МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
В.Н. ВАСЮКОВ
ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ
Сборник задач и упражнений
для студентов вузов, обучающихся по направлениям
11.03.01 – Радиотехника,
11.03.02 – Инфокоммуникационные технологии и системы связи.
Новосибирск
2017
Васюков В.Н. Цифровая обработка сигналов: Сборник задач и упражнений для
студентов вузов / Новосиб. гос. техн. ун-т. – Новосибирск, 2016. с.
Сборник содержит задачи и упражнения по цифровой обработке сигналов.
Сборник предназначен для студентов вузов, обучающихся по направлениям напр. 11.03.01 – Радиотехника, 11.03.02 – Инфокоммуникационные технологии и системы связи. Он может быть использован при изучении цифровой обработки сигналов студентами и магистрантами близких специальностей.
Кафедра Теоретических основ радиотехники НГТУ
Рецензенты:
Соколова Д.О., к.т.н., доцент кафедры Теоретических основ радиотехники,
Кривецкий А.В., к.т.н., доцент кафедры Конструирования и
технологии радиоэлектронных средств.
© Васюков В.Н., 2017
© Новосибирский государственный
технический университет, 2017
2
СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ................................................................................................................................................................. 4
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ ............................................................................................................................... 4
ПРИНЯТЫЕ СОКРАЩЕНИЯ............................................................................................................................................ 4
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ЦОС. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ .............................................. 6
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЦОС .................................................................................................................... 8
3. ПРОСТРАНСТВА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ................................................................................................... 9
4. НОРМА, МЕТРИКА, СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ....................................................................................... 11
5. ЛИНЕЙНОСТЬ, ИНВАРИАНТНОСТЬ К СДВИГУ, КАУЗАЛЬНОСТЬ, УСТОЙЧИВОСТЬ .......................... 14
6. ДИСКРЕТНАЯ СВЁРТКА И ЕЁ СВОЙСТВА ....................................................................................................... 16
7. z -ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ........................................................................................................................................... 17
8. ОБРАТНОЕ z -ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ..................................................................................................................... 18
9. ДИСКРЕТНО-ВРЕМЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ................................................................................ 20
10.
ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ................................................................................................... 22
11.
СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛИС-ЦЕПЕЙ ................................................... 23
12.
ОПИСАНИЕ ЦЕПЕЙ СИГНАЛЬНЫМИ ГРАФАМИ И МАТРИЧНЫМИ РАЗНОСТНЫМИ
УРАВНЕНИЯМИ .............................................................................................................................................................. 26
13.
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ ЛИС-ЦЕПЕЙ ..................................... 29
14.
СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ И ИМПУЛЬСНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИС-ЦЕПЕЙ..................................... 31
15.
ВСЕПРОПУСКАЮЩИЕ И МИНИМАЛЬНО-ФАЗОВЫЕ ЦЕПИ ................................................................... 32
16.
ЛИС-ЦЕПИ С ЛИНЕЙНОЙ ФЧХ ....................................................................................................................... 33
17.
СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ЛИС-ЦЕПИ ............................................................................. 34
18.
МНОГОМЕРНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ЛИС-ЦЕПИ ....................................................................... 36
19.
ВЗАИМОСВЯЗИ АНАЛОГОВЫХ, ДИСКРЕТНЫХ И ЦИФРОВЫХ СИГНАЛОВ ...................................... 37
20.
СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ ................................................................................................................... 39
21.
РЕАЛИЗАЦИЯ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ ........................................................................................................ 41
22.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В ЦИФРОВЫХ УСТРОЙСТВАХ ...................................................................... 42
23.
РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ............................................................................................................... 43
Приложение 1. РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ .......................................................................................... 44
Приложение 2. СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ ............................................................................................................... 46
1. Алгебраические модели ..................................................................................................................................... 46
2. z -Преобразование и его свойства ................................................................................................................... 48
3. Дискретно-временное преобразование Фурье ............................................................................................... 50
4. Формулы Эйлера ................................................................................................................................................. 50
5. Геометрическая прогрессия .............................................................................................................................. 50
ЛИТЕРАТУРА................................................................................................................................................................... 51
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемый сборник предназначен для студентов, изучающих дисциплины «Цифровая обработка сигналов», «Применение цифровой обработки сигналов», «Специальные вопросы цифровой обработки сигналов». Материал сборника может быть использован преподавателями при проведении практических
занятий, а также студентами для самостоятельной работы.
Задачи и упражнения сгруппированы в разделы, последовательность которых в основном соответствует порядку изложения лекционного материала и содержанию учебника [1]. Отдельные задачи заимствованы из источников, список
которых приведён в конце пособия [2–6].
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
 [n] – дельта-последовательность;
u[n] – единичная ступенчатая последовательность;
 – символ дискретной свёртки, как двухместной операции;
 – поле вещественных (действительных) чисел;
 – множество (кольцо) целых чисел;
 x, y  – скалярное произведение векторов (последовательностей) x и y ;
, , ,..,  – множество элементов, перечисленных или описанных выражением
в скобках;
l2 – пространство квадратично суммируемых последовательностей;
l1 – пространство абсолютно суммируемых последовательностей
x
2
– норма (в l2 ) вектора x ;
x 1 – норма (в l1 ) вектора x .
ПРИНЯТЫЕ СОКРАЩЕНИЯ
АЦП – аналого-цифровой преобразователь
АЧХ – амплитудно-частотная характеристика
БИХ – бесконечная импульсная характеристика
ДВПФ – дискретно-временное преобразование Фурье
ДПФ – дискретное преобразование Фурье
4
ИХ – импульсная характеристика
КИХ – конечная импульсная характеристика
КЧХ – комплексная частотная характеристика
НПД – нуль-полюсная диаграмма
ПРВ – плотность распределения вероятности
ПФ – полосовой фильтр
СПМ – спектральная плотность мощности
ФВЧ – фильтр верхних частот
ФНЧ – фильтр нижних частот
ФЧХ – фазочастотная характеристика
ЦАП – цифроаналоговый преобразователь
ЦОС – цифровая обработка сигналов
ЦФ – цифровой фильтр
5
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ЦОС. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
1.1. Последовательность  [n] имеет один ненулевой отсчёт при n  0 ; остальные отсчёты равны 0. Изобразите графики последовательностей  [n] ,
 [n  2] ,  [2  n] ,  [n  2] .
1.2. Последовательность u[n] определяется выражением u[n] 

  [n  k ] .
k 0
а) Изобразите графики последовательностей u[n] , u[n] , u[n  5] ,
u[5  n] .
б) Выразите последовательность  [n] через u[n] .
в) Изобразите график последовательности v[n] 
n

 [k ] .
k 
г) Постройте
графики
последовательностей
u[n  3]  u[n  3] , u[n  3]  u[n  3] .
u[n]  u[n  5] ,
1.3. Последовательность x[n] , n  ,  задана своими значениями 3, 4, 5, 6, 7
соответствующими моментам дискретного времени 0, 1, 2, 3, 4; остальные
отсчёты равны 0. Представьте x[n] линейной комбинацией сдвинутых последовательностей  [n  k ] , k  ,  .
1.4. Постройте графики последовательностей вида c[n]  cos( n) при    ;
при   2 , при    / 2 ; при    / 5 ; при   3 / 5 ; при   3 / 2 . Какие
из них являются периодическими?
1.5. Определите периоды последовательностей
а) x1[ n]  cos( n / 3) ,
б) x2 [ n]  sin( n / 5) ,
в) x3[ n]  cos( n / 3)  sin( n / 5) .
1.6. Последовательность x[n] , n  ,  задана своими значениями 5, 4, 3, 2,
1, соответствующими моментам дискретного времени 0, 1, 2, 3, 4. В
остальные моменты времени отсчёты последовательности равны 0.
а) Постройте графики последовательностей x[n] , x[n] , x[n  4] ,
x[4  n] .
б) Постройте график последовательности x[n] , полученной из x[n] периодическим повторением по времени с периодом 5; с периодом 7.
6
в) Продолжите последовательность x[n] так, чтобы получилась чётная последовательность1. Можно ли продолжить x[n] нечётным образом?
1.7. Последовательность x[n] , n  ,  определена для неотрицательных n
выражением a n , где a – вещественное положительное число меньше
единицы; остальные отсчёты равны 0.
а) Запишите выражение для x[n] с использованием последовательности u[n] .
б) Постройте графики последовательностей x[n] , x[n] , x[ n ] .
в) Постройте график последовательности y[n]  (1)n x[n] .
1.8. Постройте график последовательности x[ n]  b nu[n] , выбрав значение b
из условия 1  b  0 .
1.9. Постройте график последовательности x[ n]  b nu[  n] , выбрав значение b
из интервала (0,1) .
1.10.
Последовательность r[n] задана своими значениями 1, 1, 1, 1, 1, соответствующими моментам дискретного времени 0, 1, 2, 3, 4, остальные
отсчёты равны 0.
а) Запишите последовательность r[n] как сумму сдвинутых вариантов
последовательности u[n] .
б) Выразите последовательность r[n] линейной комбинацией сдвинутых вариантов последовательности  [n] .
1.11.
Постройте графики вещественной и мнимой частей последовательности e j ( n /4)u[ n] .
1.12.
Постройте графики вещественной и мнимой частей последовательности . e [  j ( /4)]nu[ n] . при   0.9 ; при   0.7 .
1.13.
1
Какой вид имеет последовательность N [n] 
N
зите график для N  5 .
1
Функция называется чётной, если выполняется условие
равенство
N 1 j 2 nk
e N

