Уральский социально-экономический институт
Академии труда и социальных отношений
Кафедра высшей математики и информатики
Теория систем и системный анализ
Учебное пособие
Челябинск
2001
ББК 65.05
Теория систем и системный анализ: Учебное пособие / Сост. А.Н. Тырсин;
УрСЭИ АТиСО. – Челябинск, 2002. – 128 с.
В учебном пособии раскрыты основные разделы курса «Теория систем и
системный анализ». Пособие предназначено для студентов дневного отделения
специальности «Прикладная информатика в экономике».
Составитель
Тырсин А.Н., канд. техн. наук, доцент
кафедры высшей математики и информатики
УрСЭИ
Рецензенты
Кононов В.М., канд. техн. наук, доцент
кафедры высшей математики и информатики
УрСЭИ
Ухоботов В.И., д-р физ.-мат. наук,
профессор, зав. кафедрой теории управления
и оптимизации ЧелГУ
Одобрено и рекомендовано к изданию учебно-методическим советом УрСЭИ
(протокол № от __.__.02.)
Утверждено ученым советом УрСЭИ (протокол №
от __.__.02.)
© Уральский социально-экономический институт
Академии труда и социальных отношений, 2001
© Тырсин А.Н., 2001
2
Содержание
Предисловие
6
Глава 1. Предмет и задачи системного анализа
7
1.1. Системный анализ и его место среди других научных направлений
7
1.2. Области применения системного анализа в экономике
9
1.3. Базовые определения и основные модели систем
1.3.1. Первое определение системы. Система как средство достижения цели
1.3.2. Модель «черного ящика»
1.3.3. Модель состава системы
1.3.4. Модель структуры системы
1.3.5. Второе определение системы. Структурная схема системы
1.3.6. Динамические модели систем
10
10
11
13
14
15
18
1.4. Понятия, характеризующие строение и функционирование систем
19
1.5. Классификация систем
21
Глава 2. Логика и методология системного анализа
28
2.1. Логические основы системного анализа
28
2.2. Понятие о методе и методологии
32
2.3. Основные закономерности систем
33
2.4. Классификация методов и моделей системного анализа
36
Глава 3. Методы формализованного представления систем
39
3.1. Аналитические методы
39
3.2. Статистические методы
41
3.3. Теоретико-множественные представления
42
3.4. Логические методы
45
3.5. Лингвистические и семиотические представления
46
3.6. Графические представления
47
3
Глава 4. Экспертные методы системного анализа
49
4.1. Методы типа «мозговой атаки»
49
4.2. Методы типа «сценариев»
52
4.3. Методы экспертных оценок
53
4.4. Методы типа «Дельфи»
54
4.5. Методы типа «дерева целей»
55
4.6. Морфологические методы
57
4.7. Метод решающих матриц
60
4.8. Другие экспертные методы
62
Глава 5. Методики системного анализа
64
5.1. О разработке методики
64
5.2. Этапы реализации системного анализа
64
Глава 6. Методы принятия решений в сложных системах
71
6.1. Основные понятия исследования операций
71
6.2. Постановка задач принятия оптимальных решений
72
6.3. Риск и его измерение
74
6.4. Формальная структура принятия решений в условиях неопределенности
6.4.1. Матрица решений
6.4.2. Оценочная функция
75
75
76
6.5. Классические критерии принятия решений
6.5.1. Максиминный критерий Вальда
6.5.2. Критерий Байеса − Лапласа
6.5.3. Критерий минимаксного риска Сэвиджа
6.5.4. Критерий азартного игрока
6.5.5. Применение классических критериев
77
77
78
79
79
80
6.6. Производные критерии принятия решений
6.6.1. Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица
6.6.2. Критерий Ходжа-Лемана
6.6.3. Критерий Гермейера
6.6.4. BL (MM)-критерий
6.6.5. Критерий произведений
81
81
82
83
84
85
4
6.6.6. Применение производных критериев
6.7. Принятие решений в условиях риска
86
88
6.8. Стратегические игры
6.8.1. Основные понятия теории стратегических игр
6.8.2. Смешанные стратегии
6.8.3. Решение задач в смешанных стратегиях (частный случай)
6.8.4. Мажорирование (доминирование) стратегий
90
90
94
97
100
Глава 7. Информационные аспекты изучения систем
103
7.1. Сигналы в системах
7.1.1. Понятие сигнала
7.1.2. Типы сигналов
103
103
104
7.2. Случайный процесс – математическая модель сигналов
7.2.1. Непредсказуемость – основное свойство сигналов
7.2.2. Классы случайных процессов
104
104
105
7.3. Энтропия
7.3.1. Понятие неопределённости
7.3.2. Энтропия и ее свойства
7.3.3. Дифференциальная энтропия
7.3.4. Фундаментальное свойство энтропии случайного процесса
106
106
106
107
108
7.4. Количество информации
7.4.1. Количество информации как мера снятой неопределённости
7.4.2. Количество информации как мера соответствия случайных объектов
7.4.3. Свойства количества информации
7.4.4. Единицы измерения энтропии и количества информации
7.4.5. Количество информации в индивидуальных событиях
110
110
112
112
113
113
Глава 8. Примеры использования методов системного анализа в экономике
115
8.1. Выбор решений с помощью дерева решений
8.1.1. Принятие решений с применением дерева решений
8.1.2. Анализ и решение задач с помощью дерева решений
8.1.3. Ожидаемая ценность точной информации
115
115
116
121
8.2. Некоторые практические результаты применения системного анализа
122
Заключение
124
Литература
125
5
Предисловие
Учебная дисциплина «Теория систем и системный анализ» занимает важное
место в подготовке специалистов по экономике и прикладной информатике,
поскольку в условиях перехода к рыночной экономике и интеграции в мировую
систему возрастают масштабы и сложность экономических и социальных систем,
усиливается влияние внешней среды (политической, финансово-экономической,
правовой), затрудняется поиск управленческих решений. Резко возрастает объем
разнообразной информации, который для принятия оптимального решения
необходимо анализировать современному специалисту. В соответствии с
изменяющимися внешними условиями должны задаваться и системные
требования к структуре и функциям аппарата управления предприятий и
организаций, вырабатываться методы принятия управленческих решений в
сложных экономических ситуациях.
Целью изучения данной дисциплины является рассмотрение теоретических
основ и закономерностей построения и функционирования систем,
методологических принципов их анализа и синтеза, применение изученных
закономерностей для выработки системных подходов при принятии решений.
Задачами дисциплины являются приобретение студентами теоретических
знаний по системному подходу к исследованию систем и практических навыков
по их моделированию. Для освоения данного курса требуется базовая
математическая подготовка по высшей математике, теории вероятностей и
математической статистике, дискретной математике.
Содержание учебного пособия представляет собой конспект лекций
односеместрового курса, читающегося автором студентам специальности
«Прикладная информатика в экономике».
6
Глава 1. Предмет и задачи системного анализа
1.1. Системный анализ и его место среди других научных
направлений
Многообразие и возрастающий объем задач хозяйственного строительства
требует их взаимной увязки, обеспечения общей целенаправленности. Но этого
трудно достичь, если не учитывать сложной зависимости между отдельными
регионами страны, между различными отраслями промышленности, между всеми
сферами общественной жизни. Например, 40% информации специалисту
необходимо получать из смежных областей, часто весьма отдаленных. Развитие
узкоспециальных дисциплин часто стало выходить на обобщающий уровень.
Появилась потребность в специалистах «широкого профиля», обладающих
знаниями не только в своей области, но и в смежных областях и умеющих эти
знания обобщать, использовать аналогии, формировать комплексные модели.
Поэтому, наряду с аналитическими методами, эффективными при изучении
частных процессов, нужен подход, принцип, который помог бы разобраться в
логических связях между отдельными разнородными фактами. Такой принцип
получил название системного подхода.
Обобщающее научное направление, названное теорией систем, возникло в
1940-50 годы. Австрийский биолог и философ Л. фон Берталанфи, считающийся
основоположником этого направления, обобщил идеи, содержащиеся в теории
открытых систем, и выдвинул программу общей теории систем. Общая теория
систем в широком смысле (по Берталанфи) – фундаментальная наука,
охватывающая всю совокупность проблем, связанных с исследованием и
конструированием систем. Состав общей теории систем приведен на рис. 1.1.
Системные исследования – вся совокупность научных и технических
проблем, которые при всей их специфике и разнообразии сходны в понимании и
рассмотрении исследуемых ими объектов как систем, т.е. множества
взаимосвязанных элементов, выступающих в виде единого целого. Наиболее
конструктивным из прикладных направлений системных исследований в
настоящее время считается системный анализ.
Системный анализ – методология трудно наблюдаемых и трудно
понимаемых свойств и отношений в объектах с помощью представления
этих объектов в качестве целенаправленных систем и изучения свойств этих
систем и взаимоотношений между целями и средствами их реализации.
Это определение позволяет отличить методы системного анализа от других
методов исследования и относит его к определенной области научных знаний.
Почти все методы исследования исходят из четко сформулированной заранее
задачи. Системный анализ решает вопросы, как правильно ставить задачи, какие
методы исследования использовать. Главное в системном анализе – как сложное
превратить в простое, как не только трудноразрешимую, но и труднопонимаемую
проблему превратить в четкую серию задач, имеющих метод решения.
7
Системный анализ всегда конкретен. Он имеет дело с определенным
объектом, с конкретной проблемой.
Общая теория систем – фундаментальная наука, охватывающая всю совокупность проблем,
связанных с исследованием и конструированием систем
Теоретическая часть
Прикладная область
1. Теория систем управления – базируется
на принципе обратной связи и круговых
причинных целях и исследует механизмы
целенаправленного и
самоконтролируемого поведения
1. Системотехника – изучает вопросы
планирования, проектирования и поведения
сложных систем различного назначения,
составляющие которой рассматриваются во
взаимодействии, несмотря на их
разнородность. Основным методом
системотехники является системный анализ.
Центральное техническое звено комплекса –
ЭВМ, человеческое звено – оператор.
Системотехника играет важную роль в
развитии инженерной психологии, т.к. для
проектирования комплексов необходимо
учитывать характеристики человека
2. Теория информации, вводящая понятие
количества информации и развивающая
принципы передачи информации
3. Теория игр – рассматривает поведение
сторон в условиях конфликта
4. Теория принятия решений – изучает
условия выбора между альтернативными
возможностями
2. Исследование операций – изучает
прикладное направление кибернетики,
использующее математические методы для
обоснования решения во всех областях
человеческой деятельности
5. Топология, включающая теорию сетей и
теорию графов
6. Теория очередей – рассматривает
оптимизацию обслуживания при массовых
запросах
3. Инженерная психология – отрасль
психологии, исследующая процессы и
средства информационного взаимодействия
между человеком и машиной. Она возникла
в условиях научно-технической революции,
преобразовавшей психологическую
структуру производственного труда,
важнейшими составляющими которого
стали восприятие и переработка
оперативной информации, принятие
решений в условиях ограниченного времени
7. Общая теория систем в узком смысле –
стремится вывести из общего определения
системы как комплекса взаимосвязанных
элементов, понятий, относящихся к
организованным целым (взаимодействие,
сумма, финальность, централизация и т.д.),
и применяет их к анализу конкретных
явлений
Рис. 1.1. Состав общей теории систем
Термин «системный анализ» впервые появился в работах корпорации RAND
в связи с задачами внешнего управления в 1948 г., а в нашей стране – в 1969 г.
8
Образцом системного анализа (хотя в то время этот термин не был принят) можно
считать план ГОЭЛРО, разработанный для взаимоувязки программы
электрофикации с общей программой подъема производительных сил как по
стране в целом, так и по отдельным ее отраслям и регионам.
Основными
специфическими
особенностями
системного
анализа,
отличающими его от других системных направлений, являются:
- наличие средств для организации процессов целеобразования, структуризации
и анализа целей (другие системные направления ставят задачу достижения
целей, разработки вариантов пути их достижения и выбора наилучшего из этих
вариантов, а системный анализ рассматривает объекты как системы с
активными элементами, способные и стремящиеся к целеобразованию, а затем
уже и к достижению сформированных целей);
- разработка и использование методики, в которой определены этапы, подэтапы
системного анализа и методы их выполнения. Причем в методике сочетаются
как формальные методы и модели, так и методы активизации интуиции
специалистов, помогающие использовать их знания и опыт и развивать модель
исследуемого объекта или процесса.
Эти особенности обусловливают особую привлекательность системного
анализа для инженеров-экономистов.
1.2. Области применения системного анализа в экономике
Вряд ли возможно классифицировать все ситуации экономического
управления, при которых возникает потребность в системном анализе. Следует
отметить наиболее распространенные типы ситуаций управления, в которых
возможно применение системного анализа:
1) Решение новых проблем. С помощью системного анализа формулируется
проблема, определяется, что и о чем нужно знать, кто должен знать.
2) Решение проблемы предусматривает увязку целей с множеством средств их
достижения.
3) Проблема имеет разветвленные связи, вызывающие отдаленные последствия в
разных отраслях народного хозяйства, и принятие решения по ним требует
учета полной эффективности и полных затрат.
4) Решение проблем, в которых существуют различные трудно сравнимые друг с
другом варианты решения проблемы или достижения взаимосвязанного
комплекса целей.
5) Случаи, когда в народном хозяйстве создаются совершенно новые системы
или коренным образом перестраиваются старые системы.
6) Случаи,
когда
осуществляется
улучшение,
совершенствование,
реконструирование производства или экономических отношений.
7) Проблемы, связанные с автоматизацией производства, а особенно управления,
в процессе создания автоматизированных систем управления в любом звене.
9
8) Работа по совершенствованию методов и форм экономического управления,
ибо известно, что ни один из методов экономического управления не
действует сам по себе, а только в определенном сочетании, во взаимосвязи.
9) Случаи, когда совершенствование организации производства или управления
проводится на объектах уникальных, нетипичных, отличающихся большой
спецификой своей деятельности, где нельзя действовать по аналогии.
10) Случаи, если принимаемые на будущее решения, разработка плана или
программы развития должны учитывать фактор неопределенности и риска.
11) Случаи, когда планирование или выработка ответственных решений о
направлениях развития принимается на достаточно отдаленную перспективу.
12) Разработка или совершенствование системы управления, когда имеется в виду
создание системы оптимального планирования или управления, где требуется
выработка самих критериев оптимальности с учетом целей развития и
функционирования экономической системы, ее места в общественном
разделении труда и экономических взаимосвязей.
1.3. Базовые определения и основные модели систем
Центральной концепцией теории систем, системного подхода, всей
системологии является понятие системы.
В настоящее время нет единства в определении понятия «система», в
подходах к классификации систем, в трактовке основных системных
закономерностей. Определение понятия «система» изменялось не только по
форме, но и по содержанию.
1.3.1. Первое определение системы.
Система как средство достижения цели
Рассмотрим искусственную, то есть создаваемую человеком систему. Цели,
которые ставит перед собой человек, редко достижимы только за счет его
собственных возможностей или внешних средств, имеющихся у него на данный
момент. Такое стечение обстоятельств называется проблемной ситуацией.
Проблемность существующего положения осознается в несколько «стадий»:
от смутного ощущения, что «что-то не так», к осознанию потребности, затем к
выявлению проблемы и, наконец, к формулировке цели. Цель – это субъективный
образ (абстрактная модель) несуществующего, но желаемого состояния среды,
которое решило бы возникшую проблему.
Вся последующая деятельность, способствующая решению этой проблемы,
направлена на достижение поставленной цели, то есть это работа по созданию
того, что мы будем называть системой. Другими словами, система есть
средство достижения цели. Это и есть первое определение системы. Приведем
несколько упрощенных примеров систем, предназначенных для реализации
определенных целей (табл. 1.1).
10
Таблица 1.1
Цель
Система
В произвольный момент указать время
Обеспечить выпечку хлеба в заданном ассортименте для
значительного количества людей
Практически мгновенно передать зрительную информацию в
звуковом сопровождении на большие расстояния
Обеспечить быстрое перемещение большого числа людей по их
желанию в пределах города
Часы
Пекарня
Телевидение
Городской
транспорт
Первое определение (искусственной) системы («средство достижения цели»)
выдвигает на первый план целевую подчиненность всех сторон организации
системы. Однако даже на простых примерах обнаруживаются сложности:
соответствие между целями и системами не всегда однозначно (одна система
может быть связана с несколькими целями, одной цели могут отвечать разные
системы) и не всегда очевидно (выявить действительные цели существующей
системы) не просто. Тем не менее целевая предназначенность системы – ее
исходное, главное свойство.
1.3.2. Модель «черного ящика»
В определении системы, приведенном в предыдущем пункте, сделан акцент
на назначении системы, а об ее устройстве говорится лишь косвенно. Перейдем
от первого определения системы к его визуальному эквиваленту.
Во-первых, данное определение ничего не говорит о внутреннем устройстве
системы. Поэтому изобразим ее в виде непрозрачного «ящика», выделенного из
окружающей среды. Эта модель отражает два важных свойства системы –
целостность и обособленность от среды.
Во-вторых, в определении системы косвенно говорится о том, что хотя
«ящик» и обособлен, выделен из среды, но не является полностью от нее
изолированным. Иначе говоря, система связана со средой и с помощью этих
связей воздействует на среду. Изобразим эти связи в виде стрелок, направленных
от системы в среду, которые называются выходами системы.
В-третьих, в определении имеется указание на то, что система является
средством, поэтому должны существовать и возможности ее использования,
воздействия на нее. Это связи другого типа, их можно изобразить в виде стрелок,
направленных от среды в систему. Они называются входами системы.
В результате мы построили модель системы, которая получила название
черного ящика (рис.1.2).
11
Окружающая
Входы
…
Система
…
Выходы
среда
Рис. 1.2. Модель «черного ящика»
Название «черный ящик» образно подчеркивает полное отсутствие сведений
о внутреннем содержании системы. В этой модели задаются только входные и
выходные связи системы со средой. Простота данной модели – перечисление
лишь входов и выходов системы обманчива. Как только это потребуется для
конкретной
реальной
системы,
мы
сталкиваемся
с
трудностями.
Проиллюстрируем это на примере.
Пример 1.1. Опишем выходы системы «наручные часы». Учитывая, что выходы
соответствуют конкретизации цели, фиксируем в качестве выхода показание
времени в произвольный момент. Затем принимаем во внимание, что
сформулированная таким образом цель относится ко всем часам, а не только к
нашим. Чтобы различить их, вносим следующее добавление (выход): удобство
ношения часов на запястье; тогда появляется обязательность ремешка или
браслета, а с ним и еще один выход: удовлетворение требований санитарии и
гигиены, так как не любое крепление часов на руке допустимо с этой точки
зрения.
Далее, представив себе условия эксплуатации часов, можно добавить
достаточную в бытовых условиях прочность; пылевлагонепроницаемость.
Затем, расширив понятие «условия эксплуатации часов», добавим еще два
выхода: достаточную для бытовых нужд точность; легкость прочтения
показаний часов при беглом взгляде на циферблат.
Можно еще более расширить круг учитываемых требований к часам, что
позволит добавить несколько выходов: соответствие моде и понятию
красоты; соответствие цены часов покупательной способности
потребителя. Очевидно, что список желаемых, то есть включаемых в модель
выходов можно продолжить. Например, можно потребовать, чтобы имелась
возможность прочтения показаний часов в полной темноте, и реализация
этого выхода приведет к существенному изменению конструкции часов. А ведь
еще не говорилось о габаритах, весе, многих других физических, химических,
экономических и социальных аспектах использования наручных часов.
12
Рассмотренный пример свидетельствует, что построение модели «черного
ящика» не является тривиальной задачей.
Главной причиной множественности входов и выходов в модели «черного
ящика» является то, что всякая реальная система взаимодействует с объектами
окружающей среды неограниченным числом способов. Всегда существует
опасность неполноты составления перечня входов и выходов как вследствие того,
что важные из них могут быть сочтены несущественными, так и в силу
неизвестности некоторых из них на момент построения модели.
1.3.3. Модель состава системы
Очевидно, что вопросы, касающиеся внутреннего устройства системы,
невозможно решить только с помощью модели «черного ящика». Для этого
необходимы более развитые, более детальные модели.
При рассмотрении любой системы, прежде всего, обнаруживается то, что ее
целостность и обособленность, отображенные в модели «черного ящика»,
выступают как внешние свойства. Внутренность же «ящика» оказывается
неоднородной, что позволяет различать составные части самой системы. При
более детальном рассмотрении некоторые части системы могут быть в свою
очередь разбиты на составные части и т.д., те части системы, которые
рассматриваются как неделимые, будут называться элементами. Части системы,
состоящие более чем из одного элемента, называются подсистемами. В
результате получается модель состава системы, описывающая, из каких
подсистем и элементов она состоит (рис. 1.3).
система
элемент
элемент
элемент
подсистема
элемент
элемент
элемент
элемент
элемент
подподсистема
элемент
подсистема
элемент
Рис. 1.3. Модель состава системы
Рассмотрим упрощенные примеры моделей состава системы для некоторых
систем (табл. 1.2).
13
Таблица 1.2
Система
Подсистемы
Элементы
Система спутникового
телевидения
Подсистема передачи
Центральная телестудия
Антенно-передающий
центр
Среда распространения
радиоволн
Спутники-ретрансляторы
Местные телецентры
Телевизоры потребителей
Муж
Жена
Предки
Потомки
Другие родственники
Общее жилье и хозяйство
Личная собственность
членов семьи
Котельная или отвод от
центральной теплотрассы
Трубы
Калориферы
Вентили
Службы эксплуатации и
ремонта
Персонал
Канал связи
Приемная подсистема
Семья
Члены семьи
Имущество семьи
Отопительная система
жилого дома
Источники тепла
Подсистема
распределения и доставки
тепла
Подсистема эксплуатации
Модель состава системы отображает, из каких частей (подсистем и
элементов) состоит система. Главная трудность в построении модели состава
заключается в том, что разделение целостной системы на части является
относительным, условным, зависящим от целей моделирования (это относится не
только к границам между частями системы, но и к границам самой системы).
Кроме того, относительным является и определение самой малой части –
элемента.
1.3.4. Модель структуры системы
Для достижения многих практических целей достаточно модели «черного
ящика» или модели состава. Однако, очевидно, есть вопросы, решить которые с
помощью этих моделей нельзя. Например, чтобы получить велосипед,
недостаточно иметь «ящик» со всеми отдельными его деталями. Необходимо еще
правильно соединить все детали между собой, то есть установить между
элементами определенные связи – отношения. Совокупность необходимых и
достаточных для достижения цели отношений между элементами называется
структурой системы.
14
Пример 1.2. Рассмотрим систему «часы вообще». Считаем, что в состав такой
системы входят три элемента: датчик, индикатор и эталон времени. Структура
часов определяется следующими отношениями между парами элементов (табл.
1.3):
Таблица 1.3
Пара элементов
Датчик и индикатор
Эталон и датчик
Индикатор и эталон
Связь между ними
Однозначное соответствие
Приблизительное соответствие
Периодическое сравнение и устранение
расхождения
Отношения между элементами могут быть самыми разнообразными. Однако
можно попытаться их классифицировать и по возможности перечислить.
Трудность состоит в том, что мы знаем не все реально существующие отношения
и вообще неизвестно, является ли конечным их число. Говоря, что свойства
какого-то объекта можно использовать в системе, мы имеем в виду установление
некоторых отношений между данным объектом и другими частями системы, то
есть включение этих отношений в структуру системы.
Модель структуры системы отображает связи между компонентами модели
ее состава, то есть совокупность связанных между собой моделей «черного
ящика» для каждой из частей системы. Поэтому трудности построения модели
структуры те же, что и для построения модели «черного ящика».
1.3.5. Второе определение системы. Структурная схема системы
Объединяя все изложенное выше, можно сформулировать второе
определение системы: система есть совокупность взаимосвязанных
элементов, обособленная от среды и взаимодействующая с ней как целое.
Очевидно, что это определение охватывает модели «черного ящика», состава
и структуры. Все вместе они образуют еще одну модель, которую называют
структурной схемой системы. В структурной схеме системы указываются все
элементы системы, все связи между элементами внутри системы и связи
определенных элементов с окружающей средой (входы и выходы системы).
Пример 1.3. Структурная схема системы «синхронизируемые часы» приведена на
рис. 1.4. Элементы системы изображены в виде прямоугольников; связи 1−3
между элементами описаны в примере 1.2; вход 4 изображает поступление
энергии извне; вход 5 соответствует регулировке индикатора; выход 6 –
показанию часов.
15
5
4
Датчик
времени
Индикатор
6
1
2
3
Эталон
времени
Рис.1.4. Структурная схема часов
Все структурные схемы имеют нечто общее. Если абстрагироваться от
содержательной стороны структурных схем, оставив в рассматриваемой модели
только общее для каждой схемы, то в результате получим схему, в которой
обозначается только наличие элементов и связей между ними, а также (в случае
необходимости) разница между элементами и между связями. Такая схема
называется графом. Следовательно, граф состоит из обозначений элементов
произвольной природы, называемых вершинами, и обозначений связей между
ними, называемых ребрами (если направление связи не учитывается и не
обозначается) или дугами (если направление связи учитывается и обозначается).
Часто бывает необходимо отразить несимметричность некоторых связей; в таких
случаях линию, изображающую ребро, снабжают стрелкой (дуга). Если
направления связей не обозначаются, то граф называется неориентированным,
при наличии стрелок – ориентированным (полностью или частично). Данная
пара вершин может быть соединена любым количеством ребер; вершина может
быть соединена сама с собой (тогда ребро называется петлей). Если в графе
требуется отразить другие различия между элементами или связями, то либо
приписывают разным ребрам различные веса (взвешенные графы), либо
раскрашивают вершины или ребра (раскрашенные графы).
Оказалось, что для графов может быть построена содержательная теория,
имеющая многочисленные приложения. Разнообразные задачи этой теории
связаны с различными преобразованиями графов, а также с возможностью
рассмотрения различных отношений на графах: весов, рангов, цветов,
вероятностных характеристик (стохастические графы) и т.д.
Графы могут изображать любые структуры, если не накладывать
ограничений на пересекаемость ребер. Некоторые типы структур имеют
особенности, важные для практики, они выделены из других и получили
специальные названия. Так, в организационных системах часто встречаются
линейные, древовидные (иерархические) и матричные структуры; в
16
технических системах чаще встречаются сетевые структуры (рис. 1.5); особое
место в теории систем занимают структуры с обратными связями, которые
соответствуют кольцевым путям в ориентированных графах.
а)
в)
б)
г)
Рис. 1.5. Графы, соответствующие различным структурам:
а) линейная; б) древовидная; в) матричная; г) сетевая
Пример 1.4. Структурная схема ЭВМ пятого поколения, позволяющая не
умеющему программировать пользователю, может решать достаточно сложные
задачи, приведена на рис. 1.6.
База знаний
Блок достоверного вывода
Блок правдоподобного вывода
Система
поддержки
базы знаний
Решатель
Система
общения
Блок обучения
Система
объяснения
Пользователь
Рис.1.6. Структурная схема ЭВМ пятого поколения
17
Одной структурной информации, которая содержится в графах, для ряда
исследований недостаточно. В таких случаях методы теории графов становятся
вспомогательными,
а
главным
является
рассмотрение
конкретных
функциональных связей между входными, внутренними и выходными
переменными системы.
В заключение можно отметить, что структурная схема системы является
наиболее полной моделью любой системы. При этом остается актуальным вопрос
об адекватности модели, разрешаемый только на практике.
1.3.6. Динамические модели систем
Выше были построены модели, которые являются как бы «фотографиями»
системы, отображают ее в некоторый момент времени. В этом смысле их можно
назвать статическими моделями.
Системы, в которых происходят какие бы то ни было изменения, называют
динамическими, а модели, отображающие эти изменения, − динамическими
моделями систем.
Различают два типа динамики системы: ее функционирование и развитие.
Под функционированием подразумевают процессы, которые происходят в
системе (и окружающей ее среде), стабильно реализующей фиксированную цель.
Развитием называют то, что происходит с системой при изменении ее целей.
Характерной чертой развития является тот факт, что существующая структура
перестает соответствовать новой цели, и для обеспечения новой функции
приходится изменять структуру, а иногда и состав системы.
Типы динамических моделей такие же, как и рассмотренные выше
статических моделей, только их элементы имеют временный характер. В табл. 1.4
приведены описания динамических моделей.
Таблица 1.4
Типы основных моделей для динамического варианта
Модель «черного ящика»
Модель состава
Вход: начальное состояние Перечень действий, необВыход: конечное (желаемое ходимых для перевода
состояние)
начального состояния в
конечное
Модель структуры
Последовательность
действий
и
продолжительность каждого действия
Структурная схема системы
Сетевой график всего процесса
С помощью динамических моделей осуществляется отображение процессов,
происходящих в системе и в окружающей среде. Всякая реальная динамическая
система подчинена принципу причинности: отклик (выходной сигнал) не может
появиться раньше входного воздействия. Условия, при которых модель отражает
этот принцип, называются условиями физической реализуемости модели.
18
1.4. Понятия, характеризующие строение и функционирование
систем
Рассмотрим ниже понятия, с помощью которых уточняют представление о
системе и характеризуют ее строение и функционирование.
Элемент. Под элементом понимают простейшую неделимую часть системы.
Ответ на вопрос, что является такой частью, может быть неоднозначным и
зависит от цели рассмотрения объекта как системы, от точки зрения на него или
от аспекта его изучения. Таким образом, элемент – это предел членения системы
с точки зрения решения конкретной задачи или поставленной цели.
Поскольку элемент выступает как своеобразный предел возможного
членения объекта, собственное его строение (или состав) обычно не принимается
во внимание в характеристике системы: составляющие элементы уже не
рассматриваются как компоненты данной системы.
