Matematica cl5

Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA La versione accessibile di questo file è stata realizzata dalla Biblioteca Digitale dell’ Associazione Italiana Dislessia. Copia concessa per uso personale di studio su concessione del Gruppo Editoriale DeAgostini Tutti i diritti sono riservati. Ad uso esclusivo e temporaneo per soggetti con D.S.A. o che rientrano nella legge 104/92 VIETATA LA DUPLICAZIONE Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Indice Prima di cominciare... TEMA V 2 A Complementi di analisi e applicazioni all’economia Unità 1 2 3 4 5 1 Funzioni di due variabili Introduzione alle funzioni di due variabili Dominio, limiti, continuità Derivate parziali Massimi e minimi Applicazioni all’economia ESERCIZI Sintesi Conoscenze e abilità Riepilogo Prova di autoverifica Laboratorio di informatica Verso le competenze Verso le prove Invalsi TEMA 2 16 25 34 Unità 1 42 42 43 69 72 73 76 78 2 3 3 4 5 Unità 2 Problemi di scelta 83 TEMA 157 161 166 170 171 171 171 184 188 189 194 196 C Dati e previsioni 85 89 Unità 97 97 97 117 120 121 5 Complementi sul calcolo della probabilità 93 3 Problemi di scelta con Problemi di scelta in condizione di certezza con effetti differiti 135 135 151 156 82 effetti differiti e in condizione di incertezza 1 Richiami su disequazioni e sistemi di disequazioni lineari in due incognite Problemi di programmazione lineare in due incognite Problemi di programmazione lineare in più incognite riconducibili a due Matematica nella realtà Problemi ESERCIZI Sintesi Conoscenze e abilità Riepilogo Prova di autoverifica Laboratorio di informatica Verso le competenze Verso le prove Invalsi B Introduzione alla ricerca operativa Problemi di scelta in condizione di certezza (caso continuo) Problemi di scelta in condizione di certezza (caso discreto) Il problema delle scorte Problemi di scelta tra più alternative ESERCIZI Sintesi Conoscenze e abilità Riepilogo Prova di autoverifica 135 4 Programmazione lineare di programmazione lineare in condizione di certezza 1 2 129 10 Ricerca operativa Unità Problemi di scelta in condizione di incertezza ESERCIZI Sintesi Conoscenze e abilità Riepilogo Prova di autoverifica 1 2 3 Richiami di calcolo della probabilità Probabilità composte ed eventi indipendenti Il teorema della probabilità totale e il teorema di Bayes Matematica nella storia La nascita e gli sviluppi 200 del calcolo della probabilità 211 213 ESERCIZI Sintesi Conoscenze e abilità Riepilogo Prova di autoverifica 202 206 213 214 225 228 III Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Unità 1 2 3 4 6 Inferenza statistica Introduzione alla statistica inferenziale Stimatori Intervalli di confidenza Test statistici per la verifica di ipotesi ESERCIZI Sintesi Conoscenze e abilità Riepilogo Prova di autoverifica 229 Laboratorio di informatica Verso le competenze Verso le prove Invalsi 272 274 276 Idee e metodi della matematica Introduzione agli algoritmi Verso l’esame Verso l’Università Risposte alle prove di autoverifica Indice analitico 279 294 316 318 320 231 234 244 255 255 256 268 271 Risorse Web Esercizi interattivi Materiali per il volume 5: Complementi e approfondimenti – Il metodo del simplesso – Glossario Figure dinamiche Materiali per il Laboratorio di informatica Da www.scuola.com l’accesso al portale studente di zonaMatematica consente di cimentarsi autonomamente con prove di autoverifica costantemente aggiornate e implementate, oppure di eseguire le prove personalizzate che il docente assegnerà alla classe. IV Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Uno Prima di cominciare... sguardo sulla matematica di oggi Da dove nasce tanto interesse nei confronti della matematica? La risposta è semplice: essa fornisce strumenti essenziali per molti settori della scienza e della tecnologia. Prima di cominciare... Negli ultimi cent’anni si sono dimostrati più teoremi che nell’intero corso della storia; molte teorie matematiche sono state riprese e hanno avuto notevoli applicazioni pratiche, mentre celebri problemi, irrisolti da secoli, hanno trovato una soluzione. Per esempio, la matematica ha un ruolo fondamentale: in aeronautica: la matematica è stata essenziale per la costruzione degli aerei di nuova generazione 767, 777 e Airbus; in informatica: software di generazioni recenti sono basati su teorie algebriche e logiche avanzate; in meteorologia: le previsioni del tempo sono fondate su complessi modelli matematici; in medicina: la matematica è stata impiegata per la realizzazione di nuovi strumenti di indagine diagnostica quali per esempio la TAC (tomografia assiale computerizzata); la statistica, inoltre, è alla base dell’analisi di dati medici ed epidemiologici e del monitoraggio di dati farmacologici; in biologia: lo studio dell’evoluzione di popolazioni appartenenti a varie specie è basato su modelli matematici; in economia e finanza: la matematica gioca un ruolo di primo piano nell’ottimizzazione di risorse e investimenti, nella pianificazione di processi produttivi, nel calcolo dei contratti finanziari e dei premi di assicurazioni. La scienza e la tecnologia utilizzano, dunque, teorie matematiche sempre più sofisticate. Per questo motivo, negli ultimi anni sono nate nuove figure professionali, in grado di utilizzare la matematica per scopi diversi. Tali figure sono richieste per esempio: nei centri di ricerca di tutte le grandi banche; nelle assicurazioni; nelle imprese che sviluppano software; nei centri di ricerca di piccole e grandi industrie. Sembra proprio che la matematica sia il linguaggio del terzo millennio, senza il quale non sarà possibile comprendere la scienza e le tecnologie del futuro! V Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Prima di cominciare... Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Qualche consiglio per «studiare matematica» e per utilizzare questo libro Questo testo ha diversi scopi: continuare lo sviluppo delle competenze matematiche che hai acquisito nei corsi precedenti; farti scoprire alcune applicazioni della matematica nel mondo in cui viviamo; contribuire a farti acquisire quegli strumenti scientifici sempre più essenziali per partecipare alla vita sociale con consapevolezza e capacità critica; prepararti all’esame dell’ultimo anno e ai corsi di matematica che dovrai frequentare, se sceglierai di proseguire i tuoi studi in una facoltà scientifica. Per raggiungere questi scopi, ti diamo qualche consiglio su come studiare matematica. 1 2 Lo studio della matematica, come hai già avuto modo di constatare, richiede impegno e partecipazione. Non puoi imparare molto limitandoti ad assistere alle lezioni: devi partecipare, porti domande e confrontarti, anche da solo, con problemi ed esercizi. È importante che studi matematica con regolarità: potrai cosı̀ assimilare più agevolmente i concetti e il tuo insegnante potrà più facilmente aiutarti a superare le difficoltà. Dovresti leggere le lezioni di questo libro e cercare di capire ciò che hai letto. A questo proposito ti diamo alcuni suggerimenti: leggi lentamente, prestando attenzione a ogni parola e ai simboli; rileggi le parti che non ti risultano chiare; prova a rifare da solo gli esempi che compaiono svolti nel testo; alla fine di ogni paragrafo, prima di proseguire, controlla se hai capito ciò che hai letto, cercando di rispondere ai quesiti che ti sono proposti nella rubrica prova tu. 3 4 Risolvi gli esercizi che trovi al termine di ciascuna Unità, suddivisi in paragrafi, con l’aiuto degli esercizi svolti e guidati. 5 6 Alla fine di ogni tema trovi una serie di esercizi sulle competenze da acquisire sugli argomenti trattati nel tema stesso; cerca di risolvere anche gli esercizi di verso le prove Invalsi, strutturate secondo la nuova tipologia di test d’esame. Sfrutta i materiali multimediali relativi al libro disponibili on-line: potrai trovare figure dinamiche per visualizzare meglio i concetti fondamentali presentati nella teoria, test autocorrettivi che si affiancano alle prove di autoverifica proposte nel libro, file di supporto alle attività del Laboratorio di informatica, ulteriori complementi e approfondimenti. 7 8 Quando risolvi un problema, non limitarti a scrivere la tua soluzione: sforzati di illustrare ciò che stai facendo e di giustificare i vari passaggi, con spiegazioni sintetiche ma esaurienti. Se non riesci a rispondere a una domanda o a risolvere un esercizio immediatamente, non preoccuparti! Rileggi la lezione e gli esempi. Se puoi, abbandona momentaneamente la questione e affrontala in un secondo tempo. Quando qualcosa non ti è chiaro, poni domande e parlane con altri. 9 Cerca di studiare con spirito critico: la matematica non è solo calcolo, ma soprattutto una forma di pensiero. Nell’epoca di innovazioni tecnologiche in cui viviamo, questo secondo aspetto è sempre più essenziale: i calcoli si possono spesso demandare alle macchine, mentre è essenziale saper ragionare in modo corretto, risolvere e porsi problemi, unire fantasia e razionalità. A tutti auguro buon lavoro! L’Autore VI Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Complementi TEMA di analisi e applicazioni all’economia Nel precedente volume, studiando le funzioni A PREREQUISITI di una variabile, abbiamo visto che esse sono 3Equazioni, disequazioni e sistemi strumenti fondamentali per la modellizzazione di in una variabile moltissimi fenomeni. In molti casi, tuttavia, 3Calcolo differenziale per funzioni di una variabile i modelli basati sulle funzioni di una variabile si rivelano poco realistici: per esempio, COMPETENZE in prima approssimazione abbiamo considerato la domanda di un bene come funzione soltanto del suo prezzo, ma è più realistico pensare che la domanda dipenda anche dai prezzi di altri beni presenti sul mercato. 3Utilizzare le funzioni di due variabili per costruire modelli matematici in vari ambiti, in particolare in quello economico Per poter costruire modelli più raffinati abbiamo bisogno dunque di funzioni che dipendano da più di una variabile: questo sarà l’oggetto della prossima Unità. Unità 1 Funzioni di due variabili Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Per lo studio delle funzioni di due variabili potremo ancora giovarci (come per le funzioni di una variabile, rappresentate da curve nel piano cartesiano) di immagini geometriche: una funzione di due variabili rappresenta infatti una superficie nello spazio. La rappresentazione grafica però, passando dal piano allo spazio, diventa notevolmente più difficoltosa: per questo motivo ci si riconduce spesso nel piano, rappresentando le cosiddette curve di livello della superficie, concettualmente analoghe alle curve di livello che si trovano nelle comuni carte geografiche. Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Unità 1 Funzioni di due variabili 1. Introduzione alle funzioni di due variabili Tema A Il principale oggetto di questa Unità sarà lo studio delle funzioni di due variabili, funzioni, cioè, definite da un’equazione della forma: z ¼ f ðx, yÞ essendo x e y le variabili indipendenti e z la variabile dipendente. È bene mettere in rilievo subito due importanti differenze rispetto alle funzioni di una variabile. Ricorda R2 ¼ R R R3 ¼ R R R ... Rn ¼ R ::::: R n volte a. Mentre il dominio di una funzione reale di una variabile reale è un sottoinsieme di R, il dominio D di una funzione reale di due variabili reali è un insieme di coppie ordinate (x, yÞ di numeri reali, ovvero un sottoinsieme di R2 : D R2 . b. Mentre il grafico di una funzione reale di una variabile reale si traccia nel piano cartesiano (ed è rappresentato da una curva), il grafico di una funzione reale di due variabili si traccia nello spazio, riferito a un sistema di coordinate cartesiane ortogonali (ed è rappresentato da una superficie). Prima di intraprendere lo studio delle funzioni di due variabili è importante pertanto: rivedere e approfondire alcune questioni legate ai sottoinsiemi di R2 ; vedere come può essere definito un sistema di riferimento cartesiano nello spazio. Sottoinsiemi di R2 definiti mediante disequazioni in due variabili I sottoinsiemi di R2 con cui lavoreremo più spesso nello studio delle funzioni di due variabili sono quelli definiti mediante disequazioni in due variabili (ovvero in due incognite) o sistemi di disequazioni in due variabili. Ai fini della risoluzione di tali disequazioni è bene tenere presente quanto segue: a. le disequazioni di primo grado della forma: ax þ by þ c > 0 o ax þ by þ c < 0 e le corrispondenti ottenute sostituendo i simboli di > e < con o rappresentano dei semipiani, esclusa o inclusa la retta che delimita il semipiano; b. i sistemi formati da disequazioni di primo grado in due incognite rappresentano l’intersezione dei semipiani rappresentati dalle singole disequazioni, quindi in particolare consentono di rappresentare poligoni; c. le disequazioni della forma: Fðx, yÞ 0 o Fðx, yÞ 0 nel caso in cui Fðx, yÞ ¼ 0 sia l’equazione di una conica, rappresentano: – una delle due regioni in cui il piano resta diviso alla conica (inclusa la conica stessa) se quest’ultima è una circonferenza, una parabola o una ellisse (vedi la fig. 1.1, nel caso di una parabola); – i punti delle due regioni convesse o i punti della regione concava in cui il piano resta diviso dalla conica (inclusa la conica stessa) se quest’ultima è un’iperbole (fig. 1.2). Ragionamenti analoghi valgono per le disequazioni del tipo Fðx, yÞ > 0 e Fðx, yÞ < 0, con la sola differenza che in questo caso la conica andrà esclusa dalla/e regione/i stessa/e. 2 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Unità 1 y y regione concava O x O Funzioni di due variabili regione convessa x regione concava regioni convesse Figura 1.1 Una parabola divide il piano in due regioni, una concava (colorata in azzurro) e una convessa (colorata in rosso). ESEMPI Figura 1.2 Un’iperbole divide il piano in una regione concava (colorata in azzurro) e in due regioni convesse (colorate in rosso). Disequazioni in due variabili Rappresentiamo graficamente le regioni di piano definite dalle seguenti disequazioni: a. x 2y þ 6 > 0 b. x 2 2y 4 0 c. x2 y2 þ 1 16 4 a. Si tratta di una disequazione lineare in forma implicita. Risolviamo anzitutto la disequazione rispetto a y: x 2y þ 6 > 0 ) 2y > x 6 ) y < 1 xþ3 2 Ne segue che la disequazione data rappresenta il semipiano «al di sotto» 1 della retta di equazione y ¼ x þ 3, esclusa la retta stessa, che va perciò 2 tratteggiata (fig. 1.3). In alternativa, per stabilire quale dei due semipiani è rappresentato dalla disequazione si sarebbe potuto utilizzare il metodo del «punto di prova», che consiste nel sostituire nella disequazione le coordinate di un punto e stabilire se la disequazione è soddisfatta o meno. Nel nostro caso, possiamo scegliere per esempio come punto l’origine; sostituendo nella disequazione data 0 al posto di x e di y, otteniamo: 0 2 0 þ 6 > 0, ossia 6 > 0, che è evidentemente una disuguaglianza vera. Pertanto l’origine appartiene al grafico di x 2y þ 6 > 0. Concludiamo allora (come già individuato procedendo con il primo metodo) che fra i due semipiani delimitati dalla retta di equazione x 2y þ 6 ¼ 0 quello che rappresenta la disequazione x 2y þ 6 > 0 è il semipiano che contiene l’origine, cioè il semipiano colorato in fig. 1.3. y = 1 x +3 2 1 x O –2 –1 1 2 3 4 Figura 1.3 y 1 2 x 2 2 Ne deduciamo che la disequazione rappresenta i punti «al di sopra» della 1 parabola di equazione y ¼ x2 2 e i punti della parabola stessa (fig. 1.4). 2 In alternativa avremmo potuto considerare come punto di prova l’origine e osservare che le sue coordinate soddisfano la disequazione originaria; avremmo cosı̀ concluso che la disequazione rappresenta la regione che ha come frontiera la parabola cui appartiene l’origine, ovverosia quella colorata in fig. 1.4. Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P 3 2 b. Risolviamo la disequazione rispetto a y: x2 2y 4 0 ) 2y x2 þ 4 ) y y 4 x O x – 2y – 4 ≤ 0 2 Figura 1.4 Ô 3 Ô x2 y2 þ ¼ 1. Essa divide il 16 4 piano in due regioni: una costituita dai punti interni o appartenenti all’ellisse, una costituita dai punti esterni all’ellisse. Consideriamo come punto di prova l’origine. Le sue coordinate (0, 0) soddisfano la disequazione data: c. Rappresentiamo anzitutto l’ellisse di equazione infatti sostituendo 0 al posto di x e y otteniamo la disuguaglianza 02 02 x2 y2 þ 1, ossia 0 1, che è vera. Quindi la disequazione þ 1 16 4 16 4 rappresenta la regione che ha come frontiera l’ellisse e alla quale appartiene l’origine, ossia la regione costituita dai punti interni all’ellisse e dai punti dell’ellisse stessa (fig. 1.5). y O Tema A Complementi di analisi e applicazioni all’economia Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA x x2 y2 + ≤1 16 4 Figura 1.5 ESEMPI Sistemi di disequazioni in due variabili Rappresentiamo graficamente le regioni di piano definite algebricamente dai seguenti sistemi: 8 y 10 > < a. 1 x 0 > : xþy 40 ( b. x 2 þ y 2 2x 2y 0 x 2 þ y 2 2x 2y 7 0 a. Esplicitiamo le disequazioni del sistema rispetto a y: 8 y10 > < 1x0 ) > : xþy40 8 y1 > < x 1 > : y x þ 4 ) 8 y1 > < x1 > : y x þ 4 I tre semipiani rappresentati dalle disequazioni del sistema sono: quello costituito dai punti «al di sopra» della retta di equazione y ¼ 1 e dai punti della retta stessa; quello costituito dai punti «a destra» della retta di equazione x ¼ 1 e dai punti della retta stessa; quello costituito dai punti «al di sotto» della retta di equazione y ¼ x þ 4 e dai punti della retta stessa. La loro intersezione è il triangolo di vertici Að1, 1Þ, Bð3,1Þ e Cð1, 3Þ (fig. 1.6). b. La disequazione x2 þ y 2 2x 2y p0ffiffiffirappresenta i punti esterni alla circonferenza di centro (1, 1) e raggio 2 e i punti appartenenti alla circonferenza stessa. 4 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Unità 1 y x=1 4 x 2 + y 2 – 2x – 2y = 0 O x y = –x + 4 2 O y C 3 1 Funzioni di due variabili La disequazione x2 þ y 2 2x 2y 7 0 rappresenta i punti interni alla circonferenza di centro (1, 1) e raggio 3 e i punti appartenenti alla circonferenza stessa. Il sistema rappresenta l’intersezione delle due regioni precedenti, ossia la corona circolare in fig. 1.7. y=1 A 1 B 2 3 4 5 x Figura 1.6 x 2 + y 2 – 2x – 2y – 7 = 0 Figura 1.7 Intorni e insiemi aperti e chiusi in R2 Per definire il concetto di limite per le funzioni di due variabili sarà importante avere a disposizione anche in R2 una nozione di intorno di un punto; inoltre, una volta definita tale nozione, sarà possibile definire in R2 concetti analoghi quelli di intervallo aperto, chiuso, limitato e illimitato. Definizione Si chiama intorno (circolare) di un punto Pðx0 , y0 Þ in R2 l’insieme dei punti del piano che distano da P meno di r , con r > 0. Un intorno è quindi l’insieme dei punti le cui coordinate ðx, yÞ sono tali che: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðx x0 Þ2 þ ðy y0 Þ2 < r Esempi Controesempi P P È un intorno circolare di P. Non è un intorno circolare di P. Il punto P e il numero r sono detti rispettivamente il centro e il raggio dell’intorno. Dato un insieme A di punti del piano e un punto P appartenente al piano, si dice che il punto P è: a. interno all’insieme A se esiste un intorno di P interamente contenuto in A; b. esterno all’insieme A se esiste un intorno di P che non contiene alcun punto di A; c. di frontiera per l’insieme A se ogni intorno di P contiene almeno un elemento di A e almeno un elemento non appartenente ad A; d. di accumulazione per l’insieme A se ogni intorno di P contiene almeno un elemento di A distinto da P. Q Q A A P P R P è un punto interno all’insieme A, Q è un punto di frontiera ed R è un punto esterno. Inoltre P e Q sono punti di accumulazione per l’insieme A. R P non è né esterno né di frontiera per l’insieme A, Q non è né interno né esterno all’insieme A, R non è né interno né di frontiera per l’insieme A. Il punto R non è di accumulazione per l’insieme A. Ô Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P 5 Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Un insieme di punti del piano si dice: a. aperto, se tutti i suoi punti sono interni all’insieme; b. chiuso, se il suo complementare è aperto. È un insieme aperto. Un insieme di punti del piano si dice: a. limitato se esiste un intorno dell’origine in cui è interamente contenuto; b. illimitato in caso contrario. È un insieme chiuso. È un insieme che non risulta né aperto né chiuso. y y 4 D 3 C 2 2 x –4 –2 2 2 A –2 2 B 4 1 x –4 –2 Il rettangolo ABCD è un insieme limitato. Per esempio, l’intorno dell’origine delimitato dalla circonferenza tratteggiata contiene internamente il rettangolo. Tema A Complementi di analisi e applicazioni all’economia Ô –1 O 1 2 L’insieme A ¼ fðx, yÞ 2 R2 : y > x 2 g non è limitato (ovvero è illimitato). Sistema di riferimento cartesiano ortogonale nello spazio Anche lo spazio, come il piano, può essere riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali, procedendo come segue: Convenzione Salvo avviso contrario, converremo di utilizzare sistemi di riferimento nello spazio di tipo destro, come in fig. 1.8. si considerano tre rette a due a due ortogonali, dette asse x, asse y e asse z, tutte e tre passanti per un punto O, origine del sistema di riferimento; si orientano i tre assi e si considera su di essi una unità di misura; se l’orientamento è come in fig. 1.8 il sistema di riferimento si dice destro, mentre se è come in fig. 1.9 si dice sinistro. z z O x y O x y Figura 1.8 Figura 1.9 Il piano che contiene gli assi x e y è detto piano xy; analogamente il piano che contiene gli assi x e z è detto piano xz e il piano che contiene gli assi y e z è detto piano yz (fig. 1.10). I tre piani xy, yz e xz, detti piani coordinati, dividono lo spazio in otto parti, detti ottanti (gli analoghi dei quadranti nel piano). A ogni punto P dello spazio è possibile associare una terna ordinata di numeri reali (x, y, zÞ, che costituiscono le coordinate del punto P (fig. 1.11): il numero x, detto ascissa di P, è la coordinata sull’asse x del punto di intersezione Px di tale asse con il piano passante per P e parallelo al piano yz; il numero y, detto ordinata di P, è la coordinata sull’asse y del punto di intersezione Py di tale asse con il piano passante per P e parallelo al piano xz; il numero z, detto quota di P, è la coordinata sull’asse z del punto di intersezione Pz di tale asse con il piano passante per P e parallelo al piano xy. 6 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Unità 1 z z Pz piano yz xz Funzioni di due variabili o n ia P p x ordinata y Px Py quota z O piano xy x as cis sa y O y x H Figura 1.11 Figura 1.10 In particolare, il piano xy è costituito da punti di coordinate (x, y, 0), quindi è definito dall’equazione z ¼ 0; analogamente il piano xz è definito dall’equazione y ¼ 0 e il piano yz è definito dall’equazione x ¼ 0. Distanza tra due punti nello spazio Molte formule già viste nel piano si possono estendere in modo naturale nello spazio; per esempio la formula per calcolare la distanza tra due punti. Per verificare questo fatto, cominciamo con il considerare due punti Pðx1 , y1 , z1 Þ e Qðx2 , y2 , z2 Þ e indichiamo con Hðx2 , y2 , z1 Þ la proiezione di Q sul piano passante per P e parallelo al piano xy (piano i cui punti hanno quota z ¼ z1 ). z Q(x2, y2, z2) |z2– z1| H(x2, y2, z1) P(x1, y1, z1) y O H' Figura 1.12 P' x Per il teorema di Pitagora, applicato al triangolo rettangolo PHQ (fig. 1.12) risulta: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2 PQ ¼ PH þ QH Osserviamo ora che: la distanza tra i due punti P e H è uguale alla distanza tra le loro proiezioni P 0 ðx1 , y1 Þ e H 0 ðx2 , y2 Þ sul piano xOy, quindi: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi PH ¼ ðx2 x1 Þ2 þ ðy2 y1 Þ2 la distanza tra Q e H, essendo due punti aventi stessa ascissa e stessa ordinata, è uguale al valore assoluto della differenza delle quote: QH ¼ j z2 z1 j Pertanto: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi PQ ¼ ðx2 x1 Þ2 þ ðy2 y1 Þ2 þ ðz2 z1 Þ2 PH 2 QH 2 Ricorda jaj2 ¼ a2 , quindi jz2 z1 j2 ¼ ðz2 z1 Þ2 7 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P A questo punto è evidente che la formula per la distanza di due punti nello spazio, come anticipato, è la naturale estensione della formula nel piano. TEOREMA 1 .1 Tema A Complementi di analisi e applicazioni all’economia Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Distanza t ra due p unti nell o spazio Nello spazio, la distanza d tra due punti di coordinate ðx1 , y1 , z1 Þ e ðx2 , y2 , z2 Þ è espressa dalla formula: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi d ¼ ðx2 x1 Þ2 þ ðy2 y1 Þ2 þ ðz2 z1 Þ2 ESEMPIO Distanza tra due punti nello spazio La distanza tra i due punti Að2, 3, 4Þ e Bð1, 5, 6Þ è data da: AB ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi ð1 2Þ2 þ ð5 3Þ2 þ ð6 4Þ2 ¼ ð1Þ2 þ 22 þ 22 ¼ 9 ¼ 3 Anche la formula del punto medio di un segmento si estende naturalmente allo spazio. Si può dimostrare infatti quanto segue. PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO NELLO SPAZIO Il punto medio di un segmento i cui estremi hanno coordinate ðx1 , y1 , z1 Þ e ðx2 , y2 , z2 Þ ha coordinate: x þx y1 þ y2 z1 þ z2 1 2 , , 2 2 2 ESEMPIO Punto medio di un segmento nello spazio Il punto medio del segmento AB, di estremi Að2, 3, 4Þ e Bð1, 2, 6Þ, è il punto M 2þ1 3þ2 4þ6 3 5 , , , ,5 . di coordinate . Dunque M 2 2 2 2 2 Piani e rette nello spazio Abbiamo visto che, nel piano cartesiano, l’equazione implicita di una generica retta è: ax þ by þ c ¼ 0 Nello spazio, riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali, si dimostra che l’equazione implicita di un generico piano è: ax þ by þ cz þ d ¼ 0 [1.1] Inoltre, sempre in analogia con quanto visto a proposito della retta, cosı̀ come l’equazione di una generica retta, non parallela all’asse y e passante per il punto Pðx0 ; y0 Þ, è: y y0 ¼ mðx x0 Þ L’equazione dipende da un solo parametro: m cosı̀ si dimostra che, nello spazio, l’equazione di un generico piano, non parallelo all’asse z e passante per il punto Pðx0 ; y0 ; z0 Þ, è: z z0 ¼ aðx x0 Þ þ bðy y0 Þ L’equazione dipende da due parametri: a e b È importante infine esaminare le equazioni di alcuni piani particolari. a. Se nell’equazione [1.1] è d ¼ 0, si ottiene l’equazione di un piano passante per l’origine (infatti le coordinate dell’origine soddisfano l’equazione del piano). 8 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Una retta si dice parallela a un piano se non ha punti in comune con esso o se giace sul piano. z z ax + cz + d = 0 ax + by + d = 0 by + cz + d = 0 y O y O Funzioni di due variabili z Ricorda Unità 1 b. Se nell’equazione [1.1] uno (almeno) dei coefficienti a, b o c è nullo, si ottiene un piano che risulta parallelo all’asse corrispondente alla variabile mancante. Per esempio, se c ¼ 0, allora si ottiene il piano di equazione ax þ by þ d ¼ 0 in cui manca la variabile z; un piano di questo tipo è parallelo all’asse z: infatti se d 6¼ 0, l’asse z e il piano non hanno punti in comune (perché nessun punto di coordinate (0, 0, k) soddisfa l’equazione del piano), mentre se d ¼ 0, l’asse z giace sul piano. Un piano siffatto risulta anche perpendicolare al piano xy (fig. 1.13a). Analoghi ragionamenti possono essere condotti negli altri casi (figg. 1.13b e c). y O x x x a. Piano parallelo all’asse z (deve perciò intersecare i piani xz e yz lungo rette parallele all’asse z). Tale piano è anche perpendicolare al piano xy. b. Piano parallelo all’asse y (deve perciò intersecare i piani yz e xy lungo rette parallele all’asse y). Tale piano è anche perpendicolare al piano xz. c. Piano parallelo all’asse x (deve perciò intersecare i piani xy e xz lungo rette parallele all’asse x). Tale piano è anche perpendicolare al piano yz. Figura 1.13 c. Se nell’equazione ax þ by þ cz þ d ¼ 0 due (soli) dei coefficienti a, b o c sono nulli, si ottiene un piano parallelo a uno dei piani coordinati. Per esempio, se b ¼ c ¼ 0 ðe a 6¼ 0Þ, otteniamo un piano di equazione ax þ d ¼ 0, ossia d x ¼ , che è del tipo x ¼ k ed è parallelo al piano yz (fig. 1.14a). Analoghi raa gionamenti possono essere condotti negli altri casi (figg. 1.14b e c). z z x=k z z=k y=k (0, 0, k) y O y O a. Piano parallelo al piano yz. y (0, k, 0) x (k, 0, 0) x O x b. Piano parallelo al piano xz. b. Piano parallelo al piano xy. Figura 1.14 Una retta nello spazio può essere definita mediante l’intersezione di due piani in cui è contenuta; per esempio, l’asse z è l’intersezione dei due semipiani xz e yz, quindi può essere definito dal sistema: x¼0 y¼0 9 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Prova tu ESERCIZI a p. 43 1. Rappresenta le regioni di piano definite dai seguenti sistemi: ( ( x þ y > 2 y x2 x2 þ y 2 4 b. c. a. xþy <4 x2 þ y 2 25 y<4 Per ciascuna regione di piano rappresentata, stabilisci se si tratta di un sottoinsieme di R2 aperto o chiuso, limitato o illimitato. 2. Dati i due punti Að1, 3, 4Þ e Bð1, 2, 5Þ, determina il punto medio M di AB e la lunghezza del segmento AB. pffiffiffi 5 9 M 0, , ; AB ¼ 6 2 2 3. Dato il piano di equazione ða 3Þx þ ðb 3Þy þ ða þ bÞz þ 1 ¼ 0, stabilisci per quali valori di a e b il piano risulta: a. parallelo al piano xy; b. parallelo all’asse x; c. parallelo al piano xz; d. parallelo all’asse y; e. parallelo al piano yz; f. parallelo all’asse z. [a. a ¼ 3, b ¼ 3; b. a ¼ 3; c. a ¼ 3, b ¼ 3; d. b ¼ 3; e. b ¼ 3, a ¼ 3; f. a ¼ b] Tema A Complementi di analisi e applicazioni all’economia Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 2. Dominio, limiti, continuità Iniziamo lo studio delle funzioni reali di due variabili reali focalizzando la nostra attenzione sul dominio e sulle nozioni di limite e di continuità. Dominio Precisiamo anzitutto la definizione di funzione di due variabili. Osserva Si può generalizzare la definizione qui a fianco in modo da definire una funzione reale f di n variabili reali, assumendo D Rn e sostituendo le coppie ordinate con le n-ple ordinate ðx1 , x2 , ..., xn ): FUNZIONE DI DUE VARIABILI Dato un insieme D R2 e una corrispondenza f : D ! R, si dice che essa è una funzione di dominio D e codominio R se associa a ogni coppia ordinata ðx; yÞ 2 D uno e un solo elemento di R. Una funzione di due variabili viene solitamente assegnata mediante un’equazione del tipo z ¼ f ðx, yÞ, dove x e y sono le variabili indipendenti mentre z è la variabile dipendente, oppure assegnando semplicemente la sua espressione analitica f ðx, yÞ. In analogia con quanto già visto per le funzioni di una variabile, in assenza di indicazioni diverse si sottintende che il dominio sia quello naturale, ossia l’insieme costituito dalle coppie ordinate ðx, yÞ per cui tutte le operazioni che compaiono nell’espressione analitica della funzione risultano definite. Le condizioni da imporre per individuare il dominio di una funzione di due variabili sono quindi del tutto analoghe a quelle viste per le funzioni di una variabile (i denominatori vanno posti diversi da zero, i radicandi dei radicali di indice pari maggiori o uguali a zero, gli argomenti dei logaritmi maggiori di zero ecc.). ESEMPI Dominio di una funzione di due variabili Determiniamo il dominio delle seguenti funzioni: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 a. z ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b. z ¼ ln ðx þ yÞ 2 2 9x y a. Affinché il radicando sia non negativo e il denominatore sia diverso da zero deve essere soddisfatta la disequazione: 9 x2 y2 > 0 ) x2 y2 > 9 ) x2 þ y 2 < 9 10 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA y y 4 3 3 2 y=1– x 1 –3 –2 –1 O –1 Funzioni di due variabili L’ultima disequazione scritta rappresenta i punti «al di sopra» della retta di equazione y ¼ 1 x e i punti appartenenti alla retta stessa, quindi il dominio della funzione originaria è il semipiano rappresentato in fig. 1.16. Unità 1 L’ultima disequazione scritta è soddisfatta in corrispondenza dei punti interni del cerchio di centro l’origine e raggio 3, quindi il dominio della funzione data è l’insieme rappresentato in fig. 1.15 (un cerchio, privato della circonferenza che lo delimita). b. Per l’esistenza del radicale dobbiamo imporre la condizione ln ðx þ yÞ 0 e per l’esistenza del logaritmo la condizione x þ y > 0. In definitiva deve essere soddisfatto il seguente sistema: ln ðx þ yÞ 0 ln ðx þ yÞ ln 1 xþy 1 ) ) )xþy 1)y 1x xþy >0 xþy >0 xþy >0 x 1 2 3 2 1 4 –2 –2 –1 1 2 x –1 –3 Figura 1.15 O Figura 1.16 Grafico e curve di livello Sappiamo che il grafico di una funzione y ¼ f ðxÞ di una variabile, di dominio D, è l’insieme: ðx, yÞ 2 R2 : x 2 D ^ y ¼ f ðxÞ e rappresenta una curva nel piano cartesiano. Analogamente, il grafico di una funzione z ¼ f ðx, yÞ di due variabili, di dominio D, è l’insieme: ðx, y, zÞ 2 R3 : ðx, yÞ 2 D ^ z ¼ f ðx; yÞ La sua rappresentazione nello spazio riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali è una superficie (fig. 1.17). Tracciare il grafico di una funzione di due variabili è generalmente un’operazione poco agevole da effettuare a mano (conviene ricorrere a un opportuno software di calcolo); risulta spesso più semplice (e sufficiente per molz (x, y, f (x, y)) ti scopi) rappresentare nel piaz = f (x, y) no le sezioni ottenute dall’intersezione della superficie che costituisce tale grafico con piani superficie che orizzontali, ossia paralleli al costituisce il grafico piano xy. Il procedimento è il della funzione O seguente: tracciato un piano di equazione z ¼ k che interseca la superficie in esame, la sua y (x, y) x intersezione con quest’ultima Figura 1.17 dominio di f è una curva: la proiezione di ta11 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Complementi di analisi e applicazioni all’economia le curva sul piano xy (che in tale piano ha equazione f ðx, yÞ ¼ k) è detta curva (o linea) di livello (fig. 1.18). z superficie di equazione z = f (x, y) curva ottenuta dalla sezione della superficie con il piano secante piano secante z=k y x curva di livello: la proiezione della curva sezione sul piano xy Tema A Figura 1.18 Rappresentando sul piano xy le curve di livello corrispondenti a diversi valori di k si ottiene un’utile rappresentazione della superficie in esame, come mostriamo nel prossimo esempio. Curve di livello ESEMPIO Studiamo le curve di livello della funzione z ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 16 x 2 y 2 . pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Le curve di livello hanno equazione 16 x2 y 2 ¼ k. Affinché le curve di livello non coincidano con l’insieme vuoto deve essere k 0. Se è verificata questa condizione, l’equazione delle curve di livello, elevando al quadrato i suoi due membri, può essere scritta nella forma equivalente: x2 þ y 2 ¼ 16 k2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Si tratta di un fascio di circonferenze concentriche di centro (0,0) e raggio r ¼ 16 k2 . Ne deduciamo che: se k 0 (condizione posta all’inizio) e 16 k2 > 0 (condizione per l’esistenza del raggio), ossia se 0 k < 4, le curve di livello sono circonferenze; se k ¼ 4, il raggio è nullo e la curva di livello è una circonferenza degenere nell’origine; se k < 0 _ k > 4, le linee di livello coincidono con l’insieme vuoto. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi La superficie di equazione z ¼ 16 x2 y 2 è la suy perficie di una semisfera (fig. 1.19); alcune curve di 4 livello sono rappresentate in fig. 1.20. k=0 3 k=2 k=1 2 k=3 z z = 16 x 2 1 y2 k=4 4 –4 –3 –4 –2 –1 O –1 –2 –4 –3 O 4 x y –4 4 Figura 1.19 12 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Figura 1.20 1 2 3 4 x Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Escludendo i cilindri e i casi degeneri, i vari tipi di quadriche sono quelli riportati in tab. 1.1. Nota l’analogia tra la definizione delle quadriche e quella delle coniche. Le quadriche sono definite da equazioni di secondo grado in x, y, z cosı̀ come le coniche sono definite da equazioni di secondo grado in x e y. Le quadriche giocano quindi, nello spazio, un ruolo analogo a quello giocato dalle coniche nel piano. Funzioni di due variabili ax2 þ by 2 þ cz2 þ dxy þ exz þ fyz þ gx þ hy þ iz þ j ¼ 0 Osserva Unità 1 Nello spazio, riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali, una superficie viene definita più in generale come il luogo dei punti le cui coordinate (x, y, z) soddisfano un’equazione del tipo Fðx, y, zÞ ¼ 0 (le superfici che rappresentano il grafico di una funzione di due variabili z ¼ f ðx, y) sono solo casi particolari di questa definizione). Risultano particolarmente importanti, nelle applicazioni, le superfici quadriche, luogo dei punti che soddisfano un’equazione di secondo grado in x, y, z del tipo: Tabella 1.1 Quadriche Nome della superficie Equazione in forma canonica Ellissoide x2 y2 z2 þ þ ¼1 a2 b2 c2 Grafico Osservazioni Le curve di livello sono ellissi. Anche le sezioni con piani paralleli ai due piani xz e yz sono ellissi. Se a ¼ b ¼ c 6¼ 0, si ha una superficie sferica. z c b O a y x Paraboloide ellittico z¼ x2 y2 þ 2 2 a b Le curve di livello sono ellissi. Le sezioni con piani paralleli ai due piani xz e yz sono parabole. z O x Paraboloide iperbolico z¼ y2 x2 b2 a2 y Le curve di livello sono iperboli. Le sezioni con piani paralleli ai due piani xz e yz sono parabole. z O x y Iperboloide a una falda (o iperbolico) x2 y2 z2 þ ¼1 a2 b2 c2 Le curve di livello sono ellissi. Le sezioni con piani paralleli ai due piani xz e yz sono iperboli. z O y x Ô Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P 13 Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Iperboloide a due falde (o ellittico) x2 y2 z2 þ 2 2 ¼ 1 2 a b c O x Doppia superficie conica Le curve di livello sono ellissi. Le sezioni con piani paralleli ai due piani xz e yz sono iperboli. z x2 y2 z2 þ ¼0 a2 b2 c2 y Le curve di livello sono ellissi. Le sezioni con piani paralleli ai due piani xz e yz sono iperboli. z O y x Tema A Complementi di analisi e applicazioni all’economia Ô Limiti e continuità Estendiamo ora alle funzioni di due variabili il concetto di limite. Intuitivamente, come per le funzioni di una variabile, il significato della scrittura lim ðx, yÞ!ðx0 , y0 Þ f ðx, yÞ ¼ l è che quando il punto (x, yÞ si avvicina al punto ðx0 , y0 Þ (senza tuttavia coincidere con esso), i corrispondenti valori della funzione si avvicinano a l. Formalmente, la definizione di limite viene data sulla base del concetto di intorno, che permette di esprimere il concetto di «vicinanza» a un punto, sulla falsariga della definizione precedentemente vista per le funzioni di una variabile DEFINIZIONE DI LIMITE PER UNA FUNZIONE DI DUE VARIABILI Data una funzione f ðx, yÞ, di dominio D, sia ðx0 , y0 Þ 2 R2 un punto di accumulazione per D. Diremo che il limite della funzione per ðx, yÞ che tende a ðx0 , y0 Þ è l se, per ogni intorno U di l, è possibile determinare un intorno V di ðx0 , y0 Þ tale che, per ogni ðx, yÞ 2 V \ D, con ðx, yÞ 6¼ ðx0 , y0 Þ, risulta f ðx, yÞ 2 U. In tal caso scriveremo: lim ðx, yÞ!ðx0 , y0 Þ f ðx, yÞ ¼ l Esplicitando gli intorni, possiamo dire in modo equivalente che: lim ðx, yÞ!ðx0 , y0 Þ f ðx, yÞ ¼ l quando, per ogni " > 0, è possibile trovare > 0 per cui risulta: Osserva La condizione: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 0 < ðx x0 Þ2 þ ðy y0 Þ2 equivale a: ðx, yÞ 6¼ ðx0 , y0 Þ 14 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P jf ðx, yÞ lj < " per ogni ðx, yÞ 2 D per cui qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 0 < ðx x0 Þ2 þ ðy y0 Þ2 < [1.2] Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Unità 1 y P y0 O ESEMPIO Non esistenza di un limite per una funzione di due variabili x Figura 1.21 Alcuni possibili percorsi di avvicinamento al punto ðx0 , y0 Þ. Verifichiamo che la funzione f ðx, yÞ ¼ x0 Funzioni di due variabili È importante osservare che, mentre per le funzioni di una variabile esiste una unica direzione di avvicinamento a un punto x0 (potendo variare eventualmente solo il verso di avvicinamento, da destra o da sinistra), lavorando con funzioni di due variabili è possibile avvicinarsi al punto ðx0 , y0 Þ lungo diversi percorsi (fig. 1.21). Se la [1.2] è verificata, allora comunque si scelga un percorso di avvicinamento al punto ðx0 , y0 Þ la restrizione della funzione f ðx, yÞ a tale percorso deve dare luogo a una funzione (in una variabile) che tende a l; per poter affermare che non esiste il limite di una funzione f ðx, yÞ per ðx, yÞ ! ðx0 , y0 Þ è dunque sufficiente trovare due percorsi di avvicinamento a ðx0 , y0 Þ tali che le corrispondenti restrizioni di f ðx, yÞ danno luogo a limiti diversi. xy x2 þ y 2 non ammette limite per ðx, yÞ ! ð0, 0Þ. y Consideriamo i due avvicinamenti all’origine (nel piano xy) lungo le bisettrici dei quadranti, cioè lungo le rette di equazioni y ¼ x e y ¼ x. La restrizione della funzione alla retta di equazione y ¼ x è la funzione: x2 1 ¼ f ðx, xÞ ¼ 2 2 2 x þx y=x y = –x O x Pertanto, se y ¼ x: lim ðx, yÞ!ð0, 0Þ x2 xy þ y2 ¼ se y ¼ x lim x!0 1 1 ¼ 2 2 La restrizione della funzione alla retta di equazione y ¼ x è la funzione: f ðx, xÞ ¼ x2 1 ¼ 2 þ x2 x2 Pertanto, se y ¼ x: xy lim ðx, yÞ!ð0, 0Þ x2 þ y 2 ¼ se y ¼ x 1 1 lim ¼ x!0 2 2 Avendo trovato due diversi percorsi di avvicinamento all’origine che danno luogo a limiti diversi, concludiamo che il limite della funzione originaria per ðx, yÞ ! ð0, 0Þ non esiste. L’analogia tra la definizione di limite per funzioni di due variabili e la definizione per funzioni di una variabile porta come conseguenza che è possibile estendere alle funzioni di due variabili la maggior parte dei teoremi visti per le funzioni di una variabile (in particolare il teorema di unicità del limite e i teoremi sul limite della somma, del prodotto e del quoziente di due funzioni). Inoltre, grazie alla nozione di limite, possiamo estendere alle funzioni di due variabili anche il concetto di continuità. CONTINUITÀ IN UN PUNTO PER FUNZIONI DI DUE VARIABILI Data una funzione f ðx, yÞ e un punto ðx0 , y0 Þ appartenente al dominio della funzione e di accumulazione per esso, si dice che la funzione è continua nel punto ðx0 , y0 Þ quando il limite della funzione per ðx, yÞ ! ðx0 , y0 Þ esiste ed è uguale al valore della funzione stessa nel punto ðx0 , y0 Þ, ovverosia quando risulta: lim ðx, yÞ!ðx0 , y0 Þ f ðx, yÞ ¼ f ðx0 , y0 Þ 15 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Complementi di analisi e applicazioni all’economia Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Esame della continuità in un punto 8 xy < ðx, yÞ 6¼ ð0, 0Þ x2 þ y 2 è definita in (0, 0), tuttavia abLa funzione f ðx, yÞ ¼ : 0 ðx, yÞ ¼ ð0, 0Þ ESEMPIO biamo mostrato nell’esempio precedente che lim ðx, yÞ!ð0, 0Þ f ðx, yÞ non esiste, pertanto la funzione non è continua nell’origine. Diremo che una funzione di due variabili, di dominio D, è continua quando lo è in ogni punto appartenente a D. È possibile dimostrare che una funzione reale di una variabile reale, continua, risulta continua anche se considerata di due variabili; per esempio sono continue le seguenti funzioni di due variabili: f ðx, yÞ ¼ x2 e gðx, yÞ ¼ ey Tema A Tenendo conto di questa osservazione e del fatto che anche per le funzioni di due variabili valgono i teoremi di continuità sulla somma, sul prodotto, sul quoziente e sulla composizione di funzioni continue (purché siano bene definite e il denominatore sia diverso da zero), possiamo dedurre per esempio che: la funzione f ðx, yÞ ¼ x2 þ xy þ xey è continua in R2 ; x3 y è continua in R2 fð0, 0Þg; x2 þ y 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi la funzione f ðx, yÞ ¼ x2 þ y 2 4 è continua nel suo dominio naturale D, la funzione f ðx, yÞ ¼ cioè nell’insieme D ¼ ðx, yÞ 2 R2 : x2 þ y 2 4 . Prova tu ESERCIZI a p. 49 1. Determina il dominio di ciascuna delle seguenti funzioni e rappresentalo graficamente: a. z ¼ 1 x 2y b. z ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi 9 x2 y 2 þ x c. z ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ln ðxyÞ 2. Studia le curve di livello della funzione z ¼ x2 þ y2 4 e rappresentane graficamente alcune. 8 2 2 < x y 3. Stabilisci se la funzione f ðx, yÞ ¼ x4 þ y4 : 0 ðx, yÞ 6¼ ð0, 0Þ è continua nell’origine. ðx, yÞ ¼ ð0, 0Þ 3. Derivate parziali Le definizioni di derivate parziali Vogliamo ora introdurre, anche per le funzioni di due variabili, il concetto di derivata. Studiando le funzioni di una variabile, abbiamo visto che la derivata viene definita come limite del rapporto incrementale; il primo problema che si pone, per estendere il concetto di derivata a funzioni di due variabili x e y, è proprio stabilire che cosa si debba intendere per «incremento» della coppia di variabili ðx, yÞ; l’idea per superare questo problema è di fare variare una sola variabile alla volta, considerando l’altra come costante. Ragionando in questa ottica, cioè facendo variare la sola variabile x o la sola variabile y, la naturale estensione del concetto di derivata porta alle seguenti definizioni. 16 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Data una funzione y ¼ f ðxÞ e un punto x0 interno al dominio della funzione, si definisce: f 0x ðx0 , y0 Þ ¼ lim h!0 ¼ lim f ðx0 þ h, y0 Þ f ðx0 , y0 Þ h [1.3] Analogamente, si definisce la derivata parziale della funzione f rispetto a y nel punto ðx0, y0 Þ: f 0y ðx0 , y0 Þ ¼ lim h!0 f ðx0 , y0 þ hÞ f ðx0 , y0 Þ h h!0 f ðx0 þ hÞ f ðx0 Þ h (a condizione che il limite esista finito). [1.4] La [1.3], quando venga calcolata in un generico punto ðx, yÞ anziché in un prefissato punto ðx0 , y0 Þ, fornisce l’espressione analitica della funzione derivata parziale di f rispetto a x, brevemente detta «derivata parziale di f rispetto a x» e indicata con f 0x ðx, yÞ o f 0x . Analogamente, si può ottenere la (funzione) derivata parziale di f rispetto a y, indicata con f 0y ðx, yÞ o f 0y . Per calcolare la derivata parziale di una funzione f ðx,yÞ rispetto a una delle due variabili, basta considerare l’altra variabile come costante e applicare le ordinarie regole di derivazione viste per le funzioni in una sola variabile. ESEMPI f 0 ðx0 Þ ¼ Funzioni di due variabili Ricorda Data una funzione f ðx, yÞ, di dominio D, sia ðx0 , y0 Þ un punto interno a D. Si chiama derivata parziale della funzione f rispetto a x nel punto ðx0, y0 Þ, e si indica con il simbolo f 0x ðx0 , y0 Þ, il limite, se esiste finito, del rapporto incrementale costruito a partire da ðx0 , y0 Þ incrementando solo la variabile x, al tendere a zero dell’incremento: Unità 1 DERIVATE PARZIALI Attenzione! Il concetto di derivata parziale è stato definito supponendo che il punto sia interno al dominio, perché in un punto di frontiera potrebbe non essere possibile costruire il rapporto incrementale. Calcolo di derivate parziali Calcoliamo le derivate parziali delle due funzioni: a. f ðx, yÞ ¼ x 3 þ 3x y 2 Notazioni alternative b. f ðx, yÞ ¼ x 3 y 2 xy 2 a. Per calcolare la derivata parziale rispetto a x, occorre considerare y come costante: f 0x ðx, yÞ ¼ @ ð x3 þ 3x @x y2 @f @f ðx0 , y0 Þ e ðx0 , y0 Þ @x @y Þ ¼ 3x2 þ 3 0 ¼ 3x2 þ 3 costante nella derivazione rispetto a x contiene la variabile x Per calcolare la derivata parziale rispetto a y, occorre considerare x come costante: f 0y ðx, yÞ ¼ @ ð x3 þ 3x @y costante nella derivazione rispetto a y Le derivate parziali della funzione f nel punto ðx0 , y0 Þ, oltre che con i simboli f 0x ðx0 , y0 Þ ed f 0y ðx0 , y0 Þ vengono indicate con i simboli: Le funzioni derivate parziali, oltre che con f 0x ed f 0y , vengono indicate con @f @f , . i simboli: @x @y y2 Þ ¼ 0 2y ¼ 2y variabile b. Ragionando come nel caso precedente, abbiamo: f 0x ðx, yÞ ¼ 3x2 y2 1 y 2 ¼ 3x2 y2 y 2 f 0y ðx, yÞ ¼ x3 2y x 2y ¼ 2x3 y 2xy VISUALIZZIAMO I CONCETTI Il significato geometrico delle derivate parziali 3In base a quanto detto, la derivata parziale rispetto a x nel punto ðx , y Þ di una funzione f ðx, yÞ può essere 0 0 calcolata con il seguente procedimento: – si considera la variabile y come una costante, uguale a y0 , e si fissa l’attenzione sulla funzione f ðx, y0 Þ nella sola variabile x; – si calcola la derivata in x0 della funzione f ðx, y0 Þ. Ô Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P 17 3Osserviamo ora che: – fissare y ¼ y0 significa, geometricamente, intersecare la superficie di equazione z ¼ f ðx, yÞ con il piano di equazione y ¼ y0 , ottenendo cosı̀ una curva; – calcolare la derivata di f ðx, y0 Þ in x0 significa calcolare il coefficiente angolare della retta tangente alla curva ottenuta tramite la sezione nel punto di ascissa x0 . Si deduce cosı̀ il significato geometrico di f 0x ðx0 , y0 Þ illustrato nella didascalia della fig. 1.22a. 3Con un ragionamento analogo si deduce il significato geometrico di f 0 y ðx0 , y0 Þ illustrato nella didascalia della fig. 1.22b. Ricorda Per una funzione y ¼ f ðxÞ di una variabile, la derivata prima della funzione f nel punto x0 rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel suo punto di coordinate ðx0 , f ðx0 ÞÞ. retta tangente alla curva nel punto P z retta tangente alla curva nel punto P z Tema A Complementi di analisi e applicazioni all’economia Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA superficie di equazione z = f(x, y) P curva individuata dal piano sulla superficie P x0 x0 superficie di equazione z = f(x, y) O x y0 y x y0 y piano di equazione y = y0 a. Sezionando la superficie di equazione z ¼ f ðx, yÞ con il piano di equazione y ¼ y0 , si ottiene una curva. La retta tangente a questa curva nel punto P di coordinate ðx0 , y0 , f ðx0 , y0 ÞÞ ha coefficiente angolare m uguale alla derivata parziale rispetto a x della funzione f ðx, yÞ nel punto ðx0 , y0 Þ, vale a dire: m ¼ f 0x ðx0 , y0 Þ curva individuata dal piano sulla superficie O piano di equazione x = x 0 b. Sezionando la superficie di equazione z ¼ f ðx, yÞ con il piano di equazione x ¼ x0 , si ottiene una curva. La retta tangente a questa curva nel punto P di coordinate ðx0 , y0 , f ðx0 ; y0 ÞÞ ha coefficiente angolare m uguale alla derivata parziale rispetto a y della funzione f ðx, yÞ nel punto ðx0 , y0 Þ, vale a dire: m ¼ f 0y ðx0 , y0 Þ Figura 1.22 Il concetto di derivata parziale si può facilmente estendere a funzioni di più di due variabili; consideriamo per esempio la funzione: f ðx, y, zÞ ¼ x3 y2 z þ 2x þ 3y þ z Abbiamo che: la derivata parziale di f rispetto a x si ottiene derivando rispetto a x, considerando y e z costanti: f 0x ðx, y, zÞ ¼ 3x2 y 2 z þ 2 la derivata parziale di f rispetto a y si ottiene derivando rispetto a y, considerando x e z costanti: f 0y ðx, y, zÞ ¼ 2x3 yz þ 3 la derivata parziale di f rispetto a z si ottiene derivando rispetto a z, considerando x e y costanti: f 0z ðx, y, zÞ ¼ x3 y 2 þ 1 18 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Unità 1 Derivate parziali di secondo ordine Ordine di derivazione Simbolo per indicare la corrispondente derivata parziale seconda Si deriva f 0x rispetto a x f 00xx Si deriva f 0x rispetto a y f 00xy Si deriva f 0y rispetto a x f 00yx Si deriva f 0y Simboli equivalenti a: f 00xx , f 00yy sono: @2f @2f , @x2 @y 2 Simboli equivalenti a: f 00xy , f 00yx sono: f 00yy rispetto a y Notazioni alternative Funzioni di due variabili Una volta calcolate le derivate parziali f 0x ed f 0y di una funzione f (dette derivate parziali prime), se f 0x ed f 0y risultano a loro volta derivabili rispetto a x e a y è possibile calcolarne nuovamente le derivate parziali, ottenendo le cosiddette derivate parziali seconde. Si hanno in tutto quattro possibili derivate parziali seconde, come riassunto nella seguente tabella. @2f @2f , @y@x @x@y Le due derivate parziali seconde f 00xy ed f 00yx vengono dette derivate parziali miste. ESEMPIO Calcolo di derivate parziali seconde Data la funzione f ðx, yÞ ¼ 2x 4 4xy 2 , calcoliamo le derivate parziali seconde. Calcoliamo anzitutto le derivate parziali prime: f 0x ðx, yÞ ¼ 8x3 4y 2 e f 0y ðx, yÞ ¼ 8xy Ora calcoliamo le derivate parziali seconde: f 00xx ðx, yÞ ¼ 24x2 e f 00xy ðx, yÞ ¼ 8y fyx00 ðx, yÞ ¼ 8y e fyy00 ðx, yÞ ¼ 8x Nell’esempio precedente le due derivate parziali seconde miste sono risultate entrambe uguali a 8y e quindi uguali fra loro. Si tratta di una proprietà vera in generale? La risposta è negativa; infatti esistono esempi di funzioni di due variabili che ammettono derivate parziali miste diverse tra loro, tuttavia l’uguaglianza di f 00xy ed f 00yx è una proprietà vera per tutte le funzioni con cui si lavora comunemente, in forza del teorema seguente. Te ore m a di Schwarz Se una funzione z ¼ f ðx, yÞ ammette entrambe le derivate parziali miste derivate sono continue in un punto ðx0 , y0 Þ, allora: TEOREMA 1 .2 f 00xy ed f 00yx e tali f 00xy ðx0 , y0 Þ ¼ f 00yx ðx0 , y0 Þ In particolare, dal teorema 1.2 segue che una funzione f ðx, yÞ ammette derivate parziali miste uguali ogni qualvolta queste ultime sono funzioni continue. Il concetto di derivabilità L’introduzione delle derivate parziali ci consente di definire il concetto di derivabilità di una funzione in un punto anche per le funzioni di due variabili. FUNZIONE DERIVABILE Una funzione f ðx, yÞ viene detta derivabile in ðx0 , y0 Þ se in tale punto ammette sia la derivata parziale rispetto a x, sia la derivata parziale rispetto a y. È importante osservare che il concetto di funzione derivabile per le funzioni di due variabili presenta sostanziali differenze rispetto all’analogo concetto per le 19 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema A Complementi di analisi e applicazioni all’economia Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA funzioni di una variabile: mentre per le funzioni in una variabile, infatti, la derivabilità in un punto implica la continuità nel punto, ciò non è più vero per le funzioni di due variabili, come mostra il seguente controesempio. Funzione derivabile ma non continua in un punto 8 xy < ðx, yÞ 6¼ ð0, 0Þ x2 þ y 2 Verifichiamo che la funzione f ðx, yÞ ¼ è derivabile in : 0 ðx, yÞ ¼ ð0; 0Þ (0,0), pur non essendo continua in tale punto. CONTROESEMPIO La funzione è definita in (0,0) ma, come abbiamo verificato in uno degli esempi precedenti, non esiste il limite delle funzione per ðx, yÞ ! ð0, 0Þ, dunque la funzione non è continua in tale punto. D’altra parte, la funzione è identicamente nulla sia sull’asse x (ossia per y ¼ 0) sia sull’asse y (ossia per x ¼ 0), perciò le derivate parziali nell’origine devono esistere ed essere uguali a 0, come è confermato anche dal calcolo in base alla definizione: f 0x ð0, 0Þ ¼ lim f ð0 þ h, 0Þ f ð0, 0Þ 00 ¼ lim ¼ lim 0 ¼ 0 h!0 h!0 h h f 0y ð0, 0Þ ¼ lim f ð0, 0 þ hÞ f ð0, 0Þ 00 ¼ lim ¼ lim 0 ¼ 0 h!0 h!0 h h h!0 h!0 Per vedere garantita la continuità di una funzione di due variabili in un punto ðx0 , y0 Þ in cui è derivabile, occorre richiedere una proprietà «più forte» della derivabilità, la cosiddetta differenziabilità, su cui però non ci soffermeremo ulteriormente. Il piano tangente a una superficie Studiando le funzioni di una variabile abbiamo visto che il concetto di derivata consente di affrontare il problema del calcolo dell’equazione della retta tangente a una curva di equazione y ¼ f ðxÞ in un suo punto. L’analogo problema che si pone per le funzioni di due variabili è quello del calcolo dell’equazione del piano tangente in un punto alla superficie di equazione z ¼ f ðx, yÞ (fig. 1.23). z piano tangente alla superficie in P P O y0 x0 y x (x0, y0) Figura 1.23 Prima di occuparci della ricerca dell’equazione del piano tangente, dobbiamo però chiederci sotto quali condizioni tale piano tangente esiste. Per le funzioni di una variabile infatti abbiamo visto che l’esistenza della retta tangente in un punto x0 è garantita se la funzione è derivabile in x0 ; per le funzioni di due variabili le cose 20 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Unità 1 non vanno altrettanto bene: infatti il piano tangente in un punto ðx0 , y0 Þ, oltre a non esistere quando cade la derivabilità in ðx0 , y0 Þ (fig. 1.24), può non esistere anche quando la funzione è derivabile in ðx0 , y0 Þ (fig. 1.25). Funzioni di due variabili z z z = x2 + y2 –0,5 –0,5 0,5 0 non esiste il piano tangente in O –0,5 0,5 O y 0,5 y x x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ y 2 è continua nell’origine, ma si può facilmente verificare che non ivi è derivabile. Infatti, calcolando le derivate parziali in (0, 0) in base alla definizione, si trova che esse non esistono. Di conseguenza non esiste il piano tangente in O alla superficie di equazione z ¼ f ðx, yÞ, come si intuisce anche dal grafico della superficie (una superficie conica con vertice nell’origine). Figura 1.24 La funzione f ðx, yÞ ¼ Figura 1.25 Come abbiamo visto negli esempi precedenti, la funzione: 8 < xy 2 þ y2 x f ðx, yÞ ¼ : 0 ðx, yÞ 6¼ ð0, 0Þ ðx, yÞ ¼ ð0, 0Þ è derivabile nell’origine. Ciò nonostante, non esiste il piano tangente nell’origine alla superficie di equazione z ¼ f ðx, yÞ, come si può intuire dal grafico: la funzione assume infatti tutti i valori compresi tra 0,5 e 0,5 in ogni intorno dell’origine, di raggio arbitrariamente piccolo. D’altra parte, la non esistenza del piano tangente si poteva prevedere anche dal fatto che la funzione f ðx, yÞ non è continua in ð0, 0Þ. Fortunatamente, nei casi delle funzioni con cui si lavora più comunemente, ossia per le funzioni dotate di derivate parziali prime continue, si può dimostrare che il piano tangente esiste. Supposto dunque di essere in questa situazione, quale sarà l’equazione del piano tangente alla superficie di equazione z ¼ f ðx, yÞ nel suo punto di ascissa x0 e ordinata y0 ? Ragioniamo come segue, facendo riferimento alla fig. 1.26. retta tangente a C1 in P: ha coefficiente angolare f'x (x0, y0) z retta tangente a C2 in P: ha coefficiente angolare f'y (x0, y0) curva C2 individuata dall’intersezione della superficie z = f(x, y) con il piano di equazione x = x0 z = f(x, y) P O y0 x0 x curva C1 individuata dall’intersezione della superficie z = f(x, y) con il piano di equazione y = y0 y (x0, y0) Figura 1.26 Attenzione! 1. L’equazione del piano tangente, dovendo passare per il punto P di coordinate ðx0 , y0 , f ðx0 , y0 ÞÞ, deve essere del tipo: z ¼ f ðx0 , y0 Þ þ aðx x0 Þ þ bðy y0 Þ vedi il Paragrafo 1 2. Se intersechiamo con il piano di equazione y ¼ y0 la superficie di equazione z ¼ f ðx, yÞ e il suo piano tangente in P (fig. 1.26), otteniamo rispettivamente la curva che sul piano y ¼ y0 ha equazione z ¼ f ðx, y0 Þ e la retta tangente a tale Stiamo assumendo implicitamente che il piano tangente non sia parallelo all’asse z; in effetti si potrebbe dimostrare che, nelle ipotesi assunte (continuità delle derivate parziali), questa condizione è certamente verificata. 21 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Complementi di analisi e applicazioni all’economia curva nel punto di ascissa x0 , retta la cui equazione (sempre nel piano y ¼ y0 ) sarà: z ¼ f ðx0 , y0 Þ þ aðx x0 Þ Poni y ¼ y0 nell’equazione del piano D’altra parte, in base a quanto osservato all’inizio del paragrafo (nella rubrica Visualizziamo i concetti), tale retta deve avere coefficiente angolare uguale a f 0x ðx0 , y0 Þ, dunque deve essere: a ¼ f 0x ðx0 , y0 Þ 3. Intersecando con il piano di equazione x ¼ x0 la superficie di equazione z ¼ f ðx, yÞ e il suo piano tangente in P, e ragionando analogamente al punto 2., si deduce che: b ¼ f 0y ðx0 , y0 Þ In definitiva, l’equazione del piano tangente deve essere: z ¼ f ðx0 , y0 Þ þ f 0x ðx0 , y0 Þðx x0 Þ þ f 0y ðx0 , y0 Þðy y0 Þ Tema A Riassumiamo la discussione fin qui effettuata nel seguente teorema. TEOREMA 1 .3 Esi stenza e d e quazione del pia no tangente a una s uperfi ci e Se f ðx, yÞ è una funzione per cui esistono e sono continue le derivate parziali in un punto ðx0 , y0 Þ, allora esiste il piano tangente alla superficie di equazione z ¼ f ðx, yÞ nel suo punto di ascissa x0 e ordinata y0 , e l’equazione di tale piano è: z ¼ f ðx0 , y0 Þ þ f 0x ðx0 , y0 Þðx x0 Þ þ f 0y ðx0 , y0 Þðy y0 Þ ESEMPIO [1.5] Equazione del piano tangente Determiniamo l’equazione del piano tangente alla superficie di equazione z ¼ x 3 ye x y 2 nel suo punto di ascissa x ¼ 0 e ordinata y ¼ 1. Allo scopo di applicare la [1.5] calcoliamo anzitutto il valore assunto in (0, 1) dalla funzione data e dalle sue derivate parziali: f ðx, yÞ ¼ x3 yex y 2 quindi f ð0, 1Þ ¼ 2 f 0x ðx, yÞ f 0y ðx, yÞ x ¼ 3x ye quindi f 0x ð0, 1Þ ¼ 1 ¼ ex 2y quindi f 0y ð0, 1Þ ¼ 3 2 Abbiamo ora tutti gli elementi per applicare la [1.5]: z ¼ 2 þ ð1Þðx 0Þ þ ð3Þðy 1Þ da cui, svolgendo i calcoli: z ¼ x 3y þ 1 Applicazioni economiche delle derivate parziali 1. Funzioni marginali Studiando le funzioni di una variabile, abbiamo visto che la derivata di una funzione viene spesso chiamata, nelle applicazioni economiche, funzione marginale. Questo modo di esprimersi si utilizza in economia anche per le funzioni di due o più variabili. Precisamente, data una funzione f ðx1 , x2 , ..., xn ), si chiama funzione marginale di f rispetto a una data variabile xi (con i ¼ 1, 2, ..., n) la derivata parziale di f rispetto a xi . Per esempio, nel volume precedente abbiamo studiato i più semplici modelli di funzione domanda, considerando la domanda di un bene dipendente unicamente dal suo prezzo; volendo esprimere la dipendenza della domanda non solo dal 22 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA In questo contesto si chiama funzione marginale della domanda rispetto al prezzo (o più semplicemente funzione marginale del prezzo) la derivata parziale di f rispetto a p; analogamente, si chiama funzione marginale della domanda rispetto al reddito (o più semplicemente funzione marginale del reddito) la derivata parziale di f rispetto a r. Sempre estendendo quanto visto per le funzioni di una variabile, possiamo dire che il valore della funzione marginale del prezzo (del reddito) in corrispondenza di un dato prezzo p0 e di un dato reddito r0 rappresenta approssimativamente la variazione della domanda conseguente a un aumento di una unità del prezzo (del reddito) a partire da p0 (da r0 Þ, supponendo che il reddito (il prezzo) rimanga costante. ESEMPIO Funzioni di due variabili d ¼ f ðp, rÞ Unità 1 prezzo unitario p del bene, ma anche dal reddito r del consumatore, dovremo costruire un modello un po’ più complicato, ma più realistico, espresso tramite una funzione di due variabili: Funzioni marginali La funzione domanda di un dato bene è d ¼ 5p2 2r 2 þ 10pr ; determiniamo: a. le funzioni marginali del prezzo e del reddito; b. di quanto varia approssimativamente la domanda in seguito a un aumento di una unità del prezzo, a partire da p0 ¼ 10, nell’ipotesi che il reddito sia r0 ¼ 80; c. di quanto varia approssimativamente la domanda in seguito a un aumento di una unità del reddito, a partire da r0 ¼ 50, nell’ipotesi che il prezzo sia p0 ¼ 15. a. Abbiamo: funzione marginale del prezzo ¼ @d ¼ 10p þ 10r @p funzione marginale del reddito ¼ @d ¼ 4r þ 10p @r b. Occorre valutare la funzione marginale del prezzo per p0 ¼ 10 ed r0 ¼ 80; poiché: @d ð10, 80Þ ¼ 10 10 þ 10 80 ¼ 700 @p concludiamo che una variazione di una unità del prezzo porta all’incirca un aumento di 700 unità della domanda (supponendo fisso il reddito). c. Occorre valutare la funzione marginale del reddito per p0 ¼ 15 ed r0 ¼ 50; poiché: @d ð15, 50Þ ¼ 4 50 þ 10 15 ¼ 50 @r concludiamo che un aumento di una unità del reddito porta all’incirca una diminuzione di 50 unità della domanda (supponendo fisso il prezzo). 2. Elasticità Sempre studiando le funzioni di una variabile, abbiamo introdotto il concetto di elasticità, per poter esaminare quanto la variabile dipendente è sensibile alle variazioni della variabile indipendente. In particolare, data una funzione domanda d ¼ f ðpÞ, abbiamo definito la funzione elasticità della domanda: "d ðpÞ ¼ p f 0 ðpÞ f ðpÞ 23 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Complementi di analisi e applicazioni all’economia e abbiamo visto che "d ðpÞ esprime approssimativamente la variazione percentuale della domanda in corrispondenza di un aumento dell’1% di un dato prezzo p. Più in generale, consideriamo ora una funzione domanda d ¼ f ðp, rÞ che esprime la domanda in funzione del prezzo p e del reddito r del consumatore; allora: si definisce funzione di elasticità (o grado di elasticità) parziale della domanda rispetto al prezzo p la funzione cosı̀ definita: "dp ðp, rÞ ¼ p f 0p ðp, rÞ f 0p ðp, r Þ ¼ f ðp, rÞ @f ¼ derivata parziale di f rispetto a p @p si definisce funzione di elasticità (o grado di elasticità) parziale della domanda rispetto al reddito r la funzione cosı̀ definita: "dr ðp, rÞ ¼ r f 0r ðp, rÞ f ðp, rÞ f 0r ðp, r Þ ¼ @f ¼ derivata parziale di f rispetto a r @r Analogamente si potrebbe estendere il concetto di elasticità nel caso che la funzione domanda dipenda da più di due variabili. ESEMPIO Elasticità parziale Tema A La funzione domanda di un dato bene è d ¼ 5p2 2r 2 þ 10pr ; determiniamo: a. le funzioni di elasticità parziale della domanda rispetto al prezzo e al reddito; b. l’elasticità parziale della domanda rispetto al prezzo quando p ¼ 5 ed r ¼ 10; Ricorda Abbiamo visto nel precedente volume che se j"d ðpÞj < 1 la domanda si dice rigida; se j"d ðpÞj > 1 la domanda si dice elastica; se j"d ðpÞj ¼ 1 la domanda si dice anelastica. Vale la stessa terminologia anche nel caso del calcolo di elasticità parziali. c. l’elasticità parziale della domanda rispetto al reddito quando p ¼ 5 ed r ¼ 10. Abbiamo: a. "dp ðp, rÞ ¼ "dr ðp, rÞ ¼ p f 0p ðp, rÞ f ðp, rÞ ¼ pð10p þ 10rÞ 5p2 2r 2 þ 10pr r f 0r ðp, rÞ rð4r þ 10pÞ ¼ f ðp, rÞ 5p2 2r 2 þ 10pr b. Risulta "dp ð5, 10Þ ’ 1, 43, quindi la domanda è elastica rispetto al prezzo. c. Risulta "dr ð5, 10Þ ’ 0, 57, quindi la domanda risulta rigida rispetto al reddito. Supponiamo, infine, che la domanda di un bene, oltre che dal prezzo p1 del bene stesso, dipenda anche dal prezzo p2 di un altro bene. I due beni si dicono succedanei (o sostituti) se all’aumentare del prezzo del secondo bene la domanda del primo aumenta (e viceversa); questa situazione si verifica quando il consumo di uno dei due beni può essere sostituito, almeno in parte, dall’altro. Per esempio, burro e margarina sono beni succedanei: infatti, all’aumentare del prezzo della margarina (supponendo fisso il prezzo del burro), i consumatori tenderanno ad acquistare più burro, quindi la domanda di burro aumenterà. Analogamente, sono beni succedanei caffè e orzo. I due beni si dicono complementari se all’aumentare del prezzo del secondo bene la domanda del primo diminuisce; per esempio, sugo e pasta sono due beni complementari perché all’aumentare del prezzo della pasta i consumatori tenderanno a consumarne meno, e di conseguenza acquisteranno anche meno sugo, facendo sı̀ che la domanda del sugo diminuisca. I due beni si dicono indipendenti se la variazione del prezzo di uno non ha alcun effetto sulla domanda dell’altro (per esempio non c’è alcuna relazione tra il prezzo di un telefono cellulare e la domanda di olio). Per stabilire quale di queste reciproche relazioni sussistono tra due beni, si studia la cosiddetta elasticità incrociata della domanda, ovvero l’elasticità (parziale) della domanda del primo bene rispetto al prezzo p2 del secondo bene. Se l’elasticità incrociata assume valori positivi, allora i due beni sono succedanei (perché?), se l’elasticità incrociata assume valori negativi, allora i due beni sono complementari (perché?); infine se l’elasticità incrociata è zero, allora i due beni sono indipendenti. 24 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Unità 1 ESEMPIO Elasticità incrociata Funzioni di due variabili La domanda d di un bene dipende, oltre che dal prezzo p1 del bene stesso, anche dal prezzo p2 di un secondo bene e dal reddito r del consumatore, secondo la legge espressa dalla funzione: d ¼ 650 þ 4p1 0,5p2 þ 0,04r Stabiliamo se i due beni sono succedanei o complementari. L’elasticità incrociata è espressa dalla funzione: "dp2 ðp1 , p2 , rÞ ¼ p2 fp02 ðp1 , p2 , rÞ f ðp1 , p2 , rÞ ¼ p2 ð0,5Þ 650 þ 4p1 0,5p2 þ 0,04r Osservando che: 0,5p2 d e tenendo conto che deve essere p2 > 0 e d > 0, è immediato concludere che risulta "dp2 ðp1 , p2 , rÞ < 0, quindi i due beni sono complementari. "dp2 ðp1 , p2 , rÞ ¼ Prova tu ESERCIZI a p. 53 1. Data la funzione z ¼ x3 y 3x2 exy , calcola: a. le derivate parziali prime; [a. z0x ¼ 3x2 y 6x yexy , z0y ¼ x3 xexy ; b. le derivate parziali seconde. b. z00xx ¼ 3 2 2 xy 6xy 6 y e , z00xy ¼ 3x e ðxy þ 1Þ, z00yx ¼ 3x2 exy ðxy þ 1Þ, z00yy ¼ x2 exy ] 2 xy 2. Data la superficie di equazione z ¼ x y 3xy þ y 3 , determina l’equazione del piano tangente alla superficie nel suo punto P di ascissa 1 e ordinata 1. [z ¼ 6x 2y 5] 3. La domanda d di un bene dipende, oltre che dal prezzo p1 del bene stesso, dal prezzo p2 di un secondo bene e dal reddito r del consumatore, secondo la legge espressa dalla funzione: d ¼ 500 3p1 þ 1,5p2 þ 0,04r Stabilisci se i due beni sono succedanei o complementari. [Succedanei] 4. Massimi e minimi In questo paragrafo estendiamo alle funzioni di due variabili la teoria che riguarda la ricerca dei massimi e dei minimi, relativi e assoluti. Attenzione! Definizioni di punto di massimo e minimo, relativi e assoluti, per funzioni di due variabili PUNTI DI MASSIMO E MINIMO RELATIVI Si dice che ðx0 , y0 Þ è un punto di massimo relativo (o locale) per la funzione f ðx, yÞ, di dominio D, se esiste un intorno I di ðx0 , y0 Þ tale che: f ðx, yÞ f ðx0 , y0 Þ per ogni x 2 I \ D Analogamente, si dice che ðx0 , y0 Þ è un punto di minimo relativo per la funzione f ðx, yÞ, di dominio D, se esiste un intorno I di ðx0 , y0 Þ tale che: f ðx, yÞ f ðx0 , y0 Þ per ogni x 2 I \ D I punti di minimo relativo e i punti di massimo relativo di una funzione si dicono punti di estremo relativo. Il valore assunto dalla funzione in corrispondenza di un punto ðx0 , y0 Þ di massimo (minimo) relativo, cioè f ðx0 , y0 Þ, è detto massimo (minimo) relativo della funzione. Se le condizioni espresse nelle definizioni precedenti valgono per tutti i punti del dominio D (anziché in I \ DÞ, allora i punti di massimo e minimo sono detti assoluti. Rifletti sulle differenze nel linguaggio: chiamiamo «punto di massimo » il punto di coordinate ðx0 , y0 Þ e «massimo» il valore f ðx0 , y0 Þ assunto dalla funzione in corrispondenza di un punto di massimo. Analoga distinzione vale per i concetti di «punto di minimo» e di «minimo». Di conseguenza massimi e minimi sono espressi da numeri reali, mentre i punti di massimo e di minimo sono espressi da coppie ordinate di numeri reali. Si parla talvolta di «punti di massimo e minimo» anche per riferirsi al punto di coordinate ðx0 , y0 , f ðx0 , y0 ÞÞ sulla superficie di equazione z ¼ f ðx, yÞ. 25 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Complementi di analisi e applicazioni all’economia Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA PUNTI DI MASSIMO E MINIMO ASSOLUTI Si dice che ðx0 , y0 Þ è un punto di massimo assoluto (o globale) per la funzione f ðx, yÞ, di dominio D, se risulta: f ðx, yÞ f ðx0 , y0 Þ per ogni x 2 D Analogamente, si dice che ðx0 , y0 Þ è un punto di minimo assoluto per la funzione f ðx, yÞ, di dominio D, se risulta: f ðx, yÞ f ðx0 , y0 Þ per ogni x 2 D I punti di minimo e di massimo assoluti di una funzione si dicono punti di estremo assoluto. Tema A Il valore assunto dalla funzione in corrispondenza di un punto ðx0 , y0 Þ di massimo (minimo) assoluto, cioè f ðx0 , y0 Þ, è detto massimo (minimo) assoluto della funzione. Come abbiamo già osservato per le funzioni di una variabile, i punti di estremo assoluto sono anche punti di estremo relativo, mentre un punto di estremo relativo non è necessariamente un punto di estremo assoluto (vedi la fig. 1.27). z massimo assoluto massimo relativo (non assoluto) x y minimo relativo (non assoluto) Figura 1.27 minimo assoluto Circa l’esistenza di minimo e massimo assoluti per le funzioni di due variabili vale la seguente generalizzazione del teorema di Weierstrass. TEOREMA 1 .4 Te o r e m a di We i e rs t r a ss Se una funzione f ðx, yÞ è continua in un insieme D R2 chiuso e limitato, allora tale funzione ammette massimo e minimo assoluti in D. Massimi e minimi liberi Nel volume precedente abbiamo visto che se un punto x0 , interno al dominio di una funzione y ¼ f ðxÞ, è punto di estremo relativo e in tale punto la funzione è derivabile, allora la retta tangente al grafico della funzione in ðx0 , f ðx0 ÞÞ deve essere orizzontale, quindi deve risultare f 0 ðx0 Þ ¼ 0 (fig. 1.28a). Per le funzioni di due variabili, il ruolo giocato dalla retta tangente viene svolto dal piano tangente (fig. 1.28b). Precisamente, se in un punto ðx0 , y0 Þ interno al dominio di una funzione z ¼ f ðx, yÞ la funzione presenta un punto di estremo relativo ed esiste il piano tangente, quest’ultimo deve essere orizzontale. Poiché l’equazione del piano tangente è: z ¼ f ðx0 , y0 Þ þ f 0x ðx0 , y0 Þðx x0 Þ þ f 0y ðx0 , y0 Þðy y0 Þ 26 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA ed f 0y ðx0 , y0 Þ ¼ 0 Funzioni di due variabili f 0x ðx0 , y0 Þ ¼ 0 Unità 1 affinché esso risulti orizzontale la sua equazione deve essere del tipo z ¼ k, con k 2 R, pertanto si deve avere: Questo risultato, dedotto con considerazioni geometriche intuitive (sotto l’ipotesi di esistenza del piano tangente), potrebbe essere dimostrato più in generale, sotto la sola ipotesi di derivabilità. z massimo relativo piano tangente orizzontale y massimo relativo retta tangente orizzontale O x O a. Nel piano (funzioni di una variabile). x y b. Nello spazio (funzioni di due variabili). Figura 1.28 Co ndi zio ne n ecessaria pe r l’ esiste nza di un pu nto d i e s tr e m o r e l a t i vo TEOREMA 1 .5 Sia f ðx, yÞ una funzione definita in un insieme D R2 . Se ðx0 , y0 Þ è un punto di massimo o minimo relativo interno all’insieme D e se esistono le derivate parziali prime di f in ðx0 , y0 Þ, allora risulta: f 0x ðx0 , y0 Þ ¼ 0 ed f 0y ðx0 , y0 Þ ¼ 0 Un punto ðx0 , y0 Þ che annulla sia la derivata parziale rispetto a x sia la derivata parziale rispetto a y di una funzione f ðx, yÞ è detto punto stazionario (o critico). Esistono (come per le funzioni di una variabile) punti stazionari che non sono né di massimo né di minimo: tali punti vengono chiamati punti di sella (o di colle). Per esempio, la funzione f ðx, yÞ ¼ x2 y 2 ha un punto di sella nell’origine (fig. 1.29). Tipicamente, nell’intorno di un punto di sella, il grafico di una funzione di due variabili ha un comportamento simile a quello presentato nell’intorno dell’origine dalla funzione f ðx, yÞ ¼ x2 y2 , tuttavia esistono punti di sella nell’intorno dei quali il grafico della funzione può presentare un comportamento differente: ciò accade per esempio per la funzione f ðx, yÞ ¼ x3 (fig. 1.30). f (x, y) = x2 – y2 z z f (x, y) = x 3 O O x x y y Figura 1.29 Tra le curve passanti per il punto di sella O e appartenenti alla superficie di equazione z ¼ f ðx, yÞ ne esistono alcune per cui l’origine è un punto di minimo (per esempio la curva in blu ottenuta dalla sezione della superficie con il piano y ¼ 0) e altre per cui l’origine è un punto di massimo (per esempio la curva in rosso ottenuta dalla sezione della superficie con il piano x ¼ 0). Figura 1.30 Tutti i punti di coordinate ð0, kÞ, con k reale, sono punti di sella per la funzione. In particolare, è un punto di sella l’origine O. In questo caso non è possibile individuare curve passanti per O e appartenenti alla superficie z ¼ f ðx, yÞ per cui l’origine è un punto di massimo o di minimo: il comportamento della funzione in un intorno di O è paragonabile a quello di una funzione di una variabile nell’intorno di un punto di flesso. 27 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Ci troviamo dunque in una situazione di perfetta analogia con quanto visto per le funzioni di una variabile: il teorema 1.5 esprime una condizione (la stazionarietà) necessaria (ma non sufficiente) perché un punto ðx0 , y0 Þ sia di estremo relativo. È necessario perciò disporre di un criterio che consenta di individuare la natura dei punti stazionari. Per enunciare tale criterio, dobbiamo premettere la seguente definizione. HESSIANO Sia f ðx, yÞ una funzione che ammette derivate parziali seconde continue in ðx0 , y0 Þ. Si definisce hessiano di f nel punto ðx0 , y0 Þ, e si indica con il simbolo Hðx0 , y0 Þ, il seguente determinante: Hðx0 , y0 Þ ¼ TEOREMA 1 .6 Tema A Complementi di analisi e applicazioni all’economia Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA f 00xx ðx0 , y0 Þ f 00xy ðx0 , y0 Þ f 00yx ðx0 , y0 Þ f 00yy ðx0 , y0 Þ ¼ f 00xx ðx0 , y0 Þ f 00yy ðx0 , y0 Þ ½f 00xy ðx0 , y0 Þ 2 C r i t e r i o p e r l’ an a l i s i de i p u n t i st a z i o n a r i Sia f ðx, yÞ una funzione che ammette derivate parziali seconde continue e sia ðx0 , y0 Þ un suo punto stazionario; allora vale quanto segue: a. se b. se Hðx0 , y0 Þ > 0 f 00xx ðx0 , y0 Þ > 0 Hðx0 , y0 Þ > 0 f 00xx ðx0 , y0 Þ < 0 , il punto ðx0 , y0 Þ è di minimo relativo; , il punto ðx0 , y0 Þ è di massimo relativo; c. se Hðx0 , y0 Þ < 0, il punto ðx0 , y0 Þ è di sella; d. se Hðx0 , y0 Þ ¼ 0, occorre procedere a ulteriori analisi per stabilire la natura del punto ðx0 , y0 Þ. Il teorema 1.5 costituisce quindi un filtro preliminare, che ci consente di determinare i punti candidati a essere di estremo relativo (i punti stazionari); il teorema 1.6 ci consente di stabilire l’effettiva natura dei punti stazionari (eccettuato il caso in cui l’hessiano è nullo, di cui non ci occuperemo). ESEMPIO Ricerca dei punti di estremo relativo Determiniamo gli eventuali punti di estremo relativo o di sella della funzione f ðx, yÞ ¼ 2x 3 þ 4y 2 12xy. Individuiamo gli eventuali punti stazionari Dobbiamo risolvere il sistema: ( 0 ( fx ¼ 0 6x2 12y ¼ 0 ) 0 fy ¼ 0 8y 12x ¼ 0 9 che ha come soluzioni: (0, 0) e 3, . 2 Calcoliamo l’hessiano Determiniamo anzitutto le derivate parziali seconde: f 00xx ¼ 12x; f 00xy ¼ f 00yx ¼ 12; f 00yy ¼ 8 L’hessiano, nel generico punto (x,yÞ, è quindi: Hðx, yÞ ¼ f 00xx ðx, yÞ f 00yy ðx, yÞ ½f 00xy ðx, yÞ 2 ¼ 12x 8 ð12Þ2 ¼ 96x 144 28 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Valore di f 00xx Valore dell’hessiano (0, 0) 0 144 Natura del punto Punto di sella L’hessiano è negativo 9 3, 2 36 144 Punto di minimo relativo Sia l’hessiano sia f 00xx sono positivi Funzioni di due variabili Punto stazionario Unità 1 Studiamo la natura dei punti stazionari Massimi e minimi vincolati In molte applicazioni pratiche in cui si è interessati a determinare i punti di massimo e minimo di una funzione z ¼ f ðx, yÞ, le variabili indipendenti x e y sono soggette a dei vincoli: si parla in questo caso di massimi e minimi vincolati, per distinguerli dai massimi e minimi liberi di cui ci siamo occupati nel sottoparagrafo precedente. Pensiamo per esempio a un problema di ottimizzazione del profitto: quest’ultimo sarà espresso in funzione di alcune variabili indipendenti, che non potranno essere libere di assumere qualsiasi valore, ma saranno soggette a un vincolo di bilancio. Si pone dunque il problema della ricerca dei punti di massimo e minimo di una funzione z ¼ f ðx, yÞ, con x e y soggette a un dato vincolo. In questo sottoparagrafo supporremo che il vincolo sia espresso sotto forma di equazione nelle due variabili x e y, diciamo gðx, yÞ ¼ 0. VISUALIZZIAMO I CONCETTI Ottimizzazione vincolata 3L’equazione del vincolo gðx, yÞ ¼ 0 in generale rappresenta una curva C nel piano xy. Geometricamente, il problema della ricerca dei punti di estremo vincolato equivale a restringere il dominio della funzione z ¼ f ðx, yÞ a tale curva (la retta colorata in rosso nel caso particolare illustrato in fig. 1.31) e a focalizzare l’attenzione sui punti (x, y, f ðx, yÞ), appartenenti alla superficie di equazione z ¼ f ðx, yÞ, aventi ascissa e ordinata soddisfacenti il vincolo: questi ultimi punti definiscono una seconda curva C2 (la curva in blu in fig. 1.31): ricercare il massimo e il minimo assoluto della funzione, soggetta al vincolo gðx, yÞ ¼ 0, significa cercare il massimo e il minimo sulla curva C2 , anziché su tutta la superficie. Un punto di estremo vincolato può non risultare un punto di estremo relativo per la funzione considerata, qualora venga rimosso il vincolo: per esempio, in riferimento alla fig. 1.31, il punto di massimo assoluto per la funzione z ¼ f ðx, yÞ (senza vincolo) risulta ðxP , yP Þ, mentre il punto di massimo assoluto vincolato risulta ðxQ , yQ Þ e quest’ultimo non è un punto di massimo (né relativo né assoluto) per la funzione originaria. 1 3 z massimo assoluto z = f (x, y) P massimo vincolato Q y O x dominio della funzione f (x, y) g(x, y) = 0 vincolo (curva C1) curva C2 costituita dai punti della superficie soddisfacenti il vincolo Figura 1.31 29 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Complementi di analisi e applicazioni all’economia Illustreremo due metodi per la ricerca dei punti di estremo vincolato: 1. il metodo di sostituzione; 2. il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Il metodo di sostituzione può essere applicato quando è semplice esplicitare il vincolo gðx, yÞ ¼ 0 rispetto a una delle due variabili: in tal caso, l’espressione che esprime una variabile in funzione dell’altra può essere sostituita nell’espressione analitica f ðx, yÞ della funzione che si vuole ottimizzare e il problema può essere ricondotto a un problema in una sola variabile, come mostriamo nel seguente esempio. ESEMPIO Massimi e minimi vincolati con il metodo di sostituzione Determiniamo gli eventuali punti di estremo relativo e assoluto della funzione z ¼ f ðx, yÞ ¼ x 2 þ y 2 þ 4y 1, soggetta al vincolo x þ y ¼ 0. Tema A Poiché in questo caso l’equazione del vincolo è lineare, è facile esplicitare per esempio la variabile y. Si ha y ¼ x e, sotto questa condizione, la funzione data diventa: f ðx, xÞ ¼ x2 þ ðxÞ2 þ 4ðxÞ 1 ¼ 2x2 4x 1 Il problema iniziale, di ottimizzazione vincolata in due variabili, è cosı̀ ricondotto a un problema di ottimizzazione libera in una sola variabile; determinare gli eventuali punti di estremo relativo e assoluto della funzione: z ¼ 2x2 4x 1 Quest’ultima è una funzione di secondo grado, avente come grafico una parabola con la concavità verso l’alto, dunque ha un punto di minimo (assoluto) in corrispondenza dell’ascissa del vertice, cioè per: x¼ 4 ¼1 22 z 3 2 1 x –1 O –1 1 2 3 –2 –3 z = 2x 2 – 4x –1 Sostituendo questo valore nell’equazione y ¼ x (ottenuta esplicitando il vincolo) otteniamo y ¼ 1 e concludiamo che l’unico punto di estremo vincolato è ð1, 1Þ, che è un punto di minimo assoluto. Se risulta troppo complicato (o impossibile) esplicitare l’equazione del vincolo rispetto a una delle due variabili, si può ricorrere al cosiddetto metodo dei moltiplicatori di Lagrange, che si fonda sul seguente teorema. TEOREMA 1 .7 Metod o dei m ol tipli catori di L agrang e Consideriamo la funzione f ðx, yÞ e il vincolo gðx, yÞ ¼ 0, essendo f e g due funzioni che supponiamo: dotate di derivate parziali prime continue; 30 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA In pratica il teorema 1.7 ci fornisce una condizione analoga a quella di stazionarietà espressa dal teorema 1.5: ci dice cioè che i punti ðx0 , y0 Þ candidati a essere estremi relativi vincolati sono quelli che possono ottenersi risolvendo il sistema [1.6]. Esistono delle condizioni sufficienti (del tipo di quelle espresse dal teorema 1.6) per stabilire la natura di questi punti, ma non ci soffermeremo su di esse perché alquanto complicate: ci limiteremo a trattare casi semplici, in cui riusciremo a stabilire la natura dei punti stazionari vincolati sulla base degli strumenti già in nostro possesso. ESEMPIO La funzione Lðx, y, Þ ¼ f ðx, yÞ gðx, yÞ è detta lagrangiana e il sistema [1.6] può interpretarsi come condizione affinché il punto ðx0 , y0 , Þ sia stazionario per la lagrangiana. Infatti le tre equazioni che compongono il sistema [1.6] corrispondono alle condizioni di annullamento delle tre derivate parziali della lagrangiana rispetto alle tre variabili x, y e . Possiamo quindi dire che il metodo dei moltiplicatori di Lagrange trasforma un problema di ottimizzazione vincolata in un problema di ottimizzazione libera (per la lagrangiana), introducendo una variabile in più (il moltiplicatore di Lagrange ). Funzioni di due variabili Se ðx0 , y0 Þ è un punto di estremo relativo della funzione f ðx, yÞ, soggetta al vincolo gðx, yÞ ¼ 0, allora esiste 2 R, detto moltiplicatore di Lagrange, tale che ðx0 , y0 , Þ soddisfa il sistema: 8 0 f ðx, yÞ ¼ g0x ðx, yÞ > > < x f 0y ðx, yÞ ¼ g0y ðx, yÞ [1.6] > > : gðx, yÞ ¼ 0 Attenzione! Unità 1 tali che le derivate parziali prime di gðx, yÞ non si annullano contemporaneamente in corrispondenza di alcun punto appartenente al vincolo. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange Determiniamo i punti di estremo della funzione f ðx, yÞ ¼ x þ y, soggetta al vincolo x 2 þ y 2 ¼ 18. Osserviamo anzitutto che in questo caso non è agevole esplicitare il vincolo rispetto a x o a y (si introdurrebbero dei radicali), quindi è opportuno applicare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Individuiamo gli eventuali punti stazionari vincolati Osserva Nel nostro caso è Sono soddisfatte tutte le ipotesi del teorema 1.7, infatti: le due funzioni f ðx, yÞ e gðx, yÞ sono continue e hanno derivate parziali continue in tutto R2 ; le derivate parziali di gðx, yÞ, ossia: f ðx, yÞ ¼ x þ y gðx, yÞ ¼ x2 þ y2 18 e quindi, in base al teorema 1.7, dobbiamo risolvere il sistema: 8 1 ¼ ð2xÞ > < 1 ¼ ð2yÞ > : 2 x þ y 2 18 ¼ 0 f 0x ¼ g0x f 0y ¼ g0y g¼0 Dalle prime due equazioni del sistema si ricava x ¼ y; sostituendo nella terza equazione abbiamo allora: 2x2 18 ¼ 0 ) x ¼ 3 Dovendo essere x ¼ y, da x ¼ 3 si ricava y ¼ 3, mentre da x ¼ 3 si ricava y ¼ 3. Perciò gli unici punti candidati a essere di massimo o minimo vincolato sono (3, 3) e (3, 3). g 0x ¼ 2x e g 0y ¼ 2y si annullano contemporaneamente solo se è x ¼ y ¼ 0, cioè nel punto (0, 0), che però non appartiene al vincolo (l’origine non appartiene infatti alla circonferenza di equazione x2 þ y 2 ¼ 18Þ. Studiamo la natura dei punti stazionari Per stabilire la natura dei punti stazionari, osserviamo anzitutto che il vincolo, costituito dai punti di una circonferenza, è un insieme chiuso e limitato. Pertanto, per il teorema di Weierstrass, devono esistere minimo e massimo assoluti della funzione sulla circonferenza. Ora, poiché i punti candidati a essere di massimo o minimo sono solo due, (3, 3) e (3, 3), e inoltre risulta f ð3, 3Þ ¼ 6 e f ð3, 3Þ ¼ 6, è immediato concludere che (3, 3) è il punto di massimo assoluto, mentre (3, 3) è il punto di minimo assoluto. 31 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema A Complementi di analisi e applicazioni all’economia Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Sebbene il metodo dei moltiplicatori di Lagrange possa apparire a prima vista più complicato di quello di sostituzione dato che introduce una variabile in più (Þ, esso è molto utilizzato nelle applicazioni, perché il moltiplicatore di Lagrange ha un importante significato economico. Consideriamo, infatti, un problema di ottimizzazione della funzione f ðx, yÞ, soggetta al vincolo gðx, yÞ ¼ k; si dimostra che il valore 0 del moltiplicatore di Lagrange associato a un certo punto di estremo vincolato ðx0 , y0 Þ esprime (approssimativamente) di quanto varia il massimo o il minimo corrispondente a ðx0 , y0 Þ, ossia f ðx0 , y0 Þ, in seguito a una variazione di una unità del parametro k. Per esempio, supponiamo che la funzione f ðx, yÞ esprima il profitto e che il parametro k che compare nel vincolo esprima la quantità disponibile di una certa materia prima, acquistabile al prezzo unitario p. Per aumentare la materia prima disponibile di una quantità k occorre sostenere un costo pk, mentre il massimo profitto varierà di circa 0 k. Aumentare la quantità di materia prima disponibile risulterà conveniente se e solo se: pk 0 k ) p 0 Dunque possiamo interpretare il moltiplicatore di Lagrange 0 come il prezzo unitario massimo che possiamo essere disposti a pagare la materia prima, per aumentarne la quantità disponibile. Per questo motivo i moltiplicatori di Lagrange sono chiamati anche prezzi ombra. Massimi e minimi assoluti in un insieme chiuso e limitato Nel precedente sottoparagrafo ci siamo occupati dei problemi di ottimizzazione vincolata nel caso in cui il vincolo sia assegnato sotto forma di un’equazione del tipo gðx, yÞ ¼ 0. Tuttavia, nelle applicazioni, capita di frequente che il vincolo sia espresso tramite una disequazione o che la funzione sia soggetta a più vincoli (tipicamente più disequazioni poste a sistema). Per esempio, può sorgere la necessità di risolvere un problema di ottimizzazione con vincoli espressi dalla disequa jxj 2 2 2 zione x þ y 16 (che rappresenta un cerchio) oppure dal sistema jyj 2 (che rappresenta un quadrato). Vogliamo ora gettare uno sguardo su questi problemi, limitandoci ai casi in cui i vincoli siano rappresentati da un insieme D chiuso e limitato (il che garantisce l’esistenza del minimo e del massimo assoluto per il teorema di Weierstrass); in queste ipotesi il metodo generale per determinare il massimo e il minimo assoluti della funzione è il seguente: 1. si determinano gli eventuali punti di estremo relativo della funzione, nei punti interni all’insieme D (utilizzando i teoremi 1.5 e 1.6); 2. si determinano gli eventuali punti di massimo e minimo vincolati, sulla frontiera dell’insieme D (utilizzando il metodo di sostituzione o quello dei moltiplicatori di Lagrange); 3. si individuano gli eventuali punti di non derivabilità della funzione in D; 4. si calcolano i valori assunti dalla funzione nei punti individuati ai passi precedenti e dal loro confronto si deducono il minimo e il massimo assoluto della funzione. ESEMPIO Ottimizzazione su un insieme chiuso e limitato Determiniamo il minimo e il massimo assoluto della funzione f ðx, yÞ ¼ 4x 2 þ y 2 6y þ 4 soggetta al vincolo x 2 þ y 2 16. Analisi preliminare Il vincolo rappresenta un cerchio avente centro nell’origine e raggio 4 e la funzione è continua e derivabile su tutto R2 (quindi non possono esserci mas32 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Unità 1 simi o minimi che cadono in punti di non derivabilità). Non resta allora che cercare i punti candidati a essere di massimo e minimo prima internamente al cerchio e poi sulla circonferenza che ne costituisce la frontiera. Funzioni di due variabili Ricerca dei punti stazionari interni al cerchio Imponendo che siano nulle le derivate parziali otteniamo il sistema: 8x ¼ 0 x¼0 ) 2y 6 ¼ 0 y¼3 Abbiamo quindi un unico punto stazionario internamente al cerchio, di coordinate (0, 3). Ai fini di risolvere il problema in esame, non è necessario stabilire l’esatta natura del punto calcolando l’hessiano. Ricerca dei punti di estremo vincolato sulla frontiera Utilizzando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, impostiamo il sistema: 8 8x ¼ ð2xÞ > < 2y 6 ¼ ð2yÞ > : 2 x þ y 2 ¼ 16 f 0x ¼ g0x f 0y ¼ g0y g¼0 Risolvendolo, si trova che i punti candidati a essere punti di estremo, sulla pffiffiffiffiffiffi frontiera, sono: ð0, 4Þ, ð 15, 1Þ. Conclusione Calcoliamo i valori assunti dalla funzione nei punti determinati ai passi precedenti. Possibili punti di estremo Corrispondente valore della funzione pffiffiffiffiffiffi 15, 1Þ ð0, 3Þ ð0, 4Þ ð0, 4Þ dall0 analisi dei punti interni al cerchio dall0 analisi dei punti di frontiera dall0 analisi dei punti di frontiera dall0 analisi dei punti di frontiera 5 44 4 71 Ne deduciamo che il minimo assoluto della funzione è 5 e viene assunto in (0, 3), mentrepilffiffiffiffiffiffimassimo assoluto è 71 e viene raggiunto nei due punti di coordinate ð 15, 1Þ. Nel caso particolare in cui l’espressione analitica della funzione e l’insieme D rappresentato dai vincoli siano molto semplici, la ricerca del minimo e del massimo assoluti può essere condotta, anziché con il metodo generale sopra esposto, con il metodo delle curve di livello illustrato nel prossimo esempio. ESEMPIO Metodo delle curve di livello Determiniamo il massimo e il minimo assoluti della funzione z ¼ 3x þ 2y, sogget x 0, y 0 ta ai vincoli , utilizzando il metodo delle curve di livello. x 2 þ y 2 13 Analisi grafica, in base alle curve di livello Le curve di livello hanno equazioni 3x þ 2y ¼ k, dunque costituiscono un fascio (improprio) di rette parallele alla retta di equazione 3x þ 2y ¼ 0. Il minimo e il massimo assoluto della funzione corrispondono al minimo e al massimo valore di k per cui le rette del fascio intersecano la regione rappresentata dai vincoli (il quadrante circolare colorato in figura a pagina seguente). Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Ô 33 Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Complementi di analisi e applicazioni all’economia Ô y 5 4 3 k cresce 2 1 x –1 O –1 1 2 3 4 5 Il minimo valore di k per cui le rette del fascio intersecano il quadrante circolare corrisponde alla retta passante per l’origine; il massimo valore di k per cui le rette del fascio intersecano il quadrante corrisponde alla retta tangente nel primo quadrante alla circonferenza di equazione x2 þ y 2 ¼ 13. Calcolo dei valori notevoli di k Tema A La retta passante per l’origine corrisponde ovviamente al valore k ¼ 0. Per determinare il valore di k corrispondente alla retta tangente si può imporre che sia nullo il discriminante dell’equazione risolvente il sistema ( x2 þ y2 ¼ 13 ; accettando solo il valore di k positivo (perché stiamo cercando 3x þ 2y ¼ k la tangente che tocca la circonferenza nel primo quadrante), si trova k ¼ 13. Conclusione Il minimo assoluto della funzione, con i vincoli assegnati, è 0 e viene raggiunto in corrispondenza dell’origine; il massimo assoluto, uguale a 13, viene raggiunto in corrispondenza del punto di tangenza tra la retta e la circonferenza, che puoi verificare avere coordinate ð3, 2Þ. Prova tu ESERCIZI a p. 59 1. Determina i punti di massimo e minimo relativi o di sella della funzione f ðx, yÞ ¼ x2 4x þ y4 8y 2 . [ð2, 0Þ: punto di sella; ð2, 2 2Þ: punti di minimo] 2 2. Determina i punti di massimo e minimo assoluti della funzione f ðx, yÞ ¼ 2x x 4y , nella regione di piano defi 3 x 3 nita dal sistema . [Max ¼ 1, in ð1, 0Þ e min ¼ 31 in ð3, 2Þ] 2 y 2 5. Applicazioni all’economia La teoria dei massimi e minimi delle funzioni di due variabili ha importanti applicazioni all’economia: vogliamo ora gettare uno sguardo su alcune di tali applicazioni. Massimizzare il profitto Consideriamo un’azienda che produce due beni e che li vende in regime di concorrenza perfetta, rispettivamente ai prezzi p1 e p2 . Indicate con q1 e q2 le quantità prodotte dei due beni e supposto che tutta la quantità prodotta venga venduta, il ricavo R sarà espresso dalla funzione: Rðq1 , q2 Þ ¼ p1 q1 þ p2 q2 34 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA [1.7] Il problema di determinare q1 e q2 in modo da conseguire il profitto massimo equivale quindi a quello di determinare il punto di massimo assoluto (se esiste) della [1.7]. Considereremo il caso particolare (frequente nelle applicazioni economiche) in cui la funzione costo sia della forma Cðq1 , q2 Þ ¼ aq21 þ bq1 q2 þ cq22 , con a, b e c costanti positive opportune; in tal caso la [1.7] diventa: Uðq1 , q2 Þ ¼ p1 q1 þ p2 q2 ðaq21 þ bq1 q2 þ cq22 Þ [1.8] Si può dimostrare che una funzione della forma [1.8] rappresenta un paraboloide (ellittico con la concavità rivolta verso il basso oppure iperbolico): pertanto, se esiste il massimo assoluto della [1.8] (ovvero se il paraboloide è ellittico), esso viene raggiunto in corrispondenza dell’unico punto stazionario della funzione. ESEMPIO Ricorda Un paraboloide iperbolico non ammette punti di minimo e massimo né relativo né assoluto. Un paraboloide ellittico con la concavità rivolta verso il basso ha un unico punto di massimo assoluto, che coincide con l’unico punto stazionario (rivedi la tabella nel Paragrafo 2). Funzioni di due variabili Uðq1 , q2 Þ ¼ p1 q1 þ p2 q2 Cðq1 , q2 Þ Unità 1 Nota la funzione Cðq1 , q2 Þ, che esprime il costo complessivo per la produzione delle quantità q1 e q2 dei due beni, il profitto Uðq1 , q2 Þ sarà espresso dalla seguente funzione delle due variabili q1 e q2 : Massimizzare il profitto, in regime di concorrenza perfetta Un’impresa produce due beni, che vende in regime di concorrenza perfetta rispettivamente ai prezzi unitari (espressi in centinaia di euro) p1 ¼ 34 e p2 ¼ 32. In un ciclo, il costo per la produzione dei due beni è espresso (sempre in centinaia di euro) dalla funzione: C ¼ 5q12 þ 8q1 q2 þ 4q22 dove q1 e q2 rappresentano le quantità prodotte rispettivamente del primo e del secondo bene. Nell’ipotesi che tutta la quantità prodotta sia venduta, determiniamo la quantità dei due beni da produrre in un ciclo in modo da realizzare il massimo utile, nonché il valore di tale utile massimo. Scriviamo la funzione profitto Il ricavo è dato da Rðq1 , q2 Þ ¼ 34q1 þ 32q2 , quindi la funzione profitto sarà: Uðq1 , q1 Þ ¼ 34q1 þ 32q2 ð5q21 þ 8q1 q2 þ 4q22 Þ ricavo [1.9] costo Determiniamo i punti stazionari della funzione profitto Per determinare i punti stazionari della funzione profitto occorre risolvere il sistema ottenuto annullando le derivate parziali: ( 0 Uq1 ¼ 0 34 10q1 8q2 ¼ 0 ) 0 Uq2 ¼ 0 32 8q1 8q2 ¼ 0 che ammette come unica soluzione q1 ¼ 1 e q2 ¼ 3. Risulta inoltre: Hðq1 , q2 Þ ¼ 10 8 8 ¼ 80 64 ¼ 16 > 0 8 e U q1 q1 < 0 quindi (1,3) è un punto di massimo relativo per la [1.9]. Conclusione In base a quanto osservato prima dell’esempio, la [1.9] (avendo un punto di massimo relativo) deve rappresentare un paraboloide ellittico, quindi il punto di massimo relativo è anche di massimo assoluto. Concludiamo che l’azienda, per massimizzare il profitto, deve produrre una quantità q1 ¼ 1 del primo bene e una quantità q2 ¼ 3 del secondo. L’utile massimo corrispondente si ottiene sostituendo nella [1.9] i valori q1 ¼ 1 e q2 ¼ 3; si ottiene Uð1, 3Þ ¼ 65, dunque (poiché costi e ricavi erano espressi in centinaia di euro) concludiamo che l’utile massimo ammonta a 6500 euro. 35 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Complementi di analisi e applicazioni all’economia Se i due beni, anziché essere venduti in regime di concorrenza perfetta, fossero venduti in regime di monopolio, allora il loro prezzo varierebbe in funzione della domanda; anche in questo caso comunque il problema della ricerca del massimo profitto si riconduce al problema di determinare il massimo assoluto di una funzione di due variabili. ESEMPIO Massimizzare il profitto, in regime di monopolio Le funzioni domanda di due beni venduti in regime di monopolio sono: q1 ¼ 12 000 40p1 e q2 ¼ 6000 40p2 I costi unitari di produzione dei due beni (in euro) sono rispettivamente C1 ¼ 120 e C2 ¼ 80. Determiniamo le quantità dei due beni da produrre per conseguire l’utile massimo, calcolando anche il valore di quest’ultimo. Esprimiamo anzitutto i prezzi in funzione di q1 e q2 , risolvendo il sistema q1 ¼ 12 000 40p1 Tema A q2 ¼ 6000 40p2 rispetto alle incognite p1 e p2 ; si ottiene: q1 q2 e p2 ¼ 150 p1 ¼ 300 40 40 Possiamo ora scrivere l’espressione analitica della funzione profitto: p1 p2 q1 q2 Uðq1 , q2 Þ ¼ 300 q1 þ 150 q2 ð120q1 þ 80q2 Þ 40 40 ricavo costo Per la ricerca del massimo assoluto di questa funzione si può procedere in modo simile all’esempio precedente; si trova che l’utile massimo, uguale a 373 000 euro, viene raggiunto in corrispondenza della produzione di una quantità q1 ¼ 3600 e di una quantità q2 ¼ 1400. Combinazione ottima dei fattori di produzione Modi di dire Se þ ¼ 1, la funzione [1.10] è detta di CobbDouglas in senso stretto, altrimenti è detta di Cobb-Douglas in senso generalizzato. Una funzione di Cobb-Douglas in senso stretto ha la seguente proprietà: se K ed L vengono moltiplicati entrambi per uno stesso fattore, anche Q varia allo stesso modo: per esempio, se K ed L raddoppiano, anche Q raddoppia. 36 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Un altro problema importante che le imprese si trovano a dovere affrontare è quello di gestire in modo ottimale i vari fattori di produzione. Tipicamente, si distinguono tre fattori di produzione: la natura (o la terra), il lavoro e il capitale: con il termine «natura» si indicano beni non prodotti dall’uomo: per esempio materie prime o fonti di energia estratte dal suolo; con il termine «capitale» si indicano beni prodotti dall’uomo che vengono utilizzati a loro volta per la produzione di altri beni: si distinguono in beni strumentali, come per esempio i macchinari, e importi monetari; con il termine «lavoro» si indica l’insieme di tutte le risorse umane e intellettuali che concorrono alla produzione di un dato bene. Ci limitiamo a considerare modelli che tengono conto soltanto degli ultimi due fattori di produzione: il capitale e il lavoro. Una delle funzioni più utilizzate come modello per esprimere la quantità Q prodotta di un certo bene, in funzione del lavoro L e del capitale K impiegati, è la cosiddetta funzione di Cobb-Douglas, definita da: Q ¼ c K L [1.10] dove c, e sono costanti reali, con c > 0, 0 < < 1 e 0 < < 1. Esaminiamo ora due tipici problemi di ottimizzazione dei fattori produttivi, nell’ipotesi che la funzione di produzione sia della forma [1.10]. Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Funzioni di due variabili Trovare il punto di massimo assoluto della funzione Q ¼ f ðK, LÞ con i vincoli: ( K 0, L 0 [1.11] p1 K þ p2 L ¼ C0 Unità 1 1. Determinare i fattori per cui la produzione è massima, con il vincolo di un prefissato costo di produzione Sia Q ¼ f ðK, LÞ ¼ c K L la funzione di produzione e supponiamo che p1 e p2 siano rispettivamente i costi unitari del capitale K e del lavoro L; allora il costo complessivo di produzione sarà p1 K þ p2 L. Se abbiamo il vincolo di un costo prefissato, diciamo C0 , il problema di determinare i fattori che rendono la produzione massima si traduce nel seguente modello: La risoluzione di questo problema può avvenire con i metodi che abbiamo visto nel precedente paragrafo; è utile comunque fare alcune considerazioni. a. In un sistema di assi dove K è posto in ascissa ed L in ordinata, il sistema [1.11] rappresenta il segmento AB intercettato sugli assi dalla retta di equazione p1 K þ p2 L ¼ C0 (fig. 1.32). Poiché il segmento AB è un insieme chiuso e limitato, certamente esiste il massimo assoluto della funzione su tale segmento (per il teorema di Weierstrass). L ⎛0 , C0 ⎞ ⎝ p2 ⎠ A p1K + p2L = C0 B O ⎛ C0 ,0⎞ ⎝ p1 ⎠ K Figura 1.32 b. Il massimo assoluto non può essere assunto agli estremi del segmento AB, dove la funzione Q ¼ c K L vale zero, dunque deve essere assunto in corrispondenza di un punto interno ad AB. c. Per determinare il punto di massimo assoluto, essendo il vincolo lineare, si potrebbe utilizzare il metodo di sostituzione, tuttavia si preferisce solitamente ricorrere al metodo dei moltiplicatori di Lagrange, anche perché consente di mettere in evidenza un’interessante relazione che sussiste in corrispondenza della combinazione ottima. Nel punto di massimo assoluto dovrà infatti essere: 8 0 f ¼ p1 > < K f 0L ¼ p2 > : p1 K þ p2 L C 0 ¼ 0 Metodo dei moltiplicatori di Lagrange In particolare, dalle prime due equazioni segue (dividendo membro a membro): f 0K p1 0 ¼ p2 fL Dunque la massima produttività si ottiene quando il rapporto tra le produttività marginali dei fattori di produzione è uguale al rapporto tra i costi unitari di questi ultimi. 37 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema A Complementi di analisi e applicazioni all’economia Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA ESEMPIO Massimizzare la produzione, sotto vincolo di costo La funzione di produzione di un dato bene è Q ¼ 400K 0,75 L0,25 , indicando con K il capitale e con L il lavoro. Il costo dei fattori di produzione è 4 per ogni unità di capitale e 2 per ogni unità di lavoro. Nell’ipotesi che il costo complessivo di produzione debba essere 400, determiniamo la combinazione dei fattori produttivi K ed L che consente di ottenere la produzione massima. Analisi preliminare Il problema in questo caso si traduce nel cercare il punto di massimo assoluto della funzione Q ¼ 400K0,75 L0,25 soggetta ai vincoli: K 0,L 0 4K þ 2L ¼ 400 Applicazione del metodo dei moltiplicatori di Lagrange Applicando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, siamo condotti al sistema: 8 > 400 0,75K 0,751 L0,25 ¼ 4 > > > > derivata parziale di Q rispetto a K > > < [1.12] 400K 0,75 0,25L0,251 ¼ 2 > > > derivata parziale di Q rispetto a L > > > > : 4K þ 2L ¼ 400 Dalla prima equazione si ricava ¼ 75K0,25 L0,25 ; sostituendo questo valore di nella seconda equazione, otteniamo: 400K0,75 0,25L0,75 ¼ 75K 0,25 L0,25 2 100K0,75 L0,75 ¼ 150K 0,25 L0,25 Calcolando i prodotti tra i coefficienti numerici 100K ¼ 150L Moltiplicando i due membri per K 0;25 L0;75 2K ¼ 3L Dividendo entrambi i membri per 50 Infine, risolvendo il sistema formato da quest’ultima equazione e dalla terza equazione del sistema [1.12], si ricava che deve essere: K ¼ 75 ed L ¼ 50. Esiste un unico punto stazionario vincolato: (75, 50). Conclusione In base alle osservazioni svolte prima dell’esempio, la funzione di produzione ammette massimo assoluto e tale massimo deve essere raggiunto in corrispondenza di un punto stazionario vincolato. Poiché la funzione ammette un unico punto stazionario vincolato, quest’ultimo non può che essere il punto di massimo assoluto. Dunque la combinazione ottima dei fattori produttivi si realizza per K ¼ 75 ed L ¼ 50. 2. Determinare i fattori di produzione per cui il costo è minimo, con il vincolo di un prefissato livello di produzione Si tratta della situazione in un certo senso «opposta» alla precedente: questa volta il vincolo non è sul costo ma sul livello di produzione (che supponiamo debba essere uguale a Q0 Þ, e la ricerca non è finalizzata alla massima produzione ma al minimo costo. Formalmente il problema è il seguente: Trovare il punto di minimo assoluto della funzione p1 K þ p2 L con i vincoli: ( K 0, L 0 [1.13] c K L ¼ Q0 38 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Unità 1 Anche in questo caso è utile fare alcune considerazioni. Funzioni di due variabili a. Il sistema [1.13] rappresenta, in un piano riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali KOL, una curva giacente nel primo quadrante che ha come asintoti gli assi: tale curva (detta isoquanto perché rappresenta tutte le possibili combinazioni del capitale e del lavoro che danno luogo alla stessa quantità di prodotto) ha un aspetto simile a un ramo di iperbole equilatera. b. Le curve di livello della funzione costo hanno equazioni del tipo p1 K þ p2 L ¼ h (essendo h il parametro che descrive le varie curve di livello) e costituiscono un fascio di rette parallele. Ragionando secondo il metodo delle curve di livello (fig. 1.33), si vede facilmente che la funzione costo ammette minimo assoluto sul vincolo assegnato, e tale minimo corrisponde alla curva di livello tangente all’isoquanto. L isoquanto cK α L β = Q0 curve di livello: p1K + p2L = h verso di crescita del parametro h O Figura 1.33 K curva di livello cui corrisponde il minimo costo c. Applicando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange si ottiene che nel punto di minimo dovrà essere: 8 p1 ¼ gK0 > > > > derivata parziale > > > del costo rispetto a K > < p2 ¼ gL0 gðK, LÞ ¼ c K L Q0 > > > derivata parziale > > del costo rispetto a L > > > : c K L Q0 ¼ 0 g 0K p1 g0 f0 ¼ . D’altra parte K0 ¼ K0 ( poi0 gL p2 gL fL ché f ðK, LÞ ¼ c K L e gðK, LÞ differiscono per una costante). Dunque il minimo costo di produzione si ottiene anche questa volta quando il rapporto tra le produttività marginali dei fattori di produzione è uguale al rapporto tra i costi unitari di questi ultimi. e similmente al caso precedente si ricava Minimizzare il costo, sotto vincolo di produzione ESEMPIO 1 2 La funzione di produzione di un dato bene è Q ¼ 150K 3 L 3 . Il costo unitario del capitale è 2 e il costo unitario del lavoro è 32 (in unità convenzionali). Nell’ipotesi che si vogliano produrre 3000 unità del bene, determiniamo la combinazione dei fattori produttivi K ed L che consente di minimizzare il costo di produzione. Analisi preliminare La funzione costo è C ¼ 2K þ 32L e il problema in questo caso si traduce nel cercare il punto di minimo assoluto di tale funzione soggetta ai vincoli: ( K 0,L 0 1 2 150K 3 L 3 ¼ 3000 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Ô 39 Tema A Complementi di analisi e applicazioni all’economia Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Ô Applicazione del metodo dei moltiplicatori di Lagrange Applicando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, con calcoli simili a quelli svolti nell’esempio precedente si trova che l’unico punto stazionario vincolato corrisponde alla coppia ðK, LÞ con K ¼ 80 ed L ¼ 10. Conclusione In base alle osservazioni svolte prima dell’esempio, la funzione costo ammette minimo assoluto e tale minimo deve essere raggiunto in corrispondenza di un punto stazionario vincolato. Poiché la funzione ammette un unico punto stazionario vincolato, quest’ultimo non può che essere il punto di minimo assoluto cercato. Dunque la combinazione dei fattori produttivi che minimizza il costo corrisponde a K ¼ 80 ed L ¼ 10. Massimizzare l’utilità Supponiamo che un consumatore abbia a disposizione una somma S, che intende spendere acquistando due beni, di costi unitari p1 e p2 . Indicate con q1 e q2 le quantità dei due beni acquistate dal consumatore, la coppia ðq1 , q2 Þ costituisce uno dei possibili panieri di acquisto. La funzione che associa, a ogni possibile paniere, un numero che esprime il gradimento del consumatore nell’acquisto di quel paniere viene detta funzione di utilità: la indicheremo con il simbolo Uðq1 , q2 Þ. Esistono vari modelli di funzioni di utilità, ma tutti devono soddisfare un requisito: le derivate parziali prime devono essere continue e non negative per q1 0 e q2 0 (in ossequio al principio secondo cui maggiore è la quantità che il consumatore acquista, maggiore è la soddisfazione, ovverosia l’utilità). Un problema che si pone è quello di determinare il paniere cui corrisponde l’utilità massima, sotto il vincolo dovuto alla somma S a disposizione. Formalmente: Trovare il punto di massimo assoluto della funzione Uðq1 , q2 Þ con i vincoli: ( q1 0, q2 0 [1.14] p1 q1 þ p2 q2 ¼ S Ragionando similmente ai casi precedenti, si vede che anche in questo caso il massimo assoluto della funzione deve esistere per il teorema di Weierstrass (rappresentando il sistema [1.14] un segmento) e viene assunto allorché si verifica la relazione: U 0q1 p1 ¼ U 0q2 p2 ricavabile applicando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Ciò significa che per avere la massima soddisfazione il consumatore deve costruire il paniere in modo che il rapporto tra l’utilità marginale di un bene e il suo prezzo unitario sia uguale al rapporto tra l’unità marginale dell’altro bene e il relativo prezzo. ESEMPIO Massimizzare l’utilità Una persona decide di acquistare due beni che hanno prezzi unitari (in euro) rispettivamente pari a p1 ¼ 5 e p2 ¼ 10. La funzione di utilità è U ¼ 4q1 q2 e la persona vuole spendere una somma di denaro pari a 500 euro. Determiniamo le quantità dei due beni che il consumatore deve acquistare per fare in modo che l’utilità sia massima, e il valore di tale utilità massima. 40 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Unità 1 Analisi preliminare Funzioni di due variabili Il modello del nostro problema è in questo caso quello di trovare il punto di q1 0, q2 0 massimo assoluto della funzione U ¼ 4q1 q2 con i vincoli . 