Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
1
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Análisis Dimensional
Primer Semestre 2023
-1-
Coordinación: Oscar Aravena O.
oscar.aravevena@uv.cl
Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
1.1
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Ecuación de Manning (velocidad)
En el área de la Ingenierı́a Hidráulica, especı́ficamente en el estudio de la rapidez de los fluidos en canales
abiertos, el valor del velocidad del lı́quido transportado puede ser calculado como:
V =
b 2/3 1/2
R S
η h b
Donde:
ft
.
• V representa la magnitud de la velocidad del lı́quido transportado en el canal, expresado en
s
• b es un factor de conversión desde el Sistema Internacional al Sistema Anglosajón.
• η es una cantidad adimensional y se conoce como “Coeficiente de Manning”, el cual depende de la
rugosidad del canal.
• Rh se conoce como Radio Hidráulico y tiene dimensiones de longitud.
• Sb es la pendiente del canal.
Determine las unidades, en el Sistema Anglosajón de unidades, de b.
Solución
J
I
A partir de la información proporcionada:
V
ft
s
ft
s
"
#
1
f t1/3
2
Luego, 1 = x + ⇒ x =
⇒ [b] =
3
3
s
Primer Semestre 2023
=
=
b 2/3 1/2
R S
η h b
[b]x
× [f t]2/3 × 1
1
= [b]x [f t]2/3
X
-2-
Coordinación: Oscar Aravena O.
oscar.aravevena@uv.cl
Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
1.2
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Ecuación de Manning (caudal)
En el área de la Ingenierı́a Hidráulica, especı́ficamente en el estudio de la rapidez de los fluidos en canales
abiertos, el valor del caudal del lı́quido transportado puede ser calculado como:
Q=
a
2/3 1/2
ARh Sb
η
Donde:
f t3
.
• Q representa el caudal del lı́quido transportado en el canal, expresado en
s
• a es un factor de conversión desde el Sistema Internacional al Sistema Anglosajón.
• η es una cantidad adimensional y se conoce como ”Coeficiente de Manning”, el cual depende de la
rugosidad del canal.
• A corresponde al área transversal del canal.
• Rh se conoce como Radio Hidráulico y tiene dimensiones de longitud.
• Sb es la pendiente del canal.
Determine las unidades, en el Sistema Anglosajón de unidades, de a.
Solución
J
I
A partir de la información proporcionada:
Q =
3
ft
=
s
3
ft
=
s
"
#
8
1
f t1/3
Luego, 3 = x + ⇒ x =
⇒ [a] =
3
3
s
Primer Semestre 2023
a
2/3 1/2
ARh Sb
η
[a]x
× [f t]2 × [f t]2/3 × 1
1
[a]x [f t]8/3
X
-3-
Coordinación: Oscar Aravena O.
oscar.aravevena@uv.cl
Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
1.3
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Constante de estructura fina
El estudio avanzado de las interacciones electromagnéticas es caracterizado por la siguiente constante:
α=
e2
4πε0 ~c
donde:
• e es la carga elemental del electrón, medida en Coulombs, [C].
2 2
C s
• ε0 , la permitividad del vacı́o, medida en
.
kg m3
• c, la rapidez de propagación de la luz en el vacı́o, medido en unidades internacionales.
m2
−34
kg
• ~, la Constante de Planck reducida, cuya valor es ~ ≈ 1, 05 × 10
.
s
Determine las unidades, en el Sistema Internacional de unidades, de α.
Solución
I
J
A partir de la información presentada:
α =
e2
4πε0 ~c
2
C
[α] = 2 2 C s
m2 h m i
kg
kg m3
s
s
[α] = 1
Por lo tanto, la constante α es adimensional X
Primer Semestre 2023
-4-
Coordinación: Oscar Aravena O.
oscar.aravevena@uv.cl
Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
1.4
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Constante de estructura fina
El estudio avanzado de las interacciones electromagnéticas es caracterizado por la siguiente constante:
α=
e2
2ε0 hc
donde:
• α es una constante adimensional que caracteriza el acoplamiento de las interacciones.
• e es la carga elemental del electrón, medida en Coulombs, [C].
2 2
C s
• ε0 , la permitividad del vacı́o, medida en
.
kg m3
• c, la rapidez de propagación de la luz en el vacı́o, medido en unidades internacionales.
Determine las unidades, en el Sistema Internacional de unidades, de h.
Solución
J
I
A partir de la información presentada:
α =
e2
2ε0 hc
C2
1 = 2 2 h i
C s
m
[h]
3
kg m
s
2
m
[h] = kg
s
m2
X
Por lo tanto, las unidades de la constante h son kg
s
Primer Semestre 2023
-5-
Coordinación: Oscar Aravena O.
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Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
1.5
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Camino libre medio, viscosidad cinemática
Cuando una molécula se mueve en un gas, la distancia promedio entre colisiones sucesivas, `, puede ser
calculada como:
r
ρν πkB T
`=
P
2m
donde:
kg
• ρ representa la densidad del gas, expresado en
.
m3
kg
• P representa la presión del gas, expresada en
.
m s2
kg m2
• kB T la energı́a de la molecula, expresado en
.
s2
• m la masa de la partı́cula.
Determine las unidades, en el Sistema Internacional de unidades, de ν.
Solución
I
J
A partir de la información presentada:
` =
[m] =
[m] =
[ν] =
m2
Ası́, las unidades de la constante ν son
s
Primer Semestre 2023
r
ρν πkB T
P
2m
v
u
kg
u kg m2
[ν] u
t [s2 ]
m3
kg
[kg]
2
ms
2 h i
s
m
[ν]
2
m
s
2
m
s
X
-6-
Coordinación: Oscar Aravena O.
oscar.aravevena@uv.cl
Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
1.6
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Camino libre medio, viscosdiad dinámica
Cuando una molécula se mueve en un gas, la distancia promedio entre colisiones sucesivas, `, puede ser
calculada como:
r
µ πkB T
`=
P
2m
donde:
kg
• P representa la presión del gas, expresada en
.
m s2
kg m2
.
• kB T la energı́a de la molecula, expresado en
s2
• m la masa de la partı́cula.
Determine las unidades, en el Sistema Internacional de unidades, de µ.
Solución
J
I
A partir de la información presentada:
µ
P
r
πkB T
2m
v
u
u kg m2
u
[µ] t [s2 ]
[m] = kg
[kg]
2
ms
m s2 h m i
[m] = [µ]
kg
s
kg
[µ] =
ms
kg
X
Ası́, las unidades de la constante µ son
ms
` =
Primer Semestre 2023
-7-
Coordinación: Oscar Aravena O.
oscar.aravevena@uv.cl
Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
1.7
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Ecuación de Hagen-Poiseulle, viscosidad cinemática
En el área de la biofı́sica, el modelamiento del flujo de la sangre y la vasodilatación quedan bien descritos de
acuerdo a la siguiente expresión:
Q=
πD4 ∆P
128ρν L
donde:
• Q representa el flujo volumétrico de sangre transportado.