Подсистема. Система может быть разделена на элементы не сразу, а
последовательным расчленением на подсистемы, которые представляют собой
компоненты более крупные, чем элементы, и в тоже время более детальные, чем
система в целом. Возможность деления системы на подсистемы связана с
вычленением совокупностей взаимосвязанных элементов, способных выполнять
относительно независимые функции, подцели, направленные на достижение
общей цели системы. Названием подсистема подчеркивается, что такая часть
должна обладать свойствами системы, в частности свойством целостности. Этим
подсистема отличается от простой группы элементов, для которой не
сформулирована подцель и не выполняются свойства целостности (для такой
группы используется название компоненты).
Структура. Если для решения задачи оказывается достаточным определить
элементы и связи, которых относительно немного, то других понятий,
характеризующих строение и функционирование систем, не требуется. Однако,
как правило, элементов оказывается очень много, они неоднородны и возникает
необходимость многоступенчатого расчленения системы. В этом случае вводится
понятие структуры. Структура (от латинского слова «structure», означающего
строение, расположение, порядок) отражает наиболее существенные
взаимоотношения между элементами и их группами (компонентами,
подсистемами), которые мало меняются при изменениях в системе и
обеспечивают существование системы и ее основных свойств.
Структура может быть представлена:
- в виде графического отображения;
- в виде теоретико-множественных описаний;
- в виде матриц;
- в виде графов;
- с помощью языков моделирования структур.
19
Структуру часто стремятся представить в виде иерархии. Термин иерархия
(«многоступенчатость», служебная лестница») определяет упорядоченность
компонентов по степени важности. Между уровнями иерархической структуры
могут существовать взаимоотношения строгого подчинения компонентов (узлов)
нижестоящего уровня одному из компонентов вышестоящего уровня, то есть
отношения так называемого древовидного порядка. Такие иерархии называют
сильными или иерархиями типа «дерева». Они имеют ряд особенностей,
делающих их удобным средством представления систем управления. Однако
между уровнями иерархической структуры не обязательно должны существовать
взаимоотношения строгого древовидного порядка. Один и тот же узел
нижестоящего уровня иерархии может быть одновременно подчинен нескольким
узлам вышестоящего уровня. Такие структуры называют иерархическими
структурами со слабыми связями. Между уровнями иерархической структуры
могут существовать и более сложные взаимоотношения.
Одна и та же система может быть представлена разными структурами в
зависимости от этапа отображения объекта или процесса в виде системы, от
аспекта представления системы, цели ее создания.
Связь. Понятие связь входит в любое определение системы наряду с
понятием элемент и обеспечивает возникновение и сохранение структуры и
целостных свойств системы. Данное понятие одновременно характеризует и
строение, и функционирование системы.
Связь можно охарактеризовать направлением, силой, характером (видом).
По первым двум признакам связи делятся на направленные и ненаправленные,
слабые и сильные, а по характеру – на связи подчинения, связи порождения,
равноправные, связи управления, связи развития, связи функционирования. Связи
можно разделить также по месту приложения (внешние и внутренние), по
направленности процессов в системе в целом или в отдельных ее подсистемах
(прямые и обратные) и по некоторым более частным признакам. Связи в
конкретных системах могут одновременно характеризоваться несколькими из
перечисленных признаков.
Очень важную роль в системах (как в технических, так и в организационных)
играет понятие обратной связи. Обратная связь является основой
саморегулирования и развития систем, приспособления их к меняющимся
условиям существования.
Состояние. Понятие состояние характеризует мгновенную фотографию,
«срез» системы, остановку в ее развитии. Его определяют либо через входные
воздействия и выходные сигналы (результаты), либо макропараметры,
макросвойства системы.
Поведение. Если система способна переходить из одного состояния в другое
(например, s1 → s2 → s3), то говорят, что она обладает поведением. Этим
понятием пользуются, когда неизвестны закономерности переходов из одного
20
состояния в другое. Тогда говорят, что система обладает каким-то поведением, и
выясняют его закономерности. Поведение можно представить как функцию
st = f ( st −1 , y t , xt ),
где y, x – соответственно управляющие и возмущающие (неконтролируемые)
входы системы.
Равновесие. Понятие равновесия определяют как способность системы в
отсутствие внешних возмущающих воздействий (или при постоянных
воздействиях) сохранить свое состояние сколь угодно долго.
Устойчивость. Способность системы возвращаться в состояние равновесия
после того как она была из этого состояния выведена под влиянием внешних
возмущающих воздействий, называют устойчивостью.
Равновесие и устойчивость в экономических и организационных системах –
гораздо более сложные понятия, чем в технике, и до недавнего времени ими
пользовались только для некоторого предварительного представления о системе.
В последнее время появились попытки формализованного отображения этих
процессов и в сложных организационных системах, помогающие выявить
параметры, влияющие на их протекание и взаимосвязь.
Развитие. Исследованию процесса развития, соотношения процессов
развития и устойчивости, изучению механизмов, лежащих в их основе, в теории
систем уделяют большое внимание. Понятие развитие помогает объяснить
сложные процессы в природе и обществе.
Цель. Применение понятия цель и связанных с ним понятий
целенаправленности, целеустремленности, целесообразности сдерживается
трудностью их однозначного толкования в конкретных условиях. Это связано с
тем, что процесс целеобразования и соответствующий ему процесс обоснования
целей в организационных системах весьма сложен. В практических случаях в
зависимости от сложности исследуемых объектов и проблем цель может
представляться по-разному.
1.5. Классификация систем
Классификацией называется распределение некоторой совокупности
объектов на классы по наиболее существенным признакам. Требования к
построению классификации следующие:
- в одной и той же классификации необходимо применять одно и то же
основание;
- объем элементов классифицируемой совокупности должен равняться объему
элементов всех образованных классов;
- члены классификации (образованные классы) должны взаимно исключать друг
друга, то есть должны быть непересекающимися;
21
- подразделение на классы (для многоступенчатых классификаций) должно быть
непрерывным, то есть при переходах с одного уровня иерархии на другой
необходимо следующим классом для исследования брать ближайший по
иерархической структуре системы.
В соответствии с этими требованиями классификация систем
предусматривает деление их на два вида – абстрактные и материальные (рис. 1.7).
Системы
Абстрактные
Материальные
Описательные
(логические)
Символические
(математические)
Естественные
Искусственные
Дедуктивные
Статические
математические
системы
Астрокосмические
Организационно
-экономические
Индуктивные
Планетарные
Динамические
математические
системы
Физические
Квазистатические
(квазидинамические) системы
Химические
Технические
Простые
Сложные
Большие
Рис. 1.7. Классификация систем
Материальные системы являются объектами реального времени. Среди
всего многообразия материальных систем существуют естественные и
искусственные системы.
Естественные системы представляют собой совокупность объектов
природы, а искусственные системы – совокупность социально-экономических
или технических объектов.
Естественные системы, в свою очередь, подразделяются на астрокосмические
и планетарные, физические и химические.
Искусственные системы могут быть классифицированы по нескольким
признакам, главным из которых является роль человека в системе. По этому
22
признаку можно выделить два класса систем: технические и организационноэкономические системы.
В основе функционирования технических систем лежат процессы,
совершаемые машинами, а в основе функционирования организационноэкономических систем – процессы, совершаемые человеко-машинными
комплексами.
Абстрактные системы – это умозрительное представление образов или
моделей материальных систем, которые подразделяются на описательные
(логические) и символические (математические).
Логические системы есть результат дедуктивного или индуктивного
представления материальных систем. Их можно рассматривать как системы
понятий и определений (совокупность представлений) о структуре, об основных
закономерностях состояний и о динамике материальных систем.
Символические системы представляют собой формализацию логических
систем, они подразделяются на три класса:
- статические математические системы или модели, которые можно
рассматривать как описание средствами математического аппарата состояния
материальных систем (уравнения состояния);
- динамические математические системы или модели, которые можно
рассматривать как математическую формализацию процессов материальных
(или абстрактных) систем;
- квазистатические
(квазидинамические)
системы,
находящиеся
в
неустойчивом положении между статикой и динамикой, которые при одних
взаимодействиях ведут себя как статические, а при других – как динамические.
Однако в литературе существуют и другие классификации систем.
Ю.И.Черняк дает следующее подразделение систем, нашедшее широкое
распространение в практике системного анализа.
Большие системы. Большие системы – это системы, не наблюдаемые
единовременно с позиции одного наблюдателя либо во времени, либо в
пространстве. Схема построения большой системы представлена на рис. 1.8.
Для того чтобы получить необходимые знания о большом объекте,
наблюдатель последовательно рассматривает его по частям, строя его
подсистемы. Далее он перемещается на более высокую ступень, на следующий
уровень иерархии и, рассматривая подсистемы уже в качестве объектов, строит
для них единую систему. Если совокупность подсистем оказывается снова
слишком большой, чтобы можно было построить из них общую систему, то
процедура повторяется, и наблюдатель переходит на следующий уровень
иерархии и т.д.
Каждая из подсистем одного уровня описывается одним и тем же языком, а
при переходе на следующий уровень наблюдатель использует уже метаязык,
представляющий собой расширение языка первого уровня за счет средств
описания свойств самого этого языка.
23
N
Метанаблюдатель
Sб
Большая система
n1
n2
n3
n4
Наблюдатели
S1
S2
S3
S4
Подсистемы
Объект
Рис. 1.8. Построение большой системы
Если исследователь идет от наблюдения реального объекта, то большая
система создается путем композиции – составления ее из малых подсистем,
описываемых одним языком.
Операция, противоположная композиции, есть декомпозиция большой
системы, то есть разбиение ее на подсистемы. Она осуществляется для того,
чтобы извлечь новую ценную информацию из знания системы в целом, которая
не может быть получена другим путем. Важным понятийным инструментом
системного анализа является иерархия подсистем в большой системе. В иерархии
экономических систем можно, например, выделить уровни: народное хозяйство,
отрасль, подотрасль, предприятие, цех, бригада. Рассмотрение систем в иерархии
дает возможность выявить новые их свойства.
Величина большой системы может быть измерена по разным критериям: по
числу подсистем; по числу ступеней иерархии подсистем.
Сложные системы. Сложные системы – это системы, которые нельзя
скомпоновать из некоторых подсистем. Это равноценно тому, что:
- наблюдатель последовательно меняет свою позицию по отношению к объекту
и наблюдает его с разных сторон;
- разные наблюдатели исследуют объект с разных сторон.
24
Пример 1.5. Решается задача выбора конкретного материала для промышленного
изготовления ветрового стекла автомобиля. Задачу нельзя решить без того, чтобы
не рассмотреть этот объект в самых разных аспектах и на разных языках:
прозрачность и коэффициент преломления – язык оптики; прочность и упругость
– язык физики; наличие станков и инструментов для изготовления – язык
технологии; стоимость и рентабельность – язык экономики и т.д.
Каждый из наблюдателей отбирает подмножество прозрачных материалов,
удовлетворяющих его требованиям и критериям. В области пересечения
подмножеств, отобранных всеми наблюдателями, метанаблюдатель отбирает
единственный материал, работая в метаязыке, объединяющем понятия всех
языков низшего уровня и описывающем их свойства и отношения.
Принципиальная трудность решения задачи состоит в том, что
подмножества, отобранные наблюдателями первого уровня, могут вообще не
пересекаться. В таком случае метанаблюдателю придется потребовать снизить
некоторым из наблюдателей свои требования и расширить подмножества
потенциальных решений. В другом случае область пересечения может оказаться
слишком большой, так что метанаблюдатель будет испытывать затруднения в
выборе конкретного элемента. В первом случае встает вопрос: кому из
наблюдателей первого уровня приказать снизить свои требования (оптику,
физику, технологу, экономисту). Во втором случае – чьими требованиями и в
какой степени руководствоваться в отборе конечного решения? Очевидно, что
здесь не может существовать никаких строгих объективных правил отбора, а
приходится прибегать к чисто человеческим процедурам социологического типа –
опросу общественного мнения, выявлению мнений авторитетных экспертов в
различных областях и приданию им количественных оценок. Подобные
процедуры получения субъективных оценок представляют собой композицию
сложной системы из комплекса моделей.
Противоположным случаем является декомпозиция сложной системы, когда
критерий системы известен, но решение задачи достигается в результате решения
каждой из подсистем своей собственной задачи в собственном языке. В этом
случае приходится осуществлять декомпозицию критерия системы в критерии
составляющих ее подсистем с одновременным переводом его в различные языки
подсистем.
С измерением сложности систем дело обстоит так же, как и с измерением их
величины. Системы можно соизмерять по степени сложности, используя разные
аспекты самого этого понятия: путем соизмерения числа моделей сложной
системы; путем сопоставления числа языков, используемых в системе; путем
соизмерения числа объединений и дополнений метаязыка.
Понятие сложности является одним из основополагающих в системном
анализе. Системный анализ есть стратегия исследования, которая принимает
сложность как существенное, неотъемлемое свойство объектов и показывает, как
можно извлечь ценную информацию, подходя к ней с позиции сложных систем.
По мнению американского исследователя Рассела Аккофа, простота не задается в
25
начале исследования, но если ее вообще можно найти, то она находится в
результате исследования.
Процесс построения сложной системы показан на рис. 1.9.
Метанаблюдатель
N
Сложная система
Наблюдатели
n1, n2, n3
Sс
n3
n2
S3
S2
Простые системы
S1, S2, S3
n1
S1
Объект
Рис.1.9. Построение сложной системы
Итак, сложная система – это система, построенная для решения
многоцелевой задачи; система, отражающая разные несравнимые аспекты
характеристики объекта; система, для описания которой необходимо
использование нескольких языков; система, включающая взаимосвязанный
комплекс разных моделей.
Очевидно, что большие и сложные системы – это фактически два способа
разложения задачи на ее составляющие или, соответственно, построения
различным способом модели системы. Этот способ получил такое широкое
распространение, что понятия «цель» и «критерий» в некоторых областях
техники и исследования операций стали считать синонимами.
26
Также выше на примере больших и сложных систем были рассмотрены
процедуры системного анализа – композиция и декомпозиция.
Динамические системы. Динамические системы – это постоянно
изменяющиеся системы. Всякое изменение, происходящее в динамической
системе, называется процессом. Его иногда определяют как преобразование
входа в выход системы.
Если у системы может быть только одно поведение, то ее называют
детерминированной системой.
Вероятностная система – система, поведение которой может быть
предсказано с определенной степенью вероятности на основе изучения ее
прошлого поведения.
Управляющие системы – это системы, с помощью которых исследуются
процессы управления в технических, биологических и социальных системах.
Центральным понятием здесь является информация – средство воздействия на
систему. Управляющая система позволяет предельно упростить трудно
понимаемые процессы управления в целях решения задач исследования
проектирования.
Целенаправленные системы. Целенаправленные системы – это системы,
обладающие целенаправленностью, то есть управлением системы и приведением
к определенному поведению или состоянию, компенсируя внешние возмущения.
Достижение цели в большинстве случаев имеет вероятностный характер.
27
Глава 2. Логика и методология системного анализа
В настоящее время все более утверждается концепция, что получение
значительного результата исследования во многом определяется подходом к
постановке проблемы и определению общих путей решения. Это приводит к
своеобразной переоценке ценностей. Если совсем еще недавно познание
измерялось почти исключительно по совокупности его конечных результатов, то
сейчас все большее значение начинает приобретать научная обоснованность
начальных этапов исследования, определяемых во многом применяемыми
методами. Такое изменение объясняется огромной технической оснащенностью
современного познания, при которой решение точно поставленной задачи (сколь
бы сложной она ни была) обычно не создает больших трудностей.
Таким образом, построение логики и методологии науки, в частности,
системного анализа, является в настоящее время первоочередной задачей.
2.1. Логические основы системного анализа
Логика (греч. logos – речь, мысль, разум) – наука о законах, формах и
приемах правильного построения мышления, направленного на познание
объективного мира. Основные задачи логики – выявление условий достижения
истинных знаний, изучение внутренней структуры мыслительного процесса,
выработка логического аппарата и правильного метода познания. Логическая
форма обусловлена наиболее общими, чаще всего встречающимися свойствами,
простейшими связями и отношениями реального мира. Поэтому она закономерно
выражает устойчивые черты всякого правильного мышления.
Различают следующие виды мышления:
- наглядно-действенное – первая ступень мышления; характеризуется тем, что
решение задачи осуществляется с помощью реального, физического
преобразования ситуации, опробования свойств объекта;
- словесно-логическое – характеризуется использованием понятий, логических
конструкций;
- наглядно-образное – воссоздает все многообразие реальных характеристик
предмета.
Выделяют следующие типы мышления:
- теоретическое – направлено на открытие законов, свойств объекта;
- практическое – связано с постановкой целей, выработкой планов и проектов;
- логическое (аналитическое) – связано с анализом действий;
- интуитивное – характеризуется быстротой протекания, отсутствием четко
выраженных этапов, минимальной осознанностью.
Различные виды и типы мышления, междисциплинарность, универсальность
исследований мышления требует выделения в системном анализе его логических
основ. Основная задача логики системного анализа – открытие путей движения к
достижению новых системных результатов, а не экономических, технических или
каких-либо других.
28
Важнейшей категорией логики является проблема. В общем случае под
проблемой понимают несоответствие между желаемым и фактическим
положением дел. Никакие усилия не приведут к успеху, правильному решению,
если направление поиска выбрано ошибочно. Использование системного анализа
может помочь устранить это узкое место, поскольку одним из основных его
назначений является правильная и четкая постановка проблемы. Правильная
формулировка проблемы – залог повышения эффективности общественного и
частного производства.
Выделяют три класса проблем:
- хорошо структурированные (количественно сформированные);
- слабо структурированные (смешанные), содержащие количественные и
качественные оценки;
- неструктурированные (качественные).
Для решения проблем первого класса успешно применяется математический
аппарат исследования операций. При решении проблем второго класса нужны
системные методы. Для решения проблем третьего класса применяются
эвристические методы. Следовательно, системный анализ применяется для того,
чтобы сначала слабо структурированную проблему превратить в хорошо
структурированную, к решению которой затем можно применить аппарат
исследования операций и теорию оптимизации.
Каковы же пути правильной постановки проблем? Их много. Рассмотрим
один из них, который можно считать научно обоснованным.
Сначала получают ответ на вопрос, существует ли проблема? Далее, следует
ее точная формулировка и анализ ее структуры. Затем рассматриваются развития
проблемы (в прошлом и будущем), внешние связи данной проблемы с другими
проблемами и ставится вопрос о принципиальной разрешимости проблемы.
Рассмотрим некоторые аспекты этого метода.
Известно, что любая задача по совершенствованию деятельности в любой
области включает решение ряда вопросов.
Во-первых, надо четко установить границы совершенствуемой области, что
исключает тенденцию «объять необъятное».
Во-вторых, следует сформулировать условия, которые характеризуют
необходимое или желаемое положение дел в этой области. Необходимым его
называют тогда, когда оно объективно обусловлено, а желаемым – при
субъективном подходе.
В-третьих, нужно определить фактическое положение дел в анализируемой
области и на этой основе выявить недостатки, то есть несоответствие между
необходимым (желаемым) и фактическим положением дел.
В-четвертых, следует оценить последствия, к которым приводят выявленные
недостатки, если их не устранить, или иначе – оценить актуальность выявленных
проблем. И если проблемы актуальны, считаем, что они требуют решения.
Чтобы построить такое решение, надо проанализировать причины,
порождающие выявленные недостатки, а также определить средства устранения
этих причин и затем установить пути реализации выбранных средств.
29
Научной проблемой считают такую проблему, решение которой не
содержится в накопленном обществом знании.
Можно выделить три уровня постановки проблем.
Первый уровень – состоит в том, что после определения основного вопроса
о дальнейшем развертывании проблемы мало заботятся. Это низшая интуитивная
форма постановки проблемы.
Второй уровень – постановка проблемы в соответствии с описанными
правилами, но без полного осознания их смысла и необходимости соблюдения.
При этом не обязательно, чтобы все операции были полностью реализованы
одним специалистом. Главное, чтобы каждая из них была так или иначе
представлена в какой-нибудь из действительных проблем науки. Это и явилось
основанием для составления процедурного поиска.
Третий уровень – сознательное использование всех процедур и входящих в
него операций.
Важным для организации науки является вопрос о мнимых проблемах. Ими
считают проблемно-подобные структуры, не являющиеся проблемами, которые
либо ошибочно принимаются за проблемы, либо выдаются за таковые. В
зависимости от характера возникновения все мнимые проблемы делят на два
класса.
1. Экстранаучные мнимые проблемы, причины которых находятся вне
науки. В основе их возникновения – мировоззренческие, методологические,
идеологические и прочие заблуждения.
2. Интранаучные проблемы, причины которых лежат в самом познании, в
его достижениях и трудностях. К ним относятся:
- «уже не проблемы», то есть решенные, но ошибочно принимаемые за
нерешенные;
- «еще не проблемы», которые возникают как следствие отрыва нашего
мышления от реальных возможностей настолько, что ни в настоящее время, ни
в обозримом будущем нет возможности решить данные проблемы;
- «никогда не проблемы», то есть такие проблемно-подобные структуры, для
которых вообще не существует решения (например, создание вечного
двигателя), постановка которых противоречит фундаментальным принципам
науки.
Одной из причин появления ложных проблем является отсутствие у
исследователя, специалиста системного мышления.
Можно отметить следующие способы обращения с проблемой:
- не решать проблему, игнорировать ее;
- решать частично, сделать что-нибудь с приемлемым результатом;
- решать проблему полностью и получить наилучший результат;
- устранить, растворить проблему, переделать либо саму систему, либо ее
окружение.
Вторая важнейшая категория логики – гипотеза. Это важнейшая форма
развития научного мышления, научного знания. Выдвижение научных гипотез –
это всегда определенный скачок в развитии научного мышления. Имеются
следующие пути формирования гипотез:
30
- формулирование проблемности, противоречивости прежней теории, что уже
носит характер гипотезы;
- формулирование нового идеального объекта теории;
- предположение о существовании каких-то предметов или их свойств, которые
могут стать объектом практической деятельности.
Третья категория логики – теория. Теория – совокупность знаний,
образующих систему на основе некоторых общих положений, то есть это система
знаний, пронизанная общими положениями, идеями. Различают теории разного
уровня. Самым высоким уровнем является дедуктивная теория. В дедуктивной
теории различают две части: основания и следствия.
Основания теории включают:
- группу понятий;
- основные положения;
- эмпирический базис – научные факты, входящие в теорию опосредованно.
Основные положения дедуктивной теории (постулаты) – это высказывания,
которые логически не выводятся из других знаний в рамках этой же теории, а
являются обобщением опыта и проверяются опытами (прямыми или
косвенными). Они не должны противоречить друг другу и не следовать один из
другого. Форма основных положений может быть различной, они могут быть
выражены в форме:
- принципов;
- модельных гипотез;
- математических гипотез (аксиом).
К
теории
в
целом
предъявляются
требования
логической
непротиворечивости: в каждой части она должна удовлетворять своим исходным
посылкам.
Для того чтобы какая-то система знаний стала научной теорией, она должна
пройти многоплановую проверку на практике. Любая теория верна в
определенной области, то есть имеет границы применимости.
Новые теории возникают тогда, когда в науке есть целый ряд
экспериментальных фактов, для объяснения которых старые представления не
годятся.
В отличие от дедуктивных теорий в описательных теориях (например,
эволюционная теория Дарвина) законы формулируются не в начале теории, а по
мере развертывания материала. Эти законы, как и вся теория, формулируются в
основном в словах обыденного языка с привлечением по мере необходимости
специальной терминологии из той или иной области знаний.
Схема содержания знаний о теории следующая:
1) определение теории как системы знаний, пронизанной совокупностью общих
идей;
2) состав и структура оформленной дедуктивной теории;
3) характеристика основных положений теории, требования, предъявляемые к
постулатам и ко всей теории в целом;
4) пути проверки теории;
5) границы применимости теории;
31
6) условия возникновения теорий;
7) отличия дедуктивных теорий от описательных.
Итак, под научной теорией понимается особая форма организации знаний,
включающая три элемента: научные понятия, основные положения и следствия.
Органичным свойством теории является системность входящих в нее знаний.
Как же сформировать системные знания? Для этого должны быть
сформированы:
- знания о теории, ее составе и структуре;
- представления о природе получения этих знаний;
- представления о том, какие знания входят в теории непосредственно, а какие
опосредованно;
- представления о роли научных фактов для теории.
2.2. Понятие о методе и методологии
Метод – это путь познания, опирающийся на некоторую совокупность ранее
полученных общих знаний.
Поскольку метод связан с предварительными знаниями, методология
делится на две части: учение об исходных основах (принципах) познания и
учение о способах и приемах исследования, опирающихся на эти основы.
В учении об исходных основах познания анализируются и оцениваются те
философские представления и взгляды, на которые исследователь опирается в
процессе познания. Следовательно, эта часть методологии непосредственно
связана с философией, с мировоззрением.
В учении о способах и приемах исследования рассматриваются общие
стороны частных методов познания, составляющих общую методику
исследования.
Методология научного познания изучает методы научного исследования. К
ним относятся:
- исходные основы и принципы научного исследования;
- приемы и способы эмпирического и теоретического исследования в науке,
опирающиеся на эти принципы.
Исходя из вышесказанного, под методологией системного исследования
понимают совокупность системных методов и средств, направленных на решение
сложных и комплексных проблем.
Главные особенности научного познания в современных условиях состоят в
следующем:
1. В наши дни становится все более ясным, что исходные основы (принципы)
научного познания по своей объективной сущности являются диалектикоматериалистическими.
2. Наука так глубоко проникла во все отрасли народного хозяйства, что его
планирование, в свою очередь, требует единого планирования научных
исследований.
32
3. Значение и масштабы научных исследований настолько возросли, что в
ряде областей необходимо не только внутригосударственное, но и
международное планирование.
4. Объем научных знаний так возрос, что возникла потребность его особой
систематизации. Систематизация – это объединение предметов или знаний о
них путем установления существенных связей между ними, порядка между
частями целого на основе определенных закономерностей, принципов или
правил.
В условиях быстрого роста объема научных знаний особое значение
приобретает разработка методов получения и приобретения новых научных
знаний и способов быстрого овладения ими. Знания можно синтезировать лишь
на основе каких-либо общих представлений о мире. Создание научного синтеза –
важнейшая проблема. Ее решение позволит построить современную теорию
научного знания, разработать более эффективные методы получения новых
знаний и методы их быстрого освоения.
Значение методологии научного познания состоит в том, что она позволяет:
- выяснить подлинную философскую основу научного познания;
- систематизировать весь объем научных знаний, что даст возможность
эффективнее использовать все имеющиеся знания;
- создать условия для разработки новой, еще более эффективной методики для
дальнейших исследований во всех областях знаний.
Главная задача методологии научного познания в данный период – создание
современного синтеза всех накопленных научных знаний.
Выделяют три вида методологии:
- методология как наука о всеобщем методе исследования;
- методология как наука об общенаучных методах исследования;
- методология как наука о частных, специальных методах познания.
2.3. Основные закономерности систем
В понятийном аппарате теории систем находят воплощение выработанные
практикой и обобщенные наукой общие правила мышления и человеческой
деятельности, которые составляют закономерности систем.
О закономерностях (свойствах) систем можно говорить в разных смыслах.
Исследование и представление закономерностей существенно зависит от
выбранного метода отображения и анализа системы.
Целостность. Закономерность целостности проявляется в системе в
возникновении новых обобщающих качеств, не свойственных образующим ее
элементам. Двумя сторонами целостности являются:
- свойства системы (целого) QS не являются суммой свойств элементов (частей)
n
qi : QS ≠ ∑ qi ;
i =1
33
- свойства системы (целого) зависят от свойств элементов (частей):
QS = f (q1 ,K , q n ) .
Существенным проявлением целостности являются новые взаимоотношения
системы как целого со средой, отличные от взаимодействия с ней отдельных
элементов. Иными словами, объединенные в систему элементы могут терять ряд
свойств, присущих им вне системы, то есть система как бы подавляет некоторые
свойства своих элементов.
Например, система производства в рабочее время подавляет у своих
работников вокальные, хореографические и некоторые другие способности и
использует только те свойства, которые нужны для осуществления процесса
производства.
Закономерностью, двойственной по отношению к целостности, является
физическая аддитивность (или делимость) – рассмотрение целостного объекта
как состоящего из частей. Свойство физической аддитивности проявляется у
системы, как бы распавшейся на независимые элементы. Тогда становится
n
справедливым соотношение QS = ∑ qi . В этом крайнем случае говорить о
i =1
системе как таковой нельзя. Строго говоря, любая система находится всегда
между крайними состояниями абсолютной целостности и абсолютной
аддитивности, и состояние системы (ее «срез») можно охарактеризовать степенью
проявления этих свойств или тенденций.
Изолированность. Совокупность объектов, образующих систему, и связи
между ними можно ограничить от их окружения и рассматривать изолированно.
Коммуникативность. Изолированность системы является относительной.
Закономерность коммуникативности проявляется в том, что система не
изолирована от других систем, а связана множеством коммуникаций со средой,
представляющей собой сложное и неоднородное образование, содержащее
подсистему (одного уровня с рассматриваемой), задающую требования и
ограничения исследуемой системе. Таким образом, коммуникативность
характеризует взаимосвязанность системы со средой.
Идентифицируемость. Каждая составная часть системы (элемент) может
быть отделена от других составляющих, то есть идентифицирована.
Множественность. Каждый элемент системы обладает собственным
поведением и состоянием, отличным от поведения и состояния других элементов
и системы в целом.
Наблюдаемость. Все без исключения входы и выходы системы либо
контролируемы наблюдателем, либо наблюдаемы.
