Notas de clase para precálculo
Zeljka Ljujic, Alicia Pérez
Universidad de los Andes
Departamento de Matemáticas
ii
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
Contenido
1
2
3
4
Álgebra
1
1.1
Operaciones de números reales
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Exponentes enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.3
Exponentes racionales
1.4
Polinomios
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.5
Factorización de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
1.6
Expresiones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
Ecuaciones y desigualdades
45
2.1
Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2.2
Ecuaciones no lineales
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
2.3
Desigualdades lineales
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
2.4
Desigualdades no lineales
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
2.5
Ecuaciones lineales en dos variables y rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
2.6
Sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
2.7
Modelos con ecuaciones lineales en dos variables
88
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funciones
97
3.1
Funciones
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
3.2
Grácas de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
3.3
Funciones cuadráticas
117
3.4
Operaciones de funciones
3.5
Funciones uno a uno y funciones inversas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137
3.6
Funciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
145
3.7
Funciones logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
156
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trigonometría
129
165
4.1
Trigonometría en triángulos rectángulos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
174
4.3
Identidades trigonométricas básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
183
4.4
Grácas de funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
194
4.5
Funciones trigonométricas inversas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
208
4.6
Ecuaciones trigonométricas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
221
4.7
Más geometría y trigonometría
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
165
231
iv
CONTENIDO
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
Módulo 1
Álgebra
1.1 Operaciones de números reales
Esta sección es un repaso de las operaciones de fracciones, el valor absoluto de los números reales y el
orden de operaciones en los números reales.
Operaciones de fracciones
Simplicar una fracción
Cuando el numerador y el denominador de una fracción son divisibles por un mismo número podemos
dividirlos entre este número y así obtenemos una fracción equivalente.
Ejemplo 1. Simplique la fracción
15
.
24
Solución.
15 ÷ 3
5
15
=
=
24
24 ÷ 3
8
15
24
15
entre 3
24
En el ejemplo anterior,
denominador de
de
5
8
por
y
5
8
son fracciones equivalentes. Obtenemos
y similarmente, obtenemos
15
24
5
8
al dividir el numerador y el
al multiplicar el numerador y el denominador
3.
Para obtener fracciones equivalentes podemos multiplicar el numerador y el denominador de una
fracción por el mismo número o dividirlos entre el mismo número. No obtenemos fracciones equivalentes
si le sumamos o le restamos el mismo número al numerador y al denominador de una fracción. Este es
un error que debemos evitar.
Producto de fracciones
El producto de dos fracciones es la fracción que tiene como numerador al producto de los dos numeradores
y como denominador al producto de los dos denominadores. Esto es:
a c
ac
· =
b d
bd
Ejemplo 2. Multiplique las fracciones
11 6
·
4 5
y simplique el resultado.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
2
Módulo 1. Álgebra
Solución.
11 6
11 · 6
· =
4 5
4·5
=
multiplicamos los numeradores y los denominadores
66
20
66 y 20 son divisibles entre 2
33
=
>
66
dividimos el numerador y el denominador entre 2
10
>
20
=
33
10
esta fracción es irreducible
pues 33 y 10 no tienen divisores en común
A veces, en un producto de fracciones, es conveniente simplicar antes de multiplicar los numeradores
y los denominadores. Esto nos permitirá trabajar con números más pequeños.
Ejemplo 3. Multiplique las fracciones
24 15
·
25 16
y simplique el resultado.
Solución.
24 15
24 · 15
·
=
25 16
25 · 16
3
=
>
· 15
24
2 dividimos a 24 y a 16 entre 8
>
25 · 16
3
=
>
3·
15
5
dividimos a 15 y a 25 entre 5
>
· 2
25
=
3·3
5·2
=
9
10
multiplicamos los numeradores y los denominadores
División de fracciones
Para dividir una fracción entre otra debemos multiplicar la primera fracción por el inverso multiplicativo
de la fracción que está dividiéndola. Es decir:
Ejemplo 4. Divida las fracciones
c
a d
ad
a
÷ = · =
b
d
b c
bc
12 11
÷
y simplique el resultado.
5
4
Solución.
12 11
12 4
÷
=
·
5
4
5 11
=
multiplicamos por la fracción inversa
48
55
Para la división de fracciones también podemos utilizar la notación de fracción compuesta por fracciones. Es decir, podemos escribir la división de fracciones como una gran fracción cuyo numerador y
denominador son a su vez fracciones. En este caso podemos utilizar la ley de las orejas" como ayuda
visual.
Ejemplo 5. Divida las fracciones
3
7
÷
8 15
y simplique el resultado.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
1.1 Operaciones de números reales
3
Solución.
3
!
8
7
15
3
7
÷
=
8 15
=
escribimos esta división como una fracción
compuesta por fracciones
3 · 15
8·7
multiplicamos los números que conectan las orejas
El producto indicado por la oreja grande es
el numerador y el producto indicado por la
oreja pequeña es el denominador.
45
=
56
Cada oreja conecta los dos números que debemos multiplicar. En el numerador de la fracción que
resulta escribimos el producto indicado por la oreja grande y en el denominador escribimos el producto
indicado por la oreja pequeña.
Suma y resta de fracciones
Primero haremos sumas y restas de fracciones que tienen el mismo denominador. En este caso dejamos
el denominador común y sumamos o restamos los numeradores, según el caso.
Ejemplo 6. Sume las fracciones
13 22 4
+
+
9
9
9
y simplique el resultado.
Solución.
13 + 22 + 4
13 22 4
+
+ =
9
9
9
9
=
39
9
sumamos los numeradores
13
=
>
39
3
dividimos a 39 y a 9 entre 3
9
=
13
3
Ejemplo 7. Reste las fracciones
12 9
−
5
5
y simplique el resultado.
Solución.
12 9
12 − 9
− =
5
5
5
=
3
5
restamos los numeradores
Si las fracciones tienen denominadores diferentes, debemos hallar fracciones equivalentes que tengan el
mismo denominador. Una manera de hacer esto es utilizando las fracciones equivalentes cuyo denominador
es el producto de los denominadores. Es decir, multiplicamos el numerador y el denominador de cada
fracción por el denominador de la otra fracción. El denominador común será, en este caso, el producto
de los denominadores.
Ejemplo 8. Sume las fracciones
11 4
+
6
9
y simplique el resultado.
Solución.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
4
Módulo 1. Álgebra
11 4
11 · 9 4 · 6
+ =
+
6
9
6·9
9·6
multiplicamos el numerador y el denominador de cada
fracción por el denominador de la otra fracción
=
99 24
+
54 54
obtenemos fracciones con el mismo denominador
=
99 + 24
54
sumamos los numeradores
=
123
54
=
* 41
123
dividimos a 123 y a 54 entre 3
18
>
54
=
41
18
El método que acabamos de utilizar se llama método de los productos cruzados" y en general se
utiliza así:
a
c
ad + cb
+ =
b
d
bd
c
ad − cb
a
− =
b
d
bd
En lugar de trabajar con el producto de los denominadores como denominador común, podemos utilizar un número más pequeño que llamaremos el mínimo común denominador". Este mínimo común
denominador es justamente el mínimo común múltiplo de los denominadores, es decir, el número más
pequeño que es divisible entre los denominadores.
En el ejemplo anterior utilizamos como denominador común a
tanto es divisible entre
de
6
y
9.
6
y entre
9.
54
que es el producto de
6
y
9
y por lo
Sin embargo, podríamos haber utilizado el mínimo común múltiplo
Para hallarlo debemos descomponer a
6
y a
6=2·3
y
9
en productos de números primos:
9 = 3 · 3.
El mínimo común múltiplo es el producto de todos los números primos comunes y no comunes que
aparezcan en la descomposición de ambos números, el mayor número de veces que aparezca en ambas
descomposiciones. En este caso el mínimo común múltiplo de
6
y
9
es
2 · 3 · 3 = 18.
18 es divisible entre 6 y entre 9 y es menor que 54. Veremos que al utilizar este mínimo común denominador
obtendremos fracciones equivalentes que tienen numeradores más pequeños y esto puede facilitar los
cálculos. Si trabajamos con
18 como denominador común para las nuevas fracciones equivalentes, debemos
hallar el factor por el que que debemos multiplicar al numerador y al denominador de cada una de las
11
que tenga un denominador de 18,
6
que 6 · 3 = 18 (o 18 ÷ 6 = 3). Para obtener
fracciones originales. Para obtener una fracción equivalente a
debemos multiplicar su numerador y su denominador por
una fracción equivalente a
denominador por
2
ya que
4
que tenga un denominador
9
9 · 2 = 18 (o 18 ÷ 9 = 2).
Ejemplo 9. Sume las fracciones
11 4
+
6
9
3 ya
de
18,
debemos multiplicar su numerador y su
y simplique el resultado.
Solución.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
1.1 Operaciones de números reales
5
El mínimo común denominador es 18.
11 4
11 · 3 4 · 2
+ =
+
6
9
6·3
9·2
multiplicamos el numerador y el denominador de
cada fracción por el número necesario para obtener
fracciones equivalentes que tengan denominador 18
8
33
+
=
18 18
=
41
18
sumamos los numeradores
Obtuvimos el mismo resultado que con el método de los productos cruzados pero al nal no tuvimos
que simplicar la fracción.
Ejemplo 10. Reste las fracciones
resultado.
13
7
−
20
15
utilizando el mínimo común denominador. Simplique el
Solución.
Primero debemos encontrar el mínimo común denomiador, descomponiendo los denominadores en productos de números primos.
20 = 2 · 2 · 5
y
15 = 3 · 5,
así que el mínimo común denominador es
7
13 · 3
7·4
13
−
=
−
20 15
20 · 3 15 · 4
2 · 2 · 3 · 5 = 60.
multiplicamos el numerador y el denominador de
cada fracción por el número necesario para obtener
fracciones equivalentes que tengan denominador 60
39 28
=
−
60 60
=
11
60
restamos los numeradores
Valor absoluto
Cuando hablamos del valor absoluto de un número real, debemos pensar en los números ordenados sobre
la recta real. Esta es una recta real con algunos números marcados:
-5
√
-
20
-4
-3
-
8
3
-2
-1
0
1
1
2
2√
5
3
El valor absoluto de un número es la distancia que hay entre dicho número y
una línea vertical a cada lado del número. Por ejemplo, el valor absoluto de
distancia que hay entre
3
y
0,
es decir,
3
4
π
3
0.
4 12
5
Lo denotamos con
lo denotamos
|3|
unidades.
|3| = 3
Ejemplo 11. Halle el valor absoluto de
−4.
Solución.
El valor absoluto de
-5
√
-
20
-4
−4
es la distancia que hay entre
-3
-
8
3
-2
-1
0
−4
1
2
y
0.
1
2√
5
3 π
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
4
4 12
5
y es la
6
Módulo 1. Álgebra
Hay
4
unidades entre
−4
y
0.
Entonces tenemos que
En general, si un número real
| − 4| = 4.
a es positivo, |a| = a y si un número real b es negativo, su valor absoluto
es el mismo número pero positivo, esto es
|b| = −b.
Orden de operaciones
Cuando realizamos varias operaciones de números reales a la vez debemos tener en cuenta el orden en el
que las debemos hacer. Algunas veces el orden en que las realicemos afectará el resultado nal. Cuando
no hay paréntesis, debemos realizar primero las multiplicaciones y las divisiones y después las sumas y
las restas.
Ejemplo 12. Realice las operaciones
3
+2·5
4
y simplique el resultado.
Solución.
3
3
+ 2 · 5 = + 10
4
4
3 40
= +
4
4
43
=
4
primero multiplicamos
2·5
hallamos una fracción equivalente a 10 con denominador 4
sumamos los numeradores
Si quisiéramos realizar la suma antes de la multiplicación debemos utilizar unos paréntesis para
indicarlo, así:
3
3 8
11
55
+2 ·5=
+
·5=
·5=
4
4 4
4
4
El resultado es diferente.
Ejemplo 13. Realice las operaciones
21 − 9 ÷ 3 + 5
y simplique el resultado.
Solución.
21 − 9 ÷ 3 + 5 = 21 − 3 + 5
= 23
primero dividimos a 9 entre 3
sumamos y restamos
Podemos realizar la resta y la suma del nal en el orden que queramos,
(21 − 3) + 5 = 18 + 5, (21 + 5) − 3 = 26 − 3
o
(−3 + 5) + 21 = 2 + 21.
En caso de que tengamos multiplicación y división, seguimos el orden en el que aparezcan, es decir,
el mismo orden de lectura.
Ejemplo 14. Realice las operaciones indicadas y simplique el resultado.
a)
15 ÷ 5 · 4
b)
−60 ÷ 2 ÷ 6
Solución.
a)
15 ÷ 5 · 4 = 3 · 4
= 12
b)
primero dividimos a 15 entre 5
multiplicamos
−60 ÷ 2 ÷ 6 = −30 ÷ 6
= −5
primero dividimos a
−60
entre 2
dividimos nuevamente
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
1.1 Operaciones de números reales
7
El valor absoluto también actúa como un paréntesis en el sentido de que agrupa operaciones, pero
además vuelve los valores positivos.
Ejemplo 15. Realice las operaciones
18 − |3 − 2 · 5|
y simplique el resultado.
Solución.
Primero resolveremos las operaciones que están dentro del valor absoulto, en el orden correcto.
18 − |3 − 2 · 5| = 18 − |3 − 10|
primero multiplicamos
= 18 − | − 7|
restamos
= 18 − 7
hallamos el valor absoluto de
= 11
restamos nuevamente
−7
Debemos realizar primero las operaciones que están dentro del valor absoluto, luego calcular el valor
absoluto de este resultado y después realizar las demás operaciones.
Ejercicios de la sección 1.1
1 Simplique las fracciones.
a)
30
18
b)
100
36
2. Multiplique las fracciones y simplique el resultado.
a)
24 21
·
35 8
b)
18 45
·
25 14
3. Divida las fracciones y simplique el resultado.
a)
15 21
÷
7
4
b)
10 25
÷
9
6
c)
8
9
6
5
d)
14
25
35
2
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
8
Módulo 1. Álgebra
4. Realice las operaciones indicadas y simplique el resultado.
a)
40 9 12
+ −
7
7
7
b)
7
9
+
5 15
c)
7
11
+
50 30
d)
3
7
1
+
−
8 10 6
5. Reste las fracciones y simplique el resultado.
a)
7
1
14
−
−
15 15 15
b)
9
3
−
4 14
c)
17 13
−
12 10
6. Realice las operaciones y simplique el resultado.
a)
2
3
+5·
3
4
b)
4−2·
c)
70 ÷ 2 · 7
d)
1 8
+
5 5
8
5
÷4÷
5
2
5
−3
3
e)
1
3+
6
7. Realice las operaciones y simplique el resultado.
a)
4−2·6−9
b)
3
−3 +5
4
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
1.2 Exponentes enteros
9
1.2 Exponentes enteros
Cuando queremos multiplicar a un número por sí mismo varias veces podemos utilizar la notación de
exponentes en lugar de escribir todas las multiplicaciones.
Escribimos
an
para expresar que a está multiplicado por sí mismo
n
veces", es decir,
an = a
| · a ·{z. . . · a}
n veces
Lo decimos a elevado a la
En este caso,
n
n"
o simplemente a a la
representa un entero positivo y
Ejemplo 1. Evalúe la expresión
a
n".
A
n
lo llamamos el exponente y a
a
la base.
representa cualquier número real.
35 .
Solución.
35
representa
3
multiplicado por sí mismo
5
veces, es decir,
5
3 =3·3·3·3·3
= 243
Cuando evaluamos expresiones que involucran otras operaciones, debemos resolver primero lo que esté
entre paréntesis, luego los exponentes, luego las multiplicaciones y las divisionas, y nalmente las sumas
y las restas.
Ejemplo 2. Evalúe las expresiones.
a)
4
1
4
b)
(−2)6
c)
−26
Solución.
a)
b)
4
1
1
representa
multiplicado por
4
4
4 1
1
1
1
1
=
·
·
·
4
4
4
4
4
1
=
256
(−2)6
representa
−2
sí mismo
4
multiplicado por sí mismo
veces, es decir,
6
veces, es decir,
6
(−2) = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) · (−2) · (−2)
= 64
c)
−26
representa
en este caso,
−1 · 26 . Debemos resolver primero el exponente y después la multiplicación. Así que
−26 = −1 · 26
= −1 · 64
= −64
En las partes b) y c) del ejemplo anterior hay que tener cuidado con el signo. Los paréntesis de la parte
b) indican que
−2
se multiplica por sí mismo (con su signo), y como esto se hace un número par de veces
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
10
Módulo 1. Álgebra
(6), entonces el resultado es positivo. En la parte c) es el resultado es diferente porque el número que
6
está elevado a la
es
2
−2)
(no
y después de resolver el exponente colocamos el signo negativo. Por eso,
el resultado es negativo en este caso.
Propiedades de los exponentes
Ahora veremos las propiedades de los exponentes, que son las reglas que nos permiten evaluar y simplicar expresiones que tienen exponentes. Estas propiedades salen naturalmente de la denición de los
exponentes. Sean
1
m, n > 0
an · am = an+m
números enteros y
a
un número real.
an · am = a
| · a ·{z. . . · a}
| · a ·{z. . . · a} · a
porque
n veces
m veces
=a
| · a ·{z. . . · a}
n+m veces
= an+m
2
a0 = 1
para todo
a 6= 0
número real porque
a0 · an = a0+n
= an
Como
a0 · an = an
debemos tener que
para cualquier
n
a0 = 1.
n veces
3
an
= an−m
am
si
n>m
z
}|
{
an
a · a · ... · a
=
am
a
| · a ·{z. . . · a}
porque
hay más factores en el numerador
que en el denominador
m veces
=a
| · a ·{z. . . · a}
n−m veces
simplicamos y nos sobran
n − m factores
= an−m
Ahora, ¾qué pasa si
que la propiedad
n
3
n < m?
Obtendríamos un número negativo en el exponente,
n − m.
sea cierta para cualesquiera dos exponentes. Entonces ¾qué signica
Queremos
−n
a
cuando
es un entero positivo?
4
a−n =
1
an
a−n = a0−n
porque
=
=
De esta forma la propiedad
a0
an
para que se cumpla la propiedad
1
an
3
es cierta para cualesquiera
an
= an−m
am
En caso de que
m
sea mayor que
n
para todos
equivalente a
a
o
n−m
a
De hecho, las propiedades
n
y
m
n
y
m,
es decir
números enteros
esto signica que tenemos más factores en el denominador que en
el numerador y al simplicarlos, nos sobran
−(m−n)
3
con cualesquiera dos exponentes
m−n
factores en el denominador. Esto es
1
am−n
que es
.
1 ,
2
y
3
se cumplen para cualesquiera
aunque no sean positivos.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
m
y
n
números enteros,
1.2 Exponentes enteros
11
Ejemplo 3. Simplique las expresiones dejando únicamente exponentes positivos.
a)
(2x5 y 7 )(5x8 y 7 )
b)
6x9 y 6 z 4
15xy 2 z 9
c)
4x−5 y
· (12x7 )
6x5 y −6
Solución.
a)
(2x5 y 7 )(5x8 y 7 ) = (2 · 5)(x5 x8 )(y 7 y 7 )
agrupamos los números y las
expresiones que tengan la misma base
= 10x5+8 y 7+7
utilizamos la propiedad
1
= 10x13 y 14
2
b)
6
6x9 y 6 z 4
x9 y 6 z 4
=
·
·
·
5
2
9
15xy z
x y2 z9
>
15
2 9−1 6−2 4−9
x y
z
5
2
= x8 y 4 z −5
5
2x8 y 4
=
5z 5
=
agrupamos los números y las
expresiones que tengan la misma base
utilizamos la propiedad
3
dejamos únicamente exponentes positivos
utilizando la propiedad
4
2
c)
> x−5 x7
4x−5 y
4·
12
y
· (12x7 ) =
· −6
·
1
5
−6
5
6x y
x
y
6
agrupamos los números y las
expresiones que tengan la misma base
= (4 · 2) x−5+7−5 y 1−(−6)
utilizamos las propiedades
1
y
3
= 8x−3 y 7
=
8y 7
x3
dejamos únicamente exponentes positivos
utilizando la propiedad
4
La siguiente propiedad nos dice que cuando una potencia se eleva a un exponente, el exponente del
resultado es el producto de los exponentes.
5
(an )m = an·m
porque
n
n
(an )m = a
· . . . · an}
| · a {z
m veces
n veces
n veces
n veces
z
}|
{ z
}|
{
z
}|
{
= (a · a · . . . · a) · (a · a · . . . · a) · . . . · (a · a · . . . · a)
|
{z
}
m veces
=a
| · a ·{z. . . · a}
n·m veces
= an·m
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
12
Módulo 1. Álgebra
Debemos tener cuidado pues
(an )m
se debe resolver primero la potencia
2
Por ejemplo,
3 2
es
2
6
n
no es lo mismo que
m
mientras que
an
m
. En la expresión
an
m
no hay paréntesis y
y después la otra. En otras palabras, se entiende que
2
32
es
2
9
m
an = a(n
m
)
.
.
Las propiedades que siguen hablan de cómo se comportan los exponentes cuando hay un producto o
una división elevada a un exponente.
6
(a · b)n = an · bn
(a · b)n = (a · b) · (a · b) · . . . · (a · b)
|
{z
}
porque
n veces
= |a · a ·{z. . . · a} · |b · b ·{z. . . · }b
n veces
reagrupamos
n veces
= an · bn
7
a n
b
=
an
bn
porque
a n
b
=
a
a a
·
· ... ·
b {z
b}
|b
n veces
n veces
}|
{
z
a · a · ... · a
=
b| · b ·{z. . . · }b
multiplicamos los numeradores
y los denominadores
n veces
=
an
bn
Ejemplo 4. Simplique las siguientes expresiones dejando únicamente exponentes positivos.
a)
b)
a2 b−4
2c3
3
(−6x−4 y 5 )−2
x2 y −3
Solución.
a)
a2 b−4
2c3
3
=
(a2 b−4 )3
(2c3 )3
utilizamos la propiedad
7
=
(a2 )3 (b−4 )3
23 (c3 )3
utilizamos la propiedad
6
=
a6 b−12
8c9
utilizamos la propiedad
5
=
a6
8b12 c9
dejamos únicamente exponentes positivos
utilizando la propiedad
4
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
1.2 Exponentes enteros
b)
13
(−6x−4 y 5 )−2
(−6)−2 x8 y −10
=
2
−3
x y
x2 y −3
utilizamos las propiedades
=
x8 y −10
(−6)2 x2 y −3
utilizamos la propiedad
4
=
x8−2 y −10−(−3)
36
utilizamos la propiedad
3
=
x6 y −7
36
=
x6
36y 7
5
y
6
dejamos únicamente exponentes positivos
utilizando la propiedad
Ejemplo 5. Evalúe la expresión
−
3
4
4
−3
.
Solución.
3
−
4
−3
1
=
3
3
−
4
1
1
=
(−3)3
43
=
43
(−3)3
=−
utilizamos la propiedad
4
utilizamos la propiedad
7
utilizamos la ley de las orejas
64
27
En este ejemplo podemos observar que
Las propiedades
6
y
7
a −n
b
n
b
=
.
a
se pueden pensar como que el exponente se distribuye en la multiplicación
y en la división". Sin embargo, esto no es cierto en el caso de la suma y la resta, el exponente no se
distribuye en la suma ni en la resta. Es decir, no es cierto que
sea igual a
(a + b)n
sea igual a
an + bn
a n − bn :
(a + b)n 6= an + bn
(a − b)n 6= an − bn
Este es un error que debemos evitar.
Tabla de resumen de las propiedades de los exponentes
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
ni que
(a − b)n
14
Módulo 1. Álgebra
No.
Propiedad
Ejemplo
1
an · am = an+m
23 · 24 = 27 = 128
2
3
4
a0 = 1
para todo
a 6= 0
an
= an−m
am
a−n =
1
an
60 = 1
36
= 34 = 81
32
4−2 =
1
1
=
42
16
5
(an )m = an·m
(102 )4 = 108 = 1000 000.000
6
(a · b)n = an · bn
(4 · 5)2 = 42 · 52 = 16 · 25 = 400
7
a n
b
=
an
bn
3
53
5
125
= 3 =
2
2
8
Ejercicios de la sección 1.2
1. Evalúe las expresiones.
a)
5 · 32
b)
10 − 52
c)
−26 + 6 · 9
2. Simplique las expresiones dejando únicamente exponentes positivos.
a)
6y 16 z 20 · 8yz 5
4x9 · 7x17
b)
42x31
c)
10a−2 b7
· (a3 b14 )
(24a5 b−7 )
3. Simplique las expresiones dejando únicamente exponentes positivos.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
1.3 Exponentes enteros
15
2
4 t12
a)
32t3
b)
c)
x5
−1
· x−8
36 x−3
−4
d)
x3
x−3
· x−4
5
y9
45x2 (y −8 )
−2
2
2
4. Simplique las expresiones dejando únicamente exponentes positivos.
a)
−5t−7
4x5
2y 3 z 9
6
t5
2y −8 z
−4
b)
c)
d)
−2
−2a4 b−6
e)
2r6 t4
3r−2 t7
−3
· ab−3
5
−4 −5 4
2r
·
t2
5. Evalúe las expresiones.
a)
−
2
3
5
−2
8
b)
7
−3
4
c) −
5
6. Diga si las siguientes armaciones son verdaderas o falsas.
a)
b)
(x + 3)2 = x2 + 9
2−2 + 3−2
−1
= 2−1 + 3−1
−2
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
16
Módulo 1. Álgebra
1.3 Exponentes racionales
En la sección anterior vimos las potencias que tenían exponentes enteros, positivos y negativos. En esta
sección veremos aquellas que tienen exponentes racionales, es decir, expresiones de la forma
m
y
n
son números enteros y
Primero deniremos
a1/n
am/n ,
donde
n > 0.
(con
n > 0)
de forma que se sigan cumpliendo las propiedades de los
exponentes que vimos en la sección anterior. Más especícamente, si queremos que se cumpla la propiedad
5
debemos tener que
Entonces
la raíz
a1/n
n-ésima
a1/n
n
= a(1/n)·n = a1 = a
es aquel número que al elevarlo a la
n
es igual a
a.
Utilizamos también la notación de
para esta expresión, esto es
a1/n =
En el caso en que
n
es
2,
√
n
la notación es simplemente
a
√
2
a=
√
a.
Ejemplo 1. Evalúe las siguientes expresiones.
a)
161/4
b)
(−64)1/3
Solución.
a)
161/4
√
4
también lo podemos escribir como
elevamos a la
4
obtenemos
16.
16,
la raíz cuarta de
161/4 = 2
También podría ser que
n
b)
es par,
(−64)1/3
√
n
a
161/4 = −2
porque
(−2)4 = 16,
porque
también lo podemos escribir como
3
Es aquel número que cuando lo
24 = 16
pero por convención diremos que cuando
es aquel número positivo que al ser elevado a la
cuando lo elevamos a la
16.
Entonces
obtenemos
−64.
1/3
√
3
da como resultado
la raíz cúbica de
−64.
a.
Es aquel número que
Entonces
= −4
(−64)
−64,
n
porque
3
(−4) = −64
.
A veces
a1/n
elevado a la
4,
no existe. Por ejemplo,
dé como resultado
−16.
1/4
(−16)
De hecho, cualquier número real elevado a un exponente par da
como resultado un número positivo. Por eso, si
Ahora que ya hemos denido
a1/n
no existe ya que no hay ningún número real que, al ser
n
es un número par y
podemos denir
m
am/n = a1/n
o
am/n
a
es negativo,
a1/n
por medio de la propiedad
am/n = (am )
1/n
Esta es otra forma de escribirlo:
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
no existe.
5
:
1.3 Exponentes racionales
17
am/n =
Si
n
es un número par,
a
m
√
n
a
o
am/n =
debe ser positivo para que
a1/n =
√
n
am
√
n
a
esté denida.
Se puede probar que con esta denición se seguirán cumpliendo las siete propiedades de los exponentes.
Ejemplo 2. Evalúe las siguientes expresiones.
a)
27 2/3
b)
(−32)
−3/2
9
25
c)
4/5
Solución.
a)
27 2/3 =
√
3
27
2
= 32
porque
√
3
27 = 3
=9
También podríamos evaluar esta expresión como
√
3
272
aunque esto requeriría trabajar con un
número mayor.
b)
4/5
(−32)
√
5
=
−32
4
= (−2)4
porque
√
5
−32 = −2
= 16
También podríamos evaluar esta expresión como
p
5
(−32)4
aunque esto requeriría trabajar con un
número mayor.
c)
9
25
−3/2
=
25
9
3/2
253/2
93/2
√ 3
25
= √ 3
9
=
=
53
33
=
125
27
utilizamos la propiedad
4
utilizamos la propiedad
7
Observación. Cuando evaluemos expresiones de la forma
par. Si
n
an
= |a| ya que al elevar cualquier
p
√
ejemplo,
(−9)2 = 81 = 9, no −9.
es par,
positivo. Por
√
n
√
n
an
debemos tener cuidado cuando
número real
a
a la
n
b)
p
4
81x8 y 4
2/3
8a6 b3/2
· a3/4 b−1/3
con
sea
(par) obtenemos un número
Ejemplo 3. Simplique las siguientes expresiones dejando únicamente exponentes positivos.
a)
n
a, b > 0.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
18
Módulo 1. Álgebra
c)
d)
x−2/3
y 1/2
p
√
3
t t
con
x−2
y −3
1/6
con
x, y > 0.
t > 0.
Solución.
a)
p
4
81x8 y 4 =
√
4
p
√
4
81 x8 4 y 4
utilizamos la propiedad
6
con la notación de
√
4
= 3x8/4 |y|
= 3x2 |y|
b)
2/3 2/3 3/2 2/3 3/4 −1/3 8a6 b3/2
b
· a3/4 b−1/3 = 82/3 a6
· a b
utilizamos la propiedad
6
=
√ 2
3
8 a4 b · a3/4 b−1/3
utilizamos la propiedad
5
= 4a4+3/4 b1−1/3
utilizamos la propiedad
1
= 4a19/4 b2/3
c)
x−2/3
y 1/2
x−2
y −3
1/6
=
d)
3
1/3
√
t t = t · t1/2
1/3
= t3/2
= t1/2
x−1/3
y −1/2
utilizamos las propiedades
=
x−2/3 · x−1/3
y 1/2 · y −1/2
multiplicamos las fracciones
=
x−1
y0
utilizamos la propiedad
1
= x−1
utilizamos la propiedad
2
=
q
x−2/3
y 1/2
1
x
utilizamos la propiedad
1
utilizamos la propiedad
5
1. Evalúe las expresiones. Si no existen explique por qué.
641/6
b)
(−125)−1/3
c)
(−144)1/2
y
5
dejamos únicamente exponentes positivos
Ejercicios de la sección 1.3
a)
7
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
1.3 Exponentes racionales
19
2. Evalúe las expresiones. Si no existen explique por qué.
a)
813/4
b)
16−3/2
c)
121
49
d)
e)
−1/2
27
−
1000
4/3
−2/3
64
−
125
3. Simplique las expresiones dejando únicamente exponentes positivos.
r
27x2
x8
a)
3
b)
p
144x4 y 2
s
x12 y −5
−64y 4
c)
3
s
d)
4
81x−10 y 7
x−2 y −9
y > 0..
con
4. Simplique las expresiones dejando únicamente exponentes positivos.
a)
b)
c)
p
p
5
y3 · 7 y2
4a4 b6/5
3/2
· a1/3 b3/5
p
p
√
5
x5 y 3 · 3 x4 y 4 · x5
con
x, y > 0.
5. Simplique las expresiones dejando únicamente exponentes positivos.
a)
b)
64a6/5 b4/3
b−3/4
16xy 7 z 5
1/6
con
b>0
1/2
2x1/2 yz 2
3
con
x, y, z > 0
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
20
Módulo 1. Álgebra
c)
a1/6 b−3
x−1 y
3 x−2 b−1
a3/2 y 1/3
4/3
con
a>0
6. Simplique las expresiones dejando únicamente exponentes positivos.
√
x2 x
a)
p
4
b)
p
√
7
z −2 4 z
con
x>0
con
z>0
1.4 Polinomios
En esta sección estudiaremos los polinomios que son expresiones algebraicas de la forma
an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0
donde
x
la llamaremos la
variable y
a0 , a1 , a2 , . . . , an
son números reales que llamaremos los
cientes. Cada una de las expresiones que están separadas por el símbolo
j = 0, 1, 2, . . . , n)
se llaman
(los
aj xj
con
coe-
aj 6= 0
y
términos del polinomio. En un polinomio no nulo, el término que tenga el
exponente más grande se denomina el
término principal y el coeciente de este término se llama el
coeciente principal del polinomio (an xn es el término principal y
último, el exponente más grande de todos los términos se llama el
polinomio si
+
an
es el coeciente principal). Por
grado del polinomio (n es el grado del
an 6= 0).
Por lo general, para denotar a un polinomio escribimos
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0
Así aclaramos que
x
es la variable y que el polinomio se llama p".
Ejemplo 1. Considere el polinomio
de
√
5
p(x) = −3x7 + x6 − πx4 + 10x3 − 1.4x2 − 2. Diga cuál es el grado
2
p. Haga una lista de sus coecientes y de sus términos. Diga cuál es el término principal y el coeciente
principal del polinomio.
Solución.
El grado del polinomio es
7
pues es el mayor exponente de todos los términos.
Vamos a dar la lista de coecientes en orden según el exponente de cada término, de mayor a menor.
Observemos que a este polinomio le hace falta un término con exponente
1.
En este caso, decimos que el coeciente de
coecientes.
Coecientes:
Tenemos en
x
5
√
5
, 0, −π , 10, −1.4, 0 y − 2.
2
total 8 coecientes para un polinomio
y el de
x
son ambos
0
5
y un término con exponente
y los incluimos en la lista de
−3,
este debe tener
n+1
de grado
7.
En general, si el polinomio es de grado
coecientes.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
n,
1.4 Polinomios
Términos:
21
5 6
x , −πx4 , 10x3 , −1.4x2
2
tiene 6 términos.
−3x7 ,
Este polinomio
El término principal es
−3x7
y
√
− 2.
y el coeciente principal es
Los polinomios que tienen un solo término se llaman
man
3
−3.
monomios, los que tienen dos términos se lla-
binomios y los que tienen tres términos se llaman trinomios. Por ejemplo,
4x + 8
es un binomio y
2
−4x + 6x − 5
12x5
es un monomio,
es un trinomio.
Podemos sumar polinomios, restarlos, multiplicarlos y dividirlos. A continuación veremos cómo hacerlo.
Suma de polinomios
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0
Si tenemos dos polinomios
. . . + b2 x2 + b1 x + b0 ,
y
q(x) = bm xm + bm−1 xm−1 +
que no necesariamente tienen el mismo grado, los sumamos agrupando los términos
que tengan el mismo grado y sumando sus coecientes. Por ejemplo, si ambos polinomios tienen un
término de grado
2,
la suma de estos dos términos será el término
(a2 + b2 )x2 .
4
p(x) = 4x6 − 9x5 + x3 − 1.2x2
5
1
q(x) = 12x5 − 5.5x4 − x3 + x2 + 4.
2
Ejemplo 2. Sume los polinomios
y
Solución.
4
1
4x6 − 9x5 + x3 − 1.2x2 + 12x5 − 5.5x4 − x3 + x2 + 4
5
2
4
1
= 4x6 + −9x5 + 12x5 + −5.5x4 +
x3 − x3 + −1.2x2 + x2 + (4)
5
2
p(x) + q(x) =
agrupamos los términos que tengan el mismo grado
6
5
4
= 4x + (−9 + 12)x − 5.5x +
4
1
3
− 1 x + −1.2 +
x2 + 4
5
2
sumamos los coecientes de cada término
1
= 4x6 + 3x5 − 5.5x4 − x3 − 0.7x2 + 4
5
Resta de polinomios
Para restar dos polinomios
2
. . . + b2 x + b1 x + b0 ,
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0
y
q(x) = bm xm + bm−1 xm−1 +
que no necesariamente tienen el mismo grado, agrupamos los términos que tengan
el mismo grado y restamos sus coecientes. Por ejemplo, si ambos polinomios tienen un término de grado
2,
el término de grado
Ejemplo 3. Si
2
de la resta
p(x) − q(x)
será el término,
(a2 − b2 )x2 .
4
5
p(x) = 8x5 − x3 + 0.8x2 + 4x + 3 y q(x) = x4 + x3 − 3.5x + 9, halle la resta p(x) − q(x).
3
6
Solución.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
22
Módulo 1. Álgebra
4
5 4
x + x3 − 3.5x + 9
8x5 − x3 + 0.8x2 + 4x + 3 −
3
6
4
5
4
3
3
5
4
= 8x + 0x − x + − x − x + 0.8x2 + (4x − (−3.5x)) + (3 − 9)
6
3
p(x) − q(x) =
agrupamos los términos que tengan el mismo grado
5
4
4
= 8x + 0 −
x + − − 1 x3 + 0.8x2 + (4 − (−3.5)) x + (3 − 9)
6
3
5
restamos los coecientes de cada término
5
7
= 8x5 − x4 − x3 + 0.8x2 + 7.5x − 6
6
3
Multiplicación de polinomios
1
Primero veamos cómo multiplicar dos monomios. Para esto utilizaremos la propiedad
nentes. Al multiplicar el monomio
an x
n
por el monomio
bm x
m
de los expo-
el resultado es
(an xn ) · (bm xm ) = (an bm )xn+m
tal como lo vimos en la sección 1.2.
Si queremos multiplicar un monomio
m
p(x) = bm x + bm−1 x
m−1
an xn
+ . . . + b1 x + b0
por un polinomio
debemos utilizar la ley distributiva. Esto es,
(an xn ) · p(x) = (an xn ) · bm xm + bm−1 xm−1 + . . . + b1 x + b0
= (an xn ) · (bm xm ) + (an xn ) · (bm−1 xm−1 ) + . . . + (an xn ) · (b1 x) + (an xn ) · (b0 )
multiplicamos cada término de
= an bm x
n+m
+ an bm−1 x
Ejemplo 4. Multiplique el monomio
3x4
n+m−1
p
por el monomio
+ . . . + an b1 xn+1 + an a0 xn
por el polinomio
5
p(x) = 5x7 − 3x5 + x4 − x + 9.1.
6
Solución.
5
(3x4 ) · p(x) = (3x4 ) · 5x7 − 3x5 + x4 − x + 9.1
6
5
= (3x4 ) · 5x7 + (3x4 ) · −3x5 + (3x4 ) · x4 + (3x4 ) · − x + (3x4 ) · (9.1)
6
multiplicamos cada término de
p
por
3x4
5
= 15x11 − 9x9 + 3x8 − x5 + 27.3x4
2
El resultado es un polinomio de grado
11 que es la suma de los grados del monomio y del polinomio (4+7).
Ahora veamos cómo multiplicar dos binomios
y llamemos
C
y
D
a los dos términos de
q,
p(x)
y
q(x).
Llamemos
es decir, supongamos que
A
y
B
a los dos términos de
p(x) = A + B
Esto nos simplicará la escritura por el momento. Entonces para multiplicar a
propiedad distributiva de la multiplicación dos veces, es decir:
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
p
y que
y a
q
p
q(x) = C + D.
utilizaremos la
1.4 Polinomios
23
p(x) · q(x) = (A + B) · (C + D)
= (A + B) · C + (A + B) · D
(A + B)
se distribuye por izquierda en
(C + D)
=A·C +B·C +A·D+B·D
C
y
se distribuye por derecha en
D
(A + B)
se distribuye por derecha en
En total debemos hacer cuatro multiplicaciones de monomios,
AC , AD, BC
y
(A + B)
BD
y sumar estos cuatro
nuevos términos. Estas cuatro multiplicaciones las podemos representar con líneas curvas que unan a los
términos que debemos multiplicar, de la siguiente manera:
(A + B ) · (C + D)
Ejemplo 5. Multiplique los binomios
p(x) = 4x2 + 5
y
q(x) = 3x2 − 8x.
Solución. Dibujemos las cuatro multiplicaciones de los términos, simplemente como ayuda visual:
( 4x2 + 5 ) · ( 3x2 − 8x )
De esta forma, tenemos que
p(x) · q(x) = (4x2 + 5) · (3x2 − 8x)
= 4x2 · 3x2 + 4x2 · (−8x) + 5 · 3x2 + (5 · (−8x))
= 12x4 − 32x3 + 15x2 − 40x
Casos especiales de multiplicación de binomios
Cuando los binomios tienen términos iguales podemos generalizar la multiplicación y obtenemos una
fórmula para multiplicarlos.
Caso 1 Cuadrado perfecto:
(A + B)2 = A2 + 2AB + B 2
porque
(A + B)2 = (A + B) · (A + B)
=A·A+A·B+B·A+B·B
= A2 + AB + BA + B 2
= A2 + 2AB + B 2
sumamos
Ejemplo 6. Realice la operación
AB + BA
porque
AB = BA
(3x2 − 4)2 .
Solución.
En este caso de cuadrado perfecto tenemos que
A = 3x2
y
B = −4. Aplicamos la fórmula A2 + 2AB + B 2
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
24
Módulo 1. Álgebra
para desarrollar la operación.
(3x2 − 4)2 = (3x2 )2 + 2(3x2 )(−4) + (−4)2
= 9x4 − 24x2 + 16
Caso 2 Diferencia de cuadrados:
(A + B) · (A − B) = A2 − B 2
porque
(A + B)·(A − B) =
= A · A + A · (−B) + B · A + B · (−B)
= A2 − AB + BA − B 2
= A2 − B 2
restamos
Ejemplo 7. Multiplique los binomios
− AB + BA
porque
AB = BA
(6x + 5) · (6x − 5).
Solución.
En este caso de diferencia de cuadrados tenemos que
A = 6x
y
B = 5.
Aplicamos la fórmula
A2 − B 2
para desarrollar la operación.
(6x + 5) · (6x − 5) = (6x)2 − 52
= 36x2 − 25
Caso 3 Cubo perfecto:
(A + B)3 = A3 + 3A2 B + 3AB 2 + B 3
porque
(A + B)3 = (A + B) · (A + B)2
= (A + B) · (A2 + 2AB + B 2 )
= A · A2 + A · 2AB + A · B 2 + B · A2 + B · 2AB + B · B 2
= A3 + 2A2 B + AB 2 + BA2 + 2AB 2 + B 3
= A3 + 3A2 B + 3AB 2 + B 3
sumamos
2A2 B + BA2
Ejemplo 8. Realice la operación
porque
A2 B = BA2
(2x − 5)3 .
Solución.
Para resolver el cubo perfecto utilizamos la fórmula anterior con
(2x − 5)3 = (2x)3 + 3(2x)2 (−5) + 3(2x)(−5)2 + (−5)3
A = 2x
y
B = −5.
Así tenemos que:
aplicamos la fórmula
A3 + 3A2 B + 3AB 2 + B 3
= 8x3 − 60x2 + 150x − 125
que tenga
n
términos por un polinomio
términos, debemos multiplicar cada uno de los términos de
p
por cada uno de los términos de
Finalmente, si queremos multiplicar un polinomio
tenga
m
De esta forma, debemos realizar
digamos
n·m
p(x) = A + B + C + D
p
multiplicaciones de términos. Por ejemplo, si
y si
q
tiene
3
términos, digamos
p
tiene
q(x) = E + F + G
multiplicaciones de los términos las podemos representar con las siguientes líneas curvas:
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
4
q
que
q.
términos,
entonces las
1.4 Polinomios
25
(A + B + C + D) · (E + F + G)
Son
12
multiplicaciones:
AE , AF , AG, BE , BF , BG, CE , CF , CG, DE , DF
Ejemplo 9. Multiplique los polinomios
p(x) = 4x2 − 5x + 9
y
y
DG.
q(x) = 7x3 − 6x2 + 10x.
Solución. Dibujemos las nueve multiplicaciones de los términos:
( 4x2 − 5x + 9 )· ( 7x3 − 6x2 + 10x )
p(x) · q(x) = (4x2 − 5x + 9) · (7x3 − 6x2 + 10x)
= 4x2 · 7x3 + 4x2 · (−6x2 ) + 4x2 · 10x + −5x · 7x3 + (−5x) · (−6x2 )+
+ (−5x) · 10x + 9 · 7x3 + 9 · (−6x2 ) + 9 · 10x
multiplicamos los tres términos de
5
4
3
4
3
p
por los tres términos de
2
3
q
2
= 28x − 24x + 40x − 35x + 30x − 50x + 63x − 54x + 90x
= 28x5 + (−24x4 − 35x4 ) + (40x3 + 30x3 + 63x3 ) + (−50x2 − 54x2 ) + 90x
agrupamos los términos que tengan el mismo grado
= 28x5 − 59x4 + 133x3 − 104x2 + 90x
sumamos los términos que tengan el mismo grado
División de polinomios
Finalmente veremos cómo dividir un polinomio
p(x) entre otro polinomio d(x). El proceso es muy similar
al procedimiento utilizado para dividir dos números reales. Recordemos la división de números reales.
Dividamos
89
3.
entre
3
aquí colocaremos el cociente
89
dividendo
divisor
En esta división
89
se llama el dividendo y
3
el divisor. El resultado de la división se llamará el cociente
y lo colocaremos en el espacio que hay encima del dividendo.
Nos preguntamos, ¾cuántas veces cabe
3 · 3 = 9 > 8.
Multiplicamos
2 · 3,
3
en
8?"
y escribimos
2
encima de
escribimos el resultado debajo del
8
89
porque
y restamos.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
2·3 = 6 < 8
y
26
Módulo 1. Álgebra
2
3
89
−6
bajamos el siguiente dígito
29
Seguimos de la misma manera,
cociente. Multiplicamos
cabe
9
veces en
lo ponemos debajo de
29
29
y escribimos
9
al lado del primer dígito del
y restamos.
cociente
29
3
9 · 3,
3
89
−6
29
−27
2
residuo
En esta división, a
29
lo llamamos el cociente y a
2
el residuo. Podemos escribir esta división así:
2
89
= 29 +
3
3
o
89 = 3 · 29 + 2
En general tenemos que
dividendo
divisor
= cociente +
residuo
divisor
o
dividendo
= divisor · cociente + residuo
Ahora explicaremos la división de polinomios con un ejemplo.
Ejemplo 10. Divida el polinomio
p(x) = 6x5 − 5x3 + 2x2 + 4x − 5
entre el polinomio
d(x) = 3x2 − 6x + 2.
Solución. Primero escribamos la división en esta forma:
aquí colocaremos el cociente
3x2 − 6x +
2
6x5 + 0x4 − 5x3 + 2x2 + 4x −
5
dividendo
divisor
Le agregamos a
espacio de
A
p
x
4
p
el término
0x4
pues
p
no tiene término de grado
4.
Esto lo hacemos para guardar el
y no confundirnos más adelante cuando debamos restar los términos del mismo grado.
lo llamamos el
poniendo encima de
dividendo y a
p
q
y lo llamaremos
el
divisor. El polinomio que resulta de esta división lo iremos
cociente.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
1.4 Polinomios
27
Para empezar la división miramos el término principal de
a simplicar la expresión
que
2
3
(3x ) · (2x ) = 6x
5
Obtenemos que
. Lo colocamos encima
que es
6x5
2
y el de
q
que es
3x2 .
Debemos
5
3x para obtener 6x . En otras palabras, vamos
6x5
= 2x3 y este será el primer término del cociente, ya
3x2
de p y luego lo multiplicamos por todos los términos de
pensar cuál es el monomio que debemos multiplicar por
6x5
.
3x2
p
q . Debemos poner cada una de las tres multiplicaciones debajo del término que tenga su mismo grado, así:
2x3
3x2 − 6x +
2
6x5 + 0x4 − 5x3 + 2x2 + 4x −
5
6x5 − 12x4 + 4x3
Ahora restamos los términos que tengan el mismo grado, debemos tener cuidado de cambiarle el singo a
todos:
2x3
3x2 − 6x +
2
6x5 + 0x4 − 5x3 + 2x2 + 4x −
5
− ( 6x5 − 12x4 + 4x3 )
bajamos los términos
que sobran
12x4 − 9x3 + 2x2 + 4x −
5
residuo parcial
Llamamos al resultado de esta resta un
residuo parcial. El residuo parcial en este paso es
12x4 − 9x3 +
2
2x + 4x − 5.
Debemos repetir el paso anterior pero ahora miraremos el término principal del residuo parcial, que es
12x4 y el término principal de q , que siempre será 3x2 . El siguiente término del cociente es entonces
12x4
= 4x2 . Lo colocamos encima de p, sumado al término anterior, lo multiplicamos por todos los
3x2
términos de q , ponemos cada una de estas multiplicaciones debajo del término del residuo parcial que
tenga el mismo grado y restamos.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
28
Módulo 1. Álgebra
2x3 + 4x2
3x2 − 6x +
2
6x5 + 0x4 − 5x3 + 2x2 + 4x −
5
− ( 6x5 − 12x4 + 4x3 )
12x4 − 9x3 + 2x2 + 4x −
5
−( 12x4 − 24x3 + 8x2 )
bajamos los términos
que sobran
15x3 − 6x2 + 4x −
5
residuo parcial
El residuo parcial en este paso es
15x3 −6x2 +4x−5, repetimos nuevamente el proceso. El siguiente término
3
15x
= 5x. Lo colocamos encima de p, sumado a los términos anteriores, lo multiplicamos
3x2
términos de q , ponemos cada una de estas multiplicaciones debajo del término del residuo
del cociente es
por todos los
parcial que tenga el mismo grado y restamos.
2x3 + 4x2 + 5x
3x2 − 6x +
2
6x5 + 0x4 − 5x3 + 2x2 + 4x −
5
− ( 6x5 − 12x4 + 4x3 )
12x4 − 9x3 + 2x2 + 4x −
5
−( 12x4 − 24x3 + 8x2 )
15x3 − 6x2 + 4x −
5
−( 15x3 − 30x2 + 10x )
bajamos los términos
que sobran
24x2 − 6x −
5
residuo parcial
Aún podemos hacer un paso más. El siguiente término del cociente es
de
p,
24x2
= 8.
3x2
sumado a los términos anteriores, lo multiplicamos por todos los términos de
Lo colocamos encima
q,
ponemos cada una
de estas multiplicaciones debajo del término del residuo parcial que tenga el mismo grado y restamos.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
1.4 Polinomios
29
2x3 + 4x2 + 5x +
3x2 − 6x +
cociente
8
6x5 + 0x4 − 5x3 + 2x2 + 4x −
2
5
− ( 6x5 − 12x4 + 4x3 )
12x4 − 9x3 + 2x2 + 4x −
5
−( 12x4 − 24x3 + 8x2 )
15x3 − 6x2 + 4x −
5
−( 15x3 − 30x2 + 10x )
24x2 − 6x −
5
−( 24x2 − 48x + 16 )
42x − 21
residuo
En este paso hemos terminado la división pues el residuo parcial tiene un grado estrictamente menor que
el divisor. El residuo parcial de este paso se llama
encima de
p
se llama
Al realizar la división
cociente y lo denotamos
residuo y lo denotamos
q(x).
(6x5 − 5x3 + 2x2 + 4x − 5) ÷ (3x2 − 6x + 2)
q(x) = 2x3 + 4x2 + 5x + 8
y el residuo
r(x) y el polinomio que resulta
obtenemos el cociente
r(x) = 42x − 21.
Al igual que en el caso de la división de números reales, esto lo podemos escribir así:
6x5 − 5x3 + 2x2 + 4x − 5 = (3x2 − 6x + 2) · (2x3 + 4x2 + 5x + 8) + (42x − 21)
En general, cuando dividimos un polinomio
residuo
r
p
entre un polinomio
d,
obtenemos un cociente
que son únicos, y podemos escribir
p(x) = d(x) · q(x) + r(x)
A esta última ecuación la llamamos algoritmo de la división".
Ejercicios de la sección 1.4
1. Realice las operaciones indicadas y simplique la expresión.
a)
4x3 + 10x2 − (7x3 − 2x2 − 9)
b)
5x4 − (x4 + 4x3 ) − (7x3 − 8x3 )
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
q
y un
30
c)
Módulo 1. Álgebra
−6x2 − (2x2 − x − (x2 + 2x − 5))
2. Realice las operaciones indicadas y simplique la expresión.
a)
(2x2 + x) · (3x2 − 5x)
b)
(4x − 9) · (4x + 9)
c)
(5x − 3)2
d)
x(x2 + 4) − 3(x2 + 4)
e)
(3x + 2) · (3x − 2) − (4x + 7)2
f)
(x + 4)3 + 2x3
3. Realice las operaciones indicadas y simplique la expresión.
a)
5x3 · (2x4 − 5x3 + 7x2 − 9)
b)
4x · (3x4 − 5x3 ) − 2x2 · (7x3 + x2 )
c)
(2x + 1) · (3x2 − x + 4)
4. Halle el cociente y el residuo que se obtienen al dividir los polinomios.
a)
(−6x5 − 5x4 + 9x3 ) ÷ (x + 2)
b)
(3x4 + 6x3 − 2x2 + 12x) ÷ (x4 − 2x3 + 6)
c)
(12x3 − 5x2 − 2x − 5) ÷ (x − 1)
d)
(2x5 + x4 + 4x2 + 10x − 3) ÷ (x3 + 3x + 5)
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
1.5 Factorización de polinomios
e)
31
(6x7 + 2x5 + 20x3 − 12x2 − 16x) ÷ (2x3 + 2x2 − 8)
1.5 Factorización de polinomios
La factorización de polinomios es el proceso inverso de la multiplicación. En la sección anterior vimos cómo
multiplicar dos polinomios y el resultado era otro polinomio que quedaba expresado en su forma expandida
an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 .
En esta sección queremos, dado un polinomio en su forma expandida,
poder encontrar polinomios que, al multiplicarlos, el resultado sea dicho polinomio. Por ejemplo,
multiplicamos
−−−−−−−−−−→
(3x + 2) · (4x − 5) = 12x2 − 7x − 10
factorizamos
−−−−−−−−−→
12x − 7x − 10 = (3x + 2) · (4x − 5)
2
Veremos varios casos de factorización que debemos tener en mente cuando queramos factorizar un
polinomio.
Factor común
Lo primero que debemos hacer cuando queramos factorizar un polinomio es mirar si todos sus términos
tienen algún factor en común. Un factor en común es una expresión que está multiplicando a todos
los términos. Si lo tienen, el polinomio se puede expresar como el producto de este factor común y un
polinomio cuyos términos son iguales a los términos del polinomio original divididos entre el factor común.
Ejemplo 1. Halle el factor común de lo términos del polinomio
16x5 − 20x4 + 12x3
y factorícelo.
Solución.
Para hallar el factor común de los términos de este polinomio primero miramos si los coecientes tienen
un factor en común. El factor más grande que tienen en común los coecientes es el máximo común divisor
que en este caso es
4,
pues
4
divide a
16,
a
−20
y a
12
y es el número entero más grande que divide a los
tres.
Ahora miramos las potencias de
x
3
x.
La potencia más grande que está multiplicando a los tres términos es
(es la potencia que tenga el menor exponente, pues debe ser factor de todos los términos).
Así, el factor común de este polinomio es
4x3 .
4x3 , entonces
16x − 20x + 12x debe ser igual a 4x · (A + B + C), de tal forma que al multiplicar 4x por (A + B + C)
16x5
−20x4
12x3
5
4
3
2
obtengamos 16x − 20x + 12x . Por lo tanto A =
=
4x
, B =
=
−5x
y C =
= 3.
4x3
4x3
4x3
Ahora debemos factorizarlo. Como los tres términos del polinomio tienen como factor a
5
4
3
3
Entonces
16x5 − 20x4 + 12x3 = 4x3 · (4x2 − 5x + 3)
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
3
32
Módulo 1. Álgebra
Trinomios de grado 2
2. Estos son los polinomios de la forma ax2 +bx+c.
Ahora veremos cómo factorizar los trinomios de grado
Primero debemos estudiar cómo se factorizan estos trinomios cuando el coeciente principal es
primero estudiaremos la factorización de los polinomios de la forma
Si queremos factorizar el polinomio
dos polinomios de grado
2
x + bx + c
1
de la forma
debe ser igual a
x2 + bx + c,
(x + M )
(x + M ) · (x + N ).
y
1, es decir,
2
x + bx + c.
entonces lo debemos expresar como multiplicación de
(x + N ),
donde
M
y
N
son números enteros. Es decir,
Al multiplicar estos dos polinomios obtenemos
(x + M ) · (x + N ) = x2 + N x + M x + M · N
= x2 + (N + M )x + M · N
Entonces
M
y
N
deben ser dos números tales que
M ·N =c
y
M +N =b
para que
x2 + bx + c = x2 + (N + M )x + M · N
Ejemplo 2. Factorice el trinomio
x2 − 4x − 12.
Solución.
Debemos buscar dos números
otro positivo) y que
M = −6
y
N =2
M
y
N
tales que
M · N = −12
(por lo tanto uno debe ser negativo y el
M + N = −4.
satisfacen las dos condiciones (−6
· 2 = −12
y
−6 + 2 = −4),
así que la factorización
(x − 6) · (x + 2).
de este trinomio es
Es posible que debamos ensayar varias veces al escoger dos números tales que
trar los que cumplen la segunda condición,
M ·N = c
hasta encon-
M +N = b. Este procedimiento se realiza por ensayo y error".
Ahora que ya sabemos cómo factorizar trinomios de grado dos que tienen coeciente principal
a=1
podemos ver cómo factorizar los demás trinomios de grado 2.
Para factorizar el trinomio
ax2 + bx + c
vamos a multiplicarlo y dividirlo por
a
(debemos mantener
igual el polinomio):
ax2 + bx + c =
a(ax2 + bx + c)
a
multiplicamos y dividimos por
=
a2 x2 + abx + ac
a
multiplicamos
=
(ax)2 + b(ax) + ac
a
reescribimos los dos primeros términos y
a
por cada término en el numerador
utilizamos la propiedad
Esto nos permite hacer un cambio de variable
1
z = ax
a
6
de los exponentes
y obtener un trinomio con coeciente principal
en el numerador de la expresión:
z 2 + bz + ac
a
Luego debemos factorizar el trinomio que quedó en el numerador usando la técnica de ensayo y error.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
1.5 Factorización de polinomios
33
Cuando lo hayamos hecho debemos cambiar nuevamente la variable
factor de
a
