Vectoren in vlak en ruimte Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven 2012 – 2015 i 1 Vectorrekening in dimensies 2 en 3 1 1 Vectorrekening in dimensies 2 en 3 1.1 Het begrip vector is oorspronkelijk bedoeld om grootheden te beschrijven, die naast een grootte ook een richting hebben. De inspiratie ervoor komt o.a. uit de natuurkunde waar bijvoorbeeld snelheid en kracht typische grootheden met grootte en richting zijn. In deze syllabus voeren we vectoren in het platte vlak en in de driedimensionale ruimte in, en gaan na hoe er mee gerekend kan worden. 1.2 Het begrip vector Onder een vector verstaan we een pijl in het vlak of in de ruimte met een zekere richting en grootte. Verslepen we een vector zodat zijn beginpunt elders komt te liggen (maar richting en grootte onveranderd blijven), dan beschouwen we deze nieuwe pijl toch als een representant van dezelfde vector. Een vector kunnen we dan op verschillende plekken in het vlak of in de ruimte tekenen. O Figuur 1: Links zijn representanten van dezelfde vector getekend: richting en grootte zijn hetzelfde. Rechts vectoren met hetzelfde beginpunt, namelijk een in het vlak gekozen oorsprong O. In het vervolg zal het vaak voorkomen dat we een oorsprong in het vlak of in de ruimte gekozen hebben. In die situatie is het gebruikelijk vectoren te laten starten in de oorsprong. Soms zijn we niet consequent in het gebruik van beide zienswijzen, maar dat blijkt niet snel tot verwarring of fouten te leiden. Vectoren noteren we doorgaans door een letter met een streep eronder: v. In de literatuur worden ook diverse andere notaties gebruikt, zoals v, ~v , v̄, of gewoon v. 1 Vectorrekening in dimensies 2 en 3 2 1.3 Kolomrepresentatie van vectoren Naast de representatie door middel van een pijl, kan een vector beschreven worden als een kolom met getallen. Zo representeert de kolom 4 v= 2 de pijl die 4 eenheden in de horizontale richting (x-richting) en 2 eenheden in de verticale richting (y-richting) wijst. Als deze vector start in de oorsprong, wijst hij dus naar het punt (4, 2). In het algemeen wordt een kolom met twee componenten v1 v= v2 geı̈nterpreteerd als een vector in het platte vlak R2 , en een kolom met drie componenten w1 w = w2 w3 als een vector in de ruimte R3 . De derde component geeft hierbij aan hoeveel eenheden de vector in de z-richting, d.w.z. de richting omhoog, wijst. 1.4 Andere vectornotaties In de literatuur worden voor vectoren ook andere notaties gebruikt. Soms hanteert men een rijrepresentatie v = (4, 2) in plaats van een kolomrepresentatie, of worden andere typen haken gebruikt: 4 v =< 4, 2 >, of v = . 2 In deze syllabus wordt in het vervolg steeds de kolomnotatie gebruikt, in combinatie met ronde haken. 1.5 De nulvector Er is één bijzondere vector, namelijk een vector van lengte 0. Deze vector bepaalt geen richting. We geven de nulvector aan met 0. In het platte vlak 0 0 R2 geldt 0 = , en in de ruimte R3 : 0 = 0 0 0 1 Vectorrekening in dimensies 2 en 3 3 1.6 Optelling van vectoren Als u en v twee vectoren zijn met hetzelfde beginpunt, dan is u + v de vector met hetzelfde beginpunt en met als eindpunt het vierde punt van het parallellogram opgespannen door u en v. De som van twee vectoren u en v is ook te bepalen door u en v kop aan staart te leggen. Als beide vectoren in dezelfde (of tegengestelde) richting wijzen, dan kan men alleen de tweede constructie gebruiken. Merk op dat u + 0 = u. u+v u+v v v u u Figuur 2: Vectoroptelling: links via de parallellogramconstructie, rechts door de vectoren kop-aan-staart te leggen. In kolomrepresentatie wordt vectoroptelling eenvoudigweg gerealiseerd door elementsgewijs de overeenkomstige componenten van de vectoren op te tellen: v1 w1 v 1 + w1 v 2 + w2 = v 2 + w2 . v3 w3 v 3 + w3 Vectoren met een verschillend aantal componenten kunnen niet opgeteld worden. Rekenregels: Voor alle vectoren u, v en w geldt • v + w = w + v (commutativiteit van de optelling) • (u + v) + w = u + (v + w) (associativiteit van de optelling) 1.7 Scalaire vermenigvuldiging Zij v een vector, en λ een reëel getal. Dan wordt met λv de vector aangeduid, die in dezelfde richting wijst als v, en met een lengte |λ| maal zo groot als de lengte van v. Indien < 0 wordt tevens de richting van λ de vector v v1 λv1 omgekeerd. Voor v = v2 geldt derhalve λv = λv2 . De vector v3 λv3 1 Vectorrekening in dimensies 2 en 3 4 λv heet een scalair veelvoud van v. Het getal λ waarmee we de vector vermenigvuldigen heet een scalar. Scalairen worden vaak met Griekse letters aangeduid, maar dit is geen verplichting. Om de scalaire vermenigvuldiging te benadrukken wordt soms expliciet een vermenigvuldigingspunt gebruikt, bijvoorbeeld 3 · v. Doorgaans schrijven we v in plaats van 1 v, −v in plaats van (−1)v, −3v in plaats van (−3)v enzovoort. De vector −v heet de tegengestelde van v. Optellen van een vector v en zijn tegengestelde −v levert de nulvector: v + (−v) = 0. u 2u −u Figuur 3: Scalaire vermenigvuldiging. Rekenregels: Voor iedere vector v, en alle scalairen λ en µ geldt • 0 · v = 0, • λ(µv) = (λµ)v. 1.8 Overige rekenregels Er zijn ook rekenregels voor bewerkingen waarin scalaire vermenigvuldiging en optelling beiden een rol spelen. Zij v en w vectoren, en λ en µ scalairen. Dan geldt • λ(v + w) = λv + λw (distributiviteit van scalaire vermenigvuldiging over de optelling van vectoren), • (λ + µ)v = λv + µv (distributiviteit van de scalaire optelling over de scalaire vermenigvuldiging). 1.9 Lineaire combinaties Is v 1 , v 2 , . . . , v n een n-tal vectoren en zijn λ1 , λ2 , . . . , λn reële getallen, dan heet λ1 v 1 + λ2 v 2 + · · · + λn v n 1 Vectorrekening in dimensies 2 en 3 5 een lineaire combinatie van de vectoren v 1 , v 2 , . . . , v n . Een lineaire combinatie is dus een vector die opgebouwd kan worden uit een gegeven verzameling vectoren door middel van de twee operaties vectoroptelling en scalaire vermenigvuldiging. 1.10 Voor vectoren v en w schrijven we v + −w doorgaans als v − w. Meetkundig is v − w de vector die van het eindpunt van de vector w naar het eindpunt van de vector v wijst. Als voorbeeld beschouwen we de vector u die vanuit het punt (2, 7, 1) wijst naar het punt (3, 1, 1). Dan voldoet u aan de eis 2 3 7 + u = 1 , 1 1 en derhalve 1 2 3 u = 1 − 7 = −6 . 0 1 1 In het algemeen wordt de vector u, die vanuit het punt (x1 , x2 , x3 ) naar het punt (y1 , y2 , y3 ) wijst, gegeven door y1 − x 1 u = y2 − x 2 . y3 − x 3 1.11 Voorbeelden. Beschouw de vectoren 3 v = −1 , en 2 0 w = 1 . 3 Dan geldt −3 • −v = 1 , −2 0 3 −3 • w − v = 1 − −1 = 2 , maar ook 3 2 1 0 −3 −3 • w − v = w + (−v) = 1 + 1 = 2 , 3 −2 1 1 Vectorrekening in dimensies 2 en 3 9 • 3v + 2w = −3 + 6 3 • −2(v + w) = −2 −1 2 of 0 2 = 6 0 + 1 3 6 9 −1 , 12 3 −6 = −2 · 0 = 0 , 5 −10 −3 0 • −2(v+w) = −2v−2w = 2(−v)+2(−w) = 2 1 + 2 −1 = −2 −3 −6 0 −6 2 + −2 = 0 . −10 −6 −4 2 Rechten en vlakken 2 7 Rechten en vlakken 2.1 Na keuze van een oorsprong O in het vlak of in de ruimte bepaalt ieder punt in het vlak of de ruimte een unieke vector, die van de oorsprong O naar dit betreffende punt wijst. Omgekeerd bepaalt ook elke vector met beginpunt in de oorsprong precies één punt in vlak of ruimte, namelijk het punt waar de vector naar wijst. Op deze manier corresponderen punten met vectoren. Soms gebruiken we de woorden ’punt’ en ’vector’ wel eens door elkaar. Dat blijkt geen problemen op te leveren en is bijvoorbeeld handig als we het over de rechte door twee punten hebben. We nemen vanaf nu aan dat we een oorsprong O gekozen hebben. De oorsprong zelf correspondeert met de nulvector 0. 