Ingeniería de Fluidos
Antonio Valiente Barderas
2016
UNAM
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Contenido
Capítulo I.- Introducción e historia del flujo de fluidos.
Capítulo II.- Unidades y variables en flujo de fluidos.
Capítulo III.- Hidrostática.
Capítulo IV.- Viscosidad.
Capítulo V.- Bernoulli.
Capítulo VI.- El flujo de fluidos por el interior de las tuberías y las Perdidas
por fricción
Capítulo VII.-Caídas de presión en tuberías comerciales.
Capítulo VIII.- Flujo de fluidos a régimen transitorio.
Capítulo IX.- Medidores de flujo.
Capítulo X.- Flujo de fluidos incompresibles a través de sistemas complejos.
Capítulo XI.- Bombas.
Capítulo XII.- Flujo de fluidos compresibles.
Capítulo XIII.- Fluidos no newtonianos.
Capítulo XIV.- Flujo de fluidos sobre objetos sumergidos.
Capítulo XV.- Flujo en canales.
Capítulo XVI.- Agitación.
Capítulo XVII.- Flujo a dos fases gas-líquido.
Capítulo XVIII.- Flujo a dos fases líquido-sólido.
Capítulo XIX.- Flujo a dos fases gas-sólido.
Capítulo XX.- Filtración.
Apéndice.- Capa límite.
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Capítulo I
Introducción e historia del flujo de fluidos.
El hombre al hacerse sedentario y convertirse en agricultor debió enfrentarse al
manejo del agua, primer fluido que le interesó. Existen todavía trazas de los
canales de irrigación que desde tiempos prehistóricos existían en Egipto y Mesopotamia. Se sabe que se hicieron embalses del Nilo a la altura de Menfis hace ya
más de seis mil años, para proveer el agua necesaria para las cosechas y que el
río Tigris fue desviado con el mismo propósito por la misma época. Se han encontrado pozos antiguos de gran profundidad y aun acueductos subterráneos en
Tierra Santa. En lo que es ahora Pakistán, en las ruinas de Mojenjo- Daro se ha
descubierto que las casas tenían tuberías de cerámica para el agua y para el
drenaje. También se han encontrado enormes trabajos hidráulicos en la antigua
China, así como en la península de Yucatán.
Los mayas construyeron canales y desagües en sus ciudades, en algunos de
ellos utilizaron tuberías hechas a partir de ductos cerámicos como se pueden ver
en las ruinas de Cosoleacaque en Tabasco.
En la antigua Tenochtitlán, según cuenta la leyenda, el rey Netzahualcóyotl
mandó construir el albarradón que separaba las aguas dulces del lago de
Xochimilco de las salobres del de Texcoco, así como inició la construcción del
primer acueducto que traía agua dulce de Chapultepec al centro de la gran urbe.
Como se ve, el estudio de flujo de fluidos tuvo su inicio en la prehistoria y
algunos de los factores que estimularon su crecimiento fueron las necesidades ya
mencionadas de la distribución del agua para la irrigación y el consumo humano,
el desalojo de las aguas negras, los diseños de los barcos comerciales y de
guerra.
Aunque los diseños eran empíricos y no utilizaban conceptos de mecánica o
matemáticas, sirvieron para el desenvolvimiento de muchas civilizaciones.
Los escritos más antiguos sobre la mecánica de fluidos son los de Arquímedes
(287-212 a.C.) en los que se describen por primera vez los principios de la
hidrostática y la flotación. A principios de nuestra era, un ingeniero romano, Sextus
Julius Frontinus (40-103 d.C.) escribió sobre los conocimientos hidráulicos de sus
compatriotas, conocimientos que los llevaron a construir acueductos como los que
todavía subsisten en España y Francia.
No fue sino hasta finales de la Edad Media en que los principios aristotélicos
sobre la no existencia del vacío y la velocidad de caída de los cuerpos como
función de su masa se empezaron a cuestionar en las universidades y a
establecerse relaciones mecánicas simples entre la velocidad y la aceleración.
Mientras que los griegos tendían a razonar sin observación, Leonardo da Vinci
(1452-1519) dio énfasis a la importancia de la observación, lo que plasmó en
dibujos sobre olas, ondas, chorros, remolinos, etcétera. Se atribuye también a
Leonardo la primera formulación del principio de la hidráulica conocido como
principio de la continuidad:” la velocidad de un flujo varía inversamente con la
sección transversal del área de flujo de la corriente". Desgraciadamente la mayoría
de sus observaciones pasaron inadvertidas para sus contemporáneos.
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La segunda gran contribución la efectuó el ingeniero hidráulico holandés Simón
Stevin (1548-1620), quien demostró que la fuerza ejercida por un líquido sobre la
base recipiente es igual al peso de la columna de líquido que se extiende desde la
base hasta la superficie libre. Esta no depende de la forma del recipiente.
Si Leonardo fue el primer científico observador, Galileo (1564-1642) adicionó
la experimentación a la observación aclarando los conceptos de la aceleración
gravitacional. En el estudio de ese fenómeno, se dio cuenta de que un cuerpo
(que se desliza libremente en un plano inclinado obtiene una cierta velocidad
después de un tiempo, independientemente de la pendiente. Mientras que
Leonardo era un solitario, Galileo reunió a un grupo de estudiantes a su alrededor.
Uno de sus estudiantes, el abad Benedectto Castelli (1577redescubrió el principio
de la continuidad. Su más joven colega Evangelista Torricelli (1608-1647) aplicó el
análisis de las trayectorias parabólicas de los objetos a la geometría de los
chorros de los líquidos. Torricelli experimentó también con el barómetro y encontró
que el vacío se producía sobre la columna de líquido empleado en sus
barómetros, en otras palabras, que la naturaleza no aborrece el vacío.
El científico francés Edme Mariotte (1620-1684)es llamado el padre de la
hidráulica en Francia por estudiar la presión de los vientos y el agua, y la
elasticidad del aire, un científico a quien se le asocia con el inglés Robert Boyle
(1627-1691) mediante la ley Boyle-Mariotte.
En Italia se considera que Doménico Guglielmini (1655-1710) fue el fundador
del estudio de la hidráulica: mientras que Mariotte era un experimentador de
laboratorio, Guglielmini hizo muchas mediciones en los ríos.
Casi al mismo tiempo, el sabio francés Blaise Pascal 3-1662) experimentó con el
barómetro de Torricelli y completó finalmente el principio de la hidrostática. No
sólo aclaró la transmisión de la presión de un punto a otro y sus aplicaciones en la
prensa hidráulica, sino que demostró que la presión barométrica debe variar con la
altura y que el barómetro debería dar una lectura de cero en el vacío.
_René Descartes (1596-1650), el científico a quien se deben las coordenadas
cartesianas, tratando de unificar los conocimientos aristotélicos con la mecánica
del sistema solar indicó que los planetas se movían en sus órbitas por un sistema
de gigantescos vórtices que contenían una cantidad fija de movimiento. El inglés
Isaac Newton (1642-1727) usó correctamente el concepto de momentum para
evaluar las órbitas e indicó que si hubiera vórtices en el espacio se retardaría el
movimiento de los planetas. Newton llevó a cabo también una serie de
experimentos sobre la resistencia que encontraban los cuerpos en movimiento
para probar que nada de eso ocurre en el espacio. En el curso de esos estudios
formuló la velocidad del sonido en el aire, las bases de la viscosidad y la ecuación
que ahora lleva su nombre. También inventó lo que ahora conocemos como
cálculo.
Un alemán contemporáneo de Newton, Gottfried Wilhelm von Leibnitz (1646-1716)
concibió el concepto de energía cinética. Leibnitz también desarrolló el cálculo
diferencial e integral.
Daniel Bernoulli (1700-1782), descendiente de una ilustre familia de científicos,
trabajó en numerosas ramas de la física y de la matemática. Daniel fue miembro
de la academia rusa en san Petersburgo, en donde se le unió Leonhard Euler (83).
En 1738 Daniel publicó su tratado sobre Hidráulica; en su trabajo Daniel indica el
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uso de manómetros, la teoría cinética de los gases y la propulsión a chorro. Al
igual que Leibnitz, en la ecuación de Bernoulli se consideraban sólo las energías
potencial y cinética. En realidad, la primera ecuación verdadera de Bernoulli fue
derivada por un extraordinario matemático, a partir de sus ecuaciones de aceleración, para las condiciones a régimen permanente del flujo irrotacional bajo
el efecto de la aceleración gravedad.
Jean Lerond d'Alembert (17)7-1783) más conocido por ser coeditor de la
Enciclopedia demostró que no hay resistencia al movimiento cuando un cuerpo se
mueve a través de un fluido ideal (es decir, con viscosidad cero), conclusión que
no es válida cuando los cuerpos se mueven a través de fluidos reales. La
inconsistencia entre la teoría y la práctica se conoce como la "paradoja de
D'Alembert" y sirvió para demostrar las limitaciones de la teoría en la resolución de
problemas de flujo. D'Alembert es también conocido por haber sido el primero que
hizo ensayos sobre la fuerza de arrastre en tanques de prueba con modelos de
barcos.
Después de los conocimientos alcanzados en el siglo XVIII, los estudiosos se
dividieron en dos grupos que se desenvolvieron en forma separada: los que se
dedicaron a la hidrodinámica, un término dado al estudio teórico y matemático, y al
análisis de los fluidos perfectos, y los que se dedicaron a la hidráulica que se
centraban en los aspectos experimentales del comportamiento real de los fluidos.
Esta falta de comunicación entre los dos grupos explica el desenvolvimiento lento
de la mecánica de los fluidos como ciencia hasta fines del siglo XIX.
A principios del siglo XIX, a pesar de las contribuciones de ingleses e italianos,
el liderazgo en hidráulica pertenecía a los franceses debido a la influencia de la
Corporación de Puentes y Caminos que funcionaba desde 1719.
En 1822 Louis Marie Heri Navier (1785-1836), un ingeniero de puentes, fue el
primero de incluir en las ecuaciones de Euler el flujo de una sustancia viscosa.
Navier (1827) y Stokes (1845), en trabajos independientes, generalizan las
ecuaciones de movimiento con la inclusión del concepto de viscosidad y con
ecuaciones que se aplican a una determinada clase de fluidos, llamados
newtonianos.
A fin del siglo XIX, los experimentos realizados por Reynolds comenzaron a
mostrar las posibles aplicaciones de las ecuaciones de Navier-Stokes para el
establecimiento del concepto de dos diferentes tipos de regímenes, el laminar y el
turbulento.
Al convertirse la hidráulica en una ciencia aplicada, las matemáticas se fueron
desarrollando y con ellas lo que se conoce como hidrodinámica.
Por fortuna, Ludwig Prandtl (1875-1953) un ingeniero mecánico alemán creó
una nueva ciencia, la de la mecánica de los fluidos, mediante sus enseñanzas en
la universidad de Gottingen. Hacia 1904 pensó que el movimiento relativo entre un
fluido y la separación de las líneas de flujo se podrían analizar en dos partes: una
pequeña capa de separación que produce la resistencia viscosa al movimiento y
una capa externa, que se conduce de acuerdo con los principios del flujo
irrotacional. Como en esa época comenzaron a elevarse los primeros aviones,
Prandtl y muchos de sus estudiantes se dieron a la tarea de formular los principios
del funcionamiento de las alas y las hélices.
Paul Richard Heinrich Blasius (1873-1970), uno de los primeros estudiantes de
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Prandtl, puso las bases matemáticas de la teoría de la capa de separación y
mostró en 1911 que la resistencia al flujo a través de tubos lisos puede expresarse
en términos del número de Reynolds para flujo laminar y turbulento. Otro
estudiante, Johann Nikuradse (1894-1979), hizo notables experimentos sobre la
resistencia en tubos lisos y rugosos.
Para mediados del siglo XX los estudios de Mach y Von Karman sobre el flujo
supersónico sentaron las bases para el diseño de los aviones de propulsión a
chorro y posteriormente para el de los cohetes teledirigidos y las naves espaciales
que llevaron al hombre a la Luna en 1969.
A los científicos desde hacía mucho tiempo les interesaba el flujo sobre objetos
sumergidos; Fraude y Stokes estudiaron el arrastre y la resistencia que producía el
movimiento de cuerpos sobre los fluidos o el flujo de fluidos sobre objetos
inmóviles. Sus estudios los llevaron al perfeccionamiento de naves y a la medida
de la viscosidad. Ergung posteriormente estudió el flujo en lechos empacados, lo
que se utilizó para el diseño de filtros y el movimiento de fluidos en torres de
separación. Estudios posteriores permitieron aclarar el comportamiento de
agitadores y mezcladores.
Fue también en el siglo XX cuando se comenzaron a estudiar otro tipo de
fluidos en los que la viscosidad a temperatura constante depende del gradiente de
velocidades; esos fluidos resultaron ser muy comunes en los seres vivos, en la
naturaleza, en los fluidos de perforación y en los polímeros. A partir de los
estudios de Bingham, Ostwald, Nutting, De Waale, Dodge y Metzner comenzó la
nueva ciencia de la reología. Este término fue sugerido en 1929 por Eugene Cook
Bingham para definir la rama de la Física que tiene por objeto el conocimiento de
la deformación o flujo de la materia.
Sin embargo, desde un punto de vista histórico, el origen de la reología se
remonta a la segunda mitad del siglo XVII, época en la que Robert Hook e Isaac
Newton dieron a conocer sus ideas acerca del sólido elástico y del fluido viscoso
ideales_ respectivamente. La reología moderna estudia el comportamiento de
todos los fluidos y en especial de aquellos que no siguen la ley de Newton, tales
como los fluidos de Bigham, los pseudoplásticos, los dilatantes, los tixotrópicos,
los reopécticos, y otros. Estudia también sistemas complejos que presentan
simultáneamente propiedades elásticas y viscosas, 'es decir sustancias visco
elásticas. Así, son objeto de la reología materiales tales como plásticos, fibras
sintéticas, pastas, lubricantes, cremas, suspensiones, emulsiones, y otros más, los
cuales constituyen la materia prima de las industrias farmacéutica, cosmética,
agroalimentaria, cerámica, de pinturas, de barnices y otras.
Por esa época también llamó la atención de los científicos el movimiento de
sistemas fluidos que presentan dos fases, tal como sucede con las mezclas de
líquido y gas, de líquido y sólidos; y de gas y sólidos. Esos sistemas son muy
comunes en el transporte hidráulico y neumático, y en el diseño de filtros, ciclones,
secadores, columnas de destilación y absorción, reactores fluidizados, entre otros.
Asociados al estudio de estos sistemas están los nombres de Baker, Robert Kern,
Lockart y Martinelli.
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Biografías de algunos investigadores y científicos relacionados con el flujo
de los fluidos
Arquímedes (287-212 a.C.).
Nace en Siracusa, Sicilia. Tras recibir su primera formación de su padre, un astrónomo de nombre Fidias, Arquímedes se dirigió a Alejandría desde Egipto para
completar su formación científica. Tiene como maestro a Canon de Sarnas, gran
matemático y discípulo de Euclides. Concluidos sus estudios regresa a Siracusa,
aunque vuelve a regresar a Egipto para realizar obras de ingeniería tendientes a
regular las aguas del Nilo. Durante ese tiempo se cree que perfeccionó su famoso
tomillo-sin-fin con el que se podía bombear agua. En Siracusa se dedica a las
matemáticas y a la mecánica y construye máquinas y naves de guerra. Entre sus
aportaciones matemáticas destacan tratados sobre esferas, cilindros, espirales y
cuerpos flotantes. Resuelve el problema de la corona de Hieron, develando el
fraude del orfebre que había sustituido una parte de oro por otra de plata y con
motivo de ello descubre el principio que lleva su nombre.
Al ser Siracusa atacada por los romanos se le confía la defensa de la ciudad, y
gracias a su ingenio y a la construcción de máquinas militares consigue rechazar
por ocho meses los ataques; sin embargo, la ciudad fue finalmente tomada por los
enemigos y es durante ese episodio que muere a manos de un soldado enemigo.
Leonardo da Vinci (1452-1539).
Genio italiano, dibujante, pintor, escultor y científico. Fue el primero que hizo
énfasis en el estudio de la naturaleza, lo que lo llevó a planear la construcción de
un canal en el río Amo de manera que fuera navegable entre Pisa y Florencia. Las
observaciones hidráulicas de Leonardo quedaron grabadas en numerosos dibujos
que incluyen ondas, olas, chorros, remolinos y el vuelo de las aves. En particular,
fue Leonardo el primero que formuló correctamente el principio básico de la
hidráulica conocido como principio de la continuidad: "la velocidad de un flujo varía
inversamente con el área seccional de la corriente". También hizo diseños para
máquinas y molinos movidos por la fuerza del agua. Desgraciadamente sus
observaciones las transcribía con escritura de espejo (probablemente para
guardar el secreto) y además estuvieron pérdidas por mucho tiempo, así que sus
descubrimientos tuvieron poco efecto en el desarrollo de la ciencia.
Simón Stevin (1548-1620).
Matemático e ingeniero holandés fundador de la ciencia de la hidrostática al demostrar que la presión ejercida por un líquido sobre una superficie depende de la
altura del líquido y del área de la superficie. Stevin era auxiliar contable en
Amberes, luego oficinista en la Casa de Impuestos de Brujas; más tarde se movió
a Leiden en donde asistió a la escuela primaria y luego entró a la Universidad de
Leiden en 1583 a la edad de 35 años. Al formar parte del ejército holandés, Stevin
inventó una forma de inundar las partes bajas del país abriendo diques
seleccionados y causando grandes perjuicios a la armada española invasora. Fue
un gran ingeniero que construyó molinos de viento, puertos y esclusas. Como
autor de 11 libros hizo aportaciones importantes en trigonometría, geografía,
fortificaciones y navegación. Inspirado por Arquímedes, Stevin escribió varios
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libros sobre mecánica. Aunque no fue el inventor de la notación decimal (habían
sido inventadas por los chinos y los árabes hacía mucho tiempo) introdujo su uso
en las matemáticas. Su notación fue seguida por Clavius y Napier. Stevin indicó
que el uso universal de los decimales en las monedas, medidas y pesos era sólo
cuestión de tiempo. La noción de Stevin sobre los números reales fue aceptada
por los demás científicos, así como el concepto de número negativo. En sus libros
utilizó las notaciones +, -y -r En 1583, tres años antes que Galileo informó que
pesos diferentes caen desde una altura dada al mismo tiempo.
Galileo Galilei (1564-1642).
Físico, matemático y astrónomo italiano. Fue un genio prolífico que destacó en
numerosos campos, sobre todo en mecánica y astronomía. Es uno de los
constructores de los primeros telescopios y desde luego el primero que lo utilizó
para la observación de los astros. Al defender las teorías de Copérnico entró en
conflicto con la Iglesia. Se le acredita además la invención del termoscopio (un termómetro primitivo), de una máquina para bombear agua mediante un caballo y de
una brújula militar. Las contribuciones de Galileo a la mecánica son
fundamentales, en especial las relacionadas con la caída de los cuerpos sobre
planos inclinados, la formulación de la ley de la caída libre, el isocronismo del
movimiento del péndulo y el movimiento de los proyectiles.
Evangelista Torricelli (1608-1647).
Evangelista Torricelli entró al colegio jesuita de Faenza en 1624, después al
Colegio Romano en Roma en donde mostró un gran talento ante su maestro,
Castelli. Mientras recibía lecciones, Torricelli se convirtió en su secretario, puesto
que ocupó desde 1626 a 1632. De 1641 a 1642 se convirtió en secretario de
Galileo y fue su sucesor como matemático de la corte del Gran Duque Fernando II
de Toscania. Ocupó ese puesto hasta su muerte en la ciudad de Florencia.
Torricelli fue el primer hombre que creó el vacío y que descubrió el principio del
barómetro. En 1643 Torricelli propuso un experimento, que posteriormente llevó a
cabo su colega Vicenzo Viviano para demostrar que la presión atmosférica
determina la altura a la cual un fluido Evangelista Torricelli (1608-1647) se eleva
en un tubo invertido sobre el mismo líquido. Este concepto lo llevó a la
construcción del barómetro. Fue tan hábil pulidor de lentes (construyó telescopios
y un microscopio) que obtenía la mayor parte de sus entradas a partir de este
oficio. Probó también que el flujo de un líquido a través de un orificio es
proporcional a la raíz cuadrada de la altura del líquido, resultado que se conoce
como teorema de Torricelli. También encontró la longitud del arco de la cicloide, o
sea, aquella curva trazada por un punto sobre la circunferencia de un círculo en
rotación. Al hacer uso de los métodos infinitesimales determinó el punto en el
plano de un triángulo tal que la suma de sus distancias a los vértices es un mínimo
(centro isogónico). Torricelli también estudió el movimiento de los proyectiles. Su
trabajo Opera Geométrica, (1664) incluye importante material sobre este tópico.
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Blaise Pascal (1623-1662).
Filósofo, matemático y físico francés. A los diecisiete años escribió un magnífico
tratado de las cónicas, que contiene además, el teorema de su nombre sobre el
hexágono, En 1642 construyó la primera calculadora, "la Pascalina" para ayudar a
su padre con los cálculos contables que hacía. En el campo de la física es notable
por descubrir la utilidad' del barómetro, como altímetro, e investigar la estática de
los fluidos, comprobando que la presión en el interior de un fluido es proporcional
a la altura de la columna del fluido que hay sobre ese punto y a la densidad del
mismo. El principio de Pascal indica que "la presión que se ejerce sobre un fluido
se distribuye en todos los sentidos y con la misma intensidad". En 1654, después
de una visión religiosa, se retiró de la vida mundana, recluyéndose en un
convento. En sus Pensamientos de 1669, se esforzó en encontrar un camino entre
el estado filosófico y la verdad religiosa.
En su tratado de triángulos aritméticos, de 1665, que fue publicado después de su
muerte, desarrolla la combinatoria y el cálculo de probabilidades.
Isaac Newton (1643-1727).
Matemático y físico inglés, famoso por la ley de la gravitación universal, por el
estudio de la luz y por la invención del cálculo diferencial e integral. Fue el
constructor del primer telescopio de reflexión. Estudió entre otras cosas el
movimiento de los fluidos, enunciando la ley que hoy lleva su nombre. A pesar de
sus numerosos estudios sobre alquimia no hizo contribución importante en ese
campo.
Daniel Bernoulli (1700-1782).
Nació el 29 de enero de 1700 en Groningen, Holanda. Era hijo de Jean Bernoulli y
sobrino de Jacques Bernoulli, dos investigadores que hicieron aportaciones
importantes en el desarrollo del cálculo. En 1721 obtuvo el título de médico y fue
profesor de matemáticas en la academia Rusa de
San Petersburgo en 1725.
En ese lugar, junto con su hermano Nicolás, comenzó
a trabajar en matemáticas junto con Euler, incluyendo
problemas de estadística de la salud. Dos años
después regresó a Basilea, Suiza, en donde fungió
como profesor de anatomía, botánica, filosofía y
física. Sus trabajos más importantes están
relacionados con la hidrodinámica, en la que
considera las relaciones que existen entre los diferentes tipos de energía, potencial, cinética y de
presión, lo que dio origen al Principio de Bernoulli o
teoría dinámica de los fluidos. Entre 1725 y 1749
obtuvo diez premios por sus trabajos en astronomía,
gravitación, mareas, magnetismo, corrientes oceánicas y comportamiento de
embarcaciones.
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Leonhard Euler (1707-1783).
Matemático, físico y astrónomo suizo, nacido en Basilea. Desde 1927 vivió en San
Petersburgo donde fue profesor en 1730; allí mismo estudió matemáticas con Johann Bernoulli, teología y lenguas orientales. De 1741 a 1766'fue llamado por
Federico II el Grande de Prusia para que fuera director de la Academia de Berlín.
Tiene muchas fórmulas y teorías con su nombre, que demuestran su enorme
fecundidad y Leonhard Euler (1707-1783) actividad en matemáticas y física. Su
memoria excepcional le permitió seguir sus trabajos científicos aún después de
quedarse ciego. A su muerte dejó unas 900 obras. Existe un número adimensional
que lleva su nombre.
Robert Boyle (1627-1691).
Químico inglés (1627--1691) por sus trabajos sobre la iatroquímica y la alquimia es
considerado el padre de la química. Boyle demostró que la química era una ciencia en la que la experimentación rigurosa y los métodos cuantitativos daban
resultados reproducibles. Él fue el "primero que dio una definición moderna de los
elementos químicos. Efectuó numerosas investigaciones utilizando una bomba de
vacío, notando que al extraer el aire de una cámara se extinguía el fuego y se
morían los animales que estaban dentro, y que durante estos experimentos la
columna de mercurio del barómetro descendía. Boyle presentó su famosa ley en la
que indica que la presión varía inversamente con el volumen a temperatura
constante. Su libro El químico escéptico, publicado en 1661, tenía por misión
eliminar de la química el lenguaje intrascendente. Boyle fue el primero que usó
indicadores que cambiaban de color con la acidez.
Jean Charles de Borda (1733-1795).
Investigador, marinero e inventor francés. En su juventud tomó parte en la guerra
de Independencia de Norteamérica y luego participó en misiones navales técnicas;
sus investigaciones le hicieron acreedor a la entrada a la Academia de Ciencias.
Es autor de numerosas invenciones, como el perfeccionamiento de las ruedas
hidráulicas y las bombas, y la mejora de los instrumentos de navegación. Fue
nombrado inspector de construcciones navales. Sus trabajos se relacionan
también con el estudio de la resistencia de los fluidos y sobre la medida del arco
del meridiano terrestre con Delambre y Mechain. Con Lavoisier y Monge contribuyó a la creación del sistema métrico.
Henry Philibert Gaspard Darcy (1803-1858).
A Henry Darcy se le acredita la invención del tubo Pitot moderno. Fue el primer
investigador que sospechó la existencia de la capa de separación en flujo de
fluidos y contribuyó al desarrollo de la ecuación DarcyWeisbach para obtener las pérdidas por fricción en
tuberías. Hizo también grandes contribuciones al flujo
en canales abiertos y desarrolló la ley de Darcy para el
flujo en medios porosos. Su ley puso los cimientos para
varios campos de estudio que incluyen la hidrología del
agua subterránea, la física de suelo y la ingeniería
petrolera.
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Jean Leonard Poseuille (1799-1869).
Nació en París en 1799. Médico Y físico que realizó diversos estudios sobre el
corazón y la circulación de la sangre. Sus trabajos más importantes son una serie
de experimentos que le permitieron en 1844 formular las leyes de la circulación a
flujo laminar y publicar la ley que lleva su nombre. En su honor una de las
unidades de viscosidad lleva el nombre de Poise.
Claude Louis Marie Henry Navier (1785-1836).
Ingeniero francés especialista en puentes que estudió bajo Fourier en la Ecole
Polythecnic. Navier es recordado hoy en día no por sus puentes sino por la
ecuación de dinámica de fluidos llamada de Navier-Stokes. Trabajó en
matemáticas aplicadas en tópicos tales como ingeniería, elasticidad y mecánica de
fluidos; además, hizo contribuciones a las series de Fourier y las aplicó a la
resolución de problemas físicos. En 1821 publicó la ecuación Navier-Stokes para
flujos incompresibles y en 1822 publicó otra ecuación "para fluido viscoso". Navier
derivó su ecuación sin comprender completamente la situación física que estaba
modelando. No sabía en aquel tiempo acerca del esfuerzo cortante en los fluidos y
por ello se basó en una modificación de la ecuación de Euler para tomar en cuenta
las fuerzas intermoleculares de los fluidos. Navier recibió en vida muchos honores;
el más importante fue la entrada a la Academia de las Ciencias de París en 1824.
Desde 1830 trabajó como consultor.
Osborne Reynolds (1842-1912).
Ingeniero británico nacido en Belfast en 1842. Trabajó en su juventud en un taller
mecánico y_ posteriormente realizó estudios en Cambridge. En 1868 se hizo
cargo de una cátedra especial para ingenieros que acababa de crear la
universidad de Manchester, puesto que desempeñó hasta 1905. Sus trabajos versaron principalmente sobre hidrodinámica. Llevó a cabo ensayos sobre la
propulsión por hélice y estudió el comportamiento dinámico de los fluidos viscosos.
Como resultado de sus investigaciones en este campo demostró la importancia del
número de Reynolds, que interviene en muchas aplicaciones de flujo de fluidos,
transferencia de calor y de masa. Elaboró también una teoría sobre la lubricación,
introdujo perfeccionamientos en las turbinas y los frenos hidráulicos, y estableció
los diagramas de las máquinas de expansión múltiple.
William Froude (1810-1879).
Ingeniero naval inglés, notable por la investigación sobre los efectos de las
corrientes y el oleaje en modelos y en tanques experimentales. Esto era
particularmente importante en su época porque la máquina de vapor estaba
reemplazando a las velas como la fuerza motriz y se necesitaba un diseño más
científico de los cascos y las propelas para utilizar las ventajas de la propulsión a
vapor. Con el resultado de sus experimentos se pudieron construir Duques más
seguros, eliminando muchos errores de diseño mediante la aplicación de pruebas
rigurosas sobre modelos precisos y a escala de las naves. Sus investigaciones, y
descubrimientos fueron prontamente aplicados en todo el mundo para el diseño y
las pruebas experimentales. En sus empresas fue apoyado por su hijo Robert
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Froude, otro gran ingeniero.
George Gabriel Stokes (1819-1903).
Físico y matemático inglés. Desde 1849 fue profesor en Cambridge. Tiene muchos
trabajos sobre análisis (teorema de la integral de Stokes); sobre todo, en la
aplicación a campos eléctricos e hidrodinámicos, absorción, espectros,
luminiscencia y éter. En 1849 fue profesor de matemáticas en Cambridge y en
1851 elegido como miembro de la Royal Society, de la que llegó a ser secretario
en 1854. Los trabajos de Stokes sobre el movimiento pendular en los fluidos lo
llevaron a publicar un artículo fundamental sobre hidrodinámica en 1851, en el que
se describía su ley de la viscosidad y la velocidad a la que cae una esfera a través
de un fluido viscoso.
La fórmula de Stokes describe la resistencia de rozamiento en el movimiento de
esferas en medios viscosos. Una esfera que se mueve en un líquido de viscosidad
 a la velocidad v y que tiene un radio r, tiene una resistencia de:
W= 6n/lvr
En su honor la unidad de viscosidad cinemática es el Stokes (1 St = IQ-4 m2/s).
John William Strutt, Lord Rayleigh (1842-1919).
Físico inglés. Fue catedrático de física en Cambridge entre los años 1879 y 1884,
Y a partir de 1887 se movió al Instituto Real de Londres. Entre los años 1905 y
1908 fue presidente de la Royal Society. Dominaba por igual todos los campos de
la ciencia, si bien centró su actividad investigadora en la acústica y los fenómenos
relacionados con las radiaciones, en cuyo campo descubrió nuevas leyes y
métodos de medición. Durante los trabajos de determinación de la densidad de
diversos gases halló la existencia del argón, o sea el primer gas noble conocido, lo
que permitió ampliar el sistema periódico de los elementos. En el campo de la
destilación es conocida su famosa ecuación que permite calcular la destilación de
mezclas en los alambiques. Implementó también un método de análisis
dimensional que lleva su nombre y con el cual se pueden encontrar los números
adimensionales que controlan un proceso. Rayleigh fue galardonado con el
Premio Nobel de Física en el año de 1904.
Ludwig Prandtl (1875-1953).
Nació en Freisig, Bavaria en 1875. Físico alemán
famoso por sus trabajos sobre aeronáutica. Fue
profesor de mecánica aplicada en Gottingen por 49
años. En 1925, Prandlt se convirtió en director del
Instituto Káiser Wilhelm para Mecánica de Fluidos.
Su descubrimiento en 1904 sobre la Capa Límite
llevó al entendimiento de la fuerza de arrastre. Sus
trabajos en la teoría de las alas dieron lugar al
mejoramiento de estos aditamentos aeronáuticos.
Hizo también importantes contribuciones a las teorías
de flujo supersónico y sobre la turbulencia, y
contribuyó al desarrollo de los túneles de viento.
12
Theodore von Karman (1881-1963).
Físico húngaro nacido en Budapest. Fue profesor en la universidad de Gottingen y
en Aquisgrán y, desde 1930, en Pasadena (EUA). Es el impulsor del desarrollo de
la investigación en aerodinámica. Trabajó preferentemente sobre las turbulencias
y sobre la teoría de la capa límite. En 1912 fue nombrado profesor y director de la
Institución Aeronáutica de Aachen, puesto en que
permaneció hasta 1930. Durante la Primera Guerra
Mundial estuvo trabajando para el imperio
austrohúngaro en el desarrollo de los primeros
helicópteros. En 1926 estuvo involucrado en la
creación de una escuela de aeronáutica en California
que fue apoyada por la compañía Douglas fabricante
de aviones. Desde 1936 se refugió en los Estados
Unidos en donde trabajó en el desarrollo de los
modernos cohetes y del helicóptero, y tomó la
dirección de la Institución de Ciencias Aeronáuticas y
fue uno de los fundadores de la NASA. Tiene
importantes trabajos sobre el flujo de fluidos a
velocidades subsónicas, sónicas y supersónicas. Fue
una persona ingeniosa, políglota, amigable y que pertenecía a numerosos círculos
de científicos. La línea de remolinos de Karman es la línea de turbulencias que se
forman detrás de un cuerpo que se desplaza en una corriente de fluido; se
resuelven periódicamente con un giro contrario o son causa de la pérdida de
energía del cuerpo que se desplaza.
Bibliografía consultada.
-The turbulent history of Fluid Mechanics.
courses/me 11l/pdfl poem-Naomi.pdf
http://www.engr.sju.edu/nikos/
-Hydraulics Collection http://www.lib.uiowa.edu/spec-call/Bai/hydraul.htm
-Desenvolvimento histórico da mecánica dos fluidos
http://www.ime.eb.br/webde 1/ gloria/Projfinal/ Profinal99/grupo 15/historico.html
-Álvarez Sánchez, J., Forjadores de la ciencia, Diccionario Ríoduero, Madrid,
1983. 1500 nuevas biografías. Editorial América, Panamá, 1989.
-Munson, Young & Okushi. Fundamentos de mecánica de fluidos. México: Limusa.
1990.
13
Capítulo 2
Unidades y variables en flujo de fluidos
14
Para clasificar a los materiales que se encuentran en la naturaleza se pueden
utilizar diversos criterios. Desde el punto de vista de la ingeniería, uno de los más
interesantes lo constituye aquel que considera el comportamiento de los
elementos frente a situaciones especiales. De acuerdo a ello se definen los
estados básicos de sólido, plástico, fluidos y plasma. De aquí la de definición que
nos interesa es la de fluidos, la cual se clasifica en líquidos y gases.
La clasificación de fluidos mencionada depende fundamentalmente del estado y
no del material en sí. De esta forma lo que define al fluido es su comportamiento y
no su composición. Entre las propiedades que diferencian el estado de la materia,
la que permite una mejor clasificaron sobre el punto de vista mecánico es la que
dice la relación con la forma en que reacciona el material cuando se le aplica una
fuerza.
Los fluidos reaccionan de una manera característica a las fuerzas. Si se compara
lo que ocurre a un sólido y a un fluido cuando son sometidos a un esfuerzo de
corte o tangencial se tienen reacciones características que se pueden verificar
experimentalmente y que permiten diferenciarlos.
Con base al comportamiento que desarrollan los fluidos se definen de la siguiente
manera: "Fluido es una sustancia que se deforma continuamente, o sea se
escurre, cuando está sometido a un esfuerzo de corte o tangencial". De esta
definición se desprende que un fluido en reposo no soporta ningún esfuerzo de
corte.
Un fluido es pues, una sustancia o medio continuo que se deforma continuamente
en el tiempo ante la aplicación de una presión o tensión tangencial sin importar la
magnitud de ésta.
La parte de la física que se ocupa de la acción de los fluidos en reposo o en
movimiento, así como de las aplicaciones y mecanismos de ingeniería que utilizan
fluidos se llama Mecánica de fluidos. La mecánica de fluidos es fundamental en
campos tan diversos como la aeronáutica, la ingeniería química, civil e industrial,
la meteorología, las construcciones navales y la oceanografía.
La mecánica de fluidos puede subdividirse en dos campos principales: la estática
de fluidos, o hidrostática, que se ocupa de los fluidos en reposo, y la dinámica de
fluidos, que trata de los fluidos en movimiento. El término de hidrodinámica se
aplica al flujo de líquidos o al flujo de los gases a baja velocidad, en el que puede
considerarse que el gas es esencialmente incompresible. La aerodinámica, o
dinámica de gases, se ocupa del comportamiento de los gases cuando los
cambios de velocidad y presión son lo suficientemente grandes para que sea
necesario incluir los efectos de la compresibilidad.
Entre las aplicaciones de la mecánica de fluidos están la propulsión a chorro, las
turbinas, los compresores y las bombas. La hidráulica estudia la utilización en
ingeniería de la presión del agua o del aceite.
Los principios básicos del movimiento de los fluidos se desarrollaron lentamente a
través de los siglos XVI al XIX como resultado del trabajo de muchos científicos
como Da Vinci, Galileo, Torricelli, Pascal, Bernoulli, Euler, Navier, Stokes, Kelvin,
15
Reynolds y otros que hicieron interesantes aportes teóricos a lo que se denomina
hidrodinámica. También en el campo de hidráulica experimental hicieron
importantes contribuciones Chezy, Ventura, Hagen, Manning, Pouseuille, Darcy,
Froude y otros, fundamentalmente durante el siglo XIX. Hacia finales del siglo XIX
la hidrodinámica y la hidráulica experimental presentaban una cierta rivalidad. Por
una parte, la hidrodinámica clásica aplicaba con rigurosidad principios
matemáticos para modelar el comportamiento de los fluidos, para lo cual debía
recurrir a simplificar las propiedades de estos. Así se hablaba de un fluido real.
Esto hizo que los resultados no fueran siempre aplicables a casos reales. Por otra
parte, la hidráulica experimental acumulaba antecedentes sobre el
comportamiento de fluidos reales sin dar importancia a la formulación de una
teoría rigurosa.
La Mecánica de Fluidos moderna aparece a principios del siglo XX como un
esfuerzo para unir estas dos tendencias: experimental y científica. Generalmente
se reconoce como fundador de la mecánica de fluidos moderna al alemán L.
Prandtl (1875-1953). Esta es una ciencia relativamente joven a la cual aún hoy se
están haciendo importantes contribuciones.
En ingeniería es necesario cuantificar los fenómenos que ocurren y para ello se
requiere expresar las cantidades en unidades convencionales. Los sistemas de
unidades utilizados están basados en ciertas dimensiones básicas, o primarias,
apartar de las cuales es posible definir cualquier otra utilizando para ello leyes
físicas, dimensionalmente homogéneas que las relacionan. Las dimensiones
básicas más usadas son: longitud, tiempo, masa y temperatura. La forma en que
se seleccionan las dimensiones básicas apartar de las se pueden definir las
restantes, y las unidades que se les asignan, da origen a diferentes sistemas de
unidades. Desde 1971 se ha intentado universalizar el uso del denominado
Sistema Internacional de Unidades, SI, el cual corresponde a la extensión y el
mejoramiento del tradicional sistema MKS.
Magnitudes
Definición
Longitud
L
Tiempo
θ
Masa
M
Fuerza
F=Ma
Energía
W=F L
Dimensiones MASA
L
θ
M
MLS
2
-2
-2
ML S
Trabajo
FUERZA
CGS, SI o MKS
MKS,SI, Ingles
1cm 1m
1 m 1 ft
1 seg 1seg
1 seg 1 sec
1g 1kg
1 utm 1 slug
1 dina=10-5N 1N
1kgf=9,81lbf=4,448N
1 erg 1Joule
1 kgfxm 1 ft-lbf
1 cal
1 cal
1 erg/seg 1Watt
1kgf.m/s 1lbf.ft/sec
Calor
Potencia
P=W/θ
2
-2
ML S θ
-1
16
-1
-1
1poise, 1kg/m.s
1kgf.s/m2 1lbf.sec/ft2
-1
-2
1baria 1Pa=1N/m2
1 kgf/m2 1lbf/ft2
1 kelvin 1 kelvin
1 kelvin , 1°Rankine
Viscosidad
µ
ML θ
Presión
p = F/A
ML θ
Temperatura
T
T
En los procesos industriales y en los laboratorios se necesita medir, es decir,
encontrar el tamaño y la cantidad de las variables que se están manejando:
temperatura, concentración, pH, cantidad de materia, etc.
Una dimensión es una propiedad que puede medirse, como la longitud, el tiempo o
la masa. Las variables fundamentales suelen llamarse dimensiones básicas.
Estas son la masa (M), el espacio (L), el tiempo (), y la temperatura (T); cada una
de éstas se puede representar por un símbolo. Otras propiedades dependen de
las dimensiones básicas y pueden ponerse en función de ellas tal como el
volumen (L3), la velocidad (L /) y la densidad (M / L3).
Cualquiera que sea la naturaleza de una cantidad física, se emplea para medirla
otra cantidad fija de la misma especie, a la que se llama unidad. Toda cantidad
medida o contada tiene un valor numérico (2, 0.007, 3x 105, etc.) y una unidad
(metro, gramos, kilocalorías, etc.). En los cálculos químicos resulta indispensable,
escribir tanto el valor numérico como la unidad de la medición.
Las unidades pueden tratarse como entidades algebraicas, de manera que las
cantidades que tienen una misma unidad pueden sumarse o restarse.
Ejemplo 1.
5kg + 7 kg = 12 Kg
; 3560 kcal - 1340 kcal =2220 kcal
Sin embargo a veces es necesario especificar lo que se suma o se resta, ya que
como dice el dicho “no se pueden sumar peras con manzanas”
Ejemplo 2.
5kg de manzanas + 7 kg de peras = 12 kg (de peras + manzanas o de mezcla).
Por otro lado los valores numéricos y sus correspondientes unidades pueden
combinarse por medio de la multiplicación o división.
Ejemplo 3.
5 N x 7 m = 35 Nm= 35 J
30 kcal / 3 h = 10 kcal / h
km
70
 4h  280km
h
1
1
kcal
75kcal   2  25
3h m
h m2
17
Una cantidad medida puede expresarse en términos de cualquier unidad que
tenga la dimensión apropiada.
Ejemplo 4.
Una cierta cantidad de frijoles se puede expresar en gramos, kilogramos, libras,
toneladas o con cualquier otra unidad de masa. Obviamente el valor numérico de
la masa dependerá de la variable seleccionada. Lo que no puede hacerse es
sumar o restar cantidades que tengan diferentes unidades aunque pertenezcan a
la misma dimensión.
Por ejemplo; NO se pueden sumar 6 kg de frijoles con 10 libras de frijoles. Para
hacer la suma se deberá emplear equivalencias
entre las unidades, la
equivalencia llamada factor de conversión suele expresarse mediante una
igualdad o un cociente.
Ejemplo 5.
2.2 libras
1
1 kg
Para convertir una cantidad expresada en términos de una unidad en su
equivalente en términos de otra unidad se debe utilizar el factor de conversión
partiendo del hecho de que en álgebra, multiplicar por 1 no afecta al resultado.
Así:
1kg
6 kg frijoles  10 libras frijoles 
 10.545kg frijoles
2.2 libras
2.2 libras = 1 kg.
Con frecuencia
en los cálculos químicos hay que efectuar la operación de
conversión varias veces, empleando varios factores de conversión, por lo que al
hacer las operaciones se parecen estas a las de los eslabones de una cadena.
Ejemplo 6.
Convertir 5 cm / s a pies por hora
Solución
cm
1m
3600 s
pie
pie
5



 5901638
.
s 100 cm 0.305 m
h
h
Resultado.
5 cm /s equivalen a 590.1638 pies / h
Por lo tanto, al hacer una transformación lo que se requiere es multiplicar tantas
veces por uno como transformaciones se requieran. La mejor manera de evitar el
error común de multiplicar cuando se tiene que dividir y viceversa, es escribir las
unidades en los cálculos de este tipo. El procedimiento será el correcto cuando se
cancelen las unidades viejas y sólo resulten al final las unidades nuevas.
18
Los sistemas de unidades más empleados en los cálculos químicos son el SI
(sistema internacional de unidades), el MKS (absoluto y gravitacional) y el sistema
Inglés (gravitacional y absoluto) de unidades. Algunos factores de conversión
pueden obtenerse del apéndice.
En los sistemas absolutos, las unidades fundamentales son la longitud, la masa
y el tiempo y de ellas se derivan las demás. Por ejemplo, en el Sistema
Internacional y el MKS absoluto las unidades fundamentales son el metro, el
kilogramo masa y el segundo. En esos sistemas la aceleración está dada en
m / s2 y la fuerza es el Newton (aquella fuerza que a la unidad de masa le
imprime la unidad de aceleración kg m / s2). En los sistemas absolutos las
unidades fundamentales son la longitud, el tiempo y la fuerza. Por ejemplo en el
sistema MKS gravitacional la unidades son el metro, el segundo y el kilogramo
fuerza o kilopond (la fuerza que al kilogramo masa le provoca una aceleración de
9.81 m /s2), siendo la masa una unidad derivada llamada geokilo.
De manera que
para convertir la fuerza en Newtons a kilogramos fuerza

(abreviado kg ) se debe utilizar un factor de conversión que en este caso se
denomina por gc y que es igual a:
lb ft
kgm
km
2
2
9.81 N
s
s  32.2 s2
gc 
  9.81   1
kg
kg
N
lb
El peso de un objeto es la fuerza que ejerce sobre el objeto la atracción
gravitacional.
Peso = F = masa x g
En donde g es la aceleración de la gravedad. En la Tierra la aceleración debida a
la gravedad en promedio es de 9.81 m/ s2
Ejemplo 7.
Supongamos que una persona tenga una masa de 50 kg. ¿Cuál sería su peso?
Solución.
El peso sería de:

Peso = 50 kg x 9.81 m /s2 = 490.5 N = 490.5 / gc = 50 kg
Resultado.

Una persona que tiene una masa de 50 kg en la Tierra pesa 50 kg o 490.5 N
Congruencia de una relación matemática.
Cualquier igualdad matemática válida requiere que ambos términos sean
congruentes dimensionalmente, es decir, que cuando se sustituyan las literales de
la ecuación matemática por las dimensiones correspondientes (masa, longitud,
tiempo y temperatura) ambos términos de la ecuación tengan las mismas
dimensiones.
Una ecuación puede ser dimensionalmente correcta, pero no serlo en cuanto al
tipo de unidades que se emplean para medir las diferentes dimensiones, por lo
que es necesario asegurarse de que se emplea el mismo tipo de sistema de
19
unidades en los dos lados de la ecuación. Cuando no se tiene lo anterior se
deberán hacer las conversiones necesarias.
Ejemplo 8.
La densidad de todos los cuerpos varía con la temperatura. En algunos líquidos
esa variación puede expresarse por medio de la siguiente fórmula:
 = o + A t
3
Donde  = kg / m a una temperatura t en º C
o = kg /m3 a la temperatura base to
¿Cuáles deben ser las unidades de A?
Solución:
Recordando que, para que una ecuación sea correcta desde el punto de vista de
las unidades, ambos lados de la ecuación deben tener las mismas unidades, por
lo que:
   o  At
kg kg

 A ºC
m3 m3
kg kg
 3  A ºC
m3
m
kg
A 3
m ºC
Resultado.
Las unidades de A deben ser kg / m3 ºC. Este factor se llama coeficiente de
dilatación.
Mol.
La masa atómica de un elemento es la masa de un átomo en relación con la masa
del isótopo del carbono 12 C a la que se da un valor de 12.
La masa molecular (usualmente llamada peso molecular) de un compuesto es la
suma de las masas atómicas de los átomos que constituyen la molécula del
compuesto. Por ejemplo la masa molecular o peso molecular del CH 4 se
obtendría mediante la suma de 4 x 1+12= 16.
Un gramo mol o mol de una sustancia es la cantidad de esa sustancia cuya masa
en gramos es numéricamente igual a su masa molecular. Si se trata de un átomo
se hablará de átomo gramo.
Se pueden utilizar otras unidades derivadas del mol tales como el kg mol, la libra
mol, que se definen de manera semejante.
Si el peso molecular de una sustancia es PM, entonces hay PM en kg / kg mol,
PM en g / mol y PM en lb /lb mol de esa sustancia.
Ejemplo 9.
¿Cuántas moles hay en 56 kg de CH4?
Solución:
20
56kg de CH4 
kgmol de CH4 1000 mol

 3500 mol
16 kg de CH4
1 kgmol
Resultado.
En 56 kg de metano hay 3500 mol
Gastos.
En los procesos de la industria se debe tener un estricto control sobre la materia
y energía que entra y sale de ellos. Los procesos continuos involucran el
movimiento de sustancias de un punto a otro del sistema, algunas veces entre los
equipos del proceso, otras desde las instalaciones de producción hasta el almacén
o viceversa. La rapidez a la que se transporta una sustancia a través de una línea,
proceso o equipo se denomina gasto y puede medir tanto gases, líquidos o sólidos
como a sus mezclas. El gasto se puede expresar como:
Gasto másico
Gasto volumétrico o caudal
Gasto molar.
Las dimensiones correspondientes a cada caso son:
Gasto másico = Masa / Tiempo = M / 
Gasto volumétrico = Volumen / Tiempo = L3 / 
Gasto molar = moles / tiempo = M / 
El gasto se utiliza para medir gases, líquidos, sólidos o mezclas. Es conveniente
identificar cada uno de los casos con literales especiales:
Tabla 3 Distintos tipos de gastos.
Gasto
másico
De gases
De
líquidos
De sólidos
De
mezclas
G
L
Gasto volumétrico o
caudal
Ca
Ca
~
G
~
L
S
M
Ca
Ca
~
S
~
M
Gasto
molar
Para medir los gastos se pueden utilizar muchos dispositivos colocados en las
líneas de proceso, para que den lecturas continuas de la cantidad de materia que
está procesándose. En sus gran mayoría estos dispositivos son caudalímetros
(miden flujos volumétricos) o medidores de velocidad, siendo menos frecuentes
los aparatos que miden la masa (masimétros).
Entre los caudalímetros podemos citar al rotámetro que es un tubo vertical que
contiene un flotador; cuanto mayor sea el caudal, tanto mayor será la altura que
alcanza el flotador en el tubo (Figura 1.-3).
21
Figura 3. Rotámetro
Otro caudalímetro muy usado es el medidor de discos, el cual es un aparato
provisto de discos giratorios que se instala en la línea, el paso del fluido hace
mover los discos, cada giro es equivalente a un cierto caudal el cual se registra
en una carátula (Figura 4).
Figura 4. Medidor de discos
22
Entre los medidores de velocidad están el medidor de orificio que es una
obstrucción en el ducto que tiene una abertura estrecha, a través de la cual pasa
el fluido. La presión del fluido disminuye al pasar por esta obstrucción y esta caída
de presión (que se mide con un manómetro) varía con la velocidad del fluido
(Figura 5).
Figura 5. Medidor de orificio
Otro medidor de velocidad es el tubo Pitot.
Figura 6. Tubo de Pitot
Si lo que se obtiene es la velocidad, el caudal puede obtenerse por:
Ca = v (A)
En donde v es la velocidad media en la línea y A es el área de la sección
transversal.
Con el caudal puede obtenerse el gasto másico ya que:
L = Ca 
Donde  es la densidad de la sustancia que se está procesando.
Para obtener el gasto molar bastará con dividir el gasto másico entre el peso
molecular de la corriente.
23
~
L = L / PM
Ejemplo 10.
Por una línea de 2 pulgadas de diámetro interno viaja agua a la velocidad media
de 1 m / s ¿Cuál es el caudal que está pasando? ¿Qué gasto másico y molar de
agua pasa por la línea? Dato: la densidad del agua puede tomarse como de 1000
kg / m3.
Solución.
El diámetro de la línea en m es:
2.54 cm
1m
2 pu lg adas 

 0.0508 m
pu lg ada 100 cm
Por lo tanto el área de paso o área transversal es:
A=  R2 = 3.14 x (0.0254 m)2 =0.0020258 m2
El caudal es:
Ca = v A = 1 m /s (0.002058) m 2 = 0.002058 m3 /s = 7.2928 m3 / h
El gasto másico es:
L = Ca  = 7.29928 m3 / h (1000 kg / m3 )=7299.28 kg /h = 2.0258 kg / s
El gasto molar es:
kg
7299.28
L
kgmol
kgmol
~
h  40551
L

.
 01126
.
kg
PM
h
s
18
kgmol
Resultados.
El caudal es de 7.2928 m3 / h, el gasto másico es de 2.0258 kg / s y el gasto molar
es de 0.1126 kg mol de agua / s.
Propiedades de los fluidos.
En la naturaleza se presentan cuatro estados de agregación de la materia, a
saber: sólido, líquido, gaseoso y plasma.
La diferencia principal entre los gases, los líquidos y los sólidos consiste en que
los primeros tienen fluidez, o sea cohesión pequeña entre las moléculas, falta de
fuerzas de rozamiento entre las moléculas en reposo, en virtud de la cual el
líquido acepta con facilidad la forma del recipiente donde está contenido. En los
recipientes los líquidos forman una superficie libre y si el líquido se echa sobre un
plano se desparrama sobre este formando una película fina. El gas también tiene
la propiedad de fácil movilidad de las partículas, es decir fluidez, pero a diferencia
del líquido es compresible, no forma superficie libre y ocupa todo el volumen del
recipiente que lo contiene. La fluidez de las partículas del líquido y del gas los
reúne bajo el nombre de fluidos. Los fluidos, como todos los materiales, tienen
propiedades físicas que permiten caracterizar y cuantificar su comportamiento así
como distinguirlos de otros. Algunas de estas propiedades son exclusivas de los
fluidos y otras son típicas de todas las sustancias. Características como la
viscosidad, tensión superficial y presión de vapor solo se pueden definir en los
líquidos y gases. Sin embargo la densidad, el peso específico y la densidad
relativa o (gravedad específica) son atributos de cualquier materia.
24
Densidad.
Como se ha observado la densidad es una variable necesaria para obtener los
gastos de las corrientes. La densidad es una variable que relaciona la masa con
el volumen de un cuerpo.
 = M / V = M / L3
Las unidades de la densidad pueden ser kg / m 3, kg / l, Libras / ft3, libras / galón,
etc.
Una variable relacionada con la densidad es la llamada densidad relativa que es la
relación de la densidad de una sustancia con respecto a la densidad de una
sustancia tomada como referencia. La sustancia de referencia en el caso de
sólidos y líquidos suele ser el agua; en los gases se toma el aire.
densidad de una sustancia
densidad del agua
Como se puede deducir, la densidad relativa no tiene dimensiones
Debido a la dilatación que sufren los cuerpos al aumentar la temperatura, la
densidad de los cuerpos varia con la temperatura, por lo que al hablar de
densidades y de densidades relativas se debe especificar la temperatura a la cual
se hace la medición, es costumbre entonces decir:
R 
Densidad  a 20 ºC
Densidad relativa R a 15 /4
Indicándose que la densidad de la sustancia se midió a 15 ºC y la del agua se
tomó a 4 º C.
La densidad de los líquidos y sólidos más comunes puede encontrarse en la
bibliografía clásica (manuales)
La densidad
de las sustancias sólidas poco conocidas puede obtenerse
fácilmente mediante una probeta y una báscula.
Figura 7. Balanza de Morh-Westphal para obtención de densidades.
La densidad de los líquidos y sus mezclas también se puede obtener mediante
ese procedimiento, aunque con mucha frecuencia se emplean densímetros o
aerómetros para medirla. La determinación de la densidad de un líquido puede
efectuarse tanto pesándola directamente, como utilizando la ley de Arquímedes
con la ayuda de los densímetros o aerómetros.
25
El densímetro se sumerge en el líquido y flota
en éste. Cuanto mayor es la densidad de un
líquido, tanto menos se sumerge el tubo del
densímetro. En la escala del tubo están
indicadas las densidades.
Figura 8. Densímetro o aerómetro
En la industria alimentaria se suelen usar aerómetros calibrados en grados para
obtener la densidad, estos grados no son de temperatura por lo que no hay que
confundirlos. Las escalas más empleadas son en grados Baumé, grado Gay
Lussac, grados Proof, etc.
Figura 9. Tipos de areómetros
La forma más conocida de densímetro es la que se usa para medir la densidad de
leche, llamado lactómetro, que sirve para conocer la calidad de la leche. La
densidad específica de la leche de vaca varía de 1,027 hasta 1,035. Como la
leche contiene otras sustancias, aparte de agua (87%), también se puede saber la
densidad específica de albúmina, azúcar, sal, y otras
sustancias más ligeras que el agua.
Para comprobar el estado de carga de una batería se utiliza
variedad de densímetro. Está constituido por una probeta de
cristal, con una prolongación abierta, para introducir por ella
26
el líquido a medir, el cual se absorbe por el vacío y el asado interno que crea una
manzana de goma situada en la parte superior de la probeta. En el interior de la
misma va situada una ampolla de vidrio, cerrada y llena de aire, equilibrada con un
peso a base de perdigones de plomo. La ampolla va graduada en unidades
densimétricas, de 1 a 1,30.




