UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS
APLICACIONES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA EN FÍSICA Y BIOLOGÍA
CURSO: Cálculo II
DOCENTE: Joel Núñez Mejía
SECCIÓN: 1
INTEGRANTES:
Candiote Chávez, Miriam Abigail
Mora Quilca, Saimiri Carmesí
Noa Munaylla, Nelson
Quispe Sutta, Alvaro Jesus
Tello Marca, Victor
2021
LIMA- PERÚ
Índice
1. INTRODUCCIÓN
3
2. MARCO TEÓRICO
4
3. APLICACIONES
5
3.1 Aplicación 01
¡Error! Marcador no definido.
3.2 Aplicación 02
7
3.3 Aplicación 03
8
3.4 Aplicación 04
9
3.5 Aplicación 05
11
3.6 Aplicación 06
13
4. CONCLUSIONES
15
5. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
16
1. INTRODUCCIÓN
El cálculo de áreas es una de las aplicaciones básicas de las matemáticas. Todas las grandes
civilizaciones antiguas desarrollaron métodos sencillos para calcular el área encerrada por
líneas poligonales, pero el problema se encontró al tratar de medir el área encerrada por líneas
curvas. Este problema no se resolvió hasta finales del siglo XVII con el descubrimiento del
cálculo integral. Con Newton y Leibniz se resolvieron muchas interrogantes planteadas. Una
de las importancias del cálculo son las aplicaciones que se dan en nuestro quehacer diario. Es
por ello que este documento presentará las aplicaciones en diferentes áreas de ciencias, por
ejemplo, en la rama de las ciencias biológicas, en ciencias físicas, etc.
En el cálculo integral, así como en el cálculo diferencial, los conceptos fundamentales están
presentes en las experiencias diarias. Siempre que una magnitud varía en forma continua como
ocurre en muchos de los fenómenos de la naturaleza, es posible calcular razones de cambio
recurriendo al cálculo diferencial y a partir de la razón de cambio se puede encontrar, con los
métodos del cálculo integral, la magnitud inicial. Por ejemplo, las lecturas de velocidad de un
automóvil en distintos instantes de un intervalo dado permiten calcular la distancia recorrida
en dicho intervalo de tiempo. El cálculo integral permite encontrar, por ejemplo, la relación
entre magnitudes que cambian según ciertas reglas como el cálculo de áreas.
El presente documento se compone de 5 aplicaciones. La primera aplicación aborda del primer
lote de vacunas contra la Covid-19 llegado a nuestro país proveniente de China por la compañía
Sinopharm, donde se calculará las temperaturas y tiempos en diferentes intervalos. El segundo,
tratará de los parámetros de posición y distancia recorrida de un bote en cierto tiempo, para
ello se usará la segunda ley de Newton. En tercer lugar, se abordará un tema de desintegración
radiactiva, tomando como base los Rovers en Marte, que tienen una forma de generar
electricidad a base de plutonio. La cuarta aplicación analizará la aceleración, velocidad y
distancia recorrida por un camión en tiempos de paro en nuestro país. Como último se modelará
una función de la genética poblacional.
2. MARCO TEÓRICO
01. Rovers: Son vehículos de exploración espacial diseñados para moverse sobre la
superficie de un planeta u otro objeto astronómico.
02. Mastcam-Z: Es un sistema de cámaras avanzado con capacidad para captar imágenes
panorámicas, estereoscópicas, y hacer zoom.
03. SuperCam: Es un instrumento que proporcionará imágenes, análisis de composición
química y mineralogía a distancia.
04. PIXL: Es un instrumento planetario para la litoquímica de rayos X.
05. SHERLOC: Es un instrumento espectrómetro UV Raman que proporciona mediciones
complementarias.
06. MOXIE: Es un experimento que busca obtener oxígeno in-situ de Marte.
07. MEDA: Es un analizador de la dinámica ambiental de Marte, compuestas por sensores
de mediciones de temperatura, velocidad, dirección del viento, presión, humedad
relativa, radiación solar, forma y tamaño del polvo.