? Изобра-
k 0
f ( x)  f ( x) ; для нечётной функции выполняется
f ( x)   f ( x) .
7
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЦОС
2.1. Проверьте, образует ли множество  действительных чисел группу относительно операции сложения; относительно операции умножения; относительно операции деления.
2.2. Пусть [0;1] – множество действительных чисел, принадлежащих интер-
валу  0,1 . Образует ли множество [0;1] группу относительно операции
сложения? относительно операции умножения?
2.3. Пусть (0;1] – множество действительных чисел, находящихся в интервале (0,1]. Образует ли множество (0;1] группу относительно операции
сложения? относительно операции умножения? Является ли оно полугруппой относительно этих операций?
2.4. Пусть [0;1) – множество действительных чисел, принадлежащих интервалу  0,1 . Проверьте, образует ли множество [0;1) группу относительно
операции сложения по модулю 1. (Операция сложения по модулю m
 x  y , если x  y  m,
определяется выражением ( x  y ) mod m  
 x  y  km, если x  y  m,
где k – максимальное целое, такое, что x  y  km  0 ).
2.5. Образует ли множество  целых чисел группу относительно операции
сложения? относительно операции умножения? относительно операции
деления?
2.6. Пусть  (2) – множество всех чётных целых чисел. Образует ли множество  (2) группу относительно операции сложения? относительно операции умножения?
2.7. Пусть  (m) – множество всех целых чисел, делящихся без остатка на целое число m . Является ли множество  (m) группой относительно операции сложения? относительно операции умножения?
2.8. Проверьте, выполняются ли аксиомы группы по сложению для: а) множества всех матриц; б) множества всех матриц размера M  N ; в) множества
всех квадратных матриц; г) множества всех матриц размера N  N (здесь
и далее M и N – различные целые положительные числа).
2.9. Дано множество всех матриц размера N  N . Проверьте, является ли это
множество группой относительно операции матричного умножения. Если
нет, то как нужно сузить это множество, чтобы выполнялись аксиомы
группы? Что в этом случае представляет собой нейтральный элемент?
Дано множество 0,1 , состоящее из целых чисел 0 и 1, с операцией
2.10.
сложения по модулю 2 . Проверьте, является ли это множество группой.
8
Если да, то определите нейтральный элемент и для каждого элемента
определите обратный.
Дано множество целых чисел 0,1, 2,3,4 с операцией сложения по
2.11.
модулю 5. Проверьте, является ли это множество группой. Что представляет собой нейтральный элемент? Запишите для каждого элемента обратный ему.
Дано множество целых чисел 0,1 . Проверьте, составляет ли оно
2.12.
группу относительно обычной операции умножения?
Дано множество целых чисел 0,1 с операциями сложения по моду2.13.
лю 2 и обычного умножения. Является ли это множество полем?
Дано множество целых чисел 0,1, 2 . Дайте определение операций
2.14.
(сложения и умножения), для которых это множество образует поле. Составьте таблицы сложения и умножения.
На множестве последовательностей произвольной конечной длины,
2.15.
составленных из символов 0 и 1 (включая пустую последовательность нулевой длины), определена двухместная операция конкатенации, когда к
одной последовательности дописывается другая. Какая алгебраическая
структура при этом получается?
3. ПРОСТРАНСТВА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
3.1. Дано множество M N последовательностей длины N , каждая из которых
определяется выражением
x  n 
N 1
 xi  n  i  ,
i 0
где xi   , i  0, N  1;  – поле действительных чисел. Определены операции поэлементного сложения последовательностей и умножения последовательности на действительное число
x  n  y  n 
 x  n 
N 1
  xi  yi   n  i  ,
i 0
N 1
  xi   n  i  ,    .
i 0
Проверьте выполнение аксиом линейного пространства для множества
M N . Существует ли в M N нулевой элемент? Запишите его. Найдите элемент, обратный последовательности x  n     n   a  n  2 .
3.2. Дано множество последовательностей бесконечной длины, каждая из которых определяется выражением
9
x  n 


i 
xi  n  i  ,
где xi   , i  ,  . Определены операции поэлементного сложения последовательностей и умножения последовательности на вещественное
число. Проверьте выполнение аксиом линейного пространства для множества M .
3.3. Пусть M N – множество всех вещественных последовательностей конечной длины N , определенных при n  0, N  1 . Какова размерность пространства M N ? Задайте базис для M N .
3.4. Один из возможных базисов для пространства последовательностей M
состоит из сдвинутых  -последовательностей   n  k  , k  ,  . Дока-


жите, что набор из любого количества таких последовательностей линейно независим.
3.5. Даны
последовательности
s1[ n]  1 ,
s2 [ n ]  n ,
s3[n]  0.2n2  n ,
s4[n]  0.01n3  2n , n  ,  . Можно ли рассматривать их совокупность
как базис некоторого пространства? Постройте график линейной комби4
нации x  n     k sk [n] при 1  1 ,  2  0.3 ,  3  1 ,  4  0.01 для
k 1
n  10,10 .
3.6. Постройте
графики
2
j kn
e 8 , n  0,7
вещественной
и
мнимой
частей
функций
при k  1, 0,1 . Проверьте линейную независимость сово-
купности функций e
j
2
kn
8
, n  0,7 .
3.7. Дано множество всех последовательностей длины 16, принимающих значения из множества 0;1 . Можно ли определить операции сложения и
умножения на скаляр, чтобы считать его векторным пространством? Какова размерность этого пространства? Задайте для него базис. Сколько
векторов содержит это пространство?
3.8. Как следует задать операции сложения и умножения на скаляр, чтобы
множество всех полубесконечных последовательностей вида x[n], n  0,  ,
принимающих значения из множества 0;1 стало линейным пространством? Какова размерность этого пространства? Задайте для него базис.
Счётно ли множество векторов этого пространства?
10
4. НОРМА, МЕТРИКА, СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
4.1. Дано множество M N вещественных последовательностей конечной длины N . Проверьте, можно ли задать норму следующими функционалами:
а) x 1 
12
N 1
 x  n ,
б) x
2
n 0
 N 1
2
   x n 


 n 0

1/3
 N 1
3
в) x 3    x  n  


 n0

, г) x

4
N 1
  x  n 
n 0
1/3
 N 1
0, x  0,
3
x
n
,
е)

x








4 
5 1, x  0


n
0



( 0 – нулевой вектор, т.е. последовательность, все отсчёты которой равны
0).
д) x
4.2. Пространство последовательностей конечной нормы x 1 

 x  n обо-
n 
значается l1 . Определите, принадлежат ли этому пространству бесконеч-
ные последовательности cos 0n  , sin 0n  , a n при n  0 , exp  j0n ,
sin(0 n) / (0 n) , где 0 – вещественное число, a  1 .
4.3. Пространство последовательностей бесконечной длины и конечной нор12
мы x
ему
2
 

   x n 2 


 n 

бесконечные
обозначается l2 . Определите, принадлежат ли
последовательности
a n cos 0n  при n  0 ,
a n , n  0
b sin 0n  при n  0 , x  n   
, sin(0 n) / (0 n) , где 0 – вещеn
b , n  0
n
ственное число, a  1 , b  1 – комплексные числа.
4.4. Дано множество M N последовательностей конечной длины N . Проверьте, можно ли задать метрику следующими функционалами:
а) d1  x, y  
N 1
  x  n   y  n  ,
n 0
12
 N 1
2
б) d 2  x, y     x  n   y  n  


 n 0

1/3
 N 1
3
г) d 4  x, y      x  n   y  n  


 n 0

1/3
 N 1
3
, в) d3  x, y     x  n   y  n  


 n 0

,
0, x  y ,
, д) d5  x, y   
.
1, x  y
11
4.5. Манхэттэнская метрика (метрика городских кварталов) определяется выражением d  x, y  
N 1
 x  n  y  n .
Какую форму имеет окружность с
n 0
центром в точке (0; 0), если расстояние на плоскости определяется данной
метрикой?
4.6. Метрика
Чебышёва
представляет
собой
функционал
d  x, y   max x  n   y  n  . Определите форму окружности с центром в
n


точке (0; 0), если расстояние на плоскости определяется согласно данной
метрике.
4.7. Дано множество двоичных последовательностей
xi  0;1 . Метрика Хэмминга d  x, y  
xi [n], n  0, N  1 ,
N 1
 x  n  y  n , где символом

n0
обозначено сложение по модулю 2. Сколько последовательностей содержит шар радиуса 3 с центром 0 при N  4 ? при N  8 ? при N  16 ?
4.8. Даны две последовательности, n  0, N  1 :
x  n   3  n   4  n  1 ,
y  n   3  n   4  n  1 .
Найдите: нормы x 2 , y 2 ; скалярное произведение  x, y  ; угол между x
и y ; расстояние d 2  x, y  .
4.9. Даны последовательности конечной длины
 2 
c  n   cos 
n  , n  0, N  1 ;
 N 
 2 
s  n   sin 
n  , n  0, N  1 .
 N 
Найдите: а) скалярное произведение  c, s  ; б) скалярное произведение
укороченных последовательностей при n  0, N 2  1 .
Пусть x и y – векторы единичной нормы в действительном вектор4.10.
ном пространстве со скалярным произведением. Покажите, что векторы
x  y и x  y взаимно ортогональны.
4.11.
Найдите нормы 
2
последовательностей
a n , n  0
b n , n  0
, a  1 , б) x  n   
, b  1,
а) x  n   
0, n  0
0, n  0
в) x  n   a n  n0 u  n  n0  , n0  0, a  1 ,
г) x  n   a nu  n  1 ,
a  1,
12
д) x  n   a n  u  n   u  n  n0  , n0  0 ,
е) x  n   a nu  n   b nu  n  1 ,
a  1, b  1 .
4.12.
Даны последовательности
v1  n     n  1  2  n  2 ;
v2  n   2  n     n  1 ;
v3  n   2  n   2  n  2 ,
принадлежащие пространству M 3 , натянутому на множество последова-
тельностей   n ,  n  1 ,   n  2 . Проверьте линейную независимость
последовательностей. Постройте ортонормальный базис в M 3 на основе
этой совокупности.
4.13.
Докажите справедливость выражения x[n] 


x[k ] [n  k ] .
k 
2


1 j N kn


Докажите ортонормальность базиса  k [n] 
4.14.
, k  0, N  1
e
N


при условии n  0, N  1 .
4.15.
Полагая WN  e
 WN0

 WN0
WN  
 WN0
 0
 WN
(столбцов)
j
2
N
, составьте матрицу
WN0 WN0 WN0 

1
2
3
WN WN WN
 при N=4. Убедитесь в ортогональности строк
WN2 WN4 WN6 

WN3 WN6 WN9 
матрицы. Определите нормы  2 строк и столбцов. Найдите ев-
клидовы расстояния между парами строк.
4.16.
Рассматривая строки матрицы
1
1