Lactómetro - Para medir la densidad específica y calidad de la leche.
Sacarómetro - Para medir la cantidad de azúcar de una melaza.
Salímetro - Para medir la densidad específica de las sales.
Areómetro Gay –Lussac – Para medir concentraciones de alcohol en las
bebidas alcohólicas.

Densidad relativa.
Se denomina densidad relativa o gravedad específica a la relación que exista
entre la densidad de una sustancia cualquiera y una sustancia de referencia. Para
los líquidos se utiliza la densidad del agua a 4°C como referencia, que
corresponde a 1 g/cm3 y para los gases se utiliza al aire con densidad a 20°C y la
presión de 1,013 bar es 1.204 kg/m3.
La densidad relativa es el cociente de la densidad de una sustancia a la densidad
de la sustancia de referencia. La sustancia de referencia en el caso de sólidos y
líquidos es el agua, en los gases se suele tomar el aire.
Debido a que la densidad de una sustancia y la del agua se afectan con la
temperatura, pero no en el mismo grado, es necesario especificar la temperatura
cuando se habla de densidad relativa. Así que:
Significa que la densidad relativa de la sustancia es de 0.7 cuando la densidad de
la sustancia y la del agua se midieron a 60 ° F. Entre las escalas de densímetros
que utilizan a la densidad relativa están:
a escala Baumé que se basa en considerar el valor de 10ºBé al agua destilada.
Existen fórmulas de conversión de ºBé en densidades:

Para líquidos más ligeros que el agua:

Para líquidos más densos que el agua:
En donde
es la densidad relativa a 60°F/60°F.
27
La densidad en grados API (American Petroleum Institute) es la escala más usada
para medir la densidad relativa de los productos derivados del petróleo. Se usa
para medir líquidos más ligeros que el agua.
En donde
es la densidad relativa a 60°F/60°F.
Los petróleos se suelen clasificar de acuerdo a su densidad en grados °API:
Crudo liviano API>31,
Crudo medio 22 a 31 ° API,
Crudo pesado 10 a 23 ° API,
Crudo extra pesado < 10° API
EL petróleo mexicano se divide en tres crudos:
Crudo Istmo con 33.6 ° API que es un crudo liviano; Crudo Maya con 22°
API lo que lo hace un crudo medio y el crudo Olmeca con 39.3°API que es
el crudo más liviano y con menos contenido de azufre.
Ejemplo 11.Un camión transporta 8000 litros de gasóleo cuya densidad es de
26°API ¿Cuántas toneladas de gasóleo son las que transporta?
2.- Planteamiento.
2.1.- Densidad.
2.2.- Masa.
=
3.-Cálculos.
3.1.- Densidad
=0.8984
28
3.2.- Masa.
4.- Resultado.
El camión transporta 7.18 toneladas.
Ejemplo 12.
Encuentre la densidad del benceno a 50 ° C.
La densidad del benceno se puede obtener mediante un densímetro o mediante el
nomograma del apéndice, ya que con las coordenadas X=32.7, Y =63 y la
temperatura de 50 ° C se obtiene la densidad relativa de 0.885 o de 885 kg / m 3.
Resultado: Mediante el nomograma la densidad es de 885 kg /m 3.
Densidades de los gases.
La densidad de un gas ideal se puede obtener mediante la aplicación de la ley de
los Gases Ideales.
En donde p es la presión, T la temperatura absoluta, m la masa, V el volumen, PM
el peso o masa molecular y R la constante de los gases.
Si el gas no es ideal entonces:
29
En donde z es el factor de compresibilidad que es función de la presión y
temperatura críticas del gas.
Ejemplo 13.
Encuentre la densidad del CO2 a la temperatura de 23 º C y a 586 mm de Hg.
Si el gas se comporta como ideal:
Solución
kg
kg
kgmol
=
 1397
.
3
mm Hg
m atm
m3
760
 0.082
  23  273º K 
1 atm
kgmol º K
586 mmHg  44
Otros densímetros y escalas
Grados Gay Lussac.
Estos densímetros miden el porciento de alcohol en volumen en una muestra.
Peso específico
°GL= % de alcohol en volumen
Otras escalas relacionadas son:
Los grados Proof ingleses también miden el contenido de alcohol
°GL= Grados (Proof ingleses x 4) /7
Los grados Proof norteamericanos
°GL= (Grados Proof norteamericanos)/2
Grados Brix.
Son densímetros empleados para medir la cantidad de azúcar en una solución.
°Brix = (gramos de sacarosa)/ (100g de líquido)
Otras escalas semejantes son, los grados Balling y los grados Plato que se utilizan
para lo mismo y que son iguales a los Brix.
Grados Twaddell
°Tw =200(ρR-1)(10)
Una propiedad relacionada con la densidad, es el peso específico, el cual se
define como el peso de la unidad de volumen.
Pe = Peso / Volumen = N /m3, Kg fuerza / m3
Las dimensiones de peso específico son = M / (2L2)
Debido a la relación que existe entre el kilogramo masa y el kilogramo fuerza, si se
sabe el valor numérico de la densidad de una sustancia en kg / m 3, se podrá
obtener el peso específico de la misma, el cual tendrá el mismo valor numérico
pero ahora sus unidades serán de kg fuerza / m3
30
El peso específico corresponde a la fuerza con que la tierra atrae a una unidad de
volumen. Se designa por Pe. El peso específico es una magnitud vectorial, su
valor depende de la aceleración de la gravedad en el punto determinado. La
densidad y el peso específico están relacionados por:
Pe =ρg
Donde g representa la intensidad del campo gravitacional que en la Tierra se toma
comúnmente como 9.81 m / s2.
Volumen específico.
El volumen específico es el recíproco de la densidad absoluta.
Es decir el volumen específico es el volumen que ocupa 1 kg de masa de una
sustancia. El volumen específico del agua destilada a la presión atmosférica y a
4°C es aproximadamente igual a
. Es interesante observar que la
densidad del aire a la presión atmosférica y a 4 ° C es aproximadamente 1.3 kg /
m3, y su volumen específico es de 1 / 1.3 m 3/ kg; es decir, 1 kg de aire a la
presión atmosférica ocupa aproximadamente 800 veces más espacio que 1 kg de
agua.
Coeficiente térmico de dilatación.
La dilatación de un cuerpo durante el calentamiento se caracteriza por el
coeficiente térmico de dilatación volumétrica β que expresa la variación relativa
del volumen de un cuerpo al variar la temperatura un grado.
En donde Vt2 es el volumen del líquido a la temperatura t2 ; Vt1, el volumen del
líquido a t1.
El coeficiente térmico de dilatación volumétrica del agua a T 0 20 ° C es igual a
0.00015 °C-1. El coeficiente volumétrico de los gases es 1 /273.
Compresibilidad.
La compresibilidad es la propiedad que tienen los cuerpos de reducir su volumen,
bajo la acción de fuerzas externas. El volumen de los líquidos varía muy poco con
la presión, mientras que el de los gases ideales varía de acuerdo con:
P1V1=P2 V2
Cohesión, adhesión y tensión superficial.
La primera propiedad permite a las partículas fluidas resistir a pequeños esfuerzos
de tensión. La formación de una gota se debe a la cohesión. Cuando un líquido
31
está en contacto con un sólido, la atracción ejercida por las moléculas del sólido
puede ser mayor que la atracción existente entre las moléculas del propio líquido.
Ocurre entonces la adhesión.
En la superficie de un líquido en contacto con el aire, se tiene la formación de una
verdadera película elástica debida a que la atracción entre las moléculas del
líquido es mayor que la ejercida por el aire y las moléculas superficiales son
atraídas hacia el interior del líquido y tienden a volver el área de la superficie un
mínimo. Es el fenómeno de tensión superficial.
Las propiedades de adhesión, cohesión y tensión superficial son responsables de
los fenómenos de capilaridad. La elevación de un líquido, dentro de un tubo de
pequeño diámetro, es inversamente proporcional al diámetro. Como son
frecuentemente empleados tubos de vidrio y de plástico para medir presiones
(piezómetros), es aconsejable el empleo de tubos con diámetro superiores a 1 cm,
para que los efecto de la capilaridad sean despreciables. En un tubo de 1 mm de
diámetro, el agua puede subir hasta 3.5 cm.
Tensión de vapor.
En la superficie libre de un
líquido
a
cualquier
temperatura
hay
un
constante movimiento de
moléculas que escapan de
dicha superficie, es decir, el
líquido se evapora. Si el
líquido se encuentra en un
recipiente cerrado, y sobre su
superficie queda un espacio
libre, este espacio se llega a
saturar de vapor y ya no se
evaporará más líquido. Si se
aumenta la temperatura, aumenta la presión de saturación y se evaporará más
líquido. Es decir, todo fluido tiene para cada temperatura una presión Po llamada
presión de saturación del vapor a esa temperatura, o lo que es lo mismo, a cada
presión corresponde una temperatura Ts llamada temperatura de saturación del
vapor. Esta propiedad es fundamental para el estudio de la cavitación.
32
La viscosidad.
La viscosidad de los fluidos es una propiedad importantísima que se manifiesta
durante su movimiento. Al moverse un fluido las capas que se mueven a mayor
velocidad arrastran a las capas contiguas. La propiedad de los fluidos de oponer
resistencia a las fuerzas tangenciales que tratan de desplazar unas partículas con
respecto a otras se llama viscosidad. Esta propiedad se abordará con mayor
detalle en otro capítulo.
Fluido ideal.
En mecánica de fluidos se define a un fluido ideal como aquel cuya viscosidad es
nula es decir μ=0. En ningún fluido real la viscosidad es nula. Los dos fluidos más
importantes para un ingeniero, el aire y el agua, son poco viscosos, pero ninguno
es un fluido ideal. Un fluido ideal circulando por una tubería no experimentaría
perdida alguna de energía. Un avión volando en un aire ideal y un submarino
navegando en agua ideal no experimentarían resistencia a o arrastre alguno. La
experiencia contradice, pues la hipótesis de que el agua o el aire sean fluidos
ideales, paradoja de D’Alambert. Sin embargo, Prandtl con su teoría de la capa
límite transformó la hidrodinámica de fluido ideal en una mecánica de fluidos muy
aprovechable para los fluidos reales de pequeña viscosidad, como el aire y el
agua.
33
34
35
36
Problemas de autoevaluación
1.-Calcule la presión que existe dentro de un cilindro de 400 l que contiene 80 kg
de CO2 a 50 ° C. Haga primero el cálculo como gas ideal y luego como gas real.
R.-La presión si es gas ideal es de 120 atm, como gas real sería de 75 atm.
2.- El gas natural saliente de un pozo petrolero está a 100 atm de presión y 80 °C
y tiene la siguiente composición:
metano
etano
nitrógeno
40%
2%
58 %
En mol
En mol
En mol
Calcule el volumen ocupado por 1000 kg de ese gas ¿Cuál será su densidad
absoluta?
R.-El volumen es de 1.95 m3 y la densidad de 83.65 kg / m3.
3.- La densidad relativa de un petróleo es de 0.907. Determine su densidad en
grados API.
4.- En una destilería se deben tratar 10 000 l /h medidos a 20 °C de una mezcla
alcohólica que contiene 18% en peso de alcohol. ¿Qué cantidad en kg /h de
líquido se debe procesar?
R.- La masa sería de 9527 kg /h
5.-Encuentre la densidad del tolueno a 65 ° C.
R.- La densidad es de 0.83 kg /L
6.-La viscosidad del agua a 15 °C es de:
¿Cuál será la viscosidad del agua a la misma temperatura en Sistema
internacional de unidades (SI)?
R.-
7.- ¿Cuál es la densidad de la acetona a 25 ° C?
R.-785 kg /m3.
8.- Calcule la presión que existe dentro de un cilindro de 400L que contiene 80 kg
de CO2 a 50 ° C. Haga primero el cálculo como gas ideal y luego como gas real.
R.-La presión de acuerdo con la teoría de los gases ideales sería de 120 atm. La
presión de acuerdo con los gases reales sería de 73 atm.
37
Capítulo III
Hidrostática
38
Hidrostática
La hidrostática es una parte de la hidráulica que estudia las leyes de los líquidos
en reposo, las fuerzas que en estos casos actúan y la flotación de cuerpos.
Todas las partículas de un cuerpo líquido en reposo experimentan la acción de las
partículas que están sobre ellas y además las fuerzas exteriores que actúan sobre
la superficie libre del líquido.
La acción de que esas fuerzas provocan dentro del líquido una presión llamada
presión hidrostática.
Las fuerzas superficiales son las fuerzas de presión en la superficie libre que
pueden deberse a la presión atmosférica o a una presión exterior diferente.
Presión.
Cuando una fuerza obra sobre un área determinada, se dice que ejerce una presión.
F
P
A



kg kg l b N
La presión se puede medir en 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; etc.
m cm ft m
2
Los N /m reciben el nombre de Pascales, abreviados Pa.
La presión puede ser ejercida por sólidos, líquidos o gases.
Ejemplo 3.1
¿Cuál es la presión que ejerce una fuerza de 100 kg sobre una superficie de 50
m2?
P= F /A = 100 kg / 50 = 2 kg / m2= 19.62 N / m2= 19.62 Pa
Presión hidrostática.
La presión ejercida por un líquido recibe el nombre de presión hidrostática y es
proporcional a la altura de líquido.
Ph= Pe h
En donde:
Ph es la presión hidrostática, Pe el peso
específico del líquido y h la altura de líquido.
Nótese que la presión P no es una fuerza
sino el cociente de una fuerza por una
superficie. Fig. 1.- Blaise Pascal es uno de los
grandes genios de la humanidad (1623-1662), efectuó
numerosos experimentos sobre los efectos de la
presión atmosférica y el vacío.
Ejemplo 3.2.
¿Cuál será la presión que ejercerá una
39
columna de agua de 150 m de altura?
Ph= Pe h = 1000kg /m3 (150 m2)=150 000 kg/m2=1, 471,500 Pa= 14.567 atm
Principio de Pascal.
El principio de Pascal o ley de Pascal, es una ley enunciada por el físico y
matemático francés Blaise Pascal (1623–1662) que se resume en la frase:
“La presión ejercida por un fluido incompresible y en equilibrio dentro de un
recipiente de paredes indeformables, se transmite con igual intensidad en todas
las direcciones y en todos los puntos del fluido”.
Este es el llamado principio fundamental de la hidrostática que en otras palabras
indica que:
Cuando un fluido que está en reposo se le aplica una presión en alguna parte de
su superficie, esta presión se transmite por igual a todas las partes del fluido.
El principio de Pascal puede comprobarse utilizando una esfera hueca, perforada
en diferentes lugares y provista de un émbolo. Al llenar la esfera con agua y
ejercer presión sobre ella mediante el émbolo, se observa que el agua sale por
todos los agujeros con la misma velocidad y por lo tanto con la misma presión.
Fig.2.- Demostración del principio de pascal.
Tomando en cuenta el principio de Pascal se pueden identificar las
propiedades siguientes de un fluido en reposo.
Primera propiedad.
Se enuncia así:
40
cinco
“En cualquier punto en el interior de un líquido en reposo la presión es la misma en
todas las direcciones”. Ley de Pascal
Segunda propiedad.
“La presión en todos los puntos situados en un mismo plano horizontal en el seno
de un fluido en reposo es la misma.”
Tercera propiedad.
“En un fluido en reposo la fuerza de contacto que ejerce en el interior de un fluido
una parte de un fluido sobre la otra contigua al mismo, tiene la dirección normal a
la fuerza de contacto”.
Cuarta propiedad.
“La fuerza de la presión de un fluido en reposo se dirige siempre hacia el interior
del fluido, es decir, es una compresión, jamás una tracción. Tomando como
positivo el signo de compresión, la presión absoluta no puede ser jamás negativa”.
Quinta propiedad.
“La superficie libre de un líquido en reposo es siempre horizontal”.
Ley de Stevin o presión debida a una columna líquida.
Fig. .3.- Simón Stevín distinguido ingeniero hidráulico, físico
matemático e inventor holandés (1548-1620)
Si tomamos, dentro del interior de un fluido en reposo,
un prisma ideal y considerando todas las fuerzas que
actúan sobre ese prisma, según la vertical, se debe
tener que:
=0, Y por lo tanto:
A+
En donde Pe es el peso específico.
Por lo tanto
La ley de Stevin se enuncia así:
presiones entre dos puntos situados
reposo es igual a la diferencia de la
específico del líquido”.
kg fuerza / m3
metros de profundidad equivale al
metro cuadrado de diferencia de
metros de profundidad equivalen
atmósfera de presión.
“La diferencia de
dentro de un líquido en
profundidad por el peso
Para el agua Pe = 1000
Por lo tanto: el número de
número de kilogramos por
presiones. Cada diez
aproximadamente a una
Presión atmosférica
En un gas, las moléculas
están muy separadas, moviéndose a
gran velocidad, chocando
y rebotando caóticamente. Esta
agitación frenética hace que los gases se expandan hasta ocupar todo el lugar
disponible en un recipiente. Nuestro planeta está envuelto por una capa de gases
a la que llamamos atmósfera, compuesta en su mayor parte por nitrógeno (78%) y
41
oxígeno (21%). Las moléculas de aire activadas enérgicamente por el Sol no
escapan al espacio porque el campo gravitatorio de la Tierra restringe su
expansión. Estamos sumergidos en un “océano de aire”, una capa gaseosa que,
como una cáscara de manzana (tan fina es), recubre el planeta. En forma similar a
como lo hace un líquido, el peso del aire sobre la superficie terrestre ejerce una
presión, la presión atmosférica. A diferencia de los líquidos, los gases son
compresibles: como su densidad puede variar, las capas superiores de la columna
de aire comprimen a las más bajas.
En los lugares más profundos de la atmósfera, es decir a nivel del mar, el aire es
más denso, y a medida que subimos se va enrareciendo, hasta que se desvanece
a unos 40 Km. de altura. La capa baja, la troposfera, presenta las condiciones
necesarias para la vida y es donde se producen los fenómenos meteorológicos.
Mide 11 Km. y contiene el 80 % del aire total de la atmósfera.
La presión atmosférica ha sido determinada en más de un kilo por centímetro
cuadrado de superficie pero, sin embargo, no lo notarnos (motivo por el cual, por
miles de años, los hombres consideraron al aire sin peso). ¿Cómo es que los
animales y las personas que están en la Tierra pueden soportar tamaña presión?
El aire ejerce su presión en todas direcciones (como todos los fluidos y los gases),
pero los líquidos internos de todos esos seres ejercen una presión que equilibra la
presión exterior. En este hecho se basa el mecanismo de esterilización por vacío:
para eliminar los microorganismos de una muestra (alimento, instrumental, etc.),
se la coloca en un recipiente del cual se extrae el aire. La presión exterior es
reducida y los fluidos internos de las bacterias, que estaban sometidas a la presión
atmosférica, se expanden, haciendo que éstas “revienten".
Si se extrae el aire de un recipiente, la presión atmosférica lo aplastará, a menos
que el recipiente sea suficientemente rígido.
Al apretar un destapacaños (el aparato empleado para destapar cañerías) contra
una superficie pulida se aplasta y queda sin aire. Cuando, por acción de las
fuerzas elásticas, el destapacaños recupera su forma inicial, queda un vacío
parcial en el interior y la presión atmosférica exterior la mantiene adherida a la
pared. Del mismo modo, las patas de las moscas tienen pequeñas ventosas que
les permiten caminar por paredes y techos sin caer al piso.
El funcionamiento del gotero obedece al mismo fenómeno. Al apretar la perilla de
goma creamos un vacío parcial. Cuando sumergimos el tubito en el líquido y
soltamos la perilla, la presión atmosférica que se ejerce sobre la superficie libre del
líquido lo obliga a subir por el tubo hasta la región de menor presión dentro de la
perilla.
Experiencia de Torricelli.
En 1643, el físico italiano Evangelista Torricelli (1608-1647) ideó un procedimiento
para medir la presión atmosférica.
42
¿Por qué el mercurio no descendió más?
El tubo no se vació porque el aire exterior presionaba sobre el mercurio de la
cubeta (en cambio, en la parte superior del tubo se produjo vacío). La presión
ejercida por la atmósfera en el punto Q es igual a la presión en R, ya que ambos
puntos están al mismo nivel en el mismo fluido. Es decir que la presión que la
columna de aire de casi 40 km de altura (la atmósfera) ejerce sobre la superficie
libre del mercurio (pQ) es igual a la que ejerce la columna de 76 cm de mercurio
(pa), entonces:
Patm= Pe Hg x hHg = 13.6 g/cm3x 0. 76cm = 1.033.6 g/cm2 = 101.293 N/m2 = 101, 293 Pa
Este valor, que corresponde a la presión atmosférica normal, se llama atmósfera
(atm). También se acostumbra a dar la presión atmosférica en milímetros de
mercurio (Torr) o en milibares (1mb = 0,75 Torr).
1 atm = 760 mm Hg = 760 Torr
Esta experiencia logró explicar por qué había un límite de profundidad para extraer
el agua de las minas: la atmósfera no ejerce una presión ilimitada, sólo alcanza a
sostener una determinada altura de agua.
La presión atmosférica varía según la altitud y también debido a los vientos y
tormentas. Suele tomar valores entre 720 y 770 mm Hg. Una presión alta
generalmente pronostica buen tiempo; y una baja presión atmosférica promete lo
contrario. El aparato que permite medirla se llama barómetro.
Poco después de la experiencia de Torricelli, Blaise Pascal predijo que la presión
atmosférica debe disminuir cuando se asciende por una montaña, ya que la
columna de aire soportada es cada vez menor. Su cuñado se encargó de hacer la
experiencia y comprobar la hipótesis en 1658. A medida que ascendía al monte
Puy-de Dome observó el descenso de la columna mercurial del barómetro (que
desde entonces pudo ser usado también como altímetro).
Pero, ¿cuál es la relación entre la presión atmosférica y la altura? Si la densidad
del aire fuera uniforme, la presión disminuiría proporcionalmente con la altura.
Podríamos afirmar, por ejemplo, que “la presión disminuye 1 Torr por cada 11
metros que nos elevamos”. Pero tengamos presente que las capas más bajas de
la atmósfera están más comprimidas por lo que, conforme subimos, el aire se va
43
enrareciendo (se hace menos denso). Por lo tanto, cuanto más alto estemos, más
se necesitará subir para que la presión disminuya 1 Torr.
A nivel del mar la presión atmosférica es de 760 mm de Hg o 1.033 kg / cm 2 o
101 000 Pa. A la altura de la Cd. De México (2500 m sobre el nivel del mar) la
presión atmosférica es de sólo 586 mm de Hg.
La presión atmosférica se mide con los aparatos llamados barómetros.
Presión manométrica.
Usando la presión atmosférica como referencia, la presión manométrica es la
presión que ejerce un fluido por arriba de la presión atmosférica del lugar. Esta
presión se mide con aparatos llamados manómetros.
Presión de vacío.
Es una presión menor que la presión atmosférica, se mide con aparatos llamados
facómetros.
Presión absoluta.
Es la fuerza total por unidad de área ejercida por un fluido y es igual a:
Pabsoluta  Pmanométrica  Patmosférica
PAbsoluta  Patmosférica  Pvacio
A continuación se muestra una gráfica en la que se expresan los diferentes tipos
de presiones medidas en los equipos industriales.
Fig.4. Diferentes tipos de presiones medidas en los equipos industriales.
El dispositivo más simple para medir presiones es el tubo piezométrico o
simplemente piezómetro. Consiste en la inserción de un tubo transparente en la
tubería o recipiente donde se quiere medir la presión. El líquido subirá en el tubo
piezométrico hasta una altura h, correspondiente a la presión interna.
44
Figura 5. Tubo Piezométrico
Otro dispositivo empleado es el tubo en U, que se aplica para medir presiones
muy pequeñas o demasiado grandes para los piezómetros.
Figura 6. Tubo en U
45
Para la determinación de la diferencia de presiones se emplean manómetros
diferenciales.
Figura 7. Manómetro diferencial
La mayoría de los manómetros utilizados en la industria son de carátula tipo C de
Bourdon. En ellos el fluido hace que se expanda o contraiga un tubo flexible C,
que a su vez está conectado a un puntero.
Figura 8.Manómetro de Bourdon
Todos los manómetros deben estar calibrados de tal manera que marquen cero a la presión del
lugar. En el caso de los manómetros que miden presión de vacío, llamados vacuómetros, también
46
deben marcar cero a la presión atmosférica del lugar.
Ejemplo 3.3.
Un manómetro tipo Bourdon se utiliza para medir la presión de un recipiente
indicando 5 kg / cm2. Si la presión atmosférica es de 710 mm de Hg ¿Cuál será la
presión absoluta que reina en el interior del recipiente?
1. Traducción
P = 5 kg / cm2
P atm = 710 mm de Hg
P abs =?
2.- Planteamiento.
2.1.- Presión absoluta
Pabsoluta  Pmanométrica  Patmosférica
PAbsoluta  Patmosférica  Pvacio
3.- Cálculos.
Patmosférica

kg

1.033 2
kg
cm
 710 mm Hg 
 0.965 2
760 mm Hg
cm
Pabsoluta



kg
kg
kg
 5 2  0.965 2  5.965 2
cm
cm
cm
4.-Resultado.
La presión absoluta es de 5.965 kg / cm2.
Ejemplo 3.4.
La presión estática correspondiente a un fluido que se desplaza por un tubo se
mide con un manómetro como el que se muestra. Si la densidad del fluido es de
860 kg / m3, ¿Cuál será la presión estática en el punto A?
47
1.- Planteamiento.
Para resolver el problema se deberá hacer un balance presiones.
1.2.- Balance de presiones.
Patmosférica  Z PeHg  h Pe fluido  PA
2.- Cálculos.
2.1.- Presión estática.


 1 atm

kg 
kg
10333 2
  9571.6 2
Patm  704 mm Hg 
m atm 
m
 760 mm Hg 

kg
kg 
kg 


9571.6 2  0.103 m13600 3   0.282 860 3   PA
cm
m 
m 


2
PA=10729.88 kg / m
3.- Resultado.
La presión estática es de 10729.88 kg /m2 o de 1.0729 kg / cm2.
Prensa hidráulica.
Los principios y propiedades antes citados han servido para la construcción de las
llamadas prensas hidráulicas. Una prensa hidráulica es un mecanismo conformado
por vasos comunicantes impulsados por pistones de diferente área que, mediante
pequeñas fuerzas, permite obtener otras mayores. Los pistones son llamados
pistones de agua, ya que son hidráulicos. Estos hacen funcionar conjuntamente a
las prensas hidráulicas por medio de motores
48
Fig. 9- Antigua prensa hidráulica.
En el siglo XVII, en Francia, el matemático y filósofo Blaise Pascal comenzó una
investigación referente al principio mediante el cual la presión aplicada a un líquido
contenido en un recipiente se transmite con la misma intensidad en todas
direcciones. Gracias a este principio se pueden obtener fuerzas muy grandes
utilizando otras relativamente pequeñas. Uno de los aparatos más comunes para
alcanzar lo anteriormente mencionado es la prensa hidráulica, la cual está basada
en el principio de Pascal.
El rendimiento de la prensa hidráulica guarda similitudes con el de la palanca,
pues se obtienen presiones mayores que las ejercidas pero se aminora la
velocidad
y
la
longitud
de
desplazamiento, en similar proporción.
En donde:
En un sistema en equilibrio:
P1= P2
o
En donde:
F1= fuerza aplicada; F2= fuerza
obtenida; A1 = sección del émbolo
menor; A2 = sección del émbolo
mayor.
Fig.10
49
Ley de Arquímedes.
Fig.11.-Arquímedes (287-212 a.C) fue uno de los grandes
científicos de la antigüedad en el área de los fluidos se le
acredita el principio de la flotación de los cuerpos y la
invención del tornillo sin fin con el que se podían bombear
los líquidos.
El principio de Arquímedes es un principio físico
que afirma que:
«Un cuerpo total o parcialmente sumergido en un
fluido en reposo, recibe un empuje de abajo hacia
arriba igual al peso del volumen del fluido que
desaloja».
Esta fuerza recibe el nombre de empuje
hidrostático o de Arquímedes, y se mide en
newtons (en el SI). El principio de Arquímedes se formula así:
Donde E es el empuje , ρf es la densidad del fluido, V el «volumen de fluido
desplazado» por algún cuerpo sumergido parcial o totalmente en el mismo, g la
aceleración de la gravedad y m la masa, de este modo, el empuje depende de la
densidad del fluido, del volumen del cuerpo y de la gravedad existente en ese
lugar. Este principio es la base para la construcción de los densímetros o
aerómetros. Otras aplicaciones incluyen la flotación de barcos y la flotación de los
globos aerostáticos. En mecánica de fluidos existe ahora un número adimensional
que lleva el nombre de Arquímedes. Dicho número relaciona las fuerzas
gravitacionales con respecto a las fuerzas friccionantes.
En donde d es el diámetro de la partícula, ρ s es la densidad del sólido; ρ la
densidad del líquido, μ la viscosidad del líquido y g la constante gravitacional.
El empuje (en condiciones normales y descrito de modo simplificado ) actúa
verticalmente hacia arriba y está aplicado en el centro de gravedad del fluido
desalojado por el cuerpo; este punto recibe el nombre de centro de carena.
Los cuerpos flotantes son aquellos cuyos pesos son inferiores a los pesos de los
volúmenes de líquidos que ellos puedan desalojar. Para que un cuerpo flote, su
densidad aparente media debe ser menor que la del líquido. Se llama carena a la
porción sumergida del cuerpo flotante.
50
Ejemplo 3.5.
Un objeto pesa 54 kg en el aire y 24 kg cuando está sumergido en agua. Calcule
el volumen y la densidad relativa de dicho objeto.
1.- Traducción.
2.- Planteamiento.
2.1.- Discusión
Para la resolución de este problema se debe emplear el principio de Arquímedes.
Peso del objeto en el aire= Peso del objeto en el agua + empuje
Por lo tanto:
Empuje = peso del volumen del agua desalojada.
2.2 Densidad
Densidad ρ=Masa / volumen; Empuje = PeH2O (volumen)
3.- Cálculos.
3.1.- Empuje
54 kg 0 24 + empuje; empuje = 30 kg
30 kg = 1kg/L X volumen; volumen =30 L
3.2.-Densidad
Densidad ρ = 54 kg / 30 L = 1.8 kg /L
4.- Resultados.
El volumen del objeto es de 30 L. La densidad del objeto es de 1.8 kg / L o de
1800kg /m3
Presión de un fluido sobre una superficie plana
La presión en el interior de un líquido siempre está dirigida por la normal al plano
en que actúa y se calcula por
P = P ext + ρgh
En donde h es la profundidad.
La fuerza o empuje ejercida por un fluido sobre una superficie es igual al
producto del área por la presión que se ejerce en el centro de gravedad del
sistema.
51
Ejemplo 3.6.
¿Cuál es el empuje ejercido por el agua en una compuerta vertical de 3 x 4 m se
cuyo tope encuentra a 5 m de profundidad?
yD
CG
5.0 m
3.0
4.
La densidad del agua ρ es igual a 1000 kg /m3 yD es 5 + 3 /2 = 6.5 m
La fuerza es F = 1000 x 6.5 x 12 = 78 000 kg fuerza.
Ejemplo 3.7.
En un dique de concreto está instalada una compuerta circular de fierro fundido
con 0.2 m de radio y a la profundidad de 4 m. Determine el empuje que actúa
sobre la compuerta.
4m
0.2m
Resultado.
La fuerza es: F = ρ yD A
Pe = 1000 kg / m3 , yD= 4.2
A = π x 0.22 =0.1256 m2
F= 1000 x 4.2x 0.1256 = 527 kg fuerza.
Presión hidrostática sobre una superficie plana sumergida.
Sobre una superficie plana que se encuentra sumergida en un fluido se ejerce una
fuerza causada por el peso del fluido que está sobre esa superficie.
En general
F = P A = Pe h A
Por fuerza de presión hidrostática F de un líquido sobre una superficie, se
entiende la fuerza que ejerce el líquido exclusivamente, es decir, sin tomar en
cuenta la presión Po o presión
exterior.
Fig.- 12
En donde:
F= g ρ yc A cos α= g ρ hc A
52
En donde C es el centroide de superficie A; D Centro de presión (punto de
aplicación de F); Ix Momento de inercia de A con respecto al eje x; IC Momento de
inercia de A con respecto a un eje que pasa por C y es paralelo al eje x; I xy
Producto de inercia de A con respecto a los ejes x, y.
Presión de un líquido sobre una superficie curva.
La fuerza de presión que ejerce un líquido sobre la superficie curva se
descompone en una componente horizontal FH y otra vertical FV. La componente
FV es igual al peso del líquido contenido en el volumen V en (a) o en (b). La línea
de acción pasa por el centroide del volumen.
La componente FH es la fuerza debida a la presión del líquido sobre la proyección
de la superficie 1-2 sobre el plano perpendicular a FH.
Fig. 12.
Con frecuencia el ingeniero se encuentra problemas en los que un equipo o una
estructura deben resistir las presiones ejercidas por los fluidos, tal como sucede
con válvulas, diques, tanques, tuberías, compuertas, columnas empacadas, etc.
Consideremos la fuerza que se ejerce sobre un área de forma irregular situada
bajo un fluido en reposo tal como el que se presenta en la figura siguiente y que
está sobre un plano inclinado que forma un ángulo θ con la horizontal (la superficie
del fluido):
53
Fig.- 13
Para determinar la fuerza que actúa sobre esa área se la subdivide en elemento
diferenciales dA, localizado a la profundidad h y a una distancia y de la línea
inclinada O O’ que intersecta al plano de la superficie del fluido .La fuerza que
actúa en dA será:
dF= P dA= Pe hdA = Pe y senθ dA
cada una de las fuerzas dF será normal al área correspondiente. La resultante de
la fuerza ejercida sobre todo el área, también normal será:
La integral
Se conoce como el momento del área con respecto a la intersección O; por lo
tanto:
Dónde:
es la distancia desde el centro de gravedad1 del área hasta O O’, y A es el área
total.
Entonces:
Y resulta:
Se ha demostrado experimentalmente que la resultante de las presiones no está
aplicada en el centro de gravedad del área, si no en un punto denominado centro
de presión. La posición del centro de presión puede determinarse aplicando el
1
El centro de gravedad es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas
porciones materiales de un cuerpo, de tal forma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de
gravedad es el mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen dicho cuerpo. En otras palabras, el
centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que
constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo.
54
teorema de los momentos, es decir, el momento de la resultante con respecto a la
intersección O debe igualar a los momentos de las fuerzas diferenciales dF.
Si
y
Sustituyendo:
Entonces:
En la ecuación anterior I es el momento de inercia2 con relación al eje de
intersección, aunque también se le conoce como momento de inercia relativo al
eje que pasa por el centro de gravedad.
= coordenada y del centro de gravedad
= coordenada y del centro de presión.
El teorema de Steiner (denominado en honor de Jakob Steiner) establece que el
momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el
centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por
el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia
entre los dos ejes:
Dónde: I es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de
masa; I0 es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el
centro de masa; A (Masa Total),
(Distancia entre los dos ejes paralelos
considerados).
En donde:
Por lo tanto:
+
2
El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los
ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia. El
momento de inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una aceleración angular. Dado un sistema de partículas y un eje
arbitrario, el momento de inercia del mismo se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la
distancia r de cada partícula a dicho eje.
55
Si hacemos :
, cuadrado del área de giro , se tiene que:
+
El centro de presión se encuentra siempre abajo del centro de gravedad a una
distancia igual a
En la tabla siguiente se presentan los momentos de inercia de las principales
figuras geométricas
56
Fig. 13
57
Ejemplo 3.8.
Si se tiene un tanque lleno de agua de 1 m x 1 m x 0.8 m, ¿Cuál será la fuerza
ejercida sobre una de las paredes laterales y en qué punto se aplica la presión?
1.- Traducción.
2.- Planteamiento y cálculos.
Fuerza ejercida
F = Pe
A = 1000 x 0.4 x 1.00 x 0.80 = 320 kg
Sitio donde se ejerce la presión
+
=0.4 m , b = 1 m y d= 0.80 m
Por lo tanto:
4.- Resultado.- El empuje es de 320 kg y el centro de presión está situado a 0.534
por debajo de la superficie.
Ejemplo 3.9.
Determine la fuerza de presión del agua sobre una compuerta circular inclinada
con un diámetro de 0.5 m y el punto de aplicación de la resultante si a = 1m, α=
60°.
1.- Traducción.
58
2.- Planteamiento y cálculos.
2.1 –Fuerza
F = Pe
A
A = 0.785 π d2 = 0.785 x 0.52 = 0.196 m2
= ( a + d/2) sen α = ( 1+0.5/2) sen 60° = 1.08 m
hc =
F = 1000x 1.08 x 0.196 = 211.68 kg fuerza.
2.2.- Coordenada del centro de presión.
+
;
A partir de los datos de la tabla
Io = πd4/ 64
; A =πd2/4
Y = a +r = 1+0.25 = 1.25
Io = π(0.5)4/64 =0.00306 ; A = 0.196 m2
Yp= 1.25+ (0.00306/0.196x1.25)= 1.25+0.024=1.262 m
4.- Resultado.
La presión es de 211.68 kg, el punto de presión está a 1.262 m por debajo de la
superficie del líquido.
Ejemplo 3-10
59
¿Cuál será la presión dentro de la tubería, si se mide la presión con un manómetro
como el que se muestra en la figura?
Balance de fuerzas
PA+ Pe hH2O = PeHg ΔZ + Patm
PA+ 1000(0.2)=13600(0.15)+10333
PA=12173 kg/m3=1.178 atm
Ejemplo 3.11.
El émbolo menor de una prensa hidráulica tiene 10 cm 2 y el émbolo mayor 300
cm2. Si sobre el primero se aplica una fuerza de 50 kg, ¿Qué fuerza se produce
sobre el émbolo mayor?
1.- Traducción.
2.- Planteamiento.
2.1- Fuerzas
60
Por el principio de Pascal.
3.- Cálculos.
3.1.- Fuerza
=
=
Problema 3.12.
Un tanque cerrado está parcialmente ocupado por tetracloruro de carbono. La
presión sobre la superficie del líquido es de 0.703 kg /cm 2 y el peso específico del
líquido es de 1 558 kg / m2. El tanque es cilíndrico y tiene una altura total de 10 m.
A la mitad de la altura tiene una boquilla donde se alimenta el tetracloruro y a 1 m
de la base se encuentra la descarga. El medidor de nivel del tanque marca un
contenido equivalente a 8 m de altura del líquido. Calcule la presión a que se debe
inyectar el tetracloruro de carbono y la presión a que se descarga.
2.- Planteamiento.
2.1- Presiones
P1 = Ps + Pe CCl4 (hs-h1)
P2 = Ps + Pe CCl4 (hs-h2 )
3.- Cálculos.
3.1.- Presiones
P1 = 7030 kg /m2 +1558 kg / m3 (8-5) = 11 704 kg / m2
P2 = 7030 kg / m2 + 1558 kg / m3 (8-1) m= 17936 kg / m2
Ejemplo 3.13.
La altura del nivel del ácido sulfúrico en un recipiente es de 7.6 m. A la altura de
0.8 m sobre el fondo el recipiente tienen una escotilla redonda de 760 mm de
diámetro cuya tapa se fija por pernos de 10 mm de diámetro. Si la presión de
ruptura de los pernos es de 700 kg / cm2 determine el número de pernos
necesarios.
61
1.- traducción.
2.- Planteamiento.
2.1- Fuerzas
Patm + Pe h = Patm + Psobre los pernos
Psobre los pernos= Pe h
2.2.- Fuerza sobre la plca
Psobre los pernos=Fuerza / Área
2.3.- Número de pernos
Número = Fuerza / Fuerza / perno
Fuerza / perno = P ruptura (Área del perno)
3.- Cálculos.
3.1.- Presión sobre la escotilla
La densidad del ácido es de 1831 kg / m3
P = 1831 kg / m3(7.6-0.8)= 12450.8 kg / m2
3.2.- Fuerza sobre la escotilla
Fuerza = 12450.6 (0.76)2(0.785)= 5645.39 kg.
3.3.- Número de pernos
Fuerza / perno = 700 kg /cm2 (1)2(0.785) = 549.5 kg / perno
Número = 5645.39/549.5 = 10.274
4.- Resultado.- se requieren al menos 12 pernos.
Volúmenes de tanques parcialmente llenos.
Es fácil calcular los volúmenes de tanques totalmente llenos. Sin embargo no lo
es tanto cuando estos están parcialmente llenos.
Consideremos por ejemplo un tanque cilíndrico de longitud L y radio R, relleno
hasta una altura H. Si se desea obtener el volumen del líquido que llena
parcialmente el tanque se deberá indicar si el tanque está en posición horizontal
o vertical.
Si el tanque estuviera colocado en posición vertical.
62
R
L
H
D
Fig. 13.- Cilindro vertical.
El volumen del líquido en ese tanque sería:

V  R 2 H  D 2 H
(1)
4
Si es tanque estuviera en posición horizontal entonces se encuentra que no hay
una variación lineal del volumen con respecto a la altura.
D
H
L
Fig. 14.- Un cilindro acostado.
Por ello debe calcularse el área del segmento relleno de líquido y multiplicarlo por
la longitud del tanque.
A partir de la geometría analítica:
R

T
S
Fig.-15 Esferas y segmentos
63
Área del segmento = Área del sector- área del triángulo
1
1
Área del sector = SR  R 2 (2)
2
2
S
RH
En donde    2 cos1
(3)
R
R
1
RH
Área del segmento = R 2 (  sen )  R 2 cos1
 ( R  H ) 2 RH  H 2 (4)
2
R
Por lo tanto el volumen de líquido será:
RH


V  L R 2 cos1
 ( R  H ) 2RH  H 2  (5)
R


En donde el coseno se da en radianes.
También el volumen se puede obtener mediante la fórmula
 


H
V  LR 2 
 sen cos  (6) en donde   (7) y cos  1  (8)
2
R
 57.3

Es costumbre, también, obtener también el volumen mediante tablas o gráficas en
las que se presenta H/D en función del % de volumen.
Tabla 1.- Volúmenes de cilindros horizontales parcialmente llenos. Fuente Perry –Manual del
Ingeniero Químico. Sexta edición.-México-2001
64
Relación de H /R contra % de volumen lleno
% del recipiente que está lleno
H/R
Ejemplo 3.14
Sea un tanque cilíndrico horizontal con tapas planas que tiene las siguientes
dimensiones:
L=7.62m D= 2.54 m H=0.762 m
¿Cuál es el volumen de líquido contenido en el tanque?
R  H 1.27  0.762

 0.4
R
1.27
cos1 (0.4)  66.42  1.159


V= 7.62 1.27 2  1.159  (1.27  0.762) 2.54  0.762  (0.762) 2  9.74m 3
También
H
 0.4
R
  66.42; sen  0.9165
cos  1 
 66.42

V  7.62(1.27) 2 
 0.9165 0.4   9.74m 3
 57.3

65
También:
Volumen total del tanque
VT =0.785(2.54)2(7.62)=38.59m3
Porcentaje del tanque lleno de líquido H/D =0.762/2.54=0.3 de las tablas o de las
gráficas % =25
Vol. =0.25 (38.59)=9.64 m3
Volumen contenido en un tanque parcialmente lleno y con tapas toriesféricas con
radio de curvatura R = D
D
R=D
H
Fig. 16.- Tanque cilíndrico acostado y con tapas toriesféricas.

Volumen de las dos tapas llenas= 0.0513HD2 = D 2 H (9)
6
Volumen de una tapa parcialmente llena =0.215 H2(3R-H) m3 (10)
También se puede obtener esto mediante tablas en que se representa H/D contra
% de volumen.
Tabla 2.- Volumen de cabezas parcialmente llenas sobre tanques horizontales.
Basados en la ecuación (10). Fuente Perry –Manual del Ingeniero Químico.-Sexta
edición.-México-2001
66
Ejemplo 3.15.
Calcular el volumen contenido en el siguiente tanque:
D=1m
R=D
H=0.4
m
L=2.7m
Volumen del cilindro por medio de la fórmula (5)
RH


V  L R 2 cos1
 ( R  H ) 2RH  H 2 
R





 0.5  .4 
2 
3
= 2.70.5 2 cos1 
  0.5  0.4) 2(0.5)(.4)  (0.4)   0.792m
 0.5 


Volumen del líquido en las tapas por medio de la fórmula (10)
2
3
V de una tapa=0.215 H2(3R-H) m3 = 0.215(0.4) (3(0.5)  0.4)  0.03784m
Volumen total = 0.792+2(0.03784)=0.86768 m3
También podía haberse calculado mediante las tablas
Volumen total del tanque cilíndrico

H
40
V  (1) 2 (2.7)  2.1195m 3

 0 .4
4
D 100
Por ciento de llenado según la tabla 1 = 37.353%
Volumen parcialmente ocupado por el líquido en el cilindro sin las tapas =0.7916
m3.
De la fórmula (9) Volumen de las dos tapas llenas =0.513(0.4)(1)2= 0.2052 m3
H/D = 0.4 de la tabla 2 la fracción de volumen lleno es de 0.352
Volumen de líquido que llena las tapas = 0.2072 (0.352)=0.0722 m3
Por lo tanto, el volumen final será = 0.7916+0.0722=0.8638 m 3
-------------------------------------------------------------------------------------------Como se ve los volúmenes de las cabezas se deben calcular por separado y
sumarse al volumen de la porción cilíndrica del tanque. Los cuatro tipos de
cabezas que se utilizan con más frecuencia son la cabeza cóncava estándar, la
cabeza ASME o toriesférica, la elipsoidal y la hemiesférica. Se pueden calcular los
volúmenes mediante las fórmulas que aparecen en la tabla 3. En esas fórmulas se
deben utilizar unidades congruentes.
67
Tabla 3.- Volúmenes de cabezas o tapas. Fuente Perry –Manual del Ingeniero
Químico.-Sexta edición.-México-2001
Volúmenes de un recipiente cónico a medio llenar.
Los tanques cónicos son menos comunes en la industria química, aunque se
utilizan bastante para el almacenamiento de granos.
Es posible encontrarlos en forma de que el radio superior sea el más pequeño o
al contrario tal y como se muestra en la figura siguiente:
D arriba
D arriba
Z<0
H
Dfondo
Dfondo
Fig.- 16.-Tanques cónicos.
Volumen de líquido en el cono
H 2
2


V 
D fondo  D fondo  Darriba  Darriba
12
1
Darriba  D fondo 
Z
2H
Z  0 si
Darriba  D fondo
Z  0 si
Darriba  D fondo
Z>0
H
68
Volumen en una esfera parcialmente llena de líquido
D
H
Fig. 17.- Esfera
4
1
Volumen total de la esfera = R 3  D 3
3
6
 2
Volumen parcialmente lleno = H 1.5 D  H ) 
3
Ejemplo 3.16.
Sea una esfera de 2.5 m de diámetro llena hasta una altura de 0.5 m con líquido.
¿Cuál será el volumen de líquido contenido en la esfera?
1
Volumen total de la esfera =  (2.5) 2  3.725m 3
6