34
Неопределенность. Наблюдатель не может одновременно фиксировать все
свойства и отношения элементов системы и именно с целью их выявления
осуществляет исследование.
Отображаемость. Язык наблюдателя имеет достаточно общих элементов с
естественным языком исследуемого объекта, чтобы отобразить все те свойства и
отношения, которые нужны для решения задачи.
Нетождественность отображения. Знаковая система наблюдателя отлична
от знаковой системы проявления свойств объектов и их отношений, система
строится с помощью перекодирования в новую знаковую систему; неизбежная
при этом потеря информации определяет нетождественность системы
исследуемому объекту.
Иерархичность заключается в том, что более высокий иерархический
уровень оказывает направляющее воздействие на нижележащий уровень,
подчиненный ему. Это воздействие проявляется в приобретении подчиненными
членами иерархии новых свойств, отсутствовавших у них в изолированном
состоянии. В результате формируется новая целостность, то есть возникшее новое
целое приобретает способность осуществлять новые функции, в чем и состоит
цель образования иерархии.
Эквифинальность (потенциальная эффективность) характеризует
предельные возможности систем. Применительно к открытой системе – это ее
способность (в отличие от состояний равновесия в закрытых системах, полностью
детерминированных начальными условиями) достигать не зависящего от времени
состояния, которое не зависит от ее исходных условий и определяется
исключительно параметрами системы.
Закон «необходимого разнообразия». Данная закономерность заключается
в следующем. Создавая систему, способную справиться с решением проблемы,
обладающей определенным известным разнообразием, нужно обеспечить, чтобы
система имела еще большее разнообразие, чем разнообразие решаемой проблемы,
или была бы способна создать в себе это разнообразие.
Применительно к системам управления закон «необходимого разнообразия»
может быть сформулирован так: разнообразие управляющей системы должно
быть больше (или, по крайней мере, равно) разнообразия управляемого процесса
или объекта.
Историчность. Любая система не может быть неизменной, она не только
функционирует, но и развивается. Можно привести примеры становления,
расцвета, упадка (старения) биологических, социальных и технических систем.
Таким образом, время является непременной характеристикой системы, и каждая
система исторична.
35
Закономерность самоорганизации. Во всех явлениях, в том числе и в
развивающихся системах имеет место дуализм. С одной стороны, справедлив
второй закон термодинамики, то есть стремление к возрастанию энтропии, к
распаду, дифференциации, а с другой стороны, наблюдаются негэнтропийные
тенденции, лежащие в основе эволюции, развития. При моделировании
негэнтропийных тенденций введен термин повышения организованности,
порядка,
а
закономерность
негэнтропийных
тенденций
названа
закономерностью самоорганизации.
2.4. Классификация методов и моделей системного анализа
Принципиальной особенностью системного анализа является использование
методов двух типов – формальных и качественных. Для того чтобы облегчить
выбор методов в реальных условиях принятия решения, необходимо разделить
методы на группы, охарактеризовать особенности этих групп и дать
рекомендации по их использованию при разработке моделей и методик
системного анализа.
Постановка любой задачи заключается в том, чтобы перевести ее вербальное
(словесное) описание в формальное. Для простых задач такой переход
осуществляется в сознании человека, который не всегда даже может объяснить,
как он это сделал. Если полученная формальная модель опирается на
фундаментальный закон или подтверждается экспериментально, то этим
доказывается ее адекватность отображаемой ситуации, и модель рекомендуется
для решения задач соответствующего класса.
По мере усложнения задач получение модели и доказательство ее
адекватности затрудняется. Вначале эксперимент становится дорогим (например,
при создании сложных производственных комплексов и т.п.), а применительно к
экономическим объектам практически нереализуемым. Задача переходит в класс
проблем принятия решений, и формирование модели, то есть перевод
вербального описания в формальное, становится важной составной частью
процесса принятия решения. Иными словами, перевод вербального описания в
формальное, осмысление, интерпретация модели и получаемых результатов
становятся неотъемлемой частью практически каждого этапа моделирования
сложной развивающийся системы. Возникающие вопросы, как формировать
такие развивающиеся модели или механизмы, как доказывать их адекватность,
являются основным предметом системного анализа.
Для решения проблемы перевода вербального описания в формальное в
различных областях знаний стали развиваться специальные приемы и методы.
Все эти методы делятся на два класса:
- методы формализованного представления систем;
- методы, направленные на активизацию использования интуиции и опыта
специалистов, называемые экспертными методами системного анализа.
Классификация этих методов приведена на рис. 2.1. Такое разделение
методов соответствует основной идее системного анализа, состоящей в сочетании
в моделях и методиках формальных и неформальных представлений.
36
Методы моделирования сложных
систем
Методы
формализованного
представления систем
Экспертные
методы
Методы типа
«мозговой
атаки»
Методы
(методики)
постепенной
формализации
Комплексированные методы
Методы типа
«сценариев»
Аналитические
Методы
экспертных
оценок
Статистические
Методы типа
«Дельфи»
Теоретикомножественные
Комбинаторика
Логические
Методы
структуризации
типа «дерева
целей»
Лингвистические
Семиотические
Морфологический подход
Ситуационное
моделирование
Топология
Графосемиотическое
моделирование
Графические
Метод
решающих
матриц
Рис.2.1. Классификация методов системного анализа.
В приведенной классификации экспертные методы расположены сверху
вниз в порядке возрастания возможностей формализации, а у методов
формализованного представления систем сверху вниз повышается внимание к
содержательному анализу проблемы и появляется все больше средств для такого
анализа. Такое упорядочение методов помогает их сравнивать и выбирать при
формировании развивающихся моделей принятия решений или методик
системного анализа.
Следует подчеркнуть, что реальные модели часто создаются на основе
пересечения выделенных классов методов (или на основе комплексирования).
Например, комбинаторика начала развиваться параллельно в рамках линейной
37
алгебры и теории множеств, а затем оформилась в самостоятельное направление,
использующее средства обоих классов методов. Широко употребляемое при
управлении сложными динамическими объектами ситуационное моделирование
базируется на выразительных средствах математической логики, математической
лингвистики, теории множеств и графов. Имитационное динамическое
моделирование использует удобный для человека структурный язык, который
помогает выражать реальные взаимосвязи, отображающие в системе замкнутые
контуры управления, и аналитические представления (линейные конечноразностные уравнения), позволяющие реализовать формальное исследование
получаемых моделей с помощью ЭВМ.
Модели и методики, возникающие как результат попеременного
использования методов из обоих классов, можно выделить в самостоятельную
группу методов постепенной формализации задач принятия решений.
Следует отметить, что приведенная выше классификация методов
системного анализа, как и любая другая – условна. Она лишь средство,
помогающее ориентироваться в большом числе разнообразных методов и
моделей.
38
Глава 3. Методы формализованного представления систем
В настоящее время известны различные классификации методов
формализованного представления систем. В результате этого методы, иногда
возникающие независимо, имеют в основном только терминологические
различия. В этой главе приведена наиболее распространенная классификация, в
которой выделяют следующие группы методов формализованного представления:
аналитические,
статистические,
теоретико-множественные,
логические,
лингвистические, семиотические, графические. Общая направленность
классификации следующая: каждая последующая группа методов позволяет
формализовать задачу, которая не может быть решена в рамках предыдущей
группы методов.
3.1. Аналитические методы
Основная терминология. Аналитическими называются методы, в которых
ряд свойств многомерной, многосвязной системы отображается в n-мерном
пространстве одной единственной точкой, совершающей какое-то движение (рис.
3.1).
Sx
F [Sx]
1
Рис. 3.1.
Это отображение осуществляется либо с помощью функции f[Sx], либо
посредством оператора (функционала) F[Sx]. Можно также две или более систем
или их частей отобразить точками, и рассматривать взаимодействие этих точек,
каждая из которых совершает какое-то движение, имеет свое поведение.
Поведение точек и их взаимодействие описывается аналитическими
закономерностями.
Основу терминологического аппарата аналитических представлений
составляют понятия классической математики и некоторых новых ее разделов
39
(величина, функция, уравнение, система уравнений, производная, дифференциал,
интеграл, функционал и т.д.).
На базе аналитических представлений возникли и развиваются
математические теории различной сложности
(табл. 3.1) – от аппарата
классического математического анализа (методов исследования экстремумов
функций, вариационного исчисления и т.д.) до таких разделов современной
математики, как математическое программирование (линейное, нелинейное,
динамическое и др.), теория игр (матричные игры с чистыми стратегиями,
дифференциальные игры).
Таблица 3.1.
Группы методов
Анализ
Математическое программирование
Игры
Распределение работ, ресурсов
Методы
Нахождение экстремумов функций
Вариационное исчисление
Линейное
Нелинейное
Дискретное
Эвристическое
Антагонистические
Матричные
Позиционные
Коалиционные
Дифференциальные
Теория управления запасами
Износ и замена оборудования
Применение аналитических методов. Аналитические методы применяются
в тех случаях, когда свойства системы можно отобразить с помощью
детерминированных величин или процессов, то есть знания о процессах и
событиях в некотором интервале времени позволяют полностью определить
поведение их вне этого интервала. Эти методы используются при решении задач
движения и устойчивости, оптимального размещения, распределения работ
и ресурсов, выбора наилучшего пути, оптимальной стратегии поведения в
конфликтных ситуациях и т.п.
При практическом применении аналитических представлений для
отображения сложных систем следует иметь в виду, что они требуют
установления всех детерминированных взаимосвязей между учитываемыми
компонентами и целями системы в виде аналитических зависимостей. Для
сложных многокомпонентных, многокритериальных систем получить требуемые
аналитические зависимости очень трудно. Более того, если даже это и удается, то
практически
невозможно
доказать
правомерность
применения
этих
аналитических выражений, то есть адекватность модели рассматриваемой задаче.
40
3.2. Статистические методы
Основная терминология. В тех случаях, когда не удается представить систему
на основе детерминированных категорий, можно применить отображение ее с
помощью случайных (стохастических) событий, процессов, которые описываются
соответствующими вероятностными характеристиками и статистическими
закономерностями.
По аналогии с аналитическими отображениями статистическое
отображение системы можно представить в виде «размытой» точки (области) в
n-мерном пространстве, в которую переводит систему (ее учитываемые свойства)
оператор F[Sx] (рис. 3.2).
Sx
F [Sx]
a
b
Рис. 3.2.
«Размытую» точку следует понимать как некоторую совокупность,
характеризующую движение системы (ее поведение). При этом границы области
заданы с некоторой вероятностью («размыты»), и движение точки определяется
некоторой случайной функцией. Закрепляя все параметры кроме одного можно
получить срез по линии a – b, физический смысл которого – воздействие данного
параметра на поведение системы, что можно описать статистическим
распределением по этому параметру. Аналогично можно получить двумерную,
трехмерную и т.д. картину статистического распределения.
На статистических отображениях базируются математическая статистика,
теория статистических испытаний (или статистического имитационного
моделирования), частным случаем которой является метод Монте-Карло, теория
выдвижения и проверки статистических гипотез, частным случаем которой
является байесовский подход к исследованию процессов передачи информации в
процессах общения, обучения и других ситуациях, характерных для сложных
развивающихся систем.
41
Применение статистических методов. Статистические отображения
позволили расширить области применения ряда дисциплин, возникших на базе
аналитических
представлений.
Так
возникли
статистическая
теория
распознавания образов, стохастическое программирование, новые разделы теории
игр и др. На базе статистических представлений возникли и развиваются такие
прикладные направления, как теория массового обслуживания, теория
статистического анализа и др.
Расширение возможностей отображения сложных систем и процессов по
сравнению с аналитическими методами можно объяснить тем, что при
применении статистических представлений процесс постановки задачи как бы
частично заменяется статистическими исследованиями, позволяющими, не
выявляя все детерминированные связи между изучаемыми событиями или
учитываемыми компонентами сложной системы, на основе выборочного
исследования получать статистические закономерности и распространять их с
некоторой вероятностью на поведение системы в целом.
Однако не все процессы и явления могут подчиняться статистическим
закономерностям, не всегда может быть выбрана представительная выборка,
доказана правомерность применения статистических закономерностей, часто для
получения статистических закономерностей требуются недопустимо большие
затраты времени, что также ограничивает возможности их применения. В этих
случаях следует рассматривать возможность применения других методов
представления систем.
3.3. Теоретико-множественные представления
Основная терминология. Теоретико-множественные представления
базируются на понятиях: множество, элементы множества и отношения на
множествах.
Сложную систему можно отобразить в виде совокупности разнородных
множеств и отношений между ними (рис. 3.3).
Множества могут задаваться двумя способами: перечислением элементов
⎨a1, a2, … , an⎬ и названием характеристического свойства (именем, отражающим
это свойство) – например, множество A. В основе большинства теоретикомножественных преобразований лежит переход от одного способа задания
множества к другому.
В множестве могут быть выделены подмножества. Из двух и более множеств
или подмножеств можно, установив отношения между их элементами,
сформировать новое множество, состоящее из элементов, качественно
отличающихся от элементов исходных множеств.
42
Sx
F [Sx]
A
E
F
P
X
Y
Q
Z
Рис. 3.3.
При теоретико-множественных представлениях можно вводить любые
отношения. При конкретизации применяемых отношений и правил их
использования можно получить одну из алгебр логики, один из языков
математической лингвистики. Можно также создать язык моделирования
сложных систем, который затем может развиваться как самостоятельное научное
направление.
Применение теоретико-множественных представлений. При применении
теоретико-множественных представлений для отображения сложных систем и
процессов в них наиболее общими формальными характеристиками являются
абстрактные знаковые формулы, с помощью которых удобно отображать
многоуровневое строение систем. Например, система S может быть отображена в
совокупность множеств, описываемую теоретико-множественной формулой:
S =< I , C , A, P, E , U , X , W , Z >,
(3.1)
где I = ⎨i⎬ −
A = ⎨ a⎬ −
E = ⎨e⎬ −
U = ⎨ u⎬ −
C = ⎨c⎬ −
X = ⎨ x⎬ −
совокупность (вектор) входных информационных сигналов;
множество выходных действий (актуаций) системы;
множество элементов, из которых составлена данная система;
множество отношений между элементами E системы;
множество состояний (ситуаций) системы;
множество признаков, характеризующих состояние элементов и
отношений:
W = ⎨w⎬ − множество свойств, то есть w – свойства свойств системы: вес,
цена, значимость каждого свойства по отношению к другим
свойствам;
43
P = ⎨p⎬ − множество вероятностей p изменения состояний;
Z = ⎨z⎬ − множество возмущений z, действующих на систему.
Представление системы полной формулой (3.1) не всегда возможно и
целесообразно. Обычно системы описываются сокращенными формулами в
зависимости от требований полноты описания.
При отображении системы осуществляется ее декомпозиция – выделение
групп (множеств) элементов, обладающих одинаковыми (в рамках определенных
ограничений)
свойствами.
Выделив
множества,
можно
производить
соответствующие операции над ними, то есть, ставя их в определенные
отношения друг с другом, перейти к композиции системы:
{x}R1{c}R2 {e}R j {u}Rk {a}Rn {}
i .
(3.2)
Символом R здесь обозначаются отношения между элементами или
множествами в случае, если не определен характер этих отношений. Решение
задачи композиции системы заключается в определении характера
взаимоотношений между элементами или множествами, то есть в замене символа
R
соответствующим
знаком
–
оператором.
Выяснение
характера
взаимоотношений между множествами или их элементами и возможные
преобразования выражения (3.2) выполняются на основе определенных правил:
законов, аксиом.
Таким образом, теоретико-множественные формулы переводят систему Sx
языка реальности в абстрактную систему, описываемую искусственным языком,
имеющим соответствующий словарь (множество элементов, множество
состояний, множество признаков и т.д., отображенных определенными
символами) и правила образования новых понятий – композиций (множество
отношений, законов, аксиом). Сложность языка определяется сложностью
отображаемой системы и допустимой степенью абстрагирования.
Благодаря тому, что при теоретико-множественных представлениях систем и
процессов в них можно вводить любые отношения, эти представления:
- служат хорошим языком, с помощью которого облегчается взаимопонимание
между представителями различных областей знаний;
- могут являться основой для возникновения новых научных направлений, для
создания языков моделирования, языков автоматизации проектирования.
Однако свобода введения любых отношений приводит к тому, что в
создаваемых языках моделирования трудно ввести правила, закономерности,
используя которые формально, можно получить новые результаты, адекватные
реальным моделируемым объектам и процессам (как это позволяют делать
аналитические и статистические методы). Поэтому первоначально при
применении теоретико-множественных представлений стремились использовать
ограниченный набор отношений.
44
3.4. Логические методы
Основная терминология. Логические отображения являются частным
случаем теоретико-множественных отображений. Они переводят реальную
систему и отношения в ней на язык одной из алгебр логики (двузначной,
многозначной), основанных на применении алгебраических методов для
выражения законов формальной логики (рис.3.4).
Sx
F Sx
x
x1
Да
x2
Нет
Рис. 3.4.
Наибольшее применение получила бинарная алгебра логики Буля (булева
алгебра). Алгебра логики оперирует понятиями: высказывание, предикат,
логические операции (логические функции, кванторы). В ней доказываются
теоремы, приобретающие затем силу логических законов, применяя которые,
можно преобразовать систему из одного описания в другое с целью ее
совершенствования: можно, например, получить более простую структуру
(схему), содержащую меньшее число состояний, элементов, но осуществляющую
требуемые функции.
Логические методы представления систем относятся к детерминированным.
На базе математической логики созданы и развиваются теории логического
анализа и синтеза, теория автоматов. На основе логических представлений
первоначально начинали развиваться некоторые разделы теории формальных
языков. В силу ограниченности смысловыражающих возможностей бинарной
алгебры логики в последнее время имеются попытки создания многозначных
алгебр логики с соответствующими логическими базисами и теоремами.
45
Применение логических методов. Логические методы применяются при
исследовании новых структур систем разнообразной природы (технических
объектов, текстов и др.), в которых характер взаимодействия между элементами
еще не настолько ясен, чтобы было возможно их представление аналитическими
методами, а статистические исследования либо затруднены, либо не привели к
выявлению устойчивых закономерностей. В то же время следует иметь в виду,
что с помощью логических алгоритмов можно описывать не любые отношения, а
лишь те, которые предусмотрены законами алгебры логики и подчиняются
требованиям логического базиса.
Логические представления нашли широкое практическое применение при
исследовании и разработке автоматов разного рода, автоматических систем
контроля, а также при решении задач распознавания образов. Логические
представления лежат в основе теории автоматов. На их базе развиваются
прикладные разделы теории формальных языков.
В то же время смысловыражающие возможности логических методов
ограничены базисом и функциями алгебры логики и не всегда позволяют
адекватно отобразить реальную проблемную ситуацию. Попытки же создания
многозначных алгебр логики на практике пока не находят широкого применения
из-за сложности создания логического базиса и доказательства формальных
теорем многозначной алгебры логики.
3.5. Лингвистические и семиотические представления
Основная терминология. Лингвистические и семиотические представления
(рис. 3.5) – самые «молодые» методы формализованного отображения систем.
Sx
F Sx
TG
Рис. 3.5.
Лингвистические представления базируются на понятиях тезауруса T
(множество смысловыражающих элементов языка с заданными смысловыми
отношениями; тезаурус характеризует структуру языка), грамматики G (правила
46
образования смысловыражающих элементов разных уровней тезауруса),
семиотики (смысловое содержание формируемых фраз, предложений и других
смысловыражающих элементов) и прагматики (смысл для данной задачи, цели).
Семиотические представления основываются на понятиях: знак, знаковая
система, знаковая ситуация. Семиотика возникла как наука о знаках в
широком смысле. Однако наиболее широкое практическое применение нашло
направление лингвистической семиотики. С теоретической точки зрения
границу между лингвистическими и семиотическими представлениями при
разработке языков моделирования можно определить характером правил
грамматики (если правила не охватываются классификацией правил вывода
формальных грамматик Н.Холмского, то модель удобнее отнести к
семиотической и применять принципы ее анализа, предлагаемые семиотикой).
Для практических приложений модели лингвистических и семиотических
представлений можно рассматривать как один класс формализованного
представления систем.
Применение лингвистических и семиотических представлений. Данные
представления возникли и развиваются в связи с потребностями анализа текстов и
языков. Однако в последнее время эти представления начинают широко
применяться для отображения и анализа процессов в сложных системах в тех
случаях, когда не удается применить сразу аналитические, статистические
представления или методы формальной логики.
В частности, лингвистические и семиотические представления являются
удобным аппаратом (особенно в сочетании с графическими представлениями) для
первого этапа постепенной формализации задач принятия решений в плохо
формализуемых ситуациях, чем и был вызван возрастающий интерес к этим
методам со стороны разработчиков сложных систем. На их основе разрабатывают
языки моделирования, автоматизации проектирования и т.д.
Что касается недостатков методов, то при усложнении языка моделирования
трудно гарантировать правильность получаемых результатов, возникают
проблемы алгоритмической разрешимости, возможно появление парадоксов,
что частично может быть устранено с помощью содержательного контроля и
корректировки языка на каждом шаге его расширения в диалоговом режиме
моделирования. При этом создатель языка не всегда может объяснить его
возможности, происходит как бы «выращивание» языка, у которого появляются
новые свойства.
3.6. Графические представления
Основная терминология. К графическим представлениям (рис. 3.6)
относятся любые графики (графики Ганта, диаграммы, гистограммы и т.п.) и
возникшие на основе графических отображений теории (теория графов, теория
сетевого планирования и управления и т.п.), то есть все то, что позволяет
наглядно представить процессы, происходящие в системах, и облегчить таким
образом их анализ для человека (лица, принимающего решения).
47
S
F Sx
Рис. 3.6.
Применение графических представлений. Графические представления
являются удобным средством исследования структур и процессов в сложных
системах и решения различного рода организационных вопросов в
информационно-управляющих
комплексах,
в
которых
необходимо
взаимодействие человека и технических устройств (в том числе – ЭВМ).
Широкое применение на практике получила теория сетевого планирования и
управления. Удобным средством представления информации различного рода
при применении всех групп методов являются графики, диаграммы и другие
графические формы. Графически представляют результаты аналитических
расчетов, статистические закономерности и т.д.
Для ускорения формализации и анализа сетевых моделей графические
представления удобно сочетать с лингвистическими и семиотическими, что
позволяет автоматизировать процесс формирования модели.
48
Глава 4. Экспертные методы системного анализа
4.1. Методы типа «мозговой атаки»
Концепция мозговой атаки получила широкое распространение в начале
1950-х годов как «метод систематической тренировки творческого
мышления», направленный на открытие новых идей и достижение согласия
группы людей на основе интуитивного мышления. Методы этого типа известны
также под названиями мозгового штурма, конференций идей, коллективной
генерации идей.
При проведении мозговой атаки или сессий коллективной генерации идей,
участники стараются выполнить определенные правила, суть которых сводится к
тому, чтобы обеспечить как можно большую свободу мышления участников
коллективной генерации идей и высказывания ими новых идей. Для этого
рекомендуется приветствовать любые идеи, даже если они вначале кажутся
сомнительными или абсурдными (обсуждение и оценка идей проводится
позднее), не допускать критики, не объявлять ложной идею и не прекращать
обсуждать ни одну идею, высказывать как можно больше идей (желательно
нетривиальных), стараться создавать цепные реакции идей. Методы мозговой
атаки представляют собой эмпирически найденные эффективные способы
решения творческих задач.
В зависимости от принятых правил и жесткости их выполнения различают
прямую мозговую атаку, метод обмена мнениями, обратную мозговую атаку
(когда одна группа вносит как можно больше предложений, а вторая старается их
максимально критиковать). Мозговую атаку часто проводят в форме деловой
игры.
В реальных условиях достаточно трудно обеспечить жесткое выполнение
требуемых правил, создать «атмосферу мозговой атаки»: мешает влияние
должностной структуры организации, трудно собрать всех специалистов.
Поэтому желательно применять способы привлечения компетентных
специалистов, не требующие обязательного их присутствия в конкретном месте и
в конкретное время и устного высказывания своих мнений.
Рассмотрим метод прямой мозговой атаки. Он включает в себя следующее.
Формулировка задачи. Постановка задачи перед творческой группой
участников мозговой атаки может иметь самую различную форму и содержание.
Однако в ней должны быть четко сформулированы два момента: что в итоге
желательно получить или иметь; что мешает получению желаемого.
Формирование творческой группы. Наиболее эффективное число
участников в творческой группе для проведения сеанса мозговой атаки составляет
5-12 человек. Как правило, творческие группы состоят из двух подгрупп:
постоянное ядро группы и временные члены. В ядро группы входит ее
руководитель и сотрудники, легко и плодотворно генерирующие идеи, а также
люди, хорошо знающие и соблюдающие правила игры. Временные члены
приглашаются из числа специалистов по решаемой задаче.
49
Правила для участников сеанса мозговой атаки:
- Стремление высказывать максимальное число идей; предпочтение отдается
количеству, а не качеству идей. Свои идеи следует высказывать коротко.
- Во время сеанса мозговой атаки абсолютно запрещена критика предложенных
идей. Запрещаются также неодобрительные замечания, иронические реплики,
консервативные, ядовитые шутки. Запрет критики создает благоприятный
творческий микроклимат.
- Внешнее и внутреннее одобрение и принятие всех идей, даже заведомо
непрактичных и, казалось бы, глупых; предпочтение отдается не
систематическому логическому мышлению, а озарениям, необузданной и
безграничной фантазии в самых разных направлениях.
- Весьма способствуют продуктивному мышлению шутки, каламбуры, юмор и
смех. Следует создавать и поддерживать такую обстановку.
- Стремление развивать, комбинировать и улучшать высказанные ранее идеи,
получать от них новые ассоциативные идеи.
- Обеспечение
между
участниками
мозговой
атаки
свободных,
демократических, дружественных и доверительных отношений. Никто после
сеанса не будет зло шутить над неудачными идеями других.
- Настоящий сеанс мозговой атаки – это особое психологическое состояние
людей, когда думается без волевых усилий и принимается во внимание «все,
что придет в голову». Именно такое состояние оказывается наиболее
продуктивным, поскольку позволяет в наибольшей мере использовать
подсознание человека, самый мощный аппарат творческого мышления.
Обязанности руководителя (ведущего) в сеансе мозговой атаки. Успех и
результативность мозговой атаки в большой мере зависит от ведущего
совещание, который осуществляет оперативное управление мозговой атакой.
Ведущий должен руководствоваться правилами для участников мозговой атаки и
поддерживать непринужденную обстановку. Кроме того, на ведущего
возлагаются следующие обязанности:
- если есть новички в творческой группе, ведущий в самом начале представляет
всех участников, давая им короткую лестную характеристику. Далее
излагаются правила для участников сеанса мозговой атаки;
- ведущий четко и эмоционально излагает формулировку задачи как в
специальном, так и в общедоступном изложении. При этом заставляет
участников воспринимать задачу как свою главную проблему;
- ведущий должен уметь обеспечить соблюдение участниками всех правил
проведения мозговой атаки, не пользуясь при этом приказаниями и
критическими замечаниями;
- ведущий должен обеспечивать непрерывность высказывания идей, заполнять
паузы поощрительными репликами;
- ведущий должен следить, чтобы обсуждение не шло в слишком узком и
слишком практическом направлении, своими идеями или репликами он
должен расширять сферу поиска;
- ведущий должен следить за регламентом работы. Говорить, сколько времени
осталось до конца сеанса. Тактично останавливать участника, который
50
высказывает свою идею более полминуты, интенсифицировать работу
последних минут.
Организация проведения мозговой атаки. Приглашать участников на
совещание (сеанс мозговой атаки) желательно за 2-3 дня с изложением сути
задачи, чтобы они могли подумать и настроиться.
Продолжительность совещания составляет 1,5-2 часа. Совещание имеет
следующий порядок проведения и соответствующие затраты времени на
отдельные мероприятия:
- представление участников совещания друг другу и ознакомление их с
правилами проведения сеанса мозговой атаки (5-10 минут);
- постановка задачи ведущим с ответами на вопросы участников (10-15 минут);
- проведение мозговой атаки (20-30 минут);
- перерыв (10 минут);
- составление отредактированного списка идей (30-45 минут).
Весьма
повышают
эффективность
различные
мероприятия
по
психологической настройке и психоэвристическому стимулированию, например:
показ перед мозговой атакой короткометражного фильма, заставляющего забыть
заботы дня, или фильма, актуализирующего постановку задачи; включение во
время сеанса мозговой атаки негромкой фоновой музыки; показ натурального
образца, макета или эскиза объекта, который требуется улучшить; угощение чаем
или кофе; объявление перед сеансом о гонораре, вручаемом сразу после
окончания совещания и т.д.
Запись и оформление результатов мозговой атаки. Фиксирование идей,
высказываемых во время сеанса мозговой атаки, производится одним из трех
способов:
- среди участников имеется стенографист;
- с помощью магнитофона;
- каждый участник после высказывания записывает свою идею.
После сеанса проводится быстрое коллективное редактирование полученного
списка идей с полукритическим отношением. При этом участники мозговой атаки
быстро отбрасывают наименее приемлемые и абсурдные идеи. Все полученные
идеи желательно разделить на три группы: наиболее приемлемые и легко
реализуемые для решаемой задачи; наиболее эффективные и перспективные;
прочие.
Отредактированный и оформленный список передается заинтересованным
лицам для дальнейшей более детальной оценки и проработки.
51
4.2. Методы типа «сценариев»
Методы подготовки и согласования представлений о проблеме или
анализируемом объекте, изложенных в письменном виде, получили название
сценариев.
Сценарием называют преимущественно качественное описание
возможных вариантов развития исследуемого объекта при различных
сочетаниях определенных, заранее выделенных условий. Он не предназначен
для «предсказания» будущего, а лишь в развернутой форме показывает
возможные варианты развития событий для их дальнейшего анализа и выбора
наиболее реальных и благоприятных.
