controlar el potencial eléc­
trico de un ha/ de iones. Esta malla se usa en un proceso
químico de deposición de vapor (CVD) para la fabrica­
ción de semiconductores La superficie ; uperior de la
malla se expone a un flujo de calor uniforme ocasionado
por la absorción del ha/ de iones, q — 600 W /nr • K. I^os
bordes de la hoja se acoplan térmicamente a sumideros
enfriados por agua que se mantienen a 300 K Las super­
ficies superior e inferior de la hoja experimentan un inter­
cambio de radiación con las paredes del recinto al vacio
que se mantienen a 300 K La conductividad térmica
electiva del material de la hoja es 40 W/m • K y su emisi
vidad es 0 45
— Recinto al vacio, T&
Haz de iones q"s
i
Malla
1 , 1
i
rr
I
W
W
i
L = 115 mm
Patrón de hoyos
de la malla
Electrodo del sumidero
enfriado por agua, T um
Suponiendo una conducción unidimensional y con el
método de diferencias finitas para representar la malla
con diez nodos en la dirección x, estime la distribución de
temperaturas para la malla S u gerencia Para cada nodo
que requiera un balance de energía, utilice la forma linealizada de la ecuación de flujo de radiación, ecuación 1.8,
con el coeficiente de radiación /i,., ecuación 1.9. evaluado
para cada nodo
4.71 Elementos de calentamiento eléctrico de pequeño diáme­
tro que disipan 50 W/m (longitud normal al dibujo) se
usan para calentar una placa de cerámica de conductivi­
dad térmica 2 W/m • K. La superficie superior de la placa
se expone al aire ambiental a 30°C con un coeficiente de
convección de 100 W/m? • K, mientras que la superficie
inferior esta bien aislada
Aire
T *.h
Elemento de calentamiento
Placa de cerámica
i- 6 mm
!—
+
+
L
M 2 mm
H— 24 mm—
(b) Usando las temperaturas nodales calculadas, di
cuatro isotermas para ilustrar la distribución de le
peraturas en la placa.
(c) Calcule la perdida de calor por convección de la
ca al fluido. Compare este valor con la rapidez de
s pación del elemento
d) ¿ Que ventaja, si la hay, supone no hacer Av = Av
ra esta situación?
e) Con Aa — Ay —2 mm. calcule el campo de tenr
turas dentro de la placa y la transferencia de cal
ésta. En ninguna circunstancia puede exceder
40(V'C la temperatura en cualquier posición en la
ca. ¿Se excedería este límite si se detuviera el f]
aire y la transferencia de calor al aire fuera por
veccion natural con h = 10 W/m* • K?
4.72 Una barra larga de sección transversal rectangular
♦
i
(a) Con el método de Gauss-Seidel y un espaciado
malla de Aa - 6 mm y Av - 2 mm, obtenga lad
bucion de temperaturas dentro de la placa.
— 24 mm
H
,
cada con dos materiales con conductividades ter
k A — 15 W/m K y k B ~ 1 W/m • K y espesores L
50 mm y L fí — 100 mm, respectivamente Su anc'
u — 300 mm. Tres lados de la barra están sujetos ac
ciones de convección con T y — 100 °C y h = 30W7
Calcule la rapidez a la que el serpentín de enfriar,
debe eliminar calor por unidad de longitud de la barra
mantener la superficie inferior de la barra a T0 = OT
-W
7*. h
1
B
J
O
O
O
O
O
O
O
Serpentín de enfriamiento
4.73 En el dibujo se muestra una representación sim
para el enfriamiento en la integración a gran escala
SI) de microelectrónica. Un chip de silicio se mont
sustrato dieléctrico. y una superficie del sistemase
convectivamente, mientras las superficies restante
bien aisladas de los alrededores. El problema se
bidimcnsional al suponer que el sistema es muy
en la dirección perpendicular al papel En una
ción en estado estable, la disipación de potencia
208
Capítulo 4 ■ C o n d u cció n b id im en sio n a l en e s ta d o e s ta b le
(a) Considere una placa fabricada de aluminio (A =
190 W/m • K) con canales rectangulares espaciados
regularmente por los cuales se hace pasar agua. En
operación normal, la disipación de potencia dentro
de los chips tiene como resultado un ílujo de calor
unitorme q', = 105 W/m en la base de la placa fría,
mientras que el flujo de agua proporciona una tem­
peratura Ta — 15 °C y un coeficiente de convección
fi = 5000 W/m- • k dentro de los canales. Estamos
interesados en la obtención de la distribución de
temperaturas de estado estable dentro de la placa
fría y. a partir de consideraciones de simetría, es posi­
ble limitar nuestra atención a la red nodal establecida.
Suponiendo que la superficie superior de la placa
fría esta bien aislada, determine las temperaturas
nodales
(b) Aunque hay interés en la operación a más altos nive
les de potencia, las consideraciones de confiabilidad
del sistema dictan que la temperatura máxima de la
placa fría no debe exceder 40°C. Con la geometría
establecida de la placa fría y de la red nodal, evalúe el
efecto de cambios en las condiciones de operación o
de diseño destinados a aumentar el flujo de calor de
operación q"0. Estime el limite superior para el flujo
de calor.
4.76[ Un sumidero de calor para enfriar chips de computadora
se fabrica de cobre ( ks = 400 W m * K) con microcanales por los que pasa un fluido de enfriamiento para el que
7* = 25 'C y h = 30,000 W /nr • K. El lado interior del
sumidero no experimenta eliminación de calor, y un dise­
ño de sumidero de calor preliminar requiere las dimen­
siones a = b = \\\ — w y= 200 (xm. En el recuadro se
muestra un elemento simétrico de la trayectoria del calor
del chip al fluido.
r Tr
|— Chips, Tc
1—
r
r.:
f
t
b
+
1
Sumidero
kr
Í•
L
1
'
j
1
r
Microcanal
l
9
.
Tk , h
Aislante
2
(a) Mediante el elemento simétrico con una red nodal
cuadrada de Av = Av = 100 fxm, determine el campo
de temperaturas correspondiente y la transferencia de
calor q para el refrigerante por unidad de longitud
de canal (W/m) para una temperatura máxima permi­
sible del chip Tc máx = 75°C. Estime la resistencia
térmica correspondiente entre la superficie del chip y
el fluido, R \ r_/(m • K/W). ¿Cual es la disipación de
calor permisible máxima para un chip que mide 10X
10 mm de lado?
(b) El espaciado de la malla que se usa en la solucionen
diferencias finitas anterior es burda, lo que tiene»
mo resultado una precisión pobre para la distribuc:
de temperaturas y para la rapidez de eliminación de
calor. Investigue el efecto de un espaciado de la nialii
considerando incrementos espaciales de 50 y 25 ¿uní
(c) ¿Es posible alterar las dimensiones del sumidero
calor en congruencia con el requerimiento que¿jT
b = 400 (xm de modo que se reduzca la resistenc
térmica global7
4.771 Una celda de prueba para medir coeficientes de con
cion libres entre dos placas paralelas consiste en dos
cas largas de cobre separada por tabiques. La ser
transversal del tabique de un extremo y las placas
muestran a continuación, junto con sus condiciones
micas representativas
Tabique
T = 0.2 W/m • K/:
flaca de
T2 = 25°C
Aislante
m
= 10 mm
Placa de
A « 75°C
En el experimento se mide la potencia que se requiere
ra mantener la placa inferior a 7j y, si hay unatrans"
cia de calor insignificante a través del tabique al aue
placa superior, se supone que toda la potenciase'
porta mediante convección libre a la placa superior
(a) Suponiendo que la transferencia de calor a t
tabique es unidimensional calcule la transiere
calor por unidad de profundidad (W/m) a t
tabique al aire y a la placa superior. Sugercnciai
sidere el tabique como una aleta de sección i
sal uniforme con un temperatura final estabb
(b) Calcule la transferencia de calor consideran
duceión bidimensional dentro del tabique. C
estos resultados con los de la parte (a)
4 .7 8 1 Se endurece una placa (k = 10 W/m • K) mediante
ríe de costillas longitudinales que tienen ui#
transversal rectangular de longitud L — 8 mmv
u = 4 mm La base de la placa se mantiene aúna
ratura uniforme Th = 45°C. mientras las superli
costillas se exponen al aire a una temperatura
25°C y un coeficiente de convección de h = 6U0W
■
207
Problemas
ca en el chip proporciona calentamiento volumétrico
uniforme a una razón </. S 11 embargo, la rapide/ de calen­
tamiento está limitada por restricciones sobre la tempera­
tura máxima que el chip tiene permitido tomar.
Fluido
refrigerante
7- = ?n°r
h = 500 W/m2 ■K
kc = 50 W/m • K
q = 10 W/m3
4
///4
♦
•— ------------
H-
k.
l./Z
*Sustrato,
- 5 W/m • K
H =
12 mm
/. = 27 mm
Para las condiciones que se muestran en el dibujo, ¿la
temperatura máxima en el chip excederá 85"C, tempera­
tura máxima de operación permisible fijada por los están­
dares de la industria ?Se sugiere un espaciado de malla de
3 mm
4.74 Unos dispositivos electrónicos que disipan potencia eléc­
trica se enfrian mediante la conducción a un sumidero de
calor La superficie inferior del sumidero se enfria, y el
espaciado de los dispositivos vrv, el ancho del dispositivo
wd y el espesor I > la conductividad térmica k del mate
rial del sumidero de calor afectan cada uno a la resisten­
cia térmica entre el dispositivo y la superficie enfriada.
La función del sumidero de calor es ex ten d er el calor que
se disipa en el dispositivo a través del material del
sumidero.
determine el efecto del tamaño de la malla sobre la
precisión del cálculo de la resistencia térmica.
(d) Con la red nodal mas fina desarrollada para la parte
(c), determine el efecto del ancho del dispositivo so­
bre la resistencia térmica De manera específica, con
m'vy L fijas, encuentre la resistencia térmica para va­
lores de « -> • = 0 1 7 5 ,0 .2 7 5 .0 375 y 0.475
[4.75] Uno de los principales problemas al empaquetar circuí
tos integrados a gran escala (VLSI) tiene que ver con el
enfriamiento de los elementos del circuito. Hl problema
surge por el aumento de los niveles de disipación de po­
tencia dentro de un chip, así como por empacar los chips
muy juntos dentro de un modulo. IBM desarrolló una téc­
nica nueva para enfriar módulos multichip Con el nom­
bre de módulo de conducción térmica (TCM), los chips
se sueldan a 1111 sustrato de cerámica de multicapa, y el
calor que se disipa en cada chip se conduce por un pistón
de aluminio con un resorte a una p la c a fr ía enfriada por
agua
Placa fría
Agua
Resorte
Bastidor
del módulo
Placa fría enfriada
con agua
Sustrato
de cerámica
de multicapa
\r
Km j = 48 mm-H r Dispositivo T¿ - 85CC
= 18
Módulo de
conducción
térmica
T
l. = 24 mm
Sustrato de
cerámica
Chip
/
Material del sumidero,
k = 300 W/m • K
Superficie enfriada, 7\ = 25°C
(a) Comenzando con el elemento simétrico sombreado,
use el método de la gráfica de flujo para estimar la
resistencia térmica por unidad de profundidad entre
el dispositivo y la superficie inferior del sumidero.
R', (/ - s (m K/W). ¿Cómo se compara este valor con
las resistencias térmicas que se basan en la suposi­
ción de conducción unidimensional en dominios rec­
tangulares de (i) ancho vv(¿ y longitud L y (ii) ancho
\\\ y longitud L ?
(b) Mediante una red nodal burda ( 5 X 5 ) calcule la re­
sistencia térmica R'f j - j f m -K/W).
(c) Mediante redes nodales con espaciados de malla tres
y cinco veces más pequeños que los de la parte (b).
A.» = 2.5 mm
lL
4 .2
■
Problemas
209
I 4 .7 9 1La mitad inferior de una viga en I que proporciona apoyo
al techo de un horno penetra en la zona caliente. La hoja
está bien aislada, mientras que las superficies de la base
experimentan convección con los gases calientes a T^ =
400°C y un coeficiente de convección h = 150 W/m2 • K.
Considere el elemento simétrico de la región de la base
(recuadro «), suponiendo que la distribución de tempe­
raturas a través de la hoja es uniforme a jThoja = 1()0HC.
La conductividad térmica de la viga es 10 W/m • K, y
las dimensiones son vvbase = 80 mm, w^oja = 30 mm y L =
30 mm.
(a) Con el método de diferencias finitas con A.\ = Ay =
2 mm y un total de 5 X 3 puntos nodales y regiones,
estime la distribución de temperaturas y la transfe­
rencia de calor de la base. Compare estos resultados
con los que se obtuvieron al suponer que la transfe­
rencia de calor en la costilla es unidimensional y por
ello semejante al comportamiento de una aleta.
(b) El espaciado de la malla que se usa en la anterior so­
lución por diferencias finitas es burda, lo que tiene
como resultado una precisión pobre para las estima­
ciones de temperaturas y de la transferencia de calor.
Investigue el efecto del refinamiento de la malla al
reducir el espaciado nodal a A.v = Ay = 1 mm (malla
üe 9 X 3).
(c) Investigue la naturaleza de la conducción bidimensional en la costilla y determine un criterio para el
que sea razonable la aproximación unidimensional.
Haga esto extendiendo su análisis de diferencias fini­
tas para determinar la transferencia de calor de la ba­
se como función de la longitud de la costilla para el
intervalo 1.5 ^ L /w ^ 10, manteniendo la longitud /
constante. Compare sus resultados con los determi­
nados mediante la aproximación de la costilla como
una aleta.
(«)
(a) Calcule la transferencia de calor por unidad de longi­
tud para la viga con una red nodal de 5 X 4
(b) ¿Es razonable suponer que la distribución de tempe­
raturas a través de la interfaz hoja-base es uniforme?
Considere el dominio en forma de L del recuadro (/?)
y use una red fina para obtener la distribución de tem­
peraturas a través de la interfaz hoja-base. Haga la
distancia wa 2: M’hoja/2.
CAPITULO
5
Conducción en estado
transitorio
212
C a p ít u lo ó
■
i'.undarción en rsta d o transitorio
E,
n nuestro tratamiento de la conducción hemos considerado de manera gra
condiciones más complicadas. Comenzamos con el caso simple de la conducción i
dimensional de estado estable sin generación interna y posteriormente analizamos!
complicaciones debidas a efectos multidimensionales y de generación. Sin embaí*
aún no hemos examinado situaciones en las que las condiciones varían con el tiemp
Sabemos ahora que muchos problemas de transferencia dependen del tiempo. E*
tipo de problemas no estables o tra n sitó n o s , normalmente surgen cuando cambian!
condiciones de frontera de un sistema. Por ejemplo, si se altera la temperatura si
cial de un sistema, la temperatura en cada punto del sistema también comenzará ai
biar. Los cambios continuarán ocurriendo hasta que se alcance una distribución i
temperaturas de estado estable. Considere un lingote de metal caliente que se saca < i
homo y se expone a un flujo de aire frío. Se transfiere energía por convección y
ción desde la superficie a los alrededores. La energía que se transfiere poreonducc^
también ocurre del interior del metal a la superficie, y la temperatura en cada pum
lingote disminuye hasta que se alcanza una condición de estado estable hstos eí
que dependen del tiempo ocurren en muchos procesos industriales de calentamic
de enfriamiento.
Para determinar la dependencia temporal de la distribución de temperaturas i
de un solido durante un proceso transitorio, se comienza por resolver la forma ar
Ja de la ecuación de calor, por ejemplo, la ecuación 2 13. Ln las secciones 5.4 a:
presentan algunos casos para los que ya se obtuvieron solucione:». Sin emborg
condiciones en que los gradientes de temperatura dentro del sólido son peque
utiliza un método más sencillo, denominado resistencia interna despreciable o ,
de la capacitanc ia concentrada.
5.1
M é t o d o d e la resisten cia in terna d e s p r e c i a b le
Un problema sencillo, incluso común, de conducción transitoria es aquel en que un
lido experimenta un cambio súbito en su ambiente térmico. Considere una pieza!
de metal caliente que inicialmente está a una temperatura uniforme T, y que se te
por inmersión en un líquido de temperatura más baja Tx < T, (figura 5.1). Si de
que el templado comienza en el tiempo / = 0 , la temperatura del sólido disminuirá*
tiempo t > 0. hasta que finalmente alcance T^. Esta reducción se debe a la transfe
de calor por convección en la interfaz sólido-líquido. La esencia del método de i
tencia interna despreciable es la suposición de que la temperatura del sólido
/< 0
7 = T,
\
\
Liquidó
~
i- “
T* < Tl
t l ( , l HA 5 . 1
S
\
\
f/ > 0
T = T( t y
Enfriamiento do una pieza forjada de metal caliente
5 .1
■
M étodo de la resistencia interna despreciable
213
cialm ente uniform e en cualquier instante durante el proceso transitorio. Esta suposición
implica que los gradientes de temperatura dentro del sólido son insignificantes.
De acuerdo con la ley de Fourier, la conducción de calor en ausencia de un gra­
diente de temperatura implica la existencia de una conductividad térmica infinita. Esta
condición es claramente imposible. Sin embargo, aunque la condición nunca se satisfa­
ce de forma exacta, se acerca mucho a ello si la resistencia a la conducción dentro del
sólido es pequeña comparada con la resistencia a la transferencia de calor entre el sóli­
do y sus alrededores. Por ahora suponga que, de hecho, éste es el caso.
Al no tomar en cuenta los gradientes de temperatura dentro del sólido, ya no es po
sible considerar el problema desde dentro del marco de la ecuación de difusión de calor.
En su lugar, la respuesta de temperatura transitoria se determina realizando un balance
global de energía en el sólido. Este balance debe relacionar la velocidad de perdida de
calor en la superficie con 1a rapidez de cambio de la energía interna. Al aplicar la ecua­
ción 1.11a al volumen de control de la figura 5.1, este requerimiento toma la forma
-E s e le =
E
(5.1)
alm
o
dT
-h A J L T - T J = p V c
dt
(5.2)
Al introducir la diferencia de temperaturas
(5.3)
6 = T - T a
y aceptar que (dO/dt) = (dTldt), se sigue que
pVc d6
hA s d t
Separando variables e integrando desde la condición inicial, para la que t — 0 y T{0) = T,»*
obtenemos entonces
p V c [&
d
re ddV
hA.
h
r*
dt
6
h
donde
(5 4)
Al evaluar las integrales se sigue que
hAs
e
(5.5)
o
La ecuación 5.5 sirve para determinar el tiempo que requiere el solido para alcanzar al­
guna temperatura T o, a la inversa, la ecuación 5 6 es útil para calcular la temperatura
que alcanza el sólido en algún tiempo /.
Los resultados anteriores indican que la diferencia entre las temperaturas del sóli­
do y el fluido deben decaer exponencialmente a cero conforme t se aproxima a infinito.
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
Unlvssrsiddü o.i ííJm uu.ivjr *
14
C a p it u lo 5
■ (
ondiiccion en estad o transitorio
xt 1
Flfcl l<A 5 . 2
xi. 2
xt 4
xt 3
Kt-spiiota ilc temprnitura tranriloria de Milido* de resistencia interna despreciable
que coi responden a diferente** constanle-s (('iium us de tiempo T,.
1 ste comportamiento se muestra en la figura 5 2. También es evidente, de la ecuación
5.6, que la cantidad (pY c/hA s) se interpreta como tina constante te rm ita de tieni¡
1 sta constante de tiempo se expresa como
1
ri =
( p \c ) = R ,C t
(5.7)
h\
donde R , es la resistencia a la transferencia de calor por convección. y C, es la resisten­
cia interna despreciable del solido. Cualquier aumento en R t o C, ocasionará que un
sólido responda más lentamente a cambios en su ambiente térmico y aumentara el
tiempo que se requiere para alcanzar el equilibrio térmico (0 = 0 ). hste comportamien­
to es análogo a la disminución del voltaje que ocurre cuando un capacitor se descarga
través de un resistor en un circuito eléctrico RC.
Para determinar la transferencia total de energía Q que tiene lugar hasta alj*
tiempo t, escribimos
(? = J Q d i = hA s |
O dt
Al sustituir para 9 de i a ecuación 5.b e integrar, tíntenernos
(? = (pV< )0,
1 -e x p
'
/ '
/z
La cantidad Q. por supuesto, esta relacionada con el cambio cn la energía interna
solido, y de la ecuación 1 1 1 b
- Q = A E alm
(5
Para el templado Q es positiva y el sólido experimenta una disminución de e
Las ecuaciones 5.5. 5.6 y 5.8a también se aplican a situaciones donde el so
calienta (6 < 0). en cuyo caso Q es negativa y la energía interna del sólido aurn
5 .2
■
Validez del m étodo de la resistencia interna despreciable
2 I5
5.2
Validez del m é to d o d e ln resistencia interna d e sp r e c ia b le
De los resultados precedentes es fácil ver por qué hay una íuerte preferencia por el uso
del método de la resistencia interna despreciable Es en verdad el método más sencillo
y conveniente para resolver problemas de conducción transitoria Por ello es importan
te determinar en que condiciones se puede usar con precisión razonable
Para desarrollar un cntcno adecuado considere la conducción en estado estable a
través de una pared plana de arca A (figura 5 3) Aunque estamos suponiendo condicio
nes de estado estable, este criterio se extiende fácilmente a los procesos transitorios
Una superficie se mantiene a una temperatura T s | y la otra se expone a un Huido de
temperatura T «, < Ts [. La temperatura de esta ultima superficie será algún valor inter­
medio. Ts 2, para el que Tx < Ts 2 < Ts | De aquí, en condiciones de estado estable, el
balance de energía de la superficie, ecuación 1 12, se reduce a
(Js.,
y -
- r , -2) =
donde k es la conductividad térmica del sólido. Al reacomodar, obtenemos
Tj-Ts,
(L/ kA)
Rcond
Ts:2 ~ T„
(1 H iA)
R ,om
hL
= Bi
(5 9)
La cantidad (hLIk) que aparece en la ecuación 5 9 es un parám etro adimensional.
Se denomina núm ero de B iot, y desempeña un papel fundamental en problemas de
conducción que implican efectos de convección superficial. De acuerdo con la ecua­
ción 5 9. y como se ilustra en la figura 5.3, el numero de Biot proporciona una medida
de la caída de temperatura en el sólido en relación con la diferencia de temperaturas
entre la superficie y el fluido. Advierta en especial las condiciones que corresponden a
Bi < 1. El resultado índica que, para estas condiciones, es razonable suponer una dis­
tribución de temperaturas uniforme a través de un sólido en cualquier momento duran­
te un proceso transitorio. Este resultado también se asocia con la interpretación del
numero de Biot como una razón de resistencias térmicas, ecuación 5 9 Si Bi < 1,
la resistencia a la conducción dentro del sólido es m ucho m enor que la resistencia a la
convección a través de la capa lím ite del flu id o En consecuencia, es razonable la su­
posición de una distribución de temperaturas uniforme.
^conv
F h u ji ia
r
h
5.5
Efecto tlel numen de Biot en la distribución
de temperaturas ríe estado establr en una pared plana
í
í
con conver <ión en la superficie.
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
Universidad Simón 0
'♦|4
210
Cupitulo
■ C o n d u c c ió n en e s ta d o tra n sito rio
r. h
Fvci K.-\ 5 . 1
Distribución de temperaturas transitorias para «liferentes inum-ros de Biot en mmpar
plana enfriada simétricamente mediante convección.
Introdujimos el número de Biot debido a su significado para los problemas de cpjj.
ducción transitoria Considere la pared plana de la figura 5.4, que inicialmente está a
una temperatura uniforme 7 y experimenta enfriamiento por convección cuando se si
merge en un fluido con Tx < Tr Es posible tratar el problema como unidimensional en
\, y estamos interesados en la variación de temperaturas con la posición y el nemp
T (\, t). Esta variación es una función tuerte del número de Biot, y se muestran tres cc
diciones en la figura 5,4. Para Bi < 1 el gradiente de temperatura en el sólido es peque
ño y 7*(.v, t) ~ 7X0- De hecho, toda la diferencia de temperaturas está entre el sóltdot
el fluido, y la temperatura del sólido permanece casi uniforme conforme desciende i
T„. No obstante, para valores de moderados a grandes del número de Biot, los grada-1
tes de temperaturas dentro del sólido son significativos. Por ello T = T(s. t). Observ*
que para Bi
la diferencia de temperaturas a través del sólido es ahora muchonfcl
grande que la que hay entre la superficie y el Huido.
Concluimos esta sección recalcando la importancia del método de la resistencia |
interna despreciable. Su simplicidad inherente lo hace el método preferido para re
ver problemas de conducción transitoria. Por tanto, cuando haya que enfrentar un ]
blemu de esa clase, lo pionero que debe hacerse es calcular el número de Biot
satisface la siguiente condición
0 1
=
k
el error asociado con el uso del método de la resistencia interna despreciable es peq*
no Por sencillez, se acostumbra definir la longitud característica de la ecuación5u|
como la relación entre el volumen del sólido y el área de la superficie, Lc a VA.
definición facilita el cálculo de Lc en solidos de forma complicada y reduce a lai
el espesor L para una pared plana de espesor 2L (figura 5.4). a r(J 2 para un cilindrol
go y a rQt3 para una esfera. Sin embargo, si se desea aplicar el criterio en forma|
dente, Lc debe asociarse con la escala de longitud que corresponde a la dife
máxima de temperaturas espaciales. En consecuencia, para una pared plana de esp
2L calentada (o enfriada) de forma simétrica, Lc permanecería igual a la mitad i
pesor L. Sin embargo, para un cilindro o esfera largos, Lt sería igual al radio realrj
lugar de r(J2 o rJ3.
5 .2
■
Validez del m étodo de la resistencia interna despreciable
217
Finalmente, observamos que, con Lc = V/As, el exponente de la ecuación 5 .6 se
expresa como
hAj
ht
hLc k
pVc
pcLc
k
t _ hLc otí
pe L2C
k
L2C
o
hAj
pVc
= Bi • Fo
(5.11)
donde
cef
TT
<5 1 2 )
se denomina número de Fourier. Ks un tiempo sin dimensión que, junto con el numero
de Biot, caracteriza los problemas de conducción transitoria. Al sustituir la ecuación
5.11 en la 5 6, obtenemos
q
y
y
— = —
v/|
■
*j
~ = exp { - B i • Fo)
(5.13)
* oc
• E jem plo 5 . 1
Una unión termopar. cuya forma se aproxima a una esfera, se usará para la medición
de la temperatura en un (lujo de gas. Se sabe que el coeficiente de convección entre la
superficie de unión y el gas es h = 40 W/m- • K, y que las propiedades termofísicas de
la unión son k = 20 W/m • K. c = 400 J/kg • K, y p = 8500 kg/m . Determine el diá­
metro de la unión necesario para que el termopar tenga un tiempo constante de 1 s. Si
la unión está a 25°C y se la coloca en un flujo de gas que está a 200°C, ¿cuánto tiempo
tardará la unión en alcanzar 199°C?
S olí
c ió n
Propiedades termofísicas de la unión de termopar que se usa para me­
dir la temperatura de un flujo de gas.
Se conoce:
E n c o n tr a r :
1. Diámetro de la unión necesario para una constante de tiempo de 1 s.
2. Tiempo que se requiere para alcanzar 199°C en un llujo de gas a 200°C.
E squem a:
Conductores
200 C
A
400 W/m2 • K
Unión del
termopar
T, = 25°C
k
c
p=
20 W/m • K
400 JAg * K
8500 kg/m3
K -D -H
d epa rta m en to
de
b ib l io t e c a
Universidad Simón Bolívar - Sede del Litoral
218
C a p it u lo 5
Conduci ion en estallo transitorio
■
S u p o s ic i o n e s :
1. La temperatura de la unión es uniforme en cualquier instante.
2. El intercambio de radiación con los alrededores es insignificante.
3. Las perdidas por conducción a través de los alambres de conducción son insignifi­
cantes.
4. Propiedades constantes.
Análisis:
I. Como se desconoce el diámetro de la unión, no es posible comenzar la solucml
determinando si se satisface el criterio para usar el método de la resistencia inlernj
despreciable, ecuación 5.10. Sin embargo, un procedimiento apropiado es usard
método para encontrar el diámetro y después determinar si se satisface el criten*
De la ecuación 5.7 y del hecho de que \
irD2 y \ = 7tDV6 para una estera, sj
sigue que
p irD
1
T, =
7 X — -— c
6
h i tD~
Al reacomodar y sustituir los valores numéricos,
6 /jt ,
D =
pe
6 X
400 W /m 2 • K X 1 s
8500 kg/m 1 X 400 J/kg • K
= 7.06 X 10 - 4 m
Con L( = r (,/3 se sigue de la ecuación 5.10 que
Bi =
h { r j 3)
400 W /m 2 • K X 3.53 X 10 ~4 m
k
3 X 20 W /m • K
= 2.35 X 10~4
En consecuencia, la ecuación 5.10 se satisface (para L = ra, así como par
r^/3) y el método de la resistencia interna despreciable sirve para una extcli
aproximación.
2. De la ecuación 5.5, el tiempo que se requiere para que la unión alcance!
199°C es
pD c
T, - T ,
p { 7 r D 3l 6 ) c
T , - T„
t = —r : — — In
h(7TD¿)
T -
71
u
r ' ln
T -T
8500 kg/m 3 X 7.06 X 10 " 4 ni x 400 J/kg • K
t =
6
X 400 W /m 2 • K
25 - 200
ln
199 - 200
t = 5.2 s ~ 5 t,
La transferencia de calor debida al intercambio de radiación <
unión y los alrededores y la conducción a través de los alambres conductores afee
tiempo de respuesta de la unión y da. de hecho, una temperatura de equilibrio i
itere de 7*.
C o m e n ta r io s :
5 .3
Análisis g e n e r a l d e l m é t o d o d e resisten cia in tern a d e s p r e c i a b le
Aunque la conducción transitoria en un solido normalmente se inicia med antefcr
lerencia de calor por convección hacia o desde un Huido contiguo, otros proct
ve/ induzcan condiciones térmicas transitorias dentro del sólido. Por ejemplo, i
5 .3
■
Análisis general del rnétoda de resisteneia interna despreciable
2. 1 CJ
Alrededores
T* “
r. i .
no> =
t,
Vrad
o
E g. E aipn
r/coov
K u . i h a 5 .5
Superficie «Ir control para «1 andlisi* general
'V h
.r)
(Ir la resistencia interna despreciable.
do se separa de sus alrededores mediante un gas o un vacío Si las temperaturas del so­
lido y los alrededores difieren, el intercambio de radiación ocasionaría que cambie la
energía térmica interna y por ello la temperatura del sólido. Los cambios de temperatu­
ra también podrían inducirse aplicando un flujo de calor a una parte de la superficie o a
toda ella y/o iniciando la generación de energía térmica dentro del solido. 1 I calenta­
miento de la superficie se aplicaría, por ejemplo, al unir un calentador eléctrico de pe­
lícula o lamina a la superficie, mientras que la energía térmica se generaría haciendo
pasar una corriente eléctrica a través del sólido.
La figura 5.5 describe una situación en que las condiciones térmicas dentro de un
sólido estarán influidas de manera simultánea por convección, radiación, un flujo de
calor aplicado a la superficie y la generación de energía interna. Se supone que. inicial­
mente (t = 0). la temperatura del sólido (T¡) difiere de la del fluido, ÍT*. y de la de los
alrededores. Ta]m, y que se inicia tanto el calentamiento superficial como el global (q"s y
cj). El flujo de calor q" y la transferencia de calor por convección-radiación ocurren en
partes mutuamente excluycntes de la superficie, As{h) y A s{{. f), y se supone que la trans­
ferencia de convección-radiación se produce desde la superficie Además, aunque la
convección y la radiación se establecen para la misma superficie, las superficies pue­
den, de hecho, diferir (As( ^ Av ). Aplicando la conservación de la energía en cual­
quier instante t, se sigue de la ecuación 1.1 la que
dT
h
Ég
(¿/conv
ífr a d W s (c , r)
pV c ^
(5.14)
o. de las ecuaciones 1,3a y 1,7,
+ É S -[h(T - T J + e a ( T A -
= pVc
(5.15)
Desafortunadamente, la ecuación 5.15 es una ecuación diferencial ordinaria de
primer orden no lineal y no homogénea que no es posible integrar para obtener una
solución exacta.1 Sin embargo, es posible obtener soluciones exactas para versiones
simplificadas de la ecuación. Por ejemplo, si no hay un flujo de calor impuesto o la
generación y convección no existen (vacío) o son insignificantes en relación con la ra­
diación, la ecuación 5.15 se reduce a
dT
pVc — = -F.Al ro ( T A - T l h)
(5.16)
‘Se puede obtener una solución aproximada de diferencia finita disaetizando la derivativa de tiempo (sección 5.9) y hm u-nJo
axan'ar la solución en el nempo
DEPARTAMENTO d e BlBLIO.eoA
Universidad Simón P-M.y».'
° ^ ’ ¡torsf
220
Capítulo 5 ■ C o n d u cció n en e s ta d o tran sitorio
Al separar variables c integrar desde la condición inicial hasta cualquier tiempo /, se si­
gue que
rT
pVC
J0
dT
(5.1;
__ •pA
1 alr
1
•pA
JTi
AI evaluar ambas integrales y reacomodar, el tiempo que se requiere para alcanzar fe|
temperatura T se convierte en
pVc
t =
ln
4eAs>ro T alr
+
^ a lr
T
tan - i
2
^alr
+ T
—
7 alr
— ln
T
— tan - i
+
Tt
T1 alr — T1 i
I I
^"alr
alr
(5.18|
Esta expresión no sirve para evaluar 7 de forma explícita en términos de '■ T¡, y T„„
se reduce de manera fácil al resultado límite para / a|r = 0 (radiación al espacio). Dere-i
greso a la ecuación 5.17 se muestra fácilmente que, para T ü\t ~ 0 ,
pV c
t =
1
1
3 e A Sm¿ r \ T 3
7?,
(5.
Una solución exacta a la ecuación 5.15 también se obtendrá si es posible no toi
en cuenta la radiación y si h es independiente del tiempo. Si se introduce una tempei
tura reducida, 0 = T — 7’00, donde dO/dt = dT idt , la ecuación 5.15 se reduce aui^
ecuación diferencial lineal de primer orden no homogénea, de la forma
dd
0
+ a6 — b =
~dt
(5:
donde a = (hAs ¿pVc) y b = [(<^'A5>h + Eg)tpVc\. Aunque la ecuación 5.20 se resufl
ve sumando las soluciones homogénea y particular, un método alternativo es elimij
la falta de homogeneidad mediante la introducción de la transformación
&= e—
(5.:
a
Al reconocer que d d /d t = dO/dt, la ecuación 5.21 se sustituye en (5.20) lo que da
d6r
dt
+ a& =
0
(52
Si se separan variables y se integra desde O a f (0/ a 0 '), se sigue que
0'
— = exp ( -
)
(5-
o al sustituir para 0' y 0,
T - 71, - (b/a)
Tt■- T m - (b/a)
= exp ( —at)
(5.i
Por tanto.
b/a
T - T x
T. - 71
= exp ( ~ a t ) +
[1 — exp ( ~ a t )]
(5.1
5 .3
■
Análisis general del melada de resistencia interna despreciable
221
Como es necesario, la ecuación 5.25 se reduce a (5.6) cuando b = 0 y produce T = T,
en t = 0. Conforme t —» *>, la ecuación 5.25 se reduce a (T — T <*) = ib / o ) , que también
se obtendría llevando a cabo un balance de energía en la superficie de control de la fi­
gura 5.5 para condiciones de estado estable.
Ejem plo 5 . 2
Un panel de aleación de aluminio {k = 177 W/m ■ K, c = 875 J/kg • K, y p =
2770 kg/rn^) de 3 mm de espesor se termina cn ambos lados con un recubrimiento epóxico que debe curarse a, o por arriba de, Tt = 150 C durante al menos 5 minutos. La
linea de producción para la operación de curado implica dos pasos: ( I) calentamiento
en un horno grande con aire a 7oo. 0 = 175°C y un coeficiente de convección hv =
40 W/m • K, y (2) enfriamiento en una cámara grande con aire a T ^ c — 25‘C y un
coeficiente de convección hc = 10 W/m 2 • K. La parte de calentamiento del proceso se
lleva a cabo cn un intervalo de tiempo te, que excede el tiempo tc que se requiere para
alcanzar 150°C en 5 minutos (te = tt + 300 s). El recubrimiento tiene una emisividad
e = 0 .8 , y las temperaturas del horno y paredes de la cámara son 175°C y 25°C,
respectivamente. Si el panel se coloca en el horno a una temperatura inicial de 25°C y
se quita de la cámara a una temperatura s e g u r a a l ta c to de 37°C, ¿cuál es el tiempo
total transcurrido para la operación de curado en dos pasos?
Son « ióín
Condiciones de operación para un proceso de calentamiento/enfria­
miento de dos pasos en el que un panel de aluminio recubierto se mantiene en. o por
arriba de, una temperatura de 150°C por al menos 5 minutos.
Se conoce:
Tiempo total
E n c o n tr a r :
tt
que requiere el proceso de dos pasos.
E squem a:
=175°C
2 1 = 3 mm
T * ' C= 25°C
*1
ü
Recubrimiento
— epoxico.
e = 0.8
I I
h
r
. = 25°C
Aluminio. 710) = Tl f í — 25°C
Paso 1: calentamiento (0 s / < i )
I I
Tu,) = 37°C
Paso2 :enfriamiento(/, < / s /,)
.5a p o s ie io n e s :
1. La temperatura del panel es uniforme cn cualquier instante.
2. La resistencia térmica del recubrimiento epoxico es insignificante.
3. Propiedades constantes.
•? •>
C a p ít u lo ó
■
Conducción en estado transitorio
Para evaluar la valide/ de la aproximación de la resistencia interna despre
ciable. comenzamos con el cálculo de los números de Biot para los p ro c e so s de calen­
tamiento y enfriamiento.
h .L
(40 W /m 2 • K )(0.0015 m)
B ih =
= 3.4 X 10 - 4
k
177 W / m - K
Xnnlisis:
hcL
Bic =
(10 W /m 2 - K )(0.0015m )
= 8.5 X 10 - 5
177 W /m K
Por ello la aproximación de la resistencia interna despreciable es excelente.
Para determinar si debe considerarse el intercambio de radiación entre el panel]
sus alrededores, de la ecuación 1.9 se determina el coeficiente de transferencia de cí
por radiación El valor representativo de h, para el proceso de calentamiento se ast
con la condición de curado, en cuyo caso
h,.„ =
k
ect(Tc +
ral[ J T l +
T 2lr „)
= 0.8 X 5.67 X 1(T 8 W /m 2 • K4(423 + 448)K (4232 + 4482)K2
= 15 W /m 2 - K
Con el uso de Tt = 150°C con Talr = 25°C para el proceso de calentamiento, tambic
obtenemos hr ,. = 5.1 W m 2 • K Como los valores de h, „ y hr c son comparables es
los de h > h , respectivamente, los electos de radiación deben considerarse.
Con V = 2L A S > A s = A x r = 2/\s. la ecuación 5.15 se expresa como
f d r = TU) - T¡ =
T,
1
f
p cL Jo
[h( T -
Al seleccionar un incremento de tiempo adecuado Ar. el lado derecho de esta ecuac
se evalúa numéricamente para obtener la temperatura del panel en r = At , 2At.
etc. En cada nuevo paso del cálculo, el valor de T que se calcula del paso antenorj
usa en el integrando. Seleccionando At = 10 s. los cálculos para el proceso de cale
miento se extienden a te — r, + 300 s. que son 5 minutos más del tiempo que se requ
re para que el panel alcance Tc — 150°C. En te inicia el proceso de enfriamiento
continúa hasta que la temperatura del panel alcanza 37°C en / = t,. La integración
lleva a cabo con el uso de un esquema de Runge-kutta de cuarto orden, y los res
dos de los cálculos se presentan en forma de gráfica como sigue:
El tiempo total para el proceso de d o s pasos es
tt = 989 s
con tiempos intermedios de tc = 124 s y tc = 424 s.
5 .4
■ Efectos espaciales
223
C o m e n ta r io s :
1. Por lo general, la precisión de una integración num érica mejora al dism inuir A t,
pero a expensas del aum ento del tiem po de cálculo. Sin em bargo, en este caso los
resultados que se obtienen para A/ = 1 s son idénticos a los que se obtienen para
A t = 10 s, lo que indica que el intervalo de tiem po más largo es suficiente para des­
cribir con exactitud la historia de la tem peratura.
2. La duración del proceso de dos pasos se puede reducir al aum entar los coeficientes
de convección y/o dism inuir el periodo de calentam iento prolongado. La segunda
opción es posible por el hecho de que, durante una parte del periodo de enfria­
m iento. la tem peratura del panel perm anece por arriba de 150°C. De aquí, para sa­
tisfacer el requerim iento de curado no es necesario prolongar el calentam iento
tanto com o 5 m inutos a partir de t = tc. Si los coeficientes de convección aum en­
tan a ha = hc = 100 W /m 2 • K y se m antiene un periodo de calentam iento prolon­
gado de 300 s, la integración num érica da tc = 58 s y t, = 445 s. El intervalo de
tiem po correspondiente sobre el cual la tem peratura del panel excede I50°C es
Af(7> | 5o°c) = 306 s (58 s < t ^ 364 s). Si el periodo de calentam iento prolongado
se reduce a 294 s, la integración num érica da tc = 58 s, /, = 439 s y Af( /> i^()cC) =
300 s. Así, el tiem po total de proceso se reduce, m ientras que el requerim iento de
curado aún se satisface.
•tos espaciales
Con frecuencia surgen situaciones para las que el m étodo de la resistencia interna des­
preciable no es apropiado y deben usarse m étodos alternativos. Sin im portar el m étodo
particular, ahora debem os enfrentar el hecho de que los gradientes dentro del m edio ya
no son insignificantes.
En su form a más general, los problem as de conducción transitoria se describen
m ediante la ecuación de calor, ecuación 2 .13 para coordenadas rectangulares o las ecua­
ciones 2.20 y 2 23, respectivam ente, para coordenadas cilindricas y estencas La solución
a estas ecuaciones diferenciales parciales proporciona la variación de la tem peratura
con el tiem po y con las coordenadas espaciales Sin em bargo, en m uchos problem as,
com o el de la pared plana de la figura 5.4, solo se necesita una coordenada espacial
para describir la distribución interna de tem peraturas. Sin generación interna y con h
suposición de conductividad térm ica constante, la ecuación 2.13 se reduce entonces a
d 2T
1 dT
—
= - —
dx
(5.26)
a at
Para resolver la ecuación 5.26 en cuanto a la distribución de tem peraturas T { \, t ).
es necesario especificar una condición iniciaI y dos condiciones de frontera. Para el
problem a de conducción transitoria típico de la figura 5.4, la condición inicial es
7'(a, 0) = Ti
(5 27)
y las condiciones de frontera son
dT
dx r =0
= 0
(5.28)
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
U n iv e r s id a d » IhJ.i oo.war - Sedo „
(.ora1
221
C apitulo .> ■ ( ontltieeión en es lado Lrunsiiorit*
d r
-k
dx x^L
= h v a u t) - t j
(5.29;
I a ecuación 5 2 presupone una distribución de tem peraturas uniform e en el tierp
t = 0; la ecuación 5.28 refleja el requerim iento ele sim etría para el plano medio de
la pared; y la ecuación 5.29 describe la condición de superficie experimentada en e*
tiem po / > 0 De las ecuaciones 5 26 a 5 29. es evidente que. adem as de depender
y r, las tem peraturas en la pared tam bién dependen de un num ero de parámetros
eos. Ln particular
T = T (\. t, T¡, T,„, L. k. a . h)
5J
El problem a precedente se resuelve de m anera analítica o de form a numérica,
tos m étodos se considerarán en las secciones posteriores, pero prim ero es impor
notar las ventajas que se obtienen al adim ensionalizar las ecuaciones determinan]
F sto se logra reacom odando las variables relevantes en grupos adecuados Con
la variable dependiente í Si la diferencia de tem peraturas 0 = / ' — 7 se divide entre|
diferencia de tem peraturas máxima p o sib le 6, = T, — 7^, se puede definir una for
adim ensional de la variable dependiente com o
e * , l = T - r~
o.
T ¡~ T t
ix
En consecuencia, 11 debe estar en el rango 0 ^ 0* ^ 1 U na coordenada espacial,
m ensional se define com o
.v* = L
(5.;
donde L es la m itad del esp eso r de la pared plana, y un tiem po adim ensional sci
com o
at
rr
r** = —r
= Fo
ú
(5.:
donde t* es equivalente al n im ia o de F ourier adim ensional. ecuación 5.12
Sustituyendo las definiciones de las ecuaciones 5 ^1 a 5.33 en las ecuaciones!
a 5.29. la ecuación de calo r se convierte en
0
d2 *
de*
dx*2
dF o
y las condiciones inicial y de frontera son
6*(x * 0 ) = 1
de*
dx*
= 0
x *= 0
de*
-B i
e*(\,t*)
ój
5 .5
225
■ Pared plana ron convección
donde el núm ero de Biol es Bi = hL/k. Bn form a adim ensional la dependencia funcio­
nal se expresa ahora com o
= f( \* ,F o ,B i)
(5.38)
R ecuerde que una dependencia funcional sim ilar, sin la variación v*. se obtuvo para el
m étodo de la resistencia interna despreciable, com o se m uestra en la ecuación 5.13.
Al com parar las ecuaciones 5.30 y 5.38, la considerable ventaja asociada con el
cam bio del problem a a una form a adim ensional se hace evidente. La ecuación 5.38 im ­
plica que para una geometría establecida , la distribución de temperaturas transitoria
es una fu m ió n universal de x*. Fo y Bi. Es decir, la solución adimensional supone una
form a establecida que no depende del valor particular de 7’,, Tx , L , k, a o h. C om o esta
generalización sim plifica m uchísim o la presentación y utilización de soluciones transi­
torias, las variables adim ensionales se usan de manera intensiva en las secciones poste­
riores.
Pared plana con c o n v e c c ió n
Ya se han obtenido soluciones analíticas exactas a problem as de conducción transitoria
para m uchas geom etrías sim plificadas y condiciones de frontera y están bien docum en­
tadas f 1-4]. Para este propósito se em plean varias técnicas m atem áticas, incluido el
m étodo de separación de variables (sección 4.2), y norm alm ente la solución para la
distribución de tem peraturas adim ensional, ecuación 5.38, está en la form a de una serie
infinita. Sin em bargo, excepto para valores muy pequeños del núm ero de Fourier, esta
serie se aproxim a m ediante un solo térm ino y los resultados se representan en una for­
m a gráfica conveniente.
5 .5 .1
S o lu c ió n e x a c ta
C onsidere una pared plana de espesor 2 L (figura 5.6í/). Si el espesor es pequeño en re­
lación con el ancho y la altura de la pared, es razonable suponer que la conducción
ocurre exclusivam ente en la dirección x. Si la pared al principio está a una tem peratura
r
7tv. 0) = Tj
r(r.
01 = 7 ,
(ü j)
í í t
t í t
L(a)
F ig u r a 5 . 0
ib)
Sistemas unidimensionales con una temperatura inicial
uniforme sujeta a condiciones de convección súbita. («) Pared plana.
b) Cilindro infinito o esfera.
DEPARTAM ENTO
de
U n iv e r s id a d S im ó n Bol iva-*
b ib l io t e c a
S e d e d e l L lto ra
C apitulo 5 ■ ( onflucción en rstadu transitoria
uniform e. 7( v, 0) = 7„ y se sum erge súbitam ente en un fluido de / «
Tr las tempera­
turas resultantes se obtienen resolviendo la ecuación 5.34 sujeta a las condiciónesele
las ecuaciones 5.35 a 5 37. C om o las condiciones de convección para las superficies en
v* = ± 1 son las m ism as, la distribución de tem peraturas en cualquier instante debe ser
sim étrica alrededor del plano m edio (v* = 0). Una solución exacta a este problema ya
se obtuvo y es de la form a [2 |
tí* = V Cn ex p ( - £ 2nFo) eos ( O '* )
(5.39a
n= I
donde Fo = atlL 2 y el coeficiente Cn es
4 sen Cn
C =
(5.39b
2Cn + sen ( 2 £,)
y los valores característicos (e ige m a l ores) de £„ son las raíces positivas de la ecuación
trascendente
ln ta n ln = F i
(5.39c]
Las prim eras cuatro raíces de esta ecuación se dan en el apéndice B 3.
5 .5 »
Solución aproximada
Se puede m ostrar (problem a 5.27) que para valores de Fo > 0.2, la solución en seriein
finita, ecuación 5.39a. se aproxim a con el pr m er térm ino de la sene. Al recurrir a esta
aproxim ación, la form a adim ensional de la distribución de tem peraturas se convierteei
tí *
= C , exp ( - $ F o ) eos (£,.v*)
(5
o
tí* = (£ c o s (Cix*)
donde tí*
( T0 — TX)/(T, — 7») representa la tem peratura del plano m edio (.v* - 0
tí* = C } exp {~ l]F o)
(5,41
Una im plicación im portante de la ecuación 5 40b es que la dependencia de ¡a tcmpcn
tura con respecto al tiempo x en cualquier lugar dentro de la pared es la misma
de la temperatura del plano medio. Los coeficientes C x v £, se evalúan a partir de ¡
ecuaciones 5.39b y 5.39c. respectivam ente, y están dadas en la tabla 5.1 para un m
de núm eros de Biot.
5 .5 .3
Transferencia total de energía
Ln m uchas situaciones es útil conocer la energía total que dism inuye en la pared<
cualquier tiem po t cn el proceso transitorio. El requerim iento de conservación dej
energía, ecuación 1 1 Ib. se aplica al intervalo de tiem po lim itado por la condición i
cial (r = 0 ) y cualquier tiem po t > 0
5 .5
T a b l a 5 .1
■ Pared plana con convección
227
(Coeficientes que se usan en la aproximación de un término para las soluciones
de serie de la conducción transitoria unidim ensional
C ilin d r o in fin ito
[
P ared p la n a
------------ 1
-------------------
Esfe ra
j
/
ti
y /
^
Bia
(ra d )
c,
f.
(r a d )
0 .0 1
0.0998
1.0017
0.1412
1.0025
0.1730
1.0030
0.02
0.1410
1.0033
0.1995
1.0050
0.2445
1.0060
0.03
0.1732
1.0049
0.2439
1.0075
0.2989
1.0090
0.04
0.1987
1.0066
0.2814
1.0099
0.3450
1.0120
0.05
0.2217
1.0082
0.3142
1.0124
0.3852
1.0149
0.06
0.2425
1.0098
0.3438
1.0148
0.4217
1.0179
0.07
0.2615
1.0114
0.3708
1.0173
0.4550
1 0209
0.08
0.2791
1.0130
0.3960
1.0197
0.4860
1.0239
0.09
0.2956
1.0145
0.4195
1.0222
0.5150
1.0268
0.10
0.3111
1 0160
0.4417
1.0246
0.5423
1 0298
0.15
0.3779
1.0237
0.5376
1.0365
0.6608
1.0445
0.20
0.4328
1.0311
0.6170
1.0483
0.7593
1.0592
0.25
0.4801
1.0382
0.6856
1 0598
0.8448
1.0737
0.30
0.5218
1.0450
0.7465
1.0712
0.9208
1.0880
0.4
0.5932
1.0580
0.8516
1.0932
1.0528
1.0164
0.5
0.6533
1.0701
0 9408
1.1143
1.1656
1.1441
0.6
0.7051
1.0814
1.0185
1.1346
1.2644
1 1713
0.7
0.7506
1.0919
1.0873
1 1539
1.3225
1.1978
0.8
0.7910
1.1016
1.1490
1.1725
1.4320
1.2236
0.9
0.8274
1.1107
1.2048
1.1902
1.5044
1.2488
1.0
0.8603
1.1191
1.2558
1.2071
1.5708
1.2732
2.0
1.0769
1.1795
1.5995
1.3384
2.0288
1.4793
3.0
1.1925
1.2102
1.7887
1.4191
2.2889
1.6227
4.0
1.2646
1.2287
1.9081
1.4698
204556
1.7201
5.0
1.3138
1.2402
1.9898
1.5029
2.5704
1.7870
6.0
1.3496
1.2479
2.0490
1.5253
2.6537
1.8338
7.0
1.3766
1.2532
2.0937
1.5411
2.7165
1.8674
8.0
1.3978
1.2570
2.1286
1.5526
2.7654
1.8921
9.0
1.4149
1 2598
2.1566
1.5611
2.8044
1.9106
10.0
1.4289
1.2620
2.1795
1.5677
2.8363
1.9249
20.0
1.4961
1.2699
2.2881
1 5919
2.9857
1 9781
30.0
1.5202
1.2717
2.3261
1.5973
3.0372
1.9898
40.0
1.5325
1.2723
2.3455
1 5993
3.0632
1.9942
50.0
1.5400
1.2727
2.3572
1.6002
3.0788
1.9962
100.0
1.5552
1.2731
2.3809
1.6015
3.1102
1.9990
00
1.5707
1.2733
2.4050
1.6018
3.1415
2.000
c\
(r a d )
^
c,
ÜB¡ = hL'k para la pared plana y hr0!k para el cilindro infinito y la esfera. Véase la figura 5.6.
d epa rta m en to
de
Universidad Simón Bollver
b ib l io t e c a
Sed en
^
Capitule» 5 ■ Conducción en oslado transitorio
Al igualar la energía que se transfiere desde la pared Q a £ sale y con £ cnl
E(t) — E{0 ), se sigue que
Q = - [ £ ( / ) - £(0)]
0 y Afalm =
(5.43a)
o
Q= -
fx [T{r, t) - T, 1 dV
(5 43b)
donde la integración se lleva a cabo sobre el volum en de la pared. Es conveniente qui­
tar las dim ensiones a este resultado m ediante la introducción de la cantidad
(5441
que se interpreta com o la energía interna inicial de la pared relativa a la temperatura
del fluido. Tam bién es la cantidad máxima de transferencia de energía que podría
ocurrir si el proceso continuara al tiem po t = °o. Por tanto, al suponer propiedades
constantes, la razón de la energía total transferida de la pared en el intervalo de tiempo
t a la transferencia m áxim a posible es
- \ T { x , t) - T,] ü
dV
v
Q_
Qo
- J
T -T *
—
1
= —
r
(1 - d*) d V
v Jy
V
(5.45Í
Al em plear la forma aproxim ada de la distribución de tem peraturas para la pared plana,
ecuación 5.40b, la integración que establece la ecuación 5.45 se ejecuta para obtener
Q_ =
Qo
_ sen jj_
(54
í.
donde 0 * se determ ina de la ecuación 5.41, con la ayuda de la tabla 5.1 para los valor
de los coeficientes C\ y
5.5*4
Consideraciones adicionales
Com o el problem a m atem ático es precisam ente el m ism o, los resultados preceden!
tam bién se aplican a una pared plana de espesor L. la cual está aislada en un lado (jt*
0) y experim enta transporte convectivo en el otro ( a * = + 1 ). Esta equivalencia es u
consecuencia del hecho de que, sin im portar si se establece un requisito simétrico
adiabático en .v* = 0 , la condición de frontera es de la form a dd*/clx* = 0 .
También debe advertirse que los resultados anteriores sirven para determinar
respuesta transitoria de una pared plana a un cam bio súbito en la tem peratura de la
perficie. El proceso es equivalente a tener un coeficiente de convección infinito,
cuyo caso el num ero de Biot es infinito (Bi = o°) y la tem peratura del fluido 7*
reem plaza por la tem peratura establecida de la superficie 7\.
Finalm ente, observam os que las representaciones gráficas de las aproximación
de un térm ino ya se han desarrollado [5, 61 y se presentan en el apéndice D Aunque
gráficas asociadas proporcionan un m edio conveniente para resolver problemas de c
ducción unidim ensional transitoria para Fo > 0 .2 , se logra m ayor precisión medi
las ecuaciones 5.40 y 5.46.
5.Í» ■ Sistemas radiales ron convección
229
5.0
Sistemas radiales con convección
Para un cilindro infinito o una esfera de radio r0 (ligura 5.6 b), que está a una tem pera­
tura inicial uniform e y experim enta un cam bio en las condiciones de convección, se
producen resultados sim ilares a los de la sección 5.5. t s decir, es posible una solución
en serie exacta para la dependencia con respecto al tiem po de la distribución radial de
tem peraturas, y se aprovecha la aproxim ación de un term ino para la ma>oria de las
condiciones. El cilindro infinito es una idealización que perm ite la suposición de con­
ducción unidim ensional en la dirección radial. Esta es una aproxim ación razonable p a­
ra cilindros con U ra 2 : 10 .
5 * 6 .1
Soluciones exactas
Se han d esarrollado soluciones exactas para la form a unidim ensional transitoria de la
ecuación de calo r para el cilin d ro infinito y para la estera. En cuanto a una tem peratu­
ra inicial uniform e y condiciones de frontera convectivas, las soluciones [21 son com o
sigue
C ilindro in fin ito
En form a adim ensional, la tem peratura es
00
e* = X
c „ ex p ( ~ ( 2
„ F o )U Í„ r* )
(5.47a)
«= I
donde Fo =
at!r2O»
JÁ U
C » = — ' . 2/- >**\ i . 2 / ** *
y los valores característicos de
C
nJl i L
) +
(5 4 ? b)
son las raíces positivas de la ecuación trascendental
M C n)
L 77TT =
J0\bn)
(5 .4 7 0
Las cantidades J i y J0 son funciones de Bessel de prim era clase y sus valores se tabu­
lan en el apéndice B.4. S chneider [2] tabuló las raíces de la ecuación trascendental
(5.47c)
E sfera
De m anera sim ilar, para la esfera
30
o* = X . C » exP 1 - l l F o )
Fl-I
1
—
sen (£,#•*)
Cnr *
donde Fo = ctrlrlo*
C
4 [ s c n ( ¿ , ) - Cn c ° s ( £ , ) ]
= —
—
—------------------------------------------------------- (5.48b)
2 £ , - s c n ( 2 £,)
y los valores característicos de £„ son las raíces positivas de la ecuación trascendental
1 - £„ cot
= Bi
(5.48c)
Las raíces de la ecuación trascendental fueron tabuladas por Schneider (2 J.
OcHAHTAM ENTO DE BIBLIOTECA
Uiilvv.nnlyu biinoii uuii»dir ■S t d . «
ufSÍ,
C apítulo 5 ■ Conducción en estado transitorio
5 .6 .2
Soluciones aproximadas
Para el cilindro infinito y la esfera, las soluciones en serie anteriores se aproximan nue­
vam ente m ediante un solo térm ino para Fo > 0.2. De aquí, com o para el caso de la pa­
red plana, la dependencia respecto al tiem po de la tem peratura en cualquier lugar
dentro del sistem a radial es la m ism a que la de la línea central o el punto central.
C ilindro in fin ito
La aproxim ación de un térm ino para la ecuación 5.47 es
0* = Ci ex p (~ C \F o)J0(£\r*)
o
Los valores de los coeficientes C | y í | ya se han determ inado y se enum eran en la tabla
5.1 para un rango de núm eros de Biot.
E sfera
De la ecuación 5.48a, la aproxim ación de un térm ino es
o
1
s ir
donde 0 * representa la tem peratura del centro y es de la forma
0 * = C l ex p {~ C 2\Fo)
Los valores de los coeficientes C\ y £i ya se han determ inado y se enum eran en la tabla
5.1 para un rango de núm eros de Biot.
5 .6 .3
Transferencia total de energía
C om o en la sección 5.5.3, se realiza un balance de energía para determ inar la transfe
rencia total de energía del cilindro infinito o de la esfera en el intervalo de tiempo A/=/,]
Sustituyendo las soluciones aproxim adas, ecuaciones 5.49b y 5.50b, y con la ¡ntrodro
ción de Q0 de la ecuación 5.44, los resultados son com o sigue.
C ilindro in fin ito
E sfera
Q
3 0*
=r = 1 [ s e n ( f ,) - Ci eo s ( f,) ]
Qo
íi
Los valores de la tem peratura del centro 0* se determ inan a partir de la ecuación 5.i
o 5.50c, con los coeficientes de la tabla 5.1 para el sistem a apropiado.
5 .6
■ Sistemas radiales coa convección
5 .6 .1
231
Consideraciones adicionales
C om o en el caso de la pared plana, los resultados anteriores son útiles para predecir la
respuesta transitoria de cilindros largos y esferas sujetos a un cam bio súbito en la tem ­
peratura de la superficie. Esto es, se establece un núm ero de Biot infinito, y la tem pera­
tura del fluido Toe se reem plaza con la tem peratura constante de la superficie T .
En el apéndice D se m uestran representaciones gráficas de aproxim aciones de un
térm ino.
Ejk m p l o 5 . 3
C onsidere una tubería de acero (AISI 1010) que tiene 1 m de diám etro interno y una
pared con espesor de 40 mm La tubería está fuertem ente aislada en el exterior y, antes
del inicio del flujo, las paredes de la tubería se encuentran a una tem peratura uniform e
de —20 C. Con el inicio del flujo se bom bea aceite caliente a 60°C por la tubería, con
lo que se crea una condición convectiva de superficie que corresponde a /; = 500 W /m 2 • K
en la superficie interior de la tubería.
1. 6C uáles son los núm eros de Biot y de Eourier apropiados, 8 minutos después de
iniciado el flu jo 7
2. A t = 8 min, ¿cuál es la tem peratura de la superficie externa cubierta por aislante?
3. ¿Cual es el flujo de calor q" (W /m ) a la tubería desde el aceite en / = 8 m inutos 7
4. ¿C uanta energía por m etro de longitud de tubería se ha transferido del aceite a la
tubería en t = 8 m inutos 9
S o u
c ió in
S e c o n o c e:
Pared sujeta a un cam bio súbito en la condición superficial convectiva.
E n co n tra r:
1. N úm eros de Biot y de F ourier después de 8 minutos
2. Tem peratura de la superficie externa de la tubería después de 8 minutos
3. Flujo de calor a la pared en 8 m inutos.
4. Energía transferida a la tubería por unidad de longitud después de 8 minutos.
E sq u em a :
Ti\. 0) =
T¡ = -20°C
T {L, t)
no, t)
= 60°C
h = 500 W/m2 • k
Aislante
Acero AISI 1010
l. = 40 mm
X
d epa rta m en to
de
Unlvera dad Simón Boliv».
b ib l io t e c a
Sode ó-* i í<*r
Capítulo 5 ■ C o n d u cció n en e s ta d o tru n sitorio
Suposiciones:
1. La pared de la tubería se aproxim a com o una pared plana, pues el espesor es mu­
cho m enor que el diám etro.
2. Propiedades constantes.
3. La superficie externa de la tubería es adiabática.
P r o p ie d a d e s : De la tabla A. 1, acero tipo AISI 1010 [T = ( —20 + 60)°C/2
300 KJ
p = 7823 kg/m 3, c = 434 J/kg • K, k = 63.9 W /m • K, a = 18.8 X 10 ~6 n r/s.
A n álisis:
1. En / = 8 m inutos, los núm eros de B iot y de Fouricr se calculan de las ecuac one^
5.10 y 5.12, respectivam ente, con Lc = L. Así,
Bi =
hL
5 0 0 W /m 2 • K X 0 .04 m
k
6 3 .9 W /m • K
at
Fo =
U
= 0.313
<
18.8 X 10 -6 m 2/s X 8 m in X 60 s/m in
=
(0.04 m )2
= 5.64
2. Con Bi = 0.313, el uso del m étodo de la resistencia interna despreciable noi
apropiado. Sin em bargo, com o Fo > 0.2 y las condiciones transitorias en la
aislada de espesor L de la tubería corresponden a las de una pared plana de espqd
2 L que experim enta la m ism a condición de superficie, los resultados que sede
se obtienen de la aproxim ación de un térm ino para una pared plana. La temperáis,
ra de plano m edio se determ ina de la ecuación 5.41
T —T
0* = — — - = C , ex p ( - f i F o )
*
Z
-
d o n d e, con Bi = 0 .3 1 3 . C¡ = 1.047 y
Fo = 5.64
= 0.531 rad de la tabla 5.1.
8* = 1.047 ex p [ - ( 0 .5 3 1 ra d )2 X 5.64] = 0 .2 1 4
Por tanto, después de 8 m inutos la tem peratura de la superficie externa de la f
ría, que corresponde a la tem peratura del plano m edio de una pared plana.es
+ 0 * (Z - Tx ) = 60°C + 0 .2 1 4 ( - 2 0 - 6 0 ) ° C = 42.9°C
7X0, 8 min) =
3. La transferencia de calor a la superficie interna en x = L es por convección.;
cualquier tiem po t el flujo de calor se obtiene de la ley de enfriam iento de Ne*
De aquí en t = 480 s,
q ’^ U 4 8 0 s ) ^ q ' [ = h[T(L , 4 8 0 s) - T J
Con el uso de la aproxim ación de un térm ino para la tem peratura de la sup
la ecuación 5.40b con v* = 1 tiene la form a
0*
T(L , t)
6* eos (£,)
T„ + (T, - T„)0* eos (£,)
T{L , 8 m in)
6 0 °C + ( - 2 0 - 6 0 )°C X 0 .2 1 4 X eos (0.531 rad)
T(L, 8 m in)
4 5 .2 °C
5 .6
233
■ Sistemas radiales coa convección
h l flujo de calor en t = 8 m inutos es entonces
q"L = 500 W /m 2 ■ K (45 2 - 60)°C = - 7 4 0 0 W /m 2
<
4. La transferencia de energía a la pared de la tubería en el intervalo de 8 m inutos se
obtiene de las ecuaciones 5.44 y 5 46. Con
Q
Qo
sen (£ ,)
r— 0 *
= 1
tx
Q
sen (0.531 rad)
= 1 --------— — ----- :— X 0.2 1 4 = 0 80
Qn
0.531 rad
se sigue que
Q = 0.80 pcV(T¡ ~ 7’oc)
o con un volum en por unidad de longitud de tubería de V' — ttDL,
Q' = 0.80 pcirDUJi ~ Tx )
Q' = 0 80
X
7823 kg/m 3
tt
X
1m
X
Q' = - 2 .7 3
X
X
X
434 J/kg • K
0.04 m ( - 2 0 - 60)°C
107 J/m
C o m en ta rio s:
1. El signo de m enos que se asocia con q" y Q' im plica sim plem ente que la dirección
de la transferencia de calor es del aceite a la tubería (en la pared de la tubería).