Volumen del líquido contenido en la esfera = (0.5) 2 (1.5  2.5  0.5)  0.8508m 3
3
El tanque está lleno en un 22.8%.
Masa contenida en un tanque.
Si se tiene el volumen es, relativamente, fácil obtener la masa contenida en el
recipiente; bastará conocer la densidad del líquido contenido en tanque. Sin
embargo la densidad de un líquido es función de la temperatura, por lo que deberá
saberse la temperatura a la cual se encuentra el líquido para poder calcular la
densidad.
Es muy usual el empleo de la densidad relativa que en el líquido es igual a:
R 
 líquido
 agua
Como la densidad de los líquidos es función de la temperatura es necesario que
la densidad relativa contenga las temperaturas a las que se toma la densidad del
líquido y del agua. Por regla general la densidad base para el agua es la que
tiene está a 4 °C o sea la densidad de 1 kg / litro.
La densidad de los líquidos se obtiene, generalmente, mediante densímetros
que pueden emplear diferentes escalas tales como la Baumé, la API , Brix, etc.
69
Algunos dato sobre tanques.
Las temperaturas de diseño están entre -30°C a 345°C. Las presiones de diseño
son de 10% sobre la máxima presión de operación. Para operaciones al vacío las
presiones de diseño son de 15 psi.
Los espesores mínimos para mantener la estructura de los tanques son:
6.4 mm para 1 m o menos de diámetro.
8.1 mm para tanques que van de 1m a 1.5 de diámetro o menos.
9.7 mm para diámetros mayores de 1.5 m.
Para los tanques de depósito que tienen 4m3 se usan tanques verticales sobre
piernas.
Los tanques de depósito deben diseñarse para contener 1.5 veces la capacidad
de los tanques de operación.
Ejercicios de autoevaluación
1.-Un densímetro pesa 11 g y el área de la sección recta de su vástago es de 0.16
cm2 ¿Cuál es la diferencia de alturas sumergidas en dos líquidos de densidades
relativas 1.25 y 0.9 respectivamente?
R.- La diferencia de alturas es de 0.2138 m, o sea de casi 22 cm.
2.-Un manómetro tipo Bourdon se utiliza para medir la presión de un recipiente
indicando 5 kg/cm2. Si la presión atmosférica es de 710 mm de Hg. ¿Cuál será la
presión absoluta que reina en el interior del recipiente?
R.-La presión absoluta es de 5.965 kg/cm2.
3.- La presión estática correspondiente a un fluido que se desplaza por un tubo se
mide con un manómetro como el que se muestra. Si la densidad del aceite es de
860 kg / m3, ¿Cuál será la presión estática en el punto A?
70
R.- La presión estática es de 10729.8 kg / m2 o de 1.0729 kg / cm2.
4.- Se tienen dos depósitos de líquidos A y B comunicados entres i mediante un
tubo, como se aprecia en la figura. La base de A es de 75 cm 2 y la de B de 30 cm2.
La densidad relativa del aceite es de 0.8. ¿Cuántos kilogramos de aceite hay que
poner en el depósito B para que las diferencias de nivel entre el agua de las dos
ramas sean de 15 cm? ¿Qué punto soporta más presión, C o C´?
R.- Se requieren 0.45 kg de aceite. La presión en C es mayor que en C’.
5.- Con una prensa hidráulica se desea elevar un automóvil que pesa 1500 kg.
Determine la fuerza que se necesita aplicar en la sección de 0.01m 2 para que en
la sección de 1m2 se eleve el automóvil.
71
R.- Se requiere aplicar una fuerza de 15 kg.
6.-Una esfera de cobre de 60 cm3 de volumen se introduce en el agua. ¿Cuál es
el empuje ascendente que recibe? Si la esfera es hueca y pesa 60 g, ¿flotará o se
irá al fondo?
R.-El empuje ascendente es de 60 g. La esfera quedará en cualquier lugar que se
la ponga.
7.-Encontrar la presión en A.
R.- La presión en A es de 1.913 kg / cm2.
8.-Determine la presión relativa y absoluta en el fondo de un recipiente abierto a la
atmósfera: a) siesta lleno de agua, b) si está lleno de gasolina de densidad 700.0
kg / m3. La profundidad del líquido en el recipiente es de 4 m. La presión
atmosférica es de 1 atm.
R.-En el recipiente lleno de agua, la presión relativa es de 0.4 atm y la absoluta de
1.4 atm. En el recipiente lleno de gasolina la presión relativa es de 0.275 atm y la
absoluta de 1.275 atm.
9.- ¿Cuál es el volumen de octano que contiene un tanque cilíndrico horizontal de
tapas planas y de 5 metros de largo y 2 m de diámetro el cual está lleno de líquido
72
hasta una altura de 1.5 m.?¿Qué masa de octano contiene si la temperatura es de
35 ° C?
R.-El volumen de octano es de 12.63 m3, la masa de octano de 8879 kg.
10.- Un tanque cilíndrico horizontal está lleno de líquido hasta una altura de
1.0668 m. Si el tanque es de tapas planas y tiene una longitud de 10.668 m y un
diámetro de 3.048 m. ¿Qué porcentaje del tanque está lleno de líquido?
R.- El tanque está lleno de líquido en un 31.2 %.
11.-Un densímetro pesa 11 g y el área de la sección recta de su vástago es de
0.16 cm2 ¿Cuál es la diferencia de alturas sumergidas en dos líquidos de
densidades relativas 1.25 y 0.9 respectivamente?
R.-la diferencia de alturas es de 22 cm.
73
Capítulo 4
La viscosidad
74
La Viscosidad
Para clasificar a los materiales que se encuentran en la naturaleza se pueden
utilizar diversos criterios. Desde el punto de vista de la ingeniería, uno de los más
interesantes lo constituye aquel que considera el comportamiento de los
elementos frente a situaciones especiales. De acuerdo a ello se definen los
estados básicos de sólido, plástico, fluidos y plasma. De aquí la de definición que
nos interesa es la de fluidos, la cual se clasifica en líquidos y gases.
La clasificación de fluidos mencionada depende fundamentalmente del estado y
no del material en sí. De esta forma lo que define al fluido es su comportamiento y
no su composición. Entre las propiedades que diferencian el estado de la materia,
la que permite una mejor clasificaron sobre el punto de vista mecánico es la que
dice la relación con la forma en que reacciona el material cuando se le aplica una
fuerza.
Los fluidos reaccionan de una manera característica a las fuerzas. Si se compara
lo que ocurre a un sólido y a un fluido cuando son sometidos a un esfuerzo de
corte o tangencial se tienen reacciones características que se pueden verificar
experimentalmente y que permiten diferenciarlos.
Con base al comportamiento que desarrollan los fluidos se definen de la siguiente
manera: "Fluido es una sustancia que se deforma continuamente, o sea se
escurre, cuando está sometido a un esfuerzo de corte o tangencial". De esta
definición se desprende que un fluido en reposo no soporta ningún esfuerzo de
corte.
Un fluido es pues, una sustancia o medio continuo que se deforma continuamente
en el tiempo ante la aplicación de una presión o tensión tangencial sin importar la
magnitud de ésta.
La parte de la física que se ocupa de la acción de los fluidos en reposo o en
movimiento, así como de las aplicaciones y mecanismos de ingeniería que utilizan
fluidos se llama Mecánica de fluidos. La mecánica de fluidos es fundamental en
campos tan diversos como la aeronáutica, la ingeniería química, civil e industrial,
la meteorología, las construcciones navales y la oceanografía.
La mecánica de fluidos puede subdividirse en dos campos principales: la estática
de fluidos, o hidrostática, que se ocupa de los fluidos en reposo, y la dinámica de
fluidos, que trata de los fluidos en movimiento. El término de hidrodinámica se
aplica al flujo de líquidos o al flujo de los gases a baja velocidad, en el que puede
considerarse que el gas es esencialmente incompresible. La aerodinámica, o
dinámica de gases, se ocupa del comportamiento de los gases cuando los
cambios de velocidad y presión son lo suficientemente grandes para que sea
necesario incluir los efectos de la compresibilidad.
Entre las aplicaciones de la mecánica de fluidos están la propulsión a chorro, las
turbinas, los compresores y las bombas. La hidráulica estudia la utilización en
ingeniería de la presión del agua o del aceite.
75
Los principios básicos del movimiento de los fluidos se desarrollaron lentamente a
través de los siglos XVI al XIX como resultado del trabajo de muchos científicos
como Da Vinci, Galileo, Torricelli, Pascal, Bernoulli, Euler, Navier, Stokes, Kelvin,
Reynolds y otros que hicieron interesantes aportes teóricos a lo que se denomina
hidrodinámica. También en el campo de hidráulica experimental hicieron
importantes contribuciones Chezy, Ventura, Hagen, Manning, Pouseuille, Darcy,
Froude y otros, fundamentalmente durante el siglo XIX. Hacia finales del siglo XIX
la hidrodinámica y la hidráulica experimental presentaban una cierta rivalidad. Por
una parte, la hidrodinámica clásica aplicaba con rigurosidad principios
matemáticos para modelar el comportamiento de los fluidos, para lo cual debía
recurrir a simplificar las propiedades de estos. Así se hablaba de un fluido real.
Esto hizo que los resultados no fueran siempre aplicables a casos reales. Por otra
parte, la hidráulica experimental acumulaba antecedentes sobre el
comportamiento de fluidos reales sin dar importancia a la formulación de una
teoría rigurosa.
La Mecánica de Fluidos moderna aparece a principios del siglo XX como un
esfuerzo para unir estas dos tendencias: experimental y científica. Generalmente
se reconoce como fundador de la mecánica de fluidos modela al alemán L. Prandtl
(1875-1953). Esta es una ciencia relativamente joven a la cual aún hoy se están
haciendo importantes contribuciones.
Sistema de unidades.
En ingeniería es necesario cuantificar los fenómenos que ocurren y para ello se
requiere expresar las cantidades en unidades convencionales. Los sistemas de
unidades utilizados están basados en ciertas dimensiones básicas, o primarias,
apartar de las cuales es posible definir cualquier otra utilizando para ello leyes
físicas, dimensionalmente homogéneas que las relacionan. Las dimensiones
básicas más usadas son: longitud, tiempo, masa y temperatura. La forma en que
se seleccionan las dimensiones básicas apartar de las se pueden definir las
restantes, y las unidades que se les asignan, da origen a diferentes sistemas de
unidades. Desde 1971 se ha intentado universalizar el uso del denominado
Sistema Internacional de Unidades, SI el cual corresponde a la extensión y el
mejoramiento del tradicional sistema MKS.
Los fluidos, como todos los materiales, tienen propiedades físicas que permiten
caracterizar y cuantificar su comportamiento así como distinguirlos de otros.
Algunas de estas propiedades son exclusivas de los fluidos y otras son típicas de
todas las sustancias. Características como la viscosidad, tensión superficial y
presión de vapor solo se pueden definir en los líquidos y gasas. Sin embargo la
densidad, el peso específico y la densidad relativa o (gravedad específica) son
atributos de cualquier materia.
Se denomina densidad a la cantidad de materia por unidad de volumen de una
sustancia. Se designa por ρ y se define: ρ = M /V.
76
El peso específico corresponde a la fuerza con que la tierra atrae a una unidad de
volumen. Se designa por Pe. La densidad y el peso específico están relacionados
por:
Pe =ρg
Donde g representa la intensidad del campo gravitacional.
Se denomina densidad relativa o gravedad específica a la relación que exista
entre la densidad de una sustancia cualquiera y una sustancia de referencia. Para
los líquidos se utiliza la densidad del agua a 4°C como referencia, que
corresponde a 1 g/cm3 y para los gases se utiliza al aire con densidad a 20°C y la
presión de 1,013 bar es 1.204 kg/m3.
Esfuerzo cortante y presión.
El esfuerzo cortante, también llamado fuerza de cizallamiento, es aquella fuerza
que se aplica tangencialmente a un área y que provoca deformaciones en los
cuerpos. Se distingue de la presión en que esta última es la fuerza aplicada
perpendicularmente a un área provocando la compresión.
Cuando se aplica un esfuerzo cortante sobre un fluido este se deforma. La
resistencia a la deformación ofrecida por los fluidos recibe el nombre de
viscosidad, la cual se define mediante la ley de Newton:
En donde μ es la viscosidad dinámica del fluido, τ es el esfuerzo cortante, u la
velocidad, la distancia es y. La viscosidad es aquella propiedad de un fluido por
virtud de la cual ofrece resistencia al corte. Esta se puede clasificar en
newtonianos, donde hay una relación lineal entre la magnitud del esfuerzo cortante
aplicado y la rapidez de deformación resultante, y en no newtonianos, donde tal
relación lineal no existe. La Ley de la viscosidad de Newton afirma que dada una
rapidez de deformación angular en el fluido, el esfuerzo cortante es directamente
proporcional a la viscosidad.
77
Esa ley la propuso Isaac Newton (1642- 1727) dentro de la publicación llamada
”Philosophiae Naturalis principia mathematica” que se publicó en 1687 y en que se
encuentra entre otras cosas sus análisis teóricos y experimentales sobre el
movimiento de los fluidos y la naturaleza de la fricción interna de ellos,
apareciendo así la primera definición de la viscosidad de un fluido.
La viscosidad es la oposición de un fluido a las deformaciones tangenciales. Un
fluido que no tiene viscosidad se llama fluido ideal. En realidad todos los fluidos
conocidos presentan algo de viscosidad, siendo el modelo de viscosidad nula una
aproximación bastante buena para ciertas aplicaciones. La viscosidad sólo se
manifiesta en líquidos en movimiento, ya que cuando el fluido está en reposo, la
superficie permanece plana.
Imaginemos un bloque sólido (no fluido) sometido a una fuerza tangencial (por
ejemplo: una goma de borrar sobre la que se sitúa la palma de la mano que
empuja en dirección paralela a la mesa.) En este caso (a), el material sólido opone
una resistencia a la fuerza aplicada, pero se deforma (b), tanto más cuanto menor
sea su rigidez.
Si imaginamos que la goma de borrar está formada por delgadas capas unas
sobre otras, el resultado de la deformación es el desplazamiento relativo de unas
capas respecto de las adyacentes, tal como muestra la figura (c).
Deformación de un sólido por la aplicación de una
fuerza tangencial.
En los líquidos, el pequeño rozamiento
existente entre capas adyacentes se
denomina viscosidad. Es su pequeña
magnitud la que le confiere al fluido sus
peculiares características; así, por ejemplo,
si arrastramos la superficie de un líquido
con la palma de la mano como hacíamos
con la goma de borrar, las capas inferiores
no se moverán o lo harán mucho más
lentamente que la superficie ya que son
arrastradas por efecto de la pequeña
resistencia tangencial, mientras que las
capas superiores fluyen con facilidad.
Igualmente, si revolvemos con una cuchara
78
un recipiente grande con agua en el que hemos depositado pequeños trozos de
corcho, observaremos que al revolver en el centro también se mueve la periferia y
al revolver en la periferia también dan vueltas los trocitos de corcho del centro; de
nuevo, las capas cilíndricas de agua se mueven por efecto de la viscosidad,
disminuyendo su velocidad a medida que nos alejamos de la cuchara.
La viscosidad indica la facilidad con que un fluido fluye cuando actúan fuerzas
externas sobre él. También se le suele considerar como una conductividad de
momento, análoga a la conductividad de calor o al coeficiente de difusión.
En flujo de fluidos recibe el nombre de impulso o momento (en latín momentum)
al producto de la masa por la velocidad.
Momentum = M u
o en unidades fundamentales = MLθ -1
Considerando lo anterior, el esfuerzo cortante puede tomarse como el flujo de
momento que pasa por unidad de área y por unidad de tiempo:
La viscosidad vendría a ser algo así como el grado de " pegajosidad " que tiene un
líquido. Hablando un poco más claro se diría que la viscosidad es el rozamiento
que tienen los líquidos. Cuando se piensa en un líquido con viscosidad se puede
imaginar que hablamos de miel, de glicerina, de caramelo derretido o de algo por
el estilo. Viscosidad es lo que tiene la miel, nótese que es como pegajosa. Le
cuesta fluir. La miel se pega en todos lados. Si se vuelca un vaso con agua, el
agua se desparrama inmediatamente. En cambio si se da vuelta a un tarro con
miel, la miel no se cae en seguida. Si se quiere saber a ojo que viscosidad tiene
un líquido, se puede colocar este en la mano. Si se escapa rápido entre los dedos,
tiene poca viscosidad (agua). Si se escapa despacio tiene mucha viscosidad, por
ejemplo la miel, el champú, etc. Aunque por lo general se habla de que los
líquidos tienen viscosidad cabe señalar que también los gases la poseen, aunque
su viscosidad es mucho menor que la de los líquidos.
Ejemplo 1.
Si la distancia entre 2 placas paralelas es de 0.00914 m y si la placa inferior se
desplaza a una velocidad relativa de 0.366 m /s mayor que la superior y si el fluido
usado es un aceite de soya cuya viscosidad es de 4 x 10-2 Pa-s a 303 K.
a) Calcule el esfuerzo cortante y la velocidad de corte.
b) Si se usa glicerina a 293 K con una viscosidad de 1.069 kg / m s en lugar
del aceite de soya ¿Qué velocidad relativa se necesitará con la misma
distancia entre las placas para obtener el mismo esfuerzo cortante que en
el inciso a? Además ¿Cuál será la nueva velocidad de corte?
79
1.- Planteamiento.
2.- Cálculos.
2.1.- Esfuerzo cortante y velocidad de corte.
Pa-s
2.2.- Velocidades con glicerina.
La velocidad de corte es entonces de 0.01369/0.00914 =1.498 s-1
4.-Resultados.
El esfuerzo cortante para la soya es de 1.6 Pa, la velocidad de corte de 40 1/s.
Para la glicerina la velocidad relativa será de 0.01369 m/s y la velocidad e corte de
1.498 1/s.
La viscosidad sólo se manifiesta en fluidos en movimiento, ya que cuando el fluido
está en reposo adopta una forma tal en la que no actúan las fuerzas tangenciales
que no puede resistir. Es por ello por lo que llenado un recipiente con un líquido, la
superficie del mismo permanece plana, es decir, perpendicular a la única fuerza
que actúa en ese momento, la gravedad, sin existir por tanto componente
tangencial alguna.
Si la viscosidad fuera muy grande, el rozamiento entre capas adyacentes lo sería
también, lo que significa que éstas no podrían moverse unas respecto de otras o
lo harían muy poco, es decir, estaríamos ante un sólido. Si por el contrario la
viscosidad fuera cero, estaríamos ante un superfluido que presenta propiedades
notables como escapar de los recipientes aunque no estén llenos.
La viscosidad es una de las propiedades más importante de los fluidos, y por tanto
esta requiere la mayor consideración en el estudio del flujo de fluidos. Esta es la
80
resistencia que ejercen los fluidos al ser deformado cuando este se aplica un
mínimo de esfuerzo cortante. La viscosidad de un fluido depende de su
temperatura. Es por eso que en los líquidos a mayor temperatura la viscosidad
disminuye mientras que en los gases sucede todo lo contrario lo contrario. Los
líquidos y los gases corresponden a dos tipos diferentes de fluidos. Los primeros
tienen un volumen constante que no puede alterarse apreciablemente si son
sometidos a compresión, por ende se dice que son fluidos incompresibles. Los
segundos no tienen un volumen propio, sino que ocupan el del recipiente que los
contiene; son fluidos compresibles porque, a diferencia de los líquidos, sí pueden
ser comprimidos.
La resistencia de un fluido al corte depende de su cohesión y de su rapidez de la
transferencia de la cantidad del movimiento molecular. Un líquido, cuyas
moléculas dejan espacios entre ellas mucho más cerradas que las de un gas,
tienen fuerzas cohesivas mucho mayor que un gas. La cohesión parece ser la
causa predominante de la viscosidad en un líquido; y ya que la cohesión decrece
con la temperatura, la viscosidad decrece también.
La medida común métrica de la viscosidad absoluta es el Poise, que es definido
como la fuerza necesaria para mover un centímetro cuadrado de área sobre una
superficie paralela a la velocidad de 1 cm por segundo, con las superficies
separadas por una película lubricante de 1 cm de espesor. La viscosidad varía
inversamente proporcional con la temperatura. Por eso su valor no tiene utilidad si
no se relaciona con la temperatura a la que el resultado es reportado.
En el SIU (Sistema Internacional de Unidades), la unidad física de viscosidad
dinámica es el pascal-segundo (Pa·s), que corresponde exactamente a 1 N·s/m² o
1 kg/(m·s).
La unidad CGS para la viscosidad dinámica es el poise
(1 poise (P) ≡ 1g·(s·cm)−1 ≡ 1 dina·s·cm−2 ≡ 0,1 Pa·s),
Cuyo nombre homenajea al fisiólogo francés Jean Louis Marie Poiseuille (17991869). Se suele usar más su submúltiplo el centipoise (cP). El centipoise es más
usado debido a que el agua tiene una viscosidad de 1,0020 cP a 20 °C.
1 poise = 100 centipoise = 1 g/(cm·s) = 0,1 Pa·s
1 centipoise = 1 mPa·s
En el sistema inglés, el Reyn fue nombrado en honor de Osborne Reynolds:
1 Reyn = 1 lb f •sec• inches -2 = 6.89476 × 10 6 cp = 6890 Pa × s
81
En Francia se intentó establecer la unidad poiseuille (Pl) como nombre para el
Pa·s, sin éxito internacional. No se debe confundir el poiseuille con el poise,
llamado así por la misma persona.
Viscosidad cinemática.
Con frecuencia se suele usar la llamada viscosidad cinemática que se obtiene
como cociente de la viscosidad dinámica (o absoluta) y la densidad.
La unidad en el SI es el (m²/s). La unidad física de la viscosidad cinemática en el
sistema CGS es el stoke (abreviado S o St), cuyo nombre proviene del físico
irlandés George Gabriel Stokes (1819-1903). A veces se expresa en términos de
centistokes (cS o cSt).
1 stoke = 100 centistokes = 1 cm²/s = 0,0001 m²/s
La viscosidad de los fluidos se puede obtener por medio de los llamados
viscosímetros, los cuales son de muchos tipos. La viscosidad de muchos fluidos
se puede obtener a partir de tablas, nomogramas y fórmulas. La viscosidad es
función de la temperatura, en los gases la viscosidad aumenta con ella, mientras
que en los líquidos disminuye.
La viscosidad dinámica es la propiedad de los fluidos que se caracteriza por su
resistencia a fluir, debida al rozamiento entre sus moléculas. En el Sistema
Internacional se mide en Pascales segundo, pero la unidad más utilizada es el
centipoise (cps), equivalente a 1mPa s.
(La viscosidad cinemática es el cociente entre viscosidad dinámica y densidad, y
se mide en centistokes.
Conversiones
1 Poise 100 cps (centipoise)
1 cps 1 mPa s (mili Pascal segundo)
1 Poise 0,1 Pa s (Pascal segundo)
1 cps 1 centistokes x Densidad
Abreviaturas
Abreviaturas Equivalencia
Centipoise cps o cP
Poise P
Centistokes cSt o cS
Saybolt Universales SSU
Viscosidades aproximadas de los productos comunes
Tabla (Viscosidades aproximadas de algunas sustancias)
Aire 0,01 cps
82
Metanol 0,5 cps
Agua 1 cps
Leche 3 cps
Glicol etileno 15 cps
Vino 25 cps
SAE 10 Aceite de motor 85 a 140 cps
SAE 20 Aceite de motor 140 a 420 cps
SAE 30 Aceite de motor 420-650 cps
SAE 40 Aceite de motor 650 a 900 cps
Aceite Castrol 1.000 cps
Miel Karo 5.000 cps
Miel 10.000 cps
Chocolate 25.000 cps
Salsa de tomate 50.000 cps
Mostaza 70.000 cps
Crema 100.000 cps
Manteca de cacahuete 250.000 cps
Compuestos asfalto 500.000 cps
Polímeros fundidos 1.000.000 cps
Masillas 2.000.000 cps
Compuestos de caucho 5.000.000 cps
Viscosidad de los gases.
Los gases también poseen resisten a al cambio de movimiento, por lo que poseen
viscosidad .Experimentalmente se ha encontrado que la viscosidad de los gases
aumenta con la temperatura y que puede predecirse mediante ecuaciones tales
como la que se muestra a continuación:
En dónde
;
T es la temperatura absoluta en °K ;
Los valores del diámetro de colisión, la integral de colisión y el parámetro del
potencial se pueden encontrar en apéndices.
Ejemplo 2.
Calcule la viscosidad del CO2 a 800 K y 1 atm.
2.- Planteamiento,
2.1.- Viscosidad.
3.- Cálculos.
3.1.- Viscosidad
Los valores de e/k = 190 K y de σ s= 3.996 X 10-8 cm
Con T / e/k = 4.21 se obtiene el valor de Ω= 0.9595
83
4.- Resultado.
El valor de la viscosidad del bióxido de carbono a 800 K y 1 atm es de 0.03268, lo
que concuerda con el valor en la literatura de 0.033 cps.
Si se está trabajando con presiones altas (mayores a 10 atm) los valores de la
viscosidad de los gases deben corregirse mediante graficas del tipo siguiente:
Al tener una mezcla de gases, la viscosidad se calcula con la siguiente expresión:
Ejemplo 3.
¿Cuál será la viscosidad del nirógeno a 50 ° C y 85 atm?
2.1.- Viscosidad a 1 atm
2.2.- Viscosidad a otra presión.
84
3.-Cálculos.
3.1.- Viscosidad a 1 atm y 50 ° C
Los valores de e/k = 91.5 K y de σ = 3.681 X 10-8 cm
Con T / e/k = 3.53 se obtiene el valor de Ω= 0.9995
3.2.- Viscosidad a 85 atm y 50 ° C
Temperatura crítica del Nitrógeno -147.1 °C=125.9 K; Temperatura reducida =
323/125.9=2.56
Presión crítica del nitrógeno 33.5 atm; presión critica = 85/33.5 =2.53
De la gráfica μ#= 1.15 , μ=1.15 X 0.0187 =0.0215 cps
4.-Resultado.
La viscosidad del nitrógeno a 50 °C y 85 atm es de 0.0215 cps.
Los valores de la viscosidad de los gases
suelen obtenerse mediante
nomogramas del siguiente tipo, los cuales pueden obtenerse de los apéndices de
los libros especializados.
Viscosidad en los líquidos.
La viscosidad de ciertos líquidos orgánicos puede predecirse a partir de la fórmula
de Souders.
I = constante que depende de la estructura del líquido=
Ejemplo 4.
¿Cuál será la viscosidad a 20 ° C del siguiente compuesto si su densidad es de
1.013 kg /L?
85
2.- Planteamiento.
2.1.- Viscosidad.
3.- Cálculos.
3.1.- Peso molecular
PM = 192
3.2.- Contribuciones de Souders.
An= 50.2 (12)+2.7 (18)+29.7 +37 = 717.7
Pn= -15.5 (3) (dobles enlaces)-21(anillos de 6 carbones)-9 (grupo lateral)+5
(cetona) =-71.5
I= 717.7-71.5=646.2
m = 646.2/192=3.366
3.3.- Viscosidad
Log (log (10μ))=3.366(1.013)-2.9 = 0.509758
La viscosidad μ = 171.4 cps
4.- Resultado.
La viscosidad es de 171.4 cps
La viscosidad de los líquidos disminuye con la temperatura. La siguiente fórmula
representa la variación de la viscosidad de los líquidos con respecto a la
temperatura:
a y b son constantes en la fórmula de Andrade.
La viscosidad de algunos líquidos y su variación con la temperatura se puede
obtener a partir de nomogramas como los que se presentan en los apéndices de
libros especializados.
86
Las mezclas de líquidos se pueden obtener a partir de la ecuación siguiente:
En donde
líquido.
es la viscosidad del líquido puro n.;
es la fracción mol del
Ejemplo 5.
Una mezcla líquida está formada por 50% de octano, 25 % de heptano y 25 % de
hexano en mol a 25 ° C. ¿Cuál es la viscosidad absoluta de la mezcla? ¿Cuál es
su densidad? ¿Cuál será su viscosidad cinemática?
2.- Planteamiento.
2.1.- Viscosidad de mezclas líquidas
=
+
2.2.- Densidad de mezclas
3.-Cálculos.
3.1.-Viscosidad
A partir del nomograma del apéndice
Viscosidades μo=0.53 cps; μh = 0.39; μe= 0.32 cps
Por lo tanto: logμmezc= 0.5 log 0.53+0.25 log 0.39 + 0.25 log 0.32
Entonces μmezc= 0.4327 cps = 0.4327 X 10-3 Pa-s
3.2.-Densidades
De acuerdo con los datos obtenidos a partir de nomogramas
Densidades: ρo=0.69 kg /L; ρh = 0.67 kg /L; ρe= 0.65 kg /L
3.3.- Viscosidad cinemática
4.- Resultados.
La viscosidad absoluta de la mezcla es de 0.4327 cps y la viscosidad cinemática
de 0.6415 centistokes.
La viscosidad de las suspensiones diluidas se puede obtener mediante la
siguiente ecuación para concentraciones de la fase sólida menores del 10 % en
volumen.
87
En donde:
puro;
es la viscosidad de la suspensión;
viscosidad del líquido
es el volumen del sólido en suspensión.
Para concentraciones de la fase sólida hasta de un 30 % en volumen la
viscosidad de las suspensiones se puede obtener mediante la fórmula siguiente:
Ejemplo 6.
¿Cuál será la viscosidad del agua de un río a 25 ° C si lleva 5 % en volumen de
tierra?
2.- Discusión.
Para suspensiones de sólidos en líquidos que contienen entre 10 y 4% de
volumen de sólidos la fórmula empleada sería:
3.- Cálculos.
3.1.- Viscosidad.
La viscosidad del agua a 25 ° C es de 0.8937 cps.
Por lo tanto:
4.- La viscosidad será de 1 cps.
Viscosímetros.
Los equipos con que se determina la viscosidad de un fluido se denominan
viscosímetros y se pueden dividir en dos categorías:
a) viscosímetros para obtener viscosidades absolutas
b) viscosímetros para obtener viscosidades cinemáticas
Los primeros se basan en la resistencia que ofrece el fluido al movimiento cuando
una superficie sólida se mueve en su seno. Como ejemplo de estos viscosímetros
tenemos los de caída de la esfera, de Codatte-Ratsahek, de plato y cono, de
Stormer, etcétera.
Los viscosímetros que determinan viscosidades cinemáticas se basan en el
tiempo que requiere un determinado volumen de fluido en pasar libremente a
través de un orificio normalizado, por ejemplo, los viscosímetros de Saybolt,
Saybolt Furol, Engler, etcétera.
Descripción de equipos.
1) Viscosímetro de Stormer:
88
Este viscosímetro consta de dos cilindros concéntricos siendo el interior móvil y el
exterior fijo colocándose el fluido cuya viscosidad se quiere determinar en el
espacio comprendido entre estos.
El cilindro interior se puede hacer girar por medio de un hilo enrollado en la polea
superior y en cuyo extremo lleva un peso. Se puede deducir que, para este
equipo, la viscosidad se expresa en función del par necesario para hacer girar el
cilindro interior:
2) Viscosímetro de caída de la esfera (de Poiseuille):
Este equipo es un simple tubo de vidrio o plástico (ver figura 2) que se llena con el
fluido cuya viscosidad se quiere determinar y permite obtener la velocidad límite
que alcanza la esfera de un material determinado (acero, vidrio, etcétera), que se
deja caer en su seno.
El viscosímetro de caída de bola VISCO BALL se basa en el sistema de medida Höppler. Mide el tiempo en
el que una esfera sólida necesita para recorrer una distancia entre dos puntos de referencia dentro de un
tubo inclinado con muestra.
Los resultados obtenidos se determinan como viscosidad dinámica en la medida estandarizada en el
Sistema Internacional (mPa·s).
El VISCO BALL determina la viscosidad de líquidos Newtonianos y gases (con una bola especial para
gases), con precisión. Entre sus aplicaciones figuran la investigación, el control de procesos y el control de
calidad.
Este viscosímetro se utiliza principalmente para substancias de baja viscosidad, entre 0,6 y 100.000
mPa·s, como:
- Industria de aceites minerales (aceites, líquidos hidrocarbonos)
- Industria alimentaria (soluciones de azúcar, miel, cerveza, leche, gelatina, zumos de frutas)
- Industria química (soluciones de polímeros, disolventes, soluciones de resinas, dispersiones de látex,
soluciones adhesivas)
- Industria Cosmética/Farmacéutica (materias primas, glicerina, emulsiones, suspensiones, soluciones,
estractos)
- Industria petrolera (crudo, aceite para máquinas, petróleo)
- Carburantes (petróleo, aceite diesel y parafina)
- Industria papelera (emulsiones, dispersiones de pigmentos, aditivos del papel)
- Pinturas y barnices (tintas para impresión, barnices, acuarelas, tintas)
- Detergentes
89
Cumple los requerimientos de las normativas DIN 53015 y ISO 12058.
Ejemplo 7.
Una esfera de 1 mm de diámetro y una densidad de 1.1 kg /L cae dentro de un
líquido a una velocidad constante de 5.45 X 10-2 cm /s. Si la densidad del líquido
es de 1000 kg / m3¿Cuál es su viscosidad?
2.- Planteamiento.
2.1.- Para resolver este ejercicio se puede aplicar la ley de Stokes (se desarrollará
en otro capítulo).
2.2.- Viscosidad
En donde Dp es el diámetro de la partícula que cae, y ρp la densidad de esa
partícula, u es la velocidad de caída y ρl la densidad del líquido.
3.- Cálculos.
3.1.- Viscosidad
4.- Resultados.
La viscosidad del líquido es de 100 cps
3) Viscosímetro de Saybolt:
Este equipo consiste en un recipiente destinado a contener el fluido cuya
viscosidad se quiere determinar y que tiene en su parte inferior un orificio de
diámetro normalizado. Este recipiente se halla a su vez dentro de otro que le sirve
de baño calefactor, para poder determinar viscosidades a distintas temperaturas.
Este viscosímetro posee un mechero para calefacción solidario al equipo. Una
clase especial de viscosímetro Saybolt es el denominado de Saybolt – Furol, que
tiene idénticos principios de funcionamiento pero su orificio tiene un diámetro
mayor y sirve para fluidos cuyas viscosidades son altas (desde 480 cps en
adelante). La denominación “Furor” proviene de la contracción de las palabras
“Fuel and Road Oil”.
La facilidad con que un fluido fluye a través de un
orificio de diámetro pequeño es una indicación de
su viscosidad. Éste es el principio sobre el cual
está basado el viscosímetro de Saybolt. La
muestra de fluido se coloca en un aparato
parecido al que se muestra en la figura.
Después de que se establece el flujo, se mide el
tiempo requerido para colectar 60 mL del fluido.
90
El tiempo resultante se reporta como la viscosidad del fluido en Segundos
Universales Saybolt (SSU o. en ocasiones, SUS).En los viscosímetros Saybolt se
utiliza un recipiente de 60 cm3.
Puesto que la medición no está basada en la definición fundamental de
viscosidad, los resultados son solamente relativos. Sin embargo, sirven para
comparar las viscosidades de diferentes fluidos.
La ventaja de este procedimiento es que es sencillo y requiere un equipo
relativamente simple. Se puede hacer una conversión aproximada de SSU a
viscosidad cinemática.
<
Si se cuenta con un viscosímetro Saybolt
entonces:
En donde SSU son los segundos Saybolt universal, ν son Stokes.
Los Segundos Saybolt Furol se miden a 100°F (38°C) y a 212 °F (100 °C).
Ejemplo 8.
Se utiliza un viscosímetro Saybolt universal para determinar la viscosidad
cinemática de la glicerina. Si el tiempo registrado es de 32 segundos ¿Cuál es la
viscosidad en centistokes?
2.- Planteamiento.
2.1.-Viscosidad.
3.- Cálculos.
91
4.- La viscosidades de 1.14 centistokes.
4) Viscosímetro de Engler:
El principio de funcionamiento de este equipo es igual al de los viscosímetros
Saybolt ver figura .Las diferencias residen en las formas de obturar los orificios
normalizados y en que el viscosímetro de Engler no dispone de mecheros para
calefacción incorporados, sino que la misma debe realizarse por algún medio
externo.
Como ya fue mencionado, en los viscosímetros de Saybolt y Engler, se
determinan viscosidades cinemáticas, que se obtienen midiendo el tiempo de
efusión de 60ml de fluido a través de un orificio normalizado que se recogen en un
balón aforado y previamente calibrado.
Los resultados de viscosidad cinemática obtenidos se expresan en base al tiempo
de efusión en: Segundos Saybolt Universal o Segundos Engler Universal.
Los Segundos Engler miden la relación entre el tiempo de vaciado de un recipiente
de 200 cm3, lleno de combustible, y el empleado por la misma cantidad de agua,
usualmente a 20° C. Sin embargo, los combustibles pesados se suelen calentar a
50 ° C, aunque últimamente se utiliza la determinación a 37.8°C (100°F).
Estos resultados se pueden relacionar con la viscosidad cinemática en sentisteis
mediante la tabla que se presenta a continuación y también con la ecuación
siguiente:
En donde θ son los segundos Engler.
92
5) Viscosímetro capilar de vidrio o viscosímetro de Ostwald
Los viscosímetros capilares de vidrio están diseñados para dejar pasar a través
del capilar un volumen constante de líquido mediante la aplicación de una fuerza
reproductible.
Esta fuerza es provista por la presión que ejerce la carga hidrostática debido a los
diferentes niveles de las superficies líquidas en el mismo viscosímetro.
93
El tiempo durante el cual el líquido fluye, es por consiguiente, además de la
corrección por energía cinética, proporcional a la razón, entre la viscosidad
absoluta y la densidad, esta razón es por definición la viscosidad cinemática de un
líquido. Se requiere un control exacto de la temperatura y el tiempo de flujo en el
uso de este método. El viscosímetro de Otswald es quizás el modelo que más se
ha utilizado en la medida de viscosidades absolutas y relativas en líquidos puros y
biológicos, en sus mezclas y, especialmente, en fluidos newtonianos.
Friedric
h Wilhelm Ostwald (1853-1932)
Se basa en la ley de Poiseuille que permite conocer la velocidad de flujo de un
líquido a través de un tubo, en función de la diferencia de presiones bajo las que
se establece el desplazamiento.
Para un fluido que se mueve a flujo laminar se puede aplicar la ecuación de
Hagen – Poiseuille:
En donde Ca es el flujo volumétrico en m3/s =
;
El viscosímetro Ostwald está formado por un tubo capilar por el que desciende un
fluido ayudado por las fuerzas gravitatorias.
Pero
Entonces:
Si se usa el mismo tubo para medir las viscosidades entonces:
R1= R2
; L1=L2 ; h1=h2; V1=V2 y por lo tanto:
También:
94
Y por lo tanto
Si se escoge bien un fluido de referencia a una temperatura T entonces:
En donde C es la constante del aparato y, ν1 es la viscosidad
cinemática del fluido que se está midiendo.
Ejemplo 9.
En un viscosímetro Otswald se determina la viscosidad del tetracloruro de carbono
a 20 ° C. El tiempo en el que fluye ese líquido es de 25 segundos, mientras que el
agua lo hace en 42 segundos. ¿Cuál es la viscosidad del tetracloruro de carbono?
2.- Planteamiento.
2.1.- Viscosidad
Para el viscosímetro Ostwald se cumple la relación:
3.- Cálculos.
3.1.- Viscosidad
De tablas viscosidad absoluta μ del agua a 20 ° C = 1.009 cps, densidad del agua
ρ a 20 ° C= 0.998 kg/L
Viscosidad cinemática del agua
Por lo tanto la viscosidad cinemática del tetracloruro de carbono será de:
4. Resultado.
La viscosidad cinemática del tetracloruro de carbono es de 0.6 centistokes.
Viscosímetro rotacional Brookfield.
Los viscosímetros rotacionales son útiles en un amplio intervalo de viscosidades y
particularmente son valiosos para el estudio de sistemas no newtonianos.
Normalmente se emplean en el campo superior a los 50 poises.
.Los viscosímetros de rotación emplean la idea de que la fuerza requerida para
rotar un objeto inmerso en un fluido puede indicar la viscosidad del fluido. El más
común de los viscosímetros de rotación son los del tipo Brookfield que determina
la fuerza requerida para rotar un disco o cilindro en un fluido a una velocidad
95
conocida. El viscosímetro rotacional está compuesto de: cilindro giratorio, cilindro
estacionario (bob), resorte de restitución, dial de lectura directa, un sistema de
engranaje y perillas para el cambio de velocidades y un vaso contenedor de
muestra de fluido.
Son instrumentos de medición y control de viscosidad, indispensables en el control
de calidad de innumerables productos. Todos se suministran con certificado de
fábrica, juego de agujas, instructivo, estuche y soporte. Todos los viscosímetros
Brookfield utilizan el conocido principio de la viscosimetria rotacional; miden la
viscosidad captando el par de torsión necesario para hacer girar a velocidad
constante un husillo inmerso en la muestra de fluido. El par de torsión es
proporcional a la resistencia viscosa sobre el eje sumergido, y en consecuencia, a
la viscosidad del fluido.
Si el cilindro interior rota dentro del
líquido a ciertas revoluciones por
minuto (RPM) a este movimiento se
opone una fuerza que actúa sobre las
paredes del cilindro.
Y el esfuerzo cortante sobre el cilindro
es:
=
El esfuerzo cortante o flujo de
momentum está relacionado con la
viscosidad por:
Ejemplo 10.
Un cilindro de 12 cm de radio gira concéntricamente en el interior de un cilindro de
12.6 cm de radio. Ambos cilindros tienen una longitud de 30 cm. Determine la
viscosidad del líquido que al encontrarse entre los dos cilindros provoca un torque
de 9 kgX cm al producirse una velocidad angular de 60 RPM.
1.- Traducción.
96
2.- Planteamiento.
2.1.- Viscosidad
3.-Cálculos.
3.1.-Viscosidad
=7.95
4.- Resultado.
La viscosidad es de 258.59 cps.
Viscosidad y lubricantes.
La viscosidad es la principal característica de la mayoría de los productos
lubricantes. Es la medida de la fluidez a determinadas temperaturas.
Si la viscosidad es demasiado baja el film lubricante no soporta las cargas entre
las piezas y desaparece del medio sin cumplir su objetivo de evitar el contacto
metal-metal.
Si la viscosidad es demasiado alta el lubricante no es capaz de llegar a todos los
intersticios en donde es requerido. Al ser alta la viscosidad es necesaria mayor
fuerza para mover el lubricante originando de esta manera mayor desgaste en la
97
bomba de aceite, además de no llegar a lubricar rápidamente en el arranque en
frio.
Los cambios de temperatura afectan a la viscosidad del lubricante generando así
mismo cambios en ésta, lo que implica que a altas temperaturas la viscosidad
decrece y a bajas temperaturas aumenta. Arbitrariamente se tomaron diferentes
tipos de aceite y se midió su viscosidad a 40°C y 100°C, al aceite que sufrió
menos cambios en la misma se le asignó el valor 100 de índice de viscosidad y al
que varió en mayor proporción se le asignó valor 0 (cero) de índice de viscosidad.
Luego con el avance en el diseño de los aditivos mejoradores del índice de
viscosidad se logró formular lubricantes con índices mayores a 100.
La clasificación de los aceites atendiendo a su viscosidad ha generado en la
etiqueta de los envases una serie de siglas. La sociedad de Ingenieros
Automotores de los Estados Unidos (SAE) clasificó a los aceites según su
viscosidad adoptando como temperatura de referencia 100 ° C y midiendo la
viscosidad en centistoke (cst). Dividió el rango total de las viscosidades en grupos
arbitrarios: 20, 30,40 y 50. Esta clasificación no tuvo en cuenta que un aceite SAE
20 en condiciones de baja temperatura aumenta considerablemente su viscosidad
por lo que surgieron así los aceites tipo W (Winter o invierno) que cubrían esa
deficiencia. Se amplió entonces la clasificación incorporando los grados SAE 5W,
SAE 10W, SAE 20 W. Con el uso de aditivos mejoradores del índice de viscosidad
es posible formular aceites cuya viscosidad a altas y bajas temperaturas sea la
requerida para el trabajo de los motores. De esta manera se obtuvieron los aceites
multigrados. Los aceites y lubricantes se clasifican de acuerdo al nivel de servicio
(*API) y al grado de viscosidad (**SAE). La SAE clasifica los aceites de motor de
acuerdo con su viscosidad en: UNIGRADOS. Los cuales son: SAE 40 y SAE 50.
MULTIGRADOS. Los cuales son: SAE 20W- 40, SAE 20W-50 y SAE 15W-40. De
este par de aceites los multigrados brindan mayores beneficios, tales como:
Facilitan el arranque en frió del motor protegiéndolo contra el desgaste.
La clasificación S.A.E. está basada en la viscosidad del aceite a dos temperaturas,
en grados Fahrenheit, 0ºF y 210ºF, equivalentes a -18º C y 99º C, estableciendo
98
ocho grados S.A.E. para los monogrados y seis para los multigrados. Por ejemplo,
un aceite SAE 10W 50, indica la viscosidad del aceite medida a -18 grados y a 100
grados, en ese orden. Nos dice que el ACEITE se comporta en frío como un SAE
10 y en caliente como un SAE 50. Así que, para una mayor protección en frío, se
deberá recurrir a un aceite que tenga el primer número lo más bajo posible y para
obtener un mayor grado de protección en caliente, se deberá incorporar un aceite
que posea un elevado número para la segunda.
Grado SAE
0W
5W
10W
15W
20W
25W
20
30
40
50
60
Viscosidad cinemática en cSt a
100°C
3.8
3.8
4.1
5.6
9.3
9.3
5.6-9.3
9.3-12.5
12.5-16.7
16.3-21.9
21.9-26.1
Ejercicios de autoevaluación
1.- ¿Cuál será la viscosidad del pentano gaseoso a 200 ° C ya 1 atm?
R.- La viscosidad es de 0.0108 cos.
2.- ¿Cuál será la viscosidad del benceno líquido a 55 ° C?
R.- La viscosidad es de 0.41 cps.
3.- ¿Cuál será la viscosidad de unos gases de combustión formados por 16% de
CO2, 5% de O2 y 79 % de N2 en volumen? La temperatura de los gases es de 400°
C y la presión de 1 atm.
R.- La viscosidad de la mezcla es de 0.03408 cps.
4.- Calcule la viscosidad del nitrobenceno a 20 ° C por Souders.
R.- la viscosidad es de 2.8 cps.
5.- ¿Cuál es la viscosidad de una salmuera de NaCl al 25 % y 30 ° C?
R.- La viscosidad es de 1.85 cps.
6.- Un volumen de heptano fluye a través de un viscosímetro tipo Ostwald en
83.8s mientras que un volumen igual de agua requiere 142.3 s. Calcule la
viscosidad del heptano a 20 | C, sabiendo que a esa temperatura las densidades
99
del heptano y del agua son 0.689 y 0.998 kg / L respectivamente, y que la
viscosidad del agua a esa temperatura es de 1 cps.
R.-La viscosidad es de 0.406 cps.
7.- ¿Cuál será la viscosidad de una mezcla líquida de 30% de benceno, 40% de
tolueno y 30 % de orto xileno en mola 30° C?
R.-La viscosidad de la mezcla es de 0.616 cps.
8.- Obtenga la viscosidad del aire líquido a 100K.
R.- La viscosidad es de 0.1352 cps.
9.- ¿Cuál es la viscosidad del vapor de agua a 300°C y 10 atm de presión?
R.- La viscosidad es de 0.0215 cps.
10.-En un viscosímetro Ostwald se determina la viscosidad del tetracloruro de
carbono a 20 ° C. El tiempo en el que fluye ese líquido es de 25 segundos,
mientras que el agua lo hace en 42 segundos. ¿Cuál es la viscosidad del
tetracloruro de carbono?
R.- La viscosidades de 0.9598 cps.
Apéndices.
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
Capítulo 5
Bernoulli
114
Ecuaciones de flujo de masa y de energía.
Para clasificar a los materiales que se encuentran en la naturaleza se pueden
utilizar diversos criterios. Desde el punto de vista de la ingeniería, uno de los más
interesantes lo constituye aquel que considera el comportamiento de los
elementos frente a situaciones especiales. De acuerdo a ello se definen los
estados básicos de sólido, plástico, fluidos y plasma. De aquí la de definición que
nos interesa es la de fluidos, la cual se clasifica en líquidos y gases.
La clasificación de fluidos mencionada depende fundamentalmente del estado y
no del material en sí. De esta forma lo que define al fluido es su comportamiento y
no su composición. Entre las propiedades que diferencian el estado de la materia,
la que permite una mejor clasificaron sobre el punto de vista mecánico es la que
dice la relación con la forma en que reacciona el material cuando se le aplica una
fuerza.
Los fluidos reaccionan de una manera característica a las fuerzas. Si se compara
lo que ocurre a un sólido y a un fluido cuando son sometidos a un esfuerzo de
corte o tangencial se tienen reacciones características que se pueden verificar
experimentalmente y que permiten diferenciarlos.
Con base al comportamiento que desarrollan los fluidos se definen de la siguiente
manera: "Fluido es una sustancia que se deforma continuamente, o sea se
escurre, cuando está sometido a un esfuerzo de corte o tangencial". De esta
definición se desprende que un fluido en reposo no soporta ningún esfuerzo de
corte.
Un fluido es pues, una sustancia o medio continuo que se deforma continuamente
en el tiempo ante la aplicación de una solicitación o tensión tangencial sin importar
la magnitud de ésta.
La parte de la física que se ocupa de la acción de los fluidos en reposo o en
movimiento, así como de las aplicaciones y mecanismos de ingeniería que utilizan
fluidos se llama Mecánica de fluidos. La mecánica de fluidos es fundamental en
campos tan diversos como la aeronáutica, la ingeniería química, civil e industrial,
la meteorología, las construcciones navales y la oceanografía.
La mecánica de fluidos puede subdividirse en dos campos principales: la estática
de fluidos, o hidrostática, que se ocupa de los fluidos en reposo, y la dinámica de
fluidos, que trata de los fluidos en movimiento. El término de hidrodinámica se
aplica al flujo de líquidos o al flujo de los gases a baja velocidad, en el que puede
considerarse que el gas es esencialmente incompresible. La aerodinámica, o
dinámica de gases, se ocupa del comportamiento de los gases cuando los
cambios de velocidad y presión son lo suficientemente grandes para que sea
necesario incluir los efectos de la compresibilidad.
Entre las aplicaciones de la mecánica de fluidos están la propulsión a chorro, las
turbinas, los compresores y las bombas. La hidráulica estudia la utilización en
ingeniería de la presión del agua o del aceite.
115
Los principios básicos del movimiento de los fluidos se desarrollaron lentamente a
través de los siglos XVI al XIX como resultado del trabajo de muchos científicos
como Da Vinci, Galileo, Torricelli, Pascal, Bernoulli, Euler, Navier, Stokes, Kelvin,
Reynolds y otros que hicieron interesantes aportes teóricos a lo que se denomina
hidrodinámica. También en el campo de hidráulica experimental hicieron
importantes contribuciones Chezy, Ventura, Hagen, Manning, Pouseuille, Darcy,
Froude y otros, fundamentalmente durante el siglo XIX. Hacia finales del siglo XIX
la hidrodinámica y la hidráulica experimental presentaban una cierta rivalidad. Por
una parte, la hidrodinámica clásica aplicaba con rigurosidad principios
matemáticos para modelar el comportamiento de los fluidos, para lo cual debía
recurrir a simplificar las propiedades de estos. Así se hablaba de un fluido real.
Esto hizo que los resultados no fueran siempre aplicables a casos reales. Por otra
parte, la hidráulica experimental acumulaba antecedentes sobre el
comportamiento de fluidos reales sin dar importancia a la formulación de una
teoría rigurosa.
La Mecánica de Fluidos moderna aparece a principios del siglo XX como un
esfuerzo para unir estas dos tendencias: experimental y científica. Generalmente
se reconoce como fundador de la mecánica de fluidos modela al alemán L. Prandtl
(1875-1953). Esta es una ciencia relativamente joven a la cual aún hoy se están
haciendo importantes contribuciones.
Los fluidos, como todos los materiales, tienen propiedades físicas que permiten
caracterizar y cuantificar su comportamiento así como distinguirlos de otros.
Algunas de estas propiedades son exclusivas de los fluidos y otras son típicas de
todas las sustancias. Características como la viscosidad, tensión superficial y
presión de vapor solo se pueden definir en los líquidos y gasas. Sin embargo la
densidad, el peso específico y la densidad relativa o (gravedad específica) son
atributos de cualquier materia.
Balance de energía
Gran número de procesos se llevan a cabo mediante sistemas en los que la
materia fluye, pero hay ejemplos importantes, como
en reactores por lotes, autoclaves y otros
semejantes, en los que no hay flujo de masa. En
esos sistemas:
O también:
116
La ecuación anterior recibe el nombre de primera Ley de la termodinámica.
En las convenciones primitivas, Q (calor) era positivo si se agregaba al sistema y
ζ (trabajo) era negativo si se añadía al sistema. El trabajo y el calor no son
funciones de estado, sino que dependen del paso seguido. La energía interna U
depende del estado inicial y del estado final. En un proceso no interesa el valor
absoluto de la energía interna U, sino el cambio de la misma, ΔU.
Relacionada con la energía interna de un sistema está la energía llamada entalpía.
Es también una función de estado que es muy útil al tratarse proceso a presión
constante.
H=U+PV
Si se trabaja a presión constante.
ΔH = Qp= CpΔT
O sea, el cambio de entalpia es igual al calor absorbido sólo cuando el proceso se
lleva a cabo a presión constante. En un proceso a presión constante, en el cual se
desprende calor, el ΔH es negativo; eso significa que el estado final del sistema
tiene menor energía que el estado final. Si el ΔH es negativo, el proceso es
exotérmico; si es positivo es endotérmico.
Balance de energía en sistemas abiertos
En estos sistemas debemos tomar en cuenta las transferencias de energía a
través de los límites del sistema que no están asociadas con la masa, pero
también deben considerarse las energías asociadas con la masa que fluye por el
sistema como son las energías cinéticas, potenciales, de presión, etc.
La ecuación general es:
=
Si aplicamos la ecuación anterior al sistema de flujo siguiente tendremos que:
117
En donde:
Q = calor neto=calor entrante-calor saliente. Se usa el término de calor para
referirse a la energía en tránsito, de un cuerpo a otro, debido a una diferencia de
temperatura entre dos cuerpos. Se acostumbra decir que cuando el sistema recibe
calor de los alrededores el signo del calor es positivo y en caso contrario negativo.
= trabajo neto = trabajo entrante-trabajo saliente. (Joules). El trabajo es la energía
mecánica que se introduce a un sistema por medio de una bomba, un compresor o
un ventilador, o que se elimina de un sistema por medio de una turbina. Cuando el
sistema recibe trabajo de los alrededores el signo del trabajo es negativo; en caso
contrario, el signo es positivo.
EP, energía potencial; Es la energía que tiene un cuerpo en virtud de la posición
que guarda.
EC, energía cinética. Es la energía debida a la velocidad con la que se desplaza
un cuerpo.
118
EPe, energía de presión, es la parte de la energía interna de un cuerpo que
puede hacer trabajo o también aquella energía que tiene un fluido debido a la
presión a que se encuentra.
U energía interna. Es la suma de las energías de toda la masa de un sistema; en
general es función de la temperatura, la presión y el estado físico del sistema.
M es la masa entrante o saliente del sistema. En general en ingeniería química en
vez de emplear masa se emplea el concepto de flujo másico (kg /s), flujo molar (kg
mol /s) o caudal (m3/s).
119
El término
representa la acumulación dentro del sistema en donde:
densidad, V volumen,
tiempo
En el caso en de que M1 (kilogramos / segundo) sea igual a M2 tendremos que:
En donde P es la potencia o sea (Joules/seg o Watts)
Si no existe acumulación dentro del sistema (régimen permanente) tendremos
que:
EP, energía potencial; EC, energía cinética; EPe, energía de presión; U energía
interna, M masa, densidad, V volumen, tiempo
Sabiendo que H=U +P V y que PV = EPe
Entonces:
O
En donde la variación de la energía potencial está dada por:
La variación de la energía cinética es:
Y el cambio de entalpia es
En la ecuación anterior hay términos que son muy grandes comparados con otros.
En general el término de calor, y el de entalpía son mucho mayores que los de
energía cinética, potencial y de presión.
Ejemplo 1.
Se tiene un kg de agua a 15 ° C ¿Cuánta energía se necesita transferir para que
ese kilogramo aumente su temperatura 1 ° C?, ¿Qué cantidad de energía cinética
se debería dar? , ¿Qué cantidad de energía potencial sería equivalente?, ¿ cuál
de energía de presión?, ¿cuál sería la velocidad que debería darse al agua para
que alcanzara esa energía cinética?,¿ a qué altura debería elevarse el agua , ¿a
qué presión se debería sujetar?
1.- Planteamiento.
De acuerdo con la termodinámica, el calor que debería suministrarse al agua es
de 1kcal.Esa misma energía podría transmitirse en forma de cinética, potencial o
de presión.
120
2.-Cálculos.
2.1.- Energía cinética.
La energía cinética que deberíamos suministrar al agua para que recibiera una
energía igual a la que se le suministra al llevar la temperatura del agua 1 ° c es:
Por lo tanto
; es decir
la energía que recibe el agua al
calentarse un grado centígrado es equivalente a la que recibiría si se la llevara de
cero a 91.48 m /s o 330 km /h.
2.2.- Energía potencial
ΔZ=
Por lo tanto la energía que recibe el agua al calentarse un grado centígrado es
equivalente a la que recibiría el agua si se elevara 186 m.
2.3.- Energía de presión
Epe = 4185 = 1 kg
Por lo tanto la energía que recibe el agua al calentarse un grado centígrado es
equivalente a la que recibiría si se la comprimiera 41.4 atm.
3.- Resultados.
Para suministrar la misma energía que recibiría un quilogramos de agua si se la
calentara de 15 a 16 ° C se debería impulsar el agua a 91.48 m/s, elevarla a 186
m o comprimirla a 41.4 atm.
El ejemplo anterior nos indica claramente que si se quiere medir con precisión el
efecto de las energías mecánicas, se debe eliminar de la ecuación los términos
de calor y de entalpía. Esto se logra si los balances se efectúan a temperatura
constante y si transferencia de calor.
En los casos en que el sistema no sea isotérmico, se puede hacer el balance a
una temperatura promedio.
Resumiendo, un tipo de balance de energía más útil para flujo de fluidos es el que
considera sólo los efectos de las energías mecánicas. Al hacer un balance de
energía mecánica la parte que involucra el cambio de entalpia y el del calor se
eliminan
(esto se puede hacer si se considera que no hay entrada de calor y si
el sistema opera en forma isotérmica).
El razonamiento anterior fue el que dio origen a lo que se conoce como ecuación o
teorema de Bernoulli.
121
El teorema de Bernoulli.
A la muerte de Newton, en plena Ilustración, tres brillantes científicos comenzaron
a dominar, extender y perfeccionar las herramientas analíticas nuevas y al mismo
tiempo explorar su utilidad en el campo de los fluidos. Daniel Bernoulli (17001782) y Leonard Euler (1707-1783) , formados en la matemáticas por Johann
Bernoulli (1667-1748) , padre de Daniel Bernoulli , elaboraron una serie de
trabajos que junto con los desarrollados por Jean Le Rond d´Alembert (1717-1783)
culminan la formulación explícita de los principios generales y las ecuaciones
básicas de la mecánica de los fluidos. Sin embargo, a pesar de los conocimientos
alcanzados durante el siglo XVIII, los estudiosos se dividieron en dos grupos que
se desenvolvieron de forma separada, unos los que fundaron la hidrodinámica que
consistía en el estudio teórico y matemático de los fluidos perfectos y los que se
dedicaron a la hidráulica que fue utilizada para describir el comportamiento real de
los fluidos. La falta de comunicación entre los dos grupos de científicos retrasó el
desenvolvimiento de la mecánica de los fluidos.
Las contribuciones más importantes de Daniel Bernoulli aparecieron en su libro,
Hydrodynamica publicado en 1738. En dicho trabajo Daniel Bernoulli indicaba el
uso de los manómetros, la teoría cinética de los gases. En su ecuación Bernoulli
solo consideraba las energías potencial, cinéticas y de presión y las relaciones
que se ejercían entre estas. En ese trabajo se aplica el principio de la
conservación de la energía. La versión moderna del teorema de Bernoulli se debe
a Euler que estableció que la suma de las energías debe ser constante.
Bernoulli, Daniel (1700 - 1782).
Científico holandés que descubrió los principios básicos del comportamiento de los fluidos. Era hijo
de Jean Bernoulli y sobrino de Jacques Bernoulli, dos
investigadores que hicieron aportaciones importantes al primitivo
desarrollo del cálculo.
Desde muy pronto manifestó su interés por las matemáticas.
Aunque consiguió un título médico en 1721, fue profesor de
matemáticas en la Academia Rusa de San Petersburgo en 1725.
Posteriormente dio clases de filosofía experimental, anatomía y
botánica en las universidades de Groningen y Basilea, en Suiza.
Bernoulli promovió en Europa la aceptación de la nueva física
