t Preben Madsen Statik og styrkelære Bogen behandler den grundlæggende statik og styrkelære efter Eurocodes. Statik og styrkelære er beregnet til bygningskonstruktøruddannelsen, htx-uddannelsen og teknikeruddannelserne, hvor der undervises i de grundlæggende regler og deres praktiske anvendelse inden for elementær konstruktion. Statik-delen omhandler emner som kræfter, tyngdepunkter, belastninger og gitterkonstruktioner. For styrkelærens vedkommende gennemgås den grundlæggende viden inden for stålkonstruktioner, trækonstruktioner og maskinelementer. Statik og styrkelære Preben Madsen Statik og Teknisk styrkelære Matematik Preben Madsen 4. udgave 2. udgave Bogen går logisk og pædagogisk frem med opstilling af regler, eksempler og opgaver. Facitliste findes på statik.nyttf.dk Statik og styrkelære er en sammenskrivning af de to bøger Teknisk Statik og Teknisk Styrkelære. Bogen er gennemrevideret, moderniseret og opdateret. ISBN 978-87-571-2779-9 9 788757 127799 104018-1_Statik_og_styrkelaere_omslag.indd 1 nyttf.dk varenr. 104018-1 16-01-2013 09:01:14 Statik og styrkelære Preben Madsen 2. udgave 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 1 21-01-2013 14:52:25 Statik og styrkelære 2. udgave 2013 © Nyt Teknisk Forlag 2013 Forlagsredaktør: Karen Agerbæk, ka@ef.dk Omslag: Henrik Stig Møller Omslagsfoto: forestiller ARoS, Århus: Adam Mørk og schmidt/hammer/lassen/architects Tegninger: Ebbe Lastein Grafisk tilrettelæggelse: Stig Bing Dtp: Stig Bing og Pihl - grafisk design ISBN: 978-87-571-3319-6 (e-bog) Varenummer: 104018-9 Bogen er sat med Palatino Alle rettigheder ifølge gældende lov om ophavsret forbeholdes. Kopiering fra denne e-bog må ikke finde sted. Nyt Teknisk Forlag Ny Vestergade 17 1471 København K info@nyttf.dk www.nyttf.dk Ekspedition: Erhvervsskolernes Forlag, +45 63 15 17 00 Fax +45 63 15 17 28 3 Forord 2. udgave I forhold til 1. udgave er der foretaget en del ændringer og rettelser. Afsnittet Snitkræfter er forenklet, og symboler er rettet til i overensstemmelse med de nye Eurocodes normer, som er blevet indført i Danmark fra januar 2009. I den forbindelse en stor tak til adjunkt Johan Clausen, Institut for Byggeri og Anlæg, Aalborg Universitet, for mange gode kommentarer og forslag. Statik og Styrkelære erstatter bøgerne Teknisk statik og Teknisk styrkelære og er skrevet med henblik på anvendelse inden for erhvervs- og erhvervsakademiuddannelser og htx-uddannelsen. I bogen er der en del billedkompositioner, der skal vise, at hverdagen er fyldt med mange situationer, hvori der indgår elementer, der kan relateres til statik og styrkelære. Nogle af billederne refererer til relevante situationer, mens andre appellerer til den enkelte om at bruge fantasien og se mulighederne. Som eksempel er der bænken i solnedgangen. Personen påvirker gennem sin tyngde bænken, som i statik- og styrkelære-terminologi er et bøjningspåvirket konstruktionselement. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 3 21-01-2013 14:52:27 4 Teknisk matematik · Forord Bogen er en elementær grundbog og omhandler de grundlæggende principper inden for statik og styrkelære. Endvidere giver bogen eksempler på beregning af enkle konstruktionselementer inden for stålkonstruktion, trækonstruktion og maskinelementer. Bogen er opbygget i en passende rækkefølge med opstilling af regler, eksempler og opgaver. Sidst i hvert afsnit er der et resumeafsnit, hvor de vigtigste formler og regler fra det pågældende afsnit er gengivet. Opgaverne er integreret i bogens enkelte afsnit, og der er facitliste til disse opgaver. Facitlisten finder du på bogens side på ef.dk; gå ind på ef.dk og søg 104018, så ligger de under fanebladet Extra. Endvidere er der et kapitel med blandede opgaver uden facitliste. Bagest i bogen er der et afsnit med bjælkeformler og stikord. Det skal bemærkes, at der findes en del it-beregningsprogrammer og ligeledes en del tegneprogrammer. Bogen indeholder ikke en instruktion til et bestemt program, men det kan anbefales at inddrage itprogrammer og ligeledes tegneprogrammer til afprøvning af de mange grafiske løsningsprincipper, der er i bogen. Januar 2013 Preben Madsen 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 4 21-01-2013 14:52:27 5 Indhold Indledning 7 1. Kræfter og momenter 9 Kraftbegrebet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Definition på kraft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Større kraftsystemer med samme angrebspunkt 28 Kraft- og tovpolygonmetoden . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Parallelle kræfter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Kraftpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Parallelforskydning af kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Loven om aktion og reaktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Ligevægtsbetingelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Resume 1.kapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Tyngdepunkt for trekant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Tyngdepunkt for cirkel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Tyngdepunkt for halvcirkel, cirkeludsnit og cirkelafsnit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Tyngdepunkt for sammensat areal . . . . . . . . . . . 178 Linjers tyngdepunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Inertimoment af rektangel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Inertimoment af cirkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Flytningsformlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Modstandsmoment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Modstandsmoment af rektangel og cirkel . . . . . 199 Polært inerti- og modstandsmoment . . . . . . . . . 200 Normalspænding – træk/trykspænding . . . . . . 209 Forskydningsspænding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Bøjningsspænding. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Torsionsspænding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Sammensatte spændinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 Materialer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Trækprøvning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Forlængelsen ∆L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Styrkebetingelse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Resume 4. kapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 2. Konstruktioner påvirket til bøjning 69 Hvordan virker en belastning?. . . . . . . . . . . . . . . . 69 Belastningsfigurer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Understøtningstyper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Ydre kræfter, aktioner og reaktioner . . . . . . . . . . . 74 Simple understøtninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Indspændinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Beregningsmodeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Statisk ubestemte konstruktioner. . . . . . . . . . . . . . 78 Bestemmelse af reaktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Ydre kræfter, indre kraft og snitkraft. . . . . . . . . . . 90 Snitkræfter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Sammenhænge mellem V- og M-kurver . . . . . . 107 Momentkurver for aksler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Momentpåvirkede konstruktionselementer . . . 124 Resume 2. kapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5. Stålkonstruktioner 229 Normer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Areal-, linje- og punktlast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Materialedata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Partialkoefficienter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Centralt påvirkede trækstænger . . . . . . . . . . . . . 232 Centralt påvirkede trykstænger . . . . . . . . . . . . . . 240 Bøjningspåvirkede konstruktionselementer . . . 249 Forskydningspåvirkede konstruktionselementer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Nedbøjning (deformation). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Fladetryk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 Profiltabeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 Resume 5. kapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 3. Gitterkonstruktioner 131 Opbygning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Beregningsgrundlag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Bestemmelse af reaktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Ritters metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Knudepunktsmetoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Grafisk bestemmelse af stangkræfter . . . . . . . . . 149 Resume 3. kapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6. Trækonstruktioner 273 Normer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Materialer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Styrke- og stivhedstal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 Centralt påvirkede trækstænger . . . . . . . . . . . . . 276 Centralt påvirkede søjler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Bøjningspåvirkede konstruktionselementer . . . 287 Nedbøjning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 Profiltabeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 Resume 6. kapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 4. Styrkelærens grundprincipper 163 Styrkelærens opgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Grundbelastningstyper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Tværsnitskonstanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Legemers tyngdepunkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Arealers tyngdepunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Tyngdepunkt for kvadrat, rektangel, parallelogram og rombe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 5 7. Maskinelementer 297 Styrkeberegning af maskinelementer . . . . . . . . . 297 Karakter af en belastning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 Konstruktionsmaterialer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 Trækpåvirkede maskinelementer . . . . . . . . . . . . 301 Trykpåvirkede maskinelementer . . . . . . . . . . . . . 303 Forskydningspåvirkede maskinelementer. . . . . 305 21-01-2013 14:52:27 Teknisk matematik · Indhold 6 Bøjningspåvirkede maskinelementer . . . . . . . . . 306 Torsionspåvirkede maskinelementer . . . . . . . . . 308 Fladetryk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 Fremgangsmåde ved gennemførelse af en styrkeberegning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 Resume 7. kapitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 8. Opgaver 323 Bjælkeformler 343 Stikord 345 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 6 21-01-2013 14:52:27 7 Indledning Bogens titel er Statik og styrkelære, så det vil være naturligt, at du stiller spørgsmålene: Hvad er statik? og hvad er styrkelære? For at besvare disse spørgsmål kan du kaste et blik rundt på mange af de ting, du har omkring dig. Det kan være ting, som er udformede til ganske bestemte funktioner - det kan være en simpel ting som en gaffel, og det kan være komplicerede ting som fx en bil, der jo er sammensat af rigtig mange dele, hvor den enkelte del er udformet for netop at udfylde en ganske bestemt funktion. I hvert tilfælde kan du opstille nogle krav til den enkelte komponent, for at den netop kan være dig til den nytte, du ønsker. Du får her eksempler på krav, der kan stilles: _d\V`^de¥ccV]dV _d\V`^Y`]USRcYVU _d\V`^_V^SVe[V_Z_X _d\V`^^Z][¥gV_]ZXYVU _d\V`^Re`gVcY`]UV_`c^Vc`XdeR_URcUVc _d\V`^À`eUVdZX_ _d\V`^Re`gVcY`]UVV_acZd De krav, du skal beskæftige dig med i denne bog, er: Dejc\V\cRg`X^`UdeR_U^`UUVW`c^ReZ`_ Hvad betyder så det? – jo, de komponenter og dele, du anvender i en konstruktion, skal kunne holde til de påvirkninger, du udsætter dem for. Sagt på en anden måde må konstruktionen simpelthen ikke gå i stykker og falde fra hinanden. 5fd\R]UVcW`cSVd\¤WeZXVUZX^VUdeReZ\d`^Vc]¤cV_`^]VXV^VcZ]ZXVg¤Xe Statikken vil også sætte dig i stand til at bestemme det punkt i en konstruktion, som er maksimalt belastet. Med den viden kan du så få styrkelæren på banen. Dejc\V]¤cV_Y[¤]aVcUZXUVcVWeVc^VUReSVdeV^^VUVcZXeZXV `X_¥UgV_UZXVUZ^V_dZ`_Vca|UZ_\`_decf\eZ`_ 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 7 21-01-2013 14:52:27 8 Teknisk matematik · Indledning For at illustrere et sådant forløb har du en håndværker på en stige. Du skal forestille dig, at du skal bestemme dimensionerne på trinet, han står på. 1. Du skal starte med at bestemme belastningen. Kender du håndværkerens masse (vægt), kan statikken hjælpe dig med at bestemme belastningen (kraften på trinet). 2. Du skal så videre og se på konstruktionen. I statikken er trinet et konstruktionselement, som du kalder en bjælke. I kapitlet ”Konstruktioner påvirket til bøjning”, kan du finde frem til det punkt på bjælken, der er maksimalt belastet. 3. Nu skal du vælge materiale, og i kapitlet ”Trækonstruktioner” kan du finde et egnet materiale. 4. Med det maksimalt belastede punkt på bjælken og materialet som udgangspunkt har du så muligheden for at komme videre og bestemme en nødvendig dimension på trinet. 5. I profiltabellerne kan du gå ind og finde et tværsnit, der kan leve op til den nødvendige dimension, du har bestemt. Du har dermed løst opgaven, og som det fremgår af eksemplet, kommer du langt omkring i bogen. Du kan så stille spørgsmålet: Hvordan skal bogen så anvendes? De enkelte kapitler er opbygget med eksempler og opgaver og fremstår hver for sig som selvstændige enheder. Som illustreret ved eksemplet er det også muligt at ”springe” i bogen og gennemgå de afsnit eller dele deraf, der er nødvendige for at komme til en helhed set ud fra et undervisningsmæssigt synspunkt. I den forbindelse kan der peges på de eksempler og opgaver, der er gennemgående fra afsnit til afsnit og som netop illustrerer sådanne forløb. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 8 21-01-2013 14:52:28 9 Kræfter og momenter 1 Kraftbegrebet I dette kapitel skal du arbejde med kræfter og momenter. På billedet herover har du en kran, og skal kranen løfte en byrde, kan du omsætte byrdens masse til en kraft. Kender du den vinkelrette afstand fra kraften og til kranens drejningspunkt, kan du gange kraften med den vinkelrette afstand, og du har et moment. Som sagt er det disse to størrelser, du skal i gang med. Du skal nu starte med at se lidt nøjere på kraftbegrebet. Du har et billede af en mand med en kuffert. Kufferten vil give et træk i armen, som skyldes jordens tiltrækningskraft. Tiltrækningskraften kalder du kuffertens tyngdekraft. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 9 21-01-2013 14:52:32 10 Statik og styrkelære · Kræfter og momenter Bliver kufferten skiftet ud med en kuffert med en anden masse, vil trækket i armen på tilsvarende vis være forskelligt. Du kan derfor formulere følgende sætning: En kraft kan opfattes som en størrelse, der holder ligevægt med tyngdekraften. Du skal nu forestille dig, at der bliver givet slip på kufferten som vist på figur 1.01, og den falder frit mod jorden. Fig.1.01 På grund af tyngdekraften vil kuffertens hastighed stige og stige. Du kan derfor formulere en ny sætning: En kraft kan opfattes som en størrelse, der giver et legeme en hastighedsændring. Definition på kraft Du skal have defineret en kraftenhed, og du har det såkaldte S.I.- målesystem, som er en forkortelse af Systeme Internationale d’Unites. Dette målesystem er opbygget af seks grundenheder for størrelserne: Længde. Masse. Tid. Elektrisk strøm. Temperatur. Lysstyrke. Ud fra disse grundenheder afledes så alle øvrige enheder. I statik har kraftenheden den største interesse. Du måler kræfter i enheden Newton, som forkortes N. Definitionen lyder: 1 N (Newton) er den kraft, der ved at påvirke et legeme med masse 1 kg, giver det en acceleration på 1 m/s². Med denne baggrund får du, at et legeme med masse 1 kg placeret et sted, hvor tyngdeaccelerationen er 9,81 m/s², bliver påvirket af en kraft på 9,81 N. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 10 21-01-2013 14:52:32 Definition på kraft 11 Hvis du vender tilbage til billedet med kufferten og sætter dens masse til 20 kg, får du, at tyngdekraften G bliver: G = 20 · 9,81 G = 196,2 N Generelt kan du opstille følgende ligning: G=m·g hvor G er tyngdekraften i N, m er legemets masse i kg og g er tyngdeaccelerationen i m/s2 Inden for statikken kan du ved langt de fleste opgaver afrunde og regne tyngdeaccelerationen g til 10 m/s². Hvor meget er 1 Newton? For at give dig fornemmelsen af størrelsesbegrebet 1 N, må du forestille dig et æble med masse 0,1 kg eller 100 gram placeret som vist på billedet. Du kan bestemme tyngdekraften, idet du kan sætte tyngdeaccelerationen g til 10 m/s². G = 0,1 · 10 G=1N Du har altså, at et æble med masse 0,1 kg (100 gram) udøver en tyngdekraft på 1 N. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 11 21-01-2013 14:52:36 12 Statik og styrkelære · Kræfter og momenter Når du regner kræfter i måleenheden Newton (N), vil det for fleste opgavers vedkommende give store tal. Du kan derfor for overskuelighedens skyld arbejde i kiloNewton (kN) eller MegaNewton (MN). Du får her omregningsfaktorerne: 1 kN = 10³ N 1 MN = 106 N Afbildning af kræfter Det har primært været tyngdekraften, du har set på, men andre fysiske forhold kan give samme virkning, og så må du naturligvis også kalde dem for kræfter. Du får nogle eksempler. Figur 1.02 viser en bjælke i balance under påvirkning af et legeme med tyngdekraft G. Figur 1.02 På figur 1.03 opnår du balancen ved hjælp af tiltrækningskraften mellem to magneter. Figur 1.03 På figur 1.04 opnår du balancen ved hjælp af en fjeder. Figur1.04 Endelig har du figur 1.05, hvor du opnår balancen ved hjælp af muskelkraft. Figur 1.05 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 12 21-01-2013 14:53:06 Definition på kraft 13 Det vil være mest praktisk, at du benytter et fælles symbol, når du afbilder en kraft. Da kræfter virker efter rette linjer, vil det være naturligt at afbilde en kraft ved hjælp af et linjestykke forsynet med en pilespids, der angiver, hvilken retning kraften virker i. Figur 1.06 På figur 1.06 har du billedet af en kraft, og på figur 1.07 har du bjælken forsynet med dette symbol. Figur 1.07 I matematikken kalder man sådan en ”pil” for en vektor, og du skal i de kommende afsnit se på de specielle regneregler, som er gældende for vektorer eller kræfter. Langt de fleste opgaver kan du løse ved hjælp af to metoder, enten grafisk (tegningsmæssig løsning) eller analytisk (beregningsmæssig løsning). Har du adgang til et it-tegneprogram, vil det være oplagt at benytte det til grafiske løsninger. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 13 21-01-2013 14:53:22 14 Statik og styrkelære · Kræfter og momenter Bestemmelse af kraft Du skal forestille dig, at du har en bokser, som bliver slået ud som vist på figur 1.08. Du er ikke i tvivl om, hvor kraften rammer, og i hvilken retning den har virket. Figur 1.08 Skal den slagne bokser hjælpes op som vist på figur 1.09, skal kraften og dens retning placeres et helt andet sted. Figur 1.09 Du får et andet eksempel. Du har en vogn, der er vist i tre situationer som vist på figur 1.10. Figur 1.10 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 14 21-01-2013 14:53:47 Definition på kraft 15 Kraften er den samme i de tre situationer, men retning og angrebspunkt er forskelligt. Virkningen på vognen i de tre situationer vil være forskellig, og du kan derfor fastslå, at følgende tre punkter hører med til en fuldstændig bestemmelse af en kraft (se figur 1.11). 1. 2. 3. Kraftens angrebspunkt. Kraftens retning. Kraftens størrelse. Figur 1.11 Når du løser opgaver, er det altså ikke tilstrækkeligt at ”nøjes” med at angive kraftens størrelse – angrebspunktet og retningen skal du også have med. Du får et eksempel. En kraft er indlagt i et koordinatsystem som vist på figur 1.12. Figur 1.12 Du kan beskrive kraften således: Angrebspunkt: (x,y) = (2,1) Retning: vinkel v = 35º Størrelse: F = 25 kN Grundsætninger om kræfter Når du skal arbejde med, hvordan kræfter påvirker et legeme, er teorien bygget om nogle grundsætninger eller regler. Du kan ikke bevise disse grundsætninger, da de er et resultat af iagttagelser og erfaringer. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 15 21-01-2013 14:53:57 16 Statik og styrkelære · Kræfter og momenter Du får grundsætning nr. 1: En kraft kan forskydes i sin virkelinje, uden at det ændrer noget i legemets bevægelsestilstand, blot forbindelsen mellem kraft og legeme bibeholdes (se figur 1.13). Figur 1.13 Umiddelbart er denne regel kendt, idet du jo får samme resultat ud af at skubbe en vogn som at trække med samme kraft som vist på figur 1.14. Figur 1.14 Du får grundsætning nr. 2: To lige store modsatrettede kræfter, som har samme virkelinje, ophæver hinandens virkning på et legeme (se figur 1.15). Figur 1.15 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 16 21-01-2013 14:54:17 Definition på kraft 17 Du får grundsætning nr. 3, som omhandler kræfternes parallelogram: To kræfter, der angriber i samme punkt på et legeme, kan sammensættes og erstattes af en kraft R, som du kalder resultanten. Konstruktionen fremgår af figur 1.16. Figur 1.16 Figur 1.17 Du behøver imidlertid ikke at konstruere hele parallelogrammet, men kan tegne som vist på figur 1.17 eller figur 1.18. Figur 1.18 Denne måde at bestemme resultanten på kan du formulere således: Kræfterne afsættes efter hinanden – resultanten er beliggende fra begyndelsespunktet af den først tegnede kraft til pilpunktet af den sidst tegnede kraft. Ud fra sætningen om kræfternes parallelogram kan du også løse den omvendte opgave, nemlig at opløse en enkeltkraft i to kræfter, når deres virkelinjer er givet. Du får et eksempel. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 17 21-01-2013 14:54:33 18 Statik og styrkelære · Kræfter og momenter På figur 1.19 har du en kraft, som skal erstattes af to kræfter med virkelinjer m og n. Figur 1.19 På figur 1.20 har du den geometriske løsning. Figur 1.20 Gennem R’s endepunkt tegner du linjer, der er parallelle linjer med de givne linjer m og n. Herved får du kræfterne Fm og Fn. Disse to kræfter kalder du i almindelighed for komposanter, – altså, kraften R kan du erstatte af to komposanter Fm og Fn. Det var som nævnt den geometriske løsning, du fik vist. Skal du beregne en løsning, skal du have hjælp af trigonometri. Det får du at se i det kommende eksempel. EKSEMPEL 1.01 På figur 1.21 har du en kraft på 75 N, der danner en vinkel på 25º med vandret. Figur 1.21 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 18 21-01-2013 14:54:52 Definition på kraft 19 Du skal beregne størrelsen på kraftens vandrette og lodrette komposant. Du tegner som vist på figur 1.22 og kan anvende formlerne for beregning af retvinklede trekanter. Figur 1.22 Rækkefølgen er vilkårlig, men du kan starte med at beregne den vandrette komposant H: cos 25° = H : 75 H = 75 ⋅ cos 25° = 67,97 N Herefter den lodrette komposant: sin 25° = V : 75 V = 75 ⋅ sin 25° = 31,70 N EKSEMPEL 1.02 Du har et legeme, der er påvirket af to kræfter F1 = 20 N og F2 = 30 N som vist på figur 1.23. Figur 1.23 Du skal bestemme resultanten både grafisk og analytisk. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 19 21-01-2013 14:55:10 20 Statik og styrkelære · Kræfter og momenter Grafisk løsning Du kan starte med at vælge en passende kraftmålestok. Du benytter grundsætning nr. 3 – kræfterne afsættes efter hinanden, først F1 og derefter F2. Resultanten R er beliggende fra begyndelsespunktet af den først tegnede kraft til pilpunktet af den sidst tegnede kraft. F1 F2 R Figur 1.24 Du har løsningen på figur 1.24 og kan måle resultanten og får: R = 50 N Analytisk løsning Da kræfterne virker i samme linje, kan du lægge dem sammen direkte. Du kan vælge at regne positivt mod højre, som er anskueliggjort ved den lille pil. Det giver: →+ R = 20 + 30 = 50 N EKSEMPEL 1.03 Du har et legeme, som er påvirket af to kræfter F1 = 40 N og F2 = 60 N som vist på figur 1.25. Figur 1.25 Du skal bestemme resultanten både grafisk og analytisk. Grafisk løsning Du vælger en passende kraftmålestok og benytter grundsætning nr. 3. Kræfterne afsættes efter hinanden – først F1 og derefter F2. Resultanten R er beliggende fra begyndelsespunktet af den først tegnede kraft til pilpunktet af den sidst tegnede kraft. Figur 1.26 Du har løsningen på figur 1.26 og kan måle resultanten og får: R = 20 N 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 20 21-01-2013 14:55:26 Definition på kraft 21 Analytisk løsning Du kan benytte figur 1.25 som udgangspunkt for beregningen og vælge at regne positivt mod højre. Du får: →+ R = 40 − 60 = −20 N Minustegnet viser dig, at resultantens retning er mod venstre. Du kunne også have valgt at regne positivt mod venstre. Beregningen ville da være kommet til at se således ud: ←+ R = −40 + 60 = 20 N Plus-tegnet viser dig, at resultantens retning er mod venstre, nemlig den retning du valgte at regne positivt i. De to gennemregnede eksempler viser dig, at du frit kan vælge, hvilken retning du vil regne positivt i. EKSEMPEL 1.04 Gennemgående eksempel – fortsætter i eksempel 5.02. Du har en byrde med masse 3000 kg, som er hængt op i et stangsystem som vist på figur 1.27. Figur 1.27 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 21 21-01-2013 14:55:35 22 Statik og styrkelære · Kræfter og momenter Du skal beregne størrelsen af kræfterne, som bliver overført i de to stænger. Du bestemmer først byrdens tyngdekraft og regner tyngdeaccelerationen til 10 m/s². G=m·g G = 3000 · 10 = 30.000 N = 30 kN Du benytter grundsætning nr. 3, men denne gang omvendt, idet kraften G skal opløses i de to retninger, som stængerne danner. Du har den geometriske konstruktion på figur 1.28, og da kræfterne i stængerne er lige store, kan du benytte den viste trekant til at bestemme S1. Figur 1.28 Du får: 30 cos 30° = 2 S1 1 = 15 = 17, 32 N cos 30° Da S1 og S2 er lige store, kan du skrive løsningen: S1 = S2 = 17,32 kN EKSEMPEL 1.05 På et fundament til forankring af en opspændt mast er to stålwirer fastgjort som vist på figur 1.29. Figur 1.29 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 22 21-01-2013 14:55:51 Definition på kraft 23 Du har givet, at kræfterne i de to stålwirer er henholdsvis F1 = 1200 N og F2 = 700 N. Du skal ved beregning bestemme den resulterende kraft på fundamentet. Figur 1.30 Du kan starte med at tegne krafttrekanten og bestemme vinklen v (se figur 1.30): v = 180º − 30º = 150º Du har dermed en beregningstrekant med tre kendte størrelser som vist på figur 1.31. Figur 1.31 Du skal nu have fat i en af beregningsformlerne fra trigonometri, som gælder for vilkårlige trekanter. Du kan benytte cosinus-relationen, som ser således ud: a² = b² + c² −2bc cos A Du kan overføre det til beregningstrekanten og får: R2 = 1200 2 + 700 2 − 2 ⋅ 1200 ⋅ 700 ⋅ cos 150° R = 1200 2 + 700 2 − 2 ⋅ 1200 ⋅ 700 ⋅ cos 150° R = 1839 , 8 N ≅ 1840 N Du skal også bestemme resultantens retning, og det gør du ved at finde vinkel x. Du har igen en formel fra trigonometrien, som kan hjælpe dig: b2 + c 2 − a2 2⋅b⋅c Overført til beregningstrekanten får du: cos A = cos x = 1200 2 + 1840 2 − 700 2 2 ⋅ 1200 ⋅ 1840 x = 10,95° OPGAVE 1 Du har givet en kraft på 130 N, som danner en vinkel på 48º med vandret. Du skal beregne størrelsen af kraftens vandrette og lodrette komposant. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 23 21-01-2013 14:56:08 24 Statik og styrkelære · Kræfter og momenter OPGAVE 2 Du har givet to kræfter på henholdsvis 60 N og 80 N, som danner 90º med hinanden. a) Du skal ved beregning bestemme resultanten. b) Du skal ved beregning bestemme den vinkel, resultanten danner med kraften på 60 N. OPGAVE 3 Du har givet to kræfter på henholdsvis 135 N og 360 N, som danner en vinkel på 110º med hinanden. a) Du skal ved beregning bestemme resultanten. b) Du skal ved beregning bestemme den vinkel, resultanten danner med kraften på 360 N. OPGAVE 4 Du har givet, at resultanten af to kræfter er 10 N. Resultanten danner en vinkel på 120º med den ene komposant, der også er 10 N. Du skal ved beregning bestemme størrelsen af den anden komposant. OPGAVE 5 Du har givet en byrde med masse 50 kg, der er ophængt i en ring C som vist på figur 1.32. Figur 1.32 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 24 21-01-2013 14:56:19 Definition på kraft 25 Ringen C er fastholdt af to tove, der er fastgjort til i punkterne A og B. Målene er AB = 5 m, BC = 4 m og AC = 3 m. Du skal bestemme størrelsen på kræfterne, der bliver overført i de to tove. OPGAVE 6 Du har givet en del af en gitterkonstruktion, hvor to vinkelstål er svejst til en plade som vist på figur 1.33. Figur 1.33 Trækkræfterne i vinkelstålene er F1 = 450 N og F2 = 500 N. a) Du skal ved beregning bestemme den resulterende trækkraft. b) Du skal ved beregning bestemme den vinkel, den resulterende trækkraft danner med vandret. OPGAVE 7 Du har givet et støbejernsrør med masse 200 kg, der er hængt op som vist på figur 1.34. Figur 1.34 Du skal bestemme størrelserne på trækkræfterne, der bliver overført i tovene. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 25 21-01-2013 14:56:35 26 Statik og styrkelære · Kræfter og momenter OPGAVE 8 Du har en trappestige, som står på en skrå flade som vist på figur 1.35. Figur 1.35 En person med masse 70 kg står på det øverste trin. Du skal bestemme kræfterne, som bliver overført i stigens ben. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 26 21-01-2013 14:56:45 Definition på kraft 27 OPGAVE 9 Du har en del af et spærfag som vist på figur 1.36. Figur 1.36 I et af knudepunkterne virker en kraft som vist. Du skal ved beregning bestemme kraftens vandrette og lodrette komposant. OPGAVE 10 Du har en byrde med tyngde G = 1 kN, som holdes som vist på figur 1.37. Figur 1.37 Vinklen a kan variere. Du skal grafisk bestemme størrelsen af trækkræfterne i de to tovparter, når vinklen a er: a) 0º b) 45º c) 90º d) 120º e) 150º OPGAVE 11 Du har givet en kraft på 500 N. Du skal opløse kraften i to komposanter, der danner henholdsvis 25º og 115º med den givne kraft. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 27 21-01-2013 14:57:02 28 Statik og styrkelære · Kræfter og momenter OPGAVE 12 Du har givet en byrde med masse 450 kg, som bliver fastholdt i den viste stilling på figur 1.38. Figur 1.38 Du skal bestemme størrelsen af den resulterende trækkraft i stangen. Større kraftsystemer med samme angrebspunkt Du har hidtil arbejdet med to kræfter, men grundsætningerne kan du uden problemer overføre til større kraftsystemer, hvor der er mere end to kræfter. Du får først den grafiske metode. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 28 21-01-2013 14:57:11 Større kraftsystemer med samme angrebspunkt 29 Du har et kraftsystem med tre kræfter F1, F2 og F3, der har samme angrebspunkt og retninger som vist på figur 1.39. Figur 1.39 Du benytter grundsætningen om kræfternes parallelogram og bestemmer først resultanten R1-2 af kræfterne F1 og F2. Derefter sammensætter du R1-2 sammen med F3 til den endelige resultant R. Du kunne have også have benyttet den fremgangsmåde, som er vist på figur 1.40. Figur 1.40 Du starter ud fra et vilkårligt punkt med at afsætte F1, fra dens pilspids afsættes F2 osv. Du kan forbinde begyndelsespunktet med pilpunktet af den sidst afsatte kraft. Resultanten R har du så i størrelse og retning fra begyndelsespunktet og ud til pilpunktet af den sidst tegnede kraft. Figur 1.40 kalder du en kraftpolygon. Hvis du skulle løse samme opgave analytisk, altså ved beregning, vil du med fordel kunne indlægge et koordinatsystem på figuren. Koordinatsystemet indlægger du således, at kræfternes angrebspunkt er placeret i koordinatsystemets begyndelsespunkt (0,0) som vist på figur 1.41. Figur 1.41 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 29 21-01-2013 14:57:36 30 Statik og styrkelære · Kræfter og momenter Kræfterne opløser du i komposanter, der virker i henholdsvis horisontal og vertikal retning. Kræfternes virkelinjer får du på denne måde reduceret til to, nemlig en i horisontal retning og en i vertikal retning. Du kan sammensætte kræfterne, der virker i horisontal retning til en resultant, som du kalder ΣH. På tilsvarende kan du sammensætte kræfterne, der virker i vertikal retning til en resultant, som du kalder ΣV. Σ-tegnet er det græske bogstav sigma, som du her benytter som summationstegn. Du kan bestemme den endelige resultant R ved at sammensætte ΣH og ΣV som vist på figur 1.42. Figur 1.42 2 2 2 R = (ΣH ) + (ΣV ) 2 2 R = (ΣH ) + (ΣH ) Du skal også bestemme resultantens retning, og det kan du gøre ved at finde vinklen a således: tan a = ΣV ΣH EKSEMPEL 1.06 Du har givet fire kræfter F1 = 48 kN, F2 = 25 kN, F3 = 23 kN og F4 = 13 kN, som er indlagt i et koordinatsystem med retninger som vist på figur 1.43. Figur 1.43 Du skal ved beregning bestemme resultantens størrelse og retning. Du kan løse opgaven på flere måder. Du får mulighed for at se på to løsninger. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 30 21-01-2013 14:57:53 Større kraftsystemer med samme angrebspunkt 31 Løsning 1 Du forskyder kraften F1, således at alle kræfterne udgår fra (0,0) som vist på figur 1.44. Endvidere bestemmer du de vinkler, kræfterne danner med den vandrette akse. Figur 1.44 Du opløser kræfterne hver for sig i to komposanter, der virker i henholdsvis x- og y- aksens retning. Herefter skal du have beregnet størrelserne på komposanterne og benytter: V sin a = V = F ⋅ sin a F cos a = H F H = F ⋅ cos a Du kan herefter beregne størrelsen på komposanterne: V1 = 28 ⋅ sin 15° = 7 , 25 V2 = 25 ⋅ sin 80° = 24 , 62 V3 = 23 ⋅ sin 25° = 9 , 72 V4 = 13 ⋅ sin 30° = 6 , 5 H1 = 28 ⋅ cos 15° = 27 , 05 H 2 = 25 ⋅ cos 80° = 4 , 34 H 2 = 23 ⋅ cos 25° = 20 , 85 H 4 = 13 ⋅ cos 30° = 11, 26 Du kan bestemme resultanterne, der virker i henholdsvis x- og y-aksens retning: ΣV = −7 , 25 + 24 , 62 + 9 , 72 − 6 , 5 = 20 , 59 ΣH = −27 , 05 + 4 , 34 − 20 , 85 + 11, 26 = −32 , 3 Minus-tegnet viser, at ΣH’s retning er mod venstre. Du kan placere ΣH og ΣV i koordinatsystemet som vist på figur 1.45, og du kan beregne den endelige resultant R. Figur 1.45 2 2 R = (ΣH ) + (ΣV) 2 R = (−32 , 3) + 20 , 59 2 = 38 , 3 kN 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 31 21-01-2013 14:58:10 32 Statik og styrkelære · Kræfter og momenter Du kan også bestemme resultantens retning ved at finde vinklen v: tan v = ΣV 20 , 59 = ΣH 32 , 3 v = 32, 52° Løsning 2 Du forskyder igen F1, således at alle kræfter udgår fra (0,0) som vist på figur 1.46. Endvidere bestemmer de vinkler, som kræfterne danner med x-aksens positive retning. Figur 1.46 Du kan nu beregne størrelsen på resultanterne, der virker i henholdsvis x- og y-aksens retning: ΣV = 25 ⋅ sin 80° + 23 ⋅ sin 155° + 28 ⋅ sin 195° + 13 ⋅ sin 330° ΣV = 20 , 59 ΣH = 25 ⋅ cos 80° + 23 ⋅ cos 155° + 28 ⋅ cos 195° + 13 ⋅ cos 330° ΣH = −32 , 3 Nu foregår resten af beregningerne som ved løsning 1, så det kan du springe over. OPGAVE 13 Du har givet tre kræfter F1 = 200 N, F2 = 500 N og F3 = 900 N, som angriber i samme punkt på et legeme og har samme virkelinjer som vist på figur 1.47. F2 F1 F3 Figur 1.47 Du skal bestemme resultanten i størrelse og retning. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 32 21-01-2013 14:58:19 Større kraftsystemer med samme angrebspunkt 33 OPGAVE 14 Du har givet en telefonmast, som er fastgjort ved hjælp af fire wirer som vist på figur 1.48. F3 45 F2 F1 30 F4 Figur 1.48 Trækkræfterne i wirerne er F1 = 3 kN, F2 = 2,5 kN, F3 = 2,5 kN og F4 = 3 kN. Du skal ved beregning bestemme resultantens størrelse og retning. OPGAVE 15 Du har givet en gitterkonstruktion, hvor fire stænger er svejst til en plade som vist på figur 1.49. 30 F3 F2 30 F1 F4 Figur 1.49 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 33 21-01-2013 14:58:23 34 Statik og styrkelære · Kræfter og momenter Kraftpåvirkningen i de enkelte stænger er: F1 = 430 N, F2 = 490 N, F3 = 385 N og F4 = 430 N. Du skal ved beregning bestemme resultantens størrelse og retning. OPGAVE 16 Du har givet fire kræfter, som er indlagt i et koordinatsystem, og som alle udgår fra punktet (0,0). Kræfterne er: F1 = 20 N, F2 = 20 N, F3 = 10 N og F4 = 25 N. Kræfterne danner følgende vinkler med x-aksens positive retning: v1= 15º, v2 = 120º, v3 = 240º og v4 = 320º. Du skal ved beregning bestemme resultantens størrelse og retning. OPGAVE 17 Du skal ved beregning bestemme resultantens størrelse og retning af de på figur 1.50 viste fire kræfter. 150 N 500 N 20 40 60 35 300 N 600 N Figur 1.50 Du skal kontrollere løsningen grafisk. OPGAVE 18 Du har givet fire kræfter, som alle udgår fra samme punkt: F1 = 675 N, F2 = 325 N, F3 = 460 N og F4 = 325 N. Kræfterne danner følgende vinkler med x-aksens positive retning: v1 = 42º, v2 = 115º, v3 = 256º og v4 = 305º. Du skal ved beregning bestemme resultantens størrelse og retning. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 34 21-01-2013 14:58:23 Større kraftsystemer med samme angrebspunkt 35 OPGAVE 19 Du skal ved beregning bestemme resultantens størrelse og retning af de på figur 1.51 viste fire kræfter. 2 MN 3 MN 60 90 4 MN 90 120 3 MN Figur 1.51 Du skal kontrollere løsning grafisk. OPGAVE 20 Du har givet en kileremskive, der som vist på figur 1.52 er påvirket af to kræfter S1 = S2 = 10 kN. Figur 1.52 Du har desuden givet, at remskivens tyngde G = 2 kN. Du skal bestemme den resulterende kraft på akslen. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 35 21-01-2013 14:58:25 36 Statik og styrkelære · Kræfter og momenter Kraft- og tovpolygonmetoden Du har indtil nu arbejdet med opgaver, hvor kræfterne har haft samme angrebspunkt. Du skal derfor prøve at overføre nogle af de metoder, du har arbejdet med, på opgaver, hvor kræfterne ikke har samme angrebspunkt. Du har to kræfter F1 og F2 med størrelser, retninger og angrebspunkter A og B som vist på figur 1.53. F1 A F2 F1 B R F2 Figur 1.53 Du skal erstatte de to kræfter med en resultant. Du kan forskyde F1 og F2 i deres virkelinjer til skæring, og du kan derefter bestemme resultanten ved hjælp af kræfternes parallelogram. Denne metode er upraktisk, især hvis der er flere end to kræfter, og hvis kræfterne er parallelle, kan den slet ikke anvendes. Du anvender derfor en metode, der kaldes kraft- og tovpolygonmetoden, som er en grafisk løsningsmetode. Du har igen to givne kræfter F1 og F2 som vist på figur 1.54. F1 So F2 S1 -S1 F1 S2 So S1 F2 -S1 R S2 R Figur 1.54 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 36 21-01-2013 14:58:25 O Kraft- og tovpolygonmetoden 37 Først tegner du en kraftpolygon som vist på figur 1.55. F1 So F2 F1 S1 S2 -S1 So S1 F2 -S1 O R S2 Figur 1.55 I passende afstand fra kraftpolygonen vælger du et punkt O, som du R kalder polen. Du forbinder polen med kræfternes begyndelsespunkter og pilpunkter i kraftpolygonen. Du får derved nogle linjer, som du kalder polstråler. Du skal nu forestille dig, at kraften F1 bliver opløst i to enkeltkræfter S0 og S1. Du skal nu tilbage til figur 1.54. Derefter vælger du et vilkårligt punkt på kraften F1’s virkelinje, og du anbringer erstatningskræfterne S0 og S1 i dette punkt. På tilsvarende må du forestille dig, at kraften F2 bliver opløst i to enkeltkræfter –S1 og S2. Du skal så også have placeret –S1 og S2 på kraften F2’s virkelinje, og du vælger at gøre det i det punkt, hvor S1’s virkelinje skærer F2. Du har nu, at de givne kræfter F1 og F2 kan erstattes af fire kræfter, nemlig S0, S1, −S1 og S2. Du har, at S1 og –S1 ophæver hinanden, og tilbage har du S0 og S2 . Du kan forlænge S0 og S2’s virkelinjer til skæring, og du får herved bestemt et punkt på resultantens virkelinje. Gennem dette punkt kan du tegne en kraft med samme størrelse og retning som resultanten R fra kraftpolygonen, og dermed har du løst opgaven. Den figur, der dannes af S0, S1, −S1 og S2 kalder du en tovpolygon. Du kan nu opstille følgende regel: Du bestemmer resultanten i størrelse og retning i kraftpolygonen. Du bestemmer resultantens beliggenhed ved at forlænge S0 og S2’s virkelinjer til skæring. Skæringspunktet giver dig et punkt på resultantens virkelinje. Tovpolygonen har i realiteten ikke noget at gøre med kræfternes størrelse, men hjælper dig med at bestemme et punkt på resultantens virkelinje. Du kan benytte følgende fremgangsmåde, når du skal løse en opgave: 1. Du tegner de givne kræfter, idet du vælger en passende kraft- og længdemålestok. 2. Du tegner en kraftpolygon med polstråler. 3. Du parallelforskyder polstrålerne og starter i et vilkårligt punkt på første krafts virkelinje. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 37 21-01-2013 14:58:25 Statik og styrkelære · Kræfter og momenter 38 4. Du forlænger første og sidste polstråle til skæring. Skæringspunktet er et punkt på resultantens virkelinje. 5. Du parallelforskyder resultanten. 6. Du måler og angiver de fundne resultater. EKSEMPEL 1.07 Du har givet fire kræfter med størrelse og beliggenhed som vist på figur 1.56. 12 19 24 28 N 19 N 25 N 0 4 3 38 N 0 2 1 1 3 x 2 4 R R Figur 1.56 Du skal bestemme resultantens størrelse, retning og beliggenhed. Du vælger at følge den førnævnte fremgangsmåde: 1. Du afsætter og tegner de fire kræfter, idet du vælger en passende kraft- og længdemålestok 2. Du tegner en kraftpolygon med polstråler som vist på figur 1.57 og nummererer polstrålerne. 12 28 N 19 N 25 N 0 19 24 0 4 3 38 N 2 1 1 3 x 2 4 R R 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 38 Figur 1.57 21-01-2013 14:58:26 Kraft- og tovpolygonmetoden 39 3. Du parallelforskyder polstrålerne til figur 1.56, idet du starter i et vilkårligt punkt på den første krafts virkelinje. 