5q1 þ 10q2 ¼ 500 Ricerca dei punti stazionari vincolati Applicando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, siamo condotti al sistema: 8 < 4q2 ¼ 5 4q ¼ 10 : 1 5q1 þ 10q2 ¼ 500 Risolvendo il sistema si trova che l’unico possibile punto di estremo vincolato è (50, 25). Conclusione La funzione di utilità, in base a quanto osservato poc’anzi, ammette certamente massimo assoluto sul vincolo considerato e tale massimo deve essere raggiunto in un punto stazionario vincolato. Poiché esiste un unico punto stazionario vincolato, quest’ultimo non può che essere il punto di massimo assoluto cercato. Dunque l’utilità è massima in corrispondenza del paniere costituito da una quantità q1 ¼ 50 del primo bene e una quantità q2 ¼ 25 del secondo bene. L’utilità massima è uguale a: U ¼ 4 25 50 ¼ 5000 Prova tu ESERCIZI a p. 66 1. Un’impresa produce due beni, che vende in regime di concorrenza perfetta ai prezzi unitari p1 ¼ 1400 euro e p2 ¼ 700 euro rispettivamente. Il costo dei due beni (in euro) è espresso dalla funzione: C ¼ 50q21 þ 8q22 þ 30q1 q2 dove q1 e q2 rappresentano le quantità prodotte. Determina la quantità dei due beni che consentono di realizzare il massimo utile, e il valore del massimo utile, nell’ipotesi che tutta la quantità prodotta sia venduta. [Utile massimo ¼ 15 400 euro per q1 ¼ 2 e q2 ¼ 40] 2. La funzione di produzione di un dato bene è Q ¼ 800K0,25 L0,75 , indicando con K il capitale e con L il lavoro. Il costo dei fattori di produzione è 8 per ogni unità di capitale e 6 per ogni unità di lavoro (in unità convenzionali). Nell’ipotesi che il costo complessivo di produzione sia 800, determina la combinazione dei fattori produttivi K ed L che consente di ottenere la produzione massima, nonché il valore di tale produzione massima. [K ¼ 25, L ¼ 100; Qmax ¼ 56 568,54] 3. Una persona decide di acquistare due beni, che hanno prezzi unitari (in euro) rispettivamente pari a p1 ¼ 3 e p2 ¼ 4. La funzione di utilità è U ¼ 2q1 q2 e la persona dispone di una somma di denaro pari a 600 euro. Determina le quantità dei due beni che il consumatore deve acquistare per fare in modo che l’utilità sia massima, e il valore di tale utilità massima. [q1 ¼ 100, q2 ¼ 75, U ¼ 15 000] 41 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Tema A Unità 1 Esercizi In più: esercizi interattivi SINTESI Piano tangente Se una funzione f ðx, yÞ ha derivate parziali prime continue in ðx0 , y0 Þ, allora esiste il piano tangente alla superficie di equazione z ¼ f ðx, yÞ nel suo punto di ascissa x0 e ordinata y0 e l’equazione di tale piano è: z ¼ f ðx0 , y0 Þ þ f 0x ðx0 , y0 Þ ðx x0 Þ þ f 0y ðx0 , y0 Þ ð y y0 Þ Teorema di Schwarz Se una funzione z ¼ f ðx, yÞ ammette entrambe le derivate miste f 00xy ed f 00yx e tali derivate sono continue in un punto ðx0 , y0 Þ, allora f 00xy ðx0 , y0 Þ ¼ f 00yx ðx0 , y0 Þ. Teorema di Weierstrass Se una funzione z ¼ f ðx, yÞ è continua in un insieme D R2 chiuso e limitato, allora tale funzione ammette massimo e minimo assoluti in D. Massimi e minimi relativi (condizione necessaria) Sia z ¼ f ðx, yÞ una funzione definita in un insieme D R2 . Se ðx0 , y0 Þ è un punto di massimo o minimo relativo interno all’insieme D e se esistono le derivate parziali prime di f in ðx0 , y0 Þ, allora risulta: f 0x ðx0 , y0 Þ ¼ 0 e f 0y ðx0 , y0 Þ ¼ 0 Un punto ðx0 , y0 Þ che annulla entrambe le derivate parziali, rispetto a x e a y, della funzione f è detto punto stazionario (o critico) della funzione. Hessiano Sia z ¼ f ðx, yÞ una funzione che ammette derivate seconde continue in ðx0 , y0 Þ. Si definisce hessiano di f nel punto ðx0 , y0 Þ, e si indica con il simbolo Hðx0 , y0 Þ, il seguente determinante: 00 f ðx0 , y0 Þ f 00 ðx0 , y0 Þ xy xx 2 Hðx0 , y0 Þ ¼ 00 ¼ f 00xx ðx0 , y0 Þ f 00yy ðx0 , y0 Þ ½ f 00xy ðx0 , y0 Þ f yx ðx0 , y0 Þ f 00yy ðx0 , y0 Þ Massimi e minimi relativi (condizione sufficiente) Sia ðx0 , y0 Þ un punto stazionario per una funzione z ¼ f ðx, yÞ che ammette derivate seconde continue: Hðx0 , y0 Þ > 0 , il punto ðx0 , y0 Þ è di minimo relativo; se 00 fxx ðx0 , y0 Þ > 0 Hðx0 , y0 Þ > 0 se , il punto ðx0 , y0 Þ è di massimo relativo; 00 fxx ðx0 , y0 Þ < 0 se Hðx0 , y0 Þ < 0, il punto ðx0 , y0 Þ non è né di massimo né di minimo relativo: è di sella; se Hðx0 , y0 Þ ¼ 0, occorre procedere a ulteriori analisi per stabilire la natura del punto ðx0 , y0 Þ. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange Si applica per la ricerca dei punti di estremo relativo vincolato della funzione z ¼ f ðx, yÞ, soggetta al vincolo gðx, yÞ ¼ 0, essendo f e g due funzioni che supponiamo dotate di derivate parziali prime continue. I punti ðx, yÞ «candidati» a essere estremi relativi vincolati sono i punti che possono ottenersi risolvendo il sistema: 8 0 f ðx, yÞ ¼ g 0x ðx, yÞ > > < x f 0y ðx, yÞ ¼ g 0y ðx, yÞ (da risolvere nelle tre incognite x, y, ) > > : gðx, yÞ ¼ 0 Il metodo richiede la seguente ipotesi (sempre soddisfatta nei casi che esamineremo): le due derivate parziali della funzione gðx, yÞ non devono annullarsi contemporaneamente in corrispondenza di nessun punto appartenente al vincolo. 42 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 1. Introduzione alle funzioni di due variabili TEORIA a p. 2 1 Þ ESERCIZIO SVOLTO Rappresentiamo graficamente la seguente disequazione e i seguenti sistemi: a. 4x 6y þ 8 0 8 < y x b. y x : y4 c. x2 þ y 2 25 y > x2 5 Funzioni di due variabili Disequazioni in due variabili e rappresentazioni grafiche Unità 1 CONOSCENZE E ABILITÀ 2 ðx þ 2Þ, da cui deduciamo 3 2 che la disequazione è soddisfatta nel semipiano «al di sotto» della retta di equazione y ¼ ðx þ 2Þ, inclusi i punti 3 della retta stessa. a. Risolvendo la disequazione 4x 6y þ 8 0 rispetto alla variabile y, otteniamo: y y 2 2 y = ( x + 2) 1 3 –2 –1 O 1 2 x –1 b. Le tre disequazioni del sistema rappresentano rispettivamente: il semipiano «al di sopra» della bisettrice y ¼ x del secondo e quarto quadrante, inclusi i punti della bisettrice stessa; il semipiano «al di sopra» della bisettrice y ¼ x del primo e terzo quadrante, inclusi i punti della bisettrice stessa; il semipiano «al di sotto» della retta di equazione y ¼ 4, inclusi i punti della retta stessa. Il sistema è rappresentato dall’intersezione di questi tre semipiani, ossia dal triangolo in figura. y 4 y = –x –4 y=4 y=x 2 –2 O 2 4 x –2 c. La prima disequazione del sistema rappresenta i punti del piano che hanno distanza dall’origine minore o uguale a 5, ovvero il cerchio di centro l’origine e raggio 5 rappresentato in fig. a. La seconda disequazione del sistema è soddisfatta, per esempio, dalle coordinate dell’origine (infatti 0 > 5Þ: pertanto la disequazione rappresenta la parte di piano limitata dalla parabola di equazione y ¼ x2 5 che contiene l’origine, esclusa la parabola stessa (fig. b). 43 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Complementi di analisi e applicazioni all’economia Il sistema è rappresentato dall’intersezione di queste due regioni di piano, ossia dalla regione colorata in fig. c. Tema A Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Rappresenta graficamente i semipiani definiti dalle seguenti disequazioni. y 5 y 5 y 5 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 –5 –4 –3 –2 –1 O –1 1 2 3 4 5 x –4 –3 –2 –1 O –1 1 2 3 4 x –5 –4 –3 –2 –1 O –1 –2 –2 –3 –3 –3 –4 –4 –4 –5 –5 –5 a –2 b 2 Þ y > 2x 3 Þ y xþ2 4 y0 Þ 5 Þ y >x3 6 Þ y > 2x 7 Þ x2 8 Þ y > x þ 1 9 Þ y < 1 10 Þ y 3 xþ2 2 11 x > 3 Þ 1 x1 12 y > Þ 2 c 1 xþ1 3 15 Þ y 16 Þ xy10 17 Þ 3x þ 9 < 0 18 Þ xy >0 19 Þ 2x y 6 0 20 Þ x 21 Þ 6 2x < 0 22 Þ 3x y 1 < 0 23 Þ 2y þ 4 0 24 Þ xþyþ10 25 Þ x 2y 4 0 1 y0 2 13 Þ y < x 26 Þ 2x y > 0 14 Þ y xþ2 27 Þ x 1 y3<0 2 Rappresenta graficamente i segmenti o le semirette definiti dai seguenti sistemi misti. 8 ( <y ¼ 1 x x þ y ¼ 2 2 28 32 Þ Þ : x>4 x2 ( ( y ¼ x þ 1 y ¼ 2x þ 2 29 Þ 1 x 2 ( 30 Þ x 1 ( 31 Þ y ¼ 2x þ 1 y ¼ 2x þ 2 1 x 2 44 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P 33 Þ 1 < x < 0 8 <y ¼ 1 x þ 2 3 34 Þ : 3 < x 3 ( 2x 6y þ 1 ¼ 0 35 Þ x4 1 2 3 4 5 x Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 4 < x 6 Rappresenta graficamente le regioni di piano (angoli, strisce o poligoni) definite dai seguenti sistemi. 8 < x 3 xþyþ10 y 4 39 45 Þ: Þ xþyþ30 y x3 8 y x 1 < y 2x þ 1 40 Þ 2x y þ 2 < 0 46 Þ :x y 0 8 y 2x þ 2 <x < 0 xþy >0 41 8 Þ : x>0 > > y < 2x þ 3 > <x < y þ 3 8 47 Þ x3 > > > > x 2y þ 6 > 0 > > < : x þ 2y þ 1 > 0 2x þ 3y 16 < 0 42 Þ > y > 2x > > : 8 y <xþ3 y 1 > > > <y 2 8 <x þ 2 > 0 48 Þ > y <xþ4 > 43 > Þ : 2y 4 < 0 : y < x þ 3 y 2x 8 < y x þ 1 y xþ3 44 Þ : y 2x Funzioni di due variabili 37 Þ 8 <x 1 y 1 ¼ 0 2 38 Þ : 2 < x 3 Unità 1 8 < 3x y 3 ¼ 0 36 Þ :x > 2 3 x 2y 2 ¼ 0 8 <y x y x þ 2 49 Þ : y 2x 1 Rappresenta graficamente le regioni di piano definite dalle seguenti disequazioni. 50 Þ 51 Þ 52 Þ 53 Þ 54 Þ 55 Þ 56 Þ 57 Þ x2 þ y 2 4 < 0 58 Þ x2 2x 2y þ 1 0 59 Þ x2 y 2 16 > 0 60 Þ xy 2y 1 61 Þ x2 þ y 2 þ 2x < 3 62 Þ x2 y 2 0 x2 þ y 2 4x 4 0 63 Þ xy 2x þ y 2 < 0 x2 y 2 > 9 64 Þ jy x2 j 2 x y2 0 x2 þ y 2 2x 2y 2 0 4x2 þ y 2 16 x2 þ y 2 2x > 0 xy < 6 Rappresenta graficamente le regioni di piano definite dai seguenti sistemi di disequazioni. ( ( y x2 > 0 x2 y 2 1 65 Þ x2 þ y 2 4 ( 66 Þ y x2 0 x y2 0 ( 67 Þ y2 <1 68 4 Þ : y xþ2 y þ x2 4 < 0 ( 70 Þ x þ y 2 2y 0 x2 þ 3x þ 2 < 0 8 < 69 Þ 71 Þ x2 þ 72 Þ x2 þ 4y 2 < 1 xyþ10 8 2 2 > < x þ 4y 4 y2 > : x2 þ 1 9 ( x2 y 2 > 1 x2 þ y 2 4 45 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema A Complementi di analisi e applicazioni all’economia Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA ( 73 Þ 74 Þ 75 Þ 76 Þ 77 Þ 78 Þ 83 Þ 4x2 þ y 2 1 x2 þ y 2 16 pffiffiffi y x y x2 2x 2 x 4y 2 4 x2 4y 2 0 8 2 > < x þ 2x þ 1 þ y 0 y 2 þ 4y þ 3 0 > : 2 x þ y 2 þ 2x þ 4y þ 4 > 0 2 x y2 < 1 xy > 0 8 2 y2 <x þ <1 4 9 : xy 0 79 Þ y pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ 4 y 4 x2 8 2 > < x2 þ y < 1 4 80 Þ > : jx yj 2 8 1 > > y x2 þ 4 > > > 3 > > < 2 x y2 81 Þ > þ 1 > > 4 9 > > > > : 2 y 9<0 ( 82 Þ jy x2 j 1 x2 þ y 2 4 Scrivi le disequazioni che rappresentano i semipiani colorati nelle seguenti figure. y y y 4 3 1 x –2 O x O x 2 O –2 a 84 Þ b c Scrivi le disequazioni che rappresentano i semipiani colorati nelle seguenti figure. y y y 2 135° x –3 x O a x O b O 4 c Scrivi un sistema misto che rappresenti le semirette e i segmenti disegnati nelle seguenti figure. Il punto pieno è da considerare incluso e il punto vuoto escluso. 85 Þ y y y 5 –4 O 2 x O 2 –2 x –1 –2 a 46 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P b O c x Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Unità 1 86 Þ Scrivi un sistema che rappresenti le regioni di piano colorate nelle seguenti figure. y y y 5 O 1 x O –2 x 4 2 O –5 x 3 5 –6 –4 –5 a b c Scrivi un sistema di disequazioni che rappresenti la regione di piano colorata in figura. Per quali valori di k il punto Pðk, k þ 2Þ appartiene a tale regione? 87 Þ Funzioni di due variabili 4 Scrivi un sistema di disequazioni che rappresenti la regione di piano colorata in figura. Per quali valori di a il punto Pð2 a, aÞ appartiene a tale regione? 88 Þ y y 2 –2 45° 45° 2 –3 x O 3 x O –2 "( x2 þ y 2 4 jyj jxj 28 2 3 y2 <x 10 þ 1 4 9 a 0 _ a ¼ 25 ; 4 : 13 xy 0 # ; 1 k 0 Insiemi aperti, chiusi, limitati di R2 Rappresenta i luoghi dei punti del piano che soddisfano le seguenti disequazioni o sistemi. Per ciascun insieme rappresentato, stabilisci se si tratta di un sottoinsieme aperto, chiuso o limitato di R2. 89 Þ 2x y þ 6 0 2x y þ 6 < 0 1x0 90 Þ 91 Þ 2 y 2 96 Þ 97 Þ 2 < y < 3 x2 þ y 2 16 ( ( x2 þ y 2 4 xy 0 x2 þ y 2 9 4 x 4 2 < y < 2 x2 þ y 2 2x 0 ( xy < 0 x2 þ y 2 < 16 x > 0; y < 0 y > 4 x2 y x2 x 2y y 2 ( ( ( 94 Þ 95 Þ 3 < x < 4 x2 þ y 2 > 4 92 Þ 93 Þ 3 x 3 y > x2 2x y 4 x2 y0 y<0 y > x2 y4 xy > 1 x2 y 2 4 xy 4 ( ( ( x2 þ y 2 1 x2 þ y 2 > 4 x2 þ y 2 4 x2 þ y 2 < 9 x2 þ 4y 2 < 16 4x2 þ y 2 16 x2 þ y 2 1 y > x2 4x2 þ 4y 2 25 47 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema A Complementi di analisi e applicazioni all’economia Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Il sistema di riferimento cartesiano nello spazio Determina la distanza tra i punti A e B. 98 Þ Að1, 1, 0Þ; Bð0, 1, 2Þ 99 Þ Að1, 2, 3Þ; Bð1, 1, 0Þ [3] pffiffiffiffiffiffi [ 10] 100 Þ ð2, 0, 3Þ; Bð1, 1, 4Þ 101 Þ Að4, 2, 3Þ; Bð5, 1, 6Þ Dati i punti Aða, a þ 2, 0Þ e Bð0, a, a 1Þ, determina per quali valori di a risulta AB ¼ 3. pffiffiffiffiffiffi 103 Dati i punti Aða, a 2, 0Þ e Bð0, a, a þ 1Þ, determina per quali valori di a risulta AB ¼ 29. Þ 102 Þ pffiffiffi [ 3] pffiffiffiffiffiffi [ 11] [a ¼ 1 _ a ¼ 2] [a ¼ 4 _ a ¼ 3] Determina il punto medio del segmento AB. 104 Þ 105 Þ Að3, 4, 5Þ; Bð1, 2, 5Þ 106 Þ Að2, 0, 3Þ; Bð1, 1, 4Þ 107 Þ Að4, 2, 3Þ; Bð5, 1, 6Þ Að0, 2, 7Þ; Bð4, 6, 1Þ [ð2, 3, 5Þ] 1 , 2 9 , 2 [ð2, 2, 4Þ] 1 1 , 2 2 3 9 , 2 2 Dato il punto Að3, 4, 5Þ, determina il punto B, in modo che il punto medio del segmento AB sia Mð1, 2, 4Þ. [ð5, 0, 3Þ] 108 Þ Dato il punto Að2, 1, 4Þ, determina il punto B, in modo che il punto medio del segmento AB sia Mð0, 7, 6Þ. [ð2, 15, 8Þ] 109 Þ Determina il simmetrico del punto Að2, 4, 8Þ rispetto al punto Pð0, 2, 3Þ. [ð2, 8, 14Þ] 110 Þ 115 Þ Determina il simmetrico del punto Að1, 4, 5Þ rispetto al punto Pð3, 1, 6Þ [ð7, 6, 7Þ] 111 Þ Verifica che il triangolo ABC avente vertici Að2, 1, 0Þ, Bð1, 1, 4Þ, Cð4, 2, 1Þ è rettangolo e calcola la sua area. (Suggerimento: verifica che è soddisfatto il teorema di Pitagora) 7 pffiffiffi Area ¼ 6 2 112 Þ Verifica che il triangolo ABC avente vertici Að3, 0, 4Þ, Bð3, 0, 2Þ, Cð3, 6, 2Þ è equilatero e pffiffiffi determina la sua area. [Area ¼ 18 3] 113 Þ Verifica che il triangolo ABC avente vertici Að3, 1, 1Þ, Bð1, 5, 1Þ, Cð1, 1, 0Þ è isoscele e calpffiffiffi cola la sua area. [Area ¼ 6 2] 114 Þ ESERCIZIO GUIDATO Scrivi l’equazione del piano passante per i tre punti Að1, 0, 2Þ, Bð0, 1, 3Þ, Cð0, 0, 3Þ. L’equazione generale del piano ax þ by þ cz þ d ¼ 0 dipende apparentemente da quattro parametri, a, b, c e d, ma in realtà i parametri essenziali sono solo tre. In questo caso, per esempio, certamente d 6¼ 0 (perché il piano dato non può passare per l’origine); dividendo i due membri dell’equazione per d, otteniamo l’equazione: a b c xþ yþ zþ1¼0 d d d ossia, ponendo a b c ¼ p, ¼ q, ¼ r: d d d px þ qy þ rz þ 1 ¼ 0 Per determinare l’equazione del piano è sufficiente perciò determinare i tre parametri p, q ed r. Imponendo che i punti A, B e C appartengano al piano di equazione px þ qy þ rz þ 1 ¼ 0 si ottiene il sistema: 8 > < p þ 2r þ 1 ¼ 0 q þ 3r þ 1 ¼ 0 > : 3r þ 1 ¼ 0 da cui p ¼ 1 1 , q ¼ 0, r ¼ . Ora puoi facilmente concludere. 3 3 [x þ z 3 ¼ 0] [x z þ 2 ¼ 0] 116 Þ Scrivi l’equazione del piano passante per i tre punti Að1, 0, 1Þ, Bð0, 1, 2Þ, Cð0, 0, 2Þ. 117 Þ Scrivi l’equazione del piano passante per i tre punti Að2, 0, 0Þ, Bð0, 0, 3Þ, Cð1, 1, 4Þ. [3x þ 5y þ 2z 6 ¼ 0] 118 Þ Scrivi l’equazione del piano passante per i tre punti Að0, 2, 0Þ, Bð0, 1, 2Þ, Cð1, 0, 3Þ. [13x 2y 3z 4 ¼ 0] 48 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA TEORIA a p. 10 Esercizi preliminari 119 Þ Da che cosa è costituito il dominio della funzione z ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x þ y 2? A Un semipiano aperto C Il piano, privato di una retta B Un semipiano chiuso D Una retta 120 Þ Da che cosa è costituito il dominio della funzione z ¼ 1 ? xþy2 A Un semipiano aperto C Il piano, privato di una retta B Un semipiano chiuso D Una retta 121 Þ Da che cosa è costituito il dominio della funzione z ¼ 1 ? x2 þ y 2 A L’intero piano C Il piano, privato di un punto B Un solo punto D Il piano, privato di una circonferenza di raggio 1 122 Þ A B C D Funzioni di due variabili Test Unità 1 2. Dominio, limiti, continuità Quale delle seguenti funzioni ha come dominio l’insieme rappresentato in figura? z ¼ x2 þ y 2 4 y 1 z¼ 2 x þ y2 4 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi z ¼ x2 þ y 2 4 2 1 1 z ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ y 2 4 –2 –1 O 2 x 1 –1 –2 B Quale delle seguenti funzioni ha come dominio l’insieme rappresentato in figura? pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi z ¼ ln x þ x þ y y pffiffiffi 2 z ¼ y þ ln ðx þ yÞ C z ¼ ln y þ D z¼ 123 Þ A 124 Þ A 125 Þ A 126 Þ A pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi xþy 1 pffiffiffi x þ ln ðx þ yÞ –2 –1 O 1 2 x Qual è la forma delle curve di livello della funzione z ¼ x2 4y 2 5? Parabole B Circonferenze C Ellissi (eventualmente degeneri) D Iperboli (eventualmente degeneri) D Iperboli (eventualmente degeneri) D Iperboli (eventualmente degeneri) Qual è la forma delle curve di livello della funzione z ¼ x2 þ 4y 5? Parabole B Circonferenze C Ellissi (eventualmente degeneri) Qual è la forma delle curve di livello della funzione z ¼ x2 þ 4y 2 5? Parabole B Circonferenze C Ellissi (eventualmente degeneri) 49 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Associa a ciascuna delle seguenti quattro funzioni la rappresentazione del suo dominio: sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3x 3x b. z ¼ ln c. z ¼ 3 x þ 3 y d. z ¼ ln ð3 xÞ þ ln ð3 yÞ a. z ¼ 3y 3y 127 Þ –2 –1 y y 3 3 2 2 1 1 O 1 2 3 x –1 A Tema A Complementi di analisi e applicazioni all’economia Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA –2 –1 C –2 –1 O y 3 3 2 2 1 1 1 2 3 x –1 –2 D 2 3 x 1 2 3 x –1 B y O 1 –1 O –1 Il dominio delle funzioni di due variabili 128 Þ ESERCIZIO GUIDATO Determina il dominio delle seguenti funzioni e rappresentalo graficamente. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 2y x2 þ y 2 1 x2 x2 d. z ¼ ln a. z ¼ 2 c. z ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b. z ¼ y1 x þ 2y 2 x1 4 x2 y 2 a. La funzione è definita purché risulti x2 þ 2y 2 6¼ 0. Questa condizione, essendo x2 þ 2y 2 la somma di due quantità non negative, è sempre verificata eccetto che nel caso in cui risulta x ¼ y ¼ 0. Pertanto il dominio della funzione è R2 escluso (0, 0). La rappresentazione grafica è perciò l’intero piano, privato dell’origine. b. La funzione è definita purché il radicando sia non negativo e il denominatore sia diverso da zero; ne seguono le condizioni: x 2y 0 x 1 6¼ 0 La rappresentazione grafica dei punti che soddisfano questo sistema è costituita da un semipiano, da cui vanno esclusi i punti appartenenti alla retta di equazione x ¼ 1. c. La funzione è definita purché i radicandi siano non negativi e il denominatore sia diverso da zero; ne seguono le condizioni: ( ( x2 þ y 2 1 0 x2 þ y 2 1 da cui: 2 2 4x y >0 x2 þ y 2 < 4 La rappresentazione grafica dei punti che soddisfano questo sistema è costituita da una corona circolare, delimitata dalle due circonferenze aventi centro nell’origine e raggi rispettivamente 1 e 2; la circonferenza di raggio 1 è inclusa, mentre quella di raggio 2 è esclusa. 50 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA x2 > 0; l’insieme delle soluzioni di questa disequazione è l’unione degli iny1 siemi delle soluzioni dei due sistemi: y1>0 e x2<0 y1<0 Ciascuno dei due sistemi è rappresentato graficamente da un angolo retto, da cui vanno esclusi i punti appartenenti ai lati dell’angolo; il dominio della funzione è l’unione di questi due angoli, dunque è costituito da due angoli opposti al vertice (esclusi i lati degli angoli). Determina il dominio delle seguenti funzioni e rappresentalo graficamente. rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 1 129 z ¼ 151 z ¼ exy 3x Þ Þ x 2y e pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi xþy 2 2 152 z ¼ 1 ex þy 4 130 z ¼ 2 Þ Þ x þ y2 x x2 153 z ¼ Þ 131 z ¼ jxj y Þ xy3 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x3 y 2 x2 132 z ¼ 2 154 z ¼ Þ Þ 2 y1 x 4y pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 133 z ¼ 2x y þ 3 Þ 155 z ¼ ln ðxyÞ Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi xy 156 z ¼ y 2 4x2 134 z ¼ 2 Þ Þ x 4 pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffi 157 z ¼ x þ y Þ x 135 z ¼ 2 Þ x þ y2 9 158 z ¼ ln ðxy 4Þ Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 159 z ¼ x þ y þ x y 2x 4y þ 6 Þ 136 z ¼ Þ x1 1 1 þ 160 z ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Þ ln x ln y yþ2 137 z ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Þ xþyþ2 161 y ¼ 2 jy 1j Þ x yþ2 138 z ¼ ln 162 y ¼ ln ðjx 3j 4Þ Þ Þ 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 163 z ¼ ln x þ ln ðx 2yÞ Þ 139 z ¼ ln x þ ln ð4 yÞ þ y x Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi 164 z ¼ ln ðx2 þ y 2 4Þ Þ 140 z ¼ y þ ln ð3 xÞ þ x þ 4 y Þ x4 2x þ 3y 165 y ¼ ln Þ yx3 141 z ¼ 2 Þ x y2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 166 z ¼ 142 z ¼ x2 y 2 Þ Þ ln ðx2 þ y 2 Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 143 z ¼ x2 þ y 2 4x 2y Þ 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 167 z ¼ ln 2 Þ 144 z ¼ 4y x2 y 2 x þ y2 Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 145 z ¼ x2 þ y 2 1 þ 9 x2 y 2 Þ 168 z ¼ x þ y2 2 Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 146 z ¼ y x þ ln ðy 4Þ Þ x rffiffiffiffiffi 169 z ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Þ x 2y x2 147 z ¼ Þ y 170 z ¼ ln ð9 x2 Þ þ ln ð16 y 2 Þ Þ x1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 148 z ¼ e yþ2 Þ 171 z ¼ xy þ 2y Þ eyx yx 149 z ¼ Þ 172 z ¼ ln xþ1 Þ x3 1 ln ð25 x2 Þ 150 z ¼ Þ 1 173 z ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Þ xy e 2 4 y2 e Funzioni di due variabili x2>0 Unità 1 d. La funzione è definita purché sia 51 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi yþ2 174 z ¼ Þ xþyþ2 pffiffiffiffiffi 175 z ¼ ln ð4 xyÞ þ xy Þ sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y2 176 z ¼ Þ x2 þ y 2 9 180 Þ xþyþ2 xy þ 4 177 Þ z ¼ ln 178 Þ ln ðy ex Þ z ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y 2 3y þ 2 179 Þ z¼ ln ðex yÞ ln ð2x2 þ 3x þ 1Þ Inventa tu. Scrivi l’equazione di una funzione nelle due variabili x e y che abbia come dominio: a. l’insieme rappresentato nella fig. a; b. l’insieme rappresentato nella fig. b. Tema A Complementi di analisi e applicazioni all’economia Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA y 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 –5 –4 –3 –2 –1 O –1 y 1 2 3 4 5 –5 –4 –3 –2 –1 O –1 x 1 2 3 4 5 –2 –2 a x –3 –3 –4 –4 –5 –5 b Inventa tu. Scrivi l’equazione di una funzione nelle due variabili x e y che abbia come dominio il quadrato ABCD di vertici Að2, 2Þ, Bð2, 2Þ, Cð2, 2Þ, Dð2, 2Þ. 181 Þ Inventa tu. Scrivi l’equazione di una funzione nelle due variabili x e y che abbia come dominio il triangolo ABC di vertici Að1, 0Þ, Bð2, 0Þ, Cð0, 3Þ. 182 Þ Curve di livello 183 Þ ESERCIZIO SVOLTO Rappresentiamo graficamente alcune curve di livello della funzione z ¼ x2 þ y2 þ 2x. Le curve di livello della funzione hanno equazioni x2 þ y 2 þ 2x ¼ k, ovvero: x2 þ y 2 þ 2x k ¼ 0 Si tratta di un fascio di circonferenze concentriche di centro ð1, 0Þ e raggio r ¼ se k > 1, le curve di livello sono circonferenze; se k ¼ 1, la curva di livello è una circonferenza degenere nel punto di coordinate ð1, 0Þ; se k < 1, le curve di livello coincidono con l’insieme vuoto. Alcune curve di livello sono rappresentate nella figura qui a fianco. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 þ k. Ne deduciamo che: y k=4 k=3 k=2 k=1 k=0 k = –1 O 52 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P x Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA z ¼ 2x y 190 Þ z ¼ x2 þ y 2 þ 2x þ 4y 185 Þ z¼xþy 191 Þ z ¼ x2 þ y 2 6y 186 Þ z ¼ y þ x2 192 Þ z ¼ x2 þ 4y 2 187 Þ z ¼ y x2 4x 193 Þ z ¼ xy 188 Þ z ¼ 2x y 2 194 Þ z ¼ x2 y 2 189 Þ z ¼ x2 þ y 2 195 Þ z ¼ x2 4y 2 Funzioni di due variabili 184 Þ Unità 1 Rappresenta graficamente alcune curve di livello delle funzioni di cui è data l’equazione. Limiti e continuità Utilizzando la continuità delle funzioni, calcola i seguenti limiti. lim x3 xy 2 lim xy2 x2 y 196 Þ ðx, yÞ!ð3,2Þ 197 Þ ðx, yÞ!ð4, 1Þ 198 Þ 199 Þ lim ðx, yÞ!ð1, 2Þ lim ðx, yÞ!ð4, 2Þ x2 x2 þ y 2 x2 y 2 x2 þ y 2 lim pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ y 2 [5] lim pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y 2 x2 [4] lim ln ð2 xyÞ [0] lim ex [15] 200 Þ [12] 201 Þ ðx, yÞ!ð3, 5Þ 202 Þ ðx, yÞ!ð1, 1Þ 203 Þ ðx, yÞ!ð0, 0Þ 1 5 3 5 ðx, yÞ!ð3, 4Þ 2 þy 2 [1] Determina il sottoinsieme di R2 in cui le seguenti funzioni sono continue. x2 204 f ðx, yÞ ¼ 2 [R2 fð0, 0Þg] 208 f ðx, yÞ ¼ ln ðxy þ 1Þ [fðx, yÞ 2 R2 jxy > 1g] Þ Þ x þ y2 209 f ðx, yÞ ¼ ln ðx2 þ y 2 1Þ Þ x2 205 f ðx, yÞ ¼ 2 Þ rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x þ y2 þ 2 x 210 f ðx, yÞ ¼ Þ 2 2 y 1 x þy 206 f ðx, yÞ ¼ 2 [fðx, yÞ 2 R2 jy 6¼ xg] 2 Þ 2 x y [fðx, yÞ 2 R jx 0 ^ y > 1g [ fðx, yÞ 2 R2 jx 0 ^ y < 1g] 207 Þ f ðx, yÞ ¼ 2x2 x2 þ 4y 2 211 f ðx, yÞ ¼ Þ rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y x2 3. Derivate parziali TEORIA a p. 16 Esercizi preliminari Test Data la funzione f ðx, yÞ ¼ x2 y xy2 , quale delle seguenti è l’espressione corretta della sua derivata parziale rispetto a x? 212 Þ A 2xy y 2 C xy 2y 2 B x2 2xy D Nessuna delle precedenti Data la funzione f ðx, yÞ ¼ x2 y xy2 , quale delle seguenti è l’espressione corretta della sua derivata parziale rispetto a y? 213 Þ A B 214 Þ 2xy y 2 2 x 2xy C xy 2y 2 D Nessuna delle precedenti Data la funzione f ðx, yÞ ¼ x2 y xy2 , quale delle seguenti relazioni è corretta? A f 00xx ¼ f 00yy C f 00xy þ f 00yx ¼ 0 B f 00xx þ f 00xy þ f 00yy ¼ 0 D f 00xy ¼ f 00xx þ f 00yy 53 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema A Complementi di analisi e applicazioni all’economia Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Data la funzione f ðx, yÞ ¼ x2 y xy2 , qual è l’equazione del piano tangente alla superficie z ¼ f ðx, yÞ nel suo punto di ascissa 1 e ordinata 2? 215 Þ A 216 Þ z ¼ 4 3x z ¼ 3x 4y 1 B C z ¼ 4 3y D z ¼ 3x þ 4y 1 Sia f : R2 ! R una funzione derivabile in un punto ðx0 , y0 Þ; allora: A la funzione f è continua inðx0 , y0 Þ B esiste la derivata parziale di f rispetto a x in ðx0 , y0 Þ, ma potrebbe non esistere la derivata parziale di f rispetto a y in ðx0 , y0 Þ C esistono le derivate parziali di f rispetto a x e y e queste ultime sono continue in ðx0 , y0 Þ D nessuna delle precedenti risposte è esatta Il calcolo delle derivate parziali 217 Þ ESERCIZIO SVOLTO Determiniamo le derivate parziali prime delle seguenti funzioni: a. z ¼ x4 x3 y þ y 4 2 b. z ¼ xex y2 a. Derivando rispetto alla variabile x, considerando y come costante abbiamo: z0x ¼ 4x3 3x2 y Derivando rispetto alla variabile y, considerando x come costante abbiamo: z0y ¼ x3 þ 4y 3 b. In questo caso abbiamo: 2 z0x ¼ 1 ex y2 þ x ð2xex z0y ¼ x ð2yex 2 y2 2 y 2 Þ ¼ 2xyex 2 Þ ¼ ex 2 y2 2x2 ex 2 y2 ¼ ð1 2x2 Þex 2 y 2 y 2 Calcola le derivate parziali prime delle seguenti funzioni. 218 Þ z ¼ 4x 5y þ 11 [z0x ¼ 4, z0y ¼ 5] 219 Þ z ¼ 8x 6y þ 10 [z0x ¼ 8, z0y ¼ 6] 220 Þ z ¼ 3xy þ 2x2 221 Þ z ¼ 3x2 y 4 þ x5 þ y [z0x ¼ 5x4 þ 6xy4 , z0y ¼ 12x2 y 3 þ 1] 222 Þ z ¼ 2x3 y þ 4y 2 þ 5 [z0x ¼ 6x2 y, z0y ¼ 2x3 þ 8y] 223 Þ z ¼ 4x2 3y 4 224 Þ z ¼ 3x2 þ 5y 4 2x 7y 225 Þ z ¼ x4 þ y 4 2x2 y 2 226 Þ z ¼ x3 y 2 þ x4 y þ 5x4 þ y 4 227 Þ z ¼ xðx 2yÞ2 þ 5 228 Þ z ¼ 3yðx þ yÞ2 4x 229 Þ z ¼ ð1 þ 2xÞð1 þ yÞ xy2 230 Þ z ¼ x3 ð1 þ yÞ2 231 Þ z ¼ y 3 ð2x2 þ y 2 Þ2 232 Þ z¼ x2 y 2 x 54 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P [z0x ¼ 4x þ 3y, z0y ¼ 3x] [z0x ¼ 8x, z0y ¼ 12y 3 ] [z0x ¼ 6x 2, z0y ¼ 20y 3 7] [z0x ¼ 4x3 4xy2 , z0y ¼ 4y 3 4x2 y] [z0x ¼ 4x3 y þ 20x3 þ 3x2 y 2 , z0y ¼ x4 þ 2x3 y þ 4y 3 ] [z0x ¼ 3x2 8xy þ 4y 2 , z0y ¼ 8xy 4x2 ] [z0x ¼ 6xy þ 6y 2 4, z0y ¼ 3x2 þ 12xy þ 9y 2 ] [z0x ¼ y 2 þ 2y þ 2, z0y ¼ 2x 2xy þ 1] [z0x ¼ 3x2 ðy þ 1Þ2 , z0y ¼ 2x3 ðy þ 1Þ] [z0x ¼ 16x3 y 3 þ 8xy5 , z0y ¼ 12x4 y 2 þ 20x2 y 4 þ 7y 6 ] x2 þ y 2 0 2y 0 zx ¼ , zy ¼ x x2 Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA z¼ x 2y x þ 2y 235 Þ z¼ x x2 þ y 2 pffiffiffi z ¼ xy x 237 Þ z¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2x þ 3y 238 Þ z¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5x2 þ 4y 2 239 Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi z ¼ x x2 þ y 2 240 Þ 4x z ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 x þ y2 241 Þ z ¼ ln ð3x2 þ y 2 Þ 242 Þ z ¼ ln ðx2 þ 4y 2 þ 1Þ 243 Þ z ¼ ln ð3 þ e2xy Þ 244 Þ z ¼ ln ð1 exy Þ 245 Þ z ¼ x ln ðx2 þ y 2 Þ 246 Þ z¼ 247 Þ z ¼ e4xy 248 Þ z ¼ x2 e2xy 249 Þ z ¼ yex 250 Þ z ¼ x ln ðxyÞ 251 Þ z ¼ xy ln x 252 Þ z ¼ sin ðxyÞ þ y cos x [z0x ¼ y cos ðxyÞ y sin x, z0y ¼ x cos ðxyÞ þ cos x] 253 Þ z ¼ cos ðxyÞ x cos y [z0x ¼ y sin ðxyÞ cos y, z0y ¼ x sin y x sin ðxyÞ] ln ðxyÞ x2 2 Funzioni di due variabili 234 Þ 236 Þ 2x 3x2 þ 2y 2 z0x ¼ 3 , z0y ¼ y y4 4y 4x 0 z0x ¼ , z ¼ y ðx þ 2yÞ2 ðx þ 2yÞ2 y 2 x2 2xy 0 0 zx ¼ , zy ¼ ðx2 þ y 2 Þ2 ðx2 þ y 2 Þ2 pffiffiffi 3 pffiffiffi 0 0 x y, zy ¼ x x zx ¼ 2 1 3 0 0 zx ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi , zy ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2x þ 3y 2 2x þ 3y 5x 4y 0 0 zx ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi , zy ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5x2 þ 4y 2 5x2 þ 4y 2 2x2 þ y 2 xy z0x ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi , z0y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ y 2 x2 þ y 2 4y 2 4xy 0 , z ¼ z0x ¼ 3 3 y ðx2 þ y 2 Þ 2 ðx2 þ y 2 Þ 2 6x 2y 0 z0x ¼ , z ¼ 3x2 þ y 2 y 3x2 þ y 2 2x 8y 0 , z z0x ¼ 2 ¼ x þ 4y 2 þ 1 y x2 þ 4y 2 þ 1 2ye2xy 2xe2xy , z0y ¼ 2xy z0x ¼ 2xy e þ3 e þ3 y x , z0y ¼ xy z0x ¼ xy e 1 e 1 2x2 2xy 0 2 2 0 zx ¼ ln ðx þ y Þ þ 2 ,z ¼ 2 x þ y2 x þ y2 y 1 2ln ðxyÞ 0 1 z0x ¼ , z ¼ y x3 x2 y x2 þ 2y 2 y3 Unità 1 233 z ¼ Þ [z0x ¼ 4ye4xy , z0y ¼ 4xe4xy ] [z0x ¼ 2xe2xy ð1 xyÞ, z0y ¼ 2x3 e2xy ] y 2 2 [z0x ¼ 2xyex y2 , z0y ¼ ð1 2y 2 Þex 2 z0x ¼ 1 þ ln ðxyÞ, z0y ¼ y 2 x y ] [z0x ¼ y ln x þ y, z0y ¼ x ln x] Calcola le derivate parziali seconde delle seguenti funzioni. 254 Þ z ¼ x 5xy 255 Þ z ¼ xðx 2yÞ2 256 Þ z ¼ 5y 4 3x2 y 3 257 Þ z ¼ 4x3 2y 2 258 Þ z ¼ 4x2 þ 5y 4 3xy [z00xx ¼ 0, z00yy ¼ 0, z00xy ¼ z00yx ¼ 5] [z00xx ¼ 2ð3x 4yÞ, z00yy ¼ 8x, z00xy ¼ z00yx ¼ 8ðy xÞ] [z00xx ¼ 6y 3 , z00yy ¼ 60y 2 18x2 y, z00xy ¼ z00yx ¼ 18xy2 ] [z00xx ¼ 24x, z00yy ¼ 4, z00xy ¼ z00yx ¼ 0] [z00xx ¼ 8, z00yy ¼ 60y 2 , z00xy ¼ z00yx ¼ 3] 55 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema A Complementi di analisi e applicazioni all’economia Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 259 Þ z ¼ 4x4 8y 3 5xy2 260 Þ z¼ x2 xy y 261 Þ z¼ 3x2 þ 5xy x2 [z00xx ¼ 48x2 , z00yy ¼ 10x 48y, z00xy ¼ z00yx ¼ 10y] 2 2x2 2x z00xx ¼ , z00yy ¼ 3 , z00xy ¼ z00yx ¼ 2 y y y 10y 5 z00xx ¼ 3 , z00yy ¼ 0, z00xy ¼ z00yx ¼ 2 x x 262 Þ z ¼ e2x e3y [z00xx ¼ 4e2x , z00yy ¼ 9e3y , z00xy ¼ z00yx ¼ 0] 263 Þ z ¼ e4x e5xy 264 Þ z ¼ ln ð8 xyÞ 265 Þ [z00xx ¼ 16e4x 25y 2 e5xy , z00yy ¼ 25x2 e5xy , z00xy ¼ z00yx ¼ 5e5xy ð1 þ 5xyÞ] y2 x2 8 00 00 00 z00xx ¼ , z ¼ , z ¼ z ¼ yy xy yx ðxy 8Þ2 ðxy 8Þ2 ðxy 8Þ2 xy z ¼ ln ð1 þ e Þ z00xx ¼ y 2 exy ð1 þ exy Þ2 , z00yy ¼ x2 exy ð1 þ exy Þ2 , z00xy ¼ z00yx ¼ exy ð1 þ xy þ exy Þ ð1 þ exy Þ2 Il piano tangente 266 Þ ESERCIZIO GUIDATO Determina il piano tangente alla superficie di equazione z ¼ x3 xy2 y3 nel suo punto di ascissa 1 e ordinata 2. Ricorda che il piano tangente a una superficie di equazione z ¼ f ðx, yÞ nel suo punto di ascissa x0 e ordinata y0 ha equazione: z ¼ f ðx0 , y0 Þ þ f 0x ðx0 , y0 Þðx x0 Þ þ f 0y ðx0 , y0 Þðy y0 Þ Calcola anzitutto le derivate parziali rispetto a x e a y della funzione f ðx, yÞ ¼ x3 xy 2 y 3 ; verifica che: f 0x ¼ 3x2 y 2 ed f 0y ¼ 2xy 3y 2 Valuta ora la funzione e le derivate parziali per x ¼ 1 e y ¼ 2: f ð1, 2Þ ¼ 13 1 22 23 ¼ ::::: f 0x ð1, 2Þ ¼ 3 12 22 ¼ ::::: f 0y ð1, 2Þ ¼ 2 1 2 3 22 ¼ ::::: Hai ora tutti gli elementi per scrivere l’equazione del piano tangente: z ¼ ð:::::Þ þ ð:::::Þðx 1Þ þ ð16Þðy 2Þ Svolgendo i calcoli troverai che l’equazione del piano richiesto è z ¼ x 16y þ 22. Determina l’equazione del piano tangente alla superficie z ¼ f ðx, yÞ nel suo punto P, di cui sono date l’ascissa e l’ordinata. x3 267 f ðx, yÞ ¼ x2 y þ 1 ð1, 2Þ [z ¼ 4x þ y 3] 273 f ðx, yÞ ¼ 2 ð2, 1Þ [z ¼ 12x þ 16y] Þ Þ y 268 Þ f ðx, yÞ ¼ x3 y 2 ð1, 1Þ [z ¼ 3x 2y þ 4] 274 Þ f ðx, yÞ ¼ exy ð0, 1Þ [z ¼ x þ 1] 269 Þ f ðx, yÞ ¼ ðx 2yÞ2 ð0, 1Þ [z ¼ 4x 8y 4] 275 Þ f ðx, yÞ ¼ ye2x ð0, 1Þ [z ¼ 2x þ y] 270 Þ f ðx, yÞ ¼ x2 þ 2y 2 ð1, 1Þ [z ¼ 2x þ 4y 3] 276 Þ 271 Þ f ðx, yÞ ¼ x3 2y 2 ð2, 1Þ [z ¼ 12x 4y 14] ð2, 1Þ [z ¼ 4x 12y þ 8] 2 272 Þ f ðx, yÞ ¼ x y3 f ðx, yÞ ¼ 2x2 y 3x ð1, 2Þ [z ¼ 11x þ 2y 8] pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 277 f ðx, yÞ ¼ x2 þ 4y 2 ð0, 1Þ [z ¼ 2y] Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 2 þ y 2 þ 5 ð2, 0Þ ð2x þ 5Þ 278 f ðx, yÞ ¼ x z ¼ Þ 3 Determina per quale valore di k il piano tangente alla superficie di equazione z ¼ x2 þ ky 2 nel punto P di ascissa e ordinata uguali a 1 passa per l’origine del sistema di riferimento. [k ¼ 1] 279 Þ Determina per quale valore di k il piano tangente alla superficie di equazione z ¼ x3 þ ky nel punto P di ascissa 1 e ordinata 2 passa per il punto di coordinate (3, 1, 0). [k ¼ 7] 280 Þ 56 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA b. del reddito; c. "dp ð50, 20Þ ¼ 5; "dr ð50; 20Þ ¼ 7] Funzioni di due variabili La funzione domanda di un bene è dðp, rÞ ¼ 25pr 8p2 5r 2 , essendo p il prezzo unitario del bene ed r il reddito del consumatore. a. Determina la funzione marginale della domanda rispetto al prezzo e quella rispetto al reddito, e i loro valori per p ¼ 50 ed r ¼ 20. b. Stabilisci se comporta una maggiore variazione della domanda una variazione (a partire da p ¼ 50 ed r ¼ 20) di un’unità del prezzo o di un’unità del reddito. c. Determina il coefficiente di elasticità della domanda, sia rispetto al prezzo sia rispetto al reddito, per p ¼ 50 ed r ¼ 20, indicando se la domanda è rigida, elastica o anelastica. [a. d 0p ðp, rÞ ¼ 25r 16p, d0p ð50, 20Þ ¼ 300, d 0r ðp, rÞ ¼ 25p 10r, d 0r ð50, 20Þ ¼ 1050; 281 Þ Unità 1 Funzioni marginali ed elasticità La funzione domanda di un bene è dðp, rÞ ¼ 30pr 10p2 2r 2 , essendo p il prezzo unitario del bene ed r il reddito del consumatore. a. Determina la funzione marginale della domanda rispetto al prezzo e quella rispetto al reddito, e i loro valori per p ¼ 30 ed r ¼ 40. b. Stabilisci se comporta una maggiore variazione della domanda una variazione (a partire da p ¼ 30 ed r ¼ 40) di un’unità del prezzo o di un’unità del reddito. c. Determina il coefficiente di elasticità della domanda, sia rispetto al prezzo sia rispetto al reddito, per p ¼ 30 ed r ¼ 40, indicando se la domanda è rigida, elastica o anelastica. [a. d 0p ðp, rÞ ¼ 30r 20p, d 0p ð30, 40Þ ¼ 600, d0r ðp, rÞ ¼ 30p 4r, d 0r ð30, 40Þ ¼ 740; 282 Þ b. del reddito; c. "dp ð50, 20Þ ’ 0,76; "dr ð50, 20Þ ’ 1,24] pffiffiffi 2 283 La funzione domanda di un bene è dðp; rÞ ¼ p 3r þ 10pr, essendo p il prezzo unitario del bene ed r il redÞ dito del consumatore. a. Determina la funzione marginale della domanda rispetto al prezzo e quella rispetto al reddito, e i loro valori per p ¼ 150 ed r ¼ 200. b. Stabilisci se comporta una maggiore variazione della domanda una variazione (a partire da p ¼ 150 ed r ¼ 200) di un’unità del prezzo o di un’unità del reddito. c. Determina il coefficiente di elasticità della domanda, sia rispetto al prezzo sia rispetto al reddito, per p ¼ 150 ed r ¼ 200, indicando se la domanda è rigida, elastica o anelastica. 1 a. d 0p ðp, rÞ ¼ pffiffiffi þ 10r, d 0p ð150, 200Þ ¼ 2000,04, d 0r ðp, rÞ ¼ 10p 6r, d 0r ð150, 200Þ ¼ 300; 2 p b. del prezzo; c. "dp ð150, 200Þ ’ 1,67; "dr ð150, 200Þ ’ 0,33 pffiffiffi La funzione domanda di un bene è dðp, rÞ ¼ p 3p2 þ 10pr, essendo p il prezzo unitario del bene ed r il reddito del consumatore. a. Determina la funzione marginale della domanda rispetto al prezzo e quella rispetto al reddito, e i loro valori per p ¼ 150 ed r ¼ 200. b. Stabilisci se comporta una maggiore variazione della domanda una variazione (a partire da p ¼ 150 ed r ¼ 200) di un’unità del prezzo o di un’unità del reddito. c. Determina il coefficiente di elasticità della domanda, sia rispetto al prezzo sia rispetto al reddito, per p ¼ 150 ed r ¼ 200, indicando se la domanda è rigida, elastica o anelastica. 1 a. d0p ðp, rÞ ¼ pffiffiffi 6p þ 10r, d 0p ð150, 200Þ ¼ 1100,04, d 0r ðp, rÞ ¼ 10p, d 0r ð150, 200Þ ¼ 1500; 2 p b. del reddito; c. "dp ð150, 200Þ ’ 0,71; "dr ð150, 200Þ ’ 1,29 284 Þ La funzione di produzione di un bene è PðC; LÞ ¼ 20CL 6C2 4L2 þ 10C þ 6L, essendo C ed L, rispettivamente, la quantità di capitale e di lavoro impiegati. a. Determina la funzione marginale di produzione rispetto al capitale e quella rispetto al lavoro, e i loro valori per C ¼ 10 ed L ¼ 5. b. Stabilisci se comporta una maggiore variazione della produzione una variazione (a partire da C ¼ 10 ed L ¼ 5) di un’unità del capitale o di un’unità del lavoro. c. Determina il coefficiente di elasticità della produzione, sia rispetto al capitale sia rispetto al lavoro, per C ¼ 10 ed L ¼ 5. [a. P 0C ðC, LÞ ¼ 20L 12C þ 10, P 0C ð10, 5Þ ¼ 10, P 0L ðC, LÞ ¼ 20C 8L þ 6, P 0L ð10, 5Þ ¼ 166; 285 Þ b. del lavoro; c. "PC ð10, 5Þ ’ 0,23; "PL ð10, 5Þ ’ 1,93] 57 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema A Complementi di analisi e applicazioni all’economia Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA La funzione di produzione di un bene è PðC, LÞ ¼ 40CL 20C2 30L2 þ 200C þ 150L, essendo C ed L, rispettivamente, la quantità di capitale e di lavoro impiegati. a. Determina la funzione marginale di produzione rispetto al capitale e quella rispetto al lavoro, e i loro valori per C ¼ 20 ed L ¼ 30. b. Stabilisci se comporta una maggiore variazione della produzione una variazione (a partire da C ¼ 20 ed L ¼ 30) di un’unità del capitale o di un’unità del lavoro. c. Determina il coefficiente di elasticità della produzione, sia rispetto al capitale sia rispetto al lavoro, per C ¼ 20 ed L ¼ 30. [a. P 0C ðC, LÞ ¼ 40L 40C þ 200, P 0C ð20, 30Þ ¼ 600, P 0L ðC, LÞ ¼ 40C 60L þ 150, P 0L ð20, 30Þ ¼ 850; 286 Þ b. del lavoro; c."PC ð20, 30Þ ¼ 4, 8; "PL ð20, 30Þ ¼ 10,2] 287 La domanda di un primo bene dipende dal prezzo p1 di quest’ultimo, dal prezzo p2 di un secondo bene e dal Þ reddito r del consumatore, secondo la funzione dðp1 , p2 , rÞ ¼ 600 4p1 þ 2p2 þ 0,05r. a. Determina la funzione che esprime l’elasticità incrociata del primo bene rispetto al secondo e deduci che tipo di relazione sussiste tra i due beni. b. Supposto r ¼ 2000, p1 ¼ 80, p2 ¼ 50, determina, avvalendoti della funzione trovata al punto a., di quanto varia approssimativamente in percentuale la domanda del primo bene se il prezzo del secondo cresce (a partire da p2 ¼ 50) dell’1%. 2p2 a. "dp2 ðp1 , p2 , rÞ ¼ , succedanei; 600 4p1 þ 2p2 þ 0,05r b. "dp2 ð80, 50, 2000Þ ’ 0,208 quindi si ha un aumento della domanda circa dello 0,208% 288 La domanda di un primo bene dipende dal prezzo p1 di quest’ultimo, dal prezzo p2 di un secondo bene e dal Þ reddito r del consumatore, secondo la funzione dðp1 , p2 , rÞ ¼ 1800 5p1 4p2 þ 0,4r. a. Determina la funzione che esprime l’elasticità incrociata del primo bene rispetto al secondo e deduci che tipo di relazione sussiste tra i due beni. b. Supposto p1 ¼ 80, p2 ¼ 100, r ¼ 1600, determina, avvalendoti della funzione trovata al punto a., di quanto varia approssimativamente in percentuale la domanda del primo bene se il prezzo del secondo cresce (a partire da p2 ¼ 100) dell’1%. 4p2 a. "dp2 ðp1 , p2 , rÞ ¼ , complementari; 1800 5p1 4p2 þ 0,4r b. "dp2 ð80, 100, 1600Þ ’ 0; 244 quindi si ha una diminuzione della domanda circa dello 0,244% 289 La domanda di un primo bene dipende dal prezzo p1 di quest’ultimo, dal prezzo p2 di un secondo bene e dal Þ reddito r del consumatore, secondo la funzione dðp1 , p2 , rÞ ¼ 1200 6p1 þ 4p2 þ 0,5r. a. Determina la funzione che esprime l’elasticità incrociata del primo bene rispetto al secondo e deduci che tipo di relazione sussiste tra i due beni. b. Supposto p1 ¼ 50, p2 ¼ 60, r ¼ 1400, determina, avvalendoti della funzione trovata al punto a., di quanto varia approssimativamente in percentuale la domanda del primo bene se il prezzo del secondo cresce (a partire da p2 ¼ 60) del 20%. 4p2 a. "dp2 ðp1 , p2 , rÞ ¼ , succedanei; 1200 6p1 þ 4p2 þ 0; 5r b. "dp2 ð50, 60, 1400Þ ’ 0; 13, si ha un aumento della domanda circa del 2,61% 290 La domanda di un primo bene dipende dal prezzo p1 di quest’ultimo, dal prezzo p2 di un secondo bene e dal Þ reddito r del consumatore, secondo la funzione dðp1 , p2 , rÞ ¼ 750 5p1 4p2 þ 0,8r. a. Determina la funzione che esprime l’elasticità incrociata del primo bene rispetto al secondo e deduci che tipo di relazione sussiste tra i due beni. b. Supposto p1 ¼ 75, p2 ¼ 60, r ¼ 1250, determina, avvalendoti della funzione trovata al punto a., di quanto varia approssimativamente in percentuale la domanda del primo bene se il prezzo del secondo cresce (a partire da p2 ¼ 60) del 12%. 4p2 a. "dp2 ðp1 , p2 , rÞ ¼ , complementari; 750 5p1 4p2 þ 0,8r b. "dp2 ð75, 60, 1250Þ ’ 0; 211, si ha una diminuzione della domanda circa del 2,54% 58 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA TEORIA a p. 25 Esercizi preliminari Sia ðx0 , y0 Þ un punto stazionario della funzione f ðx, yÞ; sapendo che Hðx0 , y0 Þ ¼ 2 e f 00xx ðx0 , y0 Þ ¼ 3, possiamo affermare che il punto ðx0 , y0 Þ: 291 Þ A B C D è un punto di massimo relativo è un punto di minimo relativo è un punto di sella i dati non consentono di stabilire la natura del punto Sia ðx0 , y0 Þ un punto stazionario della funzione f ðx, yÞ; sapendo che Hðx0 , y0 Þ ¼ 2 e f 00xx ðx0 , y0 Þ ¼ 3, possiamo affermare che il punto ðx0 , y0 Þ: A è un punto di massimo relativo B è un punto di minimo relativo C è un punto di sella D i dati non consentono di stabilire la natura del punto 292 Þ Funzioni di due variabili Test Unità 1 4. Massimi e minimi Sia ðx0 , y0 Þ un punto stazionario della funzione f ðx, yÞ; sapendo che Hðx0 , y0 Þ ¼ 2, possiamo affermare che il punto ðx0 , y0 Þ: A è un punto di massimo relativo B è un punto di minimo relativo C è un punto di sella D i dati non consentono di stabilire la natura del punto 293 Þ 294 Sia ðx0 , y0 Þ un punto stazionario della funzione f ðx, yÞ; sapendo che Hðx0 , y0 Þ ¼ 0, possiamo affermare che il Þ punto ðx0 , y0 Þ: A è un punto di massimo relativo B è un punto di minimo relativo C è un punto di sella D i dati non consentono di stabilire la natura del punto Massimi e minimi relativi 295 Þ ESERCIZIO GUIDATO Determina i punti di massimo e minimo relativi e i punti di sella della funzione f ðx, yÞ ¼ x2 þ 2y2 þ x2 y. Calcola anzitutto le derivate parziali: f 0x ¼ 2x þ 2xy f 0y ¼ 4y þ x2 Per determinare gli eventuali punti stazionari devi ora risolvere il sistema: 2x þ 2xy ¼ 0 2 4y þ x ¼ 0 ) 2xð1 þ yÞ ¼ 0 2 4y þ x ¼ 0 ) 2x ¼ 0 2 4y þ x ¼ 0 _ 1þy ¼0 4y þ x2 ¼ 0 ) ::::: Completando la soluzione del sistema, troverai che ci sono tre punti stazionari, di coordinate: (0, 0); (2, 1); (2, 1) Per stabilire la natura dei punti stazionari, calcola anzitutto il determinante hessiano: Hðx, yÞ ¼ f 00xx f 00yy ðfxy Þ2 ¼ ð2 þ 2yÞ 4 ð2xÞ2 ¼ 8 þ 8y 4x2 00 fxx 00 fyy 00 fxy Valuta infine l’hessiano in corrispondenza dei tre punti trovati: Hð0, 0Þ ¼ ::::: e f 00xx ð0, 0Þ ¼ ::::: ) ð0, 0Þ è un punto di minimo relativo Hð2; 1Þ ¼ ::::: ) ð2, 1Þ è un punto di ::::::::::::::::::::::::::::::::::: Hð2; 1Þ ¼ ::::: ) ð2, 1Þ è un punto di ::::::::::::::::::::::::::::::::::: 59 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema A Complementi di analisi e applicazioni all’economia Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Determina i punti di massimo e minimo relativi e i punti di sella delle funzioni date. 296 Þ f ðx, yÞ ¼ x2 y þ y 2 8x 297 Þ f ðx, yÞ ¼ ðx þ 2Þ2 þ ðy 1Þ2 298 Þ f ðx, yÞ ¼ x2 þ 8y 2 2x2 y 299 Þ f ðx, yÞ ¼ x2 2x þ y 3 3y 300 Þ f ðx, yÞ ¼ 8y x3 þ 12x y 2 301 Þ f ðx, yÞ ¼ 2x2 y 8xy 8y 2 2 302 Þ f ðx, yÞ ¼ ðx 3Þ2 þ ðy þ 4Þ2 [(3, 4): minimo] 303 Þ f ðx, yÞ ¼ x2 y 2 þ 2x 4y 304 Þ f ðx, yÞ ¼ x2 þ y 2 þ 4xy þ 2y [(1, 2): massimo] 2 1 : sella , 3 3 305 Þ f ðx, yÞ ¼ x2 þ y 2 2x 6y 306 Þ f ðx, yÞ ¼ x2 y 2 þ 4xy 8y 307 Þ f ðx, yÞ ¼ x3 x2 y y 2 308 Þ f ðx, yÞ ¼ x3 þ y 3 þ 6xy [(0, 0): sella; (2, 2): massimo] 309 Þ f ðx, yÞ ¼ y 3 x3 þ 3xy 310 Þ f ðx, yÞ ¼ 2xy 8x4 311 Þ f ðx, yÞ ¼ x3 y 3 þ 8xy 312 Þ f ðx, yÞ ¼ 2xy 4x4 313 Þ f ðx, yÞ ¼ x3 y 3 ð1 þ x yÞ3 314 Þ f ðx, yÞ ¼ ð2 þ x þ yÞ3 x3 y 3 [(0, 0): sella; (1, 1): minimo] 1 1 , 2 : massimo; , 2 : massimo (0, 0): sella; 2 2 8 8 , : minimo (0, 0): sella; 3 3 1 1 , 1 : massimo; , 1 : massimo (0, 0): sella; 2 2 1 1 : massimo (1, 1), (1, 1), (1, 1): sella; , 3 3 2 2 : minimo (2, 2), (2, 2), (2, 2): sella; , 3 3 315 Þ f ðx, yÞ ¼ 316 Þ f ðx, yÞ ¼ x 317 Þ f ðx, yÞ ¼ 318 Þ f ðx, yÞ ¼ x3 3x2 þ y ey 319 Þ f ðx, yÞ ¼ y 3 6y 2 þ 9y þ x þ ex 1 2 y 4 1 4 y 4 [(2, 2): sella] [(2, 1): minimo] 1 1 (0, 0): minimo; 2, : sella; 2, : sella 2 2 [(1, 1): minimo; (1, 1): sella] [(2, 4): massimo; (2, 4): sella] 1 (0, 0): sella; 2, : massimo; (4, 0): sella 2 [(1, 3): minimo] 8 4 , : sella 5 5 9 : sella (0, 0): sella; 3, 2 y 27 þ x x y [(3, 9): massimo] y 8 x y [(2, 4): minimo] x 8 þ þx y y 2 4y f ðx, yÞ ¼ ex 321 Þ f ðx, yÞ ¼ 7ex 322 Þ f ðx, yÞ ¼ 2ex 323 Þ f ðx, yÞ ¼ ðx þ 2yÞex 2 2 [(8, 1): sella] [(0, 0): massimo; (2, 0): sella] [(0, 3): minimo; (0, 1): sella] 2 320 Þ [(0, 0): sella] y2 [(0, 0): massimo] þy2 2 4y 2 2 2 324 f ðx, yÞ ¼ ð3x yÞe9x y Þ 60 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P 1 2 1 6 [(0, 0): minimo] 1 1 1 : massimo; , : minimo , 4 2 4 1 1 1 , : massimo; , : minimo 2 6 2 Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA f ðx, yÞ ¼ ðy 2 þ 4xÞex 327 Þ f ðx, yÞ ¼ ðy 2 3xÞ2 ex [(2, 0): massimo; [(1, 0): minimo] , : minimi per ogni 2 R] 3 2 Determina a e b in modo che il punto (2, 0) risulti critico per la funzione f ðx, yÞ ¼ 3y 2 2x2 þ ax exy by3 þ by. In corrispondenza dei valori di a e b trovati, determina la natura di tale punto critico. [a ¼ 8, b ¼ 2; sella] 328 Þ Determina a e b in modo che il punto (0, 2) risulti critico per la funzione f ðx, yÞ ¼ x2 þ ax þ exy þ by 4 y 2 . In corrispondenza dei valori di a e b trovati, determina la natura di tale punto critico. 1 a ¼ 2, b ¼ ; minimo 8 329 Þ Funzioni di due variabili 326 Þ 1 2 : minimi per ogni 2 R (0, 2): massimo; , 2 Unità 1 2 325 f ðx, yÞ ¼ ðx2 2yÞ ey Þ Massimi e minimi vincolati 330 Þ ESERCIZIO GUIDATO Determina i punti di massimo e minimo vincolati della funzione z ¼ 12x2 xy, soggetta al vincolo y ¼ 3x2 , utilizzando il metodo di sostituzione. Sostituendo 3x2 al posto di y nell’equazione della funzione, sei ricondotto a cercare i punti di massimo e minimo della funzione nella sola variabile x: z ¼ 12x2 xð3x2 Þ ¼ 12x2 3x3 Studiando con i metodi dell’analisi la funzione z ¼ 12x2 3x3 troverai che essa ammette un punto di minimo 8 relativo in x ¼ 0 e un punto di massimo relativo in x ¼ . 3 Dunque la funzione originaria, soggetta al vincolo y ¼ 3x2 , ammette: – un punto di minimo relativo nel punto di ascissa x ¼ 0 e ordinata y ¼ 3 02 ¼ 0, ossia in (0, 0); 2 8 8 64 e ordinata y ¼ 3 – un punto di massimo relativo nel punto di ascissa x ¼ ¼ 3 3 3 Determina i punti di massimo e minimo vincolati delle funzioni z ¼ f ðx, yÞ, soggette al vincolo indicato a fianco, utilizzando il metodo di sostituzione. 331 Þ z ¼ x2 2y 2 xþyþ2¼0 332 Þ z ¼ xy x þ 2y 4 ¼ 0 333 Þ z ¼ 3x y y ¼ x3 334 Þ z ¼ 6x2 þ xy y ¼ 2x2 335 Þ z ¼ 8x2 y 2 x2 y ¼ 0 336 Þ z ¼ 4xy x2 x3 2y ¼ 0 337 Þ z¼xþy xy ¼ 8 338 Þ z ¼ 3x þ y xy ¼ 12 339 Þ z ¼ x2 y xþy ¼6 340 Þ z ¼ xy2 xy ¼4 341 Þ z ¼ ex 2 y 2 2x y 1 ¼ 0 342 Þ z ¼ ex 2 2y 2 xy1¼0 [Max (assoluto) in (4, 2)] [Max (assoluto) in (2, 1)] [Max (relativo) in (1, 1); min (relativo) in ð1, 1Þ] [Max (relativo) in (2, 8); min (relativo) in (0, 0)] [Min (relativo) in (0, 0); max (assoluti) in ( 2, 4)] 1 1 1 1 e , Max (relativo) in (0, 0); min (assoluti) in , 2 16 2 16 pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi [Min (relativo) in ð2 2, 2 2Þ; max (relativo) in ð2 2, 2 2Þ] [Min (relativo) in ð2, 6Þ; max (relativo) in ð2, 6Þ] [Min (relativo) in (0, 6); max (relativo) in (4, 2)] 4 8 Min (relativo) in (4, 0); max (relativo) in , 3 3 2 1 , Max (assoluto) in 5 5 2 1 Max (assoluto) in , 3 3 61 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Complementi di analisi e applicazioni all’economia Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 343 Þ ESERCIZIO GUIDATO Determina il massimo e il minimo assoluti della funzione z ¼ 2x y, soggetta al vincolo x2 þ y2 ¼ 20, utilizzando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Osserva anzitutto che il vincolo, una circonferenza, è un sottoinsieme chiuso e limitato di R2 , quindi certamente esistono massimo e minimo assoluti della funzione sul vincolo assegnato. Per determinarli, devi in primo luogo individuare i punti «candidati» a essere di massimo e minimo mediante il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, quindi confrontare i valori assunti dalla funzione in tali punti: il valore più piccolo ottenuto sarà il minimo assoluto della funzione, il più grande il massimo assoluto. Osserva che nel nostro caso f ðx, yÞ ¼ 2x y e gðx, yÞ ¼ x2 þ y 2 20. I punti candidati a essere di massimo o minimo, ovvero i punti stazionari vincolati, si ottengono dunque, in base al metodo dei moltiplicatori di Lagrange, risolvendo il sistema: 8 0 8 8 8 f ðx, yÞ ¼ gx0 ðx, yÞ > > > > < x < 2 ¼ 2x <x ¼ 4 < x ¼ 4 fy0 ðx, yÞ ¼ gy0 ðx, yÞ ) 1 ¼ 2y ) ::::::: ) y ¼ 2 _ y ¼ 2 > > > > : : 2 : : x þ y 2 ¼ 20 ¼ ::: ¼ :::: gðx, yÞ ¼ 0 Tema A I due punti candidati a essere di massimo o di minimo sono perciò (4, 2) e (4, 2). È immediato verificare che: f ð4, 2Þ ¼ 2 ð4Þ ð2Þ ¼ ::::: f ð4, 2Þ ¼ 2 4 ð2Þ ¼ ::::: Dunque il massimo assoluto, uguale a ..., è raggiunto in corrispondenza del punto di coordinate (4, 2), mentre il minimo assoluto uguale a ..., è raggiunto in corrispondenza del punto di coordinate (4, 2). Determina il massimo e il minimo assoluti della funzione z ¼ f ðx, yÞ sulla curva indicata a fianco, utilizzando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. 344 Þ z ¼ 3x þ 4y x2 þ y 2 ¼ 25 2 2 [Max ¼ 25 in (3, 4); min ¼ 25 in (3, 4)] 8 3 8 3 , ; min ¼ 11 in , 5 5 5 5 345 Þ z ¼ 4x 6y 1 x þ 4y ¼ 4 346 Þ z ¼ 4x2 þ y 2 þ 3 x2 þ 4y 2 ¼ 16 347 Þ z ¼ x2 9y 2 9x2 þ y 2 ¼ 9 348 Þ z ¼ xy x2 þ y 2 ¼ 16 pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi [Max ¼ 8 in ð2 2, 2 2Þ e ð2 2, 2 2Þ; min ¼ 8 in ð2 2, 2 2Þ e ð2 2, 2 2Þ] 349 Þ z ¼ 3xy x2 þ y 2 ¼ 18 [Max ¼ 27 in (3, 3) e (3, 3); min ¼ 27 in (3, 3) e (3, 3)] 350 Þ z ¼ xy2 2x2 þ y 2 ¼ 24 [Max ¼ 32 in (2, 4) e (2, 4); min ¼ 32 in (2, 4) e (2, 4)] 351 Þ z ¼ x2 þ ðy 3Þ2 ðx 1Þ2 þ y 2 ¼ 10 352 Þ z ¼ ðx þ 1Þ2 þ y 2 x2 þ ðy 2Þ2 ¼ 5 353 Þ z ¼ x y2 þ 2 354 Þ z ¼ ex 355 Þ z ¼ exy 356 Þ ESERCIZIO GUIDATO 2 y 2 x2 þ y 2 ¼ 9 4x2 þ 9y 2 ¼ 36 x2 þ y 2 ¼ 8 Max ¼ 9 in [Max ¼ 67 in ( 4, 0); min ¼ 7 in (0, 2Þ] [Max ¼ 1 in ( 1, 0); min ¼ 81 in (0, 3Þ] [Max ¼ 40 in (2, 3); min ¼ 0 in (0, 3)] [Max ¼ 20 in (1, 4); min ¼ 0 in (1, 0)] pffiffiffiffiffiffi ! 29 1 35 Max ¼ 5 in (3, 0); min ¼ in , 4 2 2 [Max ¼ e9 in ( 3, 0); min ¼ e4 in (0, 2Þ] [Max ¼ e4 in (2, 2) e (2, 2); min ¼ e4 in (2, 2) e (2, 2)] Determina il massimo e il minimo assoluti della funzione z ¼ x y soggetta al vincolo zando il metodo delle curve di livello. y x2 4 , utilizy0 Le curve di livello hanno equazioni x y ¼ k, dunque sono le rette appartenenti al fascio improprio di rette parallele alla bisettrice del primo e terzo quadrante. Il minimo e il massimo assoluto della funzione corrispondono al 62 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Funzioni di due variabili y 4 3 2 1 A –3 –2 k cresce O –1 1 2 Unità 1 minimo e al massimo valore di k per cui le rette del fascio intersecano la regione rappresentata dai vincoli (il segmento parabolico colorato in figura). 3 x –1 –2 2 –3 –4 B Il minimo valore di k per cui le rette del fascio intersecano la regione rappresentata dai vincoli corrisponde alla retta passante per il punto A; il massimo valore di k per cui le rette del fascio intersecano la regione rappresenta dai vincoli corrisponde alla retta tangente alla parabola. Imponendo che la retta di equazione x y ¼ k passi per il punto A(2, 0), trovi k ¼ 2. Imponendo che la retta y ¼ x2 4 , sia tangente alla parabola, cioè che sia nullo il discriminante dell’equazione risolvente il sistema xy ¼k 17 trovi k ¼ . 4 La conclusione è dunque che il minimo assoluto della funzione, con il vincolo assegnato, è 2 e viene raggiun17 , viene raggiunto in corto in corrispondenza del punto A di coordinate (–2, 0); il massimo assoluto, uguale a 4 1 15 rispondenza del punto di tangenza B, che puoi verificare avere coordinate , . 2 4 Determina il massimo e il minimo assoluti della funzione z ¼ f ðx, yÞ, nella regione definita a fianco, utilizzando il metodo delle curve di livello. 357 Þ z ¼ x þ 2y 1 x2 þ y 2 ¼ 20 358 Þ z¼xy1 x2 þ y 2 ¼ 16 ( 359 Þ z ¼ 2x þ y 1 361 Þ 362 Þ z¼xþy2 y x2 4 [Max ¼ 10 in (3, 5); min ¼ 6 in ð1, 3)] y5 ( 360 Þ [Max ¼ 9 in (2, 4); min ¼ 11 in (2, 4)] pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi [Max ¼ 4 2 1 in (2 2, 2 2); min ¼ 1 4 2 in (2 2, 2 2)] y 4x x2 y 2x z ¼ x2 þ y 2 8 > < x 0, y 0 y 1x > : y 4x z ¼ xy 8 > < x 0, y 0 y 2x > : y 6x 17 in Max ¼ 4 5 15 , ; min ¼ 8 in ð6, 12) 2 4 Max ¼ 16 in (0, 4) e (4, 0); min ¼ 1 in 2 1 1 , 2 2 [Max ¼ 9 in (3, 3); min ¼ 0 in (0, 4)] 63 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema A Complementi di analisi e applicazioni all’economia Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 363 Þ ESERCIZIO SVOLTO Determiniamo il massimo e il minimo assoluti della funzione z ¼ 4x þ 4y 2x2 y2 xy nella regione di x 0, y 0 piano definita dal sistema . y x þ 4 x 0, y 0 y Il sistema definisce il triangolo OAB in fig. a. Poiché si tratta y x þ 4 B 4 di un insieme chiuso e limitato, l’esistenza del massimo e minimo assoluti della funzione nel triangolo è garantita dal teorema di Weierstrass. 3 I punti candidati a essere di massimo o di minimo, interni al triangolo, so2 no i punti stazionari ovvero quelli che annullano le derivate parziali della 1 funzione; essendo: A f 0x ¼ 4 4x y e f 0y ¼ 4 2y x O 1 2 3 4 x Figura a occorre risolvere il sistema: 4 4x y ¼ 0 4 2y x ¼ 0 che fornisce come soluzione 4 12 , . Ai fini del problema che vogliamo risolvere, non è necessario determi7 7 nare l’esatta natura del punto (calcolando l’hessiano), basta calcolare il valore della funzione in corrispondenza 4 12 32 di esso; si verifica che in , la funzione assume valore z ¼ ’ 4,57. 7 7 7 Determiniamo ora gli eventuali punti di massimo e minimo sulla frontiera del triangolo OAB: – lungo il lato OA è y ¼ 0, quindi la funzione z ¼ 4x þ 4y 2x2 y 2 xy diventa z ¼ 4x 2x2 , con 0 x 4; si può facilmente concludere (vedi fig. b) che essa ha minimo assoluto uguale a 16 per x ¼ 4 e massimo assoluto uguale a 2 per x ¼ 1; – lungo il lato OB è x = 0, quindi la funzione z ¼ 4x þ 4y 2x2 y 2 xy diventa z ¼ 4y y 2 , con 0 y 4; si può facilmente concludere (vedi fig. c) che essa ha minimo assoluto uguale a 0 per y ¼ 0 e per y ¼ 4 e massimo assoluto uguale a 4 per y ¼ 2; – lungo il lato AB è y ¼ x þ 4, quindi la funzione z ¼ 4x þ 4y 2x2 y 2 xy diventa: z ¼ 4x þ 4ðx þ 4Þ 2x2 ðx þ 4Þ2 xð4 xÞ ¼ 4x 2x2 , con 0 x 4 che, come abbiamo già visto, assume valore minimo uguale a 16 per x ¼ 4 e massimo uguale a 2 per x ¼ 1. Concludiamo che, lungo la frontiera del triangolo, la funzione assume valore minimo, uguale a 16, nel punto (4, 0) e valore massimo, uguale a 4, nel punto (0, 2). z 2 1 Figura b 64 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P –1–1 O 1 2 3 4 5 6 7 –2 –3 –4 –5 z = 4x – 2x2 –6 –7 –8 –9 –10 –11 –12 –13 –14 –15 –16 –17 x z 4 z = 4y – y 2 3 2 1 Figura c –1 O y 1 2 3 4 5 Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Unità 1 I risultati trovati sono riassunti nella seguente tabella. 4 12 , 7 7 proveniente dall’analisi dei punti interni al triangolo Corrispondente valore della funzione 32 ’ 4,57 7 ð4, 0Þ ð0, 2Þ proveniente dall’analisi dei punti lungo la frontiera proveniente dall’analisi dei punti lungo la frontiera 16 4 32 , è assunto in Concludiamo che il massimo assoluto della funzione, uguale a 7 to, uguale a 16, è assunto in (4, 0). 4 12 , 7 7 e il minimo assolu- Funzioni di due variabili Possibili punti di estremo Determina il massimo e il minimo assoluti della funzione z ¼ f ðx, yÞ, nella regione definita a fianco, utilizzando il metodo che ritieni più opportuno. 8 > <x þ y ¼ 4 364 z ¼ xy x0 [Max ¼ 4 in (2, 2); min ¼ 0 in (0, 4) e (4, 0)] Þ > : y0 pffiffiffi 365 z ¼ x2 2y þ 5 x2 þ y 2 4 [Max ¼ 10 in ( 3, 1); min ¼ 1 in (0, 2)] Þ pffiffiffi 366 z ¼ y 2 4x þ 6 x2 þ y 2 9 [Max ¼ 19 in ð2, 5Þ; min ¼ 6 in (3, 0)] Þ 25 1 1 2 2 2 2 in 2, e 2, ; min ¼ 0 in (0, 0) 367 z ¼ x þ y 2xy x þ 4y 5 Max ¼ Þ 4 2 2 8 x 0 > < 368 z ¼ x3 xy 2 y0 [Max ¼ 64 in (4, 0); min ¼ 8 in (1, 3)] Þ > : y 4x 8 > <x 0 3 1 3 2 Max ¼ 4 in (0, 2); min ¼ 5 in , 369 z ¼ y x y 4 y0 Þ > 2 2 : y 2x jxj 3 2 370 z ¼ 6x 2xy Þ jyj 3 3 1 1 ,3 Max ¼ 72 in (3, 3) e (3, 3); min ¼ in , 3 e 2 2 2 371 Þ z ¼ x2 þ y 2 þ 9y 2 372 Þ z ¼ x 2xy þ y 373 Þ z ¼ x3 þ y 3 6xy 374 Þ z ¼ x2 þ y 2 xy 2x þ 4y þ 3 375 Þ z ¼ 3x2 þ 16y 2 þ 12x 10 376 Þ z ¼ exy 377 Þ z ¼ e2x 2 y 2 x2 þ ðy 4Þ2 1 8 > <x 0 y0 > : xþy 2 3 x 3 2 y 2 8 > <x 1 y 1 > : x þ y 3 [Max ¼ 70 in (0, 5); min ¼ 36 in (0, 3)] 1 Max ¼ 4 in (2, 0); min ¼ in 12 5 7 , 6 6 [Max ¼ 55 in (3, 2); min ¼ 71 in (3, 2)] [Max ¼ 6 in (2, 1) e ð1, 4Þ; min ¼ 1 in (0, 2)] x2 þ 4y 2 16 [Max ¼ 86 in (4, 0); min ¼ 22 in (2, 0)] ( y x2 3 [Max ¼ e2 in (1, 2) e ð2, 1Þ; min ¼ e2 in ð2, 1Þ e ð1, 2Þ] y1 2 x 2 [Max ¼ e8 in ( 2, 0) e min ¼ e4 in (0, 2)] 2 y 2 65 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema A Complementi di analisi e applicazioni all’economia Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 5. Applicazioni all’economia TEORIA a p. 34 Massimizzare il profitto REGIME DI CONCORRENZA PERFETTA Un’impresa produce due beni, che vende in regime di concorrenza perfetta al prezzo unitario p1 ¼ 640 euro e p2 ¼ 340 euro rispettivamente. Il costo dei due beni è espresso dalla funzione: 378 Þ C ¼ 25q21 þ 10q22 þ 20q1 q2 dove q1 e q2 rappresentano le quantità prodotte. Determina le quantità dei due beni che consentono di realizzare il massimo utile, e il valore di tale utile massimo, nell’ipotesi che tutta la quantità prodotta sia venduta. [Massimo utile ¼ 4390 euro per q1 ¼ 10 e q2 ¼ 7] Un’impresa produce due beni, che vende in regime di concorrenza perfetta al prezzo unitario p1 ¼ 6400 euro e p2 ¼ 4000 euro rispettivamente. Il costo dei due beni è espresso dalla funzione: 379 Þ C ¼ 100q21 þ 40q22 þ 80q1 q2 dove q1 e q2 rappresentano le quantità prodotte. Determina le quantità dei due beni che consentono di realizzare il massimo utile, e il valore di tale utile massimo, nell’ipotesi che tutta la quantità prodotta sia venduta. [Massimo utile ¼ 124 000 euro per q1 ¼ 20 e q2 ¼ 30] Un’impresa produce due beni, che vende in regime di concorrenza perfetta al prezzo unitario p1 ¼ 580 euro e p2 ¼ 600 euro rispettivamente. Il costo dei due beni è espresso dalla funzione: 380 Þ C ¼ 25q21 þ 30q22 þ 30q1 q2 dove q1 e q2 rappresentano le quantità prodotte. Determina le quantità dei due beni che consentono di realizzare il massimo utile, e il valore di tale utile massimo, nell’ipotesi che tutta la quantità prodotta sia venduta. [Massimo utile ¼ 4120 euro per q1 ¼ 8 e q2 ¼ 6] 381 Un’impresa produce due beni, che vende in regime di concorrenza perfetta al prezzo unitario p1 ¼ 4100 euro Þ e p2 ¼ 1800 euro rispettivamente. Il costo dei due beni è espresso dalla funzione: C ¼ 125q21 þ 25q22 þ 100q1 q2 dove q1 e q2 rappresentano le quantità prodotte. Determina le quantità dei due beni che consentono di realizzare il massimo utile, e il valore di tale utile massimo, nell’ipotesi che tutta la quantità prodotta sia venduta. [Massimo utile ¼ 34 900 euro per q1 ¼ 10 e q2 ¼ 16] 382 Un’impresa produce due beni, che vende in regime di concorrenza perfetta al prezzo unitario p1 ¼ 2100 euro Þ e p2 ¼ 690 rispettivamente. Il costo dei due beni è espresso dalla funzione: C ¼ 100q21 þ 15q22 þ 60q1 q2 dove q1 e q2 rappresentano le quantità prodotte. Determina le quantità dei due beni che consentono di realizzare il massimo utile, e il valore di tale utile massimo, nell’ipotesi che tutta la quantità prodotta sia venduta. [Massimo utile ¼ 11 175 euro per q1 ¼ 9 e q2 ¼ 5] REGIME DI MONOPOLIO 383 Þ Le funzioni domanda di due beni venduti in regime di monopolio sono: q1 ¼ 7500 15p1 e q2 ¼ 10 000 25p2 I costi unitari di produzione sono rispettivamente C1 ¼ 150 euro e C2 ¼ 80 euro. Determina le quantità dei due beni da produrre (e vendere) per conseguire il massimo utile, calcolando anche il valore di quest’ultimo. [Massimo utile ¼ 1 099 375 euro per q1 ¼ 2625 e q2 ¼ 4000] 384 Þ Le funzioni domanda di due beni venduti in regime di monopolio sono: q1 ¼ 8000 40p1 e q2 ¼ 6000 40p2 I costi unitari di produzione sono rispettivamente C1 ¼ 100 euro e C2 ¼ 75 euro. Determina le quantità dei due beni da produrre (e vendere) per conseguire il massimo utile, calcolando anche il valore di quest’ultimo. [Massimo utile ¼ 156 250 euro per q1 ¼ 2000, q2 ¼ 1500] 66 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Le funzioni domanda di due beni venduti in regime di monopolio sono: q1 ¼ 15 000 50p1 e q2 ¼ 20 000 100p2 386 Þ Le funzioni domanda di due beni venduti in regime di monopolio sono: q1 ¼ 2000 4p1 e q2 ¼ 1800 4p2 Il costo complessivo per la produzione dei due beni è espresso dalla funzione: C ¼ q21 þ 2q22 þ 20 000 Funzioni di due variabili I costi unitari di produzione sono rispettivamente C1 ¼ 200 euro e C2 ¼ 150 euro. Determina le quantità dei due beni da produrre (e vendere) per conseguire il massimo utile, calcolando anche il valore di quest’ultimo. [Massimo utile ¼ 187 500 per q1 ¼ 2500, q2 ¼ 2500] Unità 1 385 Þ Determina le quantità dei due beni da produrre (e vendere) per conseguire il massimo utile, calcolando anche il valore di quest’ultimo. [Massimo utile ¼ 52 500 euro per q1 ¼ 200, q2 ¼ 100] 387 Þ Le funzioni domanda di due beni venduti in regime di monopolio sono: q1 ¼ 2940 3p1 e q2 ¼ 2400 3p2 Il costo complessivo per la produzione dei due beni è espresso dalla funzione: C ¼ 2q21 þ q22 þ 10 000 Determina le quantità dei due beni da produrre (e vendere) per conseguire il massimo utile, calcolando anche il valore di quest’ultimo. [Massimo utile ¼ 212 900 euro per q1 ¼ 210, q2 ¼ 300] Massimizzare la produzione (sotto vincolo di costo) La funzione di produzione di un dato bene è Q ¼ 600K 0,75 L0,25 , indicando con K il capitale e con L il lavoro. Il costo dei fattori di produzione è 3 per ogni unità di capitale e 2 per ogni unità di lavoro. Nell’ipotesi che il costo complessivo di produzione sia 200, determina la combinazione dei fattori produttivi K ed L che consente di ottenere la massima produzione, nonché il valore di tale produzione massima. [K ¼ 50, L ¼ 25, Qmax ’ 25 226,89] 388 Þ La funzione di produzione di un dato bene è Q ¼ 1000K0,25 L0,75 , indicando con K il capitale e con L il lavoro. Il costo dei fattori di produzione è 4 per ogni unità di capitale e 6 per ogni unità di lavoro. Nell’ipotesi che il costo complessivo di produzione sia 400, determina la combinazione dei fattori produttivi K ed L che consente di ottenere la massima produzione, nonché il valore di tale produzione massima. [K ¼ 25, L ¼ 50, Qmax ¼ 42 044,82] 389 Þ La funzione di produzione di un dato bene è Q ¼ 500K0,5 L0,5 , indicando con K il capitale e con L il lavoro. Il costo dei fattori di produzione è 4 per ogni unità di capitale e 2 per ogni unità di lavoro. Nell’ipotesi che il costo complessivo di produzione sia 150, determina la combinazione dei fattori produttivi K ed L che consente di ottenere la massima produzione, nonché il valore di tale produzione massima. [K ¼ 18,75, L ¼ 37,5, Qmax ¼ 13 258,25] 390 Þ La funzione di produzione di un dato bene è Q ¼ 1200K 0,4 L0,;6 , indicando con K il capitale e con L il lavoro. Il costo dei fattori di produzione è 8 per ogni unità di capitale e 5 per ogni unità di lavoro. Nell’ipotesi che il costo complessivo di produzione sia 200, determina la combinazione dei fattori produttivi K ed L che consente di ottenere la massima produzione, nonché il valore di tale produzione massima. [K ¼ 10, L ¼ 24, Qmax ¼ 20 291,21] 391 Þ La funzione di produzione di un dato bene è Q ¼ 150K 0,75 L0,25 , indicando con K il capitale e con L il lavoro. Il costo dei fattori di produzione è 5 per ogni unità di capitale e 10 per ogni unità di lavoro. Nell’ipotesi che il costo complessivo di produzione sia 500, determina la combinazione dei fattori produttivi K ed L che consente di ottenere la massima produzione, nonché il valore di tale produzione massima. [K ¼ 75, L ¼ 12,5, Qmax ¼ 7188,11] 392 Þ Minimizzare il costo (sotto vincolo di produzione) 1 2 La funzione di produzione di un dato bene è Q ¼ 50K 3 L 3 , essendo K il capitale ed L il lavoro. Il costo unitario del capitale è 1 e il costo unitario del lavoro è 16. Nell’ipotesi che si vogliano produrre 1000 unità del bene, determina la combinazione dei fattori produttivi K ed L che consente di minimizzare il costo di produzione, nonché il valore di tale costo minimo. [K ¼ 80, L ¼ 10, C ¼ 240] 393 Þ 67 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema A Complementi di analisi e applicazioni all’economia Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA La funzione di produzione di un dato bene è Q ¼ 50K 0,2 L0,8 , essendo K il capitale ed L il lavoro. Il costo unitario del capitale è 50 e il costo unitario del lavoro è 200. Nell’ipotesi che si vogliano produrre 4000 unità del bene, determina la combinazione dei fattori produttivi K ed L che consente di minimizzare il costo di produzione, nonché il valore di tale costo minimo. [K ¼ L ¼ 80, C ¼ 20 000] 394 Þ La funzione di produzione di un dato bene è Q ¼ 100K 0,5 L0,5 , essendo K il capitale ed L il lavoro. Il costo unitario del capitale è 40 e il costo unitario del lavoro è 90. Nell’ipotesi che si vogliano produrre 30 000 unità del bene, determina la combinazione dei fattori produttivi K ed L che consente di minimizzare il costo di produzione, nonché il valore di tale costo minimo. [K ¼ 450, L ¼ 200, C ¼ 36 000] 395 Þ La funzione di produzione di un dato bene è Q ¼ 250K 0,25 L0,75 , essendo K il capitale ed L il lavoro. Il costo unitario del capitale è 150 e il costo unitario del lavoro è 250. Nell’ipotesi che si vogliano produrre 1000 unità del bene, determina la combinazione dei fattori produttivi K ed L che consente di minimizzare il costo di produzione, nonché il valore di tale costo minimo. [K ¼ 2,57, L ¼ 4,63, C ¼ 1544,39] 396 Þ La funzione di produzione di un dato bene è Q ¼ 50K 0,4 L0,6 , essendo K il capitale ed L il lavoro. Il costo unitario del capitale è 30 e il costo unitario del lavoro è 40. Nell’ipotesi che si vogliano produrre 1200 unità del bene, determina la combinazione dei fattori produttivi K ed L che consente di minimizzare il costo di produzione, nonché il valore di tale costo minimo. [K ¼ 22,36, L ¼ 25,16, C ¼ 1677,20] 397 Þ Massimizzare l’utilità (sotto vincolo di reddito) 398 Una persona decide di acquistare due beni che hanno prezzi unitari (in euro) rispettivamente pari a p1 ¼ 4 e Þ p2 ¼ 8. La funzione di utilità è U ¼ 3q1 q2 e la persona dispone di una somma di denaro pari a 400 euro. Determina le quantità dei due beni che il consumatore deve acquistare per fare in modo che l’utilità sia massima, e il valore di tale utilità massima. [q1 ¼ 50, q2 ¼ 25, U ¼ 3750 euro] Una persona decide di acquistare due beni che hanno prezzi unitari (in euro) rispettivamente pari a p1 ¼ 10 e p2 ¼ 25. La funzione di utilità è U ¼ 2q1 q2 e la persona dispone di una somma di denaro pari a 500 euro. Determina le quantità dei due beni che il consumatore deve acquistare per fare in modo che l’utilità sia massima, e il valore di tale utilità massima. [q1 ¼ 25, q2 ¼ 10, U ¼ 500 euro] 399 Þ 400 Una persona decide di acquistare due beni che hanno prezzi unitari (in euro) rispettivamente pari a p1 ¼ 5 e Þ p2 ¼ 10. La funzione di utilità è U ¼ q1 q2 þ q1 þ 2q2 e la persona dispone di una somma di denaro pari a 1200 euro. Determina le quantità dei due beni che il consumatore deve acquistare per fare in modo che l’utilità sia massima, e il valore di tale utilità massima. [q1 ¼ 120, q2 ¼ 60, U ¼ 7440 euro] Una persona decide di acquistare due beni che hanno prezzi unitari (in euro) rispettivamente pari a p1 ¼ 10 e p2 ¼ 20. La funzione di utilità è U ¼ 4q1 q2 þ q1 þ 2q2 e la persona dispone di una somma di denaro pari a 1000 euro. Determina le quantità dei due beni che il consumatore deve acquistare per fare in modo che l’utilità sia massima, e il valore di tale utilità massima. [q1 ¼ 50, q2 ¼ 25, U ¼ 5100 euro] 401 Þ Una persona decide di acquistare due beni che hanno prezzi unitari (in euro) rispettivamente pari a p1 ¼ 750 e p2 ¼ 500. La funzione di utilità è U ¼ 30q1 q2 þ 15q1 þ 10q2 e la persona dispone di una somma di denaro pari a 75 000 euro. 402 Þ a. Determina le quantità dei due beni che il consumatore deve acquistare per fare in modo che l’utilità sia massima, e il valore di tale utilità massima. b. Se la somma disponibile aumenta del 20%, di quanto varia in percentuale la massima utilità? [a. q1 ¼ 50, q2 ¼ 75, U ¼ 114 000 euro; b. þ43,68%] Una persona decide di acquistare due beni che hanno prezzi unitari (in euro) rispettivamente pari a p1 ¼ 150 e p2 ¼ 200. La funzione di utilità è U ¼ q1 q2 þ 2q1 e la persona dispone di una somma di denaro pari a 20 000 euro. 403 Þ a. Determina le quantità dei due beni che il consumatore deve acquistare per fare in modo che l’utilità sia massima, e il valore di tale utilità massima. b. Se la somma disponibile aumenta del 10%, di quanto varia in percentuale la massima utilità? [a. q1 ¼ 68, q2 ¼ 49, U ¼ 3468 euro; b. þ20,57%] 68 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Unità 1 RIEPILOGO Esercizi di riepilogo d. z ¼ ln x2 y 2 x2 þ y 2 Per ciascun dominio, stabilisci se si tratta di un insieme aperto o chiuso e se si tratta di un insieme limitato o illimitato. 405 Þ Determina e rappresenta graficamente i domini delle seguenti funzioni: 1 a. z ¼ 2y x2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b. z ¼ 2y x2 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2y x2 d. z ¼ 4y c. z ¼ ln ð2y x2 Þ þ ln ð2 yÞ Funzioni di due variabili Determina e rappresenta graficamente i domini delle seguenti funzioni: sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ y 2 x2 y 2 x2 y 2 b. z ¼ 2 c. z ¼ a. z ¼ 2 2 2 x y x þy x2 þ y 2 404 Þ Per ciascun dominio, stabilisci se si tratta di un insieme aperto o chiuso e se si tratta di un insieme limitato o illimitato. 406 Þ Considera la funzione f ðx, yÞ ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi y x þ x. a. Determina e rappresenta graficamente il suo dominio. b. Scrivi l’equazione del piano tangente alla superficie di equazione z ¼ f ðx, yÞ nel suo punto di ascissa x ¼ 4 e ordinata y ¼ 5. 1 a. Il dominio è costituito da un angolo, inclusi i suoi lati; b. z ¼ ð2y þ 6 xÞ 4 407 Þ Considera la funzione f ðx, yÞ ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ y 2 5 þ 25 x2 y 2 . a. Determina e rappresenta graficamente il suo dominio. b. Scrivi l’equazione del piano tangente alla superficie di equazione z ¼ f ðx, yÞ nel suo punto di ascissa x ¼ 0 e ordinata y ¼ 3. 1 a. Il dominio è costituito da una corona circolare chiusa; b. z ¼ ð3y þ 15Þ 4 408 Þ Data la superficie di equazione z ¼ x2 4y 2 : a. rappresenta le curve di livello; b. scrivi l’equazione del piano tangente nel suo punto di ascissa e ordinata uguali a 1; c. determina gli eventuali punti di massimo o minimo relativi o di sella; d. determina i massimi e minimi relativi e assoluti, vincolati alla parabola di equazione y ¼ x2 . a. Il fascio di iperboli di equazione x2 4y 2 ¼ k (iperbole degenere in due rette per k ¼ 0); ! pffiffiffi 2 1 b. z ¼ 2x 8y þ 3; c. (0, 0): sella; d. min relativo in (0, 0), max assoluti in , 8 4 409 Þ Data la superficie di equazione z ¼ x2 þ 4y 2 : a. rappresenta le curve di livello; b. scrivi l’equazione del piano tangente nel suo punto di ascissa 1 e ordinata 1; c. determina il massimo e il minimo assoluti della funzione, soggetta al vincolo x2 þ y 2 4. [a. Il fascio di ellissi di equazione x2 þ 4y 2 ¼ k (ellisse degenere nell’origine per k ¼ 0); b. z ¼ 2x 8y 5; c. max ¼ 16 in ð0, 410 Þ 2Þ; min ¼ 0 in (0, 0)] Data la funzione f ðx, yÞ ¼ x2 4y 2 þ y 4 : a. scrivi l’equazione del piano tangente alla superficie di equazione z ¼ f ðx, yÞ nel suo punto di ascissa 1 e ordinata 1; b. determina eventuali punti di massimo e minimo relativi o di sella della funzione f ðx,yÞ; c. determina il massimo e il minimo assoluti della funzione f ðx,yÞ, soggetta al vincolo x2 þ y 4 ¼ 4. pffiffiffi [a. z ¼ 2x þ 4y; b. (0, 0): sella, ð0, 2Þ: minimi; c. max ¼ 4 in ( 2, 0); min ¼ 4 in ð0, pffiffiffi 2Þ] 69 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema A Complementi di analisi e applicazioni all’economia Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 411 Þ Considera la superficie di equazione z ¼ e2x4x 2 þ2yy2 . a. Scrivi l’equazione del piano tangente nel suo punto di intersezione con l’asse z. b. Determina gli eventuali punti di massimo o minimo relativi o di sella. x 0, y 0 c. Determina il massimo e il minimo assoluti della funzione nel triangolo definito dal sistema: y 2x 1 1 5 12 4 a. z ¼ 2x þ 2y þ 1; b. , 1 : massimo; c. max ¼ e in , 1 e min ¼ e in (2, 0) 4 4 412 Trova il massimo e il minimo assoluti della funzione reale delle variabili reali x, y: z ¼ xy, considerata nel Þ triangolo T di vertici (0, 0), (1, 0), (0, 1). (Maturità per ragionieri programmatori, Sessione suppletiva 1986). 1 1 1 in , Min ¼ 0 in tutti i punti dei cateti del triangolo rettangolo; max ¼ 4 2 2 413 Þ Considera la funzione f ðx, yÞ ¼ x3 þ 2x2 y 6xy2 þ 8x. a. Determina gli eventuali punti di massimo o minimo relativi o di sella. b. Determina il minimo e il massimo assoluti della funzione nel rettangolo individuato dal sistema: pffiffiffi ! 2 3 76 1 2 x 0 : punti di sella; b. max ¼ 40 in ð2, 2Þ e min ¼ in 2, a. 0, 2 y 2 3 3 3 Dopo avere esposto i concetti di massimo e di minimo relativo e assoluto per le funzioni di due variabili, considera la funzione reale z, delle variabili reali x, y, definita da z ¼ x2 þ y 2 . 414 Þ a. Determinane i punti di massimo e minimo assoluti nel quadrato di vertici: Að1, 1Þ Bð1, 1Þ Cð1, 1Þ Dð1, 1Þ b. determina, se esistono, i punti di massimo e di minimo assoluti della medesima funzione z con il vincolo: xy ¼ 4 (Maturità per ragionieri programmatori, Sessione ordinaria 1995) [a. Min ¼ 0 in (0, 0) e max ¼ 2 nei quattro vertici del quadrato; b. min ¼ 8 in ð2, 2Þ e (2, 2); non esiste massimo assoluto] Considera la funzione f ðx, yÞ ¼ ayx2 þ by 2 x 3x. 1 sia un punto stazionario per la funzione. a. Determina a e b in modo che 2, 2 415 Þ In corrispondenza dei valori di a e b trovati: b. Determina tutti i punti stazionari della funzione e specifica la loro natura. c. Scrivi l’equazione del piano tangente alla superficie di equazione z ¼ f ðx, yÞ nel suo punto di ascissa x ¼ 1 e ordinata y ¼ 1. 1 1 a. a ¼ 2, b ¼ 4; b. 2, e 2, : punti di sella; c. z ¼ 11x þ 10y þ 12 2 2 416 Þ Considera la funzione f ðx, yÞ ¼ ax2 4x þ y 3 þ by. a. Determina a e b in modo che (1, 2) sia un punto stazionario per la funzione. In corrispondenza dei valori di a e b trovati, rispondi alle seguenti ulteriori domande: b. Determina tutti i punti stazionari della funzione e specifica la loro natura. c. Scrivi l’equazione del piano tangente alla superficie di equazione z ¼ f ðx, yÞ nel suo punto di ascissa x ¼ 2 e ordinata y ¼ 1. [a. a ¼ 2, b ¼ 12; b. (1, 2): minimo (1, 2): sella; c. z ¼ 4x 9y 6] Un’impresa produce due beni, che vende in regime di concorrenza perfetta al prezzo unitario p1 ¼ 750 e p2 ¼ 500 rispettivamente. Il costo dei due beni è espresso dalla funzione: 417 Þ C ¼ 20q21 þ 30q22 þ 30q1 q2 þ 30 000 1250q1 1500q2 dove q1 e q2 rappresentano le quantità prodotte. 70 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Un’impresa produce due beni, che vende in regime di concorrenza perfetta al prezzo unitario p1 ¼ 350 e p2 ¼ 500 rispettivamente. Il costo dei due beni è espresso dalla funzione: 418 Þ C ¼ 30q21 þ 10q22 þ 20q1 q2 þ 35 000 1900q1 700q2 dove q1 e q2 rappresentano le quantità prodotte. Determina: a. le quantità dei due beni che minimizzano il costo di produzione, e il valore di tale costo minimo; b. le quantità dei due beni che consentono di realizzare il massimo utile, e il valore di tale utile massimo, nell’ipotesi che tutta la quantità prodotta sia venduta. [a. Costo minimo ¼ 4750 per q1 ¼ 30 e q2 ¼ 5; b. massimo utile ¼ 14 781,25 per q1 ¼ 26,25 e q2 ¼ 33,75] 419 Þ Funzioni di due variabili b. le quantità dei due beni che consentono di realizzare il massimo utile, e il valore di tale utile massimo, nell’ipotesi che tutta la quantità prodotta sia venduta. [a. Costo minimo ¼ 6250 per q1 ¼ 20 e q2 ¼ 15; b. massimo utile ’ 23 333,33 per q1 ¼ 40 e q2 ’ 13,33] Unità 1 Determina: a. le quantità dei due beni che minimizzano il costo di produzione, e il valore di tale costo minimo; Le funzioni domanda di due beni venduti in regime di monopolio sono: q1 ¼ 7200 24p1 e q2 ¼ 6400 16p2 I costi unitari di produzione sono rispettivamente C1 ¼ 100 euro e C2 ¼ 150 euro. Determina le quantità dei due beni da produrre (e vendere) per conseguire il massimo utile, calcolando anche il valore di quest’ultimo. [Massimo utile ¼ 490 000 euro per q1 ¼ 2400, q2 ¼ 2000] 420 Þ Le funzioni domanda di due beni venduti in regime di monopolio sono: q1 ¼ 2800 3p1 e q2 ¼ 2400 2p2 Il costo complessivo per la produzione dei due beni è espresso dalla funzione: C ¼ 2q21 þ q22 þ 12 000 Determina le quantità dei due beni da produrre (e vendere) per conseguire il massimo utile, calcolando anche il valore di quest’ultimo. [Massimo utile ¼ 321 333,33 euro per q1 ¼ 200, q2 ¼ 400] Esercizi in inglese 421 Þ Solve math in English Find an equation of the plane tangent to the surface z ¼ x2 2y 2 xy at the point 422 Þ Solve math in English Find the absolute maximum and the minimum values of the function: (0, 1, 2). [z ¼ x 4y þ 2] z ¼ x2 2x þ y 2 y on the set fðx, yÞ 2 R2 j x 0, y 0, 2x þ y 4g. Max ¼ 12 at (0, 4); min ¼ 5 1 at 1, 4 2 71 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema A Complementi di analisi e applicazioni all’economia Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA PROVA DI AUTOVERIFICA Funzioni di due variabili Determina il dominio delle seguenti funzioni e rappresentalo graficamente. 1 Þ 2 Þ z ¼ ln ðx þ y 3Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi z ¼ y x2 þ 2 þ 4 y 3 Þ 4 Þ 5 Þ 2y z ¼ ln 1x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi z ¼ x2 þ y 2 1 þ ln ð9 x2 y 2 Þ Rappresenta le curve di livello della funzione z ¼ x2 þ y 2 4x. Determina l’equazione del piano tangente alla superficie di equazione z ¼ x3 x2 y y 2 nel suo punto di ascissa 1 e ordinata 2. 6 Þ 7 Þ Determina il massimo e il minimo assoluti della funzione z ¼ x2 y 2 x4 nel triangolo definito dal sistema: 8 Þ Determina il massimo e il minimo assoluti della funzione: 8 > <x 0 y0 > : y 3x z ¼ x2 þ y 2 4x 2y soggetta al vincolo x2 þ y 2 20. Un’impresa produce due beni, che vende in regime di concorrenza perfetta ai prezzi unitari (in euro) p1 ¼ 640 e p2 ¼ 340. Il costo settimanale di produzione dei due beni è espresso dalla funzione: 9 Þ Cðq1 , q2 Þ ¼ 25q21 þ 10q22 þ 20q1 q2 dove q1 e q2 rappresentano le quantità prodotte dei due beni. Determina la quantità di ciascuno dei due beni che deve essere prodotta settimanalmente in modo da realizzare il massimo utile, e il valore di tale utile massimo, nell’ipotesi che le quantità prodotte vengano interamente vendute. Una persona decide di acquistare due beni che hanno prezzi unitari (in euro) rispettivamente pari a p1 ¼ 25 e p2 ¼ 10. La funzione di utilità è U ¼ 3q1 q2 e la persona dispone di una somma di denaro pari a 1000 euro. Determina le quantità dei due beni che il consumatore deve acquistare per fare in modo che l’utilità sia massima, e il valore di tale utilità massima. 10 Þ Valutazione Esercizio Punteggio 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Totale 0,5 1 1 1 1 0,5 1 1 1,5 1,5 10 Punteggio ottenuto Tempo massimo: 1 h 30 min 72 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P 3Risposte in fondo al volume Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA A Laboratorio di informatica Tema Tema A ATTIVITÀ GUIDATE Attività 1 GeoGebra Data la funzione z ¼ x 2 þ y 2 2x: Se hai difficoltà a svolgere le attività guidate, fai riferimento ai file disponibili on-line. rappresentiamo con GeoGebra le curve di livello della funzione; deduciamo, se esistono, il minimo e il massimo assoluti della funzione, sottoposta al vincolo x þ y 4 ¼ 0. a. Rappresentazione di alcune curve di livello Per rappresentare, utilizzando GeoGebra, alcune curve di livello della funzione z ¼ x2 þ y 2 2x è possibile ricorrere al comando predefinito successione. Per esempio, per rappresentare le linee di livello di equazione x2 þ y 2 2x ¼ k con k ¼ 0, 1, 2, 3, 4, 5, è sufficiente digitare nella riga di inserimento: successione [x^2+y^2-2x=k,k,0,5] e premere Invio: immediatamente GeoGebra restituisce il grafico delle linee di livello desiderate (vedi la figura qui sotto). successione [x^2+y^2-2x=k, k, 0, 2, 0.5] e premere Invio. Tenendo conto di queste indicazioni, traccia con GeoGebra le curve di livello di equazione x2 þ y 2 2x ¼ k corrispondenti: 1. ai valori di k interi compresi tra 5 e 10 (estremi inclusi); 2. ai seguenti valori di k : 0; 0,25; 0,5; 0,75; 1;1,25;1,5;1,75; 2. Osserva Nell’argomento del comando successione vanno inseriti, nell’ordine: l’espressione della funzione; il parametro al variare del quale si ottengono le curve (k); il valore iniziale del parametro; il valore finale del parametro. Informatica – GEOGEBRA Se avessimo voluto disegnare curve di livello corrispondenti a valori non interi di k, avremmo dovuto specificare il passo con cui GeoGebra incrementa i valori di k (passo che, se non specificato, per default è uguale a 1). Per esempio, per rappresentare le linee di livello corrispondenti a: k ¼ 0; 0,5; 1; 1,5; 2 basta digitare: Laboratorio di informatica Curve di livello con GeoGebra 73 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P b. Esplorazione Per formulare una congettura sull’esistenza del minimo e del massimo assoluti utilizzando il metodo delle curve di livello segui queste istruzioni: 1. definisci uno slider di nome k (con k variabile, per esempio, tra 5 e 20); 2. traccia i grafici delle due equazioni: x2 þ y 2 2x ¼ k e xþy4¼0 Tema A Laboratorio di informatica Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 3. muovendo lo slider e osservando come variano i grafici delle curve di livello, rispondi alle seguenti domande. – Esiste un valore minimo di k al di sotto del quale le curve di livello non hanno intersezioni con la retta che costituisce il vincolo? – Esiste un valore massimo di k oltre il quale le curve di livello non hanno intersezioni con la retta che costituisce il vincolo? – Che cosa puoi dedurre circa l’esistenza del minimo e del massimo assoluti della funzione soggetta al vincolo assegnato? – Riesci a formulare una congettura sul valore del minimo assoluto della funzione? Informatica – GEOGEBRA c. Risoluzione algebrica 74 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Come dovresti avere notato nelle esplorazioni svolte al passo precedente, il minimo assoluto della funzione viene raggiunto in corrispondenza del valore di k per cui la retta è tangente alla circonferenza. 1. Individua il valore esatto di k per cui si verifica la tangenza, imponendo che sia nullo il discriminante dell’equazione risolvente il sistema formato dall’equazione della generica linea di livello, x2 þ y 2 2x ¼ k, e dall’equazione del vincolo. Il valore che hai trovato algebricamente è coerente con quello stimato nell’esplorazione al passo precedente? Qual è dunque il minimo assoluto della funzione, soggetta al vincolo assegnato? 2. Individua il punto (x, yÞ in corrispondenza del quale viene raggiunto il minimo assoluto attribuendo a k il valore poc’anzi trovato e risolvendo il sistema di cui al passo precedente. Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Data la funzione z ¼ x2 þ 4y 2 : a. rappresenta con GeoGebra alcune curve di livello; b. formula una congettura sull’esistenza e sull’eventuale valore del minimo e del massimo assoluti della funzione, soggetta al vincolo x þ y ¼ 4; c. risolvi il problema di cui al punto precedente con i metodi dell’analisi e confronta il risultato trovato con le congetture formulate. 2 Þ Data la funzione z ¼ x þ 2y: a. rappresenta con GeoGebra alcune curve di livello; b. formula una congettura sull’esistenza e sull’eventuale valore del minimo e del massimo assoluti della funzione, soggetta al vincolo y ¼ x2 þ 2x; c. risolvi il problema di cui al punto precedente con i metodi dell’analisi e confronta il risultato trovato con le congetture formulate. Laboratorio di informatica 1 Þ Tema A ATTIVITÀ PROPOSTE Informatica – GEOGEBRA 75 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Tema A Verso le competenze Tema A Verso le competenze UTILIZZARE LE TECNICHE DELL’ANALISI Rappresenta graficamente il dominio di ciascuna delle seguenti funzioni. Stabilisci quindi se il dominio è un sottoinsieme di R2 chiuso o aperto, limitato o illimitato. 1 Þ 2 Þ 3 Þ exy xyþ4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi z ¼ ex 2x y 7 Þ 8 Þ ln ðy x2 Þ z ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 x2 y 2 9 Þ z¼ 5 Þ 6 Þ Determina gli eventuali punti stazionari della funzione f ðx, yÞ ¼ x3 þ 6xy2 12x e stabilisci se si tratta di punti di massimo o minimo relativo o di sella. pffiffiffi [(–2, 0): max; (2, 0): min; ð0; 2Þ: sella] 14 Þ z¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 16 x2 y 2 y z ¼ y ln ð4 x2 Þ þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 16 y 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi z ¼ x2 þ y 2 1 þ 18 2x2 2y 2 x z ¼ ln 2y sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 z¼ yþ2 4 Þ z ¼ ln x þ ln y þ Determina gli eventuali punti stazionari della 2 funzione f ðx, yÞ ¼ ðx yÞexy e stabilisci se si tratta di punti di massimo o minimo relativo o di sella. 1 1 min in , 2 2 15 Þ Determina i punti, appartenenti alla superficie di equazione z ¼ x3 y 3 x2 y 2 , in cui il piano tangente è orizzontale. 3 3 27 (0, 0, 0); , , 2 2 16 16 Þ Determina i punti, appartenenti alla superficie di equazione z ¼ x3 27x2 y 2 2y, in cui il piano tangente è orizzontale. [ð0, 1, 1Þ; ð18, 1, 2915Þ] 17 Þ ln x ln ðx yÞ rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x ffi y þ ln 10 z ¼ ln Þ x2 2y y C 3 Considera la funzione f ðx, yÞ ¼ xy2 . a. Scrivi l’equazione del piano tangente alla superficie di equazione z ¼ f ðx, yÞ nel suo punto di ascissa 2 e ordinata 1. b. Determina il minimo e il massimo assoluti della funzione, soggetta al vincolo x2 þ y 2 ¼ 12. [a. z ¼ x 4y þ 4; b. max ¼ 16, pffiffiffi pffiffiffi raggiunto in ð2, 2 2Þ, min ¼ 16 in ð2, 2 2Þ] 18 Þ 11 Il dominio di una funzione z ¼ f ðx, yÞ è il rettanÞ golo ABCD in figura. Rappresenta il dominio della funzione z ¼ f ðx y, x þ yÞ. D Determina gli eventuali punti stazionari della funzione f ðx, yÞ ¼ x3 6x2 y 2 þ 4y e stabilisci se si tratta di punti di massimo o minimo relativo oppure di sella. [(0, 2): max; (4, 2): sella] 13 Þ 2 Determina il minimo e il massimo assoluti della funzione f ðx, yÞ ¼ x y, soggetta al vincolo: 19 Þ 1 x –3 –2 –1 O –1 1 2 x2 þ 4y 2 ¼ 20 3 [Max ¼ 5 in ð4, 1Þ e min ¼ 5 in ð4, 1Þ] –2 A –3 Determina il minimo e il massimo assoluti della funzione f ðx, yÞ ¼ 2xy, soggetta al vincolo: 20 Þ B Il dominio di una funzione z ¼ f ðx, yÞ è il rettangolo ABCD in figura. Rappresenta il dominio della funzione z ¼ f ðx2 þ y 2 , x þ yÞ. 12 Þ D y C 2 1 x –4 –3 –2 –1 O –1 A 76 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P –2 1 2 3 4 B x2 þ y 2 xy ¼ 12 pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi [Max ¼ 24 in ð2 3, 2 3Þ e ð2 3, 2 3Þ; min ¼ 8 in ð2, 2Þ e ð2, 2Þ] Determina il minimo e il massimo assoluti della funzione f ðx, yÞ ¼ 2xy2 y 4 , soggetta ai vincoli: x 0, y 0 21 Þ y 1x 3 1 1 Min ¼ 1 in ð0, 1Þ e max ¼ in , 16 2 2 Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 22 Þ Determina a e b in modo che ð1, 1Þ risulti un punto stazionario per la funzione f ðx, yÞ ¼ axy 2 þ by 3 þ x4 . 8 a ¼ 4, b ¼ 3 Tema A 23 Þ Determina a e b in modo che ð1, 1Þ risulti un punto stazionario per la funzione f ðx, yÞ ¼ ax2 y þ by 2 þ x3 . 3 3 a¼ ,b¼ 2 4 24 Þ Determina per quali valori di k il piano di equazione z ¼ k è tangente alla superficie di equazione: Verso le competenze z ¼ ex x þ y 3 3y 25 Þ [k ¼ 1 _ k ¼ 3] Determina per quali valori di k il piano di equazione z ¼ k è tangente alla superficie di equazione: z ¼ x2 4x þ xy2 [k ¼ 4 _ k ¼ 0] Considera la superficie di equazione z ¼ kx2 ðk 2Þy 3 . Determina k in modo che il piano tangente alla superficie nel suo punto di ascissa 1 e ordinata 1 sia: a. passante per l’origine; b. parallelo all’asse x; 4 c. parallelo all’asse y. a. k ¼ ; b. k ¼ 0; c. k ¼ 2 3 26 Þ Considera la superficie di equazione z ¼ ðk 1Þx3 2kxy2 . Determina k in modo che il piano tangente alla superficie nel suo punto di ascissa 2 e ordinata 1 sia: a. passante per l’origine; b. parallelo all’asse x; 6 c. parallelo all’asse y. a. k ¼ 2; b. k ¼ ; c. k ¼ 0 5 27 Þ 28 Þ Determina per quali valori di k l’origine risulta un punto di sella per la funzione: f ðx, yÞ ¼ x2 ky 2 xy2 y 2 29 Þ [k 1] Determina per quali valori di k l’origine risulta un punto di massimo relativo per la funzione: f ðx, yÞ ¼ 2x2 xy3 y 2 kx2 [k > 2] RISOLVERE PROBLEMI E COSTRUIRE MODELLI Un’azienda può produrre un bene presso due diversi stabilimenti. Il costo (in euro) per la produzione di q1 unità del bene presso il primo stabilimento è espresso dalla funzione C1 ¼ q21 þ 2q1 þ 250. Il costo (in euro) per la produzione di q2 unità del bene presso il secondo stabilimento è espresso dalla funzione C2 ¼ 2q22 þ 10q2 þ 100. Ogni unità del bene, indipendentemente dallo stabilimento di produzione, viene venduta a 50 euro. Supponiamo che vengano prodotte q1 unità nel primo stabilimento, q2 nel secondo e che tutte queste unità prodotte vengano vendute; affinché l’utile generato da tale vendita sia massimo, come dovrebbero essere le quantità q1 e q2 ? [q1 ¼ 24, q2 ¼ 10] 30 Þ Un’azienda produce due modelli di un certo tipo di armadi, il modello standard e il modello di lusso. Il costo settimanale per la produzione di x armadi del tipo standard e y armadi di lusso è espresso dalla funzione: 31 Þ Cðx, yÞ ¼ 60x þ 80y 2xy þ 5000 Ogni settimana devono essere prodotti almeno 80 armadi standard e almeno 100 armadi di lusso; inoltre gli armadi standard prodotti possono essere al massimo 200 e gli armadi di lusso prodotti possono essere al massimo 150. Quanti armadi standard e quanti di lusso dovrebbero essere prodotti in una settimana, per minimizzare i costi? [200 armadi standard e 150 di lusso] Il profitto derivante dalla vendita della quantità x di un primo bene e della quantità y di un secondo bene è espresso dalla funzione: 32 Þ Uðx, yÞ ¼ 40x þ 60y 0,2 2x2 þ y 2 Le quantità x e y sono misurate in kilogrammi e non può essere venduta complessivamente una quantità dei due beni superiore a 1 t. Determina le quantità dei due beni che dovrebbero essere vendute per ottenere il massimo profitto. [50 kg del primo bene e 150 kg del secondo] 77 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema A Verso le competenze Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA La funzione di produzione di un dato bene è Q ¼ 800K 0,75 L0,25 , indicando con K il capitale e con L il lavoro. Il costo dei fattori di produzione è 50 euro per ogni unità di capitale e 25 euro per ogni unità di lavoro. Nell’ipotesi che il costo complessivo di produzione debba essere di 10 000 euro, determina la combinazione dei fattori produttivi K ed L che consente di ottenere la produzione massima. [K ¼ 150, L ¼ 100] 33 Þ Tra i punti appartenenti al piano di equazione x 2y z þ 4 ¼ 0, determina quello più vicino all’origine. (Suggerimento: è sufficiente minimizzare il quadrato della distanza di un generico punto appartenente al piano dal l’origine) 2 4 2 , , 3 3 3 34 Þ 35 Þ Determina il punto più vicino all’origine, appartenente alla superficie di equazione z ¼ x2 2y þ 1. 2 1 0, , 5 5 VERSO LE PROVE INVALSI La regione di piano in figura rappresenta il dominio di quale delle seguenti funzioni? pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi A z¼ x2 y 2 þ ln ð4 x2 y 2 Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi B z¼ 4 x2 y 2 þ ln ðx2 y 2 Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 y 2 C z¼ ln ð4 x2 y 2 Þ 1 Þ D Da che cosa è costituito il dominio della funziox2 y xy2 ? ne z ¼ x 2y 1 2 Þ A B C D Nessuna delle precedenti 3 Þ y A 2 B 1 C D –2 O –1 1 2 x 4 Þ Da tutto R2 Da R2 fð0, 0Þg Da R2 , esclusi i punti di una retta Da un semipiano aperto pffiffiffi Il dominio della funzione z ¼ x þ ln y è: un insieme aperto un insieme chiuso un insieme che non risulta né aperto né chiuso un insieme limitato Quale delle seguenti funzioni è continua in tutto 2 R ? –1 A –2 B x2 þ y2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi z ¼ x2 þ y 2 1 z¼ x2 C z ¼ ln ðx2 þ y 2 þ 1Þ D z¼ 1 ln ðx2 þ y 2 þ 1Þ Completa la seguente tabella scrivendo, a fianco dell’insieme descritto a parole e rappresentato nella prima colonna, la rappresentazione analitica dell’insieme stesso e l’espressione analitica di una funzione che abbia come dominio tale insieme. 5 Þ Descrizione e rappresentazione dell’insieme Rappresentazione analitica dell’insieme rappresentato Espressione analitica di una funzione che ha come dominio l’insieme rappresentato L’insieme costituito dai punti appartenenti al primo e al terzo quadrante. ......................................................................... ......................................................................... ......................................................................... ......................................................................... y 2 1 –2 –1 O –1 –2 78 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P 1 2 x Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA ......................................................................... ......................................................................... ......................................................................... ......................................................................... ......................................................................... ......................................................................... ......................................................................... ......................................................................... Tema A La striscia di piano limitata dalla due rette r ed s. y s Verso le competenze 4 3 r 2 1 x O –1 1 2 3 L’insieme costituito dai punti interni del cerchio avente centro nell’origine e raggio 3. y 3 2 1 x –3 –2 –1 O –1 1 2 3 –2 –3 6 Þ A 7 Þ A 8 Þ Data la funzione f ðx, yÞ ¼ x3 y þ 3x4 y 2 , quanto vale f 0x ð1, 1Þ þ f 0y ð1, 1Þ? 4 B C 3 D 4 D 15 Quanto vale l’hessiano della funzione f ðx, yÞ ¼ x3 y þ xy2 nel punto ð1, 2Þ? 50 B 25 C 0 2 Quale delle seguenti è la derivata parziale prima della funzione f ðx, yÞ ¼ x2 exy rispetto alla variabile x? A f 0x ðx, yÞ ¼ 2x3 yexy B f 0x ðx, yÞ ¼ exy ðx2 y 2 þ 2xÞ 9 Þ 2 2 2 C f 0x ðx, yÞ ¼ 2xexy D f 0x ðx, yÞ ¼ 2xy2 exy 2 2 2 Quale delle seguenti è la derivata parziale prima della funzione f ðx, yÞ ¼ x2 exy rispetto alla variabile y? A f 0y ðx, yÞ ¼ 2x3 yexy B f 0y ðx, yÞ ¼ exy ðx2 y 2 þ 2xÞ 2 2 C f 0y ðx, yÞ ¼ x2 e2xy D f 0y ðx, yÞ ¼ 2xy2 exy 2 Stabilisci quali affermazioni sono vere e quali sono false, relativamente a una funzione f : R2 ! R, continua in tutto R2 e dotata di derivate parziali continue. 10 Þ a. se f 0x ð1, 2Þ ¼ f 0y ð1, 2Þ ¼ 0, allora ð1, 2Þ è un punto di estremo relativo per la funzione f V F b. se ð1, 2Þ è un punto stazionario per la funzione f e risulta Hð1, 2Þ < 0, allora ð1, 2Þ è un punto di sella V F c. se l’hessiano della funzione f è nullo in corrispondenza del punto ð1, 2Þ allora ð1, 2Þ può essere un punto di massimo o minimo relativo, ma non di sella V F V F d. se (1, 2) è un punto stazionario per la funzione f e risulta Hð1, 2Þ > 0 ed è un punto di massimo relativo per la funzione f 11 Þ A f 00xx ð1, 2Þ < 0, allora ð1, 2Þ Quale dei seguenti è un punto di minimo relativo per la funzione f ðx, yÞ ¼ 6x x3 2y 2 ? pffiffiffi pffiffiffi B ð0, 0Þ C ð 2, 0Þ D Nessuno dei precedenti ð 2, 0Þ 79 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema A Verso le competenze Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA È data la funzione f ðx, yÞ ¼ x2 y. a. Spiega perché possiamo essere certi che esiste il piano tangente alla superficie di equazione z ¼ x2 y nel suo punto di ascissa 1 e ordinata 2. 12 Þ ................................................................................................................................................................................................................................................................. b. Scrivi l’equazione del piano tangente: ................................................................................................................................................................................................................................................................. c. Riporta i calcoli necessari per giungere all’equazione di cui al punto b. ................................................................................................................................................................................................................................................................. La funzione f ðx, yÞ ¼ x3 3y 2 , soggetta al vincolo x2 þ y 2 ¼ 4: A ammette massimo assoluto uguale a 12 e minimo assoluto uguale a 8 B ammette massimo assoluto uguale a 8 e minimo assoluto uguale a 12 C presenta massimo assoluto uguale a 10 mentre non ammette minimo assoluto D presenta minimo assoluto uguale a 10 mentre non ammette massimo assoluto 2 x 2 3 2 14 La funzione f ðx, yÞ ¼ x 2y y , soggetta ai vincoli : Þ 2 y 2 13 Þ A B C D 15 Þ ammette massimo assoluto uguale a 9 e minimo assoluto uguale a 16 ammette massimo assoluto uguale a 10 e minimo assoluto uguale a 15 presenta massimo assoluto uguale a 11 mentre non ammette minimo assoluto presenta minimo assoluto uguale a 14 mentre non ammette massimo assoluto Nella figura sono state tracciate alcune linee di livello; a quale delle seguenti funzioni appartengono? A z ¼ x2 þ 4y B z ¼ x2 þ 4y 2 3 C z ¼ x2 4y 2 2 D z ¼ 4xy 1 16 Þ Quanto vale A 0 B 1 C þ1 D Non esiste 17 Þ A y lim ðx, yÞ!ð0;0Þ x x3 y ? x4 þ y 4 –6 –5 –4 –3 –2 –1 O –1 1 2 3 4 5 6 –2 –3 Data la funzione f ðx, yÞ ¼ x3 y 3 2xy, quanto vale f 00xx þ f 00xy þ f 00yx þ f 00yy nel punto ð1, 1Þ? 8 B 4 C 4 D 8 L’utile U (in euro) derivante dalla vendita della quantità q1 di un certo bene e della quantità q2 di un altro bene è espresso dalla funzione U ¼ 150q1 þ 90q2 4q21 q22 2q1 q2 . Qual è l’utile massimo che è possibile ottenere? 18 Þ A 1500 euro B 2325 euro C 5000 euro D 6725 euro Un’azienda riceve un ordine di 100 unità di un dato bene. Il bene può essere prodotto presso due diversi stabilimenti, 1 e 2. Il costo complessivo C per produrre q1 unità del bene nello stabilimento 1 e q2 unità nello stabilimento 2 è espresso dalla funzione C ¼ 2q21 þ 0; 5q22 þ 24q1 þ 4q2 . Come va suddivisa la produzione delle 100 unità del bene tra i due stabilimenti in modo da minimizzare il costo complessivo? 19 Þ A B 80 unità nello stabilimento 1 e 20 nel 2 20 unità nello stabilimento 1 e 80 nel 2 C D 16 unità nello stabilimento 1 e 84 nel 2 84 unità nello stabilimento 1 e 16 nel 2 Una superficie z ¼ f ðx, yÞ è tale che tutte le sue sezioni con piani paralleli al piano xz sono rette e tutte le sue sezioni con piani paralleli al piano yz sono rette. È vero, allora, che la superficie deve essere necessariamente un piano? NO a. Risposta: SÌ 20 Þ b. Giustifica la tua risposta: ................................................................................................................................................................................................................................................................. 80 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA TEMA B Ricerca operativa Già nel volume precedente abbiamo affrontato, con gli strumenti dell’analisi, problemi il cui obiettivo era quello di compiere una scelta ottima, per esempio ai fini di minimizzare un costo o massimizzare un profitto. Esistono tuttavia svariati altri tipi di problemi decisionali, per affrontare molti dei quali gli strumenti dell’analisi non sono sufficienti: per esempio, per scegliere tra alternative che dipendono da eventi aleatori è necessario l’ausilio degli strumenti del calcolo della probabilità; per scegliere tra varie PREREQUISITI 3Massimi e minimi per le funzioni di una variabile 3Valore medio, varianza e deviazione standard di una variabile aleatoria 3Regime di interesse composto e rendite COMPETENZE 3Utilizzare modelli matematici per risolvere problemi di scelta di vario tipo, sia in condizione di certezza sia in condizione di incertezza proposte di investimento o di finanziamento occorre utilizzare anche gli strumenti della matematica finanziaria. Data la frequenza e la rilevanza dei problemi di scelta che naturalmente sorgono per esempio nella pianificazione industriale, è nata (in tempi relativamente recenti, durante la Seconda Guerra Mondiale) una disciplina specifica, la ricerca operativa, che si occupa proprio dello sviluppo e dell’applicazione di metodi quantitativi che consentano di affrontare razionalmente problemi decisionali complessi. Nelle prossime Unità getteremo uno sguardo su questa disciplina. Unità 2 Problemi di scelta in condizione di certezza Unità 3 Problemi di scelta con effetti differiti e in condizione di incertezza Unità 4 Programmazione lineare Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Una parte importante della ricerca operativa è la cosiddetta programmazione lineare. Essa si occupa di trovare la migliore distribuzione di un certo numero di risorse, secondo un determinato criterio di ottimizzazione che può consistere nel minimizzare un costo o massimizzare un profitto. Tecniche di programmazione lineare sono state utilizzate per esempio da molte compagnie aeree sia per minimizzare i costi del carburante, sia per ottimizzare la gestione degli equipaggi. Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Unità 2 Problemi di scelta in condizione di certezza Tema B 1. Introduzione alla ricerca operativa Che cos’è la ricerca operativa Dalla storia Le ricerca operativa è una disciplina relativamente recente. I primi studi di ricerca operativa risalgono infatti alla fine degli anni Trenta del secolo scorso, e nascono allo scopo di ottimizzare l’efficienza di alcune operazioni militari durante la Seconda Guerra Mondiale. L’espressione «ricerca operativa» deriva dall’inglese operational research. Attenzione! Nei modelli semplificati che prenderemo in considerazione i dati saranno già forniti (quindi non ci occuperemo della fase della raccolta delle informazioni) e i modelli matematici saranno molto elementari, tali da potere essere affrontati anche «a mano». Occorre tenere presente però che nei problemi reali i modelli matematici possono contenere decine di migliaia di vincoli e centinaia di migliaia di variabili, nel qual caso sono risolvibili solo con l’ausilio del calcolatore, tramite opportuni algoritmi. Inoltre, a causa della complessità dei problemi che si pongono nella realtà, è sovente necessario che il gruppo di ricercatori incaricato di risolvere il problema sia formato da specialisti di varie discipline (matematici, statistici, fisici, ingegneri, economisti ecc.). 82 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P La ricerca operativa è la disciplina che si occupa dello studio e dell’applicazione di metodi quantitativi alla risoluzione di problemi decisionali complessi. Tipicamente, si presentano problemi di questo tipo nella pianificazione della produzione industriale e nell’organizzazione aziendale, ma anche in svariati altri ambiti, quali la finanza, la gestione del traffico aereo o ferroviario, la progettazione di reti di telecomunicazione e di circuiti elettronici ecc. Per esempio, la ricerca operativa può fornire strumenti utili al fine di: decidere come gestire le scorte di magazzino in modo da minimizzare i costi complessivi; scegliere tra varie possibilità di investimento in modo da minimizzare i rischi o massimizzare i ricavi; stabilire dove costruire celle telefoniche in modo da massimizzare la copertura del territorio o minimizzare i costi; progettare una scheda madre in modo da minimizzare le lunghezze dei percorsi seguiti dai segnali elettrici. L’approccio a un problema di ricerca operativa e la sua risoluzione si suddividono solitamente nelle seguenti fasi, comuni a tutti gli ambiti della modellizzazione matematica: 1. formulazione del problema da risolvere e raccolta delle informazioni (i dati); 2. costruzione del modello matematico; 3. risoluzione del modello; 4. validazione del modello (per stabilire se interpreta bene la realtà) e interpretazione delle soluzioni ottenute in relazione al problema reale. Tipicamente, nella costruzione del modello matematico di un problema di ricerca operativa, si individuano: una funzione y ¼ f ðx1 , x2 , ..., xn ), detta funzione obiettivo, dove x1 , x2 , ..., xn sono le variabili indipendenti (in questo contesto chiamate talvolta variabili d’azione o variabili di decisione); un insieme di vincoli, espressi tramite equazioni o disequazioni nelle variabili, che esprimono i legami esistenti tra le variabili stesse e le limitazioni derivanti dallo specifico problema in esame. In particolare, i vincoli del tipo x1 0, x2 0, ..., xn 0 vengono detti vincoli di segno, mentre gli altri vincoli vengono detti vincoli tecnici. L’insieme dei valori delle variabili per cui tutti i vincoli sono soddisfatti costituisce la regione (o l’insieme) ammissibile. Il modello del problema consiste precisamente nel determinare il massimo o il minimo della funzione obiettivo nella regione ammissibile. I problemi di scelta e la loro classificazione Getteremo uno sguardo sulla ricerca operativa relativamente ai cosiddetti problemi di scelta (o di decisione). Una prima classificazione di tali problemi può essere effettuata sulla base del numero delle variabili utilizzate per costruirne il modello matematico: un problema può essere in una variabile o in più variabili; in ciascuno dei due casi poi il problema può essere discreto, se i valori che possono assumere le variabili sono in numero finito, oppure continuo, se le variabili Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Unità 2 possono assumere (almeno teoricamente) tutti i valori di uno o più intervalli reali (Figura 2.1). In questa Unità tratteremo problemi in una variabile (sia discreti sia continui), mentre nell’Unità 4 tratteremo alcuni particolari problemi in più variabili: i problemi di programmazione lineare. Problemi di scelta in condizione di certezza discreti in una variabile continui Problemi di scelta discreti in più variabili continui Figura 2.1 Un’altra classificazione dei problemi di scelta (Figura 2.2) è legata alle condizioni in cui la scelta stessa deve essere operata; un problema di scelta si dice: in condizione di certezza, se la decisione deve essere presa sulla base di dati certi e le conseguenze della decisione sono determinabili a priori; in condizione di incertezza, se intervengono nel problema delle grandezze che dipendono da eventi aleatori (grandezze che nella costruzione del modello matematico saranno perciò rappresentate da variabili aleatorie, di cui può essere nota o meno la distribuzione di probabilità); con effetti immediati, se l’intervallo di tempo che intercorre tra la scelta e la sua realizzazione è breve e non ha conseguenze sulle grandezze economiche in gioco (come per esempio la scelta della quantità di un dato bene da produrre); con effetti differiti, se l’intervallo di tempo che intercorre tra la scelta e i suoi effetti ha conseguenze rilevanti sulle grandezze economiche in gioco e va quindi necessariamente preso in considerazione (come per esempio nella scelta di investimenti o finanziamenti). a effetti immediati in condizione di certezza a effetti differiti Problemi di scelta in condizione di incertezza Figura 2.2 a effetti immediati a effetti differiti Prova tu ESERCIZI a p. 97 Inventa qualche esempio di problema di scelta e classificalo in base alle caratteristiche delle variabili e alle condizioni in cui la scelta deve essere operata. 2. Problemi di scelta in condizione di certezza (caso continuo) In questo paragrafo prenderemo in considerazione problemi di scelta in condizione di certezza nel caso continuo, limitatamente a problemi che si formalizzano tramite una sola variabile. In questi casi la funzione obiettivo y ¼ f ðxÞ sarà una funzione reale di variabile reale e il modello del problema consisterà nel trovare il massimo o il minimo (assoluto) della funzione obiettivo nella regione ammissibile D. 83 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Tema B Ricerca operativa Supponendo che la funzione sia continua e derivabile in D, eccetto al più un numero finito di punti, il problema si può allora risolvere tramite i metodi dell’analisi visti nel volume precedente: 1. si determinano gli eventuali punti stazionari della funzione f in D; 2. si valuta la funzione f nei punti di frontiera dell’insieme D (ovvero negli estremi se D è un intervallo), negli eventuali punti di discontinuità o di non derivabilità e nei punti stazionari; il più grande e il più piccolo dei valori trovati sono il massimo e il minimo assoluto di f in D (supposto che questi ultimi esistano). PROBLEMA 1 Massimizzare un utile Un grossista di prodotti alimentari si rifornisce ogni settimana di un certo prodotto, che acquista al prezzo di 20 euro al kilogrammo per ordini fino a 100 kg e al prezzo scontato del 20% per ordini superiori ai 100 kg. Ogni settimana il grossista sostiene per la conservazione del prodotto acquistato un costo variabile pari, in euro, al 5% del quadrato del numero di kilogrammi acquistati e un costo aggiuntivo fisso di 250 euro se la quantità acquistata è superiore ai 100 kg. Il grossista rivende il prodotto acquistato al prezzo di 28 euro al kilogrammo; inoltre, la massima quantità che può acquistare settimanalmente è di 200 kg. Determinare la quantità di prodotto che il grossista deve acquistare ogni settimana per conseguire il massimo utile, supponendo che tutta la quantità acquistata venga rivenduta. FAMILIARIZZIAMO CON IL PROBLEMA Dati Costi: 20 euro al kg þ 5% (in euro) del quadrato del numero di kilogrammi acquistati, per acquisti fino a 100 kg 20 euro scontati del 20% al kg þ 5% (in euro) del quadrato del numero di kilogrammi acquistati þ 250 euro, per acquisti superiori ai 100 kg Prezzo di vendita: 28 euro/kg Capacità massima settimanale di acquisto: 200 kg Obiettivo La quantità che massimizza l’utile COSTRUIAMO IL MODELLO DEL PROBLEMA Indichiamo con x la quantità di prodotto (in kilogrammi) acquistata dal grossista in una settimana; il ricavo (in euro) è espresso dalla funzione: RðxÞ ¼ 28x I costi sono espressi dalla funzione: 20x þ 0,05x2 0 x 100 CðxÞ ¼ 100 < x 200 16x þ 0,05x2 þ 250 Pertanto l’utile è espresso dalla funzione: 28x ð20x þ 0,05x2 Þ 0 x 100 UðxÞ ¼ 28x ð16x þ 0,05x2 þ 250Þ 100 < x 200 Osserva Poiché il 20% di 20 euro corrisponde a 4 euro, il prezzo scontato è di 16 euro al kg. Inoltre: 5 ¼ 0,05 5% ¼ 100 ossia: UðxÞ ¼ 0,05x2 þ 8x 0,05x2 þ 12x 250 0 x 100 100 < x 200 [2.1] La variabile x è soggetta inoltre al vincolo: 0 x 200 Il modello del nostro problema è dunque quello di trovare il massimo della funzione [2.1], nell’intervallo 0 x 200. RISOLVIAMO IL MODELLO La funzione [2.1] è certamente continua e derivabile nell’intervallo 0 x 200, eccetto che per x ¼ 100. Per determinare il suo massimo assoluto dobbiamo quindi confrontare i valori assunti dalla funzione nei suoi eventuali punti stazionari con i valori assunti agli estremi dell’intervallo dove la funzione è definita (x ¼ 0, x ¼ 200) e con il valore assunto nel punto di discontinuità x ¼ 100. 84 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA – il vertice V1 della parabola che rappresenta la funzione per 0 x 100 ha ascissa: – 8 ¼ 80 2ð0,05Þ il vertice V2 della parabola che rappresenta la funzione per 100 < x 200 ha ascissa xV2 ¼ 12 ¼ 120 2ð0,05Þ Poiché 80 appartiene all’intervallo 0 x 100 e 120 appartiene all’intervallo 100 < x 200, i due punti x ¼ 80 e x ¼ 120 sono effettivamente punti stazionari della funzione [2.1] (e non possono essercene altri). Confrontiamo ora i valori assunti dalla funzione [2.1] nei punti stazionari e nei tre punti x ¼ 0, x ¼ 100 e x ¼ 200. Abbiamo: Uð0Þ ¼ 0 Uð80Þ ¼ 320 Uð100Þ ¼ 300 Uð120Þ ¼ 470 Uð200Þ ¼ 150 Ne deduciamo che il massimo assoluto della funzione viene raggiunto quando x ¼ 120, e vale 470. Ciò è confermato dal grafico della funzione riportato qui sotto: y V2 Problemi di scelta in condizione di certezza xV1 ¼ Unità 2 In ciascuno dei due intervalli 0 x 100 e 100 < x 200 la funzione [2.1] ha come grafico un arco di parabola, pertanto gli eventuali punti stazionari possono essere soltanto le ascisse dei loro vertici: 450 V1 300 150 O 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 x RISPONDIAMO Il grossista dovrebbe acquistare settimanalmente la quantità di 120 kg; tale quantità gli consente di generare l’utile massimo, uguale a 470 euro. Prova tu ESERCIZI a p. 98 Un’industria produce un concime, che vende in lotti composti al massimo da 200 kg. Il costo sostenuto dall’azienda per un lotto è costituto da una spesa fissa di 250 euro, un costo di 5 euro per ogni kilogrammo del lotto e un ulteriore costo (in euro) uguale all’1% del quadrato del numero di kilogrammi del lotto. Da quanti kilogrammi di concime dovrebbe essere costituito un lotto per minimizzare il costo medio del concime? Fornisci il risultato arrotondato a un numero intero. [158] 3. Problemi di scelta in condizione di certezza (caso discreto) Esaminiamo ora alcuni problemi di scelta in condizione di certezza che, a differenza di quelli trattati nel paragrafo precedente, non sono continui ma discreti. Distinguiamo due casi. 1. È nota o si riesce a determinare l’espressione analitica y ¼ f ðxÞ della funzione obiettivo In questo caso si risolve inizialmente il problema come se fosse continuo; una volta determinato il valore, diciamo x0 , che fornisce l’ottimo nel continuo, si possono presentare due casi: a. se x0 è un valore intero, esso fornisce l’ottimo anche del problema discreto originario; 85 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Tema B Ricerca operativa b. se x0 non è un valore intero, occorre esaminare attentamente la situazione caso per caso, tenendo presente il grafico della funzione del problema continuo, per stabilire dove cade l’ottimo nel caso discreto. Nei casi che prenderemo in considerazione, l’ottimo nel caso discreto verrà solitamente raggiunto in corrispondenza di uno dei due valori interi più vicini a x0 (ossia in corrispondenza di uno dei due valori interi che approssimano x0 rispettivamente per difetto e per eccesso); tuttavia, per non incorrere in errori, bisogna tenere presente che questa non è una regola valida in generale (fig. 2.3), cosı̀ come in generale non è vero che l’ottimo nel caso discreto viene raggiunto in corrispondenza del valore che si ottiene arrotondando x0 a un numero intero (fig. 2.4). y y 1 0,8 O 1 1,5 2 punto di massimo assoluto (nel continuo) 3 4 0,5 x punto di massimo assoluto (nel discreto) O 1 1,3 punto di massimo assoluto (nel continuo) 2 x punto di massimo assoluto (nel discreto) Figura 2.3 Il punto di massimo assoluto nel caso Figura 2.4 Il punto di massimo assoluto nel caso della funzione il cui della funzione il cui grafico è tracciato in figura è x ¼ 1,5. Restringendo il dominio della funzione ai soli valori interi, il massimo assoluto si ottiene per x ¼ 3, che non corrisponde a nessuno dei due valori interi più vicini a 1,5 (cioè né a 1 né a 2). grafico è tracciato in figura è x ¼ 1,3. Restringendo il dominio della funzione ai soli valori interi, il massimo assoluto si ottiene per x ¼ 2, valore che non corrisponde all’arrotondamento a un numero intero di 1,3 (cioè a 1). PROBLEMA 2 Massimizzare un ricavo Gli organizzatori di un corso di computer, sulla base di statistiche relative ai corsi precedenti, si aspettano che: fissando, come prezzo del corso, 600 euro per persona, si iscriveranno 250 persone; ogni diminuzione di 30 euro del prezzo del corso comporterà 20 iscritti in più. Supponendo che il prezzo possa essere diminuito soltanto di un multiplo di 30 euro, gli organizzatori si chiedono quale prezzo dovrà essere fissato per ottenere il massimo ricavo possibile. FAMILIARIZZIAMO CON IL PROBLEMA Prima di risolvere il problema, prova a riflettere sulla situazione proposta: ti sembra più probabile riuscire ad aumentare il ricavo aumentando il prezzo del corso o diminuendolo? Se aumentiamo il prezzo del corso, probabilmente avremo meno iscritti, quindi si pone il seguente problema: l’aumento nel prezzo sarà compensato dalla diminuzione degli iscritti? Se diminuiamo il prezzo, invece, avremo probabilmente più iscritti: ma l’aumento degli iscritti sarà sufficiente a compensare la diminuzione del prezzo? DETERMINIAMO IL MODELLO ALGEBRICO DEL PROBLEMA Supponiamo di effettuare x diminuzioni di 30 euro nel prezzo del corso. Allora: Il prezzo del corso (in euro, per persona) è 600 30x Il numero di iscritti atteso diventa 250 þ 20x Il ricavo, che indichiamo con RðxÞ, è allora espresso dalla seguente funzione: RðxÞ ¼ ð600 30xÞð250 þ 20xÞ [2.2] La variabile x è soggetta ai seguenti vincoli: dovrà essere x 0 e 600 30x 0, cioè 0 x 20, con x 2 N. Il modello del problema è allora il seguente: determinare per quale valore di x, con 0 x 20 e x 2 N, la funzione [2.2] assume valore massimo. 