del científico inglés Isaac Newton. Estudió el flujo de los fluidos y
formuló el teorema según el cual la presión ejercida por un fluido
es inversamente proporcional a su velocidad de flujo. Utilizó
conceptos atomísticos para intentar desarrollar la primera teoría
cinética de los gases, explicando su comportamiento bajo
condiciones de presión y temperatura cambiantes en términos
de probabilidad. Sin embargo, este trabajo no tuvo gran
repercusión en su época. Bernoulli murió el 17 de marzo de 1782 en Basilea.
En general, el teorema de Bernoulli implica una relación entre los efectos de la
presión, la velocidad y la gravedad y es una forma particular de la ecuación
general de la conservación de la energía. Los efectos que se derivan a partir de la
ecuación de Bernoulli eran conocidos por los experimentales antes de que Daniel
Bernoulli formulase su ecuación, de hecho, el reto estaba en encontrar la ley que
diese cuenta de todos estos acontecimientos. En su obra Hydrodynamica encontró
122
la ley que explicaba los fenómenos a partir de la conservación de la energía (hay
que hacer notar la similitud entre la forma de la ley de Bernoulli y la conservación
de la energía).
Posteriormente Euler dedujo la ecuación para un líquido sin viscosidad con toda
generalidad (con la única suposición de que la viscosidad era despreciable), de la
que surge naturalmente la ecuación de Bernoulli cuando se considera el caso
estacionario sometido al campo gravitatorio.
El principio de Bernoulli, también denominado ecuación de Bernoulli o Trinomio de
Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido moviéndose a lo largo de una
línea de corriente. Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinámica
(1738) y expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en régimen
de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece
constante a lo largo de su recorrido. La energía de un fluido en cualquier momento
consta de tres componentes:
1. Cinética: es la energía debida a la velocidad que posea el fluido.
2. Potencial gravitacional: es la energía debido a la altitud que un fluido posea.
3. Energía de flujo: es la energía que un fluido contiene debido a la presión
que posee.
Así el principio de Bernoulli puede ser visto como otra forma de la ley de la
conservación de la energía, es decir, en una línea de corriente cada tipo de
energía puede subir o disminuir en virtud de la disminución o el aumento de las
otras dos. Si la ecuación de Bernoulli es un balance de energía mecánica a
temperatura constante entonces:
En forma expandida quedaría como:
/M
Esta ecuación permite explicar muchos fenómenos.
En esta ecuación no se presentan los efectos de la fricción, ya que en ese
entonces con los instrumentos que se tenían a la mano era imposible apreciarla y
cuantificarla. En la ecuación anterior todos los términos tienen las unidades de
energía por unidad de masa J /kg, kg fuerza m / kg mas, ft lb fuerza / lb mas, etc.
Ejemplo 2.
Calcule despreciando las pérdidas por fricción la potencia que desarrolla la turbina
hidráulica de la figura siguiente:
123
1.- Planteamiento.
1.1.- Bernoulli.
2.-Cálculos.
2.1.- Velocidades y energía cinética.
2.2.- Energía potencial
2.3.-Energía de presión
124
2.4.- Bernoulli
El signo positivo indica que se está produciendo trabajo.
2.5.-Potencia
=956 HP
3.- Resultado.
La potencia será de 956 H.P.
Fricción.
La fricción se presenta cuando se trata con fluidos reales, ya que al desplazarse
estos se producen fuerzas friccionantes entre las capas del fluidos que
representan pérdidas de energía. También se presentan pérdidas de fricción por el
rozamiento que sufre el fluido al deslizarse por las diferentes partes de un
conducto.
El término que representa las pérdidas de fricción es:
, el cual se debe colocar
en la ecuación de Bernoulli para evaluar las pérdidas totales.
En general los términos de energía potencial, cinética y de presión son fáciles de
evaluar. El problema mayor reside en la evaluación de las pérdidas por fricción. La
evaluación de ese término requirió el esfuerzo de muchos investigadores e
ingenieros durante el siglo XIX y XX.
125
Ejemplo 3
¿Cuál es la pérdida de fricción debida al flujo entre el punto 1 y el 2 en el sistema
mostrado? La densidad relativa del fluido es de 1.2.
1.- Planteamiento.
1.1.- Bernoulli.
En este caso u1=u2 y no hay trabajo, por lo tanto
2.- Cálculos.
2.1.- Energía de presión
2.2.- Energía potencial
2.3.- Pérdidas por fricción
3.- Resultado.
Las pérdidas por fricción son equivalentes a 138.97 J / kg.
Ejercicios de autoevaluación
1.- Por una turbina hidráulica circula un caudal de tres metros cúbicos por
segundo. A la entrada de la turbina la tubería tiene un diámetro de 1 metro y un
manómetro indica la presión de 3.5 atm. A la salida la tubería es de 1.5 m de
diámetro y un vacuómetro indica una presión de 150 mm de Hg. La salida de la
turbina se encuentra 5 m más baja que la entrada. Las pérdidas por rozamiento
es de 10 kgm /kg. Calcule la potencia suministrada por la turbina.
R.-Se producen 1305 C.V.
126
2.- Por una tubería horizontal se introduce un gas a una presión de 3.4 atm y a
100 ° C, siendo su velocidad de entrada de 3 m /s. En otro punto de la tubería la
presión es de 0.136 atm. ¿Cuál será la temperatura y la velocidad del gas en ese
punto, si no se adiciona calor? Dato el Cp del gas es de 0.46 kcal /kg ° C.
R.- La temperatura es de 98.5 ° C y la velocidad de 74.7 m /s.
3.-Una bomba con una potencia de 5 C.V. aumenta la presión de una corriente
líquida que tiene una densidad de 1.2. La presión inicial de la corriente, antes de
entrar a la bomba es de 585 mm de Hg. El gasto del líquido es de 600 L / minuto.
Calcule la presión de descarga de la bomba en kg / cm 2, considerando que la
bomba tiene una eficiencia del 100 %. El diámetro de entrada de la bomba es igual
al de la salida.
R.- La presión de descarga es de 4.54 kg/cm2.
4.-Una bomba lleva una solución de densidad relativa 1.84 desde un tanque a otro
a través de una tubería de diámetro interno igual a 5 cm, a razón de 492 L / min. El
motor de la bomba es de 5 HP y 65 % de esta potencia se utiliza en el bombeo. El
final de la línea de descarga está
a 15 m por arriba del tanque de
almacenamiento. Calcule las pérdidas por fricción y la presión que debe
desarrollar la bomba si la toma de entrada es de 7.5 cm de diámetro.
R.- Las pérdidas por fricción son de 0.4675 km /kg. El incremento de presión
debido a la bomba es de 2.87 kg /cm2.
5.-El agua fluye a razón de 6 m /s por el interior de una tubería aislada cuyo
diámetro interno se aumenta súbitamente a 5 cm. Calcule el cambio en la
velocidad si la tubería pequeña es de 2.5 cm. ¿Cuál sería el cambio en la energía
cinética?
R.- La velocidad será de 1.5 m /s, el cambio de energía cinética es de 1.72 kgm
/kg.
127
Capítulo 6
El flujo de fluidos por el interior de las
tuberías y las pérdidas por fricción.
128
La ecuación de Hagen y Poiseuille.
En la primera mitad del siglo XIX, aparecieron los trabajos del ingeniero Gotthilf
Ludwig Hagen (1797-1884). A él se le acreditan los primeros estudios e
investigaciones sobre la resistencia que oponen al flujo un fluido que
se
desplaza por el interior de tubos.
Gotthilf Ludwig Hagen nació en 1797 en la ciudad
de Koningsberg en la antigua Prusia. A la edad
de 19 años decidió estudiar matemáticas y
astronomía para posteriormente comenzar a
trabajar como ingeniero en el diseño y
construcción de diversas obras de tipo civil e
hidráulico. Como resultado de sus viajes
alrededor de Europa estudio una gran variedad
de estructuras hidráulicas para el diseño y
construcción de puertos y por ello pudo publicar
un manual sobre hidráulica (Handbuch der
Wassebaukunst).En el año de 1839 llevó a cabo
una serie de medidas meticulosas sobre el flujo
de agua en tubos de diámetro pequeño y ese
mismo año publicó en Berlín un trabajo que tituló “ Uber die Bewegung des
Wassers in engen cylindrischen Rohren”. Pocos años después, el médico francés
Jean Poiseuille repitió de forma independiente los mismos experimentos, pero
usando tubos capilares, para simular los vasos sanguíneos del cuerpo humano y
utilizando como fluidos: mercurio, aceite y agua.
Jean Louis Marie Poiseuille (1799-1869) nació en Paris, Francia allí estudió
medicina, física y matemáticas graduándose de médico y se interesó en la presión
arterial y la circulación de la sangre de manera que en 1844 llevó a cabo una
serie de experimentos que le permitieron publicar un artículo titulado “ Recherches
experimentales sur le mouvement des liquides dans les tubes de trés petits
diámetres”.
En dicho trabajo publicó los primeros experimentos que trataban
sobre el rozamiento de los fluidos a baja velocidad en tuberías
muy delgadas, logrando así, determinar la forma de flujo y la
resistencia de este. Debido a las experiencias que anteriormente
había llevado a cabo el científico prusiano Hagen a las fórmulas
que describen este tipo de flujo se les conoce comúnmente como
la relación o fórmula de Hagen –Poiseuille.
En donde Ca es el caudal o gasto volumétrico.
ΔP es la diferencia de presiones.
R es el radio del tubo.
μ es la viscosidad del fluido.
129
L es la longitud del tubo.
Veinte años después se desarrolló el primer análisis teórico que explicaba las
observaciones de los científicos anteriores. Franz Neumann(1798-1895) y Eduard
Hagenbach (1833-1910), en forma independiente obtuvieron las expresiones para
la forma parabólica de ese tipo de flujo. Dichas investigaciones fueron de gran
ayuda para describir los perfiles de velocidad.
Desarrollo de las ecuaciones de Hagen y Poiseuille.
Tomemos un ducto como el que se indica por el cual se mueve un fluido a régimen
permanente:
P1
P2
τ
Si el fluido se mueve a través del ducto se producirá una diferencial de presión ΔP.
Es decir, una fuerza que favorece el flujo.
F = ΔP A
En donde A es el área Transversal.
A ese movimiento, si el fluido tiene viscosidad se opone un esfuerzo cortante,
como rozamiento, sobre las paredes del ducto.
F=τS
En donde S es el área de la envolvente = 2 π r L
Y τ el esfuerzo cortante.
En el equilibrio:
ΔP π r2 = τ 2 π r L
Si el fluido es newtoniano entonces:
τ = - μ du/dr
ΔP π r2 = - μ (du/dr) 2π r L
du= - (ΔP r/ 2 L μ) dr
Si se desea saber la velocidad del fluido en cualquier punto r del ducto se debe
integrar desde la pared cuando r=R y la velocidad u=0:
Por lo que:
(2)
130
Esta ecuación se conoce como la ecuación de Hagen y Poiseuille. Esta ecuación
predice un perfil parabólico de velocidad.
Si lo que se desea es obtener el caudal que pasa por el ducto, entonces:
En donde:
A =π r2 ; dA = 2 π r dr , por lo tanto:
2πrdr =
A =π r2
; dA = 2 π r dr , por lo tanto:
2πrdr =
Por lo que:
Pero 2R = D y entonces:
Si lo que se desea es obtener la velocidad media entonces:
Um=Ca /A = Ca /πR2
Ecuación de Poiseuille.
Dividiendo:
=
Si r=0 o sea en el centro del ducto u = um 2; esta es la velocidad máxima. Es
decir la velocidad máxima es el doble de la velocidad promedio.
De la ecuación de Poiseuille se obtiene que:
Esa ecuación predice las caídas de presión para un fluido
newtoniano que circula por el interior de un ducto. Se ha
encontrado que la ecuación anterior se aplica bien a flujo laminar, es decir cuando
el número de Reynolds es menor de 2100, pero no se ajusta para otros patrones
de flujo.
Ejemplo 1.
Se utiliza un tubo capilar para medir el flujo de un líquido cuya densidad es de
0.875 kg /L y con viscosidad de 1.13 cps. El capilar tiene un diámetro interno de 2
mm y una longitud de 0.5 m. ¿Si la caída de presión a través del capilar es de 100
kg /m2, cuál es el caudal que pasa por el medidor?
131
1.- Traducción.
2.- Planteamiento.
2.1.- Discusión.
Si el fluido se mueve a régimen la minar se puede aplicar la ecuación de
Poiseuille.
3.- Cálculos.
3.1.- Velocidad media.
=0.217
3.2.- Reynolds
3.4.- Caudal.
4.- Resultado.
El flujo será de 2.45 L /h.
Ejemplo 2.
A través de una tubería de 20 cm de diámetro y 60 m de longitud fluye un líquido.
El esfuerzo cortante en la pared es de 4.6 kg / m 2. Calcule la fuerza necesaria
para que el fluido se ponga en movimiento.
2.- Planteamiento.
2.1.- Discusión.
La caída de presión debe ser igual al esfuerzo cortante.
3.- Cálculos.
3.1.- Caída de presión.
132
3.2.- Fuerza
=173.32
4.- Resultado.
La fuerza es de 173.32 kg fuerza.
Ejemplo 3.
Un aceite fluye en régimen laminar a través de una tubería de 2 cm de diámetro
interno a razón de 23 L /min. La viscosidad del aceite es de 300 cps y su
densidad de 0.933kg /L. Calcule la caída de presión por metro de tubo, el esfuerzo
cortante en la pared, la velocidad en el centro del tubo y la posición radial a la cual
la velocidad puntual es igual a la velocidad promedio.
2.- Planteamiento.
2.1.- Velocidad media
=
2.2.- Caída de presión.
2.3.- Esfuerzo cortante en la pared.
2.4.-Velocidad puntual.
3.- Cálculos.
3.1.- Velocidad promedio.
3.2.- Caída de presión.
=2984.7
3.3.- Esfuerzo cortante.
3.4.- Velocidad en el centro.
133
3.5.- Punto en donde la velocidad iguala a la media.
=0.00707 m
4.- Resultados.
La velocidad en el centro es de 2.44m /s, el punto en donde la velocidad iguala a
la media es a los 0.00707 m desde el centro.
Ejemplo 4.
Por una tubería con 0.68 m de diámetro interno fluye un aceite con una viscosidad
de 15 cps y una densidad de 800 kg / m3 y un caudal de 40 m3/h.
Determine el perfil de velocidades y la caída de presión por metro de tubería de
acuerdo con la ecuación de Hagen y Poiseuille.
1.-Traducción.
2.- Planteamiento.
2.1.- Discusión
Si el fluido se mueve en régimen laminar se puede aplicar la ecuación de
Poiseuille.
2.2. Perfil de velocidades.
Para régimen laminar.
2.3.- Caída de presión
Para régimen laminar.
3.-Cálculos.
3.1.- Velocidad
134
3.2.- Número de Reynolds.
3.3.- Perfil de velocidades
Mediante la ecuación de Poiseuille se obtienen los datos de r y u.
3.4.- Caída de presión.
4.- Resultados.
El perfil de velocidades es:
La caída de presión es de 0.0032379 kg fuerza / m 2 por metro de tubo.
Las ecuaciones de Darcy, Weisbach y Fanning
Los primeros experimentos cuidadosamente documentados del rozamiento en
flujos de baja velocidad a través de tuberías fueron realizados independientemente
135
en 1839 por el fisiólogo francés Jean Louis Marie Poiseuille, que estaba interesado
por las características del flujo de la sangre, y en 1840 por el ingeniero hidráulico
alemán Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen. El primer intento de incluir los efectos de
la viscosidad en las ecuaciones matemáticas se debió al ingeniero francés Claude
Louis Marie Navier en 1827 e, independientemente, al matemático británico
George Gabriel Stokes, quien en 1845 perfeccionó las ecuaciones básicas para
los fluidos viscosos incompresibles. Actualmente se las conoce como ecuaciones
de Navier-Stokes, y son tan complejas que sólo se pueden aplicar a flujos
sencillos. Uno de ellos es el de un fluido real que circula a través de una tubería
recta. El teorema de Bernoulli no se puede aplicar aquí, porque parte de la energía
mecánica total se disipa como consecuencia del rozamiento viscoso, lo que
provoca una caída de presión a lo largo de la tubería. Las ecuaciones sugieren
que, dados una tubería y un fluido determinados, esta caída de presión debería
ser proporcional a la velocidad de flujo. Los experimentos realizados por primera
vez a mediados del siglo XIX demostraron que esto sólo era cierto para
velocidades bajas; para velocidades mayores, la caída de presión era más bien
proporcional al cuadrado de la velocidad. Este problema no se resolvió hasta
1883, cuando el ingeniero británico Osborne Reynolds demostró la existencia de
dos tipos de flujo viscoso en tuberías. En el año de 1883 Reynolds se interesó por
el estudio de la dinámica de los fluidos, dichas investigaciones concernían el
estudio y caracterización de los diferentes tipos de régimen a lo largo de tuberías,
cuando un fluido pasa por el interior de ellas. Así en 1883 llevó a cabo su famoso
experimento, el cual sirvió para poner en evidencia las diferencias entre el flujo
laminar y el flujo turbulento. Dicho experimento consistía en inyectar colorante en
el seno de un líquido, el cual circulaba por el interior de un tubo transparente de
sección circular constante. Con esos experimentos publicó:
136
“An experimental investigation of the circunstances which determine whether the
motion of water shall be direct o sinuous and of the law of resistance in parallel
channels.”
Como resultado de esas investigaciones se demostró la importancia de una
relación o cociente conocido más tarde como el número de Reynolds. Dicha
relación es un número adimensional que interviene en muchas aplicaciones de
flujo de fluidos y que es igual a:
En donde: D es el diámetro del ducto, u la velocidad media del fluido, ρ la
densidad del fluido y μ la viscosidad del mismo.
A partir de esos experimentos se pudo demostrar que si un fluido se mueve en
régimen laminar las caídas de presión pueden determinarse mediante las
137
ecuaciones de Hagen y Poiseuille, pero que no pueden aplicarse esas ecuaciones
a un fluido que se mueve con Reynolds mayores a 2100 .A velocidades bajas, las
partículas del fluido siguen las líneas de corriente (flujo laminar), y los resultados
experimentales coinciden con las predicciones analíticas. A velocidades más
elevadas, surgen fluctuaciones en la velocidad del flujo, o remolinos (flujo
turbulento), en una forma que ni siquiera en la actualidad se puede predecir
completamente. Reynolds también determinó que la transición del flujo laminar al
turbulento era función de un único parámetro, que desde entonces se conoce
como número de Reynolds. Si el número de Reynolds —que carece de
dimensiones y es el producto de la velocidad, la densidad del fluido y el diámetro
de la tubería dividido entre la viscosidad del fluido— es menor de 2.100, el flujo a
través de la tubería es siempre laminar; cuando los valores son más elevados
suele ser turbulento. El concepto de número de Reynolds es esencial para gran
parte de la moderna mecánica de fluidos.
Ejemplo 6.
Por el interior de un tubo de 0.0525 m de diámetro circula agua a 15 ° C con una
velocidad de 0.5 m /s ¿Cuál será el número de Reynolds?
El flujo es por lo tanto turbulento
Muchos científicos se pusieron a trabajar para tratar de encontrar una ecuación
que predijera las pérdidas por presión cuando fluye un fluido por el interior de una
tubería, entre ellos destaca la figura de Heri Philibert Gaspard Darcy (1803-1858)
quien realizó un gran número de experimentos sobre la resistencia que presentan
los fluidos en la filtración y, en el flujo en cañerías y en canales abiertos. Este
ingeniero francés adquirió sus conocimientos básicos en la Ecole des ponts et
chaussees y como ingeniero civil trabajando en el diseño de puentes, canales y
puertos. En 1857 Darcy publicó un trabajo llamado “ Recherches experientales
relatives au mouvement de l’eau dans les tuyeaux” que sirvió de base para la
ecuación de Darcy- Weisbach.
Heri Philibert Gaspard Darcy
Julius Ludwig Weisbach (1806-1871) quien propuso
en 1845 la ecuación que ahora utilizamos para
determinar las pérdidas por fricción en tuberías fue un
ingeniero civil alemán que realizó numerosos trabajos
relacionados con la hidráulica, los que publicó en tres
volúmenes bajo el título de “Lehrbuch der Ingenieur-und
Maschinen-Mechanik” que se publicó en 1850. Sus
trabajos junto con los de Darcy sirvieron para publicar
la ecuación:
138
En donde Hf es la pérdida por fricción, por unidad de masa.
L es la longitud de la tubería; u es la velocidad promedio del fluido
D es el diámetro de la tubería, gc es el factor de conversión; fD es el
factor de fricción de Darcy.
Es importante anotar que la ecuación de Weisbach, no proporcionaba
por aquél entonces los suficientes y adecuados datos para la obtención
del factor de fricción, por lo que no resultó en aquel entonces muy
satisfactoria para los cálculos.
Para el año de 1877, John Thomas Fanning (1837-1911), un ingeniero
hidráulico de origen norteamericano publicó una serie de compilaciones
para el factor de fricción de Darcy en función del material del tubo, del
diámetro y la velocidad, utilizando para ello datos de Darcy. Como
Fanning utilizó el radio hidráulico en vez del diámetro, en la ecuación de
fricción, el valor del factor que el utilizó o factor de fricción de Fanning
vale únicamente
¼ del valor de fricción de Darcy.
La ecuación de Darcy-Weisbach no tuvo un uso universal y útil, hasta que se
desarrolló el diagrama atribuido a Moody en el año de 1944, ya que las
numerosas ecuaciones que definían el cálculo de los factores de fricción para los
diferentes regímenes de flujo y rugosidades de las tuberías impedían el cálculo
mediante las reglas de cálculo que se emplearon por los ingenieros hasta
pasados los años sesenta del siglo XX.
Perfiles de velocidades A flujo tapón (turbulento), B flujo laminar
Como el estudio del factor de fricción es complicado, uno de los métodos que se
siguieron para determinar de cuales variables dependía es el llamado análisis
dimensional.
139
Uno de esos métodos es llamado análisis dimensional de Rayleigh.
En ese método se coloca la variable que se quiere identificar del lado izquierdo y
las supuestas variables de que depende del lado derecho. Por ejemplo si se
quiere investigar de que depende la caída de presión que sufre un fluido cuando
se mueve por el interior de un tubo cilíndrico se encontrará que:
O que:
En donde ΔP es la caída de presión, D es el diámetro de la tubería, u es la
velocidad promedio que lleva el fluido dentro de la tubería, ρ es la densidad del
fluido, μ es la viscosidad del fluido y L la longitud del ducto.
Pero:
Siendo M la masa, L la longitud, θ el tiempo y F la fuerza que son
fundamentales dimensionales. De acuerdo con lo anterior entonces:
D=L ; L = L ;
;
;
magnitudes
Sustituyendo lo anterior en la ecuación de la caída de presión se obtiene que:
Para que la ecuación sea dimensionalmente consistente la suma de los
exponentes de cada dimensión debe ser la misma en ambos lados de la ecuación.
Para M
1= c + d
Para L
-1=a+b-3c-d+e
Para θ
-2 = -b –d
Dado que existen 3 ecuaciones con 5 incógnitas, sólo se resolver el sistema
poniendo a tres incógnitas en función de dos de ellas. En este caso resolviendo
para a, b y c en términos de d y e obtenemos:
C= 1- d
B = 2 –d
A = -d-e
Sustituyendo esto en la ecuación:
Para que la ecuación sea dimensionalmente consistente la suma de los
exponentes de cada dimensión debe ser la misma en ambos lados de la ecuación.
De donde:
140
Experimentalmente se encontró que para flujo turbulento e =1, así que:
Que:
=φ
En donde φ=
Como el factor fD o factor de fricción de Darcy está dado por:
En donde
Los valores de los factores de fricción se obtuvieron a partir de experimentos
llevados a cabo en los laboratorios en los que se hizo fluir líquidos por dentro de
tuberías de diferentes diámetros y longitudes y a diferentes flujos, en sistemas
parecidos al que se muestra a continuación.
La ecuación obtenida a partir del análisis dimensional se puede poner como:
Por lo tanto, a partir de los experimentos se pueden obtener los valores de las
constantes.
De
esos experimentos
se encontró que:
141
Blasius (1911). Propone una expresión en la que f f viene dado en función del
Reynolds, válida para tubos lisos, en los que εr no afecta al flujo al tapar la
subcapa laminar las irregularidades. La ecuación es válida hasta Re < 100000:
f = 0,3164 · Re-0,25
Para flujo laminar se encontró que:
=
Prandtl y Von-Karman (1930). Ampliaron el rango de validez de la fórmula de
Blasius para tubos lisos:
1 / √f = - 2 log (2,51 / Re√f )
Nikuradse en 1933 propuso una ecuación válida para tuberías rugosas:
1 / √f = - 2 log (ε / 3,71 D)
Colebrook-White en 1939 agruparon las dos expresiones anteriores en una sola,
que es además válida para todo tipo de flujos y rugosidades. Es la más exacta y
universal, pero el problema radica en su complejidad y en que requiere de
iteraciones:
1 / √f = - 2 log [(ε / 3,71 D) + (2,51 / Re√f )]
Así, para tubos rugosos y Re > 10000
En donde ε es la rugosidad del tubo que se obtiene experimentalmente.
Para flujo transicional 2100< Re > 10000, el factor de fricción es:
142
Un ingeniero norteamericano Lewis Ferry Moody (1880-1953) empleó las
ecuaciones antes citadas para desarrollar el diagrama de Moody que apareció en
1944. Dicho diagrama fue muy utilizado en el cálculo de flujo de fluidos y permite
obtener rápidamente el valor del factor de fricción con el cual se puede obtener las
pérdidas de presión por fricción mediante la ecuación de Darcy ese factor de
fricción se presenta en función del número de Reynolds y del factor de rugosidad
o de la rugosidad relativa. El diagrama de Moody es la representación gráfica en
escala doblemente logarítmica del factor de fricción en función del número de
Reynolds y la rugosidad relativa de una tubería.
<
143
Tuberías rugosas y lisas.
En la siguiente tabla se muestran algunos valores de rugosidad absoluta para
distintos materiales:
RUGOSIDAD ABSOLUTA DE MATERIALES
Material
ε
(mm)
Material
ε (mm)
Plástico (PE, PVC)
0,0015
Fundición asfaltada
0,060,18
Poliéster reforzado con fibra
de vidrio
0,01
Fundición
0,120,60
Tubos estirados de acero
0,0024
Acero comercial y soldado
0,030,09
Tubos de latón o cobre
0,0015
Hierro forjado
0,030,09
Fundición revestida de
cemento
0,0024
Hierro galvanizado
0,060,24
Fundición con revestimiento
bituminoso
0,0024
Madera
0,180,90
Fundición centrifugada
0,003
Hormigón
0,3-3,0
144
Con el mejoramiento de los métodos computacionales y las mejoras en las
computadoras u ordenadores se han ofrecido numerosas ecuaciones que ya no
requieren el uso del diagrama de Moody y que dan factores de fricción muy
cercanos a los reales. Por ejemplo tenemos las siguientes ecuaciones:
Stuart W. Churchill.
En donde:
145
M.Sacham.
Chem.
Zaim.
Swame y Jain.
Pavlov.
Altshul.
Para cálculos rápidos se recomienda Pavlov.
Ejemplo 7.
Por una tubería fluye un fluido con un Reynolds de 200 000, si la rugosidad
relativa de la tubería es de 0.01 ¿Cuál será el valor del coeficiente de fricción fD?
Por medio del diagrama de Moody se encuentra f D=0.04
Por medio de la ecuación de Zaim el valor es de 0.042
Por medio de la ecuación de Pavlov el valor es de 0.038
Por Altshul es de 0.0 35
Por Swame y Jain 0.038
Ejemplo 8.
Por una tubería de 0.0525 m de diámetro interno circula agua a 15 ° C con una
velocidad de 0.5 m/s. La tubería es de acero galvanizado ¿Cuál será la caída de
presión esperada en cien metros de tubería?
El Reynolds es turbulento
La rugosidad relativa es de 0.0025
146
El factor fD por medio del diagrama de Moody da: 0.030
Por medio de Zaim se obtiene fD= 0.0303
De la ecuación de Darcy
Resultado.
La caída de presión será de 71 357 Pa.
Perfil universal de Velocidades.
Las ecuaciones de Hagen y Poiseuille describen bien el perfil de velocidades
cuando el fluido que viaja por el interior de una tubería cilíndrica está a régimen
laminar., pero no se aplica cuando el fluido viaja a Reynolds mayores de 2100.
Para describir el flujo dentro de un tubo Theodore von Karman (1881-1963) y
Johan Nikuradse (1894-1979) razonaron que el aumento en la caída de presión a
régimen turbulento no se debía solamente a la viscosidad, sino también a la
turbulencia producida por la aparición de remolinos.
Johan Nikuradse
147
Theodore Von Karman
Los remolinos formados cuando el Reynolds es mayor de 2100 salen de una
región de alta velocidad y viajan hasta una de baja y se desplazan hasta el punto
en que su velocidad sea igual a la que tiene el fluido en ese punto.
De acuerdo con ellos la velocidad cambia de:
En donde λ es la longitud de mezclado, u es la velocidad inicial y u’ el incremento
o decremento en la velocidad.
Karman y Nikuradse encontraron que para flujo laminar
Siendo ν la viscosidad cinemática, μ la viscosidad, ρ la densidad, u la velocidad y r
el radio del tubo.
Pero de acuerdo con Hagen y Poiseuille, u es función del radio:
Y también:
En donde
es el esfuerzo cortante en la pared.
De allí se obtiene que:
148
Y por lo tanto:
Si
, lo que sucede cuando estamos cerca de la pared entonces:
y por lo tanto:
También:
En donde
es la llamada velocidad friccionante que tiene unidades de
m/s.
Si definimos a:
Y
a:
es decir una posición adimensional
es decir una velocidad adimensional, entonces para la región
laminar:
Lo cual se cumple para
Se debe notar que un Reynolds se puede definir como:
=
siendo y la distancia desde
el tubo hasta el punto
que se está
investigando es decir:
y = R-r que tiene unidades de m,
Para la región turbulenta Von Karman y Nikuradse encontraron que:
Prandt y Karman prefirieron utilizar la coordenada y en lugar de la coordenada r y
entonces, si en vez de usar la distancia r se usa la distancia tenemos que:
Si λ=Ky
o sea que la longitud del remolino es función de la distancia y entonces:
149
Integrando:
Pero
y por lo tanto
Entonces:
=
Pero si
entonces
Pero
y entonces:
ln
Nikuradse encontró que al graficar
K=0.4
contra
en el régimen turbulento
y K´¨=5.5
Así que:
Esa ecuación se puede aplicar para
A partir de otros experimentos se encontró que: para el flujo transicional que va
de
Para régimen turbulento y por el interior de tubos
rugosos:
Ludwig Prandtl (1875-1953)
En realidad, aunque por el interior de un tubo el fluido
se desplace a régimen turbulento siempre subsiste
una subcapa laminar que se ubica justo sobre la
superficie sólida y sobre ella se desarrolla también
una zona de transición. Por ello es que para
describir el perfil de velocidades a régimen
turbulento es necesario usar tres ecuaciones., una
150
para cada una de las zonas indicadas, según descubrió Prandtl quien postuló
además la teoría de la capa límite.
Ejemplo 9.
Por un tubo de paredes lisas de 20 cm de diámetro interno circula agua a 15 ° C
con un caudal de 150 m3/h. Utilizando la ecuación universal de distribución de
velocidades, calcular:
a) Los espesores de la región laminar de transición.
b) Las velocidades en los límites de las regiones.
c) La velocidad en el centro de la tubería, si la caída de presión es de 7 kg
fuerza por metro cuadrado y metro de tubo.
1.- Traducción.
2.- Planteamiento.
2.1.- Discusión.
Si existe el flujo turbulento.
para
=-3.05+ 5 ln
para 5<
3.- Cálculos.
3.1.- Velocidad y Reynolds.
3.2.- Esfuerzo cortante en la pared
.
=
3.3.- Velocidad de rozamiento.
=0.0585 m/s
151
3.4.- Región laminar.
m (espesor de la capa laminar)
3.5. Región transicional.
=-3.05+ 5 ln 30 = 13.9559
Espesor de la capa transicional
=4.2665
3.6.- Región turbulenta.
Si y = R;
152
4.- Resultados.
El espesor de la capa laminar es de 8.5835 x10 -5m, o de 0.085 mm, el espesor de
la capa transicional es de 0.426 mm. La velocidad en el límite laminar es de
0.2929 m/s y el límite transicional es de 0.817 m /s, en el centro del tubo es de
1.5932 m /s.
Ejemplo 10.
¿Cuál será la caída de presión en kg fuerza / cm 2 esperada en 100 metros de tubo
recto que sufre una corriente de alcohol n-butílico a 20 ° C que fluye a 1m/s por
una tubería horizontal de 2 pulgadas cédula 40 de acero comercial?¡Cuál será el
esfuerzo cortante en la pared?, ¿Cuál será la velocidad friccionante?¿Cuál es el
valor de y+ en el centro del tubo?¿Cuál es la velocidad en el centro del tubo?
1.- Planteamiento.
1.1.- Balance
1.2.-Bernoulli.
1.3.-Esfuerzo cortante.
1.4.-Velocidad de rozamiento.
1.4.- perfil de velocidades.
153
Para tubos rugosos en la región turbulenta.
3.- Cálculos.
3.1.- Reynolds.
Densidad = 810 kg /m3 ; viscosidad = 3.0508 cps; DI = 5.25 cm; E/d = 0.0009, u =
1 m /s
+
3.2.- Factor de fricción.
De la gráfica de Moody se encuentra que fD= 0.03
3.3.- Caída de presión.
Para nuestro caso si la energía potencial es igual a cero y la energía cinética
también entonces:
3.4.- Esfuerzo cortante.
=
3.2.- Velocidad de rozamiento o friccionante.
=
3.5.- Región turbulenta.
Si y =R = 0.0525/2=0.02625 m
Y=0.02625; e = 4.58 X 10-5
=8.5+2.5 ln (=.02625/4.58X10-5)= 24.37
U = 1.49 m /s
4.- Resultados.
La velocidad friccionante es de 0.0612 m /s, el esfuerzo cortante es de 3.0375
Pa, la velocidad en el centro de 1.49 m /s.
154
Ejercicios de autoevaluación
1.- Por una tubería de 2 pulgadas cédula 40 de acero galvanizado fluye una
sustancia que tiene una densidad de 700 kg /m 3, una viscosidad de 2 cps y una
velocidad media de 0.1 m/s. ¿Cuál será la caída de presión en 100 m de tubo?
2.-En el ejemplo anterior ¿Cuál es la velocidad en el centro del tubo? ¿Cuál es el
esfuerzo cortante? ¿Cuál es el perfil de velocidades?
3.- Por un tubo de 2 pulgadas Cd 80 de acero inoxidable circula agua a 15 ° C con
una velocidad de 0.5 m/s. ¿Cuál será la caída de presión en 100 metros de tubo? ,
¿Cuál es el esfuerzo cortante? ¿Cuál es la velocidad en el centro del tubo? ¿Cuál
es el perfil de velocidades?
4.-.A través de una tubería de acero circula agua a 25 ° C. El diámetro interno de
la tubería es de 5.25 cm y tiene una longitud de 125 m. La tubería transporta un
caudal de 189 L / min. Calcule el número de Reynolds, el factor de fricción y las
pérdidas por fricción.
R.- El número de Reynolds es de 85000, el factor de fricción de 0.019, las
pérdidas de fricción son de 4.88 kg fuerza m / kg.
5.- Determine las pérdidas causadas por la fricción en una tubería horizontal de
hierro forjado de 150 m de longitud y 30 cm de diámetro interno. Por la tubería
circulan 150 L / s de agua a 20 ° C.
R.-Las pérdidas por fricción serán de 2.18 kgm/kg
6.- A través de una tubería horizontal de 8 cm de diámetro interno y 500 m de
longitud fluye petróleo crudo ligero, cuya densidad es de 0.87. Si la caída de
presión es de 2.1 kg fuerza / cm2 y la velocidad de 0.5 m/s. ¿Cuál es la viscosidad
del aceite?
R.- la viscosidad del aceite es de 164.8 cps.
7.- ¿Qué diámetro de tubería sería necesario para transportar 25 L /s de un aceite
a 15 ° C, con una viscosidad cinemática de 2 X 10 -4 m2/s y una densidad de 0.912
Kg /L, si la caída de presión máxima permisible en 1000 m de tubería es de 0.25
kg fuerza /cm2?
R.- El diámetro sería de 12 pulgadas de tubería comercial.
155
Capítulo 7
Caídas de presión en tuberías
comerciales.
156
Caídas de presión en tuberías comerciales
Los problemas de caídas de presión en tuberías pueden clasificarse en tres tipos,
a saber:
1) Determinación de la caída de presión, para un flujo y un diámetro dados.
2) Determinación del flujo o la velocidad que produce una cierta caída de presión
en un diámetro dado.
3) Determinación del diámetro de la tubería si se da la caída de presión y el flujo.
El primer tipo de problemas puede resolverse directamente con las ecuaciones
de Darcy,
y la evaluación del factor de fricción mediante fórmulas o con la gráfica
convencional del factor de fricción que presentó Moody en 1944. En esa gráfica se
relaciona el factor de fricción fD con el número de Reynolds,
Y el factor de rugosidad relativa
157
158
Tuberías comerciales.
Tipos de Tubería:
Las tuberías están fabricadas de muchos materiales como acero, acero inoxidable,
hierro fundido, arcilla vitrificada, cobre y plástico, entre otros. Por otra parte, las
presiones y temperaturas de los materiales transportados por las tuberías pueden
ser muy altas, de modo que, algunas tuberías se sueldan en sus uniones.
Tuberías de Acero Carbonado: Se usan por encima del nivel de tierra para
muchas aplicaciones, además se fabrican con un proceso de forja y barrenado. La
tubería de acero es fuerte, se puede soldar y es muy durable. Si la tubería va a
usarse a temperaturas y presiones elevadas, o en ambientes corrosivos, entonces
deben utilizarse aleaciones de acero (acero inoxidable).
159
Tuberías de Hierro Fundido: Son resistentes a la corrosión y se usan para gas,
agua y desperdicios. Se emplean en aplicaciones subterráneas a causa de la larga
vida del material. Han sustituido a las tuberías de plomo, sobre todo en
instalaciones de agua caliente. Son bastante duras y, por lo tanto, difíciles de
manipular. Se pueden cortar con sierras para metales.
La acumulación de herrumbre es un problema de las tuberías de hierro. Además,
se trata de un material muy poco maleable.
Tubería de Cobre y Aleación de Cobre: Se usan en construcciones
residenciales y líneas de instrumentos. Se emplean cuando existe la posibilidad de
formación de escamas y óxido si se utilizaran tuberías de acero. Las tuberías de
cobre no sufren un deterioro comparable con las de hierro, plomo o PVC. Resisten
el calor, la presión y la oxidación.
Tubería de Plástico: Se emplea en construcciones residenciales para
desperdicios y agua. Está hecha de cloruro de polivinilo (PVC). El PVC es muy
resistente a productos corrosivos, disfruta de un índice de dilatación térmica
razonable y los tramos de tubería se unen fácilmente con adhesivos especiales.
Su uso se recomienda para tragantes (tuberías por donde se evacua el agua
usada), bajantes (tubo principal de desagüe) o sifones ("obstáculos" de la tubería
que permiten filtrar objetos que pueden dañar la tubería, e impiden el retorno de
malos olores).
El uso de tuberías de PVC es limitado, ya que con altas temperaturas el material
puede sufrir alteraciones. Las bajas temperaturas también le afectan
negativamente, provocan gran rigidez en el plástico y elevan su sensibilidad a los
golpes.
Las tuberías utilizadas para flujo de fluidos están basadas en el número de cédula
NPT (nominal pípe Tube) El número de cédula o de catálogo está dado por:
No de cédula = 1000 (P / S)
P= presión interna en lb fuerza / in2
S = tensión a la ruptura en libras fuerza / in2
Estas denominaciones se utilizan para tuberías de acero, acero inoxidable, acero
galvanizado y hierro colado. Los datos más importantes de estas tuberías se
presentan en la siguiente tabla.
160
Conexiones de Tubería:
Las tuberías se unen mediante soldadura, roscado, pegado o por el uso de bridas.
El material de la tubería y su tamaño determinan el método de unión. Las tuberías
que tienen extremos acampanados requieren de bridas de soporte para su
conexión. Las tuberías de plástico se unen con pegamento y solvente.
Conexiones Soldadas: El soldado es la conexión más común utilizada en la
industria. Los dos tipos más comunes de soldadura son las de tope y de boquilla.
La primera se usa en tuberías con un diámetro igual o mayor que dos pulgadas, y
la unión que se va a soldar será preparada con borde achaflanado para acomodar
161
la soldadura. La segunda se emplea en tuberías con un diámetro igual o menor
que dos pulgadas. Los dos tipos de soldadura generan una conexión a prueba de
fugas.
Conexiones Roscadas: Las roscas se usan para evitar fugas y unir tuberías en
aplicaciones donde las temperaturas y presiones son bajas. Las tuberías con
roscas se encuentran en general en las líneas de gas casero. Las conexiones con
rosca se utilizan de manera usual en tuberías de acero y bronce con diámetros
iguales o menores a 2 pulgadas.
Conexiones con Bridas: Las uniones con bridas son dispositivos utilizados para
sujetar tuberías de acero, con un diámetro mayor al de la tubería y se mantiene
unida entre sí con pernos. Se usa un empaque para sellar la unión al momento de
apretar los pernos.
Como se indicó, los materiales más comunes empleados para la fabricación de las
tuberías son: acero, acero inoxidable, aluminio, plomo, cobre, hierro forjado, hierro
fundido, latón, plásticos, cemento, cerámica y aún vidrio.
Velocidades en las líneas.
Para evitar sedimentaciones en las tuberías la velocidad mínima generalmente se
fija entre 0.25 a 0.4 m/s. Si lo que se transporta tiene materiales en suspensión las
velocidad no deberá ser inferior a 0.6 m /s. Para optimizar la vida media de las
tuberías, y del costo de bombeo, las velocidades más comúnmente aplicadas en
el diseño de tuberías y redes es la siguiente:
Fluido
Velocidad recomendada en m/s
Gases a tiro natural
2–4
Gases a presión atmosférica
5 – 20
Líquidos que fluyen por gravedad
0.1 - 0.5
Líquidos en tuberías a presión
0.5 – 2.5
Vapor de agua a presiones mayores de 15 – 40
0.5 atm
Vapor de agua a presiones absolutas 40 – 60
entre 0.2 y 0.5 atm
Gases a presión
20- 40
Dimensiones de las tuberías.
Las líneas para transportar líquidos deben escogerse para velocidades de (5+D/6)
ft/s y caídas de presión de:
2.0 psi/100ft de tubo a la descarga de las bombas.
En la succión se deben usar tuberías de (1.3+D/6) ft/s y caídas de presión de
0.5 psi/100 ft de tubo.
Pérdidas en accesorios.
Las pérdidas de presión en los sistemas de conducción no sólo se deben a la
viscosidad del fluido y a la fricción contra las paredes de las tuberías, también se
162
producen cuando se encuentran accesorios en las líneas. Cuando un fluido se
desplaza uniformemente por una tubería recta, larga y de diámetro constante, la
configuración del flujo indicada por la distribución de la velocidad sobre el diámetro
de la tubería adopta una forma característica. Cualquier obstáculo en la tubería
cambia la dirección de la corriente en forma total o parcial, altera la configuración
característica de flujo y ocasiona que se produzca turbulencia, causando una
pérdida de energía mayor de la que normalmente se da en un flujo por una tubería
recta. Ya que las válvulas y accesorios en una línea de tuberías alteran la
configuración de flujo, producen unas pérdidas de fricción pérdida de presión
adicional. Cuando la dirección del flujo se altera o distorsiona, como ocurre en los
codos, serpentines en reducciones o ampliaciones, se producen pérdidas
adicionales de fricción. Esta energía de fricción causada por los accesorios se
disipa en remolinos y en turbulencias adicionales a las del propio fluido y se
pierde finalmente en forma de calor. Las pérdidas en los accesorios son
proporcionales a la velocidad del fluido. Con frecuencia, esas pérdidas se pueden
evaluar mediante tablas de datos basados en experimentos.
Accesorios de Tuberías:
Es el conjunto de piezas moldeadas o mecanizadas que, unidas a los tubos
mediante un procedimiento determinado, forman las líneas estructurales de
tuberías de una planta de proceso. Entre los tipos de accesorios más comunes se
puede mencionar: Bridas, Codos, Tés, Reducciones, Cuellos o acoples, Válvulas,
Empacaduras, Tornillos y Niples. Entre las características se encuentran: tipo,
tamaño, aleación, resistencia, espesor y dimensión.
Bridas: Son accesorios para conectar tuberías con equipos (Bombas,
intercambiadores de calor, calderas, tanques, etc.) o accesorios (codos, válvulas,
etc.). La unión se hace por medio de dos bridas, en la cual una de ellas pertenece
a la tubería y la otra al equipo o accesorio a ser conectado. Existen varios tipos:
Brida con cuello para soldar, Brida con boquilla para soldar, Brida deslizante, Brida
roscada, Brida loca con tubo rebordeado, Brida ciega, Brida orificio, Brida de
cuello largo para soldar, Brida embutible, Brida de reducción.
La ventaja de las uniones bridadas radica en el hecho de que por estar unidas por
espárragos, permite el rápido montaje y desmontaje a objeto de realizar
reparaciones o mantenimiento.
Discos Ciegos: Son accesorios que se utilizan en las juntas de tuberías entre
bridas para bloquear fluidos en las líneas o equipos con un fin determinado. Los
discos ciegos existen en diferentes formas y tamaños, los más comunes son: Un
plato circular con lengua o mango, Figura en 8, Bridas terminales o sólidas.
Codos: Son accesorios de forma curva que se utilizan para cambiar la dirección
del flujo de las líneas tantos grados como lo especifiquen los planos o dibujos de
tuberías.
Los codos estándar son aquellos que vienen listos para la prefabricación de piezas
de tuberías y que son fundidos en una sola pieza con características específicas y
son: Codos estándar de 45°, Codos estándar de 90° y Codos estándar de 180°.
163
Tés: Son accesorios que se fabrican de diferentes tipos de materiales, aleaciones,
diámetros y Schedule y se utiliza para efectuar fabricación en líneas de tubería.
Entre los tipos de tés se citan: Diámetros iguales o te de recta, Reductora con dos
orificios de igual diámetro y uno desigual.
Reducciones: Son accesorios de forma cónica, fabricadas de diversos materiales
y aleaciones. Se utilizan para disminuir el volumen del fluido a través de las líneas
de tuberías.
Válvula: Es un accesorio que se utiliza para regular y controlar el fluido de una
tubería. Este proceso puede ser desde cero (válvula totalmente cerrada), hasta de
flujo (válvula totalmente abierta), y pasa por todas las posiciones intermedias,
entre estos dos extremos.
164
Para evaluar las pérdidas de presión adicionales que se producen con los
accesorios se propusieron diversas fórmulas para el cálculo de las pérdidas de
carga por frotamiento, cuando los fluidos circulan en curvas, accesorios, etc. Pero
el método más sencillo es considerar cada accesorio o válvula como equivalente a
una longitud determinada de tubo recto. Esto permite reducir las pérdidas en los
tubos, las válvulas o accesorios a un denominador común: la longitud equivalente
del tubo de igual rugosidad relativa.
La longitud equivalente es aquella longitud de tubo recto, del mismo diámetro y
rugosidad que causaría una caída de presión igual a la que causa un accesorio
dado cuando por él pasa un fluido a una velocidad dada.
Las longitudes equivalentes vienen en gráficas o en tablas. De acuerdo con esto,
las pérdidas de fricción totales en un sistema (causadas por la viscosidad y por los
accesorios) serían:
En donde L es la longitud del tubo.
Leq es la longitud equivalente de los accesorios.
165
166
Algunos accesorios tales como son las uniones (bridas, coples, niples, soldaduras)
no causan pérdidas de presión,
Entre los accesorios que más caídas de presión o de carga producen están las
válvulas que nos sirven para controlar el paso y la cantidad de fluido que pasa por
una conducción.
167
Válvula de compuerta.
Su misión principal es impedir que circule el líquido, de manera que el órgano de
cierre ocupa toda la sección de conducción. También se pueden utilizar para
regular de forma aproximada el flujo de fluidos. Cuando está abierta el fluido no
experimenta ni pérdida de presión ni cambio de velocidad. El órgano de cierre se
mueve verticalmente gracias a un eje y un volante. Son las más adecuadas para
cerrar completamente una conducción.
Válvula de bola y troncocónicas:
El órgano de cierre es una bola o un tronco de cono con una perforación de igual
de sección que la conducción. El movimiento completo es un cuarto de vuelta, de
donde se pasa de una circulación libre sin impedimentos a un cierre total. Estas
válvulas no se pueden utilizar a temperaturas elevadas
168
Válvula de mariposa: el órgano de cierre es un disco de igual sección que la
conducción que gira alrededor de su diámetro (horizontal o vertical) accionado por
un eje que sale al exterior .Esta válvula se emplea sobre todo para el control de
gases y vapores.
Válvula de asiento o de aguja: El órgano de cierre es más pequeño que en las
válvulas anteriores y suele actuar sobre secciones menores que las propias de
conducción. El fluido suele recorrer caminos tortuosos que provocan importantes
pérdidas de carga permanentes y aumento considerable de la velocidad. De
asiento y de aguja: son las típicas válvulas de regulación de caudal. Las válvulas
de asiento tienen un órgano de cierre troncocónico, mientras que en las válvulas
de aguja el órgano de cierre es una aguja (lógicamente). Los órganos de cierre de
apoyan en bases fijas dentro de la conducción .Estas válvulas se emplean sobre
todo para controlar gastos en equipos de medición y laboratorio.
169
Válvulas de diafragma: En las válvulas de diafragma una membrana flexible (de
caucho o de plástico) es accionada exteriormente por un eje móvil hasta contactar
con un saliente de la pared interna de la conducción, momento en el que se cierra
la tubería. Tienen una duración limitada pero permite a los fluidos circular
herméticamente.
Válvulas de globo: El fluido tiene que pasar por medio de un camino tortuoso, lo
que provoca grandes caídas de presión, Estas válvulas son muy utilizadas para
controlar el flujo ya sea manualmente o por medios neumáticos o electrónicos.
170
Válvulas de retención: Las válvulas de retención o check: sólo permiten el paso
del fluido en un solo sentido, ya que cuando éste intenta retroceder se cierran.
Pueden ser de bola, de elevación o de bisagra.
Cabezas o cargas de velocidad.
Otro método muy utilizado para calcular las pérdidas por fricción que causa un
accesorio en una tubería es el de las cabezas de velocidad. En ellas, la caída de
presión está dada por la ecuación siguiente, en donde K es un coeficiente de
pérdida de carga que depende de los accesorios y que
se obtiene
experimentalmente.
Una ecuación que puede ser empleada para el flujo turbulento en tuberías de
acero comerciales es:
En donde:
M= flujo másico en lb/h
D = diámetro interno de la tubería en pulgadas.
171
Ejemplo 11.
Se bombea agua a 15 ° C a razón de 380 L/min desde un depósito hasta un
tanque elevado 5 m sobre el de almacenamiento. Se va a usar una tubería de 3
pulgadas Cd 40 de acero comercial para llevar el agua hasta el tanque elevado.
Calcule el consumo de potencia de la bomba si la eficiencia de esta es del 70 %.
172
1.- Planteamiento.
1.1.- Bernoulli
1.2.- Pérdidas por fricción
2.- Cálculos.
2.1.- Reynolds
Datos D3=3.068 pulgadas =0.07792 m
2.2.- Fricción en la tubería de tres pulgadas.
Rugosidad relativa =0.0006; factor de fricción
Longitud de tubo 15 + 33=48 m (el agua no circula después de la T y hacia la
válvula).
Entrada 2.5 m, Válvula de compuerta abierta 0.5 m, T con salida lateral 5.2,
entrada 2.2=10.2m.
2.4.- Energía potencial.
2.5.- Potencia.
=-
173
Como la eficiencia es del 70%
=57.84
3.- Resultado.
La potencia requerida es de tres cuartos de caballo.
Representación isométrica
Las líneas de conducción o tuberías están colocadas en el mundo real
tridimensional, sin embargo, pueden ser representadas en dos dimensiones,
mediante los planos isométricos. Una proyección isométrica es un método gráfico
de representación, más específicamente una axonométrica[1] cilíndrica[2]
ortogonal.[3] Constituye una representación visual de un objeto tridimensional en
dos dimensiones, en la que los tres ejes ortogonales principales, al proyectarse,
forman ángulos de 120º, y las dimensiones paralelas a dichos ejes se miden en
una misma escala.
El término isométrico proviene del idioma griego: "igual medida", ya que la escala
de medición es la misma en los tres ejes principales (x, y, z).
La isometría es una de las formas de proyección utilizadas en dibujo técnico que
tiene la ventaja de permitir la representación a escala, y la desventaja de no
reflejar la disminución aparente de tamaño -proporcional a la distancia- que
percibe el ojo humano.
Las representaciones en planos isométricos permiten dar una visión de la forma
espacial en que están distribuidos los equipos.
174
Sobre el papel isométrico se pueden dibujar las líneas y los accesorios de las
tuberías. Los dibujos no están a escala, sólo se representan los cambios de
dirección y los accesorios más importantes. Las longitudes y diámetros se pueden
indicar en dibujo o presentarse aparte en una tabla.
En los planos o dibujos isométricos de tuberías se suele indicar la dirección con
respecto al norte de los equipos o líneas representadas
175
Ejemplo 12.
Para abastecer de agua a una caldera se trae el líquido desde un tanque elevado.
El agua está a 18°C. La tubería es de acero Cd.480. La presión en la caldera es
de 15 atm manométrica. ¿Cuál es la potencia de la bomba si la eficiencia es del 60
%? ¿Cuál es el costo de la energía eléctrica si el sistema trabaja las 24 horas del
día?
Dato: Costo del Kw-h = 12 pesos.
Tubería
Diámetro de la Longitud de la Velocidad
del
tubería
en tubería en metros agua
en
la
pulgadas
tubería en m/s
1
2
15
2
2
2
3
2
4
4
1.5
7
5
1.5
20
1.5
6
1.5
6
7
1.5
3
176
2.- Planteamiento.
2.1.- Balance de materia.
A régimen permanente:
M!=M2 = M3
M1 =u1 A1 ρ1
2.2.- Bernoulli
En donde:
3.- Cálculos.
3.1.- Datos
A 19 ° C la viscosidad del agua es 1.056 cps, la densidad es de 998.62 kg /m3.
Los diámetros de las tuberías son:
Diámetro de tubería de 2 pulgadas cédula 80 = 0.04925 m.
Diámetro de tubería de 1.5 pulgadas cédula 80 = 0.0381m
3.2.- Velocidad.
Del enunciado la velocidad en la tubería de 1.5 pulgadas es de 1.5 m/s
Por lo tanto la masa que pasa por el sistema es:
La velocidad en la línea de 2 pulgadas será:
3.3.-Números de Reynolds.
=4.17
3.4.- Factores de fricción y rugosidades
Para dos pulgadas
=0.009;
3.5.- Longitudes equivalentes
Para la tubería de dos pulgadas L tubo = 21 m; L acc= 2.2+1.5+0.4
Longitud total 25.1 m
Para la tubería de 1.5 pulgadas L tubo = 36 m, L acc= 3.3+13.4+3.2+0.5
Longitud total 56.4 m
177
3.6.- Pérdidas por fricción.
3.6.- Energía potencial
-117.72
3.7.- Energía cinética
3.8.- Energía de presión
3.9 Bernoulli.
=1448.96
3.10.- Potencia
3.11.- Costo del bombeo.
Energía consumida=
Costo =98.8 X 12 = 1185.6 $
R.- El costo de bombeo será de 1185.6 pesos.
Ejemplo 13.
Si el flujo de agua manejado en el sistema siguiente es de 4L/s a 15 ° C, ¿cuál
deberá ser la presión que indica el manómetro en el punto 1? El tanque mostrado
está abierto a la atmósfera. La tubería empleada en el sistema es de acero
comercial de Cd 40.
178
1.- Planteamiento.
1.1.- Bernoulli.
Si el balance se hace entre el punto 1 y el 2
; u2=0
1.2.- Velocidades.
M1 =u1 A1 ρ1
2.- Cálculos.
2.1.- Velocidades
D1.5=1.61 pulgadas=0.040894 m
D2=2.067 pulgadas = 0.0525 m
D3=3.068 pulgadas = 0.07792 m
Densidad del agua = 999.13 kg /m3 ; viscosidad = 1.14 cps.
=0.8399 m /s
2.2.- Reynolds y factores de fricción
179
=0.023
2.3.- Perdidas por fricción en la tubería de 3 pulgadas
Longitud de tubo
8.46 m
Válvula de globo
26 m
Válvula de compuerta
0.5
Válvula de retención
6.3 m
6 codos de 90 ° radio medio
9.6 m
2 Te paso directo
3.2
Total de longitudes equivalentes
54.06
2.4.- Pérdidas por fricción en la tubería de 2 pulgadas.
Longitud de tubo
3.7 m
2 codos
2.2
1 reducción de 3 a 2
0.4
Total de longitudes
6.3
=0.04605
2.5. Pérdidas de fricción en tuberías de 1.5 pulgada.
Longitud de tubo
2.84 m
3 codos 3X 0.9
2.5 m
1 reducción de 2 a 1.5
0.3 m
1 salida ordinaria
1m
Total de longitudes
6.84 m
=1.824
2.6 Pérdidas totales por la fricción.
2.7.- Energía cinética.
2.8.- Energía potencial.
2.9.- Bernoulli.
180
3.- Resultado. La presión en el manómetro será de 0.624 Kg fuerza / cm 2.
El segundo tipo de problemas puede resolverse mediante las ecuaciones y las
gráficas diseñadas por von Karman.
Theodore von Karman (1881,1963) científico de origen húngaro presentó en 1939
una gráfica modificada de Moody para resolver los problemas del segundo tipo.
Siguiendo el procedimiento de Karman, a partir de la ecuación de Darcy
(1)
Se tiene que:
De donde:
=
Por lo tanto:
=
(4)
También:
(5)
Si se multiplica la ecuación (3) por el número de Reynolds Re.
(6)
181
(7)
(8) este es el número de Karman.
Para flujo laminar:
(9)
(10)
Si colocamos la ecuación (10) en la ecuación (4).
(11)
Sustituyendo (8) en (11)
(12)
Por lo tanto:
(13)
y
(14)
De donde:
(15)
Esta ecuación es aplicable para
< 400.
Para Reynolds >400 flujo transicional
(16)
Para el flujo turbulento.
(17)
Estas ecuaciones se encuentran graficadas en el gráfico de Karman. Mediante
dicha gráfica se puede resolver en forma directa el valor de la velocidad requerida
del fluido, para una caída de presión y diámetro de tubería dados, puesto que la
variable es la que aparece en la ordenada de la gráfica modificada.
182
183
Ejemplo 14.
Determine el caudal que pasa por una tubería de acero galvanizado utilizada para
transportar agua a 15°C si el diámetro interno de la tubería es de 25 cm y la
longitud de ésta es de 800 m. Las pérdidas de presión medidas son de 0.5 kg
fuerza / cm2.
1.- Planteamiento.
Este tipo de problemas se tiene que resolver por tanteos a menos que se utilicen
las ecuaciones de Von Karman.
2.-Cálculos.
2.1.- Datos.
Viscosidad del agua =1.14 cps , densidad del agua =999 kg /m3, L= 800 m,
D= 0.25 m ,
2.2.-Karman
=
De la gráfica de Karman con una rugosidad relativa de 0.0005 se obtiene que:
=
U = 1.313 m /s
Caudal = 1.313 X 0.785 (0.25)2 =0.0644m3/s = 64.4 L /s
3.- Resultado.
El caudal será de 64.4 L /s
184
Para la solución del tercer tipo de problemas o sea, la determinación del
diámetro de la tubería requerida, para una velocidad y caídas de presión dadas no
se pueden emplear el gráfico de Moody o de Karman y se requiere de un proceso
iterativo.
Si combinamos los grupos adimensionales Re, f D y r (rugosidad relativa
r=
) Se obtienen los siguientes grupos:
(18)
(19)
Pero puesto que el gasto volumétrico
Ca =
(20)
Entonces:
(21)
De esta forma la incógnita (el diámetro) aparece sólo en el parámetro de la
rugosidad relativa.
La grafica de Ramalho, (1964) permite la solución de este tipo de problemas en
forma directa, construida con base en la gráfica convencional de Moody, que a su
vez está basada en la siguiente ecuación de Colebrook (1938).
(22)
Una ventaja adicional de la gráfica de Ramalho es que en ella las tres variables
(velocidad, caída de presión y diámetro) están separadas, permitiendo una
solución directa para los tres tipos de problemas descritos.
En el caso en que el valor del diámetro no coincida con el de las tuberías
comerciales se ajusta al valor del diámetro comercial más próximo disponible.
La gráfica siguiente se aplica para tuberías de acero comercial cédula 40 cuya
rugosidad absoluta es de (0.00015 ft, 0.004575 cm).
Caídas de presión recomendadas,
Anaya, 1999, recomienda que para el cálculo de las dimensiones de la tubería se
utilicen valores que permitan encontrar una combinación razonable de los costos
de inversión y de operación del sistema. En la siguiente tabla se indican los
criterios recomendados.
Líquidos
Succión de la bomba
0.1 a 0.5
Descarga de bomba
1 a2
Descargas por gravedad
Máximo 0.05
Líquidos saturados
0.1 a 0.5
Líquidos subenfriados
0.2 a 1
185
Gases
P<atm
P<100 psig
100 a 1000 psig
P< 1000 psig
Vapor
Saturado entre 50 y 250 psig
Saturado entre 250 y 1000 psig
Sobrecalentado P< 250 psig
Sobrecalentado P> 250 psig
0.05 a 0.25
0.25 a 0.5
0.5 a 2
0.2% de P absoluta
0.5 a 1.5
1a2
0.25 a 0.5
0.7% de P absoluta
186
187
Ejemplo 15.
Se hace fluir agua a 5 ° C a través de una tubería horizontal de acero
comercial con una longitud de 305 m a razón de 568 litros por minuto.
Se dispone de altura de agua de 6.1 m para contrarrestar la pérdida
por fricción. Calcule el diámetro apropiado de la tubería.
1.- Traducción.
1
Z=6.1 m
T=5°C
F
 6.1m
M
2
D=?
Ca = 568 l / min
2.- Planteamiento.
2.1.-Planteamiento.
Ec. De Darcy.
P
F
u2L

