Листок 2.
Задача 1 (для тех, кто не успел на прошлом семинаре) По n ящикам раскладывается k
шаров случайным образом. Какова вероятность того, что в каждом ящике есть хотя бы один шар?
Рассмотрите случаи различимых и неразличимых шаров. Какая из этих моделей больше подходит
для практических вопрсов (например при рассадке k пассажиров по n вагонам)?
Задача 2. В семье два ребенка. Какова вероятность того, что в семье два мальчика, если
известно, что один из детей точно мальчик? Какова вероятность того, что один из детей мальчик,
родившийся в понедельник?
Задача 3. В коробке a белых и b черных шариков. Случайным образом извлекается шар. Этот
шар возвращается обратно и добавляется еще c шаров одного с ним цвета.
a) Найдите вероятность того, что при двух извлечениях шаров выбраны два белых шара.
b) Найдите вероятность того, что при двух извлечениях шаров выбраны один черный шар и
один белый шар.
c) Найдите вероятность того, что при n + m извлечениях появилось n белых и m черных шаров.
d) Докажите, что вероятность извлечения белого шара на k-м шаге равна a/(a + b).
Задача 4. Программа коллоквиума по теории вероятностей содержит N билетов, а студент
выучил только n. На коллоквиуме студенты по очереди подходят и тянут билет. Зависит ли вероятность вытянуть выученный билет от места в очереди?
Задача 5. Согласно исследованиям по COVID-19 вероятность заразится коронавирусом равна
0, 3 для непривитых граждан, 0, 1— для привитых только одной компонентой вакцины и 0, 01— для
привитых обоими компонентами. При этом 60 процентов населения не собирается прививаться,
10 процентов привиты одной компонентой и 30 процентов — обоими. Роспотребнадзор в рамках
профилактики взял тест на коронавирус у случайного гражданина. Тест оказался положительным.
Какова условная вероятность того, что он не был вакцинирован?
Задача 6.(парадокс Монти-Холла) Вы участвуете в игре, в которой вам нужно выбрать
одну из трех дверей. За одной из дверей спрятан автомобиль, за двумя другими - козы. Вы выбираетее одну из дверей (например, первую) после этого ведущий, который знает где находится
автомобиль, открывает одну из оставшихся дверей (например, третью), за которой находится коза. (ведщущий открывает дверь равновероятно среди тех закрытых дверей, за которыми остались
козы) После этого ведущий предлагает Вам изменить свой выбор и выбрать дверь под номером
2. Увеличатся ли Ваши шансы выиграть автомобиль, если Вы примете предложение ведущего и
измените свой выбор?
Задача 7. Два ящика содержат красные и черные шары. Ящик A содержит 2 красных и 1
черный шар. Ящик B содержит 101 красный и 100 чёрных шаров. Вам предлагается сыграть в
следующую игру. В тайне от вас равновероятно выбирается один из ящиков. Ваша задача - угадать,
какой из ящиков был выбран. Для этого из этого ящика последовательно вытаскивают 2 шара.
После вытаскивания 1−ого шара и определения его цвета Вы решаете, вернуть ли в ящик этот
шар перед вторым вытаскиванием или нет (решение может зависеть от цвета выбранного шара).
Какой должна быть ваша стратегия, чтобы максимизировать вероятность выигрыша?
1