86 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Come abbiamo detto poc’anzi, risolviamo inizialmente il problema nel continuo. La funzione: ossia: y ¼ 600x2 þ 4500x þ 150 000 è di 2 grado, quindi il suo grafico è una parabola; inoltre tale parabola ha la concavità rivolta verso il basso, dunque la funzione [2.2] presenta un punto di massimo (assoluto) in corrispondenza del vertice della parabola. L’ascissa del vertice può essere determinata calcolando la derivata prima y 0 e risolvendo l’equazione y 0 ¼ 0 oppure utilizzando la nota formula per il calcolo dell’ascissa del vertice di una parabola. Seguendo quest’ultima via otteniamo: xV ¼ b 4500 15 ¼ ¼ ¼ 3,75 2a 2ð600Þ 4 Il grafico della parabola è approssimativamente quello riportato in figura. y 180 000 V 160 000 140 000 Problemi di scelta in condizione di certezza y ¼ RðxÞ ¼ ð600 30xÞð250 þ 20xÞ Unità 2 RISOLVIAMO IL MODELLO 120 000 100 000 80 000 60 000 40 000 20 000 O –4 –3 –2 –1 –20 000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 x –40 000 3,75 Concludiamo dunque che il valore massimo della funzione [2.2] viene raggiunto quando x è uguale a 3,75. Il massimo nel corrispondente caso discreto, come appare chiaramente dalla figura, deve essere raggiunto in uno dei due valori interi che approssimano 3,75 per difetto e per eccesso, cioè in x ¼ 3 o in x ¼ 4. Poiché risulta: Rð3Þ ¼ 158 100 e Rð4Þ ¼ 158 400 concludiamo che il massimo ricavo viene raggiunto quando x ¼ 4. RISPONDIAMO Il massimo ricavo, uguale a 158 400 euro, viene raggiunto fissando per il corso il prezzo di: 600 30 4 ¼ 480 euro La diminuzione del prezzo, dunque, è ampiamente compensata dall’aumento degli iscritti (se il prezzo del corso fosse stato fissato a 600 euro, il ricavo atteso sarebbe stato di 600 250 ¼ 150 000 euro: 8400 euro in meno!). Un altro criterio spesso utilizzato in economia per determinare l’ottimo di una funzione y ¼ f ðxÞ, con x variabile discreta, è quello dell’analisi marginale. Tale metodo consiste nello studiare il segno della variazione f subita dalla funzione in corrispondenza di due valori successivi della variabile x: f ¼ f ðx þ 1Þ f ðxÞ Se la variazione è positiva la funzione è crescente (cosı̀ come nel continuo se la derivata è positiva la funzione è crescente), mentre se la variazione è negativa la funzione è decrescente (cosı̀ come nel continuo se la derivata è negativa la funzione è decrescente); pertanto la funzione presenterà un punto di minimo (massimo) in x quando nel passare da x a x þ 1 la variazione f da negativa (positiva) diventa per la prima volta positiva (negativa). 87 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA ESEMPIO Analisi marginale In riferimento alla funzione obiettivo del problema precedente, ossia alla funzione ricavo: RðxÞ ¼ 600x2 þ 4500x þ 150 000 con x 2 N la funzione ricavo marginale è: Tema B Rma ðxÞ ¼ Rðx þ 1Þ RðxÞ ¼ ¼ 600ðx þ 1Þ2 þ 4500ðx þ 1Þ þ 150 000 ð600x2 þ 4500x þ 150 000Þ ¼ ¼ 300ð13 4xÞ Il ricavo marginale risulta negativo per x > 13 ¼ 3,25, ossia, dovendo essere 4 13 ¼ 3,25, ossia, dovendo essere x 2 N, 4 per x 3. Ne segue che la funzione ricavo marginale risulta crescente fino a x ¼ 3 e decrescente da x ¼ 4 in poi. Per x ¼ 4 il ricavo marginale passa per la prima volta da positivo a negativo, dunque x ¼ 4 corrisponde al punto di massimo della funzione. x 2 N, per x 4, e positivo per x < 2. Non è possibile determinare l’espressione analitica della funzione obiettivo In questo caso si costruisce una tabella, in cui si calcolano tutti i valori della grandezza da rendere massima o minima, e dal loro confronto si deduce direttamente il valore cui corrisponde l’ottimo. ESEMPIO Un dato bene è venduto in lotti da 80 pezzi ciascuno. L’azienda che commercializza il prodotto, per la produzione di quest’ultimo, sostiene un costo fisso di 400 euro al giorno e un ulteriore costo di 10 euro per ogni pezzo prodotto. La massima capacità produttiva giornaliera è di 6 lotti. Il prezzo di vendita di ogni singolo lotto dipende dal numero di lotti prodotti in un giorno secondo la seguente tabella: Numero di lotti prodotti 1 2 3 4 5 6 Prezzo al lotto (in euro) 1500 1450 1380 1250 1120 980 Determiniamo quanti lotti devono essere prodotti in un giorno per realizzare il massimo utile, nell’ipotesi che tutti i lotti prodotti siano venduti. Poiché in questo caso le informazioni date non consentono di determinare l’espressione analitica della funzione dell’utile, per risolvere il problema costruiamo una tabella in cui calcoliamo l’utile in corrispondenza di tutti i possibili quantitativi prodotti in un giorno. Numero di lotti prodotti (e venduti) Prezzo al lotto (euro) Ricavo (euro) Costo di produzione (euro) 1 1500 1 1500 ¼ 1500 400 þ 10 Utile (euro) ¼ 1200 80 1500 1200 ¼ 300 unità contenute in un lotto 2 1450 2 1450 ¼ 2900 400 þ 10 160 ¼ 2000 2900 2000 ¼ 900 unità contenute in due lotti 3 1380 3 1380 ¼ 4140 400 þ 10 240 ¼ 2800 4140 2800 ¼ 1340 4 1250 4 1250 ¼ 5000 400 þ 10 320 ¼ 3600 5000 3600 ¼ 1400 5 1120 5 1120 ¼ 5600 400 þ 10 400 ¼ 4400 5600 4400 ¼ 1200 6 980 6 980 ¼ 5880 400 þ 10 480 ¼ 5200 5880 5200 ¼ 680 Osservando i valori degli utili dell’ultima colonna, concludiamo che l’utile massimo corrisponde a una produzione di 4 lotti. 88 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA ESERCIZI a p. 104 4. Il problema delle scorte Un importante problema che un’industria si trova spesso a dover affrontare è quello della gestione delle scorte, che ora illustriamo sviluppando un caso di esempio. 1. Formulazione del problema Supponiamo che un’industria abbia, in un dato periodo T, un fabbisogno uguale a Q di una certa materia prima, che ordina in quantità uguali e con frequenza regolare. Supponiamo inoltre che ogni ordinazione abbia un costo co , mentre la conservazione della merce in magazzino per il periodo T abbia un costo cm per ogni unità di materia prima. Il problema che si pone è il seguente: è preferibile ordinare tutta la materia prima occorrente in un’unica volta, all’inizio del periodo T (in modo da contenere le spese di ordinazione), oppure è preferibile eseguire molti ordinativi (in modo da avere in giacenza piccole quantità di merce e contenere cosı̀ le spese di magazzinaggio)? La scelta non appare immediata poiché, nel primo caso, a fronte del contenimento delle spese di ordinazione si ha un’elevata spesa di magazzinaggio; nel secondo caso, viceversa, al contenimento delle spese di magazzinaggio si oppone un innalzamento dei costi dovuti alle ordinazioni. Per operare una scelta razionale dobbiamo costruire un modello matematico. Problemi di scelta in condizione di certezza Un giornale periodico vende in media 5000 copie e viene venduto al prezzo di 2,60 euro a copia, mentre ogni copia ha un costo di 0,60 euro. Volendo aumentare le vendite, la proprietà del giornale si rivolge a un’agenzia specializzata che, dopo avere svolto un’indagine di mercato, stabilisce che per ogni diminuzione del prezzo di vendita di 0,10 euro a copia le vendite aumenterebbero in media di 500 copie. Supponendo che il prezzo posa essere diminuito soltanto di un multiplo di 10 centesimi, quale prezzo dovrebbe essere fissato per massimizzare l’utile? [2,10 euro] Unità 2 Prova tu 2. Costruzione del modello Indichiamo con x la quantità di merce da ordinare ogni volta (che in questa discussione supponiamo essere una variabile continua) e assumiamo le seguenti ipotesi semplificatrici: la materia prima viene consumata dalla produzione in modo uniforme nel tempo; non appena è terminata la materia prima di un’ordinazione, immediatamente arriva un nuovo rifornimento. Sotto queste ipotesi la quantità di materia prima in magazzino decresce in modo lineare, dunque il grafico della funzione che esprime tale quantità in funzione del tempo sarà del tipo di quello colorato in blu in fig. 2.5. livello massimo delle scorte (giacenza massima) livello medio delle scorte quantità di merce ordinata x x 2 livello minimo delle scorte (giacenza minima) O t1 t2 t3 t4 tempo Figura 2.5 Esaminiamo ora separatamente i costi di conservazione della merce in magazzino (brevemente detti «di magazzinaggio») e i costi dovuti agli ordini (nel periodo TÞ. 89 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Tema B Ricerca operativa a. Per quanto riguarda i costi di conservazione della merce, è come se nel magazx (valore medio tra la zino fosse tenuta costantemente una quantità uguale a 2 giacenza massima e la giacenza minima), quindi il costo di magazzinaggio delx la merce sarà uguale a cm . 2 b. Essendo Q la quantità di merce complessivamente necessaria e x la quantità di Q merce di ogni singolo ordine, saranno necessari ordini, aventi un costo x Q uguale a co . x Il costo complessivo di gestione del magazzino (comprensivo del costo per gli ordini e del costo di conservazione della merce) è allora espresso dalla funzione: y ¼ co Q x þ cm x 2 [2.3] Se indichiamo con C la capacità massima del magazzino, il modello del nostro problema diventa allora il seguente: Determinare il minimo della funzione y ¼ co Q x þ cm con il vincolo 0 < x C. x 2 3. Risoluzione del modello Q x Q cm La derivata prima della funzione y ¼ co þ cm è y0 ¼ co 2 þ . Tenendo x 2 x 2 conto che Q, co , cm sono tutte quantità positive, si verifica che il segno di y 0 per x > 0 e le relative conseguenze sull’andamento del grafico della funzione sono quelli riassunti nel seguente schema: 2co Q cm 0 y' − x + 0 y sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2co Q dunque la funzione presenta un punto stazionario di minimo per x ¼ . cm Attenzione, ora: il nostro problema richiede di determinare il minimo assoluto della funzione nell’intervallo 0 < x C, quindi dobbiamo chiederci se il valore sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2co Q x¼ appartiene o meno a tale intervallo. cm Possono presentarsi le due eventualità illustrate in fig. 2.6. y O y 2co Q cm C x a. Il punto stazionario di minimo cade nell’intervallo ð0, C Figura 2.6 90 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P O C 2co Q cm x b. Il punto stazionario di minimo non cade nell’intervallo ð0, C Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Unità 2 Nel primo caso il punto stazionario è anche punto di minimo assoluto nell’intervallo 0 < x C, mentre nel secondo caso il minimo assoluto della funzione in tale intervallo viene raggiunto per x ¼ C. PROBLEMA 3 Gestione del magazzino Una ditta, in un anno, ha bisogno di 5000 kg di una determinata materia prima. Ogni ordine costa 15 euro e i costi di magazzinaggio per la conservazione della materia prima ammontano, ogni anno, a 5 euro al kilogrammo. La capacità massima del magazzino è di 1000 kg. Determinare il quantitativo da ordinare ogni volta per rendere minimo il costo annuale complessivo di gestione del magazzino, e l’ammontare di quest’ultimo. FAMILIARIZZIAMO CON IL PROBLEMA Problemi di scelta in condizione di certezza 4. Risposta sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2co Q Se < C, il quantitativo da ordinare per minimizzare i costi complessivi è cm sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2co Q x¼ ; in caso contrario il quantitativo da ordinare è x ¼ C. cm Dati Q ¼ 5000 (in kg) co ¼ 15 (in euro/ordine) cm ¼ 5 (in euro/kg anno) C ¼ 1000 (in kg) Obiettivo Minimizzare i costi complessivi di gestione del magazzino COSTRUIAMO IL MODELLO DEL PROBLEMA Indichiamo con x il numero di kilogrammi da ordinare ogni volta; x è in questo caso una variabile continua. La funzione che esprime il costo complessivo è: y ¼ 15 5000 x þ5 x 2 y ¼ co Q x þ cm x 2 ossia y¼ 75 000 5 þ x x 2 [2.4] La variabile x dovrà inoltre essere soggetta al vincolo 0 < x 1000. Il modello del nostro problema è allora il seguente: trovare il valore di x, con 0 < x 1000, per cui la funzione [2.4] è minima, nonché il corrispondente valore della funzione. DETERMINIAMO IL PUNTO DI MINIMO L’ascissa del punto di minimo (stazionario) della funzione [2.4] è la soluzione positiva dell’equazione y 0 ¼ 0. Poiché y0 ¼ 75 000 5 þ 2 x 2 si ha l’equazione: 75000 5 þ ¼0 x2 2 che fornisce come unica soluzione positiva: pffiffiffi xmin ¼ 100 3 ’ 173,21 Poiché tale valore di x è interno all’intervallo 0 < x 1000, in corrispondenza di esso si realizza il minimo assoluto della funzione, che vale: pffiffiffi ymin ¼ 500 3 ’ 866,03 RISPONDIAMO L’ordine ottimo corrisponde a una quantità di 173,21 kg; il corrispondente costo minimo annuo di gestione del magazzino è di 866,03 euro. 91 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Ricerca operativa Fin qui ci siamo posti il problema di minimizzare il costo complessivo di gestione del magazzino; che cosa cambierebbe se volessimo prendere in considerazione anche il costo per l’acquisto della merce? Se il prezzo della merce è costante, diciamo p per ogni unità, la funzione che esprime il costo complessivo (comprensivo anche della spesa per l’acquisto della materia prima) diventa: Tema B y ¼ co Q x þ cm þ Qp x 2 [2.5] Nell’ipotesi che p sia costante, anche il termine Qp lo è, quindi la [2.5] è la corrispondente della [2.3] in una traslazione verticale di vettore ! v ð0, QpÞ. Ne segue che la quantità x da acquistare ogni volta per minimizzare i costi complessivi resta quella già determinata per la [2.3]. Se invece il prezzo p varia in funzione della quantità che viene ordinata, allora la [2.5] diviene una funzione definita per casi e il suo valore minimo può essere raggiunto in corrispondenza di una quantità x diversa da quella che minimizza la [2.3], come mostriamo mediante il seguente problema. PROBLEMA 4 Gestione delle scorte con prezzo della merce variabile Una ditta necessita ogni mese di 500 pezzi meccanici di cui si approvvigiona mediante ordini (tutti dello stesso quantitativo) eseguiti nel corso del mese. Ogni ordine ha un costo fisso di 1 euro e le spese di magazzinaggio mensili ammontano a 5 euro al pezzo. Inoltre, per ordini inferiori a 100 pezzi il costo è di 8 euro al pezzo mentre per ordini superiori o uguali a 100 pezzi il costo scende a 6 euro al pezzo. La capacità massima del magazzino è di 200 pezzi. Determinare il numero di pezzi da ordinare ogni volta per rendere minimo il costo mensile complessivo, nonché il minimo valore di tale costo. FAMILIARIZZIAMO CON IL PROBLEMA Dati Q ¼ 500 pezzi p¼ 8 euro=pezzo 6 euro=pezzo co ¼ 1 (in euro/ordine) cm ¼ 5 (in euro/pezzomese) per ordini inferiori a 100 pezzi per ordini superiori o uguali a 100 pezzi C ¼ 200 pezzi Obiettivo Minimizzare i costi complessivi COSTRUIAMO IL MODELLO DEL PROBLEMA Indichiamo con x il numero di pezzi meccanici da ordinare ogni volta; x è in questo caso una variabile discreta. Come abbiamo visto nel Paragrafo 3, risolviamo inizialmente il problema come se fosse continuo e successivamente deduciamo le soluzioni nel caso discreto. La funzione che esprime il costo complessivo è: 8 > 500 x > > 1 þ 5 þ 500 8 > > > x 2 > > > costo di acquisto > > costo per costo di > della merce < gli ordini magazzinaggio y ¼ f ðxÞ ¼ > 500 x > > > 1 þ 5 þ 500 6 > > x 2 > > > costo di acquisto > > per costo di > della merce : costo gli ordini magazzinaggio 0 < x < 100 [2.6] 100 x 200 Osserva Il modello del problema consiste nel trovare il valore di x per cui la funzione [2.6] è minima. 92 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P 1. A seconda del tipo di materia prima necessaria, un problema di gestione delle scorte può essere continuo, come nel caso del precedente Problema 3, o discreto, come nel caso del Problema 4 che stiamo esaminando ora. 2. Nell’espressione analitica della [2.6] è implicitamente espresso anche il vincolo cui è soggetta la variabile x, ossia 0 < x 200. Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA da cui si deduce che il minimo assoluto viene raggiunto per x ¼ 100 e vale 3255 (vedi la figura qui sotto). 4800 y 4600 4400 4200 4000 3800 3600 3400 Problemi di scelta in condizione di certezza Per determinare il minimo assoluto della funzione [2.6] dobbiamo confrontare i valori assunti dalla funzione in corrispondenza degli eventuali punti stazionari con ipvalori assunti dalla funzione per x ¼ 100 e per x ¼ 200. Si trova che la ffiffiffi funzione ha un unico punto stazionario, x ¼ 10 2, che è un punto di minimo relativo; inoltre risulta: pffiffiffi f ð10 2Þ ’ 4070,71 f ð100Þ ¼ 3255 f ð200Þ ¼ 3502,50 Unità 2 DETERMINIAMO IL PUNTO DI MINIMO 3200 200 O 10 2 50 100 150 200 x Poiché il valore di x per cui si ottiene il minimo nel caso continuo corrisponde a un valore intero, tale valore è anche quello per cui si ottiene il minimo nel caso discreto. RISPONDIAMO L’ordine ottimo corrisponde a 100 pezzi alla volta e il corrispondente costo mensile complessivo è di 3255 euro. Prova tu ESERCIZI a p. 109 Una ditta ha bisogno di 5000 kg di una determinata materia prima in un mese. Ogni ordine costa 25 euro e i costi di magazzinaggio per la conservazione della materia prima ammontano, ogni mese, a 8 euro al kilogrammo. La capacità massima del magazzino è di 500 kg. Determina il quantitativo da ordinare ogni volta per rendere minimo il costo mensile complessivo di gestione del magazzino, e l’ammontare di quest’ultimo. [176,78 kg; 1414,21 euro] 5. Problemi di scelta tra più alternative Finora abbiamo considerato problemi il cui modello matematico si è tradotto in una funzione, di cui individuare il massimo o il minimo, in un dato dominio. Considereremo invece ora problemi in cui viene chiesto di operare, fra varie alternative, la scelta più conveniente, secondo un dato criterio che può essere per esempio quello di minimizzare un costo o di massimizzare un profitto. Nella modellizzazione di questi problemi non c’è una sola funzione in gioco, ma ci sono tante funzioni (che supponiamo nella variabile indipendente xÞ quante sono le alternative, e la scelta preferibile dipende dai valori di x. Il procedimento per individuare la scelta migliore consiste nel tracciare il grafico delle funzioni che rappresentano le varie alternative e determinare i punti di intersezione di tali grafici, detti punti di indifferenza. Dalle analisi dei grafici si deducono poi gli intervalli dove è preferibile l’una o l’altra scelta. Chiariamo il procedimento tramite un problema. 93 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA PROBLEMA 5 Scelta fra funzioni lineari Paolo vuole frequentare una palestra di arrampicata per un mese e si trova a dover scegliere tra le seguenti tre possibilità: a. la palestra 1 richiede un costo fisso di iscrizione di 25 euro, più 5 euro per ogni ingresso; b. la palestra 2 richiede un costo fisso di iscrizione di 15 euro, più 7 euro per ogni ingresso; c. la palestra 3 richiede un abbonamento mensile di 85 euro, senza limiti di ingresso. Qual è la scelta più conveniente per Paolo? FAMILIARIZZIAMO CON IL PROBLEMA È evidente che non potrà esserci una scelta più conveniente «in assoluto»: la maggiore o minore convenienza di una palestra dipende infatti dal numero di ingressi che Paolo intende effettuare in un mese. Ci proponiamo perciò di determinare qual è la scelta più conveniente, in relazione al numero degli ingressi. COSTRUIAMO IL MODELLO DEL PROBLEMA Indichiamo con x il numero di ingressi alla palestra che Paolo intende effettuare in un mese e con y la corrispondente spesa; x potrà variare nell’insieme dei numeri naturali. Abbiamo che: la spesa per frequentare la palestra 1 è espressa dalla funzione y ¼ 25 þ 5x; la spesa per frequentare la palestra 2 è espressa dalla funzione y ¼ 15 þ 7x; la spesa per frequentare la palestra 3 è espressa dalla funzione y ¼ 85. Tracciando i grafici delle tre funzioni e confrontandoli, potremo stabilire facilmente qual è la scelta più conveniente. GRAFICI DELLE FUNZIONI Per comodità, tracciamo i grafici delle tre funzioni come se x fosse una variabile reale (anche se i punti dei grafici che rappresentano il problema sono in realtà solo quelli a coordinate intere positive o nulle, dal momento che il dominio di x è N). I grafici delle tre funzioni sono quelli riportati in figura. y y = 15 + 7x 120 B 80 50 C y = 85 A y = 25 + 5x 40 O 2 5 10 12 x Ai fini della risoluzione del problema è importante determinare le coordinate dei punti di indifferenza, ossia dei punti di intersezione A, B e C dei grafici che abbiamo annotato in figura. Ciò si può effettuare facilmente risolvendo i seguenti sistemi: y ¼ 25 þ 5x ) Að5, 50Þ y ¼ 15 þ 7x y ¼ 15 þ 7x ) Bð10, 85Þ y ¼ 85 y ¼ 25 þ 5x ) Cð12, 85Þ y ¼ 85 La linea di «minore costo» è quella che abbiamo evidenziato in figura con maggiore spessore: essa è costituita per x < 5 dalla retta blu (corrispondente alla palestra 2); per 5 < x < 12 dalla retta rossa (corrispondente alla palestra 1) e per x > 12 dalla retta verde (corrispondente alla palestra 3). Le conclusioni sono allora le seguenti. RISPONDIAMO Possiamo affermare che: per un numero di ingressi inferiore a 5 conviene recarsi nella palestra 2; per un numero di ingressi compreso tra 5 e 12 conviene recarsi nella palestra 1; per un numero di ingressi superiore a 12 conviene recarsi nella palestra 3; per esattamente 5 ingressi è indifferente la palestra 1 o la 2; per esattamente 12 ingressi è indifferente recarsi nella palestra 3 o nella 1. 94 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 6 Scelta fra una funzione lineare e una quadratica Un’azienda può produrre una data merce presso due diversi stabilimenti, diciamo A e B, e le due opzioni comportano i seguenti costi: stabilimento A: costo fisso giornaliero di 50 euro e costo di 10 euro per ogni kilogrammo di merce prodotta; stabilimento B: costo fisso giornaliero di 100 euro e costo di 9 euro per ogni kilogrammo prodotto, più un ulteriore costo uguale (in euro) al 10% del quadrato del numero di kilogrammi prodotti. Ogni kilogrammo di merce prodotta nello stabilimento A verrà venduta a 15 euro, mentre ogni kilogrammo di merce prodotto nello stabilimento B verrà venduto al prezzo di 20 euro. Determinare quale stabilimento è preferibile al fine di conseguire l’utile massimo, supponendo che tutta la merce prodotta venga venduta. FAMILIARIZZIAMO CON IL PROBLEMA Anche in questo caso, evidentemente, non esiste una scelta conveniente in assoluto; la scelta preferibile dipende dalla quantità di merce che deve essere prodotta in un giorno. Problemi di scelta in condizione di certezza PROBLEMA Unità 2 Vediamo ora un problema in cui non tutte le funzioni che rappresentano le alternative sono lineari. COSTRUIAMO IL MODELLO DEL PROBLEMA Indichiamo con x il numero di kilogrammi di merce da produrre in un giorno (x è dunque una variabile continua) e con y il corrispondente utile derivante dalla vendita della merce. Le funzioni che esprimono gli utili corrispondenti ai due stabilimenti A e B sono: y ¼ UA ðxÞ ¼ 15x ð50 þ 10xÞ ¼ 5x 50 ricavo costo y ¼ UB ðxÞ ¼ 20x ð100 þ 9x þ 0,1x2 Þ ¼ 0,1x2 þ 11x 100 ricavo costo Tracciando i grafici delle due funzioni e confrontandoli, potremo stabilire qual è la scelta dello stabilimento migliore, al variare di x: GRAFICI DELLE FUNZIONI E LORO CONFRONTO I grafici delle due funzioni sono quelli riportati in figura. Le coordinate dei punti di indifferenza, ossia dei punti di intersezione P e Q dei grafici delle due funzioni si possono ottenere risolvendo il sistema: y ¼ 5x 50 y ¼ 0,1x2 þ 11x 100 Come indicato in figura, si trova P(10, 0) e Q(50, 200). y alternativa A 300 250 200 150 Q alternativa B 100 50 O –50 x P 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 –100 La linea di «maggiore utile» è quella che abbiamo indicato con maggiore spessore in figura. 95 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA RISPONDIAMO Possiamo affermare che: per 0 x < 10, non conviene produrre il bene (l’azienda è in perdita sia con la produzione nello stabilimento A, sia con la produzione nello stabilimento BÞ; per x = 10, è indifferente la scelta dello stabilimento (in entrambi i casi si ha un pareggio); per 10 < x < 50, è preferibile lo stabilimento B; per x = 50, è indifferente la scelta dello stabilimento; per x > 50, è preferibile la scelta dello stabilimento A. Prova tu ESERCIZI a p. 112 Tre compagnie telefoniche applicano le seguenti tariffe: compagnia A: 25 centesimi alla risposta più 25 centesimi per ogni minuto di conversazione; compagnia B: 40 centesimi alla risposta più 20 centesimi per ogni minuto di conversazione; compagnia C: 30 centesimi per minuto di conversazione, senza scatto alla risposta. Qual è la scelta più conveniente, in relazione alla durata di una conversazione? [Fino a 4 minuti di conversazione conviene C; oltre i 4 minuti conviene B; per 4 minuti è indifferente B o C] 96 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Esercizi In più: esercizi interattivi 2 Unità Problemi di scelta in una variabile (caso discreto) Nel caso in cui sia possibile determinare l’espressione analitica della funzione obiettivo f , si procede inizialmente come nel caso continuo, quindi dall’esame del grafico continuo si deduce dove cade l’ottimo nel caso discreto. A tale scopo, nella maggior parte dei casi è sufficiente: a. considerare i due valori interi, diciamo x1 , x2 , tra cui è compreso il valore di x cui corrisponde l’ottimo nel continuo (eventualmente x1 ¼ x2 se x è intero); b. calcolare i valori della funzione obiettivo in corrispondenza di x1 e x2 ; c. confrontare f ðx1 Þ ed f ðx2 Þ e dedurre in quale dei due punti x1 , x2 la funzione raggiunge l’ottimo. Nel caso in cui non sia possibile determinare l’espressione analitica della funzione obiettivo e la scelta sia tra un numero finito di valori, si costruisce una tabella, in cui si calcolano tutti i valori della grandezza da rendere massima o minima, e dal loro confronto si deduce direttamente il valore cui corrisponde l’ottimo. Problemi di scelta in condizione di certezza Problemi di scelta in una variabile (caso continuo) Il modello di questi problemi consiste solitamente in una funzione y ¼ f ðxÞ (funzione obiettivo) da rendere massima o minima al variare di x in un certo insieme, definito dai vincoli di segno e da vincoli tecnici. Si tratta di determinare il minimo o il massimo assoluto di una funzione reale di variabile reale in un dato dominio D, quindi si possono applicare le tecniche dell’analisi viste nel precedente volume. Unità 2 SINTESI Problema delle scorte Nel modello semplificato che abbiamo considerato, questo problema consiste nel determinare la quantità x da ordinare ogni volta, per fare in modo che la funzione che esprime il costo totale y di gestione del magazzino sia minima. Indicata con Q la quantità di merce necessaria in un dato intervallo di tempo, con co il costo unitario di ordinazione, con cm il costo unitario di magazzinaggio, con p il costo di ogni unità acquistata e con C la massima capacità del magazzino, il modello matematico consiste nel trovare il minimo della funzione y¼ Q x co þ cm þ Qp x 2 con 0 < x C Se p è costante, anche il termine Qp è costante e dunque non influisce sul calcolo del punto di minimo della funzione costo complessivo: in questo caso, perciò, il costo per l’acquisto della merce può essere trascurato. Tale costo va invece preso in considerazione nel caso in cui il prezzo p vari a seconda del quantitativo ordinato. Problemi di scelta tra più alternative Date due alternative, rappresentate dalle funzioni y ¼ f ðxÞ e y ¼ gðxÞ, l’oggetto di questi problemi è quello di determinare per quali valori di x è preferibile l’una o l’altra alternativa. A seconda che il problema chieda per esempio di minimizzare un costo o di massimizzare un profitto, occorrerà determinare per quali valori di x il grafico di f è al di sotto o al di sopra del grafico di g. Gli eventuali punti di intersezione tra il grafico di f e il grafico di g si chiamano punti di indifferenza poiché, in corrispondenza dei valori di x uguali alle ascisse di tali punti, scegliere l’una o l’altra alternativa risulta equivalente. Analogamente si procede nel caso in cui la scelta sia tra più di due alternative. CONOSCENZE E ABILITÀ 1. Introduzione alla ricerca operativa TEORIA a p. 82 Classifica i seguenti problemi di ricerca operativa (individua le variabili e stabilisci se si tratta di problemi a valori continui o discreti, di problemi in condizione di certezza o di incertezza e di problemi con effetti immediati o differiti). Una ditta necessita, in un anno, di 1600 pezzi meccanici, di cui si approvvigiona mediante ordini (tutti dello stesso quantitativo) eseguiti nel corso dell’anno. Ogni ordine ha un costo di 16 euro. Il costo annuo di magazzinaggio è di 4 euro per ogni pezzo. Determina il numero di pezzi da ordinare ogni volta per rendere minimo il costo annuo complessivo di gestione del magazzino. 1 Þ 97 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Una ditta ha bisogno di 6000 kg di una determinata materia prima per il suo ciclo produttivo. Ogni ordine costa 90 euro e i costi di magazzinaggio per la conservazione della materia prima ammontano a 6 euro al kilogrammo. Determina il quantitativo da ordinare ogni volta per rendere minimo il costo annuo complessivo di gestione del magazzino. 2 Þ Una persona vuole investire per cinque anni una somma di denaro che ammonta a 40 000 euro e può scegliere fra due alternative: l’alternativa A prevede un ricavo di 6000 euro dopo 2, 4 e 6 anni; l’alternativa B prevede un ricavo di 5000 euro per 6 anni alla fine di ogni anno. Qual è l’alternativa più conveniente, al tasso del 4% annuo? 3 Þ Vogliamo investire 14 000 euro e possiamo scegliere tra due operazioni: a. l’operazione A prevede un ricavo di 3000 euro fra 2 anni con una probabilità del 30%, oppure di 3500 euro fra 3 anni con una probabilità del 30%, oppure di 4000 euro fra 5 anni con una probabilità del 40%; b. l’operazione B prevede un ricavo di 2000 euro fra 3 anni con una probabilità del 40% oppure di 5000 euro fra 5 anni con una probabilità del 60%. Quale operazione è preferibile, al tasso di valutazione del 6%? 4 Þ Per produrre un certo bene, un’azienda sostiene un costo fisso di 5000 euro, un costo di 20 euro per ogni unità prodotta e un ulteriore costo uguale (in euro) al 2% del quadrato del numero di unità prodotte. La relazione che lega la quantità x prodotta al prezzo unitario p è x ¼ 300 2p. Determina la quantità x che deve essere prodotta (e venduta) per conseguire il massimo utile. 5 Þ Gli utili annuali UA e UB generati da due possibili investimenti A e B sono due variabili aleatorie di cui nelle seguenti tabelle sono date le distribuzioni di probabilità. Quale dei due investimenti è preferibile? 6 Þ Utile investimento A Probabilità Utile investimento B Probabilità 65 0,2 80 0,25 90 0,4 100 0,40 110 0,3 115 0,20 120 0,1 130 0,15 Un imprenditore deve acquistare dei cavi elettrici e può scegliere tra due alternative: il fornitore A propone un costo fisso di 100 euro e un costo di 5 euro per ogni metro di cavo; il fornitore B propone un costo fisso di 300 euro e un costo di 2,5 euro per ogni metro di cavo aggiuntivo. Qual è l’alternativa più conveniente, in relazione al numero di metri da acquistare? 7 Þ 2. Problemi di scelta in condizione di certezza (caso continuo) TEORIA a p. 83 Esercizi preliminari Test La funzione UðxÞ ¼ 0; 002x2 þ 4x 15 rappresenta l’utile derivante dalla vendita della quantità x di un dato bene. Per quale valore di x si ottiene il massimo utile? 8 Þ A 600 B 800 C 1000 D Nessuno dei precedenti La funzione UðxÞ ¼ 0,002x2 þ 4x 15 rappresenta l’utile derivante dalla vendita della quantità x di un dato bene. Per quale valore di x si ottiene il massimo utile, nell’ipotesi che la capacità produttiva massima sia di 800 unità? 9 Þ A 600 B 800 C 1000 D Nessuno dei precedenti Date la funzione costo CðxÞ ¼ x2 þ 100x þ 250 e la funzione ricavo RðxÞ ¼ 150x þ 30, relative alla produzione e vendita della quantità x di un dato bene, per quale valore di x si ottiene il massimo utile? 10 Þ A x ¼ 20 98 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P B x ¼ 25 C x ¼ 30 D Nessuno dei precedenti Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA x ¼ 20 B x ¼ 25 C x ¼ 30 D Nessuno dei precedenti 1600 þ 0,004x þ 80, x essendo x la quantità prodotta (in kilogrammi). Per quale valore di x il costo unitario è minimo? (Le opzioni sono arrotondate alla seconda cifra decimale.) 12 Þ A Il costo di produzione, al kilogrammo, di un dato bene, è espresso dalla funzione CðxÞ ¼ 623,64 kg B 632,46 kg C 642,86 kg D 654,31 kg Problemi riconducibili a funzioni lineari Un’industria produce un materiale che vende a 15 euro al kilogrammo. Per la produzione sostiene una spesa fissa settimanale di 5000 euro e un costo di 5 euro per ogni kilogrammo di materiale prodotto. Sapendo che la massima capacità produttiva dei suoi impianti è di 1000 kg alla settimana, determina: a. l’espressione analitica dell’utile in funzione della quantità settimanale x prodotta, e la sua rappresentazione grafica; b. per quali valori di x l’azienda non è in perdita; c. per quale valore di x si realizza il massimo utile. [a. UðxÞ ¼ 10x 5000; b. x 500; c. x ¼ 1000] 13 Þ Problemi di scelta in condizione di certezza A Unità 2 Date la funzione costo CðxÞ ¼ x2 þ 100x þ 250 e la funzione ricavo RðxÞ ¼ 150x þ 30, relative alla produzione e vendita della quantità x di un dato bene, per quale valore di x si ottiene il massimo utile, nell’ipotesi che la capacità produttiva non possa superare le 20 unità? 11 Þ Un’impresa, per la produzione di un dato articolo, sostiene in un ciclo di produzione una spesa fissa di 24 000 euro e un costo per ogni quintale prodotto di 48 euro. Vende l’articolo a 64 euro al quintale. Sostiene inoltre una spesa di 6000 euro per la pubblicità. Indicata con x la quantità prodotta in un ciclo, determina: a. la funzione dell’utile e la sua rappresentazione grafica; b. qual è la quantità da produrre e vendere per essere in pareggio e di quanto deve aumentare in percentuale questa quantità per essere di nuovo in pareggio nel caso in cui le spese fisse aumentino di 4000 euro; c. per quale quantità si realizza il massimo utile, sapendo che la capacità produttiva massima è di 8000 q. [a. UðxÞ ¼ 16x 30 000; b. 1875 q, circa 13,3%; c. 8000 q] 14 Þ Per produrre un dato articolo si sostengono costi pari a 900 000 euro di spese fisse all’anno e a 30 euro per ogni unità. L’articolo è rivenduto al prezzo di 75 euro per ogni unità. La massima capacità produttiva degli impianti è di 40 000 unità. Determina: a. la quantità annua di articoli che deve essere prodotta e venduta per essere in pareggio e di quanto deve aumentare in percentuale questa quantità per essere di nuovo in pareggio nel caso in cui le spese fisse aumentino di 90 000 euro; b. la quantità annua di articoli che deve essere prodotta per realizzare il massimo utile. [a. 20 000 unità, 10%; b. 40 000 unità] 15 Þ Problemi riconducibili a funzioni quadratiche 16 Þ ESERCIZIO GUIDATO Una ditta, per produrre un determinato bene, sostiene i seguenti costi: un costo fisso di 5000 euro; un costo per ogni unità prodotta pari a 35 euro; una spesa per pubblicità pari (in euro) al 2,5% del quadrato del numero di unità prodotte. Ogni unità del bene è messa in vendita al prezzo di 65 euro. Determina: a. il numero di unità x del bene che devono essere prodotte (e vendute) per conseguire il massimo utile; b. per quali quantità x l’utile realizzato è maggiore o uguale al 75% del massimo utile. a. La funzione costo è: CðxÞ ¼ 5000 þ 35x þ 0,025x2 e la funzione ricavo è: RðxÞ ¼ 65x Dunque la funzione dell’utile risulta: UðxÞ ¼ RðxÞ CðxÞ ¼ ::::: 99 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Per determinare il massimo di quest’ultima funzione, con x 0, puoi procedere secondo due vie: osservare che il grafico della funzione dell’utile è una parabola con la concavità rivolta verso il basso, quindi il massimo viene raggiunto in corrispondenza del vertice; utilizzare i metodi dell’analisi e studiare il segno della derivata prima di UðxÞ. In ogni caso troverai che il massimo utile viene raggiunto quando x ¼ 600. 75 3 Uð600Þ, ossia UðxÞ 4000 e quindi UðxÞ 3000, che è soddisfatb. Devi risolvere la disequazione UðxÞ 100 4 ta per 400 x 800. Il ciclo produttivo relativo alla produzione di un dato bene comporta le seguenti spese: un costo fisso pari a 20 000 euro; un costo per la produzione di ogni unità del bene uguale a 20 euro; ulteriori spese accessorie pari (in euro) allo 0,5% del quadrato del numero di unità prodotte. Ogni articolo è posto in vendita al prezzo di 45 euro. Detta x la quantità prodotta, determina: a. l’espressione analitica della funzione dell’utile e la sua rappresentazione grafica; b. per quali valori di x l’azienda non è in perdita; c. per quale valore di x l’utile è massimo. [a. y ¼ 0,005x2 þ 25x 20 000; b. 1000 x 4000; c. x ¼ 2500] 17 Þ Il ciclo produttivo relativo alla produzione di un dato bene comporta le seguenti spese: un costo fisso pari a 250 000 euro; un costo per la produzione di ciascuna unità del bene pari a 100 euro; spese accessorie pari (in euro) allo 0,8% del quadrato del numero di unità prodotte. Ogni articolo è posto in vendita al prezzo di 220 euro. Detta x la quantità prodotta, determina: a. l’espressione analitica della funzione dell’utile e la sua rappresentazione grafica; b. per quale valore di x l’utile è massimo; c. per quali valori di x l’utile non scende al di sotto del 75% del massimo utile. [a. y ¼ 0,008x2 þ 120x 250 000; b. x ¼ 7500; c. 5000 x 10 000] 18 Þ Una ditta, per produrre un determinato bene, sostiene, in un ciclo di produzione, i seguenti costi: un costo fisso pari a 2500 euro; un costo per ogni kilogrammo prodotto pari a 10 euro; una spesa per pubblicità pari (in euro) al 5% del quadrato del numero di unità prodotte. Il bene prodotto è messo in vendita al prezzo di 40 euro al kilogrammo. Detta x la quantità prodotta (in kg), determina: a. l’espressione analitica della funzione dell’utile e la sua rappresentazione grafica; b. per quali valori di x l’azienda è in pareggio; c. per quale valore di x l’utile è massimo; d. per quali valori di x si realizza un utile uguale alla metà dell’utile massimo. [a. y ¼ 0,05x2 þ 30x 2500; b. x ¼ 100 _ x ¼ 500; c. x ¼ 300; d. x ’ 158,58 _ x ’ 441,42] 19 Þ Una ditta, per produrre un determinato bene, sostiene, in un ciclo di produzione, i seguenti costi: un costo fisso di 5000 euro; un costo di 8 euro per ogni kilogrammo prodotto; spese di manutenzione pari (in euro) allo 0,2% del quadrato del numero di unità prodotte. Il bene viene venduto a 15 euro al kilogrammo. Detta x la quantità prodotta, determina: a. i limiti di produzione per non essere in perdita; b. la quantità da produrre per ottenere il massimo utile; 4 c. i limiti di produzione per fare sı̀ che l’utile non scenda al di sotto dei dell’utile massimo. 5 a. 1000 x 2500; b. x ¼ 1750; c. 1414,59 x 2085,41 20 Þ Una ditta produce un articolo che vende al prezzo unitario di 30 euro. Essa sostiene in un ciclo produttivo una spesa fissa di 8000 euro, un costo di 20 euro per ogni articolo prodotto e altre spese pari (in euro) allo 0,2% del quadrato del numero di articoli prodotti. Detta x la quantità prodotta, determina la funzione dell’utile, tracciane il grafico e indica la produzione per la quale si realizza il massimo utile: a. nel caso in cui il limite di produzione per un ciclo sia di 2000 unità; b. nel caso in cui il limite di produzione sia di 3000 unità. [y ¼ 0,002x2 þ 10x 8000, essendo x la quantità prodotta; a. 2000; b. 2500] 21 Þ 100 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Una ditta produce un bene che vende al prezzo unitario di 600 euro. Per la produzione sostiene una spesa mensile fissa pari a 25 000 euro e un costo per ogni articolo prodotto di 300 euro. Per la manutenzione degli impianti e le spese di pubblicità ci sono costi aggiuntivi quantificabili (in euro) nel 50% del quadrato del numero di unità prodotte. Detta x la quantità prodotta, determina: a. la funzione dell’utile e tracciane il grafico; b. i limiti di produzione perché l’azienda non sia in perdita; c. la produzione per la quale si realizza il massimo utile, se il limite di produzione mensile è di 400 unità; d. la produzione per la quale si realizza il massimo utile, se il limite di produzione mensile è di 250 unità. [a. y ¼ 0,5x2 þ 300x 25 000; b. 100 x 500; c. x ¼ 300; d. x ¼ 250] 24 Þ Problemi di scelta in condizione di certezza Un prodotto viene venduto al prezzo unitario di 60 euro. L’azienda produttrice sostiene in un anno spese fisse di 43 750 euro, un costo unitario di produzione di 40 euro e altre spese pari (in euro) allo 0,1% del quadrato del numero di unità prodotte. Detta x la quantità prodotta, determina: a. la funzione dell’utile e tracciane il grafico; b. i limiti di produzione perché l’azienda non sia in perdita; c. la produzione per la quale si realizza il massimo utile, se il limite di produzione annuale è di 15 000 unità; d. la produzione per la quale si realizza il massimo utile, se il limite di produzione annuale è di 8000 unità. [a. y ¼ 0,001x2 þ 20x 43 750; b. 2500 x 17500; c. x ¼ 10 000; d. x ¼ 8000] 23 Þ Unità 2 Un’impresa, per produrre un certo bene, sostiene in un ciclo produttivo una spesa fissa di 2000 euro, un costo di 60 euro per ogni articolo e un ulteriore costo che ammonta (in euro) al 5% del quadrato del numero di pezzi prodotti. Ogni articolo viene venduto al prezzo di 100 euro. Detta x la quantità prodotta, determina la funzione dell’utile, tracciane il grafico e indica la produzione per la quale si realizza il massimo utile: a. nel caso in cui il limite di produzione per un ciclo sia di 500 unità; b. nel caso in cui il limite di produzione per un ciclo sia di 300 unità. [y ¼ 0,05x2 þ 40x 2000, essendo x la quantità prodotta; a. massimo per x ¼ 400, b. massimo per x ¼ 300] 22 Þ Un’azienda, per la produzione di un dato bene, ha i seguenti costi annuali: costi fissi pari a 812 500 euro; un costo di 1250 euro per ogni unità del bene prodotta; un ulteriore costo uguale (in euro) al 10% del quadrato del numero di unità prodotte. La quantità x prodotta (e venduta) in un anno e il prezzo di vendita unitario p sono legati dalla relazione 20 x ¼ 20 000 p. Determina, relativamente al periodo di un anno: 3 a. la funzione ricavo e la funzione dell’utile, tracciandone anche i grafici; b. per quale valore di x il ricavo è massimo, e il valore di tale ricavo massimo; c. per quale valore di x l’utile è massimo, e il valore di tale utile massimo; d. per quali valori di x l’utile si mantiene maggiore o uguale al 75% dell’utile massimo. [a. RðxÞ ¼ 0,15x2 þ 3000x, UðxÞ ¼ 0,25x2 þ 1750x 812 500; b. x ¼ 10 000, massimo ricavo ¼ 15 000 000; c. x ¼ 3500, massimo utile ¼ 2 250 000; d. 2000 x 5000] 25 Þ Per produrre un certo bene, un’azienda deve sostenere i seguenti costi mensili: un costo fisso di 5000 euro; un costo di 20 euro per ogni unità prodotta; un ulteriore costo uguale (in euro) al 50% del quadrato del numero di unità prodotte. La relazione che lega il numero x di unità prodotte (e vendute) in un mese al prezzo unitario p (in euro) è x ¼ 300 2p. Determina, relativamente al periodo di un mese, la funzione dell’utile: a. espressa in funzione del prezzo p; b. espressa in funzione di x. Determina il prezzo e la quantità x in corrispondenza dei quali l’utile è massimo. [a. UðxÞ ¼ x2 þ 130x 5000; b. UðpÞ ¼ 4p2 þ 940p 56 000; c. x ¼ 65, p ¼ 117,50 euro] 26 Þ Per la produzione di un certo bene un’azienda deve sostenere un costo fisso annuale di 5 500 000 euro, un costo di 4000 euro per ogni unità prodotta e una spesa pari (in euro) al 20% del quadrato del numero di unità prodotte. Il prezzo di vendita unitario p (in euro) e il numero x di unità prodotte (e vendute) in un anno sono legati dalla 5 relazione x ¼ 25 000 p. Determina: 2 a. la funzione dell’utile espressa in funzione di x; b. la funzione dell’utile espressa in funzione del prezzo p; 27 Þ 101 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA c. i valori di x e di p per cui l’utile è massimo; d. l’utile, espresso in funzione di x, nell’ipotesi che la quantità venduta sia l’80% della quantità x prodotta, 5 continuando a valere la relazione x ¼ 25 000 p tra la quantità x prodotta e il prezzo p; 2 e. il valore di x per cui l’utile è massimo, nelle ipotesi di cui al punto d. [a. UðxÞ ¼ 0,6x2 þ 6000x 5 500 000; b. UðpÞ ¼ 3,75p2 þ 60 000p 230 500 000; c. x ¼ 5000, p ¼ 8000 euro; d. UðxÞ ¼ 0,52x2 þ 4000x 5 500 000; e. x ’ 3846,15] Per la produzione di un dato bene, un’azienda sostiene un costo settimanale fisso di 900 euro, un costo di 20 euro per ogni unità prodotta e un ulteriore costo uguale (in euro) al 15% del quadrato del numero di unità prodotte. La relazione fra il numero x di unità prodotte (e vendute) in una settimana e il prezzo unitario p di vendita (in euro) è x ¼ 700 10p. Determina, relativamente a una settimana: a. l’utile, espresso in funzione di x; b. l’utile, espresso in funzione di p; c. i valori di x e p per cui l’utile è massimo, e il valore di tale utile massimo; d. per quali valori di x l’azienda non è in perdita. 1 a. UðxÞ ¼ x2 þ 50x 900; b. UðpÞ ¼ 25p2 þ 3000p 88 400; 4 c. x ¼ 100, p ¼ 60, utile massimo ¼ 1600 euro; d. 20 x 180 28 Þ Un’impresa, per un ciclo di produzione di un determinato bene, sostiene un costo fisso di 1500 euro e un costo variabile, dipendente dalla quantità x complessivamente prodotta, di (0,1x þ 40) euro per ogni unità del bene. Il prezzo unitario p di vendita del bene (in euro) è legato alla quantità x prodotta (e venduta) dalla relazione x ¼ 150 p. Determina, relativamente a un ciclo di produzione: a. l’utile, espresso in funzione della variabile x; b. la quantità da produrre per ottenere il massimo utile, e il valore di tale utile massimo; c. il prezzo unitario di vendita corrispondente alla quantità che genera il massimo utile; d. i limiti di produzione per non essere in perdita (arrotondati alla seconda cifra decimale). [a. y ¼ 1,1x2 þ 110x 1500; b. x ¼ 50, utile massimo ¼ 1250 euro; c. p ¼ 100; d. 16,29 x 83,71] 29 Þ Un’azienda, per un ciclo di produzione di un dato bene, sostiene un costo fisso di 1800 euro, un costo di 50 euro per ogni unità del bene e un ulteriore costo uguale (in euro) al 25% del quadrato del numero di unità del bene prodotte. Il prezzo unitario p di vendita (in euro) è legato al numero x di unità prodotte (e vendute) in un ciclo dalla relazione x ¼ 600 4p. Determina, relativamente a un ciclo di produzione: a. il ricavo, espresso in funzione di x, e il valore di x cui corrisponde il massimo ricavo; b. il ricavo, espresso in funzione di p, e il prezzo p per cui il ricavo è massimo; c. l’utile, espresso in funzione di x, e il valore di x per cui l’utile è massimo; d. l’utile, espresso in funzione di p, e il valore di p cui corrisponde il massimo utile; e. i limiti di produzione per non essere in perdita. [a. RðxÞ ¼ 0,25x2 þ 150x, x ¼ 300; b. RðpÞ ¼ 600p 4p2 , p ¼ 75; c. UðxÞ ¼ 0,5x2 þ 100x 1800, x ¼ 100; d. UðpÞ ¼ 8p2 þ 2000p 121 800, p ¼ 125; e. 20 x 180] 30 Þ Un’azienda produce un bene per cui sostiene un costo fisso mensile pari a 1000 euro, un costo variabile pari a 90 euro per ogni kilogrammo del bene e un ulteriore costo pari (in euro) al 40% del quadrato del numero di kilogrammi prodotti. Il prezzo p di vendita di 1 kg del bene (in euro) è legato al numero x di kilogrammi del bene prodotti (e venduti) mensilmente dalla relazione x ¼ 450 2,5p. Determina, relativamente a un mese: a. l’utile, espresso in funzione della variabile x; b. i valori di x e di p cui corrisponde il massimo utile, nonché il valore di tale utile massimo; c. i limiti di produzione per cui l’azienda non lavora in perdita. [a. UðxÞ ¼ 0,8x2 þ 90x 1000; b. x ¼ 56,25, p ¼ 157,50, utile massimo ¼ 1531,25 euro; c. 12,50 x 100] 31 Þ Per un ciclo di produzione di un dato bene una fabbrica sostiene un costo fisso di 2000 euro, un costo di 2 euro per ogni unità prodotta e un ulteriore costo uguale (in euro) allo 0,2% del quadrato del numero di unità prodotte. Il prezzo unitario p di vendita (in euro) è legato al numero x di unità del bene prodotte (e vendute) dalla relazione x ¼ 5000 500p. Determina, relativamente a un ciclo di produzione: a. l’utile, espresso in funzione di x, il valore di x per cui l’utile è massimo e il valore di tale utile massimo; b. l’utile, espresso in funzione di p, e il valore di p cui corrisponde il massimo utile; c. i limiti di produzione per non essere in perdita. 32 Þ 102 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA d. l’intervallo entro cui deve essere compreso il prezzo p perché l’azienda non sia in perdita. [a. UðxÞ ¼ 0,004x2 þ 8x 2000, x ¼ 1000, utile massimo ¼ 2000 euro; 2 b. UðpÞ ¼ 1000p þ 16 000p 62 000, p ¼ 8; c. 292,89 x 1707,11; d. 6,59 p 9,41] Unità 2 Per un ciclo di produzione di un concime in polvere, un’azienda sostiene un costo fisso di 5000 euro e un costo variabile di 15 euro al kilogrammo per i primi 100 kg e di 18 euro al kilogrammo per la quantità eccedente i 100 kg. Il concime viene venduto a un prezzo p al kilogrammo che è legato alla quantità x prodotta (e venduta) dalla relazione x ¼ 1000 2p. La massima capacità produttiva in un ciclo è di 500 kg. Determina x in modo da ottenere il massimo utile. [482 kg] Problemi di scelta in condizione di certezza 33 Þ Per un ciclo di produzione di un liquido lubrificante, un’azienda sostiene un costo fisso di 2000 euro e un costo variabile di 10 euro al litro per i primi 400 litri e di 15 euro al litro per la quantità eccedente i 400 litri. Il concime viene venduto a un prezzo p al litro che è legato alla quantità x prodotta (e venduta) dalla relazione x ¼ 600 p. La massima capacità produttiva in un ciclo è di 500 litri. Determina x in modo da ottenere il massimo utile. [295 litri] 34 Þ Problemi riconducibili a funzioni razionali frazionarie 35 Þ ESERCIZIO GUIDATO Per la produzione di una determinata merce, un’azienda sostiene i seguenti costi: un costo fisso pari a 8000 euro; un costo di 10 euro per ogni unità prodotta; un ulteriore costo uguale (in euro) allo 0,2% del quadrato del numero di unità prodotte. Determina la quantità che consente di ridurre al minimo il costo unitario complessivo, supponendo una capacità produttiva massima di 5000 unità. Precisa inoltre a quanto ammonta tale costo unitario minimo. Detto x il numero di unità prodotte, la funzione costo è: CðxÞ ¼ 8000 þ 10x þ 0,002x2 pertanto la funzione costo unitario è: Cu ðxÞ ¼ CðxÞ 8000 þ 10x þ 0,002x2 ¼ x x Il modello matematico del problema è quindi il seguente: trovare per quale valore di x è minima la funzione: Cu ðxÞ ¼ 8000 þ 10x þ 0; 002x2 x con 0 x 5000 vincolo dovuto alla massima capacità produttiva Calcolando la derivata prima e studiandone il segno puoi verificare che il costo unitario minimo si ottiene per x ¼ 2000. Il costo unitario minimo vale dunque Cu ð2000Þ, ossia 18 euro. Un’azienda, per un ciclo produttivo relativo alla produzione di un dato bene, sostiene un costo fisso di 4000 5 euro, un costo di 45 euro per ogni unità del bene e un ulteriore costo uguale a del quadrato del numero di unità 2 prodotte. Determina il numero di unità che l’azienda deve produrre in un ciclo per rendere minimo il costo unitario complessivo, nonché il valore di tale costo unitario minimo. [40 unità; 245 euro] 36 Þ Un’azienda, per un ciclo produttivo relativo alla produzione di un dato bene, sostiene un costo fisso di 2000 4 euro, un costo di 20 euro per ogni unità del bene e un ulteriore costo uguale a del quadrato del numero di unità 5 prodotte. Determina il numero di unità che l’azienda deve produrre in un ciclo per rendere minimo il costo unita- 37 Þ rio complessivo, nonché il valore di tale costo unitario minimo. [50 unità; 100 euro] Un’azienda, per un ciclo produttivo relativo alla produzione di un dato bene, sostiene un costo fisso di 7500 euro, un costo di 30 euro per ogni unità del bene e un ulteriore costo uguale (in euro) al 3% del quadrato del numero di unità prodotte. Determina il numero di unità che l’azienda deve produrre in un ciclo per rendere minimo il costo unitario complessivo, nonché il valore di tale costo unitario minimo. [500 unità; 60 euro] 38 Þ 103 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Un imprenditore, per produrre un determinato bene, sostiene un costo fisso mensile di 5000 euro, un costo di 40 euro per ogni unità del bene prodotta e un costo per la pubblicità uguale (in euro) allo 0,5% del quadrato del numero di unità prodotte. Determina la funzione che esprime il costo unitario (relativamente alla produzione di un mese) e rappresentala graficamente, specificando per quale produzione il costo unitario è minimo, e il valore di tale costo unitario minimo. 1 5000 y¼ xþ þ 40, essendo x la quantità prodotta; 200 x minimo per una produzione x ¼ 1000, costo unitario minimo ¼ 50 euro 39 Þ Un’azienda, per produrre un determinato tipo di stoffa, sostiene in un ciclo produttivo un costo fisso di 9000 euro, un costo di 80 centesimi per ogni metro di stoffa prodotta e un ulteriore costo quantificabile (in euro) nello 0,1% del quadrato del numero di metri prodotti. Determina la funzione che esprime il costo unitario (relativamente a un ciclo di produzione) e rappresentala graficamente, specificando per quale produzione il costo unitario è mi nimo, e il valore di tale costo unitario minimo. x 9000 4 y¼ þ þ , essendo x la quantità prodotta; 1000 x 5 minimo per una produzione di 3000 m, costo unitario minimo ¼ 6,80 euro 40 Þ Un’impresa, per produrre un determinato bene, sostiene in un mese un costo fisso di 512 euro, cui si aggiunge un costo variabile, dipendente dal numero x di unità del bene complessivamente prodotte in un mese, uguale a (15 þ 0,02xÞ per ogni unità prodotta. Determina la funzione che esprime il costo unitario (relativamente a una produzione mensile) e rappresentala graficamente, specificando per quale produzione il costo unitario è minimo, e il valore di tale costo unitario minimo. x 512 y¼ þ þ 15, minimo per x ¼ 160, costo unitario minimo ¼ 21,40 euro 50 x 41 Þ Un’impresa, per la produzione di un determinato bene, sostiene in un anno i seguenti costi: costi fissi pari a 1 687 500 euro; un costo di 150 euro per ogni unità prodotta; un ulteriore costo uguale al 75% del quadrato del numero di unità prodotte. Determina la funzione che esprime il costo unitario (relativamente a una produzione annuale) e rappresentala graficamente, specificando per quale produzione il costo unitario è minimo, e il valore di tale costo unitario minimo. 3 1 687 500 y ¼ xþ þ 150; minimo per una produzione di 1500 unità, costo unitario minimo ¼ 2400 euro 4 x 42 Þ I costi sostenuti da un’azienda in un anno, per la produzione di un determinato bene, sono i seguenti: costi fissi pari a 137 200 euro; un costo, per l’acquisto di materie prime, di 32 euro per ogni unità del bene; un costo di imballaggio di 3 euro per ogni unità del bene; spese pubblicitarie pari (in euro) al 5% del quadrato del numero di unità prodotte; spese per la manutenzione degli impianti pari (in euro) al 2% del quadrato del numero di unità prodotte. Determina la produzione annuale che consente di rendere minimo il costo unitario complessivo, e il valore di quest’ultimo. [1400 unità; 231 euro] 43 Þ I costi sostenuti da un’azienda in un anno, per la produzione di un determinato bene, sono i seguenti: costi fissi pari a 364 500 euro; un costo di 75 euro per ogni unità del bene prodotta; un ulteriore costo quantificabile (in euro) nel 45% del quadrato del numero di unità prodotte. Determina la produzione annuale che consente di rendere minimo il costo unitario complessivo, e il valore di quest’ultimo. [900 unità; 885 euro] 44 Þ 3. Problemi di scelta in condizione di certezza (caso discreto) TEORIA a p. 85 Esercizi preliminari Test La funzione UðxÞ ¼ 0,015x2 þ 7x 10, con x 2 N, rappresenta l’utile derivante dalla vendita della quantità x di un dato bene. Per quale valore di x si ottiene il massimo utile? 45 Þ A 233 104 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P B 234 C 235 D Nessuno dei precedenti Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 198 B 199 C 200 D Nessuno dei precedenti 1500 , con x 2 N, rappresenta il costo unitario derivante dalla produzione della x quantità x di un dato bene. Per quale valore di x si ottiene il minimo costo unitario? 47 Þ A La funzione UðxÞ ¼ 20x þ 8 B 9 C 10 D Nessuno dei precedenti 4000 , con x 2 N, rappresenta il costo unitario derivante dalla produzione della x quantità x di un dato bene. Per quale valore di x si ottiene il minimo costo unitario? 48 Þ A La funzione UðxÞ ¼ 20x þ 14 B 15 C 16 D Nessuno dei precedenti Problemi 49 Þ ESERCIZIO GUIDATO Un’azienda produce un bene per cui sostiene ogni settimana un costo fisso di 500 euro e un costo di 6 euro per ogni unità del bene prodotta. Il bene viene venduto in lotti indivisibili, ciascuno dei quali è costituito da 100 unità. Il prezzo di ogni lotto è stabilito cosı̀: 2000 euro, meno 12 euro per ogni lotto venduto. La capacità produttiva massima in una settimana è di 100 lotti. Stabilisci quanti lotti deve produrre (e vendere) l’azienda in una settimana per conseguire il massimo utile e tale utile massimo. Problemi di scelta in condizione di certezza A Unità 2 La funzione UðxÞ ¼ 0; 015x2 þ 7x 10, con x 2 N, rappresenta l’utile derivante dalla vendita della quantità x di un dato bene. Per quale valore di x si ottiene il massimo utile, nell’ipotesi che la capacità produttiva massima sia di 200 unità? 46 Þ Indica con x il numero di lotti prodotti (e venduti) in una settimana; dovrà essere 0 x 100 e x 2 N. È possibile determinare l’espressione analitica della funzione dell’utile; risulta infatti: UðxÞ ¼ ð2000 12xÞx ð500 þ 6 100xÞ ¼ ::::: ricavo costo e il modello del problema consiste nel determinare il valore di x, con 0 x 100 e x 2 N, per cui la funzione UðxÞ è massima. Trattando inizialmente x come se fosse una variabile continua, puoi verificare che il massimo della funzione 175 ¼ 58,3. Come puoi intuire dal grafico della funzione, in UðxÞ nell’intervallo 0 x 100 si ottiene per x ¼ 3 questo caso il massimo sarà raggiunto in corrispondenza di x ¼ 58 o x ¼ 59. Verifica che per x ¼ 58 l’utile è di 40 332 euro e per x ¼ 59 è 40 328 euro: dunque il massimo utile, uguale a 40 332 euro, viene raggiunto in corrispondenza della produzione di 58 lotti. Una compagnia aerea deve stabilire il prezzo del biglietto di un volo (per persona). Sulla base di statistiche precedenti si ritiene che fissando come prezzo del biglietto 250 euro ci saranno 300 prenotazioni. Ogni aumento del prezzo di 6 euro comporterà una diminuzione di 5 prenotazioni. Quale prezzo conviene fissare per il biglietto, in modo da ottenere il massimo ricavo possibile, supponendo che gli aumenti possano essere solo multipli di 6? (Suggerimento: indica con x, essendo x 2 N, il numero di possibili aumenti di 6 euro nel prezzo del biglietto) [304 euro] 50 Þ Un’azienda produce un bene per cui sostiene ogni settimana un costo fisso di 400 euro e un costo di 5 euro per ogni unità del bene prodotta. Il bene viene venduto in lotti indivisibili, ciascuno dei quali è costituito da 100 unità. Il prezzo di ogni lotto è stabilito cosı̀: 1000 euro, meno 15 euro per ogni lotto venduto. La capacità produttiva massima in una settimana è di 100 lotti. Stabilisci quanti lotti deve produrre (e vendere) l’azienda in una settimana per conseguire il massimo utile, e il valore di tale utile massimo. [17 lotti, 3765 euro] 51 Þ Un’azienda agricola specializzata nella produzione di mele sostiene una spesa fissa annua di 1500 euro e un costo di 50 centesimi al kilogrammo. Vende le mele in sacchetti da 5 kg, a un prezzo p al sacchetto che dipende dal numero x di sacchetti complessivamente prodotti in base alla relazione p ¼ 12 0,01x. Sapendo che la capacità massima produttiva è di 20 q, determina: a. il numero minimo di sacchetti che deve produrre e vendere per non essere in perdita; b. quanti sacchetti deve produrre e vendere per avere il massimo utile. [a. 200; b. 475] 52 Þ 105 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Un rivenditore di prodotti alimentari vende confezioni di sei brioches a un prezzo p a confezione che dipende dal numero x di confezioni complessivamente prodotte in base alla relazione p ¼ 9 0,013x. Per l’acquisto della merce sostiene una spesa annua fissa di 500 euro e un costo di 50 centesimi per ciascuna brioche. Il magazzino di cui dispone può contenere al massimo 3000 brioches. Determina: a. il numero minimo di confezioni che il rivenditore deve produrre e vendere per non essere in perdita; b. quante confezioni deve produrre e vendere per ottenere il massimo utile. [a. 110; b. 231] 53 Þ 54 Þ ESERCIZIO GUIDATO Un dato bene è venduto in lotti da 100 pezzi ciascuno. Per la lavorazione l’azienda sostiene una spesa fissa di 200 euro al giorno e un costo di 5 euro per ogni unità del bene prodotta. In un giorno l’azienda può produrre al massimo 8 lotti. Il prezzo di vendita al lotto decresce al crescere del numero dei lotti prodotti secondo quanto indicato nella seguente tabella. Numero di lotti 1 2 3 4 5 6 7 8 Prezzo al lotto (in euro) 800 800 760 720 700 680 650 625 Determina il numero di lotti che l’azienda dovrebbe produrre (e vendere) in un giorno per conseguire il massimo utile. Poiché in questo caso non è possibile determinare l’espressione analitica della funzione dell’utile, per stabilire la produzione giornaliera che consente il massimo utile completa la seguente tabella (gli importi sono in euro). Numero di lotti Prezzo al lotto Ricavo Costo di produzione 1 800 1 800 ¼ 800 200 þ 5 100 Utile ¼ 700 800 700 ¼ 100 unità contenute in un lotto 2 2 800 ¼ 1600 800 200 þ 5 200 ¼ 1200 1600 1200 ¼ 400 unità contenute in due lotti 3 760 ..... ..... ..... 4 720 ..... ..... ..... 5 700 ..... ..... ..... 6 680 ..... ..... ..... 7 650 ..... ..... ..... 8 625 ..... ..... ..... Osservando i valori degli utili dell’ultima colonna puoi concludere che il massimo utile corrisponde a una produzione di ..... lotti. Un prodotto è venduto in lotti da 50 pezzi ciascuno. Per la lavorazione l’azienda sostiene, in un ciclo di produzione, un costo fisso di 400 euro e un costo di 2,5 euro per ogni pezzo prodotto. La capacità produttiva in un ciclo è al massimo di 8 lotti. Il prezzo di ogni singolo lotto dipende dal numero di lotti venduti secondo la seguente tabella: 55 Þ Numero di lotti venduti 1 2 3 4 5 6 7 8 Prezzo al lotto (euro) 400 400 380 360 350 320 280 250 Determina quanti lotti devono essere venduti per realizzare il massimo utile. [6 lotti] Un’azienda produce un dato bene, che viene venduto in lotti. In un mese l’azienda sostiene un costo di 1000 euro per ciascuno dei primi tre lotti e un costo di 800 euro per ciascun lotto a partire dal quarto. La capacità produttiva in un mese è al massimo di 9 lotti. Per quanto riguarda il prezzo di vendita di un singolo lotto, l’azienda de- 56 Þ 106 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Prezzo al lotto (euro) 1500 1450 1400 1350 1300 1250 1200 1100 1050 Determina il numero di lotti che devono essere richiesti in un mese perché l’azienda realizzi il massimo utile. [7 lotti] Un’impresa fabbrica un dato bene, che vende in lotti costituiti da 1000 pezzi ciascuno. L’azienda sostiene un costo annuo fisso di 100 000 euro per la produzione del bene e un costo di 110 euro per ogni pezzo prodotto. La massima capacità produttiva in un anno è di 10 lotti. Il prezzo di vendita varia in base al numero di lotti richiesti in un anno secondo la seguente tabella. 57 Þ Numero di lotti richiesti 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Prezzo al lotto (migliaia di euro) 340 320 300 280 260 240 220 200 180 160 Determina il numero di lotti che devono essere richiesti in un anno perché l’azienda realizzi il massimo utile. [6 lotti] Problemi di scelta in condizione di certezza Numero di lotti richiesti Unità 2 cide di praticare tariffe differenziate a seconda del numero di lotti che verranno richiesti per quel mese, secondo la seguente tabella. Per il lancio di un nuovo prodotto finanziario, una banca decide di servirsi di una campagna pubblicitaria della durata di 12 giorni. I costi prevedono una quota fissa di 80 000 euro e un costo di 3250 euro per ogni singolo spot, con uno sconto del 4% sul costo del singolo spot se il numero di spot giornalieri è superiore a 5, fino a un massimo di 8. In seguito a ricerche di mercato, si stima che il ricavo totale generato dalla sottoscrizione del prodotto finanziario sia legato al numero di spot al giorno trasmessi, secondo quanto indicato nella seguente tabella. 58 Þ Numero di spot giornalieri 1 2 3 4 5 6 7 8 Ricavo totale (euro) 450 000 700 000 925 000 1 150 000 1 315 000 1 350 000 1 375 000 1 400 000 Determina quanti spot si devono mandare in onda ogni giorno perché il conseguente utile totale stimato (al netto delle sole spese pubblicitarie) sia massimo. [6 spot] Un bene viene venduto in lotti da 450 pezzi ciascuno. L’azienda che produce il bene sostiene per la lavorazione un costo fisso giornaliero di 500 euro e un costo di 7,5 euro al pezzo. Il numero massimo di lotti prodotti in un giorno è 8. Il prezzo di vendita per ogni singolo lotto è stato fissato dall’azienda in modo che sia decrescente al crescere del numero di lotti ordinati, secondo quanto riportato nella tabella seguente. 59 Þ Numero di lotti ordinati 1 2 3 4 5 6 7 8 Prezzo al lotto (euro) 5000 4350 4300 4100 3800 3600 3500 3400 Determina quanti lotti si devono ordinare e vendere giornalmente per realizzare il massimo utile. [4 lotti] Un nuovo ristorante commissiona una campagna pubblicitaria tramite volantinaggio per fare conoscere il locale. La campagna pubblicitaria comporta un costo fisso di 1000 euro e un costo di 125 euro per ogni giornata di promozione; l’importo del costo giornaliero si riduce a 100 euro se le giornate di promozione sono più di tre nell’arco della settimana. Si stima che il ricavo generato dai nuovi clienti sia legato al numero di giornate della settimana in cui avviene l’attività di promozione secondo i dati riportati in tabella. 60 Þ Numero di giornate di promozione (per settimana) 1 2 3 4 5 6 7 Ricavo totale stimato per settimana (euro) 6000 9000 11 000 12 000 12 500 12 500 12 500 Determina il numero di giornate di promozione che consente di ottenere il massimo utile (al netto delle sole spese pubblicitarie), e il valore di tale utile massimo. [5 giornate a settimana, utile ¼ 11 000 euro] 107 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Un’azienda vende un bene in lotti da 200 pezzi ciascuno. Per la lavorazione sostiene un costo fisso di 750 euro e un costo di 4 euro al pezzo. Giornalmente l’azienda può produrre al massimo 8 lotti. Il prezzo di vendita per ogni singolo lotto è stato fissato dall’azienda in modo che sia decrescente al crescere del numero di lotti venduti, secondo quanto riportato nella seguente tabella. 61 Þ Numero di lotti 1 2 3 4 5 6 7 8 Prezzo al lotto (euro) 1300 1200 1150 1100 1000 950 900 800 Determina quanti lotti si devono vendere giornalmente per realizzare il massimo utile, e il valore di tale utile massimo. [4 lotti, utile ¼ 450 euro] Un’industria produce un articolo che vende in lotti da 200 pezzi ciascuno. In un ciclo produttivo l’azienda sostiene un costo fisso uguale a 400 000 euro e un costo di 500 euro per ogni pezzo prodotto. La capacità produttiva massima in un ciclo è di 8 lotti. Il prezzo di vendita dipende dal numero di lotti ordinati secondo quanto riportato nella seguente tabella. 62 Þ Numero di lotti ordinati 1 2 3 4 5 6 7 8 Prezzo al lotto (migliaia di euro) 350 350 320 280 250 210 180 150 Determina quale ordinativo di lotti consente di realizzare il massimo utile, e il valore di tale utile massimo. [5 lotti, utile ¼ 350 000 euro] 63 Un’impresa può produrre, in un ciclo produttivo, da 500 a 1000 pezzi di un dato articolo, che vende in lotti Þ contenenti 50 pezzi ciascuno. Il prezzo varia con il numero di lotti ordinati secondo la seguente tabella. Numero di lotti ordinati 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Prezzo al lotto (euro) 270 265 260 255 250 245 240 230 220 210 200 In un ciclo produttivo l’impresa sostiene un costo fisso pari a 500 euro e un costo per ogni pezzo prodotto di 2,50 euro. Determina quanti lotti devono essere ordinati affinché l’utile sia massimo, e il valore di tale utile massimo. [16 lotti, utile ¼ 1340 euro] Un certo bene è venduto in lotti da 100 pezzi ciascuno. Per la lavorazione l’azienda produttrice sostiene una spesa fissa giornaliera di 150 euro e un costo di 0,75 euro al pezzo. Il numero massimo di lotti prodotti in un giorno è10. Il prezzo di vendita di ogni lotto è stato stabilito in modo che sia decrescente al crescere dei lotti prodotti in un giorno, secondo i dati riportati nella seguente tabella. 64 Þ Numero di lotti 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Prezzo (euro) 150 145 140 135 130 125 120 115 110 105 Determina quanti lotti si devono produrre (e vendere) giornalmente per realizzare il massimo utile. [8 lotti] Un negozio di strumenti musicali può affittare fino a 8 impianti stereo per manifestazioni e feste. I costi sostenuti e i ricavi realizzati dipendono dal numero di impianti che vengono dati in affitto secondo quanto riportato nella seguente tabella. 65 Þ Numero di impianti Costo unitario (euro) Ricavo unitario (euro) 1 1750 7000 2 1250 6750 3 1100 6250 4 1000 5750 5 950 5500 6 900 5250 7 890 4500 8 875 4000 Determina quanti impianti conviene affittare per realizzare il massimo utile, e il valore di tale utile massimo. [6 impianti, utile ¼ 26 100 euro] 108 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA TEORIA a p. 89 Esercizi preliminari Una ditta ha bisogno ogni anno di 8000 kg di una determinata materia prima, che si procura nel corso dell’anno con alcune ordinazioni (tutte dello stesso quantitativo). Ogni ordine costa 50 euro e i costi annui per la conservazione della materia prima ammontano a 4 euro al kilogrammo. Indicata con x la quantità da ordinare ogni volta, quale delle seguenti è l’espressione analitica della funzione che esprime il costo annuo complessivo di gestione del magazzino? 66 Þ A y¼ 8000 þ 4x x B y¼ 8000 þ 50x þ 2 x C y¼ 400 000 þ 2x x In corrispondenza di quale valore di x è minima la funzione y ¼ 15x þ x > 0? Arrotonda il risultato alla seconda cifra decimale. 67 Þ A 51,64 B 42,63 C 68,32 D In corrispondenza di quale valore di x è minima la funzione y ¼ 15x þ 0 < x 50? Arrotonda il risultato alla seconda cifra decimale. 42,63 B 48,27 C 50 D In corrispondenza di quale valore di x è minima la funzione y ¼ 15x þ x 2 N f0g? 50 B 51 C 52 D 40 000 þ 4x x 40 000 þ 20, nell’ipotesi che sia x 40 000 þ 20, nell’ipotesi che sia x Non esiste alcun punto di minimo 69 Þ A y¼ Non esiste alcun punto di minimo 68 Þ A D Problemi di scelta in condizione di certezza Test Unità 2 4. Il problema delle scorte 40 000 þ 20, nell’ipotesi che sia x Non esiste alcun punto di minimo Problemi in cui il costo della materia prima è costante 70 Þ ESERCIZIO GUIDATO Una ditta ha bisogno di 8000 kg di una determinata materia prima in un mese. Ogni ordine costa 20 euro e i costi di magazzinaggio per la conservazione della materia prima ammontano, ogni mese, a 2 euro al kilogrammo. Determina il quantitativo da ordinare ogni volta per rendere minimo il costo mensile complessivo di gestione del magazzino, e l’ammontare di tale costo minimo. Indica con x la quantità da ordinare ogni volta. Allora il costo complessivo di gestione del magazzino è espresso dalla funzione: y ¼ 20 8000 x spese per gli ordini þ x 2 2 spese di magazzinaggio Puoi verificare che tale funzione, per x > 0, raggiunge il minimo per x ¼ 400. Dunque per rendere minimo il costo mensile complessivo occorre ordinare ogni volta 400 kg; il costo complessivo mensile corrispondente è di 800 euro. Una ditta ha bisogno di 5000 kg di una determinata materia prima per il suo ciclo produttivo. Ogni ordine costa 80 euro e i costi di magazzinaggio per la conservazione della materia prima per la durata di un ciclo ammontano a 5 euro al kilogrammo. Determina il quantitativo da ordinare ogni volta per rendere minimo il costo annuo complessivo di gestione del magazzino, e l’ammontare di quest’ultimo. [400 kg, 2000 euro] 71 Þ Ogni anno un’impresa ha bisogno di 20,25 t di una certa materia prima, che si procura nel corso dell’anno con varie ordinazioni (tutte dello stesso quantitativo), ciascuna delle quali costa 20 euro. Per la conservazione della materia prima nel magazzino l’azienda deve sostenere un costo annuo di 0,25 euro al kilogrammo. Determina il quantitativo da ordinare ogni volta per rendere minimo il costo annuo di gestione del magazzino, e il valore minimo di tale costo. [1800 kg, 450 euro] 72 Þ 109 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Una ditta necessita in un anno di 25 000 pezzi di un certo articolo, di cui si approvvigiona mediante ordini (tutti dello stesso quantitativo) eseguiti nel corso dell’anno. Ogni ordine ha un costo di 40 euro. Il costo annuo di magazzinaggio è di 2 euro per ogni pezzo. Determina il numero di pezzi da ordinare ogni volta per rendere minimo il costo annuo complessivo di gestione del magazzino, e il valore minimo di tale costo. [1000 pezzi, 2000 euro] 73 Þ Un’impresa necessita ogni anno di 180 q di una determinata merce. Ogni ordine della merce ha un costo di 49 euro e per conservare la merce in magazzino occorre una spesa annua di 9 euro al kilogrammo. Determina il numero di kilogrammi da ordinare ogni volta per rendere minimo il costo annuo complessivo di gestione del magazzino e l’ammontare di quest’ultimo, in ciascuno dei seguenti due casi: 74 Þ a. se la capacità massima del magazzino è di 5 quintali; b. se la capacità massima del magazzino è di 4 quintali. [a. 442,72 kg, 3984,47 euro; b. 400 kg, 4005 euro] Ogni anno un’industria utilizza 100 q di una certa materia prima. Nel corso dell’anno l’industria ordina lo stesso quantitativo di materia prima con un costo di 75 euro per ogni ordine. Il costo di magazzinaggio ammonta a 6 euro al quintale all’anno. Determina il quantitativo da ordinare ogni volta per rendere minimo il costo annuo complessivo di gestione del magazzino, e l’ammontare di quest’ultimo, in ciascuno dei seguenti casi: 75 Þ a. la massima capacità del magazzino è di 80 q; b. la massima capacità del magazzino è di 40 q. [a. 50 q, 300 euro; b. 40 q, 307,50 euro] Un’azienda necessita di 4000q di una certa materia prima ogni anno. Ogni ordine di tale materia prima comporta una spesa di 30 euro; inoltre, le spese di magazzinaggio ammontano a 6 euro al quintale all’anno. Determina: a. il numero di quintali da ordinare ogni volta per rendere minimo il costo annuo complessivo di gestione del magazzino, e il valore di tale costo minimo; b. il numero di ordini da effettuare in un anno e la periodicità di ogni ordine, nell’ipotesi di ordini il cui quantitativo sia quello determinato al punto a. [a. 200 q, 1200 euro; b. 20 ordini, uno ogni 18 giorni] 76 Þ Una ditta, nel corso di un anno, ha bisogno di 450 q di una certa materia prima. Si procura questo quantitativo di merce con un certo numero di ordini, ciascuno dei quali costa 100 euro. I costi annui di magazzinaggio ammontano a 1 euro al kilogrammo. Determina: 77 Þ a. il numero di kilogrammi da ordinare ogni volta per rendere minimo il costo annuo complessivo di gestione del magazzino, e il valore di tale costo minimo; b. il numero di ordini da effettuare in un anno e la periodicità di ogni ordine, nell’ipotesi di ordini il cui quantitativo sia quello determinato al punto a. [a. 3000 kg, 3000 euro; b. 15 ordini, 24 giorni] Una ditta necessita in un anno di 1500 pezzi meccanici, di cui si approvvigiona mediante ordini (tutti dello stesso quantitativo) eseguiti nel corso dell’anno. Ogni ordine ha un costo di 15 euro. Il costo annuo di magazzinaggio è di 5 euro per ogni pezzo. Determina il numero di pezzi da ordinare ogni volta per rendere minimo il costo annuo complessivo di gestione del magazzino, e il valore di tale costo minimo. [Si tratta di un problema discreto; 95 pezzi, 474,34 euro] 78 Þ Una ditta necessita in un anno di 2000 pezzi meccanici, di cui si approvvigiona mediante ordini (tutti dello stesso quantitativo) eseguiti nel corso dell’anno. Ogni ordine ha un costo di 12 euro. Il costo annuo di magazzinaggio è di 10 euro per ogni pezzo. Determina il numero di pezzi da ordinare ogni volta per rendere minimo il costo annuo complessivo di gestione del magazzino, e il valore di tale costo minimo. [Si tratta di un problema discreto; 69 pezzi, 692,83 euro] 79 Þ Problemi in cui il costo della materia prima non è costante 80 Þ ESERCIZIO GUIDATO Un’industria necessita in un anno di 100 000 pezzi meccanici, di cui si approvvigiona tramite ordini (tutti dello stesso quantitativo) nel corso dell’anno a un costo di 40 euro per ogni ordine. Il costo annuo di magazzinaggio dei pezzi ordinati ammonta a 2 euro al pezzo. Per ordini di quantitativi inferiori a 5000 pezzi, il costo di ogni pezzo è di 5 euro, mentre per ordini di quantitativi uguali o superiori a 5000 pezzi il costo di ogni pezzo scende a 3 euro. 110 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA y¼ 8 100 000 > > 40 > > x > > > > > > costo per > > < gli ordini > > 100 000 > > 40 > > > x > > > > > costo per : gli ordini x 2 2 þ þ x 2 2 spese di magazzinaggio 0 < x < 5000 costo di acquisto della merce spese di magazzinaggio þ 500 000 þ 300 000 x 5000 costo di acquisto della merce Puoi verificare che tale funzione: – se 0 < x < 5000, ha un minimo, che vale 504 000, per x ¼ 2000; – se x 5000, ha un minimo, che vale 305 800, per x ¼ 5000. Problemi di scelta in condizione di certezza Indica con x la quantità da ordinare ogni volta ðx 2 NÞ. Tratta inizialmente il problema nel continuo e verifica che il costo complessivo è espresso dalla funzione: Unità 2 Determina il numero di pezzi da ordinare ogni volta per sostenere il minimo costo annuo complessivo. Pertanto il valore di x che consente di rendere minimo il costo annuo complessivo è 5000. Una ditta necessita ogni anno di 5000 pezzi di un certo articolo, di cui si approvvigiona mediante ordini (tutti dello stesso quantitativo) eseguiti nel corso dell’anno. Ogni ordine dei pezzi ha un costo fisso di 80 euro e le spese di magazzinaggio ammontano a 5 euro al pezzo per l’intero anno. Inoltre, per ordini inferiori a 1000 pezzi il costo di ogni pezzo è di 2 euro, mentre per ordini superiori o uguali a 1000 pezzi il costo scende a 1,8 euro al pezzo. Determina il numero di pezzi da ordinare ogni volta per rendere minimo il costo annuo complessivo, nonché il valore di tale costo minimo. [1000 pezzi, 11 900 euro] 81 Þ Un’impresa consuma all’anno 12500 kg di una determinata materia prima, di cui si approvvigiona mediante ordini (dello stesso quantitativo) eseguiti nel corso dell’anno. L’impresa sostiene un costo di 15 euro per ogni ordine e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 0,3 euro al kilogrammo. Inoltre, per ordini inferiori o uguali a 1000 kg il costo della materia prima è di 4 euro al kilogrammo, mentre per ordini superiori a 1000 kg la ditta può godere di uno sconto e pagare la materia prima 2,50 euro al kilogrammo. Determina il quantitativo da ordinare ogni volta per rendere minimo il costo annuo complessivo, nonché il valore di tale costo minimo. [1118,03 kg; 31 585,41 euro] 82 Þ Ogni anno un’industria utilizza 16 200 kg di una merce che si procura nel corso dell’anno mediante vari ordini, tutti dello stesso quantitativo. Per ogni ordine l’industria spende 20 euro e per la conservazione in magazzino della merce spende ogni anno 0,8 euro al kilogrammo. La merce ha un costo di 4 euro al kilogrammo se si ordinano quantitativi inferiori a 1000 kg e un costo che scende a 3,20 euro al kilogrammo se si ordinano quantitativi superiori o uguali a 1000 kg. Determina il quantitativo da ordinare ogni volta per rendere minimo il costo annuo complessivo, nonché il valore di tale costo minimo. [1000 kg; 52 564 euro] 83 Þ Ogni anno una ditta ha bisogno, per il ciclo produttivo di un dato bene, di 242 t di una certa materia prima. Ogni ordine costa 125 euro e la materia prima, molto deperibile, richiede un costo di magazzinaggio annuo di 50 euro al kilogrammo. La merce si può acquistare a un costo di 6 euro al kilogrammo se l’ordine prevede un acquisto di quantità inferiori o uguali a 1000 kg, mentre il costo scende a 4 euro al kilogrammo se l’ordine prevede un acquisto di quantità superiori a 1000 kg. Determina il quantitativo da ordinare ogni volta per rendere minimo il costo annuo complessivo, nonché il valore di tale costo minimo. [1100 kg, 1 023 000 euro] 84 Þ Un’azienda, per produrre un determinato bene, utilizza ogni anno 100 000 pezzi meccanici di un certo tipo. Si procura i pezzi necessari con vari ordini (dello stesso quantitativo) nel corso dell’anno, con un costo di 50 euro per ogni ordine. La conservazione dei pezzi in magazzino richiede una spesa di 10 euro al pezzo all’anno. Il costo per l’acquisto è di 0,5 euro al pezzo per quantitativi inferiori o uguali a 1000 pezzi e di 0,4 euro al pezzo per quantitativi superiori a 1000 pezzi. Determina il numero di pezzi da ordinare ogni volta per rendere minimo il costo annuo complessivo, nonché il valore di tale costo minimo. [1001 pezzi, circa 50 000 euro] 85 Þ 111 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 5. Problemi di scelta tra più alternative TEORIA a p. 93 Esercizi preliminari Interpretazione di grafici a. Nell’ipotesi che i tre grafici in figura rappresentino tre alternative di costo, stabilisci l’alternativa più conveniente, al variare di x. b. Nell’ipotesi che i tre grafici in figura rappresentino tre alternative di utile, stabilisci l’alternativa più conveniente, al variare di x. 86 Þ y 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 –1 87 Þ alternativa A R alternativa C Q alternativa B P O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x Vero o falso? 1 33 xþ rappresentano rispettivamente tre alternative A, B, C 7 7 di costo. Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false. a. se 0 < x < 6, conviene l’alternativa C b. se 6 < x < 16, conviene l’alternativa B c. se x > 16, conviene l’alternativa C d. se x ¼ 6, è indifferente scegliere A o C e. se x ¼ 16, è indifferente scegliere B o C [3 affermazioni vere e 2 false] Le tre funzioni y ¼ 0,5x þ 1,5, y ¼ 0,25x þ 3, y ¼ 88 Þ Vero o falso? 1 33 xþ rappresentano rispettivamente tre alternative A, B, C 7 7 di utile. Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false. a. se 0 < x < 9, conviene l’alternativa C b. se 0 < x < 6, conviene l’alternativa B c. se 9 < x < 16, conviene l’alternativa C d. se x ¼ 6, è indifferente scegliere A o B e. se x ¼ 9, è indifferente scegliere B o C [2 affermazioni vere e 3 false] Le tre funzioni y ¼ 0,5x þ 1,5, y ¼ 0,25x þ 3, y ¼ Problemi 89 Þ ESERCIZIO GUIDATO Un’impresa deve scegliere quale linea produttiva utilizzare per la produzione di un certo bene; può scegliere tra due alternative: linea produttiva A, che richiede ogni giorno un costo fisso di 12 euro per una produzione fino a un massimo di 7 unità del bene e un costo aggiuntivo di 1 euro per ogni unità prodotta successiva alle prime sette; linea produttiva B, che richiede ogni giorno un costo fisso di 10 euro più 50 centesimi per ogni unità del bene prodotta. Stabilisci qual è l’alternativa più conveniente, al fine di minimizzare i costi. 112 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA – – – – – per 0 x < 4 conviene la linea produttiva ..... per x ¼ 4 le due linee produttive sono ..... per 4 < x < 10 conviene la linea produttiva ..... per x ¼ 10 le due linee produttive sono ..... per x > 10 conviene la linea produttiva ..... 20 y 18 16 14 12 Q alternativa B P alternativa A Problemi di scelta in condizione di certezza Verifica che i grafici di tali funzioni sono del tipo rappresentato in figura, e dall’analisi di tali grafici deduci che: Unità 2 Indicato con x il numero di unità del bene che si vogliono produrre giornalmente, le funzioni che esprimono i costi relativamente alle due linee produttive hanno espressioni analitiche: 12 0x7 e CB ðxÞ ¼ 10 þ 0,5x CA ðxÞ ¼ 12 þ 1 ðx 7Þ x > 7 10 8 6 4 2 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x Per il noleggio di un’auto, due diverse compagnie offrono le seguenti condizioni: a. La compagnia A applica 20 euro di costo fisso più 50 euro per ogni giorno di noleggio. b. La compagnia B non applica nessun costo fisso e richiede 60 euro per ogni giorno di noleggio. 90 Þ Stabilisci, in dipendenza del numero di giorni per cui si vuole noleggiare l’auto, qual è la scelta più conveniente. [Per un solo giorno di noleggio conviene la compagnia B, per più di 2 giorni conviene la compagnia A, per 2 giorni è indifferente] A un promotore di polizze assicurative vengono proposti due tipi di contratto: a. 500 euro al mese più un compenso di 100 euro per ogni polizza stipulata. b. 1000 euro al mese più un compenso di 50 euro per ogni polizza stipulata. 91 Þ Determina, in dipendenza del numero di polizze stipulate, il contratto più conveniente. [Fino a 10 polizze al mese conviene il secondo contratto, per più di 10 polizze conviene il primo; per 10 polizze è indifferente] Per produrre un certo prodotto un’azienda ha la possibilità di utilizzare due macchinari diversi, che chiamiamo A e B. Il macchinario A richiede 10 minuti di preparazione e produce 2 oggetti al minuto; il macchinario B richiede 20 minuti di preparazione e produce 3 oggetti al minuto. Determina, in dipendenza del numero di oggetti che si vogliono produrre, quale macchinario consente di impiegare meno tempo. [Volendo produrre meno di 60 oggetti è più conveniente scegliere A; per più di 60 oggetti è più conveniente B; per 60 oggetti è indifferente] 92 Þ 93 Una ditta deve noleggiare un macchinario e può scegliere tra le seguenti offerte: Þ l’offerta A comporta un costo fisso di 210 euro fino a 20 giorni di noleggio e di 6,25 euro al giorno per ciascun giorno successivo; l’offerta B comporta una quota fissa di 160 euro, più 5 euro per ogni giorno. Determina l’offerta più conveniente in relazione al numero x di giorni di noleggio. [Per 0 x < 10 conviene l’offerta B; per 10 < x < 60 conviene A; per x > 60 conviene B; per x ¼ 10 e x ¼ 60 è indifferente A o B] 113 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 94 Þ Per il trasporto di una determinata merce due ditte chiedono il seguente compenso: ditta A: 100 euro di spese fisse e 10 euro per ogni quintale trasportato; ditta B: 250 euro di spese fisse per un trasporto fino a 30 quintali, più 7 euro a quintale per ogni quintale eccedente i 30. Determina a quale ditta conviene rivolgersi, in relazione al numero x di quintali da trasportare. [Per 0 x < 15 conviene A; per x > 15 conviene B; per x ¼ 15 è equivalente] 95 Þ Per la fornitura di un determinato bene si può scegliere tra due alternative: l’alternativa A prevede una spesa fissa di 100 euro e un costo di 4 euro per ogni unità del bene; l’alternativa B prevede un costo di 8 euro per ogni unità del bene per la fornitura delle prime 50 unità e un costo di 2 euro per ciascuna unità del bene eccedente la cinquantesima. Quale delle due alternative è preferibile per ridurre al minimo i costi, in dipendenza della quantità x del bene di cui si ha bisogno? [Per 0 x < 25 conviene B; per 25 < x < 100 conviene A; per x > 100 conviene B; per x ¼ 25 e x ¼ 100 le due alternative sono equivalenti] 96 Þ Per l’acquisto di cavi elettrici, due ditte propongono le seguenti tariffe: ditta A: una spesa di 12,50 euro al metro per i primi 60 m e di 5 euro per ogni metro in più, fino a un massimo di 80 m; ditta B: un costo fisso di 90 euro, più un costo aggiuntivo di 9,50 euro al metro. A quale ditta conviene rivolgersi per minimizzare il costo, in dipendenza del numero x di metri di cavi che si vogliono acquistare? [Per 0 x < 30 conviene la ditta A, per 30 < x < 80 conviene la ditta B, per x ¼ 30 e x ¼ 80 le due alternative sono equivalenti] Un ricco signore vuole ormeggiare durante la stagione estiva il suo panfilo per un certo periodo di tempo in un porticciolo gestito da un club nautico. Ha le seguenti possibilità: 97 Þ prendere in affitto il posto barca per l’intera stagione estiva (dal primo giugno al 30 settembre), pagando 3600 euro; pagare la tariffa di ormeggio di 200 euro al giorno; iscriversi al club, pagando una quota di iscrizione di 800 euro, quindi pagare la tariffa di ormeggio agevolata, di 40 euro al giorno. Stabilisci qual è la scelta più conveniente, in relazione al numero dei giorni di ormeggio. [Per meno di 5 giorni, conviene pagare la tariffa di ormeggio; per ormeggio tra i 5 e i 70 giorni, conviene iscriversi al club; per più di 70 giorni di ormeggio conviene affittare per l’intera stagione; per 5 giorni è indifferente pagare la tariffa di ormeggio o iscriversi al club; per 70 giorni è indifferente iscriversi al club o affittare per l’intera stagione] 98 Þ A un rappresentante di televisori vengono proposte tre diverse forme di retribuzione: a. la prima prevede 600 euro al mese, più 40 euro per ogni televisore venduto; b. la seconda prevede 400 euro al mese, più 80 euro per ogni televisore venduto; c. la terza non prevede nessuno stipendio fisso, ma 100 euro per ogni televisore venduto. Stabilisci qual è la forma di retribuzione più conveniente, in relazione al numero di televisori venduti in un mese. [Per meno di 5 televisori venduti in un mese conviene la prima forma di retribuzione; per vendite tra i 5 e i 20 televisori conviene la seconda; per vendite superiori ai 20 televisori la terza; per 5 televisori è indifferente la prima o la seconda; per 20 televisori è indifferente la seconda o la terza] 99 Þ Per fabbricare dei bulloni un’azienda ha la possibilità di utilizzare tre macchinari diversi, che chiamiamo A, B e C: a. il macchinario A richiede 10 minuti di preparazione e produce 4 bulloni al minuto; b. il macchinario B richiede 15 minuti di preparazione e produce 6 bulloni al minuto; c. il macchinario C richiede 30 minuti di preparazione e produce 10 bulloni al minuto. Determina, in dipendenza del numero di bulloni che si vogliono produrre, quale macchinario consente di impiegare il minimo tempo complessivo (intendendo come tempo complessivo la somma del tempo di preparazione e di quello di produzione). [Per meno di 60 bulloni conviene A, per una produzione tra i 60 e i 225 bulloni conviene B; per più di 225 bulloni conviene C, per 60 bulloni è indifferente A o B; per 225 bulloni è indifferente B o C] 114 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Per il trasporto di una merce, tre ditte di spedizione presentano le seguenti tariffe: Studia l’alternativa migliore al variare della distanza x cui va spedita la merce. [Per 0 x < 500 conviene la terza ditta; per 500 < x < 1500 conviene la seconda ditta; per x > 1500 conviene la prima ditta; per x ¼ 500 le tre ditte sono equivalenti; per x ¼ 1500 la prima e la seconda ditta sono equivalenti] Per l’organizzazione di una cena aziendale vengono contattate tre diverse imprese di ristorazione, che propongono le seguenti condizioni: 101 Þ impresa A: una spesa fissa di 12 000 euro fino a un massimo di 50 persone; 80 euro per ogni persona in più; impresa B: una spesa fissa di 16 000 euro fino a un massimo di 150 persone e 80 euro per ogni persona in più; impresa C: una spesa fissa di 20 000 euro fino a un massimo di 250 persone e 80 euro per ogni persona in più. Determina quale ditta conviene scegliere per spendere il meno possibile, in dipendenza del numero x di persone che parteciperanno alla cena. [Per 0 x < 100 conviene A; per 100 < x < 200 conviene B; per x 200 conviene C; per x ¼ 100 sono equivalenti A e B; per x ¼ 200 sono equivalenti B e C] Problemi di scelta in condizione di certezza prima ditta: spesa fissa di 600 euro, più 40 centesimi al kilometro; seconda ditta: spesa fissa di 800 euro per una spedizione fino a 1000 km, più 80 centesimi per ciascun kilometro oltre i 1000 km; terza ditta: costo di 1,60 euro al kilometro, senza spese aggiuntive. Unità 2 100 Þ Una ditta deve decidere quale macchinario produrre fra due modelli che comportano i seguenti costi di produzione: 102 Þ modello A: costo fisso di 500 000 euro, più 10 000 euro per ogni macchinario prodotto; modello B: costo fisso di 800 000 euro, più 12 000 euro per ogni macchinario prodotto. Il modello A sarà venduto al prezzo unitario di 20 000 euro e il modello B al prezzo unitario di 25 000 euro. Determina quale modello è più conveniente produrre al fine di conseguire il massimo utile, al variare del numero x di macchinari prodotti (e venduti). [Per 0 x 50 non conviene né il modello A né il modello B (utile negativo o nullo); per 50 < x < 100 conviene il modello A; per x > 100 conviene il modello B; per x ¼ 100 i due modelli sono equivalenti] Per produrre un determinato bene A, venduto al prezzo unitario di 90 euro, un’azienda deve sostenere un costo di 40 euro per ogni unità prodotta e un costo fisso di 20 000 euro. In alternativa, la stessa azienda può produrre un bene B simile al precedente, che verrà venduto al prezzo unitario di 135 euro, per la cui produzione l’azienda deve sostenere un costo di 60 euro per ogni unità prodotta e un costo fisso di 40 000 euro. Stabilisci se è più conveniente produrre il bene A o il bene B, in dipendenza del numero x di unità del bene che verranno prodotte (e vendute) al fine di conseguire l’utile massimo. [Per 0 x 400 non conviene né A né B (utile negativo o nullo); per 400 < x < 800 conviene A; per x > 800 conviene B; per x ¼ 800 risulta equivalente produrre A o B] 103 Þ Un’impresa deve scegliere quale articolo produrre, tra due modelli A e B che comportano i seguenti costi: modello A: un costo fisso di 25 000 euro e un costo variabile di 50 euro per ogni unità; modello B: un costo fisso di 15 000 euro e un costo variabile di 100 euro per ogni unità. 104 Þ Il prezzo unitario di vendita dell’articolo A sarà di 130 euro e il prezzo unitario di vendita dell’articolo B sarà di 160 euro. Determina quale articolo è più conveniente produrre al fine di conseguire il massimo utile, al variare del numero x di articoli prodotti (e venduti). [Per 0 x 250 non conviene né A né B (utile negativo o nullo); per 250 < x < 500 conviene B; per x > 500 conviene A; per x ¼ 500 A e B sono equivalenti] Per la produzione di un certo capo di abbigliamento, un’azienda deve sostenere, a seconda del tipo di lavorazione, i seguenti costi mensili: tipo di lavorazione A: un costo fisso di 1000 euro e un costo variabile di 4 euro per ogni capo confezionato; tipo di lavorazione B: un costo fisso di 1500 euro e un costo variabile di 3,50 euro per ogni capo confezionato; tipo di lavorazione C: un costo fisso di 1200 euro e un costo variabile di 3,75 euro per ogni capo confezionato. 105 Þ Ogni capo viene venduto al prezzo di 6 euro. Determina il tipo di lavorazione che consente di realizzare il massimo utile mensile, in dipendenza del numero x di capi prodotti (e venduti) in un mese. [Per 0 x 500 non conviene né A né B né C (utile negativo o nullo); per 500 < x < 800 conviene A; per 800 < x < 1200 conviene C; per x > 1200 conviene B; per x ¼ 800 sono equivalenti A e C (B non conviene mai); per x ¼ 1200 sono equivalenti B e C] 115 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Una ditta deve decidere quale modello produrre di un dato macchinario, tra due possibilità A e B, che comportano i seguenti costi: modello A: un costo fisso di 750 000 euro e un costo di 8000 euro per ogni unità prodotta; modello B: un costo fisso di 450 000 euro e un costo di 5000 euro per ogni unità prodotta. Ogni unità del macchinario A verrà venduta al prezzo di 12 000 euro, mentre ogni unità del macchinario B verrà venduta al prezzo di 8000 euro. Determina quale macchinario è più conveniente produrre al fine di conseguire il massimo utile, al variare del numero x di macchinari prodotti (e venduti). [Per 0 x 150 non conviene né A né B (utile negativo o nullo); per 150 < x < 300 conviene B; per x > 300 conviene A; per x ¼ 300 A e B sono equivalenti] 106 Þ 107 Þ ESERCIZIO GUIDATO Un’azienda può produrre un determinato bene tramite due linee produttive diverse, diciamo A e B, che comportano i seguenti costi: A: un costo fisso di 1700 euro e un costo di 40 euro per ogni unità prodotta; B: un costo fisso di 3300 euro e un costo di 10 euro per ogni unità prodotta, più un ulteriore costo uguale (in euro) al 25 % del quadrato del numero di unità prodotte. Ogni unità prodotta tramite la linea A verrà venduta a 60 euro, mentre ogni unità prodotta dalla linea B verrà venduta a 80 euro. Determina quale linea produttiva è preferibile al fine di conseguire il massimo utile, in relazione al numero x di unità prodotte (e vendute). Le funzioni che esprimono gli utili corrispondenti alle due linee produttive A e B sono: UA ðxÞ ¼ 60x ð1700 þ 40xÞ ¼ ::::: ricavo costo UB ðxÞ ¼ 80x ð3300 þ 10x þ 0,25x2 Þ ¼ ::::: ricavo costo Verifica che i grafici di tali funzioni sono del tipo rappresentato nella figura qui sotto, e dall’analisi di tali grafici deduci che: – per 0 x < 60 l’azienda è in perdita sia utilizzando la linea produttiva A sia utilizzando la linea produttiva B, quindi non conviene produrre il bene; – per x ¼ 60 è preferibile la linea B che consente di realizzare il pareggio (mentre si è sempre in perdita utilizzando la linea AÞ; – per 60 < x < 160 è preferibile la linea B; – per x ¼ 160 le due linee A e B sono equivalenti; – per x > 160 è preferibile la linea A. y Q 1500 1000 linea B 500 O 0 linea A 60 80 –500 –1000 116 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P P 160 220 240 320 x Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Per la produzione di un certo bene, un’azienda deve scegliere tra due cicli produttivi che presentano i seguenti costi, in dipendenza del numero x di unità prodotte in un ciclo: ciclo A: un costo fisso di 650 euro e un costo di (0,5x þ 30) euro per ogni unità prodotta; ciclo B: un costo fisso di 1000 euro e un costo di 20 euro per ogni unità prodotta. Le unità prodotte tramite il ciclo A verranno messe in vendita al prezzo unitario di 100 euro, mentre le unità prodotte tramite il ciclo B verranno messe in vendita al prezzo unitario di 60 euro. Determina quale ciclo conviene scegliere per conseguire il massimo utile, in relazione alla quantità x prodotta (e venduta). [Per 0 x 10 non conviene né A né B (utile negativo o nullo); per 10 < x < 70 conviene A; per x > 70 conviene B; per x ¼ 70 A e B sono equivalenti] 110 Þ Problemi di scelta in condizione di certezza Per la produzione di un articolo, un’azienda può scegliere tra due diverse linee di produzione: linea A: spese fisse di 500 euro e un costo unitario di 20 euro per ogni unità prodotta; linea B: spese fisse di 975 euro, cui va aggiunto un ulteriore costo uguale (in euro) al 4% del quadrato del numero delle unità prodotte. Quale linea sarà preferibile per l’azienda al fine di minimizzare i costi, a seconda del numero x di unità di articoli da produrre? [Per 0 x < 25 conviene la linea A; per 25 < x < 475 conviene la linea B; per x > 475 conviene la linea A] 109 Þ Unità 2 Per la produzione di un articolo, un’azienda può scegliere tra due diverse linee di produzione: linea A: spese fisse di 2215 euro e un costo unitario di 3 euro per ogni unità prodotta; linea B: spese fisse di 2350 euro, cui va aggiunto un ulteriore costo uguale (in euro) all’1,25% del quadrato del numero delle unità prodotte. Quale linea sarà preferibile per l’azienda al fine di minimizzare i costi, a seconda del numero x di unità di articoli da produrre? [Per 0 x < 60 conviene la linea A; per 60 < x < 180 conviene la linea B; per x > 180 conviene la linea A] 108 Þ Un dato bene viene prodotto da un’azienda A a un costo di 130 euro al kilogrammo e rivenduto al prezzo di 160 euro al kilogrammo. Un’azienda B produce lo stesso bene sostenendo un costo fisso di 1600 euro e un costo variabile di (2x þ 20) euro al kilogrammo, essendo x il numero di kilogrammi prodotti (e venduti); inoltre l’azienda B vende il bene al prezzo di 200 euro al kilogrammo. Stabilisci quale delle due aziende realizzerà l’utile più elevato, in dipendenza da x. Fornisci i risultati arrotondati alla seconda cifra decimale. [Per 0 x < 12,88 realizzerà l’utile maggiore l’azienda A; per 12,88 < x < 62,12 realizzerà l’utile maggiore l’azienda B; per x > 62,12 realizzerà l’utile maggiore l’azienda A; per x ¼ 12,88 e x ¼ 62,12 le due aziende realizzano lo stesso utile] 111 Þ Per la lavorazione di una certa sostanza chimica, una ditta può scegliere tra due cicli produttivi che comportano i seguenti costi, in dipendenza del numero x di kilogrammi prodotti in un ciclo: ciclo A: un costo fisso di 1500 euro e un costo variabile di 30 euro per ogni kilogrammo; ciclo B: un costo fisso di 750 euro e un costo variabile di (0,5x þ 25) euro per ogni kilogrammo. La sostanza prodotta tramite il ciclo A verrà venduta al prezzo di 60 euro al kilogrammo, mentre quella prodotta tramite il ciclo B verrà venduta al prezzo di 105 euro al kilogrammo. Quale ciclo converrà scegliere al fine di conseguire il massimo utile, a seconda della quantità x prodotta (e venduta)? Fornisci i risultati arrotondati alla seconda cifra decimale. [Per 0 x 10 non conviene né A né B (utile negativo o nullo); per 10 < x < 113,25 conviene B; per x > 113,25 conviene A; per x ¼ 113,25 i due cicli sono equivalenti] 112 Þ RIEPILOGO Esercizi di riepilogo Una ditta, per produrre un determinato bene, sostiene, in un ciclo di produzione, i seguenti costi: un costo fisso di 20 000 euro; un costo di 150 euro per ogni unità prodotta; spese pubblicitarie pari a 16 000 euro; spese di manutenzione pari (in euro) al 2,5% del quadrato del numero di unità prodotte. Ogni unità del bene viene venduta a 250 euro. Determina: a. i limiti di produzione sulla quantità x da produrre per non essere in perdita; b. la quantità da produrre per ottenere il massimo utile. [a. 400 x 3600, essendo x la quantità prodotta in un ciclo; b. x ¼ 2000] 113 Þ 117 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Una ditta produce fusibili, che vende in lotti da 5000 pezzi. Per la produzione dei fusibili l’azienda sostiene ogni giorno un costo fisso di 50 euro e un’ulteriore spesa di 20 centesimi per ogni fusibile prodotto. La produzione giornaliera è compresa fra 4 e 10 lotti. Il prezzo di vendita di ogni fusibile decresce all’aumentare del numero di lotti come da tabella: 114 Þ Numero di lotti 4 5 6 7 8 9 10 Prezzo di un fusibile (euro) 0,70 0,60 0,55 0,52 0,45 0,35 0,30 Determina quanti lotti devono essere prodotti e venduti in un giorno per ottenere il massimo utile, e a quanto ammonta tale utile. [7 lotti, 11 150 euro] Un’impresa, per produrre un liquido lubrificante, sostiene un costo fisso giornaliero di 240 euro e un costo variabile, dipendente dal numero x di litri di liquido complessivamente prodotti in un giorno, di (0,07x þ 27) euro per ogni litro di liquido. Il prezzo unitario p di vendita del bene (in euro) è legato alla quantità x prodotta (e vendu25 ta) dalla relazione x ¼ 525 p. Determina, relativamente a un giorno: 2 a. l’utile, espresso in funzione di x, e il valore di x per cui l’utile è massimo, nonché tale massimo utile; b. il valore di p cui corrisponde il massimo utile; c. i limiti di produzione per non essere in perdita. [a. UðxÞ ¼ 0,15x2 þ 15x 240, x ¼ 50, massimo utile ¼ 135 euro; b. p ¼ 38; c. 20 x 80] 115 Þ I costi sostenuti da un’azienda in un anno, per la produzione di un determinato articolo, sono i seguenti: costi fissi pari a 86 400 euro; un costo di 30 euro per ogni articolo prodotto; spese per pubblicità pari (in euro) al 4% del quadrato del numero di articoli prodotti; spese per la manutenzione degli impianti pari (in euro) al 2% del quadrato del numero di articoli prodotti. Determina la produzione annuale che consente di rendere minimo il costo unitario complessivo, e il valore di quest’ultimo. [1200 unità, 174 euro] 116 Þ Un’azienda, per il lancio di un nuovo prodotto, intende avvalersi di una campagna pubblicitaria della durata di 20 giorni. Per la campagna l’azienda deve sostenere un costo fisso di 40 000 euro e un costo di 350 euro per ogni spot, che si riduce a 300 euro se gli spot sono più di 4 al giorno, per un massimo di 8 al giorno. Si stima che il ricavo generato dalla vendita del nuovo prodotto nel periodo della campagna pubblicitaria sia legato al numero degli spot giornalieri secondo quanto indicato nella seguente tabella. 117 Þ Numero di spot giornalieri 1 2 3 4 5 6 7 8 Ricavo totale (migliaia di euro) 60 90 120 140 150 155 160 165 Determina il numero di spot al giorno che consentono di ottenere il massimo utile (al netto delle sole spese pubblicitarie), e il valore di tale utile massimo. [5 spot al giorno, utile ¼ 80 000 euro] Un’impresa necessita in un anno di 100 000 pezzi di un certo bene, che si procura mediante ordini (tutti della stessa quantità) nel corso dell’anno. Ogni ordine ha un costo di 20 euro. La conservazione dei pezzi in magazzino richiede poi una spesa annua di 1 euro per ogni pezzo. Determina il numero di pezzi da ordinare ogni volta per rendere minimo il costo annuo complessivo di gestione del magazzino, e il valore di tale costo minimo. [2000 pezzi, 2000 euro] 118 Þ Un’impresa consuma in un anno 800 q di una certa materia prima, che si procura nel corso dell’anno con alcune ordinazioni (tutte dello stesso quantitativo). Ogni ordine costa 100 euro e la materia prima viene conservata in un magazzino al costo di 4 euro all’anno per ogni kilogrammo. Determina: a. il numero di quintali da ordinare ogni volta per rendere minimo il costo annuo complessivo di gestione del magazzino, e il valore di tale costo minimo; b. il numero di ordini da effettuare in un anno e la periodicità di ogni ordine, nell’ipotesi di ordini il cui quantitativo sia quello determinato al punto a. [a. 20 q, 8000 euro; b. 40 ordinazioni, 9 giorni] 119 Þ Una fabbrica deve scegliere se produrre: a. un tessuto A che richiede costi fissi giornalieri di 1000 euro e fornisce un ricavo di 10 euro per metro di tessuto; b. oppure un tessuto B che richiede costi fissi giornalieri di 2000 euro e fornisce un ricavo di 15 euro per metro di tessuto. 120 Þ 118 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Per il trasporto di una certa merce due ditte diverse applicano le seguenti condizioni: a. La ditta A applica una spesa fissa di 100 euro più 10 euro per ogni quintale di merce trasportata. b. La ditta B non applica nessuna spesa fissa e chiede 12 euro per ogni quintale di merce trasportata. Stabilisci, in dipendenza del numero di quintali di merce che si vogliono trasportare, la scelta più conveniente. [Fino a 50 q conviene la ditta B; per più di 50 q conviene la ditta A; per 50 q è indifferente] 122 Þ Una banca propone tre diverse forme di investimento: a. un rendimento annuo netto del 4% diminuito di 100 euro per le spese di gestione; b. un rendimento annuo netto del 5% diminuito di 200 euro per le spese di gestione; c. un rendimento annuo netto del 6% diminuito di 300 euro per le spese di gestione. Determina, in dipendenza del capitale investito, qual è la forma di investimento più conveniente. [Per capitali fino a 10 000 euro conviene il primo investimento; per capitali oltre i 10 000 euro il terzo, per un capitale di 10 000 euro è indifferente scegliere la prima, la seconda o la terza forma di investimento] 123 Þ Tre differenti compagnie telefoniche applicano le seguenti tariffe: a. la compagnia A applica un costo fisso di 25 centesimi per ogni telefonata più 25 centesimi per ogni minuto di conversazione; b. la compagnia B applica un costo fisso di 40 centesimi per ogni telefonata più 20 centesimi per ogni minuto di conversazione; c. la compagnia C applica la tariffa di 30 centesimi per minuto di conversazione, senza costi fissi. Problemi di scelta in condizione di certezza 121 Þ Unità 2 Determina, al variare dei metri di tessuto che la fabbrica intende produrre giornalmente, la produzione più conveniente. [Volendo produrre meno di 200 m di tessuto al giorno conviene produrre il tessuto del tipo A; volendo produrre più di 200 m di tessuto conviene produrre il tessuto B; per 200 m la scelta è indifferente] Stabilisci, in dipendenza della durata di una telefonata, quale scelta è la più conveniente. [Fino a 4 minuti di conversazione è più conveniente C; oltre i 4 minuti conviene B; per 4 minuti è indifferente B o C] 124 Þ Per la produzione di un dato bene, un’azienda può scegliere tra due processi produttivi: il processo A comporta, in ogni ciclo di produzione, un costo fisso di 600 euro e un costo di 40 euro per ogni unità prodotta; il processo B comporta, in ogni ciclo di produzione, un costo fisso di 900 euro e un costo di 48 euro per ogni unità prodotta. Gli articoli prodotti mediante il processo A verranno messi in vendita al prezzo unitario di 80 euro, mentre gli articoli prodotti mediante il processo B verranno messi in vendita al prezzo unitario di 100 euro. Determina il processo produttivo più conveniente, per conseguire il massimo utile, in dipendenza del numero x di articoli prodotti (e venduti) in un ciclo di produzione. [Per 0 x 15 non conviene né il processo A né il processo B (utile negativo o nullo); per 15 < x < 25 conviene il processo A; per x > 25 conviene il processo B; per x ¼ 25 è indifferente] 125 Þ Per una determinata fornitura, un’industria si rivolge a tre imprese, che propongono le seguenti tariffe: prima impresa: 10 euro di spese fisse e 0,5 euro per ogni pezzo; seconda impresa: 18 euro di spese fisse, più un costo di 0,40 euro per ogni pezzo fino a 100 pezzi e di 0,20 euro per ogni pezzo successivo al centesimo; terza impresa: 0,75 euro per ogni pezzo fornito. A quale impresa conviene rivolgersi al variare del numero di pezzi di cui si ha bisogno? [Per 0 x < 40 conviene la terza impresa; per 40 < x < 80 conviene la prima impresa; per x > 80 conviene la seconda impresa; per x ¼ 40 sono equivalenti la terza e la prima impresa, per x ¼ 80 sono equivalenti la prima e la seconda impresa] Esercizi in inglese 126 Solve math in English A commodity has a demand function modeled by q ¼ 160 2p and a total cost function Þ modeled by CðqÞ ¼ 32q þ 40. What production level q yields a maximum profit? [q ¼ 48] 127 Solve math in English The manager of a 120-unit apartment complex knows from experience that all units will Þ be occupied if the rent is $ 450 per month. A market survey suggests that one additional unit will remain vacant for each $ 8 increase in rent. What renting price will produce the maximum revenue? [$ 706] 119 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA PROVA DI AUTOVERIFICA Problemi di scelta Per il ciclo di produzione di una sostanza chimica, una fabbrica sostiene un costo fisso di 1000 euro, un costo di 5 euro per ogni kilogrammo prodotto e un ulteriore costo uguale (in euro) allo 0,2% del quadrato del numero di kilogrammi prodotti. Il prezzo p di vendita al kilogrammo (in euro) è legato al numero x di kilogrammi prodotti (e venduti) dalla relazione x ¼ 1000 20p. Determina, relativamente a un ciclo di produzione, il valore di x per cui l’utile è massimo, nelle seguenti due ipotesi: a. la capacità produttiva massima relativa a un ciclo è di 500 kg; b. la capacità produttiva massima relativa a un ciclo è di 400 kg. 1 Þ Un’azienda produce un bene per cui sostiene ogni settimana un costo fisso di 800 euro e un costo di 10 euro per ogni unità del bene prodotta. Il bene viene venduto in lotti, ciascuno dei quali è costituito da 50 unità. Il prezzo di ogni lotto è stabilito cosı̀: 1000 euro, meno 6 euro per ogni lotto venduto. La capacità produttiva massima in una settimana è di 100 lotti. Stabilisci quanti lotti deve produrre (e vendere) l’azienda in una settimana per conseguire il massimo utile, e il valore di tale utile massimo. 