2.2 Rechten De veelvouden x = λv van een vector v, met v 6= 0, doorlopen de punten/vectoren van een rechte of lijn ` door de oorsprong. Is a een tweede vector, dan doorloopt, voor variërende λ, het punt x = a + λv de rechte m door a parallel met `. We noemen ` : x = λv en m : x = a + λv een parametervoorstelling of vectorvoorstelling van de rechte ` respectievelijk m. In beide gevallen is de vector v een zogenaamde richtingsvector . De vector a heet een steunvector van de rechte m (eventueel kan 0 een steunvector van de rechte ` genoemd worden). De scalar λ is een parameter. In plaats van de letter λ mag men voor deze parameter natuurlijk ook een andere letter gebruiken. Samenvattend: voor de parametervoorstelling van een rechte zijn een steunvector en een richtingsvector nodig. Merk op dat zowel steun- als richtingsvector niet uniek bepaald zijn. Ieder scalair veelvoud µv van richtingsvector v is zelf ook een richtingsvector, mits scalar µ 6= 0. Iedere vector b die vanuit O naar een punt op rechte m wijst vormt een alternatief voor steunvector a. 2.3 Rechte door twee gegeven punten Om een vectorvoorstelling van de rechte door de punten A en B op te stellen, noemen we de vector die van de oorsprong O naar A wijst a, en de vector van O naar B wijst b. Dan wijst de vector b − a van A naar B, en is daarmee 2 Rechten en vlakken 8 a + λv a v Figuur 4: Parametervoorstelling van een rechte met steunvector a en richtingsvector v. Elke vector op de rechte is te verkrijgen door een geschikt veelvoud van v op te tellen bij a. een geschikte richtingsvector voor de rechte. Als steunvector kunnen zowel a als b dienst doen. Een parametervoorstelling voor de rechte door A en B is dus x = a + λ(b − a). Hierin komt de parameterwaarde λ = 0 overeen met vector a, en parameterwaarde λ = 1 met vector b. Voorbeeld: De lijn `door (2, 3, −1) en (3, 4, 1) heeft als rich de punten 3 2 1 tingsvector v = 4 − 3 = 1 . Een parametervoorstelling 1 −1 2 is 1 2 x = 3 + λ · 1 . 2 −1 2.4 Vlakken Ook vlakken in de 3-dimensionale ruimte kunnen beschreven worden door middel van parametervoorstellingen. Voor een vlak is één steunvector nodig en twee richtingsvectoren, die geen scalair veelvoud van elkaar zijn. Omdat er twee richtingsvectoren gebruikt worden zijn er dus ook twee parameters nodig. Het vlak U door de oorsprong, en met richtingsvectoren u en v heeft parametervoorstelling U : x = λu + µv. Het vlak V met steunvector a en richtingsvectoren u en v heeft parametervoorstelling V : x = a + λu + µv. 2.1 Lijnen in R2 9 v v u u a Figuur 5: Links het geval van een vlak door de oorsprong. Rechts het geval met steunvector a en richtingsvectoren u en v. Net als bij rechten zijn steun- en richtingsvectoren niet uniek bepaald: hetzelfde vlak kan met verscheidene steun- en richtingsvectoren beschreven worden. 2.1 Lijnen in R2 2.5 Zoals voorheen beschreven, kunnen we een lijn ` in R2 representeren door een parametervoorstelling x1 x2 +λ , y1 y2 x1 x2 waarbij a = de steunvector is, en v = de richtingsvector. y1 y2 Een vergelijking van de lijn ` : x = a + λv is y= y2 (x − x1 ) + y1 , x2 mits x2 6= 0 (d.w.z. de richtingsvector is niet evenwijdig is aan de y-as). Dit is de vergelijking van de lijn door het punt (x1 , y1 ) met dezelfde richtingscoëfficiënt als de richtingsvector. Als x2 = 0 dan is de vergelijking x = x1 . Een vergelijking kunnen we afleiden uit een parametervoorstelling x door de parameter λ te elimineren. Zij een punt (vector) op de rechte y x1 x2 met parametervoorstelling +λ . Dan is er een λ waarvoor y1 y2 2.1 Lijnen in R2 10 geldt dat x y = Dit geeft twee vergelijkingen x1 y1 +λ x2 y2 . x = x1 + λx2 , y = y1 + λy2 . Na vermenigvuldiging van de eerste vergelijking met y2 /x2 , wordt λ geëlimineerd door de vergelijkingen van elkaar af te trekken. Dit geeft y2 y2 x − y = x1 − y1 . x2 x2 2.6 Voorbeeld: Zij ` de rechte lijn in R2 gegeven door de parametervoorstelling x 1 1 . = +λ 2 y −1 Voor een vector x y volgt dat x = 1 + λ, y = −1 + 2λ. Uit de eerste vergelijking volgt λ = x − 1. Gesubstitueerd in de tweede vergelijking geeft dit 2x − y = 3, een vergelijking voor de lijn `. Omgekeerd kunnen we uit een vergelijking voor een rechte ` een parametervoorstelling voor ` afleiden. Als de rechte ` wordt gegeven door de vergelijking 2x − y = 3, dan nemen