Universidad Autónoma de Nuevo León
Facultad de Ciencias Físico Matemáticas
Física Experimental
Experimento #3: Oscilador amortiguado
MAESTRO: Alejandro Cagliostro Lara Neave
NOMBRE:
MATRÍCULA:
Valeria Judith Chacón Cancino
1989927
Andrea Scarlett Herrera García
1911793
Alejandro Montalvo Lara
2031919
Jesús Isaí Zararte Esteva
1990090
San Nicolás de los Garza, Nuevo León a 17 de Marzo de 2023.
Experimento #3: Oscilador amortiguado
Chacón, Valeria (1); Herrera, Andrea (2); Montalvo, Alejandro (3); Zárate, Jesús (4)
Grupo:__21__ Día:_L, Mi y V_ Hora:_17:00 – 18:00_ Fecha de entrega: 17/03/2023
Se da un tubo de ensayo, municiones, cronómetro, regla y un recipiente para agua. Se trata de
obtener una aproximación al valor de la gravedad considerando las oscilaciones verticales del
tubo de ensayo en el agua.
Se puede suponer que el tubo es prácticamente un cilindro recto.
1. ¿Cuáles son las fuerzas que influyen en la oscilación vertical del tubo, sin considerar
el rozamiento?
Las fuerzas que influyen son:
● Peso del tubo de ensayo: Esta es la fuerza hacia abajo que actúa sobre el tubo debido a
la gravedad.
● Empuje de Arquímedes: Esta es la fuerza hacia arriba que actúa sobre el tubo debido
al agua desalojada.
● Tensión de la superficie del agua: Esta es la fuerza hacia arriba que actúa sobre el tubo
debido a la tensión superficial del agua.
2. ¿Cuál es la ecuación del movimiento correspondiente?
La ecuación del movimiento correspondiente para la oscilación vertical del tubo de ensayo en
el agua es:
m(d^2y/dt^2) = -mg + Fb + Fw
donde: m es la masa del tubo de ensayo
y es la posición vertical del tubo de ensayo respecto a su posición de equilibrio
t es el tiempo
g es la aceleración debido a la gravedad
Fb es la fuerza de Boyancy o Empuje de Arquímedes
Fw es la fuerza debida a la tensión superficial del agua.
Esta ecuación describe la relación entre la masa del tubo, la posición del tubo, el tiempo y las
fuerzas que actúan sobre el tubo en la oscilación vertical.
3. ¿Cuál es la condición inicial de equilibrio hidrostático del tubo?
La condición inicial de equilibrio hidrostático del tubo de ensayo es cuando el tubo está
completamente sumergido en el agua y no se está moviendo. En esta situación, el peso del
tubo está equilibrado por el empuje de Arquímedes, de modo que la fuerza neta en el tubo es
cero.
Matemáticamente, la condición inicial de equilibrio hidrostático se expresa como:
m*g = Fb
En la condición inicial de equilibrio hidrostático, la fuerza de Boyancy es igual al peso del
tubo, lo que resulta en una fuerza neta cero.
4. Muestra que las oscilaciones del tubo pueden considerarse oscilaciones armónicas e
identifica la frecuencia angular correspondiente.
Si el tubo se mueve ligeramente desde su posición de equilibrio en la dirección vertical, se
produce una fuerza restauradora que lo lleva de vuelta a su posición de equilibrio. Esta fuerza
restauradora es la suma de la fuerza debida a la tensión superficial del agua y la fuerza de
Boyancy.
Supongamos que la oscilación vertical del tubo se describe por la función y(t), donde y es la
distancia desde la posición de equilibrio en la dirección vertical y t es el tiempo. Entonces, la
ecuación de movimiento se puede escribir como:
m(d^2y/dt^2) = -mg + Fb + Fw
Si asumimos que la oscilación es pequeña y que las fuerzas restauradoras son proporcionales
a la distancia de la posición de equilibrio, podemos usar la aproximación de oscilación
armónica.