08. RINFAX: Es un generador de imágenes de radar de la subsuperficie de Marte.
09. 2da ley de Newton: Establece que si una fuerza neta es aplicada en un objeto, la
velocidad del objeto cambiará dado que su dirección o rapidez cambiará.
10. Fuerza de resistencia: En general, la resistencia se define como la capacidad de ser
física y mentalmente capaz de resistir el cansancio durante la actividad deportiva; una
de las definiciones más utilizadas es la capacidad física que posee un cuerpo para
soportar una resistencia externa durante un tiempo determinado.
11. Genética de poblaciones: Es una rama de la biología cuyo objetivo es estudiar las
fuentes de variabilidad a través del análisis de los diversos aspectos genéticos que se
encuentran en una población, asimismo, se encarga de analizar cómo cambian estos
después del paso del tiempo. (Vizmanos, 2014)
12. Constantes del ritmo de mutación: Teniendo en consideración que las poblaciones no
se caracterizan por ser estáticas, por el contrario, son dinámicas, cuando se aplican
ecuaciones en una situación real existen cambios genéticos que son impulsados por
fuerzas, entonces hay variabilidad que se representa con el ritmo de mutación. Es
importante que el ritmo de mutación sea considerado como constante para la resolución
de ejercicios de ecuaciones diferenciales respecto al tema. (Herrera, 2013)
13. Modelo Lotka – Volterra: Lotka y Volterra fueron matematemáticos que establecieron
un modelo para indicar la relación de crecimiento poblacional de dos especies que
comparten un mismo recurso y ambiente. Para la aplicación número 6 se verá la relación
del depredador Vs presa entre una especie de anfibio (Allophryne resplendens) y
termitas de la familia Kalotermitidae.
3. APLICACIONES
3.1 Aplicación 01
El primer lote con 300,000 vacunas contra la covid 19 llegó el 07 de febrero del 2021
a Perú proveniente de China de la empresa productora Sinopharm. Los cuales han
necesitado grandes cámaras frigoríficas para mantener entre 2°C y 8°C que son la
temperatura ideal para su conservación. Días posteriores se observó la vacunación de
los policías en la capital, donde un médico extrajo una vacuna y midió con un
termómetro que marcaba 2°C, mientras que el tiempo atmosférico fue muy caluroso
con 35°C. Después de 3 minutos el termómetro indicaba 5°C. ¿En qué minuto la
temperatura llegará al límite permitido para su conservación? ¿Si en caso se dejara 15
minutos, cuánto marcará el termómetro, y si tendrá efecto la vacunación? Soslayar.
Solución.
Notamos que es un problema de temperatura, podemos usar la ley de Newton que nos
plantea lo siguiente: la rapidez con que enfría un objeto es proporcional a la diferencia
entre su temperatura y la temperatura del ambiente.
La ecuación diferencial que modeliza dicho fenómeno es
3.2 Aplicación 02
La pesca artesanal es un tipo de actividad pesquera que utiliza técnicas tradicionales
con poco desarrollo tecnológico, la practican pequeños barcos en zonas costeras a no
más de 10 millas de distancia, dentro de lo que se llama mar territorial; un pescador
artesanal necesita llegar a la costa en un tiempo máximo de 3 minutos y se encuentra a
6.5 millas mar adentro ¿El pescador podrá llegar en el tiempo limité? si se sabe que la
fuerza de resistencia del agua que opera sobre un bote es proporcional a su velocidad
instantánea y es tal que cuando la velocidad es de 20 m/s la resistencia es de 40 N. Se
conoce que el motor ejerce una fuerza constante de 50 N, además se sabe que el bote
en conjunto con todo lo pescado tienen una masa de 420 kg y el pescador de 80 kg.