2. Los resultados anteriores tam bién se obtienen de la aplicación de las gráficas de
H eisler y G rober del apéndice D. Por ejem plo, si se usa la figura D. 1 con Bx 1 =
3.2, se sigue que 0* ~ 0.22 y el valor correspondiente de la tem peratura del plano
m edio es T0 ~ 42°C. Para a * = 1 y B r x — 3 2, la figura D 2 da 6{L, 8 m in)/
0O(8 m in) ~ 0 8 6 , de donde se sigue que T(L, 8 mm) ~ T + 0 8 6 [Y„(8 min)
T, J - 45 °C y q'¡ = - 7 5 0 0 W /m 2. Con Bi = 0.313 y B rF o = 0 55, la figura D 3
da Q Q(>= 0.78. AI sustituir de la ecuación 5.44, se sigue que
Q' ** 0 l%pC7rDL(T¡ - T^) = - 2 . 7
X
10 7 J/m
Los resultados precedentes están de acuerdo con los que se obtuvieron directa­
m ente de las aproxim aciones con un solo term ino
E jk m p l o 5 .4
Se evaluará un proceso nuevo para el tratam iento de un material especial. El m aterial,
una esfera de radio / , = 5 mm, está inicialm ente en equilibrio a 400°C en un hom o. Se
retira súbitam ente del horno y se sujeta a un proceso de enfriam iento de dos pasos
P aso 1 Enfriam iento en aire a 20°C durante un periodo de tiem po ta hasta que la tem ­
peratura del centro alcanza un valor crítico, 7 \/0 . /tí) = 335°C Para esta situación,
el coeficiente de calor convectivo es ha — 10 W /m ■ K.
DEPARTAM ENTO DE 8 I 8 L IO » _ o A
Universidad S im ó n B o lív a r Spde d e l L itoral
C apítulo r> ■ ( omlncción en estallo transitorio
D espués de que la esfera alcanza esta tem peratura critica, se inicia el segundo paso.
F aso 2 Enfriam iento en un baño de agua muy agitado a 20°C, con un coeficiente de
transferencia de calor por convección h * = 6000 W /m 2 • K.
Las propiedades term ofísicas del material son /> = 3000 kg/m 3, k = 20 W m • K. c =
1000 J/kg • K y a = 6.66 X 10 ~6 m 2/s.
1. C alcule el tiem po ta que se requiere para que se com plete el paso 1 del proceso dej
enfriam iento.
2. C alcule el tiem po tw que se requiere durante el paso 2 del proceso para que el c i-j
tro de la esfera se enfríe de 335°C (condición al final del paso 1) a 50°C.
So l liC lÓ N
Se conoce:
Requerim ientos de tem peratura para cnfnai una esfera.
E n c o n tra r:
1. T iem po ta que se requiere para llevar a cabo el enfriam iento que se desea en aire
2. T iem po tw que se necesita para com pletar el enfriam iento en el baño de agua.
E sq u em a :
Tx = 20°C
ha = 10 W/m2 -K
Aire
U
= 20°C
hw = 6000 W/m? •K
Agua
»
I
Esfera, r0 = 5 mm
p = 3000 kg/m3
I
T, = 400°C c = l
T J 0 . T J = 335°C “ I
'.L
?/ I
m /S
u 7/ = 335°C
T J O, T j = 50°C
Paso 1
Paso 2
S u p o sicio n es:
1. C onducción unidim ensional en r.
2. Propiedades constantes.
A nálisis:
1. Para determ inar si es posible utilizar el m étodo de la resistencia interna despn
ble, se calcula el num ero de Biot. De la ecuación 5.10, con Lc = r j 3,
Bi =
har0
3k
10 W /m 2 • K X 0.005 m
~ 3 X 20 W /m " K
= 8.33 X 10 - 4
En consecuencia, se puede utilizar el m étodo de la resistencia interna despr
y la tem peratura es casi uniform e a través de la esfera De la ecuación 5.5 sei
que
pVc
6¡
prac
t„ = “— — ln — = — — ln
?>h,
en
Tt - T,»
5 .6
■ .Sistmias ratlialt>s coa convección
235
donde \ = (4 /3 ) tt/¿ y A, = 47 rr}t. De aquí
3 0 0 0 k g /m 3 x 0 .0 0 5 m X 1000 J/k g • K
ta =
3 X 1 0 W /m 2 • K
4 0 0 - 20
In — —— —— =: q 4 s
335 - 20
2. Para determ inar si el m étodo de la resistencia interna despreciable tam bién sirve
en el segundo paso del proceso de enfriam iento, de nuevo se calcula el num ero de
Biot. En este ca so
Bi =
K r0
6 0 0 0 W /m 2 • K X 0.0 0 5 m
3k
3 X~20 W /m ~ K
= 0 .50
y el m étodo de la resistencia interna despreciable no es apropiado. Sin em bargo, a
una excelente aproxim ación, la tem peratura de la esfera es uniform e en t — ta y la
aproxim ación con un térm ino se usa para los cálculos de / = \a a t = ta + t h.. El
tiem po
al que la tem peratura del centro alcanza 50°C, es decir. 7(0. /M) = 50 C,
se obtiene reacom odando la ecuación 5.50c
1
Fo =
1
ln
-
H
f
]
C,
x
7 (0, r j - 7 ,
7 - 7 ,
donde rH. = Fo r 2 /ot. Con el núm ero de Biot definido ahora com o
hwr„
Bi =
6 0 0 0 W /m 2 • K X 0.0 0 5 m
~T~ ~
2 0 W /m " K
= 1.50
La tabla 5.1 da C\ = 1.376 y ^ = 1.800 rad. Se sigue que
Fo =
1
(1 .8 0 0 rad)
(5 0 - 2 0)°C
4 -!
[ 1.33 7 6
x
(335 - 2 0 )°C
= 0 .82
(0 005 m)"
= F o — = 0 .8 2
= 3.1 s
a
6 .6 6 X 10 6 m 2/s
A dvierta que, con Fo = 0.82, se justifica el uso de la aproxim ación con un término.
(jo nu; n ta ri os:
1. Si la distribución de tem peraturas en la esfera al final del paso 1 no fuera unifor­
m e. la aproxim ación con un term ino no serviría para los cálculos del paso 2 .
2. La tem peratura superficial de la esfera al hnal del paso 2 se obtiene de la ecuación
5 50b. Con d* = 0 095 y r* = 1 .
ti* ( O =
T(ra) - 7 ,
0.095
7 ,- 7 ,
1.800 rad
sen (1 .8 0 0 rad) = 0 .0 5 1 4
T(r0) = 20°C + 0.0514(335 - 20)°C = 36°C
La serie infinita, ecuación 5.48a. y su aproxim ación con un térm ino, ecuación
5.50b. sirve para calcular la tem peratura en cualquier posición en la esfera y en
cualquier tiem po t > 10. Para (/ — ta) < 0 2(0 005 m ) 2/ 6.66 X 10 ' m 2/s = 0.75 s,
debe conservarse un núm ero suficiente de térm inos para asegurar la convergencia
d epa rta m en to
de
b ib l io t e c a
U n iv e r s id a d S im a n b o n « j r - S e d * -
.. >rt>
236
C apítulo 5 ■ Conducción en estado transitorio
de la serie. Para (/ — ta) > 0.75 s. la aproxim ación con un térm ino proporciona
una convergencia satisfactoria. AI calcular y presentar en form a de gráfica las
torias de las tem peraturas para r = 0 y r = r 0, obtenem os los siguientes resultado
para 0 ^ (/ — ta) ^ 5 s:
3. Las gráficas de H eislcr del apéndice D tam bién sirven para analizar el procet»j
paso 2. Con Bi 1 = 0.67 y 0* = 0.095, la figura D.7 da Fo ~ 0.8 en cuyoi
tw *== 3.0 s. De la figura D . 8 , con r* = I, dir0)l6o ~ 0.52, en cuyo caso T(/*);
20°C + 0.52(50 - 20)°C « 36°C.
5 .7
Sólido semiinfinito
O tra geom etría sim ple para la que es posible obtener soluciones analíticas es e l »
semiinfinito. C om o tal sólido se extiende hasta el infinito en todas direcciones exea
una, se caracteriza por una sola superficie identificable (figura 5.7). Si se imponj
cam bio súbito de condiciones en esta superficie, ocurrirá una conducción unidimel
nal dentro del sólido. El sólido sem iinfinito proporciona una idealización útil paral
chos problem as prácticos. Se aprovecha para determ inar la transferencia de
transitoria cerca de la superficie de la tierra o para aproxim ar la respuesta transitorii
un sólido finito, com o una losa gruesa. En cuanto a esta segunda situación la aprc
ción sería razonable para la prim era parte del transitorio, durante la cual las tcnif
ras en el interior de la losa (a bastante distancia de la superficie) no son afectada* |
cam bio en las condiciones de la superficie.
La ecuación de ealor para la conducción transitoria en un sólido semiinfinita
dada por la ecuación 5.26. La condición inicial se establece m ediante la ecuación^
y la condición de frontera interior es de la forma
T(x —> °°, t) = T¡
Ya se han obtenido soluciones en forma cerrada para tres condiciones superficial!
portantes, aplicadas de form a instantánea en t = 0 f 1, 2J. Estas condiciones se mi
en la figura 5.7. Incluyen la aplicación de una tem peratura superficial constante fl
Tr la aplicación de un flujo de calor superficial constante <y", la exposición de la
ficie a un fluido caracterizado por
^ T¡ y el coeficiente de convección h.
5 .7 ■ Sólido semiinfinito
237
Caso (1)
0) =
7 t0 . /) =
TU.
Caso (3)
Caso (2)
TU, 0)
-k BTIdxl i
T¡
Ts
= T¡
= o = q”
0
-k
TU, 0)
BT!Bx\x = o =
=
T,
h[T^ - 7 ( 0 , /)]
T U. t)
Ts
F lG I RA 5 . 7
Distribuciones dr temperatura transitorias en un sólido semiinfinito para tres
condiciones de la superficie: temperatura superficial constante, flujo de ealor superficial constante
y convección superficial.
I^a solución para el caso I se obtiene al reconocer la existencia de una variable de
similitud 7], m ediante la cual se transform a la ecuación de calor de una ecuación dife­
rencial parcial, que incluye dos variables independientes (jc y t), a una ecuación
diferencial ordinaria expresada en términos sólo de la variable de similitud. Para confirmar
que rj = a / ( 4 a t)m satisface este requisito, transform am os prim ero los operadores dife­
renciales pertinentes, de m odo que
d T _ d T d t? _
dx
d ii dx
d2T
d
djc2
d7]
(4 a i ) 1/2 drj
1
dT_ 3t7 _
dx
dx
x
dT) dt
d 2T
4 at d if
d T _ d T d 77 _
dt
dT
1
dT
2 t(4 a t)ul d i 7
Sustituyendo en la ecuación 5.26, la ecuación de calor se convierte en
d 2T
^
Con x =
dT
r "
0 en correspondencia con
2 íí^
( 5
-5 4 )
77 = 0, la condición de superficie se expresa com o
T( t) = 0 ) = TX
(5.55)
y con x
—>ce, así com o t= 0 , que
corresponde a 17 —» oo,lacondición inicial yla con­
dición de frontera interior corresponden al único requerim iento
T{r¡ -»«>) = T¡
(5.56)
C om o la ecuación de calor transform ada y las condiciones inicial/de frontera son
independientes de .v y t, 77 = x!{4at)m es, en realidad, una variable de sim ilitud. Su
DEPARTAMENTO DE B IB L IO itu A
U n iv e r s id a d S im ó n R oU vs
^ « d e d e l L ito ra
238
C apítulo 5 ■ Conducción en estado transitorio
existencia im plica que la fot mu de la distribución de tem peraturas en el medio, 7\r).es
independiente del tiem po y que, sin tener en cuenta los valores de x y /, la temperatura
se representa com o una función sólo de 17
La form a especifica de la dependencia de la tem peratura,
se obtiene med ante
la separación de variables en la ecuación 5 54, de m odo que
d{dT/dr¡)
= ~ 2 7] dr]
0dT/dr ) r
Al integrar, se sigue que
\n(dT/dr]) = - r f + C\
o
dT
= C, exp(—17 )
dr]
Al integrar una segunda vez, obtenem os
rv
T = C,
-'o
e x p (- u2) du + C2
donde u es una variable muda. Al aplicar la condición de írontera en r¡ = 0, ecuacii
5.55, se sigue que C2 = Ts, y
T = C,
f
Jo
e x p ( —u2) du + Ts
De la segunda condición de frontera, ecuación 5.56, obtenem os
T, = C,
í
Jo
e x p ( - w ) du + Ts
o, m ediante la evaluación de la integral definida,
2(Tt - Ts)
C, =
771/2
De aquí la distribución de tem peraturas se expresa com o
T -T s
— ~r = (2/ 7r 12) f ex p (—m2) du = erf 17
T, ~ Tx
jo
(52
donde la función gaussiana de error . erf 17. es una función m atem ática estándar quei
tabula en el apéndice B El flujo de calor en la superficie se obtiene con la
de la ley de Fourier en v = 0, en cuyo caso
¿/(erf 17 ) 8 7 7
dT
<7"
q"
~ k lh
= -k (T , - TJ
x= 0
dr)
d.x h=o
™
k(Ts - T'J)(2 / 7r 1 2) e x p ( - i 72)( 4 a í) 1/2
k(Ts - Tt)
y"
( 7 r a í ) 1/2
15,!
Tam bién se pueden obtener soluciones analíticas para las condiciones superfic
del caso 2 y del caso 3, y los resultados para los tres casos se resum en como sigue.
«>.7 ■ Solida seniimjmilo
Caso 1
239
Temperatura superficial constante:
7 (0 , /) = 7
T(x, t ) - Ts
(5.57)
7 - 7,
(5.58)
V 7raí
F lu jo de c a lo r su p erficial c o n sta n te : c¡" = q "
C aso 2
2q"(athr) 1/2
v
exp
erfc
4a/
(5.59)
2V a/
'
C aso 3
C onvección su p erficial: —¿
T ._ - T ,
dx «=0
( * _
7 (a, /) - 7,
,)T
= h[Tx - 7(0, /)]
_ e 'C V 2 V í r t ,
/ra /\ j '
/ hx
ex p ( y
erfc
+
n
.
hX a / \ '
A"
+
(5.60)
2V a¡
La función complementaria de error . erfc ve, se define com o erfc w = 1 — erf w.
Las historias de tem peratura para los tres easos se m uestran en la figura 5.7, y de­
ben notarse las características distintivas. Con un cam bio de intervalo en la tem peratu­
ra de la superficie, caso 1 , las tem peraturas dentro del m edio se aproxim an de forma
m onótona a 7 Val aum entar /. m ientras que la m agnitud del gradiente de tem peratura de
la superficie, y de ahí el flujo de calor superficial, dism inuye com o t~ m. Ln cam bio,
para un flujo de calor superficial fijo (caso 2), la ecuación 5 59 revela que 7(0. /) =
7 V(/) aum enta m onótonam ente com o Ó'2. Para la convección superficial (caso 3). la
tem peratura superficial y las tem peraturas dentro del cuerpo se aproxim an a la tem pe­
ratura del fluido 7* al aum entar el tiem po. Conform e Ts se aproxim a a 7^, hay. por su­
puesto. una reducción en el flujo de calor superficial, q"ft) — h\Ts(t) — Tx ]. En la figura
5.8 se presentan gráficas de las historias de tem peratura específicas calculadas a partir
de la ecuación 5.60. El resultado que corresponde a h = oo es equivalente al que se aso­
cia con un cam bio súbito en la tem peratura de la superficie, caso 1 .
1.0
0.5
t». T o.i
i
v-. 8
005
Fuá
ha
5 .8
H is t o r ia s <fe te m p e ra tu ra s e n un
0.01
0.5
10
1.5
só lid o s e m iin fin ito co n c o n v e c c ió n
s u p e r f ic ia l [2].
W laptada co n p e rm iso .
DEPARTAMENTO DE B lB L lO tto A
U n iv e r s id a d S im ó n B o lív a r - B o d e d e l L itoral
240
C apítulo 5 ■ Conducción en estado transitorio
F
ic l r a
5 .9
Contacto de la interia/ enlre dos
sólidos semiinfinitos a diferentes
temperaturas iniciales.
Es decir, para h =
la superficie alcanza de m anera instantánea la temperatura
puesta del Huido ( Ts = T^). y reduciendo a cero el segundo térm ino del lado dere
de la ecuación 5.60, el resultado es equivalente a la ecuación 5.57.
U na perm utación interesante del caso 1 resulta cuando se ponen en contacto enl
superficies libres dos sólidos sem iinfinitos inicialm ente a tem peraturas uniformes J{
y Tfi. i (figura 5.9). Si la resistencia de contacto es insignificante, el requerimiento«
equilibrio térm ico exige que, en el instante de contacto (t = 0 ). am bas superficies dfj
ben tom ar la m ism a tem peratura 7^., para la que Tfí ¡ < Ts < TA ¡. Com o Ts no caí
al aum entar el tiem po, se sigue que la respuesta térm ica transitoria y el flujo de
superficial de cada uno de los sólidos está determ inado por las ecuaciones 5.57 y 5,
respectivam ente.
La tem peratura superficial de equilibrio de la figura 5.9 se determ ina a partí de
balance de energía en la superficie, el cual requiere que
//
//
(54
<is. A = Vs B
Al sustituir de la ecuación 5.58 para q" A y q" B y reconocer que la coordenada x i
figura 5.9 requiere un cam bio de signo para q" A, se sigue que
-M r, - 7-a,,.)
( w a Ai)
1/2
rB.,)
k a{Ts -
(7raBt) 1/2
íií
o, al resolver para T\
T =
1/2
(k p c)ü 2 + ( kpc)¿
Por tanto, la cantidad m = (kpc )' 2 es un factor de peso que determ ina si Ts aproa
más de cerca a TA ¡(mA > m H) o Tfí ,(mti > mA).
E j k m p l o 5 .5
En el tendido de la red de distribución de agua, las em presas deben preocuparse
posibilidad de congelación durante periodos de frío. A unque el problema de dete
la tem peratura del suelo com o función del tiem po es com plicado para condic on
perficiales cam biantes, es posible basar estim aciones razonables en la suposio
una tem peratura superficial constante en un periodo prolongado de clima frío.;
profundidad m ínim a de entierro xm recom endaría para evitar el congelamiento en<
5 .7
■ Sólido semiinfinito
241
diciones en las que el suelo, inicialm ente a una tem peratura uniform e de 20°C, se so­
mete a una tem peratura superficial constante de — 15°C durante 60 días?
S
o l u c ió n
Se conoce:
Tem peratura im puesta a la superficie del suelo inicialm cnte a 20°C.
E n c o n tr a r :
Profundidad x m a la que se congela el suelo después de 60 días.
E squem a:
T¡ = -15°C
Atmósfera
Suelo
T, = 20°C
L_ Ux„„ 60d) - 0°C
Ned de tukeró He agua
S u p o s ic io n e s :
1. C onducción unidim ensional en ,v.
2. El suelo es un m edio semiinfinito.
3. Propiedades constantes.
P r o p i e d a d e s : De la tabla A .3, suelo (300 K): p = 2050 kg/m 3, k = 0.52 W /m • K,
c = 1840 J/kg • K, a = ( klpc ) = 0.138 X 10 ' 6 m 2/s.
A n á lis is: Las condiciones establecidas corresponden a las del caso 1 de la figura
5.7, y la respuesta transitoria de tem peratura del suelo está gobernada por la ecuación
5.57. Por tanto, en el tiem po t — 60 días después del cam bio de la tem peratura de la
superficie.
T(xm, t) - Ts
T, ~ T,
/
6
x
\
l 2V 7 t j
o
0 — ( —15)
20
„
t x,„
= 0.429 = erf f
-(-1 5 )
'
yrT a t
Por ello del apéndice B.l
= 0.40
xm = 0 .8 0 a t = 0.80(0.138 X lO -6 m2/s X 60 días X 24 h/día
X 3600 s/h)ir2 = 0.68 m
<1
C o m e n ta r io s : Las propiedades del suelo son altam ente variables, dependiendo de
la naturaleza del suelo y el contenido de hum edad, un rango representativo de difusividades térm icas es 1 X 10- ^ < a < 3 X 10 ~7 m 2/s. A fin de evaluar el efecto de las
DEPARTAM ENTO DE BIBLIOTECA
U n iv e rs id a d S im ó n B o lív a r - S e d e o
.. io rp '
242
C apítulo ó ■ Conducción en estado transitorio
propiedades del suelo sobre las condiciones de congelación, usam os la ecuación 5
para calcular las historias de la tem peratura en x„, = 0.68 m para a X 107 = 1.0.1
y 3.0 m 2/s.
Si a > 1.38 X 10 "7 m 2/s, no se alcanza el criterio de diseño en xm = 0 .6 8 m y ocum
la congelación. Tam bién es instructivo exam inar las distribuciones de temperatura en
sólido en tiem pos representativos durante el periodo de enfriam iento. Con laccua "
5 .5 7 con a = 1.38 X 10-7 m 2/s. se obtienen los siguientes resultados:
jc(m)
A medida que la penetración térm ica aum enta con el increm ento del tiempo, el
diente de tem peratura cn la superficie, dTI'óx[x =0 y, por tanto, la velocidad de extrae
ción de calor del suelo, dism inuyen.
5 .8
E fecto s m u liidim en sion ales
A m enudo se encuentran problem as transitorios en que los efectos bidimcnsional^
incluso tridim ensionales son significativos. La solución a una clase de estos problenr
se obtiene de los resultados unidim ensionales de las secciones 5.5 a 5.7.
Considere la inm ersión del cilindro corto de la figura 5 .1 0 , que inicialmente
una tem peratura uniform e Th en un fluido de tem peratura T& + T¡. Com o la longit
el diám etro son com parables, la posterior transferencia de energía por conducción
significativa para las direcciones de las coordenadas r y x. En consecuencia, late
ratura dentro del cilindro dependerá de /*. x y t.
5.8 ■ Efuetus multidinicnsianales
243
T h
(r.x)
T
T
L
L
T
4
/
i
?
L
u
i.
8(r,
6*
F l( .l KA 5 . 1 0
v,
í) _ ft(r. ()
X
9(x, t)
e,
h¡
e,
=
C(r*. t * ) X P(x*.
/* )
Conducción transitoria bidiiuensionnl rn in cilindro corto. («) Geometría, (b) Forma
de le soluc ión por producto de soluciones.
Al suponer propiedades constantes y ninguna generación, la forma apropiada de la
ecuación de calor es, a partir de la ecuación 2 2 0 ,
1
d
r dr l
i
dT\
d2T
1
dr )
dx2
ex dt
donde se utiliza x en lugar de z para designar la coordenada axial Se obtiene una solu­
ción en form a cerrada a esta ecuación m ediante el m étodo de separación de variables.
A unque no considerarem os los detalles de esta solución, es im portante advertir que el
resultado final se expresaría en la siguiente forma.
T(r, x, t ) - Tx
T(r, Q - K
T(x, t) Pared
plana
r(-r«
Cilindro
infinito
Es decir, la solución bidim ensional se expresa com o un p ro d u c to de soluciones unidi­
m ensionales que corresponden a las de una pared plana de espesor 2 L y un cilindro
infinito de radio r0. Para F o > 0 2, estas soluciones son proporcionadas por las aproxi­
m aciones con un term ino de las ecuaciones 5.40 y 5.49, asi com o las figuras D .l y D 2
para la pared plana y las figuras D 4 y D 5 para el cilindro infinito
Los resultados para otras geom etrías m ultidim ensionales se resum en en la figura
5.11. En cada caso la solución m ultidim ensional se establece en térm inos de un pro­
ducto que incluye una o más de las siguientes soluciones unidim ensionales:
T(x%t) - r*
S(.x. t) =
I w T
T(x, t) - Tu
P(x, t) = — ~
Tt ~ T x
Sólido
semiinfinito
(5 64)
Pared
plana
(5 65)
Cilindro
infinito
(5.66)
T(r, t ) - 7 ;
C (r, t ) =
T. - 7L
La coordenada v para el solido sem iinfinito se m ide desde la superficie, m ientras que
para la pared plana se mide desde el plano medio. Al usar la figura 5.11 deben obser­
varse cuidadosam ente los orígenes coordenado*. La distribución tridim ensional transi-
DEPARTAM ENTO DE B lB L lO lto A
, . . . . « - M a H Slmnn Bolívar - Sede de Utors'
Ll
C apítulo 5 ■ Conducción en estado transitorio
S(A, t)
/)
C(r. t)
!
r
.l —
- 2L,
(a) Sólido
semiinfinito
-I
/77J
U ) Cilindro infinito
(¿) Pared plana
C(r,i)S(x.
P( V|. t)P(\2. t)
k
o
H
»
\->
A’’'
Í T
2L\
- 2 L 2—
(c) Barra rectangular
infinita
(d) Placa
sem infinita
5{a'3. t)P(.\ | , t)P(x2, t)
0,0 Barra rectangular
semiinfinita
FlClTtA 5.1 1
Á -L
T
/
'
1
244
P (ij
.i)P(x2, f)P( t 3 ,r)
(h) Paralelepípedo
rectangular
(/) Cilindro
semi-infinito
C(r, nP(x. t)
0 ) Cilindro corto
Soluciones para sistemas multidirnensionalcs expresadas
como productos d r resultados unidimensionales.
toria de tem peraturas en un paralelepípedo rectangular, figura 5.11//, es entonces
ejem plo, el producto de tres soluciones unidim ensionales para paredes planas de
sores 2L ,, 2 L2 y 2
Es decir.
T (x{, x 2, s 3, t) ~
T, - 7L
= P (x j, r) • P (x 2, r) • P(a 3, 0
Las distancias .v,, .v2 y v3 se miden todas con respecto a un sistem a coordenador
guiar cuyo origen está en el centro del paralelepípedo.
La cantidad de energía Q transferida hacia o desde un sólido durante un p
de conducción transitoria m ultidim ensional tam bién se determ ina mediante la
nación de resultados unidim ensionales, com o m uestra Langston [7J.
5 .8
245
■ Efectos miill¡dimensionales
Ejkmplo 5 . 6
En un proceso de fabricación, unos cilindros de acero inoxidable (AISI 304) inicialm ente a 600 K se tem plan al sum ergirlos en un baño de aceite que se m antiene a 300 K
con h = 500 W /m 2 • K. La longitud de cada cilindro es de 2 L = 60 m m y el diám etro
D = 80 mm. C onsidere un tiem po de 3 m inutos en el proceso de enfriam iento y deter­
m ine las tem peraturas en el centro del cilindro, en el centro de una cara circular y a la
m itad de la altura lateral.
Son <:ió\
S e conoce:
Tem peratura inicial y dim ensiones del cilindro, y tem peratura y condi­
ciones de convección de un baño de aceite.
E n co n tra r:
Tem peraturas T(r, x, t) después de 3 m inutos en el centro del cilindro,
T(0, 0, 3 m in), en el centro de una cara circular, T(0, L , 3 min), y a la mitad de la altu­
ra lateral, T(r0, 0, 3 min).
E sq u em a :
7(0. L, t)
r0 = 40 mm
T(r.
t
i
0) = T, = 600 K
T(ro, 0 . l )
L = 30 mm
L = 30 mm
i.
IA
Cilindro de
AISI 304
T( 0 .0 . /)
Baño d e
►
^ -
^
aceite ---- ► h = 5qo W/m2 • K
S u p o sicio n es:
1. C onducción bidim cnsional en r y x.
2. Propiedades constantes.
P ro p ied a d es:
Tabla A .l, acero inoxidable, A ISI 304[T = (600 + 300)/2 = 450 K].
p = 7900 kg/m 3, c = 526 J/kg • K, k = 17.4 W /m • K, a = k/pc = 4.19 X 10 -6 m 2/s.
A nálisis:
El cilindro sólido de acero corresponde al caso (/) de la figura 5.11, y la
tem peratura en cualquier punto en el cilindro se expresa com o el siguiente producto de
soluciones unidim ensionales.
T(r, x , t) - Ta
Z - 7L
= P(x , f)C (r, t)
C apítulo 5 ■ Conducción cn estado transitorio
donde P(x, t) y C (r, t) se definen por las ecuaciones 5.65 y 5 6 6 , respectivamente
consecuencia, para el centro del cilindro,
T(0, 0, 3 m in) - Tx
T{0, 3 m m ) - Tx
T - T
M nt
•
7X0, 3 m in) — T *
Pared *
plana
»
T
T
1 l — -*00
Cilindro
infinito
De aquí, para la pared plana, con
B rx=
17 4 W /m ■ K
- = 1.16
5 0 0 W /m 2 • K X 0.03 m
hL
at
Fo —
4 19 X 1 0 " 6 m 2/s X 180 s
—
L}
= 0 84
(0.03 m )2
se sigue de la ecuación 5 41 que
0* = y
= C, e x p ( - £ 2Fr>)
donde, con Bi = 0.862, C! = 1.109 y £| = 0 8 1 4 rad de la tabla 5.1. Con Fo = 0.
0o
T{0, 3 m in) - Ta
T -T a
= 1.109 exp [ - ( 0 .8 1 4 rad )2 X 0.84] = 0.636
P a re d
plana
De m anera sim ilar, para el cilindro infinito, con
B F X=
Fo =
k
17.4 W /m • K
hra
5 00 W /m 2 • K X 0 04 m
at
4 .1 9 X 1 0 " 6 m 2/s X 1 8 0 s
r2
(0.04 m )2
= 0.87
= 0.47
se sigue de la ecuación 5 49c que
efí
0* = y
= C, ex p ( —£ ,F o )
donde, con Bi = 1.15, C , = 1 227 y £, = I 307 de la tabla 5.1. Con Fo = 0.47.
= 1.109 exp f —(1-307 rad )2 X 0 47] = 0 .5 5 0
Cilindro
infinito
De aquí, para el centro del cilindro,
7X0.0 ,3 mm) — 7^ =
6 6 x Q 55Q = Q 35Q
T, — 7'*,
T(0 .0 ,3 min) = 300 K + 0.350(600 - 300) K = 450 K
La tem peratura en el centro de una cara circular se obtiene del requisito de que
7X0, L, 3 m in) - F*
T, ~ 71
F (¿ , 3 m m ) - F a
“
T. - T r
F(0, 3 m in) - T,
Pared
plana
t
-
tT
Cili
infii
5 .8
■ Efectos tunItidimeusionales
217
donde, de la ecuación 5 40b,
0*
0
— = - = eo s (f,* * )
De aquí, con x* = 1, tenem os
(KL)
T(L , 3 m m ) - Ta
0O
7(0, 3 m in) - 7 C
Pared = eos (0.814 rad
X
1) = 0.687
plana
D e aquí
7 (7 , 3 m in) - T0
T (L, 3 m in) - 7*
Pared =
plana
T
1 i- - T
1 oc
7 (0 , 3 m in) - 7 ,
7(0, 3 m in) — Ta
Pared
plana
Pared
plana
T. - 7'
7 (7 , 3 m in ) - 7«
71 r - 7 1
Pared
plana
oo
= 0.687
X
0 .6 3 6 = 0.437
= 0.4 3 7
X
0 .5 5 0 = 0 .2 4 0
Por tanto,
7 (0 , L, 3 m m ) - 7 {
71 r - 7 1
oo
7 (0 , 7 , 3 m in) = 3 00 K + 0 .2 4 (6 0 0 - 300) K = 372 K
La tem peratura en la altura m edia lateral se obtiene del requerim iento de que
T(r0, 0, 3 min) ~ T ^ _
7 (0 ,3 min) — T0
7» / — 17 o.
7, — 7oc
Pared
plana
7 (r(/, 3 mm) - 7 0
T¡ - 7 a
Cilindro
infinito
donde, de la ecuación 5.49b,
e~* -- J 6o - U, b, rr **\
)
Con r* = 1 y el valor de la función de Bessel determ inada de la tabla B.4,
0{ro)
T(ra, 3 m m ) - 7
7(0, 3 m in) - 7«
cdmdro — 70( 1.307 rad
X
1)
—
0.616
infinito
De aquí
T{rv, 3 m in) - 7 ^
7(r„, 3 m in) - 7*
7 - 7
1 l
1
70
"
"
Cilindro
7 (0 , 3 m in) - 7M infinito
7 (0 , 3 m in) - 7 .
71 / - 7* a
Cilindro
inlinito
T(r0, 3 m in) - 7 a
7, - 7L
Cilindro
= 0 .6 1 6
X
0.5 5 0 = 0.339
infinito
De aquí
7 (r0, 0, 3 m in) — 7 a
T - T
= 0 .6 3 6 x 0 .3 3 9 = 0 .2 1 6
T(rn, 0, 3 m in) = 3 00 K + 0 .2 1 6 (6 0 0 - 300) K = 365 K
DEPARTAMENTO
<]
de
b ib l io t e c a
U n iv e r s id a d S im ó n Bol Iv a r - Sede d e l L ito ra '
218
Capitule» f» ■ Conducción en estada transitorio
C ornan ta rio s:
1. Verifique que la tem peratura en el borde del cilindro es T(ra, L, 3 min) = 344 K.
2. Las gráficas de H cisler del apéndice D tam bién servirán para obtener los resul
dos que se desean. Al usar estas gráficas, se obtiene BJ6,|pare<i 11 ** 0.64
^«^ílcilindro infinito
0 .5 5 ,
0{L)!0C>|Pared plana
0 .6 8 , y
0 .6 1 , que eslímfo
acuerdo con los resultados que se obtienen de las aproxim aciones de un tennino.
5 .9
M étodos de diferencias finitas
Las soluciones analíticas a problem as transitorios se restringen a geometrías simpL
a condiciones de frontera, com o las consideradas en las secciones anteriores. Sin
bargo, en m uchos casos la geom etría y/o las condiciones de frontera evitan el uso
las técnicas analíticas, y hay que recurrir a los m étodos de diferencias finita
m étodos, que se introdujeron en la sección 4.4 para condiciones de estado est
abarcan fácilm ente problem as transitorios. En esta sección consideramos las t
explícita e implícita de las soluciones en diferencias finitas para problemas de con
ción transitoria.
5.9 .1
Discretización de la ecuación
de calor: método explícito
Una vez m ás considerem os el sistem a bidim ensional de la figura 4.5. En condic
transitorias con propiedades constantes y sin generación interna, la forma apro"1-1
la ecuación de calor, ecuación 2 15, es
i dr
a dt
a 2r
dx2
+
d2r
dy
(5
Para obtener la form a en diferencias finitas de esta ecuación, podemos usar las
m ariones de clifeiencía central para las derivadas espaciales establecidas poi
ecuaciones 4.31 y 4 32. U na vez más los subíndices m y n sirven para designar1
siciones x y y de los puntos nodales discietos. Sin em barco, ademas de discre
espacio, el problem a debe discretizarse en el tiem po. El entero p se introduce:cc
i
propósito, donde
t = pAt
y la aproxim ación en diferencias finitas para la derivada respecto al tiempo en la
ción 5.67 se expresa com o
•TP+I _ pP
dT
aT
1 m, n
m, n
m.n
At
El superíndice p se utiliza para denotar la dependencia con respecto al tiempoi
la derivada con respecto al tiem po se expresa en térm inos de la diferencia en t
5 .9
■ Métodos de direfencias finitas
249
turas asociada con los tiem pos nuevo {p + 1) y anterior ( p ). Por ello los cálculos deben
llevarse a cabo en tiem pos sucesivos separados por el intervalo A t, y com o una solu­
ción en diferencias finitas restringe la determ inación de tem peraturas a puntos discretos
en el espacio, tam bién la restringe a puntos discretos en el tiempo.
Si la ecuación 5.69 se sustituye en la ecuación 5.67, la naturaleza de la solución en
diferencias finitas dependerá del tiem po específico al que se evalúan las tem peraturas
en las aproxim aciones en diferencias finitas para las derivadas espaciales. En el método
explícito de solución, estas tem peraturas se evalúan en el tiem po anterior {p). Por esto,
la ecuación 5.69 se considera que es una aproxim ación en diferencias hacia adelante
para la derivada respecto al tiem po Al evaluar los térm inos en el lado derecho de las
ecuaciones 4.31 y 4.32 en p y sustituir en la ecuación 5 67, la form a explícita
de la ecuación en diferencias finitas para el nodo interior m, n es
i
1
1m ni _
-T P +
T P
*
mn
Ai
(5.70)
Al resolver para la tem peratura nodal en el tiem po nuevo (p + 1) y suponer que Aa
Ay, se sigue que
(5.71)
donde Fo es una form a en diferencias finitas del núm ero de F o u n er
a Ai
(5.72)
Si el sistem a es unidim ensional en x , la form a explícita de la ecuación en diferencias fi­
nitas para un nodo interior m se reduce a
7 T 1 = F o { T ^ x + T?m ,) + ( ! - 2 FÓ)T*m
(5.73)
Las ecuaciones 5 71 y 5 73 son explícitas pues las tem peraturas nodales descono­
cidas para el tiem po nuevo se determ inan de m anera exclusiva m ediante tem peraturas
nodales conocidas en el tiem po anterior Por ello el cálculo de las tem peraturas desco­
nocidas es directo. C om o se conoce la tem peratura de cada nodo interior en A = 0 (j> =
0 ) de las condiciones iniciales establecidas, los cálculos com ienzan en t = At(p = 1 ),
donde la ecuación 5 71 o 5 73 se aplica a cada nodo interior para determ inar su tem pe­
ratura. Con tem peraturas conocidas para t — A t. la ecuación en diferencias finitas apro­
piada se aplica entonces a cada nodo para determ inar su tem peratura en t = 2 A t(p
2). De esta form a, la distribución transitoria de tem peraturas se obtiene al avanzar en
el tiempo, con el uso de intervalos de At.
La precisión de la solución en diferencias finitas se m ejora dism inuyendo los valo­
res de Aa y Ai. Por supuesto, el núm ero de puntos nodales interiores que debe conside­
rarse aum enta al dism inuir Aa. y el núm ero de intervalos de tiem po que se requieren
para llevar la solución a un tiem po final establecido aum enta al dism inuir A t. Por ello
el tiem po de cálculo aum enta al dism inuir Aa y Ai. La elección de Aa norm alm ente se
DEPARTAM ENTO DE BIBLIOTECA
U n iv e rs id a d S im ó n B o lív a r - S e d e o
.a o r »
250
C apítulo 5 ■ Conducción en estado transitorio
basa en un com prom iso entre la precisión y los requerim ientos de calculo. Sin embar­
go, una vez que se hace esta selección, el valor de Ar tal vez no se elija de forma inde­
pendiente Se deteim ina, en realidad, m ediante requerim ientos de estabilidad
Una característica inconveniente del m étodo explícito es que no es incondici nalm ente estable. L n un problem a transitorio, la solución para las temperaturas nodales
debe aproxim arse de form a continua a los valores finales (de estado estable) al aumen
tar el tiem po Sin em bargo, con el m étodo explícito, esta solución se caracteriza por
oscilaciones num éricam ente inducidas, que son físicam ente im posibles Las oscilacio­
nes se vuelven inestables , lo que ocasiona que la solución difiera de las condiciones i
estado estable reales. Para evitar este tipo resultados erróneos, el valor estableen
de A t debe m antenerse por debajo de cierto lim ite, el cual depende de Av y otros pa
m etros del sistem a. Esta dependencia se denom ina criterio de estabilidad , y se obtien
m atem áticam ente o dem uestra partir de un argum ento term odinám ico (vease el pro
blem a 5.78). Para los problem as de interés en este texto, e / criterio se determina}
quiriendo que el coeficiente asociado con el nodo de Ínteres en el tiempo anterior v
mayor que o igual a cero En general, esto se hace reuniendo todos los términos
incluyen T& „ para obtener la form a del coeficiente. Este resultado sirve entonces pa
obtener una relación lím ite que incluya Fo, del cual se determ ina el máximo valor i
m isible de A t. Por ejem plo, con las ecuaciones 5.71 y 5 73 ya expresadas en la fon
que se desea, se sigue que el criterio de estabilidad para un nodo interior umdimenj
nal es (1 — 2 Fo) > 0 , o
(5J4
y para un nodo bidim ensional, es (1 — Abó) ^ 0 , o
5‘
Para los valores establecidos de Aa y a . estos criterios sirven para determinar lír
superiores al valor de A t.
Las ecuaciones 5.71 y 5.73 tam bién se derivan al aplicar el método del balanceí
energía de la sección 4.4.3 a un volum en de control alrededor del nodo interior,
explicar cam bios en el alm acenam iento de energía térm ica, una forma general de',
ecuación de balance de energía se expresa com o
^Fe n t
+ Fg = Falm
(5J
Con el interés de adoptar una m etodología congruente, de nuevo se supone que todo;
flujo de calor esta adentro del nodo.
Para ilustrar la aplicación de la ecuación 5.76, considere el nodo superficial)
sistem a unidim ensional que se m uestra en la figura 5.12. Para determ inar másprec
m ente las condiciones térm icas cerca de la superficie, a este nodo se le asigna i
pesor de la m itad del que tienen los nodos interiores. Al suponer transferencia:
convección desde un Huido contiguo y ninguna generación, se sigue de la ecua
5 76 que
kA
hA(T„
Sx rg+l - re
r~g ) + —
o, al resolver para la tem peratura superficial en t + Ar,
(
S .9 ■ Métodos de direfeneias finitos
251
T ,.h
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I
^cortv
t2.
7o
r,*
—
.li —J
7b*
rfcalm I'«*■
I
i
F lG I HA 5 . 1 2
iI
*?cond
\«»dt» de superfirii* ron ronvrrrión \ comlurrión transitoria
unidimensional.
2h A t
7 T 1 =
2 a At
m
(T’oc -
- TQ +
Al reconocer que (2/í A f/pr Av) = 2(/z Av/A)(a At/Ax2) = 2 BiFo y reagrupar térm inos
que incluyen Tq. , se sigue que
7 ? +l = 2Fo(Tf¡ + 5 /
+ (1 - 2 F o - 2fli F o )7 5
(5.77)
La form a en diferencias finitas del núm ero de Biot es
h Ax
Bi = — —
k
(5.78)
A l recordar el procedim iento para determ inar el criterio de estabilidad, requerim os que
el coeficiente para T q sea m ayor que o igual a cero, de aquí
1 — 2 Fo — 2BiFo ^ 0
o
F o (l + Bi) <
5
(5.79)
D ado que la solución cn diferencias finitas com pleta exige la ecuación 5.73 para los
nodos interiores, así tam bién la ecuación 5.77 se requiere para el nodo superficial. La
ecuación 5.79 debe contrastarse con la ecuación 5.74 para determ inar cuál requisito es
el más riguroso. C om o Bi ^ 0, es evidente que el valor límite de Fo para la ecuación
5.79 es m enor que el de la ecuación 5.74. Por tanto, para asegurar la estabilidad en to­
dos los nodos hay que usar la ecuación 5.79 a fin de seleccionar el valor m áxim o per­
m isible de Fo , y de aquí At, para ser utilizados en los cálculos.
Las form as de la ecuación explícita cn diferencias finitas para varias geom etrías
com unes se presentan en la tabla 5.2. C ada ecuación se deriva aplicando elm étodo del
balance de energía a un volum en de control alrededor del nodo correspondiente. Con el
propósito de desarrollar confianza en su habilidad para aplicar este m étodo, intente ve­
rificar al m enos una de estas ecuaciones.
depa rta m en to
de
b ib l io t e c a
U n iv e r s id a d o iiiiu n B o lív a r - S e d e C
LUoral
252
C apítulo 5 ■ Conducción en estado transitorio
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O
•O
o
Z
c-aiiibiiiciud p¡mi unn mipcrflcie adiabática (o superficie de simetría), simplemente haga fíi igual
—c
+ .
5 .9
253
■ Métodos de direfencias finitas
E je m p l o 5 . 7
Un elem ento com bustible de un reactor nuclear en la form a de pared plana de espesor
2L = 20 m m se enfría convectivam ente en am bas superficies, con h = 1100 W /m 2 • K
y Tos = 250°C. A potencia normal de operación, el calor se genera de m odo uniform e
dentro del elem ento a una rapidez volum étrica de c¡j = 107 W /m 3. Si hay un cam bio en
la rapidez de generación, ocurrirá una desviación de las condiciones de estado estable
asociada con la operación norm al. C onsidere un cam bio súbito a tj2 = 2 X 107 W /m 3, y
use el m étodo explícito de diferencias finitas para determ inar la distribución de tem pe­
raturas del elem ento com bustible después de 1.5 s. Las propiedades térm icas del ele­
m ento com bustible son k = 30 W /m • K y a = 5 X 10 ~6 m 2/s.
S o l u c ió n
Se conoce:
C ondiciones asociadas con la generación de calor en un elem ento com ­
bustible rectangular con enfriam iento superficial.
E n co n tra r:
D istribución de tem peraturas 1 .5 s después de un cam bio en la potencia
de operación.
E sq u em a :
Elemento combustible
?! = l x 107 W/m3
¿l2 = 2 x 107 W/m3
a = 5 x 10' 6 m2/s
* = 30 W/m • K
i
i
m —1 I
• l
l
m
= 250°C
h = 1100 W/m2 -K
Adiabática de
simetría
Fluido
refrigerante
i
l
in i+ 1
i •
l
ek
p
^cood
^cond
E airt
íc o n d
A.v
¿Ur=-
L
Yo"
~1
S u p o sicio n es:
1. C onducción unidim ensional cn x.
2. G eneración uniform e.
3. Propiedades constantes.
A nálisis:
Se obtendrá una solución num érica con un increm ento espacial de A.v =
2 mm. C om o hay sim etría alrededor del plano m edio, la red nodal da seis tem peraturas
nodales desconocidas. Con el m étodo de balance de energía, ecuación 5.76, se deriva
una ecuación explícita en diferencias finitas para cualquier nodo interior m.
T P
T V
T P
—
T P
7-p+l _ y??
1m
m
Ax
DEPARTAM ENTO DE BIBLIOTECA
U n iv b rs id u d S im ó n
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S ede
' 1 kn rn '
254
C apítulo 5 ■ Conducción en estado transitorio
Al resolver para Tp,+l y reacom odar.
1 = Fo
+ (1 -
<?(A.v)
l'í,-1 + 7'?,,, +
2F ó)V m
(1
Esta ecuación sirve para el nodo 0, con Tpm- X = T^,+ 1, así com o para los nodos 1. 2,3
4. Al aplicar la conservación de la energía a un volumen de control alrededor del nodo:
T'¡ - Tp
hA(T^ - T%) + k A
Ax
7 - — + qA —
Ax
Tp5+1 = pA — c ~
Ax
Ar
o
q ( lx ) 2 -,
T Y 1 = 2 Fo VI + B iT ^ +
+ (1 - 2 Fo - 2B i F o m
2k
(2
C om o el criterio de estabilidad más restrictivo se asocia con la ecuación 2, selecciona­
m os Fo del requerim iento
Fo{ 1 + B i ) < \
De aquí, con
h Ax
1 100 W /m 2 • K (0.002 m)
Bi =
= 0 0733
3 0 W /m • K
se sigue que
l o < 0.466
o
F ü (A x )2
At =
0 .4 6 6 (2
a
X
10 ~ 3 m )2
5 X 10 6 m
< 0.373 s
/s
Para estar en el lim ite de estabilidad, seleccionam os A/ = 0.3 s. que corresponde a
5
Fo =
X
10 -6 m 2/s(0 .3
(2
X
s)
= 0.375
10 - 3 m)
Al sustituir valores num éricos, incluido ¿j = q2 = 2
convierte en
10 W /m 3, la ecuación nod^J
X
T'¿*] = 0.375(27'? + 2 .67) + 0 .2 5 0 7 ?
7?+ 1 =
0 3 7 5 (7 ? + 7 ? + 2 67) + 0 2 5 0
7 ? +l = 0.375 (7 ? + 7? + 2 67 ) + 0 .2 5 0 7 ?
TI*' = 0.375(77; + 7 ? + 2 .6 7 ) + 0 .2 5 0 7 ?
7? " 1 =
0 375(7"? + 7"? + 2.67) + 0.2507"?
7"?+l = 0 .7 5 0 (7 ? + 19.67) + 0 .1 9 5 7 ?
Para com enzar la solución debe conocerse la distribución de temperaturas inicíala
distribución está dada por la ecuación 3 42, con q = £/,. Al obtener Ts = T5 de lai
cion 3 46.
qL
7 , = 7? +
1—
10 7 W /m 3 X 0.01 m
=
2 5 0 °C +
—
...............
,
1100 W /m 2 ■ K
=
340.91 C
5 .9
■ Métodos de direfencias finitas
255
se sigue que
+ 3 4 0 .9 1°C
T(x) = 16.67 ^1 —
Las tem peraturas calculadas para los puntos nodales de interés se muestran en el pri­
m er renglón de la tabla adjunta.
Con el uso de ecuaciones en diferencias finitas, las tem peraturas nodales se calcu­
lan de m anera consecutiva con un increm ento de 0.3 s hasta que se alcanza el tiempo
final deseado. Los resultados se ilustran en los renglones 2 a 6 de la tabla y se pueden
contrastar con la nueva condición de estado estable (renglón 7), que se obtuvo con las
ecuaciones 3.42 y 3.46 donde q = c¡2:
T e m p e ra tu ra s n o d ales ta b u la d a s
p
/ ( s)
0
1
2
0
3
4
5
oc
0.3
0.6
0.9
1.2
1.5
oc
T0
Ti
t2
*3
T,
Ts
357.58
358.08
358.58
359.08
359.58
360.08
465.15
356.91
357 41
357.91
358.41
358.91
359.41
463.82
354.91
355.41
355.91
356.41
356.91
357.41
459.82
351.58
352.08
352.58
353.08
353.58
354.07
453.15
346.91
347.41
.347.91
348.41
348.89
349.37
443.82
340 91
341.41
341.88
342.35
342.82
343 27
431.82
C o m en ta rio s:
Es evidente que a 1 .5 s la pared está en las prim eras etapas del proce­
so transitorio y que se tendrían que hacer m uchos cálculos adicionales para alcanzar las
condiciones de estado estable con la solución en diferencias finitas. El tiem po de cálcu­
lo se reduce ligeram ente usando el increm ento de tiem po m áxim o perm isible (Ar =
0.373 s), pero con alguna pérdida de precisión. Con el interés de m axim izar la preci­
sión, debe reducirse el intervalo de tiem po hasta que los resultados calculados se hagan
independientes de reducciones posteriores de A t.
Al extender la solución en diferencias finitas, es posible determ inar el tiem po que
se requiere para alcanzar la nueva condición de estado estable, con historias de tem pe­
raturas calculadas para los nodos del plano m edio (0) y de superficie (5) que tienen las
siguientes formas:
/(s)
Con tem peraturas de estado estable T0 = 465.15°C y T5 = 431.82°C, es evidente que
la nueva condición de equilibrio se alcanza dentro de 250 s del cam bio de paso en la
potencia de operación.
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
U n iv e rs id a d S im ó n B o lív a r - S e d e ci*« L itoral
256
C apítulo 5 ■ Cttndurrión en estado transitoriu
método implícito
En el esquem a de diferencias finitas explícito, la temperatura de cualquier nodo en / + j
se calcula a partir del conocim iento de tem peraturas en el mismo nodo y en los nodo
vecinos para el tiempo anterior t. De aquí que la determ inación de una temperatura no
dal en algún tiem po es independiente de las tem peraturas en los otros nodos parae
mismo tiempo. A unque el m étodo ofrece facilidad de cálculo, sufre de limitaciones en
la selección de A t. Para un increm ento de espacio dado, el intervalo de tiempo debe so
com patible con los requisitos de estabilidad. Con frecuencia, ésta dicta el uso de valíres extrem adam ente pequeños de At, y se necesita un num ero m uy grande de intervalos
de tiem po para obtener una solución.
A m enudo se obtiene una reducción en el m onto del tiem po de cálculo con e em­
pleo de un esquem a de diferencias finitas implícito , en lugar de explícito. La formaim
plícita de una ecuación en diferencias finitas se deriva con el uso de la ecua
para aproxim ar la derivada respecto del tiem po, m ientras se evalúan todas
tem peraturas en el nuevo tiem po (p + 1 ), en lugar del tiem po anterior (/?). Se
ra entonces que la ecuación 5.69 proporciona una aproxim ación en diferene
atras para la derivada con respecto al tiempo. A diferencia de la ecuación 5.7
nía im plícita de la ecuación en diferencias finitas para el nodo interior de un si
dim ensional es entonces
1
-y-p + 1 __ -rp
1 1 m, n
a
1 m. rt
nrp+X
i -r p + 1
* m+l,rt
m
/Srp P + X
1, rt
(S x )2
At
77?+ 1
+
* m.n+ I
i 'TP + 1
* m.n—1
' ) rp p + 1
m,n
Al rcacom odar y suponer que Aa = Ay, se sigue que
De la ecuación 5.87 es evidente que la tem peratura nueva del nodo m, n
de las tem peraturas nuevas de sus nodos contiguos que, en general, se dcscom
tanto, para determ inar las tem peraturas nodales desconocidas en t + At, las cc
dientes ecuaciones nodales deben resolverse simultáneamente. Esta solución e
con el uso de la iteración de G auss-Seidel o inversión de m atrices, como se n
la sección 4.5. 1.a solución consecutiva im plicaría entonces resolver de forma
nca las ecuaciones nodales en cada tiem po t = At, 2At,.., hasta que se alcanza
po final deseado.
Con relación al m étodo explícito, la form ulación im plícita tiene la ventaj;
tante de ser incondicionalmente estable. Es decir, la solución permanece esta
lodos los intervalos de espacio y tiem po, en cuyo caso no hay restricciones en
C om o los valores más grandes de At pueden utilizarse, por tanto, con un métod
cito, los tiem pos de cálculo suelen reducirse con poca pérdida de precisión. No
te, para m axim izar la precisión, At debe ser suficientem ente pequeña para asegi
los resultados sean independientes de reducciones adicionales en su valor.
La form a im plícita de una ecuación de diferencias finitas también puede ú
del m étodo del balance de energía. Para el nodo de superficie de la figura:
m uestra fácilm ente que
(1 + 2
Fo+
2Fo
Bi) T'¿+l-
T ¡* x = 2 Bi T„ +
5 .9
■ Métodos de direfencias finitas
257
Para cualquier nodo interior de la figura 5.12, tam bién se m uestra que
(1 +
2 F 0)T ? * 1 - F oO Z V , + T”m\ \ ) = T”m
(5 89)
En la tabla 5.2 se presentan form as de la ecuación im plícita en diferencias finitas para
otras geom etrías com unes. C ada ecuación se deriva al aplicar el m étodo del balance de
energía.
E je m p lo 5 . 8
U na placa gruesa de cobre que inicialm entc está a tem peratura uniform e de 20°C
se expone de súbito a radiación en una superficie de m odo que el flujo neto de calor se
m antiene a un valor constante de 3 X 105 W /m 2 Con las técnicas en diferencias finitas
explícita e im plícita y un increm ento espacial de Aa = 75 mm, determ ine la tem peratu­
ra en la superficie irradiada y en un punto interior que esté a 150 mm de la superficie
después de transcurridos 2 m inutos. C om pare los resultados con los que se obtienen de
una solución analítica apropiada.
SüLl CIÓN
S e co n o ce:
Placa gruesa de cobre, inicialm ente a una tem peratura uniform e, que se
som ete a un flujo neto constante de calor en una superficie.
E n con trar:
1. C on el m étodo explícito de diferencias finitas, determ ine las tem peraturas en la
superficie y a 150 m m de la superficie después de transcurrido un tiem po de 2
m inutos.
2. R epita los cálculos con el m étodo im plícito de diferencias finitas
3. D eterm ine las m ism as tem peraturas de form a analítica.
E squem a:
q'0 = 3 X 105 W/m2
I
I
0 ¡,
i
i
i
i
<1o
i
m
m —1
i 1.
i
i "*
! í/cofid
‘/cond
Aa
<
m+ 1
‘ /cond
Aa = 75 mm k
2
S u p o sicio n es:
1. Conducción unidim ensional en x.
2. La placa gruesa se aproxim a com o un m edio sem iinfinito con flujo de calor super­
ficial constante.
3. Propiedades constantes.
P ro p ied a d es:
Tabla A .l, cobre (300 K): k = 401 W /m • K, a = 117 X 10 " 6 m 2/s.
'llíillllH
DEPARTAM ENTO DE BIBLIOTECA
U n iv e r s id a d S im ó n d o lí v j r Sede a
Aora'
258
C apítulo 5 ■ Conducción en estado transitorio
A nálisis:
1. Una form a explícita de la ecuación en diferencias finitas para el nodo superficial
se obtiene aplicando un balance de energía a un volum en de control alrededor
del nodo.
- 7'(¡
A*
q„A + k A — ^ r
’ 1 - r„
= PA —
1
I
c-
O
/ q"a A*
\
1%*' = 2 F o l — - — + TPA + (1 - 2Fo)Tp
La ecuación en diferencias finitas para cualquier nodo interior está dada por la
ecuación 5 73. Los nodos superficial e interior están regidos por el criterio de esta­
bilidad
Fo< \
A dvierta que las ecuaciones en diferencias finitas se sim plifican al ele ir el
valor m áxim o perm isible de Fo = ¿ . De aquí
(Ax)
Ar = Fo
a
1
(0.075 m )2
2 117 X 10 ~ 6 m 2/s
= 24 s
Con
q"0 A x
k
3 X 10" W /m 2 (0 075 m)
~ ~
= 56.1 °C
401^W /m - l e
las ecuaciones en diferencias finitas se convierten en
7 ? +l = 56 .1 °C + Tp
j'p+i
1 m
y
1 m—I
rm+ 1 -l- 7T
P
_
para los nodos superficial e interior, respectivam ente. D espués de ejecutar i
cálculos, los resultados se tabulan com o sigue:
Solución ex p lícita en d iferen c ias fin itas p a r a Po = \
p
*(s)
0
1
2
0
3
4
5
24
48
72
96
12 0
T0
20
76 1
76 1
104.2
104 2
125 3
Ti
20
20
48.1
48 1
69.1
69.1
T2
t3
20
20
20
20
20
20
34 1
34.1
48 1
20
20
20
20
21A
20
27 1
20
20
Después de 2 m inutos, la tem peratura de la superficie y la temperatura mten ^
se desea son f 0 = 125.3°C y T2 = 48 1 °C
O bserve que el calculo de tem peraturas idénticas en tiem pos sucesivos]
m ism o nodo es una deform ación del uso del valor m áxim o permisible de/v><
técnica explícita de diferencias finitas. La condición física real es, por su)
■ Métodos de direfencias Jinitas
5 .9
259
una en la que la tem peratura cam bia de forma continua con el tiempo. La deform a­
ción se elim ina y la precisión de los cálculos se m ejora reduciendo el valor de Fo.
Para determ inar el punto al que es posible m ejorar la precisión al reducir Fo,
rehagam os los cálculos para Fo = 4 (Ar = 12 s). Las ecuaciones en diferencias fi­
nitas son entonces de la form a
7%+' = h(56.\°C + Tp) + \T P
0
T p; x = \ a pm+, + 7 ^ , ) + ^ ,
y los resultados de los cálculos se tabulan com o sigue:
Solución explícita en diferencias finitas para F o = 5
0
1
2
0
20
12
48.1
62.1
72.6
81.4
89 0
95.9
102.3
108.1
113.7
118.9
9
24
36
48
60
72
84
96
108
10
12 0
3
4
5
6
7
8
2.
Ti
f(s)
p
20
20
27.0
34.0
40.6
46.7
52.5
57.9
63.1
68.0
72.6
t2
20
20
20
2 1.8
24.4
27.5
30.7
34.1
37.6
41.0
44.4
Ti
t4
n
T-,
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
Ts
Ts
20
20
20
20
20
20.4
21.3
20
20
20
20
20 1
20
20
20
20
20
20
22.6
20.4
20.0
20
20
20
20
24.1
25.8
27.6
29.6
20.8
2 0 .1
20.0
20
20
21.5
20.0
20.0
20.0
20
2 2 .2
20.3
20.5
23.2
20.8
2 0 .1
202
20
20.0
20
20
20
20
20
20.0
20 0
D espués de 2 min, las tem peraturas que se desean son T0 = 118.9°C y
T2 = 44.4°C. Al com parar los resultados anteriores con los que se obtienen para
Fo — 2 , es claro que al reducir Fo elim inam os el problem a de tem peraturas re­
currentes. Predecim os tam bién una penetración térm ica grande (al nodo 6 en lugar
del nodo 3). Una evaluación del m ejoram iento en la precisión debe esperar una
com paración con los resultados basados en una solución exacta.
Al realizar un balance de energía sobre un volumen de control alrededor del nodo
de superficie, la forma im plícita de la ecuación en diferencias finitas es
Tp + l~ T p+l
q° + k
Av
TP
0+' ~ T P
Av
~ 9 T~ C
At
o
2aq"0 A t
(1 + 2 Fo)Tp
0+x - 2FoT p + 1 =
+ Tp
AI elegir de form a arbitraria Fo = 2 (Ar = 24 s), se sigue que
2TP)+X - Tp+l = 56.1 + Tp
De la ecuación 5.89, la ecuación en diferencias finitas para cualquier nodo interior
es entonces de la form a
- T £ \ + 4r r ' - 75; =
27*
C om o tratam os con un solido sem iinfinito, el núm ero de nodos es, en princi­
pio, infinito. En la practica, el núm ero está lim itado a los nodos que están afectaDEPART A M ENTO DE BIBLIOTECA
U n iv e r s id a d S im ó n B o lív a r * B o d e d e l L itora
260
C apítulo 5 ■ Conducción en estado transitorio
dos por el cam bio en la condición de frontera para el periodo de tiem po de interés.
De los resultados del m étodo explícito, es evidente que se pueden elegir con segu­
ridad nueve nodos correspondientes a 7’0, Tj,..., T8. Suponem os que en t = 120 s
no hay cam bio en ÜTg.
Tenem os ahora un conjunto de nueve ecuaciones que deben resolverse simul­
táneam ente para cada increm ento de tiem po. Con el m étodo de inversión de matri­
ces, expresam os las ecuaciones en la form a |AJ[TJ = [CJ, donde
2
-1
0
0
[A]
-1
0
4
-1
0
0
0
0
-1
0
-1
0
-1
4
4
-1
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
0
0
0
0
0
-1
0
0
-1
4
-1
0
0
0
0
4
-1
0
0
0
0
0
0
0
-1
4
-1
0
0
0
0
0
0
0
-1
4
56.1 + 7£
2 T px
2 r p2
2T%
2r j
2T p
5
\C] =
2n
2 T pn
8
-
+ TP + I
0
O bserve que los valores num éricos para los com ponentes de [CJ se determinan 4
los valores anteriores de las tem peraturas nodales. A dvierta tam bién cómo laec
ción en diferencias finitas para el nodo 8 aparece en las m atrices [A] y [C].
Se puede arm ar una tabla de tem peraturas nodales, que comience con el p¿
m er renglón {p = 0 ) correspondiente a la condición inicial que se establece,
obtener tem peraturas nodales de los tiem pos siguientes, debe encontrarse prir
la inversa de la m atriz coeficiente [A]-1. En cada tiem po p + 1, se multiplica)
tonces por el vector colum na [C], que se evalúa en p , para obtener las temperatu
T¡¡+1, T T
T¡¡+ . Por ejem plo, al m ultiplicar [A] - 1 por el vector colui
correspondiente a p = 0 ,
76.1 “
40
40
40
[C]p = o =
L
40
40
40
40
60
J
se obtiene el segundo renglón de la tabla. Al actualizar [C], el procesóse
cuatro veces más para determ inar las tem peraturas nodales en 120 s. Las tempgd
turas que se desean son Tq, = 114.7°C y T2 = 44.2°C.
261
■ Métodos de direfencius finitas
5 .9
Solución im plícita en diferencias finitas para Fo = j
p
/ (s )
0
1
2
0
24
48
72
96
3
4
5
T0
12 0
Ti
Ti
Ty
t4
Ts
Tff
t7
T8
20 .0
20.0
20 0
20 0
20.0
28.7
39 5
50.3
60 5
70.0
22.3
26 6
32.0
38 0
44.2
20.6
2 2 .1
20 0
20.0
20 0
52.4
74.0
90.2
103.4
114.7
20.0
20 .2
20.7
20 2
20.6
20.0
2 0 .1
20 .2
20.0
20.0
20 .1
20.0
20.0
21.1
20 4
20 .2
21.9
20.8
20.3
24.4
27.4
30.9
21 6
22.9
24.7
20.0
20.0
20 1
2 0 .1
3. Al aproxim ar la placa com o un m edio sem iinfinito, la expresión analítica apropia­
da está dada por la ecuación 5.59, aplicable a cualquier punto en la placa.
2 ^ r" (a / / 7 r),/2
7 (x ,
<fo*
t) — T¡ = -------- :----------e x p
e rfc
4at
2 fa t
En la superficie, esta expresión da
2 X 3 X 10 5 W /m 2
7 (0 , 1 2 0 s ) - 2 0 °C = —
■■■—
— (117
401 W /m • K
X
10 - 6 m 2/ s
X
10 5 W /m 2
X
120 s /t t ) 2
o
7(0, 120 s) = 120.0°C
En el punto interior (.v = 0.15 m)
2 X 3 X 10 5 W /m 2
7X0.15 m , 120 s) — 2 0 °C =
4oT W /m • K
X
(117
X
10_ 6 m 2/s
X
120 &/n)m
(0.15 m )2
1
X exp
4 X
10 -6 m 2/s
117 X
120 s
X
3
X
0.15 m
401 W /m • K
0.15 m
x
1 — e rf
2V 117
X
10 -6 m 2/s
X
120 s
= 45.4°C
C o m en ta rios:
1 . C om parando los resultados exactos con los que se obtienen de las tres soluciones
aproxim adas, es claro que el m étodo explícito con Fo = \ proporciona prediccio­
nes más precisas.