z
por
ax
y nalmente simplicar un
que debe quedar en el numerador.
Ejemplo 3. Factorice el trinomio
4x2 − 11x + 6.
Solución.
4(4x2 − 11x + 6)
4
multiplicamos y dividimos por
=
42 x2 + 4 · (−11x) + 24
4
multiplicamos
=
(4x)2 − 11(4x) + 24
4
reescribimos los dos primeros términos
4x2 − 11x + 6 =
4
4
por cada término en el numerador
dejando indicados los productos
=
z 2 − 11z + 24
4
reemplazamos
Ahora, para factorizar el trinomio
4x
por
y
N = −3
4x2 − 11x + 6 =
satisfacen las dos condiciones así que
y
− 11(4x)
en ambas apariciones
z 2 − 11z + 24 debemos hallar dos números M
(ambos deben ser positivos o ambos deben ser negativos) y que
M = −8
z
(4x)2
y
N
tales que
M · N = 24
M + N = −11.
z 2 − 11z + 24 = (z − 8) · (z − 3).
z 2 − 11z + 24
4
=
(z − 8) · (z − 3)
4
utilizamos la factorización que encontramos
=
(4x − 8) · (4x − 3)
4
reemplazamos nuevamente
=
4 · (x − 2) · (4x − 3)
4
sacamos un factor común de
= (x − 2) · (4x − 3)
z
por
4
4x
del primer factor
simplicamos la fracción
Entonces la factorización del trinomio es
4x2 − 11x + 6 = (x − 2) · (4x − 3)
Casos especiales
A veces debemos reconocer que el polinomio es una diferencia de cuadrados, una diferencia de cubos o
una suma de cubos para factorizarlo con las siguientes fórmulas especiales.
Diferencia de cuadrados
Recordemos que cuando multiplicamos expresiones de la forma
(A + B) · (A − B) obtenemos A2 − B 2 , una
resta de dos expresiones elevadas al cuadrado. Entonces la factorización de una resta de dos cuadrados es
A2 − B 2 = (A + B) · (A − B)
Ejemplo 4. Factorice el polinomio
81x4 − 16.
Solución.
Observamos que el polinomio es una resta de dos términos que son ambos una expresión elevada al
cuadrado. El primer término es
81x4 = (9x2 )2
y el segundo es
16 = 42 .
Tenemos entonces que
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
34
Módulo 1. Álgebra
81x4 − 16 = (9x2 )2 − 42
tiene la forma
A2 − B 2 ,
= (9x2 + 4) · (9x2 − 4)
se factoriza como
= (9x2 + 4) · (3x + 2) · (3x − 2)
el factor
9x2 − 4
cuadrados con
donde
A = 9x2
y
B=4
(A + B) · (A − B)
es también una diferencia de
2
A = (3x)2
y
B 2 = 22
En el ejemplo anterior utilizamos la fórmula de diferencia de cuadrados dos veces pues cuando factorizamos
por primera vez como diferencia de cuadrados apareció nuevamente una resta de dos expresiones elevadas
al cuadrado. La suma de dos cuadrados no se puede factorizar, por eso no factorizamos el polinomio
9x2 + 4.
Diferencia de cubos
Cuando tenemos un polinomio que es una resta de dos expresiones elevadas al cubo lo factorizamos así:
A3 − B 3 = (A − B) · (A2 + AB + B 2 )
porque
(A − B) · (A2 + AB + B 2 ) = A3 + A2 B + AB 2 − BA2 − AB 2 − B 3
multiplicamos los
dos polinomios
3
=A −B
3
restamos
y
Ejemplo 5. Factorice el polinomio
A2 B − BA2
AB 2 − AB 2
x3 − 27.
Solución.
Identicamos que el polinomio es una resta de dos expresiones elevadas al cubo y utilizamos la fórmula
anterior donde
A=x
y
B=3
pues
27 = 33 .
x3 − 27 = x3 − 33
= (x − 3) · (x2 + 3x + 9)
El polinomio
x2 + 3x + 9
es un trinomio de grado
cómo saber si un trinomio de grado
trinomios de grado
2
2
que no se puede factorizar. Más adelante veremos
2 se puede factorizar o no. Sin embargo, damos como hecho que estos
que aparecen en una factorización de diferencia de cubos (o de suma de cubos)
nunca se pueden factorizar. Así la factorización completa del polinomio es:
x3 − 27 = (x − 3)(x2 + 3x + 9)
Suma de cubos
La fórmula para factorizar una suba de dos expresiones elevadas al cubo es:
A3 + B 3 = (A + B) · (A2 − AB + B 2 )
porque
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
1.5 Factorización de polinomios
35
(A + B) · (A2 − AB + B 2 ) = A3 − A2 B + AB 2 + BA2 − AB 2 + B 3
multiplicamos los
dos polinomios
3
=A +B
3
restamos
y
Ejemplo 6. Factorice el polinomio
−A2 B + BA2
AB 2 − AB 2
8x3 + 1.
Solución.
Utilizaremos la fórmula de suma de cubos, ya que
8x3 + 1 = (2x)3 + 13
8x3 = (2x)3
y
1 = 13 .
escribimos el polinomio como
suma de cubos
= (2x + 1)((2x)2 − (2x) · 1 + 12 )
factorizamos la suma de cubos
2
= (2x + 1)(4x − 2x + 1)
Este trinomio de grado
2
no se pueden factorizar, así que hemos terminado de factorizar el polinomio:
8x3 + 1 = (2x + 1)(4x2 − 2x + 1)
Agrupación de términos
Finalmente veremos la técnica de agrupar términos para factorizar el polinomio. La idea de esta técnica
es agrupar los términos del polinomio en dos grupos que tengan algún factor común y ver si al sacar estos
factores comunes resultan siendo factor del mismo polinomio. Explicaremos esta técnica con un ejemplo.
Ejemplo 7. Factorice el polinomio
5x3 − 2x2 + 20x − 8.
Solución.
Agruparemos los dos primeros términos y los dos últimos términos y factorizaremos el factor común de
cada grupo:
5x3 − 2x2 + 20x − 8 = x2 (5x − 2) + 4(5x − 2)
| {z } | {z }
Ahora podemos pensar que este polinomio tiene
tienen un factor común que es
(5x − 2),
2
términos,
x2 (5x − 2)
y
4(5x − 2).
Estos dos términos
entonces factorizamos este factor común de ambos términos y
obtenemos
x2 (5x − 2) + 4 (5x − 2) = (5x − 2)(x2 + 4)
Como la suma de cuadrados no se puede factorizar, hemos terminado de factorizar el polinomio:
5x3 − 2x2 + 20x − 8 = (5x − 2)(x2 + 4)
Factorización con división de polinomios
p(x)
y obtenemos un residuo r(x) = 0, tenemos que el algoritmo de
d(x)
p(x) = d(x) · q(x), donde q es el cociente de esta división. En este caso queda factorizado
Cuando dividimos dos polinomios
la
división es
el
polinomio
p
como la multiplicación del divisor
3
Ejemplo 8. Divida los polinomios
nomio
3
2
d
y el cociente
q
de esta división.
2
3x + 13x − 11x − 5
x−1
y utilice esta división para factorizar el poli-
3x + 13x − 11x − 5.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
36
Módulo 1. Álgebra
Solución.
Hagamos primero la división de polinomios:
3x2 + 16x +
x−1
5
3x3 + 13x2 − 11x −
5
− ( 3x3 − 3x2 )
16x2 − 11x −
5
−( 16x2 − 16x )
5x −
− ( 5x −
5
5)
0
Obtuvimos un residuo de
0.
El algoritmo de la división para este caso es
3x3 + 13x2 − 11x − 5 = (x − 1)(3x2 + 16x + 5)
Para terminar de factorizar el polinomio podemos utilizar la técnica que aprendimos sobre factorización
de trinomios de grado 2:
3(3x2 + 16x + 5)
3
multiplicamos y dividimos por
=
(3x)2 + 16(3x) + 15
3
multiplicamos
3
=
z 2 + 16z + 15
3
reemplazamos
3x
=
(z + 15)(z + 1)
3
factorizamos el trinomio de coeciente principal
=
(3x + 15)(3x + 1)
3
reemplazamos
=
3(x + 5)(3x + 1)
3
factorizamos un factor común
3x2 + 16x + 5 =
= (x + 5)(3x + 1)
z
simplicamos el
3
por cada término del numerador
por
por
z
3x
3
del primer factor
3
Así, la factorización completa del polinomio es
3x3 + 13x2 − 11x − 5 = (x − 1)(x + 5)(3x + 1)
Ejercicios de la sección 1.5
1. Factorice los polinomios.
a)
1
6x5 + 5x4
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
1.5 Factorización de polinomios
b)
x2 + 7x + 12
c)
x2 − 2x − 48
d)
x4 + x3 − 12x2
2. Factorice los polinomios.
a)
2x2 + x − 1
b)
4x2 − 5x − 6
c)
6x2 + 19x + 10
d)
6x2 + x − 12
e)
8x3 − 14x2 − 15x
3. Factorice los polinomios.
a)
25x2 − 1
b)
12x2 − 27
c)
100x4 − 64
4. Factorice los polinomios.
a)
x3 − 1
b)
8x3 + 27
c)
x6 − 1000x3
5. Factorice los polinomios.
a)
x3 − 3x2 + 2x − 6
b)
x3 − x2 − x + 1
c)
9x3 − 9x2 − 4x + 4
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
37
38
Módulo 1. Álgebra
6. Divida los polinomios
p(x)
q(x)
y utilice esta división para factorizar el polinomio
a)
p(x) = 14x2 + 79x + 72,
b)
p(x) = 3x3 − 7x2 − 18x − 8, q(x) = x + 1
c)
p(x) = x4 − 9x2 + 4x + 12, q(x) = x2 − x − 2
p.
q(x) = 2x + 9
1.6 Expresiones racionales
En esta sección estudiaremos fracciones que tienen polinomios como numerador y denominador. Estas
fracciones las llamamos expresiones racionales". Veremos cómo simplicarlas y cómo multiplicar, dividir,
sumar y restar dos expresiones racionales.
Dominio de una expresión racional
El dominio de una expresión racional es el conjunto de todos los números reales que pueden ser reemplazados en el lugar de
x
sin que hagan que el denominador sea
0.
Ejemplo 1. Halle el dominio de las expresiones racionales.
a)
x2 − 4
x+6
b)
4x2 + 7
x2 + 2x − 8
Solución.
a) El dominio de
x2 − 4
x+6
es el conjunto de todos lo números reales excepto
−6,
porque al reemplazar
2
x = −6 en la expresión, obtenemos
R \ {−6}.
(−6) − 4
32
=
−6 + 6
0
que no está denido. Este conjunto lo escribimos
4x2 + 7
no se ve tan claramente a menos de que factoricemos el denominador.
x2 + 2x − 8
2
4x + 7
4x2 + 7
Tenemos que
=
. Así, el dominio de esta expresión es el conjunto de tox2 + 2x − 8
(x + 4)(x − 2)
dos los números reales excepto −4 y 2 ya que al reemplazar estos números obtenemos una expresión
b) El dominio de
que no está denida por tener
0
en el denominador:
4(−4)2 + 7
64 + 7
=
(−4 + 4)(−4 − 2)
0 · (−6)
71
=
0
Entonces el dominio de esta expresión es
4(2)2 + 7
(2 + 4)(2 − 2)
R \ {−4, 2}.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
=
16 + 7
6·0
23
=
0
1.6 Expresiones racionales
39
Simplicar una expresión racional
Al igual que con las fracciones de números enteros, cuando una expresión racional tiene un factor común en
el numerador y en el denominador, podemos simplicarla para obtener una expresión racional equivalente.
Para ver los factores del numerador y del denominador es necesario factorizar ambos polinomios.
Ejemplo 2. Simplique la expresión racional
x2 − 1
.
x2 + 3x − 4
Solución.
Debemos factorizar el numerador y el denominador de esta expresión y ver si tienen algún factor en
común.
(x + 1)(x − 1)
x2 − 1
=
x2 + 3x − 4
(x + 4)(x − 1)
=
(x + 1)
(x
−
1)
(x + 4)
(x
− 1)
=
x+1
x+4
factorizamos numerador y denominador
simplicamos el factor común
x−1
Es importante observar que al simplicar esta expresión obtuvimos una expresión que tiene un dominio
diferente. El dominio de la expresión
x+1
x+4
es
(x + 1)(x − 1)
(x + 4)(x − 1)
es
R\{−4, 1} y el dominio de la expresión simplicada
R \ {−4}.
Producto de expresiones racionales
El producto de dos expresiones racionales se realiza igual que el producto de fracciones, debemos multiplicar los dos numeradores y los dos denominadores y ponerlos, correspondientemente, en el numerador
y en el denominador de la fracción de resultado. También sugerimos, en caso de ser posible, simplicar
antes de multiplicar las expresiones.
Ejemplo 3. Multiplique las expresiones
x2 + 2x − 3 3x2 + 12x
·
x2 + 8x + 16
x−1
y simplique el resultado.
Solución.
Antes de multiplicar los numeradores y los denominadores, miremos si hay factores que se puedan simplicar. Para esto, debemos factorizar los polinomios.
x2 + 2x − 3 3x2 + 12x
(x + 3)(x − 1) 3x(x + 4)
·
=
·
2
x + 8x + 16
x−1
(x + 4)2
x−1
=
3x(x + 3)(x − 1)(x + 4)
(x + 4)2 (x − 1)
factorizamos los polinomios
dejamos indicados los productos de
numeradores y denominadores
=
3x(x + 3)
(x
−
1)X
(xX
+X
4)
X
2
(x + 4)A
(x
− 1)
=
3x(x + 3)
x+4
simplicamos un factor
3x2 + 9x
x+4
multiplicamos
=
y un factor
x+4
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
x−1
40
Módulo 1. Álgebra
División de expresiones racionales
Dividimos expresiones racionales de la misma forma en que dividimos fracciones de números, es decir,
multiplicando por el inverso multiplicativo de la expresión racional que está dividiendo. También simplicaremos la expresión antes de hacer las multiplicaciones.
Ejemplo 4. Divida las expresiones
x−4
x2 − 3x − 4
÷
x2 − 4 x2 + 5x + 6
y simplique el resultado.
Solución.
x2 − 3x − 4
x − 4 x2 + 5x + 6
x−4
÷
=
·
x2 − 4 x2 + 5x + 6
x2 − 4 x2 − 3x − 4
multiplicamos por la fracción inversa
=
x−4
(x + 2)(x + 3)
·
(x − 2)(x + 2) (x − 4)(x + 1)
factorizamos los polinomios
=
X
(x
−
4)
(xX
+X
2)(x + 3)
X
·
X
X
(x − 4)(x + 1)
(x − 2)(x +X
2) X
simplicamos un factor
=
x2
x+3
−x−2
y un factor
x−4
x+2
multiplicamos
Suma y resta de expresiones racionales
Al igual que con las fracciones de números, para sumar y restar expresiones racionales debemos hallar el
mínimo común denominador. Este se halla de la misma manera que hallamos el mínino común denominador de fracciones de números, es el mínimo común múltiplo de los denominadores. El mínimo común
denominador de dos expresiones racionales es el producto de todos los factores comunes y no comunes
que aparezcan en la factorización de los denominadores, elevados al mayor exponente que aparece en las
factorizaciones.
Ejemplo 5. Halle el mínimo común denominador de las expresiones
x+3
x4 + x3
y
x3
x2 + 2
.
+ 2x2 + x
Solución.
Para hallar el mínimo común denominador debemos factorizar los denominadores:
x+3
x+3
= 3
x4 + x3
x (x + 1)
x3
y
x2 + 2
x2 + 2
x2 + 2
=
=
.
2
2
+ 2x + x
x(x + 2x + 1)
x(x + 1)2
El mínimo común denominador es
las factorizaciones,
x
y
x + 1,
x3 (x + 1)2
porque es el producto de los dos factores que aparecen en
elevados al mayor exponente que tengan en ambas factorizaciones.
Ejemplo 6. Sume las expresiones
x+3
x2 + 2
+
x4 + x3
x3 + 2x2 + x
y simplique el resultado.
Solución.
Para sumar las expresiones debemos hallar primero el mínimo común denominador que, como vimos en
el ejemplo anterior, es
x3 (x + 1)2 . Vamos a hallar fracciones equivalentes a las dos fracciones que debemos
sumar, que tengan como denominador a
x3 (x + 1)2 . Para esto, tomamos a cada fracción con su denomina-
dor factorizado y hallamos los factores que le hagan falta para obtener el denominador común
x3 (x + 1)2 .
x+3
x+3
= 3
, a su denominador le falta un factor x+1 que al multiplicárselo dará como resultado
x4 + x3
x (x + 1)
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
1.6 Expresiones racionales
41
el mínimo común denominador
x2 + 2
x2 + 2
,
=
x3 + 2x2 + x
x(x + 1)2
x3 (x + 1)2
=x+1
x3 (x + 1)
.
a su denominador le falta un factor
sultado el mínimo común denominador
x3 (x + 1)2
= x2
x(x + 1)2
x2
que al multiplicárselo dará como re-
.
Así, las fracciones equivalentes son:
x2 + 2
x2 + 2
=
x3 + 2x2 + x
x(x + 1)2
x+3
x+3
= 3
x4 + x3
x (x + 1)
=
(x + 3) · (x + 1)
x3 (x + 1) · (x + 1)
=
(x2 + 2) · x2
x(x + 1)2 · x2
factorizamos los
denominadores
multiplicamos y dividimos
por los factores que
hacen falta
=
x2 + 4x + 3
x3 (x + 1)2
=
x4 + 2x2
x3 (x + 1)2
multiplicamos los factores
de los numeradores
Ahora que obtuvimos dos fracciones equivalentes que tienen el mismo denominador, sumamos sus numeradores:
x+3
x2 + 2
x2 + 4x + 3
x4 + 2x
+
=
+
x4 + x3
x3 + 2x2 + x
x3 (x + 1)2
x3 (x + 1)2
=
x2 + 4x + 3 + x4 + 2x2
x3 (x + 1)2
=
x4 + 3x2 + 4x + 3
x3 (x + 1)2
Ejemplo 7. Reste las fracciones
1
x
−
x − 2 (x + 3)2
reemplazamos por las fracciones
equivalentes
sumamos los numeradores
y simplique el resultado.
Solución.
Los denominadores de estas fracciones no tienen factores en común. Por lo tanto, el mínimo común
denominador es el producto de los dos denominadores,
(x − 2)(x + 3)2 .
x
1 · (x + 3)2
x · (x − 2)
1
−
=
−
2
x − 2 (x + 3)
(x − 2) · (x + 3)2
(x + 3)2 · (x − 2)
Entonces,
multiplicamos las fracciones por
los factores que le hacen falta a
sus denominadores para obtener
el mínimo común denominador
2
2
x + 6x + 9
x − 2x
−
(x − 1)(x + 3)2
(x − 2)(x + 3)2
multiplicamos los factores de los
=
x2 + 6x + 9 − (x2 − 2x)
(x − 2)(x + 3)2
restamos los numeradores
=
8x + 9
(x − 2)(x + 3)2
=
numeradores
Ahora veamos cómo realizar combinaciones de operaciones con expresiones racionales.
Ejemplo 8. Realice las operaciones indicadas y simplique el resultado.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
42
Módulo 1. Álgebra
4
x−
x−3
x
−2
x−2
Solución.
4
x−
x−3
x
−2
x−2
x2 − 3x − 4
x−3
=
x − 2 · (x − 2)
x−2
=
(x − 4)(x + 1)
x−3
x − 2x + 4
x−2
=
(x − 4)(x + 1)
x−3
−(x − 4)
x−2
=
restamos las expresiones del numerador y las del
denominador
!
(x − 4)(x + 1)(x − 2)
−(x − 3)(x − 4)
=−
(x
−
4)(x + 1)(x − 2)
(x − 3)
(x
−
4)
=−
(x + 1)(x − 2)
x−3
=−
x2 − x − 2
x−3
simplicamos
Ejemplo 9. Realice las operaciones indicadas y simplique el resultado.
x2 (x + 1) − 2x(x + 1)2
x2 + 5x + 6
Solución.
Vamos a factorizar el numerador y el denominador antes de realizar la resta del numeardor para ver si
hay factores que se puedan simplicar.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
1.6 Expresiones racionales
x(x + 1) x − 2 · (x + 1)
x2 (x + 1) − 2x(x + 1)2
=
x2 + 5x + 6
(x + 2)(x + 3)
43
factorizamos el factor común del
numerador y el trinomio del
denominador
=
x(x + 1)(x − 2x − 2)
(x + 2)(x + 3)
=
x(x + 1)(−x − 2)
(x + 2)(x + 3)
=
−x(x + 1)
(x
+
2)
(x
+
2)(x
+
3)
=
−x(x + 1)
x+3
=
−x2 − x
x+3
simplicamos
multiplicamos los facotres del numerador
Ejercicios de la sección 1.6
1. Halle el dominio de las expresiones, multiplíquelas y simplique el resultado.
a)
x + 1 x2 − 5x
·
x2
x+1
b)
x2 + x − 20
x+4
· 2
x2 − 16
x + 6x + 5
c)
6x2 − x − 1
x4
·
x2 − x
3x2 − 2x − 1
2. Divida las expresiones y simplique el resultado.
a)
b)
c)
x2 + 7x − 8 x2 − 64
÷
x
x3
x+2
x2 + 8x + 15
x3 + 8
x2 + 2x − 3
x4 − 1
+ 2x2 + x
x3 + x
x2 + x − 2
x3
3. Realice las operaciones indicadas y simplique el resultado.
a)
x
3
−
x + 2 2x + 3
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
44
Módulo 1. Álgebra
b)
1
2
+
x2 + 3x x4 + 6x3 + 9x2
c)
1
1
− 2
x5 − 5x4
x (x − 5)3
4. Realice las operaciones indicadas y simplique el resultado.
1
x
4
x−
x
x−
a)
b)
1 1
−
x 7
x−7
c)
x−1 + 2−1
d)
x−2 − 5−2
x−1 + 5−1
−1
5. Realice las operaciones indicadas y simplique el resultado.
a)
2x(x − 3)2 − x2 (x − 3)
x2 − 6x
b)
(x + 3)(x − 2) − x2
x2 − 3x − 18
c)
(x − 4)(x + 1)(x + 3)
(x − 4)(x + 1) − (x − 4)(x + 3)
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
Módulo 2
Ecuaciones y desigualdades
2.1 Ecuaciones lineales
Una ecuación es un enunciado que establece una igualdad entre dos expresiones. Usualmente las ecuaciones
contienen variables, como por ejemplo la ecuación
2x − 5 = 7x − 20.
Este es un ejemplo de una ecuación lineal.
Un valor de la variable
mismo valor se llama una
de la ecuación es igual a
x
que hace que las dos expresiones de las dos lados de la igualdad tengan el
solución de la ecuación. Por ejemplo, si
2·3−5=1
y lado derecho es igual a
x = 3,
7 · 3 − 20 = 1.
entonces el lado izquierdo
Por lo tanto,
x=3
es una
solución de la ecuación
2x − 5 = 7x − 20.
Resolver una ecuación signica encontrar todas las soluciones de la ecuación. Más adelante mostraremos
que la solución
x=3
es la única solución de esa ecuación.
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones. Para resolver una
ecuación lineal, tratamos de hallar una ecuación equivalente más simple aplicando la misma operación a
ambos lados de la ecuación de la siguiente manera:
ˆ
Sumando o restando una misma cantidad a ambos lados de la ecuación.
ˆ
Multiplicando o dividendo ambos lados de la ecuación por una misma cantidad diferente de cero.
Ejemplo 1. Resuelva las siguientes ecuaciones.
a)
3x + 4 = −2
b)
2x − 5 = 7x − 20
c)
10x − 2(1 − 3x) − 8 = 4(2x − 7)
d)
2−
4
x+7 x
+ =
5
6
15
Solución.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
46
Módulo 2. Ecuaciones y desigualdades
3x + 4 = −2
a)
3x + 4 − 4 = −2 − 4
restamos
3x = −6
3x
−6
=
3
3
x = −2
4
a ambos lados
simplicamos
dividimos ambos lados entre
3
simplicamos
En la expresión del lado izquierdo de la ecuación primero multiplicamos
4.
4
a ambos lados y luego dividimos ambos lados entre
La ecuación
x = −2.
3x + 4 = −2
es equivalente a la ecuación
La solución única es
3
y luego sumamos
3x = −6
3.
y esta es equivalente a la ecuación
x = −2.
2x − 5 = 7x − 20
2x − 5 + 5 = 7x − 20 + 5
2x = 7x − 15
sumamos
5
a ambos lados
simplicamos
2x − 7x = 7x − 15 − 7x
restamos
7x
a ambos lados
−5x = −15
−5x
−15
=
−5
−5
simplicamos
x=3
simplicamos
La solución es
c)
por
Para resolver esta ecuación, deshacemos estas operaciones, pero en el orden opuesto: primero
restamos
b)
x
dividimos ambos lados entre
−5
x = 3.
10x − 2(1 − 3x) − 8 = 4(2x − 6)
10x − 2 + 6x − 8 = 8x − 24
simplicamos
16x − 10 = 8x − 24
simplicamos
16x − 10 + 10 = 8x − 24 + 10
16x = 8x − 14
16x − 8x = 8x − 14 − 8x
8x = −14
8x
−14
=
8
8
7
x=−
4
La solución es
x=−
sumamos
10
a ambos lados
simplicamos
restamos
8x
a ambos lados
simplicamos
dividimos ambos lados entre
8
simplicamos
7
.
4
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
2.1 Ecuaciones lineales
d)
47
x+7 x
4
+ =
5
6
15
x+7 x
4
30 · 2 −
+
= 30 ·
5
6
15
2−
multiplicamos ambos lados por
60 − 6(x + 7) + 5x = 8
simplicamos
60 − 6x − 42 + 5x = 8
simplicamos
−x + 18 = 8
simplicamos
−x + 18 − 18 = 8 − 18
La solución es
restamos
18
30
a ambos lados
−x = −10
−x
−10
=
−1
−1
simplicamos
x = 10
simplicamos
dividimos ambos lados entre
−1
x = 10.
En este ejemplo la ecuación original contiene fracciones. En vez de trabajar con fracciones, es más
fácil empezar multiplicando ambos lados por el mínimo común denominador de todas las fracciones
(en este caso mínimo común denominador de
5, 6
y
15
es
30).
Esto facilita los cálculos necesarios
para resolver la ecuación.
Es importante notar que si multiplicamos o dividimos ambos lados de una ecuación por la misma
cantidad producimos una ecuación equivalente sólo en el caso en el que esta cantidad sea diferente de
cero. Por ejemplo, si dividimos ambos lados de la ecuación
x2 = x
Sin embargo, estas dos ecuaciones no son equivalentes porque
pero no de la ecuación
x = 1.
entre
x,
obtenemos la ecuación
x = 0 es una solución de la ecuación x2 = x
La razón por la que en este caso dividir ambos lados entre
una ecuación equivalente es que la expresión
x
x = 1.
x
no produce
puede tomar el valor cero. Entonces, para producir una
ecuación equivalente, no debemos dividir o multiplicar ambos lados de una ecuación por una expresión
que pueda ser igual a cero.
Ejemplo 2. Resuelva la ecuación
x+1
= 0.
x−2
Solución.
x+1
=0
x−2
x+1
·
(x
−
2) = 0 · (x − 2)
x−
2
x+1=0
restamos
x = −1
1
a ambos lados
simplicamos
x = −1.
En este ejemplo multiplicamos ambos lados de la ecuación original por
puede tomar valor
x=2
valor
0
(cuando
x = 2),
x − 2.
y por eso la expresión
x−2
Como esta expresión
usualmente esta operación no está permitida. Pero en este caso, si
entonces el lado izquierdo de la ecuación original no está denido. Así que
2
x−2
simplicamos
x+1−1=0−1
La solución es
multiplicamos ambos lados por
x
no puede tomar el
nunca puede ser igual a cero.
La última ecuación es una ecuación racional. Veremos más sobre las ecuaciones de este tipo en la
siguiente sección.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
48
Módulo 2. Ecuaciones y desigualdades
Ecuaciones lineales con valor absoluto
Para resolver las ecuaciones con valor absoluto primero despejamos el valor absoluto y luego usamos la
siguiente propiedad.
Si
Si
a < 0,
la ecuación
|x| = a,
|x| = a
con
a ≥ 0,
entonces
x = −a
o
x = a.
no tiene soluciones.
Ejemplo 3. Resuelva las siguientes ecuaciones.
a)
|2x − 1| = 9
b)
2|6 − 3x| + 7 = 19
Solución.
a) Si
|2x−1| = 9, entonces 2x−1 = −9 o 2x−1 = 9. Por lo tanto reescribiremos la ecuación |2x−1| = 9
como dos ecuaciones lineales separadas:
2x − 1 = −9
Las soluciones son
x = −4
y
2x − 1 = 9
2x = −8
2x = 10
x = −4
x=5
x = 5.
b) Empezamos despejando el valor absoluto:
2|6 − 3x| + 7 = 19
2|6 − 3x| + 7 − 7 = 19 − 7
2|6 − 3x| = 12
2|6 − 3x|
12
=
2
2
|6 − 3x| = 6
Si
restamos
7
a ambos lados
simplicamos
dividimos ambos lados entre
2
simplicamos
|6−3x| = 6, entonces 6−3x = −6 o 6−3x = 6. Por lo tanto reescribiremos la ecuación |6−3x| = 6
como dos ecuaciones lineales separadas:
6 − 3x = −6
−3x = −12
x=4
Las soluciones son
x=0
y
6 − 3x = 6
−3x = 0
x=0
x = 4.
Modelos con ecuaciones lineales
Veamos ahora cómo aplicar las ecuaciones lineales a situaciones de la vida real. En los siguientes ejemplos
tenemos un problema descrito con palabras. Debemos darle un signicado a una variable (que se puede
llamar
x
o podemos utilizar otra letra) y plantear una ecuación que modele la situación descrita en el
problema. Finalmente, al resolver la ecuación podremos responder la pregunta que nos hace el problema.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
2.1 Ecuaciones lineales
49
Ejemplo 4. Una ejecutiva de una compañía gana un salario mensual jo más un bono de Navidad de
10, 4
millones de pesos, ganando un total de
a) Si
x
148, 4
millones de pesos al año.
representa su salario mensual (en millones de pesos), plantee una ecuación de la que
x
sea
solución.
b) ¾Cuál es su salario mensual?
Solución.
a) La ejecutiva anualmente recibe 12 salarios mensuales y un bono de Navidad. Si
x
representa su
salario mensual (en millones de pesos), entonces
12x + 10, 4 = 148, 4
b) Resolvemos la ecuación
12x + 10, 4 = 148, 4
:
12x + 10, 4 = 148, 4
12x = 138
x = 11, 5
Su salario mensual es
11, 5
10, 4
restamos
a ambos lados y simplicamos
dividimos ambos lados entre
12
y simplicamos
millones de pesos.
Ejemplo 5. Hace cuatro años Lucía tenía un cuarto de la edad de su hermano y ahora tiene la mitad.
¾Cuántos años tiene Lucía?
Solución.
Representemos con
x
la edad actual de Lucía. Entonces su hermano actualmente tiene
cuatro años Lucía tenía
x−4
años y su hermano tenía
2x − 4
2x
representa la relación entre las edades de Lucía y su hermano hace cuatro años:
(x − 4) =
Despejemos
x
1
(2x − 4)
4
para obtener la edad actual de Lucía y responder la pregunta del problema.
1
(2x − 4)
4
4(x − 4) = 2x − 4
(x − 4) =
4x − 16 = 2x − 4
Lucía tiene
6
multiplicamos ambos lados por
4
simplicamos
4x = 2x + 12
sumamos
16
a ambos lados y simplicamos
2x = 12
restamos
2x
a ambos lados y simplicamos
x=6
años. Hace
años. Tenemos la siguiente ecuación, que
dividimos ambos lados entre
2
y simplicamos
años.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
50
Módulo 2. Ecuaciones y desigualdades
Ejercicios de la sección 2.1
1. Resuelva las ecuaciones.
a)
3x − 7 = 9 − 5x
b)
3(x + 2) − 4 = 8 − 2x
c)
8(x + 2) = 2(4x − 1)
2. Resuelva las ecuaciones.
a)
b)
c)
2x + 1
=1
3
x+1
2x x − 3
+
=
3
2
4
x+2
x−1
−3=
−x
5
2
x−
3. Resuelva las ecuaciones.
a)
b)
c)
2x + 1
=0
x−3
6x − 1
=3
x+2
2
=3
x
4. Resuelva las ecuaciones.
a)
|3x + 1| = 5
b)
2|x − 3| + 4 = 20
5. Una madre tiene tres veces la edad de su hija y en 12 años tendrá dos veces su edad. ¾Cuál es la
edad actual de la hija?
6. Un camión sale a las 6am y anda a una velocidad de
60
kilómetros por hora. Dos horas y media
después un carro sale del mismo lugar y en la misma dirección, y anda a una velocidad de
80
kilómetros por hora. ¾A qué horas el carro alcanzará al camión?
7. El numerador de una fracción es dos tercios de su denominador. Si sumamos
al denominador la fracción se convierte en
8. Un vuelo de
555
1
.
2
5
al numerador y
15
Encuentre la fracción.
milas de distancia se hace a dos rapideces diferentes y se demora
5
horas en total.
La primera parte de vuelo, el avión lleva una rapidez de 105 millas por hora y la segunda parte la
rapidez es de
115
millas por hora. ¾Cuánto tiempo vuela el avión a cada una de las rapideces?
2.2 Ecuaciones no lineales
Ecuaciones cuadráticas
Una ecuación cuadrática es una ecuación que se puede reescribir de la forma
b
y
c
son constantes y
ax2 + bx + c = 0,
dónde
Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver obteniendo una ecuación equivalente de la forma
y luego, si
d ≥ 0,
a,
a 6= 0.
sacando la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación:
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
x2 = d
2.2 Ecuaciones no lineales
51
x2 = d
√
x2 = d
√
|x| = d
√
x=± d
√
Por lo tanto, la ecuación
x2 = d
sacamos la raíz cuadrada de ambos lados
se puede reescribir como
√
x = ± d.
Ejemplo 1. Resuelva las siguientes ecuaciones.
a)
x2 − 3 = 0
b)
(x + 1)2 − 7 = 0.
Solución.
a)
x2 − 3 = 0
x2 = 3
√
sumamos
3
a ambos lados
x=± 3
Las soluciones son
b)
√
x=− 3
y
√
x=
3.
(x + 1)2 − 7 = 0
(x + 1)2 = 7
√
x+1=± 7
x = −1 ±
Las soluciones son
√
7
sumamos
7
a ambos lados
restamos
1
a ambos lados
x = −1 −
√
7
y
x = −1 +
√
7.
En general, podemos completar el cuadrado del lado izquierdo de una ecuación cuadrática
0
para reescribir esa ecuación en la forma
2
b
b2 − 4ac
x+
=
.
2a
4a2
ax2 +bx+c =
Esto es:
ax2 + bx + c = 0
ax2 + bx = −c
b
2
a x + x = −c
a
b
c
x2 + x = −
a
a
2 2
b
b
b
c
x2 + x +
=
−
a
2a
2a
a
restamos
c
a ambos lados
factorizamos
a
en el lado izquierdo
dividimos ambos lados entre
sumamos
b
2a
a
2
a ambos lados para completar
el cuadrado del lado izquierdo
2
b
b2
c
x+
= 2−
2a
4a
a
2
b
b2 − 4ac
x+
=
2a
4a2
factorizamos el lado izquierdo
simplicamos
Por lo tanto
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
52
Módulo 2. Ecuaciones y desigualdades
2
b2 − 4ac
4a2
r
b
b2 − 4ac
x+
=±
2
2a
4a
√
b
b2 − 4ac
x=− ±
2a √
2a
2
−b ± b − 4ac
x=
2a
x+
b
2a
=
Entonces las soluciones de la ecuación cuadrática
fórmula
x=
se pueden obtener mediante la
√
b2 − 4ac
2a
fórmula cuadrática.
Esta fórmula es conocida como la
Ejemplo 2. Resuelva la ecuación
−b ±
ax2 + bx + c = 0
2x2 − 3x − 1 = 0.
Solución.
Para esta ecuación tenemos que
a = 2, b = −3
y
c = −1.
Entonces, aplicando la formula cuadrática con
estos valores tenemos que las soluciones son:
x=
−(−3) ±
p
√
(−3)2 − 4 · 2 · (−1)
3 ± 17
=
2·2
4
Esto signica que esta ecuación tiene dos soluciones,
x=
√
3−
17
4
≈ −0, 28
y
x=
3+
√
17
4
≈ 1, 78
Discriminante de una ecuación cuadrática
El discriminante de la ecuación cuadrática
cuadrada,
ˆ
Si
2
D = b − 4ac.
D >0
ax2 + bx + c = 0
es la expresión que está dentro de la raíz
Este número nos dirá cuántas soluciones tiene la ecuación.
√
± b2 − 4ac
entonces
toma dos valores reales diferentes (la raíz cuadrada positiva y la
raíz cuadrada negativa) y por lo tanto la ecuación cuadrática tiene
ˆ
Si
D = 0
√
entonces
b2 − 4ac = 0
dos soluciones reales distintas.
y por lo tanto la ecuación cuadrática tiene exactamente
una
solución real.
ˆ
Si
D<0
√
entonces
b2 − 4ac
es la raíz cuadrada de un número negativo (que es indenida) y por
lo tanto la ecuación cuadrática
no tiene soluciones reales.
Ejemplo 3. ¾Cuántas soluciones reales tiene la ecuación
4x2 − 2x + 1 = 0?
Solución.
Vamos a calcular el discriminante. Tenemos que
a = 4, b = −2
y
c = 1.
Entonces
D = (−2)2 − 4 · 4 · 1 = −12 < 0.
La ecuación no tiene soluciones reales.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
2.2 Ecuaciones no lineales
53
Método de factorización
A veces las ecuaciones cuadráticas también se pueden resolver usando el método de factorización. Este
método usa la siguiente propiedad del producto cero.
Si
Ejemplo 4. Resuelva la ecuación
AB = 0,
entonces
A=0
o
B = 0.
x2 − x − 6 = 0.
Solución.
x2 − x − 6 = 0
(x + 2)(x − 3) = 0
factorizamos el lado izquierdo
Por la propiedad del producto cero tenemos que
x+2=0
Despejando
x
x−3=0
o
en ambas ecuaciones tenemos que las soluciones son
x = −2
y
x = 3.
Si hubiéramos usados la fórmula cuadrática en el ultimo ejemplo, habríamos obtenido las mismas
soluciones:
x=
p
√
(−1)2 − 4 · 1 · (−6)
1 ± 25
1±5
=
=
2·1
2
2
1+5
1−5
= −2 o x =
=3
x=
2
2
−(−1) ±
Observación: Por otro lado, si resolvemos la ecuación cuadrática
cuadrática y obtenemos las soluciones
trinomio
ax2 + bx + c
x1
y
x2
ax2 + bx + c = 0
usando la formula
(no necesariamente distintas), entonces la factorizacíon del
es
ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ).
Ejemplo 5. Factorice el trinomio
6x2 + x − 2.
Solución. Empezamos resolviendo la ecuación cuadrática
Tenemos
x=
y
x=
−1 ±
p
6x2 + x − 2 = 0
usando la fórmula cuadrática.
√
12 − 4 · 6 · (−2)
−1 ± 49
−1 ± 7
=
=
2·6
12
12
−1 − 7
8
2
=−
=−
12
12
3
o
x=
−1 + 7
6
1
=
= .
12
12
2
Entonces la factorización del trinomio es
1
2
1
2
6x2 − 7x + 2 = 6 x −
x− −
=2 x−
3 x+
= (2x − 1)(3x + 2).
2
3
2
3
El método de factorización no solo funciona para las ecuaciones cuadráticas. También sirve para
resolver ecuaciones de grados mayores. Lo podemos aplicar siempre y cuando podamos reescribir la
ecuación de forma que un lado sea igual a
Ejemplo 6. Resuelva la ecuación
0
y el otro se pueda factorizar.
x4 = 25x2 .
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
54
Módulo 2. Ecuaciones y desigualdades
Solución.
x4 = 25x2
x4 − 25x2 = 0
restamos
x2 (x + 5)(x − 5) = 0
25x2
a ambos lados
factorizamos el lado izquierdo
Por la propiedad del producto cero tenemos que
x2 = 0
Por lo tanto las soluciones son
o
x = 0, x = −5
x+5=0
y
o
x−5=0
x = 5.
Ecuaciones racionales
A las ecuaciones que contienen expresiones racionales las llamamos ecuaciones racionales. Para resolver
una ecuación racional multiplicamos ambos lados por el mínimo común denominador de todas expresiones
racionales que aparecen en la ecuación. De esta forma, se simplican los denominadores y nos queda una
ecuación más sencilla.
Ejemplo 7. Resuelva la ecuación
x−3
13
8
− 2
= 2
.
x + 2 x − 4x + 4
x −4
Solución.
Primero debemos hallar el mínimo común denominador de las expresiones
Al factorizar los denominadores obtenemos que
8
,
x+2
x−3
x−3
=
x2 − 4x + 4
(x − 2)2
El mínimo común denominador es
y
8
x−3
,
x + 2 x2 − 4x + 4
y
13
.
x2 − 4
13
13
=
x2 − 4
(x − 2)(x + 2)
(x−2)2 (x+2). Ahora empezaremos a resolver la ecuación multiplicando
ambos lados por este mínimo común denominador. (Esta multiplicación está permitida porque el mínimo
común denominador
(x − 2)2 (x + 2)
es igual a cero solo para
x = −2
y
x = 2,
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
pero para estos valores de
2.2 Ecuaciones no lineales
x
55
la ecuación original no está denida).
8
x−3
13
− 2
= 2
x + 2 x − 4x + 4
x −4
x−3
13
8
· (x − 2)2 (x + 2) =
−
· (x − 2)2 (x + 2)
x + 2 (x − 2)2
(x − 2)(x + 2)
multiplicamos ambos lados por
(x − 2)2 (x + 2)
8
x−3
13
(xX
+X
2)
· (x − 2)2X
· (x − 2)2
(x
+
2) −
(x
−
2)2 (x + 2) =
X
X
2 ·
(xX
+X
2)
x+
2
(x
−
2)
(x
−
2)
X
distribuimos en el lado izquierda
(x − 2)2 (x + 2)
8(x − 2)2 − (x − 3)(x + 2) = 13(x − 2)
simplicamos
8x2 − 32x + 32 − (x2 − x − 6) = 13x − 26
7x2 − 44x + 64 = 0
expandimos
restamos
13x − 26
a ambos lados y simplicamos
(7x − 16)(x − 4) = 0
factorizamos el lado izquierdo
Por la propiedad del producto cero tenemos que
7x − 16 = 0
Por lo tanto las soluciones son
x=
16
7
y
o
x−4=0
x = 4.
Observación: En el último paso, en vez de factorizar y usar la propiedad del producto cero, se puede
usar la fórmula cuadrática.
Ecuaciones con radicales
Si la ecuación contiene una raíz cuadrada de una expresión en
x,
la resolveremos despejando la raíz
y elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación. Elevar al cuadrado ambos lados de una ecuación
no siempre produce una ecuación equivalente. Por ejemplo, la ecuación
ecuación
2
x =4
porque
−2
x = 2
no es equivalente a la
es solución de la segunda ecuación pero no de la primera. Cuando elevamos
al cuadrado ambos lados de una ecuación, vamos a obtener una ecuación que tiene las mismas soluciones
que la ecuación original, pero puede tener soluciones adicionales. Por eso, en este caso, debemos vericar
cuáles de las soluciones obtenidas al elevar ambos lados al cuadrado son las soluciones de la ecuación
original.
Ejemplo 8. Resuelva la ecuación
x=
√
2x + 1 + 1.
Solución.
Primero debemos despejar la raíz cuadrada y luego sí podemos elevar ambos lados de la ecuación al
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
56
Módulo 2. Ecuaciones y desigualdades
cuadrado.
x=
x−1=
√
√
2x + 1 + 1
2x + 1
restamos
(x − 1)2 = 2x + 1
1
a ambos lados
elevamos al cuadrado ambos lados
2
x − 2x + 1 = 2x + 1
expandimos el lado izquierdo
x2 − 4x = 0
restamos
x(x − 4) = 0
2x + 1
a ambos lados y simplicamos
factorizamos el lado izquierdo
Por la propiedad del producto cero tenemos que
x=0
o
x=4
Ahora debemos vericar si ambas soluciones son solución de la ecuación original. Para esto, reemplazamos
cada valor en la ecuación original y miramos si se cumple la igualdad.
ˆ x=0
no es una solución de la ecuación original porque el lado izquierdo es
derecho es
√
2 · 0 + 1 + 1 = 2.
ˆ x = 4 sí es solución de la
√
2 · 4 + 1 + 1 = 4. Así lado
Entonces la única solución es
0
mientras que el lado
Así el lado izquierdo no es igual al lado derecho.
ecuación original porque el lado izquierdo es
4
y el lado derecho es
izquierdo es igual al lado derecho.
x = 4.
Modelos con ecuaciones no lineales
Veamos cómo modelar algunos problemas de la vida real con ecuaciones no lineales.
Ejemplo 9. Un lote rectangular mide
8 metros más de largo que de ancho y tiene un área de 240 metros
cuadrados.
a) Si
x
representa el ancho del lote (en metros), plantee una ecuación de la que
x
sea solución.
b) Encuentre el ancho y el largo del lote.
Solución.
a) Si
x
es el ancho del lote, entonces el largo es
b) Resolvamos la ecuación
x+8
y el área es
x(x + 8) = 240.
x(x + 8) = 240:
x(x + 8) = 240
x2 + 8x = 240
multiplicamos el lado izquierdo
2
x + 8x − 240 = 240 − 240
restamos
x2 + 8x − 240 = 0
simplicamos
(x + 20)(x − 12) = 0
Esta ecuación tiene dos soluciones,
igual a
12
a ambos lados
factorizamos el lado izquierdo
x = −20
metros. Entonces, el largo es
y
x = 12.
x + 8 = 20
Ejemplo 10. Encuentre los puntos sobre la recta
a
240
Como el ancho no puede ser negativo, debe ser
metros.
y = 2x
tales que su distancia al punto
5.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
(−4, 2)
es igual
2.2 Ecuaciones no lineales
57
Solución. Recuerda que la distancia entre los puntos
d(A, B) =
Sea
P (x, y)
un punto sobre la recta
y = 2x
p
A(x1 , y1 )
y
B(x2 , y2 )
(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 .
a distancia
5
al punto
(−4, 2).
y = 2x entonces sus coordenada son (x, 2x). Ahora usando la
p
ecuación
(x − (−2))2 + (2x − 2)2 = 5. Resolvamos esa ecuación:
recta
p
es
Como el punto
P
está sobre la
formula de la distancia obtenemos la
(x − (−4))2 + (2x − 2)2 = 5
(x + 4)2 + (2x − 2)2 = 25
elevamos al cuadrado ambos lados
x2 + 8x + 16 + 4x2 − 8x + 4 = 25
expandimos el lado izquierdo
2
5x − 5 = 0
restamos
5(x + 1)(x − 1) = 0
25
a ambos lados y simplicamos
factorizamos el lado izquierdo
Por la propiedad del producto cero tenemos que
x = −1
o
x=1
Vericando vemos que ambas soluciones son solución de la ecuación original. Entonces los puntos
y
(1, 2)
son los punto sobre la recta
y = 2x
tales que su distancia al punto
(−4, 2)
Ejercicios de la sección 2.2
1. Resuelva las ecuaciones.
a)
x2 = 4
b)
4(x + 2)2 − 5 = 31
c)
x2 + x = 1
2. ¾Cuántas soluciones reales tienen las siguientes ecuaciones?
a)
b)
c)
x2 + 1 = 0
1 2
x −x=3
2
2
x − 6x + 9 = 0
3. Resuelva las ecuaciones.
a)
x2 + 5x = 14
b)
2x2 − x − 1 = 0
c)
4x3 = x
d)
6x2 − x = 2
4. Resuelva las ecuaciones.
a)
b)
c)
6
=1
x
9
4
20
+
=
x x−1
x+1
8x
1
9
−
= 2
2
x +x−2 x−1
x −1
x−
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
es igual a
5.
(−1.−2)
58
Módulo 2. Ecuaciones y desigualdades
4. Resuelva las ecuaciones.
a)
√
√
b)
5. La
x=x−2
x2 − 5 + 1 = −x
altura
de
una
2
−16(t − 1) + 144.
bola
(en
pies)
después
de
t
segundos
¾Cuándo alcanza la bola una altura de
135
está
dada
mediante
la
expresión
pies?
6. Si la edad de Juan se eleva al cuadrado, el resultado es el mismo que se obtiene al multiplicar la
edad de Juan por
22
y después sumarle
75.
¾Cuál es la edad de Juan?
7. Una caja con base cuadrada y sin tapa se va a construir a partir de un pedazo de cartón cuadrado,
cortándole cuadrados de
4
centímetros de lado a sus cuatro esquinas y doblando los lados hacia
arriba. ¾Cuáles deben ser las dimensiones del cartón para que la caja tenga un volumen de
576
centímetros cúbicos?
2.3 Desigualdades lineales
Una desigualdad es un enunciado que establece que una expresión es menor, menor o igual, mayor, o
mayor o igual que otra. Para expresar una desigualdad usamos uno de los cuatro símbolos
<, ≤, >
o
≥,
donde:
ˆ A<B
signica que
A
es menor que
ˆ A≤B
signica que
A
es menor o igual a
ˆ A>B
signica que
A
es mayor que
ˆ A≥B
signica que
A
es mayor o igual a
B
B
B
B
Una solución de una desigualdad que contenga una variable es un valor de la variable que hace que la
desigualdad sea cierta. Resolver una desigualdad signica encontrar todas las soluciones de la desigualdad.
Por ejemplo, para la desigualdad
x + 1 ≥ 5,
algunas soluciones son
al reemplazar estos valores en la expresión, cuando les sumamos
Pero
x=1
1
x = 4, x = 7
y
x = 10
ya que,
el resultado es mayor o igual que
5.
no es solución de esta desigualdad porque al reemplazarlo en la expresión, si le sumamos 1,
el resultado es menor que
5.
Usualmente una desigualdad tiene innitas soluciones que se escriben usando la notación de intervalos:
ˆ
Todos los números reales
intervalo
(−∞, b)
x
que son menores que cierto valor
b,
es decir
x < b,
se escriben como el
y su representación en la recta real es
b
ˆ
Todos los números reales
como el intervalo
(−∞, b]
x
que son menores o iguales a cierto valor
b,
es decir
y su representación en la recta real es
b
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
x ≤ b,
se escriben
2.3 Desigualdades lineales
ˆ
59
Todos los números reales
intervalo
(a, ∞)
x
que son mayores que cierto valor
a,
x > a,
es decir
se escriben como el
y su representación en la recta real es
a
ˆ
Todos los números reales
como el intervalo
[a, ∞)
x
a,
que son mayores o iguales a cierto valor
es decir
x ≥ a,
se escriben
y su representación en la recta real es
a
ˆ
x que son mayores que cierto valor a y menores que cierto valor b, es decir
Todos los números reales
a < x < b,
se escriben como el intervalo
(a, b)
y su representación en la recta real es
a
ˆ
x
Todos los números reales
es decir
a ≤ x < b,
b
que son mayores o iguales a cierto valor
se escriben como el intervalo
[a, b)
a
y menores que cierto valor
a
ˆ
a < x ≤ b,
b
x
Todos los números reales
es decir
que son mayores que cierto valor
se escriben como el intervalo
(a, b]
a
y menores o iguales a cierto valor
Todos los números reales
valor
b,
es decir
b
x
a ≤ x ≤ b,
b,
y su representación en la recta real es
a
ˆ
b,
y su representación en la recta real es
que son mayores o iguales a cierto valor
se escriben como el intervalo
[a, b]
a
y menores o iguales a cierto
y su representación en la recta real es
a
b
Para resolver una desigualdad lineal, como en el caso de las ecuaciones lineales, tratamos de hallar
una desigualdad equivalente más simple aplicando la misma operación a ambos lados de la desigualdad
de la siguiente manera:
ˆ
Sumando o restando una misma cantidad a ambos lados de la desigualdad
ˆ
Multiplicando o dividendo por una misma cantidad mayor que cero ambos lados de la desigualdad
ˆ
Multiplicando o dividendo por una misma cantidad menor que cero ambos lados de la desigualdad
e invirtiendo la dirección de la desigualdad
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
60
Módulo 2. Ecuaciones y desigualdades
Observemos que al multiplicar o dividir ambos lados de una desigualdad por una cantidad negativa
se invierte la dirección de la desigualdad:
2>1
(−2) · 2 < (−2) · 1
pero
Ejemplo 1. Resuelva la ecuación
2x − 3 = 5
porque
y la desigualdad
− 4 < −2
2x − 3 < 5.
Solución.
Resolvamos al tiempo la ecuación y la desigualdad lineal para ver que el procedimiento es muy similar.
2x − 3 = 5
2x − 3 < 5
2x − 3 + 3 = 5 + 3
2x − 3 + 3 < 5 + 3
a ambos lados
2x < 8
2x
8
<
2
2
simplicamos
x=4
x<4
simplicamos
-4
-3
-2
4
-4
-3
Ejemplo 2. Resuelva la ecuación
-2
dividimos ambos lados entre
2
(el símbolo de
la desigualdad no cambia porque
2
es positivo)
y su gráca es
-1
La solución de la desigualdad es el intervalo
-5
3
2x = 8
2x
8
=
2
2
La solución de la ecuación es el número
-5
sumamos
0
(−∞, 4)
-1
x = 7x + 12
0
1
2
3
4
5
3
4
5
7x
a ambos lados
y su gráca es
1
y la desigualdad
2
x < 7x + 12.
Solución.
x = 7x + 12
x < 7x + 12
x − 7x = 7x + 12 − 7x
x − 7x < 7x + 12 − 7x
−6x = 12
−6x
12
=
−6
−6
−6x < 12
−6x
12
>
−6
−6
restamos
simplicamos
dividimos ambos lados entre
(el símbolo de la desigualdad se
invierte porque
x = −2
x > −2
La solución de la ecuación es el número
-5
-4
-3
-2
−2
-1
La solución de la desigualdad es el intervalo
−6
−6
es negativo)
simplicamos
y su gráca es
0
(−2, ∞)
1
2
3
y su gráca es
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
4
5
2.3 Desigualdades lineales
-5
-4
61
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Ejemplo 3. Resuelva las siguientes desigualdades.
11x + 1
x 1
< +
6
3 2
a)
2x −
b)
−3 < 2x + 3 ≤ 5
Solución.
a)
11x + 1
x 1
< +
6 3 2
11x + 1
x 1
<6·
6 · 2x −
+
6
3 2
2x −
multiplicamos ambos lados por
12x − (11x + 1) < 2x + 3
distribuimos en ambos lados
x − 1 < 2x + 3
1
sumamos
x < 2x + 4
a ambos lados
simplicamos
x − 2x < 2x + 4 − 2x
restamos
2x
a ambos lados
−x < 4
−x
4
>
−1
−1
simplicamos
x > −4
simplicamos
dividimos ambos lados entre
La solución de la desigualdad es el intervalo
-4
6
simplicamos
x − 1 + 1 < 2x + 3 + 1
-5
6
-3
-2
(−4, ∞)
-1
b) En este caso tenemos dos desigualdades que
y su gráca es
0
x
−1
1
2
3
4
5
debe satisfacer simultáneamente. Las podemos re-
solver al tiempo:
−3 < 2x + 3 ≤ 5
−3 − 3 < 2x + 3 − 3 ≤ 5 − 3
restamos
−6 < 2x ≤ 2
2x
2
−6
<
≤
2
2
2
−3 < x ≤ 1
3
simplicamos
dividimos las tres expresiones entre
-4
2
simplicamos
La solución de la desigualdad es el intervalo
-5
a las tres expresiones
-3
-2
-1
(−3, 1]
y su gráca es
0
1
2
3
4
5
Modelos con desigualdades lineales
Ejemplo 4. Paula va a recibir la nota
es mayor o igual a
4, 25
y menor que
B+
4, 5.
en el curso si el promedio de las notas de sus cuatro parciales
Si Paula obtuvo
5, 4
notas podría obtener en el último parcial para recibir la nota
y
4, 5
B+
en los primeros tres parciales, ¾qué
en este curso?
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
62
Módulo 2. Ecuaciones y desigualdades
Solución.
Si
x
representa su nota en el último parcial, el promedio es
desigualdad
5 + 4 + 4, 5 + x
< 4, 5
4
13, 5 + x
4, 25 ≤
< 4, 5
4
5 + 4 + 4, 5 + x
4
y tenemos la siguiente
4, 25 ≤
4 · 4, 25 ≤ 4 ·
simplicamos
13, 5 + x
< 4 · 4, 5
4
multiplicamos las tres expresiones por
17 ≤ 13, 5 + x < 18
4
simplicamos
17 − 13, 5 ≤ 13, 5 + x − 13, 5 < 18 − 13, 5
restamos
13, 5
a las tres expresiones
3, 5 ≤ x < 4, 5
Para obtener la nota
que
B+
en el curso, Paula debe obtener una nota que sea mayor o igual a
3, 5
y menor
4, 5.
Desigualdades lineales con valor absoluto
Veamos algunas desigualdades que son lineales pero en las que la variable
x
aparece con valor absoluto.
Primero analizaremos qué intervalos representan las desigualdades de la forma
|x| ≥ a,
para números reales
a
y
b
|x| < b, |x| ≤ b, |x| > a
y
positivos.
Ejemplo 5. Resuelva la desigualdad
|x| < 2.
Solución.
Como
|x|
representa la distancia entre
x
y
0,
la solución de la desigualdad
los números reales tales que la distancia entre
x
y
0
es menor que
damos cuenta de que estos son todos los números entre
−2
y
2,
2.
|x| < 2
es el conjunto de todos
Si observamos la recta real, nos
esto es
−2 < x < 2
y la gráca de la
solución es:
-5
-4
-3
-2
-1
La solución de la desigualdad es el intervalo
ˆ
En general, la desigualdad
|x| < b,
donde
0
1
2
3
(−2, 2).
b>0
se puede reescribir como
−b < x < b.
Si
ˆ
b ≤ 0,
la desigualdad
|x| < b
En general, la desigualdad
no tiene solución.
|x| ≤ b,
donde
b≥0
se puede reescribir como
−b ≤ x ≤ b.
Si
b < 0,
la desigualdad
|x| ≤ b
Ejemplo 6. Resuelva la desigualdad
no tiene solución.
|x| ≥ 3.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
4
5
2.3 Desigualdades lineales
63
Solución.
La solución de la desigualdad
entre
x
y
0
es mayor o igual a
números menores o iguales a
-5
-4
|x| ≥ 3
3.
es el conjunto de todos los números reales tales que la distancia
Si observamos la recta real, nos damos cuenta de que estos son todos los
−3
o mayores que
-3
-2
ˆ
(−∞, −3]
y
0
x
[3, ∞).
|x| > a,
En general, la desigualdad
esto es
-1
La solución de la desigualdad es todos los
a la unión de los intervalos
3,
donde
ˆ
a < 0,
la solución de la desigualdad
|x| ≥ a,
En general, la desigualdad
a ≤ 0,
la solución de la desigualdad
La gráca de la solución es:
2
3
Esta unión la denotamos por
a≥0
|x| ≥ a
(−∞, −3]
5
o
[3, ∞),
es decir
(−∞, −3] ∪ [3, ∞).
x > a.
o
es
a>0
4
se puede reescribir como
(−∞, ∞)
(todos los números reales).
se puede reescribir como
x ≤ −a
Si
x ≥ 3.
que pertenezcan al intervalo
|x| > a
donde
o
1
x < −a
Si
x ≤ −3
x ≥ a.
o
es
(−∞, ∞)
(todos los números reales).
Ejemplo 7. Resuelva las siguientes desigualdades.
a)
|2x + 3| > 7
b)
8 − |4x + 1| ≥ 6.
Solución.
a) Reescribamos la desigualdad
|2x + 3| > 7
como
2x + 3 < −7
2x + 3 > 7.
o
Tenemos
2x + 3 < −7
2x + 3 > 7
2x + 3 − 3 < −7 − 3
2x + 3 − 3 > 7 − 3
2x < −10
−10
2x
<
2
2
x < −5
Entonces
x < −5
-5
o
-4
restamos
2x > 4
2x
−10
>
2
2
x>2
x > 2.
La solución es
-3
-2
0
a ambos lados
simplicamos
dividimos ambos lados entre
2
simplicamos
(−∞, −5) ∪ (2, ∞)
-1
3
1
y su gráca es:
2
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
3
4
5
64
Módulo 2. Ecuaciones y desigualdades
b) Primero despejamos el valor absoluto:
8 − |4x + 1| ≥ 6
restamos
−|4x + 1| ≥ −2
8
a ambos lados y simplicamos
dividmos ambos lados entre
−1
y volteamos el signo del desigualdad
|4x + 1| ≤ 2
Luego reescribimos la desigualdad
|4x + 1| ≤ 2
como
−2 ≤ 4x + 1 ≤ 2
y resolvemos ambas
desigualdades simultáneamente:
−2 ≤ 4x + 1 ≤ 2
−2 − 1 ≤ 4x + 1 − 1 ≤ 2 − 1
restamos
−3 ≤ 4x ≤ 1
3
4x
1
− ≤
≤
4
4
4
1
3
− ≤x≤
4
4
La solución es
-5
3 1
