UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
POSGRADO EN CIENCIAS
MATEMÁTICAS
FACULTAD DE CIENCIAS
SOBRE EL ÍNDICE ACROMÁTICO Y
PSEUDOACROMÁTICO DE
GRÁFICAS COMPLETAS
QUE PARA OBTENER EL GRADO ACADÉMICO DE
MAESTRO EN CIENCIAS
PRESENTA
CHRISTIAN RUBIO MONTIEL
DIRECTORA DE LA TESINA: DRA. MARTHA GABRIELA ARAUJO PARDO
MÉXICO, D.F.
ENERO, 2011
garaujo@matem.unam.mx
(55) 56 22 47 61
Cubículo 305
christian@matem.unam.mx
(55) 56 22 45 33
Cubículo 3 Becarios
Instituto de Matemáticas
Ciudad Universitaria, 04510, México D.F.
Software empleado en la elaboración de esta Tesis:
⋆ Sistema Operativo GNU/Linux, Ubuntu 10.04 Lucid Lynx
⋆ Editor de LATEX, Lyx 1.6.4.1
i
Agradecimientos.
En primera instancia quiero agradecer a mi tutora, Gabriela Araujo, por su apoyo, consejos e instrucción. También quisiera agradecer a mis profesores: Javier Bracho, Isabel Hubard, Javier Elizondo,
Juan José Montellano, Oscar Palmas, Hernán González, Verónica Martínez de la Vega, Marcelo Aguilar
y Jorge Urrutia.
De manera especial, a mi pequeño grupo de trabajo: Gabriela Araujo, Juan José Montellano y
Ricardo Strausz. Sin duda, nuestros pequeños resultados no serán los únicos.
También agradezco al Instituto de Matemáticas de la UNAM, lugar donde he realizado mis estudios,
y que además me ha dado un espacio para estudiar mediante una beca de lugar y me a apoyado para
asistir a congresos. Agradezco a CONACyT por brindarme una beca de sustento, (también al proyecto
CONACyT 57371 y al proyecto PAPIIT: 104609-3). También agradezco a la unidad de posgrado de la
UNAM por su apoyo para asistir a congresos.
De igual forma, agradezco a Jorge Arocha, Luis Montejano, Déborah Oliveros, Gabriela Araujo,
Amanda Montejano, Leonardo Faustinos y Rocío del Pilar Aguilar por permitirme ayudarlos en sus
clases que han impartido.
Por último, a mi novia, Loli, por tu dulce compañia y a mi familia por confiar en mi.
ii
A Vale,
a Isra,
a Licha,
a Ray.
Mi familia.
iii
Índice general
1. Introducción
1
2. Preeliminares
2
3. Cota superior
3
4. Planos proyectivos finitos
5
5. Cota inferior: coloraciones
8
6. Conclusiones
18
Bibliografía
19
iv
Capítulo 1
Introducción
El problema que estudiamos está contenido en la rama de las Matemáticas denominada Teoría
de Gráficas pero debido a las características de la tesina no indagaremos en las cuestiones básicas de
Teoría de Gráficas (por ejemplo, cuestiones históricas ni definiciones básicas), sin embargo, ponemos
en contexto el problema que tratamos:
El número acromático fue introducido por Hedetniemi en 1966 ([20]) y el número pseudoacromático fue introducido por Gupta en 1968 ([18]). Posteriormente estos parámetros han sido estudiados
por diversas personas (ver [1,...,29]). En 1978, Bouchet demostró un teorema de gran importancia (lo
enunciamos al final de esta tesina) (ver [8]) del cual se deriva nuestro problema (ver [29]):
Encuentre el índice acromático y pseudoacromático de la gráfica completa de orden n para toda n.
Respondemos parcialmente esta pregunta, es decir, encontramos el índice acromático y el índice
pseudoacromático cuando n es de cierta forma.
La tesina está organizada como sigue: En el Capítulo 2 se define formalmente el índice acromático
y el índice pseudoacromático. En el Capítulo 3 se acota superiormente al índice pseudoacromático
por medio de métodos analíticos. En el Capítulo 4 se habla de los planos proyectivos, los cuales son
fundamentales para demostrar los teoremas subsecuentes. También presentamos ciertas coloraciones las
cuales se utilizarán con frecuencia en las demostraciones de los teoremas subsecuentes. En el Capítulo 5
se acota inferiormente al índice acromático mediante coloraciones. Este capítulo es el más importante,
bello y complicado. En el Capítulo 6 se engloban resultados, se habla de algunas conjeturas y se da un
panorama breve acerca de la investigación de estos parámetros.
1
Capítulo 2
Preeliminares
Sea G = (V, E) una gráfica simple. Definimos al conjunto {1, 2, ...., k} ⊆ N como [k]. Una coloración
de sus vértices ζ : V → [k] es completa si cada par de colores distintos están en alguna arista de G.
El número pseudoacromático ψ(G) es el máximo k para el cual existe una coloración completa de
G con k colores. Si la coloración también es propia (es decir, cada clase cromática es independiente)
entonces tal máximo se conoce como el número acromático el cual lo denotamos por α(G). Es claro
de la definición que
χ(G) ≤ α(G) ≤ ψ(G).
donde χ(G) es el número cromático usual de G. Nuestro principal interés son α(L(Kn )) y ψ(L(Kn )), el
número acromático y el número pseudoacromático de la gráfica de líneas de la gráfica completa respectivamente también conocido como el índice acromático y el pseudoacromático de la gráfica completa
los cuales los denotaremos como α(n) y ψ(n) respectivamente.
Demostraremos los siguientes resultados:
Teorema I
Sea a ∈ {0, 1, 2}, γ ∈ N y q = 2γ . Si m = q 2 + 2q + 1 tal que q > a, entonces,
ψ(m − a) = α(n − a) = q(n − 2a).
Teorema II Sea γ ∈ N, q = 2γ , n = q 2 + q + 1, f (x) =
Afirmamos que
j
n(n−1)
2x
k
y g(x) = 2x(n − x − 1) + 1.
q
q
q
q
min{g( ), f ( + 1)} ≤ α(n) ≤ ψ(n) ≤ max{g( ), f ( + 1)}.