M étodo
7 0 = 7(0, 120 s)
7 2 = 7(0.15 m, 120 s)
Explícito (Fo = 5 )
125.3
48 1
E xplícito (Fo = \ )
118.9
44.4
Im plícito (Fo = \ )
1147
44.2
Exacto
12 0 0
45.4
Esto no es inesperado, pues el valor correspondiente de A t es 50% más pequeño
que el usado en los otros dos m étodos. A unque los cálculos se sim plifican con el
d e p a r t a m en t o
DE BIBLIOTECA
U n iv e rs id a d S im ó n R nllvs-
Sede del Litor»'
202
C apítulo 5 ■ Conducción en estado transitorio
valor m áxim o perm isible de Fo en el m étodo explícito, la precisión de los resulta­
dos rara vez. es satisfactoria.
2 . Ixi precisión de los cálculos precedentes resulta inversam ente afectada por la malla]
burda (Av = 75 m m ). así com o por los pasos de tiem po grandes ( Af = 24 s. 12
Al aplicar el m étodo im plícito con A r = 18.75 m m y \ t = 6 s (F o = 2.0). la solu
ción d a F 0 = 7 (0 , 12 0 s) = 1 1 9 .2 °C y F 2 = F(0.15 m. 1 2 0 s) = 45.3°C , los cual
esian de acuerdo con la solución exacta. Es posible elaborar gráficas de distribu
cioncs com pletas de tem peratura en cualquiera de los tiem pos discretos y los re:
lados que se obtienen en r = 60 y 12 0 son com o sigue:
N ote que, para t = 120 s, la suposición de un m edio sem iinfinito seguiría sie
válida si el esp eso r de la placa excede aproxim adam ente 500 mm.
3. O bserve que la m atn z coeficiente fA] es tridiagonul. Es decir, todos los elemu
son cero excepto los que están en la diagonal principal o en cualquier lado de<
Las m atrices tridiagonalcs están asociadas con problem as de conducción
m ensiona!.
4. U na condición de calentam iento radiativo m ás general sería aquella en la qir|
superficie se expone súbitam ente a los alrededores a una tem peratura elevada!
(problem a 5.91). La transferencia neta por radiación a la superficie se calcula^
toncos a partir de la ecuación 1.7. A l perm itir la transferencia de calor por con
ción a la superficie, la aplicación de la conservación de la energía al nodo|
superficie da una ecuación explícita en diferencias finitas de la forma
F '-F g
e o t F ^ - (Fg)4l + h(Tx - Fg) + k
Ax
Ax
F g+I - F£
= P
Ai
A plicar esta ecuación en diferencias finitas en una solución num érica es cor
do por el hecho de que es no lineal Sin em bargo, la ecuación se linealiia mi
la introducción del coeficiente de transferencia de calor hr definido por laca
1.9, y la ecuación en diferencias finita^ es
Tp _ Tp
~ Fg) + h{T„ — Fg) + k
Ax
A x= P T
’ C
F g + I - Fg
Ai
La solución prosigue en la form a usual, aunque el efecto de un número de]
diativo (F /r 3 hr Av k) debe incluirse en el criterio de estabilidad, y el vn
debe actualizarse en cada paso de los cálculos. Si se usa el m étodo implícitcJ
calcula en p F I. en cuyo caso hay que realizar un cálculo iterativo en
de tiem po.
263
■ Problemas
5.10
Resumen
La conducción transitoria ocurre en num erosas aplicaciones de ingeniería y es posible
m anejarla con diferentes m étodos. C iertam ente hay m ucho que decir cn cuanto a senci­
llez, en cuyo caso, cuando se enfrente con un problem a transitorio, lo prim ero que de­
be hacer es calcular el núm ero de Biot. Si este num ero es m ucho m enor que la unidad,
utilice el m étodo de la resistencia interna despreciable para obtener resultados precisos
con requerim ientos min m os de cálculo Sin em bargo, si el num ero de Biot no es m u­
cho m enor que la unidad, considere los efectos espaciales, y use algún otro método.
Los resultados analíticos están disponibles en form as de gráfica y de ecuación conve­
nientes para la pared plana, el cilindro infinito, la esfera y el sólido semiinfinito. Debe
saber cuando y cóm o utilizar estos resultados. Si las com plejidades geom étricas y/o la
form a de las condiciones de frontera evitan su uso, recurra a una técnica num érica
aproxim ada, com o el m étodo de diferencias finitas
B ibliografía
1. Carslaw, H. S. y J. C. Jaeger, Conduction q f Heat in
SolidSs 2a. cd., O xford U m versity Press, Londres,
1959.
2. Schneider, P. J., Conduction Heat Transfer, Addison-Weslcy, Rcading. M A, 1955.
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Publishing, Nueva York, 1985.
4 Poulikakos, D., Conduction Heat Transfer, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1994.
5. Hcisler, M. P , “Tem perature C harts for Induction
and C onstant Tem perature Heating” , Trans. ASME ,
6 9 , 227-236, 1947.
6 . G róber, H., S , Erk y U. G rigull, fundam entáis o f
Heat Transfer, M cG raw -H ill, N ueva York, 1961.
7. Langston, L. S., ‘‘Heat Transfer from M ultidim ensional O bjets Using O ne-D im ensional Solutions for
H eat L oss” , Int. J. Heat Mass Transfer, 25, 149150, 1982.
Problem as
Coii*i<k'raciones cualitativas
5.1 Considere un calentador eléctrico delgado unido a
una placa y montado en un aislante. Inicialmente, el
calentador y la placa están a la tem peratura del aire
ambiental, Tx. De pronto, se activa la potencia del ca­
lentador, lo que da un flujo de calor constante
í/"(\V7m2) en la superficie interna de la placa
Placa
Aislante —
(b) Trace el flujo de calor en la superficie exterior
q"(L, /) com o función del tiempo.
5.2 La superficie interior de una pared plana está aislada
mientras que la superficie externa se expone a un flujo
de aire a Tx . La pared está a una temperatura unifor­
me que corresponde a la del flujo de aire. De pronto,
se conecta una fuente de calor por radiación que apli­
ca un flujo uniforme c¡"(¡ a la superficie externa.
r*,h
q'ó para t > 0
Aislante
X =
L
(al Dibuje y acote, en coordenadas T -.\\ las distribu­
ciones de temperaturas inicial, de estado estable
y en dos tiempos intermedios.
(a) Dibuje y acote, en coordenadas T -x . las distribu­
ciones de temperaturas: inicial, de estado estable
y en dos tiempos intermedios.
DEPARTAM ENTO DE BIBLIOTECA
U n iv e r s id a d S im ó n B o lív a r - S e d e de! L ito ra 1
264
C apítulo 5 ■ Conducción en estado transitorio
diante la observación de la historia de tempenum»
de una estera fabricada con cobre puro La esfera, yJ
tiene 12 7 mm de diám etro está a 66 C antes dec ln
caria en un flujo de aire que tiene una temperatura 4
27 C Un term opar en la superficie externa de laeifc.
ra indica 55 C 69 s después de que se inserta laesf®
en el flujo de a re Suponga y después justifique fd
la estera se com porta com o un objeto espacial isom
mico, y calcule el coeficiente de translercncia decaí#
(b) Trace e flujo de calor en la superficie externa
q (L , /) com o Iunción del tiempo
5.3 Un hom o de microondas opera sobre el principio de
que la aplicación de un campo de alta frecuencia oca
siona que oscilen as moléculas eléctricamente polari
zudas de los alimentos El efecto neto es la gene i u i m
casi uniforme de energía térmica dentro de los ahmen
tos Considere el proceso de cocinar un trozo de carne
de 2L de espesor en un hom o de microondas y compá
relo con cocinar en un hom o convencional, donde cada
lad se calienta por radía íón. En cada caso la carne
se calentara de 0 C a una temperatura n mima de 90°C.
Base su comparación en una gra ca de la distribución
de temperaturas en tiempos seleccionados para cada
uno de los procesos de cocn ado En particular, consi
dere el tiempo q al que se inicia el calentamiento, un
tiempo /, durante el proceso de calentamiento, el tiem
po t que corresponde a la conc usión del calcntamicn
to y un tiempo /3 completamente dcntio del subsi
guíente proceso de enfriamiento.
5.4
Una placa de espesor 2L, área superficial A s, masa V/
y calor especí ico i p, inicialmente a una tem peratura
uniforme T , se calienta de pronto en am bas superfi
cíes med ante un proceso de convección (T , h) du
rante un periodo t0, después del cual la placa se ai la.
Supon 7a que a tem peran ra del pk no medio no al
canza 7 dentro de este periodo
a) Suponiendo B > 1 para el proceso de calenta
miento, dibuje y acote, en coordenadas T - \. las si
guientcs distribuciones de tem peraturas inicial,
de estado estable (t —> <*), T{\, tfí) y en dos tiem
pos intermedios entre t = t y t —> *>.
(b) Trace y acote, ei coordenadas T /, las distribu
ciones de ten peratura del plano medio y de la su­
perficie expuesta
(c) Repita las partes (a) y (b). suponga B, < 1 para la
placa.
(d) Derive una expresión para la temperatura de estado
estable T a , oo) = T , y deje los resultados en térmi
nos de los parámetros de la placa (M, c , condicio
nes térmicas (7~, Tx , h), la temperatura de la super
licie 7 (L, t) y el tiempo de calentamiento t ,
Método de la capacitancia concentrada
o resistencia interna despreciable
5.5
Unos balines de acero de 12 mm de diám etro se tem ­
plan n ediante el calentam iento a 1150 K y después se
enfrían lentamente a 400 K en un aire ambiental para
el cual T = 325 K y h = 20 W /m 2 • K imponiendo
que las propiedades del acero son K = 40 W 'm • K,
p = 7800 kg/m , y c = 600 J Kg • k, estim e el tiem po
que se requiere para el proceso de enfriamiento
5.6 F1 coeficiente de transferencia de calor para el aire
que fluye alrededor de una estera se detern inara me
5.7
Una esfera solida de acero (AISI 1010), d 300 mnu
diámetro, se recubre con una capa de material diel
trico de 2 mm de espesor y una conducto dad térqti
de 0.04 W /n • K La esfera recubierta está miciali
te a una temperatura un forme de 500 C y de proni ,
templa en un baño de aceite para el que Tx = 100°Ci
h = 3300 W m • K Estime el tiempo que se rec
p a n que 1 1 esfera recubierta alcance 140 C. Stigtid
cía: Deje de lado el efecto de almacenainiei
ener ía en el m atcnal dieléctrico, puesto que su
citancia térmica (pcV) es pequeña com arada a»
de la esfera de acero
5.8
Una bala esférica de plomo de 6 mm de diámetn*i
mueve aproxim adam ente a Mach 3 La onda de i
que rem ítante cal cnta el aire alrededor de la
700 K, y el coeficiente de convección promedio i
la trans crcncia de calor ntre el aire y la bala es3
W n r • K Si la ba a sale del barril a 300 K y el |
po de vuelo es 0.4 s, ¿ cuál es la temperatura en la
perlicie en el momento del impacto9
5.9
Unos ejes de maqu nana de acero al carbón (
1010) de 0.1 m de diámetro se tratan con calor<
hom o calentado por gas cuyos gases están a 12001
y proporc onan un coeficiente de convección de|
W m • K Si los ejes ent an en el homo a
¿cuánto tiempo deben permanecer en el homo i
canzar una temperatura en la linea central de 8001
5.10
Una unidad de almacci am cnto de eneigía t
consi te en un canal rectangular largo, que está|
ai lado en la superficie extem a y encierra capas i
nadas del material de almacenamiento y rejilla»,!
el flujo
Material de
almacenamie to
Gas caliente
-
Problemas
265
Cada capa del material de alm acenam iento es una
plancha de aluminio de ancho W = 0.05 m, que está a
una temperatura inicial de 25°C Considere condicio­
nes en las que la unidad de alm acenam iento se carga
con el paso de un gas caliente a través de las rejillas,
suponiendo que la tem peratura del gas y el coeficiente
de convección tienen valores constantes de T« =
600°C y h — 100 W /m 2 • K a lo largo del canal
Cuanto tiempo se tardará cn alcanzar 7 5 $ del alm a­
cenamiento máximo posible de energía? ¿Cuál es la
temperatura del alum inio cn ese m om ento9
5.11
tuerza electrostática y el flujo de gas helio. Después
de 15 s, se determ ina que la temperatura de la chapa
es 33°C ¿Cuál es la resistencia de contacto térmico R'¡
c (m ■ K/W) entre la chapa y el portaherramientas?
¿El valor de R'¡ c aumentará, dism inuirá o perm anece­
rá igual si se usa aire, en lugar de helio, como gas de
purga?
5.13
Un resorte de hojas cuyas dimensiones son 32 mm por
10 mm por 1 1 m se rocía con un recubrimiento antico­
rrosivo delgado, que se trata con calor suspendiendo el
resolte de forma vertical en la dirección de su longitud
y pasándolo a través de un homo transportador que
mantiene el aire a una temperatura de 175°C Se han
obtenido recubrimientos satisfactorios cn resortes, micialmente a 25°C, con un tiempo de permanencia en el
homo de 35 min. El proveedor del recubrimiento espe­
cifica que el recubrimiento debe tratarse durante 10 min
por amba de una temperatura de 140°C. ¿Cuánto tiem­
po permanecerá en el homo un resorte con dimensiones
de 76 mm por 35 mm por 1.6 m a fin de tratar térmica­
mente el recubrimiento de manera apropiada9 Las pro­
piedades termofísicas del material de resorte son p =
8131 kg/m3. cp = 473 J/kg • K, y k = 42 W/m • K.
Aire
Aire
r . = 300 K
J
El espesor de las tiras es 8 = 5 mm, y su densidad,
calor específico, conductividad térm ica y emisividad
son p = 7900 kg/m 3, cp = 640 J/kg ■ K, k = 30 W/m •
K y e = 0.7, respectivamente.
(a) Suponiendo un coeficiente de convección unifor­
me de h = 25 W /m 2 • K, determine el tiempo que
se requiere para enfriar la tira de una temperatura
inicial de 940°C a 540°C, punto en el que se pue­
de enrollar para su embarque. Si la tira se mueve
a 10 m/s, ¿cuán larga debe ser la sección de en­
friamiento? ¿Qué concluye usted acerca de la
efectividad de este método de enfriamiento?
(b) Determ ine el tiempo que se requiere para enfriar
la tira, primero suponiendo una transferencia de
calor sólo por radiación, y después una sólo por
convección. Para cada uno de los tres casos (con­
vección y radiación, sólo radiación y sólo
convección), elabore una gráfica de la temperatura de
la tira como función del tiempo cn el rango 54f)°C
< T ^ 940°C. En este rango, también trace el
coeficiente de transferencia de calor por radia­
ción, h r%como función del tiempo.
w = 0.758 mm
t
Región de la interfaz
muy exagerada
Se rea iza un experimento en condiciones en las que
U chapa, micialmentc a una tem peratura uniforme Tw
- 100°C. se coloca de pronto en el portaherram ien­
tas. que está a una temperatura uniforme y constante
T - 23°C. Con la chapa en su lugar, se aplican la
r * = 300K
= 300 K
5.12 Una herramienta que se utiliza para fabricar dispositi­
vos semiconductores consiste en un portaherram icnta
(disco cilindrico metálico grueso) en el que un brazo
robótico coloca una chapa de silicio muy delgada (p
= 2700 kg/m3. c = 875 J/kg • K, k = 177 W /m • K)
Una vez en su posición, se energiza un cam po eléctri­
co en el portaherramientas, lo que crea una fuerza
electrostática que mantiene la chapa firmemente fija
al portaherramientas. Para asegurar una resistencia de
contacto reproducible entre el portaherram ientas y en­
tre ciclo y ciclo, se introduce gas helio presurizado en
el centro del portaherramientas y fluye (muy lenta­
mente) de forma radial hacia afuera entre las imper­
fecciones de la región de interfaz
Chapa Tjt).
TJ0) = Tw, = 100X
Gas helio
de purga
Porta
herramientas. Xt = 23°C
Del ultimo grupo de rodillos cn un tren de laminación
en callente emergen tiras de acero y se enfrían (por
ambas superficies) mediante transferencia de calor
por convección y radiación al aire ambiente y los al­
rededores, respectivamente, donde T« = Talr = 300 K
5.14
La pared plana de un hom o se fabrica de acero al
carbón simple (A = 60 W /m • K, p = 7850 kg/m , c
= 430 J/kg • K) y tiene un espesor L = 10 mm. Para
protegerla de los efectos corrosivos de los gases de
combustión del horno, una superficie de la pared se
cuore con una película delgada de cerámica que. para
un area superficial unitaria, tiene una resistencia térmica
de R'¡ f = 0.01 m • K/W. La superficie opuesta esta
bien aislada de los alrededores.
DEPARTAM ENTO DE BIBLIOTECA
U n lv e rs d a d
u u n « jr - S o d ii.
jf
C apítulo 5 ■ Conducción en estado transitorio
266
Película
cerámica,
las tem peraturas, 7\/), para los dos casos y sel
cionc el sistema de respaldo más adecuado.
Gases del horno,
p. c, k. T¡
i
5.16
Acero al
carbón
T„,h
T,
U
'
Al poner en funcionamiento el horno, la pared está a
una tem peratura inicial de /', = 300 K, y los gases de
combustión entran en el hom o a Tx = 1300 K. con lo
que proporcionan un coeficiente de convección h =
25 W /m 2 • K en la película cerámica. Suponiendo que
la película tiene una resistencia térmica interna insig­
nificante, ¿cuánto tiempo tardará la superficie interior
del acero en alcanzar una tem peratura de Ts ¡ = 1200
K? ¿Cuál es la temperatura Ts t> de la superficie ex­
puesta de la película cerám ica en esc momento?
5.15
hn un proceso industrial que requiere altas corrientes
de cd. se utilizan varillas de cobre en camisas de agua,
de 20 mm de diámetro, para conducir la corriente. El
agua, que Huye de forma continua entre la cam isa y la
varilla, mantiene la temperatura de la varilla a 75°C
durante la operación normal a 500 A. Se sabe que la
resistencia eléctrica de la varilla es 0.15 íl/m . Tal vez
surjan problemas si el agua refrigerante deja de estar
disponible (por ejemplo, debido al mal funcionam ien­
to de una válvula). En esta situación la transferencia
de calor de la superficie de la varilla dism inuiría enor­
m emente, y la varilla se fundiría.
(a) Suponiendo que no hay transferencia de calor de
la varilla después de la pérdida del fluido refrige­
rante, estim e cuánto tiem po tardaría la varilla en
fundirse.
(b) Com o protección contra una falla térm ica debido
a la pérdida del refrigerante, se propone la insta­
lación de un sistema de enfriamiento de respaldo.
A partir de consideraciones acerca de la dinám ica
de fluidos, se determina que un sistema de respal­
do se activaría en 5 s. De nuevo suponiendo que
no hay transferencia de calor de la varilla luego
de la pérdida de fluido refrigerante, determine su
temperatura después de 5 s. Se consideran dos
sistemas de enfriam iento de respaldo, uno impli­
ca agua y el otro, aire comprimido, que estarían
cada uno a una tem peratura de 15°C y proporcio­
narían coeficientes de convección de 10,000 W/m2
• K y 1000 W /n r • K, respectivamente. Determine
la respuesta térmica transitoria de la varilla des­
pués de la activación de cada uno de los sistemas
de respaldo. En ambos casos, no considere la
transferencia por radiación. Trace las historias de
Una tira de acero de espesor 5 = 1 2 mm se recu
haciéndola pasar a través de un horno grande cu
paredes se mantienen a una temperatura TH
corresponde a la de los gases de combustión que fluv
a través del horno (7* = 7V„). La tira, cuya densi
calor específico, conductividad térmica y emisivr
son p = 7900 kg/m , cp = 640 J/kg • K. k = 30 Y'
K y e = 0.7, respectivamente, se calentará de 3()05C
600°C.
Paredes del horno. Tw
,***Gases de
1
*\
Gases de
combustión
J
(a) Para un coeficiente de convección unifo
h = 100 W /m 2 • K y 7 , = L = 700°C.
mine el tiem po que se requiere para calentar
tira. Si la tira se m ueve a 0.5 m/s, ¿cuán I
debe ser el horno?
(b) El proceso de templado se acelera (aum
velocidad de la tira de acero) al incrementar
tem peraturas ambientales. Para la longiui
horno que se obtiene en la parte (a), determ
velocidad de la tira para Tw = Ty, = 85(JsC.j
= Ta = 1000°C. Para cada conjunto de te
turas ambientales (700. 850 y 10()0°C). trac,
gráfica de la tem peratura de la t a como fe
del tiempo en el rango 25°C ^ T < 600cc,
este rango, también dibuje el coeficiente de
fcrencia de calor. //,, como función del tiem
5.17
Un alambre largo de diámetro D = 1 mm se su
en un baño de aceite de temperatura 7X = 25
alambre tiene una resistencia eléctrica por ir
longitud de R't. = 0.01 fl/m . Si (luye una t
de / = 100 A por el del alambre y el coeficiente d¡
vección es h = 500 W /n r • K. ¿cuál es la tenr
de estado estable del alambre? Del tiempo q
aplica la com ente, ¿cuánto tiempo tarda el ala
alcanzar una tem peratura que está a 1CC dedr
del valor de estado estable? Las propieda
alambre son p = 8000 kg/m . c - 500 J/kg ■K
20 W /m • K.
■ Problemas
5.18 Considere el sistema del problema 5 1 donde la tem
peratura de la placa es isotérm ica espacial durante el
proceso transitorio.
(a) Obtenga una expresión para la tem peratura de la
placa como función del tiem po T(t) en términos
de q"), 7*, /í, L, y las propiedades p y i de la placa.
(b) Determine la constante térmica de tiempo y la
temperatura de estado estable para una placa de
12 mm de espesor de cobre puro cuando 7X =
27°C. h = 50 VV/m2 • K, y q"K = 5000 W /m 2. Es­
time el tiempo que se requiere para lograr condi­
ciones de estado estable.
(c) Para las condiciones de la parte (b). así com o pa­
ra h = KM) y 200 W/m • K. calcule y trace las
historias de tem peratura correspondientes de la
placa para 0 < r < 2500 s.
j.19 Un dispositivo electrónico, com o un transistor de po­
tencia montado sobre un disipador de calor con aletas,
se modela como un objeto cspacialm cnte isotérmico
con generación interna de calor y una resistencia de
convección externa.
(a) Considere un sistema de masa M, calor especílico
c y área superficial A s, que inicialmente está en
equilibrio con el medio a Tx. De súbito se energi/.a el dispositivo electrónico, de modo que ocurre
una generación de calor constante t (W). M ues­
tre que la respuesta de tem peratura del dispositi­
vo es
6
l
t \
donde 0 = T y r ( x ) es la tem peratura de
estado estable que corresponde a t ^
í), = 7,
- 7(°°): T = tem peratura inicial del dispositivo;
R = resistencia térmica \/h A s: y C = resistencia
térmica interna M c.
(b) Un dispositivo electrónico, que genera 60 W de
calor, se monta en un disipador de calor de alum i­
nio que pesa 0 31 kg y alcanza una temperatura de
100°C en aire ambiente a 20°C en condiciones
de estado estable. Si el dispositivo está inicialmen­
te a 20°C, ¿qué temperatura alcanzará 5 min des­
pués de que se conecta la potencia?
520 Antes de ser inyectado en un horno, se precalienta car­
bón pulverizado haciéndolo pasar a través de un tubo
cilindrico cuja superficie se mantiene a / aIr =
100()°C Si los granos se aproximan como esferas de 1
mnt de diámetro y se puede suponer que se calientan
por transferencia de radiación de la superficie del tubo,
¿cuán largo debe ser el tubo para calentar el carbón
que entra a 25°C a una temperatura de 600°C? ¿Se
justifica el uso de la resistencia interna despreciable?
267
5.21 Una esfera de metal de diámetro D, que está a tem pe­
ratura uniforme T¡. se quita súbitamente de un horno y
se cuelga de un alambre fino en un cuarto amplio con
aire a una tem peratura uniforme 7 x y las paredes que
lo rodean a una temperatura T a l r (a) Sin tomar en cuenta la transferencia de calor por
radiación, obtenga una expresión del tiempo que se
requiere para enfriar la esfera a alguna temperatura T
(b) Sin tomar en cuenta la transferencia de calor por
convección, obtenga una expresión del tiempo que
se requiere para enfriar la esfera a la temperatura T
(c) ¿Cómo determinaría el tiempo que se requiere para
que la esfera se enfríe a la temperatura T si la con­
vección y radiación son del mismo orden de mag­
nitud?
(d) Considere una esfera de aluminio anodi/ado (e =
0.75) de 50 mm de diám etro, que está a una tem ­
peratura inicial de 7, = 800 K. Tanto el aire como
los alrededores están a 300 K, y el coeficiente de
convección es 10 W /m 2 • K. Para las condiciones
de las partes (a), (b) y (c). determine el tiempo
que se requiere para que la esfera se enfríe a 400
K Elabore una gráfica de las series históricas de
temperatura correspondientes. Repita los cálculos
para una esfera de aluminio pulido (e = 0.1)
5.22 A medida que las estaciones espaciales permanentes
aumentan de tamaño, hay un incremento concom itan­
te en la cantidad de potencia eléctrica que disipan Pa­
ra prevenir las temperaturas de los compartimientos
de la estación de modo que no excedan los límites es­
tablecidos, es necesario transferir el calor disipado al
espacio. Un nuevo esquem a de rechazo de calor que
se propone para este propósito se denomina Radiador
de gotitas líquidas (LDR. Liquid Droplet Radiator).
Prim ero se transfiere el calor a un aceite de alto vacío,
que después se inyecta al espacio exterior como un
flujo de pequeñas gotas. Se perm ite que el flujo atra­
viese una distancia L. en la que se enfría por radiación
de energía al espacio exterior a temperatura del cero
absoluto. Las gotitas entonces se reúnen y se devuel­
ven a la estación espacial.
r
Inyector
de gotitas
i
Espacio exterior
Colector
de gotitas
Tíllr= OK
%
D
Retorno de aceite trio
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
ünivó.8ik.üü óiiiioii bolívar - Sedo «.
.urafl
C apítulo 5 ■ Conducción en estado transitorio
268
Considere condiciones en que las gotitas con em isivi­
dad e = 0.95 y diámetro D = 0.5 mm se inyectan a
una temperatura de T¡ = 500 K y una velocidad V =
0.1 m/s. Las propiedades del aceite son p = 885
kg/m 3, c = 1900 J/kg • K. y k = 0.145 W /m • K. Su­
poniendo que cada gota radia a la profundidad del es­
pacio a 7a|r = 0 K. determine la distancia L que se
requiere para que las gotitas impacten al colector a
una temperatura final Tj = 300 K. ¿Cuál es la cantidad
de energía térm ica rechazada por cada gotita?
5.23 A menudo se utilizan procesos de recubrimiento por
pulverizado de plasma para proporcionar protección su­
perficial a materiales expuestos a medios hostiles que
inducen degradación a través de factores como uso. co­
rrosión o falla térmica absoluta. Los recubrimientos ce­
rámicos se usan normalmente con este propósito.
Mediante la inyección de polvo cerámico a través de la
boquilla (ánodo) de un soplete de plasma, las partículas
se alinean por el flujo de plasma, dentro del cual se ace­
leran y calientan.
(b) Suponiendo que la alúmina tiene una emisivid^
de £p = 0.4 y que las partículas intercambian
diación con los alrededores a 7^,1,. = 300 K.
lúe la validez de dejar de lado la radiación.
5.24
Unas varillas metálicas largas de sección trunsvaji
circular se tratan por calentamiento haciendo pasar ug
corriente eléctrica por ellas para proporcionar g
ción volumétrica uniforme a una rapidez q (W/m’).
varillas son de diámetro D y se colocan en un c
grande cuyas paredes se mantienen a la misma te
ratura 7* que el aire encerrado. La convección de la
perficie de las varillas al aire se caracteriza
coeficiente h.
(a) Obtenga una expresión que sirva para deti
la tem peratura de estado estable de la varilla.
Gas de
Cátodo
Inyección de
partículas
(a) Sin tom ar en cuenta la radiación, obtenga unaet*
presión del tiempo de vuelo, r,_y que se requien
para calentar una partícula desde su tempraaturai
inicial T a su punto de fusión 7 ^ y, una vez enel
punto de fusión, para que la partícula expcrime¿tc la fusión completa. Evalúe t, para T¡ = w |
y las condiciones de calentamiento estab e ¡(fe
Boquilla (ánodo)
Arco
eléctrico
Flujo de plasma con
partículas cerámicas
alineadas (T h )
(b) Sin considerar la radiación y estableciendo
temperatura inicial (t = 0) de la varilla T, =1
obtenga la respuesta transitoria de temperatura*
la varilla.
5.25 Un chip de longitud L = 5 mm por lado y e pésol
1 mm se incrusta en sustrato cerámico, y la suexpuesta se enfría convectivamente mediante un
do dieléctrico para el que h = 150 W/m2 • K v 7
20°C.
Recubrimiento
cerámico
Sustrato
Durante su tiempo de vuelo, las partículas cerámicas
deben calentarse a su punto de fusión y experim entar
la com pleta conversión al estado líquido. El recubri­
miento se moldea conforme las gotitas fundidas cho­
can (salpican) sobre el material del sustrato y
experimentan una rápida solidificación. Considere
condiciones para las que partículas esféricas de alu­
mina (A120 3) de diám etro Dp = 50 /xm. densidad pp
= 3970 kg/m 3, conductividad térmica kp = 10.5
W/m • K y calor específico cp = 1560 J/kg • K se in­
yectan en un arco de plasma, que está a f 0o= 10,0()0
K y proporciona un coeficiente h = 30.000 W /m- • K
para el calentam iento por convección de las particu
las. El punto de fusión y el calor latente de fusión de
la alúmina son 7 pf = 2318 K y hsf = 3577 KJ/kg, res­
pectivamente.
En el modo apagado el chip esta en equilibrio t
con el fluido refrigerante (T, = T*). Sin er
cuando el chip se energiza, la temperatura a
hasta que se establece un nuevo estado. Para
tos de análisis, el chip energizado se caracterial
un calentam iento volumétrico uniforme con*)*
106 W /nr3. Suponiendo una resistencia de cora
finita entre el chip y el sustrato y una asiste
conducción insignificante dentro del chip. dci„
la tem peratura de estado estable del chip T¡. ¡Xde la activación del chip, ¿cuánto tiempr jasaí
que esté dentro de 1°C de su temperatura? La
dad del chip y su calor específico son p = 2O0Ü
y c = 7(X) J/kg • K. respectivamente.
Problemas
*J\
269
.26 Considere las condiciones del problem a 5.25. Además
de tratar la transferencia de calor por convección di­
rectamente del chip al fluido refrigerante, un análisis
más realista explicaría la transferencia indirecta del
chip al sustrato y luego del sustrato al fluido refrige­
rante. La resistencia térm ica total asociada con esta
ruta indirecta incluye contribuciones debidas a la in­
terfaz chip-sustrato (una resistencia de contacto), con­
ducción unidimensional en el sustrato y convección
de la superficie del sustrato al fluido refrigerante. Si
esta resistencia térm ica total es R, = 200 K/W, ¿cuál
es la temperatura de estado estable del chip Tj'l Des­
pués de la activación del chip, ¿cuánto tiem po lc toma
llegar a 1°C de esta tem peratura?
¿Cuánto tiempo tardará la segunda pared en alcanzar
28.5°C en la posición x = L 2 ? Use como base del
análisis la dependencia funcional adimcnsional para
la distr bución de temperaturas transitoria que se ex­
presa en la ecuación 5.38.
5.29 Con referencia a la herram ienta para procesar sem i­
conductores del problem a 5.12, se desea en algún
m omento del ciclo de fabricación enfriar el portaherram ienta, que está fabricado con aleación de alum i­
nio 2024. El esquem a de enfriam iento que se
propone pasa aire a 15°C entre la cabeza del sum inis­
tro de aire y la superficie del portaherramientas.
I Suministro de
» aire , 2Q°C
Conducción unidim ensional:
pan d plana
5.27 Considere la solución de serie, ecuación 5.39, para la
pared plana con convección. Calcule las temperaturas
del plano medio (x* = 0) y de la superficie (v* = 1)
ti* para Fo = 0.1 y 1, use Bi = 0.1, 1, y 10. Conside­
re sólo los primeros cuatro valores propios o eigenvalores. Con base en estos resultados analice la validez
de las soluciones aproxim adas, ecuaciones 5.4Ü y
5.41.
5.28 Considere la pared unidimensional que se muestra en
el dibujo, que inicialmente está a una temperatura
uniforme T y se somete de pronto a la condición de
frontera de convección con un fluido a T x.
Pared, 7tv, 0) = T
Aislante
L a
T , , h.
L
,
Para una pared en particular, caso 1. la tem peratura en
v = L, después de /, = 100 s es T^íC,, /,) = 315°C.
Otra pared, caso 2, tiene diferentes condiciones de es­
pesor y térmicas como se muestra a continuación.
Casi»
T¡
Cabeza de
enfriamiento
Aislante
(a) Si el portaherramienta está inicialmente a una tem­
peratura uniforme de 100°C. calcule el tiempo que
se requiere para que la superficie inferior alcance
25°C. suponiendo un coeficiente de convección
uniforme de 50 W/in2 • K en la interfaz cabeza-portaherrainienta.
(b) Genere una gráfica del tiempo de enfriamiento
com o función del coeficiente de convección en el
rango 10 ^
^ 2000 W /m2 • K. Si el límite infe­
rior representa una condición de convección libre
sin ninguna cabeza presente, comente la efectivi­
dad del diseño de la cabeza como método para
enfriar el portaherramientas.
5.30 Después de una larga y pesada semana de estudio, usted
y un acompañante están listos para descansar. Saca un
bistec de 50 mm de grueso del congelador ¿Cuánto
tiempo tiene que pasar para que el bistec se descongele?
Suponga que el bistec está inicialmente a - 6°C, que se
deshiela cuando la temperatura del plano medio alcanza
4°C, y que la temperatura de la hat tación es 23°C con
un coeficiente de transferencia de calor por convección
de 10 YV/m2 • K. Trate el bistec como un corte que tiene
las propiedades del agua líquida a ()°C. No tome en
cuenta el calor de fusión asociado con el cambio de fase
por fusión.
l
a
k
(m)
(n rte )
(YV/m • K )
0.10
I5 X 10"6
50
300
400
200
0.40
25 X I O”6
100
30
20
100
(°C )
Aire saliente
Portaherra­
mientas
Serpentín de
calentamiento
(desactivado)
Tx
h
(°C )
(YV/in2 • K)
d epa rta m en to
Universidad séto*.
de
b ib l io t e c a
Sede
d epa rta m en to
de
^
b ib l íó t e c
Universidad Simón Bolívar - Ser)»? ■
.
270
5.31
C apítulo 5 ■ Conducción cn estado transitorio
5.32 Considere la unidad de alm acenam iento de energía
térmica del problema 5 10. pero con un material de
manipostería de p = 1900 kg/m 3, c = 800 J/kg • k y
k = 0.70 W/m ■ K usado en lugar del aluminio.
¿Cuánto tiempo tomará alcanzar 75% del máximo a l­
macenamiento posible de energía? ¿Cuáles son las
temperaturas máxima y mínima de la m anipostería en
este tiempo?
5.33
rizados por una tem peratura de 2300 K y un c
cíente de convección de 5000 W /m2 • K Para au
tar la duración de la operación del motor, se pro
que se aplique un recubrimiento de barrera térmica
= 10 W/m • K, a = 6 X 10~6 m 2, s) a la superficie
terior de la tobera.
Una pared plana unidimensional con espesor de 0.1 m
inicialmcnte a una tem peratura uniforme de 250°C se
sumerge de pronto en un baño de aceite a 30°C. Su­
poniendo que el coeficiente de transferencia de calor
por convección para la pared cn el baño es 500 W /m 2
• K, calcule la temperatura de la superficie de la pared
9 nuil después de la inmersión Las propiedades de la
pared son k — 50 W/m • K, p = 7835 kg/m3 y c = 465
J/kg • K.
(a) Si el recubrimiento cerámico tiene 10 mmde
pesor y una tem peratura inicial de 300 K. oble
una estim ación conservadora de la máxima d
cion permisible de la operación del motor El
dio de la tobera es mucho mayor que el es­
com binado de la pared y el recubrimiento
(b) Calcule y trace las temperaturas de la supe
interna y externa del recubrimiento como fir
dcl tiem po para 0 < / < 150 s. Repita los c
los para un espesor de 40 mm de recubrimie
5.35
La pared de la tobera de un cohete tiene un espesor L
= 25 mm y esta fabricada de una alta aleación de ace­
ro para la que p = 8000 kg/m , i = 500 J/kg • K, y k
= 25 W /m • K. Durante una prueba de encendido, la
pared esta inicialmcnte a T, = 25°C y la superficie in­
terna se expone a los gases calientes de combustión
para los que h = 500 W /m 2 • K y T x = 1750°C. La
superficie externa esta bien aislada
En un proceso de templado, una placa de vidri
inicialmcnte está a una temperatura uniforme T
enfría mediante la reducción súbita de la tempe
de ambas superficies a Ty La placa tiene 20 nrn
espesor, y el vidrio tiene una difusividad térmica dr
X 10~" m2/s.
(a) ¿Cuánto tiem po pasará para que la tempera
del plano medio alcance 50% de su red
máxima posible de temperatura?
(b) Si (77 — 77) = 300°C, ¿cuál es el gradiente
tem peratura máximo en el vidrio en el tiempo
terior?
Pared de la tobera
5.36
La resistencia y estabilidad de neumáticos se au
calentando ambos lados del hule (k — 0.14 Wm
a — 6.35 X 10~sm2/s) en una cámara de vaporp
que 77c = 200°C. En el proceso de calentamlento,
pared de hule de 20 mm de espesor (que se s
deshebrado) se lleva de una temperatura ¡ni
25°C a una tem peratura del plano medio de 150;C,
(a) Si la pared debe mantenerse al menos a 100°C por
debajo de su punto de fusión r ,)t = I600°C, ¿cuál
es el tiempo de encendido máximo permisible tf? El
diámetro de la tobera es mucho mayor que su espe­
sor.
(a) Si el flujo de vapor sobre las superficies Je
neumáticos mantiene un coeficiente dt ::
ción h = 200 W/m • K, ¿cuánto tiempo i
en alcanzar la temperatura del plano medio
se desea?
(b) Para aum entar /y. se considera cam biar el espesor
de la pared L ¿Se debe aum entar o dism inuir L?
¿Por qué? Para espesores de la pared de L = 10,
25 y 50 mm. calcule y dibuje las historias de tem ­
peratura de las superficies interna y externa cn el
periodo 0 < r < 600 s. El valor de tf se aum enta­
ría seleccionando un material con diferentes pro­
piedades termofísicas. ¿Hay que elegir materiales
de valores de p. c y k mayores o m enores9
(b) A fin de acelerar el proceso de calentanu
recom ienda que el flujo de vapor sea sufi
mente vigoroso com o para mantener las si
cies de los neumáticos a 200°C a trav.
proceso Calcule y trace las temperaturas del
no medio y de la superficie para este caso,
mo para las condiciones de la parte (a).
5.34 Durante la operación transitoria, la tobera de acero
del motor de un cohete no debe exceder una tem pera­
tura de operación máxima permisible de 1500 K
cuando se expone a los gases de combustión caracte­
5.37
Unas tarjetas de circuitos de fibra de vidrio r
con epóxico y recubiertas de cobre se tratan nr
el calentam iento de una pila de ellas a alta
como se muestra en el dibujo. El propósito de la
ración de calentam iento-prensado es curar el
que une las hojas de fibra de vidrio, impartiendo
■ Problemas
271
de/ a las tarjetas. La pila, denom inada libro, se com ­
pone de 10 tarjetas y 11 placas ele prensado, que evi­
tan que el epóxico (luya entre las tarjetas e imparten
un acabado suave a las tarjetas curadas. A fin de llevar
a cabo un análisis térmico simplificado, es razonable
iprox nar el libro como si tuviera una conductividad
ttimica electiva (k) y una capacitancia térmica efecti­
va pe,,). Calcule las propiedades efectivas si cada una
de las tarjetas y placas tiene un espesor de 2.36 mm y
las siguientes propiedades termofísicas tarjeta (b) ph =
1000 kg/m . cph = 1500 J/kg • K , k h = 0 30 W/m • K,
placa (p) p,, = 8000 kg/m . cp p = 480 J/kg • K. kp =
12 W/m * K
Fuerza aplicac
1
1
1
C o iu liie e ió ti iiiii<liineii>ional:
c ilin d r o la r g o
5.40
Unas varillas cilindricas de acero (AISI 1010), de 50
mm de diámetro, se tratan por calentam iento hacién­
dolas pasar a través de un horno de 5 m de longitud
en el que el aire se mantiene a 750°C I-as varillas en­
tran a 50°C y alcanzan una tem peratura en la línea
central de 600°C antes de salir. Para un coeficiente de
convección de 125 W/m • K. estime la velocidad a la
que deben hacerse pasar las varillas a través del homo
5.41
Estime el tiempo que se requiere para cocinar un hut
dog o salchicha en agua hirviendo Suponga que el
hot dog está inicialmente a 6°C, que el coeficiente de
transferencia de calor por convección es 100 W /m2 •
K y que la tem peratura final es 80°C en la línea cen­
tral. Trate el hot dog com o un cilindro largo de 20
mm de diám etro que tiene las propiedades: p — 880
kg/m 3, c = 3350 J/kg • K y k = 0 52 W/m • K.
5.42
Una varilla larga de 60 mm de diámetro y propieda­
des termofísicas p = 8000 kg/m , c = 500 J/kg • K y
k = 50 W /m • K. está inicialmente a una temperatura
uniforme y se calienta en un horno de convección for­
zada que se mantiene a 750 K. Se estima que el coefi­
ciente de convección es 1000 W /m 2 • K
Placas de compresión
con fluido circulante
Placa metálica
de presión
t_J
-5^mro
t
se comporta como una capa aislante en la superficie
externa, ( quc coeficiente de convección interior per­
mitiría a la superficie exterior alcanzar 0°C en 60 s?
Las propiedades termofísicas del parabrisas son p =
2200 kg/m3, cp = 830 J/kg • K. y k = 12 W/m • K
Placa de compresión
Tarjeta de
circuitos
5.38 Unas tarjetas de circuitos se tratan mediante el calen­
tamiento de una pila de ellas bajo alta presión como
se ilustra en el problema 5.37 Las placas de com pre­
sión en la parte superior e inferior de la pila se m an­
tienen a una temperatura uniforme med ante un fluido
circulante El propósito de la operación de prensadocalentamiento es curar el epóxico. que une las hojas
de fibra de vidrio, e impartir rig dez a las tarjetas. I.a
condición de curado se logra cuando el epóxico se
mantiene en o por arriba de 170°C durante al menos 5
min. l.as propiedades term ofísicas efectivas de la pila
o libro (tarjetas y placas metálicas de presión) son k
= 0.613 W/m • K y pcp = 2.73 X 106 J/m 3 • K.
(a) Si el libro está inicialmente a 15°C y, después de
la aplicación de presión, las placas de compresión
se llevan de manera súbita a una tem peratura u n i­
forme de 190°C, calcule el tiempo te que transcu­
rre para que el plano medio del libro alcance la
temperatura de curado de 170°C.
(b) Si en este instante, t = te, la temperatura de las
placas de compresión se reduce súbitamente a
15°C, ¿cuanta energía tendría que elim inar del li­
bro el Huido refrigerante en circulación en las pla­
cas. a fin de regresar la pila a su temperatura
inicial uniforme?
5.39 Se fonna una capa de hielo en el parabrisas de 5 mm
de espesor de un auto mientras se encuentra estaciona­
do durante una noche fría en la que la temperatura am­
biental es -2 0 °C . Al arrancar, con un nuevo sistema
desempañante, la superficie interior se expone súbita­
mente a un flujo de aire a 30°C. Suponga que el hielo
(a) ¿Cuál es la temperatura de la línea central de la
varilla cuando la temperatura de la superficie es
550 K?
(b)| En un proceso de tratam iento con calor, la tempe­
ratura de la linea central de la varilla debe
aum entar de T, = 300 K a T = 500 K. Calcule y
trace las series históricas de temperaturas de la li­
nea central para h = 100. 500 y 1000 W /m 2 • K.
En cada caso el calculo termina cuando T = 500 K.
5.43 Un cilindro largo de 30 mm de diámetro, inicialmente
a una tem peratura uniforme de 1000 K, se templa de
pronto en un gran baño de aceite de temperatura cons­
tante a 350 K. Las propiedades del cilindro son k =
1.7 W /m ■ K, t = 1600 J/kg • K y p = 400 kg/nr3,
mientras el coeficiente de convección es 50 W/m • K
(a) Calcule el tiempo que se requicic para que la su­
perficie del cilindro alcance 500 K.
(b) Calcule y elabore una gráfica de la serie histórica
de temperaturas de la superficie para 0 ^ t ^ 300
s Si se agitara el aceite, y proporcionara un coefi­
ciente de convección de 250 W /m 2 • K, ¿cómo
cam biaría la historia de tem peraturas}
DEPARTAMENTO DE B IB L IG itü A
Universidad S im ó n B o lív a r - Sede d e l L ito ra
272
5.44
C apítulo 5 ■ Conducción en estado transitorio
Una varilla larga de piroccrám ica de 20 mm de diá­
metro se reviste con un tubo metálico muy delgado
para protección mecánica. La unión entre la varilla y
el tubo tiene una resistencia de contacto térmico R'¡ c
= 0.12 m - K/W.
durante 3 min mientras se expone a enfriamiento por
convección con aire ambiente a 25°C y con un coefi­
ciente de convección de 8 W /m 2 • K? Una condición
adicional para obtener buenos resultados es una dife
re n d a de tem peraturas máxima-mínima de menos de
10°C. ¿Se satisface esta condición? Y, si no, ¿qué ha
ccr para satisfacerla?
Tubo metálico sólido
Varilla de cerámica
Interfaz de unión
D = 20 mm
Conducción unidimensional: esfera
5.48
En el tratam iento térmico para endurecer cojinetes de
bolas de acero (c = 500 J/kg • K. p = 7800 kg/m-1.
= 50 W/m • K), se desea aum entar la temperatura de
la superficie por un tiempo corto sin calentar de ma
ñera significativa el interior de la bola. Este tipo de
calentam iento se lleva a cabo mediante la inmersión
súbita de la bola en un baño de sal derretida con 7, =
1300 K y h = 5000 W /m 2 • K. Suponga que cualque^
posición dentro de la bola cuya temperatura e.xcc
1000 K se endurecerá. Estime el tiempo que se rc
quiere para endurecer el milímetro externo de una bela de 20 mm de diám etro, si su temperatura inicial
300 K.
5.49
Una esfera de 80 mm de diámetro (k = 50 W/m ■K\
a = 1.5 X 10~6 m2/s) está inicialmcnte a una tempera­
tura elevada uniforme y se templa en un baño de ac
te que se mantiene a 50°C. El coeficiente de
convección para él proceso de enfriamiento es 1000
W /m 2 • K. En cierto momento, la temperatura de la
superficie de la esfera es 150°C. ¿Cuál es la tempera
tura correspondiente del centro de la esfera?
(a) Si la varilla está inicialmente a una temperatura
uniforme de 900 K y se enfría de súbito mediante
la exposición a un flujo de aire para el que Tx =
300 K y h = 100 W /m 2 • K, ¿en qué tiempo la lí­
nea central alcanzará 600 K?
(b) | El enfriam iento se acelera al aum entar la veloci­
dad del aire y, por tanto, el coeficiente de convec­
ción. Para valores de h = 100, 500 y 1000 W /m2
• K, calcule y elabore una gráfica de las tem pera­
turas de la línea central y de la superficie de la pi­
roccrám ica como función del tiem po para 0 ^
t ^ 300 s. Com ente las implicaciones de lograr
un enfriam iento mejorado con sólo aumentar h.
5.45
5.46
Una varilla larga de 40 mm de diám etro, fabricada de
zafiro (óxido de aluminio) e inicialmcnte a una tem ­
peratura uniforme de 800 K, se enfría de súbito con
un Huido a 300 K que tiene un coeficiente de transfe­
rencia de calor de 1600 W /m 2 • K. Después de 35 s, la
varilla se envuelve en un aislante y no experimenta
pérdidas de calor. ¿Cuál será la tem peratura de la va­
rilla después de un largo tiempo?
Una barra larga de 70 mm de diám etro e inicialmente
a 90°C se enfría al sum ergirla en un baño de agua que
está a 40°C y que proporciona un coeficiente de con­
vección de 20 W /m2 • K. Las propiedades termofísicas de la barra son p = 2600 kg/m 3, c = 1030 J/kg •
K y k = 3.50 W /m • K.
(a) ¿Cuánto tiempo debe perm anecer la barra en el
baño a fin de que. cuando se quite y se le perm ita
equilibrar mientras está aislada de cualquier me­
dio, alcance una tem peratura uniforme de 55°C?
(b) ¿Cuál es la tem peratura de la superficie de la ba­
rra cuando se quita del baño?
5.47 Una varilla larga de plástico de 30 mm de diámetro (k
= 0.3 W/m • K y pcp = 1040 kJ/m 3 • K) se calienta
de manera uniforme en un hom o a fin de prepararla
para una operación de prensado. Para obtener mejores
resultados, la tem peratura en la varilla no debe ser
m enor de 200°C. ¿A qué tem peratura uniforme debe
calentarse la varilla en el hom o si, en el peor de los
casos, la varilla se coloca en una banda transportadora
5.50 Se propone una cám ara de aire frío para templar c
netes de bolas de acero de diám etro D = 0.2 m y te
peratura inicial T¡ = 400°C. El aire en la cám
m antiene a —15°C mediante un sistema de refrié
ción. y las bolas de acero pasan a través de la cáen una banda transportadora. La producción ópti
de cojinetes requiere que se elim ine 70% del cont
do inicial de energía térmica de la bola por arriba
—15°C. Se dejan de lado los efectos de radiación, y
coeficiente de transferencia de calor por convece
dentro de la cám ara es 1000 W /m2 • K. Estime
tiempo de perm anencia de las bolas dentro de lact
mara y recomiende una velocidad de conducción
la banda transportadora. Se pueden usar las siguier
propiedades para el acero: k = 50 W/m • K. a = 2
10-5 m 2/s y c = 450 J/kg • K.
5 nr
Bola de
cojinete
(2
Hogar de
la cámara
Aire frió
V
Banda transportadora
aD
■ Problemas
.51 Unos cojinetes de bolas de acero inoxidable (AISI
304). que se calientan de manera uniforme a 850°C,
se endurecen al templarlos en un baño de aceite que se
mantiene a 40°C. El diám etro de la bola es 20 mm.
y el coeficiente de convección asociado con el baño
de aceite es 1000 W /m 2 • K.
(a) Si el templado no va a ocurrir sino hasta que la
temperatura de la superficie de las bolas alcance
100°C, ¿cuánto tiempo deben perm anecer éstas
en el aceite? ¿Cuál es la tem peratura del centro al
final del periodo de enfriam iento?
(b) Si se templan 10,000 bolas por hora, ¿cuál es la
velocidad a la que el sistem a de enfriam iento de
baño de aceite debe quitar energía a fin de mante­
ner su temperatura a 40°C?
5.52 Un granizo esférico de 5 mm de diám etro se forma en
una nube de gran altitud a —30°C. Si el granizo co­
mienza a caer a través de aire mas caliente que está a
5°C, ¿cuánto tiempo transcurrirá antes de que la super­
ficie externa comience a derretirse9 ¿Cuál es la tem pe­
ratura del centro del granizo en este tiempo, y cuánta
energía (J) se transfiere al granizo? Se supone un coe­
ficiente de transferencia de calor por convección de
250 W/m2 • K. y las propiedades del granizo se toman
de las del hielo.
5.53 Una esfera de 30 mm de diám etro inicialmente a 800
K se templa en un baño que tiene una tem peratura
constante de 320 K con un coeficiente de transferencia
de calor por convección de 75 W /m2 • K. Las propie­
dades termofísicas del material de la esfera son: p =
400 kg/m. c = 1600 J/kg • K y k = 1.7 W /m • K.
(a) Muestre, de forma cualitativa en coordenadas
T -t, las temperaturas del centro y en la superficie
de la esfera como función del tiempo
(b) Calcule el tiempo que se requiere para que la su­
perficie de la esfera alcance 415 K.
(c) Determine el flujo de calor (W /m ) en la superfi­
cie externa de la esfera en el tiempo determinado
en la parte (b).
(d) Determine la energía (J) que pierde la esfera du­
rante el proceso de enfriado a la tem peratura de la
superficie de 415 K.
(e) Al tiempo determinado por la parte (b), la esfera
se quita rápidamente del baño y se cubre con un
aislante perfecto, de modo que no hay pérdida de
calor desde la superficie de la estera. ¿Cuál será
la temperatura de la estera después de que trans­
curre un largo tiempo?
|(f)~| Calcule y trace las historias de las temperaturas
del centro y de la superficie en un periodo 0 < t ^
150 s. ¿Qué efecto tendrá un aumento en el coefi­
273
ciente de convección a h = 200 W /m 2 • K sobre
las historias de las temperaturas anteriores? Para
h = 75 y 200 W /m2 • K, calcule y elabore una
gráfica del flujo de calor en la superficie como
función del tiempo para 0 ^ t ^ 180 s.
5.54 Las esferas A y B están inicialmente a 800 K. y se
templan de manera simultánea en baños de tem pera­
tura constante, cada una con temperatura de 320 K.
Los siguientes parámetros es ín asociados con cada
una de las esferas y sus procesos de enfriamiento.
E sfera A E sfera B
Diámetro (mm)
Densidad (kg/m 3)
Calor específico (kJ/kg • K)
300
30
1600
400
0.400
Conductividad térm ica (W /m • K)
Coeficiente de convección (W /m2 ■ K)
170
5
1.60
1.70
50
(a) Muestre de manera cualitativa , en coordenadas T
contra t, la temperatura en el centro y en la superfi­
cie para cada esfera como función del tiempo. Ex­
plique de forma breve el razonamiento por el que
determina las posiciones relativas de las curvas.
(b) Calcule el tiempo que se requiere para que la su­
perficie de cada esfera alcance 415 K.
(c) Determ ine la energía ganada por cada uno de los
baños durante el proceso de enfriamiento de las
esferas a 415 K
5.55 El coeficiente de convección para el flujo sobre una
esfera sólida, se determina al sumergiendo la esfera,
que inicialmente está a 25°C, en el flujo, que está a
75°C, y m idiendo su temperatura superficial en algún
m omento durante el proceso de calentam iento transi­
torio.
(a) Si la esfera tiene un diámetro de 0 .1 m, una con­
ductividad térmica de 15 W/m • K y una difusividad térmica de 10~5 m2/s, ¿en qué tiempo se
registrará una tem peratura superficial de 60°C si
el coeficiente de convección es 300 W /n r • K?
(b)| Evalúe el efecto de la difusividad térmica sobre
la respuesta térmica del material mediante el
cálculo de las historias de temperatura en el centro y
la superficie para a = 10 6, 10 5 y 10-4 m2/s.
Elabore una gráfica con los resultados para el pe­
riodo 0 ^ t ^ 300 s. De manera similar, evalúe el
efecto de la conductividad térmica mediante la
consideración de valores de k = 1.5, 15. y 150
W m ■ K.
5.56 En un proceso para fabricar cuentas de vidrio (k =
1.4 W m • K, p = 2200 kg/m3 y cp = 800 J/kg • K) de
DEPARTAM ENTO DE BIBLIOTECA
U n iv e r s id a d S im ó n B o lív a r - Sede u .
.:t<
C apítulo 5 ■ Conducción en estado transitoria
274
3 mm de diámetro, las cuentas se suspenden en un
flujo de aire dirigido hacia arriba que está a í » =
15°C y mantiene un coeficiente de convección h =
400 W /m 2 • K
ases
"Pared del canal
(a) Si las cuentas están a una temperatura inicial T, =
477°C, ¿cuanto tiempo se deben suspender para
alcanzar una temperatura en el centro de 80°C9
¿Cuál es la correspondiente tem peratura en la su­
perficie?
(b) Calcule y dibuje las tem peraturas central y super­
ficial com o función del tiem po para 0 < / < 20
s y h = 100, 400 y 1000 W /m 2 • K.
Aislante
j(n
Calcule el correspondiente flujo de calor convedi
en la superficie, suponiendo que el bloque se compor
ta com o un sólido semiinfinito Compare este resulta
do con el que se obtiene de la aproximación con i
térm ino para una pared plana.
M edios semiinfinitos
5.57
Dos bloques largos de m ateriales diferentes, com o co­
bre y concreto, se colocaron en un cuarto (23°C) du­
rante largo tiempo. ¿Cuál de los dos bloques se
sentirá más frío al tacto, si es que alguno se siente
frío? Suponga que los bloques son sol dos semiinfini­
tos y que la mano está a una tem peratura de 37°C.
5.61
5.58 El pavimento de asfalto puede alcanzar tem peraturas
tan altas como 50°C en un día caluroso de verano. Su­
ponga que tal tem peratura existe en el pavimento,
cuando de súbito una tormenta reduce la tem peratura
de la superficie a 20°C. Calcule el monto total de
energía (J/m ) que se transferirá del asfalto en un pe­
riodo de 30 min en el que la superficie se mantiene a
20°C.
Una losa de hierro consiste en una placa masiva <
se m antiene a 150 C mediante un calentador eléctrico
empotrado. El hierro se pone en contacto con únalo,
para suavizar el adhesivo, lo que permite levantar:
teja fácilmente del subsuelo. El adhesivo se suaviza
lo suficiente si se calienta por arriba de 50°C por¡
menos 2 min, pero su temperatura no debe e\ccd
120°C para evitar el deterioro del adhesivo. Supon
que la losa y el subsuelo tienen una temperatura i
cial de 25°C y propiedades termofísicas equivalen
de k = 0 15 W /m • K y pcp = 1.5 X IO6 J/m^ • K.
Losa, 4 mm de espesor
Subsuelo
5.59 La pared de un horno esta fabricada de ladrillo refrac­
tario « = 7.1 X 10~7 n r/s). y la superficie interior se
mantiene a 1100 K durante la operación del homo. La
pared está diseñada de acuerdo con el criterio de que,
para una temperatura inicial de 300 K. la tem peratura
del punto medio no excederá 325 K después de 4 h de
operación del horno. ¿Cuál es el espesor mínimo per­
misible de la pared?
(a) ¿Cuánto tiem po tardará un trabajador que use i
losa de hierro para levantar una losa? ¿La temp
ralura del adhesivo excederá 120°C?
(b) Si la losa de hierro tiene un área superficial i
diada de 254 mm de lado. ¿ cuánta encigía se t
minará de ella durante el tiempo que tarda i
elevar la losa?
5.62
5.60
Un bloque de material de 20 mm de espesor con pro­
piedades termofísicas conocidas (k — 15 W/m • K y
a = 2.0 X 10-5 m2/s) se incrusta en la pared de un
canal que inicialmente esta a 25°C y que se somete de
pronto a un proceso de convección con gases a
325°C. Se instala un term opar ( 1 P) 2 mm por debajo
de la superficie de la pared del canal con el propósito de
registrar la historia temporal de la tem peratura (en
seguida del inicio del flujo de gas caliente) y, a partir
de ello, de determ inar el flujo de calor transitorio. Pa­
ra un tiempo transcurrido de 10 s, el term opar indica
una temperatura de 167°C.
F1 fabricante de un medidor de flujo de calor como)
que se ilustra en el problema 1.8 afirma que la i
tante de tiempo para una respuesta de 63.2% es
(4d2pc/;)/ Tr~k. donde p, cp. y k son las propiedades)
mofísicas del material del medidor y d es el esp
Al no conocer el origen de esta relación, la tareaj
usted es modelar el medidor mediante la considera
de los dos casos extremos que se ilustran abajo i
ambos casos, el medidor, inicialmente a una tem
tura uniforme T¡, se expone a un cambio súbito «|
temperatura de la superficie, 7(0, t) = Ts. Para el ¡
(a) el lado posterior del medidor está aislado, y
caso (b) el medidor está incrustado en un sólid
Problemas
275
miintinito que tiene las mismas propiedades termofísicas que el medidor.
0
lesiones inducidas cuando una parte del cuerpo de un
trabajador llega a hacer contacto con maquinaria que
esta a temperaturas elevadas en el rango de 50 a
100°C El asesor médico les informa que ocurrirá una
lesión térmica irreversible (muerte de la célula) en
cualquier tejido vivo que se mantenga a T s 48°C du­
rante Ar > 10 s Quieren información con respecto al
grado de daño irreversible del tejido (medido por la
distancia desde la superficie de la piel) como función
de la temperatura de la maquinaria y el tiempo duran­
te el cual se tiene contacto entre la piel y la m aquina­
ria. Suponga que el tejido vivo tiene una temperatura
normal de 37°C. es isotrópico y tiene propiedades
constantes equivalentes a las del agua líquida
d
—i-
_Mismo material
que el medidor
Desarrolle relaciones para predecir la constante de
tiempo del medidor en los dos casos y compárelas
con la relación del fabricante ¿Que conclusión extrae
de este análisis con respecto a la respuesta transitoria de
los medidores para diferentes aplicaciones?
\r.
.63 Un procedimiento simple para m edir coeficientes de
transferencia superficial de calor por convección im
plica cubrir la superficie con una capa delgada de m a­
terial que tenga una tem peratura precisa del punto de
fusión. Después se calienta la superficie y. mediante
la determinación del tiem po que se requiere para que
ocurra la fusión, se determina el coeficiente de con­
vección. El sigu ente arreglo experimental utiliza el
procedimiento para determ inar el coeficiente de con­
vección para un llujo de gas normal a la superficie.
De manera específica, una varilla larga de cobre se
cubre con un superaislante de conductividad térmica
muy baja, y se aplica una capa muy delgada a la su­
perficie expuesta.
(a) Para evaluar la seriedad del problema, calcule lu­
gares en el tejido en los que la temperatura alcan­
zará 48°C después de 10 s de exposición a la
maquinaria a 50°C y 100°C
(b) Para una temperatura de la maquinaria de 100°C
y 0 ^ t ^ 30 s, calcule y trace las historias de la
temperatura cn lugares de tejido a 0.5, I, 2 y 5
mm de la piel
5.65
Un procedimiento para determ inar la conductividad
térmica de un material sólido implica incrustar un term opar en una placa gruesa del solido y medir la res­
puesta a un cam bio establecido cn la tem peratura en
una superficie. Considere un arreglo en que el termopar se incrusta 10 mm desde una superficie que de sú­
bito se lleva a una tem peratura de 100°C mediante la
exposición a agua en ebullición. Si la temperatura ini­
cial de la placa fue 30°C y el term opar mide una tem ­
peratura de 65°C, 2 min después de que la superficie
se lleva a I0()°C, ¿cuál es su conductividad térmica?
Se sabe que la densidad y el calor específico del sóli­
do son 2200 kg/m3 y 700 J/kg • K.
5.66
Un calentador eléctrico en forma de lámina se coloca
en contacto firme con la superficie de una placa grue­
sa de baquelita que tiene una temperatura uniforme de
300 K Determine la temperatura de la placa cn la su­
perficie y a una profundidad de 25 mm, 10 min des­
pués de que se energiza el calentador y proporciona un
llujo de calor constante a la superficie de 2500 W /m2.
5.67
Si la varilla esta inicialmente a 25°C y se pasa un flu­
jo de gas para el que h = 200 W m- • K y f » =
300°C, ¿cuál es la tem peratura del punto de fusión del
recubrimiento si se observa que la fusión ocurre en
l = 400 s?
Una placa muy gruesa con difusividad térmica 5.6 X
10~6 m2/s y conductividad térmica 20 W/m • K está
inicialmcnte a una temperatura uniforme de 325°C.
De pronto, la superficie se expone a un fiuido refrige­
rante a 15°C cuyo coeficiente de transferencia de ca­
lor por convección es 100 W/m • K
564] Una compañía de seguros lo contrata a usted como
asesor para entender y saber más sobre las lesiones
por quemaduras Están interesados en especial en las
(a) Determine las temperaturas en la superficie y a
una profundidad de 45 mm después de transcurri­
dos 3 min.
Rujo de ga*
k L ík?
Superficie recubierta
Varilla de cobre.
k = 400 W/m • K. « = 10< m2/s
Superaislante
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
U n iv e rs id a d S im ó n B o lív a r • S e d e ^ 1 * 5
C apítulo 5 ■ Conducción en estado transitorio
276
(b) Calcule y elabore una gráfica de las historias de
tem peratura (0 < t < 300 s) en i = 0 y x = 45
mm para las siguientes variaciones de los para
metros (i) a = 5.6 X 10-7, 5 6 X 10-6, y 5.6 X
I0 “5 m 2/s, y (2) k = 2, 20; y 200 W /m • K
5.68
Una pared gruesa de roble inicialmente a 25°C, se ex
pone de pronto a productos de com bustión para los
que 7 , = 800°C y h = 20 W /m • K.
(a) Determine el tiempo de exposición que se requie
re para que la superficie alcance la temperatura
de ignición de 400°C.
(b) Elabore una gráfica de la distribución de temperatu­
ras 7 ( 0 en el medio a / = 325 s La distribución de­
be extenderse a una posición en la que t ~ 25°C.