we bijvoorbeeld x = λ. Dan is y = −3 + 2λ, en er volgt als parametervoorstelling x λ 0 1 x= = = +λ . y −3 + 2λ −3 2 2.2 Lijnen en vlakken in R3 2.2 Lijnen en vlakken in R3 11 2.7 In R3 kunnen we een lijn representeren met een parametervoorstelling x x1 x2 y = y1 + λ y2 , z z1 z2 x1 x2 met steunvector a = y1 , en richtingsvector v = y2 . z1 z2 2.8 Een vlak in R3 wordt beschreven met twee richtingsvectoren die geen scalair veelvoud van elkaar mogen zijn. x x1 x2 x3 y = y1 + λ y2 + µ y3 . z z1 z2 z3 Zo heeft het vlak door een drietal punten (a1 , a2 , a3 ), (b1 , b2 , b3 ) en (c1 , c2 , c3 ), als mogelijke parametervoorstelling a1 b1 c1 x = a + λ(b − a) + µ(c − a), met a = a2 , b = b2 en c = c2 . a3 b3 c3 mits deze drie punten niet op dezelfde lijn liggen. In dat geval zouden de richtingsvectoren b − a en c − a namelijk een scalair veelvoud van elkaar zijn. 2.9 Een vlak in R3 kan beschreven worden met een vergelijking, die uit een parametervoorstelling verkregen wordt door eliminatie van de parameters. Voorbeeld: Zij V het vlak in R3 , gegeven door de parametervoorstelling x 2 1 2 y = 1 + λ −1 + µ −1 . z −2 0 −1 x Voor een vector x = y in dit vlak moet gelden z x = 2 + λ + 2µ , y = 1−λ−µ, z = −2 − µ . 2.2 Lijnen en vlakken in R3 12 Uit de laatste vergelijking volgt µ = −2 − z. Invullen in de eerste twee vergelijkingen en eliminatie van λ geeft de vergelijking x+y+z =1. Omgekeerd, zij V het vlak in R3 , met vergelijking x+y+z =1. Stel bijvoorbeeld x = λ en y = µ, dan is z = 1 − λ − µ, zodat volgt x 0 1 0 x = y = 0 + λ 0 + µ 1 . z 1 −1 −1 Uit dit voorbeeld blijkt dat hetzelfde vlak met verscheidene parametervoorstellingen beschreven kan worden. 2.10 Willen we een lijn in R3 beschrijven door middel van vergelijkingen dan moeten we deze lijn beschrijven met twee vergelijkingen die ieder een vlak voorstellen. De lijn wordt dan verkregen als de snijlijn van twee vlakken. De vergelijkingen vinden we door eliminatie van de parameter. Voorbeeld: De rechte lijn ` is gegeven door de parametervoorstelling x 0 1 y = 1 + λ −1 . z 4 −3 x y op deze lijn moet gelden Voor een vector x = z x = λ, y = 1 − λ, z = 4 − 3λ. Substitutie van x = λ geeft de twee vergelijkingen x + y = 1, 3x + z = 4. De rechte ` is de snijlijn van de twee vlakken gegeven door deze twee vergelijkingen. 3 Afstanden, hoeken en het inproduct 3 13 Afstanden, hoeken en het inproduct 3.1 Met het oog op het vervolg blijkt het nuttig te zijn de begrippen afstand, lengte en hoek in verband te brengen met het begrip inproduct. Daartoe starten we in het vlak of de ruimte met een vaste oorsprong. De lengte van een vector x is de afstand van de oorsprong tot het eindpunt van x. De lengte geven we aan met k x k. De afstand tussen twee vectoren u en v is de lengte van de verschilvector u − v, dus k u − v k. 3.2 Lengte van een vector in R2 en R3 u1 De lengte van een vector u = ∈ R2 kan worden bepaald m.b.v. de u2 stelling van Pythagoras: q k u k= u21 + u22 . v1 Evenzo wordt de lengte van een vector v = v2 ∈ R3 gegeven door v3 q k v k= v12 + v22 + v32 . Voorbeeld: Om de afstand te bepalen tussen de punten P = (1, 2, 5) en Q = (−2, 3, 7), definiëren we de vector p als de vector die van de oorsprong 1 −2 naar het punt P wijst. Dus p = 2 . Evenzo is q = 3 de vector 5 7 die van de oorsprong naar Q wijst. De vector −3 1 −2 q−p= 3 − 2 = 1 5 2 7 is de vectorpdie van P naar Q wijst. De afstand van P tot Q is derhalve √ k q − p k= (−3)2 + 12 + 22 = 14. 3.3 Hoek tussen vectoren u1 v1 We beschouwen twee vectoren u = en v = in R2 , zoals u2 v2 afgebeeld in Figuur 6. De hoek φ tussen de vectoren u en v willen we bepalen. Volgens de cosinusregel geldt k v − u k2 =k u k2 + k v k2 −2 k u k · k v k · cos φ. 3 Afstanden, hoeken en het inproduct 14 v φ u v cos φ Figuur 6: De hoek φ tussen de vectoren u en v (Men kan dit verifiëren door met de Stelling van Pythagoras de lengte van de vector v − u in Figuur 6 te bepalen). Omdat k u k2 + k v k2 − k v − u k2 = u21 + u22 + v12 + v22 − (v1 − u1 )2 − (v2 − u2 )2 = u21 + u22 + v12 + v22 − v12 + 2u1 v1 − u21 − v22 + 2u2 v2 − u22 = 2(u1 v1 + u2 v2 ), volgt nu dat cos φ = u1 v1 + u2 v2 k u k2 + k v k2 − k v − u k2 = . 