− ,
4 4
1
a a las tres expresiones
simplicamos
dividimos las tres expresiones entre
y su gráca es:
-4
-3
-2
-1 - 3
0
4
1
4
1
2
3
4
El signo de una expresión lineal
Determinar el signo de una expresión en una variable
x
signica obtener
ˆ
todos los valores de
x
para los cuales la expresión es negativa (menor que
ˆ
todos los valores de
x
para los cuales la expresión es igual a cero
ˆ
todos los valores de
x
para los cuales la expresión es positiva (mayor que
0)
0).
Ejemplo 8. Determine el signo de las siguientes expresiones.
a)
x+2
b)
3 − x.
Solución.
a) Debemos resolver estas dos desigualdades y esta ecuación:
x+2
4
es negativa
x+2<0
x < −2
x+2
es
0
x+2=0
x+2
es positiva
x+2>0
x = −2
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
x > −2
5
2.3 Desigualdades lineales
Entonces para todo
expresión
x+2
x
65
en el intervalo
(−∞, −2)
es igual a cero y para todo
x
la expresión
en el intervalo
x+2
(2, ∞)
es negativa, para
la expresión
x+2
x = −2
la
es positiva.
Esta información la podemos representar en una recta real como se muestra a continuación.
−
−
−
signo de x + 2
0
+
+
+
+
+
+
+
-2
b) Tenemos estos tres casos:
3−x
3−x
es negativa
3−x<0
es
3−x
0
3−x=0
es positiva
3−x>0
−x < −3
−x = −3
−x > −3
x>3
x=3
x<3
Esta información la representamos en la siguiente recta real:
+
+
+
+
+
+
+
+
signo de 3 − x
−
0
−
3
Observación. El signo de una expresión lineal solo cambia una vez. El número donde cambia el signo
de la expresión es precisamente el número que hace que la expresión sea igual a 0. Si tenemos en cuenta
esta observación, se nos facilitará encontrar el signo de una expresión lineal.
Ejercicios de la sección 2.3
1. Resuelva las desigualdades.
a)
b)
c)
1
x − 11
4
5 − (2x + 1) ≤ 10 + x
2 x+1
1
−
≥ +x
5
2
6
2x + 3 <
2. Resuelva las desigualdades.
a)
b)
1
x
≤ −1<2
3
2
−3 ≤ 1 − 2x < 1
3. Se estima que el costo anual de manejar cierto carro nuevo está dado por la formula
C = 0, 02x + 1, 2
donde
x
representa los kilómetros recorridos por año (en miles de kilómetros) y
millones de pesos). Sergio compró ese carro y decidió presupuestar entre
1, 6
y
3
C
es el costo (en
millones de pesos
para costos de manejo durante el año. ¾Cuál es el intervalo correspondiente de kilómetros que él
puede recorrer con su carro nuevo?
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
66
Módulo 2. Ecuaciones y desigualdades
4. Una compañía de alquiler de carros ofrece dos planes: el plan A que cuesta cada día
$100.000
más
$900 por cada kilómetro recorrido y el plan B que cuesta $145.000 por día con kilometraje ilimitado.
¾Para cuántos kilómetros recorridos en un día es el plan A más económico que el plan B?
5. Resuelva las desigualdades.
a)
|x − 3| ≤ 1
b)
|2x + 3| < 5
c)
|5x + 3| ≥ 8
d)
f)
|1 − 4x| > 3
3−x
>5
2
4|x + 2| + 5 ≤ 8
g)
3 − |4x + 1| < 7
e)
2.4 Desigualdades no lineales
Para obtener la solución de una desigualdad no lineal necesitamos saber cómo determinar el signo de una
expresión no lineal. Esto lo podemos hacer factorizando la expresión, de ser posible en factores lineales,
luego determinando el signo de cada factor y al nal aplicando la siguiente propiedad:
ˆ
El producto (o cociente) de dos cantidades positivas es positivo.
ˆ
El producto (o cociente) de dos cantidades negativas es positivo.
ˆ
El producto (o cociente) de una cantidades positiva y una cantidad negativa es negativo.
Ejemplo 1. Resuelva las siguientes desigualdades.
a)
x2 < 1
b)
2x ≤ x2 .
Solución.
a) Reescribamos la desigualdad como
los
x2 − 1 < 0. La solución de la desigualdad es el conjunto de todos
x para los cuales la expresión x2 − 1 es negativa. Determinaremos el signo de la expresión x2 − 1.
Al factorizar el lado izquierdo de la desigualdad obtenemos
x2 − 1 < 0
(x + 1)(x − 1) < 0
Entonces, para obtener el signo de
x2 − 1 ,
necesitamos determinar el signo de
x+1
y de
x − 1.
Graquemos la información de los signos de estos factores.
−
−
−
−
signo de x + 1
−
signo de x − 1
0
+
+
+
+
+
+
−
0
+
+
+
+
-1
−
−
−
−
1
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
2.4 Desigualdades no lineales
Por lo tanto el signo de
+
67
x2 − 1
+
es el producto de los signos en cada tramo de la recta real. Esto es:
+
+
−
0
signo de (x + 1)(x − 1)
+
0
-1
+
+
+
4
5
1
De esta gráca podemos leer que
ˆ x2 − 1 < 0
para
x
ˆ x2 − 1 = 0
para
x = ±1
ˆ x −1>0
para
x
2
en el intervalo
en
(−1, 1)
(−∞, −1) ∪ (1, ∞).
Entonces, la solución de la desigualdad
-5
-4
-3
x2 − 1 < 0
-2
-1
es
(−1, 1)
0
y su gráca es
1
2
Es importante notar que si tuviéramos que resolver la desigualdad
sería el mismo. En este caso la solución sería
(−∞, −1) ∪ (1, ∞)
y es igual a cero para
(−∞, −1] ∪ [1, ∞)
3
x2 − 1 ≥ 0
porque
x2 − 1
el procedimiento
es positivo para
x
en
x = ±1.
Observación. En este caso particular podemos resolver la desigualdad
x2 < 1
sacando raíz
cuadrada en ambos lados de la desigualdad. Se usa la siguiente propiedad:
Si
A<B
y
A, B ≥ 0
√
entonces
A<
√
B.
De hecho
x2 < 1
√
√
x2 < 1
|x| < 1
−1 < x < 1
y obtenemos la misma solución,
(−1, 1).
b) Reescribimos la desigualdad para que todos los términos diferentes de cero estén en un solo lado de
la desigualdad y factorizamos.
2x ≤ x2
2x − x2 ≤ 0
x(2 − x) ≤ 0
Ahora, usaremos los signos de
−
−
−
x
y
−
2−x
para determinar el signo de
signo de 2 − x
+
+
+
Tenemos
−
0
+
+
+
+
+
+
0
+
+
0
−
−
−
signo de x
+
x(2 − x).
2
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
68
Módulo 2. Ecuaciones y desigualdades
y
−
−
−
−
−
signo de x(2 − x)
−
0
0
Vemos de la recta real que
a cero para
+
0
−
−
2
x(2 − x) es negativo para x en el intervalo (−∞, 0) o en (2, ∞) y es igual
x = 0 o x = 2. Por lo tanto, la solución de la desigualdad es (−∞, 0] ∪ [2, ∞). Su gráca
es
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Observación. Si dividimos ambos lados de la desigualdad
dad
2≤x
cuya solución es el intervalo
entre una expresión que contenga a
La razón es que esta expresión en
nuestro caso
x
x,
x
[2, ∞).
2
2x ≤ x2
3
entre
x
4
5
obtenemos la desigual-
Entonces, dividir ambos lados de una desigualdad
puede producir una desigualdad con una solución diferente.
puede tener diferentes signos para diferentes valores de
puede ser negativo si
x<0
o positivo si
x > 0).
presión también puede tomar el valor cero (en nuestro caso si
x
(en
Además, en unos casos, esta ex-
x = 0).
Por esto, para resolver una
desigualdad, no debemos dividir ni multiplicar ambos lados de la desigualdad por una expresión
que contenga a
x.
Ejemplo 2. Resuelva la desigualdad
(x − 4)3 (2x − 1) > 0.
Solución.
Para determinar el signo de la expresión
(x − 4)
3
y
2x − 1.
Empezamos con el signo de
3
(x − 4) = (x − 4)(x − 4)(x − 4)
−
(x − 4)3 (2x − 1) > 0
−
−
el signo de
−
(x − 4)
3
(x − 4)
−
3
determinaremos el signo de sus factores
. Como
será igual al signo de
−
−
−
x − 4.
Tenemos
−
0
signo de x − 4
+
4
Por lo tanto
ˆ
si
x<4
el signo de
ˆ
si
x=4
entonces
ˆ
si
x>4
el signo de
Entonces el signo de
−
−
(x − 4)3 = negativo · negativo · negativo = negativo
(x − 4)3 = 03 = 0
(x − 4)3 = positivo · positivo · positivo = positivo
(x − 4)3
−
se representa en esta gráca:
−
−
−
−
−
−
signo de (x − 4)3
−
signo de 2x − 1
+
4
Ahora, así es el signo de
−
0
−
2x − 1:
−
−
−
0
+
+
+
1
2
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
+
+
2.4 Desigualdades no lineales
y por lo tanto así es el signo de
+
+
69
(x − 4)3 (2x − 1):
+
+
+
+
signo de (x − 4)3 (2x − 1)
-5
-4
−
−
(x − 4)3 (2x − 1) > 0
1
es −∞,
2 ∪ (4, ∞) y
-3
-2
-1
para
+
0
1
2
De la recta real leemos que
La solución de la desigualdad
−
0
4
x
en el intervalo
−∞, 12
o para
x
en
(4, ∞).
su gráca es
1
2
0
1
2
3
4
5
Podemos resolver desigualdades racionales de manera similar.
Ejemplo 3. Resuelva la desigualdad
x2 + x − 2
≤ 0.
x−2
Solución.
Todos los términos diferentes de cero están en el lado izquierdo de la desigualdad, por lo tanto podemos
factorizar de una vez el numerador y el denominador de la fracción.
x2 + x − 2
≤0
x−2
(x + 2)(x − 1)
≤0
x−2
Determinemos el signo de los factores
−
−
−
−
−
−
−
signo de x + 2
−
−
−
0
x+2
x−1
y
del numerador y del factor
−
−
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-2
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
0
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
1
−
−
0
+
+
+
+
+
+
+
signo de x − 2
El signo de
−
2
(x + 2)(x − 1)
x−2
−
signo de
es
−
(x + 2)(x − 1)
x−2
+
0
+
(1, 2)
y es igual a cero para
1
x = −2
o
-4
-3
-2
Ejemplo 4. Resuelva la desigualdad
(x + 2)(x − 1)
x−2
x = 1.
Por lo tanto, la solución de la desigualdad es
-5
−
0
-2
De la última recta real leemos que la expresión
o en
del denominador.
+
signo de x − 1
−
x−2
En
x=2
0
es negativa para
la expresión
1
+
+
2
(−∞, −2] ∪ [1, 2).
-1
+
I
x en el intervalo (−∞, −2)
(x + 2)(x − 1)
x−2
es indenida (I).
Su gráca es
2
3
3 − x2
< 0.
x+1
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
4
5
70
Módulo 2. Ecuaciones y desigualdades
Solución.
Todos los términos diferentes de cero están en el lado izquierdo de la desigualdad, por lo tanto podemos
factorizar de una vez el numerador y el denominador de la fracción.
3 − x2
<0
x+1
√
√
( 3 − x)( 3 + x)
<0
x+1
√
Determinemos el signo de los factores
+
+
signo de
−
−
signo de
−
+
√
−
√
3 + x del numerador y del factor x + 1 del denominador.
−
−
−
−
−
−
−
+
+0 −
√
3
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−
−
−
+
+
+
+
−
−
−
−0 +
√
- 3
− −
0
+
+
+
3−x
−
√
+
3−x y
−
3+x
−
−
signo de x + 1
+
-1
√
El signo de
√
( 3 − x)( 3 + x)
x+1
es
+
+
+
√
√
( 3 − x)( 3 + x)
signo de
x+1
0 − I
√
−1
- 3
+
(− 3, −1)
o
en
√
√
(− 3, −1) ∪ ( 3, ∞).
√
( 3, ∞).
Por
√
-4
tanto,
la
−
es negativa para
solución
de
la
x
−
en el intervalo
desigualdad
es
Su gráca es
-5
lo
−
0
√
3
√
√
( 3 − x)( 3 + x)
x+1
De la última recta real leemos que la expresión
√
+
-3
√
3
-2
Ejemplo 5. Resuelva la desigualdad
-1
0
1
3
2
3
4
5
8x
≥ 1.
9 − x2
Solución.
Debemos pasar todos los términos diferentes de cero al lado izquierdo de la desigualdad y luego restarlos.
8x
≥1
9 − x2
8x
−1≥0
9 − x2
8x − (9 − x2 )
>0
9 − x2
x2 + 8x − 9
>0
9 − x2
(x + 9)(x − 1)
>0
(3 − x)(3 + x)
restamos
1
a ambos lados
restamos
simplicamos
factorizamos el numerador y el denominador
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
2.5 Desigualdades no lineales
71
Determinemos el signo de los factores
x+9
y
x−1
del numerador y de los factores
3−x
y
3+x
del
denominador.
−
−
+
0
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−
−
−
+
−
+
−
+
−
−
−
+
−
−
−
+
−
+
−
+
−
−
−
+
0
−
+
+
−
+
+
−
0
+
1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−
−
(x + 9)(x − 1)
(3 − x)(3 + x)
+
0
+
+
+
-8
-7
+
0
+
3
+
−
−
−
+
+
+
+
I
−
−
−
-6
-4
-3
+
1
[−9, −3) ∪ [1, 3)
-5
0
-2
-1
I
−
−
−
3
−
−
+
+
b)
x2 ≤ 2x + 8
c)
6x2 − 1 < x
d)
x3 > 4x
(x + 1)3 (x − 4) > 0
b)
(x2 + 1)(x − 3)5 ≥ 0
c)
x3 < 5x2
0
1
2
3
4
5
6
3. Resuelva las desigualdades.
a)
b)
c)
(x − 2)(x + 1)
>0
(x + 4)2
4 − x2
≥0
x3
6−x
< −2
3−x
4. Resuelva las desigualdades.
a)
b)
−
−
−
+
+
+
−
−
−
−
(x + 9)(x − 1)
(3 − x)(3 + x)
y su gráca es
2. Resuelva las desigualdades.
a)
−
signo de
1. Resuelva las desigualdades.
x2 ≥ 9
+
signo de 3 − x
Ejercicios de la sección 2.4
a)
+
signo de 3 + x
-3
La solución de la desigualdad es
-9
+
es
-9
-11 -10
+
signo de x − 1
-3
El signo de
+
signo de x + 9
-9
−
+
(x + 3)(x2 − 5) > 0
x+1
≤1
7 − x2
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
7
8
9
10 11
72
Módulo 2. Ecuaciones y desigualdades
2.5 Ecuaciones lineales en dos variables y rectas
Una ecuación en dos variables es una ecuación que incluye dos variables, como
una ecuación en dos variables es un par de valores
par
y
(x, y) = (−1, 0)
y = 0,
obtenemos
es una solución de la ecuación
(x, y) que hacen verdadera la igualdad. Por ejemplo, el
y2 − x = 1
son constantes y
x = −1
porque si reemplazamos los valores
02 − (−1) = 1.
En esta sección consideraremos las ecuaciones lineales en dos variables
C
y 2 −x = 1. Una solución de
A
y
B
no son ambas iguales a
0.
Ax + By = C ,
A, B
donde
y
Estas ecuaciones tienen innitas soluciones.
Ejemplo 1. Encuentre cinco soluciones distintas de la ecuación
4x − y = 3.
Solución.
Despejando
y
vemos que la ecuación
4x − y = 3 es equivalente a la ecuación y = 4x − 3 (primero restamos
4x a ambos lados y luego multiplicamos ambos lados por −1). Un par (x, y) es una solución de la ecuación
si
y = 4x − 3.
De hecho, todas las soluciones de la ecuación son pares de la forma
(x, 4x − 3),
donde
x
es cualquier número real. Para encontrar cinco soluciones distintas de la ecuación podemos escoger cinco
valores distintos para
x
y hallar el valor de
y
mediante la ecuación
y = 4x − 3.
Si
x=0:
(x, y) = (x, 4x − 3) = (0, 4 · 0 − 3) = (0, −3)
Si
x=1:
(x, y) = (x, 4x − 1) = (1, 4 · 1 − 3) = (1, 1)
Si
x = −1 :
(x, y) = (x, 4x − 3) = (−1, 4 · (−1) − 3) = (−1, −7)
Si
x=2:
(x, y) = (x, 4x − 3) = (2, 4 · 2 − 3) = (2, 5)
Si
x = −2 :
(x, y) = (x, 4x − 3) = (−2, 4 · (−2) − 3) = (−2, −11)
En general, una ecuación lineal en dos variables
Ax + By = C
se puede reescribir en una de las dos
siguientes formas.
ˆ
Si
B 6= 0,
despejando
y
obtenemos
dividimos ambos lados entre
ˆ
Si
B = 0,
entonces
A 6= 0
y=−
B ).
y despejando
x
A
C
x+
B
B
(primero restamos
obtenemos
x=
C
A
Ax
de ambos lados y luego
(dividimos ambos lados entre
Por lo tanto, toda ecuación lineal en dos variables es equivalente a una ecuación de la forma
(donde
m = −A/B
y
b = C/B )
o una ecuación de la forma
x=a
(donde
(x, y)
y = mx + b
a = C/A).
La gráca de una ecuación en dos variables es el conjunto de todos los puntos
coordenado tales que
A).
(x, y)
en el plano
es una solución de la ecuación. En el caso de la ecuación lineal su gráca es
una recta. Por esto, la ecuación lineal también se llama ecuación de una recta.
Ejemplo 2. Trace la gráca de la ecuación
4x − y = 3.
Solución.
Como la ecuación dada es una ecuación lineal, su gráca es una recta. Para trazar su gráca podemos
ubicar dos puntos en el plano coordenado que sean dos soluciones distintas de la ecuación, por ejemplo
(0, −3)
y
(1, 1),
y luego los conectamos con una recta.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
2.5 Ecuaciones lineales en dos variables y rectas
73
y
y = 4x − 3
5
4
3
2
(1, 1)
1
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
−1
−2
−3
(0, −3)
−4
−5
Notemos que les otros tres puntos están sobre la recta.
Ejemplo 3. Trace la gráca de la ecuación
x = −3.
Solución.
La gráca de la ecuación
es cierta para todo par
x = −3
(−3, y),
es una recta. Esta ecuación, vista como una ecuación en dos variables,
donde
y
es cualquier número real. Para trazar su gráca, podemos ubicar
x = −3,
dos puntos que satisfagan la condición
por ejemplo
(−3, 1)
(para
y = 1)
y
(−3, 2)
(para
y = 2),
y luego los conectamos por medio de una recta.
y
x = −3
5
4
3
−5
−4
(−3, 2)
2
(−3, 1)
1
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
−1
−2
−3
−4
−5
En general, la gráca de una ecuación lineal en dos variables que sea de la forma
vertical.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
x=a
es una recta
74
Módulo 2. Ecuaciones y desigualdades
La ecuación y = mx + b
En la ecuación de la recta
y = mx + b,
entre el cambio en los valores de
y
a la constante
distintos que estén sobre la recta. Especícamente, si
recta
y = mx + b,
tenemos que
m=
De hecho, si
(x1 , y1 )
y1 = mx1 + b
y
y
(x2 , y2 )
y2 = mx2 + b.
m
se le llama la
y el cambio en los valores de
(x1 , y1 )
y
x,
pendiente y es igual a la razón
al tomar cualesquiera dos puntos
(x2 , y2 )
son dos puntos distintos sobre la
y2 − y1
.
x2 − x1
satisfacen la ecuación de la recta tenemos que
Entonces
y2 − y1
(mx2 + b) − (mx1 + b)
=
x2 − x1
x2 − x1
mx2 + b − mx1 − b
=
x2 − x1
mx2 − mx1
=
x2 − x1
m(x2 − x1 )
=
x2 − x1
restamos
factorizamos m
=m
simplicamos
y
5
4
y2 − y1
3
x2 − x1
2
1
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
5
−1
−2
−3
−4
−5
En particular la pendiente es igual al cambio en el valor de
decir que la pendiente
m
y
cuando
x
se aumenta en
mide la inclinación de la recta.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
1.
Podemos
2.5 Ecuaciones lineales en dos variables y rectas
75
y
5
4
m
3
1
2
1
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
5
−1
−2
−3
−4
−5
ˆ
Si
m > 0,
el valor de
y
x
aumenta cuando el valor de
se aumenta en
1
y la recta sube cuando la
1
y la recta baja cuando la
recorremos de izquierda a derecha.
ˆ
Si
m < 0,
el valor de
y
x
disminuye cuando el valor de
se aumenta en
recorremos de izquierda a derecha.
ˆ
Si
m = 0,
el valor de
y
no cambia cuando el valor de
Por lo tanto, una recta horizontal tiene ecuación
x
se aumenta en
1
y la recta es horizontal.
y = b.
x = a,
es
es el valor en el que la recta interseca el eje
y.
La pendiente de las rectas verticales, que están representadas por ecuaciones de la forma
indenida.
Ejemplo 4. Encuentre la pendiente de la recta que pasa por los puntos
(−2, 3)
y
(1, −4).
Solución.
Usemos la denición de pendiente con
m=
Por otro lado, la constante
La recta pasa por el punto
la ecuación
y = mx + b
b
x1 = −2, y1 = 3, x2 = 1
y2 = −4.
−7
7
−4 − 3
y2 − y1
=
=
=− .
x2 − x1
1 − (−2)
3
3
en la ecuación
(0, b)
y
porque si
está en la forma
y = mx + b
x = 0,
entonces
y = m · 0 + b = b.
Por lo tanto, decimos que
pendiente-punto de intersección. Esta forma se usa para
encontrar la ecuación de una recta para la que se conozcan la pendiente y la intersección con el eje
Ejemplo 5. Encuentre la ecuación de la recta que tiene pendiente
Solución.
Usemos la forma pendiente-punto de intersección con
m=−
5
4
y
−
5
4
y pasa por el punto
b = 3.
5
y = − x + 3.
4
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
(0, 3).
y.
76
Módulo 2. Ecuaciones y desigualdades
Ahora para encontrar la ecuación de la recta que pasa por un punto dado
m
(x1 , y1 ) y que tiene pendiente
dada, utilizamos el hecho de que la pendiente de la recta es constante, independientemente de qué
puntos escojamos. Entonces si
(x, y)
es cualquier otro punto sobre esta recta, tenemos que
y − y1
=m
x − x1
y la ecuación de la recta es
y − y1 = m(x − x1 ).
Decimos que esta ecuación está en la forma
punto-pendiente.
Ejemplo 6. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto
Solución.
Usemos la forma punto-pendiente con
x1 = 6, y1 = −2
y
m=
(6, −2)
y tiene pendiente
1
.
3
1
.
3
1
(x − 6)
3
1
y+2= x−2
3
1
y = x − 4.
3
y − (−2) =
La forma punto-pendiente también se puede usar cuando necesitamos encontrar la ecuación de una
recta que pasa por dos puntos distintos dados. En este caso, primero debemos encontrar la pendiente y
después utilizar la forma punto-pendiente con cualquiera de los dos puntos dados.
Ejemplo 7. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos
(2, 0)
y
(−3, 10).
Solución.
Usemos la denición de pendiente con
m=
x1 = 2, y1 = 0, x2 = −3
y
y2 = 10.
y2 − y1
10 − 0
10
=
=
= −2.
x2 − x1
−3 − 2
−5
Ahora, usando la forma punto-pendiente con el punto
(2, 0)
y la pendiente
m = −2,
obtenemos
y − 0 = −2(x − 2)
y = −2x + 4
Rectas paralelas y perpendiculares
Dos rectas con pendientes
m1
y
m2
son paralelas si y sólo si
m1 = m2 .
Además, cualesquiera dos rectas
verticales son paralelas.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
2.5 Ecuaciones lineales en dos variables y rectas
77
y
y
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
−5 −4 −3 −2 −1
−1
1
2
3
4
5
x
−5 −4 −3 −2 −1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
−5
−5
Dos rectas con pendientes
m1
y
m2
diferentes de
0
m2 = −
1
2
3
4
5
x
5
x
son perpendiculares si y sólo si
1
.
m1
Además, toda recta vertical es perpendicular a toda recta horizontal.
y
y
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
−5 −4 −3 −2 −1
−1
1
2
3
4
5
x
−5 −4 −3 −2 −1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
−5
−5
1
2
3
4
Mostraremos que si dos rectas l1 y l2 que tienen pendientes
m1 y m2 diferentes de 0, son perpendicu1
lares, entonces m2 = −
. Supongamos que la recta l1 tiene pendiente positiva. Empezaremos dibujando
m1
las rectas l1 y l2 y el triángulo recto 4ABC tal que los vertices A y C están sobre la recta l1 , el lado AB
es horizontal, el lado
BC
de la recta l1 es igual a
vertice
A
vertical y la longitud del lado
m1 ,
la longitud del lado
obtenemos el triángulo
4ADE
BC
AB
es igual a
es también
m1 .
1.
Entonces, como la pendiente
Al rotar este triángulo
como se muestra en la gura.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
90◦
sobre el
78
Módulo 2. Ecuaciones y desigualdades
l2
l1
C
m1
A
1
B
1
E
D m1
El lado
AD
es vertical y el lado
longitud del lado
igual a
m1 .
AB
Los vértices
los valores de
y
DE
es horizontal. Además, la longitud del lado
y por lo tanto es igual a
A
y
E
disminuyen en
1.
están sobre la recta l2 que tiene pendiente
1
cuando los valores de
de la pendiente tenemos que
m2 =
AD
es igual a la
Así mismo, obtenemos que la longitud del lado
x
aumentan en
m2 .
m1 .
DE
es
Vemos que para la recta l2
Entonces, según la denición
−1
1
=−
.
m1
m1
Ejemplo 8. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto
(1, 2)
y es paralela a la recta
3x + 2y = 1.
Solución.
Reescribamos la ecuación
3x + 2y = 1
en la forma pendiente-punto de intersección para encontrar su
pendiente.
3x + 2y = 1
2y = −3x + 1
1
y = (−3x + 1)
2
3
1
y =− x+
2
2
Por lo tanto, la pendiente de la recta es
−
dada, también debe tener pendiente igual
3
. Como la recta que nos piden debe ser paralela a la recta
2
3
a − . Finalmente, usamos la forma punto-pendiente con el
2
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
2.5 Ecuaciones lineales en dos variables y rectas
punto
(1, 2)
y la pendiente
m=−
3
2
79
para obtener la ecuación de la recta.
3
y − 2 = − (x − 1)
2
3
3
y−2=− x+
2
2
3
7
y =− x+
2
2
La ecuación de la recta que pasa por el punto
(1, 2)
y es paralela a la recta
Ejemplo 9. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto
3x + 2y = 1
es
3
7
y = − x+ .
2
2
(0, −7) y es perpendicular a la recta
1
y = x + 3.
4
Solución.
La pendiente de la recta
y =
1
x+3
4
es
1
.
4
recta, entonces debe tener pendiente igual a
de intersección con
m = −4
y
b = −7:
Como la recta que nos piden debe ser perpendicular a esa
−
1
1
4
= −4.
Finalmente, usamos la forma pendiente-punto
y = −4x + (−7).
Por lo tanto, la ecuación de la recta que pasa por el punto
es
(0, −7) y es perpendicular a la recta y =
y = −4x − 7.
1
x+3
4
Ejercicios de la sección 2.5
1. Trace la gráca.
a)
2x + y = 1
b)
y=
c)
3x + 2y − 18 = 0
d)
x=4
e)
y = −2
4
x−2
3
2. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto
3. Encuentre la ecuación de la recta que interseca el eje
(−3, 1)
y tiene pendiente
x en el punto (4, 0) y el eje y
4. Encuentre la ecuación de la recta horizontal que pasa por el punto
5. Encuentre la ecuación de la recta vertical que pasa por el punto
6. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos
(−5, 6).
(7, 2).
(3, −7)
y
(−2, 3).
7. Encuentre la ecuación de la recta cuya gráca está dada.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
−
3
.
4
en el punto
(0, 2).
80
Módulo 2. Ecuaciones y desigualdades
y
5
4
3
2
1
−5 −4 −3 −2 −1
−1
1
2
3
4
x
5
−2
−3
−4
−5
8. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el origen y es paralela a la recta
9. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto
(4, −2)
x = 3y − 2.
y es perpendicular a la recta
x − 9y + 14 = 0.
10. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto
11. Sean
A(−1, 2)
y
B(3, 0).
pasa por el punto
(3, −3)
y es perpendicular a la recta
x = 1.
Encuentre la ecuación de la recta que es perpendicular al segmento
AB
y
A.
2.6 Sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables
En la sección anterior consideramos las ecuaciones lineales en dos variables,
Ax + By = C.
Estas ecuaciones tienen innitas soluciones y su gráca es una recta. En esta sección estudiaremos los
sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables. Por ejemplo, las dos ecuaciones lineales juntas
(
x + 2y = 4
3x − y = 5
forman un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables.
Una solución de un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables es un par de valores
es solución de ambas ecuaciones a la vez. Por ejemplo, el par
ecuación porque
lo tanto
(4, 0)
4 + 2 · 0 = 4,
(x, y) = (4, 0)
no es una solución del sistema. De manera similar, el par
3 · 0 − (−5) = 5,
que
es una solución de la primera
pero no es una solución de la segunda ecuación, porque
de la segunda ecuación, porque
(x, y)
3 · 4 − 0 6= 5
(x, y) = (0, −5)
y por
es una solución
pero no es una solución de la primera ecuación porque
0 + 2 · (−5) 6= 4, entonces (x, y) = (0, −5) no es una solución del sistema. Por otro lado, como 2 + 2 · 1 = 4
y
3 · 2 − 1 = 5,
el par
((x, y) = (2, 1)
es una solución de ambas ecuaciones y por lo tanto es una solución
del sistema. Más adelante, mostraremos que esta es la única solución de este sistema.
Resolver un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables signica encontrar todas las soluciones
de este sistema. En esta sección veremos dos métodos para resolver un sistema: el método de sustitución
y el método de eliminación.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
2.6 Sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables
81
Método de sustitución
Este método consiste en despejar una variable en términos de otra, usando una de las dos ecuaciones, y
luego sustituir esta expresión en la otra ecuación.
Ejemplo 1. Resuelva el sistema
(
x + 2y = 4
3x − y = 5.
Solución.
Empezaremos despejando la variable
x
en la primera ecuación,
x + 2y = 4.
Restando
2y
a ambos lados
de esta ecuación, obtenemos
x = 4 − 2y.
Luego, sustituimos la expresión
4 − 2y
en lugar de
x
en la segunda ecuación
3x − y = 5,
de esta manera:
3 · (4 − 2y ) − y = 5
| {z }
x
La ultima ecuación es una ecuación lineal en una variable. La resolvemos:
3(4 − 2y) − y = 5
12 − 6y − y = 5
12 − 7y = 5
−7y = −7
y=1
Finalmente reemplazamos
y=1
en
x = 4 − 2y
para encontrar el valor de
x:
x = 4 − 2 · 1 = 4 − 2 = 2.
Entonces, la única solución del sistema es el par
(x, y) = (2, 1).
Observemos que nosotros podemos escoger la variable que vamos a despejar y la ecuación que vamos
a usar en este proceso. Si escogiéramos despejar la variable
del sistema
y,
sería más fácil usar la segunda ecuación
3x − y = 5:
y = 3x − 5.
(Si utilizáramos la primera ecuación, tendríamos
la primera ecuación
x + 2y = 4,
y=
obtendríamos
4−x
).
2
Luego, al sustituir esta expresión para
x + 2(3x − 5) = 4
| {z }
y
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
y
en
82
Módulo 2. Ecuaciones y desigualdades
y al resolverla,
x + 2(3x − 5) = 4 = 5
x + 6x − 10 = 4
7x = 14
x=2
Por último,
y = 3·2−5 = 6−5 = 1
(x, y) = (2, 1)
y obtenemos nuevamente que el par
es la única
solución del sistema. La elección de la variable que vamos a despejar y de la ecuación que vamos a usar
puede inuir en la dicultad de los cálculos necesarios para resolver el sistema. Sin embargo, la solución
del sistema es la misma, sin importar cuál sea nuestra elección.
Método de eliminación
Este método consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones del sistema por un número diferente de
0
y
luego eliminar una de las variables sumando o restando las dos ecuaciones.
Ejemplo 2. Resuelva el sistema
(
x + 2y = 4
3x − y = 5.
Solución.
Primero escojamos la variable que queremos eliminar. Al mirar el sistema, nos damos cuenta de que
podemos eliminar la variable
x si multiplicamos la primera ecuación por 3 y luego restamos las ecuaciones.
Al multiplicar ambos lados de la ecuación
x + 2y = 4
por
3,
obtenemos
3x + 6y = 12
y un sistema equivalente (con las mismas soluciones)
(
3x + 6y = 12
3x − y = 5.
Ahora, eliminaremos la variable
x
restando la segunda ecuación a la primera:
3x + 6y − (3x − y) = 12 − 5
3x + 6y − 3x + y = 7
7y = 7
Resolviendo la ultima ecuación, obtenemos
y = 1.
Para obtener el valor de
alguna de las ecuaciones del sistema original y despejamos
x.
x,
reemplazamos
Si usamos la primera ecuación
obtenemos
x+2·1=4
x+2=4
x=2
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
y =1
en
x + 2y = 4
2.6 Sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables
Por lo tanto la solución del sistema es el par
83
(x, y) = (2, 1).
Observemos que si multiplicamos la segunda ecuación del sistema por
ecuaciones, eliminaremos la variable
y.
2
y luego sumamos las dos
El sistema equivalente en este caso es
(
x + 2y = 4
6x − 2y = 10
y al sumar estas dos ecuaciones obtenemos
x + 2y + 6x − 2y = 4 + 10
7x = 14
x=2
Al reemplazar
x=2
en la primera ecuación,
x + 2y = 4,
obtenemos
2 + 2y = 4
2y = 2
y=1
La solución del sistema es el par
(x, y) = (2, 1).
Ejemplo 3. Resuelva el sistema
(
3x + 4y = 17
5x − 11y = −7.
Solución.
Para eliminar la variable
5x − 11y = −7,
por
3.
x
multipliquemos la primera ecuación,
3x + 4y = 17,
por
5
y la segunda,
Obtenemos el siguiente sistema equivalente:
(
15x + 20y = 85
15x − 33y = −21.
Ahora restemos la segunda ecuación a la primera. Obtenemos
15x + 20y − (15x − 33y) = 85 − (−21)
15x + 20y − 15x + 33y = 106
53y = 106
y=2
Si reemplazamos el valor
y=2
en la primera ecuación del sistema original y despejamos
3x + 4 · 2 = 17
3x + 8 = 17
3x = 9
x=3
Entonces la solución del sistema es el par
(x, y) = (3, 2).
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
x,
tenemos que
84
Módulo 2. Ecuaciones y desigualdades
Representación gráca de las soluciones
La gráca de cada una de las dos ecuaciones de un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables
es una recta en el plano coordenado. Como un par
ambas ecuaciones, entonces el punto
(x, y)
(x, y)
es una solución del sistema si es solución de
es una solución del sistema si está sobre ambas rectas. Por lo
tanto, resolver un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables es equivalente a encontrar el punto
de intersección de las dos rectas cuyas ecuaciones son las dos ecuaciones del sistema.
Por ejemplo, si gracamos las dos ecuaciones del sistema
(
x + 2y = 4
3x − y = 5
vemos que las dos rectas,
x + 2y = 4
y
3x − y = 5,
se cruzan en el punto
(2, 1)
que es la solución del
sistema.
y
5
x + 2y = 4
3x − y = 5
4
3
2
(2, 1)
1
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
−1
−2
−3
−4
−5
La intersección de dos rectas en el plano coordenado puede ser:
ˆ
un punto (en caso de que las dos rectas no sean paralelas)
ˆ
vacía (en caso de que las dos rectas sean paralelas y diferentes)
ˆ
una recta (en caso de que las dos rectas sean la misma).
De aquí deducimos que un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables puede:
ˆ
tener una única solución
ˆ
no tener soluciones
ˆ
tener innitas soluciones.
Ejemplo 4. Encuentre la intersección de las siguientes rectas.
a)
y = 2x − 4
y
3x − 2y = 5
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
2.6 Sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables
b)
2x − 4y = 3
c)
12x − 3y = 5
y
85
−6x + 12y = −9
y
8x − 2y = 1
Solución.
y = 2x − 4
a) Para encontrar el punto donde la recta
el sistema
(
interseca la recta
3x − 2y = 5
debemos resolver
y = 2x − 4
3x − 2y = 5.
Como la variable
y
está dada en términos de
sustitución. Reemplacemos la expresión
2x − 4
x
en la primera ecuación, usaremos el método de
en lugar de
y
en la segunda ecuación.
3x − 2(2x − 4) = 5
3x − 4x + 8 = 5
−x = −3
x=3
Ahora, al reemplazar el valor
x=3
en la primera ecuación obtenemos
y = 2x − 4 = 2 · 3 − 4 = 2.
Entonces el punto
(3, 2)
es el único punto donde las rectas
y = 2x − 4
y
3x − 2y = 5
se intersecan.
Esta es la gráca de estas rectas y del punto de intersección, que es la solución del sistema.
y
5
4
3
(3, 2)
2
1
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
y = 2x − 4
3x − 2y = 5
−4
−5
b) Debemos resolver el sistema
(
2x − 4y = 3
−6x + 12y = −9.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
x
86
Módulo 2. Ecuaciones y desigualdades
Usaremos el método de eliminación. Para eliminar la variable
y,
primero multiplicamos la primera ecuación por
(
3
x y obtener una ecuación en la variable
y obtenemos el sistema equivalente
6x − 12y = 9
−6x + 12y = −9
Luego sumamos las dos ecuaciones y obtenemos
6x − 12y + (−6x + 12y) = 9 + (−9)
0=0
La ultima igualdad es cierta para todo
todos los puntos
(x, y),
donde
y.
Esto nos indica que el sistema tiene innitas soluciones,
2x − 4y = 3.
Estos son todos los puntos de la recta
2x − 4y = 3.
y para
1
3
obtener la forma pendiente-punto de intersección, obtenemos de ambas ecuaciones que y =
x− .
2
4
También, si multiplicamos la primera ecuación, 2x−4y = 3, por −3 obtenemos la segunda ecuación,
Notemos que en este ejemplo las dos ecuaciones representan la misma recta. Si despejamos
−6x + 12y = −9.
Esta es la gráca de las dos ecuaciones (que en realidad representan la misma recta) y de las innitas
soluciones del sistema (que son todos los puntos de la recta).
y
5
4
3
2
1
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
5
−1
−2
−3
2x − 4y = 3
−4
−5
c) Consideremos el sistema
(
12x − 3y = 2
8x − 2y = −5.
Usaremos el método de eliminación. Para eliminar la variable
variable
x,
multiplicamos la primera ecuación por
2
y
y obtener una ecuación en la
y la segunda por
sistema equivalente:
(
24x − 6y = 4
24x − 6y = −15
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
3.
Obtenemos el siguiente
2.6 Sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables
87
Luego restamos la segunda ecuación a la primera y obtenemos
24x − 6y − (24x − 6y) = 4 − (−15)
24x − 6y − 24x + 6y = 19
0=7
La ultima igualdad es inconsistente, es decir, no es cierta para ningún
x
y por lo tanto el sistema
no tiene soluciones.
Notemos que si despejamos
y
de la primera ecuación obtenemos
2
3
y = 4x −
y si despejamos
y
de la segunda ecuación obtenemos
5
y = 4x + .
2
Estas dos ecuaciones representan rectas que son paralelas porque tienen la misma pendiente (m
y que no se intersectan porque tienen puntos de intersección con el eje
y
diferentes
En esta gráca se muestran las rectas representadas por ambas ecuaciones.
y
5
4
y = 4x −
3
2
3
2
1
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−1
y = 4x +
5
2
−2
−3
−4
−5
Ejercicios de la sección 2.6
1. Resuelva el sistema usando el método de sustitución.
(
a)
b)
x+ y =5
3x − 4y = 16
(
x + 4y = 6
2x − y = −6
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
x
2
−
3
y
5
2
= 4)
.
88
Módulo 2. Ecuaciones y desigualdades
(
4x − 5y = 2
c)
3x + y = 11
2. Resuelva el sistema usando el método de eliminación.
(
a)
x + 3y = 2
5x − 3y = −8
(
b)
2x − 5y = 1
3x − 10y = 7
(
3x − 5y = −3
c)
6x + 4y = 1
3. Resuelva el sistema.
(
a)
2x + 5y = 24
5x − 7y = −18
(
x − 7y = −14
b)
3x + 2y = 27
4. Encuentre el punto de intersección de las rectas y grafíquelas.
a)
x = 2, 3x + 4y = 12
b)
4x − 2y − 6 = 0, y = 2x − 3
c)
y = 3x − 7, y = 3 − 2x
d)
x − 2y = 2, 4y − 2x = 1
2.7 Modelos con ecuaciones lineales en dos variables
En esta sección veremos cómo resolver algunos problemas de la vida real que se pueden modelar con
ecuaciones lineales en dos variables.
Ejemplo 1. La relación entre la ganancia mensual
y el número
n
G (en millones de pesos) de un concesionario de carros
de carros vendidos durante un mes está dada por la ecuación lineal
G = 2, 5n − 35.
a) Complete la siguiente tabla. Explique qué representa cada columna.
n
0
10
G
15
0
5
10
b) Trace la gráca de esta ecuación lineal.
c) Encuentre los puntos donde la gráca interseca los ejes. ¾Qué representan estas intersecciones?
d) ¾Qué representa la pendiente de esta recta?
Solución.
a) Completemos la tabla utilizando la ecuación
G = 2, 5n − 35.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
2.7 Modelos con ecuaciones lineales en dos variables
ˆ
Si
89
n = 0,
G = 2, 5 · 0 − 35 = −35.
Si el concesionario no vende ningún carro durante un mes, va a tener una pérdida de
35 millones
de pesos en ese mes.
ˆ
Si
n = 10,
G = 2, 5 · 10 − 35 = −10.
Si el concesionario vende únicamente
10
carros durante un mes, va a tener una pérdida de
10
millones de pesos en ese mes.
ˆ
Si
G = 0,
2, 5n − 35 = 0
2, 5n = 35
n = 14
Para no tener pérdidas ni ganancias durante un mes, el concesionario debe vender
14
carros
durante ese mes.
ˆ
Si
n = 15,
G = 2, 5 · 15 − 35 = 2, 5.
Si el concesionario vende únicamente
2, 5
ˆ
Si
15
carros durante un mes, va a tener una ganancia de
millones de pesos en ese mes.
G = 5,
2, 5n − 35 = 5
2, 5n = 40
n = 16
Para tener una ganancia de
ˆ
16
carros durante ese mes.
Si
G = 10,
5
millones de pesos durante un mes, el concesionario debe vender
2, 5n − 35 = 10
2, 5n = 45
n = 18
Para tener una ganancia de
18
10 millones de pesos durante un mes, el concesionario debe vender
carros durante ese mes.
Finalmente, esta es la tabla completa.
n
0
10
14
15
16
18
G
−35
−10
0
2.5
5
10
b) Por lo general la variable dependiente se representa en el eje
x.
Como la ganancia
G
y
y la variable independiente en el eje
depende del número de carros vendidos en un mes
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
n,
el eje
y
representará
90
Módulo 2. Ecuaciones y desigualdades
la variable
G y el eje x la variable n. La gráca de esta ecuación lineal es una recta. Para gracarla,
localicemos dos puntos de la tabla, por ejemplo
medio de una recta. Notemos que el numero
n
(0, −35)
(10, −10).
y
Luego los conectamos por
de carros vendidos no puede ser negativo, entonces
la gráca que corresponde a este modelo es una semirecta que empieza en el puno
(0, −35).
G
15
10
5
−2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
n
20
−5
(10, −10)
−10
−15
−20
−25
−30
−35
−40
c) En la tabla vemos que la gráca interseca el eje
G
en el punto
(0, −35).
Esto signica que si el
concesionario no vende ningún carro durante un mes, va a generar una pérdida de
de pesos en ese mes. El número
35
35
millones
millones podría representar el costo operativo mensual del
concesionario.
Por otro lado, la gráca interseca el eje
n
en el punto
(14, 0).
Esto signica que para no generar ni
pérdidas ni ganancias en un mes, el concesionario debe vender
14
carros durante ese mes.
d) La pendiente de esta recta representa cuánto dinero gana el concesionario por cada carro vendido.
Por lo tanto, por cada carro se venda, el concesionario gana
Ejemplo 2. Un gimnasio cobra
$55.000
2, 5
millones de pesos.
de cuota mensual más una cuota única de aliación de
a) Escriba una ecuación que describa la relación entre el número de meses
costo total correspondiente,
m
$40.000.
de uso del gimnasio y su
C.
b) ¾Cuánto cuesta suscribirse por un año a este gimnasio?
c) Si Marco pagó un total de
$260.000,
¾cuántos meses fue al gimnasio?.
d) Trace la gráca de la ecuación hallada en el numeral a).
Solución.
a) Si
m
representa el número de meses de uso del gimnasio y
C
representa el costo total del gimnasio
durante esos meses, entonces
C = 40.000 + 55.000m.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
2.7 Modelos con ecuaciones lineales en dos variables
b) Si
91
m = 12,
C = 40.000 + 55.000 · 12 = 700.000.
Por lo tanto, el costo del gimnasio por un año de uso es
c) Si
$700.000.
C = 260.000,
40.000 + 55.000m = 260.000
52.500m = 220.000
m=4
Marco usó el gimnasio durante
4
meses.
d) Para gracar la recta, podemos localizar los dos puntos obtenidos en los numerales b) y c),
y
m
(12, 700.000),
ni
C
(4, 260.000)
y luego los conectamos por medio de una recta. Notemos que en este contexto ni
pueden tomar valores negativos. La gráca que corresponde a este modelo es una semirecta
que empieza donde el número de meses
m
es
0.
C
750.000
(12, 700.000)
700.000
650.000
600.000
550.000
500.000
450.000
400.000
350.000
300.000
(4, 260.000)
250, 000
200.000
150.000
100.000
50.000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Ejemplo 3. Los carros se devalúan con su uso. Un carro tiene un valor de
nuevo y después de
4
años su valor es
0
$35 000.000.
13
14
15
$500 000.000
m
cuando está
Se asume que la relación entre el valor del carro y su
antigüedad es lineal.
a) Halle una ecuación que relacione al valor del carro con su antigüedad.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
92
Módulo 2. Ecuaciones y desigualdades
b) Graque la ecuación hallada.
c) ¾Después de cuántos años de haber estrenado el carro su valor será la mitad de su valor inicial?
d) Encuentre los puntos donde la gráca interseca los ejes. ¾Qué representan estas intersecciones?
e) ¾Qué representa la pendiente en este contexto?
Solución.
a) Llamemos
V
al valor del carro y
variable independiente es
después de
4
a.
años, esto es
a
a su antigüedad en años. La variable dependiente es
Cuando el carro está nuevo, esto es
a = 4,
su valor es
0
V = $35 000.000.
a = 0,
su valor
V
es
V
y la
$500 000.000
y
Por lo tanto, la relación lineal entre
el valor del carro y su antigüedad está dada por la ecuación de la recta que pasa por los puntos
(0, 500 000.000)
y
(4, 350 000.000).
pendiente
m=
Para encontrar la ecuación de esta recta, primero encontramos su
350 000.000 − 500 000.000
−150 000.000
=
= −30 750.000.
4−0
4
Luego usamos la forma pendiente-punto de intersección para encontrar la ecuación de la recta
V = −30 750.000a + 500 000.000.
b) Para gracar la recta, localizamos los dos puntos
(0, 500 000.000) y (4, 350 000.000) y luego los conec-
tamos por medio de una recta. Notemos que en este contexto ni
a
ni
V
pueden tomar valores
negativos. La gráca que corresponde a este modelo es un segmento que empieza en el punto donde
a=0
y termina en el punto donde
V = 0.
V
550 000.000
500 000.000
450 000.000
400 000.000
(4, 350 000.000)
350 000.00
300 000.000
250 000.000
200 000.000
150 000.000
100 000.000
50 000.000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
13
14
15
a
2.7 Modelos con ecuaciones lineales en dos variables
93
c) El valor del carro será la mitad de su valor inicial cuando
V = 250 000.000.
Entonces tenemos que
−30 750.000a + 500 000.000. = 250 000.000
−30 750.000a = −250 000.000
2
a=6
3
Por lo tanto, el valor del carro será la mitad de su valor inicial cuando tenga
6
años y
8
meses de
antigüedad.
d) La gráca interseca el eje
V
en
500 000.000
y este número representa el valor del carro cuando era
nuevo.
a
Por otro lado, la gráca interseca el eje
cuando
V = 0.
Tenemos entonces
−30 750.000a + 500 000.000 = 0
−30 750.000a = −500 000.000
1
a = 13
3
Esto signica que después de
13
4
años y
meses de uso, el valor del carro será
0.
e) La pendiente representa en cuánto se devalúa el carro cada año. En este modelo, el valor del carro
se reduce
30 750.000
cada año.
Ejemplo 4. En una nca hay pollos y vacas. Juntos, los animales tienen 58 cabezas y 140 patas. ¾Cuántos
pollos y cuántas vacas hay en la nca?
Solución.
Llamemos
x al número de pollos y y
al número de vacas que hay en la nca. Como cada animal tiene una
cabeza y todos los animales tienen en total
58
cabezas, entonces
x + y = 58.
Además sabemos que todos los animales tienen
140
patas en total. Como los pollos tienen dos patas y
las vacas tienen cuatro, entonces
2x + 4y = 140.
Para encontrar cuántos pollos y cuántas vacas hay en la nca debemos resolver el sistema
(
x + y = 58
2x + 4y = 140.
Usemos el método de sustitución y despejemos
x
en la primera ecuación. Entonces tenemos que
x = 58 − y.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
94
Módulo 2. Ecuaciones y desigualdades
Al reemplazar la expresión
58 − y
en lugar de
x
en la segunda ecuación obtenemos
2(58 − y) + 4y = 140
116 − 2y + 4y = 140
2y = 24
y = 12.
y = 12
Finalmente, al reemplazar el valor
en la expresión
x = 58 − y
obtenemos
x = 58 − 12 = 46.
Entonces hay
46
pollos y
12
vacas en esta nca.
Ejercicios de la sección 2.7
1. La relación entre la temperatura dada en grados Celsius
heit
F
está dada por la ecuación
C
y la temperatura dada en grados Fahren-
9
F = C + 32.
5
a) Complete la tabla.
C
−10
−5
0
F
59
95
b) Trace la gráca de la ecuación.
c) Encuentre la fórmula que expresa a
2. El valor
V
C
en términos de
(en dólares) de un computador después de
n
F.
años de uso está dado por la ecuación
V = 2100 − 300n.
a) Trace la gráca de la ecuación.
b) Encuentre las intersecciones de la recta con los ejes. ¾Qué representan estas intersecciones?
c) ¾Qué representa la pendiente de esta recta?
3. Una tienda vende jugos naturales a
$7.000.
también tiene costos adicionales diarios de
El costo de producir un jugo es
n
La tienda
$150.000.
a) Halle una ecuación que relacione las ganancias diarias
vendidos
$3.000.
G de esta tienda con el número de jugos
en un día.
b) Trace la gráca de la ecuación hallada.
c) ¾Cuántos jugos se deben vender en esta tienda durante un día para no tener perdidas ese día?
4. Un kilogramo de peras cuesta
$9.000 y un kilogramo de manzanas cuesta $8.000. Juan tiene $36.000
para comprar estas frutas.
a) Encuentre una ecuación que represente la relación entre los kilogramos de peras
gramos de manzanas
y
x
y los kilo-
que puede comprar Juan.
b) Trace la gráca de la ecuación.
c) Encuentre las intersecciones de la recta con los ejes. ¾Qué representan estas intersecciones?
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
2.7 Modelos con ecuaciones lineales en dos variables
95
5. Un restaurante universitario funciona de la siguiente manera: para comer en este restaurante uno
necesita estar aliado y el precio del menú es jo. El precio de
aliación es
$194.000
y el precio de
20
12
menús con la aliación es
menús en este restaurante con la
$290.000.
a) Escriba una ecuación que describa la relación entre el número de menús
spondiente
P
n
y su precio corre-
(con la aliación).
b) ¾Cuánto cuesta la aliación a este restaurante?
c) ¾Cuál es el precio de un menú en este restaurante?
6. En la gráca está representada la relación entre la población P, en millones, de un ciudad y el año
t, después del 2010.
P
4
3
2
1
1
2
3
a) Encuentre una ecuación que relacione a
4
P
5
y a
6
7
t
8
t.
b) ¾Qué representa la intersección de la gráca con eje
P?
c) ¾Qué representa la pendiente de esta recta?
d) ¾Cuál será la población de esta ciudad en el año
7. Juan tiene
billetes de
42
billetes, unos de
20.000
tiene?, ¾y de
$20.000
y unos de
2050?
$50.000.
Si en total tiene
$1.290.000
cuántos
$50.000?
8. La tienda de un cine sólo vende dos tamaños de paquetes de palomitas: las pequeñas, que cuestan
$5.000
y las grandes, que cuestan
un ingreso de
$406.000,
$7.000.
Si un día vendieron
70
paquetes de palomitas y tuvieron
¾cuántos paquetes de cada tamaño vendieron ese día?
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
96
Módulo 2. Ecuaciones y desigualdades
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
Módulo 3
Funciones
Este módulo empieza con la denición de función, su dominio, su rango y su gráca. Luego veremos las
operaciones de funciones e introduciremos la inversa de una función. En particular, como ejemplos de
funciones, hablaremos sobre las funciones lineales, las funciones cuadráticas, las funciones exponenciales
y las funciones logarítmicas.
3.1 Funciones
Una función es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto exactamente un elemento de otro
conjunto. A los elementos del primer conjunto los llamamos
segundo conjunto los llamamos
entradas de la función y a los elementos del
salidas de la función. Por lo tanto, una función es una regla que asigna
a cada entrada exactamente una salida.
Si denotamos la función con la letra
f,
escribimos
f (x) = y
y leemos f de
x
es igual a
y .
Aquí, la variable
salidas asignadas. Por lo tanto, a la variable
x
representa las entradas y la variable
y
representa las
x la llamamos la variable independiente y a y
la
variable
dependiente.
Al conjunto de todas las entradas posibles lo llamamos el
con
Dom(f ).
dominio de la función
El conjunto de todos salidas asignadas se llama el
rango de
f
f
y lo denotamos
y lo denotamos con
Ran(f ).
Podemos denir una función por medio de palabras, una fórmula, una tabla o una gráca.
Evaluar una función
Ejemplo 1. Una función
a)
f (2)
b)
f (0)
c)
f (−1)
f
está denida por la fórmula
f (x) =
x−4
. Evalúe las siguientes expresiones.
x2 + 1
Solución.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
98
Módulo 3. Funciones
a) Para obtener
f (2)
reemplazamos cada
x
f (2) =
b) De manera similar, reemplazando cada
f (0) =
en la fórmula
x−4
x2 + 1
por
2.
−2
−2
2
2−4
=
=
=−
22 + 1
4+1
5
5
x
por
0,
obtenemos
0−4
−4
−4
=
=
= −4.
02 + 1
0+1
1
c) Finalmente,
f (−1) =
−5
−5
5
−1 − 4
=
=
=− .
2
(−1) + 1
1+1
2
2
A veces una función puede estar descrita en palabras.
Ejemplo 2. La función
g
está descrita en palabras como eleve al cubo, reste 3, y luego divida entre 2.
Escriba la expresión adecuada para la función
g
y evalúe
Solución. Tenemos que
g(x) =
g(−2).
x3 − 3
2
y
g(−2) =
−8 − 3
11
(−2)3 − 3
=
=− .
2
2
2
Algunas funciones se denen de formas diferentes para diferentes elementos de su dominio. A estas
funciones las llamamos
funciones denidas por trozos.
Ejemplo 3. Sea