5.69 Es bien sabido que, aunque dos materiales esten a la
misma tem peratura, uno se siente más trio al tacto
que el otro Considere placas gruesas de cobre y vi
drio, cada cual a una tem peratura inicial de 300 K
Suponiendo que el dedo está a una temperatura inicial
de 310 K y que tiene las propiedades term ofísicas p =
1000 kg/m 3, r = 4180 J/kg • K y k = 0.625 W/m • K,
determine si el cobre o el vidrio se sentirá más frío al
tacto.
5.70
Dos placas de acero inoxidable (p = 8000 kg m . c =
500 J/kg • K, k = 15 W /m • K). cada una de 20 mm
de espesor y aisladas en una superficie, están inicialmente a 400 y 300 K cuando se presionan una a otra
por sus superficies no aisladas. ¿Cuál es la temperatu­
ra de la superficie aislada de la placa caliente después
de transcurrido 1 min?
5.71
Los recubrimientos especiales a menudo se forman
depositando capas delgadas de un material fundido
sobre un sustrato solido La solidificación comienza
en la superficie del sustrato y continua hasta que el
espesor S de la capa solida se hace igual al espesor 8
del depósito
sustrato (k¡, a f), la densidad y el calor latente de
fusión del depósito (p, /ivy), el espesor del áep
to 8 y las temperaturas relevantes ( 7 . 7 )
(b) El proceso de deposición de plasma pulverizado
del problema 5 23 se usa para aplicar un recubi
miento de alúmina delgado 6 = 2 mm) sobra i
sustrato grueso de tungsteno. El sustrato tiene
una tem peratura mcial uniforme 7 = 300 K, v
su conductividad y ditusividad térmicas se ap
ximan como k = 1 2 0 W/m • K y a - 4.0 X
10 5 n r s, respectivamente. La densidad y ele»lor latente de la alumina son p = 3970 kgm!
hsf = 3577 kJ/kg. respectivamente, y la alumi
se solidifica a su tem peratura de fusión (T
2318 K) Suponiendo que la capa fundida se dt
posita instantáneamente sobre el sustrato esf
el tiempo que se requiere para que el depos tu
solidifique.
5.72 emando un metal tundido se vacía en un molde qu­
un conductor pobre, la resistencia al flujo de caloré
minante esta dentro de la pared del molde. Cons
condiciones en las que un metal líquido se solí
en un molde de paredes gruesas de conductividad
mica kw y difusividad térmica
La dens dad )
calor latente de tusion del metal se designan CUfl.
y
respectivamente y en ambos estados, i'undii
sólido, la conductividad térmica del metal es mu
mas grande que la del molde.
Pared del molde
M*W
Líquido
P- K f
Sustrato,
ks. ai
(a) Considere las condiciones en que el material fun
dido a su tem peratura de tusión 7 se deposita en
un sustrato grande que está a una temperatura
inicial uniforme T¡ Con S = 0 en i = 0. desarro
lie una expresión para estim ar el tiempo td que se
requiere para solidificar por completo el depósito
si permanece a 7 a lo largo del proceso de solidi­
ficación. Exprese el resultado en términos de la
conductividad y de la difusividad térmicas del
Antes de que inicie la solidificación (S = 0), la
del molde está en todo lugar a una temperatura
uniforme 7 y el metal fundido está a su tem
de fusión (punto de fusión) 7 . En seguida de q
inicia la solid ficación, hay transferencia de cal
conducción en la pared del molde, y el espe
metal solidificado. 5, aumenta con el tiempo/
(a) Dibuje la distribución de temperaturas uní
sional. 7( v), en la pared del molde y en el
en / = 0 y a dos tiempos posteriores dir
solidificación. Indique con claridad cualec
suposiciones fundamentales.
(b) Obtenga una relación para la variación del
sor S de la capa sólida con el tiempo /. e*
■ Prtthlvmas
resultado en térm inos de los parám etros apropia­
dos del sistema.
o i k I ik m m Ó i i
coeficiente de transferencia de calor por convección
de 15 W /n r • k Trate la carne com o un cilindro con
propiedades de agua líquida, que tiene un diámetro
igual a su longitud.
niiillidiitiriisioiiiil
5.73 Ln lingote largo de acero (carbón hom ogéneo) de
sección transversal cuadrada de 0.3 m por 0 3 m, ini­
cialm ente a una tem peratura uniform e de 30°C, se co­
loca en un horno de im pregnación térm ica que tiene
una tem peratura de 750°C Si el coeficiente de trans­
ferencia de calor por convección para el proceso de
calentam iento es 100 W m • k . ¿cuánto tiem po debe
perm anecer el lingote en el horno antes de que la tem ­
peratura de su centro alcance 600°C ?
5.74 Un ladrillo refractario de dimensiones 0 06 m X 0 09 m
X 0.20 m se quita de un horno de calcinación a 1600
K y se enfría en aire a 4tUC con h = 50 VV m ■ K
¿Cuál es la tem peratura cn el centro y en las esquinas
del ladrillo después de 50 min de enfriam iento?
5.75 Lna punta cilindrica de cobre de 100 mm de longitud y
50 mm de diám etro está inicialm cnte a una tem peratura
unilormc de 20°C. Las caras de los extrem os se somc
ten de pronto a una intensa rapidez de calentam iento
que las e le \a a una tem peratura de 500 C. Al mismo
tiempo, la su|>erlicie cilindrica se som ete a calenta­
miento por un flujo de gas con una tem peratura de
5LK)°C y un coeficiente de transferencia de calor de 100
W /nr • k
5.77
cn d ife r e n c ia * finitas: d e r iv a c ió n
5.78
i
1
1
1
El criterio de estabilidad para el m étodo explícito re­
quiere que el coeficiente del térm ino Tf„ de la ecua­
ción unidim ensional en diferencias finitas sea cero o
positivo. Considere la situación cn que las temperara
ras en los dos nodos vecinos (7¿’_ |. / ’£ + i) s*>n 100°C
m ientras que el nodo central (Tj¡,) está a 50°C M ues­
tre que para valores de f o > \ . la ecuación en dife­
rencias finitas predecirá un valor de T £ ' 1 que viola la
segunda le> de la term odinám ica
5.79
o de
i
L na varilla larga de 20 mm de diám etro fabricada de
alum ina (óxido de alum inio policristalino) está ini­
cialm ente a una tem peratura uniform e de 850 k La
varilla se expone de súbito a un fluido a 350 K con h =
500 W /n r • K Estim e la tem peratura de la línea cen ­
tral de la varilla después de 30 cn un extrem o e x ­
puesto y a una distancia axial de 6 mm del extrem o
Una varilla delgada de diám etro D esta inicialmentc
cn equilibrio con sus alrededores, un recinto grande al
vacío a tem peratura T ^ . De súbito se hace pasar una
co m en te eléctrica / (A) por la varilla que tiene una resistividad eléctrica pt y em isividad f . En la hgura se
identifican otras propiedades term ofísicas pertinentes
Derive la ecuación en diferencias finitas transitoria
para el nodo m.
A
7 *-
— Cara del extremo
Pe p. r. L
50 mm
— 100 mm
tal Determine la tem peratura en el punto central del
cilindro 8 s después de la aplicación súbita
del calor
(b) Considerando los parám etros que rigen la distri
bucion de tem peraturas en problem as de difusión
transitoria de calor, ¿se justifican cualesquiera su­
posiciones sim plificadas al analizar este problem a
particular? Explique brevem ente.
5.76 Recordando que la carne no se cuece sino hasta que
cada parte de ella ha alcanzado una tem peratura de
St»"C, ¿cuánto tiem po tom ará cocinar un trozo de car­
ne de 2.25 k g ? Suponga que la carne está inicialm ente
a 6°C v que la tem peratura del hom o es 175°C con un
5.80
Una placa unidim ensional de espesor 2L esta inicialm ente a una tem peratura uniform e Tr De subito, pasa
una corriente eléctrica a través de la placa lo que oca­
siona un calentam iento volumétrico uniforme q
( \\ m '). Al m ism o tiem po, am bas superficies externas
( t = T L ) están sujetas u un proceso de convección a
T con un coeficiente de transferencia de calor h.
7. /i]
0 i°
C apítulo 5 ■ Conducción cn estado transitorio
278
(a) Con el método explícito con Fo = 2 derive las
ecuaciones en diferencias finitas para los nodos J.
2. 3 y 4.
Escriba la ecuación en diferencias imitas que exprese
la conservación de la energía para el nodo 0 que se lo­
caliza en la superficie externa en x = —L. Rcacomode
su ecuación e identifique cualesquiera coeficientes
adim ensionales importantes.
5.81
Una paicd plana (p = 4000 kg/m , cp = 500 J/kg * K. k =
10 W /m • K) de espesor L = 20 mm tiene inicialmente
una distribución lineal de tem peraturas en estado esta­
ble con límites que se mantienen a
= 0°C y T2 =
100 C. De sub to. se hace pasar una corriente eléctrica
a través de la pared que ocasiona una generación uni­
forme de energía a una razón q = 2 X 10 W /m3. Las
condiciones de frontera T ] y T2 perm anecen fi jas.
A = 0°C-
(b) Construya una tabla que tenga como encabezados
/?, r, y las temperaturas nodales T0 a T4 Detenn ie
la temperatura de la superfic c T0 cuando f4 =
35°C
Solucionéis cn diferencia* finita*:
sistema* unidimensionales
5.83
■72= 100°C
m
1
(a) Con la técnica de diferencias finitas explícita'
con incrementos de espacio y tiempo de 30
y 300 s, respectivamente, determine la distrfi
ción de temperaturas a t = 45 mm.
- t i rO.c/ = 2 x 107W'm3
u
L = 20 mm
(a) En coordenadas T -x . dibuje las distribuciones de
tem peraturas para los siguientes casos: (i) condi­
ción inicial (t ^ 0); (u) condiciones de estado esta
ble (/ —» oc). suponiendo que la temperatura
máxima en la pared excede 7 \; y (iii) para dos
tiempos intermedios. Acote todas las característi­
cas importantes de las distribuciones.
(b) Para el sistema de tres puntos nodales que se mues­
tra de forma esquemática (1. m, 2), defina un volu­
men de control apropiado para el nodo m y, con la
identificación de todos los procesos relevantes de­
rive la ecuación en diferencias finitas correspon­
diente siguiendo el método expl cito o el implícito.
(b) Con Av = 30 mm y At = 300 s calcule T[ ¡
para 0 ^ t ^ tss, donde /ss es el tiempo que se
quiere para que la temperatura en cada punto 1
dal alcance un valor que esté a 1°C de
tem peratura de estado estable. Repita los cálen
precedentes para At = 75 s Rara cada valor
Ar, trace las historias de la temperatura para 1
cara y para el plano medio.
5.84
(c) Con un incremento temporal de Ar = 5 s. use el mé­
todo de diferencias finitas para obtener valores de
T„, de los primeros 45 s de tiempo transcurrido De­
termine los flujos de calor correspondientes en las
fronteras, es decir, c¡\ (0,45 s) y í/' (20 mm, 45 s).
(b) bn coordenadas q'[ —x. trace las distribucioi
del flujo de calor que corresponden a las
distribuciones de temperaturas que se represe
en la parte (a).
Un cilindro circular solido de material plástico (a = 6 X
10“7 m2/s) está rtiicialmente a una temperatura uniforme
de 20°C y esta bien aislado a lo largo de su superficie la­
teral y en un extremo AI tiempo t = 0, se le aplica calor
al extremo izquierdo lo que ocasiona que T0 aumente li­
nealmente con el tiempo a una razón de I°C/s.
.. .
«I*.", .v
L = 24 mm
La pared plana del problema 2.43 (k = 1.5 W/m • |J
a = 7 5 X 10~6 m2/s) tiene un espesor de L - 501
y una tem peratura inicial uniforme de 25°C. De si
to, el límite en v = L experim enta calentamiento o
b do a un fluido para el que T x = 50°C y h =
W /m 2 • K. mientras que el otro límite en x = 0e$
rim enta un flujo de calor aplicado de </¿ =
W m 2.
(a) Con Av = 5 mm y Ar = 20 s. calcule y dibuje (
distribuciones de temperatura^ en la pared
i) la condición nicial, (ii) la condición de 1
estable y ( 111 ) dos tiempos intermedios.
(d) Para determ inar el efecto del tamaño de la malla
repita su análisis con rejillas de 5 y 11 puntos no­
dales Av = 5.0 y 2.0 mm. respectivamente)
5.82
Una pared de 0 12 m de espesor que tiene una difusj.
vidad térm ica de 1.5 X 10~6 n r /s está inicialmcnte;
una tem peratura uniforme de 85 C. De pronto una ca­
ra se baja a una tem peratura de 20 C mientras la oís
cara queda perfectamente aislada.
(c) En coordenadas q"x —/. elabore una gráfica 1
jo de calor en v = 0 y x = L
5.85
La pared plana del problema 2.44 (k = 50 W/m ■y
= 1.5 X 10 6 m2/s) tiene un espesor de L = 401
una tem peratura inicial uniforme de T0 = 25°C.
tamente, la frontera en x = L experimenta ca
miento por un fluido para el que T» = 50°C \l
1000 W /m2 ■ K, mientras se genera calor de
uniforme dentro de la pared a q = I X 107 Wm
frontera en x — 0 permanece a Ta.
Problemas
279
vana y la velocidad del ventilador cambia para aumen­
tar sustancialmente la circulación del aire dentro del
horno, la superficie interna del horno experimenta
un cam bio de tem peratura súbito a 100°C. El aislan­
te tiene una conductividad térm ica de 0.03 W /m • K
y una difusividad térm ica de 7.5 X 10-7 n r/s . Para
la solución en diferencias finitas, use un incremento
espacial de 6 mm. Suponga que el efecto de las ho­
jas de acero inoxidable es insignificante y que el
coeficiente de transferencia de calor por convección
exterior ha perm anece sin cam bio. Estime el tiempo
que se requiere para que la pared del horno se apro­
xime a condiciones de estado estable después de que
la tem peratura de la pared interior cam bia a 100°C.
(a) Con Av = 4 mm y Ai = 1 s. trace las distribucio­
nes de tem peraturas en la pared para (i) la condi­
ción inicial, (ii) la condición de estado estable y
(iii) dos tiempos intermedios.
(b) En coordenadas q"x—t, dibuje el (lujo de calor en x
■ 0 y v = L. ¿En que tiem po transcurrido hay
flu jo de calor cero en x = L?
5.86 Considere el elemento de combustible del ejemplo
5.7. Inicialmente, el elemento está a una temperatura
uniforme de 250 C sin generación de calor. De súbito,
el elemento se inserta en el núcleo del reactor, lo que
ocasiona una rapidez de generación volumétrica de ca­
lor de q = 108 W /m 3. Las superficies se enfrían de
forma convectiva con Tx = 250°C y Ii = 1100 W/m2 • K
Con el método explícito y un incremento espacial de
2 mm. determine la distribución de tem peraturas 1,5 s
después de que el elem ento se inserta en el núcleo.
5.87 Una pared plana de 100 mm de espesor y una genera­
ción volumétrica de calor q = 1.5 X 106 W m 3 se ex­
pone a condiciones de convección de T*, = 30°C y h =
1000 W/m2 • K en ambas superficies. La pared se m an­
tiene en condiciones de estado estable cuando, de pron­
to, el nivel de generación de calor (q) se reduce a cero.
La difusividad térmica y la conductividad térmica del
material de la pared son 1 6 X 10 6 m2/s y 75 W/m •
K Se sugiere un incremento espacial de 10 mm
Ventilador circular
"l |~ Montaje del calentador
7«. o‘ ^0
L "
Aislante
Hoja metálica
5.90
Una placa muy delgada con difusividad térmica 5.6 X
10 6 m 2/s y conductividad térmica 20 W /m • K está
inicialmente a una tem peratura uniforme de 325°C
De súbito, la superficie se expone a un fluido refrige­
rante a 15°C cuyo coeficiente de transferencia de ca­
lor por convección es 100 W/m • K Con el método
de diferencias finitas para un incremento espacial de
Av = 15 mm y un incremento temporal de 18 s. de­
term ine las tem peraturas en Va superficie y a una pro­
fundidad de 45 mm después de transcurridos 3 min
5.91
Remitiéndose al ejemplo 5.8. comentario 4, considere
una súbita exposición de la >.upcrflcie a alrededores
a una temperatura elevada (7’alr) y a convección (7"x, Ii)
(a) Estime la temperatura del plano medio 3 min des­
pués de que se desconecta la generación.
(b) En coordenadas T -x trace la distribución de tem ­
peraturas que se obtiene en la parte (a). Muestre
también las distribuciones de tem peraturas inicial
y de estado estable para la pared.
,88 Una pieza fundida de plástico grande con difusividad
térmica 6.0 X 10~7 m2 s se quita de su molde a una
temperatura uniforme de 150°C La pieza fundida se
expone entonces a un flujo de aire de alta velocidad
de modo que la superficie experim enta un cam bio sú­
bito de temperatura a 20°C. Suponiendo que la pieza
se aproxima a un medio semiinfinito y con un método
en diferencias fintas y un incremento espacial de 6 mm.
estime la temperatura a una distancia de 18 mm de la
superficie después de que transcurren 3 min. Verifique
el resultado mediante la comparación con la solución
analítica apropiada.
5,8‘) La sección transversal de la pared de un hom o está
compuesta de un aislante de 30 mm de espesor inter­
calado entre dos láminas delgadas (1.5 mm de espe­
sor) de acero inoxidable. En condiciones de estado
estable, el homo opera con una temperatura del aire
interior T
= 150°C y una tem peratura del aire am
biental T*(, = 20°C con //, = 100 W /m • K y //, = 10
W'nr • K. Cuando el nivel de calentamiento del homo
—HI mm h—
I
(a) Derive la ecuación en diferencias finitas explíci­
ta para el nodo de superficie en térm inos de Fo,
Bi y Bi,.
(b) Obtenga el criterio de estabilidad para el nodo de
superficie. ¿Cambia este criterio con el tiempo?
6E s más restrictivo el criterio que el utilizado pa­
ra un nodo interior9
(c) Una losa gruesa de material (k = 1.5 W/m • K, a
= 7 X 10-7 m2/s. e = 0 9). inicialmente a una
tem peratura uniforme de 27°C, se expone de
pronto a alrededores a 1000 K. Sin tom ar en
cuenta la convección y utilizando un incremento
espacial de 10 mm, determine las temperaturas en
la superficie y a 30 mm de la superficie después
de transcurrido 1 min.
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
U n iv e r s id a d S im ó n B o lív a r • B edti u
C apítulo 5 ■ Conducción en estado transitorio
280
5.92 Considere la operación de unión que se describe en el
5.94 Una varilla de tantalio de 3 mm de diámetro y 120
problema 3.97, que se analizó en condiciones de esta­
do estable. En este caso, el láser se utilizará para ca­
lentar la película en un tiempo establecido, con lo que
se crea la situación de calentam iento transitorio que se
muestra en el dibujo.
mm de longitud se sostiene con dos electrodos dentro
de un recinto grande al vacio Inicialmente la varilla
esta en equilibrio con los electrodos y sus alrededo­
res, que se mantienen a 300 K De súbito, una corriente
eléctrica, I = 80 A. pasa a través de la var lia vSuponga que la emisividad de la varilla es 0 1 y que la resis­
tividad eléctrica 95 X ! 0 -8 i l • ni. Use la tabla A.l
para obtener las otras propiedades termofísicas que se
requieren para la solución. Utilice un método en dite
rencias finitas con un incremento espacial de 10 mm,
Fuente láser, q''
Película plástica
nuil
Tira metálicT
( Electrodo,
300 K
Vanlla
La tira está inicialmente a 25°C y el láser proporcio­
na un flujo uniforme de 85,000 W /m en un tiem po
A/on = 10 s Las dim ensiones del sistem a y propieda­
des term ofísicas perm anecen iguales, pero el coefi­
ciente de convección al aire am biente a 25°C es
ahora 100 W /m 2 ■K.
(a) Con el método implícito en diferencias finitas para
Aa = 4 mm y A/ = 1 s, obtenga las series históri­
cas de temperatura para 0 < t < 30 s en el centro y
el borde de la película. 7(0. t) y T(w {/2, r), respec­
tivamente. para determinar si el adhesivo se cura
de manera satisfactoria por arriba de 90°C para 10 s
y si
excede su temperatura de degradación de
200°C.
(b) Valide el código de su program a m ediante la
comparación con los resultados de estado estable
del problema 3.97. ¿Qué tipo de solución analíti­
ca buscaría a fin de probar el com portam iento
transitorio apropiado de su código?
Electrodo,
300 K
Alrededores, T&
r
(a) Estime el tiempo que se requiere para que la i
tad de la longitud de la vanlla alcance 1000 K
(b) Determine la distribución de temperaturas dei
tado estable y calcule de manera aproximad!
cuánto tiem po tardará la varilla en alcanzares
condición.
5.95 Una vanlla de apoyo (k = 15 W /m • K, a = 4.0
10-6 m 2/s) de diám etro D = 15 mm y longitud/
100 mm atraviesa un canal cuyas paredes se manti
nen a una tem peratura Th = 300 K. Súbitamente I
varilla se expone a un flujo cruzado de gases calien
para los que Tx = 600 K y h = 75 W/m • K Las i
redes del canal se enfrían y permanecen a 300 K
5.93 Un extremo de una varilla de acero inoxidable (AISI
316) de 10 mm de diám etro y 0.16 m de longitud se
inserta en una montura que se mantiene a 200°C. La va­
rilla, cubierta con una manga aislante, alcanza una
tem peratura uniforme en toda su longitud Cuando se
quita la manga la varilla queda expuesta al aire am ­
biente a 25°C de modo que el coeficiente de transfe­
rencia de calor por convección es 30 W /m2 • K.
(a) Con la técnica de diferencias finitas explícita y un
incremento espacial Aa = 0 016 m, estim e el
tiempo que se requiere para que la parte media de
la longitud de la varilla alcance 100°C.
(b) Con Aa = 0.016 m y Ai = 10 s. calcule 7"(a , t)
para 0 < t < t\, donde t l es el tiempo que se re­
quiere para que la parte media de la longitud de
la varilla alcance 50°C. Dibuje la distribución
de temperaturas para t = 0, 200 s, 400 s y r,.
/
/
/
7>,= 3iX'i
— Varilla, D = 15 mm, L = 100 mm
(a) Con una técnica numérica apropiada detc n
respuesta ténnica de la varilla al calent mx
convectivo. Dibuje la temperatura de la mitadc
mo función del tiempo transcurrido. Con uní
lo analítico apropiado de la vanlla, determiij
distribución de temperaturas de estado estafci
compare el resultado con el que se obtiene ni
camente para tiempos transcumdos muy
■ Problemas
281
(b) Después de que la varilla alcanza las condiciones
de estado estable, el flujo de gases calientes se sus­
pende súbitamente y la varilla se enfria por con­
vección libre al aire ambiental a i » = 300 K y por
intercambio de radiación con los alrededores a Talr —
300 K. El coeficiente de convección libre se expre­
sa como /i(W /m2 • K ) = C A T". donde C = 4.4
W/m2 • K l 188 y n = 0.188. La emisividad de la va­
rilla es 0.5. Determine la respuesta térmica poste­
rior de la varilla. Trace la tem peratura del medio
como función del tiempo de enfriamiento, y deter­
mine el tiem po que se requiere para que la varilla
alcance una temperatura segura al tacto de 315 K
(a) Usando un incremento de tiempo At = 60 s y el
método implícito, determine la historia de la tem ­
peratura del plano medio del libro y vea si ocurri­
rá el curado (170°C por 5 min).
ib) Siguiendo la reducción de las temperaturas de los
rodillos a 15°C (i = 50 min). ¿cuánto tiempo tar­
dará el plano medio del libro en alcanzar 37°C,
una temperatura segura a la que el operador pue­
de com enzar a descargar la prensa?
(c) Valide su código de programa con el calendario
de calentam iento de un cambio súbito de la tem­
peratura del rodillo de 15 a 190°C y compare sus
resultados con los de una solución analítica apro­
piada (véase el problema 5.38).
Considere la hoja rejilla de aceleración (k = 40 W/m
• K a = 3 X 10-5 m2/s, e = 0.45) del problem a 4.70.
Desarrolle un modelo en diferencias finitas implícito
de la hoja que sirve para los siguientes propósitos.
(a) Suponiendo que la hoja está a una temperatura
uniforme de 300 K cuando se activa la fuente del
haz de iones, obtenga una gráfica de histórica pos­
terior de tem peratura-tiem po del tramo medio. ¿A
qué tiempo transcurrido alcanza este punto de la
hoja una tem peratura a 1 K del valor de estado
estable?
K ru a rio iie s en clifereneias finita*:
coordenadas cilindricas
5.98
(b) La hoja se opera en condiciones de estado estable
cuando, de pronto, se desactiva el haz de iones.
Obtenga una gráfica de la historia temperaturastiempo del medio. ¿Cuánto tiempo transcurre pa­
ra que el punto más caliente de la hoja se enfríe a
315 K. que es un estado seguro al tacto?
5.97 l'nas tarjetas de circuitos se tratan m ediante el calen­
tamiento de una pila de ellas bajo alta presión como
se ilustra en el problema 5.37 y se describe, además,
en el problema 5.38. Se busca un método de solución en
diferencias finitas con dos consideraciones adiciona­
les. Primera, el libro se tratará como si tuviese caracte­
rísticas distribuidas, en lugar de concentradas, con un
espaciado de rejilla A x = 2.36 mm con nodos en el
centro de la tarjeta o placa de circuitos individual. Se­
gunda. en lugar de elevar la temperatura de las placas
a 190°C mediante un cam bio súbito, se utilizará el
programa de calentamiento que se muestra a continua­
ción a fin de minimizar las tensiones térmicas excesi­
vas inducidas por los gradientes térmicos rápidamente
cambiantes en la vecindad de los rodillos.
Un disco circular delgado está sujeto a calentamiento
por inducción de una bobina, el efecto de la cual es
proporcionar una generación de calor uniforme dentro
de una sección anular, como se muestra. La convec­
ción ocurre en la superficie superior, mientras la su­
perficie inferior está bien aislada.
(a) Derive la ecuación en diferencias finitas, transito­
ria, para el nodo m. que está dentro de la región
sujeta al calentam iento por inducción.
(b) En coordenadas T - r dibuje, de forma cuantitati­
va, la distribución de temperaturas de estado esta­
ble, e identifique las características importantes
uo
5.99
Tiempo (min)
Un cable eléctrico, que experimenta una generación
volumétrica uniforme í/, se semientierra en un mate­
rial aislante mientras la superficie superior se expone
a un proceso de convección (?„. h).
C apítulo 5 ■ Conducción en estado transitorio
282
rn, n + 1
(a) Derive la ecuación en diferencias finitas explícita
en términos de Fo y Bic = A xIkR "c para TA 2y
determine el criterio de estabilidad correspon­
diente
m —1 . n
(b) Si Fo = 0.01, determine 74 2 un intervalo de
tiempo después de que se hace contacto. ¿Cuáles
At i { Se satisface el criterio de estabilidad?
5.101
(a) Derive las ecuaciones en diferencias finitas, ex­
plícitas. para un nodo interior (m, n), el nodo cen­
tral (#m = 0), y los nodos de la superficie externa
(M, n) para los limites de convección y aislado
(b) Obtenga el criterio de estabilidad para cada una
de las ecuaciones en diferencias finitas. Identifi­
que el criterio más restrictivo.
Soluciones de diferencias finitas:
sistemas Ititliniensinnales
5.1U0 Se soldarán dos barras muy largas (en la dirección
normal a la página), las cuales tienen las distribucio­
nes de tem peraturas iniciales que se establecen. En el
tiempo t = 0, la cara m = 3 de la barra de cobre (pu­
ro) hace contacto con la cara m = 4 de la barra de
acero (AIS1 1010). La soldadura y el (lujo actúan co­
mo una capa interfacial de espesor insignificante y re­
sistencia efectiva de contacto R'¡ c = 2 X 10 5 m2 •
K/W.
Temperaturas iniciales (K)
nlm
I
2
3
4
m
5
6
1
2
700
700
700
700
700
700
700
700
700
1000
1000
1000
900
900
900
800
800
800
3
Interfaz con
soldadura y flujo
Cobre
puro
1.2
2,2
Acero,
AISI1010
3,2
v. n
x, m
■.
3 111
2, 1 k.------ -’t
A* = Av = 20 mm
Considere el sistema del problema 4.57, Inicialmente
sin flujo de gases de escape, las paredes (a = 5.5 Xi
10_fl m 2/s) están a una tem peratura uniforme de 25T,!
Empleando el método de diferencias finitas implícita
con un incremento temporal de 1 h. encuentre la dis­
tribución de temperaturas en la pared 1, 2. 5 y 20 b
después de la introducción de los gases de escape.
[~5~10~2l Considere el sistem a del problema 4.71. Inicialmenn
la placa cerám ica (a = 1.5 X I0 -6 m2/s) está ai
temperatura uniforme de 30°C, y de súbito los elemei
tos de calentamiento eléctrico se energizan. Con
método de diferencias finitas implícito, estime el ticn
que se requiere para que la diferencia entre lastemp
raturas de superficie e inicial alcancen 95% de
diferencia para las condiciones de estado estable. 1*?
un incremento de tiempo de 2 s.
5.103 Considere el módulo de conducción térmica v
condiciones de operación del problema 4.75
evaluar la respuesta transitoria de la placa fría,
tiene una difusividad térmica de a = 75 X 10- t i
suponga que, cuando se activa el modulo en t - O
\j
tem peratura inicial de la placa fría es T = 15°Cy<
se aplica un flujo de calor uniforme </ó - 105 W;r
su base. Con el método de diferencias finitas implíe
y un incremento de tiem po Af = 0.1 s, calcule I
temperaturas nodales designadas como función
tiempo. De las tem peraturas calculadas en un tien
particular, evalúe la razón de transferencia de
por convección al agua a la entrada de calor en la!
se. Suspenda los cálculos cuando esta razón alean
0.99 Imprima el campo de temperaturas en intervi
de 5 s y en el tiem po para el que cesen los cálculo
CAPÍTULO
Introducción
a la convección
284
(Capítulo 6 ■ Introducción a la convección
U i \ s t á aquí, nos hemos concentrado en la transferencia de calor por conducción y
hemos considerado la convección solo hasta el punto en que proporciona una posible
condición de frontera para problemas de conducción En la sección 1.2.2 utilizamos el
término “convección” para describir la transferencia de energía entre una superficie)
un fluido que se mueve sobre ésta. Aunque el mecanismo de difusión (movimiento
aleatorio de las moléculas del fluido) contribuye a esta transferencia, generalmente la
aportación dominante es la del movimiento global o total de las partículas del fluido.
En nuestro tratamiento de la convección tenemos dos objetivos principales Ade
más de comprender los mecanismos físicos que fundamentan la transferencia por con­
vección, deseamos desarrollar los medios para llevar a cabo cálculos de transferencia
por convección Este capitulo se dedica principalmente a lograr el primer objetivo. En
particular, se realiza un esfuerzo para concentrar en un lugar muchos de los fundamen­
tos Se discuten los orígenes físicos y se desarrollan parámetros adimensionales rele­
vantes, así como analogías importantes.
Una característica única de este capítulo es la forma en la que se introducen lo,
efectos de transferencia de masa por convección en analogía con los de tninsfereneu
de calor por convección. En la transferencia de masa por convección, el movimiento
global del fluido se combina con la difusión para fomentar el transporte de una especie
para la que existe un gradiente de concentración. En este texto nos concentramos en
transferencia de masa por convección que ocurre en la superficie de un sólido volátil o
un líquido debida al movimiento de un gas sobre la superficie.
Con las bases conceptuales ya establecidas, en los capítulos siguientes se desarro­
llan herramientas útiles a fin de cuantificar los efectos de la convección. Los capítu
7 y 8 presentan métodos para calcular los coeficientes asociados con la convección
zadci en configuraciones de flu jo externo e interno , respectivamente. El capítulo 9 d~
cribe métodos para determinar estos coeficientes en la convección libre, y el capit
10 considera el problema de la convección con cam bio de fa s e (ebullición y conde
ción). El capítulo 11 desarrolla métodos para diseñar y evaluar el desempeño de intti
cam biadores de ca lo i\ dispositivos que se utilizan de forma amplia en la práctica de
ingeniería para llevar a cabo la transferencia de calor entre fluidos.
En consecuencia, comenzamos por ampliar nuestra comprensión de la natural
de la convección.
p r o b le m a d e la tra n sferen cia d e c a lo r p o r co n v ec c ió n
Considere la condición de flujo de la figura 6 1a. Un fluido con velocidad V y tempe
tura T x fluye sobre una superficie de forma arbitraria y de área A y Se supone que la
perficie está a una temperatura uniforme, T s, y si Ts =£ TXt sabemos que ocurrirá u
transferencia de calor por convección. El flu jo local de calor q se expresa como
q = (Ts - TV)
donde h es el coeficiente de convección local. Como las condiciones de flujo varí
punto a punto sobre \a superficie, q ' y h también varían a lo largo de la superficie,
transferencia total de calor q se obtiene integrando el flujo local sobre toda la su
cíe. Es decir.
tt. I ■ E/ problema (le la transferencia de calor por convección
(/>)
(a)
Fl<;i HA 6 . 1
285
Efe( tos d r la Irunsferenc id local > total do calor por ronvereirin.
(«) Superficie de forma arbitraria. (b) Flaca plana.
o, de la ecuación 6 .1
q = (Ts - T j í
h dAs
(6.3)
Definiendo un coeficiente de convección prom edio h para lodu la superficie, el calor to­
tal transferido se expresa como
q - liA s{Ts - 7 U
(6.4)
Al igualar las ecuaciones 6.3 y 6.4, se sigue que los coeficientes de convección prome­
dio y local están relacionados por una expresión de la forma
h —— | h dAs
a*
(6.5)
Advierta que para el caso especial de flujo sobre una placa plana (figura 6.16), h varía
con la distancia x desde la primera orilla y la ecuación se reduce a
h = —1 IrLh d x
(6.6)
L Jo
Es posible obtener resultados similares para la transferencia de masa por convec­
ción. Si un fluido de concentración molar de especies CA<« fluye sobre una superficie
en la que la concentración de especies se mantiene en algún valor uniforme CA 5 #
C a . « (figura 6.2a ), ocurrirá una transferencia de especies por convección. La especie A
es normalmente un vapor que se transfiere en un flujo de gas debido a la evaporación o
sublimación de una superficie líquida o sólida, respectivamente, y estamos interesados
en determinar la velocidad a la que ocurre esta transferencia. Como en el caso de la
transferencia de calor, este cálculo se basa en el uso de un coeficiente de convección
v.Oi -
(a)
F l C I RA 6 . 2
e o n v e r riilii.
(h)
E f e c l o » d e la t r a n s f e r e n c ia Itx a l y lo la l d e e sp r< íe s p o r
(a)
S u p e r f i c i e d e fo rm o a r b it r a r ia . ( ¿ ) P iu c a p la n a .
286
C apítulo 6 ■ Introducción a la convección
Cn particular, es posible relacionar el flujo molar de la especie A con el producto de un
coeficiente de transferencia y una diferencia de concentración. Con referencia a la figfe¡,
ra 6.2, el flujo molar de la especie A, /VA (kmol/s • n r), se expresa como
N * = h „ (C
(6
donde Ji„, (m/s) es el coeficiente de transferencia de m asa p o r convección. Las concen­
traciones molares C A v y C A cc tienen unidades de kilogramo-mol por metro cúb
(kmol/m3). La transferencia molar total para una superficie completa. N A (kmol/sj,®
expresa entonces como
Aa —hm
— C Aoo)
(fi
donde los coeficientes promedio y local de transferencia de masa por convección es
relacionados por una ecuación de la forma
6
( .
A s3
JA
*
Para la placa plana de la figura 6.2 b, se sigue que
hm
11 ff L
= 7
1
h.„ d x
(6.1
La transferencia de especies también se expresa como un llujo de masa.
n r), o como una transferencia de masa. nA (kg/s), multiplicando ambos lados de!
ecuaciones 6.7 y 6.8, respectivamente, por el peso molecular J t A (kg/kmol) de lae
e'ie A. En consecuencia.
^A
h/tf p A s
Pa. dc)
6.
y
n A = hmA s(pA s - pA, J
donde p A (kg/m3) es la densidad de masa de la especie A.1
Para llevar a cabo un cálculo de transferencia de masa por convección, es ne
rio determinar el valor de CA ^ o p A s. Tal determinación se hace fácilmente n
que existe equilibrio termodinámico en la interfaz entre el gas y el líquido o fase
da. Una consecuencia de esta condición de equilibrio es que la temperatura del
en la interfaz es igual a la temperatura superficial 7's. Una segunda implicación e*
el vapor se encuentra en un estado saturado , en cuyo caso las tablas termodinám!
como la tabla A.6 para el agua, sirven para obtener su densidad a partir del cq
miento dc T y Con una buena aproximación, la concentración molar del vapórenla
períicie también se determina de la presión de vapor a través de la aplicación
ecuación de estado para un gas ideal. Es decir.
P sJT J
Ca.s
9hT..
'Aunque la nomenclatura anterior es bastante adecuada para caracterizar los procesos de transferencia de maiat
este texto, no existe nomenclatura estándar alguna, por lo que a menudo es difícil reconciliar los resultados de
blicaciones. Webb 11 ] proporciona una revisión de las diferentes formas en las que es posible formular poiencute
tores. flujos y coeficientes de convección.
6 .1
■ El problema de la transferencia de calor por convección
287
donde 2h es la constante universal de los gases y p ^ f T j ) es la presión de vapor que
corresponde a la saturación en Ts Observe que la densidad de masa del vapor y la con­
centración molar están relacionadas por pA = A tAC A.
El flujo local y/o la transíerencia total son de maxima importancia en cualquier
problema de convección Estas cantidades se determinan de las ecuaciones de flujo o
modelos. 6.1, 6.4, 6.7 y 6.8, que dependen del conocimiento de los coeficientes local y
promedio de convección. Por esta razón, la determinación de estos coeficientes se ve
como el problem a de convección. Sin embargo, el problema no es sencillo, pues ade­
más de depender de numerosas propiedades del flu id o como la densidad, viscosidad,
conductividad térmica y calor especifico, los coeficientes dependen de la geom etría de
la superficie y de las condiciones de flujo. Esta multiplicidad de variables independien­
tes resulta porque la transferencia por convección esta determinada por las capas lím i­
te que se producen en la superficie
Kjivviri.o 6 .1
Se encuentra que los resultados experimentales paia el coeficiente local de transferen­
cia de calor h x para el flujo sobre una placa plana, con una superficie en extremo áspera,
se ajustan a la relación
h x(x) =
¿Z.V- 0 ' 1
donde a es un coeficiente (W /m 1-9 • K) y x (m) es la distancia desde la orilla de la placa.
1. Desarrolle una expresión para la razón del coeficiente promedio de transferencia
de calor h x en una placa de longitud .v al coeficiente local de transferencia de calor
hx en x.
2. Muestre, de manera cualitativa, la variación de h x y h x como función de x.
SOLI CIÓN
Se conoce:
Variación del coeficiente local de transferencia de calor , hx(x).
E n c o n tr a r :
1. La razón del coeficiente promedio de transferencia de calor h(x) al valor local h x(x).
2. Dibuje la variación de h x y hx con v.
E squem a:
Capa límite
hx - as 01
Análisis:
1. De la ecuación 6.6 el valor promedio del coeficiente de transferencia de calor por
convección sobre la región de 0 a v es
-
1 (x
h x = hx(x) = —
X Jo
h fx ) dx
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
Universidad Sunco boi*v.ir - Sed*ítcwp'
C apítulo 6 ■ Introducción a la convección
Al sustituir la expresión para el coeficiente local de transferencia de calor
h x{x) = <7.V0 ’
e integrar, obtenemos
a cx
1 rx
hx = — I a x 01 d x = x~° 1 d x = X Jo
X
x •'O
,+09
0 .9
= 1.11 a x 01
o
iix = l .l l / i v
2. La variación de h x y h Kcon v es como sigue
1.5a
£
cJ
E
1 .0a
g
i^r 0 5a
0
0
1
2
3
4
a (m)
El desarrollo de la capa limite ocasiona que los coeficientes local y p
medio disminuyan al aumentar la distancia desde la orilla, por tanto, el coeiici
promedio hasta \ debe excedei el valor local en x.
C om entarios:
E je m pl o 6 . 2
Un cilindro circular largo de 20 mm de diámetro fabricado de naftalina sólida, que
un repelente común para las polillas, se expone a un flujo de aire que proporciona
coeficiente de transferencia de masa por convección hm = 0.05 m/s. La concentrad
molar de vapor de naftalina en la superficie del cilindro es 5 X 10 6 kmol/m3, y su
so molecular es 128 kg/kmol. ¿Cuál es la velocidad de sublimación de masa por n
dad de longitud del cilindro?
Son <;ioi\
S e conoce:
Concentración de vapor saturado de naftalina.
E n c o n tr a r :
Velocidad de sublimación por unidad de longitud, n'A (kg/s • m).
E squem a:
6 .2
■ Capas límite de convección
289
S a p o sic io n e s:
1. Condiciones de estado estable.
2. Concentración insignificante de naftalina en flujo libre de aire.
La naftalina se transporta al aire por convección y, de la ecuación 6.8. la
transferencia molar para el cilindro es
A n á lisis:
NA =
hm7rDL{C^s -
Con O a oo = 0 y N A = N AIL, se sigue que
N'a = ('rrD)hmC A s = t t X 0.02 m X 0.05 m/s X 5 X 10“ 6 km ol/m 3
N'a = 1.57 X 10-8 km ol/s • m
I a velocidad de sublimación de masa es entonces
n A = M AN A = 128 kg/kmol X
1.57 X 10 8 kmol/s • m
n'A = 2.01 X 10 6 kg/s • m
<1
a
Capas límite de convección
6.2.1
Capa límite de velocidad o Iiidrodinámica
Para introducir el concepto de una capa límite, considere el flujo sobre la placa plana
de la figura 6.3. Cuando las partículas del fluido hacen contacto con la superficie, ad­
quieren una velocidad cero. Estas partículas actúan entonces para retardar el movi­
miento de partículas en la capa contigua del fluido, que a su vez actúa para retardar el
movimiento de las partículas en la siguiente capa, y así sucesivamente hasta que, a una
distancia y = 8 de la superficie, el efecto se hace insignificante. Este retardo o desace­
leración del movimiento del fluido se asocia con los esfuerzos cortantes r que actúan
en planos que son paralelos a la velocidad del fluido (figura 6.3). Al aumentar la dis­
tancia y desde la superficie, el componente .v de la velocidad del fluido, u, debe enton­
ces aumentar hasta que se aproxima al valor del flujo libre ux . Se usa el subíndice °c
para designar las condiciones en el flu jo libre fuera de la capa limite
La cantidad 8 se denomina espesor de la capa límite y normalmente se define co­
mo el valor de y para el que u — 0 .99u<x>- El perfil de velocidad de la capa lim ite se re­
fiere a la forma cn la que u varía con y a través de la capa limite. En consecuencia, el
flujo del fluido se caracteriza por dos regiones distintas, una capa fluida delgada (capa
límite) cn la que los gradientes de velocidades y los estuerzos cortantes son grandes y
Flujo libre
«oo
—►
—►
i
_
_
,iú f
-* J_ _ J
y ~
Capa límite de
velocidad o
hidrodinámica
8
(A)
F
ic ü k a
6 .3
D e s a r r o llo d e la c a p a lím ite d e
v e l o c id a d o h id r o d in á m ic a s o h r e u n a
p la n a .
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
UnlvarsiucKi oihiui L>oii«jr - Serie d ‘ 'oral
290
C apítulo 6 ■ introducción a la convección
una región fuera de la capa limite en la que los gradientes de velocidad y los esfuerce*
cortantes son insignificantes. Con el aumento de la distancia desde la primera orilla, los
efectos de la viscosidad penetran más en el flujo libre y la capa limite crece (fi aumen
la con x).
Como se relaciona con la velocidad del fluido, la capa límite anterior se denomina,
de manera mas específica, capa lim ite de velocidad o hidrodinám ica. Se produce siem-í
pre que hay un Mujo de fluido sobre una superficie y es de fundamental importancia pa­
ra problemas que incluyen transporte por convección. En la mccanica de fluidos, su]
significado para el ingeniero proviene de su relación con el esfuerzo cortante supertjJ
cial r y, en consecuencia, con los efectos de fricción de la superficie En cuanto a lid
jos externos, proporciona la base para determinar el coeficiente clefricci n local
Cf = — ;—
puJ2
un parámetro adimensional clave a partir del cual se determina la resistenc a tic n a
míenlo de la superficie. Al suponer un finido ncw toniano, se evalúa el esfuerzo cora»
te de la superficie a partir del conocimiento del gradiente de velocidad en la super«
du'
(6.
v= D
'
donde /x es una propiedad del fluido que se conoce como vise isid a d dinámica.
6*2.2
Capa límite térmica
Así como se produce una capa límite hidrodinámica cuando hay un paso de fluidoi
bre una superficie, debe producirse una capa lím ite térm ica si difieren las temperati
del flujo libre de fluido y de la superficie. Considere el flujo sobre una placa plana i
térmica (figura 6.4). Al inicio de la placa, el perfil de tem peratura es uniforme.
T ( y ) = Too. Sin embargo, las partículas del fluido que hacen contacto con la placa¡
canzan el equilibrio térmico a la temperatura de la superficie de la placa. A su
estas partículas intercambian energía con las de la capa adyacente del fluido, y sei
ducen en el fluido gradientes de temperatura. La región del fluido en la que existen|
tos gradientes de energía es la capa limite térmica, y su espesor
por lo comír,
define como el valor de y para el que la razón \(T S — T ) /(T S — T w)\ = 0.99 Al auma
la distancia desde el inicio de la placa, los efectos de transferencia de calor pen
más en el flujo libre y crece la capa límite térmica.
Se demuestra fácilmente la relación entre las condiciones en esta capa límiteyj
coeficiente de transferencia de calor por convección. El flujo de calor local se ob«
cualquier distancia v desde la orilla, mediante la aplicación de la ley de Fourier al)
do en v = 0. Es decir.
F igl r \ 6 . 1
l’r t i
i i ( t* a ( apa límite
so h re una { a a plana ¡sotrnuJ
6 .2
■ Capas limite de convección
291
(6.16)
Hsta expresión es apropiada pues, en la superficie, no hay m ovim iento de fluido y la
transferencia de energía ocurre sólo p o r conducción Al combinar la ecuación 6 16
con la ley de enfriamiento de Newton. ecuación 6 1, obtenemos
Por ello las condiciones en la capa límite térmica, que influyen fuertemente en el gra
diente de temperatura de la pared r)7Yr)v|v= ü, deteiminan la transferencia de calor a ira
ves de la capa límite Como (T s — T f) es una constante, independiente de v, mientras 8,
se incrementa al aumentar los gradientes de temperatura en la capa limite deben dis
minuir al aumentar x. En consecuencia, la magnitud de c)T/dv\v =0 disminuye al aumen­
tar v, y se sigue que q" y h disminuyen al aumentar .v.
B.2.3
Capa límite <le concentración
Así como las capas límites hidrodinámica y térmica determinan la fricción de la pared
y la transferencia de calor por convección, la capa ¡imite de concentración determina
la transferencia de masa por convección. Si una mezcla binaria de las especies quimi
cas A y B fluye sobre una superficie y la concentración de la especie A en la superficie,
C A 5, difiere de la concentración en el flujo libre, CA «, (figura 6.i), se producirá una
capa limite de concentración. Esta es la región del fluido en la que existen gradientes
de concentración, y su espesor d se define normalmente como el valor de y para el que
[(CA. S — CA)/(CA 5 — CA ce)] ~ 0 99 La transferencia de especies por convección en­
tre la superficie y el flujo libre de fluido está determinada por las condiciones en esta
capa limite
La ielación entre transferencia de especies por convección y la capa limite de con­
centración se demuestra al reconocer primero que el flujo molar asociado con la trans­
ferencia por difusión se determina mediante una expresión analoga a la ley de Fouricr.
Para las condiciones de ínteres en este texto, la expresión, que se denomina ley de
F ick , tiene la forma
dCA
(6 18)2
¿y
:Estn expresión resulta de una forma más general de la ley de difusión de Fick (sección 14.1.2) cuando la concentración mo­
lar total de la mezcla. C = CA + CB. es una constante.
Flujo libre
Mezcla — ►
de A B ..
C.a, «>
8 c(x)
F it a
ha
6 .5
E v o l u c i ó n tic la c a p a lim ito d e
c o n c e n tra c ió n d e e s p e c ie s so b re un a
p l a c a p la n a .
292
C apítulo 6 ■ Introducción a la convección
donde Dab es una propiedad de la mezcla binaria que se conoce como coeficiente i
difusión binario. En cualquier punto que corresponda a y > 0 en la capa límite de i
centración de la figura 6.5, la transferencia de especies se debe al movimiento gl<
de fluido y a la difusión. Sin embargo, en y = 0 no hay movimiento de fluido yB
transferencia de especies es sólo por difusión. Al aplicar la ley de Fick en y = 0. el flu­
jo de especies a cualquier distancia desde el inicio de la superficie es entonces
bj" — _ n
A —
AH
¿_
CA
A
_
¿y
í(
v=0
Al combinar las ecuaciones 6.7 y 6.19, se sigue que
— ^ A B ¿ ^ A !d y \ v= o
C a . s ~ C a . oo
Por tanto, las condiciones en la capa límite de concentración, que influyen grander
en el gradiente de concentración de la superficie dCA/dy|v= 0, influirán en el coefic
te de transferencia de masa por convección y, por ello, en la transferencia de espeo
la capa límite.
Los resultados anteriores también se expresan en una base de masa, en lugar!
molar. Al multiplicar ambos lados de la ecuación 6.18 por el peso molecular de last
pecies M a , el flujo de masa de especies debido a la difusión es
¿P a
¿y
n 'k — £*ab
Con la aplicación de esta ecuación en y = 0 y al combinar con la ecuación 6.11,<
nemos
‘^
ab
P
Eje m
¿P
a,s
/ ¿ > 'U o
a
~ P
a ,«o
p l o 6 .3
En algún lugar de la superficie de un contenedor de agua, se realizan mediciones del
presión parcial de vapor de agua p A (atm) como función de la distancia y desde lai
perficie, y los resultados son eomo sigue:
0.10
I
^
0.08
0.06
0.04
\ i
i
1
\ *
1
0.02
0
„
*
i
2
4
>■(mm)
*
’
6
Determine el coeficiente de transferencia de masa por convección hm x en este!
S o l u c ió n
Presión parcial p A del vapor de agua como función de la dií>tan(¿¡
una posición particular sobre la superficie de una capa de agua.
Se conoce:
E n c o n tr a r :
tableada.
Coeficiente de transferencia de masa por convección en la posiu
6 .2
■ Capas límite de convección
293
E sq u em a :
Aire
/~PKs = 0 10 atm
Ph. 00» Ta
V
f~ Ph. s< Lv
Phiy)
/-Tangente en y - 0
y C
PA. 30 =
- 0 02 atm
J
2.2 mm
L
S u p o s ic io n e s :
1. El vapor de agua se aproxima como un gas ideal.
2. Las condiciones son isotérmicas.
Tabla A.6, vapor saturado (0.1 atm = 0.101 bar): Ts = 319 K. Tabla
A.8. vapor de agua-aire (319 K): D AB(319 K) = DAB(298 K) X (319 K/298 K )m =
0.288 X 10 4 m2/s.
P r o p ie d a d e s :
A n á lis is :
De la ecuación 6.22 el coeficiente de transferencia de masa por convección es
_
~ ¿ > A B d / ? A % ly = 0
™m%x_____________
_
Pa,s
P a. 20
o, al aproximar el vapor de agua como un gas ideal,
P a = Pa R T
con 1 constante (condiciones isotérmicas),
km x
^ a b d p A/dy\y=o
P A. 5
P A. o»
De la distribución de presión de vapor medida
3p j
dy
(0 — 0.1) atm
,0 = (0.0022 - 0) m
= —45.5 atm/m
De aquí
h
=■
- 0 .2 8 8 X 10 4 m /s ( - 4 5 .5 atm/m)
(0.1 - 0.02) atm
0.0164 m/s
Del equilibrio termodinániieo en la interfaz vapor-liquido, la tempe­
ratura en la interfaz se determinó de acuerdo con la tabla A 6.
C o m e n ta r io s :
6 .2 .4
Significado de las capas límite
En suma, la capa límite de velocidad o hidrodinámica tiene una extensión 8(x) y se ca­
racteriza por la presencia de gradientes de velocidad y esfuerzos cortantes. La capa lí­
mite térmica tiene extensión 8,(x) y se caracteriza por gradientes de temperatura y la
transferencia de calor. Finalmente, la capa lim ita de concentración tiene una extensión
uílmmnuU
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Universidad Simón Bolívar - Sede del Litoral
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Universidad Simón Bolívar • Bode del Litorp'
C apítulo 6 ■ Introducción a la convección
294
8r(x) y está caracterizada por gradientes de concentración y transferencia de especies.
Para el ingeniero, las manifestaciones principales de las tres capas límite son. respecb
vamente, fricció n superficial, transferencia de calor p o r convección y transferencia
m asa po r convección. Los parámetros clave de las capas límite son. entonces, el coe¡
c lente de fricció n C y los coeficientes de transferencia de calor y m asa por convea,
h y
respectivamente.
Para el flujo sobre cualquier superficie, siempre existirá una capa limite de veloc;
dad y, por ello, fricción superficial. Sin embargo, una capa térmica límite y, de»
transferencia de calor por convección, existe sólo si difieren las temperaturas de a
perficie y del flujo libre. De manera similar, una capa límite de concentración y
transferencia de masa por convección existen solo si la concentración super icial
una especie difiere de su concentración en el flujo libre. Tal vez surjan situaciones
las que esten presentes las tres capas limite. En tales casos, las capas limite rara
crecen a la misma velocidad, y los valores de 5, 8, y 8C en una posición x dada no
iguales.
\
F lujo lam iruir
y
tu rb u len to
Un primer paso esencial en el tratamiento de cualquier problema de convección e i
terminar si la capa limite es lam inar o turbulenta La fricción superficial y la tr
rencia por convección dependen en gran medida de cuál de estas condiciones exis
Como se muestra en la figura 6.6, hay claras diferencias entre las condición
flujo laminar y turbulento. En la capa limite laminar, el movimiento del fluido es i
mente ordenado y es posible identificar líneas de flujo a lo largo de las cuales se mué
las partículas. El movimiento del fluido a lo largo de una línea de flujo se caractenzai
los componentes de la velocidad en las direcciones x y y. Como el componente ndej
velocidad está en la dirección normal a la superficie, contribuirá de manera Minifica
a la transferencia de momento, energía o especies a través de la capa límite. Se re
el movimiento del fluido normal a la superficie para el crecimiento de la capa hn
la dirección x.
En cambio, el movimiento del fluido cn la capa límite turbulenta es altamente
guiar y se caracteriza por fluctuaciones de velocidad; estas aumentan la transfe*
Linea de flujo
turbulenta
Capafe
} amortigm
; ubeapsi
Transición
F l G l HA 6 . 6
D e s a r r o llo d e la c a p a lím ite h id r o d in á m ic a s o b r e u n a p l a c a p la n a .
6 .3
■ Flujo laminar y turbulento
295
F l < ; i HA 6 . 7
V a r ia c ió n d e l e s p e s o r
8
d e la c a p a lím ite
h i d r o d in á m ic a y d e l c o e f ic i e n t e lo c a l d e t r a n s f e r e n c ia d e
Transición
c a lo r
h
p a r a e l flu jo s o b r e u n a p l a c a p la n a is o té r m ic a
de momento, energía y especies y, por consiguiente, aumenta la fricción de la superfi­
cie así como la transferencia por convección. La mezcla del fluido que resulta de las
fluctuaciones produce espesores de la capa límite turbulenta más grandes y perfiles de
la capa límite (velocidad, temperatura y concentración) más planos que en el flujo la­
minar.
Las condiciones anteriores se muestran de forma esquemática en la figura 6.6 para
la evolución de una capa límite hidrodinámica sobre una placa plana. La capa límite es
inicialmcnte laminar, pero a alguna distancia desde el inicio, se amplifican las peque­
ñas perturbaciones y comienza a ocurrir la transición a un flujo turbulento. Empiezan a
producirse fluctuaciones del fluido en la región de transición , y la capa límite final­
mente se vuelve por completo turbulenta. En la región completamente turbulenta, las
condiciones se caracterizan por un movimiento tridimensional aleatorio de porciones
grandes de fluido, y no es de sorprender que la transición a la turbulencia esté acom­
pañada por aumentos significativos en los espesores de la capa límite, en el esfuerzo
cortante de la pared y en los coeficientes de convección. Estos efectos se ilustran cn la
figura 6.7 para el espesor 8 de la capa límite hidrodinámica y el coeficiente local de
transferencia de calor por convección h. En la capa límite turbulenta, es posible deli­
near tres regiones diferentes. Por ejemplo, una subeapa lam inar en la que el transpor­
te está dominado por la difusión y el perfil de velocidad es casi lineal. Hay una capa
de am ortiguam iento contigua en la que la mezcla por difusión y turbulenta son com­
parables, y hay una zona turbulenta en la que el transporte está dominado por la mez­
cla turbulenta.
AI calcular el comportamiento de la capa límite, a menudo es razonable suponer
que la transición comienza en alguna posición x , . Esta posición se determina mediante
un agrupamiento adimensional de variables llamado núm ero de R eynolds ,
pu^x
R e , = -------
(6.23)
donde la longitud característica x es la distancia desde el inicio de la superficie. El nú­
m ero de R eynolds crítico es el valor dc R e, para el que comienza la transición, y se sa­
be que, para el flujo sobre una placa plana, varía de 1CP a 3 X 1 0 6, dependiendo de la
aspereza de la superficie y del nivel de turbulencia del flujo libre. A menudo se supone
un valor representativo dc
Re
= pUc~*c = 5 x 105
(6.24)
DEPARTAMENTO de biblioteca
Universidad Simón Bolívar - Sede ^
.oral
296
C apítulo 6 ■ Introducción a la convección
para cálculos de la capa límite y, a menos que se señale otra cosa, se utiliza para
cálculos de este texto.
6 .4
Ecuaciones pa ra la transferencia p o r convección
Podemos mejorar nuestra comprensión de los efectos físicos que determinan el
portamiento de la capa límite e ilustrar más su relevancia para el transporte por
vece ion mediante el desarrollo de las ecuaciones que gobiernan las condiciones d
capa límite. Considere la producción simultánea de las capas límite hidrodinámi a.
mica y de concentración sobre la superficie de la figura 6.8. Se considera que e fin
es una mezcla binaria de las especies A y B, y que la capa límite de concentración
especie A se origina a partir de una diferencia entre las concentraciones en el flujo
y en la superficie (C A%X ^ C As). La selección de los espesores relativos (6, > 8 >
es arbitraria, por el momento, y los factores que influyen en la producción de la can
mite relativa se tratan más adelante en este capítulo. Para simplificar el desarrolle
ponemos condiciones de flujo estable bidimensional para las que ,v esta en la dir
a lo largo de la superficie y y es normal a la superficie. Para cada una de las capas 1
te, identificaremos los procesos físicos relevantes y aplicaremos las leyes de con
ción apropiadas para volúmenes de control de tamaño infinitesimal. La exten:
este desarrollo a flujos tridimensionales puede hacerse fácilmente [2, 3].
6 .4 .1
Capa límite de velocidad o hidrodinámica
Una ley de conservación pertinente para la capa límite de velocidad o hidrodiná
que la materia no se puede crear ni destruir. Enunciada en el contexto del volu
control diferencial de la figura 6.9, esta ley requiere que, para el flujo estable, la
d a d neta a la que la m asa atraviesa al volum en de control (flujo de entrada-fl
salida) tiene que ser igual a cero. La masa entra y sale del volumen de control exc
vamente a través del movimiento global del fluido. El transporte debido a este
F
ig u r a
6 .8
P r o d u c c ió n d e la-s c a p a s lím ite d e v e lo c id a d , fó rm ica y d e co n cen tració n para
s u p e r f ic ie a r b itr a r ia .
■ Ecuaciones para la transferencia por convección
6 .4
297
p v + — -(pv) dy
í
v
i"
j
i
!
I
(b
*■ pu + Jj-( pu)dx
. ————i
F ig u r a 6 . 9
Ulx
V o lu m e n ele c o n tro l
d if e r e n c ia l
I
c o n t e n í'a c ió n d e la tn a s a e n la r a p a
pv
•
(h
4
■ 1) p a r a
lím it e h id r o d in á m u a U id im e n s io n a l.
miento a menudo se denomina culveccwn. Si una esquina del volumen de control se lo­
caliza en ( a , y ) , la velocidad a la que entra la masa al volumen de control a través de la
superficie perpendicular a x se expresa como (pii ) dy, donde p es la densidad total de
masa (p = pA + pb) y u es el componente \ de la velocidad de m asa prom edio. El vo­
lumen de control tiene profundidad unitaria en la dirección z. Como p y u varían con v,
la velocidad a la que la masa sale de la superficie en \ 4- cLx se expresa mediante una
expansión en serie de Taylor de la forma
3 (pu)
(pu) +
dx dy
Con el uso de un resultado similar para la dirección y, el requerimiento de la conserva­
ción de la masa se convierte en
{pu) d y + (p v ) d x -
pu +
3 (pu)
dx dy -
3 (p v)
pv + ^ d y
dx = 0
dx
Al cancelar términos y dividir entre dx dy\ obtenemos
3 (pu)
3 (p v)
" Td x“ + " Idv
T" = 0
(625)
La ecuación 6.25. ecuación de continuidad , es una expresión general del requeri­
miento de conservación de la masa global , y debe satisfacerse en todo punto en la capa
límite de velocidad o hidrodinámica. La ecuación se aplica a un fluido de una sola es­
pecie, así como también para mezclas en las que pueden estar teniendo lugar la difu­
sión de especies y las reacciones químicas.
La segunda ley fundamental pertinente a la capa límite de velocidad es la segunda
ley d el m ovim iento de N ew ton. Para un volumen de control diferencial en la capa limi­
te de velocidad, este requisito establece que la suma de todas las fuerzas que actúan so­
bre el volumen de control debe ser igual a la velocidad neta a la que Huye el momento
a través del volumen de control (flujo de salida/flujo de entrada).
Dos tipos de fuerzas actúan sobre el fluido en la capa límite: fu erza s de cuerpo ,
que son proporcionales al volumen, y fu e rza s superficiales , que son proporcionales al
área. Los campos gravitacional, centrifugo, magnético y/o eléctrico contribuyen a la
fuerza total de cuerpo, y designamos las componentes x y y de esta fuerza por unidad
de volumen de fluido como X y K, respectivamente. Las fuerzas superficiales F se de­
ben a la presión estática del fluido así como al esfuerzo viscoso. En cualquier punto de
298
C apítulo 6 ■ Introducción a Ut convección
-( C T y y )d y
V
I
I
l
I
I
I
l
(T,
Txy i
(v. >•)
Tx y +
Esfucrafts
F k .I ha 6 . 1 0
d\
n o r m a l y c o r ta n te p a r a un voluni
dx
d e c o n tr o l
{dx
•
dy
• 1) c n l a c a -
lím ite h id r o d in á m ic a
°Vy
1>H u n c í sio iid l.
la capa límite, el esfuerzo viscoso (una fuerza por unidad de área) se descompone
dos componentes perpendiculares, que incluyen un esfuerzo norm al cr y un esfue
cortante r (figura 6.10).
Se utiliza una notación de doble subíndice para especificar los componemos
esfuerzo. L1 primer subíndice indica la orientación de la superficie al proporcionar
dirección de su normal hacia afuera, y el segundo señala la dirección del compon
de la fuerza. En consecuencia, para la superficie x de la íigura 6 10, el esfuerzo no
er„ corresponde a un componente de la fuerza normal a la superficie, y el esfuerzo
tante t vv, a una fuerza en la dirección y a lo largo de la superficie. Todos los compo
tes de esfuerzo que se muestran son positivos en el sentido de que tanto la nonnala
superficie com o el componente de la fuerza están en la misma dirección Es decir,
bos están en la dirección coordenada positiva o en la dirección coordenada negaf
Mediante esta convención los esfuerzos viscosos normales son esfuerzos de trac
En cambio, la presión estática se origina a partir de una fuerza externa que actúa so
el fluido en el volumen de control y es. por tanto, un esfuerzo de compresión.
Hay que señalar vanas características del esfuerzo viscoso La fuerza asociada
da entre los elementos contiguos de fluido y es una consecuencia natural del mo
miento del fluido y la viscosidad. Por tanto, se supone que las fuerzas superficiales
la figura 6 10 actúan sobre el fluido dentro del volumen de control y se atribuyen a
interacción con el fluido de los alrededores. Estos esfuerzos desaparecerían si la vel
dad del fluido, o el gradiente de velocidad, se hicieran cero En lo que respecta a los
fuerzos viscosos normales (íjcv y cr y) no deben confundirse con la presión estática,
no desaparece cuando la velocidad es cero
Cada uno de los esfuerzos cambia de forma continua en cada una de las direc
nes coordenadas. Con una expansión en serie de Taylor para los esfuerzos, la fu
superficial neta para cada una de las dos direcciones se expresa como
5,X
d a xx
\ dx
, d xy A dx dy
dx
' d i„ | d a ^
S.
V
dx
dy
dv
dp'
dx dy
(6.