• D el diámetro de un vena o arteria.
• ρ la densidad de la sangre.
kg
• ∆P la caı́da de presión medida en unidades (internacionales) de
.
m s2
• L la longitud de la vena o arteria bajo estudio.
• ν un parámetro que caracteriza la resistencia de la sangre para desplazarse debido al bombeo del corazón.
Determine las unidades, en el Sistema Internacional de unidades, de ν.
Primer Semestre 2023
-8-
Coordinación: Oscar Aravena O.
oscar.aravevena@uv.cl
Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
1.8
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Ecuación de Hagen-Poiseulle, viscosidad dinámica
En el área de la biofı́sica, el modelamiento del flujo de la sangre y la vasodilatación quedan bien descritos de
acuerdo a la siguiente expresión:
Q=
πD4 ∆P
128µ L
donde:
• Q representa el flujo volumétrico de sangre transportado.
• D el diámetro de un vena o arteria.
kg
• ∆P la caı́da de presión medida en unidades (internacionales) de
.
m s2
• L la longitud de la vena o arteria bajo estudio.
• µ un parámetro que caracteriza la resistencia de la sangre para desplazarse debido al bombeo del corazón.
Determine las unidades, en el Sistema Internacional de unidades, de µ.
Primer Semestre 2023
-9-
Coordinación: Oscar Aravena O.
oscar.aravevena@uv.cl
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Universidad de Valparaı́so
1.9
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Longitud de onda térmica de partı́culas con masa
En fı́sica de atómica, ciertos fenómenos térmicos pueden ser caracterizado a partir de la siguiente cantidad:
s
2π~2
λth =
mkB T
donde:
• λth es una longitud caracterı́stica del fenómeno térmico bajo estudio.
• m representa la masa de las partı́culas involucradas.
kg m2
• kB T la energı́a de las partı́culas, expresado en
.
s2
Determine las unidades, en el Sistema Internacional de unidades, de ~.
Solución
I
J
A partir de la información presentada:
s
λth =
v
u
u
[m] = u
t
[m] =
Primer Semestre 2023
2π~2
mkB T
~2
m2
[kg] kg 2
s
~
m2
h m i ⇒ ~ = kg
X
s
kg
s
-10-
Coordinación: Oscar Aravena O.
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1.10
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Longitud de onda térmica de partı́culas sin masa
En fı́sica de atómica, ciertos fenómenos térmicos pueden ser caracterizado a partir de la siguiente cantidad:
λth =
π 2/3 ~c
kB T
donde:
• λth es una longitud caracterı́stica del fenómeno térmico bajo estudio.
• c es la magnitud de la velocidad de la luz.
kg m2
• kB T la energı́a de las partı́culas, expresado en
.
s2
Determine las unidades, en el Sistema Internacional de unidades, de ~.
Primer Semestre 2023
-11-
Coordinación: Oscar Aravena O.
oscar.aravevena@uv.cl
Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
1.11
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Radiación de cuerpo negro
Cuando una estrella brilla, radia energı́a en todas direcciones. La intensidad total radiada por una estrella
es proporcional a la cuarta potencia de la su temperatura. Es posible demostrar que la constante de proporcionalidad involucrada es la siguiente:
σ=
4
2π 5 kB
3
15h c2
donde:
kg
• σ es una constante de proporcionalidad, cuyas unidades son 3 4
s K
• kB es una constante
que relaciona la energı́a de un cuerpo con su temperatura absoluta; kB está medida
kg m2
en
K s2
• c representa la rapidez de propagación de la luz en el vacı́o.
Determine las unidades, en el Sistema Internacional de unidades, de h.
Primer Semestre 2023
-12-
Coordinación: Oscar Aravena O.
oscar.aravevena@uv.cl
Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
1.12
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Radiación de cuerpo negro
Cuando una estrella brilla, radia energı́a en todas direcciones. La intensidad total radiada por una estrella
es proporcional a la cuarta potencia de la su temperatura. Es posible demostrar que la constante de proporcionalidad involucrada es la siguiente:
σ=
4
π 2 kB
3
60~ c2
donde:
kg
• σ es una constante de proporcionalidad, cuyas unidades son 3 4
s K
• kB es una constante
que relaciona la energı́a de un cuerpo con su temperatura absoluta; kB está medida
kg m2
en
K s2
• c representa la rapidez de propagación de la luz en el vacı́o.
Determine las unidades, en el Sistema Internacional de unidades, de ~.
Solución
J
I
A partir de la información presentada:
4
π 2 kB
60~3 c2
4
kg m2
kg
K s2
2
=
s3 K 4
m
~3
s2
4 8 2 1 kg m
s
kg
=
3
4
3
4
8
s K
~
K s
m2
3 6
kg m
~3 =
s3
kg m2
Luego, al extraer la raı́z obtenemos: ~ =
X
s
σ =
Primer Semestre 2023
-13-
Coordinación: Oscar Aravena O.
oscar.aravevena@uv.cl
Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
1.13
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Velocidad terminal
Cuando un objeto de geometrı́a esférica se mueve dentro de un fluido viscoso a velocidades muy pequeñas, su
velocidad terminal, Vt , puede determinarse experimentalmente según:
2 (ρe − ρf ) gR2
9
µ
Vt =
donde:
kg
• ρe − ρf representa la diferencia de las densidades entre la esfera y el fluido, ambos medidos en
.
m3
hmi
• g corresponde a la aceleración de gravedad, medida en 2 .
s
• R representa el radio de la esfera, medido en unidades internacionales.
Determine las unidades en el Sistema Internacional de la constante µ.
Solución
J
I
A partir de la información presentada:
2 (ρe − ρf ) gR2
9
µ
kg h m i 2 m
hmi
m3 s2
=
s
µ
kg
µ =
X
ms
Vt =
Primer Semestre 2023
-14-
Coordinación: Oscar Aravena O.
oscar.aravevena@uv.cl
Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
1.14
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Coeficiente de arrastre
El coeficiente de arrastre -drag coefficient- para un objeto que se mueve en un fluido, está dado por la siguiente
expresión:
Cd =
2Fd
ρv 2 A
Donde:
h mi
• Fd : Fuerza de arrastre experimentada por el fluido, expresada en Newtons, [N ] = kg 2
s
kg
• ρ: Densidad del fluido, expresada en
m3
hmi
• v: Rapidez del objeto relativa al fluido, expresada en
s
• A: Área de referencia
Determine las unidades, en el Sistema Internacional de unidades, de Cd .