1

1
H
1

1
1

1
1
1
1
1
1
1 1 1
1  1 1
1
1
1 1
1 1
 1 1
1 1
1 1 1
1 1 1
1
1
1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1
1
1
1
1
1
1
1

1
1

1
1

1
13
как последовательности, проверьте их ортогональность, найдите нормы  2
и попарные расстояния между ними в евклидовой метрике.
4.17.
Для матрицы
1 1
8 8
1 1
8 8
1 1
4 4
0 0

1 1
2
2
0 0

0 0

0 0

1
8
1
8
 14
1
8
1
8
 14
1
8
 18
1
8
 18
1
8
 18
0
0
0
0
0
1
4
1
4
 14
0
0
0
0
0
1
2
 12
0
0
0
0
0
1
2
 12
0
0
0
0
0
1
2
1 
8 
 18 

0 

1
4

0 

0 

0 

1
 2 
определите скалярные произведения строк, их нормы  2 . Постройте матрицу, строки которой составляют ортонормальный базис.
5. ЛИНЕЙНОСТЬ, ИНВАРИАНТНОСТЬ К СДВИГУ, КАУЗАЛЬНОСТЬ,
УСТОЙЧИВОСТЬ
5.1. Проверьте, линейны ли цепи, описываемые уравнениями (здесь и далее
величины a, b,c, k , m – постоянные, n  ,  ):
а) y[n] = a 2 x[n  k ] ,
ax[ n  k ], x[ n]  c;
б) y[ n]  
bx[ n  k ], x[ n]  c,
в) y[n] = (n  a) x[n  m] ,
г) y[n] = a  x[m2  n] ,
д) y[n]  x[n]  sin(an) ,
е) y[n]  a  n  sin( x[n]) .
5.2. Дискретные цепи работают в соответствии с алгоритмами (разностными
уравнениями)
n
y  n  1  x[n] , y  1  0 ;
а) y[n] 
n2
y[n]  0.7 y  n  1  x[n] y  1  0
б)
,
.
Определите отклики этих цепей на входные последовательности x  n     n  и
x  n     n  4 . Как можно охарактеризовать эти цепи?
14
5.3. Проверьте, являются ли инвариантными к сдвигу цепи, описываемые
уравнениями
а) y[n] = a  n  x 2[n] ,
б) y[n]  bx[n  1] ,
в) y[n]  ax[n  k ]  x[n] ,
г) y[n] = a  x[m  n] ,
д) y[n]  bx[n]  bx[n  k ] .
5.4. Проверьте каузальность цепей, описываемых уравнениями ( k  0 ):
а) y[n]  x[n  k ]exp(nk ) ,
б) y[n]  x[n  k ]exp(nk ) ,
в) y[n]  x[n  k ]exp(nk ) ,
г) y[n]  x[n  k ]exp(nk ) .
5.5. Проверьте устойчивость цепей, описываемых уравнениями ( k  0 ):
а) y[n]  x[n  k ]exp(nk ) ,
б) y[n]  x[n  k ]exp(nk ) ,
в)
г)
д)
е)
y[n] = an x 2[n] ,
y[n]  bx[n  1] ,
y[n]  ax[n  k ]  x[n] ,
y[n]  bx[n]  bx[n  k ] .
5.6. Проверьте выполнение свойств линейности, инвариантности к сдвигу, каузальности и устойчивости для дискретных цепей, описываемых разностными уравнениями
а) y  n   x   n ;
2
б) y  n   x  n ;
в) y  n   ln x  n  ;


г) y  n   x  n   x  n  1;
д) y  n   x  n  cos( n) ;
е) y  n   x  n (скобки  обозначают взятие целой части от числа, заключённого в них).
5.7. Дискретная цепь, называемая фильтром скользящего среднего, вычисляет
среднее арифметическое N соседних значений входной последовательности. Запишите разностное уравнение фильтра скользящего среднего, удовлетворяющего условию каузальности. Является ли этот фильтр линейным? инвариантным к сдвигу? устойчивым?
5.8. Дискретная цепь, вычисляющая разность двух соседних значений, является дискретным аналогом дифференцирующего фильтра. Запишите раз15
ностное уравнение с учётом условия каузальности. Является ли этот
фильтр линейным? инвариантным к сдвигу? устойчивым?
5.9. Запишите уравнение фильтра, вычисляющего аналог второй производной.
Является ли этот фильтр линейным? инвариантным к сдвигу? устойчивым?
5.10. Устройство, называемое накапливающим сумматором, является аналогом интегратора; значение сигнала на его выходе равно сумме текущего
входного значения и всех предыдущих входных значений. Запишите разностное уравнение. Является ли это устройство линейным? инвариантным
к сдвигу? устойчивым?
5.11. Устройство работает в соответствии со следующим правилом: при
n  0 на его выходе 0; далее, если на вход поступает значение больше чем
выходное, то выходной сигнал устанавливается равным этому входному
значению, в противном случае выходное значение не меняется. Запишите
разностное уравнение. Является ли это устройство линейным? инвариантным к сдвигу? устойчивым?
5.12. Компаратор имеет два входа; если на первом входе напряжение выше,
чем на втором, то на выходе значение 1, в противном случае 0. Предположим, что напряжение на втором входе постоянно, а на первый вход поступает вещественная последовательность. Является ли это устройство
линейным? инвариантным к сдвигу? устойчивым?
6. ДИСКРЕТНАЯ СВЁРТКА И ЕЁ СВОЙСТВА
6.1. Постройте графики последовательностей
x  n   3  n     n  1  2  n  2 ,
y  n     n   2  n  1  3  n  2 .
Найдите их свёртку.
6.2. Даны последовательности
x  n     n   2  n  1  3  n  2 ;
y  n   2  n     n  2  5  n  3 .
Постройте графики и найдите свёртку x  y .
6.3. Изобразите графики последовательностей
x  n     n  1  2  n  2 ;
y  n   2  n     n  1 .
Найдите свёртку x  y .
6.4. Последовательности
x  n   2  n     n  2  5  n  3 ;
y  n   2  n   2  n  2
изобразите графически. Найдите свёртку x  y .
16
6.5. Определите свёртку последовательностей u[n] и u[n] .
6.6. Определите свёртку последовательностей x  n   a nu[n] и y  n   b nu[n] ,
где a и b – положительные числа меньше единицы.
6.7. Последовательность x[n] , n  ,  задана своими значениями 5, 4, 3, 2,
1, соответствующими моментам дискретного времени 0, 1, 2, 3, 4; остальные отсчёты равны 0. Последовательность r[n] задана своими значениями
1, 1, 1, 1, 1, соответствующими моментам дискретного времени 0, 1, 2, 3,
4, остальные отсчёты равны 0. Найдите свёртку этих последовательностей.
6.8. Найдите свёртку двух одинаковых последовательностей, заданных своими
значениями 1, 1, 1, 1, 1, соответствующими моментам дискретного времени 0, 1, 2, 3, 4, остальные отсчёты равны 0.
6.9. Найдите свёртку двух одинаковых последовательностей, заданных своими
значениями 5, 4, 3, 2, 1, соответствующими моментам дискретного времени 0, 1, 2, 3, 4, остальные отсчёты равны 0.
6.10. Определите
свёртку
r[n]  u[n]  u[n  4] .
x  n   u[n]
последовательностей
и
6.11. Определите свёртку последовательностей x  n   a nu[n] и u[n] .
7. z -ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
7.1. Найдите z -образы последовательностей, указав области сходимости:
0, n  0,
u[n  1]
u[n  k ] k  1
u
[
n
]


а)
,
б)
, в)
,
1, n  0;
г) x[n]  0.8n  u[n]  u[n  5] , г) x[n]  0.5 , д) x[n]  2 ,
е) x[n]  0.9n cos  n / 4  u[n] .
n
n
7.2. Найдите z -образы последовательностей, указав области сходимости:
n
 n
a) x[n]  u[n]  c , 0  c  1 , б) v[n]  u[n]  e
,  0 ,
в) y[ n]  u[ n]  sin(0 n) , 0  0   , г) x[n]  a nu  n  1 , a  0 ,
n 1
n2
д) w[n]  a u  n  1 , a  0 , e) b[n]  a u  n  1 , a  0 ,
a n , n  0
ж) x  n   
, a  b , з) x  n   cos 0n  u  n  , 0  0   .
n
b , n  1
7.3. Определите z -преобразования последовательностей, указав области сходимости:
17
a) u[n]  (2  3e2n ) ,
б) u[n]   [n] , в) u[ n]  sin(0 n   ) , 0  0   ; г)
u[n]  n 2 , д) u[n]  n3 , е) u[n]  n  e4n .
7.4. Найдите z - образы последовательностей:
0  n  N,
 1,
а) x[ n]  
0, n  0 или n  N ;
0  n  N,
 n,
б) x[ n]  
0, n  0 или n  N ;
n  0,
0,
 1, 0  n  5,

в) x[n]  
 2, 5  n  10,
3,
n  10.
7.5. Найдите z - образы последовательностей
а) a nu[n]   [n]  bnu[n] ,
б) (a n  bn )u[n] ,
в) 2 [n]  (a n  bn )u[n] .
n  0, N , 2 N ,...
 1,
.
7.6. Найдите z -образ последовательности x[ n]  
0
в
остальных
случаях

Постройте нуль-полюсную диаграмму для N  6 .
7.7. Докажите, что z -преобразование последовательности x[n] 
sin 2 0n 
0n 
2
,
n  ,  расходится при любом z , не лежащем на 1-окружности. Принадлежит ли эта последовательность пространствам l1 и l2 ?
7.8. На единичной окружности z -образ последовательности из задачи 7.7 имеет вид,
показанный на рис. 1. Определите параметры функции (максимальное значение
функции и значение аргумента, при котором функция становится равной нулю).
Воспользуйтесь формулой обратного
преобразования Фурье.
X
ω
-
0

Рис. 1.
8. ОБРАТНОЕ z -ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
8.1. z - Образом последовательности x[n] является функция X ( z ) . Определите
последовательность, которой соответствует z - образ  X ( z )  X ( z ) / 2 .
8.2. Найдите последовательность, z -образ которой равен
18
X ( z) 