(6.
dy j
Para aplicar la segunda ley de Newton, también deben evaluarse los flujos de mom
del fluido a través del volumen de control. Si nos concentramos en la dirección.!
flujos relevantes son como se muestra en la figura 6.11. El flujo de masa en cadaulas dos direcciones hace una contribución al flujo de momento .v total Por ejemplo,
flujo de masa a través de la superficie x (en el plano y-z) es (pu), y el flujo de mo
6 .4
■ Ecuaciones para la transferencia por convección
( pv)it +
[ ( p v )u ]d \
i .
I dy
i
j
I
1 - f T .
U.y)
F lC .I K \ 6 . 1 1
F lu jo s
( p V)u
299
f,y
*
(pu)tt + - — ■[( p v )u ]d \
d>'
J
^
d r m o m en to p a ra u n c o n tro l d e
v o lu m e n d if e r e n c ia l ( dx • d \ • 1) e n la c a p a lím ite
lu d ro d in á n iK a b id im e n s io n a l.
-V correspondiente
es (p u )u . De forma similar, el flujo de momento x debido al flujo de
masa a través de la superficie \ (en el plano x - z ) es (pv)u. Estos flujos pueden cambiar
en cada una de las direcciones coordenadas, y la velocidad n eta a la que el momento \
atraviesa el volumen de control es
3 Kpv)u]
3 [(p « )« J
— r ------ d x(d x) +
3a
"
dy
d x(d x)
Al igualar la velocidad de cambio del momento v del fluido con la suma de las
fuerzas en la dirección .i, obtenemos
3 l(p w )« ]
9[(pü)u]
¿p ,
------- - f -------------------- = - r ----------~r b
dx
dy
dx
dx
. v
— + X
dy
,,
( 6 .2 8 )
Esta expresión se acomoda en una forma más conveniente mediante la expansión de
las derivadas del lado izquierdo y sustituyendo de la ecuación de continuidad, ecuación
6.25, lo que da
3u
p [u ^
3u\
+ v ^ )
3
.
3rv
= Y x {(T" ^ p ) + ~ s i + x
(629)
Se obtiene una expresión similar para la dirección v y es de la forma
/
dv
dv\
3 r^,
3
(630)
No hay que perder de vista la física representada por las ecuaciones 6.29 y 6.30.
Los dos términos en el lado izquierdo de cada ecuación representan la velocidad neta
de flujo de momento del volumen de control. Los términos del lado derecho explican
la fuerza neta de viscosidad debida a la presión, así como la fuerza de cuerpo. Estas
ecuaciones deben satisfacerse en cada punto de la capa límite, y con la ecuación 6.25
se resuelven para el campo de velocidades.
Antes de obtener una solución para las ecuaciones precedentes, es necesario rela­
cionar los esfuerzos viscosos con las otras variables de flujo. Estos esfuerzos están aso­
ciados con la deformación del fluido y son una función de la viscosidad del fluido y de
los gradientes de velocidad. De la figura 6.12 se deduce que un esfu erzo n o rm a l debe
producir una d efo rm a ció n lin e a l del fluido, mientras que un esfu erzo co rta n te produce
una d efo rm a ció n an gu lar. Además, la magnitud de un esfuerzo es proporcional a la v e ­
lo c id a d a la que ocurre la deformación. La velocidad de deformación está relacionada,
a su vez, con la viscosidad del fluido y con los gradientes de velocidad en el flujo. Para
D€PARTAMENTO DE BI&LIOitLA
Universidad Simón Bolívar «tede del Litorf
3l>0
C apitu lo 6 ■ Introducción a la convección
«
I
(7,
t
V
/ / Tr,
f
■<r.
_l
3r*Í
(ü)
(h )
Fn.i K\ 6 . 12 Deformación de un elemento dr fluido deludo a *sfuerzos
vía»usos, (o) Deformación lineal debido a uu esfuerzo normal. (6) Deforma» ion
angular debida a esltu rzos cortuntes.
un flu id o n cw to n ia n o .3 los esfuerzos son proporcionales a los gradientes de velocitj
donde la constante de proporcionalidad es la viscosidad del fluido. Sin embargo,
do a su complejidad, el desarrollo de las relaciones especificas se deja a las difere
publicaciones [2], y nos limitamos a la presentación de los resultados, Ln particular.»
muestra que
3
u
/ 3u
2
dv\
(6JI
crX X
= 2'i ^
°yy = 2 fi
' I
M l a J + a7)
do
2
/
3
3y
3
\
3*
/ óu
3u
’xy
u
dv
3y
dv \
dv
= T” = M l a T + ^ j
Al sustituir las ecuaciones 6.31 a 6.33 en las ecuaciones 6.29 y 6.30, las eci
nes de los momentos y y se convierten en
/
Y
3
u
&
3
u\
3p
d_
+ D ¥
r
dx
dx
( du
+
p /u
dv
dv
u
3 jc
37 + 37 j
3p
d_ ' ■ ^
dy
dy
(du
u
dv
y 3 .r
3y
2 / 3
3
dv \
dy
dy
+
3
3d \ 1
dx K a 7 + 3x
+ X
2 f du + d v MI
3 !Kd x
b ) ..
+ Y
Las ecuaciones 6.25, 6,34 y 6.35 proporcionan una representación completa de
dicioncs en una capa límite hidrodinámica bidimensional. y el campo de vele
en la capa limite se determina resolviendo estas ecuaciones. Una vez que seco
I n un fluido neptuniano el esfuerzo cortante es linealmente proporcional a la rapidez de deformación jneuhr.1
fluidos de interés en este texto son neptómanos
(í
6 .4
■ Ecuaciones para la transferencia por convección
301
campo de velocidad, es fácil obtener el esfuerzo cortante de la pared
ecuación 6.15.
6 .4 .2
ts
a partir dc la
Capa límite térmica
Para aplicar el requerimiento de conservación de la energía (ecuación 1.11a) a un volu­
men de control diferencial en la capa límite térmica (figura 6.13), primero es necesario
delinear los procesos físicos relevantes. La energía por unidad de masa del fluido in­
cluye la energía térmica interna e y la energía cinética V'2/2, donde V 2 = ir + v 2. En
consecuencia, las energías térmica y cinética se transportan por advección con el movi­
miento global del fluido a través de las superficies de control, y para la dirección a\ la
velocidad neta a la que esta energía ingresa en el volumen de control es
£ a d v .*
Va
- E adv
V2
= pw(e + ~ ^ \ dy ~ ■pul e +
a
i
d x [p u ( e +
a
v2\
2 )
■"I
>
d x dy
(
V2 \ l
p u [e + T j d x d y
a*
(6.36)
La energía también se transfiere a través de la superficie de control mediante procesos
m oleculares. Habrá dos contribuciones: la que se debe a la conducción y la transferen­
cia dc energía debida a la difusión de las especies A y B. Sin embargo, sólo en capas lí­
mite que reaccionan químicamente, la difusión de especies influye fuertemente en las
condiciones térmicas. Por ello, el efecto no se toma en cuenta en este desarrollo. Para
el proceso de conducción, la transferencia neta de energía en el volumen dc control es
r
^cond, x
~k
_ r
*^cond, x+ d x
dT
a / 37\
dx
dx \
k
| d x dy
dx J
d ( dT\
(6.37)
La energía también se transfiere hacia y desde el fluido en el volumen de control
mediante interacciones de trabajo que incluyen las fu e rza s de cuerpo y superficiales.
1cond1v + í / v
« V
t
W
Eaxti. x
^adv. t
£«Jv, >■+ dy
*
1
r
i
* »
^ i
i
4.
y
dy
^cond. x+dx
^■adv, x + dx
dx
F ig u r a
6 . 1 3
V o lu m e n d e
c o n tro l d i f e r e n c ia l
• f v í
^•cond.
(dx
•
dy
* l) p ara
la c o n s e r v a c ió n d c la e n e r g ía c n la
-adv, y
c a p a lím ite té r m ic a b id im c n s io n a l.
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
OímAn
C.-wU J a I I S+j
atpilulo 6 ■ In tr o d u c c ió n a la co n rv vciém
La transferencia neta a la que las fuerzas en la dirección \ realizan trabajo sobre el fl
do se expresa como
3
3
WI>C1A = (Xu) d x d y + — [(</„ - p )u ] d x d y + ^
( r fxu) d x d y
(6.,
El primer termino en el lado derecho de la ecuación 6.38 representa el trabajo eje¿
do por la fuerza de cuerpo, y los términos restantes explican el trabajo neto realiz
por las fuerzas de presión y de viscosidad.
Con las ecuaciones 6.36 a 6.38. así como las ecuaciones análogas para la diave
v, el requerimiento de conservación de la energía (ecuación 1 1\a ) se expresa como
d_
v2
pv¡e + —
dv
3 / 37*\
d /
3
dT\
d
d
T -(P V )
dy
d
+ Td x* (<7~ M +
+ ay
+
+ 4 = 0
donde t) es la rapidez a la que se genera energía por unidad de volumen. Esta expn
proporciona una forma general del requerimiento de conservación de la energía
capa límite térmica.
Como la ecuación 6.39 representa la conservación de las energías cinética \
ca interna, rara vez se usa en la solución de problemas de transferencia de calos
lugar, se obtiene una forma más conveniente, denominada ecuación de energía t t
c a , multiplicando las ecuaciones 6.29 y 6.30 por ti y v , respectivamente, y restan
resultados de la ecuación 6.39. Después de muchas manipulaciones, se sigue que^
de
de
pU d.x + p l d y
d / dT\
ó /
dT\
dx \
d x ) + 3y \
,d u
P \d x
dv ,
dy
(
donde el término p(óulc)x 4- c)v/dy) representa una conversión reversible entre
cinética > térmica, y /xd*. la disipación viscosa, se dehne como
du
dv
37 + 37
\2
r/0n\2
3.x j
/ d v \ 2'
2 / du
d v \ 2)
\ dy
3 \ 3.x
3y
í
El pnm er término cn el lado derecho de la ecuación 6 41 se origina de los estuc
tantos viscosos, y los términos restantes surgen de los esfuerzos normales \ isco
lectivamente, los términos explican la velocidad a la que la energía cinc tica sci
de fa u n a irrevei sible a energía térm ica debido a los efectos viscosos en eljluidn
A veces es más conveniente trabajar con una formulación de la ecuación de
gia térmica basada en la entalpia i del fluido, cn lugar de su energía internar \
ducir la definición de entalpia
6 .4
■ Ecuaciones para la transferencia por convección
3 0 .4
y sustituir de la ecuación 6.25, la ecuación 6 40 se reacomoda para que dé
di
di
pU d x + PV d y
d / dT\
d i
dx \
dy \ d y ¡
dx /
( dp
+ ( iu — +
dT'
dp\
j + ^
(6 43)
+ V
Para expresar el lado izquierdo de la ecuación de energía térmica en términos de
la temperatura, es necesario especificar la naturaleza de la sustancia. Si, por ejemplo, la
sustancia es un gas ideal , di = cpd T y la ecuación 6.43 se convierte en
( dT
K
"
*
dT\
d ( dT\
dT>
d t
+v^) =Mkd¿)+
( dp
dp\
+ (“ a i + ^
) +
(644)
+ 4
De manera alternativa, si la sustancia es incc m presible, c v = cp y la ecuación 6.25 se
reduce a
du
dv
áx
dy
— + — = 0
(6.45)
Con de = c\ d i = cp d T , la ecuación 6.40 se reduce entonces a
/ dT
3 / dT\
dT\
+
=
d ( dT
+
W*
(6.46)
+ p$> + q
6 .4 .3
Capa límite de concentración
Dado que consideramos una mezcla binaria en la que hay gradientes de concentración
de especies (figura 6 8), habrá un transporte relativo de las especies, y debe satisfacer­
se la c o n s e n ación de las especies en cada punto de la capa limite de concentración La
forma adecuada de la ecuación de conservación se obtiene identificando los procesos
que afectan al transporte y generación de la especie A para un volumen diferencial de
control en la capa limite.
Considere el volumen de control de la figura 6 14. La especie A se transporta por
advección (con la velocidad media de la mezcla) y por difusión (relativa al movimien­
to medio) en cada una de las direcciones coordenadas. La concentración también se ve
■
‘^A. adv. y +dy
|
r“
-j dy
I
ü
MA.rfif.-r
| MKdit. y +dy
I
!
I
^ J
** |I
l
J
x. y
* *^A. adv. x +■av
^ *^A, drf.jr +■d.\
F l C l KA 6 . 1 4
d i f e r e n c ia l
t *
MA.dif. V
MA,adv. v
í
[dx
V o lu m e n d e c o n tro l
•
dy
* 1
p a r a la c o n s e r v a c ió n d e
e s [ e c i e s e n la c a | a lim ite d e c o n c e n t r a c ió n
b id im e n s in n a l.
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
Universidad Simón Bolívar - Sede u ...urai
301
C apítulo 6 ■ Introducción a la convección
afectada por las reacciones químicas, y designamos la rapidez, a la que se genera la
sa de la especie A por unidad de volumen debida a tales reacciones como ñA.
La velocidad neta a la que la especie A ingresa en el volumen de control debido:
la advección en la dirección v es
3 ( p Aw)
^ d A , adv, x
^ d A , adv, x + d x
dy
(PAm) +
(p fiM ) ^
3 ( p Atf)
dx dy
dx
De manera similar, al suponer un fluido incompresible (p constante) y usar la ley
Fick (ecuación 6.21) para evaluar el flujo de difusión, la velocidad neta a la que lai
pecie A ingresa en el volumen de control debido a la difusión en la dirección x es
A*a. dif, *
MA. dif, x + d x =
-
—D AB
3 /
dpA
dx
^
3pA
-D
dy
AB dx ,
dwpA
p
d (
^P a . j
dy =
\
dx
dx dy
(M
Hay expresiones similares a las ecuaciones 6.47 y 6.48 para la dirección y.
Con referencia a la ligura 6.14, el requerimiento de conservación de las especie;
•
•
^ d A . adv, x
•
M a , adv, x + d x
A , dif. ji
•
^ A , adv, y
M
a
. dif. x + d x
^ A , adv. y + d y
^ A .d if .y
^ A . dif , y + d y
^ A , g — 0
Al sustituir de las ecuaciones 6.47 y 6.48, así como de las formas similares parala
rección >, se sigue que
d ( p Au)
3 (P a M )
dx
+
dy
d /
dpA\
= — I D ab— ) +
dx[
d(
dpA
dy
AB dx
1+
(63
Una forma más útil de esta ecuación se obtiene al expandir los términos del lado
quierdo y sustituir de la ecuación global de continuidad (6.25). Si la densidad de
total p se supone constante, la ecuación 6.50 se reduce a
3pA
3p A
3pA
3
= — ID AB
u —— + v
dx
dx
dy
dx'
3 /
+
m
3pA
0ab"3 7
+
(6
o en forma molar
3C a ^
dCA
U—
+ v
C/X
E jE M
3 /
3C A
~ 3 * \ AB d x
3 /
+ ^ K
3C a
- a T 1 + WA
(6.
IT O 6 . 4
Una de las pocas situaciones en la que es posible obtener soluciones exactas pan,
ecuaciones de transferencia por convección incluye lo que se denomina jlujo par,
En este caso el movimiento del fluido es sólo en una dirección. Considere un c
pccial de flujo paralelo que incluye una placa estacionaria y una móvil de exten
6 . t ■ Ecuaciones para la transferencia por convección
305
finita separadas por una distancia L, con el espacio de en medio lleno con un fluido in­
compresible. bsta situación se denomina flujo de Couctte y ocurre, por ejemplo, en una
chumacera.
1. ¿Cuál es la forma apropiada de la ecuación de continuidad (ecuación 6.25)?
2. Comenzando con la ecuación de momento (ecuación 6.34), determine la distribu­
ción de velocidades entre las placas.
3. Comenzando con la ecuación de energía (ecuación 6.46), determine la distribución
de temperaturas entre las placas.
4. Considere condiciones en las que el fluido es aceite de motor con L = 3 mm. La
velocidad de la placa móvil es U = 10 m/s, y las temperaturas de las placas esta­
cionaria y móvil son T0 = 10°C y TL — 30°C, respectivamente. Calcule el flujo de
calor para cada una de las placas y determine la temperatura máxima en el aceite.
S o l u c ió n
S e co n o ce :
Flujo de Couette con transferencia de calor.
E n co n tra r:
1. La forma de la ecuación de continuidad.
2. Distribución de la velocidad.
3. Distribución de temperaturas.
4. Flujos de calor superficiales y temperatura máxima para las condiciones estable­
cidas
E squem a:
Placa
Placa
estacionaria
S u posicion es:
1. Condiciones de estado estable.
2. Flujo bidimensional (sin variaciones en z).
3. Fluido incompresible con propiedades constantes.
4. No hay fuerzas de cuerpo.
5. No hay generación interna de energía
P ro p ied a d es: Tabla A.8, aceite de motor (20°C): p — 888.2 kg/m’, k — 0.145 W/m ♦
K, u = 900 X 10 '6 m2/s, p = v p = 0.799 N • s/m2.
A nálisis:
1. Para un fluido incompresible (p constante) y flujo paralelo (v = 0), la ecuación
6.25 se reduce a
3u
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
Universidad Simón Bolívar - Sude leí Litoral
C apítulo 6 ■ Introducción a la convección
La implicación importante de este resultado es que, aunque depende de v, el c
ponente \ de la velocidad u es independiente de x. Se dice entonces que el ca
de velocidad está desarrollado p o r com pleto.
2. Para condiciones de estado estable bidimensionales con v = 0. (duldx ) = OyX
0, la ecuación 6.34 se reduce a
du
»-!4
P
d\ j
Sin embargo, en el flujo de Couette, el movimiento dc un fluido se mantiene»
el gradiente de presión, dp/dx . sino por una fuerza externa que proporciona el
miento de la placa superior con relación a la placa inferior. De aquí (dp/dx) = n
consecuencia, con viscosidad constante, la ecuación de momento x se reduce a
d 2u
=
0
d \:
La distribución de velocidad que se desea se obtiene resolviendo esta ecuaciú
integrar dos veces, obtenemos
u(y) = C,v + C2
|
donde C\ y C 2 son las constantes de integración. Al aplicar las condición
frontera
z/(0) = 0
u(L) — U
se sigue que C2 — 0 y C] = U/L. La distribución de velocidad es entonces
«('■ )=—t/
L
3. La ecuación de energía (6.46) se simplifica para las condiciones establecí
particular para condiciones de estado estable bidimensionales con v = 0, (elui
y c¡ = 0, se sigue que
dT
d
k— +— k —
p c r u T x = l h < dx , dy , d y )
---
Sin embargo, como las placas superior e inferior están a temperatura unifef
campo de temperaturas también debe estar desarrollado por completo, eneso ( dTIdx) = 0. Para conductividad térmica constante la forma apropiada
ecuación de energía es, entonces,
d 2r
o ,e 2
dy
dy)
0 = k ~—
~ +p
La distribución dc temperaturas deseada se obtiene resolviendo esta ecua
reacomodar y sustituir para la distribución de velocidades.
d 2T
(d u \2
k i / = ~ p dv
Al integrar dos veces, obtenemos
(U ^2
U
6 .4
■ Ecuaciones para la transferencia por convección
307
Las constantes de integración se obtienen de las condiciones de frontera
T( 0) = T0
7 (L) = T l
en cuyo caso
C4 - T0
Cl = Z W o + ^ 2k L
y
y
T (y ) = T0 + - ^ - U z
2k
y
Z
Í2 '
H T l -T 0)
v
<3
4. Conociendo la distribución de temperaturas, los flujos de calor de la superficie se
obtienen al aplicar la ley de Fouricr. De aquí
—i ,tT
=
q =
■
i
2k
ll\
y
En las superficies inferior y superior, respectivamente, se sigue que
q
LiU2
k
2L
L
liü 2
---------- (7/ -7 o )
'
k
En consecuencia, para los valores numéricos establecidos,
0.799 N s m 2 x 100 m 2 s2
0.145 W/m • K
2 x 3 x 10 3 m
3 x 10~3 m
% =
(3 0 -1 0 ) C
q'0 = -13.315 W /m2 - 9 6 7 W/m2 = -14.3 kW/m2
<1
q L =+13,315 W /m2 - 9 6 7 W /m 2 = 12.3 kW /m2
<1
La posición de la temperatura máxima en el aceite puede derivarse del requeri­
miento de que
T, - T0
! £ = J L U 2 (] l _ W + —
—= 0
dx
2k
1 L L2
Al resolver para y se sigue que
.Vmáx
k 2 ( TL - T , ) + X
HU
o para las condiciones establecidas
0.145 W/m -K
^'rriáx —
0.799 Ns / m~ x 100m 2/s2
(30-10)°C + - L = 0.536L
Al sustituir el valor de ymáx en la expresión para T(y) se sigue que
7máx = 89.3°C
C om entarios:
1. Dado el fuerte efecto de la disipación viscosa para las condiciones establecidas, la
temperatura máxima ocurre en el aceite y hay transferencia de calor a la placa ca-
llm f^ m ll'
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTtUA
Universidad Simón Bolívar Sede del Litoral
308
C apítulo 6 ■ Introducción a la convección
líente, así como a la fría. La distribución de temperaturas es una función de la
cidad de la placa que se mueve, y el efecto se muestra a continuación en forma
quemática.
Para velocidades menores que U \, la temperatura máxima eorresponde a a de
placa caliente: para U = 0 no hay disipación viscosa, y la distribución de tenr
turas es lineal.
2. Reconozca que las propiedades se evaluaron en T = ('T¡ + Tf)¡2 = 20°C, que
es una buena medida de la temperatura promedio del aceite. Para cálculos mac
cisos, las propiedades deben evaluarse en un valor más apropiado de la tempe­
ra promedio (por ejemplo, T ~ 55°C), y los cálculos deben repetirse.
6*5
Aproximaciones y condiciones especiales
Las ecuaciones de la sección anterior proporcionan una explicación completa de
procesos físicos que influyen en las condiciones de las capas limite hidrodinámica,
mica y de concentración estables bidimensionales. Sin embargo, es rara la situación
que necesite considerarse la totalidad de los términos, y es normal trabajar confr
simplificadas de las ecuaciones. La situación usual es aquella en que la capa lími
caracteriza como: incom presible (p es constante), con propiedades constantes(k
etc.) y fu e rza s de cuerpo insignificantes (X = Y = 0), no reactivas (riA = 0) y sin
ración de energía (q = 0).
Es posible llevar a cabo simplificaciones adicionales recordando lo que sec
como aproxim aciones de capa límite. Como los espesores de la capa limite no
mente son muy pequeños, se sabe que se aplican las siguientes desigualdades
u> v
du
du
dv
dv
dy
d x ' d y ' dx
dT
dT
dy
dx
d e ,a
3C /
dy
dx
Capa límite de velocidad
o hidrodinámica
Capa límite
térmica
Capa límite de
concentración
6 .5
■ Aproximación*'* > condiciones nsperiales
300
Es decir, el componente de velocidad en dirección a lo largo de la superficie es mucho
mayor que el de la normal a la superficie, y los gradientes normales a la superficie son
mucho mas grandes que los gradientes a lo largo de la superficie. Los esfuerzos norma­
les dados por las ecuaciones 6.31 y 6.32 son entonces insignificantes, y el único com ­
ponente relevante del esfuerzo cortante de la ecuación 6 33 se reduce a
r iV = T
(6 53)
=//
Ademas, las transferencias por conducción y difusión de especies para la dirección v
son mucho mayores que las de la dirección a .
Hay que dar atención especial al efecto de la transferencia de especies sobre la ca­
pa limite. Recuerde que la producción de la capa limite de velocidad se caracteriza
generalmente por la existencia de velocidad de Huido cero en la superficie. Esta condi­
ción pertenece al componente v de la velocidad normal a la superficie, asi como al
componente v de la velocidad a lo largo de la superficie. Sin embargo, si hay transfe­
rencia de masa simultanea hacia o desde la superficie, es evidente que u y a no puede
ser cero en la superficie. No obstante, para los problemas de transferencia de ma-^a de
interés en este texto, será razonable suponer que u = 0, lo que es equivalente a suponer
que la transferencia de masa tiene un efecto insignificante sobre la capa límite hidrodi­
námica. La suposición es razonable para problemas que implican evaporación o subli­
mación de interfaces gas-liquido o gas-sólido, respectivamente. No es razonable, sin
embargo, para problemas de enfriamiento por transferencia de masa que implican
transferencia de masa de superficies grandes [4]. Además, notamos que, con transfe­
rencia de masa, el fluido de la capa límite es una mezcla binaria de las especias A y B,
> sus propiedades deben ser las de la mezcla. Sin embargo, en todos los problemas de
ínteres CA C B, y es razonable suponer que las propiedades de la capa límite (como k ,
/x, cp%etc.) son las de la especie B.
Con las simplificaciones y aproximaciones anteriores, la ecuación de continuidad
global (6.25) y la ecuación del momento .y (6.34) se reducen a
(hl Bu
— + —=0
<7i dy
Bu
" * +t^
Bu
1 dp
, , _ ..
(654)
B2u
=- p * +uó F
(6 5 5 )
Adem ás, a partir de un análisis del orden de magnitud que lisa las aproxim aciones
de la capa límite de velocidad [2], se m uestra que la ecuación del momento v (6.35)
se reduce a
~
B\
*
(6.56)
=0
Es decir, la presión no \aria en la dirección normal a la superficie. Por ello la presión
en la capa límite depende sólo de .v y es igual a la presión en el flujo libre fuera de la
capa límite. La forma de p(.v), que depende de la geometría de la superficie, se obtiene
entonces a partir de una consideración separada de las condiciones de flujo en el flujo
d epa rta m en to
d e b ib l io t e c a
C apítu lo (» ■ Introducción o la convección
libre De aquí, en lo que toca a la ecuación 6.55, ( d p /d x ) = (dp d \) , y el gradiente
presión se trata como una cantidad conocida.
Con las simplificaciones anteriores, la ecuación de energía (6 46) se reduce a
<JY
dT
d 2T
v 'd u '
U — + V — = a —-r- + —
dx
d\
dx~
(.'
dy J
(6.5
y la ecuación de continuidad de especies (6.52) se convierte en
dC a
ti-—
dx
+
dC ^
ds
_
= D AB
d 2C f
dy2
(6.5
Advierta que el último término del lado derecho de la ecuación 6.57 es lo que queda
la disipación viscosa, ecuación 6.41. En la mayor parte de las situaciones, estelen:
se deja de lado en relación con los que explican la adveccion (lado izquierdo de
ecuación) y la conducción ( primer termino del lado derecho) De hecho, es sólo
llujos sónicos o para el movimiento de alta velocidad de aceites lubricantes que U
pación viscosa no se puede dejar de lado.
Las ecuaciones 6 54, 6.55 y 6.58 se resuelven para determinar las variaciones
pacíales de u. v. T y CA en las diferentes capas límite Para un flujo incompresible
propiedades constantes, las ecuaciones 6.54 y 6.55 están desacoplada ,v de 6.57 j 6
Es decir, las ecuaciones 6.54 y 6.55 se resuelven para el c am po de velot ¡dad. u(x, 4
i/(.v, y), para excluir las ecuaciones 6.57 y 6.58. Del conocimiento de z/(.v. y), seev
el gradiente de velocidad (du/<)y)y - 0, y el esfuer/o cortante en la pared se obtiene de
ecuación 6.15 En cambio, a través de la aparición de // y u e n las ecuaciones 6.5’
6.58, la temperatura y la concentración de especies están acoplada\ con el campo
velocidad Por ello deben conocerse las ecuaciones 6.57 v 6.58 antes de que u(x,í
v (x, y ) se resuelvan para T(x. y) y CA(a. y). Una vez que se obtienen T(x%y) y Q
de tales soluciones, se determinan los coeficientes de transferencia de calor
convección y de transferencia de masa a partir de las ecuaciones 6.17 y 6.20. re
vamente. Se sigue que estos coeficientes dependen en gran medida del campo
velocidad.
Como las soluciones de la capa límite por lo general implican matemáticas
allá del alcance de este libro, nuestro tratamiento al respecto se restringirá al añil
del flujo paralelo M^bre una placa plana isotérmica (sección 7.2 y apéndice E) Sin
bargo, en textos avanzados de convección [5-7J se discuten otras soluciones
y se obtienen soluciones detalladas de la capa límite mediante el uso de técnicas
ricas (diferencias finitas o elemento finito) [8].
No sólo desarrollamos las ecuaciones de la capa límite con el propósito de
soluciones. De hecho, nos motivaron principalmente otras dos consideraciones,
ellas es cultivar una apreciación de los diferentes procesos físicos que ocurren
capas limite. Estos procesos, por supuesto, afectarán Ja fricción de la pared, asi
la transferencia de energía y especies en las capas limite Una segunda motiv
surge del hecho de que las ecuaciones sirven para identificar los parámetros el
sim ilitu d de la ca p a lím ite , asi como a n a lo g ía s importantes entre momento,
transferencia de m a sa
6 .6
■ Similitud de rapas límite
311
6.6
Similitud d e c a p a s lím ite : e c u a c io n e s d e tr a n s fe r e n c ia
por co n vecció n n o r m a liz a d a s
Si examinamos las ecuaciones 6.55, 6.57 y 6 58 con más cuidado, reparamos cn una
fuerte similitud. De hecho, si el gradiente de presión que aparece en la ecuación 6.55 y
el termino de disipación viscosa de la ecuación 6.57 son insignificantes, las tres ecua­
ciones son de la misma forma. Cada ecuación se caí ac te riza por térm inos de advecc ion sobre el lado izquierdo y un térm ino de difusión en el lado derecho Esta situación
describe flu jo s de convección fo rza d a de baja velocidad , que se encuentran en muchas
aplicaciones de ingeniería y ocuparán gran parte de nuestra atención en este texto. Es
posible desarrollar las implicaciones de esta similitud de manera racional haciendo pri­
mero adim ensionales las ecuaciones gobernantes.
(>.(»• 1
P a r á m e t r o s «Ir s im i l it u d d«* la r a p a lim ito
Las ecuaciones de la capa límite se normalizan definiendo primero variables indepen­
dientes adimensionales de las formas
a*
= —
y* = J
y
( 6 .5 9 )
donde L es alguna longitud característica para la superficie de interés (por ejemplo, la
longitud de una placa plana). Además, las variables dependientes adimensionales tam­
bién se definen como
u
v
y
U* = —
(6 6 0 )
donde V es la velocidad a contracorriente de la superficie (figura 6.8), y como
T- T
T*=
(6 6 1 )
*
* 3C
*c
CA - CA s
c a 38
r
(6 6 2 )
Las ecuaciones 6.59 a 6.62 se sustituyen en las ecuaciones 6.55. 6.57 y 6.58 para obte­
ner las formas adimensionales de las ecuaciones de conservación que se muestran en la
tabla 6.1. Advierta que no se toma en cuenta la disipación viscosa y que p* = (p /p V 2)
es una presión adimensional. Las condiciones de frontera que se requieren para resol­
ver las ecuaciones también se muestran en la tabla.
De la forma de las ecuaciones 6.63 a 6.65, se infieren tres parám etros de similitud.
Los parámetros de similitud son importantes pues nos permiten aplicar los resultados
obtenidos para una superficie que experimenta un conjunto de condiciones a superfi­
cies geom étricam ente sim ilares que experimentan condiciones por completo diferen­
tes. Estas condiciones varían, por ejemplo, con la naturaleza del fluido, la velocidad del
fluido y/o con el tamaño de la superficie (determinada por L).
d epa rta m en to
de
Universidad Simón Bol ivar
b ib l io t e c a
c.’ ríp del Llton
C apítulo 6 ■ introducción a la convección
312
T abla 6 .1
Ecuaciones de transferencia por convección y condiciones de frontera cn forma
adiinensional
Ecuaciones de frontera
Ecuación de
conservación
Capa
limite
Velocidad
u
du*
dx*
+ v*
Parámetros
de
Corriente libre
Pared
du *
3yJ
dp*
dx*
+
v d2u*
VL dy*2
u*(x*, 0) = 0
v*(x*, 0) = 0
u*(x*, =c) =
UrxjX*)
dr*
dT*
a d2T*
u*~ -----1- v* ----- = -----------3.1
3v*
VL dy*
T*(x*, 0) = 0
T*(x*, oo) = i
(6.64)
Concentración
dc%
3jc*
. 3c*
a!c*
dy*
VL dy*2
+ v*
V
Re,
(6.66)
(6.63)
Térmica
similitud
ReL,¡
(6.67)
C*(jc*, 0) = 0
C*(x *. ^) = 1
Re[, Se
(6 .68 )
(6.65)
Al comenzar con la ecuación 6.63, observamos que la cantidad v/VL es un
adim ensionat cuyo recíproco se denomina número de Reynolds.
Número ili* KeynohL:
Re¡ =
VL
v
( 6.6
De la ecuación 6.64 notamos también que el término alV L es un grupo adimensia
que se expresa como ( v/V L )(a /v) = (ReL)~ (a fv ). La razón de las propiedades,;
también es adimensional y su reciproco se denomina número de Prandtl.
Número de Prandtl:
Pr = —
a
(
6.1
Finalmente, de la ecuación de continuidad de especies, ecuación 6.65, notamos qufi
término D AtíIVL es equivalente a ( v!V L)(D Ati/v ) = (R c L ) ~ l ( D Atíl v ). La razón DJ i
adimensional y su recíproco se denomina número de Schmidt.
Número de Sclunidl:
Sc =
D AH
(6.1
Con las ecuaciones 6.69 a 6.71 y las ecuaciones de capa límite, ecuaciones 6 ai
y la inclusión de la forma adimensional de la ecuación de continuidad (6.54). elt
junto completo de ecuaciones de capa límite viene a ser
dit * d\ * „
—-----h ~ — —0
dx *
dv *
6 .6
■ Similitud de copas límite
313
(6.73)
dr*
—
cbc*
i
¿rr*
+ V*~z
Dy*
=
d2r*
r-
(6.74)
R eLP r <7v*2
(6.75)
(i.0.2
Forma funcional de las soluciones
Las ecuaciones anteriores son muy útiles desde el punto de vista de que indican cómo
se simplifican y generalizan los resultados importantes de capa limite. La ecuación de
momento (6.73) indica que, aunque las condiciones en la capa límite hidrodinámica
dependen de las propiedades del Huido p y ¡x. la velocidad V y la escala de longitud L,
es posible simplificar esta dependencia agrupando estas variables en la forma del nu­
mero de Reynolds. Por tanto, anticipamos que la solución a la ecuación 6.73 sera de la
forma funcional
(6.76)
Observe que la distribución de presión p*(x*) depende de la geometría de la superficie
y se obtiene de manera independiente considerando las condiciones de flujo en el flujo
libre. Por ello, la aparición de dp*ldx* en la ecuación 6.76 representa la influencia de
la geometría en la distribución de velocidades.
De la ecuación 6 15, el esfuerzo corlante en la superficie, y* = 0, se expresa como
y de las ecuaciones 6.14 y 6.69 se sigue que el coeficiente de fricción es
2
du*
(6.77)
De la ecuación 6.76 también sabemos que
Así. para una geom etría establecida, la ecuación 6 77 se expresa como
2
Cf = — f 2{x** R eD
KeL
(6.78)
La importancia de este resultado no debe pasarse por alto. La ecuación 6.78 afirma
que el coeficiente de fricción, parámetro adimensional de importancia considerable pa
ra el ingeniero, se expresa exclusivamente en términos de una coordenada espacial adi-
314
C apítulo 6 ■ Introducción a la convección
mensional y del numero de Reynolds Por consiguiente, para una geometría establecida
esperamos que la función que relaciona C j con x* y R eL se aplique universalmente h
decir, esperamos que se aplique a diferentes fluidos y sobre un amplio intervalo de va­
lores de V7 y L.
Resultados similares se obtienen para los coeficientes de convección dc calor yf
transferencia de masa. De manera intuitiva, es posible anticipar que /? depende de i
propiedades del fluido (k, cp, ¡jl, y p), la velocidad del fluido V, la escala de longitud!
y la geometría de la superficie. Sin embargo. la ecuación 6.74 sugiere la manera en|
que se simplifica esta dependencia. I n particular, la solución a esta ecuación se exp
sa en la forma
dp*
T * = f 3 [ x * i y * ,R e L, P r ,
(67!
dx*
donde la dependencia respecto a d p * ld x * se origina de la influencia del movimicntoi
fluido (w* y u*) sobre las condiciones térmicas. Una ve/ mas el termino dp*ldx rep
senta el efecto de la geometría de la superficie. De la definición del coeficiente de|
vección, ecuación 6.17, *y de las variables adimensionales, ecuaciones 6 59 0v
también obtenemos
h =
k f (T« - T.) 9
kf dT *
L (T . - T J dy*
L dy*
v*=0
Esta expresión implica definir un parámetro adimensional dependiente que sedei
na número de Nusselt.
N ú m e ro tle N usselt:
Nu
hL
------- +
dr *
ch *
Este parámetro es igual al gradiente de temperatura adimcnsional en la super
proporciona una medida de la transferencia de calor por convección que ocurre ¡
superficie. De la ecuación 6.79 se sigue que, p ara una geom etría establecida.
Nu
= / 4 (a * , / ? c¿ ,
Pr)
El numero de Nusselt es para la capa límite térmica lo que el coeficiente i
ción es a la capa límite de velocidad. La ecuación 6.81 implica que para una ge
dada, el numero de Nusselt debe ser alguna/wnc/V>/7 univer sal de a * , Re¡ y Pr Sii
nociera esta 1unción, serviría para calcular el valor de Nu para diferentes fluidos ]
diferentes valores de V y L. Del conocimiento de N u. se puede encontrar el cc
de convección local h y entonces se calcula el flujo dc calor local a partir de la<
ción 6.1 Además, como el coeficiente de transferencia de calor promedio se i
integrar sobre la superficie del cuerpo, debe ser independiente de la variable i
v*. De aquí se sigue que la dependencia funcional del número de Nusselt prom
Nu =
= f<i(R e L, P t )
kf
De manera similar, se argumenta que, para la transferencia de masa en uní
gas sobre un liquido que se evapora o un sólido que se sublima, el coeficientedet
6 .6
■ Similitud de capas límite
315
le rene ia de masa por convección hm depende de las propiedades DAB, p y p , la veloci­
dad V y la longitud característica L. Sin embargo, la ecuación 6.75 indica que es posi­
ble simplificar esta dependencia. La solución a esta ecuación debe ser de la forma
dp*
CX =
fjx*.y*, R eL,
(6.83)
dx*
donde la dependencia respecto a dp*lcLx* se origina de nuevo de la influencia del movi­
miento del fluido. De la definición del coeficiente de convección, ecuación 6.20, y de
las variables adimensionales, ecuaciones 6 59 y 6.62. sabemos que
^A B (^A.
ni
L
^AB
C*A. s) d C
(CA . - CA>O0) dy
L
>■—0
dy*
v*=0
De aquí es posible definir un parámetro adimensional dependiente que se denomina
número de Sherwood (Sh).
IVú m cro de Sherw ood:
S ¡ ,s '2 s L = 3 C \
3\ *
D AB
(6.84)
v*=0
Este parámetro es igual al gradiente de concentración adimensional en la superficie, y
proporciona una medida de la transferencia de masa por convección que ocurre en la
superficie. De la ecuación 6.83 se sigue que. para una geom etría establecida ,
Sh = f 7(x*, R eL, Se)
(6.85)
El número de Sherwood es a la capa límite de concentración lo que el número de
Nusselt es a la capa límite térmica, y la ecuación 6.85 implica que debe ser una función
universal de .v*, R eL y Se. Como en el caso del número de Nusselt, también es posible
trabajar con un numero de Sherwood promedio que depende solo de ReL y Se
= fx (R e L ,5 0
Sh =
(6 86)
^AB
Del desarrollo anterior obtuvimos los parámetros adimensionales relevantes para
capas límite de convección forzada y de baja velocidad. Lo realizamos al expresar en
forma adimensional las ecuaciones diferenciales que describen los procesos físicos
dentro de las capas limite. Un enfoque alternativo incluiría el uso del análisis dimen­
sional en la forma del teorema pi de Buckingham [9|. Sin embargo, el éxito de este
método depende de la habilidad para seleccionar, principalmente de la intuición, los di­
versos parámetros que influyen en un problema. Por ejemplo, al conocer de antemano
que h = j{ k , cp, p, p., V , L), se utiliza el teorema pi de Buckingham para obtener la
ecuación 6.82. Sin embargo, al comenzar con la forma diferencial de las ecuaciones de
conservación, eliminamos el trabajo de adivinar y establecimos los parámetros de simi­
litud de forma rigurosa.
El valor de una expresión como la ecuación 6.82 debe apreciarse por completo
Establece que los resultados de la transferencia de calor por convección, obtenidos teó­
rica o experimentalmente, se representan en términos de tres grupos adimensionales,
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
Un v/„isiUuü oriiion oonvur - Sede
<
C apítulo 6 ■ Introducción a la convección
en lugar de los siete parámetros originales. La conveniencia que proporcionan estas
simplificaciones es evidente. Ademas, una vez que se obtiene la forma de la dependen­
cia funcional de la ecuación 6.82 para una geometría superficial particular, digamos a
partir de mediciones de laboratorio, se sabe que es aplicable de forma universal. Por
esto queremos decir que es posible aplicarla a diferentes fluidos, velocidades y escalas
de longitud, mientras las suposiciones implícitas en las ecuaciones de la capa limite
original sigan siendo válidas (por ejemplo, fuerzas insignificantes de cuerpo y ded
pación viscosa)
E jem plo 6 . 5
Las pruebas experimentales sobre una parte del álabe de turbina que se muestra indic*^
un flujo de calor hacia la hoja de q" = 95,000 W/m2. Para mantener una tempera
superficial en estado estable de 800 C, se elimina el calor que se transfiere al álabe
ciendo circular un fluido refrigerante dentro del mismo.
q"
= 95 kW/m2
Canal del fluido refrigerante
= 160 m/s
7 * = 1150°C
V
Condiciones
originales
1. Determine el flujo de calor que llega al álabe si la temperatura se reduce a 700*
al aumentar el flujo de fluido refrigerante.
2. Determine el flujo de calor en la misma posición adimensional para un alabe
turbina similar que tiene una longitud de cuerda L — 80 mm, cuando el álabe op*
ra en un flujo de aire a Tx — 1150°C y V = 80 m/s, con Ts = 800°C.
Son
p ió n
Se conoce:
Condiciones de operación de un alabe de turbina enfriada intérname
E n c o n tr a r :
1. Flujo de calor hacia el alabe cuando se reduce la temperatura de la superficie.
2. Flujo de calor hacia un álabe de turbina mas larga de la misma forma con.vel
dad de aire reducida.
E squem a:
160 m/s ▼▼t
7-oc = 1150°C
V
=
—
Caso 1
L
7 ; i = 700°C
V2 = 80 m/s
111
"
Tr
40 mm
Caso 2
V
Ts
= 800°C
6 .6
■ Similitud de capas límite
317
S u p o s ic io n e s :
1. Condiciones de estado estable
2. Propiedades del aire constantes.
A n á lisis:
1. De la ecuación 6.81 se sigue que, para la geometría establecida,
hL
N u= —
k
= f 4(x*, R eL, P r )
Por tanto, como no hay cambio en x* , R eL o P r asociados con un cambio en Ts pa­
ra propiedades constantes, el numero de Nussclt local no cambia Además, como L
y k tampoco cambian, el coeficiente de convección local permanece igual. El flujo
de calor que se desea para el caso 1 se obtiene entonces a partir de la ley de enfria­
miento de Nevvton
q'[ = fhiToo - 7\),
donde
q"
_
H'~ ( T „
De aquí
a "(T
q'
- T ),
(1150 - 700)°C
£ i ---- 95 ooo w / 2^----------------------( r „ - T ,)
’
(1150 - 800)°C
122,000 W /m 2
<1
2. Para determinar el flujo de calor asociado con el álabe más largo y el flujo de aire
reducido (caso 2), advertimos primero que, aunque L aumenta por un factor de 2,
la velocidad disminuye por el mismo factor y el número de Reynolds no cambia.
Es decir,
v2l 2
vl
R e 1 ^2 ~
R ^l
En consecuencia, como x* y P r tampoco cambian, el numero de Nussclt local per­
manece igual.
N u2 — N u
Sin embargo, como la longitud característica es diierente, el coeficiente de convec­
ción cambia, donde
h 2L 2
-L -L =
k
hL
k
o
. L
q"
L
h2 = h— = — ------— —
L2 (Too T9) L2
El flujo de calor es entonces
q2 ~ h2(Too
Ts)
(T’oo " T¿ L
q ^ —7 ) L
0.04 m
.
A = 95,000 W/m2 X — — = 47,500 W/nr
*1
0.08 m
<1
DEPARTAMENTO DE BlBLlOítOA
Universidad Simón Bol iva- Bode dol Utora'
318
C a p ítu lo 6
■ introducción a la convección
Si el numero de Reynolds para las dos situaciones de la parte 2 noe
el mismo, es decir, Re¡ 2 ^ R e¡ , el flujo de calor q'{ sólo se obtiene si la forma parto,
lar de la función f 4 se conoce. Este tipo de formas se proporciona para muchas conti
guraciones diferentes en los capítulos siguientes.
C om entarios:
6 .7
Sifpiijti'Ctdo Jísiro de los parám etros adimensionales
Todos los parámetros adimensionales anteriores tienen interpretaciones físicas que
relacionan con las condiciones en las capas límite. Considere el número de Rer
Re (ecuación 6 69), el cual se interpreta como la razón de ias fu erza s de inercia <J
fu e rza s viscosas en la capa límite hidrodinámica. Para un volumen de control d it
cial en esta capa límite, las fuerzas de inercia se asocian con un aumento en el flujo
momento del fluido que se mueve a través del volumen de control De la ecuacf
6.28, es evidente que estas fuerzas son de la forma d[(pu)u ]/c7.v, en cuyo caso
aproximación del orden de magnitud da F¡ ~ pV 2IL. De manera similar, la fu
cortante neta es de la forma d rvx/dv = d[fx(du/dy\/dy y se aproxima como Fs ~ ¡j\f¡j¡
Por tanto, la razón de las fuerzas es
F ,a p y ^ L = pyL =
Fx
pV / L
¡j
Esperamos entonces que las fuerzas de inercia dominen para valores grandes de
que las fuerzas viscosas dominen para R e pequeños
Hay varias consecuencias importantes de este resultado. Recuerde que el nú
de Reynolds determina la existencia de flujo laminar o turbulento. En cualquier
existen pequeñas perturbaciones que se pueden amplificar para producir condic
turbulentas. Sin embargo, para R e pequeños, las fuerzas viscosas son suficiente
grandes con relación a las fuerzas de inercia para evitar esta amplificación. Por ello
mantiene el flujo laminar. Pero, al aumentar Re, los efectos viscosos se hacen
importantes de manera progresiva en relación con los efectos de inercia, y las peq
perturbaciones se amplifican a un punto en el que ocurre la transición. Debemos
rar también que la magnitud del número de Reynolds influya en el espesor 8 de la
límite hidrodinámica. Al aumentar Re en una posición fija sobre una superficie e
mos que las fuerzas viscosas se vuelvan menos influyentes en relación con las fue
de inercia. Por ello, los efectos de la viscosidad no penetran tan lejos en el flujolí
el valor de 8 disminuye.
La interpretación física del número de Prandtl se sigue de su definición como
razón de la difusividad del momento u a la difusividad térmica a. El numero de
proporciona una m edida de la efecto idad relativa del transporte de momento ve
pot difusión en las capas lím ite hidrodinám ica y térm ica . respectivamente Déla
A.4 vemos que el número de Prandtl de los gases es cercano a la unidad, cn cuyo
la transferencia de energía y momento por difusión son comparables. En un mcüi
quido (tabla A.7). P r < 1 y la velocidad de difusión de energía excede granéeme
velocidad de difusión de momento. Lo opuesto es cierto para aceites (tabla A.5l
6 .7
■ Significado físico de los parámetros adimensionales
319
los que P r > 1 . De esta interpretación se sigue que el valor de P r influye fuertemente
en el crecimiento relativo de las capas límite hidrodinámica y térmica. De hecho, para
capas límite laminares (en las que el transporte por difusión no se oscurece por la mez­
cla turbulenta), es razonable esperar que
8
— « P rn
O/
(6.87)
donde n es un exponente positivo. De aquí, para un gas 8, = 8: para un metal líquido
8, > 8: para un aceite 8,
8.
De manera similar, el núm ero de Schm idt , que se define por la ecuación 6.71, pro­
porciona una m edida de la efectividad relativa del transporte de m om ento y masa por
difusión en las capas lím ite hidrodinám ica v de concentración , respectivamente. Por
consiguiente, para la transferencia de masa por convección en flujos laminares, deter­
mina los espesores relativos de las capas límite de velocidad y concentración, donde
8
— « S cn
(6.88)
Otro parámetro, que está relacionado con P r y 5c. es el núm ero de Lew is (Le). Se defi­
ne como
a
Le"
Se
B = Tr
<6 í i 9 >
y es relevante para cualquier situación que incluya la transferencia simultánea de calor y
masa por convección. De las ecuaciones 6.87 a 6.89 se sigue entonces que
5,
— « L en
uc
(6.90)
Así. el número de Lewis es una medida de los espesores relativos de las capas límite
térmica y de concentración. Para la mayor parte de las aplicaciones es razonable supo­
ner un valor de n = 1/3 en las ecuaciones 6.87, 6.88 y 6.90.
La tabla 6.2 enumera los grupos adimensionales que aparecen con frecuencia en
los textos sobre transferencia de calor y masa. La lista incluye grupos ya considerados,
así como los que se introducirán para condiciones especiales. Conforme se enfrente a
un grupo nuevo, apréndase de memoria su definición e interpretación. Advierta que el
num ero de G ra sh o f proporciona una medida de la razón de las fuerzas de empuje a las
fuerzas viscosas cn la capa límite hidrodinámica. Su papel en la convección libre (capí­
tulo 9) es, con mucho, el mismo que tiene el número de Reynolds en la convección for­
zada. LI núm ero de Eckert proporciona una medida de la energía cinética del flujo en
relación con la diferencia de entalpias a través de la capa límite térmica. Juega un pa­
pel importante en flujos de alta velocidad para los que la disipación viscosa es signifi­
cativa. Tenga en cuenta también que. aunque similares en forma, los números de
Nusselt y Biot difieren en definición e interpretación. Mientras que el número de Nusselt se define cn términos de la conductividad térmica del fluido, el número de Biot se
basa en la conductividad térmica del sólido, ecuación 5.9.
320
C a p ítu lo 6
■ Introducción a ln convección
T abla 0 .2
Grupos adim ensionales seleccion a d o s de transferencia
de calor v masa
Grupo
Definición
Numero de Biot
*7
Número de Biot
para transferencia
de masa (Bim)
(Bo)
D AB
gipt - Pv)E2
cr
p V 12
V2
Número de Fckcrt
cP(Ts - r j
Numero de Fourier
at
(F o)
77
Numero de Fourier
para transferencia
de masa (F om)
(/>
( lJ D ) ( p u J2 l )
Razón de las fuerzas de empuje a las viscosas.
v2
St P r ™
Factor j de Colburn
)
Coeficiente de transferencia de calor adimen
Stm Se™
Factor i de Colburn
(./,«)
cn(T< - r sat)
Número de Jakob
(J a )
Razón de las difusividades térmica y de masa.
D AB
(Le)
hL
Número de Nusselt
Gradiente de temperatura adimensional en la
superficie.
(N u l )
Numero de Pcclet
(P eL)
VL
= R eL P r
a
V
c„P-
Número de Prandtl
Parámetro de transferencia de calor indepe
adimensional.
Razón de las difusividades de momento y t
a
(P r)
VL
Número de Reynolds
Ra/ón de las fuerzas de inercia y viscosas.
v
(R eL)
V
Número de Schmidt
(Se)
Dab
Número de Shcrwotxi
KL
(Sin)
D AB
Número de Stanton
Coeficiente de transferencia de masa
adimensional.
Razón de energía sensible a latente absorbida
durante el cambio de fase líquido-vapor.
a
Número de Lcwis
(St)
Caída de presión adimensional para (lujo inte
g P (T , - T j e
(G rL)
h
Energía cinética del flujo en relación con la
diferencia de entalpias de la capa límite.
Razón de la rapidez de conducción de calora
la rapidez de almacenamiento de energía term
en un sólido. Tiempo adimensional.
Razón de la rapidez de difusión de especies a
la rapidez de almacenamiento de especies.
Tiempo adimensional.
~77~
Número de Grashof
U
Ra/ón de las fuerzas gravitacional y de tensión
superficial.
Fsfuerzo cortante superficial adimensional
(Cf )
Factor de fricción
Razón de la resistencia interna de transferencia de
especies a la resistencia de transferencia de
especies de la capa límite.
h j*
Coeficiente
de fricción
(Ec)
Razón de la resistencia térmica interna de un
sólido a la resistencia térmica de la capa límite.
hL
m
Numero de Borní
Interpretación
Razón de las difusividades de momento y
de masa.
Gradiente de concentración adimensional en
la superficie.
h
N ul
pVcp
R eL P r
Numero de Nusselt modificado.
6 .8
321
■ A n a lo g ía s d e la c a p a lím ite
T a b la 6 .2
C o n tin u a c ió n
G rupo
Definición
Numero de Stanton
para transferencia
de masa
Interpretación
hm
ShL
V
ReL Se
Numero de Sherwood modificado.
(S U
Número de Weber
p V 2L
cr
Razón de las fuerzas de inercia a las de tensión
superficial.
<U
\nalogias d e la c o p a lím ite
Como ingenieros, nuestro interés en el comportamiento de la capa límite se dirige prin­
cipalmente hacia los parámetros adimensionales Cf, N u. y Sh Del conocimiento de es­
tos parámetros, se calcula el esfuerzo cortante de la pared y las transferencias de calor
y masa por convección Por tanto, es comprensible que las expresiones que relacionan
Cf, N u y Sh sean entre sí herramientas útiles en el análisis de convección listas expre­
siones están disponibles en la forma de analogías de capas lím ite .
6.8.1
Analogía de la transferencia de calor y masa
Si dos o más procesos están gobernados por ecuaciones adimensionales de la misma
forma, se dice que los procesos son análogos. Claramente entonces, de las ecuaciones
6.64 y 6.65 y de las condiciones de frontera, ecuaciones 6.67 y 6.68, de la tabla 6.1, las
transferencias de calor y de masa por convección son análogas. Cada una de las ecua­
ciones diferenciales se compone con términos de adveccion y difusión de la misma
forma. Además, como se muestra en las ecuaciones 6 74 y 6.75, cada ecuación está re­
lacionada con el campo de velocidades por medio de R e L, y los parámetros P r y Se to­
man papeles análogos. Una consecuencia de esta analogía es que las relaciones
adimensionales que gobiernan el comportamiento de la capa límite térmica deben ser
las mismas que las que gobiernan la capa limite de concentración. Por ello, los perfiles
de temperatura y concentración de la capa limite deben ser de la misma forma funcional
Recordando el análisis de la sección 6.6.2, cuyas características se resumen en la
tabla 6.3, de la analogía de transferencia de calor y masa se obtiene un resultado im­
portante. Del párrafo precedente, se sigue que / 3 de la ecuación 6.79 debe ser de la
misma forma q u e /6 de la ecuación 6.83. De las ecuaciones 6.80 y 6.84 se sigue enton­
ces que los gradientes de temperatura y concentración adimensionales evaluados en la
superficie y, por tanto, los valores de Nu y Sh, son análogos. Es decir, / 4 de la ecuación
6.81 es de la misma forma q u e /7 de la ecuación 6.85. De manera similar, las expresio­
nes para los números de Nusselt y Sherwood promedio, que incluyen las funciones f 5 y
/ 8 de las ecuaciones 6.82 y 6.86, respectivamente, también son de la misma forma. Ln
consecuencia, las relaciones de transferencia de caJoi y m asa para una geom etría
particular son intercam biables . Si. por ejemplo, se lleva a cabo un conjunto de experi­
mentos de transferencia de calor para determinar la forma d c / 4 de una geometría de
superficie particular, los resultados sirven para la transferencia de masa por convección
que implique la misma geometría, reemplazando simplemente N u con Sh y P r con Se
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o. a 1
322
Capítulo 6 ■ In tro d u c c ió n a la c o n ve cc ió n
TABLA 6 . 3
R elacion es funcionales relacionadas con las analogías de las capas lím ite
d p*
u* = / , **, v*, R e ,,
2
Ct -
dx* )
(6.76)
(6.79)
du*
/
dp*\
C% = / 6Íx*, y*, R e „ Se, — J
dp * \
T* = f J x*, y * , Re, , Pr,
dx*
hl
\r.
__ —
N
Ret dy* v* = 0
i.
k
(6.83)
dT*
d y*
5 / j
y * ”
hmL
=
+
^C *
ay [
0
(6 84)
(6.80)
Sh = f 7(x*, ReL, Se)
Nu = f 4(x*, Re¡ , Pr)
f 2(x*, R et )
=
DAB
(6.77)
R e,
Masa
Transferencia de calor
Flujo de fluido
6.85}
(6.81)
(6.78)
Sh = U R e L,S c )
Nu = f 5(Re¡ , Pr)
6 86)
(6.82)
- 3
La analogía también es útil para relacionar de forma directa los dos coeficientes
convección. En los capítulos siguientes encontraremos que N u y Sh por lo general s
proporcionales a Pr11 y Se", respectivamente, donde n es un exponente positivo menor
que 1. Para anticipar esta dependencia, usamos las ecuaciones 6.81 y 6.85 para obtener
Nu = f 4 ( a * . ReL)Prn
Sh = f 1 (x * .R e L)Scn
en cuyo caso
*
'
7T = / 4(-* ,R e L ) = f 1( x
Nu
Pr
Sh
=—
(6.911
Al sustituir de las ecuaciones 6.80 y 6.84 obtenemos
h L /k
p rn
hmL /D AB
Scn
o, dc la ecuación 6.89.
h
p e ¡} L e
0 M Len
\-n
(6.92)
Este resultado a menudo sirve para determinar un coeficiente de convección, por ejem­
plo, hm, a partir del conocimiento del otro coeficiente. La misma relación se aplical
los coeficientes promedio h y h m, y sirve en el flujo turbulento, así como cn el lamin*
Para la mayor parte de las aplicaciones es razonable suponer un valor de n =
E je m pl o 6 . 6
Un sólido de forma arbitraria se suspende cn aire atmosférico que tiene una temperan
ra de flujo libre y velocidad de 20°C y 100 m/s, respectivamente. El sólido tiene j
longitud característica de 1 m, y la superficie se mantiene a 80°C. En estas concL
nes. las mediciones del flujo de calor en un punto particular Cv*) sobre la superi*¡
y de la tem peratura en la capa límite sobre este punto ( a * , y * ) revelan valores dt
6 .8
■ Analogías de la capa límite
323
104 W/m2 y 6ü°C, respectivamente. Se llevará a cabo una operación de transferencia
de masa para un segundo sólido que tiene la misma forma, pero una longitud caracte­
rística de 2 m En particular, una delgada película de agua sobre el sólido se evaporará
en aire atmosférico seco que tiene una velocidad de flujo libre de 50 m/s, estando el
aire y el solido a una temperatura de 50°C. ¿Cuáles son la concentración molar y el flujo
molar de especies del vapor de agua cn una posición (x*, y*) que corresponde al punto
en el que se realizaron las mediciones de temperatura y flujo de calor en el primer caso?
S o l u c ió n
La temperatura y flujo de calor de una capa límite cn un lugar sobre un
sólido en un flujo de aire de temperatura y velocidad establecidas.
Se conoce:
La concentración y el flujo de vapor de agua asociados con la misma
posición sobre una superficie más grande de la misma forma.
E n c o n tr a r :
E squem a:
\
Caso 1: transferencia de calor
/ ~ C h {x*,y*)
Caso 2: transferencia de masa
S u p o s ic io n e s :
1. Comportamiento de capa límite incompresible bidimensional de estado estable;
propiedades constantes.
2. Las aproximaciones de capa límite son válidas.
3. Disipación viscosa insignificante.
4. La fracción molar del vapor de agua en la capa limite de concentración es mucho
menor que la unidad.
P r o p ie d a d e s : Tabla A.4, aire (50°C): v = 18.2 X 10 6 m2/s, k = 28 X 10-3 W/m •
K, P r = 0.70. Tabla A.6, vapor de agua saturado (50°C): pA sat = v,~l = 0.082 kg/m3.
Tabla A.8, vapor de agua-aire (50°C): DAB *» 0.26 X 10~4 nr/s.
La concentración molar y el flujo deseados se determinan recurriendo a la
analogía entre transferencia de calor y de masa. De las ecuaciones 6.79 y 6.83, sabe­
mos que
A n á lisis:
T -T s
(
dp*
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■ introducción a la conrección
C a p itu la 6
Ca
C *A~
^
A
Ct
Ca .s
z ^ r hix*'y*-ReL'Sc-^)
Sin embargo, para el caso 1
V,L,
R e L. 1 —
100 m/s X 1 m
= 18.2 X 10»-6 ~
/. = 5.5 X 106,
m2 /s
v
P r = 0.70
mientras que para el caso 2
V-yL,
50 m/s X 2 m
Reu 2 = ------= ___________ *
= 5.5 X 106
18.2 X 10 m2/s
v
v
Se =
D AB
18.2 X 10 m /s
= 0.70
26 X 10-6 m2/s
Como R eL | = /-' P r = 5c, x* = a*. y* = J *, y las geometrías de las superficies >on
mismas, se sigue q u e / j = / ír De aquí
CA(**, y*) - CA. ,
^ a. «
o, con CA oo
60-80
= 0.33
20-80
T (x * t y * ) - T m
CA. ,
0,
Ca (a*,v*) = Ca . 5(1 - 0.33) = 0.67 C K s
Con
„
„
P a.sat
0.0 8 2 kg/m 3
3
CA ,j= CA.Sa,(S° C) = — ----- = — —
= 0.0046 kmol/m
11A
18 kg/kmol
se sigue que
CA(**, >’*) = 0.67(0.0046 kmol/m3) = 0.0031 kmol/m3
El flujo molar se obtiene de la ecuación 6.7
/Va(a*) = hm(C K s - C A. co)
con hm evaluado de la analogía. De las ecuaciones 6.81 y 6.85 sabemos que, cc
= a * . R eL ! = R eL 2 y ? r — 5V, se sigue q u e / 4 = / 7. De aquí
hLx
= Nu = — —
Sh =
^AB
^
s — Ta) de la ley de enfriamiento de Newton,
Con /i =
_
•/ti
¿i
0 AB
¿T * "T~ X
<7
(7; -
k - 4
1
r.)
= —
2
2 i
0.26 x 10“a m2/s
X
------------------------- x
0.028 W/m • K
hm = 0.077 m/s
Por tanto.
N ’a ( x * )
= 0.077 m/s (0.0046 - 0.0) kmol/m3
o
N'Á(x*) = 3.54 X 10 4 kmol/s • m2
104 W/m!
(80 -
20ffl
6 .8
■ Analogías de la capa límite
325
Comentarios: Reconozcamos que, como la fracción molar del vapor de agua en la
capa límite de concentración es pequeña, la viscosidad cinemática del aire (i%) se utili­
za para evaluar R eL 2-
6 .8 .2
E n friam ien to ev a p o ra tiv o
Una aplicación importante de la analogía de transferencia de calor y masa es en el pro­
ceso de enfriam iento evaporativo , que ocurre cada vez que un gas fluye sobre un liqui­
do (figura 6.15). La evaporación debe ocurrir a partir de la superficie del líquido, y la
energía asociada con el cambio de fase es el calor latente de vaporización del liquido
La evaporación ocurre cuando moléculas de líquido cerca de la superficie experimen­
tan colisiones que aumentan su energía por arriba de la necesaria para vencer la energía
de unión de la superficie. La energía que se requiere para mantener la evaporación de­
be venir de la energía interna del líquido, que entonces experimenta una reducción de
temperatura (efecto de enfriamiento). Sin embargo, si se mantienen condiciones de es­
tado estable, la energía latente perdida por el líquido debido a la evaporación debe
recuperarse mediante la transferencia de energía al líquido desde sus alrededores. Con­
siderando nulos los efectos de radiación, esta transferencia tal vez se deba a la convec­
ción de energía sensible del gas o a la adición de calor por otros medios como, por
ejemplo, mediante un calentador eléctrico sumergido en el líquido. Al aplicar la con­
servación de la energía a una superficie de control alrededor del líquido (ecuación
1.11a), se sigue que, para un área superficial unitaria,
Q conv
+
<7agr =
tfe v a p
(6 -9 3 )
donde <y"vap se aproxima como el producto del flujo de masa evaporativo y el calor la­
tente de vaporización
<7cvap = « a hfs
(6.94)
Si no se agrega calor por otros medios, la ecuación 6.93 se reduce a un balance en­
tre la transferencia de calor por convección desde el gas y la pérdida de calor evaporativa desde el líquido. Al sustituir de las ecuaciones 6.1, 6.11 y 6.94, la ecuación 6.93 se
expresa como
h ( 7'os -
Ts) = V U P a . s a t( E ) -
P a .o c I
(6 .9 5 )
donde la densidad de vapor en la superficie es la que se asocia con las condiciones sa­
turadas en T . Por ello, la magnitud del efecto de enfriamiento se expresa como
(h
Ts
Flujo de gas
(especie B)
Q onv
/
15^.3 = =
hfg
<7evap
J
[ P a , sai (^Ty )
P a .<»
(6 .9 6 )
Interfaz
gas-liquido
/
-íCapa líquida M
^ (especia A) rJ|
4
Jl
=I
J
"tfagr
F ig u r a 6 .1 5
I n t e r c a m b io d e c a l o r la t e n te y
s e n s i b l e e n u n a in t e r fa z g a s - l íq u id o .