Solución
J
I
A partir de la información presentada:
Cd =
Cd
Cd
2Fd
ρv 2 A
h
mi
kg 2
s2 = kg
m
[m2 ]
3
m
s2
= 1
Luego, Cd es una cantidad adimensional X
Primer Semestre 2023
-15-
Coordinación: Oscar Aravena O.
oscar.aravevena@uv.cl
Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
2
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Cálculos “a mano”
Primer Semestre 2023
-16-
Coordinación: Oscar Aravena O.
oscar.aravevena@uv.cl
Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
2.1
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Litros de pintura
Un maestro debe pintar las paredes de una habitación, para lo cual se dirige al domicilio a realizar las
medidas de la habitación, olvidando su huincha de medir, por lo que decide medir con la cuarta de su mano
las distancias. La habitación tiene un largo de 30 [cuarta], un ancho de 16 [cuarta] y un alto de 12 [cuarta].
Al volver
a su casa, el maestro mide su cuarta, la cual equivale 20 [cm]. Si un tarro de pintura de 1 [`] rinde
3, 2 m2 .
Determine la cantidad de litros aproximada que se requieren para pintar la habitación.
Solución
J
I
El maestro debe pintar las paredes, luego, el área a considerar es A = 2 (30 × 12) + 2 (16 × 12) = 1104 cuarta2 .
En relación a la cantidad de pintura a emplear:
! !
1 m2
202 cm2
1 [`]
2
2
×
×
= 13, 8 [`] X
1104 cuarta = 1104 cuarta ×
1 [cuarta2 ]
104 [cm2 ]
3, 2 [m2 ]
Primer Semestre 2023
-17-
Coordinación: Oscar Aravena O.
oscar.aravevena@uv.cl
Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
2.2
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Dobleces de una hoja
Considere una hoja de papel de 0, 1 [mm] de espesor, lo suficientemente extensa como para ser doblada por
la mitad tantas veces como queramos. Además, la hoja se encuentra en un lugar lo suficientemente grande
como para llevarlo a cabo.
Si a la hoja se le realizan 12 dobleces, determine el valor del espesor, en centı́metros, de la hoja formada por
los sucesivos dobleces.
Solución
J
I
Sea ε = 0, 1 [mm], el espesor de la hoja de papel, luego:
primer doblez → 2ε
segundo doblez → 4ε
tercer doblez → 8ε
..
.
n-ésimo doblez → 2n ε
Ası́, al doblar el papel 12 veces, el espesor será : εtotal = 212 ε = 4096 [mm] = 40, 96 ≈ 41 [cm] X
Primer Semestre 2023
-18-
Coordinación: Oscar Aravena O.
oscar.aravevena@uv.cl
Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
2.3
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Sinfort
Un estudiante ha definido operacionalmente la siguiente unidad de medida:
1 [sinfort] es la distancia que recorre un cilindro de papel higiénico al dar una vuelta.
Realizando algunas mediciones ha encontrado
que 1 [sinf ort] = 20 [cm]. Si el volumen de una tina es de
100 [`], determine éste volumen en sinf ort3 .
Solución
J
I
A partir de la definición presentada:
( )3
3
1 [`]
3
3
1 sinf ort
= 8 × 10 cm ×
103 [cm3 ]
3
1 sinf ort
= 8 [`]
!
1 sinf ort3
= 12, 5 sinf ort3 X
8 [`]
1 [sinf ort] = 20 [cm]
Luego, 100 [`] = 100 [`]
Primer Semestre 2023
-19-
Coordinación: Oscar Aravena O.
oscar.aravevena@uv.cl
Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
2.4
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Largo de una pelı́cula
Considere la cinta de una pelı́cula de cine hecha de triacetato. La pelı́cula tiene una duración de 2 [h]:30 [min]
y es proyectada a razón de 24 cuadros en cada segundo.
Si cada cuadro mide1 35 [mm], determine el valor de la longitud de la cinta de la pelı́cula. Exprese su resultado
en centı́metros.
1
Este formato se mantiene relativamente sin cambios desde su introducción en 1892 por William Dickson y Thomas Alva Edison.
Primer Semestre 2023
-20-
Coordinación: Oscar Aravena O.
oscar.aravevena@uv.cl
Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
2.5
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Apilamiento vertical de leches NorLat
Las cajas
de
leche NorLat, con forma de paralelepı́pedo recto de base cuadrada, poseen un área basal
de 100 cm2 y una altura de 15 [cm].
En un supermercado mayorista, las cajas son exhibidas en pallets,
2
ocupando un área basal de 1 m y estando todas las cajas “una al lado de la otra”. El patrón se repite
hasta una altura equivalente a 6 cajas.
Si todas las cajas del pallet son ubicadas una encima de la otra, con la base cuadrada de las cajas como punto
de apoyo, determine el valor de la altura de la torre de cajas que alcanzarı́a este procedimiento. Exprese su
resultado en metros.
Importante: suponga que las cajas son lo suficientemente resistentes como para soportar el peso de toda la
columna.
Solución
J
I
A partir de la información presentada
debemos notar la caja en su base posee una arista de 10 [cm]. Luego, en
104 cm2
= 100 [caja] . Por lo tanto, en un pallet hay 600 [caja].
la base del pallet entran
100 [cm2 /caja]
Al ubicar todas las cajas, una encima
de la otra con la base cuadrada como punto de apoyo, la altura de la torre
m
−2
será: h = 600 [caja] × 15 × 10
= 90 [m] X
caja
Primer Semestre 2023
-21-
Coordinación: Oscar Aravena O.
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Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
2.6
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Apilamiento vertical de leches NorLat
Las cajas
de
leche NorLat, con forma de paralelepı́pedo recto de base cuadrada, poseen un área basal
de 100 cm2 y una altura de 15 [cm].
En un supermercado mayorista, las cajas son exhibidas en pallets,
2
ocupando un área basal de 1 m y estando todas las cajas “una al lado de la otra”. El patrón se repite
hasta una altura equivalente a 6 cajas.
Si todas las cajas del pallet son ubicadas una encima de la otra, con la base rectangular de las cajas como
punto de apoyo, determine el valor de la altura de la torre de cajas que alcanzarı́a este procedimiento.
Exprese su resultado en metros.
Importante: suponga que las cajas son lo suficientemente resistentes como para soportar el peso de toda la
columna.