2kuk·kvk kuk·kvk Daar φ een hoek is tussen 0 en π, en cos φ met behulp van de vectoren u en v, kan worden berekend, ligt hoek φ op deze manier uniek vast. u1 Op exact dezelfde wijze kan men voor twee vectoren u = u2 en u3 v1 v = v2 in R3 bewijzen dat de cosinus van de hoek φ tussen de vectoren v3 u en v gegeven wordt door cos φ = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 . kuk·kvk 3.4 Het inproduct u1 Het standaardinproduct tussen twee vectoren u = u2 R2 , aangeduid met hu, vi of u • v, is gedefinieerd door hu, vi = u1 v1 + u2 v2 . en v = v1 v2 in 3 Afstanden, hoeken en het inproduct 15 u1 v1 Voor vectoren u = u2 en v = v2 in R3 wordt het standaardinu3 v3 product hu, vi gegeven door hu, vi = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 . In het bijzonder is het inproduct van twee vectoren altijd een getal. Voorbeeld: 3 4 h −2 , 7 i = 3 · 4 − 2 · 7 + 5 · −2 = 12 − 14 − 10 = −12. 5 −2 3.5 Met de definitie van het inproduct, kan de formule voor de lengte van een vector, en voor de hoek tussen vectoren veel eenvoudiger worden weergegeven. Voor een vector u in R2 of R3 geldt namelijk p k u k= hu, ui. De lengte van een vector is dus de wortel uit het inproduct van deze vector met zichzelf. Evenzo kan de formule voor de cosinus van de hoek φ tussen twee vectoren u en v nu geschreven worden als cos φ = hu, vi hu, vi p . =p kuk·kvk hu, ui · hv, vi 2 3 Voorbeeld: Zij φ de hoek tussen de vectoren u = en v = . 0 3 p p √ Dan hu, hv, vi = √ ui = 2 · 2 + 0 · 0 = 2 en k v k= √ geldt k u √k= 3 · 3 + 3 · 3 = 18 = 3 2. Het inproduct bedraagt hu, vi = 2 · 3 + 0 · 3 = 6. Er volgt 6 1 1√ √ =√ = cos φ = 2, 2 2·3 2 2 en inderdaad is φ = π4 . 3.6 Eigenschappen van het inproduct Veronderstel dat u, v, en w een drietal vectoren is in R2 of R3 , en λ is een scalar in R. Dan voldoet het inproduct aan de volgende eigenschappen: 3.1 Normaalvectoren en vergelijkingen van lijnen en vlakken 16 (a) hu, ui ≥ 0 en hu, ui = 0 dan en slechts dan als u = 0, (b) hu, vi = hv, ui (symmetrie van het inproduct), (c) hu + v, wi = hu, wi + hv, wi (lineariteit t.a.v. optelling), (d) hλu, vi = λhu, vi (lineariteit t.a.v. scalaire vermenigvuldiging). 3.7 Orthogonaliteit Als twee vectoren u en v 6= 0 in R2 of R3 loodrecht op elkaar staan (d.w.z. de hoek φ tussen beide vectoren bedraagt π2 radialen), dan is het inproduct van beide vectoren gelijk aan 0: hu, vi =k u k · k v k · cos π = 0. 2 Twee vectoren u en v heten derhalve orthogonaal als hu, vi = 0. Met behulp van het standaardinproduct is orthogonaliteit van vectoren eenvoudig te verifiëren. 2 2 Voorbeeld: De vectoren u = 1 en v = 4 zijn orthogonaal −4 2 omdat hu, vi = 2 · 2 + 1 · 4 − 4 · 2 = 0. 3.1 Normaalvectoren en vergelijkingen van lijnen en vlakken 3.8 Normaalvector Een normaalvector n van een lijn in R2 is een vector die loodrecht staat op de richtingsvector van de lijn. Als de parametervoorstelling van de lijn gegeven wordt door ` : x = a + λv, (λ ∈ R), met steunvector a en richtingsvector v 6= 0, dan is iedere vector n in R2 met de eigenschap dat (i) n 6= 0, (ii) hn, vi = 0, een normaalvector van lijn `. Een normaalvector is dus niet uniek, maar alle normaalvectoren van een lijn in R2 zijn wel scalaire veelvouden van elkaar. 3.1 Normaalvectoren en vergelijkingen van lijnen en vlakken 17 Een normaalvector n van een vlak in R3 is een vector die loodrecht staat op beide richtingsvectoren van het vlak. Als de parametervoorstelling van het vlak gegeven wordt door V : x = a + λv + µw, (λ, µ ∈ R), met steunvector a en richtingsvectoren v en w, dan is iedere vector n in R3 met de eigenschap dat (i) n 6= 0, (ii) hn, vi = 0, (iii) hn, wi = 0, een normaalvector van vlak V . Ook alle normaalvectoren van een vlak in R3 zijn dus scalaire veelvouden van elkaar. Voorbeeld: Beschouw het vlak V : 1 2 5 x y = 1 + λ 0 + µ −1 , 4 3 4 z Dan staat de vector (λ, µ ∈ R). 