Análisis no lineal del hormigón armado
•
Hormigón en compresión –
Confinado
σ1
– Expansión por efecto de
Poisson
– Confinamiento por refuerzo de
corte o perimetral
σ 1 = f c' + 4.1σ 3
Nota: En hormigones de alta resistencia y
hormigones livianos el efecto de
confinamiento disminuye (coeficiente baja de
4.1 a 2.0)
Análisis no lineal del hormigón armado
• Hormigón en compresión –
Confinado
– Presión de confinamiento (fl)
(σ 1 = fcc' ) = fc' + 4.1(σ 3 = fl =
2 As f yt
bc s
)
s
– Cuantía volumétrica (ρs)
ρs =
volumen de barra espiral
A πb
4A
= s c = s
volumen de hormigón confinado sπ bc 2 4 sbc
⇒ fcc' = fc' + 4.1(
⇒ fcc' = fc' + 4.1(
2 As f yt
bc s
2 As f yt
bc s
) ≈ fc' + 2 ρ s f yt
) ≈ 0.85 fc' + 2 ρ s f yt
Coeficiente para el caso de columnas producto de:
(a) aplicación de cargas lentas, y
(b) Debilitamiento de hormigón superficial (cara
superior) por migración de agua en hormigón fresco
bc medido centro a centro del acero de
estribo o zuncho
1
Análisis no lineal del hormigón armado
• Hormigón en compresión – Confinado
– Presión lateral efectiva (fle)
• Distribución no uniforme transversal (columna rectangular)
No confinado
Confinado
Análisis no lineal del hormigón armado
• Hormigón en compresión – Confinado
– Presión lateral efectiva (fle)
• Distribución no uniforme a lo largo de la columna (s)
• El efecto de distribución asume que las barras no fallarán
por pandeo local entre estribos o el zuncho
s
2
Análisis no lineal del hormigón armado
• Hormigón en compresión – Confinado
Saatcioglu & Razvi (1992) (otros modelos disp.)
– Presión lateral efectiva (fle)
fcc' = fc' + k1 fle
k1 = 6.7 ( fle )
α
bc
−0.17
sl
Para 30 > fl > 3 MPa (programa experimental)
f le = k2 fl
dirección de
análisis de
confinamiento
– Efecto de cantidad y dirección de ramas de
refuerzo
fl =
∑A f
s
k2 = 0.26
yt
bc s
sin α
bc bc 1
≤1
s sl f l
bc
(caso general de
confinamiento)
sl
k2 = 1 para sección circular
sl = espaciamiento lateral de barras
longitudinales apoyadas (centro a
centro de barras longitudinales).
Conservadoramente se puede
utilizar el mayor valor
Análisis no lineal del hormigón armado
• Hormigón en compresión – Confinado
Saatcioglu & Razvi (1992)
– Presión lateral efectiva (fle) en columna
rectangular
flex bcx + f ley bcy
f le =
bcx + bcy
flex
bcx
– Tensión vs deformación
f´cc
0.85 f´cc
f´c
0.85 f´c
bcy
Hognestad
(modificado)
dirección de
análisis de
confinamiento
0.20 f´cc
ε0 ε085 ε01 ε85
ε20
3
Análisis no lineal del hormigón armado
• Hormigón en compresión – Confinado
Saatcioglu & Razvi (1992)
– Deformación para el máximo de
capacidad (f’cc)
ε1 = ε 01 (1 + 5K )
K=
k1 fle
f 'c
Descenso lineal
Relación de aumento
de capacidad axial
– Ductilidad
ε 85 = 260 ρε1 + ε 085
∑ A sin α
ρ=
(b + b ) s
x, y
s
cx
Cuantía de volumen de refuerzo total (direcciones x e y).
En el caso de espirales se reduce a la expresión:
ρ =
cy
– Tensión vs deformación
  ε   ε 2 
fc
= 2  c  −  c  
f 'cc   ε 1   ε 1  