1

1  az 1 1  bz 1

при z  a  b .
8.3.. Определите послеедователььность, z -образ
которой
1
X ( z) 
при a  z
1  az 1
путем дееления.
8.4.. Найдите последоввательноссть, соотвветствующ
щую z -оббразу
1
X ( z) 
при a  z
1  az 1
путем дееления.
8.5.. По нуль--полюсны
ым диаграаммам (ри
ис. 2 а, б) восстаноовите (с точностью
ю до
константт) z -образзы каузалльных посследоватеельностейй.
а
б
Рис. 2.
8.6.. По нульь-полюсно
ой диаграамме рисс. 3 воссстановитее последо
овательноости
для всех возможн
ных обласстей сходи
имости
Im Z
кр. 2
0.3
Re
R Z
1
1.4
Рис. 3.
8.7.. Определите каузаальную пооследоваттельностьь по ее z - образу.
19
X ( z) 
z
.
1 
1

 z   z  
2 
4

8.8. Определите каузальную последовательность по ее z -образу.
z
X ( z) 
.
1
 2
z  z 
2

8.9. Определите каузальную последовательность по ее z -образу, пользуясь
теоремой о свёртке.
z
X ( z) 
.
( z  1)2
8.10. Найдите делением z -прообраз функции
z ( z 2  2 z  1)
( z  1)4
в виде каузальной последовательности.
8.11. Проверьте устойчивость каузального фильтра с передаточной функцией
z
.
H ( z) 
4
1
z4


8.12. Найдите свёртку x[n] и h[n] с использованием z -преобразования, если
1, 0  n  3
1,
2n4


, h[n]  
.
x[ n]  
0 в противном случае
0, в противном случае
8.13. Найдите x[n]  y[n] , если
n  0,
 1,

x[n]   a,
n  1,
0, n  0, n  1,

y[n]  a n , n  0 .
9. ДИСКРЕТНО-ВРЕМЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
9.1. Для последовательности x[n]  u[n] определите модуль и аргумент спектральной плотности, постройте графики.
9.2. Найдите амплитудный и фазовый спектр
x[ n]  cos(0 n)u[n], 0   / 3 . Постройте графики.
последовательности
9.3. Определите модуль и аргумент спектральной плотности для каждой из
последовательностей:
n
a) x1[ n]  (1 / 2) cos[ (n  1) / 8] ,
20
b) x2[n]  n  u[n  3]  u[n  4] ,
c) x3[n]  (2  n / 2)  u[n  4]  u[n  5] .
Постройте графики.
9.4. Найдите амплитудные и фазовые спектры последовательностей2
a) x1[n]  (1 / 2)n u[n  1] ,
n
b) x2 [ n]  (1 / 3) cos[ n / 8]u[n  2] ,
c) x3[n]  sinc(2 n / 8)  sinc 2 (n  4) / 8 ,
d) x4[ n]  sin(0.1 n)(u[ n]  u[ n  10]) ,
e) x5[n]  sinc2 (2 n / 8) .
9.5. Найдите последовательности по заданным спектральным плотностям:
 
0, 0    c ;
X 2  e j   
1, c     .
a) X1 e j  cos 2 ( )  sin 2 (3 )
b)
1  2  /  , 0     / 2;
X 3 e j  
 / 2   ,
c)
 0,
 
9.6. Найдите последовательности, имеющие спектральные плотности:
 
a) X1 e j   ( )   (   / 2)   (   / 2)
2  /  , 0     / 2;
b) X 2 e j  
 / 2   ,
 0,
 
 
9.7. Последовательность x[n] имеет спектральную плотность X e j . Определите спектральные плотности последовательностей
a) x1[ n]  x[ n  1]  x[  n  1]
b) x2 [ n]  ( x[ n]  x *[ n]) / 2
c) x3[n]  (1  n)2 x[n] .
 
9.8. Последовательность x[n] имеет спектральную плотность X e j . Определите спектральные плотности последовательностей
a) x1[ n]  2 x[ n  2]  3 x[3  n]
b) x2[ n]  (1  x[ n])cos(0.25 n   / 6)
c) x3[ n]  ( x[ n]  x *[  n]) / 2
2
функция
sinc(x)=sin(x)/x
известна как кардинальный синус
21
d) x4[n]  j n x[n  1]  j  n x[n  1] .
9.9. Для последовательности
x  n     n  2  2  n  1  3  n   2  n  1    n  2
 

j0
j
функции, определите X  e  , arg X  e  ,  X  e j  d , X  e j  ,
спектральная плотность имеет вид X e j . Не находя явный вид этой




 
X e j
2
d .
9.10. Импульсные характеристики h1 и h2 некаузальных цепей имеют следующие отсчёты: h1[0]  h1[1]  1 / 2 ; h2 [0]  1 / 2; h2 [1]  1 / 2 . Найдите выражения КЧХ для обеих цепей, постройте графики АЧХ и ФЧХ.
9.11. Импульсные характеристики h1 и h2 некаузальных цепей имеют следующие отсчёты:
h1[ 1]  h1[1]  1 / 4; h1[0]  1 / 2, h2 [ 1]  h2 [1]  1 / 4 ;
h2 [0]  1 / 2 . Найдите выражения КЧХ, постройте графики АЧХ и ФЧХ.
9.12. Две ЛИС-цепи имеют импульсные характеристики h1 и h2 с отсчётами
h1[0]  h1[3]  1 / 8; h1[1]  h1[2]  3 / 8 и
h2 [0]  1 / 8; h2 [1]  3 / 8; h2 [2]  3 / 8 ; h2 [3]  1 / 8 .
Определите комплексные частотные характеристики цепей как ДВПФ;
постройте графики АЧХ.
9.13. Определите импульсные характеристики идеальных «П-образных»
фильтров нижних и верхних частот с частотой среза, равной  / 2 .
10.
ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
10.1. Найдите ДПФ последовательности x[n]   [n] , n  0, N  1 .
10.2. Определите ДПФ последовательности x[n]   [n  2] , n  0, N  1 .
10.3. Найдите последовательность, ДПФ которой описывается выражением
X [k ]   [k ] , k  0, N  1 .
10.4. Найдите последовательность, ДПФ которой описывается выражением
X [k ]   [k  7] , k  0,7 .
10.5. Определите ДПФ последовательности x[n]  7  2n, n  0,7 .
10.6. Найдите
при
x[n]  2  0.5cos  0.25 n  .
n  0,7
ДПФ
последовательности
22
10.7. Найдите ДПФ последовательности x[n]  0.125  0.25sin  0.5 n  при
n  0,7 .
10.8. Найдите
при
n  0,7
ДПФ
последовательности
x[n]  0.125  0.25sin 2  0.5 n  .
при
n  0,7
ДПФ
последовательности
 2 n 
 4 n 
w[n]  0.42  0.5cos 
  0.08cos 
 , известной как «окно Блэкма N 
 N 
на».
10.9. Найдите
10.10. Восстановите недостающие отсчёты ДПФ-спектра вещественной последовательности по имеющимся отсчётам ( k  0,7 )
X [0]  4, X [1]  1  j1, X [4]  2, X [5]  1  j 2, X [6]  2.
10.11. Восстановите недостающие отсчёты ДПФ-спектра вещественной чётной последовательности по имеющимся отсчётам ( k  0,7 )
X [0]  4, X [4]  2, X [5]  2, X [6]  3, X [7]  1.
10.12. Восстановите вещественную нечётную последовательность по отсчётам её ДПФ-спектра ( k  0,7 )
X [1]  j 4, X [2]   j 2, X [3]  j 2.
10.13. Определите результат круговой свёртки последовательностей
x[n]  n, n  0,7 и y[n]  1, n  0,7 .
Сравните с результатом апериодической свёртки тех же последовательностей,
рассматриваемых при n  ,  .
11. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛИСЦЕПЕЙ
11.1. Цепь описывается системой уравнений
7
49
y[n]  y1 [ n]  y[n  1] 
y[n  2] ;
4
32
1
y1 [n]  x[n]  y1 [n  1]
2
.
Изобразите структурную схему. Найдите передаточную функцию цепи.
11.2. Запишите разностное уравнение каузальной цепи, имеющей передаz 2  0.36
. Изобразите структурную схему.
точную функцию H ( z )  2
z  1.1z  0.18
23
11.33. Запиш
шите в кааузальной
й форме разностно
р
ое уравнеение цепи
и, имеющ
щей
2
0
z  0.1z  0.3
передатоочную фу
ункцию H ( z ) 
. Изоббразите структурн
с
ную
z3
схему.
11.44. Состаавьте разн
ностные ууравненияя цепей, изображён
и
нных на рис.
р 4 a, б.
а
б
Рис.4
11.55. Опред
делите (с точностьью до кон
нстанты) передатоочную фун
нкцию, КЧХ
К
и импулььсную хар
рактеристтику каждой из цеепей, нульь-полюсн
ные диагрраммы которрых покаазаны на ррис. 5 а, б (нули имеют
и
крратность 2).
2 Запиш
шите
разностн
ные уравн
нения. Изообразите структурные схем
мы.
24
Im Z
кр. 2
Im Z
1 j 1
3
j 0.5
кр. 2
Re Z
Re Z
1
 j 0.5
1 j 1
3
а
б
Рис.5
11.6. Определите передаточные функции, КЧХ и импульсные характеристики цепи, нуль-полюсные диаграммы которых показаны на рис. 6 а-г. Запишите разностные уравнения. Изобразите структурные схемы.
а
б
в
г
Рис. 6
25
11.7. Найдите импульсную характеристику цепи h[n] , если её передаточная
1
функция H ( z ) 
, z  1, N – положительное целое. Постройте
N
1 z
нуль-полюсную диаграмму для N  8 . Запишите разностное уравнение.
11.8. Фильтр скользящего среднего характеризуется тем, что отсчёт y[n]
выходного сигнала равен среднему арифметическому текущего x[n] и
N  1 предыдущих отсчётов входного сигнала.
а) Запишите разностное уравнение.
б) Изобразите структурную схему.
11.9. Передаточная функция цепи H ( z ) 
1  z 4
. Найдите импульсную ха1  z 1
рактеристику. Постройте нуль-полюсную диаграмму. Изобразите два варианта структурной схемы.
11.10. Постройте структурную схему каузального фильтра, выполняющего
«цифровое дифференцирование» по правилу: если x[n]  u[n] , то
y[n]   [n] . Найдите передаточную функцию, КЧХ, импульсную характеристику.
11.11. Постройте фильтр, выполняющий обратную операцию – «цифровое
интегрирование». Найдите передаточную функцию, КЧХ, импульсную
характеристику.
11.12. Исследуйте поведение передаточной функции
N 1
H ( z) 
Y ( z)