4. Du forlænger polstråle 0 og 4 til skæring. Skæringspunktet er et punkt på resultantens virkelinje. 5. Du parallelforskyder resultanten R fra figur 1.57 til figur 1.56, således at resultantens virkelinje går gennem skæringspunktet mellem polstråle 0 og 4. 6. Du måler resultanten R og afstanden x: R = 72 N og x = 19 mm OPGAVE 21 Du har givet to parallelle kræfter, som har størrelse og beliggenhed som vist på figur 1.58 3 m 12 N 23 N Figur 1.58 Du skal ved hjælp af kraft- og tovpolygonmetoden bestemme resultantens størrelse, retning og beliggenhed. OPGAVE 22 Du har givet tre parallelle kræfter med størrelse og beliggenhed som vist på figur 1.59. Længdemål er i meter. 18 N 16 N 3 1 22 N Figur 1.59 Du skal ved hjælp af kraft- og tovpolygonmetoden bestemme resultantens størrelse, retning og beliggenhed. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 39 21-01-2013 14:58:26 40 Statik og styrkelære · Kræfter og momenter OPGAVE 23 Du har givet fire kræfter med størrelse, retning og beliggenhed som vist på figur 1.60. 4 MN 3 MN 6 MN 60 3m 4 MN 60 2,5 m 45 3m Figur 1.60 Du skal ved hjælp af kraft- og tovpolygonmetoden bestemme resultantens størrelse, retning og beliggenhed. Moment I det foregående afsnit fik du set på den grafiske metode, når du arbejder med kræfter med forskelligt angrebspunkt. Du skal nu videre og se på beregningsmetoden, men inden skal du se på momentbegrebet. Du får igen billedet fra starten af dette kapitel, hvor du har en byggekran, der kan løfte en byrde. Byrdens tyngde kan omsættes til en kraft, og kender du den vinkelrette afstand ind til kranens drejepunkt, kan du gange kraften med afstanden, og du har et moment. Hvis byrden flyttes længere ud, får du et større moment. På tilsvarende måde, hvis tyngden på byrden ændrer sig, får du også forskellige momenter. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 40 21-01-2013 14:58:28 Moment a 41 F Figur 1.61 Du får nu defineret et moment. Du har på figur 1.61 en møtrik, der bliver spændt ved af hjælp af en nøgle. Du har en kraft F og en vinkelret afstand a. Du får: Ved et moment forstås produktet af kraften F og den vinkelrette afstand a fra omdrejningspunktet. Du kan udtrykke det i en ligning: !+ M = F ⋅ a (N ⋅ m = Newtonmeter) Pilen til venstre for M viser dig, hvilken positiv omdrejningsretning der er valgt. I dette tilfælde regner du momentet positivt, når det drejer ”med uret”. Symbolsk kan du angive et moment på to måder som vist på figur 1.62a og b og figur 1.63a og b. a M F a) b) Figur 1.62a Figur 1.62b a M F a) Figur 1.63 a b) Figur 1.63b Symbolerne angiver samtidig, hvilken vej momentet drejer. Figur 1.62a og b viser et moment, der drejer højre om – ”med uret”, mens figur 1.63a og b viser et moment, der drejer venstre om – ”mod uret”. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 41 21-01-2013 14:58:32 42 Statik og styrkelære · Kræfter og momenter EKSEMPEL 1.08 Du har en svejst konstruktion bestående af to stk. plade som vist på figur 1.64. F a Figur 1.64 Belastning F = 90 N og afstanden a = 0,5 m. Du skal bestemme momentets størrelse ved svejsningerne. Du benytter definitionen på moment og får: M = −F · a M = −90 · 0,5 M = −45 Nm + Minustegnet viser dig, at momentet drejer modsat den positive omløbsretning, du valgte i starten. EKSEMPEL 1.09 Du har givet en pladekonstruktion, der består af to stk. plade som vist på figur 1.65. 40 mm 50 F Figur 1.65 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 42 21-01-2013 14:58:34 Moment 43 Belastning F = 1,2 kN. Du skal bestemme momentets størrelse ved svejsningerne. Du kan bestemme momentet på to måder, og du vil få begge løsninger at se. Løsning 1 Moment-armen er altid den vinkelrette afstand, og på figur 1.66 er den vist som a. a 50˚ 40˚ 50˚ F Figur 1.66 Du skal have bestemt a og benytter den retvinklede trekant: sin 50° = a 40 a = 40 ⋅ sin 50° = 30 , 64 mm Herefter kan du bestemme momentet: + M = 1,2 · 30,64 M = 36,8 kNmm Løsning 2 Ved løsning 1 arbejdede du ud fra kraften som en konstant størrelse og bestemte derefter den tilhørende moment-arm. Du kan imidlertid også gøre det modsatte og lade moment-armen være de 40 mm og så opløse kraften F i to komposanter V og H som vist på figur 1.67. 40 mm H 50 V F Figur 1.67 Kraften V står vinkelret på moment-armen og bliver derfor den kraft, du skal finde for at kunne bestemme momentet M. Kraften H har ingen indflydelse på momentet, da der jo ikke er en vinkelret moment-arm. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 43 21-01-2013 14:58:34 44 Statik og styrkelære · Kræfter og momenter Du bestemmer V og benytter: sin 50° = V F V = F ⋅ sin 50° = 1, 2 ⋅ sin 50° = 0 , 919 kN Herefter kan du bestemme momentet M: + M = V ⋅ 40 M = 0,919 · 40 M = 36,8 kNmm OPGAVE 24 Du har givet en konstruktionsdel, som er påvirket som vist på figur 1.68. Afstandene er i meter. 5 kN 3 kN A 1,5 2 Figur 1.68 Du skal bestemme momentets størrelse i punkt A. OPGAVE 25 Du har givet en del af konstruktion, hvori der indgår en stiftforbindelse, der er påvirket som vist på figur 1.69. 42 mm A 30 440 N Figur 1.69 Du skal bestemme momentets størrelse i punkt A. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 44 21-01-2013 14:58:35 Moment 45 OPGAVE 26 Du har givet en konstruktionsdel, som er påvirket som vist på figur 1.70. 230 N 1,2 m 315 N 2m A Figur 1.70 Du skal bestemme momentets størrelse i punkt A. OPGAVE 27 Du har givet en konstruktionsdel, som er påvirket af to kræfter som vist på figur 1.71. Længdemål er i meter. 2,5 kN 1,9 kN 45˚ A 1,8 1,6 Figur 1.71 Du skal bestemme momentets størrelse i punkt A. OPGAVE 28 Du har givet et travers, som er udformet som vist på figur 1.72. Traverset skal anvendes i forbindelse med en løfteopgave. Løftebyrden G = 10 kN. 1 100 2 G Figur 1.72 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 45 21-01-2013 14:58:35 46 Statik og styrkelære · Kræfter og momenter a) Du skal bestemme trækket i de to wire-parter 1 og 2. b) Du har detaljeret vist fastgørelsen af en wire-part på figur 1.73. F1 30 mm A Figur 1.73 Du skal bestemme momentets størrelse i punkt A. Parallelle kræfter Du kan også få en opgave, hvor der er givet to parallelle kræfter, som skal erstattes af en resultant, hvis moment om et vilkårligt punkt skal være det samme som momentet af de to parallelle kræfter. a b A+ F2 F1 x R Figur 1.74 Du har givet to parallelle kræfter F1 og F2 som vist på figur 1.74. Afstanden mellem dem er a, og der er endvidere en afstand b til et vilkårligt valgt omdrejningspunkt A. Du starter med at bestemme resultanten i størrelse og retning: ↓+ R = F1 + F2 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 46 21-01-2013 14:58:36 Parallelle kræfter 47 Du bestemmer momentet af kræfterne F1 og F2 om punkt A: + M = F1 (a + b) + F2 ⋅ b På tilsvarende måde bestemmer du resultantens moment om A: + Heraf må du få: M = R⋅x R ⋅ x = F1 (a + b) + F2 ⋅ b Af denne ligning kan du bestemme afstanden x, og da du i forvejen har bestemt resultanten R, har du løst opgaven. Udtrykt i ord får du: Resultantens moment om et vilkårligt punkt er lig med summen af enkeltkræfternes moment om samme punkt. Du kalder ligningen for momentligningen, og du kan benytte følgende fremgangsmåde, når du skal løse en opgave: 1. 2. 3. 4. Du bestemmer resultanten i størrelse og retning Du indtegner resultanten på figuren, og du må gøre det et vilkårligt sted. Du vælger et momentpunkt. Du anvender momentligningen og bestemmer resultantens beliggenhed. EKSEMPEL 1.10 Du har givet tre parallelle kræfter som vist på figur 1.75. F1 = 12 N, F2 = 8 N og F3 = 15 N. Afstande er i mm. 20 15 F2 F1 x F3 R Figur 1.75 a) Du skal bestemme resultantens størrelse og retning. b) Du skal bestemme resultantens beliggenhed. 1. Du følger den nævnte fremgangsmåde og får: ↓+ R = 12 − 8 + 15 = 19 N Du bestemmer resultanten, idet du vælger positiv retning nedad. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 47 21-01-2013 14:58:37 48 Statik og styrkelære · Kræfter og momenter 2. Du indtegner resultanten R på figur 1.75. Dit udgangspunkt er størrelsen og retningen. Du mangler beliggenheden, og den gætter du på. 3. Du skal have valgt et omdrejningspunkt og vælger et punkt på F1’s virkelinje. Afstanden mellem det valgte omdrejningspunkt og resultanten kalder du x. 4. Du skal have bestemt afstanden x og benytter momentligningen: !+19 ⋅ x = 12 ⋅ 0 − 8 ⋅ 15 + 15 ⋅ 35 x = 21, 3 mm Resultatet viser dig, at resultanten R er beliggende, som du havde gættet – nemlig til højre for F1. 15 x 20 F2 R F3 F1 Figur 1.76 Havde du gættet, at resultanten R ville ligge som vist på figur 1.76, ville momentligningen give dig følgende løsning: !+−19 ⋅ x = 12 ⋅ 0 − 8 ⋅ 15 + 15 ⋅ 35 x = −21, 3 mm Minus-tegnet viser dig, at du har gættet forkert med hensyn til beliggenheden af resultanten R. Resultanten R skal ligge til højre for det omdrejningspunkt, du valgte. De to resultater viser dig, at udgangspunktet er resultantens størrelse og retning. Din eneste ubekendt er placeringen, og den gætter du på, Momentligningen giver dig svar på, om du har gættet rigtigt. OPGAVE 29 Du har givet to parallelle kræfter med størrelse og afstand som vist på figur 1.77. Afstande er i meter. 3,5 25 MN 18 MN Figur 1.77 Du skal bestemme resultantens størrelse, retning og beliggenhed. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 48 21-01-2013 14:58:38 Parallelle kræfter 49 OPGAVE 30 Du skal bestemme resultantens størrelse, retning og beliggenhed for de på figur 1.78 viste kræfter. Afstande er i meter. 37 kN 0,4 50 kN Figur 1.78 OPGAVE 31 Du skal bestemme resultantens størrelse, retning og beliggenhed for de på figur 1.79 viste kræfter. Afstande er i meter. 40 N 2,5 1 20 N 30 N Figur 1.79 OPGAVE 32 Du skal bestemme resultantens størrelse, retning og beliggenhed for de på figur 1.80 viste kræfter. Afstande er i meter. 8 N 1 3,5 2 12 N Figur 1.80 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 49 20 N 17 N 21-01-2013 14:58:38 50 Statik og styrkelære · Kræfter og momenter OPGAVE 33 Du har givet fire parallelle kræfter med størrelse og afstande i meter som vist på figur 1.81. 15 N A 2 20 N 2 2 30 N 25 N 2 Figur 1.81 a) Du skal bestemme resultantens størrelse og retning. b) Du skal bestemme de fire kræfters moment om punkt A. OPGAVE 34 Du skal ved beregning bestemme resultantens størrelse, retning og beliggenhed for de på figur 1.82 viste tre kræfter. Afstande er i meter. 5 kN 4 kN 6 kN 30 A 3 3 Figur 1.82 OPGAVE 35 Du har givet fire parallelle kræfter med størrelse og afstande i meter som vist på figur 1.83. 4,5 kN 10 8 11 2,5 kN 3 kN 6 kN Figur 1.83 Du skal bestemme resultantens størrelse, retning og beliggenhed både grafisk og analytisk. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 50 21-01-2013 14:58:38 Kraftpar 51 OPGAVE 36 Du har givet tre kræfter på: 300 N, 250 N og 100 N. De tre kræfter er placeret i et koordinatsystem og har følgende angrebspunkter: (0,0), (0,5) og (4,0). Kræfterne danner følgende vinkler med x-aksens positive retning: 30º, 150º og 60º. Du skal bestemme resultantens størrelse, retning og beliggenhed. Kraftpar Har du to parallelle og modsatrettede kræfter med en vinkelret afstand imellem, kalder du dem for et kraftpar. Sådan et kraftpar har du på figur 1.84, hvor den vinkelrette afstand er a. a b A+ F F Figur 1.84 De to enkeltkræfter kan ikke sammensættes til en resultant, men ved at anvende momentligningen med A som omdrejningspunkt, får du: M = F ( a + b) − F ⋅ b M=F⋅a + Det skulle vise dig, at et kraftpars moment er en konstant størrelse og lig med produktet af den ene kraft og den vinkelrette afstand mellem de to kræfter. Du skal også lige bemærke, at momentets størrelse er uafhængig af momentpunktets beliggenhed. Parallelforskydning af kraft En kraft F’s påvirkning på et legeme kan du erstatte af et kraftpar og en enkeltkraft. Det var jo noget af en påstand, men prøv og se på figur 1.85. a) F F b) c) M F F Figur 1.85a F Du har en kraft F, der virker i en vinkelret afstand fra et omdrejningspunkt som vist på figur 1.85a. I omdrejningspunktet kan du uden at ændre virkningen tilføje to lige store modsat rettede kræfter. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 51 21-01-2013 14:58:39 Statik og styrkelære · Kræfter og momenter 52 De to kræfter skal være parallelle med og have samme størrelse som den givne kraft (se figur 1.85b). F a) F b) c) M F F F Figur 1.85b a) F Den ene af disse kræfter vil sammen med den oprindelige kraft danne et kraftpar, mens den anden virker på omdrejningspunktet som direkte F 1.85c). b) c) tryk (se figur M F F F Figur 1.85c For at illustrere hvad denne regel kan benyttes til, får du et eksempel. Du har en aksel indsat i et leje og belastet som vist på figur 1.86. Når du senere skal til at dimensionere, er det vigtigt, at du gør dig helt klart, hvor et konstruktionselement er udsat for den største påvirkning. Hvis du skulle dimensionere det viste leje, kan det umiddelbart være svært at se, hvor lejet har den største påvirkning, da kraften F virker uden for lejet. a F Figur 1.86 Ved hjælp af den førnævnte regel kan problemet klares. Du parallelforskyder F og tilføjer M = F · a som vist på figur 1.87. F M Figur 1.87 Nu kan du betragte kraften F og Momentet hver for sig. Kraften vil fordele sig og give dig et jævnt fordelt tryk over hele lejefladen, som grafisk kan illustreres som vist på figur 1.88a. a) Figur 1.88a b) c) 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 52 21-01-2013 14:58:39 Loven om aktion og reaktion 53 Momentet M vil derimod give en trykfordeling som er størst ude i yderkanterne. Til højre vil det give en trykpåvirkning, der går nedad, og til venstre vil trykpåvirkningen gå opad. Det kan illustreres som vist a) på figur 1.88b. b) Figur 1.88b a) c) b) Du kan nu addere de to kurver og får den resulterende påvirkning som vist på figur 1.88c. c) Figur 1.88c Her kan du se, hvorledes påvirkningen varierer over hele bredden på lejet. Den største og farligste påvirkning er, som du kan se, i lejets højre side. Loven om aktion og reaktion Du har to legemer A og B som vist på figur 1.89. B A F F Figur 1.89 Hvis legeme A påvirker et andet legeme B med en vis kraft kaldet aktionen, vil legeme B påvirke legeme A med en ligeså stor modsatrettet kraft kaldet reaktionen. Denne lov eller regel kalder du Newtons lov om aktion og reaktion. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 53 21-01-2013 14:58:40 54 Statik og styrkelære · Kræfter og momenter Figur 1.90 illustrerer loven på et praktisk eksempel. Figur 1.90 Du har, at håndens kraft er aktionen, mens fjederens kraft er reaktionen. Er du i tvivl om, at der er en reaktion i fjederen, kan hånden fjernes. Fjederen vil trække sig sammen, og reaktionen er væk. Ligevægtsbetingelser Drengen på billedet skal anstrenge sig for at holde blyanten som vist. Blyanten er i ligevægt, men der skal ikke meget til, før blyanten smutter, og ligevægten forsvinder. Det er ikke blyanter, du har beskæftiget dig med i de foregående afsnit, men derimod kræfter og momenter. De ligninger, du har arbejdet med, har været: R = ΣF og i ord: Resultanten er lig med summen af kræfterne. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 54 21-01-2013 14:58:42 Ligevægtsbetingelser 55 og R · x = Σ(F · a) = ΣM og i ord: Resultantens moment er lig med summen af enkeltkræfternes moment om samme punkt. Hvis du skal have et legeme i ligevægt, kan du derfor omskrive ovennævnte ligninger til følgende ligevægtsbetingelser, nemlig: ΣF = 0 og i ord: Et legeme er ligevægt, når summen af de kræfter, der påvirker legemet, er lig med 0. ΣM = 0 og i ord: Et legeme er i ligevægt, når summen af de momenter, der påvirker legemet, er lig med 0. Du kan også omformulere de regler, du har anvendt, når du har løst en opgave ved hjælp af grafiske metoder. Når ligevægtsbetingelsen ΣF = 0 skal opfyldes ved tegning, vil det sige, at den kraftpolygon, du kan tegne for kræfterne, lukker sig. På samme måde med tovpolygonen. Betingelsen for ligevægt er, at den lukker sig. Disse ligevægtsbetingelser er fundamentet for en stor del af statikken. Du vil derfor i de kommende eksempler se, hvorledes de kan anvendes i forskellige sammenhænge. EKSEMPEL 1.11 Du har givet et legeme, som er påvirket af tre kræfter, der alle har samme virkelinje som vist på figur 1.91. F1 = 30 N og F3 = 50 N. F1 F2 F3 Figur 1.91 Du skal bestemme F2, når legemet skal være i ligevægt. Du anvender ligevægtsbetingelsen ΣF = 0, idet du regner positivt i F1 og F2’s retning: 30 + F2 − 50 = 0 F2 = 20 N 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 55 21-01-2013 14:58:42 56 Statik og styrkelære · Kræfter og momenter EKSEMPEL 1.12 Du har givet et legeme, der er påvirket af to kræfter som vist på figur 1.92. 145 F2 F1 Figur 1.92 F1 = 100 N og F2 = 150 N Du skal grafisk bestemme en kraft F, der i størrelse og retning kan holde legemet i ligevægt. Du vælger en passende kraftmålestok og afsætter de to kræfter F1 og F2 som vist på figur 1.93. F2 F2 F F1 a F1 Figur 1.93 Betingelsen for ligevægt er, at den kraftpolygon, du kan tegne for kræfterne, lukker sig. Du kan derfor tegne som vist på figur 1.94, og du får hermed den søgte kraft F i størrelse og retning. F2 F2 F F1 a F1 Figur 1.94 Tilbage er at måle resultaterne. Du får: F = 90 N, og vinklen a = 105º 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 56 21-01-2013 14:58:42 Ligevægtsbetingelser 57 EKSEMPEL 1.13 Du har givet en trykbeholder, som er forsynet med en sikkerhedsventil som vist på figur 1.95. Trykket F må maksimalt være 1,2 kN. x 10 G F Figur 1.95 Et lod med tyngde G = 0,25 kN skal placeres i en afstand x, således at der er ligevægt. Du skal bestemme afstanden x. Du tegner en principskitse som vist på figur 1.96. x 10 A F G Figur 1.96 Du anvender ligevægtsbetingelsen omdrejningspunkt. Du får: G · x − F · 10 = 0 0,25 · x − 1,2 · 10 = 0 x = 48 cm + ΣM = 0 med punkt A som EKSEMPEL 1.14 Du har givet et legeme, som er påvirket af tre kræfter som vist på figur 1.97. F3 = 100 N og afstande er i meter. 1 F1 F3 3 F2 Figur 1.97 Du skal bestemme størrelsen på kræfterne F1 og F2, idet legemet skal være i ligevægt. Du skal løse opgaven både analytisk og grafisk. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 57 21-01-2013 14:58:42 58 Statik og styrkelære · Kræfter og momenter Analytisk løsning Du anvender ligevægtsbetingelsen ΣM = 0 og vælger først et punkt på F2’s virkelinje som omdrejningspunkt. Du får: ΣM = 0 F1 ⋅ 3 − 100 ⋅ 2 = 0 F1 = 67 N + Du anvender igen ΣM = 0 og vælger denne gang et punkt på F1’s virkelinje som omdrejningspunkt. Du får: ΣM = 0 F2 ⋅ 3 − 100 ⋅ 1 = 0 F2 = 33 N + Du kan anvende ligevægtsbetingelsen ΣV = 0 (summen af de vertikale kræfter skal være 0) som kontrol. Du får: ↑+ΣV = 0 67 − 100 + 33 = 0 0 = 0 (ok ) Grafisk løsning Du vælger en passende længde- og kraftmålestok. Du starter med at afsætte F3, og du vælger en pol som vist på figur 1.98. Du tegner polstråler, der nummereres 0 og 1. F1 0 2 F2 F3 1 Figur 1.98 Disse polstråler parallelforskydes til figur 1.99, idet du starter et vilkårligt punkt C på kraften F3’s virkelinje. F3 F2 F1 2 A 0 B 1 C Figur 1.99 Du bringer polstrålerne til skæring med F1 og F2’s virkelinjer. Du kalder skæringspunkterne A og B. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 58 21-01-2013 14:58:43 Ligevægtsbetingelser 59 Du skal have tovpolygonen til at lukke sig, og det gør du ved at forbinde A og B med hinanden. Du får en ny tovpolygonside, som du kalder 2. Denne parallelforskyder du nu over til figur 1.99 gennem polen. Herved får du et nyt punkt, der gør, at du kan måle størrelsen af F1 og F2. Du får: F1 = 67 N og F2 = 33 N Som du kan se, er der fuld overensstemmelse mellem den analytiske og grafiske løsning. Det bør der naturligvis også være, men du skal være klar over, at det er vigtigt, at du vælger en kraft- og en længdemålestok, der begge er rimelige i forhold til de givne størrelser, og at du er omhyggelig med tegningen. EKSEMPEL 1.15 Du har givet en vægtstang, der er påvirket af fire kræfter som vist på figur 1.100. F1 F3 F4 F2 Figur 1.100 Du skal opstille betingelsen for, at vægtstangen er i ligevægt. Du skal anvende ligevægtsbetingelsen ΣM = 0 med A som omdrejningspunkt. Du skal bestemme moment-armene, som jo er de vinkelrette afstande mellem kræfterne og omdrejningspunktet. F1 a2 a4 F3 F4 a3 a1 F2 Figur 1.101 Du kan indtegne dem om vist på figur 1.101 og kan opstille ligevægtsbetingelsen: !+Σ M = 0 −F1 ⋅ a1 + F2 ⋅ a2 − F3 ⋅ a3 + F4 ⋅ a4 = 0 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 59 21-01-2013 14:58:44 60 Statik og styrkelære · Kræfter og momenter EKSEMPEL 1.16 Du har givet en trykanordning som vist på figur 1.102. Der ønskes en reaktionskraft F2 = 600 N. F1 0 20 F2 80 Figur 1.102 Du skal bestemme størrelsen på F1. Du benytter ligevægtsbetingelsen ΣM = 0 med A som omdrejningspunkt: + ΣM = 0 F1 ⋅ 200 − 600 ⋅ 80 = 0 F1 = 240 N OPGAVE 37 Du har givet tre kræfter med samme virkelinjer som vist på figur 1.103. F2 = 100 N og F3 = 180 N. F1 F3 F2 Figur 1.103 Du skal bestemme størrelsen af F1, når der skal være ligevægt. OPGAVE 38 Du har givet tre kræfter med størrelser og retninger som vist på figur 1.104. 1,5 MN 1 MN o 60 o 75 1,25 MN Figur 1.104 Du skal grafisk bestemme den kraft, der kan danne ligevægt i det viste system. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 60 21-01-2013 14:58:44 Ligevægtsbetingelser 61 OPGAVE 39 Du har givet en ventilløftearm, som er udformet som vist på figur 1.105. Belastningen F1 = 3,5 kN og afstande er i mm. F1 F2 150 225 Figur 1.105 Du skal bestemme størrelsen af kraften F2 ud fra den forudsætning, at ventilløftearmen er i ligevægt. OPGAVE 40 Du har givet et hejsespil som vist på figur 1.106, som i den givne stilling skal fastholde en byrde med tyngde G = 2 kN. 200 F 410 G Figur 1.106 Du skal bestemme, hvor stor en kraft der er nødvendig. OPGAVE 41 En olietrykspumpe bliver gennem en vægtstang påvirket af en kraft F = 150 kN som vist på figur 1.107. Alle mål er i mm. F 400 55 F1 Figur 1.107 Du skal bestemme trykket F1 på stemplet. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 61 21-01-2013 14:58:44 62 Statik og styrkelære · Kræfter og momenter OPGAVE 42 Du har givet en presseanordning som vist på figur 1.108, hvor alle mål er i mm. F1= 250 N 85 F2 260 Figur 1.108 a) Du skal bestemme pressekraften F2 under forudsætning af, at systemet er i ligevægt. b) Ved et andet pressearbejde kræves der en pressekraft F2 = 1200 N. Du skal bestemme størrelsen på kraften F1. OPGAVE 43 Du har en vinkelvægtarm som vist på figur 1.109, der befinder sig i ligevægt. F2 a2 a1 F1 Figur 1.109 Du skal bestemme afstanden a1, når F1 = 80 kN, F2 = 24 kN og a2 = 340 mm. OPGAVE 44 Du har givet en presseanordning, som er udformet som vist på figur 1.110. F1 a1 a2 F2 Figur 1.110 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 62 21-01-2013 14:58:45 Ligevægtsbetingelser 63 Pressetrykket F2 = 600 N, og afstandene a1 = 300 mm og a2 = 130 mm. Du skal bestemme størrelsen af kraften F1 under forudsætning af, at systemet er ligevægt. OPGAVE 45 Et bremsesystem fungerer i princippet som vist på figur 1.111. Fodkraften F1 = 140 N, og afstandene a1 = 300 mm og a2 = 60 mm. F1 a1 a2 F2 Figur 1.111 Du skal bestemme trækket F2 i bremsestangen under forudsætning af, at systemet er i ligevægt. OPGAVE 46 Du har givet et kraftsystem som vist på figur 1.112, hvor afstande er i meter. F 10 12 25 N 8 50 N Figur 1.112 Du skal bestemme størrelsen af kraften F, således at systemet er i ligevægt. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 63 21-01-2013 14:58:46 64 Statik og styrkelære · Kræfter og momenter OPGAVE 47 Du har givet tre parallelle kræfter med størrelser og beliggenhed som vist på figur 1.113. 30 N 20 N 2 m 3 m 30 N Figur 1.113 a) Du skal bestemme størrelsen og retningen på den enkeltkraft, der kan give ligevægt i det viste system. b) Du skal bestemme denne krafts beliggenhed. OPGAVE 48 Du har givet en vippe som vist på figur 1.114, der bliver påvirket af personen til venstre af en lodret nedadrettet kraft på 400 N. 2m 15 2m Figur 1.114 Kilde: Wikipedia Vippen bliver holdt i ligevægt af personen til højre med en kraft F, der virker vinkelret på vippen. Du skal bestemme størrelsen af kraften F. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 64 21-01-2013 14:58:49 Ligevægtsbetingelser 65 OPGAVE 49 Du har givet en træbjælke, der er belastet og understøttet som vist på figur 1.115. 4 kN 3 kN 1 1 3,5 A B Figur 1.115 Du skal bestemme reaktionskræfterne i A og B, når bjælken skal være i ligevægt. OPGAVE 50 Du har givet en tipvogn med tyngde G = 4 kN. Tipvognen bliver gennem en wire fastholdt i en stilling på en skråning som vist på figur 1.116. F G A a a B a 15 a = 0,4 m Figur 1.116 a) Du skal bestemme hvor stort trækket F er i wiren. b) Du skal bestemme reaktionskræfterne i A og B. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 65 21-01-2013 14:58:52 66 Statik og styrkelære · Kræfter og momenter Resume 1.kapitel Definition på kraft 1 N (Newton) er den kraft, som ved at påvirke et legeme med masse 1 kg, giver det en acceleration på 1 m/s². Grundsætninger om kræfter 1. Figur 1.117 En kraft kan forskydes langs sin virkelinje, uden at det ændrer noget i legemets bevægelsestilstand, blot forbindelsen mellem legeme og kraft F2 R bibeholdes. 2. F1 Figur 1.118 F2 R To lige store, modsatrettede kræfter, som har samme virkelinje, ophæver hinandens virkning på et legeme. F1 3. F2 R F1 Figur 1.119 To kræfter, der angriber i samme punkt på et legeme, kan sammensættes og erstattes af en resultant. Større kraftsystemer med samme angrebspunkt F1 F2 R F3 Figur 1.120 Kræfterne afsættes efter hinanden. Resultanten er beliggende fra begyndelsespunktet af den først tegnede kraft til pilpunktet af den sidst tegnede kraft. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 66 21-01-2013 14:58:52 Resume 1.kapitel 67 Kraft- og tovpolygonmetoden 0 1 0 2 1 2 R Figur 1.121 1. Du tegner de givne kræfter, idet du vælger passende kraft- og længdemålestok. 2. Du tegner en kraftpolygon med polstråler. 3. Du parallelforskyder polstrålerne og starter i et vilkårligt punkt på første krafts virkelinje. 4. Du forlænger første og sidste polstråle tilskæring. Skæringspunktet er et punkt på resultantens virkelinje. 5. Du parallelforskyder resultanten. 6. Du måler og angiver de fundne resultater. Definition på moment F a Figur 1.122 Ved et moment forstås produktet af kraften og den vinkelrette afstand fra omdrejningspunktet til kraftens virkelinje. Momentligningen Resultantens moment om et vilkårligt punkt er lig med summen af enkeltkræfternes moment om samme punkt. R · x = Σ (F · a) Loven om aktion og reaktion A B Figur 1.123 Når et legeme A påvirker et andet legeme B med en vis kraft kaldet aktionen, vil legeme B påvirke legeme A med en lige så stor, modsatrettet kraft kaldet reaktionen. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 67 21-01-2013 14:58:52 68 Statik og styrkelære · Kræfter og momenter Ligevægtsbetingelser Et legeme er i ligevægt, når summen af de kræfter, der påvirker legemet, er lig med 0. ΣF = 0 Et legeme er i ligevægt, når summen af de momenter, der påvirker legemet, er lig med 0. ΣM = 0 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 68 21-01-2013 14:58:52 69 Konstruktioner påvirket til bøjning 2 Hvordan virker en belastning? Du får et par eksempler. Gymnasten på billedet påvirker overlæggeren til bøjning. Hvis du ser på et snitbillede gennem gymnastens ene arm, får du et billede som vist på figur 2.01. Figur 2.01 Kraften gennem armen virker centralt, og påvirker overlæggeren til bøjning om den vandrette akse. Du får et andet eksempel. Du har en HE-bjælke med en belastning i form af en person som vist på figur 2.02, og det vil på samme måde som gymnasten belaste bjælken i symmetriplanet, så ingen problemer her. Figur 2.02 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 69 21-01-2013 14:58:53 70 Statik og styrkelære · Konstruktioner påvirket til bøjning Flytter du personen ud som vist på figur 2.03 i en afstand væk fra symmetriplanet, vil det kunne resultere i en drejning eller vridning af profilet, hvilket du selvfølgelig bør undgå. Figur 2.03 Teoretisk kan du forklare det ud fra de regler, du arbejdede med i kapitel 1. Du har HE-profilet på figur 2.04 belastet med en kraft F med afstanden a ind til symmetriplanet. a F Figur 2.04 Du må flytte denne kraft F ind i symmetriplanet, men du må ikke gøre det uden at tilføje et moment M = F · a som vist på figur 2.05. F M Figur 2.05 Kraften F i symmetriplanet vil påvirke bjælken til bøjning om den vandrette akse, mens momentet M vil påvirke bjælken til bøjning om den lodrette akse. Ved opbygning af en konstruktion bør du derfor tilstræbe at få belastningen til at virke i symmetriplanerne. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 70 21-01-2013 14:58:53 Belastningsfigurer 71 Belastningsfigurer Når du arbejder med bjælker i en konstruktion, vil en overvejende del af belastningen være jævnt fordelt på større eller mindre dele af bjælken. Du skal derfor ”oversætte” disse belastninger til enkeltkræfter, da alle regneregler gælder for enkeltkræfter. Du kan ”oversætte” jævnt fordelte belastninger til enkeltkræfter, men du kommer til at gøre det på en lidt speciel måde. Årsagen er, at du senere i dette kapitel skal ind og se detaljeret på, hvorledes en belastning påvirker et bestemt punkt af en bjælke. Du kan symbolisere en jævnt fordelt belastning i form af et rektangel som vist på figur 2.06a. q a) L F b) Figur 2.06 a og b Er den jævnt fordelte last q = 30 kN/m og L = 4 m, vil du kunne erstatte den jævnt fordelte last med en ”speciel” enkeltkraft med størrelsen: F = 30 · 4 = 120 kN Du kan afbilde denne ”specielle” enkeltkraft ved hjælp af en ”krøllet” pil, og du får en belastningsfigur som vist på figur 2.06b. Belastningen behøver ikke være den samme på hele bjælken, og du kan også få suppleret med enkeltkræfter. Det vil du få at se i det kommende eksempel. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 71 21-01-2013 14:58:54 72 Statik og styrkelære · Konstruktioner påvirket til bøjning EKSEMPEL 2.01 Du har givet en bjælke, der er belastet som vist på figur 2.07a, hvor q1 = 20 kN/m, q2 = 25 kN/m, F = 35 kN, L1 = 2 m og L2 = 1,75 m. F a) q1 L1 b) F1 q2 L2 F F2 Figur 2.07 a og b Du skal tegne en belastningsfigur og erstatte de jævnt fordelte laster med enkeltkræfter. Du bestemmer de ”specielle” enkeltkræfter: F1 = 20 · 2 = 40 kN F2 = 25 · 1,75 = 43,75 kN. Du placerer kræfterne som vist på figur 2.07b og har dermed fået tegnet belastningsfiguren. De to eksempler viste lodrette, jævnt fordelte belastninger, og i denne bog vil du udelukkende komme til at arbejde med lodrette, jævnt fordelte belastninger, som bliver symboliseret som vist. I andre sammenhænge vil du kunne møde belastninger med andre retninger, og her er det vigtigt, at retningen på den jævnt fordelte belastning bliver påført. Som et eksempel har du en tagkonstruktion, hvor vindbelastningen på den ene side virker som en trykpåvirkning og på den anden side som et sug som vist på figur 2.08. Figur 2.08 og 2.09 Et andet eksempel har du på figur 2.09, hvor du har en væg belastet med en vindbelastning. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 72 21-01-2013 14:58:55 Understøtningstyper 73 Understøtningstyper Du skal i denne bog beskæftige dig med to understøtningstyper, nemlig den simple understøtning og indspændingen. Du får den mest enkle form for en simpelt understøttet konstruktion som en bjælke lagt over et vandløb og belastet som vist på figur 2.10. Figur 2.10 Du kan også møde den inden for husbygning som fx en bjælke lagt over et vinduesparti som vist på figur 2.11. Figur 2.11 Inden for maskinkonstruktion kan du møde typen som en aksel anvendt i forbindelse med et skinnekøretøj som vist på figur 2.12. Figur 2.12 Den anden type understøtning, indspændingen, kan du møde som en bjælke indstøbt i en væg som vist på figur 2.13. Figur 2.13 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 73 21-01-2013 14:58:55 74 Statik og styrkelære · Konstruktioner påvirket til bøjning Inden for maskinkonstruktion har du et eksempel på figur 2.14, hvor du har en tap, der er belastet og fastholdt i en plade. Figur 2.14 Ydre kræfter, aktioner og reaktioner Fra kapitel 1 har du nogle ligevægtsbetingelser, som skal opfyldes, når et legeme skal være i ligevægt. Når du arbejder med konstruktioner påvirket til bøjning, skal de såkaldte ydre kræfter være i ligevægt. De ydre kræfter kan deles i to dele. Den ene del er belastningerne, som du kalder aktioner. Den anden del er reaktioner, som er de kræfter, der kan blive optaget i understøtningerne. For at du kan anvende ligevægtsbetingelserne, mangler du at se på understøtningerne, og hvorledes du kan ”oversætte” disse til kræfter, som du så kalder reaktioner. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 74 21-01-2013 14:58:57 Simple understøtninger 75 Simple understøtninger Du har to forskellige typer simple understøtninger, nemlig den faste simple understøtning og den bevægelige, simple understøtning. Den faste, simple understøtning kan illustreres som vist på figur 2.15a, hvor du har en samling med en bolt. + a) b) c) HA VA Figur 2.15 a-c På tilsvarende måde har du den bevægelige, simple understøtning som vist på figur 2.16a. + a) b) c) VA Figur 2.16 a-c Forskellen de to understøtningstyper er, at den simple, bevægelige understøtning frit kan forskydes i vandret retning. På figur 2.15b og figur 2.16b har du de signaturer, som bliver benyttet for de pågældende understøtningstyper. Du skal også have erstattet understøtningen med kræfter, som kan optages. Har du den faste, simple understøtning, vil både størrelse og retning på den kraft, der kan optages, være ubekendt. I praksis vil du derfor altid opløse en skrå reaktionskraft i en lodret og vandret komposant. På figur 2.15c kan du se, hvorledes en fast, simpel understøtning kan erstattes af to reaktionskomposanter VA og HA. Du kan gå videre til den bevægelige, simple understøtning. Her må reaktionen være vinkelret på underlaget, da den bevægelige, simple understøtning ikke kan optage en vandret belastning. På figur 2.16c kan du se, hvorledes en bevægelig, simpel understøtning erstattes af en lodret reaktionskraft VA. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 75 21-01-2013 14:58:57 76 Statik og styrkelære · Konstruktioner påvirket til bøjning Indspændinger En indspænding kan illustreres som vist på figur 2.17a, hvor du har en samling med to tætsiddende bolte. Det karakteristiske ved indspændingen er netop, at konstruktionselementet ikke kan dreje sig i indspændingspunktet. På figur 2.17b har du signaturen for en indspænding. ++ a) b) MA c) HA VA Figur 2.17 a-c En indspænding skal kunne optage en belastning i vandret, lodret retning og desuden en drejende påvirkning. Punktet A kalder du indspændingpunktet, og du kan regne med, at en belastning eller påvirkning bliver optaget gennem dette punkt. På tilsvarende måde som ved den faste og bevægelige simple understøtning erstatter du indspændingen med regnestørrelser. Som vist på figur 2.17c bliver der tale om et moment MA, en lodret reaktionskomposant VA og en vandret reaktionskomposant HA. Beregningsmodeller Når du skal arbejde videre med konstruktionselementer, skal du have en skitse, der viser reaktionernes placering. En sådan skitse kalder du en ”beregningsmodel” eller ”den frigjorte konstruktion”. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 76 21-01-2013 14:58:59 Beregningsmodeller F 77 q A B F Fq HA VB VA Figur 2.18 F q A B Fq V HA H VA VB Figur 2.19 F q A MA Fq V HA VA H Figur 2.20 På figur 2.18, 2.19 og figur 2.20 har du konstruktionselementer med belastningsfigur og tilhørende beregningsmodel. Som du kan se, er eventuelle skrå kræfter opløst i vandrette og lodrette komposanter. Jævnt fordelte laster er erstattet af ”krøllede” enkeltkræfter, og ligeledes er reaktionskræfterne sat på. Beregningsmodellen er dit udgangspunkt, når du skal bestemme reaktionerne. Det er derfor vigtigt, at du er omhyggelig med tegning af denne figur. Når du ser på beregningsmodellerne, vil der være tre ubekendte størrelser, du skal bestemme. Du har jo netop tre ligninger fra ligevægtsbetingelserne til din rådighed. Kan du huske dem? – du får dem her: ΣH = 0 og i ord: Summen af de horisontale kræfter skal være lig med 0. ΣV = 0 og i ord: Summen af de vertikale kræfter skal være lig med 0. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 77 21-01-2013 14:58:59 78 Statik og styrkelære · Konstruktioner påvirket til bøjning ΣM = 0 og i ord: Summen af momenterne om et vilkårligt punkt skal være lig med 0. Har du et konstruktionselement, der er understøttet således, at du kan bestemme reaktionerne ved hjælp af de tre ligevægtsligninger, kan du sige, at konstruktionselementet er statisk bestemt. Statisk ubestemte konstruktioner Du skal lige være klar over, at de statisk bestemte konstruktioner kun udgør en lille del af de konstruktionstyper, du kan møde i virkeligheden. A B MA HA VA VB Figur 2.21 A B C D HA VA VB VC VD Figur 2.22 Du har på figur 2.21 og figur 2.22 to konstruktioner, der er understøttet, og med beregningsmodeller som vist. Som du kan se på beregningsmodellerne, er der fire reaktioner på figur 2.21, og på figur 2.22 er der fem. Som sagt har du tre ligevægtsligninger, men de er ikke nok til, at du kan bestemme de ubekendte reaktionsstørrelser. Der findes metoder til beregning af reaktioner i sådanne konstruktionselementer, men dem kommer du ikke til at beskæftige dig med i denne bog. Konstruktioner, der er understøttet på en sådan måde, at der fremkommer mere end tre reaktionsstørrelser, kaldes statisk ubestemte konstruktioner. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 78 21-01-2013 14:58:59 Bestemmelse af reaktioner 79 Bestemmelse af reaktioner Du vil nu nogle eksempler se, hvorledes reaktionerne bliver bestemt, når du har givet et konstruktionselement. EKSEMPEL 2.02 Gennemgående eksempel – fortsætter i eksempel 2.08. Du har givet en aksel, som er belastet med en kraft F = 58 kN og understøttet i to lejer som vist på figur 2.23. Mål er i mm, og reaktionerne regnes at virke midt i lejerne. F VA VB 175 580 Figur 2.23 Du skal bestemme reaktionerne VA og VB. Da reaktionskræfterne er placeret på figuren, kan du med det samme gå i gang med ligevægtsligningerne. Du bestemmer først VA ved at anvende ΣM = 0 med B punktet som omdrejningspunkt: + ΣM = 0: B VA ⋅ 580 − 58(580 − 175) = 0 VA = 40 , 5 kN På samme måde bestemmer du VB, idet du anvender A som omdrejningspunkt. Du kan regne med positiv omdrejningsretning modsat i forhold til den, som blev benyttet før. Principielt er det ligegyldigt, hvilken omdrejningsretning du vælger at regne positivt i, men det er mest praktisk, at den ubekendte har et positivt fortegn. + ΣM = 0: A VB ⋅ 580 − 58 ⋅ 175 = 0 VB = 17 , 5 kN Du kan kontrollere resultaterne ved at anvende ΣV = 0: ↑+ΣV = 0 40 , 5 − 58 + 17, 5 = 0 ( stemmer ) 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 79 21-01-2013 14:59:00 80 Statik og styrkelære · Konstruktioner påvirket til bøjning EKSEMPEL 2.03 Gennemgående eksempel - fortsætter i eksempel 2.11. Du har givet en bjælke, der er belastet med en jævn fordelt belastning som vist på figur 2.24. Afstande er i meter. kN 1,5 m A B 6 Figur 2.24 Du skal bestemme reaktionerne i A og B. Du tegner beregningsmodellen, som får udseende som vist på figur 2.25. F VA VB 6 Figur 2.25 Du bestemmer belastningen: F = 1,5 · 6 = 9 kN Da belastning og reaktioner er symmetrisk om bjælkens midte, må det resultere i, at reaktionerne VA og VB bliver lige store. Du får: V A = VB = 9 = 4 , 5 kN 2 EKSEMPEL 2.04 Gennemgående eksempel – fortsætter i eksempel 2.12. Du har givet en bjælke, der er belastet og understøttet som vist på figur 2.26. Mål er i meter. 2 kN m A F = 4 kN 45 B Figur 2.26 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 80 21-01-2013 14:59:01 Bestemmelse af reaktioner 81 Du skal bestemme reaktionerne i A og B. Du tegner beregningsmodellen som vist på figur 2.27: V Fq HA H VA 2,5 VB 3,5 1,5 5 Figur 2.27 og 1. Opløser den skrå kraft i en lodret og vandret komposant. V = 4 · sin 45º = 2,8 kN H = 4 · cos 45º = 2,8 kN 2. Erstatter den jævnt fordelte last med en ”krøllet” kraft. Fq = 2 · 5 = 10 kN Herefter kan du gå i gang med at bestemme reaktionerne. Du starter med HA og benytter: →+ΣH = 0 H A − 5, 2 = 0 H A = 5 , 2 kN Du går videre og bestemmer VA ved at anvende B som omdrejningspunkt: + ΣM = 0: B VA ⋅ 5 − 2 , 8 ⋅ 3 , 5 − 10 ⋅ 2 , 5 = 0 VA = 7 , 0 kN Du bestemmer VB ved at anvende A som omdrejningspunkt: + ΣM = 0 : A VB ⋅ 5 − 10 ⋅ 2 , 5 − 2 , 8 ⋅ 1, 5 = 0 VB = 5 , 8 kN Endelig kan du anvende ΣV = 0 som kontrol: 5,8 + 7,0 − 10 − 2,8 = 0 (stemmer) 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 81 21-01-2013 14:59:01 82 Statik og styrkelære · Konstruktioner påvirket til bøjning EKSEMPEL 2.05 Gennemgående eksempel – fortsætter i eksempel 2.13. Du har givet en bjælke, som er belastet og understøttet som vist på figur 2.28. Mål er i meter. 7 kN kN 6 m kN 6 kN 4 m 30 A B 3,5 2,5 1 Figur 2.28 Du skal bestemme reaktionerne i A og B. Du tegner beregningsmodellen som vist på figur 2.29: 7 kN F2 F1 V HA VA H 2,25 VB 3,5 4,5 1,25 2,5 Figur 2.29 og: 1. Opløser den skrå kraft i en lodret og vandret komposant: V = 6 · sin 30º = 3 kN H = 6 · cos 30º= 5,2 kN 2. Erstatter de jævnt fordelte laster med ”krøllede” kræfter: F1 = 4 · 4,5 = 18 kN F2 = 6 · 2,5 = 15 kN Herefter bestemmer du reaktionerne: HA: →+ΣH = 0 H A − 5, 2 = 0 H A = 5 , 2 kN VA: + ΣM = 0: B VA ⋅ 4 , 5 − 18 ⋅ 2 , 25 − 7 ⋅ 1 + 15 ⋅ 1, 25 + 3 ⋅ 2 , 5 = 0 VA = 4,7 kN 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 82 21-01-2013 14:59:02 Bestemmelse af reaktioner VB: + 83 ΣM = 0 : A VB ⋅ 4 , 5 − 3 ⋅ 7 − 15 ⋅ 5, 75 − 7 ⋅ 3 , 5 − 18 ⋅ 2 , 25 = 0 VB = 38 , 3 kN Kontrol: ↑+ΣV = 0 4 , 7 + 38 , 3 − 18 − 7 − 15 − 3 = 0 ( stemmer ) EKSEMPEL 2.06 Gennemgående eksempel – fortsætter i eksempel 2.14. Du har givet en bjælke, som er belastet og understøttet som vist på figur 2.30. Mål er i meter. 