2
2
2
2
2
Capítulo 3
Cota superior
Sean m ∈ N y ζ : V (L(Km )) → [ψ(m)] una coloración completa de vértices de la gráfica de líneas
de la gráfica completa de orden m. Sea
p0 = mı́n{ ζ −1 (i) : i ∈ [ψ(m)]},
esto es, la cardinalidad de las clases cromáticas de tamaño mínimo (note que p0 ≤
m
2
). Supongamos
que p0 = ζ −1 (i0 ) para algún i0 ∈ [ψ(m)]. Como ζ define una partición de los vértices de L(Km ) se
sigue que
$
%
m
2
ψ(m) ≤
p0
.
Por otro lado, como ζ es completa, para cada j ∈ [ψ(m)] \ {i0 } hay un vértice xj ∈ ζ −1 (j) (el cual
es una arista en Km ) tal que xj es adyacente a algún vértice de ζ −1 (i0 ). Por lo tanto el número de
vértices de V (L(Km )) \ ζ −1 (i0 ) adyacentes a algún vértice de ζ −1 (i0 ) es 2p0 (m − p0 − 1),1 así
ψ(m) ≤ 2p0 (m − p0 − 1) + 1.
Sean fm , gm : R → R funciones definidas como fm (x) =
Entonces (ver [1], [22] y [21])
j
m(m−1)
2x
k
y gm (x) = 2x(m − x − 1) + 1.
ψ(m) ≤ máx {mı́n{fm (x), gm (x) : x ∈ N}} .
m
+
Ahora considere la función hm : R → R definida como hm (x) = m(m−1)
. Sea xm
0 , x1 ∈ R , con
2x
m
m
m
m
m
xm
0 < x1 , tal que hm (x0 ) = gm (x0 ) y hm (x1 ) = gm (x1 ) (ver figura 3.1).
La siguiente proposición es probada en [1] (ver [22]):
1 Para
ver una demostración detallada de este hecho ver [25]
3
CAPÍTULO 3. COTA SUPERIOR
4
gm
hm
xm
0
Figura 3.1
Proposición 1
La gráfica de fm y hm en un valor fijo m.
Sea m ≥ 14. Si rm = ⌊xm
0 ⌋ entonces
2 3
máx {mı́n{fm (x), gm (x) : x ∈ N}} = máx{gm (rm ), fm (rm + 1)}.
El siguiente teorema es probado en [22].
Teorema Sea z ≥ 2 un entero. Si m ∈ {4z 2 − z, 4z 2 − z + 1, ..., 4z 2 + 3z − 1} entonces
ψ(m) ≤ 2z(m − z − 1) + 1;
y si m ∈ {4z 2 + 3z, 4z 2 + 3z + 1, ..., 4(z + 1)2 − (z + 1) − 1} entonces
m(m − 1)
ψ(m) ≤
.
2(z + 1)
Corolario
i) Si q es par, n = q 2 + q + 1, a ∈ {0, 1, 2} y q > a, entonces
q
ψ(n + q − a) ≤ f ( + 1) = q(n + q − 2a).
2
ii) Si q es par, n = q 2 + q + 1, entonces
q
q
ψ(n) ≤ g( ) = q(n − − 1) + 1.
2
2
2 Se
considera m ≥ 14 pues para m ∈ {1,
..., 13} se sabe explícitamente tanto α(m) como ψ(m) (ver Tabla 1).
q
q
27 m5 − 2457 m4 + 2511 m3 − 4293 m2 + 297 m− 81
4
64
32
64
16
16
5
1
2
2
+ 4π
) + m−1
= 3 m − 2m + 2 cos( 3 arctan
13
51
2 69
3
3
3
3 xm
0
m − 8 m + 8 m− 4
Capítulo 4
Planos proyectivos finitos
Sabemos que si n = q 2 + q + 1 y q es la potencia de un primo, el plano proyectivo de orden q
denotado por Πq , existe. Dicho plano está formado por n puntos y n líneas de tal manera que en cada
punto concurren q + 1 líneas y cada línea contiene q + 1 puntos, además, cada dos puntos determinan
una única línea y cada dos líneas se intersectan en exactamente un punto.
En este trabajo definiremos (como se hace en [1]) una correspondencia biyectiva entre los puntos del
plano proyectivo Πq y los vértices de la gráfica completa Kn con la siguiente relación de equivalencia:
{u, v} ∼ {x, y} ⇐⇒ uv = xy
donde {u, v} denota la arista y uv la única línea que contienen a los vértices u y v.
Así, las aristas de la gráfica completa Kn quedan particionadas por las líneas del plano proyectivo, es
decir, cada elemento de la partición corresponde a las aristas de la subgráfica completa Kq+1 inducida
por los puntos de dicha línea (ver Figura 4.1).
⇐⇒
Figura 4.1
Correspondencia entre Π2 y K7 .
En nuestro problema de coloración, asignaremos colores a las aristas de la gráfica completa Kn
asociada a Πq coloreando las aristas de las subgráficas completas de orden Kq+1 asociadas a las líneas,
así que de aquí en adelante cuando hablemos de colorear una gráfica completa (o una línea) estaremos
hablando de colorear las aristas incidentes a esta. Teniendo en cuenta lo anterior, si a cada línea la
coloreamos con un color distinto, entonces cada dos colores son incidentes en el plano justo donde las
líneas se intersectan, de esta manera si a cada Kq+1 , que corresponde a una línea la coloreamos con
un cierto número de colores logrando que cada color sea incidente a todo vértice de Kq+1 entonces
cualesquiera dos colores que pertenecen a dos líneas distintas serán incidentes justo donde las dos líneas
se intersectan.
5
CAPÍTULO 4. PLANOS PROYECTIVOS FINITOS
6
Diremos que una línea es dueña de un color si este color toca a cada vértice de la subgráfica completa
relacionada con ella, en general, una subgráfica será dueña de sus colores si estos tocan a cada vértice
y en este caso diremos que el vértice será dueño de los colores de la línea. De hecho, si cada subgráfica
completa de una línea es dueña de sus colores entonces la línea es dueña de esos colores. Finalmente
diremos que una línea es casi dueña de sus colores si cada color toca cada uno de sus vértices excepto
en uno.