4 − x2


f (x) = 2x + 1



 √x + 3
si
si
si
x < −2
−2≤x<1
x≥1
Evalúe las siguientes expresiones.
a)
f (−3)
b)
f (−2)
c)
f (−1)
d)
f (1)
e)
f (2)
Solución.
La función
f
está denida mediante
3
fórmulas diferentes y la fórmula que utilizamos para evaluarla
depende de cuál es el valor de la entrada.
ˆ f (x) = 4 − x2
para todo
x
en el intervalo
(−∞, −2).
ˆ f (x) = 2x + 1
para todo
x
en el intervalo
[−2, 1).
ˆ f (x) =
√
x+3
para todo
x
en el intervalo
[1, ∞).
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
3.1 Funciones
99
Para evaluar esta función en un número, primero necesitamos ver en cuál de estos tres intervalos está el
número dado.
a) Como
x = −3
está en el intervalo
(−∞, −2),
b) Como
x = −2
está en el intervalo
[−2, 1),
d)
e)
entonces
f (−3) = 4 − (−3)2 = 4 − 9 = −5.
f (−2) = 2(−2) + 1 = −4 + 1 = −3.
f (−1) = 2(−1) + 1 = −2 + 1 = −1.
√
√
Como x = 1 está en el intervalo [1, ∞), entonces f (1) =
1 + 3 = 4 = 2.
√
√
De manera similar, x = 2 está en el intervalo [1, ∞) y f (2) =
2 + 3 = 5.
c) De manera similar,
x = −1
entonces
La función valor absoluto,
está en el intervalo
f (x) = |x|,
[−2, 1)
y
es una función denida por trozos. La podemos escribir de la
siguiente manera.
|x| =
Por ejemplo, para evaluar
| − 5|

−x
si
x<0
x
si
x≥0
debemos utilizar la primera fórmula pues
−5 < 0.
Así que
| − 5| =
−(−5) = 5.
Si tenemos una función dada, podemos evaluarla no solo en un número sino tambien en una expresión.
Ejemplo 4. Sea
a)
g(3)
b)
g(a)
c)
g(a) − 3
d)
g(a) − g(3)
e)
g(a − 3)
g(x) = x2 − x + 1.
Evalúe las siguientes expresiones.
Solución.
a) Para obtener
g(3)
reemplazamos cada
x
en la formula
x2 − x + 1
por
3.
g(3) = 32 − 3 + 1 = 9 − 3 + 1 = 6 + 1 = 7
b) De manera similar, para obtener
g(a)
reemplazamos cada
x
en la formula
g(a) = a2 − a + 1
c) Debeos restarle
3
a g(a). Esto es
g(a) − 3 = a2 − a + 1 − 3 = a2 − a − 2.
d) En a) mostramos que
g(3) = 7.
Entonces,
g(a) − g(3) = a2 − a + 1 − 7 = a2 − a − 6.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
x2 − x + 1
por
a.
100
Módulo 3. Funciones
e) En general,
salida
= g(entrada) = (entrada)2 − (entrada) + 1,
donde la entrada puede ser cualquier expresión. Entonces, para obtener
a−3
g(a−3) usamos la expresión
como entrada.
g(a − 3) = (a − 3)2 − (a − 3) + 1 = a2 − 6a + 9 − a + 3 + 1 = a2 − 7a + 13
A veces, dado un valor de salida, necesitamos encontrar los valores de entrada a los que la función
asigna el valor de salida dado.
Ejemplo 5. Si
f (x) =
2x + 1
,
x+1
encuentre el valor de
x
tal que
f (x) = 3.
Solución.
Debemos resolver la ecuación
f (x) = 3.
Esto es
f (x) = 3
2x + 1
=3
x+1
2x + 1 = 3(x + 1)
2x + 1 = 3x + 3
2x − 3x = 3 − 1
−x = 2
x = −2
Esto signica que
f (−2) = 3
y así el valor de
x
tal que
f (x) = 3
es
x = −2.
En el próximo ejemplo veremos una función denida por medio de una tabla.
Ejemplo 6. La función
h
está denida mediante la siguiente tabla.
x
−3
−2
−1
0
1
2
3
h(x)
−1
0
−3
7
−1
4
−2
Evalué las siguientes expresiones.
a)
h(1)
b)
h(0) + h(3)
c)
1
h(2) − h(1)
2
d) Halle los valores de
x
tales que
h(x) = −1
Solución.
a) Si miramos la tabla, al valor
x=1
b) En la tabla podemos ver que
h(0) = 7
c) De la misma manera,
d) Hay dos valores de
x
h(2) = 4
y
le corresponde el valor
y
h(3) = −2.
h(x) = −1.
Entonces
Entonces
h(1) = −1.
h(0) + h(3) = 7 + (−2) = 5.
1
1
h(2) − h(1) = · 4 − (−1) = 2 + 1 = 3
2
2
en la tabla a los que les corresponde el valor
h(x) = −1: x = −3
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
y
x = 1.
3.1 Funciones
101
El dominio de una función
El dominio de una función es el conjunto de todas las entradas posibles de la función. A veces el dominio
de una función está dado en la denición de la función. Cuando el dominio no está dado y la función está
denida por medio de una expresión, el dominio de la función es el conjunto de todos los números en
los que podemos evaluar esta expresión. Por ejemplo, el dominio de la función
(−∞, 0) ∪ (0, ∞)
(como la división entre
números reales, excepto
existe si
x
0)
0
no está denida, la expresión
y el dominio de la función
g(x) =
√
x
1
x
f (x) =
1
x
es el conjunto
está denida para todos lo
es el intervalo
[0, ∞)
(porque
√
x
no
es un número negativo).
Denotamos al dominio de una función
f
con
Dom(f ).
Ejemplo 7. Encuentre el dominio de las siguientes funciones.
a)
f (x) = 4x
b)
g(x) = 4x
con
x>0
d)
2x2
−4
√
k(x) = x2 − 5x + 6
e)
l(x) =
c)
h(x) =
x2
√
4
x+1−
2
x−3
Solución.
a) La expresión
es
4x
se puede evaluar en cualquier número real
Dom(f ) = (−∞, ∞)
entonces el dominio de la función
f
(todos los números reales).
b) El dominio de la función
g
esta dado en su denición, es el intervalo
c) Podemos evaluar la expresión
que el denominador
x,
2
x −4
2x2
x2 − 4
sea igual a
(0, ∞).
en cualquier número real excepto en los números que hacen
0
(la división entre
0
no está denida). Como
x2 − 4 = 0
x2 = 4
x = ±2
la expresión
2x2
−4
x2
está denida para todos los números reales
tanto, el dominio de la función
√
d) La expresión
x2 − 5x + 6
h
es
x
excepto
x = −2
y
x = 2.
Por lo
Dom(h) = (−∞, −2) ∪ (−2, 2) ∪ (2, ∞).
está denida para todos los números reales tales que
x2 − 5x + 6 ≥ 0
(la raíz cuadrada de un número negativo no existe). Resolvamos la desigualdad.
x2 − 5x + 6 ≥ 0
(x − 2)(x − 3) ≥ 0
Ahora, usaremos los signos de
x−2
y
x−3
para determinar el signo de
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
(x − 2)(x − 3).
Esto es
102
Módulo 3. Funciones
−
−
−
−
−
−
−
0
+
+
+
−
−
−
−
−
−
2
−
0
+
+
+
+
signo de x − 2
−
signo de x − 3
3
y
+
+
+
+
+
+
+
signo de (x − 2)(x − 3)
función
k
es
e) La expresión
0
2
Vemos en la recta real que
es igual a cero para
−
0
x=2
(x − 2)(x − 3)
x = 3.
o
x
es positivo para
3
en el intervalo
(−∞, 2)
o en
(3, ∞)
y
Por lo tanto, la solución de la desigualdad y el dominio de la
(−∞, 2] ∪ [3, ∞).
√
4
x+1−
2
x−3
está denida para todos los números reales
raíz cuarta de un número negativo no existe) y
x − 3 6= 0
x
tales que
(la división entre
0
x+1≥0
(la
no está denida).
Entonces
x+1≥0
x ≥ −1
−1
y diferentes de
3,
es decir,
x 6= 3.
y
Por lo tanto, el dominio de la función
a
x − 3 6= 0
y
l
es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales
Dom(l) = [−1, 3) ∪ (3, ∞).
Observación: Si queremos escribir la función que representa el perímetro de un cuadrado cuyos lados
miden
x,
debemos usar la función
longitud de los lados
x
g (g(x) = 4x
con
x > 0)
en vez de la función
no puede ser un número menor o igual a
Ejemplo 8. Halle el dominio de la función
f (x) =
f (f (x) = 4x),
porque la
0.
1
1
−
x + 1 |x + 1|
y escríbala como una función denida
por trozos.
Solución.
1
1
−
está denida para todos los números reales x tales que x+1 6= 0 y |x+1| =
6 0
x + 1 |x + 1|
entre 0 no está denida). Como la ecuación |x + 1| = 0 es equivalente a la ecuación x + 1 = 0,
La expresión
(la división
obtenemos que el dominio de la función
Dom(f ) = (−∞, −1) ∪ (−1, ∞).
|x + 1| =
f
son todos los números reales
x
excepto
x = −1,
La denición del valor absoluto nos dice que

−(x + 1)
si
x+1<0
x + 1
si
x+1≥0
Entonces podemos escribir la función
f
=
si
x < −1
x + 1
si
x ≥ −1
de la siguiente manera.
1
1
−
1
1
1 −(x + 1)
f (x) =
−
= x+
1
1
x + 1 |x + 1| 

−
x + 1 (x + 1)




−(x + 1)
si
si
2
= x+1
x > −1 0
x < −1


Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
si
x < −1
si
x > −1
es decir,
3.1 Funciones
103
Ejercicios de la sección 3.1
1. Sea


2 − 2x



f (x) = x2 + x



1
x
si
si
si
x ≤ −3
−3<x≤0
x > 0.
Evalúe y simplique las siguientes expresiones.
a)
f (−4)
b)
f (−3)
c)
f (−1)
d)
f (0)
e)
f (2)
2. Una función
f
está denida por medio de la fórmula
f (x) =
expresiones.
a)
3
f
4
b)
f (−2)
c)
f (a) − f (−2)
d)
f (a + 2)
e)
f (a + 2) − f (a)
2
g(x) = x2 − 1,
1
a) g
x−1
√
b) g( x + 1)
3. Si
4. Sea
x 6= 0,
b) Resuelva
5. Si
evalúe y simplique las siguientes expresiones.
x
.
x−1
h(x) =
a) Para
evalúe y simplique
a)
f (x) = 0
b)
f (x) = 5
g
a) Evalúe
1
h
.
x
h(x) = −1.
f (x) = 2x2 − x − 1,
6. La función
3x
. Evalúe y simplique las siguientes
2−x
resuelva las siguientes ecuaciones.
está denida mediante la siguiente tabla.
x
−4
−1
2
6
g(x)
2
5
4
−3
3g(2) − g(−4).
b) Encuentre el valor de
x
tal que
2g(x) + 11 = 5.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
104
Módulo 3. Funciones
7. Encuentre el dominio de las siguientes funciones.
x
5−x
a)
f (x) = √
b)
4x + x2
√
2x2 − 3x − 2
h(x) =
x3 − x
c)
g(x) =
√
8. Halle el dominio de las siguientes funciones y escriba cada una como una función denida por trozos.
a)
b)
c)
d)
e)
f (x) = |x − 4|
x − |x|
g(x) =
x
|x + 3|
h(x) =
x+3
x2 − 4
h(x) =
|x − 2|
k(x) = |x| + |x + 1|
3.2 Grácas de funciones
La gráca de una función
y = f (x).
f
es el conjunto de todos los puntos
De hecho, gracar una función
f
(x, y)
del plano coordenado tales que
signica gracar la ecuación en dos variables
Ejemplo 1. Se muestra la gráca de la función
f.
y
y = f (x)
5
4
3
2
1
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
−1
−2
−3
−4
−5
Evalúe.
a)
f (−3)
b)
f (0)
c) Halle los valores de
x
tales que
f (x) = 3
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
y = f (x).
3.2 Grácas de funciones
d) Halle los valores de
x
105
tales que
f (x) = 0
Solución.
a) Para evaluar
f (−3) buscamos el punto que está sobre la gráca de f
en la gráca que este es el punto
igual a
f (x),
tenemos que
coordenada
y = 3.
Por lo tanto,
Como la coordenada
x
f
con coordenada
tales que
x=0
f (x) = 3,
es el punto
en el punto
si
Tenemos que
f
f (0) = −1.
los puntos que tengan
y=3
es el punto
(4, 3).
f (x) = 0
x = 2.
x = 4.
f
con coordenada
y=0
es el punto
f
(2, 0).
Entonces
cruza el eje
x
en el punto
si
(2, 0)
y el
(0, −1).
Podemos hallar el dominio y el rango de una función
de las coordenadas
y
(0, −1).
buscamos en la gráca de
En el último ejemplo podemos ver que la gráca de la función
y
de los puntos sobre la gráca es
Vemos en la gráca que el único punto con coordenada
f (x) = 3
d) El punto sobre la gráca de
eje
y
x = −3. Vemos
f (−3) = −2.
b) El punto sobre la gráca de
c) Para hallar los valores de
(−3, −2).
con coordenada
x
f
de todos los puntos de la gráca de
a partir de su gráca. El dominio es el conjunto
f
y el rango es el conjunto de las coordenadas
de todos los puntos de la gráca.
Ejemplo 2. Se muestra la gráca de la función
g.
y
5
4
3
2
1
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
−1
y = g(x)
−2
−3
−4
−5
Halle su dominio y su rango. Encuentre los puntos donde la gráca interseca los ejes.
Solución.
Vemos en la gráca que el dominio de la función
x
de todos los puntos de la gráca de
g
es el intervalo
[−3, 4],
el conjunto de las coordenadas
g.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
106
Módulo 3. Funciones
y
5
4
3
2
1
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
−1
y = g(x)
−2
−3
−4
−5
También vemos que el rango de la función
de todos los puntos de la gráca de
g
es el intervalo
[−4, 4],
el conjunto de las coordenadas
y
g.
y
5
4
3
2
1
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
−1
y = g(x)
−2
−3
−4
−5
También podemos ver en la gráca las intersecciones con los ejes:
ˆ
La gráca de la función
g
corta el eje
x
en los puntos
ˆ
La gráca de la función
g
corta el eje
y
en el punto
A las funciones de la forma
(la recta
y = mx + b).
Si
f (x) = mx + b
m = 0,
entonces
(−1, 0)
y
(3, 0).
(0, 2).
las llamamos funciones lineales y su gráca es una recta
f (x) = b.
A estas últimas funciones las llamamos funciones
constantes y su gráca es una recta horizontal (la recta
y = b).
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
3.2 Grácas de funciones
107
Ejemplo 3. Trace la gráca de la función
f (x) = −2x + 1.
Halle el dominio y el rango de
f.
Encuentre
los puntos donde la gráca interseca los ejes.
Solución.
Como
f
es una ecuación lineal, su gráca es una recta. Para trazar su gráca podemos ubicar dos puntos
distintos en el plano coordenado que estén sobre la gráca y luego los conectamos con una recta. Por
ejemplo,
ˆ
si
x = 0,
entonces
f (x) = −2 · 0 + 1 = 1
ˆ
si
x = 1,
entonces
f (x) = −2 · 1 + 1 = −1
La gráca de
f
y el punto
(0, 1)
está sobre la gráca de
(1, −1)
y el punto
f.
está sobre la gráca de
f.
es
y
5
4
3
2
1
−5
−4
−3
−2
(0, 1)
−1
1
2
3
4
x
5
(1, −1)
−1
−2
−3
−4
−5
f (x) = −2x + 1
Como la expresión
(−∞, ∞)
−2x + 1
está denida para todo número real
x,
(todos los números reales). En la gráca vemos que el rango de
Además, la gráca cruza el eje
y
en el punto
(0, 1).
el dominio de
f
también es
f
es
Dom(f ) =
(−∞, ∞).
En general, podemos ver las coordenadas de este
punto de intersección en la gráca o lo podemos encontrar algebraicamente.
Si la función
(0, f (0)).
f
está denida en
Si la función
f
x = 0,
entonces la gráca de
no está denida en
x = 0,
f
interseca el eje
entonces la gráca de
f
y
en el punto
no interseca el eje
y.
De manera similar, podemos ver las coordenadas de los puntos donde una función interseca el eje
x en
su gráca o los podemos hallar algebraicamente. En este caso, no podemos ver con precisión la coordenada
x
del punto de intersección de la gráca de
f
con el eje
x,
entonces usaremos el método algebraico. Esto
es
−2x + 1 = 0
−2x = −1
1
x= .
2
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
108
Módulo 3. Funciones
Entonces, la gráca de
f
cruza el eje
La gráca de una función
una solución de la ecuación
eje
f
x
en el punto
interseca el eje
f (x) = 0.
x
1
,0 .
2
en todos los puntos de la forma
(x, 0),
Si esta ecuación no tiene soluciones, la gráca de
f
donde
x
es
no cruza el
x.
Como vimos en el último ejemplo, podemos obtener los puntos donde la gráca de una función interseca
los ejes algebraicamente.
Ejemplo 4. Encuentre los puntos donde la gráca de la función
f (x) =
x2 − 9
x+2
interesecta los ejes.
Solución.
Los puntos donde la gráca de la función
es una solución de la ecuación
f (x) = 0.
f
interseca el eje
x
son los puntos de la forma
(x, 0),
donde
x
Esto es
x2 − 9
=0
x+1
x2 − 9 = 0
x2 = 9
x = ±3.
Entonces, la gráca de
f
cruza el eje
x
y
(3, 0).
interseca el eje
y
es el punto
02 − 9
0+2
en los puntos
El punto donde la gráca de la función
f
(0, f (0)) =
0,
(−3, 0)
=
0, −
9
2
.
Observemos que la gráca de una función no puede cruzar el eje
puede asignar una salida a la entrada
eje
x.
en más de un punto (pues solo le
mientras que puede tener múltiples intersecciones con el
Más adelante veremos algunos ejemplos de funciones que cruzan el eje
Ejemplo 5. Sea
de
x = 0),
y
g(x) =
g.
x
innitas veces.
x2 + x − 2
. Encuentre el dominio de g . Trace la gráca de g . Encuentre el rango
x−1
Solución.
x2 + x − 2
está denida para todo número real x tal que x − 1 6= 0. Por lo tanto, Dom(g) =
x−1
(−∞, 1) ∪ (1, ∞). Podemos simplicar la denición de la función g en la siguiente manera
La expresión
g(x) =
x2 + x − 2
(x + 2)(x − 1)
=
=x+2
x−1
x−1
Entonces, la gráca de la función
excepto para
x = 1.
Cuando
lo está y toma el valor
punto
(1, 3).
g
x = 1,
para todo
x
en
(−∞, 1) ∪ (1, ∞).
coincide con la gráca de la función lineal
la función
h(1) = 1 + 2 = 3.
g
h(x) = x + 2
no está denida, mientras que la función
Entonces la gráca de la función
Representaremos esto con un círculo vacío en el punto
(1, 3)
g
es la recta
de la recta
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
para todo
x
h(x) = x + 2
sí
y = x+2
y = x + 2.
sin el
3.2 Grácas de funciones
109
y
g(x) =
x2 +x−2
x−1
5
4
(1, 3)
3
2
1
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
−1
−2
−3
−4
−5
En la gráca podemos ver que el rango de
g
es
Ran(g) = (−∞, 3) ∪ (3, ∞).
En el caso de las funciones denidas por trozos, debemos dibujar las grácas de sus diferentes deniciones sobre sus intervalos correspondientes. Un ejemplo importante de ese tipo de funciones es la función
valor absoluto,
f (x) = |x|.
Como
f (x) = |x| =

−x
si
x<0
x
si
x≥0
su gráca es la unión de las dos grácas:
ˆ
La recta
y = −x,
ˆ
La recta
y = x,
para
para
x
x
en el intervalo
en el intervalo
(−∞, 0)
y
[0, ∞).
Esto es
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
110
Módulo 3. Funciones
y
f (x) = |x|
5
4
3
2
1
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
−1
−2
−3
−4
−5
Ejemplo 6. Trace la gráca de la función


−3


g(x) = −x + 2



2
si
x ≤ −2
−2<x≤1
si
si
x>1
Halle su dominio y su rango.
Solución.
La gráca de la función
g
es la unión de las tres grácas:
ˆ
La recta
y = −3,
ˆ
La recta
y = −x + 2,
ˆ
La recta
y = 2,
para
para
x
en el intervalo
para
x
x
(−∞, −2],
en el intervalo
en el intervalo
(−2, 1]
y
(1, ∞).
Esto es
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
3.2 Grácas de funciones
111
y
5
4
3
y = g(x)
2
1
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
5
−1
−2
−3
−4
−5
Como
(−2, −3)
−x + 2,
g(x) = −3,
para todo
x
en
hace parte de la gráca de
para todo
x
en
(−2, −1],
g
(−∞, −2],
en particular
g(−2) = −3.
Para indicar que el punto
dibujamos un círculo relleno en este punto. Por otro lado,
entonces la gráca de
g
no incluye al punto
(−2, 4).
g(x) =
Para indicarlo,
dibujamos un círculo vacío en este punto. De manera similar, dibujamos un círculo relleno en el punto
(1, 1)
y un círculo vacío en el punto
(1, 2).
A partir de la denición de la función
g
obtenemos que su dominio es
números reales). Además, vemos en su gráca que el rango de
g
es
Dom(g) = (−∞, ∞)
Ran(g) = {−3} ∪ [1, 4).
En algunos casos podemos encontrar la denición de una función a partir de su gráca.
Ejemplo 7. Encuentre las fórmulas que denen la función por trozos
h,
cuya gráca es
y
5
4
3
y = h(x)
2
1
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
−1
−2
−3
−4
−5
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
(todos los
112
Módulo 3. Funciones
Solución.
La gráca de
h
es la unión de dos rectas, una para
La primera recta pasa por los puntos
pendiente con
x1 = −2, y1 = 0, x2 = 0
(−2, 0)
y
x
en
(0, 1).
y
(−∞, 2]
en
(2, ∞).
y2 − y1
1−0
1
=
=
x2 − x1
0 − (−2)
2
Ahora, usemos la forma pendiente-punto de intersección con
y=
m=
1
2
y
b = 1.
La ecuación es
1
x+1
2
La segunda recta es una recta horizontal y su ecuación es
h
x
y2 = 1.
m=
Entonces, la función
y otra para
Hallemos su ecuación usando la denición de
y = 2.
está denida mediante las fórmulas

1


2x + 1
h(x) =



2
si
x≤2
si
x>2
Observemos que la primera recta termina en el punto donde la segunda recta empieza y por lo tanto
ambas fórmulas tienen el mismo valor en
x = 2.
Entonces, también podemos escribir la denición de
h
de la siguiente manera.