 fD

M
2 gcD
3.- Cálculos.
3.1.- Datos.
Viscosidad = 1.55 x 10-3 kg / m s
Densidad 1000 kg / m3
Caudal = 568 litros / min = 9.46 x 10-3 m3/s.
3.2.- Ecuación de Darcy

u 2 305
k gm
6.1
 fD
kg
2(9.81)(D)
Se desconoce D, u, por lo tanto el Re y el fD. La resolución se puede efectuar por
medio de tanteos.
3.2.- Primer tanteo
Sea D = 0.09m
Entonces el área transversal de la tubería sería:
188
A

4
D 2  0.785(0.09) 2  0.0063585m 2
Velocidad
m3
0.00946
Ca
s  1.48 m
u

A
s
0.00635m 2
Re 
Para una tubería comercial
Du


D

0.09(1.48)(1000)
 85935
1.55  10 3
 0.005
De la gráfica de Moody
FD=0.02
Sustituyendo nos queda:

F
(1.48) 2 (305)
k gm
 0.02
 7.56
M
2(9.81)(0.09)
kg
La velocidad es muy alta, por lo que el diámetro deberá ser mayor.
3.2.- Segundo tanteo.
D = 0.095
A = 0.00708m2
Velocidad u = 1.335 m /s
Re = 81840

D
 0.005
Y fD =0.02 (el factor Darcy cambia poco en la región turbulenta).
Por lo tanto:

F
(1.335) 2 (305)
kgm
 0.02
 5.83
M
2(9.81)(0.095)
kg
El valor buscado de D deberá ser un poco menor. Por ello se debería hacer un
nuevo tanteo.
4.- Resultado.
El diámetro será de aproximadamente 0.0945 m
Ejemplo 16.
189
Por una tubería circula un flujo de 29 litros por segundo de agua a 15 grados
centígrados. Si la caída de presión permisible es de 0.135 kg /cm 2 por 100 m
(0.59 psia por 100ft), determine el diámetro de la tubería de acero comercial más
adecuado para estas condiciones.
Datos del agua:
Densidad a 15 ° C = 999.13 kg / m3 ; viscosidad a 15 ° C =1.14 cps= 1.14 x10-3
Pa-s. ; Rugosidad = 0.00015 ft = 0.00004575 m
Utilizando la ecuación 21
(21)
Y=
Como la sumatoria de fricciones
está expresada en altura de líquido hay que
cambiar los datos del problema.
Utilizando la ecuación 18 se obtiene:
Finalmente se lee el valor para r en la gráfica y se resuelve la ecuación r= E/D.
r= 0.0003 y por lo tanto D=
=0.1525 m = 6 pulgadas
La velocidad en la línea sería de
190
191
Ejercicios de autoevaluación.
1.- Una bomba extrae agua de un tanque a razón de 570 L /min a través de una
tubería de 5 pulgadas, cédula 40. La toma de la bomba tiene 25 m de tubo e
incluye una válvula de globo y 3 codos de 90°, La descarga de la bomba consiste
en una tubería de 5 pulgadas de 3 m de longitud en la que se encuentra una
válvula de globo y posteriormente hay una reducción de 5 a 2 pulgadas. El tramo
de 2 pulgadas es de 300 m y sobre él se encuentran 2 codos de 90 °, una válvula
d retención y una de globo. La descarga es a la intemperie a 6 m sobre el nivel del
tanque. La tubería es de acero comercial. ¿Cuál es la potencia de la bomba? La
temperatura de operación es de 30 ° C.
R.- La potencia requerida es de 16.91 HP.
2.-Para abastecer de agua a una caldera se trae líquido desde un tanque elevado.
El agua está a 28 ° C y se bombea a razón de 380L /min. La tubería es de acero
comercial. La temperatura de salida del vapor de la caldera es de 200 ° C y está
saturado. La eficiencia de la bomba es del 85 % ¿Cuál debería ser la potencia de
la bomba?
R.- Se requieren 14.9 H.P.
3.-Se bombea agua desde un depósito hasta un tanque de almacenamiento
situado en la parte superior de un edificio, utilizando para ello una bomba
centrífuga. Entre las dos superficies existe una diferencia de nivel de 60 m. La
tubería de entrada está a 3 m por debajo de la superficie del agua y las
condiciones son tales que el nivel permanece constante. El tanque de
almacenamiento está abierto a la atmósfera y el nivel permanece constante. La
tubería de entrada al tanque de almacenamiento está a 2 m por debajo de la
superficie. El sistema de tuberías antes de la bomba está formado por 60 m de
tubería de 6 pulgadas Cd 40 de hierro y contiene dos codos de 90 ° y una válvula
de compuerta abierta. Después de la bomba hay 100 m de tubo de 4 pulgadas Cd
192
40 de hierro galvanizado con una válvula de compuerta abierta y 3 codos de 90°.
Se desea mantener un flujo de agua de 2500 L / min. La temperatura del agua es
de 20 °C. Si la eficiencia del motor bomba es del 60%, ¿cuál sería el costo del
bombeo diario si el Kw-h cuesta 10 pesos?
R.- El costo del bombeo sería de 13, 517 pesos /día.
4.- Determine el caudal de agua a 15 ° C que pasa por una tubería de acero
galvanizado de 25 cm de diámetro interno y con una longitud de 800 m si las
pérdidas de fricción son de 5 kgm /kg.
R.- El caudal es de 62 L /s.
5.- A través de una línea de acero de 15 cm de diámetro interno y de 900 m de
longitud fluye un combustóleo con una viscosidad cinemática de 4.13 x 10 -4 m2/s y
una densidad relativa de 0.918. Si la caída de presión en ese tramo es de 10.65
kg/cm2, ¿cuál será el caudal en L/s?
R.-38 L /s.
6.- ¿Qué diámetro de tubería será necesario para transportar 22 L/s de un
combustóleo pesado si la pérdida de carga de que se dispone en 1000 m de
longitud de tubería horizontal es de 22 kgm/kg?
Datos del combustóleo:
Densidad relativa 0.912, viscosidad cinemática 2.05X10-4 m2/s
R.- El diámetro mínimo es de 0.17 m.
7.- A través de una tubería horizontal de hierro cuya longitud es de 350 m se han
de transportar 100 m3/h de una solución amoniacal al 26 % y a 20 ° C,
disponiéndose de una carga de 20 kgm /kg. Determine el diámetro mínimo de
tubería que habrá de emplearse.
R.-El diámetro mínimo es de 0.115 m.
193
Capítulo 8
Flujo de fluidos a régimen transitorio.
194
Flujo de fluidos a régimen transitorio.
En flujo de fluidos se puede encontrar el régimen transitorio cuando se presenta el
fenómeno de la descarga de tanques.
Supongamos por ejemplo, que se tiene un tanque como el que se presenta a
continuación, el cual tiene un orificio en su parte inferior por el que escapa el
agua.
Sea H la altura del líquido dentro del tanque en un momento dado, D T el diámetro
del tanque y Do el diámetro del orificio a través del cual escapa el agua.
Mediante un balance de materia podremos encontrar que:
Entrada = Salidas + Acumulación (1)
Pero en este caso las Entradas son igual a cero, por lo que:
0= Salidas + Acumulación
(2)
En un momento dado, las salidas son iguales a:
Salida = u o  Ao (3), en donde
uo = velocidad del agua en el orificio; ρo = densidad del líquido; Ao= área del orificio
La acumulación está dada por:
Acumulación =
dM T d ( VT ) AT dH
=

d
d
d
(4)
En donde AT es el área transversal del tanque, VT es el volumen del tanque.
Sustituyendo (3 y 4 en 2) tenemos,
 AT dH
(5)
d
A dH
De donde uo   T
(6)
Ao d
0  u o  Ao 
195
En la ecuación número (6) se puede observar que la velocidad en el tanque es
una función del tiempo y que la velocidad decrece con la altura del líquido en el
tanque.
Para encontrar cuál será esa velocidad haremos un balance de energía en un
momento dado.
Entre las energías a considerar están, la energía potencial, la cinética y la de
presión:
u 2 P
(7)
Hg 

0
2

Pero u 2  uo2  uT2 y como uT puede considerarse despreciable con respecto a la
velocidad en el orificio, entonces u 2  uo2 (8)
P
El término
 0 ya que la presión sobre el tanque y sobre el orificio es la

misma.
Si consideramos que H en el orificio es 0, entonces H g   H g
Colocando los nuevos valores en la ecuación (7) tendremos que:
u2
 H g  o  0 (9) y por lo tanto:
2
u o  2 gH (10).
Venturi encontró que al salir el líquido toca el contorno del orificio y continúa
convergiendo hasta una sección A2, en la cual el chorro tiene un área
sensiblemente menor a la del orificio. Esta sección A 2 recibe el nombre de sección
contraída o vena contracta.
Ao
A2
La relación entre el área de la sección contraída y el área del orificio recibe el
nombre de coeficiente de contracción.
A
Kc  2 (11)
Ao
Kc= coeficiente de contracción, cuyo valor medio es de 0.62
196
A2 =área de la sección contraída.
Ao=área del orificio.
La ecuación (10) nos indica que en un momento dado la velocidad es función de la
altura H. Sin embargo, esa velocidad no contempla las pérdidas por fricción, por lo
que se tiene que incluir un coeficiente de reducción de velocidad, que siempre
será menor que 1:
u o  Cv 2 g H (12)
En donde Cv es el coeficiente por reducción de velocidad, cuyo valor numérico
medio es igual a =.985
Igualando 6 con 12 tendremos que:
AT dH
(11)
Ao d
La ecuación anterior la podemos poner como:
AT
dH
O como
d  
Ao Cv 2 gH
uo  Cv 2 gH  
1

AT
d  
H 2 dH (12)
Ao Cv 2 g
Que integrando nos da:
1


Hf
AT
0 d   Ao Cv 2 g Hi H 2 dH
1
 12

2 

O
H

H
f
i

 (13)


Cambiando el signo:
2 AT
 
Ao Cv 2 g


2 AT
Hi  H f
(14)
Ao Cv 2 g
En donde Hi es la altura inicial y Hf la altura final del agua en el tanque.

Para el cálculo de descarga de tanques a través de orificio también se cuenta
con ecuaciones empíricas como las que se presentan a continuación:
197
198
Ejemplo 1.
En un experimento efectuado en el laboratorio de ingeniería se midió la descarga
de agua en el tanque obteniéndose los siguientes resultados:
Altura del agua en el tanque H en cm.
122
102
82
62
42
22
2
Tiempo de descarga en segundos
0
20
42
67
96
133
196
Descarga de un tanque
140
120
altura en cm
100
80
Serie1
60
40
20
0
0
50
100
150
200
250
tiempo en segundos
¿Se podría predecir este resultado sin efectuar el experimento?
Descarga de un tanque que tiene una tubería en su base.
La descarga de tanques que poseen una tubería y una serie de accesorios sobre
ella es un problema clásico en el cual se necesita usar la ecuación de continuidad
en unión con la ecuación de balance de energía en la versión macroscópica
(véase el libro de Bird (1) para la mejor exposición de los balances macroscópicos
o también el libro de Morton Denn (2)).
199
Se debe hacer notar que en el balance de masa la velocidad de acumulación o
des acumulación es la que proporciona las corrientes de salida ya sea en los
tanques cilíndricos horizontales o verticales. En ambos casos la ecuación
diferencial final se da en términos de la altura del líquido en el tanque y de la
velocidad de salida. En el caso de del tanque cilíndrico vertical, la integración de la
ecuación final para obtener el tiempo de descarga es trivial. El análisis de los
datos es también una simple aplicación de los datos experimentales. En el caso
de un tanque cilíndrico horizontal el problema es un poco más complejo debido a
que la superficie libre no es constante, como sucede en el caso de los tanques
verticales. Sin embargo la aplicación de consideraciones geométricas y el uso de
las ecuaciones de continuidad y de energía nos proporcionan la ecuación
diferencial, sin embargo, la integración de esa expresión final no es simple y es
entonces recomendable hacer la integración en forma numérica.
A continuación se presenta el caso de descarga de tanques cilíndricos verticales
con accesorios
El sistema que se analiza es el siguiente:
El tanque descarga el líquido a la atmósfera.
Para este caso el balance de materia daría:
AT dH
Ecuación (6)
Ao d
Siendo uT la velocidad a la salida de la tubería, AT el área transversal del tanque
de descarga y Ao el área transversal de la tubería de descarga.
El balance de energía sería para este caso el siguiente, considerando que hay
energía potencial, cinética, de presión y de fricción presentes:
u 2 P
F
Hg 


2

M
Haciendo las simplificaciones pertinentes nos queda que:
uT  
200
uT2 Le
uT2
(15)
H g
  fD
2
2D
En donde uT es la velocidad promedio en la tubería de descarga, Le es la longitud
equivalente de la descarga, D es el diámetro de la tubería de descarga y f D es el
factor Darcy.
Haciendo arreglos tendremos que:
uT2 
Le 
1  f D
  Hg (16)
2 
D
De donde:
2H g
uT 
(17)
1 K
Siendo K  f D
Le
D
(18)
Uniendo (6) con (17)
A dH
2H g

uT   T
1 K
Ao d
De donde:
A
d   T
Ao
dH
(20)
2 Hg
1 K

AT
d  
Ao
(19)
2g
1 K
1
H 2 dH (21)
Que integrando nos da:
1


Hf
AT
2
d



H
dH (22)
0

Hi
2g
Ao
1 K

2 AT
2g
Ao
1 K

Hi  H f

(23)
201
Ejemplo.
En un sistema parecido al siguiente se efectuaron unos experimentos de descarga
de tanques, dando los resultados
siguientes:
Figura 2
Tabla 1.
Altura total Z en
cm.
273
271
269
267
265
263
261
259
257
255
253
251
249
247
245
243
Tiempo θ en
segundos
0
7
14.57
22
29.7
36.9
44.7
52
60
67.7
75.3
83
90.8
99.3
106.6
114
Altura total Z en
cm.
235
233
231
229
227
225
223
221
219
217
215
202
Tiempo θ en
segundos
146.7
154.2
162.3
170.8
180
188.8
197.4
208
217.2
227.6
237.7
241
239
237
122.3
130.5
138.6
descarga del tanque
y = 2.7309e-0.001x
R2 = 0.9998
altura total en m
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
50
100
150
200
250
tiempo en segundos
Grafico 1
En el caso mostrado, la longitud de tubo recto es de 3.72 m, la longitud
equivalente de los accesorios es de 4.6 m. El diámetro de la tubería es de 2.093
L
cm., por lo que K = f D
=12.72.
D
El área del tanque es de 0.255 m2 y el área transversal de la tubería es de 3.439 x
10-4 m2.
Por lo tanto la ecuación es para nuestro caso igual a:
  1240( Z A1  Z A2 ) (8)
Aplicando la ecuación anterior a los datos de altura se obtiene que:
Tabla 2.
Tiempo
real en
seg.
0
7
14.57
22
29.7
36.7
44.7
52
60
67.7
ZA m
2.73
2.71
2.69
2.67
2.65
2.63
2.61
2.59
2.57
2.55
Tiempo
incremento
Tiempo
calculado
total en
segundos
0
7.51861708
7.54641262
7.57451873
7.60294124
7.63168613
7.66075953
7.69016776
7.7199173
7.75001478
0
7.51861708
15.0650297
22.6395484
30.2424897
37.8741758
45.5349353
53.2251031
60.9450204
68.6950352
203
75.3
83
90.8
99.3
106.6
114
122.3
130.5
138.6
146.7
154.2
162.3
170.8
180
188.8
197.4
208
217.2
227.6
2.53
2.51
2.49
2.47
2.45
2.43
2.41
2.39
2.37
2.35
2.33
2.31
2.29
2.27
2.25
2.23
2.21
2.19
2.17
7.78046706
7.81128115
7.84246428
7.87402388
7.90596757
7.93830322
7.97103891
8.00418295
8.03774391
8.0717306
8.10615209
8.14101774
8.17633719
8.21212036
8.24837749
8.28511914
8.32235619
8.36009989
8.39836181
76.4755022
84.2867834
92.1292477
100.003272
107.909239
115.847542
123.818581
131.822764
139.860508
147.932239
156.038391
164.179409
172.355746
180.567866
188.816244
197.101363
205.423719
213.783819
222.182181
Lo cual concuerda bastante bien con los datos experimentales. La discrepancia
en los últimos datos se debe a la aparición de remolinos que alteran el patrón de
flujo.
Ejemplo 2.
¿En cuánto tiempo se descargaría el tanque representado en la figura siguiente,
desde la posición inicial a la final? Por el sistema fluye agua a 20°C. La tubería es
de acero galvanizado Cd 40.
2.- Cálculos.
2.1.- Datos.
Diámetro del tanque = 2 m
Área del tanque =0.785 X (2)2=3.14 m2
Diámetro interno de la tubería = 4.089 cm
Área de la tubería de descarga =0.785 X (0.04089)2=1.3X 10-3 m2.
204
Longitud del tubo 64.5 m
Longitud de los accesorios = 1 entrada+7 codos+ 1 vál. Compuerta+1 válvula de
globo+1 válvula de retención+1 salida.
L accesorios = 0.5+7(0.9)+0.3+13.4+3.2+1 = 24.7
Rugosidad relativa = 0.0045
Viscosidad = 1.005 cps
Densidad 998.23 kg / m3
2.1.- Ecuación de diseño
2 AT

Hi  H f
2g
Ao
1 K


2.2.- Cálculos.
Altura inicial Hi = 10+4-2+1 =13 m, Altura fina Hf =11m
Factor de fricción considerando flujo turbulento. f D =0.02
2.3.- Tiempo de descarga.
3.- Resultados.
El tanque se descargará en 2568 segundos.
Descarga de tanques cilíndricos horizontales.
L
HA
l
HB
Figura 4
205
En este caso el balance de energía daría una ecuación semejante a la 4.
H A 2g
uB 
(4)
f D Le 

1 

D 

Y el balance de materia daría:
  dH 
CA = AA 
  AB u B (9) por lo que igualando 1 con 4 tendremos:
 d 
H A 2g
  dH A 
AA 
(10)
  AB
f D Le 

 d 
1 

D 

Pero en este caso el área AA varía con la altura H.
Ya que AA  l  L
Siendo l , la cuerda y L la longitud del cilindro.
l
D
d
HA
r
HT
Figura 5.
l  2 r 2  d 2 (11) y
d=altura del líquido sobre el nivel del diámetro del tanque= H A  H T  r (7)
Por lo tanto uniendo 6 y 7 con 5 tendremos que:
2 gH A
2   dH A 
L  2 r 2  H A  H T  r  
(12)
  AB
f D Le
 d 
1
D
De donde:
206
f D Le
D H 21 dH (13)
d  
A
A
AB
2g
La cual no es fácil de integrar. Sin embargo la ecuación (13) se puede poner
como:
1
L  2 r 2  H A  H T  r 
2
   K r 2  H A  H T  r  H A 2 H A (14)
2
Siendo K=
1
L2
AB

1
f D Le
D (15)
2g
Nótese que para encontrar el tiempo de descarga se tiene que integrar desde HT+2r que
es la Ha inicial hasta La Ha final que es simplemente HT. Por lo tanto para obtener los
tiempos parciales de descarga se puede integrar (numéricamente) desde las fracciones
de la altura inicial (HT+2r).
Ejemplo 3.
L=3
m
HA
D=1m
l
217 cm.
79 cm.
HB
DT=1.5”
Haciendo un experimento en el tanque anterior se encontraron los datos
siguientes:
Tabla 3.
Litros
tiempo en
segundos
100
200
300
400
500
600
700
800
0
38
75
116
158
195
234
271
altura en
cm.
164
158.5
153.5
149.2
145
141.3
137.7
134.5
207
900
1000
1100
1200
1300
1400
1500
1600
1700
1800
1900
2000
2100
309
347
389
427
468
516
556
596
640
685
727
771
816
131.2
127.9
124.5
121.1
117.4
113.6
110
106.3
102.7
98.8
94.6
90.1
84.3
¿Se podría predecir el resultado sin hacer experimentos?
1.- Discusión.
Nótese que para encontrar el tiempo de descarga se tiene que integrar desde HT+2r que
es la Ha inicial hasta La Ha final que es simplemente HT. Por lo tanto para obtener los
tiempos parciales de descarga se puede integrar (numéricamente) desde las fracciones
de la altura inicial (HT+2r).
2.- Datos.
Para el caso que nos ocupa:
Longitud equivalente del sistema Le = 9.26 m
Diámetro de la tubería de descarga 1.5 pulgadas, Cd. 40 = 0.04089 m.

Rugosidad de la tubería
 0.0015
D
Factor de fricción a plena turbulencia f D  0.023
Longitud del tanque L= 3m
Área del tubo de descarga AB=0.0013125 m2.
Por lo tanto K =2572
3.- Cálculos.
La ecuación (10) para nuestro sistema queda:
  2572 r 2  H A  H T  r  H A 2 H A (16)
Con la ecuación anterior se puede calcular los incrementos de tiempo en función
de la altura.
2

1
Tabla 6
altura en
cm.
Tiempo real
164
0
158.5
153.5
38
75
Incremento
de H
-0.055
-0.05
incremento
de tiempo
42.564832
43.3299263
208
Tiempo
calculado
42.56
85.8947583
149.2
145
141.3
137.7
134.5
131.2
127.9
124.5
121.1
117.4
113.6
110
106.3
102.7
98.8
94.6
90.1
84.3
116
158
195
234
271
309
347
389
427
468
516
556
596
640
685
727
771
816
-0.043
-0.042
-0.037
-0.036
-0.032
-0.033
-0.033
-0.034
-0.034
-0.037
-0.038
-0.036
-0.037
-0.036
-0.039
-0.042
-0.045
-0.058
40.2082381
41.5128754
38.1434457
38.3232733
34.9171332
36.7098687
37.2829204
38.8604803
39.1521766
42.7361497
43.7821277
41.1125223
41.5861421
39.4787639
41.2272956
41.9269788
40.9628292
43.8297489
126.102996
167.615872
205.759317
244.082591
278.999724
315.709593
352.992513
391.852993
431.00517
473.74132
517.523447
558.63597
600.222112
639.700876
680.928171
722.85515
763.817979
807.647728
Tiempo en segundos
Descarga del tanque
800
600
tiempo real
400
tiempo calculado
200
0
70
90
110
130
150
Altura en cm.
209
170
Descarga de un tanque que va a otro tanque (Flujo entre tanques)
Sea el sistema siguiente:
2
H2
1
El tanque 1 y el tanque dos están abiertos a la atmósfera. Si en un momento dado
se abre la válvula el agua fluirá desde el tanque 2 hasta el tanque 1 por la
diferencia de energía potencialEl balance de materia sería:
Para el tanque 1.
Entradas =Acumulación
dH1
(24)
u t AT  A1
d
A1 dH1
(25)
AT d
En donde uT es la velocidad en el tubo y AT es la sección transversal del tubo, A1
es el área transversal del tanque 1
Para el tanque 2
0= Salidas + Acumulación
uT 
0  uT AT  A2
dH 2
d
(26)
A2 dH 2
(27)
AT d
El balance de energía de 2 a 1 sería:
uT  
210
u 2 P
 F (28)


2

M
 F son las pérdidas por fricción en la línea
En donde
M
Pero en este caso:
Hg 
P

y u  0
0
Por lo tanto.
 F   f uT2 Le  (H  H )  ( H  H ) (29)
Hg  
D
1
2
2
1
M
2D
Siendo fD el factor de fricción Darcy y Le la longitud equivalente de la línea y D el
diámetro interno de la línea.
2Hg
2Hg
uT 

(30)
Le
K
fD
D
Uniendo 30 con 25.
2Hg A1 dH1

K
AT d
d 
A1
AT
K
dH1
2Hg

Hf
0
Hi
 d  
(32)
A1
K
dH1
AT 2Hg
En donde K m  f Dm
y H m 
(31)
(33)
Le
(34) y
D
Hf  Hi
(36)
Hf
ln
Hi
f Dm 
f Di  f Df
2
(35)
y Hf  ( H 2  H1 ) f
El subíndice f es para final y el subíndice i expresa las condiciones iniciales.
Entonces:
Hf
Km
A
 1
dH1 (37)
AT 2H m g Hi
211

Km
( Hf  Hi)
2H m g
A1
AT
(38)
En el caso de que el fluido sea agua se tienen ecuaciones especiales que dan con
más precisión la relación entre las caídas de presión y las velocidades o caudales
en función de los diámetros y las longitudes equivalentes.
Una de esas ecuaciones es la de Hazen –Williams:

F k gm
 F  6.823 C 1.852 u1.852 L (30)


En donde
son las pérdidas por
M
M
km
D1.167
fricción en la línea. Sustituyendo 30 en 29.
g
 F  6.823 C u1.852 L
H

gc
M
D1.167
1.852
u
1.852
(31)
g D1.167 C 1.852
(32)
 H
gc 6.823L
u  1.852 H
g D1.167 C 1.852
gc 6.823L
u  1.852 H
A dH1
g D1.167 C 1.852
(34)
 1
gc 6.823L
AT d
d 
La
A1
AT
(33) ; sustituyendo 33 en 25
1
dH1 (35)
g D 1.167 C 1.852
1.852 H
gc 6.823L
anterior se
Hf  Hi
H como H m 
Hf
ln
Hi

ecuación
A1
AT
1
g D 1.167 C 1.852
1.852 H
m
gc 6.823L
puede
integrar
( Hf  Hi ) (36)
212
fácilmente
si
tomamos
a
Ejemplo 4.
Se tienen dos tanques de almacenamiento de agua conectados entre sí mediante
una línea de 2.5 pulgadas, Cd. 40 y 240 m de longitud, tal y como se muestra en la
figura siguiente:
El tanque 1 tiene un diámetro de 6 m y el tanque 2 uno de 4.5 m. Al abrir la válvula
calcule el tiempo en que el nivel del tanque 1 llegará a los 7.5 m
1, Planteamiento.
1.1.- Bernoulli
Km
A
 1
( Hf  Hi)
AT 2H m g
3.- Cálculos.
3.1.- ΔHmedia
Volumen desplazado (6)
Altura en el tanque 2.
3.2.- fD medio.
Velocidad en la tubería al tiempo cero es:
213
Entonces
De la gráfica de Moody se obtiene que
Segundo tanteo, sea
Velocidad final
Si
Segundo tanteo sea
3.3.- Tiempo

A1
AT
Km
( Hf  Hi)
2H m g

A1
AT
Km
( Hf  Hi)
2H m g
(6-1.84)=12904s
4.- Resultado.
El tiempo necesario es de 3 horas, 35 minutos y 3 segundos.
214
Ejercicios de autoevaluación
1.-Calcule el tiempo requerido para que el nivel del agua en un tanque caiga
desde 9 m a 4 m sobre el nivel de descarga de una tubería a partir de los
siguientes datos:
R.- 6.87 h.
Bibliografía.
*Valiente Barderas Antonio.- Problemas de flujo de fluidos- Limusa - México-1998.
*Prácticas de laboratorio- Flujo de fluidos- Facultad de Química- UNAM-C.U.México D.F. 2006
* Streeter, Víctor L.- Mecánica de los fluidos- Mc Graw Hill- México- 1979.
* Bird,Byrond et allí- Transport Phenomena-Wiley- Japan- 1960
215
Capítulo 9
Medidores de flujo.
216
Medidores de flujo
Un medidor de caudal es un aparato que se coloca en las líneas por donde se
mueve un fluido para obtener la velocidad o el caudal de la materia que está
fluyendo.
FACTORES PARA LA ELECCIÓN DEL TIPO DE MEDIDOR DE FLUIDO
Rango: los medidores disponibles en el mercado pueden medir flujos desde varios
mililitros por segundo (ml/s) para experimentos precisos de laboratorio hasta
varios miles de metros cúbicos por segundo (m3/s) para sistemas de irrigación de
agua o agua municipal o sistemas de drenaje. Para una instalación de medición en
particular, debe conocerse el orden de magnitud general de la velocidad de flujo
así como el rango de las variaciones esperadas.
Exactitud requerida: cualquier dispositivo de medición de flujo instalado y
operado adecuadamente puede proporcionar una exactitud dentro del 5 % del flujo
real. La mayoría de los medidores en el mercado tienen una exactitud del 2% y
algunos dicen tener una exactitud de más del 0.5%. El costo es con frecuencia
uno de los factores importantes cuando se requiere de una gran exactitud.
Pérdida de presión: debido a que los detalles de construcción de los distintos
medidores son muy diferentes, éstos proporcionan diversas cantidades de pérdida
de energía o pérdida de presión conforme el fluido corre a través de ellos. Excepto
algunos tipos, los medidores de fluido llevan a cabo la medición estableciendo una
restricción o un dispositivo mecánico en la corriente de flujo, causando así la
pérdida de energía.
Tipo de fluido: el funcionamiento de algunos medidores de fluido se encuentra
afectado por las propiedades y condiciones del fluido. Una consideración básica
es si el fluido es un líquido o un gas. Otros factores que pueden ser importantes
son la viscosidad, la temperatura, la corrosión, la conductividad eléctrica, la
claridad óptica, las propiedades de lubricación y homogeneidad.
Calibración: se requiere de calibración en algunos tipos de medidores. Algunos
fabricantes proporcionan una calibración en forma de una gráfica o esquema del
flujo real versus indicación de la lectura. Algunos están equipados para hacer la
lectura en forma directa con escalas calibradas en las unidades de flujo que se
deseen. En el caso del tipo más básico de los medidores, tales como los de
cabeza variable, se han determinado formas geométricas y dimensiones estándar
para las que se encuentran datos empíricos disponibles. Estos datos relacionan el
flujo con una variable fácil de medición, tal como una diferencia de presión o un
nivel de fluido.
1. MEDIDORES DE CABEZA VARIABLE.
El principio básico de estos medidores es que cuando una corriente de fluido se
restringe, su presión disminuye por una cantidad que depende de la velocidad de
flujo a través de la restricción, por lo tanto la diferencia de presión entre los puntos
217
antes y después de la restricción puede utilizarse para indicar la velocidad del
flujo. Los tipos más comunes
de medidores de cabeza
variable son el tubo Venturi, la
placa orificio y el tubo de flujo
de tobera.
El Tubo Venturi.
El Tubo de Venturi fue creado
por el físico e inventor italiano Giovanni Battista Venturi (1.746 – 1.822). Fue
profesor en Módena y Pavía. En Paris y Berna, ciudades donde vivió mucho
tiempo, estudió cuestiones teóricas relacionadas con el calor, óptica e hidráulica.
En este último campo fue que descubrió el tubo que lleva su nombre. Según él
este era un dispositivo para medir el gasto de un fluido, es decir, la cantidad de
flujo por unidad de tiempo, a partir de una diferencia de presión entre el lugar por
donde entra la corriente y el punto, calibrable, de mínima sección del tubo, en
donde su parte ancha final actúa como difusor.
DEFINICIÓN.
El Tubo de Venturi3 es un dispositivo que origina una pérdida de presión al pasar
por él un fluido. En esencia, éste es una tubería corta recta, o garganta, entre dos
tramos cónicos. La presión varía en la proximidad de la sección estrecha; así, al
colocar un manómetro o instrumento registrador en la garganta se puede medir la
caída de presión y calcular el caudal instantáneo, o bien, uniéndola a un depósito
carburante, se puede introducir este combustible en la corriente principal.
Las dimensiones del Tubo de Venturi para medición de caudales, tal como las
estableció Clemens Herschel4, son por lo general las que indica la figura 1. La
entrada es una tubería corta recta del mismo diámetro que la tubería a la cual va
unida.
El cono de entrada, que forma el ángulo a1, conduce por una curva suave a la
garganta de diámetro d2. Un largo cono divergente, que tiene un ángulo a2,
restaura la presión y hace expansionar el fluido al pleno diámetro de la tubería. El
diámetro de la garganta varía desde un tercio a tres cuartos del diámetro de la
tubería.
3
Este efecto, demostrado en 1797, recibe su nombre del físico italiano Giovanni Battista Venturi (17461822).
4
Este medidor fue inventado por Clemens Herschel en 1881 y lleva el nombre de Venturi por el científico italiano que fue el
primero en experimentar en tubos divergentes.
218
La presión que precede al cono de entrada se transmite a través de múltiples
aberturas a una abertura anular llamada anillo piezométrico. De modo análogo, la
presión en la garganta se transmite a otro anillo piezométrico. Una sola línea de
presión sale de cada anillo y se conecta con un manómetro o registrador. En
algunos diseños los anillos piezométricos se sustituyen por sencillas uniones de
presión que conducen a la tubería de entrada y a la garganta.
La principal ventaja del Venturi estriba en que sólo pierde un 10 - 20% de la
diferencia de presión entre la entrada y la garganta. Esto se consigue por el cono
divergente que desacelera la corriente.
Es importante conocer la relación que existe entre los distintos diámetros que tiene
el tubo, ya que dependiendo de los mismos es que se va a obtener la presión
deseada a la entrada y a la salida del mismo para que pueda cumplir la función
para la cual está construido.
Esta relación de diámetros y distancias es la base para realizar los cálculos para la
construcción de un Tubo de Venturi y con los conocimientos del caudal que se
desee pasar por él.
Deduciendo se puede decir que un Tubo de Venturi típico consta, como ya se dijo
anteriormente, de una admisión cilíndrica, un cono convergente, una garganta y un
cono divergente. La entrada convergente tiene un ángulo incluido de alrededor de
21º, y el cono divergente de 7º a 8º.
La finalidad del cono divergente es reducir la pérdida global de presión en el
medidor; su eliminación no tendrá efecto sobre el coeficiente de descarga. La
presión se detecta a través de una serie de agujeros en la admisión y la garganta;
estos agujeros conducen a una cámara angular, y las dos cámaras están
conectadas a un sensor de diferencial de presión.
219
FUNCIONAMIENTO DE UN TUBO DE VENTURI.
En el Tubo de Venturi el flujo desde la tubería principal en la sección 1 se hace
acelerar a través de la sección angosta llamada garganta, donde disminuye la
presión del fluido. Después se expande el flujo a través de la porción divergente al
mismo diámetro que la tubería principal. En la pared de la tubería en la sección 1 y
en la pared de la garganta, a la cual llamaremos sección 2, se encuentran
ubicados ramificadores de presión. Estos se encuentran unidos a los dos lados de
un manómetro diferencial de tal forma que la deflexión h es una indicación de la
diferencia de presión p1 – p2. Por supuesto, pueden utilizarse otros tipos de
medidores de presión diferencial.
La ecuación de la energía y la ecuación de continuidad pueden utilizarse para
derivar la relación a través de la cual podemos calcular la velocidad del flujo.
Utilizando las secciones 1 y 2 en la fórmula 2 como puntos de referencia, podemos
escribir las siguientes ecuaciones:
Estas ecuaciones son válidas solamente para fluidos incomprensibles, en el caso
de los líquidos. Para el flujo de gases, debemos dar especial atención a la
variación del peso específico  con la presión. La reducción algebraica de las
ecuaciones 1 y 2 es como sigue:
Pero:
Por consiguiente tenemos que:
220
Se pueden llevar a cabo dos simplificaciones en este momento. Primero, la
diferencia de elevación (Z1- Z2) es muy pequeña, aun cuando el medidor se
encuentre instalado en forma vertical. Por lo tanto, se desprecia este término.
Segundo, el término
es la pérdida de la energía del fluido conforme este corre
de la sección 1 a la sección 2.
El valor
debe determinarse en forma experimental. Pero es más conveniente
modificar la ecuación (3) eliminando
e introduciendo un coeficiente de
descarga Cv:
La ecuación (4) puede utilizarse para calcular la velocidad de flujo en la garganta
del medidor. Sin embargo, usualmente se desea calcular la velocidad de flujo del
volumen.
Puesto que, tenemos: Ca=A2 u2
Entonces:
(5)
El valor del coeficiente Cv depende del número de Reynolds del flujo y de la
geometría real del medidor. La siguiente figura muestra una curva típica de Cv Vs
número de Reynolds en la tubería principal.
221
La experiencia recomienda que C = 0.984 para un Tubo Venturi fabricado o
fundido con las siguientes condiciones:
La ecuación (5) se utiliza para la boquilla de flujo y para el orificio, así como
también para el Tubo de Venturi.
Para gases la ecuación anterior debe modificarse mediante un factor empírico,
que para el caso del comportamiento ideal es:
Siendo k la relación de las capacidades caloríficas a presión y volumen contantes.
Por lo tanto:
222
Y
Ejemplo.1
Una corriente de nitrógeno seco a 20 ° C y 710 mm de Hg de presión fluye a
través de una tubería de 4 pulgadas con caudal constante. Calcule el caudal si se
dispone de un tubo Venturi con una garganta de 1.3 pulgadas, siendo la caída de
presión de 0.12 kg fuerza / cm2.
1.- Traducción.
2.- Planteamiento.
2.1.- Ecuaciones del Venturi.
Y
3.- Cálculos.
3.1.- Densidad
3.2.- Factor Y
K=1.4
223
3.3.- Caudal en el Venturi.
Ca=0.119367 m3/s
4.- Resultado.
El caudal medido por el Venturi es de 0.119367 m3/s
APLICACIONES TECNOLÓGICAS DE UN TUBO DE VENTURI.
El Tubo Venturi puede tener muchas aplicaciones entre las cuales se pueden
mencionar:
En la Industria Automotriz: en el carburador del carro, el uso de éste se pude
observar en lo que es la Alimentación de Combustible.
Los motores requieren aire y combustible para funcionar. Un litro de gasolina
necesita aproximadamente 10.000 litros de aire para quemarse, y debe existir
algún mecanismo dosificador que permita el ingreso de la mezcla al motor en la
proporción correcta. A ese dosificador se le denomina carburador, y se basa en el
principio de Venturi: al variar el diámetro interior de una tubería, se aumenta la
velocidad del paso de aire.
Medidor de Placa de orificio.
Cuando una placa se coloca en forma concéntrica dentro de una tubería, esta
provoca que el flujo se contraiga de repente conforme se aproxima al orificio y
después se expande de repente al diámetro total de la tubería. La corriente que
fluye a través del orificio forma una vena contracta y la rápida velocidad del flujo
resulta en una disminución de presión hacia abajo desde el orificio.
El valor real del coeficiente de descarga Co depende de la ubicación de las
ramificaciones de presión, igualmente es afectado por las variaciones en la
geometría de la orilla del orificio. El valor de Co es mucho más bajo que el del tubo
224
Venturi o la boquilla de flujo puesto que el fluido se fuerza a realizar una
contracción repentina seguida de una expansión repentina.
Algunos tipos de placas orificios son los siguientes:
La concéntrica sirve para líquidos, la excéntrica para los gases donde los cambios
de presión implican condensación, cuando los fluidos contienen un alto porcentaje
de gases disueltos.
Son dispositivos que consisten en una reducción en la sección de flujo de una
tubería, de modo que se produzca una caída de presión, a consecuencia del
aumento de velocidad.
Haciendo un balance de energía entre el orificio (punto 1) y la sección posterior al
orificio (punto 2), despreciando las pérdidas por fricción tenemos:
.....(1)
Para un fluido incomprensible y de la ecuación de continuidad:
225
.................................(2)
Sustituyendo 2 en 1:
.......(3)
Despejando v1 y sabiendo que D1 = Dorificio
........(4)
En caso de que se consideren las pérdidas de fricción, es necesario agregar el
coeficiente de orificio Co, teniendo lo siguiente:
....(5)
Siendo v1: velocidad en el orificio.
Si se requiere conocer el Caudal:
.....(6)
Co: Coeficiente de orificio o coeficiente de descarga para el caudal. Este
coeficiente varía entre 0.6 y 0.62 para orificios concéntricos de bordes afilados y si
226
el Número de Reynolds es mayor de 20 000 y si la toma posterior está en la vena
contracta.
D0: Diámetro de orificio.
D2: Diámetro de la tubería.
Usualmente el diámetro del orificio está entre 50 y 76% del diámetro de la tubería.
La toma corriente arriba debe quedar a una distancia correspondiente a un
diámetro de la tubería de la cara del orificio y la de corriente abajo a una distancia
de 0.5 del mismo diámetro, D2.
En los medidores instalados la manera más simple de obtener la caída de presión
consiste en el empleo de un manómetro diferencial en “U”.
La pérdida de carga o pérdidas permanentes por fricción se obtienen por:
227
...(7)
Para gases la ecuación debe modificarse mediante un factor empírico que, para el
caso de comportamiento ideal es:
....(8)
Siendo K la relación de las capacidades caloríficas a presión y volumen
constantes.
....(9)
Por lo tanto:
....(10)
Las ecuaciones anteriores se aplican cuando las tomas de presión están situadas
en las bridas, 1 diámetro de la tubería antes de la placa y 0.5 diámetro después, si
la toma posterior está situada después de la vena contracta se utiliza un factor K
que es función de la relación  para Reynolds mayores de 20 000.
228
Dónde:
....(11)
La gran ventaja de la placa de orificio en comparación con los otros elementos
primarios de medición, es que debido a la pequeña cantidad de material y al
tiempo relativamente corto de maquinado que se requiere en su manufactura, su
costo llega a ser comparativamente bajo, aparte de que es fácilmente
reproducible, fácil de instalar y desmontar y de que se consigue con ella un alto
grado de exactitud. Además que no retiene muchas partículas suspendidas en el
fluido dentro del orificio.
El uso de la placa de orificio es inadecuado en la medición de fluidos con sólidos
en suspensión pues estas partículas se pueden acumular en la entrada de la
placa, el comportamiento en su uso con fluidos viscosos es errático pues la placa
229
se calcula para una temperatura y una viscosidad dada y produce las mayores
pérdidas de presión en comparación con los otros elementos primarios.
Las mayores desventajas de este medidor son su capacidad limitada y la pérdida
de carga ocasionada tanto por los residuos del fluido como por las pérdidas de
energía que se producen cuando se forman vórtices a la salida del orificio.
Ejemplo 2.
Se instala un orificio de bordes afilados con un diámetro de 0.05 m en una tubería
de 0.15 m de diámetro interno. Por la tubería fluye petróleo con una densidad de
878 kg / m3 y una viscosidad de 4.1 cps. La diferencia de presión medida cuando
la toma posterior está situada a 5 diámetros es de 93.2 kN/m 2. Calcule el gasto en
m3/s.
1.- Traducción.
2.- Planteamiento.
2.1.- Ecuación de diseño.
;
3.- Cálculos.
Suponiendo un Re > 20 000
230
Por lo tanto K= 0.66
3.2.- Caudal.
4.- Resultado. Por la línea pasan 18.85 litros cada segundo.
Ejemplo 3.
¿Cuál es la potencia necesaria para la bomba instalada en el siguiente sistema, si
la eficiencia es del 70 %? Por la línea fluye ácido sulfúrico al 100% y a la
temperatura de 20 ° C. Las tuberías son de plomo. La toma posterior en el orificio
de 1.5 pulgadas, está situada en la vena contracta. La presión atmosférica es de
0.8 atm y la presión en el reactor es de 2 atmosferas absolutas.
2.- Planteamiento.
2.1.- Medidor de orificio.
231
2.2.- Bernoulli.
3.- Cálculos.
3.1.- Datos
Viscosidad del ácido 30 cps, densidad del ácido 1831 kg /m3.
Diámetro interno de las tuberías:
D4 =0.10226; D3=0.07793; D2=0.0525
Rugosidad relativa Para 4 pulgadas 0.00045, para 3 pulgadas 0.0006, para los
pulgadas 0.0009.
3.2.- Velocidad en el orificio.
Do = 1.5, Dt= 3 por lo tanto β=0.5 y β4 = 0.0625 ; Co = 0.61 si Re > 20 000
Entonces Co = 0.66 y uo = 2.42.
3.3.- Velocidades y Reynolds en las líneas.
=1.2745m/s
232
Re3=2762; Re2= 4083
3.4.- Factores de fricción.
=0.0445;
3.5.- Longitudes equivalentes.
Línea de 4 pulgadas L tubo = 10 m; Le = 0.7+3.2; LT = 13.9 m
Línea de tres pulgadas L tubo = 20.5 m, Le = 3 codos (6.3 m)+ 2 válvulas (1)+1
Válvula retención (2.2) m, Longitud total = 30 m
Línea de 2 pulgadas. Longitud de tubo 20 m, Le = 3codos (4.2)+1 válvula (4.2)+1
salida (1.5) +1 contracción (0.326m)
Longitud total = 30.226 m
3.6.- Pérdidas por fricción
=0.0445;
Perdidas por medidor de orificio.
Total de pérdidas por fricción = 2.7166 kgm /kg.
233
3.7.- Bernoulli.
3.8.- Potencia.
4.- Resultado. Se requiere una bomba de 2 caballos.
BOQUILLA O TOBERA DE FLUJO.
Es una contracción gradual de la corriente de flujo seguida de una sección
cilíndrica recta y corta. Debido a la contracción pareja y gradual, existe una
pérdida muy pequeña. A grandes valores de Reynolds (106) C es superior a 0.99.
La tobera de flujo, es un instrumento de medición que permite medir diferencial de
presiones cuando la relación de ß, es demasiado alta para la placa orificio, esto
es, cuando la velocidad del flujo es mucho mayor y las pérdidas empiezan a
hacerse notorias.
Luego, al instalar un medidor de este tipo se logran mediciones mucho más
exactas. Además este tipo de medidor es útil para fluidos con muchas partículas
en suspensión o sedimentos, su forma hidrodinámica evita que sedimentos
transportados por el fluido queden adheridos a la tobera.
234
Boquilla o tobera de flujo.
La instalación de este medidor requiere que la tubería donde se vaya a medir
caudal, este en línea recta sin importar la orientación que esta tenga.
Recuperación de la presión: La caída de presión es proporcional a la pérdida de
energía. La cuidadosa alineación del tubo Venturi y a expansión gradual larga
después de la garganta provoca un muy pequeño exceso de turbulencia en la
corriente de flujo. Por lo tanto, la pérdida de energía es baja y la recuperación de
presión es alta. La falta de una expansión gradual provoca que la boquilla tenga
una recuperación de presión más baja, mientras que la correspondiente al orificio
es aún más baja. La mejor recuperación de presión se obtiene en el tubo de flujo.
Ejemplo 4.
En una tubería de 10 pulgadas se instala una tobera para medir la velocidad de
flujo y el caudal del agua. Si el diámetro de la tobera es de 6 pulgadas y si la caída
de presión en el manómetro es de 5 cm de Hg, ¿Cuál será la velocidad y el caudal
de agua?
1.- Traducción.
235
2.- Planteamiento.
2.1.- Ecuación de la tobera.
3.- Cálculos.
3.1.- Velocidad
Si Re > 105 entonces C=1.015 y por lo tanto:
=3.568 m /s
La velocidad en la línea será:
Por lo tanto el Reynolds en la línea es:
Por lo tanto la velocidad es la correcta.
3.2.- Caudal
4.- Resultado. El caudal es de 65 litros por segundo.
2. MEDIDORES DE AREA VARIABLE.
2.1. ROTÁMETRO.
El rotámetro es un medidor de área variable que consta de un tubo transparente
que se amplia y un medidor de "flotador" (más pesado que el líquido) el cual se
236
desplaza hacia arriba por el flujo ascendente de un fluido en la tubería. El tubo se
encuentra graduado para leer directamente el caudal. La ranura en el flotador
hace que rote y, por consiguiente, que mantenga su posición central en el tubo.
Entre mayor sea el caudal, mayor es la altura que asume el flotador.
El fluido entra por la parte inferior del tubo y ejerce una fuerza ascendente sobre la
base del flotador; al subir el flotador permite que pase una determinada cantidad
de flujo por el área anular, área formada entre el flotador y la pared del tubo y será
tal que la caída de presión en ese estrechamiento baste para equilibrar la fuerza
de gravedad y el peso del flotador, en ese momento el flotador permanece
estacionario en algún punto del tubo.
La pérdida de presión se mantiene constante sobre el intervalo completo del flujo.
Entonces para cada flujo. El flotador alcanza una altura determinada. El tubo
cónico lleva grabada una escala lineal en unidades del flujo o indica el porcentaje
del flujo máximo. Los rotámetros no necesitan tramos rectos de tubería antes y
después del punto donde se instalan.
La ecuación correspondiente al flujo o caudal (Ca) viene dada por:
237
....(14)
Cada magnitud tiene el significado indicado en la figura anterior y K es el
coeficiente del rotámetro.
Generalmente el rotámetro se calibra con el fluido para el cual se empleará como
medidor del caudal. Sin embargo, si se calibra con un fluido A de densidad A y
después se emplea para medir el caudal de otro fluido B de B, la relación de
caudales viene dada por:
....(15)
2.2. FLUXOMETRO DE TURBINA.
El fluido provoca que el rotor de la turbina gire a una velocidad que depende de la
velocidad de flujo. Conforme cada una de las aspas de rotor pasa a través de una
bobina magnética, se genera un pulso de voltaje que puede alimentarse de un
medidor de frecuencia, un contador electrónico u otro dispositivo similar cuyas
lecturas puedan convertirse en velocidad de flujo. Velocidades de flujo desde 0.02
L/min hasta algunos miles de L/min se pueden medir con fluxómetros de turbina
de varios tamaños.
2.3. FLUXOMETRO DE VORTICE.
Una obstrucción chata colocada en la corriente del flujo provoca la creación de
vórtices y se derrama del cuerpo a una frecuencia que es proporcional a la
velocidad del flujo. Un sensor en el fluxómetro detecta los vórtices y genera una
indicación en la lectura del dispositivo medidor.
238
Esta figura muestra un bosquejo del fenómeno de derramamiento de vórtice. La
forma del cuerpo chato, también llamada elemento de derramamiento de vórtice,
puede variar de fabricante a fabricante. Conforme el flujo se aproxima a la cara
frontal del elemento de derramamiento, este se divide en dos corrientes. El fluido
cerca del cuerpo tiene una velocidad baja en relación con la correspondiente en
las líneas de corrientes principales.
La diferencia en velocidad provoca que se generen capas de corte las cuales
eventualmente se rompen en vórtices en forma alternada sobre los dos lados del
elemento de derramamiento. La frecuencia de los vórtices creados es
directamente proporcional a la velocidad del flujo y, por lo tanto, a la frecuencia del
flujo del volumen.
Unos sensores colocados dentro del medidor detectan las variaciones de presión
alrededor de los vórtices y generan una señal de voltaje que varía a la misma
frecuencia que la de derramamiento del vórtice. La señal de salida es tanto un
cadena de pulsos de voltaje como una señal analógica de cd (corriente directa).
Los sistemas de instrumentación estándar con frecuencia utilizan una señal
analógica que varía desde 4 hasta 20 mA cd (miliamperes de corriente directa).
Para la salida de pulso el fabricante proporciona un fluxómetro de factor-K que
indica los pulsos por unidad de volumen a través del medidor.
Los medidores de vórtice pueden utilizarse en una amplia variedad de fluidos
incluyendo líquidos sucios y limpios, así como gases y vapor.
2.4. FLUXOMETROS DE VELOCIDAD.
Algunos dispositivos disponibles comercialmente miden la velocidad de un fluido
en un lugar específico más que una velocidad promedio.
2.4.1 TUBO PITOT.
Cuando un fluido en movimiento es obligado a pararse debido a que se encuentra
un objeto estacionario, se genera una presión mayor que la presión de la corriente
del fluido. La magnitud de esta presión incrementada se relaciona con la velocidad
del fluido en movimiento. El tubo pitot es un tubo hueco puesto de tal forma que
los extremos abiertos apuntan directamente a la corriente del fluido. La presión en
la punta provoca que se soporte una columna del fluido. El fluido en o dentro de la
punta es estacionario o estancado llamado punto de estancamiento.
239
Haciendo un balance de energía entre el punto 0 y el punto 1
Pero la velocidad en el punto 1 es u1=0 (el fluido está estancado). Entonces:
Y entonces:
Si hay fricción la ecuación anterior se modifica para dar:
En donde Cp es el coeficiente del tubo Pitot generalmente de 0.98 o 0.99.
Ejemplo 5.
A través de una tubería fluye aire con una densidad de 1.045 kg /m3. Si la
velocidad es de 25 m/s, determine las lecturas en los manómetros a y b de las
figuras.
240
2.- Planteamiento.
2.1.- Ecuación del tubo Pitot.
3.- Cálculos.
3.1.- Lectura manométrica en a)
2.2.- Lectura manométrica en b)
4.-Resultadios.
La diferencia de altura en a es de 0.033 m
La diferencia de altura en b es de 0.0163 m
241
Ejemplo 6.
A través de un ducto fluye aire. Dentro del tubo se instala un tubo Pitot para medir
la velocidad del aire. El tubo Pitot está conectado aun manómetro diferencial que
contiene agua como líquido medidor. Si la diferencia de niveles en el manómetro
es de 10 cm y la temperatura y presión absoluta del aire son 300° K y 2 atm, ¿cuál
es la velocidad del aire?
1.-Traducción.
2.- Planteamiento.
2.1.- Ecuación del Pitot
3.-Cálculos.
3.1.- Densidad del aire.
3.2.- Velocidad
Suponiendo un Cp =1
4.-Resultado. La velocidad es de 28.8 m/s.
242
FLUXOMETRO ELECTROMAGNÉTICO.
Su principio de medida está basado en la Ley de Faraday, la cual expresa que al
pasar un fluido conductivo a través de un campo magnético, se produce una
fuerza electromagnética (F.E.M.), directamente proporcional a la velocidad del
mismo, de donde se puede deducir también el caudal.
Está formado por un tubo, revestido interiormente con material aislante. Sobre dos
puntos diametralmente opuestos de la superficie interna se colocan dos electrodos
metálicos, entre los cuales se genera la señal eléctrica de medida. En la parte
externa se colocan los dispositivos para generar el campo magnético, y todo se
recubre de una protección externa, con diversos grados de seguridad.
El flujo completamente sin obstrucciones es una de las ventajas de este medidor.
El fluido debe ser ligeramente conductor debido a que el medidor opera bajo el
principio de que cuando un conductor en movimiento corta un campo magnético,
se induce un voltaje.
Los componentes principales incluyen un tubo con un material no conductor, dos
bobinas electromagnéticas y dos electrodos, alejados uno del otro, montados a
180° en la pared del tubo. Los electrodos detectan el voltaje generado en el fluido.
Puesto que le voltaje generado es directamente proporcional a la velocidad del
fluido, una mayor velocidad de flujo genera un voltaje mayor. Su salida es
completamente independiente de la temperatura, viscosidad, gravedad específica
o turbulencia. Los tamaños existentes en el mercado van desde 5 mm hasta varios
metros de diámetro.
243
2.6. FLUXOMETRO DE ULTRASONIDO.
Consta de unas Sondas, que trabajan por pares, como emisor y receptor. La placa
piezo-cerámica de una de las sondas es excitada por un impulso de tensión,
generándose un impulso ultrasónico que se propaga a través del medio líquido a
medir, esta señal es recibida en el lado opuesto de la conducción por la segunda
sonda que lo transforma en una señal eléctrica.
El convertidor de medida determina los tiempos de propagación del sonido en
sentido y contrasentido del flujo en un medio líquido y calcula su velocidad de
circulación a partir de ambos tiempos. Y a partir de la velocidad se determina el
caudal que además necesita alimentación eléctrica.
Hay dos tipos de medidores de flujo por ultrasonidos:


DOPPLER: Miden los cambios de frecuencia causados por el flujo del
líquido. Se colocan dos sensores cada uno a un lado del flujo a medir y se
envía una señal de frecuencia conocida a través del líquido. Sólidos,
burbujas y discontinuidades en el líquido harán que el pulso enviado se
refleje, pero como el líquido que causa la reflexión se está moviendo la
frecuencia del pulso que retorna también cambia y ese cambio de frecuencia
será proporcional a la velocidad del líquido.
TRÁNSITO: Tienen transductores colocados a ambos lados del flujo. Su
configuración es tal que las ondas de sonido viajan entre los dispositivos con
una inclinación de 45 grados respecto a la dirección de flujo del líquido.
La velocidad de la señal que viaja entre los transductores aumenta o disminuye
con la dirección de transmisión y con la velocidad del líquido que está siendo
medido Tendremos dos señales que viajan por el mismo elemento, una a favor de
la corriente y otra en contra de manera que las señales no llegan al mismo tiempo
a los dos receptores.
Se puede hallar una relación diferencial del flujo con el tiempo transmitiendo la
señal alternativamente en ambas direcciones. La medida del flujo se realiza
determinando el tiempo que tardan las señales en viajar por el flujo.
Características



Temperatura ambiente 0º 55º
Temperatura de almacenamiento -20º 150º
Humedad <80%
244













Temperatura del líquido 20º 150º
Máx. presión de conexión 25 bar
Las medidas no se ven afectadas por la presencia de sustancias químicas,
partículas contaminantes.
Tienen un alto rango dinámico
Diseño compacto y pequeño tamaño
Costes de instalación y mantenimiento pequeños
Las medidas son independientes de la presión y del líquido a medir
No se producen pérdidas de presión debido al medidor
No hay riesgos de corrosión en un medio agresivo
Aunque el precio no es bajo, sale rentable para aplicaciones en las que se
necesite gran sensibilidad (flujos corporales) o en sistemas de alta presión.
Operan en un gran rango de temperaturas (-10º a 70º) (-30º 180º)
dependiendo del sensor y se ofrece la posibilidad de comprar sensores con
características especiales para aplicaciones concretas.
Las medidas son no invasivas (especialmente importantes cuando
hablamos del cuerpo humano)
Ofrecen una alta fiabilidad y eficiencia
ANEXOS.
COMPARATIVA DE LOS DISTINTOS SENSORES DE FLUJO
Sensor
flujo
Pérdida Exactitud Medidas
de Líquidos
Efecto Coste
de
típica en y
recomendados
viscoso Relativo
presión %
diámetros
Orificio
Líquidos sucios
y
limpios;
algunos
Medio
líquidos
viscosos
±2 a ±4 of
10 a 30
full scale
Alto
Bajo
Tubo Venturi
Líquidos
viscosos,
Bajo
sucios y limpios
±1
5 a 20
Alto
Medio
Tubo Pitot
Líquidos
limpios
Muy
bajo
±3 a ±5
20 a 30
Bajo
Bajo
Turbina
Líquidos
limpios
viscosos
y Alto
±0.25
5 a 10
Alto
Alto
±0.5
5
No
Alto
Electromagnet. Líquidos sucios No
y
limpios;
245
líquidos
viscosos
conductores
y
Ultrasonic.
(Doppler)
Líquidos sucios
y
líquidos No
viscosos
±5
5 a 30
No
Alto
Ultrasonic.
(Time-oftravel)
Líquidos
limpios
líquidos
viscosos
±1 a ±5
5 a 30
No
Alto
y
No
CONCLUSIONES.