Claramente con las definiciones anteriores podemos hacer lo siguiente:
Observación 1
i) Si una gráfica completa es dueña de todos sus colores entonces todo par de colores se encuentran
en todos los vértices de la gráfica completa.
Proposición 2
Si Kn es una gráfica completa asociada a un plano proyectivo de orden q y todas las
líneas son dueñas de sus colores, entonces la coloración es completa.
Demostración.
caso 1) Si dos colores pertenecen a la misma línea entonces por la Observación 1, se encuentran.
caso 2) Si dos colores pertenecen a líneas distintas entonces como los colores de las líneas tocan
a todos sus puntos entonces dos colores se encuentran en el punto de intersección de las líneas.
La siguiente observación busca maximizar el número de colores que pueden usarse en las aristas de
una gráfica completa asociada a una línea conservando la condición de que una línea sea dueña de sus
colores, es decir, que cada color toque a cada vértice.
Observación 2
i) Es bien sabido que si la gráfica completa es de orden par 2a, entonces contiene una factorización
por apareamientos perfectos, claramente si coloreamos cada apareamiento con un solo color (asignando
colores distintos a cada apareamiento) logramos que la línea sea dueña de 2a − 1 colores y tenemos a
aristas por cada clase cromática.
Figura 4.2
Ejemplo para a = 3.
CAPÍTULO 4. PLANOS PROYECTIVOS FINITOS
Figura 4.3
7
Ejemplo para a = 3.
ii) Cuando la gráfica completa asociada a la línea tiene orden par 2a, coloreamos como en i)
excepto que sólo utilizamos 2a − 2 colores, es decir, será dueña de ellos y habrá un apareamiento de a
aristas en la gráfica completa sin colorear.
iii) Cuando la gráfica completa asociada a la línea tiene orden impar 2a + 1, coloreamos de la
siguiente manera.
Tomamos la gráfica completa de orden par K2a+2 y la coloreamos como en i), eso es con 2a + 1
colores logrando que K2a+2 sea dueña de sus colores.
Como K2a+2 = K2a+1 ⊕ K1 , si a K2a+2 le borramos un vértice cualquiera (que puede verse como
el correspondiente a K1 ), entonces K2a+1 será coloreada con 2a + 1 colores y será casi dueña de ellos.
Notemos que en esta coloración el color que falta en cada vértice es distinto al que le falta en los demás
vértices.
Figura 4.4
Ejemplo para a = 2.
K1
iv) Cuando la gráfica completa asociada a la línea tiene orden impar 2a + 1, coloreamos como en
iii) excepto que sólo utilizamos 2a colores, es decir, será casi dueña de ellos y habrá un apareamiento
de a aristas en la gráfica completa sin colorear en donde los vértices son los vértices casi dueños.
Figura 4.5
Ejemplo para a = 2.
Capítulo 5
Cota inferior: coloraciones
Los siguientes tres lemas demuestran el Teorema 1, las demostraciones están emparentadas ya que
tienen la misma estructura y se utilizan las mismas herramientas, sin embargo las diferencias no son
sutiles y han impedido hacer una sólo demostración. El Lema I está demostrado en [25], que también
se demuestra en [2] junto con el Lema II y III. Omitimos la demostración del Lema I.
Lema I Sea γ ∈ N, q = 2γ , n = q 2 + q + 1, y G = L(Kn+q ) la gráfica de líneas de Kn+q entonces
existe una coloración propia y completa en las aristas de Kn+q que utiliza q(n + q) colores, por lo tanto
q(n + q) ≤ α(n + q).
Lema II Sea γ ∈ N, q = 2γ , n = q 2 + q + 1, y G = L(Kn+q−1 ) la gráfica de líneas de Kn+q−1
entonces existe una coloración propia y completa en las aristas de Kn+q−1 que utiliza q(n + q − 2)
colores, entonces se tiene que
q(n + q − 2) ≤ α(n + q − 1).
Demostración. Sea [t]i = {c1 , c2 , ..., ct } un conjunto i de t colores distintos y sea C una colección
de conjuntos de distintos colores y distintos tamaños tomados de la siguiente manera: q 2 − q conjuntos
de colores de q + 1 colores distintos cada uno, 2q + 1 conjuntos de colores con q − 1 colores distintos
cada uno y por último un conjunto con q + 1 colores distintos, es decir
C=
2
qG
−q
i=1
[q + 1]i ⊔
2q+1
G
i=1
[q − 1]i ⊔ [q + 1].
Entonces C contiene (q 2 − q)(q + 1) + (2q + 1)(q − 1) + (q + 1) colores distintos, es decir, q(n + q − 2)
colores.
A continuación asignaremos los colores de C a las aristas de una gráfica completa de orden n+q −1.
Para lograr esto describiremos a la gráfica de una manera específica usando el plano proyectivo de orden
8
CAPÍTULO 5. COTA INFERIOR: COLORACIONES
9
q y destacando cierto conjunto de aristas en dicha gráfica.
Consideremos a Kn+q−1 como la suma directa de Kn y Kq−1 (a Kq−1 la denotaremos como H),
es decir, Kn+q−1 = Kn ⊕ H y vamos a identificar a Kn con el plano proyectivo de orden q. Sea
V (H) = {hi : i ∈ Zq−1 }.
Sean v, w ∈ Πq , v 6= w, l = vw, Lv = {lv,i : i ∈ Zq , lv,i 6= l} un haz de líneas que pasa por
v, Lw = {lw,j : j ∈ Zq , lw,j 6= l} un haz de líneas que pasa por w, lv,i = {v, pi,0 , ..., pi,q−1 } tal que
pi,j = lv,i ∩ lw,j y l = {v, w, p0 , ..., pq−2 }.
Distinguimos cuatro conjuntos de aristas en Kn+q−1 :
E1 = {{v, pi,q−1 } : i ∈ Zq−1 }.
Notemos que E1 es un haz de aristas por v tal que {v, pi,q−1 } ∈ lv,i y |E1 | = q − 1.
E2 = {{w, pj } : j ∈ Zq−1 }.