5 kN m A 10 kN 45 5,5 Figur 2.30 Du skal bestemme reaktionerne i A. Du tegner beregningsmodellen som vist på figur 2.31: Fq MA V HA VA H 2,75 5,5 Figur 2.31 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 83 21-01-2013 14:59:05 84 Statik og styrkelære · Konstruktioner påvirket til bøjning og: 1. Opløser den skrå kraft i en lodret og vandret komposant. V = 10 · sin 45º = 7,1 kN H = 10 · cos 45º = 7,1 kN 2. Erstatter den jævnt fordelte last med en ”krøllet” kraft: Fq = 5 · 5,5 = 27,5 kN Herefter bestemmer du reaktionerne: ↑+ΣV = 0 VA − 27 , 5 − 7 , 1 = 0 VA = 34 , 6 kN →+ΣH = 0 HA − 7,1 = 0 H A = 7 , 1 kN + ΣM = 0 : A M A − 27 , 5 ⋅ 2 , 75 − 7 , 1 ⋅ 5 , 5 = 0 M A = 114,7 kNm OPGAVE 51 Gennemgående opgave – fortsætter i opgave 67. Du har givet en aksel, der er belastet med en kraft F = 1800 N og understøttet som vist på figur 2.32. Mål er i mm. F 17 250 50 300 17 Figur 2.32 a) Du skal tegne en beregningsmodel. b) Du skal bestemme reaktionerne i de to lejer. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 84 21-01-2013 14:59:06 Bestemmelse af reaktioner 85 OPGAVE 52 Gennemgående opgave – fortsætter i opgave 68. Du har givet en vippe, der bliver belastet af en person med masse 74 kg som vist på figur 2.33. A B 2,5 m 3 m Figur 2.33 a) Du skal tegne en beregningsmodel. b) Du skal bestemme reaktionerne i A og B. OPGAVE 53 Gennemgående opgave – fortsætter i opgave 69. Du har givet et stillads som vist på figur 2.34. a A b c F 2 d F 1 B Figur 2.34 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 85 21-01-2013 14:59:07 86 Statik og styrkelære · Konstruktioner påvirket til bøjning Belastningerne er: Murer med tyngde F1 = 0,75 kN, mørtelbalje med tyngde F2 = 1 kN og 80 mursten, hvor hver mursten har en masse på 3,5 kg. Afstandene er: a = 80 cm, b = 120 cm, c = 60 cm og d = 60 cm. a) Du skal tegne en beregningsmodel. b) Du skal bestemme reaktionerne i A og B. OPGAVE 54 Du har givet en låge med tyngde G = 500 N, som er understøttet som vist på figur 2.35. G 1m 0,8 m Figur 2.35 a) Du skal tegne en beregningsmodel. b) Du skal bestemme reaktionerne i de to lejer. OPGAVE 55 Du har givet en udlægger som vist på figur 2.36, der skal anvendes i forbindelse med et reparationsarbejde. Personens tyngde F1 = 700 N, og materialets tyngde F2 = 500 N. Afstandene er: a = 1,6 m, b = 1 m og c = 0,5 m. B A F 1 a b F 2 c Figur 2.36 a) Du skal tegne en beregningsmodel. b) Du skal bestemme reaktionerne i A og B. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 86 21-01-2013 14:59:07 Bestemmelse af reaktioner 87 OPGAVE 56 Du har givet en transmissionsaksel, hvor der sidder to remskiver som vist på figur 2.37. Remskive 1 og 2 er påvirket således: F1 = 1,2 kN og F2 = 2,6 kN. Masse af remskiverne er henholdsvis m1 = 10 kg og m2 = 7 kg. Transmissionsakslens masse er m3 = 15 kg. Afstandene er: a = 300 mm og b = 400 mm. b a G A B F1 1,2 m F2 Figur 2.37 a) Du skal tegne en beregningsmodel. b) Du skal bestemme reaktionerne i A og B. OPGAVE 57 Du har givet et stillads som vist på figur 2.38, hvor reaktionen i B kan optage en lodret kraft på i alt 1,5 kN. På stilladset står en murer med tyngde F1 = 750 N. Afstandene er: a = 0,4 m, b = 0,6 m og c = 0,7 m. a b F1 c F2 B Figur 2.38 Du skal bestemme materialets maksimale tyngde F2. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 87 21-01-2013 14:59:09 88 Statik og styrkelære · Konstruktioner påvirket til bøjning OPGAVE 58 Gennemgående opgave – fortsætter i opgave 70. Du har givet et stykke fladstål, som er svejst til en plade som vist på figur 2.39. 72 mm A 30 F Figur 2.39 Belastningen F = 800 N. a) Du skal tegne en beregningsmodel. b) Du skal bestemme reaktionerne i A. OPGAVE 59 Du har givet en stift, der er belastet med en kraft F = 450 N og fastgjort ved en prespasning som vist på figur 2.40. F 26 mm A Figur 2.40 a) Du skal tegne en beregningsmodel. b) Du skal bestemme reaktionerne i A. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 88 21-01-2013 14:59:10 Bestemmelse af reaktioner 89 OPGAVE 60 Du har bjælkerne på figur 2.41a - j, som er understøttet og belastet som vist. Mål er i meter. For hver bjælke skal du: a) Tegne en beregningsmodel. b) Bestemme reaktionerne i A og B. 7 kN 550 N a) f) 4 kN 320 N A kN 3 m kN 1,5 m B A 1,5 B 1,5 2 1,5 1,5 4 g) b) 2,5 kN m 1,5 kN m A 60 B 3 A B 1 3 c) 3,5 kN 2,5 kN 2 2 h) 12 kN 0,8 kN 3,5 kN m kN 1,7 m 4 kN m 1,5 B A A 8 kN d) B 4 1 3 1,5 i) 6 kN 4 kN m 2 kN m B A 1,5 2 e) kN 2,5 m 1,5 5 4,5 kN 7 kN m 45 B A 3 B A 2 2 kN m j) kN 1 m B A 1 4 Figur 2.41a-j 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 89 21-01-2013 14:59:10 90 Statik og styrkelære · Konstruktioner påvirket til bøjning OPGAVE 61 Du har givet bjælkerne på figur 2.42a-d, som er belastet og understøttet som vist. kN 200 m a) b) 4 kN 4 kN 4 kN 4 kN A 1 175 N c) 225 N 60 A 1,5 1,5 kN 1 m A 4 1 d) 1 kN 3 m A 150 N 1 1 10 kN 45 6 Figur 2.42a-d For hver bjælke skal du: a) Tegne en beregningsmodel. b) Bestemme reaktionerne i A. Ydre kræfter, indre kraft og snitkraft Du skal forestille dig, at du er til en tovtrækningskonkurrence og ser på to hold som vist på figur 2.43. Figur 2.43 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 90 21-01-2013 14:59:12 Snitkræfter 91 Deres stilling fastfryses på et tidspunkt, hvor der ikke er nogen bevægelse til nogen af siderne. De kræfter, som de to hold udøver er det, du kalder for ”ydre kræfter” Du skal nu forestille dig, at du kan gå ind i rebet og se og mærke de kræfter, der optræder her. Ligegyldigt hvor du var gået ind mellem de to hold, ville du få samme resultat - nemlig det, at der ville være et træk i rebet svarende til de ydre kræfter. Det kan formuleres på den måde, at du lægger et snit ind i rebet. Derefter går du ind og ser, hvor stor en kraft, der optræder her. Den kraft, du får det pågældende sted, kalder du ”snitkraften” eller den ”indre kraft”. Du har indtil nu kun beskæftiget dig med de ydre kræfter, men når du skal til at dimensionere, må du have et nøje kendskab til, hvad der sker inde i et konstruktionselement, og hvilke kræfter der optræder her. Du får derfor i de kommende afsnit regler for, hvorledes du kan bestemme disse snitkræfter. Snitkræfter Du har set, at konstruktionselementer kan blive belastet af både horisontale og vertikale kræfter. Her starter du med at se på situationer, hvor der kun er horisontale kræfter og vender så tilbage til de vertikale kræfter senere. Du har et konstruktionselement, der er belastet som vist på figur 2.44. F F Figur 2.44 Filosofien bag snitkraftsbestemmelse er den, at du skal forestille dig konstruktionselementet skåret over i to dele. De to snitdele skal hver for sig være i ligevægt, og du må derfor tilføje en kraft på hver del som vist på figur 2.45. F N N F Figur 2.45 Denne usynlige kraft N – normalkraften – kalder du den indre kraft eller snitkraften. Du kan bestemme den ved at betragte enten den venstre eller den højre snitdel og anvende ligevægtsbetingelsen. Du ser her på den venstre snitdel og får: →+ΣH = 0 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 91 N F N F 0 21-01-2013 14:59:12 92 Statik og styrkelære · Konstruktioner påvirket til bøjning Da der ofte kan være flere horisontale kræfter at holde styr på, vil det være mest overskueligt at tegne en kurve, der angiver snitkræftens størrelse i et vilkårligt punkt i konstruktionselementet. Det får du at se i det kommende eksempel og husk, at du skal sætte den usynlige normalkraft på som vist på figur 2.45 afhængig af, hvilken snitdel du arbejder med. EKSEMPEL 2.07 Du har givet et konstruktionselement som vist på figur 2.46, og som er belastet med følgende ydre kræfter: FA = 5 kN, FB = 3 kN og FD = 1 kN. Mål er i meter. B A 1 N 0 C 2 D 2 5 2 -1 Figur 2.46+2.47 a) Du skal bestemme den ydre kraft FC således at de ydre kræfter er i ligevægt. b) Du skal bestemme, hvorledes normalkraften N varierer, idet du lægger snit på strækningerne AB, BC og CD. c) Du skal tegne kurveforløbet for normalkraften N. a) Du indtegner FC og benytter ligevægtsligningen ΣH = 0: FC + 3 – 5 – 1 = 0 FC = 3 kN 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 92 21-01-2013 14:59:15 Snitkræfter 93 b) Du indlægger et snit på strækningen AB og ser på venstre snitdel. Du får: →+ΣH = 0 N AB − 5 = 0 N AB = 5 kN Du fortsætter med et snit på strækningen BC og vælger igen at se på venstre snitdel: →+ΣH = 0: N BC − 5 + 3 = 0: N BC = 2 kN Havde du valgt at se på højre snitdel, ville det se således ud: ←+ΣH = 0: N BC − 3 + 1 = 0: N BC = 2 kN Som du kan se, bliver resultatet det samme. Du kan derfor som udgangspunkt vælge at se på den snitdel, der har færrest regnestørrelser. Du mangler kun at se på strækningen CD og vælger at se på højre snitdel: ←+ΣH = 0: NCD + 1 = 0: NCD = −1 kN c) Du anvender en passende målestok for N og afsætter de fundne størrelser. N-kurven får da udseende som vist på figur 2.47. OPGAVE 62 Du har givet et konstruktionselement, der er belastet med en kraft F = 13 kN som vist på figur 2.48. Mål er i meter. F B A F 4 Figur 2.48 a) Du skal bestemme normalkraften N mellem A og B. b) Du skal tegne kurveforløbet for N mellem A og B. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 93 21-01-2013 14:59:18 94 Statik og styrkelære · Konstruktioner påvirket til bøjning OPGAVE 63 Du har givet et konstruktionselement, der er belastet med en kraft F = 8,5 kN som vist på figur 2.49. Mål er i meter. F B A F 4 Figur 2.49 a) Du skal bestemme normalkraften N mellem A og B. b) Du skal tegne kurveforløbet for N mellem A og B. OPGAVE 64 Du har givet et konstruktionselement, der er belastet med FA = 6 kN og FB = 4 kN som vist på figur 2.50. FA FB FC A C B 1,5 3 Figur 2.50 a) Du skal bestemme kraften FC således at de ydre kræfter er i ligevægt. b) Du skal bestemme normalkraften N på strækningerne AB og BC. c) Du skal tegne kurveforløbet for N. OPGAVE 65 Du har givet et konstruktionselement, der er belastet med FA = 3 kN og FB = 7 kN som vist på figur 2.51. FB FA A FC C B 2 3 Figur 2.51 a) Du skal bestemme kraften FC således, at de ydre kræfter er i ligevægt. b) Du skal bestemme normalkraften N på strækningerne AB og BC. c) Du skal tegne kurveforløbet for N. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 94 21-01-2013 14:59:19 Snitkræfter 95 OPGAVE 66 Du har givet et konstruktionselement, der er belastet med FA = 8 kN, FB = 5 kN, FC = 2 kN, FD = 6 kN og FE = 5 kN som vist på figur 2.52. FB FA FC FD FE FF A C B 1 1,5 2 D E 1 F 2 Figur 2.52 a) Du skal bestemme kraften FF således, at de ydre kræfter er i ligevægt b) Du skal bestemme normalkraften N på strækningerne AB, BC, CD, DE og EF. c) Du skal tegne kurveforløbet for N. <<< OPGAVE SLUT Du har nu i nogle opgaver tegnet N-kurver, og du kan stille spørgsmålet: Hvad fortæller N-kurven dig, og hvad kan du bruge den til? Når N-kurven er positiv på en strækning, vil konstruktionselementet på denne del være udsat for en trækpåvirkning. Når du skal til at dimensionere, er der netop en formel for trækpåvirkning. Den kan sætte dig i stand til at bestemme de rigtige dimensioner på dit konstruktionselement. Er N-kurven negativ på en strækning, vil konstruktionselementet være udsat for en trykpåvirkning. På tilsvarende måde som ved trækpåvirkning er der en dimensioneringsformel for trykpåvirkning. Da disse formler er forskellige, er det vigtigt, at du får bestemt Nkurven korrekt med rigtige størrelser og fortegn. Du skal nu se på de vertikale kræfter, og hvorledes snitkræfterne bestemmes. Du har et konstruktionselement, der er belastet med en vertikal kraft F som vist på figur 2.53a. Reaktionerne VA og VB er påført. F a) x VA b) VA x MX VX MX Figur 2.53 a+b 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 95 VB F VX VB 21-01-2013 14:59:20 96 Statik og styrkelære · Konstruktioner påvirket til bøjning Du skal forestille dig, at du indlægger et snit i afstanden x fra VA som vist på figur 2.53b. På de to snitdele tilføjer du kraften Vx og momentet Mx. Vx er den vertikale indre kraft, og du kalder den tværkraften eller forskydningskraften. Mx kalder du for det indre moment eller snitmomentet. Du ser på venstre snitdel på figur 2.53b og får ved anvendelse af ligevægtsbetingelserne: ↓+ΣV = 0: Vx − VA = 0: Vx = VA !+ΣM = 0: Mx − VA ⋅ x = 0: M x = VA ⋅ x På tilsvarende som Nx varierede for de horisontale kræfter, vil forskydningskraften Vx variere for de vertikale kræfter. Snitmomentet Mx er derimod afhængig af en afstand x, og billedet af kurven for Mx bliver derfor matematisk en ret linje med en hældning svarende til VA. Du vil i det kommende få anskueliggjort, hvordan du bestemmer Vx og Mx. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 96 21-01-2013 14:59:24 Snitkræfter 97 Husk, at du skal påføre forskydningskraften Vx og momentet Mx som vist på figur 2.53b afhængig af, om du skal arbejde med den højre eller venstre snitdel. Symbolsk kan bestemmelse af Nx, Vx og Mx vises således: Ser du på venstre snitdel: →+ΣH = 0 ↓+ΣV = 0 + ΣM = 0 Ser du på højre snitdel: ←+ΣH = 0 ↑+ΣV = 0 + ΣM = 0 Inden for maskinkonstruktion vil det i langt de fleste tilfælde være tilstrækkeligt at se på enkeltkræfternes virkning, idet egenlasten i almindelighed vil være meget lille i forhold til enkeltkræfterne. Modsat bygningskonstruktion har du, at langt de fleste forekommende påvirkninger er jævnt fordelte laster. EKSEMPEL 2.08 Gennemgående eksempel – reaktionerne er bestemt i eksempel 2.02. Du har givet en aksel som vist på figur 2.54a, hvor VA = 40,5 kN og VB = 17,5 kN. + a) c) Figur 2.54a -17,5 M 58 A 40,5 0 VB VA b) 40,5 V F 175 B C d) 17,5 580 7078,5 + 0 a) Du skal bestemme forskydningskraften på strækningerne AC og CB og tegne Vkurven. b) Du skal bestemme momenterne i punkterne A, C og B og tegne M-kurven. 40,5 V F a) + a) Du har beregningsmodellen på figur 2.54b og indlæggerc) et 0snit på strækningen AC og ser på V V venstre snitdel: b) M 58 A 40,5 -17,5 B A 175 B C 580 17,5 d) 7078,5 + 0 Figur 2.54b 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 97 21-01-2013 14:59:27 Statik og styrkelære · Konstruktioner påvirket til bøjning 98 ↓+ΣV = 0: VAC − 40 , 5 = 0: VAC = 40 , 5 kN Dernæst indlægger du et snit på strækningen CB og ser på højre snitdel: + ΣV = 0: VCB + 17 , 5 = 0: VCB = −17 , 5 kN ↓ Du kan nu tegne V-kurven som får udseende som vist på figur 2.54c. + a) c) -17,5 M 58 A 175 40,5 0 V FigurB 2.54c VA b) 40,5 V F C 580 7078,5 d) b) B + 17,5 Du bestemmer først 0momentet i punkt A. + ΣM = 0: M A − 40 , 5 ⋅ 0 = 0: M A = 0 Derefter bestemmer du momentet i punkt C og ser på venstre snitdel: + ΣM = 0: MC − 40 , 5 ⋅ 17 , 5 = 0: M A = 7087 , 5 kNmm Endelig bestemmer du momentet i punkt B, men her skifter du side og ser på højre snitdel: + F Du kunne også have valgt at+se på venstre snitdel, men her er flere regc) styr 0 på. nestørrelser at holde -17,5 Du V kan nu tegne M-kurven som får udseende som vist på figur 2.54d. a) VA b) B M 58 A 40,5 ΣM = 0: M B − 17 , 5V⋅ 0 = 0: M =0 B 40,5 175 B C 580 d) 17,5 7078,5 + 0 Figur 2.54d <<< EKSEMPEL Med baggrund i eksempel 2.08 kan du uddrage nogle sammenhænge, som kan gøre det lettere for dig, når du skal bestemme snitkræfterne. For forskydningskraftens vedkommende følger V-kurven kræfternes stilling på konstruktionselementet. Du kan også formulere det på den måde, at: V-kurven er en grafisk kontrol af ligevægtsligningen ΣV = 0. Du kan derfor tegne V-kurven på den måde, at du starter i venstre endepunkt af konstruktionselementet og afsætter kræfter i den rækkefølge, du møder dem, når du bevæger dig hen over konstruktionselementet mod højre. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 98 21-01-2013 14:59:28 Snitkræfter 99 Ser du på eksempel 2.08, har du reaktionen VA = 40,5 kN. Denne værdi afsætter du fra 0-linjen som vist på figur 2.54c. Du fortsætter fra venstre mod højre, og der sker ingen ændring, før du møder kraften på 58 kN. Værdien 58 afsættes fra de 40,5 og nedad, og du kommer til -17,5. Du fortsætter mod højre og kommer til reaktionen VB = 17,5. Værdien 17,5 afsættes fra −17,5 og du er tilbage til 0-linjen. Du kan tegne V-kurven på denne måde. Det er nemmere og især ved jævnt fordelte laster, som du vil komme til at arbejde med senere. EKSEMPEL 2.09 Du har givet en bjælke belastet med enkeltkraft på midten som vist på figur 2.55. F L 2 L Figur 2.55 a) Du skal bestemme reaktionerne. b) Du skal tegne V-kurven. c) Du skal tegne M-kurven. a) Du har beregningsmodellen som vist på figur 2.56. a) VA = F 2 F L 2 x VB = F 2 L Figur 2.56 Der er symmetri om midten, så du får umiddelbart, at: V A = VB = F 2 b) Du kan benytte den nemme metode, når du skal tegne V-kurven. Du starter i venstre endepunkt af bjælken og afsætter reaktionen VA som vist på figur 2.57. b) V F 2 L 0 F 2 Figur 2.57 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 99 21-01-2013 14:59:28 Statik og styrkelære · Konstruktioner påvirket til bøjning 100 Du fortsætter hen over bjælken, indtil du møder kraften F, som du afsætter. Du fortsætter mod højre, indtil du møder reaktionen VB, som du afsætter, og du er tilbage til 0-linjen. c) Du lægger et snit ind på bjælken i intervallet 0 ≤ x ≤ L/2 og ser på venstre snitdel: !+ΣM = 0: M x − F F ⋅ x = 0: M x = ⋅ x 2 2 Når x = 0 , får du: M0 = F ⋅0=0 2 L F L 1 u: M max = ⋅ = ⋅ F ⋅ L Når x = : får du 2 2 4 2 Det er overflødigt med flere beregninger, så du kan tegne M-kurven, som får udseende som vist på figur 2.58. c) M O 1 Mmax= 4 F L L Figur 2.58 Når du skal dimensionere et bøjningspåvirket element, vil det altid være det maksimale moment, du er interesseret i. Har du et bøjningspåvirket element, der er belastet med en enkeltkraft, der virker på midten, har du her en formel, der kan benyttes direkte. OPGAVE 67 Gennemgående opgave – reaktionerne er bestemt i opgave 51. Du har givet en aksel, der er belastet med en kraft F = 1800 N som vist på figur 2.59. Figur 2.59 a) Du skal tegne V-kurven. b) Du skal tegne M-kurven. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 100 21-01-2013 14:59:35 Snitkræfter 101 OPGAVE 68 Gennemgående opgave – reaktionerne er bestemt i opgave 52. Du har givet en vippe, der bliver belastet af en person med masse 74 kg som vist på figur 2.60. A 2,5 m B 3 m Figur 2.60 a) Du skal tegne V-kurven. b) Du skal tegne M-kurven. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 101 21-01-2013 14:59:36 102 Statik og styrkelære · Konstruktioner påvirket til bøjning OPGAVE 69 Gennemgående opgave - reaktionerne er bestemt i opgave 53. Du har givet et stillads som vist på figur 2.61. Murerens tyngde F1 = 0,75 kN, mørtelbalje med tyngde F2 = 1 kN og 80 mursten, hvor hver mursten har en masse på 3,5 kg. Afstandene er: a = 80 cm, b = 120 cm, c = 60 cm og d = 60 cm. a b c F A 2 d F 1 B Figur 2.61 a) Du skal tegne V-kurven. b) Du skal tegne M-kurven. OPGAVE 70 Gennemgående opgave – reaktionerne er bestemt i opgave 58. Du har givet et stykke fladstål, som er svejst til en plade som vist på figur 2.62. 72 mm A 30 F Figur 2.62 Belastningen F = 800 N. a) Du skal tegne N-kurven. b) Du skal tegne V-kurven. c) Du skal tegne M-kurven. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 102 21-01-2013 14:59:36 Snitkræfter 103 OPGAVE 71 Du har givet bjælkerne på figur 2.63a -h, som er understøttet og belastet som vist. Mål er i meter. 12 N 13 kN 8N 11 N 6N 35 e) a) 3 2 2 1,5 1 16 kN 1 1,5 9 kN 5 kN 11 kN b) 45 f) 1 1 2 2 2 21 kN 15 kN 8 kN 5 kN c) 45 g) 2 2 2 6 kN 5 kN 30 3 2 6 MN 8 kN 5 MN 45 d) h) 1,5 2,5 1,5 2 2,5 Figur 2.63a-h For hver bjælke skal du: a) Tegne beregningsmodel. b) Bestemme reaktionerne. c) Tegne N-kurven. d) Tegne V-kurven. e) Tegne M-kurven. <<< OPGAVE 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 103 21-01-2013 14:59:36 104 Statik og styrkelære · Konstruktioner påvirket til bøjning Inden for bygningskonstruktion vil du ofte støde på en simpelt understøttet bjælke, der er belastet med en jævnt fordelt belastning. Du vil derfor i det kommende eksempel få at se, hvorledes forskydningskraften og momentet vil variere på bjælken. EKSEMPEL 2.10 Du har givet en bjælke belastet med en jævn fordelt belastning som vist på figur 2.64a. q kN m a) x L VA Figur 2.67a VB q x x b) a) Du skal bestemme reaktionerne i A 2og B. q l b) Du skal tegne V-kurven.2 x c) Du skal tegne M-kurven. V q l c) a) 2 Da der symmetri om midten, vil du få, at reaktionerne er lige store: q⋅L L O V A = VB = 2 q kN m b) q l a) Du indlægger et snit i afstanden x som vist på figur 2 2.64b og ser på M x1 d) 2 venstre snitdel. Du får: max = 8 q LL VM VB A q x x b) 0 q l 2 2 L x V Figur 2.64b q l 2 c) L O d) 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 104 M 1 2 Mmax = 8 q L q l 2 21-01-2013 14:59:39 Snitkræfter 105 q⋅ L q⋅ L + q ⋅ x = 0: Vx = −q ⋅ x + 2 2 Ligningen for VX fremstiller en ret linje. Du kan indsætte og får: ↓+ΣV = 0: Vx − q⋅ L 2 Når x = 0 , får du: V0 = Når x = L får du: V L = 0 a) 2 2 q kN m x q⋅ L L VB 2 q x Du kan afsætte deb)fundne værdier x og tegne V-kurven, som får udseende 2 som vist på figur 2.64c.q l 2 x Når x = L får du: VL V =A− V q l 2 c) L O M a)d) Figur 2.64c q kN m x VA 1 2 Mmax = 8 q L L VB q l 2 c) q x L b) 0snitdel Du ser igen på venstre x og ser på figur 2.64b. Du bestemmer 2 q l momentet M: 2 x q⋅ L x 1 1 + ΣM = 0: M x − V ⋅ x + q ⋅ x ⋅ = 0: M x = − ⋅ q ⋅ x 2 + ⋅ q ⋅ L ⋅ x 2 2 2 2 q Ligningen for momentet M lfremstiller matematisk en parabel. Du kan c) 2 vælge nogle x-værdier og beregne de tilhørende M-værdier. Det giver nogle støttepunkter, når O du skal tegne M-kurven, Lsom får udseende som vist på figur 2.64d. q l 2 M d) 1 2 Mmax = 8 q L L 0 Figur 2.64d Herefter bestemmer du det største moment, som jo er på midten af bjælken. Du får: 2 ⎛ L⎞ 1 1 1 L X= M max = − ⋅ q ⋅ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ + ⋅ q ⋅ L ⋅ ⎝ ⎠ 2 2 2 2 2 1 M max = ⋅ q ⋅ L2 8 Du har hermed fået en formel for det maksimale moment for en simpelt understøttet bjælke belastet med en jævnt fordelt belastning. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 105 21-01-2013 14:59:39 106 Statik og styrkelære · Konstruktioner påvirket til bøjning EKSEMPEL 2.11 Gennemgående eksempel – reaktionerne er bestemt i eksempel 2.03. Du har givet en bjælke belastet og understøttet som vist på figur 2.65a. q = 1,5 kN m a) VA 4,5 4,5 VB 6 1,5 x b) x 4,5 c) x 2 V 4,5 0 4,5 6 6,75 6 M d) 3,75 3,75 0 1 2 3 4 5 6 Figur 2.65a-d a) Du skal tegne V-kurven. b) Du skal tegne M-kurven. a) Du starter med at lægge et snit ind som vist på figur 2.65b. Du ser på venstre snitdel og får: ↓+ΣV = 0: Vx + 1, 5 ⋅ x − 4 , 5 = 0: Vx = 4 , 5 − 1, 5 ⋅ x Når x = 0 får du: V0 = 4,5 kN Når x = 3 får du: V3 = 4,5 1,5 ⋅ 3 = 0 Når x = 6 får du: V6 = 4,5 1,5 ⋅ 6 = 4,5 kN Du kan nu afsætte de fundne værdier, og V-kurven får udseende som vist på figur 2.65c. Du kunne også have valgt den ”nemme” metode, så den får du også. Du starter i bjælkens venstre endepunkt. Her er reaktionen VA = 4,5 kN. Denne værdi afsætter du fra 0-linjen. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 106 21-01-2013 14:59:40 Sammenhænge mellem V- og M-kurver 107 Du fortsætter derefter fra venstre mod højre, og du har på bjælken den jævnt fordelte last. Du har ingen ændring, før du når reaktionen VB. Den jævnt fordelte last giver pr. meter et fald på 1,5 kN. Det samlede fald for hele strækningen bliver 1,5 · 6 = 9 kN. Værdien 9 kN skal afsættes i forhold de +4,5 kN, du startede med. Derved får du i bjælkens højre endepunkt værdien −4,5 kN. I højre endepunkt har du reaktionen VB = 4,5 kN. Denne værdi bringer V-kurven til afslutning ved 0-linjen. b) Du ser igen på venstre snitdel på figur 2.65b og bestemmer momentet: !+ΣM = 0: x Mx + 1, 5 ⋅ x ⋅ − 4 , 5 ⋅ x = 0: M x = 4 , 5 ⋅ x − 0 , 75 ⋅ x 2 2 Du har nu opstillet en ligning for momentet, som gælder for hele bjælken. For at få nogle støttepunkter, når du skal tegne M-kurven, vælger du følgende værdier for x og bestemmer M: x = 0 : M0 = 4 , 5 ⋅ 0 − 0 , 75 ⋅ 0 2 = 0 x = 1 : M1 = 4 , 5 ⋅ 1 − 0 , 75 ⋅ 12 = 3 , 75 kNm x = 2 : M 2 = 4 , 5 ⋅ 2 − 0 , 75 ⋅ 2 2 = 6 , 00 kNm x = 3 : M 3 = 4 , 5 ⋅ 3 − 0 , 75 ⋅ 32 = 6 , 75 kNm x = 4 : M 4 = 4 , 5 ⋅ 4 − 0 , 75 ⋅ 4 2 = 6 , 00 kNm x = 5 : M 5 = 4 , 5 ⋅ 5 − 0 , 75 ⋅ 52 = 3, 75 kNm x = 6 : M6 = 4 , 5 ⋅ 6 − 0 , 75 ⋅ 6 2 = 0 Du kan afsætte værdierne og tegne M-kurven, som får udseende som vist på figur 2.65d. Sammenhænge mellem V- og M-kurver Ved at se de foregående eksempler vil det fremgå, at du har nogle karakteristiske sammenhænge mellem V- og M-kurven for simpelt understøttede konstruktionselementer. Hvor V-kurven skærer 0-linjen, vil M-kurven have et maksimumspunkt. V + + M Figur 2.66 V M + + Figur 2.67 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 107 21-01-2013 14:59:41 108 Statik og styrkelære · Konstruktioner påvirket til bøjning På figur 2.66 og figur 2.67 får du det største positive moment, men på figur 2.68 får du også det største negative moment, hvor V-kurven skærer 0-linjen. V + M Figur 2.68 En anden sammenhæng er, at indlægger du et snit i en simpel understøttet bjælke, vil V-kurvens areal i venstre snitdel være lig med momentets størrelse i snitpunktet. Momentet vil være positivt, hvis V-kurvens areal er positivt. Betragter du højre del af snittet, vil momentet være positivt, hvis V-kurvens areal er negativt. Der er også nogle generelle sammenhænge mellem forløbet af V-kurven og forløbet af M-kurven. På nedenstående figurer får du vist sammenhænge mellem V- og M-kurver. De kan bevises matematisk, men du vil her kunne nøjes med at betragte dem som almengyldige regler, som du kan benytte i kommende opgaver. Er V-kurven positiv og vandret som vist på figur 2.69, vil M-kurven være en ret linje og stigende. V + M Figur 2.69 Er V-kurven negativ og vandret som vist på figur 2.70, vil M-kurven være en ret linje og faldende. V M Figur 2.70 Er V-kurven positiv og faldende som vist på figur 2.71, vil M-kurven være parabelformet med en krumning som vist. V + M Figur 2.71 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 108 21-01-2013 14:59:41 Sammenhænge mellem V- og M-kurver 109 Er V-kurven negativ og faldende som vist på figur 2.72, vil M-kurven være parabelformet med en krumning som vist. V M Figur 2.72 Er V-kurven positiv og stigende som vist på figur 2.73, vil M-kurven være parabelformet med en krumning som vist. V + M Figur 2.73 Er V-kurven negativ og stigende som vist på figur 2.74, vil M-kurven være parabelformet med en krumning som vist. V M Figur 2.74 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 109 21-01-2013 14:59:43 110 Statik og styrkelære · Konstruktioner påvirket til bøjning EKSEMPEL 2.12 Gennemgående eksempel – reaktionerne er bestemt i eksempel 2.04. Du har givet en bjælke, der er belastet som vist på figur 2.75a. 2,8 kN a) HA = 2,8 VA = 7 b) kN 2 m 2,8 kN 1,5 3,5 VB = 5,8 N 0 -2,8 V 7 c) 4 1,2 0 x -5,8 2x d) 7 x 2 2,9 e) 2,9 2 f) M 2,9 VB = 5,8 8,41 0 Figur 2.75a-f a) Du skal tegne N-kurven. b) Du skal tegne V-kurven. c) Du skal tegne M-kurven. a) Du indlægger et snit på bjælken mellem 0 og 1,5 m. Du ser på venstre snitdel og får: →+ΣH = 0: N 0 −1, 5 + 2 , 8 = 0: N 0 −1, 5 = −2 , 8 kN 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 110 21-01-2013 14:59:44 Sammenhænge mellem V- og M-kurver 111 På tilsvarende måde indlægger du et snit mellem 1,5 og 5 m. Du ser på højre snitdel og får: ←+ΣH = 0: N1, 5 − 5 = 0 Du kan tegne N-kurven, som får udseende som vist på figur 2.75b. b) Du benytter den ”nemme” metode. Du starter i bjælkens venstre endepunkt. Her har du VA = 7 kN, som afsættes fra 0-linjen. Du fortsætter fra venstre mod højre og stopper ved kraften 2,8 kN. Den jævnt fordelte last er 2 kN/m, som på strækningen vil aftage 2 · 1,5 = 3. Du kommer derved til værdien 7 – 3 = 4. I punktet vil kraften 2,8 kN få V-kurven til at aftage yderligere, nemlig 4 – 2,8 = 1,2. Du fortsætter nu mod højre og stopper ved reaktionen VB. Den jævnt fordelte last er aftaget med 2 · 3,6 = 7. I højre endepunkt kommer du til værdien 1,2 – 7 = − 5,8 Reaktionen VB bringer V-kurven tilbage til 0-linjen. Du kan tegne V-kurven, som får udseende som vist på figur 2.75c. c) For at kunne tegne M-kurven, skal du bestemme momentet M i bjælkens endepunkter, og endvidere hvor V-kurven skærer 0-linjen, da du jo har et maksimumspunkt her. Du skal have bestemt afstanden x og indlægger et snit i bjælken som vist på figur 2.75c. Du får: ↓+ΣV = 0: Vx − 7 + 2 , 8 + 2 ⋅ x = 0 Da Vx skal være 0, får du: −7 + 2 , 8 + 2 ⋅ x = 0 x = 2 , 1 m Herefter kan du bestemme momenterne: + ΣM = 0: M0 = 0 + ΣM = 0: M 2 ,1 + 2 ⋅ 2 , 9 ⋅ + ΣM = 0: M 5 = 0 2, 9 − 5 , 8 ⋅ 2 , 9 = 0: M 2 ,1 = 8 , 41 kNm 2 Du kan nu afsætte de fundne værdier og benytte de omtalte sammenhænge mellem V- og M-kurver til at tegne M-kurven, som får udseende som vist på figur 2.75f. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 111 21-01-2013 14:59:44 112 Statik og styrkelære · Konstruktioner påvirket til bøjning EKSEMPEL 2.13 Gennemgående eksempel – reaktionerne er bestemt i eksempel 2.05. 4 kN m 6 kN m 7 kN 5,2 kN HA = 5,2 a) 3 kN 3,5 VA = 4,7 1 2,5 VB = 38,3 N b) c) 0 -5,2 18 V 4,7 3 0 x -9,3 -16,3 -20,3 4.x d) 4,7 e) x M 2,76 0 -26,25 Figur 2.76a-e Du har givet en bjælke, der er belastet og understøttet som vist på figur 2.76a. a) Du skal tegne N-kurven. b) Du skal tegne V-kurven. c) Du skal tegne M-kurven 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 112 21-01-2013 14:59:44 Sammenhænge mellem V- og M-kurver 113 a) Du indlægger et snit på bjælken og ser på venstre snitdel. Du får: →+ΣH = 0: N 0 − 7 + 5 , 2 = 0: N 0 − 7 = −5 , 2 kN Du kan tegne N-kurven, som får udseende som vist på figur 2.76b. b) Du benytter den ”nemme” metode. Du starter i bjælkens venstre endepunkt, hvor du har reaktionen VA. Denne værdi afsætter du fra 0-linjen, og du har + 4,7. Du fortsætter fra venstre mod højre, indtil kraften 7 kN. Den jævnt fordelte belastning er 4 kN/m, og V-kurven vil i alt aftage 4 · 3,5 = 14 på denne strækning. Du kommer herefter til værdien 4,7 – 14 = − 9,3. I selve punktet kommer kraften 7 kN til, hvorved du får værdien − 9,3 − 7 = −16,3. Du har så en jævnt fordelt belastning på en strækning på 1 m. Du får værdien −16,3 − 4 = −20,3. I punktet har du reaktionen VB = 38,3 kN, som giver dig følgende værdi: −20,3 + 38,3 = 18. Du har igen en jævnt fordelt belastning på 2,5 m. I alt får du, at V-kurven vil aftage 6 · 2,5 = 15. I bjælken højre endepunkt, får du så værdien: 18 – 15 = 3. Endelig er der så kraften på 3 kN, som bringer V-kurven tilbage til 0-linjen. Du kan tegne V-kurven, som får udseende som vist på figur 2.76c. c) Du skal nu i gang med M-kurven. Du bestemmer momenterne i bjælkens endepunkter samt på de steder, hvor V-kurven skærer 0-linjen. Du starter med at bestemme, hvor V-kurven skærer 0-linjen. Du indlægger et snit som vist på figur 2.76d og får: ↓+ΣV = 0: Vx + 4 ⋅ x − 4 , 7 = 0 Da Vx = 0, får du: 4 ⋅ x − 4 , 7 = 0: x = 1, 175 m 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 113 21-01-2013 14:59:45 114 Statik og styrkelære · Konstruktioner påvirket til bøjning Du skal nu bestemme momenterne og benytter ”areal”- metoden, som du fik beskrevet i et tidligere afsnit. Du får: M0 = 0 M1,175 = 0 , 5 ⋅ 4 , 7 ⋅ 1, 175 = 2 , 76 kNm M 4 , 5 = − 0 , 5(18 + 3) ⋅ 2 , 5 = − 26 , 25 kNm M6 = 0 Du kan afsætte de fundne værdier og benytte sammenhænge mellem V- og M-kurver, som du tidligere har fået beskrevet til at tegne M-kurven, som får udseende som vist på figur 2.76e. EKSEMPEL 2.14 Gennemgående eksempel – reaktionerne er bestemt i eksempel 2.06. MA=114,7 a) 5 kN m 7,1 kN HA=7,1 5,5 VA = 34,6 7,1 kN N b) c) 0 -7,1 V 34,6 7,1 0 d) M 0 -114,7 Figur 2.77a-d Du har givet en bjælke, der er belastet og understøttet som vist på figur 2.77a. a) Du skal tegne N-kurven. b) Du skal tegne V-kurven. c) Du skal tegne M-kurven. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 114 21-01-2013 14:59:45 Sammenhænge mellem V- og M-kurver 115 a) Du indlægger et snit på bjælken og ser på venstre snitdel: Du får: →+ΣH = 0: N 0 − 5 , 5 + 7 , 1 = 0: N 0 − 5 , 5 = −7 , 1 kN Du kan nu tegne N-kurven, som får udseende som vist på figur 2.77b. b) Du benytter den ”nemme” metode”. Du starter i bjælkens venstre endepunkt, hvor du har reaktionen VA = 34,6 kN. Denne værdi afsætter du fra 0-linjen, og du får værdien +34,6. Du fortsætter fra venstre mod højre og har her en jævn fordelt belastning. Denne aftager i alt 5 · 5,5 = 27,5 på strækningen indtil kraften 7,1 kN i bjælkens højre endepunkt. Du kommer til værdien 34,6 – 27,5 = 7,1. Kraften 7,1 bringer V-kurven tilbage til 0-linjen. Du kan tegne V-kurven, som får udsende som vist på figur 2.77c. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 115 21-01-2013 14:59:49 116 Statik og styrkelære · Konstruktioner påvirket til bøjning c) Du kan bestemme momenterne i bjælkens endepunkter og får: !+ΣM = 0: M0 + 114 , 7 = 0: M0 = −114 , 7 kNm "+ΣM = 0: M 5 , 5 = 0 OPGAVE 72 Du har givet bjælkerne på figur 2.78a- j, som er belastet og understøttet som vist. 4 kN m a) 10 kN 4 kN m f) 4 6 10 kN 4 kN m b) 2 4 kN m g) 4 2 2 4 kN m c) 2 2 10 kN 4 kN m h) 6 4 4 kN m d) 1 1 4 kN m e) 2 2 10 kN 4 kN m 1 4 i) 4 j) 2 2 4 kN m 2 10 kN 1 10 kN 1 1 2 figur 2.78a-j Du skal for hver af bjælkerne: a) Tegne en beregningsmodel. b) Bestemme reaktionerne. c) Tegne V-kurven. d) Tegne M-kurven. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 116 21-01-2013 14:59:49 Momentkurver for aksler 117 Momentkurver for aksler Når du senere skal til at dimensionere aksler, er det forskelligt i forhold til bjælker. En bjælke har et konstant tværsnit, mens det varierer for en aksel. Aksler har afsatser for placering af lejer, tandhjul, remskiver osv. Det er derfor sjældent, at det er det største moment, du skal anvende, og dermed er V-kurven ikke interessant. Sagt på en lidt anden måde - du behøver ikke at tegne V-kurven, når du arbejder med aksler. Derimod skal du interessere dig for de ”farlige snit”, som i almindelighed er beliggende i overgangene mellem de enkelte afsatser på akslen. De kan også være beliggende, hvor akslens tværsnit er svækket ved en bearbejdning af en eller anden art. Du vil derfor i de kommende eksempler arbejde med beregning af momenter i disse såkaldte ”farlige snit”. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 117 21-01-2013 14:59:52 Statik og styrkelære · Konstruktioner påvirket til bøjning 118 EKSEMPEL 2.15 Gennemgående eksempel – fortsætter i eksempel 7.04. F=12 kN a) 1 2 3 4 16 VA 18 115 VB 145 310 b) M M2 M3 M1 M4 Figur 2.79a-b Du har givet en mellemaksel i en gearkasse, som er udformet som vist på figur 2.79a. Akslen er gennem et tandhjul påvirket af en kraft F = 12 kN. Akslen er understøttet i to lejer, som er symboliseret ved reaktionskræfterne VA og VB. Mål er i mm. De fire ”farlige snit” er markeret 1,2, 3 og 4. a) Du skal bestemme reaktionerne VA og VB. b) Du skal bestemme momenterne i de fire ”farlige snit”. c) Du skal tegne M-kurven. a) Du anvender ligevægtsligningen ΣM = 0 med VB som omdrejningspunkt. Du får: VA · 310 − 12 · 165 = 0 VA = 6,39 kN 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 118 21-01-2013 14:59:52 Momentkurver for aksler 119 Du anvender igen ΣM = 0, og denne gang med VA som omdrejningspunkt. Du får: VB · 310 − 12 · 145 = 0 VB = 5,61 kN b) Du bestemmer momenterne i de fire ”farlige snit”. Du får: !+ΣM = 0: M1 − 6 , 39 ⋅ 18 = 0: M1 = 115 , 02 kNmm !+ΣM = 0: M 2 − 6 , 39 ⋅ 145 = 0: M 2 = 926 , 55 kNmm ( M max ) "+ΣM = 0: M 3 − 5 , 61 ⋅ 115 = 0: M 3 = 645 , 15 kNmm "+ΣM = 0: M 4 − 5 , 61 ⋅ 16 = 0: M 4 = 89 , 76 kNmm c) Du kan afsætte de fundne værdier og tegne M-kurven som får udseende som vist på figur 2.79b. EKSEMPEL 2.16 9 kN 4,5 kN 2 HB VB Figur 2.80 D 32 4 kN 6 kN 1 C 0 14 HA VA 2 36 10 60 MVD 1 Figur 2.81 MV MV2 MVC M2 MHD MH2 MV1 M1 MH1 MHC MH Figur 2.80-2.81 Du har givet en aksel, som er belastet med både vertikale og horisontale kræfter som vist på figur 2.80. Akslen er understøttet og reaktionskræfterne i både vertikal og horisontal retning er placeret på figur 2.80. Mål er i mm. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 119 21-01-2013 14:59:52 120 Statik og styrkelære · Konstruktioner påvirket til bøjning a) Du skal bestemme reaktionerne VA, VB, HA og HB. b) Du skal bestemme og tegne momentkurve for både vertikal og horisontal belastning. c) Du skal bestemme de resulterende momenter i de to snit, mærket 1 og 2. Det skal lige bemærkes, at der er flere ”farlige snit”, men for overskuelighedens skyld kan du her nøjes med 1 og 2. a) Du anvender ligevægtsligningen ΣM = 0. Du starter med de vertikale kræfter: + ΣM = 0 : B VA ⋅ 140 − 4 ⋅ 104 − 9 ⋅ 32 = 0 : VA = 5 , 03 kN + ΣM = 0 : A VB ⋅ 140 − 4 ⋅ 36 − 9 ⋅ 108 = 0 : VB = 7 , 97 kN Derefter bestemmer du de horisontale reaktioner. Du får: + ΣM = 0 : B H A ⋅ 140 − 6 ⋅ 104 − 4 , 5 ⋅ 32 = 0 : H A = 5 , 49 kN + ΣM = 0 : A H B ⋅ 140 − 6 ⋅ 36 − 4 , 5 ⋅ 108 = 0 : H B = 5 , 01 kN b) Da momentkurverne er rette linjer, bestemmer du maksimumspunkterne. Du starter med de vertikale: !+ΣM = 0: MVC − 5 , 03 ⋅ 36 = 0: MVC = 181, 08 kNmm "+ΣM = 0: MVD − 7 , 97 ⋅ 32 = 0: MVD = 255 , 04 kNmm Herefter de horisontale: !+ΣM = 0: M HC − 5 , 49 ⋅ 36 = 0: M HC = 197 , 34 kNmm "+ΣM = 0: M HD − 5 , 01 ⋅ 32 = 0: MVD = 160 , 32 kNmm Du kan nu tegne momentkurverne, som får udseende som vist på figur 2.81. c) På figur 2.81 indtegner du de to snitmomenter 1 og 2. Figuren illustrerer, hvad du skal gøre rent beregningsmæssigt. Du skal først bestemme momenterne MV1, MV2, MH1 og MH2, som virker i henholdsvis vertikal og horisontal retning. Derefter skal du sammensætte momenterne til de resulterende momenter M1 og M2. Du starter med at bestemme de vertikale momenter: 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 120 + ΣM = 0: MV 1 − 5 , 03 ⋅ 10 = 0: MV 1 = 50 , 3 kNmm + ΣM = 0: MV 2 − 5, 03 ⋅ 60 + 4 ⋅ 24 = 0: MV 2 = 205, 8 kNmm 21-01-2013 14:59:53 Momentkurver for aksler 121 Herefter bestemmer du de horisontale momenter: + ΣM = 0: M H 1 − 5 , 49 ⋅ 10 = 0: M H 1 = 54 , 9 kNmm + ΣM = 0: M H 2 − 5 , 49 ⋅ 60 + 6 ⋅ 24 = 0: M H 2 = 185 , 4 kNmm Endelig kan du bestemme de resulterende momenter: M1 = MV 12 + M H 12 M1 = 50 , 32 + 54 , 9 2 = 74 , 46 kNmm M 2 = MV 22 + M H 22 M1 = 205 , 8 2 + 185 , 4 2 = 277 kNmm OPGAVE 73 Du har givet en mellemaksel i en gearkasse, som er udformet som vist på figur 2.82. Akslen er gennem tandhjulet påvirket af en kraft F = 22 kN, og understøttet som symboliseret ved reaktionskræfterne VA og VB. Mål er i mm. F = 22 kN 1 VA 2 3 4 16 108 150 5 16 VB 126 320 Figur 2.82 a) Du skal bestemme reaktionerne VA og VB. b) Du skal bestemme momenterne i de ”farlige snit”, mærket 1, 2, 3 og 4. c) Du skal tegne momentkurven. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 121 21-01-2013 14:59:54 122 Statik og styrkelære · Konstruktioner påvirket til bøjning OPGAVE 74 Du har givet en aksel som vist på figur 2.83, der er påvirket af to kræfter F1 og F2 og understøttet gennem reaktionskræfter VA og VB. Mål er i mm. F1 = 5,4 kN 2 1 VA 30 F2 = 4,1kN 34 5 VB 30 50 280 400 Figur 2.83 a) Du skal bestemme reaktionerne VA og VB. b) Du skal bestemme momenterne i de ”farlige snit”, mærket 1, 2, 3, 4 og 5. c) Du skal tegne momentkurven. OPGAVE 75 Du har givet en aksel som er udformet som vist på figur 2.84 og belastet gennem et tandhjul med kraften F = 24 kN. Akslen er understøttet i to kuglelejer, og reaktionerne VA og VB regnes at virke midt i lejerne. Mål er i mm. F= 24kN 80 1 2 3 VA 20 VB 20 400 Figur 2.84 a) Du skal bestemme reaktionerne VA og VB. b) Du skal bestemme reaktionerne i de ”farlige snit”, mærket 1, 2 og 3. c) Du skal tegne momentkurven. OPGAVE 76 Du har givet en aksel, som er påvirket af en vertikal belastning F1V = 18 kN og F2V = 7 kN og en horisontal belastning F1H = 14 kN og F2H = 3,5 kN som vist på figur 2.85. -mærket angiver angrebspunktet for de horisontal kræfter, der har samme retning. Akslen er understøttet i A og B, mål er i mm. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 122 21-01-2013 15:00:01 Momentkurver for aksler F1V 123 F2 V 1 2 3 4 5 6 A 10 10 B 25 40 40 55 140 Figur 2.85 a) Du skal bestemme reaktionerne i A og B i henholdsvis vertikal og horisontal retning. b) Du skal bestemme og tegne momentkurven for henholdsvis vertikal og horisontal retning. c) Du skal bestemme de resulterende momenter i snittene, mærket 1, 2, 3, 4, 5 og 6. OPGAVE 77 Du har givet en aksel, der er understøttet i A og B og belastet med en vertikal kraft på 1,4 kN og en horisontal kraft på 1,1 kN som vist på figur 2.86. -mærket angiver angrebspunkt for den horisontale kraft. Mål er i mm. 1,4 kN 1,1 kN A 1 30 B 50 90 25 Figur 2.86 a) Du skal bestemme reaktionerne i A og B i henholdsvis vertikal og horisontal retning. b) Du skal tegne momentkurven for henholdsvis vertikal horisontal belastning. c) Du skal bestemme det resulterende moment i det viste snit, mærket 1. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 123 21-01-2013 15:00:08 124 Statik og styrkelære · Konstruktioner påvirket til bøjning Momentpåvirkede konstruktionselementer I de foregående afsnit har du arbejdet med V- og M-kurver for konstruktionselementer påvirket af enkeltkræfter og jævnt fordelte belastninger. Du kan imidlertid også møde konstruktionselementer, der er påvirket af et moment. Du kan fx have en bjælke, hvor på der bliver svejst en arm, som skal holde et gelænder, og i en gearkasse får du momentpåvirkningen, hvis du har et tandhjul med skrå tænder. Momentkurven for et sådant konstruktionselement får et noget andet udseende, og det vil du få at se i det kommende eksempel. EKSEMPEL 2.17 Du har givet et konstruktionselement, der er understøttet og belastet som vist på figur 2.87a. Mål er i meter. 