2 Þ Un articolo è venduto in lotti da 500 pezzi ciascuno. Per la lavorazione l’azienda sostiene ogni settimana una spesa fissa di 1000 euro e un costo di 50 centesimi al pezzo. La capacità produttiva massima dell’azienda in una settimana è di 8 lotti. Il prezzo di vendita di ogni singolo lotto è decrescente rispetto al numero di lotti che sono stati ordinati nella settimana, e precisamente è dato dalla seguente tabella. 3 Þ Numero di lotti ordinati 1 2 3 4 5 6 7 8 Prezzo al lotto (euro) 850 800 775 750 725 700 650 550 Determina il numero di lotti che devono essere ordinati in una settimana per ottenere il massimo utile, e il valore di tale utile massimo. Un’industria consuma ogni anno 640 kg di una certa materia prima, che si procura nel corso dell’anno con vari ordini (tutti dello stesso quantitativo). Ogni ordine ha un costo di 45 euro. La conservazione di questa materia prima richiede un costo annuo di magazzinaggio di 4 euro al kilogrammo. Determina il quantitativo da ordinare ogni volta per rendere minimo il costo annuo complessivo di gestione del magazzino, e il valore di tale costo minimo. 4 Þ Un’impresa, per produrre un determinato bene, può seguire due processi di lavorazione, che hanno i seguenti costi: processo A: spese fisse pari a 3000 euro e un costo di 20 euro per ogni unità prodotta; processo B: spese fisse pari a 2400 euro e un costo di 30 euro per ogni unità prodotta. Determina, al variare della quantità x prodotta (e venduta), il processo produttivo più conveniente ai fini di conseguire il massimo utile, nell’ipotesi che ogni unità del bene venga venduta al prezzo di 80 euro. 5 Þ Valutazione Esercizio 1 2 3 4 5 Totale Punteggio 2 2 2 2 2 10 Punteggio ottenuto Tempo massimo: 1 h 30 min 120 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P 3Risposte in fondo al volume Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Problemi di scelta con effetti differiti e in condizione di incertezza Unità 3 1. Problemi di scelta in condizione di certezza con effetti differiti Tema B In questo paragrafo ci occupiamo dei problemi di scelta in condizioni di certezza in cui optare per l’una o l’altra alternativa non ha un effetto immediato, ma dopo un certo periodo di tempo (per questo motivo si parla di problemi di scelta con effetti differiti); per esempio, si ricade in problemi di questo tipo quando si deve scegliere tra due diverse forme di investimento. Vogliamo fissare l’attenzione sui problemi di scelta tra operazioni finanziarie, intendendo con quest’ultima espressione una qualsiasi sequenza temporale di (almeno due) flussi di cassa. Tra le molteplici possibili operazioni finanziarie, ci occuperemo in particolare degli investimenti, ossia delle operazioni nelle quali tutte le uscite (flussi di cassa negativi) avvengono in periodi di tempo antecedenti alle entrate (flussi di cassa positivi), e dei finanziamenti, ossia delle operazioni in cui le entrate avvengono in periodi di tempo antecedenti alle uscite. Nelle figg. 3.1 e 3.2 sono rappresentati un esempio di operazione di investimento e un esempio di operazione di finanziamento. Esempio di operazione di investimento –C1 –C2 C3 C4 t1 t2 t3 t4 Esempio di operazione di finanziamento tempo Figura 3.1 C1 –C2 –C3 –C4 t1 t2 t3 t4 tempo Figura 3.2 Presenteremo tre diversi criteri per affrontare problemi di scelta con effetti differiti: 1. il criterio dell’attualizzazione; 2. il criterio del tasso di rendimento interno; 3. il criterio dell’onere medio. Criterio dell’attualizzazione Il criterio dell’attualizzazione si basa sul calcolo del risultato economico attualizzato delle operazioni finanziarie in gioco; dobbiamo quindi anzitutto definire questo concetto. Modi di dire RISULTATO ECONOMICO ATTUALIZZATO (REA) Si chiama risultato economico attualizzato di un’operazione finanziaria (e si indica con la sigla REA) la somma dei valori attuali di tutti i flussi di cassa in regime di capitalizzazione composta. Se indichiamo con C0 , C1 , C2 , ..., Cn i flussi di cassa (positivi o negativi a seconda che si tratti di entrate o uscite) corrispondenti ai tempi 0, 1, 2, ..., n e con i il tasso di interesse, sarà: REA ¼ C0 þ C1 ð1 þ iÞ 1 þ C2 ð1 þ iÞ 2 þ :::::: þ Cn ð1 þ iÞn Il REA di un’operazione finanziaria viene anche chiamato VAN (valore attuale netto). Attenzione! Stiamo considerando un orizzonte temporale formato da n periodi e i è il corrispondente tasso periodale. Tra due o più operazioni aventi un REA positivo (tipicamente gli investimenti), sarà ovviamente preferibile quella avente il REA maggiore. 121 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Ricerca operativa La stessa regola vale per operazioni finanziarie aventi REA negativi (tipicamente le operazioni di finanziamento): in questo caso l’operazione il cui REA (negativo) è maggiore non è altro che quella il cui REA è minore in valore assoluto, cioè l’operazione che comporta una minore perdita. ESEMPIO Criterio del REA Tema B Consideriamo le seguenti due operazioni finanziarie: l’operazione A che prevede un investimento iniziale di 1000 euro e il ricavo di 300 euro dopo 1 anno, di 500 euro dopo 2 anni e di 400 euro dopo 3 anni; l’operazione B che prevede un investimento iniziale di 1000 euro e il ricavo di 200 euro dopo 1 anno, di 400 euro dopo 2 anni e di 600 euro dopo 3 anni. Determiniamo, con il criterio del REA, l’operazione più conveniente, nel caso in cui il tasso sia del 4%. Possiamo rappresentare le due operazioni finanziarie sulla retta dei tempi come indicato nelle seguenti figure: Operazione A –1000 300 500 400 0 1 2 3 tempo Operazione B –1000 200 400 600 0 1 2 3 tempo Risulterà pertanto: REAA ¼ 1000 þ 300 500 400 þ þ ’ 106,34 euro 2 1 þ 0,04 ð1 þ 0,04Þ ð1 þ 0,04Þ3 REAB ¼ 1000 þ 200 400 600 þ þ ’ 95,53 euro 2 1 þ 0,04 ð1 þ 0,04Þ ð1 þ 0,04Þ3 La scelta più conveniente è quindi l’operazione A, cui corrisponde il REA maggiore. Rifletti Un altro dei limiti del REA è quello di supporre che tutti i flussi di cassa possano essere attualizzati allo stesso tasso i (ammettendo implicitamente che il tasso di interesse resti costante nel tempo). Questa ipotesi semplificatrice non è sempre realistica. 122 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Il REA di un’operazione finanziaria è fortemente influenzato sia dall’ordine di grandezza dei capitali sia dalla durata dell’operazione: per esempio, un investimento di 1 milione di euro della durata di 1 anno può dare luogo a un valore attuale netto maggiore di un investimento di 10 000 euro (sempre per 1 anno) anche quando il tasso di rendimento di quest’ultimo è preferibile al primo. Analogamente, il criterio del REA potrebbe fornire indicazioni non corrette, se applicato per esempio per confrontare un’operazione avente una durata di 20 anni con un’operazione della durata di 2 soli anni. Per questo motivo, il criterio dell’attualizzazione va utilizzato solo se le operazioni poste a confronto sono omogenee tra loro per quanto riguarda l’ammontare dei capitali investiti (o chiesti in prestito) e la durata dell’operazione. Inoltre, è importante osservare che il REA di un’operazione finanziaria dipende dal tasso di valutazione i; poiché quest’ultimo non è intrinseco nelle operazioni finanziarie che si vogliono confrontare, ma è stabilito a discrezione dell’operatore che sta effettuando la scelta, operatori diversi potrebbero pervenire, nel confronto delle medesime operazioni finanziarie, a risultati diversi. Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA –1000 300 500 400 0 1 2 3 tempo Il REA di questa operazione, in dipendenza dal tasso i, è espresso dalla funzione: REAðiÞ ¼ 1000 þ 300 500 400 þ þ 2 1þi ð1 þ iÞ ð1 þ iÞ3 [3.1] il cui grafico è mostrato in fig. 3.3. REA 300 200 100 O i 0,0926 0,05 0,10 0,15 i –100 Problemi di scelta con effetti differiti e in condizione di incertezza Esporremo ora un criterio che, a differenza di quello dell’attualizzazione, è indipendente dal tasso di valutazione. Per giungere a tale criterio dobbiamo introdurre il concetto di tasso interno di rendimento di un’operazione finanziaria, cui ci avviciniamo a partire da un esempio. Riconsideriamo il primo dei due flussi di cassa considerati nell’ultimo esempio: Unità 3 Criterio del tasso interno di rendimento Figura 3.3 Il valore di i cui corrisponde un REA uguale a zero, ossia l’ascissa del punto di intersezione del grafico della funzione [3.1] con l’asse dei tassi, è il cosiddetto tasso interno di rendimento dell’operazione. Possiamo dunque dare formalmente la seguente definizione. TASSO INTERNO DI RENDIMENTO (TIR) Si chiama tasso interno di rendimento di un’operazione finanziaria, e si indica con la sigla TIR, il tasso di interesse i, se esiste, per cui si annulla il REA dell’operazione. In formule, il TIR è dunque quel tasso di interesse i che soddisfa l’equazione: C0 þ C1 C2 Cn þ þ :::::: þ ¼0 1þi ð1 þ iÞn ð1 þ iÞ2 [3.2] In alternativa, si potrebbe definire il TIR come quel tasso di interesse per cui il valore attuale delle entrate è uguale al valore attuale delle uscite. Il problema che si pone, ai fini del calcolo del TIR, è che, se l’operazione finanziaria presenta più di tre flussi di cassa, solo in rari casi l’equazione [3.2] può essere risolta algebricamente; in generale quindi il calcolo del TIR di un’operazione finanziaria può avvenire solo in modo approssimato, facendo ricorso a un software di calcolo oppure applicando gli algoritmi per l’approssimazione degli zeri di una funzione che abbiamo presentato nel volume precedente del corso (metodo di bisezione, metodo delle tangenti). Inoltre, nulla garantisce che l’equazione [3.2] abbia effettivamente una soluzione reale e positiva (ai fini dei problemi di matematica finanziaria, infatti, possiamo scartare le soluzioni non reali e quelle negative che non hanno significato). Conseguenza di ciò è che non tutte le operazioni 123 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Attenzione! In certe applicazioni economiche (di cui però noi non ci occuperemo) si accettano anche valori del TIR negativi, compresi tra 1 e 0 (nel caso di operazioni che abbiano comportato delle perdite). finanziarie ammettono TIR; in particolare, si ammette che non esiste il TIR di un’operazione finanziaria anche quando la corrispondente equazione [3.2] ha più di una soluzione reale positiva: non potendone scegliere una in particolare, infatti, il TIR resta comunque indefinito. ESEMPIO Calcolo del TIR Calcoliamo, se esiste, il TIR delle seguenti operazioni finanziarie: a. l’operazione che prevede un’uscita di 1000 euro oggi e un’entrata di 620 euro tra 1 anno e di 560 euro tra 2 anni; b. l’operazione che prevede un’uscita di 1000 euro oggi, un’entrata di 1200 euro tra un anno e un’ulteriore uscita di 400 euro tra 2 anni; c. l’operazione che prevede un’uscita di 480 euro oggi, un’entrata di 1400 euro tra 1 anno e un’ulteriore uscita di 1000 euro tra 2 anni. a. La rappresentazione dell’operazione è quella indicata nella seguente figura. Per determinare il TIR occorre allora risolvere l’equazione (di secondo grado): 1000 þ 620 560 þ ¼0 1þi ð1 þ iÞ2 –1000 620 560 0 1 2 tempo REA Risolvendo tale equazione si trovano le due soluzioni: i1 ¼ 1,5 i2 ¼ 0,12 e La prima soluzione non ha chiaramente significato, quindi va scartata; possiamo concludere che il TIR dell’operazione data è il tasso del 12%. b. La rappresentazione dell’operazione è quella indicata nella seguente figura. Per determinare il TIR occorre, similmente al caso precedente, risolvere l’equazione (di secondo grado): 1000 þ 1200 400 ¼0 1þi ð1 þ iÞ2 –1000 1200 –400 0 1 2 tempo REA Puoi verificare che tale equazione ha discriminante negativo, quindi non ammette radici reali. Pertanto l’operazione considerata non ammette TIR. c. La rappresentazione dell’operazione è quella indicata nella seguente figura. Per determinare il TIR occorre questa volta risolvere l’equazione: 480 þ 1400 1000 ¼0 1þi ð1 þ iÞ2 –480 1400 –1000 0 1 2 tempo REA che ammette come soluzioni: i1 ¼ 0,25 e i2 ’ 0,6667 Poiché abbiamo ottenuto due possibili tassi, il 25% e il 66,67%, ammettiamo come convenuto che l’operazione finanziaria considerata non ammette TIR. L’interpretazione finanziaria del TIR appare del tutto evidente se si prende in considerazione un caso limite: un’operazione finanziaria di investimento formata da una sola uscita e da una sola entrata. Se l’uscita è C0 (in t ¼ 0) e l’entrata è Cn Cn (al tempo t ¼ n), allora il TIR deve soddisfare l’equazione 0 ¼ C0 þ ð1 þ iÞn ossia Cn ¼ C0 ð1 þ iÞn : pertanto il TIR in questo caso non è altro che quel tasso di 124 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Problemi di scelta con effetti differiti e in condizione di incertezza ESEMPIO Unità 3 interesse cui bisognerebbe investire (in regime di capitalizzazione composta) il capitale C0 (al tempo t ¼ 0) per ottenere come montante Cn (al tempo t ¼ n). Più in generale, data un’operazione di investimento (finanziamento), il TIR rappresenta il tasso cui dovrebbero essere impiegati tutti i capitali investiti (avuti in prestito) per ottenere al tempo n (al tempo t ¼ 0) un montante (valore attuale) uguale a quello generato da tutti i ricavi (tutte le rate da pagare). In base a queste osservazioni è immediato dedurre il criterio di scelta basato sul TIR: un’operazione di investimento è tanto migliore quanto più elevato è il suo TIR, mentre un’operazione di finanziamento è tanto migliore quanto più basso è il suo TIR. Scelta tra due investimenti con il criterio del TIR In base al criterio del TIR, stabiliamo quale delle seguenti due operazioni finanziarie è preferibile: a. investire 10 000 euro oggi e ottenere 12 000 euro tra 2 anni; b. investire 12 000 euro oggi e ottenere 8000 euro tra 1 anno e 6000 euro fra 3 anni. a. La rappresentazione dell’investimento è la seguente: –10 000 0 12 000 1 2 tempo 3 Per calcolare il TIR dobbiamo risolvere l’equazione: 10 000 þ 12 000 ð1 þ iÞ2 ¼0 Si tratta di un’equazione di secondo grado, che possiamo facilmente risolvere algebricamente; si trovano le due soluzioni i1 ’ 2,0954 e i2 ’ 0,0954. La sola soluzione accettabile è quella positiva, cui corrisponde un TIR uguale al 9,54%. b. La rappresentazione dell’investimento è la seguente: –12 000 8000 0 1 6000 2 3 tempo Per calcolare il TIR dobbiamo risolvere l’equazione: 12 000 þ 8000 6000 þ ¼0 1þi ð1 þ iÞ3 Si tratta di un’equazione di terzo grado che non sappiamo risolvere algebricamente; ricorrendo per esempio al metodo di bisezione (con l’aiuto di un foglio elettronico) o a un software di calcolo simbolico (per esempio GeoGebra), si trova che l’equazione ammette un’unica soluzione positiva: i ’ 0,0886 dunque il TIR dell’operazione è il tasso dell’8,86%. Dal confronto fra i due TIR concludiamo che risulta più conveniente la prima operazione di investimento. ESEMPIO Scelta tra mutuo e leasing con il criterio del TIR Per l’acquisto di alcuni macchinari del valore di 100 000 euro, un’azienda deve scegliere se stipulare un contratto di leasing o un mutuo. Le condizioni sono le seguenti: il leasing prevede un pagamento all’acquisto di 25 000 euro, il versamento di canoni mensili di 1000 euro alla fine di ogni mese per 6 anni, il riscatto fra 6 anni con pagamento di 20 000 euro; Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Ô 125 Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Tema B Ricerca operativa Ô Ricorda 1. Con il simbolo ik si indica il tasso di interesse periodale, essendo k il numero di periodi contenuti in un anno. 2. Il tasso annuo di interesse i equivalente a un tasso periodale ik è dato dalla formula: il mutuo prevede il pagamento, per 6 anni, di rate mensili posticipate di 1650 euro ciascuna. Quale dei due finanziamenti risulta più conveniente? Possiamo confrontare le due operazioni con il criterio del TIR. Calcoliamo anzitutto i REA dei due finanziamenti: ! 20 000 REAleasing ¼ 100 000 25 000 þ 1000 a 72 i12 þ ¼ ð1 þ i12 Þ72 h i 1000 1 ð1 þ i12 Þ72 20 000 ¼ 75 000 i12 ð1 þ i12 Þ72 REAmutuo ¼ 100 000 1650 a 72 i12 ¼ 100 000 h i 1650 1 ð1 þ i12 Þ72 i12 i ¼ ð1 þ ik Þk 1 Risolvendo in modo approssimato le due equazioni REAleasing ¼ 0 e REAmutuo ¼ 0, con l’aiuto di un opportuno software di calcolo, si trova: i12 ’ 0,00477 per il leasing i12 ’ 0,00487 per il mutuo cui corrispondono i seguenti TIR (annui): TIRleasing ¼ ð1 þ i12 Þ12 1 ’ 5,88% TIRmutuo ¼ ð1 þ i12 Þ12 1 ’ 6% Trattandosi di un’operazione di finanziamento, la preferenza andrà a quella con tasso inferiore, cioè al leasing. Investimenti industriali e criterio dell’onere medio annuo Nel caso di investimenti industriali, relativi per esempio al noleggio o all’acquisto di macchinari, capita spesso di dovere confrontare investimenti di durate differenti. In questi casi, come abbiamo già osservato all’inizio del paragrafo, il criterio dell’attualizzazione non può essere applicato direttamente; una possibilità per superare l’ostacolo è quella di ricondurre il problema a un confronto tra investimenti di durate uguali, ipotizzando di fare compiere più cicli alle macchine. Ci spieghiamo con un esempio. ESEMPIO Riconduzione a una durata comune Un’azienda deve scegliere tra l’acquisto di due macchine: la macchina A ha un costo di 25 000 euro, deve essere sostituita ogni 10 anni, comporta una spesa annua di esercizio di 2000 euro e all’atto del recupero sarà valutata 2000 euro; la macchina B ha un costo di 30 000 euro, deve essere sostituita ogni 15 anni, comporta una spesa annua di esercizio di 1800 euro e all’atto del recupero sarà valutata 3000 euro. Valutiamo quale macchina all’azienda conviene acquistare, a un tasso di valutazione dell’8%. Durata comune Assumiamo come durata comune il minimo comune multiplo tra la durata di un ciclo della macchina A e la durata di un ciclo della macchina B. Poiché m.c.m.(10, 15) ¼ 30, scegliamo come durata comune 30 anni, supponendo: 126 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Unità 3 Confronto dei valori attuali dei costi Poiché i REA delle operazioni di acquisto delle due macchine sarebbero negativi (si tratta di soli costi, eccetto che per i valori di recupero), possiamo più semplicemente confrontare i valori attuali dei costi complessivi (ossia i valori assoluti dei corrispondenti REA), in modo da lavorare con numeri non negativi. Per la macchina A il valore attuale dei costi in un ciclo è uguale a: VA ¼ 25 000 costo della macchina þ 2000 a 10 0,08 2000 1,0810 ’ 37 493,78 euro valore attuale dei costi di esercizio annui; ossia della rendita da essi formata valore di recupero attualizzato Analogamente, per la macchina B il valore attuale dei costi in un ciclo è uguale a: VB ¼ 30 000 costo della macchina þ 1800 a 15 0,08 3000 1,0815 ’ 44 461,34 euro valore attuale dei costi di esercizio annui; ossia della rendita da essi formata Attenzione! Quando si devono confrontare operazioni con REA negativi si preferisce talvolta (come abbiamo fatto nell’esempio qui a fianco) confrontare semplicemente i valori attuali dei costi (ossia i valori assoluti dei REA corrispondenti). valore di recupero attualizzato Per calcolare il valore attuale dei costi della macchina A nei tre cicli previsti occorre attualizzare i costi relativi al secondo ciclo (di valore attuale VA al tempo t ¼ 10) di ulteriori di 10 anni e quelli relativi al terzo ciclo (di valore attuale VA al tempo t ¼ 20) di ulteriori 20 anni (vedi la figura qui sotto); ragionamenti analoghi vanno condotti per la macchina B. Problemi di scelta con effetti differiti e in condizione di incertezza 1. di sostituire la macchina A dopo 10 e dopo 20 anni con due macchine di uguale tipo (ossia immaginando che la macchina A compia quindi 3 cicli); 2. di sostituire la macchina B dopo 15 anni sempre con una dello stesso tipo (ossia immaginando che la macchina B compia 2 cicli). Macchina A Valore attuale dei costi relativi al primo ciclo Attualizzazione dei costi relativi al secondo ciclo VA VA VA 0 10 20 30 tempo 30 tempo Attualizzazione dei costi relativi al terzo ciclo Macchina B Valore attuale dei costi relativi al primo ciclo Attualizzazione dei costi relativi al secondo ciclo VB VB 0 15 Il valore attuale dei costi nei tre cicli previsti per la macchina A è quindi: V 0A ¼ 37 493,78 þ valore attuale dei costi del primo ciclo ’ 62 904,87 euro Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P 37 493,78 ð1,08Þ10 valore attuale dei costi del secondo ciclo þ 37 493,78 ð1,08Þ20 ’ valore attuale dei costi del terzo ciclo Ô 127 Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Ô Il valore attuale dei costi nei due cicli previsti per la macchina B è invece: V 0B ¼ 44 461,34 þ 44 461,34 ð1,08Þ15 ’ 58 477,40 euro valore attuale dei costi del primo ciclo valore attuale dei costi del secondo ciclo Concludiamo che è più conveniente l’acquisto della macchina B, essendo il valore attuale dei costi inferiore. In alternativa, per confrontare investimenti industriali aventi durate diverse, anziché cercare una scadenza comune è possibile ricorrere al cosiddetto criterio dell’onere medio annuo. L’idea intuitiva è quella di ripartire, per ciascun investimento, costi e ricavi come rate annuali costanti di una rendita (posticipata) avente la stessa durata dell’investimento, quindi confrontare i valori di tali rate. Per esempio, in riferimento all’esempio precedente, per applicare il criterio dell’onere medio annuo occorre procedere come segue: 1. si calcolano i valori attuali VA , VB dei costi di un singolo ciclo rispettivamente delle due macchine A e B; 2. si determina la rata annua RA di una rendita, avente la stessa durata di un ciclo della macchina A, il cui valore attuale sia uguale a VA : il valore di tale rata è l’onere medio annuo relativo al macchinario A; 3. analogamente, si determina la rata annua RB di una rendita, avente la stessa durata di un ciclo della macchina B, il cui valore attuale sia uguale a VB : il valore di tale rata è l’onere medio annuo relativo al macchinario B; 4. si confrontano infine gli oneri medi annui RA ed RB . ESEMPIO Criterio dell’onere medio annuo Nelle stesse ipotesi dell’esempio precedente, scegliamo quale macchina conviene acquistare all’azienda, applicando il criterio dell’onere medio annuo. Calcolo del valore attuale dei costi in un singolo ciclo Sono già stati calcolati nell’esempio precedente e abbiamo visto che: VA ’ 37 493,78 euro VB ’ 44 461,34 euro Calcolo degli oneri medi annui Per il calcolo dell’onere medio annuo RA relativo alla macchina A dobbiamo risolvere l’equazione: VA ¼ RA a 10 0,08 ) RA ¼ 37 493,78 ’ 5587,68 euro a 10 0,08 Analogamente, per il calcolo dell’onere medio annuo RB relativo alla macchina B dobbiamo risolvere l’equazione: VB ¼ RB a 15 0,08 ) RB ¼ 44 461,34 ’ 5194,40 euro a 15 0,08 Confronto degli oneri medi annui Dal confronto tra gli oneri annui medi concludiamo (come nel caso precedente) che è più conveniente l’acquisto della macchina B. 128 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA ESERCIZI a p. 135 2. Problemi di scelta in condizione di incertezza In questo paragrafo ci occupiamo di problemi di scelta in condizione di incertezza, problemi cioè in cui subentrano dei fattori legati al verificarsi o meno di alcuni eventi aleatori indipendenti dalla volontà di chi sceglie. Problemi di questo tipo sono particolarmente frequenti in ambito economico: basta pensare per esempio a investimenti legati all’andamento della Borsa, o a utili che dipendono dalla quantità di un bene che verrà venduta. Per costruire i modelli matematici di questi problemi occorre utilizzare delle variabili aleatorie e, di conseguenza, gli strumenti del calcolo della probabilità. Presenteremo tre criteri per risolvere problemi di scelta in condizione di incertezza: il criterio del valore medio, il criterio della valutazione del rischio e il criterio del pessimista. I primi due richiedono la conoscenza delle distribuzioni di probabilità delle variabili aleatorie in gioco, mentre il terzo criterio, sebbene più «grossolano», ha il vantaggio di potere essere applicato anche nel caso in cui non si conoscano le distribuzioni di probabilità. Problemi di scelta con effetti differiti e in condizione di incertezza Considera le seguenti due operazioni finanziarie: l’operazione A che prevede un esborso di 3000 euro oggi e il ricavo di 2900 euro tra 1 anno e di 2100 euro tra 2 anni; l’operazione B che prevede un esborso di 3000 euro oggi e il ricavo di 1200 euro tra 1 anno e di 4000 euro tra 2 anni. Determina quale delle due è preferibile: a. mediante il criterio del REA, al tasso di valutazione del 5%; b. mediante il criterio del TIR. [a. REAA ¼ 1666,67 euro, REAB ¼ 1770,98 euro; b. TIRA ¼ 44,96%, TIRB ¼ 37,19%] Unità 3 Prova tu Criterio del valore medio Illustriamo il criterio del valore medio direttamente mediante un esempio. Ricordiamo però preliminarmente alcuni concetti (presentati nel Volume 4) di cui faremo utilizzo. VALORE MEDIO DI UNA VARIABILE ALEATORIA DISCRETA E SUE PROPRIETÀ Data una variabile aleatoria (discreta) X, che assume i valori x1 , x2 , ..., xn , rispettivamente con probabilità p1 , p2 , ..., pn , si chiama valore medio (o media o valore atteso o speranza matematica) della variabile aleatoria X, e si indica con il simbolo ðXÞ, o con il simbolo EðXÞ, il numero: ðXÞ ¼ x1 p1 þ x2 p2 þ ::: þ xn pn Il valore medio di una variabile aleatoria gode della proprietà di linearità per cui: ðaX þ bÞ ¼ aðXÞ þ b ESEMPIO per ogni a, b 2 R Criterio del valore medio Un’impresa può produrre un certo articolo seguendo tre processi produttivi: il processo A comporta un costo fisso pari a 100 000 euro e un costo variabile di 450 euro per ogni articolo; il processo B comporta un costo fisso di 20 000 euro e un costo variabile pari a 500 euro per ogni articolo; il processo C comporta un costo variabile pari a 550 euro per ogni articolo, senza costi fissi. Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Ô 129 Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Ô L’articolo verrà venduto al prezzo unitario di 1000 euro e si stima che la quantità venduta seguirà la seguente distribuzione di probabilità: Quantità venduta 500 1000 1500 2000 2500 3000 Probabilità 0,05 0,1 0,2 0,3 0,2 0,15 Quale processo è preferibile per l’azienda, al fine di conseguire l’utile massimo? Formalizzazione del problema Indichiamo con X la variabile aleatoria (di cui è data la distribuzione di probabilità) che esprime la quantità di articoli venduti. Siano poi UA , UB , UC gli utili, corrispondenti ai tre processi produttivi A, B, C, che derivano dalla vendita della quantità X del bene. Poiché UA , UB , UC dipendono da X, sono anch’esse variabili aleatorie; precisamente risulta: UA ¼ 1000X ð450X þ 100 000Þ ¼ 550X 100 000 ricavo costo UB ¼ 1000X ð500X þ 20 000Þ ¼ 500X 20 000 ricavo costo UC ¼ 1000X 550X ¼ 450X ricavo costo Un criterio per decidere quale processo produttivo è più conveniente è quello di confrontare i valori medi delle tre variabili aleatorie UA , UB , UC e scegliere l’alternativa cui corrisponde il valore medio massimo. Calcolo dei valori medi Osserviamo che per calcolare i valori medi di UA , UB , UC non è necessario determinarne le distribuzioni di probabilità; è sufficiente infatti determinare il valore medio di X e poi dedurre i valori medi di UA , UB , UC in base alle proprietà del valore medio. Abbiamo: ðXÞ ¼ 5000,05þ10000,1þ15000,2þ20000,3þ25000,2þ30000,15 ¼ ¼ 1975 x1 p1 þ x2 p2 þ ::: þ xn pn Pertanto, in base alla proprietà di linearità del valor medio: ðUA Þ ¼ ð550X 100 000Þ ¼ 550ðXÞ 100 000 ¼ 550 1975 100 000 ¼ ¼ 986 250 euro ðUB Þ ¼ ð500X 20 000Þ ¼ 500ðXÞ 20 000 ¼ 500 1975 20 000 ¼ ¼ 967 500 euro ðUC Þ ¼ ð450XÞ ¼ 450ðXÞ ¼ 450 1975 ¼ 888 750 euro 3. Conclusione In base al criterio del valore medio, la scelta preferibile è quella del processo produttivo A. In generale, date due o più alternative, a ciascuna delle quali è associata una variabile aleatoria che esprime il fenomeno d’interesse, la scelta dell’alternativa migliore in base al criterio del valore medio è basata sul confronto dei valori medi delle singole variabili aleatorie; per esempio, se lo scopo è quello di massimizzare un utile, sceglieremo l’alternativa cui corrisponde il valore medio massimo, mentre se l’obiettivo è quello di minimizzare un costo, la scelta cadrà sull’alternativa cui corrisponde il valore medio minimo. 130 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Unità 3 Criterio della valutazione del rischio Problemi di scelta con effetti differiti e in condizione di incertezza Sempre nell’ipotesi di dovere scegliere tra un insieme di alternative a ciascuna delle quali è associata una variabile aleatoria che esprime il fenomeno d’interesse, un altro criterio di scelta è quello della valutazione del rischio. Questo criterio introduce un vincolo in più rispetto al criterio del valore medio: il massimo rischio che è disposto a correre chi vuole eseguire la scelta. Questa «soglia di ri schio» viene quantificata, per ciascuna alternativa, come frazione (o percenn tuale) del valore medio della variabile aleatoria associata all’alternativa e va confrontata con la deviazione standard della variabile aleatoria stessa, che rappresenta il rischio connesso all’alternativa. Cosı̀ facendo, è possibile stabilire qua li alternative soddisfano la condizione sul rischio (ossia Þ e scartare le altre; n fra le alternative rimaste, la scelta viene infine effettuata secondo il criterio del valore medio (nel caso che ci siano più alternative con lo stesso valore medio, si sceglie quella la cui deviazione standard è minore). Illustriamo questo modo di procedere mediante un esempio. Ricordiamo però preliminarmente alcuni concetti (presentati nel volume 4) di cui faremo utilizzo. VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD DI UNA VARIABILE ALEATORIA DISCRETA Data una variabile aleatoria (discreta) X, che assume i valori x1 , x2 , ..., xn , rispettivamente con probabilità p1 , p2 , ..., pn e il cui valore medio è ðXÞ, si chiama varianza della variabile aleatoria X, e si indica con il simbolo VðXÞ, il numero cosı̀ definito: VðXÞ ¼ ½x1 ðXÞ2 p1 þ ½x2 ðXÞ2 p2 þ :::::: þ ½xn ðXÞ2 pn La varianza può essere calcolata anche con la formula alternativa: VðXÞ ¼ x21 p1 þ x22 p2 þ ::: þ x2n pn ½ðXÞ2 La deviazione standard di X, indicata con il simbolo ðXÞ, è la radice quadrata della varianza: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðXÞ ¼ VðXÞ La deviazione standard di una variabile aleatoria gode della seguente proprietà: ðaX þ bÞ ¼ a ðXÞ ESEMPIO per ogni a, b 2 R Criterio della valutazione del rischio In riferimento al problema dell’ultimo esempio, determiniamo l’alternativa preferibile in base al criterio della valutazione del rischio, se si è disposti ad accettare un rischio massimo uguale al 36% del valore medio. Calcolo dei valori medi e delle deviazioni standard Abbiamo già determinato i valori medi delle variabili aleatorie UA , UB , UC ; per applicare il criterio della valutazione del rischio è necessario determinare anche le deviazioni standard di queste variabili aleatorie. A tale scopo, non serve determinarne le distribuzioni di probabilità; è sufficiente infatti determinare la deviazione standard di X e poi dedurre le deviazioni standard di UA , UB , UC in base alla proprietà della deviazione standard poc’anzi ricordate. VðXÞ ¼ 5002 0,05 þ 10002 0,1 þ 15002 0,2 þ 20002 0,3 þ 25002 0,2 þ 30002 0,15 19752 ¼ ¼ 461 875 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðXÞ ¼ VðXÞ ’ 679,61 ½ðXÞ2 x12 p1 þ x22 p2 þ ::: þ xn2 pn Pertanto: ðUA Þ ¼ ð550X 100 000Þ ¼ 550 ðXÞ ¼ 550 679,61 ¼ 373 785,50 euro ðUB Þ ¼ ð500X 20 000Þ ¼ 500 ðXÞ ¼ 500 679,61 ¼ 339 805 euro ðUC Þ ¼ ð450XÞ ¼ 450 ðXÞ ¼ 450 679,61 ¼ 305 824,50 euro Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Ô 131 Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Ricerca delle alternative che soddisfano la soglia di rischio Riassumiamo ora nella seguente tabella i risultati ottenuti; predisponiamo anche due righe in cui calcoliamo, per ciascuna alternativa, la massima soglia di rischio ammessa e verifichiamo se tale soglia di rischio è rispettata. Variabile aleatoria UA UB UC Media () 986 250 967 500 888 750 Deviazione standard () 373 785,50 339 805 305 824,50 Soglia di rischio (0,36) 355 050 348 300 319 950 È soddisfatta la condizione sulla soglia ð 0,36Þ? No Sı̀ Sı̀ Conclusione Dovendo scartare il processo A, perché non soddisfa la condizione sulla soglia del rischio, la scelta rimane ristretta al processo B o al processo C: fra queste due alternative, scegliamo il processo B perché è quello cui corrisponde l’utile medio più alto. Criteri del pessimista e dell’ottimista Il criterio del pessimista, come anticipato, è utilizzabile anche nel caso in cui non siano note le distribuzioni di probabilità delle variabili aleatorie coinvolte nel problema. Intuitivamente, questo criterio consiste nell’individuare, in corrispondenza di ciascuna alternativa, lo «scenario peggiore» e poi scegliere l’alternativa che corrisponde al «meno peggio». Per esempio, se vogliamo confrontare degli utili, individuiamo l’utile minimo in corrispondenza di ciascuna alternativa (lo «scenario peggiore»), quindi scegliamo l’alternativa in corrispondenza della quale l’utile minimo risulta massimo (il «meno peggio»); se vogliamo confrontare dei costi, individuiamo il costo massimo in corrispondenza di ciascuna alternativa (lo «scenario peggiore»), quindi scegliamo l’alternativa per cui il costo massimo risulta minimo. Da queste ultime osservazioni puoi comprendere perché il criterio del pessimista è anche detto criterio del minimax o del maximin. ESEMPIO Criterio del pessimista Un’azienda deve scegliere quale nuovo prodotto lanciare sul mercato, tra le quattro alternative A, B, C, D. Per ciascuna alternativa si stima che gli utili (in euro) nel primo anno di immissione sul mercato potranno essere quelli indicati in tabella, in dipendenza dal verificarsi dei tre eventi aleatori E1 , E2 , E3 . Determiniamo l’alternativa preferibile, utilizzando il criterio del pessimista. Alternativa A Alternativa B Alternativa C Alternativa D E1 120 000 135 000 80 000 100 000 E2 140 000 120 000 150 000 75 000 E3 110 000 130 000 160 000 150 000 Individuiamo, per ogni alternativa lo «scenario peggiore» (evidenziato in giallo): Alternativa A Alternativa B Alternativa C Alternativa D E1 120 000 135 000 80 000 100 000 E2 140 000 120 000 150 000 75 000 E3 110 000 130 000 160 000 150 000 Fra i quattro utili peggiori cosı̀ individuati, l’utile massimo è quello di 120 000 euro, dunque, in base al criterio del pessimista, dobbiamo scegliere l’alternativa B. 132 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Criterio dell’ottimista In riferimento all’esempio precedente, determiniamo l’alternativa preferibile, utilizzando il criterio dell’ottimista. Individuiamo, per ogni alternativa, lo scenario migliore (evidenziato in azzurro): Alternativa A Alternativa B Alternativa C Alternativa D E1 120 000 135 000 80 000 100 000 E2 140 000 120 000 150 000 75 000 E3 110 000 130 000 160 000 150 000 Fra i quattro utili migliori cosı̀ individuati, l’utile massimo è quello di 160 000 euro, dunque, in base al criterio dell’ottimista, dobbiamo scegliere l’alternativa C. Problemi di scelta in condizione di incertezza, con effetti differiti I problemi di scelta tra operazioni finanziarie in cui i ricavi (costi) futuri dipendono da eventi aleatori di cui sono note le probabilità di verificarsi si affrontano combinando il criterio del valore attuale con quello del valore medio: per ciascuna alternativa il valore attuale dei ricavi (costi) risulta una variabile aleatoria di cui si può calcolare il valore medio, dunque la scelta cadrà sull’alternativa cui corrisponde il valore medio massimo (minimo). ESEMPIO Problemi di scelta con effetti differiti e in condizione di incertezza ESEMPIO Unità 3 Un altro criterio che non fa uso delle distribuzioni di probabilità, in un certo senso «opposto» a quello del pessimista, è il cosiddetto criterio dell’ottimista: quest’ultimo consiste nell’individuare, in corrispondenza di ciascuna alternativa, lo «scenario migliore» e poi scegliere l’alternativa cui corrisponde il «miglior scenario», tra i migliori (per questo è anche detto criterio del maximax o del minimin). Problema di scelta in condizione di incertezza, con effetti differiti Vogliamo investire 10 000 euro e possiamo scegliere tra due operazioni: l’operazione A prevede un ricavo di 2000 euro fra 2 anni con una probabilità del 40%, oppure di 3500 euro fra 3 anni con una probabilità del 30%, oppure di 5000 euro fra 5 anni con una probabilità del 30% l’operazione B prevede un ricavo di 3000 euro fra 3 anni con una probabilità del 60%, oppure di 5000 euro fra 5 anni con una probabilità del 40%. Quale operazione è preferibile, al tasso di valutazione del 5%? I valori attuali VA e VB dei ricavi, rispettivamente nelle due operazioni A e B, sono due variabili aleatorie, aventi le seguenti distribuzioni di probabilità: VA 2000 (1,05)2 3500 (1,05)3 5000 (1,05)5 Probabilità 0,4 0,3 0,3 VB 3000 (1,05)3 5000 (1,05)5 Probabilità 0,6 0,4 Pertanto: ðVA Þ ¼ 2000 ð1,05Þ2 0,4 þ 3500 ð1,05Þ3 0,3 þ 5000 ð1,05Þ5 0,3 ¼ 2807,94 euro ðVB Þ ¼ 3000 ð1,05Þ3 0,6 þ 5000 ð1,05Þ5 0,4 ¼ 3121; 96 euro Risulta dunque più conveniente l’operazione B. 133 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Prova tu ESERCIZI a p. 143 1. Un imprenditore vende ciascuna unità di un dato bene al prezzo unitario di 20 euro. I processi produttivi che può seguire sono due: il processo A comporta un costo di produzione pari a 6 euro per ogni unità prodotta e spese fisse pari a 10 000 euro; il processo B comporta un costo di produzione pari a 10 euro per ogni unità prodotta, senza spese fisse. Si stima che le vendite seguiranno la distribuzione di probabilità indicata dalla seguente tabella: Quantità venduta 500 1000 1500 2000 2500 3000 Probabilità 0,05 0,1 0,2 0,3 0,2 0,15 Trova il procedimento più conveniente ai fini di conseguire il massimo utile, applicando: a. il criterio del valore medio; b. il criterio della valutazione del rischio, con una soglia di rischio massimo uguale al 40% del valore medio. [a. Il processo B; b. il processo B] 2. Un’azienda deve scegliere quale nuovo prodotto lanciare sul mercato, tra le quattro alternative A, B, C, D. Per ciascuna alternativa si stima che gli utili (in euro) nel primo anno di immissione sul mercato potranno essere quelli indicati in tabella, in dipendenza dal verificarsi dei tre eventi aleatori E1 , E2 , E3 . Determina l’alternativa preferibile, utilizzando sia il criterio del pessimista sia quello dell’ottimista. Alternativa A Alternativa B Alternativa C Alternativa D E1 125 000 115 000 85 000 95 000 E2 132 000 105 000 124 000 105 000 E3 90 000 130 000 130 000 140 000 [Criterio del pessimista: alternativa B; criterio dell’ottimista: alternativa D] 134 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 3 Esercizi In più: esercizi interattivi Unità TIR (tasso interno di rendimento) È il tasso per cui il valore attuale del costo di un investimento è uguale al valore attuale dei ricavi. In alternativa, si può dire che è il tasso per cui REA ¼ 0. Non per tutte le operazioni finanziarie esiste il TIR. Criteri per problemi di scelta in condizione di certezza, con effetti differiti Criterio dell’attualizzazione. Consiste nello scegliere tra due o più operazioni finanziarie confrontando i corrispondenti REA. L’operazione preferibile sarà quella il cui REA è maggiore (sia nel caso di investimenti, sia nel caso di finanziamenti). Criterio del tasso interno di rendimento. Consiste nello scegliere tra due o più operazioni finanziarie confrontando i corrispondenti TIR. Nel caso di un’operazione di investimento, è preferibile quella il cui TIR è maggiore, mentre nel caso di un’operazione di finanziamento è preferibile quella il cui TIR è minore. Criteri per problemi di scelta in condizione di incertezza Criterio del valore medio. Consiste nello scegliere fra due o più alternative, a ciascuna delle quali è associata una variabile aleatoria con distribuzione di probabilità nota, confrontando i valori medi delle variabili aleatorie. Criterio della valutazione del rischio. È basato su una logica simile a quella del valore medio, ma introduce un vincolo in più, legato al massimo rischio che è disposto a correre chi vuole eseguire la scelta; questa «soglia di rischio» massima viene quantificata come frazione o percentuale del valore medio. Si procede cosı̀: 1. si calcolano il valore medio e la deviazione standard di ciascuna delle variabili aleatorie di interesse; 2. si scartano le alternative cui corrisponde una deviazione standard maggiore della prefissata frazione del valore medio; 3. tra le alternative rimaste, si sceglie quella preferibile, in base al criterio del valore medio. Andrà scelta per esempio l’alternativa cui corrisponde il valore medio massimo se l’obiettivo è massimizzare un utile, oppure l’alternativa cui corrisponde il valore medio minimo se l’obiettivo è minimizzare un costo. Nel caso in cui vi siano più alternative alle quali corrisponde lo stesso valore medio si sceglierà quella la cui corrispondente deviazione standard è minore. Criterio del pessimista. Intuitivamente, consiste nell’individuare, in corrispondenza di ciascuna alternativa, lo «scenario peggiore» e poi scegliere l’alternativa che corrisponde allo scenario «meno peggio» tra quelli ottenuti. Per esempio, se l’obiettivo è massimizzare un utile, individuiamo l’utile minimo in corrispondenza di ciascuna alternativa, quindi scegliamo l’alternativa in corrispondenza della quale l’utile minimo risulta massimo. Questo criterio non necessita della conoscenza delle probabilità degli eventi aleatori coinvolti. Problemi di scelta con effetti differiti e in condizione di incertezza REA (risultato economico attualizzato) È la somma dei valori attuali di tutti i flussi di cassa di un’operazione finanziaria (considerati positivi o negativi a seconda che si tratti di entrate o di uscite) in regime di capitalizzazione composta. Unità 3 SINTESI CONOSCENZE E ABILITÀ 1. Problemi di scelta in condizione di certezza con effetti differiti TEORIA a p. 121 Nota Nelle soluzioni degli esercizi verrà sottinteso che i valori monetari sono espressi in euro o nella stessa unità indicata nella consegna. Esercizi preliminari Test Quale delle seguenti espressioni fornisce il valore attuale di un capitale di 2000 euro, disponibile fra 2 anni, al tasso composto del 5%? 1 Þ A 2000 ð0,05Þ2 B 2000 ð1,05Þ2 C 2000 ð0,05Þ2 D 2000 ð1,05Þ2 135 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Qual è il valore attuale di una rendita posticipata, costituita da 10 rate annuali di 1000 euro, al tasso annuo del 4%? 2 Þ A 8110,90 euro B 7515,18 euro C 8256,21 euro D 7984,35 euro Un’operazione finanziaria prevede un costo di 5000 euro oggi e due ricavi, uno di 3000 euro tra 1 anno e uno di 5000 euro tra 2 anni. Quale delle seguenti espressioni fornisce il REA dell’operazione al tasso i? 3 Þ A 5000 þ 3000ð1 þ iÞ þ 5000ð1 þ iÞ2 C 5000 þ 3000ð1 þ iÞ1 þ 5000ð1 þ iÞ2 B 5000 3000ð1 þ iÞ 5000ð1 þ iÞ2 D 5000 3000ð1 þ iÞ1 5000ð1 þ iÞ2 4 Þ Il TIR di un’operazione finanziaria: A esiste sempre ed è il tasso di interesse i per cui risulta REA ¼ 0 B esiste sempre ed è il tasso di interesse i per cui risulta REA ¼ 1 C può non esistere e, se esiste, è il tasso di interesse i per cui risulta REA ¼ 0 D può non esistere e, se esiste, è il tasso di interesse i per cui risulta REA ¼ 1 Calcolo del REA 5 Þ ESERCIZIO GUIDATO Con un tasso di interesse del 4%, calcola il REA dell’operazione di investimento che comporta il flusso di cassa rappresentato in tabella. Scadenza (anni) 0 1 2 Flusso di cassa (euro) 2500 1500 2000 In base alla definizione, risulta: REA ¼ 2500 þ 1500 2000 þ ’ :::::::::: 1 þ 0,04 ð::::::::::Þ2 [791,42] Con un tasso di interesse del 4%, calcola il REA dell’operazione di investimento che comporta il flusso di cassa rappresentato in tabella. [17,38] 6 Þ Scadenza (anni) 0 1 2 Flusso di cassa (euro) 1000 1010 50 Con un tasso di interesse del 4%, calcola il REA dell’operazione di investimento che comporta il flusso di cassa rappresentato in tabella. [36,07] 7 Þ Scadenza (anni) 0 1 2 3 4 Flusso di cassa (euro) 1000 800 100 100 100 Con un tasso di interesse del 5%, calcola il REA dell’operazione di investimento che comporta il flusso di cassa rappresentato in tabella. [409,30] 8 Þ Scadenza (anni) 0 1 2 3 4 5 Flusso di cassa (euro) 1000 200 500 700 100 100 Con un tasso di interesse del 5%, calcola il REA dell’operazione di investimento che comporta il flusso di cassa rappresentato in tabella. [347,93] 9 Þ Scadenza (anni) 0 1 2 3 4 Flusso di cassa (euro) 800 500 600 100 50 136 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Data la seguente operazione finanziaria: 0 1 2 3 4 Flusso di cassa (euro) 500 100 150 200 x e sapendo che il REA di questa operazione, valutato al 5%, è uguale a 109,74 euro, calcola il valore di x. [250,01] Data la seguente operazione finanziaria: Scadenza (anni) 0 1 2 3 4 Flusso di cassa (euro) 800 200 200 x 300 e sapendo che il REA di questa operazione, valutato al 4%, è uguale a 100,36 euro, calcola il valore di x. [300] Problemi di scelta da risolvere con il criterio dell’attualizzazione Un capitale di 20 000 euro può essere dato in prestito alle seguenti condizioni: AÞ restituzione mediante 3 versamenti, uno di 8000 euro fra 4 anni, uno di 12 000 euro fra 7 anni e uno di 16 000 euro fra 10 anni; BÞ restituzione con due versamenti, uno di 14 000 euro fra 6 anni e uno di 24 000 euro fra 10 anni. Quale delle due restituzioni è più conveniente per chi concede il prestito, al tasso del 6%? E se il tasso fosse dell’8%? [Al 6%: REAA ¼ 3251,75 e REAB ¼ 3270,92, quindi conviene la scelta B; all’8% REAA ¼ 293,22 e REAB ¼ 60,98, quindi conviene la scelta A] 12 Þ Un’operazione finanziaria, diciamo A, consiste in un versamento iniziale di 35 000 euro e in ricavi annui posticipati pari a 4000 euro per 12 anni. Un’altra operazione finanziaria, diciamo B, consiste invece in un versamento iniziale di 35 000 euro e in due ricavi di 24 000 euro e di 30 000 euro che maturano rispettivamente dopo 4 anni e dopo 12 anni. Quale forma di investimento è la più conveniente al tasso di valutazione del 5%? [REAA ¼ 453,01, REAB ¼ 1449,98, dunque conviene la seconda operazione] 13 Þ Problemi di scelta con effetti differiti e in condizione di incertezza Scadenza (anni) 11 Þ Unità 3 10 Þ Si vuole investire il capitale di 10 000 euro ed è possibile scegliere tra due alternative: AÞ ricevere 5500 euro fra 3 anni e 9000 euro fra 6 anni; BÞ ricevere 2000 euro fra 6 mesi e 1750 euro alla fine di ogni anno per 6 anni. Qual è l’alternativa più conveniente al tasso di valutazione del 6,5%? [REAA = 721,18, REAB = 409,78; l’alternativa A] 14 Þ Dispongo di un capitale di 40 000 euro che posso investire scegliendo tra le seguenti alternative: AÞ ricavo di 20 000 euro dopo 4 anni, di 20 000 euro dopo 7 anni e di 20 000 euro dopo 10 anni; BÞ ricavo di 30 000 euro dopo 5 anni e di 30 000 euro dopo 8 anni. Quale forma di impiego è la più conveniente al tasso di valutazione del 6%? E se il tasso viene portato al 4%? [Al 6%: REAA ¼ 310,91, REAB ¼ 1240,12, dunque conviene l’alternativa B; al 4%: REAA ¼ 5805,72, REAB ¼ 6578,52, dunque conviene l’alternativa B] 15 Þ Disponendo di un certo capitale, è possibile effettuare un’operazione di investimento scegliendo tra due opzioni: AÞ ricevere due volte la somma di 9000 euro fra 2 anni e fra 5 anni; BÞ ricevere 8 rate trimestrali posticipate di 2000 euro ciascuna. Al tasso di valutazione del 5%, quale delle due opzioni è la più conveniente? E al tasso del 7,5%? [Al 5%: REAA ¼ 15 215, REAB ¼ 15 151,36, dunque conviene A; al 7,5%: REAA ¼ 14 057,02, REAB ¼ 14 762,44, dunque conviene B] 16 Þ Un capitale di 100 000 euro può essere investito scegliendo tra le seguenti alternative: AÞ ricevere 8 rate semestrali posticipate di 14 000 euro ciascuna e la somma di 15 000 euro fra 6 anni; BÞ ricevere alla fine di ogni semestre 10 rate, le prime 6 di importo pari a 15 000 euro e le successive 4 di importo pari a 8000 euro. Qual è l’alternativa più conveniente al tasso di valutazione del 7,5%? [REAA ¼ 5227,17, REAB ¼ 3003,64; l’alternativa A] 17 Þ 137 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Ricevo un prestito di 100 000 euro, che posso scegliere di rimborsare con una delle seguenti modalità: AÞ versare 60 000 euro fra sei mesi e 65 000 euro fra un anno; BÞ versare alla fine di ogni due mesi per un anno 20 000 euro; CÞ versare alla fine di ogni mese per un anno 10 000 euro. Quale possibilità conviene scegliere al tasso di valutazione del 9%? [REAA ¼ 17 102,60, REAB ¼ 14 151,01, REAC ¼ 14 562,37 e l’opzione preferibile sarebbe quella cui corrisponde il REA maggiore (ossia minore in valore assoluto), quindi B] 18 Þ Una persona vuole acquistare un appartamento e può scegliere fra tre forme di pagamento: AÞ pagare 250 000 euro subito; BÞ versare subito 80 000 euro e pagare 7 rate annuali posticipate di 30 000 euro; CÞ versare 7 rate annuali posticipate di 45 000 euro. Quale forma di pagamento è la più conveniente al tasso di valutazione del 6%? E se il tasso fosse del 5%? [Al 6% si ha REAA ¼ 250 000, REAB ¼ 247 471,44, REAC ¼ 251 207,16, dunque conviene la scelta B, mentre al 5% risulta REAA ¼ 250 000, REAB ¼ 253 591,20, REAC ¼ 260 386,80, quindi conviene A] 19 Þ Calcolo del TIR 20 Þ ESERCIZIO GUIDATO Calcola il TIR dell’operazione finanziaria descritta nella seguente tabella. Scadenza (anni) 0 1 2 Flusso di cassa (euro) 1000 500 1000 Il REA dell’operazione, espresso in funzione del tasso i, è: REA ¼ 1000 þ 500 1000 þ 1þi ð1 þ iÞ2 Il TIR è il tasso, se esiste, per cui REA ¼ 0. Risolvendo l’equazione: 1000 þ 500 1000 þ ¼0 1þi ð1 þ iÞ2 e scartando la soluzione negativa, troverai che il TIR dell’operazione data corrisponde a un tasso del 28,08%. 21 Þ Calcola il TIR dell’operazione finanziaria descritta nella seguente tabella. [6,81%] Scadenza (anni) 0 1 2 Flusso di cassa (euro) 500 300 250 22 Þ Calcola il TIR dell’operazione finanziaria descritta nella seguente tabella. [9,46%] Scadenza (anni) 0 1 2 Flusso di cassa (euro) 600 200 500 23 Þ Calcola il TIR dell’operazione finanziaria descritta nella seguente tabella. [13,75%] Scadenza (anni) 0 1 2 Flusso di cassa (euro) 200 300 600 24 Þ Verifica che per l’operazione finanziaria descritta nella seguente tabella non esiste alcun TIR. Scadenza (anni) 0 1 2 Flusso di cassa (euro) 300 –500 250 138 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 0 1 2 3 Flusso di cassa (euro) 1500 x 500 800 26 Data l’operazione finanziaria descritta nella seguente tabella, calcola il valore di x in modo che il TIR sia uguaÞ le al 5%. [94,75] Scadenza (anni) 0 1 2 3 4 Flusso di cassa (euro) 800 300 250 x 250 Un’operazione finanziaria consiste nell’investire oggi un capitale di 10 000 euro e ricevere dopo 6 anni il doppio della cifra investita. Determina il tasso interno di rendimento dell’operazione finanziaria. [12,25%] 27 Þ Un’operazione finanziaria consiste nell’investire oggi un capitale di 5000 euro e ricevere dopo 10 anni il triplo della cifra investita. Determina il tasso interno di rendimento dell’operazione. [11,61%] 28 Þ Una persona investe 15 000 euro oggi e potrà ricevere tra 1 anno 8000 euro e tra 2 anni altri 8000 euro. Determina il tasso interno di rendimento dell’operazione. [4,41%] 29 Þ Una persona investe oggi 10 000 euro e potrà ricevere tra 1 anno 6000 euro e tra 2 anni altri 6000 euro. Determina il tasso interno di rendimento dell’operazione. [13,07%] 30 Þ Una persona investe oggi 15 000 euro e potrà ricevere tra 2 anni 9000 euro e tra 4 anni altri 9000 euro. Determina il tasso interno di rendimento dell’operazione. [6,33%] 31 Þ Problemi di scelta con effetti differiti e in condizione di incertezza Scadenza (anni) Unità 3 25 Data l’operazione finanziaria descritta nella seguente tabella, calcola il valore di x in modo che il TIR sia uguaÞ le al 4%. [339,59] Una persona investe 30 000 euro in un’operazione finanziaria in base alla quale potrà ricevere una rata annuale posticipata di 5000 euro per 10 anni. Determina il tasso interno di rendimento dell’operazione. (Suggerimento: utilizza un software opportuno per determinare la soluzione approssimata dell’equazione cui si giunge) [10,56%] 32 Þ Una persona investe 20 000 euro in un’operazione finanziaria in base alla quale potrà ricevere ogni due mesi 800 euro per 6 anni. Determina il tasso annuo interno di rendimento dell’operazione finanziaria. (Vedi il suggerimento dell’esercizio precedente) [13,42%] 33 Þ Problemi di scelta da risolvere con il criterio del tasso interno di rendimento Un’operazione finanziaria consiste nell’investimento di 10 000 euro oggi e consente di scegliere tra due alternative: AÞ ricevere 5000 euro dopo un anno e 6000 euro dopo due anni; BÞ ricevere 5500 euro dopo un anno e altri 5500 euro dopo due anni. Determina l’alternativa migliore, in base al criterio del TIR. [TIRA ¼ 6,39%; TIRB ¼ 6,60%; è preferibile B] 34 Þ Un’operazione finanziaria consiste nell’investimento di 10 000 euro oggi e consente di scegliere tra due alternative: AÞ ricevere 11 200 euro dopo 2 anni; BÞ ricevere 6000 euro dopo un anno e ricevere altri 5000 euro dopo due anni. Determina l’alternativa migliore, in base al criterio del TIR. [TIRA ¼ 5,83%; TIRB ¼ 6,81%, è preferibile B] 35 Þ Ricevo un prestito di 10 000 euro oggi che posso scegliere di rimborsare secondo le seguenti alternative: AÞ rimborso di 11 500 euro dopo due anni; BÞ rimborso di 5500 euro dopo un anno e di altri 6000 euro dopo due anni. Determina l’alternativa migliore, in base al criterio del TIR. [TIRA ¼ 7,24%, TIRB ¼ 9,70%, quindi conviene A] 36 Þ 139 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Ricevo un prestito di 50 000 euro oggi che posso scegliere di rimborsare secondo le seguenti alternative: AÞ rimborso di 65 000 euro dopo quattro anni; BÞ rimborso di 30 000 euro dopo due anni e di 32 000 euro dopo quattro anni. Determina l’alternativa migliore, in base al criterio del TIR. [TIRA ¼ 6,78%, TIRB ¼ 7,44%, quindi conviene A] 37 Þ Ricevo in prestito 100 000 euro, che posso scegliere di rimborsare secondo le seguenti alternative: AÞ pagare una rata annuale posticipata di 22 000 euro per 5 anni; BÞ versare 35 000 euro fra 1 anno, 35 000 fra 2 anni e 40 000 euro fra 6 anni. Determina con il criterio del TIR la proposta più conveniente. [TIRA ¼ 3,26%, TIRB ¼ 3,16%, quindi conviene B] 38 Þ Si possono investire 10 000 euro con due modalità diverse che consentono di: AÞ ottenere una quota costante semestrale posticipata di 1000 euro per 10 anni; BÞ ottenere una quota costante annuale posticipata di 2000 euro per 10 anni. Determina con il criterio del TIR la modalità di investimento più conveniente. [TIRA ¼ 16,11%, TIRB ¼ 15,10%, quindi conviene A] 39 Þ Una persona intende investire 100 000 euro in un’operazione finanziaria. Può decidere tra due forme di investimento caratterizzate da: AÞ ricevimento di rate semestrali posticipate di 8000 euro ciascuna per 12 anni; BÞ ricevimento di 130 000 euro fra 5 anni e di 90 000 euro fra 12 anni. Determina con il criterio del TIR la forma di investimento più conveniente. [TIRA ¼ 12,45%, TIRB ¼ 11,47%, quindi conviene A] 40 Þ Abbiamo 20 000 euro da investire e possiamo scegliere una delle seguenti proposte: AÞ ricevimento di 22 500 euro fra 4 anni, di 17 500 euro fra 7 anni e di 17 500 euro fra 12 anni; BÞ ricevimento di una quota costante semestrale posticipata di 2000 euro per 12 anni; Determina con il criterio del TIR la proposta di investimento più conveniente. [TIRA ¼ 17,5%, TIRB ’ 18%, quindi conviene B] 41 Þ Investimenti industriali 42 Þ ESERCIZIO GUIDATO Un’industria ha bisogno di acquistare una macchina e può scegliere tra due alternative: 1. una prima macchina ha un costo iniziale di 10 000 euro, ha un costo annuo di manutenzione di 150 euro e deve essere sostituita dopo 5 anni con un valore di recupero finale di 2000 euro; 2. una seconda macchina ha un costo iniziale di 8000 euro, ha un costo annuo di manutenzione di 175 euro e deve essere sostituita dopo 3 anni, con un valore di recupero finale di 2500 euro. Determina quale macchinario è più conveniente acquistare al tasso di valutazione del 12,5%: a. con il criterio dell’attualizzazione; b. con il criterio dell’onere medio annuo. a. Criterio dell’attualizzazione Assumi una durata comune di 15 anni, poiché 15 ¼ m.c.m.(5, 3). Determina, per ciascuna delle due macchine, i valori attuali dei costi in un ciclo: V1 ¼ 10 000 þ 150 a 5 0,125 2000 ð1,125Þ5 ¼ :::::::::: V2 ¼ :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ¼ :::::::::::::::::::: Determina, per ciascuna delle due macchine, i valori attuali dei costi per un periodo di 15 anni (immaginando che la macchina 1 compia tre cicli e la macchina 2 compia cinque cicli): V 01 ¼ V1 þ V1 ð1,125Þ5 þ V1 ð1,125Þ10 ¼ :::::::::: V 02 ¼ :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ¼ :::::::::::::::::::: Confronta infine i valori di V 01 e V 02 . 140 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA L’onere medio annuo relativo alla prima macchina è la rata annuale costante, diciamo R1 , di una rendita posticipata di valore attuale V1 e di durata 5 anni. Per calcolare R1 devi dunque risolvere l’equazione: 0,125 da cui ottieni: R1 ¼ V1 ¼ ::::: a 5 0,125 onere medio annuo relativo alla macchina 1 Procedendo analogamente puoi calcolare l’onere medio annuo R2 . Confronta infine R1 ed R2 . [a. Per un ciclo: V1 ¼ 9424,23, V2 ¼ 6660,91; per 15 anni: V 01 ¼ 17 556,16, V 02 ¼ 18 553, quindi conviene la prima macchina; b. R1 ¼ 2646,83 ed R2 ¼ 2797,12] 43 Þ Un imprenditore vuole acquistare un nuovo macchinario e può scegliere tra le seguenti due alternative: 1. un primo macchinario ha un costo iniziale di 20 000 euro, ha un costo annuo di manutenzione di 500 euro e deve essere sostituito dopo 8 anni con un valore di recupero finale di 5000 euro; 2. un secondo macchinario ha un costo iniziale di 15 000 euro, ha un costo annuo di manutenzione di 250 euro e deve essere sostituito dopo 4 anni con un valore di recupero finale di 4000 euro. Determina quale macchinario è più conveniente acquistare al tasso di valutazione del 10,5%: a. con il criterio dell’attualizzazione; b. con il criterio dell’onere medio annuo. [a. Per un ciclo: V1 ¼ 20370,17, V2 ¼ 13 101,03; 0 0 per 8 anni: V 1 ¼ V1 , V 2 ¼ 21 888,34, quindi conviene il primo macchinario; b. R1 ¼ 3888,04 ed R2 ¼ 4177,81] Un’industria vuole ristrutturare un comparto produttivo e ha la necessità di acquistare una nuova macchina; può scegliere tra due alternative: 44 Þ Problemi di scelta con effetti differiti e in condizione di incertezza V1 ¼ R1 a 5 Unità 3 b. Criterio dell’onere medio annuo 1. una prima macchina ha un costo iniziale di 50 000 euro, ha un costo di manutenzione di 1500 euro all’anno e deve essere sostituita dopo 9 anni con un valore di recupero finale di 8000 euro; 2. una seconda macchina ha un costo iniziale di 25 000 euro, ha un costo di manutenzione di 1000 euro all’anno e deve essere sostituita dopo 3 anni con un valore di recupero finale di 4500 euro. Determina quale macchina è più conveniente acquistare al tasso di valutazione dell’11%: a. con il criterio dell’attualizzazione; b. con il criterio dell’onere medio annuo. [a. Per un ciclo: V1 ¼ 55 178,17, V2 ¼ 24 153,35; per 9 anni: V 01 ¼ V1 , V 02 ¼ 54 727,45, quindi conviene la seconda macchina; b. R1 ¼ 9965,27 ed R2 ¼ 9883,87] Un’industria intende acquistare un macchinario, potendo scegliere tra due alternative: 1. il macchinario A, del costo iniziale di 20 000 euro, con costi di manutenzione pari a 1500 euro all’anno per i primi 5 anni e a 2500 euro all’anno per i successivi 10 anni, e con valore di recupero tra 15 anni pari a 7000 euro; 2. il macchinario B, del costo iniziale di 25 000 euro con costi di manutenzione pari a 1250 euro all’anno per i primi 6 anni e a 1000 euro all’anno per i successivi 4 anni, e con valore di recupero tra 10 anni pari a 1500 euro. Determina quale macchinario è più conveniente acquistare al tasso di valutazione del 12%, tramite: a. il criterio dell’attualizzazione; b. il criterio dell’onere medio annuo. [a. Per un ciclo: VA ¼ 32 143,51, VB ¼ 31 195,12; per una durata comune di 30 anni V 0A ¼ 38 016,01, VB0 ¼ 44 473; quindi è più conveniente A; b. RA ¼ 4719,45 ed RB ¼ 5521,04] 45 Þ 46 Þ Un’industria vuole procurarsi una macchina e può scegliere tra due alternative: 1. la macchina A ha un costo iniziale di 45 000 euro, costi di manutenzione pari a 2000 euro all’anno per i primi 7 anni e a 2500 euro all’anno per i successivi 3 anni, e un valore di recupero tra 10 anni pari a 6000 euro. 2. la macchina B ha un costo iniziale di 50 000 euro, costi di manutenzione pari a 2000 euro all’anno per i primi 8 anni e a 3000 euro all’anno per i successivi 7 anni, e un valore di recupero tra 15 anni pari a 1500 euro. Determina quale macchinario è più conveniente acquistare al tasso di valutazione del 12%, tramite: a. il criterio dell’attualizzazione; b. il criterio dell’onere medio annuo. [a. Per un ciclo: VA ¼ 54 911,84, VB ¼ 65 190,90; per una durata comune di 30 anni: VA0 ¼ 78 284,52, VB0 ¼ 77 101,04; quindi è più conveniente B; b. RA ¼ 97 18,53 ed RB ¼ 95 71,61] 141 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Scelta tra mutuo e leasing Per procurarsi un macchinario si deve sostenere una spesa di 100 000 euro. Per effettuare il pagamento ci sono le seguenti due possibilità: 47 Þ 1. stipula di un mutuo con una banca, estinguibile con pagamento di 36 rate posticipate mensili di 4000 euro ciascuna; 2. contratto di leasing con pagamento di 24 000 euro all’atto della consegna, pagamento di canoni annuali posticipati di 25 000 euro per la durata di 3 anni, versamento di 40 000 euro a titolo di riscatto fra 3 anni. Trova la possibilità più conveniente con il criterio dell’attualizzazione, al tasso dell’8%. [V1 ¼ 128 173,33, V2 ¼ 120 180,71; conviene il leasing] Per disporre di un capannone si deve sostenere una spesa di 150 000 euro. Per effettuare il pagamento ci sono le seguenti due possibilità: 1. stipula di un mutuo con una banca, estinguibile con pagamento di 48 rate posticipate bimestrali di 5000 euro ciascuna; 2. contratto di leasing con pagamento di 50 000 euro all’atto della consegna, pagamento di canoni annuali posticipati di 20 000 euro per la durata di 8 anni, versamento di 27 000 euro a titolo di riscatto fra 8 anni; Trova la possibilità più conveniente con il criterio del valore attuale al tasso del 9%. [V1 ¼ 172 166,92; V2 ¼ 174 246,77; conviene il mutuo] 48 Þ Per procurarsi un automezzo si deve sostenere una spesa di 60 000 euro. Per effettuare il pagamento ci sono le seguenti tre possibilità: 1. stipula di un mutuo con una banca estinguibile con pagamento di rate posticipate quadrimestrali di 5000 euro ciascuna per 5 anni; 2. contratto di leasing con pagamento di 15 000 euro all’atto della consegna, pagamento di canoni annui posticipati di 10 000 euro per la durata di 3 anni, versamento di 30 000 euro a titolo di riscatto fra 5 anni; 3. versamento di 17 500 euro subito, di 25 000 euro tra 3 anni e di 35 000 euro tra 5 anni. Trova la possibilità più conveniente: a. con il criterio del valore attuale al tasso dell’8,5%; b. con il criterio del tasso interno di rendimento. [a. V1 ¼ 60 754,05, V2 ¼ 60 491,59, V3 ¼ 60 349,29; b. TIR1 ¼ 9,04%, TIR2 ¼ 8,86%, TIR3 ¼ 8,72%] 49 Þ Per l’acquisto di un fuoristrada del costo di 40 000 euro vi sono le seguenti tre possibilità: 1. stipulare un mutuo con una banca, estinguibile con pagamento di rate posticipate semestrali di 5000 euro ciascuna per 5 anni; 2. stipulare un contratto di leasing, con pagamento di 10 000 euro all’atto della consegna, pagamento di canoni annui posticipati di 6000 euro per la durata di 5 anni, versamento di 9000 euro a titolo di riscatto fra 5 anni; 3. versare 10 000 euro subito, 17 000 euro tra 4 anni e 28 000 euro tra 6 anni. Trova l’alternativa più conveniente: a. con il criterio del valore attuale al tasso dell’ 8%; b. con il criterio del tasso interno di rendimento. [a. V1 ¼ 40 710,28, V2 ¼ 40 081,51, V3 ¼ 40 140,26; b. TIR1 ¼ 8,74%, TIR2 ¼ 8,09%, TIR3 ¼ 8,1%] 50 Þ Per sostituire un macchinario si deve sostenere una spesa di 200 000 euro. Per effettuare il pagamento ci sono le seguenti tre possibilità: 1. stipulare un mutuo con una banca, estinguibile con pagamento di rate posticipate trimestrali di 10 000 euro ciascuna per 7 anni; 2. stipulare un contratto di leasing, con pagamento di 40 000 euro all’atto della consegna, pagamento di canoni annui posticipati di 30 000 euro per la durata di 7 anni, versamento di 35 000 euro a titolo di riscatto fra 7 anni; 3. versare 65 000 euro subito, 100 000 euro tra 4 anni e 130 000 euro tra 7 anni. Trova l’alternativa più conveniente: a. con il criterio del valore attuale al tasso del 10%; b. con il criterio del TIR. [a. V1 ¼ 201 894,40, V2 ¼ 204 013,10, V3 ¼ 200 011,90; b. TIR1 ¼ 10,32%, TIR2 ¼ 10,69%, TIR3 ¼ 10,002%] 51 Þ 142 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA TEORIA a p. 129 Nota Nelle soluzioni degli esercizi verrà sottinteso che i valori monetari sono espressi in euro o nella stessa unità indicata nella consegna. Test 52 Þ Una variabile aleatoria X ha come distribuzione di probabilità: xi 3 6 2 12 pðX ¼ xi Þ 0,2 0,3 0,1 0,4 a. Qual è la media di X? A 7,3 B 7,4 C 7,5 D 7,6 C 15,86 D 15,87 b. Qual è la varianza di X? A 15,84 B 15,85 c. Qual è la deviazione standard di X, arrotondata alla seconda cifra decimale? A 53 Þ A 54 Þ A 3,95 B 3,96 C 3,97 D 3,98 Siano X e Y due variabili aleatorie tali che EðXÞ ¼ 4 e Y ¼ 4X þ 5. Qual è la media di Y? 18 B 21 C 24 D I dati sono insufficienti per determinarla Siano X e Y due variabili aleatorie tali che 2 ðXÞ ¼ 4 e Y ¼ 4X þ 5. Qual è la deviazione standard di Y? pffiffiffi pffiffiffiffiffiffi B 8 C D I dati sono insufficienti per determinarla 2 2 69 Criterio del valore medio 55 Þ Problemi di scelta con effetti differiti e in condizione di incertezza Esercizi preliminari Unità 3 2. Problemi di scelta in condizione di incertezza ESERCIZIO GUIDATO Gli utili annuali UA e UB (in migliaia di euro) generati da due possibili investimenti A e B sono due variabili aleatorie di cui nelle tabelle seguenti sono date le distribuzioni di probabilità. Quale dei due investimenti è preferibile, in base al criterio del valore medio? Utile investimento A Probabilità Utile investimento B Probabilità 80 0,2 75 0,25 100 0,3 100 0,20 120 0,4 125 0,40 150 0,1 150 0,15 Calcola il valore medio di UA : ðUA Þ ¼ 80 0,2 þ 100 0,3 þ 120 0,4 þ 150 0,1 ¼ ::::: Calcola analogamente il valore medio di UB . Confronta i valori medi di UA e UB . [ðUA Þ ¼ 109 e ðUB Þ ¼ 111,25; è preferibile l’investimento B] 56 Gli utili annuali UA e UB (in migliaia di euro) generati da due possibili investimenti A e B sono due variabili Þ aleatorie di cui nelle tabelle seguenti sono date le distribuzioni di probabilità. Quale dei due investimenti è preferibile, in base al criterio del valore medio? Utile investimento A Probabilità Utile investimento B Probabilità 65 0,2 80 0,25 90 0,4 100 0,40 110 0,3 115 0,20 120 0,1 130 0,15 [ðUA Þ ¼ 94 e ðUB Þ ¼ 102,5; è preferibile l’investimento B] 143 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA I costi annuali CA e CB (in migliaia di euro) relativi a due diverse linee produttive di uno stesso bene prodotto da un’azienda sono due variabili aleatorie di cui nelle tabelle seguenti sono date le distribuzioni di probabilità. Quale delle due linee produttive è preferibile, in base al criterio del valore medio? 57 Þ Costo linea produttiva A Probabilità Costo linea produttiva B Probabilità 25 0,2 35 0,15 45 0,3 40 0,25 50 0,4 55 0,45 70 0,1 60 0,15 [ðCA Þ ¼ 45,5 e ðCB Þ ¼ 49; è preferibile la linea produttiva A] I costi annuali CA e CB (in migliaia di euro) relativi a due diverse linee produttive di uno stesso bene prodotto da un’azienda sono due variabili aleatorie di cui nelle tabelle seguenti sono date le distribuzioni di probabilità. Quale delle due linee produttive è preferibile, in base al criterio del valore medio? 58 Þ Costo linea produttiva A Probabilità Costo linea produttiva B Probabilità 35 0,15 40 0,25 50 0,30 45 0,35 45 0,40 50 0,25 60 0,15 55 0,15 [ðCA Þ ¼ 47,25 e ðCB Þ ¼ 46,5; è preferibile la linea produttiva B] 59 Þ ESERCIZIO GUIDATO Un’impresa può avviare la produzione di un certo bene seguendo due processi produttivi: a. il processo A comporta un costo fisso pari a 500 000 euro e un costo variabile di 450 euro per ogni unità del bene; b. il processo B comporta un costo variabile pari a 600 euro per ogni unità del bene, cui va aggiunto un ulteriore costo uguale al 5% del quadrato della quantità prodotta. L’articolo verrà venduto al prezzo unitario di 1000 euro e si stima che la quantità venduta avrà la seguente distribuzione di probabilità: Quantità venduta 500 1000 1500 2000 2500 3000 Probabilità 0,05 0,1 0,2 0,3 0,2 0,15 Determina il processo produttivo più conveniente per conseguire l’utile massimo applicando il criterio del valore medio. Sia X la variabile aleatoria che rappresenta la quantità venduta e siano UA e UB le variabili aleatorie che rappresentano l’utile, rispettivamente se viene seguito il processo A o il processo B. Esprimi UA e UB in funzione di X: UA ¼ 1000X ð450X þ ::::::::::Þ ¼ :::::::::: 5 1 2 X2 ¼ 400X X UB ¼ 1000X 600X þ 100 20 Determina la media di X e quella di X2 : ðXÞ ¼ 500 0,05 þ 1000 0,1 þ 1500 0,2 þ :::::::::: ¼ :::::::::: ðX2 Þ ¼ 5002 0,05 þ 10002 0,1 þ 15002 0,2 þ :::::::::: ¼ :::::::::: Da questi valori puoi immediatamente dedurre i valori medi di UA e UB : ðUA Þ ¼ 550ðXÞ 500 000 ¼ :::::::::: 1 ðX2 Þ ¼ :::::::::: ðUB Þ ¼ 400ðXÞ 20 Dal confronto tra i valori medi di UA e UB puoi concludere. [ðUA Þ ¼ 586 250; ðUB Þ ¼ 571 875; conviene il processo A] 144 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Per produrre un dato bene un’impresa può scegliere tra due processi produttivi A e B: Supposto che il prezzo unitario di vendita del bene sia di 4000 euro per entrambi i processi e che la quantità del bene venduta in un anno sia una variabile casuale la cui distribuzione di probabilità è quella in tabella, determina quale processo è più conveniente, allo scopo di conseguire il maggior utile possibile, secondo il criterio del valore medio. Quantità venduta 100 200 300 Probabilità 0,2 0,5 0,3 [A ¼ 406 000 e B ¼ 344 000, conviene il processo A] 61 Þ Per produrre un dato bene un’impresa può scegliere tra due processi produttivi A e B: a. il processo A comporta un costo fisso annuale di 15 000 euro e un costo variabile di 60 euro per ogni unità prodotta; b. il processo B comporta un costo fisso annuale di 18 000 euro e un costo variabile di 55 euro per ogni unità prodotta. Supposto che la quantità prodotta in un anno sia una variabile casuale la cui distribuzione di probabilità è quella in tabella, determina quale processo è più conveniente, allo scopo di minimizzare i costi, secondo il criterio del valore medio. Quantità prodotta 1000 1500 2000 2500 Probabilità 0,15 0,4 0,3 0,15 Problemi di scelta con effetti differiti e in condizione di incertezza a. il processo A comporta un costo fisso annuale di 140 000 euro e un costo variabile di 1400 euro per ogni unità prodotta; b. il processo B comporta un costo fisso annuale di 160 000 euro e un costo variabile di 1600 euro per ogni unità prodotta. Unità 3 60 Þ [A ¼ 118 500, B ¼ 112 875, conviene il processo B] 62 Þ Per produrre un dato bene un’impresa può scegliere tra due processi produttivi A e B: a. il processo A comporta un costo fisso annuale di 25 000 euro e un costo variabile di 125 euro per ogni unità prodotta; b. il processo B comporta un costo fisso annuale di 30 000 euro e un costo variabile di 120 euro per ogni unità prodotta. Supposto che il prezzo unitario di vendita del bene sia di 250 euro per entrambi i processi e che la quantità venduta in un anno sia una variabile casuale la cui distribuzione di probabilità è quella in tabella, determina quale processo è più conveniente, allo scopo di conseguire il maggior utile possibile, secondo il criterio del valore medio. Quantità venduta 1000 2000 3000 4000 Probabilità 0,1 0,3 0,5 0,1 [A ¼ 300 000, B ¼ 308 000, conviene il processo B] Un’azienda vende la merce che produce a 100 euro al kilogrammo. Per la produzione della merce l’azienda può scegliere tra due alternative A e B: 63 Þ a. l’alternativa A comporta un costo fisso di 6500 euro e un costo variabile di 30 euro per ogni kilogrammo; b. l’alternativa B non comporta costi fissi, ma impone un costo di 50 euro per ogni kilogrammo, cui va aggiunto un ulteriore costo uguale all’1% del quadrato della quantità prodotta. La quantità di merce venduta è una variabile aleatoria avente la distribuzione di probabilità indicata nella seguente tabella: Quantità venduta (kg) 100 200 300 400 500 600 Probabilità 0,05 0,1 0,2 0,3 0,2 0,15 Trova l’alternativa più conveniente ai fini di ottenere il massimo profitto, in base al criterio del valore medio. [A ¼ 21 150, B ¼ 18 005, conviene l’alternativa A] 145 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 64 Þ Un’industria può produrre un dato bene in base a due sistemi produttivi diversi: a. nel caso del sistema A i costi fissi ammontano a 300 000 euro, mentre i costi variabili ammontano a 1800 euro per ogni unità prodotta, cui va aggiunto un ulteriore costo pari al 4% del quadrato della quantità prodotta; b. nel caso del sistema B i costi fissi ammontano a 600 000 euro e i costi variabili a 2000 euro per ogni unità prodotta. Ogni unità del bene viene venduta al prezzo di 4000 euro. La quantità venduta è da considerare una variabile casuale la cui distribuzione di probabilità è la seguente: Quantità venduta 400 800 1200 1600 2000 Probabilità 0,15 0,2 0,3 0,25 0,1 Individua il sistema produttivo più conveniente al fine di conseguire l’utile massimo, in base al criterio del valore medio. [A ¼ 2 231 040; B ¼ 1 760 000; conviene il sistema A] 65 Þ Per produrre un dato bene un’impresa può scegliere tra tre processi produttivi A, B e C: a. il processo A comporta un costo fisso annuale di 12 500 euro e un costo variabile di 120 euro per ogni unità prodotta; b. il processo B comporta un costo fisso annuale di 18 000 euro e un costo variabile di 118 euro per ogni unità prodotta; c. il processo C non comporta costi fissi, ma impone un costo variabile di 117 euro per ogni unità prodotta. Supposto che la quantità del bene prodotta in un anno sia una variabile casuale la cui distribuzione di probabilità è quella in tabella, determina quale processo è più conveniente, allo scopo di minimizzare i costi, secondo il criterio del valore medio. Unità prodotte 500 1250 1500 1750 2000 Probabilità 0,15 0,30 0,25 0,20 0,10 [A ¼ 177 500, B ¼ 180 250, C ¼ 160 875, conviene il processo C] 66 Þ Per produrre un dato bene un’impresa può scegliere fra tre processi produttivi A, B e C: a. il processo A comporta un costo fisso annuale di 15 000 euro e un costo variabile di 150 euro per ogni unità prodotta; b. il processo B comporta un costo fisso annuale di 20 000 euro e un costo variabile di 130 euro per ogni unità prodotta; c. il processo C non comporta costi fissi ma impone un costo variabile di 160 euro per ogni unità prodotta. Supposto che il prezzo unitario di vendita del bene sia di 280 euro per tutti e tre i processi e che la quantità di bene venduta in un anno sia una variabile casuale la cui distribuzione di probabilità è quella in tabella, determina quale processo è più conveniente, allo scopo di conseguire il maggior utile possibile, secondo il criterio del valore medio. Unità prodotte (e vendute) 1000 1500 2000 2500 3000 Probabilità 0,1 0,3 0,3 0,2 0,1 [A ¼ 238 500, B ¼ 272 500, C ¼ 234 000, conviene il processo B] Gli utili (in migliaia di euro) derivanti da due diverse operazioni finanziarie, che indichiamo con A e B, dipendono da due eventi aleatori E1 ed E2 tra loro complementari, secondo quanto indicato in tabella: 67 Þ Utili investimento A Utili investimento B Se si verifica l’evento E1 15 18 Se si verifica l’evento E2 25 22 Supposto che l’evento E1 si verifichi con probabilità p, studia, al variare di p, qual è l’operazione finanziaria più conveniente, secondo il criterio del valore medio. 1 1 1 è indifferente Se p > , è preferibile l’investimento B; se p < , è preferibile l’investimento A; se p ¼ 2 2 2 146 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Utili investimento B Se si verifica l’evento E1 10 12 Se si verifica l’evento E2 18 15 Supposto che l’evento E1 si verifichi con probabilità p, studia, al variare di p, qual è l’operazione finanziaria più conveniente, secondo il criterio del valore medio. 3 3 3 è indifferente Se p > , è preferibile l’investimento B; se p < , è preferibile l’investimento A; se p ¼ 5 5 5 69 Gli utili (in migliaia di euro) derivanti da tre diverse operazioni finanziarie, che indichiamo con A, B e C, diÞ pendono da due eventi aleatori E1 ed E2 tra loro complementari, secondo quanto indicato in tabella: Utili investimento A Utili investimento B Utili investimento C Se si verifica l’evento E1 4 3 5 Se si verifica l’evento E2 5 6 2 Supposto che l’evento E1 si verifichi con probabilità p, studia, al variare di p, qual è l’operazione finanziaria più conveniente, secondo il criterio del valore medio. 1 1 3 < p < , conviene l’investimento A; Se 0 < p < , conviene l’investimento B; se 2 2 4 3 < p < 1, conviene l’investimento C se 4 Problemi di scelta con effetti differiti e in condizione di incertezza Utili investimento A Unità 3 Gli utili (in migliaia di euro) derivanti da due diverse operazioni finanziarie, che indichiamo con A e B, dipendono da due eventi aleatori E1 ed E2 tra loro complementari, secondo quanto indicato in tabella: 68 Þ I costi (in migliaia di euro) derivanti dalla scelta di tre diverse linee produttive, che indichiamo con A, B e C, dipendono da due eventi aleatori E1 ed E2 tra loro complementari, secondo quanto indicato in tabella: 70 Þ Utili investimento A Utili investimento B Utili investimento C Se si verifica l’evento E1 4 3 5 Se si verifica l’evento E2 3 5 2 Supposto che l’evento E1 si verifichi con probabilità p, studia, al variare di p, quale linea produttiva conviene scegliere, secondo il criterio del valore medio. 1 1 2 < p < , è preferibile la linea produttiva A; Se 0 < p < , è preferibile la linea produttiva C; se 2 2 3 2 < p < 1 è preferibile la linea produttiva B se 3 Criterio della valutazione del rischio 71 Þ ESERCIZIO GUIDATO Un’azienda deve decidere quale linea di prodotto sviluppare, fra tre proposte che indichiamo con A, B e C. In base ad alcune indagini statistiche, si stima che i possibili utili annuali (in miglia di euro) e le rispettive probabilità di realizzarsi, siano quelli riportati nella seguente tabella. Utile annuo previsto per la linea di prodotto A Utile annuo previsto per la linea di prodotto B Utile annuo previsto per la linea di prodotto C Probabilità 80 75 60 0,2 100 110 150 0,3 120 125 100 0,4 150 140 200 0,1 147 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Quale linea di prodotto dovrebbe sviluppare l’azienda se è disposta ad accettare un rischio al massimo uguale al 25% dell’utile medio? Siano UA , UB , UC gli utili corrispondenti alle tre linee di prodotto A, B, C. Devi anzitutto determinare la media e la deviazione standard di UA , UB , UC . Il valore medio e la deviazione standard di UA sono dati da: ðUA Þ ¼ 80 0,2 þ 100 0,3 þ 120 0,4 þ 150 0,1 ¼ 109 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðUA Þ ¼ 802 0,2 þ 1002 0,3 þ 1202 0,4 þ 1502 0,1 1092 ’ 20,22 Analogamente puoi verificare che il valore medio e la deviazione standard di UB e UC sono i valori riportati nella seguente tabella, che devi completare calcolando, per ciascuna alternativa, la massima soglia di rischio ammessa e verificando se tale soglia di rischio è rispettata. Variabile aleatoria UA UB UC Media () 109 112 117 Deviazione standard () 20,22 20,52 42,20 Soglia di rischio (0,25) ............... ............... ............... È soddisfatta la condizione sulla soglia ( 0,25)? ............... ............... ............... Osserva che uno dei tre processi non rispetta la condizione sulla soglia di rischio, quindi va scartato, e scegli tra i due restanti quello che garantisce il valore medio maggiore. Un’azienda deve decidere quale dei tre macchinari A, B, C deve acquistare. In base a delle statistiche precedentemente effettuate, si stima che i costi (in migliaia di euro) per il funzionamento mensile dei tre macchinari e le rispettive probabilità che si verifichino siano quelli riportati nella seguente tabella. 72 Þ Costi di produzione A Costi di produzione B Costi di produzione C Probabilità 8 7 6 0,3 10 9 10 0,5 12 13 14 0,2 Se l’azienda è disposta ad accettare un rischio uguale al massimo al 25% del valore medio, quale macchinario dovrebbe acquistare? [A ¼ 9,8, A ¼ 1,4; B ¼ 9,2, B ’ 2,09; C ¼ 9,6, C ¼ 2,8; il macchinario B] 73 Un’azienda deve decidere quale progetto sviluppare fra tre proposte A, B, C. Si stima che gli utili annuali (in Þ migliaia di euro) derivanti dallo sviluppo dei progetti e le rispettive probabilità che si verifichino siano quelli riportati nella seguente tabella. Progetto A Progetto B Progetto C Probabilità 60 10 50 0,25 100 100 100 0,45 120 220 150 0,3 Se l’azienda è disposta ad accettare un rischio uguale al massimo al 75% del valore medio, quale progetto dovrebbe scegliere di sviluppare? [A ¼ 96, A ’ 22,45; B ¼ 108,5, B ’ 85,28; C ¼ 102,5, C ’ 37; il progetto C] Il sig. Bianchi deve scegliere fra tre forme di investimento A, B o C. Si stima che gli utili annuali (in migliaia di euro) derivanti dagli investimenti e le rispettive probabilità che si verifichino siano quelli riportati nella seguente tabella. 74 Þ Investimento A Investimento B Investimento C Probabilità 2 1 1 0,25 4 3 2 0,35 8 5 3 0,40 Il sig. Bianchi è disposto ad accettare un rischio uguale al massimo all’80% del valore medio; quale investimento dovrebbe scegliere? [A ¼ 4,1, A ’ 3,92; B ¼ 2,8, B ’ 2,36; C ¼ 2,15, C ’ 0,79; l’investimento C] 148 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 400 800 1200 1600 2000 Probabilità 0,1 0,15 0,2 0,3 0,25 Determina quale delle due macchine è preferibile scegliere, al fine di ottenere l’utile maggiore, applicando: a. il criterio del valor medio; b. il criterio della valutazione del rischio, con una soglia di rischio massima uguale al 50% del valore medio. [a. A ¼ 3920, B ¼ 3630, il macchinario A; b. A ’ 2053,68, B ’ 1796,97, il macchinario B] Un’impresa può avviare la produzione di un certo articolo seguendo tre processi produttivi: il processo A comporta un costo fisso pari a 150 000 euro e un costo variabile di 450 euro per ogni articolo; il processo B comporta un costo fisso pari a 30 000 euro e un costo variabile di 550 euro per ogni articolo; il processo C comporta un costo variabile pari a 600 euro per ogni articolo prodotto, senza costi fissi. L’articolo verrà venduto al prezzo unitario di 1000 euro e per le vendite si prevede la seguente distribuzione di probabilità: 76 Þ Quantità venduta 500 1000 1500 2000 2500 3000 Probabilità 0,05 0,1 0,2 0,3 0,2 0,15 Determina il processo produttivo più conveniente per conseguire l’utile massimo applicando: a. il criterio del valor medio; b. il criterio della valutazione del rischio, con un rischio massimo uguale al 37% del valore medio. [a. A ¼ 936 250, B ¼ 858 750, C ¼ 790 000, il processo A; b. A ’ 373 787,6, B ’ 305 826,2, C ’ 271 845,5, il processo B] Problemi di scelta con effetti differiti e in condizione di incertezza Quantità venduta Unità 3 Per la produzione di un certo oggetto un’impresa può utilizzare due macchinari diversi: la macchina A e la macchina B. Con la macchina A è necessaria una spesa fissa di 1600 euro e un costo di 2 euro per ogni pezzo prodotto, con la macchina B invece occorre una spesa fissa di 1200 euro e un costo per ogni pezzo prodotto di 2,5 euro. Il prezzo unitario di vendita è fissato per entrambi i macchinari in 6 euro. Il numero di articoli venduti è una variabile casuale alla quale sono associati i valori di probabilità riportati nella seguente tabella. 75 Þ Criterio del pessimista Un’azienda deve decidere quale dei tre macchinari A, B, C deve acquistare. In base a delle statistiche precedentemente effettuate, si stima che i costi (in migliaia di euro) per il funzionamento mensile dei tre macchinari, in dipendenza di tre eventi aleatori E1 , E2 , E3 , siano quelli riportati nella seguente tabella. 77 Þ Costi di produzione A Costi di produzione B Costi di produzione C E1 8 7 6 E2 10 13 10 E3 11 6 12 Quale alternativa va scelta, in base al criterio del pessimista? [Il macchinario A] Il sig. Bianchi deve scegliere fra tre forme di investimento A, B o C. Si stima che gli utili annuali (in migliaia di euro) derivanti dagli investimenti dipendano da tre eventi aleatori E1 , E2 , E3 secondo quanto riportato nella seguente tabella. 78 Þ Investimento A Investimento B Investimento C E1 2 1 1 E2 4 3 2 E3 8 5 3 Quale investimento dovrebbe scegliere il sig. Bianchi, in base al criterio del pessimista? [L’investimento C] 149 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Un’azienda deve decidere quale progetto sviluppare, fra tre proposte A, B o C. Si stima che gli utili annuali derivanti dallo sviluppo dei progetti dipendano da tre eventi aleatori E1 , E2 , E3 secondo quanto riportato nella seguente tabella. 79 Þ Progetto A Progetto B Progetto C E1 10 60 50 E2 100 40 30 E3 120 190 150 Quale progetto dovrebbe scegliere di sviluppare, in base al criterio del pessimista? [Il progetto B] Un’azienda deve decidere quale progetto sviluppare, fra tre proposte A, B o C. Si stima che gli utili annuali derivanti dallo sviluppo dei progetti dipendano da tre eventi aleatori E1 , E2 , E3 secondo quanto riportato nella seguente tabella. 80 Þ Progetto A Progetto B Progetto C E1 60 80 k E2 100 100 100 E3 120 220 150 Determina, al variare di k, con k > 0, il progetto che l’azienda dovrebbe scegliere, in base al criterio del pessimista. [Se 0 < k < 80, il progetto B; se k > 80, il progetto C; se k ¼ 80, è indifferente scegliere B o C] Un’azienda deve decidere quale progetto sviluppare, fra tre proposte A, B o C. Si stima che gli utili annuali derivanti dallo sviluppo dei progetti dipendano da tre eventi aleatori E1 , E2 , E3 secondo quanto riportato nella seguente tabella. 81 Þ Progetto A Progetto B Progetto C E1 80 100 70 E2 120 k 130 E3 90 210 120 Determina, al variare di k, con k > 0, il progetto che l’azienda dovrebbe scegliere, in base al criterio del pessimista. [Se 0 < k < 80, il progetto A; se k > 80, il progetto B; se k ¼ 80, è indifferente scegliere A o B] Problemi di scelta in condizione di incertezza con effetti differiti Vogliamo investire 15 000 euro e possiamo scegliere tra due operazioni: a. l’operazione A prevede un ricavo di 3000 euro fra 2 anni con una probabilità del 30%, oppure di 3500 euro fra 3 anni con una probabilità del 30%, oppure di 4000 euro fra 5 anni con una probabilità del 40%; b. l’operazione B prevede un ricavo di 2000 euro fra 3 anni con una probabilità del 40%, oppure di 5000 euro fra 5 anni con una probabilità del 60%. Quale operazione è preferibile, al tasso di valutazione del 6%? [ðVA Þ ¼ 2878,21; ðVB Þ ¼ 2913,47; l’operazione B] 82 Þ Vogliamo investire 20000 euro e possiamo scegliere tra due operazioni: a. l’operazione A prevede un ricavo di 2000 euro fra 3 anni con una probabilità del 20%, oppure di 3500 euro fra 4 anni con una probabilità del 30%, oppure di 4000 euro fra 6 anni con una probabilità del 50%; b. l’operazione B prevede un ricavo di 2500 euro fra 4 anni con una probabilità del 60%, oppure di 4500 euro fra 6 anni con una probabilità del 40%. Quale operazione è preferibile, al tasso di valutazione del 5%? [ðVA Þ ¼ 2701,80; ðVB Þ ¼ 2577,24; l’operazione A] 83 Þ Vogliamo investire 10 000 euro e possiamo scegliere tra due operazioni: a. l’operazione A prevede un ricavo di 3000 euro fra 1 anno con una probabilità del 20%, oppure di 4500 euro fra 2 anni con una probabilità del 30%, oppure di 6000 euro fra 4 anni con una probabilità del 50%; b. l’operazione B prevede un ricavo di 3500 euro fra 2 anni con una probabilità del 60% oppure di 6000 euro fra 4 anni con una probabilità del 40%. Quale operazione è preferibile, al tasso di valutazione del 4%? [ðVA Þ ¼ 4389,49; ðVB Þ ¼ 3993,10; l’operazione A] 84 Þ 150 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Esercizi di riepilogo PROBLEMI DI SCELTA IN CONDIZIONE DI CERTEZZA CON EFFETTI DIFFERITI Considera un’operazione finanziaria che consiste nell’investire 1500 euro oggi e 500 euro tra un anno e nel ricevere 2500 euro tra due anni. a. Determina il REA dell’operazione, al tasso del 6%. b. Determina il TIR dell’operazione. c. Stabilisci se è preferibile l’operazione data o un’operazione che consiste nell’investire 2000 euro oggi e avere 2400 euro tra due anni, mediante il criterio del TIR. [a. 253,29; b. 13,5%; c. il TIR della seconda operazione è 9,54%, dunque è preferibile la prima] 86 Þ Considera le seguenti due operazioni finanziarie: l’operazione A che prevede un costo di 3000 euro oggi e il ricavo di 2900 euro tra 1 anno e di 2100 euro tra 2 anni; l’operazione B che prevede un costo di 3000 euro oggi e il ricavo di 1200 euro tra 1 anno e di 4000 euro tra 2 anni. Determina per quali valori del tasso di interesse i l’operazione A risulta preferibile rispetto alla B, in base al criterio del REA. 2 i> 17 87 Þ Problemi di scelta con effetti differiti e in condizione di incertezza RIEPILOGO Unità 3 Vogliamo investire 15000 euro e possiamo scegliere tra due operazioni: a. l’operazione A prevede un ricavo di 3000 euro fra 2 anni con una probabilità del 40%, oppure di 2500 euro fra 3 anni con una probabilità del 30%, oppure di 5000 euro fra 5 anni con una probabilità del 30%; b. l’operazione B prevede un ricavo dato da una rendita annua posticipata di 600 euro all’anno per 5 anni con una probabilità del 40%, oppure una rendita annua posticipata di 800 euro all’anno per 5 anni con una probabilità del 60%. Quale operazione è preferibile, al tasso di valutazione del 5%? [ðVA Þ ¼ 2911,60; ðVB Þ ¼ 3117,22; l’operazione B] 85 Þ Considera le seguenti due operazioni finanziarie: l’operazione A che prevede di investire 4500 euro oggi e di ricavare 3000 tra 1 anno e 2000 euro tra 2 anni; l’operazione B che prevede di investire 5000 euro oggi e di ricavare 1500 euro tra 1 anno e 4500 euro tra 2 anni. a. Esprimi una preferenza su queste due operazioni in base ai rispettivi TIR. b. Calcola per quale valore del tasso di interesse i REA delle due operazioni sono uguali. [a. TIRA ¼ 7,87%, TIRB ¼ 11,05%, quindi è preferibile B; b. i ’ 19,26%] 88 Þ 89 Þ Considera le due operazioni finanziare descritte nella seguente tabella: Scadenza (anni) 0 1 2 3 4 Flusso di cassa operazione A 5500 3000 2000 1000 2000 Flusso di cassa operazione B 6000 1500 4000 2000 1000 Determina l’operazione più conveniente, in base al criterio del REA, con tasso di valutazione uguale al 5%. [REAA ¼ 1947,67; REAB ¼ 1250,08, è preferibile B] 90 Þ Considera le due operazioni descritte nella seguente tabella. Scadenza (anni) 0 1 2 3 4 Flusso di cassa operazione A 500 100 150 200 250 Flusso di cassa operazione B 500 750 Determina l’operazione più conveniente, in base al criterio del REA, con tasso di valutazione uguale al 5%. Se il tasso di interesse utilizzato fosse del 12% la scelta sarebbe la stessa? [Con il tasso del 5% si preferisce B, mentre con il tasso del 12% si preferisce A] 151 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 91 Þ Si intendono investire 150 000 euro e si può effettuare la scelta tra due tipologie di investimento: a. il primo investimento, A, consente di ottenere una rata costante semestrale posticipata di 10 000 euro per 12 anni; b. il secondo investimento, B, consente di ottenere una rata costante trimestrale posticipata di 5000 euro per 12 anni. Calcola il REA di ciascuna delle due operazioni, valutato al tasso del 5%, e stabilisci la tipologia di investimento più conveniente. [REAA ¼ 29 453,82; REAB ¼ 30 554,97, dunque è preferibile B] Un’operazione finanziaria consiste nell’investire oggi un capitale C e nel ricevere in cambio tra un anno 2000 euro e tra due anni 1000 euro. Un’altra operazione, che prevede l’investimento dello stesso capitale e la stessa durata, ha un TIR uguale all’8%. Determina per quali valori di C la prima operazione è preferibile alla seconda, in base al criterio del TIR. [C < 2709,19] 92 Þ 93 Þ Una persona vuole investire 40 000 euro e può scegliere una delle seguenti proposte: AÞ ricevere 20 000 euro fra 3 anni, 25 000 euro fra 5 anni e 25 000 euro fra 8 anni; BÞ ricevere una quota costante annua posticipata di 8000 euro per 8 anni. Determina, con il criterio del tasso interno di rendimento, la proposta di investimento più conveniente. [TIRA ¼ 11,17%, TIRB ¼ 11,81%, dunque è preferibile B] PROBLEMI DI SCELTA IN CONDIZIONE DI INCERTEZZA Un’industria vuole avviare la produzione di un nuovo articolo e può scegliere fra due progetti alternativi; per ciascun progetto si stima che, nel primo anno di lancio, la distribuzione di probabilità degli utili sia quella rappresentata in tabella. 94 Þ Progetto A Progetto B utile (in migliaia di euro) Probabilità utile totale (in migliaia di euro) Probabilità 40 0,2 35 0,15 50 0,45 45 0,25 55 0,2 55 0,35 60 0,15 65 0,25 Trova il progetto preferibile, ai fini di ottenere l’utile massimo, applicando: a. il criterio del valor medio; b. il criterio della valutazione del rischio, se si è disposti ad accettare un rischio massimo uguale al 30% del valore medio; c. il criterio del pessimista. [a. A ¼ 50,5, B ¼ 52, progetto B; b. A ’ 6,3, B ’ 10,05 progetto B; c. progetto A] Un’impresa, per produrre un certo bene, può attivare due processi produttivi. Il processo A e il processo B. Il processo A richiede un costo fisso di 400 000 euro e un costo di 1900 euro per ogni unità prodotta. Il processo B comporta invece costi fissi pari a 700 000 euro e un costo di 2200 euro per ogni unità prodotta. Il prezzo di vendita unitario è di 4000 euro. La quantità venduta è una variabile aleatoria avente la seguente distribuzione di probabilità: 95 Þ Quantità venduta 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 Probabilità 0,08 0,15 0,18 0,25 0,16 0,1 0,05 0,02 0,01 Determina il processo produttivo più conveniente per conseguire l’utile massimo, applicando il criterio del valor medio. [A ¼ 2 069 600, B ¼ 1 416 800, quindi conviene il processo A] Un’azienda deve ordinare una certa materia prima. Il quantitativo ordinato verrà consegnato alcuni mesi dopo l’ordine e il costo dell’ordine verrà saldato al momento della consegna, in base alle quotazioni di mercato della 96 Þ 152 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Fornitore A costo totale probabilità costo totale probabilità 50 000 0,15 40 000 0,1 70 000 0,25 70 000 0,35 90 000 0,45 100 000 0,4 100 000 0,15 130 000 0,15 Determina il fornitore presso cui è preferibile che l’azienda faccia l’ordine, al fine di minimizzare il costo totale, applicando: a. il criterio del valor medio; b. il criterio del pessimista; c. il criterio dell’ottimista. [a.A ¼ 80 500, B ¼ 88 000, il fornitore A; b. il fornitore A; c. il fornitore B] Per la produzione di un articolo un’impresa può scegliere fra tre alternative A, B e C. L’alternativa A prevede un costo fisso di 250 000 euro e un costo variabile di 10 000 euro per ogni articolo prodotto; l’alternativa B prevede un costo fisso di 50 000 euro e un costo variabile di 11 000 euro per ogni articolo prodotto; l’alternativa C prevede un costo variabile di 16 000 euro per ogni articolo prodotto senza spese fisse. Ciascun articolo è venduto al prezzo di 20 000 euro. La quantità di articoli venduta è una variabile aleatoria avente la seguente distribuzione di probabilità: 97 Þ Quantità venduta 200 400 600 800 1000 1200 Probabilità 0,15 0,2 0,25 0,25 0,05 0,1 Problemi di scelta con effetti differiti e in condizione di incertezza Fornitore B Unità 3 materia prima in quel momento. L’azienda può rivolgersi a due fornitori, A e B; si stima che il costo totale dell’ordine, a seconda del fornitore, abbia la distribuzione di probabilità in tabella: Trova l’alternativa più conveniente per conseguire il massimo profitto, applicando: a. il criterio del valor medio; b. il criterio della valutazione del rischio, con un rischio massimo uguale al 25% del valore medio. [a. A ¼ 6 050 000, B ¼ 5 620 000, C ¼ 2 520 000, quindi conviene l’alternativa A; b. A ’ 2 917 190,40, B ’ 2 625 471,40, C ’ 1 166 876,20, nessuna alternativa è accettabile] Un libraio vuole procurarsi una rivista d’arte da vendere nella sua libreria: può scegliere tra la rivista A, che gli costa 7 euro e che può rivendere al prezzo di 12 euro, e la rivista B, che gli costa 9 euro e che può rivendere al prezzo di 16 euro a copia. Da precedenti esperienze valuta la vendita di copie con le seguenti distribuzioni di probabilità: 98 Þ Rivista B Rivista A numero copie probabilità numero copie probabilità 2 0,05 2 0,2 3 0,15 3 0,35 4 0,3 4 0,3 5 0,25 5 0,1 6 0,25 6 0,05 Trova la rivista che conviene scegliere per conseguire l’utile massimo, applicando: a. il criterio del valor medio; b. il criterio della valutazione del rischio, con un rischio massimo uguale al 30% del valore medio; c. il criterio del pessimista. [a. A ¼ 22,5, B ¼ 24,15, quindi conviene la rivista B; b. A ’ 5,81, B ’ 7,5, conviene la rivista A; c. conviene la rivista B] 153 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 99 Per produrre un certo articolo un’impresa può scegliere tra due processi produttivi: Þ nel caso del processo A, il costo fisso è di 240 000 euro e il costo variabile uguale a 1400 euro per ogni unità; nel caso del processo B, il costo fisso è di 160 000 euro e il costo variabile è di 1600 euro per ogni unità. Il prezzo unitario di vendita è di 4000 euro per entrambi i processi produttivi e il numero di unità vendute è una variabile casuale avente la seguente distribuzione di probabilità: Quantità venduta 100 200 300 Probabilità 0,2 0,5 0,3 Determina il processo produttivo più conveniente per conseguire l’utile massimo, applicando: a. il criterio del valor medio; b. il criterio della valutazione del rischio, con un rischio massimo uguale al 50% del valore medio; c. il criterio del pessimista. [a. A ¼ 306 000, B ¼ 344 000, il processo B; b. A ¼ 182 000, B ¼ 168 000, il processo B; c. il processo B] Per la produzione di un certo bene un’impresa può scegliere tra due linee di produzione: la linea di produzione A richiede un costo fisso di 60 000 euro e un costo variabile di 900 euro per ogni unità del bene prodotta; la linea di produzione B richiede un costo fisso di 110 000 euro e un costo variabile di 700 euro per ogni unità del bene prodotta. Il prezzo unitario di vendita è di 2000 euro per entrambe le linee di produzione. La quantità del bene venduta è una variabile casuale avente la seguente distribuzione di probabilità: 100 Þ Quantità venduta 100 200 300 Probabilità 0,25 0,4 0,35 Determina il processo produttivo più conveniente ai fini di conseguire l’utile massimo: a. in base al criterio del valor medio; b. in base al criterio della valutazione del rischio, nell’ipotesi che si voglia accettare un rischio massimo uguale al 50% del valore medio; c. in base al criterio dell’ottimista. [a. A ¼171 000, B = 163 000, la linea A; b. A ’ 84 492; 6, B ’ 99854; 9, la linea A; c. la linea B] Un’industria produce un bene che vende al prezzo unitario di 9000 euro. Per la produzione del bene può seguire tre alternative: l’alternativa A comporta costi fissi di 500 000 euro e costi variabili di 4000 euro per ogni unità prodotta; l’alternativa B comporta costi fissi di 350 000 euro e costi variabili di 5000 euro per ogni unità prodotta; l’alternativa C comporta costi variabili di 6000 euro per ogni unità prodotta senza spese fisse. La quantità venduta prevista è una variabile aleatoria la cui distribuzione di probabilità è indicata nella seguente tabella: 101 Þ Quantità venduta 100 200 300 400 500 600 Probabilità 0,1 0,2 0,3 0,25 0,1 0,05 Determina l’alternativa più conveniente, ai fini di conseguire l’utile massimo, in base: a. al criterio del valor medio; b. al criterio della valutazione del rischio, con un rischio massimo uguale al 50% del valore medio. [a. A ¼ 1 100 000, B ¼ 930 000, C ¼ 960 000, l’alternativa A; b. A ’ 644 204,9, B ’ 515 363,9, C ’ 386 523, l’alternativa C] Un imprenditore decide di vendere ogni unità di un dato bene che produce al prezzo di 20 euro. Due sono i processi produttivi che può attivare: il processo A, che comporta un costo unitario di produzione pari a 6 euro e spese annue fisse pari a 10 000 euro; il processo B, che comporta un costo unitario di produzione pari a 5 euro e un ulteriore costo variabile pari allo 0,2% del quadrato della quantità prodotta (senza spese fisse). 102 Þ 154 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 500 1000 1500 2000 2500 3000 Probabilità 0,05 0,1 0,2 0,3 0,2 0,15 Determina il processo produttivo più conveniente, al fine di conseguire l’utile massimo, applicando: a. il criterio del valor medio; b. il criterio della valutazione del rischio, se si è disposti ad accettare una soglia di rischio massima uguale al 30% del valore medio; c. il criterio del pessimista. [a. A ¼ 17 650, B ¼ 20 900, il processo B; b. A ¼ 9514,59, B ¼ 5185,56, il processo B; c. il processo B] Esercizi dalle gare di matematica e in inglese Supponi che per la produzione di una determinata merce un’azienda possa utilizzare due differenti tariffe, date dai seguenti modelli: 103 Þ tariffa 1: y ¼ 500x þ 300 000 tariffa 2: y ¼ 0,2x2 þ 700x þ 900 000 L’azienda, attraverso un’accurata indagine di mercato, ha potuto stimare le probabilità di assorbimento della merce prodotta settimanalmente come indicato nella seguente tabella: Quantità (kg) 500 1000 1500 2000 2500 3000 Probabilità 0,1 0,05 0,15 0,25 0,3 0,15 a. Rappresenta in uno stesso piano cartesiano i grafici delle due tariffe, sapendo che la produzione può variare tra 0 e 3000 kg compresi. b. Determina la tariffa più conveniente in funzione della produzione, senza tener conto delle probabilità di assorbimento del mercato. c. Determina, applicando il criterio del valor medio, quale delle due tariffe risulta più conveniente, tenendo conto delle probabilità di vendita, e discuti l’attendibilità dei risultati. d. Determina poi la convenienza anche applicando il criterio della valutazione del rischio con una soglia di rischio massima uguale al 25% del valore madio, e il criterio del pessimista. Problemi di scelta con effetti differiti e in condizione di incertezza Quantità venduta Unità 3 Si stima che la quantità venduta in un anno seguirà la distribuzione di probabilità indicata dalla seguente tabella: (Esame di Maturità per ragionieri programmatori, sessione ordinaria 1998) [b. Per 0 x < 2302,78 conviene la tariffa 1, per 2302,78 < x 3000 conviene la tariffa 2, per x ¼ 2302,78 le due tariffe sono equivalenti; c. conviene la tariffa 1; d. conviene la tariffa 2 sia in base al criterio della valutazione del rischio sia in base al criterio del pessimista] 104 Solve math in English Determine the net present value for a project that costs $ 60 000 and would yield cash Þ flows of $ 15 000 the first year, $ 20 000 the second year, $ 25 000 the third year and $ 28 000 the fourth year, given that the guaranteed interest rate in the bank is 8%. [$ 11 462,31] 105 Solve math in English Determine the internal rate of return for a project that costs $ 12000 and would yield Þ cash flows of $ 8000 the first year and $ 7000 the second year. [16,67%] 155 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA PROVA DI AUTOVERIFICA Problemi di scelta con effetti differiti e in condizione di incertezza Per la produzione di una certa merce un’azienda può scegliere fra tre processi produttivi A, B e C che comportano i seguenti costi: procedimento produttivo A: spese fisse di 1100 euro e costo di 1,20 euro per ogni pezzo prodotto; processo produttivo B: costo di 1,50 euro, senza spese fisse; procedimento produttivo C: spese fisse di 1500 euro e costo di produzione pari a 1 euro per ogni pezzo prodotto Il prezzo di vendita unitario è di 3 euro. Il numero di pezzi venduti è una variabile aleatoria che si suppone avere la seguente distribuzione di probabilità: 1 Þ Quantità venduta 500 1000 1500 2000 2500 Probabilità 0,05 0,3 0,4 0,2 0,05 Determina il processo produttivo più conveniente, ai fini di conseguire il massimo utile, applicando: a. il criterio del valor medio; b. il criterio della valutazione del rischio, con una soglia di rischio massima uguale al 50% del valore medio. Un’azienda deve scegliere quale nuovo prodotto lanciare sul mercato, tra quattro alternative A, B, C, D. Per ciascuna alternativa si stima che gli utili (in euro) nel primo anno di immissione sul mercato potranno essere quelli indicati in tabella, in dipendenza dal verificarsi dei tre eventi aleatori E1 , E2 , E3 . Determina l’alternativa preferibile, utilizzando il criterio del pessimista. 2 Þ Alternativa A Alternativa B Alternativa C Alternativa D E1 90 000 125 000 85 000 101 000 E2 145 000 86 000 128 000 88 000 E3 70 000 98 000 132 000 140 000 Per rinnovare un impianto produttivo si deve sostenere una spesa di 80 000 euro. Per effettuare il pagamento ci sono le seguenti possibilità: stipula di un mutuo con una banca, estinguibile con pagamento di rate posticipate bimestrali di 5000 euro ciascuna per 3 anni; contratto di leasing con pagamento di 15 000 euro all’atto della consegna, pagamento di canoni annui posticipati di 17 500 euro per la durata di 3 anni, versamento di 25 000 euro a titolo di riscatto fra 3 anni. Trova la possibilità più conveniente: a. con il criterio dell’attualizzazione al tasso del 7,5%; b. con il criterio del TIR. 3 Þ Valutazione Esercizio Punteggio 1 2 3 Totale 2,25 þ 2,25 ¼ 4,5 1 2,25 þ 2,25 ¼ 4,5 10 Punteggio ottenuto Tempo massimo: 1 h 156 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P 3Risposte in fondo al volume Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Programmazione lineare Unità 4 1. Richiami su disequazioni e sistemi di disequazioni lineari in due incognite Tema B La rappresentazione analitica di semipiani, angoli, strisce e poligoni Sai già che ogni retta è rappresentata algebricamente da un’equazione lineare in due incognite. In questo paragrafo vediamo come sia possibile caratterizzare, dal punto di vista algebrico, i semipiani, gli angoli, le strisce e i poligoni. 1. Semipiani Consideriamo una generica retta r, non parallela all’asse y, di equazione y ¼ mx þ q: essa è l’origine di due semipiani, e , colorati in giallo e in azzurro in fig. 4.1. Il semipiano , che contiene la «punta» dell’asse y, è detto semipiano «al di sopra» della retta r; il semipiano , che contiene la «coda» dell’asse y, è detto semipiano «al di sotto» della retta r. α α y y y = mx + q y = mx + q P(x, y) Q(x, mx + q) x O r β Figura 4.1 x O r Figura 4.2 Quale condizione caratterizza le coordinate dei punti appartenenti a questi due semipiani? Fissiamo l’attenzione, per esempio, sui punti appartenenti al semipiano (fig. 4.2): è chiaro che, preso un generico punto Pðx, yÞ nel piano cartesiano, e indicato con Q il punto di ascissa x appartenente alla retta r, il punto P appartiene al semipiano se e solo se l’ordinata di P è maggiore dell’ordinata di Q, ossia se e solo se: y > mx þ q Il semipiano è quindi caratterizzato analiticamente da tale disequazione. Ragionando analogamente, si deduce che il semipiano , «al di sotto» della retta r, è caratterizzato, invece, dalla disequazione: y < mx þ q y x <h Una retta parallela all’asse y è l’origine di due semipiani che sono descritti analiticamente da disequazioni sulle ascisse dei punti. Consideriamo, per esempio, il semipiano «a sinistra» della retta di equazione x ¼ h (fig. 4.3): esso è caratterizzato dalla seguente proprietà: tutti i suoi punti hanno ascisse minori di h, dunque tale semipiano è caratterizzato dalla disequazione: x<h x O x =h Figura 4.3 157 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Analogamente, il semipiano «a destra» della retta di equazione x ¼ h (fig. 4.4) è caratterizzato dalla disequazione: y x >h x>h x O x =h Figura 4.4 Negli esempi precedenti abbiamo considerato semipiani aperti, cioè semipiani in cui la frontiera non appartiene al semipiano stesso: per questo motivo la frontiera è stata disegnata tratteggiata. Possiamo riassumere le considerazioni svolte dicendo che i semipiani aperti sono caratterizzati analiticamente da disequazioni lineari nelle due incognite x e y, di uno dei seguenti tipi: y > mx þ q y < mx þ q o o x>h o x<h È chiaro che i semipiani chiusi, cioè semipiani in cui la frontiera appartiene al semipiano stesso, saranno caratterizzati, invece, da disequazioni lineari di uno dei seguenti tipi: y mx þ q y mx þ q o o xh xh o 2. Angoli, strisce e poligoni Proseguiamo la nostra analisi della caratterizzazione algebrica di enti geometrici, trattando il caso degli angoli, delle strisce e dei poligoni. Conveniamo, anche se non lo ripeteremo tutte le volte, di riferirci esclusivamente a figure convesse. Per caratterizzare angoli, strisce e poligoni occorrono sistemi di disequazioni lineari in due incognite: infatti gli angoli, le strisce e i poligoni (convessi) si possono ottenere come intersezioni di opportuni semipiani e i semipiani, come abbiamo visto, sono rappresentati analiticamente da disequazioni lineari in due incognite. Nelle didascalie delle seguenti figure sono forniti alcuni esempi. y y y y =2 x O x O x O y = –2 x = –1 y =x x =2 La striscia limitata dalle due rette di equazione x ¼ 1 e x ¼ 2 è l’intersezione dei due semipiani x 1 e x 2, quindi è rappresentata dal sistema: ( x 1 x2 y = –x L’angolo colorato è l’intersezione dei due semipiani «al di sopra» delle rette di equazioni y ¼ x e y ¼ x, quindi è rappresentato dal sistema: ( yx y x x = –2 x =2 Il quadrato colorato è l’intersezione della striscia costituita dai punti di ascissa compresa tra 2 e 2 (inclusi) e della striscia costituita dai punti di ordinata compresa tra 2 e 2 (inclusi). Il quadrato è quindi rappresentato dal sistema: ( 2x 2 2y 2 La rappresentazione grafica di disequazioni e sistemi di disequazioni lineari in due incognite Nel paragrafo precedente abbiamo visto che semipiani, angoli, strisce e poligoni possono essere rappresentati analiticamente tramite disequazioni lineari in due incognite o sistemi di disequazioni lineari in due incognite. Viceversa, escluden158 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA In tutti i casi, a seconda che nelle disequazioni compaiano i simboli di disuguaglianza debole (, ) o stretta (>, <) dovremo considerare inclusa o esclusa la frontiera delle figure definite dalle disequazioni. Nella rappresentazione grafica adotteremo la convenzione di tratteggiare le parti di frontiera che sono escluse e di disegnare con linee continue le altre. ESEMPIO Attenzione! Quando diciamo che una disequazione lineare in due incognite è rappresentata da un semipiano, intendiamo dire che l’insieme delle soluzioni della disequazione (cioè l’insieme delle coppie ordinate (x, y) che soddisfano la disequazione) è rappresentato da un semipiano. Programmazione lineare le disequazioni lineari in due incognite sono rappresentate nel piano cartesiano da semipiani; i sistemi di disequazioni lineari in due incognite sono rappresentati da angoli, strisce, poligoni o figure convesse. Unità 4 do il caso di disequazioni o sistemi sempre verificati o impossibili, possiamo affermare che: Rappresentazione di disequazioni lineari in due incognite Rappresentiamo nel piano cartesiano le disequazioni: a. y 1 xþ3 2 b. 2x y þ 4 < 0 a. La disequazione è rappresentata dal semipiano chiuso costituito dai punti 1 «al di sopra» della retta di equazione y ¼ x þ 3 e dai punti della retta 2 1 stessa (fig. 4.5). La retta di equazione y ¼ x þ 3 va quindi disegnata con 2 una linea continua. y y ≥ –1 x + 3 2 3 O x 6 y = –1 x + 3 2 Figura 4.5 b. Si tratta di una disequazione lineare in forma implicita. Risolviamo anzitutto la disequazione rispetto a y: 2x y þ 4 < 0 Disequazione da risolvere rispetto a y y < 2x 4 y > 2x þ 4 Attenzione al verso! Poiché la disequazione 2x y þ 4 < 0 è equivalente a y > 2x þ 4, essa è rappresentata dal semipiano aperto «al di sopra» della retta di equazione y ¼ 2x þ 4 (fig. 4.6). La retta di equazione y ¼ 2x þ 4, che costituisce la frontiera del semipiano, va tratteggiata perché nella disequazione y > 2x þ 4 compare il segno di disuguaglianza stretta. y 2x – y + 4 < 0 4 –2 y = 2x + 4 O x Figura 4.6 159 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA PER SAPERNE DI PIÙ Altri metodi risolutivi Per rappresentare nel piano cartesiano una disequazione in forma implicita, come quella di quest’ultimo esempio, si può anche ragionare in modo diverso. Per esempio, riconsideriamo la disequazione 2x y þ 4 < 0. Per stabilire quale semipiano è rappresentato da tale disequazione si può ragionare cosı̀: Tema B 1. si rappresenta la frontiera del semipiano, in questo caso la retta di equazione 2x y þ 4 ¼ 0; 2. si sostituiscono le coordinate di un punto (non appartenente alla frontiera) nella disequazione e si verifica se la disequazione è soddisfatta o meno. Nel nostro caso, possiamo scegliere come punto l’origine; ci chiediamo dunque: (0, 0) soddisfa la disequazione 2x y þ 4 < 0? Sostituendo in questa disequazione 0 al posto di x e di y, otteniamo: 2 0 0 þ 4 < 0, ossia 4 < 0, che è evidentemente falso. Pertanto l’origine non appartiene al grafico di 2x y þ 4 < 0. Concludiamo allora che, fra i due semipiani aventi come frontiera la retta di equazione 2x y þ 4 ¼ 0, rappresenta la disequazione 2x y þ 4 < 0 quello che non contiene l’origine, cioè quello colorato in rosso in fig. 4.6. ESEMPIO Rappresentazione di un sistema di disequazioni lineari in due incognite Rappresentiamo graficamente il sistema 8 > <y 3 0 xþy þ10 > : 2x y 1 0 Esplicitiamo le disequazioni del sistema rispetto a y: 8 8 8 > > > <y 3 <y 3 <y 3 0 y x 1 y x 1 xþyþ10 > > > : : : y 2x 1 y 2x þ 1 2x y 1 0 y A I tre semipiani rappresentati dalle disequazioni del sistema sono: quello al di sotto della retta di equazione y ¼ 3 (inclusa la retta stessa), quello al di sopra della retta di equazione y ¼ x 1 (inclusa la retta stessa) e quello al di sopra della retta di equazione y ¼ 2x 1 (inclusa la retta stessa). La loro intersezione è il triangolo di vertici Að4, 3Þ, Bð2, 3Þ e Cð0, 1Þ, compresi i lati del triangolo. O y = 2x – 1 y y O x O y x 2. Rappresenta graficamente le seguenti disequazioni: b. x 2 c. y x 2 3. Rappresenta graficamente i seguenti sistemi: 8 8 x 2 > > x þ y 4 < < y4<0 a. x þ y 4 b. xy3>0 : > > y ¼ 2x : xy6<0 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P y = –x – 1 ESERCIZI a p. 171 1. Scrivi una rappresentazione analitica di ciascuna delle seguenti figure. 