Se debe tener en cuenta que los Medidores de Flujos son dispositivos, el cual
pueden ser utilizado en muchas aplicaciones tecnológicas y aplicaciones de la
vida diaria, en donde conociendo su funcionamiento y su principio de operación
se puede entender de una manera más clara la forma en que este nos puede
ayudar para solventar o solucionar problemas o situaciones con las cuales son
comunes.
Reconocer que con la ayuda de un medidor de flujo se pueden diseñar equipos
para aplicaciones específicas o hacerle mejoras a equipos ya construidos y
que estén siendo utilizados por empresas, en donde se desee mejorar su
capacidad de trabajo utilizando menos consumo de energía, menos espacio
físico y en general muchos aspectos que le puedan disminuir pérdidas o gastos
excesivos a la empresa en donde estos sean necesarios.
El Tubo de Venturi es un dispositivo que por medio de cambios de presiones
puede crear condiciones adecuadas para la realización de actividades que nos
mejoren el trabajo diario, como lo son sus aplicaciones tecnológicas.
Ejercicios propuestos de autoevaluación.
1.- ¿Cuál es el gasto másico de metano que pasa por una tubería de 0.1 m de
diámetro interno en la que se ha instalado un tubo Venturi de 5 cm de diámetro de
garganta? La temperatura y la presión del metano antes del Venturi son de 30° C y
1.386 kg /cm2 absolutos. El manómetro diferencial indica una caída de presión de
25 cm de Hg.
R.- El gasto másico será de 0.44 kg /s.
2.- En una tubería de 10 pulgadas se instala una tobera para medir la velocidad
del flujo y el caudal del agua. Si el diámetro de la tobera es de 6 pulgadas y si la
caída de presión en el manómetro es de 5 cm de Hg, ¿cuál será la velocidad y el
caudal del agua?
R.- El caudal será de 65 litros por segundo.
246
3.-En una planta de hidrogenación se conduce hidrógeno a través de una tubería
de dos pulgadas a 30 ° C. Para medir el caudal se instala un medidor de orificio de
2 cm de diámetro. La lectura obtenida en el manómetro diferencial es de 5 cm de
Hg. La presión del orificio es de 1.5 atm. La toma posterior de presión está
conectada en la vena contracta.
R.-El flujo volumétrico o caudal es de 0.0631 m3/s.
4.- Una tobera se instala en una tubería de 3 pulgadas Cd 40 para medir el caudal
de un aceite. La tobera es de 2 pulgadas y la caída de presión en el manómetro
diferencial es de 10 cm de Hg. ¿Cuál es el caudal?
Datos del aceite; viscosidad 38 cps, densidad 870 kg /m 3.
R.- El caudal es de 0.0107 m3/s.
5.- Un tubo Pitot que tiene un coeficiente de 0.98 se emplea para medir la
velocidad del agua en el centro de una tubería. La altura de la presión dinámica es
de 5.58 m y la altura de la presión estática en la tubería es de 4.65 m de agua.
¿Cuál es la velocidad?
R.-La velocidad es de 4.186 m /s.
247
Capítulo 10
Flujo de fluidos incompresibles a
través de sistemas complejos.
248
Flujo de fluidos a través de sistemas complejos.
La mayoría de los sistemas por los que se desplazan los fluidos incompresibles,
verbigracia el agua, son complejos , es decir, consisten en uno o más tramos de
tuberías de diferentes diámetros o en tuberías que forman ramales, redes y
otros complejos sistemas de distribución como las del agua de alcantarillas o las
redes de distribución de agua potable.
SISTEMAS DE TUBERÍAS EN SERIE.
Las tuberías en serie son aquel conjunto de tuberías que forman parte de una
misma conducción y que tienen diferente diámetro.
Para obtener una solución al problema se deben considerar lo siguiente:

Continuidad: M1=M2=M3

Velocidad media:

Balance de energía:

Lo que puede reducirse a:

en donde
fD
factor de fricción de Darcy, L es la longitud de la tubería, Le la longitud
equivalente de los accesorios, D el diámetro de la tubería y u la velocidad
promedio en la tubería que se está analizando.
Ejemplo 1.
Dos tanques están conectados por una tubería que tiene 6" de diámetro en los
primeros 6m. y 10" en los 15. Restantes. La embocadura es con bordes agudos y
el cambio de sección es brusco. La diferencia de nivel entre las superficies libres
de ambos estanques es de 6m. La tubería es de fierro fundido Cd.40. La
temperatura del agua es de 20°C. Calcular el gasto.
249
1.- Traducción.
2.- Planteamiento.
2.1.- Balance masa.
M6=M10
2.2.- Balance de energía.
+
En nuestro caso haciendo el balance entre A y B a régimen permanente.
Entonces:
3.- Cálculos.
3.1.- Datos
D10=25.451 cm; D6=15.405 cm; viscosidad del agua = 1.005 cps, ρ=998 kg /m 3
Rugosidades relativas
250
3.2.- Velocidades
3.3.-Longitudes equivalentes.
L6= 6 m de tubo +entrada (2.5) =8.5 m
L10=15 m de tubo + una salida (7.5)+ expansión (1.93) =24.43 m
3.4.- Bernoulli
Suponiendo inicialmente que los factores de fricción sean iguales a 0.02 entonces:
Por lo tanto
3.4.- Comprobación
Los Reynolds a esas velocidades son:
=1.4
Con estos Reynolds y los factores de rugosidad se calculan los nuevos f D
Entonces el Bernoulli queda:
De donde
Con estos valores los nuevos Reynolds darían:
Lo que da fD iguales a los anteriores con lo que queda terminado el tanteo.
3.5.- Caudales.
El caudal sería
4.- Resultado. El caudal sería de 11.8 litros por segundo.
Conducciones en paralelo
251
En este tipo de sistema, la corriente principal de un fluido se bifurca para
producir dos o más conducciones que corren en paralelo y que posteriormente
confluyen en un punto.
Sistema de 3 tuberías en paralelo entre A y B
El balance de materia para estos sistemas es:
MA = MB = M1 + M2 + M3
El balance de energía daría en el caso de que ΔZ fuera igual a cero:
Lo que indica que:
=
La resolución de estos sistemas se lleva a cabo mediante tanteos.
Si se conoce el caudal, la caída de presión ΔP se puede obtener mediante la
ecuación de Darcy:
Si se conoce el ΔP pero se desconoce el caudal, la caída de presión se puede
obtener mediante la aplicación de las ecuaciones de Karman.
=
El caudal total que se quiere transportar se divide entre las tuberías existentes y
que la pérdida de carga en cada una de ellas es la misma.
252
Ejemplo 2.
Para un sistema de dos tuberías en paralelo se dispone de los siguientes datos:
L1=1500 m , D1= 12 “ , L2= 900 m, D2 = 16 “.
El gasto total es de 456 litros/segundo. Calcular el gasto en cada una de las
tuberías si estas son de fierro fundido Cd. 40 y si el líquido que pasa por el
sistema es agua a 20 ° C.
1.-Traducción.
2.- Cálculos.
2.1.- Datos
D1= 0.2889 m; D2=0.381; viscosidad =1.005 cps; densidad = 998kg /m 3
Factores de rugosidad E/D1=0.008; E/D2= 0.0005
2.2.- Masa que viaja por el sistema.
253
2.3.- Primer tanteo.
Sea la masa que pasa por la línea 1 igual a 100 Kg /s.
Entonces:
El Reynolds en esa línea sería entonces:
1.38
El factor Darcy sería entonces de 0.02
Y la sumatoria de fricciones sería:
=12.31
=
Pero para las conducciones en paralelo:
2=
Entonces, para la línea 2.
De la gráfica de Karman.
Por lo tanto:
=7.7
Y la masa que pasa por la línea dos será:
=
La masa total sería entonces de
3.3.- Segundo tanteo:
254
El nuevo factor de Darcy será: fD =0.019
Pero:
2=
Entonces, para la línea 2.
De la gráfica de Karman.
Por lo tanto:
=7.7
Y la masa que pasa por la línea dos será:
=
Por lo tanto la masa total será: MA= 120 +327.3= 447.3 kg /s ≠445
Con un tercer tanteo se obtiene que M1=122 y M2=334 Kg/s
4.- Resultado. Los gastos másicos son de 122 kg /s para la línea uno y de 334 kg
/s para la línea dos.
SISTEMAS DE TUBERÍAS RAMIFICADAS.
Otro sistema de tuberías que es muy común de encontrar es el problema de
depósitos múltiples.
Aplicando balance de energía entre los estanques, se tiene que
255
Balance de masa:
MA+ MB=Mc
Para fluidos incompresibles (líquidos).
CaA+CaB=CaC
El balance de energía o Bernoulli quedaría:
Entre a y d
Entre b y d
Entre d y c
Si despreciamos los cambios en la energía cinética y sabiendo que la Presión en
a es igual a la presión en b y en c o sea la presión atmosférica tendremos:
Si se designa a:
Entonces:
Si Zc
se toma como cero
256
Las ecuaciones se pueden resolver mediante tanteos suponiendo un cierto gasto
en una de las líneas para comenzar el proceso o suponiendo un Hd y
determinando las caídas de presión en cada línea. Para que el resultado sea el
correcto se debe cumplir que:
CaA+CaB=CaC
Ejemplo 3.
En el sistema mostrado, la tubería es de acero comercial Cd. 40. Las válvulas son
de globo y están abiertas. La presión en B es de 2 kg /cm2 manométricos. El
líquido que se maneja es tolueno a 25° C. El medidor de flujo es de orificio y tiene
su toma posterior en la vena contracta. La diferencia de niveles en el medidor de
orificio es de 10 cm de Hg y el orificio es de 1 pulgada. La presión en C es de 1.5
kg /cm2 manométricos. La longitud de la T a C es de 180 m, el diámetro de esa
línea es de 1 pulgada. La longitud de la T a B es de 250 m y la tubería es de 1.5
pulgadas. La longitud de A a la T es de 150 m, el diámetro de esa línea es de 2
pulgadas. La presión atmosférica es de 586 mm de Hg (Ciudad de México, altitud
2500 m sobre el nivel del mar). ¿Cuál es el gasto másico que circula por cada
línea? ¿Cuál es la potencia de la bomba si su eficiencia es del 50%?
1.- Cálculos.
1.1.- Medidor de flujo.
Caída de presión en el medidor:
=
257
=0.1m (13600-860)=1274 kg /m2
Si hay flujo turbulento entonces Co = 0.61
Por lo tanto la suposición de turbulencia es válida.
1.2.-Bernoulli en la línea de T a B
Velocidad en la línea
Caudal en la línea T-B
258
Benoulli de T a B
+
=-
+
fD = 0.02
=0.02
Por lo tanto el Bernoulli queda:
1.3.- Línea T-C
+
=-
259
L+Le= 180+globo+2 codos = 200 m; D=1 pulgada = 0.0254m
=
=6087
E/d=0.0019 de la gráfica de Karman
=
Por lo tanto uC= 1.177 m/s
El caudal en la línea sería:
=1.177
1.4.- Línea A-T
Caudal en la línea A-T =
D = 2 pulgadas = 0.0525 m.
Velocidad en la línea
Bernoulli de A a T
El factor de rugosidad es e/D = 0.0009 y el factor darcy es fD= 0.024
L+Le = 150 + 17.4x2 (Válvulas de globo)+2.8 (codos)+3.5 (te)+2(entrada a
tubería)= 193.1
Por lo tanto las pérdidas de fricción en esa línea serían:
Entonces:
Masa =1.0523X 0.785 X (0.025)2X860 =1.958 kg /s
Potencia hidráulica 𝒫=1.958 X 45.994 = 90 kgm / kg
Si la eficiencia es del cincuenta por ciento entonces:
260
𝒫 = 180 kgm /kg = 2.5 H.P.
4.- Resultado. La potencia es de 2.5 caballos.
Ejemplo 4.
Se tienen los tanques A y B que contienen agua a 15 ° C y que están situados
sobre el tanque C. De los tanques A y B parten tuberías de acero comercial siendo
la tubería de A de 30 cm y de una longitud de 800 metros con todo y accesorios.
La tubería que parte de B a D es 25 cm y tiene una longitud total de 200 m.
Determine el caudal que llega al tanque C si la tubería de Da C es de 50 cm y
tiene una longitud de 500 m.
1.- Planteamiento.
1.1.- Balance de materia.
Para un fluido incompresible:
1.2.- Balances de energía
Si se prescindo de los cambios de la energía cinética es decir si
=-
A
+
261
*
Pero como PA = PB = PC = P atmosférica
Entonces sí:
-
A
;
=
Pero si hacemos que ZC = = entonces:
2.- Cálculos.
2.1.- Primer tanteo.
Este tipo de problemas se debe resolver por tanteos. Para ello se deben hacer
ciertas suposiciones. Suponiendo que comenzamos con que h D = 2 kgm /kg
Entonces:
Resolviendo para el tramo A D
e/D =0.00014
De la gráfica de Karman:
Resolviendo el tramo BD
e/D = 0.00014
UB= 3.676. m/s; CaB= 0.184 m3/s
Resolviendo el tramo CD
e/D = 0.00009
262
UD = 1.782 m /s; CaD=0.3497 m3 / s
Balance de materia.
CaA+CaB=0.202+0.184=0.386≠0.3497 =CaD
2.2.- Segundo tanteo.
Nuevo hD
Por lo tanto:
Tramo A D
=1.228
Tramo BD
Tramo DC
Balance de materia:
CaA+CaB=0.202+0.181=0.383≠0.3669
1.4.- Tercer tanteo
Tramo AD
U = 2.86, Ca = 0.2013;
Tramo BD u = 3.606, Ca = 0.1789
Tramo CD u= 1.911; Ca= 0.3753
Balance CaA+CaB=0.2013+0.1789 =0.3802≠0.3753
263
Se requerirían entonces otros tanteos más.
4.- Resultados. Aproximadamente pasarían 200 litros por segundo por la línea A,
179 litros por segundo por la línea B.
Redes.
Las redes son un conjunto de tuberías unidas entre sí y que tienen por objeto
transportar un fluido desde uno o más orígenes hasta uno o más destinos. Existen
diversos tipos de redes:
Redes abiertas.
Este tipo de sistema es muy económico, se ahorra en cantidad de tubería para
poder llegar a todos los puntos de demanda, pero a la vez tienen una gran
desventaja: es poco seguro, ya que si la red se corta , se produce un problema de
abastecimiento en el tramo posterior.
Este tipo de red se utiliza frecuentemente para abastecer lugares lejos de la(s)
fuente(s).
Redes cerradas.
264
Este tipo de red, si bien es menos económica que la red abierta, presenta una
ventaja muy importante, su seguridad, se puede aislar un sector, o circuito interno,
sin dejar sin agua el resto del sistema.
Redes mixtas.
Es un sistema que conecta o reúne, sistemas abiertos y cerrados.
En general, para el abastecimiento de agua se utilizan mallas cerradas. Un diseño
eficaz de una red de agua debe considerar múltiples factores, como caudal a
transportar, presiones adecuadas y diámetros mínimos. A continuación se
enumeran las consideraciones de diseño más importantes:

Demanda de agua = f (cantidad de población, tipo de industrias)

Dotación para el consumo doméstico: entre 200 y 300 l/hab/día.

Rango óptimo de alturas de presión en zonas residenciales: 28 - 35 mca.

Límites de presión en hogares: mínima: 20mca.
Máxima: 60 mca.

Rango óptimo de velocidades: 0.6 m/s - 1.2 m/s.

Altura de presión mínima en grifos de bomberos: 20 mca.

Altura de presión mínima en unión domiciliaria: 4 mca.

Tuberías comerciales de 75 mm de diámetro o más: 75 - 100 - 125 - 150 200 - 250 - 300 - 350.
Resolución de redes por el método de Hardy - Cross
Las condiciones hidráulicas básicas en la aplicación del método de Cross son:

1) Por continuidad de gastos, la suma algebraica de los flujos de las
tuberías que se reúnen en un nodo es cero.

2) Por continuidad de energía, la suma algebraica de todas las pérdidas de
energía en cualquier circuito cerrado o malla dentro del sistema, es cero.
265
Suponiendo conocidas las características de la red (D, L, material), los caudales
entrantes al sistema y los caudales salientes de él, entonces lo que se requiere
conocer son los caudales que circulan por cada una de las tuberías de la malla.
Procedimiento:
Dada una malla cerrada, como la que se muestra en la figura:
1) Dividir la red cerrada en un número tal de circuitos cerrados que asegure que
cada tubería está incluida, al menos, en un circuito. Se hace una distribución de
los flujo dándoles sentido positivo si se mueven en dirección a las agujas del reloj
y negativo si se mueven en sentido contrario.
2) Conocidos los caudales que entran y salen, atribuir caudales hipotéticos Ca a
las diversas tuberías del sistema, de tal manera que se cumpla la ecuación del
balance de masa.
3) Calcular el valor de pérdida de carga en cada tubería de acuerdo a la expresión
4) Determinar la suma algebraica de las pérdidas de carga en cada circuito y
verificar
si
se
cumple.
Por lo general, en las primeras iteraciones esto no se cumple.
5) Determinar el valor:
Para cada circuito cerrado.
6) Determinar el caudal de corrección, (
, que se debe aplicar a cada flujo
supuesto en los circuitos. Por lo que se tiene que el nuevo caudal será:
266
Para un circuito:
7) Corregir los gastos connotar que para una tubería que forma parte de 2 mallas,
se corrige por los dos circuitos.
8) Repetir el proceso hasta obtener una convergencia adecuada.
Con frecuencia en los circuitos complejos el fluido que se transporta es el agua por
ello los ingenieros civiles han desarrollado fórmula específicas para el flujo de ese
líquido.
Entre las fórmulas empíricas están las de Hazen Williams:
*L
En donde C es el coeficiente De Hazen –Williams, Ca es el caudal en m3/s, L es la
longitud (de tubería +accesorios), y
son las pérdidas por fricción en
. Las
fórmulas anteriores son recomendables para tuberías de 2 o más pulgadas.
Para el cálculo de alcantarillas y drenajes es muy empleada la ecuación de
Manning
En donde n es el coeficiente de Manning.
Para pequeños diámetros hasta 50 mm y tubos de acero galvanizado que
transportan agua fría se puede usar la correlación de Fair-Whipple y Hsiao.
Una correlación que puede emplearse para tubos de cobre o latón que transportan
agua caliente es:
267
Ejemplo 5.
¿Cuál será el caudal que pasa por cada una de las líneas de distribución de agua
en la malla siguiente si las tuberías son de acero comercial y nuevas?
1.- Procedimiento.
1.1.- Se emplearán las ecuaciones de Hazen y Williams por tratarse de agua y el
método de Hardy-Cross.
*L
2.- Cálculos.
1.1.- Datos
Del apéndice C= 130.
1.2.- Distribución de los sentidos.
Suponiendo que el sentido en que van las corrientes sea el que indican las fechas.
268
1.3.- Flujos.
Ya que el sistema conduce un fluido incompresible e isotérmico entonces:
Nudo A
Suponiendo que el flujo de AB sea de 200L/s, entonces el flujo de AE será de 300
L/s
Nudo B
200+100 = CBC= 300 L/s
Nudo C
300+CCD=300
Por lo tanto CCD=0
Nudo D
CED=CCD+200
CED=200
1.4.- Ecuaciones para obtener las pérdidas por fricción
Pero si C= 130 entonces:
3
Línea
Diámetro en m
L en m
Caudales en m /s
Ecuación para
obtener las
pérdidas por
fricción
AB
0.5
1000
0.2
37.84Ca1.852
BC
0.4
1100
0.3
123.4Ca1.852
CD
0.5
600
0
22.7Ca1.852
ED
0.3
950
0.2
432.6 Ca1.852
AE
0.25
800
0.3
885.23 Ca1.852
269
1.5.- Primer tanteo.
Línea
Caudal en m3/s
ƩF/M
ƩF/M/Ca
AB
0.2
1.92
9.6
BC
0.3
13.27
44.23
CD
0
0
0
ED
-0.2
-21.95
109.75
AE
-0.3
-95.21
317.36
Sumatorias
Por lo tanto la corrección es:
-101.97
480.9
1.6.- Segundo tanteo.
Línea
Caudal
ƩF/M
ƩF/M/Ca
AB
0.2+0.114=0.314
4.42
14.07
BC
0.3+0.114=0.414
24.09
58.18
CD
0.114
0.406
3.56
ED
-0.2+0.114=-0.086
-4.6
53.48
AE
-0.3+0.114=-0.186
-39.28
245.5
-14.96
374.79
Sumatorias
Nueva corrección.
1.7.- Tercer tanteo
Línea
Caudal
ƩF/M
ƩF/M/Ca
AB
0.314
+0.02155=0.33555
5.0
14.92
BC
0.414+0.02155=0.43555 26.47
60.78
CD
0.114+0.02155=0.13555 0.56
4..13
ED
-0.086+0.02155=0.06445
-2.69
41.83
AE
-0.186+0.02155=0.164455
-31.27
190.16
270
Sumatorias
-1.93
311.82
Nueva corrección.
1.7.- Cuarto tanteo
Línea
Caudal
ƩF/M
ƩF/M/Ca
AB
0.33555+0.0034=0.33895
5.102
15.05
BC
0.43555+0.0034=0.43895
26.85
61.86
CD
0.13555+0.0034=0.13895
0.587
4.22
ED
-0.06445+0.0034=-0.06105
-2.438
39.94
AE
-30.08
0.164455+0.0034=0.161055
Sumatorias
Nueva corrección
0.021
186.80
307.87
Esta corrección es despreciable con lo que se aceptan los caudales del cuarto
tanteo.
Ejemplo 6.
¿Cuál será el caudal que pasa por cada una de las líneas de distribución de agua
de la malla siguiente, si la tubería es de acero comercial y nueva?
271
1.-Planteamiento.
1.1.- Se emplearán las ecuaciones de Hazen y Williams por tratarse de agua y el
método de Hardy-Cross.
*L
2.- Cálculos.
2.1.-Distribución inicial de los sentidos.
2.2.- Caudales supuestos.
Nudo A
CA=CAB+CAE ; 500=CAB+CAE si CAB= 200 entonces CAE=300
Nudo B
CAB+CB=CBC+CBD; 200+500=CBC+CBD ; si CBC=400 entonces CBD=300
Nudo C
CBC=CC+CCD ; 400=250+CCD ; CCD=150
Nudo D
CBD+CED+CCD=CD ; 300+CED+150=500 ; CED=50
Nudo E
CAE=CE+CED ; 300=250+50
2.3.- Ecuaciones para predecir la pérdida por fricción.
Utilizando las ecuaciones de Hazen y Williams se tiene que:
C=130
272
Línea
Caudal
supuesto en
3
m /s
Longitud de la
línea en m
Diámetro de la
línea en m
Ecuación para obtener
las pérdidas por fricción
AB
0.2
900
0.5
ƩF/M=34.06Ca1.852
BC
0.4
1100
0.4
ƩF/M=123.42Ca1.852
CD
0.15
600
0.45
ƩF/M=37.93Ca1.852
BD
0.3
500
0.35
ƩF/M=107.49Ca1.852
ED
-0.05
1000
0.3
ƩF/M=455.47Ca1.852
AE
-0.3
800
0.25
ƩF/M=885.43Ca1.852
2.4.- Primer tanteo
Circuito I
Línea
Caudal en m3/s
ƩF/M en kgm/kg
ƩF/M/Ca
AB
0.2
1.728
8.64
BD
0.3
11.56
38.53
ED
-0.05
-1.77
35.4
AE
-0.3
-95.23
317.43
Sumatorias
-83.712
400
Línea
Caudal
ƩF/M en kgm/kg
ƩF/M/Ca
BC
0.4
22.61
56.525
CD
0.15
1.13
7.533
BD
-0.3
-11.56
38.53
Sumatorias
12.18
102.59
Corrección.
Circuito II
2.5.-Segundo tanteo.
273
Circuito I
Línea
Caudal en m3/s
ƩF/M en kgm/kg
ƩF/M/Ca
AB
0.2+0.113=0.313
3.96
12.66
BD
0.3+0.113-(0.064)=0.477
27.28
57.2
ED
0.05+0.113=0.063
2.72
43.2
AE
-0.3+0.113=-0.187
-39.68
212.2
Sumatorias
-5.72
325.26
Línea
Caudal
ƩF/M en kgm/kg
ƩF/M/Ca
BC
0.4-0.064=0.336
16.37
48.78
CD
0.15-0.064=0.086
0.4033
4.68
BD
-0.3-0.064(0.113)=-0.477
-27.28
57.2
Sumatorias
-10.5
110.6
Circuito II
2.7.-Tercer tanteo
Circuito I
Línea
Caudal en m3/s
AB
0.313+0.00949=0.32249 4.18
12.98
BD
0.477+0.009490.051=0.43549
52.93
ED
0.063+0.00949=0.07249 3.529
438.68
AE
-0.187+0.00949=0.17751
-36.03
202.99
Sumatorias
-5.27
317.58
ƩF/M en kgm/kg
23.05
274
ƩF/M/Ca
Circuito II
ƩF/M en kgm/kg
ƩF/M/Ca
Línea
Caudal
BC
0.336+0.051=0.387 21.27
54.96
CD
0.086+0.051=0.137 0.955
6.97
BD
-0.477+0.0510.00949=-0.43549
-23.05
52.93
Sumatorias
-0.825
114.86
Por lo tanto los flujos serán los calculados en el tercer tanteo.
Ejercicios propuestos para autoevaluación.
1.- Por una tubería de cobre se transporta agua a 80°C. Si la velocidad en la línea,
que es de ¾ de pulgada, es de 3 m/s. ¿Cuál será la caída de presión si la tubería
tiene una longitud equivalente de 300 m?
R.-La caída de presión es de 0.012 kg/cm2.
2.-Determine el caudal de agua en m 3/día a 20 ° C que pueden transportarse a
través de 2000 m de tubería de hierro de 2 pulgadas con una diferencia de presión
de 5 kg /cm2.
R.-El caudal es de 194 m3/día.
3.- Resuelva el sistema siguiente, si el caudal que llega a A es de 456 L /s.
275
R.- El caudal es de 127 L/s en la línea 1 y de 329 L/s en la línea 2.
3.- Una instalación petrolera descarga petróleo en dos depósitos (A y B) situados a
25 m y 10 m de altura respectivamente sobre un tercer tanque ©. De los depósitos
A y B parten tuberías de acero de 30 cm de diámetro que confluyen en un punto
D, conectándose allí a una tubería de 50 cm de diámetro que va al depósito C. La
longitud de las tuberías que parten de A y B a D es de 800 m y la tubería de D a C
es de 200 m. La viscosidad del petróleo es de 7 X 10-4 kg/ms y la densidad de 870
kg /m3. Determine el caudal que llega a C.
R.- El caudal que llega a C es de 412 L /s.
4.- ¿Cuál será la potencia que debe tener la bomba en el sistema siguiente?
276
R.- Se requiere una bomba de 1.5 C.V.
5.- El agua fluye a través del sistema de tuberías mostrado. En el punto A la altura
es de 60 m, en el punto F la altura es de 30 m. La presión en A es de 2.9 atm.
Determine los caudales a través de la red y la presión en F. Utilizar C= 100.
R.- La presión en F es de 4.66 atm. Los caudales son:
277
6.- Por la siguiente red circula agua, siendo las tuberías de fundición. Obtenga los
caudales que pasan por cada uno de los ramales.
R.- Los caudales son los que se muestran en la siguiente figura:
278
Capítulo 11
Bombas.
279
Bombas centrífugas
D
entro de un líquido en reposo, la presión absoluta que existe en cualquier
punto es función del peso del líquido sobre ese punto (expresado en
pascales, kilogramos fuerzas sobre metro cuadrado u en otras unidades de
presión), más la presión de trabajo expresada en pascales ejercida sobre la
superficie del líquido (presión atmosférica si el recipiente está abierto).
Esta presión es la misma en todas las direcciones y se ejerce perpendicularmente
a cualquier superficie en contacto con el líquido. Las presiones dentro de un
líquido pueden verse también como causadas por una columna de líquido, que
280
debido a su peso, ejerce una presión igual a la presión que se mide en ese punto.
Esta columna líquida ya sea real o imaginaria, es llamada en ingeniería, la carga,
columna o cabeza estática y se expresa por lo general en metros o pies de
líquido.
Las presiones, columnas, cargas o cabezas son formas diferentes de expresar los
mismos conceptos. En la industria, cuando se usa el término presión, se refiere

kg
por lo general a unidades medidas en Pa,
, psi , etc., mientras que con el
cm 2
término de cabeza, columna o carga se utilizan metros o pies de líquido que se
están bombeando. Esos valores son mutuamente convertibles, uno en el otro tal
como se indica a continuación:
psi  2.31
R
 cabeza en pies

kg
cm 2  columna en metros
R
Pa  1.023 104
R
 c arg a en metros
Las presiones o columnas se miden por lo general con manómetros. El
manómetro mide la presión que existe por arriba de la atmosférica; por lo que para
convertir esa presión en absoluta se debe recordar que:
Pabsoluta  Pmanométrica  Patmosférica
La presión atmosférica al nivel del mar es:

kg
760mm de Hg  10.33 m de agua  1 atm  14.7 psi  1.033 2  101,000Pa
cm
Como en muchos problemas de bombeo se usan presiones diferenciales, las
presiones manométricas tal como se leen se usan sin convertirlas en presiones
absolutas.
Las bombas son aparatos o equipo diseñados para mover líquidos.
Existen cuatros curvas características para conocer las propiedades de una
bomba, todas en función del caudal las cuales se muestran a continuación:
1) Carga Total del sistema
2) Eficiencia
3) BHP
NPSH
281
La cabeza requerida para causar el flujo de un sistema y la definición de ese
término se puede comprender si se examinan las siguientes figuras:
Figura 1
Figura 2
282
Para la figura 1 con succión por debajo de la bomba, el manómetro dará una
lectura de vacío.
Vd 2
H  hd  hs  fd  fs 
2 gc
Para la figura 2 con succión por arriba de la bomba, el manómetro dará lectura
positiva.
Vd 2
H  hd  hs  fd  fs 
2 gc
En donde:
H = cabeza total = cabeza proporcionada por la bomba en metros (cabeza
dinámica).
hd = cabeza estática de descarga en metros = distancia vertical entre el centro de
la bomba (datum) y la superficie del líquido en la descarga.
hs =Cabeza estática de succión en metros = distancia vertical entre la superficie
del líquido en la succión y el centro de la bomba.
fd = cabeza de fricción en la descarga = pérdidas por fricción en la línea de
descarga causadas por tubos, válvulas, conexiones, codos, etc. expresada en
metros.
fs = cabeza de fricción en la succión.
Vd 2
= cabeza de velocidad en la descarga de la bomba en metros = Energía
2 gc
requerida para hacer que el líquido obtenga la velocidad V. Esta cabeza puede ser
relativamente pequeña.
Cabeza de velocidad o energía cinética hv:
2
 Bbl 
0.00127

2
2
0.00254 GPM
V
h 

2
hv 
 0.0155V 

2 gc
D4
D4
D= in; Bbl = barriles = 42 galones = 159 litros. V = ft /s; hv = ft.
V2
Ca 2
 0.0509V 2  0.0826 4
2 gc
D
V= m /s ; hv = m ; D =m ; Ca = m3/s
hv 
Ejemplo 1.
¿Cuál será la cabeza de velocidad si por un sistema con un diámetro interno de
0.254 m pasa un caudal de 100 L /s?
V2
Ca 2
2
hv 
 0.0509V  0.0826 4 =0.198 m
2 gc
D
283
Como la cabeza de velocidad en la mayoría de las instalaciones es menor a 0.5
m, en los sistemas con grandes cargas o cabezas de bombeo este término es una
parte relativamente pequeña de la cabeza total. Sin embargo, en las instalaciones
con pequeñas cabezas de bombeo puede ser una parte significativa de la cabeza
total.
Al hacer las pruebas de bombeo, la cabeza se mide por lo general mediante
manómetros. Como un manómetro sólo indica la cabeza de presión, las cabezas
de velocidad se pueden calcular mediante las ecuaciones anteriores.
Los líquidos son aproximadamente incompresible, de hecho, lo suficientemente,
para que no sean necesarias las correcciones a baja y mediana presión. Sin
embargo, a muy altas presiones hay que tomar en cuenta el cambio en la
densidad.
Cuando se considera a los líquidos como incompresibles, se tiene una relación
entre la cantidad de líquido que fluye por un conducto y la velocidad de flujo, esta
relación es:
Ca
o también u 
Ca  A u
A
En el sistema SI
m
Ca
Ca
LPM
u 
 1.2732 2  2.122  105

s
D
D2
D2
4
En donde: Ca = m3/s; D = m
En el sistema inglés:
 Bbl 
0.2859

ft 0.4085 GPM
h 

u 

s
D2
D2
D= in , 42 galones = 1 barril
Ejemplo 2.
¿Cuál es la velocidad que tenía el líquido en la línea del ejemplo anterior?
m
Ca
Ca
LPM
=1.97 m /s
u 
 1.2732 2  2.122  105
s  2
D
D2
D
4
Ejemplo 3.
En una instalación de bombeo desea calcularse la cabeza desarrollada por una
bomba que impulsa un caudal de 8.4 m 3 de agua por minuto. La tubería de
descarga de la bomba tiene un diámetro de 30 cm y tiene instalado un manómetro
que indica una presión de 3.8 kg fuerza/cm 2. En la tubería de aspiración, de 35 cm
de diámetro, se cuenta con vacuómetro, que da una lectura de 21 cm de Hg de
vacío. La distancia vertical entre el manómetro y el vacuómetro es de 41 cm. La
presión atmosférica es de 76 cm de Hg.
284
2.- Planteamiento.
2.1.- Cabeza, carga o columna.
Si se desprecia la energía potencial ΔZ=0, si se desprecia la energía cinética
Δu2 =0, entonces:
3.- Cálculos.
3.1.- Presiones.
Presión en 1
3.2.- Cabeza despreciando las energías cinéticas y potenciales.
3.3.- Cabeza sin despreciar las energías cinéticas y potenciales.
4.- Resultados. Si se desprecia la energía cinética y potencial, la cabeza es de
40.53 kgm /kg; si no se desprecian de 41 kgm/kg.
285
Densidad relativa y cabeza.
La cabeza desarrollada por una bomba centrífuga depende de la velocidad
periférica del impulsor y se expresa como:
u2
H
2 gc
H= cabeza total a caudal cero desarrollada por la bomba en metros de líquido; u=
velocidad del impulsor en m/s.
La cabeza desarrollada por la bomba es independiente de la densidad del líquido
bombeado.
En la figura mostrada, la cabeza, H desarrollada por la bomba debe ser igual
independientemente de si el líquido es agua con  R  1 , gasolina con  R  0.7 o
una salmuera con  R  1.2, tal como se muestra en las figuras 4a, 4b y 4c.
La presión que se leerá en el manómetro será, sin embargo, diferente aunque el
diámetro del impulsor y la velocidad sean las mismas. Véase las figuras 4a, 4b y
4c.
286
En referencia con la figura 5 todas las bombas están mandando el líquido a 50
psi, pero debido a la diferencia en el peso específico de los líquidos cada bomba
maneja una cabeza diferente. Por lo tanto, si la velocidad de las tres bombas es la
misma, la bomba de la figura 5c debe tener un impulsor más grande que el de la
figura 5 a, que es el menor.
El comportamiento estándar de las bombas se dibuja graficando la cabeza total
en metros o pies contra las capacidades en metros cúbicos por hora o en
galones por minutos o en otra unidad. Por lo general se emplea agua para probar
las bombas. Como la cabeza en metros desarrollada por una bomba es
independiente de la densidad, la cabeza puede leerse sin corrección si la
viscosidad del líquido es parecida a la del agua. Los caballos de fuerza mostrados
en las curvas se aplican sólo a líquidos parecidos al agua en densidad, para los
otros líquidos se deben multiplicar los Hp por la densidad relativa del líquido
bombeado.
Los caballos Hp requeridos para mover una bomba se pueden obtener de:
Potencia hidráulica:
En el sistema MKS, la potencia hidráulica será igual a:
En el sistema inglés la potencia hidráulica sería:
287

libras de líquido/ min H ( ft ) GPM  H   R

33000
3960
La potencia al freno será:
 = eficiencia de la bomba
Consumo de energía por el motor eléctrico =
KW consumidos por el motor =
PHp  0.746
eficiencia del motor
H  0.00315
Kwh por 100 galones de agua =
eficiencia total
Ejemplo 4.
¿Cuál será la potencia de la bomba requerida si la cabeza requerida es de 10m y
el caudal de agua es de 100 L /s? La eficiencia de la bomba es del 60 % ¿Cuál
será la potencia al freno?
Respuesta: La cabeza en pies será de 32.7 pies, El caudal en galones por
minutos será de: 1585 galones por minuto y por lo tanto:
Potencia hidráulica:
PH 
libras de líquido/ min H ( ft ) GPM  H   R
=13

33000
3960
La potencia al freno será:
WHp
= 21.8
B Hp 

Eficiencia
La eficiencia del motor está dada por las pérdidas de energía en el estator y en el
roto y se pueden obtener por el siguiente método:
a) (PeEJ)Pérdidas por el calentamiento del motor o pérdidas por el efecto Joule sin
acoplar (S/A) el motor a la bomba.
Es la intensidad de la corriente (medida en la salida de los transformadores),
con electro pinzas. Ro es la resistencia en ohms
Para motor de 1 HP es de 5.25 ohms, para 2 HP 2.45 ohms, para 3 HP 1.65
ohms, para 5 HP ,0.925 ohms.
Pérdidas mecánicas y magnéticas del motor sin acoplar a la bomba (PeMM).
288
Pérdidas por el calentamiento del motor acoplado (a) a la bomba (PeEJ).
En donde I es la intensidad de la corriente (medida a la salida de los
transformadores para cada gasto) y Ro es la resistencia en ohms.
d) Pérdidas totales en el estator (PeTE).
e) Potencia comunicada al rotor (PCR).
W son los watts consumidor por el motor para gasto.
f) Pérdidas por deslizamiento del rotor. (PeDR).
PeDR=PCR*S
En donde S es el factor de deslizamiento.
En donde RPM son las revoluciones por minuto del motor con que se opera.
g) Potencia final en la flecha del motor. Potencia al freno (PFM).
PFM= PCR-PeDR.
Por lo tanto la eficiencia del motor
Todos estos cálculos están en watts. Si se hace el cambio de unidades a HP, la
potencia al freno (PFM) será el conocido Break Horse Power (BHP), y si la
potencia eléctrica está también en HP se denominará EHP, entonces:
Ejemplo 5.
Para abastecer de agua a una caldera se trae el líquido desde un tanque elevado.
El agua está a 18°C. La tubería es de acero Cd. 80. La presión en la caldera es de
15 atm manométrica. ¿Cuál es la potencia de la bomba si la eficiencia es del
60%? El medidor es de orificio de una pulgada de diámetro. La toma posterior está
situada a tres diámetros del orificio ¿Cuál es el costo de la energía eléctrica si el
sistema trabaja 24 horas al día? Dato: Costo del KW-h = 12 pesos.
289
3.- Cálculos.
3.1.- Medidor de orificio.
Datos:
Densidad del agua 970 kg /m3, diámetro de la tubería 4.925 cm, viscosidad del
agua 0.3478 cps, e/D = 0.009
=0.515
Como la toma posterior no está situada en la vena contracta entonces
=
Por lo tanto uo=7.27 m/s
Caída de presión si la toma estuviera en la vena contracta:
=
=52.3
1.2.- Velocidades en las líneas
Línea de 2pulgadas
290
Flujo en la línea = 3.685X10-3 m3/s
Velocidad en la línea de 2 “= 0.04925 m u = 1.93 m /s
Línea de 4 pulgadas = 0.09718 m u = 0.497 m /s
Velocidad en la línea de 1 pulgada = 0.02431 m; u =7.32 m/s
1.3.- Pérdidas de presión en la línea de 1 pulgada.
La rugosidad relativa es e/D =0.0018 y por lo tanto el factor de fricción de Darcy
es fD= 0.024
L (total) = 57 + 2 codos+ contracción = 57+2(0.7)+0.5 = 58.9
1.4.- Pérdidas por fricción en la línea de 2 pulgadas.
D =0.04925; e/D = 0.0009
Re = 2.65 X 105 ; fD= 0.02
Longitud total = 135 + 2 codos+válvula = 135+2(1.4)+4.2 = 142
1.5.- Pérdidas por fricción en la línea de 4 pulgadas.
D=0.09718, u = 0.497, e/D = 0.00035; Re = 1.34X 105; fD=0.018
Longitud total = 50+ entrada + codo + válvula = 50+1+2.8+34 = 87.8
=0.018
1.6.- Energía potencial.
1.7.-Energía de presión.
P2= 15.857 kg /cm2= 1 550, 394 Pa; P1= 586 mm de Hg = 77876 Pa
1.8.- Bernoulli.
291
1.9.- Costo.
Velocidad específica.
Se define como aquella velocidad en revoluciones por minuto a la cual un
impulsor dado operará para mandar 1 GPM contra una cabeza dinámica de un
pie. Esta definición se usa para clasificar impulsores y para predecir otras
características de las bombas tal como las limitaciones en la succión.
D
Relación entre la velocidad específica Ns y las proporciones de las bombas, 2
D1
292
Entre los aspectos más importantes que afectan la operación de una bomba
centrífuga están las condiciones en la succión. Cuando hay altos requerimientos
en la succión (bajos NPSH) se reduce la capacidad y la eficiencia y con frecuencia
se producen vibraciones y cavitaciones.
El efecto de la succión sobre la bomba centrífuga está relacionado con la cabeza,
la capacidad y la velocidad. La relación entre estos factores se expresa como un
número llamado la velocidad específica.
Velocidad específica, Ns 
RPM GPM
3
H4
En donde H = cabeza por etapa en pies.
293
La velocidad específica de un impulsor es un índice. Se usa en el diseño de
impulsores para lograr diferentes condiciones de cabeza, capacidad y velocidad.
Los impulsores para dar altas cabezas tienen bajas velocidades específicas y los
impulsores utilizados para bajas cabezas tienen altas velocidades específicas. La
velocidad específica es un criterio valioso para determinar la máxima succión
permisible, o la cabeza mínima en la succión requeridas para evitar la cavitación.
Para una cabeza y capacidad dadas una bomba con baja velocidad de succión
operará con seguridad con grandes requerimientos en la succión que otra con alta
velocidad específica. Si la succión es alta (más de tres metros) es con frecuencia
necesario usar menor velocidad y en consecuencia una bomba mayor, mientras
que si la succión es baja o hay cabezas positivas en la succión, la velocidad puede
aumentarse y se usarán bombas menores.
Aumentar la velocidad si condiciones apropiadas de succión puede causar
problemas de vibración y ruidos. Dos curvas de velocidades específicas (fig. 8 y
Fig. 9) representan los límites superiores de velocidades específicas contra la
capacidad, velocidad, cabeza y carga en la succión. Las bombas centrífugas, de
flujo mixto y flujo axial se pueden seleccionar dentro de los límites mostrados en
estas gráficas con una razonable seguridad de que no cavitarán.
Las curvas muestran las velocidades específicas máximas recomendadas para
las operaciones normales y están basadas en la premisa de que la bomba en las
condiciones señaladas está operando cerca del punto de Eficiencia óptima.
La columna en la succión o cabeza se mide desde el centro de la bomba. Las
curvas se aplican a bombas con una sola etapa de doble succión y de succión
simple. La primera curva Fig. 8 cubre las bombas centrífugas con velocidades
específicas que van de 1500 a 6000 para bombas con doble succión y de 1100 a
4000 para bombas con succión simple. Este tipo de bombas encuentra su
aplicación principalmente en el rango de cabezas medias y altas.
La segunda gráfica Fig. .9 cubre a las bombas de succión simple, flujo mezclado y
las de flujo tipo axial para velocidades específicas que van de 4000 a 20000. Estas
bombas se emplean ventajosamente para bajas cabezas de bombeo.
294
Ejemplo 6.
Una bomba con succión simple y con la flecha a través del ojo del impulsor. Si se
tiene una cabeza de 100 pies y una columna de succión negativa de 15 pies ¿Cuál
es el límite superior de velocidad específica requerido para evitar el peligro de
cavitación?
Si se utiliza la Fig.8 se encontrará que la velocidad específica límite es de 2250.
295
296
Ejemplo 7.
Bomba con doble succión. Si se tiene una cabeza total de 100 pies y una succión
de 15 pies, ¿Cuál es el límite seguro de la velocidad específica?
Si se usa la curva de la figura 8 se encuentra que este límite es de 3200 este es
el valor de
RPM GPM
Velocidad específica, Ns 
3
H4
En la cual el volumen manejado o GPM, es la capacidad en galones por minuto
de la bomba incluyen ambas succiones; y es el valor máximo que debe usarse
para esta cabeza y carga en la succión.
Ejemplo 8.
Una bomba está diseñada para moverse a 600 RPM operando a la máxima
eficiencia cuando manda 1135.5 m3/h con una cabeza de 20 m. Calcule la
velocidad específica.
1.- Planteamiento.
1.1.- Velocidad específica.
2.- Cálculos.
2.1.- Velocidad específica.
3.- Resultado.
La velocidad específica es de 130
Ejemplo 9.
Una bomba con succión simple flujo mezclado o una bomba con flujo axial.
Dado una cabeza de 35 pies y una succión de 10 pies, correspondiente a un
impulsor sumergido, ¿Cuál es el límite seguro de la velocidad específica?
En referencia a la curva de la figura 9 se encuentra que este límite es de 9400
sobre la escala en el lado izquierdo de la gráfica.
Carga positiva neta de succión (Net positive suction head) NPSH.
La carga positiva neta de succión CPNS, es el valor que debe tener la presión en
la succión para evitar que el líquido se vaporice. La carga positiva neta de succión
NPSH (por sus siglas en inglés) también puede definirse como la cabeza que
causa que el líquido fluya a través de la tubería de succión y finalmente entre al
ojo del impulsor.
297
Esta cabeza que causa el flujo se obtiene de la presión atmosférica o de la cabeza
estática más la presión atmosférica. Una bomba que opera bajo una columna de
succión negativa tiene sólo la presión atmosférica. Por ello el trabajo que puede
hacerse es limitado, así que el NPSH se hace importante para que opere la
bomba satisfactoriamente. Hay dos valores de NPSH que deben considerarse.
NPSH requerido es una función del diseño de la bomba. Es diferente para cada
fabricante de bombas y también varía con la velocidad y capacidad de una bomba
dada. Este valor debe ser suministrado por el vendedor de la bomba.
CPNS o NPSH disponible.
1
Z1
2
En donde
es la presión de vapor del líquido a la temperatura de succión.
CPNS requerido está dado por el fabricante
El NPSH disponible es función del sistema en el cual opera la bomba y se puede
calcular para cada instalación. Cada bomba en un sistema para que opere
satisfactoriamente debe tener un NPSH disponible igual o mayor que NPSH
requerido.
Cuando la fuente de líquido está sobre la bomba
NPSH = presión barométrica en m ó ft + Cabeza estática en la succión en m ó ft –
las pérdidas por fricción en la tubería de succión, en m ó ft – presión de vapor del
líquido en m ó ft.
Cuando la fuente del líquido está bajo la bomba;
NPSH = Presión barométrica en m ó ft- La cabeza estática de succión en m ó ftpérdida por fricción en la tubería de succión en m ó ft – presión de vapor del
líquido en m o ft
Para ilustrar el uso de esas ecuaciones veremos los siguientes ejemplos:
298
Ejemplo 8.
Los NPSH requeridos en una bomba de agua son de 17 ft. La temperatura del
agua es de 85 ° F. la altura es de 1000 ft sobre el nivel del mar. Las pérdidas
calculadas por fricción a la entrada y en la succión son de 2 ft- ¿cuál puede ser la
máxima altura en la succión permisible?
Para visualizar mejor la solución del problema observe la figura 10. Las dos líneas
horizontales están espaciadas a una distancia igual a la altura barométrica en
pies.
299
300
301
Ejemplo 9.
Consideremos que tenemos los mismos datos excepto que la temperatura del
agua es ahora de 190 ° F. ¿Cuál sería ahora la altura en la succión permitida?
El agua a 190°C tiene una densidad relativa de 0.97. La presión de vapor es de
9.3 psi= 22.3 pies.
En este caso debido a que la suma de la presión de vapor+ NPSH requerido +
las perdidas en la succión sobrepasan a la presión barométrica del lugar, se debe
suministrar una cabeza positiva o una sumergencia para asegurar el flujo
ininterrumpido de agua.
EL NPSH se aplica a toda clase de bombas, ya sean centrífugas, de
desplazamiento positivo, periféricas, etc.
Posibles soluciones al problema de bajo NPSH:
a) Diámetro insuficiente de la tubería de succión: Aumentarlo.
b) Alta viscosidad del fluido manejado; Calentarlo
302
c) Diferencia de altura insuficiente entre el tanque o recipiente que contiene el
líquido y la succión de la bomba (cuando la bomba está por debajo del recipiente):
Incrementar la diferencia de altura; (cuando la bomba está por arriba del
recipiente; pozos p.ej. : verificar que la tubería de succión esté llena de líquido, las
bombas centrifugas no bombean gases y de ser necesario y posible disminuir la
diferencia de altura entre el nivel del líquido y la succión de la bomba bajando la
bomba para acercarla al nivel del líquido teniendo en cuenta que la altura máxima
desde la que se puede succionar un líquido, es la correspondiente a la presión
atmosférica del lugar, menos la presión de vapor del líquido, en el caso del agua
fría de un pozo a nivel del mar la profundidad máxima debe ser menor a 10 m, si
es cercana o mayor: usar el tipo de bombas que van sumergidas en el líquido).
d.- Líquidos en equilibrio con su vapor (esferas o "salchichas") o a su temperatura
de ebullición: la altura hidrostática deberá ser suficiente para compensar las
pérdidas de presión en la línea de succión.
e.-Cualquier combinación de las anteriores.
Cavitación.
La cavitación en un término usado para describir un fenómeno complejo que
puede producirse en las instalaciones de bombeo. En una bomba centrífuga esto
puede explicarse de la siguiente manera: Cuando un líquido fluye a través de la
línea de succión y entra al ojo del impulsor de la bomba tiene lugar un aumento de
velocidad. Este aumento de velocidad es acompañado por una reducción en la
presión y si está cae por debajo de la presión de vapor
del líquido
correspondiente a la temperatura que este tiene, el líquido se vaporizará y en la
corriente habrá líquido y burbujas de vapores. Continuando su camino por el
impulsor, el líquido llega a una región de mayor presión y las burbujas de vapor
colapsan. Es este colapso de las burbujas de vapor el que causa los ruidos en la
cavitación.
La cavitación no se presenta si la instalación está bien diseñada. La cavitación
causa ruidos y bajas en la eficiencia y una cavitación severa además de ruidos
puede destruir el impulsor de la bomba u otras partes de la misma.
Todas las bombas pueden cavitar, así que se debe seleccionar con cuidado la
bomba y las instalaciones. Para el caso de las bombas centrífugas se deben evitar
tanto como sea posible las condiciones siguientes:
1.- Cabezas menores que las cabezas en la mayor eficiencia de la bomba.
2.- Capacidades mayores que las capacidades que se tienen a la mayor eficiencia
de la bomba.
3.- Cargas negativas grandes en la succión o cargas positivas en la succión
menores que las recomendadas por el fabricante.
4.- Temperaturas de los líquidos mayores que aquellas para las que fue diseñado
el sistema.
5.- Velocidades mayores que las recomendadas por el fabricante.
303
Ejemplo 10.
Se descarga benceno a una temperatura de 37°C por un sistema de tuberías a
una velocidad de 60 galones por minuto. El tanque en que está contenido el
benceno está a la presión atmosférica. La presión manométrica a la descarga de
la bomba es de 50 psig. La presión de succión de la bomba es de 0.5 psig. El
tanque está colocado a tres metros por arriba de la bomba. La tubería de descarga
es de 1.5 pulgadas Cd. 40. La tubería de succión es de 2 pulgadas Cd. 40. Las
pérdidas por fricción en la tubería de succión equivalen a 1 kgm /kg. La eficiencia
de la bomba es del 60 %. La densidad relativa del benceno es de 0.863 y la
presión de vapor del benceno a 37 ° C es de 3.8 psig. La presión atmosférica es
de 586 mm de Hg.
Calcule la cabeza o carga desarrollada por la bomba, la potencia de la bomba y el
CPNS disponible.
1.- Cabeza.
Presión de descarga Pd = 50 psig= 343537 Pa
Presión de succión = 0.5 psig = 3435.37 Pa
Cabeza = H =
=
2.- Potencia.
Masa de benceno = M = 40
= 2.177
3.- CPNS disponible.
304
La tubería de succión es de 2 “Cd. 40 DI = 0.0525 m
Velocidad en esa línea.
M = u X ρX A = 2.177= uX 0.785 X (0.0525)2(863)
Por lo tanto u1= 1.164 m /s
La tubería de descarga es de 1.5 “
Presión de vapor del benceno Po= 3.8 psig= 26108 Pa=2661 kg /m2
Presión atmosférica= 586 mm de Hg = 7938 kg/m2
=
=9.198
CPNS =9.198+3-1Leyes de afinidad de las bombas centrífugas.
Una curva característica de las bombas puede verse en la figura 13 y 14. Se
observa en ellas que se han graficado varias curvas de cabeza contra capacidad,
así como varias curvas de eficiencia y Hp consumidos. En la Figura 13 el
diámetro del impulsor se mantiene constante y la velocidad varia, mientras que en
la figura 14, la velocidad se mantiene constante y el diámetro del impulsor varía.
305
306
Las relaciones matemáticas entre las variables se conocen como leyes de afinidad
de las bombas y se expresan de la siguiente manera:
Con diámetro de impulsores constantes
Con velocidades constantes
307
En donde:
Q1= capacidad inicial, H1= cabeza inicial, N1= revoluciones por minuto iniciales;
D1= diámetro inicial.
Estas relaciones se muestran gráficamente en la figura 15.
308
Cuando las gráficas tales como la de las figuras 13 y 14 están disponibles, es
posible usarlas para usar los puntos intermedios por interpolación, sin embargo,
hay muchos problemas reales en los cuales no se tienen estos datos a la mano y
entonces se pueden usar las leyes de afinidad.
Ejemplo 10.
La figura 17 es una parte de la figura 13, muestra la curva de comportamiento a
2000 RPM. Si queremos encontrar por cálculo el comportamiento a 1600 RPM
aplicando la primera ley tendremos:
Q1
N
1600
 1 Por lo tanto Q1 
 1700  1360 GPM
2000
Q2 N 2
H 1  N1