1 (1+ 2 K )
≤1
2 As
sbc
Curva ascendente (hasta la capacidad máxima)
Análisis no lineal del hormigón armado
• Modelamiento en flexión con carga axial
– Metodología:
Seleccionar valor de φ
Establecer valor tentativo para εc (o εs)
Determinar fc y fs (tensiones en hormigón y acero)
Determinar Fc y Fs (fuerzas asociadas al hormigón y acero).
Usar área tributaria para hormigón
• Determinar la resultante de las fuerzas y verificar que:
P = ∑ Fci + Fsi = Pext
•
•
•
•
• Determinar la resultante de momento:
M = − Pext xP + ∑ Fci xci + Fsi xsi
i
εc
c
sino
i
Fc1
fc
φ
εs1
εs2
εs3
fs1
c
c
Fs1
:
fs2
fs3
Fs2
Fs3
xci
xs3
=
M
P
4
Comportamiento de columnas
• Compresión pura
– Hormigón confinado (f’cc) y no confinado (f’c)
f cc' col = 0.85 f c'cilindro + k1 f le
Confinado
f c'col = 0.85 f c'cilindro
No confinado
(alcanzada la capacidad
axial el hormigón se
desprende rápidamente)
– Capacidad axial
P = ∑ f 'c col ANC + f 'cc col AC + f s As
= ∑ 0.85 f ' c ANC +(0.85 f ' c + k1 f le ) AC + f s As
Coeficiente 0.85 para el caso de columnas producto de: (a) aplicación de cargas lentas, y
(b) Debilitamiento de hormigón superficial (cara superior) por migración de agua en hormigón fresco
Análisis no lineal del hormigón armado
• Modelamiento en flexo-compresión (confinado y no confinado)
– Metodología:
Seleccionar valor de φ
Establecer valor tentativo para εc (o εs)
Determinar fc y fs (tensiones en hormigón y acero)
Determinar Fc y Fs (fuerzas asociadas al hormigón y acero).
Usar área tributaria para hormigón
• Determinar la resultante de las fuerzas y verificar que:
P = ∑ Fci + Fsi = Pext
i
• Determinar la resultante de momento:
M = − Pext xP + ∑ Fci xci + Fsi xsi
•
•
•
•
i
Discretización de fuerzas (franjas) para hormigón
confinado y no confinado con áreas tributarias
εc
c
Fc1
fc
φ
εs1
εs2
εs3
sino
fs1
c
c
Fs1
:
fs2
fs3
Fs2
Fs3
xci
xs3
=
M
P
5
Análisis no lineal del hormigón armado
• Respuesta de Momento-Curvatura (viga)
fy [MPa]
Endurecimiento en acero
ρ
ρ’
f’c [MPa]
Confinado
A
B
C
280
no
∼1%
0
30
no
420
no
∼1%
0
30
no
420
si
∼1%
0
30
no
D
E
A’
420
420
si
si
∼1%
∼1%
0
~0.5%
30
30
si (ρ~1%) si (ρ~1%)
280
no
∼0.5%
0
30
no
M
E
C
B
D
A
A’
φ
Comportamiento de columnas
• Armadura transversal para columnas
– Evitar pandeo de barras longitudinales
– Confinamiento (aumento de capacidad a
compresión y deformación axial)
– Esfuerzo de corte
Caída de la carga producto del
desprendimiento del hormigón no confinado
Ref. Nilson (1999)
6
Comportamiento de columnas
• Armadura transversal para columnas
– Confinamiento mínimo para mantener carga axial
• Zunchos o espirales
P0 = 0.85 f 'c ( Ag − As ) + f y As
Antes del
desprendimiento del
hormigón no confinado
Después del
desprendimiento del
hormigón no confinado
P0
P1
Ag = sección bruta de hormigón
As = sección de acero
P1 = ( 0.85 f 'c + 2ρ s f yt ) Acc + f y As
*MKP
Acc = sección confinada de hormigón
(medida al borde exterior del zuncho o estribo)
fyt = tensión de fluencia de acero transversal
⇒ 0.85 f 'c ( Ag − As ) + f y As = ( 0.85 f 'c + 2ρ s f yt ) Acc + f y As
⇒ ρs =
Acc