160 x C Prova tu a. y > 2x þ 4 y=3 B d. x y þ 3 0 8 <y 3 0 c. x y 0 : 5x þ y þ 12 0 O x Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Unità 4 2. Problemi di programmazione lineare in due incognite PROBLEMA Programmazione lineare In questo paragrafo affrontiamo alcuni particolari problemi di scelta in condizione di certezza, in due incognite: i cosiddetti problemi di programmazione lineare. La caratteristica di questi problemi è la seguente: in essi viene richiesto di trovare la migliore distribuzione di un certo numero di risorse, secondo un determinato criterio di ottimizzazione che può consistere, per esempio, nel minimizzare un costo o nel massimizzare un profitto. Esaminiamo subito un esempio. 1 Massimizzare un utile Un’impresa artigianale produce armadi di legno di due tipi: classico e lusso. La quantità e la qualità di materia impiegata per costruire i due tipi di armadi è la stessa, ma diverso è il tipo di lavorazione. I tempi di produzione sulle macchine sono rispettivamente di 2 ore per il tipo classico e di 5 ore per il tipo di lusso. La rifinitura, eseguita a mano da operai specializzati, richiede 2 ore per il tipo classico e 1 ora per il tipo di lusso. Per un ciclo di lavorazione sono disponibili al massimo 400 ore di lavoro macchina e al massimo 200 ore di lavoro di operai specializzati; inoltre, in ogni ciclo di lavorazione, si possono produrre al massimo 110 armadi. L’utile è di 50 euro per un armadio del tipo classico e di 100 euro per un armadio del tipo di lusso. Quanti armadi del tipo classico e quanti di lusso devono essere prodotti in un ciclo di lavorazione per realizzare il massimo utile? DATI E OBIETTIVO Dati Tipo armadio Tempo di produzione macchina Tempo di rifinitura Utile Classico 2 ore 2 ore 50 euro Lusso 5 ore 1 ora 100 euro Vincoli sul ciclo di produzione: – non più di 110 armadi; – al massimo 400 ore di lavoro macchina; – al massimo 200 ore di lavoro di operai specializzati. Obiettivo Il ciclo di produzione che massimizza l’utile. COSTRUIAMO IL MODELLO DEL PROBLEMA Indichiamo con x e y, rispettivamente, il numero degli armadi classici e il numero degli armadi di lusso prodotti in un ciclo di produzione. Naturalmente, dovrà essere x 2 N e y 2 N. Formalizziamo anzitutto i vincoli sul ciclo di produzione. La produzione complessiva di armadi in un ciclo non può essere superiore a 110 armadi, quindi dovrà essere: x þ y 110 Si hanno a disposizione al massimo 400 ore di lavoro macchina, quindi deve essere: 2x þ tempo macchina per armadi classici 5y 400 tempo macchina per armadi lusso Si hanno a disposizione al massimo 200 ore di lavoro di operai specializzati, quindi deve essere: 2x tempo rifinitura per armadi classici þ 1y 200 tempo rifinitura per armadi lusso 161 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Complessivamente, allora, x e y devono soddisfare il sistema: 8 > < x þ y 110 2x þ 5y 400 > : 2x þ y 200 [4.1] Ogni coppia ordinata ðx, yÞ, con x 2 N e y 2 N, che soddisfa questo sistema, rappresenta un possibile programma per un ciclo di produzione. Ora esprimiamo l’utile in funzione di x e y. Dalla vendita di un armadio classico si ricavano 50 euro di utile e dalla vendita di uno di lusso 100 euro: quindi, se in un ciclo di produzione si producono x armadi classici e y di lusso, si ottiene un utile U, espresso dalla funzione: U ¼ 50x þ 100y Questa funzione, delle due variabili x e y, gioca il ruolo di funzione obiettivo. Il modello del nostro problema diventa allora il seguente: fra tutti i possibili programmi di produzione (rappresentati dalle soluzioni del sistema [4.1]), individuare quello che rende massima la funzione obiettivo. RICERCHIAMO IL MASSIMO Tralasciamo momentaneamente la limitazione x 2 N e y 2 N, e risolviamo il problema come se x e y fossero variabili continue. Possiamo avere un’immagine geometrica utile dei possibili programmi di produzione rappresentando graficamente, nel piano cartesiano, le soluzioni del sistema [4.1]. Otteniamo il poligono convesso colorato nella figura qui a fianco. Le coordinate dei vertici del poligono, facilmente deducibili dalla figura, si possono ottenere intersecando opportunamente le rette cui appartengono i lati del poligono stesso. L’insieme dei possibili programmi di produzione è rappresentato dai punti appartenenti al poligono. Per determinare le coordinate ðx, yÞ del punto per cui è massima la funzione dell’utile: U ¼ 50x þ 100y [4.2] soggetta ai vincoli [4.1] utilizziamo il metodo delle curve di livello. Risolviamo l’equazione [4.2] rispetto a y; otteniamo: y¼ 1 U xþ 2 100 y x + y = 110 100 90 80 2x + y = 200 A 70 B 60 50 2x + 5y = 400 40 30 C 20 10 D x 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 O [4.3] Al variare di U, questa equazione rappresenta le curve di livello della funzione [4.2], che sono dunque delle rette parallele alla 1 retta di equazione y ¼ x. 2 Affinché un utile U sia ottenibile in corrispondenza di un possibile programma di produzione, la retta corrispondente deve intersecare il poligono ABCDO in qualche punto. Dunque cercare l’utile massimo equivale a cercare il massimo valore di U per cui la retta di equazione [4.3] interseca tale poligono. Nel grafico qui a fianco abbiamo tracciato le rette, parallele a 1 y ¼ x, passanti per i vertici di ABCDO. I valori di U cresco2 no, man mano che le rette traslano nella direzione e nel verso indicati dalla freccia (sai giustificare perché?). Se ne deduce che il più grande valore di U per cui la retta di equazione [4.3] interseca il poligono ABCDO è quello che corrisponde alla retta passante per il vertice Bð50, 60Þ. Per determinare tale valore di U, sostituiamo le coordinate di B nell’equazione [4.3] e risolviamo l’equazione nell’incognita U che si ricava. Otteniamo: 60 ¼ 1 U 50 þ 2 100 162 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P ) U ¼ 8500 y 100 90 80 A 70 60 50 B U cresce U = 8500 40 30 20 10 O C D x 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Generalizzazioni Sulla base della risoluzione del precedente problema, facciamo ora alcune osservazioni. a. Appare certamente più chiaro, a questo punto, il significato dell’espressione «programmazione lineare»: il sostantivo «programmazione» si riferisce al fatto che la soluzione di un problema di programmazione fornisce un programma ottimo da seguire; l’aggettivo «lineare» si riferisce alla caratteristica essenziale del problema, che è di imporre vincoli fra le risorse espressi in forma di disequazioni lineari e di assegnare un criterio di ottimizzazione espresso in forma di equazione lineare. b. Quando, come nel problema precedente, ci sono soltanto due risorse in gioco, i possibili programmi si possono rappresentare come punti del piano e i vincoli come semipiani. Escludendo i casi in cui l’intersezione è vuota o illimitata, il sistema di disequazioni individua un poligono convesso, chiamato regione ammissibile, i cui punti costituiscono tutti i programmi possibili. Fra questi programmi, un problema di programmazione lineare richiede di scegliere quello migliore, secondo il criterio assegnato. c. Nel problema precedente abbiamo trovato che il programma ottimo corrisponde a un vertice della regione ammissibile. Questo fatto non è casuale; in generale si può provare infatti che vale il seguente teorema. Teorema di prog r ammazion e lin eare Programmazione lineare Poiché il punto cui corrisponde il massimo utile ha coordinate intere, la soluzione trovata è accettabile anche ai fini del problema originario (che era discreto, anche se l’abbiamo trattato come se fosse continuo). Il massimo utile, uguale a 8500 euro, corrisponde al programma che prevede, per ogni ciclo di produzione, 50 armadi di tipo classico e 60 di tipo lusso. Unità 4 RISPONDIAMO TEOREMA 4 .1 La regione ammissibile di ogni problema di programmazione lineare è convessa e l’ottimo (massimo o minimo), se esiste, viene raggiunto in corrispondenza di uno dei vertici della regione ammissibile. Le osservazioni fatte, combinate con il teorema precedente, ci consentono di delineare uno schema generale per risolvere i problemi di programmazione lineare. SINTESI Schema logico per risolvere un problema di programmazione lineare 1. Dati e obiettivo Identificare: a. i dati sulle risorse (che può essere utile riassumere in una tabella); b. i vincoli sulle risorse; c. la grandezza da rendere massima o minima. 2. Costruzione del modello a. Si scelgono le incognite. b. Si scrive l’equazione della funzione obiettivo, da rendere massima o minima. c. Si traducono i vincoli ai quali sono sottoposte le incognite in un sistema di disequazioni. 3. Ricerca dell’ottimo a. Si rappresenta la regione ammissibile, costituita dalle soluzioni del sistema che traduce i vincoli, determinandone in particolare i vertici. b. Si ricerca in corrispondenza di quale vertice della regione ammissibile si ottiene l’ottimo. 4. Risposta Si interpreta il risultato ottenuto e si risponde al problema. Applichiamo questo schema alla risoluzione del prossimo problema. Rifletti! Nel caso particolare in cui la regione ammissibile sia un poligono convesso (inclusi i lati), il minimo e il massimo assoluti esistono certamente, per il teorema di Weierstrass. Inoltre, è possibile giustificare il teorema 4.1 in base alle seguenti considerazioni: 1. un estremo assoluto non può essere raggiunto in un punto interno al poligono perché la funzione obiettivo (essendo lineare) ha derivate parziali costanti, dunque non ci sono punti stazionari; 2. la restrizione della funzione obiettivo a ciascun lato del poligono dà luogo a una funzione lineare (quindi crescente o decrescente, se non costante), che perciò raggiunge il massimo e il minimo assoluti in corrispondenza di uno dei due estremi del lato, ovvero di uno dei vertici del poligono. 163 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA PROBLEMA 2 Minimizzare un costo Una casa automobilistica deve inviare almeno 200 auto in due magazzini, A e B. Il magazzino A può ricevere al massimo 160 auto e il magazzino B al massimo 120. Il trasporto di un’auto al magazzino A costa 50 euro e il trasporto al magazzino B costa 60 euro. Inoltre, per inviare un’auto al magazzino A è sufficiente 1 operaio, mentre per inviare un’auto al magazzino B sono necessari 2 operai. Complessivamente, l’invio delle auto ai due magazzini non deve richiedere più di 340 operai. Quante auto devono essere mandate a ciascun magazzino per minimizzare i costi? Qual è il costo minimo? Notazioni DATI E OBIETTIVO Nei problemi di programmazione lineare (soprattutto quando le variabili sono più di due) le incognite vengono spesso indicate con x1 , x2 , x3 , ... anziché x, y, z, ... Per esempio, il problema qui a fianco si potrebbe formalizzare alternativamente cosı̀: determinare il minimo della funzione C ¼ 50x1 þ 60x2 sottoposta ai vincoli: 8 x1 160 > > > < x 120 2 > x > 1 þ x2 200 > : x1 þ 2x2 340 Lasciamo a te il compito di individuare i dati e l’obiettivo, e di schematizzarli. COSTRUIAMO UN MODELLO Indichiamo con x il numero di auto da inviare al magazzino A e con y il numero di auto da inviare al magazzino B. Dovrà essere x 2 N e y 2 N. La funzione obiettivo C, da rendere minima, è: C ¼ 50x þ 60y Inoltre x e y sono soggette ai seguenti vincoli: 8 x 160 > > > < y 120 > x þ y 200 > > : x þ 2y 340 RICERCHIAMO IL MINIMO Come nell’esempio precedente, risolviamo inizialmente il problema come se le variabili fossero continue. Rappresentiamo il sistema e poi calcoliamo il valore del costo C in corrispondenza dei vertici del quadrilatero ottenuto. y 160 140 B(100, 120) 120 A (80, 120) 100 C (160, 90) 80 60 D(160, 40) 40 20 O 20 40 60 80 100 120 140 160 180 x Vertice Costo ðx, yÞ C ¼ 50x þ 60y A ð80, 120Þ C ¼ 50 80 þ 60 120 ¼ 11 200 B ð100, 120Þ C ¼ 50 100 þ 60 120 ¼ 12 200 C ð160, 90Þ C ¼ 50 160 þ 60 90 ¼ 13 400 D ð160, 40Þ C ¼ 50 160 þ 60 40 ¼ 10 400 Dalla tabella si vede che il minimo costo viene raggiunto in corrispondenza del vertice D (160, 40). 164 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA È importante fare alcune osservazioni. a. Nei due problemi precedenti abbiamo trattato le variabili come se fossero continue e abbiamo trovato un ottimo corrispondente a un vertice di coordinate intere (quindi accettabile in relazione al problema originario che era in realtà discreto). Come occorre procedere nel caso in cui ciò non accada, ovvero qualora il problema sia discreto e nel corrispondente problema continuo l’ottimo viene raggiunto in un punto a coordinate non intere? Una prima idea che potrebbe venire spontanea potrebbe essere di arrotondare a un numero intero le coordinate dell’ottimo nel continuo: ma cosı̀ facendo potremmo ottenere un punto non appartenente alla regione ammissibile, quindi da scartare (per esempio, nel caso rappresentato in fig. 4.7 la regione ammissibile del problema discreto risulta costituita dai punti colorati in rosso e la regione ammissibile del corrispondente problema continuo è il quadrilatero colorato in azzurro: arrotondando le coordinate del punto che realizza il massimo nel continuo a un numero intero si otterrebbe il punto di coordinate (2, 5) che non appartiene alla regione ammissibile). Un’altra idea potrebbe essere quella di considerare il punto a coordinate intere, appartenente alla regione ammissibile, più vicino possibile al punto che realizza l’ottimo nel caso continuo; talvolta questa idea funziona (come in fig. 4.7) ma in altri casi procedendo in questo modo si giungerebbe a un risultato scorretto: per esempio, nel caso in fig. 4.8, il punto a coordinate intere appartenente alla regione ammissibile più vicino a quello che realizza l’ottimo nel continuo è (2, 4) e tuttavia tale punto risulta molto lontano dalla soluzione ottima nel caso discreto, che corrisponde invece al punto di coordinate (5, 0)! Come puoi intuire da questi esempi, passando dal continuo al discreto piccole variazioni possono fare «saltare» l’ottimo da un vertice all’altro, talvolta lontano da quello che realizza l’ottimo nel caso continuo; pertanto, di fronte a un problema di programmazione lineare discreto, ogni qualvolta il corrispondente problema continuo fornisce un ottimo a coordinate non intere, occorre esaminare con particolare attenzione la situazione per stabilire dove cade l’ottimo. punto di massimo nel caso continuo punto di massimo nel caso discreto y 5 punto di massimo nel caso continuo y 5 4 4 3 3 2 2 punto di massimo nel caso discreto verso di crescita 1 Programmazione lineare La soluzione ottenuta è accettabile perché le coordinate di D sono intere. Per minimizzare il costo, occorre inviare 160 auto al magazzino A e 40 al magazzino B. Il costo minimo è uguale a 10 400 euro. Unità 4 RISPONDIAMO 1 verso di crescita O 1 Figura 4.7 2 3 4 5 x O 1 2 3 4 5 x Figura 4.8 b. In generale non è detto che la soluzione di un problema di programmazione lineare esista e sia unica (come per esempio nel caso illustrato in fig. 4.9); potrebbe accadere che esistano infiniti punti di massimo o di minimo (fig. 4.10) oppure succedere che non esista il massimo o il minimo della funzione obiettivo (fig. 4.11). 165 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA y 4 y verso di crescita max y max 4 2 2 2 Tema B mi nim i O 4 x 2 min 4 O 2 verso di crescita 4 x O 2 verso di crescita min 4 x Figura 4.9 La funzione obiettivo Figura 4.10 La retta base è parallela a Figura 4.11 La regione ammissibile è ammette un unico punto di massimo e un unico punto di minimo. uno dei lati del pentagono che costituisce la regione ammissibile. Questo fa sı̀ che la funzione obiettivo ammetta infiniti punti di minimo (tutti quelli appartenenti al lato colorato in rosso del pentagono) e un unico punto di massimo. illimitata. Questo fa sı̀ che, in questo caso, la funzione obiettivo ammetta un unico punto di minimo, mentre non ammette punti di massimo. Prova tu ESERCIZI a p. 176 Una ditta produce due tipi di oggetti: A e B. La produzione di un oggetto del tipo A necessita di 6 unità di materia prima e di un tempo di lavoro di 20 minuti. La produzione di un oggetto del tipo B necessita di 10 unità di materia prima e di un tempo di lavoro di 10 minuti. Per ogni ciclo di produzione la ditta ha a disposizione al massimo 108 unità di materia prima e un tempo di lavoro di al massimo 3 ore e 40 minuti. Sapendo che ogni oggetto del tipo A fornisce un profitto di 15 euro, mentre ogni oggetto del tipo B fornisce un profitto di 20 euro, stabilisci quanti oggetti del tipo A e quanti del tipo B bisogna produrre in ogni ciclo di lavorazione per ottenere il massimo profitto. [8 oggetti del tipo A e 6 del tipo B] 3. Problemi di programmazione lineare in più incognite riconducibili a due On-line puoi trovare un approfondimento riguardo a un metodo più generale per affrontare problemi di programmazione lineare in un numero qualsiasi di incognite: il metodo del simplesso. Nel paragrafo precedente ci siamo occupati di problemi di programmazione lineare in due incognite. Vediamo ora alcuni esempi di problemi che apparentemente dipendono da più di due incognite, ma in realtà sono riconducibili a problemi a due incognite. ESEMPIO Determiniamo il minimo e il massimo assoluti della funzione z ¼ x1 þ 2x2 x3 , soggetta ai seguenti vincoli: 8 2x1 þ x2 x3 ¼ 0 > > > < x þ 3x 6 1 2 > 2x þ x 2 3 12 > > : x1 0, x2 0, x3 0 Schema logico La funzione obiettivo, di cui si cercano il massimo e il minimo, dipende in questo caso da tre variabili: x1 , x2 , x3 . Tuttavia, tra i vincoli non sono presenti soltanto disequazioni ma anche un’equazione. Risolvendo tale equazione per esempio rispetto a x3 possiamo ottenere un’espressione che esprime x3 in funzione di x1 e x2 ; possiamo poi sostituire l’espressione trovata di x3 nella funzione obiettivo e nei vincoli, riconducendo cosı̀ il problema a uno nelle sole variabili x1 e x2 . 166 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Nel caso specifico, risolvendo rispetto a x3 l’equazione che compare nei vincoli, otteniamo: Sostituendo questa espressione nell’equazione della funzione obiettivo otteniamo: z ¼ x1 þ 2x2 ð2x1 þ x2 Þ ¼ x2 x1 Sostituendo invece l’equazione x3 ¼ 2x1 þ x2 nei vincoli otteniamo il seguente sistema di disequazioni: 8 8 x1 þ 3x2 6 > > þ 3x 6 x > > 1 2 < < 2x1 þ 3x2 12 2x2 þ ð2x1 þ x2 Þ 12 ) > > 2x1 þ x2 0 > : > x1 0, x2 0, 2x1 þ x2 0 : x1 0, x2 0 Programmazione lineare x3 ¼ 2x1 þ x2 Unità 4 Riconduzione del problema dato a un problema in due incognite Il problema è quindi ricondotto al seguente: «determinare il massimo e il mi8 x1 þ 3x2 6 > > > < 2x þ 3x 12 1 2 ». nimo della funzione z ¼ x2 x1 soggetta ai vincoli > 2x þ x 0 1 2 > > : x1 0, x2 0 Risoluzione del problema in due incognite e risposta al problema originario La regione ammissibile risulta il triangolo rappresentato in figura; calcolando il valore della funzione obiettivo in corrispondenza dei vertici del triangolo si ottiene che la funzione è massima in corrispondenza del punto di coordinate (0, 4) e minima in corrispondenza del punto di coordinate (6, 0). y 4 max verso di crescita 2 min O 2 4 6 x Ricordando che x3 ¼ 2x1 þ x2 , possiamo concludere che la funzione originaria assume valore massimo in corrispondenza del punto di coordinate (0, 4, 4) e minimo in corrispondenza del punto di coordinate (6, 0, 12). Il ragionamento condotto nell’esempio precedente può essere generalizzato: ogni qualvolta la funzione obiettivo dipende da n variabili e tra i vincoli compaiono ðn 2Þ equazioni tra loro indipendenti, il problema di ricerca dell’ottimo della funzione obiettivo può essere ricondotto a un problema in due variabili. Applichiamo ora questo procedimento a un problema tipico della programmazione lineare, quello dei trasporti: abbiamo n punti di origine (per esempio fabbriche di produzione ) e da essi dobbiamo inviare della merce a m punti di destinazione (per esempio magazzini o centri di distribuzione). Supponendo che la quantità che parte dai punti di origine sia uguale a quella che arriva ai punti di destinazione e che siano noti i costi di trasporto nelle varie tratte, si vuole stabilire le quantità che conviene trasportare da ciascun punto origine a ciascun punto di destinazione, in modo da minimizzare il costo complessivo. 167 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA PROBLEMA 3 Minimizzare i costi di trasporto Un’azienda produce televisori in due diverse fabbriche, che indichiamo con F1 ed F2 , e li trasporta settimanalmente in tre centri di distribuzione C1 , C2 , C3 . La fabbrica F1 produce ogni settimana 1200 televisori e la fabbrica F2 ne produce 1800. Le richieste settimanali dei tre centri di distribuzione C1 , C2 , C3 sono rispettivamente di 800, 1200 e 1000 televisori. I costi (in euro) per il trasporto di un televisore da ciascuna fabbrica a ciascun centro di distribuzione sono quelli riportati in tabella. Costi di trasporto C1 C2 C3 F1 7 8 5 F2 4 4 6 Determinare quanti televisori conviene trasportare da ciascuna fabbrica a ciascun centro di distribuzione per minimizzare il costo di trasporto complessivo. DATI E OBIETTIVO Dati Produzione delle fabbriche e richieste dei centri di distribuzione (a settimana) F1 1200 C1 C2 C3 F2 1800 800 1200 1000 Costi di trasporto dalle fabbriche ai centri di distribuzione C1 C2 C3 F1 7 8 5 F2 4 4 6 Obiettivo Determinare le quantità che minimizzano i costi di trasporto. FORMALIZZAZIONE DEL PROBLEMA CON 6 INCOGNITE Il problema presenta apparentemente 6 incognite: le tre quantità x1 , x2 , x3 da trasportare dalla fabbrica F1 ai tre centri di distribuzione C1 , C2 , C3 e le tre quantità y1 , y2 , y3 da trasportare dalla fabbrica F2 ai tre centri di distribuzione C1 , C2 , C3 . Abbiamo però 5 vincoli, provenienti dai dati ed espressi nei totali riportati in tabella. Quantità trasportate C1 C2 C3 Totale F1 x1 x2 x3 1200 F2 y1 y2 y3 1800 Totale 800 1200 1000 3000 La formalizzazione del problema è dunque la seguente: trovare il minimo della funzione z ¼ 7x1 þ 8x2 þ 5x3 þ 4y1 þ 4y2 þ 6y3 costo totale per il trasporto dei televisori dalle fabbriche ai centri di distribuzione soggetta ai vincoli: 8 x1 þ y1 ¼ 800 > > > > > x2 þ y2 ¼ 1200 > > > > > > < x3 þ y3 ¼ 1000 x1 þ x2 þ x3 ¼ 1200 > > > > y1 þ y2 þ y3 ¼ 1800 > > > > > x 1 0, x2 , x3 0 > > : y1 0, y2 , y3 0 168 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P [4.4] Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Quantità trasportate C1 C2 C3 Totale F1 x1 x2 1200 ðx1 þ x2 Þ 1200 F2 800 x1 1200 x2 1000 ½1200 ðx1 þ x2 Þ 1800 Totale 800 1200 1000 3000 Programmazione lineare Osserviamo che le prime quattro equazioni del sistema [4.4] sono indipendenti, mentre la quinta si può ottenere come combinazione lineare delle precedenti (basta sottrarre dalla somma delle prime tre la quarta): il problema in esame dipende quindi da sei incognite ma possiede quattro vincoli indipendenti espressi sotto forma di equazioni. Possiamo perciò ricondurci a un problema in due incognite, per esempio x1 e x2 , utilizzando i totali in tabella per esprimere tutte le altre incognite in funzione di x1 e x2 : Unità 4 RICONDUZIONE DEL PROBLEMA A 2 INCOGNITE Il problema si riconduce allora a quello di trovare il minimo della funzione: z ¼ 7x1 þ 8x2 þ 5ð1200 x1 x2 Þ þ 4ð800 x1 Þ þ 4ð1200 x2 Þ þ 6ðx1 þ x2 200Þ x3 ossia: y1 y2 y3 z ¼ 4x1 þ 5x2 þ 12 800 soggetta ai vincoli che scaturiscono da quelli di segno (espressi in funzione di x1 e x2 Þ: 8 x1 0 > > > > > > x2 0 > > > < 1200 x x 0 x3 0 1 2 > 800 x 0 y1 0 1 > > > > > y2 0 > 1200 x2 0 > > : x1 þ x2 200 0 y3 0 DETERMINAZIONE DEL MINIMO La regione ammissibile è il pentagono ABCDE in figura; calcolando i valori della funzione obiettivo in corrispondenza dei vertici del pentagono si trova che il minimo si ottiene in corrispondenza del vertice Bð200, 0Þ. x2 1200 E 1000 800 600 D 400 200 A B O min 200 400 600 C 800 x 1 Sostituendo nell’ultima tabella i valori di x1 e x2 che corrispondono al minimo, ossia x1 ¼ 200 e x2 ¼ 0, otteniamo infine la seguente configurazione: Quantità trasportate C1 C2 C3 Totale F1 x1 ¼ 200 x2 ¼ 0 1200 ðx1 þ x2 Þ ¼ ¼ 1200 ð200 þ 0Þ ¼ 1000 1200 F2 800 x1 ¼ ¼ 800 200 ¼ 600 1200 x2 ¼ ¼ 1200 0 ¼ 1200 1000 ½1200 ðx1 þ x2 Þ ¼ ¼ 1000 ½1200 ð200 þ 0Þ ¼ 0 1800 Totale 800 1200 1000 3000 169 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA RISPOSTA Ogni settimana devono essere trasportati dalla fabbrica F1 ai centri di distribuzione C1 , C2 , C3 rispettivamente 200, 0, 1000 televisori e dalla fabbrica F2 ai centri di distribuzione C1 , C2 , C3 rispettivamente 600, 1200, 0 televisori. Prova tu ESERCIZI a p. 181 Determina il minimo e il massimo della funzione z ¼ 6x1 3x2 þ 2x3 þ 9, soggetta ai vincoli: 8 2x1 þ 3x2 x3 10 > > > < x þ 2x 11 1 3 69 11 7 > þ x 3x 2 3 ¼9 > > in 4, , ; min ¼ 0 in ð0, 3, 0Þ Max ¼ : 2 6 2 x1 0, x2 0, x3 0 MATEMATICA NELLA REALTÀ Problemi di programmazione lineare Dalla storia I laboratori Bell, negli USA, sono stati una fucina continua di idee e invenzioni per tutto il ventesimo secolo. Molte delle scoperte che hanno permesso la realizzazione delle moderne tecnologie (radio, televisori, computer, lettori di CD, telefoni cellulari, ecc.), sono state fatte proprio ai laboratori Bell. 170 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P La programmazione lineare è un settore della matematica relativamente recente, che ha avuto origine in seguito a problemi di natura tecnica emersi durante la seconda guerra mondiale. Dopo le prime applicazioni belliche, i primi a utilizzare metodi di programmazione lineare furono le raffinerie di petrolio. Oggi metodi di programmazione lineare vengono utilizzati da svariati tipi di industrie e anche da compagnie aeree e telefoniche. I problemi che, nella realtà, vengono risolti con metodi di programmazione lineare sono ben più complessi dei «modelli giocattolo» che abbiamo considerato in questo paragrafo: nella pratica ci si può imbattere in problemi di programmazione che coinvolgono migliaia di variabili e di vincoli. La soluzione di problemi cosı̀ complessi è oggi possibile grazie ai computer e allo sviluppo di efficienti algoritmi: il più utilizzato nell’ambito della programmazione lineare è il cosiddetto metodo del simplesso, ideato negli anni quaranta da George Dantzig, Leonid Kantorovich e Tjalling Koopmans, per il quale gli ultimi due hanno ottenuto, nel 1975, il premio nobel per l’economia. Il metodo del simplesso, per la sua efficienza pratica, è divenuto uno degli algoritmi più usati nella storia della matematica applicata. Nel 1984, Narendera Karmarkar, un matematico dei Laboratori Bell, scoprı̀ un algoritmo alternativo al metodo del simplesso, in molti casi più veloce. Il nuovo metodo fu applicato dagli scienziati dei laboratori Bell a un problema che non aveva precedenti in quanto a complessità: decidere quale fosse il metodo più economico di instradare telefonate nell’immensa rete telefonica degli Stati Uniti: un problema difficilissimo da risolvere, ma estremamente «appetibile», in quanto riuscire a trovare soluzioni ottimali per instradare le telefonate, poteva far risparmiare centinaia di milioni di dollari! Lavorando a questo problema, gli scienziati furono condotti a un problema di programmazione lineare con circa 800 000 variabili, che i computer risolsero, utilizzando l’algoritmo di Karmarkar, in 10 ore di ore di lavoro (si stima che il metodo del simplesso avrebbe impiegato, invece, svariate settimane). Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Esercizi In più: esercizi interattivi 4 Unità Unità 4 SINTESI ax þ by þ c > 0 o ax þ by þ c < 0 sono rappresentate nel piano cartesiano da semipiani aperti (semipiani, cioè, che non includono la retta che costituisce la frontiera del semipiano); le disequazioni lineari in due incognite della forma: ax þ by þ c 0 o ax þ by þ c 0 sono rappresentate nel piano cartesiano da semipiani chiusi (semipiani, cioè, che includono la retta che costituisce la frontiera del semipiano). Programmazione lineare Disequazioni lineari in due incognite e sistemi di disequazioni lineari in due incognite 1. Le disequazioni lineari in due incognite della forma: 2. I sistemi di disequazioni lineari in due incognite (escludendo i casi di sistemi impossibili o sempre verificati) sono rappresentati da angoli, strisce, poligoni o, in generale, figure convesse. Ricerca dell’ottimo in un problema di programmazione lineare La regione ammissibile di ogni problema di programmazione lineare è convessa e l’ottimo (massimo o minimo), se esiste, viene raggiunto in corrispondenza di uno dei vertici della regione ammissibile. Schema logico per la risoluzione di un problema di programmazione lineare 1. identificare i dati sulle risorse (che può essere utile riassumere in una tabella) e i vincoli; 2. scegliere le incognite; 3. scrivere l’equazione della funzione obiettivo, da rendere massima o minima; 4. tradurre i vincoli cui sono sottoposte le incognite in un sistema di disequazioni (ed eventualmente equazioni); 5. rappresentare la regione ammissibile, costituita dalle soluzioni del sistema che traduce i vincoli, determinandone in particolare i vertici; 6. ricercare in corrispondenza di quale vertice della regione ammissibile si ottiene l’ottimo; 7. valutare l’accettabilità delle soluzioni e rispondere al problema. Problemi di programmazione lineare in più di due incognite, riconducibili in problemi a due incognite Un problema di programmazione lineare in n incognite può essere ricondotto a un problema in 2 incognite ogni qualvolta tra i vincoli compaiono ðn 2Þ equazioni tra loro indipendenti. CONOSCENZE E ABILITÀ 1. Richiami su disequazioni e sistemi di disequazioni lineari in due incognite TEORIA a p. 157 Dalla rappresentazione analitica al grafico 1 Þ ESERCIZIO GUIDATO Rappresenta nel piano cartesiano i semipiani definiti dalle seguenti disequazioni: a. y > 2 b. x 0 c. y > x 1 d. y 1 2x a. La disequazione y > 2 definisce il semipiano formato dai punti aventi ordinata maggiore di 2, cioè il semipiano «al di sopra» della retta di equazione y ¼ 2. Rappresenta graficamente tale semipiano nella fig. a. Attenzione alla frontiera: va disegnata con una linea continua o tratteggiata? b. La disequazione x 0 definisce il semipiano chiuso «a sinistra» dell’asse y. Rappresenta graficamente tale semipiano nella fig. b: la frontiera va disegnata con una linea continua o tratteggiata? 171 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P c. Il semipiano definito dalla disequazione y > x 1 è quello «al di sopra» della retta di equazione y ¼ x 1, esclusi i punti della retta stessa. Rappresenta la retta e il semipiano nella fig. c: la frontiera del semipiano va disegnata con una linea continua o tratteggiata? d. Il semipiano definito dalla disequazione y 1 2x è quello «al di sotto» della retta di equazione y ¼ 1 2x, inclusi i punti della retta stessa. Rappresenta la retta e il semipiano nella fig. d: la frontiera del semipiano va disegnata con una linea continua o tratteggiata? Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA y O y O O x Figura a y y O x x Figura b Figura c x Figura d Rappresenta nel piano cartesiano i semipiani definiti dalle seguenti disequazioni. 2 Þ y>x 10 Þ x>3 3 Þ y xþ1 11 Þ y> 4 Þ y0 5 Þ y > 2x 3 12 Þ y < 2x þ 2 6 Þ y > x þ 1 13 Þ y < x 7 Þ y<1 14 Þ y > 2x 8 Þ y 15 Þ y xþ2 9 Þ x1 16 Þ y 17 Þ ESERCIZIO GUIDATO 1 xþ2 2 3 x1 2 1 xþ1 3 Rappresenta il semipiano definito dalla disequazione: y x 2y 3 0 Per rappresentare il semipiano definito dalla disequazione x 2y 3 0, risolvi anzitutto la disequazione rispetto a y: O x 2y 3 0 ) 2y x þ 3 ) y :::::::::: Ne segue che il semipiano definito dalla disequazione x 2y 3 0 è quello «al di sopra» della retta di equazione y ¼ :::::::::::::::, inclusa la retta stessa. Rappresenta il semipiano nella figura qui a fianco, dove è già stata disegnata la frontiera. Rappresenta i semipiani definiti dalle seguenti disequazioni. 18 Þ xy10 22 Þ xþy >0 19 Þ xþ2<0 23 Þ x 2y 0 20 Þ xy <0 24 Þ 2x y 2 < 0 21 Þ 2x y 4 0 25 Þ 6 2y < 0 172 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P x Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 2x þ 4 0 3x y 1 < 0 xþyþ10 x 2y 4 0 9 6y < 0 2x y > 0 4x 2y 6 > 0 2x þ y 0 3x 2y 4 0 4x þ 2y 6 > 0 Caccia all’errore. Barbara deve risolvere il seguente esercizio: «Rappresentare graficamente il semipiano definito dalla disequazione 2x y 1 < 0». La sua soluzione è la seguente: «Traccio il grafico della retta di equazione 2x y 1 ¼ 0. Poiché nella disequazione 2x y 1 < 0 compare il simbolo «<», il semipiano definito dalla disequazione 2x y 1 < 0 è quello al di sotto della retta, cioè quello colorato in figura». 36 Þ Programmazione lineare 31 Þ 32 Þ 33 Þ 34 Þ 35 Þ Unità 4 26 Þ 27 Þ 28 Þ 29 Þ 30 Þ y O x Quale errore ha commesso Barbara? Come puoi convincerla del fatto che il suo ragionamento non è corretto? Qual è il semipiano definito dalla disequazione? 37 Þ ESERCIZIO GUIDATO Rappresenta graficamente la regione di piano definita dal seguente sistema: ( 2x y þ 1 0 xþy10 Devi anzitutto rappresentare il semipiano definito dalla disequazione 2x y þ 1 0: rappresenta tale semipiano nella fig. a, dove è già stata disegnata la frontiera del semipiano. Rappresenta poi, in fig. b, il semipiano definito dalla seconda disequazione del sistema, cioè da x þ y 1 0. La regione definita dal sistema è l’intersezione dei due semipiani in fig. a e in fig. b: rappresenta tale regione nella fig. c: otterrai un angolo. y y y x+y–1=0 O x O 2x – y + 1 = 0 Figura a x+y–1=0 x O x 2x – y + 1 = 0 Figura b Figura c Rappresenta graficamente le regioni di piano definite dai seguenti sistemi. 8 ( > < x 1 y>x 38 Þ 39 Þ >y 2 y x : y x3 173 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA ( 40 Þ 8 > y xþ1 > < 45 y x þ 3 Þ > > : y 2x y x þ 1 2x y þ 4 < 0 8 > x>0 > < y>x 41 Þ > > : y < 3 2x 8 > y > 2x þ 1 > < yþx<0 46 Þ > > : y > 2 2x 8 > x þ 3y > 0 > < 42 y > 2x Þ > > :y < x þ 3 8 > y > > > > <y 47 Þ > y > > > > :y 8 > xþ1>0 > < 2y 4 < 0 43 Þ > > :y 4 x ( 44 Þ 1 2 <xþ3 < x þ 4 8 y0 > > > < y <xþ3 48 Þ > y 2x 6 > > : 3x þ 2y 16 < 0 xyþ10 xyþ30 Un sistema di disequazioni lineari in due incognite può avere una sola soluzione? Giustifica la tua risposta e, in caso affermativo, esibisci un esempio. 49 Þ Dal grafico alla rappresentazione analitica 50 Þ ESERCIZIO SVOLTO Scriviamo la disequazione che rappresenta il semipiano colorato. Dobbiamo anzitutto determinare l’equazione della retta che costituisce la frontiera del semipiano. Possiamo notare, per esempio, che si tratta della retta, parallela alla bisettrice del primo e del terzo quadrante, che taglia l’asse y nel punto di coordinate ð0, 2Þ: quindi la sua equazione è y ¼ x 2. Osserviamo poi che: il semipiano colorato è quello al di sopra della frontiera; si tratta di un semipiano aperto (la frontiera è tratteggiata e quindi non è inclusa). y x 2 O –2 Concludiamo che la disequazione che rappresenta il semipiano è: y>x2 51 Þ Scrivi le disequazioni che rappresentano i semipiani colorati nelle seguenti figure. y y y 3 2 1 O 2 x O x O –3 a. 174 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P b. c. 3 x Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Unità 4 52 Þ Scrivi le disequazioni che rappresentano i semipiani colorati nelle seguenti figure. y y y 1 –2 x O x –1 O 2 O x –2 a. b. c. Programmazione lineare 3 Traccia la retta r, passante per Að2, 0Þ e per Bð0, 1Þ. Scrivi la disequazione che rappresenta il semipiano aperto «al di sotto» della retta r. 53 Þ Traccia la retta r, passante per Að1, 0Þ e per Bð0, 3Þ. Scrivi la disequazione che rappresenta il semipiano chiuso «al di sopra» della retta r. 54 Þ 55 Þ ESERCIZIO SVOLTO Rappresentiamo analiticamente il triangolo disegnato nella figura qui sotto. y B (6, 0) x O A (0, – 6) I punti del triangolo non sono altro che i punti del quarto quadrante, appartenenti al semipiano al di sopra della retta AB. Si ricava facilmente che l’equazione della retta AB è y ¼ x 6. Quindi il triangolo è rappresentato analiticamente dal seguente sistema: 8 > <x 0 y0 > : y x6 Rappresenta analiticamente le regioni di piano colorate nelle seguenti figure (nell’ultima figura le rette disegnate sono parallele). 56 Þ y y y A (1, 3) 3 P (2, 2) O O x O B (3, – 1) a. x x b. C (5, – 1) c. –5 175 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Rappresenta analiticamente le regioni di piano colorate nelle seguenti figure (nell’ultima figura il punto vuoto indica che P non appartiene alla regione). 57 Þ y y y A (0, 4) B (3, 3) A (– 5, 3) 1 Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA x O x O D (– 4, 0) O B (4, 0) x P (2, 0) –1 C (0, – 4) C (3, – 5) a. b. c. Rappresenta analiticamente il rettangolo ABCD di vertici Að2, 1Þ, Bð3, 1Þ, Cð3, 1Þ, Dð2, 1Þ, esclusi i lati. 58 Þ y 5 Rappresenta analiticamente il trapezio ABCD di vertici Að1, 1Þ, Bð2, 1Þ, Cð3, 1Þ, Dð2, 1Þ, compresi i lati. 4 59 Þ A (– 3, 2) 6 60 Le rette AB, BC e AC, disegnate nella figura qui a fianco, diviÞ B (3, 0) 7 O dono il piano in 7 regioni chiuse. Per ciascuna regione, scrivi una sua rappresentazione analitica, tramite un opportuno sistema di disequazioni. 3 x C (– 2, – 2) 2 1 2. Problemi di programmazione lineare in due incognite TEORIA a p. 161 Esercizi preliminari Determina il massimo della funzione z ¼ 3x þ y sulla regione ammissibile rappresentata in figura. 61 Þ 62 Determina il massimo della funzione z ¼ 4x þ 5y Þ sulla regione ammissibile rappresentata in figura. y y 3 4 (0, 3) 1 2 (0, 1) 1 (2, 0) O 1 (3, 3) 3 (3, 2) 2 (0, 4) 2 3 (4, 0) 4 x (0, 0) x O [Max ¼ 11 in (3, 2)] 1 2 3 [Max ¼ 27 in (3, 3)] 8 < 3x þ y 18 63 Determina il massimo di ciascuna delle seguenti funzioni, soggette ai vincoli 4x þ 3y 27 : Þ : x 0, y 0 a. z ¼ 2x þ 3y b. z ¼ 3x þ 2y 176 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P a. Max ¼ 27 in (0, 9); b. max ¼ 99 in 5 27 9 , 5 5 Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 65 Þ ESERCIZIO GUIDATO Una ditta produce due composti chimici X e Y. La produzione di 1 unità del composto X richiede un tempo di lavorazione di 30 minuti e di 8 unità di materia prima, la produzione di 1 unità del composto Y richiede un tempo di lavorazione di 20 minuti e 10 unità di materia prima. Giornalmente la ditta può disporre di 1500 unità di materia prima e di 60 ore di tempo di lavoro. Inoltre la vendita di 1 unità del composto X realizza un utile di 20 euro e la vendita di 1 unità del composto Y realizza un utile di 15 euro. Trova la produzione giornaliera che garantisce il massimo utile. Programmazione lineare Problemi di programmazione lineare Unità 4 8 < 2x þ y 10 64 Determina il massimo di ciascuna delle seguenti funzioni, soggette ai vincoli 3x þ 5y 22 : Þ : x 0, y 0 a. z ¼ 5x þ 6y b. z ¼ x þ 5y 22 a. Max ¼ 32 in (4, 2); b. max ¼ 22 in 0, 5 Individua i dati e l’obiettivo. Indica con x le unità del composto X e con y le unità del composto Y da produrre in un giorno. I vincoli a cui sono sottoposti x e y sono i seguenti: 8 < x 0, y 0 8x þ 10y :::::::::: [*] : 30x þ 20y :::::::::: y La funzione obiettivo, da rendere massima, è: 160 U ¼ 20x þ 15y Disegna nella figura qui a fianco la regione ammissibile, cioè la regione rappresentata dal sistema [*]: otterrai un quadrilatero con un vertice nell’origine. Determina le coordinate dei vertici del quadrilatero e completa poi la tabella sotto, determinando i valori della funzione U in corrispondenza delle coordinate dei vertici di tale quadrilatero. 140 120 100 80 60 Vertice Utile (x, y) (0, 0) (....., .....) (....., .....) (....., .....) U U U U U ¼ 20x þ 15y ¼ 20 0 þ 15 0 ¼ 0 ¼ 20 ::::: þ 15 ::::: ¼ ::::: ¼ 20 ::::: þ 15 ::::: ¼ ::::: ¼ 20 ::::: þ 15 ::::: ¼ ::::: 40 20 O 20 40 60 80 100 120 140 160 x Rispondi: il massimo utile si ottiene in corrispondenza del programma di produzione che prevede, giornalmente, la produzione di .............................. Un pasto per certi animali deve prevedere almeno 34 g di proteine e 20 g di grassi. Questi elementi nutritivi provengono da un cibo A, che, per ogni unità, costa 16 centesimi e fornisce 2 g di proteine e 4 g di grassi, e da un cibo B che, per ogni unità, costa 10 centesimi e fornisce 7 g di proteine e 2 g di grassi. Per quanto riguarda il cibo B, non è possibile acquistarne meno di 2 unità. Quante unità di cibo A e di cibo B occorre acquistare per poter servire un pasto che segua i criteri elencati e che costi il meno possibile? [3 unità del cibo A e 4 del cibo B] 66 Þ In un ufficio si devono comprare nuovi armadi. La scelta è fra armadi del tipo A e armadi del tipo B. Gli armadi del tipo A costano 45 euro ciascuno, occupano 6 m2 di pavimento e hanno un volume di 30 m3 . Gli armadi del tipo B costano 120 euro ciascuno, occupano 8 m2 di pavimento e hanno un volume di 45 m3 . Per l’acquisto degli armadi si hanno a disposizione al massimo 720 euro; inoltre, non si vogliono occupare più di 72 m2 di pavimento. Quanti armadi di ciascun tipo si devono comprare, per massimizzare il loro volume complessivo, rispettando i limiti di budget e di spazio imposti? [8 armadi del tipo A e 3 del tipo B] 67 Þ 177 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Una ditta produce due tipi di tessuti A e B. La produzione di 1 m del tessuto A necessita di 5 unità di materia prima e di un tempo di lavoro di 30 minuti. La produzione di 1 m del tessuto B necessita di 10 unità di materia prima e di un tempo di lavorazione di 10 minuti. Per ogni ciclo di produzione la ditta ha a disposizione 70 unità di materia prima e un tempo di lavoro di 3 ore e 20 minuti. Sapendo che ogni metro del tessuto A fornisce un profitto di 20 euro, mentre ogni metro del tessuto B fornisce un profitto di 30 euro, stabilisci quanti metri del tessuto A e quanti metri del tessuto B bisogna produrre in ogni ciclo di lavorazione per ottenere il massimo profitto. [5,2 m del tessuto A e 4,4 m del tessuto B] 68 Þ Il signor Rossi deve assumere ogni giorno compresse contenenti vitamina C e zinco nelle seguenti quantità: – vitamina C: almeno 400 unità al giorno, ma non più di 800; – zinco: almeno 16 unità al giorno, ma non più di 60. In commercio esistono due tipi di compresse: – tipo A, che contiene 100 unità di vitamina C e 6 unità di zinco, e che costa 50 centesimi per ogni compressa; – tipo B, che contiene 200 unità di vitamina C e 4 unità di zinco e che costa 1 euro per ogni compressa. Il medico del signor Rossi vuole prescrivere la miglior combinazione possibile di compresse, in modo da soddisfare i vincoli indicati e minimizzare la spesa relativa all’acquisto delle compresse. Quale combinazione deve prescrivere? [Può prescrivere, indifferentemente, o 2 compresse del tipo A e 1 del tipo B al giorno oppure 4 compresse del tipo A al giorno] 69 Þ Si vuole costruire una dieta costituita di 2 alimenti A e B. L’alimento A fornisce, ogni 100 g di prodotto, 400 calorie e 20 g di proteine. L’alimento B fornisce, ogni 100 g di prodotto, 200 calorie e 30 g di proteine. L’alimento A costa 25 euro al kilogrammo e l’alimento B costa 10 euro al kilogrammo. Si vuole che la dieta fornisca almeno 1 500 calorie al giorno e non più di 80 g di proteine. Stabilisci come deve essere impostata la dieta per minimizzare i costi. [362,5 g del cibo A e 25 g del cibo B] 70 Þ Una casa automobilistica deve inviare almeno 200 auto in due magazzini, A e B. Il magazzino A può ricevere al massimo 160 auto e il magazzino B al massimo 110. Il trasporto di un’auto al magazzino A costa 60 euro e il trasporto al magazzino B costa 50 euro. Inoltre, per inviare un’auto al magazzino A è sufficiente 1 operaio, mentre per inviare un’auto al magazzino B sono necessari 2 operai. Complessivamente, l’invio dell’auto ai due magazzini, non deve richiedere più di 340 operai. Quante auto devono essere mandate a ciascun magazzino per minimizzare i costi? Qual è il costo minimo? [90 al magazzino A e 110 al magazzino B] 71 Þ Un’industria produce dei portamonete di due tipi: il modello A e il modello B. Per produrre un portamonete di tipo A si impiegano 24 minuti di lavoro manuale e 40 cm2 di pelle; per produrre un portamonete del tipo B invece sono necessari 30 minuti di lavoro manuale e 20 cm2 di pelle. Sapendo che l’industria dispone settimanalmente al massimo di 300 ore di lavoro manuale e al massimo di 16 800 cm2 di pelle per la confezione dei due tipi di portamonete, individua la combinazione produttiva settimanale che le consente di realizzare il massimo ricavo, tenendo conto che ogni portamonete del primo tipo viene venduto a 20 euro e ogni portamonete dell’altro tipo viene venduto a 15 euro. Calcola inoltre a quanto ammonta il ricavo massimo. [200 portamonete del tipo A e 440 del tipo B; ricavo massimo ¼ 10 600 euro] 72 Þ Una ditta di confezioni vuole programmare la produzione di gonne di due differenti modelli. Per una gonna del primo modello si è calcolato di impiegare 40 minuti di lavoro manuale e 10 minuti di lavoro alla macchina; per il secondo modello ogni gonna richiederà 20 minuti di lavoro manuale e 15 minuti di lavoro alla macchina. La ditta dispone al massimo di 300 ore di lavoro manuale e al massimo di 150 ore di lavoro alla macchina. Dalla vendita di una gonna del primo modello si otterrà un utile di 30 euro, mentre per una gonna del secondo modello l’utile sarà di 40 euro. Determina quante gonne dei due tipi bisogna confezionare per ottenere l’utile massimo e a quanto ammonta tale utile massimo. [225 gonne del primo modello e 450 del secondo; utile massimo ¼ 24 750 euro] 73 Þ Per produrre due tipi di statuine si hanno a disposizione al massimo 450 kg di resina sintetica e al massimo 1000 ore di lavoro. Una statuina del primo tipo richiede 1 kg di resina sintetica e 2 ore di lavoro; una statuina del secondo tipo richiede invece 0,75 kg di resina sintetica e 2,5 ore di lavoro. Ogni statuina del primo tipo è venduta a 60 euro, ogni statuina dell’altro tipo è venduta a 40 euro. Inoltre il numero delle statuine del primo tipo non deve essere inferiore al numero delle statuine dell’altro tipo. Quante statuine dei due tipi bisogna produrre per rendere il ricavo massimo? Quanto vale il massimo ricavo? [450 statuine del primo tipo e 0 del secondo; massimo ricavo ¼ 27 000 euro] 74 Þ 178 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Programmazione lineare Una ditta di forniture scolastiche produce due tipi di sussidi didattici. Per produrli sono necessarie due fasi di lavorazione: la prima fase verrà indicata con A e la seconda fase con B. Per produrre il primo tipo di sussidio didattico sono necessarie 2 ore per la fase A e 4 ore per la fase B, per produrre il secondo tipo di sussidio sono invece necessarie 3 ore per la fase A e 3 ore per la fase B. Ogni settimana si hanno a disposizione al massimo 300 ore di lavoro per la fase di lavorazione A e al massimo 450 ore per la fase di lavorazione B. Inoltre il numero di sussidi didattici del secondo tipo non deve essere superiore al doppio nel numero di sussidi didattici del primo tipo. Se il primo tipo di sussidio didattico è venduto a 15 euro e il secondo è venduto a 20 euro, qual è la combinazione produttiva settimanale che fornisce il massimo ricavo, e quanto vale tale ricavo massimo? [75 sussidi del primo tipo, 50 del secondo; ricavo massimo ¼ 2125 euro] 76 Þ Unità 4 Per la produzione di due tipi di contenitori in ceramica, una piccola impresa artigiana può disporre ogni settimana al massimo di 300 kg di materia prima e al massimo di 218 ore di lavoro. Per ogni contenitore del primo tipo servono 4 kg di materia prima e 3 ore di lavoro, mentre per ogni contenitore del secondo tipo sono necessari 5 kg di materia prima e 2 ore di lavoro. Se il prezzo di vendita del contenitore del primo tipo è fissato in 15 euro e quello del contenitore dell’altro tipo in 12 euro, determina la combinazione produttiva settimanale che occorre realizzare per ottenere il massimo ricavo, e il valore di tale ricavo massimo. [70 contenitori del primo tipo, 4 del secondo; massimo ricavo ¼ 1098 euro] 75 Þ La produzione industriale di due tipi di vasi richiede per ciascuno di essi lo stesso quantitativo di materia prima, ma i tempi di lavorazione sono diversi: in particolare, per produrre ciascun vaso del primo tipo si impiega 1 kg di materia prima e 1 ora di lavoro, per realizzare un vaso del secondo tipo si impiega 1 kg di materia prima e 2 ore di lavoro. La disponibilità settimanale di materia prima è di 150 kg e il numero di ore di lavoro non può essere superiore a 200. Un vaso del primo tipo viene venduto a 50 euro e un vaso del secondo tipo a 75 euro. In queste condizioni, quanti vasi di ciascun tipo occorre produrre ogni settimana in modo da ottenere il massimo ricavo possibile? A quanto ammonta il ricavo massimo? [100 vasi del primo tipo, 50 vasi del secondo tipo; ricavo massimo ¼ 8750 euro] 77 Þ 78 Una persona deve assumere ogni giorno non meno di 5 mg di una data vitamina, che chiameremo V1 , e non Þ meno di 8 mg di un dato farmaco, che indicheremo con F1 . Una farmacia può preparare dei confetti contenenti 1 mg di V1 e 1 mg di F1 oppure delle capsule che contengono 1 mg di V1 e 4 mg di F1 . Tale persona non vuole assumere complessivamente (sommando confetti e capsule) più di 6 confetti/capsule al giorno; se i confetti costano 1 euro l’uno e le capsule costano 2 euro l’una, quanti confetti e quante capsule deve assumere ogni giorno per ridurre al minimo il costo? Qual è il costo minimo? [4 confetti e 1 capsula; costo minimo ¼ 6 euro] Un’industria intende produrre due tipi di articoli: il tipo A e il tipo B. Ogni articolo di tipo A richiede 1 kg di una certa materia prima m1 e 1,2 kg di un’altra materia prima m2 ; ogni articolo di tipo B richiede 1 kg della materia prima m1 e 300g della materia prima m2 . Sono disponibili al massimo 450 kg della materia prima m1 e al massimo 270 kg della materia prima m2 . L’utile che si realizza dalla vendita di ogni articolo del tipo A è 400 euro e l’utile che si realizza dalla vendita di ogni articolo del tipo B è di 250 euro. Quanti articoli di ogni tipo conviene produrre per rendere massimo l’utile? Quanto vale l’utile massimo? [150 articoli del tipo A e 300 del tipo B; utile massimo ¼ 135 000 euro] 79 Þ Una ditta prepara 2 tipi di manufatti, per i quali utilizza due materie prime, A e B. Per il primo tipo di manufatto occorrono 16 kg della materia prima A e 24 kg della materia prima B; per il secondo tipo di manufatto occorrono 30 kg della materia prima A e 20 kg della materia prima B. Sono disponibili 96 q della materia prima A e 120 q della materia prima B. Sapendo che l’utile che si ottiene dalla vendita di ogni manufatto del primo tipo è di 100 euro e quello che si ottiene dalla vendita di ogni manufatto dell’altro tipo è di 120 euro, determina la combinazione produttiva che rende massimo l’utile e il valore dell’utile massimo. [420 manufatti del primo tipo e 96 del secondo; utile massimo ¼ 53 520 euro] 80 Þ 81 Una ditta deve approvvigionarsi di due tipi di materie prime: M1 ed M2 . La materia prima M1 costa 50 euro/q Þ e occupa un volume di 0,6 m3 /q; la materia prima M2 costa 30 euro/q e occupa un volume di 0,8 m3 /q. Il magazzino ha una capacità massima di 400 m3 e il budget settimanale disponibile per l’acquisto delle due materie prime è di 18 000 euro. Inoltre, è necessario che la quantità della materia prima M1 sia non inferiore a 50 q e non superiore a 200 q e che la quantità della materia prima M2 sia non inferiore a 100 q. Se il costo di magazzinaggio di un quintale della materia prima M1 è di 9 euro e quello di un quintale della materia prima M2 è di 7,5 euro, qual è la quantità delle due materie prime che la ditta deve acquistare per rendere minimo il costo di magazzinaggio? Quali quantità farebbero sı̀ invece che il costo fosse massimo? [Minimo: 50 q di M1 e 100 q di M2 , con costo minimo ¼ 1200 euro; massimo: circa 109,1 q di M1 e 418,2 q di M2 , con costo massimo di circa 4118,18 euro] 179 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 82 Si producono due modelli diversi di scaffali: S1 ed S2 . Per i materiali che servono per la produzione degli scafÞ fali non si possono spendere più di 7750 euro alla settimana e per il lavoro di produzione degli scaffali non si può superare una spesa settimanale di 12 000 euro. Per realizzare uno scaffale del tipo S1 le spese ammontano a 40 euro per i materiali e a 60 euro per la produzione, mentre per realizzare uno scaffale del tipo S2 le spese ammontano a 25 euro per i materiali e a 40 euro per la produzione. La vendita di ciascuno scaffale del tipo S1 realizza un utile di 30 euro e la vendita di ciascun scaffale di tipo S2 realizza un utile di 25 euro. Inoltre ogni settimana devono essere prodotti almeno 10 scaffali di ciascuno dei due tipi. Quanti scaffali S1 e quanti scaffali S2 occorre produrre settimanalmente per ottenere il massimo utile? A quanto ammonta l’utile massimo? [10 scaffali del tipo 1, 285 del tipo 2; utile massimo ¼ 7425 euro] 83 Un’industria metalmeccanica produce ogni giorno due componenti A e B per auto, che vende rispettivamenÞ te a 128 euro e a 146 euro l’uno. Ogni componente di tipo A richiede 14 minuti di lavoro al tornio e 10 minuti alla smerigliatrice; ogni componente di tipo B richiede 8 minuti di lavoro al tornio e 16 minuti alla smerigliatrice. Il tornio può lavorare al massimo 8 ore al giorno e la smerigliatrice al massimo 10 ore al giorno. Quale deve essere la combinazione produttiva giornaliera per ottenere il massimo ricavo? Quanto vale il ricavo massimo? [20 componenti del tipo A e 25 del tipo B; ricavo massimo ¼ 6210 euro] Una ditta di calzature ha 260 paia di scarpe nel magazzino I e 320 paia di scarpe nel magazzino II. Due rivenditori, situati uno a Milano e l’altro a Torino, ordinano uno 250 paia di scarpe e l’altro 300 paia di scarpe. Le spese di spedizione per inviare un paio di scarpe ai due negozi, da ciascuno dei due magazzini, sono indicate nella tabella qui sotto. Quante paia di scarpe bisogna spedire da ciascun magazzino, per minimizzare i costi di spedizione? 84 Þ Milano Torino Magazzino I 5 euro 4 euro Magazzino II 6 euro 8 euro [250 paia dal magazzino I al negozio di Milano; 260 scarpe dal magazzino I al negozio di Torino e 40 paia di scarpe dal magazzino II al negozio di Torino] Un artigiano produce ogni giorno anelli e bracciali. La produzione di un anello necessita di 5 g di oro e di un tempo di lavorazione di 1 ora e 30 minuti. La produzione di un bracciale necessita di 10 g di oro e di un tempo di lavorazione di 30 minuti. Giornalmente l’artigiano ha a disposizione 70 g di oro e 10 ore di tempo lavoro. Sapendo che per ogni anello guadagna 20 euro, mentre per ogni bracciale 30 euro, stabilisci il miglior programma di produzione giornaliera. 85 Þ [Siano x e y, rispettivamente, il numero di anelli e di bracciali che l’artigiano produce in una giornata. Trattando inizialmente il problema come se x e y potessero assumere valori reali 26 22 si trova che il programma ottimo corrisponde alla scelta seguente: x ¼ ¼ 5,2, y ¼ ¼ 4,4; 5 5 il programma ottimo corrispondente al caso in cui x e y sono interi si ha, invece, per x ¼ 4, y ¼ 5. Nota che in questo caso arrotondando a meno dell’unità il programma ottimo trovato nel caso non intero, non si ottiene il programma ottimo del caso intero!] Si vuole programmare la coltivazione di due specie ortofrutticole. La coltivazione di un ettaro di terreno della specie A per un anno comporta costi pari a 300 euro; la coltivazione di un ettaro di terreno della specie B per un anno comporta costi pari a 600 euro. Si vuole che i costi complessivi in un anno non siano superiori a 40 000 euro. La superficie coltivata non può essere superiore a 100 ettari; inoltre si vogliono coltivare almeno 20 ettari di terreno con la specie A. Determina la produzione che permette di ottenere il massimo guadagno in ciascuno dei seguenti due casi: 86 Þ a. la specie A fornisce un guadagno di 100 euro per ettaro, la specie B di 300 euro per ettaro; b. la specie A fornisce un guadagno di 100 euro per ettaro, la specie B di 150 euro per ettaro. Supponi che un ettaro di terreno possa essere coltivato anche solo in parte e non necessariamente con una sola specie. [a. Il programma ottimo corrisponde a coltivare 20 ettari con la specie A e circa 56,6 ettari con la specie B; b. Il programma ottimo corrisponde a coltivare circa 66,7 ettari con la specie A e circa 33,3 ettari con la specie B] 180 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Unità 4 Programmazione lineare Discuti il problema precedente nel caso in cui ogni ettaro di terreno debba essere coltivato completamente con una sola specie. [Siano x gli ettari coltivati con la specie A e y quelli coltivati con la specie B. Il fatto che un ettaro di terreno possa essere coltivato completamente e con una sola specie impone a x e y di assumere valori interi. Nel caso a. il programma ottimo corrisponde a coltivare 21 ettari con la specie A e 56 con la specie B (in questo caso, approssimando per eccesso a meno dell’unità il programma ottimo ottenuto nel caso non intero, si ottiene il programma x ¼ 20, y ¼ 57, che è da scartare perché non è un programma possibile in base ai vincoli, mentre, approssimando per difetto, si ottiene il programma x ¼ 20, y ¼ 56 che realizza un utile di 18 800 euro contro un utile di 18 900 euro fornito dal programma x ¼ 21, y ¼ 56). Nel caso b. il programma ottimo corrisponde a coltivare 67 ettari con la specie A e 33 con la specie B (in questo caso, arrotondando il programma ottimo nel caso non intero a meno dell’unità si ottiene il programma ottimo del caso intero)] 87 Þ Un coltivatore usa una combinazione di due tipi di fertilizzanti, ciascuno contenente differenti percentuali di fosfati e nitrati come indicato nella tabella qui sotto. 88 Þ Fosfati per confezione Nitrati per confezione Fertilizzante A 1800 g 900 g Fertilizzante B 2500 g 2000 g Il coltivatore vuole concimare un terreno con almeno 12 kg di fosfati e 8 kg di nitrati. Una confezione di fertilizzante A costa 6 euro, una confezione di fertilizzante B costa 12 euro. Determina quante confezioni di fertilizzante A e quante confezioni di fertilizzante B bisogna utilizzare per minimizzare il costo. [Siano x e y, rispettivamente, il numero di confezioni utilizzate di fertilizzante A e B. 80 8 ey¼ . Se x e y potessero assumere valori frazionari il minimo si avrebbe per x ¼ 27 3 Il problema con x e y interi dà luogo a una spesa minima, uguale a 54 euro, in ciascuno dei seguenti casi: x ¼ 3, y ¼ 3; x ¼ 5, y ¼ 2; x ¼ 7, y ¼ 1; x ¼ 9, y ¼ 0] 3. Problemi di programmazione lineare in più incognite riconducibili a due TEORIA a p. 166 Esercizi Determina il massimo e il minimo della funzione z ¼ 5x1 þ 3x2 þ x3 150, soggetta ai vincoli: 8 x1 þ 2x2 þ x3 ¼ 300 > > > > < 10x1 þ 5x2 þ 2x3 1500 89 Þ > 2x1 þ 4x2 þ x3 600 > > > : x1 0, x2 0, x3 0 Determina il massimo e il minimo della funzione z ¼ x1 þ x2 x3 þ 20, soggetta ai vincoli: 8 x1 þ x2 þ x3 ¼ 10 > > > > < 4x1 þ 5x2 þ x3 30 91 Þ > 3x1 þ 4x2 þ 2x3 40 > > > : x1 0, x2 0; x3 0 [Max ¼ 1350 in (300, 0, 0); min ¼ 650 in (100, 100, 0)] Determina il massimo e il minimo della funzione z ¼ 5x1 2x2 þ 3x3 200, soggetta ai vincoli: 8 x1 þ x2 þ x3 ¼ 300 > > > > < 7x1 þ 3x2 þ 2x3 750 90 Þ > 5x1 þ 10x2 þ 2x3 2200 > > > : x1 0, x2 0, x3 0 [Max ¼ 320 in (160, 140, 0); min ¼ 800 in (0, 300, 0)] [Max ¼ 30 nei punti di coordinate (k, 10 k, 0) con 0 k 10; min ¼ 20 in (0, 5, 5)] Determina il massimo e il minimo della funzione z ¼ 5x1 þ 2x2 þ x3 þ 20, soggetta ai vincoli: 8 x1 þ x2 þ x3 ¼ 20 > > > > < 5x1 þ 3x2 þ x3 40 92 Þ > 4x1 þ 6x2 þ 2x3 56 > > > : x1 0, x2 0, x3 0 [Max ¼ 120 in (20, 0, 0); min ¼ 50 in (0, 10, 10)] 181 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Determina il massimo e il minimo della funzione z ¼ 5x1 þ 10x2 þ 2x3 10 soggetta ai vincoli: 8 x1 þ x2 þ x3 ¼ 10 > > > > > > < x1 þ 2x2 5 2x2 þ 3x3 6 > > > > 3x3 2x1 18 > > : x1 0, x2 0, x3 0 93 Þ [Max ¼ 90 in (0, 10, 0); min ¼ 25 in (5, 0, 5)] Determina il massimo e il minimo della funzione z ¼ 10x1 þ 5x2 þ x3 20, soggetta ai vincoli: 8 x1 þ x2 þ x3 ¼ 10 > > > > > > < 20x1 þ 5x2 40 5x2 þ 10x3 25 > > > > 10x3 5x1 40 > > : x1 0, x2 0, x3 0 94 Þ [Max ¼ 57,5 in (7,5, 0, 2,5); min ¼ 16,4 in (0,8, 4,8, 4,4)] Problemi vari Una ditta produce tre tipi di articoli diversi: A, B, C. Ogni articolo di tipo A richiede 30 minuti di lavorazione per il montaggio e viene venduto a 800 euro; ogni articolo di tipo B richiede 55 minuti di lavorazione per il montaggio e viene venduto a 1000 euro; infine ogni articolo di tipo C richiede 45 minuti di lavorazione per il montaggio e viene venduto a 900 euro. Il numero degli articoli del tipo C prodotti deve essere uguale alla somma del doppio del numero di articoli del tipo A prodotti con il numero di articoli del tipo B prodotti. Inoltre, ogni settimana la ditta non può produrre più di 54 articoli di ciascuno dei tre tipi e dispone complessivamente per i tre articoli al massimo di 40 ore di lavoro per il montaggio. Qual è la combinazione produttiva dei tre articoli che in una settimana consente di realizzare il massimo ricavo? Quanto vale il ricavo massimo? [20 articoli del tipo A, 0 del tipo B e 40 del tipo C; ricavo massimo ¼ 52 000 euro] 95 Þ Un’industria alimentare produce tre dolci D1 , D2 , D3 . Per produrre un dolce di tipo D1 servono 150 g di farina, per produrre un dolce di tipo D2 servono 300 g di farina e per produrre un dolce di tipo D3 servono 150 g di farina. La disponibilità giornaliera di farina per la produzione dei tre dolci è di 15 kg. Il numero complessivo di dolci prodotti giornalmente deve essere al massimo 90. La produzione giornaliera di dolci D3 deve mantenersi uguale alla somma tra il numero di dolci D1 e il triplo del numero di dolci D2 ; inoltre, ogni giorno devono essere prodotti almeno 5 dolci di ciascuno dei tre tipi. Dalla vendita di ogni dolce D1 si ricava un utile di 5 euro, dalla vendita di ogni dolce D2 si ricava un utile di 4 euro e infine dalla vendita di ogni dolce D3 si ricava un utile di 3 euro. Quanti dolci di ciascuno dei tre tipi D1 , D2 e D3 deve preparare l’azienda giornalmente per far sı̀ che l’utile sia massimo? Quanto vale l’utile massimo? [35, 5 e 50 dolci rispettivamente di tipo D1 , D2 , D3 ; utile massimo ¼ 345 euro] 96 Þ Un’impresa costruisce 3 tipi di manufatti prefabbricati in calcestruzzo, che indicheremo con M1 , M2 ed M3 . Per produrre il modello M1 servono 20 kg di calcestruzzo, per produrre il modello M2 servono 10 kg di calcestruzzo e per produrre il modello M3 servono 60 kg di calcestruzzo. Per la produzione di questi manufatti ogni settimana sono disponibili 80 q di calcestruzzo. Si sa poi che ogni settimana il numero di manufatti del modello M3 prodotti deve essere uguale alla somma del numero dei manufatti prodotti del tipo M1 con il triplo del numero dei manufatti prodotti del tipo M2 ; inoltre, sempre settimanalmente, l’impresa vuole che la somma tra il doppio del numero di manufatti di tipo M1 prodotti e il numero di manufatti degli altri due tipi complessivamente prodotti non sia superiore a 200. Sapendo che dalla vendita di ogni manufatto del tipo M1 si ricavano 200 euro, dalla vendita di ogni manufatto del tipo M2 si ricavano 100 euro e dalla vendita di ogni manufatto del tipo M3 si ricavano 350 euro, quanti manufatti dei tre tipi bisogna produrre settimanalmente per rendere massimo il ricavo? A quanto ammonta il ricavo massimo? [24 del tipo M1 , 32 del tipo M2 e 120 del tipoM3 ; ricavo massimo ¼ 50 000 euro] 97 Þ Un’industria tessile produce 3 tipi di capi di vestiario: A, B, C. Sommando il triplo dei capi di vestiario di tipo A prodotti in una settimana con la somma tra il numero dei capi di vestiario degli altri due tipi prodotti in una settimana non si può superare la quantità complessiva di 360 capi. Inoltre, sempre in relazione alla produzione settimanale, il numero dei capi di vestiario del tipo C prodotti è uguale alla somma del numero di capi del tipo A prodotti con il doppio del numero di capi del tipo B prodotti. È noto inoltre che per confezionare un capo del tipo A occorre 1 m di stoffa, cosı̀ come per confezionare un capo del tipo C, mentre per confezionare un capo del tipo B occorrono 2 m di stoffa. Ogni settimana sono disponibili al massimo 320 m di stoffa per confezionare i tre capi di vestiario. Se ogni capo del tipo A è venduto a 200 euro, ogni capo del tipo B è venduto a 150 euro e ogni capo del tipo C è venduto a 100 euro, quanti capi di vestiario di ciascun tipo bisogna produrre ogni settimana per rendere massimo il ricavo? A quanto ammonta il ricavo massimo? [48 capi del tipo A, 56 del tipo B, 160 del tipo C; ricavo massimo ¼ 34 000 euro] 98 Þ 182 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Costo per il trasporto dalla miniera all’impianto I1 I2 I3 M1 12 8 20 M2 24 28 16 Programmazione lineare Un’industria di manifattura acciaio si approvvigiona di materia prima presso due miniere, che indichiamo con M1 ed M2 , e dispone di tre impianti di produzione I1 , I2 , I3 . Ogni giorno tutto il minerale estratto dalle miniere viene trasportato agli impianti di produzione, distribuendolo in modo da soddisfarne il fabbisogno. Le miniere M1 ed M2 forniscono ogni giorno rispettivamente 120 e 180 tonnellate di minerale. Gli impianti I1 , I2 , I3 richiedono ogni giorno rispettivamente 80, 100 e 120 tonnellate di minerale. Il costo giornaliero (in migliaia di euro) per il trasporto di una tonnellata di minerale da ciascuna miniera a ciascun impianto di produzione è riportato in tabella. 99 Þ Unità 4 Problemi di trasporto Determina quali quantità conviene trasportare da ciascuna miniera agli impianti di produzione, in modo da minimizzare il costo complessivo dovuto al trasporto. [Ogni giorno devono essere trasportate dalla miniera M1 a I1 , I2 , I3 rispettivamente 20, 100 e 0 tonnellate e dalla miniera M2 a I1 , I2 , I3 rispettivamente 60, 0, 120 tonnellate] 100 Un dato bene viene prodotto giornalmente in due diversi impianti, che indichiamo con I1 e I2 , e di qui la Þ quantità prodotta viene spedita ogni giorno a tre centri di distribuzione C1 , C2 , C3 . Gli impianti I1 e I2 producono ogni giorno rispettivamente 250 e 400 unità del bene. I centri di distribuzione C1 , C2 , C3 richiedono ogni giorno rispettivamente 150, 300 e 200 unità del bene. Il costo, in euro, per il trasporto di una unità del bene da ciascun impianto a ciascun centro di distribuzione è riportato in tabella. Costo per il trasporto dall’impianto al centro di distribuzione C1 C2 C3 I1 15 10 16 I2 22 20 18 Determina quali quantità conviene trasportare da ciascun impianto a ciascun centro di distribuzione, in modo da minimizzare il costo complessivo dovuto al trasporto. [Ogni giorno devono essere trasportate dall’impianto I1 a C1 , C2 , C3 rispettivamente 0, 250, 0 unità e dall’impianto I2 a C1 , C2 , C3 rispettivamente 150, 50, 200 unità] 101 Un’azienda produce computer portatili in due diverse fabbriche, che indichiamo con F1 ed F2 , e li trasporta Þ settimanalmente in tre magazzini M1 , M2 , M3 . La fabbrica F1 produce ogni settimana 1800 computer e la fabbrica F2 ne produce 4200. Le capienze dei tre magazzini sono rispettivamente di 1500 computer, 2000 computer e 2500 computer. Il costo in euro per il trasporto di un computer da ciascuna fabbrica a ciascun magazzino è riportato in tabella. Costo per il trasporto dalla fabbrica al magazzino M1 M2 M3 F1 10 5 16 F2 20 10 15 Determina quali quantità conviene trasportare da ciascuna fabbrica a ciascun magazzino per minimizzare il costo di trasporto complessivo. [Ogni giorno devono essere trasportate dalla fabbrica F1 a M1 , M2 , M3 rispettivamente 1500, 300, 0 computer e dalla fabbrica F2 a M1 , M2 , M3 rispettivamente 0, 1700, 2500 computer] 102 Un dato bene viene prodotto giornalmente in due diversi impianti, che indichiamo con I1 e I2 , e di qui la Þ quantità prodotta viene spedita ogni giorno a tre centri di distribuzione, C1 ; C2 ; C3 . Gli impianti I1 e I2 producono ogni giorno rispettivamente 250 e 350 unità del bene. I centri di distribuzione C1 ; C2 ; C3 richiedono ogni giorno rispettivamente 120, 300 e 180 unità del bene. Il costo (in euro) per il trasporto di una unità del bene da ciascun impianto a ciascun centro di distribuzione è riportato in tabella. Costo per il trasporto dall’impianto al centro di distribuzione C1 C2 C3 I1 10 20 30 I2 8 16 12 Determina quali quantità conviene trasportare da ciascun impianto a ciascun centro di distribuzione, in modo da minimizzare il costo complessivo dovuto al trasporto. [Ogni giorno devono essere trasportate dall’impianto I1 a C1 , C2 , C3 rispettivamente 120, 130, 0 unità e dall’impianto I2 a C1 , C2 , C3 rispettivamente 0, 170, 180 unità] 183 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA RIEPILOGO Esercizi di riepilogo Test Nel piano cartesiano, che cosa rappresenta il si8 < y x þ 2 stema x 1 ? : y1 103 Þ A B C D Un punto Un triangolo Un angolo L’insieme vuoto Nel piano cartesiano, che cosa rappresenta il si8 < y < x þ 2 stema x 1 ? : y1 104 Þ A B C D Un punto Un triangolo Un angolo L’insieme vuoto Nel piano cartesiano, che cosa rappresenta la disequazione xy > 0? 105 Þ A B C D I punti del primo quadrante I punti del secondo quadrante I punti del terzo quadrante Nessuna delle precedenti risposte è corretta Nel piano cartesiano, che cosa rappresenta il si8 <y < x þ 3 stema x 3 ? : y1 106 Þ A Un punto B Un triangolo C Un angolo D L’insieme vuoto Quale delle seguenti disequazioni rappresenta un semipiano cui non appartiene l’origine? 107 Þ A xþy 0 B xþy >1 C x 2y < 2 D xþy 1 Quale delle seguenti disequazioni rappresenta un semipiano cui appartiene l’origine? 108 Þ A x þ 2y > 0 B xþy >3 C 2x þ y < 2 D xþy 1 Rappresenta nel piano cartesiano le regioni di piano definite dalle seguenti disequazioni e dai seguenti sistemi. 8 1 > < x 1 xþ1 109 y Þ 2 y > 2 117 Þ > :y < 4 x 110 y < x 2 Þ 1 x < 4 111 x þ y > 0 118 Þ Þ 2 < y 1 112 Þ x 2y 4 0 113 Þ 2x þ 3y 9 0 ( xþyþ1¼0 114 Þ 1x<3 ( 115 Þ xþ20 ( 116 Þ y ¼ 0,5x þ 3 y > 2x y 2x 184 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P 8 y > > > <y 119 Þ >y > > : y x3 xþ3 x 3 x þ 3 8 < 3 x 3 120 Þ : y 2x 3 y xþ4 8 < 2 < y < 3 121 y x2 Þ : y x þ 2 Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Unità 4 122 Þ Rappresenta analiticamente le regioni di piano disegnate nelle seguenti figure. y y y Programmazione lineare B B A A O x x D A x O O C B C D C a. b. Scrivi un sistema di disequazioni che rappresenti analiticamente il triangolo ABC di vertici Að1, 2Þ, Bð0, 2Þ e Cð3, 1Þ, esclusa la frontiera del triangolo. 123 Þ Scrivi un sistema di disequazioni che rappresenti analiticamente il trapezio ABCD di vertici Að3, 2Þ, Bð5, 2Þ, Cð4, 2Þ, Dð2, 2Þ, inclusa la frontiera del trapezio. 124 Þ Scrivi un sistema di disequazioni che rappresenti analiticamente il quadrilatero ABCD di vertici Að0, 3Þ, Bð2, 0Þ, Cð0, 2Þ, Dð2, 0Þ, esclusa la frontiera del quadrilatero. c. Determina il massimo e il minimo della funzione z ¼ 10x1 þ 12x2 , soggetta ai vincoli: 8 2x1 þ x2 9 > > < 3x1 þ 5x2 17 > > : x1 0, x2 0 128 Þ [Max ¼ 52 in (4, 1); min ¼ 0 in (0, 0)] 125 Þ Determina il massimo e il minimo della funzione z ¼ x 2y þ 10, soggetta ai vincoli: 8 x 2y þ 6 0 > > > > > > <x 1 y 8 0 2 > > > x 0 > > > : Max ¼ 18 in (8, 0); infiniti minimi (¼ 4) y0 sui punti della regione ammissibile 1 appartenenti alla retta di equazione y ¼ x þ 3 2 Determina il massimo e il minimo della funzione w ¼ 2x 4y þ z 3, soggetta ai vincoli: 129 Þ 8 xþyþz¼1 > > > > > > 2x þ y 18 > > < 3x þ 5y 24 > > > > > 2x þ z 8 > > > : x 0, y 0 126 Þ Determina il massimo e il minimo della funzione z ¼ 2x þ 2y þ 6, soggetta ai vincoli: 8 2x y 5 0 > > > < x 3y þ 15 0 > x þ y 11 0 > > : x 0, y 0 5 ,0 Max ¼ 16 in (0, 5); min ¼ 1 in 2 127 Þ Max ¼ 6 in (8, 0, 7); min ¼ 7 in 2 59 3 27 , , 8 8 4 Determina il massimo e il minimo della funzione z ¼ x1 2x2 x3 , soggetta ai vincoli: 130 Þ 8 x1 þ x2 þ x3 ¼ 4 > > > > > < x1 þ 2x2 20 > x1 þ 2x3 5 > > > > : x1 0, x2 0, x3 0 Max ¼ 2 in (3, 0, 1); min ¼ 11 3 5 in 0, , 2 2 2 Un negoziante vende televisori di due tipi, A e B. In base alla domanda, il negoziante vuole sempre tenere in magazzino più di 15 televisori del tipo A e più di 5 televisori del tipo B; inoltre vuole che il numero di televisori del tipo A sia almeno il doppio del numero di televisori del tipo B. Il numero complessivo di televisori in magazzino deve essere inferiore a 30. 131 Þ a. Rappresenta nel piano cartesiano tutte le possibili combinazioni di televisori del tipo A e di televisori del tipo B che il negoziante può tenere in magazzino, in modo da rispettare i vincoli indicati. b. Se il negoziante vuole che il numero di televisori del tipo A in magazzino sia il massimo possibile, quanti televisori del tipo A e quanti del tipo B deve tenere? [23 del tipo A e 6 del tipo B] 185 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Un allevatore decide di allevare oche e tacchini. Vuole allevare non più di 16 animali, tra cui non più di 10 oche. Allevare un’oca gli costa 5 euro e allevare un tacchino 10 euro. Complessivamente, non vuole spendere più di 140 euro per allevare gli animali. Ogni oca produce un profitto di 8 euro e ogni tacchino un profitto di 15 euro. Quante oche e quanti tacchini deve allevare per massimizzare il profitto? [4 oche e 12 tacchini] 132 Þ Un mobilificio produce due tipi di armadi: M1 ed M2 . Le risorse disponibili non consentono di produrre complessivamente più di 70 armadi. Inoltre si vogliono produrre al massimo 40 armadi di tipo M1 e al massimo 35 armadi di tipo M2 . Ciascun armadio di tipo M1 viene venduto a 550 euro e ciascun armadio di tipo M2 viene venduto a 600 euro. Determina la combinazione produttiva che consente di ottenere il massimo ricavo, nonché il valore del ricavo massimo. [35 armadi del tipo M1 e altrettanti del tipo M2 ; ricavo massimo ¼ 40 250 euro] 133 Þ Un’industria meccanica produce due componenti per elettrodomestici, diciamo C1 e C2 . Ogni elemento C1 richiede 11 minuti di lavoro manuale e 2 minuti di lavoro a una macchina e viene venduto al prezzo unitario di 45 euro. Ogni elemento C2 richiede 5 minuti di lavoro manuale e 10 minuti di lavoro alla macchina e viene venduto al prezzo unitario di 55 euro. La disponibilità giornaliera di lavoro manuale è al massimo di 11 ore e quella della macchina adatta alla lavorazione è al massimo di 12 ore. Determina quanti pezzi di ciascun componente bisogna produrre ogni giorno per ottenere il massimo ricavo, e l’ammontare di quest’ultimo. [30 componenti del primo tipo e 66 del secondo; ricavo massimo ¼ 4980 euro] 134 Þ Una ditta produce borsette e zainetti. Per realizzare una borsetta occorre usare 0,6 m2 di pelle e 0,20 m2 di tessuto, mentre per realizzare uno zainetto occorrono 0,1 m2 di pelle e 0,5 m2 di tessuto . La dotazione settimanale di pelle è al massimo di 80 m2 e quella di tessuto è al massimo di 120 m2 . Inoltre, per la produzione di una borsetta servono 2 ore di lavoro, mentre la produzione di uno zainetto richiede 1 ora di lavoro. Complessivamente in una settimana le ore di lavoro sono al massimo 300. Tenendo conto che una borsetta è venduta a 100 euro e uno zainetto a 20 euro, determina la combinazione produttiva settimanale che rende massimo il ricavo e il valore di quest’ultimo. [125 borsette e 50 zainetti; ricavo massimo ¼ 13 500 euro] 135 Þ Un’impresa produce due tipi di articoli, il prodotto P1 e il prodotto P2 . Per esigenze di mercato la somma degli articoli prodotti dei due tipi non può essere meno di 40 unità. Per realizzare un’unità del prodotto P1 sono necessari 60 minuti di lavoro al reparto r1 e 40 minuti al reparto r2 . Per realizzare un’unità del prodotto P2 servono 40 minuti al reparto r1 e 60 minuti al reparto r2 . Ciascuno dei due reparti può lavorare al massimo per 60 ore alla settimana alla produzione dei due prodotti. Sapendo che l’utile che si ricava dalla vendita di ogni unità di P1 è di 200 euro e quello che si ricava dalla vendita di ogni unità di P2 è di 180 euro, determina il numero di prodotti P1 e P2 che occorre realizzare in una settimana per ottenere il massimo utile, e il valore di quest’ultimo. [36 unità del primo prodotto e altrettante del secondo; utile massimo ¼ 13 680 euro] 136 Þ Un panificio artigianale produce due tipi di dolci: il dolce meringato e il dolce margherita. Per ogni dolce meringato servono 2 etti di farina e 5 uova, per ogni dolce margherita servono 4 etti di farina e 2 uova. Alla preparazione di questi dolci sono destinati ogni giorno al massimo 40 kg di farina e al massimo 600 uova. Il dolce meringato è venduto a 12 euro e quello margherita a 8 euro. Quanti dolci di ciascun tipo bisogna produrre giornalmente per fare sı̀ che il ricavo sia massimo, e quanto vale quest’ultimo? [100 dolci meringati e 50 dolci margherita; ricavo massimo ¼ 1600 euro] 137 Þ Una ditta di trasporti possiede un piccolo battello che può trasportare un peso non superiore a 80 q e un volume non superiore a 180 m3 . La ditta trasporta due tipi di merce: Ma ed Mb . Ogni lotto di merce Ma ha un volume di 1,5 m3 e un peso di 80 kg; ogni lotto di merce Mb ha un peso di 120 kg e un volume di 2 m3 . Inoltre, il battello non deve trasportare meno di 10 lotti di Ma e non meno di 10 lotti di Mb . Se il trasporto di un lotto di Ma genera alla ditta un utile di 40 euro e il trasporto di un lotto dell’altra merce genera un utile di 50 euro, quanti lotti di Ma e di Mb conviene trasportare in una corsa in modo da ottenere l’utile massimo? E quanto vale tale utile? [85 lotti del tipo Ma , 10 lotti del tipo Mb ; utile massimo ¼ 3900 euro] 138 Þ Per la produzione di due articoli A1 e A2 si utilizzano due materie prime: della prima (m1 Þ sono disponibili al massimo 114 q al mese e della seconda (m2 Þ al massimo 90 q al mese. Un articolo di tipo A1 richiede 20 kg della materia prima m1 e 25 kg della materia prima m2 . Ogni articolo A2 necessita di 30 kg della materia prima m1 e di 20 kg della materia prima m2 . L’utile che si ottiene da ogni articolo del tipo A1 è di 40 euro e l’utile che si ottiene da ogni articolo del tipo A2 è di 35 euro. Determina la combinazione produttiva mensile che consente di rendere massimo l’utile e a quanto ammonta l’utile massimo. [120 articoli del primo tipo, 300 del secondo; utile massimo ¼ 15 300 euro] 139 Þ 186 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA P1 P2 Ore macchina A 2 1 Ore macchina B 3 2 Ore macchina C 1 3 Programmazione lineare 141 Un’industria produce due tipi di pneumatici, che vengono realizzati a partire dalla stessa quantità e qualità di Þ materia prima, ma con diversi processi di lavorazione che impiegano tre macchine A, B, C. Lo schema del lavoro per la produzione dei due pneumatici P1 e P2 è il seguente: Unità 4 Un’industria tessile produce due tipi di calzoni, il modello A e il modello B. Per il modello A servono 2 m di tessuto, 40 minuti di lavorazione manuale e 30 minuti di lavoro alla macchina, per il modello B servono 1 m di tessuto, 47 minuti di lavorazione manuale e 20 minuti di lavoro alla macchina. Ogni mese sono disponibili al massimo 720 m di tessuto, 330 ore di lavoro manuale e 200 ore di lavoro alla macchina. Se ogni capo del modello A fornisce un ricavo di 150 euro e ogni capo del modello B un ricavo di 125 euro, quale sarà il numero di calzoni dei due modelli da confezionare mensilmente per rendere massimo il ricavo? Quanto vale tale ricavo massimo? [260 calzoni del tipo A, 200 del tipo B; ricavo massimo ¼ 64 000 euro] 140 Þ Le ore di lavoro disponibili giornalmente sono 8 per la macchina A, 24 per la macchina B, 18 per la macchina C. Il guadagno unitario è di 40 euro per gli pneumatici del primo tipo e di 30 euro per gli pneumatici del secondo tipo. Determina la quantità degli pneumatici che occorre produrre giornalmente per ottenere il massimo utile e a quanto ammonta quest’ultimo. [2 pneumatici del primo tipo, 4 del secondo; utile ¼ 200 euro] Una compagnia aerea può acquistare il carburante per i suoi aeromobili da una delle due aziende A e B. Il fabbisogno per il prossimo mese in ciascuno dei tre aeroporti in cui essa opera è costituito da 500 000 litri nell’aeroporto 1; 900 000 litri nell’aeroporto 2; 1 500 000 litri nell’aeroporto 3. Ciascuna azienda può fornire carburante in ognuno dei tre aeroporti al prezzo (in lire/litro) indicato nella seguente tabella: 142 Þ Aeroporto 1 Aeroporto 2 Aeroporto 3 Azienda A 800 750 850 Azienda B 830 810 750 Determina il piano ottimale di acquisto per la compagnia aerea, nel caso in cui si rifornisca di 1 600 000 litri dall’azienda A e di 1 300 000 litri dall’azienda B. (Suggerimento: indica con x e y i litri di carburante, comprati dall’azienda A, rispettivamente, per l’aeroporto 1 e l’aeroporto 2. Il piano ottimale si ottiene per x ¼ 500 000, y ¼ 900 000) Nota La valuta è riferita all’anno in cui è stato somministrato il quesito alla maturità. (Maturità Istituto Tecnico Commerciale, 1994/95) Esercizi in inglese 143 Þ Solve math in English Find values of x 0 and y 0 that maximize z ¼ 8x þ 10y subject to each of the following sets of constraints: 2x þ y 12 x þ y 18 b. a. x þ 2y 18 x þ 3y 20 144 Þ [a. Max ¼ 146 at (17, 1); b. max ¼ 96 at (2, 8)] Solve math in English You are given the following linear programming problem: «maximize the function 8 < 2x þ y 10 z ¼ ax þ 2y subject to x 2y 0 ». Determine the range of a for which (4, 2) is an optimal solution. : x 0, y 0 [1 a 4] 187 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema B Ricerca operativa Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA PROVA DI AUTOVERIFICA Programmazione lineare Vero o falso? a. la disequazione x þ y 1 rappresenta un semipiano chiuso b. la disequazione x y 1 rappresenta il semipiano chiuso al di sotto della retta di equazione x y ¼ 1 c. la disequazione y > x þ 1 rappresenta il semipiano aperto al di sopra della retta di equazione y ¼ x þ 1 d. un sistema formato da tre disequazioni lineari nelle incognite x e y rappresenta sempre, nel piano cartesiano, un triangolo e. un sistema formato da due disequazioni lineari nelle incognite x e y ammette sempre almeno una soluzione 1 Þ Rappresenta graficamente le soluzioni delle seguenti disequazioni e sistemi. 2 Þ y x þ 2 3 Þ x 2y 1 < 0 ( 4 Þ 5 Þ V F V F V F V F V F Scrivi un sistema di disequazioni che rappresenti analiticamente le seguenti figure. 6 Þ 7 Þ Il triangolo ABC, in fig. A, inclusa la frontiera. Il quadrato ABCD, in fig. B, esclusa la frontiera. C y > 2x 2 y y D C y >x2 8 5x 4y 12 > > < 3x þ 4y 12 > > : x 4y 4 x O A x O B Figura A A B Figura B Una ditta produce due tipi di oggetti A e B. La produzione di un oggetto del tipo A necessita di 4 unità di materia prima e di un tempo di lavoro di 20 minuti. La produzione di un oggetto del tipo B necessita di 8 unità di materia prima e di un tempo di lavoro di 10 minuti. Per ogni ciclo di produzione la ditta ha a disposizione 120 unità di materia prima e un tempo di lavoro di 4 ore. Sapendo che ogni oggetto del tipo A fornisce un profitto di 12 euro, mentre ogni oggetto del tipo B fornisce un profitto di 20 euro, stabilisci quanti oggetti del tipo A e quanti del tipo B bisogna produrre in ogni ciclo di lavorazione per ottenere il massimo profitto. 8 Þ Considera un problema analogo al precedente, in cui l’oggetto A fornisce 10 euro di profitto e l’oggetto B garantisse 20 euro di profitto. Quali sarebbero i cicli di produzione che garantiscono il massimo profitto? 9 Þ Valutazione Esercizio Punteggio 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Totale 0,2 5 ¼ 1 0,5 0,5 0,75 0,75 1 1 3 1,5 10 Punteggio ottenuto Tempo massimo: 1 h 30 min 188 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P 3Risposte in fondo al volume Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Laboratorio di informatica B Tema Tema B ATTIVITÀ GUIDATE Attività 1 Foglio elettronico, GeoGebra Per organizzare la partecipazione delle proprie squadre giovanili a una serie di tornei, una società sportiva vuole noleggiare un furgone per il trasporto di persone. Chiede pertanto il preventivo a due agenzie di noleggio, che chiamiamo A e B, in modo da poter scegliere l’offerta più conveniente. Le condizioni di noleggio praticate dalle due agenzie sono le seguenti: – Agenzia A: costo iniziale di 300 euro e costo giornaliero costante di 40 euro; – Agenzia B: costo iniziale nullo, costo giornaliero di 80 euro per i primi 5 giorni di noleggio e costo giornaliero di 60 euro per i giorni successivi. Se hai difficoltà a svolgere le attività guidate, fai riferimento ai file disponibili on-line. Laboratorio di informatica Noleggio di un furgone con confronto tra due diverse offerte Qual è l’offerta più conveniente per un noleggio di 4 giorni? E per un noleggio di 12 giorni? Per quanti giorni di noleggio l’offerta dell’agenzia A risulta più conveniente? Per quanti giorni di noleggio, invece, conviene scegliere l’offerta dell’agenzia B? a. Costruzione del modello del problema Indicato con x il numero di giorni di noleggio, il costo corrispondente può essere espresso in funzione di x tramite le seguenti due funzioni (la prima lineare, la seconda lineare a tratti), aventi come dominio l’insieme N: – Agenzia A: – Agenzia B: fa ðxÞ ¼ 300 þ 40x 80x fb ðxÞ ¼ 80 5 þ 60 ðx 5Þ se x 5 se x > 5 Per rispondere alle domande poste dal problema, seguiamo due approcci diversi. b. Approccio numerico (con Excel) Puoi impostare un foglio Excel come quello qui sotto. 1. nelle celle in giallo vanno inseriti i dati da parte di chi usa il foglio (i dati del problema sono dunque modificabili); 2. la colonna A contiene la sequenza dei giorni di noleggio, da 0 a 30; 3. nella cella B8 va inserita la seguente formula che traduce, in linguaggio Excel, l’espressione analitica della funzione fa : =$B$4+A8*$B$5 Tale formula andrà poi copiata nelle celle sottostanti della colonna B; Informatica – FOGLIO ELETTRONICO / GEOGEBRA Non dovresti avere difficoltà a costruire il foglio, tenendo presente quanto segue: 189 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Laboratorio di informatica 4. nella cella C8 va inserita la seguente formula che traduce, in linguaggio Excel, l’espressione analitica della funzione fb : =SE(A8<=$E$4;A8*$G$4;$G$4*$E$4+(A8-$E$4)*$G$5) Tale formula andrà poi copiata nelle celle sottostanti della colonna C. Analizzando i dati numerici, che puoi leggere nelle tre colonne A, B, C, puoi ora rispondere alle domande poste dal problema: Tema B un noleggio di 4 giorni costa ..... euro con l’Agenzia A e ..... euro con l’Agenzia B. Dunque per un noleggio di 4 giorni risulta più conveniente l’agenzia .....; un noleggio di 12 giorni costa ..... euro con l’Agenzia A e ..... Euro con l’Agenzia B. Dunque per un noleggio di 12 giorni risulta più conveniente l’agenzia ..........; in generale, l’Agenzia B risulta più conveniente per i primi .......... giorni, mentre l’agenzia A è più conveniente dal .......... giorno in poi. Per un affitto di ..... giorni, le due agenzie hanno lo stesso costo. c. Approccio grafico (con GeoGebra) 1. Tralascia in un primo momento le limitazioni sul dominio (cioè il fatto che deve essere x 2 NÞ e traccia con GeoGebra i grafici delle due funzioni fa e fb , come se fossero funzioni di variabile reale. Per immettere l’equazione della funzione fa devi digitare nella riga di inserimento: f_a(x)= 300+40*x Per immettere l’equazione della funzione fb devi digitare: f_b(x)= Se[x<=5, 80*x, 400+60*(x-5)] Suggerimento Informatica – FOGLIO ELETTRONICO / GEOGEBRA Puoi impostare gli intervalli da visualizzare sull’asse x e sull’asse y nella finestra che si apre facendo clic sul menu Opzioni e poi selezionando la voce Vista grafica. 190 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Scegliendo in modo opportuno gli intervalli da visualizzare sull’asse x e sull’asse y (nel caso in figura abbiamo scelto come minimo e massimo valore da visualizzare sull’asse x rispettivamente 3 e 25 e come minimo e massimo valore da visualizzare sull’asse y rispettivamente 250 e 1500), otterrai un grafico simile al seguente: 2. Osservando attentamente i grafici e tenendo conto che solo i punti di essi a coordinate intere positive rappresentano il problema, rispondi alle domande poste all’inizio. Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Prezzo di vendita di un giornale a. in corrispondenza di quali prezzi di vendita si avrebbe una perdita? b. per quali prezzi il ricavo è superiore a 10 000 euro? c. per quale prezzo il guadagno è massimo? In corrispondenza di tale prezzo si ha anche il massimo ricavo? Laboratorio di informatica Un giornale periodico vende in media 5000 copie e viene venduto al prezzo di 1,60 euro a copia, mentre è stato stimato che ciascuna copia ha un costo di 0,60 euro. Volendo incrementare le vendite, la proprietà del giornale si rivolge a un’agenzia specializzata che, dopo aver svolto un’indagine di mercato, stabilisce che diminuendo il prezzo di vendita di 0,10 euro a copia le vendite aumenterebbero in media di 1000 copie. Supponendo che per ogni diminuzione di 0,10 euro a copia si vendano 1000 copie in più, rispondi alle seguenti domande: Tema B Attività 2 Foglio elettronico, GeoGebra Ti proponiamo di risolvere anche questo problema secondo tre diversi approcci. a. Approccio numerico (con Excel) Puoi costruire un foglio di Excel che simuli la situazione che si verrebbe a determinare con i vari prezzi di vendita possibili e di qui dedurre le risposte alle domande poste dal problema. Un foglio adatto allo scopo può essere quello in figura. 1. Le celle evidenziate in giallo sono riservate all’inserimento dei dati del problema: numero di copie vendute (cella B3); prezzo attuale (cella B4); costo di una copia (cella B5); diminuzione del prezzo (cella B6); numero di lettori in più per ogni diminuzione di prezzo (cella D6). 2. Nella cella A9 devi inserire la formula =B4. 3. Nella cella A10 devi scrivere la formula che traduce una diminuzione del prezzo uguale al valore immesso nella cella B6 (in questo caso 10 centesimi), ossia: =A9-$B$6. Tale formula andrà copiata nelle celle sottostanti ad A10 fino alla riga 24 (corrispondente all’ultimo prezzo non nullo possibile). 4. Nella cella B9 devi inserire la formula =B3. 5. Nella cella B10 (analogamente al passo 3) devi scrivere la formula che traduce un aumento del numero di copie standard vendute (immesso in B3 e in B9) di un numero di copie uguale al valore immesso in D6. Lasciamo a te scrivere la formula opportuna e copiarla nelle celle sottostanti fino alla riga 24. Informatica – FOGLIO ELETTRONICO / GEOGEBRA Non dovresti avere difficoltà a costruire un foglio analogo, tenendo presente quanto segue. 191 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema B Laboratorio di informatica Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 6. Nella cella C9 devi inserire la formula che traduce il ricavo ottenuto dalla vendita del numero di copie indicato nella cella B9, al prezzo indicato nella cella A9, quindi =A9*B9. Dovrai poi come al solito copiare tale formula nelle celle sottostanti della colonna C. 7. Nella cella D9 devi inserire la formula che esprime il costo ottenuto dalla vendita del numero di copie in B9; ricordando che il costo di una singola copia è quello immesso in B5, puoi comprendere che la formula da inserire nella cella D9 (e copiare nelle celle sottostanti della colonna D) è =B9*$B$5. 8. Nella cella E9 devi scrivere la formula che esprime il guadagno, cioè la differenza tra il ricavo (calcolato in C9) e il costo (calcolato in D9); quindi devi copiare tale formula nelle celle sottostanti della colonna E. Analizza ora attentamente i dati numerici ottenuti e rispondi alle domande poste dal problema. In corrispondenza di quali prezzi di vendita si avrebbe una perdita? In corrispondenza di quali prezzi di vendita il ricavo è superiore a 10 000 euro? In corrispondenza di quali prezzi di vendita il guadagno risulta massimo? In tal caso si ha anche il massimo ricavo? b. Approccio grafico (con GeoGebra) 1. Indica con x il numero di diminuzioni di prezzo di 0,10 euro (quindi x 2 NÞ e determina l’espressione analitica delle tre funzioni RðxÞ, CðxÞ e GðxÞ che esprimono, rispettivamente, il ricavo, il costo e il guadagno corrispondenti alla vendita del giornale al prezzo di 1,60 euro meno x diminuzioni di 0,10 euro. 2. Tralasciando in un primo momento le limitazioni sul dominio (cioè il fatto che deve essere x 2 NÞ, traccia con GeoGebra i grafici delle tre funzioni RðxÞ, CðxÞ e GðxÞ come normali funzioni reali di variabile reale. 3. Tenendo conto che i soli punti dei grafici che rappresentano il problema sono quelli a coordinate intere, rispondi alle domande poste dal problema. Informatica – FOGLIO ELETTRONICO / GEOGEBRA c. Approccio algebrico (a mano) 192 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Indica con x il numero di diminuzioni di prezzo di 0,10 euro e tieni presente le espressioni analitiche di RðxÞ, CðxÞ e GðxÞ ricavate al punto precedente. Tralasciando in un primo momento le limitazioni sul dominio (cioè il fatto che deve essere x 2 NÞ e considerando quindi x come una variabile reale: la ricerca delle risposte alle domande a e b si traduce nella ricerca delle soluzioni di due opportune disequazioni; la ricerca dei prezzi cui corrispondono il massimo guadagno e il massimo ricavo corrisponde alla ricerca del vertice di una parabola. 1. Risolvi le disequazioni e trova i vertici delle parabole. 2. Dai risultati ottenuti deduci le risposte alle domande del problema, tenendo conto che, ai fini della risoluzione di quest’ultimo, deve essere x 2 N. Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 1 Þ Compagnia A: 0,15 euro per lo scatto alla risposta; 0,20 euro per ogni minuto di conversazione. Compagnia B: lo scatto alla risposta è gratis; 0,25 euro per ogni minuto di conversazione, per i primi 5 minuti; 0,22 euro per ogni minuto di conversazione, per i minuti successivi a 5. Per quale durata di conversazione è più conveniente la compagnia A? E per quali la compagnia B? Risolvi il problema secondo diversi approcci, come nell’Attività guidata 1. 2 Þ Laboratorio di informatica Due compagnie telefoniche applicano le seguenti tariffe, per il costo di ogni singola telefonata: Tema B ATTIVITÀ PROPOSTE Una sala cinematografica vuole aumentare il numero dei propri spettatori nel weekend; ha valutato che diminuendo il prezzo del biglietto di 0,20 euro gli spettatori aumenterebbero di 500 unità per ogni weekend. Si sa inoltre che, nei weekend attuali: il prezzo del biglietto è di 7,20 euro; gli spettatori sono mediamente 2000; per ogni spettatore si ha un costo medio (pulizia sale, personale di assistenza ecc.) di 3,70 euro. In corrispondenza di quale possibile prezzo di vendita compreso tra quello attuale e 3 euro si ottiene il massimo guadagno? In corrispondenza di tale prezzo si ha anche il massimo ricavo? Informatica – FOGLIO ELETTRONICO / GEOGEBRA 193 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Tema B Verso le competenze Tema B Verso le competenze RISOLVERE PROBLEMI E COSTRUIRE MODELLI 1 La domanda di un dato bene è espressa dalla funzione x ¼ 2p þ 2500, essendo x la quantità richiesta e proÞ dotta in un anno e p il prezzo unitario di vendita (in euro). In un anno, per la produzione del bene viene sostenuto un costo fisso di 6000 euro e un costo variabile di 150 euro per ogni unità prodotta. Determina la quantità x che deve essere prodotta e venduta in un anno per conseguire l’utile massimo, e il valore di tale utile massimo. [x ¼ 1100, utile max ¼ 599 000 euro] Una ditta ha bisogno di 8000 kg di una determinata materia prima per il suo ciclo produttivo. Ogni ordine costa 100 euro e i costi di magazzinaggio per la conservazione della materia prima ammontano, per un periodo uguale alla durata di un ciclo produttivo, a 10 euro al kilogrammo. Determina il quantitativo da ordinare ogni volta per rendere minimo il costo annuo complessivo di gestione del magazzino, e l’ammontare di tale costo. [400 kg, 4000 euro] 2 Þ Una torrefazione di caffè prepara due miscele, che identifichiamo con M1 ed M2 . Ogni kilogrammo della miscela M1 è preparato utilizzando 0,6 kg di un primo tipo di caffè e 0,4 kg di un secondo tipo di caffè, mentre ogni kilogrammo della miscela M2 è preparato utilizzando 0,8 kg del primo tipo di caffè e 0,2 kg del secondo tipo di caffè. Per un ciclo produttivo sono disponibili al massimo 25 q di caffè del primo tipo e al massimo 15 q di caffè del secondo tipo. L’utile che si ricava dalla vendita di un kilogrammo della miscela M1 è di 6 euro e l’utile che si ricava dalla vendita di un kilogrammo dell’altra miscela è di 4 euro. Determina le quantità delle due miscele che conviene produrre per conseguire il massimo utile, e il valore di tale utile massimo. [3500 kg della miscela M1 , 500 kg della miscela M2 , utile ¼ 23 000 euro] 3 Þ Una ditta, per produrre un determinato bene, sostiene, in un ciclo di produzione, i seguenti costi: costo fisso pari a 350 euro; costo per ogni kilogrammo prodotto pari a 8 euro; spesa per pubblicità pari (in euro) al 10% del quadrato del numero di kilogrammi prodotti. Il bene prodotto è messo in vendita al prezzo di 20 euro al kilogrammo. Detta x la quantità (in kilogrammi) prodotta e venduta in un ciclo di produzione, determina: a. l’espressione analitica della funzione dell’utile e la sua rappresentazione grafica; b. per quali valori di x l’azienda è in pareggio; c. per quale valore di x l’utile è massimo. [a. y ¼ 0,1x2 þ 12x 350; b. x ¼ 50 _ x ¼ 70; c. x ¼ 60] 4 Þ Una ditta che commercia legname decide di produrre due tipi di prefabbricati in legno: un modello di casetta e un modello di baita. Per ogni casetta prefabbricata servono 4 m3 di legname e 6 ore di lavoro, per ogni baita prefabbricata servono 5 m3 di legname e 5 ore di lavoro. Alla produzione delle casette e delle baite sono destinati al massimo 240 m3 di legname e al massimo 300 ore di lavoro. Il numero di casette prefabbricate deve essere non inferiore a quello delle baite. L’utile che si può ricavare dalla vendita di una casetta prefabbricata è di 20 000 euro; quello che si può ricavare dalla vendita di una baita prefabbricata è di 18 000 euro. Quante casette prefabbricate e quante baite prefabbricate conviene produrre per conseguire il massimo utile? Quanto vale l’utile massimo? [30 casette e 24 baite; utile massimo ¼ 1 032 000 euro] 5 Þ Per il trasporto di una determinata merce due ditte chiedono i seguenti compensi: ditta A: 120 euro di spese fisse e 6 euro per ogni quintale trasportato; ditta B: 150 euro di spese fisse per un trasporto fino a 20 quintali, più 8 euro a quintale per ogni quintale eccedente i 20. Determina a quale ditta conviene rivolgersi, in relazione al numero x di quintali da trasportare. [Per 0 x < 5 conviene A; per 5 < x < 65 conviene B; per x > 65 conviene A; per x ¼ 5 e per x ¼ 65 è indifferente scegliere A o B] 6 Þ Per la produzione di due stampi, che indicheremo con S1 ed S2 , un’industria può disporre ogni mese al massimo di 1200 kg di resina e al massimo di 900 ore di lavoro. La produzione di uno stampo di tipo S1 richiede 5 kg di resina e 5 ore di lavorazione, la produzione di uno stampo di tipo S2 richiede invece 12 kg di resina e 2 ore di lavorazione. I prezzi unitari ai quali gli stampi S1 ed S2 sono venduti sono rispettivamente 1600 euro e 1000 euro. Determina la combinazione produttiva che consente di realizzare il massimo ricavo, e il valore del ricavo massimo. [168 stampi del tipo S1 , 30 del tipo S2 , ricavo massimo ¼ 298 800 euro] 7 Þ 194 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Tema B Verso le competenze Per la produzione di un certo bene, un’azienda deve sostenere a seconda del tipo di lavorazione i seguenti costi mensili: tipo di lavorazione A: un costo fisso di 1400 euro e un costo variabile di 5 euro per ogni unità prodotta; tipo di lavorazione B: un costo fisso di 1600 euro e un costo variabile di 4,5 euro per ogni unità prodotta; tipo di lavorazione C: un costo fisso di 1800 euro e un costo variabile di 4 euro per ogni unità prodotta. Ogni unità del bene viene venduta al prezzo di 15 euro. Determina il tipo di lavorazione che consente di realizzare il massimo utile mensile, in dipendenza del numero x di unità prodotte (e vendute) in un mese. [Per 0 x 140 non conviene né A né B né C (utile negativo o nullo); per 140 < x < 400 conviene il tipo di lavorazione A; per x > 400 conviene il tipo di lavorazione C; per x ¼ 400 sono equivalenti i tipi di lavorazione A e C (il tipo di lavorazione B non conviene mai)] 8 Þ Un dato bene può essere prodotto secondo due diversi processi produttivi A e B. Si stima che gli utili complessivi, espressi in funzione della quantità X venduta, siano dati da: 9 Þ UA ¼ 1500X 20 000 per il processo produttivo A UB ¼ 1600X 80 000 per il processo produttivo B La quantità X venduta è una variabile aleatoria avente la distribuzione di probabilità riportata in tabella: Valori di X Probabilità 250 0,15 400 0,45 550 0,4 Stabilisci quale processo di lavorazione è più conveniente in base al criterio del valor medio. [ðUA Þ ¼ 636 250, ðUB Þ ¼ 620 000, conviene il processo A] Per produrre un dato bene un’impresa può scegliere tra due processi produttivi, diciamo A e B: il processo A comporta un costo fisso annuale di 8000 euro e un costo variabile di 115 euro per ogni unità prodotta; il processo B comporta un costo fisso annuale di 10 000 euro e un costo variabile di 110 euro per ogni unità prodotta. Supposto che la quantità prodotta in un anno sia una variabile casuale la cui distribuzione di probabilità è quella in tabella, determina quale processo è più conveniente, allo scopo di minimizzare i costi, secondo il criterio del valore medio. 10 Þ Quantità prodotta 1000 1250 1500 2000 Probabilità 0,1 0,4 0,3 0,2 [ðCA Þ ¼ 174 750, ðCB Þ ¼ 169 500, conviene il processo B] Disponendo di un certo capitale, è possibile effettuare un’operazione di investimento scegliendo tra due opzioni: investimento A: ricevere la somma di 8000 euro fra 2 anni e la somma di 10 000 euro fra 5 anni; investimento B: ricevere 8 rate semestrali anticipate di 2000 euro ciascuna. Al tasso di valutazione del 5% annuo, quale delle due opzioni è la più conveniente? [REAA ¼ 15 091,50 euro; REAB ¼ 14 713,53 euro; conviene l’investimento A] 11 Þ 195 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema B Verso le competenze Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA INTERPRETARE GRAFICI E DATI In figura sono rappresentati i grafici delle due funzioni CðxÞ ed RðxÞ che esprimono rispettivamente il costo e il ricavo (in migliaia di euro) derivanti dalla produzione e vendita mensile della quantità x (in quintali) di un dato bene. La retta tratteggiata è tangente al grafico della funzione costo nel punto C ed è parallela al grafico della funzione ricavo. Dall’analisi dei grafici determina, se possibile: 12 Þ Fai riferimento alla figura, dove sono rappresentati i grafici di tre funzioni che costituiscono il modello di tre alternative. 13 Þ y 9 3 2 A 1 O x –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a. Supposto che, per x 0, i tre grafici rappresentino delle alternative di costo, stabilisci, al variare di x, qual è la scelta più conveniente, ai fini di minimizzare il costo. b. Supposto che per x 0 i tre grafici rappresentino delle alternative di utile, stabilisci, al variare di x, qual è l’alternativa più conveniente, ai fini di massimizzare l’utile. B 9 Determina il massimo e il minimo assoluti della funzione obiettivo z ¼ 20x þ 15y nella regione ammissibile rappresentata in figura. 14 Þ 7,50 8 6,25 7 6 C y 5 A ricavo y = R(x) 6 E D 5 3 4 2 3 1 O –1 –1 alternativa 1 4 11 4 B 5 costo y = C(x) 10 alternativa 2 6 y 12 C 7 a. le quantità che realizzano il pareggio; b. i limiti di produzione rispettando i quali non si è in perdita; c. la quantità da produrre e vendere per ottenere il minimo costo, nonché il valore di tale costo minimo; d. la quantità da produrre e vendere per ottenere il massimo utile, nonché il valore di tale utile massimo. 13 alternativa 3 8 x 1 2 3 4 5 6 7 8 2 A 1 9 10 11 C x O 1 B2 3 4 5 6 [Max ¼ 175 in (5, 5); min ¼ 30 in (0, 2)] VERSO LE PROVE INVALSI Paolo effettua un sondaggio per stabilire qual è la palestra più conveniente tra alcune della sua zona. Nella palestra A un ingresso giornaliero ha un costo di 10 euro; nella palestra B un ingresso giornaliero ha un costo di 6 euro, ma occorre avere una tessera che costa 20 euro e che dura 1 mese. Sia x il numero di ingressi mensili che Paolo prevedere di effettuare; in corrispondenza di quali valori di x è preferibile la palestra B? 1 Þ A x>4 B x<4 C x>5 D x<5 Il modello di un problema di scelta è una funzione obiettivo y ¼ f ðxÞ, che risulta strettamente decrescente nell’intervallo a x b (che coincide con la regione ammissibile del problema). La funzione di scelta rappresenta un costo. In corrispondenza di quale valore di x verrà raggiunto il costo minimo? 2 Þ A B In un punto interno all’intervallo (a, bÞ Nel punto x ¼ a 196 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P C D Nel punto x ¼ b Informazioni non sufficienti per rispondere Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA A è uguale a 1000 B è uguale a 1200 C è uguale a 1400 D non esiste 4 La domanda di un dato bene è definita dalla relazione x ¼ p þ 45, essendo x la quantità (espressa in kiloÞ grammi) richiesta e prodotta in un mese e p il prezzo unitario di vendita. Per la produzione del bene, l’azienda sostiene un costo mensile fisso di 200 euro e un costo variabile di 10 euro al kilogrammo. Qual è il prezzo unitario di vendita che rende massimo l’utile mensile, supponendo che tutta la quantità prodotta venga venduta? A 17,50 euro al kilogrammo C 32,50 euro al kilogrammo B 27,50 euro al kilogrammo D Nessuno dei precedenti Verso le competenze Il massimo della funzione obiettivo, soggetta ai vincoli dati: Tema B La funzione obiettivo di un problema di programmazione lineare è z ¼ 200x þ 350y e i vincoli sono: 8 x 3y 6 > > < xþy 4 x0 > > : y0 3 Þ Un’azienda deve decidere a quale ditta affidare il trasporto di una merce. La ditta A richiede un costo di 50 euro per ogni quintale trasportato; la ditta B richiede invece 30 euro per ogni quintale trasportato ma richiede un costo aggiuntivo fisso di 100 euro. La scelta più conveniente, al fine di minimizzare i costi risulta essere: 5 Þ A la ditta A, se la quantità di merce da trasportare in un viaggio è superiore a 5 q B la ditta B, se la quantità di merce da trasportare in un viaggio è superiore a 5 q C la ditta A, indipendentemente dalla quantità da trasportare D la ditta B, indipendentemente dalla quantità da trasportare Il minimo della funzione z ¼ 4x þ 2y nella regione ammissibile rappresentata nella figura viene raggiunto in corrispondenza: y A del vertice A e del vertice D 6 B del vertice B B 5 C del vertice C 6 Þ D di un punto interno al poligono ABCD 4 3 A 2 C 1 O D 1 2 x 3 4 5 6 Una ditta ha bisogno di 6000 kg di una determinata materia prima per il suo ciclo produttivo. Ogni ordine costa 50 euro e i costi di magazzinaggio per la conservazione della materia prima per la durata di un ciclo produttivo ammontano a 10 euro al kilogrammo. Qual è il quantitativo da ordinare ogni volta per rendere minimo il costo annuo complessivo di gestione del magazzino (le opzioni sono arrotondate a un numero intero)? 7 Þ A 8 Þ 240 kg B 245 kg C 250 kg D 255 kg Una persona vuole acquistare un appartamento e può scegliere fra tre forme di pagamento: A pagare 150 000 euro subito; B versare subito 50 000 euro e pagare 5 rate annue posticipate di 25 000 euro; C versare 6 rate annue posticipate di 35 000 euro. Quale forma di pagamento è la più conveniente al tasso di valutazione del 6%? a. Risposta: ..................................................................................................................................................................................................................................... b. Giustifica la tua risposta, scrivendo anche i calcoli tramite cui sei giunto a essa: ................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................. 197 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Un’azienda deve scegliere tra le seguenti tre offerte, per il noleggio giornaliero di un autocarro: la ditta A richiede un costo fisso di 200 euro, indipendentemente dai kilometri percorsi; la ditta B richiede un costo fisso di 80 euro e un costo aggiuntivo di 1,50 euro al kilometro; la ditta C richiede un costo fisso di 50 euro e un costo aggiuntivo di 2 euro al kilometro. In figura sono riportati i grafici delle tre funzioni che costituiscono il modello delle tre alternative di costo (y rappresenta il costo corrispondente a un percorso di x km al giorno). 9 Þ y euro 250 Tema B Verso le competenze Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 200 170 150 y = h(x) y = g(x) 100 y = f(x) 50 0 10 20 30 40 50 60 70 80 75 km 90 x i. Quali sono gli abbinamenti corretti? A la funzione f rappresenta il costo relativo alla ditta A, la funzione g rappresenta il costo relativo alla ditta B e la funzione h rappresenta il costo relativo alla ditta C B la funzione f rappresenta il costo relativo alla ditta B, la funzione g rappresenta il costo relativo alla ditta C e la funzione h rappresenta il costo relativo alla ditta A C la funzione f rappresenta il costo relativo alla ditta C, la funzione g rappresenta il costo relativo alla ditta A e la funzione h rappresenta il costo relativo alla ditta B D la funzione f rappresenta il costo relativo alla ditta C, la funzione g rappresenta il costo relativo alla ditta B e la funzione h rappresenta il costo relativo alla ditta A ii. Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false. a. se si prevede di percorrere con l’autocarro meno di 50 km, è preferibile l’offerta della ditta A b. se si prevede di percorrere con l’autocarro una tratta tra i 60 km e gli 80 km, è preferibile l’offerta della ditta B c. l’offerta della ditta C è la più conveniente se e solo se si prevede di percorrere più di 75 km d. l’offerta della ditta B è la più conveniente se e solo se si prevede di percorrere meno di 60 km e. se si prevede di percorrere più di 80 km, è preferibile l’offerta della ditta A f. l’offerta della ditta A non è mai conveniente rispetto alle offerte delle altre due ditte, indipendentemente dal kilometraggio g. se di prevede di dover percorrere esattamente 60 km è indifferente scegliere l’offerta della ditta B o quella della ditta C V F V F V F V F V F V F V F Gli utili annuali UA e UB (in migliaia di euro) generati da due possibili investimenti A e B sono due variabili aleatorie di cui nelle seguenti tabelle sono date le distribuzioni di probabilità. Quale dei due investimenti è preferibile, in base al criterio del valore medio? 10 Þ Utile investimento A Probabilità Utile investimento B Probabilità 8 0,2 7 0,2 12 0,3 13 0,3 10 0,4 9 0,4 15 0,1 20 0,1 a. Risposta: ..................................................................................................................................................................................................................................... b. Giustifica la tua risposta, scrivendo anche i calcoli tramite cui sei giunto a essa: ................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................. 