Notemos que E2 es un haz de aristas por w tal que {w, pj } ∈ l y |E2 | = q − 1.
E3 = {{w, pq−1,k } : k ∈ Zq−1 }.
Notemos que E3 es un haz de aristas por w tal que {w, pq−1,k } ∈ lw,k y |E3 | = q − 1.
E4 = {{hi , pi,q−1 } ∪ {v, pq−1,q−1 } ∪ {w, pq−1,q−1 } : i ∈ Zq−1 }.
Notemos que |E4 | = q + 1.
Procedemos a colorear como sigue:
i) Coloreamos toda línea de Πq que no pasa por v ni por w con q + 1 colores como en el inciso iii)
de la Observación 2) y así, estas líneas serán casi dueñas de q + 1 colores. Como por cada punto pi,j ,
i, j ∈ Zq pasan q − 1 líneas que no pasan por v ni por w, y por cada punto pi , i ∈ Zq−1 pasan q líneas
que no pasan por v ni por w, distinguimos tres conjuntos de vértices:
i.i) Para todo pi,j 6= pk,q−1 , k ∈ Zq−1 asignamos los q − 1 colores que le faltan (uno por cada línea)
a las aristas {pi,j , hk }.
i.ii) Al conjunto de vértices {p0,q−1 , ..., pq−2,q−1 } también les falta un color por cada línea que no
está en v ni en w, estos colores son cubiertos por las aristas {pi,q−1 , hj }, i, j ∈ Zq−1 , i 6= j y las aristas
de E1 .
i.iii) Al conjunto de vértices {p0 , ..., pq−2 } también les falta un color por cada línea que no está en
v ni en w, estos colores son cubiertos por las aristas {pi, , hj }, i, j ∈ Zq−1 y las aristas de E2 .
Por lo tanto, como hay exactamente q 2 − q líneas del proyectivo que no pasan ni por v ni por w y
cada una de ellas las hemos coloreado con q + 1 colores logrando que cada una de ellas sea dueña de
sus colores, entonces utilizamos (q 2 − q)(q + 1) colores.
ii) Coloreamos las aristas que pertenecen a lv,i − {v}, lw,j − {w} y l − {w} con q − 1 colores como
en el inciso i) de la Observación 2). Notemos aquí que están coloreadas todas las aristas de cada línea
excepto las que pasan por v y que no están ni E1 ni en E4 ni en l, y las que pasan por w y que no
están ni E3 ni en E4 ; cada vértice es dueño de todos los colores de la línea lv,i , claro, excepto v y de
CAPÍTULO 5. COTA INFERIOR: COLORACIONES
10
las líneas l y lw,j , claro, excepto w.
iii) Ahora bien, para lograr que cada línea lv,i , lw,j y l sea dueña de sus colores sólo falta ver que
cada color toque a v o a w según corresponda, por lo tanto si pi,j ∈ lv,i − {v} − {pi,q−1 }, j ∈ Zq−1 ,
i ∈ Zq entonces, el color asignado a la arista {pi,j , pi,q−1 } también será asignado a la arista {pi+1,j , v};
si pi,j ∈ lw,i − {w} − {pq−1,j }, i ∈ Zq−1 , j ∈ Zq entonces, el color asignado a la arista {pi,j , pq−1,j }
también será asignado a la arista {pi,j+1 , w} y si pk ∈ l − {v} − {w}, k ∈ Zq−1 entonces, el color
asignado a la arista {v, pk } también será asignado a la arista {w, pq−1,k } = E3 .
Entonces tenemos que las q líneas de Lv , las q líneas de Lw y l serán dueñas de sus q − 1 colores
utilizando así, (2q + 1)(q − 1) colores y además la coloración es propia.
Observemos que ya tenemos coloreadas las aristas de Kn que pertenecen a las líneas del proyectivo
a excepción de las aristas {v, pq−1,q−1 } y {w, pq−1,q−1 } asignada al conjunto E4 y la arista {v, w},
faltan también las aristas de H y las aristas que van de H a v y de H a w.
iv ) Coloreamos a la gráfica completa H ⊕ v ⊕ w (que es de orden q + 1) con q + 1 colores como en
en el inciso iii) de la Observación 2) (observe que implica colorear la arista {v, w} y las aristas que van
de H a v y de H a w).
v ) Asignamos el color que falta a cada vértice de H ⊕ v ⊕ w con las aristas del conjunto E4 . Notemos
que al hacer esta última asignación de colores, todas las aristas quedan coloreadas y hemos usado todas
los colores de C.
Ahora para ver que la coloración es completa y propia, observemos que cada línea del plano es
dueña de sus colores y como cada color que pertenece a las líneas del plano proyectivo está en una
arista que va a H o toca a v o toca a w, cada uno de ellos toca a los q + 1 colores asignados a H ⊕ v ⊕ w
(por lo tanto la coloración es completa). Para ver que la coloración es propia, sólo hay que tomar en
cuenta que cada uno de los incisos anteriores la coloración expuesta en ellos es propia y como en cada
inciso tomamos colores distintos, la coloración es propia. Por lo tanto
q(n + q − 2) ≤ α(n + q − 1).
Lema III Sea γ ∈ N tal que γ > 1, q = 2γ , n = q 2 + q + 1, y G = L(Kn+q−2 ) la gráfica de líneas
de Kn+q−2 entonces existe una coloración propia y completa en las aristas de Kn+q−2 que utiliza
q(n + q − 4) colores, entonces se tiene que
q(n + q − 4) ≤ α(n + q − 2).
Demostración. Análogo a los dos lemas anteriores escogemos una colección C de conjuntos de
distintos colores distribuídos como sigue:
C=
q2 −2q+1
G
i=1
[q + 1]i ⊔
3q−3
G
i=1
[q − 1]i ⊔
3
G
i=1
[q − 1] ⊔ [q − 1].
Entonces C contiene (q 2 − 2q + 1)(q + 1) + 3(q − 1)(q − 1) + 3(q − 1) + (q − 1) colores distintos, es
decir, q(n + q − 4) colores.