Solución:
3.3 Aplicación 03
Durante las últimas dos décadas los humanos han tenido mayor interés hacia el planeta
rojo por ello se inició el Programa de Exploración de Marte de la Nasa, donde se
enviaron misiones hacia dicho planeta. Uno de ellas es el Rovers Mars 2020
(Perseverance), la cual fue lanzada en Julio 2020 desde la Base de las Fuerzas Aéreas
de Cabo Cañaveral, en Florida a bordo del cohete Atlas V541 y aterrizó el 18 de febrero
de 2021, en el antiguo emplazamiento del delta de un lago que se asentaba en el Cráter
Jezero, este Rover Mars cuenta con un total 7 instrumentos: Mastcam-Z, SuperCam,
PIXL, SHERLOC, MOXIE, MEDA, RINFAX. Al igual que otros rovers este es
alimentado por un MMRTG la cual utiliza la desintegración natural del plutonio-238,
la cual se encuentra en los 4,8 Kilogramos de dióxido de plutonio. Estos permiten
generar electricidad y calor que ayuda a que los instrumentos puedan trabajar a sus
condiciones normales. Para esto se ha pronosticado que el Rover comenzará a tener
fallas cuando a los 18 años solo tenga el 10% de la masa de Plutonio. ¿Qué cantidad de
Plutonio tendrá a 1 año?
Solución:
3.4 Aplicación 04
Durante los últimos días se ha escuchado mucho clamor por parte de los transportistas
a causa del alza del precio de los combustibles fósiles, de los cuales se generó mucho
disturbio con paros en diferentes lugares, impidiendo el paso y abastecimiento de los
productos de primera necesidad principalmente a la capital. Ese día un transportista
partió con velocidad 28 m/s de la ciudad de Huancayo con cargamento de papas en un
camión, a cierta parte de la Carrera central había bloqueos y a causa de ello tenía que
frenar para evitar un accidente. Si los frenos del camión proporcionan una
desaceleración de 12 m/s^2, ¿qué distancia recorre el camión antes de detenerse por
completo?
Solución.
Sea s(t) ladistancia recorrida por el camión en t segundos después de aplicar
los frenos.
Como el automóvil desacelera a 12m/s2 , se tiene que a (t ) = −12
a(t ) = −12
Integrando, se encuentra que la velocidad en el momento t está dada por:
v(t ) =  −12dt
 −12t + C1
Para calcular C1
Por dato sabemos que v0 = 28m / s cuando t = 0, de modo que
28 = v(0) = −12(0) + C1
y C1 = 28, por lo que la velocidad en el momento t es :
v(t ) = −12t + 28
A continuación para encontrar la distancia s(t),se inicia con el hecho de que:
ds
= v(t )
dt
E integrando se tiene que:
s (t ) =  (−12t + 28)dt

−12t 2
+ 28t + c2
2
s (t ) = −6t 2 + 28t + c2
Como s ( 0 ) = 0,se deduce que C2 = 0 y S ( t ) = − 6t 2 + 28t
Finalmente, para encontrar la distancia que se detiene el automóvil,
este se detiene cuando v(t ) = 0, lo cual sucede cuando v ( t ) = −6t + 28 = 0
t = 4.6 s
Resolviendo esta ecuación se obtiene que el automóvil
se detiene después de 4.6segundos de desaceleración aproximadamente,
y en ese tiempo ha corrido
S (4.6) = − 6(4.6) 2 + 28(4.6)
S (4.6) = 1.84 metros
3.5 Aplicación 05
En el estudio de la genética poblacional, aquellas unidades biológicas que determinan
las características que heredan los seres vivos de sus padres son conocidos como genes.
Para la especie Mustela putorius furo, se considera un gen con dos colores de pelaje,
A y a, cuyas proporciones son p(t) y q(t)=1-p(t), respectivamente, en un instante t y en
una población particular. Además, se cumple la relación:
𝑑𝑝
= 𝜈 − (𝜇 + 𝜈)𝑝
𝑑𝑡
Donde 𝜇es una constante que describe un “ritmo de mutación hacia adelante” y 𝜈 es
otra constante que representa el “ritmo de mutación hacia atrás”. Determine p(t) y q(t)
en términos de p(0), q(0), 𝜇 y 𝜈.
Solución:
Tenemos la ecuación diferencial
ⅆ𝑝
ⅆ𝑡
= 𝑣 − (𝜇 + 𝑣)𝑝 ; donde 𝜇 y 𝑣 son constantes.