198 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA TEMA C Dati e previsioni Abbiamo già visto che la statistica «viene in aiuto» del calcolo della probabilità nei casi in cui il calcolo teorico della probabilità di un evento risulta troppo difficile: infatti, secondo l’approccio frequentista, si può stimare la probabilità effettuando numerose simulazioni e calcolando la frequenza (relativa) dell’evento di interesse. Viceversa, vedremo nelle prossime Unità che PREREQUISITI 3Concetti fondamentali del calcolo della probabilità e del calcolo combinatorio 3Media e varianza di una variabile aleatoria 3Distribuzione normale COMPETENZE 3Utilizzare modelli probabilistici il calcolo della probabilità «viene e di inferenza statistica per affrontare problemi di varia in aiuto» della statistica, precisamente natura e analizzare criticamente i risultati ottenuti dai modelli di quella parte della statistica, detta inferenziale, che si occupa di studiare in che misura le informazioni ricavate su un campione possono essere estese all’intera popolazione. Il calcolo della probabilità consente infatti di «controllare» l’insita incertezza che risiede nella variabilità campionaria. Unità 5 Complementi sul calcolo della probabilità Unità 6 Inferenza statistica Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Un processo produttivo «in controllo» deve garantire la produzione di beni conformi alle caratteristiche dichiarate e privi di difetti. Numerosi eventi aleatori possono tuttavia influenzare il processo (regolazione delle macchine, qualità della materia prima ecc.), dando luogo a delle imperfezioni nel prodotto o degli scostamenti rispetto alle norme dichiarate. È importante perciò un costante controllo statistico della qualità, che oggi avviene sulla base di sofisticati metodi, basati proprio sulle tecniche dell’inferenza statistica. Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Unità 5 Complementi sul calcolo della probabilità Tema C 1. Richiami di calcolo della probabilità Richiamiamo sinteticamente in questo paragrafo i principali concetti di calcolo della probabilità introdotti nel volume precedente. Terminologia Spazio campionario È l’insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento aleatorio; si indica generalmente con il simbolo . Evento Ogni sottoinsieme dello spazio campionario. Evento certo Si chiama cosı̀ un evento che coincide con lo spazio campionario. Evento elementare Un evento costituito da un solo elemento dello spazio campionario. Evento impossibile Un evento che coincide con l’insieme vuoto. Evento unione Si definisce evento unione di A e B, e si indica con A [ B, l’evento che si realizza quando si realizzano A o B (o entrambi). Evento intersezione Si definisce evento intersezione di A e B e si indica con A \ B l’evento che si realizza quando si realizzano simultaneamente entrambi gli eventi A e B. Eventi incompatibili Due eventi la cui intersezione è l’evento impossibile. Evento contrario Si definisce evento contrario di A, e si indica con A, l’evento che si realizza quando non si realizza A, ossia l’evento rappresentato dal complementare di A Il concetto di probabilità Dato uno spazio campionario , la probabilità di un evento A di è un numero reale che misura il grado di fiducia riposto nel fatto che A si realizzi. Qualsiasi sia il modo in cui decidiamo di assegnare la probabilità a un evento, deve risultare: 0 pðAÞ 1 pðxÞ ¼ 0 pð Þ ¼ 1 pðA [ BÞ ¼ pðAÞ þ pðBÞ se A e B sono eventi incompatibili In particolare, se lo spazio campionario è finito e tutti i suoi eventi elementari sono equiprobabili, allora la probabilità di un evento A si definisce in base alla nota formula: pðAÞ ¼ numero di casi favorevoli al realizzarsi di A Definizione classica di probabilità numero di casi possibli ESEMPIO Calcolo di una probabilità secondo la definizione classica Estraiamo a caso un numero tra i numeri naturali compresi tra 1 e 90 (inclusi 1 e 90). Calcoliamo la probabilità dei seguenti eventi: a. il numero estratto è 12; b. la cifra delle unità del numero estratto è 7; c. il numero estratto ha due cifre uguali. Lo spazio campionario è l’insieme f1, 2, :::, 90g ed è lecito supporre che ciascun numero abbia la stessa probabilità di essere estratto, quindi possiamo applicare la definizione classica. 200 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 1 . 90 Unità 5 a. Abbiamo un solo caso favorevole, quindi la probabilità richiesta è c. I casi favorevoli corrispondono all’estrazione di un numero appartenente all’insieme f11; 22; 33; 44; 55; 66; 77; 88g. Abbiamo quindi 8 casi favorevoli, 8 4 dunque la probabilità cercata è uguale a ¼ . 90 45 I primi teoremi di calcolo della probabilità Relativamente alla probabilità dell’evento contrario e dell’evento unione, sussistono le regole espresse nel seguente teorema. E v e n t o c o n t r a r i o ed e v e n t o u n i o n e TEOREMA 5 .1 a. Se A è un evento e A è il suo evento contrario, allora: Complementi sul calcolo della probabilità b. I casi favorevoli corrispondono all’estrazione di un numero appartenente all’insieme f7; 17; 27; 37; 47; 57; 67; 77; 87g. Abbiamo quindi 9 casi favore9 1 voli, dunque la probabilità cercata è uguale a ¼ . 90 10 pðAÞ ¼ 1 pðAÞ b. Siano A e B due eventi, allora: pðA [ BÞ ¼ pðAÞ þ pðBÞ pðA \ BÞ ESEMPIO Evento unione ed evento contrario Si estrae una carta da un mazzo di 52. Calcoliamo la probabilità che la carta estratta: a. sia un fante; b. sia rossa; c. sia un fante rosso; d. sia un fante o sia rossa; e. non sia né un fante né rossa. Indichiamo con A l’evento: «la carta estratta è un fante» e con B l’evento: «la carta estratta è rossa». 4 1 a. Poiché i fanti sono 4 in tutto, risulta pðAÞ ¼ ¼ . 52 13 b. Poiché la metà delle carte sono rosse , risulta pðBÞ ¼ 26 1 ¼ . 52 2 c. Si tratta di calcolare pðA \ BÞ; poiché i fanti rossi sono due (quello di cuori e quello di denari), risulta: pðA \ BÞ ¼ 2 1 ¼ 52 26 d. Si tratta di calcolare pðA [ BÞ: pðA [ BÞ ¼ pðAÞ þ pðBÞ pðA \ BÞ ¼ 1 1 1 7 þ ¼ 13 2 26 13 e. Osserva che l’evento: «estrarre una carta che non è né un fante né rossa» è l’evento contrario di «estrarre una carta che è un fante o rossa»; dunque la sua probabilità è: 1 pðA [ BÞ ¼ 1 7 6 ¼ 13 13 201 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema C Dati e previsioni Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Prova tu ESERCIZI a p. 214 1. Estraiamo a caso un numero tra i 90 della tombola. Calcola la probabilità dei seguenti eventi: a. il numero estratto è 13; b. la seconda cifra del numero estratto è 0; c. il numero estratto ha due cifre distinte; d. il numero estratto è pari; e. il numero estratto è multiplo di 9; 1 1 41 1 1 5 ; b. ; c. ; d. ; e. ; f. f. il numero estratto è pari o multiplo di 9. a: 90 10 45 2 9 9 2. Probabilità composte ed eventi indipendenti Probabilità condizionata Vogliamo introdurre ora un importante concetto, quello di probabilità condizionata. Esso interviene ogni qualvolta si vuole calcolare la probabilità di un evento A, sapendo che si è verificato un evento B. L’informazione aggiuntiva che deriva dal sapere che si è verificato B può modificare la probabilità che si verifichi A, come mostra l’esempio seguente. ESEMPIO Introduzione intuitiva al concetto di probabilità condizionata Supponiamo di avere lanciato per due volte consecutive una moneta non truccata. a. Sapendo che nel primo lancio è uscita «testa», qual è la probabilità che sia uscita «testa» in entrambi i lanci? b. Sapendo che in almeno uno dei due lanci è uscita «testa», qual è la probabilità che sia uscita «testa» in entrambi i lanci? Attenzione! Il risultato ottenuto nel punto b. appare spesso controintuitivo, perché a un primo approccio viene naturale il seguente ragionamento: «sapendo che almeno uno dei due lanci ha dato come risultato ‘testa’, vi sono due sole possibilità: che sia uscita ‘testa’ in entrambi i lanci o che sia uscita ‘testa’ in uno solo dei due lanci. Ciascuno di questi ultimi due eventi può verificarsi con la stessa probabilità, quindi la probabilità che siano uscite due ‘testa’, sapendo che ne è uscita 1 almeno una, è ». L’errore 2 consiste nell’aver assunto indebitamente l’equiprobabilità: infatti, come abbiamo visto, lo spazio campionario nel caso b. è 00 ¼ f(T, T); (T, C); (C, T)g, dunque la probabilità che sia uscita «testa» in uno solo dei due lanci è il doppio della probabilità che sia uscita «testa» in entrambi i lanci. 202 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Lo spazio campionario che rappresenta i possibili esiti dell’esperimento consistente nel lancio per due volte consecutive di una moneta non truccata è: ¼ fðT, T); (T, C); (C, T); (C, C)g e la probabilità di ottenere «testa» due volte, ossia dell’evento fðT, TÞg, in as1 senza di ulteriori informazioni, è . Le informazioni aggiuntive fornite nei 4 due casi a. e b. modificano tale probabilità: vediamo come. a. Sapere che nel primo lancio è uscita «testa» ci permette di «restringere» lo spazio campionario, eliminando le due coppie ordinate ðC, TÞ e ðC, CÞ. Possiamo quindi assumere come nuovo spazio campionario: 0 ¼ fðT, T); (T, CÞg I casi possibili sono ora soltanto 2, di cui uno solo favorevole, quindi la probabilità che siano uscite due «testa», sapendo che nel primo lancio è uscita 1 «testa», diviene . 2 b. Sapere che in almeno uno dei due lanci è uscita «testa» ci permette ancora di «restringere» lo spazio campionario, ma questa volta possiamo eliminare soltanto la coppia ordinata ðC, CÞ. Possiamo quindi assumere come nuovo spazio campionario: 00 ¼ f(T, T); (T, C); (C, T)g I casi possibili sono ora 3, di cui uno solo favorevole, quindi la probabilità che siano uscite due «testa», sapendo che in almeno uno dei due lanci è 1 uscita «testa», diviene . 3 Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA A: «è uscita ‘testa’ in entrambi i lanci» B: «è uscita ‘testa’ nel primo lancio» assunto come spazio campionario 0 ¼ fðT, T); (T, CÞg, ossia l’evento B stesso; contato il numero dei casi possibili, ossia il numero degli elementi di B; contato il numero dei casi favorevoli, cioè il numero degli elementi di B che realizzano A, ossia il numero degli elementi di A \ B; costruito il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili. In altre parole, è risultato che: pðA j BÞ ¼ numero di elementi di A \ B jA \ Bj ¼ numero di elementi di B jBj Dividendo numeratore e denominatore dell’ultima frazione scritta per il numero degli elementi dello spazio campionario , cioè per j j , otteniamo: Complementi sul calcolo della probabilità La probabilità dell’evento A, sapendo che si è verificato B, viene indicata con il simbolo pðA j BÞ. Per calcolare tale probabilità abbiamo Unità 5 Per fissare le idee, concentriamoci sul caso a. dell’esempio precedente. Poniamo: jA \ Bj jA \ Bj pðA \ BÞ j j pðA j BÞ ¼ ¼ ¼ jBj jBj pðBÞ j j Questo risultato motiva la seguente definizione. PROBABILITÀ CONDIZIONATA Siano A e B due eventi, con B di probabilità non nulla. Si definisce probabilità condizionata dell’evento A dato l’evento B, e si indica con il simbolo pðA j BÞ, il rapporto tra la probabilità di A \ B e la probabilità di B (fig. 5.1): pðA j BÞ ¼ pðA \ BÞ pðBÞ [5.1] B Figura 5.1 Supposto che si sia realizzato l’evento B, i soli casi che realizzano l’evento A sono quelli di A \ B. Inoltre, l’insieme B diviene lo spazio campionario. Pertanto la probabilità condizionata di A dato B viene calcolata come rapporto tra la probabilità di A \ B e quella di B. A∩B A Dalla definizione stessa di probabilità condizionata segue l’uguaglianza seguente, detta formula delle probabilità composte, che si rivela spesso molto utile per il calcolo della probabilità dell’intersezione di due eventi: pðA \ BÞ ¼ pðBÞ pðA j BÞ [5.2] Scambiando nella [5.1] i ruoli di A e B otteniamo: pðB j AÞ ¼ pðB \ AÞ pðA \ BÞ ¼ pðAÞ pðAÞ perciò la probabilità di A \ B può essere espressa anche mediante la seguente formula, simmetrica della [5.2]: pðA \ BÞ ¼ pðAÞ pðB j AÞ [5.3] 203 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema C Dati e previsioni Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA ESEMPIO Applicazione della formula delle probabilità composte Da un sacchetto contenente i 90 numeri della tombola si estraggono successivamente due numeri, senza rimettere nel sacchetto il primo numero estratto. Qual è la probabilità che il primo numero estratto sia divisibile per 10 e il secondo sia pari? Indichiamo con A l’evento: «il primo numero è divisibile per 10» e con B l’evento: «il secondo numero è pari»; dobbiamo calcolare pðA \ BÞ. Allo scopo di utilizzare la [5.3] osserviamo che: 9 1 ¼ pðAÞ ¼ 90 10 pðB j AÞ è la probabilità di estrarre un numero pari dopo che dal sacchetto è stato tolto un numero divisibile per 10 (cioè pari); dunque risulta 44 pðB j AÞ ¼ . 89 Possiamo ora applicare la [5.3], ottenendo cosı̀: 1 44 22 ¼ pðA \ BÞ ¼ pðAÞ pðB j AÞ ¼ 10 89 445 La formula delle probabilità composte può essere generalizzata al caso di più di due eventi. Per esempio, nel caso di tre eventi si può dimostrare che: pðE1 \ E2 \ E3 Þ ¼ pðE1 Þ pðE2 j E1 Þ pðE3 j E1 \ H2 Þ Più in generale, se un evento è l’intersezione degli n eventi E1 , E2 , ..., En , la probabilità che si verifichi E è data dal prodotto che ha come fattori: la probabilità di E1 ; la probabilità di E2 , supposto verificato E1 ; la probabilità di E3 , supposti verificati E1 ed E2 ; ......................... la probabilità di En , supposti verificati gli n 1 eventi precedenti. In formule: pðE1 \ E2 \ ::::: \ En1 \ En Þ ¼ ¼ pðE1 Þ pðE2 j E1 Þ pðE3 j E1 \ E2 Þ ::::: pðEn j E1 \ ::::: \ En1 Þ ESEMPIO Applicazione della formula delle probabilità composte generalizzata Da un mazzo di 40 carte se ne estraggono quattro successivamente (senza rimettere le carte estratte nel mazzo). Qual è la probabilità che le carte estratte siano quattro Assi? Si tratta di calcolare la probabilità dell’evento pðE1 \ E2 \ E3 \ E4 Þ, essendo E1 , E2 , E3 , E4 rispettivamente gli eventi: «è uscito un Asso alla prima estrazione», «è uscito un Asso alla seconda estrazione», «è uscito un Asso alla terza estrazione», «è uscito un Asso alla quarta estrazione». Per applicare la formula delle probabilità composte generalizzata, osserviamo che: 4 1 la probabilità di estrarre un Asso alla prima estrazione è ¼ ; 40 10 la probabilità di estrarre un Asso alla seconda estrazione, se un Asso è stato 3 1 ¼ ; già estratto nella prima estrazione, è 39 13 la probabilità di estrarre un Asso alla terza estrazione, se due Assi sono stati 2 1 già estratti nelle prime due estrazioni, è ¼ ; 38 19 la probabilità di estrarre un Asso alla quarta estrazione, se tre Assi sono stati 1 già estratti nelle prime tre estrazioni, è . 37 1 1 1 1 1 La probabilità di estrarre quattro Assi è quindi: ¼ . 10 13 19 37 91 390 204 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA TEOREMA 5 .2 Dati tre eventi A, B, H, con H di probabilità non nulla, risulta: Attenzione! a. pð A j HÞ ¼ 1 pðA j HÞ In generale non è vero che: pðAjHÞ ¼ b. pðA [ B j HÞ ¼ pðA j HÞ þ pðB j HÞ pðA \ B j HÞ ¼ 1 pðAjHÞ errato! In particolare, se A e B sono incompatibili: pðA [ B j HÞ ¼ pðA j HÞ þ pðB j HÞ Eventi indipendenti Intuitivamente, due eventi A e B si dicono indipendenti se il verificarsi dell’uno non altera la probabilità che si verifichi l’altro. Formalmente, utilizzando la definizione di probabilità condizionata, possiamo dare la seguente definizione. Complementi sul calcolo della probabilità Pro prie t à delle probabil ità cond izi onate Unità 5 Valgono infine le proprietà espresse nel seguente teorema, che estendono alle probabilità condizionate i teoremi relativi alla probabilità dell’evento complementare e dell’unione di due eventi. EVENTI INDIPENDENTI Due eventi A e B (con B di probabilità non nulla) si dicono indipendenti se la probabilità condizionata dell’evento A, dato l’evento B, è uguale alla probabilità di A. In simboli, l’indipendenza tra A e B può esprimersi tramite la condizione: pðA j BÞ ¼ pðAÞ [5.4] La definizione di eventi indipendenti è simmetrica, nel senso che può esprimersi in modo equivalente scambiando i ruoli di A e B; dunque si può dire, in modo equivalente, che due eventi A e B (con A di probabilità non nulla) sono indipendenti se e solo se: pðB j AÞ ¼ pðBÞ Se A e B sono due eventi indipendenti, la formula delle probabilità composte diventa: pðA \ BÞ ¼ pðAÞ pðBÞ [5.5] nota anche come regola del prodotto. Viceversa, se è vera la [5.5], allora i due eventi A e B sono indipendenti. ESEMPI Eventi dipendenti ed eventi indipendenti a. Lanciamo per due volte consecutive un dado e consideriamo i due eventi A: «il primo numero uscito è 2», B: «il secondo numero uscito è 5». I due eventi sono indipendenti? b. Lanciamo per due volte consecutive un dado; siano A l’evento: «il primo numero uscito è 2» e B l’evento: «la somma dei due numeri usciti è 5». I due eventi sono indipendenti? a. È intuitivo che il numero uscito nel lancio del dado la prima volta non influenza il numero che uscirà nel secondo lancio, quindi ci aspettiamo che i due eventi siano indipendenti. Verifichiamolo in base alla [5.5]. È immediato che: pðAÞ ¼ 1 6 e Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P pðBÞ ¼ 1 6 Attenzione! Presta attenzione a non confondere i due concetti di eventi indipendenti e di eventi incompatibili. In particolare, è un errore frequente ritenere che due eventi incompatibili siano anche indipendenti; in realtà, è vero esattamente il contrario, cioè che due eventi incompatibili (aventi probabilità non nulla) non sono mai indipendenti. Infatti, in queste ipotesi la [5.5] non può essere verificata, essendo il primo membro uguale a zero (poiché A \ B ¼ x e pðA \ BÞ ¼ 0Þ e il secondo membro diverso da zero (perché stiamo supponendo pðAÞ 6¼ 0 e pðBÞ 6¼ 0Þ. Ô 205 Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Dati e previsioni Ô Per calcolare pðA \ BÞ notiamo che, assumendo come spazio campionario ¼ X X, con X ¼ f1, 2, 3, 4, 5, 6g, abbiamo 36 casi possibili (ed equi1 . probabili) di cui 1 solo favorevole, quindi pðA \ BÞ ¼ 36 È facile a questo punto riconoscere che pðAÞ pðBÞ ¼ pðA \ BÞ. Tema C b. Ragioniamo intuitivamente: la possibilità di ottenere 5 come somma dei due numeri usciti dipende dal numero uscito nel lancio del primo dado; per esempio, se il primo numero uscito fosse 6, sarebbe impossibile ottenere 5 come somma dei due numeri usciti. Ci aspettiamo quindi che i due eventi non siano indipendenti. Verifichiamolo in base alla [5.5]. È semplice calcolare la probabilità dell’evento A: 1 pðAÞ ¼ 6 Per il calcolo della probabilità di B assumiamo come spazio campionario ¼ X X, essendo X ¼ f1, 2, 3, 4, 5, 6g. Allora j j ¼ 36 e l’evento B è rappresentato dal seguente sottoinsieme di : fð1, 4Þ; ð2, 3Þ; ð3, 2Þ; ð4, 1Þg Dunque pðBÞ ¼ Attenzione! Non si estende alle probabilità condizionate la regola del prodotto relativa a due eventi indipendenti, cioè se due eventi A e B sono indipendenti, in generale non è vero che: pðA \ BjHÞ ¼ ¼ pðAjHÞ pðBjHÞ errato! 4 1 ¼ . 36 9 L’evento A \ B, ossia «il primo numero uscito è 2 e la somma dei due numeri usciti è 5» è rappresentato da fð2, 3Þg, quindi: 1 pðA \ BÞ ¼ 36 È immediato a questo punto riconoscere che pðAÞ pðBÞ 6¼ pðA \ BÞ. Si può dimostrare che, se A e B sono due eventi indipendenti, anche le coppie di eventi: A e B, A e B, A e B sono indipendenti. Prova tu ESERCIZI a p. 215 1. Il 98% delle lampadine prodotte da una fabbrica sono prive di difetti. Se una lampadina è difettosa, la probabilità che venga scartata in base ai controlli di qualità è del 90%. Scelta a caso una lampadina prodotta, qual è la probabilità che sia difettosa e non venga scartata? [0,2%] 2. Si lancia un dado regolare. Gli eventi: «è uscito un numero pari» ed «è uscito un numero primo» sono indipendenti? [No] 3. Il teorema della probabilità totale e il teorema di Bayes In questo paragrafo presentiamo alcuni importanti teoremi che derivano dall’applicazione del concetto di probabilità condizionata. Il teorema della probabilità totale Consideriamo lo spazio campionario e supponiamo che H1 , H2 , ..., Hn siano una partizione di , cioè che H1 , H2 , ..., Hn siano eventi di probabilità non nulla di , a due a due disgiunti, la cui unione è : ¼ H1 [ H2 [ ::::: [ Hn 206 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Unità 5 Considerato un qualsiasi evento A , gli insiemi A \ H1 , A \ H2 , ..., A \ Hn risultano a loro volta a due a due disgiunti e la loro unione è A (fig. 5.2, in cui n ¼ 4): Complementi sul calcolo della probabilità A ¼ ðA \ H1 Þ [ ðA \ H2 Þ [ ::: [ ðA \ Hn Þ Ω A H1 A ∩ H1 A ∩ H2 H4 A ∩ H4 A ∩ H3 H2 H3 Figura 5.2 Poiché gli eventi A \ H1 , A \ H2 , ..., A \ Hn sono disgiunti, abbiamo l’uguaglianza: pðAÞ ¼ pðA \ H1 Þ þ pðA \ H2 Þ þ ::: þ pðA \ Hn Þ che, in base alla formula delle probabilità composte, si può scrivere nella forma: pðAÞ ¼ pðA j H1 Þ pðH1 Þ þ pðA j H2 Þ pðH2 Þ þ ::: þ pðA j Hn Þ pðHn Þ Formula d el la probabilità totale TEOREMA 5 .3 Sia H1 , H2 ,..., Hn una collezione di insiemi che forma una partizione dello spazio campionario. Allora, per ogni evento A, vale l’uguaglianza: pðAÞ ¼ pðA j H1 Þ pðH1 Þ þ pðA j H2 Þ pðH2 Þ þ ::: þ pðA j Hn Þ pðHn Þ [5.6] È importante fare alcune osservazioni. 1. La più semplice applicazione del teorema 5.3 riguarda il caso in cui si considerano, come partizione dello spazio campionario, i due insiemi: Attenzione! Il fatto che H1 , H2 , ..., Hn definiscano una partizione dello spazio campionario significa che H1 , H2 , ..., Hn : – hanno probabilità non nulle; – sono a due a due disgiunti; – la loro unione è lo spazio campionario. H1 ¼ B e H2 ¼ B dove B è un qualunque evento di probabilità non nulla; in tal caso la formula [5.6] diventa più semplicemente: pðAÞ ¼ pðA j BÞ pðBÞ þ pðA j BÞ pðBÞ 2. Gli eventi H1 , H2 ,..., Hn che costituiscono una partizione dello spazio campionario prendono anche il nome di alternative perché se ne può verificare uno e uno solo. L’utilità del teorema 5.3 dipende dal fatto che spesso è difficile calcolare pðAÞ mentre è più facile calcolare pðA j Hi Þ, perché ciò significa calcolare pðAÞ con l’informazione aggiuntiva proveniente dal sapere che si è verificato Hi . ESEMPIO Applicazione del teorema della probabilità totale Un esperto di cavalli ritiene che il purosangue Furia sia più forte se corre con la pioggia. In particolare, l’esperto stima che Furia possa vincere con probabilità 10% in caso di tempo asciutto e con probabilità 25% in caso di pioggia. Il servizio meteorologico prevede, per l’ora della gara, tempo asciutto con una probabilità del 30%. Qual è la probabilità che Furia vinca la sua gara? Formalizziamo il problema Indichiamo con A l’evento «il giorno della gara il tempo è asciutto» e con A l’evento «il giorno della gara piove»; sia inoltre V l’evento «Furia vince la gara». Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Ô 207 Tema C Dati e previsioni Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Ô Sappiamo che: pðV j AÞ ¼ 0,1 Furia vince con probabilità 10% se il tempo è asciutto pðV j AÞ ¼ 0,25 Furia vince con probabilità 25% se piove pðAÞ ¼ 0,3 Il tempo è asciutto con probabilità uguale al 30% Dobbiamo calcolare pðVÞ. Calcoliamo le probabilità I due eventi A e A costituiscono un insieme di alternative (perché sono uno il complementare dell’altro) quindi possiamo applicare la formula della probabilità totale: pðVÞ ¼ pðV j AÞ pðAÞ þ pðV j AÞ pðAÞ ¼ ¼ pðV j AÞ pðAÞ þ pðV j AÞ ð1 pðAÞÞ ¼ ¼ 0,1 0,3 þ 0,25 ð1 0,3Þ ¼ 0,205 ¼ 20,5% VISUALIZZIAMO I CONCETTI Problemi di probabilità e diagrammi ad albero Possiamo rappresentare il problema risolto nel precedente esempio con il diagramma ad albero in fig. 5.3. 0,1 0,3 0,7 V A p(A) 0,9 V 0,25 V p( A) A 0,75 V p(V | A) V p(V | A) V p(V | A) V p(A) ⋅ p(V|A) = p(A ∩ V) A p( A) ⋅ p(V | A) = p( A ∩ V ) A V Figura 5.3 p(V|A) Figura 5.4 Nel diagramma in fig. 5.4 abbiamo esplicitato il significato delle probabilità rappresentate sui rami. È importante osservare quanto segue. 1. La somma delle probabilità corrispondenti ai rami che escono da un medesimo nodo è sempre uguale a 1. Ciò dipende dal fatto che i rami che escono da un nodo rappresentano eventi complementari. 2. La probabilità dell’evento rappresentato da un cammino (cioè da una successione di rami) è il prodotto delle probabilità segnate sui rami da cui è costituito. Questa proprietà non è altro che la «trasposizione» sul diagramma ad albero della regola delle probabilità composte; per esempio, il cammino rappresentato in rosso in fig. 5.4 rappresenta l’evento A \ V e risulta: pðA \ VÞ probabilità dell’evento rappresentato dal cammino in rosso ¼ pðAÞ probabilità segnata sul primo ramo del cammino pðV j AÞ probabilità segnata sul secondo ramo del cammino 3. La probabilità di un evento è la somma delle probabilità di tutti i cammini che conducono a esso. Questa proprietà non è altro che la «trasposizione» sul diagramma ad albero della formula della probabilità totale. Per esempio, nel diagramma riportato in fig. 5.4, ci sono due cammini (quello colorato in rosso e quello colorato in blu) che conducono all’evento V; la probabilità di 208 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Unità 5 V è la somma delle probabilità dei due eventi rappresentati da questi due cammini; infatti: pðV j AÞ pðAÞ þ è la probabilità dell’evento A \ V , cioè dell’evento rappresentato dal cammino in rosso pðV j AÞ pðAÞ Complementi sul calcolo della probabilità pðVÞ ¼ è la probabilità dell’evento A \ V , cioè dell’evento rappresentato dal cammino in blu La risoluzione di molti problemi di probabilità può essere facilitata rappresentandoli con opportuni diagrammi ad albero e tenendo presente le regole 1, 2 e 3 enunciate sopra. Il teorema di Bayes Abbiamo visto nel paragrafo precedente la formula delle probabilità composte: pðA \ BÞ ¼ pðAÞ pðB j AÞ [5.7] e la formula simmetrica che si ottiene invertendo i ruoli di A e B: pðB \ AÞ ¼ pðBÞ pðA j BÞ [5.8] Poiché A \ B ¼ B \ A, dal confronto tra la [5.7] e la [5.8] si ottiene che: pðAÞ pðB j AÞ ¼ pðBÞ pðA j BÞ Dividendo i due membri di quest’ultima uguaglianza per pðAÞ (supposta diversa da zero), otteniamo la cosiddetta formula di Bayes che esprime un legame tra pðB j AÞ e pðA j BÞ. Formula di Bayes TEOREMA 5 .4 Dati due eventi A e B, tali che pðAÞ 6¼ 0, risulta: pðB j AÞ ¼ Dalla storia pðA j BÞpðBÞ pðAÞ La formula di Bayes viene spesso applicata congiuntamente al teorema delle probabilità totali, che si rivela utile per il calcolo di pðAÞ. ESEMPIO La formula di Bayes è cosı̀ chiamata in omaggio al matematico Thomas Bayes (1702-1761). Controllo qualità Una fabbrica di sacchetti di carta ha due linee di produzione: la prima linea produce 500 pezzi al giorno, di cui il 2% difettosi; la seconda linea produce 300 pezzi al giorno di cui l’1% difettoso. Facendo un controllo a caso su tutta la produzione giornaliera si trova un sacchetto difettoso; qual è la probabilità che esso provenga dalla prima linea? Formalizziamo il problema Consideriamo gli eventi: L1 : «il sacchetto scelto proviene dalla linea 1»; L2 : «il sacchetto scelto proviene dalla linea 2»; D: «il sacchetto scelto è difettoso». In base ai dati sappiamo che: 500 5 300 3 pðL1 Þ ¼ ¼ pðL2 Þ ¼ ¼ 800 8 800 8 pðD j L1 Þ ¼ 0,02 pðD j L2 Þ ¼ 0,01 Dobbiamo calcolare: pðL1 j DÞ Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Ô 209 Tema C Dati e previsioni Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Ô Calcoliamo le probabilità In base alla formula di Bayes: pðL1 j DÞ ¼ pðD j L1 Þ pðL1 Þ pðDÞ L’unica probabilità che ci manca è pðDÞ, che possiamo calcolare con la formula delle probabilità totali: pðDÞ ¼ pðD j L1 Þ pðL1 Þ þ pðD j L2 Þ pðL2 Þ ¼ ¼ 0,02 5 3 13 þ 0,01 ¼ 8 8 800 Pertanto: 5 0,02 pðD j L1 Þ pðL1 Þ 8 ¼ 10 pðL1 j DÞ ¼ ¼ 13 pðDÞ 13 800 ESEMPIO Test clinico Un test clinico è efficace nel 98% dei casi nell’individuare una data malattia nelle persone effettivamente malate (vale a dire: se una persona malata si sottopone al test, nel 98% dei casi il test risulta positivo). Il test tuttavia può generare anche dei «falsi positivi», cioè dare esito positivo nell’1% delle persone sane che si sottopongono al test. È noto inoltre che la malattia colpisce lo 0,5% della popolazione. Se una persona risulta positiva al test, qual è la probabilità che sia effettivamente malata? Formalizziamo il problema Consideriamo i due eventi: M: «la persona è malata» e T þ : «il test risulta positivo» I dati forniti dal problema si possono formalizzare cosı̀: pðT þ j MÞ ¼ 0,98 pðT þ j MÞ ¼ 0,01 pðMÞ ¼ 0,005 þ L’obiettivo è calcolare pðM j T Þ. Calcoliamo le probabilità Per la formula di Bayes: pðM j T þ Þ ¼ pðT þ j MÞ pðMÞ pðT þ Þ L’unica probabilità che ci manca è pðT þ Þ, che possiamo calcolare con la formula delle probabilità totali: pðT þ Þ ¼ pðT þ j MÞ pðMÞ þ pðT þ j MÞ pðMÞ ¼ ¼ pðT þ j MÞ pðMÞ þ pðT þ j MÞ ð1 pðMÞÞ ¼ ¼ 0,98 0,005 þ 0,01 ð1 0,005Þ ¼ ¼ 0,01485 In definitiva: pðM j T þ Þ ¼ pðT þ j MÞ pðMÞ 0,98 0,005 ’ 0,33 ¼ pðT þ Þ 0,01485 Commentiamo il risultato Il risultato ci dice quindi che una persona risultata positiva al test ha soltanto il 33% circa di probabilità di risultare effettivamente malata! E questo nonostante il test abbia alta sensibilità: infatti individua la malattia nel 98% dei malati. Questo apparente paradosso dipende dal fatto che la malattia considerata è a bassa incidenza: la probabilità che un individuo della popolazione sia 210 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Unità 5 Prova tu ESERCIZI a p. 219 Due macchine A e B, producono rispettivamente il 30% e il 70% del numero totale di lampadine prodotte da una fabbrica. Il 3% delle lampadine prodotte dalla macchina A è difettoso, mentre 1’% delle lampadine prodotte dalla macchina B è difettoso. Si sceglie a caso una lampadina. Sapendo che è difettosa, qual è la probabilità che sia stata prodotta 9 dalla macchina A? 16 Complementi sul calcolo della probabilità malato è infatti solo lo 0,5%, cioè solo 1 individuo su 200 risulta malato. La maggior parte dei positivi risultano falsi positivi proprio per questo motivo: perché la quasi totalità della popolazione è sana. Per esempio, supponiamo che 20 000 persone si sottopongano al test; ci aspettiamo allora che i malati siano lo 0,5%, cioè 100, e di questi il 98% risulteranno veri positivi al test, cioè 98. Nei restanti 19 900 sani, i falsi positivi saranno l’1%, cioè 199: quindi in totale, tra i 98 þ 199 ¼ 297 positivi al test, soltanto 98 sono veramente malati, appunto circa il 33%. MATEMATICA NELLA STORIA La nascita e gli sviluppi del calcolo della probabilità Sebbene i giochi d’azzardo fossero molto diffusi sia presso gli antichi Greci, sia presso i Romani, sia nel Medioevo, bisogna attendere il secolo XVI perché venga preso in considerazione il problema di una loro analisi tramite strumenti matematici. I primi documenti che testimoniano un interesse al riguardo sono un trattato di Girolamo Cardano (1501-1576), De ludo aleae, e uno scritto di Galileo Galilei (1564-1642), Sopra le scoperte dei dadi, stimolato da alcuni quesiti posti a Galileo da nobili fiorentini appassionati del «gioco della zara» (un gioco con tre dadi). La nascita vera e propria del calcolo della probabilità, tuttavia, si fa comunemente risalire alla corrispondenza tra Blaise Pascal (1623-1662) e Pierre de Fermat (1601-1665) a metà del secolo XVII. Il carteggio tra Pascal e Fermat trae spunto dalla discussione di alcuni problemi che erano stati proposti a Pascal dal Cavalier de Méré, un accanito giocatore d’azzardo. Sebbene il loro scambio epistolare non venga pubblicato, riesce comunque a dare un notevole impulso allo sviluppo del calcolo della probabilità. Il primo trattato vero e proprio di probabilità è dovuto a Christiaan Huygens (16291695), che nella sua opera, De Ratiociniis in Ludo Aleae (1657), ripropone in modo organico i risultati cui erano giunti Pascal e Fermat, integrandoli con alcuni contributi personali. Le origini del calcolo della probabilità si fanno risalire alla corrispondenza fra Pascal (a sinistra) e Fermat (a destra). La legge dei grandi numeri viene scoperta da Jacob Bernoulli (1654-1705) e descritta nel suo trattato Ars Conjectandi, pubblicato postumo nel 1713. 211 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema C Dati e previsioni Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Nel XVIII secolo molti altri matematici come Leibnitz, Bayes e Lagrange danno importanti contributi al calcolo della probabilità, ampliandone progressivamente i campi di applicazione (inizialmente limitati all’analisi dei giochi di azzardo) a vari problemi scientifici. Tutti questi studi trovano un punto di sintesi nel XIX secolo, nell’opera di Pierre de Laplace (1749-1827), Théorie analytique des probabilités. Laplace si rende conto in particolare che l’enorme complessità di molti problemi reali non permetteva più di usare solo gli strumenti classici ma imponeva un nuovo approccio, di tipo probabilistico. Nel XIX secolo, si devono a Laplace alcuni dei più importanti contributi all’evoluzione del calcolo della probabilità. Tra il XIX secolo e gli inizi del XX vari contributi allo sviluppo del calcolo della probabilità vengono da numerosi matematici quali Legendre, Gauss, Poisson, Chebyshev, Markov, Richard von Mises. Agli inizi del XX secolo il problema dei fondamenti del calcolo della probabilità (in particolare quello della definizione di probabilità), posto ufficialmente da Hilbert nel 1900, resisteva ancora a una soluzione soddisfacente, nonostante i tentativi di molti grandi matematici quali von Mises, Poincarè, De finetti e altri. A questo proposito, nel 1927 Bertrand Russell affermava ironicamente che «il concetto di probabilità è il più importante della scienza moderna, soprattutto perché nessuno ha la più pallida idea del suo significato». La questione dei fondamenti viene definitivamente risolta, come abbiamo visto nel primo paragrafo, solo nel 1933, a opera del matematico russo Kolmogorov, con il suo rivoluzionario approccio assiomatico. Kolmogorov risolve nel 1933 il problema dei fondamenti del calcolo della probabilità, con un approccio assiomatico che rivoluziona il modo di intendere la materia. Fra i risultati più importanti scoperti nella seconda metà del secolo scorso citiamo i cosiddetti metodi Monte Carlo, che consistono grosso modo nella simulazione su un calcolatore dei problemi che risultano troppo complessi da trattare matematicamente. Tale approccio, nato da un’idea di Enrico Fermi e successivamente sviluppato da John Von Neumann (1903-1957) e Stanislaw Ulam (1909-1984), viene oggi comunemente utilizzato in svariati ambiti, dalla fisica all’analisi del rischio nella valutazione degli investimenti. In libreria e in rete Amir Aczel, Chance. Dai giochi d’azzardo agli affari (di cuore), Raffaello Cortina Keith Devlin, La lettera di Pascal. Storia dell’equazione che ha fondato la teoria della probabilità, Rizzoli Jeffrey S. Rosenthal, Le regole del caso: istruzioni per l’uso, Longanesi Leonard Mlodinow, La passeggiata dell’ubriaco, Rizzoli 212 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA In più: esercizi interattivi Esercizi 5 Unità Formule e proprietà importanti a. 0 pðEÞ 1 qualunque sia l’evento E; b. se è lo spazio campionario, allora: pð Þ ¼ 1; c. se A e B sono eventi incompatibili, allora: pðA [ BÞ ¼ pðAÞ þ pðBÞ. Probabilità secondo la definizione classica Sia E un evento di uno spazio campionario , in cui tutti gli eventi elementari hanno la stessa probabilità di verificarsi. Supponiamo che l’evento E sia formato da k eventi elementari (brevemente detti «casi favorevoli») e lo spazio campionario sia formato da n eventi elementari (brevemente detti «casi possibili»). Si definisce probabilità dell’evento E, e si indica con pðEÞ, il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili: pðEÞ ¼ k n Complementi sul calcolo della probabilità Assiomi di probabilità La probabilità pðEÞ di un evento E è un numero reale che verifica i seguenti assiomi: Unità 5 SINTESI Probabilità dell’evento contrario Se A è un evento e A è il suo evento contrario, allora si ha: pðAÞ ¼ 1 pðAÞ Probabilità dell’unione di due eventi Se A e B sono due eventi, allora: pðA [ BÞ ¼ pðAÞ þ pðBÞ pðA \ BÞ Probabilità condizionata Siano A e B due eventi, con B di probabilità non nulla; allora: pðAjBÞ ¼ pðA \ BÞ pðBÞ Eventi indipendenti Per due eventi indipendenti A e B vale la regola del prodotto: pðA \ BÞ ¼ pðAÞ pðBÞ Formula della probabilità totale Sia H1 , H2 ,..., Hn una collezione di insiemi che forma una partizione dello spazio campionario. Allora, per ogni evento A, vale l’uguaglianza: pðAÞ ¼ pðAjH1 Þ pðH1 Þ þ pðAjH2 Þ pðH2 Þ þ ::: þ pðAjHn Þ pðHn Þ Formula di Bayes Dati due eventi A e B, tali che pðAÞ 6¼ 0, risulta: pðBjAÞ ¼ pðAjBÞpðBÞ pðAÞ 213 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema C Dati e previsioni Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA CONOSCENZE E ABILITÀ 1. Richiami di calcolo della probabilità TEORIA a p. 200 Vero o falso? 1 Þ 2 Þ 3 2 2 la probabilità di un evento può essere uguale a 3 la probabilità di un evento può essere uguale a V F V F 3 Þ un evento certo ha probabilità uguale a 1 V F 4 Þ un evento impossibile ha probabilità uguale a 0 V F 5 Þ se due eventi hanno probabilità diversa da zero, non possono essere incompatibili V F 6 Þ se un evento ha probabilità uguale a V F 7 Þ se due eventi sono disgiunti, allora sono incompatibili V F 8 Þ la probabilità dell’evento A [ B è sempre uguale alla somma delle probabilità di A e B V F si lancia successivamente una moneta per 3 volte; lo spazio campionario di questo esperimento aleatorio è costituito da esattamente 8 elementi V F 1 2 , allora il suo evento contrario ha probabilità uguale a 3 3 9 Þ 10 Þ comunque si scelgano due eventi A e B, vale la relazione: pðA \ BÞ þ pðA [ BÞ ¼ pðAÞ þ pðBÞ V F Test Si sceglie a caso un numero intero positivo compreso tra 1 e 10 (inclusi 1 e 10). Qual è la probabilità di ottenere un numero pari? 1 1 1 3 A B C D 3 2 5 10 11 Þ Si sceglie a caso un numero intero positivo compreso tra 1 e 10 (inclusi 1 e 10). Qual è la probabilità di ottenere un multiplo di 3? 1 1 1 3 A B C D 3 2 5 10 12 Þ Si sceglie a caso un numero intero positivo compreso tra 1 e 10 (inclusi 1 e 10). Qual è la probabilità di ottenere un multiplo di 4? 1 1 1 3 A B C D 3 2 5 10 13 Þ 14 Þ A 15 Þ A Sia A un evento la cui probabilità è 1 3 B 1 2 1 . Qual è la probabilità dell’evento contrario A? 5 2 4 C D 5 5 Dati due eventi A e B tali che pðAÞ ¼ 1 6 B 5 6 1 1 1 , pðBÞ ¼ e pðA \ BÞ ¼ , qual è la probabilità dell’evento A [ B? 3 2 4 5 7 C D 12 12 Problemi Una scatola contiene palline di vario colore. In particolare, si sa che ci sono 8 palline rosse e che la probabilità di estrarre una pallina rossa è 0,16. Quante palline ci sono nell’urna? [50] 16 Þ Una scatola contiene palline di vario colore. In particolare, si sa che ci sono esattamente 10 palline rosse e che la probabilità di estrarre una pallina rossa è 0,2. a. Quante palline ci sono nell’urna? 17 Þ 214 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA b. Supponendo ulteriormente che, tra le palline contenute nell’urna, ce ne siano esattamente 20 verdi, qual è la probabilità di estrarre una pallina che non sia né rossa né verde? 2 a. 50; b . 5 Unità 5 Una scatola contiene palline di vario colore. In particolare, si sa che ci sono esattamente 12 palline rosse e che la probabilità di estrarre una pallina rossa è 0,4. a. Quante palline ci sono nell’urna? b. Supponendo ulteriormente che, tra le palline contenute nell’urna, ce ne siano esattamente 15 verdi, qual è la probabilità di estrarre una pallina che non sia né rossa né verde? 1 a. 30; b. 10 Complementi sul calcolo della probabilità 18 Þ Un’urna contiene 10 palline: 6 sono verdi e sono numerate da 1 a 6, mentre le altre 4 sono rosse e sono numerate da 1 a 4. Si estrae a caso una pallina dall’urna. Considera i seguenti eventi: V: «la pallina estratta è verde» R: «la pallina estratta è rossa» P: «la palline estratta ha impresso un numero pari». a. Determina la probabilità dei tre eventi V, R, P. b. Determina la probabilità degli eventi V \ R, V \ P, R \ P. 3 2 1 3 1 4 7 c. Determina la probabilità degli eventi V [ R, V [ P, R [ P. a. ; ; ; b. 0, ; ; c. 1, ; 5 5 2 10 5 5 10 19 Þ Quanti sono i possibili anagrammi (anche senza significato) della parola «cielo’’? Si sceglie a caso uno di questi anagrammi; qual è la probabilità che l’ultima lettera dell’anagramma sia una vocale? Qual è la probabilità che l’ultima sia una consonante? 3 2 120; ; 5 5 21 Si lancia un dado per sei volte. Qual è la probabilità che nei sei lanci si ottengano facce tutte diverse? 5 Þ 324 20 Þ Si scelgono simultaneamente sei carte da un mazzo di 40 (cioè da un mazzo ottenuto da quello di 52 elimi nando gli 8, i 9 e i 10). Qual è la probabilità che tra le sei carte estratte ci sia il fante di picche? 3 20 23 Giocando due numeri al lotto, qual è la probabilità di fare ambo? 2 Þ 801 22 Þ Un oggetto prodotto da una macchina può presentare due tipi di difetti, diciamo A e B. Scelto a caso un oggetto prodotto dalla macchina, la probabilità che presenti il difetto A è 0,1; la probabilità che presenti il difetto B è 0,2 e la probabilità che non presenti alcun difetto è 0,75. Determina la probabilità che l’oggetto: a. presenti almeno uno dei due difetti; b. presenti entrambi i difetti; c. non presenti il difetto A ma presenti il difetto B. [a. 0,25; b. 0,05; c. 0,15] 24 Þ Un oggetto prodotto da una macchina può presentare due tipi di difetti, diciamo A e B. Scelto a caso un oggetto prodotto dalla macchina, la probabilità che presenti il difetto A è 0,1; la probabilità che presenti il difetto B è 0,2 e la probabilità che non presenti alcun difetto è 0,85. Determina la probabilità che l’oggetto: a. presenti almeno uno dei due difetti; b. presenti entrambi i difetti; c. non presenti il difetto A ma presenti il difetto B. [a. 0,15; b. 0,15; c. 0,05] 25 Þ 2. Probabilità composte ed eventi indipendenti TEORIA a p. 202 Esercizi preliminari Vero o falso? a. pðA \ BÞ ¼ pðBÞ pðAjBÞ b. pðA \ BÞ ¼ pðBÞ pðBjAÞ c. pðAÞ pðBjAÞ ¼ pðBÞ pðAjBÞ d. due eventi incompatibili sono sempre indipendenti e. due eventi indipendenti sono sempre incompatibili 26 Þ V F V F V F V F V F [2 affermazioni vere e 3 false] 215 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Dati e previsioni Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Test 1 1 e pðBjAÞ ¼ , allora pðA \ BÞ è ugua27 Se pðAÞ ¼ Þ 2 3 le a: A Tema C D 28 Þ 1 4 B 1 5 C Allora pðA \ BÞ è uguale a: 1 6 Siano A e B due eventi indipendenti tali che 1 2 e 2 3 pðBÞ ¼ Allora pðA \ BÞ è uguale a: A D 1 2 B 1 3 1 1 1 B C 2 3 6 D le informazioni non sono sufficienti per stabilirne il valore 1 30 Siano A e B due eventi. Si sa che pðAÞ ¼ , Þ 2 1 1 e pðA \ BÞ ¼ . Allora i due eventi A e B: pðBÞ ¼ 3 5 A le informazioni non sono sufficienti per stabilirne il valore pðAÞ ¼ Siano A e B due eventi indipendenti tali che 1 1 e pðBÞ ¼ pðAÞ ¼ 2 3 29 Þ A C 1 6 B C le informazioni non sono sufficienti per stabilirne il valore D sono incompatibili sono indipendenti non sono né incompatibili né indipendenti le informazioni date non sono sufficienti per stabilirlo Probabilità condizionata e formula delle probabilità composte 31 Þ ESERCIZIO SVOLTO I genitori di Claudio hanno due figli. Qual è la probabilità che Claudio abbia un fratello? 1 modo Per una coppia che ha due figli lo spazio campionario di riferimento è = fff, fm, mf, mmg. Avendo la coppia descritta nell’esercizio un figlio maschio, bisogna passare a considerare come spazio campionario effettivo il sottoinsieme 0 ¼ ffm, mf, mmg. In 0 vi è un solo evento che realizza il fatto che Claudio abbia un fra1 tello. Quindi la probabilità richiesta è: . 3 2 modo Sia A l’evento «i due figli della coppia sono entrambi maschi» e B l’evento «almeno uno dei due figli della coppia è maschio». Si tratta di determinare pðAjBÞ. In base alla definizione: 1 pðA \ BÞ 1 pðAjBÞ ¼ ¼ 4 ¼ 3 pðBÞ 3 4 Si è lanciato un dado regolare a sei facce e si sa che si è ottenuto un numero pari. Qual è la probabilità che il numero estratto sia maggiore di 2? 2 3 Fra tutti i numeri naturali minori o uguali a 20 se ne estrae uno casualmente. Si sa che l’estratto è un numero primo. Qual è la probabilità che sia minore o uguale a 11? 5 8 32 Þ Si è estratto un numero dal sacchetto della tombola. Sapendo che il numero estratto ha due cifre ed è pari, qual è la probabilità che esso sia il 50? 1 33 Þ 40 36 Þ ESERCIZIO GUIDATO 34 Þ Si lanciano due dadi regolari a sei facce e si ottiene una somma dei due punteggi maggiore di 7. Qual è la probabilità di avere ottenuto due facce uguali? 1 5 35 Þ La probabilità che Marta sia scelta per la recita della sua scuola è del 55%; se non viene scelta per la recita, Marta andrà al cinema con una probabilità del 40%. Qual è la probabilità che Marta non venga scelta per la recita e vada al cinema? Sia A l’evento «Marta viene scelta per la recita» e B l’evento «Marta va al cinema». In base ai dati del problema: pðAÞ ¼ 0,55 e pðBjAÞ ¼ 0,4 Devi calcolare pðA \ BÞ. In base alla regola delle probabilità composte: pðA \ BÞ ¼ pðAÞ pðBjAÞ Tenendo conto che: pðAÞ ¼ 1 pðAÞ ¼ ::::: e che pðBjAÞ è data, puoi concludere. 216 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P [18%] Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Il 5% delle lampadine prodotte in una fabbrica sono difettose. La probabilità che una lampadina difettosa venga scartata è del 90%. Scelta a caso una lampadina, qual è la probabilità che sia difettosa ma non venga scartata? [0,5%] 38 Þ Il 98% delle lampadine prodotte in una fabbrica sono prive di difetti. La probabilità che una lampadina difettosa venga scartata è del 40%. Scelta a caso una lampadina, qual è la probabilità che sia difettosa e venga scartata? [0,8%] 39 Þ 40 Þ ESERCIZIO GUIDATO Da un’urna contenente 6 palline rosse e 5 palline bianche si estraggono a caso successivamente 2 palline, senza rimpiazzo. Calcola la probabilità di estrarre due palline rosse, in due modi diversi: Complementi sul calcolo della probabilità a. Qual è la probabilità che l’indomani Maria si faccia interrogare in Italiano e prenda più di 7? 1 1 b. Qual è la probabilità che l’indomani Maria si faccia interrogare in Matematica e prenda più di 7? a. ; b. 3 6 Unità 5 Maria lancia una moneta e, se esce «testa», l’indomani si farà interrogare in Italiano, altrimenti si farà interro2 1 gare in Matematica. Maria stima che la probabilità di prendere più di 7 nell’interrogazione è in Italiano e in 3 3 Matematica. 37 Þ a. utilizzando la formula delle probabilità composte; b. utilizzando la definizione classica e il principio fondamentale del calcolo combinatorio. a. Indichiamo con R1 l’evento «la prima pallina estratta è rossa» e con R2 l’evento «la seconda pallina estratta è rossa». Devi calcolare pðR1 \ R2 Þ. In base alla formula delle probabilità composte: pðR1 \ R2 Þ ¼ pðR1 Þ pðR2 jR1 Þ Poiché pðR1 Þ ¼ ::::: 11 e pðR2 jR1 Þ ¼ [*] 5 ::::: , sostituendo nella [*] puoi concludere facilmente. b. Calcola la probabilità richiesta come rapporto tra casi favorevoli e casi possibili, ricordando il principio fondamentale del calcolo combinatorio per il calcolo dei casi favorevoli e di quelli possibili: pðR1 \ R2 Þ ¼ 5 ::::: ¼ 11 ::::: ::::: ::::: Da un’urna contenente 8 palline rosse e 6 palline bianche si estraggono a caso successivamente 2 palline, senza rimpiazzo. Calcola la probabilità di estrarre due palline bianche, in due modi diversi: a. utilizzando la formula delle probabilità composte; 15 b. utilizzando la definizione classica e il principio fondamentale del calcolo combinatorio. 91 41 Þ Un’urna contiene 12 biglie bianche e 8 nere. Calcola la probabilità che, estraendo tre biglie, una per volta, senza reimmissione, esse risultino tutte bianche, in due modi diversi: 42 Þ a. utilizzando la formula delle probabilità composte; b. utilizzando la definizione classica e il teorema fondamentale del calcolo combinatorio. 11 57 Determina la probabilità che alla prossima estrazione del Lotto sulla ruota di Milano escano 5 numeri pari, in due modi diversi: a. utilizzando la formula delle probabilità composte; 287 b. utilizzando la definizione classica e il teorema fondamentale del calcolo combinatorio. 10324 43 Þ Matematica in azienda Un’azienda pubblicizza i propri prodotti via mail. Il manager dell’azienda, in base a statistiche precedenti, stima tra il 10% e il 15% la percentuale dei componenti della mailing list dell’azienda che leggerà i messaggi pubblicitari; inoltre stima che circa il 20% di coloro che leggono la pubblicità ordineranno effettivamente un articolo. a. Determina l’intervallo entro cui varia la probabilità che un componente della mailing list legga la pubblicità e ordini un articolo. b. Sapendo che la mailing list è costituita da 150 000 clienti e che a ognuno di essi viene spedito un messaggio pubblicitario, determina l’intervallo entro cui varia il numero di clienti che si stima leggano la pubblicità e facciano un ordine. [a. Tra il 2% e il 3%; b. tra 3000 e 4500 clienti] 44 Þ 217 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema C Dati e previsioni Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Indipendenza e regola del prodotto A e B sono due eventi tali che pðAÞ ¼ 20% e pðBÞ ¼ 30%. Quanto deve valere pðA \ BÞ perché A e B siano indipendenti? [6%] 45 Þ 46 Þ A e B sono due eventi indipendenti. Se pðAÞ ¼ 50% e pðA \ BÞ ¼ 40%, quanto vale la probabilità di B? 47 Þ A e B sono due eventi. Si sa che pðAÞ ¼ [80%] 1 1 3 , pðBÞ ¼ , pðA [ BÞ ¼ . Gli eventi A e B sono indipendenti? 2 5 5 [Sı̀; perché?] Si estrae una carta da un mazzo di quaranta, si rimette la carta nel mazzo e si estrae una seconda carta. I due eventi: «la prima carta è un Asso» e «la seconda carta è un Asso» sono indipendenti? Dopo aver risposto intuitivamente, verifica la tua risposta in base alla regola del prodotto. [Sı̀] 48 Þ Si estrae una carta da un mazzo di quaranta, quindi, senza rimettere la carta nel mazzo, se ne estrae una seconda. I due eventi: «la prima carta è una Regina» e «la seconda carta è un 2» sono indipendenti? [No] 49 Þ Si estrae a caso una carta da una mazzo di 52. Gli eventi «la carta estratta è un fante» e «la carta estratta è di cuori» sono indipendenti? [Sı̀] 50 Þ Si lancia un dado regolare a sei facce. Gli eventi: «è uscito un numero dispari» ed «è uscito un numero primo» sono indipendenti? [No] 51 Þ 52 Þ Un dado regolare a sei facce viene lanciato una volta. Considera gli eventi: A: «il numero uscito è dispari» B: «il numero uscito è maggiore di n» Per quali valori di n 2 f1, 2, 3, 4, 5, 6g gli eventi A e B sono indipendenti? 53 Þ [2, 4, 6] Un dado regolare a sei facce viene lanciato una volta. Considera gli eventi: A: «il numero uscito è pari» B: «il numero uscito è minore di n» Per quali valori di n 2 f1, 2, 3, 4, 5, 6g gli eventi A e B sono indipendenti? [1, 3, 5] Una famiglia possiede due automobili. Ciascuna delle due auto, indipendentemente dall’altra, può trovarsi 5 . Qual è la probabilità che quella famiglia abbia ennella condizione di dover andare in officina con probabilità 12 25 trambe le macchine in officina? 144 54 Þ Una famiglia possiede due televisori, il cui funzionamento è indipendente uno dall’altro. Per ciascuno dei 1 . Qual è la probabilità che entrambi i televisori funzionino? due televisori, la probabilità di un guasto è 1000 [0,998001] 55 Þ Due cacciatori, che colpiscono il bersaglio con probabilità rispettive 85% e 75%, sparano contemporaneamente a una lepre. Qual è la probabilità che ha la lepre di sfuggire ai cacciatori, se ogni cacciatore ha sparato un so lo colpo? 3 ¼ 3,75% 80 56 Þ Per una persona bloccata sotto una valanga la probabilità di sopravvivere dopo un’ora è del 15%. Una squadra di soccorso raggiunge il luogo dove due escursionisti sono coperti da una valanga caduta un’ora prima. Supponendo che la sopravvivenza di ciascun escursionista sia indipendente dalla sopravvivenza dell’altro, qual è la probabilità di trovare in vita: 57 Þ a. entrambi gli escursionisti; b. almeno uno degli escursionisti. a. 9 111 ; b. 400 400 Barbara il sabato sera va a mangiare in pizzeria con probabilità uguale al 95% e sceglie casualmente fra la pizzeria A e la pizzeria B. Paolo va a mangiare in pizzeria tutti i sabati sera, nella stessa ora di Barbara, scegliendo anche lui casualmente tra la pizzeria A e la pizzeria B. Qual è la probabilità che in un dato sabato Barbara e Paolo si in contrino nella pizzeria A? 95 58 Þ 400 218 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Complementi sul calcolo della probabilità Un’urna contiene 10 palline, di cui 6 bianche, numerate da 1 a 6 e 4 nere, numerate da 1 a 4. Si estraggono dall’urna due palline, simultaneamente. a. Determina la probabilità dell’evento A: estrarre due palline bianche. b. Determina la probabilità dell’evento B: estrarre due palline dello stesso colore. c. Determina la probabilità dell’evento C: estrarre due palline che recano un numero dispari. d. Gli eventi A e B sono indipendenti? Gli eventi A e C? Gli eventi B e C? 1 7 2 a. ; b. ; c. ; d. nessuna delle tre coppie di eventi è costituita da eventi indipendenti 3 15 9 4 3 61 Siano A e B due eventi indipendenti, tali che pðA [ BÞ ¼ e pðBÞ ¼ . Calcola la probabilità dell’evento A. Þ 5 5 2 3 60 Þ Unità 5 Una città ha una squadra di basket e una di calcio. Si stima che la probabilità che la prima vinca il suo campionato è del 25%, mentre la probabilità che la seconda vinca il suo è del 30%. Calcola la probabilità che: a. entrambe le squadre vincono il campionato; b. nessuna delle due squadre vince il campionato; c. almeno una delle due squadre vince il campionato; 3 21 19 2 ; b. ; c. ; d. d. solo una delle due squadre vince il campionato. a. 40 40 40 5 59 Þ Paolo si reca in biblioteca per prendere in prestito due libri di suo interesse. La probabilità che il primo libro che desidera Paolo sia già in prestito è 0,4; la probabilità che il secondo libro che desidera Paolo sia già in prestito è 0,3. La probabilità che almeno uno dei due libri sia già in prestito è p. a. Esprimi in funzione di p la probabilità che entrambi i libri siano già in prestito. b. Determina per quale valore di p i due eventi «il primo libro è già in prestito» e «il secondo libro è già in prestito» sono indipendenti. c. In corrispondenza del valore di p determinato al punto b., determina la probabilità che esattamente uno dei due libri sia già in prestito. [a. 0,7 p; b. p ¼ 0,58; c. 0,46] 62 Þ Un’urna contiene 20 palline bianche ed n palline nere, con n 2 N ed n 2. Un giocatore estrae per 10 volte, consecutivamente, una pallina dall’urna, rimettendo ogni volta la pallina estratta nell’urna prima dell’estrazione successiva. Determina il minimo valore di n per cui la probabilità di estrarre, nelle dieci estrazioni, almeno una pallina nera sia superiore al 99%. [n ¼ 12] 63 Þ 3. Il teorema della probabilità totale e il teorema di Bayes TEORIA a p. 206 Esercizi preliminari Test 64 Þ A 65 Þ A 66 Þ A 67 Þ A 1 3 1 , pðX j AÞ ¼ e pðX j AÞ ¼ , quanto vale pðXÞ? 3 4 4 3 7 C D I dati sono insufficienti per determinarla. 4 12 Sapendo che pðAÞ ¼ 5 12 B Sapendo che pðAÞ ¼ pðA j BÞ ¼ 2pðB j AÞ Se pðB j AÞ ¼ 1 3 Se pðXÞ ¼ 1 4 1 1 , pðBÞ ¼ , quale delle seguenti uguaglianze è certamente vera? 2 4 B pðA j BÞ ¼ 3pðB j AÞ C pðA j BÞ ¼ 4pðB j AÞ D Nessuna delle precedenti 1 1 1 , pðAÞ ¼ e pðBÞ ¼ , allora pðA j BÞ è uguale a: 3 2 4 2 1 3 B C D 3 4 4 13 1 1 , pðAÞ ¼ e pðX j AÞ ¼ , allora pðX j AÞ è uguale a: 24 6 2 3 3 B C D i dati sono insufficienti per determinarla 8 4 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P 219 Tema C Dati e previsioni Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 68 Þ A Se pðA j BÞ ¼ 2 1 1 , pðB j AÞ ¼ e pðAÞ ¼ , allora pðBÞ è uguale a: 3 3 2 1 4 B 3 8 C 3 4 D i dati sono insufficienti per determinarla Dal diagramma ad albero alle probabilità. Completa il diagramma ad albero qui sotto, scrivendo al posto dei puntini le probabilità mancanti. Utilizzando il diagramma ad albero, determina poi la probabilità degli eventi seguenti: B 0,4 a. A \ B A b. A \ B 0,6 … c. B B 69 Þ … … B 0,2 B A [a. 0,36; b. 0,32; c. 0,56] 70 Dal diagramma ad albero alle probabilità. Sapendo che A1 , A2 , A3 costituiscono una partizione dello spaÞ zio campionario e pðA3 \ BÞ ¼ 0,06, completa il diagramma ad albero qui sotto, scrivendo al posto dei puntini le probabilità mancanti. Utilizzando il diagramma ad albero, calcola poi la probabilità degli eventi seguenti: a. A1 \ B b. A2 \ B c. A3 \ B d. B 0,6 A1 … B B 0,3 0,2 … B A2 … 0,2 … B B A3 … B [a. 0,12; b. 0,4; c. 0,06; d. 0,34] Problemi sul teorema delle probabilità totali 71 Þ ESERCIZIO GUIDATO Si hanno a disposizione due monete. Una delle due è regolare, mentre l’altra è truccata in modo che la pro1 babilità che esca testa sia . Si sceglie a caso una delle due monete e si lancia. Qual è la probabilità che esca 3 «testa»? Considera gli eventi: A: «la moneta è regolare» B: «la moneta è truccata» T: «esce ‘testa’» Devi calcolare pðTÞ Per il teorema delle probabilità totali: pðTÞ ¼ pðT j AÞ pðAÞ þ pðT j BÞ pðBÞ ¼ ::::::::::::::: 5 12 Si hanno a disposizione due monete. Una delle due è regolare, mentre l’altra è truccata in modo che la probabi2 lità che esca «croce» sia . Si sceglie a caso una delle due monete e si lancia. Qual è la probabilità che esca «testa»? 5 11 20 72 Þ 220 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA In un’urna A sono contenute 5 palline bianche e 5 palline nere, mentre in un’urna B, sono contenute 4 palline bianche e 6 palline nere. Si sceglie a caso un’urna e si pesca una pallina. Qual è la probabilità che sia nera? 11 20 Unità 5 In un’urna A sono contenute 9 palline, numerate da 1 a 9. In un’urna B sono contenute 6 palline, numerate da 1 a 6. Scelta a caso un’urna, qual è la probabilità di estrarre una pallina che reca un numero multiplo di 3? 1 3 Complementi sul calcolo della probabilità 73 Þ 74 Þ Due tenenti di polizia, Colombo e Sheridan, si alternano in maniera casuale nel servizio alla centrale di polizia: il primo è di turno tre giorni su sette, il secondo quattro giorni su sette. Vale la regola che un poliziotto si occupa solo dei reati che si verificano durante il suo turno di servizio. Sapendo che Colombo risolve 8 casi su 10 e Sheri dan 6 su 10, qual è la probabilità, per un malvivente che commette un reato, di restare impunito? 11 ’ 31,43% 35 75 Þ Il pilota di formula 1 Alfonso partecipa a una gara. Secondo gli esperti, la probabilità che Alfonso vinca la gara è dell’80% in caso di pioggia e del 60% nel caso che non piova. Il servizio meteorologico prevede che, sul circuito, per il periodo della corsa, la probabilità di avere pioggia è del 65%. Qual è la probabilità che ha Alfonso di vincere la gara? [73%] 76 Þ Si hanno due urne; la prima contiene 10 palline bianche e 8 verdi, la seconda 6 bianche e 4 gialle. Si estrae un numero dal sacchetto della tombola: se questo è minore o uguale a 50 si estrae una pallina dalla prima urna, in caso contrario si estrae una pallina dal secondo contenitore. a. Qual è la probabilità che la pallina estratta sia bianca? b. Qual è la probabilità che la pallina estratta sia gialla? 233 8 20 c. Qual è la probabilità che la pallina estratta sia verde? a. ; b. ; c. 405 45 81 77 Þ Si dispone di 3 scatole identiche A, B, C. La scatola A contiene 10 lampadine, 4 delle quali sono difettose. La scatola B contiene 6 lampadine, 2 delle quali sono difettose. La scatola C contiene 8 lampadine, 3 delle quali sono difettose. Le lampadine difettose sono indistinguibili dalle altre. a. Da una delle scatole, scelta a caso, si estrae, anch’essa a caso, 1 lampadina. Qual è la probabilità che la lampadina estratta sia difettosa? b. Se invece di procedere come indicato in a. si estrae a caso una lampadina da ciascuna delle scatole, qual è la probabilità che due delle lampadine estratte siano funzionanti e l’altra difettosa? 133 53 a. ; b. 360 120 79 Si hanno a disposizione: Þ – due urne A e B, tali che l’urna A contiene 3 palline bianche e 5 nere mentre l’urna B contiene 6 palline bianche e 4 nere; – una moneta truccata, per cui la probabilità di ottenere testa in un lancio è uguale a p. 78 Þ Un gioco consiste nel lanciare la moneta truccata, quindi estrarre una pallina dall’urna A se è uscita testa, dall’urna B se è uscita croce. Il giocatore vince se la pallina estratta è nera. a. Determina la probabilità che il giocatore vinca. b. In corrispondenza di quale valore di p la probabilità di vincere è uguale a quella di perdere? 9 2 4 a. p þ ; b. p ¼ 40 5 9 80 Si hanno due urne, U1 e U2 , tali che: Þ – l’urna U1 contiene n palline bianche e 3 nere; – l’urna U2 contiene 2 palline bianche e 1 pallina nera. Un gioco consiste nell’estrarre a caso una pallina da U1 , porre la pallina estratta in U2 ed estrarre una pallina da U2 . Il giocatore vince se la pallina estratta da U2 è bianca. a. Calcola la probabilità che il giocatore vinca. b. Determina il minimo valore di n per cui la probabilità del giocatore di vincere è superiore al 70%. 3n þ 6 ; b. n ¼ 13 a. 4n þ 12 Abbiamo due dadi cubici: il dado A presenta quattro facce bianche e due facce nere. Il dado B presenta una faccia bianca, due facce nere e tre facce rosse. Si lancia il dado A: se la faccia ottenuta è bianca, si lancia ancora il dado A, se la faccia ottenuta è nera, si lancia il dado B. 81 Þ Calcola la probabilità: 221 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema C Dati e previsioni Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA a. di ottenere una faccia nera nel secondo lancio, sapendo che è stata ottenuta una faccia nera nel primo; b. di ottenere due facce nere; 1 1 1 c. di ottenere una faccia bianca al secondo lancio. a. ; b. ; c. 3 9 2 82 Þ ESERCIZIO GUIDATO Un’azienda acquista componenti elettronici da tre fornitori, diciamo A, B, C. La metà dei componenti elettronici viene acquistata dal fornitore A, il 20% dal fornitore B e i restanti dal fornitore C. Si stima inoltre che: – l’1% dei componenti acquistati dal fornitore A è difettoso; – il 4% dei componenti acquistati dal fornitore B è difettoso; – il 3% dei componenti complessivamente acquistati dai tre fornitori sono difettosi. Scelto a caso un componente tra quelli complessivamente acquistati, calcola la probabilità che: a. sia stato acquistato dal fornitore A e sia difettoso; b. sia stato acquistato dal fornitore B e sia difettoso; c. sia stato acquistato dal fornitore C e sia difettoso; d. sia stato acquistato dal fornitore A, sapendo che è difettoso. e. sia stato acquistato dal fornitore A o dal fornitore B, sapendo che è difettoso. Considera gli eventi: A: «il componente è stato acquistato dal fornitore A» B: «il componente è stato acquistato dal fornitore B» C: «il componente è stato acquistato dal fornitore C» D: «il componente è difettoso» In base ai dati è noto che: pðAÞ ¼ 0,5 pðBÞ ¼ 0,2 pðCÞ ¼ :::::::::: pðD j AÞ ¼ 0,01 pðD j BÞ ¼ 0,04 pðDÞ ¼ 0,03 a. Devi calcolare: pðA \ DÞ ¼ pðAÞ pðD j AÞ ¼ :::::::::: b. Puoi procedere analogamente al punto a. c. Per la formula delle probabilità totali: pðDÞ ¼ pðA \ DÞ þ pðB \ DÞ þ pðC \ DÞ Da questa relazione puoi ricavare il valore di pðC \ DÞ, tenendo conto che pðDÞ è noto per ipotesi, mentre pðA \ DÞ e pðB \ DÞ sono state ricavate nei punti precedenti. d. Devi calcolare pðA j DÞ ¼ pðA \ DÞ ¼ :::::::::: pðDÞ e. Devi calcolare: pðA [ B j DÞ ¼ pððA [ BÞ \ DÞ pððA \ DÞ [ ðB \ DÞÞ pðA \ DÞ þ pðB \ DÞ ¼ ¼ ¼ ::::: pðDÞ pðDÞ pðDÞ " " Proprietà distributiva dell’intersezione rispetto all’unione Gli eventi A\D e B\D sono incompatibili a. 1 1 17 1 13 ; b. ; c. ; d. ; e. 200 125 1000 6 30 Il personale relativo al settore di produzione di un’azienda è composto da ingegneri, tecnici e addetti alla manutenzione. Gli ingegneri e i tecnici costituiscono rispettivamente il 15% e il 75% del personale del settore di produzione. Tra gli ingegneri le donne sono il 50%, tra i tecnici le donne sono il 20% e tra gli addetti alla manutenzione le donne sono il 40%. Scelto a caso un dipendente dell’azienda del settore di produzione, qual è la probabilità: 83 Þ a. che sia un addetto alla manutenzione; b. che sia una donna addetta alla manutenzione; c. che sia un tecnico di sesso maschile; d. che sia una donna; e. che sia un uomo. 222 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P 1 1 3 53 147 ; b. ; c. ; d. ; e. a. 10 25 5 200 200 Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 84 Þ Unità 5 Teorema di Bayes ESERCIZIO GUIDATO a. Qual è la probabilità che la mela estratta sia matura? b. Sapendo che la mela è risultata matura, qual è la probabilità che provenga dalla prima cesta? Considera gli eventi: C1 : «ho scelto la prima cesta» C2 : «ho scelto la seconda cesta» M: «ho scelto una mela matura» In base ai dati è noto che: pðM j C1 Þ ¼ 0,7 pðM j C2 Þ ¼ ::::: pðC1 Þ ¼ pðC2 Þ ¼ 0,5 la cesta viene scelta a caso, quindi ciascuna delle due ha la stessa probabilità di essere scelta Complementi sul calcolo della probabilità Nella dispensa sono disposte due ceste di mele. Nella prima cesta il 70% sono mature, mentre le altre sono acerbe; nella seconda cesta il 90% sono mature, mentre le altre sono acerbe. Si sceglie a caso una delle due ceste e si estrae da essa una mela a caso. a. Per la formula delle probabilità totali: pðMÞ ¼ pðM j C1 Þ pðC1 Þ þ pðM j C2 Þ pðC2 Þ ¼ ::::: b. Per la formula di Bayes: pðC1 j MÞ ¼ pðM j C1 Þ pðC1 Þ ¼ ::::: pðMÞ a. 4 7 ; b. 5 16 Un’azienda produce delle penne. La probabilità che una penna sia difettosa è uguale al 5%. Il controllo di qualità accetta tutte le penne senza difetti e scarta il 90% delle penne difettose. Scelta a caso una penna, calcola la probabilità: 85 Þ a. che superi il controllo di qualità; b. che sia difettosa, sapendo che ha superato il controllo di qualità. a. 191 1 ; b. 200 191 Due scatole A e B, all’apparenza indistinguibili, contengono diversi tipi di cioccolatini. In particolare, la A contiene 10 gianduiotti, 8 boeri e 6 praline alla nocciola; nella B si trovano 5 gianduiotti, 6 boeri e 12 praline. Si sceglie a caso una delle due scatole e si pesca da essa un cioccolatino. 86 Þ a. Qual è la probabilità che il cioccolatino pescato sia un boero? b. Sapendo che il cioccolatino pescato è un boero, qual è la probabilità di avere scelto la scatola B? 41 18 a. ; b. 138 41 Una ditta ha due fornitori di componenti per personal computer. Il 30% dei componenti viene acquistato dal fornitore A e il restante 70% dal fornitore B. In base alle passate esperienze, si stima che il 4% dei componenti acquistati dal fornitore A e il 5% dei componenti acquistati dal fornitore B sono difettosi. 87 Þ a. Scelto a caso un componente, qual è la probabilità che sia difettoso? b. Avendo constatato che il componente scelto è difettoso, qual è la probabilità che provenga dal fornitore A? 47 12 a. ; b. 1000 47 In un’università il 30% degli studenti ha frequentato il liceo classico. Il 70% degli studenti che hanno frequentato il liceo classico è di sesso femminile, mentre solo il 40% degli studenti che non hanno frequentato il liceo classico è di sesso femminile. Scelto a caso uno studente di quella università, qual è la probabilità: 88 Þ a. che sia una ragazza che ha frequentato il liceo classico? b. che sia di sesso femminile? c. scelta a caso una ragazza, qual è la probabilità che provenga dal liceo classico? 21 49 21 a. ; b. ; c. 100 100 49 223 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema C Dati e previsioni Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Abbiamo tre urne A, B, C. L’urna A contiene 1 pallina nera e 2 bianche; l’urna B contiene 2 palline nere e 1 bianca; l’urna C contiene 3 palline nere e nessuna bianca. Scegliamo a caso un’urna ed estraiamo una pallina. 89 Þ a. Qual è la probabilità che la pallina estratta sia nera? b. Sapendo che abbiamo estratto una pallina nera, qual è la probabilità che provenga dall’urna A? a. 2 1 ; b. 3 6 L’insegnante sottopone agli studenti di una classe un quesito che ha cinque risposte, una sola delle quali è esatta. Se uno studente è preparato è certo che risponderà al quesito in modo corretto, mentre se è impreparato sceglierà la risposta in modo del tutto casuale. Nella classe solo il 40% degli studenti sono preparati. Sapendo che un dato studente ha risposto correttamente al quesito, qual è la probabilità che sia preparato? 10 90 Þ 13 Un’azienda produce un bene che, prima di essere immesso sul mercato, viene sottoposto a un controllo di qualità. Se il bene è in perfette condizioni supera sempre il controllo di qualità, mentre se presenta qualche difetto supera il controllo solo nel 5% dei casi. Supponiamo che il 2% della produzione presenti qualche difetto. Se una unità del bene supera il controllo, qual è la probabilità che sia ugualmente difettosa? 1 ’ 0,1% 981 91 Þ Uno studente svolge un test in cui ciascuna domanda prevede quattro risposte, di cui una sola è quella esatta. Per ogni domanda, se lo studente ha studiato l’argomento cui si riferisce la domanda (il che accade con probabilità pÞ allora risponde certamente in modo corretto, altrimenti risponde scegliendo a caso fra le quattro risposte proposte. 92 Þ a. Sapendo che lo studente ha risposto correttamente a una data domanda, qual è la probabilità che non abbia risposto a caso? 4p 1 b. Per quali valori di p la probabilità di cui al punto precedente è superiore al 50%? a. ; b. p > 3p þ 1 5 Barbara vorrebbe che il suo amico Andrea, da Milano, andasse a trovarla a Torino in treno. Andrea decide di affidare la decisione alla sorte: lancia una moneta e se, esce «testa», l’indomani andrà a trovare Barbara a Torino, mentre se esce «croce» resterà a Milano. Nel caso in cui esca «testa», Andrea partirà tra le 8 e le 12 del mattino, scegliendo a caso uno tra i quattro treni possibili. Supponiamo che l’indomani Barbara si rechi in stazione e verifichi che Andrea non è su nessuno dei primi tre treni che partono da Milano tra le 8 e le 12; qual è la probabilità che An drea sia sul quarto treno? 1 93 Þ 5 1 . Se non piove, la probabilità che stasera vada al cinema è uguale 4 4 1 a ; se piove, la probabilità che vada al cinema è . Sapendo che stasera vado al cinema, qual è, in percentuale, 5 10 94 Þ La probabilità che stasera piova è uguale a la probabilità che non piova? 95 Þ [96%] Due eventi A e B sono tali che: pðAÞ ¼ 0,4 pðB j AÞ ¼ 0,6 pðB j AÞ ¼ 0,2 Sapendo che si è verificato l’evento B, qual è la probabilità che si è verificato l’evento A? 1 3 Un’urna A contiene 4 palline rosse e 6 palline nere. Un’urna B contiene 2 palline rosse e 8 palline nere. Un giocatore lancia un dado cubico regolare, le cui facce sono numerate da 1 a 6: se ottiene il numero 6, estrae una pallina a caso dall’urna A, altrimenti estrae una pallina a caso dall’urna B. 96 Þ a. Quale è la probabilità che il giocatore estragga una pallina rossa? b. Sapendo che il giocatore ha estratto una pallina rossa, qual è la probabilità che essa provenga dall’urna A? c. Sapendo che il giocatore ha estratto una pallina rossa, è più probabile che tale pallina provenga dall’urna A o dall’urna B? 7 2 a. ; b. ; c. è più probabile che provenga dall’urna B 30 7 224 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Il 10% di un gruppo di persone ha contratto una data malattia. Ciascun individuo del gruppo viene sottoposto a un test diagnostico per rilevare la malattia. Se un individuo è malato, la probabilità che il test risulti positivo è uguale a p; se un individuo non è malato, la probabilità che il test risulti negativo è ancora uguale a p. 98 Þ a. Il test relativo a una persona del gruppo risulta positivo. Qual è la probabilità che abbia davvero contratto la malattia? b. Qual è il valore della probabilità calcolata al punto precedente, se p ¼ 95%? c. Affinché la probabilità di cui al punto a. sia superiore al 90%, quali valori deve assumere p? p 19 81 a. ; b. ’ 67,86%; c. p > , ossia circa p > 98,78% 9 8p 28 82 Matematica in azienda Viene indetta una gara di appalto per la costruzione di un ponte. Il management di un’impresa specializzata nella costruzione di ponti pensa di potersi aggiudicare l’appalto con una probabilità del 50%. Dopo avere presentato il proprio progetto, vengono chieste all’impresa informazioni aggiuntive. In base a statistiche effettuate sulla base di precedenti gare di appalto, è noto che sono state chieste informazioni aggiuntive nell’80% dei casi in cui un progetto presentato ha vinto l’appalto e nel 35% dei casi in cui non l’ha vinto. Dopo avere saputo che sono state richieste informazioni aggiuntive, con quale probabilità l’impresa può ritenere che il progetto vinca l’appalto? 16 ’ 69,6% 23 99 Þ Complementi sul calcolo della probabilità 13 Unità 5 Il 20% degli abitanti di un paese soffre di ipertensione. Tra le persone ipertese il 60% sono fumatori. Tra le persone che non sono ipertese, il 50% non sono fumatori. Scelto a caso un fumatore del paese, qual è la probabilità che sia iperteso? 3 97 Þ Matematica in azienda Una grande società fa mandare in onda in televisione uno spot pubblicitario per reclamizzare uno dei suoi prodotti. In base a un’indagine statistica effettuata sui potenziali clienti si è stabilito che: 100 Þ la probabilità che un potenziale cliente acquisti il prodotto pubblicizzato è uguale a 0,25; la probabilità che un potenziale cliente abbia visto lo spot è uguale a 0,5; la probabilità che un potenziale cliente acquisiti il prodotto pubblicizzato e abbia visto lo spot è uguale a 0,15. a. Qual è la probabilità che un potenziale cliente acquisti il prodotto pubblicizzato, se l’individuo ha visto lo spot? b. Qual è la probabilità che un potenziale cliente acquisti il prodotto pubblicizzato, se l’individuo non ha visto lo spot? c. Vedere lo spot accresce la probabilità che il potenziale cliente acquisti il prodotto? Supponendo che i potenziali clienti siano 1 000 000, che per ogni unità di prodotto venduto l’azienda abbia un guadagno di 3 euro e che per la trasmissione dello spot l’azienda abbia un costo di 200000 euro, ritieni che per l’azienda sia utile continuare a fare trasmettere lo spot? [a. 0,3; b. 0,2] RIEPILOGO Esercizi di riepilogo Un dado cubico regolare ha una faccia bianca, due facce nere e tre facce rosse. Si lancia il dado consecutivamente per due volte e, in ciascuno dei due lanci, si prende nota del colore della faccia ottenuta. Calcola la probabilità che: 101 Þ a. le due facce ottenute siano entrambe nere; b. le due facce ottenute siano entrambe bianche o entrambe nere; c. le due facce ottenute abbiano lo stesso colore; d. le due facce ottenute abbiano colori differenti; e. le due facce ottenute siano entrambe bianche, sapendo che hanno lo stesso colore. 1 5 7 11 1 a. ; b. ; c. ; d. ; e. 9 36 18 18 14 225 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema C Dati e previsioni Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Un’urna contiene 20 palline bianche e 10 palline nere. Si estrae a caso una pallina dall’urna, quindi: – se la pallina estratta è bianca, si rimette la pallina nell’urna e se ne aggiungono altre n bianche; – se la pallina estratta è nera, si rimette la pallina estratta nell’urna e se ne aggiungono altre n nere. 102 Þ Si estrae quindi una seconda pallina dall’urna. a. Calcola la probabilità che sia la prima sia la seconda pallina estratta siano bianche. b. Calcola la probabilità che la seconda pallina estratta sia bianca. c. La seconda pallina estratta è bianca. Qual è la probabilità che anche la prima pallina estratta sia bianca? d. Qual è la probabilità che le due palline estratte siano di colori differenti? e. Qual è il minimo valore di n per cui la probabilità di estrarre due palline di colori differenti è inferiore al 10%? 2ð20 þ nÞ 2 20 þ n 40 a. ; b. ; c. ; d. ; n ¼ 104 3ð30 þ nÞ 3 30 þ n 3ð30 þ nÞ Paolo si reca in biblioteca per prendere in prestito due libri di suo interesse. La probabilità che il primo libro che desidera Paolo sia già stato preso in prestito è uguale alla probabilità che il secondo libro sia già stato preso in prestito; inoltre ciascuno dei due libri viene preso in prestito indipendentemente dall’altro. Sapendo che la probabilità che almeno uno dei due libri sia già stato preso in prestito è uguale a 0,36, determina la probabilità che il pri mo libro sia già stato preso in prestito. 1 5 103 Þ Un’azienda produce dei lettori MP3. Il 4% dei lettori prodotti sono difettosi, perciò, prima di essere commercializzati, tutti i lettori sono sottoposti a una unità di controllo. Anche l’unità di controllo è tuttavia soggetta a dei margini di errore: riesce a scartare il 98% dei lettori MP3 difettosi, ma scarta erroneamente l’1% dei lettori MP3 funzionanti correttamente. Calcola la probabilità che, scelto un lettore, esso: 104 Þ a. sia difettoso e non venga scartato; b. sia soggetto a un errore di controllo (cioè sia funzionante e venga scartato oppure sia difettoso e venga accettato); c. non venga scartato. Esprimi tutti i risultati sotto forma di numeri decimali. [a. 0,0008; b. 0,0104; c. 0,9512] In un gruppo di persone, il 30% conosce l’inglese, il 20% conosce il francese e il 10% conosce sia l’inglese sia il francese. 105 Þ a. Scelta a caso una persona del gruppo, qual è la probabilità che conosca l’inglese ma non il francese? b. Scelta a caso una persona tra coloro che non sanno l’inglese, qual è la probabilità che sappia il francese? c. Scelta a caso una persona tra coloro che sanno l’inglese, qual è la probabilità che questa sappia il francese? 1 1 1 a. ; b. ; c. 5 7 3 Il sistema di produzione di una azienda è dotato di un allarme, che scatta nel caso in cui si verifichino delle anomalie ai macchinari coinvolti nel processo produttivo. Il sistema di allarme è tuttavia soggetto a piccoli difetti per cui, in casi rari, non rileva malfunzionamenti anche quando si verificano, oppure scatta anche in assenza di anomalie. In base a delle statistiche effettuate, si è stimato che: 106 Þ – la probabilità che non ci siano malfunzionamenti e scatti l’allarme è uguale a 0,002; – la probabilità che ci sia un malfunzionamento e non scatti l’allarme è uguale a 0,003; – la probabilità che si verifichi un malfunzionamento è uguale a 0,05. Calcola: a. la probabilità che si verifichi un malfunzionamento e scatti l’allarme; b. la probabilità che scatti l’allarme; c. la probabilità che ci sia effettivamente un malfunzionamento, sapendo che è scattato l’allarme. 47 49 47 ; b. ; c. a. 1000 1000 49 Un quarto della popolazione è vaccinata nei confronti di una malattia contagiosa. Si stima che il 95% della popolazione vaccinata non contrarrà la malattia e che il 10% della popolazione totale contrarrà la malattia. Scelto a caso un individuo della popolazione: 107 Þ a. calcola la probabilità che non sia vaccinato e si ammali; b. calcola la probabilità che si ammali, se non è stato vaccinato. 226 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P 7 7 a. ; b. 80 60 Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Considera tre eventi A, B, C tali che: A e B sono indipendenti; B e C sono incompatibili; Stabilisci: a. se gli eventi B e C sono indipendenti; b. se gli eventi A e C sono indipendenti. Determina: c. la probabilità dell’evento B; d. la probabilità degli eventi A [ C e B [ C; e. la probabilità degli eventi A \ C e B \ C; f. la probabilità dell’evento A, supposto che si sia verificato C; g. la probabilità dell’evento C, supposto che si sia verificato A. a. non indipendenti; b. non indipendenti; 1 4 3 1 1 1 1 c. ; d. , ; e. , ; f. ; g. 4 5 4 5 4 5 4 Le camicie prodotte da un’azienda possono presentare due tipi di difetti, fra loro indipendenti: il difetto A e il difetto B. La probabilità che una camicia di uno stock presenti il difetto A è uguale a 0,02; la probabilità che presenti il difetto B è uguale a 0,01. Scelta a caso una camicia dello stock, determina la probabilità: 109 Þ a. che presenti entrambi i difetti; b. che presenti almeno uno dei due difetti; c. che non presenti alcun difetto; d. che presenti il difetto B, se presenta il difetto A. 1 149 4851 1 a. ; b. ; c. ; d. 5000 5000 5000 100 Scelto a caso un animale dell’allevamento, determina la probabilità: a. che sia portatore della malattia e risulti positivo al test; b. che sia portatore della malattia e risulti negativo al test; c. che risulti positivo al test; d. che sia portatore della malattia, sapendo che è risultato positivo al test. 54 a. 0,054; b. 0,006; c. 0,101; d. 101 Complementi sul calcolo della probabilità 2 1 e pðCÞ ¼ 5 2 11 1 e pðA \ CÞ ¼ pðA [ BÞ ¼ 20 10 pðAÞ ¼ In un allevamento dove il 6% degli animali è portatore di una data malattia, viene sperimentato un test diagnostico. In base ai dati rilevati, si è trovato che: – se un animale è portatore della malattia, il test è positivo nel 90% dei casi; – se un animale è sano, il test è negativo nel 95% dei casi. 110 Þ Unità 5 108 Þ Un’urna contiene delle palline indistinguibili al tatto. Il 40% hanno impresso il numero 1 e sono rosse; le restanti hanno impresso il numero 2 e, tra di esse, il 20% sono rosse e l’80% sono verdi. 111 Þ a. Si estrae una pallina a caso: qual è la probabilità che la pallina sia rossa? b. Si estrae una pallina a caso. Sapendo che è rossa, qual è la probabilità che abbia impresso il numero 2? c. Sia n 2 N, con n 2. Si effettuano n estrazioni successive di una pallina con reimmissione (ovvero dopo ciascuna estrazione la pallina estratta viene rimessa nell’urna). Determina il minimo valore di n per cui la probabilità di estrarre, nelle n estrazioni, almeno una pallina rossa con il numero 1 sia supe riore al 99%. 13 3 a. ; b. ; c. n ¼ 10 25 13 Esercizi in inglese 112 Þ Solve math in English Given that pðAÞ ¼ 0; 4 , pðBÞ ¼ 0; 3 and pðA \ BÞ ¼ 0; 1, find: a. pðAjBÞ b. pðBjAÞ 1 1 a: ; b. 3 4 Solve math in English Bob can decide to go to work by one of three modes of transportation: car, bus or train. Because of high traffic, if he decides to go bay car, there is a 40% chance he will be late. If he goes by bus the probability of being late is only 20%. The train is almost never late, with a probability of only 5% . Bob is late one day. His boss wishes to estimate the probability that Bob drove to work that day by car. Since he does not know which mode of transportation Bob usually use, he gives equal probability to each of the three possibilities. What is the boss’ estimate of the probability that Bob drove to work? 8 13 113 Þ 227 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema C Dati e previsioni Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA PROVA DI AUTOVERIFICA Indipendenza, teoremi della probabilità e di Bayes Si lancia un dado regolare a sei facce. Stabilisci se i due eventi A: «esce un numero dispari» e B: «esce un numero maggiore o uguale a 3» sono indipendenti. 1 Þ Un’azienda acquista componenti elettronici presso tre fornitori, A, B e C. Un lotto è costituito da 2000 componenti elettronici, provenienti dai tre fornitori secondo le percentuali indicate nel grafico qui sotto a sinistra. I componenti acquistati dai tre fornitori risultano difettosi secondo le percentuali indicate nel grafico qui sotto a destra. Scelto a caso un componente del lotto, qual è la probabilità che sia difettoso? 2 Þ Componenti difettosi per fornitore numero componenti (%) numero componenti (%) Provenienza dei componenti del lotto 50 40 30 20 10 0 fornitore A fornitore B fornitore C 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 fornitore A fornitore B fornitore C Una ditta ha due fornitori di componenti per personal computer. Il 40% dei componenti viene acquistato dal fornitore A e il restante 60% dal fornitore B. In base alle passate esperienze, si stima che l’8% dei componenti acquistati dal fornitore A e il 6% dei componenti acquistati dal fornitore B sono difettosi. a. Scelto a caso un componente, qual è la probabilità che sia difettoso? b. Avendo constatato che il componente scelto è difettoso, qual è la probabilità che provenga dal fornitore A? 3 Þ Vero o falso? Paolo è solito frequentare la biblioteca della sua città. Egli è appassionato di romanzi gialli o d’avventura. Il bibliotecario gli propone 200 titoli, di cui 150 gialli e 50 d’avventura. Tra i 200 titoli proposti, sono scritti da autori italiani il 40% di romanzi gialli e il 70% di quelli d’avventura. Paolo sceglie a caso un libro tra i 200 proposti. 4 Þ a. La probabilità che Paolo abbia scelto un libro giallo è il 75% b. La probabilità che Paolo abbia scelto un libro di un autore italiano, sapendo che ha scelto un libro 4 giallo è 5 c. La probabilità che Paolo abbia scelto un libro giallo di un autore italiano è 0,3 d. La probabilità che Paolo abbia scelto un libro giallo, sapendo che ha scelto un libro di un autore 12 italiano è 19 e. La probabilità che Paolo abbia scelto un libro di un autore italiano è 0,475 V F V F V F V F Valutazione Esercizio 1 2 3 4 Totale Punteggio 2 2 1,5 þ 1,5 ¼ 3 0,6 5 ¼ 3 10 Punteggio ottenuto Tempo massimo: 1 h 228 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P 3Risposte in fondo al volume Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Inferenza statistica Unità 6 1. Introduzione alla statistica inferenziale Finora, nello studio della statistica, ci siamo posti l’obiettivo di descrivere le caratteristiche di un fenomeno o di una coppia di fenomeni su una data popolazione, ovvero ci siamo occupati di statistica descrittiva. Ora vogliamo focalizzare la nostra attenzione sulla situazione in cui la rilevazione dei dati non avviene sull’intera popolazione, ma solo su un campione, e occuparci del problema di studiare se e come sia possibile estendere all’intera popolazione i risultati ottenuti dalla rilevazione sul campione. La statistica inferenziale è proprio la parte della statistica che ha per oggetto lo studio di queste problematiche. Un punto fondamentale dell’inferenza statistica è la scelta del campione, che deve essere il più possibile rappresentativo della popolazione. Nella statistica inferenziale classica, si suppone che il campione venga scelto casualmente, riponendo fiducia nel fatto che la casualità giochi a favore della produzione di un campione che non abbia caratteristiche speciali e quindi si possa ritenere un’immagine abbastanza fedele dell’intera popolazione. Il processo di scelta casuale del campione viene detto campionamento; esso è da interpretare come un esperimento casuale e da affrontare, di conseguenza, con gli strumenti del calcolo della probabilità. campionamento Avviene tramite un’estrazione casuale Tema C Che cos’è la statistica inferenziale? Rifletti Con il termine inferenza in generale si indica un processo che porta a trarre una conclusione, a partire da certe premesse. In particolare l’inferenza induttiva procede dal particolare al generale; l’inferenza statistica è una particolare inferenza induttiva (dal campione all’intera popolazione). campione popolazione Estensione dei risultati ricavati sul campione all’intera popolazione i n fe r e n z a s t a ti s ti c a Figura 6.1 Gli elementi di statistica inferenziale che presenteremo nel prosieguo si basano sul tipo più semplice di campionamento: il cosiddetto campionamento bernoulliano. Un campione bernoulliano di n unità, estratto da una popolazione di N unità, non è altro che un campione ottenuto da n estrazioni indipendenti, quindi con reimmissione. Chiaramente sarebbe più naturale pensare a estrazioni senza reimmissione (per evitare che in un campione una stessa unità statistica venga considerata n più volte); tuttavia, se N è sufficientemente grande e il rapporto è sufficienteN mente piccolo, è possibile dimostrare che le due tecniche di campionamento con o senza reimmissione producono risultati equivalenti. Per questo motivo, e per il fatto che in generale per un campione bernoulliano valgono proprietà più comode ai fini dei calcoli, si preferisce in pratica riferirsi allo schema con reimmissione. I problemi di stima di un parametro Consideriamo un esempio di un tipico problema di statistica inferenziale: Problema Si sono osservate le lunghezze di 5 pezzi prodotti da un macchinario: 10,42 cm 10,12 cm 10,25 cm 10,34 cm 10,15 cm Vengono dichiarati «conformi» i pezzi la cui lunghezza non supera i 10,35 cm. Qual è una stima attendibile della lunghezza media dei pezzi prodotti dal macchinario? Qual è una stima attendibile della percentuale di pezzi prodotti conformi? 229 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Tema C Dati e previsioni Questo problema ha per oggetto la stima di due parametri incogniti: la media della lunghezza dei pezzi e la proporzione dei pezzi conformi. Molti problemi di statistica inferenziale hanno per oggetto proprio la stima di un parametro incognito della popolazione. Ci sono due grandi classi di metodi per stimare parametri incogniti: a. stime puntuali; b. stime per intervallo. Una stima puntuale di un parametro ignoto è il risultato di un calcolo eseguito sui dati osservati su un particolare campione: il calcolo consente di ottenere un unico numero, stima del parametro. La stima per intervallo invece consente di determinare un possibile intervallo di valori per il parametro incognito. In questo e nel prossimo paragrafo ci occuperemo del problema della stima puntuale, mentre nel terzo paragrafo affronteremo quello della stima per intervallo. La stima puntuale di una media e di una proporzione si ottengono nel modo più naturale possibile: la media della popolazione si stima tramite la media x dei dati campionari x1 , x2 , ..., xn ; la proporzione p della popolazione che soddisfa una data caratteristica si stima tramite la proporzione pb del campione che soddisfa la caratteristica d’interesse. ESEMPIO Stima puntuale della media e della proporzione In riferimento al problema introdotto all’inizio di questo sottoparagrafo: a. la stima puntuale x della lunghezza media dei pezzi prodotti dal macchinario si ottiene dalla media dei dati campionari, quindi è uguale a: x¼ 10,42 þ 10,12 þ 10,25 þ 10,34 þ 10,15 ’ 10,26 cm 5 b. la stima puntuale della proporzione di pezzi conformi è semplicemente il rapporto tra il numero di pezzi conformi nel campione (4 in tutto) e la numerosità del campione stesso: 4 ¼ 80% 5 Un altro parametro che spesso occorre stimare è la varianza. In questo caso, tuttavia, le cose non vanno bene come per la stima della media e della proporzione; si verifica infatti che il metodo che verrebbe più naturale, cioè stimare la varianza della popolazione tramite la varianza dei dati campionari, in generale non è un metodo affidabile (capiremo il perché nel prossimo paragrafo). Ma che cosa ci garantisce l’affidabilità o meno di un metodo di stima puntuale? Campioni diversi portano a stime puntuali diverse, che possono essere più o meno lontane dal reale (e ignoto) valore del parametro che vogliamo stimare. Per studiare questi aspetti, legati alla variabilità del campione, dobbiamo introdurre nuovi strumenti, in particolare il concetto di stimatore, cui sarà dedicato il prossimo paragrafo. Prova tu ESERCIZI a p. 256 1. Su un campione di sei unità si sono registrati i seguenti dati campionari: 4 9 10 6 12 15 Determina una stima puntuale della media della popolazione. (Arrotonda il risultato alla seconda cifra decimale.) [9,33] 230 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P 2. A un campione di 200 individui è stata posta una domanda che poteva prevedere tre risposte: «sı̀», «no» oppure «preferisco non rispondere». 75 degli individui del campione hanno risposto «sı̀», 110 hanno risposto «no». Determina una stima della percentuale della popolazione che ha preferito non rispondere. [7,5%] Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Unità 6 2. Stimatori Un modello astratto del campionamento Inferenza statistica Per introdurre il concetto di stimatore è necessario preliminarmente costruire un modello astratto del campionamento, basato sul fatto che l’estrazione di un campione si può assimilare a un esperimento casuale. Per avvicinarci a questo modello, ragioniamo anzitutto su un esempio. ESEMPIO Si vuole stimare la durata media di un certo tipo di lampadine prodotte da un’azienda. La variabile aleatoria X che interpreta il fenomeno d’interesse è la durata della lampadina e l’oggetto dell’inferenza è la media di X. Ci concentriamo ora sulla sola fase del campionamento. Supponiamo di avere estratto un campione bernoulliano, di 3 lampadine, di avere valutato la durata delle singole lampadine estratte, e di avere osservato i seguenti valori: x1 ¼ 1000 ore x2 ¼ 1152 ore x3 ¼ 920 ore durata della prima lampadina estratta durata della seconda lampadina estratta durata della terza lampadina estratta primo campione La prima osservazione campionaria x1 è stata di 1000 ore nel campione estratto. Se pensiamo a tutti i possibili campioni estraibili, ci rendiamo conto che x1 può valere una qualunque delle possibili durate delle lampadine, cioè x1 è uno dei possibili valori di una variabile aleatoria X1 che può assumere tutti e soli i valori di X e con la stessa distribuzione di probabilità; brevemente si dice che X1 è identica e identicamente distribuita a X. Analogamente, x2 e x3 sono due dei possibili valori rispettivamente di due variabili aleatorie X2 e X3 , anch’esse identiche e identicamente distribuite a X. Le osservazioni fatte nell’esempio possono essere generalizzate. Indicata con X la variabile aleatoria che interpreta il fenomeno d’interesse (che in questo contesto viene talvolta chiamata popolazione) ed estratto un particolare campione di numerosità n, i valori osservati x1 , x2 , ..., xn si possono interpretare come particolari possibili valori delle variabili aleatorie X1 , X2 , ..., Xn (dette prima estrazione campionaria, seconda estrazione campionaria, ..., n-esima estrazione campionaria), ciascuna delle quali è identica e identicamente distribuita a X. Si comprende dunque come sia possibile definire un modello astratto, che consente di rappresentare tutti i possibili valori osservabili al variare del campione: sarà sufficiente assimilare un campione casuale di dimensione n a un insieme di n variabili aleatorie X1 , X2 , ..., Xn , identiche e identicamente distribuite a X. Questa formalizzazione del campionamento in termini di variabili aleatorie ci consentirà di effettuare delle considerazioni teoriche a priori (cioè prima di estrarre effettivamente un campione), che giustificano la bontà dei metodi di stima che introdurremo, e ci permetterà al contempo di «controllare» la variabilità campionaria tramite gli strumenti del calcolo della probabilità. Osserva Nell’ipotesi assunta di campionamento bernoulliano, X1 , X2 , ..., Xn sono anche indipendenti. Stimatori Supponiamo di essere interessati a studiare la media incognita di un fenomeno, interpretato dalla variabile aleatoria X. Estraiamo un particolare campione e indichiamo con x la stima della media di X che possiamo calcolare sulla base dei valori osservati nel campione estratto. Tale stima x della media non è altro che uno dei possibili valori della variabile aleatoria media campionaria X: X¼ X1 þ X2 þ ::::: þ Xn n 231 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema C Dati e previsioni Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA essendo X1 , X2 , ..., Xn le variabili aleatorie che rappresentano un generico campione casuale. La media campionaria è un esempio di stimatore. Attenzione! Utilizzeremo lettere minuscole per indicare le stime e lettere maiuscole per indicare i corrispondenti stimatori. STIMATORE E STIMA Uno stimatore è una variabile aleatoria, funzione delle variabili aleatorie estrazioni campionarie X1 , X2 , ..., Xn , che viene utilizzata per stimare un determinato parametro incognito di una popolazione. Il valore assunto dallo stimatore in corrispondenza di un particolare campione viene detto stima del parametro incognito. Riassumendo: una stima è un numero che viene calcolato sul campione effettivamente estratto ed è solo uno dei possibili valori del corrispondente stimatore; quest’ultimo è una variabile aleatoria, i cui valori sono tutte le possibili stime che possono ottenersi, al variare dei campioni estraibili di una prefissata numerosità. Oltre alla media campionaria, ci occuperemo di altri due stimatori: la varianza campionaria V 2 , definita da: V2 ¼ n ðX1 XÞ2 þ ::::: þ ðXn XÞ2 1X ¼ ðXi XÞ2 n i¼1 n la frequenza campionaria, utilizzata per stimare la proporzione p (incognita) di una popolazione che soddisfa una prefissata caratteristica (per esempio si può essere interessati a stimare la percentuale di disoccupati presenti in una certa regione). In questo caso la variabile aleatoria X che interpreta il fenomeno d’interesse è una particolare variabile aleatoria, detta di Bernoulli, che ha le seguenti caratteristiche: – può assumere solo due valori: convenzionalmente 1 in corrispondenza dei soggetti della popolazione che possiedono la caratteristica che si sta esaminando, e 0 in corrispondenza dei soggetti che non la possiedono; – assume i valori 1 o 0 rispettivamente con probabilità p e 1 p. Rifletti La frequenza campionaria non è altro che la media campionaria del campione X1 , ..., Xn , essendo X1 , ..., Xn variabili aleatorie di Bernoulli. Un generico campione casuale X1 , ..., Xn è costituito dunque da n variabili aleatorie di Bernoulli e la loro somma, X1 þ ::: þ Xn , conta il numero complessivo di unità del campione che possiedono la caratteristica d’interesse. Infine, la variabile aleatoria: X1 þ ::::: þ Xn Fb ¼ n è lo stimatore frequenza campionaria, che rappresenta la frequenza relativa della caratteristica in esame su un generico campione casuale. Proprietà di uno stimatore e bontà dei metodi di stima puntuale Attenzione! La correttezza di uno stimatore garantisce che esso non è soggetto a deviazioni sistematiche rispetto al parametro da stimare, ovvero che mediamente non tende a fornire delle stime né per eccesso né per difetto. 232 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Possiamo ora finalmente tornare al problema che ci ha portato a costruire il modello astratto del campionamento e a introdurre il concetto di stimatore. La bontà di un metodo di stima puntuale risiede nelle proprietà teoriche del corrispondente stimatore. Le più importanti proprietà che si richiedono a uno stimatore sono tre: la correttezza, la consistenza e l’efficienza: a. uno stimatore si dice corretto se il suo valore medio coincide con il parametro oggetto della stima; uno stimatore non corretto viene detto distorto; b. intuitivamente, uno stimatore si dice consistente se la sua precisione aumenta all’aumentare della numerosità campionaria; se uno stimatore è corretto, si dimostra che esso è consistente se e solo se la sua varianza tende a 0 al tendere a infinito della numerosità campionaria; c. dati due stimatori corretti e consistenti di uno stesso parametro, si dice che è più efficiente lo stimatore la cui varianza è inferiore (in altre parole, tra due stimatori corretti e consistenti è preferibile quello la cui variabilità è minore). Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA n 1 X ðxi xÞ2 n 1 i¼1 Inferenza statistica s2 ¼ Unità 6 Si può dimostrare che la media campionaria e la frequenza campionaria (in ipotesi di campionamento bernoulliano) sono stimatori corretti, consistenti e i più efficienti possibile tra tutti gli stimatori corretti della media e della proporzione. In queste buone proprietà risiede l’affidabilità dei metodi di stima puntuale della media e della proporzione basati semplicemente sul calcolo della media e della proporzione sui dati campionari. Lo stimatore varianza campionaria si dimostra invece essere uno stimatore distorto (che ha tendenza a produrre stime per difetto); per questo motivo, la stima della varianza della popolazione che si otterrebbe semplicemente calcolando la varianza dei dati campionari non sarebbe affidabile (tenderebbe a essere una sottostima). È tuttavia semplice correggere la distorsione della varianza; si può dimostrare infatti che per ottenere uno stimatore corretto della varianza è sufficiente dividere per ðn 1Þ anziché per n. Pertanto, una volta estratto un campione, si stima la varianza dell’intera popolazione mediante la cosiddetta varianza campionaria corretta, che indicheremo con s2 , cosı̀ definita: [6.1] Per il calcolo della varianza campionaria corretta sussiste anche la seguente formula abbreviata, equivalente alla [6.1] e analoga a quella vista in precedenza per la varianza: ! n X 1 2 2 2 s ¼ x nx n 1 i¼1 i ESEMPIO Stima puntuale della deviazione standard Si sono osservate le lunghezze di 5 pezzi prodotti da un certo macchinario: 10,42 cm 10,12 cm 10,25 cm 10,34 cm 10,15 cm Qual è una stima della deviazione standard della lunghezza dei pezzi prodotti? Calcoliamo anzitutto la varianza campionaria corretta: 1 ½ð10,42Þ2 þð10,12Þ2 þð10,25Þ2 þð10,34Þ2 þ ð10,15Þ2 5 ð10,256Þ2 ¼ 0,01593 s2 ¼ 51 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Poiché s ¼ 0,01593 ’ 0,13, ne segue che una stima puntuale della deviazione standard della lunghezza dei pezzi è 0,13 cm. SINTESI Stime puntuali e stimatori Estratto un campione di numerosità n: La stima puntuale della ... Formula ... media, che indicheremo con x, si calcola determinando la media dei dati campionari x1 , x2 , ..., xn x¼ ... proporzione, che indicheremo con pb, si calcola determinando la proporzione del campione che soddisfa la caratteristica oggetto di studio. ... varianza, che indicheremo con s2 , si calcola determinando la varianza corretta dei dati campionari. x1 þ x2 þ ::: þ xn n f n essendo f il numero delle unità del campione che possiede la caratteristica in esame pb ¼ 1 s ¼ n1 2 n X ! xi2 nx 2 i¼1 L’affidabilità dei metodi di stima puntuale inerenti la media e la proporzione risiede nel fatto che i corrispondenti stimatori sono corretti, consistenti e i più efficienti possibile (tra quelli corretti). Per la stima della varianza della popolazione occorre invece calcolare la varianza corretta dei dati campionari (perché lo stimatore varianza campionaria risulta distorto). 233 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Prova tu ESERCIZI a p. 256 Su un campione di sei unità si sono registrati i seguenti dati campionari: 4 9 10 6 12 15 Determina una stima puntuale della deviazione standard della popolazione. (Arrotonda il risultato alla seconda cifra decimale.) [3,98] Tema C Dati e previsioni Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 3. Intervalli di confidenza Premessa La stima puntuale di un parametro ha il pregio della semplicità ed è sempre ottenibile a partire dai dati campionari, senza richiedere ulteriori informazioni. Tuttavia è evidente che è molto rischiosa, nel senso che è molto difficile avvicinarsi con un solo numero al vero valore del parametro incognito; inoltre ha il difetto di non fornirci strumenti in grado di «controllare» l’errore che si commette tramite la stima. Per questi motivi è più interessante ricavare un intervallo di possibili valori per il parametro incognito, da determinarsi in base a un prefissato grado di fiducia di fare bene, cioè di costruire un intervallo che contenga effettivamente l’ignoto valore del parametro: in ciò consiste un procedimento di stima per intervallo. Il metodo di stima per intervallo su cui gettiamo uno sguardo nel prosieguo del paragrafo è quello più noto e utilizzato: esso consiste nella costruzione dei cosiddetti intervalli di confidenza. Per la costruzione di tali intervalli faremo spesso ricorso alla distribuzione normale, introdotta nel volume precedente. In particolare, data una variabile aleatoria Z normale standard, in molti problemi di statistica inferenziale saremo interessati a determinare il valore zk a sinistra del quale l’area sotto il grafico della densità di Z risulta uguale a k (fig. 6.2). In altre parole, cerchiamo il valore zk per cui risulta: Ricorda Si indica con ðzÞ la funzione di ripartizione della normale standard, cosı̀ definita: ðzk Þ ¼ pðZ zk Þ ¼ k ovvero cerchiamo la controimmagine di k nella funzione di ripartizione della normale standard: zk ¼ 1 ðkÞ ðzÞ ¼ pðZ zÞ Il valore zk si dice quantile di ordine k della normale standard. I quantili di uso più comune, ricavabili per esempio con un calcolatore, sono riportati nella seguente tabella: k 0,90 0,95 0,975 0,99 0,995 0,999 0,9995 0,99995 0,999995 zk 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,090 3,291 y O area della parte colorata = = p(Z < zk) = k Figura 6.2 234 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P zk x 3,891 4,417 Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Unità 6 Intervallo di confidenza per la stima di una media di una popolazione normale, di cui è nota la varianza Inferenza statistica Riprendiamo ancora in esame il problema del primo paragrafo sulle lunghezze dei pezzi prodotti da un macchinario e proponiamoci ora di costruire una stima intervallare della lunghezza media (incognita) dei pezzi prodotti, nota la deviazione standard ¼ 0; 1 cm di tali lunghezze. Intuitivamente l’idea è quella di costruire un intervallo avente come centro la stima puntuale x di ottenuta dai dati campionari, in modo da avere un elevato grado di fiducia che il «vero» valore di cada in questo intervallo. Nel linguaggio statistico, il «grado di fiducia» si chiama livello di confidenza, mentre il massimo rischio di sbagliare che siamo disposti ad accettare si chiama livello di significatività e si indica con la lettera . Solitamente si sceglie uguale al 10%, al 5% o all’1%, cui corrispondono livelli di confidenza 1 rispettivamente uguali al 90%, al 95% o al 99%. Il livello di confidenza, ossia il numero 1 , rappresenta la probabilità che, scelto un campione casuale, i dati osservati su di esso producano una stima intervallare contenente il vero valore . Poiché il livello di confidenza è garantito da una condizione basata su una probabilità, per costruire un intervallo di confidenza non sono sufficienti i dati campionari, ma occorre anche conoscere la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria X che rappresenta il fenomeno in esame (oppure opportune condizioni che consentano di approssimare tale distribuzione di probabilità). Assumendo che la distribuzione di probabilità di X sia normale, vediamo per esempio il ragionamento che conduce alla costruzione di un intervallo di confidenza per la media, al livello del 95%, supponendo nota la varianza. ESEMPIO Ipotesi e obiettivo Le ipotesi sono che la variabile aleatoria X che rappresenta il fenomeno d’interesse sia normale di media incognita e di varianza nota 2 . L’obiettivo è determinare un intervallo di confidenza per al livello del 95%. Osservazioni preliminari 2 1. Nelle ipotesi fatte (ossia X Nð, 2 ÞÞ, si può dimostrare che X N , , n dunque standardizzando: X X rffiffiffiffiffiffiffi ¼ Nð0,1Þ ¼ Z 2 pffiffiffi n n 2. Poiché abbiamo fissato un livello di confidenza del 95%, per la costruzione successiva ci servirà determinare k > 0 in modo che risulti: Ricorda Data una variabile aleatoria X di valore medio e deviazione standard , si chiama standardizzata di X X , la variabile aleatoria la quale ha media uguale a 0 e deviazione standard uguale a 1. pðk Z kÞ ¼ 0,95 Affinché sia soddisfatta tale richiesta le aree delle due «code» sotto la normale standard che esprimono la probabilità che risulti jZj > k dovranno essere uguali a y 0,4 area = 0,95 1 0,95 ¼ 0,025 (fig. 6.3), quindi il valore k dovrà la2 sciare a sinistra un’area uguale a 0,95 þ 0,025 ¼ 0,975. 0,2 area = 0,025 area = 0,025 Dunque k dovrà essere il quantile di ordine 0,975 della normale standard. Dalla tabella dei quantili di Z si ricava: k ¼ z0,975 ¼ 1,96 –k O Ô Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P k x Figura 6.3 235 Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Tema C Dati e previsioni Ô Costruzione dell’intervallo Da 1. e 2. segue che: 0 1 X B C p@1,96 1,96A ¼ 0,95 pffiffiffi n Attenzione! Abbiamo detto che siamo confidenti al 95% che l’intervallo [6.2] contenga il vero valore di , non che la probabilità che cada in tale intervallo è del 95%. Quest’ultimo modo di esprimersi non sarebbe corretto, in quanto nessuna delle quantità che compaiono nell’intervallo [6.2] è una variabile aleatoria: né , né n, né x. La locuzione «intervallo di confidenza» va piuttosto interpretata come segue: sebbene l’intervallo [6.2] dipenda dalla stima puntuale x e quindi dal campione estratto, il modo in cui l’abbiamo costruito garantisce che, se eseguissimo un gran numero di campionamenti, all’incirca nel 95% dei casi i corrispondenti intervalli di confidenza conterrebbero il vero valore incognito . Risolvendo la doppia disequazione rispetto a , otteniamo: p X 1,96 pffiffiffi X þ 1,96 pffiffiffi ¼ 0,95 n n Ciò significa che la probabilità che l’intervallo: X 1,96 pffiffiffi , X þ 1,96 pffiffiffi n n contenga il valore del parametro incognito è uguale al 95%. È questa la garanzia probabilistica a priori (cioè prima di estrarre effettivamente il campione) dell’affidabilità della stima intervallare che stiamo per costruire. Dopo avere estratto un particolare campione casuale e determinata la stima puntuale x della media in base ai dati osservati, diremo di essere confidenti al 95% che sia: x 1,96 pffiffiffi x þ 1,96 pffiffiffi n n Un intervallo di confidenza al 95% per risulta perciò: x 1,96 pffiffiffi , x þ 1,96 pffiffiffi n n [6.2] Il ragionamento condotto nel precedente esempio si può generalizzare, ai fini di determinare un intervallo di confidenza di livello 1 . Il ragionamento è il medesimo, con l’unica differenza che occorre determinare k in modo che risulti: pðk Z kÞ ¼ 1 (nell’esempio abbiamo visto che per avere 1 ¼ 0,95 deve essere k ¼ 1,96). Ragionando come illustrato nelle didascalie della fig. 6.4, si giunge a concludere che k ¼ z1 . 2 y y y area = 1 – α area = 1 – area = –k O k x a. Vogliamo determinare k in modo che pðk Z kÞ ¼ 1 Ciò equivale a richiedere che l’area sottesa alla normale standard nell’intervallo ½k, k sia uguale a 1 . Figura 6.4 236 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P α 2 area = –k O k α 2 α 2 O x b. Poiché la normale standard è simmetrica rispetto all’asse y e l’area sottesa al suo grafico è complessivamente uguale a 1, la condizione espressa al punto a. è verificata se e solo se le aree sottese alle due «code» sono ciascuna uguale ad . 2 k x c. Ne segue che l’area sottesa alla normale standard, a sinistra di k, deve essere uguale a ¼1 ð1 Þ þ 2 2 Dunque k deve essere il quantile della normale standard di ordine 1 , 2 ovvero k ¼ z1 . 2 Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA I n t e r v a l l o d i c o n f i d e n z a p e r la m e d i a d i u n a po p o l a z i o n e n o r ma l e ( v a r i a n z a n o t a ) TEOREMA 6 .1 Inferenza statistica Sia X una variabile aleatoria normale, di media incognita e varianza nota 2 . L’intervallo di confidenza al livello 1 per la media è: x z1 pffiffiffi , x þ z1 pffiffiffi 2 2 n n Unità 6 Se ne deduce il seguente teorema. [6.3] essendo: n la dimensione del campione; x la stima puntuale della media calcolata sul campione; z1 il quantile della normale standard di ordine 1 . 2 2 ESEMPIO Stima intervallare per una media, nota la varianza Si sono osservate le lunghezze di 5 pezzi prodotti da un certo macchinario: 10,42 cm 10,12 cm 10,25 cm 10,34 cm 10,15 cm È noto che la precisione del macchinario, ossia la deviazione standard della lunghezza dei pezzi, è 0,1 cm. Supponendo che la lunghezza dei pezzi abbia una distribuzione normale, determiniamo un intervallo di confidenza al 95% per la lunghezza media dei pezzi prodotti. Per costruire la stima richiesta in base alla [6.3] ci occorrono x, n, e z1 : 2 la stima puntuale x della lunghezza media è stata calcolata nell’esempio del Paragrafo 1; abbiamo visto che x ’ 10,26 cm; il campione è costituito da n ¼ 5 pezzi; il valore di è noto, uguale a 0,1 cm; essendo richiesto un livello di confidenza 1 ¼ 95% risulta ¼ 5% ¼ 0,05, quindi: 1 0,05 ¼1 ¼ 0,975 2 2 Dalla tabella dei quantili riportata all’inizio del paragrafo si ricava: Attenzione! z1 ¼ z0,975 ¼ 1,96 2 Pertanto l’intervallo di confidenza richiesto è: 0,1 0,1 10,26 1,96 pffiffiffi ; 10,26 þ 1,96 pffiffiffi 5 5 x z x z 0,975 0,975 ossia circa: [10,16, 10,35] Vedi nota qui a fianco Ciò significa che, a un livello di confidenza del 95%, possiamo ritenere che la lunghezza media dei pezzi prodotti sia compresa tra 10,16 cm e 10,35 cm (estremi inclusi). Nell’eseguire i calcoli per determinare un intervallo di confidenza è bene approssimare l’estremo inferiore dell’intervallo per difetto e l’estremo superiore per eccesso, in modo da essere certi di ottenere un intervallo di confidenza approssimato che contiene quello esatto. D’ora in avanti, per approssimare gli estremi di un intervallo di confidenza procederemo in questo modo. È importante fare alcune osservazioni. a. L’intervallo di confidenza [6.3] può essere espresso anche nella forma: x z1 pffiffiffi 2 n 237 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Dati e previsioni Il termine: z1 pffiffiffi 2 n Tema C indica l’errore massimo che si commette stimando con x (nell’ipotesi in cui confidiamo, al livello 1 , che appartenga effettivamente all’intervallo di confidenza stabilito). b. L’ampiezza dell’intervallo di confidenza è uguale a: 2z1 pffiffiffi 2 n [6.4] e definisce la precisione della stima, nel senso che un intervallo di confidenza è tanto più preciso quanto più è «stretto» e tanto più impreciso quanto più è «largo». Dalla [6.4] appare chiaro che la precisione della stima dipende da tre elementi: il livello di confidenza 1 , la dimensione n del campione e la deviazione standard . Quest’ultima è una quantità fissata, mentre il livello di confidenza e la dimensione del campione possono essere scelti a piacere. A parità di livello di confidenza, aumentare la dimensione del campione diminuisce l’ampiezza dell’intervallo di confidenza, quindi migliora la precisione della stima. Viceversa, a parità di dimensione del campione, aumentare il livello di confidenza porta a un aumento del valore di z1 e quindi dell’ampiezza del2 l’intervallo di confidenza, peggiorando la precisione della stima. Si può perciò comprendere il motivo per cui non è una buona idea fissare un livello di confidenza prossimo a 1 (per esempio a 0,999, in modo da garantirci quasi con certezza che l’intervallo di confidenza corrispondente al campione estratto contenga effettivamente il parametro da stimare): cosı̀ facendo aumenterebbe l’ampiezza dell’intervallo, in modo da contenere praticamente tutti i valori possibili, e di conseguenza l’informazione fornita dall’intervallo di confidenza non sarebbe più significativa. Intervallo di confidenza per la stima di una media di una popolazione normale, di cui non è nota la varianza L’ipotesi che sia nota la varianza della popolazione è poco realistica (non conosciamo nemmeno la media, difficilmente saremo in grado di stabilire la varianza!). Consideriamo dunque il caso in cui X sia una variabile aleatoria normale di media e varianza 2 , entrambe incognite. Il procedimento per la costruzione di un intervallo di confidenza per la media è del tutto simile al precedente, ma con un’importante differenza. Poiché la varianza non è nota, è necessario stimarla tramite la varianza campionaria corretta s2 . La sostituzione, nella media campionaria standardizzata, di con s ha come conseguenza che la variabile aleatoria: X s pffiffiffi n Modi di dire L’espressione t-Student si legge «t di Student» o «distribuzione di Student». 