Solución
J
I
A partir de la información presentada
debemos notar la caja en su base posee una arista de 10 [cm]. Luego, en
104 cm2
= 100 [caja] . Por lo tanto, en un pallet hay 600 [caja].
la base del pallet entran
100 [cm2 /caja]
Al ubicar todas las cajas, una encima
de la otra con la base cuadrada como punto de apoyo, la altura de la torre
m
−2
será: h = 600 [caja] × 10 × 10
= 60 [m] X
caja
Primer Semestre 2023
-22-
Coordinación: Oscar Aravena O.
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Universidad de Valparaı́so
2.7
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Presión atmosférica
La presión atmosférica de cierto lugar es la de una “columna de Mercurio” de 760 [mm] de altura. Si se sabe
que dicha presión es equivalente a la ejercida
una columna de agua de 10, 3 [m] de altura, y teniendo
h por
g i
presente que la densidad del agua es de 1, 00
, determine el valor de la densidad del Mercurio.
cm3
Primer Semestre 2023
-23-
Coordinación: Oscar Aravena O.
oscar.aravevena@uv.cl
Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
2.8
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Año Luz
Un [AL] -Año Luz- es la distancia recorrida
por la luz durante un año. Considerando que la velocidad de la
hmi
luz es, aproximadamente, 3, 0 × 108
, determine la equivalencia [AL] en la unidad correspondiente en el
s
sistema internacional, SI.
Solución
J
I
A partir de la definición presentada:
8
d = ct ≈ 3 × 10 × 1 [año] ×
365 [dı́a]
1 [año]
×
24 [h]
1 [dı́a]
×
3600 [s]
1 [h]
d ≈ 94608... ≈ 9, 4608 × 1015 [m] X
Primer Semestre 2023
-24-
Coordinación: Oscar Aravena O.
oscar.aravevena@uv.cl
Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
2.9
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Distancia recorrida por un avión
Suponga usted se encuentra en Quilpué y ve pasar los aviones que viajan al Norte. Cuando un avión va
pasando a unos 5 [km] sobre su cabeza, usted “lo sigue con la mirada”. Estime la distancia recorrida por el
avión mientras su lı́nea de visión se desplaza 5◦ .
Primer Semestre 2023
-25-
Coordinación: Oscar Aravena O.
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Universidad de Valparaı́so
2.10
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Distancia de un barco a la costa
Usted se encuentra en la orilla de la playa en Avenida Perú y divisa a lo lejos un barco, el cual subtiende
un ángulo de 4◦ respecto a su punto de vista. Sabiendo que la eslora2 de estas embarcaciones es de 240 [m],
determine el valor de la distancia a la cual el barco se encuentra de la costa. Exprese su resultado en metros.
Solución
I
J
Sea S la longitud del barco y R la distancia de éste a la orilla:
S = Rϑ ; ¡ϑ en radianes!
S
R =
ϑ
240 [m]
R =
π [rad]
◦
4
180◦
10800
R =
= 3437, 746... ≈ 3438 [m] X
π
2
Eslora = Longitud desde la proa a la popa.
Primer Semestre 2023
-26-
Coordinación: Oscar Aravena O.
oscar.aravevena@uv.cl
Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
2.11
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Distancia entre la Tierra y Júpiter
La luz que emite el Sol tarda aproximadamente 8 minutos y 20 segundos en llegar a la Tierra,hy 12
minutos en
mi
8
llegar a Marte. Considerando que la velocidad de la luz es de, aproximadamente, 3, 0 × 10
, determine,
s
en millones de kilometros:
Importante: para cada una de las preguntas asuma que las órbitas de los planetas son circulares3 .
a) La distancia del Sol a la Tierra.
b) La distancia del Sol a Júpeter.
c) La menor distancia entre ambos planetas.
Solución
J
I
Sa) Sea dST la distancia del Sol a la Tierra, y ∆tST el tiempo que demora la luz del Sol en llegar a la Tierra:
dST
= c∆tST
dST
= 3, 0 × 108 × 500
dST
= 1, 5 × 1011 [m] ⇒ dST = 150 millones de kilometros X
Sb) Sea dSJ la distancia del Sol a Júpiter, y ∆tSJ el tiempo que demora la luz del Sol en llegar a Júpiter:
dSJ
= c∆tSJ
dSJ
= 3, 0 × 108 × 720
dSJ
= 2, 16 × 1011 [m] ⇒ dST = 216 millones de kilometros X
Sc) La menor distancia entre ambos planetas será cuando éstos se encuentren alineados con el Sol, estando la
Tierra entre ellos. Por lo tanto, la menor distancia entre la Tierra y Júpiter será 66 millones de kilometros X
3
En estricto rigor, las órbitas de los planetas alreder del Sol son elı́pticas -Primera Ley de Kepler (1609)-.
Primer Semestre 2023
-27-
Coordinación: Oscar Aravena O.
oscar.aravevena@uv.cl
Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
2.12
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Retraso reloj analógico
Un reloj analógico tiene la hora correcta y se atrasa en un segundo por dı́a ¿Después de cuánto tiempo habrá
que esperar para que vuelva a dar la hora correcta?
Solución
I
J
Primer Semestre 2023
-28-
Coordinación: Oscar Aravena O.
oscar.aravevena@uv.cl
Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
3
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Escalas
Primer Semestre 2023
-29-
Coordinación: Oscar Aravena O.
oscar.aravevena@uv.cl
Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
3.1
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Botellas de Vino
En una escala lineal se representan el precio de distintas botellas de vino, todas del mismo volumen. Los
valores 3990 [CLP ] y 11990 [CLP ] se encuentran separados a una distancia de 12, 0 [cm].
En esta escala, determine la ubicación respecto al valor 11990 [CLP ] de la cual se encuentra la botella cuyo
valor es 6990 [CLP ].
Solución
J
I
Sea d el valor de la distancia solicitada, esquemáticamente tenemos:
d
12
d
=
11990 − 3990
11990 − 6990
12
d
=
8000
5000
d = 7, 5 [cm] X
Primer Semestre 2023
12,0[cm]
3990
-30-
6990
11990
Coordinación: Oscar Aravena O.
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Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
3.2
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Farmacos
En una escala lineal se representa el precio de cierto fármaco en un estudio de comparación de precios entre
farmacias. Los valores 750 [CLP ] y 2250 [CLP ] se encuentran separados a una distancia 15 [cm].
En esta escala, determine la ubicación respecto al valor 5250 [CLP ] del cual se encuentra el fármaco cuyo
precio es de 1500 [CLP ].