3 n = −5 −2 loodrecht op beide richtingsvectoren van vlak V (ga dit zelf na!) en is daarmee een normaalvector van vlak V . 3.9 De vergelijking van een lijn in R2 is van de vorm ax + by = c, waarbij de parameters a en b de helling van de lijn bepalen, en c de positie van de lijn in R2 . Met behulp van het inproduct kunnen we deze vergelijking herschrijven als a x ha, xi = c, waarbij a = , en x = . b y De rechte met vergelijking ha, xi = 0 is evenwijdig aan de rechte ha, xi = c, mits c 6= 0. (Er is geen snijpunt, d.w.z. geen punt dat aan beide vergelijkingen voldoet.) De vector a staat loodrecht op alle vectoren van de rechte 3.1 Normaalvectoren en vergelijkingen van lijnen en vlakken 18 ha, xi = 0, dus staat a ook loodrecht op de rechte ha, xi = c. Conclusie: 2 wordt eenrechte ` in de R gegeven door de vergelijking ax + by = c, dan is a a= een normaalvector van lijn `. b Voor vlakken in R3 geldt iets dergelijks. Vlakken in R3 worden gegeven door een vergelijking van de vorm ax + by + cz = d . Deze vergelijking kunnen we met het inproduct noteren als a x b y . ha, xi = d, met a = , en x = c z De vector a is dus een normaalvector voor dit vlak. Voorbeeld: Beschouw opnieuw het vlak V : x 5 2 1 y = 1 + λ 0 + µ −1 , z 4 3 4 met normaalvector (λ, µ ∈ R). 3 n = −5 . −2 Dan is een vergelijking van dit vlak 3 x hn, xi = h −5 , y i = 3x − 5y − 2z = d, −2 z 5 waarbij de constante d kan worden bepaald door de steunvector a = 1 4 in de vergelijking in te vullen: d = 3 · 5 − 5 · 1 − 2 · 4 = 2. Een vergelijking voor vlak V is dus 3x − 5y − 2z = 2. 3.1 Normaalvectoren en vergelijkingen van lijnen en vlakken 19 3.10 Voorbeeld: Beschouw de twee vlakken V en W gegeven door de vergelijkingen V : 3x − y + z = 7 en W : x + y + z = 3. De snijlijn ` van deze twee vlakken staat loodrecht op zowel de normaalvector 3 1 −1 van V als op de normaalvector 1 van W . 1 1 1 Een vector die loodrecht op deze twee vectoren staat is de vector 1 . −2 2 Dit is dan ook een richtingsvector voor `. Aangezien 0 in beide vlakken 1 ligt, wordt de lijn ` beschreven door de parametervoorstelling x 2 1 y = 0 + λ 1 . z 1 −2 3.11 Voorbeeld: Beschouw het vlak V gegeven door de vergelijking x + 2y + z = 0, en het punt P = (4, 5, 4). Wat is de afstand van P tot V ? Zij Q het punt in V met minimaleafstand tot P . Dan staat de lijn ` 1 door P en Q loodrecht op V en heeft 2 , de normaalvector van V , als 1 richtingsvector. De lijn ` kan dus beschreven worden met behulp van de parametervoorstelling x 4 1 y = 5 + λ 2 . z 4 1 Het punt Q ligt op deze lijn en in V . Voor dit punt geldt dan ook (4 + λ) + 2 · (5 + λ2) + (4 + λ) = 0. 4 Het uitproduct 20 We vinden λ = −3 en Q = (1, −1, 1). De afstand van P tot Q, en dus ook tot het vlak V , is dan gelijk aan p √ (4 − 1)2 + (5 − −1)2 + (4 − 1)2 = 53. 4 Het uitproduct 4.1 Definitie van het uitproduct In de vorige paragraaf hebben we gezien dat het inproduct van twee vectoren een getal is. Alleen voor vectoren in R3 is het mogelijk een ’product’ van twee 3 vectoren te construeren, dat weer een vector in R Deze constructie oplevert. v1 w1 heet het uitproduct. Voor twee vectoren v = v2 en w = w2 is v3 w3 het uitproduct v × w gedefinieerd door v1 w1 v 2 w3 − v 3 w2 v × w = v 2 × w2 = v 3 w1 − v 1 w3 . v3 w3 v 1 w2 − v 2 w1 4.2 Meetkundige betekenis van het uitproduct De uitdrukking voor het uitproduct is lastig, en lijkt niet direct te doorgronden. Toch kan men aan het uitproduct een meetkundige betekenis toekennen. Het uitproduct v × w blijkt een vector te zijn die loodrecht staat op zowel v als w, en waarvan de lengte gelijk is aan k v k · k w k · sin φ, waarbij φ de hoek (0 ≤ φ ≤ π) is tussen v en w. Deze lengte is dus gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door v en w (zie Figuur 7). w sin φ φ v Figuur 7: De lengte van het uitproduct van v en w is de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door v en w. 4 Het uitproduct 21 Hiermee ligt het uitproduct van twee vectoren bijna helemaal vast: op grond van deze twee eigenschappen kan het uitproduct namelijk nog twee kanten uitwijzen (loodrecht uit het vlak opgespannen door v en w). De juiste richting van v × w is de richting waarin een kurkentrekker beweegt die van v naar w gedraaid wordt. Als gevolg hiervan wijst het uitproduct w ×v precies in tegengestelde richting. Merk op dat de eigenschap w × v = −(v × w) in overeenstemming is met de definitie van het uitproduct. 