H 2  N 2
2

 1600 
 , por lo tanto: H 1  
  180  115.2
 2000 

2
3
BHP1  N1 
 1600 
 , por lo tanto: BHP1  
 
  84  43BHP
BHP2  N 2 
 200 
Nota: la semejanza entre los datos calculados y los reportados. La semejanza es
buena si la eficiencia de la bomba no cambia mucho. Si se grafican 1700 RPM a
180 ft, y la capacidad original y la cabeza a 200 rpm; y la capacidad final y cabeza,
1360 GPM a 115 ft a 1600 RPM en la gráfica de comportamiento dada en la figura
13 se notará que no hay cambio apreciable en la eficiencia. Este suele ser el caso
general cuando se cambia el comportamiento cambiando la velocidad para las
bombas que no han sido físicamente alteradas. Note que la forma general de las
líneas de iso-eficiencia en la figura 13 son parabólicas.
3
309
Por lo tanto, la curva A-B de la figura 17 pasa a través de los dos puntos, uno a
2000 RPM y otros situado en la curva de las 1600RPM. La curva A-B es también
parabólica y es aproximadamente paralela a las curvas de iso-eficiencias. El uso
de las leyes de afinidad para calcular el comportamiento de las bombas cuando se
cambia la velocidad, pero sin cambiar el diámetro del impulsor es una buena
aproximación. Si se calculan varios puntos a lo largo de la curva conocida de
comportamiento, una nueva curva de comportamiento puede generarse y la cual
muestra el comportamiento aproximado a la nueva velocidad.
Si tenemos una bomba a 1600 RPM y calculamos su comportamiento a 2000
RPM utilizando las leyes de la afinidad, el comportamiento calculado excede al
comportamiento real tal y como se muestra en la figura 17 mediante una curva
segmentada. La discrepancia es pequeña pero enfatiza el hecho de que el método
es sólo una buena aproximación.
310
Ejemplo 11.
La figura 20 ilustra el comportamiento real y el calculado de una bomba con baja
velocidad específica. La figura 18, sin embargo muestra una mayor discrepancia
entre las pruebas reales y los cálculos resultantes con una bomba a alta velocidad
específica cuando se cambia el impulsor de una bomba. Cuando se cambia el
diámetro
de
una
bomba,
las relaciones
se cambian y
en
realidad
resulta
un
nuevo diseño
por lo que las
leyes de la
afinidad 2, no
dan tan buen
resultado
como
las
leyes de la
afinidad 1.
Cuando
las
leyes de la
afinidad
se
usan
para
calcular
aumentos en
las
velocidades o
en
los
diámetros, es
importante
considerar el efecto en la succión para evitar la cavitación.
311
Ejemplo 12.
Una bomba centrífuga con un impulsor de 0.02 m tiene los siguientes datos de
comportamiento cuando bombea agua a su máxima capacidad.
N= 53.3 RPS , Ca= 0.012 m3/s ,H = 70 m; CPNS = 18 m ; P = 12 000W
Evalúe los datos de comportamiento con una bomba homóloga con el doble de
diámetro del impulsor, operando a la mitad de la velocidad.
1.- Planteamiento.
1.1.- Leyes de las bombas.
Por lo tanto: Ca2=4(0,012)=0.048 m3/s.
=1 por lo tanto H2 =70 m
Por lo tanto 𝒫2=48 000 W
312
=
= 18 m
3.- Resultados.
El comportamiento de la bomba análoga será: Ca = 0.048 m 3/s; H = 70 m;
potencia = 48 000 W; CPNS = 18 m
Operaciones en serie y en paralelo.
Cuando se tienen a mano varias bombas puede ser más deseable instalar varias
bombas pequeñas en paralelo en vez de usar una sola más grande. Cuando baja
la demanda se pueden parar alguna de las bombas, haciendo que las demás
operan cerca de la eficiencia pico, Cuando se tiene una sola bomba al bajar la
demanda la salida debe cerrase y operará a una eficiencia menor. Además,
cuando se usan varias bomba, se puede dar mantenimiento a alguna de ellas sin
cerrar la producción, lo cual sería indispensable si se tuviera una sola. De manera
similar se pueden usar varias bombas pequeñas en serie cuando se desea
aumentar la cabeza.
Al planear esas instalaciones se debe antes que nada dibujar la curva de cabeza
contra capacidad. La cabeza requerida por el sistema es la suma de las cabezas
estáticas (diferencia en alturas o su equivalente en presiones) más la cabeza
variable (pérdidas de fricción). La primera es generalmente constante para un
sistema dado, mientras que la última aumenta aproximadamente con el cuadrado
de la velocidad, Las curvas resultantes se representan como la línea AB en las
figuras 21 y 22.
Veamos a dos bombas operando en paralelo. La curva del sistema es la línea AB
mostrada en la figura 21 la que comienza con una cabeza H cuando el flujo es
313
cero y aumenta parabólicamente con el flujo. La curva CD representa la curva
característica de la bomba A operando sola., una curva similar es la EF de la
bomba B. La bomba B no comenzará a mandar flujo hasta que la descarga de la
bomba A llegue hasta el punto E. El flujo combinado es igual a la suma de las
capacidades individuales de las dos bombas a la cabeza indicada. Para una
cabeza la capacidad es dividida entre las bombas como se indica con Q A y QB.
La curva característica de la combinación es el resultado de esos datos. La
potencia combinada puede obtenerse añadiendo los caballos al freno de la bomba
A correspondientes al flujo Qa más el correspondiente al flujo QB y graficando este
caballaje contra el flujo combinado. La eficiencia del sistema puede determinarse
mediante la ecuación siguiente:
QB  Q A H
Eff 
3960( BHP a Q A  BHP a Q B )
Si dos bombas operan en serie, la cabeza combinada para cualquier flujo es igual
a la suma de las cabezas individuales tal como se muestra en la figura 22. La
curva del caballaje combinado puede obtenerse adicionando los HP dados por las
curvas para las bombas individuales. La eficiencia combinada puede hallarse por
medio de la siguiente ecuación:
Q( H A  H B )
Eff 
3960( BHP a H A  BHP a H B )
314
Ejemplo 13.
En una fábrica se tienen dos bombas.
Bomba B
Caudal en m3/s
0
100
200
300
400
Cabeza en m
200
180
150
100
45
Bomba C
Caudal en m3/s
0
100
200
Cabeza en m
155
130
105
315
300
400
72
22
¿Cuál sería el comportamiento del sistema si se acoplaran las bombas B y C en
paralelo o en serie?
1.-Traducción.
2.1.- Sistema de bombas en serie
Caudales
CC = CB
Cargas o cabezas.
Htotal= HB + HC
2.2.- Sistema de bombas en paralelo.
Caudal total CT=CB + CC
Carga HB=HC
3.- Cálculos.
3.1. - Sistema en serie
Caudal en m3/s
0
100
200
300
400
3.2. - Sistema en paralelo.
Caudal en m3/s
0
100
0+183
200+20
100+240
200+ 290
215+300
Carga en m
355
310
255
172
67
Carga o cabeza H en m
200
180
155
150
130
105
100
316
350+300
354+400
72
45
4.- Resultado. Grafica de la bomba C sola.
Gráfica de la bomba B sola.
317
Grafica correspondiente al sistema en paralelo.
Grafica correspondiente al sistema en serie
Punto de operación de una bomba
318
El punto de operación real, entre la bomba y el sistema tendrá lugar en el punto en
donde
se interceptan la curva característica de la bomba (generalmente
proporcionada por el fabricante) y la curva generada por el sistema de flujo. BEP.
Ejemplo 14.
Se utiliza una bomba centrífuga para bombear agua a 20 ° C a través de un
sistema que dispone de 15 m de tubo de 3 pulgadas Cd. 40 en la succión y 75 m
de tubo de 2 pulgadas Cd. 40 a la descarga. Las válvulas están abiertas.
Determine el caudal a que operará la bomba, la cabeza, la eficiencia y la potencia
de la bomba.
Datos del fabricante de la bomba.
Caudal en m3/h
Cabeza en m
Eficiencia
0
40
0
3
36
13
5
35
25
10
33
38
15
30
42
17
25
40
20
20
35
319
1.- Planteamiento.
Para resolver el problema debe colocarse la curva de la bomba junto con la del
sistema.
1.1.- Ecuación del sistema.
+
En este caso
Por lo tanto:
2.- Cálculos.
3.1.- Línea de succión
Di = 7.366 cm; e/D = 0.006, A = 0.00425 m2.
Longitud total = 15 + 1.6 (codo)+ válvula de compuerta (1.5)+ entrada (2.2) = 20.3
m.
3.2.- Línea de descarga
DI = 5.25 cm, A = 0.00216 m2, e /d = 0.009.
Longitud = 75+17.4 (válvula de globo9+4.2 (válvula de retención)+3 codos
(3.3)+válvula de compuerta (0.4)+salida (0.7) = 101 m
3.3.- Energía potencial.
=20-5=15
3.4.- Curva del sistema.
Viscosidad 0 1 cps, densidad = 1000 kg /m3
=H
Si consideramos flujo turbulento entonces fD3= 0.016 y fD2=0.018
Entonces la ecuación del sistema queda:
320
Los datos que se obtienen a diferentes caudales son:
Caudal en m3/h
U3 en m/s
U2 en m /s
H
5
0.326
0.643
15.75
10
0.653
1.28
17.98
15
0.98
1.929
21.779
20
1.307
2.57
27.05
3.5.- Curvas
Graficando la curva del sistema junto con la curva del fabricante se obtiene:
De la gráfica se obtiene que el caudal será de 17.5 m 3/h, la cabeza de25 m, la
eficiencia de 39.
La potencia hidráulica será:
25
=121.5
La potencia al freno será:
321
Algunos datos útiles
La potencia estimada de una bomba se puede obtener por:
Una ecuación desarrollada Por GPS Engineering Data book para calcular la
eficiencia de una bomba es:
En donde la eficiencia está en fracción, F es la cabeza desarrollada en pies y G
es el flujo volumétrico en GPM. El rango de aplicación es de F de 50 a 300 ft y g
de 100 a 1000 GPM.
El NPSH se puede también calcular por:
NPSH = presión de vapor en la entrada al impulsor/densidad por la constante de
gravitación.
Los rangos comunes van de 1.2 a 6.1 m, 4-20 ft de líquido.
Ejercicios de autoevaluación.
1.- Un tanque debe descargar 40 m3 de benceno en tres horas. El sistema de
bombeo es el indicado más abajo. Se dispone de una bomba con las siguientes
características:
Caudal en m3/h
Cabeza en m
Eficiencia %
0
33
0
4.5
32
29
9
27
40
13.5
19
45
18
12.5
47
23
7
48
27
4
46.5
32
2
40
¿Es suficiente la potencia de la bomba para el trabajo? ¿Cuánto se tardaría en
hacer el trabajo? ¿Cuánto trabajo es necesario?
La succión es de 3 pulgadas Cd. 40, hay diez metros de tubo y tres codos y una
válvula de compuerta. La descarga es de 3 pulgadas Cd. 40 hay 35 m de tubo, 4
codos, una válvula de compuerta.
322
R.- La bomba sirve para el trabajo y descargará en 2 h, 10 minutos, se requiere
una potencia de 1.5 HP.
2.- Se desea obtener la potencia requerida para bombear 150 L / min de agua con
una cabeza de descarga de 60 m y una eficiencia del 60%.
R.- La potencia necesaria es de 3.5 H.P.
3.- Una bomba centrífuga gira a 3450 RPM y proporciona un caudal de 36 m 3/h de
agua, con una cabeza de 30 m y 5 H.P de potencia. Si la velocidad de giro
desciende a 2300 RPM, determine los nuevos valores de capacidad, carga y
potencia para la bomba.
R.- El caudal nuevo es de 24 m3/h, la cabeza es de 13.4 m y la potencia de 1.5
H.P.
4.- Una bomba está diseñada para moverse a 600 RPM y operar a máxima
eficiencia cuando manda 15 000 L /min de agua contra una carga de 20 m.
Calcule la velocidad específica.
R.- La velocidad específica es de 1623 si se hacen los cálculos en el sistema
inglés y de 115.7 en el MKS.
5.- Una bomba centrífuga será utilizada para extraer agua de un condensador en
el cual el vacío es de 63.5 cm de Hg. A la velocidad de descarga la CPNS debe
ser de al menos 3 m. La presión de vapor es de 5 cm de Hg. Si las pérdidas en la
succión son de 1.5 kgm /kg. ¿Cuál debe ser la menor altura posible del nivel del
condensador sobre la entrada de la bomba?
R.- El nivel del condensador debe estar a 3.5 m sobre la bomba.
323
Capítulo 12
Flujo de fluidos compresibles
Flujo de fluidos compresibles
La teoría del flujo de fluidos compresibles y la derivación de las fórmulas básicas
están en la mayoría de los textos relacionados con la termodinámica.
324
La fórmula general para el flujo de gas natural a través de tuberías se puede
obtener por varios caminos; el método siguiente parece ser más directo: se
considera un tramo de tubería entre dos secciones cualesquiera, que son
normales a las paredes del tubo. El flujo entre esas dos secciones requiere cumplir
dos condiciones específicas:
1. No se hace trabajo sobre el fluido por medios externos.
2. El flujo es permanente; o sea que el mismo peso de gas pasa por cada
sección de la tubería durante un intervalo de tiempo.
Los gases se miden usualmente en términos volumétricos, más que por peso; sin
embargo, las relaciones de energía usadas en la obtención de la fórmula
fundamental para el flujo de fluidos compresibles se presentan más fácilmente
cuando se considera un peso dado de fluido. Posteriormente se introducen los
factores de conversión de peso a volumen.
Los gases y los vapores son fluidos compresibles, es decir, que bajo la influencia
de la presión cambian apreciablemente su volumen. Por ello cuando un gas fluye
por el interior de una tubería al cambiar la presión cambia la densidad y con ello la
velocidad.
Balance de materia
Ecuación de la continuidad
Para los gases
M1 = M2
A1 u1 ρ1= A2 u2 2
Pero
Si el área de flujo es contante entonces:
=
Balance de energía
La ecuación general de Bernoulli es:
En donde se encuentran los términos de energía potencial, cinética, de presión,
fricción y trabajo.
En el caso de los gases y vapores (fluidos compresibles), el término de energía de
presión debe evaluarse para cada caso, ya que el gas o el vapor pueden
expandirse o comprimirse de forma isotérmica, adiabática o politrópica. Además
durante su trayectoria la velocidad del fluido cambia y con ello la fricción y las
pérdidas atribuibles a ella.
325
Flujo a presión constante y temperatura constante
En el caso de que se tenga el flujo a presión constante o también en que las
caídas de presión sean bajas se tiene que:
Esa ecuación es la que generalmente se aplica en los ductos de
acondicionamiento de aire y cuando la diferencia de presiones entre la entrada y la
salida ΔP<0.1 de P1.
Este caso abarca el 95 por ciento de los casos prácticos en la industria.
Ejemplo 1.
Se desea mandar aire a 25 ° C y a la presión de 586 mm de Hg hasta una altura
de 30 metros por medio de un ducto rectangular de 50 metros de longitud y de 15
por 10 cm, a la velocidad de 10 m /s. Si el ventilador tiene una eficiencia del 45 %
¿Cuál será la potencia necesaria?
1.- Ecuación.
Para este caso:
Pero en el caso de acondicionamiento de aire
, y
entonces:
2.- Datos.
Viscosidad del aire μ=0.019 cps
Densidad ρ=
=
En el caso de ducto no circulares se utiliza el concepto de diámetro equivalente:
326
En donde rH es el radio hidráulico.
En nuestro caso
lo tanto De =0.03 X 4 = 0.12 m
3.- Pérdidas por fricción
Para los tubos de aire acondicionado e/D =0; f D=0.02
4.- Bernoulli.
M=u (ρ) (A) = 10x0.91X0.015=0.1365 kg /s
𝒫H= 710.9 x 0.1365= 97.04 W
=215 W =0.28 H.P.
Para los casos restantes en los cuales ΔP>0.1 de P1, la suposición de densidad
constante ya no es válida y por lo tanto se tiene que evaluar cuidadosamente el
término de la presión.
Para los casos en los que la variación de la presión es poca ΔP< 1 atmósfera. , se
usa la densidad media.
Y la ecuación del balance de energía quedaría como:
Ejemplo 2.
A través de una línea horizontal de 3 pulgadas Cd.40 fluye nitrógeno a 25 ° c a
razón de 0.15 kg/s. Las presiones a la entrada y a la salida de la línea son de 2 y
1.5 atm. ¿Cuáles son las pérdidas por fricción? ¿Cuál es la longitud de la línea?
1.- Ecuación empleada.
En nuestro caso ΔZ =0; -𝒫/M =0 por lo tanto
2.- Cálculos.
327
2.1.- Densidades.
=
=
3.2.- Velocidades
DI = 0.07793 m; A = 4.7673 X 10-3 m2
3.3.- Energía cinética.
3.4.- Energía de presión.
3.5.- Pérdidas por fricción.
2583.25+18.307=3.6.- Longitud de la línea
Viscosidad del nitrógeno μ=0.0175 cps.
Reynolds
La rugosidad relativa e/d es de 0.0006, el factor Darcy es f D=0.02
L = 803,8 m
4.- Las pérdidas por fricción son de 2601.5 kgm /kg y la longitud es de 803.8 m.
328
Ecuación general de flujo de fluidos para fluidos incompresibles
Escribiendo la ecuación anterior para una tubería recta y horizontal y sin
máquinas tendremos que:
1
2
(1)
O también
(2)
El problema sigue siendo que para un fluido compresible u, ρ varían tanto con la
presión como con la temperatura. Si el proceso fuera isotérmico (T = constante),
entonces u, ρ serían sólo función de la presión.
Es costumbre que para resolver los problemas de flujo de fluidos compresibles la
ecuación anterior se ponga en forma diferencial.
+
(3)
Para evitar incluir la velocidad (u) y la densidad (ρ) se propone un término
constante que las engloba, este término es la masa velocidad:
(4)
En donde G/A es la masa velocidad (
) , u=0 velocidad (m/s), ρ= densidad =
kg/m3, V = volumen específico (m3/kg).
Por lo tanto:
=
y por lo tanto
Colocando esto en la ecuación anterior:
329
Dividiendo por V2
Ahora bien, fD es función del Reynolds y por lo tanto de la velocidad. Si se define
a un factor de fricción promedio como:
Entonces integrando (6)
La ecuación anterior (8) es la llamada ecuación general para los gases. Esa
ecuación debe ajustarse para cada caso.
FLUJO ISOTERMICO
Este flujo se presenta en tuberías largas sin aislar en las que Q (calor) es
diferente de cero.
(9)
Sustituyendo en (8)
Pero
;
(11)
Sustituyendo en (10)
(12)
Pero como:
=nRT=
(13) si m=1
(14)
También, si llamamos Vm al volumen específico medio.
Si colocamos (15) en (9) entonces:
330
(16) en (12)
(17)
Si la diferencia de presiones ΔP es baja, entonces:
(18) y por lo tanto:
Ejemplo 3.
Calcule la caída de presión esperada cuando se transportan 100 m 3/min de
metano (medido a condiciones normales) a través de una tubería de 5 pulgadas
Cd. 80 y de 5000 m de longitud. El flujo es isotérmico a 25 ° C.
1.- Ecuación empleada.
2.- Datos.
T = 25 ° C = 298 K
DI = 0.1222 m; A = 0.01 m2
L = 5000 m
Ca = 100 m3/min (a 15 ° C y 1 atm)
Masa de metano
=65.47 kg /min
2.1.- Pérdidas por fricción.
Suponiendo un factor de Darcy a turbulencia plena f D= 0.016
Entonces:
2.2.- Ecuación de flujo isotérmico.
ln
Suponiendo que:
ln
Entonces:
=1.25
Si P1= 100 atm = 1033300 kg /m2 entonces P2 = 99.4 atm y por lo tanto
ΔP=0.6 atm
331
4.- Resultado.- La caída de presión es aproximadamente de 0.6 atm.
Ecuaciones simplificadas de flujo isotérmico.
A partir de la ecuación (12)
Si despreciamos el término de energía cinética tendremos:
(20)
Y de allí se obtiene que:
(21)
O también:
=
(22)
A partir de esta ecuación se han obtenido muchas ecuaciones empíricas entre las
que se encuentran las que se presentan en el siguiente apartado.
A continuación se presentan algunas simplificaciones útiles para aplicar la
ecuación de transporte de gases en situaciones particulares:
Ecuación de Weymouth para gases a alta presión
En la fórmula anterior, conocida como de Weymouth, se da el caudal Ca, en
y a 1 atm y 15 ° C de gases a altas presiones que circulan por una tubería.
En esa fórmula el D está dado en pulgadas, la presión en atm, la longitud (L) en
metros, la temperatura (T) en ° K y la densidad relativa (ρr) =
Ecuación de Spitzglass para gases a bajas presiones
En donde ΔP es la caída de presión en mm de agua. Ca, en
y a 1 atm y 15 ° C
de gases a altas presiones que circulan por una tubería .En esa fórmula el D está
dado en pulgadas, la longitud (L) en metros, y la densidad relativa (ρr) =
Otra fórmula que se usa para cuando circula gas natural es la de Panhandle:
332
.
En la fórmula se usan las mismas unidades que para la fórmula de Weymouth.
Ejemplo 4.
A través de una tubería de 40 pulgadas de diámetro interno se bombea gas
natural (metano) a una distancia de 100 km y con un gasto de 2 kg mol/s de
metano. Puede suponerse que la línea es isotérmica a 15 ° C.La presión de
descarga es de 1 atm absoluta. Calcule la presión de entrada a la línea.
1.- Ecuación de Panhandle.
2.- Presión de entrada con Panhandle.
Caudal
=47.26
=5.067 atm= 5.235
3.- Resultado. La presión de entrada es de 5.235 kg /cm2.
FLUJO ADIABATICO.
Este flujo se presenta en tuberías muy bien aisladas por lo que Q (calor) =0
A partir de la ecuación (8):
Para flujo adiabático
(20) en donde k es igual a:
siendo Cp la capacidad
calorífica a presión constante del gas y Cv la capacidad calorífica del gas a
volumen constante.
Por lo tanto
(21)
Por lo tanto:
(22)
(23)
Dividiendo y multiplicando por
333
(24) lo que queda como:
(25)
Sustituyendo (25) en (8) nos da:
(28)
Ejemplo 5.
Calcule el gasto de vapor de agua en el siguiente sistema si se abren totalmente
todas las válvulas de globo indicadas.
1.- Planteamiento.
1.1.- Ecuación de flujo adiabático.
2.- Cálculos.
2.1.- Longitud equivalente
L tubo = 20.5 m,+14 codos (8.4) + 4 válvulas de globo (26.8)+1 contracción (0.3
m)+ 1 expansión (0.6m) = 56.7 m
2.2.- Factor de fricción
D=0.02092 m, A = 3.435 x 10-4 m2; e /D = 0.003;
fD = 0.027 (a plena turbulencia) , densidad del vapor = 3.2 kg / m 3, k = 1.3
2.3 Flujo de vapor
334
= 3.729
Por lo tanto uniendo los diferentes términos tenemos que:
Resolviendo se tiene que
3.- Resultado.- El flujo de vapor es de 0.0571 kg /s.
FLUJO POLITROPICO.
Para flujo politrópico:
(29)
En donde n es el coeficiente politrópico que debe ser evaluado
experimentalmente.
En el caso de gases que se aparten apreciablemente del comportamiento ideal, tal
y como sucede cuando se trabaja con presiones elevadas superiores a 7 atm y
temperaturas por debajo del cero centígrado, deberá aplicarse alguna ecuación de
estado para predecir el comportamiento de la densidad con la presión y la
temperatura. Entre las ecuaciones más sencillas está la de Van der Waals,
aunque en la actualidad se prefieren otras ecuaciones de estado más precisas,
aunque más complicadas, cuya solución solo puede efectuarse mediante métodos
computacionales. Otra ayuda para la solución de flujo de gases reales son los
gráficos de P contra H o de P contra V. En esos gráficos se pueden seguir las
trayectorias del gas y los cambios de presión, temperatura y entalpia del mismo
con lo que puede evaluarse la parte de la ecuación de Bernoulli dada por:
Ejemplo 6.
Se hace circular n-pentano a través de una conducción horizontal de acero de 1
pulgada Cd. 80 y de 400 m de longitud. La presión absoluta a la entrada es de 50
atm, mientras que a la salida es de 40 atm. Calcule el flujo de pentano que circula,
suponiendo flujo isotérmico a 205 ° C. Suponga comportamiento real y utilice el
diagrama P-H que se anexa.
335
1.- Planteamiento.
1.1.- Discusión.
Como la presión de trabajo es elevada no puede considerarse que el gas se
comporte como ideal; entonces será necesario aplicar la ecuación siguiente:
3.- Cálculos.
3.1.- Factor de fricción
DI = 0.02431 m; e/D = 0.018
Suponiendo alta turbulencia fD = 0.024.
3.2 – Integración del término
336
Este término se puede obtener a partir del diagrama P-H.
Patm
40
42
44
46
48
50
P
413329
433986
454652
475318
495984
516660
Integración
P
psia
588
617.4
646.8
676.2
705.6
735
V
x103
V
V
0.059
0.055
0.052
0.0495
0.048
0.047
3.68
3.432
3.244
3.088
2.995
2.932
x103media
20666
20666
20666
20666
20666
3.556
3.3385
3.166
3.0415
2.9635
5811586
6191132
6527479
6794673
6973511
= 32298381
3.3.- Bernoulli
Sustituyendo en la ecuación se tiene que:
32298381=
De donde:
=1266 kg /s m2
4.- Resultado.- El gasto másico es de 0.5873 kg /s
Ecuaciones empíricas.
Aparte de las ecuaciones antes presentadas, es muy común en la industria el uso
de las ecuaciones empíricas.
Ecuación de Müeller
La ecuación anterior puede simplificarse para tres diferentes rangos de presiones,
así:
Para p<7000mb: Z=1
337
Para p>70mb:
Conocida como ecuación de Müeller para presión media.
Donde:
Q: m3/h
p: bar
L: m
D: mm
1 bar=1.0 kgf/cm2
Para p<70mb:
Conocida como ecuación de Müeller para presión baja.
Donde:
Q: m3/h (estándar)
h:  p en mb
L: m
D: mm
15.5ºC – 760mmHg
Ecuación de Renouard
El diámetro de una tubería para conducción de gas se escoge en función de la
densidad del gas, la caída de presión admisible y la velocidad de circulación de
338
gas. La presión del gas en el interior de una tubería por la que circula va
disminuyendo por efecto de la fricción con las paredes. Para el cálculo de la
pérdida de carga se emplean las llamadas fórmulas de Renouard que permiten
hallar la caída de presión entre dos puntos en término de la densidad, el diámetro
de la tubería, el causal y la longitud de la misma. Para presiones medias (0.05 bar
< P < 5 bar) la fórmula de Renouard correspondiente es:
Donde:
es la densidad corregida del gas (propano dc = 1,16, butano dc = 1,44).
es la longitud de un tramo recto de conducción en [m].
Q es el caudal en [m3/h].
es el diámetro interior en [mm].
Para bajas presiones (P < 0.05 bar) la expresión usada es:
Ecuación de Unwin
Una fórmula empírica para el transporte de vapor de agua saturado es la de
Unwin:
En donde
es la caída de presión en 100 m de tubo dada en atm.
G es el gasto másico de vapor en kg /h, D es el diámetro de la tubería en pulgadas
y ρ es la densidad del vapor en kg /m3.
Ecuación de Fritzche
Si el vapor estuviera sobrecalentado entonces una fórmula aplicable sería la de
Fritzche:
=
Se emplean las mismas unidades que en la ecuación de Unwin.
Ejemplo 7.
Encuentre la caída de presión en una tubería de 12 pulgadas Cd.40 por la que
fluye vapor a razón de 15 kg /s y el vapor está a 15 kg /cm 2 y con 100 ° C de
sobrecalentamiento.
1.- Ecuación a utilizarse.
1.1.- Ecuación de Fiitzche.
339
=
2.- Cálculos.
2.1.- Densidad.
A la presión de 15 kg / cm2 absolutos, la temperatura de saturación es de 197 ° C,
por lo tanto la temperatura del vapor sobrecalentado es de 297 ° C; la densidad es
de 5.5 kg /m3.
2.2.- Caída de presión.
Di = 11.938 pulgadas.
3.- Resultado.
La caída de presión en cien metros es de presión es de 0.04545 atm
Flujo y velocidad máxima de gases en una tubería
Si el gas fluye por una tubería en flujo isotérmico, el flujo máximo que pasa por la
tubería está dado por:
(30)
Para flujo isotérmico la ecuación de flujo es:
(14)
Si en esa ecuación se desprecia las pérdidas por fricción entonces:
(31)
Si derivamos la ecuación (31) con respecto a P2 (presión final) y manteniendo a P1
(presión inicial) constante tendremos que:
340
(32)
=0
Si
(33)
entonces:
(34)
Y por lo tanto:
(35)
Y entonces:
(36)
Pero:
=
(37) y entonces:
(38)
En las tuberías se ha encontrado que la velocidad máxima posible es la del sonido
y esa velocidad corresponde a la presión mínima que el gas puede adquirir. Por
abajo de esa presión la velocidad ya no cambia.
De la ecuación
(14)
Si
entonces P2 es el mínimo y por lo tanto:
+
(39)
Pero como:
Entonces:
+
Dividiendo entre
L =0 (41)
341
(40)
Esta ecuación nos da la presión a la cual se logra el flujo máximo.
Ejemplo 8.
Por una tubería de acero de 3 pulgadas circula nitrógeno a 17 ° C. La presión de
entrada del nitrógeno a la línea es de 50 atmosferas y la longitud equivalente de la
tubería es de 300 m. Determine la presión de salida correspondiente al flujo
máximo y el valor de este.
1.- Ecuación de diseño.
L =0
2.- Datos.
Di = 0.07366; L = 300 m; a flujo turbulento muy desarrollado (flujo tapón) con e/D =
0.0005, fd =0.017; P de entrada = 50 atm =5.05X 106 pascales.
3.- Presión mínima.
=0
Si el primer término se hace despreciable entonces:
De donde
Colocando este valor en la ecuación grande tendremos que:
Entonces:
4.- Flujo máximo.
Por lo tanto G/A = 2000 kg /m2 s
5.- Resultado.
La presión final es de 5.8 atmósferas y el flujo máximo es de 2000 kg /s m2
Descarga adiabática de gases.
A partir de la ecuación para flujo adiabático de gases:
(28)
El flujo máximo está dado por:
342
(30)
Si en la ecuación (28) se suprime la fricción nos queda:
(42)
Derivando con respecto a P2:
(43)
(44)
Si
entonces:
(45)
De donde:
=
(46)
Para procesos adiabáticos
(47) o también
=
Por lo tanto:
(48)
Y entonces:
(49)
Siendo la velocidad máxima igual a:
(50)
Pero de la ecuación de los gases:
(51)
343
Entonces:
(52)
La velocidad del sonido en el aire es:
=
(53)
Se ha definido un número llamado de Mach como:
(54)
Si u = u máxima entonces:
=
la k para el aire es de 1.3
En las tuberías la velocidad máxima es cercana a la del sonido y corresponde a
una presión mínima. Por debajo de esa presión la velocidad no cambia.
Cuando un fluido compresible se descarga desde una tubería corta de sección
uniforme a un área mayor, el flujo es adiabático y el flujo máximo puede obtenerse
por ecuaciones empíricas que dan la presión mínima y el flujo máximo.
Ecuaciones empíricas.
Una de esas ecuaciones es:
(55)
En donde G está dado en kg/s, ΔP está en atmosferas, D en pulgadas, Y es un
coeficiente de expansión que se obtiene a través de gráficos empíricos.
(56)
344
345
Ejemplo 9.
346
Se desea calcular la cantidad de aire que se descargará a la atmósfera si se abre
una línea de acero de 10 m de longitud y dos pulgadas de diámetro Cd. 40 la cual
contiene tres codos de 90 ° estándar. La línea conecta a un recipiente que
contiene aire a 10 atmosferas absolutas y que está a 15 ° C.
1.- Traducción.
2.- Planteamiento.
2.1.- Discusión
La descarga a la atmósfera a través de tuberías cortas puede considerarse como
adiabática y se puede calcular por la siguiente fórmula:
(
3.- Cálculos.
3.1.- Longitudes equivalentes.
DI = 0.0525 m
L= 10 m de tubo+entrada (0.7 m)+3 codos (4.2)+salida (1.5) =26.4 m
Rugosidad relativa de la línea e/D =0.0008, fD= 0.018 para Reynolds grandes.
Por lo tanto
3.2.- Factor Y
De las graficas anteriores se obtiene que k = 1.4;
Para ese valor y K = 9.05 se alcanza la velocidad sónica a un
de 0.774 y una Y
= 0.69
Por lo tanto si el
3.3.- Flujo.
4.- Resultado. El flujo es de 2.37 kg /s y se alcanza la velocidad sónica.
Ventiladores y compresores.
347
Las máquinas para mover gases y vapores a través de quipos y ductos reciben el
nombre de ventiladores, sopladores o compresores, dependiendo de la presión
con que se trabaje. Para altas presiones la práctica más común es usar
compresores reciprocantes, aunque cada vez son más usuales los compresores
centrífugos de etapas múltiples, por ser más pequeños y baratos.
Hay dos tipos de compresores: los centrífugos y los de desplazamiento positivo,
perteneciendo a estos últimos los rotatorios y los reciprocantes. Los compresores
centrífugos manejan grandes volúmenes y trabajan en forma continua manejando
presiones de salida hasta de 55 atm. Pueden ser de una o de varias etapas.
Los compresores reciprocantes son aquellos en los que el elemento compresor es
un émbolo que sigue un movimiento alternativo dentro de un cilindro. Manejan
altas relaciones de compresión.
Los compresores rotatorios son máquinas en las cuales dos o más lóbulos
acoplados giran dentro de un cilindro, empujando al gas.
Ventiladores
Los ventiladores son máquinas en los cuales la velocidad y la presión son dadas al
gas o al aire por un impulsor giratorio. Estos aparatos manejan grandes
volúmenes teniendo presiones de descarga entre 0.01 y 0.15 atm, pueden ser
centrífugos o axiales. Un ventilador es esencialmente una bomba de gas; la
diferencia es que los líquidos son poco compresibles y los gases muy
compresibles. .Los ventiladores manejan gases cuya densidad no varía
considerablemente, ya que aplican un incremento de presión menor a 0.1 atm.
Los ventiladores son máquinas centrífugas que manejan grandes cantidades de
aire o gas para los aires acondicionados, los secadores, hornos, quemadores,
arrastre de materiales o eliminadores de humo.
Trabajo y potencia de un ventilador
Si se hace un Bernoulli entre los puntos 1 y 2 de la figura siguiente se tiene que:
348
349
En donde:
350
𝒫 = potencia; ρ = densidad; T = temperatura absoluta; PB= presión barométrica; P
= presión; D = diámetro; Ca= caudal; N = revoluciones.
Ejemplo 10.
¿Cuál es la potencia del ventilador requerida en el sistema mostrado, si la
eficiencia del ventilador es del 65%?
1. Planteamiento.
1.1.- Discusión.
El problema se puede resolver haciendo un Bernoulli y calculando las caídas de
presión mediante la ecuación de Darcy o mediante alguna correlación empírica
como la de Spitzglass.
1.2.- Bernoulli.
En este caso, como PA = PB:
3.- Cálculos.
3.1.- Número de Reynolds.
Viscosidad del aire μ=0.0175 cps, densidad del aire ρ=1.2279 kg / m 3
Diámetro interno de la tubería DI = 0.0525 m
Velocidad del aire en la línea:
G=0.119379 kg /s
3.2.- Pérdidas por fricción.
Rugosidad relativa e/D = 0.005; fD =0.0305
3.3.- Bernoulli.
Despreciando el término de energía cinética.
351
3.4.- Potencia.
3.5.- Potencia usando Spitzglass.
Presión en el punto 1
=
Bernoulli
Por lo tanto la potencia será de 15.22 H.P.
4.- Resultado.- Se requiere una potencia de 15 H.P
Ejemplo 11.
¿Cuál será la potencia de descarga del ventilador requerido en el sistema
siguiente?
352
1.- Planteamiento.
1.1.- Discusión.
El problema se puede resolver haciendo los Bernoullis correspondientes y
calculando las caídas de presión y caudales por métodos simplificados como por
ejemplo el de Spitzglass.
En donde ΔP es la caída de presión en mm de agua. Ca, en
y a 1 atm y 15 ° C
de gases a altas presiones que circulan por una tubería .En esa fórmula el D está
dado en pulgadas, la longitud (L) en metros, y la densidad relativa (ρr) =
2.- Cálculos.
2.1.- Sección A-B
Caudal = 350 m3/h ; DI =0.07793 m = 3.068 pulgadas,
Densidad del aire
. ;
Si
y si
es despreciable entonces:
2.2.- Sección CB
D= 0.0158 m = 0.622 pulgadas.
353
.
=7.73
2.3.- Sección BD
Caudal total = 350+7.73= 357.73 m3/h
D= 0.10226 m = 4.025 pulgadas.
PD= 21821+302.47= 22123.47 kg /m2 = 2.21 kg /cm2.
3.- Resultado.- La presión de descarga del ventilador es de 2.21 kg /cm 2.
Sopladores y compresores.
Los sopladores son máquinas centrífugas de una sola etapa que pueden manejar
grandes volúmenes de gas a presiones entre 0.4 y 1 atm. Los sopladores tienen
aplicaciones en el enfriamiento y secado, para proporcionar aire a los hornos y
quemadores, para transportar sólidos, para mover gases y comprimirlos. El
principio de un soplador es el mismo que el de una bomba centrífuga, la diferencia
es que se manejan gases que son compresibles. Los compresores trabajan hasta
3500 revoluciones por minuto. Cuando se requieren presiones mayores a 1 atm
se usan compresores centrífugos de etapas múltiples, que reciben el nombre de
turbocompresores. En los reactores, el aire para instrumentos, los gasoductos, etc.
Se necesitan altas presiones para vencer la resistencia al flujo a través de las
conducciones, los lechos empacados y los equipos. Por lo tanto, las máquinas
para ese tipo de servicios se calculan como compresores.
El trabajo de compresión de un gas varía de acuerdo a cómo se lleva a cabo el
proceso, ya que este puede ser isotérmico, adiabático o politrópico.
El trabajo de compresión estará dado por:
Si el trabajo es isotérmico; Pv = constante = RT para una mol y entonces:
Si el trabajo es adiabático entonces:
Si el trabajo se lleva a cabo en varias etapas entonces
354
En donde Ne es el número de etapas, lo cual está dado por:
También
X es la relación de compresión que no excede a 4
Para una compresión politrópica:
En donde n es el índice politrópico.
El trabajo de compresión también puede hallarse mediante los diagramas de
presión contra entalpía. De manera que:
En donde H2 y H1 son las entalpias iniciales y finales que se obtienen de los
diagramas, de manera que:
Ejemplo 12.
Se tiene una línea de gas natural con estaciones de compresión cada 150 km. La
presión de salida del compresor es de 30 atm y la relación de compresión es de
1.5.¿Cuál es la capacidad de una línea de 24 pulgadas de diámetro exterior y ¼
de pulgada de grueso de pared?¿Cuál será la potencia necesaria del compresor,
si la compresión es isoentrópica y si o los compresores tienen una eficiencia del
50%?Si él gas llega a la estación de compresión a 20 °C, ¿a qué temperatura
saldrá del compresor?¿Cuál es el
para este caso?¿Qué cantidad de calor se
debería quitar en el compresor para que los gases salieran a 30 Atm y 20 ° C?
Nota: El gas natural puede considerarse como esencialmente metano.
1.- Traducción.
355
2.- Planteamiento.
La capacidad de la línea se puede obtener fácilmente mediante una ecuación
como la de Panhandle. El proceso de compresión se puede seguir en un diagrama
P-H.
2.1.- Ecuación de diseño.
En la fórmula anterior, conocida como de Panhandle, se da el caudal Ca, en
y a 1 atm y 15 ° C .En esa fórmula el D está dado en pulgadas, la presión en atm,
la longitud (L) en metros.
3.- Cálculos.
3.1.- Capacidad en la línea.
Relación de compresión
por lo tanto la presión P2 es de 20 atm.
D = 23.5 pulgadas, L = 150 000 m
=172 178. 5 m3/h medido a 1 atm y 15 ° C.
=0.6659
Masa del metano M =172 178.5 X 0.6659 =114661.4 kg /h
2.2.-Condiciones del metano a la entrada del compresor.
T= 20 °C, P= 20 atm,
Densidad
; volumen específico = 0.075
Masa de metano =114661.4 kg /h=31.85 Kg/s=2 kg mol /s
2.3.- Trabajo de compresión.
K=1.3
356
=
Potencia 𝒫=
=2 055 626 W
Potencia al freno 𝒫B =
2.4.- Temperatura de salida del compresor.
T2 =321 K= 48 ° C
2.5 Caída de presión en 100 m.
2.6.- Calor
Calor Q = M CpΔT
Capacidad calorífica del metano gaseoso a la temperatura media
Tmedia= (20+48)/2 =34 ° C
Cp = 0.53
Calor Q =114661.4 kg /h X 0.53 X (48-20) =1701569 kcal /h
3.- Resultados. La capacidad de la línea es de 172 178. 5 m3/h medido a 1 atm y
15 ° C.
El calor que se debe retirar es de 1701569 kcal /h
La caída de presión en 100 m es de
La temperatura de salida del compresor es de 48 ° C.
La potencia del compresor es de
Ejercicios sugeridos de auto evaluación
1.-Un ventilador que opera a 850 rpm tiene las siguientes características:
Ca= 7 m3/presión estática =0.0762 m de agua y potencia 7 HP. Si se varía la
velocidad a 1150 RPM, encuentre el caudal, la presión y la potencia nueva.
R.- El nuevo caudal es de 9.47 m3/s, la presión estática es de 0.139 m de agua y
la potencia de 17.33 HP.
2.- Una serie de compresores de una sola etapa tienen que comprimir 7.56 X 10 3
kg mol /min de metano gaseoso que está a 25° C y 138 kilo pascales (absolutos)
hasta 550 kilo pascales absolutos. Calcule la potencia requerida si la compresión
es adiabática, la eficiencia del 80 % ¿Cuál será la temperatura de salida del
metano?
R.- La potencia requerida es de 7.75 x 105 H.P. La temperatura de salida es de
124.6 ° C.
357
3.- Determine el trabajo que desarrollará un ventilador que suministra nitrógeno
con una densidad de 1.2 kg /m 3 desde un depósito a una instalación. En el
depósito la presión manométrica es de 60 mm de agua y en la instalación de 74
mm. Las pérdidas en la línea de succión son de 19 mm de agua y en la descarga
de 35 mm. La velocidad del gas a la descarga es de 11.2 m /s.
R.- El trabajo desarrollado es de 63 kgm /kg.
4.-Por una tubería de acero de 3 pulgadas circula nitrógeno a 17 ° C. La presión
de entrada del nitrógeno en la tubería es de 50 atm y su longitud equivalente es de
300m. Determine la presión de salida correspondiente al flujo máximo y el valor de
este.
R.- La presión crítica es de 6.05 atm. El flujo máximo es de 2165 kg /m 2s.
5.-Se hace circular propano a través de una línea horizontal de acero de 0.0265 m
de diámetro interno y 300 m de longitud. La presión absoluta a la entrada es de
54.25 atm, mientras que a la salida es de 40 at. Calcule el gasto másico de
propano que circula, suponiendo un flujo isotérmico a 104 °C.
R.- El gasto másico es de 0.88 kg /s.
358
Capítulo 13
Fluidos no newtonianos.
359
Fluidos no newtonianos.
Muchos líquidos y mezclas de líquidos y sólidos no obedecen a la ley de Newton
a esos fluidos se les llama no- newtonianos.
Figura.- Diferentes fluidos y su clasificación.
La ley de Newton establece que:
En donde μ es la viscosidad absoluta;
es el esfuerzo cortante en la pared y
es la velocidad de corte.
En un fluido que sigue la ley de Newton se observa que:

- du / dy
Es decir que la viscosidad es constante a cualquier velocidad.
Todos los gases y un buen número de fluidos siguen la ley de Newton. Existen sin
360
embargo, muchos fluidos que no siguen ese comportamiento.
Entre los fluidos no newtonianos que con más frecuencia se encuentran en la
industria alimentaria están:
Fluidos Bingha.
Son aquellos que necesitan de un cierto esfuerzo para comenzar a fluir. Como
ejemplo tenemos muchas de las pastas. Margarina, mezclas de chocolates,
grasas, jabones, etc.