CAPÍTULO 5. COTA INFERIOR: COLORACIONES
11
Ahora hacemos la asignación de los colores de C a la gráfica completa de orden n + q − 2 usando
el plano proyectivo de orden q y varios conjuntos de aristas destacados en dicha gráfica.
Consideremos a Kn+q−2 como la suma directa de Kn y Kq−2 (a Kq−2 la denotaremos como H),
es decir, Kn+q−2 = Kn ⊕ H y vamos a identificar a Kn con el plano proyectivo de orden q. Sea
V (H) = {hi : i ∈ Zq−2 }.
Sean vi ∈ Πq , i ∈ Z3 en posición general, li,j = vi vj , {i, j} ⊂ Z3 , i < j,
Li = {lvi, j : lvi ,j 6= lk,l , j ∈ Zq−1 , {i, k, l} ⊆ Z3 , k < l} un haz de líneas que pasa por vi ,
pi,j = lvi ,j ∩ lk,l , j ∈ Zq−1 , i ∈ Z3 , k, l ∈ Z3 − {i}, k < l.
Distinguimos cuatro conjuntos de aristas en Kn+q−2 :
Ei = {{vi , pi,j } : i ∈ Z3 , j ∈ Zq−1 }.
Notemos que Ei es un haz de aristas por vi tal que {vi , pi,j } ∈ lvi ,j y |Ei | = q − 1.
E3 = {{v1 , hi } ∪ {v0 , v1 } : i ∈ Zq−2 }.
Notemos que también |E3 | = q − 1.
Procedemos a colorear como sigue:
i) Coloreamos toda línea de Πq que no pasa por vi con q + 1 colores como en el inciso iii) de la
Observación 2) y así, estas líneas serán casi dueñas de q+1 colores. Como por cada punto p ∈ Πq −{li,j },
i, j ∈ Z3 , i < j pasan q − 2 líneas que no pasan por vi , i ∈ Z3 , y por cada punto pi,j , i ∈ Z3 , j ∈ Zq−1
pasan q − 1 líneas que no pasan por vi , i ∈ Z3 , distinguimos dos conjuntos de vértices:
i.i) Para todo p ∈ Πq − {li,j }, i, j ∈ Z3 , i < j asignamos los q − 2 colores que le faltan (uno por
cada línea) a las aristas {p, hk }.
i.ii) Al conjunto de vértices pi,j , i ∈ Z3 , j ∈ Zq−1 también les falta un color por cada línea que no
está en vi , i ∈ Z3 , estos colores son cubiertos por las aristas {pi,j , hk } y las aristas de Ei .
Por lo tanto, como hay exactamente q 2 − 2q + 1 líneas del proyectivo que no pasan por vi y cada
una de ellas las hemos coloreado con q + 1 colores logrando que cada una de ellas sea dueña de sus
colores, utilizando (q 2 − 2q + 1)(q + 1) colores.
ii) Coloreamos las aristas que pertenecen a lvi ,j − {vi }, con q − 1 colores como en el inciso i) de
la Observación 2). Notemos aquí que están coloreadas todas las aristas de cada línea de Li excepto
las que pasan por vi y que no están en Ei ; cada vértice es dueño de todos los colores de la línea lvi ,j ,
claro, excepto vi .
ii.i) Ahora bien, para lograr que cada línea lvi ,j sea dueña de sus colores sólo falta ver que cada
color toque a vi según corresponda, por lo tanto si p = lvi ,j ∩ lvi+1 ,j , j ∈ Zq−1 , i ∈ Z3 entonces, el color
asignado a la arista {p, pi,j } también será asignado a la arista {vi , p′ } donde p′ = lvi ,j+1 ∩ lvi+1 ,j .
Entonces tenemos que las q − 1 líneas de Li serán dueñas de sus q − 1 colores utilizando así,
3(q − 1)(q − 1) colores y además la coloración es propia.
iii) Coloreamos las aristas que pertenecen a l0,j − {v0 }, j ∈ {1, 2} y l1,2 − {v1 }, con q − 1 colores
como en el inciso i) de la Observación 2).
CAPÍTULO 5. COTA INFERIOR: COLORACIONES
12
Ahora bien, para lograr que cada línea li,j , i, j ∈ Z3 , i < j sea dueña de sus colores sólo falta ver
que cada color toque a v0 o a v1 según corresponda.
iii.i) El color asignado a la arista {v2 , p1,i } también será asignado a la arista {v0 , p2,i }, y el color
asignado a la arista {v1 , p2,i } será asignado a la arista {v0 , p1,i }, i ∈ Zq−1 .
iii.ii) El color asignado a la arista {v2 , p0,i } será asignado a las aristas de E4 como sigue: si i ∈ Zq−2
entonces el color asignado a la arista {v2 , p0,i } también será asignado a la arista {v1 , hi } y el color
asignado a la arista {v2 , p0,q−2 } también será asignado a la arista {v0 , v1 }.
Entonces tenemos que las tres líneas li,j , i, j ∈ Z3 , i < j serán dueñas de sus q − 1 colores utilizando
así, 3(q − 1) colores y además la coloración es propia.
Observemos que ya tenemos coloreadas las aristas de Kn que pertenecen a las líneas del proyectivo
a excepción de las aristas {v0 , v2 }, {v1 , v2 } y {v1 , p0,j }, j ∈ Zq−1 , faltan también las aristas de H y las
aristas que van de H a v0 y de H a v2 .
iv ) Coloreamos a la gráfica completa H ⊕ v0 ⊕ v2 (que es de orden q) con q − 1 colores como en en
el inciso i) de la Observación 2) (observe que implica colorear la arista {v0 , v2 } y las aristas que van
de H a v0 y de H a v2 ).
iv.i) El color asignado a la arista {v0 , hi } también será asignado a la arista {v1 , p0,i }, i ∈ Zq−2 y el
color asignado a la arista {v0 , v2 } también será asignado a la arista {v0 , p0,q−2 }.
Con esto coloreamos cada vértice de H ⊕ v0 ⊕ v1 ⊕ v2 con q − 1 colores. Notemos que con esta
última asignación de colores, a excepción de la arista {v1 , v2 }, todas las aristas quedan coloreadas y
hemos usado todas los colores de C. Finalmente coloriamos la arista {v1 , v2 } con cualquier color que
no pase por v1 ni por v2 .