4.3 Eigenschappen van het uitproduct a) v × v = 0. b) Het uitproduct van v en w staat loodrecht op v en op w: hv × w, vi = 0 en hv × w, wi = 0. Deze eigenschap is handig om, gegeven twee richtingsvectoren van een vlak V in R3 , een normaalvector van V te bepalen. c) Antisymmetrie van het uitproduct: v × w = −(w × v). d) De lengte van het uitproduct in termen van de lengten van v, w en de hoek φ tussen v en w: k v × w k=k v k · k w k · sin φ. e) Lineariteit t.a.v. optelling: u × (v + w) = u × v + u × w en (v + w) × u = v × u + w × u. f) Lineariteit t.a.v. scalaire vermenigvuldiging: λ(v × w) = (λv) × w = v × (λw). 4 Het uitproduct 22 4.4 Over het bewijs van eigenschap d) De eigenschappen a), b), c), e) en f) zijn d.m.v. uitschrijven van de definitie van het uitproduct direct te verifiëren. Omdat eigenschap d) wat lastiger is om aan te tonen, geven we hier een korte toelichting. Om te bewijzen dat k v × w k=k v k · k w k · sin φ, is het handig om op de kwadraten over te stappen en aan te tonen dat k v × w k2 =k v k2 · k w k2 · sin2 φ. Door sin2 φ te vervangen door 1 − cos2 φ, kan men een relatie leggen met het inproduct: k v k2 · k w k2 · sin2 φ =k v k2 · k w k2 ·(1−cos2 φ) =k v k2 · k w k2 −hv, wi2 . Het volstaat dus om te bewijzen dat k v × w k2 gelijk is aan k v k2 · k w k2 −hv, wi2 , dus dat (v2 w3 − v3 w2 )2 + (v3 w1 − v1 w3 )2 + (v1 w2 − v2 w1 )2 gelijk is aan (v12 + v22 + v32 )(w12 + w22 + w32 ) − (v1 w1 + v2 w2 + v3 w3 )2 . Dit kan men eenvoudig nagaan door in beide formules de haakjes weg te werken. 4.5 De inhoud van een parallellepipedum Is P een parallellepipedum opgespannen door de vectoren a, b en c in R3 , axb c c cos φ b a Figuur 8: De inhoud van het parallellepipedum is gelijk aan de absolute waarde van ha × b, ci. dan is de inhoud ervan uit te drukken met behulp van een in- en een uitproduct. Uitgangspunt is dat de inhoud gelijk is aan de oppervlakte van een basisparallellogram, laten we zeggen opgespannen door a en b, vermenigvuldigd met de hoogte. De oppervlakte van het parallellogram is gelijk 5 Opgaven 23 aan k a × b k zoals we al zagen. Omdat a × b loodrecht staat op het parallellogram, is de hoogte gelijk aan de (lengte van de) projectie van c op a × b, dus aan de absolute waarde van k c k · cos φ waarbij φ de hoek is tussen c en a × b. De inhoud is dus k a × b k · k c k ·| cos φ| = |ha × b, ci|. Samengevat: de inhoud van het parallellepipedum opgespannen door de vectoren a, b en c is gelijk aan |ha × b, ci|. 4.6 Voorbeelden. a) Een normaalvector van het vlak V met parameter1 1 3 voorstelling x = 2 + λ 2 + µ 1 is 3 1 0 1 3 −1 2 × 1 = 3 . 1 0 −5 Een vergelijking van het vlak is dus−x + 3y − 5z = d voor een zeker x1 1 y1 2 in, dan vinden we dat d = −10. getal d. Vullen we = z1 3 Een vergelijking is dus −x + 3y − 5z = −10. 0 1 b) De oppervlakte van de driehoek met hoekpunten 0 , 2 , en 0 1 2 −1 , is gelijk aan 3 1 2 7 1 1√ 1 5√ 2 −1 k= k −1 k= k × 75 = 3. 2 2 2 2 1 3 −5 5 Opgaven 1 Teken, uitgaande van twee willekeurige vectoren u en v, de vectoren 5 Opgaven 24 a. 2u + 3v, b. u − v. 2 Gegeven zijn de (verschillende) vectoren u en v. Dan is x = u + λ(v − u) een parametervoorstelling van de rechte door u en v. a. Welke van de volgende uitdrukkingen is ook een parametervoorstelling van deze rechte? (i) x = (1 − λ)u + λv, (ii) x = v + µ(u − v), (iii) x = 2v − u + ρ(u − v). b. Ga na of −2u + 3v op de rechte ligt. 3 Gegeven zijn de verschillende vectoren u, v, w (in de ruimte). a. Laat zien dat x = u + λ(v − u) + µ(w − u) een parametervoorstelling is van het vlak door u, v en w (waarbij we aannemen dat geen van de drie vectoren op de rechte door de andere twee ligt). b. Welke van de volgende uitdrukkingen is ook een parametervoorstelling van dit vlak? x = (1 − λ − µ)u + λv + µw, x = v + λ(v − u) + µ(w − u), x = u + λ(w − v) + µ(w − u). 