0.85 f ' c  Ag As
−
− 1

2 f yt  Acc Acc

~0
⇒ ρ s ≥ ρ s ,min
*MKP = modelo de confinamiento
modificado de Kent y Park (1982)
A
f'
≈ 0.45  g − 1 c
 Acc
 f yt
(ACI 318-05 Ec. 10-5)
Comportamiento de columnas
• Armadura transversal para columnas
– Confinamiento mínimo para mantener carga axial
• Estribos
P0 = 0.85 f 'c ( Ag − As ) + f y As
P0
P1 = ( 0.85 f 'c + k 2ρ s f yt ) Acc + f y As
⇒ 0.85 f 'c ( Ag − As ) + f y As = ( 0.85 f 'c + k 2 ρ s f yt ) Acc + f y As

0.85 f ' c  Ag As
⇒ ρs =
−
− 1

k 2 f yt  Acc Acc

A
 f ' 1 4A
⇒ ρ s = 0.425  g − 1 c = b
A
 cc  f yt k bc s
A
f' 1
⇒ Ash ≡ 2 Ab = 0.213bc s  g − 1 c
 Acc  f yt k
~0
*MKP = modelo de confinamiento
modificado de Kent y Park (1982)
P1
Acc
*MKP
Sección
cuadrada
(1 estribo)
k = similar a k2 (efectividad del confinamiento)
Ab = sección de 1 barra de acero
Ash = sección transversal de acero que cruza
bc (proyección de barras inclinadas)
s = espaciamiento de estribos
bc
k ~ 0.75 (ACI 318)
Ash
A
f'
⇒ Ash ≥ Ash ,min ≈ 0.3bc s  g − 1 c
A
 cc  f yt
(ACI 318-05 Ec. 21-3)
7
Diseño sísmico
• Armadura transversal para columnas
– Confinamiento mínimo para mantener carga axial
• Estribos
A
f'
Ash ≥ 0.3bc s  g − 1 c
A
 cc  f yt
Acc
• Columnas con gran sección transversal
⇒ Ag ≈ Acc Se considera un valor mínimo (nominal)
f'
Ash ≥ 0.09bc s c
f yt
Estribos (Ec. 21-4)
ρ s ≥ 0.12
Zunchos (Ec. 21-2)
f 'c
f yt
Ejemplo cálculo Ash
⇒ Asume Ag Acc ≈ 1.3
Ash = sección transversal de acero que cruza bc
Ag = sección bruta de hormigón
Acc = sección confinada de hormigón
(medida al borde exterior del zuncho o estribo)
Ab
α
Ab
Ash=3Ab
Ash=2(1+sen(α))A b
Diseño sísmico
• Armadura transversal para columnas
ρs
– Necesidad de Confinamiento
P/P max
-Necesidad de confinamiento
varía con la carga axial (P), o
nivel de deformaciones (δ)
ρs=2%
P, δ
ρs=0
-Aumentos considerables de
cuantía de confinamiento no
tienen gran impacto en flexión
(menor zona comprimida)
- La cuantía de confinamiento no
es el único parámetro que
permite una respuesta dúctil
(espaciamiento horizontal y
vertical también influyen)
Ej:
b b 1
k2 = 0.26 c c
≤1
s sl f l
ρs=1%
δ
P=0.1Agf’c
M/Mmax
M, φ
ρs=2%
ρs=0
ρs=1%
φ
8
Diseño sísmico
• Armadura transversal para columnas
s
– Espaciamiento vertical (s) - S.21.4.4.2
• Suficiente para garantizar buen
confinamiento
s≤
1
{menor dimensión b ó h}
4
• Limitar espaciamiento horizontal de
ganchos
 350 − hx
so = 100 + 
3