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Un vwrsidad Simón Bolívar - Sede
oral
C apítulo 6 ■ Introducción a ln convección
Al sustituir para (h j h ) de la ecuación 6.92 y para las densidades de vapor de la ley de
gas ideal, el efecto de enfriamiento también se expresa como
(T
T \
V1
J .V>
■4rt a hf„
f. ^ , J 2/3
H pcp Le
^A.sat(T s)
«
Ts
T„
(6.97
En pro de la precisión, las propiedades del gas (especie B) p, Cp y L e deben evaluarse
en la temperatura media aritmética de la capa limite térmica, Tma = (Ts + T«)/2. Sesupone un valor representativo n = 13 para el exponente de Pt y Se de la ecuación 6.9?
La ecuación 6.97 por lo general se aplica con una buena aproximación. Una for
algo menos precisa, pero más cómoda, se obtiene suponiendo que Ts y T 0c son apr
madamente igual a Tma. En consecuencia.
M Ahfg
(7*. - Ts)
<3lcp L e2" p T ma
ÍP a . Sttl(T'jr)
P a . oc]
o, al reconocer que m A < m B, se introduce la expresión ( p T ^ ) = p /9 l/M B de la
ción de estado de un gas ideal para obtener
P a . s«i(7í)
(T x ~ Ts)
cP Le
Pa
(6.
2/3
Numerosas aplicaciones ambientales c industriales de los resultados anteno
surgen en situaciones en las que el gas es aire y el líquido es agua.
E jem plo 6 . 7
Un recipiente, que se envuelve en una tela humedecida de forma continua con uní
do altamente volátil, se utiliza para conservar bebidas frías en regiones ár das calien
Suponga que el recipiente se coloca en aire ambiental seco a 4Ü°C, y que la transfe
cia de calor y masa entre el agente humedecedor y el aire ocurre por convección fr
da Se sabe que el agente humedecedor tiene un peso molecular de 200 kg/mol \
calor latente de vaporización de 100 kJ/kg Su presión de vapor saturado para las
diciones que se establecen es aproximadamente 5000 N /irr, y el coeficiente de difi
del vapor en aire es 0.2 X 10-4 m2/s. ¿Cuál es la temperatura de estado estable de
bebida?
S o l u c ió n
Propiedades del agente humedecedor utilizado para enfriar poreva
ción un contenedor de bebidas.
S e conoce'.
h n c o n lr a r : Temperatura de estado estable de la bebida.
E squem a:
Aire (B)
Agente humedecedor volátil (A)
hfx = 100 kJAg
jttA = 200 kg/kmol
PA. sat (Tj) = 5000 N/m2
Dm = 0.2 x 10 -4 m2/s
= 40°C
é>«, = 0
<
7conv
9evap
6 .8
■ Analogías de la capa límite
327
S u p o s ic io n e s :
1. La analogía de transferencia de calor y masa es aplicable.
2. El vapor muestra un comportamiento de gas ideal.
3. Los efectos de radiación son insignificantes.
4. Las propiedades del aire se evalúan en una temperatura media de la capa limite
que se supone a 300 K
Tabla A 4, aire (300 K): p = 1.16 kg/m3, cp = 1.007 kJ/kg • K, a =
P r o p ie d a d e s :
22 5 X 10-6m2/s.
Sujeto a las suposiciones anteriores, el electo de enfriamiento evaporativo
está dado por la ecuación 6 97.
A n á lis is :
(7U - Tf ) =
P a . sat(^í)
h fg
t^lpc L e
PA
2/3
Al hacer p A w = 0 y reacomodar. se sigue que
t 2
s
-
TccT; + b = o
donde el coeficiente B es
B =
^A^fgPA.
sat
t^lpCp L e 213
o
B = [200 kg/kmol X 100 kJ/kg X 5000 N/m 2 X 1 0 '3 kJ/N • m]
8.315 kJ/kmol • K X 1.16 kg/m 3 X 1.007 kJ/kg • K
22.5 x 10
X
m /s\2/3
20 X 1(T6 m2/s
= 9514 K 2
De aquí
r
± V r i - 4B
313 K ± V (3 1 3 )2 - 4(9514) K
T =
Al rechazar el signo de menos sobre bases físicas ( Ts debe ser igual a T «, si no hay eva­
poración, en cuyo caso P A sa, = 0 y B = 0), se sigue que
T s - 278.9 K = 5.9°C
<
El resultado es independiente de la iorma del recipiente siempre que
se pueda usar la analogía de transferencia de calor y de masa.
C om entarios:
6 .8 .3
Analogía de Reynolds
Es posible obtener una segunda analogía de capa límite al observar en la tabla 6 1 que,
para d p * /d \* = 0 y P r = Se = 1, las ecuaciones de conservación, ecuaciones 6.63 a
6 65, son precisamente de la misma forma. Ademas, como «oc = V si dp*/cLx* = 0, las
condiciones de frontera, ecuaciones 6.66 a 6.68, también tienen igual forma Por consi-
d epa rta m en to
de
b ib l io t e c a
328
C apítulo 6 ■ Introducción a la convección
guíente, las soluciones para //*, T* y
deben ser equivalentes. Es decir, de las ecu®
ciones 6.76, 6.79 y 6.83 de la tabla 6.3, f \ = / 3 = /(,. Además, el coeficiente de fricción,
el numero de Nusselt y el numero de Sherwood están relacionados por el requisito que
f 2 — / a = f , y, de las ecuaciones 6.78, 6.81 y 6.85, concluimos que
Rp
C f — - = N u = Sh
f l
(6.99}
Al reemplazar N u y Sh por el núm ero de Stanton (S t) y por el núm ero de Stantonik
transferencia de m asa (Strn), respectivamente.
Nu
St =
p V cp
S tm =
6.101
Re Pr
h.m
Sh
V
R e Se
6 . 18!
La ecuación 6.99 también se expresa en la forma
C\
'/
St = St m
La ecuación 6.102 se conoce como la analogía de Reynolds, y relaciona los»
metros claves de ingeniería de las capas límite de velocidad o hidrodinámica, temía
y de concentración Si se conoce el parámetro de velocidad, la analogía sirve para»
tener los otros parámetros, y viceversa Sin embargo, hay numerosas restricciaj
asociadas con el uso de este resultado Además de depender de la validez de lasam
ximaciones de capa límite, la exactitud de la ecuación 6.102 depende de hacerPr¿
Se ~ 1 y dp*/dx* ~ 0. Sin embargo, está demostrado que la analogía se aplicaenn
amplio intervalo de P r y Se, si se incluyen ciertas correcciones. En particular las w
logias de R eyn o ld s m odificadas , o de C hilton-C olburn [10. 11], tienen la forma
C
—= S t P r 1 3 =
~ Jh
C,
= S tm S e 2 3 = Jm
0.6 < P r < 60
0.6 < Se < 3000
(
6.1
(6.
donde j H y j m son los fa cto res j de Colburn para transferencia de calor y de mnsíjj
pectivamente Para el flujo laminar las ecuaciones 6.103 y 6.104 sólo son apra
cuando dp*ldx* ~ 0, pero en el flujo turbulento las condiciones son menos sensihl
efecto de los gradientes de presión y estas ecuaciones siguen siendo aproximad
válidas. Si la analogía es útil para cualquier punto sobre una superficie, se aplican
coeficientes promedio de la superficie.
6 .»
Efectos de la turbulencia
En este punto reconocemos que las condiciones de turbulencia caracterizan nun
flujos de interés práctico. De hecho, en la práctica el ingeniero trata mucho másii
nudo con flujos turbulentos que con flujos laminares. Es bien conocido quelaq
6 .9
■ Efectos de la turbulencia
329
Tiempo, i
F l í . l HA C». 1 6
V a r ia c ió n d e u n a p ro | e d a d c o n e l tie m p u e n
a lq u il p u n to e n u n a c a p a
im ite t u r b u le n ta .
ñas perturbaciones asociadas con distorsiones cn las líneas de fluido de un flujo laminar
finalmente conducen a condiciones turbulentas Estas perturbaciones se pueden originar
desde el flujo libre, o se inducen por la aspereza de la superficie. El comienzo de la tur­
bulencia depende de si estas perturbaciones se amplían o se atenúan en la dirección de
flujo del fluido, que a su vez depende de la razón de la fuerza de inercia a la viscosa (nú­
mero de Reynolds). Recuerde que si el número de Reynolds es pequeño, las fuerzas
de inercia son pequeñas en relación con las fuerzas viscosas. Las perturbaciones que
ocurren de manera natural se disipan entonces, y el flujo permanece como laminar. Sin
embargo, para un número de Reynolds grande, las fuerzas de inercia son suficientemen­
te grandes para amplificar las perturbaciones, y ocurre una transición a la turbulencia.
Fn la sección 6.3 observamos que el numero de Reynolds critico. Re , que se requiere
para la transición es aproximadamente 5 X 10‘ para un flujo sobre una placa plana.
La turbulencia se asocia con la existencia de fluctuaciones aleatorias cn el fluido
y, al menos en pequeña escala, el flujo es inherentemente inestable Este comporta­
miento se muestra en la figuia 6.16, donde la variación sobre una propiedad del flujo
arbitraria P se traza como función del tiempo en alguna posición en una capa límite
turbulenta La propiedad P es un componente de la velocidad, la temperatura del fluido
o una concentración de especies, y en cualquier instante se representa como la suma
de un valor m edio respecto al tiem po P y un componente de fluctuación P '. El prome­
dio se toma sobre un tiempo grande comparado con el periodo de una fluctuación típi­
ca, y si P es independiente del tiempo, se dice que el flujo medio respecto al tiempo es
estable.
La existencia de flujo turbulento será ventajosa en el sentido de que proporciona
transferencia de calor y de masa aumentadas. Sin embargo, el movimiento es en extre­
mo complicado y difícil de describir de forma teórica Aunque las ecuaciones de capa
límite que se desarrollaron en las secciones anteriores son aun aplicables, las variables
dependientes (u, v, T, CA) deben interpretarse como valores instantáneos , y es imposi
ble predecir su variación exacta en el tiempo. En sentido práctico, sin embargo, esa in­
capacidad para determina! la variación de las propiedades instantáneas P con el tiempo
no es una restricción seria, pues el ingeniero por lo general se ocupa sólo de las propie­
dades medias respecto al tiempo P . Las ecuaciones de la forma P = P + P ' se sustitu­
yen por cada una de las variables de flujo en las ecuaciones de capa límite Para un
flujo de propiedades constantes, incompresible y estable, con los procedimientos de
promedio temporal ya establecidos [2, 12], se obtienen las siguientes formas de las
ecuaciones del momento v, energía y conservación de especies:
/ du
du\
r a í + Vd y ) ~
f
dx
du
~ r~ Á
dyi » d y - p U V )
(6.105)
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Universidad Simón Bolívar Sede do dtora
330
Capitulo 6 ■ i nlrotlncción n la convección
ar\
st
a / 37
(6.106
" 3 7 + e a7
dCA
U
a.x
+ l>-
c)v
3v
D AB
ac,
av
-
(6.l07i
u 'C '
Las ecuaciones son como las de la capa límite laminar, excepto por la presencia de té
minos adicionales de la forma a 'b '. Estos términos explican el efecto de las fluctuacio*
nes de turbulencia sobre el transporte de momento, energía y especies.
Sobre la base de los resultados precedentes, es normal hablar de un esfuerzo er
tante total y de flujos totales, que se definen como
dü
dy
3f
q’L =
N
"
iv A
tot
pu 'v '
(6.1
~ pcpV'T'
(61
IM"
Ttot
- -
n
i y AB
ac,
(6.11
- v 'C
dy
y consisten en contribuciones debidas a difusión molecular y mezcla turbulenta. A
tir de la forma dc estas ecuaciones vemos cómo las transferencias de momento, en^
y especies aumentan por la existencia de la turbulencia. El término p u 'v , que apen la ecuación 6.108, representa el llujo de momento debido a las fluctuaciones tur
lentas y a menudo se le denomina esfuerzo Je Reynolds.
Un modelo conceptual sencillo atribuye el transporte de momento, calor y masa
una capa limite turbulenta al movimiento de rem olinos, pequeñas porciones de fi­
en la capa límite que se mueven por un tiempo corto antes de perder su identidad,
bido a este movimiento, el transporte de momento, energía y especies aumenta mu
La noción de transporte por remolinos implica la introducción de un coeficiente
transporte que se define como la difusividad parásita para la transferencia de mo­
to e,w, que tiene la forma
du
PEm 3 7 ^
pu ' v '
(61
Por eso el esfuerzo cortante total se expresa como
du
= p ( v + e M)
(611
dy
De manera similar, se definen las difuso idades parásitas para la transferencia ¿
lor y de m asa e h y e m mediante las relaciones
______
dT
e „ — = —v T '
H dy
(
6.1
dC_A
- - v 'C 'A
(61
dy
en cuyo caso
dT
tfíó. = ~ p c p( a + e„)
dy
(
6.1
6 .1 0
■ Coeficientes de convección
ÓU
dV >■= 0, lam
<
dv \ = O turb
=0
Lam nar
F h .L K A 6 . 1 7
urbu enta
(io n ip t n a c i ó n do. p e r file s d e c a p a s lim ite l a m in a r
\ tur m ie n t a d e velo c id a d p a r a
i m is m a velo< id a d d< U n jo lib r t
dCA
N a
toi =
~ ( d ab
+
e rn) “3 —
(6 .1 1 6 )
En la región de una capa límite turbulenta removida de la superficie (región nú­
cleo) las difusividades parásitas son mucho mayores que las difusividades moleculares.
La mezcla aumentada que se asocia con esta condición tiene el efecto de hacer que los
perfiles de velocidad, temperatura y concentración sean más uniformes en el núcleo.
Este comportamiento se muestra en la figura 6 17 para capas limite laminar y turbulen­
ta de velocidad que corresponden a la misma velocidad de flujo libre. En consecuencia,
el gradiente de velocidad en la superficie y, por tanto, el esluerzo cortante superficial,
es mucho más grande para la capa limite turbulenta que para la capa limite laminar De
manera similar, se argumenta que la temperatura de la superficie o el gradiente de con­
centración, y las transferencias de calor o de masa, son mucho mas grandes para el flu­
jo turbulento que para el laminar Debido a este aumento de las transferencias de calor
y masa por convección, se desea tener condiciones de flujo turbulento en muchas apli­
caciones de ingeniería. Sin embargo, el aumento en el esfuerzo cortante de la pared
siempre tendrá el efecto inverso de aumentar los requerimientos de potencia de bom­
beo o de ventilación. Un problema fundamental al efectuar un análisis de capa límite
turbulenta implica la determinación de las difusividades parásitas como función de las
propiedades medias del flujo. A diferencia de las difusividades moleculares, que son
estrictamente propiedades del fluido, las difusividades parásitas dependen mucho de la
naturaleza del flujo y varían de punto a punto en una capa límite. El problema es tal
que continúa atrayendo a muchos investigadores hacia el estudio de la mecánica de
fluidos
iio
¿Deficientes de
En este capitulo intentamos desarrollar los fundamentos del fenómeno de transporte
por convección. Sin embargo, en el proceso se desea que usted no pierda de vista lo
que sigue siendo el problem a de la convección. Nuestro objetivo principal es aun el de
desarrollar los medios para determinar los coeficientes de convección h y
Aunque
estos coeficientes se obtienen al resolver las ecuaciones de capa limite, es sólo para las
d epa rta m en to
de
Universidad Simón Bolívar
b ib l io t e c a
<•
iv>r'
332
C apítulo 6 ■ Introducción a ln convección
situaciones de flujo simple que tales soluciones se llevan a cabo fácilmente. 1:1 méttxl
más práctico a menudo implica el cálculo de h y hm a partir de relaciones empíricas dr
la forma dada por las ecuaciones 6 81 y 6 85. La forma particular de estas ecuador
se obtiene c orrelac tonando resultados de mediciones de transferencia de calor i
masa por convección en términos de grupos adimensionales apropiados. Este es ele
foque en el que se hace énfasis en los capítulos siguientes
En este capítulo se intentan desarrollar, de forma lógica, las bases matemáticas y
sicas del transporte por convección. Para comprobar que haya entendido el ma
usted mismo debe plantearse las preguntas apropiadas. ¿Qué son las capas lími
velocidad o hidrodinámica, térmica y de concentración? ¿En qué condiciones
producen y por qué son de interés para el ingeniero? ¿Cómo difieren las capas 1
te laminar y turbulenta, y cómo se determina si una capa límite particulares la
o turbulenta? Hay numerosos procesos que afectan a la transferencia de mor
energía y especies en una capa límite. ¿Cuáles son? ¿Cómo se representan ni
ticamente? ¿Que son las aproximaciones de capa límite y en qué forma alteran
ecuaciones de conservación? ¿Cuales son los grupos adimensionales relevante'
las diversas capas limite? ¿Corno se interpretan físicamente? ¿Cómo el uso de
grupos facilitará los cálculos de convección? ¿Cómo son los comportamientos
logos de las capas límite de velocidad, térmica y de concentración? ¿Cómo
los efectos de la turbulencia en un análisis de capa límite? Y, finalmente, / cual
problema central de la convección?
B ib lio g r a fía
1 Webb, R L., Int. Cornrn. H eat M ass T r a n s 17,
529. 1990.
2. Schlichting, H., B oundary Lciyer T hcory , 7a ed.,
McGraw Hill, Nueva York, 1979.
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Rohsenow y J. P. Hartnett. Editores, H andhook o f
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1980.
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ley- Interscience, Nueva York, 1983.
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174, 1933.
11 Chilton, T H y A. P Colburn, huí. E
26,1183,1934
12. Hinze, J. O., Turhulence. 2a ed.. Me
Nueva York, 1975.
■ Problemas
333
Problemas
están correlacionadas por una expresión de la forma
T(°C) = 20 + 70 exp( —600xx). donde v y y están cn
metros Determine y elabore una gráfica de la forma
en la que varia el coeficiente de convección local h con
x Evalué el coeficiente de convección promedio h para
la placa.
(.««‘íic irn te - «l«* IraiisiVriMK'ia «le c a lo r
6.1 Se sabe que el coeficiente local de transferencia de ca­
lor h,. para el flujo laminar sobre una placa plana varía
av
donde x es la distancia medida desde el inicio (x =
0 ) de la placa ¿Cuál es la razón del coeiiciente prome
d o entre el inicio y algún lugar x sobre la placa al coe­
ficiente local en .v?
6.: Para la convección laminar libre de una superficie ver­
tical caliente, el coeficiente de convección local se ex
presa como J¡x = C v~‘ , donde h x es el coeficiente en la
distancia x desde el inicio de la superficie y la cantidad
( que depende de las propiedades del fluido, es inde­
pendiente de .v. Obtenga una expresión para la razón
/ //q. donde h es el coeficiente promedio entre el micio
i
0) y la posición x Dibuje la variación de h x y h x
con x.
6J
6 .6
La transferencia de calor por unidad de anchura (nor­
mal a la página) desde una sección longitudinal, xs — *i.
se expresa com o q \ 2 = /»i2(x2 — .V |)(T , — T » ) . donde
/i 12 es el coeficiente promedio para la sección de lon­
gitud (x2 — Vi) Con idere un flujo laminar sobre una
placa plana con una temperatura uniforme / , . La va­
riación espacial del coeficiente de convección local
es de la forma h x = C x 12. donde C es una constante.
l n flujo circular de gas caliente a TU se dirige en senti­
do íormal a una placa circular que tiene radio r, y se
mantiene a una temperatura uniforme T s. El flujo de
¿as sob e la placa tiene simetría axial lo que ocasiona
que el coeficiente de convección local tenga una depen­
dencia rad al de la forma h(r) = a + ht
donde a , b
> n son constantes Determine la transferencia de calor
hacia a placa, exprese sus resultados en términos de
r T r, . a . b > n.
6,4 El flujo paralelo de aire atmosférico sobre una placa
plana de longitud L — 3 m se rompe mediante un arre
glo de varillas estacionarias que se colocan en la tra­
yectoria del llujo sobre la placa
o
—
u
o
o
A
. o
,
> o
r o
,
Se realiz m mediciones de laboratorio del coeficiente
de convección local en la superficie de la placa partí un
>alor establecido de \ y Ts > ’/U. Los resultados están
rtlauonad is por una expresión de la forma hx = 0.7 +
li6
^ 4x donde /i, tiei e unidades de W nr • K. y
i esta cn metros. Evalúe el coeficiente de convección
promedio h¡ para toda la placa y la razón hLlhL al final
Je la p uva.
(i
Airc a una temperatura de flujo libre Tx = 20°C está en
un flujo paralelo sobre una placa plana de longitud
l = S m temperatura Ts = 90 C Sin embargo, los
gtMJcu os coltKados en el flujo intensifican la mezcla
il aumentar I. distancia x desde el inicio, y la variación
espa.ml de las temperatu as medidas en la capa límite
(a) Comenzando con la ecuación de enfriamiento de
Newton en la forma d q ' = /i, dx(T s — 7«). derive
una expresión para / ? , 2 en términos de C. .t| y x 2.
(b) Derive una expresión para h x2 cn términos de .x,. x2
y los coeficientes promed o /ij y h 2. que correspon­
den a las longitudes v, y x2, respectivamente
6.7 Los experimentos que se lucieron a fin de determinar el
coeficiente de transferencia de calor por convección
para un flujo uniforme normal a un disco circular ca­
lentado dan una distr bucitSn radial del numero de Ñ us
selt de la forma
h(r)D
Nun - — ;— = A!uc
-
S
I
donde n y a son positivos El número de Nusselt cn el
punto de estancamiento está correlacionado en térmi­
nos de los números de Reynolds (R en = \ D /v ) y de
Prandtl
Nu„ =
— . —
= 0 M R e¿a
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
Universidad «Jil itJll 4* - • «JH
C apítulo 6 ■ Intnulucción a la convección
331
coeficientes apropiados del perfil y de las propiedad
del fluido.
y
o
Obtenga una expresión para el numero de Nusselt pro­
medio. N ud = h D /k , que corresponda a una transferen­
cia de calor desde un disco isotérmico. Normalmente, el
desarrollo de una capa límite desde un punto de estanca
miento da un coeficiente de convección que disminuye
al aumentar la distancia desde el punto de estancamien
to Proporcione una explicación plausible de por qué se
observa la tendencia opuesta para el disco
6.8 Un procedimiento experimental para validar los resulta­
dos del problema anterior implica precalentar un diseo
de cobre a una temperatura inicial T elevada y registrar
su historia de temperaturas T(t) conforme se enfría me­
diante el flujo que choca a una temperatura final 7 La
disminución de temperatura medida se compara enton­
ces con las predicciones basadas en la correlación para
NuD. Suponga que valores de a = 0.30 y n = 2 se aso­
cian con la correlación.
Cons dere las condiciones experimentales para las
que un disco de diámetro D = 50 mm y longitud L =
25 mm se precalienta a 7, = 1000 K y se enfría a Tf 400 K mediante un flujo de aire que choca a 7* = 300 K.
La superficie enfriada del disco tiene una cm sividad
de e = 0 . 8 y se expone a alrededores isotérmicos leja­
nos para los que 7j)ll — T*. Las otras superficies del
disco están bien aisladas, y la trasferencia de calor a
través de la varilla de apoyo se considera insignifican­
te. Con los resultados del problema anterior, calcule y
trace las historias de temperatura que corresponden a
velocidades del aire de V7 = 4, 20 y 50 m/s. Se suponen
propiedades constantes para el cobre (p = 8933 k g/m \
cp = 425 J/kg • K, k = 386 W/m • K) y para el aire
(u = 38 8 X 10 6 nr/s, k = 0.0407 W m • K P r =
0.684).
P e rfile s de la r a p a lim ite
6.9
Ln un flujo sobre una superficie, los perfiles de veloci­
dad y temperatura son de la forma
u(y) = Ay + B y2 -
Cv3
y
T(y) = D + Ey + F y2 - G y 3
donde los coeficientes A a G son constantes. Obtenga
expresiones para el coeficiente de fricción C f y el coefi­
ciente de convección /? en términos de mx, 7* v los
6.10 Agua a una temperatura 7* = 25°C fluye sobre una
las superficies de una pared de acero (AISI 1010) ti
temperatura es T ,= 40°C. La pared es de 0.35 m
espesor, y la temperatura de la otra superficie es T
10()°C. Para condiciones de estado estable ¿cuáles
coeficiente de convección asociado con el flujo de aeu
¿Cuál es el gradiente de temperatura en la pared y en
agua que está en contacto con la pared? Dibuje la
tribución de temperaturas en la pared y en el
contigua.
6.11
En determinada aplicación que implica un flujo de
sobre una superficie calentada, la distribución de r
peraturas de la capa limite se aproxima como
T
T
* oo 1 j;
donde y es la distancia normal a la superficie} el
mero de Prandtl, P r = cr pJk = 0.7. es una pro
adimensional del fluido. Si Tx = 400K. 7, = 3{X)
u j v = 5000 m" . ¿cuál es el flujo de calor poru
de arca en la superficie ?
T ra n sició n d e la c a p a lím ite
6.12 Considere un flujo de aire sobre una placa plana
longitud L = 1 m en condiciones para las queoc
transición en x = 0.5 m con base en el nur
Reynolds crítico. R e v c = 5 X I05. En las regicr
minar y turbulenta, los coeficientes de convección
son. respectivamente.
^lamCO
-0..S
^turb
Cur^V
donde CIam = 8.845 W/m2 • K ° \ CHlrb = 49.75 Wf
K0 8. y a tiene unidades de m.
(a) Mediante la evaluación de las propiedades te
sicas del aire a 350 K. determine la veloci
flujo de aire.
(b) Desarrolle una expresión para el coeficiente de
vccción promedio /íjam(.v), como función de
tancia desde el inicio de la placa v. para la
laminar. 0 < x ^ x L.
(c) Desarrolle una expresión para el coeficiente
vccción promedio, h tuIb(.\). como función de
tanda desde el inicio de la placa, v, para a
turbulenta. xc < x ^ L.
(d) En las mismas coordenadas, trace los c
de convección local y promedio. hÁ. ) hr
vamente, como función de x para 0 < x < ¿
6.13 Un ventilador que proporciona velocidades de1
ta de 50 m/s se utilizará en un túnel de viento
velocidad con aire atmosférico a 25°C. Si sed
Problemas
333
el túnel de viento para estudiar el comportamiento de
capa límite de una placa plana hasta números de Rey­
nolds R cx = 10 , ¿cual es la longitud de placa mínima
que debe utilizarse? ¿A que distancia desde el inicio de
la placa ocurriría la transición si el numero de Reynolds
crítico fuera R e ( = 5 X 10S?
6.14 Suponiendo un número de Reynolds de transición de
5 X 10"', determine la distancia desde el inicio de una
placa plana a la que ocurrirá la transición para cada
uno de los siguientes fluidos cuando ux = 1 m/s: aire
atmosférico, aceite de motor y mercurio En cada caso
la temperatura del fluido es 27°C.
Ecuaciones d e c o n s e r v a c ió n y s o lu c io n e s
6.15 Considere el volumen de control que se muestra para el
caso especial de condiciones de estado estable con v =
0. T - T(y) y p es constante.
t+
I(l\
dy
•
■*— f>p
dy
,
.J l- l
X, U
(a) Pruebe que u = u(y) si v = 0 en cualquier lugar.
(b) Derive la ecuación del momento en v y simplifíquela tanto como sea posible.
(c) Derive la ecuación de energía y simplifíqucla tanto
como sea posible.
6.16 Considere una chumacera ligeramente cargada que usa
aceite y tiene las propiedades constantes m = 1 0 - 2 kg/s ■
m y k = 0.15 W m • K. Si el cojinete y la chumacera se
mantienen cada uno a una temperatura de 40°C, ¿cuál
es la temperatura máxima en el aceite cuando el cojine­
te gira a 1 0 m/s?
6.17 Considere una chumacera ligeramente cargada que usa
aceite y tiene las propiedades constantes p = 800
kg/m\ v = 10 5 m2/s, y k = 0.13 Wm • K. El diámetro
de la chumacera es 5 mm, el espacio es 0.25 mm y el
cojinete opera a 3600 rpm
ta) Determine la distribución de temperaturas en la pe
lícula de aceite, suponiendo que no hay transferen­
cia de calor en la chumacera y que la superficie del
cojinete se mantiene a 75°C.
que las placas están separadas por agua y otro en que
las placas están separadas por aire.
(a) Para cada uno de los dos fluidos, ¿cuál es la fuerza
por unidad de arca superficial que se requiere para
mantener la condición anterior? ¿Cuál es el reque­
rimiento de potencia correspondiente?
(b) ¿C ual es la disipación viscosa asociada con cada
uno de los dos fluidos?
(c) ¿Cuál es la temperatura máxima en cada uno de los
dos fluidos?
6.19 Se hace un juicio con respecto a la influencia de la disi­
pación viscosa en la transferencia de calor por convec­
ción forzada mediante el cálculo de la cantidad P r Ec.
donde el número de Prandtl Pi = c mIk y el numero de
Eckert Ec = LPlcyDT son grupos adim cnsionales. La
velocidad característica y la diferencia de temperaturas
del problema se designan como U y A7. respectiva­
mente. Si P r E c < I. no se toman en cuenta los efectos
de disipación. Considere el flujo de Couette para el que
una placa se mueve a 1 0 m/s y se mant ene una diferen­
cia de temperaturas de 25°C entre las placas Mediante
la evaluación de las propiedades a 27°C, determine el
valor de P r Ec para aire agua, y aceite de motor. ¿Cuál
es el valor de Pi be para aire si la placa se mueve a la
velocidad del sonido?
6.20 Considere el flujo de Couette para el que la placa móvil
se mantiene a una temperatura uniforme y la placa es­
tacionaria esta aislada. Determine la temperatura de la
placa aislada, exprese su resultado en términos de las
propiedades del fluido y la temperatura y velocidad de
la placa móvil. Obtenga una expresión para el flujo
de calor por unidad de área en la placa móvil
6.21 Considere el flujo de Couette con transferencia de calor
para el cual la placa inferior (placa móvil) se mueve
con una velocidad de U = 5 m/s y está perfectamente
aislada. La placa superior (placa estacionaria) es esta­
cionaria y esta construida de un material con conducti­
vidad térmica
= 1.5 W/m • K y espesor I.]K = 3 mm.
La superficie externa se mantiene a T e = 40°C Las
placas están separadas por una distancia L„ = 5 mm,
que se llena con un aceite de motor de viscosidad m =
0.799 N • s/m 2 y conductividad térmica kG — 0 145
W/m • K.
-pe
(b) Cual es la transferencia de calor del cojinete, y
cuanta potencia se necesita para hacer girar la chu macera?
tl8 Considere dos placas paralelas largas (infinitas), sepa­
radas 5 mm Una placa es estacionaria, mientras que la
otra se mueve a una velocidad de 200 m/s. Ambas pía
se mantienen a 27°C. Considere dos caso?,, uno en
. - Aceite (<>) 1 1 1 1 j . , . _ ^
0
u
Placa móvil, aislada
d epa rta m en to
de
b ib l io t e c a
Universidad Simón Bolívar Seded*'
oral
C apítulo 6 ■ Introducción a la convección
336
(a) En coordenadas Y (\)—y, dibuje la distribución de tem­
peraturas en la película de aceite y la placa móvil
(b) Obtenga una expresión para la temperatura en la
superficie inferior de la película de aceite, 7(0) =
Tth en términos de la velocidad de la placa U , los
parámetros de la placa estacionaria (7 pc, k^., L ^ ) y
los parámetros del aceite (/x . k , l. ). Calcule esta
temperatura para las condiciones establecidas.
6.22 Un eje con un diámetro de 100 mm gira a 9000 rpm en
una chumacera de 70 mm de longitud. Un hueco uni
torme con lubricante separa el eje y la chumacera Las
propiedades del lubricante son ¡x = 0 03 N • s m' y
k — 0.15 W/m • K, mientras que el material del cojine
te tiene una conductividad térmica de kc = 45 Wm • K.
(d) Genere una gráfica de 6 contra 17 para 0 ^ 17 < |
valores de P r E c = 0, 1, 2, 4, 10 Explique lasca
ractensticas clave de las distribuciones de tempe
ratura
6.24 Considere el problema de un flujo laminar incompresi
ble estable entre dos placas paralelas infinitas estado
nanas que se mantienen a diferentes temperaturas
-=---£
r 71
»»r"*!raJ—■
Placa
paralelas
infinita
.
j x <G
rr-
m
Cojinete, k
T*C
Cojinete, kt
Lubricante
Te
Eje
Eje 100
de
diámetro
Lubricante
Superficie enfriada con agua,
T , = 30 C
(a) Dcteim ne la disipación viscosa. /x<t>( W/m ). en el
lubricante
(b) Determine la transferencia de calor (W ) del lubri­
cante. suponiendo que no se pierde calor a través
del eje
(c) Si la cubierta del cojinete se enfría con agua, de
modo que la superficie externa del cojinete se man­
tiene a 30°C, determine las temperaturas del cojine­
te y del eje, 7 y 7
6.23 Considere el flujo de Couctte con transferencia de calor
como se describe en el ejemplo 6.4
a) Reacomode la distribución de temperaturas para ob­
tener la forma adimensional
Qiv) = v U + í P r
l -
y)\
donde 6 = [7(y) — T{)]/[T¡ — 7 ) y r¡ = \ L Los
r ipos a limen tonales son el numero de Prandtl
Pt = p a p!k y el número de bckert Ec = U t p
(7, - 7( )
Denominado flu jo d e P oiseuille con transferencia tfcj
calor, este caso especial de flujo paralelo es uno para<
que el componente .1 de la velocidad es finita, perol
componentes y y 2 (i/y w) son cero.
(a) ¿Cuál es la forma de la ecuación de continui
para este caso? ¿En qué dirección el flujo se
cuentra com p leta m en te d e sarrollad o ?
(b) ¿Que formas toman las ecuaciones de momento.
\ y y* 6Cuál es la forma del perfil de velocidad!;
Observe que, a diferencia del flujo de Couena.
movimiento del fluido entre las placas ahora se
tiene mediante un gradiente de presión finito. L
es este gradiente de presión en relación con la v
dad máxima del fluido?
(c) Suponiendo que la disipación viscosa es Mgn
tiva y reconociendo que las condiciones deben
tar térmicamente desarrolladas por completo,
es la forma apropiada de la ecuación de ene
Resuelva esta ecuación para la distribución deti
peraturas. ¿Cuál es el flujo de calor en la supe
superior (y — £.)?
6.25 Considere las ecuaciones de conservai ion (6.25.6.,
6 43)
(a) Identifique cada ecuación y describa con bre
el significado físico de cada término.
(b) Identifique las aproximaciones y cond cion
cialcs que se hacen para reducir estas expr
a las ecuaciones de capa limite (6.54 6.55 y
(c) Compare las ecuaciones 6.55 y 6.57. e iden
las condiciones para las que las ecuaciones
la misma forma Comente la existencia de
logia de transferencia de calor y de momento.
(b) Derive una expresión que establezca las condicio
nes en las que no habrá transferencia de calor a la
placa superior
Similitud y parámetros adimensionales
(c) Derive una expresión para la transferencia de calor
a la p h ta inferior según las condiciones identificacas en la parte (b).
6.26 En una buena aproximación, la viscosidad diná
la conductividad térmica k y el calor especifico e
independientes de la presión. ¿De qué forma la
■ Problemas
337
dad cinemática n y la difusividad térmica a varían con
la presión para un líquido incompresible y para un gas
ideal? Determine v y a del aire a 350 K para presiones
de 1 y 1 0 atm.
6.27 Un ob|Cto de forma irregular tiene una longitud carac­
terística L — 1 ni y se mantiene a una temperatura su­
perficial uniforme Ts = 4()0K. Cuando se coloca en
aire atmosférico a una temperatura Tx — 300 K y se
mueve con una veloc dad V’ = 1 0 0 m/s, el flujo prome­
dio de calor desde la superficie al aire es 20.000 W 'm .
Si un segundo objeto de la misma forma, pero con
una longitud característica L = 5 m. se mantiene a una
temperatura superficial T — 400 K y se coloca en aire
atmosférico a
— 300 K, ¿cuál será el valor del coe­
ficiente promedio de convección si la velocidad del
aire es V = 20 m/s?
6.28 Los experimentos muestran que, para un flujo de anc a
T = 35 C y Vj = 100 m/s, la transferencia de calor
desde el alabe dc una turbina de longitud característica
Li = 0.15 m y temperatura superficial Tx — 300°C es
(¡y = 1500 W. ¿Cuál sera la transferencia de calor des­
de el alabe de una segunda turbina de longitud caracte­
rística L2 = 0.3 m que opera a Ts 2 ~ 4Ü0°C en un flujo
de aire a T* = 35°C y V2 = 50 m/s? El área de la su­
perficie del alabe se supone directamente proporcional
a su longitud característica
6.29 Las mediciones experimentales del coeficiente de trans­
ferencia de calor por convección para una barra cuadra­
da en un flujo cruzado dan los siguientes valores:
/r, = 5 0 W/m2 * K
cuando
= 20 m/s
h2 = 40 W/m2 • K
cuando
V2 - 15 m/s
^ 0 ¿5 m'
Aire
Suponga que la forma funcional del numero de Nusselt
es Nu = CRem Pr ”. donde C, m y n son constantes.
ia) <Cuál será el coeficiente de transferencia de calor
por convección para una barra similar con L = 1 m
cuando V — 15 m/s?
(b) <,Cual será el coeficiente dc transferencia de calor
por convección para una barra similar con L = 1
cuando V = 30 m/s?
(c) i Los resultados serían iguales si se utilizara el lado
de la barra, en lugar de la diagonal, como longitud
característica*7
6.30 Se encontró que lo> resultados experimentales para la
transferencia de calor sobre una placa plana con una
superficie en extremo áspera están correlacionados por
una expresión de la forma
N u x = 0 04/?í>? 9 P r m
donde N u x es el valor local del número de Nusselt en
una posición y medida desde el inicio de la placa. Obten
ga una expresión para la razón del coeficiente dc transfe­
rencia de calor promedio /;, al coeficiente local hx.
6.31 Considere las condiciones para las que un fluido con
una velocidad dc flujo libre V = I m/s fluye sobre una
superficie con una longitud característica L = 1 m, lo
que proporciona un coeficiente promedio dc transferen­
cia de calor por convección h = 100 W/m2 • K Calcu­
le los parámetros adimensionales NuL, Re¡, P r y j¡¡
para los siguientes fluidos, aire, aceite de motor, mer
curio y agua. Suponga que los fluidos están a 300 K.
6.32 Se sabe que para el flujo sobre una placa plana de lon­
gitud /.. el coeficiente local de transferencia de calor hx
varia como i l/2, donde x es la distancia desde el inicio
de la placa. ¿Cuál es la razón del numero dc Nusselt
promedio para toda la placa (NuL) al numero de Ñus
selt local cn v = L(Nu ¡ )?
6.33 Para el flujo de capa limite laminar sobre una placa
plana con aire a 20°C y 1 atm, el espesor de la capa lí­
mite térmica 8, es aproximadamente 13% mayor que el
espesor de la capa límite hidrodinámica 8. Determine
la razón 8/8, si el fluido es etilenglicol bajo las mismas
condiciones de flujo
6.34 Dibuje la variación de la velocidad y del espesor de la
capa límite térmica con la distancia desde el inicio de
una placa plana para el flujo laminar de aire, agua,
aceite de motor y mercurio Para cada caso suponga
una temperatura media del fluido de 300 K
6.35 Se utiliza aire forzado a Tx = 25°C y V = 10 m/s para
enfriar elementos electrónicos sobre una tarjeta dc cir­
cuitos. Uno de tales elementos es un chip, de 4 mm por
4 mm. que se localiza a 120 mm desde el inicio de la
tarjeta. Los experimentos revelan que el flujo sobre ésta
es perturbado por los elementos y que la transferencia
dc calor por convección está correlacionada mediante
una expresión de la forma
Nux = 0 04 R e 0*5 P r m
V.
L = 120 mm
Estime la temperatura superficial del chip si éste disipa
30 mW.
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
Universidad Simón Bolívar S«de del Litoral
C apítulo 6 ■ Introducción a la convección
338
6.36 Considere el chip sobie la tarjeta de circuitos del pro­
blema anterior. Para asegurar una operación confiable
en periodos extensos, la temperatura del chip no debe
exceder 85°C Suponiendo la disponibil dad de aire
forzado a í « = 25°C y la aplieabilidad de la correla­
ción de transferencia de calor establecida, calcule y di­
buje la disipación de potencia máxima permisible del
chip Pc como función de la velocidad del aire para 1 ^
V ^ 25 m/s. Si la superficie del chip tiene una ennsividad de 0 80 y la tarjeta esta montada en un recinto
grande cuyas paredes están a 25°C, ¿cuál es el efecto
de la radiación sobre la gráfica P, —V?
A n alo g ía dt K cvu
tt o lil»
6.37 Una placa plana delgada de 0.2 m por 0.2 m de lado se
orienta de forma paralela a un flujo de aire atmosférico
con velocidad 40 m/s El aire esta a una temperatura
T x = 20°C, mientras la placa se mantiene a T s =
120°C. El aire fluye sobre las superficies superior e in­
ferior de la placa, y la medición de la fuerza de arrastre
revela un valor de 0 057 N. ¿Cual es la transferencia de
calor desde ambos lados de la placa al aire?
6.38 El aire atmosférico esta en flujo paralelo (//<* = 15 m rs,
Toe = 15 C) sobre una superficie plana de calentamien­
to que se mantendrá a una temperatura de I40°C. El
área de la superficie de calentamiento es 0.25 m2, y se
sabe que el flujo de aire induce una fuerza de arrastre
de 0 25 N sobre el calentador. ¿Cuál es la potencia eléc­
trica necesaria para mantener la temperatura superficial
establecida?
6.39 Para el flujo sobre una placa plana con una superficie
extremadamente áspera, se sabe que los efectos de la
transferencia de calor por convección están correlacio­
nados mediante la expresión del problema 6.30. Para
un flujo de aire a 50 m/s, ¿cuál es el esfuerzo cortante
de la superficie en v = 1 m desde el inicio de la placa?
Suponga que el aire está a una temperatura de 300 K.
C o e fir ie n te s d e tr a n s fe r e n c ia d e m a sa
6.40 En un día de verano la temperatura del aire es 27°C y
la humedad relativa es 30%. El agua de la superficie de
un lago se evapora a razón de 0 . 1 0 kg/h por metro cua­
drado de la superficie del área. La temperatura del agua
también es 27°C. Determine el valor del coeficiente de
transferencia de masa por convección
6.41
Se observa que un contenedor de agua de 230 mm de diá­
metro a 23°C tiene una razón de pérdida de masa de 1.5 X
10 kg/s cuando el aire ambiental esta seco y a 23°C
(a) Determine el coeficiente de transferencia de masa
por convección para esta situación.
(b) Estime la razón de pérdida de masa por evapora­
ción cuando el aire ambiental tiene una humedad
relativa de 50 por ciento
(c) Est me la razón de pérdida de masa por eva
ción cuando las temperaturas del agua y del i
ambiente son 47°C, suponiendo que el coeficwj
de transferencia de masa por convección perm
ce sin cambio y el aire ambiental está seco
6.42 La razón a la que se pierde agua debido a la cvaponl
cion de la superficie de un cuerpo de agua se detemí
al medir la velocidad de retroceso de la superti
Considere un día de verano para el que la tempe
del agua y del aire ambiente es 305 K y la humedad
lativa del aire es 40%. ¿Si se sabe que la velocidad
retroceso de la superficie es 0 I nun/h, cual es I; r
a la que se picide masa debido a la evaporación
área de superficie unitaria? ¿Cuál es el coeficiente
transferencia de masa por convección?
6.43 La fotosíntesis, como ocurre cn las hojas de una p
verde, implica el transporte de dióxido de c
(C 0 2) de la atmósfera a los cloroplastos de las hi
la rapidez de fotosíntesis se cuantifica en términos £
rapidez de asimilación de C ü 2 por los cloroplasto
ta asimilación está fuertemente influenciada p<v
transferencia de C 0 2 a través de la capa límite que
produce cn la superficie de la hoja Bajo condi
para las que la densidad del C 0 2 es 6 X 10-4 kg m
el aire y 5 X I0- 4 kg/nL en la superficie de la hoja
coeficiente de transferencia de masa por cornees
1CT2 m/s, ( cuál es la rapidez de fotosíntesis en
nos de k logramos de CO? asimilados por uní
tiempo y área de la superficie de la hoja?
6.44 La especie A se evapora desde una superficie p
la especie B Suponga que el perfil de concern
para la especie A en la capa limite de concentra
de la forma CA(y) = D y 2 + E y + F. donde D
son constantes en cualquier posición v y y se
lo largo de una normal desde la superficie. D
una expresión para el coeficiente de transiere
masa por convección h„, en términos de estas c
tes. la concentración de A cn el flujo libre C\ ,
fusividad de masa D AB. Escriba una expresión
flujo molar de transferencia de masa por c<r
para la especie A
Ecuación y solución «le conservación <lc <>|
6.45 Cons dere el problema 6.24. cuando el fluido
mezcla binaria con diferentes concentraciones
CA. y Ca. 2 en Ias superficies superior e inte
pectivamente. Para la región entre las placas,
la forma apropiada de la ecuación de conlinui1
especie A? Obtenga expresiones para la distrib'
concentración de especies y el flujo de especia ^
superficie superior.
i
6.46 Un esquema simple para desalineación implica
11er una película delgada de agua salada en las
■ ProblettMts
339
inferior de dos placas paralelas laigas (infinitas) que están
ligeramente inclinadas y separadas por una distancia /.
Condensado
Flujo de aire
L
-7 0
l
;
Película
delgada de
agua salada
Hxiste un flujo de aire laminar incompresiblemente len­
to entre las placas, de modo que el componente x de la
velocidad es finito mientras que los componentes y y r
son cero Ocurre evaporación de la película líquida so­
bre la superficie inferior, que se mantiene a una tempe­
ratura elevada T0. mientras sucede la condensación en
la superficie superior, que se mantiene a una temperatu­
ra reducida Tl . Las concentraciones molares correspon­
dientes de vapor de agua en las superficies inferior y
superior se designan como CA 0 y CA / , respectivamen­
te. La concentración y temperatura de especies se supo­
ne independiente de x y z.
El flujo se mantiene por gravedad, y la especie gaseosa
A fuera de la película es absorbida en la intcifaz líqui­
do-gas. La película está en un flujo laminar completa
mente desarrollado sobre toda la placa, de modo que
sus componentes de la velocidad en las direcciones \ y
r son cero. La densidad de masa de A en y = 0 en el li
quido es una constante pA independiente de .v
(a) Escriba la forma apropiada de la ecuación de mo­
mento en v para la película. Resuelva esta ecuación
para la distribución del componente de la veloci
dad en x, u{y). en la película. Exprese el resultado
en términos de 5, g. é , y las propiedades del liqui­
do ix y p. Escriba una expresión para la velocidad
máxima ur
‘ max*
ib) Obtenga una expresión para la rapidez a la que
debe suministrarse calor por unidad de área para
mantener la superficie inferior a T0. Exprese su re­
sultado en términos de CAA), CA>/ . T{. T L, L, D AB,
hfK (calor latente de vaporización del agua), y la
conductividad térmica k.
(b) Obtenga una forma apropiada de la ecuación de
conservación de la especie A para condiciones
dentro de la película. Si se supone, además, que el
transporte de la especie A a través de la interfaz
gas-líquido no penetra muy lejos en la película, la
posición y = 5 se considera, para todo propósito
práctico, como y = °°. Esta condición implica que
a una buena aproximación, u — wmáx en la región
de penetración. Sujeto a estas suposiciones, deter­
mine una expresión para pA(.v, y ) que se aplique en
la película. Sugerencia: Este problema es análogo
a la conducción en un medio semiinfinito con un
cambio súbito en la temperatura de la superficie.
5,47 Considere las ecuaciones de conservación (6.43) y
(6.52).
(c) Si un coeficiente de transferencia de masa por con­
vección se define como
(a) Obtenga una expresión para la distribución de la
concentración molar de vapor de agua CA(\) en el
aire. ¿Cual es la rapidez de producción de masa de
agua pura por unidad de area superficial? bxpresc
sus resultados en términos de CA CA
L y el
coeficiente de difusión vapor-aire
n A. x
la) Describa el significado f ísico de cada término.
(b) Identifique las aproximaciones y condiciones espe­
ciales necesarias para reducir estas expresiones a
las ecuaciones de capa límite (6.57 y 6.58) Com­
parando estas ecuaciones, identifique las condicio­
nes bajo las que tienen la misma forma. Comente
la existencia de una analogía de transferencia de
calor y de masa.
h|t i película deslizante se utiliza en el procesamiento
químico para eliminar las especies gaseosas. Implica
que el flujo de un liquido a lo largo de una superficie se
puede inclinar a algún ángulo </> > 0 .
hm.x ~
P \. o
donde /zA es el flujo de masa local en la interfaz
gas-líquido, desarrolle una correlación adecuada para
S/q como función de Rex y Se.
(d) Desarrolle una expresión para la rapidez de absor
ción total de gas por unidad de ancho para una pe
lícula de longitud L (kg/s • m).
(e) Una película de agua de 1 mm de espesor baja por
la superficie interna de un tubo vertical de 2 m de
longitud y tiene un diámetro interno de 50 mm. Un
DEPARTAMENTO d e b ib l io t e c a
U n iv e rsid a d Simón Bouvar - Sede w
C apitulo 6 ■ Introducción a la convección
340
flujo de aire que contiene amoniaco (NH3) se mue­
ve por el tubo, de modo que la densidad de masa de
NH3 en la interfaz gas-líquido (no en el líquido) es
25 kg/m3. Se forma una solución diluida de amo­
niaco en agua, y el cocfic ente de difusión es 2 X
10 9 m2 /s. ¿Cuál es la rapidez de eliminación de
masa de NH3 por absorción?
S im ilit u d y a n a lo g ía d e t r a n s f e r e n c ia d e c a lo r
\ d e m a sa
•f
6.49 Considere el flujo cruzado del gas X sobre un objeto
que tiene una longitud característica L = 0.1 m Para
un número de Reynolds de 1 X 104, el coeficiente
promedio de transferencia de calor es 25 W/m • K.
t i mismo objeto después se impregna con el liquido
y y se sujeta a las mismas condiciones de flujo D a­
das las siguientes propiedades termofísicas, ¿cual es
el coeficiente promedio de transferencia de masa por
convección?
v
(mJ/s)
k
(W/m • K)
a
0.030
29 X I O 6
Líquido Y
3.75 X IO” 7
0.665
1.65 X IO- 7
Vapor Y
4.25 X 10~ 5
0 023
4 55 X IO" 5
Mezcla de gas X vapor Y
(a) Los valores de 7 k, 7* y p permanecen igual. pero¿ =
2 m y V' = 50 m/s.
(b) Los valores de Ts y 7* permanecen igual, peroí.
2 m. V = 50 m/s. y p = 0.2 atm.
(c) La superficie se cubre con una película líquida que
se evapora en el aire. Todo el sistema está a 300K,
y el coeficiente de difusión para la mezcla aire \
por es Dab = 1.12 X 10- 4 m s. También. L - 2
V = 50 m/s y p = 1 atm.
(d) La superficie se cubre con otra película liquida
ra la que 2>AB = 1.12 X IO- 4 m2/s. y el sistema
tá a 300 K En este caso L = 2 ni. \ = 250 m.'i
p = 0 2 atm
(m2/s)
21 X I O 6
Gas X
terior como caso 1 . considere los siguientes casos y de­
termine si las condiciones son análogas a las del caso
1 . Cada caso incluye un objeto de la misma forma, que
se suspende en un flujo de aire de la misma manera.
Donde exista un comportan! ento análogo, determine el
valor correspondiente del coeficiente promedio de con­
vección.
Se = 0 72
6.50 Considere condiciones para las que un fluido con una
velocidad de corriente libre 1 = 1 m/s fluye sobre
una superficie que se evapora o se sublima con una lon­
gitud característica L
1 m. lo que proporciona un
coeficiente promedio de transferencia de masa por con­
vección lt„, — 10 2 m/s. Calcule los parámetros adimen­
sionales ShL, ReL, Se y j m para las siguientes
combinaciones: flujo de aire sobre agua, flujo de aire so­
bre naftalina y glicerol caliente sobre hielo. Suponga una
temperatura del fluido de 300 K y una presión de I atm.
6.51 Dibuje la variación de los espesores de la capas límite
de velocidad y concentración con la distancia desde el
inicio de una placa plana para las siguientes condicio­
nes de flujo laminar: flujo de aire sobre una película de
agua, flujo de aire sobre una capa de hielo seco, flujo
de aire sobre una placa de naftalina y flujo de glicerol
caliente sobre una capa de hielo, que se funde y disuel­
ve en el glicerol Para cada caso suponga una tempera­
tura media del fluido de 300 K.
6.52 Un objeto de lonna irregular tiene una longitud carac­
terística L = 1 m y se mantiene a una temperatura su­
perficial uniforme 7 V= 325 K. Este se suspende en un
lujo de aire que está a presión atmosférica (p = 1 atm)
y tiene una velocidad V = 100 m/s y una temperatura
Too = 275 K. El flujo promedio de calor de la superficie
a\ aire es 12.000 W/m2 Refiriéndose a la situación an­
6.53 Fn un día frío de abril se sabe que un corredor ve ■
ligeramente pierde calor a razón de 500 W debido a
convección al aire de los alrededores a 7 X = |()0C.
piel del corredor permanece seca y a una tempe
7 = 3ü°C Tres meses después, el corredor se mué
la misma velocidad, pero el día es caluroso y hu~
con una temperatura Tx = 30°C y una humedad re
va de d>x = 60%. El corredor está ahora empapado
sudor y tiene una temperatura superficial uniforme
35 C. Bajo ambas condiciones las propiedades del
se suponen constantes con v = 1.6 X 10 5 m s.
0 026 W/m • K. Pr = 0.70. y D AB (vapor de agua-ai
2.3 X 10“ 5 m2/s.
(a) ¿Cuál es la razón de pérdida de agua debida a
evaporación en el día de verano?
(b) ¿Cuál es la pérdida total de calor por conv
en el día de verano9
6.54 Ln objeto de forma irregular de 1 m de longitud
mantiene a una temperatura constante de IOO°C
pende en un flujo de aire que tiene una temper
flujo libre de 0 C, presión atmosférica de I atm
velocidad de 120 m/s. La temperatura del aire
en un punto cercano al objeto en el flujo de airees
Un segundo objeto de la misma forma tiene 2
longitud y se suspende en un flujo de aire de I:
forma. La velocidad de flujo libre del aire es 60 «
aire y el objeto están a 50°C. y la presión total«
Un recubrimiento plástico sobre la superficie del
se seca mediante este proceso El peso molecular
por es 82 y la presión de saturación a 50°C para
terial plástico es 0.0323 atm La difusividad
para el vapor en aire a 50°C es 2.60 X JO' 5
Problemas
(a) Para el segundo objeto, cn una posición que corres­
ponde al punto de medición del primer objeto, deter­
mine la concentración de vapor y la presión parcial.
(b) Si el flujo de calor promedio q" es 2(KX) W/m2 para
el primer objeto, determine el flujo de masa pro­
medio n"A (kg/s • m2) para el segundo objeto.
6.55 Un proceso industrial implica la evaporación de agua
de una película líquida que se forma sobre el perímetro de
una superficie. Se hace pasar aire seco sobre la superfi­
cie, y de mediciones de laboratorio la correlación de
transferencia de calor por convección es de la forma
ÑuL = 0 A 3 R elx Pr°-A
(a) Para una temperatura del aire y velocidad de 27°C y
1 0 m/s, respectivamente, ¿cuál es la rapidez de eva­
poración de una superficie de I m2 de área y longi­
tud característica L = I m? Aproxime la densidad
de vapor saturado como pA sa, = 0.0077 kg/m3.
(b) ¿Cuál es la temperatura de estado estable de la pe­
lícula líquida?
656 Un perfil aerodinámico que sostiene la envoltura de un
cojinete se expone a un flujo de aire caliente del escape
de un motor. Es necesario llevar a cabo experimentos
pura determinar el coeficiente promedio de transferen­
cia de calor por convección h del aire al perfil a fin de
poder enfriarlo a la temperatura superficial que se de­
sea Ts. Se decide realizar experimentos de transferencia
de masa sobre un objeto de la misma forma y para ob­
tener los resultados de transferencia de calor que se de­
sean mediante el uso de la analogía de transferencia de
calor y de masa.
= 60 mm
V
r.
P ee
os experimentos de transferencia de masa se llevaron
acabo con un modelo del perfil de la mitad del tamaño
construido de naftalina expuesta a un flujo de aire a
27°C. Las mediciones de transferencia de masa dan es­
tos resultados:
ShL
34.1
(b) Determine el coeficiente promedio de transferencia
de calor por convección h para el perfil de tamaño
completo. Ln = 60 mm, cuando se expone a un
flujo de aiic libre con V = 60 m/s,
= 184°C, y
p 00 = 1 atm cuando Ts = 70°C.
(c) El área de la superficie del perfil se expresa como
A s = 2.2 L¡¡ • /, donde / es la longitud normal a la
página. Para las condiciones de la parte (b). ¿cuál
es el cambio en la transferencia de calor al perfil si
la longitud característica LH se duplica?
6.57 Glicerol caliente fluye sobre una capa de hielo cuya
forma es tal que los efectos de transferencia de calor
por convección se correlacionan mediante una ecua­
ción de la forma N uL = 0.25 Re¡01 P r m . El hielo se
funde y disuelve en el glicerol. Bajo condiciones para
las que el coeficiente promedio de transferencia de ca­
lor por convección es /// = 100 W/m2 • K, ¿cuál es el
coeficiente promedio de transferencia de njti a por con­
vección?
6.58 Considere las condiciones del problema 6.12, peí o con
una película delgada de agua sobre la superficie. Si el
aire es seco y el número de Schmidt Se es 0.6, ¿cuál es
el flujo de masa evaporativo? ¿Hay transferencia neta
de energía hacia o desde el agua?
6.59 Considere las condiciones del problema 6.4. para el
que un experimento de transferencia de calor dio la
distribución que se establece del coeficiente local de
convección. h x(x). El experimento se realizó para tem­
peraturas de superficie y flujo libre de 310 y 290 K,
respectivamente. Ahora considere repetir el experimen­
to bajo condiciones cn que la superficie se cubre con
una capa delgada de naftalina y tanto la superficie co­
mo el aire están a 300 K. ¿Cual es el valor correspon­
diente del coeficiente promedio de transfeiencia de
masa por convección, hm ¡1
6.60 Con el uso de la técnica de sublimación de naftalina, la
distribución radial del coeficiente local de transferencia
de masa por convección para un flujo uniforme normal
a un disco circular está correlacionada por una expre­
sión de la forma
h J r )D
T
/ r \n
Re¡
282
60,0(H)
491
120 .0 0 0
568
144.000
989
288.000
(a) Con los resultados experimentales de transferencia
de masa, determine los coeficientes C y m para una
correlación de la forma ShL = C Re'L S e 1 \
El número de Sbtrvvood (Shv) del punto de estanca­
miento depende de los números de Reynolds (R eD =
VD/v) y de Schmidt (SC = tVDAn), y los datos se corre­
lacionan mediante la siguiente expresión:
Sh0 =
hm{r 0)D_ = 0 g l4 R e in Sco 36
D AB
d epa rta m en to
de
b i b l io t e c a
Universidad «Jiiujit uOn«ar - Sede «
342
C apitulo 6 ■ Introducción a ¡a convección
Considere las condiciones para las que el u
recoge 0.05 kg de agua dentro del plumaje de A
0 04 m- y regresa a su nido a una velocidad cons
V — 30 m s. F.I aire ambiente esta quieto y a una tempe
rutura y humedad relativa de 7* = 37°C y <b, = T3
respectivamente Si. a lo largo del vuelo, la superfk
A s se cubre con una película de agua liquida a T
32°C, ¿cuál es la distancia máxima permisible del
a la fuente de agua, si el ave debe regresar con al
nos 50% del suministro de agua inicial? Las prop
des del aire y de la mezcla aire vapor se toma como
16.7 X 10- 6 nrr/s y D AB = 26.0 X 10 6 m2/s.
D
I
Recubrimiento de naftalina
Obtenga una expresión para el número de \u s se lt pro­
medio (Nud = h D /k ) que corresponda a la transieren
cid de calor desde un disco isotérmico expuesto a las
condiciones de flujo anteriores. Si a = 1.2 y n = 5.5,
¿cual es la transferencia de calor de un disco de díame
tro D = 20 mm y temperatura superficial 7\ = I25°C a
un flujo de aire para el que R eD = 5 X 101 y T, =
25°C? Por lo común, la producción de una capa límite
desde un punto de estancamiento da un coeficiente de
convección decreciente con el aumento de la distancia
desde el punto de estancamiento. Proporcione una ex­
plicación plausible de por que la tendencia opuesta se
observa para el disco
6.61 Para reducir la amenaza de los depredadores, el uroga­
llo de arena, un ave de Kenya, deposita sus huevos en
lugares distantes de las fuentes de agua. Para llevar
agua a sus polluclos, el urogallo vuela a la tuente mas
cercana y, mediante la inmersión de la parte interior de
su cuerpo, recoge agua en su plumaje. El urogallo re
gresara a su nido, y los polluclos beberán agua del plu­
maje. Por supuesto, si el tiempo de vuelo es demasiado
largo, las pérdidas evaporativas ocasionarán una reduc­
ción significativa en el contenido de agua del plumaje y
los polluelos sucumbirán por deshidratación.
6.62 Un experimento de laboratorio imp ica la iransfer
simultánea de calor y de masa de una toalla empa
con agua que experimenta la irradiación de un
de lámparas radiantes y un flujo de aire paralelo
la superficie. Con una correlación de convección q
introducirá en el capítulo 7. se estima que el coche,
promedio de transferencia de calor por convección i
28.7 W/m2 • K Suponga que las prop edades radia
de la toalla son las del agua, para las que a =
0.96, y que los alrededores están a 300 k.
Lámparas radiantes
Irradiación sobre
la toalla, G (W/m2)
to
= 290 K,
Aire
=0
Toalla de papel emp;
en agua,
/— Ts = 310 K,
4^ 92.5 mm x
—►
A is la n te
(a) Determine la velocidad a la que el agua seev»
de la toalla, nA (kg/s).
(b) Lleve a cabo un balance de energía sobre la ft
para determinar la transferencia neta de radir
<7itk1(W). a la toalla. Determine la irradiación G{\V
V
T
1 OQ
de­
6.63 Ln primavera, las superficies como aceras y ca_
asfálticas están algunas veces húmedas en la ma
aun cuando no llueva durante la noche. Lasco
nes nocturnas típicas se muestran en el dibujo.
para comprender mejor la transferencia convectiva du­
rante el vuelo, se llevaron a cabo estudios en un túnel
de viento con el uso de modelos del urogallo. Mediante
el calentamiento de la parte del modelo que correspon­
de al plumaje donde se recoge el agua, se determinó el
coeficiente de transferencia de calor por convección.
Los resultados para diferentes velocidades de aire y ta­
maños de modelo se usaron para desarrollar una corre
laeión empírica de la forma
/
Tx
= 290 K, 0 x = 0.7
h = 53 W/m2 ■K
B risa
t-
I _____
= 240 K
T< : ™
^
ÑiiL = 0.0 M R e f 5 P r m
f'
El arca efectiva de la superficie de la parte que recoge
agua del plumaje se designa como Av y la longitud ca­
racterística se define como L = (A J12.
f '€'€ :
f f ü l C f f r i ' f Capa
de agua
Concreto
|¡q.jida
Problemas
343
(a) Determine los flujos dc calor asociados con la con­
vección. í/”onv’ evaporación. <7eVap. e intercambio dc
radiación con los al rededo re s.í/'^d
(b) ¿Sus cálculos explican por qué el concreto está
mojado en lugar de seco? Explique con brevedad
te)
Fluye calor de la capa liquida al c o n c r e t o <O del
concreto a la capa líquida? Determine el (lujo dc
calor por conducción hacia adentro o hacia afuera
del concreto.
6.64 Aire seco a 32°C fluye sobre una placa mojada de lon­
gitud 200 mm y ancho I ni (caso A). Un calentador
eléctrico empotrado sum inistra 432 W y la temperatura
de la superficie es 27 C.
l r = 32°C
7 , = 32°C
Película de agua
r
27°C
Aire
L
6.66 Se sabe que en noches claras la temperatura del aire no
necesita caer por debajo dc 0 C para que una capa del­
gada de agua sobre la tierra se congele. Considere tal
capa de agua en una noche clara para la que la tem pe­
ratura efectiva del cielo es —30 C y el coeficiente dc
transferencia de calor por convección debido al m ovi­
miento del viento es h = 25 W /m 2 • K. Se supone que
el agua tiene una emisividad de 1.0 y que está aislada
de la tierra en lo que a la conducción respecta
(a) Sin tom ar en cuenta la evaporación, determine la
tem peratura más baja que tendrá el aire sin que se
congele el agua.
(b) Para las condiciones dadas, estime el coeficiente
de transferencia de masa para evaporación del agua
(m/s).
(c) Tome en cuenta ahora el efecto de la evaporación,
¿cual es la tem peratura más baja que tendrá el aire
sin congelamiento del agua? Suponga que el aire esta
seco
u ,
Caso A
Caso B
(a) ¿Cual es la velocidad de evaporación del agua des­
de la placa (kg/h)?
(b) Después de un largo periodo de operación, toda el
agua se evapora de la placa y la superficie está se­
ca (caso B). Para las mismas condiciones de flujo
libre y la misma potencia de calentam iento que en
el caso A. estime la tem peratura de la placa, Ts.
Enfriamiento e v a p o r a t i v o
6.65 Un exitoso ingeniero de California instaló una piscina
caliente circular en su patio y encontró que, para las
condiciones típicas de operación que se muestran aba­
jo. debe agregar agua a ra/ó n dc 0.001 kg/s a fin dc
mantener un nivel fijo de agua en la piscina.