Solución
J
I
A partir del esquema presentado:
x
5250
− 1500
3750
75
x = 15
=
= 37, 5 [cm] X
1500
2
15
2250 − 750
=
Primer Semestre 2023
-31-
x
15,0[ cm]
750 1500
2250
5250
Coordinación: Oscar Aravena O.
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Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
3.3
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Comparación entre escalas
En relación a la escala presentada:
L
(Escala
Lineal)
L
2
1
P
100
L
(Escala de
Potencias)
L
2
1
Q
100
Determine la razón (cuociente) entre los valores representados por los puntos P y Q:
P
Q
Solución
J
I
A partir del esquema presentado, los valores P y Q representan, respectivamente:
•
16 − 1
P −1
15
17
=
⇒P =1+
=
= 8, 5.
L
L/2
2
2
• Q = 22 = 41 = 4, puesto que el valor central de la escala de potencias presentada.
Luego,
P
17
=
= 2, 125 X
Q
8
Primer Semestre 2023
-32-
Coordinación: Oscar Aravena O.
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Universidad de Valparaı́so
3.4
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Grados Wanderers
En honor a los 130 años del club deportivo Santigo Wanderers, se le solicita construir un termómetro basado
en una escala lineal que represente los 2 grandes hitos de este club. A la temperatura de fusión del agua,
la cual ocurre a 0◦ C, se le asigna la cantidad de tı́tulos obtenido en toda su historia: 3◦ W. A su vez, a la
temperatura de ebullición del agua, la cual ocurre a los 100◦ C, se le asigna el valor 130◦ W.
a) Determine una regla de transformación entre grados Celsius y grados Wanderers, llame TC y TW a una
temperatura arbitraria.
b) En esta escala ¿Cuál serı́a la temperatura, en grados Wanderers, de una persona sin fiebre (36◦ C)?
Solución
J
I
Sa) Sean TW y TC temperaturas arbitrarias en las escalas Wanderers y Celsius respectivamente, entonces:
3
TW
130
Grados Wanderers
0
TC
100
Grados Celsius
130 − 3
TW − 3
127
=
⇒ TW (TC ) =
TC + 3 = 1, 27TC + 3 X
100 − 0
TC
100
Sb) En esta escala, una persona sin fiebre le corresponden TW (36) =
Primer Semestre 2023
-33-
1218
= 48, 72 ≈ 49◦ W X
25
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Universidad de Valparaı́so
3.5
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Velocimetro
85
El -velocı́metro- de un automóvil es construido con una
semicircunferencia, en la cual las velocidades se han rotulado “al revés” -ver figura adjunta-. En este instrumento, determine
la posición angular, ϑ, que ocupa el
km
valor 85
.
h
220
Primer Semestre 2023
-34-
km
h
[ ]
ϑ
km
h
[ ]
0
km
h
[ ]
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3.6
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Oimiakón, una de las localidades más frı́as del mundo
Oimiakón es una localidad rusa ubicada al noreste de la república
de Sajá, en el este de Siberia. Es conocida por ser una de las
localidades más frı́as del mundo. El el 26 de enero de 1926 se registró una temperatura de −71, 2◦ C4 . La tabla adjunta presenta las
temperaturas medias mensuales anuales junto con la temperatura
media anual.
a) Indique una manera de ordenar los datos, ya sea en una
escala lineal o de potencias. No basta con responder,
debe argumentar.
b) Basado en su respuesta anterior, construya una escala e incluya en ella todos los datos de la tabla presentada. Incluya
el promedio anual y concluya.
4
Mes
Enero
Febrero
Marzo
Abril
Mayo
Junio
Julio
Agosto
Septiembre
Octubre
Noviembre
Diciembre
Promedio anual
hTi ◦ C
-47,4
-43,3
-30,1
-12,8
+3,3
+12,3
+15,8
+10,9
+2,4
-14.2
-34,2
-44,4
-15,1
Temperatura estimada vı́a extrapolación.
Primer Semestre 2023
-35-
Coordinación: Oscar Aravena O.
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Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
3.7
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
El criterio de la raı́z de 10
Considere una escala de potencias de base 10, tal que la separación entre el número 1 y el número 10 es d.
En esta escala determine:
a) ¿Qué número se encuentra en la mitad de esta escala, es decir, en
d
?
2
b) La ubicación del número 5 respecto al número 1.
Solución
J
Primer Semestre 2023
I
-36-
Coordinación: Oscar Aravena O.
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Universidad de Valparaı́so
3.8
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Escala de potencias de base 10
En una escala de potencias de 10, la separación entre potencias consecutivas es de 10 [cm]. Determine, con
aproximación a la decima, la separación entre los números 120 y 20.
Solución
J
I
Al comparar la información presentada:
10,0[ cm]
d
10
=
log 120 − log 20
1
d = 10 log 6 = 7, 7815... ≈ 7, 8 [cm] X
Primer Semestre 2023
-37-
d
10
1
2
20
10
120
Coordinación: Oscar Aravena O.
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Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
3.9
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Escala de potencias
L
En la figura se muestra una escala de potencias en
donde la razón d/L es 2/3. Determine el valor de z
-ver figura-
d
1[u]
z[u]
103 [u ]
Solución
J
Primer Semestre 2023
I
-38-
Coordinación: Oscar Aravena O.
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Universidad de Valparaı́so
3.10
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Intensidad media de electrodométicos
En una escala de potencias de base 10 se han ordenado algunos valores de intensidades
medias (promedio)
W
de los sonidos emitidos por algunos electrodomésticos. El valor 2, 0 × 10−5
le correspondiente a una
m2
W
, valor correspondiente a una lavadora.
aspiradora, la cual se encuentra a 10, 0 [cm] del valor 7, 5 × 10−7
m2
En esta escala, determine la separación entre dos potencias de 10 consecutivas.
Solución
J
I
Sea d el valor de la separación entre dos medidas consecutivas, esquemáticamente tenemos:
10, 0
log (2, 0 × 10−5) − log (7, 5 × 10−7 )
=
d
1
10, 0
200
log
7.5
d = 7, 012... ≈ 7, 0 [cm] X
d
10,0[ cm]
d =
Primer Semestre 2023
-39-
−7
2,0×10
−6
10
−5
10
7,5×10
−5
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Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
3.11
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Escala de potencias de base 2
En relación a la escala mostrada:
0
1
2
2
2
2
d
d
Determine la ubicación del número 3 respecto al número 1.
Solución
J
Primer Semestre 2023
I
-40-
Coordinación: Oscar Aravena O.
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Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
3.12
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Cambio de base
En general las cualculadoras cientı́ficas simples solo calculan logaritmos en dos bases:
• Base 10: log10 (...) → log (...)
• Base 2,7182...: log2,71... (...) → ln (...)