La ecuación de movimiento se puede escribir entonces como:
m(d^2y/dt^2) + k*y = 0
donde k es la constante de fuerza restauradora, que es la suma de las constantes de fuerza
debidas a la tensión superficial del agua y la fuerza de Boyancy.
La solución general para esta ecuación diferencial es de la forma:
y(t) = Acos(wt + phi)
donde A es la amplitud de la oscilación, w es la frecuencia angular y phi es la fase de la
oscilación.
La frecuencia angular w se puede calcular como:
w = sqrt(k/m)
donde k es la constante de fuerza restauradora y m es la masa del tubo.
Por lo tanto, las oscilaciones del tubo se pueden considerar como oscilaciones armónicas y la
frecuencia angular correspondiente es w = sqrt(k/m).
5. ¿Qué variables deben medirse para tener una estimación de g?
Para obtener una estimación de la aceleración debido a la gravedad (g) a partir de las
oscilaciones verticales del tubo de ensayo en el agua, se deben medir las siguientes variables:
● La longitud del tubo: siendo medida por la regla.
● El tiempo de oscilación: se debe medir el tiempo que tarda el tubo en completar una
oscilación completa.
● La amplitud de la oscilación: la distancia máxima que el tubo se desplaza desde su
posición de equilibrio.
● La densidad del agua: se debe conocer la densidad del agua en la que se sumerge el
tubo de ensayo.
Con estas variables, se puede utilizar la siguiente fórmula para estimar la aceleración debido
a la gravedad:
g = (4 * pi^2 * L) / (T^2 * (1 - (m / (V * rho))))
donde: L es la longitud del tubo, T es el tiempo de oscilación, m es la masa del tubo, V es el
volumen del tubo y rho es la densidad del agua.
Es importante asegurarse de que todas las unidades estén en el sistema de unidades correcto
antes de utilizar la fórmula para obtener una estimación precisa de la aceleración debido a la
gravedad.
6. Reporta tus mediciones y el valor estimado de g.
Se puede ver en la sección de Resultados
I.- Resumen
En el siguiente experimento pusimos
en práctica nuestros conocimientos
sobre los movimientos amortiguados,
en este caso un oscilador amortiguado,
creando un modelo en el cuál el agua
funcionó como el amortiguador de un
tubo de ensayo llenado de postas de
acero. Aplicamos nuestras habilidades
para
graficar
y
analizar las
incertidumbres de nuestros resultados.
II.- Objetivo
Determinar
experimentalmente
la
dependencia del periodo de oscilación T
de un sistema amortiguado y el número
de oscilaciones. También conseguir un
cálculo aproximado de la gravedad con
esta relación.
III.- Hipótesis
Esperamos obtener un valor aproximado
de la gravedad de 9.8m/s^2 +- 5.0m/s^2 y
obtener las relaciones experimentales de
periodo respecto a la altura.
IV.- Marco teórico
El movimiento armónico amortiguado es
un tipo de movimiento oscilatorio que se
produce cuando un objeto se mueve hacia
adelante y hacia atrás en torno a una
posición de equilibrio, pero con una
fuerza de fricción que actúa en su contra,
lo que disminuye gradualmente su
amplitud y frecuencia de oscilación. En
este movimiento, la fuerza que actúa
sobre el objeto se compone de una parte
restauradora que lo lleva de vuelta a su
posición de equilibrio y una parte de
fricción que reduce su velocidad y
amplitud de oscilación. El resultado es
que el objeto se mueve cada vez más
lentamente, hasta que finalmente se
detiene en la posición de equilibrio. Este
tipo de movimiento es común en sistemas
mecánicos,
como
un
péndulo
amortiguado o un resorte con fricción. La
solución
matemática
para
este
movimiento es una función exponencial
decreciente, que describe la disminución
gradual de la amplitud y frecuencia de
oscilación. El movimiento armónico
amortiguado
tiene
numerosas
aplicaciones prácticas en la física y la
ingeniería, desde amortiguadores en
vehículos hasta sistemas de control de
vibraciones en edificios y puentes.