Ahora para ver que la coloración es completa y propia, observemos que cada línea del plano es
dueña de sus colores y como cada color que pertenece a las líneas del plano proyectivo está en una
arista que va a H o toca a vi para alguna i ∈ Z3 , cada uno de ellos toca a los q − 1 colores asignados a
H ⊕ v0 ⊕ v1 ⊕ v2 (por lo tanto la coloración es completa). Para ver que la coloración es propia, sólo hay
que tomar en cuenta que cada uno de los incisos anteriores la coloración expuesta en ellos es propia y
como en cada inciso tomamos colores distintos, la coloración es propia. Por lo tanto
q(n + q − 4) ≤ α(n + q − 2).
Por el Corolario i) y para el caso particular de que q = 2 , ψ(n + q − a) ≤ q(n + q − 2a) y por el
Lema I, II y III tenemos que q(n + q − 2a) ≤ α(n + q − a), es inmediato entonces el siguiente teorema:
γ
Teorema I
Sea a ∈ {0, 1, 2}, γ ∈ N, q = 2γ tal que q > a y n = q 2 + q + 1 entonces
ψ(n + q − a) = α(n + q − a) = q(n + q − 2a).
Para el caso de q = 2 se sabe que α(8) = ψ(8) = 14 y α(9) = ψ(9) = 18; y para el caso de q = 4
se sabe que α(25) = ψ(25) = 100 (ver Tabla 1), sin embargo, se pueden colorear con los métodos
expuestos en esta tesina.
CAPÍTULO 5. COTA INFERIOR: COLORACIONES
Lema IV Sea γ ∈ N, q = 2γ , n = q 2 + q + 1 y f (x) =
13
j
n(n−1)
2x
q
f ( + 1) ≤ α(n).
2
k
, entonces
Demostración. Sea [t]i = {c1 , c2 , ..., ct } un conjunto i de t colores distintos y sea C una colección de
conjuntos de distintos colores y distintos tamaños tomados de la siguiente manera: q(q − 1) conjuntos
de colores de q − 1 colores distintos cada uno, 2q − 1 conjuntos de colores con q colores distintos cada
uno, un conjunto de colores con q − 1 colores distintos cada uno, un conjunto de colores con q − 2
colores distintos cada uno y por último un color más cuando q ≤ 4 (el cual denotaremos como [q ≤ 4]),
es decir
2
2q−1
qG
−q
G
[q]i ⊔ [q − 1] ⊔ [q − 2] ⊔ [[q ≤ 4]] .
[q − 1]i ⊔
C=
i=1
i=1
Entonces C contiene (q 2 − q)(q
j − k1) + (2q − 1)(q) + (q − 1) + (q − 2) + [q ≤ 4] colores distintos, es
q
3
3
decir, f ( 2 + 1) = q + 2q − 3 + q +1
colores.
2
A continuación asignaremos los colores de C a las aristas de una gráfica completa de orden n. Para
lograr esto identificamos a Kn con el plano proyectivo de orden q y describiremos a la gráfica de una
manera específica usando el plano proyectivo de orden q y destacando cierto conjunto de aristas en
dicha gráfica.
Sean l ∈ Πq tal que l = {pi : i ∈ Zq+1 }, L0 = {l0,i : i ∈ Zq , p0 ∈ l0,i 6= l} el haz de líneas que pasa
por p0 , Lq = {lq,j : j ∈ Zq , pq ∈ lq,j 6= l} el haz de líneas que pasa por pq y pi,j = l0,i ∩ lq,j . Las líneas
li,j serán las líneas pi,j , pi para i ∈ Z∗q y Li = {li,j : j ∈ Zq , pi ∈ li,j 6= l} el haz de líneas que pasa
por pi . Nótese que toda línea del plano proyectivo diferente de l pertenece a alguno de los conjuntos
Li (i ∈ Zq+1 ). Además definimos l0,0 ∩ l1,j como p′j el cual claramente es un p0,k para algún k ∈ Zq .
Vamos a necesitar que p′0 6= l0,0 ∩ lq,q−1 lo cual siempre es posible obtener reetiquetando Lq .1
p1,q−1
p0,q−1
pi,q−1
pq−1,q−1
p′j
p0,j
p0,1
p1,j
l
. q,q−1
pq−1,j .
.
pi,j
.l
. q,j
.
p1,1
pq
lq,1
pi,1
pq−1,1
lq,0
pq−1
p0,0
pq−1,0
p1,0
pi,0
···
l0,0 l0,1 l0,i
p0
Figura 5.1
1 Z∗
a
= Za − {0}
li,j
Li
···
pi
l0,q−1 l
1,j
l
p1
En esta ilustración k = q − 1, es decir, p′j es p0,q−1 .
CAPÍTULO 5. COTA INFERIOR: COLORACIONES
14
Distinguimos colecciones de conjuntos de aristas en Kn , primero distinguimos tres tipos de conjuntos:
Z∗q
El primero está formado por q − 2 conjuntos de aristas a los que denotaremos por Gi para i ∈
− {1}. Cada conjunto Gi consta de q aristas el cual es un haz por pi contenido en Li , una arista
por cada línea que pasa por pi , es decir:
Gi = {{pi,j , pi } ∈ li,j : i ∈ Z∗q − {1}, j ∈ Zq }.
El segundo conjunto al cual denotaremos por G1 está formado por 2q aristas que pasan por p1 y
por la mitad de los puntos de la línea l0,1 , sin pérdida de generalidad definiremos estas aristas como
las que pasan por los vértices p1,j para j par en Zq , es decir:
G1 = {{p1,j , p1 } ∈ l1,j : j ∈ 2Zq }.
Finalmente el tercer tipo, al que denotaremos por G0 ya que están determinados por puntos de
la línea l0,0 . Como para el conjunto G1 tomamos aristas en las líneas l1,j con j par, en este conjunto
consideramos aristas en las líneas l1,j con j impar, entonces, el conjunto G0 está formado por las
aristas que van de p1 a los puntos p′j para j impar, es decir,
q
2
G0 = {{p′j , p1 } ∈ l1,j : j ∈ Zq \2Zq }.
p1,q−1
pi,q−1
p′j
.