4 Bepaal een parametervoorstelling van elk van de rechten in a) en b) en voor elk van de vlakken in c) en d). a. De rechte door (2, 1, 5) en (5, −1, 4). b. De rechte door (1, 2) en (2, 4). c. Het vlak door (1, 2, 2), (0, 1, 1) en (1, 3, 2). 5 Opgaven 25 −2 1 d. Het vlak dat zowel de rechte x = 1 + λ 2 bevat als het 3 −1 punt (4, 0, 3). 1 2 + 5 Ga na of (3, 4, 0) op de rechte met parametervoorstelling x = 1 3 1 2 2 −2 λ 2 ligt. Zijn x = 4 + λ 2 en x = 2 + µ −2 0 1 −1 −1 1 parametervoorstellingen van dezelfde rechte? 6 Bepaal een vergelijking 1 +λ a. x = 3 2 +λ b. x = 2 3 +λ c. x = 4 voor elk van de volgende rechten. 2 . −1 1 . −1 0 . 2 7 Bepaal een parametervoorstelling voor elk van de volgende rechten in R2 . a. 2x + 3y = 3. b. 3x − 4y + 7 = 0. c. 2y = 5. 8 Bepaal een vergelijking van elk van de volgende vlakken in R3 . 2 1 1 a. x = 0 + λ 0 + µ −1 . 1 2 0 1 1 0 b. x = 1 + λ 1 + µ 1 . 1 0 1 4 0 1 . c. x = λ 1 +µ 1 −1 5 Opgaven 26 9 Bepaal een parametervoorstelling voor elk van de volgende vlakken in R3 . a. x + y − 3z = 5. b. 2x + 3y + 5z = 0. c. y = 5. 10 Bepaal een parametervoorstelling van de volgende lijn in R3 : x − z = 1, x + 2y + z = 2. 11 Beschouw het vlak V in R3 door de punten (1, 0, −1), (2, 3, −1), en (4, −1, 0). a. Bepaal een parametervoorstelling voor V . b. Bepaal een vergelijking voor V . 12 Teken een vector u in het vlak met lengte 2. Schets alle vectoren in het vlak waarvan het inproduct met u gelijk is aan 1. 13 Toon met behulp van de rekenregels voor het inproduct aan dat geldt: a. hλu, µvi = λµhu, vi voor alle vectoren u, v en scalairen λ en µ. 14 b. hu + v, u − vi =k u k2 − k v k2 voor alle vectoren u en v. −2 a. Bepaal de lengte van de vector 2 . 1 1 1 b. Bepaal de afstand tussen de vectoren −1 en −4 . 1 5 1 1 c. Bepaal de hoek tussen de vectoren 1 en 1 . 2 −1 1 d. Bepaal een getal a zó dat de vector −2 loodrecht staat op de a 3 vector 1 . −1 5 Opgaven 27 15 Bepaal in elk van de volgende gevallen een vergelijking van de rechte door het aangegeven punt en loodrecht op de gegeven rechte. Bepaal ook de afstand van het punt tot de rechte. 2 1 a. P = (3, 2) en ` : x = +λ . 1 −1 b. P = (1, 2) en ` : 3x − 4y = 20. 16 Bepaal een vergelijking voor het vlak V door het punt (2, 1, −2), en met 1 normaalvector 3 . −2 17 Bepaal een vergelijking voor het vlak door de oorsprong en loodrecht op de lijn 1 1 x = 1 + λ 2 . −1 1 18 Laat zien dat de rechte 2 1 2 x= +λ 3 5 3 evenwijdig is aan het vlak x + 6y − 4z = 4. 19 Gebruik het uitproduct om een normaalvector en een vergelijking van elk van de volgende vlakken te bepalen. 1 1 0 a. x = 2 + λ −1 + µ 1 . 2 0 1 2 1 0 b. x = 1 + λ 2 + µ 2 . 0 0 3 20 Bereken met behulp van het uitproduct: a. de oppervlakte van de driehoek met hoekpunten (1, 1, 0), (2, 1, 1), (1, 3, 3). REFERENTIES 28 b. de oppervlakte van de driehoek met hoekpunten (2, 0), (5, 1), (1, 4). c. de inhoud opgespannen door de vectoren vanhet parallellepipedum 1 2 1 1 , 2 , en 0 . 1 3 1 21 Bepaal een parametervoorstelling voor de snijlijn van de vlakken V : 2x + 3y − z = 4 en W : x + y + z = 3. 22 Bepaal de afstand van het punt P = (5, −3, −3) tot het vlak V met vergelijking 2x − 2y − z = 1. Referenties [1] Jan van de Craats. Vectoren en matrices. Epsilon Uitgaven, Utrecht (2000). [2] Bernard Kolman and David R. Hill. Elementary linear algebra with applications, 9-th Edition. Pearson/Prentice Hall, Upper Saddle River (2008). [3] David C. Lay. Linear algebra and its applications, 3-rd Edition update. Pearson/Addison Wesley, Boston (2006).