V.- Materiales
1. Regla de 30 cm
2. Tubo de ensayo
3. Frasco transparente de 1 L
4. Postas de acero
5. Cronómetro
6. Agua
VI.- Diseño experimental y
procedimiento
Primero con la regla hicimos marcas en el
tubo de ensayo para poder medir la altura
a la que se hunde el tubo de ensayo dentro
del agua en reposo, y también la cantidad
de desplazamiento que aplicamos sobre
él.
Llenamos el frasco con agua y agregamos
el tubo de ensayo con una cantidad
determinada de postas, para lograr el
equilibrio. Fuimos variando la cantidad
de postas hasta encontrar 3 diferentes
alturas con las cuáles manteníamos un
equilibrio
razonable
para obtener
oscilaciones armónicas.
Sustituyendo esto en nuestra primera
ecuación y despejando la masa:
Procedimos a aplicar una pequeña
cantidad de fuerza con la que logramos un
desplazamiento de 0.005 m del tubo de
ensayo.
Tomamos el tiempo que tardaba en
realizar 3 oscilaciones y procedimos a
hacer los siguientes análisis.
Ahora para el caso donde aplicamos una
fuerza para desplazar el tubo de ensayo en
el agua, consideramos a la Fuerza como la
fuerza de empuje y la denotaremos E’:
Sabemos que la fuerza es masa por
aceleración, por lo tanto:
Modelo teórico
Despejando la aceleración:
Cuando tenemos nuestro tubo de ensayo
en reposo podemos considerar que la
fuerza de empuje se encuentra en contra
de la fuerza del peso del tubo de ensayo y
las postas:
Sabiendo que la aceleración es
proporcional al cuadrado de la frecuencia
angular por el desplazamiento:
Sabemos que la fuerza de empuje puede
ser representada respecto a la densidad y
el volumen como:
Podemos concluir entonces:
● Con 8 postas, h=0.088 m
Finalmente podemos decir que el periodo
es equivalente a:
Pero podemos sustituir a la masa como:
● Con 9 postas, h= 0.090 m
Por lo tanto:
VII.- Resultados
Las mediciones obtenidas fueron las
siguientes:
● Con 7 postas, h=0.085 m
Siendo este el promedio de nuestras
mediciones procedemos calcular el
periodo de oscilación, tomando en cuenta
que los tiempos tomados fueron para 3
ciclos:
Podemos observar que obtuvimos
resultados muy cercanos al valor de la
gravedad que es 9.81.
Gráficas
Para concluir el análisis de nuestro
modelo, procedimos a graficar nuestros
resultados y linealizarlos.
Primero aplicamos el método de mínimos
cuadrados para la pendiente y la ordenada
al origen:
Y su incertidumbre será:
Teniendo entonces el periodo podemos
proceder a realizar el cálculo de la
gravedad con el uso de la ecuación del
periodo, simplemente despejando a g:
sustituyendo en las fórmulas:
Finalmente conseguimos la pendiente y la
ordenada al origen con la cuáles podemos
obtener la ecuación lineal
n= 14.20
B=log(k)= 0.645
k= 4.41
IX.- Conclusión
Calculamos los errores de y con la
desviación estándar:
Y finalmente para una mejor linealización
aplicamos el método de logaritmo:
Obtenemos:
En conclusión, mediante la realización de
un experimento sencillo que involucre las
oscilaciones verticales de un tubo de
ensayo sumergido en agua, es posible
obtener una aproximación de la
aceleración debido a la gravedad. Para
ello, es necesario medir varias variables,
incluyendo la longitud, el tiempo de
oscilación y la amplitud de la oscilación.
Con estos datos, se puede utilizar una
fórmula para calcular la aceleración
debido a la gravedad. Este experimento es
una forma útil y accesible de medir g con
una precisión razonable, y puede ser
utilizado como una actividad educativa
para estudiantes de nivel básico o como
una demostración práctica en ciencias
físicas.
X.- Referencias
https://www.ehu.eus/acustica/espanol/ba
Obtenemos:
sico/mases/mases.html