El número 2, 7182... se conoce como el número de Euler -se pronuncia “Oiler”- y se donota simplemente por
e -además es un número irracional-. En relación a calcular logaritmos en bases distintas a las mencionadas,
siempre se puede hacer un “cambio de base”.
A partir de la definicón de logaritmo:
x = loga (N ) ⇔ ax = N
Demuestre que loga (N ) =
logb (N )
logb (a)
Solución
J
I
A partir de la definicón de logaritmo x = loga (N ) ⇔ ax = N , tenemos:
N
= ax
/ logb ()
logb (N ) = logb (ax )
logb (N ) = x logb (a)
⇒
x=
logb (N )
logb (a)
Sin embargo, x = loga (N ), en consecuencia:
loga (N ) =
Primer Semestre 2023
logb (N )
logb (a)
;
-41-
(Cambio de base)
Coordinación: Oscar Aravena O.
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Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
3.13
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Ley de Moore
La ley de Moore expresa que, aproximadamente, se duplica en número de transistores en un microprocesador
cada dos años. Se estima que en el año 1970 habı́a en circulación cerca de 1000 transistores. A partir de
esa fecha, y hasta el año 2020, se procede a ordenar esta información en una escala de potencias de base 2,
correspondiendo en 2, 0 [cm] a la separación entre las cantidades 211 y 210 .
Si al año 2020 se estima que la cantidad de transistores en microprocesarores era aproximadamente 5 × 1010 ,
determine el largo de la escala.
Solución
J
Primer Semestre 2023
I
-42-
Coordinación: Oscar Aravena O.
oscar.aravevena@uv.cl
Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
3.14
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
La leyenda de Sissa
Existen múltiples historias acerca de la invención del Ajedrez., una de
ellas es “La leyenda de Sissa”.5 Un joven llamado Sissa inventa el ajedrez
para un rey Indio con fines educativos -en verdad emula la guerra-. En
agradecimiento, el Rey le pregunta a Sissa cómo quiere ser recompensado. Sissa, -muy modesto- le dice que desea recibir un grano de trigo
por la primera casilla del tablero, 2 por la segunda, 4 por la tercera, 8
por la cuarta y ası́ sucesivamente.
a) Construya una escala de potencias adecuada a la situación descrita que abarque los primeros 128 granos.
Separe potencias consecutivas en 2 [cm] ¿Cuánto mide la escala?
b) Justo al medio de la escala ¿Qué numeración tiene el grano correspondiente?
c) En la escala construida, ¿a qué distancia, del primer grano, ubicarı́a el grano 50?
d) ¿El grano número 80 a qué distancia del 128 se encuentra?
e) ¿El grano número 1000 a qué distancia del 128 se encuentra?
f ) ¡Desafı́o! ¿Cuántos granos tendrı́a que pagar el rey?
Solución
J
5
I
The Universal Magazine of Knowledge and Pleasure (1797), “Origin of the Game of Chess”, pages 400-401
Primer Semestre 2023
-43-
Coordinación: Oscar Aravena O.
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Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
4
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Estimaciones y órdenes de magnitud
Primer Semestre 2023
-44-
Coordinación: Oscar Aravena O.
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Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
4.1
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Alcohol Gel
Estudiantes de la Facultad de Ingenierı́a del Aplaplac Institute of Technology al llegar a clases usan alcohol
gel dispuesto en la entrada del edificio. Usted se pregunta ¿Cuánto alcohol gel debe comprar la Facultad al
mes?
a) Determine el conjunto de supuestos que es más razonable para plantear el problema y estimar el orden
de magnitud de litros de alcohol gel usados en un mes.
I.- Aproximadamente, el 20% de los estudiantes usa el alcohol gel 2 veces al dı́a, de lunes a viernes y
en cada uso gasta 1 [m`].
II.- Diariamente, 1000 estudiantes usan 5000 veces el alcohol gel, en cada uso se gasta 1 [m`].
III.- El edificio tiene aproximadamente 20 salas, cada sala tiene aproximadamente 30 estudiantes, y cada
sala se usa en promedio aproximadamente 6 veces al dı́a, de lunes a viernes. Por cada ingreso a
sala 1 estudiante usa 1 [m`].
IV- Mensualmente, 2000 estudiantes usan 100 veces el alcohol gel, en cada uso gasta 1 [m`].
V.- Semanalmente, 2000 estudiantes usan 20 veces el alcohol gel, en cada uso gasta 1 [m`].
b) Usando la estimación más razonable de la pregunta anterior, estime el orden de magnitud de los litros
de alcohol gel que se usan mensualmente en la Facultad de Ingenierı́a.
Solución
I
J
Sa) Para la situación presentada, la alternativa que presenta el conjunto de argumentos más completos -y razonableses la III:
El edificio tiene aproximadamente 20 salas, cada sala tiene aproximadamente 30 estudiantes, y cada sala se
usa en promedio aproximadamente 6 veces al dı́a, de lunes a viernes. Por cada ingreso a sala 1 estudiante
usa 1 [m`]. X
Sb) A partir de los supuestos dados en la pregunta anterior, tenemos para la Facultad de Ingenierı́a:
– 20 [sala]
m`
– 1
estudiante
uso × estudiante
– 30
sala
dı́a
h uso i
– 20
-estimativo para dı́as hábiles en un mesmes
– 6
dı́a
Luego, el volumen de alcohol gel empleado en un mes será:
h uso i
estudiante
m`
dı́a
V = 20 [sala] × 30
×6
×1
× 20
= 7200 [m`] = 72 [`] = 7, 2 × 10 [`]
sala
dı́a
uso × estudiante
mes
√
Puesto que 7, 2 > 10, el orden de magnitud de los litros de alcohol gel empleados mensualmente en un mes
en la Facultad de Ingenierı́a del Aplaplac Institute of Thechnology es 102 [`] X
Primer Semestre 2023
-45-
Coordinación: Oscar Aravena O.
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Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
4.2
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Palos de Helado
La “superficie pintable” de una sala tı́pica de la Facultad de Ingenierı́a es aproximadamente 250 m2 . Entonces, si en vez de pintura las paredes se recubren con palos de helados, uno al lado del otro, determine el
orden de magnitud de palos de helados empleados por sala.
Solución
J
I
Supuesto razonable: largo palo de helado ≈ 10 [cm], ancho palo de helado ≈ 1 [cm]. Ası́, el área de un palo de
helado serı́a:
2
1 m2
cm
× 4
Área palo de helado = 10
palo
10 [cm2 ]
2 m
Área palo de helado = 10−3
palo
2
250 m2
2 = 2, 5 × 105 [palo].