3,8 kN a) 1,5 HA A VA B 2 VB 5 Figur 2.87a b) N 0 -3,8 V c) 1,14 0 M 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 124 d) 0 21-01-2013 15:00:13 Momentpåvirkede konstruktionselementer a) b) c) d) 125 Du skal bestemme reaktionerne i A og B. Du skal tegne N-kurven. Du skal tegne V-kurven. Du skal tegne M-kurven. a) Du påfører figur 2.87a reaktionskræfterne, og du har beregningsmodellen. Du benytter ligevægtsligningerne og får: →+ΣH = 0 : H A − 3 , 8 = 0 : H A = 3 , 8 kN + ΣM = 0 : B VA ⋅ 5 − 3 , 8 ⋅ 1, 5 = 0 : VA = 1, 14 kN + ΣM = 0 : A VB ⋅ 5 + 3 , 8 ⋅ 1, 5 = 0 : VB = − 1, 14 kN b) 3,8 kN a) på bjælken og bestemmer normalkraften N. Du får: Du indlægger snit 1,5 →+ΣH = 0: N 0−2 + 3 , 8 = 0: N 0−2 = −3, 8 kN HA A B + ← ΣH = 0: N 2−5 = 0 2 VA Du kan afsætte de fundne værdier og tegne N-kurven,VBsom får udseende som vist på figur 2.87b. 5 N b) 0 3,8 kN a) -3,8 1,5 Figur 2.87b V HA A B 1,14 c) c) 0 Du anvender den ”nemme metode”. 2 VAendepunkt, VB VA = 1,14 kN. Du starter i venstre hvor du har reaktionen M Denne værdi afsætter du fra 0-linjen. 5 Du fortsætter fra venstre mod højre, indtil du møder reaktionen VB N = − 1,14 kN. Denne bringer V-kurven tilbage 0-linjen. b) d) værdi 0 0 Du kan tegne V-kurven, som bliver en vandret linje som vist på figur 2.87c. -3,8 V c) Figur 2.87c 1,14 0 M d) Du bestemmer momenterne i endepunkterne og endvidere i det punkt, d) 0 hvor momentet angriber. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 125 21-01-2013 15:00:14 3,8 kN a) 1,5 126 Statik og styrkelære · Konstruktioner påvirket til bøjning HA A Du får: B 2 VA VB !+ΣM = 0: M0 = 0 5 N ! ΣM = 0: M 2 − 1, 14 ⋅ 2 = 0: M 2 = 2 , 28 kNmm b) "+ ΣM = 0: M 2 − 1,014 ⋅ 3 = 0: M 3 = −3 , 42 kNmm -3,8 "+ ΣM = 0: M 5 = 0 V + Du får to værdier for momentet M2, som skyldes momentpåvirkningen. 1,14 Du kan tegnec)momentkurven, som får udseende som vist på figur 0 2.87d. M d) 0 Figur 2.87d OPGAVE 78 Du har givet to konstruktionselementer, som er understøttet og belastet som vist på figur 2.88 og figur 2.89. Mål er i meter. 3 kN 5 kN 1,3 A 2 2,5 1,5 Figur 2.88 3 kN 2 kN 1,4 1,1 A 1,5 2 1,3 Figur 2.89 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 126 21-01-2013 15:00:15 Momentpåvirkede konstruktionselementer 127 For de to konstruktionselementer skal du: a) Tegne beregningsmodel. b) Bestemme reaktioner. c) Tegne N-kurve. d) Tegne V-kurve. e) Tegne M-kurve. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 127 21-01-2013 15:00:18 Statik og styrkelære · Konstruktioner påvirket til bøjning 128 Resume 2. kapitel Reaktionsbestemmelse - se figur 2.90 Figur 2.90 1. Du tegner en beregningsmodel som vist på figur 2.94. 2. Du anvender ligevægtsligningerne ΣH = 0 ΣM = 0 : B ΣM = 0 : A Figur 2.91 Kontrol: V = 0 Snitkraftsbestemmelse Normalkraften N Du indlægger et snit i et konstruktionselement som vist på figur 2.92a. Figur 2.92a N N Figur 2.92b Du tilføjer snitkraften N på de to snitdele som vist på figur 2.92b. Du kan nu betragte enten den venstre eller den højre snitdel. De to snitdele skal hver for sig være i ligevægt, og du bestemmer N ved at anvende ligevægtsbetingelsen: ΣΗ = 0 Betragter du venstre snitdel, vil det symbolsk se således ud: →+ΣΗ = 0 Betragter du højre snitdel, vil det symbolsk se således ud: ←+ΣΗ = 0 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 128 21-01-2013 15:00:34 Resume 2. kapitel 129 Forskydningskraften V Du indlægger et snit i et konstruktionselement som vist på figur 2.93a+b. Figur 2.93a Figur 2.93b Du kan nu betragte enten den venstre eller den højre snitdel. De to snitdele skal hver for sig være i ligevægt, og du bestemmer V ved at anvende ligevægtsbetingelsen: ΣV = 0 Betragter du den venstre snitdel, vil det symbolsk se således ud: ↓+ΣV = 0 Betragter du den højre snitdel, vil det symbolsk se således ud: ↑+ΣV = 0 Momentet M Du indlægger et snit i et konstruktionselement som vist på figur 2.94a+b. x Figur 2.94a x Figur 2.94b Du kan betragte enten den venstre eller den højre snitdel. De to snitdele skal hver for sig være i ligevægt, og du bestemmer M ved at anvende ligevægtsbetingelsen: ΣM = 0 Betragter du den venstre snitdel, vil det symbolsk se således ud: !+ΣΗ = 0 Betragter du den højre snitdel, vil det symbolsk se således ud: !+Σ Η = 0 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 129 21-01-2013 15:00:35 Statik og styrkelære · Konstruktioner påvirket til bøjning 130 Sammenhænge mellem V- og M-kurver Hvor V-kurven skærer 0-linjen, vil M-kurven have et maksimumspunkt – figur 2.95 og figur 2.96. Figur 2.95 Figur 2.96 Figur 2.97: Er V-kurven positiv og vandret, vil M-kurven være en ret stigende linje. Figur 2.98: Er V-kurven negativ og vandret, vil M-kurven være en ret faldende linje. Figur 2.99: Er V-kurven positiv og faldende, vil M-kurven være parabelformet og have en krumning som vist. V + M Figur 2.97 V V + M M Figur 2.98 Figur 2.99 Figur 2.100: Er V-kurven negativ og faldende, vil M-kurven være parabelformet og have en krumning som vist. Figur 2.101: Er V-kurven positiv og stigende, vil M-kurven være parabelformet og have en krumning som vist. Figur 2.102: Er V-kurven negativ og stigende, vil M-kurven være parabelformet og have en krumning som vist. V V M M Figur 2.100 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 130 Figur 2.101 + V M Figur 2.102 21-01-2013 15:00:35 131 Gitterkonstruktioner 3 Opbygning En gitterkonstruktion er en konstruktionstype med et system af stænger samlet i såkaldte knudepunkter og understøttet på samme måde som en simpelt understøttet bjælke. Du kan møde gitterkonstruktioner mange steder. På billederne ser du eksempler, du kan møde i din hverdag. På det ene billede har du et spærfag af træ, som anvendes i forbindelse med bygning af en tagkonstruktion. På det andet har du flere byggekraner, der er i arbejde i forbindelse med et stort nyt byggeri. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 131 21-01-2013 15:00:39 132 Statik og styrkelære · Gitterkonstruktioner Grundtanken bag gitterkonstruktionen som konstruktionstype skal søges i dimensioneringsgrundlaget, som du kommer til at arbejde med senere i bogen. Hvis du fx vil anvende et H-profil som vist på figur 3.01 som bjælke i en konstruktion, vil teorien vise dig, at materialet om tyngdeaksen, som er symboliseret ved den stiplede cirkel, styrkemæssigt bliver meget dårligt udnyttet. Det er materialet ude i flangerne, der vil optage den største del af bjælkens bøjningspåvirkning. Figur 3.01 Det er derfor nærliggende at flytte materialet ud, hvor det styrkemæssigt udnyttes bedst, og du får så gitterkonstruktionen ind i billedet. Gitterkonstruktioner anvendes hovedsageligt ved store spændvidder, hvor konstruktionens lethed vil udkonkurrere bjælken, der vil blive alt for tung. Figur 3.02 På figur 3.02 og figur 3.03 har du et par eksempler på opbygning af gitterkonstruktioner. Figur 3.03 For at skelne stængerne fra hinanden inddeler du gitterkonstruktionen i forskellige dele. Stængerne foroven i gitterkonstruktionen kalder du for ”hovedet”, og de underste for stængerne i ”foden”. Alle de øvrige kalder du gitterstænger. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 132 21-01-2013 15:00:39 Beregningsgrundlag 133 Beregningsgrundlag Du kan behandle gitterkonstruktioner på samme måde som bjælker, nemlig som plane konstruktioner, der er statisk bestemte. Når du arbejder med gitterkonstruktioner må du gøre nogle forudsætninger. a) Belastning og reaktioner regnes at virke i knudepunkterne. b) Knudepunkterne tænkes udført som friktionsløse led (hængselsled), hvilket betyder, at gitterstængerne kun kan blive påvirket til rent træk eller tryk. c) Gitterkonstruktionen skal være opbygget i trekanter, der to og to har en side til fælles og ikke overdækker hinanden. På figur 3.04 har du en gitterkonstruktion, der er opbygget på denne måde. Du kan så sige, at den er indvendig statisk bestemt. Endvidere siger du, at en gitterkonstruktion er ideelt opbygget, når den opfylder disse betingelser. Figur 3.04 I praksis vil du ikke møde en ideel konstruktion. Belastningen vil ikke alene virke i knudepunkterne, og selve knudepunkterne vil ikke være udført som friktionsløse led, men være faste. Har du en konstruktion af træ, vil stængerne blive sømmet fast, og har du en konstruktion af stål, vil stængerne blive svejst eller boltet sammen. Erfaringen viser imidlertid, at udfører du beregningerne efter de nævnte forudsætninger, vil du få resultater, som er tilstrækkelig nøjagtige, og som i praksis vil være acceptable. Den fremgangsmåde, du anvendte ved beregning af bjælker, er den samme ved beregning af gitterkonstruktioner. Du skal først have de ydre kræfter i ligevægt. Du skal derfor starte med at tegne en beregningsmodel, som du påfører belastning og reaktioner. Herefter skal du i gang med de indre kræfter, som er de kræfter, der bliver overført i gitterstængerne. Disse indre kræfter kan du bestemme ved beregning eller grafisk ved tegning. Du vil i de kommende afsnit komme til at arbejde med de regler og teknikker, som skal anvendes. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 133 21-01-2013 15:00:39 Statik og styrkelære · Gitterkonstruktioner 134 Bestemmelse af reaktioner Reaktionerne i en gitterkonstruktion bestemmer du på samme måde som ved en bjælke. Du tegner en beregningsmodel, der viser belastningen og reaktionernes placering. Herefter kan du bestemme reaktionerne ved anvendelse af ligevægtsligningerne. Det vil du komme til at arbejde med i de kommende eksempler. EKSEMPEL 3.01 Gennemgående eksempel – fortsætter i eksempel 3.04. Du har givet en gitterkonstruktion, som er opbygget og belastet som vist på figur 3.05. Mål er i meter. 4 kN 4 kN 4 kN 4 kN A 4 kN 4 kN B 6 VA VB Figur 3.05 4 kN Du skal bestemme reaktionerne i A og B. Du tegner beregningsmodellen som vist på figur 3.06. 4 kN 4 kN 4 kN 4 kN 4 kN A B 6 VA VB Figur 3.06 Da belastningen virker symmetrisk om A og B, får du umiddelbart: V A = VB = 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 134 3⋅ 4 = 6 kN 2 21-01-2013 15:00:44 Bestemmelse af reaktioner 135 EKSEMPEL 3.02 Gennemgående eksempel – fortsætter i eksempel 3.05. Du har givet en vægdrejekran, som er opbygget som en gitterkonstruktion, som er belastet som vist på figur 3.07. Mål er i meter. A 3 4 3 HA 6 kN 4 HB B 6 kN B VB Figur 3.07 Du skal bestemme reaktionerne i A og B. Du tegner en beregningsmodel som vist på figur 3.08 og anvender ligevægtsligningerne. A 3 4 6 kN B 3 HA 4 HB 6 kN B VB Figur 3.08 Du får: ↑+ΣV = 0: VB − 6 = 0: VB = 6 kN + + ΣM = 0 : B H A ⋅ 4 − 6 ⋅ 3 = 0: H A = 4 , 5 kN ΣM = 0: A H B ⋅ 4 − 6 ⋅ 3 = 0: H B = 4 , 5 kN 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 135 21-01-2013 15:00:59 Statik og styrkelære · Gitterkonstruktioner 136 EKSEMPEL 3.03 Gennemgående eksempel – fortsætter i eksempel 3.06. Et spærfag er opbygget som en gitterkonstruktion og belastet som vist på figur 3.09. Mål er i meter. 0,7 5k N N 2k 1,5 kN 2 N 1k A 4 N 1k 0,7 5k N B 8 Figur 3.09 3 a c V1 V2 H1 a 1 HA VA H2 2 8 2 Du skal bestemme reaktionerne i A og B. N 2k N 1k A 0,7 Du tegner en beregningsmodel som vist på figur 3.10. 5k N 3 1,5 a V kN V 2 1 c H1 0,7 H2 2 5k N HA a 1 B 8 2 2 8 VB VA 4 N 1k Figur 3.10 Her sammensætter du kræfterne til en resultant på henholdsvis venstre og højre side. De to resultanter opløser du i horisontale og vertikale komposanter. Du starter beregningerne med at bestemme vinklerne: tan a = 2 : a = 26 , 6° 4 c = 90° − 26 , 6° = 63 , 4° Herefter kan du bestemme komposanterne: V1 = 4 ⋅ sin 63 , 4° = 3 , 58 H1 = 4 ⋅ cos 63 , 4° = 1, 79 V2 = 3 ⋅ sin 63 , 4° = 2 , 68 H2 = 3 ⋅ cos 63 , 4° = 1, 34 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 136 21-01-2013 15:01:00 VB Bestemmelse af reaktioner 137 Nu kan du komme i gang med ligevægtsligningerne: ←+ΣH = 0: H A − 1, 79 − 1, 34 = 0: H A = 3 , 13 kN ΣM = 0: B VA ⋅ 8 − 3 , 58 ⋅ 6 + 1, 79 ⋅ 1 + 2 , 68 ⋅ 2 + 1, 34 ⋅ 1 = 0: VA = 1, 63 kN + ΣM = 0: A VB ⋅ 8 + 2 , 68 ⋅ 6 − 1, 34 ⋅ 1 − 3 , 58 ⋅ 2 − 1, 79 ⋅ 1 = 0: VB = −0 , 73 kN + Minustegnet viser dig bare, at retningen på VB på beregningsmodellen skal være modsat. OPGAVE 79 En portalkran er opbygget som en gitterkonstruktion og understøttet og belastet som vist på figur 3.11. Mål er i meter. 1,5 MN 5 3 MN 15 MN 2,5 1,5 MN A B 4 4 Figur 3.11 a) Du skal tegne en beregningsmodel. b) Du skal bestemme reaktionerne i A og B. OPGAVE 80 En gitterkonstruktion er opbygget og understøttet og belastet som vist på figur 3.12. Mål er i meter. B 6 2,5 A 6,5 MN Figur 3.12 a) Du skal tegne en beregningsmodel. b) Du skal bestemme reaktionerne i A og B. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 137 21-01-2013 15:01:03 138 Statik og styrkelære · Gitterkonstruktioner OPGAVE 81 En kran er opbygget som en gitterkonstruktion, som er understøttet og belastet som vist på figur 3.13. Mål er i meter. 60o A 8 MN 3 o 30 B Figur 3.13 a) Du skal tegne en beregningsmodel. b) Du skal bestemme reaktionerne i A og B. OPGAVE 82 Et spærfag er opbygget som en gitterkonstruktion og understøttet og belastet som vist på figur 3.14. Mål er i meter. 55 0 11 1,5 1,5 55 N 90 N 18 0 N N 90 N N B A 5 5 Figur 3.14 a) Du skal tegne en beregningsmodel. b) Du skal bestemme reaktionerne i A og B. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 138 21-01-2013 15:01:03 Ritters metode 139 OPGAVE 83 En gitterkonstruktion er opbygget, understøttet og belastet som vist på figur 3.15. Mål er i meter. 400 N 400 N 300 N 2,5 200 N B A 2 2 2 Figur 3.15 a) Du skal tegne en beregningsmodel. b) Du skal bestemme reaktionerne i A og B. Ritters metode Du skal nu i gang med at beregne stangkræfter. Der findes to metoder, og den første, du skal arbejde med, kaldes Ritters metode. Princippet er, at du lægger et snit gennem konstruktionen og herved deler konstruktionen i to dele. På figur 3.16 har du en gitterkonstruktion, hvor du indlægger et ”snit” som vist mærket ved linje a-a. b a b a Figur 3.16 På figur 3.17 har du de to frit skårne konstruktionsdele hver for sig. b a b a Figur 3.17 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 139 21-01-2013 15:01:03 140 Statik og styrkelære · Gitterkonstruktioner Princippet er endvidere, at de ydre kræfter, som er belastning og reaktioner, skal holde ligevægt med indre kræfter, som er de kræfter, der er i gitterstængerne. Som du kan se på figur 3.17, sætter du altid disse indre kræfter på i forlængelse af gitterstængerne, hvilket vil sige væk fra snitfladen. Beregningerne kan så vise, om det er rigtigt. Får du en stangkraft med negativt fortegn, er det en trykstang. Du foretager beregningerne ved hjælp af ligevægtsligningerne, og da du har tre ligninger, begrænser det dine ”snit” muligheder. Du kan ikke lægge et ”snit” i en konstruktion og overskære mere end tre stænger, da du så får problemer med beregningerne. Et ”snit” som vist på figur 3.16 mærket ved linjen b-b, hvor du overskærer fem stænger, vil derfor beregningsmæssigt være umuligt. Når du skal i gang med beregningerne, kan du vælge den snitdel, som du har lyst til. Som udgangspunkt vil du altid med fordel kunne vælge den snitdel, hvor der er færrest regnestørrelser på. Ser du på figur 3.17, vil det være højre snitdel, du vil vælge som udgangspunkt for beregningerne. EKSEMPEL 3.04 Gennemgående eksempel – reaktioner er bestemt i eksempel 3.01. Du har givet en gitterkonstruktion er opbygget, understøttet og belastet som vist på figur 3.18. Mål er i meter. 4 kN 6 kN 4 kN 1 2 4 kN 1 3 6 2 6 kN Figur 3.18 Du skal bestemme stangkræfterne i stængerne, der er nummereret nr. 1, 2 og 3 og angive, om de er træk eller trykstænger. Du indlægger et snit, der går gennem de tre stænger og betragter de to snitdele, der er vist på figur 3.19. S1 S1 S2 S2 S3 S3 4 kN D S1 S2 1 S3 C 1 3 2 6 kN Figur 3.19 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 140 21-01-2013 15:01:03 Ritters metode 141 De to snitdele skal hver for sig være i ligevægt, og du tilføjer stangkræfterne S1, S2 og S3, der skal holde ligevægt med de ydre kræfter. Du kan vælge den snitdel, som du vil, men da der er færrest regnestørrelser på den højre del, kan du vælge den. Som udgangspunkt for dine beregninger har du så den højre snitdel, som er vist på figur 3.20. S1 S1 S2 S2 S3 4 kN D S1 S2 1 S3 C 1 S3 3 2 6 kN Figur 3.20 Du starter med at bestemme S1 og anvender ΣM = 0 med C som omdrejningspunkt. Du vælger punkt C, fordi virkelinjerne for S2 og S3 går gennem dette punkt, og derfor ikke får nogen indflydelse på momentet. Du får: + ΣM = 0 : C − S1 ⋅ 1 + 4 ⋅ 1 − 6 ⋅ 2 = 0: S1 = −8 kN (trykstang) Derefter bestemmer du S3 ved hjælp af ΣM = 0 og denne gang med punkt D som omdrejningspunkt. Punktet D får du ved at forlænge virkelinjerne for S1 og S2. De to stangkræfter får derfor ikke nogen indflydelse på momentet. Du får: !+ΣM = 0: D S3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 2 − 6 ⋅ 3 = 0: S3 = 10 kN (trækstang) Endelig kan du bestemme S2 ved at anvende ΣV = 0. Du får: ↑+ΣV = 0: S2 ⋅ sin 45° − 4 + 6 = 0: S2 = 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 141 −2 = −2 , 83 kN (trykstang ) sin 45° 21-01-2013 15:01:04 142 Statik og styrkelære · Gitterkonstruktioner OPGAVE 84 Du har givet en gitterkonstruktion, der er opbygget, understøttet og belastet som vist på figur 3.21. Mål er i meter. 10 MN 10 MN 10 MN 5 MN 5 MN 1 2 1 3 A 1 1 B 1 1 Figur 3.21 a) Du skal bestemme reaktionerne i A og B. b) Du skal bestemme stangkræfterne i stængerne 1, 2 og 3 og angive, om de er træk- eller trykstænger. OPGAVE 85 Du har givet en gitterkonstruktion, der er opbygget, understøttet og belastet som vist på figur 3.22. Mål er i meter. 30 MN 30 MN 30 MN 1 15 MN 15 MN 2 3 3 A 3 3 3 B 3 Figur 3.22 a) Du skal bestemme reaktionerne i A og B. b) Du skal bestemme stangkræfterne i stængerne 1, 2 og 3 og angive, om de er træk- eller trykstænger. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 142 21-01-2013 15:01:05 Knudepunktsmetoden 143 Knudepunktsmetoden Den anden metode, du skal arbejde med, når du bestemmer stangkræfter, er knudepunktmetoden. Princippet er, at du lægger snittet om det enkelte knudepunkt. Du har en gitterkonstruktion som vist på figur 3.23, hvor der er tre knudepunkter skåret fri. Det skulle være tilstrækkeligt til at bestemme samtlige stangkræfter, da gitterkonstruktionen er symmetrisk opbygget og belastet om midterlinjen. II I II I III III Figur 3.23 Af praktiske grunde vil du altid skulle starte beregningerne i et knudepunkt, hvor der kun er to ubekendte stangkræfter. I det her tilfælde ville det blive i knudepunkt, mærke I, du skulle starte beregningerne. Hvad så herefter? Der er to muligheder. I knudepunktet, mærket III, er der fire stangkræfter, og da du kun har bestemt en af disse i det første knudepunkt, er der tre ubekendte tilbage. Går du til knudepunktet, mærket II, er der tre stangkræfter, og her har du også bestemt en stangkraft i det første knudepunkt. Det giver dig to ubekendte stangkræfter tilbage. Rækkefølgen i dine beregninger vil derfor være, at du starter med knudepunkt I, derefter II og så III. Princippet er det samme som ved Ritters metode, at du sætter stangkræfterne på som trækstænger. Beregningerne må så vise, om det er rigtigt. Du kan så gennemføre beregningerne ved hjælp af ligevægtsligningerne, idet der skal være ligevægt mellem de ydre kræfter, der påvirker knudepunktet, og de indre kræfter, som er de kræfter, der er i gitterstængerne. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 143 21-01-2013 15:01:05 144 Statik og styrkelære · Gitterkonstruktioner EKSEMPEL 3.05 Gennemgående eksempel – reaktioner er bestemt i eksempel 3.02. Du har givet en vægdrejekran, der er opbygget som en gitterkonstruktion og understøttet og belastet som vist på figur 3.24. Mål er i meter. 3 1 4,5 kN III 1 3 1 C 5 4 b a 2 I 6 kN 4 c II 4,5 kN 6 kN Figur 3.24 Du skal bestemme samtlige stangkræfter og angive, om de er træk- eller trykstænger. Du skal have lagt nogle snit ind om de enkelte knudepunkter og kan vælge at gøre det som vist på figur 3.24, hvor du markerer tre knudepunkter, mærket I, II og III. Herefter skal du have bestemt vinklerne a, b og c. Du får: tan a = 1 : a = 26 , 6° 2 tan b = 1 : b = 18 , 4° 3 c = 90° − 18.4° = 71, 6° Du kan nu gå i gang med det første knudepunkt og kan tegne det som vist på figur 3.25. I S1 a 1 C S2 6 kN 2 Figur 3.25 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 144 21-01-2013 15:01:06 Knudepunktsmetoden 145 Du har kun en ubekendt i vertikal retning, så du får: ↑+ΣV = 0: − S2 ⋅ sin 26 , 6° − 6 = 0 : −6 = −13 , 4 kN (trykstang ) S2 = sin 26 , 6° Når du skal bestemme S1, er der to muligheder, som du begge får at se. Du kan starte med: →+ΣH = 0: − S1 − S1 ⋅ cos 26 , 6° = 0: −S1 − (−13 , 4 ⋅ cos 26 , 6°) = 0: S1 = 12 kN (trækstang) Du kan også anvende ΣM = 0. Fordelen er, at en eventuel fejl ved beregning af S2 ikke får nogen indflydelse. Du kan vælge punkt C som omdrejningspunkt og får: !+ΣM = 0: C S1 ⋅ 1 − 6 ⋅ 2 = 0: S1 = 12 kN (trækstang) Du kan fortsætte med knudepunkt II og kan tegne snittet ud som vist på figur 3.26. II 1 C S5 S4 3 4,5 kN c 6 kN Figur 3.26 Du kan starte med: →+ΣH = 0: S4 ⋅ cos71,6° + 4, 5 = 0: −4 , 5 S4 = = −14, 25 kN (trykstang ) cos 71, 6° 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 145 21-01-2013 15:01:07 146 Statik og styrkelære · Gitterkonstruktioner Når du skal beregne S5, er der to muligheder. Du kan starte med: ↑+ ΣV = 0: S5 + S4 ⋅ sin 71, 6° + 6 = 0: S5 + (−14 , 25) ⋅ sin 71, 6°+ 6 = 0: S5 = 7 , 5 kN (trækstang) Du har også en anden mulighed og kan anvende ΣM = 0 med C som omdrejningspunkt: !+ΣM = 0: C S5 ⋅ 1 − 4 , 5 ⋅ 3 + 6 ⋅ 1 = 0: S5 = 7 , 5 kN (trækstang) Du mangler S3 og kan tegne snit III som vist på figur 3.27. 4,5 kN III S1 45o S5 S3 Figur 3.27 Du kan benytte: ↑+ΣV = 0: − S3 ⋅ sin 45° − S5 = 0: −S3 ⋅ sin 45° − 7 , 5 = 0: S3 = −10 , 6 kN (trykstang) For overskuelighedens skyld opstiller du de fundne stangkræfter i et skema, som får udseende som vist herunder. Stang nr. 1 Tryk 12 2 13,4 3 10,6 4 14,25 5 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 146 Størrelse (kN) Træk 7,5 21-01-2013 15:01:07 Knudepunktsmetoden 147 OPGAVE 86 Du har givet en gitterkonstruktion, der er opbygget, understøttet og belastet som vist på figur 3.28. Mål er i meter. A 6 B 6 12 MN Figur 3.28 a) Du skal bestemme reaktionerne i A og B. b) Du skal bestemme samtlige stangkræfter og angive, om de er træk- eller trykstænger. OPGAVE 87 Du har givet en gitterkonstruktion, der er opbygget, understøttet og belastet som vist på figur 3.29. Mål er i meter. 3 A 3 B 3 MN Figur 3.29 a) Du skal bestemme reaktionerne i A og B. b) Du skal bestemme samtlige stangkræfter og angive, om de er træk- eller trykstænger. c) Du skal opstille stangkræfterne i et skema. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 147 21-01-2013 15:01:08 148 Statik og styrkelære · Gitterkonstruktioner OPGAVE 88 Du har givet et halvtag, der er opbygget som en gitterkonstruktion, der er understøttet og belastet som vist på figur 3.30. Mål er i meter. A 3 3 8 kN 3 B 6 kN Figur 3.30 a) Du skal bestemme reaktionerne i A og B. b) Du skal bestemme samtlige stangkræfter og angive, om de er træk- eller trykstænger. c) Du skal opstille stangkræfterne i et skema. OPGAVE 89 Du har givet en gitterkonstruktion, der er understøttet og belastet som vist på figur 3.31. Mål er i meter. 10 kN 10 kN B A 20 kN Figur 3.31 a) Du skal bestemme samtlige stangkræfter og angive, om de er træk- eller trykstænger. b) Du skal opstille stangkræfterne i et skema. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 148 21-01-2013 15:01:10 Grafisk bestemmelse af stangkræfter 149 OPGAVE 90 Du har givet en tagkonstruktion, der er opbygget som en gitterkonstruktion, der er understøttet og belastet som vist på figur 3.32. Mål er i meter. 12 MN 24 MN 12 MN 4 A 4 4 B Figur 3.32 Du skal bestemme samtlige stangkræfter og angive, om de er træk- eller trykstænger. Grafisk bestemmelse af stangkræfter Princippet ved grafisk bestemmelse af stangkræfter i en gitterkonstruktion er det samme som det, du anvendte ved knudepunktsmetoden. Du skærer hvert knudepunkt fri, og de ydre kræfter og stangkræfterne, der virker i punktet, skal holde ligevægt. Det vil ved tegning betyde, at den kraftpolygon, du kan tegne over kræfterne, lukker sig. Du vil få lejlighed til at arbejde med fremgangsmåden i det kommende eksempel. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 149 21-01-2013 15:01:11 150 Statik og styrkelære · Gitterkonstruktioner EKSEMPEL 3.06 Gennemgående eksempel – reaktionerne er bestemt i eksempel 3.01. Du har givet en gitterkonstruktion, der er opbygget, understøttet og belastet som vist på figur 3.33a. 4 kN a) 4 kN II A I 4 kN B 2 1 III C 4 3 5 E VA Figur 3.33a D VB 2 f) a 1 a) Du skal bestemme samtlige stangkræfter grafisk og angive,3 om de er træk- eller g) 2 trykstænger. 2 b b) Du1 skal opstille deefundne værdier i et skema. 1 3 1 Du skal have nummereret stængerne og benytter et princip som vist på a e) i) figur c) 3.33a. Du giver mellemrummene mellem de ydre kræfter store bogstaver, 2 og mellemrummene inde i gitteret giver du tal. Du får på denne måde mulighed for at navngive de ydre kræfter og e 1 3 1 tal-tal. stængerne ved en kombination af bogstaver, bogstaver-tal eller Det ser lidt mystisk ud, men fordelen ved denne specielle nummerering vil fremgå senere. b) a d) Du skal forestille dig, at hvert knudepunkt skæres fri. Princippet er, at 4 kN 4 kN du hele tiden går til det knudepunkt, hvor der er færrest regnestørrelser. a) II Du vælger en passende kraftmålestok og starter vedB knudepunkt I.C Her har du reaktionen VA, som med nummereringssystemet kommer A 2 4 til at hedde e-a. Bemærk rækkefølgen! I På samme 1 måde kommer 3 stangkræfterne til at hedde a-1 og 1-e. E III bogstaverne/ Cirklen om knudepunktet angiver den rækkefølge, tallene kommer i. VA Du benytter samme rækkefølge, når kræfterne skal afsættes. b) a d) e a b e c d 4 kN D 5 VB 2 f) a 2 1 e b 1 3 g) e 2 1 3 Figur 3.33b 1 c) a e) i) 2 1 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 150 e 3 1 21-01-2013 15:01:11 B A I C 2 1 3 4 D 5 E III Grafisk bestemmelse af stangkræfter 151 VA VB Du starter med knudepunktb)I som vist på d) Du starter altid f) a figur 3.33b. med det, du kender. Du starter derfor med reaktionen e-a. Fra pilpunktet a 3 a skal stangkraften a-1 udgå. Du tegner derfor en linje parallel med a-1 gennem a. Fra begyndelsespunktet e tegner du en linje parallel med 1-e. g) 2 b Herved fremkommer kraftpolygonen og for at den kan lukke sig, 1 e 3 må du sætte pilespidser på som vist på figur 3.33c. 1 a c) e) 2 3 Figur 3.33c Du kan måle størrelsen af a-1 og 1-e på figuren. Tilbage bliver spørgsmålet, om det er træk- eller trykstænger. Her skal du forestille dig, at kræfterne a-1 og 1-e parallelforskydes 4 kN 4 kN 4 kN tilbage i gitterstængerne i gitterkonstruktionen. a) II Du får nu, at a-1 går mod knudepunktet og B C er således en trykstang. 1-e går væk fra knudepunktet og er dermed en trækstang. A 2 D 4 Du kanIfortsætte til ubekendte. 1 det knudepunkt, 3 hvor der er færrest 5 Det må blive knudepunkt II, da der her kun er to ubekendte. Var du IIIdu fåetEtre ubekendte. gået til knudepunkt III, havde Du kan igen tegne en kraftpolygon over kræfterne, der virker i knuVA VB depunktet. b) d) a 4 kN a) II 1 I Figurc) 3.33d e A a 3 4 kN 4 kN 2 1 e) B bC 21 4 3 a e) g) 1 e 1 e c e 1 e 2 3 D 5 a i) i) 2 Figur 3.33e b d 1 E III Du starter med 1-a som vist på figur 3.33d. Det kan se2 lidt mærkeligt VA VB ud, at den har modsat retning i forhold til den først tegnede kraftpolygon,1 men det kaneforklares med, at en trykstang altid vil gå mod knu3 1 b) d)knudepunkt II, du f) depunktet, og detaer jo netop arbejder2med. a 1 der er Du fortsætter nu med de øvrige kræfter i den 3rækkefølge, angivet ved cirklen om knudepunktet. Du startede i punkt 1, og hvis g) 2 kraftpolygonen skal lukke 2sig, må du også slutte her. b 1 1 må da få retningerne e Du på b-2 og 2-1 som vist på 3 figur.3.33e. 1 c) e 2 f) a 1 a i) e e 2 2 1 1 3 b e c e d e a b 1 e c d 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 151 21-01-2013 15:01:11 4 kN a) II A VA a) II b) a A I 1 VA e c) b) a a 1 1 e e c) a 1 e 4 kN StatikBog styrkelære · Gitterkonstruktioner C 152 I 4 kN 2 D 4 3 5 Parallelforskyder du kræfterne tilbage i gitterstængerne på figur 3.33a, E III får du, at b-2 er en trykstang og 2-1 er en trækstang. Du kan4 nu 4 kN kN nøjes med et4knudepunkt kN VB til, da gitterkonstruktionen og belastningen er symmetrisk om midterlinjen. B C 2 f) d) a4 2 D 1 e 3 5 1 3 Figur 3.33f g) 2 E 2 III b 1 e 3 Du kan nu gå til knudepunkt III og tegne som vist på figur 3.33f. Du VB 1 de kendte stangkræfter e-1 og 1-2, mens de ubekendte er 2-3 har her a i) oge)3-e. 2 d) f) Du kan sætte pilespidser på som vist på figur 3.33g, og du har reta 1 e 2 ningerne på 2-3 og 3-e. 3 b g) 2 e 2 b 3 11 e 3 c 1 Figur 3.33g a i) e) d Parallelforskyder du 2-3 og 3-e tilbage til figur 3.33a og betragter knu2 trykstang og 3-e er en trækstang. depunkt III, får du, at 2-3 er en b 1 e Du mangler nu kun at få3stangkræfterne opstillet i et skema. Det kom1 c mer til at se således ud: Placering Hoved Fod Gitterstænger Stang nr. Størrelse (kN)d Træk Tryk a-1 8,5 b-2 8 c-4 8 d-5 8,5 e-1 6 e-3 10 e-5 6 1-2 2,85 2-3 2,85 3-4 2,85 4-5 2,85 Umiddelbart vil fordelen ved nummereringssystemet fremgå af skemaet. Du har stængerne i gitterets hoved og fod, der har bogstav-tal kombination, mens gitterstængerne har tal-tal kombination. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 152 21-01-2013 15:01:12 III E VA b) VB a 1 e c) a 1 d) a Grafisk bestemmelse af stangkræfter 2 f) 1 3 153 e g) 2 I2stedet for at tegne b en kraftpolygon for hvert knudepunkt, kan du tegne alle kraftpolygonerne 3 sammen i 1et diagram esom vist på figur 3.33i. 1 a i) e) 2 e 3 b 1 e c d Figur 3.33i Fordelen er indlysende, idet du jo kun tegner kræfterne en gang. I praksis vil det også være dette diagram, som du vil anvende til bestemmelse af stangkræfter, men du vil med fordel kunne starte med at tegne diagrammer for de enkelte knudepunkter. Når du har opnået en passende rutine i tegning og bestemmelse af, om stængerne er trækeller trykstænger, kan du gå over til at tegne alle knudepunkterne i et diagram. Du kan benytte følgende fremgangsmåde, når du tegner et sådant diagram. 1. Du skal bestemme reaktionerne. Det kan gøres grafisk eller analytisk. 2. Du skal vælge passende længde- og kraftmålestok. 3. Du skal nummerere mellemrummene. 4. Du skal tegne kraftpolygon for de ydre kræfter, hvilket vil sige belastning og reaktioner. 5. Du skal tegne kraftpolygoner for de enkelte knudepunkter. 6. Du starter altid i et knudepunkt, hvor der ikke er mere end en ubekendt. 7. Kræfterne afsættes i en rækkefølge højre om knudepunktet. 8. Du starter altid med en kendt kraft og slutter med en ubekendt. 9. Du måler stangkræfterne og indfører værdierne i et skema. 10. Du skal afgøre, om stængerne er træk- eller trykstænger. Har du et computerbaseret tegneprogram, vil det være oplagt at benytte det til tegning af et sådant kraftdiagram. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 153 21-01-2013 15:01:15 154 Statik og styrkelære · Gitterkonstruktioner EKSEMPEL 3.07 Gennemgående eksempel – reaktionerne er bestemt i eksempel 3.03. Du har givet et spærfag, som er opbygget som en gitterkonstruktion og understøttet og belastet som vist på figur 3.34. 1 2 1 kN kN 0,7 5k N 1,5 kN kN 2 A 0,7 5k N B 8 Figur 3.34 Du skal bestemme samtlige stangkræfter og angive, om der træk- eller trykstænger. Du følger den førnævnte fremgangsmåde. 1. Du skal bestemme reaktionerne. Det er gjort i eksempel 3.03. Du har: H A = 3 , 13 kN , VA = 1, 63 kN og VB = −0 , 73 kN 2. Du skal vælge passende længde- og kraftmålestok. Du vælger målestokke, således at retninger og størrelser kan afsættes og måles med en rimelig nøjagtighed. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 154 21-01-2013 15:01:17 Grafisk bestemmelse af stangkræfter 155 3. Du skal nummerere mellemrummene og har dermed en udgangstegning som vist på figur 3.35. 1 kN 2 kN F 0,75 kN D 1 kN 2 C 1 1,5 kN G E H 4 3 0,75 kN 5 J B A VA VB Figur 3.35 4. Du skal tegne kraftpolygon for de ydre kræfter. Det er vilkårligt, hvilken kraft du starter med, men du tager kræfterne i en rækkefølge højre om konstruktionen, og kraftpolygonen skal lukke sig Du starter med at afsætte j-a (VB ), derefter a-b (VA ), b-c (HA ), c-d, d-e osv. – altså i en rækkefølge højre om konstruktionen som vist på figur 3.36. c b d j 3 1 h 5 a e 4 g 2 f Figur 3.36 5. Du skal tegne kraftpolygon for det enkelte knudepunkt. Du starter i et knudepunkt, hvor der ikke er mere end to ubekendte. Du afsætter kræfterne i en rækkefølge højre om knudepunktet. Du starter med en kendt kraft og slutter med en ubekendt. Du starter i det knudepunkt, hvor du har reaktionen VA. Her kender du desuden a-b og c-d. Du finder a-b i diagrammet og fortsætter videre med b-c og c-d. Fra d tegner du en linje parallel med d-1. Du ved, at kraftpolygonen skal lukke sig. Det vil den gøre, hvis du slutter, hvor du startede. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 155 21-01-2013 15:01:17 156 Statik og styrkelære · Gitterkonstruktioner Derfor tegner du en linje parallel med 1-a gennem a, som jo var begyndelsespunktet Skæringspunktet mellem disse to linjer giver dig skæringspunktet 1. 6. Du skal måle stangkræfterne og indføre værdierne i et skema. Du måler størrelsen af d-1 og 1-a og indfører værdierne i det viste skema. Placering Hoved Fod Gitterstænger Stang nr. Størrelse (kN) Træk Tryk d-1 1,6 e-2 1,24 g-4 0,12 h-5 0,12 a-1 4,12 a-3 1,92 a-5 0,28 1-2 2,02 2-3 1,87 3-4 1,48 4-5 1,52 7. Du skal afgøre, om stængerne er træk- eller trykstænger. Du sætter ikke pilespidser på d-1 og 1-a, men du gør det for dig selv inde i hovedet. Hvis kraftpolygonen for knudepunktet skal lukke sig, må du få, at d-1 er en trykstang, og a-1 er en trækstang. Du kan nu gå videre til næste knudepunkt og på samme måde gå punkterne 5, 6 og 7 igennem. Det gentager du knudepunkt for knudepunkt, indtil du har bestemt samtlige stangkræfter. Når du har tegnet sidste stangkraft, har du den kontrol, at diagrammet skal lukke sig. OPGAVE 91 Du har givet en gitterkonstruktion, der er understøttet og belastet som vist på figur 3.37. Mål er i meter. 800 N 600 N 6 2 A 4 4 B Figur 3.37 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 156 21-01-2013 15:01:17 Grafisk bestemmelse af stangkræfter 157 a) Du skal bestemme reaktionerne i A og B. b) Du skal grafisk bestemme stangkræfterne. c) Du skal indføre de fundne værdier i et skema. OPGAVE 92 Du har givet en gitterkonstruktion, der er understøttet og belastet som vist på figur 3.38. Mål er i meter. 4 3 3 A 1 2 2,75 5,25 B 2,6 kN Figur 3.38 a) b) c) d) Du skal bestemme reaktionerne i A og B. Du skal bestemme samtlige stangkræfter ved tegning. Du skal ved beregning kontrollere stangkræfterne 1, 2 og 3. Du skal indføre de fundne værdier i et skema. OPGAVE 93 Du har givet en gitterkonstruktion, der er understøttet og belastet som vist på figur 3.39. Mål er i meter. 6 kN 1 kN 6kN 6 kN 2 2 kN 3 kN 3 kN "1" "2" 1kN 3 2 1 3 3 Figur 3.39 a) b) c) d) Du skal bestemme reaktionerne i A og B. Du skal bestemme samtlige stangkræfter ved tegning. Du skal ved beregning kontrollere stangkræfterne 1 og 2. Du skal indføre de fundne værdier i et skema. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 157 21-01-2013 15:01:17 158 Statik og styrkelære · Gitterkonstruktioner OPGAVE 94 Du har givet en løbekran, der er opbygget som en gitterkonstruktion, der er understøttet og belastet som vist på figur 3.40. Mål er i meter. 2 2 2 2 A B 2 3 MN 4 MN 5 MN Figur 3.40 a) Du skal bestemme reaktionerne i A og B. b) Du skal ved tegning bestemme samtlige stangkræfter. c) Du skal indføre de fundne værdier i et skema. OPGAVE 95 Du har givet to vægdrejekraner og et travers, der skal anvendes i forbindelse med en løfteopgave som vist på figur 3.41. Traverset er udført af et HE-140B-profil og byrden, som skal løftes, har en tyngde på 5 kN og er placeret som vist. Mål er i meter. A 2 3 B 1 2 2 4 1,5 5 kN Figur 3.41 a) Du skal med ovennævnte baggrund bestemme den største belastning på vægdrejekranen. b) Du skal bestemme reaktionerne i A og B. c) Du skal bestemme stangkræfterne 1,2 og 3 og angive, om de er træk- eller trykstænger. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 158 21-01-2013 15:01:17 Resume 3. kapitel 159 Resume 3. kapitel Ritters metode Du indlægger et snit i en konstruktion som vist på figur 3.42, og du må maksimalt overskære tre stænger, hvor stangkræfterne er ubekendte. Figur 3.42 Stangkræfterne sætter du altid på som trækstænger som vist på figur 3.43. Beregningerne kan så vise, om det er rigtigt. Får du en stangkraft med et negativt fortegn, er det en trykstang. Figur 3.43 Du gennemfører beregningerne ved hjælp af ligevægtsligningerne, idet du skal have ligevægt mellem de ydre kræfter, som er belastning og reaktioner og de indre kræfter, som er stangkræfterne. Som udgangspunkt vælger du den snitdel, hvor der er færrest regnestørrelser. Ritters metode er velegnet, når du kun ønsker at bestemme enkelte stangkræfter midt inde i en konstruktion. Knudepunktsmetoden Du indlægger et snit om det enkelte knudepunkt som vist på figur 3.44. Figur 3.44 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 159 21-01-2013 15:01:39 160 Statik og styrkelære · Gitterkonstruktioner Stangkræfterne sætter du også her på som trækstænger. Beregningerne gennemfører du ved hjælp af ligevægtsligningerne. Du starter i et knudepunkt, hvor der kun er to ubekendte stangkræfter. Herefter fortsætter du fra knudepunkt til knudepunkt, indtil samtlige stangkræfter er bestemt. Metoden er velegnet, når du ønsker at bestemme samtlige stangkræfter i en gitterkonstruktion. Grafisk bestemmelse af stangkræfter Fremgangsmåden er: 1. Du skal bestemme reaktionerne. 2. Du skal bestemme passende længde- og kraftmålestok. 3. Du skal nummerere mellemrummene som vist på figur 3.45 Figur 3.45 4. Du skal tegne kraftpolygon for de ydre kræfter, hvilket vil sige belastning og reaktioner. Det er vilkårligt, hvilken kraft du starter med, men derefter tager du kræfterne i en rækkefølge højre om konstruktionen, og kraftpolygonen skal lukke sig. 5. Du skal tegne kraftpolygon for de enkelte knudepunkter. Du starter altid i et knudepunkt, hvor der ikke er mere end to ubekendte. Du afsætter kræfterne i en rækkefølge højre om knudepunktet, og du starter med en kendt kraft og slutter med en ubekendt. Du har hele diagrammet som vist på figur 3.46. Figur 3.46 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 160 21-01-2013 15:01:54 Resume 3. kapitel 161 6. Du måler stangkræfterne og indfører værdierne i et skema som vist herunder. 7. Du skal afgøre, om stængerne er træk- eller trykstænger. Herefter går du videre til næste knudepunkt og går på samme måde punkterne 5, 6 og 7 igennem. Det gentager du, indtil alle stangkræfter er bestemt. Stang nr. a-1 Størrelse (kN) Træk Tryk 1,0 c-1 1,41 d-1 1,41 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 161 21-01-2013 15:01:56 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 162 21-01-2013 15:01:56 163 Styrkelærens grundprincipper 4 Styrkelærens opgaver Overordnet har styrkelæren to opgaver at løse. Den ene er at sikre, at du giver et konstruktionselement som bjælken vist på figur 4.01 de rigtige og nødvendige dimensioner, således at det kan modstå de belastninger, du udsætter det for. Figur 4.01 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 163 21-01-2013 15:02:01 164 Statik og styrkelære · Styrkelærens grundprincipper I modsat fald kan du komme ud for et brud, som vist på figur 4.02, og det er selvfølgelig noget, du bør undgå for enhver pris. Figur 4.02 I de dimensioneringsregler, du kommer til at anvende, er der derfor indbygget nogle sikkerhedsfaktorer, der gør, at et konstruktionselement, ved korrekt anvendelse og i en forventet levetid, kan modstå de påvirkninger, du udsætter det for. Den anden opgave, som styrkelæren skal klare, er, at du dimensionerer et konstruktionselement på en sådan måde, at de deformationer, det vil få, holder sig inden for rimelige grænser. En deformation kan optræde på forskellige måder. Det kan være en forlængelse, men du kan også møde en som vist på figur 4.03, hvor du har en nedbøjning på en bjælke. Figur 4.03 Du kan godt have givet bjælken tilstrækkelige dimensioner i forhold til et brud, som jo var den ene opgave, styrkelæren skulle løse. Du kan imidlertid komme ud for, at nedbøjningen kan blive så stor, at konstruktionselementet ikke kan fungere, og der kan også blive tale om et rent synsindtryk. Hvis du med det blotte øje kan se en deformation, vil det skabe utryghed, og tilliden til konstruktionselementet vil være begrænset. Spørgsmålet vil være der – hvad kan der ske? - hvornår vil der ske et brud. Du vil derfor finde regler for, hvor store deformationer der kan tillades i et konstruktionselement, og hvordan de kan beregnes. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 164 21-01-2013 15:02:01 Grundbelastningstyper 165 Grundbelastningstyper Inden du går i gang med at bestemme dimensionerne på et konstruktionselement, må du gøre dig helt klart, hvilke påvirkninger konstruktionselementet er udsat for. Du har i alt fem grundbelastningstyper, og det er vigtigt, at du kan skelne dem fra hinanden, da dimensioneringsgrundlaget er ret så forskelligt for de fem typer. Du får dem her. Den første er træk. Du kan få illustreret en trækpåvirkning som en lampe, der er hængt op i en krog som vist på billedet. Symbolsk vil det se ud som vist på figur 4.04, hvor kraften F er lampens tyngde og konstruktionselementet, der er udsat for trækpåvirkningen, kan være ledningen eller den krog, som ledningen hænger i. F Figur 4.04 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 165 21-01-2013 15:02:05 166 Statik og styrkelære · Styrkelærens grundprincipper Den anden er tryk. Trykpåvirkningen kan du dele i to typer. På billedet har du en person, der sidder på en stol med et ben. Symbolsk vil det se ud som vist på figur 4.05, hvor kraften F er mandens tyngde, og konstruktionselementet stolens fod. F Figur 4.05 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 166 21-01-2013 15:02:06 Grundbelastningstyper 167 Har du derimod en høj stol som en køkkenstol vist på billedet, vil det symbolsk se ud som vist på figur 4.06. Her er konstruktionselementet et af stolens lange ben, og kraften F vil så komme, når en person sætter sig på stolen. F Figur 4.06 Du kalder denne specielle form for trykpåvirkning for en søjlepåvirkning. Her er helt specielle forhold at tage højde for, når du skal i gang med at dimensionere, idet der jo vil foregå en udbøjning af benene. Denne udbøjning skal selvfølgelig holdes inden for visse grænser, så det ikke resulterer i et knæk. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 167 21-01-2013 15:02:10 168 Statik og styrkelære · Styrkelærens grundprincipper Den tredje er bøjning. Bøjningspåvirkningen kan du få illustreret som en lampe hængt op på en væg som vist på billedet. Symbolsk vil det se ud som vist på figur 4.07, hvor kraften F er lampens tyngde og konstruktionselementet, der er udsat for bøjning, er lampens arm. F Figur 4.07 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 168 21-01-2013 15:02:14 Grundbelastningstyper 169 Den fjerde er forskydning. Forskydningspåvirkningen kan du få illustreret som vist på billedet, hvor der bliver klippet græs med en saks. Symbolsk vil det se ud som vist på figur 4.08, hvor kraften F er den påvirkning, der gennem håndens muskelkraft bliver overført til saksens kæber. Konstruktionselementet er græsstrået, som bliver klippet over. F Figur 4.08 Den femte og sidste er torsion eller vridning. Torsions- eller vridningspåvirkningen kan du få illustreret som vist på billedet, hvor du har en skrue, der skal fastspændes. Symbolsk vil det se ud som vist på figur 4.09, hvor konstruktionselementet er skruen, T er det moment, der bliver tilført skruetrækkeren. T Figur 4.09 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 169 21-01-2013 15:02:17 170 Statik og styrkelære · Styrkelærens grundprincipper Tværsnitskonstanter Når du senere skal til at dimensionere og styrkeberegne, er der som nævnt i starten flere faktorer, der spiller ind. Har du et konstruktionselement, er tværsnittets udformning eller opbygning en særdeles vigtig faktor. På figur 4.10 har du vist forskellige profilers tværsnit, som du sikkert kender fra konstruktioner. Figur 4.10 Når du styrkeberegner, vil fremgangsmåden være, at du finder det maksimalt belastede punkt i konstruktionselementet og undersøger, om tværsnittet det pågældende sted vil kunne klare belastningen. Det er derfor, at du skal arbejde med profilers tværsnitsarealer, deres opbygning og deres anvendelse. Du får et lille eksempel, der kan anskueliggøre dette. På figur 4.11 har du et I-profil, som kan anvendes stående eller liggende. Umiddelbart er det indlysende, at profilet anvendt stående på højkant kan optage en større belastning, end når det ligger ned. Figur 4.11 For tværsnitsarealer har du en del regnestørrelser eller tværsnitskonstanter, som indgår i dimensionerings- og styrkeberegningsformler. Disse tværsnitskonstanter kan i nogen grad fortælle dig ”noget” om et tværsnits ”evne” til at optage en belastning. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 170 21-01-2013 15:02:17 Legemers tyngdepunkter 171 Det skal lige nævnes, at for de mest anvendte profiler er disse tværsnitskonstanter udregnet i tabeller, så det skal du ikke i gang med. Du kan imidlertid komme i den situation, at du selv skal opbygge og sammensætte et profil, og så har du et problem. Du må selv i gang med at udregne disse tværsnitskonstanter, og endvidere skal du også kunne gennemskue, hvilke størrelser du kan regulere og ændre på. Dimensionerne skal på den ene side være tilstrækkelige ud fra et styrkemæssig synspunkt, men på den anden side kan der være andre krav, som fx at tværsnittet er sammensat ud fra et fremstillingsmæssigt synspunkt. Endvidere er det også vigtigt, at profilet får et udseende eller design, som er harmonisk med de øvrige elementer i den pågældende konstruktion. Teorien bag disse tværsnitskonstanter er ikke medtaget i denne bog, og der må du henvises til anden litteratur. Derimod får du formler og deres praktiske anvendelse beskrevet. De to vigtigste tværsnitskonstanter er inertimomentet og modstandsmomentet. De bliver begge bestemt i forhold til det pågældende tværsnits tyngdeakser, så derfor skal du starte med at bestemme tyngdepunkter. Legemers tyngdepunkter Ethvert legeme er påvirket af tyngdekraften. Gymnasten på billedet er det også, og du må forestille dig, at hendes tyngdepunkt er placeret et sted midt i kroppen. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 171 21-01-2013 15:02:19 172 Statik og styrkelære · Styrkelærens grundprincipper En forkert bevægelse vil flytte hendes tyngdepunkt, og der er mulighed for, at hun mister balancen og falder ned. Det er derfor vigtigt, at du ved, hvor tyngdepunktet er beliggende, når du arbejder med en konstruktion. Konstruktioner kan også komme i ubalance og falde ned og give store samfundsmæssige konsekvenser. Du må forestille dig, at du har et homogent legeme som vist på figur 4.12, som kan hænges drejeligt op i flere punker fx D og E. Endvidere må du forestille dig, at du har nogle lodlinjer, som også bliver hængt op i punkterne D og E, og som kan ”gå” gennem legemet, når de bliver hængt op i punkterne. D a b E G c Figur 4.12 Du vil hver gang konstatere, at legemet vil indstille sig således, at lodlinjerne fra omdrejningspunktet vil gå gennem samme punkt. Dette punkt kan du opfatte som angrebspunkt for tyngdekraften, da ΣM = 0 gennem dette punkt. Da tyngdekraften for legemet virker i dette punkt, kalder du det for tyngdepunktet og lodlinjerne gennem punktet for tyngdepunktslinjer. I tyngdepunktet forestiller du dig derfor, at hele legemets masse er samlet. Tyngdekraften kan du udtrykke således: G=m·g hvor m er legemets masse i kg, og g er tyngdeaccelerationen. I ligningen kan du regne tyngdeaccelerationen konstant på samme breddekreds, og for homogene legemer må du da få, at tyngdekraften er proportional med legemets masse og dermed rumfanget. Du kan derfor skrive: G~a·b·c Endvidere kan du også fastslå: Har du et legeme med symmetriplaner eller symmetrilinjer, vil tyngdepunktet ligge på disse planer eller linjer. Har du et legeme med flere symmetriplaner eller symmetrilinjer, vil tyngdepunktet ligge i symmetriplanernes skæringspunkt. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 172 21-01-2013 15:02:20 Arealers tyngdepunkt 173 Arealers tyngdepunkt Når du senere skal til at dimensionere, vil det være tværsnitsarealer, du skal arbejde med. Det kan umiddelbart være lidt svært at forestille sig et tyngdepunkt og en tyngdekraft for et areal, men du skal prøve at betragte klodsen fra figur 4.12. Forestil dig nu, at klodsen kan skæres i meget tynde skiver som vist på figur 4.13. D a E b G Figur 4.13 Hvis du så ser på en skive som vist på figur 4.14, vil resultatet blive, at tyngdepunktet ligger i diagonalernes skæringspunkt. D a E b G Figur 4.14 Du får derfor, at tyngdekraften for denne ene skive vil være proportional med skivens areal, idet du kan se bort fra tykkelsen. Du får: G~a·b 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 173 21-01-2013 15:02:23 Statik og styrkelære · Styrkelærens grundprincipper 174 Tyngdepunkt for kvadrat, rektangel, parallelogram og rombe Du får her en kort oversigt over placeringen af tyngdepunktet for en række geometriske grundfigurer. Tyngdepunkt T for kvadrat: T T a a b T h d1 a g Figur 4.15 Tyngdepunkt for rektangel: T T a a T h b a T d1 d2 g Figur 4.16 Tyngdepunkt T for parallelogram: T T a a b T h a T d1 d2 g Figur 4.17 Tyngdepunkt T for rombe: T a a T a b Figur 4.18 T h T d1 d2 g Tyngdepunktet T er placeret i diagonalernes skæringspunkt som vist på ovennævnte figurer. Tyngdekraften er jo proportional med arealet af den pågældende figur, så du får: Arealet af et kvadrat: A=a·a Arealet af et rektangel: A=a·b Arealet af et parallelogram: A=g·h Arealet af en rombe: A = 0,5 · d1 · d2 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 174 21-01-2013 15:02:24 Tyngdepunkt for trekant 175 Tyngdepunkt for trekant B B h E T T e A D C A C Figur 4.19 og 4.20 Du har en trekant som vist på figur 4.19. Du deler den i meget fine strimler parallelle med siderne AB og AC. Bredden af hver strimmel er så lille, at hver strimmel kan opfattes som et rektangel, hvor tyngdepunktet for hver strimmel ligger i diagonalernes skæringspunkt. Geometrisk vil tyngdepunkterne for strimlerne ligge på trekantens medianer. Du får derfor, at trekantens tyngdepunkt ligger i medianernes skæringspunkt. Fra matematikken har du, at medianerne deler hinanden i forholdet 1:2, dvs. 1 TD = ⋅ BD 3 Ved projektion på højden som vist på figur 4.20, får du: e= 1 ⋅h 3 I ord siger ligningen: Du har trekantens tyngdepunkt placeret i afstanden 13– af højden fra grundlinjen. Du har også brug for trekantens areal, som du bestemmer af: Areal = 0,5 · højde · grundlinje 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 175 21-01-2013 15:02:25 176 Statik og styrkelære · Styrkelærens grundprincipper R Tyngdepunkt for cirkel T D Figur 4.21 Tyngdepunktet T for en cirkel ligger i centrum som vist på figur 4.21. Cirklens areal får du således: π Areal = ⋅ D 2 = π ⋅ R 2 4 Tyngdepunkt for halvcirkel, cirkeludsnit og cirkelafsnit R T e e Figur 4.22 Tyngdepunktet T for en halvcirkel som vist på figur 4.22 ligger på symmetrilinjen. Afstanden e bestemmer du således: 4⋅R e= 3⋅π Halvcirklens areal bestemmer du således: Areal = 0, 5 ⋅ π ⋅ R2 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 176 21-01-2013 15:02:27 177 R Tyngdepunkt for halvcirkel, cirkeludsnit og cirkelafsnit v T b k e Figur 4.23 Tyngdepunktet T for et cirkeludsnit som vist på figur 4.23 ligger på symmetrilinjen. Afstanden e bestemmer du således: 2 ⋅ R ⋅k e= 3⋅b Hvor: R er radius k er korden, som du bestemmer af: v° k = 2 ⋅ R ⋅ sin 2 b er buelængden, som du bestemmer af: π ⋅ R ⋅ v° b= 180° Arealet af et cirkeludsnit bestemmer du af: π ⋅ R2 ⋅ v° 360° R A= v T k e Figur 4.24 Tyngdepunktet T for et cirkelafsnit som vist på figur 4.24 ligger på symmetrilinje. Afstanden e bestemmer du således: e= k3 12 ⋅ A Hvor k er korden, og A arealet, som du bestemmer af: ⎞ R2 ⎛⎜ π ⋅ v° A= ⋅ ⎜⎜ − sin v°⎟⎟⎟ ⎠ 2 ⎝ 180° 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 177 21-01-2013 15:02:29 178 Statik og styrkelære · Styrkelærens grundprincipper Tyngdepunkt for sammensat areal Du skal nu fortsætte med at se, hvorledes tyngdepunktet kan bestemmes af et sammensat areal. Fremgangsmåden kan bedst illustreres ved et eksempel, så det får du her. EKSEMPEL 4.01 Du har givet et areal som vist på figur 4.25, hvor mål er i mm. 40 Y 40 l A1 60 A1 20 ll A2 Figur 4.25 y A1 x Du skal bestemme tyngdepunktets beliggenhed analytisk og grafisk. Y Analytisk løsning 40 40 l A1 60 R 20 A1 ll A2 Figur 4.26 A2 y A1 x R A2 X Du deler arealet op i to rektangler som vist på figur 4.26. I de to arealers tyngdepunkter placerer du”tyngdekræfterne” A1 og A2. Det var jo således, at du kunne regne med, at tyngdekraften for et areal var proportional med arealets størrelse. Du får de to ”tyngdekræfter”: A1 = 40 · 60 = 2400 A2 = 20 · 40 = 800 Du har to parallelle ”kræfter” som vist på figur 4.26. Resultantens beliggenhed af disse to ”kræfter” giver dig arealets tyngdepunktslinje. Du bestemmer resultanten: R = 2400 + 800 = 3200 Du mangler beliggenheden, men her har du momentligningen, som kan hjælpe dig. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 178 21-01-2013 15:02:29 R 0 Tyngdepunkt for sammensat areal 179 Inden du benytter momentligningen, skal du have indlagt et koordinatsystem. Det vil altid være mest bekvemt at placere x- og y-aksen parallelt med og i de yderste sidelinjer af arealet som vist på figur 4.27. Y 40 l A1 0 R 20 A1 ll A1 A2 A2 y x A2 R X Figur 4.27 Nu kan du benytte momentligningen og vælger som omdrejningspunkt et punkt på y-aksen. Du får: R · x = A1 · 20 + A2 · 60 3200 · x = 2400 · 20 + 800 · 60 x = 30 mm Du skal også have bestemt beliggenheden af tyngdepunktet i y-aksens retning. Du skal tænke dig, at figur 4.27 bliver drejet 90º med uret, således at y-aksen ligger vandret. ”Tyngdekræfterne” A1 og A2 vil stå vinkelret på y-aksen som vist punkteret på figur 4.27. Du benytter igen momentligningen, idet du denne gang benytter et punkt på x-aksen som omdrejningspunkt. Du får: R · y = A1 · 30 + A2 · 10 3200 · y = 2400 · 30 + 800 · 10 y = 25 mm Du har nu bestemt koordinaterne for tyngdepunktet, som du kan skrive: (x,y) = (30,25). Grafisk løsning Du bestemmer tyngdepunktets beliggenhed grafisk ved at anvende kraft- og tovpolygonmetoden, som du har arbejdet med i kapitel 1. b) Konstruktionen fremgår af figur 4.28a. a) 0 2 1 A1 0 T 1 y x A1 0 A2 1 A2 2 A1 c) A2 0 2 1 A1 2 A2 Figur 4.28a 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 179 21-01-2013 15:02:29 Statik og styrkelære · Styrkelærens grundprincipper 180 b) Du vælger a) en passende længde- og kraftmålestok. 0 2 Du tegner kraftpolygon med polstråler for ”kræfterne” i vandret og 1 lodret retning som vist på figur 4.28b og figur 4.28c. 0 A1 A2 A1 c) T 1 0 y b) A2 2 x A1 a) A1 T 0 1 1 A2 2 1 2 1 A1 0 Figur 4.28b1og 4.28 c y x A1 0 0 c) A1 2 A2 A2 0 A2 2 Du forskyder polstrålerne tilbage til figur 4.28a, og du får to tovpolyAgoner. 1 2 2 A1 polstråle Første og sidste for de to figurer forlænges til skæring, og 2 du har tyngdepunktet T. A2 Du kan nu måle afstandene x og y og får: x = 30 mm og y = 25 mm EKSEMPEL 4.02 Du har givet en kørebjælke i en krankonstruktion, der er opbygget af et IPE-profil nr. 270 og et stykke stangstål med tværsnit 40 · 40 mm som vist på figur 4.29. 40 40 Figur 4.29 Du skal bestemme tyngdepunktet for det sammensatte areal. Du tegner tværsnittet som vist på figur 4.30. A1 R A2 e Figur 4.30 Da der en symmetrilinje, ligger tyngdepunktet på denne. Opgaven bliver derfor kun at bestemme tyngdepunktsafstanden e. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 180 21-01-2013 15:02:29 Tyngdepunkt for sammensat areal 181 Du bestemmer de to ”kræfter”. A1 = 40 · 40 = 1600 A2 = 4,59 · 10³ - værdien er fundet i profiltabellen bagerst i kapitel 5. Du bestemmer resultanten: R = 1600 + 4,59 · 10³ = 6190 Du anvender momentligningen: R ⋅ e = A1 ⋅ 290 + A2 ⋅ 135 6190 ⋅ e = 1600 ⋅ 290 + 4590 ⋅ 135 e = 175 mm EKSEMPEL 4.03 Gennemgående eksempel – fortsætter i eksempel 4.09. Du har givet en profilstang som vist på figur 4.31, hvor der er boret et hul i den øverste flange. Figur 4.31 Når du senere skal til at dimensionere, vil det i almindelighed altid være det svageste tværsnit, du skal undersøge. Du lægger derfor et snit gennem profilstangen for at se på det svageste tværsnit, og du har figur 4.32. Mål er i mm. 15 60 10 10 10 50 10 Figur 4.32 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 181 21-01-2013 15:02:30 182 Statik og styrkelære · Styrkelærens grundprincipper Du skal bestemme tyngdepunktets beliggenhed. Du kan gennemføre beregningerne efter to principper, som du begge vil få at se. Løsning 1 Du inddeler arealet i rektangler og således, at du ”går uden om hullet” som vist på figur 4.33. y A1 A2 A2 R A1 A3 x R y A3 x Figur 4.33 Du får: A1 = 10 · 15 = 150 A2 = 10 · 35 = 350 A3 = 10 · 40 = 400 Resultanten bestemmes: R = 150 + 350 + 400 = 900 Du indlægger et koordinatsystem på figur 4.33 og tager moment om et punkt på y-aksen. Du får: R · x = A1 · 7,5 + A2 · 42,5 + A3 · 40 900 · x = 150 · 7,5 + 350 · 42,5 + 400 · 40 x = 35,56 mm 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 182 21-01-2013 15:02:31 Tyngdepunkt for sammensat areal 183 Du bestemmer beliggenheden af tyngdepunktet i y-aksens retning ved at tage moment om et punkt på x-aksen. Du får: R · y = A1 · 45 + A2 · 45 + A3 · 20 900 · y = 150 · 45 + 350 · 45 + 400 · 20 y = 33,89 mm Løsning 2 y A3 A1 A3 R A1 A2 y x R A2 x Figur 4.34 Du inddeler arealet i rektangler som vist på figur 4.34, men denne gang således, at A1 indeholder ”hullets areal”. Du får: A1 = 10 · 60 = 600 A2 = 10 · 40 = 400 Da du har fået ”hullets areal” med, kan du klare dette ved at placere ”hullets areal” A3 modsat A1 og A2. Du får: A3 = 10 · 10 = 100 Du bestemmer resultanten: R = 600 + 400 −100 = 900 Du indlægger som før et koordinatsystem på figur 4.34 og tager moment om et punkt på henholdsvis y- og x- aksen. Du får: R · x = A1 · 30 + A2 · 40 − A3 · 20 900 · x = 600 · 30 + 400 · 40 − 100 · 20 x = 35,56 mm R · y = A1 · 45 + A2 · 20 − A3 · 45 900 · y = 600 · 45 + 400 · 20 − 100 · 45 y = 33,89 mm Du kan anvende begge de viste principper i eksemplet, men har du et sammensat areal, hvor der indgår en cirkel, vil det være princippet fra løsning 2, du skal anvende. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 183 21-01-2013 15:02:31 184 Statik og styrkelære · Styrkelærens grundprincipper OPGAVE 96 Du har givet et homogent emne, der overalt har samme tykkelse. Tværsnittet er vist på figur 4.35, og mål er i mm. A 15 10 20 25 B Figur 4.35 a) Du skal bestemme tyngdepunktets beliggenhed. b) Du skal bestemme den vinkel, som siden AB danner med lodlinjen, hvis emnet er hængt op i punkt A. OPGAVE 97 Du har givet et areal som vist på figur 4.36, hvor alle mål er i mm. 40 10 10 25 Figur 4.36 Du skal analytisk og grafisk bestemme tyngdepunktet. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 184 21-01-2013 15:02:32 Tyngdepunkt for sammensat areal 185 OPGAVE 98 Du har givet et areal som vist på figur 4.37, hvor alle mål er i mm. 40 10 10 20 20 10 Figur 4.37 Du skal bestemme tyngdepunktets beliggenhed. OPGAVE 99 Du har givet en kørebjælke i en krankonstruktion, som er sammensat af et stykke HE-profil nr. 120B og et stykke fladstål med tværsnitsdimensioner 30 · 30 mm som vist på figur 4.38. Figur 4.38 Du skal bestemme tyngdepunktets beliggenhed for det sammensatte areal. OPGAVE 100 Du har givet et profil, der er sammensat af et stykke gennemskåret rundjern med diameter = 30 mm og et stykke fladstål med tværsnitsdimensioner 10 · 50 mm som vist på figur 4.39. Figur 4.39 Du skal bestemme tyngdepunktets beliggenhed for det sammensatte areal. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 185 21-01-2013 15:02:32 186 Statik og styrkelære · Styrkelærens grundprincipper OPGAVE 101 Du har givet et profil, der er sammensat af et stykke U-profil nr. 80 og to stykker vinkelstål 45 · 30 · 5 mm som vist på figur 4.40. Figur 4.40 Du skal bestemme tyngdepunktets beliggenhed for det sammensatte areal. OPGAVE 102 Du skal bestemme tyngdepunktets beliggenhed for det på figur 4.41 viste trapez, hvor alle mål er i mm. 50 20 90 Figur 4.41 OPGAVE 103 Du skal bestemme tyngdepunktet for det på figur 4.42 viste areal, når skivens diameter = 90 mm, hullets diameter = 30 mm og afstanden e = 20 mm. e Figur 4.42 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 186 21-01-2013 15:02:32 Tyngdepunkt for sammensat areal 187 OPGAVE 104 Du skal bestemme tyngdepunktet for det på figur 4.43 viste areal, hvor alle mål er i mm. 15 10 10 20 20 40 Figur 4.43 OPGAVE 105 Du har givet en plade som vist på figur 4.44, der er fremstillet af 5 mm tykt materiale. Alle mål er i mm. R4 00 R240 400 Figur 4.44 Du skal bestemme tyngdepunktets beliggenhed. OPGAVE 106 Du har givet en 10 mm tyk plade, der skåret i facon som vist på figur 4.45. Mål er i mm. 3 4 Figur 4.45 Du skal bestemme tyngdepunktets beliggenhed. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 187 21-01-2013 15:02:33 188 Statik og styrkelære · Styrkelærens grundprincipper OPGAVE 107 Du har givet en pladedel som vist på figur 4.46, hvor alle mål er i mm. 15 20 30 Figur 4.46 Du skal bestemme tyngdepunktets beliggenhed. OPGAVE 108 Du har givet en 10 mm tyk plade, som har udseende vist på figur 4.47. Pladen skal anvendes i forbindelse med et reklameskilt og er ophængt i to stålwirer. Pladen er fremstillet af materiale med massefylde 7800 kg/ m³. Mål er i meter. 1 0,1 0,2 Figur 4.47 Du skal bestemme trækket i de to stålwirer. Linjers tyngdepunkt Hvis du arbejder med stanseværktøjer, får du brug for at bestemme tyngdepunkter for linjestykker. Du vender derfor tilbage til afsnittet ”Arealers tyngdepunkt”, hvor du havde en skive som vist på figur 4.48. Figur 4.48 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 188 21-01-2013 15:02:33 Linjers tyngdepunkt 189 Du skal forestille dig, at skiven bliver delt i strimler som vist. Du kan opfatte hver strimmel som et linjestykke, som får udseende som vist på figur 4.49. a G Figur 4.49 Tyngdepunktet må ligge midt på linjestykket, og tyngdekraften er proportional med linjestykkets længde. Du får: G∼a EKSEMPEL 4.04 Du har givet et stanseværktøj med en snitplade som vist på figur 4.50. 20 90 10 10 5 25 5 35 45 15 5 5 10 90 Figur 4.50 5 25 20 Udstansningen af emnet, som er vist på figur 4.51, foregår i to trin. 10 10 5 25 5 35 45 15 5 5 10 5 25 Figur 4.51 I 1. trin udstanses de tre huller, og i 2. trin udstanses det færdige emne. For at sikre en ensartet trykfordeling på værktøjet, skal du bestemme linjetyngdepunktets beliggenhed. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 189 21-01-2013 15:02:33 190 Statik og styrkelære · Styrkelærens grundprincipper Du tegner snitpladen op som vist på figur 4.52 og placerer de enkelte ”linje-tyngdekræfter” i deres respektive tyngdepunkter. 35 G8 G2 G7 52,5 G9 G5 20 G1 G3 G 4 45 x G6 R 57,5 60 65 70 Figur 4.52 Du har jo, at en ”linje-tyngdekraft” er proportional med linjens længde, så du får: G1 = π · 5 = 15,7 G2 = π · 5 = 15,7 G3 = π · 5 = 15,7 G4 = 10 G5 = 15 G6 = 25 G7 = 25 G8 = 10 G9 = 35 Herefter bestemmer du resultanten: R = 15,7 + 15,7 + 15,7 + 10 + 15 + 25 + 25 + 10 + 35 = 167,1 Du indtegner resultanten på figur 4.52 og placerer den som vist. Du anvender momentligningen, idet du benytter et punkt på snitpladens venstre sidelinje som omdrejningspunkt. Du får: 167,1 · x = 15,7 · 20 + 15,7 · 35 + 15,7 · 35 + 10 · 45 + 15 · 52,5 + 25 · 57,5 + 25 · 60 + 10 · 65 + 35 · 70 x = 51,99 mm 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 190 21-01-2013 15:02:35 Linjers tyngdepunkt 191 Du skal også bestemme afstanden i lodret retning og tegner snitpladen som vist på figur 4.53. G8 G2 G7 R G3 G1 50 G4 55 42,5 37,5 G6 y 25 G9 G5 30 20 Figur 4.53 Du placerer ”linje-tyngdekræfterne” som vist og kan igen anvende momentligningen. Denne gang benytter du et punkt på snitfladens nederste sidelinje som omdrejningspunkt. Du får: 167,1 · y = 15,7 · 25 + 15,7 · 50 + 15,7 · 25 + 10 · 25 + 15 · 30 + 25 · 20 + 25 · 42,5 + 10 · 55 + 35 · 37,5 y = 34,08 mm OPGAVE 109 Du har givet et stykke ståltråd, der er bukket i facon som vist på figur 4.54. Afstanden e = 15 mm. Du skal forestille dig, at ståltråden hænges op i punktet A. A e B e 2 e e Figur 4.54 Du skal bestemme den vinkel, som linjen AB danner med lodlinjen. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 191 21-01-2013 15:02:36 192 Statik og styrkelære · Styrkelærens grundprincipper OPGAVE 110 Du har givet en snitplade til et stanseværktøj, som er udformet som vist på figur 4.55. Mål er i mm. 22,5 17 R 20 45 150 22,5 40 100 180 Figur 4.55 Du skal bestemme placeringen af linjetyngdepunktet på snitpladen. Inertimoment af rektangel Du skal nu i gang med at se på den af første af tværsnitskonstanterne, som udregnes i forhold til arealernes tyngdeakser. Du starter med inertimomentet af et rektangel som vist på figur 4.56. Figur 4.56 Du bestemmer inertimomentet om den vandrette tyngdeakse således: 1 – I = 12 · b · h3 (mm · mm3 = mm4) Du regner normalt tværsnittets dimensioner i mm, så dermed får inertimomentet enheden mm4. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 192 21-01-2013 15:02:36 Inertimoment af rektangel 193 EKSEMPEL 4.05 Du har givet et rektangel som vist på figur 4.57 med mål i mm. Figur 4.57 Du skal bestemme inertimomentet om den vandrette og lodrette tyngdeakse. Du bestemmer først inertimomentet om den vandrette tyngdeakse som vist på figur 4.58. Figur 4.58 Du får: 1 – Ix = 12 · 16 · 303 Ix = 36000 mm4 Figur 4.59 Herefter bestemmer du inertimomentet om den lodrette tyngdeakse som vist på figur 4.59: 1 – Iy = 12 · 30 · 163 Iy = 10240 mm4 Du skal bemærke dig anvendelse af grundformlen, som er anskueliggjort på figur 4.58 og figur 4.59. Bemærk dig også, at det matematisk set er højden, der har den største indflydelse på størrelsen af inertimomentet. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 193 21-01-2013 15:02:37 194 Statik og styrkelære · Styrkelærens grundprincipper Inertimoment af cirkel Du har en cirkel med diameter d som vist på figur 4.60. y d x Figur 4.60 Inertimomenterne om den vandrette og lodrette tyngdeakse er lige store. Med figurens betegnelser ser formlen således ud: π 4 Ix = Iy = ⋅ d ≈ 0 , 05 ⋅ d 4 (mm4 ) 64 Flytningsformlen Hvis du skal bestemme inertimomentet om henholdsvis x- og y-aksen af det på figur 4.61 viste areal, er du nødt til at dele arealet op i to rektangler som vist på figur 4.62. y x Figur 4.61 y I II Figur 4.62 Hvis du ser på inertimomentet om y-aksen, er areal I og areal II’s tyngdeakse sammenfaldende med det sammensatte areals tyngdeakse, så her har du ingen problemer. Du kan bestemme det sammensatte areals inertimoment om y-aksen direkte ved at addere areal I og areal II’s inertimoment om y-aksen. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 194 21-01-2013 15:02:37 Flytningsformlen 195 Du kan skrive: Iy = IyI + IyII Når du skal bestemme inertimomentet om den vandrette tyngdeakse som vist på figur 4.63, har du det problem, at areal I og areal II’s tyngdeakser ikke er sammenfaldende med den fælles tyngdeakse. Du kan derfor ikke på samme måde som ved y-aksen addere inertimomenterne. I x II Figur 4.63 Du har imidlertid en formel, der kan klare dette problem. Den kalder du flytningsformlen. Du starter imidlertid med et areal som vist på figur 4.64, der har en tyngdeakse t og en akse 0, som du gerne vil bestemme inertimomentet om. A t a 0 Figur 4.64 Du anvender så flytningsformlen, som ser således ud: I 0 = It + a2 ⋅ A Her er: I0 er inertimomentet om den vandrette akse 0 af areal A. It er inertimomentet om den vandrette tyngdeakse t af areal A. a er ”flytteafstanden” mellem areal A’s tyngdeakse t og aksen 0. Du vil i det kommende eksempel se på den praktiske anvendelse af flytningsformlen. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 195 21-01-2013 15:02:38 196 Statik og styrkelære · Styrkelærens grundprincipper EKSEMPEL 4.06 Gennemgående eksempel – tyngdepunktet er bestemt i eksempel 4.01. Du har givet et sammensat areal med mål i mm som vist på figur 4.65. 40 40 60 20 Figur 4.65 Du skal bestemme inertimomenterne om henholdsvis den vandrette og lodrette tyngdeakse Du starter med at bestemme inertimomentet om den vandrette tyngdeakse. Du indlægger den fælles tyngdeakse x, da du jo har tyngdepunktet fra eksempel 4.01. Du deler arealet op i to rektangler I og II og bestemmer afstandene fra henholdsvis areal I og areal II’s tyngdeakser til den fælles tyngdeakse. Du placerer disse ”flytteafstande” på figur 4.66. I 5 II 25 15 x Figur 4.66 ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ Du kan nu anvende flytningsformlen og får: 1 1 I x = ⋅ 40 ⋅ 60 3 + 52 ⋅ 2400 + ⋅ 40 ⋅ 20 3 + 152 ⋅ 800 12 12 Areal I Areal II I x = 0,987 ⋅ 10 6 mm4 Du kan gå videre og bestemme inertimomentet om den lodrette tyngdeakse. Du starter med at indlægge den fælles tyngdeakse. Ligeledes bestemmer du ”flytteafstandene” og påfører dem figur 4.67. 10 Y ) )) 30 30 Figur 4.67 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 196 21-01-2013 15:02:38 Flytningsformlen 197 Du kan igen anvende flytningsformlen og får: ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 1 1 ⋅ 60 ⋅ 40 3 + 10 2 ⋅ 2400 + ⋅ 20 ⋅ 40 3 + 30 2 ⋅ 800 12 12 ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ Iy = Areal I Areal II I y = 1, 387 ⋅ 10 6 mm4 OPGAVE 111 Du har givet et profil, der sammensat af to stykker vinkelprofiler 80 · 40 · 8 mm som vist på figur 4.68. 20 Figur 4.68 Du skal bestemme inertimomentet om henholdsvis den vandrette og den lodrette tyngdeakse. OPGAVE 112 Du har givet fire stykker 100 · 100 mm træ, som er sammensat til et profil som vist på figur 4.69. 50 50 Figur 4.69 Du skal bestemme inertimomentet om henholdsvis den vandrette og lodrette tyngdeakse. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 197 21-01-2013 15:02:39 198 Statik og styrkelære · Styrkelærens grundprincipper OPGAVE 113 Du har givet et areal med mål i mm som vist på figur 4.70. 30 15 25 15 10 80 Figur 4.70 Du skal bestemme inertimomentet om henholdsvis den vandrette og lodrette tyngdeakse. OPGAVE 114 Du har givet et profil, der består af to stykker U-profil nr. 200 som vist på figur 4.71. a Figur 4.71 Du skal bestemme afstanden a, således at inertimomenterne om henholdsvis den vandrette og den lodrette tyngdeakse bliver lige store. OPGAVE 115 Du har givet et profil, der er sammensat af to stykker 25 · 175 mm træ som vist på figur 4.72. 20 Figur 4.72 Du skal bestemme inertimomentet om henholdsvis den vandrette og den lodrette tyngdeakse. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 198 21-01-2013 15:02:39 Modstandsmoment 199 Modstandsmoment Den anden regnestørrelse af tværsnitskonstanterne, du skal i gang med, er modstandsmomentet, som du benævner med bogstavet W. Modstandsmomentet bestemmer du ligesom inertimomentet i forhold til det pågældende tværsnitsareals tyngdeakser. Du har et areal som vist på figur 4.73 med en tyngdeakse a og en afstand e fra tyngdeaksen ud til de yderste fibre. a e Figur 4.73 Du får her definitionen: Modstandsmomentet W om en tyngdeakse er lig med inertimomentet om samme akse divideret med afstanden fra aksen ud til tværsnitsarealets yderste fibre. Med figurens benævnelser får du: I Wa = a mm 3 e Modstandsmoment af rektangel og cirkel h X b Figur 4.74 Du har et rektangel som vist på figur 4.74 og benytter definitionen og finder modstandsmomentet om den vandrette tyngdeakse: 1 ⋅ b ⋅ h3 12 Wx = h 2 Wx = 1 ⋅ b ⋅ h2 6 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 199 21-01-2013 15:02:40 200 Statik og styrkelære · Styrkelærens grundprincipper y d x Figur 4.75 På tilsvarende måde har du en cirkel som vist på figur 4.75, benytter definitionen og finder modstandsmomentet: π 4 ⋅d I 64 Wx = Wy = = d d 2 2 Wx = Wy = π ⋅ d 3 ≈ 0,1 ⋅ d 3 32 Polært inerti- og modstandsmoment Inerti- og modstandsmomenterne, som du har arbejdet med indtil nu, har alle været aksiale. Du har beregnet dem i forhold til en akse. I modsætning til dem har du polære inerti- og modstandsmomenter, som du bestemmer i forhold til et punkt eller pol. Du har en cirkel med diameter d og centrum lig med polen p som vist på figur 4.76. p Figur 4.76 Du får her formlerne for bestemmelse af det polære inertimoment IP og det polære modstandsmoment WP for en cirkel med diameter d: π Ip = ⋅ d 4 ≈ 0,1 ⋅ d 4 32 Wp = 0, 2 ⋅ d 3 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 200 21-01-2013 15:02:40 Polært inerti- og modstandsmoment 201 EKSEMPEL 4.07 Du har givet tre stykker plade, som svejses sammen til et profil som vist på figur 4.77. Mål er i mm. 170 )) 10 x ) 180 8 ))) 10 Figur 4.77 Ved beregningerne ses der bort fra svejsningerne. a) Du skal bestemme inertimomentet om den vandrette tyngdeakse. b) Du skal bestemme modstandsmomentet om den vandrette tyngdeakse, a) Du deler arealet op i I, II og III. Du anvender formlen for inertimoment af et rektangel og flytningsformlen. Du får: Ix = ⎛1 ⎞ 1 ⋅ 8 ⋅ 180 3 + 2 ⎜⎜⎜ ⋅ 170 ⋅ 10 3 + 1700 ⋅ 952 ⎟⎟⎟ ⎠ 124243 1⎝4444 12 1 42444443 Areal I Areal II + III I x = 34 , 60 ⋅ 10 6 mm4 b) Du benytter definitionen på modstandsmoment og får: Wx = Ix 100 Wx = 34 , 60 ⋅ 10 6 100 Wx = 346 ⋅ 10 3 mm3 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 201 21-01-2013 15:02:41 202 Statik og styrkelære · Styrkelærens grundprincipper EKSEMPEL 4.08 Du har givet et areal, der er udformet som vist på figur 4.78. Mål er i mm. 80 20 80 20 Figur 4.78 a) Du skal bestemme tyngdepunktets beliggenhed. b) Du skal bestemme inertimomentet om den vandrette og lodrette tyngdeakse. c) Du skal bestemme modstandsmomentet om den vandrette og lodrette tyngdeakse. a) Da arealet har en symmetrilinje, ligger tyngdepunktet på denne. Du skal derfor kun bestemme tyngdepunktsafstanden e som vist på figur 4.79. A2 )) R A1 e ) a Figur 4.79 Arealet deler du op i I og II og bestemmer resultanten R: R = A1 + A2 = 1600 + 1600 = 3200 Herefter anvender du momentligningen: R ⋅ e = A1 ⋅ 40 + A 2 ⋅ 90 3200 ⋅ e = 1600 ⋅ 40 + 1600 ⋅ 90 e = 65 mm 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 202 21-01-2013 15:02:41 Polært inerti- og modstandsmoment 203 b) Du bestemmer ”flytteafstandene” og påfører dem figur 4.80. y )) 25 x 25 ) Figur 4.80 Du kan bestemme inertimomentet om den vandrette tyngdeakse. Du får: Ix = 1 1 ⋅ 20 ⋅ 80 3 + 1600 ⋅ 252 + ⋅ 80 ⋅ 20 3 + 1600 ⋅ 252 12 12 14444244443 14444244443 Areal II Areal I I x = 2 , 907 ⋅ 10 6 mm4 Du kan bestemme inertimomentet om den lodrette tyngdeakse. Du får: Iy = 1 1 ⋅ 80 ⋅ 20 3 + ⋅ 20 ⋅ 80 3 12 12 14243 14243 Areal I Areal II I y = 0 , 907 ⋅ 106 mm4 c) Du kan bestemme modstandsmomenterne om henholdsvis x- og yaksen. Du får: Wx = 2 , 907 ⋅ 106 65 Wx = 44 , 8 ⋅ 10 3 mm3 Wy = 0 , 907 ⋅ 10 3 40 Wy = 22 , 7 ⋅ 10 3 mm3 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 203 21-01-2013 15:02:42 204 Statik og styrkelære · Styrkelærens grundprincipper OPGAVE 116 Du har givet et profil, der er sammensat af to stykker U-profil nr. 200 som vist på figur 4.81. 50 Figur 4.81 Du skal bestemme inerti- og modstandsmoment om henholdsvis den vandrette og lodrette tyngdeakse. OPGAVE 117 Du skal bestemme inerti- og modstandsmoment om henholdsvis den vandrette og lodrette tyngdeakse for det på figur 4.82 viste areal, hvor alle mål er i mm. 40 10 20 10 Figur 4.82 OPGAVE 118 Du skal bestemme inerti- og modstandsmoment om henholdsvis den vandrette og lodrette tyngdeakse som vist på figur 4.83, hvor alle mål er i mm. 20 20 10 15 15 30 Figur 4.83 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 204 21-01-2013 15:02:43 Polært inerti- og modstandsmoment 205 OPGAVE 119 Du har givet et profil, der er sammensat og svejst sammen som vist på figur 4.84. Mål er i mm. 40 200 10 20 100 Figur 4.84 Ved beregningerne ses der bort fra svejsningerne. a) Du skal bestemme tyngdepunktets beliggenhed. b) Du skal bestemme inertimomentet om den vandrette tyngdeakse. c) Du skal bestemme modstandsmomentet om den vandrette tyngdeakse. OPGAVE 120 Du har givet et profil, der er sammensat af et U-profil nr. 180 og to stykker vinkelstål 100 · 50 · 8 mm som vist på figur 4.85. Figur 485 a) Du skal bestemme tyngdepunktets beliggenhed. b) Du skal bestemme inertimomentet om den vandrette tyngdeakse. c) Du skal bestemme modstandsmomentet om den vandrette tyngdeakse. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 205 21-01-2013 15:02:45 206 Statik og styrkelære · Styrkelærens grundprincipper EKSEMPEL 4.09 Gennemgående eksempel – tyngdepunktet er bestemt i eksempel 4.03. Du har givet et areal, der er udformet som vist på figur 4.86. Mål er i mm. 60 10 10 10 10 x 40 y = 33,89 10 Figur 4.86 a) Du skal bestemme inertimomentet om den vandrette tyngdeakse. b) Du skal bestemme modstandsmomentet om den vandrette tyngdeakse. a) Du kan bestemme inertimomentet efter to principper, som du vil få at se. Løsning 1 Du inddeler arealet i rektangler, således at ”du går uden om hullet”. Ligeledes bestemmer du ”flytteafstandene” og påfører dem figur 4.87. I II III 11,11 13,89 Figur 4.87 Du kan nu bestemme inertimomentet om den vandrette tyngdeakse. Du får: Ix = 1 1 ⋅ 10 ⋅ 10 3 + 11, 112 ⋅ 100 + ⋅ 40 ⋅ 10 3 + 11, 112 ⋅ 400 + 124444 124444 1 4244444 3 1 4244444 3 Areal I 1 ⋅ 10 ⋅ 40 3 + 13, 89 2 ⋅ 400 12 14444 4244444 3 Areal II Areal III I x = 196388 , 9 mm4 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 206 21-01-2013 15:02:45 Polært inerti- og modstandsmoment 207 Løsning 2 Du inddeler igen arealet i rektangler, men denne gang således, at areal I indeholder hullets areal som vist på figur 4.88. II I 11,11 III 13,89 Figur 4.88 Du kan nu bestemme inertimomentet om den vandrette tyngdeakse. Løsningsprincippet vil fremgå af beregningen, som du får her: Ix = ⎛1 ⎞ 1 ⋅ 60 ⋅ 10 3 + 11, 112 ⋅ 600 − ⎜⎜⎜ ⋅ 10 ⋅ 10 3 + 11, 112 ⋅ 100⎟⎟⎟ + ⎠ 124444 1244444244444 1 4244444 3 ⎝1 3 Areal I Areal II 1 ⋅ 10 ⋅ 40 3 + 13, 89 2 ⋅ 400 12 14444 4244444 3 Areal III I x = 196388 , 9 mm4 Som du kan se, er der ikke den store forskel og du kan anvende begge de to viste løsningsprincipper. Indeholder en figur cirkler, vil det være princippet fra løsning 2, du skal anvende. b) Du kan bestemme modstandsmomentet om x-aksen. Du får: 196388 , 9 Wx = 33 , 89 Wx = 5794 , 9 mm3 OPGAVE 121 Du har givet et areal som vist på figur 4.89, hvor alle mål er i mm. 20 10 10 10 10 20 Figur 4.89 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 207 21-01-2013 15:02:45 208 Statik og styrkelære · Styrkelærens grundprincipper a) Du skal bestemme tyngdepunktets beliggenhed. b) Du skal bestemme inertimomentet om henholdsvis den vandrette og lodrette tyngdeakse. c) Du skal bestemme modstandsmomentet om henholdsvis den vandrette og lodrette tyngdeakse. OPGAVE 122 Du har givet et stålprofil, der bliver gennemboret på langs som vist på figur 4.90. Mål er i mm og hullets diameter er 50 mm. 100 40 40 0 10 Figur 4.90 Du skal bestemme tværsnittets inerti- og modstandsmoment om den vandrette tyngdeakse. OPGAVE 123 Du har givet et tværsnit som vist på figur 4.91, hvor D = 80 mm og d = 25 mm. d 15 D Figur 4.91 Du skal bestemme tværsnittets inerti- og modstandsmoment om henholdsvis den vandrette og lodrette tyngdeakse. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 208 21-01-2013 15:02:46 Normalspænding – træk/trykspænding 209 Normalspænding – træk/trykspænding Du har tidligere fået demonstreret, hvorledes du kunne skelne mellem fem grundbelastningstyper. På tilsvarende måde har du fem forskellige spændingstyper, som er nøje knyttet til de fem grundbelastningstyper. Du har som udgangspunkt et legeme, der i et givet snit er påvirket af normalkraften N som vist på figur 4.92. Ordet normal kender du fra matematikken, der betyder vinkelret. Det vil sige, at normalkraften N’s retning er vinkelret ud fra snitfladen. A N Figur 4.92 Du får indført begrebet normalspænding og definitionen lyder: En normalspænding er lig med kraften N divideret med tværsnitsarealet A. Du benytter det græske bogstav σ – udtales sigma – for normalspændingen og udtrykt i en ligning får du: N σ= A Normalspændingen σ har måleenheden MPa – MegaPascal – eller N/mm². Du kan også formulere det på den måde, at σ er den ”indre normalkraft”, som belaster 1 mm² af tværsnitsarealet. Har du en stang som vist på figur 4.93a, der er påvirket til træk, kalder du normalspændingen for en trækspænding. Du kan afbilde spændingerne som vist på figur 4.93b væk fra snitfladen. N N N Figur 4.93a og b 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 209 21-01-2013 15:02:46 210 Statik og styrkelære · Styrkelærens grundprincipper Har du en stang som vist på figur 4.94a, der er påvirket til tryk, kalder du normalspændingen for en trykspænding. Du kan på tilsvarende måde afbilde spændingerne som vist på figur 4.94b ind mod snitfladen. N N N Figur 4.94a og b Forskydningsspænding Du har som udgangspunkt et legeme, der i et givet snit er påvirket af forskydningskraften V som vist på figur 4.95. A V Figur 4.95 Du får indført begrebet forskydningsspænding og definerer: En forskydningsspænding er lig med kraften V divideret med tværsnitsarealet A. Du benytter det græske bogstav τ – udtales tau – for forskydningsspænding og udtrykt i en ligning får du: V τ= A Forskydningsspændingen τ har måleenheden MPa eller N/mm². Du kan formulere det på den måde, at forskydningsspændingen er den ”indre” forskydningskraft, som belaster 1 mm² af tværsnitsarealet. Bøjningsspænding Du har tidligere set, hvorledes du kan bestemme de indre påvirkninger i en bjælke. En af disse indre påvirkninger var bøjningsmomentet, og du vil i det kommende få udledt en formel for bestemmelse af de tilhørende bøjningsspændinger. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 210 21-01-2013 15:02:46 Bøjningsspænding 211 Du må imidlertid gøre nogle forudsætninger, inden du går i gang og her har du som udgangspunkt figur 4.96 og figur 4.97. Figur 4.96 Forudsætningerne er: 1. Bjælken har et symmetriplan som vist på figur 4.96, og bjælken bøjer i dette plan. a) P b) Figur 4.97 2. Tværsnit, som var plane før bøjningen som vist på figur 4.97a, forbliver plane efter bøjningen som vist på figur 4.97b. Du kan gå videre og se på en bjælke, der er belastet med en kraft P som vist på figur 4.98. P Figur 4.98 Du indlægger et snit og betragter venstre snitdel som vist på figur 4.99, hvor snitkraften V og momentet M er påført. M V Figur 4.99 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 211 21-01-2013 15:02:46 212 Statik og styrkelære · Styrkelærens grundprincipper Momentet M kan du erstatte af et kraftpar som vist på figur 4.100, hvor den øverste kraft er en trykkraft og den nederste en trækkraft. Disse to kræfter er resultant for henholdsvis trækkræfter og trykkræfter i tværsnittet. F F Figur 4.100 Du kan nu betragte spændingsforløbet i en bjælke med rektangulært tværsnit som vist på figur 4.101. Smax F h ht Smax b F Figur 4.101 Du har øverst i tværsnittet de største trykspændinger symboliseret ved σmax og på tilsvarende måde de største trækspændinger σmax nederst i tværsnittet. Spændingerne aftager ind mod tværsnittets tyngdeakse, hvor spændingerne bliver lig med 0. Du kan udtrykke resultanten F ved rumfanget af spændingsprismet i henholdsvis træk- og trykzone. Du får: 1 1 1 F = ⋅ h ⋅ ⋅ σ max ⋅ b = ⋅ h ⋅ σ max ⋅ b 2 2 4 Du kan udtrykke momentet M således: M = F ⋅ ht Hvor 2 ht = ⋅ h 3 Momentet M bliver herefter: M=F⋅ 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 212 2 ⋅h 3 21-01-2013 15:02:48 Bøjningsspænding 213 Du kan indsætte udtrykket for F: 1 2 M = ⋅ h ⋅ σ max ⋅ b ⋅ ⋅ h 4 3 M= 1 ⋅ b ⋅ h 2 ⋅ σ max 6 Du har fra tidligere, at modstandsmomentet W for et rektangel er: 1 W = ⋅ b ⋅ h2 6 Du kan indsætte dette udtryk og får: M = W ⋅ σ max eller σ max = M W Du har dermed, at denne spænding σmax er et udtryk for spændingerne i de yderste fibre i tværsnittet. I den nederste side har du trækspændinger, mens du i den øverste side har trykspændinger. Prøv og tag en lineal og bøj den. Du får en trækpåvirkning i den underste del, mens du får en trykpåvirkning i den øverste del. Denne kombination af træk- og trykspændinger i henholdsvis underside og overside i tværsnittet er fremkommet ved en bøjningspåvirkning. Du kan derfor fremover kalde disse træk/trykspændinger for bøjningsspændinger og benytte betegnelsen σb for bøjningsspænding. Du kan konkludere. Du har: M σb = W hvor σb er bøjningsspænding i yderste fibre i MPa eller N/mm² M er bøjningsmomentet i N · mm W er modstandsmomentet i mm³ 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 213 21-01-2013 15:02:50 214 Statik og styrkelære · Styrkelærens grundprincipper Torsionsspænding Forskellige værktøjer som bor, skruetrækkere og snittappe bliver under brug udsat for en torsionspåvirkning. Det samme gør sig gældende, når du har en aksel, der overfører en effekt fra en motor til en arbejdsmaskine. Imidlertid vil der ved de nævnte tilfælde foruden torsion samtidig være andre påvirkninger som fx bøjning, træk eller tryk. Du kan illustrere den rene torsionspåvirkning som vist på figur 4.102. Du har en akseltap indspændt i den ene ende og påvirket af et kraftpar i den anden ende. F a F Figur 4.102 Ved denne påvirkning vil aksen på grund af sin beliggenhed være upåvirket. Derimod vil den rette linje AB, som du må forestille dig er afmærket før påvirkningen, gå over i skruelinjen AC, som vist på figur 4.103. Du kan udtrykke torsionsmomentet T, som påvirker akslen således: T=F·a Forestiller du dig cylinderen fra figur 4.103 delt op i skiver som vist på figur 4.104, vil den underste skive være fastspændt, mens de øvrige forskydes i forhold til hinanden, idet hver skive drejes et lille stykke om cylinderens akse. A A C B C Figur 4.103 og 4.104 Det skulle vise dig, at en torsionspåvirkning giver forskydningsspændinger i tværsnittene. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 214 21-01-2013 15:02:51 Sammensatte spændinger 215 Forskydningsspændingerne vil være 0 ved aksen og størst ude i de yderste fibre som vist på figur 4.105. Tt Tt Figur 4.105 Da disse forskydningsspændinger er fremkommet ved en torsionspåvirkning, kan du fremover kalde disse spændinger for torsionsspændinger. Du kan benytte betegnelsen τt for torsionsspænding, og der kan på samme måde som for bøjning udledes en formel for bestemmelse af den største torsionsspænding i et snit. Denne udledning får du ikke med, men den færdige formel ser således ud: τt = T Wp hvor τt er torsionsspændingen i MPa eller N/mm² T er torsionsmomentet i N · mm WP er tværsnittets polære modstandsmoment i mm³ Sammensatte spændinger Som nævnt tidligere kan du ved påvirkning af et konstruktionselement komme ud for, at der er tale om en sammensat påvirkning. I nogle tilfælde kan du addere de enkelte spændinger direkte, mens du i andre tilfælde må have fat i en hypotetisk formel, når du skal bestemme en sammensat spænding. S N Figur 4.106 Du har tidligere set, at en snitkraft N vil resultere i trækspændinger, som vil være konstante over hele snitfladen som vist på figur 4.106. Trækspændingen kan du bestemme således: N σ= A 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 215 21-01-2013 15:02:51 216 Statik og styrkelære · Styrkelærens grundprincipper Hvis du har en bøjningsvirkning symboliseret ved momentet M, vil det give spændinger, som vil variere og være størst i tværsnittets yderste fibre som vist på figur 4.107. Sb M Sb Figur 4.107 Disse bøjningsspændinger kan bestemme således: σb = M W Har du en snitdel, som er påvirket både af en normalkraft N og et moment M, vil du få et resulterende spændingsforløb ved at addere trækspændingerne og bøjningsspændingerne som vist på figur 4.108. Sb S N M Sb S So Figur 4.108 I dette tilfælde vil du få den største spænding i de nederste fibre af tværsnittet. Du kalder denne spænding σ0 og du kan i en ligning udtrykke: σ0 = σ + σb σ0 = N M + A W EKSEMPEL 4.10 Du har givet en skruetvinge, som er udformet som vist på figur 4.109. Tværsnitsdimensionerne i ryggen er 40 · 8 mm. Kraftpåvirkningen F = 2 kN. Figur 4.109 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 216 21-01-2013 15:02:52 Sammensatte spændinger 217 Du skal bestemme den største spænding i ryggen. Du indlægger et snit i ryggen og betragter venstre snitdel som vist på figur 4.110a. Figur 4.110a-c Du bestemmer snitkræfterne og får: N = F = 2 kN M = 2 · 170 = 340 kNmm Snitkræfterne N og M giver spændingsforløb som vist på figur 4.111b og c. Du får den største spænding foroven i tværsnittet, og bestemmer den således: σ0 = σ + σb σ0 = σ0 = N M + A W 2 ⋅ 10 3 340 ⋅ 10 3 + 1 40 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ 40 2 6 σ0 = 166 MPa Har du i et snit både normal- og forskydningsspændinger har du en hypotetisk formel, der ligger til grund for sammenlægning af spændingerne. Den ser således ud: σv = σ0 2 + 3 ⋅ τ 2 hvor du kalder: σv for sammenligningsspændingen og er et udtryk for en normalspænding, der styrkemæssig er lige så farlig for det givne snit som de samtidig virkende normal- og forskydningsspændinger. σ0 for den resulterende normalspænding, som du bestemmer således: σ0 = σ + σb, hvor σ er træk/trykspændingen og σb er bøjningsspændingen. τ for forskydningsspændingen. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 217 21-01-2013 15:02:52 218 Statik og styrkelære · Styrkelærens grundprincipper Materialer Når du skal foretage styrke- og dimensioneringsberegninger, er det nødvendigt, at du kender de egenskaber, som materialet, du ønsker at anvende, er i besiddelse af. Det er selvfølgelig styrkeegenskaberne, du først og fremmest skal fokusere på, men der er også andre egenskaber, som er vigtige, og du får her nogle af dem: Bearbejdelighed. Korrosionsbestandighed. Temperaturforhold. Miljøforhold. Trækprøvning Der er internationale bestemmelser for materialeprøvning, og en af de vigtigste er trækprøven, som er en såkaldt destruktiv prøve. Det betyder, at du ødelægger det eksemplar, du tester. Derfor skal man fremstille prøveeksemplarer af det materiale, man vil have testet. Du skal forestille dig, at en stang bliver belastet, indtil der opstår brud. Prøvestænger er normalt cylindriske og har et udseende som vist på figur 4.111. Figur 4.111 Du skal forestille dig, at prøvestangen opspændes i en trækprøvemaskine, hvor der er mulighed for at aflæse belastningen i N. Endvidere er maskinen udstyret med en diagramskriver, således at du kan få udskrevet et kraft-længdediagram. Dette diagram giver dig sammenhængen mellem prøvestangens kraftpåvirkning og den forlængelse, prøvestangen får, indtil der opstår brud. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 218 21-01-2013 15:02:54 Trækprøvning S 219 S (C) (A)=(C) (B) (A) E E (A) (C) Figur 4.112 og 4.113 På figur 4.112 har du et trækdiagram for blødt stål, og på figur 4.113 har du et træk- og trykdiagram for træ. Linjen, som beskriver sammenhængen mellem kraftpåvirkning og forlængelse, kalder du i almindelighed for det pågældende materiales arbejdslinje. I stedet for måleenhederne N og mm er enhederne på de to akser ændret til MPa eller N/mm² på den lodrette akse og ε – udtales epsilon – på den vandrette akse. ε er den såkaldte tøjning, og du får den således: ∆L ε (epsilon) = L Enheden MPa svarer til spændingen σ, og den får du således: N σ= A Du får nu en beskrivelse af nogle af de karakteristiske punkter og strækninger for arbejdslinjen på diagrammerne. Af begge diagrammer fremgår, at kurven er retlinet fra begyndelsespunktet til en bestemt grænse, mærket A. Dette grænsepunkt kalder du proportionalitetsspændingen. Inden for dette område virker prøvestangen som en elastik. Belaster du stangen, får den en forlængelse ∆L, og aflaster du den, går den tilbage til sin oprindelige længde L. Du kan formulere det på den måde, at der er proportionalitet mellem spænding og forlængelse. Denne sammenhæng blev først opdaget af englænderen Robert Hooke i 1678. Desværre gælder denne teori kun for materialerne træ og stål og kun i begrænset omfang. Når Hookes teori alligevel er blevet en slags grundlov for styrkelæren skyldes det, at der ikke er opstillet nogen anden praktisk anvendelig relation mellem spænding og forlængelse. Hookes lov, som du kan kalde den, danner altså grundlag for styrkelæren, og du kan opstille følgende forhold mellem spændingen σ og tøjningen. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 219 21-01-2013 15:02:55 220 Statik og styrkelære · Styrkelærens grundprincipper σ = E eller σ = E ⋅ ε ε E kalder du for elasticitetsmodulet eller elasticitetskoefficienten med enheden MPa. For stål af alle kvaliteter har du, at værdien E = 0,21 · 106 MPa For træ varierer E en hel del, og her kan du henvises til tabellerne i kapitlet ”Trækonstruktioner”. Du fortsætter nu med arbejdslinjen, og når der pludselig sker en pludselig længdeforøgelse, uden at belastningen på tilsvarende måde forøges, har du nået flydespændingen – se punkt B på figur 4.112. Træ har ingen flydegrænse, og visse stål har det heller ikke. Det er imidlertid vigtigt at kende flydespændingen. Når du skal til at dimensionere og styrkeberegne, ønsker du ingen blivende formændringer i de materialer, du anvender i en konstruktion. Du er derfor nødt til at ”opfinde” en kunstig flydespænding – den såkaldte 0,2-spænding, som er den spænding i materialet, der ved en aflastning giver en blivende formændring på 0,2 % - se figur 4.114. S S0,2 E 0,2 % Figur 4.114 På denne måde kan du sikre dig, at de spændinger, en konstruktion udsættes for, ligger under flyde- eller 0,2-spændingen. Så kan du fortsætte med arbejdslinjen og kommer til trækstyrken, som er den største spænding, der opstår i prøvestangen, og som opnås umiddelbart før brud – se punkt C på figur 4.112 og figur 4.113. Trækprøven er en blandt mange prøver, som udføres, for at du kan få et bedre grundlag for at vælge det rigtige materiale til et konstruktionselement. Blandt andre materialeprøver kan nævnes eksempler som hårdhedsprøvning, bøjningsprøvning, slagsejhedsprøvning og udmattelsesprøvning. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 220 21-01-2013 15:02:55 Forlængelsen ∆L 221 Forlængelsen ∆L Du har en trækstang som vist på figur 4.115, som har et tværsnitsareal A, og som er påvirket af en kraft N. A N N L $L Figur 4.115 Herved får trækstangen en forlængelse ∆L, og du skal nu i gang med at bestemme en formel for denne forlængelse ∆L. Du kan starte med Hookes lov, der siger: σ=E·ε Spændingen og tøjningen kan du udtrykke således: N σ= A ε= ∆L L Du indsætter de to udtryk i Hookes lov og får: N ∆L = E⋅ A L Du kan løse ligningen med hensyn til forlængelsen ∆L og får: ∆L = N⋅L A⋅ E Hvor ∆L er stangens forlængelse i mm N er stangens belastning i N L er stangens oprindelige længde i mm A er stangens tværsnitsareal i m² E er materialets elasticitetsmodul i MPa 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 221 21-01-2013 15:02:56 222 Statik og styrkelære · Styrkelærens grundprincipper EKSEMPEL 4.11 Du har givet en trækstang som vist på figur 4.116 med følgende data: Belastning N = 35 kN, Længden L = 6 m, Tværsnitsareal A = 201 mm². Elasticitetsmodul E = 0,21 · 106 MPa N N L Figur 4.116 Du skal bestemme stangens forlængelse ∆L. Du kan indsætte i formlen og får: N⋅L ∆L = A⋅ E ∆L = 35 ⋅ 10 3 ⋅ 6 ⋅ 10 3 201 ⋅ 0 , 21 ⋅ 10 6 ∆L = 4 , 98 mm OPGAVE 124 Du har givet et stykke 8 m langt fladstål med tværsnit 80 · 20 mm, som er påvirket af en trækkraft på 160 kN. a) Du skal bestemme spændingen i fladstålet. b) Du skal bestemme stangens forlængelse. OPGAVE 125 Du har givet et stykke 6 m langt fladstål med tværsnit 10 · 35 mm, som er påvirket af en trækkraft og får derved en forlængelse på 2,2 mm. a) Du skal bestemme størrelsen af trækkraften. b) Du skal bestemme spændingen i fladstålet. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 222 21-01-2013 15:02:58 Styrkebetingelse 223 OPGAVE 126 Du har givet en trækstang som vist på figur 4.117. Stangen har en diameter d = 12 mm og en længde L = 800 mm. Materialet er stål, og spændingen i stangen må ikke overstige 105 MPa. N N L Figur 4.117 a) Du skal bestemme størrelsen af kraften N. b) Du skal bestemme stangens forlængelse. OPGAVE 127 Du har givet en trækstang, som er udformet som vist på figur 4.118. Mål er i mm. Øvrige data: D = 18 mm, d = 10 mm og N = 25 kN. Materialet er stål. N d D 220 180 N Figur 4.118 Du skal bestemme trækstangens forlængelse. Styrkebetingelse Du har i dette kapitel beskæftiget dig med nogle af de faktorer, der har indflydelse, når du skal til at styrkeberegne og dimensionere. Du får her en general styrkebetingelse, som ser således ud: Regningsmæssig spænding ≤ materialets regningsmæssige styrketal. Spændingen, som du betegner med σ, beregner du med udgangspunkt i den påvirkning, konstruktionselementet er udsat for og endvidere af tværsnittets udformning. Du kan også betegne spændingen som en ”matematisk” spænding, forstået på den måde, at den er beregnet ud fra en snitkraft og et geometrisk udformet tværsnit. På højresiden af ulighedstegnet har du en ”materiale”- spænding, som er bestemt ud fra det valgte konstruktionsmateriales trækstyrke, flydespænding eller 0,2-spænding. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 223 21-01-2013 15:02:58 Statik og styrkelære · Styrkelærens grundprincipper 224 Resume 4. kapitel Tyngdepunkter Generelt: Har et areal en symmetrilinje, vil tyngdepunktet ligge på denne linje. Har et areal flere symmetrilinjer, vil tyngdepunktet ligge i symmetrilinernes skæringspunkt. T T T T T Figur 4.119 Tyngdepunkt for kvadrat, rektangel parallelogram, rombe og cirkel – se figur 4.119. Tyngdepunkt for trekant – se figur 4.120. h e e = 13– · h Figur 4.120 Tyngdepunkt for halvcirkel (figur 4.121), cirkeludsnit (figur 4.122) og cirkelafsnit (figur 4.123). R T R b R T k T k e e 4⋅R e= 3⋅π Figur 4.121 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 224 e 2⋅R⋅k e= 3⋅b Figur 4.122 k3 e= 12 ⋅ A Figur 4.123 21-01-2013 15:02:59 Resume 4. kapitel 225 Inertimomenter Rektangel (figur 4.124) og cirkel (figur 4.125). d 3 1 I ------ b h 12 I 0,05 d Figur 4.124 4 Figur 4.125 Flytningsformlen (figur 4.126) t A a 0 I0 It 2 a A Figur 4.126 Modstandsmoment definition (Figur 4.127) e a I Wa ---ae Figur 4.127 Modstandsmoment af rektangel (Figur 4.128) og cirkel (figur 4.129) h b 2 1 W ------ b h 6 Figur 4.128 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 225 d W 0,1 d 3 Figur 4.129 21-01-2013 15:03:00 226 Statik og styrkelære · Styrkelærens grundprincipper Polært inerti- og modstandsmoment (Figur 4.130) p d I p 0,1 d 4 W p 0,2 d 3 Figur 4.130 Normalspænding (Figur 4.131) S N N T ---A Figur 4.131 Forskydningsspænding (Figur 4.132) A τ V Vτ = --A Figur 4.132 Bøjningsspænding (Figur 4.133) Sb Sb MT b ----W Figur 4.133 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 226 21-01-2013 15:03:01 Resume 4. kapitel 227 Torsionsspænding (Figur 4.134) T T Ut ------Wt Figur 4.134 Sammenligningsspænding σv = σ0 2 + 3 ⋅ τ 2 Forlængelse ∆L (Figur 4.135) N N N⋅L ∆L = -----------A ⋅E Figur 4.135 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 227 21-01-2013 15:03:01 Fire protection Competence PROMATECT® plader: Stålfast brandsikring Promat’s PROMATECT® plader er det sikre valg, når du skal brandbeskytte stål. ▲ PROMATECT® er 1-lags løsninger til brandbeskyttelse af alle ståltyper ▲ Uorganiske og ubrændbare kalciumsilikatplader, A1 ▲ Høj brandmodstandsevne selv ved lave pladetykkelser ▲ Let og omkostningseffektiv montage – uden brug af stålskinner eller clips Promat har altid den brandsikre løsning til dit byggeprojekt. Besøg www.promat.nu og brug vores beregner, når du skal dimensionere brandbeskyttelse af stål. Promat – by ivarsson a/s, Kometvej 36, DK-6230 Rødekro, T 70 20 04 82, www.promat.nu 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 228 21-01-2013 15:03:01 229 Stålkonstruktioner 5 Normer Eurocodes er det nye sæt af europæiske konstruktionsnormer, som er indført i Danmark med virkning fra 2009. Hele sættet af Eurocodes omfatter i dag 66 dele og dækker områderne sikkerhed og last, beton, stål, komposit (beton/stål), træ, murværk og aluminium samt geoteknik og jordskælv. Eurocode 3 er stålnormen og er i sig selv meget omfattende, så du vil her kun komme til at arbejde med en mindre del af denne norm. Skal du i gang med en større opgave, kan det anbefales, at du anskaffer dig Eurocode 3. Areal-, linje- og punktlast I normerne vil du finde en del tabeller, hvor tyngder på de mest anvendte materialer er angivet. Disse værdier kan være givet på forskellig måde, fx volumenlast i kN/m³, fladelast i kN/m² eller punktlast i kN. Du har arbejdet med konstruktionerne som plane, så det kan derfor være nødvendigt at omarbejde en enhedslast til en anden enhedslast. Du får nogle eksempler. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 229 21-01-2013 15:03:05 230 Statik og styrkelære · Stålkonstruktioner Figur 5.01 Du har på figur 5.01 en volumenlast med en tykkelse. Du kan omregne denne volumenlast til en areallast således: Areallast = Volumenlast · tykkelse kN kN = 3 ⋅m m2 m Figur 5.02 På figur 5.02 har du en areallast, som du ønsker omsat til linjelast. Det gør du således: Linjelast = Areallast · belastningsbredde kN kN = 2 ⋅m m m På tilsvarende måde kan du komme til areallasten, hvis du kender linjelasten: Linjelast Areallast = belastningsbredde kN kN = m 2 m m Figur 5.03 På figur 5.03 har du en linjelast og ønsker at bestemme en punktlast. Det gør du således: Punktlast = Linjelast · belastningsbredde kN kN = ⋅m m 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 230 21-01-2013 15:03:07 Materialedata 231 Materialedata I denne bog vil du blive begrænset til at arbejde med konstruktioner, der er fremstillet af materialer, der er beskrevet i DS/EN 10025 og DS/ EN 10113. I nedenstående tabel har du en oversigt over konstruktionsstålenes karakteristiske egenskaber, flydespænding fy og trækstyrke fu. Endvidere er ståls elasticitetsmodul E opgivet. Materialeparametre for konstruktionsstål Konstruktionsstål Materialetykkelse t (mm) Karakteristisk flydespænding fy (MPa) Karakteristisk trækstyrke fu (MPa) t ≤ 16 16 < t ≤ 40 40 < t ≤ 63 235 225 215 360 t ≤ 16 16 < t ≤ 40 40 < t ≤ 63 275 265 255 410 t ≤ 16 16 < t ≤ 40 40 < t ≤ 63 355 345 335 470 t ≤ 16 16 < t ≤ 40 40 < t ≤ 63 275 265 255 370 t ≤ 16 16 < t ≤ 40 40 < t ≤ 63 355 345 335 470 t ≤ 16 16 < t ≤ 40 40 < t ≤ 63 420 400 390 520 t ≤ 16 16 < t ≤ 40 40 < t ≤ 63 460 440 430 540 Styrkeklasse DS/EN 10025 S235 S275 S355 DS/EN 10113 S275 S355 S420 S460 Ståls elasticitetsmodul E = 0,21 × 106 MPa Tabel 5.1 Betegnelserne på de forskellige stålsorter fortæller dig noget. Ser du fx på S355, fortæller S, at det er et konstruktionsstål, mens 355 står for materialets flydespænding for materialetykkelser under 16 mm. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 231 21-01-2013 15:03:07 Statik og styrkelære · Stålkonstruktioner 232 Partialkoefficienter Du vil møde ordet partialkoefficient mange steder. Hvis du har en karakteristik last og skal bestemme den regningsmæssige last, får du den ved at gange den karakteristiske last med en partialkoefficient. Du vil også møde dem i styrke- og dimensioneringsformler, hvor de indgår som en form for sikkerhedsfaktor. Centralt påvirkede trækstænger Har du en trækstang, der er centralt påvirket som vist på figur 5.04, skal du eftervise, at Snitkraften overstiger ikke bæreevnen af tværsnittet. Figur 5.04 Du kan udtrykke det i følgende styrkebetingelse: N Ed ≤ A ⋅ fy γ M0 hvor NEd er stangens regningsmæssige snitkraft i N. A er stangens tværsnitsareal i mm2. fy er konstruktionsmaterialets flydespænding i MPa – tabel 5.01. γM0 er en partialkoefficient, som er lig med 1,1 ved normal kontrolklasse. Du anvender styrkebetingelsen, når NEd, A og fy er kendte størrelser. Skal du derimod bestemme tværsnitsarealet A, løser du uligheden med hensyn til A og får følgende dimensioneringsformel: A≥ 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 232 N Ed ⋅ γ M0 fy 21-01-2013 15:03:07 Centralt påvirkede trækstænger 233 Figur 5.05 Du kan også komme ud for at skulle bestemme stangens forlængelse eller deformation under en belastning som vist på figur 5.05. Du har fra forrige kapitel ”Styrkelærens grundprincipper” en ligning, der giver dig denne forlængelse: ∆L = Nk ⋅ L A⋅ E hvor ∆L er stangens forlængelse i mm. Nk er stangens karakteristiske belastning i N. L er stangens oprindelige længde i mm. A er stangens tværsnitsareal i mm2. E er materialets elasticitetsmodul i MPa. Når du bestemmer en forlængelse, anvender du som vist den karakteristiske belastning NK. Årsagen er, at det giver et mere realistisk billede af forlængelsen, idet den regningsmæssige belastning fremkommer ved at multiplicere den karakteristiske last med en partialkoefficient. EKSEMPEL 5.01 Du har givet en trækstang som vist på figur 5.06, hvor den regningsmæssige belastning NEd = 305 kN. Figur 5.06 Der skal anvendes konstruktionsstål og et IPE-profil. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 233 21-01-2013 15:03:08 234 Statik og styrkelære · Stålkonstruktioner a) Du skal bestemme et passende profil nr. b) Du skal foretage en styrkeundersøgelse af det valgte profil nr. a) Du anvender dimensioneringsformlen: A≥ N Ed ⋅ γ M0 fy Du finder fy = 235 i tabel 5.1 og indsætter: A≥ 305 ⋅ 10 3 ⋅ 1, 1 235 A ≥ 1, 428 ⋅ 10 3 I profiltabellen bagerst i dette kapitel finder du: IPE 140 med A = 1,64 · 10 mm². b) Du anvender styrkebetingelsen: N Ed ≤ A ⋅ fy γ M0 305 ⋅ 10 3 ≤ 1, 64 ⋅ 10 3 ⋅ 235 1, 1 305 ⋅ 10 3 < 350 , 36 ⋅ 10 3 Du kan hermed konstatere, at den regningsmæssige belastning er mindre end tværsnittets bæreevne. EKSEMPEL 5.02 Gennemgående eksempel – fortsættelse af eksempel 1.05. Du har givet en byrde med masse 3000 kg, der er ophængt i to stænger som vist på figur 5.07. Figur 5.07 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 234 21-01-2013 15:03:09 Centralt påvirkede trækstænger 235 Stangkræfterne S1 og S2 som vist på figur 5.08 er bestemt i ovennævnte eksempel og S1 = S2 = 17,32 kN. Til stængerne skal anvendes middelsvære gevindrør af materiale S235. Du kan regne med en partialkoefficient for belastning på 1,5. Figur 5.08 a) Du skal bestemme en passende dimension til rørene til de to stænger. b) Du skal foretage en styrkeundersøgelse af den valgte dimension. a) Du bestemmer først den regningsmæssige belastning: NEd = 1,5 · 17,32 NEd = 25,98 kN Herefter anvender du dimensioneringsformlen: A≥ N Ed ⋅ γ M0 fy Du finder fy = 235 i tabel 5.1 og indsætter: A≥ 25,98 ⋅ 10 3 ⋅ 1, 1 235 A ≥ 0,122 · 103 mm2 I profiltabellen finder du: Middelsvært gevindrør med d = 15 mm og A = 0,155 · 103 mm² b) Du anvender styrkebetingelsen N Ed ≤ A ⋅ fy γ M0 25,98 ⋅ 10 3 ≤ 0 , 155 ⋅ 10 3 ⋅ 235 1, 1 25,98 · 103 < 33,11 · 103 Du kan konstatere, at den regningsmæssige belastning er mindre end tværsnittets bæreevne. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 235 21-01-2013 15:03:09 236 Statik og styrkelære · Stålkonstruktioner EKSEMPEL 5.03 Du har givet en 5 m lang centralt påvirket trækstang som vist på figur 5.09. Figur 5.09 Diameter = 35 mm, karakteristisk belastning NK = 100 kN. Partialkoefficient = 1,5, og stangens materiale er S235. a) Du skal foretage en spændingsundersøgelse af stangen. b) Du skal bestemme stangens forlængelse. a) Du bestemmer den regningsmæssige belastning og får: NEd = 1,5 · 100 NEd = 150 kN Du anvender styrkebetingelsen og får: N Ed ≤ A ⋅ fy γ M0 π ⋅ 352 ⋅ 235 4 150 ⋅ 10 ≤ 1, 1 3 150 · 10³ < 205,54 · 10³ Du kan konstatere, at den regningsmæssige belastning er mindre end tværsnittets bæreevne. b) Du bestemmer stangens forlængelse af: ∆L = Nk ⋅ L A⋅E Du har E = 0,21 · 10 MPa fra tabel 5.1 og får: ∆L = 100 ⋅ 10 3 ⋅ 5 ⋅ 10 3 π ⋅ 352 ⋅ 0 , 21 ⋅ 10 6 4 ∆L = 2,48 mm 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 236 21-01-2013 15:03:10 Centralt påvirkede trækstænger 237 EKSEMPEL 5.04 Du har givet en centralt påvirket trækstang, hvor der er anvendt et rektangulært rørprofil med dimensioner 50 · 30 · 2,9 mm som vist på figur 5.10. Materialet er konstruktionsstål S275. Figur 5.10 Du skal bestemme trækstangens maksimale regningsmæssige belastning. Du anvender styrkebetingelsen og får: N Ed ≤ N Ed ≤ A ⋅ fy γ M0 0 , 423 ⋅ 10 3 ⋅ 275 1, 1 NEd ≤ 105,76 · 103 N Du kan konkludere, at stangens maksimale regningsmæssige belastning er: NEd = 105,76 kN OPGAVE 128 Du har givet en trækstang af fladstål med tværsnitsdimensioner 8 · 30 mm, der er påvirket af centralt af en regningsmæssig belastning NEd = 22 kN som vist på figur 5.11. Materialet er konstruktionsstål S235. Figur 5.11 Du skal foretage en styrkeundersøgelse af stangen. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 237 21-01-2013 15:03:10 238 Statik og styrkelære · Stålkonstruktioner OPGAVE 129 Til en trækstang skal du anvende et kvadratisk rørprofil. Trækstangen er centralt påvirket af en regningsmæssig belastning NEd = 135 kN, og materialet er konstruktionsstål S235. a) Du skal bestemme et passende profil nr. b) Du skal foretage styrkeundersøgelse af det valgte profil. OPGAVE 130 Du skal bestemme den maksimale belastning NEd for en centralt påvirket trækstang udført af et HE-profil nr.160B som vist på figur 5.12. Figur 5.12 Materialet er konstruktionsstål S235. OPGAVE 131 Du har givet et reklameskilt med en regningsmæssig belastning NEd = 81 kN som vist på figur 5.13. Reklameskiltet skal hænges op i to gevindrør, og materialet er konstruktionsstål S235. Figur 5.13 a) Du skal bestemme en passende dimension til rørene. b) Du skal foretage styrkeundersøgelse af den valgte dimension. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 238 21-01-2013 15:03:11 Centralt påvirkede trækstænger 239 OPGAVE 132 Du har givet et stangsystem, der består af to stænger, som er ophængt og belastet med en regningsmæssig kraft NEd = 16 kN som vist på figur 5.14. Stængerne skal udføres af gevindrør, og materialet skal være konstruktionsstål S235. Figur 5.14 a) Du skal bestemme størrelsen af den regningsmæssige belastning i stang nr.1 og 2. b) Du skal bestemme en passende dimension til rørene. c) Du skal foretage styrkeundersøgelse af den valgte dimension. OPGAVE 133 Du har givet en bjælke udført af et HE200B-profil, der ud over bjælkens egen tyngde er belastet regningsmæssigt som vist på figur 5.15. Bjælken er i højre side ophængt i et stykke rundstål, som skal være udført af konstruktionsstål S235. Figur 5.15 a) Du skal bestemme den regningsmæssige belastning i rundstålet. b) Du skal bestemme en passende diameter på rundstålet. c) Du skal foretage styrkeundersøgelse af den valgte dimension. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 239 21-01-2013 15:03:15 240 Statik og styrkelære · Stålkonstruktioner Centralt påvirkede trykstænger Figur 5.16 Har du en kort trykstang, der er centralt påvirket som vist på figur 5.16 skal den opfylde følgende styrkebetingelse: N Ed ≤ A ⋅ fy γ M0 hvor NEd er den regningsmæssige belastning i N. A er stangens tværsnitsareal i mm2. fy er konstruktionsmaterialets flydespænding i MPa – tabel 5.1. γM0 er en partialkoefficient og lig med 1,1 ved normal kontrolklasse. Som du kan se, er opbygningen af styrkebetingelsen den samme som ved trækstænger, og da fremgangsmåde ved dimensionering og styrkeundersøgelse er den samme som for træk, kan du fortsætte med at se på lange trykstænger eller søjler. Her kan du ikke benytte ovennævnte styrkebetingelse, da søjler under påvirkning af en belastning vil få en udbøjning som vist på figur 5.17. Figur 5.17 Denne udbøjning vil resultere i i et moment M = N · u, som du også skal dimensionere for, da det ellers kan risikere en udbøjning eller knæk af søjlen. Endvidere har understøtningen af søjlen også betydning ved dimensioneringen. Du skal derfor bestemme søjlens knæklængde lS i forhold til søjlens virkelige længde L. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 240 21-01-2013 15:03:15 Centralt påvirkede trykstænger 241 Figur 5.18a-d På figur 5.18a er søjlen simpelt understøttet, og for en sådan type vil beregningslængden lS være lig med søjlens virkelige længde L. På figur 5.18b, c og d har du forskellige understøtningsformer for søjler og deres beregningslængder lS i forhold til deres virkelige længder L. Figur 5.19 Du går nu videre og ser på styrkebetingelsen for en søjle som vist på figur 5.19. N Ed ≤ χ ⋅ A ⋅ fy γ M1 hvor NEd er den regningsmæssige belastning i N. χ er en lastreduktionsfaktor, som du bestemmer i tabel 5.2. A er søjlens tværsnitsareal i mm2. fy er materialets flydespænding i MPa – tabel 5.1. γM1 er en partialkoefficient og lig med 1,2 for normal kontrolklasse. Her er lastreduktionsfaktoren ”lidt besværlig” at bestemme. Du bestemmer den i tabel 5.2, men her et nyt problem, idet du skal bestemme λ, før du kan bestemme værdien af χ. λ er søjlens relative slankhedsforhold, som du bestemmer ud fra formlen: λ= ls 93 , 9 ⋅ i ⋅ ε hvor lS er søjlens knæklængde i mm, som du bestemmer ud fra figur 5.18 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 241 21-01-2013 15:03:15 242 Statik og styrkelære · Stålkonstruktioner i er tværsnittets inertiradius, som pr. defintion bestemmes af: i= I A hvor I er tværsnittets inertimoment i mm4. A er tværsnitsarealet i mm2. ε er en relativ materialeparameter, som du bestemmer i tabel 5.3 ud fra konstruktionsmaterialets flydespænding. λ 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 a 1,00 0,98 0,95 0,92 0,89 0,85 0,80 0,73 0,67 0,60 0,53 0,47 0,42 0,37 0,33 0,30 0,27 0,25 0,22 0,20 0,19 0,17 0,16 0,15 0,14 0,13 0,12 0,11 0,10 søjletilfælde (se tabel 5.4) b 1,00 0,96 0,93 0,88 0,84 0,78 0,72 0,66 0,60 0,54 0,48 0,43 0,38 0,34 0,31 0,28 0,25 0,23 0,21 0,19 0,18 0,16 0,15 0,14 0,13 0,12 0,11 0,11 0,10 c 1,00 0,95 0,90 0,84 0,79 0,73 0,66 0,60 0,54 0,48 0,43 0,39 0,35 0,32 0,28 0,26 0,24 0,21 0,20 0,18 0,17 0,15 0,14 0,13 0,12 0,12 0,11 0,10 0,10 Tabel 5.2 Søjlereduktionsfaktor χ 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 242 21-01-2013 15:03:16 Centralt påvirkede trykstænger 243 ε 1,05 1,02 1,00 0,96 0,94 0.92 0,84 0,83 0,81 0,78 0,77 0,76 0,75 0,74 0,73 0,72 0,72 fy 215 225 235 255 265 275 335 345 355 390 400 410 420 430 440 450 460 Tabel 5.3 Relativ materialeparameter ε Profiltype Gyldighedsområde Udbøjning Søjletilfælde I-profiler h/b > 1,2 x-x y-y a b h/b < 1,2 x-x y-y b c Rørprofiler alle a U-, L-,og T-profiler samt massive profiler alle c Tabel 5.4 Anvendelsesområder for søjletilfælde – se tabel 5.2 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 243 21-01-2013 15:03:16 244 Statik og styrkelære · Stålkonstruktioner Som det fremgår, har du flere tværsnitskonstanter at arbejde med, når du skal bestemme dimensionen på en søjle. Rene dimensioneringsformler er derfor besværlige at arbejde med, så du kan med fordel benytte følgende fremgangsmåde: 1. Du fastlægger stålkvalitet og profiltype. 2. Du bestemmer flydespændingen fy i tabel 5.1 3. Du gætter en dimension. 4. Du bestemmer inertiradius i profitabel eller beregner den: 5. Du bestemmer ε i tabel 5.3 6. Du beregner: ls λ= 93 , 9 ⋅ i ⋅ ε 7. Du bestemmer χ i tabel 5.2 8. Du foretager styrkeundersøgelse: N Ed ≤ χ ⋅ A ⋅ fy γ M1 Det kan se lidt problematisk ud med det, at du skal ”gætte” en dimension, men de beregninger, du skal gennemføre, er hurtige og nemme. Du kan derfor hurtigt kunne ”skyde” dig ind på et profil. Det får du lejlighed til i det kommende eksempel. EKSEMPEL 5.05 Du har givet en 4 meter høj, simpelt understøttet søjle som vist på figur 5.20, der regningsmæssigt er belastet med en kraft NEd = 235 kN. Der skal anvendes et HE-serie B profil, og materialet er konstruktionsstål S235. Figur 5.20 Du skal bestemme en passende dimension. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 244 21-01-2013 15:03:16 Centralt påvirkede trykstænger 245 Du benytter den førnævnte fremgangsmåde: 1. Du har konstruktionsstål S235 og HE-serie B profil, som er fastlagt i opgaveteksten. 2. fy = 235 MPa – tabel 5.1, idet du skønner, at t ≤ 16 3. Du prøver med HE 220B 4. iy = 55,9 mm, som du finder i profiltabel 5. ε = 1,00, som du finder i tabel 5.3 6. Du beregner λ= ls 93 , 9 ⋅ i ⋅ ε λ= 4 ⋅ 10 3 93 , 9 ⋅ 55 , 9 ⋅ 1, 00 λ = 0,76 7. Du har i tabel 5.4, at når h/b < 1,2, er det søjletilfælde c. Herefter kan du i tabel 5.2 bestemme: χ = 0,68 (ved skøn) 8. Du benytter styrkebetingelsen: N Ed ≤ χ ⋅ A ⋅ fy λM1 235 ⋅ 10 3 ≤ 0 , 68 ⋅ 9 , 1 ⋅ 10 3 ⋅ 235 1,2 235 · 103 < 1211,82 · 103 Det var første forsøg og en klar overdimensionering! Du kan prøve med HE120B og kan starte med punkt 4: 4. iy = 30,6 mm 5. ε = 1,00 6. 4 ⋅ 10 3 λ= 93 , 9 ⋅ 30 , 6 ⋅ 1, 00 λ = 1,39 7. χ = 0,35 8. 235 ⋅ 10 3 ≤ 0 , 35 ⋅ 3 , 4 ⋅ 10 3 ⋅ 235 1, 2 235 · 10³ > 233 · 10³ Nu gik det galt! – det var tæt på, men du må på den igen og vælger HE140B. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 245 21-01-2013 15:03:17 246 Statik og styrkelære · Stålkonstruktioner 4. iy = 35,8 mm 5. ε = 1,00 6. λ= 4 ⋅ 10 3 93 , 9 ⋅ 35 , 8 ⋅ 1, 00 λ = 1,10 7. χ = 0,43 8. 235 ⋅ 10 3 ≤ 0 , 43 ⋅ 4 , 3 ⋅ 10 3 ⋅ 235 1, 2 235 · 103 < 362,10 · 103 Så er du kommet så tæt på som muligt, og du kan konkludere: Valget er HE140B. EKSEMPEL 5.06 Du har givet en 2,2 meter høj, simpelt understøttet som vist på figur 5.21, der er udført af et HE120B profil. Materialet er konstruktionsstål S275. Figur 5.21 Du skal bestemme søjlens maksimale regningsmæssige belastning. Du benytter styrkebetingelsen: N Ed ≤ χ ⋅ A ⋅ fy λM1 Du har: A = 3,40 · 103 mm2 fra profiltabel fy = 275 MPa fra tabel 5.1 iy = 30,6 mm fra profiltabel ε = 0,92 fra tabel 5.3 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 246 21-01-2013 15:03:18 Centralt påvirkede trykstænger 247 Du beregner: ls λ= 93 , 9 ⋅ i ⋅ ε λ= 2 , 2 ⋅ 10 3 93 , 9 ⋅ 30 , 6 ⋅ 0 , 92 λ = 0,83 χ = 0,64 fra tabel 5.2. Du benytter styrkebetingelsen og får: N Ed ≤ 0 , 64 ⋅ 3 , 4 ⋅ 10 3 ⋅ 275 1, 2 N Ed ≤ 498 , 667 ⋅ 10 3 N Du kan konkludere. Søjlens maksimale bæreevne er: NEd = 498,667 kN OPGAVE 134 Du har givet en 5 meter høj, simpelt understøttet søjle, der regningsmæssigt er belastet med en kraft NEd = 520 kN. Materialet er konstruktionsstål S235, og der ønskes anvendt et HEserie B profil. Du skal bestemme en passende dimension og foretage en styrkeundersøgelse. OPGAVE 135 Du har givet en 3 meter høj, simpelt understøttet søjle, der er udført af et I-profil nr. 300. Materialet er konstruktionsstål S275. Du skal bestemme søjlens maksimale bæreevne. OPGAVE 136 Du har givet en 4,2 meter høj, simpelt understøttet søjle, der regningsmæssigt er belastet med en kraft NEd = 200 kN. Der skal anvendes et IPE-profil, og materialet skal være konstruktionsstål S235. Du skal bestemme en passende dimension og foretage styrkeundersøgelse. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 247 21-01-2013 15:03:19 248 Statik og styrkelære · Stålkonstruktioner OPGAVE 137 Du skal i et koordinatsystem indtegne en kurve over den regningsmæssige bæreevne af et HE120B profil, der anvendes som simpelt understøttet søjle. Materialet er konstruktionsstål S235. Som grundlag for kurven skal du anvende følgende søjlelængder: 0,5 m, 1 m, 1,5 m, 2 m, 2,5 m, 3 m, 4 m, 5 m, 6 m og 7 m. OPGAVE 138 Du har givet en 3,8 meter høj, simpelt understøttet søjle, der regningsmæssigt er belastet med en kraft NEd = 260 kN. Materialet er konstruktionsstål S235, og der ønskes anvendt et HE-serie B profil. Du skal bestemme en passende dimension og foretage styrkeundersøgelse. OPGAVE 139 Du har givet en 3,75 meter høj, simpelt understøttet søjle, der er regningsmæssigt belastet med en kraft NEd = 505 kN. Materialet er konstruktionsstål S275, og der skal anvendes et HE-serie B profil. Du får endvidere den oplysning vedrørende dimensioneringen, at søjlen er hindret udbøjning om tværsnittets y-akse. Du skal bestemme en passende dimension og foretage styrkeundersøgelse. OPGAVE 140 Du har givet et profil, der består af tre stykker plade 12 · 200 mm plade, der er svejst sammen som vist på figur 5.22. Profilets længde er 3,1 meter og skal anvendes som en simpelt understøtte søjle. Pladematerialet er konstruktionsstål S235, og ved beregningerne skal du ikke tage hensyn til svejsningerne. Figur 5.22 Du skal bestemme søjlens maksimale regningsmæssige belastning. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 248 21-01-2013 15:03:19 Bøjningspåvirkede konstruktionselementer 249 OPGAVE 141 Du har givet en konsol, der er opbygget og regningsmæssigt belastet som vist på figur 5.23. Stængerne er udført af middelsvære gevindrør med udvendig diameter = 76,1 mm. Materialet er konstruktionsstål S235, og ved beregningerne skal du ikke tage hensyn til tyngden af rørene og svejsningerne. Knudepunkterne skal du opfatte som friktionsløse led, og længden af stængerne 1 og 2 regner du lig med længden af midterlinjerne i rørene. Figur 5.23 a) Du skal bestemme størrelsen af stangkraft 1 og 2 og angive, om de er træk- eller trykstænger. b) Du skal foretage en styrkeundersøgelse af de to stænger. Bøjningspåvirkede konstruktionselementer Figur 5.24 Figur 5.25 Hvis du har et konstruktionselement, der er påvirket til bøjning som vist på figur 5.24 og figur 5.25, skal det opfylde følgende styrkebetingelse: W ⋅ fy M Ed ≤ γ M0 hvor MEd er det regningsmæssige moment i Nmm. W er tværsnittets modstandsmoment i mm3, som du finder i profiltabellerne. fy er konstruktionsmaterialets flydespænding i MPa – tabel 5.1. γM0 er en partialkoefficient og lig med 1,1 ved normal kontrolklasse. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 249 21-01-2013 15:03:19 Statik og styrkelære · Stålkonstruktioner 250 Du kan anvende styrkebetingelsen, når du kender det regningsmæssige moment og tværsnitsarealets modstandsmoment. Skal du derimod finde modstandsmomentet, løser du uligheden med hensyn til W og får: W ⋅ fy M Ed ≤ γ M0 W≥ M Ed ⋅ γ M0 fy Du har hermed en dimensioneringsformel, du kan anvende, når du kender det regningsmæssige MEd og materialets flydestyrke fy. EKSEMPEL 5.07 Du har givet en indspændt bjælke, der er regningsmæssigt belastet som vist på figur 5.26. Bjælken er udført af et I-profil nr. 140, og materialet er konstruktionsstål S235. Figur 5.26 Du skal foretage en styrkeundersøgelse af bjælken. Du anvender styrkebetingelsen: W ⋅ fy M Ed ≤ γ M0 Du skal have bestemt det største regningsmæssige moment, og det er i indspændingspunktet A. Du får: MEd = 5 · 1,2 · 0,6 + 8 · 1,2 MEd = 13,2 kNm Modstandsmomentet W for I-profil nr. 140 finder du i profiltabellen: W = 81,9 · 10³ mm³ Flydespændingen fy finder du tabel 5.1 f y = 235 MPa 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 250 21-01-2013 15:03:20 Bøjningspåvirkede konstruktionselementer 251 Så har du alle størrelserne, der indgår i styrkebetingelsen, så du får: W ⋅ fy M Ed ≤ γ M0 13 , 2 ⋅ 10 3 ⋅ 10 3 ≤ 81, 9 ⋅ 10 3 ⋅ 235 1, 1 13200 · 103 < 17496,81 · 103 Du kan konstatere, at styrkebetingelsen er opfyldt. EKSEMPEL 5.08 Du har givet en bjælke, der er belastet med en jævnt fordelt regningsmæssig belastning qEd = 17 kN/m som vist på figur 5.27. Der ønskes anvendt et HE-serie B profil, og materialet skal være konstruktionsstål S235. Figur 5.28 a) Du skal finde et passende profil nr. b) Du skal foretage en styrkeundersøgelse af den valgte dimension. a) Du starter med at anvende dimensioneringsformlen: W≥ M Ed ⋅ γ M0 fy Du finder først det største regningsmæssige moment. For en simpelt understøttet bjælke belastet med en jævnt fordelt belastning, er det største moment midt på bjælken, og du har en formel, der kan klare det problem: M= 1 ⋅ q ⋅ L2 8 Ed M= 1 ⋅ 17 ⋅ 32 2 8 M = 21,76 kNm Konstruktionsmaterialets flydespænding finder du i tabel 5.1: fy = 235 MPa 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 251 21-01-2013 15:03:20 252 Statik og styrkelære · Stålkonstruktioner Du får herefter: 3 3 W ≥ 21, 76 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 1, 1 235 W ≥ 101,86 · 103 mm3 I profiltabellen finder du HE120B med Wx = 144 · 10³ > W = 101,86 · 10³ b) Du anvender styrkebetingelsen: M Ed ≤ W ⋅ fy γ M0 21, 76 ⋅ 10 3 ⋅ 10 3 ≤ 144 ⋅ 10 3 ⋅ 235 1, 1 21760 · 103 < 30763 · 103 Du kan konstatere, at styrkebetingelsen er opfyldt. EKSEMPEL 5.09 Du har givet en 5 meter lang, simpelt understøttet bjælke som vist på figur 5.29. Bjælken er udført af et HE160B profil, og materialet er konstruktionsstål S235. Figur 5.29 Du skal bestemme den største regningsmæssige værdi på den jævnt fordelte last. Du benytter styrkebetingelsen: M Ed ≤ W ⋅ fy γ M0 Du har: Wx = 311 · 103 mm3, som du finder i profiltabellen. fy = 235 MPa, som du finder i tabel 5.1. Du indsætter værdierne og får: M Ed ≤ 311 ⋅ 10 3 ⋅ 235 1, 1 MEd ≤ 66440,91 · 10³ Nmm MEd ≤ 66,441 kNm 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 252 21-01-2013 15:03:21 Bøjningspåvirkede konstruktionselementer 253 Det maksimale regningsmæssige moment, du må belaste bjælken med, er: MEd = 66,441 kNm Du kan bestemme den regningsmæssige last ud fra formlen: 1 M = ⋅ qEd ⋅ L2 8 Du kan indsætte og får: 1 66 , 441 = ⋅ qEd ⋅ 52 8 Du løser ligningen med hensyn til qEd: qEd = 66 , 441 ⋅ 8 52 qEd = 21, 26 kN m OPGAVE 142 Du har givet en indspændt bjælke, der er regningsmæssigt belastet som vist på figur 5.30. Bjælken ønskes udført af et IPE-profil, og materialet er konstruktionsstål S275. Figur 5.30 a) b) c) d) Du skal bestemme reaktionerne i A. Du skal bestemme V- og M-kurven. Du skal bestemme et passende profil nr. Du skal foretage en styrkeundersøgelse af det valgte profil. OPGAVE 143 Du har givet en simpelt understøttet bjælke, der regningsmæssigt er belastet som vist på figur 5.31. Bjælken ønskes udført af et I-profil, og materialet skal være konstruktionsstål S235. Figur 5.31 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 253 21-01-2013 15:03:22 254 Statik og styrkelære · Stålkonstruktioner a) b) c) d) Du skal bestemme reaktionerne A og B. Du skal bestemme V- og M-kurven. Du skal bestemme et passende profil nr. Du skal foretage en styrkeundersøgelse af det valgte profil. OPGAVE 144 Du har givet en simpelt understøttet bjælke, der regningsmæssigt er belastet som vist på figur 5.32. Bjælken ønskes udført af et HE-serie B profil, og materialet skal være konstruktionsstål S235. Figur 5.32 a) b) c) d) Du skal bestemme reaktionerne i A og B. Du skal bestemme V- og M-kurven. Du skal bestemme et passende profil nr. Du skal foretage en styrkeundersøgelse af den valgte dimension. OPGAVE 145 Du har givet en simpelt understøttet bjælke, der er belastet med en jævnt fordelt last som vist på figur 5.33. Bjælken er udført af et I-profíl nr. 200, og materialet er konstruktionsstål S235. Figur 5.33 Du skal bestemme den største regningssmæssige værdi for den jævnt fordelte last. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 254 21-01-2013 15:03:25 Forskydningspåvirkede konstruktionselementer 255 OPGAVE 146 Du har givet en simpelt understøttet bjælke, der regningsmæssigt er belastet som vist på figur 5.34. Bjælken ønskes udført af et I-profil, og materialet skal være konstruktionsstål S235. Figur 5.34 a) b) c) d) Du skal bestemme reaktionerne i A og B. Du skal bestemme V- og M-kurven. Du skal bestemme et passende profil nr. Du skal foretage en styrkeundersøgelse af den valgte dimension. Forskydningspåvirkede konstruktionselementer I det foregående afsnit har du set på styrkekrav alene ud fra momentpåvirkningen i de pågældende bjælker. Fra kapitlet ”Konstruktioner påvirket til bøjning” ved du, at der også er forskydningskræfter i bjælkerne. Generelt har du, at ved standardprofiler af træ og stål vil forskydningskræfterne ikke være dimensionsgivende. Kun når der er tale om meget høje profiler, fx limtræskonstruktioner eller specielt opbyggede, høje, svejste stålprofiler, kan det være forskydningskræfterne, der er bestemmende ved dimensioneringen. Du vil derfor i denne bog ikke komme til at arbejde med dimensionering efter forskydningskræfterne. Nedbøjning (deformation) Det er ikke altid nok, at en bjælke opfylder kravene i styrkebetingelsen. Der skal også være modstand mod deformation eller nedbøjning, som du kan kalde det, når det drejer sig om bjælker. Figur 5.35 På figur 5.35 har du en bjælke med en nedbøjning u. Hvor stor denne må være, er afhængig af anvendelsen. Normerne siger ikke præcis, 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 255 21-01-2013 15:03:25 256 Statik og styrkelære · Stålkonstruktioner hvor stor en nedbøjning der kan accepteres, men som en vejledning har du følgende værdier: Etageadskillelser: umax = 1/400 · L Tage og ydervægge: umax = 1/200 · L L er for simpelt understøttede konstruktionselementer lig med spændvidden. Teorien bag bestemmelse af nedbøjningen er ikke medtaget i denne bog, men i afsnittet ”Bjælkeformler” er der medtaget formler for nedbøjningen af forskellige bjælketyper. Du vil i de kommende eksempler se, hvorledes nedbøjningen kan bestemmes og få indflydelse på dimensioneringen. EKSEMPEL 5.10 Du har givet en bjælke belastet som vist på figur 5.36 med en jævnt fordelt last 6 kN/m. Bjælken er udført af et HE160B profil, og materialet er konstruktionsstål S235. Figur 5.36 Du skal undersøge, om nedbøjningen overstiger den tilladelige, som er sat til 1/400 · L. Du finder først den tilladelige nedbøjning: util = 1 1 ⋅L= ⋅ 5000 = 12 , 5 mm 400 400 I afsnittet ”Bjælkeformler” finder du formlen for den maksimale nedbøjning: umax = 5 ⋅ p ⋅ L4 384 ⋅ E ⋅ I Du kender belastningen p = 6 kN/m og spændvidden L = 5 m. Så mangler du E og I. E = 0,21 · 106 MPa finder du i tabel 5.1. Ix = 24,9 · 106 mm4 finder du i profiltabellen. Du har alle værdier og kan indsætte: umax = 5 ⋅ 6 ⋅ 5000 4 384 ⋅ 0 , 21 ⋅ 10 6 ⋅ 24 , 9 ⋅ 10 6 umax = 9 , 3 mm Du kan konstatere, at nedbøjningen er under den tilladelige. umax = 9 , 3 mm < util = 12 , 5 mm 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 256 21-01-2013 15:03:26 Nedbøjning (deformation) 257 EKSEMPEL 5.11 Du har givet en bjælke, der er belastet med en jævnt fordelt last 9,5 kN/m som vist på figur 5.37. Figur 5.37 Bjælken ønskes udført af et HE-serie B profil, og materialet skal være konstruktionsstål S235. Nedbøjningen i punkt B må ikke overstige 8 mm. Du skal bestemme en passende dimension. Du finder i afsnittet ”bjælkeformler” en formel for bestemmelse af nedbøjningen i punkt B. umax = p ⋅ L4 8⋅E⋅I Du løser ligningen med hensyn til I. I= p ⋅ L4 umax ⋅ 8 ⋅ E Du har: kN Lasten p = 9,5 m L = 4 meter 6 E = 0,21 · 10 mm4 umax = 8 mm Du indsætter og får: I= 9 , 5 ⋅ 4000 4 8 ⋅ 8 ⋅ 0 , 21 ⋅ 10 6 I = 180 , 95 ⋅ 10 6 mm4 I profiltabellen finder du: HE280B med Ix = 192 · 106 mm4 > I = 180,95 · 106 mm4 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 257 21-01-2013 15:03:30 258 Statik og styrkelære · Stålkonstruktioner OPGAVE 147 Du har givet en bjælke, der er belastet med en jævnt fordelt last 7 kN/m som vist på figur 5.38. Figur 5.38 Bjælken ønskes udført af et INP-profil, og materialet skal være konstruktionsstål S235. Den største nedbøjning må ikke overstige 6 mm. Du skal bestemme et passende profil nr. OPGAVE 148 Du har givet en bjælke, der er belastet med en jævnt fordelt last 9 kN/m som vist på figur 5.39. Figur 5.39 Bjælken ønskes udført af et HE- serie B profil, og materialet skal være konstruktionsstål S235. Den største nedbøjning må ikke overstige 1/500 af spændvidden. Du skal bestemme et passende profil nr. Fladetryk Ved et fladetryk forstår du den trykpåvirkning, der opstår mellem to berøringsflader under indflydelse af en trykkraft. På figur 5.40 har du en sådan trykpåvirkning illustreret ved en søjle, der hviler på et fundament. Figur 5.40 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 258 21-01-2013 15:03:30 Fladetryk 259 Styrkebetingelsen ved et fladetryk får du udtrykt således: NEd ≤ A · fd hvor NEd er den regningsmæssige belastning i N. A er berøringsarealet mellem de to flader i mm2. fd er underlagsmaterialets regningsmæssige trykstyrke i MPa. Du anvender styrkebetingelsen, når du kender belastningen NEd, arealet A og den regningsmæssige trykstyrke fd. Skal du bestemme arealet A, løser du uligheden med hensyn til A og får følgende dimensioneringsformel: A≥ N Ed fd hvor NEd er den regningsmæssige belastning i N. fd er underlagsmaterialets regningsmæssige trykstyrke i MPa. EKSEMPEL 5.12 Du har givet en bjælke, der udført af et HE200B profil som vist på figur 5.41. Bjælken skal lejres i den ene side på en mur, hvor den regningsmæssige trykstyrke fd = 0,8 MPa. Den regningsmæssige belastning NEd = 46 kN. Figur 5.41 Du skal bestemme lejelængden a. Du benytter dimensioneringsformlen: N A ≥ Ed fd A≥ 46 ⋅ 10 3 0, 8 A ≥ 57500 mm2 Du kan udtrykke berøringsarealet A: A = a · 200 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 259 21-01-2013 15:03:31 260 Statik og styrkelære · Stålkonstruktioner Du kan indsætte og får: 57500 = a · 200 a = 287,4 mm Du kan runde op og sætte lejelængden a = 300 mm OPGAVE 149 Du har givet en søjle udført af et HE-profil som vist på figur 5.42. Søjlen skal gennem en underlagsplade overføre en regningsmæssig belastning NEd = 110 kN til et underlag, hvor den regningsmæssige trykstyrke fd = 0,8 MPa. Figur 5.42 Du skal bestemme underlagspladens sidelængde a, når pladen skal være kvadratisk. OPGAVE 150 Du har givet en bjælke udført af et HE160B profil, der er regningsmæssigt belastet som vist på figur 5.43. Bjælken lejres i begge sider på en mur som vist på figur 5.44. Den regningsmæssige trykstyrke på underlaget fd = 0,8 MPa. Figur 5.43 Figur 5.44 Du skal bestemme lejelængden a. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 260 21-01-2013 15:03:31 Profiltabeller 261 Profiltabeller Profiltabel 1 Varmtvalsede I-profiler (DIN 1025) 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 261 21-01-2013 15:03:31 262 Statik og styrkelære · Stålkonstruktioner Profiltabel 2 Varmtvalsede H-profiler (DIN 1025) 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 262 21-01-2013 15:03:31 Profiltabeller 263 Profiltabel 3 Varmtvalsede HE.., M-profiler (DIN 1025) 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 263 21-01-2013 15:03:32 264 Statik og styrkelære · Stålkonstruktioner Profiltabel 4 Varmtvalsede U-profiler (DIN 1026) 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 264 21-01-2013 15:03:32 Profiltabeller 265 Profiltabel 5 Cirkulære rør (DS 540 DS 541) 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 265 21-01-2013 15:03:32 266 Statik og styrkelære · Stålkonstruktioner Profiltabel 6 Kvadratiske rør-profiler (DIN 59410 og DIN 59411) 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 266 21-01-2013 15:03:33 Profiltabeller 267 Profiltabel 7 Rektangulære rør-profiler (DIN 59410 og DIN 59411) 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 267 21-01-2013 15:03:33 268 Statik og styrkelære · Stålkonstruktioner Profiltabel 8 Ufligede, rundkantede vinkelprofiler (DIN 1028) 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 268 21-01-2013 15:03:33 Profiltabeller 269 Profiltabel 9 Ligefligede, rundkantede vinkelprofiler (DIN 1028) 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 269 21-01-2013 15:03:34 270 Statik og styrkelære · Stålkonstruktioner Profiltabel 10 Varmtvalsede rundkantede T-profiler Profiltabel 11 Fladstål Tabellen angiver masse i kg/m. Hvor intet er anført valses dimesionen normalt ikke. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 270 21-01-2013 15:03:34 Resume 5. kapitel 271 Resume 5. kapitel Centralt påvirkede trækstænger Styrkebetingelse A ⋅ fy N Ed ≤ γ M0 Dimensioneringsformel A≥ N Ed ⋅ γ M0 fy Forlængelse ∆L = Nk ⋅ L A⋅E Centralt påvirkede trykstænger Korte trykstænger N Ed ≤ A ⋅ fY γ M0 Søjler Fremgangsmåde: 1. Du fastlægger stålkvalitet og profiltype 2. Du bestemmer flydespændingen fy i tabel 5.1 3. Du gætter en dimension 4. Du bestemmer inertiradius i profiltabel eller beregner den. 5. Du bestemmer ε i tabel 5.3 6. Du beregner λ= Ls 93 , 9 ⋅ i ⋅ ε 7. Du bestemmer χ i tabel 5.2 8. Du foretager styrkeundersøgelse N Ed ≤ χ ⋅ A ⋅ fy γ M1 Bøjningspåvirkede konstruktionselementer Styrkebetingelse M Ed ≤ W ⋅ fy γ M0 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 271 21-01-2013 15:03:35 272 Statik og styrkelære · Stålkonstruktioner Dimensionering W≥ M Ed ⋅ γ M0 fy Fladetryk Styrkebetingelse N Ed ≤ A ⋅ fd Dimensionering A≥ 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 272 N Ed fd 21-01-2013 15:03:40 273 Trækonstruktioner 6 Normer Ligesom stålkonstruktioner er trækonstruktioner tilpasset de nye Eurocodes normer. Eurocode 5 er normen for trækonstruktioner og er en meget omfattende og detaljeret beskrivelse. I denne bog vil du derfor kun komme til at arbejde med en mindre del af disse bestemmelser, og det kan anbefales, at du anskaffer Eurocode 5, hvis du skal i gang med større opgaver inden for dette område. Materialer Konstruktionstræ af nåletræ skal sorteres efter regler, der sikrer, at styrke, stivhed og øvrige egenskaber er tilfredsstilende. Sorteringsreglerne er baseret på en visuel bedømmelse eller en maskinel sortering. I Danmark skelnes mellem fire styrkeklasser, der benævnes C30, C24, C18 og C 14. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 273 21-01-2013 15:03:42 274 Statik og styrkelære · Trækonstruktioner Styrke- og stivhedstal Regningsmæssige styrketal fd bestemmer du således: fd = kd · fk hvor kd er en omregningsfaktor, som du bestemmer ud fra tabel 6.2. fk er det karakteristiske styrketal, som du bestemmer ud fra træets styrkeklasse og påvirkningens art i tabel 6.1. Som du kan se i tabel 6.1, er der eksempelvis to karakteristiske værdier for træk. ft,0,k er det karakteristiske styrketal, når trækpåvirkningen er parallel med fibrene i træet, mens ft,90,k er det karakteristiske styrketal, når trækpåvirkningen er vinkelret på fibrene i træet. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 274 21-01-2013 15:03:45 Styrke- og stivhedstal 275 I tabel 6.2 møder du begrebet anvendelsesklasser. Der skelnes mellem tre: 1. Indendørs konstruktioner i tørre lokaler. 2. Overdækkede, ventilerede konstruktioner fx tagkonstruktioner og lignende. 3. Ubeskyttede konstruktioner udendørs og konstruktioner i fugtige rum. I tabel 6.2 møder du også begrebet lastgruppe. Her skelnes mellem fem, som symboliseres med følgende bogstaver: P: Permanent last – egenlast. L: Langtidslast – fx silolast og oplagrede varer. M: Mellemlang last – variable laster. K: Korttidslast – fx snelast. Ø: Øjeblikkelig last – fx vindlast, ulykkeslast og stødkræfter. Karakteristiske styrketal og elasticitetsmodul i MPa for konstruktionstræ Styrkeklasse C30 C24 C18 C14 Styrketal Bøjning fm,k 30 24 18 14 Træk i fiberretningen ft,0,k 18 14 11 8 Træk vinkelret på fiberretningen ft,90,k 0,6 0,5 0,5 0,4 Tryk i fiberretningen fc,0,k 23 21 18 16 Tryk vinkelret på fiberretningen fc,90,k 2,7 2,5 2,2 2,0 Forskydning fv,k 3,0 2,5 2,0 1,7 E i fiberretningen E0 12000 11000 9000 7000 E vinkelret på fiberretningen E90 400 350 300 250 Elasticitets modul Tabel 6.1 Omregningsfaktor kd fra karakteristiske til regningsmæssige styrketal Lastvarighed Ø-last K-last M-last L-last P-last 1. Indendørs 0,815 0,667 0,593 0,519 0,444 2. Overdækket 0,815 0,667 0,593 0,519 0,444 3. Udendørs 0,667 0,519 0,481 0,407 0,370 Anvendelsesklasse Tabel 6.2 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 275 21-01-2013 15:03:46 Statik og styrkelære · Trækonstruktioner 276 Centralt påvirkede trækstænger Figur 6.01 Har du en centralt påvirket trækstang som vist på figur 6.01, skal den opfylde følgende styrkebetingelse: σt , 0 , d = N Ed ≤ kd ⋅ ft , 0 , k A hvor σt,0,d er den regningsmæssige trækspænding i MPa. NEd er den regningsmæssige belastning i N. A er stangens tværsnitsareal i mm2. kd er en omregningsfaktor, som du finder i tabel 6.2. ft,0,k er det karakteristiske styrketal, som du finder i tabel 6.1. Skal du bestemme arealet A, ser du først på højre-siden af styrkebetingelsen: N Ed ≤ kd ⋅ ft , 0 , k A N Ed ≤ A ⋅ kd ⋅ ft ,0 , k N Ed ≤A kd ⋅ ft , 0 , k Hermed har du følgende dimensioneringsformel: A≥ N Ed kd ⋅ ft , 0 , k hvor A er stangens tværsnitsareal i mm2. NEd er den regningsmæssige belastning i N. kd er en omregningsfaktor,som du finder i tabel 6.2. fd er det karakteristiske styrketal i MPa, som du finder i tabel 6.1. Du kan også få brug for at bestemme en trækstangs forlængelse eller deformation under en belastning. Du har fra ”Styrkelærens grundprincipper” en ligning, der giver dig denne forlængelse. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 276 21-01-2013 15:03:47 Centralt påvirkede trækstænger 277 Figur 6.02 På figur 6.02 har du en trækstang, som viser forlængelsen ∆L. Du finder ∆L således: ∆L = Nk ⋅ L A ⋅ E0 hvor ∆L er trækstangens forlængelse i mm. Nk er trækstangens karakteristiske belastning i N. L er trækstangens oprindelige længde i mm. A er trækstangens tværsnitsareal i mm2. E0 materialets elasticitetsmodul i MPa, som du finder i tabel 6.1. EKSEMPEL 6.01 Du har givet en centralt påvirket trækstang som vist på figur 6.03, hvor den regningsmæssige belastning er en P-last og NEd = 38 kN. Trækstangen indgår i en konstruktion, der kan henregnes til anvendelsesklasse 2. Træet skal være konstruktionstræ C24, og tværsnittet skal være rektangulært. Figur 6.03 a) Du skal bestemme en passende dimension. b) Du skal foretage en spændingsundersøgelse af den valgte dimension. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 277 21-01-2013 15:03:48 278 Statik og styrkelære · Trækonstruktioner a) Du anvender dimensioneringsformlen: A≥ N Ed kd ⋅ ft , 0 , k Du finder: kd = 0,444 i tabel 6.2 ft,0,k = 14 i tabel 6.1 Du indsætter og får: A≥ 38 ⋅ 10 3 0 , 444 ⋅ 14 A ≥ 6,11 · 10³ mm² I profiltabellen bagest i kapitlet finder du: 38 · 175 mm har A = 6,65 · 10³ mm² > 6,11 · 10³ mm² b) Du anvender styrkebetingelsen og får: σt , 0 , d = σt , 0 , d = N Ed ≤ kd ⋅ ft , 0 , k A 38 ⋅ 10 3 6 , 65 ⋅ 10 3 ≤ 0 , 444 ⋅ 14 σt,0,d = 5,71 MPa < kd · ft,0,k = 6,216 MPa EKSEMPEL 6.02 Du har givet en centralt påvirket trækstang som vist på figur 6.04. Tværsnittet er rektangulært med dimension 75 · 150 mm. Trækstangen indgår i en konstruktion, der kan henregnes til anvendelsesklasse 3. Materialet er konstruktionstræ C30. Figur 6.04 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 278 21-01-2013 15:03:48 Centralt påvirkede trækstænger 279 Du skal bestemme trækstangens maksimale regningsmæssige belastning, når der regnes med: a) P-last b) L-last c) M-last d) K-last e) Ø-last Du benytter højre-siden af styrkebetingelsen: N σt ,0 ,d = Ed ≤ kd ⋅ ft ,0 , k A og løser uligheden med hensyn til NEd: N Ed ≤ A ⋅ kd ⋅ ft ,0 , k Du har: A = 11,2 · 10³ mm² fra profiltabel. ft,0,k = 18 MPa fra tabel 6.1 kd er den størrelse, der varierer, og den finder du i tabel 6.2. a) NEd ≤ 11,2 · 10³ · 18 · 0,370 NEd ≤ 74592 N Du kan konkludere: For en P-last er den maksimale regningsmæssige belastning NEd = 74592 N. b) NEd ≤ 11,2 · 10³ · 18 · 0,407 NEd ≤ 82051 N Du kan konkludere: For en L-last er den maksimale regningsmæssige belastning NEd = 82051 N. c) NEd ≤ 11,2 · 10³ · 18 · 0,481 NEd ≤ 96970 N Du kan konkludere: For en M-last er den maksimale regningsmæssige belastning NEd = 96970 N. d) NEd ≤ 11,2 · 10³ · 18 · 0,519 NEd ≤ 104630 N Du kan konkludere: For en K-last er den maksimale regningsmæssige belastning NEd = 104630 N. e) NEd ≤ 11,2 · 10³ · 18 · 0,667 NEd ≤ 134467 N Du kan konkludere: For en Ø-last er den maksimale regningsmæssige belastning NEd = 134467 N. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 279 21-01-2013 15:03:49 280 Statik og styrkelære · Trækonstruktioner OPGAVE 151 Du har givet en konstruktion, der kan henregnes til anvendelsesklasse 2. I konstruktionen indgår en trækstang, der er udført af konstruktionstræ C30 med tværsnit 50 · 100 mm. Trækstangens regningsmæssige belastning er en P-last med NEd = 34 kN. Du skal foretage en spændingsundersøgelse af trækstangen. OPGAVE 152 Du har givet en konstruktion, der kan henregnes til anvendelsesklasse 2. I konstruktionen indgår en trækstang, der regningsmæssigt er belastet med en P-last med NEd = 110 kN. Trækstangens tværsnit skal være rektangulært, og materialet skal være konstruktionstræ C24. a) Du skal bestemme en passende dimension. b) Du skal foretage en spændingsundersøgelse af den valgte dimension. OPGAVE 153 Du har givet en konstruktion, der kan henregnes til anvendelsesklasse 2. I konstruktionen indgår en trækstang med et rektangulært tværsnit 63 · 175 mm. Materialet er konstruktionstræ C18. Du skal bestemme trækstangens maksimale regningsmæssige belastning, når det er en: a) P-last b) L-last c) M-last d) K-last e) Ø-last 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 280 21-01-2013 15:03:50 Centralt påvirkede trækstænger 281 OPGAVE 154 Du har givet en konstruktion, hvor der indgår en trækstang, der er belastet med en regningsmæssig P-last og NEd = 40 kN. Konstruktionen kan henregnes til anvendelsesklasse 2, og materialet er konstruktionstræ C24. Tværsnittet skal være rektangulært med en bredde på 50 mm, og tværsnittet svækkes af et 25 mm boltehul som vist på figur 6.05. Figur 6.05 a) Du skal bestemme en passende højde på profilet. b) Du skal foretage en spændingsundersøgelse af den valgte dimension. OPGAVE 155 Du har givet en konstruktion, der kan henregnes til anvendelsesklasse 2. I konstruktionen indgår en trækstang, som er regningsmæssigt belastet med en P-last og NEd =9,5 kN. Materialet er konstruktionstræ C18, og tværsnittet er rektangulært med dimension 19 · 75 mm. Du skal foretage en spændingsundersøgelse og evt. udføre en omdimensionering, idet du skal fastholde bredden =19 mm. OPGAVE 156 Du har givet en gitterkonstruktion, hvor der indgår en trækstang som vist på figur 6.06. Konstruktionen kan henregnes til anvendelsesklasse 2. Trækstangen er udført af to stykker konstruktionstræ C18 med dimension 25 · 100 mm. Figur 6.06 Du skal bestemme trækstangens maksimale regningsmæssige belastning, når du regner med, at det er en K-last. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 281 21-01-2013 15:03:51 Statik og styrkelære · Trækonstruktioner 282 Centralt påvirkede søjler Figur 6.07 Har du en centralt påvirket søjle som vist på figur 6.07, skal den opfylde følgende styrkebetingelse: σc ,0 ,d = N Ed ≤ kc ⋅ kd ⋅ fc , 0 , k A hvor σc,0,d er den regningsmæssige trykspænding i MPa. NEd er den regningsmæssige belastning i N. A er tværsnitsarealet i mm2. kc er en søjlefaktor, som du bestemmer ud fra diagrammet på figur 6.08. kd er en omregningsfaktor, som du finder i tabel 6.2. fc,0,k er det karakteristiske styrketal, som du finder i tabel 6.1. Her er søjlefaktoren kc lidt ”bøvlet” at bestemme. Som du kan se på diagrammet på figur 6.08, skal du kende λrel for at kunne komme ind på kurven og bestemme kc. Det relative slankhedsforhold λrel bestemmer du af formlen: λrel = krel ⋅ ls h hvor krel er en faktor, som du bestemmer ud fra tabel 6.3. ls er den effektive søjlelængde, som du bestemmer ud fra figur 5.18. h er tværsnittets højde i mm. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 282 21-01-2013 15:03:51 Centralt påvirkede søjler 283 Hvis søjlen ikke er hindret udbøjning om den ”svage” akse, benytter du b i stedet for h, og b er tværsnittes bredde. Styrkeklasse krel C30 C24 C18 C14 0,059 0,059 0,060 0,064 Tabel 6.3 Diagram til bestemmelse af søjlefaktoren kc kc 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,8 λrel Figur 6.08 Som du kan se, er det ligesom ved stålsøjler. I styrkebetingelsen indgår flere tværsnitskonstanter. Rene dimensioneringsformler er derfor besværlige at arbejde med. Når du skal dimensionere søjler, kan du benytte følgende fremgangsmåde: 1. Du skal fastlægge anvendelsesklasse og materialekvalitet. 2. Du bestemmer det karakteristiske styrketal fc,0,d i tabel 6.1. 3. Du bestemmer omregningsfaktoren kd i tabel 6.2. 4. Du gætter en dimension. 5. Du beregner søjlens slankhedsforhold: λrel = krel ⋅ ls h 6. Du bestemmer søjlefaktoren kc på diagrammet på figur 6.08. 7. Du foretager en styrkeundersøgelse: σc ,0 ,d = N Ed ≤ kc ⋅ kd ⋅ f c , 0 , k A I princippet foregår det på samme måde som ved stålsøjler. Det, at du skal ”gætte” en dimension, kan se lidt problematisk ud, men de beregninger, du skal igennem, er hurtige og nemme. Du kan derfor hurtigt få ”skudt” dig ind på det rigtige profil, og det vil du i det kommende eksempel få lejlighed til at arbejde med. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 283 21-01-2013 15:03:52 Statik og styrkelære · Trækonstruktioner 284 EKSEMPEL 6.03 Du har givet en 2,2 meter høj, simpelt understøttet søjle, hvor den regningsmæssige P-last er NEd = 88 kN. Materialet er konstruktionstræ C18, og konstruktionen kan henregnes til anvendelsesklasse 2. Søjlens tværsnit skal være kvadratisk. Du skal bestemme en passende dimension. Du benytter den førnævnte fremgangsmåde: 1. 2. 3. 4. 5. Du har anvendelsesklasse 2 og materiale C18, som er fastlagt i opgaveteksten. fc,0,k = 18 MPa, som du finder i tabel 6.1. kd = 0,444, som du finder i tabel 6.2. Du gætter på 100 · 100 mm fra profiltabel. Du beregner: λrel = krel ⋅ ls h λrel = 0 , 06 ⋅ 2200 100 λrel = 1,32 6. kc = 0,48, som du finder på diagrammet på figur 6.08. 7. σc ,0 ,d = σc ,0 ,d = N Ed ≤ kc ⋅ kd ⋅ f c , 0 , k A 88 ⋅ 10 3 10 3 ⋅ 10 3 ≤ 48 ⋅ 0 , 444 ⋅ 18 σc,0,d = 8,8 MPa > 3,836 MPa Det gik altså ikke! – Du prøver med en ny dimension 125 · 125 mm og går direkte til punkt 5. 5. λrel = 0 , 06 ⋅ 2200 125 λrel = 1,056 6. kc = 0,66 7. σc ,0 ,d = 88 ⋅ 10 3 15 , 6 ⋅ 10 3 ≤ 0 , 66 ⋅ 0 , 444 ⋅ 18 σc,0,d = 5,64 MPa > 5,275 MPa Du nærmer dig, men 125 · 125 mm er stadig for lille. Du prøver med 150 · 150 mm. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 284 21-01-2013 15:03:53 Centralt påvirkede søjler 285 5. λrel = 0 , 06 ⋅ 2200 150 λrel = 0,88 6. kc = 0,78 7. σc ,0 ,d = 88 ⋅ 10 3 22 , 8 ⋅ 10 3 ≤ 0 , 88 ⋅ 0 , 444 ⋅ 18 σc,0,d = 3,91 MPa < 7,033 MPa Nu er styrkebetingelsen opfyldt, og dimensionen bliver 150 · 150 mm. EKSEMPEL 6.04 Du har givet en 2,4 meter høj, simpelt understøttet søjle med tværsnit 125 · 125 mm. Materialet er konstruktionstræ C24, og søjlen indgår i en konstruktion, der kan henregnes til anvendelsesklasse 3. Du skal bestemme søjlens maksimale regningsmæssige belastning som P-last. Du benytter højre-side af styrkebetingelsen og løser uligheden med hensyn til NEd. σc ,0 ,d = N Ed ≤ kc ⋅ kd ⋅ f c , 0 , k A N Ed ≤ A ⋅ kc ⋅ kd ⋅ fc ,0 , k Du har: A =15,6 · 10³ mm² fra profiltabel λrel = krel ⋅ ls h λrel = 0 , 059 ⋅ 2400 125 λrel = 1,13 kc = 0,68 kd = 0,370 fra tabel 6.1. fc,0,k = 21 MPa fra tabel 6.1 Du indsætter og får: NEd ≤ 15,6 · 10³ · 0,68 · 0,37 · 21 NEd ≤ 82424 N Du kan konkludere. Søjlens maksimale regningsmæssige belastning er NEd = 82424 N. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 285 21-01-2013 15:03:54 286 Statik og styrkelære · Trækonstruktioner OPGAVE 157 Du har givet en simpelt understøttet søjle med længde 3,2 meter, som er påvirket af en regningsmæssig belastning P-last og NEd = 42 kN. Søjlen skal anvendes i en konstruktion, der kan henregnes til anvendelsesklasse 2. Søjlens tværsnit skal være kvadratisk, og materialet er konstruktionstræ C18. Der skal bestemmes en passende dimension og foretage en spændingsundersøgelse. OPGAVE 158 Du har givet en 2,8 meter høj, simpelt understøttet søjle udført med et tværsnit med dimension 125 · 125 mm, og materialet er konstruktionstræ C24. Søjlen indgår i en konstruktion, der kan henregnes til anvendelsesklasse 3. Du skal bestemme søjlens maksimale regningsmæssige belastning som P-last. OPGAVE 159 Du skal i et koordinatsystem indtegne en kurve over den regningsmæssige bæreevne (P-last) af søjler med følgende længder: 0,5 m, 1 m, 1,5 m, 2,5 m, 3 m, 4 m, 5 m, 6 m og 7 m. Øvrige data: Anvendelsesklasse 2 Konstruktionstræ C18 Søjlens tværsnit: 150 · 150 mm OPGAVE 160 Du har givet en 5 meter høj, simpelt understøttet søjle, der er belastet med en regningsmæssig P-last med NEd = 60 kN. Materialet er konstruktionstræ C18, og konstruktionen kan henregnes til anvendelsesklasse 1. Tværsnittet skal være kvadratisk. Du skal bestemme en passende dimension og foretage en spændingsundersøgelse. OPGAVE 161 Du har givet en 2,4 meter høj, simpelt understøttet søjle med tværsnit 100 · 100 mm. Materialet er konstruktionstræ C24, og søjlen anvendes i en konstruktion, der kan henregnes til anvendelsesklasse 2. Du skal bestemme søjlens maksimale regningsmæssige belastning som P-last. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 286 21-01-2013 15:03:54 Bøjningspåvirkede konstruktionselementer 287 Bøjningspåvirkede konstruktionselementer Figur 6.09 Figur 6.10 Har du et konstruktionselement, der er påvirket til bøjning som vist på figur 6.09 og figur 6.10, skal det opfylde følgende styrkebetingelse: σ md = M ≤ kd ⋅ fmk W hvor σmd er den regningsmæssige bøjningsspænding i MPa. M er det største regningsmæssige moment i Nmm. W er tværsnittets modstandsmoment om bøjningsaksen i mm3. kd er en omregningsfaktor, som du finder i tabel 6.2. fmk er materialets karakteristiske styrketal i MPa – tabel 6.1. Skal du dimensionere, anvender du højre-siden af styrkebetingelsen og løser uligheden med hensyn til W: M ≤ kd ⋅ fmk W W≥ M kd ⋅ fmk Du har hermed en dimensioneringsformel, hvor W M kd fmk er tværsnittets modstandsmoment om bøjningsaksen i mm3. er det største regningsmæssige moment i Nmm. er en omregningsfaktor, som du finder i tabel 6.2. er materialets karakteristiske styrketal i MPa – tabel 6.1. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 287 21-01-2013 15:03:55 288 Statik og styrkelære · Trækonstruktioner EKSEMPEL 6.05 Du har givet en bjælke, der regningsmæssigt er belastet (P-last) som vist på figur 6.11. Bjælken indgår i en konstruktion, der kan henregnes til anvendelsesklasse 2. Bjælkens tværsnit er 100 · 200 mm, og materialet er konstruktionstræ C30. Figur 6.11 Du skal foretage en styrkeundersøgelse af bjælken. Du anvender styrkebetingelsen: σ md = M ≤ kd ⋅ fmk W Da bjælken er symmetrisk belastet om midten, vil det største moment forekomme her, så du kan starte med at bestemme momentet M: M= 1 1 ⋅ Pr ⋅ L + ⋅ qr ⋅ L2 4 8 M= 1 1 ⋅ 5 ⋅ 3 + ⋅ 2 ⋅ 32 4 8 (Formlerne finder du afsnittet ”Bjælkeformler”) M = 6 kNm Du finder modstandsmomentet i profiltabellen: W = 667 · 10³ mm³. kd = 0,444, som du finder i tabel 6.2. fmk = 30, som du finder i tabel 6.1. Du indsætter og får: σ md = 6 ⋅ 10 3 ⋅ 10 3 667 ⋅ 10 3 ≤ 0 , 444 ⋅ 30 σmd = 9 MPa < 13,33 MPa 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 288 21-01-2013 15:03:56 Bøjningspåvirkede konstruktionselementer 289 EKSEMPEL 6.06 Du har givet en simpelt understøttet bjælke, der er belastet med en jævn fordelt last (P-last) qr = 6 kN/m som vist på figur 6.12. Bjælken indgår i en konstruktion, der kan henregnes til anvendelsesklasse 2. Endvidere indgår bjælken i et lag, hvor højden maksimalt kan være 200 mm. Figur 6.12 Du skal bestemme en passende kvalitet i konstruktionstræ og foretage spændingsundersøgelse. Du anvender dimensioneringsformlen: W≥ M kd ⋅ fmk Du bestemmer det maksimale moment M: M= 1 ⋅ q ⋅ L2 8 r M= 1 ⋅ 6 ⋅ 32 8 (Du finder formlen i afsnittet ”Bjælkeformler) M = 6,75 kNm Du mangler kd og fmk. kd = 0,444, som du finder i tabel 6.2. Du starter med at vælge konstruktionstræ C18. fmk = 18 MPa, som du finder i tabel 6.1. Du indsætter og får: W≥ 6 , 75 ⋅ 10 3 ⋅ 10 3 0 , 444 ⋅ 18 W ≥ 845 · 10³ mm³. I profiltabellen kan du se, at et tværsnit med dimension 100 · 200 mm ikke kan holde, da det største modstandsmoment W = 667 · 10³ mm³. Det næste profil, der kan komme på tale, er 200 · 200 mm, der har et modstandsmoment W = 1333 · 10³ mm³. Det ville blive noget af en overdimensionering, så derfor vil det være rimeligt at fastholde profilet med tværsnit 100 · 200, og så vælge en bedre kvalitet konstruktionstræ. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 289 21-01-2013 15:03:56 290 Statik og styrkelære · Trækonstruktioner Du kan prøve med konstruktionstræ C24. Du udfører spændingsundersøgelsen: σ md = 6 , 75 ⋅ 10 3 ⋅ 10 3 6 , 67 ⋅ 10 3 ≤ 0 , 44 ⋅ 24 σmd = 10,12 MPa < 10,65 MPa Det er i orden, så med konstruktionstræ C24 kan du overholde kravene. OPGAVE 162 Du har givet en bjælke, der påvirkes af et maksimalt regningsmæssigt bøjningsmoment M = 5 kNm (P-last). Bjælken indgår i en konstruktion, der kan henregnes til anvendelsesklasse 2. Tværsnittet skal være rektangulært, og materialet skal være konstruktionstræ C18. a) Du skal bestemme en passende dimension. b) Du skal foretage spændingsundersøgelse af den valgte dimension. OPGAVE 163 Du har givet en simpelt understøttet bjælke, der har 2,4 meter mellem understøtningerne. Bjælken er belastet med en jævn fordelt last (P-last) over hele længden.. Bjælken er udført af konstruktionstræ C24 og har tværsnitsdimension 75 · 175 mm. Bjælken indgår i en konstruktion, der kan henregnes til anvendelsesklasse 2 Du skal bestemme den maksimale regningsmæssige last på bjælken. OPGAVE 164 Du har givet en simpelt understøttet bjælke, der er regningsmæssigt belastet (P-last) som vist på figur 6.13. Bjælken indgår i en konstruktion, der kan henregnes til anvendelsesklasse 2. Figur 6.13 a) Du skal bestemme reaktionerne i A og B. b) Du skal bestemme V- og M-kurven. c) Du skal bestemme en passende dimension, når tværsnittet skal være kvadratisk og materialet konstruktionstræ C24. d) Du skal foretage en styrkeundersøgelse af den valgte dimension. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 290 21-01-2013 15:03:57 Nedbøjning 291 Nedbøjning I forrige afsnit arbejdede du med bjælker set ud fra et styrkekrav. Du kan imidlertid også møde opgaver, hvor nedbøjningen på en bjælke skal holdes inden for nogle ganske bestemte værdier. På figur 6.14 har du en bjælke med en nedbøjning u, som er fremkommet igennem bjælkens påvirkning af en jævn fordelt last. Figur 6.14 Ligesom det er et nævnt i ”Stålkonstruktioner”, vil du i afsnittet ”Bjælkeformler” kunne finde formler for, hvorledes du bestemmer nedbøjningen på en bjælke. Det vil du komme til at arbejde med i det kommende eksempel. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 291 21-01-2013 15:03:59 292 Statik og styrkelære · Trækonstruktioner EKSEMPEL 6.13 Du har givet en bjælke, der er belastet med en karakteristisk last gk = 0,8 kN/m som vist på figur 6.15. Bjælken indgår i en konstruktion, der kan henregnes til anvendelsesklasse 2, og materialet skal være konstruktionstræ C18. Bjælken ønskes dimensioneret ud fra, at nedbøjningen umax på bjælken regnet ud fra den karakteristiske last ikke må overstige 1/500 af spændvidden. Figur 6.15 Du skal bestemme en passende dimension på bjælken. Du starter med at bestemme den maksimale nedbøjning: umax = 1 ⋅ 3600 = 7 , 2 mm 500 I afsnittet ”Bjælkeformler” finder du formlen for den maksimale nedbøjning: umax = 5 ⋅ p ⋅ L4 384 ⋅ E0 ⋅ I Du løser ligningen med hensyn til inertimomentet I: I= 5 ⋅ p ⋅ L4 umax ⋅ 384 ⋅ E0 Her mangler du kun E0 = 9000, som du finder i tabel 6.1. Du kan indsætte og får: I= 5 ⋅ 0 , 8 ⋅ 3600 4 7 , 2 ⋅ 384 ⋅ 9000 I = 27 · 106 mm4 I profiltabellen finder du et tværsnit 50 · 200 mm, som har: Ix = 33,3 · 106 mm4 > I = 27 · 106 mm4 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 292 21-01-2013 15:04:00 Nedbøjning 293 OPGAVE 165 Du har givet en simpelt understøttet bjælke med længden L = 3,45 m, som er belastet med en jævn fordelt karakteristisk last pk = 4,5 kN/m. Bjælken indgår i en konstruktion, der henregnes til anvendelsesklasse 1. Bjælken er udført af konstruktionstræ C24 med tværsnitsdimension 100 · 225 mm. Du skal bestemme den største nedbøjning på bjælken. OPGAVE 166 Du har givet en simpelt understøttet bjælke med længde L = 4 meter, der er belastet med en karakteristisk last pk = 6 kN/m. Bjælken indgår i en konstruktion, der kan henregnes til anvendelsesklasse 2, og materialet er konstruktionstræ C24. I tværsnittet ønskes en bredde b =140 mm. Du skal finde en passende dimension på bjælken, idet nedbøjningen ikke må overstige 1/500 af spændvidden. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 293 21-01-2013 15:04:03 294 Statik og styrkelære · Trækonstruktioner tstyrk.book Page 143 Wednesday, February 26, 2003 3:25 PM Profiltabeller P R PROFILTABELLER O I Tværsnitskonstanter for konstruktionstræ F Profiltabel 1 L T A B E L L E R 143 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 294 21-01-2013 15:04:04 Profiltabeller 295 L Tværsnitskonstanter for limtræ P R O F I L T A B Profiltabel 2 E L E R tstyrk.book Page 144 Wednesday, February 26, 2003 3:25 PM 144 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 295 21-01-2013 15:04:07 296 Statik og styrkelære · Trækonstruktioner Resume 6. kapitel Centralt påvirkede trækstænger Styrkebetingelse: σt , 0 , d = N Ed ≤ kd ⋅ ft , 0 , k A Dimensionering: A≥ N Ed kd ⋅ ft , 0 , k Forlængelse: ∆L = Nk ⋅ L A ⋅ E0 Centralt påvirkede trykstænger – Søjler Fremgangsmåde: 1. Du skal fastlægge anvendelsesklasse og materialekvalitet. 2. Du bestemmer det karakteristiske styrketal fc,0,k i tabel 6.1. 3. Du bestemmer omregningsfaktoren kd i tabel 6.2. 4. Du gætter en dimension. 5. Du beregner søjlens slankhedsforhold: λrel = krel ⋅ ls h 6. Du bestemmer søjlefaktoren kc på diagrammet på figur 6.08. 7. Du foretager en styrkeundersøgelse. σc ,0 ,d = N Ed ≤ kc ⋅ kd ⋅ f c , 0 , k A Bøjningspåvirkede konstruktionselementer Styrkebetingelse: σ md = M ≤ kd ⋅ fmk W Dimensionering: W≥ 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 296 M kd ⋅ fmk 21-01-2013 15:04:08 297 Maskinelementer 7 Styrkeberegning af maskinelementer I en maskinkonstruktion kan du møde komponenter som aksler, lejer, bolte, stifter, tandhjul osv. Disse komponenter betegner du som maskinelementer, og du skal i de kommende afsnit fokusere på beregning på nogle af de mest anvendte. I samme åndedrag skal det også bemærkes, at styrkekrav kun er en faktor blandt mange. Eksempelvis er den konstruktive udformning eller designet en særdeles vigtig faktor. Begrebet design møder du nok mest inden for områder som beklædning, kunsthåndværk og lignende, men ser du på begrebet design som udformning af menneskeskabte brugsgenstande, får det en langt bredere betydning. Du skal derfor kunne spille på mange strenge, idet det er dig, der har afgørende indflydelse på udformningen eller designet. Inden for et område som finmekanisk konstruktion vil den konstruktive udformning eller designet være langt den vigtigste faktor, og i mange tilfælde vil du slet ikke styrkeberegne inden for dette område. Arbejder du med en maskinkonstruktion, vil fremgangsmåden i almindelighed være, at du på baggrund af nogle skitser udfører nogle overslagsberegninger – derefter nye skitser og nye overslagsberegninger, og sådan vil du arbejde frem og tilbage, indtil du har nået et resultat, der er harmonisk, både hvad angår design og styrke. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 297 21-01-2013 15:04:13 298 Statik og styrkelære · Maskinelementer Et lille eksempel kan anskueliggøre denne problematik. Du skal konstruere en gearkasseaksel som vist på figur 7.01. De maskinelementer, der indgår, er aksel, tandhjul og lejer. Figur 7.01 Fremgangsmåden vil i almindelighed være den, at du starter med at dimensionere tandhjulet med udgangspunkt i ønsket om overført effekt, omdrejningstal og udvekslingsforhold. Næste skridt vil være en skitse med skønnede dimensioner på aksler og lejeafstande. Derefter kommer overslagsberegninger på aksler og lejer. Du kan så risikere, at lejerne bliver alt for store i forhold til akslen, og du må begynde forfra. Det er altså en vekselvirkning mellem skitser og beregninger, og der skal ofte mange forsøg til, før du kommer frem til et resultat, der kan få betegnelsen ”et godt design”. I de kommende afsnit vil du få eksempler på styrkeberegning af maskinelementer, men det er vigtigt at understrege, at styrkeberegning kun skal ses som en enkelt faktor, der indgår i en større sammenhæng. Karakter af en belastning Du har tidligere set på de fem grundbelastningstyper træk, tryk, bøjning, forskydning og torsion. Det er imidlertid også af stor betydning, at du kan vurdere karakteren af den enkelte belastning. Du skelner mellem tre typer: 1. En rolig belastning. 2. En varierende belastning. 3. En vekslende belastning. Du får nogle eksempler, der kan illustrere disse tre typer. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 298 21-01-2013 15:04:13 Karakter af en belastning 299 En rolig belastning Du skal forestille dig, at du har et billede, der er hængt op som vist på figur 7.02. Du vil kunne karakterisere belastningen af sømmet som ”rolig”. Figur 7.02 Du kan illustrere den ”rolige” belastning i et koordinatsystem som vist på figur 7.03, hvor spændingen σ er afsat op ad den lodrette akse og tiden t ud af den vandrette akse. Figur 7.03 En varierende belastning På figur 7.04 har du en kran, der løfter en byrde. Du vil kunne karakterisere belastningen af krankrogen som ”varierende”, idet belastningen vil ligge mellem 0 og maksimum. Figur 7.04 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 299 21-01-2013 15:04:13 300 Statik og styrkelære · Maskinelementer Du kan illustrere den ”varierende” belastning som vist på figur 7.05, hvor spændingen σ er afsat op ad den lodrette akse, mens tiden t er afsat ud ad den vandrette akse, Figur 7.05 En vekslende belastning På figur 7.06 har du en roterende aksel under påvirkning af en kraft F. ”Fastfryser” du akslen i et øjebliksbillede og ser på et snit i akslen, vil der være trykspændinger foroven i tværsnittet og trækspændinger forneden i tværsnittet. Figur 7.06 Forestiller du akslen drejet en halv omgang og ser på samme snit, vil der være trækspændinger, hvor der før var trykspændinger og tilsvarende trykspændinger, hvor der før var trækspændinger. Denne vekselvirkning kan du karakterisere som en ”vekslende” belastning. Figur 7.07 Du kan illustrere den ”vekslende” belastning i et koordinatsystem som vist på figur 7.07, hvor spændingen σ er afsat op ad den lodrette akse og tiden t ud ad den vandrette akse. Når du skal dimensionere et maskinelement, er det derfor vigtigt, at du kan bestemme påvirkningens art, som kan være træk, tryk, bøjning, forskydning og torsion, men også påvirkningens karakter, som kan være rolig, varierende eller vekslende. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 300 21-01-2013 15:04:13 Konstruktionsmaterialer 301 Konstruktionsmaterialer En generel styrkebetingelse for et maskinelement vil se således ud: σ ≤ σtil eller τ ≤ τtil hvor σ og τ er spændinger, du beregner ud fra påvirkningens art og tværsnittets udformning, og σtil og τtil er konstruktionsmaterialets tilladelige spænding. Inden for en ganske kort årrække er antallet af konstruktionsmaterialer vokset eksplosivt. Det vil derfor være umuligt at angive alle materialer og deres tilladelige spændinger. I de kommende afsnit får du givet et bredt udpluk af konstruktionsmaterialer som stål, støbejern, støbestål og aluminium. Anvender du i en konstruktion et andet materiale end dem, der angivet i tabellerne, kan du, når du sammenligner de enkelte materialers fysiske egenskaber, ved et skøn finde frem til en tilladelig spænding. I de kommende afsnit får du en oversigt over de fem grundbelastningstyper og de formler, der knytter sig til styrkeberegning og dimensionering. Endvidere får du i tabelform angivet tilladelige spændinger, du kan anvende ved overslagsberegninger. Mere detaljerede beregninger, der fx tager højde for kærvvirkning, tværsnitssvækkelser på grund af notgange osv., er ikke medtaget i denne bog, så her må du henvises til anden litteratur. Trækpåvirkede maskinelementer Figur 7.08 Har du et trækpåvirket maskinelement som vist på figur 7.08, skal det opfylde følgende styrkebetingelse: σ= N ≤ σtil A hvor σ N A σtil er trækspændingen i MPa. er belastningen i N. er tværsnitsarealet i mm2. er materialets tilladelige trækspænding i MPa – tabel 7.1. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 301 21-01-2013 15:04:14 302 Statik og styrkelære · Maskinelementer Du anvender styrkebetingelsen, når belastningen N, tværsnitsarealet A og den tilladelige spænding σ er kendte størrelser. Skal du derimod bestemme tværsnitsarealet, ser du på højre-siden af styrkebetingelsen og løser uligheden med hensyn til A. N ≤ σtil A Du løser uligheden med hensyn til A: N ≤A σtil Du har hermed følgende dimensioneringsformel: A≥ N σtil hvor A er det nødvendige tværsnitsareal i mm2. N er stangens belastning i N. σtil er materialets tilladelige trækspænding i MPa. – tabel 7.1. I tabel 7.1 har du en oversigt over tilladelige trækspændinger i MPa for forskellige materialer afhængig af belastningens karakter. Materiale Belastningens karakter Rolig Varierende Vekslende St 37-2 125 80 60 St 50-2 175 115 80 St 70-2 260 170 115 GS-45 125 80 58 GG-25 70 58 43 GAlSi12 40 22 17 AlCuMg1 135 60 45 AlMg3 100 68 56 Tabel 7.1 Tilladelige trækspændinger i MPa til anvendelse ved overslagsberegninger. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 302 21-01-2013 15:04:14 Trykpåvirkede maskinelementer 303 Trykpåvirkede maskinelementer Figur 7.09 Har du et trykpåvirket maskinelement som vist på figur 7.09, skal det opfylde følgende styrkebetingelse: σ= N ≤ σtil A hvor σ N A σtil er trykspændingen i MPa. er belastningen i N. er tværsnitsarealet i mm2 . er materialets tilladelige trykspænding i MPa − tabel 7.2. Skal du dimensionere og bestemme tværsnitsarealet A, foregår det på samme måde som ved træk. Du ser på højre-siden af styrkebetingelsen og løser uligheden med hensyn til A. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 303 21-01-2013 15:04:18 304 Statik og styrkelære · Maskinelementer Du får hermed følgende dimensioneringsformel: A≥ N σtil hvor A er det nødvendige tværsnitsareal i mm2 . N er belastningen i N. σtil er materialets tilladelige trækspænding i MPa − tabel 7.22. I tabel 7.2 har du givet en over tilladelige trykspændinger i MPa for forskellige materialer afhængig af belastningens karakter. Materiale Belastningens karakter Rolig Varierende Vekslende St 37-2 125 80 60 St 50-2 175 115 80 St 70-2 260 170 115 GS-45 138 88 58 GG-25 190 118 43 GAlSi12 50 22 17 AlCuMg1 135 60 45 AlMg3 100 68 56 Tabel 7.2 Tilladelige trykspændinger i MPa til anvendelse ved overslagsberegninger. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 304 21-01-2013 15:04:20 Forskydningspåvirkede maskinelementer 305 Forskydningspåvirkede maskinelementer Figur 7.10 Har du givet et forskydningspåvirket maskinelemnet som vist på figur 7.10, skal det opfylde følgende styrkebetingelse: τ= V ≤ τ til A hvor τ er forskydningsspændingen i MPa . V er belastningen i N. A er tværsnitsarealet i mm 2 . τ til er materialets tilladelige forskydningsspænding i MPa − tabel 7.3. Skal du dimensionere og bestemme tværsnitsarealet, ser du på højresiden af styrkebetingelsen og løser uligheden med hensyn til A, hermed får du følgende dimensioneringsformel: A≥ V τ til hvor A er det nødvendige tværsnitsareal i mm2 . V er belastningen i N. τ til er materialets tilladelige forskydningsspænding i MPa − tabel 7.3. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 305 21-01-2013 15:04:23 306 Statik og styrkelære · Maskinelementer I tabel 7.3 har du givet en oversigt over tilladelige forskydningsspændinger i MPa for forskellige materialer afhængig af belastningens karakter. Materiale Belastningens karakter Rolig Varierende Vekslende St 37-2 100 65 48 St 50-2 140 90 65 St 70-2 210 135 90 GS-45 100 70 45 GAlSi12 30 16 12 AlCuMg1 105 48 35 AlMg3 80 55 42 Tabel 7.3 Tilladelige forskydningsspændinger i MPa til anvendelse ved overslagsberegninger. Bøjningspåvirkede maskinelementer Figur 7.11 Har du et bøjningspåvirket maskinelement som vist på figur 7.11, skal det opfylde følgende styrkebetingelse: σb = M ≤ σbtil Wx hvor σb er bøjningsspændingen i MPa. M er bøjningsmomentet i Nmm. Wx er tværsni!ets modstandsmoment i mm 3 . σbtil er materialets tilladelige bøjningsspænding i MPa − tabel 7.4. Skal du dimensionere og bestemme tværsnittets modstandsmoment W, ser du på højre-siden af styrkebetingelsen og løser uligheden med hensyn til W. Hermed får du følgende dimensioneringsformel: 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 306 21-01-2013 15:04:25 Bøjningspåvirkede maskinelementer Wx ≥ 307 M σbtil hvor Wx er tværsnittets nødvendige modstandsmoment i mm 3 . M er bøjningsmomentet i Nmm. σtil er materialets tilladelige bøjningsspænding i MPa − tabel 7.4. I tabel 7.4 har du givet en oversigt over tilladelige bøjningsspændinger i MPa for forskellige materialer afhængig af belastningens karakter. Materiale Belastningens karakter Rolig Varierende Vekslende St 37-2 140 85 65 St 50-2 185 125 85 St 70-2 285 185 115 GS-45 138 88 63 GAlSi12 43 24 17 AlCuMg1 143 60 45 AlMg3 112 73 56 Tabel 7.4 Tilladelige bøjningsspændinger i MPa til anvendelse ved overslagsberegninger. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 307 21-01-2013 15:04:27 308 Statik og styrkelære · Maskinelementer Torsionspåvirkede maskinelementer Figur 7.12 Har du et torsionspåvirket maskinelement som vist på figur 7.12, skal det opfylde følgende styrkebetingelse: τt = T ≤ τ ttil Wp hvor τt T er torsionsspændingen i MPa. er torsionsmomentet i Nmm. T =F⋅a Er det en aksel , der overfØrer en effekt P i W (Watt ) ved et omdrejningstal n ( omdr. / min), bestemmes T af : T = 9550 ⋅ P n ( Nmm) Wp er tværsnittets polære modstandsmoment i mm 3 . τ ttil er materialets tilladelige torsionsspænding i MPa − tabel 7.5. Skal du dimensionere og bestemme det polære modstandsmoment Wp, ser du på højre-siden af styrkebetingelsen og løser uligheden med hensyn til Wp. Du får hermed følgende dimensioneringsformel: Wp ≥ T τ ttil hvor Wp er tværsnittets nødvendige polære modstandsmoment i mm 3 . T er torsionsmomentet i Nmm. τ ttil er materialets tilladelige torsionsspænding i MPa − tabel 7.5. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 308 21-01-2013 15:04:27 Fladetryk 309 I tabel 7.5 har du givet en oversigt over tilladelige torsionsspændinger i MPa for forskellige materialer afhængig af belastningens karakter. Materiale Belastningens karakter Rolig Varierende Vekslende St 37-2 80 50 37 St 50-2 105 70 50 St 70-2 160 105 75 GS-45 80 50 38 GAlSi12 30 22 12 AlCuMg1 80 40 27 AlMg3 50 36 25 Tabel 7.5 Tilladelige torsionsspændinger i MPa til anvendelse ved overslagsberegninger. Fladetryk Ud over de fem grundbelastningstyper, som du har fået gennemgået i de foregående afsnit, vil du ofte komme ud for at skulle styrkeberegne og dimensionere for et fladetryk fx i forbindelse med en stift- eller bolteforbindelse. Ved et fladetryk forstår du den trykpåvirkning, der opstår mellem to flader under påvirkning af en kraft N som vist på figur 7.13 og figur 7.14. Figur 7.13 Figur 7.14 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 309 21-01-2013 15:04:27 310 Statik og styrkelære · Maskinelementer Styrkebetingelsen for et fladetryk kan du udtrykke i følgende styrkebetingelse: p= N ≤ ptil A hvor p er fladetrykket i MPa. N er belastningen i N. A er trykarealet i mm2 . For fig. 7.13 er A = a · b. For fig. 7.14 er A = d · b, A for runde elementer (aksler, bolte mv.) regnes lig med det projicerede areal. ptil er materialets tilladelige fladetryk i MPa – tabel 7.6. Skal du dimensionere og bestemme trykfladearealet A, ser du på højresiden af styrkebetingelsen og løser uligheden med hensyn til A. Du får hermed følgende dimensioneringsformel: A≥ N ptil hvor A er det nødvendige trykfladeareal i mm 2 . N er belastningen i N. ptil er materialets tilladelige i MPa − tabel 7.6. I tabel 7.6 har du givet en oversigt over tilladelige fladetryk i MPa for forskellige materialer afhængig af belastningens karakter. Materiale Belastningens karakter Rolig Varierende Vekslende St 37-2 100 75 40 St 50-2 120 95 60 Stålstøbegods 85 65 30 Støbejern 70 50 25 Bronze, messing 40 30 25 Tabel 7.6 Tilladelige fladetryk i MPa til anvendelse ved overslagsberegninger. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 310 21-01-2013 15:04:28 Fremgangsmåde ved gennemførelse af en styrkeberegning 311 Fremgangsmåde ved gennemførelse af en styrkeberegning Når du skal i gang med en styrkeberegning, kan du benytte følgende generelle fremgangsmåde: 1. Du bestemmer de ”svage” tværsnit. Med udgangspunkt i tegning eller skitser finder du frem til de ”svage” tværsnit. 2. Du bestemmer belastningens art og karakter. Du analyserer de ”svage” tværsnit og bestemmer belastningens art og karakter netop her. 3. Du bestemmer snitkræfterne. Du analyserer de ”svage” tværsnit og bestemmer snitkræfterne netop her. 4. Du gennemfører styrkeberegningen. Du bestemmer de tilladelige spændinger med udgangspunkt i belastningens art og karakter og det valgte konstruktionsmateriale. EKSEMPEL 7.01 Du har givet et beslag, der er udformet og med dimensioner som vist på figur 7.15. Belastningen N = 20 kN og kan regnes at virke varierende. Materialet er St 37-2. Figur 7.15 a) Du skal foretage en spændingsundersøgelse af beslaget. b) Du skal foretage en spændingsundersøgelse af svejsningerne. a) Du kan benytte den førnævnte fremgangsmåde ved gennemførelse af styrkeberegning. 1. Det ”svageste” tværsnit går gennem boltehullet som vist ved mærket a-a på figur 7.15. 2. Belastningens art er træk, og belastningens karakter er varierende jf. opgavetekst. 3. Belastningen = Snitkræften og N = 20 kN. 4. Den tilladelige trækspænding σtil = 80 MPa, som du finder i tabel 7.1. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 311 21-01-2013 15:04:28 312 Statik og styrkelære · Maskinelementer Du anvender styrkebetingelsen for et trækpåvirket maskinelement: σ= N ≤ σtil A σ= 20 ⋅ 10 3 ≤ σtil = 80 (60 − 10) ⋅ 6 σ = 66 , 67 MPa < σtil = 80 MPa Du kan konstatere, at styrkebetingelsen er opfyldt. Figur 7.16 b) 1. Det svejste areal får udseende som vist på figur 7.16. 2. 2,3 og 4. Her gælder det samme som for beslaget, så du kan indsætte i styrkebetingelsen: σ= 20 ⋅ 10 3 ≤ σtil = 80 2 ⋅ 4 ⋅ 60 σ = 41, 67 MPa < σtil = 80 MPa Du kan også her konstatere, at styrkebetingelsen er opfyldt. EKSEMPEL 7.02 Du har givet et beslag, der er udformet og med dimensioner som vist på figur 7.17. Belastningen V = 4,1 kN og kan regnes at virke varierende. Materialet er St 37-2. Figur 7.17 a) Du skal foretage en spændingsundersøgelse af beslaget. b) Du skal foretage en spændingsundersøgelse af svejsningerne. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 312 21-01-2013 15:04:29 Fremgangsmåde ved gennemførelse af en styrkeberegning 313 a) Du benytter fremgangsmåden ved gennemførelse af en styrkeberegning. 1. Det ”svageste” tværsnit er umiddelbart uden for svejsningerne ved mærket a-a på figur 7.17. 2. Det ”svage” tværsnit er udsat for både bøjning og forskydning. Belastningen er varierende jf. opgavetekst. 3. Belastningen V = 4,1 kN. 4. Den tilladelige bøjningsspænding σbtil = 85 MPa, som du finder i tabel 7.4. Den tilladelige forskydningsspænding τtil = 65 MPa, som du finder i tabel 7.3. Du starter med bøjning, og anvender styrkebetingelsen: σb = σb = M ≤ σbtil Wx 4 , 1 ⋅ 10 3 ⋅ ( 256 − 6) ≤ σbtil = 85 ? 1 ⋅ 12 ⋅ 60 2 6 σb = 142 , 4 MPa > σbtil = 85 MPa Det gik galt! Du har to muligheder. Du kan anvende et andet materiale med større tilladelig bøjningsspænding. Du kan også anvende et profil med et større tværsnitsareal. Du kan vælge det sidste og forsøge med et profil med tværsnitsdimension 12 · 80 mm. σb = 4 , 1 ⋅ 10 3 ⋅ ( 256 − 6) ≤ σbtil = 85 ? 1 ⋅ 12 ⋅ 80 2 6 σb = 80 , 07 MPa < σbtil = 85 MPa Det gik jo godt, så du kan gå videre og se på styrkebetingelsen for et forskydningspåvirket maskinelement: τ= τ= V ≤ τ til A 4 , 1 ⋅ 10 3 12 ⋅ 80 2 ≤ τ til = 65 ? τ = 4 , 27 MPa < τ til = 65 MPa Du kan konstatere, at styrkebetingelsen er opfyldt, så dimensionen 12 · 80 mm fastholdes. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 313 21-01-2013 15:04:30 314 Statik og styrkelære · Maskinelementer b) Figur 7.18 1. Med den nye dimension, får det svejste areal udseende som vist på figur 7.18. 2,3 og 4. Her gælder det samme som for beslaget, så du kan indsætte i styrkebetingelsen for bøjning: σb = 4 , 1 ⋅ 10 3 ⋅ 256 ≤ σbtil = 85 ? 1 2 ⋅ 12 ⋅ 80 6 σb = 82 MPa < σbtil = 85 MPa Du fortsætter med forskydning: τ= 4 , 1 ⋅ 10 3 ≤ τ til = 65 ? 2 ⋅ 6 ⋅ 80 τ = 4 , 27 MPa < τ til = 65 MPa Du kan konstatere, at styrkebetingelserne for henholdsvis bøjning og forskydning er opfyldt. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 314 21-01-2013 15:04:32 Fremgangsmåde ved gennemførelse af en styrkeberegning 315 EKSEMPEL 7.03 Du har givet en koblingspart som vist på figur 7.19, der fastholdes ved hjælp af 8 pasbolte M12, kvalitetsklasse 5.6. Koblingen skal overføre et varierende torsionsmoment T = 9,8 kNm. Koblingsparterne er udført af støbejern GG25. Figur 7.19 Du skal undersøge, om pasboltene kan overføre den givne belastning. Du følger fremgangsmåden for styrkeberegning af et maskinelement: 1. De ”svage” tværsnit. Du skal undersøge tværsnittet, mærket ”a” og fladen, mærket ”b”. 2. Bestemmelse af belastningen art og karakter. 3. Tværsnittet, mærket ”a” er udsat for forskydning, og karakteren af belastningen er varierende jf. opgavetekst. Fladen, mærket ”b” er udsat for et fladetryk, og karakteren af belastningen er varierende jf. opgavetekst. 4. Bestemmelse af snitkræfter. Koblingen skal overføre et torsionsmoment, som du kan udtrykke: T=V ⋅ d 2 hvor V er den samlede belastning på boltene. Du bestemmer V: T V= d 2 2 ⋅T V= d 2 ⋅ 9 , 8 ⋅ 10 3 V= 0 , 250 V = 78400 N = 78 , 4 kN 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 315 21-01-2013 15:04:32 316 Statik og styrkelære · Maskinelementer Du kan bestemme belastningen pr. bolt: Vbolt = 78 , 4 8 Vbolt = 9 , 8 kN 5. Du kan gennemføre styrkeberegningerne. Du skal have bestemt de tilladelige styrketal. Den tilladelige forskydningsspænding τtil = 90 MPa, som du finder i tabel 7.3, idet boltkvalitet 5.6 svarer til St 50-2. Det tilladelige fladetryk ptil = 50 MPa, som du finder i tabel 7.6, idet koblingsparterne er udført af GG25, der styrkemæssigt er ringere end det materiale, som boltene er udført af. Du starter med tværsnit ”a” og anvender styrkebetingelsen for et forskydningspåvirket maskinelement: τ= τ= V ≤ τ til A 9 , 8 ⋅ 10 3 ≤ τ til = 90 ? π ⋅ 12 2 4 τ = 86 , 65 MPa < τ til = 90 MPa Du går videre og ser på fladen, mærket ”b” og anvender styrkebetingelsen for fladetryk: p= N ≤ ptil A p= 9 , 8 ⋅ 10 3 ≤ ptil = 50 ? 20 ⋅ 12 p = 40 , 83 MPa < ptil = 50 MPa Du kan konstatere, at begge styrkebetingelserne er opfyldt. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 316 21-01-2013 15:04:39 Fremgangsmåde ved gennemførelse af en styrkeberegning 317 EKSEMPEL 7.04 Gennemgående eksempel – reaktioner og momenter i de ”farlige snit” er bestemt i eksempel 2.15. Du har givet en mellemaksel i en gearkasse, som er udformet som vist på figur 7.20. Akslens materiale er St 50-2. Figur 7.20 Du skal foretage en overslagsberegning og bestemme de nødvendige akseldiametre i de fire ”farlige snit”. Du følger fremgangsmåden ved gennemførelse af styrkeberegning af et maskinelement. 1. De fire ”farlige snit” er angivet på figur 7.20. 2. Belastningens art og karakter. Akslen er påvirket til bøjning, og da akslen er roterende, er karakteren vekslende. M1 = 115,02 kNmm M2 = 926,55 kNmm M3 = 645,15 kNmm M4 = 89,76 kNmm 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 317 21-01-2013 15:04:40 318 Statik og styrkelære · Maskinelementer 3. Du kan gennemføre overslagsberegningerne og benytter dimensioneringsformlen: W≥ M σbtil Modstandsmoment for en cirkel med diameter d kan udtrykkes: W = 0,1 · d³ σbtil = 85 MPa, som du finder i tabel 7.4. Du indsætter og får: d≥ M 0 , 1 ⋅ σbtil 3 d1 ≥ d2 ≥ d3 ≥ d4 ≥ 3 115 , 02 ⋅ 10 3 : 0 , 1 ⋅ 85 d1 ≥ 23 , 83 mm 926 , 55 ⋅ 10 3 : 0 , 1 ⋅ 85 d2 ≥ 47 , 77 mm 645 , 02 ⋅ 10 3 : 0 , 1 ⋅ 85 d3 ≥ 42 , 34 mm 89 , 76 ⋅ 10 3 : 0 , 1 ⋅ 85 d4 ≥ 21, 94 mm 3 3 3 OPGAVE 167 Du har givet et stykke fladstål med tværsnitsdimension 8 · 20 mm, som er svejst til en plade som vist på figur 7.21. Belastningen V = 520 N og kan regnes at virke varierende. Materialet er St 37-2. Figur 7.21 a) Du skal foretage en spændingsundersøgelse af tværsnittet. b) Du skal foretage en spændingsundersøgelse af svejsningerne. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 318 21-01-2013 15:04:41 Fremgangsmåde ved gennemførelse af en styrkeberegning 319 OPGAVE 168 Du har givet en aksel, som gennem en koblingspart får overført en effekt P = 65 kW ved et omdrejningstal n = 1000 omdr/min som vist på figur 7.22. Akslens materiale er St 50-2. Figur 7.22 a) Du skal bestemme belastningens art og karakter. b) Du skal ved en overslagsberegning bestemme den nødvendige akseldiameter d. OPGAVE 169 Du har givet en gaffelboltforbindelse, der er udformet og med dimensioner som vist på figur 7.23. Belastningen V = 11 kN og regnes at virke varierende. Bolten er fremstillet af materiale St 50-2, mens gaflen er fremstillet af støbejern. Figur 7.23 Du skal foretage en styrkeundersøgelse af forbindelsen. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 319 21-01-2013 15:04:41 320 Statik og styrkelære · Maskinelementer OPGAVE 170 Du har givet en roterende aksel, der er udformet og med dimensioner som vist på figur 7.24. Belastningen F = 96 kN, og akslen er fremstillet af materiale St 50-2. Figur 7.24 a) Du skal bestemme reaktionerne i A og B. b) Du skal bestemme momenterne i de ”farlige snit”, mærket ”1”, ”2”, ”3”, ”4” og ”5” og tegne momentkurven. c) Du skal ved en overslagsberegning bestemme de nødvendige akseldiametre i de viste ”farlige snit”. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 320 21-01-2013 15:04:42 Resume 7. kapitel 321 Resume 7. kapitel Træk- eller trykpåvirkede maskinelementer Styrkebetingelse: σ= N ≤ σtil A Dimensionering: N A≥ σtil Forskydningspåvirkede maskinelementer Styrkebetingelse: τ= V ≤ τ til A Dimensionering: A≥ V τ til Bøjningspåvirkede maskinelementer Styrkebetingelse: M ≤ σbtil σb = Wx Dimensionering: M Wx ≥ σbtil Torsionspåvirkede maskinelementer Styrkebetingelse: T τt = ≤ τ ttil Wp Dimensionering: T Wp ≥ τ ttil Fladetryk Styrkebetingelse: N P = ≤ ptil A Dimensionering: N A≥ ptil 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 321 21-01-2013 15:04:44 322 Statik og styrkelære · Maskinelementer Fremgangsmåde ved gennemførelse af en styrkeberegning 1. 2. 3. 4. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 322 Bestemmelse af de “svage” tværsnit. Bestemmelse af belastningens art og karakter. Bestemmelse af snitkræfter. Gennemførelse af styrkeberegningen. 21-01-2013 15:04:44 323 Opgaver 8 OPGAVE 171 Du har givet en byrde med en masse på 600 kg, der er ophængt i to tovparter som vist på figur 8.01. Figur 8.01 Du skal bestemme trækkræfterne i de to tovparter AC og BC. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 323 21-01-2013 15:04:48 324 Statik og styrkelære · Opgaver OPGAVE 172 Du har givet en byrde med masse 500 kg, der er ophængt i et stangsystem som vist på figur 8.02. Figur 8.02 Du skal bestemme trækkræfterne i de to stænger AC og BC. OPGAVE 173 Du har givet en knæledsmekanisme, der bliver fastholdt i en stilling som vist på figur 8.03. Belastningen F = 3 kN. Figur 8.03 a) Du skal bestemme trykkræfterne i stængerne AC og BC. b) Du skal bestemme den horisontale trykpåvirkning H på stemplet. OPGAVE 174 Du har givet fire kræfter, der er indlagt i et koordinatsystem. Alle fire kræfter udgår fra punktet (0,0). F1 = 4 MN, F2 = 3 MN, F3 = 2 MN og F4 = 5 MN. Kræfterne danner følgende vinkler med x-aksens positive del. v1 = 19º, v2 = 62º, v3 = 148º og v4 = 230º. Du skal bestemme resultantens størrelse og den vinkel, resultanten danner med x-aksen. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 324 21-01-2013 15:04:49 325 OPGAVE 175 Du har givet en situation, hvor et søm trækkes ud ved hjælp af en hammer som vist på figur 8.04. Kraftpåvirkningen F = 50 N, og afstande er i cm. Figur 8.04 Du skal bestemme den udtrækkende kraft på sømmet under forudsætning af, at der er ligevægt. OPGAVE 176 Du har givet en situation, hvor du har en knibtang, der skal anvendes til at ”klippe” en skrue midt over som vist på figur 8.05. Til ”klipningen” skal der anvendes en kraft på 1,1 kN. Afstande er i mm. Figur 8.05 Du skal bestemme størrelsen af kraften F. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 325 21-01-2013 15:04:51 326 Statik og styrkelære · Opgaver OPGAVE 177 Du har givet fire simpelt understøttede bjælker som vist på figur 8.06, figur 8.07, figur 8.08 og figur 8.09. hvor alle mål er i meter. Figur 8.06 Figur 8.07 Figur 8.08 Figur 8.09 Du skal for hver af bjælkerne bestemme følgende: a) Beregningsmodel. b) Reaktionerne. c) N-kurve d) V-kurve. e) M-kurve. OPGAVE 178 Du har givet fire indspændte bjælker som vist på figur 8.10, figur 8.11, figur 8.12 og figur 8.13, hvor alle mål er i meter. Figur 8.10 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 326 21-01-2013 15:04:51 327 Figur 8.11 Figur 8.12 Figur 8.13 For hver af bjælkerne skal du bestemme følgende: a) Beregningsmodel. b) Reaktionerne. c) N-kurve. d) V-kurve. e) M-kurve. OPGAVE 179 Du har givet fire bjælker, der er understøttet og belastet som vist på figur 8.14, figur 8.15, figur 8.16 og figur 8.17. Alle mål er i meter. Figur 8.14 Figur 8.15 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 327 21-01-2013 15:04:51 328 Statik og styrkelære · Opgaver Figur 8.16 Figur 8.17 For hver af bjælkerne skal du bestemme følgende: a) Beregningsmodel. b) Reaktionerne. c) N-kurve. d) V-kurve. e) M-kurve. OPGAVE 180 Du har givet et konstruktionselement, der er påvirket af både horisontale og vertikale kræfter som vist på figur 8.18. F1v = 3250 N, F2v = 8750 N, F1H = 6330 N og F2H = 1225 N. Afstande er i mm. Figur 8.18 a) b) c) d) 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 328 Du skal bestemme reaktionerne VA, VB, HA og HB. Du skal tegne momentkurve for den vertikale belastning. Du skal tegne momentkurve for den horisontale belastning. Du skal bestemme de resulterende momenter i A og B. 21-01-2013 15:04:52 329 OPGAVE 181 Du har givet tre vægdrejekraner, der er opbygget og belastet som vist på figur 8.19, figur 8.20 og figur 8.21. Belastningen F = 5 kN og mål er i meter. Figur 8.19 Figur 8.20 Figur 8.21 Du skal for hver de tre vægdrejekraner bestemme følgende: a) Reaktionerne. b) Samtlige stangkræfter og angive, om der er træk- eller trykstænger. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 329 21-01-2013 15:04:52 330 Statik og styrkelære · Opgaver OPGAVE 182 Du har givet en portalkran, der er opbygget som en gitterkonstruktion og understøttet og belastet som vist på figur 8.22. Mål er i meter. Figur 8.22 a) Du skal bestemme reaktionerne. b) Du skal bestemme stangkræfterne i stængerne mærket 1, 2 og 3 og angive, om der er træk- eller trykstænger. OPGAVE 183 Du har givet en tagkonstruktion, hvori der indgår et spærfag, som er opbygget og belastet som vist på figur 8.23. Mål er i meter. Figur 8.23 a) Du skal bestemme reaktionerne. b) Du skal bestemme samtlige stangkræfter og angive, om der er trækeller trykstænger. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 330 21-01-2013 15:04:52 331 OPGAVE 184 Du har givet et stanseværktøj, hvor snitpladen er udformet som vist på figur 8.24a. Mål er i mm. Udstansningen af emnet, som er vist på figur 8.24b, foregår i to trin. I 1.trin udstanses de tre huller, og i 2.trin den resterende del af emnet. Figur 8.24a og b For at sikre en ensartet trykfordeling ved udstansningen, skal du bestemme linjetyngdepunktets beliggenhed. OPGAVE 185 Du har givet et stangsystem, der er ophænget og belastet som vist på figur 8.25. Belastningen G = 10 kN, og stængerne er udført af rundstål med diameter d = 8 mm. Figur 8.25 a) Du skal bestemme trækkræfterne i stængerne, mærket ”1” og ”2”. b) Du skal bestemme trækspændingen i hver af stængerne. c) Du skal bestemme forlængelsen i hver af stængerne. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 331 21-01-2013 15:04:52 332 Statik og styrkelære · Opgaver OPGAVE 186 Du har givet en lejebuk, som er udformet og belastet som vist på figur 8.26. Belastningen F = 4 kN, og mål er i mm. Lejebukken skal undersøges i det angivne snit, som er vist på figur 8.27. Figur 8.26 Figur 8.27 a) b) c) d) Du skal bestemme tyngdepunktets beliggenhed. Du skal bestemme inertimomentet om bøjningsaksen. Du skal bestemme modstandsmomentet om bøjningsaksen. Du skal bestemme bøjningsspændingerne. OPGAVE 187 Du har givet en trækstang, der er centralt regningsmæssigt belastet med NEd = 320 kN. Til stangen skal der anvendes middelsvært gevindrør af konstruktionsstål S235. a) Du skal bestemme en passende dimension. b) Du skal foretage styrkeundersøgelse af den valgte dimension. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 332 21-01-2013 15:04:52 333 OPGAVE 188 Du har givet en centralt påvirket trækstang i en gitterkonstruktion, der er regningsmæssigt belastet med NEd = 129 kN. Trækstangen skal udføres af to stykker ligefligede vinkelstål som vist på figur 8.28. Trækstangen skal udføres af konstruktionsstål S235. Figur 8.28 a) Du skal bestemme en passende dimension på vinkelstålene. b) Du skal foretage en styrkeundersøgelse af den valgte dimension. OPGAVE 189 Du har givet en 4,3 meter høj, simpelt understøttet søjle, der er regningsmæssigt belastet med F = 400 kN. Til søjlen skal anvendes et HE-serie B profil af konstruktionsstål S235. Du skal bestemme en passende dimension og foretage en styrkeundersøgelse. OPGAVE 190 Du har givet tre stykker middelsvært gevindrør med diameter d = 80 mm, som er sammensat til et profil som vist på figur 8.29. Det sammensatte profil anvendes som en simpelt understøttet søjle med længde 3,8 m. Materialet er konstruktionsstål S235. Figur 8.29 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 333 21-01-2013 15:04:53 334 Statik og styrkelære · Opgaver a) Du skal bestemme tyngdepunktets beliggenhed for det sammensatte profil. b) Du skal bestemme inertimomentet om henholdsvis den vandrette og lodrette tyngdeakse. c) Du skal bestemme søjlens maksimale regningsmæssige belastning. OPGAVE 191 Du har givet en konstruktion, hvori der indgår en kombination af en bjælke og søjle, der regningsmæssigt er belastet som vist på figur 8.30. Til både bjælke og søjle skal der anvendes HE-serie B profiler, og materialet skal være konstruktionsstål S235. Figur 8.30 a) b) c) d) e) Du skal bestemme reaktionerne på bjælken. Du skal tegne V- og M-kurver for bjælken. Du skal bestemme en passende dimension til bjælken. Du skal foretage en styrkeundersøgelse af den valgte dimension. Du skal bestemme en passende dimension til søjlen og foretage en styrkeundersøgelse af den valgte dimension. OPGAVE 192 Du har givet en indspændt bjælke, der er regningsmæssigt belastet som vist på figur 8.31. Til bjælken skal der anvendes et HE-serie B profil af konstruktionsstål S235. Mål er i meter. Figur 8.31 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 334 21-01-2013 15:04:53 335 a) b) c) d) e) Du skal tegne beregningsmodel. Du skal bestemme reaktionerne. Du skal bestemme V- og M-kurve. Du skal bestemme en passende dimension til bjælken. Du skal foretage en styrkeundersøgelse af den valgte dimension. OPGAVE 193 Du har givet en konstruktion, hvori der indgår en trækstang, der er påvirket centralt med en P-last og NEd = 14 kN. Trækstangen er udført af konstruktionstræ C24, og tværsnittet har dimensionen 25 · 100 mm. Konstruktionen kan henregnes til anvendelsesklasse 3. Du skal foretage en styrkeundersøgelse af trækstangen. OPGAVE 194 Du har givet en konstruktion, der kan henregnes til anvendelsesklasse 2. I konstruktionen indgår en trækstang, der er centralt regningsmæssigt belastet med NEd = 81 kN (P-last). Stangens tværsnit skal være kvadratisk, og der skal anvendes konstruktionstræ C24. a) Du skal bestemme en passende dimension til trækstangen. b) Du skal foretage en styrkeundersøgelse af den valgte dimension. OPGAVE 195 Du har givet en søjle, der anvendes i en konstruktion, der kan henregnes til anvendelsesklasse 2. Søjlen er regningsmæssigt påvirket af en kraft NEd = 37 kN (P-last). Søjlen er simpelt understøttet, og længden er 3,8 meter. Tværsnittet skal være kvadratisk, og der skal anvendes konstruktionstræ C24. Du skal bestemme en passende dimension og foretage en styrkeundersøgelse. OPGAVE 196 Du har givet en 2,2 meter høj, simpelt understøttet søjle, der har tværsnitsdimension 100 · 100 mm og udført af konstruktionstræ C24. Søjlen anvendes i en konstruktion, der kan henregnes til anvendelsesklasse 3. Du skal bestemme søjlens maksimale regningsmæssige belastning (P-last). 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 335 21-01-2013 15:04:53 336 Statik og styrkelære · Opgaver OPGAVE 197 Du har givet en simpelt understøttet bjælke, der regningsmæssigt er belastet (P-last) som vist på figur 8.32. Bjælken indgår i en konstruktion, der kan henregnes til anvendelsesklasse 2. Bjælken ønskes udført af konstruktionstræ C24. Figur 8.32 a) b) c) d) e) Du skal tegne beregningsmodel. Du skal bestemme reaktionerne. Du skal bestemme V- og M-kurve. Du skal bestemme en passende dimension til bjælken. Du skal foretage en styrkeundersøgelse af den valgte dimension. OPGAVE 198 Du har givet en simpelt understøttet bjælke, der er belastet med en enkeltkraft NEd (P-last) midt på bjælken som vist på figur 8.33. Bjælken indgår i en konstruktion, der kan henregnes til anvendelsesklasse 2. Figur 8.33 Du skal bestemme den maksimale regningsmæssige belastning NEd, når: a) Tværsnittet er rektangulært 63 · 150 mm, og materialet er konstruktionstræ C24. b) Tværsnittet er kvadratisk 100 · 100 mm, og materialet er konstruktionstræ C24. c) Tværsnittet er rektangulært 65 · 133 mm, og materialet er konstruktionstræ C30. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 336 21-01-2013 15:04:55 337 OPGAVE 199 Du har givet en hylde i et lagersystem, som du kan opfatte som et simpelt understøttet konstruktionselement, som er belastet som vist på figur 8.34. Figur 8.34 Hylden fremstilles af to mm tyk plade af St 37-2, som bukkes i en facon, så tværsnittet får udseende som vist på figur 8.35. Mål er i mm. Figur 8.35 a) Du skal bestemme tyngdepunktet for tværsnittet. b) Du skal bestemme inertimomentet om den vandrette tyngdeakse. c) Du skal bestemme modstandsmomentet om den vandrette tyngdeakse. d) Du skal bestemme den maksimale belastning p N/m på hylden under hensyntagen til materialet tilladelige bøjningsspænding. e) Du skal bestemme den maksimale belastning p N/m på hylden under hensyntagen til, at nedbøjningen midt på hylden højst må være 0,6 mm. OPGAVE 200 Du har givet et beslag med pladetykkelse 8 mm, som er svejst til en plade som vist på figur 8.36. Materialet er St 37-2 og belastningen F = 6 kN og kan regnes at virke varierende. Figur 8.36 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 337 21-01-2013 15:04:55 338 Statik og styrkelære · Opgaver a) Du skal foretage en styrkeundersøgelse af pladetværsnittet, mærket a- a. b) Du skal foretage en styrkeundersøgelse af svejsningerne. Du skal nu regne med, at belastningen F = 6 kN virker som vist på figur 8.37. Øvrige oplysninger er uændrede. Figur 8.37 c) d) e) f) g) h) 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 338 Du skal bestemme inertimomentet af det svejste areal. Du skal bestemme modstandsmomentet af det svejste areal. Du skal bestemme bøjningsspændingen i svejsningerne. Du skal bestemme forskydningsspændingerne i svejsningerne. Du skal foretage en styrkeundersøgelse af svejsningerne. Du skal foretage en styrkeundersøgelse af pladetværsnittet. 21-01-2013 15:05:01 339 OPGAVE 201 Du har givet en konsol, som er opbygget af to stykker plade, som er svejst til en søjle som vist på figur 8.38. Belastningen F = 65 kN, som kan regnes at virke varierende. Materialet er St 37-2. Figur 8.38 I forbindelse med en undersøgelse af svejsningerne, er det svejste areal skitseret som vist på figur 8.39, hvor alle mål er i mm. Figur 8.39 a) Du skal bestemme tyngdepunktets beliggenhed for det svejste areal. b) Du skal bestemme inertimomentet om den vandrette tyngdeakse. c) Du skal bestemme modstandsmomentet om den vandrette tyngdeakse. d) Du skal foretage en styrkeundersøgelse af pladetværsnittet. e) Du skal foretage en styrkeundersøgelse af svejsningerne. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 339 21-01-2013 15:05:01 340 Statik og styrkelære · Opgaver OPGAVE 202 Du har givet en kobling, der sammenspændes med 6 pasbolte M12 i kvalitetsklasse 8.8 som vist på figur 8.40. Koblingen er fremstillet af materiale St 37-2 og skal overføre en effekt P = 70 kW ved et omdrejningstal n = 300 omdr/min. Belastningen kan regnes at virke varierende. Figur 8.40 a) Du skal kontrollere fladetrykket. b) Du skal kontrollere forskydningsspændingen i boltene. OPGAVE 203 Du har givet en roterende aksel, som er udformet, belastet og lejret som vist på figur 8.41. Akslen er fremstillet af materiale St 50-2. Mål er i mm. Figur 8.41 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 340 21-01-2013 15:05:02 341 a) Du skal bestemme reaktionerne, idet de regnes at virke midt i lejerne. b) Du skal bestemme momenterne i de ”farlige snit”, mærket 1 og 2. c) Du skal bestemme påvirkningens art og karakter i det to snit, mærket 1 og 2. d) Du skal ved en overslagsberegning bestemme akseldiametrene i de to viste snit, mærket 1 og 2. OPGAVE 204 Du har givet en aksel, der er påkrympet en tovskive som vist på figur 8.42. I forbindelse med en løfteopgave bliver tovskiven påvirket med kraft F = 30 kN. Akslen er fremstillet af materiale St 50-2, og mål er i mm. Figur 8.42 a) Du skal bestemme den resulterende kraftpåvirkning på akslen. b) Du skal bestemme reaktionerne. c) Du skal bestemme momenterne i de ”farlige snit”, mærket 1, 2, 3, 4 og 5. d) Du skal tegne momentkurven. e) Du skal bestemme påvirkningens art og karakter på akslen i de fem snit, mærket 1, 2, 3, 4 og 5. f) Du skal ved overslagsberegning bestemme akseldiametrene i de fem viste snit, mærket 1, 2, 3, 4 og 5. 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 341 21-01-2013 15:05:05 342 Statik og styrkelære · Opgaver OPGAVE 205 Du har givet en aksel i en gearkasse, der er udformet, lejret og påvirket som vist på figur 8.43. F1= 7,3 kN og F2 = 6,8 kN. Akslen er udført af materiale St 50-2, og mål er i mm. Endvidere skal akslen overføre en effekt P = 40 kW ved et omdrejningstal n = 800 omdr/min. Figur 8.43 a) Du skal bestemme reaktionerne. b) Du skal tegne momentkurve. c) Du skal bestemme momenterne i de ”farlige snit”, mærket 1, 2, 3, 4 og 5. d) Du skal bestemme påvirkningens art og karakter i de viste fem snit, mærket 1, 2, 3, 4 og 5. e) Du skal ved en overslagsberegning bestemme akseldiametrene i de fem viste snit, mærket 1, 2, 3, 4 og 5 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 342 21-01-2013 15:05:06 343 Bjælkeformler I det følgende er angivet seks af de hyppigst forekommende bjælketyper med: HaWXefg§ga\aZfYbe`bZUX_Tfga\aZ! I bZ@ ^heiXe! 9be`_XeYbeUXeXZa\aZTYeXT^g\baXe`b`XagXebZaXWU§]a\aZXe! Simpelt understøttet bjælke med enkeltkraft på midten Reaktioner: V A = VB = F 2 Moment: 1 M max = ⋅ F ⋅ L 4 V Nedbøjning: umax = F ⋅ L3 48 ⋅ E ⋅ I Simpelt understøttet bjælke belastet med en jævnt fordelt belastning Reaktioner: V A = VB = p⋅L 2 Moment: 1 M max = ⋅ p ⋅ L2 8 V Nedbøjning: umax = 5 ⋅ p ⋅ L4 348 ⋅ E ⋅ I Indspændt bjælke belastet med en enkeltkraft Reaktioner: VA = F MA = F ⋅ L Moment: V M max = −F ⋅ L Nedbøjning: 3 umax = F⋅L 3 ⋅E⋅I 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 343 21-01-2013 15:05:07 344 Statik og styrkelære · Bjælkeformler Indspændt bjælke belastet med en jævnt fordelt belastning Reaktioner: VA = p ⋅ L V MA = p⋅L 2 Moment: M max = − 2 1 ⋅ p ⋅ L2 2 Nedbøjning: umax = p ⋅ L4 8 ⋅ E⋅I Bjælke indspændt i den ene ende og simpelt understøttet i den anden ende Reaktioner: 5 VA = ⋅ p ⋅ L 8 V VB = 3 ⋅p⋅L 8 Moment: 1 M A = − ⋅ p ⋅ L2 8 M max,pos = 9 ⋅ p ⋅ L2 128 Nedbøjning: umax = p ⋅ L4 185 ⋅ E ⋅ I Bjælke indspændt i begge ender Reaktioner: V A = VB = p⋅L 2 Moment: V M A = MB = − M midt = 1 ⋅ p ⋅ L2 12 p ⋅ L4 24 Nedbøjning: p ⋅ L4 umax = 384 ⋅ E ⋅ I 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 344 21-01-2013 15:05:09 345 Stikordsregister A G Afbildning af kræfter 12 Aktionen 53, 74 Aktion og reaktion 53 Analytisk løsning 20, 21, 58, 178 Anvendelsesområder for søjletilfælde 243 Arealers tyngdepunkt 173 Areallast 229 Gitterkonstruktioner 131 Gitterstænger 132 Grafisk bestemmelse af stangkræfter 149 Grafisk løsning 20, 58, 179 Grundbelastningstyper 165 Grundsætninger om kræfter 15 B Hookes lov 219 Belastning 69 Belastningsfigurer 71 Beregningsmodeller 76 Bestemmelse af kraft 14 Bestemmelse af reaktioner 79, 134 Bevægelig, simpel understøtning 75 Bjælkeformler 343 Bøjning 168 Bøjningspåvirkede konstruktionselementer 249, 287 Bøjningspåvirkede maskinelementer 306 Bøjningsspænding 210 C Centralt påvirkede søjler 282 Centralt påvirkede trykstænger 240 Centralt påvirkede trækstænger 232, 276 D Definition på kraft 10 Deformation 255 E Eurocode 3 229 Eurocode 5 273 F Fast, simpel understøtning 75 Fladetryk 258, 309 Flydespændingen 220 Flytningsformlen 194 Forlængelsen L 221 Forskydning 169 Forskydningspåvirkede konstruktionselementer 255 Forskydningspåvirkede maskinelementer 305 Forskydningsspænding 210 Fremgangsmåde ved styrkeberegning 311 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 345 H I Indre kraft 91 Indspændinger 76 Inertimoment af cirkel 194 Inertimoment af rektangel 192 Inertimomentet 171 K Karakter af en belastning 298 Knudepunkter 131 Knudepunktsmetoden 143 Konstruktioner påvirket til bøjning 69 Konstruktionsmaterialer 301 Konstruktionstræ 273 Kraftbegrebet 9 Kraft- og tovpolygonmetoden 36 Kraftpar 51 Kraftpolygon 29, 37 Kræfter og momenter 9 L Legemers tyngdepunkter 171 Ligevægtsbetingelser 54 Linjelast 230 Linjers tyngdepunkt 188 M Maskinelementer 297 Materialeparametre for konstruktionsstål 231 Materialeprøver 220 Modstandsmoment 199 Modstandsmoment af cirkel 199 Modstandsmoment af rektangel 199 Modstandsmomentet 171 Moment 40 Momentkurver for aksler 117 Momentpåvirkede konstruktionselementer 124 21-01-2013 15:05:09 Statik og styrkelære · Stikordsregister 346 N Nedbøjning 255, 291 Newton 11 Newtons lov om aktion og reaktion 53 N-kurven 95 Normalkraften 91 Normalspænding 209 Normer 229 O Omregningsfaktor 275 P Parallelforskydning af kraft 51 Parallelle kræfter 46 Partialkoefficienter 232 Plane konstruktioner 133 Polstråler 37 Polært inerti- og modstandsmoment 200 Profiltabeller 261, 294 Proportionalitetsspændingen 219 Punktlast 230 R Reaktionen 53, 74 Relativ materialeparameter 243 Ritters metode 139 Rolig belastning 299 S Samme angrebspunkt 28 Sammenhænge mellem V- og M-kurver 107 Sammensatte spændinger 215 Simple understøtninger 75 Snitkræfter 91 Stangkræfter 149 Statisk ubestemte konstruktioner 78 Styrkeberegning af maskinelementer 297 Styrkebetingelse 223 Styrkelære 163 Styrke- og stivhedstal 274 Styrketal og elasticitetsmodul i Mpa 275 Større kraftsystemer 28 Stålkonstruktioner 229 Søjlefaktoren kc 283 Søjlepåvirkning 167 Søjlereduktionsfaktor 242 Tilladelige trykspændinger i MPa 304 Tilladelige trækspændinger i MPa 302 Torsion 169 Torsionspåvirkede maskinelementer 308 Torsionsspænding 214 Tovpolygon 37 Tryk 166 Trykpåvirkede maskinelementer 303 Træk 165 Trækonstruktioner 273 Trækprøvning 218 Trækpåvirkede maskinelementer 301 Trækstyrken 220 Tværsnitskonstanter 170 Tyngdepunkt for cirkel 176 Tyngdepunkt for en halvcirkel 176 Tyngdepunkt for et cirkelafsnit 177 Tyngdepunkt for et cirkeludsnit 177 Tyngdepunkt for kvadrat 174 Tyngdepunkt for parallelogram 174 Tyngdepunkt for rektangel 174 Tyngdepunkt for rombe 174 Tyngdepunkt for sammensat areal 178 Tyngdepunkt for trekant 175 U Understøtningstyper 73 V Varierende belastning 299 Vekslende belastning 300 V-kurven 98 Volumenlast 230 Vridning 169 Y Ydre kræfter 74, 90 Symbols 0,2-spænding 220 T Tilladelige bøjningsspændinger i MPa 307 Tilladelige fladetryk i MPa 310 Tilladelige forskydningsspændinger i MPa 306 104018-1_Statik_og_styrkelaere_Book.indb 346 21-01-2013 15:05:09 t Preben Madsen Statik og styrkelære Bogen behandler den grundlæggende statik og styrkelære efter Eurocodes. Statik og styrkelære er beregnet til bygningskonstruktøruddannelsen, htx-uddannelsen og teknikeruddannelserne, hvor der undervises i de grundlæggende regler og deres praktiske anvendelse inden for elementær konstruktion. Statik-delen omhandler emner som kræfter, tyngdepunkter, belastninger og gitterkonstruktioner. For styrkelærens vedkommende gennemgås den grundlæggende viden inden for stålkonstruktioner, trækonstruktioner og maskinelementer. Statik og styrkelære Preben Madsen Statik og Teknisk styrkelære Matematik Preben Madsen 4. udgave 2. udgave Bogen går logisk og pædagogisk frem med opstilling af regler, eksempler og opgaver. Facitliste findes på statik.nyttf.dk Statik og styrkelære er en sammenskrivning af de to bøger Teknisk Statik og Teknisk Styrkelære. Bogen er gennemrevideret, moderniseret og opdateret. ISBN 978-87-571-2779-9 9 788757 127799 104018-1_Statik_og_styrkelaere_omslag.indd 1 nyttf.dk varenr. 104018-1 16-01-2013 09:01:14