I.
Procedimiento para hallar p(t)
En primer lugar, separamos las variables e integramos ambos lados de la ecuación:
∫
𝑑𝑝
= ∫ 𝑑𝑡
𝑣 − (𝜇 + 𝑣)𝑝
Multiplicamos el numerador por la constante −(𝜇 + 𝑣) para realizar la integral, para
ello se debe multiplicar también su inversa por la integral.
1
−(𝜇 + 𝑣)𝑑𝑝
∫
= ∫ 𝑑𝑡
−(𝜇 + 𝑣) 𝑣 − (𝜇 + 𝑣)𝑝
1
ln | 𝑣 − (𝜇 + 𝑣)𝑝| = 𝑡 + 𝐶1
−(𝜇 + 𝑣)
ln| 𝑣 − (𝜇 + 𝑣)𝑝| = − (𝜇 + 𝑣)(𝑡 + 𝐶1)
ln| 𝑣 − (𝜇 + 𝑣)𝑝| = − (𝜇 + 𝑣)𝑡 + 𝐶2
𝑣 − (𝜇 + 𝑣)𝑝 = 𝑒 −(𝑢+𝑣)𝑡+𝐶2
𝑣 − (𝜇 + 𝑣)𝑝 = 𝑒 −(𝑢+𝑣)𝑡𝑒𝐶2
𝑣 − (𝜇 + 𝑣)𝑝 = 𝐶𝑒 −(𝑢+𝑣)𝑡
𝑣 − 𝐶𝑒 −(𝑢+𝑣)𝑡 = (𝜇 + 𝑣)𝑝
𝑣 − 𝐶𝑒 −(𝑢+𝑣)𝑡
=𝑝
𝜇+𝑣
Entonces, obtenemos:
𝑣−𝐶𝑒 −(𝑢+𝑣)𝑡
𝑝(𝑡) =
𝜇+𝑣
…. (1)
Recordemos que nos piden determinar p(t) en términos de p(0), q(0) y las constantes 𝜇
y 𝑣. Sin embargo, se observa que tenemos la constante 𝐶, entonces, debemos reescribir
𝐶 en los términos previamente indicados
𝑝(𝑡) =
𝑣 − 𝐶𝑒 −(𝜇+𝑣)𝑡
𝜇+𝑣
Sustituimos p=0 en la expresión y obtenemos lo siguiente:
𝑣 − 𝐶𝑒 −(𝜇+𝑣)(0) 𝑣 − 𝐶𝑒 0 𝑣 − 𝐶
𝑝(0) =
=
=
𝜇+𝑣
𝜇+𝑣
𝜇+𝑣
(𝜇 + 𝑣)𝑝(0) = 𝑣 − 𝐶
𝐶 = 𝑣 − (𝜇 + 𝑣)𝑝(0)
Ahora que hemos despejado 𝐶, procedemos a sustituirla en (1)
𝑣 − [𝑣 − (𝜇 + 𝑣)𝑝(0)]𝑒 −(𝜇+𝑣)𝑡
𝑝(𝑡) =
𝜇+𝑣
𝑣 − 𝑣𝑒 −(𝜇+𝑣)𝑡 + (𝜇 + 𝑣)𝑝(0)𝑒 −(𝜇+𝑣)𝑡
𝑝(𝑡) =
𝜇+𝑣
A continuación, realizamos una simplificación, específicamente como suma de
fracciones.
𝑣 − 𝑣𝑒 −(𝜇+𝑣)𝑡 (𝜇 + 𝑣)𝑝(0)𝑒 −(𝜇+𝑣)𝑡
𝑝(𝑡) =
+
𝜇+𝑣
𝜇+𝑣
−(𝜇+𝑣)𝑡
𝑣 − 𝑣𝑒
𝑝(𝑡) =
+ 𝑝(0)𝑒 −(𝜇+𝑣)𝑡
𝜇+𝑣
De esa manera, obtenemos p(t) en los términos solicitados:
𝑝(𝑡) =
II.