Luego, en 250 m entran
m
10−3
palo
√
Puesto que 2, 5 < 10, el orden de magnitud de la cantidad de palo empleados para pintar la sala serı́a 105 palos
de helados.
Primer Semestre 2023
-46-
Coordinación: Oscar Aravena O.
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Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
4.3
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Riego por goteo
Considere un sistema de riego por goteo casero. Asuma que cada gota es “perfectamente esférica” y cae a
razón de 1 gota cada 6 segundos.
a) Estime el orden de magnitud de la cantidad gotas de agua que caerı́an en el transcurso de un año.
b) ¿A cuántos litros corresponden?
Solución
J
Primer Semestre 2023
I
-47-
Coordinación: Oscar Aravena O.
oscar.aravevena@uv.cl
Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
4.4
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Luz proveniente de una estrella lejana
La luz que proviene de una estrella cercana a la tierra emplea 45 [año] en llegar a la tierra. El orden de
magnitud de la distancia, medida en centı́metros, de la tierra a dicha estrella es:
Solución
J
I
Sea d la distancia de la estrella a la tierra, entonces:
hmi
c = 3 × 108
s
hmi 365 [dı́a]
24 [h]
3600 [s]
8
d = 3 × 10
× 45 [año] ×
×
×
s
1 [año]
1 [dı́a]
1 [h]
d = ct
;
d = 4, 25736 × 1017 [m]
d = 4, 25736 × 1019 [cm]
Ya que 4, 25736 >
√
10, el orden de magnitud de la distancia solicitada es 1020 X
Primer Semestre 2023
-48-
Coordinación: Oscar Aravena O.
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Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
4.5
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Telescopio espacial Hubble
El telescopio espacial Hubble, desde 1995 ha logrado captar luz de hace 13300 millones de años y ası́ tener
información de estrellas que se formaron tan solo hace 400 millones de años tras el Big Bang. Para la luz
proveniente de este “universo profundo”, determine el orden de magnitud de la distancia, medida en metros,
que la luz ha recorrido hasta llegar al telescopio.
Solución
J
Primer Semestre 2023
I
-49-
Coordinación: Oscar Aravena O.
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Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
4.6
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Latidos del corazón
En el poblado de Titirilquén, su población
vive en promedio hasta los 80 [año]. Si además en promedio la
latido
frecuencia cardı́aca es de 80
, determine el orden de magnitud del número de latidos del corazón
min
durante toda la vida (promedio) de un habitante de este hermoso pueblo.
Solución
J
Primer Semestre 2023
I
-50-
Coordinación: Oscar Aravena O.
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Universidad de Valparaı́so
4.7
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Moles de moléculas
Considere un auditorio cuyo volumen es 130 m3 , el cual está a una presión absoluta de 14, 7 [psi] -Pounds
force per Square Inch- y una temperatura ambiente de TC = 20◦ C. De acuerdo a la ecuación de estado de los
gases ideales se tiene que:
P V = nRT
donde:
• P = Presión absoluta en
N
m2
• V = Volumen en m3
• n = número de moles [mol]
Nm
• R = constante universal de los gases = 8, 314
mol K
• T = Temperatura absoluta, medida en Kelvin, K
Teniendo presente los siguientes factores de conversión:
N
lbf
1 [P a] =
; 1 [psi] = 1
; 1 [kgf ] = 2, 2 [lbf ]
m2
in2
1 [f t] = 12 [in] = 0, 3048 [m] ; 1 [kgf ] = 9, 8 [N ] ; T = TC + 273, 15
Determine:
N
a) El valor de la presión del auditorio. Exprese su resultado en unidades de
.
m2
b) La cantidad de moles de moléculas presente en el auditorio, sabiendo que hay 6, 022 × 1023 moléculas
por cada mol de moléculas.
c) El orden de magnitud de la cantidad de moléculas presentes en el auditorio.
Solución
J
Primer Semestre 2023
I
-51-
Coordinación: Oscar Aravena O.
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Universidad de Valparaı́so
5
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Mediciones, errores y propagación de errores
Primer Semestre 2023
-52-
Coordinación: Oscar Aravena O.
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Universidad de Valparaı́so
Termometro análogo
40
50
60
Termómetro °C
(OAO)
90
0
10
10
80
20
70
Se requiere medir la temperatura de una habitación utilizando un
termómetro analógico graduado en grados Celsius como se indica
en la figura. De acuerdo a los criterios desarrollados en el curso,
escriba el valor de la medición entregada por el instrumento. Justifique brevemente su respuesta.
30
5.1
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
0
Solución
I
J
Debido que el instrumento presentado es análogo, y la separación entre dos medidas consecutivas es de dos
unidades, su error instrumental será 1◦ C. Una posible medida del valor a informar es6 : T = (46 ± 1) ◦ C X
6
También, eventualmente, puede informar T = (47 ± 1) ◦ C
Primer Semestre 2023
-53-
Coordinación: Oscar Aravena O.
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Facultad de Ingenierı́a
Universidad de Valparaı́so
5.2
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Velocimetro Digital
Al conducir un vehı́culo usted observa su rapidez en el medidor digital incorporado.
a) De acuerdo a los criterios desarrollados en el curso, escriba el valor
de la medición entregada por el instrumento. Justifique brevemente su respuesta.
60 MPH
b) A partir de las siguientes equivalencias:
1 [in] = 2, 54 [cm]
;
1 [f t] = 12 [in]
Digital
Speedmeter
;
1 [mile] = 5280 [f t]
Determine el valor de la rapidez indicada en el medidor digital en
mile
Importante: 1 [M P H] = 1 Mile Per Hour = 1
h
hmi
s
.
Solución
J
I
a) Dado que el instrumento presentado es digital, su valor a informar es v = (60 ± 1) [M P H] X
b) A partir de las equivalencias presentadas:
mile
1 [m]
5280 [f t]
12 [in]
2, 54 [cm]
1 [h]
60 [M P H] = 60
×
×
×
×
h
1 [mile]
1 [f t]
1 [in]
100 [cm]
3600 [s]
hmi
X
60 [M P H] = 26, 8224 ⇒ 60 [M P H] ≈ 26, 8
s
Primer Semestre 2023
-54-
Coordinación: Oscar Aravena O.
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5.3
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Valor Extraviado
En la oficina de Control de Calidad del Aplaplac Institute of Thecnology se han seleccionado al azar 20 esferas
de Unobtainium que deslizarán en el interior de rodamientos. Se ha medido del diámetro, obteniendose 5
veces el valor 54 [mm], 7 veces el valor 58 [mm] y 8 veces un valor extraviado. Si se sabe que el promedio de
las mediciones fue 55 [mm], determine la medida del valor extraviado.