1


2x + 1
h(x) =



2
si
x<2
si
x≥2
Hasta el momento hemos trazado únicamente grácas de funciones lineales o de funciones lineales
por trozos. A continuación veremos cómo es la gráca de la función
algunos valores de
x
gráca. La gráca de
y evaluamos la función
g(x) = x
2
g
g(x) = x2 .
Para trazarla, escogemos
en estos valores y así obtenemos algunos puntos de la
es una parábola que abre hacia arriba.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
3.2 Grácas de funciones
113
y
g(x) = x2
5
(−2, 4)
(2, 4)
4
3
2
(−1, 1)
−5
−4
−3
(1, 1)
1
−1 (0, 0)
−2
1
2
3
4
x
5
−1
−2
−3
−4
−5
En la próxima sección mostraremos que las grácas de todas las funciones cuadráticas
bx + c
con
a 6= 0
se obtienen por medio de algunas transformaciones de la gráca de
f (x) = ax2 +
g(x) = x2 ,
y por lo
tanto son parábolas que abren hacia arriba o hacia abajo.
Por otro lado, la gráca de una función
f
es la gráca de la ecuación en dos variables
y = f (x).
Pero
no todas las grácas de ecuaciones en dos variables son grácas de una función. Por ejemplo, no existe
una función tal que su gráca sea la gráca de la ecuación
algunos valores para
y
x = y 2 . Si gracamos esta ecuación, escogiendo
y reemplazando para obtener el valor de
x correspondiente, obtenemos la siguiente
parábola acostada que abre hacia la derecha.
y
5
4
x = y2
3
2
1
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
−1
−2
−3
−4
−5
Recordemos que todas las funciones asignan a cada
En la gráca de la ecuación
x=y
2
x
de su dominio exactamente un valor
y = f (x).
vemos que hay dos puntos sobre esta curva que corresponden a
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
x = 1:
114
Módulo 3. Funciones
(1, −1) y (1, 1). Esto signica que, si esta curva fuera la gráca de una función f , esta función le asignaría
a la entrada
x=1
dos valores distintos,
1
−1.
y
Entonces, esta gráca no puede ser la gráca de una
función.
Llegamos a la misma conclusión si intentamos a despajar
y
de la ecuación
x = y2 .
x = y2
√
y = ± x.
Aquí vemos que para un valor de
Entonces, la gráca de la ecuación
√
y = − x.
x
hay dos valores distintos de
x = y2
y
√
(
x
y
√
− x).
es la unión de las grácas de dos ecuaciones,
y =
√
x
y
y
5
4
3
y=
√
x
2
1
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
−1
−2
√
y=− x
−3
−4
−5
En general, para decidir si la gráca de una ecuación en dos variables es la gráca de una función
podemos usar la
prueba de la recta vertical:
Si existe una recta vertical que intereseca la gráca de una ecuación en dos variables,
un punto, entonces esta gráca no es la gráca de una función,
y = f (x).
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
x
y
y,
en más de
3.2 Grácas de funciones
115
y
5
4
x = y2
3
2
1
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
−1
−2
−3
−4
−5
Concluimos esta sección mostrando algunas grácas de funciones básicas.
y = x2
y
y
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
−5 −4 −3 −2 −1
−1
1
2
3
4
5
x
−5 −4 −3 −2 −1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
−5
−5
y = x3
1
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
2
3
4
5
x
116
Módulo 3. Funciones
y
y
5
5
4
y=
3
√
4
x
3
2
2
1
1
−5 −4 −3 −2 −1
−1
1
2
3
4
x
5
−5 −4 −3 −2 −1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
−5
−5
y
y
5
5
4
4
3
3
2
y=
1
2
3
4
5
√
3
x
x
2
1
y=
−5 −4 −3 −2 −1
−1
1
2
3
4
5
1
x
1
x
y=
−5 −4 −3 −2 −1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
−5
−5
1
Ejercicios de la sección 3.2
1. La gráca de la función
f
es
y
y = f (x)
5
4
3
2
1
−5 −4 −3 −2 −1
−1
1
2
3
4
5
x
−2
−3
−4
−5
Encuentre
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
2
3
4
5
x
1
x2
3.3 Funciones cuadráticas
a)
f (−4)
b)
f (3)
c) los valores de
x
117
tales que
f (x) = 2
d) los puntos donde la gráca de
f
interseca el eje
x
e) los puntos donde la gráca de
f
interseca el eje
y
f ) el dominio de
g) el rango de
f
f
2. Trace la gráca de la función. Halle su dominio y su rango.
a)
(
f (x) =
−1
si
x < 1,
x−2
si
x≥1
b)
(
g(x) =
− 21 x − 1
si
x < 4,
3x − 10
si
x≥4
c)
h(x) =





d)
3. Sea
k(x) =
f
3
si
1−x
si
x+2
si
x ≤ −2,
− 2 < x ≤ 1,
x>1
|x − 1|
x−1
la función cuya gráca se muestra a continuación. Halle el dominio y el rango de
las formulas que denen a
f . Encuentre
f.
y
5
y = f (x)
4
3
2
1
−5 −4 −3 −2 −1
−1
1
2
a, b
y
3
4
5
x
−2
−3
−4
−5
3.3 Funciones cuadráticas
A las funciones de la forma
f (x) = ax2 + bx + c,
donde
c
son números reales y
funciones cuadráticas. Por su denición vemos que el dominio de estas funciones es
a 6= 0
las llamamos
(−∞, ∞)
(todos los
números reales). Empecemos esta sección introduciendo las transformaciones que vamos a aplicar a la
gráca de la función
g(x) = x2
para obtener la gráca de una función cuadrática.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
118
Módulo 3. Funciones
Ejemplo 1. Use la gráca de la función
a)
f (x) = x2 + 1
b)
f (x) = x2 − 4
c)
f (x) = (x + 2)2
d)
f (x) = (x − 3)2
e)
f (x) = −x2
f)
f (x) = 3x2
g)
f (x) =
g(x) = x2
para trazar la gráca de las siguientes funciones.
1 2
x
2
Solución.
a) Para trazar la gráca de
f (x) = x2 + 1 observamos que f (x) = g(x) + 1. Evaluemos algunos valores.
x
−2
−1
0
1
2
x
−2
−1
0
1
2
g(x)
4
1
0
1
4
f (x)
5
2
1
2
5
Vemos que para todo
que el punto
desplazada
1
x,
(x, g(x))
el punto
(x, f (x))
de la gráca de
g.
de la gráca de
f
está exactamente
Por lo tanto, la gráca de
f
1
unidad más arriba
es igual a la gráca de
g
unidad hacia arriba.
y
g(x) = x2
f (x) = x2 + 1
(−2, 5)
5
(2, 5)
(−2, 4)
4
(2, 4)
3
−5
−4
−3
(−1, 2)
2
(1, 2)
(−1, 1)
1
(1, 1)
−2
−1 (0, 0)
1
2
3
4
5
x
−1
−2
−3
−4
−5
b) De manera similar, como
f (x) = g(x) − 4,
obtenemos la gráca de
f
desplazando la gráca de
unidades hacia abajo.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
g4
3.3 Funciones cuadráticas
119
y
g(x) = x2
f (x) = x2 − 4
5
(−2, 4)
(2, 4)
4
3
2
(−1, 1)
−5
−4
−3
−1 (0, 0)
−2
(1, 1)
1
1
2
3
4
x
5
−1
−2
(−1, −3) −3
(1, −3)
−4
−5
f (x) = (x + 2)2
c) Para trazar la gráca de
observemos que
f (x) = g(x + 2).
Evaluemos algunos
valores.
x
−2
−1
0
1
2
x
−4
−3
−2
−1
0
g(x)
4
1
0
1
4
f (x)
4
1
0
1
4
Entonces para todo
del punto
x, el punto (x, f (x)) de la gráca de f
(x + 2, g(x + 2))
desplazada
2
de la gráca de
g.
está exactamente
Por lo tanto, la gráca de
f
2 unidades a la izquierda
es igual a la gráca de
g
unidades hacia la izquierda.
y
f (x) = (x + 2)2
g(x) = x2
5
(−4, 4)
(−2, 4)
(2, 4)
4
3
2
(−3, 1)
−5
−4
−3
(−1, 1)
−2
(1, 1)
1
−1 (0, 0)
1
2
3
4
5
x
−1
−2
−3
−4
−5
d) De manera similar, como
f (x) = g(x − 3),
obtenemos la gráca de
f
desplazando la gráca de
unidades hacia la derecha.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
g3
120
Módulo 3. Funciones
y
g(x) = x2
f (x) = (x − 3)2
5
(1, 4)
(−2, 4)
(2, 4)
4
(5, 4)
3
2
(−1, 1)
(2, 1)
1
(4, 1)
(1, 1)
−5
−4
−3
−2
−1 (0, 0)
1
2
3
4
x
5
−1
−2
−3
−4
−5
f (x) = −x2
e) Para trazar la gráca de
f (x) = −g(x).
observamos que
Evaluemos algunos valores.
x
−2
−1
0
1
2
x
−2
−1
0
1
2
g(x)
4
1
0
1
4
f (x)
−4
−1
0
−1
−4
Vemos que para todo
del punto
(x, g(x))
x,
el punto
(x, f (x))
de la gráca de
con el respecto al eje
x
g.
de la gráca de
f
es la reexión con el respecto al eje
Por lo tanto, la gráca de
f
es igual a la gráca de
g
(o reejada verticalmente).
y
g(x) = x2
5
(−2, 4)
(2, 4)
4
3
2
(−1, 1)
−5
−4
−3
−2
(1, 1)
1
−1 (0, 0)
(−1, −1) −1
1
2
3
4
5
x
(1, −1)
−2
−3
(−2, −4)
−4
(2, −4)
−5
f (x) = −x2
f ) Para trazar la gráca de
f (x) = 3x2
observemos que
f (x) = 3g(x).
Evaluemos algunos valores.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
x
reejada
3.3 Funciones cuadráticas
121
x
−2
−1
0
1
2
x
−2
−1
0
1
2
g(x)
4
1
0
1
4
f (x)
12
3
0
3
12
Entonces, para todo
gráca de
g,
x,
(x, f (x))
el punto
y su coordenada
alargada verticalmente por
3
y
de la gráca de
f
está arriba del punto
f
es el triple. Por lo tanto, la gráca de
(x, g(x))
de la
es igual a la gráca de
g
(o por un factor de tres).
y
g(x) = x2
f (x) = 3x2
5
(−2, 4)
(2, 4)
4
(−1, 3)
(1, 3)
3
2
(−1, 1)
−5
−4
−3
−2
(1, 1)
1
−1 (0, 0)
1
2
3
4
x
5
−1
−2
−3
−4
−5
g) De manera similar, como
gráca de
g
por
f (x) =
2.
1
g(x),
2
obtenemos la gráca de
f
comprimiendo verticalmente la
y
g(x) = x2
f (x) =
1 2
x
2
5
(−2, 4)
(2, 4)
4
3
(−2, 2)
−5
−4
−3
−2
(2, 2)
2
(−1, 1)
1
(−1, )
2
(1, 1)
1
(1, )
2
1
−1 (0, 0)
1
2
3
4
5
x
−1
−2
−3
−4
−5
Observación. También poodemos aplicar estas transformaciones a otras grácas de funciones básicas
para obtener grácas de nuevas funciones.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
122
Módulo 3. Funciones
A
continuación
2
veremos
que
podemos
gracar
cualquier
función
cuadrática
f (x) = ax + bx + c
combinando las transformaciones anteriores. Para esto, primero debemos reescribirla
en su forma normal
f (x) = a(x − h)2 + k .
Esto se hace completando el cuadrado, de la siguiente manera.
f (x) = ax2 + bx + c
b
2
f (x) = a x + x + c
a
sacamos factor común de los dos
primeros términos
2
b
b
+
−
2a
2a
2
b
b2
f (x) = a x +
+c−
2a
4a
f (x) = a x2 + 2x
Observemos que
Entonces, la
−
f
b
2a
=c−
b
2a
2 !
+c
factorizamos el cuadrado perfecto
b2
.
4a
forma normal de la función cuadrática
f (x) = a(x − h)2 + k ,
Ahora, podemos trazar la gráca de la función
h)2 + k .
ˆ
Empezamos con la gráca de la función
donde
f (x) = ax2 + bx + c
h=−
b
2a
y
es
k = f (h).
f (x) = ax2 +bx+c usando su forma normal f (x) = a(x−
g(x) = x2
y aplicamos las siguientes transformaciones.
La primera transformación es un desplazamiento horizontal.
Si
h > 0,
desplazamos la gráca de
g(x) = x2
hacia la derecha
Si
h < 0,
desplazamos la gráca de
g(x) = x2
hacia la izquierda
Si
h = 0,
no debemos hacer ninguna transformación en este paso.
Así obtenemos la gráca de
ˆ
completamos el cuadrado
o
a > 0,
a > 1.
Si
a
Si
0<a<1
a < 0,
h
unidades.
deberemos realizar una o dos transformaciones en este paso.
contraemos o alargamos verticalmente la gráca de
verticalmente. Si
unidades.
y = (x − h)2 .
Luego, dependiendo del signo de
Si
h
y = (x − h)2 ,
debemos contraer la gráca verticalmente y si
a = 1,
a>1
según si
0<a<1
debemos alargarla
no debemos hacer ninguna transformación en este paso.
primero reejamos la gráca de
y = (x − h)2
contraemos o alargamos verticalmente según si
con el respecto al eje
0 < |a| < 1
o
|a| > 1.
Si
a = −1,
x
y luego la
no debemos
hacer ninguna transformación después de la reexión.
Así obtenemos la gráca de
ˆ
y = a(x − h)2 .
La ultima transformación es un desplazamiento vertical.
Si
k > 0,
desplazamos la gráca de
y = a(x − h)2
hacia arriba
k
unidades.
Si
k < 0,
desplazamos la gráca de
y = a(x − h)2
hacia abajo
k
unidades.
Si
k = 0,
no debemos hacer ninguna transformación en este paso.
Así obtenemos la gráca de
y = a(x − h)2 + k .
Ejemplo 2. Trace la gráca de la función cuadrática
f (x) = 2x2 + 12x + 17.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
Determine el rango de
f.
3.3 Funciones cuadráticas
123
Solución.
Empecemos reescribiendo la función
f
en su forma normal. Tenemos que
b
12
=−
= −3
2a
2·2
forma normal de f es
h=−
Por lo tanto, la
y
a = 2, b = 12 y c = 17. Entonces
k = f (−3) = 2 · (−3)2 + 12 · (−3) + 17 = −1
f (x) = 2(x − (−3))2 + (−1) = 2(x + 3)2 − 1.
Para trazar la gráca de
y = (x + 3)
2
desplazando
f
3
g(x) = x2 .
usamos la gráca de
En el primer paso trazamos la gráca de
unidades hacia la izquierda la gráca de
y
y = (x + 3)2
g.
g(x) = x2
5
4
3
2
1
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
−1
−2
−3
−4
−5
Luego alargamos verticalmente por
2 la gráca de y = (x+3)2
para obtener la gráca de
y
y = 2(x + 3)2
y = (x + 3)2
5
4
3
2
1
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
−5
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
x
y = 2(x+3)2 .
124
Módulo 3. Funciones
Finalmente desplazamos
1
unidad hacia abajo la gráca de
y = 2(x + 3)2
para obtener la gráca de
2
f (x) = 2(x + 3) − 1.
y
y = 2(x + 3)2
f (x) = 2(x + 3)2 − 1
5
4
3
2
1
−4
−5
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
−1
−2
−3
−4
−5
En la gráca de
f
vemos que su rango es
[−1, ∞).
Como las grácas de todas las funciones cuadráticas se obtienen mediante transformaciones de la
gráca de la función
parábolas. Sea
donde
g(x) = x
entonces todas estas grácas tienen la misma forma y las llamamos
f (x) = ax2 +bx+c una función cuadrática reescrita en su forma normal f (x) = a(x−h)2 +k ,
b
h = − 2a
2
g(x) = x2 ,
y
k = f (h). Trazamos la gráca de f
. Vemos que la gráca de la función
ˆ
que abre hacia arriba si
a>0
ˆ
que abre hacia abajo si
a<0
Además, con estas transformaciones el punto
desplaza al punto
el
(h, k)
llamamos el
f (x) = ax2 + bx + c
(0, 0),
f.
f (x) = a(x − h)2 + k .
Más aún, como la gráca de
2
f (x) = a(x − h) + k
es una parábola
que está sobre la gráca de la función
sobre la gráca de la función
vértice de la gráca de
la gráca de
aplicando las transformaciones necesarias a la gráca
g(x) = x2
es simétrica con respecto al eje
x = h.
f.
si
a>0
o abre hacia abajo si
a < 0,
f (x) = ax2 + bc + c
su vértice es el punto
h=−
y su eje de simetría es la recta
b
2a
y
es una parábola que abre hacia arriba
(h, k)
donde
k = f (h)
x = h.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
y,
A esta recta la
En resumen:
La gráca de una función cuadrática
se
A este punto lo llamamos
es simétrica con respecto a la recta vertical
eje de simetría de la gráca de
g(x) = x2 ,
3.3 Funciones cuadráticas
125
Ahora, como conocemos la forma de la gráca de una función cuadrática, para trazar esta gráca es
suciente encontrar el vértice y dos puntos más que estén cada uno a cada lado del vértice (o un punto
más y usar el eje de simetría para hallar el otro).
Ejemplo 3. Trace la gráca de la función cuadrática
f (x) = 2x2 + 12x + 17.
Solución. Empecemos encontrando el vértice de la gráca de
b
12
h=−
=−
= −3
2a
2·2
Entonces el vértice de la gráca de
Tenemos que
a = 2, b = 12
y
c = 17.
k = f (h) = f (−3) = 2 · (−3)2 + 12 · (−3) + 17 = −1.
y
f
f.
es el punto
(−3, 1).
Ahora encontremos dos puntos que estén cada
uno a cada lado del vértice. Por ejemplo:
ˆ
Si
x = −4,
gráca de
ˆ
Si
f (−4) = 2 · (−4)2 + 12 · (−4) + 17 = 1.
Así que el punto
(−4, 1)
está sobre la
f (−2) = 2 · (−2)2 + 12 · (−2) + 17 = 1.
Así que el punto
(−2, 1)
está sobre la
f.
x = −2,
gráca de
entonces
entonces
f.
Observemos que si reejamos el punto
(−4, 1) con respecto al eje de simetría x = −3, obtenemos el punto
(−2, 1).
Para trazar la gráca de
f
ubicamos estos tres puntos en el plano coordenado y los conectamos con
una parábola.
y
f (x) = 2(x + 3)2 − 1
5
4
3
2
(−2, 1)
(−4, 1)
−5
−4
−3
(−3, −1)
−2
1
−1
1
2
3
4
x
5
−1
−2
−3
−4
−5
Si la gráca de una función cuadrática interseca el eje
x
en dos puntos distintos, usualmente usamos
estos puntos de intersección para trazar su gráca.
Ejemplo 4. Trace la gráca de la función cuadrática
f (x) = x2 − 5x + 4.
Solución. Para obtener los puntos donde la gráca de
cuadrática
f (x) = 0.
f
interseca el eje
x
debemos resolver la ecuación
Esto es
x2 − 5x + 4 = 0
(x − 1)(x − 4) = 0
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
126
Módulo 3. Funciones
Por la propiedad del producto cero tenemos que
x−1=0
Por lo tanto, las soluciones son
x=1
y
x=4
o
x−4=0
f
y la gráca de
x
cruza el eje
en los puntos
(1, 0)
y
(4, 0).
f , tenemos que la coordenada x del vértice def está
el punto medio
en
1+4
5
5
5
5 9
entre 1 y 4, es decir, en x =
= . Entonces, el vértice de f es el punto
,f
=
,− .
2
2
2
2
2 4
Ahora usemos estos tres puntos para trazar la gráca de f .
Por la simetría de la gráca de
y
f (x) = x2 − 5x + 4
5
4
3
2
1
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
5
−1
−2
−3
5
9
,−
2
4
−4
−5
Observación: A partir de la gráca de una función cuadrática
2
ax + bx + c.
signo de la expresión
encima del eje
puntos
para
x
(1, 0)
en
y
x
(4, 0),
(1, 4)
x
para
y es
en
(−∞, 1) ∪ (4, ∞),
en
x=1
y
x = 4.
está debajo del eje
2
x − 4x + 5
El signo de
2
x
para
x
es positiva para
x − 5x + 4
en
x
podemos conocer el
f (x) = x2 − 5x + 4
está por
(1, 4)
x
Por ejemplo, como la gráca de la función
entonces la expresión
0
f (x) = ax2 + bx + c
en
y cruza el eje
(−∞, 1) ∪ (4, ∞),
es:
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
en los
negativa
3.3 Funciones cuadráticas
127
y
f (x) = x2 − 5x + 4
5
4
3
2
1
+
+
−5
+
−4
+
−3
+
−2
+
+ 0
−1
1
−
−
0
+
+
2
3
4
5
x
−1
−2
−3
5
9
,−
2
4
−4
−5
Una función cuadrática está determinada por tres puntos distintos sobre su gráca. Por lo tanto,
podemos encontrar la denición de una función cuadrática si conocemos tres puntos que estén sobre su
gráca.
Ejemplo 5. Encuentre la función cuadrática cuya gráca pasa por los puntos
Solución.
La función cuadrática
f
es de la forma
f (x) = ax2 + bx + c.
Como la gráca de
f
pasa por el punto
(2, 4),
entonces
f (2) = 4.
Esto es
4 = f (2) = a · 22 + b · 2 + c
y por lo tanto
4 = 4a + 2b + c.
De manera similar,
f (1) = 0
implica que
0=a+b+c
y
f (0) = −1
Si reemplazamos
c = −1
implica que
− 1 = c.
en las dos primeras ecuaciones obtenemos el sistema
(
4a + 2b + (−1) = 4
a + b + (−1) = 0.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
(2, 4), (1, 0)
y
(0, −1).
128
Módulo 3. Funciones
a
Por lo tanto, los números
y
b
son soluciones del sistema
(
4a + 2b = 5
a + b = 1.
Empecemos a resolver el sistema despejando la variable
b
en la segunda ecuación
a + b = 1.
Esto es
b=1−a
Luego, sustituimos la expresión
1−a
en lugar de
b
en la primera ecuación
4a + 2b = 5.
4a + 2(1 − a) = 5
4a + 2 − 2a = 5
2a = 3
3
a=
2
Finalmente reemplazamos
a=
3
2
en la expresión
b=1−a
b=1−
Así obtenemos que la función
f
para encontrar el valor de
b.
3
1
=−
2
2
es
f (x) =
3 2 1
x − x − 1.
2
2
Otra forma de determinar una función cuadrática es conociendo las coordenadas del vértice de su
gráca y las coordenadas de un punto sobre su gráca que sea distinto del vértice.
Ejemplo 6. Encuentre la función cuadrática cuya gráca tiene el vértice en el punto
el punto
(2, −1)
y pasa por
(3, −4).
Solución.
Para encontrar la función cuadrática
h=2
y
k = −1.
f
en este caso debemos usar la forma normal de esta función con
Esto es
f (x) = a(x − 2)2 + (−1) = a(x − 2)2 − 1.
Como la gráca de
f
pasa por el punto
(3, −4),
entonces
f (3) = −4.
−4 = f (3) = a(3 − 2)2 − 1
−4 = a − 1
a = −3
Por lo tanto la función
f
es
f (x) = −3(x − 2)2 − 1 = −3x2 + 12x − 13.
Ejercicios de la sección 3.3
1. Trace la gráca de la función.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
3.4 Operaciones de funciones
a)
f (x) = x2 − 5
b)
g(x) = (x + 4)2
c)
h(x) = 2x2
d)
k(x) = − 13 x2
e)
l(x) = (x + 2)2 − 1
129
f.
2. Halle la forma normal de la función cuadrática
gráca de
g(x) = x
2
Úsela para trazar la gráca de
f
a partir de la
indicando las transformaciones aplicadas.
a)
f (x) = x2 + 6x + 9
b)
f (x) = x2 + 4x + 3
c)
f (x) = 3x2 − 6x + 19
d)
f (x) = −2x2 + 8x
3. Trace la gráca de la función cuadrática
a)
f (x) = x − x2
b)
f (x) = x2 + x − 2
c)
f (x) = 2x2 + 8x + 11
d)
f (x) = −x2 + 4x − 4
e)
f (x) = −x2 + 2x + 3
f.
Encuentre su dominio y su rango.
4. Encuentre la función cuadrática cuya gráca pasa por los puntos
(0, −2), (2, 0)
5. Encuentre la función cuadrática cuya gráca tiene el vértice en el punto
y
(−1, −6).
(−4, 5) y pasa por el punto
(−2, −9).
3.4 Operaciones de funciones
Suma, resta, multiplicación y cociente de funciones
En esta sección veremos diferentes operaciones de funciones. Primero estudiaremos la suma, la resta, el
producto y el cociente de dos funciones.
Sean
ˆ
f
y
g
dos funciones.
La suma de las funciones
f
y
g
es la función
(f + g)(x) = f (x) + g(x)
ˆ
La resta de las funciones
f
y
g
ˆ
El producto de las funciones
f
para todo
es la función
(f − g)(x) = f (x) − g(x)
y
g
f +g
f −g
para todo
es la función
(f · g)(x) = f (x) · g(x)
x
para todo
x
tal que
que esté en
y en
Dom(g)
Dom(f )
y en
Dom(g)
tal que
que esté en
f ·g
x
Dom(f )
tal que
que esté en
Dom(f )
y en
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
Dom(g)
130
Módulo 3. Funciones
ˆ
El cociente de las funciones
f
f (x)
(x) =
g
g(x)
f
y
g
es la función
para todo
x
f
g
tal que
que esté en
Dom(f )
y en
Dom(g)
Observación: Para que podamos evaluar la suma, la resta y el producto de
debe estar tanto en el dominio de
f
como en el dominio de
para evaluar
f
g
Sea
h
Dom(f )
y
f (x) =
x,
además se debe cumplir que
x+1
x
y sea
g
la función denida por medio de la siguiente tabla.
x
−3
−2
−1
0
1
2
3
g(x)
7
5
2
3
−4
1
0
y = h(x)
5
4
3
2
1
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
−5
Evalúe las siguientes expresiones, si existen.
b)
(g − h)(1)
c)
(f · g)(0)
h
(3)
g
d)
Solución.
a) Tenemos que
x,
y
este
f ·g
Este conjunto se
g(x) 6= 0.
y
(f + g)(2)
en un valor
Dom(g).
la función cuya gráca se muestra a continuación.
a)
g
Dom(f ) y Dom(g), y lo denotamos con Dom(f ) ∩ Dom(g). En el caso del cociente,
en un valor
Ejemplo 1. Sea
y
g(x) 6= 0
g . Por lo tanto, el dominio de f + g , f − g
es el conjunto de todos los números reales que pertenecen a ambos,
llama intersección de
f
con
(f + g)(2) = f (2) + g(2) =
3
5
+1= .
2
2
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
x
3.4 Operaciones de funciones
b) Por otro lado,
c) Ahora,
de
g.
131
(g − h)(1) = g(1) − h(1) = −4 − (−2) = −2.
(f · g)(x) = f (x)g(x)
f
En la denición de
para todo
vemos que
x
que esté tanto en el dominio de
f (0)
no está denido y por lo tanto,
f
como en el dominio
(f · g)(0)
tampoco está
denido.
d) La función
el dominio
el dominio
h
h(x)
(x) =
está denida para todo x que esté tanto en el dominio de h como
g
g(x)
de g y que además se cumpla que g(x) 6= 0. Aunque x = 3 está en el dominio de h y
h
de g , tenemos que g(3) = 0 y por lo tanto,
(3) no está denido.
g
Ejemplo 2. Sean
f (x) =
√
9 − x2
y
g(x) =
dominios.
a)
f +g
b)
f −g
c)
f ·g
d)
f
g
x+1
.
x2 + 3x − 4
en
en
Encuentre las siguientes funciones y sus
Solución.
a) Tenemos que
(f + g)(x) = f (x) + g(x) =
√
La expresión
√
9 − x2
y
x2
9 − x2 +
x+1
x2 + 3x − 4
x+1
,
+ 3x − 4
expresión
9−
√
La expresión
9 − x2
x2
x+1
.
+ 3x − 4
está denida para todo valor de
f
x para el que ambas expresiones,
es el conjunto de todos los valores de
x2 está denida y el dominio de
la segunda expresión
9 − x2 +
están denidas.
Observemos que el dominio de
√
p
x+1
x2 + 3x − 4
g
x
tales que la primera
es el conjunto de todos los valores de
x
tales que
está denida.
está denida para todos los valores de
x
tales que
9 − x2 ≥ 0.
9 − x2 ≥ 0
(3 + x)(3 − x) ≥ 0
y
−
−
0
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−3
+
+
+
+
+
+
0
−
−
signo de 3 + x
+
signo de 3 − x
3
Por lo tanto,
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
132
Módulo 3. Funciones
−
−
+
0
signo de 9 − x2
+
+
+
+
−3
9 − x2 ≥ 0
y el dominio de la función
x+1
La expresión
está denida para todos los
x2 + 3x − 4
2
que el denominador x + 3x − 4 sea igual a 0. Como
x2 + 3x − 4 = (x + 4)(x − 1) = 0
(−4, 1) ∪ (1, ∞).
x+1
x2 + 3x − 4
Ahora, el dominio de la función
(−4, 1) ∪ (1, ∞)).
−
3
La solución de la desigualdad
el dominio de la expresión
−
0
f +g
valores de
cuando
x
f
es el intervalo
[−3, 3].
excepto para aquellos que hacen
x = −4
y el dominio de la función
o
g
x = 1,
es el intervalo
es la intersección de los conjuntos
[−3, 3]
y
(−∞, −4) ∪
(−∞, −4) ∪
Para hallarla, graquemos ambos conjuntos.
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
La intersección de los dos conjuntos es el conjunto de valores que está sombreado con ambos colores,
en este caso es
[−3, 1) ∪ (1, 3].
Por lo tanto,
Dom(f + g) = [−3, 1) ∪ (1, 3].
b) Tenemos que
p
9 − x2 −
(f − g)(x) = f (x) − g(x) =
De igual manera, el dominio de la función
f −g
es
x+1
.
x2 + 3x − 4
Dom(f − g) = [−3, 1) ∪ (1, 3].
c) Tenemos que
(f · g)(x) = f (x) · g(x) =
El dominio de la función
escribir también como
f ·g
también es
p
9 − x2 ·
x+1
.
x2 + 3x − 4
Dom(f · g) = [−3, 1) ∪ (1, 3].
La función
f ·g
se puede
√
(x + 1) 9 − x2
(f · g)(x) =
.
x2 + 3x − 4
d) En el caso del cociente tenemos que
f
f (x)
(x) =
=
g
g(x)
√
9 − x2
x+1
x2 + 3x − 4
.
√
9 − x2
está denida para todos los números reales para los que ambas exprex+1
x2 + 3x − 4
√
x+1
x+1
siones,
9 − x2 y 2
, estén denidas y que además se cumpla la condición
6= 0.
x + 3x − 4
x2 + 3x − 4
En los numerales anteriores vimos que ambas expresiones están denidas en el conjunto [−3, 1) ∪
La expresión
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
3.4 Operaciones de funciones
133
(1, 3]. Ahora, debemos encontrar los valores de x tales que
solo para
x = −1,
debemos quitar este valor del conjunto
Dom
x+1
x+1
= 0. Como 2
=0
x2 + 3x − 4
x + 3x − 4
[−3, 1) ∪ (1, 3]. Así obtenemos que
f
= [−3, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, 3].
g
La forma simplicada de la función
f
g
es
√
9 − x2 (x2 + 3x − 4)
f
(x) =
.
g
(x + 1)
Composición de funciones
Sean
f
y
g
f
dos funciones. La composición de
y
g
es la función
f ◦g
denida por
(f ◦ g)(x) = f (g(x)).
Llamemos a esa nueva función
evaluamos
función
g
g(x)
y luego
f (g(x)).
h = f ◦ g.
h(x) se evalúan de la siguiente manera: primero
función h como la función f que usa las salidas de la
Los valores
Podemos ver a la
f ◦g
como sus entradas. Por lo tanto, el dominio de la función
los valores de
x
que están en el dominio de
Ejemplo 3. Sean
a) Evalúe
b) Halle
f (x) = 1 − 2x
(f ◦ g)(3)
(f ◦ g)(x)
y
y
y
g
tales que sus valores
g(x)
es el conjunto que contiene a
están en el dominio de
f.
g(x) = x2 − 4.
(g ◦ f )(3).
(g ◦ f )(x).
Solución.
a) Para evaluar
(f ◦ g)(3) = f (g(3)),
empezamos evaluando
g(3) = 32 − 4 = 5.
Ahora
f (g(3)) = f (5)
=1−2·5
= −9.
Por lo tanto,
(f ◦ g)(3) = −9.
De manera similar,
(g ◦ f )(3) = g(f (3))
= g(1 − 2 · 3)
evaluamos
f (3)
= g(−5)
= (−5)2 − 4
= 21.
Por lo tanto
(g ◦ f )(3) = 21.
Observemos que
(f ◦ g)(3) 6= (g ◦ f )(3).
Entonces, las funciones
f ◦g
y
g◦f
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
son diferentes.
134
Módulo 3. Funciones
b) Tenemos que
(f ◦ g)(x) = f (g(x))
= f (x2 − 4)
evaluamos
g(x)
= 1 − 2(x2 − 4)
= 1 − 2x2 + 8
= −2x2 + 9
y
(g ◦ f )(x) = g(f (x))
= g(1 − 2x)
evaluamos
f (x)
2
= (1 − 2x) − 4
= 1 − 4x + 4x2 − 4
= 4x2 − 4x − 3.
Observemos que también podemos evaluar
Esto es
2
(f ◦ g)(3) = −2 · 3 + 9 = −9
y
f (g(x))
y
(g ◦ f )(3)
utilizando estas últimas fórmulas.
2
(g ◦ f )(3) = 4 · 3 − 4 · 3 − 3 = 21.
Para hallar el dominio de la composición
función
(f ◦ g)(3)
f ◦ g,
primero debemos encontrar la expresión que dene la
y luego hallar el dominio de esta expresión.
Ejemplo 4. Sean
f (x) =
√
x+2
y
a) Halle
(f ◦ g)(x)
y su dominio.
b) Halle
(g ◦ f )(x)
y su dominio.
g(x) =
4
.
x−1
Solución.
a) Encontremos primero la fórmula para la función
f ◦ g.
(f ◦ g)(x) = f (g(x))
4
=f
x−1
r
4
=
+2
x−1
r
La expresión
4
+2
x−1
está denida para los valores de
evaluamos
x
tales que
g(x)
4
+ 2 ≥ 0.
x−1
4
+2≥0
x−1
2x + 2
≥0
x−1
2(x + 1)
≥0
x−1
x+1
≥0
x−1
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
Esto es
3.4 Operaciones de funciones
Determinemos el signo de
−
−
x + 1,
−
135
el de
−
−
y el del cociente
0
+
+
+
+
+
+
−
−1
−
−
0
+
+
+
+
+
+
+
+
signo de x − 1
+
signo de
x+1
.
x−1
−
signo de x + 1
−
x−1
1
+
+
+
−
0
x+1
x−1
I
−1
Por lo tanto, el dominio de la función
f ◦g
1
es
(−∞, −1] ∪ (1, ∞).
b) De manera similar, empecemos encontrando la fórmula para la función
(g ◦ f )(x) = g(f (x))
√
= g( x + 2)
4
=√
x+2−1
La expresión
√
4
x+2−1
g ◦ f.
evaluamos
está denida para los valores de
x tales que x+2 ≥ 0 y que
Tenemos entonces que
√
x+2≥0
y
x ≥ −2
y
x + 2 − 1 6= 0
√
x + 2 6= 1
x + 2 6= 1
x 6= −1
Por lo tanto, el dominio de la función
g◦f
es
[−2, −1) ∪ (−1, ∞).
Ejercicios de la sección 3.4
1. En la siguiente tabla se muestran algunos valores de las funciones
x
−2
−1
0
1
2
f (x)
−1
4
3
−2
−9
g(x)
3
−2
−8
0
6
f
y
g.
Evalúe y simplique las siguientes expresiones, si existen.
a)
(f − g)(−1)
b)
(f · g)(−2)
f
(1)
g
g
(2)
f
c)
d)
f (x)
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
√
x + 2−1 6= 0.
136
Módulo 3. Funciones
2. Sean
f (x) =
a)
f +g
b)
f −g
c)
f ·g
f
g
d)
3. Sean
f (x) =
a)
f +g
b)
f −g
c)
f ·g
f
g
d)
4. Sean
a)
b)
f (x) =
x2
16 − x2
√
y
5x − x2
x+1
x
y
g(x) =
y
√
g(x) =
g(x) =
x2 − x − 6 .
√
Encuentre las siguientes funciones y sus dominios.
x2 − 3x + 2.
1 − x2
.
x+2
Encuentre las siguientes funciones y sus dominios.
Encuentre las siguientes funciones y sus dominios.
f
g
g
f
5. En la siguiente tabla se muestran algunos valores de las funciones
−2
−1
0
1
2
f (x)
1
3
2
0
−1
g(x)
0
4
−1
−5
2
x
f
y
g.
Evalúe las siguientes expresiones.
a)
(f ◦ g)(1)
b)
(g ◦ f )(−2)
c)
(f ◦ f )(0)
d)
(g ◦ g)(2)
6. Sean
f
y
g
las funciones cuyas grácas son
y = f (x)
y
5
4
3
2
1
−5 −4 −3 −2 −1
−1
1
2
3
4
5
x
−2
−3
−4
−5
y = g(x)
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
3.5 Funciones uno a uno y funciones inversas
137
Evalúe las siguientes expresiones.
a)
(f ◦ g)(−1)
b)
(g ◦ f )(0)
c)
(f ◦ f )(−3)
d)
(g ◦ g)(4)
7. Sean
f (x) =
a)
g◦f
b)
f ◦f
c)
g◦g
8. Sean
f (x) =
a)
f ◦g
b)
g◦f
c)
f ◦f
d)
g◦g
9. Sean
f (x) =
a)
f ◦g
b)
g◦f
c)
f ◦f
d)
g◦g
10. Sean
f (x) =
a)
f ·g
b)
f ◦g
c)
g◦f
x
1−x
√
x−1
x+1
2−x
√
y
y
y
1−x
g(x) =
Encuentre las siguientes funciones y sus dominios.
g(x) = x2 + 1.
g(x) =
y
3
.
x
4
.
x
g(x) =
Encuentre las siguientes funciones y sus dominios.
Encuentre las siguientes funciones y sus dominios.
1
.
x−2
Encuentre las siguientes funciones y sus dominios.
3.5 Funciones uno a uno y funciones inversas
Consideremos la función
dos veces
y,
x
menos
5.
f (x) = 2x − 5.
Por ejemplo, si
Para cada entrada
x = 2,
podemos encontrar todas las entradas
2x − 5 = −2
y entonces
3
x= .
2
x
entonces
x,
la salida de esa función
y = 2 · 2 − 5 = −1.
Por lo tanto,
es el único valor de
x
es igual a
Por otro lado, dada una salida
que producen esa salida. Por ejemplo, si
3
x=
2
y = f (x)
tal que
y = −2
tenemos que
f (x) = −2.
En general,
si a todas las salidas de una función les corresponde exactamente una entrada, la regla que le asigna a
cada salida la entrada correspondiente es también una función.
En nuestro ejemplo, para producir una entrada para una salida dada, tuvimos que deshacer la acción
de la función
f.
primero sumar
5
Por lo tanto, dada una salida
y luego dividir entre
2.
y,
para obtener las entradas correspondientes, debemos
Tenemos que
x=
y+5
.
2
Entonces a cada salida
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
y
de la función
138
Módulo 3. Funciones
f
le corresponde exactamente una entrada
x
es una función. A esta nueva función la llamamos la
Tenemos que
x=f
−1
x
función inversa de
f
(x)
no
f
el valor correspondiente
y la denotamos con
−1 que aparece en la notación de la función inversa f −1
1
−1
signica que (f (x))
=
.
f (x)
no es un exponente. En general,
No todas las funciones tienen una función inversa. Por ejemplo, estudiemos la función
este caso,
y = g(x) = 4
x = −2
x=2
y
f −1 .
(y).
Observación: El
−1
y
y la regla que le asigna a cada
g(x) = x2 .
En
es una salida de esta función a la que le corresponden dos entradas diferentes,
(porque
g(−2) = (−2)2 = 4
y
g(2) = 22 = 4).
Por lo tanto, la función inversa de
g
no
existe.
Esta discusión plantea las siguientes dos preguntas:
ˆ
¾Cuáles funciones tienen función inversa?
ˆ
Si una función tiene función inversa, ¾cómo podemos encontrarla?
La respuesta a la primera pregunta viene de la denición de la función inversa. Una función
f
tiene
función inversa si a todas las salidas de esa función les corresponde exactamente una entrada. De hecho,
no hay dos entradas distintas que produzcan la misma salida. A esas funciones las llamamos funciones
uno a uno.
En general, dada la gráca de
f,
podemos saber si una función es uno a uno usando la
prueba de
la recta horizontal:
Si existe una recta horizontal que intereseque la gráca de la función
f
en más de un punto, entonces
f
no es una función uno a uno.
y
y = x2
5
4
3
2
1
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
−1
−2
−3
−4
−5
Observación: La función
h(x) = x2 ,
con
x≥0
sí es una función uno a uno, ya que la gráca de
mitad de la parábola que corresponde a los valores
x ≥ 0.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
h
es la
3.5 Funciones uno a uno y funciones inversas
139
y
y = x2
x≥0
con
5
4
3
2
1
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
−1
−2
−3
−4
−5
Ahora podemos denir la función inversa.
Sea
f
una función uno a uno. Entonces, la función
f
la función que toma como entradas las salidas de
f
tiene una función inversa
f −1 ,
que es
y, a cada una de estas, le asigna su entrada
correspondiente. Esto lo podemos escribir de la siguiente manera:
f (x) = y
si y solo si
f −1 (y) = x.
Por lo tanto,
Dom(f −1 ) = Ran(f )
Ran(f −1 ) = Dom(f ).
y
Además,
f −1 (f (x)) = x
para todo
x
en el dominio de
f
y
f (f −1 (y)) = y
Finalmente, la función
f −1
para todo
y
en el dominio de
f −1 .
también es una función uno a uno y su inversa es la función
f −1
−1
f.
Esto es
= f.
Ilustremos esta denición en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 1. Sea
C = f (n),
cierta compañía y
n
donde
C
representa el costo, en miles de pesos, de alquilar un carro de
representa el número de kilómetros recorridos con el carro. Diga qué representan los
siguientes valores:
a)
f (220)
b)
f −1 (150)
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
140
Módulo 3. Funciones
Solución.
a) El valor de
C = f (220)
representa el costo de alquilar un carro de esta compañía y recorrer
220
kilómetros.
b) La función
f −1
kilómetros
n = f
−1
toma como entrada el costo de alquilar un carro y produce como salida el número de
recorridos
(150)
que
este
costo.
Entonces,
el
valor
representa el número de kilómetros que se deben recorrer con el carro alquilado
para que el costo del alquiler sea
Ejemplo 2. Sea
generaron
g(x)
$150.000.
una función uno a uno tal que
conocemos la salida asignada por
g
y
g(1) = −3
y
g −1 (2) = 0.
¾Para qué otros valores
g −1 ?
Solución.
Como
g(1) = −3,
Ejemplo 3. Sea
entonces
f
g −1 (−3) = 1.
De manera similar,
g −1 (2) = 0
implica que
g(0) = 2.
la función cuya gráca se muestra a continuación.
y
y = f (x)
5
4
3
2
1
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
−1
−2
−3
−4
−5
a) ¾Es
f
b) Halle
una función uno a uno?
f −1 (−2).
Solución.
a) Cualquier recta horizontal que tracemos sobre la gráca de
tanto, según la prueba de la recta horizontal, la función
b) Para hallar
f −1 (−2)
debemos encontrar el valor de
de aquel punto que tenga coordenada
decir, que
f (−1) = −2.
Ejemplo 4. Sea
h(x) =
Entonces,
3
x − 4.
2
f
−1
y = −2.
x
f
f
la interseca solo en un punto. Por lo
es uno a uno.
tal que
f (x) = −2,
En la gráca vemos que este punto es
(−2) = −1.
Muestre que
h
es decir, la coordenada
es uno a uno y halle
h−1 (5).
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
(−1, −2),
x
es
3.5 Funciones uno a uno y funciones inversas
141
Solución.
Como
h
es una función lineal, su gráca es una recta que tiene pendiente
h
la recta horizontal,
Para hallar
h−1 (5)
3
.
2
De acuerdo a la prueba de
es una función uno a uno y por lo tanto tiene función inversa.
x
debemos encontrar el valor de
debemos hallar el valor de
x
que tal que
h(x) = 5.
al que
h
le asigna como salida el valor
5.
Es decir,
Esto es
3
x−4=5
2
3
x=9
2
2
x= ·9
3
x=6
h(6) = 5
Entonces,
y por lo tanto
h−1 (5) = 6.
En el último ejemplo, para la función
h,
hallamos el valor que toma su función inversa en un número
dado. De manera similar, podemos encontrar la fórmula para la función inversa
y
en lugar del valor
5.
Debemos hallar el valor de
x
tal que
h(x) = y .
h−1 , poniendo la variable
Esto es
3
x−4=y
2
3
x=y+4
2
2
x = (y + 4)
3
Por lo tanto,
x = h−1 (y) =
2
(y + 4).
3
Observemos que, utilizando esta fórmula también obtenemos que
h−1 (5) =
Ejemplo 5. Sea
f (x) =
el dominio y el rango de
3x − 1
.
x+1
f −1 .
Muestre que
h−1 (5) = 6.
2
2
(5 + 4) = · 9 = 6.
3
3
f
f −1 .
es una función uno a uno y calcule su inversa
Halle
Solución.
Utilizando división de polinomios y el algoritmo de la división, obtenemos que
3x − 1
4
=3−
.
x+1
x+1
Esto signica que la gráca de la función
f
se obtiene a partir de la gráca de la función
g(x) =
mediante las siguientes transformaciones:
ˆ
Desplazar
ˆ
Alargar
y=
ˆ
1 unidades hacia la izquierda la gráca de g(x) =
verticalmente
por
4
la
gráca
de
y
la
gráca
de
y
=
4
x+1
con
respecto
para obtener la gráca de
1
x+1
=
4
.
x+1
Reejar
1
x
al
eje
para
x
para
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
obtener
obtener
y=
1
x
1
.
x+1
la
gráca
de
la
gráca
de
142
Módulo 3. Funciones
y=−
ˆ
4
.
x+1
Desplazar
3
f (x) = 3 −
unidades hacia arriba la gráca de
y=−
4
.
x+1
4
x+1
para nalmente obtener la gráca de
y
9
8
7
6
5
y =3−
4
4
x+1
3
2
1
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
f
Según la prueba de la recta horizontal,
En general, cualquier función de la forma
es uno a uno.
h(x) =
ax + b
,
cx + d
donde
a, b, c
y
d
son constantes, es uno a uno
pues su gráca se obtiene a partir de transformaciones de la gráca de la función
a uno por la prueba de la recta horizontal.
Como
f
es uno a uno, tiene función inversa. Para hallarla debemos despejar
Esto es
3x − 1
=y
x+1
3x − 1 = y(x + 1)
3x − 1 = xy + y
3x − xy = y + 1
x(3 − y) = y + 1
y+1
x=
3−y
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
g(x) =
1
,
x
que es uno
x de la ecuación f (x) = y .
3.5 Funciones uno a uno y funciones inversas
Por lo tanto,
x = f −1 (y) =
Como la expresión
(−∞, 3) ∪ (3, ∞).
y+1
3−y
143
y+1
.
3−y
y
está denida para todo valor de
f −1 ,
Para hallar el rango de
x = −1,
f
el dominio de
es
y = 3,
el dominio de
f −1
es
usamos el hecho de que el rango de la función inversa
es igual al dominio de la función original. Como la expresión
excepto para
excepto para
(−∞, −1) ∪ (−1, ∞)
3x − 1
x+1
está denida para todo valor de
y por lo tanto el rango de
f
−1
x
también es
(−∞, −1) ∪ (−1, ∞).
Finalmente consideremos la función
h(x) = x2 ,
con
x ≥ 0.
h
Como
es una función uno a uno, tiene
función inversa. Hallemos su función inversa.
x2 = y
√
x=± y
Como
x ≥ 0,
tenemos que
x=
√
y
y así
Por otro lado, la función inversa de
la mitad de la parábola
2
y=x
con
√
h−1 (y) = y .
√
f (x) = x es f −1 (x) = x2
con
x≥0
(la función cuya gráca es
x ≥ 0).
Graquemos estas dos funciones.
y
y = x2
con
x≥0
5
(2, 4)
4
3
y=
√
x
(4, 2)
2
1
−5
−4
−3
−2
(1, 1)
−1
1
2
3
4
5
x
−1
−2
−3
y=x
−4
−5
Podemos ver que la gráca de
respecto a la recta
(y, x)
donde
la gráca de
(x, y)
f
y = x.
h−1 (x) =
√
x
es igual a la gráca de
En general, la gráca de
está sobre la gráca de
con respecto a la recta
f.
f
−1
h(x) = x2
con
x≥0
reejada con
es el conjunto de todos los puntos de la forma
Por lo tanto, podemos obtener la gráca de
f −1
reejando
y = x.
Ejercicios de la sección 3.5
1. Sea
f (x) = x2 − 2x.
Encuentre todos los valores de
x
tales que
f (x) = 8.
2. Use la tabla
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
¾Existe
f −1 ?
Justique.
144
Módulo 3. Funciones
x
0
5
10
15
20
g(x)
5
10
0
−5
−10
para hallar las siguientes expresiones.
a) los valores de
b)
x
tales que
g(x) = −5
y
tales que
g −1 (y) = 10
g −1 (10)
c) los valores de
3. Use la gráca
y
5
4
3
2
1
−5 −4 −3 −2 −1
−1
1
2
3
4
5
x
−2
−3
−4
−5
y = f (x)
para hallar las siguientes expresiones.
a)
f −1 (0)
b)
f −1 (2)
6
,
1−x
4. Si
h(x) =
5. Si
g(x) = x2 − 3x,
halle
con
h−1 (2).
x≥
3
,
2
halle
6. Encuentre la función inversa de
a)
f (x) = 1 − 3x
b)
f (x) = (x − 1)3 − 2
√
f (x) = 4 + 5 3x + 1
c)
7. Si
f (x) =
x−2
,
x+2
halle
b)
c)
f.
f −1 (−3).
8. Calcule la función inversa de
a)
g −1 (−2).
g.
Halle el dominio y el rango de
g −1 .
x
x+1
3x − 7
g(x) =
2x + 1
2x + 1
g(x) =
5x − 3
g(x) =
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
3.6 Funciones exponenciales
145
3.6 Funciones exponenciales
En esta sección estudiaremos las funciones de la forma
Como la variable
x
ejemplo, la función
f (x) = ax ,
es una función exponencial con base
a > 0,
ax
la expresión
Cualquier número racional
Entonces
es constante,
a>0
y
a 6= 1.
x
ax = am/n =
√
n
am = ( a)m .
Ahora surge una pregunta. ¾Cómo denimos la expresión
Estudiemos la expresión
2π .
m
,
n
se puede escribir como una fracción
√
n
El número
π
a = 2.
está denida para todos los números racionales
siguiente manera:
n > 0.
a
está en el exponente, a estas funciones las llamamos funciones exponenciales. Por
f (x) = 2x
Recordemos que si
y
donde
donde
m
y
n
x
de la
son números enteros
ax cuando a > 0 y x es un número irracional?
es un número irracional
π ≈ 3, 141592 . . .
Todos los números irracionales se pueden aproximar usando números racionales. En particular, el número
π
se puede aproximar con los números
3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, . . ., que son números racionales.
Por ejemplo,
3.14 =
314
100
23.14 =
y
√
100
2314 = 8.81524 . . .
Podemos ver que los valores
23 = 8
23.1 = 8.57418 . . .
23.14 = 8.81524 . . .
23.141 = 8.82135 . . .
23.1415 = 8.82441 . . .
23.14159 = 8.82496 . . .
se acercan más y más a cierto valor. A este valor lo vamos a llamar
De forma similar, podemos denir todas las expresiones
x
es un número irracional. Por lo tanto, si
reales
x
a > 0,
y el dominio de la función exponencial
ax ,
la expresión
x
f (x) = a
es
2π .
donde
x
a
a
es un número real positivo y
está denida para todos los números
(−∞, ∞)
para todo
a>0
con
a 6= 1.
Las
propiedades de los exponentes se seguirán cumpliendo cuando los exponentes son cualquier número real.
Observación: Cuando
a = 1,
la función
f (x) = 1x = 1
es una función constante y por eso es una
función lineal, no una función exponencial.
Ahora estudiaremos las grácas de las funciones exponenciales. Primero, consideremos la función
exponencial con base
a = 2, g(x) = 2x .
Si evaluamos algunos valores obtenemos la siguiente curva.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
146
Módulo 3. Funciones
y
g(x) = 2x
5
(2, 4)
4
3
(1, 2)
2
1
(−2, 14 )
−5
−4
−3
−2
(−1, 12 )
−1
1
2
3
4
x
5
−1
−2
−3
−4
−5
Observemos que los valores que toma
en sentido negativo, los valores de
la gráca de
g
g
g
son siempre positivos. Además, cuando los valores de
se acercan a
0.
Por lo tanto,
Ran(g) = (0, ∞).
x crecen
Más aún, vemos que
sube cuando la recorremos de izquierda a derecha y por eso decimos que la función
g
es
creciente en todo su dominio.
Ahora consideremos la función exponencial con base
a=
1
2,
1 x
.
2
h(x) =
y
5
(−2, 4)
4
3
(−1, 2)
2
1
(2, 14 )
(1, 12 )
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
h(x) =
3
4
5
1 x
2
x
−1
−2
−3
−4
−5
Al igual que
valores de
x
g,
los valores que toma
h
son siempre positivos. En este caso tenemos que cuando los
crecen en sentido positivo, los valores de
el rango de la función
h
es
(0, ∞).
h
se acercan a
0.
Como en el caso de la función
g,
Además, vemos que la gráca baja cuando la recorremos de izquierda
a derecha y por eso decimos que la función
h
es decreciente en todo su dominio.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
3.6 Funciones exponenciales
Observación:
La gráca de
porque
h(x) =
1
2
x
147
h
−1 x
= (2
−x
) =2
debemos reejar la gráca de
f
g
es igual a la gráca de
= g(−x).
reejada con respecto al eje
y.
Esto sucede
En general, para obtener la gráca de la función
con respecto al eje
y
f (−x)
(u horizontalmente).
f
(x)= ax con a > 0 y a 6= 1 es
x
1
x
parecida a la forma de las grácas de las funciones g(x) = 2 y h(x) =
. Si 0 < a < 1, su gráca
2
tiene la misma forma que la gráca de h y si a > 1, su gráca tiene la misma forma que la gráca de g .
En general, la forma de las grácas de las funciones exponenciales
y
y
f (x) = ax ,
con
f (x) = ax ,
0<a<1
con
0<a<1
1
1
x
x
Estas son las grácas de algunas funciones exponenciales con diferentes bases. Podemos ver cómo el
valor de la base
a
afecta la gráca de
y=
1 x
2
y=
y = ax .
1 x
3
y=
1 x
10
y = 10x
y = 3x
y = 2x
(0, 1)
Observemos que todas las grácas contienen al punto
(0, 1).
Esto sucede porque para todo
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
a > 0,
148
Módulo 3. Funciones
a0 = 1.
En resumen:
Las funciones exponenciales son las funciones de la forma
de una función exponencial es
de la base
a
f (x) = ax
con
a > 0 y a 6= 1. El dominio
(−∞, ∞) (todos los números reales) y el rango es (0, ∞). Dependiendo
tenemos la siguiente propiedad.
ˆ
Si
0 < a < 1,
ˆ
Si
a > 1,
f (x) = ax
entonces la función
entonces la función
f (x) = ax
decrece en todo su dominio.
crece en todo su dominio.
Las funciones exponenciales son funciones uno a uno.
Ahora veamos algunas transformaciones de las grácas de las funciones exponenciales.
Ejemplo 1. Sea
f (x) = 1 − 3x .
a) Halle el dominio de
b) Trace la gráca de
c) Halle el rango de
f.
f.
f.
Solución.
a) La expresión
función
1 − 3x
está denida para todos los números reales y por lo tanto el dominio de la
x
f (x) = 1 − 3
es
(−∞, ∞).
y = 3x .
b) Empecemos trazando la gráca de
Esta es una función exponencial con base
entonces su gráca debe tener una forma parecida a la gráca de
la siguiente tabla podemos obtener su gráca.
La gráca de
y = 3x
x
−1
0
1
y = 3x
1/3
1
3
a = 3 > 1,
g(x) = 2x . Sabiendo esto y usando
es la siguiente.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
3.6 Funciones exponenciales
149
y = 3x
y
5
4
(1, 3)
3
2
(−1, 1/3)
−5
−4
−3
−2
1
−1
1
2
3
4
5
x
−1
−2
−3
−4
−5
Si reescribimos la función
la gráca de
y = 3x
f
como
f (x) = −3x + 1
con respecto al eje
x
podemos ver que su gráca se obtiene reejando
y luego desplazando esta reexión
1
unidad hacia arriba.
Esto es
y
y
5
5
4
4
3
3
2
2
1
(−1, 2/3)1
(−1, −1/3)
−5 −4 −3 −2 −1
−1
1
2
3
4
x
5
−5 −4 −3 −2 −1
−1
−2
−2
−3
1
2
−5
f (x) = −3x + 1
y = −3
c) En la última gráca podemos ver que el rango de
con
En
la
a>0
siguiente
y
tabla
se
f
muestran
es
(−∞, 1).
algunos
valores
de
a 6= 1.
−1
x
g(x)
x
(1, −2)
x
2.
5
−4
−5
g(x) = Cax
4
−3
(1, −3)
−4
Ejemplo
3
−48
a) Encuentre los valores de las constantes
0
−12
C
y
2
−3
−3/2
a.
b) Complete la tabla.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
la
función
g,
donde
150
Módulo 3. Funciones
Solución.
a) En la tabla vemos que
Ca2 = −
3
.
2
Despejando
g(−1) = −12
g(2) = −
y que
3
.
2
Esto signica que
Ca−1 = −12
y que
Entonces tenemos el siguiente sistema
C
 C