X ( z)
 bk z k
k 0
M 1
1
 ar z r
 B( z )
1
A( z )
r 1
при z  0 и при z   . Выведите формулу для определения кратности нулей и полюсов в этих точках.
12. ОПИСАНИЕ ЦЕПЕЙ СИГНАЛЬНЫМИ ГРАФАМИ И МАТРИЧНЫМИ
РАЗНОСТНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ
12.1. Составьте сигнальный граф для цепи, показанной на рис. 7.
26
Рис. 7.
Запишите уравнения состояния.
12.2. По сигнальному графу, рис. 8, составьте матричное разностное уравнение.
Рис. 8.
12.3. Составьте матричное разностное уравнение по сигнальному графу, рис.
9.
Рис. 9.
12.4. Определите передаточную функцию цепи по сигнальному графу, рис.
10. Постройте структурную схему в прямой форме.
Рис. 10.
27
12.55. Опред
делите пеередаточн
ную функкцию цеп
пи, описы
ываемой сигнальн
ным
графом рис.
р 11.
Рис. 11.
Пострройте нул
ль-полюсн
ную диагр
рамму.
12.66. Опред
делите пеередаточн
ную функкцию цепи по сигннальному
у графу, рис.
р
12.
Рис. 12.
Пострройте нул
ль-полюсн
ную диагр
рамму.
12.77. Опред
делите пеередаточн
ные функкции цеп
пей, преддставленн
ных графаами
рис. 13 а,
а б. Начер
ртите струуктурныее схемы цепей
ц
в пррямой фор
рме.
а
б
28
Рис. 13
13. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ
ЛИС-ЦЕПЕЙ
13.1. Покажите, что при группировании двух каскадно соединенных простейших звеньев с комплексно-сопряжёнными коэффициентами получается звено второго порядка с вещественными коэффициентами (то же для
параллельного соединения).
13.2. Цифровой фильтр описывается разностным уравнением
y[n]  x[n]  x[n  5]  y[n  1] ;
а) постройте структурную схему;
б) постройте эквивалентный нерекурсивный фильтр;
в) найдите отклик этого фильтра на последовательность
0  n  5,
 1,
.
x[n]  
0, n  0 или n  5
13.3. Преобразуйте структурную схему цепи рис. 14 к каноническому виду
Рис. 14.
13.4. Преобразуйте структурную схему цепи рис. 15 к параллельному виду
29
Рис. 15.
13.5. Преобразуйте структурную схему рис. 16
а) к последовательному (каскадному) виду;
б) к каноническому виду.
Рис. 16.
13.6. Начертите структурную схему цепи, имеющей передаточную функцию
8 z 3  4 z 2  z 1  16
H ( z) 
, в виде параллельного соединения трансвер4 z 2  z 1  8
сальной цепи и простейших рекурсивных цепей и запишите её импульсную характеристику.
13.7. Определите передаточные функции цепей, показанных на рис. 17 а, б.
30
а
б
Рис. 17
1
Посстройте графики
г
АЧХ
А
этихх цепей пр
ри  , при
инимающеем значен
ния 0.7, 0.9 и
0.955.
14. СТРУКТУ
УРНЫЕ СХЕМЫ И ИМПУ
УЛЬСНЫ
ЫЕ ХАРА
АКТЕРИС
СТИКИ
ЛИ
ИС-ЦЕПЕ
ЕЙ
14.1. Найди
ите импул
льсную ххарактери
истику цепи, нуль--полюснаая диаграм
мма
которой показана на рис. 118. Определите АЧ
ЧХ и ФЧХ
Х.
Рис. 18.
1
14.22. Найди
ите перед
даточную функцию
ю цепи с импульссной хараактеристи
икой
1,, |n|  2,
.
h[n]  
00, |n|>2.
Постройте нуль-п
полюсную
ю диаграм
мму. Изоб
бразите сттруктурну
ую схему.
31
14.3. В фильтре скользящего среднего отсчёт y[n] выходного сигнала вычисляется как среднее арифметическое текущего x[n] и N  1 предыдущих отсчётов входного сигнала.
а) Изобразите структурную схему.
б) Определите импульсную характеристику.
в) Найдите КЧХ.
14.4. Нуль-полюсная диаграмма ЛИС цепи содержит два комплексных нуля.
Импульсная характеристика вещественная. Выведите формулы для АЧХ и
ФЧХ при условии, что нули находятся внутри 1-окружности.
14.5. Постройте цепь (найдите КЧХ, изобразите структурную схему, нульполюсную диаграмму), имеющую импульсную характеристику вида
1 / 2n , 0  n  5
h[n]  
 0 при других n
14.6. Найдите импульсную характеристику фильтра с передаточной функцией H ( z )  1  z  L . Определите нули передаточной функции. Составьте
структурную схему.
14.7. Определите импульсную характеристику фильтра с передаточной
функцией H ( z )  1  z  L . Найдите нули передаточной функции. Изобразите структурную схему.
15.
ВСЕПРОПУСКАЮЩИЕ И МИНИМАЛЬНО-ФАЗОВЫЕ ЦЕПИ
15.1. Определите АЧХ и ФЧХ цепи с нуль-полюсной диаграммой, показанной на рис. 19 ( c  1 / d * ).
Рис. 19.
15.2. Передаточная функция цепи H ( z )  (1  2 z 1) / (1  0.5 z 1) . Постройте
НПД. Найдите АЧХ. Запишите выражение ФЧХ. Определите отклики цепи на последовательности 1[ n]  1 n,  [n], cos[ n / 2] .
32
15.3. Передаточная функция цепи H ( z )  (1  3z 1) / (1  13 z 1) . Постройте
НПД. Найдите АЧХ. Запишите выражение ФЧХ. Определите отклик цепи
на последовательности 1[n],  [n], sin[ n / 2] .
15.4. Передаточная функция цепи H ( z )  (1  0.8 z 1) / (1  0.5 z 1) . Постройте
НПД. Найдите АЧХ. Определите передаточную функцию цепи с такой же
АЧХ. Запишите выражение ФЧХ для обеих цепей.
15.5. Передаточная функция цепи H ( z )  (1  4 z 1) / (1  0.5 z 1) . Постройте
НПД. Определите представление цепи каскадным соединением минимально-фазовой и всепропускающей цепей.
16.
ЛИС-ЦЕПИ С ЛИНЕЙНОЙ ФЧХ
16.1. Докажите, что каузальные БИХ-цепи с линейными фазочастотными
характеристиками не существуют.
16.2. Цепь имеет импульсную характеристику с двумя ненулевыми отсчётами: h[0]  1 / 2 , h[1]  1 / 2 . Определите АЧХ и ФЧХ цепи. Постройте графики.
16.3. Цепь имеет импульсную характеристику с двумя ненулевыми отсчётами: h[0]  1 / 2 , h[1]  1 / 2 . Определите АЧХ и ФЧХ цепи. Постройте
графики.
16.4. Импульсная характеристика цепи представлена отсчётами h[0]  1 ,
h[1]  2 , h[2]  0 , h[3]  2 , h[4]  1, остальные отсчёты равны нулю.
Найдите КЧХ, постройте графики АЧХ и ФЧХ, изобразите структурную
схему. Определите групповое время задержки.
16.5. Импульсная характеристика цепи имеет следующие отсчёты: h[0]  1 ,
h[1]  2 , h[2]  3 , h[3]  2 , h[4]  1 , остальные отсчёты равны нулю. Найдите КЧХ, постройте графики АЧХ и ФЧХ, изобразите структурную схему.
Определите групповое время задержки.
16.6. Импульсная характеристика цепи представлена отсчётами h[0]  1 ,
h[1]  2 , h[2]  2 , h[3]  2 , h[4]  2 , h[5]  1 , остальные отсчёты равны
нулю. Найдите КЧХ, постройте графики АЧХ и ФЧХ, изобразите структурную схему. Определите групповое время задержки.
16.7. Импульсная характеристика цепи имеет следующие отсчёты: h[0]  1 ,
h[1]  2 , h[2]  3 , h[3]  3 , h[4]  2 , h[5]  1остальные отсчёты равны нулю.
Найдите КЧХ, постройте графики АЧХ и ФЧХ, изобразите структурную
схему. Определите групповое время задержки.
33

16.8. Дискретный фильтр Гильберта имеет ФЧХ  ( )   sgn( ) ; АЧХ
2
равна 1 всюду, кроме точки   0 , в которой имеет нулевое значение.
Определите импульсную характеристику.
16.9. Физически реализуемая аппроксимация фильтра Гильберта получается
усечением идеальной импульсной хараактеристики и её сдвигом вправо.
Найдите АЧХ и ФЧХ такого усечённого фильтра, если его ИХ содержит 6
ненулевых отсчётов.
17.
СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ЛИС-ЦЕПИ
17.1. Случайная величина y образована как линейная комбинация
1x1   2 x2 двух независимых СВ x1 и x2 с математическими ожиданиями
m1 , m2 и дисперсиями 12 ,  22 соответственно. Требуется найти математическое ожидание и дисперсию СВ y . Что изменится, если условие независимости случайных величин исключить?
17.2. Совокупность случайных величин x1 , …, xn можно записать в виде
вектор-столбца. Произведение этого вектора x на транспонированный
вектор x t после усреднения даёт квадратную матрицу. Охарактеризуйте
эту матрицу (её структуру, смысл её элементов).
17.3. Случайная последовательность x  n  формируется из дискретного белого шума   n  с нулевым математическим ожиданием и дисперсией  2 в
соответствии с разностным уравнением x  n   0.5 x  n  1   [n] .
а) Найдите дисперсию  x2 последовательности x  n  .
б) Определите спектральную плотность мощности последовательности
x  n .
17.4. Стационарная в широком смысле случайная последовательность x  n 
имеет нулевое среднее и АКП вида rx  m  a , a  1 . Определите СПМ
m
 
