Дискретная математика
ПИ
Контрольная работа № 3.
1. Пусть функция f : A → A такова, что f ◦ f = idA . Всегда ли f будет биекцией из A в A?
2. Пусть A — произвольное множество. Всегда ли AN . P(A)? Всегда ли P(A) . AN ?
Ответ в задачах № 3 и 4 должен быть выражен через известные арифметические функции в
замкнутом виде.
3. В одной урне 40 различных красных шаров, а в другой — 10 различных белых и 50 одинаковых
черных. Сколько есть способов заменить 10 шаров в одной урне на 10 шаров из другой?
4. Имеется n различных шаров. Сколько есть способов разложить эти шары в пакеты ровно по два
шара? (Разложения считаются различными, если и только если в одном есть пакет с такими двумя
шарами, что никакой пакет в другом разложении не содержит обоих этих шаров, т. е. порядок пакетов
неважен.)
5. Пусть R ⊆ A2 и R−1 ∩ (R ◦ R)−1 = R−1 ◦ R−1 . Всегда ли отношение R транзитивно?
6. Пусть A = (A, <) — конечное ч. у. м., причем отношение < функционально. Может ли быть так,
что множество max A содержит больше элементов, чем min A?
7. Пусть на множестве 30 заданы отношения эквивалентности P и Q, т. ч. xP y ⇐⇒ x ≡ y (mod 5)
и xQy ⇐⇒ x ≡ y (mod 6) для любых x, y ∈ 30. Выпишите все классы эквивалентности по отношению
P ∪ Q. Или это не эквивалентность? (Тогда почему?)
8. Пусть множество A конечно и f : A → A. Положим f 0 = idA и f k+1 = f ◦ f k при всех k ∈ N
(т. е. определим итерацию функции f ). Рассмотрим отношение R = {(x, y) ∈ A | ∃k ∈ N f k (x) = y}.
Обязательно ли, что если f — биекция из A в A, то R будет отношением эквивалентности на A?
9∗ . Пусть E — отношение эквивалентности на множестве 30. Может ли так быть, что |E| = 640?
Дискретная математика
ПИ
Контрольная работа № 3.
1. Пусть функция f : A → A такова, что f ◦ f = idA . Всегда ли f будет биекцией из A в A?
2. Пусть A — произвольное множество. Всегда ли AN . P(A)? Всегда ли P(A) . AN ?
Ответ в задачах № 3 и 4 должен быть выражен через известные арифметические функции в
замкнутом виде.
3. В одной урне 40 различных красных шаров, а в другой — 10 различных белых и 50 одинаковых
черных. Сколько есть способов заменить 10 шаров в одной урне на 10 шаров из другой?
4. Имеется n различных шаров. Сколько есть способов разложить эти шары в пакеты ровно по два
шара? (Разложения считаются различными, если и только если в одном есть пакет с такими двумя
шарами, что никакой пакет в другом разложении не содержит обоих этих шаров, т. е. порядок пакетов
неважен.)
5. Пусть R ⊆ A2 и R−1 ∩ (R ◦ R)−1 = R−1 ◦ R−1 . Всегда ли отношение R транзитивно?
6. Пусть A = (A, <) — конечное ч. у. м., причем отношение < функционально. Может ли быть так,
что множество max A содержит больше элементов, чем min A?
7. Пусть на множестве 30 заданы отношения эквивалентности P и Q, т. ч. xP y ⇐⇒ x ≡ y (mod 5)
и xQy ⇐⇒ x ≡ y (mod 6) для любых x, y ∈ 30. Выпишите все классы эквивалентности по отношению
P ∪ Q. Или это не эквивалентность? (Тогда почему?)
8. Пусть множество A конечно и f : A → A. Положим f 0 = idA и f k+1 = f ◦ f k при всех k ∈ N
(т. е. определим итерацию функции f ). Рассмотрим отношение R = {(x, y) ∈ A | ∃k ∈ N f k (x) = y}.
Обязательно ли, что если f — биекция из A в A, то R будет отношением эквивалентности на A?
9∗ . Пусть E — отношение эквивалентности на множестве 30. Может ли так быть, что |E| = 640?