Aire
T* = 290 K
<6X = 0.30
6.67 Una expresión para la presión parcial real dc vapor de
agua en términos de las temperaturas de bulbo húmedo
y bulbo seco, denominada ecuación de Carrier. está da­
da como
Pv = P g\v
1810 —7:wb
donde p „ p ^ , y p son la presión parcial real, la presión
de saturación a la temperatura de bulbo húmedo y la
presión total (todos en bar), mientras que Ths y Tbh son
las temperaturas dc bulbo seco y húmedo en kclvin.
Considere aire a 1 atm y 37.8°C que fluye sobre un ter­
m ómetro de bulbo húmedo que indica 21.1°C.
(a) Con la ecuación de Carrier. calcule la presión par­
cial del vapor de agua en el flujo libre. ¿Cuál es la
humedad relativa?
(b) Refiérase a una carta psicrométrica y obtenga la
humedad relativa de forma directa para las condi­
ciones que se indican, y compare el resultado con
la parte (a).
(c) Use el valor dc la presión de vapor que se obtiene
en la parte (a) con la relación de enfriamiento evaporativo, ecuación 6.98, para calcular una diferen­
cia de temperaturas entre el aire global y el bulbo
húmedo Compare esta diferencia de temperatura
con la diferencia dc temperaturas real. ¿Cuál es el
porcentaje de diferencia entre los dos valores?
6.68 Un termómetro dc bulbo húmedo consiste en un termó­
Si a piscina esta bien aislada cn sus lados y en la parte
inferior y la temperatura del agua dc la toma es igual a
tedel agua de la piscina, ¿a qué rapidez deben sum inis­
trar energía los calentadores eléctricos para m antener el
agua a 310 K
metro de mercurio en vidrio cubierto con una tela hú­
meda (agua). Cuando se suspende en un flujo de aire,
la lectura de estado estable del term ómetro indica la
tem peratura de bulbo húmedo
obtenga una expre­
sión para determ inar la humedad relativa del aire a parUCPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
Universidad Simón bolívar - Sede u . Litoral
C apítulo 6 ■ Introducción a la convección
341
tir del conocim iento de la tem peratura
temperatura de bulbo húmedo, y las
aire y vapor de agua apropiadas. Si 7®
25°C, ¿cuál es la humedad relativa del
del aire (7®), la
propiedades de
= 45°C y 7 bh =
flujo de aire?
6.f>9 Un proceso industrial implica la evaporación de una pe­
lícula delgada de agua de una superficie pennietrica al
calentarla desde abajo y al forzar aire a través de ésta.
Mediciones de laboratorio para esta superficie propor­
cionan la siguiente correlación de transferencia de calor.
N ul = 0.043/?e¿58 Pra 4
El aire que fluye sobre la superficie tiene una tem pera­
tura de 290 K. velocidad de 10 m/s, y está com pleta­
mente seca (<f) = 0) La superficie tiene una longitud
de 1 m y un área superficial de 1 m2. Se suministra justo
la suficiente energía para m antener su tem peratura de
estado estable a 310 K
(a) Determine el coeficiente de transferencia de calor
y la velocidad a la que la superficie pierde calor por
convección.
(b) Determine el coeficiente de transferencia de masa
y la velocidad de evaporación (kg/h) del agua so­
bre la superficie.
(c) Determine la rapidez a la que debe sum inistrarse
calor a la superficie para estas condiciones
6.70 Un disco de 20 mm de diámetro se cubre con una pelícu­
la de agua Bajo condiciones de estado estable, se
requiere una potencia de calentamiento de 200 mW para
m antener la película de agua del disco a 305 K en aire
seco a 295 K y la rapidez de evaporación observada es
2.55 X 10 4 kg/h.
6.71
Se conduce un experim ento para determinar el c
cíente de transferencia de masa por convección de
pequeña gota, con un calentador controlado para o
a una tem peratura constante. La historia de la potcnc*
requerida para evaporar por completo la gota a una
tem peratura de 37°C, se m uestra en el dibujo. Se ob
va que, a medida que la gota se seca, el diámetro
medo sobre la superficie del calentador permanece c%i
constante cn un valor de 4 mm.
Aire seco
7», h
Gota de agua
Calentador
(a) Calcule el coeficiente de transferencia de masa
convección con base cn el área húmeda dur
proceso de evaporación cuando la gota, el cale
dor y el aire ambiental seco están a 37°C
(b) ¿Cuánta energía se requerirá para evaporarla
si la tem peratura del aire ambiental seco es 27
mientras que la temperatura de gota-calentador
manece a 37°C?
6.72 Se desea desarrollar un modelo simple para pir
historia temporal de la temperatura de un plato d
el ciclo de secado en una máquina lavavajillas.
pués del ciclo de lavado, el plato está a Tp{t) = T
65°C y el aire cn la lavadora está completamente
rado
= 1 . 0 ) a 7 x = 55°C. Los valores del ár
Película de agua, Ts - 305 K
perficial del plato As, masa M y calor específico
tales que Mc/As = 1600 J/m • K.
Disco, D = 20 mm
Calentador, 200 mW
(a) Calcule el coeficiente prom edio de transferencia de
masa por convección.
para el proceso de eva­
poración.
(b) Calcule el coeficiente prom edio de transferencia de
calor por convección, h.
(c) ¿Los valores de hm y h satisfacen la analogía calormasa?
(d) Si la humedad relativa del aire ambiente a 295 K
se incrementara de 0 (seco) a 0.50. pero la potencia
suministrada al calentador se mantuviera a 200 mW,
la velocidad de evaporación, ¿aum entaría o dism i­
nuiría? ¿Las temperaturas del disco aumentarían o
dism inuirían?
(a) Suponiendo que el plato está cubierto co
mente por una película de agua y sin consid
resistencias térm icas de la película y del pl
rive una ecuación diferencial para predecir h
peratura del plato como función del tiempo.
(b) Para las condiciones iniciales (r = 0)
cam bio cn la tem peratura de la placa con tí
po, ílT/dt (°C/s), suponiendo que el cc
prom edio de transferencia de calor sobre el
es 3.5 W /m 2 • K.
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Universidad Simón Bolívar - Sede dol Litoral
3
16
C apítulo 7 ■ Flujo externo
E
n este capitulo, centramos nuestra atención en el problema de calcular la transfe­
rencia de calor y masa hacia o desde una superficie en un flujo externo. En tales fluj«
las capas límite se producen libremente, sin restricciones impuestas por las superficies
contiguas. En consecuencia, siempre existe una región del flujo fuera de la capa limite
en la que los gradientes de velocidad, temperatura y/o concentración son despreciables.
Los ejemplos incluyen el movimiento del fluido sobre una placa plana (inclinada o M
ralela a la velocidad de flujo libre) y el flujo sobre superficies curvas como una esfea
un cilindro o el alabe de una turbina.
Por el momento confinamos nuestra atención a problemas de convección fo n
Je baja velocidad sin que ocurra cambio de fase dentro del fluido. En la convecc
forzada, el movimiento relativo entre el fluido y la superficie se mantiene por medio*
externos, como un ventilador o una bomba, y no por fuerzas de empuje debidas al
gradientes de temperatura en el fluido (convección natural). Los flujos internos. la.
vección natural y la convección con cambio de fase se tratan en los capítulos 8,9\
respectivamente.
Nuestro objetivo principal es determinar los coeficientes de convección para
rentes geometrías de flujo. En particular, deseamos obtener formas específicas de I
funciones que representan estos coeficientes. Al quitar las dimensiones a las ecuaen
nes de conservación en el capitulo 6, encontramos que los coeficientes de co n v e ccü
local y promedio se correlacionan mediante ecuaciones de la forma
\ r a iis f r r e n c ia d e c a lo r
N ux = / 4( a \ R e x. Pr)
Nux = f 5( R c K,Pr)
T r a n s fe r e n c ia fie m asa :
Shx = / 7(.v*, R e x, Se)
Shx = M R e x , S c )
Se agrega el subíndice x para resaltar nuestro interés por las condiciones de una
cion particular sobre la superficie. La barra sobrepuesta indica un promedio de\v* -t
donde la capa limite se comienza a desarrollar, a la posición de interés. Recuen
el problema de convección es el de obtener estas funciones. Hay dos enfoques
bles, uno teórico y otro experimental.
El enfoque experimental o empírico implica llevar a cabo mediciones de ir;
rencia de calor y masa en condiciones de laboratorio controladas y correlacioné
datos en términos de los parámetros adimensionales apropiados. En la sección ?
proporciona una exposición general del método Éste se aplica a muchas gcoinc
condiciones de flujo diferentes y ios resuflados importantes se presentan en las
nes 7.2 a 7.8.
El enfoque teórico implica resolver las ecuaciones de capa limite para una
tría particular. Por ejemplo, al obtener el perfil de temperaturas T* a partir de tal id
ción, la ecuación 6 80 sirve entonces para evaluar el número local de Nusselt:1
por tanto, el coeficiente local de convección: hx Con el conocimiento de cómo y
sobre la superficie, la ecuación 6.5 se usa para determinar el coeficiente pror
7 .1
■ Método empírico
3 1 7
c o n v e c c ió n hA y . p o r ta n to , e l n u m e ro d e N u s s e lt N u v. E n la s e c c ió n 7 .2 .1 se ilu s tr a e s ­
te e n fo q u e m e d ia n te e l u s o d e l método de similitud p a ra o b te n e r u n a solución exacta d e
la s e c u a c io n e s d e c a p a lim it e p a ra u n a p la c a p la n a e n f lu jo la m in a r p a ra le lo f 1 — 31. E n
e l a p é n d ic e E se o b tie n e u n a solución aproximada p a ra m is m o p ro b le m a c o n e l u s o d e l
método integral [4 ]
7.1
M élotlo
e m p ír ic o
L a fo r m a e n la q u e es p o s ib le o b te n e r u n a c o r r e la c ió n d e tra n s fe re n c ia d e c a lo r p o r
c o n v e c c ió n d e m a n e ra e x p e r im e n ta l se ilu s tr a e n la fig u ra 7.1 S i u n a g e o m e tría e s ta ­
b le c id a , c o m o la d e la p la c a p la n a e n u n f lu jo p a ra le lo , se c a lie n ta e lé c tric a m e n te p a ra
m a n te n e r T v > T&, o c u rre la tra n s fe re n c ia d e c a lo r p o r c o n v e c c ió n de la s u p e rfic ie a l
H u id o . S e ría f á c il m e d ir T y 7 ^ , a s i c o m o la p o te n c ia e lé c tric a , E • / , q u e es ig u a l a la
tr a n s fe r e n c ia to ta l d e c a lo r q. E l c o e fic ie n te d e c o n v e c c ió n / / / , q u e es u n p ro m e d io q u e
se a s o c ia c o n to d a la p la c a , se c a lc u la e n to n c e s p a ra la le y d e e n fr ia m ie n to d e N e w to n
(e c u a c ió n 6 .4 ) . A d e m á s , d e l c o n o c im ie n to d e la lo n g itu d c a ra c te rís tic a L y la s p ro p ie ­
d a d e s d e l H u id o , lo s n ú m e ro s d e N u s s e lt, R e y n o ld s y P ra n d tl se c a lc u la n a p a r tir d e sus
d e fin ic io n e s , e c u a c io n e s 6 8 2 . 6 6 9 y 6 .7 0 , re s p e c tiv a m e n te .
E l p r o c e d im ie n to a n te r io r se p u e d e r e p e tir p a ra u n a v a rie d a d d e c o n d ic io n e s d e
p ru e b a P o d e m o s v a r ia r la v e lo c id a d //« y la lo n g itu d d e p la c a L. a s í c o m o ta m b ié n la
n a tu ra le z a d e l H u id o , c o n e l u s o , p o r e je m p lo , d e a ire , a g u a y a c e ite d e m o to r , q u e t ie ­
n e n n ú m e ro s d e P ra n d tl s u s ta n c ia lm e n te d ife re n te s . T e n d ría m o s e n to n c e s m u c h o s v a lo ­
re s d ife r e n te s d e l n u m e ro d e N u s s e lt q u e c o rre s p o n d a n a u n a m p lio ra n g o d e n ú m e ro s
d e R e y n o ld s y d e P ra n d tl. y c o n lo s re s u lta d o s se e la b o ra u n a g ra h e a e n u n a e s c a la
lo g - lo g , c o m o se m u e s tra e n la fig u r a 1.2a. C a d a s ím b o lo re p re s e n ta u n c o n ju n to ú n ic o
d e c o n d ic io n e s d e p ru e b a . C o m o s u e le o c u r r ir , lo s re s u lta d o s a s o c ia d o s c o n u n H u id o
d a d o , y p o r e llo u n n ú m e ro d e P r a n d tl h jo , c a e n c e rc a d e u n a lin e a re c ta , q u e se p u e d e
re p re s e n ta r m e d ia n te u n a e x p re s ió n a lg e b ra ic a d e la fo r m a
Ni i = C Re f P r n
(7 1)
P u e s to q u e lo s v a lo r e s d e C , m y n a m e n u d o s o n in d e p e n d ie n te s d e la n a tu ra le z a d e l
flu id o , la f a m ilia de lin e a s re c ta s q u e c o rre s p o n d e n a d ife re n te s n ú m e ro s d e P ra n d tl se
in te g r a n e n u n a s o la lin e a a l tra z a r lo s re s u lta d o s e n té r m in o s d e la ra z ó n , N u J P r ", sets u n se m u e s tra e n la fieo u r a 1.2b.
C o m o la e c u a c ió n 7 .1 se in fie r e a p a r tir d e m e d ic io n e s e x p e rim e n ta le s , se d e n o m i
n a c o n elación empírica S in e m b a rg o , lo s v a lo re s e s p e c ífic o s d e l c o e fic ie n te C y lo s
’t'tsi
,./ r
=(¡
-
h¡_As (Ts ~
Tx)
I— C A
------
w
v £ ;
r
Aislante
F
igi k
\ 7. 1
E x j:»r-ri inédito p a r a m o flir t i c o e f ic ie n t e p ro m e d io d r
t r a n s f e r e n c ia d e c a lo r p o r c o n v e c c ió n
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C apítulo 7 ■ ílu jo externo
(b)
(a)
F lG I R \ 7 .2
Ht p re s e n ta c ió n utl in ten sió n . il dt* la s m ed ie io n e s d e t r a n s fe r e n c ia d e c a lo r por
c o n v e c c ió n .
e x p o n e n te s m y n v a r ía n c o n la n a tu r a le z a d e la g e o m e tr ía d e la s u p e rfic ie y del ip
d e f lu jo .
U t iliz a r e m o s e x p re s io n e s d e la fo r m a d a d a p o r la e c u a c ió n 7 .1 p a ra m uchos ca
e s p e c ia le s , y es im p o r ta n te re c o n o c e r q u e la s u p o s ic ió n d e propiedades de fluido &
tantes a m e n u d o e s tá im p lí c ita e n lo s re s u lta d o s S in e m b a rg o , s a b e m o s que las p:
p ie d a d e s d e l flu id o v a ría n c o n la te m p e ra tu ra a tra v é s d e la c a p a lím ite y q ui e
v a r ia c ió n c ie rta m e n te in f lu ir á e n la tra n s fe re n c ia d e c a lo r. E s ta in flu e n c ia se maneja
u n a d e d o s fo rm a s . E n u n m é to d o , se u sa la e c u a c ió n 7 .1 c o n to d a s la s propiedad
e v a lu a d a s a u n a te m p e ra tu ra m e d ia d e la c a p a lim it e T , q u e se d e n o m in a temperat
de película.
Tf
i
T +T
->
a
E l m é to d o a lte rn o e s e v a lu a r to d a s la s p ro p ie d a d e s e n Tx y m u ltip lic a r e l lad o derecho
la e c u a c ió n 7 I p o r u n p a rá m e tro a d ic io n a l p a ra e x p lic a r la s v a ria c io n e s de las pro
d a d es. E l p a rá m e tro n o rm a lm e n te es d e la fo r m a (P r J P r s)r o (¡ulJ / jlJ , d ond e los subí
ces 00 y 5 d e s ig n a n la e v a lu a c ió n d e la s p ro p ie d a d e s e n la s te m p e ra tu ra s de flujo libe
d e la s u p e rfic ie , re s p e c tiv a m e n te . A m b o s m é to d o s se u s a n e n lo s re s u lta d o s que sigue
F in a lm e n te , o b s e rv a m o s q u e ta m b ié n es p o s ib le lle v a r a c a b o experim entos p
o b te n e r c o rre la c io n e s d e tra n s fe re n c ia d e m a s a p o r c o n v e c c ió n . S in e m b a rg o , bajo
d ic io n e s e n la s q u e la a n a lo g ía d e tra n s fe re n c ia d e c a lo r y d e m a s a (sección 6.8.1
a p lic a , la c o r r e la c ió n d e tra n s fe re n c ia d e m a s a to m a la m is m a fo r m a q ue la corre
d ie n te a la c o r r e la c ió n d e tra n s fe re n c ia d e c a lo r. E n c o n s e c u e n c ia , anticipan!
c o rr e la c io n e s d e la fo r m a
ShL = C R e’¡' Se,n
d o n d e , p a ra u n a g e o m e tría y c o n d ic io n e s d e f lu jo d a d a s , lo s v a lo re s de C , m y n nn
m is m o s q u e lo s q u e a p a re c e n e n la e c u a c ió n 7 .1 .
7 .2
Placa plana en un flu jo paralelo
A p e s a r d e su s e n c ille z , e l f lu jo p a ra le lo s o b re u n a p la c a p la n a (fig u ra 7 3) ocun?
n u m e ro s a s a p lic a c io n e s d e in g e n ie ría C o m o se a n a liz ó e n la s e c c ió n 6 3, el desan
7 .2
■ Placa plana en un Jlujo paralela
Laminar
I
319
Turbulento
Fuá
rtA 7 . 3
Flaca plana cn un (lujo paralelo.
de la capa límite laminar comienza desde el inicio de la placa (.v = 0) y la transición a
la turbulencia ocurre en una posición corriente abajo (v() para la que se alcanza un nu­
mero de Reynolds crítico R ex Comenzamos con la consideración de las condiciones
en la capa límite laminar.
7«2*1
Flujo laminar: solución «le similitud
Los parámetros principales de convección se obtienen resolviendo la forma apropiada
de las ecuaciones de capa límite, al suponer un finjo laminen incompresible y estable
con propiedades de flu id o constantes y disipación viscosa despreciable y al reconocer
que dpldx = 0. las ecuaciones de capa límite (6.54. 6.55, 6 57 y 6.58) se reducen a
C ontinuidad:
du d v
— +— =0
dx
(7.4)
dx
M om ento:
du
du
d 2u
¡i — + v — = v— 5c)\
d\
d y2
(7-5)
3T
3T
d 2T
u —- + v - — = a — y
dx
¿h<h2
(7.6)
.^—
PA , J p A _ n
^P A
u
------ f- v — — - í)au ^ -1 —
(7.7)
Energía:
Especies:
dx
dx
d\'~
La solución de estas ecuaciones se simplifica por el hecho de que, para propiedades
constantes, las condiciones en la capa límite de velocidad (hidrodinámica) son inde­
pendientes de la temperatura y concentración de especies. En consecuencia, comenzare­
mos por la solución del problema hidrodinámico, ecuaciones 7.4 y 7.5, con la exclusión
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
UiiiVwi
¿ítinuí'i LMJI I Vilr - Sftd« ..
.ral
350
C apítulo 7 ■ Flujo externo
de las ecuaciones 7.6 y 7.7. Una vez que el problema hidrodinámico esta resuelto, *
obtienen las soluciones a las ecuaciones 7.6 y 7.7, que dependen de u y u
La solución hidrodinámica sigue el método de Blasius [1, 21. Las componentes de
la velocidad se definen en términos de una función de corriente ip(x. y).
di¡/
u =
dip
v = —
dy
( 7 .8 i
dx
de modo que la ecuación 7.4 se satisface de forma automática y por ello ya no es n
sana. Se definen entonces nuevas variables, la dependiente y la independiente,/)
respectivamente, tales que
&
f(v) =
(79
U j \ / vx/ur
r¡ = y v u ^ / v x
( 7.1
Como veremos, el uso de estas variables simplifica el problema al reducir la ecuiicr
diferencial parcial, ecuación 7.5, a una ecuación diferencial ordinaria.
La solución de Blasius se denomina solución de sim ilitud , y r/e s una variable
sim ilitud Esta terminología se utiliza porque, a pesar del crecimiento de la caj a ji
con la distancia x desde el inicio, el perfil de velocidad ulux permanece geomér'
m ente sim ilar. Esta similitud es de la forma funcional
donde 8 es el espesor de la capa límite. Al suponer que este espesor varía como (vxk
se sigue que
u
(7
Uo
J
Así, el perfil de velocidad se supone determinado unívocamente por la variable de
militud 77, que depende de v y de y.
De las ecuaciones 7 8 a 7.10 obtenemos
u =
dijj
dip dr]
dy
dr¡ dy
= u
o/
ux
Moc d x
2
vx
v = —
r v
v uQcx ^
Al derivar las componentes de la velocidad, se muestra también que
du
dx
du
= uD
dy
7 .2
331
■ Placa plana en un Jhijo paralelo
£ «
_ «i ¿V
dy2
vx
(7.16)
d if
Al sustituir estas expresiones en la ecuación 7.5, obtenemos
+ /
drf
dr]2
0
=
(7.17)
Por ello, el problema hidrodinámico de la capa límite se reduce a resolver una ecuación
diferencial ordinaria de tercer orden no lineal Las condiciones de frontera apropiadas
son
u ( x , 0 ) = v ( v, 0 ) = 0
y
u ( x , °c) = u 3
o, en términos de las variables de similitud,
df
d¿
dr]
= /(O ) = 0
dr]
77-o
= 1
77 =
(7.18)
00
La solución a la ecuación 7 .1 7 , sujeta a las condiciones de la ecuación 7 .1 8 . se ob­
tiene mediante una expansión en serie [2] o por integración numérica 13]. En la tabla
7 1 se presentan resultados seleccionados de los que es posible extraer información
útil. Observamos primero que, para una buena aproximación, (u/Ucc) = 0.99 para
r¡ = 5 0 Al definir el espesor de la capa limite 8 como el valor de y para el que
(u/uoc) = 0 99, se sigue de la ecuación 7 . 10 que
5.0
8=
5a
V«oo / VA
(7 .1 9 )
Rex
De la ecuación 7.19 es claro que 8 aumenta al aumentar a y y pero disminuye al aumen­
tar ux (cuanto mayor sea la velocidad de flujo, más delgada será la capa lím ite ) . Además,
de la ecuación 7.15 el esfuerzo cortante de la pared se expresa como
du
Ts = P
/
- ¡jlu^ v u J
3v
d 2f
vx —
d t]
77-0
Por tanto, de la tabla 7.1
rs — 0.332¿ O / p /jlu^ / x
El coeficiente
lo c a l
de fricción es entonces
C/..< S T % 7
- = 0 . 6 M R e ; y 2(7.20)
p iC / 2
Del conocimiento de las condiciones en la capa limite de velocidad o hidrodinámi­
ca, las ecuaciones de continuidad de energía y de especie se pueden resolver ahora. Para
resolver la ecuación 7.6 introducimos la temperatura ¿dimensional T* ^ [ ( r —TS)¡(T^ —
7X)] y suponemos una solución de similitud de la forma T* = T*(-q). Al hacer las sustitucio­
nes necesarias, la ecuación 7 6 se reduce a
d 2T *
drf
Pr
dT
*
+ — f-r ~
2
d r)
= 0
(7 21)
DEPARTAM ENTO DE BIBLIO TEC,
Universidad Sim an u cU w jr - Sede .
oral
352
C apítulo 7 ■ Flujo externo
T
abi
\ 7. L
Funciones de capa lím ite lam inar para
una p iara plana [3]
df
u
d 2f
dr]
u ao
dr]2
fü Z
t> = N
/
k
0
0
0
0.332
0.4
0.027
0.133
0.331
O.S
0.106
0.265
0.327
1.2
0.238
0.394
0.317
1.6
0.420
0.517
0.297
2.0
0.650
0.630
0.267
2.4
0.922
0.729
0.228
2.8
1.231
0.812
0.184
3.2
1.569
0.876
0.139
3.6
1.930
0.923
0.098
4.0
2.306
0.956
0.064
4.4
2.692
0.976
0.039
4.8
3085
0.988
0.022
5.2
3.482
0.994
0.011
5.6
3.880
0.997
0.005
6.0
4.280
0.999
0.002
6.4
4.679
1.000
0.001
6.8
5.079
1.000
0.000
Advierta la dependencia de la solución térmica sobre las condiciones hidrodinám
través de la aparición de la variable / e n la ecuación 7.21 Las condiciones de fre
apropiadas son
y
7*(0) = 0
7*(«) = 1
Sujeta a las condiciones de la ecuación 7.22, la ecuación 7 21 se resuelve me'
integración numérica para diferentes valores del número de Prandtl Lna consecu
importante de esta solución es que. para P r S 0.6. los resultados para el gradic
temperatura de la superficie dT*ld 17^=0 se correlacionan mediante la siguiente re
dT*
dr¡
= 0.332/V1'3
7 ,= 0
Al expresar el coeficiente local de convección como
t x-
<7,
hx
t
*c
K = k
t
,
- T
Mrx
vx
dr
dy
dr]
3-=ü
t,=0
se sigue que el número dc Nusselt local es de la forma
Nu
h v
k
= 0.332AV!/2 P r i n
P r S 0.6
7 .2
■ Placa plana cti un Jlujo ¡taraido
353
De la solución a la ecuación 7.21. se sigue también que la razón de la velocidad al es­
pesor de la capa límite térmica es
(7.24)
— - P r 1/3
donde 8 esta dada por la ecuación 7.19.
La solución de la capa límite de concentración se obtiene de manera similar. Al in­
troducir una densidad de especies normalizada pA* —[(P a — P a . ^ P a .* — P a , í )J y su
poner una solución de similitud, la ecuación 7.7 se convierte en
d 2p l
drf
+
Se
dp*
2
dr)
=
0
(7.25)
con
P Í(0) =
y
0
p * (« )
=
1
(7.26)
Para Se S 0.6. la solución correspondiente da
dpi
drj
ÓV
7J= 0
= 0 .3 3 2 S c in
en cuyo caso
n.
h
Pa, S
r-r-d p l
dp,
=
Pa . «
= D AB
dy
- Dabv
u
J
vx
y —o
dr)
J = 0
y
s¡h
=
^ ^ = 0.332R e lJ 2 5c ,/3
D AB
Se > 0.6
(7.27)
De la solución a la ecuación 7.25, se sigue también que la razón de los espesores de la
capa límite es
1/3
(7.28)
Los resultados precedentes sirven para calcular importantes parámetros de capa lí­
mite lam inar para cualquier 0 < x < a > , donde ,vc es la distancia desde el borde en el
que comienza la transición. Las ecuaciones 7.20. 7.23 y 7.27 implican que t< v, Ii x y
hm.x son, en principio, infinitos en el inicio de la placa y disminuyen como ,r“ 1/2 en la
dirección de flujo. Las ecuaciones 7.24 y 7.28 también implican que, para valores de
Pr y Se cercanos a la unidad, que es el caso para la mayoría de los gases, las tres capas
limite experimentan crecimientos casi iguales. Las ecuaciones 7.23 y 7.27, así como
las ecuaciones 7.24 y 7.28, son precisamente de la misma forma, lo que confirma la
analogía de la transferencia de calor y de masa.
A partir de los resultados locales anteriores, se determinan los parámetros prome­
dio de capa límite. Con el coeficiente promedio de fricción definido como
C/.x —
pu2J 2
(7.29)
donde
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
Universidad Simón Bolívar Sede del Litorn
3 5 4
C apítulo 7 ■ Flujo externo
la forma de
obtener
tsx
se sustituye de la ecuación 7.20 y se lleva a cabo la integración para
-
C j.x - \ 328 Re~
Además, de las ecuaciones
para flujo laminar es
1/ 2
(7 30)
6 6 y 7.23, el coeficiente prom edio
de transferencia de calor
Al integrar y sustituir de la ecuación 7.23, se sigue que h x = 2h x. De aquí
fi
\
N u x = ------- = 0.664 R e í'2 P r v7>
Pr > 0
k
6
(7.31)
De forma similar, se muestra que
—
Sh v =
h m, x x
DAB
= 0.664 Re\ 2 S c x n
Se > 0 .6
(7.3,
Si el flujo es laminar en toda la superficie, el subíndice a se reemplaza por L. y Ia\
ecuaciones 7.30 a 7.32 sirven para predecir las condiciones promedio para toda la su­
perficie.
De las expresiones anteriores vemos que, para el flujo laminar sobre una laca
plana, los coeficientes p rom edio de fricción y convección desde el inicio a un punto
x sobre la superficie son el doble de los coeficientes locales en ese punto. Adverti­
mos también que. al usar estas expresiones, el efecto de las propiedades variables *
trata mediante la evaluación de todas las propiedades a la tem peratura de película,
ecuación 7.2.
En cuanto a fluidos con número de Prandtl pequeño, a saber, metales líquidos,k
ecuación 7.23 no se aplica. Sin embargo, para este caso, el desarrollo de la capa límite
térmica es mucho mas rápido que el de la capa limite de velocidad o hidrod námita
(5,
S), y es razonable suponer una velocidad uniforme (u — ux ) a través de la cap*
limite térmica. A partir de una solución a la ecuación de capa límite térmica basada
esta suposición [5]. Se muestra que
N u x = 0.565 P e ™
P r < 0 .0 5 ,
Pe,
100
(7,31
donde P ex = R e xP r es el núm ero de Peclet (tabla 6.2). A pesar de la naturaleza co“
va y reactiva de los metales líquidos, sus propiedades únicas (punto de fusión y pr
de vapor bajos, así como capacidad y conductividad térmicas altas) los hacen atr
vos como refrigerantes en aplicaciones que requieren altas transferencias de calor.
Churchill y Ozoe [6 J recomiendan una ecuación de correlación única, quesea
ca para todos los números de Prandtl. Para el flujo laminar sobre una placa isotermo
el coeficiente local de convección se obtiene de
N ux =
con N u x = 2Nux.
0 3387 R e[,2 P r 113
[1 + (0.04687 >/-)2/3]i/4
P e x sí 100
a*i
7 .2
■ Piara plana en un flujo paralelo
7 .2 .2
355
Flujo turbulento
De la experimentación [7] se sabe que. para flujos turbulentos con números de Rey­
nolds hasta aproximadamente 10 , el coeficiente local de fricción está correlacionado
por completo mediante una expresión de la forma
Cj x 5 0.0592 R e ¿ 15
Rex
107
(7.35)
La expresión también se usa dentro de 15% de precisión para valores de R e x hasta 10s.
Además, se sabe que, con una aproximación razonable, el espesor de la capa limite de
velocidad se expresa como
(7.36)
8 = 0 3 1 x R e ~ v$
Al comparar estos resultados con los de la capa límite laminar, ecuaciones 7.19 y 7 20,
vemos que el crecimiento de la capa limite turbulenta es mucho más rápido (S varía co­
mo y4'5 en contraste con v1/2 para el flujo laminar) y que la disminución en el coeficien­
te de fricción es más gradual (x 1/5 contra x ~ u2). En el flujo turbulento, la producción
de la capa límite está influida fuertemente por fluctuaciones aleatorias en el fluido y no
por la difusión molecular Por eso, el crecimiento relativo de la capa limite no depende
del valor de P r o de S e , y la ecuación 7.36 es útil para obtener los espesores de la capa
limite térmica y de concentración, así como la de velocidad. Es decir, para flujo turbu­
lento, 8 ~ 8r ~ 8(.
Al usar la ecuación 7.35 con la analogía de Reynolds modificada, o de ChiltonColburn, ecuaciones 6.103 y 6.104. el número de Nusselt local para flujo turbulento es
N ux = St R ex P r = 0.0296 R e*15 P r 'n
0.6 < Pr < 60
(7.37)
0.6 < 5c <3000
(7.38)
y el número de Sherwood local es
Shx = S tm R exSc = 0.0296 R e4x /5S c u3
La mezcla aumentada ocasiona que la capa límite turbulenta crezca de forma más rápi­
da que la capa límite laminar y que tenga coeficientes de fricción y de convección más
grandes.
Es posible determinar ahora expresiones para los coeficientes promedio con el uso
de los procedimientos de la sección 7.2.1. Sin embargo, como la capa limite turbulenta
por lo general está precedida por una capa límite laminar, primero consideramos las
condiciones de la capa límite m ezclada.
7 .2 .3
Condiciones de capa límite mezclada
Para el flujo laminar sobre toda la placa, se utilizan las ecuaciones 7.30 a 7.32 para
calcular los coeficientes promedio. Ademas, si ocurre la transición hacia la parte poste­
rior de la placa, por ejemplo, en el rango 0.95 ^
^ 1 . estas ecuaciones se usan
para calcular los coeficientes promedio con una razonable aproximación Sin embargo,
cuando ocurre la transición lo suficientemente antes del fin de la placa, (xcIL) ^ 0.95,
los coeficientes promedio de la superficie estarán influenciados por las condiciones en
las capas límite laminar y turbulenta.
En la situación de la capa límite mezclada (figura 7.3), se utiliza la ecuación 6.6
para obtener el coeficiente promedio de transferencia de calor por convección para toDÉPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
Universidad Simón Bolívar Sede
ora
356
C apítulo 7 ■ Unjo externe»
da la placa. Al integrar sobre la región laminar (0 < a < x c) y después sobre la región
turbulenta (a; < a ^ L), esta ecuación se expresa como
h,. = -J- ( f
d x + £ ^turb d%
J0
donde se supone que ocurre la transición de forma abrupta en v = a>. Al sustituir de las
ecuaciones 7.23 y 7.37 para h Um y /iturb, respectivamente, obtenemos
\
( U.
h r = \-
V 2 rx c
0.332 (-=■).
/Woo\4/5f
\ 4/5 f L d x
d x
( u o=
^l
.
P rJ1/3
+ 0.0296
(
)
,
7%
* X
Al integrar, obtenemos
A ni. = [0.664/?? l,‘
2+
0 037(/??¿''7??v4 ;.5)] P r ]' 3
(7.3q.
Ñ iíi = (0.037 R e t f S - A ) P r lli
donde la constante A está determinada por el valor del número de Reynolds crítico. Es!
decir,
A - 0 .0 3 7 /? ? ^ - 0 664Re'xac
(74íi
Si se supone un numero de Reynolds de transición representativo R ex t. = 5 X 10', ti
ecuación 7.39 se reduce a
N ul = (0.037/??¿
5 -8 7 1 )P / l/3
( 7 .41 )
0.6 < P r < 60
5x10 5 < R e, sS10 8
R e xc = 5x 105
donde las relaciones entre corchetes indican el rango de aplicabilidad. De manera si»
lar se muestra que, para transferencia de masa por convección.
Sh L = (0.037/??¿
3 —871)5?1
(7.43
0.6 < Se <3000
5 x l0 5 < R eL ^ 10s
R e x r = 5 x l0 5
y para el coeficiente de fricción
C f.L =
0.074
1742
Re 1 /5
Re
5 x 103 < R eL ^
a
10
/??,*.<■ = 5 x 105
En situaciones para las que L > -\c(Re¡ > /??v <). A 0.031 Re ¡4/5 y con unarol
nablc aproximación las ecuaciones 7.41 y 7.42 se reducen a
N u,. =0.037/?«?£'5 P r 113
4 /5
5 /? /. = 0 . 0 3 7 / ? ? J
5c
7 .2
■ Piuca plana en un Jlujo paralelo
3 5 7
De forma similar, se sigue que
C f , L = 0 m 4 R e - Lu
(57.46)
H1 uso de los resultados anteriores también es apropiado cuando existe una capa límite
turbulenta sobre toda la placa. Tal condición se lleva a cabo enganchando la capa lími­
te al inicio de la placa, con el uso de un alambre fino o algún otro generador de turbu­
lencia.
Todas las correlaciones precedentes requieren la evaluación de las propiedades del
fluido a la temperatura de película, ecuación 7.2. Un enfoque alternativo para tratar la
dependencia respecto a la temperatura de las propiedades del fluido lo sugirió Whitaker [8 ] sobre la base de las mediciones de Zhukauskas |9J. Churchill [6 , 10 1 reviso de
manera crítica los resultados teóricos y experimentales disponibles y sugirió una sola
ecuación de correlación que se aplica sobre todo el intervalo de Re y Pr. Se sugieren
diferentes constantes para su uso con la ecuación, donde los valores específicos depen­
den de la existencia de una temperatura superficial o un flujo de calor uniformes y de si
se esta interesado en las condiciones locales o promedio.
7 .2 .4
Casos especiales
Todas las expresiones anteriores del número de Nusselt se restringen a situaciones para
las que la temperatura superficial Ts es uniforme. Una excepción común implica la
existencia de una longitud inicial no calentada (T = T corriente arriba de una sec­
ción calentada (Ts =£ Tx ). Como se muestra en la figura 7.4, el crecimiento de la capa
límite de velocidad comienza en x = 0 , mientras que la generación de la capa limite
térmica comienza en x = £. De aquí que no hay transferencia de calor para 0 < x < £
Con el uso de una solución integral de capa límite [5], se sabe que, para flujo laminar.
Nu
Nu =
t i
(7 47)
3 / 4 / i f / -3
donde N u x ¿_0 está dado por la ecuación 7.23. En N u x y N u x|f=0, la longitud caracterís­
tica .v se mide desde el inicio de la longitud inicial no calentada. Se ha descubierto tam­
bién que, para flujo turbulento.
N ux
Nu =
t i
(7 48)
F ig u r a 7 . 4
Plat a plana en flujo paralelo con longitud inicial no calentada.
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
Universidad Simón Bolívar - Sede del Litoral
358
C apítulo 7 ■ Flujo externo
donde N u x\¿=0 esta dado por la ecuación 7.37. Las ecuaciones 7.47 y 7.48 se aplican
para x > £, y obtener los números de Nusselt promedio para ^ < x < L, se tienen que
integrar numéricamente Resultados análogos de transferencia de masa se obtienen al
reemplazar (N u x, Pr) con (Shx, Se).
También es posible tener un flujo de calor superficial uniforme, en lugar de una
temperatura uniforme, impuesto en la placa. Para el flujo laminar, se muestra que [5J
N u x = 0 .4 5 3 R e]!2 7 / l/3
P r > 0 .6
(7.49)
mientras que para flujo turbulento
N u t = 0 .0 3 0 8 R e* 5 P r i n
0 .6 < /V < 6 0
(7.501
De aquí el número de Nusselt es 36% y 4%' mayor que el que resulta dc la temperat n
superficial constante para flujo laminar y turbulento, respectivamente. La correccid
para el efecto de una longitud inicial no calentada se logra utilizando las ecuadcB
7 49 y 7.50 con las ecuaciones 7.47 y 7 48. respectivamente. Si se conoce el flujo4 i
calor, se puede usar el coeficiente de convección para determinar la temperatura super­
ficial local
rr
(7.511
T j x ) = TX + ,
Como la transferencia total de calor se determina con facilidad a partir del produc­
to del flujo uniforme y del área de la superficie, q — q " A s, no es apropiado introducir
un coeficiente promedio de convección para el propósito de determinar q. Sin emb*
go, tal vez aún se desee determinar una temperaría a superficial promedio a partiré:
una expresión de la forma
1
rL
a . - t j = -
J
q"s CL
Jo (T,
dx
(7.52,
done N u x se obtiene de la correlación de convección apropiada. Al sustituir de laeci*.
ción 7.49, se sigue que
t/T
—
^
qL
~
Tx) =
(7 5.1
t
w
donde
N ul - 0.680 Re\
2 Pr 1/3
(7;
Este resultado es solo 2% más grande que el que se obtiene al evaluar la ecuación!
en v = L. Las diferencias son incluso más pequeñas para el flujo turbulento, loque
gicre que cualquiera de los N uL que se obtienen para una temperatura superficial
forme se usan con la ecuación 7.53a para evaluar (7* — T^J.
Aunque las ecuaciones de esta sección son adecuadas para la mayoría de
cálculos de ingeniería, en la práctica rara vez proporcionan valores exactos para los,
ficientcs de convección Las condiciones varían de acuerdo con la turbulencia de­
libre y la aspereza de la superficie, y se puede incurrir en errores tan grandes
25%- al usar las expresiones. Blair [ 111 proporciona una descripción detallada de
efectos de la turbulencia del flujo libre.
7 .3
■ Metodología para un cátenlo de convección
339
7.3
Metodología p a ra
u n cálculo
de convección
Aunque analizamos solo las correlaciones para el flujo paralelo sobre una placa plana,
la selección y aplicación de una correlación de convección para cualquier situación ele
Jlujo se facilita al seguir algunas reglas simples.
1. C onocer de inm ediato la geom etría del flujo. ¿El problema implica flujo sobre una
placa plana, una esfera o un cilindro? La forma específica de la correlación de con­
vección depende, por supuesto, de la geometría
2. E specificar la tem peratura de referencia apropiada y evaluar las propiedades del
jiu id o pertinentes a esa tem peratura. Para diferencias moderadas de temperatura
de la capa límite, puede usarse la temperatura de película, ecuación 7.2, con este
proposito. Sin embargo, consideraremos correlaciones que requieren la evaluación
de propiedades a la temperatuia de la comente libre e incluyen una variación de
las propiedades para explicar el efecto de propiedad no constante.
3. En problem as de transferencia de m a sa , las propiedades pertinentes del fluido son
las de la especie B. En nuestro tratamiento de la transferencia de masa por convec­
ción, nos preocupamos sólo de m ezclas binarias diluidas. Es decir, los problemas
implican el transporte de alguna especie A para la que xA < 1. Para una buena aproxi­
mación, suponga que las propiedades de la mezcla son las propiedades de la es­
pecie B El numero de Schmidt, por ejemplo, sena Se = vB/D Mi y el numero de
Reynolds sería ReL = (V L /vti).
4. Calcule el num ero de Reynolds. Las condiciones de la capa limite están fuertemen­
te influenciadas por este parámetro. Si la geometría es una placa plana en flujo pa­
ralelo, determine si el flujo es laminar o turbulento.
5. D ecida si se requiere un coeficiente local o prom edio en la superficie. Recuerde
que, para una temperatura superficial o densidad de vapor constante, el coeficiente
local se usa para determinar el flujo en un punto particular sobre la superficie,
mientras que el coeficiente promedio determina la transferencia para toda la super­
ficie.
6.
Seleccione la correlación apropiada.
E je m p l o 7 . 1
Aire a presión de 6 kN/m y una temperatura de 300°C fluye con una velocidad de
10 m/s sobre una paca plana de 0.5 m de longitud Estime la velocidad de enfriamiento
por unidad de ancho de la placa necesaria para mantenerla a una temperatura superíi
cial de 27°C.
Se conoce:
Flujo de aire sobre una placa plana isotérmica.
E n co n tra r:
Velocidad de enfriamiento por unidad de ancho de la placa, q ' (W/m).
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
Universidad Simón Bolívar Sedeo
_..wral
360
C apitulo 7 ■ Finjo externo
E squem a:
Aire
Tx = 300°C '
Uy, - 10 m/s '
p-c = 6 kN/m2■
r
-L
Ts =
27°C
= 0.5 m-
S u p o sicio n es:
1. Condiciones de estado estable
2. Efectos de radiación despreciables.
Tabla A.4, aire (7} = 437 K , p = I atm): v — 30.84 X 10 6 m2/s, A36.4 X 10~3 W/m • K, Pr — 0.687. Propiedades como A, P r y p se suponen independí
tes de la presión con una excelente aproximación. Sin embargo, para un gas, la viscosidad
cinemática v = pJp variará con la presión a causa de su dependene la de la densidad, Di'
la ley de gases ideales, p — p/RT , se sigue que la razón de viscosidades cinemáticas p¡
un gas a la misma temperatura pero a diferentes presiones, p ] y p 2 es ( v l/v2) — {p2ip\i [>
aquí, la viscosidad cinemática del aire a 437 K y
= 6 X 10 N/m es
P r o p ie d a d e s :
v = 30.84 X 10“ 6 m2/s X
1.0133 X 105 N /m 2
6
X
103 N /m 2
= 5.21 X 10
4 m2/s
Para una placa de ancho unitario, se sigue de la ley de enfriamiento de Nev.
ton, que la transferencia de calor por convección hacia la placa es
Análisis:
q ' = h L (T x - Tj)
Para determinar la correlación de convección apropiada para calcular h, primero sei
be determinar el número de Reynolds
uxL
R eL -
v
10 m/s X 0.5 m
5.21 X 10
4 m 2/s
= 9597
Por ello, el flujo es laminar sobre toda la placa, y la correlación apropiada esta
por la ecuación 7.31
N ul = 0.664 R e í '2 P r ,/3 = 0.664(9597) 1/2(0.687)1/3 = 57.4
El coeficiente promedio de convección es entonces
_
N ul k
h = — ;— =
L
57.4 X 0.0364 W / m • K
—
0.5 m
= 4 .1 8 W /m 2 • K
y la velocidad de enfriamiento requerido por unidad de ancho de la placa es
q 1 = 4.18 W/m 2 • K X 0.5 m(300 - 27)°C = 570 W/m
Los resultados de la tabla A.4 se aplican a gases a presión atrnosféafl
excepto para la viscosidad cinemática, la densidad de masa y la difusividad térmic
C o m en tario s:
7 .3
■ Metodología para un cálculo de convección
361
utilizan por lo general a otras presiones sin corrección. La viscosidad cinemática y la ditusividad térmica para presiones diferentes de 1 atm se obtienen al dividir el valor tabula­
do entre la presión (atm).
E je m p l o 7 . 2
Una placa plana de ancho w = 1 m se mantiene a una temperatura superficial unifor­
me, Ts = 230°C, mediante el uso de calentadores eléctricos de cinta controlados de
forma independiente, cada uno de los cuales es de 50 mm de longitud. Si fluye aire at­
mosférico a 25°C sobre la placa a una velocidad de 60 m/s, ¿en qué calentador la po­
tencia eléctrica es un máximo? ¿Cuál es el valor de esta potencia?
S o lí riórs
Se conoce:
Flujo de aire sobre una placa plana con calentadores segmentados.
E n c o n tr a r :
Requerimiento de potencia máxima de calentamiento.
E sq u em a :
Aire
= 25°C
ux = 60 m/s
Aire
7’00= 25°C
Hoc = 60 m/s
— Placa 1
►
9corw
r
Placa 1 / Ty = 230°C r p|aCa5
\ ~ T S = 230°C
V ' 1 I— *—
L
r
T~
50
mm
v
Aislante
Calentador
típico
,1 1
M
i
/ ífeléc
H L\ = 50 mm
¿5 = 250 mrrr
\
S u p o s ic io n e s :
1. Condiciones de estado estable.
2. Efectos de radiación despreciables.
3. Superficie inferior de la placa adiabática.
Tabla A.4, aire (T j = 400 K, p = 1 atm): v = 26.41 X10
k = 0.0338 W/m • K, P r = 0.690.
P r o p ie d a d e s :
6 m 2/s.
La posición del calentador que requiere la potencia eléctrica máxima, se de­
termina encontrando primero el punto de transición de la capa límite. El número de Rey­
nolds basado en la longitud Lj del primer calentador es
A n á lis is :
R ex =
WocLi
60 m/s X 0.05 m
v
26.41 X 10“ 6 m 2/s
= 1.14 X 105
d epa rta m en to
de
b ib l io t e c a
Universidad Simón Uolivar - Sede de! Litoral
C apítulo 7 ■ Flujo externo
Si se supone que el número de Reynolds de transición es Rexc = 5 X IQ5, se sigue qu
la transición ocurrirá en el quinto calentador, o de manera más especifica en
26.41 X 10- 6 m 2/s
~
;-----------5 X 10 5 = 0.22 m
60 m/s
v
X- = — R e,
'A, C
uB
El calentador que requiere la potencia eléctrica máxima es aquel que tiene el ma
coeficiente promedio de convección. Al conocer cómo varía el coeficiente loca]
convección con la distancia desde el borde inicial, concluimos que hay tres
dades:
1. Calentador 1. dado que corresponde al coeficiente local de convección lar
más grande.
2. Calentador 5. ya que corresponde al coeficiente local de convección turbul
más grande.
3. Calentador 6 , pues existen condiciones de turbulencia en todo el calentador.
Para cada uno de estos calentadores, la conservación de la energía requiere que
*7eléc
conv
Para el primer calentador,
h \L M T s Too)
íconv, i
donde /?| se determina por ecuación 7.31
0 .6 6 4 R e \nP r ' 3 = 0.664(1.14 X 105) l'2(0.69)1'3 = 198
ÑU, =
De aquí
198 X 0.0338 W /m • K
h, = — ;---- = -----------------= 134 W /m 2 • K
0.05 m
¿i
Ñ u, k
c/conv. 1 = 134 W/m 2 • K(0.05 X l)m 2(230 - 25)°C = 1370 W
El requerimiento de potencia para el quinto calentador se obtiene al restar la
total de calor asociada con los primeros cuatro calentadores de la asociada con los
meros cinco calentadores. En consecuencia,
íconv, 5 = hl -5^'5vv’(7’r — T ^) ~ h l_4L 4w (T s ~ TM)
ííconv, 5
(^i 5 T 5
h \_ 4L 4)w{Ts
T0c)
El valor de /7,_4 se obtiene de la ecuación 7.31, donde
Ñ¡¡4 = 0.664 R e x¡ 2 P r m
Con Re4 = 4 Re¡ = 4.56 X I 0 \
.1/3 _
N u 4 = 0.664(4.56 X 105) ,/2(0.69),/3 = 396
De aquí
MU
h i_4 =
396 X 0.0338 W/m • K
= 67 W/m 2 ■K
1
7 .3
■ ¡Metodología para un calculo de convección
363
Hn cambio, el quinto calentador se caracteriza por condiciones de capa límite mezcla­
da, y //,_5 se debe obtener de la ecuación 7.41. Con R e5 = 5 R e ] = 5.70 X 10s,
N u s = (0.037 R e í '5
- 871)
1/3
N u¡ = [0 037(5.70
X
IO5)4'5 - 871 ](0 6 9 )1'3 = 546
De aquí
M í, k
546 x
0.0338 W/m • K
h '~5 = ~ T ~ = ----------- ---------------------= 74 W/m
K
La transferencia de calor del quinto calentador es entonces
íconv.s = (74 W /m 2 • K
X
X
0.25 m - 67 W /m 2 • K
X
0.20 m)
1 m (230 - 25)°C
< W s = 1050 W
De manera similar, el requerimiento de potencia para el sexto calentador se obtiene
restando la pérdida total asociada con los primeros cinco calentadores de la asociada
con los primeros seis calentadores. De aquí
<7conv.6 =
donde h
,_6 se obtiene
(^ 1 -6 ^ 6 — ^ 1 -5 ^ 5 ) W ( ^ s ~
TJ)
de la ecuación 7.41. Con R e6 = 6Re¡ = 6.84
X
10\
A^ 6 = [0.037(6.84 x 105)4/5 - 871](0.69),/3 = 753
De aquí
753 X 0 0338 W/m • K
h '-* = ~ T T = --------------------= 85 W /m 2 K
N u6 k
<7conv, 6 ~ (85 W /m 2 • K
X
X
0.30 m — 74 W /m 2 • K
X
0.25 m)
1 m (230 - 25)°C
? « » » .« = 1440 W
<
De aquí r/conv 6 > r/conv ¡ > r/conv, 5, y la
mas grande.
sexta placa tiene el requerimiento de potencia
C o m e n ta r io s :
1. Un método alternativo de encontrar la transferencia de calor por convección desde
una placa particular implica estimar un coeíicicnte de convección local promedio
para la superficie Por ejemplo, la ecuación 7 37 podría usarse para evaluar el coe­
ficiente local de convección en el punto medio de la sexta placa Con x = 0.275 m,
R ex = 6.27 X I05, N u x = 1136 y h x = 140 W/m 2 • K, la transferencia de calor por
convección de la sexta placa es
(/c o n v , 6 —
^conv 6
^ jc( ^ 6
L 5)W (T S
7 J
= 140 W /m 2 • K (0.30 - 0 25) m X 1 m (230 - 25)°C = 1440 W
364
( a p íla lo 7 ■ i lujo externo
Este procedí ni ie n to se utili/a solo cuando la variación del coeficiente local de con­
vección con la distancia es gradual, como en el flujo turbulento. Llevaría a un error
significativo si se usara para una superficie que experimente transición.
2. La variación del coeficiente local de convección a lo largo de la placa plana se de­
termina a partir de las ecuaciones 7.21 y 7.30 para el flujo laminar y turbulento,
respectivamente, y los resultado?* están representados por las curvas sólidas del si­
guiente esquema:
(m)
0.22
I-a disminución como .v“ ly2 del coeficiente de convección laminar se supone
termina de forma abrupta en v = 0.22 m, donde la transición provoca un au
de mas de cuatro veces en el coeficiente local de convección. Para i > ,vf. la
minución en el coeficiente de convección es mas gradual ( y - 1 5 ) . Las líneas
teadas representan extensiones de las distribuciones, que se aplicarían si el \
de ,vf se corriera. Por ejemplo, Rexc disminuiría si la turbulencia de la comente
bre aumentara y/o la superficie se hiciera áspera. El valor menor de xc ocasi
que las distribuciones laminar y turbulenta, respectivamente, se extendieran
partes más pequeñas y más grandes de la placa. Un efecto similar se loen
aumentar ux . En este caso, los valores más grandes de h x se asociarían con las
tribuciones laminar y turbulenta (/ilarn ~ Wccl/2, /?turb ~ Mac4,5)-
E je m p l o 7 . 3
Las condiciones de sequía en cierta región del país impulsan a las autondad
cuestionar si se puede permitir la operación de las piscinas residenciales. Como
ingenieros de una ciudad que tiene un gran numero de piscinas, se le pide a usted
mar la pérdida diaria de agua debido a la evaporación de las piscinas. Como cor
nes representativas, suponga temperatura de agua y aire ambiental de 25°C hur
relativa ambiental del 50%. dimensiones superficiales de una piscina de 6 X 12
una velocidad de viento de 2 m/s en la dirección del lado largo de la piscina. Su
que la turbulencia de la corriente libre del aire es insignificante y que la supeiü
agua es suave y al nivel de la orilla de la piscina. ¿Cuál es la pérdida de agua
piscina en kilogramos por día?
7 .3
■ Metodología para un cálculo de convección
SOM
CIÓN
365
Se conoce:
Condiciones del aire ambiente arriba dc una piscina.
E n c o n tr a r :
Pérdida diaria dc agua por evaporación.
E squem a:
S u p tts i c io n e s :
1. Condiciones de estado estable.
2. Superficie suave del agua y turbulencia de flujo libre insignificante.
3. Analogía aplicable de transferencia de calor y masa.
4. Número de Reynolds de transición 5 X 105.
5. Comportamiento de gas ideal para el vapor de agua en la corriente libre.
Tabla A.4. aire (25°C): v = 15.7 X 10 6 nr/s. Tabla A.8 , vapor dc
agua-aire (25°C): DAB = 0.26 X 10-4 n r/s. Se = elDAB = 0.60. Tabla A .6 vapor
de agua saturada (25°C): pA sal =
= 0.0226 kg/m
P ro p ie d a d e s:
Con un número de Reynolds de
A n á lisis:
MocL
2 m/s X 12 m
1»
15.7 X 10 -6 m 2/s
1 A -6 „ 2 /
1-53 X 10 6
ocurre la transición a i f = (5 = 10 5/ 1.53 X 10ft)12 = 3.9 m. Por ello existe una condi­
ción de capa limite mezclada, y la ecuación 7.42 da
S h L = (0.037/te4/5 - 871 ) S c m
S h L = [0.037(1.53 X 106)4/5 “ 871](0.60),/3 = 2032
Se sigue que
0.26 X 10~4 m 2/s
K l = S h L \ —^ \ = 2 0 3 2 --------- — ----------= 4.4 X lo " 3 m/s
-
— /D a b \
La velocidad dc evaporación para la piscina es entonces
P a . oo)
o, con la suposición que el vapor de agua de flujo libre es un gas ideal
,
P a . oo
°°
/ TT* \
P a . saiv* oo/
366
C apítulo 7 ■ flu jo externo
y con Pfr s
p a sat(Ts),
nA —
s a t(^ s )
^
Pa. s a t(^ )l
Como Ts = Tx = 25 3C, se sigue que
n A = ^m^PA.sai(25°C)[l
<f>y>]
En consecuencia
=
4.4
x 10
3 m/s
X 72 m 2 X 0.0226 kg/m 3 X 0.5 X 86,400 s/díu
7 .4
Flujo a lr e d e d o r d e un cilindro
7.4*1
Consideraciones de flujo
Otro flujo externo común incluye el movimiento del fluido normal al eje de uncilm¿i
circular Como se muestra en la figura 7.5. el fluido de la comente libre se lleva al j
poso en el punto ck estancam iento clelantei), con el acompañamiento de una eleva™
de la presión A partir de este punto, la presión disminuye al aumentar a . mientras
la coordenada laminar y la capa límite se producen bajo la influencia de un graái
de1presie n fa \ orable (dp d x < 0). Sin embargo, la presión debe finalmente alcanzar
mínimo, y hacia la parte posterior del cilindro ocurre la producción de otra capa 1
en la presencia de un gradiente de presión adver so (dp el.x > 0 ).
En la figura 7,5 se debe advertir la distinción entre la velocidad comente arrian
y la velocidad de flujo libre u x . A diferencia de las condiciones para la placa libifJ
un flujo paralelo, estas velocidades difieren con u , que ahora depende de lad tanciif
desde el punto de estancamiento De la ecuación de Euler para un flujo no viscoso
u x (.x) debe mostrar un comportamiento opuesto al de p(x). Es decir, de «, =0
punto de estancamiento, el fluido se acelera debido al gradiente de presión tav«n|fc|
Capa limite
I" Id KA 7 .5
en flujo cruzado.
Formación de a capa límite y separación sobre un cilindro circular
7 .4
■ F lu jo a l r e d e d o r d e un c il i n d r o
367
<Grjdiente de presión favorable) Gradiente de presión adversa >
(ip
dt < 0
~
F n ; i RA 7 . 6
!
I
I
I
<>p
dt > 0
IV ríil dt* Vdlociíltiil asociado con la scpartieión cn nn
cilindro circular cn flujo cruzado.
(d u j d x > 0 cuando dp/dx < ü). alcanza una velocidad máxima cuando dp/dx = 0 . y
se dcsacelera debido al gradiente de presión adverso (d u j d x < cuando dpld.x > 0). A
medida que el fluido se desacelera, el gradiente de velocidad cn la superficie,
dw/clv|y==0. finalmente se hace cero (figura 7.6). En esta posición, denominada punto de
separación , el fluido cerca de la superficie carece de suficiente momento para vencer el
gradiente de presión, y es imposible un movimiento continuo corriente abajo. Como
el fluido que se aproxima también impide que el flujo regrese corriente arriba, debe
ocurrir la separación de la ta p a límite. Esta es una condición por la que la capa limite se
separa de la superficie, y se forma una estela en la región corriente abajo. El flujo en
esta región se caracteriza por la formación de vórtices y es altamente irregular. El p u n ­
to de separación es la posición para la que (c)u/c)\)s = 0.
I-a ocurrencia de una transición de la capa lím ite , que depende del número de Rey­
nolds, influye fuertemente en la posición del punto de separación. Para el cilindro circu­
lar la longitud característica es el diámetro, y el número de Reynolds se define como
pVD
VD
Reü —
v
Dado que el momento del fluido en una capa límite turbulenta es mayor que en la capa
límite laminar, es razonable esperar que la transición retrase la ocurrencia de la separa­
ción. Si ReD
X 105, la capa límite permanece como laminar, y la separación ocurre
en 6 = 8 0° (figura 7.7). Sin embargo, si R e n ^ 2 X 1 0 \ ocurre la transición de la capa
límite, y la separación se retrasa a 0 ~ 140°.
F l ( a UA
7 .7
Cfccto de la turbulencia sobre la Reparación.
368
C a pitido 7 ■ Flujo externo
Los procesos anteriores influyen mucho cn la fuerza de arrastre, FD. que actúa so­
bre el cilindro. Esta fuerza tiene dos componentes, uno de los cuales se debe al esfuer­
zo cortante superficial de la capa límite {arrastre p o r fricció n ) El otro componente se
debe a un diferencial de presión en la dirección del flujo que resulta de la formación de
la estela (arrastre de fo rm a , o de presión) Un coefic ¡ente de arrastre adimensional K
se define como
D
CD— A f ( p V
/2 )
i:
donde A es el área frontal del cilindro (area proyectada perpendicular a la velocidaddt|
flujo libre) El coeficiente de arrastre es una función del numero de Reynolds y en la fi­
gura 7.8 se presentan resultados Para R eD < 2, los efectos de separación son despre­
ciables y las condiciones están dominadas por el arrastre de fricción. Sin embargf ,
aumentar el número de Reynolds, el efecto de la separación y, por tanto, el arrastre,
forma, se hace mas importante La reducción grande en CD que ocurre para Re > 2 i
10*5 se debe a la transición de la capa limite, que retrasa la separación, y por ello vcé
ce la extensión de la región de la estela y la magnitud del arrastre de forma
7*4*2 Transferencia «le calor y «le masa por eonveeeitni
En la figura 7 9 se muestran resultados experimentales para la variación del número1
cal de Nusselt con 0 para el cilindro en un flujo cruzado de aire No es de sorprei
que en los resultados influya mucho la naturaleza de la producción de la capa limite!
bre la superficie Considere las condiciones para R eD ^ 10\ Al comenzar cn el puntoí
estancamiento, N u e disminuye al aumentar 0 como resultado del desarrollo de lai
límite laminar. Sin embargo, se alcanza un mínimo en 0 « 80 C, donde ocurre la:
ración y N u tí aumenta con 0 debido a la mezcla asociada con la formación de vía
en la estela. En cambio, para R eD s 10 , la variación de N u e con 0 se caracteriza|
dos mínimos La disminución en N u e del valor en el punto de estancamiento de nu
FIGURA 7 . 8
Confio mí n los do arrastre para un cilindro circular suave en flujo cruzado y paran»
esfera [*1- A laj l i 11 coi permiso.
7 .4 ■ Flujo alrededor de un cilindro
369
800
*
400
F ig u r a 7 . 9
INmuero de Nusse.lt local para
flujo de aire normal a un
cilindro circular. Adaptado
40
80
12 0
16 0
con permiso de W H. Giedt,
Coordenada angular, o
Trans. A SM E. 7 1 , 375.1949.
se debe a la producción de la capa límite, pero el agudo aumento que ocurre entre 80°
y 100° ahora se debe a la transición de la capa límite a turbulenta. Con el desarrollo
posterior de la capa límite turbulenta, N u0 de nuevo comienza a disminuir. Finalmente
ocurre la separación (6 «« 140°), y N u e aumenta como resultado de la mezcla en la re­
gión de la estela hl aumento en Nufí con el aumento de R eD se debe a una reducción
correspondiente en el espesor de la capa límite.
Se pueden obtener correlaciones para el número de Nusselt local, y en el punto de
estancamiento delantero para P r ^ 0.6. el análisis de la capa límite [5] da una expre­
sión de la forma
N ud ( 6 = 0) = 1.15 R e ¡ p P r m
(7.55a)
Sin embargo, desde el punto de vista de los cálculos de ingeniería, estamos más intere­
sados en las condiciones promedio globales. La correlación empírica debida a Hilpert
113]
N ud = —
= C Re"¿ P r , n
(7.55b)
se usa ampliamente, donde las constantes C y m se listan en la tabla 7.2 La ecuación
7.55 también es útil para el flu jo de qas sobre cilindros de sección transversal no circu­
lar, con la longitud característica D y las constantes que se obtienen de la tabla 7.3. Al
trabajar con las ecuaciones 7.55, todas las propiedades se evalúan a la temperatura de
película.
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
Universidad Simón Boliva^ s* *.b tV’i l itoral
C apítulo 7 ■ Flujo externo
T
a bla
7 .2
Constantes (le la e( uación 7.551)
para el cilindro c irc u la r en flujo
cruzado [13. 14]
C
1
R eD
0
370
4 -4 0
40 -4 0 0 0
4 0 0 0 -4 0 ,0 0 0
4 0 ,0 0 0 -4 0 0 ,0 0 0
m
0.989
0.911
0.683
0.193
0.027
0.330
0.385
0.466
0.618
0.805
Se sugieren otras correlaciones para el cilindro circular en flujo cruzado [8.
17]. La correlación, que se debe a Zhukauskas [16J, es de la forma
1
Pr V
N u D = C R e " ¿ P r" I — J
0.7 < P r < 500
1
< R eD<
106
donde todas las propiedades se evalúan en Ta excepto 7Vv, que se evalúa en Ty Enh
tabla 7.4 se presentan valores de C y m. Si P r < 10, n = 0.37: si Pr > 10, n = 0.;
Churchill y Bemstein [ 1 7 ] propusieron una sola ecuación de gran extensión q u e n
todo el rango de R eD para el que se dispone de datos, así como un amplio rango de Pr
La ecuación se recomienda para toda R eDP r > 0.2 y tiene la forma
4 /5
—
N u d = 0 .3 +
0.62 R e )í2 P r 113
0
(7c*
/3 il IA
[ l+ ( 0 .4 /P ,\2
/r ']
donde todas las propiedades se evalúan a la temperatura de película.