Rx e j .
17.5. Спектральная плотность мощности случайной последовательности
определяется выражением
 
Rx e j 
4
1 e
 j
 0.5e
 j 2 2
.
а. Запишите разностное уравнение, описывающее формирование этой последовательности из дискретного белого шума   n  с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.
34
б. Определите передаточную функцию выбеливающего фильтра. Запишите разностное уравнение, описывающее процесс выбеливания.
в. Изобразите структурные схемы формирующего и выбеливающего
фильтров.
x  n  образуется как сумма
17.6. Случайная последовательность
y[n]  x[n]  v[n] взаимно независимых последовательностей x[n] и v[n]
типа белого шума с плотностями распределения
w( x)  e x , x  0 ;
w(v)  ev , v  0 .
а) Определите одномерную (маргинальную) ПРВ3 y[n] .
б) Найдите математическое ожидание последовательности y[n] .
в) Найдите АКП последовательности y[n] .
17.7. Случайная последовательность x  n  формируется разностным уравнением y[n]  x[n]  x[n  1]  v[n] , где x[n] и v[n] – взаимно независимые
последовательности типа белого шума с плотностями распределения
w( x)  e x , x  0 ; w(v)  2e2v , v  0 .
а) Определите одномерную (маргинальную) ПРВ y[n] .
б) Найдите среднее последовательности y[n] .
в) Найдите АКП последовательности y[n] .
17.8. Последовательность описывается выражением
p
x[n]   Ak cos k n  k  ,
k 1
где p, A1,..., Ap , 1,...,  p – ненулевые постоянные, 1,..., p – независимые
случайные величины, равномерно распределённые в интервале  0,2  .
а) Найдите среднее последовательности x[n] .
б) Определите автокорреляционную последовательность rx  m  .
последовательность
случайной
17.9. Автоковариационная
последовательности стремится к нулю при n   . К какому пределу при
этом стремится автокорреляционная последовательность?
17.10. В результате случайного эксперимента из интервала (0,1) выбирается в
соответствии с равномерным распределением вещественное число, которое записывается в виде двоичной дроби 0.a1a2 a3... Разряды числа при
считывании слева направо можно рассматривать как временну́ю случайную последовательность, отсчёты которой принимают значения 0 или 1.
Докажите независимость отсчётов.
3
Сумма двух независимых случайных величин имеет ПРВ, равную свёртке плотностей вероятностей
слагаемых
35
18.
МНОГОМЕРНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ЛИС-ЦЕПИ
18.1. Запишите три варианта матрицы периодичности двумерной последовательности, показанной на рис. 20. Определите фундаментальный период
(здесь и далее черные и белые кружки обозначают значения 1 и 0).
Рис. 20.
18.2. Определите комплексную частотную характеристику двумерной ЛИСцепи, импульсная характеристика которой показана на рис. 21.
 1, n1  0, n2  0;
18.3. Определите свёртку последовательности u[n1, n2 ]  
0 в прот. случае,
с такой же последовательностью.


Рис. 21.
18.4. Считая, что X e j1 , e j2 – преобразование Фурье последовательности
найдите
преобразование
Фурье
последовательности
x[n1, n2 ] ,
x[ an1  bn2 , cn1  dn2 ] при ad  bc  1 ( a, b, c, d – целые константы).
18.5. Найдите преобразование Фурье последовательности
x[n1, n2 ] 
N 1
  [n1  pm1, n2  pm2 ] .
p 0
36
18.6. Покажите, что реакция разделимой цепи на разделимую последовательность разделима.
18.7. Найдите преобразование Фурье последовательностей
x[n1, n2 ]  a 2 n1  n2 u[n1, n2 ], a  1;
x[n1, n2 ]  a n1 b n2  [4n1  n2 ]u[n1], a  1, b  1 .
19. ВЗАИМОСВЯЗИ АНАЛОГОВЫХ, ДИСКРЕТНЫХ И ЦИФРОВЫХ
СИГНАЛОВ
19.1. Сигнал xc (t )  sin(2  100t ) дискретизирован с шагом Td  1 / 400 c .
Определите результирующую последовательность.
19.2. Сигнал xc (t )  cos(4000 t ) продискретизирован с шагом Td с результатом x[n]  cos( n / 3)
а)
б)
Определите Td .
Единствен ли ответ? Если да, мотивируйте. Если нет, приведите
другой ответ.
19.3. Сигнал xc (t )  sin(20 t )  cos(40 t ) дискретизирован с шагом Td , приn 
 2 n 
чем получилась последовательность x[n]  sin 
  cos 

 5 
 5 
а)
б)
Определите Td .
Является ли ответ единственным? Если да, почему? Если нет,
укажите другой ответ.
19.4. Каждый из следующих сигналов дискретизируется с соответствующим
шагом. Для каждого случая определите дискретный сигнал.
а)
б)
в)
xc (t )  cos  2 1000t  , Td  1 / 3000 ;
xc (t )  sin  2 1000t  , Td  1 / 1500 ;
xc (t )  sin  2 1000t  /  t , Td  1 / 5000 .
19.5. При дискретизации аналогового сигнала получен дискретный сигнал.
Найдите шаг дискретизации, указав, однозначно ли он определяется. Если
нет, укажите ещё одно значение шага.
а)
б)
xc (t )  sin 10 t  x[n]  sin( n / 4)
,
xc (t )  sin 10 t  / (10 t ) x[n]  sin( n / 2) / ( n / 2)
,
19.6. Последовательность x[n]  cos( n / 4) ,   n   получена из сигнала
xc (t )  cos(0t ) ,   t   дискретизацией с частотой 1000 отсч/с. Определите два положительных значения  0 , которым соответствует такой
результат дискретизации.
37
19.77. Систеема цифр
ровой обрработки аналоговы
а
ых сигналлов показзана на рир
сунке (У
УЦОС – устройствоо цифроввой обработки сигнналов – ФНЧ
Ф
с часстотой срезаа  / 8 .). Эффектам
Э
ми кванто
ования в данной
д
заадаче прен
небрегаем
м.
Рис. 22.
2
а)
б)
Если x(t ) имеет сп
Е
пектр, огр
раниченный частоотой 5 кГц
ц, при какком
м
максимал
ьном шагге дискретизации Td отсуутствует подмена час
стот?
Е
Если
1/ Td =10 кГц,, какова частота
ч
ср
реза сооттветствую
ющего анаалог
гового
фи
ильтра?
19.88. Пустьь hc (t ) – импульссная хар
рактеристи
ика аналлоговой ЛИС-цепи
Л
и, а
И дискретной ЛИ
ИС-цепи.
hd [n] – ИХ
а)
б)
e at , t  0
Д анало
Для
оговой цеепи hc (t )  
, где а – вещесственное по 0, t  0
л
ложительн
ное числоо, опредеелите КЧХ
Х и изобрразите АЧ
ЧХ. Найд
дите
м
максимал
ьное и ми
инимальн
ное значен
ния АЧХ..
Д дискр
Для
ретной цеепи с ИХ hd [ n]  hc (nTd ) наайдите КЧ
ЧХ и изоб
браз
зите
АЧХ
Х при Td =1. Опрееделите максимал
м
льное и минималь
м
ьное
з
значения
АЧХ.
А
19.99. Отсчееты случаайного прроцесса с равномер
рной в иннтервале  a, a  пллотностью распредел
р
ления верроятностеей подвер
ргаются р авномерн
ному кван
нтованию с K уровн
нями. Посстройте характери
х
истику кваантовател
ля для K  8
при услловии, чтто кванттованныее значени
ия процеесса раввноверояттны.
Найдите функцию
ю распредделения квантован
к
нного прооцесса, егго матемаатическое ож
жидание.
19.10. Послеедователььность неезависимы
ых равномерно рааспределеенных в интервале  0.25,0.2
25 случаайных вел
личин посступает нна вход раавномерн
ного
квантоваателя, имееющего K шагов квантоваания на иннтервале  1,1 . МакМ
симальноое и минимальноее квантовванные зн
начения рравны соо
ответственно
1 и –1. Найдите
Н
среднюю
ю мощноссть выход
дной посследовательности при
K  5 ( K  6 ).
ых случай
йных велиичин x  n , описыввае19.11. Послеедователььность неззависимы
мых расп
пределени
ием Лаплласа с плотностью
38
2x

1
w x  
e x
2 x
поступает на квантователь с диапазоном входных значений  4 x , 4 x  .
Найдите вероятность выхода значений последовательности за пределы
этого диапазона.
19.12. Сумма двух независимых случайных величин имеет ПРВ, равную
свёртке плотностей вероятностей слагаемых. Полагая, что шум квантования имеет равномерное распределение в интервале   / 2,  / 2  , найдите
ПРВ ошибки, получаемой при суммировании двух квантованных отсчётов.
20.
СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ
20.1. Преобразуйте
H a ( p) 
аналоговый
фильтр
с
передаточной
функцией
1
в цифровой фильтр методом инвариантности
( p  1)( p 2  p  1)
импульсной характеристики при частоте дискретизации  d  10 рад/c.
20.2. Аналоговый фильтр-прототип Бесселя имеет передаточную функцию
3 
Ai
Ai* 
H a ( p)   

с параметрами, указанными в таблице.
 ( p  pi ) ( p  p* ) 
i 1 
i 
Найдите передаточную функцию цифрового фильтра методом инвариантности импульсной характеристики при частоте дискретизации  d  10
рад/c, постройте графики АЧХ и ФЧХ.
i
pi
Ai
1
–4,248359+j 0,8675097
10,959230–j 39,425170
2
–3,735708+j 2,626272
–1,412677+j 12,701170
3
–2,515932+j 4,492673
3,167539–j 0,2024596
20.3. Передаточная функция H a ( p) 
( p 2  3 p  3)
соответствует аналого( p 2  3 p  3)
вому фильтру. Постройте графики АЧХ и ФЧХ. Найдите (если можно)
методом инвариантности импульсной характеристики при частоте дискретизации  d  10 рад/c передаточную функцию соответствующего
цифрового фильтра. Если этого сделать нельзя, объясните причину.
20.4. Постройте аналоговый фильтр Баттерворта 3 порядка с частотой среза
 c  1 . Преобразуйте его в цифровой фильтр нижних частот с частотой
среза  / 3 методом инвариантности импульсной характеристики.
39
20.5. Цифровой фильтр, построенный при решении предыдущей задачи,
преобразуйте в фильтр верхних частот с частотой среза 3 / 4 ; в полосовой фильтр с граничными частотами  / 4 и 3 / 4 ; в режекторный фильтр
с теми же граничными частотами.
20.6. Необходимо построить цифровой полосовой фильтр для выделения из
аналогового колебания принимаемого сигнала, занимающего полосу частот от 14000 рад/с до 26000 рад/с. Определите граничные частоты цифрового фильтра, если частота дискретизации составляет 70000 рад/с.
Определите граничные частоты аналогового фильра-прототипа, если синтез цифрового фильтра предполагается провести методом билинейного
преобразования.
20.7. Цифровой
дифференцирующий
фильтр
имеет
КЧХ
j
H e j 
,       . Найдите импульсную характеристику. РеализуT
ем ли такой фильтр?
 