 a
= −12



Ca2
3
=− .
2
en las ambas ecuaciones, obtenemos el sistema





C = −12a




C=−
3
.
2a2
Si igualamos ambas expresiones, obtenemos una ecuación en
−12a = −
a
y la podemos resolver.
3
2a2
1
8
1
a= .
2
a3 =
Ahora reemplacemos este valor de
a
en la primera ecuación para obtener
C = −12 ·
Por lo tanto, la función
g
es
1
= −6.
2
x
1
g(x) = −6 ·
.
2
b) Para completar la tabla debemos encontrar tres valores,
valor de
x
tal que
g(0),
el valor de
x
tal que
g(x) = −3.
g(0) = −6 ·
Ahora despejemos
C.
x
de la ecuación
0
1
= −6 · 1 = −6.
2
g(x) = −48.
g(x) = −48
x
1
−6 ·
= −48
2
x
1
=8
2
x = −3
porque
−3
1
= 23 = 8.
2
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
g(x) = −48
y el
3.6 Funciones exponenciales
Por lo tanto,
151
g(−3) = −48.
Finalmente, despejemos
x
de la ecuación
g(x) = −3.
g(x) = −3
x
1
−6 ·
= −3
2
x
1
1
=
2
2
x=1
y así
g(1) = −3.
Completemos la tabla con los valores que obtuvimos.
x
−3
−1
0
1
2
g(x)
−48
−12
−6
−3
−3/2
El número e
Consideremos la gráca de
f (x) = ax
con
a>1
y su recta tangente en el punto
(0, 1).
La recta tangente
a una curva en un punto se denirá con precisión en el curso de cálculo diferencial. Para nes prácticos,
nos podemos imaginar que la recta tangente a una curva en un punto es aquella recta que toca a la curva
solo en ese punto. Podemos ver esto en la siguiente gráca.
y
(0, 1)
x
La pendiente
m de esta recta tangente cambia según la base a. Por ejemplo, si la base es 2, la pendiente
de la recta tangente a la curva
y = 2x
en el punto
(0, 1)
es aproximadamente
0.7.
Si la base es
función crece más rápido, por lo tanto se espera que la pendiente de la recta tangente a la curva
en el punto
(0, 1)
sea mayor. De hecho es aproximadamente
1.1.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
3,
esta
y = 3x
152
Módulo 3. Funciones
y
y = 3x
y
y = 2x
5
5
4
4
3
3
2
2
y = 1.1x + 1
y = 0.7x + 1
1
1
−5 −4 −3 −2 −1
−1
1
2
3
4
x
5
−5 −4 −3 −2 −1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
−5
−5
Nos interesa saber cuál de todas las bases
pendiente exactamente
1
en el punto
(0, 1).
a
1
2
3
4
5
x
produce una gráca que tiene una recta tangente de
Es conveniente utilizar esta base porque, como se verá en
cálculo diferencial, algunas fórmulas resultan más simples.
Según las grácas anteriores, la base
el punto
(0, 1)
es exactamente
1
a
tal que la pendiente de la recta tangente a la curva
debe ser un número entre
2
y
3.
y = ax
en
Se puede demostrar que esa base es un
número irracional, aproximadamente
2, 71828 . . .
y lo llamaremos
e. A al base e la llamamos la base natural y a la función f (x) = ex
la llamamos la función
exponencial natural.
La gráca de la función
f (x) = ex
es
f (x) = ex
y
y = 3x
y = 2x
5
4
3
2
1
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
−5
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
x
3.6 Funciones exponenciales
Ejemplo 3. Sea
153
g(x) = e−x − 2.
a) Halle el dominio de
b) Trace la gráca de
c) Halle el rango de
g.
g.
g.
Solución.
a) La expresión
g(x) = e
−x
e−x − 2
−2
es
está denida para todo número real
x
y por lo tanto el dominio de la función
(−∞, ∞).
b) Podemos obtener la gráca de
desplazando esta reexión
2
g
reejando la gráca de
f (x) = ex
con respecto al eje
unidades hacia abajo.
y
5
4
3
2
y = e−x
1
−5 −4 −3 −2 −1
−1
1
2
3
4
5
x
−2
−3
−4
−5
y
5
4
3
2
g(x) = e−x − 2
1
−5 −4 −3 −2 −1
−1
1
2
3
4
5
x
−2
−3
−4
−5
c) En la última gráca podemos ver que el rango de
g
es
(−2, ∞).
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
y
y luego
154
Módulo 3. Funciones
Modelos con funciones exponenciales
Hay situaciones de la vida real que se modelan con funciones exponenciales. Veamos algunos ejemplos de
cómo se aplican las funciones exponenciales a problemas de la vida real.
Ejemplo 4. En condiciones ideales cierta población de bacterias se duplica cada tres horas. Supongamos
que al principio hay
50
bacterias.
a) ¾Cuál es el tamaño de la población después de
9
horas?
b) ¾Cuál es el tamaño de la población después de
t
horas?
c) ¾Cuál es el tamaño de la población después de
15
minutos?
Solución.
a) Sabemos que el tamaño de la población después de
3
horas es
50 · 2 = 100.
3
6
horas después, o
horas desde el principio, el tamaño de la población es
50 · 2 · 2 = 200.
Finalmente,
3
horas después, o
9
horas desde el principio, el tamaño de la población es
50 · 2 · 2 · 2 = 400.
Entonces, el tamaño de la población después de
b) Denotemos con
P (t)
inicialmente tiene
a), cuando
si
t=9
por
t=3
50
horas es
400
al tamaño de la población después de
bacterias y se multiplica por
debemos multiplicar a
debemos multiplicar a
2t/3 .
9
50
por
2
50
3
por
2
1
2
t
bacterias.
horas. Sabemos que esta población
cada tres horas. Como vimos en el numearal
, cuando
t=6
debemos multiplicar a
. En general, después de
t
50
por
22
horas debemos multiplicar a
y
50
Entonces
P (t) = 50 · 2t/3 .
c) En el numeral b) obtuvimos la función que modela el tamaño de la población
horas. Como
15
minutos es
Este valor es
1
4
de hora, el tamaño de la población después de
después de
minutos es
P
t
1
4 .
1
P
= 50 · 21/12 ≈ 52, 97.
4
Ejemplo 5. María recibió una oferta de trabajo con un salario anual de
incremento anual de
15
P (t)
96
8%.
a) ¾Cuál será el salario anual de María después de
5
años?
b) ¾Cuál será el salario anual de María después de
t
años?
Solución.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
millones de pesos y un
3.6 Funciones exponenciales
155
a) El salario anual de María se aumenta cada año de la siguiente manera.
salario nuevo
= salario
del año pasado
+ 8% · salario
= salario
del año pasado
+ 0.08 · salario
= salario
del año pasado
· (1 + 0.08)
= salario
del año pasado
· 1.08
Por lo tanto, cada año el salario anual de María se multiplica por
•
del año pasado
del año pasado
1.08.
Entonces,
después del primer año, el salario anual de María (en millones de pesos) será
96 · 1.08 ≈ 103.7
•
después del segundo año, María recibirá un salario anual (en millones de pesos) de
96 · 1.08 · 1.08 = 96 · (1.08)2 ≈ 112
•
después de tres años, su salario anual (en millones de pesos) será
96 · (1.08)2 · 1.08 = 96 · (1.08)3 ≈ 120.9
Llamemos
S(t)
al salario anual de María (en millones de pesos) después de
t
años de trabajar.
Podemos resumir la información en la siguiente tabla y agregar el salario anual de María después
de
4
y
5
años.
t
S(t)
0
1
96 · 1.08
96
Entonces después de
2
5
3
2
96 · (1.08)
4
3
96 · (1.08)
millones de pesos) después de
t
1.08.
96 · (1.08)
96 · (1.08)5
96 · (1.08)5 ≈ 141.1
años el salario anual de María será
b) Cada año, el salario de María se multiplicará por
5
4
millones de pesos.
Entonces el salario anual de María (en
años será
S(t) = 96 · (1.08)t .
Ejercicios de la sección 3.6
1. Sea
g(x) =
2
− 6.
3x
a) Halle el dominio de
b) Trace la gráca de
c) Halle el rango de
g.
g.
g.
d) Halle los puntos donde la gráca de
2. Sea
f (x) = Cax
con
a>0
y
a 6= 1
g
interseca el eje
x
y el eje
y.
la función cuya gráca se muestra a continuación.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
156
Módulo 3. Funciones
f (x) = Cax
y
(1, 2)
1/2
x
a) Encuentre las constantes
C
a.
y
b) Complete la tabla.
−2
x
1
g(x)
3. Sea
1/8
1/2
32
h(x) = ex−1 + 1.
a) Halle el dominio de
b) Trace la gráca de
c) Halle el rango de
h.
h.
h.
4. El precio de la boleta de cine en el 2019 es
$25.000.
Si la inación anual es del
5%,
¾cuál será el
precio de la boleta en el año 2050?
5. Un cultivo de bacterias tiene inicialmente
700
a) ¾Cuántas bacterias habrá después de
t
b) ¾Cuántas bacterias habrá después de
40
bacterias y duplica su tamaño cada media hora.
horas?
minutos?
6. Cierta clase de conejos fue introducida en una pequeña isla hace
conejos era
1.200
y se sabe que se está duplicando cada
7
15
meses. La población inicial de
meses.
a) Encuentre la población actual de conejos en la isla.
b) Encuentre la población de conejos diez años después de que fueron introducidos en la isla.
7. El Cesio-137 es una sustancia radiactiva y se desintegra con el tiempo. Suponga que una muestra
de esta sustancia tiene una masa de
la función
25
m(t) = 200 · 2
−t/30
200 mg. La masa restante m(t) después de t años está dada por
. ¾Cuánto tiempo le tomará a la muestra desintegrarse a una masa de
mg?
3.7 Funciones logarítmicas
Sea
f (x) = ax
una función exponencial con
tiene función inversa. A su función inversa
f
a>0
−1
y
a 6= 1.
La función
la llamamos la
f
es uno a uno y por lo tanto
función logarítmica con base
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
a
y la
3.7 Funciones logarítmicas
denotamos con
157
f −1 (x) = loga x.
dominio de la función
Como esta función es la función inversa de
f
y por eso, el rango de
loga x
loga x = y
a la
y,
si
e
ay = x.
a
evaluada en
x
es aquel exponente
y
tal que, si
= e), la función logarítmica loge x se denota con ln x y la llamamos
logaritmo natural. La función logaritmo natural
natural
Además
x.
obtenemos
Cuando la base es la base natural (a
x
(−∞, ∞).
es
Entonces, el valor de la función logarítmica con base
a
sabemos que el
loga x es igual al rango de f , es decir, (0, ∞). De manera similar, el rango de loga x
es igual al dominio de
elevamos
f (x) = ax
ln x
es la función inversa de la función exponencial
.
En el siguiente ejemplo usaremos la denición de las funciones logarítmicas para reescribir un logaritmo
en términos de un exponente.
Ejemplo 1. Reescriba las siguientes expresiones usando una expresión exponencial.
a)
log7 49 = 2
b)
log5 5 = 1
c)
log10 0.001 = −3
Solución.
a) Tenemos que
log7 49 = 2
b) Tenemos que
log5 5 = 1
c) Tenemos que
log10 0.001 = −3
porque
porque
72 = 49.
51 = 5.
porque
10−3 =
1
= 0.001.
1000
Por otro lado, podemos usar la denición de logaritmos para reescribir una expresión exponencial
utilizando logaritmos.
Ejemplo 2. Reescriba las siguientes expresiones usando una expresión logarítmica.
a)
43 = 64
b)
60 = 1
c)
91/2 = 3
Solución.
a) Como
43 = 64,
b) Como
60 = 1,
c) Como
91/2 = 3,
entonces
entonces
log4 64 = 3.
log6 1 = 0.
entonces
log9 3 =
Para hallar el logaritmo en base
ponerle a
a
1
.
2
a de un valor dado, recordemos que este es el exponente que debemos
para obtener ese valor.
Ejemplo 3. Evalúe las siguientes expresiones, si existen.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
158
Módulo 3. Funciones
a)
log3 81
b)
log5
c)
log8 2
d)
log7 (−7)
e)
log16
1
25
1
4
Solución.
a) La expresión
o
3? = 81.
log3 81
nos pregunta ¾cuál es el exponente que debemos ponerle a
Tenemos que
3
para obtener
81?
34 = 81.
log5
d) Como la expresión
e) Finalmente,
porque
1
1
1
= −2, porque 5−2 = 2 =
.
25
5
25
1
log8 2 = , porque 81/3 = 2.
3
b) Similarmente,
c) Tenemos que
log3 81 = 4,
log16
log7 x
está denida solo para
1
1
=− ,
4
2
porque
16−1/2 =
x > 0,
entonces
log7 (−7)
no está denido.
1
.
4
Propiedades de los logaritmos
Como las funciones
1
loga (ax ) = x
2
aloga x = x
f (x) = ax
para todo
para todo
y
f −1 (x) = loga x
son inversas, tenemos las siguientes propiedades.
x
x>0
Ejemplo 4. Evalué las siguientes expresiones.
a)
√ log11 11 2
b)
eln 3
Solución.
a)
√ √
log11 11 2 = 2
b)
eln 3 = 3
utilizamos la propiedad
utilizamos la propiedad
1
2
Además, de las propiedades de los exponentes se siguen las siguientes propiedades de los logaritmos.
Sean
3
x > 0, y > 0
y
t
cualquier número real.
loga (xy) = loga x + loga y .
Llamemos
n = loga x
y
m = loga y .
Entonces
loga (xy) = loga (an · am )
= loga an+m
=n+m
an = x, am = y
y tenemos que
por la propiedad
1
de los exponentes
por la propiedad
1
de los logaritmos
= loga x + loga y.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
3.7 Funciones logarítmicas
4
loga
159
x
= loga x − loga y
y
Llamemos
n = loga x
y
m = loga y .
Entonces
n
a
x
= loga
loga
y
am
= loga an−m
=n−m
an = x, am = y
y tenemos que
por la propiedad
3
de los exponentes
por la propiedad
1
de los logaritmos
= loga x − loga y.
5
loga (xt ) = t loga x
Llamemos
n = loga x.
Entonces
an = x
y tenemos que
loga xt = loga (an )t
= loga atn
por la propiedad
5
de los exponentes
= tn
por la propiedad
1
de los logaritmos
= t loga x.
Ejemplo 5. Utilice las propiedades de los logaritmos para evaluar las siguientes expresiones (sin usar
calculadora).
a)
log8 4 + log8 16
b)
log6 2 − log6 12
c)
log4 8
Solución.
a)
log8 4 + log8 16 = log8 (4 · 16)
utilizamos la propiedad
3
= log8 64
=2
porque
b)
log6 2 − log6 12 = log6
= log6
2
12
utilizamos la propiedad
4
1
6
= −1
c)
82 = 64
porque
6−1 =
1
6
log4 8 = log4 (23 )
= 3 log4 2
=3·
=
1
2
utilizamos la propiedad
porque
5
41/2 = 2
3
2
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
160
Módulo 3. Funciones
A la siguiente propiedad la llamamos la
6
loga x =
logb x
logb a
Llamemos
para todo
y = loga x.
fórmula de cambio de base.
a > 0, b > 0, x > 0.
Entonces
ay = x
logb (ay ) = logb x
y logb a = logb x
y=
En particular, para
b=e
tomamos
logb
en ambos lados
utilizamos la propiedad
5
logb x
.
logb a
la propiedad
6
es
loga x =
ln x
.
ln a
Esta propiedad nos dice que para evaluar logaritmos en cualquier base
a
basta saber cómo calcular loga-
ritmos naturales. Las calculadoras no tienen programadas todas las funciones logarítmicas. Algunas solo
tienen las teclas de
ln x
y de
log10 x.
Por eso, si necesitamos calcular un logaritmo en otra base, debemos
utilizar la fórmula de cambio de base.
Es importante observar que no existen fórmulas que simpliquen las expresiones
loga (x+y) ni loga (x−
y). Es decir, no es cierto que loga (x+y) sea igual a loga x+loga y ni que loga (x−y) sea igual a loga x−loga y :
loga (x + y) 6= loga x + loga y
loga (x − y) 6= loga x − loga y
Además,
loga (xy) 6= loga x loga y
x
loga x
loga
6=
y
loga y
Estos son errores que debemos evitar.
Grácas de funciones logarítmicas
La función logarítmica con base
a, loga x, es la función inversa de la función exponencial ax
su gráca es igual a la gráca de
x
y=a
reejada con el respecto a la recta
y = x.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
y por lo tanto
3.7 Funciones logarítmicas
161
y
y
y = ax
y = ax
1
y = f (x)
1
x
1
x
1
y = f (x)
f (x) = loga x,
con
0<a<1
Observemos que en ambos casos la gráca de
están acercando a
punto
(1, 0)
0
con
f
se está acercando a la eje
y
a>1
cuando los valores de
x
se
por la derecha. Además, las grácas de todas las funciones logarítmicas contienen al
(que es el punto
signica que, para toda base
Ejemplo 6. Sea
f (x) = loga x,
(0, 1)
de la gráca de
y = ax
reejado con respecto a la recta
y = x).
Esto
a, loga 1 = 0.
f (x) = ln(x + 1) − 1.
a) Halle el dominio de
b) Trace la gráca de
c) Halle el rango de
f.
f.
f.
Solución.
a) Las funciones logarítmicas solo reciben valores positivos. Por lo tanto, la expresión
está denida para todo
b) Usemos la gráca de
x
tal que
y = ln x
x + 1 > 0,
es decir,
x > −1.
para trazar la gráca de
Entonces el dominio de
f.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
ln(x + 1) − 1
f
es
(−1, ∞).
162
Módulo 3. Funciones
y
5
4
3
2
y = ln x
1
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
5
−1
−2
−3
−4
−5
La gráca de
f
es igual a la gráca de
y = ln x
desplazada
1
unidad hacia la izquierda y
1
unidad
hacia abajo.
y
y
5
5
4
4
3
2
2
1
1
−5 −4 −3 −2 −1
−1
c) En la gráca de
f
3
y = ln(x + 1)
1
2
3
4
5
x
−5 −4 −3 −2 −1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
−5
−5
vemos que su rango es
f (x) = ln(x + 1) − 1
1
2
3
4
5
x
(−∞, ∞).
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
Una ecuación en la que la variable aparece en el exponente se llama ecuación exponencial. Veamos cómo
se resuelven estas ecuaciones.
Ejemplo 7. Resuelva la ecuación
3 · 24x−1 = 27.
Solución.
Para resolver esta ecuación exponencial primero despejamos la expresión exponencial,
el logaritmo en base
2
en ambos lados y nalmente despejamos
x.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
24x−1 , luego tomamos
3.7 Funciones logarítmicas
163
3 · 24x−1 = 27
24x−1 = 9
dividimos ambos lados entre
log2 24x−1 = log2 9
tomamos logaritmo en base
4x − 1 = log2 9
x=
despejamos
2
1
utilizamos la propiedad
log2 9 + 1
4
3
en ambos lados
de los logaritmos
x
Una ecuación en la que aparece la variable dentro de un logaritmo se llama ecuación logarítmica.
Veamos cómo se resuelven estas ecuaciones.
Ejemplo 8. Resuelva la ecuación
5 + 2 ln(x − 1) = 11.
Solución.
Para resolver esta ecuación logarítmica primero despejamos el logaritmo
logaritmo usando una expresión exponencial y nalmente despejamos
ln(x − 1),
luego reescribimos el
x.
5 + 2 ln(x − 1) = 11
2 ln(x − 1) = 6
restamos
ln(x − 1) = 3
x−1=e
6
a ambos lados
dividimos ambos lados entre
3
2
reescribimos el logaritmo usando una expresión exponencial
x = e3 + 1
despejamos
x
Finalmente, veremos cómo podemos utilizar ecuaciones exponenciales y las funciones logarítmicas
para resolver problemas de la vida real.
Ejemplo 9. En condiciones ideales cierta población de bacterias se triplica cada dos horas. Supongamos
que al principio hay
25
bacterias. ¾Al cabo de cuántas horas la población de bacterias será
Solución. Llamemos con
hay
25
P (t)
al tamaño de la población después de
t
1200?
horas. Sabemos que al principio
bacterias y que esta población se triplica cada dos horas. Entonces
P (t) = 25 · 3t/2 .
Para saber cuándo la población de bacterias será
1200.
1200,
debemos resolver la ecuación exponencial
Esto es
25 · 3t/2 = 1200
log3
3t/2 = 48
3t/2 = log3 48
t
= log3 48
2
t = 2 log3 48
dividimos ambos lados entre
tomamos logaritmo en base
utilizamos la propiedad
despejamos
1
25
3
en ambos lados
de los logaritmos
t
Entonces, la población de bacterias será
1200
después de
2 log3 48 ≈ 7, 05
horas.
Ejercicios de la sección 3.7
1. Evalúe las siguientes expresiones.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
P (t) =
164
Módulo 3. Funciones
a)
log6 12 + log6 3
b)
log8 2 − log8 128
c)
e)
2 log10 15 − log10 9 + log10 4
1
ln √
e
√
log5 125
f)
ln(ln ee )
g)
2− log2 7
d)
2. Sea
3
g(x) = 1 − log3 (x − 2).
a) Halle el dominio de
b) Trace la gráca de
g.
g.
g.
c) Halle el rango de
3. Encuentre el dominio de las siguientes funciones.
a)
f (x) = log2 (x + 1) + ln(1 − 2x)
b)
g(x) = ln(x2 − 4)
c)
h(x) = log3 1 −
1
x
4. Resuelva las siguientes ecuaciones.
a)
e1−2x = 6
b)
5 · 3x+1 − 7 = 128
c)
ln(4x − 5) = 6
5. Cierta clase de conejos fue introducida en una nca. La población inicial de conejos era
que se está duplicando cada
4
meses. ¾Cuándo habrá
300
conejos?
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
50 y se sabe
Módulo 4
Trigonometría
En este módulo veremos las funciones trigonométricas, sus grácas y sus funciones inversas. Para denir
las funciones trigonométricas en cualquier ángulo empezaremos deniéndolas en ángulos que forman parte
de un triángulo rectángulo, es decir, ángulos que están entre
0
y
90.
Luego extenderemos esta denición
para obtener funciones de números reales y veremos algunas propiedades (identidades trigonométricas).
Una vez tengamos clara la denición de estas funciones en cualquier número real, elaboraremos sus
grácas y deniremos sus funciones inversas. Finalmente resolveremos ecuaciones que involucran funciones
trigonométricas y veremos algunas fórmulas útiles en geometría.
4.1 Trigonometría en triángulos rectángulos
Primero repasaremos las medidas de los ángulos. Un ángulo es un giro o una porción de un giro y se
graca con de dos segmentos de recta, un lado inicial y un lado terminal, que están unidos en un punto.
lado terminal
lado inicial
Los ángulos se miden en grados o en radianes. Por convención, un giro completo mide
decir que medio giro mide
giro mide
180,
un cuarto de giro (también llamado ángulo recto) mide
360. Esto quiere
90
y un octavo de
45.
360
180
En radianes, un giro mide
π = 3.14159 . . ..
2π
radianes. El número
90
π
es un número irracional un poco mayor a
Esta conversión se hace de tal forma que si tenemos un círculo de radio
perímetro mide exactamente
círculo completo (360
2π
45
1
3,
unidad, su
unidades, la misma medida del ángulo que debemos girar para formar el
= 2π ).
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
166
Módulo 4. Trigonometría
2π unidades
1 unidad
2π radianes
Con esta conversión, medio giro mide
90 =
π
2
π
4
y un octavo de giro mide
2π
π
radianes (180
radianes
45 =
π
4
= π ),
un cuarto de giro mide
π
2
radianes
.
π
2
π
π
4
Ejemplo 1. Convierta las unidades de medida de los ángulos.
a) Exprese
60
en radianes.
b) Exprese
30
en radianes.
c) Exprese
π
10
en grados.
Solución.
Para convertir la medida de un ángulo de radianes a grados o de grados a radianes debemos recordar que
π = 180.
Si
r
es la medida de un ángulo en radianes y
g
es su medida en grados, podemos escribir las
ecuaciones
π = 180
r=g
y hacer una regla de tres:
π · g = r · 180
De esta ecuación podemos despejar
g=r·
180
π
y
g
o
r
según lo que necesitemos.
π r=g·
180
a) Para pasar de grados a radianes, tenemos que
g = 60 y
reemplazamos en la ecuación
Entonces
r = 60 ·
π 180
1
>
· π
=
60
*3
180
π
=
3
simplicamos
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
r = g·
π .
180
4.1 Trigonometría en triángulos rectángulos
Por lo tanto,
60 =
π
3
167
radianes.
b) En este caso tenemos que
g = 30
y reemplazamos en la ecuación
r=g·
π .
180
Entonces
π r = 30 ·
180
1
> · π
=
30
*6
180
π
=
6
Por lo tanto,
simplicamos
30 =
π
6
radianes.
c) Para pasar de radianes a grados, tenemos que
r=
π
10
y reemplazamos en la ecuación
g = r·
180
π
.
Entonces
π
·
g=
10
=
π
Z
180
π
1·
= 18
>
10
Por lo tanto,
π
= 18.
10
Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto (o que mide
el ángulo recto se llaman
90). Los dos lados que forman
catetos y el tercer lado, el lado opuesto al ángulo recto y que es el lado más
largo del tríangulo, se llama
hipotenusa. Si llamamos
θ
a uno de los otros dos ángulos del triángulo
(que no sea el ángulo recto), entonces va a haber un cateto opuesto a
θ
y un cateto adyacente a
θ
como
θ
cateto opuesto
hip
o
ten
usa
podemos ver en la gura:
cateto adyacente
Para que
θ
sea un ángulo de un triángulo rectángulo, debe ser mayor que
mos las siguientes seis relaciones o razones trigonométricas para
0
π
θ ∈ 0,
:
2
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
y menor que
π
.
2
Denire-
168
Módulo 4. Trigonometría
Seno de teta":
sen θ =
cateto opuesto
hipotenusa
Coseno de teta":
cos θ =
cateto adyacente
hipotenusa
Tangente de teta":
tan θ =
cateto opuesto
cateto adyacente
Cosecante de teta":
csc θ =
hipotenusa
cateto opuesto
Secante de teta":
sec θ =
hipotenusa
cateto adyacente
Cotangente de teta":
cot θ =
cateto adyacente
cateto opuesto
Ejemplo 2. Halle las seis relaciones trigonométricas del ángulo
θ
que se muestra en la gura.
2
3
θ
Solución.
Para este ángulo
θ
tenemos que el cateto opuesto mide
3 unidades y el cateto adyacente mide 2 unidades.
θ.
Debemos hallar la medida de la hipotenusa y así podremos hallar las relaciones trigonométricas para
Para hallar la medida de la hipotenusa utilizamos el teorema de Pitágoras, que arma que en cualquier
triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos es igual al cuadrado de la
medida de la hipotenusa, es decir:
(cateto opuesto)2 + (cateto adyacente)2 = (hipotenusa)2
Entonces para este triángulo, si llamamos
h
a la hipotenusa, tenemos que
h2 = 32 + 22
=9+4
= 13
Por lo tanto,
h=
√
13.
Ahora reemplazamos los valores en las deniciones de las relaciones trigonométri-
cas:
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
4.1 Trigonometría en triángulos rectángulos
sen θ
=
cateto opuesto
hipotenusa
3
=√
13
cos θ
=
cateto adyacente
hipotenusa
2
=√
13
tan θ
=
cateto opuesto
cateto adyacente
=
csc θ
hipotenusa
=
cateto opuesto
sec θ
hipotenusa
=
cateto adyacente
=
cot θ
=
cateto adyacente
cateto opuesto
=
169
3
2
√
13
3
=
√
13
2
2
3
Observación. En cualquier triángulo rectángulo la medida de la hipotenusa siempre es mayor que las
medidas de los catetos, entonces el seno y el coseno siempre serán menores que
secante siempre serán mayores que
Ejemplo 3. Si
sen θ =
5
8
y
1
y la cosecante y la
1.
π
θ ∈ 0,
,
2
halle las demás relaciones trigonométricas para
θ.
Solución. π
, podemos dibujar un triángulo rectángulo y llamar θ a uno de los ángulos que no son
2
cateto opuesto
5
rectos. Como sen θ =
= , entonces podemos suponer que el cateto opuesto a θ mide
hipotenusa
8
5 unidades y que la hipotenusa mide 8 unidades (podemos suponer cualesquiera otras dos medidas que
5
conserven la fracción
, por ejemplo que el cateto opuesto mide 10 y que la hipotenusa mide 16 o que
8
5
el cateto opuesto mide
y que la hipotenusa mide 1). Llamemos x al cateto adyacente. El triángulo se
8
Como
θ ∈ 0,
vería así:
8
5
θ
x
Debemos hallar
x
utilizando el teorema de Pitágoras. Tenemos que:
52 + x2 = 82
25 + x2 = 64
x2 = 39
√
x = 39
Ahora reemplazamos los valores en las deniciones de las demás relaciones trigonométricas:
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
170
Módulo 4. Trigonometría
√
cos θ
=
cateto adyacente
hipotenusa
=
tan θ
=
cateto opuesto
cateto adyacente
5
=√
39
csc θ
=
hipotenusa
cateto opuesto
=
sec θ
=
hipotenusa
cateto adyacente
cot θ
=
cateto adyacente
cateto opuesto
39
8
8
5
8
=√
39
√
39
=
5
Podemos relacionar algunas de estas razones trigonométricas. Las siguientes relaciones las llamamos
identidades trigonométricas":
csc θ =
1
sen θ
sec θ =
tan θ =
1
cos θ
sen θ
cos θ
cot θ =
cot θ =
1
tan θ
cos θ
sen θ
En los dos ejemplos anteriores no fue necesario conocer la medida del ángulo
θ.
Por lo general es
necesario utilizar una calculadora si queremos saber cuánto mide un ángulo de cierto triángulo rectángulo,
cuando se conocen las medidas de algunos de sus lados. Veremos cómo hacer esto más adelante. Por ahora
30, 45 y 60,
π
. Estos ángulos hacen parte de los siguientes triángulos que llamamos triángulos
3
trabajaremos con tres angulos que llamamos ángulos notables". Son los ángulos que miden
o en radianes,
especiales":
π π
,
6 4
y
√
2
30
2
√
45
1
45
3
1
60
1
Con estos dos triángulos podemos saber las seis relaciones trigonométricas para los tres ángulos
notables. Por ejemplo, para
π
4
(que es
45),
sen
tenemos que el seno es
π
4
=
Observación. Los paréntesis en la expresión
los paréntesis para denir una función
f (t)
cateto opuesto
1
=√
hipotenusa
2
sen
π
4
se utilizan de la misma manera en que se utilizan
ya que más adelante veremos que las razones trigonométricas
son funciones de números reales.
La siguiente tabla muestra el seno, el coseno y la tangente de los tres ángulos notables.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
4.1 Trigonometría en triángulos rectángulos
171
θ
π
6
π
4
sen θ
1
2
1
√
2
π
3
√
3
2
1
2
√
cos θ
3
2
1
√
2
tan θ
1
√
3
1
√
3
Siempre podemos obtener las otras tres razones trigonométricas (cosecante, secante y cotangente)
tomando el inverso multiplicativo de estas tres razones trigonométricas (seno, coseno y cotangente, respectivamente), aunque también podemos hacerlo a partir de los triángulos especiales. La siguiente tabla
muestra la cosecante, la secante y la tangente de los tres triángulos especiales. Resultan siendo las mismas
fracciones de la tabla anterior pero con el numerador y el denominador intercambiados.
θ
π
6
csc θ
2
sec θ
2
√
3
√
cot θ
3
π
4
π
3
√
2
2
√
3
2
2
√
1
√
3
1
Observación. Las fracciones que tienen un radical en su denominador con frecuencia se expresan como
una fracción equivalente que no tiene raíces en el denominador. Por ejemplo, si multiplicamos el numerador
√
1
y el denominador de la fracción √ por
2
2√
√
1
2
2 3
3
Similarmente, √ =
y √ =
.
3
3
3
3
obtenemos que
√
√
1· 2
2
1
√ =√ √ =
.
2
2
2· 2
Utilizaremos estas tablas para resolver los problemas que siguen. En el siguiente ejemplo nos dan la
medida de dos de los lados de un triángulo rectángulo y nos piden hallar la medida de un ángulo.
Ejemplo 4. Halle la medida del ángulo
θ
que se muestra en la gura.
33
cm
θ
√
22 3
Solución.
La hipotenusa del triángulo mide
√
22 3
cm
cm. Para el ángulo
θ
el cateto adyacente mide
33
cm y el cateto
opuesto es desconocido. Como conocemos las medidas del cateto adyacente y la hipotenusa, podemos
hallar el coseno de
θ.
Esto es,
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
172
Módulo 4. Trigonometría
cos θ =
33 cm
√
22 3 cm
3
= √
2 3
=
simplicamos la fracción
31
2 · 31/2
31/2
2
√
3
=
2
=
Como
utilizamos la propiedad
3
de los exponentes
√
3
,
2
cos θ =
miramos en la tabla de ángulos notables y nos damos cuenta de que
θ=
π
6
o
30.
Ahora en el problema nos darán las medidas de un lado y un ángulo de un triángulo rectángulo y nos
pedirán hallar la medida de otro lado.
Ejemplo 5. Un poste de luz proyecta una sombra que mide
9
metros. Si el ángulo de elevación mide
60,
halle la altura del poste.
Solución.
y
Llamemos
a la altura del poste y dibujemos una gura que muestre la información que nos da el
problema. El poste y su sombra forman un ángulo recto y al unir sus otros dos extremos con un segmento
de recta, se forma un triángulo rectángulo.
y
60
9
En este caso utilizaremos la tangente de
60
m
o de
triángulo rectángulo. Así tenemos que
tan(60) =
tan(60) · 9
m
m
despejamos
y
En la tabla de ángulos notables hallamos que
expresión que obtuvimos al despejar
≈ 1.7 · 9
= 15.3
pues esta razón relaciona los dos catetos de un
y
9
=y
y = tan(60) · 9
√
= 3·9 m
π
3
y,
tan
tenemos que
π
3
=
√
3
y si reemplazamos este valor en la
m
m
m
Entonces la altura del poste es aproximadamente
15.3
metros.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
4.1 Trigonometría en triángulos rectángulos
173
Ejercicios de la sección 4.1
1. Halle las seis relaciones trigonométricas del ángulo
a)
√
θ
que se muestra en la gura.
29
θ
5
b)
√
θ
√
2
7
c)
6
8
θ
2. Si
cos θ =
3
4
3. Si
sen θ =
12
13
4. Si
cot θ =
5. Si
1
sen θ = √
5
√
π
θ ∈ 0,
,
2
y
y
11
halle
π
θ ∈ 0,
,
2
tan θ.
halle
sec θ.
y
π
θ ∈ 0,
,
2
halle
sen θ.
y
π
θ ∈ 0,
,
2
halle
cos θ.
6. Halle la medida del ángulo
θ
que se muestra en la gura.
a)
θ
6
12
b)
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
174
√
Módulo 4. Trigonometría
θ
3
√
3
7. Halle la medida del lado
x
que se muestra en la gura.
√
5 3
x
π
3
8. Halle el área del triángulo
ABC .
B
8
cm
60
30
A
C
9. Se quiere amarrar un cable desde la punta más alta de un poste de
12 metros de altura hasta un punto
en el suelo, de tal forma que el ángulo que se forme entre el poste y el cable sea de
30.
¾Qué tan largo
debe ser el cable?
4.2 Funciones trigonométricas
Ahora que hemos denido las relaciones trigonométricas para ángulos que se encuentran en un triángulo
rectángulo (ángulos mayores que 0º y menores que 90º ), generalizaremos estas deniciones para cualquier
ángulo. De hecho, veremos que cualquier número real representa la medida de un ángulo en radianes.
Para esto debemos saber cómo dibujar ángulos en posición normal".
Ángulos en posición normal
Gracaremos un ángulo
θ
en posición normal en el plano
Para esto debemos dibujar el lado inicial de
positivo. Luego debemos medir
sentido del reloj si
θ
θ
θ
xy . θ
puede ser un ángulo positivo o negativo.
partiendo del origen, alineado con el eje
en el sentido contrario a las manecillas del reloj si
es negativo. Finalmente trazamos el lado terminal de
θ.
dibujados en posición normal:
y
π
4
x
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
θ
x
en su lado
es positivo y en el
Estos son algunos ángulos
4.2 Funciones trigonométricas
175
y
y
y
x
x
5π
3
3π
2
y
−
π
3
y
7π
6
x
x
5π
−
6
Cuando los lados terminales de dos ángulos coinciden decimos que son
5π
3
y
π
−
3
son ángulos coterminales al igual que
Si gracamos
θ
7π
6
en posición normal, llamamos
que se forma entre el lado terminal de
θ
y el eje
x.
y
5π
− .
6
ángulos coterminales. Así,
ángulo de referencia de
Al ángulo de referencia de
θ
θ
al ángulo más pequeño
lo denotamos
θ̄.
y
θ
x
θ̄
Ejemplo 1. Graque el ángulo
su ángulo de referencia
a)
θ=
2π
3
b)
θ=
5π
4
c)
θ=−
d)
θ = 290
θ
en posición normal, diga en qué cuadrante está su lado terminal y halle
θ̄.
11π
6
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
x
176
Módulo 4. Trigonometría
Solución.
a)
y
El lado terminal de
θ=
II.
2π
3
θ̄
2π
3
está en el cuadrante
Su ángulo de referencia es
x
θ̄ = π −
2π
π
=
3
3
b)
y
El lado terminal de
θ=
III.
5π
4
5π
4
está en el cuadrante
Su ángulo de referencia es
x
θ̄ =
θ̄
π
5π
−π =
4
4
c)
y
El lado terminal de
θ=−
rante I.
11π
6
está en el cuad-
Su ángulo de referencia es
θ̄
x
−
11π
6
θ̄ = 2π −
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
11π
π
=
6
6
4.2 Funciones trigonométricas
177
d)
y
θ = 290
El lado terminal de
está en el cuadrante
IV.
Su ángulo de referencia es
θ̄ = 360 − 290 = 70
x
290
θ̄
Al dibujar en posición normal los ángulos
θ ∈
0,
π
,
2
para los cuales ya denimos las razones
trigonométricas, su lado terminal siempre está en el cuadrante I y su ángulo de referencia siempre es
él mismo,
θ̄ = θ. Ahora veremos cómo generalizar las deniciones de las seis razones trigonométricas para
culquier ángulo.
Razones trigonométricas de cualquier ángulo
Sea
θ
un ángulo dibujado en posición normal. Escogemos cualquier punto
(x, y)
sobre su lado terminal
(que no sea el origen) y hallamos la distancia entre el punto y el origen. A esta distancia la llamamos
Si el lado terminal de
punto
(x, y)
θ
no coincide con uno de los ejes, podemos trazar un segmento de recta que una al
perpendicularmente con el eje
x.
Esto nos genera un triángulo rectángulo en alguno de los
cuadrantes. Los catetos de este triángulo representan las coordenadas
hipotenusa es
r.
x
y
y
(pueden ser negativas), y la
p
r = x2 + y 2 .
y
(x, y)
r
y
θ
x
x
Denimos las seis razones trigonométricas para
θ
así:
sen θ =
y
r
csc θ =
r
y
cos θ =
x
r
sec θ =
r
x
tan θ =
y
x
cot θ =
x
y
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
178
Módulo 4. Trigonometría
Observación. Si gracamos a
π
θ ∈ 0,
en posición normal, cualquier punto (x, y) que escojamos sobre
2
su lado terminal está en el cuadrante I y sus dos coordenadas son positivas. En este caso la coordenada
y
es la medida del cateto opuesto a
θ
y
x
es la medida del cateto adyacente a
θ.
Entonces, como
r
es la
hipotenusa, las seis deniciones coinciden con las deniciones que habíamos visto en la sección anterior,
para ángulos entre
0
90.
y
θ
Si el lado terminal de
coincide con algún eje, no podremos formar un triángulo rectángulo de la
misma forma como se ve en la gura anterior, pero las deniciones de las seis razones trigonométricas
son las mismas en cualquier caso.
Ejemplo 2. Halle las seis razones trigonométricas de
θ=
2π
.
3
Solución.
Debemos dibujar a
2π
3
θ=
cómo elegir el punto.
y
(x, y)
sobre su lado terminal. Veamos
Como el ángulo de referencia de
2π
3
es
θ̄ =
π
,
3
el
triángulo rectángulo que se forma en el cuadrante
II es uno de los triángulos especiales.
r
y
(x, y)
en posición normal y escoger un punto
2π
3
θ̄
Como el punto
ser negativa y
x
x
(x, y) está en el cuadrante II, x debe
y positiva. r siempre será positiva por
ser una distancia.
Entonces podemos tomar
x = −1, y =
√
3
y
r = 2.
Reemplazamos estos tres valores en las deniciones de las seis razones trigonométricas y obtenemos:
2π
3
2π
3
2π
3
sen
cos
tan
=
√
y
3
=
r
2
csc
x
1
= =−
r
2
sec
√
y
= =− 3
x
cot
2π
3
2π
3
2π
3
En este ejemplo podemos observar que las razones trigonométricas de
trigonométricas de su ángulo de referencia
para cualquier ángulo
θ
punto
(x, y)
r
2
=√
y
3
=
r
= −2
x
=
x
1
= −√
y
3
2π
3
son casi las mismas razones
π
. La diferencia está solamente en algunos signos. Esto es cierto
3
cuyo lado terminal no coincida con uno de los ejes, sus razones trigonométricas
serán iguales a las de su ángulo de referencia
el ángulo de referencia
=
θ̄
θ̄
posiblemente con excepción del signo. La razón es que
siempre hará parte del triángulo rectángulo que dibujamos cuando unimos el
que está sobre el lado terminal de
θ
perpendicularmente con el eje
Así que analicemos el signo de las razones trigonométricas de
