19 augusti 2021
kl. 14.00-18.00
Kurs: MVE426/MVE640
Examinator: T. Wernstål
Omtentamen
i kursen
Matematik TB, del C
Hjälpmedel: Allt i form av beräkningshjälp, anteckningar eller litteratur är tillåtet.
Det är dock varken tillåtet att kommunicera muntligt/skriftligt med någon annan person
(utöver tentavakt/examinator) eller att göra information tillgänglig till andra.
Ansvarig lärare: Timo Vilkas
OBS! Markera tydligt på varje inlämnat blad, vilken uppgift det gäller. Använd inte
samma sida till flera uppgifter (olika deluppgifter på samma sida går bra). Ange svar
tydligt, förenkla svaret så långt som möjligt och motivera dina svar väl. Var noga med
att förklara vad du gör, hur och varför. Det är i hög grad lösningen som ger poäng, inte
själva svaret. Även ofullständig eller bristfällig lösning kan ge poäng, så försök även om
du är osäker. Tänk också på att inte fastna för länge i någon uppgift!
Formeln för hur skrivningspoäng beräknas utifrån tentamenspoäng och bonus står på kurshemsidan. Utan bonus behövs 20 poäng för betyget 3 (godkänt), 28 för 4 och 35 för 5.
Uppgift 1. Derivera följande funktionsuttryck med avseende på x. Redovisa tydligt varje
steg i kalkylerna och förenkla så långt som möjligt. För att få poäng krävs att du också
redovisar vilka deriveringsregler som används och var i kalkylerna de används!
(a) (x2 − 1) · arctan(x2 − 1)
√ x
(b) ln 2x
e
(2p)
(2p)
Uppgift 2. Låt f och g vara två funktioner som är deriverbara i x = 2. Linjen y = 1 − x
är tangenten till y = f (x) i punkten på kurvan med x-koordinaten 2. Tangenten till
kurvan y = g(x), där x = 2, ges av y = 3x − 4.
(a) Bestäm tangenten till kurvan y = f (x) · g(x), där x = 2.
(b) Bestäm normalen till kurvan y = f g(x) , där x = 2.
(2p)
(2p)
Uppgift 3. Profilen (tvärsnittet) av en tsunamivåg (i skalenhet meter) ges av
h(x) =
10x
, x ∈ R.
1 + x2
Bestäm den högsta och lägsta punkten i vågprofilen och beräkna vågens höjd (dvs.
skillnaden mellan högsta och lägsta nivån).
(4p)
Uppgift 4. Betrakta f (x) =
1
2
√
och genomför en kurvkonstruktion för y = f (x):
−
2x2
x
(a) Bestäm både definitionsmängden Df och eventuella lodräta asymptoter till kurvan
samt undersök beteendet vid randpunkterna. Motivera väl!
(2p)
(b) Hitta samtliga kritiska punkter och bestäm lokala extrempunkter med hjälp av ett
teckenschema för derivatan.
(2p)
(c) Undersök om funktionen har vågräta asymptoter och om det finns ett globalt minimum/maximum. Bestäm värdemängden Vf och motivera dina svar väl.
(3p)
(d) Bestäm alla intervall på vilka funktionen är strängt konvex/konkav och motsvarande
inflexionspunkter.
(3p)
(e) Rita kurvan, med hjälp av en liten värdetabell, på ett sätt så att all information du
samlade framgår ur skissen.
(2p)
Uppgift 5. Bestäm samtliga asymptoter till följande funktioner:
x2 + 1 √ 2
+ x +2
(a) f (x) =
x
cos(x)
(b) g(x) = x
e − e−x
1
(c) h(x) = · ln(e2x + 2)
x
(3p)
(2p)
(3p)
Uppgift 6. Kurvan y = exp(2t2 − t4 ), − 2 ≤ t ≤ 2, där t räknar timmar före och efter
lunch (kl. 12), beskriver höjdprofilen av ett rundflyg (i enhet km). Bestäm med hjälp
av kurvkonstruktion, hur ofta flygplanet befinner sig på en given höjd h > 0, beroende
på h. Observera att start- och landningshöjden ges av e−8 km ≈ 0,3 m, alltså ungefär
havsnivå.
(4p)
Uppgift 7.
(a) Beräkna gränsvärdet
tan(x)
x→0
x
med hjälp av differenskvoten i derivatans definition (utan att använda de l’Hopitals
regel).
(2p)
lim
(b) En kurva ges implicit av y · exp(y 2 ) = sin(2x). Beräkna y 0 (0), dvs. derivatan av y
med avseende på x i punkten där x = 0.
(2p)
Lycka till!