𝑣−𝑣𝑒 −(𝜇+𝑣)𝑡
𝜇+𝑣
+ 𝑝(0)𝑒 −(𝜇+𝑣)𝑡
Procedimiento para hallar q(t)
Recordemos que el problema indica que 𝑞(𝑡) = 1 − 𝑝(𝑡), entonces sustituimos en la
función p(t) hallada previamente:
𝑞(𝑡) = 1 − [
𝑣−𝑣𝑒 −(𝜇+𝑣)𝑡
𝜇+𝑣
+ (1 − 𝑞(0))𝑒 −(𝑢+𝑣)𝑡 ]
Para escribirlo en términos de q(0), empleamos de igual forma 𝑞(𝑡) = 1 − 𝑝(𝑡), pero
con t=0. Es decir, 𝑞(0) = 1 − 𝑝(0).
Despejando p(0) obtenemos que 𝑝(0) = 1 − 𝑞(0).
𝑞(𝑡) = 1 −
𝑣 − 𝑣𝑒 −(𝜇+𝑣)𝑡
− 𝑒 −(𝜇+𝑣)𝑡 + 𝑞(0)𝑒 −(𝜇+𝑣)𝑡
𝜇+𝑣
𝜇 + 𝑣 − (𝑣 − 𝑣𝑒 −(𝑢+𝑣)𝑡 ) − (𝜇 + 𝑣)𝑒 −(𝜇+𝑣)𝑡
𝑞(𝑡) =
+ 𝑞(0)𝑒 −(𝜇+𝑣)𝑡
𝜇+𝑣
𝜇 + 𝑣 − 𝑣 + 𝑣𝑒 −(𝑢+𝑣)𝑡 − 𝜇𝑒 −(𝜇+𝑣)𝑡 − 𝑣𝑒 −(𝜇+𝑣)𝑡
+ 𝑞(0)𝑒 −(𝜇+𝑣)𝑡
𝜇+𝑣
Finalmente, se obtiene la función q(t) en los términos pedidos:
𝑞(𝑡) =
𝑞(𝑡) =
𝜇 − 𝜇𝑒 −(𝜇+𝑣)𝑡
+ 𝑞(0)𝑒 −(𝜇+𝑣)𝑡
𝜇+𝑣
3.6 Aplicación 06
Un grupo de biólogos propusieron observar el comportamiento de dos especies de
animales que establecerán una relación de depredador Vs presa. Estas dos especies
fueron el Allophryne resplendens (anfibio) y las termitas de la familia Kalotermitidae.
Para observar el crecimiento de ambas poblaciones, se usó el modelo Lotka – Volterra
para presas y depredadores, el cual toma en cuenta que una de las especies depredará a
la otra. Además, el modelo toma en cuenta el comportamiento de las especies aisladas
de cualquier otra. El modelo se expresa de la siguiente manera:
Donde:
Suponiendo que la capacidad del ambiente es de 30 000 termitas, es decir, esta es la
máxima cantidad de individuos que puede albergar. Con una tasa de crecimiento igual
a 0.3 termitas/ mes por termita. a_1 es de 0.005 termitas/mes por PD. r_2 igual a 0.09
anfibios/mes por anfibios. a_2 es de 0.00009 anfibios/mes por PD.
Con ello, ¿Cuándo la población de Allophryne resplendens será igual a 20?, para un
valor de PD igual a 50 000. Si además t está en meses.
Solución:
Reemplazando primero los datos en las ecuaciones originales del modelo se obtendría
lo siguiente:
Como el problema nos pregunta acerca de la población de Allophryne resplendens,
usaremos la segunda ecuación diferencial.
Para despejar D(t), integramos ambas partes de la ecuación, quedando lo siguiente:
Ahora, nos piden hallar el tiempo en el que la población del depredador será igual a
20 individuos. Reemplazando en la ecuación tendríamos:
4 CONCLUSIONES
❖ En la conservación de la vacuna Sinopharm, se obtuvo como recomendable una
temperatura máxima de conservación de 8°C, para ello se calculó el tiempo que tardaría
en adquirir esa temperatura fuera de la cámara frigorífica y se obtuvo que en el minuto
6.31 llegará al máximo permitido. Sin embargo, al dejar 15 min en el exterior, la
temperatura ascenderá los 14.5°C, de ello se deduce que la vacuna ya no tendrá efecto
como lo esperado ya que principalmente está compuesto de un virus inactivo.