encuentre el lado terminal de
θ.
θ
x.
según el cuadrante en el que se
Este signo junto con el ángulo de referencia de
más fácilmente las razones trigonométricas de
θ.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
θ
nos permitirán hallar
4.2 Funciones trigonométricas
179
y
Cuadrante II
Cuadrante I
y
es
+
y
es
+
x
es
−
x
es
+
r
es
+
r
es
+
sen
y
csc
son
+
tan
y
cot
son
+
Todas son
+
x
cos
y
sec
son
+
y
es
−
y
es
−
x
es
−
x
es
+
r
es
+
r
es
+
Cuadrante III
Cuadrante IV
Veamos otra forma de hallar las razones trigonométricas de un ángulo conociendo en qué cuadrante
está su lado terminal y cuáles son las razones trigonométricas de su ángulo de referencia.
Ejemplo 3. Halle las seis razones trigonométricas de
θ=
7π
.
4
Solución.
Dibujemos el ángulo en posición normal, veamos en qué cuadrante está su lado terminal y hallemos su
ángulo de referencia.
y
El lado terminal de
7π
4
está en el cuadrante IV.
Su ángulo de referencia es
θ̄ = 2π −
7π
4
x
θ̄
Como el ángulo de referencia es
trigonométricas de
π
4
π
,
4
las razones trigonométricas de
7π
4
π
7π
=
4
4
son las mismas que las razones
salvo posiblemente por un signo.
Como el lado terminal de
7π
4
está en el cuadrante IV, todas las razones trigonométricas son negativas
con excepción del coseno y la secante.
Tenemos entonces que,
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
180
Módulo 4. Trigonometría
para
sen
cos
tan
π
,
4
π
4
π
4
π
4
1
=√
2
csc
1
=√
2
sec
=1
cot
π
4
π
4
π
4
=
=
halle
sen θ, cos θ
y
√
√
2
2
cos
=1
Ejemplo 4. Si el lado terminal de
3
cos θ̄ = ,
5
7π
,
4
1
7π
= −√
sen
4
2
y para
θ
tan
7π
4
7π
4
7π
4
7π
4
7π
4
csc
1
=√
2
sec
= −1
cot
√
=− 2
=
√
2
= −1
está e el cuadrante III y se sabe que para su ángulo de referencia
θ̄,
tan θ.
Solución.
Podemos hallar primero
sen θ̄
y
tan θ̄
y luego ajustar los signos según el cuadrante en el que se encuentra
π
θ. Sabemos que θ̄ ∈ 0,
así que podemos suponer que θ̄ hace parte de un triángulo
2
que la hipotenusa mide 5 unidades y el cateto adyacente a θ̄ mide 3 unidades. Llamemos
el lado terminal de
rectángulo en el
y
al cateto opuesto a
θ̄.
El triángulo se ve así:
5
y
θ̄
3
Para hallar
y
utilizamos el teorema de Pitágoras y obtenemos
32 + y 2 = 52
9 + y 2 = 25
y 2 = 16
y=4
Así que
sen θ̄ =
4
5
y
tan θ̄ =
Como el lado terminal de
es positiva. Entonces
θ
4
.
3
está en el cuadrante III, el seno y el coseno de
4
3
sen θ = − , cos θ = −
5
5
y
θ
son negativos y la tangente
4
tan θ = .
3
Ahora veamos cómo hallar las razones trigonométricas cuando el lado terminal de
eje
x
o el eje
y.
Ejemplo 5. Halle las seis razones trigonométricas de los siguientes ángulos, si existen.
π
2
a)
θ=
b)
θ=π
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
θ
coincide con el
4.2 Funciones trigonométricas
181
Solución.
a) Primero debemos gracar el ángulo en posición normal, luego escoger cualquier punto sobre su lado
terminal y hallar la distancia entre este punto y el origen.
y
Podemos escoger, por ejemplo, el punto
2.
Su distancia hasta el origen es
para
π
2
(0, 2)
x
sen
cos
tan
π
, x = 0, y = 2
2
π
2
π
2
π
2
y
(0, 2).
Así que
r = 2.
=
2
=1
2
csc
=
0
=0
2
sec
=
2
0
cot
no existe
π
2
π
2
π
2
=
2
=1
2
=
2
0
=
0
=0
2
no existe
b) Primero debemos gracar el ángulo en posición normal, luego escoger cualquier punto sobre su lado
terminal y hallar la distancia entre este punto y el origen.
y
Podemos escoger, por ejemplo, el punto
3.
Su distancia hasta el origen es
para
π , x = −3, y = 0
y
(−3, 0).
Así que
r = 3.
π
x
(−3, 0)
sen (π) =
0
=0
3
csc (π) =
3
0
cos (π) =
−3
= −1
3
sec (π) =
3
= −1
−3
tan (π) =
0
=0
−3
cot (π) =
−3
0
no existe
no existe
Observación. Hemos denido las seis razones trigonométricas para cualquier ángulo. Si pensamos que
todo número real
t
representa un ángulo en radianes, estas razones trigonométricas son en realidad
funciones trigonométricas de números reales. El dominio de estas funciones es el conjunto de números
reales para los cuales están denidas. Más adelante veremos cómo son sus grácas.
Ejercicios de la sección 4.2
1. Graque los ángulos
ángulo de referencia
θ
en posición normal, diga en qué cuadrante está su lado terminal y halle su
θ̄.
π
4
a)
θ=
b)
θ=−
3π
4
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
182
Módulo 4. Trigonometría
8π
3
c)
θ=
d)
θ=−
e)
θ = 130
10π
6
2. Halle las seis razones trigonométricas de los ángulos
a)
θ=
4π
3
b)
θ=
5π
6
c)
θ=−
d)
θ=
3π
4
e)
θ=
10π
6
f)
θ = 225
θ.
π
6
3. Si el lado terminal de
4. Si el lado terminal de
halle
sen θ, cos θ
5. Si
θ∈
π,
3π
2
y
θ
θ
está en el cuadrante
está en el cuadrante
IV
II
y
tan θ = −4,
θ=0
b)
θ = 2π
c)
θ=
d)
θ = −π
e)
θ=
sen θ
y
tan θ.
y
tan θ =
12
,
5
halle
sen θ
y
cos θ.
y se sabe que para su ángulo de referencia
cos θ.
6. Halle las seis razones trigonométricas de los ángulos
a)
halle
θ,
si existen.
2π
4
7π
2
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
θ̄, cos θ̄ =
2
,
3
4.3 Identidades trigonométricas básicas
183
4.3 Identidades trigonométricas básicas
Las identidades trigonométricas son relaciones entre funciones trigonométricas que son ciertas para todos los valores reales donde estén denidas estas funciones. En esta sección veremos algunas identidades
trigonométricas básicas y demostraremos otras utilizando estas identidades básicas. También las utilizaremos para resolver de otra manera problemas como el ejemplo
4
de la sección anterior.
Identidades recíprocas
Estas identidades vienen directamente de la denición de las funciones trigonométricas.
R1
csc(t) =
1
sen(t)
para todo
t∈R
cuya medida es
1
=
sen(t)
y
r
sen(t) 6= 0,
porque si
(x, y)
es un punto sobre el lado terminal del ángulo
es la distancia desde este punto hasta el origen, tenemos que
1
y
r
r
y
=
t
tal que
= csc(t)
R2
sec(t) =
1
cos(t)
para todo
t∈R
cuya medida es
t
tal que
y
r
cos(t) 6= 0,
porque si
(x, y)
es un punto sobre el lado terminal del ángulo
es la distancia desde este punto hasta el origen, tenemos que
1
x
r
1
=
cos(t)
r
x
= sec(t)
=
R3
cot(t) =
1
tan(t)
para todo
t∈R
cuya medida es
1
=
tan(t)
=
x
y
t
tal que
y
r
tan(t) 6= 0,
porque si
(x, y)
es un punto sobre el lado terminal del ángulo
es la distancia desde este punto hasta el origen, tenemos que
1
y
x
= cot(t)
R4
tan(t) =
sen(t)
cos(t)
para todo
t∈R
cuya medida es
t
tal que
y
r
cos(t) 6= 0,
porque si
(x, y)
es un punto sobre el lado terminal del ángulo
es la distancia desde este punto hasta el origen, tenemos que
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
184
Módulo 4. Trigonometría
y
r
x
r
sen(t)
=
cos(t)
y
x
= tan(t)
=
R5
cot(t) =
cos(t)
sen(t)
para todo
t∈R
cuya medida es
cos(t)
=
sen(t)
=
simplicamos
x
y
t
tal que
y
r
sen(t) 6= 0,
porque si
(x, y)
es un punto sobre el lado terminal del ángulo
es la distancia desde este punto hasta el origen, tenemos que
x
r
y
r
simplicamos
= cot(t)
Identidades pitagóricas
Estas tres identidades provienen del teorema de Pitágoras.
P1
2
2
(sen(t)) + (cos(t)) = 1
para todo
r
t ∈ R,
porque si
(x, y)
es un punto sobre el lado terminal del ángulo cuya medida es
t
y
es la distancia desde este punto hasta el origen, tenemos que
2
2
(sen(t)) + (cos(t)) =
y 2
r
+
=
x2
y2
+
r2
r2
=
y 2 + x2
r2
=
r2
r2
x 2
r
y 2 + x2 = r 2
según la denición de
r
por medio
del teorema de Pitágoras
=1
simplicamos
2
2
Observación. Utilizaremos la notación sen2 t para expresar (sen(t)) y cos2 t para expresar (cos(t)) .
Así, la primera identidad pitagórica se puede escribir como
sen2 t + cos2 t = 1
Similarmente utilizaremos las notaciones
senn t, senn t, tann t, secn t, cotn t
a la función trigonométrica correspondiente elevada a la
P2
y
cscn t
para referirnos
n.
tan2 t + 1 = sec2 t
para todo
t∈R
cuya medida es
t
tal que
y
r
cos(t) 6= 0,
porque si
(x, y)
es un punto sobre el lado terminal del ángulo
es la distancia desde este punto hasta el origen, tenemos que
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
4.3 Identidades trigonométricas básicas
2
tan t + 1 =
sen(t)
cos(t)
2
+1
=
sen2 t
+1
cos2 t
=
sen2 t + cos2 t
cos2 t
1
cos2 t
2
1
=
cos(t)
P3
185
utilizamos la identidad recíproca
R4
sumamos
=
utilizamos la identidad pitagórica
= sec2 t
utilizamos la identidad recíproca
P1
R2
cot2 t + 1 = csc2 t
t∈R
para todo
cot2 t + 1 =
t
sen(t) 6= 0,
porque si
(x, y)
es un punto sobre el lado terminal del ángulo
r es la distancia desde este punto hasta el origen,
2
cos(t)
+ 1 utilizamos la identidad recíproca R5
sen(t)
cuya medida es
tal que
y
=
cos2 t
+1
sen2 t
=
cos2 t + sen2 t
sen2 t
1
sen2 t
2
1
=
sen(t)
tenemos que
sumamos
=
utilizamos la identidad pitagórica
= csc2 t
utilizamos la identidad recíproca
P1
R1
Ejemplo 1. Demuestre las siguientes identidades trigonométricas:
a)
cos z
sen z
+
=1
sec z
csc z
b)
1 − sen x
2
= (sec x − tan x)
1 + sen x
c)
sen t + cos t
= sen t cos t
sec t + csc t
Solución.
a) Para demostrar la identidad
cos z
sen z
+
= 1
sec z
csc z
simplicaremos el lado izquierdo utilizando las
identidades que hemos visto para ver que es igual a
1.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
186
Módulo 4. Trigonometría
cos z
sen z
+
=
sec z
csc z
cos z
1
cos z
sen z
1
sen z
+
utilizamos las identidades recíprocas
R1
= cos2 z + sen2 z
R2
y
dividimos las fracciones con ayuda de
la ley de las orejas
=1
utilizamos la identidad pitagórica
b) Ahora, para demostrar la identidad
1 − sen x
2
= (sec x − tan x)
1 + sen x
P1
simplicaremos el lado derecho y
utilizaremos las identidades que hemos visto para ver que es igual al lado izquierdo.
2
(sec x − tan x) =
1
sen x
−
cos x cos x
2
utilizamos las identidades recíprocas
R2
y
R4
2
=
1 − sen x
cos x
=
(1 − sen x)
cos2 x
=
(1 − sen x)
1 − sen2 x
restamos
2
distribuimos el exponente en la división
2
P1
utilizamos la identidad pitagórica
(despejando
cos2 x = 1 − sen2 x)
2
=
(1 − sen x)
(1 − sen x) (1 + sen x)
=
(1 − sen x) x)
(1
− sen
(1 + sen x)
=
1 − sen x
1 + sen x
factorizamos
2
simplicamos
c) En ese caso, para demostrar la identidad
equivalente
sen t + cos t
= sen t cos t
sec t + csc t
demostraremos la identidad
sen t + cos t = sen t cos t (sec t + csc t)
(multiplicamos ambos lados de la igualdad por
sec t + csc t).
sen t cos t (sec t + csc t) = sen t cos t sec t + sen t cos t csc t
= sen t cos t
1
1
+ sen t cos t
cos t
sen t
= sen t + cos t
Empecemos por el lado derecho.
distribuimos
utilizamos las identidades
recíprocas
R1
y
R2
simplicamos
Siempre podemos utilizar una de estas tres técnicas, empezar por el lado izquierdo y simplicar
utilizando las identidades básicas que hemos visto para obtener el lado derecho, empezar por el lado
derecho y simplicar para obtener el lado izquierdo o manipular ambos lados para obtener una igualdad
equivalente que sea más fácil de demostrar.
Ejemplo 2. Si
tan t = −
7
5
y
t∈
π
2
,π
, halle
sen t
y
cos t.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
4.3 Identidades trigonométricas básicas
187
Solución.
Utilizaremos identidades trigonométricas para resolver este problema. Primero hallemos
la identidad pitagórica
sec2 t = tan2 t + 1
identidad pitagórica
2
7
= −
+1
5
=
=
49
+1
25
74
25
r
sec t = ±
sec t
utilizando
P2 .
P2
reemplazamos el valor de
tan t
evaluamos el cuadrado
sumamos
74
25
tomamos raíz cuadrada en ambos lados
Para determinar el signo de
lado terminal de
t
sec t
debemos utilizar la información
t ∈
π
2
,π
. Esto signica que el
está en el cuadrante II y por lo tanto la secante es negativa. Así que
Utilizando la identidad recíproca
√
sec t = −
74
.
5
R2 , tenemos que
5
cos t = − √
74
y utilizando la identidad recíproca
R4 ,
sen t = tan t cos t =
7
−
5
5
7
√
−
=√
74
74
Identidades de simetría
Las siguientes relaciones las podemos ver grácamente. A continuación gracamos los ángulos
Vemos que si
(x, −y)
(x, y)
es un punto sobre el lado terminal de
es un punto sobre el lado terminal de
−θ
θ
y si
r
(x, y)
r
θ
−θ
x
r
(x, −y)
Tenemos entonces las siguientes identidades:
sen (−θ) =
y
−θ.
es su distancia hasta el origen entonces
y su distancia hasta el origen también es
y
S1
θ
−y
= − sen θ
r
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
r.
188
Módulo 4. Trigonometría
S2
cos (−θ) =
x
= cos θ
r
S3
tan (−θ) =
−y
= − tan θ
x
También podemos gracar los ángulos
de
θ
y si
r
θ
y
π − θ. Vemos que si (x, y) es un punto sobre el lado terminal
es su distancia hasta el origen, entonces
su distancia hasta el origen también es
(−x, y)
es un punto sobre el lado terminal de
π−θ
y
r.
y
(−x, y)
(x, y)
r
r
π−θ
x
θ
Tenemos entonces estas otras identidades:
S4
sen (π − θ) =
S5
cos (π − θ) =
S6
y
= sen θ
r
−x
= − cos θ
r
y
tan (π − θ) =
= − tan θ
−x
Fórmulas de suma y resta
Como para la mayoría de funciones, en general tenemos que
sen(θ + α) 6= sen θ + sen α
sen(θ − α) 6= sen θ − sen α
cos(θ + α) 6= cos θ + cos α
cos(θ − α) 6= cos θ − cos α
tan(θ + α) 6= tan θ + tan α
tan(θ − α) 6= tan θ − tan α
π
π
π
θ=
y α =
entonces θ + α =
6
3
2
√
√
π
π 1
3
1+ 3
sen
+ sen
= +
=
6= 1.
6
3
2
2
2
De hecho si
y
sen(θ + α) = sen
π
2
= 1.
Pero
sen θ + sen α =
La forma correcta de evaluar el seno, el coseno y la tangente en una suma o una resta nos la dan las
siguientes fórmulas o identidades de suma y resta:
F1
sen(θ + α) = sen θ cos α + cos θ sen α
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
4.3 Identidades trigonométricas básicas
F2
sen(θ − α) = sen θ cos α − cos θ sen α
F3
cos(θ + α) = cos θ cos α − sen θ sen α
F4
cos(θ − α) = cos θ cos α + sen θ sen α
F5
tan(θ + α) =
tan θ + tan α
1 − tan θ tan α
F6
tan(θ − α) =
tan θ − tan α
1 + tan θ tan α
Demostración de
189
F3
θ, θ + α
y
−α
terminales que estén a distancia
1
del origen. Llamemos
Dibujemos los ángulos
Como los puntos
A, B
B (cos(θ + α), sen(θ + α))
coordenadas del punto
C
y
C
y
en posición normal y tomemos puntos
están a distancia
C(cos(−α), sen(−α)).
son
1
P
al punto
(1, 0)
y
O
A, B
y
C
sobre sus lados
al origen.
del origen, sus coordenadas son,
S1
Por las identidades de simetría
A(cos θ, sen θ),
y
S2 , las
C(cos α, − sen α).
y
A(cos θ, sen θ)
θ+α
B (cos(θ + α), sen(θ + α))
α
θ
P (1, 0)
x
O −α
C(cos α, − sen α)
Los triángulos
BOP
y
AOC
forma entre estos dos lados es
son congruentes porque tienen dos lados que miden
θ+α
debe ser igual a la distancia entre los punto
A
y
C.
Esto es
d(B, P ) = d(A, C)
p
(cos(θ + α) − 1)2 + sen2 (θ + α) =
1
y el ángulo que se
en ambos triángulos. Así que la distancia entre los puntos
p
(cos θ − cos α)2 + (sen θ + sen α)2
(cos(θ + α) − 1)2 + sen2 (θ + α) = (cos θ − cos α)2 + (sen θ + sen α)2
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
B
y
P
190
Módulo 4. Trigonometría
Si expandimos los cuadrados y utilizamos la identidad pitagórica
P1 , obtenemos
2 − 2 cos(θ + α) = 2 − 2 cos θ cos α + 2 sen θ sen α
−2 cos(θ + α) = −2 cos θ cos α + 2 sen θ sen α
restamos
cos(θ + α) = cos θ cos α − sen θ sen α
2
a ambos lados
dividimos ambos lados entre
−2
Para demostrar la fórmula
F4 , escribimos
cos(θ − α) = cos(θ + (−α))
y utilizamos la identidad
F3 .
cos(θ − α) = cos(θ + (−α))
F3
= cos θ cos(−α) − sen θ sen(−α)
utilizamos la identidad
= cos θ cos α + sen θ sen α
utilizamos las identidades
Ejemplo 3. Demuestre la identidad
Desarrollemos el lado izquierdo de la igualdad
π
= sen x
cos x −
2
π
π
π
cos x −
= cos x cos
+ sen x sen
2
2
2
utilizamos la identidad
= cos x · 0 + sen x · 1
evaluamos
= sen x
simplicamos
Ahora podemos demostrar las identidades
F1
y
sen(θ + α) = sen θ cos α + cos θ sen α,
π
F4
tenemos que
según el ejemplo anterior
2
π
π
= cos θ cos α −
− sen θ sen α −
2
2
π π
= cos θ sen α − sen θ cos α − −
2
2
utilizamos la identidad
F3
según el ejemplo anterior
= cos θ sen α − sen θ cos (α − π)
simplicamos
= cos θ sen α − sen θ cos (π − α)
utilizamos la identidad
S2
= cos θ sen α + sen θ cos α
utilizamos la identidad
S5
= sen θ cos α + cos θ sen α
Para la identidad
F2 ,
S2
para obtener el lado derecho.
F2 .
F1 ,
sen(θ + α) = cos θ + α −
y
π
cos x −
= sen x
2
Solución.
Para la identidad
S1
sen(θ − α) = sen θ cos α − cos θ sen α,
tenemos que
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
4.3 Identidades trigonométricas básicas
191
sen(θ − α) = sen(θ + (−α))
F1
= sen θ cos(−α) + cos θ sen(−α)
utilizamos la identidad
= sen θ cos α − cos θ sen α
utilizamos las identidades
Ejemplo 4. Demuestre la identidad
tan t − tan r =
sen(t − r)
sen t cos r − cos t sen r
=
cos t cos r
cos t cos r
=
sen t cos r cos t sen r
−
cos t cos r
cos t cos r
=
sen t cost sen r
cos
r −
cos t cost cos r
cos
r =
sen t sen r
−
cos t
cos r
y
S2
sen(t − r)
cos t cos r
Solución.
Desarrollemos el lado derecho de la igualdad
S1
tan t − tan r =
sen(t − r)
cos t cos r
utilizamos la identidad
para obtener el lado izquierdo.
F2
distribuimos el denominador
simplicamos
= tan t − tan r
utilizamos la identidad recíproca
La demostración de las identidades
F5
y
F6
R4
se dejan como ejercicios.
Identidades de ángulo doble
Finalmente tenemos dos identidades que salen de las identidades
F1
y
F3 . Las llamamos identidades
de ángulo doble para el seno y el coseno.
D1
sen(2x) = 2 sen x cos x
porque
sen(2x) = sen(x + x)
= sen x cos x + sen x cos x
utilizamos la
identidad
F1
= 2 sen x cos x
D2
cos(2x) = cos2 x − sen2 x
porque
cos(2x) = cos(x + x)
= cos x cos x − sen x sen x
utilizamos la
identidad
F3
= cos2 x − sen2 x
Ejemplo 5. Demuestre la identidad
sen2 x =
1 − cos(2x)
2
Solución.
Empecemos a trabajar con el lado derecho de la igualdad
al lado izquierdo.
sen2 x =
1 − cos(2x)
2
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
y mostremos que es igual
192
Módulo 4. Trigonometría
1 − cos(2x)
1 − (cos2 x − sen2 x)
=
2
2
utlizamos la identidad
D2
P1
=
1 − (1 − sen2 x − sen2 x)
2
utlizamos la identidad
=
1 − (1 − 2 sen2 x)
2
restamos
=
2 sen2 x
2
restamos
= sen2 x
Ejemplo 6. Si
simplicamos
2
sen θ = √
13
y
θ∈
π
2
,π
halle
sen(2θ).
Solución.
Debemos hallar primero
cos θ
para reemplazarlo en la identidad
Para esto utilizamos la identidad pitagórica
cos2 θ = 1 − sen2 θ
=1−
=1−
=
2
√
13
sen(2θ) = 2 sen θ cos θ,
P1 .
utilizamos la identidad
P1
2
reemplazamos el valor de
sen θ
4
13
9
13
restamos
3
cos θ = ± √
13
tomamos raíz cuadrada en ambos lados
3
cos θ = − √
13
porque
Finalmente reemplazamos
θ∈
sen θ
π
2
y
,π
cos θ
en la identidad
sen(2θ) = 2 sen θ cos θ = 2
2
√
13
D1
y tenemos que
3
12
√
−
=−
13
13
Ejercicios de la sección 4.3
1. Demuestre la identidad.
a)
(1 − cos2 x)(1 + cot2 x) = 1
b)
cos x
1 − sen x
=
cos x
1 + sen x
c)
1 − cos x
sen x
+
= 2 csc x
sen x
1 − cos x
d)
sen x + cos x cot x = csc x
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
junto con
sen θ.
4.4 Identidades trigonométricas básicas
1
3
2. Si
cos t =
3. Si
sen x = −
y
π
,
t ∈ 0,
2
2
5
y
x∈
4. Si
sec α = 4
5. Si
1
cot t =
4
6. Si
3
cos θ = − √
13
7. Si
cos t = −
8. Si
3
sen γ = √
34
t∈
y
4
5
y
y
y
3π
π,
2
θ∈
t∈
π
tan x = 3
y
2
x∈
sen t.
, halle
tan x.
, halle
sen α.
, halle
π
2
,π
,π
3π
π,
2
sen t.
, halle
, halle
π
γ ∈ 0,
,
2
9. Si
3π
, 2π
2
3π
, 2π
2
α∈
y
halle
sen θ.
sen(2t).
halle
tan(2γ).
, halle
cos(2x).
10. Demuestre la identidad.
1 + cos(2t)
2
a)
cos2 t =
b)
π
sen x +
= cos x
2
c)
tan (t + π) = tan t
d)
sen x sen y =
e)
(cos θ − sen θ)2 = 1 − sen(2θ)
f)
sen(4β) = 4 sen β cos β cos(2β)
cos(x − y) − cos(x + y)
2
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
193
194
Módulo 4. Trigonometría
4.4 Grácas de funciones trigonométricas
En esta sección gracaremos las funciones
f (θ) = sen(θ), f (θ) = cos(θ)
y
f (θ) = tan(θ).
en la denición de seno, de coseno y de tangente podemos escoger cualquier punto
(x, y)
sobre el lado
θ y hallar su distancia r hasta el origen. Para nes prácticos, escogeremos siempre aquel punto
terminal de
sobre el lado terminal de
a distancia
Observemos que
1
θ
que esté a una distancia del origen de
del origen forman un círculo de radio
1
r
1
siempre será
unidad. Todos los puntos que están
centrado en el origen. A este círculo lo llamamos el
círculo unitario. Entonces escogeremos aquel punto
el círculo unitario. Esto signica que
1
(x, y)
que esté sobre el lado terminal de
θ
y sobre
θ,
escoge-
y así,
sen(θ) =
y
=y
r
cos(θ) =
x
=x
r
y
(0, 1)
(x, y)
1
y = sen(θ)
θ
(−1, 0)
(1, 0)
x
x = cos(θ)
(0, −1)
La gráca del seno
Analicemos cómo se comporta la expresión
mos aquel punto
sen(θ)
cuando
debemos analizar cómo se comporta la coordenada
medida que
θ
θ
varía desde
0
hasta
2π .
Para cada
(x, y) sobre su lado terminal que esté sobre el círculo unitario y así sen(θ) = y . Entonces
y
de los puntos que están sobre el círculo unitario, a
varía. Esto lo podemos ver en la siguiente gráca. La medida de los segmentos verticales
dibujados en el círculo unitario representa el seno del ángulo. Este mismo valor lo gracamos en un plano
coordenado que muestra a
sen(θ)
con respecto a
θ.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
π
−2π
− 3π
2
y
3π
2
π
2
θ
1
−π
− π2
x 0
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
−1
1
sen(θ)
−1
1
sen(θ)
π
3π
2
Gráca completa del seno
π
2
π
2π
Gráca de un período del seno
π
2
5π
2
3π
3π
2
7π
2
4π
2π
θ
θ
4.4 Grácas de funciones trigonométricas
195
196
Módulo 4. Trigonometría
Una vez hemos completado una vuelta, pasando por los cuatro cuadrantes, el comportamiento se
empieza a repetir. Es decir, después
que
f (θ) = sen(θ)
2π
la función vuelve a tomar los mismos valores. Decimos entonces
es una función periódica y su período es
2π .
También lo podemos decir así:
sen(θ + 2π) = sen(θ)
F1 .
Esta es una identidad que podemos demostrar utilizando la fórmula
El dominio del seno es
(−∞, ∞)
y el rango es
[−1, 1].
Si miramos la gráca completa del seno, podemos comprobar la identdidad de simetría
que su gráca es
horizontal,
θ,
S1 , ya
simétrica con respecto al origen. Esto signica que al reejarla con respecto al eje
y también con respecto al eje vertical,
sen(θ),
la gráca no cambia. Esto es,
− sen(−θ) = sen(θ)
que es equivalente a la identidad
S1
:
sen(−θ) = − sen(θ)
Las funciones que satisfacen esta propiedad,
f (−x) = −f (x)
para todo
x ∈ Domf ,
se llaman
fun-
ciones impares. Así que el seno es una función impar.
La gráca del coseno
Ahora analizaremos cómo se comporta la expresión
escogemos nuevamente aquel punto
cos(θ) = x.
(x, y)
cos(θ)
cuando
θ
varía desde
θ
hasta
2π .
Para cada
θ,
sobre su lado terminal que esté sobre el círculo unitario y así
Ahora debemos analizar cómo se comporta la coordenada
círculo unitario, a medida que
0
x
de los puntos que están sobre el
varía. En la gráca vemos segmentos horizontales dibujados en el círculo
unitario cuyas medidas representan el coseno de los ángulos. Estos mismos valores los gracamos en un
plano coordenado que muestra a
cos(θ)
con respecto a
θ.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
4.4 Grácas de funciones trigonométricas
π
2
197
−2π
y
1
− 3π
2
θ
π
x 0
−π
− π2
3π
2
cos(θ)
1
−1
cos(θ)
1
−1
π
2
π
3π
2
Gráca completa del coseno
π
2
Gráca de un período del coseno
2π
π
5π
2
3π
3π
2
7π
2
4π
2π
θ
θ
Nuevamente observamos que el comportamiento se empieza a repetir cuando completamos una vuelta.
Después
2π
la función vuelve a tomar los mismos valores.
f (θ) = cos(θ)
es una función periódica y su
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
198
Módulo 4. Trigonometría
período es
2π ,
es decir,
cos(θ + 2π) = cos(θ)
F3 .
Esta identidad la podemos demostrar utilizando la fórmula
(−∞, ∞)
El dominio del coseno es
y el rango es
[−1, 1].
Si miramos la gráca completa del coseno, podemos comprobar la identdidad de simetría
S2 , ya
simétrica con respecto al eje vertical. Esto signica que al reejarla con respecto
que su gráca es
al eje al eje vertical,
cos(θ),
la gráca no cambia. Esto es,
cos(−θ) = cos(θ)
Las funciones que satisfacen esta propiedad,
f (−x) = f (x) para todo x ∈ Domf , se llaman funciones
pares. Así que el coseno es una función par.
Transformaciones del seno y el coseno
A continuación veremos algunas transformaciones de las funciones seno y coseno que aparecen naturalmente en física ya que estas funciones modelan ciertas ondas. Para estudiar estas ondas recordemos las
siguientes propiedades de las grácas de funciones:
ˆ
Cuando sumamos una constante
de
ˆ
f (x − h)
h
unidades hacia la izquierda.
h > 0 a los valores de x y luego evaluamos una función f , la gráca
desplazada
Cuando multiplicamos una función
f (x)
por una constante
f (x)
f (x)
f (x)
f (dx)
x
f , la gráca
de
f
a > 1,
la gráca de
por una constante
1
x
d
x
f (x)
af (x)
es igual a la
a.
por una constante
es igual a la gráca de
Cuando multiplicamos los valores de
de
unidades hacia la derecha.
1
a
1
f (x)
a
es
y luego evaluamos una función
f,
con
a > 1,
comprimida verticalmente por un factor de
Cuando multiplicamos los valores de
función
h
estirada verticalmente por un factor de
Cuando multiplicamos una función
la gráca de
ˆ
desplazada
f (x)
igual a la gráca de
ˆ
f (x)
es igual a la gráca de
gráca de
ˆ
h > 0 a los valores de x y luego evaluamos una función f , la gráca
es igual a la gráca de
Cuando restamos una constante
de
ˆ
f (x + h)
d>1
la gráca de
a.
comprimida horizontalmente por un factor de
por una constante
es igual a la gráca de
1
d
con
d > 1
d.
y luego evaluamos una
f (x) estirada horizontalmente
por un factor
d.
Desfase
Los desplazamientos horizontales de las funciones seno y coseno dan lugar a un
general, si
desplaza
h
f (x) = sen(x + h)
o
f (x) = cos(x + h),
unidades hacia la izquierda si
h
a)
2π
f (x) = sen x −
3
−h
f
es
es positivo y hacia la derecha si
h
es negativo.
Ejemplo 1. Graque un período de las siguientes funciones y halle su desfase.
desfase de la onda. En
decimos que el desfase de
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
ya que esta onda se
4.4 Grácas de funciones trigonométricas
b)
199
π
f (x) = sen x +
4
Solución.
a)
2π
2π
La gráca de f (x) = sen x −
es igual a la gráca de g(x) = sen x desplazada
unidades
3
3
hacia la derecha. Un período de g(x) = sen x comprende valores x ∈ [0, 2π] así que un período de
2π
2π 8π
f (x) = sen x −
comprenderá valores x ∈
,
.
3
3 3
y
2π
f (x) = sen x −
3
g(x) = sen x
1
x
− π2
π
3
2π
3
π
4π
3
5π
3
2π
7π
3
8π
3
−1
2π
2π
es
.
f (x) = sen x −
3
3
π
π
La gráca de f (x) = sen x +
es igual a la gráca de g(x) = sen x desplazada
unidades
4
4
hacia la izquierda. Un período de g(x) = sen x comprende valores x ∈ [0, 2π] así que un período de
π 7π
π
comprenderá valores x ∈ − ,
.
f (x) = sen x +
4
3 4
El desfase de
b)
y
g(x) = sen x
1
π
f (x) = sen x +
4
x
− π2
− π4
π
4
π
2
3π
4
π
5π
4
3π
2
7π
4
2π
−1
El desfase de
π
f (x) = sen x +
4
es
−
π
.
4
Amplitud
Multiplicar las coordenadas
la
de
y
de la gráca de
g(x) = sen x o g(x) = cos x por una constante a > 0 cambia
amplitud de la onda ya que la curva se va a estirar o comprimir verticalmente. En general la amplitud
f (x) = a sen x
o
f (x) = a cos x
es
a.
Ejemplo 2. Graque un período de las siguientes funciones y halle su amplitud.
a)
f (x) = 3 cos x
b)
f (x) =
1
cos x
2
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
200
Módulo 4. Trigonometría
Solución.
a) La gráca de
de
3.
por
f (x) = 3 cos x es igual a la gráca de g(x) = cos x estirada verticalmente por un factor
Es decir, todas las coordenadas
3.
y
de los puntos de a gráca de
En particular, los puntos cuya coordenada
y
coordenada
es
cuya coordenada
y
es
0
g(x) = cos x
1
se estirarán verticalmente hasta alcanzar la coordenada
y
es
−1
se multiplicarán
se mantendrán iguales, los puntos cuya
y
igual a
se estirará verticalmente hasta alcanzar la coordenada
y
3
y el punto
igual a
−3.
y
f (x) = 3 cos x
3
2
g(x) = cos x
1
x
π
2
− π2
3π
2
π
2π
−1
−2
−3
La amplitud de
b) La gráca de
un factor de
f (x) = 3 cos x
f (x) =
2.
1
cos x
2
1
.
2
y
igual a
es igual a la gráca de
y
es
1
comprimida verticalmente por
de los puntos de a gráca de
y
es
0
g(x) = cos x
y
es
−1
1
.
2
g(x) = cos x
1
1
2
− 21
f (x) =
π
2
y
igual
se comprimirá verticalmente hasta alcanzar la coordenada
y
− π2
se
se mantendrán iguales, los
se comprimirán verticalmente hasta alcanzar la coordenada
y el punto cuya coordenada
−
y
g(x) = cos x
En particular, los puntos cuya coordenada
puntos cuya coordenada
a
3.
Es decir, todas las coordenadas
multiplicarán por
1
2
es
π
x
3π
2
2π
−1
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
1
cos x
2
4.4 Grácas de funciones trigonométricas
La amplitud de
f (x) =
1
cos x
2
es
201
1
.
2
Período
Si multiplicamos las coordenadas
x
g(x) = sen x
de la gráca de
o
g(x) = cos x
por una constante
d>0
se cambia el período de la onda ya que la curva se va a estirar o comprimir horizontalmente. En general
el período de
f (x) = sen(dx)
o
f (x) = cos(dx)
es
2π
.
d
Ejemplo 3. Graque un período de las siguientes funciones y halle su período.
a)
b)
f (x) = cos(2x)
1
x
f (x) = cos
3
Solución.
f (x) = cos(2x)
a) La gráca de
un factor de
g(x) = cos x
es igual a la gráca de
2. Veamos en las siguientes tablas que las
se dividirán entre
2
comprimida horizontalmente por
coordenadas
x de la gráca de g(x) = cos(x)
f (x) = cos(2x):
para obtener la gráca de
x
0
π
2
π
3π
2
2π
cos x
1
0
−1
0
1
x
0
π
4
π
2
3π
4
π
cos(2x)
1
0
−1
0
1
π
x = . Cuando entra en la función f (x) = cos(2x)
4
π
primero lo multiplicamos por 2 y obtenemos
y luego evaluamos el coseno que vale 0. Es decir,
2
π
π
en x =
, f (x) = cos(2x) toma el valor que la función g(x) = cos x toma en x =
(o sea 0).
4
2
π π El punto
, 0 de la gráca de g(x) = cos x se transforma en el punto
, 0 de la gráca de
2
4
f (x) = cos(2x). Su coordenada x se divide entre 2 y su coordenada y se mantiene igual. Esto mismo
Observemos en particular lo que sucede en
sucede con todos los puntos de la gráca de
g(x) = cos x.
y
f (x) = cos(2x)
g(x) = cos x
1
π
4
− π2
π
2
3π
4
π
x
3π
2
−1
El período de
cos(2x)
es
2π
= π.
2
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
2π
202
Módulo 4. Trigonometría
f (x) = cos
b) La gráca de
1
x
3
es igual a la gráca de
g(x) = cos x
estirada horizontalmente
por un factor de
3.
Por ejemplo, cuando
x = π
entra en la función
f (x) = cos
1
x
3
primero
1
π
1
y obtenemos
y luego evaluamos el coseno que vale
. Es decir, en
3
2
3
1
π
1
x = π , f (x) = cos
x toma el valor que la función g(x) = cos x toma en x =
(o sea
).
3
3
2
1
π 1
,
de la gráca de g(x) = cos x se transforma en el punto
π,
de la gráca de
El punto
2
3 2
1
f (x) = cos
x . Su coordenada x se multiplica por 3 y su coordenada y se mantiene igual. Esto
3
1
mismo sucede con todos los puntos de la gráca de f (x) = cos
x .
3
lo multiplicamos por
y
g(x) = cos x
1
− π2
π
π
3
−1
3π
2
El período de
f (x) = cos
1
x
3
f (x) = cos
2π
es
2π
1
3
3π
1
x
3
4π
5π
6π
= 6π .
Ahora combinemos estos tres tipos de transformaciones.
Ejemplo 4. Graque un período de la función
su desfase.
π
f (x) = 4 sen 3x −
,
2
halle su amplitud, su período y
Solución.
Gracaremos la función
π
f (x) = 4 sen 3x −
2
1. Desplazar la gráca de
mediante las siguientes transformaciones:
g(x) = sen x hacia la derecha
π
sen x −
.
2
π
2
unidades para obtener la gráca de
g1 (x) =
y
g(x) = sen x
1
− π2
π
g1 (x) = sen x −
2
π
2
π
x
3π
2
5π
2
2π
−1
π
g1 (x) = sen x −
2
π
g2 (x) = sen 3x −
.
2
2. Comprimir la gráca de
gráca de
horizontalmente por un factor de
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
3
para obtener la
x
4.4 Grácas de funciones trigonométricas
203
y
1
π
g2 (x) = sen 3x −
2
π
6
− π2
π
3
π
2
2π
3
5π
6
π
g1 (x) = sen x −
2
x
π
3π
2
2π
5π
2
−1
π
g2 (x) = sen 3x −
verticalmente
2
π
.
f (x) = 4 sen 3x −
2
y
π
f (x) = 4 sen 3x −
2
4
3. Estirar la gráca de
de
por un factor de
4
para obtener la gráca
3
2
1
− π2
π
g2 (x) = sen 3x −
2
π
6
π
3
π
2
2π
3
5π
6
x
π
5π
2
−1
−2
−3
−4
El estiramiento vertical lo podemos hacer en cualquier orden. Sin embargo, las dos transformaciones
horizontales (el desplazamiento hacia la derecha y la compresión horizontal) se deben hacer en el
orden indicado. Primero el desplazamiento y luego la compresión.
En el primer paso, cuando desplazamos la gráca
π
2
unidades a la derecha, el desfase es
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
π
.
2
Pero en
204
Módulo 4. Trigonometría
el segundo paso, debemos dividir todas las coordenadas
Esto hace que el desfase también se divida entre
onda ahora comienza en
La amplitud de
3
x
y se vuelva
π
.
6
π
f (x) = 4 sen 3x −
2
es
4,
π 3, incluyendo la del punto
,0 .
2
π
. Se puede ver en la gráca que la
6
entre
π
2
su desfase es
3
=
π
6
y su período es
2π
.
3
Observación. En general, las funciones
f (x) = a sen(dx + h) y f (x) = a cos(dx + h) tienen amplitud a,
2π
y período
, donde a, d > 0. Si a o d son negativos, estas transformaciones están compuestas
d
por un estiramiento o una compresión junto con una reexión. En este caso la amplitud es |a| y el período
2π
es
.
|d|
h
desfase −
d
La gráca de la tangente
Por último gracaremos la función
f (θ) = tan θ.
Para esto la escribimos como
f (θ) =
sen θ
cos θ
y nos imag-
inamos que dividimos los valores que aprecen en la gráca del seno entre los valores que aparecen en la
gráca del coseno para cada
Cuando
sen θ = 0, cos θ
Cuando
cos θ = 0,
θ.
Consideremos las grácas para
vale
1
o
−1
así que
tan θ = 0.
θ ∈ [0, 2π].
Esto es en
0, π
y
2π .
la tangente no está denida. Esto signica que la gráca de la tangente no pasa
θ donde cos θ = 0. Es decir, la gráca de f (θ) = tan θ no
π
3π
cruza las rectas θ =
ni θ =
. Las dibujaremos en línea punteada.
2
2
π
Cuando θ ∈ 0,
, sen θ y cos θ son ambos positivos así que tan θ también es positiva. Además, a
2
π
por la izquierda, cos θ se acerca a 0 y sen θ es casi 1. Así que tan θ se vuelve
medida que θ se acerca a
2
muy grande (el denominador se acerca a 0 con valores positivos y el numerador se acerca a 1). Decimos
las rectas verticales ubicadas en los valores de
que
tan θ
tiende a innito (tan θ
→ ∞).
π
, π , sen θ es positivo y cos θ es negativo así que tan θ es negativa. Además, a medida
2
π
que θ se acerca a
por la derecha, cos θ se acerca a 0 y sen θ es casi 1. Así que tan θ se vuelve muy
2
grande con signo negativo (el denominador se acerca a 0 con valores negativos y el numerador se acerca
Cuando
a
1).
θ∈
Decimos que
tan θ
tiende a menos innito (tan θ
→ −∞).
3π
Cuando θ ∈
π,
, sen θ y cos θ son ambos negativos así que tan θ es positiva. Además, a medida
2
3π
que θ se acerca a
por la izquierda, cos θ se acerca a 0 y sen θ es casi −1. Así que tan θ se vuelve muy
2
grande (el denominador se acerca a 0 con valores negativos y el numerador se acerca a −1). tan θ tiende
a innito (tan θ
→ ∞).
Cuando
medida que
θ ∈
θ
3π
, 2π
2
se acerca a
,
3π
2
sen θ
es negativo y
por la derecha,
cos θ
cos θ
es positivo así que
se acerca a
muy grande con signo negativo (el denominador se acerca a
acerca a
−1). tan θ
tiende a menos innito (tan θ
0
y
0
sen θ
tan θ
es casi
es negativa. Además, a
−1.
Así que
tan θ
se vuelve
con valores positivos y el numerador se
→ −∞).
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
4.4 Grácas de funciones trigonométricas
205
y
y = sen θ
1
− π2
π
π
2
3π
2
2π
3π
2
2π
θ
−1
y
y = cos θ
1
− π2
π
2
π
θ
−1
y
f (θ) = tan θ
− π2
π
2
π
3π
2
2π
θ
Completemos la gráca repitiendo este comportamiento en el resto del eje
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
θ:
206
Módulo 4. Trigonometría
tan θ
1
−2π
− 3π
2
−π
− π2
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
−1
Gráca completa de la tangente
Notemos que el comportamiento de la tangente se empieza a repetir cuando
de
f (θ) = tan θ
es
θ = π . Entonces el período
π.
Las rectas verticales punteadas se llaman
asíntotas verticales.
El dominio de la tangente es el conjunto de todos los números impares excepto los múltiplos impares
de
π
2
(positivos y negativos) y el rango es
También,
tan θ
(−∞, ∞).
es una función impar ya que su gráca es simétrica con respecto al origen.
Ejercicios de la sección 4.4
1. Considere la función
f (x) =
a) Halle la amplitud de
f.
b) Halle el período de
c) Halle el desfase de
1
sen x + π4 .
2
f.
f.
d) Graque un período de
f.
2. Considere la función
f (x) = 2 sen
a) Halle la amplitud de
f.
b) Halle el período de