Как правило, на практике предложения для подготовки подобных
документов пишутся экспертами вначале индивидуально, а затем формируется
согласованный текст.
Сценарий предусматривает не только содержательные рассуждения,
помогающие не упустить детали, которые невозможно учесть в формальной
модели (в этом заключается основная роль сценария), но и содержит результаты
количественного технико-экономического или статистического анализа с
предварительными выводами. Группа экспертов, подготавливающая сценарий,
обычно пользуется правом получения необходимых справок от предприятий и
организаций и необходимых консультаций.
На практике по типу сценариев, например, разрабатываются прогнозы в
отраслях промышленности.
Роль специалистов по системному анализу при подготовке сценария
заключается в следующем:
- помочь привлекаемым ведущим специалистам соответствующих областей
знаний выявить общие закономерности развития системы;
- проанализировать внешние и внутренние факторы, влияющие на ее развитие и
формирование целей;
- определить источники этих факторов; проанализировать высказывания
ведущих специалистов в периодической печати, научных публикациях и
других источниках информации;
- создать вспомогательные информационные фонды, способствующие решению
проблемы.
Метод сценариев является средством первичного упорядочения проблемы,
получения и сбора информации о взаимосвязях решаемой проблемы с другими и
о возможных и вероятных направлениях будущего развития. Группа
квалифицированных специалистов составляет план сценария, где стремится
наметить области науки, техники, экономики и пр., которые должны быть учтены
при постановке и решении проблемы. Различные разделы сценария обычно
пишутся разными группами людей. Привлечение разных профессионалов
позволяет проследить ветвление сценария, взаимосвязи с другими проблемами и
т.д.
Сценарии могут быть использованы на разных этапах системного анализа,
когда требуется собрать и упорядочить разнородную информацию. Но главной
52
областью применения являются этапы I (анализ проблемы) и VII (прогноз и
анализ будущих условий) системного анализа, которые будут рассмотрены в
следующей главе.
Ограниченностью применения данного метода является то, что сценарий –
это текст, с этим связанна возможность неоднозначного его толкования разными
специалистами. Поэтому такой текст следует рассматривать как основу для
разработки более формализованного представления о будущей системе или
решаемой проблеме.
4.3. Методы экспертных оценок
Выбор форм и методов проведения экспертных опросов зависит от
конкретной задачи и условий проведения экспертизы. Однако существуют
некоторые общие проблемы, которые нужно знать специалисту по системному
анализу.
Возможность использования экспертных оценок, обоснование их
объективности базируется на том, что неизвестная характеристика исследуемого
явления трактуется как случайная величина, отражением закона распределения
которой является индивидуальная оценка специалиста-эксперта о достоверности
и значимости того или иного события. При этом предполагается, что истинное
значение исследуемой характеристики находится внутри диапазона оценок,
получаемых от группы экспертов и что обобщенное коллективное мнение
является достоверным.
Проблемы, для решения которых применяются экспертные оценки, делят на
два класса. К первому классу относятся проблемы, которые достаточно хорошо
обеспечены информацией и для которых можно использовать принцип «хорошего
измерителя», считая эксперта хранителем большого объема информации, а
групповое мнение экспертов – близким к истине. Ко второму классу относятся
проблемы, в отношении которых знаний для уверенности в справедливости
названных предположений недостаточно. Здесь экспертов нельзя рассматривать
как «хороших измерителей», и необходимо осторожно подходить к обработке
результатов экспертизы, поскольку в этом случае мнение одного эксперта,
уделяющего больше внимания, чем другие, малоизученной проблеме, может
оказаться наиболее значимым, а при формальной обработке оно будет утрачено.
В связи с этим к задачам второго класса в основном должна применяться
качественная обработка результатов. Использование методов осреднения,
справедливых для «хороших измерителей», в данном случае может привести к
существенным ошибкам.
Задачи коллективного принятия решений по формированию целей,
совершенствованию методов и форм управления обычно можно отнести к
первому классу. Однако при разработке прогнозов и перспективных планов
целесообразно выявлять «редкие» мнения и подвергать их более тщательному
анализу.
Другая проблема, которую нужно иметь в виду при проведении системного
анализа, заключается в следующем: даже в случае решения проблем,
53
относящихся к первому классу, нельзя забывать о том, что экспертные оценки
несут в себе не только узкосубъективные черты, присущие мнениям отдельных
экспертов, но и коллективносубъективные черты, которые не исчезают при
обработке результатов опроса (а при применении Дельфи-процедуры даже могут
усиливаться). Иными словами, на экспертные оценки нужно смотреть как на
некоторую «общественную точку зрения», зависящую от уровня научнотехнических знаний общества относительно предмета исследования, которая
может меняться по мере развития системы и наших представлений о ней.
Следовательно, экспертный опрос – это не одноразовая процедура, то есть при
решении сложной проблемы, характеризующейся большой степенью
неопределенности, необходимо создать регулярную практику работы с
экспертами.
Следует также обратить внимание на то, что использование классического
частотного подхода к оценке вероятности при организации проведения
экспертных опросов бывает затруднительным, а иногда и невозможным (из-за
невозможности доказать правомерность того, что используемая выборка является
представительной). В этом случае экспертную оценку представляют как степень
подтверждения гипотезы или как вероятность достижения цели.
4.4. Методы типа «Дельфи»
Метод «Дельфи» или метод «дельфийского оракула» первоначально был
предложен американским исследователем О.Хелмером как итеративная
процедура при проведении мозговой атаки, которая способствовала бы снижению
влияния психологических факторов при проведении заседаний и повышения
объективности результатов. Однако почти одновременно Дельфи-процедуры
стали средством повышения объективности экспертных опросов с
использованием количественных оценок при оценке «деревьев цели» и при
разработке «сценариев».
Метод «Дельфи» был разработан для решения сложных стратегических
проблем с целью:
- получить более широкие источники информации о будущем;
- предельно устранить субъективный фактор в суждениях и оценках будущего;
- стимулировать способы мышления специалистов путем создания специальной
информационной системы с обратными связями;
- устранить помехи в обмене информацией между специалистами, давление
авторитета и другие формы давления;
- обеспечить повышение достоверности прогнозов путем специальных процедур
количественной оценки мнений экспертов и их машинной обработки.
В отличие от метода сценариев, метод «Дельфи» предполагает
предварительное ознакомление привлекаемых экспертов с ситуацией с помощью
какой-либо модели, например, эконометрической модели развития экономики или
неформального описания процесса в виде сценария.
Специалистам предлагается оценить структуру модели в целом и дать
предложения о включении в нее неучтенных связей. Результаты каждого этапа
54
этого опроса и их систематизация доводятся вновь до сведения всех экспертов,
что позволяет им далее корректировать свои суждения на основе вновь
полученной информации. И так далее.
Основными средствами повышения объективности результатов при
применении метода «Дельфи» являются:
- использование обратной связи;
- ознакомление экспертов с результатами предшествующего тура опроса;
- учет результатов предшествующего опроса при оценке значимости мнений
экспертов;
- наличие итераций.
В системном анализе метод «Дельфи» используется на следующих его этапах
(см. главу 5):
- на этапе VI для оценки современного состояния тех факторов, которые не
поддаются непосредственной количественной оценке (например, оценка
современных социальных факторов, влияющих на формирование целей);
- на этапе VII в качестве одного из важнейших методов получения и обработки
прогнозной информации;
- на этапе VIII для оценки целей и средств.
Метод «Дельфи» представляется самым надежным средством получения
данных, особенно относительно информации о будущем.
4.5. Методы типа «дерева целей»
Идея метода дерева целей впервые была предложена американским
исследователем У.Черчменом. Термин «дерево» подразумевает использование
иерархической структуры, полученной путем разделения общей цели на подцели,
а их, в свою очередь, на более детальные составляющие, подцели нижележащих
уровней. В настоящее время метод дерева целей является центральным, главным
методом системного анализа.
Дерево целей представляет собой связный граф, вершины которого
интерпретируются как цели, а ребра или дуги – как связи между целями. При
этом в понятие целей на разных уровнях вкладывается различное содержание: от
объективных народнохозяйственных потребностей и желаемых направлений
развития на верхнем уровне дерева до решения конкретных практических задач и
осуществления отдельных мероприятий на нижних уровнях. Основным
требованием к дереву целей является отсутствие циклов. В остальном метод
достаточно универсален. Дерево целей является главным инструментом увязки
целей высшего уровня с конкретными средствами их достижения на низшем
производственном уровне через ряд промежуточных звеньев.
Представление целей начинается с верхнего уровня, дальше они
последовательно разукрупняются, конкретизируются. Основным правилом
разукрупнения целей является полнота: каждая цель верхнего уровня должна
быть представлена в виде подцелей следующего уровня исчерпывающим
образом, то есть так, чтобы объединение понятий подцелей полностью
определяло понятие исходной цели. На рис. 4.1 представлен фрагмент
55
примерного дерева целей долгосрочного народнохозяйственного плана, взятого
из «Краткого экономико-математического словаря» (М.: Наука, 1979).
Метод дерева целей ориентирован на получение полной и относительно
устойчивой структуры целей, проблем, направлений, то есть такой структуры,
которая на протяжении какого-то периода времени мало изменялась при
неизбежных изменениях, происходящих в любой развивающейся системе.
0
…
…
…
…
5
…
…
5.1
5.1.1
5.1.2
…
…
…
…
5.2
5.1.3
5.1.3.1
…
…
5.1.3.2
…
…
5.1.4
0 – Генеральная цель
«Упорядочение и развитие
СЭС»
5 – Повышение
благосостояния населения
5.1, 5.2 – Материальное и
социальное благосостояние
5.1.1 – Улучшение
природной среды
5.1.3 – Питание, одежда …
5.1.3.1 – Мясо, молоко,
овощи …
5.1.3.2 – Обувь, одежда …
5.1.3.3
…
…
…
Цели и потребности
Ресурсы
Рис. 4.1. Фрагмент дерева целей
56
Для достижения данной цели при построении вариантов структуры следует
учитывать закономерности целеобразования и использовать принципы и
методики формирования иерархических структур целей.
В качестве основного инструмента метод дерева целей используется на
этапах V, VI, VII, VIII и IX системного анализа (см. главу 5).
4.6. Морфологические методы
Термином «морфология» в биологии и языкознании определяется учение о
внутренней структуре исследуемых систем (организмов, языков) или сама
внутренняя структура этих систем. Метод морфологического анализа и синтеза
был разработан в 1930-х годах швейцарским астрономом Ф.Цвикки для
конструирования астрономических приборов.
Морфологический подход основан на комбинаторике. Его основная идея –
систематически находить наибольшее число, а в пределе – все возможные
варианты решения поставленной проблемы или реализации системы путем
комбинирования основных (выделенных исследователем) структурных элементов
системы или их признаков. При этом система или проблема может разбиваться на
части разными способами и рассматриваться в различных аспектах.
Отправными точками морфологического подхода считаются:
- равный интерес ко всем объектам морфологического моделирования;
- ликвидация всех ограничений и оценок до тех пор, пока не будет получена
полная структура исследуемой области;
- максимально точная формулировка поставленной проблемы.
Кроме этих общих положений были предложены отдельные способы
морфологического моделирования:
- метод систематического покрытия поля (МСПП);
- метод отрицания и конструирования (МОК);
- метод морфологического ящика (ММЯ);
- метод экстремальных ситуаций (МЭС);
- метод сопоставления совершенного с дефектным (МССД);
- метод обобщения (МО).
Наибольшую распространенность получили первые три метода.
МСПП предполагает, что существует некоторое число так называемых
«опорных пунктов» знания в любой исследуемой области. Этими пунктами могут
быть теоретические положения, эмпирические факты, открытые законы и т.д.
Исходя из ограниченного числа опорных пунктов знания и принципов мышления,
ищут все возможные решения поставленной проблемы.
МОК основывается на соображениях, которые Ф.Цвикки сформулировал
следующим образом: «На пути конструктивного прогресса стоят догмы и
компромиссные или диктаторские ограничения. Следовательно, есть смысл их
отрицать. Однако, одного этого недостаточно. То, что получается из отрицания,
необходимо конструктивно переработать». В соответствии с этим МОК
разбивается на три этапа:
57
1) формирование ряда высказываний (положений, утверждений, аксиом),
соответствующих современному уровню развития исследуемой области
знаний;
2) замена одного, нескольких или всех сформулированных высказываний на
противоположные;
3) построение всевозможных следствий, вытекающих из такого отрицания и
проверка непротиворечивости вновь полученных и оставшихся неизменными
высказываний.
МОК может быть реализован в форме одного из вариантов мозговой атаки:
метода обратной мозговой атаки.
Идея ММЯ состоит в определении всех возможных параметров, от которых
может зависеть решение проблемы, и представления их в виде матриц-строк, а
затем в определении в этой морфологической матрице-ящике всех возможных
сочетаний параметров по одному из каждой строки. Полученные варианты
решений подвергаются оценке и анализу с целью выбора наилучшего.
Построение и исследование по ММЯ проводится в пять этапов:
1) Точная формулировка поставленной проблемы.
2) Определение параметров (классификационных признаков) Pi, от которых
зависит решение проблемы (процедура анализа может быть итерактивной с
уточнением или изменением набора Pi по мере уточнения представлений об
исследуемом объекте или процессе принятия решения).
k
3) Деление параметров Pi на их значения p i i (формирование классификаторов по
выбранным признакам Pi) и представление их в виде матриц-строк
⎡ p1 , p 2 ,K, p k1 ⎤
1 ⎥
⎢⎣ 1 1
⎦
⎡ p 1 , p 2 ,K, p k 2 ⎤
2 ⎥
⎢⎣ 2 2
⎦
…
⎡ p1 , p 2 , K , p k n ⎤
n ⎥,
⎢⎣ n n
⎦
набор значений (по одному из каждой строки) различных параметров
представляет собой возможный вариант решения моделируемой задачи,
1
2
2
например, вариант p1 , p 2 , K , p n ; общее число вариантов содержащихся в
морфологическом ящике, равно R = k1 ⋅ k 2 ⋅ K ⋅ k n , где k i (i = 1,2,K, n ) −
число значений i-го параметра.
4) Оценка всех имеющихся в морфологическом ящике вариантов.
5) Выбор из морфологического ящика оптимального варианта решения задачи.
С математической точки зрения идея морфологического перебора базируется
на получении размещений с повторением из k по n. Для сокращения перебора
этапы 3 и 4 могут быть совмещены, и явно неприемлемые варианты можно сразу
исключить из рассмотрения в п.5.
58
а)
Проблема
A
A
A
A
Решение
A
A
B
б)
C
A
B
Проблема
A
A
A
Решение
B
C
A
C
в)
B
C
A
C
Проблема
A
A
Решение
C
A
A
B
B
Рис. 4.2. Пути выбора решений из морфологического ящика
59
Возможные пути выбора решений из морфологического ящика (рис. 4.2):
- применение одного критерия, полностью исключающего все варианты
решений, кроме одного (рис. 4.2а);
- последовательное применение нескольких критериев A, B, C, постепенно
исключающих все варианты, кроме одного (рис. 4.2б);
- расчленение проблемы на подпроблемы (или задачи на подзадачи) и
последовательное применение нескольких критериев для выбора по одному
варианту решения каждой из подпроблем (подзадач), которые вместе взятые и
составляют искомое решение (рис. 4.2в).
В последнем случае может быть получено не одно решение, составленное из
решений подзадач, а несколько таких (равноценных) решений, и тогда
уменьшение числа этих вариантов, дальнейшее сужение области решений
осуществляется путем введения дополнительных (как правило, качественных)
критериев. Решения по подзадачам, из которых формируется общий вариант
решения, могут быть взаимозависимыми.
Расширению практического применения ММЯ существенно способствует
автоматизация
морфологического
моделирования.
При
этом
важно
автоматизировать не только получение вариантов, то есть собственно перебор, но
и получение оценок этих вариантов.
4.7. Метод решающих матриц
Метод решающих матриц был предложен Г.С.Поспеловым как средство
повышения достоверности экспертной оценки путем разделения проблемы с
большой неопределенностью на подпроблемы и пошагового получения оценок.
Например, при создании сложных производственных комплексов,
автоматизированных систем управления и других сложных объектов нужно
определить влияние на проектируемый объект фундаментальных научноисследовательских работ (НИР), чтобы запланировать эти работы, предусмотреть
их финансирование и распределить средства между ними.
Получить от экспертов объективные и достоверные оценки влияния
фундаментальных НИР на проектирование сложного комплекса практически
невозможно. Для того чтобы облегчить экспертам решение этой задачи, можно
вначале спросить их, какие направления исследований могут быть полезны для
создания комплекса и попросить определить их относительные веса этих
направлений α1, …, αn . Затем нужно составить план опытно-конструкторских
работ (ОКР) для получения необходимых результатов по названным
направлениям и оценить их вклад β1, …, βn . Далее нужно определить программу
прикладных научных исследований и относительные веса прикладных НИР γ1, …,
γn. И наконец, необходимо оценить влияние фундаментальных НИР δ1, …, δn на
прикладные.
Таким образом, область работы экспертов можно представить в виде
нескольких уровней: направления – ОКР – прикладные НИР – фундаментальные
НИР (рис. 4.3).
60
α1 ,
α2,
α nα
…,
β nβ
γk,
…,
γ nγ
δl ,
…,
δ nδ
aij
a11
β1 ,
…,
α j,
…,
β2,
βi ,
…,
bki
γ 1,
γ 2,
δ1,
δ2,
…,
…,
Рис. 4.3. Уровни работы экспертов
Относительные веса по всем уровням должны быть нормированы. В методе
решающих матриц для удобства опроса экспертов относительные веса
определяются не в долях единицы, а в процентах; они нормируются вначале по
отношению к 100:
nα
∑α
j =1
j
= 100 .
Только вклад направлений (подцелей) в реализацию общей цели проекта
оценивается экспертами непосредственно. Остальные относительные веса (ОКР,
прикладных НИР) вычисляются. Эксперты оценивают вклад каждой отдельной
альтернативы (ОКР, НИР) в реализацию альтернатив более высокого уровня,
непосредственно предшествующего уровню данной альтернативы. Так, вклад
опытно-конструкторской работы βi в реализацию подцели (направления) αi
оценивается некоторой величиной aij. Для каждой ОКР βi относительные веса aij
также нормированы:
nα
∑a
j =1
ij
= 100 .
61
Таким образом, каждая строка решающей матрицы ║αij║ характеризует
относительный вклад i-й ОКР в реализацию каждого из направлений (подцелей).
Оценив предварительно α 1 , K , α nα и используя решающую матрицу ║αij║, можно
получить относительные веса ОКР:
nα
β i = ∑ aijα j .
j =1
Аналогично, зная βi и оценив ║bki║, можно получить относительные веса
прикладных НИР γk, а затем и фундаментальных исследований δl.
В результате при использовании метода решающих матриц оценка
относительной важности сложной альтернативы сводится к последовательности
оценок более частных альтернатив, которые эксперт способен осуществить.
Таким образом, большая неопределенность, имевшая место в начале решения
задачи, разделяется на более «мелкие», лучше поддающиеся исследованию и
оценке.
4.8. Другие экспертные методы
Диагностические методы представляют собой достаточно хорошо
отработанные приемы массового обследования предприятий и органов
управления с целью усовершенствования форм и методов их работы. Они
применяются специально на этапе диагностики обследуемого объекта (этап X), но
могут использоваться также и на других этапах для получения необходимой
информации.
Наиболее наглядным и удобным средством отражения динамических,
развивающихся во времени процессов, их анализа и планирования с включением
элементов оптимизации являются сетевые методы. Известные сетевые методы и
их модификации используются в системном анализе главным образом на этапе
построения комплексных программ развития. Более сложные многомерные сети
используются для распределения сфер ответственности, распределения работ по
конкретным исполнителям в организациях, ориентированных на цель.
В общем виде матричные формы представления и анализа информации
не являются специфическим инструментом системного анализа, однако широко
используются на различных его этапах в качестве вспомогательного средства.
Матрица является не только чрезвычайно наглядной формой представления
информации, но и формой, которая во многих случаях раскрывает внутренние
связи между элементами, помогает выяснить и проанализировать ненаблюдаемые
части структуры.
На всех стадиях системного анализа применяются методы экономического
анализа. В процессе системного анализа значительная часть информации не
имеет количественных оценок или в принципе не может их иметь, поэтому одной
из основных задач системного анализа является задача преобразования этих
данных путем структуризации и введения субъективных оценок в некоторый
комплекс задач. Эта задача наилучшим образом решается методами
экономического анализа.
62
Кибернетические модели, отображающие процессы управления в
экономических системах, должны использоваться всякий раз, когда именно эти
процессы являются предметом системного анализа. В этих моделях могут
использоваться самые различные выразительные средства: схемы, блок-схемы,
таблицы, диаграммы.
Экономико-математические модели бывают двух типов: описательные и
операционные. Описательные модели описывают состояние объекта или его
поведение и являются важнейшим средством представления экономических
систем в процессе системного анализа в той их части, где имеется достаточная
количественная информация. Примеры описательных моделей: модели
отраслевых, межотраслевых и межрегиональных балансов типа «затрат-выпуска».
Нормативные операционные модели служат для нахождения оптимальных и
приближенно оптимальных решений. Модели такого типа (оптимизационные,
имитационные, игровые) могут использоваться в системном анализе в том случае,
если они уже заранее отработаны и по ним имеется собранная и
проанализированная информация.
63
Глава 5. Методики системного анализа
5.1. О разработке методики
Методика системного анализа разрабатывается и применяется в тех случаях,
когда у лиц, принимающих решения, на начальном этапе нет достаточных
сведений о проблемной ситуации, позволяющей выбрать метод ее
формализованного представления, сформировать математическую модель или
применить один из подходов к моделированию, сочетающих качественные и
количественные приемы, типа рассмотренных в главах 3, 4. В таких условиях
может помочь представление объектов в виде систем, привлечение для их анализа
специалистов различных областей знаний, организация процесса коллективного
принятия решения с использованием разных методов системного анализа, со
сменой методов при необходимости по мере познания объекта (ситуации). Для
того, чтобы организовать такой процесс, нужно определить последовательность
этапов, рекомендовать методы для выполнения этих этапов, предусмотреть при
необходимости возврат к предыдущим этапам. Такая последовательность
определенным
образом
выделенных
и
упорядоченных
этапов
с
рекомендованными методами или приемами их выполнения и представляет собой
методику системного анализа.
Таким образом, методика системного анализа разрабатывается для того,
чтобы организовать процесс принятия решения в сложных проблемных
ситуациях. Они должны ориентировать лицо, принимающее решение, на
необходимость обоснования полноты анализа, формирование модели принятия
решения, адекватно отображающей рассматриваемый объект или процесс.
5.2. Этапы реализации системного анализа
В связи с многообразием задач, решаемых с помощью методов системного
анализа, различием подходов разных школ системного анализа существует
несколько вариантов классификации этапов системного анализа. Каждый автор
предлагает свою классификацию, отражающую сферы его деятельности. Однако,
несмотря на различия в частностях, выявляется большая общность воззрений и
принципиальное единство подходов к разделению системного анализа на этапы.
Примеры выделения этапов в наиболее распространенных методиках системного
анализа приведены в табл. 5.1.
Универсальным средством методологии системного анализа является четкое
выделение пяти логических элементов в процессе исследования любых систем,
подсистем и других элементов. К ним относятся:
1) цель или ряд целей;
2) альтернативные средства (или системы), с помощью которых может быть
достигнута цель;
3) затраты ресурсов, требуемых для каждой системы;
64
4) математическая и логическая модели, каждая из которых есть система связей
между целями, альтернативными средствами их достижения, окружающей
средой и требованиями на ресурсы;
5) критерий выбора предпочтительной альтернативы; с его помощью составляют
некоторым способом цели и затраты.
Таблица 5.1
Сравнительная классификация этапов системного анализа
Этапы методик системного анализа
По С.Л.Оптнеру
Идентификация
симптомов.
Определение актуальности
проблемы.
Определение
цели.
Определение
структуры системы и ее
дефектов.
Определение
возможностей.
Нахождение
альтернатив.
Оценка
альтернатив.
Выработка
решения.
Признание
решения.
Запуск решения.
Управление
реализацией
решения.
Оценка
реализации
решения и ее
последствий.
По С.Янгу
По Н.П.Федоренко
Определение це- Формулирование
лей организации. проблемы.
Выявление
Определение
проблемы.
целей.
Исследование
Сбор
проблемы и
информации.
постановка
Разработка
диагноза.
максимального
Поиск решения.
количества
Оценка всех аль- альтернатив.
тернатив и выбор Отбор
альтернатив.
наилучшей из
Построение
них.
модели в виде
Согласование
уравнений,
решения.
программ или
Утверждение
сценария.
решения.
Оценка затрат.
Подготовка к
вводу в действие. Испытание
чувствительносУправление
ти решения (паприменением
раметрическое
решения.
Проверка
исследование).
эффективности
решения.
65
По С.П.Никанорову
Обнаружение
проблемы.
Оценка актуальности проблемы.
Анализ ограничений проблемы.
Определение
критериев.
Анализ
существующей
системы.
Поиск
возможностей
(альтернатив).
Выбор
альтернативы.
Обеспечение
признания.
Принятие решения (принятие
формальной ответственности).
Реализация
решения.
Определение
результатов
решения.
По Ю.И.Черняку
Анализ
проблемы.
Определение
системы.
Анализ структуры системы.
Формирование
общей цели и
критерия
системы.
Декомпозиция
цели, выявление
потребности в
ресурсах и
процессах.
Выявление ресурсов и процессов, композиция
целей.
Прогноз и анализ
будущих
условий.
Оценка целей и
средств.
Отбор вариантов.
Диагноз
существующей
системы.
Построение
комплексной
программы
развития.
Проектирование
организации для
достижения
целей.
Анализируя различия приведенных в табл. 5.1 методик, можно увидеть
следующее. В одних методиках больше внимания уделяется разработке и
исследованию альтернатив принятия решений (С.П.Оптнер, Н.П.Федоренко,
С.П.Никаноров), в других – определению и структуризации целей (Ю.И.Черняк),
в третьих – процессу реализации уже принятого решения (С.Янг).
Приведенное описание методик носит абстрактный характер. В табл. 5.2.
приведены этапы системного анализа и их последовательность по методике
системного анализа Ю.И.Черняка.
Таблица 5.2
Последовательность этапов и работ системного анализа
Этапы
Научные инструменты
системного анализа
I. Анализ проблемы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Методы: сценариев,
Обнаружение проблемы.
диагностический, деТочное формулирование проблемы.
ревьев целей, эконоАнализ логической структуры проблемы.
Анализ развития проблемы (в прошлом и будущем). мического анализа, мозОпределение внешних связей проблемы (с другими говой атаки
проблемами).
Выявление принципиальной разрешимости
проблемы.
II. Определение системы
Методы: матричные,
Спецификация задачи.
кибернетические
Определение позиции наблюдателя.
модели
Определение объекта.
Выделение элементов (определение границ
разбиения системы).
Определение подсистем.
Определение среды.
III. Анализ структуры системы
Методы: диагностиОпределение уровней иерархии (в большой
ческие, матричные,
системе).
сетевые, морфологиОпределение аспектов и языков (в сложной
ческие, кибернетисистеме).
Определение процессов функций (в динамической
ческие модели
системе).
Определение и спецификация процессов управления
и каналов информации (в управляющей системе).
Спецификация подсистем.
Спецификация процессов, функций текущей
деятельности (рутинных) и развития (целевых).
66
Продолжение табл. 5.2
Этапы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Научные инструменты
системного анализа
IV. Формулирование общей цели и критерия системы
Методы: «Дельфи»,
Определение целей, требований надсистемы.
деревьев целей, эконоОпределение целей и ограничений среды.
мического анализа, морФормулирование общей цели.
фологический, кибернеОпределение критерия.
тические модели,
Декомпозиция целей и критериев по подсистемам.
нормативные операциКомпозиция общего критерия из критериев
онные модели (оптимиподсистем.
зационные, имитационные, игровые)
V. Декомпозиция цели, выявление потребностей в ресурсах и процессах
Методы: деревьев цеФормулирование целей верхнего ранга.
лей, сетевые, описательФормулирование целей текущих процессов.
ные модели, моделироФормулирование целей эффективности.
вания
Формулирование целей развития.
Формулирование внешних целей и ограничений.
Выявление потребностей в ресурсах и процессах.
VI. Выявление ресурсов и процессов, композиция целей
Методы: «Дельфи»,
Оценка существующих технологии и мощностей.
деревьев целей, эконоОценка современного состояния ресурсов.
мического анализа
Оценка реализуемых и запланированных проектов.
Оценка возможностей взаимодействия с другими
системами.
Оценка социальных факторов.
Композиция целей.
VII. Прогноз и анализ будущих условий
Методы: сценариев,
Анализ устойчивых тенденций развития системы.
«Дельфи», деревьев
Прогноз развития и изменения среды.
целей, сетевые, эконоПредсказание появления новых факторов,
оказывающих сильное влияние на развитие системы. мического анализа, статистический, описательАнализ ресурсов будущего.
Комплексный анализ взаимодействия факторов
ные модели, мозговой
будущего развития.
атаки
Анализ возможных сдвигов целей и критериев.
67
Окончание табл. 5.2
Этапы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1.
2.
3.
4.
5.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Научные инструменты
системного анализа
VIII. Оценка целей и средств
Методы: «Дельфи»,
Вычисление оценок по критерию.
экономического аналиОценка взаимозависимости целей.
за, морфологический
Оценка относительной важности целей.
Оценка дефицитности и стоимости ресурсов.
Оценка влияния внешних факторов.