Solución
J
I
Sea x el valor extraviado, en relación al diámetro promedio tenemos:
hdi =
55 =
x =
Primer Semestre 2023
5 × 54 + 7 × 58 + 8x
20
676 + 8x
20
1100 − 676
⇒ x = 53 [mm] X
8
-55-
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5.4
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Valor a informar
Con una regla graduada al milı́metro se ha medido 10 veces el largo de un lápiz VIC, obteniéndose la siguiente
información:
• Suma de las medidas del largo: 145, 2 [cm].
• Suma de los cuadrados de las diferencias de cada medida con respecto al promedio: 0, 01 cm2
De acuerdo a los criterios desasrrollados en el curso, indique el valor a informar. Justifique su respuesta.
Solución
J
I
En base a la información presentada:
• Error instrumental, σinst. = 0, 5 [mm] = 0, 05 [cm]
r
0, 01
• Error aleatorio, σalea. =
= 0, 0333... = 0, 03 [cm]
10 − 1
Ya que σinst. > σalea. , el valor a informar será: L = hLi ± σinst. = (14, 52 ± 0, 05) [cm] X
Primer Semestre 2023
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5.5
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Triángulo equilátero
En el proceso de medición de los lados de un triángulo equilátero
se ha medido su base, obteniéndose B = 10, 1 ± 0, 5 [cm].
a) Determine el error propagado en el cálculo del perı́metro e
informe el valor del perı́metro del triángulo.
b) Determine el error propagado en el cálculo del área e informe
el valor del perı́metro del triángulo.
B
Solución
J
I
Sa) En el caso del error propagado en el cálculo del área, éste corresponderá a la suma algebraica de los errores
individuales, en este caso, 1, 5 [cm] y, por tanto, el valor de la medición del perı́metro a informar será:
P = 30, 3 ± 1, 5 [cm]
Sb) En el caso del error propagado en el cálculo del área, el error propagado se puede calcular de dos maneras:
I.- Por medio de valores máximos y mı́nimos:
2
√
Bmáx
3 ≈ 48, 7 cm2
4
2 √
Bmı́n
Amı́n =
3 ≈ 39, 9 cm2
4
Amáx − Amı́n
= 4, 4 ≈ 4 cm2 X
Luego, el error propagado será: σárea =
2
r
√
σ B 2
BσB 3
II.- Por medio de la fórmula para calcular errores (caso general): σárea = A
2
=
= 4, 373 ≈
B
2
2
4 cm X
Amáx =
Independiente del procedimiento, ¡ambos concluyen lo mismo! Por tanto, el valor del área a informar será:
A = 44, 1716... ⇒ A = 44, 2 ± 4, 4 cm2
Primer Semestre 2023
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5.5.1
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Anexo: Cálculo del área de un triángulo equilátero
1
1
El área de todo triángulo puede ser determinado como: A = base × altura = BH. En relación a la altura:
2
2
√
2
B
3
• Por pitágoras (≈ S. V I a. C.): H 2 +
= B2 ⇒ H =
B
2
2
√
√
3
3
H
◦
• Por trigonometrı́a: sin (60 ) =
=
⇒H=
B
2
B
2
1
B2 √
3X
Independiente cual sea el procedimiento, A = BH =
2
4
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5.6
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Altura de un árbol
La altura de un árbol, H, puede ser calculada midiendo la longitud de su sombra S, la altura de un objeto de
referencia h y la longitud de la sombra del objeto de referencia s. A partir del Teorema de Thales, tenemos:
S
s
En base a lo anterior, se han medido las siguientes cantidades:
H=h
• h = (150 ± 5) [cm]
• S = (210 ± 5) [cm]
• s = (45 ± 5) [cm]
En base a las cantidades indicadas y los errores asociados, determine:
a) El valor de la mı́nima altura del árbol.
b) El valor de la máxima altura del árbol.
c) El valor del error asociado al cálculo de la altura del árbol junto con el valor a informar de su respectiva
altura.
Solución
J
Primer Semestre 2023
I
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5.7
Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Área golillas
En el proceso de control de calidad en cierta industria manufacturera de golillas planas corrientes se miden de manera aleatoria
los diámetros internos y externos de éstas. En un reporte se constata que para las golillas de 5/800 se han medido de la lı́nea de
producción los siguientes diámetros:
• Dint. = (16, 49 ± 0, 05) [mm]
D int .
• Dext. = (17, 52 ± 0, 05) [mm]
Al respecto, determine:
a) El valor de la mayor área de la golilla.
b) El valor de la menor área de la golilla. .
D ext .
c) El valor del error propagado en el cálculo del área.
Solución
J
I
Sa) La mayor área se obtendrá con el menor diámetro interno y el mayor diámetro externo, es decir:
D2
D2
Amáx = π ext. máx. − π int. mı́n.
4
4
π
2
2
Amáx =
Dext. máx. − Dint. mı́n.
4
π
Amáx =
17, 572 − 16, 442 = 30, 1839... ≈ 30, 2 mm2 X
4
Sb) La menor área se obtendrá con el mayor diámetro interno y el menor diámetro externo, es decir:
D2
D2
Amı́n = π ext. mı́n. − π int. máx.
4
4
π
2
2
Amı́n =
Dext. mı́n. − Dint. máx.
4
π
Amı́n =
17, 472 − 16, 542 = 24, 8416 ≈ 24, 8 mm2 X
4
Sc) El error propagado en el cálculo del área de la golilla puede ser obtenido de dos maneras diferentes:
– A partir de los valores de área máximo y mı́nimo: σA =
Amáx. − Amı́n
= 2, 7 mm2 X
2
– A partir de la definición de error propagado:
A =
πD2
4
σA =
Primer Semestre 2023
⇒
πD2
4
-60-
σA
=
A
s
2σD
D
2
2σD
π
⇒ σA = DσD
D
2
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Fundamentos de Fı́sica
Apunte de ejercicios
Ası́, para cada uno de los dı́ametros las áreas asociadas poseen los siguientes errores:
π
DσD = 1, 376... ≈ 1, 4 mm2
2
π
= DσD = 1, 295... ≈ 1, 3 mm2
2
– Dext. ⇒ σA ext. =
– Dint. ⇒ σA int.
Debido que el área de la argolla se obtiene al restar ambas áreas, su error propagado será la suma de ambos
errores asociados al cálculo del
área. Luego, el error asociado al cálculo del área de la argolla viene dado por
σarg. = σA ext. + σA int. = 2, 7 mm2 X
Primer Semestre 2023
-61-
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