238 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P non ha più distribuzione normale standard, ma ha una particolare distribuzione detta t-Student con n 1 gradi di libertà, che indicheremo con il simbolo Tn 1 e che dipende dalla numerosità del campione. Si tratta di una distribuzione simile alla normale standard, ma con «code» che sottendono un’area maggiore (vedi la fig. 6.5, in cui abbiamo riportato i grafici della densità in corrispondenza di alcuni valori di nÞ. Come puoi intuire dalla figura, la distribuzione della t-Student tende, al crescere di n, ad approssimare sempre di più quella della normale standard. Indicato con tk ðnÞ il quantile di ordine k della t-Student con n gradi di libertà, ossia il valore tk ðnÞ per cui pðTn tk ðnÞÞ ¼ k, l’espressione dell’intervallo di confidenza per la media risulta del tutto simile al caso in cui era nota la varianza. Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Unità 6 y normale standard 0,40 Inferenza statistica t-Student con n = 5 gradi di libertà 0,35 0,30 t-Student con n = 2 gradi di libertà 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 O –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 x 4 Figura 6.5 I n t e r v a l l o d i c o n f i d e n z a p e r la m e d i a d i u n a po p o l a z i o n e normale ( varianza in cogni ta) TEOREMA 6 .2 Sia X una variabile aleatoria normale, di media e varianza 2 , entrambe incognite. L’intervallo di confidenza al livello 1 per la media è: s s x t1 ðn 1Þ pffiffiffi , x þ t1 ðn 1Þ pffiffiffi [6.5] 2 2 n n essendo: n la dimensione del campione; x la stima puntuale della media calcolata sul campione; s la deviazione standard dedotta dalla varianza campionaria corretta; della t-Student con n 1 gradi di libertà. t1 ðn 1Þ il quantile di ordine 1 2 2 I quantili della t-Student, in corrispondenza dei livelli di confidenza più utilizzati, sono riportati in tab. 6.1. Tabella 6.1 Tavola dei quantili della distribuzione t-Student avente n gradi di libertà, con 1 n 120 Gradi di libertà (n) Ordine del quantile 0,9 0,95 0,975 0,99 0,995 1 3,0777 6,3137 12,7062 31,8210 63,6559 2 1,8856 2,9200 4,3027 6,9645 9,9250 3 1,6377 2,3534 3,1824 4,5407 5,8408 4 1,5332 2,1318 2,7765 3,7469 4,6041 5 1,4759 2,0150 2,5706 3,3649 4,0321 6 1,4398 1,9432 2,4469 3,1427 3,7074 7 1,4149 1,8946 2,3646 2,9979 3,4995 8 1,3968 1,8595 2,3060 2,8965 3,3554 9 1,3830 1,8331 2,2622 2,8214 3,2498 (segue) Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P 239 Tema C Dati e previsioni Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA (continua) 0,9 0,95 0,975 0,99 0,995 10 1,3722 1,8125 2,2281 2,7638 3,1693 11 1,3634 1,7959 2,2010 2,7181 3,1058 12 1,3562 1,7823 2,1788 2,6810 3,0545 13 1,3502 1,7709 2,1604 2,6503 3,0123 14 1,3450 1,7613 2,1448 2,6245 2,9768 15 1,3406 1,7531 2,1315 2,6025 2,9467 16 1,3368 1,7459 2,1199 2,5835 2,9208 17 1,3334 1,7396 2,1098 2,5669 2,8982 18 1,3304 1,7341 2,1009 2,5524 2,8784 19 1,3277 1,7291 2,0930 2,5395 2,8609 20 1,3253 1,7247 2,0860 2,5280 2,8453 21 1,3232 1,7207 2,0796 2,5176 2,8314 22 1,3212 1,7171 2,0739 2,5083 2,8188 23 1,3195 1,7139 2,0687 2,4999 2,8073 24 1,3178 1,7109 2,0639 2,4922 2,7970 25 1,3163 1,7081 2,0595 2,4851 2,7874 26 1,3150 1,7056 2,0555 2,4786 2,7787 27 1,3137 1,7033 2,0518 2,4727 2,7707 28 1,3125 1,7011 2,0484 2,4671 2,7633 29 1,3114 1,6991 2,0452 2,4620 2,7564 30 1,3104 1,6973 2,0423 2,4573 2,7500 40 1,3031 1,6839 2,0211 2,4233 2,7045 50 1,2987 1,6759 2,0086 2,4033 2,6778 60 1,2958 1,6706 2,0003 2,3901 2,6603 70 1,2938 1,6669 1,9944 2,3808 2,6479 80 1,2922 1,6641 1,9901 2,3739 2,6387 90 1,2910 1,6620 1,9867 2,3685 2,6316 100 1,2901 1,6602 1,9840 2,3642 2,6259 110 1,2893 1,6588 1,9818 2,3607 2,6213 120 1,2886 1,6576 1,9799 2,3578 2,6174 Per esempio, all’incrocio della riga n ¼ 10 e della colonna relativa al valore 0,95 possiamo leggere che il quantile di ordine k ¼ 0,95 della t-Student con 10 gradi di libertà è 1,8125. Ciò significa che: pðT10 1,8125Þ ¼ 0,95 Come puoi osservare, i valori riportati in tabella sono completi fino a n ¼ 30, sono riportati solo in corrispondenza di multipli di 10 per 30 n 120 e non sono riportati oltre n ¼ 120. Per il calcolo dei quantili corrispondenti ai gradi di libertà compresi fra 30 e 120 che non sono multipli di 10 (se non si dispone di un com240 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA x z1 2 ESEMPIO s s pffiffiffi , x þ z1 pffiffiffi 2 n n [6.6] Stima intervallare per una media, nel caso di varianza incognita Si sono osservate le lunghezze di 5 pezzi prodotti da un certo macchinario: 10,42 cm 10,12 cm 10,25 cm 10,34 cm 10,15 cm Per esempio, per calcolare il quantile di ordine k ¼ 0,95 nel caso di n ¼ 83 gradi di libertà, possiamo scrivere l’equazione y ¼ mx þ q della retta che passa per i due punti di coordinate ð80, t0,95 ð80ÞÞ e ð90, t0,95 ð90ÞÞ, quindi calcolare il valore di y per x ¼ 83. Inferenza statistica Interpolazione lineare Unità 6 puter) si può procedere con il metodo di interpolazione lineare (vedi la nota a fianco); per n > 120, invece, la distribuzione t-Student è molto bene approssimata dalla normale standard, per cui in tal caso si approssima l’intervallo di confidenza [6.5] utilizzando i quantili della normale standard: Supponendo che la lunghezza dei pezzi abbia una distribuzione normale, determiniamo un intervallo di confidenza al 95% per la lunghezza media dei pezzi prodotti. Per costruire la stima richiesta in base alla [6.5] ci occorrono x, n, s e t1 ðn 1Þ: 2 la stima puntuale x della lunghezza media è stata calcolata nell’esempio del Paragrafo 1; abbiamo visto che x ’ 10,26 cm; il campione è costituito da n ¼ 5 pezzi; anche la stima puntuale s della deviazione standard è stata calcolata in uno degli esempi precedenti, ottenendo s ’ 0,13; poiché l’esercizio richiede un livello di confidenza 1 ¼ 95% ¼ 0,95, ossia ¼ 0,05, risulta: 1 0,05 ¼1 ¼ 0,975 2 2 Osserva e dalla tabella dei quantili della t-Student si deduce che: t1 ð4Þ ¼ t0,975 ð4Þ ¼ 2,7765 2 Pertanto l’intervallo di confidenza richiesto è: 0,13 0,13 10,26 2,7765 pffiffiffi , 10,26 þ 2,7765 pffiffiffi 5 5 x t ð4Þ x t ð4Þ 0,975 ossia circa: 0,975 [10,09, 10,43] Ciò significa che, a un livello di confidenza del 95%, possiamo ritenere che la lunghezza media dei pezzi prodotti sia compresa tra 10,09 cm e 10,43 cm (estremi inclusi). Intervallo di confidenza per la stima della media nel caso di una popolazione non normale Gli enunciati dei teoremi 6.1 e 6.2 richiedono che X abbia una distribuzione normale; un importante teorema di calcolo della probabilità, il cosiddetto teorema del limite centrale, garantisce però che gli intervalli [6.3] (nel caso di varianza nota) e [6.6] (nel caso di varianza non nota) forniscono comunque una buona approssimazione dell’intervallo esatto di confidenza anche nel caso in cui non sia nota la distribuzione del carattere X, purché il campione sia sufficientemente numeroso: in genere l’approssimazione è buona, quindi si possono continuare a utilizzare gli intervalli [6.3] e [6.6]) per una dimensione campionaria n > 120. Intervallo di confidenza per la proporzione Un problema di particolare importanza in statistica inferenziale riguarda la stima della proporzione (ovverosia della frequenza relativa o della percentuale) di una popolazione che soddisfa una certa caratteristica. Un esempio tipico di questa si- Rispetto allo stesso esempio, risolto nel sottoparagrafo precedente nel caso in cui era nota la deviazione standard, abbiamo ottenuto intervallo di confidenza di ampiezza maggiore. In generale risulta t1 z1 2 2 e ciò porta come conseguenza che l’ampiezza dell’intervallo di confidenza è generalmente maggiore nel caso di varianza incognita. È questo il «prezzo da pagare», conseguente al fatto di avere minori informazioni. Rifletti 1. Utilizziamo l’intervallo [6.6], anziché il [6.5] perché siamo nell’ipotesi di grandi campioni e sappiamo che per n > 120 si suole approssimare la distribuzione t-Student con la normale standard. 2. La costruzione di un intervallo di confidenza richiede sempre maggiori informazioni rispetto a una stima puntuale: se non è nota la distribuzione di X occorre avere molti dati (in modo da potersi appellare al teorema del limite centrale). 241 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Dati e previsioni tuazione è quello dei sondaggi d’opinione, in cui si vuole stimare la proporzione p della popolazione complessiva che è d’accordo con una certa opinione, sulla base della proporzione ottenuta su un campione di n individui. In questo caso la variabile aleatoria X che interpreta il fenomeno d’interesse (come abbiamo osservato nel Paragrafo 2) non è normale, ma di Bernoulli. Tuttavia, dato un campione X1 , X2 , ..., Xn , lo stimatore frequenza campionaria: Tema C X1 þ ::::: þ Xn Pb ¼ n ha una distribuzione che, se il campione è sufficientemente numeroso, è ben approssimata da quella di una normale, avente la stessa media e la stessa varianza di Pb (è ancora una conseguenza del teorema del limite centrale). Poiché X1 þ ::::: þ Xn è binomiale di parametri n e p, risulta: Bðn, pÞ np Bðn, pÞ npð1 pÞ pð1 pÞ ¼ p; VðPbÞ ¼ V EðPbÞ ¼ E ¼ ¼ ¼ 2 n n n n n Ne segue: pð1 pÞ Pb N p, n Dunque la standardizzata di Pb avrà distribuzione normale standard: Pb p rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pð1 pÞ n Nð0, 1Þ A questo punto è chiaro che si può costruire un intervallo di confidenza (approssimato) per la proporzione seguendo un procedimento simile a quello visto per la media. Si giunge cosı̀ al seguente teorema. TEOREMA 6 .3 I n t e r v a l l o d i c o n f i d e n z a p e r la pr o p o r z i o n e L’intervallo di confidenza al livello 1 per la proporzione p, nel caso di un campione bernoulliano sufficientemente numeroso, è approssimativamente: rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pb ð1 pb Þ pb ð1 pb Þ , pb þ z1 [6.7] pb z1 2 2 n n essendo pb la stima puntuale della proporzione calcolata sul campione; n la dimensione del campione; z1 il quantile della normale standard di ordine 1 . 2 2 Per la precisione Il procedimento di costruzione dell’intervallo di confidenza per la proporzione è del tutto analogo a quello visto nell’esempio all’inizio del paragrafo (prova a ripetere il ragionamento). L’unica differenza è che giunti alla doppia disequazione: Pb p z1 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi z1 2 2 pð1 pÞ n la risoluzione rispetto a p (pur essendo possibile) condurrebbe a calcoli laboriosi. Si preferisce perciò stimare la quantità pð1 pÞ al denominatore con Pbð1 PbÞ. Ciò è lecito perché Pb è uno stimatore consistente (ovvero sempre più preciso all’aumentare del campione) e qui stiamo supponendo di essere nel caso di grandi campioni. La richiesta che il campione sia sufficientemente numeroso dipende dal fatto che solo sotto questa ipotesi l’approssimazione che viene utilizzata è valida; nella pratica si considera il campione sufficientemente numeroso (quindi la [6.7] può essere utilizzata) se sono verificate le condizioni: npb > 5 242 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P e nð1 pbÞ > 5 Condizioni di validità della [6.7] Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Unità 6 ESEMPIO Stima intervallare per una proporzione Inferenza statistica Si effettua un controllo su 200 pezzi prodotti da una macchina e si trova che 16 di essi non sono conformi alle norme dichiarate. Costruiamo un intervallo di confidenza al livello del 90% per la percentuale di pezzi prodotti non conformi. Per costruire la stima richiesta, in base alla [6.7], ci occorrono pb, n e z1 : 2 la stima puntuale pb della percentuale di pezzi non conformi dedotta dal campione è: 16 8 ¼ ¼ 0,08 ¼ 8% 200 100 Il campione è costituito da n ¼ 200 pezzi; Poiché l’esercizio richiede un livello di confidenza 1 ¼ 90% ¼ 0,9, 0,1 quindi ¼ 0,1 risulta 1 ¼1 ¼ 0,95 e dalla tabella dei quantili 2 2 all’inizio del paragrafo si ricava: z1 2 ¼ z0,95 ¼ 1,645 Pertanto l’intervallo di confidenza richiesto è: rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 0,08ð1 0,08Þ 0,08ð1 0,08Þ , 0,08 þ 1,645 0,08 1,645 200 200 pb z0,95 pb Osserva Poiché: 8 ¼ 16 > 5 100 8 ¼ nð1 pbÞ ¼ 200 1 100 ¼ 184 > 5, sono soddisfatte le condizioni per potere applicare la [6.7]. npb ¼ 200 z0,95 ossia circa: [0,048, 0,112] Ciò significa che, a un livello di confidenza del 90%, possiamo ritenere la percentuale dei prodotti non conformi compresa tra il 4,8% e l’11,2% (estremi inclusi). L’intervallo di confidenza [6.7] può anche essere scritto nella forma: sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pbð1 pbÞ pb z1 2 n L’ampiezza dell’intervallo è: sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pbð1 pbÞ 2z1 2 n Poiché sappiamo che in ogni caso è 0 pb 1, analizzando il grafico della parabola di equazione y ¼ xð1 xÞ con 0 x 1 (fig. 6.6) si deduce che è sempre 1 pbð1 pbÞ . 4 y Dunque risulterà sempre: sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 rffiffiffiffiffiffiffiffi 4 1 1 pbð1 pbÞ 2z1 ¼ z1 pffiffiffi 2z1 O 1 1 2 2 2 4n n n dell0 intervallo ampiezza di confidenza della proporzione Fissato , è allora possibile determinare la dimensione n del campione in modo da ottenere una prefissata precisione, cioè un intervallo di ampiezza minore o uguale a un dato numero k, determinando il minimo intero positivo n che soddisfa la 1 disequazione: z1 pffiffiffi k. 2 n x 2 y = x(1 – x) Figura 6.6 243 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema C Dati e previsioni Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Prova tu ESERCIZI a p. 259 1. La statura della popolazione maschile adulta di una data regione è una variabile aleatoria normale di media incognita e deviazione standard ¼ 5 cm. Determina l’intervallo di confidenza per al livello del 95%, sapendo che la statura media rilevata su un campione di 100 persone è stata di 176,5 cm. [175,52 cm 177,48 cm] 2. Un campione casuale di 6 grandi fondi di investimento ha conseguito i seguenti tassi di rendimento in un dato anno: 6% 5,4% 3,2% 7,5% 4,3% 6,8% Supponendo che la distribuzione dei tassi sia normale, determina un intervallo di confidenza al 95% per la media dei tassi di rendimento annuale dei grandi fondi di investimento. [4% 7,4%] 3. In un campione casuale di 100 fatture, 15 contengono degli errori. Determina l’intervallo di confidenza al 90% della percentuale p di fatture che contengono errori. [9,1% p 20,9%] 4. Test statistici per la verifica di ipotesi I concetti di base In questo paragrafo, con cui concludiamo il nostro breve percorso alla scoperta dell’inferenza statistica, introduciamo la seconda grande classe di metodi di inferenza dopo gli intervalli di confidenza: la verifica di ipotesi mediante i test statistici. Anziché utilizzare i dati campionari per determinare un intervallo al quale confidiamo che appartenga l’ignoto valore di un parametro da stimare secondo un certo livello di confidenza, supponiamo ora di avere formulato un’ipotesi (una congettura) sul parametro e di volere utilizzare i dati campionari per stabilire se possiamo ragionevolmente accettare o rifiutare tale ipotesi. Un test statistico consiste in una procedura atta a prendere questa decisione. Vediamo dunque quali sono gli elementi fondamentali di un test statistico. 1. Le ipotesi e gli errori L’ipotesi che si vuole sottoporre a verifica viene detta ipotesi nulla ed è indicata convenzionalmente con il simbolo H0 . All’ipotesi nulla si contrappone l’ipotesi alternativa H1 , che viene accettata quando si rigetta l’ipotesi nulla. ESEMPIO Ipotesi nulla e ipotesi alternativa Un gruppo di donne viene sottoposto a terapia con un farmaco che si ipotizza possa fare alzare la pressione diastolica. In donne sane nella medesima fascia di età la pressione diastolica è uguale a 74,4 mmHg. Considerato un campione casuale di 50 donne sottoposte alla terapia, si trova che esse hanno una pressione diastolica media uguale a 84 mmHg. Come si possono scegliere le ipotesi di un test per stabilire, in base ai dati campionari, se la congettura sugli effetti del farmaco è fondata? Possiamo assumere come ipotesi nulla H0 l’ipotesi che il farmaco non influisca sulla pressione diastolica dei pazienti (ovvero che la pressione media delle pazienti resti uguale a quella standard) e come ipotesi alternativa H1 quella che il farmaco tenda a fare alzare la pressione diastolica (ovvero che la pressione media delle pazienti risulti superiore a quella standard). Se indichiamo con la pressione media delle pazienti, possiamo formalizzare l’ipotesi nulla e quella alternativa come segue: H0 : ¼ 74,4 H1 : > 74,4 È bene osservare fin d’ora che la scelta dell’ipotesi nulla e dell’ipotesi alternativa non è unica; capiremo meglio tra poco qual è il criterio che deve guidare nella scelta. 244 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Unità 6 Poiché un test statistico si basa su dati campionari, è sempre insito in qualunque test un certo margine di incertezza: quando un test porta a rifiutare l’ipotesi nulla, ciò non significa necessariamente che H0 è falsa, ma soltanto che i dati campionari non supportano sufficientemente H0 ; analogamente, quando un test porta ad accettare l’ipotesi nulla, ciò non significa necessariamente che H0 sia vera, ma soltanto che i dati campionari sono consistenti con l’ipotesi nulla e la suffragano. Nell’accettare o rifiutare H0 è quindi sempre insita la possibilità di commettere un errore. I casi che possono presentarsi sono quelli riassunti in tab. 6.2. Inferenza statistica Tabella 6.2 H0 è vera H0 è falsa Rifiutiamo H0 Commettiamo un errore, detto del primo tipo Decidiamo correttamente Accettiamo H0 Decidiamo correttamente Commettiamo un errore, detto del secondo tipo Realtà Decisione Un test «ideale» dovrebbe minimizzare entrambi gli errori, sia quelli del primo tipo, sia quelli del secondo tipo. Ciò però non è possibile, in quanto si può dimostrare che, decrescendo l’errore del primo tipo, aumenta quello del secondo tipo, e viceversa. Occorre quindi scegliere quale dei due tipi di errore «tenere sotto controllo». Per comprendere meglio la situazione, è utile ricorrere a una analogia. Possiamo paragonare lo svolgimento di un test da parte di uno statistico allo svolgimento di un processo da parte di un giudice. Il giudice deve vagliare le due ipotesi: H0 : l’imputato è innocente H1 : l’imputato è colpevole Commettere un errore del primo tipo significa «condannare un innocente», mentre commettere un errore del secondo tipo significa «assolvere un colpevole», e il primo tipo di errore si considera più grave del secondo. Questo principio si estende ai test statistici, per cui la scelta che viene adottata è quella di tenere sotto controllo l’errore del primo tipo. In altre parole, colui che costruisce il test deve scegliere le due ipotesi in modo che l’ipotesi nulla sia il presupposto che considera «vero fino a prova contraria» e perciò, dal suo punto di vista, sia più grave commettere l’errore del primo tipo che quello del secondo. Il giudizio su quale errore sia più grave commettere dipende comunque dal punto di vista di chi costruisce il test, come messo in luce dal seguente esempio. ESEMPIO Attenzione! La scelta delle ipotesi è particolarmente importante, in quanto il ruolo di H0 e di H1 non è simmetrico: scambiare le due ipotesi significa fare due test diversi, che possono portare a esiti differenti! Scelta del sistema di ipotesi Il contenuto dichiarato dei barattoli di marmellata di un certo tipo è 250 g. Supponiamo di estrarre un campione di barattoli e di volere verificare l’ipotesi che i barattoli contengano effettivamente 250 g. Come possiamo scegliere l’ipotesi nulla e l’ipotesi alternativa? a. Se ci poniamo dal punto di vista di un acquirente, che ha interesse a non comprare barattoli contenenti meno marmellata di quanto dichiarato, nell’impostare il test dobbiamo scegliere: H0 : < 250 H1 : 250 Cosı̀ facendo infatti l’errore del primo tipo (che è quello che il test è in grado di tenere sotto controllo) corrisponde proprio a ciò che il consumatore maggiormente vuole evitare, e cioè «considerare la quantità contenuta corretta, quando invece è minore di quanto dichiarato». Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Ô 245 Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Dati e previsioni Ô b. Se ci poniamo dal punto di vista del produttore, che ha interesse a non vendere barattoli contenenti una quantità di marmellata superiore a quanto dichiarato, nell’impostare il test dobbiamo scegliere: H0 : > 250 H1 : 250 Tema C Cosı̀ facendo, infatti, l’errore del primo tipo (che è quello tenuto sotto controllo) corrisponde proprio a ciò che il produttore vuole evitare, e cioè «considerare la quantità contenuta corretta, quando invece è maggiore di quanto dichiarato». c. Se infine ci poniamo dal punto di vista di chi vuole controllare semplicemente la taratura delle macchine (partendo dal presupposto che esse siano tarate regolarmente), si può scegliere: H0 : ¼ 250 H1 : 6¼ 250 Il controllo dell’errore di primo tipo è possibile tramite gli strumenti del calcolo della probabilità; precisamente, occorre conoscere la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria X che interpreta il fenomeno d’interesse sulla popolazione oppure essere nelle condizioni di poterla approssimare: limitatamente ai casi che prenderemo in considerazione, ciò porta come conseguenza che un test statistico potrà essere costruito (analogamente a quanto visto per gli intervalli di confidenza) soltanto se sappiamo a priori che X ha distribuzione normale oppure se siamo nel caso di grandi campioni. Attenzione! In statistica, con l’espressione «livello di significatività» si intende la massima probabilità di sbagliare che si è disposti ad accettare. Il preciso significato da attribuire all’espressione «probabilità di sbagliare» (e di conseguenza al concetto di livello di significatività) dipende dal particolare problema in esame, ossia dal fatto che si stia costruendo un intervallo di confidenza o eseguendo un test statistico. 2. Il livello di significatività Il livello di significatività di un test è definito come la (massima) probabilità di commettere un errore di primo tipo che siamo disposti a tollerare. Esso viene usualmente scelto uguale al 10%, al 5% o all’1% e viene convenzionalmente indicato con la lettera . Immaginando di estrarre moltissimi campioni e di ripetere ogni volta il test, per la legge dei grandi numeri il numero rappresenta approssimativamente la percentuale di volte in cui un test porta a prendere una decisione sbagliata a causa di un errore di primo tipo. 3. La statistica-test Una volta stabilito il sistema di ipotesi da sottoporre a test e il livello di significatività, occorre considerare un’opportuna variabile aleatoria, che in questo contesto viene detta statistica-test e che indicheremo con la lettera maiuscola U, sulla base della quale viene fondata la regola di decisione per stabilire se accettare o rifiutare l’ipotesi nulla. La statistica-test va scelta in modo che, nell’ipotesi che H0 sia vera, sia completamente nota la sua distribuzione di probabilità. Nei test statistici che ci limiteremo a considerare, la statistica-test sarà sempre lo stimatore standardizzato del parametro su cui vertono le ipotesi: nei test sulla media, la statistica-test sarà la media campionaria standardizzata, mentre nei test sulla proporzione sarà la frequenza campionaria standardizzata. 4. La regione critica e quella di accettazione L’insieme dei possibili valori che può assumere la statistica-test viene suddiviso in due regioni complementari: la regione critica (costituita dai valori che depongono a favore del rifiuto dell’ipotesi nulla) e la regione di accettazione (costituita dai valori che depongono a favore dell’accettazione dell’ipotesi nulla). Il test è costruito in modo che un errore di primo tipo avvenga se e solo se la statistica-test assume valori nella regione critica. Pertanto la regione critica dipende dal livello di significatività fissato; precisamente, la probabilità che la statistica-test assuma valori nella regione critica qualora H0 sia vera deve essere uguale ad . 246 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA ESEMPIO Impostazione di un test statistico sulla media Il contenuto dichiarato dei barattoli di marmellata di un certo tipo è 250 g. Il contenuto effettivo si può modellizzare con una variabile aleatoria normale, di deviazione standard uguale a 3 g. Scegliendo un campione casuale di 20 barattoli, si riscontra un contenuto medio di 248 g. Impostiamo un test statistico per stabilire, in base a questi dati e al livello di significatività del 5%, se i macchinari che producono i barattoli sono tarati correttamente. Anziché dire che «si accetta l’ipotesi nulla» (come per brevità spesso si fa nella pratica) gli statistici preferiscono talvolta esprimersi più prudentemente dicendo «non si rifiuta» l’ipotesi nulla. Questo perché, in assenza di un controllo sull’errore del secondo tipo, accettando l’ipotesi nulla non è possibile determinare con esattezza quanta fiducia dobbiamo riporre in questa decisione. La locuzione «non si rifiuta» viene utilizzata per suggerire di sospendere il giudizio: cosı̀ facendo, ovvero non accettando direttamente l’ipotesi nulla, ci si salvaguarda dal rischio di commettere un errore del secondo tipo. Inferenza statistica Riassumendo, possiamo paragonare, come già fatto, lo svolgimento di un test da parte di uno statistico allo svolgimento di un processo da parte di un giudice. L’analogia è la seguente. Il giudice deve vagliare le due ipotesi H0 : «l’imputato è innocente» e H1 : «l’imputato è colpevole». Il giudice ascolta le argomentazioni dell’accusa e della difesa (lo statistico estrae un campione e raccoglie i dati campionari), dopodiché, assumendo che l’imputato sia innocente (cioè che l’ipotesi nulla sia vera), ne valuta la consistenza (stabilisce se il valore osservato appartiene o meno alla regione critica). Infine decide se condannarlo oppure assolverlo (accettare o rifiutare l’ipotesi nulla). Cerchiamo di chiarire tutti questi concetti grazie a un esempio. Modi di dire Unità 6 5. La regola di decisione Indicato con la lettera u il valore (detto valore osservato) assunto dalla statisticatest U in corrispondenza del campione estratto, si stabilisce la seguente regola di decisione: se u appartiene alla regione critica, allora si rifiuta l’ipotesi nulla H0 ; se u non appartiene alla regione critica (ovvero appartiene alla regione di accettazione), allora si accetta l’ipotesi nulla H0 . Ipotesi Sia X il contenuto di un barattolo di marmellata. Sappiamo che X ha distribuzione normale, di media incognita e varianza 9. L’ipotesi nulla, che riteniamo vera fino a prova contraria, è che le macchine siano tarate in modo corretto, quindi assumiamo: H0 : ¼ 250 H1 : 6¼ 250 Livello di significatività In questo caso è stato fissato ¼ 5% ¼ 0,05. Statistica-test Come abbiamo anticipato, poiché in questo caso il parametro che è sottoposto a test è la media, assumiamo come statistica-test la media campionaria standardizzata. Ricordiamo che, se X è normale di parametri e 2 , allora la media 2 (essendo n la dimencampionaria X è a sua volta normale di parametri e n sione del campione). Nel nostro caso, se supponiamo che l’ipotesi nulla sia vera, cioè che ¼ 250, abbiamo: 9 X Nð250,9Þ ) X N 250, 20 0 nell ipotesi che H 0 sia vera quindi, standardizzando, sarà: X 250 rffiffiffiffiffiffiffiffi Nð0,1Þ ¼ Z 9 statistica-test 20 U ¼ È importante osservare che la media campionaria standardizzata soddisfa i requisiti di una statistica-test: – ha distribuzione nota, nell’ipotesi che H0 sia vera; – ci consente di ottenere informazioni per decidere se accettare o rifiutare l’ipotesi nulla; infatti, se l’ipotesi nulla è vera, ci aspettiamo che le differenze Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Ô 247 Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Tema C Dati e previsioni Ô X 250 siano piccole e che di conseguenza la media campionaria standardizzata assuma valori prevalentemente vicini a 0. Regione critica Rifletti Assumendo che l’ipotesi nulla sia vera, quindi che la distribuzione della statisticatest sia normale standard, commettiamo un errore del primo tipo quando rifiutiamo l’ipotesi nulla, ossia quando U assume valori nella regione critica. Suddividiamo l’insieme dei valori che può assumere la statistica-test U in due regioni: – l’insieme dei valori per cui jUj k (dove k è un opportuno numero reale positivo da determinare); – l’insieme dei valori per cui jUj > k. Il primo insieme contiene i valori della statistica-test U vicini allo zero, ossia quelli che depongono a favore dell’accettazione dell’ipotesi nulla, e pertanto definisce la regione di accettazione; il secondo insieme invece contiene i valori della statistica-test U lontani dallo zero (per difetto o per eccesso), ossia quelli che depongono a favore del rifiuto dell’ipotesi nulla, e costituisce perciò la regione critica (fig. 6.7). I valori k che separano la regione critica da quella di accettazione sono detti valori critici. y densità della statistica test U ∼N(0, 1) 0,4 valori critici 0,2 0O –k Figura 6.7 regione critica x k regione di accettazione regione critica Il valore di k dipende dal livello di significatività; se fissiamo ¼ 0,05, allora possiamo determinare k in base alla condizione che scaturisce dalla definizione di livello di significatività: pðjUj > kÞ ¼ 0,05 la probabilità che la statistica-test assuma valori nella regione critica ð¼ probabilità di commettere un errore del primo tipoÞ è uguale al livello di significatività Poiché U ha la distribuzione di una normale standard, questa condizione equivale a richiedere che le due «code» individuate dalla regione critica abbia0,05 ¼ 0,025 mentre la regione di accettazione deve avere no area uguale a 2 area uguale a 1 0,05 ¼ 0,95 (fig. 6.8). y densità della statistica test U∼N(0, 1) 0,2 area = 0,025 –k Figura 6.8 area = 0,95 0,4 regione critica 0O regione di accettazione area = 0,025 x k regione critica Dunque il valore critico k deve lasciare a sinistra un’area uguale a 0,95 þ 0,025 ¼ 0,975, ovvero k deve essere il quantile di ordine 0,975 della normale standard: k ¼ z0,975 ¼ 1,96 248 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Unità 6 Valore osservato u di U sul campione estratto È uguale al valore della statistica-test in corrispondenza del campione estratto, ossia: Inferenza statistica x 250 u ¼ rffiffiffiffiffiffiffiffi 9 20 essendo x la media dei dati campionari che, in base al testo dell’esercizio, è uguale a 248. Dunque: u¼ 248 250 rffiffiffiffiffiffiffiffi ’ 2,98 9 20 Regola di decisione La situazione che si presenta è quella illustrata in fig. 6.9. y 0,4 valore osservato di U: u = –2,98 –3 –1,96 regione critica 0,2 –1 0O 1 1,96 regione di accettazione x 3 regione critica Figura 6.9 Poiché il valore osservato u della statistica-test cade nella regione critica, rifiutiamo l’ipotesi nulla, ovvero accettiamo l’ipotesi alternativa che i macchinari non siano ben tarati. Verifica di ipotesi sulla media di una popolazione normale, con varianza nota Con ragionamenti simili a quelli visti nell’esempio precedente, si giunge a formulare i test statistici riassunti in tab. 6.3, che riguardano la media di una popolazione normale, di varianza 2 nota. Tabella 6.3 Test sulla media , nel caso di popolazione normale di cui è nota la varianza 2 Ipotesi nulla ðH0 Þ Ipotesi alternativa ðH1 Þ ¼ 0 6¼ 0 ¼ 0 0 < 0 > 0 > 0 0 ¼ 0 0 > 0 < 0 < 0 0 Statistica-test U¼ X 0 pffiffiffi n (ossia la media campionaria standardizzata) Regione critica jUj > z1 2 U > z1 U < z1 Valore osservato di U u¼ x 0 pffiffiffi n dove x è la media dei dati campionari Regola di decisione Rifiutiamo l’ipotesi nulla se il valore osservato u di U è tale che... juj > z1 2 u > z1 u < z1 249 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Tema C Dati e previsioni I valori critici sono stati individuati in base alle considerazioni spiegate nelle didascalie della fig. 6.10. 0,4 α area = 2 area = 1 – α regione critica 0O regione di accettazione area = 1 – α α area = 2 0,2 –k y y y 0,2 x k 0,4 0,4 0O regione di accettazione regione critica a. La regione critica è della forma jUj > k. Poiché la probabilità che U assuma valori in tale regione deve essere uguale ad , l’area di ciascuna delle due «code» individuate dalla regione critica deve essere uguale ad =2, mentre l’area individuata dalla regione di accettazione deve essere uguale a 1 . Ne segue che il valore critico k deve lasciare a sinistra , quindi deve un’area uguale a 1 2 essere uguale al quantile della normale standard di ordine 1 : k ¼ z1 2 . 2 x k 0,2 area = α area = α regione critica b. La regione critica è della forma U > k. Poiché la probabilità che U assuma valori in tale regione deve essere uguale ad , l’area della coda individuata dalla regione critica deve essere uguale ad , mentre l’area individuata dalla regione di accettazione deve essere uguale a 1 . Ne segue che il valore critico k deve lasciare a sinistra un’area uguale a ð1 Þ, quindi deve essere uguale al quantile della normale standard di ordine ð1 Þ: k ¼ z1 . area = 1 – α k 0O x regione regione di accettazione critica c. La regione critica è della forma U < k. Poiché la probabilità che U assuma valori in tale regione deve essere uguale ad , l’area della coda individuata dalla regione critica deve essere uguale ad ; inoltre il valore critico k deve certamente essere negativo (poiché rappresentando un livello di significatività, certamente 1 è < ) . Osservando che la situazione 2 che si presenta è la simmetrica rispetto all’asse y di quella raffigurata in b., possiamo concludere che: k ¼ z1 . Figura 6.10 Deduzione dei valori critici dei test riportati in tabella. Il primo test indicato in tabella (illustrato in fig. 6.10a), avendo una regione critica della forma jUj > k, si dice a due code (o bilatero), mentre il secondo e il terzo (illustrati nelle figg. 6.10 b-c), avendo il primo una regione critica del tipo U > k e il secondo una regione critica del tipo U < k, sono detti test a una coda (o unilateri). ESEMPIO Test a una coda sulla media (con varianza nota) La statura degli abitanti di un paese è in media 173 cm. Alcuni ricercatori, sulla base di alcuni cambiamenti avvenuti negli ultimi anni, ipotizzano che la statura media dei giovani sia aumentata rispetto a quella dei loro genitori. Estraggono perciò un campione casuale di 100 giovani, che verificano avere una statura media di 176,5 cm. Supponendo che la statura dei giovani sia una variabile aleatoria normale, di deviazione standard 15 cm, che cosa possono concludere i ricercatori a un livello di significatività del 5%? Osserva Scelta delle ipotesi I passi per risolvere un problema di verifica di ipotesi sulla media sono i seguenti: 1. scelta delle ipotesi; 2. calcolo del valore osservato della statistica-test; 3. calcolo del valore critico; 4. confronto tra il valore osservato e il valore critico e conseguente decisione. Dal punto di vista dei ricercatori, l’ipotesi messa in discussione, vera fino a prova contraria, è che la media della statura dei giovani permanga di 173 cm. Assumeremo perciò: H0 : ¼ 173 H1 : > 173 Osserva che 0 ¼ 173 Valore osservato della statistica-test x 0 176,5 173 u¼ ¼ ’ 2,33 15 3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 100 Valore critico Il valore critico, essendo ¼ 0,05 e quindi 1 ¼ 0,95, è: z1 ¼ z0,95 ¼ 1,645 250 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Unità 6 Confronto tra valore critico e valore osservato e decisione Inferenza statistica Poiché u > z0,95 , si rifiuta l’ipotesi nulla, quindi i ricercatori hanno motivo di ritenere fondata la loro ipotesi che l’età media dei giovani sta aumentando, al livello di significatività del 5%. Verifica di ipotesi sulla media di una popolazione normale, con varianza non nota Nel caso in cui la varianza non sia nota, si presenta una situazione analoga a quella vista per gli intervalli di confidenza; i test statistici sono del tutto simili a quelli visti nel caso in cui la varianza è conosciuta, con due sole differenze: la varianza della popolazione va ora stimata tramite la varianza campionaria corretta s2 e, al posto dei quantili della normale standard, occorre utilizzare i quantili della distribuzione t-Student con (n 1) gradi di libertà (n rappresenta sempre la numerosità del campione). I test statistici assumono perciò la forma riassunta in tab. 6.4. Tabella 6.4 Test sulla media , nel caso di popolazione normale di cui non è nota la varianza Ipotesi nulla ðH0 Þ Ipotesi alternativa ðH1 Þ ¼ 0 6¼ 0 ¼ 0 0 < 0 > 0 > 0 0 ¼ 0 0 > 0 < 0 < 0 0 ESEMPIO Statistica-test U¼ X 0 s pffiffiffi n dove s2 è la varianza campionaria corretta Regione critica jUj > t1 ðn 1Þ 2 U > t1 ðn 1Þ U < t1 ðn 1Þ Valore osservato di U u¼ x 0 s pffiffiffi n dove x è la media dei dati campionari Regola di decisione Rifiutiamo l’ipotesi nulla se il valore osservato u di U è tale che... juj > t1 ðn 1Þ 2 u > t1 ðn 1Þ u < t1 ðn 1Þ Test a una coda sulla media (con varianza incognita) La statura media degli abitanti di un paese è una variabile aleatoria normale di media 173 cm. Diversi ricercatori, sulla base di alcuni cambiamenti avvenuti negli ultimi anni, ipotizzano che la statura media dei giovani sia aumentata rispetto a quella dei loro genitori. Estraggono perciò un campione casuale di 100 giovani, che verificano avere una statura media di 176,5 cm. Inoltre, in base al calcolo della varianza campionaria corretta, stimano che la varianza della statura dei giovani sia di 250 cm2 . A un livello di significatività dell’1%, che cosa possono concludere i ricercatori? Scelta delle ipotesi Dal punto di vista dei ricercatori, l’ipotesi messa in discussione, vera fino a prova contraria, è che la media della statura permanga di 173 cm. Assumeremo perciò: H0 : ¼ 173 H1 : > 173 Valore osservato della statistica-test u¼ x 0 x 0 176,5 173 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ’ 2,21 ¼ rffiffiffiffiffiffiffi ¼ s 2 250 s pffiffiffi n 100 n Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Ô 251 Tema C Dati e previsioni Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Ô Valore critico Il valore critico, essendo n ¼ 100 e 1 ¼ 0,99, può essere calcolato con il metodo dell’interpolazione lineare o, più velocemente, ricorrendo a un software opportuno. Si trova che è: t1 ðn 1Þ ¼ t0,99 ð99Þ ’ 2,36 Confronto tra valore critico e valore osservato e decisione Poiché u < t0, 99 ð99Þ, l’ipotesi nulla non può essere rifiutata; quindi sulla base dei dati campionari i ricercatori non possono accettare l’ipotesi che l’età media dei giovani sia aumentata, al livello di significatività del 1%. Test di ipotesi sulla media di una popolazione di cui non è nota la distribuzione Similmente a quanto visto per gli intervalli di confidenza, i test sulla media possono continuare a essere utilizzati anche nel caso in cui non sia nota la distribuzione di probabilità del carattere X oggetto di studio, purché la dimensione del campione sia sufficientemente elevata. In tal caso non si tratterà però di test esatti bensı̀ di test approssimati; in genere l’approssimazione è buona, quindi si possono continuare a utilizzare i test consueti per campioni di numerosità n, con n > 120. Test di ipotesi sulla proporzione Supponiamo per esempio di volere sottoporre a un test, su un campione bernoulliano di numerosità n, una ipotesi del tipo: H0 : p ¼ p 0 sulla proporzione (incognita) p della popolazione che possiede una certa caratteristica. Sappiamo che in tal caso la variabile aleatoria X che interpreta il fenomeno d’interesse non è normale, ma di Bernoulli. Tuttavia, come abbiamo già osservato nel caso degli intervalli di confidenza, se il campione è sufficientemente numeroso, lo stimatore frequenza campionaria: X1 þ ::: þ Xn Pb ¼ n pð1 pÞ : n Se l’ipotesi nulla è vera, cioè p ¼ p0 , la distribuzione di probabilità di Pb è allora nota: ha distribuzione approssimativamente normale, di media p e varianza Pb p0 ð1 p0 Þ N p0 , n Assumendo come statistica-test la frequenza campionaria standardizzata: Pb p0 U ¼ rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Nð0,1Þ p0 ð1 p0 Þ n potremo costruire test del tutto simili a quelli visti per la media (nel caso di varianza nota). Si ottengono cosı̀ i test riassunti in tab. 6.5. 252 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Unità 6 Tabella 6.5 Test sulla proporzione p, per grandi campioni Ipotesi alternativa ðH1 Þ Statistica-test Regione critica Valore osservato di U Regola di decisione Rifiutiamo l’ipotesi nulla se il valore osservato u di U è tale che... p ¼ p0 p 6¼ p0 jUj > z1 p > p0 p > p0 p p0 p ¼ p0 p p0 p > p0 p < p0 p < p0 p p0 pb p0 u ¼ rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p0 ð1 p0 Þ n dove pb è la proporzione di unità del campione che possiede la caratteristica oggetto di indagine juj > z1 p ¼ p0 p p0 p < p0 Pb p0 U ¼ rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p0 ð1 p0 Þ n 2 U > z1 U < z1 2 u > z1 Inferenza statistica Ipotesi nulla ðH0 Þ u < z1 Come già visto per gli intervalli di confidenza, il campione si considera sufficientemente numeroso, quindi il test può essere applicato, purché sia: npb > 5 ESEMPIO e nð1 pbÞ > 5 Test di ipotesi sulla proporzione Un acquirente deve decidere se comprare un lotto di 4000 pezzi. Egli ritiene il lotto inaccettabile se contiene almeno il 7% di pezzi difettosi. Esamina un campione di 100 pezzi e ne trova 6 difettosi. Quale decisione deve prendere l’acquirente, al livello di significatività del 5%? Scelta delle ipotesi Osserva Dal punto di vista dell’acquirente è più grave acquistare un lotto da rigettare piuttosto che non comprarne uno conforme; quindi l’ipotesi nulla, che l’acquirente è disposto ad abbandonare solo in caso di forte evidenza, è che il lotto sia da rigettare, ovvero che contenga una percentuale p di prezzi difettosi maggiore o uguale al 7%. Poniamo dunque: I passi per risolvere un problema di verifica di ipotesi sulla proporzione sono i seguenti: 1. scelta delle ipotesi; 2. verifica delle condizioni per potere applicare il test; 3. calcolo del valore osservato della statisticatest; 4. calcolo del valore critico; 5. confronto tra il valore osservato e il valore critico e conseguente decisione. H0 : p 0,07 H1 : p < 0,07 Osserva che p0 ¼ 0,07 Verifica delle condizioni per potere applicare il test La proporzione pb di pezzi difettosi sul campione è: pb ¼ 6 ¼ 0,06 100 Inoltre il campione è sufficientemente numeroso per poter applicare il test, in quanto risulta: 100 0,06 ¼ 6 > 5 n pb e 100ð1 0,06Þ ¼ 94 > 5 nð1 pb Þ Valore osservato della statistica-test 0,06 0,07 pb p0 u ¼ rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ’ 0,39 p0 ð1 p0 Þ 0,07ð1 0,07Þ n 100 Ô Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P 253 Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Dati e previsioni Ô Valore critico Il valore critico, essendo ¼ 0,05 e quindi 1 ¼ 0,95, è: z1 ¼ z0,95 ¼ 1,645 Confronto tra valore critico e valore osservato e decisione Tema C Confrontando il valore osservato con il valore critico, osserviamo che u > z0;95 , dunque, al livello di significatività del 5%, accettiamo l’ipotesi nulla. Concludiamo perciò che l’acquirente non dovrebbe acquistare il lotto. Prova tu ESERCIZI a p. 263 1. La statura degli abitanti di un paese è una variabile aleatoria normale di media 173 cm, con deviazione standard di 15 cm. Un gruppo di ricercatori, sulla base di alcuni cambiamenti avvenuti negli ultimi anni, ipotizza che la statura media dei giovani sia aumentata rispetto a quella dei loro genitori. I ricercatori estraggono perciò un campione casuale di 100 giovani, che verificano avere una statura media di 176 cm. A un livello di significatività del 1%, che cosa possono concludere i ricercatori? [Devono accettare l’ipotesi che la statura media è rimasta invariata] 2. Un acquirente deve decidere se comprare un lotto di 4000 pezzi. Egli ritiene il lotto inaccettabile se contiene almeno l’8% di pezzi difettosi. Esamina un campione di 150 pezzi e ne trova 7 difettosi. Quale decisione deve prendere l’acquirente, al livello di significatività del 5%? [Non acquistare il lotto] 254 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Esercizi In più: esercizi interattivi 6 Unità Unità 6 SINTESI Intervalli di confidenza, al livello di significatività x z1 pffiffiffi , x þ z1 pffiffiffi 2 2 n n Per la media, nel caso di varianza incognita s s p ffiffiffi p ffiffiffi x t1 ðn 1Þ , x þ t1 ðn 1Þ 2 2 n n Per la proporzione (per grandi campioni) pb z1 2 x è la stima puntuale della media calcolata sul campione (di dimensione n) s è la deviazione standard campionaria corretta sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pbð1 pbÞ pbð1 pbÞ , pb þ z1 2 n n Inferenza statistica Per la media, nel caso di varianza 2 nota pb è la stima puntuale della proporzione calcolata sul campione (di dimensione n) Test per la verifica di ipotesi, al livello di significatività Ipotesi nulla ðH0 Þ Ipotesi alternativa ðH1 Þ Statistica-test Regione critica Valore osservato di U Regola di decisione: rifiutiamo l’ipotesi nulla se il valore osservato u è tale che... Test sulla media , nel caso di popolazione normale di cui è nota la varianza ¼ 0 6¼ 0 ¼ 0 0 < 0 > 0 > 0 0 ¼ 0 0 > 0 < 0 < 0 0 U¼ X 0 pffiffiffi n (ossia la media campionaria standardizzata) jUj > z1 2 u¼ U > z1 U < z1 x 0 pffiffiffi n dove x è la media dei dati campionari juj > z1 2 u > z1 u < z1 Test sulla media , nel caso di popolazione normale di cui non è nota la varianza ¼ 0 6¼ 0 ¼ 0 0 < 0 > 0 > 0 0 ¼ 0 0 > 0 < 0 < 0 0 U¼ X 0 s pffiffiffi n jUj > t1 ðn 1Þ 2 U > t1 ðn 1Þ 2 dove s è la varianza campionaria corretta u¼ U < t1 ðn 1Þ x 0 s pffiffiffi n dove x è la media dei dati campionari juj > t1 ðn 1Þ 2 u > t1 ðn 1Þ u < t1 ðn 1Þ Test sulla proporzione p, per grandi campioni p ¼ p0 p 6¼ p0 p ¼ p0 p p0 p < p0 p > p0 p > p0 p p0 p ¼ p0 p p0 p > p0 p < p0 p < p0 p p0 Pb p0 U ¼ rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p0 ð1 p0 Þ n jUj > z1 2 U > z1 U < z1 pb p0 u ¼ rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p0 ð1 p0 Þ n dove pb è la proporzione di unità del campione che possiede la caratteristica oggetto di indagine juj > z1 2 u > z1 u < z1 255 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema C Dati e previsioni Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA CONOSCENZE E ABILITÀ 1. Introduzione alla statistica inferenziale TEORIA a p. 229 Vero o falso? a. la statistica inferenziale si occupa dei problemi relativi all’estensione all’intera popolazione dei risultati osservati su un campione V F b. un campione bernoulliano è un campione estratto senza reimmissione V F c. un campione bernoulliano non è un campione casuale V F d. la stima di un parametro incognito è uno dei problemi affrontati dall’inferenza statistica V F [2 affermazioni vere e 2 false] 1 Þ Volendo studiare l’età media dei clienti di un negozio, si considera un campione casuale di 50 clienti su cui si osservano i dati riportati in tabella: 2 Þ Età [20, 25) [25, 30) [30, 35) [40, 45) [45, 50) [50, 55) [55, 60] Numero clienti 5 12 25 3 2 2 1 Fornisci una stima puntuale dell’età media dei clienti del negozio. [Circa 32,8] Si è intervistato un campione casuale di 200 individui, per valutare gli effetti della crisi economica sui consumi degli italiani. I consumi mensili, in euro, osservati sul campione sono quelli riportati in tabella. 3 Þ Consumi mensili [0, 500) [500, 1000) [1000, 1500) [1500, 2000) [2000, 2500) [2500, 3000] Numero di individui 8 12 80 50 22 28 Determina una stima puntuale del consumo medio mensile degli italiani. [1625 euro] Da un lotto di arance se ne estrae un campione casuale di 500; di queste, 180 risultano avere un peso inferiore a 120 g, 220 risultano avere un peso compreso tra 120 e 180 g e 100 risultano avere un peso superiore a 200 g. Determina una stima puntuale della percentuale di arance del lotto aventi un peso superiore ai 120 g. [64%] 4 Þ 5 Þ Si sono osservate le lunghezze di 10 pezzi prodotti da un certo macchinario, ottenendo i seguenti risultati: 11,7 cm 10,3 cm 11,3 cm 9,9 cm 9,8 cm 10,2 cm 10,4 cm 10,3 cm 9,2 cm 10,7 cm Vengono dichiarati «conformi» i pezzi la cui lunghezza si discosta dalla lunghezza dichiarata, uguale a 10,5 cm, al massimo del 10%. Qual è la stima puntuale della percentuale di pezzi prodotti non conformi che si deduce dal campione analizzato? [20%] 2. Stimatori TEORIA a p. 231 Esercizi preliminari Vero o falso? a. uno stimatore è un numero calcolato sui dati campionari V F b. uno stimatore è una variabile aleatoria, utilizzata per stimare un parametro, che rappresenta tutte le possibili stime del parametro che possono ottenersi al variare del campione V F c. il concetto di stima e quello di stimatore sono equivalenti V F d. uno stimatore la cui media non coincide con il parametro da stimare è detto distorto V F e. uno stimatore la cui media coincide con il parametro da stimare è detto consistente V F [2 affermazioni vere e 3 false] 6 Þ 256 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Vero o falso? a. la media campionaria è uno stimatore corretto della media della popolazione V F b. la varianza campionaria è uno stimatore non distorto della varianza della popolazione V F c. per stimare su dei dati campionari la percentuale di una popolazione che soddisfa una data caratteristica, si calcola la percentuale degli elementi del campione che soddisfa quella caratteristica V F d. per stimare su dei dati campionari la varianza di una popolazione, si calcola la varianza dei dati campionari V F [2 affermazioni vere e 2 false] 7 Þ Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 8 Þ Unità 6 Proprietà degli stimatori ESERCIZIO SVOLTO T1 ¼ 1 2 X1 þ X2 3 3 e T2 ¼ 2 3 X1 þ X2 5 5 a. Verifichiamo che sono entrambi corretti. b. Stabiliamo quale dei due è il più efficiente. Inferenza statistica Da una popolazione X di media e varianza 2 estraiamo un campione casuale (bernoulliano) X1 , X2 . Consideriamo quindi i seguenti due stimatori per : a. Verificare che gli stimatori sono corretti equivale a verificare che il loro valore medio coincide con quello della popolazione, cioè con . A tale scopo bisogna ricordare che: le variabili aleatorie X1 , X2 di un campione casuale sono identiche e identicamente distribuite a X, quindi EðX1 Þ ¼ EðX2 Þ ¼ ; la media di una variabile aleatoria gode della proprietà di linearità. Tenendo conto di ciò si ha immediatamente che: 1 2 1 2 X1 þ X2 ¼ EðX1 Þ þ EðX2 Þ ¼ EðT1 Þ ¼ E 3 3 3 3 2 3 2 3 EðT2 Þ ¼ E X1 þ X2 ¼ EðX1 Þ þ EðX2 Þ ¼ 5 5 5 5 1 2 þ ¼ 3 3 2 3 þ ¼ 5 5 b. Lo stimatore più efficiente è quello che ha varianza minore, quindi occorre calcolare le varianze dei due stimatori e confrontarle. Per il calcolo della varianza, occorre ricordare che: VðX1 Þ ¼ VðX2 Þ ¼ 2 (poiché le variabili aleatorie estrazioni campionarie sono identiche ed identicamente distribuite a X); data una variabile aleatoria X, risulta: VðaX þ bÞ ¼ a2 VðXÞ per ogni a, b 2 R; se X e Y sono due variabili aleatorie indipendenti (il che si verifica per le variabili estrazioni campionarie in caso di campionamento bernoulliano) risulta: VðX þ YÞ ¼ VðXÞ þ VðYÞ Abbiamo perciò: 1 2 1 4 1 4 5 X1 þ X2 ¼ VðX1 Þ þ VðX2 Þ ¼ 2 þ 2 ¼ 2 VðT1 Þ ¼ V 3 3 9 9 9 9 9 2 3 4 9 4 2 9 2 13 2 VðT2 Þ ¼ V X1 þ X2 ¼ VðX1 Þ þ VðX2 Þ ¼ þ ¼ 5 5 25 25 25 25 25 Poiché 13 5 < , lo stimatore più efficiente è T2 . 25 9 Da una popolazione X di media e varianza 2 estraiamo un campione casuale (bernoulliano) di dimensione 2: X1 , X2 . Considera quindi i seguenti due stimatori per : 9 Þ T1 ¼ 2 1 X1 þ X2 3 3 e T2 ¼ 3 1 X1 þ X2 4 4 a. Verifica che sono entrambi corretti. b. Stabilisci quale dei due è il più efficiente. [b. È più efficiente T1 ] Da una popolazione X di media estraiamo un campione casuale (bernoulliano) di dimensione 3: X1 , X2 , X3 . Determina k in modo che T risulti uno stimatore corretto per : 1 k 16 k¼ T ¼ X1 þ ðk 2Þ X2 X3 3 2 3 10 Þ 257 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema C Dati e previsioni Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Da una popolazione X di media e varianza 2 estraiamo un campione casuale (bernoulliano) di dimensione 3: X1 , X2 , X3 . 2 3 a. Determina k in modo che T ¼ X1 þ k X2 X3 risulti uno stimatore corretto per . 5 5 6 7 b. In corrispondenza del valore di k trovato al punto a., determina la deviazione standard di T. a. k ¼ ; b. 5 5 11 Þ Da una popolazione X di media e varianza 2 estraiamo un campione casuale (bernoulliano) di dimensione 3: X1 , X2 , X3 . 1 1 a. Determina k in modo che T ¼ X1 þ k X2 X3 risulti uno stimatore corretto per . 4 2 5 15 2 b. In corrispondenza del valore di k trovato al punto a., determina la varianza di T. a. k ¼ ; b. 4 8 12 Þ 13 Þ Verifica che, estratto un campione casuale (bernoulliano) X1 , X2 , ..., Xn da una popolazione X di media e varianza 2 , la variabile aleatoria media campionaria X ¼ X1 þ ::: þ Xn 2 ha media e varianza . n n Data una popolazione normale di media e varianza 2 , sia X1 , X2 , ..., Xn un campione casuale (bernoulliano) estratto dalla popolazione. Considera i seguenti due stimatori della media della popolazione: 14 Þ T1 ¼ X1 þ X2 þ ::: þ Xn2 þ 3Xn1 Xn n T2 ¼ X1 þ X2 þ ::: þ Xn2 2Xn1 þ 4Xn n a. Verifica che sono entrambi corretti. b. Verifica che sono entrambi consistenti. c. Stabilisci quale dei due è più efficiente. Data una popolazione normale di media e varianza 2 , sia X1 , X2 , ..., Xn un campione casuale (bernoulliano) estratto dalla popolazione. Considera i seguenti due stimatori della media della popolazione: 15 Þ T1 ¼ X1 þ X2 þ ::: þ Xn2 4Xn1 þ 6Xn n T2 ¼ X1 þ X2 þ ::: þ Xn2 þ 5Xn1 3Xn n a. Verifica che sono entrambi corretti. b. Verifica che sono entrambi consistenti. c. Stabilisci quale dei due è più efficiente. Data una popolazione normale di media e varianza 2 , sia X1 , X2 , ..., Xn un campione casuale (bernoulliano) estratto dalla popolazione. Verifica che il seguente stimatore della media della popolazione è corretto ma non è consistente: 16 Þ T¼ X1 þ ::: þ Xn2 þ nXn1 þ ð2 nÞXn n Stima puntuale della varianza e della deviazione standard Si sono rilevati i prezzi mensili (in euro) per l’affitto di un bilocale in una certa zona di una città, su un campione di cinque immobili: 17 Þ 450 500 420 540 600 Determina una stima puntuale: a. dell’affitto medio mensile per un bilocale in quella zona; b. della varianza degli affitti mensili per un bilocale in quella zona. [a. 502 euro; b. 5120 euro2 ] Al fine di stimare la spesa media mensile sostenuta dalle famiglie italiane in alimenti e bevande, si estrae un campione casuale di 250 famiglie e si rileva, per ciascuna famiglia, la spesa (in euro) sostenuta nell’ultimo mese per i beni di cui sopra. Detti x1 , ..., x250 i valori osservati, dall’esame del campione si ottiene: 18 Þ x1 þ ::: þ x250 ¼ 184 600 euro x21 þ ::: þ x2250 ¼ 218 500 000 euro2 Determina una stima puntuale: a. della spesa media mensile degli italiani in alimenti e bevande: b. della deviazione standard della spesa media mensile degli italiani in alimenti e bevande. [a. 738,40 euro; b. 574,53 euro] 258 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 28 In una sessione d’esami universitari sono state rilevate le votazioni di un campione casuale di 10 studenti: 30 24 26 30 22 27 28 25 24 20 Þ 64 [a. 26,4; b. circa 2,67] I seguenti dati rappresentano le velocità (in km/h) di 8 auto, rilevate su un tratto di strada urbana: 70 69 75 80 74 82 76 Determina la stima puntuale che puoi dedurre da tale campione: a. della velocità media delle auto che percorrono quel tratto; b. della deviazione standard delle auto che percorrono quel tratto. Inferenza statistica Determina, relativamente a quella sessione d’esami, una stima puntuale: a. del voto medio degli studenti; b. della deviazione standard del voto degli studenti. Unità 6 19 Þ [a. 73,75 km/h; b. circa 5,92 km/h] 3. Intervalli di confidenza TEORIA a p. 234 Esercizi preliminari Vero o falso? a. data una popolazione normale di cui è nota la varianza 2 , al crescere del numero di elementi del campione, a parità di livello di confidenza, l’ampiezza dell’intervallo di confidenza per la media aumenta V F b. data una popolazione bernoulliana, al crescere del numero di elementi del campione, a parità di livello di confidenza, l’ampiezza dell’intervallo di confidenza per una proporzione diminuisce V F c. se scegliamo un livello di confidenza uguale al 95%, allora il 5% rappresenta la probabilità di sbagliare, cioè di estrarre un campione che conduce a una stima intervallare che non contiene V F il parametro ignoto che vogliamo stimare d. in una stima intervallare il livello di confidenza è uguale alla semiampiezza dell’intervallo di confidenza V F 2 e. data una popolazione normale di cui è nota la varianza e fissata la dimensione n del campione, all’aumentare del livello di confidenza aumenta anche l’ampiezza dell’intervallo di confidenza della media V F [3 affermazioni vere e 2 false] 21 Þ Test 22 Þ A B C D 23 Þ A B C D La stima intervallare della media di una popolazione di cui è nota la varianza: può essere costruita (in modo approssimato) anche senza conoscere la distribuzione di probabilità del fenomeno di cui si vuole stimare la media, a condizione che il campione sia molto numeroso necessita, per essere costruita, soltanto della stima puntuale del parametro è indipendente dalla dimensione del campione è indipendente dalla deviazione standard La stima intervallare della proporzione di una popolazione che possiede una data caratteristica è valida: qualsiasi sia la popolazione se la popolazione non è bernoulliana se la popolazione è normale se la popolazione è bernoulliana e valgono le condizioni per cui la distribuzione binomiale è ben approssimata dalla normale Nell’espressione che fornisce l’intervallo di confidenza per la media di una popolazione normale di cui è nota la deviazione standard, quale valore bisogna sostituire a z1 se si vuole che il livello di confidenza sia del 90%? 24 Þ 2 A 1,282 B 1,645 C 1,960 D 2,576 Nell’espressione che fornisce l’intervallo di confidenza per la media di una popolazione normale di cui è nota la deviazione standard, quale valore bisogna sostituire a z1 se si vuole che il livello di confidenza sia del 95%? 25 Þ 2 A 1,282 B 1,645 C 1,960 D 2,576 259 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema C Dati e previsioni Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Nell’espressione che fornisce l’intervallo di confidenza per la media di una popolazione normale di cui non è nota la deviazione standard, quale valore bisogna sostituire a t1 ðn 1Þ se si vuole che il livello di confidenza sia 2 del 95%, nell’ipotesi che il campione abbia numerosità n ¼ 20? 26 Þ A 1,648 B 1,954 C 2,086 D 2,093 Nell’espressione che fornisce l’intervallo di confidenza per la proporzione di una popolazione, quale valore bisogna sostituire a z1 se si vuole che il livello di confidenza sia del 99%? 27 Þ 2 A 1,282 B 1,645 C 1,960 D 2,576 Problemi sugli intervalli di confidenza per la media VARIANZA NOTA 28 Þ ESERCIZIO GUIDATO I prelievi effettuati dai clienti al bancomat di una banca sono distribuiti secondo una distribuzione normale di deviazione standard uguale a 82,50 euro. Su un campione di 150 operazioni di prelievo, è risultato un prelievo medio di 185 euro. Determina un intervallo di confidenza al 90% per l’ammontare del prelievo medio dei clienti della banca. Siamo nel caso di una popolazione normale di varianza nota; perciò l’intervallo richiesto è del tipo: x z1 pffiffiffi x þ z1 pffiffiffi 2 2 n n [*] dove: x è la stima della media dei prelievi dedotta dal campione, in questo caso x ¼ 185; n è la dimensione del campione, in questo caso n ¼ 150; z1 è il quantile della normale standard di ordine 1 2 ¼ 10% ¼ 0,1 e dunque 1 ; essendo in questo caso 1 ¼ 90%, ovvero 2 0,1 ¼1 ¼ 0,95, devi determinare z0,95 e puoi verificare (per esempio utiliz2 2 zando la tavola del Paragrafo 3 di teoria) che risulta z0,95 ¼ 1,645. Sostituendo questi valori di x, n, z1 nella [*], puoi trovare l’intervallo di confidenza richiesto. 2 [173,92 euro 196,08 euro] Vogliamo stimare la statura media di una certa popolazione normale. La deviazione standard della statura della popolazione è nota ed è uguale a 6,5 cm. La media delle stature rilevate su un campione di 100 persone è 176,5 cm. Determina un intervallo di confidenza per la statura media al livello del 95%. [175,2 cm 177,8 cm] 29 Þ In una popolazione di adulti la varianza del peso è uguale a 25 kg2 . Il peso medio di un campione di 16 adulti è risultato 78 kg. Determina l’intervallo di confidenza al 90% per il peso medio della popolazione. [75,9 kg 80,1 kg circa] 30 Þ Un laboratorio deve analizzare un farmaco per stabilire la concentrazione di principio attivo. Vengono effettuate 4 misurazioni del principio attivo, che forniscono i risultati seguenti: 31 Þ 2,40 2,25 2,30 2,05 I valori delle concentrazioni nelle varie prove seguono una distribuzione normale di media ignota e deviazione standard (dovuta agli strumenti di misura) ¼ 0,1. Determina un intervallo di confidenza al 95% per la concentrazione media del principio attivo. [2,15 2,35 circa] In una data popolazione di adulti, la statura si può considerare una variabile aleatoria normale, di varianza 64 cm2 . In un campione di 100 persone, si è osservata una statura media di 173 cm. Determina l’intervallo di confidenza al 99% della statura media h della popolazione. [170,93 cm h 175,07 cm] 32 Þ Un’azienda produce bulloni, il cui diametro è una variabile aleatoria di media incognita e varianza uguale a 0,01 cm2 . Il diametro medio di un lotto di 120 bulloni è risultato di 2,6 cm. Determina un intervallo di confidenza per , al livello del 90%. [2,58 cm 2,62 cm] 33 Þ 260 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Da una popolazione normale di varianza uguale a 9 viene estratto un campione casuale. Si determina l’intervallo di confidenza al 95% per la media della popolazione, ottenendo: [18,89, 21,11]. Determina: a. la media campionaria dei valori osservati; b. la dimensione del campione. [a. 20; b. 28] Unità 6 Da una popolazione normale di media incognita e varianza nota 2 si estrae un campione casuale di 64 os1 [Circa 68,27%] servazioni. Un intervallo di confidenza per ha ampiezza . Qual è il livello di confidenza? 4 36 Nel progettare una cabina di pilotaggio di un aereo, occorre tenere conto dei valori antropometrici medi dei Þ piloti. Si sa da precedenti studi statistici che la statura dei piloti può essere considerata una variabile aleatoria avente distribuzione normale, di media incognita e deviazione standard 6,2 cm. Su di un campione di 100 piloti, si rileva che la statura media è uguale a 179,4 cm. a. Determina l’intervallo di confidenza al 95% per la statura media dei piloti. b. Quale deve essere l’ampiezza minima n del campione affinché l’intervallo di confidenza (al 95%) abbia ampiezza al massimo uguale a 1 cm? [a.178,18 cm 180,62 cm; b. n ¼ 591] Inferenza statistica 34 Þ 35 Þ Un intervallo di confidenza al livello del 95% per la media di una popolazione normale è uguale a [8,20, 9,40]. Determina: a. la media campionaria delle osservazioni; b. la dimensione del campione, se la varianza della popolazione è 4. [a. 8,8; b. n ’ 43] 37 Þ Uno strumento produce mine per matite; la lunghezza delle mine è una variabile aleatoria normale, di media ignota e deviazione standard ¼ 0,16 cm. Misurando la lunghezza di cinque mine, si sono ottenuti i seguenti valori (in cm): 38 Þ 10,24 10,40 10,66 10,10 10,50 a. Determina un intervallo di confidenza al 99% per la lunghezza media delle mine. b. Mantenendo lo stesso livello di confidenza, quante mine occorrerebbe misurare per ottenere un intervallo di confidenza di ampiezza minore o uguale a 0,1 cm? [a. 10,19 cm 10,57 cm circa; b. almeno 68] VARIANZA INCOGNITA 39 Þ ESERCIZIO GUIDATO I valori nell’aria di una certa sostanza tossica hanno una distribuzione normale. In uno studio statistico su 6 diversi campioni dell’aria si sono registrati i seguenti valori della sostanza tossica (in microgrammi per metro cubo): 3,2 2,1 1,8 2,5 1,6 2,8 Determina un intervallo di confidenza per il livello medio della sostanza inquinante nell’aria, al livello di confidenza del 95%. Siamo nel caso di una popolazione normale di varianza incognita; perciò l’intervallo richiesto è del tipo: s s x t1 ðn 1Þ pffiffiffi x þ t1 ðn 1Þ pffiffiffi 2 2 n n dove: x è la stima della media dedotta dal campione, in questo caso: x¼ [*] 3,2 þ ::::: þ 2,8 7 ¼ ’ 2,33 6 3 s è la deviazione standard campionaria corretta, in questo caso: vffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi !ffi sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u 2 n X u 1 1 7 ½ð3,2Þ2 þ ::: þ ð2,8Þ2 6 s¼t x2i nx2 ¼ ’ 0,61 n 1 i¼1 5 3 n è la dimensione del campione, in questo caso n ¼ 6; t1 ðn 1Þ è il quantile della t-Student con (n – 1) gradi di libertà di ordine 1 ; essendo in questo caso 2 2 0,05 (n 1Þ ¼ 6 1 ¼ 5 e 1 ¼ 95%, ovvero ¼ 5% ¼ 0,05 e dunque 1 ¼1 ¼ 0,975, devi determinare 2 2 t0,975 ð5Þ e puoi verificare (per esempio utilizzando la tavola del Paragrafo 3 di teoria) che risulta t0,975 ð5Þ ¼ 2,5706. Sostituendo questi valori di x, s, n, t1 2 ðn 1Þ nella [*], puoi trovare l’intervallo di confidenza richiesto. [1,69 2,98] 261 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema C Dati e previsioni Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Il numero di ore di volo mensili dei piloti di una compagnia segue una distribuzione normale. Su un campione di 25 piloti, il numero medio di ore di volo mensili è risultato pari a 52 ore e la deviazione standard campionaria corretta è risultata di 6,5 ore. Determina un intervallo di confidenza al 90% per il numero medio di ore di volo mensili dei piloti della compagnia. [49,77 54,23] 40 Þ Un call center ha calcolato il tempo medio della durata delle telefonate (che si può assumere avere una distribuzione normale) su un campione di 20 telefonate. Il tempo medio delle telefonate nel campione è risultato di 8 minuti e la deviazione standard campionaria corretta è risultata di 5 minuti. Determina un intervallo di confidenza al 99% per la durata media delle telefonate che arrivano al call center. [4,8 min 11,2 min] 41 Þ La percentuale di metano contenuta in un certo gas naturale si può assumere avere una distribuzione normale. Quattro misurazioni hanno fornito le seguenti percentuali di metano: 42 Þ 76,4% 75,8% 76,2% 76,3% Determina: a. la percentuale media di metano contenuto nel gas, stimata sul campione; b. la deviazione standard campionaria corretta; c. un intervallo di confidenza per al livello del 95%. [a. 76,175%; b. circa 0,263%; c. 75,75% 76,6%] Una banca assume che i prelievi effettuati con il bancomat si distribuiscano secondo una variabile aleatoria normale. Si rilevano i prelievi effettuati su un campione di 5 clienti, ottenendo i dati seguenti (in euro): 43 Þ 150 200 50 125 80 Determina: a. l’ammontare del prelievo medio sul campione considerato; b. la varianza campionaria corretta; c. un intervallo di confidenza al 90% per il prelievo medio dei clienti della banca. [a. 121 euro; b. 3455 euro2 ; c. 64,96 euro 177,04 euro] 44 In un tratto autostradale in cui il limite di velocità è di 120 km/h, la polizia stradale ha rilevato la velocità di Þ un campione casuale di 150 automobili. La velocità media rilevata sul campione è stata di 124 km/h e la varianza campionaria (corretta) di 225 km2 . a. Determina un intervallo di confidenza, al livello del 95%, per la velocità media della auto in quel tratto autostradale. b. Determina la numerosità minima n del campione per individuare la velocità media delle auto di quel tratto, al livello di confidenza del 95%, con un errore massimo di 2 km. [a. 121,59 km/h v 126,41 km/h; b. n ¼ 217] Problemi sugli intervalli di confidenza per la proporzione 45 Þ ESERCIZIO GUIDATO Un’azienda ha commissionato un sondaggio per sapere se i propri clienti sono o meno soddisfatti. La società incaricata del sondaggio ha intervistato un campione casuale di 100 clienti: 25 rispondono di essere insoddisfatti e 75 di essere soddisfatti. Determina un intervallo di confidenza al 95% per la percentuale p di clienti dell’azienda che sono insoddisfatti. L’intervallo richiesto è del tipo: sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pbð1 pbÞ pbð1 pbÞ pb z1 p pb þ z1 [*] 2 2 n n dove: pb è la stima della percentuale dei clienti insoddisfatti deducibile dal campione, in questo caso: 25 ¼ ::::: pb ¼ 100 n è la dimensione del campione, in questo caso n ¼ 100; z1 2 è il quantile della normale standard di ordine 1 ; essendo in questo caso 1 ¼ 95%, ovvero 2 0,05 ¼1 ¼ 0,975, devi determinare z0,975 e puoi verificare (per esempio uti ¼ 5% ¼ 0,05 e dunque 1 2 2 lizzando la tavola del Paragrafo 3 di teoria) che risulta z0,975 ¼ 1,96. Sostituendo questi valori di pb, n, z1 nella [*], puoi trovare l’intervallo di confidenza richiesto. 2 262 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P [16,5% p 33,5%] Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Si sperimenta un nuovo farmaco su un campione di 1000 pazienti. Si osserva che fra i 1000 pazienti, 680 guariscono in seguito alla somministrazione del farmaco. Determina un intervallo di confidenza al 95% per la percentuale p di pazienti che guariscono in seguito alla somministrazione del farmaco. [65% p 71%] Unità 6 Una settimana prima delle elezioni per il sindaco di una città, viene effettuata una indagine per stabilire le intenzioni di voto. Su 500 intervistati, 220 dichiarano che voteranno per il candidato A. Determina un intervallo di confidenza al 90% per la percentuale p di cittadini che intendono votare per A. [Circa 40% p 48%] Inferenza statistica 46 Þ 47 Þ Si vuole ottenere una stima della proporzione di fumatori presenti in una certa regione e verificare se essi sono aumentati o diminuiti rispetto a 5 anni prima, quando la percentuale di fumatori era del 42%. A tale scopo, viene osservato un campione di 200 persone e si trova che 120 di esse sono fumatori. Determina un intervallo di confidenza al livello del 95% per la percentuale p di fumatori e decidi, in base a questa stima, se la percentuale di fumatori si può ritenere aumentata o diminuita. [53% p 67% circa; la percentuale è aumentata] 48 Þ Viene svolta una indagine per stimare la percentuale dei ragazzi con età tra 15 e 20 anni che utilizzano la rete Internet. Dei 500 ragazzi intervistati, con età compresa nella fascia d’interesse, 420 dichiarano di utilizzare la rete. Determina l’intervallo di confidenza al 99% per la percentuale p di ragazzi che utilizzano Internet. [79% p 89%] 49 Þ Si è svolto un sondaggio per stabilire se gli abitanti di una città sono o meno favorevoli a chiudere una via del centro al traffico. Il sondaggio è stato svolto su un campione e, in seguito ai risultati del sondaggio, si è stabilito l’intervallo di confidenza della percentuale p di abitanti favorevoli alla chiusura della via, trovando l’intervallo: 50 Þ [42%, 48%] a. Sapendo che sono state intervistate 1000 persone, qual è approssimativamente il livello di confidenza? b. Sapendo che il livello di confidenza del sondaggio è il 90%, quante persone approssimativamente sono state intervistate? [a. Circa il 94%; b. circa 744] Una casa editrice, per decidere se vendere i propri libri anche via Internet, vuole stimare la proporzione di utilizzatori della rete Internet che acquistano libri on-line. Dei 250 utilizzatori intervistati, 160 hanno dichiarato di acquistare libri tramite la Rete. Calcola l’intervallo di confidenza al 90% per la proporzione di utilizzatori della Rete che acquistano libri on-line. [59% p 69% (arrotondando la percentuale a un numero intero)] 51 Þ In un seggio elettorale sono state scrutinate 300 schede e si è ottenuto che in 72 di esse è stato espresso il voto per un dato partito. A un livello di confidenza del 99%, quale sarà la minima percentuale di voti ottenuta da quel partito? [17,6%] 52 Þ Ai fini di sperimentare un nuovo farmaco, 200 individui vengono sottoposti a una terapia con tale farmaco e 65 di essi guariscono dalla patologia per cui quella medicina è stata formulata. Fornisci una stima, al 95% di confidenza, di quanto vale, come minimo, la probabilità che il farmaco sia efficace. [Circa 26%] 53 Þ Le fiale di un vaccino prodotto da un’azienda farmaceutica devono essere sottoposte a controllo, per accertare che soddisfino certi parametri di qualità imposti dalle direttive europee. Determina il minimo numero di fiale che devono essere campionate, per determinare la percentuale di fiale conformi, al livello di confidenza del 99%, con un errore che non superi il 5%. [664] 54 Þ 55 E noto che, durante le elezioni politiche, alcune società effettuano sondaggi allo scopo di riuscire a stimare le Þ percentuali di voti ottenuti dai vari partiti politici fin dai primi minuti di scrutinio. Supponiamo che una di queste società voglia stimare, al livello di confidenza del 95% e con un errore massimo dell’1%, la percentuale di voti di un dato partito entro la prima mezz’ora di spoglio delle schede. Nell’ipotesi che in mezz’ora vengano scrutinate in media 130 schede per seggio, da quanti seggi elettorali (opportunamente scelti su tutto il territorio nazionale) devono essere prelevati i dati nella prima mezz’ora di scrutinio? [74] 4. Test statistici per la verifica di ipotesi TEORIA a p. 244 Esercizi preliminari Test 56 Þ A B C D Il livello di significatività di un test è: la probabilità di prendere la decisione corretta la probabilità di commettere un errore di primo tipo la probabilità di commettere un errore di secondo tipo la probabilità di commettere un errore di primo o secondo tipo 263 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema C Dati e previsioni Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 57 Þ A B C D 58 Þ A B C D La statistica-test utilizzata per la verifica di ipotesi è un numero osservato sul campione estratto è una variabile aleatoria è uno dei valori critici è la regola in base alla quale si decide se rifiutare l’ipotesi nulla Si commette un errore di primo tipo quando: si accetta l’ipotesi nulla, quando quest’ultima risulta falsa si rifiuta l’ipotesi nulla, quando quest’ultima è vera il test statistico non consente né di accettare né di rifiutare l’ipotesi nulla l’ipotesi nulla risulta vera e l’ipotesi alternativa risulta falsa Qual è la regione critica di un test sulla media di una popolazione normale di varianza nota, che valuta l’ipotesi H0 : ¼ 0 contro l’ipotesi alternativa H1 : > 0 ? 59 Þ A U > z1 B U > z1 C 2 jUj > z1 D jUj > z1 2 Qual è la regione critica di un test sulla proporzione per grandi campioni, che valuta l’ipotesi H0 : p ¼ p0 contro l’ipotesi alternativa H1 : p 6¼ p0 ? 60 Þ A U > z1 B U > z1 C 2 jUj > z1 D jUj > z1 2 Problemi relativi a test sulla media VARIANZA NOTA 61 Þ ESERCIZIO SVOLTO Una fabbrica di auto ha progettato delle modifiche da effettuare a un motore che dovrebbero consentire un minor consumo di carburante. I motori, in assenza di modifiche, presentano un consumo che segue una distribuzione normale, di media 7 litri per 100 km e deviazione standard uguale a 0,5 litri. Un campione di 20 motori modificati viene testato e si registra un consumo medio di 6,8 litri per 100 km. A un livello di significatività del 5%, la fabbrica può concludere che le modifiche progettate portano a una diminuzione dei consumi? Il sistema di ipotesi è: H0 : ¼ 7ð¼ 0 Þ H1 : < 7 Poiché siamo nel caso di una popolazione normale di cui è nota la varianza, la statistica-test da utilizzare è X 0 pffiffiffi e il valore osservato di U sul campione è: U¼ = n u¼ x 0 6,8 7 pffiffiffiffiffiffi ’ 1,79 pffiffiffi ¼ = n 0,5= 20 y 0,4 La regione critica è U < z1 e il valore critico risulta uguale a: z1 ¼ z10,05 ¼ z0,95 ¼ 1,64 Poiché u < z1 , ossia il valore osservato cade nella regione critica, rifiutiamo l’ipotesi nulla, ovvero concludiamo (al 5% di significatività), che le modifiche progettate portano effettivamente a una diminuzione dei consumi. valore osservato: –1,79 0,2 area = 0,05 x 0O regione di accettazione regione critica valore critico: –z1–α = –1,64 Da una popolazione normale, di media e varianza 2 ¼ 1, si estrae un campione casuale di 100 elementi e il valore osservato della media campionaria risulta uguale a 4,2. Verifica, con un livello di significatività ¼ 5%, l’ipotesi H0 : ¼ 4 contro l’ipotesi alternativa H1 : 6¼ 4. [u ¼ 2 e z1 ’ 1,96; si rifiuta H0 ] 62 Þ 264 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P 2 Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Inferenza statistica Un’azienda che produce delle pile dichiara una durata media di 25 ore, con una variabilità (misurata in termini di deviazione standard) uguale a 3 ore. Dieci pile vengono esaminate e si accerta una durata media di 23 ore. Supponendo che la durata delle pile abbia una distribuzione normale, verifica al livello di significatività dell’1% la validità di quanto dichiarato dall’azienda, esaminando: a. l’ipotesi nulla H0 : ¼ 25 contro l’ipotesi alternativa H1 : 6¼ 25; b. l’ipotesi nulla H0 : ¼ 25 contro l’ipotesi alternativa H1 : < 25. [a. u ’ 2,11, z1 ’ 2,58, si accetta H0 ; b. z1 ’ 2,33, si accetta H0 ] 64 Þ Unità 6 Un’azienda che produce lampadine dichiara che la durata media di un certo tipo di lampadine è di 900 ore, con una variabilità (misurata in termini di deviazione standard) di 50 ore. Una verifica effettuata su un campione di 150 lampadine ha dato come esito una durata media di 870 ore. Sottoponi a verifica l’ipotesi nulla che la durata delle lampadine sia quella dichiarata, contro l’ipotesi alternativa che la durata delle lampadine sia inferiore, al livello di significatività del 10%. [u ’ 7,35 e z1 ’ 1,28; si rifiuta H0 ] 63 Þ 2 La durata media di una batteria è una variabile aleatoria normale, di media 600 ore e deviazione standard 40 ore. Al fine di incrementare la durata media delle batterie, l’azienda prova a produrre batterie secondo un nuovo processo di produzione, quindi sottopone a un test 20 batterie del nuovo tipo, trovando che la loro durata media risulta di 630 ore. A un livello di significatività del 5%, si può ritenere che il nuovo processo produttivo sia efficace nell’aumentare la durata delle batterie? [H0 : ¼ 600 e H1 : > 600; u ’ 3,35, z1 ’ 1,64; si rifiuta l’ipotesi H0 ] 65 Þ 66 La quantità di latte (in litri) contenuta nelle bottiglie prodotte da una certa azienda si può interpretare come Þ una variabile aleatoria normale di varianza 0,1. Si estrae un campione casuale di 25 bottiglie e si trova una quantità media di latte contenuto uguale a 0,9 litri. a. L’azienda ritiene che il processo di riempimento delle bottiglie sia in controllo se la quantità media di latte contenuta in esse è di 1 litro, come dichiarato sulle confezioni. Imposta un test per stabilire, sulla base dei dati del campione e con un livello di significatività del 5%, se il processo di riempimento è in controllo. b. Un consumatore è disposto ad accettare un rischio al massimo del 5% di acquistare bottiglie che contengono in realtà meno latte di quanto dichiarato. Imposta un test per stabilire, sulla base dei dati del campione, se il consumatore dovrebbe acquistare le bottiglie o piuttosto astenersi. [a. H0 : ¼ 1, contro H1 : 6¼ 1, risulta u ’ 1,58 e z1 ’ 1,96, per cui si accetta H0 ; 2 b. H0 : < 1, contro H1 : 1, risulta u ’ 1,58 e z1 ’ 1,64, per cui si accetta H0 ] VARIANZA INCOGNITA 67 Þ ESERCIZIO SVOLTO Un’azienda specializzata è stata incaricata di monitorare la qualità delle acque di un fiume. L’anno scorso si è registrata nel fiume una concentrazione media di sostanze inquinanti uguali al 6,5%. Nel presente anno è stata fatta una rilevazione ogni mese, e si è rilevata una concentrazione media del 6,65% con una variabilità, espressa in termini di deviazione standard corretta, uguale al 2,5%. Supponendo che la distribuzione della concentrazione di sostanze inquinanti sia normale, stabiliamo, al livello di significatività del 5%, se è possibile ritenere che la concentrazione media di inquinanti nell’ultimo anno sia cambiata rispetto all’anno precedente. Il sistema di ipotesi è: H0 : ¼ 0,065ð¼ 0 Þ H1 : 6¼ 0,065 Poiché siamo nel caso di una popolazione normale di cui non è nota la varianza, la statistica-test da utilizzare è U¼ X 0 pffiffiffi e il valore osservato di U sul campione è: s= n u¼ x 0 0,0665 0,065 pffiffiffiffiffiffi ’ 0,21 pffiffiffi ¼ s= n 0,025= 12 La regione critica è jUj > t1 2 ðn 1Þ e il valore critico risulta uguale a: t1 ðn 1Þ ¼ t 2 1 0;05 ð12 2 1Þ ¼ t0;975 ð11Þ ’ 2,2 265 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Dati e previsioni Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Poiché juj < t1 ðn 1Þ, ossia il valore osservato cade nella regione di accettazione, non è possibile ritenere (al 2 5% di significatività), che la concentrazione degli inquinanti nell’ultimo anno sia cambiata. y Tema C 0,4 valore osservato: 0,21 0,2 valore critico: –2,2 valore critico: 2,2 0 O regione critica regione di accettazione x regione critica Gli impiegati di una ditta che si occupa di vendita per corrispondenza affermano di riuscire a evadere un ordine giunto telefonicamente mediamente in 12 minuti. Il direttore decide di effettuare una verifica casuale su 200 ordini e registra un tempo medio di evasione di 14 minuti e una variabilità, misurata in termini di varianza corretta, di 81 minuti2 . A un livello di significatività del 5%, che cosa può concludere il direttore a proposito della valutazione dell’ipotesi H0 che il tempo medio dichiarato dagli impiegati sia corretto, contro l’ipotesi H1 che risulti in realtà maggiore? [u ’ 3,14, z1 ’ 1,64; si rifiuta H0 ] 68 Þ Una casa farmaceutica afferma che un antidolorifico di sua produzione impiega in media 15 minuti per agire. In base alle analisi effettuate su un campione di 80 pazienti, il beneficio è stato ottenuto in media in 18 minuti con una variabilità, espressa in termini di varianza campionaria corretta, uguale a 25 minuti2 . A un livello di significatività dell’1%, che cosa si può concludere a proposito dell’ipotesi H0 che il farmaco agisca mediamente in 15 minuti, contro l’ipotesi H1 che agisca in più di 15 minuti? [u ’ 5,37, t1 ðn 1Þ ’ 2,37; si rifiuta H0 ] 69 Þ Si vuole sperimentare se un nuovo farmaco permette di guarire da una malattia più rapidamente che con il farmaco utilizzato fino a quel momento. Un gruppo di 20 pazienti scelti a caso viene sottoposto alla terapia e si registra un tempo medio di guarigione di 9 giorni, con una variabilità, misurata in termini di deviazione standard corretta, uguale a 2 giorni. Dai dati sul farmaco in uso è noto che il tempo medio di guarigione risulta di 11 giorni. Supponendo che il tempo di guarigione segua una distribuzione normale, è possibile affermare, a un livello di significatività dell’1%, che il nuovo farmaco consente di guarire più rapidamente? [H0 : ¼ 11, H1 : < 11, u ’ 4,47, t1 ðn 1Þ ’ 2,54; si rifiuta H0 ] 70 Þ 71 Þ Da una popolazione normale si è estratto un campione di 8 unità e si sono osservati i seguenti valori campionari: 28 32 27 31 40 27 30 24 Sottoponi a test l’ipotesi che la media della popolazione sia uguale a 28, contro l’ipotesi alternativa che non lo sia, al livello di significatività dell’1%. [ x ¼ 29,875, s ’ 4,82, u ’ 1,1, t1 ðn 1Þ ’ 3,5; si accetta H0 ] 2 In un reparto di una azienda si effettuano mediamente 10 interventi di manutenzione al mese. Negli ultimi quattro mesi, gli interventi di manutenzione sono stati: 12, 8, 11 e 13. Supponendo che il numero di interventi mensili sia una variabile aleatoria avente distribuzione normale, stabilisci se i dati rilevati negli ultimi 4 mesi sono statisticamente significativi per affermare, a un livello di significatività del 5%, che è sopraggiunto qualche fattore che ne ha fatto aumentare la media. [H0 : ¼ 10, H1 : > 10, x ¼ 11, s ’ 2,16, u ’ 0,93, t1 ðn 1Þ ’ 2,35 quindi si accetta l’ipotesi H0 , ovvero i dati non supportano in modo statisticamente significativo un aumento del numero medio di interventi mensili] 72 Þ 266 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 73 Þ Unità 6 Problemi relativi a test sulla proporzione ESERCIZIO SVOLTO Il sistema di ipotesi è: H0 : p ¼ 0,08ð¼ p0 Þ Inferenza statistica Un’azienda vuole studiare se le polveri respirate dagli operai hanno effetti dannosi sulla salute. Su un campione casuale di 250 operai, 28 affermano di avere problemi respiratori. È noto che l’8% della popolazione soffre dei medesimi disturbi. Sulla base dei dati campionari si può affermare, a un livello di significatività dell’1%, che la proporzione di operai che accusano disturbi respiratori è maggiore di quella della popolazione? E al livello del 5%? H1 : p > 0,08 Osserviamo che il campione è sufficientemente numeroso per applicare il test basato sull’approssimazione nor28 ¼ 0,112 e male. Infatti la proporzione p^ di lavoratori che accusano disturbi respiratori sul campione è pb ¼ 250 risulta: 250 0,112 ¼ 28 > 5 e 250ð1 0,112Þ ¼ 222 > 5 n pb nð1 pb Þ Pb p0 La statistica-test da utilizzare è U ¼ rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi e il valore osservato di U sul campione è: p0 ð1 p0 Þ n 0,112 0,08 pb p0 u ¼ rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ’ 1,87 p0 ð1 p0 Þ 0,08ð1 0,08Þ n 250 La regione critica è U > z1 e il valore critico risulta uguale a: z1 ¼ z10,01 ¼ z0,99 ’ 2,33 Poiché u < z1 , ossia il valore osservato cade nella regione di accettazione, al livello di significatività dell’1% non possiamo affermare che la proporzione di operai che accusano disturbi sia superiore a quella della popolazione (ovvero non possiamo ritenere che le polveri respirate siano nocive). Al livello del 5%, risulta invece z1 ’ 1,64, quindi u > z1 ; dunque, a tale livello di significatività, dobbiamo rifiutare l’ipotesi nulla, ovvero ritenere che la proporzione di operai che accusano disturbi sia superiore a quella della popolazione. y 0,4 valore osservato: 1,87 0,2 valore critico: 2,33 0 O x regione di accettazione regione critica Alle ultime elezioni un dato partito ha ottenuto il 28% dei voti. In previsione di nuove elezioni, una società effettua un sondaggio su un campione di 500 elettori; per il campione analizzato è risultato che 158 voteranno il partito. A un livello di confidenza del 5% è possibile concludere che ci sia stato nella popolazione un aumento di consensi nei confronti del partito? E al livello dell’1%? [H0 : p ¼ 28% e H1 : p > 28%; u ’ 1,79, z1 ’ 1,64 (con ¼ 5%), 74 Þ quindi si rifiuta H0 ; invece se ¼ 1%, z1 ’ 2,33, quindi si accetta H0 ] 267 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema C Dati e previsioni Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Un’azienda ritiene che il processo di produzione sia in controllo se la percentuale p degli articoli prodotti senza difetti è almeno del 96%. In un campione di 150 articoli, 8 sono risultati difettosi. A un livello di significatività del 5% si può ritenere che il processo di produzione sia in controllo? [H0 : p 96% e H1 : p < 96%; u ’ 0,83, z1 ’ 1,64, quindi si accetta H0 ] 75 Þ Un’azienda sostiene di non fare discriminazione di genere tra i dipendenti, che sono per la metà maschi e per l’altra metà femmine. A causa di un piano di ristrutturazione dell’azienda, non viene rinnovato il contratto ad alcuni dipendenti assunti a tempo determinato. Su un campione di 40 dipendenti cui non viene rinnovato il contratto, 22 risultano donne. È lecito, a un livello di significatività del 10%, ritenere che l’azienda faccia discriminazioni di genere? [H0 : p ¼ 0,5 e H1 : p 6¼ 0,5; u ’ 0,63, z1 ’ 1,64, quindi si accetta H0 ] 76 Þ 2 77 Paolo e Barbara giocano a «testa» o «croce». Barbara sospetta che la moneta sia truccata in modo che la probaÞ bilità p che esca «testa» sia superiore a quella che esca «croce», poiché, su 100 lanci, l’evento «è uscita ‘testa’» si è verificato 65 volte. Imposta un opportuno test statistico per stabilire, al livello di significatività dell’1%, se questi dati sono significativi per supportare i sospetti di Barbara. [H0 : p ¼ 0,5 e H1 : p > 0,5; u ¼ 3, z1 ’ 2,33, quindi si rifiuta H0 ] Il sindaco di una città desidera sapere se i cittadini sono favorevoli all’iniziativa di chiudere al traffico alcune vie del centro. A tale scopo viene intervistato un campione di 500 persone: 265 si dichiarano favorevoli e le restanti contrarie. Il sindaco è disposto ad accettare un rischio al massimo del 5% di chiudere al traffico le vie del centro nonostante la maggioranza dei cittadini sia contraria; in base ai dati rilevati sul campione, che decisione deve prendere il sindaco? [H0 : p > 0,5 e H1 : p 0,5 ( p ¼ percentuale di cittadini contrari); u ’ 1,34, z1 ’ 1,64, quindi si accetta H0 ] 78 Þ RIEPILOGO Esercizi di riepilogo Vero o falso? a. la media campionaria è uno stimatore corretto e consistente della media della popolazione V F b. l’intervallo di confidenza di una media non è influenzato dalla numerosità del campione V F c. il livello di confidenza può essere rappresentato da qualsiasi numero reale positivo V F d. il livello di significatività di un test statistico rappresenta la probabilità di commettere un errore del primo tipo V F e. per effettuare un test di verifica di ipotesi basato su un campione piccolo, è necessario conoscere la distribuzione di probabilità della popolazione V F f. si commette un errore di primo tipo quando si rifiuta erroneamente l’ipotesi nulla V F g. quando un test statistico porta a rifiutare l’ipotesi nulla, si può concludere che l’ipotesi nulla è certamente falsa V F [4 affermazioni vere e 3 false] 79 Þ Da una popolazione X di media e varianza 2 estraiamo un campione casuale bernoulliano di dimensione 3: X1 , X2 , X3 . Determina k in modo che il seguente risulti uno stimatore corretto per : 2 4 9 T ¼ X1 þ k X2 X3 k¼ 7 7 7 80 Þ Da una popolazione X di media e varianza 2 estraiamo un campione casuale bernoulliano X1 , X2 di dimensione 2: X1 , X2 . Considera quindi i seguenti due stimatori per : 81 Þ T1 ¼ 1 2 X1 þ X2 3 3 e T2 ¼ 2 3 X1 þ X2 5 5 a. Verifica che sono entrambi corretti. b. Stabilisci quale dei due è il più efficiente. [b. è più efficiente T2 ] 2 Data una popolazione normale di media e varianza , sia X1 , X2 , ..., Xn un campione casuale (bernoulliano) estratto dalla popolazione. Verifica che il seguente stimatore della media della popolazione è corretto e stabilisci se è consistente: 82 Þ T¼ X1 þ ::: þ Xn2 þ ðn 1ÞXn1 þ ð3 nÞXn n 268 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 20 P ðxi xÞ2 ¼ 102 i¼1 Sottoponi a verifica l’ipotesi H0 : ¼ 62 contro l’ipotesi H1 : > 62, al livello di significatività del 5%. [s2 ’ 5,37; u ’ 3,86; t1 ðn 1Þ ’ 1,73, quindi si rifiuta H0 ] Il periodo di degenza dei ricoverati in un grande ospedale è bene interpretato da una variabile aleatoria normale. I periodi di degenza (in giorni) rilevati su un campione casuale di 10 pazienti sono i seguenti: 84 Þ 6 2 8 3 3 7 4 5 Inferenza statistica x ¼ 64 e Unità 6 Da una popolazione normale di media e varianza 2 (entrambe incognite) è stato estratto un campione casuale di 20 elementi; dall’analisi dei dati osservati, x1 , ..., x20 , si è trovato che: 83 Þ 8 4 Determina: a. la media campionaria e la varianza campionaria corretta; b. l’intervallo di confidenza al 90% del tempo medio t di degenza. 14 a. x ¼ 5, s ¼ ; b. 3,74 t 6,26 3 2 Un’università svolge un’indagine statistica per stimare la spesa media sostenuta dagli studenti per l’acquisto dei libri. Sceglie un campione casuale di 80 studenti e trova che la spesa media sostenuta è di 76 euro, con una varianza campionaria corretta di 225 euro2 . a. Determina un intervallo di confidenza al 95% per la spesa media sostenuta dagli studenti che frequentano quella università. b. Verifica l’ipotesi nulla che la spesa media sia uguale a 74 euro, contro l’ipotesi alternativa che non lo sia, al livello di significatività dell’1%. [a. 72,66 euro 79,34 euro; b. u ’ 1,19 e t1 ðn 1Þ ’ 2,64, si accetta H0 ] 85 Þ 2 Una società, incaricata di svolgere un’indagine pre-elettorale, intervista un campione di 120 persone, 75 delle quali dichiarano che voteranno per un certo partito politico. Determina: a. la minima percentuale di persone che voteranno quel partito, al livello di confidenza del 95%; b. la minima dimensione del campione, per riuscire a stimare la percentuale della popolazione che voterà quel partito, al livello di confidenza del 95%, con una percentuale di errore al massimo del 5%. [a. 53,8%; b. n ¼ 385] 86 Þ Da una popolazione normale, di media e varianza incognita, viene estratto un campione di 20 elementi. La stima della media calcolata sul campione estratto risulta uguale a 1,8 e la deviazione campionaria corretta risulta uguale a 0,6. Verifica, al livello di significatività del 5%, l’ipotesi H0 : ¼ 2 contro H1 : 6¼ 2. [Non si può rifiutare l’ipotesi nulla] 87 Þ Sia p la probabilità di vittoria dei «sı̀» a un referendum. Su un campione di 500 persone, 225 hanno dichiarato che voteranno «sı̀» e le restanti che voteranno «no». a. Determina un intervallo di confidenza per p al livello del 95%. b. Verifica, al livello di significatività dell’1%, l’ipotesi nulla H0 : p 50% contro l’ipotesi alternativa H1 : p < 50%. Ripeti la verifica al livello di significatività del 5%. [a. 40; 6% p 49,4%; b. H0 non può essere rifiutata all’1%, mentre può esserlo al 5%] 88 Þ Un’azienda produce palline da golf il cui peso dovrebbe essere di 45,92 g. In un lotto di 50 palline si osserva che il peso medio è di 43,25 g e la deviazione standard corretta risulta di 2,5 g. Supponendo che il peso delle palline abbia una distribuzione normale: a. determina un intervallo di confidenza al livello del 95% per il peso medio delle palline; b. verifica, al livello di significatività del 5%, l’ipotesi nulla che il processo di produzione dell’azienda rispetti le normative (cioè che il peso medio sia quello dichiarato). [a. 42,5 44; b. si rifiuta H0 ] 89 Þ In una popolazione di parecchi milioni di persone, si sceglie a caso un campione di 250 persone. a. Se nel campione ci sono 25 mancini, determina un intervallo di confidenza al livello del 95% per la percentuale di mancini della popolazione. b. Si formula l’ipotesi che l’85% degli individui siano biondi; se nel campione di 250 persone ci sono 190 biondi, si può accettare l’ipotesi a un livello di significatività del 5%? [a. 6,28% p 13,72%; b. l’ipotesi va rifiutata] 90 Þ 269 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema C Dati e previsioni Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Un’azienda deve valutare due potenziali mercati per un certo bene che essa produce. A tale scopo, l’azienda effettua un’indagine statistica sui due mercati potenziali A e B: su un campione di 125 soggetti del mercato A, 100 soggetti rispondono che acquisterebbero il bene; su un campione di 185 soggetti del mercato B, 148 rispondono che acquisterebbero il prodotto. Per ciascuno dei due mercati: a. determina la stima puntuale p della percentuale di potenziali clienti; b. determina un intervallo di confidenza al 95% per p; c. verifica, a un livello di significatività del 5%, l’ipotesi nulla che p sia maggiore o uguale all’85%, contro l’ipotesi alternativa che p sia minore dell’85%. In base ai risultati ottenuti, quale dei due mercati ti sembra più promettente? [a. pA ¼ pB ¼ 80%; b. 73% pA 87%, 74,2% pB 85,8%; c. uA ’ 1,56, uB ’ 1,9, z1 ’ 1,64, quindi H0 non si rifiuta nel caso del mercato A e si rifiuta nel caso del mercato B] 91 Þ Esercizi in inglese 92 Solve math in English In a survey of 500 large Corporations, 150 said, given a choice between a job candidate Þ who smokes and an equally qualified nonsmoker, that the nonsmoker would get the job. Let p represent the proportion of all Corporations preferring a nonsmoking candidate. Find a 90% confidence interval for p. [26,6% p 33,4%] 93 Þ Solve math in English To estimate the mean of a normal distribution with standard deviation 4, how large must the sample be to construct a 95% confidence interval with a margin of error less than 0,8? [n 97] 94 Solve math in English To test if a coin is fair or not, it has been tossed 1000 times and 564 of them where Þ «heads». Should the fairness of the coin, as null hypothesis, be rejected when ¼ 0; 1? [Yes, the null hypothesis must be rejected] 270 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Unità 6 PROVA DI AUTOVERIFICA Inferenza statistica V F V F V F V F V F Inferenza statistica Vero o falso? a. uno stimatore che mediamente sovrastima il parametro non è corretto b. calcolando la media aritmetica degli estremi di un intervallo di confidenza per la media si ottiene la stima della media ricavata dai dati campionari c. estraendo campioni diversi, un intervallo di confidenza non cambia d. il livello di significatività di un test statistico è la probabilità di commettere un errore di primo tipo e. in un test statistico, la probabilità di commettere un errore di primo tipo è uguale a quella di commettere un errore di secondo tipo 1 Þ Da una popolazione X di media e varianza 2 estraiamo un campione casuale bernoulliano di dimensione 3: X1 , X2 , X3 . Individua quale dei seguenti tre è uno stimatore corretto per : 2 Þ T1 ¼ 5 1 X1 þ X2 X3 3 3 T2 ¼ 2 5 X1 þ X2 X3 3 3 T3 ¼ 1 1 2 X1 þ X2 X3 3 2 3 Si sperimenta un nuovo farmaco su un campione di 1000 pazienti. Si osserva che fra i 1000 pazienti, 720 guariscono in seguito alla somministrazione del farmaco. Determina un intervallo di confidenza al 99% per la percentuale p di pazienti che guariscono in seguito alla somministrazione del farmaco. 3 Þ Uno strumento produce mine per matite; la lunghezza delle mine è una variabile aleatoria normale, di media ignota e deviazione standard uguale a ¼ 0,25 cm. Misurando la lunghezza di cinque mine, si sono ottenuti i seguenti valori (in cm): 4 Þ 8,24 8,12 8,15 8,17 8,20 Determina un intervallo di confidenza al 95% per la lunghezza media delle mine. Per stabilire una stima della percentuale p della popolazione italiana che voterà «sı̀» a un referendum, una società specializzata in indagini statistiche intervista un campione di n persone scelte a caso. A un livello del 95%, quanto deve valere n, affinché la stima di p ricavata dal campione differisca da p al massimo del 5%? 5 Þ Un terreno trattato con un nuovo concime chimico viene coltivato con piante di una certa specie. È noto che la crescita di una pianta di quella specie, su un terreno non trattato con il concime, ha una distribuzione normale di media 96 cm e varianza di 64 cm2 . In un campione di 10 piante coltivate sul terreno trattato si è registrata una crescita media di 102 cm. Si può affermare, a un livello di significatività del 5%, che il concime aumenta la crescita media delle piante? 6 Þ Valutazione Esercizio 1 2 3 4 5 6 Totale Punteggio 1 1 2 2 2 2 10 Punteggio ottenuto Tempo massimo: 1 h 3Risposte in fondo al volume 271 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA C Laboratorio di informatica ATTIVITÀ GUIDATE Attività 1 Foglio elettronico Se hai difficoltà a svolgere le attività guidate, fai riferimento ai file disponibili on-line. Tema C Laboratorio di informatica Tema Test diagnostico Si stima che il 4% della popolazione di un paese sia affetta da una malattia. È stato messo a punto un test per diagnosticare la malattia. Se una persona è malata, la probabilità che sia positiva al test è uguale al 90%. Se una persona è sana, la probabilità di essere negativa al test è pure uguale al 90%. Costruisci un foglio Excel per simulare la situazione e stimare la probabilità che una persona risultata positiva al test sia effettivamente malata. a. Simulazione con Excel Per simulare la situazione costruisci le tre colonne A, B, C di un foglio Excel simile a quello qui proposto, tenendo presente i suggerimenti indicati di seguito. Ricorda 1.La funzione CASUALE () restituisce un numero casuale x, con 0 x < 1. 2.La funzione INT() restituisce la parte intera di un numero reale x, vale a dire il numero intero più vicino a x, minore o uguale a x (per esempio la parte intera di 6,5 è 6, la parte intera di 1,2 è 1). 1. Nella cella A2 va inserita una formula che simuli la scelta a caso di una persona e stabilisca il suo stato di salute. Indicando con il simbolo «M» lo stato di malattia della persona scelta e con il simbolo «S» lo stato di buona salute, la formula dovrà restituire «M» con una probabilità del 4% ed «S» altrimenti. La formula da inserire è: = SE(INT(CASUALE()+4/100)=1;"M";"S") Sai spiegare perché questa formula assolve al compito prestabilito? 2. Nella cella B2 va inserita la formula che simula il risultato del test. Indicato con il numero 0 il caso in cui il test è negativo e con il numero 1 il caso in cui il test è positivo, la formula dovrà restituire: il numero 1 con probabilità del 90%, se la persona è malata; il numero 0 con probabilità del 90%, se la persona è sana. La formula da inserire, che devi completare, è perciò la seguente: = SE(A2="M";INT(CASUALE()+0,9);INT(CASUALE()+.....)) 3. Nella cella C2 inserisci la formula: Informatica – FOGLIO ELETTRONICO = CONCATENA(A2;B2) che scrive i due risultati ottenuti nelle celle A2 e B2, unendoli in un unico elemento. Per esempio, se nella cella A2 compare «S» (la persona scelta è sana) e nella cella B2 compare «0» (il test è risultato negativo), nella cella C2 si otterrà «S0». 4. Per effettuare 10 000 «esperimenti casuali» basta ora che copi la riga 2 nelle righe sottostanti fino alla riga 10001. Costruisci ora le due zone E1:H4 ed E7:F7, che stimano le varie probabilità legate al problema che stiamo esaminando, seguendo i suggerimenti qui di seguito. 1. Nella cella F2 devi inserire la formula che stima la probabilità dell’evento «la persona è malata e il test è risultato positivo», ossia la formula che calcola il rapporto tra la frequenza dell’evento «M1» e il numero di esperimenti effettuati (nel nostro caso, 10 000). Tale formula sarà: =CONTA.SE(C:C;"M1")/10000 2. Nelle celle G2, F3, G3 devi inserire formule analoghe a quella nella cella F2. 272 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Tema C Laboratorio di informatica 3. Infine, nella cella F7 devi inserire la formula che stima la probabilità che una persona risultata positiva sia effettivamente malata; in base alla definizione di probabilità condizionata, tale formula dovrà calcolare il rapporto tra la probabilità che una persona sia risultata malata e positiva e la probabilità che sia risultata positiva. La formula che devi inserire nella cella F7, dopo averla completata, è perciò: =...../H2 b. Utilizzo del foglio Considera gli eventi seguenti: M: «essere malato» S: «essere sano» þ T : «essere positivo al test» T : «essere negativo al test» In base al foglio costruito, completa le seguenti uguaglianze, scrivendo approssimazioni delle rispettive probabilità: pðM \ T þ Þ ’ ::::: þ pðM \ T Þ ’ ::::: pðS \ T Þ ’ ::::: pðS \ T Þ ’ ::::: pðT þ Þ ’ ::::: pðMjT þ Þ ’ ::::: c. Calcolo delle probabilità Calcola ora le probabilità degli eventi di cui al punto b. tramite i teoremi di probabilità che conosci. ATTIVITÀ PROPOSTE 1 Þ Si stima che il 5% della popolazione di un paese sia affetta da una malattia. È stato messo a punto un test per diagnosticare la malattia. Se una persona è malata, la probabilità che sia positiva al test è uguale al 92%. Se una persona è sana, la probabilità di essere negativa al test è uguale al 96%. Costruisci un foglio Excel simile a quello realizzato nell’attività 1 per simulare la situazione e stimare la probabilità che una persona risultata positiva al test sia effettivamente malata. Informatica – FOGLIO ELETTRONICO a. I risultati stimati con la simulazione in Excel sono delle buone approssimazioni dei risultati esatti? b. Verifica che (in accordo alla legge dei grandi numeri) aumentando il numero degli esperimenti casuali (per esempio puoi provare a simularne con il foglio Excel 30 000 invece di 10 000) si ottengono delle stime delle probabilità sempre più vicine ai valori esatti. 273 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Tema C Verso le competenze Tema C Verso le competenze RISOLVERE PROBLEMI E COSTRUIRE MODELLI Due Stati, scelti tra Belgio, Paesi Bassi, Lussemburgo, Germania e Grecia, devono contribuire a una iniziativa internazionale. Purtroppo non si raggiunge un accordo sulla designazione dei due Stati contribuenti; si decide, allora, di effettuare un sorteggio. 1 Þ a. Calcola la probabilità che almeno uno stato del Benelux (Belgio, Paesi Bassi, Lussemburgo) venga designato dal sorteggio. b. In vista di questo sorteggio, un funzionario della Comunità Europea fa la seguente scommessa con un suo collega: per ciascuno Stato del Benelux designato dal sorteggio, egli riceverà 10 euro dal suo collega, ma si impegna a pagare 100 euro se nessuno Stato del Benelux risulterà designato dal sorteggio. Ha operato saggiamente il funzionario che ha proposto questa scommessa? Giustifica la risposta servendoti della nozione di speranza matematica. 9 a. ; b. la speranza matematica di guadagno è di 2 euro, quindi a favore del funzionario 10 Un test è costituito da 10 domande. Ogni domanda ha 4 risposte possibili, di cui solamente una è corretta. Un alunno, che non ha studiato, risponde a caso a ognuna delle domande. Calcola la probabilità: 2 Þ a. che non abbia risposto correttamente a nessuna domanda; b. che abbia dato la risposta corretta esattamente a 7 domande; c. che abbia dato la risposta corretta ad almeno 2 domande. Esprimi tutti i risultati in forma approssimata, arrotondati a meno di un millesimo. [a. 0,056; b. 0,003; c. 0,756] Un gioco consiste nell’estrarre a caso una pallina da un’urna contenente 10 palline, numerate da 1 a 10. Se il numero estratto è maggiore di 4 si vincono 10 euro, altrimenti non si vince nulla. La pallina estratta viene poi rimessa nell’urna e si può ripetere il gioco. Calcola la probabilità: 3 Þ a. di vincere 10 euro, estraendo una pallina; b. di giocare tre volte di seguito senza vincere nulla; c. di vincere 30 euro giocando 6 volte di seguito. [a. 0,6; b. 0,064; c. 0,27648] Un’indagine statistica ha riguardato le ore di sonno di un gruppo di studenti. Si è trovato che in un giorno tipico gli studenti del gruppo dormono mediamente 9 ore, con una deviazione standard di 2 ore. Supposto che la distribuzione del numero di ore di sonno per questo gruppo di studenti sia normale, calcola la probabilità che uno studente in una giornata tipica dorma approssimativamente tra le 8 e le 10 ore. Fornisci il risultato arrotondato alla terza cifra decimale. [0,383] 4 Þ Una macchina produce barre di acciaio a sezione circolare la cui lunghezza ottimale dovrebbe essere di 5 m e la cui sezione ottimale dovrebbe avere diametro di 4 cm. Le barre effettivamente prodotte, che si suppongono tra loro indipendenti, hanno: una lunghezza che è bene interpretata da una variabile aleatoria con distribuzione normale di media 1 ¼ 5 m e deviazione standard 1 ¼ 4 cm; un diametro che è bene interpretato da una variabile aleatoria con distribuzione normale di media 2 ¼ 4 cm e deviazione standard 2 ¼ 0,8 cm. La lunghezza e il diametro di una barra sono tra loro indipendenti. Una generica barra prodotta può essere direttamente venduta senza modifiche se la sua lunghezza è compresa tra 4,95 m e 5,05 m e il suo diametro è compreso tra 2,8 cm e 5,2 cm. Calcola la probabilità di poter mettere in vendita senza modifiche una generica barra prodotta. [Circa 0,68] 5 Þ Una ditta acquista uno stock di componenti elettronici da due fornitori: il 20% dal fornitore A e l’80% dal fornitore B. La percentuale di componenti difettosi è del 3% per il fornitore A e del 2% per il fornitore B. 6 Þ a. Scelto a caso un componente dello stock, qual è la probabilità che sia difettoso? b. Se il componente scelto a caso risulta difettoso, qual è la probabilità che sia stato acquistato dal fornitore A? c. La ditta acquista 20 componenti dal fornitore A: qual è la probabilità che almeno due di essi siano difettosi? Esprimi il risultato arrotondato a meno di un centesimo. 274 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Tema C Verso le competenze La durata di vita, misurata in anni, di ciascuno dei componenti elettronici è una variabile aleatoria di densità esponenziale di parametro . Tenendo conto di ciò, rispondi ai seguenti ulteriori quesiti. d. La probabilità che la durata di vita di un componente elettronico sia superiore a 2 anni è uguale a 0,25. Qual è il valore di ? e. Nell’ipotesi che il valore di sia quello determinato al punto precedente, qual è la probabilità che un componente duri meno di 6 anni? Qual è la probabilità che duri più di 6 anni? f. Nell’ipotesi che il valore di sia quello determinato al punto d., qual è la probabilità che un componente elettronico duri più di 8 anni, sapendo che è durato più di 6 anni? 11 3 9720 3 9719 63 1 1 a. ; b. ; c. 1 , ; f. ’0,12; d. ¼ ln 2; e. 500 11 64 64 4 1040 5 1038 INTERPRETARE GRAFICI E DATI Una società di prodotti surgelati vende in media 500 000 pizze all’anno. Su ogni pizza venduta, la società guadagna 1 euro. Una catena di supermercati propone alla società di produrre pizze per il marchio della catena, offrendo alla società un guadagno di 0,40 euro per ogni pizza venduta. La produzione delle pizze sotto il marchio della catena di supermercati fa perdere alla società una parte della quota di mercato sul marchio originario della società, ma la nuova quota di mercato guadagnata sotto il marchio dei supermercati è stimata ampiamente superiore alla quota persa sotto il marchio originario. Precisamente, in base ad alcune analisi di mercato, si stima che possano verificarsi le tre possibilità nella tabella qui sotto riportata, ciascuna con le probabilità indicate. 7 Þ Possibilità 1 2 3 Probabilità che si verifichi 25% 40% 35% Quota di mercato perduta sotto il marchio originario della società 10% 15% 20% Quota di mercato guadagnata sotto il nuovo marchio dei supermercati þ25% þ40% þ50% a. Nell’ipotesi che la società accetti la proposta dei supermercati, il guadagno annuale complessivo, ottenuto sia dalla vendita di pizze sotto il marchio originario sia dalle vendite di pizze sotto il nuovo marchio, è una variabile aleatoria X. Determina la distribuzione di probabilità di X. b. Confronta il guadagno annuale normalmente ottenuto dalla società dalla vendita di 500 000 pizze con quello atteso nel caso accetti la proposta della catena di supermercati e stabilisci se accettare l’offerta è conveniente. 8 Þ Osserva il seguente diagramma, derivante dalle rilevazioni Istat (Italia in cifre, 2011). Numero delle famiglie (%) Beni tecnologici posseduti dalle famiglie Anni 1997-2010 1997 2003 2010 90,6 78,2 56,7 52,4 42,7 30,7 27,3 16,7 34,8 21,1 2,3 cellulare personal computer accesso a Internet antenna parabolica Si scelgono a caso e in modo indipendente 10 famiglie italiane. a. Se le famiglie fossero state scelte nel 1997, quale sarebbe stata la probabilità che almeno una di esse avesse un personal computer? b. Se le famiglie fossero state scelte nel 2003, quale sarebbe stata la probabilità che esattamente la metà di esse (cioè 5) avessero un accesso a Internet? c. Se le famiglie fossero state scelte nel 2010, quale sarebbe stata la probabilità che esattamente 6 di esse avessero una antenna parabolica? Fornisci tutti i risultati arrotondati, in percentuale. [a. 84%; b. 11%; c. 7%] 275 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema C Verso le competenze Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA VERSO LE PROVE INVALSI 1 Þ La seguente tabella descrive la distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria discreta. Qual è il valore di k? A xi 0 1 2 3 4 pðX ¼ xi Þ 5 42 10 21 5 14 k 0 1 21 B 1 22 C 1 14 D 1 42 Un’urna contiene 4 palline rosse, 3 verdi e 2 bianche. Si estraggono simultaneamente 4 palline dall’urna. La tabella del quesito precedente descrive la distribuzione di probabilità di quale delle seguenti variabili aleatorie? 2 Þ A La variabile aleatoria che conta il numero complessivo di palline rosse estratte B La variabile aleatoria che conta il numero complessivo di palline verdi estratte C La variabile aleatoria che conta il numero complessivo di palline bianche estratte D Nessuna delle precedenti 3 Þ A Qual è il valore medio della variabile aleatoria la cui distribuzione è data nell’Esercizio 1 di questa sezione? 