Вычисление комплексных расчетных оценок.
IX. Отбор вариантов
Методы: деревьев цеАнализ целей на совместимость и входимость.
лей, матричные, эконоПроверка целей на полноту.
мического анализа,
Отсечение избыточных целей.
морфологический
Планирование вариантов достижения целей.
Оценка и сравнение вариантов.
Совмещение комплекса взаимосвязанных вариантов.
X. Диагноз существующей системы
Моделирование технологического и экономического Методы: диагностические, матричные, эконопроцессов.
мического анализа, киРасчет потенциальной и фактической мощностей.
бернетические модели
Анализ потерь мощности.
Выявление недостатков организации производства и
управления.
Выявление и анализ мероприятий по совершенствованию организации.
XI. Построение комплексной программы развития
Формулирование мероприятий, проектов, программ. Методы: матричные,
экономического аналиОпределение очередности целей и мероприятий по
за, описательные модеих достижению.
ли, нормативные операРаспределение сфер деятельности.
ционные модели
Распределение сфер компетенции.
Разработка комплексного плана мероприятий в
рамках ограничений по ресурсам во времени.
Распределение по ответственным организациям,
руководителям и исполнителям.
XII. Проектирование организации для достижения целей
Методы: диагностичесНазначение целей организации.
кие, деревьев целей,
Формулирование функций организации.
матричные, сетевые,
Проектирование организационной структуры.
кибернетические
Проектирование информационных механизмов.
модели
Проектирование режимов работы.
Проектирование механизмов материального и
морального стимулирования.
68
Комментарий к 12-ти этапам системного анализа.
I. Вопрос о том, существует ли проблема, имеет первостепенное значение,
поскольку приложение значительных усилий к решению несуществующих
проблем – отнюдь не исключение, а типичный случай. Правильное и точное
формулирование проблемы является первым и необходимым этапом любого
системного исследования. Как известно, успешное формулирование проблемы
может быть равносильно половине решения проблемы.
II. Чтобы построить систему, надо разложить проблему на комплекс четко
сформулированных задач. При этом в случае большой системы задачи образуют
иерархию, в случае сложной системы – множество различных задач на разных
языках. Позиция наблюдателя определяет критерий решения проблемы. В
некоторых случаях весьма трудными являются задачи определения объекта и
среды.
III. Произвол в выделении подсистем и реализуемых в них процессов
неизбежно обрекает системное исследование на неудачу. Выявление целей и
процессов развития требует не только строгости логического мышления, но и
умения найти контакт с работниками управления.
IV. Формировать общие цели организации и особенно конструировать
критерий эффективности системы на основе лишь опроса общественного мнения
нельзя. Это представляет собой сложную логическую процедуру в рамках
понятий теории систем и требующую тонкого знания специфики экономики и
технологии исследуемого объекта.
V. В больших и сложных системах (а именно с такими имеет дело системный
анализ) цель системы настолько отдалена от конкретных средств их достижения,
что выбор решения требует большой трудоемкости по увязке цели со средствами
ее реализации путем декомпозиции целей. Эта важная и трудоемкая работа, как
правило, является центральной в системном анализе. Она породила метод дерева
целей, который является главным инструментальным достижением системного
анализа.
VI. В ряде случаев, особенно когда мы имеем дело с непроизводственными, а
тем более неэкономическими системами (здравоохранение, образование и т.д.),
выразить явным образом цель и критерий эффективности развития логическим
путем не удается. Здесь неприемлем анализ «от естественных потребностей
человека» в связи с их непрерывным развитием и изменением. Надо идти
традиционным путем от анализа существующего положения, достигнутого
уровня и последовательного прогноза.
VII. Системный анализ, как правило, имеет дело с перспективой развития.
Поэтому максимальный интерес представляет любая информация о будущем –
ситуациях, ресурсах, открытиях и изобретениях. В результате этого
прогнозирование является важнейшей и сложнейшей частью системного анализа.
VIII. Ряд социальных, политических, моральных, эстетических и других
факторов, которые нельзя не принимать во внимание в системном анализе (они
иногда решающие), не исчисляются количественно. Единственный способ их
учета – это получение субъективных оценок экспертов. Поскольку системный
анализ, как правило, имеет дело с неструктуризованными или слабо
69
структуризованными, то есть лишенными количественных оценок, проблемами,
то получение оценок специалистов и их обработка представляется необходимым
этапом системного анализа большинства проблем.
IX. Несоответствие потребностей и средств удовлетворения составляют
закон и важнейший стимул социально-экономического развития. Поскольку
понятия цели и средств ее достижения неотделимы, то центральным моментом
принятия решений в системном анализе является усечение целей: отсечение тех
целей, которые признаны малозначащими или не имеющими средств для
достижения, и отбор конкретных вариантов достижения взаимосвязанного
комплекса важнейших целей. В системных исследованиях «инженерного» типа
отбор альтернатив считается самой важной, если не единственной задачей
системного анализа.
X. Проблемы народнохозяйственного управления, решаемые методами
системного анализа, возникают в реально существующих органах управления.
Задачей системного анализа большей частью является не создание нового органа
управления, а усовершенствование существующих. Поэтому возникает
необходимость в диагностическом анализе органов управления, направленном на
выявление их возможностей, недостатков и т.п. Новая система будет эффективно
внедряться в том случае, если она облегчает работу органа управления.
XI. Результаты системного анализа получаются в рамках системных понятий.
Для практического планирования они должны быть переведены на язык
социально-экономических категорий. В результате решения задач системного
анализа крупных народнохозяйственных проблем создаются комплексные
программы развития.
XII. Системный анализ имеет ряд специфических методов и приемов
проектирования эффективных органов управления, ориентированных на цель, то
есть создание и использование определенной системы в народном хозяйстве.
70
Глава 6. Методы принятия решений в сложных системах
Необходимость принимать решения, для которых не удается полностью
учесть предопределяющие их условия, а также последующее их влияние,
встречается во всех областях техники, экономики и социальных наук. В
системном анализе, как правило, возникает потребность в принятии сложных
решений, последствия которых бывают очень весомы. Если принятия решений в
условиях неопределенности ранее нередко удавалось избежать, требуя от
заказчика более полную информацию, то, имея дело со сложными системами и
процессами, проектант должен сам оценивать и устранять многие
неопределенности, уточнение которых он более не может перекладывать на
заказчика.
6.1. Основные понятия исследования операций
Операцией называется всякое мероприятие (система действий),
объединенное единым замыслом и направленное на достижение какой-то цели.
Цель исследования операций − предварительное количественное
обоснование оптимальных решений.
Всякий определенный выбор зависящих от нас параметров называется
решением. Оптимальными называются решения, по тем или другим признакам
предпочтительные перед другими.
Параметры, совокупность которых образует решение, называются
элементами решения.
Множеством допустимых решений называются все решения,
удовлетворяющие заданным условиям.
Показатель эффективности – количественная мера, позволяющая
сравнивать разные решения по эффективности.
Все решения принимаются всегда на основе информации, которой
располагает лицо, принимающее решение (ЛПР).
Каждая задача в своей постановке должна отражать структуру и динамику
знаний ЛПР о множестве допустимых решений и о показателе эффективности.
Задача называется статической, если принятие решения происходит в
заранее известном и не изменяющемся информационном состоянии. Если
информационные состояния в ходе принятия решения сменяют друг друга, то
задача называется динамической.
Следует рассмотреть процесс принятия решений с самых общих позиций.
Психологами установлено, что решение не является начальным процессом
творческой деятельности. Оказывается, непосредственно акту решения
предшествует тонкий и обширный процесс работы мозга, который формирует и
предопределяет направленность решения. В этот этап, который можно назвать
«предрешением» входят следующие элементы:
71
- мотивация, то есть желание или необходимость что-то сделать. Мотивация
определяет цель какого-либо действия, используя весь прошлый опыт,
включая результаты;
- возможность неоднозначности результатов;
- возможность неоднозначности способов достижения результатов, то есть
свобода выбора.
После этого предварительного этапа следует, собственно, этап принятия
решения. Но на данном этапе процесс не заканчивается, так как обычно после
принятия решения следует оценка результатов и корректировка действий. Таким
образом, принятие решений следует воспринимать не как единовременный акт, а
как последовательный процесс.
Выдвинутые выше положения носят общий характер, обычно подробно
исследуемый психологами. Более близкой с точки зрения инженера будет схема
процесса принятия решения, включающая в себя следующие компоненты:
- анализ исходной ситуации;
- анализ возможностей выбора;
- выбор решения;
- оценка последствий решения и его корректировка.
В зависимости от степени определенности возможных исходов или
последствий различных действий, с которыми сталкивается ЛПР, в теории
принятия решений рассматриваются три типа моделей:
- выбор решения в условиях определенности, если относительно каждого
действия известно, что оно неизменно приводит к некоторому конкретному
исходу;
- выбор решения в условиях риска (частичной неопределенности), если
каждое действие приводит к одному из множества возможных частных
исходов, причем каждый исход имеет вычисляемую или экспертно
оцениваемую вероятность появления. Предполагается, что ЛПР эти
вероятности известны или их можно определить путем экспертных оценок;
- выбор решения в условиях неопределённости, когда то или иное действие
или несколько действий имеют своим следствием множество частных
исходов, но их вероятности не известны или не имеют смысла;
- выбор решения в условиях конфликта или противодействия (активного
противника).
6.2. Постановка задач принятия оптимальных решений
Этому классу задач соответствует условие полной определенности ЛПР.
Несмотря на то что методы принятия решений отличаются универсальностью, их
успешное применение в значительной мере зависит от профессиональной
подготовки специалиста, который должен иметь четкое представление о
специфических особенностях изучаемой системы и уметь корректно поставить
задачу. Искусство постановки задач постигается на примерах успешно
реализованных разработок и основывается на четком представлении
преимуществ, недостатков и специфики различных методов оптимизации. В
72
первом приближении можно сформулировать следующую последовательность
действий, которые составляют содержание процесса постановки задачи:
- установление границы подлежащей оптимизации системы, то есть
представление системы в виде некоторой изолированной части реального
мира. Расширение границ системы повышает размерность и сложность
многокомпонентной системы и тем самым затрудняет ее анализ.
Следовательно, в инженерной практике следует осуществлять
декомпозицию сложных систем на подсистемы, которые можно изучать по
отдельности без излишнего упрощения реальной ситуации;
- определение показателя эффективности, на основе которого можно
оценить характеристики системы или ее проекта с тем, чтобы выявить
«наилучший»
проект
или
множество
«наилучших»
условий
функционирования системы. В приложениях обычно выбираются
показатели экономического (издержки, прибыль и т.д.) или
технологического (производительность, энергоемкость, материалоемкость и
т.д.)
характера. «Наилучшему» варианту
всегда соответствует
экстремальное значение показателя эффективности функционирования
системы;
- выбор внутрисистемных независимых переменных, которые должны
адекватно описывать допустимые проекты или условия функционирования
системы и способствовать тому, чтобы все важнейшие техникоэкономические решения нашли отражение в формулировке задачи;
- построение модели, которая описывает взаимосвязи между переменными
задачи и отражает влияние независимых переменных на значение
показателя эффективности. Несмотря на то, что модели принятия
оптимальных решений отличаются универсальностью, их успешное
применение зависит от профессиональной подготовки специалиста,
который должен иметь полное представление о специфике изучаемой
системы.
Все оптимизационные задачи имеют общую структуру. Их можно
классифицировать как задачи минимизации (максимизации) M-векторного
векторного показателя эффективности Wm(x), m=1,2,…,M, N-мерного векторного
аргумента x=(x1,x2,...,xN), компоненты которого удовлетворяют системе
ограничений-равенств hk(x)=0, k=1,2,…,K, ограничений-неравенств gj(x)>0,
j=1,2,…J, областным ограничениям xli < xi < xui , i=1,2,…,N.
Для принятия решений в условиях определенности разработан и широко
используется на практике аппарат, который получил название математического
программирования. Задачи математического программирования делятся на:
- задачи линейного программирования (W(x), hk(x), gj(x) − линейны);
- задачи нелинейного программирования (W(x), hk(x), gj(x) − нелинейны);
- задачи целочисленного программирования (x − целочисленны);
- задачи динамического программирования (x − зависят от временного
фактора).
73
6.3. Риск и его измерение
Любая сфера человеческой деятельности в особенности экономика и бизнес,
связана с принятием решений в условиях неполноты информации. Источники
неопределенности могут быть самые разнообразные: нестабильность
экономической и политической ситуации, неопределенность действий партнеров
по бизнесу, неопределенность спроса на товары, неабсолютная надежность
процессов производства, неточность информации, погодные условия и др.
Выбор решения в условиях частичной или полной неопределенности
называют игрой с природой. Отличительная особенность игры с природой
состоит в том, что в ней сознательно действует только один из участников – ЛПР,
называемый игроком 1. Игрок 2 (природа) сознательно против игрока 1 не
действует, а выступает как не имеющий конкретной цели и случайным образом
выбирающий очередные «ходы» партнер по игре. Поэтому термин «природа»
характеризует некую объективную действительность.
Под риском принято понимать вероятность (угрозу) потери лицом или
организацией части своих ресурсов, недополучения доходов или появления
дополнительных расходов в результате осуществления определенной
производственной и финансовой политики.
Риск подразделяется на динамический и статический. Динамический риск
связан с возникновением непредвиденных изменений стоимости основного
капитала вследствие принятия управленческих решений, а также рыночных или
политических обстоятельств. Статический риск обусловлен возможностью
потерь реальных активов вследствие нанесения ущерба собственности и потерь
дохода из-за недееспособности организации.
Исследование
риска
целесообразно
проводить
в
следующей
последовательности:
- выявление объективных и субъективных факторов, влияющих на
конкретный вид риска;
- анализ выявленных факторов;
- оценка конкретного вида риска с финансовых позиций, определяющая либо
финансовую состоятельность проекта, либо его экономическую
целесообразность;
- установка допустимого уровня риска;
- анализ отдельных операций по выбранному уровню риска;
- разработка мероприятий по снижению риска.
Мерой риска некоторого решения считают среднее квадратическое
отклонение значения показателя эффективности этого решения или операции.
Например, в качестве показателя эффективности финансового решения обычно
используют прибыль.
Пример 6.1. Пусть имеются два инвестиционных проекта. Первый с вероятностью
0,6 обеспечивает прибыль 15 млн.руб., однако с вероятностью 0,4 можно потерять
5,5 млн.руб. Для второго проекта с вероятностью 0,8 можно получить прибыль
10 млн. руб. и с вероятностью 0,2 потерять 6 млн. руб. Какой проект выбрать?
74
Решение. Оба проекта имеют одинаковую среднюю прибыльность, равную
6,8 млн. руб. (0,6⋅15+0,4⋅(-5,5) = 0,8⋅10+0,2⋅(-6) = 6,8). Однако среднее
квадратическое отклонение прибыли для первого проекта равно 10,04 млн. руб.
(0,6⋅(15-6,8)2+0,4⋅(-5,5-6,8)2)1/2 = 10,04), а для второго – 6,4 млн. руб. (0,8⋅(106,8)2+0,2⋅(-6-6,8)2)1/2 = 6,4), поэтому более предпочтителен второй проект.
6.4. Формальная структура принятия решений в условиях
неопределенности
6.4.1. Матрица решений
Принятие решения представляет собой выбор одного из некоторого
множества E рассматриваемых вариантов: Ei ∈ E. Каждым вариантом Ei
однозначно определяется некоторый результат (например, выигрыш, полезность
или надежность) ei. Эти результаты должны допускать количественную оценку.
Идет поиск варианта с наибольшим значением результата, то есть целью
max ei . Таким образом, выбор оптимального варианта
выбора является
i
производится с помощью критерия
⎧
⎫
E0 = ⎨ Ei 0 : Ei 0 ∈ E & ei 0 = max ei ⎬ .
(6.1)
i
⎩
⎭
При рассмотрении сложных структур и систем каждому допустимому
варианту решения Ei могут соответствовать различные внешние условия
(состояния) Fj и результаты eij решений.
Под результатом eij решения понимают оценку, соответствующую варианту
Ei и условиям Fj и характеризующую экономический эффект (прибыль),
полезность, надежность и т.д. Такой результат называют полезностью решения.
Семейство решений описывается некоторой матрицей (таблица 6.1)
Таблица 6.1
E1
E2
Матрица решений ⎨eij⎬
F1
F2
…
e11
e12
…
e21
e22
…
…
…
Fn
e1n
e2n
Em
em1
em2
emn
…
…
…
…
Увеличение объема семейства по сравнению с детерминированной ситуацией
(одному варианту соответствует одно решение) связано как с недостатком
информации, так и с многообразием возможностей. Первоначальная задача
максимизации (6.1) должна быть заменена другой, учитывающей все последствия
любого из вариантов решения Ei.
75
6.4.2. Оценочная функция
Чтобы прийти к однозначному и по возможности оптимальному решению
даже в том случае, когда каким-то вариантам решений Ei могут соответствовать
различные условия Fj, можно ввести подходящие оценочные (целевые) функции.
При этом матрица решений ⎨eij⎬ сводится к одному столбцу. Каждому варианту
Ei приписывается, таким образом, некоторый результат eir, характеризующий в
целом все последствия этого решения.
Процедуру выбора можно теперь представить по аналогии с применением
критерия (6.1). Возникает, однако, проблема, какой смысл вложить в результат eir.
Способ построения оценочных функций приведен в таблице 6.2.
E1
E2
Таблица 6.2
e1r
e2r
Ei
eir
…
…
…
…
Em
emr
Ниже приведены различные оценочные функции, а также соответствующие
им исходные позиции.
Оптимистическая позиция:
max eir = max(max eij ) .
(6.2)
i
i
j
Из матрицы решений ⎨eij⎬ (табл.6.1) выбирается вариант (строка),
содержащий в качестве возможного решения наибольший из всех возможных
результатов. Делается ставка на то, что выпадет наивыгоднейший случай, и
исходя из этого выбирается решение.
Позиция нейтралитета:
1 n
max eir = max( ∑ eij ) .
(6.3)
i
i
n j =1
ЛПР исходит из того, что все встречающиеся отклонения результата решения
от «среднего» случая допустимы, и выбирает результат, оптимальный с этой
точки зрения.
Пессимистическая позиция:
max eir = max(min eij ) .
(6.4)
j
i
i
ЛПР исходит из того, что надо ориентироваться на наименее благоприятный
случай и приписывает каждому из альтернативных вариантов наихудший из
возможных результатов. При этом выбирается самый выгодный вариант, то есть
ЛПР ожидает наилучшего результата в наихудшем случае.
Позиция относительного пессимизма:
min eir = min max(max eij − eij ) .
(6.5)
i
i
j
i
76
Для каждого варианта решения ЛПР оценивает потери в результате по
сравнению с определенным по каждому варианту наилучшим результатом, а
затем из совокупности наихудших результатов выбирает наилучший согласно
представленной оценочной функции.
Примеры оценочных функций можно продолжить и далее. Некоторые из них
получили широкое распространение в хозяйственной деятельности. Так, если
условия эксплуатации, внешние факторы заранее неизвестны, ориентируются
обычно на наименее благоприятную ситуацию, которой соответствует оценочная
функция (6.4). Нередко используются также функции (6.3) и (6.5).
Всякое техническое или экономическое решение в условиях неполной
информации – сознательно или неосознанно – принимается в соответствии с
какой-либо оценочной функцией. Как только это бывает признано явно,
последствия соответствующих решений становятся лучше обозримыми, что
позволяет улучшить их качество. При этом выбор оценочных функций всегда
должен осуществляться с учетом количественных характеристик ситуации, в
которой принимаются решения.
6.5. Классические критерии принятия решений
6.5.1. Максиминный критерий Вальда
Максиминный критерий Вальда (ММ-критерий) использует оценочную
функцию (6.4), соответствующую позиции крайней осторожности.
При
Z MM = max eir
i
и
eir = min eij
j
справедливо соотношение
E 0 = ⎧⎨ E i 0 : E i 0 ∈ E & e i 0 = max min e ij ⎫⎬ ,
(6.6)
j
i
⎩
⎭
где ZMM – оценочная функция ММ-критерия.
Правило выбора решения в соответствии с ММ-критерием можно
интерпретировать следующим образом.
Матрица решений ⎨eij⎬ дополняется еще одним столбцом из наименьших
результатов eir каждой строки. Выбрать надлежит те варианты Ei0, в
строках которых стоят наибольшие значения eir этого столбца.
Выбранные таким образом варианты полностью исключают риск. В
соответствии с этим критерием из всех самых неудачных результатов выбирается
лучший. Это перестраховочная позиция крайнего пессимизма, рассчитанная на
худший случай. Такая стратегия приемлема, например, когда ЛПР не столь
заинтересован в крупной удаче, но хочет себя застраховать от неожиданных
проигрышей, то есть ЛПР не может столкнуться с худшим результатом, чем тот,
на который он ориентируется. Это свойство позволяет считать максиминный
77
критерий одним из фундаментальных. В приложениях он применяется чаще
всего. Однако положение об отсутствии риска стоит различных потерь.
Применение ММ-критерия целесообразно, если ситуация, в которой
принимается решение, характеризуется следующими обстоятельствами:
- о возможности появления внешних состояний Fj ничего не известно;
- приходится считаться с появлением различных внешних состояний Fj;
- решение реализуется лишь один раз;
- необходимо исключить какой бы то ни было риск, т.е. ни при каких
условиях Fj не допускается получать результат, меньший, чем ZMM.
6.5.2. Критерий Байеса − Лапласа
При построении оценочной функции ZMM (по ММ-критерию) каждый
eij . Критерий
вариант Ei представлен лишь одним из своих результатов eir = min
j
Байеса − Лапласа (BL-критерий), напротив, учитывает каждое из возможных
следствий.
Пусть qj – вероятность появления внешнего состояния Fj. Тогда для BLкритерия
Z BL = max eir ,
i
n
eir = ∑ eij q j ,
j =1
n
n
⎧
⎫
E0 = ⎨ Ei 0 : Ei 0 ∈ E & ei 0 = max ∑ eij q j & ∑ q j = 1⎬ .
(6.7)
i
j =1
j =1
⎩
⎭
Правило выбора решения в соответствии с BL-критерием следующее.
Матрица решений ⎨eij⎬ дополняется еще одним столбцом, содержащим
математическое ожидание значений каждой из строк. Выбираются те
варианты Ei0, в строках которых стоит наибольшее значение eir этого
столбца.
При этом предполагается, что ситуация, в которой принимается решение,
характеризуется следующими обстоятельствами:
- вероятности появления внешних состояний Fj известны и не зависят от
времени;
- решение реализуется (теоретически) бесконечное число раз;
- для малого числа реализаций решения допускается некоторый риск.
При достаточно большом количестве реализаций среднее значение
постепенно стабилизируется. Поэтому при полной (бесконечной) реализации
какой-либо риск практически исключен.
Исходная позиция при применении BL-критерия оптимистичнее, чем в
случае ММ-критерия, однако она предполагает более высокий уровень
информированности и достаточно длинные реализации.
78
6.5.3. Критерий минимаксного риска Сэвиджа
Критерий минимаксного риска Сэвиджа реализует оценочную функцию
(6.5). С помощью обозначений
a ij = max eij − eij
(6.8)
i
и
eir = max aij = max(max eij − eij )
j
j
i
формируется оценочная функция
Z S = min eir = min ⎡max (max eij − eij )⎤ ,
(6.9)
⎥⎦
i
i ⎢
i
⎣ j
и строится множество оптимальных вариантов решения
⎫
⎧
E 0 = ⎨ Ei 0 : Ei 0 ∈ E & ei 0 = min max aij ⎬ .
i
j
⎭
⎩
Для понимания этого критерия определяемую соотношением (6.8) величину
aij можно трактовать по-разному:
- как максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в
состоянии Fj вместо варианта Ei выбрать другой, оптимальный для этого
внешнего состояния вариант;
- как потери (риск), возникающие в состоянии Fj при замене оптимального
для него варианта на вариант Ei.
Соответствующее критерию Сэвиджа правило выбора решения выглядит так.
Каждый элемент матрицы решений ⎨eij⎬ вычитается из наибольшего
eij соответствующего столбца. Разности aij образуют
результата max
i
матрицу остатков (рисков) ⎨aij⎬. Эта матрица пополняется столбцом
наибольших разностей eir . Выбираются те варианты Ei0 , в строках которых
стоит наименьшее для этого столбца значение.
По выражению (6.9) оценивается значение результатов тех состояний,
которые вследствие выбора соответствующего распределения вероятностей,
оказывают одинаковое влияние на решение. С точки зрения матрицы решений
⎨eij⎬ критерий Сэвиджа связан с риском, однако, с позиций матрицы ⎨aij⎬, он от
риска свободен. В остальном, к ситуации принятия решений предъявляются те же
требования, что и в случае ММ-критерия.
6.5.4. Критерий азартного игрока
Критерий азартного игрока использует оценочную функцию (6.2),
соответствующую позиции крайнего оптимизма.
При
Z A = max eir
i
и
eir = max eij
j
79
справедливо соотношение
⎧
⎫
E0 = ⎨ Ei 0 : Ei 0 ∈ E & ei 0 = max max eij ⎬ ,
i
j
⎩
⎭
где ZA – оценочная функция критерия азартного игрока.
Правило выбора решения по данному критерию следующее.
Матрица решений ⎨eij⎬ дополняется еще одним столбцом из наибольших
результатов eir каждой строки. Выбрать надлежит те варианты Ei0, в
строках которых стоят наибольшие значения eir этого столбца.
С помощью критерия азартного игрока определяется стратегия,
максимизирующая максимальные выигрыши для каждого состояния. Это
критерий крайнего оптимизма.
Следует отметить, что ситуации, требующие применения такого критерия в
экономике, в общем, нередки, и пользуются им не только безоглядные
оптимисты, но и игроки, поставленные в безвыходное положение, когда они
вынуждены руководствоваться принципом «или пан, или пропал».
6.5.5. Применение классических критериев
Из
требований,
предъявляемых
рассмотренными
критериями
к
анализируемой ситуации, становится ясно, что вследствие их жестких исходных
позиций они применимы только для идеализированных практических решений. В
случаях, когда требуется слишком сильная идеализация, можно одновременно
применять поочередно различные критерии. После этого среди нескольких
вариантов, отобранных таким образом в качестве оптимальных, приходится всетаки волевым образом выделять некоторое окончательное решение. Такой подход
позволяет, во-первых, лучше проникнуть во все внутренние связи проблемы принятия решений и, во-вторых, ослабляет влияние субъективного фактора.
Пример 6.2. При работе ЭВМ необходимо периодически приостанавливать
обработку информации и проверять ЭВМ на наличие в ней вирусов.
Приостановка в обработке информации приводит к экономическим издержкам. В
случае же если вирус вовремя обнаружен не будет, возможна потеря и некоторой
части информации, что приведёт к ещё большим убыткам.
Варианты решения таковы:
Е1– полная проверка;
Е2– минимальная проверка;
Е3– отказ от проверки.
ЭВМ может находиться в следующих состояниях:
F1– вирус отсутствует;
F2– вирус есть, но он не успел повредить информацию;
F3– есть файлы, нуждающиеся в восстановлении.
Результаты (в тысячах), включающие затраты на поиск вируса, его
ликвидацию и на восстановление информации имеют вид (табл. 6.3):
80
Таблица 6.3
Критерий BL
ММ-критерий
F1
F2
F3
eir= min eij
j
E1
E2
E3
-20,0 -22,0 -25,0
-14,0 -23,0 -31,0
0,0 -24,0 -40,0
-25,0
-31,0
-40,0
max eir
i
eir = ∑ e ij
j
-25,0
-22,33
-22,67
-21,33
max eir
i
-21,33
Критерий
азартного игрока
eir= max eij max ei
j
-20,0
-14,0
0,0
i
0,0
Согласно ММ-критерию следует проводить полную проверку (E0=E1).
Критерий азартного игрока и критерий Байеса-Лапласа, в предположении, что все
состояния машины равновероятны, P(Fj) = qj = 0,33, рекомендуют отказаться от
проверки (E0=E3).
Матрица рисков для этого примера и их оценка (в тысячах) согласно
критерию Сэвиджа имеют вид (табл. 6.4):
Таблица 6.4
E1
E2
E3
F1
F2
F3
+20,0
+14,0
0,0
0,0
+1,0
+2,0
0,0
+6,0
+15,0
Критерий Сэвиджа
eir= min aij
min eir
j
+20,0
+14,0
+15,0
j
+14,0
По критерию Сэвиджа в качестве оптимальной рекомендуется минимальная
проверка (E0=E2).
В рассмотренном примере критерии предлагают разные решения. Это делает
неясным, какому критерию следовать.
Поскольку различные критерии связаны с различными же аспектами
ситуации, в которой принимается решение, лучше всего для сравнительной
оценки рекомендаций тех или иных критериев получить дополнительную
информацию о самой ситуации. Если принимаемое решение относится к сотням
объектов с одинаковыми параметрами, то целесообразно придерживаться
критерия Байеса – Лапласа. Если же число реализации невелико, то больший вес
приобретают более осторожные рекомендации критериев Вальда и Сэвиджа.
6.6. Производные критерии принятия решений
6.6.1. Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица
С целью занять наиболее уравновешенную позицию был предложен
критерий Гурвица, оценочная функция которого находится где-то между
точками зрения предельного оптимизма (6.2) и крайнего пессимизма (6.4):
Z HW = max eir ,
i
81
eir = c min eij + (1 − c) max eij .
j
(6.10)
j
Тогда
⎧
⎫
⎡
⎤
E 0 = ⎨ Ei 0 : Ei 0 ∈ E & ei 0 = max ⎢c min eij + (1 − c) max eij ⎥ & 0 ≤ c ≤ 1⎬ ,
i
j
⎣ j
⎦
⎩
⎭
где с – весовой множитель.