.
.
pi,j
p′q−1
.
.
.
Gi
G0
pi,1
p′0
.
.
.
p1,j
.
l1,0 .
.
G1
p1,1
l1,q−1
pi,0
···
li,0
li,q−1
p′1
p1,0
li,j
Li
···
li,1
l1,1
···
pi
l0,i
···
l1,j
l0,0 l0,1
l
p0
Figura 5.2
l
p1
Los conjuntos Gi , G1 y G0 .
Ahora describiremos tres tipos de conjuntos de aristas de los cuales ninguno intersecta a puntos de
l:
El primero de ellos lo definimos como E0 y está formado por un apareamiento perfecto de
las cuales están contenidas en la línea l0,0 , es decir:
q
2
aristas
E0 = {{p′j , p′j+1 } : j ∈ 2Zq }.
De forma similar definimos los conjuntos Ei pues son apareamientos perfectos de
q
2
aristas que
CAPÍTULO 5. COTA INFERIOR: COLORACIONES
15
están contenidas en las líneas l0,i con i ∈ Z∗q , sólo que aquí utilizamos los puntos pi,j con j ∈ Zq , es
decir:
Ei = {{pi,j , pi,j+1 } : i ∈ Z∗q , j ∈ 2Zq }.
Finalmente definimos los conjuntos Fj que también son apareamientos perfectos de
q
2
aristas que
están contenidas en las líneas lq,j con j ∈ Zq , es decir:
Fj = {{p2i,j , p2i+1,j } : i, j ∈ Zq , j 6= q − 1}.
Fq−1 = {{p2i,q−1 , p2i+1,q−1 } : i ∈ Z∗q − {1}} ∪ {p1,q−1 , pq }.
p1,q−1
E0
Fq−1
pi,q−1
p′j
Fj
p′q−1 p0,j p1,j
p′0
pi,j
pq−1,q−1
l
. q,q−1
pq−1,j .
.
.l
. q,j
.
p1,1
lq,1
pi,1
pq−1,1
lq,0
Ei
p′1
pq−1,0
p1,0
pi,0
···
l0,0 l0,1 l0,i
p0
Figura 5.3
···
l0,q−1
l
Los conjuntos E0 , Ei y Fj .
Para facilitar la coloración vamos a definir una operación a la que llamaremos asignación de una
arista a un punto (la arista asignada será incidente al punto de asignación). A los puntos de l0,0 (excepto
a p0 ) le asignaremos una arista del conjunto G0 o del conjunto E0 mientras que a cualquier otro punto
del proyectivo que no esté en l0,0 ni en l le asignaremos dos aristas de los conjuntos Gi , Ei o Fj (i ∈ Z∗q ,
j ∈ Zq ) con la condición de que las dos aristas pertenezcan a conjuntos distintos. La asignación está
dada de la siguiente manera:
A) Puntos en l0,0 (salvo p0 ): al punto p′j que por definición es el punto p0,k para algún k ∈ Zq le
asignamos la arista {p′j , p′j+1 } en E0 si j es par y j 6= 0 (en este caso le asignamos e0 = {p′0 , p0 })
o la arista {p′j , p1 } en G0 si j es impar.
B) Puntos en l0,1 (salvo p0 ): a cada punto p1,j (j ∈ Zq ) le asignamos la arista {p1,j , p0,j } en Fj si
j 6= q − 1 y a p1,q−1 le asignamos la arista {p1,q−1 , pq } deFq−1 . Además si j es impar le asignamos
{p1,j , p1,j+1 } en E1 y si j es par le asignamos la arista {p1,j , p1 } en G1 .
C) Al punto p0 le asignamos la arista e1 = {p0 , p1 } y a la arista pq le asignamos la arista e2 = {p0 , pq }.
CAPÍTULO 5. COTA INFERIOR: COLORACIONES
16
D) Puntos del plano proyectivo que no están en l0,0 ni en lo,1 ni en l: a cada punto pi,j (i ∈ Z∗q − {1},
j ∈ Zq ) le asignamos:
a) la arista {pi,j , pi,j+1 } en Ei si i y j son pares;
b) la arista {pi,j−1 , pi,j } en Ei si i y j son impares:
c) la arista {pi,j , pi+1,j } en Fj si i es par y j es impar;
d) la arista {pi−1,j , pi,j } en Fj si i es impar y j es par;
e) y finalmente la arista {pi,j , pi } en Gi a cada pi,j (i ∈ Z∗q − {1}, j ∈ Zq ).
Procedemos a colorear como sigue:
i) Coloreamos toda línea de Lq y de L0 − {l0,0 } como en el inciso iv) de la Observación 2) con
Ei y Fj los apareamientos sin colorear según corresponda y así, estas líneas serán casi dueñas de q
colores (Nótese que los vértices p0 y pq son casi dueños de todos los colores usados en las líneas de
Lq − {lq,q−1 } y de L0 − {l0,0 }, y el vértice l0,0 ∩ lq,q−1 es dueño de los colores usados en lq,q−1 ). Vamos
a asignar los q colores de estas líneas a las aristas asignadas a cada pi,j de tal forma que la coloración
sea acromática, lo cual es posible pues a cada p0,j (j 6= q − 1) le falta un sólo color de la línea lq,j el
cual se le asigna a la arista de A), y al vértice pq le falta un sólo color de la línea lq,q−1 el cual se le
asigna a la arista de C y al resto de los pi,j les hace falta dos colores (uno de l0,i y otro de lq,j ) los
cuales se les asigna a las aristas asignadas en B) y en D), y como las aristas asignadas viven en líneas
distintas, esto es posible.