s ≤ so
hx ≤ 350mm

 ≤ 150mm

≥ 100mm
hx = distancia centro a centro de
ganchos o ramas de estribos
• Evitar pandeo local
s ≤ 6db
Diseño sísmico
• Armadura transversal para columnas
– Espaciamiento vertical (s) - S.21.4.4.2
• Evitar pandeo local
s ≤ 6db
Pcr =
⇒
⇒s=
π 2 ⋅ EI
( kl )
2
=
π 2 ⋅ EA
 kl 
 r 


π2 ⋅E
2
Pcr
= fs =
2
A
 kl 
 r 


k=0.5
k=1.0
k=0.7
Esh~Es/30
Es = 2 ⋅ 10 MPa
d b ≈ 23db r=db/4
fs
k~0.75
5
π
4k
⇒s=
s
π
4k
Esh
db ≈ 4.6db
fs
E=Esh~Es/20 a Es/30
fs=fy = 420 MPa (común sin endurecimiento)
l=s (espaciamiento)
fy
= s/db
9
De CI42B: Flexo-compresión
Detalle de Armadura transversal para columnas
(a) Estribos (S.7.10.5.3)
-
Cada barra longitudinal de esquina y cada barra alterna debe
estar apoyada por un estribo (con ángulo menor a 135°)
Separación menor a 150mm a barra apoyada lateralmente
Flexo-compresión
Ref. Nilson
(1999)
Análisis:
Puede usarse
la curva
tensión-def.
del hormigón
(confinado y
no confinado)
Análisis:
Puede usarse la
curva completa
tensión-def. del
acero
Pn = 0.85 f c' ab + As' f s' − As f s
(Notar signo)
h
h a
h


M n = Pne = 0.85 f c'ab  −  + As' f s'  − d '  + As f s  d − 
2
2 2
2


d −c
fs = Esε u 
 ≤ fy
 c 
c−d '
fs ' = Esε u 
 ≤ fy
 c 
a = β1c ≤ h
10
Flexo-compresión
Pn = Pn (c )
M n = Pn e = M n (c)
Pn y Mn son dependiente de sólo
una incógnita. Ej. e, c, Pn o Mn
Análisis: Pueden considerarse
mayores valores para el hormigón
confinado
εs<εy
εu=0.003
Pn
c>cb
Po
εu=0.003
εs=εy
c=cb
Pb
tracción
T0
εs>εy
Mo
φ
εu=0.003
c<cb
Flexo-compresión
Casos
especiales
Pn
-Columnas
asimétrica
Mn
Pn
Ref. Nilson
(1999)
Mn
11
Diseño en Flexo-compresión
Criterio de Diseño
φ Pn ≥ Pu
φ Mn ≥ Mu
Coeficiente φ
estribos
S.10.3.6
-La resistencia de la columna
depende de f’c (variabilidad)
-Mayor segregación en
columnas que en vigas
-Falla de columna es frágil
ACI 318-95
Bajo el punto:
Min{ balance (Pb), 0.1f´cAg}
Variación lineal de φ de
0.7 a 0.9
estribos
0.75 a 0.9
espirales
Diseño
φ : coeficiente de reducción de resistencia, ACI 318-05
εu=0.003
εu=0.003
c
εu=0.003
c
c
fy = 420MPa εs≤0.002
fy = 280MPa εs≤0.0014
φ
0.002<εs<0.005
0.0014<εs<0.005
εs≥0.005
εs≥0.005
c/d puede usarse
como límite
0.9
0.7
0.65
espiral
control en
compresión
intermedio
0.002 ó 0.0014
control en
tracción
0.004 0.005
εs
S.9.3.2
12