Правило выбора согласно критерию Гурвица формулируется следующим
образом:
Матрица решений ⎨eij⎬ дополняется столбцом, содержащим средние
взвешенные значения наименьшего и наибольшего результатов для каждой
строки (6.10). Выбираются те варианты Ei0, в строках которых стоят
наибольшие элементы eir этого столбца.
При с = 1 критерий Гурвица превращается в ММ-критерий. При с = 0 он
превращается в критерий азартного игрока. Отсюда ясен смысл весового
множителя с. В приложениях правильно выбрать этот множитель бывает так же
трудно, как правильно выбрать критерий. Поэтому чаще всего весовой множитель
с = 0,5 принимается в качестве некоторой «средней» точки зрения.
Критерий Гурвица предъявляет к ситуации, в которой принимается решение,
следующие требования:
- о вероятностях появления состояний Fj ничего не известно;
с появлением состояний Fj необходимо считаться;
- реализуется лишь малое количество решений;
- допускается некоторый риск.
6.6.2. Критерий Ходжа-Лемана
Критерий Ходжа – Лемана (HL) опирается одновременно на ММ-критерий
(6.6) и BL-критерий (6.7). С помощью параметра ν выражается степень доверия к
используемому распределению вероятностей. Если это доверие велико, то акцентируется BL-критерий, в противном случае предпочтение отдается ММкритерию.
Оценочная функция определяется равенством
Z HL = max eir ,
i
n
eir = ν ∑ eij q j + (1 − ν ) min eij ,0 ≤ ν ≤ 1,
j =1
j
(6.11)
а множество HL-оптимальных решений записывается в виде
⎧⎪
⎫⎪
⎡ n
⎤
E 0 = ⎨ Ei 0 : Ei 0 ∈ E & ei 0 = max ⎢ν ∑ eij q j + (1 − ν ) min eij ⎥ & 0 ≤ ν ≤ 1⎬.
j
i
⎪⎩
⎪⎭
⎣ j =1
⎦
Правило
выбора,
соответствующее
HL-критерию,
формулируется
следующим образом.
Матрица решений ⎨eij⎬ дополняется столбцом, составленным из средних
взвешенных (с постоянными весами) математического ожидания и
82
наименьшего результата каждой строки (6.11). Отбираются те варианты
решений Ei0, в строках которых стоит наибольшее значение этого столбца.
Для ν = l HL-критерий переходит в BL-критерий, а для ν = 0 превращается в
ММ-критерий.
Степень уверенности в какой-либо функции распределения практически не
поддается оценке. Сам критерий тоже не дает для этого точки опоры. Таким
образом, выбор параметра ν подвержен влиянию субъективизма. Кроме того, без
внимания остается и число реализаций. Поэтому HL-критерий применяется при
принятии решений крайне редко.
Требования HL-критерия к ситуации, в которой принимается решение,
следующие:
- вероятности появления состояний Fj неизвестны, но некоторые
предположения о распределениях вероятностей возможны;
- принятое решение теоретически допускает бесконечно много реализаций;
- при малых количествах реализаций допускается некоторый риск.
6.6.3. Критерий Гермейера
Опираясь на подход к отысканию эффективных и пригодных к компромиссу
решений, которые не считаются заведомо худшими, чем другие, − можно
предложить критерий Гермейера (G), обладающий в некотором отношении
определенной эластичностью. Он с самого начала ориентирован на величины
потерь, то есть на отрицательные значения всех еij.
В качестве оценочной функции выступает
Z G = max eir ,
i
eir = min eij q j .
j
Множество оптимальных по данному критерию решений записывается в виде
⎧
⎫
E 0 = ⎨ E i 0 : E i 0 ∈ E & ei 0 = max min eij q j & eij < 0⎬.
j
i
⎩
⎭
Поскольку в хозяйственных задачах преимущественно имеют дело с ценами
и затратами, условие eij < 0 обычно выполняется. В случае же, когда среди
величин еij встречаются и положительные значения, можно перейти к строго
отрицательным значениям с помощью преобразования еij - а при подходящим
образом подобранном а > 0. Следует, однако, иметь в виду, что оптимальный
вариант решения зависит от а.
Правило выбора согласно G-критерию формулируется следующим образом.
Матрица решений ⎨eij⎬ дополняется еще одним столбцом, содержащем в
каждой строке наименьшее произведение имеющегося в ней результата на
вероятность соответствующего состояния Fj. Выбираются те варианты
Ei0, в строках которых находится наибольшее значение eir этого столбца.
В известном отношении G-критерий обобщает ММ-критерий. В случае
равномерного распределения qj = 1/n, j=1, …, n, они становятся идентичными.
83
Условия применимости G-критерия таковы:
- вероятности появления состояний Fj известны;
- с появлением тех или иных состояний, отдельно или в комплексе,
необходимо считаться;
- допускается некоторый риск;
- решение может реализоваться один или много раз.
Если функция распределения известна не очень надежно, а числа реализаций
малы, то, следуя G-критерию, получают неоправданно большой риск. Таким
образом, здесь остается некоторая свобода для субъективных действий.
6.6.4. BL (MM)-критерий
Стремление получить критерии, которые бы лучше приспосабливались к
имеющейся ситуации, чем все, до сих пор рассмотренные, привело к построению
так называемых составных критериев. В качестве примера рассмотрим критерий,
полученный путем объединения критериев Байеса−Лапласа и максиминного.
Правило выбора для этого критерия формулируется следующим образом.
Матрица решений ⎨eij⎬ дополняется еще тремя столбцами. В первом из них
записываются математические ожидания каждой из строк, во втором – разность
между опорным значением
ei0 j0 = max min eij и наименьшим значением min eij
j
i
j
соответствующей строки. В третьем столбце помещаются разности между
ei0 j
наибольшим значением каждой строки max eij и наибольшим значением max
j
j
той строки, в которой находится значение ei0 j0 . Выбираются те варианты E i0 ,
строки которых (при соблюдении приводимых ниже соотношений между
элементами второго и третьего столбцов) дают наибольшее математическое
ожидание. А именно, соответствующее значение оценок риска εi
ε i = ei0 j0 − min eij
j
из второго столбца должно быть не больше некоторого заранее заданного уровня
риска εдоп. Значение же из третьего столбца должно быть больше значения из
второго столбца.
Применение этого критерия обусловлено следующими признаками ситуации,
в которой принимается решение:
- вероятности появления состояний Fj неизвестны, однако имеется некоторая
априорная информация в пользу какого-либо определенного распределения;
- необходимо считаться с появлением различных состояний, как по
отдельности, так и в комплексе;
- допускается ограниченный риск;
- принятое решение реализуется один раз или многократно.
BL(MM)-критерий хорошо приспособлен для построения практических
решений прежде всего в области техники и может считаться достаточно
84
надежным. Однако заданные границы риска εдоп и, соответственно, оценок риска
εi не учитывает ни число применения решения, ни иную подобную информацию.
Влияние субъективного фактора хотя и ослаблено, но не исключено полностью.
Условие max eij − max ei0 j ≥ ε i существенно в тех случаях, когда решение
j
j
реализуется только один или малое число раз. В этих условиях недостаточно
ориентироваться на риск, связанный только с невыгодными внешними
состояниями и средними значениями. Из-за этого можно понести некоторые
потери в удачных внешних состояниях. При большом числе реализаций данное
условие перестает быть таким уж важным и допускает разумные альтернативы
6.6.5. Критерий произведений
Критерий произведений с самого начала ориентирован на величины
выигрышей, то есть на положительные значения eij.
Оценочная функция:
Z P = max eir ,
i
eir = ∏ eij .
j
Тогда
⎧
⎫
E 0 = ⎨ E i 0 : E i 0 ∈ E & ei 0 = max ∏ eij & eij > 0⎬.
i
j
⎩
⎭
Правило выбора в этом случае формулируется так.
Матрица решений ⎨eij⎬ дополняется новым столбцом, содержащим
произведения всех результатов каждой строки. Выбираются те варианты
Ei0, в строках которых находятся наибольшие значения этого столбца.
Критерий произведений используют, когда:
- вероятности появления состояний Fj неизвестны;
- с появлением каждого из состояний Fj по отдельности необходимо
считаться;
- критерий применим и при малом числе реализации решения;
- некоторый риск допускается.
Как уже упоминалось, критерий произведений приспособлен в первую
очередь для случаев, когда все еij положительны. Если указанное условие
нарушается, а критерий приходится применять и в этом случае, то следует
eij . Результат
выполнить некоторый сдвиг еij + а с некоторой константой a > min
i, j
применения критерия существенно зависит от этого значения а. На практике в
eij + 1 . Если же никакая
качестве значения а часто используют величину min
i, j
85
константа не может быть признана имеющей смысл, то к таким проблемам
критерий произведений не применим.
Выбор оптимального решения по данному критерию оказывается
значительно менее пессимистическим, чем, например, выбор в соответствии с
ММ-критерием. В результате применения критерия произведений происходит
некоторое выравнивание между большими и малыми значениями eij, и,
устанавливая оптимальный вариант решения с помощью этого критерия, можно
при фиксированных состояниях Fj получить большую выгоду, чем при
использовании ММ-критерия, но при этом должна учитываться возможность
появления и худших результатов. Следует отметить, что при использовании этого
критерия ни число реализаций, ни информация о распределении вероятностей не
принимаются во внимание.
Если оптимальный результат, полученный согласно критерию произведений,
определяется преимущественно малыми значениями результатов, это указывает
на довольно-таки пессимистический подход, аналогичный ММ-критерию. При
возрастании полезного эффекта пессимистический акцент снижается, и по
существу происходит все большее сближение данного критерия с нейтральным.
6.6.6. Применение производных критериев
Для построения оптимальных вариантов решения согласно производным
критериям нужно рассмотреть матрицу решений о проведении проверок ЭВМ из
примера 6.2 пункта 6.5.5.
Построение оптимального решения для матрицы решений о проверках по
критерию Гурвица имеет вид (при c =0,5, данные приведены в 103):
Таблица 6.5
e ij
-20,0
-14,0
0,0
c min eij
(1-c) max eij
eir
max eir
-12,5
-15,5
-20,0
-10,0
-7,0
0,0
-22,5
-22,5
-20,0
-20,0
j
-22,0
-23,0
-24,0
-25,0
-31,0
-40,0
j
i
В данном примере у решения имеется поворотная точка относительно
весового множителя c : до 0,57 в качестве оптимального выбирается Е3, а при
больших значениях – Е1.
Применение критерия Ходжа-Лемана (q = 0,33, ν = 0,5, данные в 103):
∑e q
ij
j
j
-22,33
-22,67
-21,33
min eij
j
-25,0
-31,0
-40,0
Таблица 6.6
ν⋅ ∑ e ij q j
(1-ν) min eij
eir
max eir
-11,17
-11,34
-10,67
-12,5
-15,5
-20,0
-23,67
-26,84
-30,76
-23,67
j
j
86
i
Критерий Ходжа-Лемана рекомендует вариант Е1 (полная проверка) – так же
как и ММ-критерий. Смена рекомендуемого варианта происходит только при ν >
0,94. Поэтому равномерное распределение состояний рассматриваемой машины
должно распознаваться с очень высокой вероятностью, чтобы его можно было
выбрать по большему математическому ожиданию. При этом число реализаций
решения всегда остаётся произвольным.
Критерий Гермейера при qj = 0,33 даёт следующий результат (в 103):
Таблица 6.7
e ij
-20,0
-14,0
0,0
-22,0
-23,0
-24,0
eij q j
-25,0
-31,0
-40,0
-6,67
-4,67
0,0
eir = min eijqj
max eir
-8,33
-10,33
-13,33
-8,33
j
-7,33
-7,67
-8,0
-8,33
-10,33
-13,33
i
В качестве оптимального выбирается вариант Е1. Сравнение вариантов с
помощью величин eir показывает, что способ действия критерия Гермейера
является даже более гибким, чем у ММ-критерия.
В таблице 6.8 решение выбирается в соответствии с BL(MM)-критерием при
q1=q2=q3=1/3 (данные в 103):
Таблица 6.8
eij
∑ eij q j
-20,0 -22,0 -25,0
-14,0 -23,0 -31,0
0,0 -24,0 -40,0
-22,33
-22,67
-21,33
j
ei0 j0 − min eij max eij
j
0,0
+6,0
+15,.0
j
-20,0
-14,0
0,0
max eij − max ei0 j
j
j
0,0
+6,0
+20,0
Вариант Е3 (отказ от проверки) принимается этим критерием только тогда,
когда риск приближается к εвозм = 15×103. В противном случае оптимальным
оказывается Е1. Во многих технических и хозяйственных задачах допустимый
риск бывает намного ниже, составляя обычно только незначительный процент от
общих затрат. В подобных случаях бывает особенно ценно, если неточное
значение распределения вероятностей сказывается не очень сильно. Если при
этом оказывается невозможным установить допустимый риск εдоп заранее,
независимо от принимаемого решения, то помочь может вычисление ожидаемого
риска εвозм . Тогда становится возможным подумать, оправдан ли подобный риск.
Такое исследование обычно дается легче.
Результаты применения критерия произведения при а = 41⋅103 и а = 200⋅103
имеют вид (данные в 103):
87
Таблица 6.9
eij + a
а=41
а=200
+21
+27
+41
+180
+186
+200
+19
+18
+17
+178
+177
+176
eir = П eij
max eir
6384
4860
697
5607
5563
5632
6384
j
+16
+10
+1
+175
+169
+160
i
5632
Условие eij > 0 для данной матрицы невыполнимо. Поэтому к элементам
матрицы добавляются (произвольно заданные) сначала а = 41⋅103, а затем а =
200⋅103. Для а = 41⋅103 оптимальным оказывается вариант Е1, а для а = 200⋅103 –
вариант Е3, так что зависимость оптимального варианта от а очевидна.
6.7. Принятие решений в условиях риска
Методы принятия решений в условиях риска разрабатываются и
обосновываются в рамках теории статистических решений. В этом случае
имеем «доброкачественную», или стохастическую, неопределенность, когда
состояниям природы поставлены в соответствие вероятности, заданные экспертно
либо вычисленные.
Критерии принятия решений в условиях риска могут использоваться те же,
что и в условиях неопределенности, а также некоторые специальные критерии,
например:
- критерий ожидаемого значения;
- критерий «ожидаемое значение – дисперсия»;
- критерий предельного уровня;
- критерий наиболее вероятного исхода.
Критерий ожидаемого значения максимизирует ожидаемую прибыль (или
минимизирует ожидаемые затраты). Использование ожидаемых величин
предполагает возможность многократного решения одной и той же задачи, пока
не будут получены достаточно точные расчётные формулы. Математически это
выглядит так: пусть Х – случайная величина с математическим ожиданием MX и
дисперсией DX. Если x1, x2, ..., xn – значения случайной величины X, то среднее
_ x + x +...+ x
2
n
имеет
арифметическое их (выборочное среднее) значений x = 1
n
_
DX
DX
. Таким образом, при n → ∞, имеем
→ 0 и x → MX.
дисперсию
n
n
Другими словами, при достаточно большом объёме выборки разница между
средним арифметическим и математическим ожиданием стремится к нулю (так
называемая предельная теорема теории вероятности). Следовательно,
использование критерия ожидаемого значения справедливо только в случае, когда
одно и тоже решение приходится применять достаточно большое число раз.
88
Справедливо и обратное: ориентация на ожидания будет приводить к неверным
результатам для решений, которые приходится принимать небольшое число раз.
Критерий
«ожидаемое
значение
–
дисперсия»
является
модификацией критерия ожидаемого значения. В нем максимизация
ожидаемого значения прибыли сочетается с минимизацией её дисперсии.
Критерий предельного уровня не дает оптимального решения, например,
максимизирующего прибыль, или минимизирующего затраты. ЛПР на основании
субъективных соображений определяет наиболее приемлемый способ действий.
Критерий наиболее вероятного исхода предполагает замену
случайной ситуации детерминированной путем замены случайной величины
прибыли (затрат) единственным, наиболее вероятным ее значением.
Использование данного критерия в значительной степени опирается на опыт
и интуицию. При этом необходимо учитывать два обстоятельства,
затрудняющие применение этого критерия:
- его нельзя использовать, если наибольшая вероятность события
недопустимо мала;
- применение критерия невозможно, если несколько значений
вероятностей возможного исхода равны между собой.
Пример 6.3. Требуется принять решение о том, когда необходимо проводить
профилактический ремонт ПЭВМ, чтобы минимизировать потери из-за
неисправности. В случае, если ремонт будет производиться слишком часто,
затраты на обслуживание станут большими при малых потерях из-за случайных
поломок.
Так как невозможно предсказать заранее, когда возникнет неисправность,
необходимо найти вероятность того, что ПЭВМ выйдет из строя в период
времени t. В этом и состоит элемент «риска».
Математически это выглядит так: ПЭВМ ремонтируется индивидуально,
если она остановилась из-за поломки. Через T интервалов времени выполняется
профилактический ремонт всех n ПЭВМ. Необходимо определить оптимальное
значение Т, при котором минимизируются общие затраты
на ремонт
неисправных ПЭВМ и проведение профилактического ремонта в расчёте на один
интервал времени.
Пусть рt – вероятность выхода из строя одной ПЭВМ в момент t, а nt –
случайная величина, равная числу всех вышедших из строя ПЭВМ в тот же
момент. Пусть далее С1 – затраты на ремонт неисправной ПЭВМ и С2 – затраты
на профилактический ремонт одной машины.
Применение критерия ожидаемого значения в данном случае оправдано, если
ПЭВМ работают в течение большого периода времени. При этом ожидаемые
затраты на один интервал составят:
T −1
C1 ∑ M (nt ) + C2 n
ОЗ = t =1
,
T
89
где M(nt) – математическое ожидание числа вышедших из строя ПЭВМ в момент
t. Так как nt имеет биномиальное распределение с параметрами (n, pt), то M(nt) =
npt . Таким образом,
T −1
n(C1 ∑ pt + C 2 )
t =1
ОЗ =
.
T
Необходимые условия оптимальности T* имеют вид:
ОЗ (T*-1) ≥ ОЗ (T*),
ОЗ (T*+1) ≥ ОЗ (T*).
Следовательно, начиная с малого значения T, вычисляют ОЗ(T), пока не будут
удовлетворены необходимые условия оптимальности.
Пусть С1 = 100; С2 = 10; n = 50. Значения pt имеют вид (табл. 6.10):
Таблица 6.10
T −1
T
1
рt
0,05
2
3
4
5
0,07
0,10
0,13
0,18
∑p
t =1
t
ОЗ(Т)
0
50 (100 ⋅ 0 + 10)
= 500
1
0,05
0,12
0,22
0,35
375
366,7
400
450
T*→ 3, ОЗ(Т*) → 366,7
Следовательно, профилактический ремонт необходимо делать через T* = 3
интервала времени.
6.8. Стратегические игры
6.8.1. Основные понятия теории стратегических игр
На практике часто появляется необходимость согласования действий фирм,
объединений, министерств и других участников хозяйственной деятельности в
случаях, когда их интересы не совпадают. Здесь имеем ситуацию, когда решение
принимается в условиях конфликта или противодействия (активного противника).
В таких ситуациях теория игр позволяет найти лучшее решение для поведения
участников, обязанных согласовать действия при столкновении интересов.
Теория игр – раздел математики для изучения конфликтных ситуаций. Это
значит, что можно выработать оптимальные правила поведения каждой стороны,
участвующей в решении конфликтной ситуации.
Игра – упрощенная формализованная модель реальной конфликтной
ситуации. Математически формализация означает, что выработаны определенные
правила действия сторон:
90
- исход игры при данном варианте действия;
- объем информации каждой стороны о поведении всех других сторон.
Выигрыш или проигрыш сторон оценивается численно, другие случаи в
теории игр не рассматриваются.
Игрок – одна из сторон в игровой ситуации. Стратегия игрока – его
правила действия в каждой из возможных ситуаций игры.
Платежная матрица (матрица эффективности, матрица игры) включает все
значения выигрышей (в конечной игре).
Пусть игрок 1 имеет m стратегий Ai (i=1, …,m), а игрок 2 – n стратегий Bj
(j=1, …, n). Игра может быть названа игрой m×n. Представим матрицу
эффективности игры двух лиц с нулевой суммой (табл. 6.11).
Таблица 6.11
Игрок 2
Игрок 1
A1
A2
B1
B2
…
Bn
αi
a11
a21
a12
a22
a1n
a2n
Am
am1
am2
…
…
…
…
…
α1
α2
…
αm
…
βj
…
β1
…
β2
…
amn
βn
В данной матрице элементы aij – значения выигрышей игрока 1 (могут
означать и математическое ожидание выигрыша, если выигрыш является
случайной величиной). Величины αi, (i=1, …,m) и βj, (j=1, …,n) – соответственно
минимальные значения элементов aij по строкам и максимальные – по столбцам.
В теории игр не существует установившейся классификации видов игр.
Однако по определенным критериям некоторые виды можно выделить.
Количество игроков. Если в игре участвуют две стороны, то ее называют
игрой двух лиц. Если число сторон больше двух, ее относят к игре n игроков.
Наибольший интерес вызывают игры двух лиц. Они и теоретически, и
практически более глубоко проработаны.
Количество стратегий игры. По этому критерию игры делятся на конечные
и бесконечные. В конечной игре каждый из игроков имеет конечное число
возможных стратегий. Если хотя бы один игрок имеет бесконечное число
возможных стратегий, то игра является бесконечной.
Взаимоотношения сторон. Согласно данному критерию игры делятся на
кооперативные, коалиционные и бескоалиционные. Если игроки не имеют право
вступать в соглашения, образовывать коалиции, то такая игра относится к
бескоалиционным; если игроки могут вступать в соглашения, создавать
коалиции – коалиционной. Кооперативная игра – это игра, в которой заранее
определены коалиции.
Характер выигрышей. Этот критерий позволяет классифицировать игры с
нулевой и с ненулевой суммой. Игра с нулевой суммой предусматривает условие:
91
«сумма выигрышей всех игроков в каждой партии равна нулю». Игры двух
игроков с нулевой суммой относят к классу антагонистических. В противном
случае имеем игру с ненулевой суммой.
Вид функции выигрышей. По этому критерию игры подразделяются на
матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые, сепарабельные и т.д.
Матричная игра – конечная игра двух игроков с нулевой суммой.
Матричные игры всегда имеют решения в смешанных стратегиях. Они могут
быть решены методами линейного программирования.
Биматричная игра – конечная игра двух игроков с ненулевой суммой. Для
биматричных игр также, как и для матричных, разработана теория оптимального
поведения игроков.
Если функция выигрышей каждого игрока является непрерывной, игра
считается непрерывной. Если функция выигрышей выпуклая, то и игра –
выпуклая.
Если функция выигрышей может быть разделена на сумму произведений
функций одного аргумента, то игра относится к сепарабельной.
Количество ходов. По этому критерию игры делятся на одношаговые и
многошаговые. Одношаговые игры заканчиваются после одного хода каждого
игрока. Многошаговые игры бывают позиционными, стохастическими,
дифференциальными и др.
Информированность сторон. По данному критерию различают игры с
полной и неполной информацией.
Оценки игры.
Для примера берется матричная игра, представленная матрицей выигрышей
m×n (см. табл. 6.11). Применяется принцип получения максимального
гарантированного результата при наихудших условиях. Игрок 1 стремится
принять такую стратегию, которая должна обеспечить максимальный проигрыш
игрока 2. Соответственно игрок 2 стремится принять стратегию,
обеспечивающую минимальный выигрыш игрока 1. Требуется рассмотреть оба
этих подхода.
Подход игрока 1. Он должен получить максимальный гарантированный
результат при наихудших условиях:
α i = min aij .
j
Чтобы этот гарантированный эффект в наихудших условиях был
максимальным, нужно из всех αi выбрать наибольшее значение. Обозначим его α
и назовем чистой нижней ценой игры («максимин»):
α = maxα i = max min aij .
i
i
j
Таким образом, максиминной стратегии отвечает строка матрицы, которой
соответствует элемент α. Какие бы стратегии ни применял игрок 2, игрок 1
максиминной чистой стратегией гарантирует себе выигрыш, не меньший, чем α.
Таково оптимальное поведение игрока 1.
92
Подход игрока 2. Своими оптимальными стратегиями он стремится
уменьшить выигрыш игрока 1, поэтому при каждой j-й чистой стратегии он
отыскивает величину своего максимального проигрыша
β j = max aij
i
в каждом j-м столбце, то есть определяет максимальный выигрыш игрока 1, если
игрок 2 применит j-ю чистую стратегию. Из всех своих n j-х чистых стратегий он
отыскивает такую, при которой игрок 1 получит минимальный выигрыш, то есть
определяет чистую верхнюю цену игры («минимакс»):
β = min β j = min max aij .
j
j
i
Чистая верхняя цена игры показывает, какой максимальный выигрыш может
гарантировать игрок 1, применяя свои чистые стратегии, − выигрыш, не меньший,
чем α. Игрок 2 за счет выбора своих чистых стратегий не допустит, чтобы игрок 1
мог получить выигрыш, больший, чем β. Таким образом, минимаксная стратегия
отображается столбцом платежной матрицы, в котором находится элемент β (см.
табл. 6.13). Она является оптимальной чистой, гарантирующей стратегией игрока
2, если он ничего не знает о действиях игрока 1.
Чистая цена игры v – цена данной игры, если нижняя и верхняя ее цены
совпадают:
ν = max min aij = min max aij .
j
j
i
i
В этом случае игра называется игрой с седловой точкой.
Пример 6.4. Определить верхнюю и нижнюю цены при заданной матрице игры и
указать максиминную и минимаксную стратегии. Представим матрицу игры с
обозначениями стратегий βj , αi (табл. 6.12).
Таблица 6.12
Bj
Ai
A1
A2
βj
B1
B2
B3
αi
1
4
4
2
5
5
3
6
6
1
4
Решение. Определяется нижняя цена игры:
α1 = 1; α2 = 4; α = 4 (см. столбец αi).
Определяется верхняя цена игры:
β1 = 4; β2 = 5; β3 = 6; β = 4 (см. строку βj).
Таким образом, α = β = ν = 4 – чистая цена игры при стратегиях A2 и B1. Игра
имеет седловую точку.
93
Пример 6.5. Дана матрица игры:
⎡ 3 5 8 6 11⎤
A=⎢
⎥.
⎣ 8 4 12 7 9 ⎦
Допустим, игроку 1 стало известно, что игрок 2 принял минимаксную стратегию.
Игрок 1 должен выбрать оптимальную стратегию при условии, что В2 − стратегия
игрока 2 (β = 5).
Решение. Определим максиминную стратегию игрока 1:
α1 = 3; α2 = 4; α = 4.
Стратегия игрока 1 – A2 – максиминная.
Выбирается оптимальная стратегия для игрока 1. Ею будет не максиминная
А2, дающая игроку 1 выигрыш α = 4, а та стратегия, которая соответствует
max aij . В этом случае его максимальный гарантированный выигрыш будет равен
i
верхней цене игры β = 5 , поэтому он выберет свою оптимальную стратегию А1,
зная, что игрок 2 выбрал свою стратегию В2. Таким образом, рассмотренный
пример дает результат, отличный от результата при игре с седловой точкой.
Стратегия является оптимальной, если ее применение обеспечит игроку
наибольший гарантированный выигрыш при любых возможных стратегиях
другого игрока.
На примере 6.5 показано, что бывают ситуации, когда игрок 1 может
получить выигрыш, превосходящий максиминный, если ему известны намерения
игрока 2.
При многократном повторении игры в сходных условиях можно добиться
гарантированного среднего выигрыша, превосходящего для игрока 1
максиминный.
6.8.2. Смешанные стратегии
Если в матричной игре отсутствует седловая точка в чистых стратегиях, то
находят верхнюю и нижнюю цены игры. Они показывают, что игрок 1 не получит
выигрыша, превосходящего верхнюю цену игры и что игроку 1 гарантирован
выигрыш, не меньший нижней цены игры. В примере 6.5 игрок 1 получил по
своей оптимальной стратегии A1, отличной от максиминной, выигрыш, равный
верхней цене игры. Такова плата за информированность о стратегии игрока 2. Это
крайний случай. Не улучшится ли результат игрока 1, если информация о
действиях противной стороны будет отсутствовать, но игрок будет многократно
применять чистые стратегии случайным образом с определенной вероятностью?
В такой ситуации, оказывается, можно получать выигрыши, в среднем
большие нижней цены игры, но меньшие верхней.
Смешанная стратегия игрока – это полный набор применения его чистых
стратегий при многократном повторении игры в одних и тех же условиях с
заданными вероятностями. Подведем итоги сказанного и перечислим условия
применения смешанных стратегий:
94
- игра без седловой точки;
- игроки используют случайную смесь чистых стратегий с заданными
вероятностями;
- игра многократно повторяется в сходных условиях;
- при каждом из ходов ни один игрок не информирован о выборе стратегии
другим игроком;
- допускается осреднение результатов игр.
Применяются следующие обозначения смешанных стратегий.
Для игрока 1 смешанная стратегия, заключающаяся в применении чистых
стратегий A1, A2, …, Am с соответствующими вероятностями p1, p2, … , pm,
⎡ A A2 K Am ⎤
S1 = ⎢ 1
⎥,
⎣ p1 p2 K p m ⎦
m
где
∑p
i =1
i
= 1 , 0 ≤ pi ≤ 1 .
Для игрока 2
⎡ B B2 K
S2 = ⎢ 1
⎣ q1 q2 K
n
где
∑q
j =1
j
Bn ⎤
,
qn ⎥⎦
= 1 , 0 ≤ q j ≤ 1 ; qj – вероятность применения чистой стратегии Bj.