2 3 B 4 3 C ( 4 Þ A B Per quale valore di k la funzione f ðxÞ ¼ kx2 0x3 0 altrimenti 1 8 1 Per k ¼ 9 Per k ¼ 5 3 D 7 3 rappresenta una densità di probabilità? C Per ogni valore reale di k D Per nessun valore reale di k Il tempo di attesa (espresso in minuti) presso un ufficio postale si può modellizzare tramite una variabile aleatoria esponenziale di parametro ¼ 0,125. Qual è il tempo medio di attesa presso quell’ufficio postale? 5 Þ A 5 minuti B 8 minuti C 10 minuti D 12 minuti e mezzo Un gioco consiste nel lanciare un dado regolare a sei facce. Se esce un numero minore o uguale a 4 si perdono 2 euro, mentre se esce un numero maggiore di 4 si vincono 4 euro. Paolo ripete questo gioco moltissime volte. Ritieni che alla fine avrà perso, avrà guadagnato o si ritroverà all’incirca con la stessa cifra iniziale? 6 Þ A Avrà perso B Si ritroverà all’incirca con la stessa cifra iniziale C Avrà guadagnato Motiva la tua risposta: ................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................. Un benzinaio si rifornisce di gasolio una volta la settimana. La sua vendita settimanale in migliaia di litri è una variabile aleatoria con densità del tipo: ( kð1 xÞ2 0 < x < 1 f ðxÞ ¼ 0 altrimenti 7 Þ a. Qual è il valore di k? ........................................................................................................................................................................................................... Scrivi i calcoli necessari per determinare k: ........................................................................................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................................................................... 276 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA ........................................................................ Scrivi i calcoli necessari per determinare la probabilità richiesta: ........................................................................................................................................................................................................................................................... c. Quale deve essere la capacità del serbatoio affinché la probabilità che il gasolio si esaurisca in una settimana sia minore di un centesimo? ........................................................................................................................................................................................ Scrivi i calcoli necessari per rispondere alla domanda: ........................................................................................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................................................................... 8 Þ Verso le competenze ........................................................................................................................................................................................................................................................... Tema C b. Qual è la probabilità che il benzinaio venda più di 500 litri in una settimana? In riferimento alla funzione in figura, quale affermazione è falsa? y 1 –1 1 O 2 A B C D 1 x La funzione è continua in x ¼ 1. La funzione è derivabile per ogni valore reale di x con x 6¼ 0 e x 6¼ 1. La funzione rappresenta una densità di probabilità. La funzione non è invertibile. Scelto a caso un numero nell’intervallo [0, 10], qual è la probabilità che tale numero verifichi la disequazione x2 9x þ 18 0? 9 Þ 1 2 A B 7 10 C 3 5 D 1 3 Un’urna contiene una sola pallina bianca e due palline nere. Si effettuano 10 estrazioni successive dall’urna con reimmissione a ogni estrazione della pallina precedentemente estratta. La probabilità che tra le 10 palline estratte quelle bianche siano esattamente 3 è uguale a: 10 Þ 3 7 1 2 3 3 V F 3 V 3 7 1 2 3 3 F V 10 3 3 7 1 2 3 3 F V 8 < 2 x2 11 Una variabile aleatoria X ha come densità la funzione f ðxÞ ¼ Þ : 0 A ln 4 B ln 8 C 10 7 3 7 1 2 3 3 F se 1 x 2 29 5 39 V F . Qual è il valore medio di X? altrimenti ln 9 D Nessuno dei precedenti Scrivi al di sotto di ciascuno dei fenomeni descritti nella prima riga quale modello (tra quello uniforme, esponenziale o normale) è il più adatto a descriverlo. 12 Þ L’altezza degli uomini italiani Il tempo di vita (ossia il tempo prima che si verifichi il primo guasto) di un componente elettronico non soggetto a usura. La misura di una grandezza fisica tramite uno strumento. La scelta a caso di un punto su un segmento. Modello: Modello: Modello: Modello: ............................................................. ............................................................. ............................................................. ............................................................. 277 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Tema C Verso le competenze Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA La durata di vita (in ore) di un componente elettronico è modellizzata da una variabile aleatoria di distribuzione esponenziale, con parametro ¼ 0,0002. Qual è la probabilità che la durata di vita del componente sia superiore alle 10 000 ore? I risultati sono arrotondati alla terza cifra decimale. 13 Þ A 0,271 B 0,135 C 0,865 D 0,729 Un’urna contiene 10 palline, di cui 6 nere e 4 rosse. Vengono estratte successivamente 5 palline dall’urna. Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false. 14 Þ a. se le estrazioni avvengono senza reimmissione, la variabile aleatoria X che conta il numero di palline nere complessivamente estratte ha una distribuzione binomiale di parametri n ¼ 5 e p ¼ 0,6 b. se le estrazioni avvengono senza reimmissione, la probabilità di estrarre nelle cinque estrazioni 10 esattamente 3 palline nere è uguale a 21 c. se le estrazioni avvengono con reimmissione, la variabile aleatoria X che conta il numero di palline nere complessivamente estratte ha una distribuzione binomiale di parametri n ¼ 5 e p ¼ 0,6 d. se le estrazioni avvengono con reimmissione, la probabilità di estrarre nelle cinque estrazioni 216 esattamente 3 palline nere è uguale a 625 V F V F V F V F In un’indagine condotta per valutare gli effetti della velocità delle automobili sulla gravità degli incidenti, si sono esaminati 5000 verbali di incidenti automobilistici mortali e per ciascuno di essi si è registrata la velocità dell’impatto. Si è calcolato che la velocità media era di 110 km/h e la deviazione standard di 20 km/h. Assumendo che la velocità di impatto sia una variabile aleatoria di distribuzione normale, rispondi alle seguenti domande. 15 Þ a. Qual era approssimativamente la percentuale di veicoli che al momento dell’impatto aveva una velocità compresa tra i 90 km/h e i 130 km/h? Risposta: ........................................................................................................................................................................................................................................... Calcoli effettuati: ................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................. b. Approssimativamente, quanti veicoli avevano velocità superiore ai 100 km/h? Arrotonda il risultato a un numero intero. Risposta: ........................................................................................................................................................................................................................................... Calcoli effettuati: ................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................. 278 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Idee e metodi della matematica Introduzione agli algoritmi Idee e metodi della matematica Che cos’è un algoritmo Immagina di impostare in un navigatore la località in cui ti trovi, l’indirizzo al quale desideri arrivare e di chiedere al navigatore di elaborare il percorso; il navigatore formula una serie di istruzioni («procedi dritto per 10 km», «gira a destra al primo incrocio» ecc.) che, eseguite una dopo l’altra, consentono di giungere a destinazione. Questa sequenza di istruzioni si può assimilare a un algoritmo. ALGORITMO Un algoritmo è un procedimento che, in una sequenza finita e ordinata di passi, permette di ottenere un dato risultato o di risolvere un problema. Nell’ambito dei tuoi studi di matematica hai già incontrato il concetto di algoritmo. Per esempio, quando alle scuole elementari hai imparato il metodo per calcolare la somma di due numeri naturali, incolonnandoli e procedendo cifra per cifra da destra verso sinistra, tenendo conto dei riporti, hai imparato un algoritmo. Ma perché ci interessiamo al concetto di algoritmo? La ragione fondamentale è che, con l’avvento dei calcolatori, gli algoritmi hanno permesso di affrontare svariati problemi secondo un nuovo approccio: una volta trovato il procedimento risolutivo di un problema, se esso è traducibile in un algoritmo è possibile demandare l’esecuzione dei vari passi del procedimento risolutivo stesso al calcolatore. La novità di questo approccio risiede proprio nel fatto che prevede una distinzione tra chi analizza un problema e ne elabora il procedimento risolutivo (il risolutore) e chi esegue i vari passi del procedimento stesso (l’esecutore). Oggigiorno il concetto di algoritmo gioca un ruolo fondamentale anche nella risoluzione di modelli matematici. I problemi reali conducono infatti quasi sempre a modelli matematici estremamente complessi, per i quali è difficile trovare soluzioni esatte: la fase della risoluzione approssimata di tali modelli può però molto spesso essere svolta dai calcolatori, tramite opportuni algoritmi. La descrizione e la struttura di un algoritmo Il primo problema che si pone nella descrizione di un algoritmo è il tipo di linguaggio da utilizzare. L’esigenza è quella di fare ricorso a un linguaggio rigoroso, che non consenta ambiguità di alcun tipo. A tale scopo si adotta un particolare linguaggio, simile a quello naturale ma più formale: il cosiddetto linguaggio di pseudocodifica (o di progetto). La descrizione di un algoritmo in linguaggio di pseudocodifica si suddivide di solito in tre parti. Attenzione! Non tutti i problemi possono essere risolti con l’uso di un calcolatore: per esempio, ciò non è possibile quando si ha a che fare con problemi che hanno infinite soluzioni, con quelli per cui non è ancora stato individuato un procedimento risolutivo e anche con quelli per cui è stato individuato un algoritmo risolutivo ma la sua esecuzione da parte del calcolatore richiederebbe tempi troppo lunghi. La scomposizione in fattori primi di numeri aventi centinaia di cifre rientra in quest’ultima categoria di problemi. Attenzione! 1. La riga di intestazione Si tratta di una prima riga in cui si specifica semplicemente il nome assegnato all’algoritmo. Talvolta, per brevità, ometteremo la riga di intestazione. 2. La sezione dichiarativa In questa parte si dichiarano le variabili e le eventuali costanti che si intendono utilizzare per descrivere l’algoritmo. In questo contesto una variabile è il nome con cui viene indicato un dato il cui valore può variare durante l’esecuzione del279 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Idee e metodi della matematica l’algoritmo; una costante è il nome con cui viene indicato un dato che non cambia durante l’esecuzione dell’algoritmo. Il nome può essere costituito da un qualsiasi numero di lettere o di cifre (eventualmente separate dal trattino di sottolineatura, underscore) ma, per convenzione, deve sempre iniziare con una lettera e non può contenere spazi, simboli di punteggiatura o caratteri speciali. Quando si definisce una variabile, occorre anche indicare il tipo di dato che essa rappresenta; le tipologie di dati più frequenti sono due: i dati numerici e quelli alfanumerici, questi ultimi contenenti, oltre a numeri, anche lettere dell’alfabeto o caratteri speciali quali %, &... I dati numerici possono essere a loro volta di tipo intero o reale, a seconda che siano costituiti da numeri interi positivi o negativi, o da numeri reali. Nella pseudocodifica di un algoritmo indicheremo la dichiarazione delle variabili e delle costanti proprio con la parola Dichiara. Per esempio, se per la descrizione di un algoritmo intendiamo utilizzare le due variabili a e b, che assumono valori interi, la variabile c che assume valori reali e la costante d che ha valore uguale a 3, in linguaggio di pseudocodifica scriveremo: Variabili Dichiara a, b come numeri interi Dichiara c come numero reale Costanti Dichiara d come numero intero di valore 3 3. La sezione esecutiva In questa parte, posta tra le parole Inizio e Fine, vengono descritte le istruzioni vere e proprie che compongono l’algoritmo. Le istruzioni elementari che si utilizzano nella sezione esecutiva sono quelle elencate nella seguente tabella. Istruzione Come si traduce in linguaggio di pseudocodifica Esempi Acquisizione dei dati Si utilizza l’espressione: Acquisisci (o Immetti o Leggi) seguita dalla variabile di cui deve essere acquisito il valore. Se vogliamo scrivere un algoritmo per calcolare l’area di un cerchio, l’algoritmo dovrà anzitutto richiedere la misura del raggio; definita la variabile raggio, scriveremo, in linguaggio di pseudocodifica: Acquisisci raggio Comunicazione di un risultato Si utilizza l’espressione: Comunica (o Scrivi) seguita dal nome della variabile di cui vogliamo comunicare il valore. In riferimento al problema del calcolo dell’area del cerchio, definita una variabile area_cerchio, dopo aver scritto le istruzioni necessarie al calcolo dell’area, per indicare l’istruzione di comunicare il risultato ottenuto scriveremo: Comunica area_cerchio Assegnazione (ovvero l’istruzione tramite cui si assegna a una variabile un determinato valore) Si utilizza un’istruzione del tipo: Assegna variabile = valore dove variabile indica la variabile cui vogliamo assegnare il valore e valore il valore che intendiamo assegnare alla variabile. Se una variabile ha già un valore, questo viene sostituito dal nuovo valore assegnato con l’istruzione. Assegna A = 2 significa che alla variabile A viene assegnato il valore 2 Assegna B = A + 1 significa che alla variabile B viene assegnato il valore della variabile A aumentato di 1 Assegna A = A +1 significa che alla variabile A viene assegnato il suo valore attuale aumentato di 1 280 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Idee e metodi della matematica ESEMPIO L’algoritmo che, assegnato il raggio r di un cerchio, calcola la sua area e la comunica, si può descrivere in linguaggio di pseudocodifica come segue. Algoritmo Area del cerchio Riga di intestazione Variabili Dichiara raggio come numero reale Dichiara area cerchio come numero reale Inizio della sezione dichiarativa Costanti Dichiara pigreco come numero reale di valore 3,14 Fine della sezione dichiarativa Inizio Acquisisci raggio Assegna area cerchio = pigreco*(raggio)^2 Comunica area cerchio Inizio della sezione esecutiva Fine Fine della sezione esecutiva Le principali strutture di controllo Nella sezione esecutiva di un algoritmo può subentrare l’esigenza di ripetere più volte alcune istruzioni, oppure di eseguire alcune istruzioni solo a condizione che siano verificate determinate condizioni; si presenta cioè la necessità di controllare l’ordine in cui le istruzioni devono essere eseguite. I costrutti che definiscono il flusso di esecuzione delle varie istruzioni all’interno di un algoritmo si chiamano appunto strutture di controllo. Le strutture di controllo fondamentali sono tre: la sequenza, la selezione e la ripetizione. La sequenza È la più semplice struttura di controllo; consiste semplicemente nel richiedere che le istruzioni vengano eseguite una dopo l’altra. Nel linguaggio di pseudocodifica, basta scrivere le varie istruzioni esattamente nell’ordine in cui devono essere svolte. Per esempio, l’algoritmo poc’anzi descritto per il calcolo dell’area di un cerchio data la misura del raggio è strutturato in sequenza. La selezione Questa struttura di controllo consente di scegliere le istruzioni da eseguire in base al verificarsi di una condizione iniziale. La sintassi in linguaggio di pseudocodifica è la seguente. Se condizione allora istruzione 1 altrimenti istruzione 2 Fine se La parte altrimenti istruzione 2 non è obbligatoria: se viene omessa, significa che non deve essere eseguita nessuna istruzione nel caso in cui la condizione non sia verificata. ESEMPIO Utilizzo della struttura di selezione Un grande magazzino, in un periodo di saldi, pratica uno sconto del 10% se la cifra complessiva spesa è inferiore o uguale a 200 euro, e uno sconto del 15% se la cifra complessiva spesa è superiore ai 200 euro. Scriviamo un algoritmo che comunichi la cifra scontata da pagare, una volta immessa la cifra spesa. Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Ô 281 Idee e metodi della matematica Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Ô Indichiamo con la variabile P la cifra spesa e con S la cifra scontata da pagare; sarà: 10 1 S¼P P ¼ 1 P ¼ 0,9 P se P 200 100 10 S¼P 15 P¼ 100 15 1 P ¼ 0,85 P 100 se P > 200 La pseudocodifica dell’algoritmo è allora la seguente: Variabili Dichiara P come un numero reale Dichiara S come un numero reale Inizio Acquisisci P Se P 200 allora Assegna S=P*0,9 altrimenti Assegna S=P*0,85 Fine se Comunica S Fine La ripetizione Tramite questa struttura di controllo possiamo ripetere una certa istruzione. Se è noto il numero di volte per cui l’istruzione stessa va ripetuta si parla di iterazione enumerativa; la sua sintassi in linguaggio di pseudocodifica è: Per variabile = valore iniziale fino a valore finale istruzione 1 istruzione 2 ....... Ripeti La variabile viene detta contatore, perché ha la funzione di contare il numero di ripetizioni e viene automaticamente incrementata di un’unità a ogni ripetizione. Quando il contatore assume valore uguale a quello indicato come finale, il ciclo ha termine e l’esecuzione dell’algoritmo passa all’istruzione successiva. ESEMPIO Utilizzo della struttura di iterazione enumerativa Scriviamo un algoritmo che, assegnato n, calcoli la somma dei primi n numeri naturali, a partire da 1. Indichiamo con S la variabile atta a rappresentare la somma cercata; tale somma può essere ottenuta eseguendo queste operazioni: Passo 1: si pone S ¼ 1. Passo 2: si assegna a S il valore ottenuto sommando il valore di S definito al passo precedente e il numero 2; si pone cioè S ¼ 1 þ 2. Passo 3: si assegna a S il valore ottenuto sommando il valore di S ottenuto al passo precedente e il numero 3; si pone cioè S ¼ 1 þ 2 þ 3. ::::::::::::::: Si continua assegnando alla variabile S, a ogni passo, il valore ottenuto al passo precedente sommato al numero naturale che rappresenta il numero del passo, fino ad arrivare a S ¼ 1 þ 2 þ ::: þ n. 282 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Variabili Dichiara S, n, i come numeri interi Inizio Acquisisci n Assegna S = 1 Per i = 2 fino a n Assegna S = S + i Ripeti Comunica S Fine Idee e metodi della matematica In pratica, una volta posto S ¼ 1 al primo passo, si tratta di ripetere dal passo i ¼ 2 fino al passo i ¼ n la seguente istruzione: «assegna a S il valore ottenuto sommando il valore di S al passo i 1 e il numero i». Tenendo conto di questa osservazione, è facile comprendere che la pseudocodifica dell’algoritmo risolutivo è la seguente: i è la variabile che avrà la funzione di contatore Talvolta si vuole ripetere un’istruzione finché non si verifica una determinata condizione. In questi casi non è noto a priori per quante volte vada ripetuta l’istruzione, quindi non è possibile utilizzare l’iterazione numerativa. Si utilizza allora la cosiddetta iterazione postcondizionale, che in linguaggio di pseudocodifica ha la seguente sintassi: Esegui istruzione 1 istruzione 2 ....... Ripeti finché condizione Le istruzioni comprese tra Esegui e Ripeti finché vengono eseguite, quindi viene valutato se la condizione è vera o falsa; se la condizione è vera l’esecuzione del ciclo termina, altrimenti si ricominciano a eseguire le istruzioni a partire dall’istruzione 1. Quando è necessario il conteggio delle ripetizioni necessarie a far sı̀ che la condizione posta dopo Ripeti finché si verifichi, si introduce (similmente al caso dell’iterazione enumerativa) una variabile contatore; in tal caso però, a differenza dell’iterazione enumerativa in cui la variabile contatore viene incrementata automaticamente di una unità a ogni ripetizione, occorre scrivere un’istruzione per incrementare la variabile contatore di 1 a ogni passo. ESEMPIO Utilizzo della struttura di iterazione condizionale Barbara investe 5000 euro a un interesse annuo del 3%. Ogni anno gli interessi vengono sommati al capitale e l’anno successivo l’interesse viene calcolato sul capitale complessivo (comprendente sia il capitale dell’anno precedente, sia gli interessi maturati). Dopo quanti anni Barbara avrà a disposizione almeno 10 000 euro? Indichiamo con S la somma inizialmente investita. Al secondo anno il nuovo capitale a disposizione è dato dalla somma del capitale iniziale e dell’interesse maturato l’anno precedente: SþS 3 3 ¼S 1þ ¼ S 1,03 100 100 Analogamente, al terzo anno il capitale a disposizione sarà dato da quello dell’anno precedente, moltiplicato per il coefficiente 1,03. In pratica, una volta posto S ¼ 5000 al primo passo, si tratta di ripetere la seguente istruzione: «moltiplica la somma S ottenuta al passo precedente per il Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Ô 283 Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Idee e metodi della matematica Ô coefficiente 1,03 finché S 10000» e contare il numero di ripetizioni necessarie. La pseudocodifica dell’algoritmo risolutivo è dunque la seguente: Variabili Dichiara S come numero reale Dichiara n come numero intero Inizio Assegna S = 5000 Assegna n = 0 Esegui Assegna S = S * 1,03 Assegna n = n +1 Ripeti finché S 10000 Comunica n Fine La variabile n ha la funzione di contatore Istruzione per incrementare la variabile contatore Rappresentazione degli algoritmi tramite diagrammi di flusso Un algoritmo può essere rappresentato, oltre che in linguaggio di pseudocodifica, anche in forma grafica, tramite diagrammi di flusso. I simboli standard utilizzati nei diagrammi di flusso sono rappresentati nella seguente tabella. Simboli per rappresentare le istruzioni elementari Utilizzati per indicare... l’inizio e la fine dell’algoritmo l’acquisizione dei dati e la comunicazione dei risultati istruzioni di assegnazione o di calcolo Schema grafico per indicare la struttura di selezione falso condizione istruzione 2 Schema grafico per indicare la struttura di iterazione postcondizionale inizializza contatore vero istruzione 1 Schema grafico per indicare la struttura di iterazione enumerativa istruzione falso condizione vero contatore ≤ max vero istruzione incrementa contatore di 1 284 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P falso Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA I primi due algoritmi descritti negli esempi del paragrafo precedente (quello relativo al prezzo scontato da pagare al grande magazzino e quello relativo alla somma dei primi n numeri naturali) possono essere rappresentati rispettivamente tramite i seguenti diagrammi di flusso. inizio inizio immetti n immetti P falso vero P ≤ 200 S = P · 0,85 contatore ≤n S = P · 0,90 Idee e metodi della matematica ESEMPI falso vero S = S + contatore comunica S incrementa contatore di 1 fine comunica S fine Dalla pseudocodifica al linguaggio di programmazione L’ambiente Visual Basic in Excel Per far sı̀ che un algoritmo possa essere eseguito da un computer è necessario che la sua descrizione in linguaggio di pseudocodifica sia tradotta in un linguaggio comprensibile all’elaboratore, ovvero in un linguaggio di programmazione. Il risultato di questa traduzione è il programma (o codice). Tra i vari linguaggi di programmazione esistenti, utilizzeremo in queste pagine il linguaggio dell’ambiente di programmazione cui si può accedere dal foglio elettronico Excel: il Visual Basic for Application (VBA). Faremo riferimento alla versione di Excel 2007 o 2010, in cui i menu sono stati sostituiti dalle barre multifunzione. Se disponi di una versione precedente di Excel puoi consultare la guida in linea del programma per reperire la collocazione dei comandi qui descritti. Per visualizzare, anzitutto, i comandi relativi a VBA, contenuti nella barra Sviluppo, in Excel 2010 occorre attivare la barra File, quindi selezionare Opzioni j Personalizzazione barra multifunzione; infine, si deve spuntare la casella di controllo Sviluppo. (In Excel 2007 occorre invece, nelle impostazioni generali di Excel, selezionare la casella di controllo Mostra scheda Sviluppo sulla barra multifunzione.) Il gruppo di comandi che ci interessa è il primo, denominato Codice, e il terzo, denominato Controlli: 285 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Idee e metodi della matematica Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA La realizzazione di un progetto tramite il foglio Excel e il relativo l’ambiente Visual Basic si può scandire tipicamente in tre fasi. 1. Definizione dell’interfaccia, cioè gli oggetti tramite i quali l’utente finale potrà interagire con il programma che andremo a scrivere In questa prima fase occorre: scegliere le celle che si vuole utilizzare per immettere i dati; scegliere le celle che si vuole utilizzare per la comunicazione dei risultati da parte del programma; creare un pulsante che servirà ad attivare l’esecuzione del codice che si andrà successivamente a scrivere. Per la creazione del pulsante si può procedere come segue: a. si fa clic sul pulsante Inserisci del gruppo Controlli e si seleziona Pulsante di comando nella sezione Controlli ActiveX; b. si disegna l’oggetto sul foglio Excel, nelle dimensioni desiderate, trascinando il mouse. Verrà automaticamente attivata la Modalità progettazione (l’icona omonima è attivata). Facendo clic con il tasto destro del mouse sul pulsante cosı̀ creato e scegliendo Proprietà nel menu di contesto, si apre una finestra dove è possibile modificare alcune proprietà dell’oggetto: in particolare, è possibile modificare la proprietà Caption, che rappresenta il testo che compare sul pulsante. 2. Scrittura del codice Si tratta di scrivere il codice vero e proprio che traduce l’algoritmo risolutivo del problema in esame; per accedere all’ambiente VBA dove scrivere il codice basta fare doppio clic sul pulsante di comando creato al punto precedente (sempre restando in Modalità progettazione): 286 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Una volta che si sarà scritto il codice, si può tornare al foglio Excel facendo clic sull’icona (la prima a sinistra nella barra degli strumenti della finestra VBA). Per riaprire quando necessario l’ambiente VBA si può invece fare clic sull’icona Visual Basic del gruppo Codice. A questo punto, per provare l’esecuzione del codice, è sufficiente uscire dalla Modalità di progettazione facendo clic su Modalità progettazione, quindi premere il pulsante di comando creato nella fase 1. Il linguaggio Visual Basic Idee e metodi della matematica 3. Prova di esecuzione del codice Ci occupiamo ora più in dettaglio della fase 2, cioè della traduzione di un algoritmo in codice Visual Basic. 1. Dichiarazione delle variabili La dichiarazione di una variabile avviene in Visual Basic tramite l’istruzione: Dim ... As ... Dopo la parola chiave Dim va scritto il nome della variabile, dopo As il tipo di variabile. Per definire una variabile di tipo intero occorre, dopo As, utilizzare la parola chiave Integer. Le variabili di tipo intero possono contenere valori interi compresi tra –32768 e 32768. Per definire variabili contenenti valori interi di valore assoluto maggiore occorre utilizzare il tipo Long, che ammette la possibilità di utilizzare valori compresi tra 2 147 483 648 e 2 147 483 648. Per definire una variabile di tipo reale occorre utilizzare, dopo As, la parola chiave Single o Double; le variabili di tipo Single sono rappresentare da un massimo di 7 cifre decimali, quelle di tipo Double da un massimo di 15 cifre decimali. ESEMPI Se vogliamo dichiarare a come variabile a valori interi e b come variabile a valori reali, dobbiamo scrivere: Dim a As Integer Dim b As Single oppure: Dim a As Long Dim b As Double Le costanti sono dichiarate in Visual Basic con la parola chiave Const; per esempio, se vogliamo dichiarare x una costante di valore 3, scriveremo: Const x = 3 2. Assegnazione, immissione e comunicazione dei dati L’assegnazione di un valore a una variabile avviene in Visual Basic tramite il simbolo di uguaglianza, scrivendo sempre a sinistra del simbolo = la variabile alla quale si vuole attribuire un valore, e a destra del simbolo = il valore stesso. Per esempio, per attribuire alla variabile a il valore 2, scriveremo semplicemente: a¼2 Poiché vogliamo far interagire l’ambiente di programmazione Visual Basic con il foglio elettronico, l’immissione e la comunicazione dei dati può avvenire tramite il foglio di lavoro; possiamo cioè immettere un dato in una cella del foglio di lavoro e poi assegnare a una variabile del programma il valore immesso nella cella, utilizzando l’istruzione Range. 287 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Idee e metodi della matematica Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Per esempio, se vogliamo assegnare a una variabile a il valore immesso nella cella A1 dobbiamo scrivere: a ¼ Range("A1") Viceversa, la comunicazione di un dato può avvenire assegnando a una cella il valore di una variabile; per esempio, per fare in modo che il programma comunichi nella cella B2 il valore della variabile n occorre scrivere: Range("B2") = n avendo sempre cura di porre a sinistra l’oggetto cui viene assegnato il valore. In alternativa all’istruzione Range, è possibile utilizzare l’istruzione Cells, che consente di riferirsi a una cella utilizzando come coordinate della cella il numero della riga e il numero della colonna (invece della lettera della colonna). Per esempio, per riferirsi alla cella B3, invece di utilizzare l’istruzione Range("B3") è possibile utilizzare l’istruzione: Cells(3,2) 3. Le strutture di controllo Le istruzioni per tradurre in Visual Basic le strutture di controllo che abbiamo introdotto in queste pagine sono riassunte nella seguente tabella. Strutture di controllo Istruzioni in Visual Basic Selezione If condizione Then istruzione 1 Else istruzione 2 End if Iterazione enumerativa For contatore = valore iniziale To valore finale istruzioni Next Iterazione postcondizionale Do istruzioni Loop until condizione Le condizioni e le istruzioni contengono spesso operazioni aritmetiche e relazioni di confronto; i simboli corrispondenti da utilizzare nella traduzione in codice Visual Basic sono riassunti in quest’altra tabella: 288 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Simbolo Significato þ Addizione Sottrazione * Moltiplicazione / Divisione n Divisione tra interi con risultato intero Mod Resto della divisione intera ^ Elevamento a potenza < > Minore / Maggiore <¼ >¼ Minore o uguale / Maggiore o uguale ¼ Uguale <> Diverso Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA ESEMPIO Idee e metodi della matematica Discutiamo insieme un esempio riassuntivo. Traduzione di un algoritmo in Visual Basic Scriviamo un algoritmo che, una volta immesso un numero naturale n in una cella di un foglio Excel, comunichi in un’altra cella la somma dei primi n numeri naturali, a partire da 1. Interfaccia Definiamo l’interfaccia come mostrato in figura. In particolare abbiamo preposto: – la cella C2 all’immissione da parte dell’utente del numero n di naturali da sommare; – la cella C4 alla comunicazione da parte del programma del risultato della somma. Abbiamo inoltre creato un pulsante, che abbiamo chiamato Calcola la somma, con la funzione di attivare l’esecuzione del programma che andremo a scrivere. Codice Abbiamo già visto, in uno degli esempi precedenti, la rappresentazione in linguaggio di pseudocodifica dell’algoritmo per calcolare la somma dei primi n numeri naturali a partire da 1. Si tratta ora di tradurre tale rappresentazione in codice Visual Basic. A tale scopo facciamo anzitutto clic sul pulsante Calcola la somma (in Modalità progettazione attiva), cosicché si apra la finestra di ambiente VBA in cui è possibile scrivere il codice. Il codice che realizza il calcolo della somma dei primi n numeri naturali (con n immesso nella cella C2) e fornisce il risultato nella cella C4 è il seguente: Private Sub CommandButton1_Click() Dim S, n, i As Integer Dichiarazione delle variabili n = Range("C2") Acquisizione del valore di n S=1 Inizializzazione di S For i = 2 To n S=S+i ) Ciclo per il calcolo della somma Next Range("C4") = S Osserva In Visual Basic l’inizio e la fine di un programma sono sempre indicati con le diciture Private Sub ed End Sub. Nella riga di intestazione del programma è specificato anche l’evento a fronte del quale il programma viene attivato: nel nostro caso, un clic sul pulsante CommandButton1. Comunicazione del risultato End Sub 289 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Idee e metodi della matematica Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Prova tu 1. Un grande magazzino effettua uno sconto del 5% sugli articoli il cui costo è inferiore o uguale a 100 euro e uno sconto del 10% sugli articoli il cui costo è superiore a 100 euro. Scrivi un algoritmo che, immesso il prezzo di un articolo, restituisca il prezzo scontato. 2. Scrivi un algoritmo che calcoli il prodotto dei primi n numeri pari a partire da 2. 3. In un parco naturale, si constata una diminuzione annuale del 10% di esemplari di una specie protetta; si decide di immettere nella popolazione 10 nuovi esemplari all’anno. Assumendo una popolazione iniziale di 1000 esemplari della specie protetta, scrivi un algoritmo che consenta di determinare dopo quanti anni la popolazione sarà inferiore ai 500 esemplari. ATTIVITÀ GUIDATE Attività 1 Algoritmi Se hai difficoltà a svolgere le attività guidate, fai riferimento ai file disponibili on-line. L’algoritmo di Euclide Scrivi un programma in Visual Basic che, immessi in due celle di un foglio Excel due numeri naturali a e b, con a > b, restituisca in un’altra cella il massimo comune divisore di a e b, calcolato mediante l’algoritmo euclideo. a. Interfaccia Imposta un foglio Excel come illustrato nella figura qui sotto. b. Pseudocodifica L’algoritmo di Euclide per calcolare il massimo comune divisore di due numeri naturali a e b, con a > b, può essere cosı̀ descritto: 1. si calcola il resto della divisione intera tra a e b; se il resto r1 della divisione è 0, allora il massimo comune divisore tra a e b è b, altrimenti si procede con il passo 2; 2. si calcola il resto r2 della divisione intera tra b ed r1 ; se il resto r2 di quest’ultima divisione è 0, allora il massimo comune divisore tra a e b è r1 , altrimenti si procede con il passo 3; 3. si ripete il ciclo, calcolando il resto della divisione in cui il dividendo è il divisore del passo precedente e il divisore è il resto ottenuto al passo precedente. Il procedimento termina quando si ottiene un resto uguale a zero. L’ultimo resto diverso da zero è il massimo comune divisore tra a e b. 290 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Variabili Dichiara a, b, r come numeri interi Inizio Acquisisci a Acquisisci b Esegui Assegna r = resto della divisione intera tra a e b Se r = ..... allora Comunica "MCD ¼ ....." altrimenti Assegna a = b Assegna b = ..... Fine se Ripeti finché r = ..... Fine Idee e metodi della matematica Tenendo conto di ciò, completa la seguente pseudocodifica dell’algoritmo: c. Codice Scrivi il codice Visual Basic corrispondente alla pseudocodifica dell’algoritmo. A tale proposito, ricorda che l’istruzione per calcolare in Visual Basic il resto della divisione intera tra due numeri a e b è a Mod b. d. Utilizzo del foglio Prova a calcolare a mano il massimo comune divisore tra le seguenti coppie di numeri: a ¼ 432, b ¼ 180 a ¼ 175, b ¼ 108 Controlla quindi, tramite il foglio che hai costruito, i risultati ottenuti. Attività 2 Algoritmi Ricerca dei divisori di un numero naturale Scrivi un programma in Visual Basic che, immesso un numero naturale in una cella di un foglio Excel, restituisca in una riga l’elenco di tutti i suoi divisori. a. Interfaccia Imposta un foglio Excel come illustrato nella figura qui sotto. In particolare, la cella B1 è quella preposta all’immissione del numero n di cui si vogliono individuare i divisori, mentre le celle della riga 4 sono preposte alla comunicazione dei divisori da parte del programma. Oltre al pulsante che attiva il codice per il calcolo dei divisori, abbiamo previsto un secondo pulsante, Azzera il foglio, avente la funzione di attivare un codice che elimina automaticamente il numero immesso nella cella B1 e i risultati forniti nella riga 4. 291 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Idee e metodi della matematica Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA b. Pseudocodifica Completa la seguente pseudocodifica di un algoritmo per il calcolo dei divisori di n. Variabili Dichiara n, i come numeri interi Inizio Acquisisci n Per i = 1 a n Se il resto della divisione intera tra n e i = ..... allora Comunica ..... Fine Se Ripeti Fine c. Codice del programma «Calcola i divisori» Nella traduzione dell’algoritmo in codice Visual Basic occorre introdurre (oltre alla variabile n e alla variabile contatore i) una nuova variabile (la chiamiamo j) che serve a definire, per ogni divisore, la colonna della cella in cui si vuole che il programma comunichi il divisore stesso. Tenendo conto di queste osservazioni, completa il codice riportato qui di seguito. Private Sub Calcola_i_divisori_Click() Dim n, i, j As Long n = Cells(..., ...) j=1 For i = 1 To ... If n Mod ... = ... Then Cells(4, j) = ... j=j+1 End If Next i End Sub Qual è il ruolo delle istruzioni j = 1 e, successivamente, j = j + 1? d. Codice del programma «Azzera il foglio» Il codice è costituito semplicemente dalle due istruzioni: Range("B1")= "" Rows(4)= "" che tolgono i numeri dalla cella B1 e dalla quarta riga. e. Utilizzo del foglio Considera i seguenti numeri: 8 12 20 24 100 1. Scomponili in fattori primi. 2. Tenendo presente la scomposizione in fattori primi, prevedi, per ciascuno di essi, il numero complessivo di divisori (ricorda che se la scomposizione in fattori primi di un numero naturale è pr11 pr22 ::: prnn , il numero dei divisori del numero è dato da ð1 þ r1 Þð1 þ r2 Þ ::: ð1 þ rn Þ). 3. Controlla, con il foglio Excel che hai costruito, i risultati ottenuti. 292 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 1 Þ Scrivi, in linguaggio di pseudocodifica, un algoritmo per calcolare la somma dei quadrati dei primi n numeri naturali, a partire da 1. Traduci quindi tale algoritmo in un programma Visual Basic che, immesso in una cella di un foglio Excel il numero n, restituisca in un’altra cella la somma dei quadrati dei primi n numeri naturali. 2 Þ Scrivi un algoritmo che calcoli la somma dei numeri naturali minori o uguali a un numero naturale k prefissato. 3 Þ Dato un numero naturale n, scrivi un algoritmo che calcoli il fattoriale di n. 4 Þ Esiste un algoritmo alternativo a quello di Euclide per il calcolo del M.C.D. Tale algoritmo è detto algoritmo delle sottrazioni successive e può essere cosı̀ descritto: Idee e metodi della matematica ATTIVITÀ PROPOSTE 1) Assegna a e b 2) Calcola il valore assoluto d della differenza tra a e b 3) Se d = 0 allora Comunica «MCD = b’’ altrimenti Poni b al posto di a Poni d al posto di b Ritorna al punto 2) a. Prova a calcolare, mediante l’algoritmo delle sottrazioni successive, il massimo comune divisore tra i due numeri a ¼ 48 e b ¼ 18. b. Scrivi un programma in Visual Basic che, immessi i due numeri a e b in due celle di un foglio Excel, restituisca in un’altra cella il massimo comune divisore tra a e b, calcolato mediante l’algoritmo delle sottrazioni successive. 5 Þ Scrivi un algoritmo che calcoli, con il metodo di bisezione, la radice dell’equazione x3 þ x 4 ¼ 0 con un errore minore o uguale a un valore prefissato. Traducilo quindi in linguaggio Visual Basic, in relazione a un foglio Excel di cui devi definire opportunamente l’interfaccia. 6 Þ Scrivi un algoritmo che calcoli, con il metodo dei rettangoli, un valore dell’integrale ð1 2 ex dx con un errore minore o uguale a un valore prefissato. Traducilo quindi in 0 linguaggio Visual Basic, in relazione a un foglio Excel di cui devi definire opportunamente l’interfaccia. 7 Þ Considera il seguente problema: «Siano a e b due numeri interi positivi con una sola a cifra scelti a caso. Qual è la probabilità che la frazione sia riducibile?». Scrivi un opb portuno algoritmo che calcoli quante sono le coppie ordinate (a, b) di numeri con una a sola cifra per cui è riducibile, quindi rispondi alla domanda posta dal problema. b 8 Þ Risolvi il problema seguente, procedendo in modo simile a quanto indicato nell’esercizio precedente: «Siano a e b due numeri interi positivi con una sola cifra scelti a caso. Qual è la probabilità che l’equazione di primo grado ax b ¼ 0 abbia soluzione intera positiva?». 293 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Verso l’esame Verso l’Università TEST Il dominio della funzione f ðxÞ ¼ l’insieme: 1 Þ x2 4x þ 3 è x3 La funzione f ðxÞ ¼ 2 ln x è positiva nell’intervallo: 8 Þ A R f0g C fx 2 Rjx < 1 _ x > 3g A ð0, e2 Þ C ð0, þ1Þ B R D R f1g B ð1, 2Þ D ðe2 , þ1Þ 2 Þ A B 3 Þ La derivata prima della funzione y ¼ y0 ¼ 0 y ¼ 20x3 15x2 þ 2 3 ðx þ 3Þ 8x3 þ 36x2 þ 15 ðx þ 3Þ2 4x3 þ 5x è: xþ3 C y0 ¼ 0 D 12x2 þ 5 y¼ 1 9 Þ A B La funzione y ¼ f ðxÞ ha il seguente grafico. y 2 x y = f(x) A A lim f ðxÞ ¼ 2 x!2 D x!2 lim f ðxÞ ¼ 2 e limþ f ðxÞ ¼ 0 x!2 x!2 3 4 Þ A 13 Þ lim f ðxÞ ¼ 0 e limþ f ðxÞ ¼ 2 Il lim x!þ1 þ1 2 x 4x 2 è uguale a: x7 þ 3x3 3 4 B 1 C 3 D y0 ¼ ðx2 4Þ2 3x2 þ 12 ðx2 4Þ2 Data la funzione y ¼ 2 B x3 þ 3 C 4 D 4 x < 5 _ x > 0 x!2 C y0 ¼ 0 B lim f ðxÞ ¼ 0 x!2 B y ¼ 3ðx2 þ 4Þ C A 12 Þ Possiamo affermare che: 0 3x2 4 x2 1 Il dominio della funzione f ðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi è: 2 x þ 5x C x>0 R 11 Þ 2 y0 ¼ 3x è: 4 x2 x4 þ 3x 4, la sua derivata 4 prima nel punto di ascissa x ¼ 1 è: 10 Þ A O La derivata della funzione y ¼ x 5 _ x 0 x!þ1 5x2 2x þ 3 è: 2x2 þ x þ 1 2 C Il valore del lim þ1 D B 5 2 D 0 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Il dominio della funzione f ðxÞ ¼ x 9 x2 è: A ð3, 3Þ C R f3g B ½3, 3 D ð1, 3 [ ½3, þ1Þ 14 Þ La derivata della funzione y ¼ ð2x3 1Þð3x þ 4Þ è: D 0 A y 0 ¼ 24x3 24x2 3 C y 0 ¼ 24x3 þ 24x2 3 B y 0 ¼ 24x3 þ 24x2 þ 3 D y 0 ¼ 24x3 þ 24x2 3 2 x þ4 presenta nel Il grafico della funzione y ¼ 2 x þ2 punto di coordinate ð0, 2Þ: 5 Þ A B C D 6 Þ A un punto di massimo relativo ma non assoluto un punto di massimo assoluto un punto di minimo relativo ma non assoluto un punto di minimo assoluto Il lim x!1 þ1 3x þ 1 è uguale a: x2 þ 4 B 5 C 3 D 0 Per determinare il dominio di quale tra le seguenti funzioni occorre risolvere la disequazione AðxÞ 0 ? 1 A y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi C y ¼ ln ½AðxÞ AðxÞ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi D y ¼ 3 AðxÞ B y ¼ AðxÞ 7 Þ 294 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P xþ3 interseca l’asse delle La funzione y ¼ 2 x þ4 ascisse nel punto: 15 Þ A Að0, 3Þ C Að3, 0Þ B Að2, 0Þ D Að3, 0Þ La funzione y ¼ x2 4x þ 1 ammette un punto di minimo di coordinate: 16 Þ A ð2, 3Þ C ð2, 3Þ B ð2, 3Þ D ð2, 3Þ 17 Þ La funzione y ¼ x2 5x þ 2 ammette come asin 6x þ 8 toti le rette aventi le seguenti equazioni: A x ¼ 2, x ¼ 4 C x ¼ 2, x ¼ 4, y ¼ 5 B x ¼ 2, x ¼ 4, y ¼ 0 D x ¼ 2, x ¼ 4, y ¼ 4 Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA A B Il lim x!þ1 xþ2 : x2 þ 4 xþ5 ammette come asintoti La funzione f ðxÞ ¼ x4 le rette di equazioni: 26 Þ è uguale a þ1 è uguale a 1 C D è uguale a 0 non esiste Alla funzione y ¼ 2x2 3x þ 1 nell’intervallo [0, 3]: A B 19 Þ A B C D non è applicabile il teorema di Lagrange è applicabile il teorema di Lagrange ed esiste esattamente un punto che soddisfa il teorema è applicabile il teorema di Lagrange ed esistono esattamente due punti che soddisfano il teorema è applicabile il teorema di Lagrange ed esistono esattamente tre punti che soddisfano il teorema 27 Þ A B C D 2 3x 2x þ 1 : x2 9 A ha uno e un solo asintoto verticale B non ha asintoti verticali C ha esattamente due asintoti verticali e non ammette asintoti orizzontali D ha esattamente due asintoti verticali e un asintoto orizzontale pffiffiffi 21 La funzione y ¼ x2 ln x 2 x ha come derivata Þ prima: 1 1 A y 0 ¼ 2x ln x pffiffiffi C y 0 ¼ 2x ln x þ x pffiffiffi x x 20 Þ B B 1 y 0 ¼ 2x ln x þ pffiffiffi x D 1 y 0 ¼ 2 pffiffiffi x R R f4g C D R f2, 3g R f2, 3, 4g I punti di intersezione del grafico della funzione xþ4 con gli assi cartesiani sono: f ðxÞ ¼ x5 28 Þ A Að4, 0Þ e Bð0, 5Þ B Að4, 0Þ e Bð0, 5Þ 4 Að4, 0Þ e B 0, 5 4 Að4, 0Þ e B 0, 5 D 24 Þ A B C D 25 Þ A B C D D x2 4 : x2 ammette esattamente un asintoto verticale e uno orizzontale ammette uno e un solo asintoto verticale e nessun asintoto orizzontale ammette esattamente due asintoti verticali e un asintoto obliquo non ammette né asintoti verticali né asintoti orizzontali è simmetrico rispetto all’asse x è simmetrico rispetto all’asse y è simmetrico rispetto all’origine non è simmetrico rispetto ad alcuna retta verticale La funzione f ðxÞ ¼ 4x è positiva: x2 þ 5 per ogni x 2 R per x < 4 per x > 4 pffiffiffi pffiffiffi per x < 5 _ 5 < x < 4 xþ4 è: x4 Il valore del lim x!4 1 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ 3x è: 29 Il dominio della funzione f ðxÞ ¼ Þ 9 x2 8 A 0x<3 3 < x < 3 B 30 Þ A B C D 31 Þ A Il grafico della funzione y ¼ 4x2 3: y ¼ x 1, y ¼ 1 x ¼ 4, y ¼ 1 La funzione f ðxÞ ¼ A 23 Þ C C La funzione y ¼ x4 è: 22 Il dominio della funzione f ðxÞ ¼ 2 Þ x 5x þ 6 A x ¼ 4, y ¼ 5 x ¼ 4, y ¼ 1 Verso l’esame 18 Þ 32 Þ A B C D 33 Þ A B 34 Þ A B C D B 0 C þ1 C x3 3 < x 0 _ x > 3 D La funzione y ¼ D x3 þ x : xþ3 x2 ammette due asintoti verticali e non ammette asintoti né orizzontali né obliqui ammette due asintoti verticali e un asintoto orizzontale ammette due asintoti verticali e un asintoto obliquo non ammette asintoti verticali e ammette un asintoto obliquo Il valore del lim x!1 þ1 B 6x7 3x3 þ 4x 1 è: 2x7 þ 3 0 La funzione y ¼ C 1 D 3 5 è: x3 þ 2x definita per ogni x 2 R pari dispari nessuna delle precedenti risposte è esatta La funzione f ðxÞ ¼ 0<x4 x<0_2<x<4 x2 4x è positiva per: x2 C D x<0_x>4 0<x<2_x>4 Il grafico della funzione f ðxÞ ¼ x3 3x þ 6: presenta un massimo nel punto Mð1, 8Þ presenta un massimo nel punto Mð1, 4Þ presenta un massimo nel punto Mð1, 8Þ non presenta né massimi né minimi 295 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Verso l’esame Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 35 Il dominio della funzione f ðxÞ ¼ Þ A B C D pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ x þ 5 è: 37 Þ A B 38 Þ þ1 B 0 La funzione y ¼ 1 y0 ¼ 2 x þ4 y0 ¼ 1 xþ2 C A B C D 1 D 6 5 1 ha come derivata prima: xþ2 C D y0 ¼ y0 ¼ Se sono dati la funzione y ¼ 1 ðx þ 2Þ2 1 ðx þ 2Þ2 x2 e l’intervallo xþ2 I ¼ ½3, 1, possiamo affermare che il teorema di Lagrange: non si può applicare alla funzione nell’intervallo I perché cade l’ipotesi di continuità; B si può applicare alla funzione nell’intervallo I e i punti che soddisfano il teorema sono c1 ¼ 1 e 1 c2 ¼ 2 C non si può applicare alla funzione nell’intervallo I perché cade l’ipotesi di derivabilità D si può applicare alla funzione nell’intervallo I ed esiste un unico punto che soddisfa il teorema, 3 c¼ 2 x þ 2 x 0 39 Data la funzione f ðxÞ ¼ , si può Þ ex þ1 x>0 affermare che: 43 Þ A B C D B C D presenta in x ¼ 0 un punto di discontinuità eliminabile è continua ma non derivabile in x ¼ 0 è derivabile in x ¼ 0 presenta in x ¼ 0 un punto di salto 5 è asintoto orizzonta2 le per quale delle seguenti funzioni? 40 Þ A La retta di equazione y ¼ 5x 5 y¼ 2x2 7 C 2x þ 5 y¼ xþ2 2 A B C D y¼ 5x þ 8 2x 7 R R f1; 10g x < 1 _ x > 10 x 1 _ x 10 296 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P D presenta in x ¼ 0 un punto di discontinuità eliminabile è continua ma non derivabile in x ¼ 0 è derivabile in x ¼ 0 presenta in x ¼ 0 un punto di discontinuità di seconda specie x2 6x La funzione y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi è: 3x þ 1 algebrica irrazionale intera algebrica razionale intera algebrica irrazionale frazionaria algebrica razionale frazionaria Data la funzione f ðxÞ ¼ x2 jx 3j e l’intervallo ½1, 0 si può affermate che il teorema di Lagrange: A B C D non si può applicare alla funzione nell’intervallo I perché cade l’ipotesi di continuità si può applicare alla funzione nell’intervallo I ed esiste un unico punto che soddisfa il teorema, 1 c¼ 2 non si può applicare alla funzione nell’intervallo I perché cade l’ipotesi di derivabilità si può applicare alla funzione nell’intervallo I ed esiste un unico punto che soddisfa il teorema, 3 c¼ 2 45 Sia f una funzione derivabile in un punto x0 ; alÞ lora la derivata della funzione f in x0 è: A B una funzione un numero reale C D un punto una retta Sia f una funzione derivabile due volte in un intervallo [a, b]; gli eventuali punti di massimo o minimo relativo della funzione interni all’intervallo [a, b] sono da ricercare tra: 46 Þ A B C D 2 5x 5 2x2 þ 8 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 41 Il dominio della funzione y ¼ x2 9x 10 è: Þ B x2 þ 2 x 0 , si può ln x x>0 44 Þ A A affermare che: R R f5g [0, 5] nessuna delle precedenti risposte è esatta x2 9 36 Il valore del lim 2 è: Þ x!3 x x 6 A 42 Data la funzione f ðxÞ ¼ Þ y¼ i punti di intersezione del grafico della funzione con l’asse x i punti in cui si annulla la derivata prima della funzione i punti di intersezione del grafico della funzione con l’asse y i punti in cui si annulla la derivata seconda della funzione 1 La funzione y ¼ x3 presenta nel punto di 2 ascissa x ¼ 0: 47 Þ A B C D un punto di massimo relativo un punto di minimo relativo un punto di flesso a tangente verticale un punto di flesso a tangente orizzontale Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA La funzione y ¼ ex nel suo dominio è: A strettamente crescente e positiva C strettamente decrescente e positiva B strettamente crescente e negativa D strettamente decrescente e negativa 49 Þ A B Sia y ¼ f ðxÞ una funzione definita in un intorno di x0 ; allora la sua derivata prima in x0 è uguale a: f ðx0 þ hÞ f ðx0 Þ h lim h!0 50 Þ C lim h!þ1 f ðx0 þ hÞ f ðx0 Þ h D lim h!0 f ðx0 þ hÞ f ðx0 Þ h f ðx0 Þ f ðx0 þ hÞ h Se lim f ðxÞ ¼ þ1, allora: x!0 A l’asse x è un asintoto orizzontale della funzione f C l’asse x è un asintoto verticale della funzione f B l’asse y è un asintoto orizzontale della funzione f D l’asse y è un asintoto verticale della funzione f C 2 ln 2 þ 51 Qual è il valore dell’integrale Þ A 2 ln 2 þ 1 3 B ð2 x2 þ 1 ln 2 þ 2 x dx? 7 3 pffiffiffi 52 Qual è la primitiva di f ðxÞ ¼ 2x x passante per il punto P 4, Þ A 53 Þ A B 54 Þ A 55 Þ 4 pffiffiffi x x þ 25 5 B 4 pffiffiffi x x 25 5 C f ðaÞ può non esistere C esiste f ðaÞ e lim f ðxÞ ¼ limþ f ðxÞ x!a x!a D 4 2 pffiffiffi x x 25 5 ? x!a lim f ðxÞ ¼ limþ f ðxÞ, ma f ðaÞ può non esistere x!a x!a L’equazione della retta tangente al grafico della funzione y ¼ x2 þ 2 nel suo punto di ascissa x ¼ 3 è: y ¼ 6x 7 B y ¼ 7x 6 C y ¼ 6x 7 D y ¼ 7x þ 6 Sia y ¼ f ðxÞ una funzione definita e continua in [3, 7]; sapendo che f ð3Þ < 0 e f ð7Þ > 0, si può affermare che: C esiste almeno un punto c 2 ð3, 7Þ tale che f ðcÞ ¼ 0 D esiste esattamente un punto c 2 ð3, 7Þ tale che f ðcÞ ¼ 0 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Il valore del limð 15 þ x þ x2 þ 48Þ è: x!1 0 B þ1 C 11 D 12 D La funzione y ¼ 3x3 þ 4x2 è: A pari C definita in tutto R B dispari D sempre positiva C 1 4 A D x!a esiste al massimo un punto c 2 ð3, 7Þ tale che f ðcÞ ¼ 0 58 Þ ln 4 esiste f ðaÞ , ma può essere lim f ðxÞ 6¼ limþ f ðxÞ B 57 Þ D Se una funzione y ¼ f ðxÞ è continua nel punto x ¼ a, allora: la funzione non si annulla in alcun punto dell’intervallo [3, 7] A 3 5 7 3 4 2 pffiffiffi x x þ 25 5 A 56 Þ Verso l’esame 48 Þ Il valore del lim x!2 0 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P x2 5x þ 6 è: x2 4 B þ1 1 4 297 Verso l’esame Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 59 Þ La funzione y ¼ 4x3 3x2 þ 1 : x2 A ha come asintoto obliquo la retta di equazione y ¼ 4x 3 B ha come asintoto obliquo la retta di equazione y ¼ 4x þ 3 C ha come asintoto obliquo la retta di equazione y ¼ 4x þ 3 D non ha asintoti obliqui Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. Si chiama funzione da A a B una qualsiasi legge che fa corrispondere a ogni elemento di A: 60 Þ A almeno un elemento di B B uno e un solo elemento di B C al massimo un elemento di B D uno o più elementi di B Sia y ¼ f ðxÞ una funzione derivabile due volte in un intervallo [a, b]; per determinare gli intervalli di [a, b] in cui la funzione è concava e quelli in cui è convessa è sufficiente: 61 Þ A studiare il segno della derivata prima B determinare gli zeri della derivata prima C studiare il segno della derivata seconda D determinare gli zeri della derivata seconda 62 Þ La funzione y ¼ ln ð2x þ 5Þ: A ha un asintoto verticale e uno obliquo B ha un asintoto verticale e non ha né asintoti orizzontali né asintoti obliqui C ha un asintoto verticale e uno orizzontale D non ha asintoti 63 Þ Si dice che c è l’ascissa di un punto di minimo relativo per la funzione y ¼ f ðxÞ se: A esiste un intorno del punto c per ogni x del quale si verifica che f ðxÞ f ðcÞ B esiste un intorno del punto c per ogni x del quale si verifica che f 0 ðxÞ ¼ 0 C esiste un intorno del punto c per ogni x del quale si verifica che f ðxÞ f ðcÞ D esiste un intorno del punto c per ogni x del quale si verifica che f 0 ðxÞ ¼ 0 e f 00 ðxÞ ¼ 0 64 Þ La retta tangente al grafico della funzione y ¼ x4 nel suo punto di ascissa 1 è: A y ¼ 4x 3 B y ¼ 4x þ 3 C y ¼ 4x 3 D y ¼ 4x þ 3 65 Þ Date le funzioni f ðxÞ ¼ x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 x2 e gðxÞ ¼ ln ð4 x2 Þ, quale delle seguenti affermazioni è vera? A f e g sono entrambe definite nell’intervallo ½2, 2 B f è definita nell’intervallo ½2, 2 e g nell’intervallo ð2, 2Þ C f è definita per ogni x 2 R e g è definita per x < 2 _ x > 2 D f è definita per ogni x 2 R e g è definita nell’intervallo ½2, 2 298 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA A 67 Þ Il limite lim x!3 x3 : xþ3 vale 0 B La funzione y ¼ vale þ1 C non esiste D x2 è: xþ2 A strettamente crescente per ogni x 2 R f2g B strettamente decrescente per ogni per ogni x 2 R f2g C strettamente crescente in ciascuno dei tre intervalli ð1, 2Þ, ð2, 2Þ, ð2, þ1Þ D strettamente decrescente in ciascuno dei tre intervalli ð1, 2Þ, ð2, 2Þ, ð2, þ1Þ 68 Þ Quale delle seguenti funzioni ammette asintoto obliquo? A y¼ x3 þ 5x 3þx C y¼ x2 2x þ 1 x2 þ 1 B y¼ 3x2 5x xþ2 D y¼ 2x þ 7 x2 þ 8 69 Þ Le primitive, definite sull’intervallo ð0, þ 1Þ, della funzione f ðxÞ ¼ 3 sono: x A FðxÞ ¼ ln x þc 3 C FðxÞ ¼ ln x3 þ c B FðxÞ ¼ 3 þc x2 D FðxÞ ¼ 70 Þ vale 1 Verso l’esame 66 Þ La funzione y ¼ x2 þc 3 2 3 5 2 x x 3x: 3 2 1 2 A ha un punto di massimo relativo per x ¼ B ha un punto di massimo relativo per x ¼ 3 C ha un punto di flesso a tangente orizzontale per x ¼ 3 D non ha punti di estremo relativo Sia f : ða, bÞ ! R una funzione derivabile due volte in ða, bÞ e x0 2 ða, bÞ un punto di minimo relativo della funzione; allora: 71 Þ A f 0 ðx0 Þ ¼ 0 e f 00 ðx0 Þ < 0 C f 0 ðx0 Þ ¼ 0 e f 00 ðx0 Þ 0 B f 0 ðx0 Þ < 0 e f 00 ðx0 Þ ¼ 0 D f 0 ðx0 Þ < 0 e f 00 ðx0 Þ ¼ 0 72 Þ Il dominio della funzione y ¼ ln ð5x x2 Þ è costituito dall’insieme dei valori di x tali che: A x>0 C 0<x<5 B x<5 D x<0_x>5 73 Þ La retta di equazione y ¼ 4 è un asintoto orizzontale per quale delle seguenti funzioni? A y¼ 6x 5 2x2 þ 1 C y¼ 36x3 2x þ 1 9x2 þ 3 B y¼ 8x4 þ 2x þ 1 4x4 2 D y¼ 1 32x2 1 8x2 C y0 ¼ 2 x 74 Þ A La derivata prima della funzione y ¼ 4ln y0 ¼ 1 2 B 2 y 0 ¼ pffiffiffi x pffiffiffi x è: D y0 ¼ 1 2x 299 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Verso l’esame Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 75 Þ La formula che esprime la derivata prima della funzione y ¼ A y0 ¼ B y0 ¼ f 0 ðxÞ gðxÞ f ðxÞ g 0 ðxÞ gðxÞ f 0 ðxÞ g 0 ðxÞ f ðxÞ gðxÞ ½gðxÞ2 f ðxÞ è: gðxÞ C y0 ¼ D y0 ¼ f ðxÞ g 0 ðxÞ f 0 ðxÞ gðxÞ ½gðxÞ2 f 0 ðxÞ gðxÞ f ðxÞ g 0 ðxÞ ½gðxÞ2 76 Þ La funzione y ¼ 3x2 4 è: A strettamente crescente in R C convessa in R B strettamente decrescente in R D concava in R 77 Þ La funzione y ¼ jx 2j nel punto x ¼ 2: xþ2 A è continua e derivabile C ha una discontinuità eliminabile B è continua ma non derivabile D ha una discontinuità di seconda specie 78 Þ La funzione y ¼ x2 nel punto x ¼ 2: jx þ 2j A è continua e derivabile C ha una discontinuità eliminabile B è continua ma non derivabile D ha una discontinuità di seconda specie 79 Þ Data la funzione definita da f ðxÞ ¼ xþ3 x0 , si può affermare che: ln ðx þ 1Þ x > 0 A è continua ma non derivabile in x ¼ 0 B presenta in x ¼ 0 un punto di discontinuità eliminabile C presenta in x ¼ 0 un punto di salto D presenta in x ¼ 0 un asintoto verticale 80 Data la funzione f ðxÞ ¼ Þ 1 þ ln ðx þ 1Þ x > 0 , si può affermare che: ex x0 A è continua ma non derivabile in x ¼ 0 B è continua e derivabile in x ¼ 0 C presenta in x ¼ 0 un punto di discontinuità eliminabile D presenta in x ¼ 0 un punto di salto Date due funzioni derivabili y ¼ f ðxÞ e y ¼ gðxÞ, la formula che esprime la derivata della funzione prodotto y ¼ f ðxÞ gðxÞ è: 81 Þ A y 0 ¼ f 0 ðxÞ g 0 ðxÞ C y 0 ¼ f 0 ðxÞ gðxÞ f ðxÞ g 0 ðxÞ B y 0 ¼ f 0 ðxÞ gðxÞ þ f ðxÞ g 0 ðxÞ D y 0 ¼ f ðxÞ gðxÞ þ f 0 ðxÞ g 0 ðxÞ 82 Þ A 83 Þ A Il valore del lim x!þ1 0 5ex 3x þ 1 è: 2ex þ x2 7 B Il valore del lim x!1 0 300 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P 5 2 C þ1 D 1 C þ1 D 1 5ex 3x þ 1 è: 2ex þ x2 7 B 5 2 Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA A 85 Þ A 86 Þ A Il valore del lim x!1 5ex 6x þ 1 è: 2ex 2x 7 0 B 5 2 C 3 D Verso l’esame 84 Þ 1 Data la funzione f ðxÞ ¼ 4x3 6x2 þ 5, la sua derivata prima nel punto x ¼ 1 vale: 0 B Il valore del limþ x!5 12 C 18 D 24 C 1 D 1 5 5þx è: 25 x2 þ1 B 5 1 1 Il punto appartenente all’intervallo ½1, 1 in cui la funzione f ðxÞ ¼ x3 x2 soddisfa il teorema di La3 2 grange è: pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi 3 þ 21 3 21 3 þ 21 21 A x¼ B x¼ C x¼ D x¼ 3 6 6 3 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 100x 1 è: 88 Il valore del lim Þ x!þ1 25x 2 87 Þ A 89 Þ A 90 Þ A 1 2 B C 92 Þ A B 93 Þ A 94 Þ A B 95 Þ A 0 þ1 B 0 0 C La derivata della funzione y ¼ y0 ¼ 10x il limite non esiste þ1 0 D y0 ¼ R 10x C ðx2 þ 4Þ2 R f0g B 7 0 D x2 1 è: x2 þ 4 y0 ¼ B ðx2 þ 4Þ2 C y0 ¼ 10x x2 þ 4 5 R 2 D 10x x2 þ 4 5 Rþ 2 La derivata della funzione y ¼ ð4x2 3x 1Þ2 è: y 0 ¼ ð8x 3Þ2 y 0 ¼ ð8x 3Þð4x2 3x 1Þ 2 C y 0 ¼ ð8x 3Þð4x2 3x 1Þ D y 0 ¼ 2ð8x 3Þð4x2 3x 1Þ Data la funzione y ¼ x3 x, il coefficiente angolare della retta tangente nel suo punto di ascissa x ¼ 1 è: 4 La funzione y ¼ B 2 C x ln ðx2 6Þ 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 6 1 ha lo stesso dominio della funzione y ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 6 Data la funzione f ðxÞ ¼ x2 lim f ðxÞ ¼ 1, lim f ðxÞ ¼ 1, lim f ðxÞ ¼ 1, x!3 x!3 4 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 x2 6 C ha lo stesso dominio della funzione y ¼ D nessuna delle precedenti risposte è esatta x2 , quale delle seguenti alternative è corretta? 5x þ 6 lim f ðxÞ ¼ 1, x!2 D : ha lo stesso dominio della funzione y ¼ x!2 B D Quale delle seguenti scritture rappresenta una forma indeterminata? pffiffiffiffiffi x2 91 La funzione f ðxÞ ¼ ha come dominio: Þ 25 þ 4x2 A 3 lim f ðxÞ ¼ 1 C lim f ðxÞ ¼ 0 D x!þ1 x!þ1 lim f ðxÞ ¼ 1, x!2 lim f ðxÞ ¼ þ1, lim f ðxÞ ¼ þ1, x!2 x!3 lim f ðxÞ ¼ 1, x!3 lim f ðxÞ ¼ 1 x!1 lim f ðxÞ ¼ 0 x!1 301 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Verso l’esame Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Data la funzione y ¼ x x2 4 , quale delle seguenti affermazioni è vera? 96 Þ A B C D 101 Þ è positiva nell’intervallo 3 < x < 3 presenta esattamente due zeri presenta esattamente due punti di estremo relativo presenta esattamente due punti di flesso A B C D xþ5 x2 1 C y¼ 2 B y¼ x xþ1 xþ1 La funzione y ¼ dominio: 2 x2 x2 þ 2 y¼ 5þx x2 þ 6 A B C D ð3, 6Þ C ð3, 6Þ B ð3, 6Þ D ð3, 6Þ B C D 106 Þ ð3, 0 B ½3, 0 D ð1, 3Þ Considera le tre equazioni: x2 þ y 2 4 ¼ 0 2xy 8 ¼ 0 Quali di esse rappresentano nel piano cartesiano il grafico di una funzione? x ¼ 0 e y ¼ 3x 2 x ¼ 1 e y ¼ 3x þ 2 x ¼ 0 e y ¼ 3x þ 2 x ¼ 0 e non ci sono asintoti obliqui A A C x2 3y þ 2 ¼ 0 A B C D x2 þ 9 presenta 99 Il grafico della funzione f ðxÞ ¼ Þ x un punto di minimo di coordinate: 100 Þ ð3, 0Þ 103 Þ 3x2 þ 2x þ 5 98 Gli asintoti della funzione f ðxÞ ¼ Þ x sono: pffiffiffiffiffiffiffi 5x þ 1 x þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ammette come 3þx A 2 D è un asintoto verticale è un asintoto orizzontale è un asintoto obliquo non è un asintoto 102 Þ La retta y ¼ 1 rappresenta un asintoto orizzontale per quale delle seguenti funzioni? y¼ x!8 la funzione y ¼ f ðxÞ: 97 Þ A Se lim f ðxÞ ¼ 1, la retta x ¼ 8, per il grafico del- 104 Þ A B C D 1 1 x þ è: 3 2 strettamente crescente in R razionale frazionaria strettamente decrescente in R costante La funzione f ðxÞ ¼ Solo la prima Tutte e tre La prima e la terza ma non la seconda Solo la terza x2 4 : x2 ha come dominio R non è né pari né dispari presenta un punto di minimo assoluto è strettamente decrescente nell’intervallo x < 0 La funzione y ¼ Per quali valori di x la funzione y ¼ positiva? 105 Þ A B x < 2 _ 0 < x < 1 2 < x < 0 _ x > 1 C D x2 þ x 2 è 5x x < 2 _ x > 1 x>0 Nella figura è riportato il grafico di una funzione y ¼ f ðxÞ. x = –2 y y = f(x) x O x=1 Quale delle seguenti affermazioni è corretta? A La funzione ha come dominio ð1, 2 [ ½1, þ1Þ e la sua derivata è negativa in ð1, 2Þ e positiva in ð1, þ1Þ B La funzione ha come dominio ð1, 2 [ ½1, þ1Þ e la sua derivata è positiva in ð1, 2Þ e negativa in ð1, þ1Þ C La funzione ha come dominio ð1, 2Þ [ ð1, þ1Þ e la sua derivata è negativa sia in ð1, 2Þ sia in ð1, þ1Þ D La funzione ha come dominio ð1, 2Þ [ ð1, þ1Þ e la sua derivata è positiva sia in ð1, 2Þ sia in ð1, þ1Þ 302 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA A x2 4x , si può affermare che: 3x la retta x ¼ 3 è un suo asintoto verticale, non ammette asintoti né orizzontali né obliqui ma ammette un punto di minimo relativo e un punto di massimo relativo Data la funzione f ðxÞ ¼ B la retta x ¼ 4 è un suo asintoto verticale, ammette un asintoto orizzontale ma non ammette punti di estremo relativo C la retta x ¼ 3 è asintoto verticale, è strettamente crescente nel suo dominio e ammette un asintoto obliquo D ha come asintoti le rette di equazioni x ¼ 3 e y ¼ 1 x e non ammette punti di estremo relativo 108 Þ La funzione f ðxÞ ¼ Verso l’esame 107 Þ x4 1 : x3 x A ammette un solo asintoto verticale e un solo asintoto obliquo B ammette tre asintoti verticali e un asintoto obliquo C ammette tre asintoti verticali e nessun asintoto né orizzontale né obliquo non ammette asintoti rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 x þ 3 : 109 La funzione f ðxÞ ¼ Þ x4 D A è razionale frazionaria e ha come dominio R B è razionale intera e ha come dominio R f4g C è irrazionale frazionaria e ha come dominio ð1, 3 [ ð4, þ1Þ D è irrazionale frazionaria e ha come dominio R f4g 5þx è definita per: 110 La funzione y ¼ ln Þ 5x A x5 C 5 x < 5 B 5 < x < 5 D x < 5 _ x > 5 Quale delle seguenti funzioni possiede un asintoto obliquo? 111 Þ A y¼ x3 þ 1 x C y¼ x3 þ 1 x2 B y¼ ex x D y¼ x ex pffiffiffi 112 La derivata prima della funzione y ¼ x ln x è: Þ A 1 y 0 ¼ 1 þ pffiffiffi x B pffiffiffi 1 y ¼ 1 ln x 2 0 C 2x 1 y0 ¼ 2x D 1 y ¼ 2x 115 Þ La funzione f ðxÞ ¼ ln 1 x4 è: A strettamente crescente per x > 4 B strettamente crescente per x < 4 C strettamente decrescente per x > 4 D strettamente decrescente per x < 4 Sia data una funzione y ¼ f ðxÞ, derivabile due volte in R. Per l’esistenza di un punto di flesso in x0 la condizione f 00 ðx0 Þ ¼ 0 è: 116 Þ A necessaria e sufficiente B non necessaria C sufficiente ma non necessaria D necessaria ma non sufficiente 0 pffiffiffiffiffiffiffiffiffi 113 L’insieme immagine della funzione y ¼ 2x è: Þ A R C ½0, þ1Þ B ð0, þ1Þ D ð1, 0 Il grafico di una funzione è quello riportato qui sotto. 117 Þ y y = f(x) 114 Se risulta che lim f ðxÞ ¼ þ1 e lim f ðxÞ ¼ þ1, Þ allora: x!þ1 x!1 A la funzione y ¼ f ðxÞ può presentare un asintoto obliquo B la funzione non presenta asintoti né orizzontali né obliqui C la funzione y ¼ f ðxÞ ha certamente un asintoto obliquo D la funzione non presenta né asintoti verticali né orizzontali O 3 x Possiamo affermare che: A la funzione è discontinua per x ¼ 3 B la funzione non è derivabile per x ¼ 3 C la funzione ha come dominio R f3g D la funzione è strettamente decrescente nel suo dominio 303 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Verso l’esame Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Quale tra le seguenti funzioni ha il grafico passante per i punti di coordinate ð1, 0Þ e ð0, 1Þ e derivata seconda y 00 ¼ 3x2 ? 118 Þ A 119 Þ y¼ 1 4 5 x xþ1 4 4 B y¼ 1 4 5 x þ xþ1 4 4 C y¼ 1 4 5 x x1 4 4 D y¼ 1 4 5 x þ x1 4 4 Una funzione è continua in un punto c quando: A la funzione non è definita nel punto c, ma esiste il limite della funzione per x ! c B la funzione è definita nel punto c, ma non esiste il limite della funzione per x ! c C la funzione è definita nel punto c ed esiste il limite della funzione per x ! c, ma il valore del limite è diverso dal valore assunto dalla funzione in c la funzione è definita nel punto c, esiste il limite della funzione per x ! c e il valore del limite è uguale al valore assunto dalla funzione in c pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 4 x2 120 Qual è il risultato del lim ? Þ x!0 x D A 1 B 0 C 1 D þ1 Nella figura è riportato il grafico di una funzione. In quale dei seguenti intervalli la funzione risulta decrescente? y A 2 < x < 1 121 Þ B x > 2 C x>1 D x < 2 y = f(x) 1 122 La funzione f ðxÞ ¼ ln Þ A 123 Þ A 124 Þ A B C D 125 Þ A 126 Þ O –2 x<3_x>4 La funzione y ¼ y ¼ 1 B x4 x3 x è positiva per: x<3 C 3<x<4 D x>4 e2x ammette un asintoto orizzontale per x ! 1. Quale? 2x B y ¼0 C y ¼1 D y ¼2 Considera la funzione f ðxÞ ¼ ln x2 6x ; essa: ammette come asintoti l’asse x e l’asse y ammette un unico asintoto verticale, di equazione x ¼ 6 ammette come asintoto verticale l’asse y e come asintoto orizzontale la retta di equazione y ¼ 6 ammette come asintoti verticali l’asse y e la retta di equazione x ¼ 6 e non ammette asintoti orizzontali Applicando il teorema di de l’Hôpital, si ottiene che il risultato del limite lim x!þ1 0 B 1 C 3 2 D 3x þ 7 è: ln ðx2 þ 5Þ þ1 In quale punto del grafico della funzione f ðxÞ ¼ 4x2 3x la retta tangente ha coefficiente angolare uguale a 13? A x¼1 B x¼2 C x¼3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 127 La funzione y ¼ x2 þ 1 ammette come derivata prima: Þ A 1 y 0 ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 x þ1 128 Þ A Considera il lim x!þ1 0 304 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P B x y 0 ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 x þ1 D x¼4 C 2 y 0 ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 x þ1 D 2x y 0 ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ 1 C 1 D þ1 ex ; esso vale: ln x B 1 Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA La funzione y ¼ log 1 3 x: 1 ,0 3 A è sempre decrescente e interseca l’asse x nel punto di coordinate B è sempre decrescente e interseca l’asse y nel punto di coordinate (0, 1) è sempre crescente e interseca l’asse x nel punto di coordinate (1, 0) è sempre decrescente e interseca l’asse x nel punto di coordinate (1, 0) C D 130 Þ A 131 Þ Verso l’esame 129 Þ ex Considera il lim pffiffiffi ; si può affermare che: x!1 x vale 0 B vale 1 C vale þ1 D non ha senso il calcolo di tale limite 4x2 3 sono: 2x þ x2 C x ¼ 2, x ¼ 0, y ¼ 4 x ¼ 2, x ¼ 0, y ¼ 4 Le equazioni degli asintoti della funzione y ¼ B x ¼ 2, x ¼ 0, y ¼ 2 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 25 x2 132 La funzione y ¼ ha come dominio l’insieme dei valori di x tali che: Þ x2 þ 7 pffiffiffi pffiffiffi A 5 < x < 5 B 5 < x < 7 _ 7 < x < 5 C 5 x 5 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9x2 þ 5 ? 133 Qual è il risultato del lim Þ x!1 3x 1 A A 134 Þ A 135 Þ 3 B La funzione f ðxÞ ¼ f 0 ðxÞ ¼ 1 4x 1 C 1 D D x ¼ 2, x ¼ 0, y ¼ 2 D pffiffiffi R 7 3 1 ammette come derivata prima: 2x2 þ 3 4x 4x B f 0 ðxÞ ¼ C f 0 ðxÞ ¼ 2 2 2x þ 3 ð2x þ 3Þ2 D f 0 ðxÞ ¼ 4x ð2x2 þ 3Þ2 Nella figura è riportato il grafico di una funzione y ¼ f ðxÞ. y y = f(x) y=1 O x 4 x=2 x=3 Quale delle seguenti affermazioni è vera? La funzione è continua e derivabile in R f2, 3, 4g La funzione è continua in ð1, 2Þ [ ð3, þ1Þ ma non è derivabile per x ¼ 4 C La funzione è continua e derivabile in ð1, 2Þ [ ð3, þ1Þ D La funzione è continua in ð1, 2 [ ½3, þ1Þ e non è derivabile per x ¼ 0 e per x ¼ 4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 136 Il dominio della funzione y ¼ 3x2 þ 7x 6 è: Þ A B A 137 Þ A 138 Þ A B C D x < 3 _ x > 2 3 B 3 < x < 2 3 C x 2 _x3 3 Quanti punti ha in comune con gli assi cartesiani il grafico della funzione y ¼ Uno B Due C Tre D x 3 _ x 2 3 x2 x þ 1 ? 3x 9 D Nessuno 1 2 2 x 3x þ : 2 xþ1 ha un punto di minimo per x ¼ 0 e un punto di massimo per x ¼ 1 ha un punto di flesso a tangente orizzontale per x ¼ 0 e un punto di massimo per x ¼ 1 ha un punto di flesso a tangente orizzontale per x ¼ 0 e un punto di minimo per x ¼ 1 non ha punti di estremo relativo La funzione y ¼ 5 ln ðx þ 1Þ þ 305 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Verso l’esame Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 139 Þ A B C D 4 3 x x: 3 1 1 ha un punto di minimo relativo di ascissa x ¼ e un punto di massimo relativo di ascissa x ¼ 2 2 1 1 e un punto di massimo relativo di ascissa x ¼ ha un punto di minimo relativo di ascissa x ¼ 2 2 1 e un punto di flesso a tangente orizzontale di ascissa ha un punto di minimo relativo di ascissa x ¼ 2 1 x¼ 2 non ha punti di estremo relativo La funzione y ¼ Il grafico qui sotto rappresenta il grafico di quale delle seguenti funzioni? 140 Þ y Una funzione, due volte derivabile in un intorno di x0 , ha in questo intorno il grafico riprodotto qui sotto. 144 Þ Possiamo affermare che: y=x+2 A f 0 ðx0 Þ ¼ 0 e f 00 ðx0 Þ 6¼ 0 B f 0 ðx0 Þ 6¼ 0 e f 00 ðx0 Þ 6¼ 0 C f 0 ðx0 Þ ¼ 0 e f 00 ðx0 Þ ¼ 0 D f 0 ðx0 Þ 6¼ 0 e f 00 ðx0 Þ ¼ 0 y = f(x) O x x=2 A C x2 y¼ 2 x þ1 B xþ2 x2 1 C 2 B 141 Þ y¼ x 1 xþ2 D y¼ Se lim f ðxÞ 6¼ limþ f ðxÞ, allora si può affermare x!c f ðxÞ ¼ 3, x possiamo affermare che la funzione y ¼ f ðxÞ: 145 Þ A x2 þ 1 y¼ x2 x!c D che la funzione y ¼ f ðxÞ: A non è definita in x ¼ c B ha un asintoto verticale di equazione x ¼ c C non è limitata D non è continua in x ¼ c Data la funzione f ðxÞ ¼ x2 25 , possiamo affermare che nel punto x ¼ 5: 142 Þ A la funzione non è derivabile perché in tale punto non è continua B la funzione è derivabile perché la derivata destra e la derivata sinistra esistono finite e sono uguali tra loro C la funzione non è derivabile perché la derivata destra e la derivata sinistra non sono uguali D la funzione è derivabile con derivata nulla 143 Þ La funzione f ðxÞ ¼ ax þ 1 : ax 1 A non è né pari né dispari, per ogni a > 0 B è dispari, per ogni a > 0 C è pari per ogni a > 0 D è dispari se 0 < a < 1 ed è pari se a > 1 306 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P x0 Sapendo che lim f ðxÞ ¼ þ1 e lim x!þ1 x!þ1 non presenta né asintoti orizzontali né asintoti obliqui presenta un asintoto obliquo di equazione y ¼ 3x presenta un asintoto obliquo parallelo alla retta di equazione y ¼ 3x non presenta asintoti orizzontali per x ! þ1 e, se esiste l’asintoto obliquo, quest’ultimo deve avere coefficiente angolare uguale a 3 Data la funzione f ðxÞ ¼ e2x 1, quale delle seguenti affermazioni è esatta? 146 Þ A B C D È definita per ogni x 2 R e ha come derivata f 0 ðxÞ ¼ e2x È strettamente decrescente in R e ha come derivata f 0 ðxÞ ¼ 2e2x È strettamente crescente in R e ha un asintoto orizzontale per x ! þ1 È strettamente decrescente in R e non ha asintoti orizzontali Per determinare il dominio della funzione pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi f ðxÞ ¼ ln ðx2 4Þ þ 5 x, quale dei seguenti sistemi occorre risolvere? x2 4 6¼ 0 A 5x0 2 x 4>0 B 5x>0 x2 4 0 C 5x0 2 x 4>0 D 5x0 147 Þ Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA A f 0 ðxÞ ¼ 2xe2x C f 0 ðxÞ ¼ xe2x ðx þ 1Þ B f 0 ðxÞ ¼ 4xe2x D f 0 ðxÞ ¼ 2xe2x ðx þ 1Þ 152 Qual è il valore dell’integrale Þ A B C D 155 Þ A 0 B e2 5 þ 6 2 156 Þ e 5 2 6 D e2 5 6 2 3 D 4 Esiste una unica funzione che risulta la derivata di f in R. B Esiste una unica funzione che risulta una primitiva di f in R. C Esiste una unica funzione che risulta la derivata seconda di f in R. D Esiste almeno una primitiva di f 0 in R. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 1 ? 154 Qual è il dominio della funzione y ¼ Þ ln x A x 1 _ x 1 C 0<x<1 B x>0 D x>1 Quale delle seguenti è una primitiva della funziox ? ne f ðxÞ ¼ 2 x þ4 1 A FðxÞ ¼ lnðx2 þ 4Þ C FðxÞ ¼ ln ðx2 þ 4Þ 2 1 B FðxÞ ¼ D FðxÞ ¼ x ln ðx2 þ 4Þ x ln ðx2 þ 4Þ 2 ð1 pffiffiffi 151 Qual è il valore dell’integrale ðe2x þ 2 xÞ dx? Þ C C A 150 Þ e 5 þ 2 6 2 Sia f una funzione derivabile due volte in R. Quale delle seguenti affermazioni è falsa? è un punto di discontinuità eliminabile è un punto di salto è un punto di discontinuità di seconda specie è un punto in cui la funzione è continua A B 1 x3 þ 1 dx? x2 153 Þ jx 1j 149 Data la funzione f ðxÞ ¼ , il punto di ascisÞ x1 sa x ¼ 1: A 1 ð2 Verso l’esame 148 La derivata prima della funzione f ðxÞ ¼ x2 e2x è: Þ B C D xþ1 La funzione y ¼ e x1 nel punto x ¼ 1: è continua presenta un asintoto verticale, sia destro sia sinistro presenta un punto di salto presenta un punto di discontinuità di seconda specie Sia y ¼ f ðxÞ una funzione definita sull’intervallo ½2, 1 avente il seguente grafico: y –2 y = f(x) O x 1 Quale dei seguenti rappresenta il grafico di y ¼ f 0 ðxÞ? y y = f '(x) –2 O 1 x y –2 y = f'(x) O 1 A B 158 Þ A B –2 x O y = f'(x) 157 Þ y y –2 O 1 x 1 x y = f'(x) La funzione f ðxÞ ¼ jx5 j: non è continua in x ¼ 0 è derivabile in tutto R C D è derivabile solo per x ¼ 0 non è derivabile nell’origine 2 Considera la funzione f ðxÞ ¼ e3x ; essa è: monotona crescente in R convessa in R C D monotona decrescente in R concava in R 307 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Verso l’esame Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 159 Sia f una funzione derivabile due volte in R e x0 2 R. Per poter affermare che x0 è un punto di flesso per la Þ funzione, la condizione f 00 ðx0 Þ ¼ 0 è: A B 160 Þ A 161 Þ A necessaria ma non sufficiente sufficiente ma non necessaria C D necessaria e sufficiente né necessaria né sufficiente Per quale delle seguenti funzioni il punto x ¼ 1 è di minimo relativo? y ¼ x2 þ 2x 1 B y ¼ ðx 1Þ3 C y ¼ ln2 x D y ¼ ðx 1Þ3 ex D y ¼ x sin x Per quale delle seguenti funzioni il punto x ¼ 0 è di massimo relativo? y ¼ x2 x3 B y ¼ x3 x2 C y ¼ x 2 ex Quale delle seguenti è l’ascissa di un punto di flesso avente tangente non orizzontale della funzione y ¼ ln3 x5 ? 162 Þ A 163 Þ A 164 Þ A x¼1 B x¼e C x ¼ e2 D La funzione non ha punti di flesso Quale delle seguenti funzioni è convessa in tutto R? y ¼ ex x2 B y ¼ x4 x2 C y ¼ ex þ x2 D y ¼ ln ðx2 þ 1Þ D y ¼ x4 x2 þ 1 Quale delle seguenti funzioni è strettamente crescente in tutto R? y ¼ x3 þ x2 þ 1 B y ¼ x3 þ x2 þ 2x þ 1 165 Il grafico qui sotto è il grafico di una delle seÞ guenti funzioni; quale? C y ¼ x4 þ x2 þ 1 168 Il numero I ¼ Þ ð3 2 1 condizioni; quale? y A y ¼ ðex 1Þ3 A y ¼ ln3 x I < 1 B B 1 < I < 0 C y ¼ x 3 ex C 0<I<1 D 1 x3 y¼ 1 þ x3 D I>1 O x 169 Quanto vale Þ 166 La somma di due numeri reali positivi è 10. Qual Þ è il massimo valore possibile del prodotto di uno di essi per il quadrato dell’altro? 2000 4000 A 2000 B 4000 C D 27 27 Il grafico tracciato qui sotto a quale delle seguenti funzioni appartiene? 167 Þ 1 dx verifica una delle seguenti x ð0 x e 2 dx? ln 4 A 0 C 2 B 1 D 4 170 Þ Sia FðxÞ la primitiva di f ðxÞ ¼ FðeÞ ¼ 1. Quanto vale Fðe4 Þ? A 10 C 20 B 12 D 22 x Il valore medio della funzione f ðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 25 x2 nell’intervallo [0, 4] è: y 171 Þ x O A 0 C 1 B 1 2 D 3 2 L’area della regione di piano limitata dal grafico della funzione y ¼ ln x, dall’asse x e dalla retta di equazione x ¼ e è: 172 Þ A B x2 1 y¼ 2 x 4 y¼e x2 1 x2 4 308 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P ln2 x tale che x C D x2 1 y ¼ ln x2 4 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 1 y¼ x2 4 A 1 B 2 C e D un valore diverso dai precedenti Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA A 174 Þ A B Le linee di livello della funzione z ¼ x2 2y 1 sono: rette B parabole C ellissi D iperboli La funzione z ¼ x3 3x2 y 2 presenta nel punto (2, 0): un punto di minimo relativo un punto di massimo relativo ma non assoluto C D un punto di massimo assoluto un punto di sella Verso l’esame 173 Þ 175 La domanda d di un bene dipende, oltre che dal prezzo p1 del bene stesso, anche dal prezzo p2 di un secondo Þ bene e dal reddito r del consumatore, secondo la legge espressa dalla funzione: d ¼ 8000 þ 4p1 2p2 þ 0,05r Allora i due beni sono: A B C D succedanei complementari indipendenti le informazioni date non sono sufficienti per rispondere In un problema di scelta, due alternative hanno come modello le seguenti due funzioni, con 1 x 20: 36 þ 2x alternativa 1: y ¼ 3x alternativa 2: y ¼ x Quale delle seguenti affermazioni è corretta? 176 Þ A B C D l’alternativa 1 è sempre più vantaggiosa. l’alternativa 2 è sempre più vantaggiosa. Se x 6, l’alternativa 1 è sempre più vantaggiosa della 2. Le due alternative sono indifferenti per x ¼ 6. 177 Data una funzione z ¼ ax þ by þ c, dove a, b, c sono costanti reali con a 6¼ 0 o b 6¼ 0, soggetta a vincoli espresÞ si da disequazioni lineari nelle variabili x e y, quale delle seguenti affermazioni è vera? A B C D Certamente esistono il massimo e il minimo assoluti della funzione, soggetta ai vincoli dati. Certamente esiste il massimo assoluto della funzione, soggetta ai vincoli dati, ma potrebbe non esistere il minimo assoluto. Se esistono il massimo e il minimo assoluti, essi vengono raggiunti in punti interni al dominio rappresentato dal vincolo. Se esistono il massimo e il minimo assoluti, essi vengono raggiunti sulla frontiera del dominio rappresentato dal vincolo. Data una funzione f ðx, yÞ, avente derivate parziali prime e seconde continue, quale delle seguenti uguaglianze è un’identità? 178 Þ A f 0x ¼ f 0y B f 00xx ¼ f 00yy C f 00xy ¼ f 00yx D f 00xy ¼ f 00yy 179 Il fabbisogno annuale di un negozio è in media di 500 unità di un determinato bene. Il costo di magazzinagÞ gio di ogni unità è di 500 euro all’anno, mentre il costo di ogni ordinazione è di 50 euro. Affinché il costo complessivo di gestione del magazzino (comprensivo dei costi di ordinazione e di magazzinaggio) sia minimo, qual è il numero di unità da ordinare ogni volta? E a quanto ammonta il corrispondente costo minimo? A B C D numero di unità ¼ 5 numero di unità ¼ 10 numero di unità ¼ 50 numero di unità ¼ 100 costo minimo ¼ 6250 euro costo minimo ¼ 5000 euro costo minimo ¼ 13 000 euro costo minimo ¼ 4350 euro Un’azienda, per la produzione di un dato bene di cui non può produrre mensilmente più di 500 q, può avvalersi di due diverse linee produttive: 180 Þ a. la prima linea di produzione comporta un costo di 80 euro al quintale più un costo fisso mensile di 500 euro; b. la seconda linea di produzione comporta un costo di 70 euro al quintale più un costo fisso mensile di 600 euro. Il prezzo unitario di vendita (ossia il prezzo al quintale) viene fissato in dipendenza della quantità x (in quintali) complessivamente prodotta in un mese: precisamente, è uguale a 120 euro, diminuito del 5% (in euro) del numero 309 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Verso l’esame Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA di quintali mensilmente prodotti. Quali sono le funzioni che esprimono l’utile conseguente alla produzione e vendita mensile della quantità x, nelle due linee produttive? A y1 ¼ ð120 0,05xÞ ð80x 500Þ, 0 x 500 y2 ¼ ð120 0,05xÞ ð70x 600Þ, 0 x 500 C y1 ¼ ð120 0,05xÞ ð80x þ 500Þ, 0 x 500 y2 ¼ ð120 0,05xÞ ð70x þ 600Þ, 0 x 500 B y1 ¼ ð120 0,05Þx ð80x þ 500Þ, 0 x 500 y2 ¼ ð120 0,05Þx ð70x þ 600Þ, 0 x 500 D y1 ¼ ð120 0,05xÞx ð80x þ 500Þ, 0 x 500 y2 ¼ ð120 0,05xÞx ð70x þ 600Þ, 0 x 500 181 Þ In un piano cartesiano le soluzioni della disequazione x þ 4y 500 rappresentano: A una retta B un poligono C il semipiano chiuso, delimitato dalla retta di equazione x þ 4y ¼ 500, che contiene il punto di coordinate (2, 150) D il semipiano chiuso, delimitato dalla retta di equazione x þ 4y ¼ 500, che contiene il punto di coordinate (150, 2) 182 La funzione obiettivo di un problema di programmazione lineare è y ¼ 1000x1 þ 2000x2 ed è soggetta ai vinÞ coli: 8 2x1 x2 4 > > > < 2x þ x 10 1 2 > 0 x 1 > > : x2 0 Il massimo della funzione obiettivo si ha in corrispondenza del punto di coordinate: 7 A (0, 0) B (0, 10) C ,3 2 183 Þ D 3, 7 2 La funzione che esprime l’utile annuale derivante dalla vendita della quantità x di un certo bene è: UðxÞ ¼ 1 2 x þ 1500x 4 Inoltre la capacità produttiva annuale massima dell’azienda che produce il bene è di 4000 unità. Nell’ipotesi che tutta la quantità prodotta venga venduta, qual è la quantità da produrre in un anno per conseguire l’utile massimo? A 184 Þ A B x ¼ 1000 B x ¼ 2000 C x ¼ 3000 D x ¼ 4000 Un problema di scelta in una variabile si dice continuo quando la variabile indipendente può assumere: tutti i valori reali di un dato intervallo tutti i valori interi di un dato intervallo C D tutti i valori razionali di un dato intervallo nessuna delle risposte precedenti è corretta Sia z ¼ f ðx, yÞ una funzione continua e dotata di derivate parziali prime continue in tutto R2 . Affinché ðx0 , y0 Þ sia un punto di estremo relativo per la funzione: ( 0 f x ðx0 , y0 Þ ¼ 0 A la condizione è necessaria e sufficiente f 0y ðx0 , y0 Þ ¼ 0 185 Þ ( B la condizione f 0y ðx0 , y0 Þ ¼ 0 ( C la condizione la condizione 310 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P f 0x ðx0 , y0 Þ ¼ 0 f 0y ðx0 , y0 Þ ¼ 0 ( D f 0x ðx0 , y0 Þ ¼ 0 f 0x ðx0 , y0 Þ ¼ 0 f 0y ðx0 , y0 Þ ¼ 0 è sufficiente ma non necessaria è necessaria ma non è sufficiente non è né necessaria né sufficiente Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA A B C D 187 Þ Il dominio della funzione z ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y 2x 1 è rappresentato nel piano xOy: Verso l’esame 186 Þ da una retta da un semipiano aperto da un semipiano chiuso da tutti i punti del piano, esclusi quelli della retta di equazione y ¼ 2x þ 1 Considerata la funzione f ðx, yÞ ¼ 5x4 y 2 þ 2x3 y 2 xy 2y 2 , quale delle seguenti uguaglianze è corretta? A @2f ¼ 60x2 y 2 þ 12xy2 @x2 C @2f ¼ 4x4 y x2 4xy @x2 B @2f ¼ 4ðx3 1Þ @x2 D @2f ¼ 60x2 þ 12xy2 þ 4y 3 @x2 188 Þ 2y Data la funzione in due variabili z ¼ e x , quali sono le sue derivate parziali prime? 2y 2e x x2 A z0x ¼ B z0x ¼ 2x e x 2y 2y 2y e z0y ¼ 2e x ; e z0y ¼ 2y e x 2y 2y 2ye x x2 C z0x ¼ D z0x ¼ z0y ¼ e x e z0y ¼ 2e x x 2y L’insieme dei punti interni alla circonferenza avente centro nell’origine degli assi e raggio 4 rappresenta l’insieme di definizione di quale delle seguenti funzioni? 189 Þ A B 190 Þ A 1 16 x2 y 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi f ðx, yÞ ¼ 16 x2 y 2 f ðx, yÞ ¼ La derivata parziale rispetto a x della funzione z ¼ 2 5 B 5 2 C f ðx, yÞ ¼ ln ð16 x2 y 2 Þ D f ðx, yÞ ¼ e16x 2 y 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5x 4y 2 nel punto ð1, 1Þ vale: C 0 D non esiste 8 <y x 0 191 Il sistema di disequazioni y0 ha come insieme delle soluzioni un sottoinsieme di R2 : Þ : xþy3>0 A B rappresentato da un poligono chiuso e non limitato C D vuoto illimitato e né chiuso né aperto Un’azienda vende ogni unità di un determinato bene al prezzo di 250 euro. Sapendo che il costo giornaliero (in euro) relativo alla produzione della quantità x del bene è espresso dalla funzione CðxÞ ¼ 300 þ 100x þ x2 , qual è la quantità da produrre giornalmente per conseguire il massimo profitto (nell’ipotesi che tutta la quantità prodotta venga venduta)? 192 Þ A 50 B 75 C 100 D 125 Per la rifinitura di un certo bene, un’azienda può lavorare in proprio (alternativa AÞ oppure affidare il lavoro a una ditta specializzata (alternativa BÞ. I costi per rifinire una quantità x del bene sono espressi rispettivamente dalle seguenti funzioni: 193 Þ CA ðxÞ ¼ 30 000 þ 200x CB ðxÞ ¼ 350x L’alternativa B risulta essere: A B sempre più conveniente di A sempre meno conveniente di A C D più conveniente di A per 0 < x < 200 più conveniente di A per x > 200 8 < x þ 3y 12 0 194 Il massimo assoluto della funzione zðx, yÞ ¼ 3x þ 2y 1 soggetta ai vincoli x0 : Þ : y0 A è uguale a 10 B è uguale a 20 C è uguale a 35 D non esiste 311 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Verso l’esame Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA QUESITI Data la funzione costo CðqÞ ¼ 0,01q2 þ 10q þ 400, determina le funzioni costo unitario e costo marginale, illustrandone il significato. Determina poi la quantità da produrre per rendere minimo il costo unitario. [Costo unitario min ¼ 14 quando q ¼ 200] 5 5 3 2 2 , 196 Determina i punti stazionari della funzione f ðx, yÞ ¼ x 4x xy y . ð0, 0Þ; Þ 2 4 197 La domanda e l’offerta di un bene sono espresse dalle funzioni: Þ 195 Þ d ¼ 400 2p2 e h ¼ 30p 100 [p ¼ 10; d ¼ 200] Determina il prezzo di equilibrio e la quantità domandata a tale prezzo. Individua e rappresenta graficamente il dominio delle due funzioni: pffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x x a. z ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b. z ¼ 2 2 x 2y x 2y 198 Þ 199 Þ Individua e rappresenta graficamente il dominio della seguente funzione: ln ðx þ y 4Þ z ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 16 x2 y 2 Dopo avere dato la definizione di linea di livello, rappresenta alcune linee di livello a scelta della funzione z ¼ 3x2 þ 3y 6. Utilizzando il metodo delle curve di livello, determina quindi il massimo assoluto della funzio ne, soggetta al vincolo x þ y ¼ 2. 3 1 5 Max ¼ in , 4 2 2 200 Þ 201 Þ Un’operazione di investimento comporta il flusso di cassa rappresentato in tabella: Scadenza (anni) 0 1 2 Flusso di cassa (euro) 2500 1500 2000 Studia analiticamente e rappresenta graficamente la funzione che esprime il REA dell’operazione, in funzione del tasso di interesse i. Studia la funzione indipendentemente dalle limitazioni imposte dal problema economico, quindi metti in evidenza il tratto del grafico che ha significato in relazione a tale problema. f ðiÞ ¼ 2500 þ 1500 2000 þ 1þi ð1 þ iÞ2 Fornisci l’esempio di un problema di scelta nel caso continuo e di un problema di scelta nel caso discreto, che abbia come obiettivo la determinazione del massimo utile, il cui modello matematico sia una funzione di secondo grado. 202 Þ 203 Þ Data la funzione z ¼ ln ð4x þ 2y 8Þ, individua e rappresenta graficamente: a. l’insieme dei punti del piano xOy dove la funzione è definita; b. l’insieme dei punti del piano xOy dove la funzione è definita e assume valori negativi. Definisci quando una funzione reale di variabile reale presenta, in un punto x0 in cui è continua, un flesso a tangente verticale. Fornisci quindi l’esempio di una funzione che presenta un flesso a tangente verticale per x ¼ 3. 204 Þ In un regime di concorrenza perfetta un’azienda sostiene, per la produzione della quantità q di un certo bene, un costo complessivo (in euro) espresso dalla funzione CðqÞ ¼ q2 þ 40q þ 900. Determina a partire da quale prezzo unitario di vendita risulta conveniente per l’azienda entrare nel mercato. [100 euro] 205 Þ Dopo aver specificato il significato geometrico di derivata di una funzione in un punto, determina la tangenpffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi te alla funzione y ¼ x2 5x þ 8 nel suo punto di ascissa 1. 1 y ¼ ð11 3xÞ 4 206 Þ Assegnata la funzione domanda d ¼ 400 3p2 , con 0 p 11, calcola l’elasticità della domanda precisando se la domanda, per p ¼ 5, risulta elastica, anelastica o rigida. ["d ð5Þ ’ 0,46, la domanda è rigida] 207 Þ Sia data una funzione f : ða, bÞ ! R. Dai la definizione di derivata della funzione f in un punto x0 2 ða, bÞ. pffiffiffi Calcola quindi, in base alla definizione, la derivata della funzione f ðxÞ ¼ x nel punto x ¼ 4. 208 Þ 312 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Illustra le caratteristiche del modello matematico di un problema di programmazione lineare, quindi determina il massimo della funzione z ¼ 200x þ 400y þ 500 soggetta ai seguenti vincoli: 8 x0 > > > <y 0 > y4 > > [Max ¼ 2900 in (4, 4)] : 3x þ 2y 20 210 Þ 211 Þ Verso l’esame Descrivi la procedura per determinare eventuali punti di minimo o massimo vincolato di una funzione di due variabili, con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. 209 Þ Un’azienda può scegliere tra i seguenti due cicli di produzione e vendita di un dato bene. a. Il primo ciclo comporta un costo fisso mensile di 3625 euro e un costo unitario di 0,5 euro al kilogrammo; la quantità prodotta verrà venduta a 4 euro al kilogrammo. b. il secondo ciclo comporta un costo fisso mensile di 1000 euro e un costo variabile unitario di ðx þ 1Þ euro, essendo x il numero di kilogrammi prodotti; la quantità prodotta verrà venduta a 2 euro al kilogrammo. Qual è il ciclo migliore al fine di conseguire l’utile massimo, in funzione della quantità prodotta mensilmente (supponendo che tutta la quantità prodotta venga venduta)? [Il primo ciclo conviene per x > 50, il secondo per 0 < x < 50, per x ¼ 50 è indifferente] 212 Þ Determina gli eventuali punti stazionari della funzione z ¼ 4x2 y xy2 þ 4xy e studiane la natura. 1 4 : min ð0, 0Þ: sella; ð0, 4Þ: sella; ð1, 0Þ: sella; , 3 3 Un’industria fabbrica due articoli A e B che richiedono rispettivamente 20 e 40 minuti di lavorazione a macchina e 20 e 10 minuti di lavoro manuale. Il tempo massimo di lavoro disponibile in un ciclo produttivo è di 1000 ore per la macchina e di 600 ore per il lavoro manuale. Indicando con x la quantità di articoli del tipo A prodotti in un ciclo e con y la quantità di articoli prodotti del tipo B, scrivi il sistema che rappresenta tutti i vincoli cui sono soggette le variabili x e y e rappresenta graficamente tale sistema. 213 Þ 214 Þ Verifica che lo stimatore media campionaria, in caso di estrazione bernoulliana, è corretto e consistente. PROBLEMI 215 Un’impresa produce due beni A e B che vende rispettivamente ai prezzi p1 e p2 . La domanda dei due beni è Þ espressa rispettivamente da: x1 ¼ 300 0,6p1 þ 0,1p2 x2 ¼ 250 þ 0,2p1 0,5p2 I costi unitari di produzione sono rispettivamente 60 e 132. Determina le quantità x1 e x2 da produrre e vendere per avere il massimo profitto complessivo (nell’ipotesi che tutta la merce prodotta venga venduta). Introdotto il concetto di elasticità della domanda rispetto al prezzo e di elasticità parziale, considera poi la funzione della domanda del bene A e determina il grado di elasticità parziale rispetto al suo prezzo e rispetto al prezzo del bene B. (Maturità per ragionieri programmatori, 1995) [Profitto massimo ’ 70 062,05 per una produzione x1 ’ 124,26 e x2 ’ 113,14] In un’indagine sulle spese annue delle famiglie per beni di seconda necessità rispetto al reddito annuo si sono rilevati i dati di sei famiglie tipo; i risultati sono i seguenti: 216 Þ A B C D E F Redditi (migliaia di euro) 20 30 35 45 50 60 Spese (migliaia di euro) 2 2,4 4 10,8 17 24 Dopo avere descritto il metodo dei minimi quadrati, individua e calcola, mediante tale metodo, una funzione interpolante idonea a rappresentare la distribuzione data. (Maturità per ragionieri programmatori, 1995) [Per esempio la funzione di regressione esponenziale, di equazione y ¼ ð0,39Þð1,07Þx ] 313 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Verso l’esame Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Dopo avere dato la definizione di estremi relativi di una funzione reale di due variabili reali e avere esposto il metodo per la loro ricerca, considera la seguente funzione: 217 Þ f ðx; yÞ ¼ ax2 xy by2 þ c xþ1 e determina: a. i parametri a, b, c in modo che la funzione abbia un estremo relativo in ð2; 1; 1Þ; b. gli estremi assoluti della funzione ottenuta, con i valori dei parametri trovati, nel triangolo di vertici 1 1 , 1 , ð2, 1Þ, ; 1 2 2 (Maturità per ragionieri programmatori, 1997) 1 1 a. a ¼ , b ¼ 1, c ¼ 0; b. min assoluto ¼ 0 in (0, 0) e max assoluto ¼ 3,25 in , 1 2 2 218 Þ Dopo aver brevemente trattato dei problemi di scelta in condizioni aleatorie, risolvi il seguente quesito. a. Un risparmiatore dispone di 10 000 euro da investire in un’operazione finanziaria che prevede un ricavo di 12000 euro con probabilità 0,7 oppure un ricavo di 14 000 euro con probabilità 0,3. Anche la durata dell’operazione è una variabile aleatoria: la scadenza sarà dopo 2 anni con probabilità 0,4 oppure dopo 4 anni con probabilità 0,6. Determina il valore medio del guadagno nell’ipotesi che il tasso di investimento sia del 6%. b. In alternativa, il risparmiatore può investire 10 000 euro in un’altra operazione finanziaria aleatoria che prevede un ricavo, dopo 3 anni, di 13 000 euro con probabilità 0,8 oppure di 14 000 euro con probabilità 0,2. Dopo avere determinato, anche in questo caso, il valore medio del guadagno, sempre nell’ipotesi che il tasso di investimento sia del 6%, stabilisci quale delle due operazioni finanziarie è più conveniente. (Adattato da un quesito proposto alla maturità per ragionieri programmatori, 1997) [a. 473,81 euro; b. 1082,97 euro; è preferibile la seconda operazione] La seguente tabella riporta l’altezza in centimetri e il peso in kilogrammi dei 16 componenti della squadra di calcio di un istituto tecnico. 219 Þ Altezza Peso Altezza Peso Altezza Peso Altezza Peso 183 80 171 68 177 75 174 73 178 74 181 80 176 73 176 73 175 74 169 66 180 77 178 76 181 76 175 72 178 75 180 80 Dopo avere brevemente introdotto il concetto di correlazione statistica, risolvi i seguenti quesiti: a. rappresenta, in un sistema di assi cartesiani ortogonali xOy, il diagramma di dispersione relativo ai dati della tabella precedente; b. determina l’equazione della retta di regressione y ¼ ax þ b con il metodo dei minimi quadrati (y ¼ peso in kilogrammi; x ¼ altezza in centimetri); c. calcola il coefficiente di correlazione lineare di Bravais; d. rappresenta sul grafico di cui al punto a., la retta di regressione trovata; e. di’ se la retta di regressione trovata passa per il punto (177, 74,5), giustificando la risposta. (Maturità per ragionieri programmatori, 1997) [b. y ¼ 0,995 101,65; c. circa 0,946; e. sı̀] Studia la variazione della funzione f ðxÞ ¼ x3 þ 27x2 96x 200 nell’intervallo 0 x 20, con x reale, e traccia il suo grafico in un sistema di assi ortogonali xOy. Risolvi poi il seguente quesito. Un laboratorio artigiano sostiene i seguenti costi giornalieri: 220 Þ spesa fissa di 200 euro; spesa di produzione, dipendente dal numero n di oggetti prodotti, uguale a n2 27n þ 250 (espressa in euro) per ogni pezzo prodotto. Determina il costo totale CðnÞ (espresso in euro) per la produzione di n pezzi. Sapendo che ciascun oggetto è venduto a 154 euro, calcola il ricavo totale giornaliero. Determina inoltre l’utile UðnÞ (espresso in euro) realizzato con la vendita di n pezzi al giorno. 314 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA (Adattato da un quesito proposto alla maturità per ragionieri programmatori, 1997) [La funzione f presenta un punto di minimo in ð2, 292Þ e uno di massimo in ð16, 1080Þ; CðnÞ ¼ n3 27n2 þ 250n þ 200; UðnÞ ¼ n3 þ 27n2 96n 200; max utile ¼ 1080 euro per una produzione di n ¼ 16 pezzi al giorno] Verso l’esame Determina infine il numero di pezzi che il laboratorio deve produrre giornalmente per realizzare il massimo utile. Il modello matematico di programmazione lineare riferito a una certa azienda che produce gli articoli alfa e beta risulta cosı̀ strutturato: 221 Þ funzione obiettivo di utile: z ¼ 200 000x1 þ 100 000x2 vincoli tecnici dipendenti dalla disponibilità di fattori (produzione settimanale): 8 > < 28x1 þ 7x2 168 3x1 þ 3x2 42 > : 7x1 þ 14x2 84 x1 0 vincoli di segno: x2 0 Dopo avere esposto i metodi di risoluzione dei problemi di programmazione lineare in due o tre variabili: a. costruisci il grafico che evidenzi il campo di scelta di tutte le possibili soluzioni del problema; b. calcola il valore di z (utile) in corrispondenza del poligono di scelta e determina la soluzione che rende massima la funzione obiettivo; c. considerando che gli articoli alfa e beta non possono essere frazionati, ricerca la soluzione ottima a coordinate intere. (Maturità per ragionieri programmatori, 1998) b. Utile max ’ 1 371 428,57 per x1 ¼ 36 24 e x2 ¼ ; c. x1 ¼ 5, x2 ¼ 3 7 7 Nove studenti universitari, scelti a campione, sono stati classificati secondo i voti conseguiti in due esami differenti, tra i quali sussiste una certa relazione logica. I dati sono riportati nella seguente tabella: 222 Þ Studenti A B C D E F G H I Voto di economia (x) 18 23 26 23 22 19 18 20 21 Voto di matematica (y) 22 21 30 18 24 18 23 19 24 Dopo aver esposto i possibili criteri per adattare una retta a rappresentare una nuvola di punti: a. rappresenta il diagramma di dispersione dei voti delle due materie; b. determina l’indice di correlazione lineare di Bravais-Pearson, specificandone il significato statistico; c. determina le due rette di regressione, di y in funzione di x e di x in funzione di y, e calcolane l’indice di determinazione; d. rappresenta le due rette di regressione; e. sulla base del modello di regressione ottenuto, stima il voto in matematica corrispondente al voto di economia x ¼ 25 e il voto di economia corrispondente al voto di matematica y ¼ 27. (Maturità per ragionieri programmatori, 1998) [b. Circa 0,49; c. y ¼ 0,7012x þ 7,3086 e x ¼ 0,3472y þ 13,4342, indice di determinazione ’ 0,2434; e. y ’ 24,84 e x ’ 22,81] Un’impresa produce due beni A e B, che vende in un mercato di libera concorrenza. Indicate con x e y le quantità prodotte, rispettivamente del bene A e del bene B, l’impresa è in grado di esplicitare la seguente funzione costo totale di produzione: 223 Þ Cðx, yÞ ¼ 2x2 þ y 2 þ 2xy Sapendo che i prezzi di vendita unitari dei due beni sono di 8000 euro per A e 5000 euro per B, ottimizza il profitto globale dell’impresa. (Adattato da un quesito proposto alla maturità per ragionieri programmatori, 1998) [Profitto massimo ¼ 8 500 000 euro per una produzione di quantità x ¼ 1500 e y ¼ 1000] 315 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Verso l’Università Verso l’Università Trova gli eventuali punti di massimo, minimo e sella della seguente funzione di due variabili: pffiffiffi f ðx, yÞ ¼ x2 y þ x2 þ 2y 2 þ 2 1 Þ (Matematica generale, Facoltà di Economia, Università di Udine, 2011) 2 Þ [(0, 0): min; ð2, 1Þ: sella] Rappresenta graficamente nel piano cartesiano xOy il dominio della funzione: f ðx, yÞ ¼ ln x2 y 1 x2 (Matematica generale, Facoltà di Economia, Università di Pavia, 2007) 3 Þ Determina la natura dei punti stazionari della funzione: f ðx,yÞ ¼ y þ e1þxy [ðe1 , 0Þ: sella] (Matematica generale, Facoltà di Economia, Università di Pavia, 2007) 4 Þ Determina graficamente nel piano cartesiano xOy il dominio della funzione: f ðx, yÞ ¼ log ½xðy þ x2 Þ (Matematica generale, Facoltà di Economia, Università di Pavia, 2008) 5 Þ Determina i punti stazionari della funzione: f ðx, yÞ ¼ 2x3 2y 3 3x2 þ 6y (Matematica generale, Facoltà di Economia, Università di Pavia, 2008) 6 Þ [ð0; 1Þ ; ð1; 1Þ] Determina la natura dei punti stazionari della funzione: f ðx, yÞ ¼ x2 ð1 þ y 2 Þ x 1 , 0 : min 2 2 , 1 : sella 3 (Matematica generale, Facoltà di Economia, Università di Pavia, 2009) Rappresenta nel piano cartesiano il dominio della funzione: sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y x2 f ðx, yÞ ¼ 4 x2 y 2 7 Þ (Matematica generale, Facoltà di Economia, Università di Pavia, 2009) 8 Þ Data la funzione f ðx, yÞ ¼ 2ln ð3x yÞ 6x þ y 2 : a. determina e rappresenta il dominio della funzione; b. individua gli eventuali punti stazionari e stabiliscine la natura. (Matematica generale, Facoltà di Economia, Luiss, gennaio 2010) b. Data la funzione f ðx, yÞ ¼ 2x2 y 3 þ 4xy, determina gli eventuali punti stazionari e individuane la natura. (Matematica generale, Facoltà di Economia, Università di Torino, luglio 2011) 4 4 , : minimo (0, 0): sella; 3 3 9 Þ Data la funzione f ðx, yÞ ¼ x3 2y 2 2xy, determina gli eventuali punti stazionari e individuane la natura. (Matematica generale, Facoltà di Economia, Università di Torino, febbraio 2011) 1 1 : massimo (0, 0): sella; , 3 6 10 Þ 11 Þ Determina la natura dei punti stazionari della funzione: f ðx, yÞ ¼ ðx y 2 Þex (Matematica generale, Facoltà di Economia, Università di Pavia, 2008) [(1, 0): massimo] Rappresenta nel piano cartesiano il dominio della seguente funzione e calcolane le derivate parziali prime: x f ðx, yÞ ¼ x ln y x x f 0x ¼ 1 þ ln , f 0y ¼ (Matematica generale, Facoltà di Economia, Università di Pavia, 2008) y y 12 Þ 316 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Il costo di un impianto industriale per controllare le emissioni di sostanze tossiche è dato da: Cðx, yÞ ¼ 100x2 þ 100y 2 10x2 ðy 1Þ 500y þ 100 000 dove x rappresenta la riduzione in kilogrammi al giorno di emissioni di zolfo e y rappresenta la riduzione in kilogrammi al giorno in emissioni di piombo. La massima riduzione giornaliera possibile è di 5 kg per le emissioni di zolfo e di 10 kg per le emissioni di piombo. Calcola le quantità x e y che rendono minima la funzione di costo. (Matematica generale, Facoltà di Economia, Università di Parma, settembre 2010) [x ¼ 0, y ¼ 2,5] Verso l’Università 13 Þ Il profitto annuo (in migliaia di euro) che un coltivatore diretto può trarre da un suo campo è dato dalla funzione: 14 Þ Pðq1 , q2 Þ ¼ 3q21 q22 þ 2q1 q2 þ 6q1 þ 2q2 1 dove q1 e q2 rappresentano rispettivamente i quintali di soia e di grano coltivati in un anno. a. Calcola il profitto marginale relativo alla soia e al grano per un livello di produzione di 1 q di soia e 3 q di grano. Interpreta i risultati ottenuti. b. Grazie agli incentivi della Comunità Europea, il coltivatore decide di produrre una quantità di grano doppia rispetto alla soia. In corrispondenza di tale scelta, determina i livelli di produzione di soia e di grano per i quali si ha il massimo profitto e calcola il profitto massimo corrispondente. (Matematica generale, Facoltà di Economia, Università di Parma, aprile 2009) [a. 6, 2; b. q1 ’ 1,67 e q3 ’ 3,33, profitto massimo ’ 7333,33 euro] Il profitto annuo (in migliaia di euro) che un coltivatore diretto può trarre da un suo campo è dato dalla funzione: 15 Þ Pðq1 ; q2 Þ ¼ 4q21 2q22 þ 7q1 q2 þ q1 þ 2q2 1 dove q1 e q2 rappresentano rispettivamente i quintali di soia e di grano coltivati in un anno. a. Calcola il profitto marginale relativo alla soia e al grano per un livello di produzione di 1 q di soia e 2 q di grano. Interpreta i risultati ottenuti. b. Grazie agli incentivi della Comunità Europea, il coltivatore decide di produrre una quantità di grano tripla rispetto alla soia. In corrispondenza di tale scelta, determina i livelli di produzione di soia e di grano per i quali si ha il massimo profitto e calcola il profitto massimo corrispondente. (Matematica generale, Facoltà di Economia, Università di Parma, aprile 2009) [a. 7, 1; b. q1 ¼ 3,5 e q3 ¼ 10,5, profitto massimo ¼ 11 250 euro] 317 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Risposte alle prove di autoverifica Risposte alle prove di autoverifica Unità 1 1. Vedi la figura qui sotto. 5. Le curve di livello sono le circonferenze di equazione x2 þ y 2 4x ¼ k; esse esistono per k 4. Le curve di livello ottenute assegnando a k i valori interi compresi tra 4 e 6 (inclusi) sono rappresentate nella figura qui sotto. In particolare, per k ¼ 4 la curva di livello è costituita da una circonferenza degenere nel punto di coordinate ð2, 0Þ. y 6 5 4 3 2 1 –3 –2 –1 –1 –2 y x O 1 2 3 4 5 k=6 2. Vedi la figura qui sotto. y 6 5 4 3 2 1 O x x O –4 –3 –2 –1 –1 –2 (2, 0) k = –4 1 2 3 4 6. z ¼ x 5y þ 6 7. Max ¼ 3 in ð1, 2Þ; min ¼ 81 in ð3, 0Þ 3. Vedi la figura qui sotto. 8. Max ¼ 40 in ð4, 2Þ e min ¼ 5 in ð2, 1Þ 9. q1 ¼ 10, q2 ¼ 7, utile massimo ¼ 4390 euro y 5 10. q1 ¼ 20, q2 ¼ 50, U ¼ 3000 4 3 Unità 2 2 1 –2 –1 –1 1. a. x ¼ 432,69 kg (arrotondando alla seconda cifra decimale); b. x ¼ 400 kg x O 1 2 3 4 2. 42 lotti, 9616 euro 3. 7 lotti, 1800 euro 4. 120 kg, 480 euro 5. Per 0 x 48 non conviene né il processo A né il processo B (utile negativo o nullo), per 48 < x < 60 conviene il processo B; per x > 60 conviene il processo A; per x ¼ 60 i due processi A e B sono equivalenti. 4. Vedi la figura qui sotto. 3 y 2 Unità 3 1 x –3 –2 –1 O –1 –2 –3 318 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P 1 2 3 1. a. A ¼ 1510 euro, B ¼ 2175 euro, C ¼ 1400 euro, conviene il processo B; b. conviene il processo B. 2. È preferibile l’alternativa D. 3. a. V1 ¼ 80 419,48 euro e V2 ¼ 80 633,21 euro, conviene il mutuo; b. TIR1 ¼ 7,87%, TIR2 ¼ 7,96%, conviene il mutuo. Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 1. V, F, V, F, F. 2. Fig. A 3. Fig. B 4. Fig. C 5. Fig. D y y y = −x + 2 x − 2y − 1 < 0 O x O y ≤ −x + 2 x x − 2y − 1 = 0 Figura A Risposte alle prove di autoverifica Unità 4 Figura B y y y = − 2x − 2 A(0, 3) O x O C(4, 0) y = x −2 x B(– 4, –2) Figura C 8 ( > < x 1 1<x<4 6. y 2 7. > 2<y<3 : y x þ 3 Figura D 8. Programma ottimo: 6 oggetti del tipo A e 12 del tipo B. 30 x del tipo B, 2 essendo x un numero pari con 0 x 6. Pertanto si ha profitto massimo in corrispondenza di tutte le programmazioni rappresentate dalle seguenti coppie ordinate (l’ascissa è il numero di oggetti del tipo A e l’ordinata il numero di oggetti del tipo B): (0, 15); (2, 14); (4, 13); (6, 12). 9. Il profitto è massimo per ogni programmazione che prevede la produzione di x oggetti del tipo A e Unità 5 1 2 1 , pðBÞ ¼ e pðA \ BÞ ¼ . Poiché pðA \ BÞ ¼ pðAÞpðBÞ, i due eventi A e B sono indipendenti. 2 3 3 8 3. a. 6,8%; b. ’ 47% 4. V, F, V, V, V 17 1. Risulta pðAÞ ¼ 2. 3 50 Unità 6 1. V, V, F, V, F 4 1 , EðT3 Þ ¼ , quindi lo stimatore corretto è T1 . 3 6 4. 7,95 cm 8,40 cm circa 2. Risulta EðT1 Þ ¼ , EðT2 Þ ¼ 3. 68% p 76% circa 5. Bisogna determinare n in modo che la semiampiezza dell’intervallo di confidenza sia minore o uguale al 5%. Questa 1 5 condizione è certamente soddisfatta scegliendo il minimo intero n per cui risulta z1 2 pffiffiffi 100 2 n Si trova n ¼ 385. 6. Le ipotesi da verificare sono H0 : ¼ 96ð¼ 0 Þ contro H1 : > 96. L’ipotesi nulla è da rifiutare se il valore osservato è x 0 102 96 pffiffiffi ¼ pffiffiffiffiffiffi ’ 2,37 e z1 ¼ z0,95 ’ 1,64, e dunque u > z1 , rifiutiamo l’ipotale che u > z1 . Poiché risulta u ¼ = n 8= 10 tesi nulla. Al livello di significatività del 5% possiamo allora affermare che il concime fa aumentare la crescita media delle piante. 319 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Indice analitico Indice analitico A analisi – dei punti stazionari, 28 – marginale, 87 angoli, 158 ascissa, 6 B beni – complementari, 24 – indipendenti, 24 – sostituti, 24 – succedanei, 24 campionamento, 229, 231 – bernoulliano, 229 campione casuale, 231 condizione – di certezza, 83 – di incertezza, 83 conica, 2 criterio – del maximin, 132 – del minimax, 132 – del pessimista, 132 – del REA, 122 – del TIR, 123 – del valore medio, 129 – dell’attualizzazione, 121 – dell’onere medio annuo, 128 – dell’ottimista, 133 – della valutazione del rischio, 131 curva di livello, 11-12 D derivata parziale – mista, 19 – prima, 17 sgg. – seconda, 19 deviazione standard di una variabile aleatoria discreta, 131 diagrammi ad albero, 208 disequazioni – in due variabili o incognite, 2 – lineari in due incognite, 159 distanza tra due punti nello spazio, 8 doppia superficie conica, 14 E elasticità, 23 – incrociata, 24 – parziale, 24 ellissoide, 13 equazione di un piano – nello spazio, 8 – passante per un punto dato, 8 equazione di una retta nello spazio, 8, 9 errore – del primo tipo, 245 – del secondo tipo, 245 esperimento casuale, 229 estrazione campionaria, 231 320 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P eventi – incompatibili, 200 – indipendenti, 205 evento, 200 – certo, 200 – contrario, 200-201 – elementare, 200 – impossibile, 200 – intersezione, 200 – unione, 200-201 F fattori di produzione, 36 formula di Bayes, vedi teorema di Bayes frequenza campionaria, 232 funzione continua, 16 – in un punto, 15 funzione derivabile, 19 funzione di Cobb-Douglas, 36 funzione di due variabili, 10 – dominio, 10 – dominio naturale, 10 funzione di elasticità, 24 funzione di n variabili, 10 funzione di utilità, 40 funzione obiettivo, 82 funzioni marginali, 22-23 G, H gestione delle scorte, 89 gradi di libertà, 238 hessiano, 28 I inferenza, 229 insieme, – aperto, 6 – chiuso, 6 – illimitato, 6 – limitato, 6 intervallo di confidenza, 234 – per la proporzione, 242 – per la stima della media (popolazione non normale), 241 – per la stima della media (popolazione normale), 237, 239 intorno (circolare), 5 iperboloide – a due falde (o ellittico), 14 – a una falda (o iperbolico), 13 ipotesi – alternativa, 244 – nulla, 244 isoquanto, 39 L lagrangiana, 31 limite di una funzione di due variabili, 14 linea di livello, vedi curva di livello livello – di confidenza, 235, 237 – di significatività, 235, 246 M, N magazzinaggio, 89 massimo vincolato, 29 minimo vincolato, 29 massimo – assoluto, 26 – assoluto in un insieme chiuso e limitato, 32 – libero, 26 – relativo, 25 media campionaria, 231 metodo – dei moltiplicatori di Lagrange, 30 – del simplesso, 166 – delle curve di livello, 33 – di sostituzione, 30 minimo – assoluto, 26 – assoluto in un insieme chiuso e limitato, 32 – libero, 26 – relativo, 25 moltiplicatore di Lagrange, 31 O ordinata, 6 ottante, 6 P paraboloide – ellittico, 13 – iperbolico, 13 partizione (di uno spazio campionario), 206 piano tangente a una superficie, 20, 22 poligoni, 2, 158 popolazione, 231 – normale, 235 prezzi ombra, 32 probabilità – composte, 203 sgg. – condizionata, 203, 205 – definizione classica, 200 problema – dei trasporti, 167 – delle scorte, 89 problemi di programmazione lineare – in due incognite, 161 – in più di due incognite, 166 problemi di scelta, 82 – continui, 83 – con effetti differiti, 83, 121 – con effetti immediati, 83 – discreti, 83 – tra più alternative, 93 programmazione lineare, 161 – schema, 163 punti di estremo – assoluto, 26 – relativo, 25, 27 punti di indifferenza, 93 Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Q quadriche, 13 quantile, 234 – tavola, 239-240 quota, 6 R regione – di accettazione, 246 – critica, 246 regione ammissibile, 82 regola del prodotto (probabilità), 205 ricerca operativa, 82 risultato economico attualizzato (REA), 121 S semipiani, 2, 157 sistema di riferimento cartesiano ortogonale nello spazio, 6 – destro, 6 – sinistro, 6 sistemi di disequazioni lineari in due incognite, 159 sottoinsiemi di R2 , 2 spazio campionario, 200 statistica – descrittiva, 229 – inferenziale, 229 statistica-test, 246 stima, 232 – di un parametro, 229 – intervallare, vedi stima per intervallo – per intervallo, 230, 234 – precisione, 238 – puntuale, 230, 232 stimatore, 232 – consistenza, 232 – correttezza, 232 – efficienza, 232 strisce, 158 T, U – di programmazione lineare, 163 – di Schwarz, 19 – di Weierstrass, 26 test – a due code, 250 – a una coda, 250 test bilaterali, vedi test a due code test statistici, 244 test unilaterali, vedi test a una coda t-Student, 238 Indice analitico punto – di accumulazione, 5 – di frontiera, 5 – esterno, 5 – interno, 5 punto di massimo – assoluto, 26 – relativo, 25 punto di minimo – assoluto, 26 – relativo, 25 punto di sella, 27 punto medio di un segmento nello spazio, 8 punto stazionario, 27 V, Z valore attuale netto (VAN), 121 valore medio di una variabile aleatoria discreta, 129 valore osservato, 247 valori critici, 248 variabili – d’azione, 82 – di decisione, 82 varianza campionaria, 232 – corretta, 233 varianza di una variabile aleatoria discreta, 131 verifica di ipotesi, 244, 249, 251 sgg. vincoli, 82 – di segno, 82 – tecnici, 82 tasso interno di rendimento (TIR), 123 teorema – della probabilità totale, 207 – di Bayes, 209 321 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P APPUNTI Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 322 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA APPUNTI 323 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P APPUNTI Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 324 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA APPUNTI 325 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P APPUNTI Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 326 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA APPUNTI 327 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P APPUNTI Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA 328 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA APPUNTI 329 Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P Cognome: MASTINO Nome: MARIANNA Codice Fiscale: MSTMNN00R54I452P

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