Por lo tanto, como hay exactamente 2q − 1 líneas del proyectivo en Lq y L0 − {l0,0 } y cada una de
ellas la hemos coloreado con q colores logrando que sea dueña de sus colores, hemos utilizado (2q −1)(q)
colores.
ii) Vamos a colorear a l0,0 de tal forma que sea dueña de sus colores:
ii.i) Coloreamos a l0,0 − {p0 } como en el inciso ii) de la Observación 2) es decir con q − 2 colores con
E0 el apareamiento sin colorear (nótese que E0 fue previamente coloreado en el inciso i) a excepción
de dos aristas: la arista {p′0 , p′1 } y la arista {p′k0 , p′k0 +1 } donde p′k0 = l0,0 ∩ lq,q−1 .
ii.ii) Ahora bien, para lograr que l0,0 sea dueña de sus colores sólo falta ver que cada color toque
a p0 , por lo tanto si p′j ∈ l0,0 − {p0 } − {p′0 }, j ∈ Z∗q entonces, el color asignado a la arista {p′0 , p′j }
también será asignado a la arista {p0 , pj }, excepto si {p′0 , p′j } ∈ E0 , es decir {p′0 , p′1 }, en este caso no
asignamos color a {p0 , p1 } = e1 y note que la arista {p0 , pq } = e2 previamente ha sido coloreada.
iii) Vamos a colorear a l de tal forma que sea dueña de sus colores:
iii.i) Coloreamos a l − {p0 } como en el inciso i) de la Observación 2) es decir con q − 1 colores.
iii.ii) Ahora bien, para lograr que l sea dueña de sus colores sólo falta ver que cada color toque a p0 ,
por lo tanto si pi ∈ l − {p0 } − {pq }, i ∈ Z∗q entonces, el color asignado a la arista {pi , pq } también será
asignado a la arista {p0 , p′i }, note también que la arista {p0 , p′0 } = e0 ha sido previamente coloreada.
iv ) Coloreamos las aristas que pertenecen a li,j − {pi } (i ∈ Z∗q ) con q − 1 colores como en el inciso
i) de la Observación 2). Notemos aquí que están coloreadas todas las aristas de cada línea excepto las
que pasan por pi y que no están en Gi , y cada vértice es dueño de todos los colores de la línea li,j ,
claro, excepto pi .
CAPÍTULO 5. COTA INFERIOR: COLORACIONES
17
v ) Ahora bien, para lograr que cada línea li,j sea dueña de sus colores sólo falta ver que cada color
toque a pi , por lo tanto si pk,l ∈ li,j − {pi } − {pi,j }, k, l ∈ Zq , k 6= i, l 6= j entonces, el color asignado
a la arista {pi,j , pk,l } también será asignado a la arista {pi , pr,s } tal que pr,s ∈ li,j+1 .
Entonces tenemos que las q líneas de Li serán dueñas de sus q − 1 colores utilizando así, (q)(q −
1)(q − 1) colores y además la coloración es propia.
v i) Observemos que ya tenemos coloreadas las aristas de Kn que pertenecen a las líneas del proyectivo a excepción de las aristas e1 , {p′0 , p′1 } y {p′k0 , p′k0 +1 }. Asignamos el color que falta a cada una
de estas aristas de tal forma que la coloración siga siendo acromática.
Ahora para ver que la coloración es completa y propia, observemos que cada línea del plano proyectivo es dueña de sus colores y por lo tanto la coloración es completa. Para ver que la coloración es
propia, sólo hay que tomar en cuenta que cada uno de los incisos anteriores la coloración expuesta en
ellos es propia y como en cada inciso tomamos colores distintos, la coloración es propia. Por lo tanto
si q > 4
q 3 + 2q − 3 ≤ α(n).
Para el caso de q = 4, sólo hay que notar que E0 consta de dos aristas, de{p′0 , p′1 } y de {p′k0 , p′k0 +1 }
y que e1 es incidente a p0 . Por lo tanto, si en el inciso vi) de lo coloración en vez de colorear como
se indica, coloreamos estas tres aristas de un nuevo color, la línea l0,0 es dueña de este nuevo color.
Entonces si q ≥ 4,
q
f ( + 1) ≤ α(n).
2
Por el Lema IV anterior y el Corolario ii tenemos el siguiente teorema:
Teorema II Seaγ ∈ N,q = 2γ ,n = q 2 + q + 1,f (x) =
j
n(n−1)
2x
k
y g(x) = 2x(n − x − 1) + 1, entonces
q
q
q
q
mı́n{g( ), f ( + 1)} ≤ α(n) ≤ ψ(n) ≤ máx{g( ), f ( + 1)}.
2
2
2
2
Para el caso de q = 2 se sabe que α(7) = ψ(7) = 11, es decir, este valor alcanza la cota superior
(ver Tabla 1).
Capítulo 6
Conclusiones
A continuación, recabamos los valores conocidos de α(m) y de ψ(m) (para m ≤ 26) y de la cota
superior en la tabla 1 (ver [21]).
Tabla 1
m
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
22
23
24
25
26
mı́n
α(m)
1
1
1
3
3
3
5
7
7
8
10
11
13
14
15
18
17
22
19
27
21
32
23
39
25
39
77
77
81
84
85
92
89
100
93
ψ(m)
máx
1
1
3
3
4
5
7
7
8
9
11
11
14
14
18
18
22
22
27
27
32
33
39
39
45
77
77
84
84
92
92
100
100
108
108
Analizando la tabla vemos que los casos para m = 4, 6, 12, 14 nos dicen que la cota superior no
siempre se alcanza y que no siempre α y ψ coinciden, y que cuando la cota superior está dada por
g, utilizar los planos proyectivos como método de coloración no es eficiente para alcanzar la cota,
sin embargo si para acotar inferiormente, de hecho, proponemos la Conjetura 1. En [1] proponen la
Conjetura 2 y para concluir mencionamos un teorema que inspira este trabajo.
Conjetura 1
Si rm es como en la Proposición 1, entonces
mı́n{g(rm ), f (rm + 1)} ≤ α(m) ≤ ψ(m) ≤ máx{g(rm ), f (rm + 1)}.
Conjetura 2
Sea q un natural impar y n = q 2 + q + 1, entonces existe el plano proyectivo Πq es de
orden q si y sólo si α(n) = ψ(n).
Teorema (Bouchet, 1978) Sea q un número natural impar y n = q 2 + q + 1. Un Plano Proyectivo
de orden q existe si y sólo si α(n) = q · n.
18
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