❖ Se halló que el tiempo que le toma al pescador recorrer las 6.5 millas es de 2.861 𝑚𝑖𝑛
lo que equivale a 2 min con 52 segundos, eso quiere decir que llegará a la zona costera
en menos de 3 min, que era el tiempo límite, y con 8 segundos de sobra; y como
conclusión final tenemos que el procedimiento puede ser aplicado, siempre y cuando
se tengan los datos necesarios, a diferentes casos en donde se use la segunda ley de
Newton, llamada ley fundamental o principio fundamental de la dinámica de cuerpos.
❖ El Programa de Exploración de Marte decidió usar como fuente energética de los
Rovers elementos radiactivos, a través de la desintegración radiactiva ya que su
velocidad de desintegración es muy lenta, por ello año misión tras misión se busca
innovar esta tecnología para que los rovers puedan duran más años en el planeta
marciano.
❖ El transportista recorre una distancia de 1.84 metros antes de detenerse y eso sucede
exactamente cuando el tiempo es 4.6 segundos, es un indicador de la existencia de la
desaceleración para evitar accidentes al frenado seco.
❖ Respecto al estudio de la genética poblacional para la especie Mustela putorius furo,
considerando los genes de los dos colores de pelaje, A y a, cuyas proporciones son p(t)
y q(t), y la constantes 𝜇 de “ritmo de mutación hacia adelante” y 𝜈 de “ritmo de
mutación hacia atrás”. Se determinó que la proporción del gen A, denominada p(t), en
términos de las proporciones de los genes de los tipos de pelaje y de las constantes de
los ritmos de mutación es:
Mientras que la proporción del gen a, denominada q(t), en dichos términos es:
❖ La dinámica de poblaciones según el modelo Lotka Volterra indicaría que al pasar 7
meses, aproximadamente, la población de Allophryne resplendens es de 20 individuos.
Esto es considerando que el único alimento que obtienen proviene de las termitas, ya
que el modelo solo puede relacionar a los más a dos especies. Finalmente, si se
expresara aquella interacción mediante una gráfica, se observaría que el crecimiento de
las poblaciones es oscilatorio, es decir, habrá momento en los que la población de
termitas se verá reducida por el aumento de población de los anfibios y viceversa.
5
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1. Asencio, J. (2017). Modelo Depredador- Presa de Lotka- Volterra. Lotka-Volterra PreyPredator model. [tesis de fin de grado]. Universidad de La Laguna.
https://riull.ull.es/xmlui/bitstream/handle/915/6217/Modelo%20depredadorpresa%20de%20VolterraLotka.pdf?sequence=1&isAllowed=y#:~:text=Las%20ecuaciones%20de%20Lotka%
2DVolterra,presa%20y%20otra%20como%20depredador.
2. La NASA conquista Marte con energía nuclear: El rover Perseverence se suministra de
electricidad procedente de un generador MMRTG. (s. f.). Recuperado 23 de marzo de
2021, de https://elperiodicodelaenergia.com/la-nasa-conquista-marte-con-energianuclear-el-rover-perseverence-se-suministra-de-electricidad-procedente-de-ungenerador-mmrtg/
3. Vizmanos, J. (2014). Claves de la genética de poblaciones: Los mecanismos genéticos de
la evolución.
https://books.google.com.pe/books?id=Rt7QAgAAQBAJ&dq=gen%C3%A9tica+pob
lacional+es+pdf&hl=es&source=gbs_navlinks_s
4. Herrera, E. (2013). La genética de poblaciones y el origen de la diversidad humana. Rev
Med Hond, 81(1). https://revistamedicahondurena.hn/assets/Uploads/Vol81-1-201311.pdf