TA BLA
7 .3
Constantes de la ecuación 7.55b para cilindros no
circu la re s en flujo cruzado de un gas [15]
Geometría
ReD
m
Cuadrado
T
D
v
0.246
0.588
5 X 10’—105
0.102
0.675
0.160
0.638
1.95 X 104 - 105
0.0385
0.782
5 X 10’ - 105
0.153
0.638
4 X 103 - 1.5 X 104
0.228
0.731
i
O
>-
5 X 1 0 -1 0
D
m
Hexágono
T
v —>
D
i
5 X 103—1.95 X 104
T
D
1
Placa vertical
i —i
Q
T
D
JL
7 .4 ■ Flujo alrededor de un cilindro
371
T a b l a 7 . 1 Constantes de la ecuación
7 5 6 para e l c i l i n d r o ( i n u la r e n (lujo
cruzado [I6J
ReD
c
m
1-40
0 75
04
40-1000
0.51
0.5
0.26
0.6
0 076
07
10^—2
X
10'
2 X 105- I 0 6
De nuevo advertimos al lector que no vea cualquiera de las correlaciones anterio­
res como sacrosantas. Cada una de ellas es razonable sobre cierto rango de condicio­
nes, pero para la mayoría de los cálculos de ingeniería no se debe esperar una precisión
mucho mejor que 20% Debido a que se basan en resultados más recientes que abarcan
un amplio rango de condiciones, las ecuaciones 7.56 y 7 57 se usan para los cálculos
de este texto. Morgan [ 18] proporciona una revisión detallada de muchas de las corre­
laciones desarrolladas para el cilindro circular
Finalmente, advertimos que al invocar la analogía de transferencia de calor y de
masa de un cilindro en flujo cruzado, las ecuaciones 7.55 y 7.57 sirven para problemas
que impliquen transferencia de masa por convección de un cilindro en flujo cruzado,
simplemente reemplazando N uD por ShD y Pr por S e . En problemas de transferencia
de masa, las variaciones de las propiedades de la capa limite son normalmente peque­
ñas. Por consiguiente, cuando se usa la analogía de la transferencia de masa de la ecuación
7.56, la razón de propiedades, que explica los efectos de propiedades no constantes, se
puede considerar insignificante.
E je m p l o 7 . 4
Se han efectuado experimentos sobre un cilindro metálico de 12.7 mm de diámetro y
94 mm de longitud. El cilindro se calienta internamente mediante un calentador eléctri­
co y se sujeta a un flujo cruzado de aire en un túnel de viento de baja velocidad. En un
conjunto específico de condiciones de operación en que la velocidad y temperatura del
aire a contracorriente se mantuvieron a V = 10 m/s y 26.2°C, respectivamente, se mi­
dió que la disipación de potencia del calentador fue P = 46 W, mientras que la tempe­
ratura superficial del cilindro se determinó como Ts = 128 4CC. Se estima que 15% de
la disipación de potencia se pierde a través del efecto acumulado de la radiación super­
ficial y de la conducción a través de los extremos
Termopar para medir la
temperatura del flujo de aire
Cilindro
calentado
Extremo
aislado
íubo de Pitot para
jeterminar la velocidad
Conductores del
termopar
viento
Conductores de potencia al calentador eléctrico
d epa rta m en to
U n iv e r s id a d
de
b ib l
teca
Simón Bolívar ■B*rR» *
«*ral
372
C apítulo 7 ■ Flujo externo
1. Determine el coeficiente de transferencia de calor por convección a partir de las
observaciones experimentales.
2. Compare el resultado experimental con el coeficiente de convección calculado a
partir de una correlación apropiada.
Son
c í Ol
N
Se conoce:
Condiciones de operación para un cilindro calentado.
E n c o n tr a r :
1. Coeficiente de convección asociado con las condiciones dc operación.
2. Coeficiente de convección a partir dc una correlación apropiada.
E squem a:
Tx = 26.2°C
Ts = 128.4°C
S u p o s ic io n e s :
1. Condiciones de estado estable.
2 . Temperatura superficial uniforme del cilindro.
P r o p ie d a d e s : Tabla A.4, aire (72» = 26.2°C ~ 300 K): v = 15.89 X 10"^m:jt
k = 26.3 X 10“ 3 W/m • K, P r = 0.707. Tabla A.4, aire (Tf « 350 K): v = 20.92 X <
10~6 m 2/s, k = 30 X 10-; W/m • K, P r = 0.700. Tabla A :4. aire (Ts = 128.4°C=
401 K): P r = 0.690.
A n á lis is:
1. El coeficiente de transferencia de calor por convección se determina a partirdei j
datos, mediante el uso de la ley de enfriamiento de Nevvton. Es decir.
h =
A (T 4 -
T J
Con q = 0.85 P y A = ttD L , se sigue que
0.85 X 46 W
h =
tt
X
0.0127 m X 0.094 m (128.4 - 26.2)°C
2. Al trabajar con la relación de Zhukauskas, ecuación 7.56
Pr \i/4
N ud = C R eZ P r n
P rs
= 102 W/m 2 • K
7.4 ■ Flujo alrededor de un cilindro
3 7 3
todas las propiedades, excepto P / v, se evalúan en T «. En consecuencia,
R€q
VD
10 m/s X 0.0127 m
v
15.89 X 1CT6 m2/s
= 7992
Por tanto, de la tabla 7.4, C = 0.26 y m = 0.6. También, como Pr < 10, n = 0 37.
Se sigue que
, 0.707 \o .2 5
N ud = 0.26(7992)° 6(0.707)° 37 I
_
—
0.0263 W/m • K
k
h = N u p — = 50.5
D
i
0.690
0.0127 m
= 50.5
= 105 W/m • K
<3
C o m en ta rio s:
1. Con el uso de la relación de Churchill, ecuación 7.57,
N ud = 0.3 +
0 6 2 /te"2 P r ,/3
/f e »
\5/8
4 /5
1 +
[1 + (0.4/P r )2'3]1/4 L‘ ' v 28 2 ,0 0 0 /
Con todas las propiedades evaluadas en 7}, P; = 0.70 y
10 m/s X 0.0127 m
VD
Ren =
= 6071
20.92 X 10 ” 6 m 2/s
Por ello el número de Nusselt y el coeficiente de convección son
0 62(6071),/2(0.70).1/3
N ud = 0.3 +
[1 + (0.4/0,70)2/1] 1/4
6071
1 +
0.030 W /m - K
h = N u p — = 40.6
D
0.0127 m
y /s
4/5
282,000 J
= 40
6
= 96.0 W /m 2 • K
Alternativamente, de la correlación de Hilpert. ecuación 7.55b,
Ñi~iD = C R e í P r ,/3
Con todas las propiedades evaluadas a la temperatura de película, ReD = 6071 y
P r = 0.70. Por tanto, de la tabla 7.2, C = 0.193 y m ^ 0.618. El número de Nus­
selt y el coeficiente de convección son
vü 333 _
N u n = 0.193(6071)° 618(0.700)'
= 37.3
—
k
0.030 W /m ■ K
---------=
h = N u n — = 37.3 —
0.0127 m
D
88 W /m 2 • K
2. Las incertidumbres asociadas con la medición de la velocidad del aire, la estima­
ción de la pérdida de calor en los extremos del cilindro y con promediar la tempe­
ratura de la superficie del cilindro, que varía de forma axial y circunferencial,
hacen que los resultados experimentales sean precisos a no mas del 15%. En
consecuencia, los cálculos basados en cada una de las tres correlaciones están
dentro de la inccrtidumbre experimental de los resultados medidos.
3. Reconozca la importancia de usar la temperatura apropiada cuando se evalúan las
propiedades del fluido
374
C apítulo 7 ■ Flujo extorno
Los efectos de la capa límite asociados con el flujo alrededor de una esfera son mucho
más parecidos a los del cilindro circular, en el que la transición y separación represen­
tan papeles importantes. Ln la figura 7.8 se presentan resultados para el coeficiente de
arrastre, que se define con la ecuación 7.54. En el límite de números de Reynolds muy
pequeños {flujo ele deslizam iento), el coeficiente es inversamente proporcional al nú­
mero de Reynolds y la relación específica se denomina ley de Stokcs
24
C„ =
ReD
R e„ < 0 . 5
Existen numerosas correlaciones de transferencia de calor propuestas, y Whitake:
[8 ] recomienda una expresión de la forma
14
N ud = 2 + (0.4 R e x¿ + 0.06 Re*?) P /04| ^ - |
as
0.7 \< P r < 380
3.5 < Re o < 7.6x 104
i o<
< 3.2
Todas las propiedades excepto ¡jls se evalúan en Tx , y el resultado se aplica a pro
mas de transferencia de masa con sólo reemplazar N uD y P r con Shp y Se, respeciiv
mente. Un caso especial de transferencia de calor y de masa por convección de ese
se relaciona con el transporte de gotas líquidas que caen libremente, y a menudo se
liza la correlación de Ranz y Marshall [19]
= 2 + 0.6/ t e " 2 P r 1/3
(7.«
En el limite cuando R eD —* 0, las ecuaciones 7.59 y 7.60 se reducen a NuD = 2.
corresponde a la transferencia de calor por conducción desde una super íc e estén
un medio infinito estacionario alrededor de la superficie.
E jem p lo
7 .3
La película plástica decorativa sobre una esfera de cobre de 10 mm de diámetro se
ra en un horno a 75°C. Al quitarla del horno, la esfera se sujeta a un flujo de
1 atm y 23°C con una velocidad de 10 m/s Estime cuanto tiempo toma enfriar a
ra a 35°C.
S o l í < iú in
So canoro:
Enfriamiento de una esfera en un flujo de aire
E n c o n tr a r :
Tiempo t que se requiere para enfriar T¡ = 75°C a T{t) = 35°C.
7 .5
■ Esfera
3 7 5
E squem a:
Esfera de cobre
D = 10 mm
Aire
P^ = 1 atm ---- ►
V = 10 m/s
700 = 23°C
9
*
T¡ = 75°C, TU) = 35°C
S u p o s ir ia n e s :
1. Resistencia y capacitancia térmicas insignificantes en la película de plástico.
2. Estera espacialmente isotérmica.
3. Efectos de radiación despreciables.
P r o p i e d a d e s : Tabla A. 1. cobre (T « 328 K): p = 8933 kg/m3, k = 399 W m • K,
cp = 387 J/kg • K. Tabla A.4, aire ('/« = 296 K): p = 181.6 X lO" 7 N • s/m2. v = 15.36 X
10 6 m2/s, k = 0.0258 W/m • K. Pr = 0.709. Tabla A.4. aire ( Ts « 328 K); p = 197.8 X
10" 7 N • s/m2.
El tiempo que se requiere para completar el proceso de enfriamiento se ob­
tiene a partir de los resultados para una resistencia interna despreciable. En particular,
de las ecuaciones 5.4 y 5.5
A n á lis is :
pVcp
/ = v .
hAc
o. con V — irD^fá y A s =
ln
T¡ -
T'oo
T - T a
ttD 2,
pCpD
Tt - Ta
t = —^ ~ ln
6h
T - 7U
De la ecuación 7.59
N ud = 2 + (0 .4 /te if + 0.06 Re% 3) P r
04 ,
p
\ 1/4
P'.í
donde
VD
R e° = ~
10 m/s X 0.01 m
= 15.36 X 10 "6 m2/s =
6510
Por consiguiente, el número de Nusselt y el coeficiente de convección son
Ñu,, = 2 + [0.4(6510)1/2 + 0.06(6510)M](0.709)° 4
/ 181.6 X 10- 7 N • s/m 2 y '4
X i, 197.8 X 10“7 N • s/m 2 )
=
47 4
0.0258 W/m • K
h = N u r ,— = 4 7 .4 ------- — ------------ = 122 W /m 2 • K
° D
0.01 m
El tiempo que se requiere para el enfriamiento es entonces
8933 kg/m ’ X 387 J/kg • K X 0.01 m
' =
6
X 122 W /m 2 • K
/ 75 - 23
ln ( 35 - 23 ' =
69 2
<
s
OfcPAHTAMENTO DE BIBLIOTECA
Universidad Simón Bolívar ■Sedo *
.i toral
376
C apítulo 7 ■ Flujo externo
C o m e n ta r io s :
1. La validez del método de la resistencia interna despreciable se determina calculan­
do el número de Biot. De la ecuación 5.10
hLc
Bi =
h ( r J 3 ) 122 W /m 2 • K X 0.005 m/3
ks
399 W /m • K
= 5.1 X IO- 4
y el criterio se satisface.
2. Aunque sus definiciones son similares, el número de Nusselt se define en térmiii
de la conductividad térmica del fluido, mientras que el número de Biot se define¡
términos de la conductividad térmica del sólido.
3. Las opciones para aumentar las velocidades de producción incluyen la aceleracito
del proceso de enfriamiento mediante el aumento de la velocidad del fluido yl{
con el uso de un fluido diferente. Al aplicar los procedimientos anteriores, el tieu
po de enfriamiento se calcula y gráfica para aire y helio sobre la gama de veloc*
des, 5 < V7 < 25 m/s.
v(nVs)
Aunque los números de Reynolds para He son mucho más pequeños que los(
aire, la conductividad térmica es mucho mayor y, como se muestra a continua
vím/s)
Por ello, es posible aumentar las velocidades de producción al sustituir he
aire, aunque con un incremento significativo en costo.
7 .6 ■ Flujo a través de mi banco de tubos
377
7.G
Flujo a través de un banco de tubos
La transferencia de calor hacia o desde un banco (o haz) de tubos en flujo cruzado es
relevante para numerosas aplicaciones industriales, como la generación de vapor en
una caldera o el enfriamiento en el serpentín de un acondicionador de aire. El arreglo
geométrico se muestra de forma esquemática en la figura 7.10. Normalmente, un fluido
se mueve sobre los tubos, mientras que un segundo fluido a una temperatura diferente
corre por los tubos. En esta sección estamos interesados de forma específica en la
transferencia de calor por convección asociada con el flujo cruzado sobre los tubos.
La> filas de tubos de un banco están e s c a lo n a d a s o a lin e a d a s en la dirección de la
velocidad del fluido V (figura 7.11). La configuración se caracteriza por el diámetro del
tubo D y por la s e p a r a c ió n tr a n s v e r s a l S T y la se p a ra c ió n lo n g itu d in a l S¡ medidas en­
tre los centros de los tubos. Las condiciones del flujo dentro del banco están domina­
das por los efectos de separación de la capa límite y por las interacciones de estelas,
que a su vez influyen en la transferencia de calor por convección.
El coeficiente de transferencia de calor asociado con un tubo está determinado por
su posición en el banco. El coeficiente para un tubo en la primera linea es aproximada­
mente igual al de un solo tubo en flujo cruzado, mientras que los coeficientes de trans­
ferencia de calor más vcrandcs
están asociados con tubos en las líneas internas. Los
_tubos de las primeras lincas actúan como una rejilla de turbulencia, que aumenta el
coeficiente de transferencia de calor para los tubos de las líneas siguientes. Sin embar­
go. en la mayoría de las configuraciones las condiciones de transferencia de calor se
estabilizan, de modo que ocurren pocos cambios en el coeficiente de convección para
un tubo más allá de la cuarta o quinta línea.
Y
</ N v /|
Fluido en flujo cruzado
sobre un banco de tubos
Flujo interno de fluido
a través del tubo
F lC I UA 7 , 1 0
Ksqiu-ma di* un banco de* tubos «*n flujo ciu/ado.
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
Universidad Siinoii uvovar - Sede _
.oral
378
C apitulo 7 ■ Pinjo externo
F lC t KA 7 .1 1
\rroglos tic* tubos en un banco. («) Mineados, (b) Escalonados
En general, deseamos conocer el coeficiente prom edio de transferencia de calor
para todo el haz de tubos. Para un flujo de aire a través de haces de tubos compue^j
de 10 o m ás líneas (NL > 10), Grimison 1201 obtuvo una correlación de la forma
Nup — C, Reo, max
2000 < R en máx < 4 0 ,0 0 0
(7.611
P r = 0.7
donde C { y ni se presentan cn la tabla 7.5 y
R e I), máx
máx D
—
(7.62)
U
Se ha vuelto práctica común extender este resultado a otros fluidos mechante la inser­
ción del factor 1.13P rl/3. en cuyo caso
..1/3
N ud = 1.13 Cj Reo. máx Pr
(7.1
Nl > 10
20Ó0 <Rep máx. < 40,000
/V > 0 7
Todas las propiedades que aparecen en las ecuaciones precedentes están evaluada®
la temperatura de película. Si N L < 10, se aplica un factor de corrección tal que
(Nl —\ 0)
(7.6
donde C 2 está dado en la tabla 7.6.
El número de Reynolds ReD max para las correlaciones anteriores se basa en lat*.
locidad m áxim a del fluido que ocurre dentro del banco de tubos. Para el arreglo alna,
do. VmáK ocurre en el plano transversal A | de la figura 7.11o, y del requerimiento&
conservación de la masa para un fluido incompresible
$t
^máx =
ST - D
,,
I
(7
7 .6 ■ Flujo a travos de un banco dt1tubos
379
1 ABLA 7 . 3
C on stan te de la* ecuaciones 7.61 y 7.63 para el flujo de aire sobre un banco ríe
tubos de 10 o más líneas |20)
S T/I)
1.25
S //D
1.5
2.0
m
C,
m
3.0
m
<2,
ni
Alineado
1.25
0 348
0.592
0 275
0.608
0.100
0.704
0 0633
0.752
1.50
0 367
0.586
0 250
0.620
0.101
0.702
0.0678
0.744
2.00
0418
0.570
0 299
0.602
0.229
0.632
0.198
0 648
3.00
0 290
0.601
0 357
0.584
0.374
0.581
0.286
0.608
0.600
—
—
—
—
—
—
0.213
0.636
0.900
—
—
—
—
0.446
0.571
0 401
0.581
1.000
—
—
0 497
0.558
—
—
—
—
1.125
—
—
—
—
0 478
0.565
0.518
0 560
1.250
0.518
0.556
0.505
0.554
0.519
0.556
0.522
0.562
1.500
0.451
0.568
0.460
0.562
0.452
0.568
0.488
0.568
2.000
0 404
0 572
0.416
0.568
0 482
0.556
0 449
0.570
3 000
0 310
0 592
0.356
0 580
0 440
0.562
0 428
0.574
Escalonado
Para la configuración escalonada, la velocidad máxima ocurre en el plano transversal
A] o el plano diagonal A 2 de la figura 7.1 ib. Ocurrirá en A 2 si las filas están espaciadas
de modo que
2 (SD - D) < (S , - O)
El factor 2 resulta de la bifurcación experimentada por el fluido que se mueve del pla­
no A, al A 2. De aquí Vm!lx ocurre en A 2 si
1/2
S TV
Si +
ST + D
< 7 ------------
~2
en cuyo caso está dada por
S,
máx
V
(7 .6 6 )
2(S„ - D )
Si Vmáx ocurre en A } para la configuración escalonada, se calcula de nuevo de la ecua­
ción 7.65.
T á HLA 7 . 6
Ni.
Alineado
Escalonado
Factor
de correlación C2 de la ecuación 7.64 para A/ < 1.0 [21
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.64
0.68
0.80
0.75
0.87
0.83
0.90
0.89
0.92
0.92
0.94
0.95
0.96
0.97
0.98
0.98
0.99
0.99
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Universidad Simo i bonvor - Sedo _
C apítulo 7 ■ Flujo externo
T a b la 7 .7
C listantes de la e( uación 7
64
para el banco
de tubos en flujo i ruzado |16]
C onfiguración
max
C
m
0 80
0 40
0 90
0.40
Escalonado
Alineado
103 - 2 X 103
0.27
0.63
103 - 2 X
0.35(.SV'Sl ) i/5
0 60
103 - 2 X I05
0 40
0.60
Alineado
2 X 1 0 " -2 X 106
0 021
0.84
Escalonado
2 X
103—2 X 10*
0 022
0 84
Escalonado
Se aproxim a como un
0w
Alineado
1
Alineado
10 - 10 2
10 - 1 o 2
10 2 - io 3
0Ts)
380
cilindro único (aislado)
(S yS L> 0 .7 )a
Escalonado
|()5
( V S l< 2 )
Escalonado
( S p S L>2)
uPara S, S
< 0 .7 , la transfe ene a de calo e s inea lente y los t ibos alinead »s no se deben
11 ar
Se han obtenido resultados más recientes [8, 16J, y Zhukauskas [16J propuso una
rrelación de la forma
N ú » = C Ri‘b mi, P r0M
t p r y lA
\ P
1 r' s /
N l > 20
0 7 < P r < 500
10 0 0 <
R^ d
máx < 2 x l 0 6
donde todas las propiedades excepto Prs se evalúan en la media aritmética de
peraturas de entrada y salida del fluido, y las constantes C y m se presentan en una
en la tabla 7 7. La necesidad de evaluar las propiedades del fluido en la inedia..
ca de las temperaturas de entrada (T = 7C) y de salida ( T 0) está indicada por el
de que la temperatura del fluido disminuirá o aumentará, respectivamente, debido
transferencia de calor hacia o desde los tubos Si el cambio de temperatura del I
T¡ — I , es grande, resultaría un error significativo lc* la evaluación de las p
des en la temperatura de entrada Si N L < 20, se aplica un factor de corrección
NU d ,(Nl < 20) = ^ 2 ^ Un\(NL^20)
donde C 2 está dado en la tabla 7.8
lA B L A 7 . 8
para N ¿ <
/V,
A meado
E .caloñado
Faelor de corre» <ión
20
( Rep >
10
<e lo ecuación 7 08
) 116J
1
3
10
0 70
0 .8 0
0 86
0 90
0 .6 4
0.76
0 84
0 89
0 92
0 .9 2
13
0 95
0 97
0.
0 95
0.97
0
7 .6 ■ Flujo a I m i'é s d e un banco d e tubos
381
El flujo alrededor de los tubos en la primera linea de un banco corresponde al de
un cilindro único (aislado) en flujo cruzado. Sin embargo, para las líneas siguientes, el
flujo depende en gran parte del arreglo del banco de tubos (figura 7.12). Los tubos ali­
neados más alia de la primera línea están en las estelas turbulentas de los tubos de con­
tracorriente, y para valores moderados de S L los coeficientes de convección asociados
con las lineas corriente abajo aumentan por la turbulencia del flujo. Normalmente, el
coeficiente de convección de una línea se incrementa al aumentar el número de líneas
hasta aproximadamente la quinta linea, después de la cual hay poco cambio en la tur­
bulencia y, por tanto, en el coeficiente de convección Sin embargo, para valores pe­
queños de S T/S L, las líneas contracorriente, en efecto, protegen a las lineas comente
abajo de gran parte del flujo, y la transferencia de calor se ve afectada adversamente
Es decir, la trayectoria preferida del flujo es en bandas entre los tubos y gran parte de la
superficie del tubo no se expone al flujo principal. Por esta razón, la operación de los
bancos de tubos alineados con S¡/S¡_ < 0.7 (tabla 7 7) es inconveniente. Sin embargo,
para el arreglo escalonado la trayectoria del flujo principal es más tortuosa, y una
gran parte del área superficial de los tubos corriente abajo permanece en esta trayec­
toria En general, el aumento de la transferencia de calor es favorecido por el flujo
más tortuoso de un arreglo escalonado, en particular, para números de Reynolds pe
queños (/?<’£> < 100).
Como el fluido experimenta un cambio grande en la temperatura a medida que se
mueve por el banco de tubos, la transferencia de calor seria significativamente sobre-
F lG LR A 7 . 1 2
Condiciones de flujo pura tubos in) alineados y
(b) escalonados.
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
Universidad Sirnon bouvar - Sede „
,ural
382
C apítulo 7 ■ Finjo externo
pronosticada al usai AT = Ts — Ta como la diferencia de temperaturas en la ley de en­
friamiento de Nevvton. A medida que el fluido se mueve a través del banco, su tempera­
tura se aproxima a T y A7j disminuye. En el capítulo 11 se muestra que la forma
apropiada de A7 es una d ije te n ia di tempe t a i m a s m e d ia lo g a r ítm ic a ,
- n
ln
' t
-
t
OM
N
KT ' ~ T' S
donde T y T son las temperaturas del fluido a medida que entra y sale del banco, respM
ti\ ámente La temperatura de salida, que se necesita para determinar ATm|, se estima de
T
1\ - j o
= exp
nDNh
T -T ,
a i
pVN, S-r cp
\
donde N es el numero total de tubos en el banco y N r es el número de tubos en el
no transversal Una vez que se conoce AT , la transferencias de calor por unidad i
longitud de los tubos se calcula de
q ’= N{h 71 DATml)
(7.7|
Los lesultados anteriores sirven para determinar las transferencias de masa asocia
das con la evaporación o sublimación desde las superficies de un bancode_cilmdr«eiflujo cruzado. Una vez más, sólo es necesario reemplazar Nuü y Pr con ShDy Se.
pectivamente.
Terminamos por reconocer que. en general, hay tanto interés en la caída deprc
asociada con el flujo a través de un banco de tubos como en la de transferencia ¡
de caloi La potencia que se requiere para m o\er el fluido a través del banco a me
es un gasto mayor de operación y es directamente proporcional a la caída de pre
40
20
10
6
4
1
0.6
0.4
0.2
*
25
0.1
0.06
ii r
101
102
i ” 't* H
104
103
105
nr
^ D, má.\
F l C l It\ 7 . 1 3
F a rlo rd e fricción / y factor de ron-elación x
tubos cu línea 116]. llanda con permiso.
la ecuación 7.72. Vrrejilí»dr|
7 .6
■ Flujo a troves de uu banco de tubos
3»»
102
101
10°
10 1
10'
102
F lC I K V 7 .1 1
103
104
105
106
Factor de ricció n /y factor■tl< correliiciór \ para la ecuación 7.72. AiTeglo tic liaccs dc
tubo> c*^<alonados 16
Lsada con permiso.
que se expresa como
f 16]
n ’V máx
2 \
P
=
\
2
f
(7.72)
J
El factor de fricción f y el factor de correlación x sc presentan en forma de gráfica en
las figuras 7.13 y 7.14 La figura 7.13 pertenece a un arreglo cuadrado de tubos en lí­
nea en el que los espaciados adimensionales longitudinal y transversal, P L = S J D , y
P T = S t/D . respectivamente, son muales El factor dc corrección
gralicado en el re
cuadro, se usa para aplicar los resultados a otros arreglos en línea De manera similar,
la figura 7.14 se aplica a un arreglo escalonado de tubos en la forma de un triangulo
equilátero (ST = SD), y el factor de corrección permite la extensión de los resultados a
otros arreglos escalonados. Observe que el numero de Reynolds que aparece en las fi­
guras 7 13 y 7 14 se basa en la velocidad máxima del Huido
E jem p lo
7 .6
A menudo se dispone de agua presurizada a temperaturas elevadas, la cual se puede
usar para calefacción de locales o aplicaciones en procesos índustnales En tales casos
es normal usar un haz de tubos en el que el agua se hace pasar por estos, mientras que
también pasa aire en flujo cruzado sobre ellos Considere un arreglo escalonado para el
que el diámetro exterior del tubo es 16.4 mm y los espaciados longitudinal y transver­
sal son SL = 34 3 mm y S¡ = 3 1 3 mm Hay siete líneas de tubos en la dirección del
flujo de aire y ocho tubos poi línea En condiciones de operación típicas, la temperatu­
ra superficial del cilindio es de 70 C, mientras que la temperatura del flujo de aire a
contracorriente y la velocidad son 15°C y 6 m/s, respectivamente. Determine el coefiDEPARTAM ENTO DE B IB LIO TEC A
Universidad Simón B o lívar - Sede
urat
381
C apítulo 7 ■ Flujo externo
cíente de convección del lado del aire y la transferencia de calor para el ha/ de tubos
¿Cuál es la caída de presión del lado del aire?
S o l í <:ió i \
Se conoce:
Geometría y condiciones de operación de un banco de tubos.
E n c o n tr a r :
1. Coeficiente de convección del lado del aire y la transferencia de calor
2. Caída de presión.
E squem a:
Tubo de agua
D = 16.4 mm
S, = 34.3 mm
S, = 31.3 m n u
o
o
V = 6 m/s
►
°
o
n
o
°
o
o
o
n
n nn n n n n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
/;. = 70°C
°
o
n
0o nu o0 un 0o nu °o
Aire
LÍNEA 1
T
LINEA 7
S u p o s ic io n e s :
1. Condiciones de estado estable
2 . Efectos de radiación despreciables.
3. Efecto insignificante del cambio en la temperatura del aire a través del banco
tubos sobre las propiedades del aire.
P r o p ie d a d e s : Tabla A.4, aire (Ta_ = 15°C): p — 1 217 kg/m . cp = 1007 J kg
v = 14.82 X 10 6 m2/s, k = 0.0253 W/m ■ K, P r = 0.710. Tabla A.4. aire (T, - 7ff
P r = 0.701. Tabla A.4, aire (Tf = 43°C): v = 17.4 X 10- 6 m 2/s, k = 0.0274 W/m.|
P r = 0.705.
A n á lisis:
1. De las ecuaciones 7.67 y 7
68, el
N ud =
numero de Nussel del lado del aire es
.0 36
C 7C
R e í orix Pr'
P r \i/4
Prr
Como S D = f S - + (5V/2)2!12 = 37.7 mm es mayor que (ST + D)/2, la veli
máxima ocurre en el plano transversal. A ,, de la figura 7.11. Por consiguicnr
la ecuación 7.65
V ■ =
max
ST
ST ~ D
31.3 mm
- V =
(31.3 — 16.4) mm
6 m/s
=
12.6 m/s
7 .6 ■ Flujo a través de un banca de tubos
385
Con
V invD
12.6 m/s X 0.0164 m
max
R e D , máx
= ------------------------------------
V
14.82
ST
31.3 mm
SL
34.3 mm
X
i -i g ¿ n
10~6 m2/s
= 0.91
’
<2
se sigue de las tablas 7.7 y 7.8 que
' S T\ ' /5
C = 0.35 ( J - J
= °-34’
a
m = °-60’
= 0.95
De aquí
0.7 10 \ 0
N ud = 0.95 X 0.34( 13,943)O6o(0.7 1)0-36 ( — — )
-
—
k
h = N u ., — = 87.9
°D
25
= 87.9
0.0253 W /m ■K
— ----------- = 135.6 W /m 2 • K
0 0164 m
X
<
De la ecuación 7.70
ttDNI i
Ts - T a = ( Ts - T,) exp
p V N TS TcPj
7r(0.0164 m) 56 (135.6 W /m 2 • K)
Ts - Ta = (55°C) exp
1.217 kg/m 3 (6 m /s )¥ (á 0 3 1 3 m) 1 0 0 7 M g • K
Ts - T 0 = 44.5°C
Por ello, de las ecuaciones 7.69 y 7.71,
(Ts ~ T,) - ( Ts - Ta)
= --------
ln
(55 - 44.5)°C
T* S - T
x I
ln
T
xT S * O i
q > = N {h irD A ^ , ) = 56tr
X
= 49.6°C
55
44.5
135.6 W /m 2 • K
X
0.0164 m
q ' = 19.4 kW/m
X
49.6°C
<
2. La caída de presión se obtiene de la ecuación 7 72.
Ap = N l X
'p K *
f
Con R e» m¿x — 13,943, P¡ — (S ¡/D ) — 1.91, y (P T/P ¡) = 0.91, se sigue de la hgura 7.14 que x
1 04 y /= » 0.35. De aquí con N L = 7
Ap = 7
X
1.04
1.217 kg/m 3( 12.6 m /s )2
Ap = 246 N/m 2 = 2.46 X 10
3 bars
0.35
<
C apítulo 7 ■ flujo externo
C o m e n ta r io s :
1. Con las propiedades evaluadas en 7 , RcD máA = 11,876. Con SjiD ~ 2 y SJD
se sigue de las tablas 7.5 y 7 6 que C x — 0.482, m = 0.556. y C2 = 0.97. Del
ecuaciones 7 63 y 7.64, el número de Nusselt es entonces N uD = 86 7 ,y k
144.8 W /n r • K. Los valores de h que se obtienen de las ecuaciones 7 63 y 7í
concuerdan, por tanto, al 7%, lo que está dentro de sus inccrtidumbres.
2. Al utilizar AT¡ = Ts — T, en lugar de A7m) en la ecuación 7.71, la transferencia<
calor se ha sobrestimado en 11 por ciento.
3. Como la temperatura del aire se predice que aumenta solo 10.5°C, la evaluacjó
de las propiedades del aire en T, = 15 °C es una aproximación razonable Sin i
bargo, si se desea mejorar la precisión, los cálculos se repiten con las propiec
reevaluadas en (T, + T0)/2 = 20.25°C.
La temperatura de salida del aire y la transferencia de calor aumentarán al increr
lar el numero de líneas de tubos, y paia un numero lijo de líneas, se varían a 11
la velocidad del aire. Para 5 ^ N¡ < 2 5 y l / = 6 m/s, los cálculos parametn
basados en las ecuaciones 7.67 a 7.71 dan los siguientes resultados:
60
75
50
55
•
2 45
i-í
35
25
•
•
• •----
*
o
•
o
40
o
$
30 -x:
o
6 m/s
o
V=
O
65
O
4.
V
386
<
20
,
10
°
0
15
15
10
20
25
Nl
La temperatura de salida del aire se aproximaría de forma asintótica a latimp
tura de la superficie al aumentar N L, punto en el que la transferencia de calm
aproxima a un valor constante y no hay ventaja al agregar mas lineas de
Observe que A/; aumenta de forma lineal al aumentar N L. Para NL — 25 y I;
20 m/s, obtenemos
75
70
S, = 25
60
\
1
1
i
1
1
1
65
50
55
o
/
E
X
45
40
35
30
25
20
15
10
10
v (m/s)
15
20
7 .7
1
■ Charras (le chaqué
387
Aunque la transferencia de calor aumenta al aumentar V, la temperatura de sa ida
del aire disminuye, aproximándose a T¡ conforme V —* oc.
.7
horros de choque
Un solo chorro de as o un arreglo de tales chorros, que chocan normalmente sobre
una supeilicie, es útil para lograr coeficientes aumentados para calentamiento, enfria­
miento, o secado por convección. Las aplicaciones incluyen el templado de placas de
vidrio, recocido de hojas metálicas, secado de productos textiles y de papel, enfriado
de componentes calientes en máquinas de turbina a sas, y deshielo de sistemas de aero­
naves.
7*7*1
Consideraciones hidrodinámicas y geométricas
Como se muestra en la figura 7.15, unos chorros de gas se descargan normalmente en
un ambiente en reposo desde una boquilla redonda de diámetro D o desde una boquilla
de ranura (rectangular) de ancho W. Normalmente, el chorro es turbulento y, en la sali­
da de la boquilla, se caracteriza por un perfil de velocidad uniforme. Sin embargo, al
aumentar la distancia desde la salida, el intercambio de momento entre el chorro y el
ambiente ocasiona que el límite libre del chorro se ensanche y que se contraiga el nú­
cleo p tem m i dentro del cual se retiene la velocidad de salida uniforme. Corriente aba­
jo del núcleo potencial el perfil de velocidad es no uniforme sobre toda la sección
I 1C I R \ 7 .1 5
Choque superficial de un solo chorro de g
redoi de» o de ranura.
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.oral
388
C apítulo 7 ■ Finja externo
transversal del chorro y la velocidad máxima (centro) disminuye al aumentar la distan
cía desde la salida de la boquilla. La región del flujo sobre la cual las condiciones no
son afectadas por la superficie de choque (objetivo) se denomina chorro libre.
Dentro de la zona de estancam iento o de choque, el flujo está influido por la super­
ficie objetivo y se desacelera y acelera en las direcciones normal (r) y transversal (>o
.v), respectivamente Sin embargo, como el flujo continua para alinear un fluido de mo­
mento cero desde el ambiente, la aceleración no continuará indefinidamente y el íluj
que se acelera en la zona de estancamiento se transforma en un c h o n o de pared que
desacelera De aquí, al aumentar x o r, las componentes de la velocidad paralelas a
superficie aumentan de un valor de cero a algún máximo y decaen posteriormente a1
ro Los perfiles de velocidad dentro del chorro de pared están caracterizados por i
velocidad cero en las superficies de choque y libre Si Ts # Te y/o CA t C ocur
la transferencia de calor y/o de masa por convección cn las regiones de estancarme
y de chorro de pared
Muchos esquemas de transferencia de calor (masa) por choque implican unan
glo de chorros, como, por ejemplo, el arreglo de chorros de ranura que se muestra enl
figura 7.16 Además del flujo de cada boquilla que exhibe regiones de chorro libre
tancamiento y chorro de pared, resultan zonas de estancamiento secundarias de la inte
cion de los chorros de pared contiguos En muchos de tales esquemas los chorrosI
descargan en un volumen restringido limitado por la superficie objetivo y por aplace
la boquilla de la que se originan los chorros. La transferencia global de calor (r
depende, en mucho, de la manera en que se descarga del sistema el gas utilizada^
temperatura (concentración de especies) está entre los valores asociados con la
de la boquilla y la superficie de choque Para la configuración de la figura 7.16, el
utilizado no puede fluir hacia arriba entre las boquillas pero, en cambio, debe fluii
manera simétrica en la'» direcciones ± \. A medida que la temperatura (enfriamiento»
perficial) o la concentración de especies (evaporación superficial) del gas aumen
aumentar |y|, la temperatura local supcríicie-a-gas o la diferencia de concentración<
minuye, lo que ocasiona una reducción en los flujos de convección locales. Es pre
ble una situación en la que el espacio entre boquillas contiguas esta abierto ¡
ambiente, con lo que se permite un flujo continuo hacia am ba y la descarga directac
gas utilizado.
Vistas planas (superiores) de boquillas redondas y de ranura únicas se rnuest
la figura 7.17. Para las boquillas aisladas (figuras 7 \ l a d), los coeficientes decc
ción locales y promedio se asocian con cualquier / > 0 y x > 0. Para los arreglos,
metría sugiere valores locales y promedio equivalentes para cada una de las
unitarias delineadas por las líneas punteadas Para un número grande de chorro
drados en linea (figura 7 \ l b ) o chorros redondos escalonados de maneraequiláten
Placa de la boquilla
Boqu lia
-
V , . V •. » V y » ^
■
*' * ^
**
I— Zona eún
mHsaria de estancamiento
secundaria
I1IG IIIA 7 .1 í>
( hoque sujíerficial de un arreglo de chorros de ranura.
7.7 ■ Chorros de choque
389
U— S — ^
a r = vi ’/ i i
H
M)
F lG lU A 7 .1 7
.4, = WIS
(e)
Vi Ha |)lana de caiacU-iísticuü geométricas, pertinentes para (a) un solo chorro redondo.
tb) arreglo de chorros redondos en línea, <c) arreglo de ehoiros redondos escalonados. (d ) chorro de ranura
únic o. y (e) arreglo de chorros de ranura
gura 1 A le ) , las celdas unitarias corresponden a un cuadrado o a un hexágono, respecti­
vamente Un parámetro geométrico pertinente es el área relativa de boquilla, que se de­
fine como la razón del área seccional transversal de salida al área superficial de la celda
CAr = A c J A ce¡du). En cada caso. S representa el espaciado del arreglo.
7 .7 .2
Transferencia de calor y ríe masa por convección
En los resultados que siguen, se supone que el chorro de gas sale de su boquilla con
una velocidad uniforme Vc, temperatura Te, y concentración de especies CA e. Se supo
ne equilibrio térmico y de composición con el medio (Te = Tx , CA P = CA x ). mientras
la transferencia de calor y /o de masa por convección puede ocurrir cn una superficie de
choque de temperatura y/o concentración de especies uniforme (Ts ^ Tn C A v # CA f)
La ley de enfriamiento de Nevvton y su análoga de transferencia de masa son entonces
q" = h{Ts - Te)
K
= U C A..v - C A,f)
(7.73)
(7.74)
Se supone que las condiciones están influenciadas por el nivel deturbulencia en la sali­
da de la boquilla, y se supone que la superficie es estacionaria. Sin embargo, este re­
quisito se hace menos estricto para velocidades superficiales que son mucho menores
que la velocidad de impacto del chorro
Una extensa revisión de los datos del coeficiente de convección disponibles para
chorros de gas que chocan fue llevada a cabo por Martin 122], y para una sola boquilla
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Univoísiauu
kMonvdr * Sed e,
390
C apítulo 7 ■ Flujo externo
redonda o de ranura, las distribuciones del número local de Nusselt tienen las formas
características que se muestran en la figura 7.18 La longitud característica es el diáme­
tro hidráulico de la boquilla, que se define como cuatro veces su área de sección trans­
versal dividida entre su perímetro húmedo (D h = 4A C e/P). Por consiguiente, la
longitud característica es el diámetro de una boquilla redonda y. suponiendo que¿^>
W, la longitud es entonces dos veces el ancho de una boquilla de ranura. Se sigue que
Nu = liD/k para una boquilla redonda y N u = h(2W /k) para una boquilla de ranura. Pa­
ra separaciones boquilla-placa grandes, figura 7.18<?, la distribución se caracteriza por
una curva en forma de campana para la que Nu decae monótonamente de un valor
máximo al punto de estancam iento , r/D (x/2\V) — 0.
Para separaciones pequeñas, figura 7.18/?, la distribución se caracteriza por un se­
gundo máximo. cuyo valor aumenta al incrementarse el numero de Reynolds del
chorro y puede exceder el del primer máximo. El umbral de separación de H D * 5,
por debajo del cual hay un segundo máximo, está vagamente asociado con la longitud
del núcleo potencial (figura 7.15). La apariencia del segundo máximo se atribuye a un
elevación aguda en el nivel de turbulencia que acompaña la transición de un flujo de
región de estancamiento que se acelera a un chorro de pared que se desacelera [22], Sí
han observado máximos adicionales y se atribuyen a la formación de vórtices en la»,
na de estancamiento, así como a la transición a un chorro de pared turbulento [23],
Los máximos secundarios en N u también se asocian con la interacción decho
de pared contiguos para un arreglo [22. 24|. Sin embargo, las distribuciones son b
mensionales. y exhiben, por ejemplo, variaciones tanto con x como con v para el
glo de chorros de ranura de la figura 7.16. Se esperaría que las variaciones con a di
máximos en la linea central del chorro y parciales entre chorros contiguos, niienttai
que la restricción del flujo de escape a la dirección ± y induciría una aceleración cond
aumento de |y| y, por consiguiente, un Nu monótonamente creciente con \y Sin embar­
go, las variaciones con y disminuyen con el aumento del área seccional transversal 4|j
flujo saliente y no se toma en cuenta si S X H S: W X L [221.
Se obtienen números promedio de Nusselt (Sherwood) al integrar resultados loe*
les sobre el área superficial apropiada. Para boquillas únicas, se espera que las co
ciones de transferencia de calor correspondientes sean de la forma
N u = j{ R e , Pr, r {o x)ID fr H /D h)
/
donde
hD h
Nu =
Re =
k
V e » ,,
(7
V
F ig lilv
7.18
D is i ri luición dclnumfij
c!c V is s d l asociado***
sola boquilla redundí*
ranura parn <,spdo&fiüd
r« al i vos I»oqui
{«)
(b)
(a) grandes vtó)|
7 .7
■ Chorros de choque
Dh = D
391
(boquilla redonda)
o
Dh — 2W
(boquilla de ranura)
(7.78)
Después de evaluar los datos de varias fuentes. Martin [22J recomienda la siguien­
te correlación para una boquilla redonda única
Nu
.0.42
Pr
=G L
11 F ARe)
D 'D
(7.79)
donde
,0 .5 5 \l/2
F , = 2 R e U2( \ + 0.005
(7 80)
1 - 1.1
D
G = —
r 1 + Q .U H /D - (,)D /r
(7 81a)
o. al reemplazar D /r por 2A rv ,
1 - 2 2 A '?
_ -iiin
u
r
1 + 0.2
(7 81b)
- (i)A'rn
Los rangos de validez son
2000 < R e < 400,000
H
2 < — < 12
D
2.5 < — < 7.5
D
o
0.04 > A > 0.004
Para r < 2.5 D {Ar > 0.04), se dispone de resultados para N u en forma gráfica [22]
Para una sola boquilla de ranura , la correlación recomendada es de la forma
Nu
3.06
P r042
.v / W + H / W + 2.78
Re
m
(7 82)
donde
/ H y
x \
m = 0 695 —
2W,
+ 1—
2W
1
33
-1
+ 3 .0 6
(7 83)
y los rangos de validez son
3000 < R e < 90,000
H
2 < — < 10
W
4 < — <20
W
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C apítulo 7 ■ Flujo externo
Como una prim era aproxim ación, la ecuación 7.82 también sirve para xí\\ < 4, lo quv
da predicciones para el punto de estancamiento (.v = 0 ) que están dentro del 40^ &
los resultados medidos.
Para un arreglo ele boquillas redondas, Martin [22J recomienda una correlación de
la forma
(
Nu
H}
= K
Pr 0.42
\
t*
392
(
G\ /
’ D)
F ,(R r)
l
(7.84Í
/A
donde
-0 .0 5
H /D
K =
1 +
(7.85|
0 6I A ''2
F , = 0.5 R e2,i
(im
y G es la función de una sola boquilla dada por la ecuación 7.81b. La función K ex|
ca el hecho de que. para H!D S: 0 6/\rl;:. el numero de Nussclt promedio para el ar
decae más rápidamente al aumentar W D que para la boquilla única. La correlación
válida en los intervalos
2000 < R e < 100,000
H
2 S -
S12
0.004 < A r < 0.04
Para un arreglo de boquillas de ranura, la correlación recomendada es de la fon*
.2/3
2 Re
(1
*r. o
Pi .0 42
A
A r. o + A-, o ■ A )
donde
( H
Kr, o
60 + 4 ( w
\2
-
1/2
- 2
1 .a correlación
pertenece a condiciones en las que el flujo saliente del gas utilizado
restringe a las direcciones ± v de la figura 7.16 y el área del llujo de salida essufr
teniente grande para satisfacer el requerimiento de que (5 X lí)/(\\ X ¿ ) > |.
cioncs adicionales son que
1500 < R e < 40,000
2
H
< — < 80
W
0.008 < A r < 2 . 5 A nfí
Un arreglo óptim o de boquillas sería aquel en que los valores de H . S. y [)
el valor más grande de N u para una velocidad total de llujo de gas estab ecida |
dad de área superficial del objetivo. Para H fija y para arreglos de boquillas red
de ranura, se encuentra que los valores óptimos de D¡, y S son [22]
D h. op = 0 .2 //
°P
1.4//
7 .8
393
■ Lechos compactados
El valor óptimo de (D¡ H ) ~ X 88 5 coincide aproximadamente con la longitud del núcleo
potencial Más allá del núcleo potencial, la velocidad de linea media del chorro decae,
lo que ocasiona una reducción concomitante en los coeficientes de convección.
A l invocar la analogía de transferencia de calor y dc masa mediante la sustitución
de Sh^Sc042 por N u Pr042, las correlaciones anteriores también se aplican a la transfe
rencia de masa por convección. Sin embargo, para la transferencia de calor y de masa,
la aplicación de las ecuaciones se debe restringir a las condiciones para las que se de­
sarrollaron Por ejemplo, en su forma actual, las correlaciones no sirven si los chorros
brotan de orificios con extremos agudos en lugar de boquillas en forma dc campana. El
chorro de orificio está fuertemente afectado por un fenómeno dc contracción de tlujo
que altera la transferencia de calor o de masa por convección, [22, 23]. En el caso de la
transferencia de calor por convección, las condiciones también están influenciadas por
diferencias entre las temperaturas de salida del chorro y la del ambiente ( Te i=- T^). La
temperatura de salida es entonces una temperatura no apropiada cn la ley de enfria­
miento de Newton, ecuación 7.73, y se debe reemplazar por lo que normalmente se de­
nomina temperatura de recuperación, o pared adiabática [25, 26J.
7.8
Lechos compactados
El flujo de gas a través de un lecho com pactado de partículas sólidas (figura 7.19) es
relevante para muchos procesos industriales, que incluyen la transferencia y almacena­
miento de energía térmica, reacciones catalíticas heterogéneas y secado. El término le­
cho com pactado se refiere a una condición en la que la posición de las partículas es
Jija. En cambio, un lecho fluidifi aclo es aquel en que las partículas están en movimien­
to debido a la advcccion con el fluido.
Para un lecho compactado se obtendrá una cantidad grande de área superficial de
transferencia de calor o de masa en un volumen pequeño, y el flujo irregular que existe
cn los vacíos del lecho aumenta el transporte a través de la mezcla turbulenta. Muchas
correlaciones desarrolladas para diferentes formas, tamaños y densidades de compacta­
do dc partículas se describen en diferentes publicaciones [27-30]. Una correlación de
este tipo, que se recomienda para el flujo de gas en un lecho de esferas, es de la forma
£ j ¡i = £ j m = 2 .0 6 R e ¿ X57S
P r - 0.7
90 < R eD < 4000 ]
(7.91)
donde y'// y j m son los factores j dc Colbum definidos por las ecuaciones 6.103 y 6 .104.
El numero dc Reynolds R eD = V D / v s e define en términos del diámetro de la esfera y
la velocidad contracorriente V que existiría en el canal vacío sin el compactado. La
cantidad e es la porosidad , o fra cció n dc vacío , del lecho (volumen de espacio vacío
Fiera a 7.19
Flujo de ga* a través ríe un lecho i inpartadt
i partículas sólidas
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C apítulo 7 ■ Flujo externo
394
por unidad de volumen del lecho), y su valor normalmente va de 0.30 a 0.50. La corre­
lación se aplica a materiales de compactado diferentes de las esferas al multiplicar el
lado derecho por un factor de corrección apropiado. Para un lecho de cilindros de ta­
maño uniforme, con razón longitud-diámetro de 1 , el factor es 0.79; para un lecho de
cubos es 0.71.
Al usar la ecuación 7.91, las propiedades se deben evaluar en la media aritmética
de las temperaturas del fluido que entra y sale del lecho. Si las partículas estañan
temperatura uniforme T , la transferencia de calor para el lecho se calcula con
(7
mi
donde Ap , es el área superficial total de las partículas y ATm] es la diferencia de tenr
raturas media logarítmica definida por la ecuación 7.69. La temperatura de solida,
se necesita para calcular A7jn), se estima a partir de
7
T -T
/
= exp
\
¡i A ¡>.t
(7
pVAcJ>c
donde p y V son la densidad y velocidad de entrada, respectivamente, y Ar h es el
seccional transversal del lecho (canal).
7 .»
Resumen
En este capitulo recopilamos correlaciones de convección que sirven para e
transferencias por convección para una variedad de condiciones de flujo exte
geometrías sencillas de superficie estos resultados se derivan a partir de un an'
capa límite, pero en la mayoría de los casos se obtienen de generalizaciones
basan en el experimento. Debe saber cuándo y cómo usar las diversas exprer
estar familiarizado con la metodología general de un cálculo de convección. Para
litar su uso, en la tabla 7.9 se resumen las correlaciones.
TA BLA 7 .9
Resum en «le cor re la c io n o <le transferencia de calor por convección para flujo externo"-A
Correlación
Geom etría
C ondiciones
S = 5a R e x 1/2
(7.19;
Placa plana
Laminar, Tf
Cf x = 0.664R ex~vl
(7.20)
Placa plana
lam in ar, local, T
N u x = 0 .3 3 2 R e / 2P rlí3
(7.23)
Placa plana
Laminar, local, T . 0.6
5, = 8 P r - ia
(7.24)
Placa plana
Laminar. T
C f x = 1.328 R c x l2
(7.30)
Placa plana
Laminar, promedio. T
N uk = 0.664RexU2P r xn
(7.31)
Placa plana
Laminar, promedio 7 . 0.6 < pr
N u . = 0.565Pexm
(7.33)
Placa plana
Laminar, local. Tf, Pr :S 0.05
Pr < Síi
7 .9 ■ Resumen
T ab la 7 .9
395
(C m tim im ión
Correlación
G eom etría
C ondiciones
C., = 0.0592/?í?;I/s
(7.35)
Placa plana
Turbulento, local. Tj, Rex S 108
¿i = 031xRc;t u-
(7.36)
Placa plana
Turbulento, local, Tf, R cx S 10s
Su( =0.0296R e * P r m
(7.37)
Placa plana
Turbulento, local, Tf, Rex 5 108,
0.6
Pr
60
fh L = í0.037/?í74/s —871 )/V 4
(7.41)
Placa plana
M ezclado, promedio. Tf, R e x r, = 5
ReL ^ lü 8. 0.6 < Pr < 60
1I'1
, = Q .m R e ¡ - v s- n 4 2 R e l 1
(7.43)
Placa plana
M ezclado, promedio. Tj. R e x
ReL < I08
i íkD= CReD,,'P r m
(Tabla 7.2)
(7.55b)
Cilindro
Prom edio, Tf. 0.4 < Ren < 4
Pr > 0.7
W L = C ReDn Pr" (Pr!Prs) 4
(Tabla 7.4)
(7.56)
Cilindro
Promedio. T„. 1 < R e¡,< 10°.
0.7 < Pr < 500
Cilindro
Promedio, T„, RcüPr > 0.2
Esfera
Promedio, 7«, 3.5 < ReD 7.6 X 104,
0.71 < Pt < 380. 1.0 < (ju//Lts) < 3.2
I j6 ^ = 0 .3 + [0.62Ref)v2P rm
X ,1 + (0 4/Prj2J* \ 4]
X [1 + (ReDf2&2,000)-v*]4'5
105,
10\
X
X (fJLlfJL ) ' 4
(7.59)
S p * 2 + 0.6Re,>U2P r "
(7.60)
Gota que cae
Prom edio. T„
(7.63)
Banco de tubos'
Promedio. Tf, 2000 < ReD máx
< 4 X 104. Pr > 0.7
Promedio, T. 1000 < Reü < 2
0.7 < Pr < 5 0 0
1 ^ 1 .I 3 C ,/^ W ^
J (Tablas 7.5, 7.6)
\ í = CReD” aÍKPiOM(Pr!Pr')'1*
(TÍ A 7.7.7.8)
X
I0S,
(7.57)
Búfj = 2 + (0 4R '£>'2
1
V 0.06/?í’d2/-,)/V W4]
|
= 5
X
Banco de tubos'
(7.67)
X
10°.
lilla redonda única
(7.79)
Chorro de choque
Promedio, 7 , 2000 < Re < 4 X 1 0 \
2 < (H/D) < 12, 2.5 < (r!D) < 7.5
uilhi de ranura única
(7.82)
Chorro de choque
Promedio, T , 3000 < Re < 9 X 104.
2 < (H/W) < 10, 4 < ( a / IV) < 20
«lo de boquillas redondas
(7.84)
Chorro de choque
Promedio, Tf, 2000 c Re < 1 0 \
2 < (H/D) < 12, 0.004 < A, < 0.04
boquillas de ranura
(7.87)
Chorro de choque
Promedio, Tf, 1500 < Re < 4 X l()4,
2 < (H/W) < 80, 0.008 < A r < 2.5A fm0
(7.91)
Lecho compactado
de esteras
Promedio. T , 90 ^ ReD ^ 4000. Pr ~ 0.7
í o de
¡L = 2.06ReD - 0.575
tinciones de esta tabla pertenecen a superficies isotérmicas: para casos especiales que implican una longitud de inicio no calentada o
>decalor fipcrficial uniforme véase la sección 7.2.4.
¡aplica la analogía de transferencia de calor y masa, las correlaciones correspondientes de transferencia de masa se obtienen reem-
b'uy Pr por Sh y Se, respectivamente.
de tubos y lechos compactados, las propiedades se evalúan a la temperatura promedio del Huido.
T = (T¡ + Tf¡)/2 o la tempe -
dio de te capa.
fílUflir
CvÉPAUTAMnNTO HE BIBLIOTECA
Universidad S.món Bolívar - Sede del Litoral
396
C apítulo 7 ■ Flujo externo
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Problemas
Placa plana rn flujo paralelo
7.1 Considere los siguientes fluidos a una tem peratura de
película de 300 K en un flujo paralelo sobre una placa
plana con velocidad de 1 m/s: aire atm osférico, agua,
aceite de motor y mercurio.
(a) Para cada fluido, determine los espesores de la capa
límite de velocidad y de la capa térmica a una distan­
cia de 40 mm desde el borde o inicio de la placa.
(b) Para cada uno de los fluidos establecidos y en las
mismas coordenadas, trace el espesor de la capa lí
mitc com o función de la d stancia desde el i
una longitud de placa de 40 mm.
7.2 Considere aire atmosférico a 25°C en un flujo i
5 m/s sobre ambas superficies de una placa pk
de longitud que se mantiene a 75 C.
(a) Determine el espesor de la capa límite de i
el esfuerzo cortante de la superficie > el i
lor al final de la placa.
(b) Determine la fuerza de arrastre sobre la i
transferencia total de calor de la [ aca.i
unidad de ancho de la placa.
■ Problemas
397
(c) Elabore una gráfica de cada uno de los parámetros
de la parte (a) com o función de la distancia desde el
borde o inicio de la placa.
7j
Sobre ambas superficies de una placa plana de 1 m de
longitud que se mantiene a 20 C fluye aceite de motor a
100 C > a una velocidad de 0.1 m/s . Determine
iai Los espesores de las capas límite de velocidad y tér­
mica al hnal de la placa.
ibl El flujo local de calor y el esfuerzo cortante superfi­
cial al final tic la placa.
ilI
1.a fuerza total de arrastre y la transferencia de calor
por unidad de ancho de la placa
Elabore una gráfica de los espesores de placa límite
\ los valores locales de esfuerzo cortante superíi
cial. coeficiente de convección y flujo de calor como
función de a para U í . r < I m.
’4 Considere un flujo paralelo estable de aire atm osférico
«.obre una placa plana. El aire tiene una tem peratura y
(velocidad de flujo libre de 300 K y 25 m/s
Evalué el espesor de la capa limite a distancias de \
= I. 10 y 100 mm desde el inicio de la placa. Si se
instalara una segunda placa paralela a la primera
placa y a una distancia de 3 mm de la misma, ¿cuál
es la distancia desde el inicio a la que ocurriría la
fusión de la capa límite?
ib) f\alue el esfuerzo cortante superficial y la com po­
nente \ de la velocidad en la orilla externa de la ca­
pa limite para la placa sola en x = 1. 10. y 100 mm
id Comente la validez de las aproxim aciones de capa
limite.
■Un geometría de flujo común, que incluye la placa plana
f cn un Unjo paralelo como caso especial, es la cuña
l solución de flujo potencial se sabe que la velociI hf orilla de la capa límite aumenta con x de acuer­
da relación u - Ex"', donde m = >3/(2 -(3 ) y /3tt
tfeguln de cuña. De una solución de capa límite latambién se sabe que el núm ero local de Nussclt
n como N u t = C i Re 2. donde R ex = ( ii^ v /v ) y
Ci es una función conocida de Pr y (3. como se aprecia en
la tabla adjunta.
Pr
0.7
0.8
m
0
1.0
5.0
10.0
c,
0
0
0 292
0.307
0.332
0 585
0.730
0.2
0.111
0.331
0 348
0.378
0 669
0 851
0.5
0.333
0.384
0.403
0.440
0.792
1.013
10
1.000
0 496
0 523
0.570
1 04^
1.344
(a) Comente la naturaleza de las condiciones de flujo en
x = 0 para /3 > 0. ¿Cómo varia u, con v para > 3 = 1 ?
(b) Obtenga J a razón del coeficiente promedio de con­
vección h x al coeficiente local h x para f3 = 0.5 y pa­
ra (3 = I 0
(c) Es práctica común aproximar la transferencia de calor
del flujo de cuña mediante el uso de correlaciones de
convección asociadas con la placa plana cn un flujo
paralelo. Comente la precisión de tal aproximación
mediante el cálculo de la razón (hx pxjt'h, p=ü) cn
x = 1 m para un flujo de aire sobre cuñas de (3 = 0.5 y
(3 = 1.0
7.6 Considere un metal liquido (P/ < 1), con condiciones de
flujo libre ux y 7 \ . cn un flujo paralelo sobre una placa
plana isotérmica a Ts. Suponiendo que u = u, a través
de la capa límite térmica, escriba la forma correspon­
diente de la ecuación de energía de la capa límite. Me­
diante la aplicación de las condiciones apropiadas inicial
(a = 0) y de frontera, resuelva esta ecuación para el
campo de tem peraturas de la capa límite, T(.v. y). Utilice
el resultado para obtener una expresión para el número
de Nussclt local Nu . (Sugerent ia: Este problema es aná­
logo a la transferencia de calor unidimensional en un
medio semiinfinito con un cam bio súbito en la tem pera­
tura de la superficie.)
7.7 Considere que el perfil de la capa limite de velocidad pa­
ra el flujo sobre una placa plana es de la forma u = C\ +
CVv Aplique las condiciones de frontera adecuadas para
obtener una expresión del perfil de velocidad en térmi­
nos de! espesor de la capa límite ó y la velocidad del flu­
jo libre u¿. Utilizando la forma integral de la ecuación
de momento de la capa límite (apéndice E). obtenga ex­
presiones para el espesor de la capa límite y para el coe­
ficiente local de fricción, y formule sus resultados en
términos del numero local de Reynolds Compare sus re­
sultados con los que se obtienen a partir de la solución
exacta (sección 7 2 I ) y la solución integral con un perfil
cúbico (apéndice E).
DEPARTAM ENTO DE B IB LIO TE C A
U lIlV o i S U u J o .i.a J ii w u it r j f
SOOt
Oí al
Finjo externa
C apítulo
398
7.8
Resuelva el problema 7.7 para un perfil dc capa límite
de velocidad de la form a u = C , + C2 sen (C?y).
7.9
Considere una capa límite turbulenta estable se bre una
placa plana isotérmica de tem peratura 7~v La capa lím i­
te está “trabada” en el inicio a a = 0 por un alambre fi
no. Suponga propiedades físicas constantes y perliles
dc velocidad y tem peratura de la lorma
t
u
- r.
u ^ \ ~ 1/4
= 0.0228 pul
r - Aislante
Modulo
Ts - 150°C
-/V L = 700 mm -•+*• 1 *\
50 mm
= 1 -
(a) Se sabe, de la experimentación, que el estuerzo cor­
lante de la superficie está relacionado con el espesor
de la capa límite mediante una expresión de la forma
7j
/« = 25°C
ux = 30m/s
— 320
30
Tx - Ta
H a t
modulo son A. — 5.2 W/m • K,
p = 2300 k° m
v
Com enzando con la ecuaciói integral del m om en­
to (apéndice E). muestre que 8/.x
0.37ó/?é\_ ■.
Determine el coeficiente prom edio de fricción C f x.
(b) Empezando con la ecuación integral de energía,
obtenga una expresión para el número de Nusselt
local N u x y utilice este resultado para evaluar el
número dc Nusselt prom edio N ux
7.10 Considere el flujo sobre una placa plana para la que se
desea determ inar el coeficiente promedio de transferen­
cia de cale r sobre un tramo corto de i, a .v2, h ¡ - 2- don­
de (.v2 ~ -A'l) ^ L.
(a) Encuentre a generación de potencia que i
re. q (W fm ), en un m di lo colocado a i
cía de 700 mm i el inic )
(b) Encuentre la temperatura máxima TnU
dalo ;enc ad ir de calor.
7.12 Ln calcntadi r eléctrico de aire consiste en un
horiz intal de tiras metálicas delgadas, cadft
10 mm de long tud. cn la dirección de un
paralelo sobre la parte superior de las ira&,
mide 0.2 m dc ancho, y se colocan 25 tira*'
con lo que forman una superficie suave sol
aire fluye a 2 m/s. Durante la operación c
mantiene a 500 C y el aire csL a 25°C.
(a) ¿Cuál es la transferencia de calor pt r
de la primera tira ? t De la quinta tira?;
ma tira 7 <De i das las tiras?
(b) P ira velocidades de a're de 2.5 y 10 m
nc las transferencias de calor por con
todas las posiciones de la parte (aj.
sus re siltad is en forma tabular o co
barras
(c) Repita la parte (b) pero en condin
el flijo sea completamente turbulenta
arreglo de tiras
-►
-►
I I
Al V2
I
L
Proporcione tres expresiones diferentes que sirvan pa­
ra evaluar h , ^ 2 en terinn os dc I a el coefic ente local
cn v = (Al + ,v,)/2. (b) los coeficientes locales cn
y
Ao. y (c) los coeficientes prom edio en X\ y x2. Indique
cuál de las expresiones es aproxim ada. C onsiderando
si el flujo es lam inar, turbulento, o mezclado, i idique
cuándo es apropiado o inapropiado usar cada una dc
las ecuaciones.
7.11 Una placa plana de 1 m de ancho se mantiene a una
tem peratura superficial uniforme Ts = 150°C mediante
el uso de módulos rectangulares generadores de calor
controlados de forma independiente, de espesor a =
10 mm y longitud b = 50 mm. Cada módulo está aisla­
do de sus alrededores, así como dc su parte posterior.
Aire atm osférico a 25°C fluye sobre la placa a una ve­
locidad de 30 m/s. Las propiedades term ofí icas del
7.13 Considere aire atmosférico a 25°C y a una
25 n s que fluye sobre ambas supui
plana de 1 m de longitud que se mantiene
Determine la transferencia de calor desdi I.;
un dad de ancho para valores del iiúmcioiB
crítico que correspondan a 105. 5 x lí)-,y jfl
7.14 Considere aire a 27 C y 1 atm en un flujo
bre una placa plana isotérmica dc 1 m deij
una velocidad dc 10 m/s
(a) Elabore una grahea dc la variación i
local de transferencia dc calor /i,¡
distancia a lo largo de la placa pa
nes de flujo corresponda a los nú|
nolds de transición (i 5 X
(in) 0 (el flujo sea completamente i
b
Trace una grali a de la variaci
promedio de tianslerencia de
la distancia para las tres condicie
pane (a).
Problemas
(c) ¿Cuales son los coeficientes prom edio de transfe­
rencia de calor para toda la placa, h L, para las tres
condiciones de llujo de la pane (a)?
399
bre toda su longitud, ¿cual seria la transferencia
de calor?
7 .1 9
Sobre la superficie superior de una placa plana que se
calienta a una temperatura uniforme de 100°C hay aire
en flujo paralelo a una presión de 1 atm y tina tem pera­
tura de 50°C. La placa tiene una longitud de 0.20 m
(en la dirección del llujo) y un ancho de 0.10 m. El nú­
mero de Reynolds que se basa en la longitud de la pla­
ca es 40.000. ¿Cuál es l