В случае, когда pi = 1, для игрока 1 имеем чистую стратегию:
⎡ A A2 K Ai K Am ⎤
S1 = ⎢ 1
.
0 K 1 K 0 ⎥⎦
⎣0
Чистые стратегии игрока являются единственно возможными несовместными
событиями. В матричной игре, зная матрицу А (она относится и к игроку 1, и к
игроку 2), можно определить при заданных векторах p и q средний выигрыш
(математическое ожидание эффекта) игрока 1:
m
n
M ( A, p, q) = ∑∑ aij pi q j ,
i =1 j =1
где p и q – векторы; pi и qj – компоненты векторов.
Путем применения своих смешанных стратегий игрок 1 стремится
максимально увеличить свой средний выигрыш, а игрок 2 – довести этот эффект
до минимально возможного значения. Игрок 1 стремится достигнуть
β = min max M ( A, p, q) .
q
p
95
Игрок 2 добивается того, чтобы выполнялось условие
α = max min M ( A, p, q) .
q
p
Обозначим
p
0
и q
0
векторы, соответствующие оптимальным смешанным
0
0
стратегиям игроков 1 и 2, то есть такие векторы p и q , при которых будет
выполнено равенство
0
0
γ = min max M ( A, p, q) = max min M ( A, p, q) = M ( A, p , q ) .
q
q
p
p
Цена игры − γ-средний выигрыш игрока 1 при использовании обоими
игроками смешанных стратегий. Следовательно, решением матричной игры
являются:
0
1) p – оптимальная смешанная стратегия игрока 1;
0
2) q – оптимальная смешанная стратегия игрока 2;
3) γ − цена игры.
0
0
Смешанные стратегии будут оптимальными ( p и q ), если они образуют
седловую точку для функции M ( A, p, q ) , то есть
0
0
0
0
M ( A, p, q ) ≤ M ( A, p , q ) ≤ M ( A, p , q) .
Существует основная теорема математических игр (принимается без
доказательства).
Теорема. Для матричной игры с любой матрицей А величины
α = max min M ( A, p, q) и β = min max M ( A, p, q)
q
q
p
p
существуют и равны между собой: α = β = γ.
Следует отметить, что при выборе оптимальных стратегий игроку 1 всегда
будет гарантирован средний выигрыш, не меньший, чем цена игры, при любой
фиксированной стратегии игрока 2 (и наоборот, для игрока 2). Активными
стратегиями игроков 1 и 2 называют стратегии, входящие в состав оптимальных
смешанных стратегий соответствующих игроков с вероятностями, отличными от
нуля. Значит, в состав оптимальных смешанных стратегий игроков могут входить
не все априори заданные их стратегии.
96
6.8.3. Решение задач в смешанных стратегиях (частный случай)
Решить игру – означает найти цену игры и оптимальные стратегии.
Рассмотрение методов нахождения оптимальных смешанных стратегий для
матричных игр начинается с простейшей игры, описываемой матрицей 2 × 2.
Игры с седловой точкой специально рассматриваться не будут. Если получена
седловая точка, то это означает, что имеются невыгодные стратегии, от которых
следует отказываться. При отсутствии седловой точки можно получить две
оптимальные смешанные стратегии. Как уже отмечалось, эти смешанные
стратегии записываются так:
⎡A
S1 = ⎢ 1
⎣ p1
A2 ⎤
⎡ B1
S
=
; 2 ⎢
p 2 ⎥⎦
⎣ q1
B2 ⎤
.
q2 ⎥⎦
Значит, имеется платежная матрица
a12 ⎤
⎡a
A = ⎢ 11
⎥.
⎣a 21 a 22 ⎦
При этом
a11 p1 + a21 p2 = γ ;
a12 p1 + a22 p2 = γ ;
p1 + p 2 = 1 .
Решив систему из трех последних уравнений, получаем оптимальные значения
p10 , p 20 и γ:
a 22 − a 21
p10 =
;
a11 + a 22 − (a12 + a 21 )
a11 − a12
p20 = 1 − p10 =
;
a11 + a22 − (a12 + a21 )
a11a22 − a12 a21
γ = a11 p10 + a21 p20 =
.
a11 + a22 − (a12 + a21 )
Вычислив γ, находим q1 и q2 из решения системы двух уравнений:
a11q1 + a12 q2 = γ ;
q1 + q2 = 1 .
Имеем:
γ − a12
a11 − γ
0
0
q10 =
; q2 = 1 − q1 =
, при a11 ≠ a12 .
a11 − a12
a11 − a12
0
0
97
⎡ p10 ⎤
⎡q10 ⎤
0
Задача решена, так как найдены векторы p = ⎢ 0 ⎥ , q = ⎢ 0 ⎥ и цена
⎣ p2 ⎦
⎣q 2 ⎦
игры γ.
0
Имея матрицу платежей A, можно решить задачу графически. При этом
методе алгоритм решения весьма прост (рис. 6.1):
1. По оси абсцисс откладывается отрезок единичной длины.
2. По оси ординат откладываются выигрыши при стратегии A1.
3. На линии, параллельной оси ординат, в точке 1 откладываются выигрыши
при стратегии A2.
4. Концы отрезков обозначаются для a11 – b11, a12 – b21, a22 – b22, a21 – b12 и
проводятся две прямые b11 b12 и b21 b22.
5. Определяется ордината точки пересечения с. Она равна γ. Абсцисса точки
с равна p2 (p1 = 1 – p2).
Рис. 6.1. Оптимальная смешанная стратегия
Данный метод имеет достаточно широкую область приложения. Это
основано на общем свойстве игр т × п, состоящем в том, что в любой игре т × п
каждый игрок имеет оптимальную смешанную стратегию, в которой число
чистых стратегий не больше, чем тin(т,п). Из этого свойства можно получить
известное следствие: в любой игре 2 × п и т × 2 каждая оптимальная стратегия
S10 и S 20 содержит не более двух активных стратегий. Значит, любая игра 2 × п и
т × 2 может быть сведена к игре 2 × 2. Следовательно, игры 2 × п и т × 2 можно
решить графическим методом.
98
Если матрица конечной игры имеет размерность m × n, где m > 2 и n > 2, то
для определения оптимальных смешанных стратегий используется линейное
программирование.
Рассмотрим практическую задачу, в которой используются критерии игр для
оценки наиболее эффективного поведения оперирующей стороны.
Пример 6.6. Выбрать оптимальный режим работы новой системы ЭВМ,
состоящей из двух ЭВМ типов A1 и A2. Известны выигрыши от внедрения
каждого типа ЭВМ в зависимости от внешних условий, если сравнить со старой
системой.
При использовании ЭВМ типов A1 и A2 в зависимости от характера
решаемых задач B1 и B2 (долговременные и краткосрочные) будет разный эффект.
Предполагается, что максимальный выигрыш соответствует наибольшему
значению критерия эффекта от замены вычислительной техники старого
поколения на ЭВМ A1 и A2 .
Итак, дана матрица игры (табл. 6.13), где A1 и A2 − стратегии руководителя;
B1 и B2 − стратегии, отражающие характер решаемых на ЭВМ задач.
Таблица 6.13
Игрок 2
Игрок 1
A1
A2
βj
B1
B2
αi
0,3
0,7
0,7
0,8
0,4
0,8
0,3
0,4
Требуется найти оптимальную смешанную стратегию руководителя и
гарантированный средний результат у, то есть определить, какую долю времени
должны использоваться ЭВМ типов A1 и A2.
Решение. Запишем условия в принятых индексах:
a11 = 0,3; a12 = 0,8; a21 = 0,7; a22 = 0,4.
Определим нижнюю и верхнюю цены игры:
α1 = 0,3; α2 = 0,4; α = 0,4;
β1 = 0,7; β2 = 0,8; β = 0,7.
Получаем игру без седловой точки, так как
max min aij = a22 = 0,4 ;
j
i
min max aij = a21 = 0,7 .
j
i
Максиминная стратегия руководителя вычислительного центра – A2.
Для этой стратегии гарантированный выигрыш равен α = 0,4 (40 %) по
сравнению со старой системой.
Решение для определения γ, p1 и p2 проведем графически (рис. 6.2).
99
Рис. 6.2. Графическая интерпретация алгоритма решения
Алгоритм решения:
1. По оси абсцисс отложим отрезок единичной длины.
2. По оси ординат отложим выигрыши при стратегии A1.
3. По вертикали в точке 1 отложим выигрыши при стратегии A2.
4. Проводим прямую b11 b12, соединяющую точки a11, a21.
5. Проводим прямую b21 b22, соединяющую точки a12, a22.
6. Определяем ординату точки c пересечения линий b11 b12 и b21 b22. Она равна γ.
7. Определим абсциссу точки пересечения c. Она равна p2, а p1 = 1 - p2.
Выпишем решение и представим оптимальную стратегию игры:
p1 = 0,375; p2 = 0,625; γ = 0,55;
A2 ⎤
⎡ A
S0 = ⎢ 1
⎥.
⎣0,375 0,625⎦
Вывод. При установке новой системы ЭВМ, если неизвестны условия
решения задач заказчика, на работу ЭВМ A1 должно приходиться 37,5 % времени,
а на работу ЭВМ A2 − 62,5 %. При этом выигрыш составит 55 % по сравнению с
предыдущей системой ЭВМ.
6.8.4. Мажорирование (доминирование) стратегий
Мажорирование представляет отношение между стратегиями, наличие
которого во многих практических случаях дает возможность сократить размеры
исходной платежной матрицы игры. Рассмотрим это понятие на примере матрицы
100
⎡− 0,5
⎢ 0
⎣
3
2
−1 ⎤
.
0,5 ⎥⎦
Рассуждая с позиции игрока 2, можно обнаружить преимущество его третьей
стратегии перед второй, поскольку при первой стратегии игрока 1 выигрыш
игрока 2 равен -3 (вторая стратегия) и 1 (третья стратегия), а при второй
стратегии игрока 1 выигрыш игрока 2 равен -2 (вторая стратегия) и - 0,5 (третья
стратегия). Таким образом, при любой стратегии игрока 1, игроку 2 выгоднее
применять свою третью стратегию по сравнению со второй; при наличии третьей
стратегии игрок 2, если он стремится играть оптимально, никогда не будет
использовать свою вторую стратегию, поэтому ее можно исключить из игры, то
есть в исходной платежной матрице можно вычеркнуть 2-й столбец:
⎡− 0,5 − 1 ⎤
.
⎢ 0
0,5 ⎥⎦
⎣
С позиции игрока 1 его первая стратегия оказывается хуже второй, так как по
первой стратегии он только проигрывает. Поэтому первую стратегию можно
исключить, а матрицу игры преобразовать к виду:
(0 0,5) .
Учитывая интересы игрока 2, следует оставить только его первую стратегию,
поскольку, выбирая вторую стратегию, игрок 2 оказывается в проигрыше (0,5 −
выигрыш игрока 1), и матрица игры принимает простейший вид: (0), то есть
имеется седловая точка.
Мажорирование можно распространить и на смешанные стратегии. Если
элементы одной строки не все меньше (или равны) соответствующих элементов
других строк, но все меньше (или равны) некоторых выпуклых линейных
комбинаций соответствующих элементов других строк, то эту стратегию можно
исключить, заменив ее смешанной стратегией с соответствующими частотами
использования чистых стратегий.
В качестве иллюстрации к сказанному рассмотрим матрицу игры:
⎡24 0 ⎤
⎢0 8⎥
⎢
⎥.
⎢⎣ 4 5 ⎥⎦
Для первых двух чистых стратегий игрока 1 возьмем частоты их применения
(вероятности) равными 0,25 и 0,75.
Третья стратегия игрока 1 мажорируется линейной выпуклой комбинацией
первой и второй чистых стратегий, взятых с частотами 0,25 и 0,75
соответственно, то есть смешанной стратегией:
24×0,25 + 0×0,75 = 6 > 4;
0×0,25 + 8×0,75 = 6 > 5.
Поэтому третью стратегию игрока 1 можно исключить, используя вместо нее
указанную выше смешанную стратегию.
101
Аналогично, если каждый элемент некоторого столбца больше или равен
некоторой выпуклой линейной комбинации соответствующих элементов
некоторых других столбцов, то этот столбец можно исключить из рассмотрения
(вычеркнуть из матрицы). Например, для матрицы
⎡10 0 6 ⎤
⎢ 0 10 7 ⎥
⎣
⎦
третья стратегия игрока 2 мажорируется смешанной стратегией из первой и
второй его чистых стратегий, взятых с частотами 0,5 и 0,5:
10×0,5 + 0×0,5 = 5 < 6;
0×0,5 + 10×0,5 = 5 < 7.
Таким образом, исходная матрица игры эквивалентна следующей матрице:
⎡10 0 ⎤
⎢ 0 10⎥ .
⎣
⎦
Как видно, возможности мажорирования смешанными стратегиями в отличие
от чистых значительно менее прозрачны (нужно должным образом подобрать
частоты применения чистых стратегий), но такие возможности есть, и ими
полезно уметь пользоваться.
102
Глава 7. Информационные аспекты изучения систем
Современное понимание того, что такое информация, и какую роль она
играет в искусственных и естественных системах, сложилось не сразу; оно
представляет собой совокупность знаний, полученных разными науками:
физикой, биологией, философией, теорией связи и т.д. Если состояния одного
объекта находятся в соответствии с состояниями другого объекта, мы говорим,
что один объект отражает другой, содержит информацию о другом.
В настоящее время информация рассматривается как фундаментальное
свойство материи. Особенностью информации является то, что ее можно
исследовать количественно.
7.1. Сигналы в системах
Для того чтобы два объекта содержали информацию друг о друге,
необходимо, чтобы между их состояниями существовало соответствие: только
при этом условии по состоянию одного объекта можно судить о состоянии
другого. Такое соответствие может установиться как в результате физического
взаимодействия между этими объектами, так и с помощью взаимодействия с
промежуточными объектами (или их совокупностью).
7.1.1. Понятие сигнала
Сигнал есть материальный носитель информации, средство перенесения
информации в пространстве и времени.
Следует уточнить, что один и тот же объект может выступать в качестве
разных сигналов: колебания воздуха могут нести звуки музыки, речь лектора,
пение птиц или шум самолета; с магнитной ленты можно стереть одну запись и
сделать другую и т.д. Следовательно, в качестве сигналов используются не
сами по себе объекты, а их состояния.
Далее, не всякое состояние имеет сигнальные свойства. Точнее говоря,
данный объект взаимодействует не только с тем объектом, информацию о
котором мы хотели бы получить, но и с другими, не интересующими нас
объектами. В результате соответствие состояний ослабевает. Соответствие между
сигналом и информацией, которую он содержит, устанавливается по
специальным правилам, называемым кодом. В искусственных системах кодом
называют комплекс правил образования сигнала. Посторонние воздействия,
нарушающие это соответствие, называются помехами или шумами. Нарушение
соответствия может происходить не только вследствие помех, но и из-за
рассогласования кодов взаимодействующих объектов.
Таким образом, информация есть свойство материи, состоящее в том, что в
результате взаимодействия объектов между их состояниями устанавливается
определенное соответствие.
103
7.1.2. Типы сигналов
Поскольку сигналы служат для переноса информации в пространстве и
времени, то для их образования могут использоваться только объекты, состояния
которых достаточно устойчивы по отношению к течению времени или к
изменению положения в пространстве. Сигналы делятся на два типа:
- статические сигналы. К ним относятся сигналы, являющиеся стабильными
состояниями физических объектов (например, книга, фотография,
магнитофонная запись, состояние памяти ЭВМ и т. д.);
- динамические сигналы. К этому типу относятся сигналы, в качестве которых
используются динамические состояния силовых полей. Такие поля
характеризуются тем, что изменение их состояния не может быть
локализовано в (неизолированной) части поля и приводит к распространению
возмущения. Примерами таких сигналов могут служить, световые сигналы и
радиосигналы.
Динамические сигналы используются преимущественно для передачи, а
статические – для хранения информации, но можно найти и противоположные
примеры (динамические запоминающие устройства, письма, газеты).
Сигналы играют в системах особую, очень важную роль. Потоки
информации, переносимые сигналами, организуют функционирование системы,
управляют ею. Н.Винер, например, подчеркивал, что общество простирается до
тех пределов, до каких распространяется информация.
7.2. Случайный процесс – математическая модель сигналов
7.2.1. Непредсказуемость – основное свойство сигналов
Имеется существенное различие между просто состоянием объекта и
сигналом. Оно состоит в том, что единственная функция не исчерпывает всех
важных свойств сигналов. Ведь понятие функции предполагает, что нам известно
значение x (либо правило его вычисления) для каждого t. Если же это известно
получателю сигнала, то отпадает необходимость в передаче: функция x(t) может
быть и без этого воспроизведена на приемном конце.
Следовательно, единственная однозначная функция вещественного
аргумента не может служить моделью сигнала. Такая функция приобретает
сигнальные свойства только тогда, когда она является одной из возможных
функций. Другими словами, моделью сигнала может быть набор (ансамбль)
функций параметра t, причем до передачи неизвестно, какая из них будет
отправлена; это становится известным получателю только после передачи.
Каждая такая конкретная функция называется реализацией. Если теперь еще
ввести вероятностную меру на множество реализации, то мы получим
математическую модель, называемую случайным процессом.
104
Имеется несколько различных подходов к тому, как вводить вероятностную
меру на множестве реализаций. Для инженерных приложений оказывается
удобным определение случайного процесса как такой функции времени x(t),
значение которой в каждый данный момент является случайной величиной.
Случайная величина полностью характеризуется распределением вероятностей,
например плотностью P1(x1|t1); однако, чтобы охарактеризовать случайный
процесс, нужно описать, связаны ли (и если да, то как) значения реализации,
разделенные некоторыми интервалами времени. Так как связь только двух таких
значений, описываемая распределением второго порядка P2(x1,x2|t1,t2), может
неполно характеризовать процесс в целом, вводят распределения n-го порядка:
Рn (x1, ..., хn|t1, ..., tn). В конкретных задачах обычно ясно, до какого порядка
следует доходить в описании процесса.
7.2.2. Классы случайных процессов
Необходимость моделирования самых разнообразных сигналов приводит к
построению частных моделей случайных процессов, то есть наложением
дополнительных ограничений на параметры распределений и на сами
распределения. Перечислим наиболее важные классы случайных процессов.
Непрерывные и дискретные по времени процессы. Случайный процесс с
непрерывным временем характеризуется тем, что его реализации определяются
для всех моментов из некоторого (конечного или бесконечного) интервала T
параметра t. Дискретный по времени процесс (или случайная последовательность)
задается на дискретном ряде точек временной оси (обычно равноотстоящих).
Непрерывные и дискретные по информативному параметру процессы.
Процессы различаются в зависимости от того, из какого (непрерывного или
дискретного) множества принимает значение реализация x случайной величины
X.
Стационарные и нестационарные процессы. Так называются процессы в
зависимости от постоянства или изменчивости их статистических характеристик.
Случайный процесс называется стационарным в узком смысле, если для любого
n конечномерные распределения вероятностей не изменяются со временем, то
есть при любом τ выполняется условие
Pn(x1, ..., xn|t1 + τ, t2 + τ, ..., tn + τ) = Pn(x1, ...,xn|t1, t2, ..., tn).
Если же условие независимости от времени выполняется только для первых
двух моментов (среднего и функции автокорреляции), то процесс называется
стационарным в широком смысле.
Эргодические и неэргодические процессы. На практике при описании
случайных величин вместо рассмотрения их распределений часто
ограничиваются только их числовыми характеристиками, обычно моментами. В
тех случаях, когда распределение неизвестно, моменты (и другие числовые
характеристики) можно оценить статистически.
Перенос такой практики на произвольные случайные процессы требует не
только учета зависимости отстоящих друг от друга во времени значений, но и
наложения дополнительных требований. Требование совпадения величин,
105
получающихся при усреднении по ансамблю (то есть при фиксированном
времени) и при усреднении по времени (точнее, по одной реализации), и
называется условием эргодичности. Это требование можно толковать и как
совпадение результатов усреднения по любой реализации.
Вывод. Случайный процесс может служить математической моделью сигнала.
Необходимо только следить за тем, чтобы конкретные особенности изучаемых
сигналов были корректно отображены в свойствах случайного процесса.
7.3. Энтропия
Установив, что случайные процессы являются адекватной моделью сигналов,
мы получаем возможность воспользоваться результатами и мощным аппаратом
теории случайных процессов. Это не означает, что теория вероятностей и теория
случайных процессов дают готовые ответы на все вопросы о сигналах: подход с
новых позиций выдвигает такие вопросы, которые раньше просто не возникали.
Так появилась теория информации, специально рассматривающая, сигнальную
специфику случайных процессов.
7.3.1. Понятие неопределённости
Первым специфическим понятием теории информации является понятие
неопределенности случайного объекта, для которой удалось ввести,
количественную меру, названную энтропией. Начнем с простейшего варианта –
со случайного события. Пусть, например, некоторое событие может произойти с
вероятностью 0,99 и не произойти с вероятностью 0,01, а другое событие имеет
вероятности соответственно 0,5 и 0,5. Очевидно, что в первом случае результатом
опыта «почти наверняка» является наступление события, во втором же случае
неопределенность исхода так велика, что от прогноза разумнее воздержаться.
Для характеристики размытости распределений широко используются второй
центральный момент (дисперсия) или доверительный интервал. Однако эти
величины имеют смысл лишь для случайных числовых величин и не могут
применяться к случайным объектам, состояния которых различаются
качественно, хотя и в этом случае можно говорить о большей или меньшей
неопределенности исхода опыта. Следовательно, мера неопределенности,
связанной с распределением, должна быть некоторой его числовой
характеристикой, функционалом от распределения, никак не связанным с тем, в
какой шкале измеряются реализации случайного объекта.
7.3.2. Энтропия и ее свойства
Примем (пока без обоснования) в качестве меры неопределенности
случайного объекта A с конечным множеством возможных состояний A1, ..., An с
соответствующими вероятностями p1, ..., рn величину
106
n
H ( A) = H ({pi }) = −∑ pi log pi ,
(7.1)
i =1
которую и называют энтропией случайного объекта A (или распределения {pi}).
Этот функционал обладает следующими свойствами:
l. H(p1, ..., рn) = 0 в том и только в том случае, когда какое-нибудь одно из {pi}
равно единице (а остальные − нули). Это соответствует случаю, когда исход
опыта может быть предсказан с полной достоверностью, т.е. когда отсутствует
всякая неопределенность. Во всех других случаях энтропия положительна.
2. H(p1, ..., рn) достигает наибольшего значения при p1 = p2 = … = pn =1/n, то
есть в случае максимальной неопределенности.
3. Если A и B − независимые случайные объекты, то
H ( A ∩ B) = H ( A) + H ( B) .
4. Если A и B − зависимые случайные объекты, то
H ( A ∩ B ) = H ( A) + H ( B \ A) = H ( B ) + H ( A \ B ) ,
(7.2)
где условная энтропия H(В\А) определяется как математическое ожидание
энтропии условного распределения.
5. Имеет место неравенство Н(А) ≥ Н(А|В), что согласуется с интуитивным
представлением о том, что знание состояния объекта В может только уменьшить
неопределенность объекта А, а если они независимы, то оставит ее неизменной.
7.3.3. Дифференциальная энтропия
Непосредственное обобщение данной меры неопределенности
непрерывные случайные величины невозможно, так как прямая аналогия
− ∑ p k log p k → ∫ p( x) log p( x)dx
на
X
не приводит к нужному результату: плотность p(x) является размерной величиной
(размерность плотности p(x) обратна размерности x, так как элемент вероятности
dP(x) =p(x)dx безразмерен), а логарифм размерной величины не имеет смысла.
Однако положение можно исправить, умножив р(х) под знаком логарифма на
величину λ, имеющую ту же размерность, что и x:
− ∑ p k log p k → ∫ p ( x) log[λ ⋅ p ( x)]dx ,
k
X
Если величину λ принять равной единице измерения x, то получим
функционал
h( X ) = − ∫ p( x) log p( x)dx ,
(7.3)
X
который получил название дифференциальной энтропии. Это аналог энтропии
дискретной величины. Запись (7.3) означает, что мы как бы сравниваем
неопределенность случайной величины, имеющей плотность p(x), с
неопределенностью случайной величины, равномерно распределенной в
единичном интервале. Поэтому величина h(X) в отличие от H(Х) может быть не
только положительной. Кроме того, h(X) изменяется при нелинейных
107
преобразованиях шкалы x, что в дискретном случае не играет роли. Остальные
свойства h(X) аналогичны свойствам H(X).
Пусть, например, задача состоит в том, чтобы, зная лишь некоторые
ограничения на случайную величину (типа моментов, пределов сверху и снизу,
области возможных значений и т.п.), задать для дальнейших расчетов конкретное
распределение. Одним из подходов к решению этой задачи дает принцип
максимума энтропии: из всех распределений, отвечающих данным
ограничениям, следует выбирать то, которое обладает максимальной
дифференциальной энтропией. Смысл этого критерия состоит в том, что,
выбирая экстремальное по энтропии распределение, мы гарантируем наибольшую
неопределенность, связанную с ним, то есть имеем дело с наихудшим случаем
при данных условиях.
7.3.4. Фундаментальное свойство энтропии случайного процесса
Особое значение энтропия приобретает в связи с тем, что она связана с очень
глубокими, фундаментальными свойствами случайных процессов. Покажем это
на примере процесса с дискретным временем и дискретным конечным
множеством возможных состояний.
Назовем каждое такое состояние символом, множество возможных
состояний − алфавитом, их число m − объемом алфавита. Число всех
возможных последовательностей, очевидно, равно mn. Появление конкретной
последовательности можно рассматривать как реализацию одного из тn
возможных событий. Зная вероятности символов и условные вероятности
появления следующего символа, если известен предыдущий (в случае их
зависимости),
можно
вычислить
вероятность
P(C)
для
каждой
последовательности С. Тогда энтропия множества {С}, по определению, равна
Hn = −
∑ P(C ) log P(C ) .
C∈{C }
Определим
энтропию
процесса
H
(среднюю
неопределенность,
приходящуюся на один символ) как:
H
H = lim n .
n →∞ n
На множестве {C} можно задать любую числовую функцию fn(C), которая
является случайной величиной. Определим fn(C) с помощью соотношения
1
f n (C ) = − log P(C ) .
n
Математическое ожидание этой функции
Mf n (C ) = ∑ P (C ) f n (C ) = −
C
1
∑ P(C ) log(C ) ,
n C
откуда следует, что
108
H
1
1
M [− log P(C )] = n , и lim M [− log P(C )] = H .
n →∞
n
n
n
Из этого соотношения следует, что, как бы малы ни были ε > 0 и δ > 0, при
достаточно большом n справедливо неравенство
1
P[| log P(C ) + H |] < δ ,
(7.4)
n
то есть близость fn(C) к Н при больших n является почти достоверным событием.
Для большей наглядности сформулированное фундаментальное свойство
случайных процессов обычно излагают следующим образом. Для любых
заданных ε >0 и δ >0 можно найти такое n0, что реализации любой длины n > n0
распадаются на два класса:
- группа реализаций, вероятности Р(С) которых удовлетворяют неравенству
1
| log P(C ) + H |< ε ;
(7.5)
n
- группа реализаций, вероятности которых этому неравенству не удовлетворяют.
Так как согласно неравенству (7.4) суммарные вероятности этих групп равны
соответственно 1 - δ и δ, то первая группа называется высоковероятной, а вторая
− маловероятной.
Это свойство эргодических процессов имеет несколько важных следствий.
1. Независимо от того, каковы вероятности символов, и каковы
статистические связи между ними, все реализации высоковероятной группы
приблизительно равновероятны (см. формулу (7.5)).
В связи с этим фундаментальное свойство иногда называют «свойством
асимптотической равнораспределенности». Это следствие, в частности, означает,
что по известной вероятности P(C) одной из реализаций высоковероятной группы
можно оценить число N1 реализаций в этой группе:
1
N1 =
.
P(C )
2. Энтропия Hn, с высокой точностью равна логарифму числа реализаций в
высоковероятной группе:
H n = nH = log a N1 .
(7.6)
3. При больших n высоковероятная группа охватывает лишь ничтожную
долю всех возможных реализаций (за исключением случая равновероятных и
независимых символов, когда все реализации равновероятны и H = log a m ).
nH
Действительно, из соотношения (7.6) имеем N1 = a , где а − основание
логарифма. Число N всех возможных реализаций есть N = m n = a n log m . Доля
реализаций высоковероятной группы в общем числе реализаций равна
N1 / N = a − n(loga m−H ) ,
и при H < log m эта доля неограниченно убывает с ростом п. Например, если a =
2, n = 100, H = 2,75, т = 8, то Ni/N = 2-25 = (3⋅107)-1, то есть к высоковероятной
группе относится лишь одна тридцатимиллионная доля всех реализаций!
109
Вывод. Связав понятие неопределенности дискретной величины с
распределением вероятности по возможным состояниям, и потребовав некоторых
естественных свойств от количественной меры неопределенности, мы приходим к
выводу, что такой мерой может служить только функционал (7.1), названный
энтропией. Энтропийный подход обобщается на непрерывные и дискретные
случайные величины.
7.4. Количество информации
В основе всей теории информации лежит открытие, что информация
допускает количественную оценку. В простейшей форме эта идея была
выдвинута еще в 1928 г. Б.Хартли, но завершенный и общий вид придал ей
К.Шэннон в 1948 г.