x
2
−
π
3
.
f.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
θ
4.4 Grácas de funciones trigonométricas
c) Halle el desfase de
f.
d) Graque un período de
f.
3. Considere la función
f (x) = sen 3x +
a) Halle la amplitud de
f.
b) Halle el período de
c) Halle el desfase de
π
6
.
f.
f (x) = 3 cos x −
a) Halle la amplitud de
f.
b) Halle el período de
f.
f.
d) Graque un período de
f.
5. Considere la función
f (x) =
a) Halle la amplitud de
f.
b) Halle el período de
1
cos
3
x
3
+
π
6
.
.
f.
f.
d) Graque un período de
f.
6. Considere la función
f (x) = cos 2x +
a) Halle la amplitud de
f.
b) Halle el período de
c) Halle el desfase de
.
f.
4. Considere la función
c) Halle el desfase de
f.
d) Graque un período de
c) Halle el desfase de
π
2
π
3
f.
f.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
207
208
Módulo 4. Trigonometría
d) Graque un período de
f.
4.5 Funciones trigonométricas inversas
En esta sección deniremos las funciones inversas del seno, el coseno y la tangente. Estas tres funciones
(sen x,
cos x
y
tan x)
no son uno a uno ya que son periódicas y por eso toman varias veces el mismo
valor. Por lo tanto, debemos denirles unos dominos en los cuales sean uno a uno (como lo hicimos con
la función
g(x) = x2
x ≥ 0).
con
Estos dominios se escogen por convención universal, de tal forma que
abarquen todo el rango de la función y que incluyan los valores cuyo lado terminal está en el primer
cuadrante, es decir, los valores
h πi
x ∈ 0, .
2
La inversa del seno
Consideremos la función
f (x) = sen x
con
h π πi
x∈ − , .
2 2
Podemos ver en la gráca (el trozo rojo) que
esta función es uno a uno, según la prueba de la recta horizontal.
y
f (x) = sen x
π π
con x ∈ − ,
2 2
1
−π
− 3π
2
−2π
− π2
π
π
2
3π
2
x
2π
−1
Por lo tanto,
arcsen y
f
tiene función inversa a la que llamaremos el
arcoseno. La denotamos con
f −1 (y) =
y tenemos que
x = arcsen y
si y solo si
sen x = y
y
h π πi
x∈ − , .
2 2
h π πi
− ,
y
2 2
−1
el rango es [−1, 1], tenemos que el dominio de f
es [−1, 1] y su
h π πi
rango es − ,
. Esto signica que el arcoseno solo recibe valores que estén entre −1 y 1 (incluyéndolos)
2 2
π π
y devuelve valores entre −
y
.
2
2
Como el dominio de
f
es
Veamos algunos ejemplos sobre cómo evaluar la función arcoseno.
Ejemplo 1. Evalúe las siguientes expresiones.
a)
b)
c)
d)
1
2
1
arcsen − √
2
arcsen
arcsen (1)
4π
arcsen sen
3
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
4.5 Funciones trigonométricas inversas
209
Solución.
a) Para evaluar la expresión
1
arcsen
2
•
Buscar valores de
•
De todos los valores de
x
tales que
x
debemos:
1
.
2
sen x =
tales que
1
,
2
sen x =
escoger aquel que esté en
h π πi
− , .
2 2
Veámoslo grácamente:
y
1
0.5
−2π
− 3π
2
−π
π
6
− π2
−1
Entonces
arcsen
1
π
=
2
6
π
π
2
x
3π
2
2π
porque
sen
π
6
b) Similarmente, para evaluar la expresión
=
1
2
π h π πi
∈ − , .
6
2 2
y
1
arcsen − √
2
1
sen x = − √
2
debemos hallar un valor
x
tal que
h π πi
x∈ − , .
2 2
y
y
−
−2π
− 3π
2
−π
1
π
4
− √12
− π2
π
π
2
3π
2
x
2π
−1
El valor que cumple ambas condiciones es
π
− ,
4
c) Ahora debemos mirar para qué valores de
h π πi
− , .
2 2
es decir,
1
arcsen − √
2
x, sen x = 1
=−
π
.
4
y escogemos el que esté en el intervalo
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
210
Módulo 4. Trigonometría
y
1
−π
− 3π
2
−2π
− π2
−1
En la gráca podemos ver que
d) En la expresión
primero debemos evaluar
arcsen sen
x
3π
2
2π
π
.
2
arcsen (1) =
4π
arcsen sen
3
π
π
2
4π
3
sen
4π
3
√
=−
3
.
2
Entonces
√ !
3
.
= arcsen −
2
√
Miremos en la gráca para qué valores de
en el intervalo
x
se tiene que
sen x = −
h π πi
− , .
2 2
3
2
y escojamos aquel que esté
y
−
−π
− 3π
2
−2π
1
π
3
− π2
4π
3
√
−
π
π
2
3
2
3π
2
x
2π
−1
Entonces
arcsen sen
4π
3
√ !
3
π
= arcsen −
=− .
2
3
Observación. En el numeral d) del ejemplo anterior nos podemos dar cuenta de que en general,
arcsen(sen x) 6= x.
Esto sucede porque el arcoseno no es la función inversa del seno con todo su do-
minio. Tenemos que
arcsen(sen x) = x
Para obtener la gráca de
con respecto a la recta
y = x.
y = arcsen x
solo para
h π πi
x∈ − ,
2 2
debemos reejar la gráca de
y = sen x,
Así que la gráca del acroseno es
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
con
h π πi
x∈ − , ,
2 2
4.5 Funciones trigonométricas inversas
211
y
y
π
2
f (x) = sen
x x ∈ − π2 , π2
con
1
x
− π2
x
1
f −1 (x) = arcsen x
−1
π
2
−1
− π2
La inversa del coseno
En el caso del coseno, debemos elegir un intervalo diferente pues en
Consideremos entonces la función
h π πi
− ,
2 2
el coseno no es uno a uno.
f (x) = cos x con x ∈ [0, π]. Según la prueba de la recta horizontal, esta
función es uno a uno (su gráca corresponde al trozo verde).
y
1
f (x) = cos x
con
−π
− 3π
2
−2π
π
π
2
− π2
x ∈ [0, π]
x
3π
2
2π
−1
Entonces
f
tiene función inversa a la que llamamos el arcocoseno y la denotamos con
f −1 (y) = arccos y .
Así tenemos que
x = arccos y
Como el dominio de
rango es
[0, π].
f
es
[0, π]
si y solo si
y el rango es
cos x = y
[−1, 1],
y
x ∈ [0, π].
tenemos que el dominio de
Esto signica que el arcocoseno solo recibe valores que estén entre
y devuelve valores entre
0
y
π.
Veamos ahora algunos ejemplos de cómo se evalúa la función arcocoseno.
Ejemplo 2. Evalúe las siguientes expresiones.
1
√
2
a)
arccos
b)
1
arccos −
2
c)
arccos (−1)
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
−1
f −1
y
1
es
[−1, 1]
y su
(incluyéndolos)
212
d)
Módulo 4. Trigonometría
11π
arccos cos
6
Solución.
a) Para evaluar la expresión
•
Buscar valores
•
De todos los valores de
x
1
√
2
arccos
tales que
x
debemos:
1
cos x = √ .
2
1
cos x = √ ,
2
tales que
escoger aquel que esté en
[0, π].
Esto lo podemos ver en la gráca.
y
1
√1
2
−2π
−π
− 3π
2
π
4
− π2
−1
Tenemos entonces que
arccos
1
√
2
cos
=
π
4
π
4
π
π
2
3π
2
x
2π
porque
1
=√
2
π
∈ [0, π].
4
y
b) De manera similar, para evaluar la expresión
cos x = −
1
arccos −
2
1
2
debemos encontrar un valor
x
tal que
x ∈ [0, π].
y
y
1
−2π
−π
− 3π
2
2π
3
− π2
−0.5
−1
En la gráca vemos que
c) La expresión
π
2
π
1
2π
arccos −
=
.
2
3
arccos (−1)
nos pide hallar el valor de
cos x = −1
y
x
tal que
x ∈ [0, π].
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
3π
2
x
2π
4.5 Funciones trigonométricas inversas
213
y
1
π
−π
− 3π
2
−2π
− π2
π
2
x
3π
2
2π
−1
π
Este valor es
así que
arccos(−1) = π .
d) Para
cos
evaluar
11π
6
la
arccos cos
expresión
√
=
3
.
2
11π
6
primero
debemos
evaluar
Entonces
arccos cos
Debemos hallar el valor de
x
11π
6
√ !
3
.
2
= arccos
tal que
√
cos x =
3
2
x ∈ [0, π].
y
y
1
√
3
2
−2π
− 3π
2
−π
π
6
− π2
−1
Podemos ver en la gráca que este valor es
arccos cos
π
6
11π
6
π
2
π
3π
2
11π
6
x
2π
y así
= arccos
√ !
3
π
= .
2
6
Observación. Como vimos en el numeral d) del ejemplo anterior, en general,
arccos(cos x) 6= x.
Esto
sucede porque el arcocoseno no es la función inversa del coseno con todo su dominio. Tenemos que
arccos(cos x) = x
Para obtener la gráca de
respecto a la recta
y = x.
y = arccos x
solo para
x ∈ [0, π].
debemos reejar la gráca de
y = cos x,
La gráca del acroseno es
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
con
x ∈ [0, π],
con
214
Módulo 4. Trigonometría
y
π
f −1 (x) = arccos x
y
π
2
1
f (x) = cos x
con x ∈ [0, π]
x
π
2
x
−1
π
1
−1
La inversa de la tangente
Finalmente, consideremos la función
f (x) = tan x
con
π π
x∈ − ,
.
2 2
Podemos ver en la gráca (el trozo
naranja) que esta función es uno a uno, según la prueba de la recta horizontal.
y
f (x) = tan x
con
Por lo tanto,
arctan y
−π
− 3π
2
−2π
f
− π2
x ∈ − π2 , π2
π
π
2
tiene función inversa a la que llamaremos la
3π
2
x
2π
arcotangente. La denotamos con f −1 (y)
=
y tenemos que
x = arctan y
si y solo si
tan x = y
y
π π
x∈ − ,
.
2 2
π π
−1
− ,
y el rango es (−∞, ∞), tenemos que el dominio de f
2 2
es (−∞, ∞)
π π
y su rango es − ,
. Esto signica que la arcotangente recibe cualquier número real y devuelve valores
2 2
Como el dominio de
f
es
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
4.5 Funciones trigonométricas inversas
entre
−
π
2
y
π
2
215
(sin incluirlos pues la tangente no está denida en estos dos valores).
Miremos cómo se evalúa la función arcotangente.
Ejemplo 3. Evalúe las siguientes expresiones.
a)
arctan(1)
b)
arctan (0)
1
arctan − √
3
3π
arctan tan
4
c)
d)
Solución.
a) Para evaluar la expresión
arctan(1)
•
Buscar valores de
•
De todos los valores de
x
tales que
x
debemos:
tan x = 1.
tales que
tan x = 1,
escoger aquel que esté en
π π
.
− ,
2 2
Veamos esto en la gráca de la tangente.
y
1
−2π
Entonces
−π
− 3π
2
arctan(1) =
π
4
π
4
− π2
π
2
π
3π
2
porque
tan
b) Ahora, para evaluar la expresión
π
4
=1
arctan(0)
tan x = 0
y
π π π
∈ − ,
.
4
2 2
debemos hallar un valor
y
x
tal que
π π
x∈ − ,
.
2 2
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
x
2π
216
Módulo 4. Trigonometría
y
−2π
−π
− 3π
2
− π2
El valor que cumple ambas condiciones es
π
2
0,
1
tan x = − √
3
arctan(0) = 0.
1
arctan − √ , debemos
3 π π
.
en el intervalo − ,
2 2
3π
2
x
2π
así que
c) Similarmente, si queremos evaluar la expresión
tales que
π
y escoger aquel que esté
buscar los valores de
x
y
−
−2π
− 3π
2
−π
π
6
− π2
π
2
π
3π
2
2π
x
− √13
1
π
arctan − √
=− .
6
3
3π
3π
Finalmente, en la expresión arctan tan
primero debemos evaluar la expresión tan
=
4
4
−1. Entonces
3π
arctan tan
= arctan(−1).
4
En la gráca podemos ver que
d)
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
4.5 Funciones trigonométricas inversas
217
Veamos en la gráca para qué valores de
intervalo
π π
− ,
.
2 2
x
se tiene que
tan x = −1
y escojamos el que esté en el
y
−
−2π
− 3π
2
−π
π
4
3π
4
− π2
π
2
π
3π
2
2π
x
−1
Por lo tanto,
3π
π
arctan tan
= arctan (−1) = − .
4
4
Observación. En el numeral d) del ejemplo anterior podemos ver que en general,
arctan(tan x) 6= x.
Esto sucede porque la arcotangente no es la función inversa de la tangente con todo su dominio. Tenemos
que
arctan(tan x) = x
Para obtener la gráca de
con respecto a la recta
y = x.
y = arctan x
solo para
π π
x∈ − ,
.
2 2
debemos reejar la gráca de
y = tan x,
La gráca de la arcotangente es
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
con
π π
x∈ − ,
,
2 2
218
Módulo 4. Trigonometría
y
y
π
2
x
π
2
− π2
x
f −1 (x) = arctan x
f (x) = tan x
con
x ∈ − π2 , π2
− π2
π
π
x=− yx= ,
2
2
π
π
y=− yy= .
2
2
Las asíntotas verticales de la tangente,
para la arcotangente. Sus ecuaciones son
Evaluar
inversas
expresiones
que
se convierten en
asíntontas horizontales
funciones
trigonométricas
contienen
A veces es útil saber cómo evaluar expresiones que son una función trigonométrica compuesta con una
función trigonométrica inversa. Esto se puede hacer sin utilizar la calculadora.
Ejemplo 4. Evalúe la expresión
3
.
cos arctan
8
Solución.
Esta expresión es la composición del coseno con la arcotangente. En teoría deberíamos evaluar primero
3
arctan
8
(esto requiere el uso de la calculadora) y luego el coseno. Sin embargo, veamos que no es
3
, sino que podemos convertir este enunciado en un ejercicio similar a los que
necesario evaluar arctan
8
resolvimos en las secciones 4.2 y 4.3. Según la denición de la arcotangente tenemos que
3
arctan
=x
8
si y solo si
3
8
y
π π
x∈ − ,
.
2 2
Así que evaluar la expresión
que
π π
x∈ − ,
.
2 2
3
cos arctan
8
tan x =
es equivalente a hallar
cos x
sabiendo que
tan x =
3
8
y
Esto lo podemos hacer dibujando un triángulo, como en el ejemplo 4 de la sección 4.2 o utilizando
identidades trigonométricas, como en el ejemplo 2 de la sección 4.3. Hagámoslo dibunado un triángulo
rectángulo.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
4.5 Funciones trigonométricas inversas
Como
En el
219
π π
x∈ − ,
, entonces su lado terminal está en el cuadrante I o IV y por lo tanto, cos x es positivo.
2 2
3
siguiente triángulo se muestra el valor x tal que tan x =
.
8
h
3
x
8
Para hallar
cos x debemos hallar el valor de h, la hipotenusa del triángulo. Por el teorema de pitágoras,
h2 = 82 + 32 = 73.
Entonces
h=
√
73
y por lo tanto,
8
cos x = √ .
73
8
3
=√ .
cos arctan
8
73
Ejemplo 5. Evalúe la expresión
4
sen arccos −
.
5
Solución.
Tenemos que
4
4
si y solo si
cos x = −
y x ∈ [0, π].
x = arccos −
5
5
4
es equivalente a hallar sen x sabiendo
expresión sen arccos −
5
Entonces evaluar la
y
x ∈ [0, π].
Podemos utilizar la identidad pitagórica
que
cos x = −
4
5
P1 . Esto es
sen2 x + cos2 x = 1
4
sen x + −
5
2
sen2 x +
2
=1
16
=1
25
sen2 x = 1 −
sen2 x =
9
25
sen x = ±
Como
x ∈ [0, π],
Entonces
16
25
3
5
entonces su lado terminal está en el cuadrante I o II y por lo tanto,
3
sen x = .
5
sen x
es positivo.
4
3
sen arccos −
= .
5
5
También podemos evaluar este tipo de composiciones en cualquier valor
y . Esto es, podemos simplicar
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
220
Módulo 4. Trigonometría
composiciones de una función trigonométrica con una función trigonométrica inversa, y veremos que el
resultado es una función algebraica (es decir, una función que se dene solamente con operaciones del
álgebra, suma, resta, multiplicación, división y exponenciación).
Ejemplo 6. Simplique la expresión
tan (arcsen y).
Solución.
Podemos utilizar cualquiera de los dos métodos que utilizamos en los dos últimos ejemplos. Sea
arcsen y .
Entonces
sen x = y
y
h π πi
x∈ − , .
2 2
tan (arcsen y) debemos hallar tan x
sen x
tan x =
, debemos hallar cos x. Utilicemos la
cos x
Para simplicar la expresión
h π πi
− , .
2 2
Como
sabiendo que
sen x = y
identidad pitagórica
y que
x =
x ∈
P1 . Esto es
sen2 x + cos2 x = 1
y 2 + cos2 x = 1
cos2 x = 1 − y 2
p
cos x = ± 1 − y 2 .
Como
h π πi
x∈ − , ,
2 2
tenemos que
cos x ≥ 0,
así que
cos x =
así
tan (arcsen y) = p
p
1 − y2 .
y
1 − y2
Por lo tanto,
.
Ejercicios de la sección 4.5
1. Evalúe las expresiones.
a)
arcsen(0)
√ !
3
2
b)
arcsen
c)
3π
arcsen sen
4
d)
7π
arcsen cos
6
2. Evalúe las expresiones.
1
2
a)
arccos
b)
arccos(0)
c)
arccos(1)
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
tan x = p
y
1 − y2
y
4.6 Ecuaciones trigonométricas
221
√ !
3
d) arccos −
2
e)
5π
arccos cos
6
f)
π arccos sen −
6
3. Evalúe las expresiones.
a)
arctan (−1).
b)
arctan
c)
5π
arctan tan
4
1
√
3
d)
arctan tan
5π
3
4. Evalúe las expresiones.
a)
1
cos arcsen
4
b)
3
cot arctan
2
9
c) sen arctan −
5
5. Simplique las expresiones.
a)
sen(arccos x)
b)
tan(arccos y)
c)
cos(arctan z)
d)
csc(arcsen y)
4.6 Ecuaciones trigonométricas
En esta sección veremos cómo resolver ecuaciones trigonométricas, es decir, ecuaciones que contienen
funciones trigonométricas. Primero resolveremos unas ecuaciones básicas y luego, sabiendo cómo se re-
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
222
Módulo 4. Trigonometría
suelven estas ecuaciones básicas, resolveremos otras ecuaciones utilizando identidades trigonométricas.
Una ecuación trigonométrica básica es una ecuación en la que hay una función trigonométrica igualada
a cierto valor. Por ejemplo,
sen θ =
1
.
2
En general este tipo de ecuaciones tienen innitas soluciones pues las funciones trigonométricas son
periódicas, es decir, se repiten y toman los mismos valores innitas veces. Nos concentraremos en hallar
los valores que estén en el intervalo
Ejemplo 1. Halle los valores de
[0, 2π)
que satisfagan la ecuación.
θ ∈ [0, 2π)
que satisfacen la ecuación
sen θ =
1
.
2
Solución.
Si pensamos en que
están en el intervalo
θ
representa la medida de un ángulo dibujado en posición normal, los valores que
[0, 2π)
son las medidas de todos los ángulos que encontramos al dar un giro en
sentido positivo, empezando en
0
(no incluimos el valor
hallar aquellos ángulos cuyo seno es
1
2
2π
pues es coterminal con
0).
Así que debemos
mientras damos este giro.
Recordemos que, según la tabla de ángulos notables,
sen
π
6
1
.
2
=
Así que
θ=
π
6
es una solución de la
ecuación. Debemos pensar ahora si hay más soluciones. El seno es positivo únicamente en los cuadrantes
I y II así que debe haber otra solución en el segundo cuadrante. Por simetría esta solución debe tener a
π
6
como ángulo de referencia. Veámoslo en la siguiente gura.
y
Cuadrante II
sen
θ̄ =
π
es
Cuadrante I
+
sen
θ
π
6
es
+
π
6
x
Cuadrante III
sen
es
Cuadrante IV
−
sen
es
−
Por lo tanto, la otra solución (el ángulo que está en rojo en la gura) es
modo, las dos soluciones
θ ∈ [0, 2π)
de la ecuación
θ=
Una solución alternativa es gracar
para los cuales
π
6
sen θ =
y
f (θ) = sen θ
θ=
con
1
2
θ =π−
π
5π
=
.
6
6
De este
son
5π
.
6
θ ∈ [0, 2π)
y hallar grácamente los valores de
1
sen θ = .
2
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
θ
4.6 Ecuaciones trigonométricas
223
y
f (θ) = sen θ
θ ∈ [0, 2π)
con
1
1
2
π
π
6
θ
5π
6
2π
−1
θ̄ =
π
6
Observación. Como lo mencionamos antes, esta ecuación trigonométrica (sin la restricción
tiene innitas soluciones. Estas soluciones son todos los ángulos coterminales con
ángulos los obtenemos sumando o restando múltiplos de
sen θ =
1
2
2π
a
π
6
y a
5π
.
6
π
6
y
θ ∈ [0, 2π))
5π
con
. Estos
6
Las soluciones de la ecuación
son
Ejemplo 2. Halle los valores de
θ=
π
+ 2πk
6
para todo
k∈Z
θ=
5π
+ 2πk
6
para todo
k∈Z
θ ∈ [0, 2π)
que satisfacen la ecuación
1
cos θ = − √ .
2
Solución.
Hallemos los ángulos cuyo coseno es
0.
1
−√
2
mientras damos un giro en sentido positivo, empezando en
En este caso debemos pensar en qué cuadrantes es negativo el coseno. Esto es, en los cuadrantes II y
III. Además, según la tabla de ángulos notables,
1
−√
2
deben tener a
π
4
cos
π
4
1
=√ .
2
Por simetría, los ángulos cuyo coseno es
como ángulo de referencia. Veámoslo grácamente.
y
Cuadrante II
cos
θ̄ =
es
Cuadrante I
−
π
4
cos
es
+
θ1
π
x
θ̄ =
θ2
π
4
Cuadrante III
cos
es
−
Cuadrante IV
cos
es
+
Por lo tanto, los dos ángulos que están en el cuadrante II y III que tienen ángulo de referencia
son
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
θ̄ =
π
4
224
Módulo 4. Trigonometría
θ1 = π −
π
3π
=
4
3
θ2 = π +
π
5π
=
.
4
4
De este modo, las dos soluciones
θ ∈ [0, 2π)
de la ecuación
θ=
3π
4
y
cuyo coseno es
1
−√
2
sabiendo que
θ=
f (θ) = cos
θ
π
1
cos
=√ .
4
2
Alternativamente, mirando la gráca de
1
cos θ = − √
2
son
5π
.
4
con
θ ∈ [0, 2π)
podemos hallar los valores de
θ
y
f (θ) = cos θ
con
θ ∈ [0, 2π)
1
3π
4
π
5π
4
θ
− √12
2π
−1
θ̄ =
π
4
θ̄ =
Observación. Las innitas soluciones de la ecuación
Ejemplo 3. Halle los valores de
π
4
1
cos θ = − √
2
θ=
3π
+ 2πk
4
para todo
k∈Z
θ=
5π
+ 2πk
4
para todo
k∈Z
θ ∈ [0, 2π)
son
que satisfacen la ecuación
cos θ = 0.
Solución.
En la denición del coseno, como
de
θ
y
r
cos θ =
x
r
donde
x es la coordenada x de un punto sobre el lado terminal
es la distancia de este punto hasta el origen, tenemos que
sobre los lados terminales de los ángulos
θ
cos θ = 0
deben tener coordenada
soluciones de esta ecuación deben estar sobre el eje
y.
si
x = 0.
x = 0.
Es decir, los puntos
Los lados terminales de las
Veamos esto en la siguiente gura.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
4.6 Ecuaciones trigonométricas
225
y
(0, y)
π
2
x
3π
2
(0, y)
Los valores de
θ ∈ [0, 2π)
que satisfacen la ecuación
θ=
π
2
cos θ = 0
y
θ=
3π
.
2
De manera alternativa, si miramos la gráca de la función
aquellos valores donde la función tome el valor
son
f (θ) = cos θ
con
θ ∈ [0, 2π) podemos hallar
0.
y
f (θ) = cos θ
con
θ ∈ [0, 2π)
1
π
2
π
θ
3π
2
2π
−1
Observación. Como
manera:
π
3π
= + π,
2
2
podemos escribir todas las soluciones de la ecuación
θ=
π
+ πk
2
para todo
cos θ = 0
de esta
k∈Z
Ahora veamos algunas ecuaciones trigonométricas que requieren realizar primero un poco de álgebra
para luego obtener una ecuación básica.
Ejemplo 4. Halle los valores de
θ ∈ [0, 2π)
que satisfacen la ecuación
2 sen2 θ − sen θ − 1 = 0.
Solución.
Esta ecuación tiene la forma de una ecuación cuadrática, si pensamos en hacer un cambio de variable
z = sen θ.
Esto es, si reemplazamos
sen θ
por
z,
la ecuación se convierte en
2z 2 − z − 1 = 0.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
226
Módulo 4. Trigonometría
Resolvamos esta ecuación con el método de factorización. Tenemos que
2z 2 − z − 1 = 0
(2z + 1)(z − 1) = 0
factorizamos
2z + 1 = 0
z=−
1
2
o
z−1=0
o
z=1
Así que, volviendo a reemplazar
z
por la propiedad del producto cero
por
sen θ,
tenemos obtenemos dos ecuaciones trigonométricas básicas,
sen θ = −
1
2
sen θ = 1.
y
Las soluciones de ambas ecuaciones serán las soluciones de la ecuación original.
Para resolver la ecuación
sen θ = −
1
,
2
sabiendo que
sen
π
6
=
1
2
y que el seno es negativo en los
cuadrantes III y IV, debemos hallar dos ángulos cuyos lados terminales estén en los cuadrantes III y IV
y que tengan a
π
6
como ángulo de referencia.
y
Cuadrante II
sen
es
Cuadrante I
+
sen
es
+
θ1
π
θ̄ =
π
6
θ̄ =
θ2
Cuadrante III
sen
es
−
π
6
x 2π
Cuadrante IV
sen
es
−
Las soluciones de esta ecuación son
π
7π
=
6
6
π
11π
θ2 = 2π − =
6
6
θ1 = π +
Para resolver la ecuación
de
θ
les asigna
f
el valor
sen θ = 1,
veamos en la gráca de
f (θ) = sen θ
con
1.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
θ ∈ [0, 2π)
a qué valores
4.6 Ecuaciones trigonométricas
227
y
f (θ) = sen θ
con
θ ∈ [0, 2π)
1
π
2
θ
3π
2
π
2π
−1
La solución de esta ecuación es
Por lo tanto, los valores de
θ=
π
.
2
θ ∈ [0, 2π)
θ=
que satisfacen la ecuación
7π
,
6
11π
6
θ=
Observación. Las innitas soluciones de la ecuación
θ=
7π
+ 2πk
6
θ=
11π
+ 2πk
6
θ=
π
+ 2πk
2
θ=
y
2 sen2 θ − sen θ − 1 = 0
π
.
2
2 sen2 θ − sen θ − 1 = 0
para todo
son
k∈Z
para todo
para todo
son
k∈Z
k∈Z
A veces debemos utilizar identidades trigonométricas antes de factorizar la ecuación. Veamos un par
de ejemplos de este último caso.
Ejemplo 5. Halle los valores de
θ ∈ [0, 2π)
que satisfacen la ecuación
cos θ = 2 sen2 θ − 1.
Solución.
Utilicemos la identidad pitagórica
cuadrática en la variable
P1
para reemplazar
sen2 θ = 1 − cos2 θ
y así obtener una ecuación
z = cos θ.
cos θ = 2 sen2 θ − 1
cos θ = 2(1 − cos2 θ) − 1
utilizamos la identidad
P1
2
cos θ = 2 − 2 cos θ − 1
2 cos2 θ + cos θ − 1 = 0
igualamos la ecuación cuadrática a
(2 cos θ − 1)(cos θ + 1) = 0
0
factorizamos
Por la propiedad del producto cero, tenemos que
2 cos θ − 1 = 0
1
cos θ =
2
o
cos θ + 1 = 0
o
Para resolver la ecuación
cos θ = −1
cos θ =
π 1
1
, sabemos que cos
=
2
3
2
y que el coseno es positivo en los cuadrantes
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
228
Módulo 4. Trigonometría
I y IV, por lo tanto las soluciones son aquellos ángulos
I y en el cuadrante IV y que tienen a
π
3
θ ∈ [0, 2π) cuyo lado terminal está en el cuadrante
como ángulo de referencia.
y
Cuadrante II
cos
es
Cuadrante I
−
cos
+
es
π
3
x 2π
θ
θ̄ =
Cuadrante III
cos
Tenemos entonces que las soluciones
θ=
es
π
3
Cuadrante IV
−
cos
θ ∈ [0, 2π)
es
de la ecuación
+
cos θ =
1
2
son
π
3
θ = 2π −
5π
π
=
3
3
Por otro lado, para resolver la ecuación
θ ∈ [0, 2π).
cos θ = −1,
consideremos la gráca de
Busquemos para qué valores, el coseno toma el valor
−1.
y
f (θ) = cos θ
con
θ ∈ [0, 2π)
1
π
π
2
3π
2
θ
2π
−1
El valor de
θ ∈ [0, 2π)
tal que
cos θ = −1
Por lo tanto, las soluciones
θ ∈ [0, 2π)
θ=
es
θ = π.
de la ecuación
π
,
3
θ=
5π
3
cos θ = 2 sen2 θ − 1
y
son
θ = π.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
f (θ) = cos θ
con
4.6 Ecuaciones trigonométricas
229
cos θ = 2 sen2 θ − 1
Observación. Las soluciones completas de la ecuación
θ=
π
+ 2πk
3
para todo
k∈Z
θ=
5π
+ 2πk
3
para todo
k∈Z
para todo
k∈Z
θ = π + 2πk
Ejemplo 6. Halle los valores de
θ ∈ [0, 2π)
son
sen(2θ) = cos θ.
que satisfacen la ecuación
Solución.
D1
En este caso utilizaremos la identidad de ángulo doble
y luego igualaremos la ecuación a cero para
factorizarla.
sen(2θ) = cos θ
2 sen θ cos θ = cos θ
D1
utilizamos la identidad
2 sen θ cos θ − cos θ = 0
igualamos la ecuación a
cos θ · (2 sen θ − 1) = 0
factorizamos el factor común
0
Por la propiedad del producto cero, tenemos que
cos θ = 0
o
Las soluciones
θ ∈ [0, 2π)
de la ecuación
cos θ = 0
Las soluciones
θ ∈ [0, 2π)
de la ecuación
sen θ =
Por lo tanto, las soluciones
θ ∈ [0, 2π)
θ=
donde las grácas de las funciones
1
2
son
θ=
3π
,
2
1
.
2
θ=
π
2
θ=
3π
2
θ=
π
6
θ=
5π
6
θ=
sen(2θ) = cos θ,
f (θ) = sen(2θ)
y
y
y
sen(2θ) = cos θ
de la ecuación
π
,
2
Observación. Resolver la ecuación
son
sen θ =
π
6
con
θ ∈ [0, 2π)
g(θ) = cos θ
(según el ejemplo 1).
son
θ=
y
(según el ejemplo 3).
5π
.
6
es hallar los valores de
θ ∈ [0, 2π)
se intersecan.
y
f (θ) = sen(2θ)
con
θ ∈ [0, 2π)
1
5π
6
π
6
π
2
3π
2
π
θ
2π
−1
g(θ) = cos θ
Además,
todos
los
valores
de
θ
donde
se
con
θ ∈ [0, 2π)
intersecan
las
grácas
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
de
f (θ)
=
sen(2θ)
y
230
Módulo 4. Trigonometría
g(θ) = cos θ
(que son todas las soluciones de la ecuación
sen(2θ) = cos θ)
θ=
π
+ 2πk
2
para todo
k∈Z
θ=
3π
+ 2πk
2
para todo
k∈Z
θ=
π
+ 2πk
6
para todo
k∈Z
θ=
5π
+ 2πk
6
para todo
k∈Z
son
Ejercicios de la sección 4.6
1. Halle los valores de
a)
1
sen θ = √
2
b)
cos θ =
c)
sen θ = −
θ ∈ [0, 2π)
que satisfacen la ecuación.
θ ∈ [0, 2π)
que satisfacen la ecuación.
θ ∈ [0, 2π)
que satisfacen la ecuación.
1
2
1
2
√
3
2
d)
cos θ = −
e)
tan θ = 1
f)
√
tan θ = − 3
2. Halle los valores de
a)
sen θ = 1
b)
cos θ = −1
c)
sen θ = 0
d)
cos θ = 1
e)
tan θ = 0
3. Halle los valores de
a)
tan2 θ = 1
b)
2 sen2 θ = 1
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
4.7 Más geometría y trigonometría
c)
2 cos2 θ + cos θ − 1 = 0
d)
2 sen2 θ + 5 sen θ − 3 = 0
e)
4 sen2 θ cos θ = 3 cos θ
f)
3 tan2 θ − 1 = 0
4. Halle los valores de
θ ∈ [0, 2π)
a)
sen2 θ = cos θ + 1
b)
(sen θ + cos θ)2 = 1 − sen θ
c)
sen(2θ) = sen θ
d)
sec θ = 4 cos θ
e)
cos(2θ) = cos2 θ −
f)
sen θ = cos θ
g)
2 cos2 θ + sen θ = 1
231
que satisfacen la ecuación.
1
2
4.7 Más geometría y trigonometría
En esta sección veremos algunas fórmulas útiles para hallar áreas de triángulos y de sectores circulares,
y longitudes de lado de triángulos y de arco de sectores circulares. Algunas de estas fórmulas involucran
el uso de funciones trigonométricas.
Área y longitud de arco en un sector circular
En un círculo de radio
r,
llamamos sector circular a aquella región delimitada por dos radios y un arco
del círculo.
r A
θ
r
Si llamamos
arco y
A
θ
a
a la medida del ángulo que queda entre los dos radios (en radianes),
al área del sector, tenemos dos fórmulas.
a = rθ
y
A=
1 2
r θ.
2
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
a
a la longitud del
232
Módulo 4. Trigonometría
Para demostrar estas fórmulas es necesario calcular dos integrales, que está fuera de nuestro alcance
en precálculo. Sin embargo, podemos recordar estas fórmulas utilizando las fórmulas de perímetro y área
del círculo completo y una regla de tres.
El perímetro de un círculo de radio
r
es
2πr
(es la misma la longitud del arco cuando el ángulo es
ángulo
longitud de arco
θ
a
2π
2πr
Haciendo un producto cruzado de los elementos de la tabla y despejando
2π · a = 2πr · θ
a = rθ
obtenemos
.
dividmos ambos lados entre
Por otro lado, el área de un círculo de radio
ángulo es
a
2π ).
r
2π
es
πr2
(es la misma área del sector circular cuando el
2π ).
ángulo
área del sector
θ
A
2π
πr2
Haciendo un producto cruzado de los elementos de la tabla y despejando
2π · A = πr2 · θ
1
A = r2 θ
2
A
obtenemos
.
dividmos ambos lados entre
2π
Observación. Es muy importante que la medida del ángulo
θ
esté en radianes para utilizar estas dos
fórmulas. Observemos que en ambas tablas pusimos, para el círculo completo, un ángulo de
Si por equivocación utilizamos una medida en grados, obtendremos medidas para
grandes, que son absurdas. Recordemos que
2π ≈ 6.28
que es mucho menor que
Ejemplo 1. Halle la longitud de arco y el área de un sector circular de radio
por un ángulo de
a
y
A
2π
y no
360.
supremamente
360.
10
centímetros delimitado
36.
Solución.
Dibujemos el sector circular.
36
10
A
a
cm
Antes de reemplazar los valores en las fórmulas, debemos convertir la medida del ángulo
radianes. Esto es
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
θ = 36
a
4.7 Más geometría y trigonometría
θ = 36 ·
θ=
233
π
180
π
5
simplicamos
Para hallar la longitud de arco
a,
utilizamos la fórmula
a = rθ
con
r = 10
centímetros y
(radianes). Entonces obtenemos
θ =
π
5
a = rθ
a = 10
cm
a = 2π
cm
a ≈ 6.28
π
5
·
reemplazamos los valores
simplicamos
cm
Para hallar el área del sector circular
π
θ=
5
A,
utilizamos la fórmula
A=
1 2
r θ
2
con
r = 10
centímetros y
(radianes). Esto es
A=
1 2
r θ
2
A=
1
(10
2
A = 10π
2
cm)
·
π
5
reemplazamos los valores
2
cm
A ≈ 31.42
simplicamos
2
cm
Área de triángulos
Veamos una fórmula útil para obtener el área de un triángulo cualquiera, cuando conocemos las medidas
de dos de sus lados,
a
y
b,
y del ángulo formado por estos dos lados
θ.
b
θ
a
Si
A
representa el área del triángulo, tenemos que
A=
1
ab sen θ.
2
Esta fórmula viene de la fórmula para el área de un triángulo
A=
base · altura
.
2
Si tomamos como base del triángulo al lado de medida
a,
la altura será la medida del segmento que
une al vértice opuesto a este lado, perpendicularmente con el lado
a.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
234
Módulo 4. Trigonometría
altura
b
θ
a
En la gura anterior vemos dos triángulos rectángulos. En el triángulo de la izquierda podemos ver
que
sen θ =
altura
,
b
es decir,
altura = b · sen θ.
Tenemos entonces que
A=
base · altura
,
2
A=
a · b sen θ
2
y así, demostramos la fórmula del área
A=
1
ab sen θ.
2
Ejemplo 2. Halle el área del triángulo que se muestra en la gura.
2
cm
120
4
cm
Solución.
Usaremos la fórmula
A=
A=
1
ab sen θ
2
con
a=4
cm,
b=2
cm y
θ = 120.
Tenemos que
1
ab sen θ
2
1
(4 cm)(2 cm) sen(120)
2
√
3
2
cm
A=4·
2
√
A = 2 3 cm2
A=
A ≈ 3.46
reemplazamos
simplicamos
simplicamos
2
cm
Ley del seno y ley del coseno
Ahora estudiaremos las medidas de los tres lados y de los tres ángulos de un triángulo cualquiera (6
medidas en total). Las leyes del seno y del coseno nos sirven para hallar las medidas que no conocemos
en un triángulo, cuando hay otras medidas que lo determinan unívocamente. Un triángulo está completamente determinado si conocemos
3
de sus
6
medidas, con excepción de si conocemos la medida de los
tres ángulos. En esta parte, para referirnos a las medidas de los ángulos de un triángulo utilizaremos las
letras
A, B
letras
a, b
y
y
C,
y para referirnos a las medidas de los lados opuestos correspondientes, utilizaremos las
c.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
4.7 Más geometría y trigonometría
235
c
b
A
B
C
a
Ley del seno
La ley del seno dice que, en cualquier triángulo
sen A
sen B
sen C
=
=
a
b
c
La demostración de la ley del seno utiliza la fórmula del área del triángulo que vimos antes. El área
del triángulo es el producto de la medida de dos de sus lados por el seno del ángulo formado por esos
dos lados, dividido entre dos. Si calculamos esta área de tres maneras, utilizando un ángulo distinto cada
vez, el resultado debe ser igual porque es el área del mismo triángulo. Por lo tanto,
1
1
1
ab sen C = bc sen A = ac sen B.
2
2
2
Si multiplicamos esta triple igualdad por
2
abc
y simplicamos, obtenemos
sen C
sen A
sen B
=
=
,
c
a
b
que es justamente la ley del seno.
Ejemplo 3. Halle las
3
medidas que hacen falta en el siguiente triángulo.
b
45
A
c
12
cm
30
Solución.
Como la suma de los tres ángulos de cualquier triángulo debe ser
Para hallar
b
y
c
180, tenemos que A = 180−45−30 = 105.
utilizaremos la ley del seno. Tenemos que
sen(105)
sen(30)
=
.
12 cm
b
Despejemos
b
de la ecuación.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
236
Módulo 4. Trigonometría
sen(105)
sen(30)
=
12 cm
b
b=
sen(30)
· 12
sen(105)
b≈
0.5
· 12
0.97
b ≈ 6.21
cm
cm
cm
Finalmente, tenemos que
sen(105)
sen(45)
=
.
12 cm
c
Ahora despejemos
c.
sen(45)
sen(105)
=
12 cm
c
c=
sen(45)
· 12
sen(105)
c≈
0.71
· 12
0.97
b ≈ 8.78
cm
cm
cm
Ley del coseno
Algunas veces no es suciente la ley del seno para hallar todas las medidas de un triángulo. Por ejemplo,
si conocemos las medidas de dos lados y del ángulo entre ellos, en las tres expresiones igualadas en la
ley del seno siempre queda una incógnita y por lo tanto no podremos hallarlas. En estos casos podemos
utilizar la ley del coseno. Esta es una generalización del teorema de Pitágoras. La ley del coseno dice que,
en cualquier triángulo
c2 = a2 + b2 − 2ab cos C.
En caso de que el triángulo tenga un ángulo recto (digamos el ángulo
lado opuesto,
c,
será la hipotenusa y los otros dos lados,
a
y
b,
C ),
el coseno de
C
será
0,
el
serán los catetos. En este caso obtenemos
el mismo teorema de Pitágoras,
c2 = a2 + b2 − 2ab cos(90) = a2 + b2 .
Para demostrar la ley del coseno, dibujemos un triángulo cualquiera en el plano coordenado, de tal
forma que el vértice del ángulo
estándar. El lado
a
C
quede en el origen y que el ángulo
será el lado inicial de
C
y el lado
b
C
quede dibujado en posición
su lado terminal.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
4.7 Más geometría y trigonometría
237
y
(b cos C, b sen C)
c
b
C
a
x
Tenemos que las coordenadas del punto que está sobre el eje
coordenadas del punto que une a los lados
de
C
b.
y su distancia hasta el origen es
b
c,
y
tenemos que
x
(a, 0)
(x, y)
son
(a, 0).
Si llamamos
(x, y)
a las
es un punto sobre el lado terminal
Entonces
x
b
y
sen C =
x = b cos C
y
y = b sen C.
cos C =
y
,
b
es decir,
Así, el punto que une a los lados
b
y
c
(b cos C, b sen C).
es
Ahora calculemos la distancia entre los puntos
c=
y
(a, 0),
que es la medida del lado
p
(b cos C − a)2 + (b sen C)2
c2 = (b cos C − a)2 + (b sen C)2
2
(b cos C, b sen C)
2
2
2
elevamos ambos lados al cuadrado
2
2
c = b cos C − 2ab cos C + a + b sen C
elevamos los dos términos al cuadrado
c2 = a2 + b2 (sen2 C + cos2 C) − 2ab cos C
reorganizamos y sacamos el factor común
c2 = a2 + b2 − 2ab cos C
utilizamos la identidad pitagórica
b2
P1
De esta manera queda demostrada la ley del coseno.
4.
5
k
m
Ejemplo 4. Para hallar la medida del largo de un lago se han tomado las siguientes medidas.
45
6
km
¾Cuánto mide el lago de largo?
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
c.
238
Módulo 4. Trigonometría
Solución.
Llamemos
c
al largo del lago y utilicemos la ley del seno. Tenemos que
c2 = (6
2
2
− 2 · (6 km) · (4.5
1
= 36 km2 + 20, 25 km2 − 54 √ km2
2
km)
≈ 18.07
Por lo tanto,
c ≈ 4.25
+ (4.5
km
km)
km) cos(45)
2
km.
Ejercicios de la sección 4.7
1. Halle la longitud de arco y el área del sector circular de radio
2. Un arco que mide
30
cm está delimitado por un ángulo de
18
5
cm delimitado por un ángulo de
100.
radianes. ¾Cuánto mide el radio del
círculo?
3. El área de un sector circular de radio
20
cm es
180
2
cm . Halle el ángulo que delimita el sector.
4. Halle el área de un triángulo equilátero cuyos lados miden
9
cm.
5. Halle el área de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden
lados mide
12
cm y el ángulo entre estos dos
135.
6. Un triángulo isósceles tiene un área de
36
2
cm
y el ángulo formado por sus dos lados iguales mide
¾Cuánto miden sus dos lados iguales?
7. Halle el área de la región sombreada. Todas las medidas están en centímetros.
20
6
12
120
8. Halle las medidas que hacen falta en el siguiente triángulo.
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
2π
.
3
4.7 Más geometría y trigonometría
105
239
45
6
m
9. Un avión está volando con una altura constante. En cierto instante, el piloto mide los ángulos de
depresión con respecto a dos puntos que están sobre el suelo (el punto
de distancia entre sí. El ángulo de depresión con respecto al punto
con respecto al punto
B
mide
A
A
y el punto
mide
32
B ),
a
5
kilómetros
y el ángulo de depresión
48.
a) Halle la distancia entre el avión y el punto
A.
b) Halle la altura a la que está volando el avión.
10. Un triángulo isósceles tiene dos lados que miden
80.
4
cm y el ángulo formado por estos dos lados mide
Halle la medida del tercer lado del triángulo.
11. Halle la medida del ángulo
θ.
25
36
θ
25
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo
240
Módulo 4. Trigonometría
Z. Ljujic, A. Pérez - Notas de clase para precálculo