20.8. Для дискретных сигналов аналогом дифференцирования является вычисление
конечной
разности,
описываемой
уравнением
1
y[n]   x[n]  x[n  1] . Определите импульсную характеристику и КЧХ
T
такой цепи. Постройте графики АЧХ и ФЧХ. Для каких сигналов такой
фильтр удовлетворительно аппроксимирует дифференциатор?
20.9. Найдите импульсную характеристику идеального дискретного фильтра
нижних частот с граничной частотой  / 2 . Как изменится его КЧХ, если
импульсную характеристику умножить на последовательность cos( n / 2)
?
20.10. Определите импульсную характеристику идеального дискретного ФВЧ
с граничной частотой  / 2 . Как изменится КЧХ этого фильтра, если импульсную характеристику умножить на последовательность cos( n / 2) ?
20.11. Дискретный сигнал содержит гармонические составляющие с частотами 0 , 20 , 40 и 60 . Постройте простейший нерекурсивный фильтр
для подавления составляющих с частотами 20 , 40 и 60 .
20.12. Для фильтра с передаточной функцией H ( z )  1 / (1  az 1) определите
граничную частоту, на которой АЧХ составляет 0.707 от максимального
значения, как функцию параметра a . Найдите граничную частоту при
a  0.9 .
20.13. Пользуясь частотным преобразованием Константинидиса вида
Z 1  
1
z 
, преобразуйте фильтр с передаточной функцией
1   Z 1
H ( z )  1 / (1  az 1) при a  0.9 в ФНЧ с граничной частотой по уровню
0.707, равной 0.5.
40
20.14. Пользуясь частотным преобразованием вида z
1

Z 1  
, преоб1   Z 1
разуйте фильтр с передаточной функцией H ( z )  1 / (1  az 1) при a  0.9 в
фильтр верхних частот с граничной частотой по уровню 0.707, равной 0.5.
20.15. Для фильтра с передаточной функцией H ( z )  1  az 1 определите граничную частоту, на которой АЧХ составляет 0.707 от максимального значения, как функцию параметра a . Найдите граничную частоту при a  1 .
20.16. Пользуясь частотным преобразованием вида z
1

Z 1  
, преобра1   Z 1
зуйте фильтр с передаточной функцией H ( z )  1  az 1 при a  0.9 в
фильтр верхних частот с граничной частотой по уровню 0.707, равной 0.5.
Z 2  2 k Z 1  k  1
k 1
k 1
20.17. Примените частотное преобразование z  
k  1 Z 2  2 k Z 1  1
k 1
k 1
для построения полосового цифрового фильтра на основе ФНЧ с передаточной функцией H ( z )  1 / (1  az 1) при a  0.9 . Граничные частоты полосового фильтра равны 0.5 и 1.0.
1
Z 2  2 Z 1  1  k
1 k
1  k для
20.18. Примените частотное преобразование z 
1  k Z 2  2 Z 1  1
1 k
1 k
построения режекторного цифрового фильтра на основе ФНЧ с передаточной функцией H ( z )  1 / (1  az 1) при a  0.9 . Граничные частоты режекторного фильтра равны 0.5 и 1.0.
1
21.
РЕАЛИЗАЦИЯ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ
21.1. Определите непосредственными вычислениями форму колебаний предельного цикла в цепи, описываемой разностным уравнением
y о [n]  0.95  y о [n  1]
Скобки 
0,01
0,01
 x[n] .
обозначают округление до сотых долей.
21.2. КИХ-фильтрация реализуется методом быстрой свёртки. Скорость поступления отсчетов составляет 105 1/с. Импульсная характеристика реализуемого фильтра имеет длину 39 отсчетов. Определите требования к объёму памяти и быстродействию процессора при основаниях БПФ, равных
64 и 128.
21.3. Последовательность поступает на вход процессора, реализующего
КИХ-фильтр методом быстрой свёртки. Скорость поступления отсчетов
41
составляет 106 1/с. Определите требуемую производительность процессора (количество комплексных умножений в секунду), если импульсная
характеристика реализуемого фильтра имеет длину 47 отсчетов, а основание БПФ равно 128. Проверьте, как изменяются требования к процессору
при основаниях БПФ, равных 64 и 256.
21.4. Выведите формулы коэффициентов влияния для параллельной формы
реализации рекурсивного фильтра третьего порядка.
21.5. Выведите формулы коэффициентов влияния для параллельной формы
реализации трансверсального фильтра второго порядка.
21.6. Выведите формулы коэффициентов влияния для каскадной формы реализации трансверсального фильтра второго порядка.
22.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В ЦИФРОВЫХ УСТРОЙСТВАХ
22.1. Найдите представление в 16-разрядном дополнительном двоичном коде десятичных чисел 1; –1; 0; 32767; –32767.
22.2. Определите десятичные числа, которым соответствуют целые числа, представленные в 8-разрядном дополнительном двоичном коде:
а) 10000001; б) 10001111;
в) 00001111; г) 10010001.
22.3. Определите десятичные числа, которым соответствуют двоичные числа, представленные в 8-разрядном прямом двоичном коде:
а) 10000001;б) 10001111;
в) 00001111; г) 11010001.
22.4. Определите десятичные числа, которым соответствуют целые числа,
представленные в 8-разрядном обратном двоичном коде:
а) 10000001; б) 10001111;
в) 00001111; г) 10010001
22.5. Мантисса и порядок числа занимают вместе две ячейки памяти по 8
разрядов (в обратном коде). При этом целый порядок занимает 7 разрядов,
а остальные занимает нормализованная мантисса. Определите наибольшее
и наименьшее десятичные числа, которые могут быть представлены в таком формате.
22.6. Мантисса и порядок числа занимают вместе две ячейки памяти по 8
разрядов (в дополнительном коде). При этом порядок занимает 7 разрядов, а остальные занимает нормализованная мантисса. Определите мантиссы и порядки чисел 11,2510 и –14,87510.
22.7. В формате, описанном в предыдущей задаче, определите мантиссы и
порядки чисел 11,2510 и –14,875. Найдите мантиссу и порядок суммы
этих чисел.
42
22.8. Десятичное число –0,613 представляется путем усечения в 8разрядном устройстве. Определите знак ошибки представления, если используется а) прямой код; б) обратный код; в) дополнительный код.
22.9. Считая сигнал белым шумом, найдите плотность распределения вероятностей шума квантования, производимого путем усечения дробных
двоичных чисел до 16 разрядов. Рассмотрите отдельно случаи положительных и отрицательных чисел в прямом, обратном и дополнительном
кодах.
22.10. Сумма двух независимых случайных величин имеет ПРВ, равную
свёртке плотностей вероятностей слагаемых. Полагая, что шум квантования имеет равномерное распределение в интервале   / 2,  / 2  , найдите
ПРВ ошибки, получаемой при суммировании двух квантованных отсчётов.
23.
РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
  умно-
23.1. Последовательность x  n  со спектральной плотностью X e j
жается на последовательность g[n]  (1)n , n  ,  . Найдите спектральную плотность результата.
23.2. ЛИС-цепь имеет КЧХ, удовлетворяющую условиям
X (e j )  X (e j (  ) ) , x[n]  x[n] .
а) докажите, что функция X (e j ) периодична с периодом  ;
б) докажите, что все нечётные отсчёты x[n] равны 0.
23.3. Последовательность x  n  , периодическая с периодом N , так что
x  n   x  n  N  , подвергается децимации с коэффициентом M . Покажите,
что результирующая последовательность y  n  периодична с некоторым
периодом P . Определите минимальное значение P .
23.4. Комплексная последовательность y[n] , n  0, N  1 образована из двух
вещественных последовательностей x1[n] , n  0, N  1 и x2 [n] , n  0, N  1
по правилу y[ n]  x1[ n]  jx2 [ n] . Последовательность y[n] подвергается
дискретному преобразованию Фурье, в результате чего получается последовательность Y [k ] , k  0, N  1 . Можно ли из последовательности Y [k ]
получить ДПФ-образы X 1[ k ] и X 2[k ] последовательностей x1[n] и x2 [n] ?
Если да, то как это сделать?
43
Приложение 1. РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
Задание 1
1. По заданным разностным уравнениям цифровых цепей проверьте их физическую реализуемость (каузальность), стационарность, линейность и устойчивость:
Таблица 1
Вариант
Разностное уравнение
y[n] = a x[n  k ] ,
1
y[ n] = a  x[k  n] ,
2
y[n] = (n  a ) x[n-k ] ,
3
4
y[n] = an x 2[n] ,
5
6
7
8
9
0
y[n]  bx[n  1]
y[n]  x[n]  sin(an)
y[n]  ax[n  k ]  x[n]
y[n]  bx[n]  bx[n  k ]
y[n]  x[n  k ]exp(nk )
y[n]  x[n  k ]exp(nk )
Таблица 2
Подвариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
a
1
3
2
4
2
3
2
3
5
3
b
4
2
3
1
1
2
1
1
2
4
c
3
4
1
2
3
4
4
4
1
6
k
2
1
4
3
4
3
2
2
6
5
2. По разностному уравнению
a2 y[ n  2]  a1 y[ n  1]  a0 y[ n] 
 b 2 x[ n  2]  b1x[ n  1]  b0 x[ n]
 составьте структурную схему цепи
 определите импульсную характеристику устойчивой дискретной цепи (аналитически)
44
 постройте график импульсной характеристики
 рассчитайте АЧХ и ФЧХ цепи, постройте графики.
 постройте нуль-полюсную диаграмму, обозначьте область сходимости z преобразования ИХ.
Таблица 3
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
a2
3.1
5.3
7.7
8.4
5.6
3
6
9
7
4
a1
0
5
1
2
6
4
9
8
5
7
a0
7
3
4
2
5
2.5
6.4
2.2
7.4
9.3
Подвариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
b2
1
4
3
7
5
2
0
6
8
9
b1
b0
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
2
4
6
8
0
9
1
3
5
7
Задание 2
1. Рассчитайте полосовой цифровой фильтр (ПФ) 3 порядка (для чётных подвариантов – фильтр Чебышёва, для нечётных – фильтр Баттерворта), предназначенный для фильтрации аналогового процесса после его преобразования в цифровую форму.
Исходные данные:
 частота  d дискретизации аналогового сигнала; нижняя  н и верхняя  в
границы полосы частот, занимаемой аналоговым сигналом – табл. 4;
 преобразование ФНЧ в полосовой фильтр требуется провести для аналогового
фильтра-прототипа;
 аналого-цифровую трансформацию ПФ необходимо выполнить методом билинейного преобразования ;
 параметр  для фильтра Чебышёва следует принять равным 0.4.
2. Постройте структурную схему ЦФ в произвольной форме, при этом коэффициенты фильтра не должны быть комплексными. Запишите разностное уравнение ЦФ.
5. Рассчитайте и постройте графики АЧХ, ФЧХ и импульсной характеристики
цифрового фильтра.
45
Вариант
Частота  н
Частота  в
Подвариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
3000
3500
5000
14000
6000
3000
3000
3000
13000
20000
6000
7000
9000
26000
10000
6000
6000
6000
26000
48000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
Таблица 4
Частота
дискретизации
d
3.2  в
2.9  в
3.5  в
2.8  в
3.9  в
3.8  в
3.7  в
3.3  в
3.6  в
4.2  в
Приложение 2. СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1. Алгебраические модели
Множество M элементов x , y , z ,  называется полугруппой, если определена бинарная операция  , которая каждой паре элементов x , y ставит в соответствие элемент x  y так, что выполняются свойства (аксиомы):
а) x  y  M (замкнутость M по отношению к операции  );
б) x   y  z    x  y   z (ассоциативность операции  ).
Если, кроме того, выполняется аксиома
в)  e  M : x  M e  x  x (существование нейтрального элемента),
то множество называется моноидом; при выполнении аксиомы
г) x  M  x  M : x  x  e (существование обратного элемента для каждого элемента), множество называется группой.
Группа M называется коммутативной (абелевой) если x, y  M
x  y  y  x.
Множество F элементов  ,  ,  ,  называется полем, если на нем
определены две бинарные операции  и  , условно называемые сложением и
умножением, такие, что выполняются аксиомы поля:
а) F является коммутативной группой по сложению;
б) совокупность всех элементов F , отличных от нейтрального по сложению (нуля группы по сложению) является коммутативной группой по умножению;
46
в)  ,  ,   F :                , (дистрибутивность умножения относительно сложения).
Множество L элементов x , y , z ,  называется линейным (векторным)
пространством над полем F , а элементы множества L называются векторами,
если на L определены две бинарные операции – сложение векторов (+) и умножение (  ) вектора на скаляр из F , такие, что
I) L есть коммутативная группа по сложению векторов.
II) Операция умножения вектора ( x , y ,…) на скаляр (  ,  ,…) удовлетворяет следующим условиям:
а) x  L,   F :  y    x   x  L (замкнутость пространства относительно умножения вектора на скаляр);
б) x  L,  ,   F :   x     x  (ассоциативность умножения вектора
на скаляр);
в) x, y  L,  ,   F :   x  y    x   y ,     x   x   x (дистрибутивность сложения векторов и умножения вектора на скаляр);
г) x  L 1  x  x , где 1 – элемент поля F (скаляр), нейтральный относительно операции умножения скаляров в поле F .
Метрикой (расстоянием) на произвольном множестве M называется вещественная функция (или функционал4) d :  x, y   , определенная для любой пары элементов x, y  M и удовлетворяющая следующим условиям:
а) d  x, y   0 , и d  x, y   0 только если x  y ;
б) d  x, y   d  y, x  (симметрия);
в) d  x, z   d  x, y   d  y, z  (неравенство треугольника).
Множество M , на котором задана метрика d , называется метрическим пространством  M , d  .
Пусть L – линейное пространство над полем F . Функция (функционал)
 x   называется нормой вектора x (обозначается x ), если она удовлетворяет следующим условиям:

а) x  0 , причем x  0 , только если x  0 ;
б) x  y  x  y (неравенство треугольника);
в)  x   x .
Множество M , на котором задана норма, называется нормированным пространством.
4
Функционалом называется отображение множества функций на множество чисел. Примером функционала яв-

ляется определенный интеграл


f ( x)dx .
47
Пусть L – линейное пространство над полем  комплексных чисел. Функция (функционал)  x, y   называется скалярным произведением (обозначается  x, y  ), если она удовлетворяет следующим условиям:
а)  x, y    y, x  * ;
б)  x   y, z     x, z     y, z  ;

в)  x, x   0 , причем  x, x   0 , только если x  0 .
В пространстве со скалярным произведением выполняется неравенство
Коши–Буняковского–Шварца
2
  x, x  y , y  или  x, y   x y ,
на основе которого может быть введено понятие угла  между векторами
(только для пространства над полем  ), такого что
 x, y  .
cos 
x  y
 x, y 
Совокупность векторов линейного пространства L является линейно незавиK 1

симой, когда   k xk  0 в том и только в том случае, если  k  0 при всех
k 0
k  0, K  1 (здесь K – количество векторов). Иначе говоря, совокупность линейно независима, если никакой принадлежащий ей вектор нельзя представить
линейной комбинацией остальных.
Если в пространстве L можно найти n линейно независимых элементов, а
любые n  1 элементов этого пространства линейно зависимы, то пространство
L имеет размерность n . Если в L можно указать систему из произвольного конечного числа линейно независимых векторов, то говорят, что пространство L
бесконечномерно.
Базисом n -мерного пространства L называется любая система из n принадлежащих ему линейно независимых векторов. Базисом бесконечномерного пространства является бесконечная совокупность векторов, такая, что любое ее конечное подмножество линейно независимо.
2. z -Преобразование и его свойства
Прямое z -преобразование последовательности x  n  определяется выражением
X  z 

 x  n z n ;
n 
область сходимости определяется неравенством Rx   z  Rx  , где Rx  , Rx  –
неотрицательные вещественные числа. Обратное z -преобразование
48
x  n 
1
X  z  z n 1dz ,


2 i
C
где C – контур, принадлежащий области сходимости и охватывающий начало
координат; направление обхода контура – против часовой стрелки.
Теорема о вычетах:
1
f  z  dz   res  f  zk   ,
2 i 
k
C
где zk – изолированные полюсы, находящиеся внутри контура интегрирования.
Если zk – полюс порядка m , то вычет
1
d m 1
res  f  zk   
lim
 m  1! z  zk dz m1
 z  z 
k
m

f z .
Свойства z-преобразования:
а) линейность
1x1  n    2 x2  n   1 X1  z    2 X 2  z  ; область сходимости (ОС) результата содержит пересечение ОС слагаемых;
б) сдвиг последовательности
x  n  k   z  k X  z  ; ОС не меняется;
в) отражение последовательности
x   n   X ( z 1 ) ;
ОС
«отражается»
относительно
1-окружности:
1 / Rx   z  1 / Rx  ;
г) умножение на экспоненту


a n x  n   X a 1z , aRx   z  aRx 
д) умножение на линейную последовательность
nx  n    z
dX  z 
, ОС не меняется;
dz
е) переход к комплексно-сопряженной последовательности
 
x*  n   X * z* , ОС не меняется;
ж) свёртка последовательностей
49
x  n   y  n   X  z  Y  z  , ОС результата содержит пересечение ОС опе-
рандов;
з) произведение последовательностей
x  n y  n 
1
X  v  Y  z v  v 1dv ,


2 i
ОС
содержит
множество
C
Rx  R y   z  Rx  Ry  .
3. Дискретно-временное преобразование Фурье
Прямое ДВПФ определяется рядом

x  n  e  j n .
   n

X e
j
Для абсолютно суммируемой последовательности x[n] ряд в правой части
выражения сходится равномерно к непрерывной периодической функции аргумента  .
Обратное ДВПФ определяется интегральным выражением
1
x  n 
2



 
X e j e j n d , n  ,  .
4. Формулы Эйлера
e
j
e j  e j
e j  e  j
 cos   j sin  , cos  
, sin  
.
2
2j
5. Геометрическая прогрессия
Сумма геометрической прогрессии


1
 a j  a0  r j  a0 1  r , при r  1 ,
j 0
j 0
где a j  a0r j , j  0,1, , a0 – первый член, r  1 – знаменатель прогрессии.
Частичная сумма геометрической прогрессии
n
1  r n 1
 a j  a0 1  r .
j 0
50
ЛИТЕРАТУРА
1. Васюков В.Н. Цифровая обработка сигналов и сигнальные процессоры в
системах подвижной радиосвязи. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2005. – 392 с.
2. Оппенгейм А.В., Шафер Р.В. Цифровая обработка сигналов: Пер. с англ. –
М.: Техносфера, 2012. – 1048 с.
3. Даджион Д., Мерсеро Р. Цифровая обработка многомерных сигналов: Пер.
с англ. – М.: Мир, 1988. – 488 с.
4. Lathi B.P., Green R.A. Essentials of Digital Signal Processing. New York, NY:
Cambridge University Press, 2014, 748 pp.
5. Manolakis D., Ingle V. Applied Digital Signal Processing. Theory and Practice.
Cambridge University Press, 2011, 991 р.
6. Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. М.: ООО «Бином-Пресс», 2006. –
656 с.
51