7.4.1. Количество информации как мера снятой неопределённости
Процесс получения информации можно интерпретировать как
изменение неопределенности в результате приема сигнала. Проиллюстрируем
это на примере, когда передача сигнала происходит при следующих условиях:
1) полезный
(отправляемый)
сигнал
является
последовательностью
статистически независимых символов с вероятностями p( xi ), i = 1, m ;
2) принимаемый сигнал является последовательностью символов yk того же
алфавита;
3) если шумы (искажения) отсутствуют, то принимаемый сигнал совпадает с
отправляемым yk = xi;
4) если шум имеется, то его действие приводит к тому, что данный символ может
либо остаться прежним (i-м), либо быть подмененным любым другим (k-м)
символом, вероятность этого равна p(yk|xi);
5) искажение очередного символа является событием, статистически
независимым от того, что произошло с предыдущими символами.
Конечно, можно рассматривать ситуацию и со стороны передатчика,
используя вероятности p(xi|yk) (рис. 7.1). В этих условиях энтропия процесса есть
энтропия одного символа, и все сводится к рассмотрению посимвольного приема.
Итак, до получения очередного символа ситуация характеризуется
неопределенностью того, какой символ будет отправлен, то есть априорной
энтропией H(Х). После получения символа yk неопределенность относительно
того, какой символ был отправлен, меняется:
- в случае отсутствия шума она вообще исчезает (апостериорная энтропия равна
нулю, поскольку точно известно, что был передан символ xi = yk);
- при наличии шума мы не можем быть уверены, что полученный нами символ и
есть отправленный, и возникает неопределенность, характеризуемая
апостериорной энтропией H(X|yk) = H({p(xi|yk)}) > 0.
110
Рис. 7.1. Схема «вееров неопределенности» при наличии шума в канале
Определим
теперь
количество
информации
как
меру
снятой
неопределенности: числовое значение количества информации о некотором
объекте равно разности априорной и апостериорной энтропии этого
объекта, т.е.
I ( X ,Y ) = H ( X ) − H ( X \ Y ) .
(7.7)
Использовав равенство (7.2), получим
I ( X , Y ) = H (Y ) − H (Y \ X ) .
(7.8)
Теперь равенство (7.7) запишется так:
m
I ( X , Y ) = H ( X ) − H ( X | Y ) = −∑ p ( xi ) log p ( xi ) +
i =1
m
m
k =1
i =1
+ ∑ p ( y k )∑ p ( xi | y k ) log p ( xi | y k ) = −∑∑ p ( xi , y k ) log p ( xi ) +
k
m
m
i
+ ∑ ∑ p ( xi , y k ) log p ( xi | y k ) = ∑ ∑ p ( xi , y k ) log
i
i =1 k =1
k
p ( xi | y k )
,
p ( xi )
(7.9)
а для равенства (7.8) имеем
m
m
I ( X , Y ) = ∑∑ p( xi , y k ) log
i =1 k =1
p ( y k | xi )
.
p( y k )
(7.10)
Количество информации можно определить как меру уменьшения
неопределенности в результате получения сигнала. Это соответствует
разности энтропии до и после приема сигнала.
111
7.4.2. Количество информации как мера соответствия случайных
объектов
Формулам (7.9) и (7.10) легко придать симметричность: умножив и разделив
логарифмируемое выражение в (7.9) на p(yk), а в (7.10) на р(хi), получим:
m m
p( xi , y k )
I ( X , Y ) = ∑∑ p ( x i , y k ) log
.
(7.11)
p( xi ) p( y k )
i =1 k =1
Эту симметрию можно интерпретировать так: количество информации в
объекте X об объекте Y равно количеству информации в объекте Y об объекте X.
Таким образом, количество информации является не характеристикой одного из
объектов, а характеристикой их связи, соответствия между их состояниями.
Подчеркивая это, можно сформулировать еще одно определение: среднее
количество информации, вычисляемое по формуле (7.11), есть мера
соответствия двух случайных объектов.
Это определение позволяет прояснить связь понятий информации и
количества информации. Информация есть отражение одного объекта другим,
проявляющееся в соответствии их состояний. Один объект может быть отражен с
помощью нескольких других, часто какими-то лучше, чем остальными. Среднее
количество информации и есть числовая характеристика степени отражения,
степени соответствия.
Формула (7.11) обобщается на непрерывные случайные величины, если в
соотношения (7.7) и (7.8) вместо H подставить дифференциальную энтропию h:
p ( x, y )
I ( X , Y ) = ∫ ∫ p( x, y ) log
dxdy ,
(
)
(
)
p
x
p
y
X Y
где р(х), р(у) и р(х,у) – соответствующие плотности вероятностей.
7.4.3. Свойства количества информации
Отметим некоторые важные свойства количества информации.
1. Количество информации в случайном объекте Х относительно объекта Y
равно количеству информации в Y относительно X:
I ( X , Y ) = I (Y , X ) .
2. Количество информации неотрицательно:
I ( X ,Y ) ≥ 0 .
3. Для дискретных Х справедливо равенство
I(X , X ) = H (X ) .
4. Преобразование φ(∗) одной случайной величины не может увеличить
содержание в ней информации о другой, связанной с ней, величине:
I (ϕ ( X ), Y ) ≤ I ( X , Y ) .
(7.12)
При обработке данных содержащееся в них количество информации не
может быть увеличено. Следовательно, обработка делается лишь для
112
представления информации в более удобном, компактном виде и в лучшем случае
без потери полезной информации.
5. Для независимых пар величин количество информации аддитивно:
n
I ({ X i , Yi }, i = 1, n) = ∑ I ( X i , Yi ) .
i =1
6. Количество информации (в отличие от энтропии) имеет одинаковый смысл
как для дискретных, так и для непрерывных случайных объектов.
7.4.4. Единицы измерения энтропии и количества информации
Рассмотрим теперь вопрос о единицах измерения количества информации и
энтропии. Из определений I и H следует их безразмерность, а из линейности их
связи − одинаковость их единиц. Поэтому будем для определенности говорить об
энтропии. Начнем с дискретного случая. За единицу энтропии примем
неопределенность случайного объекта:
m
H ( X ) = −∑ p i log p i = 1 .
i =1
Легко установить, что для однозначного определения единицы измерения
энтропии необходимо конкретизировать число m состояний объекта и основание
логарифма. Возьмем для определенности наименьшее число возможных
состояний, при котором объект еще остается случайным, то есть m = 2, и в
качестве основания логарифма также возьмем число 2. Тогда из равенства
− p1 log 2 p1 − p 2 log 2 p 2 = 1
вытекает, что
p1 = p 2 = 1 / 2 .
Следовательно, единицей неопределенности служит энтропия объекта с
двумя равновероятными состояниями. Эта единица получила название «бит».
Бросание монеты дает количество информации в один бит. Другая единица
(«нит») получается, если использовать натуральные логарифмы, обычно она
употребляется для непрерывных величин.
7.4.5. Количество информации в индивидуальных событиях
Остановимся еще на одном важном моменте. До сих пор речь шла о среднем
количестве информации, приходящемся на любую пару состояний (хi, yk)
объектов Х и Y. Эта характеристика естественна для рассмотрения особенностей
стационарно функционирующих систем, когда в процессе функционирования
принимают участие все возможные пары (хi, yk). Однако в ряде практических
случаев оказывается необходимым рассмотреть информационное описание
конкретной пары состояний, оценить содержание информации в конкретной
реализации сигнала. Тот факт, что некоторые сигналы несут информации намного
больше, чем другие, виден на примере того, как отбираются новости средствами
массовой информации (скажем, все радиостанции и газеты сообщают о рождении
113
шестерых близнецов где-то в Африке, но рождение двойни уже не так интересует
людей).
Допуская существование количественной меры информации i(хi,yk) в
конкретной паре (хi, yk), естественно потребовать, чтобы индивидуальное и
среднее количества информации удовлетворяли соотношению
I ( X , Y ) = Mi ( x i , y k ) = ∑ p( x i , y k )i ( x i , y k ) .
(7.13)
i ,k
Хотя равенство сумм имеет место не только при равенстве всех слагаемых,
сравнение формул (7.13) и, например, (7.10) наталкивает на мысль, что мерой
индивидуальной информации в дискретном случае может служить величина
p ( xi | y k )
p ( y k | xi )
p ( xi , y k )
= log
= log
i( xi , y k ) = log
,
p( xi )
p( y k )
p ( xi ) p ( y k )
а в непрерывном − величина
p( x | y)
p( y | x)
p ( x, y )
i ( x, y ) = ln
= ln
= ln
,
p( x)
p( y)
p( x) p( y )
называемая информационной плотностью. Свойства этих величин согласуются
с интуитивными представлениями (в том числе и возможная отрицательность
при положительности в среднем) и, кроме того, доказана единственность меры,
обладающей указанными свойствами. Полезность введения понятия
индивидуального количества информации проиллюстрируем на следующем
примере.
Пусть по выборке (то есть совокупности наблюдений) x = x1, ..., xn требуется
отдать предпочтение одной из конкурирующих гипотез (H1 или H0), если
известны распределения наблюдений при каждой из них, то есть p(x|H0) и p(x|H1).
Как обработать выборку? Из теории известно, что никакая обработка не может
увеличить количества информации, содержащегося в выборке x (см. формулу
(7.12)). Следовательно, выборке x нужно поставить в соответствие число,
содержащее всю полезную информацию, то есть обработать выборку без потерь.
Возникает мысль о том, чтобы вычислить индивидуальные количества
информации в выборке x о каждой из гипотез и сравнить их:
p( x | H 0 )
p( x | H1 )
p( x | H 1 )
∆i = i ( x, H 1 ) − i ( x, H 0 ) = ln
− ln
= ln
.
p( x)
p( x)
p( x | H 0 )
Какой из гипотез отдать предпочтение, зависит теперь от величины ∆i и от
того, какой порог сравнения мы назначим. Оказывается, что мы получили
статистическую процедуру, оптимальность которой специально доказывается в
математической статистике. Данный пример иллюстрирует эвристическую силу
теоретико-информационных представлений.
Вывод. Главным результатом данного параграфа является открытие К.Шэнноном
возможности количественного описания информационных процессов в системах
и получение им формулы для количества информации.
114
Глава 8. Примеры использования методов системного
анализа в экономике
8.1. Выбор решений с помощью дерева решений
Рассмотрим более сложные (позиционные, или многоэтапные) решения в
условиях риска. Одноэтапные игры с природой, таблицы решений (см. параграфы
6.6, 6.7) удобно использовать в задачах, имеющих одно множество
альтернативных решений и одно множество состояний среды. Многие задачи,
однако, требуют анализа последовательности решений и состояний среды, когда
одна совокупность стратегий игрока и состояний природы порождает другое
состояние подобного типа. Если имеют место два или более последовательных
множества решений и/или два или более множества состояний среды (то есть
появляется целая цепочка решений, вытекающих одно из другого, которые
соответствуют событиям, происходящим с некоторой вероятностью),
используется дерево решений.
Дерево решений – это графическое изображение последовательности
решений и состояний среды с указанием соответствующих вероятностей и
выигрышей для любых комбинаций альтернатив и состояний среды.
8.1.1. Принятие решений с применением дерева решений
В постановочном плане рассмотрим несколько задач, которые могут быть
решены с помощью данного метода.
Задача 8.1. Разведывательное бурение скважин. Некоторая нефтяная
разведывательная партия должна решить, стоит ли бурить скважины на данном
участке до того, как истечет срок контракта. Для руководителей партии не ясны
многие обстоятельства:
- в какую сумму обойдется стоимость бурения, зависящая от качества грунта,
глубины залегания нефти и т.д.;
- на какие запасы нефти в этом месте можно рассчитывать;
- сколько будет стоить эксплуатация скважины.
В распоряжении руководства имеются объективные данные об аналогичных
и не вполне похожих скважинах этого типа. При помощи сейсмической разведки
можно получить дополнительную информацию, которая, однако, не дает
исчерпывающих сведений о геофизической структуре разведываемого участка.
Кроме того, получение сейсмической информации стоит недешево, поэтому еще
до того, как будет принято окончательное решение (бурить или нет), следует
определить, есть ли необходимость собирать эти сведения.
Задача 8.2. Выпуск нового товара. Большая химическая компания успешно
завершила исследования по усовершенствованию строительной краски.
Руководство компании должно решить, производить эту краску самим (и если да,
115
то какой мощности строить завод), либо продать патент или лицензию, а также
технологию независимой фирме, которая имеет дело исключительно с
производством и сбытом строительной краски. Основные источники
неопределенности:
- рынок сбыта, который фирма может обеспечить при продаже новой краски по
данной цене;
- расходы на рекламу, если компания будет сама производить и продавать
краску;
- время, которое потребуется конкурентам, чтобы выпустить на рынок
подобный товар (успеет ли компания за этот срок окупить затраты,
понесенные для того, чтобы стать лидером в данной сфере производства).
Компания может получить некоторые дополнительные сведения, имеющие
косвенное отношение к проблемам проникновения конкурентов на рынок сбыта,
опросив часть поставщиков краски. Но к материалам опросов следует относиться
с осторожностью, ибо поставщики в действительности могут поступать не так,
как они первоначально предполагают. В качестве подтверждения последнего
суждения можно привести исследования, проведенные американскими
автомобильными корпорациями для того, чтобы определить спрос на большие
легковые автомобили. Несмотря на надвигающийся энергетический кризис 19711973 гг., результаты анкетирования показали, что американские покупатели попрежнему предпочитают многоместные легковые автомобили. На деле же все
произошло с точностью до наоборот, и на рынке стали пользоваться спросом
небольшие, экономичные машины. Такие результаты опроса могут быть частично
объяснены скрытностью человеческого характера, и это должно учитываться при
принятии решений.
8.1.2. Анализ и решение задач с помощью дерева решений
Процесс принятия решений с помощью дерева решений в общем случае
предполагает выполнение следующих пяти этапов.
Этап 1. Формулирование задачи. Прежде всего необходимо отбросить не
относящиеся к проблеме факторы, а среди множества оставшихся выделить
существенные и несущественные. Это позволит привести описание задачи
принятия решения к поддающейся анализу форме. Должны быть выполнены
следующие основные процедуры:
- определение возможностей сбора информации для экспериментирования и
реальных действий;
- составление перечня событий, которые с определенной вероятностью могут
произойти;
- установление временного порядка расположения событий, в исходах которых
содержится полезная и доступная информация, и тех последовательных
действий, которые можно предпринять.
Этап 2. Построение дерева решений.
Этап 3. Оценки вероятностей состояний среды, то есть сопоставление
шансов возникновения каждого конкретного события. Следует отметить, что
116
указанные вероятности определяются либо на основании имеющейся статистики,
либо экспертным путем.
Этап 4. Установление выигрышей (или проигрышей, как выигрышей со
знаком минус) для каждой возможной комбинации альтернатив (действий) и
состояний среды.
Этап 5. Решение задачи.
Прежде чем продемонстрировать процедуру применения дерева решений,
нужно ввести ряд определений. В зависимости от отношения к риску решение
задачи может выполняться с позиций так называемых «объективистов» и
«субъективистов». Поясним эти понятия на следующем примере. Пусть
предлагается лотерея: за 100 руб. (стоимость лотерейного билета) игрок с равной
вероятностью p = 0,5 может ничего не выиграть или выиграть 1000 руб. Один
индивид пожалеет и 100 руб. за право участия в такой лотерее, то есть просто не
купит лотерейный билет, другой готов заплатить за лотерейный билет 500 руб., а
третий заплатит даже 600 руб. за возможность получить 1000 руб. (например,
когда ситуация складывается так, что, только имея 1000 руб., игрок может
достичь своей цели, поэтому возможная потеря последних денежных средств, а у
него их ровно 600 руб., не меняет для него ситуации).
Безусловным денежным эквивалентом (БДЭ) игры называется
максимальная сумма денег, которую ЛПР готов заплатить за участие в игре
(лотерее), или, что тоже, та минимальная сумма денег, за которую он готов
отказаться от игры. Каждый индивид имеет свой БДЭ.
Индивида, для которого БДЭ совпадает с ожидаемой денежной оценкой
(ОДО) игры, то есть со средним выигрышем в игре (лотерее), условно называют
объективистом, индивида, для которого БДЭ ≠ ОДО, − субъективистом.
Ожидаемая денежная оценка рассчитывается как сумма произведений размеров
выигрышей на вероятности этих выигрышей. Например, для нашей лотереи ОДО
= 0,5×0 + 0,5×1000 = 500 руб. Если субъективист склонен к риску, то его БДЭ >
ОДО. Если не склонен, то БДЭ < ОДО.
Предположим, что решения принимаются с позиции объективиста.
Рассмотрим процедуру принятия решения на примере следующей задачи.
Задача 3.4. Руководство некоторой компании решает, создавать ли для выпуска
новой продукции крупное производство, малое предприятие или продать патент
другой фирме. Размер выигрыша, который компания может получить, зависит от
благоприятного или неблагоприятного состояния рынка (табл. 8.1).
На основе данной таблицы выигрышей (потерь) можно построить дерево
решений (рис. 8.1).
117
Таблица 8.1
Номер
стратегии
Действия компании
1
Строительство крупного предприятия (a1)
200 000
-180 000
2
Строительство малого предприятия (a2)
100 000
-20 000
3
Продажа патента (a3)
10 000
10 000
Выигрыш, в дол., при состоянии экономической среды*
благоприят- неблагоприятном
ном
* Вероятность благоприятного и неблагоприятного состояний экономической
среды равна 0,5.
Рис. 8.1. Дерево решений без дополнительного обследования конъюнктуры
рынка:
− решение (решение принимает игрок); * − случай (решение
«принимает» случай); // – отвергнутое решение
Процедура принятия решения заключается в вычислении для каждой
вершины дерева (при движении справа налево) ожидаемых денежных оценок,
118
отбрасывании неперспективных ветвей и выборе ветвей, которым соответствует
максимальное значение ОДО.
Определим средний ожидаемый выигрыш (ОДО):
- для вершины 1 ОДО1 = 0,5×200 000 + 0,5×(-180 000) = 10 000 дол.;
- для вершины 2 ОДО2 = 0,5×100 000 + 0,5×(-20 000) = 40 000 дол.;
- для вершины 3 ОДО3 = 10 000 дол.
Вывод. Наиболее целесообразно выбрать стратегию a2, то есть строить малое
предприятие, а ветви (стратегии) a1 и a3 дерева решений можно отбросить. ОДО
наилучшего решения равна 40 000 дол. Следует отметить, что наличие состояния
с вероятностями 50 % неудачи и 50 % удачи на практике часто означает, что
истинные вероятности игроку скорее всего неизвестны и он всего лишь
принимает такую гипотезу (так называемое предположение «fifty – fifty» –
пятьдесят на пятьдесят).
Усложним рассмотренную выше задачу.
Пусть перед тем, как принимать решение о строительстве, руководство
компании должно определить, заказывать ли дополнительное исследование
состояния рынка или нет, причем предоставляемая услуга обойдется компании в
10 000 дол. Руководство понимает, что дополнительное исследование попрежнему не способно дать точной информации, но оно поможет уточнить
ожидаемые оценки конъюнктуры рынка, изменив тем самым значения
вероятностей.
Относительно фирмы, которой можно заказать прогноз, известно, что она
способна уточнить значения вероятностей благоприятного или неблагоприятного
исхода. Возможности фирмы в виде условных вероятностей благоприятности и
неблагоприятности рынка сбыта представлены в табл. 8.2. Например, когда
фирма утверждает, что рынок благоприятный, то с вероятностью 0,78 этот
прогноз оправдывается (с вероятностью 0,22 могут возникнуть неблагоприятные
условия), прогноз о неблагоприятности рынка оправдывается с вероятностью
0,73.
Таблица 8.2
Прогноз фирмы
Фактически
благоприятный неблагоприятный
Благоприятный
0,78
0,22
Неблагоприятный
0,27
0,73
Предположим, что фирма, которой заказали прогноз состояния рынка,
утверждает:
- ситуация будет благоприятной с вероятностью 0,45;
- ситуация будет неблагоприятной с вероятностью 0,55.
119
На основании дополнительных сведений можно построить новое дерево
решений (рис. 8.2), где развитие событий происходит от корня дерева к исходам,
а расчет прибыли выполняется от конечных состояний к начальным.
Рис. 8.2. Дерево решений при дополнительном обследовании рынка (см. условные
обозначения к рис. 8.1)
120
Анализируя дерево решений, можно сделать следующие выводы:
- необходимо проводить дополнительное исследование конъюнктуры рынка,
поскольку это позволяет существенно уточнить принимаемое решение;
- если фирма прогнозирует благоприятную ситуацию на рынке, то
целесообразно строить большое предприятие (ожидаемая максимальная
прибыль 116 400 дол.), если прогноз неблагоприятный – малое (ожидаемая
максимальная прибыль 12 400 дол.).
8.1.3. Ожидаемая ценность точной информации
Предположим, что консультационная фирма за определенную плату готова
предоставить информацию о фактической ситуации на рынке в тот момент, когда
руководству компании надлежит принять решение о масштабе производства.
Принятие предложения зависит от соотношения между ожидаемой ценностью
(результативностью) точной информации и величиной запрошенной платы за
дополнительную (истинную) информацию, благодаря которой может быть
откорректировано принятие решения, то есть первоначальное действие может
быть изменено.
Ожидаемая ценность точной информации о фактическом состоянии рынка
равна разности между ожидаемой денежной оценкой при наличии точной
информации и максимальной ожидаемой денежной оценкой при отсутствии
точной информации.
Рассчитаем ожидаемую ценность точной информации для примера, в
котором дополнительное обследование конъюнктуры рынка не проводится. При
отсутствии точной информации, как уже было показано выше, максимальная
ожидаемая денежная оценка равна:
ОДО = 0,5 × 100 000 − 0,5 × 20 000 = 40 000 дол.
Если точная информация об истинном состоянии рынка будет благоприятной
(ОДО = 200 000 дол., см. табл. 8.1), принимается решение строить крупное
производство; если неблагоприятной, то наиболее целесообразное решение –
продажа патента (ОДО = 10 000 дол.). Учитывая, что вероятности благоприятной
и неблагоприятной ситуаций равны 0,5, значение ОДОТ.И. (ОДО точной
информации) определяется выражением:
ОДОТ.И. = 0,5 × 200 000 + 0,5 × 10 000 = 105 000 дол.
Тогда ожидаемая ценность точной информации равна:
ОЦТ.И. = ОДОТ.И. – ОДО = 105 000 - 40 000 = 65 000 дол.
Значение ОЦТ.И. показывает, какую максимальную цену должна быть готова
заплатить компания за точную информацию об истинном состоянии рынка в тот
момент, когда ей это необходимо.
121
8.2. Некоторые практические результаты применения системного
анализа
1. При строительстве ВАЗа предусмотрели столовые, рассчитанные на то,
чтобы все рабочие смены могли пообедать одновременно. Проверено: за 18 минут
в этих столовых свободно обедают сразу 30 тыс. человек. Но размеры столовых,
которые должны вместить сразу 30 тыс. человек, обязаны быть огромны. Такие
залы используются всего два раза в сутки. Экономично ли?
С точки зрения людей, видящих перед собой только одну столовую, −
невыгодно, что не укладывается в сознании таких экономистов−несистемщиков,
противоречит здравому смыслу. Но подойдем к вопросу с иной позиции. Будем
рассматривать его не изолированно, а в комплексе, в единой системе со всем
производством. При этом учтем все многообразие факторов: − технических,
технологических, экономических, психологических и т. п., и ради кажущейся
выгоды откажемся от таких столовых. Пусть, скажем, главный конвейер
останавливается на обед в одно время, а конвейер кузовного производства – в
другое. Рабочая смена пройдет в столовую в две очереди, а ее зал можно
уменьшить наполовину. Такое решение кажется выгодным.
Однако, на тот час, когда смена с кузовного производства будет обедать, а
главный конвейер работать, нужен дополнительный задел. А ведь с конвейеров
завода сходит одна машина каждые 25 секунд. Каким же должен быть задел во
время обеда корпусников, во что он обойдется? И где его разместить, в каких
помещениях? На автозаводе все – на подвесных конвейерах в огромных корпусах.
Значит, чтобы сэкономить площадь столовой, пришлось бы увеличить площадь
цехов.
Но здание цеха не то, что здание столовой. Цех – это мощные пролетные
строения 14-метровой высоты да еще столько же в подвале, где размещаются
подсобные службы. И строительство, и содержание таких помещений обойдется
несравненно дороже, чем столовых. И выходит, что со всех точек зрения куда
выгоднее строить столовые с расчетом на целую смену. Прийти к такому выводу
помог системный подход.
Как видно, системный подход не есть какое-то открытие, позволяющее
делать принципиально новое, а лишь систематизация здравого смысла,
объединение предметов или знаний о них путем установления существенных
связей между ними. При таком синтезе требуется мудрая дальновидность, умение
связывать близкие цели с дальними, технические и экономические перспективы с
экологическими и социальными.
2. В столице Швеции Стокгольме в 1999 году была организована выставка
драгоценных камней из Республики Шри Ланка. Главное внимание посетителей
привлекал знаменитый голубой сапфир «Звезда Ланки» массой в 392 карата.
Организаторы выставки весьма оригинально решили проблему охраны столь
редких экспонатов. В витрину с драгоценными камнями они поместили трех
ядовитых змей. «Мы подобрали самых ядовитых, самых смертоносных и
122
наиболее быстрых змей, – заявил шведский специалист по змеям Уле Рузенквист.
– Мы их специально не кормили в течение недели, чтобы они были в форме».
3. Проведена сравнительная оценка экономической и системной
эффективности.
В
качестве
объекта
приложения
методики
оценки
выбраны
электромонтажные соединения радиоэлектронной аппаратуры (РЭА). Будучи
малоисследованными, они являются самыми массовыми и распространенными
элементами любой технической системы. Для конкретной сравнительной оценки
выбраны паяные соединения (ПС), в настоящее время наиболее
распространенные в промышленности, и накрученные соединения (НС) как
наиболее перспективные. Сравнительные расчеты экономической и системной
эффективности ПС и НС показали, что НС по системной эффективности
значительно превосходят ПС (в 12,5 раза на примере типового блока РЭА!), что и
должно обусловливать их выбор в технической системе. И этот пример
показывает, что системная оценка – основа принятия управленческого решения.
4. Японская компания «Сумитомо» купила обанкротившийся французский
завод «Данлоп» по производству автопокрышек. «С тех пор за очень короткое
время мы шагнули из века каменного в век XXI, говорит один из профсоюзных
лидеров. − Производительность труда возросла на 40%, вдвое сократилось число
прогулов, зарплата увеличилась на 22%...» В чем же причина такого небывалого
успеха? Дело в том, что в новой дирекции оказался один японец-системщик с
двумя помощниками.
123
Заключение
Исключая единичные случаи, необходимо
признать, что системная методология
редко используется в массовом масштабе и
для большинства разработок... характерно
эмпирическое развитие метода проб и
ошибок.
Академик И.М.Макаров
Подведем итоги. Каковы условия успешного использования системного
анализа? Первым условием успеха системного анализа является применение его
там, где он действительно нужен. Сам характер системного исследования
сложных объектов требует высокого уровня знаний, привлечения на той или иной
стадии анализа высококвалифицированных специалистов.
Во-вторых, не может быть успешного системного исследования в случае
недобросовестного отношения к нему руководства организации-заказчика или
самих исследователей. В памфлете на современный «менеджеризм»
С.Паркинсона говорится: «Всегда должно казаться странным, что промышленная
корпорация, возглавляемая выдающимся президентом, управляемая опытными
директорами и битком набитая руководящими работниками, известными своей
компетентностью и рвением, должна призывать внешних консультантов, чтобы
получить от них совет, как распределить работу между своими сотрудниками.
Если директора не знают, как организовать работу, то закономерно спросить, что
же они тогда знают и за что получают деньги … Тщательно проведенное
исследование позволяет установить, что клиенты, обращаясь к промышленным
консультантам, делают это по двум причинам. В первом случае администраторам
нужны козлы отпущения, которых можно принести в жертву при проведении
реорганизации, а на нее они уже решились. В другом – они хотят избежать
реорганизации, которую им навязывают».
Условиями успеха системного анализа следует считать наличие трех
элементов:
- явно понятой потребности, цели или назначения;
- источника идей, накопленной информации, опыта и представления о предмете;
- ресурсов – опытных специалистов, а также оборудования, материалов и
денежных средств.
Системный анализ является сам по себе инструментом обеспечения наличия
всех этих трех элементов: выявления и детализации целей, соответствующей
информации, ресурсов и их увязки с целями. Таким образом, специалисты по
системному анализу должны знать условия успеха своей работы и приступать к
ней только при их выполнении.
124
Литература
1. Волкова В.Н., Денисов А.А. Основы теории систем и системного анализа. –
СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1997.
2. Перегудов Ф.И., Тарасенко Ф.П. Введение в системный анализ: Учебное
пособие. – М.: Высшая школа, 1989.
3. Системный анализ в экономике и организации производства/ Под ред.
С.А.Валуева, В.Н.Волковой. Л.: Политехника, 1991.
4. Спицнадель В.Н. Основы системного анализа: Учебное пособие. – СПб.: Издво «Бизнес-пресса», 2000.
5. Лагоша Б.А., Емельянов А.А. Введение в системный анализ. – М.: Изд-во
МЭСИ, 1998.
6. Месарович М., Тахакара Я. Общая теория систем: математические основы. –
М.: Мир, 1978.
7. Черняк Ю.И. Системный анализ в управлении экономикой. – М.: Экономика,
1975.
8. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. – М.: Наука, 1981.
9. Теория прогнозирования и принятия решений/ Под ред. С.А.Саркисяна. – М.:
Высшая школа, 1977.
10. Мушик Э., Мюллер П. Методы принятия технических решений. – М.: Мир,
1990.
11. Дубров А.М., Лагоша Б.А., Хрусталев Е.Ю. Моделирование рисковых
ситуаций в экономике и бизнесе. – М.: Финансы и статистика, 2000.
125