0
- du / dy
Figura 1.- Reograma de un fluido Bingham
Como se ve estos fluidos presentan la característica de que para que fluyan se
necesita aplicar un esfuerzo inicial sobre el material, llamado esfuerzo de
cedencia, τ0.
La ecuación que representa el comportamiento de estos fluidos es:
du
 0 
dr
Fluidos seudoplásticos.
Son aquellos en lo que la viscosidad decrece al aumentar la velocidad de corte.
Como ejemplos tenemos las soluciones poliméricas de alto peso molecular, la
pulpa de papel, la mayonesa, las pinturas y gran número de fluidos que se
procesan en la industria alimentaria.
La mayoría de los fluidos relacionados con la industria alimentaria presentan este
comportamiento, ya sea simple o ligado con el Bingham. La forma en que se
comportan estos fluidos puede representarse mediante la ecuación siguiente,
llamada ecuación de las potencias.
361
 du 

 dr 
  a 
 du 
a  K 
 dr 
n 1
n 1
Siendo μa la viscosidad aparente
n el índice de comportamiento del fluido
K el índice de consistencia.
El comportamiento de estos fluidos en un reograma se observaría de la siguiente
forma:
τ
μa

du
dr
Figura 2.- Reograma de un fluido pseudoplástico.
Fluidos dilatantes.
En ellos la viscosidad aumenta al aumentar el gradiente de velocidad
τ
μa

du
dr
Figura 3.- Reograma de un fluido dilatante
362
 du 

 dr 
  a 
 du 
a  K 
 dr 
n 1
n 1
A estos fluidos se les puede aplicar la ley de las potencias, pero en ellos n es
siempre mayor de 1.
La mayoría de los fluidos no-newtonianos que se encuentran en la industria
alimentaria son pseudoplásticos.
Fluidos Herschel-Bulkley.
Estos fluidos son una mezcla de los fluidos Bingham y los pseudoplásticos. Es
decir requieren de un esfuerzo para comenzar a fluir, pero una vez que lo hacen
su comportamiento se asemeja más a l de un fluido pseudoplático.
El modelo de Herschel-Bullkley contiene tres parámetros empíricos; m, n y , que
se obtienen ajustando los datos experimentales que definen el reograma de la
363
sustancia.
Fluidos Casson.
El modelo de Casson es del tipo semiempírico, aunque su fundamento es teórico
su extensión y aplicación se han empleado diversos tipos de suspensiones. La
ecuación de Casson es del tipo visco plástico, es decir, tiene un esfuerzo límite τ C
y presenta la forma matemática siguiente:
La ecuación anterior tiene dos parámetros constantes, cuyos valores se obtienen
de forma experimental. Este modelo se usa para describir el comportamiento del
alimentos y materiales biológicos tales como: la sangre, el yogurt, el puré de
tomate, el chocolate fundido, etc. así como el comportamiento de algunas
suspensiones y líquidos de formas farmacéuticas.
Fluidos dependientes del tiempo.
También dentro de los no-newtonianos tenemos los fluidos reopécticos y los
tixotrópicos, que a diferencia de los demás, su comportamiento depende del
esfuerzo cortante aplicado con el tiempo.
Tixotrópico

du
dr
Reopéctico
Tiempo
Figura 4.- Reograma de fluidos reopécticos y tixotrópicos.
Los fluidos reopécticos muestran un incremento de la viscosidad aparente
respecto al tiempo.
Son ejemplo de ello algunos coloides, soles, arcillas, bentonitas y suspensiones
de yeso. Los fluidos tixotrópicos muestran una disminución de la viscosidad
aparente con el tiempo, como ejemplo tenemos a las pinturas y la salsa cátsup.
En la práctica se encuentran combinaciones de varios comportamientos.
364
Viscosímetros.
La viscosidad de los fluidos no newtonianos no se encuentra reportada en la
literatura por lo que debe obtenerse experimentalmente mediante el empleo de
aparatos llamados viscosímetros. Entre los más empleados están:
Figura 5.- Viscosímetro Brookfield.
365
Figura 6.- Reómetro de Stormer.
Viscosímetro rotacional Brookfield.
Los viscosímetros rotacionales son útiles en un amplio intervalo de viscosidades y
particularmente son valiosos para el estudio de sistemas no newtonianos.
Normalmente se emplean en el campo superior a los 50 poises.
.Los viscosímetros de rotación emplean la idea de que la fuerza requerida para
rotar un objeto inmerso en un fluido puede indicar la viscosidad del fluido. El más
común de los viscosímetros de rotación son los del tipo Brookfield que determina
la fuerza requerida para rotar un disco o cilindro en un fluido a una velocidad
conocida. El viscosímetro rotacional
está compuesto de: cilindro giratorio,
cilindro estacionario (bob), resorte de
restitución, dial de lectura directa, un
sistema de engranaje y perillas para el
cambio de velocidades y un vaso
contenedor de muestra de fluido.
Son instrumentos de medición y
control de viscosidad, indispensables
en el control de calidad de
innumerables productos. Todos se
suministran con certificado de fábrica,
juego de agujas, instructivo, estuche y
soporte. Todos los viscosímetros
Brookfield utilizan el conocido principio
de la viscosimetria rotacional; miden la
viscosidad captando el par de torsión
necesario para hacer girar a velocidad constante un husillo inmerso en la muestra
de fluido. El par de torsión es proporcional a la resistencia viscosa sobre el eje
sumergido, y en consecuencia, a la viscosidad del fluido.
366
Si el cilindro interior rota dentro del líquido a ciertas revoluciones por minuto (RPM)
a este movimiento se opone una fuerza que actúa sobre las paredes del cilindro.
Y el esfuerzo cortante sobre el cilindro es:
=
El esfuerzo cortante o flujo de momentum está relacionado con la viscosidad por:
Caídas de presión a régimen laminar par fluido Bingham.
El modelo de fluido Bingham puedes ser representado en términos de esfuerzos
cortantes (τ) contra velocidad cortante.
(
La viscosidad absoluta se aproxima a la viscosidad aparente conforme se va
incrementando la velocidad de corte., de manera que un fluido Bigham se
comporta como un fluido newtoniano a altas velocidades.
Las pérdidas por fricción que causa el paso de estos fluidos por el interior de
tuberías se puede calcular por:
=2
L
Para encontrar el factor de fricción Bingham a régimen laminar se puede usar la
expresión:
En donde Re es el número de Reynolds, NHe es el número de Hedstrom. El factor
de fricción de Bingham para flujo laminar fBL está implícito y debe resolverse por
iteraciones, pero como el último término de la ecuación es normalmente pequeño,
el valor de fBL obtenido por omisión de este término es un buen punto para
empezar la solución iterativa.
Y ReB= 4 Ca ρ/πDμa
367
Problema 1.
Un fluido Bingham fluye a razón de 0.00158 m 3/s por un ducto de 0.0348 m de
diámetro interno. El fluido tiene una densidad de 1250 kg/m 3 y un τo = 157, una
viscosidad aparente de 0.05 P-s. ¿Cuál será la caída de presión por metro de
tubo?
1.- Planteamiento.
1.1.- Caída de presión.
=2
L
En donde:
ReB= 4 Ca ρ/πDμa
2.- Cálculos.
2.1.- Velocidad.
2.2.- Número de Reynolds.
2.3.- Número de Hedstrom.
=
2.4.- factor de fricción
Despreciando el último término.
Colocando este valor en la ecuación:
=
2.5.- Pérdidas por fricción.
=2
L=
368
2.6.- Caída de presión.
3.- Resultado. Se espera una caída de presión de 0.25 kg / cm 2 por cada metro
de tubo.
Caídas de presión a régimen turbulento para fluidos Bingham.
Las caídas de presión a régimen turbulento para los fluidos Bingham se calculan
por medio de la ecuación:
En donde fB = es el factor de fricción de Bingham que se calcula por medio de:
Siendo m =1.7+40 000/
Y ReB= 4 Ca ρ/πDμa
En donde fBT es el factor de Bingham turbulento.
Y el factor
NHE es el número de Hedstrom.
El factor fBL es el factor de Bingham laminar
Ejemplo 2.
Una pasta se bombea a través de una línea de tubería cuyo diámetro interno es de
0.4413 m con un caudal de 400 m 3/h. El fluido se comporta como un fluido
Bingham con las siguientes propiedades (a la temperatura de operación): τo = 2 N
/m2; μa = 0.03 Pa-s; ρ=1500 kg /m3 ¿Cuál es el factor de fricción para este sistema
y cuál es la caída de presión esperada por metro de tubo?
1.- Traducción.
2.- Planteamiento.
2.1.- Caída de presión.
Para flujo turbulento y fluido Bingham.
369
Siendo m =1.7+40 000/
3.- Cálculos.
3.1.- Reynolds.
3.2.- Número de Hedstrom.
3.3.- Factor laminar.
Sustituyendo los valores en la ecuación del factor laminar de Bingham y
resolviendo por tanteos encontramos que:
3.4.- Factor turbulento.
Factor
=-1.378
3.5.- Factor de fricción total.
m =1.7+40 000/
=4.2
=
=0.00805
3.6.- Caída de presión.
=
4.- Resultado.
La caída de presión esperada es de 28.9 Pascales por cada metro de tubería.
370
Fluidos que siguen la ley de las potencias.
Debido a la alta viscosidad de los fluidos no-newtonianos, la mayoría del
transporte por tuberías se hace a flujo laminar. A flujo laminar se puede emplear
la ecuación de Hagen y Poiseuille.
R
P1
P2
L
Si por un ducto de longitud L y diámetro R fluye un fluido a régimen laminar
entonces:
Y por lo tanto:
Y entonces resulta que:
A flujo laminar la velocidad media está dada por:
(2) Hagen-Poiseuille . Pero de (1):
Sustituyendo (3) en (2)
(4)
Y entonces:
(5)
Comparando esto con la ecuación de Newton.
Se observa que la rapidez de corte es :
(6)
Entonces la ecuación de Newton se puede reescribir como:
(7)
Para los fluidos no –newtonianos esa ecuación se puede reescribir como:
371
En donde
es la viscosidad aparente o sea la que presenta el fluido a una
velocidad determinada.
Para los fluidos no-newtonianos que siguen la ley de las potencias, la ecuación de
Newton se puede reescribir como:
PD
 8u 
 K 
4L
D
n
Siendo
 8u 
a  K  
D
n 1
u = velocidad promedio
D = diámetro de la tubería
ΔP = caída de presión
L = longitud
μa= viscosidad aparente
Ejemplo 3.
En un aparato parecido al mostrado se obtuvieron los siguientes datos para un
fluido no newtoniano que tiene una densidad de 1015 kg / m 3.
Caudal
/min
0.3911
1.57
1.87
2.035
2.16
2.33
en
galones Caída de presión en libras sobre pulgada
cuadrada
1.35
2.59
3.09
3.2
3.3
3.55
Obtenga los valores de n y K para el fluido.
2.- Planteamiento.
372
2.1.- Ecuación de flujo.
Para un fluido que sigue el modelo de las potencias
PD
 8u 
 K 
4L
D
n
3.- Cálculos.
3.1.- Caudales y velocidades.
A = 1.266 x 10-4 m2
DI = 0.0127 m
3
gal 3.785 l
m3
min
5 m
Ca  0.3911



 2.467  10
min
gal 1000 l 60 s
s
u
Ca
m
 0.1948
A
s
Procediendo de la misma manera con los demás datos se obtiene la siguiente
tabla:
Ca en
2.467
9.9
11.79
12.83
13.62
14.69
U en m/s
m3
 105
s
0.1948
0.7819
0.9312
1.0134
1.0758
1.1603
3.2.- Caídas de presión


l b 0.454k g 9.81N
in 2
N
P  1.35 2 
  
 9319.46 2
2
2
lb
kg
in
(0.0254) m
m
Procediendo de la misma forma con las demás presiones se puede obtener la
siguiente tabla:
P
ΔP en psi
N
m2
9319.46
17879.5
21331.29
22090.5
22780.98
24506.82
1.35
2.59
3.09
3.2
3.3
3.55
373
PD
8u
y de
4L
D
3.3.- Datos de
PD 9319.46  0.0127
N

 29.58 2
4L
4 1
m
8u 8  0.1948
1

 122.7
D
0.0127
s
PD
4L
8u
D
29.58 122.7
56.76 492.5
67.72 586.5
8
70.13 638.3
6
72.32 677.6
6
77.8 730.8
9
3.3.- Obtención de los parámetros de flujo.
De la ecuación:
PD
 8u 
 K 
4L
D
log
n
Se obtiene que:
PD
8u
 log K  n log
4L
D
Esto indica que si los datos se grafican en papel logarítmico se debe obtener una
línea recta con pendiente n y ordenada al origen K.
374
De la gráfica se obtiene que:
n
log 50  log 40
 0.5606
log 335  log 225
log 50 =log K + 0.5606 log 335
K = 1.92035
N n
s
m2
4.- Resultados. El valor de n es de 0.5606 y el de K de 1.92035
N n
s
m2
Reynolds generalizado.
Para un fluido que se mueve a régimen laminar
K 4 L  8u 
P 
 
D D
n
Para asegurarse de que flujo es laminar debe obtenerse el número de Reynolds
generalizado definido por:
N Re generalidazo
D n u 2 n 
 n 1
8 K
375
Ejemplo 4.
Un fluido sigue la ley exponencial y tiene una densidad de 1041 kg / m 3. El fluido
se mueve a través de 14.9 m de una tubería de 0.0524 m de diámetro interior a
una velocidad media de 0.0728 m /s. Las propiedades reológicas del fluido son K
= 15.23 N sn / m2 y n = 0.4. Calcule la caída de presión y las pérdidas de presión.
1.- Diagrama de flujo.
L = 14.9 m ; D =0.0524 m; u =0.0728 m /s ; ΔP=?
2.- Planteamiento.
2.1.- Caída de presión si el flujo es laminar.
K 4 L  8u 
P 
 
D D
n
2.2.- Reynolds generalizado.
N Re generalidazo 
D n u 2 n 
8 n 1 K
3.- Cálculos.
3.1.- Reynolds generalizado.
N Re generalidazo
D n u 2 n  (0.0524) 0.4 (0.0728)1.6 (1041)
 1.106
 n 1
=
(8) 0.6 (15.23)
8 K
El flujo es laminar.
3.2.- Caída de presión.
n
K 4 L  8u  (15.23)(4)(14.9)  8  0.0728 
P 
  =


0.0524
D D
 0.0524 
ΔP=45390Pa=0.449 atm =0.4642 kg / cm2
0.4
 45390
N
m2
4.- Resultado. La caída de presión es de 0.4642 kg / cm2.
Flujo turbulento en fluidos no newtonianos que siguen la ley de las
potencias.
En el caso de fluidos no newtonianos que se mueven en régimen turbulento se
utiliza la ecuación siguiente para obtener las caídas de presión por fricción:
Lu 2 
P  4 f
D2 gc
376
Donde f es el factor de fricción de Fanning, que es función del Reynolds
generalizado y de n. El valor de f puede obtenerse mediante la gráfica:
N Re generalidazo 
D n u 2 n 
8 n 1 K
Figura 7.- Gráfica del Reynolds generalizado contra el factor de fricción.
Esa grafica se utiliza para tubos lisos. Cuando se tienen tuberías comerciales
rugosas se puede utilizar la gráfica de Moody, siempre y cuando se emplee el
Reynolds generalizado para obtener el factor de fricción.
377
Ejemplo 5.
Un puré se bombea isotérmicamente a través del sistema mostrado. ¿Cuáles
serán las pérdidas por fricción? La temperatura es constante e igual a 15 ° C.
¿Cuál es el trabajo de la bomba si la eficiencia de esta es del 70%? El gasto
másico es de 2000 kg / h. Datos del fluidos: densidad 1100 kg / m 3, K = 0.18 N s /
m2, n = 0.645. La presión en el tanque inicial es la atmosférica. La presión final de
descarga es de 20 psig
1.- Diagrama de flujo.
1m
1
3
2m
5m
1“
3/4 “
1m
2
P2= 20 psig
2.- Planteamiento.
2.1.- Bernoulli
P


u 2 z g  F  


2 gc
gc
M
Para fluidos no newtonianos
N Re generalidazo 
D n u 2 n 
8 n 1 K
2.- Cálculos.
2.1.- Velocidades
En la línea de 1 “
A  (1 0.0254) 2

4
 5.065 10  4 m 2
378
3
1h
kg
m3
4 m

 5.0510
Caudal = Ca  2000 
h 1100kg 3600s
s
u
5.0510 4
m

1
s
5.06510  4
En la línea de ¾ de pulgada
A  (0.75  0.0254) 2
u

4
 2.849 10  4 m 2
5.0510 4
m
 1.77
4
s
2.84910
3.2.- Reynolds en las líneas
En la línea de una pulgada
N Re generalidazo 
D n u 2 n  (0.0254) 0.645 (1) 20.645 (1100)

 1198
8 n 1 K
0.18(8) 0.6451
En la línea de tres cuartos.
N Re generalidazo 
D n u 2 n  (0.01905) 0.645 (1.77)1.355 (1100)

=2169
8 n 1 K
0.18 (8) 0.6451
3.3.- Factores de fricción
Del diagrama
Para la línea de 1 pulgada
Para la línea de 3/ 4
ff =0.0133, fD =0.0532
ff =0.00737; fD = 0.0245
3.4.- Pérdidas por fricción
En la línea de 1 pulgada

(1) 2 (2)
k gm
F
 0.0532
 0.2135
M
2(9.81)(0.0254)
kg
En la línea de tres cuartos

(1.77) 2 (6)
k gm
F
 0.0245
 1.232
M
2(9.81)(0.01905)
kg
379
Pérdidas totales por fricción

k gm
F
 1.445
M
kg
3.5.- Energía de presión



1 atm 10333k g
k gm
lb
m3
 20 2 

 12.78
 
lb 1 atm m 2 1100kg

kg
in
14.7 2
in
3.5.- Energía cinética
P

2
2
u 2  u1
(1.77) 2
k gm
Ec 

 0.1596
2 gc
2(9.81)
kg
3.6.- Energía potencial

k gm
Ep  3
kg
3.7.- Bernoulli
 3  0.1596  12.78  1.445 
Po
M
-Po / M = 11.38 kgm / kg
3.8.- Potencia


1h
k gm
kg
k gm
Po  11.38
 2000 
 6.324
kg
h 3600s
s
6.32
 0.12HP
75(0.7)
4.- Resultado. Las pérdidas por fricción son de 1.445 kgm / kg. La potencia
requerida es de 0.12 HP.
Po 
Perdidas por fricción por accesorios y válvulas en flujos no newtonianos.
Un fluido que se desplaza a través de una tubería, presenta pérdidas por fricción
que se originan por la fricción contra las paredes, por los cambios de dirección, por
accesorios tales como válvulas, codos, expansiones, etc.
Para el manejo de fluidos no newtonianos que con valores de números de
Reynolds mayores a 500, la caída de presión por accesorios se calcularía como:
=K
380
En donde K se obtiene de tablas.
Para fluidos no newtonianos que circulan a
factores K se calculan mediante la expresión:
Reynolds
menores de 500, los
Problema 6.
En el sistema de flujo mostrado, el diámetro de la línea de hierro forjado es de
0.0348 m. El fluido no newtoniano se desplaza a 1.66 m/s y tiene una densidad de
1250 kg /m3, una K de 5.2Pa sn y n=0.45. Calcular la potencia de la bomba si su
eficiencia es del 80%. El filtro presente en el sistema presenta una caída de
presión de 100 kPa.
381
1.- Planteamiento.
Para obtener la potencia de la bomba se debe efectuar un Bernoulli.
1.1.- Ec. De Bernoulli
Para el caso propuesto ΔU =0 y ΔP=0
Por lo tanto:
2.- Cálculos.
2.1.- Número de Reynolds generalizado.
Por lo tanto ff = 16 /Re = 0.0494.
2.2.- Pérdidas por accesorios.
Dado que el fluido se desplaza a régimen laminar a través de las tuberías, para
determinar el factor K y así evaluar las pérdidas por accesorios se aplica la
ecuación:
382
2.3.- Pérdidas por fricción.
Por tubo
=4.785
Por accesorios:
2.4.- Pérdidas en el filtro.
2.4.- Bernoulli.
2.5.- Potencia de la bomba.
Masa de fluido = 1.66X 1250 X 0.785 X (0.0348)2=1.97 kg /s
3.- Resultado. Se necesita una bomba de ¾ de caballo.
Cálculo de pérdidas de presión en Fluidos Bingham pseudopláticos.
Estos fluidos también llamados de Herschel-Bulkley tienen un comportamiento en
los reoagramas parecidos al siguiente:
383
La ecuación que define a estos fluidos se puede poner como:
La caída de presión para estos fluidos se puede obtener por:
En donde:
factor de fricción de Herschel
El número de Reynolds para estos fluidos está definido por:
También se suele utilizar el número de Reynolds como:
En donde He es el número de Hedstrom generalizado.
Φ=
Para obtener el factor de Herschel-Bulkley se debe estimar ξ
iteraciones.
mediante
Problema 7.
Un fluido Herschel-Bulkley fleye a razón de 0.00158 m 37s por un ducto de 0.0348
m de diámetro interno. El fluido tiene una densidad de 1250 kg/m 3 , un τo = 157 , n
= 0.45 , K = 5.2 Pa-s. ¿Cuál será la caída de presión que experimentará el flujo de
ese fluido por metro de tubo?
1.- Traducción.
2.- Planteamiento.
2.1.- Caída de presión.
384
En donde:
factor de fricción de Herschel
3.- Cálculos.
3.1.- Velocidad.
3.2.- Reynolds.
3.3.- Número de Hedstrom.
3.4.- Factores ξ y Ψ
Para obtener estos factores se deben hacer tanteos.
Si ξ =0.75 , Ψ =0.1602 y ξ calculada = 0.29958
Si ξ = 0.585
Por lo tanto 323.81 = 2 X 36430
Despejando ξ =0.599
Por lo tanto :
3.4.- Caída de presión.
4.- Resultado. La caída de presión es de 30 881 Pa.
Manejo de suspensiones y emulsiones.
Cuando se bombean a través de una tubería horizontal las emulsiones y las
suspensiones de sólidos con líquidos hay una tendencia a la separación o al
asentamiento a menos que la velocidad de flujo se mantenga por arriba de un
valor mínimo.
En el caso de las emulsiones la separación de las fases se puede prever
manteniendo la velocidad lo suficientemente alta para asegurar el flujo turbulento
(Re >> 4000).
En el caso de las suspensiones sólido-líquido hay dos velocidades de importancia.
La velocidad mínima, que es aquella por debajo de la cual los sólidos se asientan
385
y la velocidad a la cual los sólidos se mantienen dispersos o velocidad estándar.
Para partículas no floculantes con diámetros medios entre 0.05 y 0.5 mm se tiene
que:
 


V   K g Dp S
 

0.816
 D m

 m



0.633
K=74.5 x 10-3 para la velocidad estándar.
K= 25.3 x 10-3 para la velocidad mínima.
 m  Densidad media de la suspensión.
 m  xV  S  (1  xV ) 
En donde xV= fracción volumétrica de los sólidos en suspensión. μm = viscosidad
de la suspensión (generalmente se toma la del líquido). ρ S = densidad del sólido.
 = densidad del líquido. V= velocidad.
Dp = diámetro medio de las partículas. D = diámetro del tubo, g = aceleración de
la gravedad.
La caída de presión en estos casos se puede obtener mediante:
1.5
2

u min
P'P
 g D  S    
 121 xV 

 g Dp   
P
V2

 
S

0.75
ΔP= caída de presión como si pasara agua pura a la velocidad V.
ΔP’=caída de presión de la suspensión que se mueve a la velocidad V.
Umin = velocidad mínima.
Problemas sugeridos de autoevaluación
1.- Un fluido con una velocidad de 0.3 m/s fluye a través de una tubería de 1.5
pulgadas de diámetro interno. En la tubería hay 30 m de tubo liso, una válvula de
globo, 3 codos rectos y una descarga. ¿Cuál será la caída de presión en la línea?
Datos: n=0.7, K=0.3 N sn/m2; densidad = 1200 kg /m3.
R.-La caída de presión es de 2683 kg/m2.
2.- ¿Cuál será la caída de presión en 150 m de tubo de 1.5 pulgadas de acero
inoxidable y liso por el que circula un fluido no –newtoniano con los siguientes
parámetros: n= 0.85; K = 0.015 lbsn/ft2 y una densidad de 963 kg /m3, si el caudal
es de 275 litros /minuto?
R.- La caída de presión es de 274572 kg /m2.
3.- En un viscosímetro de cilindros concéntricos se investigó el comportamiento
reológico a 20°C de una solución acuosa de un fluido obteniéndose los siguientes
resultados:
Τ N/m2 3.36
4.36
5.94
7.59
9.48
14.56
19.24
23.67
du/dr
7.33
9.67
13.94
18.72
24.63
43.55
69.93
84.5
-1
s
386
¿De qué tipo de fluido se trata? Deduzca una expresión para su viscosidad
aparente.
R.- Se trata de un fluido no newtoniano seudoplástico. La viscosidad aparente está
dada por:
4.- Se va a bombear polietileno fundido a través de una tubería de acero de una
pulgada cédula 40 a razón de 0.95 L /min. Calcule la caída de presión por unidad
de longitud. Datos: n=0.49; densidad 939 kg /m3, K =329 N sn/m2.
R.- la caída de presión es de 1.5 kg /cm2 por metro de tubo.
5.- Por una tubería lisa se transporta un fluido no-newtoniano con un Reynolds
generalizado de 20 000 ¿Cuál será el valor del factor de fricción si K = 0.418 lb s n
/ft2 y n = 0.575?
R.- El factor de fricción es de 0.0045.
6.- Se desea transportar jugo de manzanas a través del sistema mostrado. El flujo
del jugo es de 0.65 kg /s y la temperatura de 15 ° C. Determine las pérdidas por
fricción producidas y la potencia de la bomba si esta tiene una eficiencia del 70%.
Datos del jugo: K =5 dinas/cm2 sn , densidad = 1.1 g /cm3, n = 0.645.
R.- La pérdidas por fricción son de 402 kgm /kg .Se requiere una bomba de 6 HP.
7.-Un fluido que obedece la ley exponencial y que tiene una densidad de 1041 kg /
m3 fluye a través de 14.9 m de una tubería de 0.0524 m de diámetro interno a una
velocidad promedio de 0.0726 m /s. Las propiedades reológicas del fluido son: K =
15.23 N sn/m2 y n = 0.4.
Calcule la caída de presión y las pérdidas por fricción.
R.- la caída de presión es de 45 490 Pa, las pérdidas por fricción son de 43.6 J
/kg.
387
8.- Un fluido pseudoplástico con 961 kg /m3 de densidad se desplaza a través de
un tubo liso cuyo diámetro interno es de 0.0508 m a la velocidad de 6.1 m /s. Las
propiedades del fluidos son: n =0.3; K = 2.744 N sn/m2. Calcule las pérdidas por
fricción en un tubo de 30.5 m de largo.
R.- La caída de presión es de 1.4 kg /cm2.
9.- ¿Cuál será la caída de presión en 100 m de tubo para un caudal de 100 L /min
de CMC al 0.65% en agua que se transporta a través de una tubería de una
pulgada de diámetro?
Datos: n = 0.716; K = 0.00634 lb sn/ft2; densidad = 1000 kg /m3.
10.- ¿Cuál será la potencia de la bomba requerida para llevar puré de plátano
desde un tanque a través de una tubería de media pulgada de diámetro interno y
de 10 m de longitud equivalente? El nivel del puré en el tanque está a 6 m por
arriba de la descarga del tanque. El flujo del puré es de 0.125 Kg /s. La descarga
es a la atmósfera. Las propiedades del puré son: K= 60 (dinas/cm2) sn; densidad
977 kg /m3; n = 0.454.
R.- La potencia teórica requerida es de 3.88 kgm /s.
11.-Una mezcla de chocolate fundido a 38 ° C se mueve por una tubería de 4
pulgadas a una velocidad de 0.7 m /s. El chocolate se comporta como un fluido
Bingham con las propiedades siguientes: τ0 = 20 N / m2, μœ = 2 Pa.s; densidad =
1100 Kg /m3. ¿Cuál es el factor de fricción esperado para este sistema?
R.- El factor de fricción es de 0.852.
388
Capítulo 14
Flujo de fluidos sobre objetos
sumergidos.
389
Flujo de fluidos sobre objetos sumergidos.
En los capítulos anteriores se ha analizado el caso en que los fluidos viajan por el
interior de ductos. Existen, sin embargo, muchos casos en los que los fluidos o
viajan por el exterior de los tubos o tienen que desplazarse por ductos o equipos
que están obstruidos por retenes , mamparas, empaques , tuberías, tal como
sucede en los cambiadores de calor, las torres empacadas, las torres de platos,
etc. Un caso muy común en el que los objetos sumergidos fluyen entre un fluido
son los barcos, aviones, submarinos, cohetes, etc.
En esos casos, los objetos que se interponen al paso de los fluidos provocan
pérdidas de fricción y se comportan como objetos sumergidos dentro de un fluido.
Ley de Stokes
La Ley de Stokes se refiere a la fuerza de fricción
experimentada por objetos esféricos moviéndose en
el seno de un fluido viscoso en un régimen laminar de
bajos números de Reynolds. Fue derivada en 1851
por George Gabriel Stokes5 tras resolver un caso
particular de las ecuaciones de Navier-Stokes.
En general la ley de Stokes es válida en el
movimiento de partículas esféricas pequeñas
moviéndose a velocidades bajas.
Supongamos que dejamos caer una esfera de acero
dentro de un recipiente que contiene aceite. La esfera
comenzará a caer, pero será frenada en su caída por
las fuerzas de fricción y flotación.
Fuerza de flotación+Fuerza fricción = Fuerza gravitacional.
FD=fuerza de fricción, FB = fuerza de flotación, Fg = fuerza de la gravedad.
5
Sir George Gabriel Stokes, primer Baronet (13 de agosto de 1819-1 de febrero de 1903) fue un
matemático y físico irlandés que realizó contribuciones importantes a la dinámica de fluidos (incluyendo las
ecuaciones de Navier-Stokes), la óptica y la física matemática (incluyendo el teorema de Stokes). Fue
secretario y luego presidente de la Royal Society de Inglaterra
390
Las fuerzas de flotación son fuerzas hacia arriba, ascendentes
FB = fuerza de flotación =
en donde Pef es el peso específico del
fluido.
Las fuerza gravitacional está dirigida hacia abajo y es igual a
Fg = fuerza de la gravedad=
, en donde PeS es el peso específico
de la esfera sólida.
Las fuerzas de fricción se ejercen empujando el sólido hacia arriba
;
, pero
FD=fuerza de fricción=
por lo tanto
, en donde CD es un coeficiente de
fricción similar al que se utiliza en el flujo a través de tuberías.
Por lo tanto:
Pero Vf =Vs o sea el volumen de la esfera=
=
A es el área proyectada de la esfera donde se ejerce la fuerza de fricción.
A=
Entonces:
=
=
Al caer la esfera su velocidad aumenta hasta que las fuerzas de aceleración y de
retardo sean iguales. Cuando se alcanza ese punto la velocidad de la esfera
permanecerá constante durante el resto de la caída. Esta velocidad recibe el
nombre de velocidad terminal.
Experimentalmente se ha observado que si
Re < 0.3 entonces
por lo que:
391
Conocida como la ecuación de Stokes.
De ella se ve que:
Esta ecuación sirve para obtener la viscosidad mediante cierto tipo
de viscosímetros.
Ejemplo 1.
¿Cuál será la viscosidad de un fluido que tiene una densidad de 1100 kg /m 3 si se
deja caer una esfera de acero de 1 cm de diámetro cuya densidad es de 7800 kg
/m3.? La velocidad terminar que se midió fue de 8 cm /s.
1.- Planteamiento.
1.1.- Ley de Stokes.
2.- Cálculos.
2.1. Número de Reynolds.
=
Si el Re <0.3 se puede emplear la ley de Stokes.
2.2.- Viscosidad suponiendo Re bajo.
2.3.- Comprobación del Reynolds.
=
Este Reynolds es menor de 0.3 por lo tanto el resultado de la viscosidad es
correcto.
3.-R.- La viscosidad es de 4560 cps.
FACTORES DE FRICCION ALREDEDOR DE OBJETOS SUMERGIDOS.
Cuando un fluido fluye alrededor de un objeto, para evaluar la fuerza cinética F es
K
necesario (al igual que en el flujo a través de tuberías) definir un coeficiente de
transferencia de cantidad de movimiento o factor de fricción "f" según:
En general para este tipo de sistemas el área característica se toma como la
proyección del sólido sumergido sobre un plano perpendicular a la velocidad del
fluido. Así, para una esfera
392
La energía cinética característica por unidad de volumen se toma como
donde u es la velocidad con que se aproxima el fluido al objeto,
∞
medida lejos de éste de manera que su presencia no altere su valor.
Nuevamente "f" deberá ser evaluado experimentalmente.
ARRASTRE SOBRE UNA ESFERA SUMERGIDA.
Suponiendo que un fluido newtoniano de ρ y μ constantes fluye alrededor de una
esfera lisa acercándose con una velocidad u ,
∞
La definición de F quedará:
K
Esta ecuación define al factor de fricción o de arrastre para esferas sumergidas
"f ".= CD
D
Nuevamente con el propósito de evaluar experimentalmente "f " se hace
D
necesario saber de qué parámetros depende. Al igual que para flujo en conductos
esta información se obtiene de los balances microscópicos adimensionales que
gobiernan al sistema. Como "f " es adimensional dependerá de las distribuciones
*
*
D
adimensionales de u y p :
Donde ρDu∞/μ=Re
La rugosidad relativa no aparece pues se supone que la esfera es lisa.
En la figura se muestra la correlación experimental de "f " vs Re:
D
Para la zona de flujo reptante (Re<1) se observa una dependencia lineal de "f " o
D
C D (coeficiente de arrastre, drag coefficient) con el Re y la ecuación
correspondiente es:
393
Si se reemplaza esta ecuación en la definición de "f " se obtendrá la ecuación de
D
Stokes.
Para Re >1 comienza a producirse el fenómeno de la separación de la capa límite
detrás de la esfera, desplazándose el punto de separación tanto más hacia
delante cuanto mayor sea el Re.
A medida que esto sucede la fuerza que actúa sobre la esfera se vuelve
aproximadamente proporcional al cuadrado de u entonces "f " tiende a ser
∞
D
constante (de acuerdo con su definición).
-Esto ocurre para valores de Re:
En esta región f ≅ 0.44 y la separación de la capa límite ocurre para θ≅ π/2. En
D
esta zona se dice que se cumple la ley de Newton.
5
Cuando Re>2x10 se produce una brusca disminución de "f " que se corresponde
D
con la transición de capa límite laminar a turbulenta con la consiguiente
disminución del arrastre.
A partir de la correlación de "f " es posible calcular la velocidad límite de caída de
D
una partícula o el diámetro de una partícula que cae con velocidad límite conocida.
La primera evaluación es de suma importancia cuando se hacen cálculos de
sedimentación, clasificación, fluidización, transporte neumático, etc.
Teniendo en cuenta que si la esfera cae con velocidad límite las fuerzas que
actúan sobre ella están equilibradas:
Peso =Fs +Fk
394
Reemplazando y utilizando la definición de "f ":
D
Despejando la velocidad terminal:
Para calcular "f , también llamado coeficiente de arrastre
es necesario usar
D
Un método iterativo pues para utilizar la correlación de "f " vs Re es necesario
D
conocer la velocidad.
Nótese que utilizando "f " hemos ampliado la zona de cálculo de fuerzas de
D
arrastre desde Re<1 (flujo reptante) a cualquier valor de Re.
Ejemplo 2.
¿Cuál es la fuerza que ejercería el aire sobre una esfera de 10 m de diámetro si se
desplaza a una velocidad de 30 m /s a 30 ° C y 1 atm?
1.- Traducción.
2.- Planteamiento.
2.1.- Fuerza.
3.- Cálculos.
3.1.- Propiedades del aire.
Viscosidad = 0.018 cps, densidad = 1.167 kg /m3
3.2.- Reynolds del aire.
Del gráfico fD o CD= 0.2
3.3.-Fuerza.
4.- Resultado. La fuerza ejercida es de 840 kg.
395
ARRASTRE SOBRE PARTICULAS NO-ESFERICAS SUMERGIDAS.
Es posible extender la metodología anterior a partículas no esféricas utilizando un
"diámetro equivalente" que se define como el diámetro de una esfera de igual
volumen que la partícula en cuestión.
Así, si V es el volumen de la partícula, el diámetro equivalente D queda definido
p
e
como:
Como ya sabemos que el arrastre no sólo depende del área de contacto fluidosólido, sino que también es función de la forma del sólido, esta deberá ser
contemplada de alguna manera.
Para ello se define un "coeficiente de forma" o "esfericidad" ψ:
-Dado que a igual volumen la superficie de una esfera es la mínima, ψ será menor
que 1 y cuanto más esférica sea la partícula se aproximará más a la unidad.
Utilizando la definición de diámetro equivalente la superficie de una esfera de igual
volumen que la partícula será igual a
. Luego llamando A a la superficie de la
P
partícula:
-No siempre se cuenta con los valores de área y volumen de las partículas, por lo
que es común asimilar la forma de la partícula problema a una geometría simple
para efectuar los cálculos.
En la figura se representa la correlación de "f " vs Re para partículas esféricas y
D
no esféricas.
Es necesario ser muy cuidadoso con la elección de la forma de las partículas ya
que no debe olvidarse la fuerte dependencia del arrastre con ella.
Ejemplo 3.
Obtenga la esfericidad de un cilindro de altura 1cm y 1 cm de diámetro.
1.- Cálculos.
1.1.- Volumen del cilindro.
396
1.2.- Área del cilindro.
1.3.- Área de una esfera con superficie igual a la del cilindro.
0.785=
Área de la esfera =
1.4.- Esfericidad.
Ψ=
2.- Resultado. La esfericidad es de 0.871.
Ejemplo 4.
El agua de un río fluye alrededor de los pilotes cilíndricos de un puente. Los pilotes
miden 0.4 m de diámetro y están sumergidos 3 m en el agua. Calcule la fuerza
que ejerce la corriente sobre cada pilote cuando fluye a la velocidad de 3 m/s y a
15 °C.
1.- Traducción.
2.- Planteamiento.
2.1.- Fuerza.
3.- Cálculos.
3.1. Reynolds.
A 15 ° C la densidad del agua es de aproximadamente 1000 kg / m3
Y la viscosidad de 1x 10-3 kg / m s.
Por lo tanto el Reynols es Re= 1.2 x 106.
3.2.- Coeficiente de arrastre.
De la gráfica para cilindro el CD es de 0.33
3.3.- Fuerza.
S = 3X0.4 = 1.2 m2.
=
397
4.- Resultado. Se ejerce una fuerza de 181.65 kilogramos fuerza sobre cada
pilote.
Otra fuente de error que puede aparecer en cálculos de sedimentación es que rara
vez una partícula sedimenta sola, en la mayoría de los casos existen numerosas
partículas que conducen a interferencia mutua en sus movimientos. Por ello, es
necesario introducir factores de corrección que no serán discutidos en este curso.
La gráfica tiene el problema de que si no se sabe el valor de la velocidad (u) se
debe hacer tanteos. Por ello, se suelen emplear otras gráficas que eviten eso.
Uno de los métodos aconsejables es el empleo de gráficas que utilizan los
números de Arquímedes, Reynolds y Lyaschenko.
Número de Arquímedes.
Número de Reynolds.
Número de Lyaschenko.
Grafica
398
Ejemplo 5.
Un tanque esférico de 6 m de diámetro está colocado en una fábrica. Si la
temperatura, la presión y la velocidad del aire son de 20°C, 1 atm y 150 km/h,
respectivamente. ¿Cuál será la fuerza total que el viento ejerce sobre la esfera?
1.- Traducción.
399
2.- Planteamiento.
2.1 Fuerza
3. Cálculos.
3.1 Reynolds
A 20 °C , μ=0.0185 cps; ρ= 1.207 kg / m3
3.2 Coeficiente de arrastre
De la gráfica para cilindros (apéndice XLVIII):
CD = 0.33
3.3 Fuerza
4.- Resultado. La fuerza que se ejercerá sobre la esfera es de 452.7 kilogramos
fuerza.
Ejemplo 6.
Se tienen partículas de arena de 2mm de diámetro y una densidad de 2200 kg
/m3. Si se sopla aire sobre ellas a 20 ° C y una atmósfera ¿Cuál será la velocidad
a la cual se empezarán a arrastrar las partículas?
1.- Discusión.
Este problema se resuelve a base de tanteos usando las gráficas del Reynols
contra el factor de arrastre. También puede resolverse a través de las gráficas de
Arquímedes contra Reynolds.
2.- Cálculos.
2.1.- Datos de las propiedades del aire
Viscosidad = 0.018 cps, densidad = 1.207 kg /m3
400
2.2.-Número de Arquímedes.
2.3.-Número de Reynolds.
De la gráfica Re =1000
3.- Resultado.
Las partículas de arena comenzaran a moverse cuando la velocidad del aire
supere los 7.45 m/s.
Ejercicios sugeridos de autoevaluación
1.- Calcule la velocidad terminal de unas partículas esféricas de café de 400
micras de diámetro, que caen a través de aire a 150 °C. La densidad de las
partículas es de 1030 kg /m3.
R.-la velocidad terminal será de 1.32 m /s.
2.-Calcule la fuerza ejercida por el viento sobre una columna de destilación de 50
pies de alto y 8 pies de diámetro cuando la velocidad del viento es de 40 mph. La
temperatura del aire es de 20 ° C y está a la presión de una atmósfera.
R.- La fuerza ejercida es de 141.7 kg fuerza.
3.- Una chimenea de 30 m de alto y 1.5 m de diámetro está sometida a un viento
de 100 km /h. Calcule la fuerza que ejerce el viento sobre la chimenea si la
temperatura es de 20 ° C y la presión barométrica de 750 mm de Hg.
R.- El aire ejerce una fuerza de 695.55 kg sobre la chimenea.
4.- Se dejan caer esferas de vidrio con una densidad de 2.62 g /cm 3 a través de
tetracloruro de carbono con las siguientes propiedades: densidad 1590 kg /m 3,
viscosidad de 0.958 cups. ¿Qué diámetro deberían tener las esferas para obtener
una velocidad terminal de 0.65 m /s.?
R.- Las esferas deberían tener un diámetro de 0.022 m.
5.- Un cable eléctrico de alta tensión de 2.5 cm de diámetro está sometido a la
acción del viento, cuya velocidad llega a ser de hasta 80 km/h a 20 ° C. Determine
la fuerza que se ejercería sobre 200 m de cable.
R.- la fuerza sería de 182 kg.
401
Capítulo 15
Flujo en canales.
402
Historia
El conocimiento empírico del funcionamiento de los canales se remonta a varios
milenios. En la antigua Mesopotamia se usaban canales de riego, en la Roma
Imperial se abastecían de agua a través de canales construidos sobre inmensos
acueductos, y los habitantes del antiguo Perú construyeron en algunos lugares de
los Andes canales que aún funcionan. El conocimiento y estudio sistemático de los
canales se remonta al siglo XVIII, con Chézy, Bazin y otros.
Los egipcios fueron sin duda también los primeros pueblos que se sirvieron de
canales para fertilizar los campos con las aguas del Nilo y cuando las tierras se
hallaban demasiado altas empleaban máquinas para elevar el agua a la altura
necesaria. La mayoría de estas se dice las inventó Arquímedes en su viaje a
Egipto. Algunos suponen que la mayor parte de las bocas del Nilo fueron canales
abiertos por la mano del hombre.
Sesostris I y sus sucesores intentaron poner en comunicación el Nilo con el mar
Rojo, en cuya empresa perecieron durante el reinado de Neco unos ciento veinte
mil hombres. Este proyecto se abandonó por la predicción de un oráculo que
manifestó que por este medio se abriría quizá un pasaje a los bárbaros. Más
adelante continuó Darío este mismo canal, que según Herodoto tenía ya cuatro
días de navegación.
Había en Egipto otros canales, pero estos servían más para el riego que para la
navegación. El mayor de todos fue el que Moeris hizo construir para conducir las
aguas del Nilo al gran lago que había mandado hacer. Se asegura que este canal
tenía ochenta estadios de largo y trescientos pies de ancho, cuya entrada podía
abrirse y cerrarse según convenía. El canal que el califa Omar hizo construir para
trasportar a Medina los granos de Alejandría, creen algunos que fue siguiendo las
huellas del antiguo.
Los célebres ríos de Asia el Éufrates y el Tigris estaban en comunicación por
medio de un canal que algunos creen obra de Nabucodonosor y otro canal que
unía el Tigris con el Euleo sirvió bastante a Alejandro en sus conquistas.
Los griegos y romanos proyectaron abrir un canal cortando el istmo de Corinto que
une Acaya con Morea, a fin de poder pasar del mar Jónico al Archipiélago. Este
istmo apenas tiene más de dos leguas y cortándolo ahorraba a las embarcaciones
una vuelta de ciento sesenta leguas alrededor del Peloponeso y el doblar un cabo
muy peligroso por sus muchos escollos. Periandrio fue el primero que formó este
proyecto 5 ó 6 años antes de la era cristiana. Demetrio Poliorcetas rey de
Macedonia tres siglos después ensayó hacer una isla del Peloponeso, empresa
que abandonó más adelante. Julio César, Cayo Calígula, Nerón y en fin Herodes
Ático procuraron entorpecer o frustrar esta tentativa. Tantas dificultades, muchas
de ellas insuperables, dieron lugar a este proverbio latino: Isthmum fodere.
403
Los romanos, no menos que los egipcios y los pueblos del Asia, sin embargo
promovieron la construcción de sus principales canales los que fueron obra de su
genio guerrero para facilitar los
trasportes y hacer las marchas con
más prontitud, pero no descuidaron
por esto los canales de riego tan
importantes
para
un
pueblo
agricultor. Así es que Catón y la
mayoría de los escritores antiguos
consideran como la más rica de las
posesiones un campo que se
pueda regar, solum irrigunm.
Cicerón considera con razón el
riego de los campos como la causa
principal de su fertilidad y le
recomienda muy particularmente: acide ductus aquarum, derivationes fluminum,
agrorum irrigationes. Vitrubio habla de la construcción de estos canales con
mucha extensión, etc.
Los chinos aventajaron a los griegos, a los romanos y en una palabra, a todos los
pueblos en la construcción de canales. Según todas las noticias que tenemos de
este pueblo, se ocuparon ya desde la más remota antigüedad en la conducción y
distribución de las aguas. El más célebre canal de China es el Yun-leang o canal
real que emprendió en el año 1289 el emperador Chi-tsou jefe de la dinastía Fuen,
el primero de los emperadores tártaros-mogoles que reinaron en la China. Corre el
espacio de unas 140 leguas.
En América los mayas y los aztecas construyeron canales para regar sus tierras
y acueductos para llevar el vital líquido a sus poblaciones. Durante la colonia al
expandirse el territorio ocupado por ciudades se requirió la construcción de
acueductos de los que quedan como testigos los construidos en la ciudad de
México, en Querétaro y en Morelia.
Generalidades sobre canales.
El flujo de agua en un conducto puede ser flujo en canal abierto o flujo en tubería.
Estas dos clases de flujos son similares en diferentes en muchos aspectos, pero
estos se diferencian en un aspecto importante.
El flujo en canal abierto debe tener una superficie libre, en tanto que el flujo en
tubería no la tiene, debido a que en este caso el agua debe llenar completamente
el conducto.
Las condiciones de flujo en canales abiertos se complican por el hecho de que la
composición de la superficie libre puede cambiar con el tiempo y con el espacio, y
también por el hecho de que la profundidad de flujo el caudal y las pendientes del
fondo del canal y la superficie libre son interdependientes.
404
En estas la sección transversal del flujo, es fija debida a que está completamente
definida por la geometría del conducto. La sección transversal de una tubería por
lo general es circular, en tanto que la de un canal abierto puede ser de cualquier
forma desde circular hasta las formas irregulares en ríos. Además, la rugosidad en
un canal abierto varia con la posición de una superficie libre. Por consiguiente la
selección de los coeficientes de fricción implica una mayor incertidumbre para el
caso de canales abiertos que para del de tuberías, en general, el tratamiento del
flujo en canales abiertos es más que el correspondiente a flujo en tuberías. El flujo
en un conducto cerrado no es necesariamente flujo en tuberías si tiene una
superficie libre, puede clasificarse como flujo en canal abierto.
Canales abiertos y sus propiedades.
Clases de canales abiertos. Un canal abierto es un conducto en el cual el agua,
fluye con una superficie libre. De acuerdo con su origen un canal puede ser natural
o artificial.
Los canales naturales incluyen todos los tipos de corrientes de agua que existen
de manera natural en la tierra, lo cuales varían en tamaño desde pequeños
arroyuelos en zonas montañosas hasta quebradas, arroyos, ríos pequeños y
grandes, y estuarios de mareas. Las corrientes subterráneas que transportan agua
con una superficie libre también son consideradas como canales abiertos
naturales.
Las propiedades hidráulicas de un canal natural por lo general son muy
irregulares. En algunos casos pueden hacerse suposiciones empíricas
razonablemente consistentes en las observaciones y experiencias reales, de tal
modo que las condiciones de flujo en estos canales se vuelvan manejables
mediante tratamiento analítico de la hidráulica teórica.
Los canales artificiales son aquellos construidos o desarrollados mediante el
esfuerzo humano: canales de navegación, canales de centrales hidroeléctricas,
canales y canaletas de irrigación, cunetas de drenaje, vertederos, canales de
desborde, canaletas de madera, cunetas a lo largo de carreteras etc..., así como
canales de modelos de laboratorio con propósitos experimentales las propiedades
hidráulicas de estos canales pueden ser controladas hasta un nivel deseado o
diseñadas para cumplir unos requisitos determinados.
La aplicación de las teorías hidráulicas a canales artificiales producirán, por tanto,
resultados bastantes similares a las condiciones reales y, por consiguiente, son
razonablemente exactos para propósitos prácticos de diseños.
La canaleta es un canal de madera, de metal, de concreto de mampostería, a
menudo soportado en o sobre la superficie del terreno para conducir el agua a
través de un de una depresión. La alcantarilla que fluye parcialmente llena, es un
canal cubierto con una longitud corta instalado para drenar el agua a través de
terraplenes de carreteras o de vías férreas. El túnel con flujo a superficie libre es
un canal largo, utilizado para conducir el agua a través de una colina o a cualquier
obstrucción del terreno.
405
El flujo de canales abiertos tiene lugar cuando los líquidos
fluyen por la acción de la gravedad y solo están
parcialmente envueltos por un contorno sólido. En el flujo de
canales abiertos, el líquido que fluye tiene superficie libre y
sobre él no actúa otra presión que la debida a su propio
peso y a la presión atmosférica. El flujo en canales abiertos
también tiene lugar en la naturaleza, como en ríos, arroyos,
etc., si bien en general, con secciones rectas del cauce
irregulares. De forma artificial, creadas por el hombre, tiene lugar en los canales,
acequias, y canales de desagüe. En la mayoría de los casos los canales tienen
secciones rectas regulares y suelen ser rectangulares, triangulares o
trapezoidales. También tienen lugar el flujo de canales abiertos en el caso de
conductos cerrados, como tuberías de sección recta circular cuando el flujo no es
a conducto lleno. En los sistemas de alcantarillado no tiene lugar, por lo general, el
flujo a conducto lleno, y su diseño se realiza como canal abierto .
ESTADO DE FLUJO. El estado o comportamiento del flujo en canales abiertos
está gobernado básicamente por los efectos de viscosidad y gravedad con
relación con las fuerzas inerciales del flujo.
EFECTO DE VISCOSIDAD. El flujo puede ser laminar, turbulento o transaccional
según el efecto de la viscosidad en relación de la inercia.
EL FLUJO ES LAMINAR: Si las fuerzas viscosas son muy fuertes en relación con
las fuerzas inerciales, de tal manera que la viscosidad juega con un papel muy
importante en determinar el comportamiento del flujo. En el flujo laminar, las
partículas de agua se mueven en trayectorias suaves definidas o en líneas de
corriente, y las capas de fluido con espesor infinitesimal parecen deslizarse sobre
capas adyacentes.
EFECTO DE LA GRAVEDAD: El efecto de la gravedad sobre el estado del flujo
representa por relación por las fuerzas inerciales y las fuerzas gravitacionales.
GEOMETRIA DEL CANAL: Un canal con una sección transversal invariable y una
pendiente de fondo constante se conoce como canal prismático. De otra manera,
el canal es no prismático; un ejemplo es un vertedero de ancho variable y
alineamiento curvo. Al menos que se indique específicamente los canales
descritos son prismáticos.
El trapecio es la forma más común para canales con bancas en tierra sin
recubrimiento, debido a que proveen las pendientes necesarias para la estabilidad.
El rectángulo y el triángulo son casos especiales del trapecio. Debido a que el
rectángulo tiene lados verticales, por lo general se utiliza para canales construidos
para materiales estables, como mampostería, roca, metal o madera. La sección
transversal solo se utiliza para pequeñas asqueas, cunetas o a lo largo de
carreteras y trabajos de laboratorio. El círculo es la sección más común para
alcantarillados y alcantarillas de tamaño pequeño y mediano.
406
Ecuaciones de flujo.
Si se aplica la ecuación de Bernoulli para los puntos 1 y 2 de un canal se tiene
que:
(1)
En un canal la presión en el punto 1
atmosférica), por lo tanto
.
y el punto 2 es la misma (Presión
Si no cambia la sección del canal, la velocidad en el punto 1 y en el 2 es la misma,
por lo tanto
Si en el canal no hay bomba o molino o turbina entonces
Por lo tanto la ecuación queda reducida a:
(2)
O sea, que en un canal uniforme la disminución de la energía potencial es
consumida totalmente por las pérdidas de fricción.
El término de pérdidas de fricción se puede calcular mediante la ecuación de
Darcy:
(3)
En un canal el término de diámetro se sustituye por el del diámetro equivalente
=4
(4)
En donde:
(5)
En un canal la superficie de contacto con la atmósfera prácticamente no sufre de
pérdidas por rozamiento, por lo que el radio hidráulico en un canal será la
superficie transversal ocupada por el flujo (llamada área hidráulica) y dividida por
el perímetro mojado.
En el cálculo de los canales es costumbre
definida como:
(6)
Sustituyendo 4 ,6 y 3 en 2 nos queda:
407
hablar de la pendiente hidráulica
Despejando la velocidad:
(8)
La ecuación anterior recibe el nombre de ecuación de Chezy.
En esa ecuación:
(9)
Es el coeficiente de la ecuación de Chezy 6es difícil de calcular, por lo que se
usan otras ecuaciones para obtener ese coeficiente. Una de las más usadas es la
de Bazin.
(10) en donde
es un factor de rugosidad de Bazin7 que se obtiene
a partir de tablas.
Otro coeficiente muy empleado es el Manning8
(11) en donde
n es un factor de rugosidad de Manning que se
obtiene a partir de tablas. Empleando el factor de Manning la ecuación de Chezy
queda:
(12)
6
Antoine de Chézy, (1 de septiembre de 1718, Châlons-en-Champagne - 4 de octubre de 1798, París), fue
un ingeniero francés, conocido internacionalmente por su contribución a la hidráulica de los canales abiertos,
en particular por la llamada ecuación o fórmula de Chézy.
7
Henri-Émile Bazin, nacido el 20 de octubre de 1829 en Nancy (Francia), muerto el 7 de febrero (otras
fuentes indican el día 14 de febrero de 1917 en Chenôve, fue un hidráulico francés conocido, en particular,
por: La fórmula de Bazin, aplicada frecuentemente y en especial para las redes de alcantarillado, y por su
cálculo del coeficiente de Chézy;
8
Robert Manning (1816-1897) fue un ingeniero Irlandés, conocido por la creación de la fórmula de
Manning.
408
Antoine
Manning
Chezy
Robert
Henri Emile Bazin
Ejemplo 1.
Un canal rectangular de ancho igual a 2m y una tirante de 1.5 m tiene una
pendiente de 0.0007 M/m. Determine la velocidad y el caudal de agua que pasan
si el canal es de tierra recto y bien conservado.
1.- Traducción.
2.- Planteamiento.
2.1.- Ecuación para canales.
409
2.2.- Coeficiente de Bazin.
De acuerdo con el enunciado, el coeficiente más cercano es el Bazin.
3.- Cálculos.
3.1.- Radio hidráulico.
3.2.- Coeficiente de Bazin
De la tabla el valor γ es de 1.5
3.3.-Velocidad y caudal.
Caudal =u X A=
410
4.- Resultado. La velocidad es de 0.6 m/s, el caudal de 1.8 m3/s.
Ejemplo 2.
Un canal de sección trapezoidal tiene una pendiente de 0.0007 m/m, el fondo del
canal tiene una anchura de 2.2 m. El tirante es de 1.5 m. El talud del canal es de
45°. Determine la velocidad media y el caudal que pasan si el canal está formado
por mampostería de piedras rectangulares.
Talud= Inclinación de las paredes del canal.
Tirante= Profundidad del agua en el canal.
1.- Traducción.
2.- Planteamiento.
2.1.- Ecuación de diseño.
2.2.- Coeficiente de Manning.
3.-Cálculos.
3.1.- Radio hidráulico.
Por tratarse de un trapecio.
Del dibujo se tiene que:
Base menor = 2.2 m; altura = 1.5 m
Base mayor = 2.2+ 2(1.5) = 5.2
411
=
Perímetro mojado = 2.2+ 2(2.12)=6.44 m
Radio hidráulico = 5.55 /6.44 = 0.86 m
3.2.- Coeficiente de Manning
De las tablas n = 0.017
=
3.3.- Velocidad y caudal.
=1.4 m /s
Caudal
Caudal =u X A=
4.- Resultados. La velocidad media es de 1.4 m /s y el caudal de 7.728 m 3/s
Otra forma de resolver estos problemas es mediante el nomograma que se
presenta a continuación.
FIGURA 25 - Nomograma para resolver la fórmula de Manning. Si se conocen
tres variables, es posible encontrar la cuarta
412
Ejemplo 3.
Dado R = 0,3 m, n= 0,03, pendiente = 2% o 0,02 m por m, encontrar la velocidad
V.
Solución: Únase R = 0,3 y n = 0,03 y proyéctese la línea de referencia. Únase el
punto situado en la línea de referencia con la pendiente = 0,02. La intersección de
la escala de velocidad da V =2,0 m/s.
Límites de velocidad. Tanto en canales como en las tuberías de drenaje la
velocidad media del agua normalmente no se aleja de una gama de valores
impuesta por las buenas condiciones de funcionamiento y mantenimiento. La
siguiente tabla muestra los valores de diseño más comunes.
Tipo de conducción
Velocidades recomendadas
Canales de navegación
Hasta 0.5 m /s
413
Canales industriales sin revestimiento
0.4 a 0.8 m /s
Canales industriales con revestimiento
0.6 a 1.4 m /s
Acueductos para agua potable
0.6 a 1.3 m /s
Alcantarillas
0.6 a 1.5 m /s
Elementos geométricos de la sección del canal
Los elementos geométricos son propiedades de una sección del canal que puede
ser definida enteramente por la geometría de la sección y la profundidad del flujo.
Estos elementos son muy importantes para los cálculos del escurrimiento.

Profundidad del flujo, calado o tirante: la profundidad del flujo (h) es la
distancia vertical del punto más bajo de la sección del canal a la superficie
libre.

Ancho superior: el ancho superior (T) es el ancho de la sección del canal
en la superficie libre.

Área mojada: el área mojada (A) es el área de la sección transversal del
flujo normal a la dirección del flujo.

Perímetro mojado: el perímetro mojado (P) es la longitud de la línea de la
intersección de la superficie mojada del canal con la sección transversal
normal a la dirección del flujo.

Radio hidráulico: el radio hidráulico (R) es la relación entre el área mojada
y el perímetro mojado, se expresa como: R = A / P

Profundidad hidráulica: la profundidad hidráulica (D) es la relación del
área mojada con el ancho superior, se expresa como: D = A / T
El perfil más difundido para canales es el trapezoidal
EFICIENCIA EN CANALES ABIERTOS.
Se conoce que los sistemas de canales abiertos se diseñan con el fin de trasportar
líquidos desde un lugar determinado hasta otro con una altura de cota menor a la
inicial, manteniendo un caudal o una razón de flujo constante bajo la influencia de
414
la gravedad al menor precio posible. Debido a que no es necesario la aplicación
de energía al sistema el costo de construcción se traduce al valor inicial una vez
comenzados los trabajos, traduciéndose en el tamaño físico de la obra, por tal
razón para una longitud establecida el perímetro de la sección representara
también el costo del sistema; por lo cual debe mantenerse al mínimo para no
incrementar los costos y los tamaños de la sección. Debido a lo anteriormente
mencionado, la eficiencia de un canal tiene relación con encontrar un área de paso
(A) mínima para transportar un caudal (Ca) dado, con una pendiente del canal (m)
y coeficiente de Manning (n) dados.
Por lo cual, escribiendo el radio hidráulico como rH = A/P la ecuación de caudal se
puede reescribir de la siguiente forma:
(14)
Despejando el área (A)
(15)
Donde la cantidad entre paréntesis es constante. La ecuación anterior indica que
un área de paso mínima está asociada a un perímetro mojado mínimo y por lo
tanto las necesidades de excavación como de material, para cubrir las superficies
del canal, son mínimas, influyendo directamente en los costos de construcción
como se mencionó anteriormente. La forma con el perímetro mínimo por unidad de
área es el círculo, por lo tanto tomando en cuenta la mínima resistencia del flujo en
esta sección, la mejor sección transversal para un canal abierto es el semicírculo.
Sin embargo en el campo de la construcción resulta más económico construir un
canal con lados rectos como las secciones trapezoidales o rectangulares en vez
de un semicírculo, lo que lleva a analizar cuál de las diferentes secciones a utilizar
es la más conveniente para el sistema.
Secciones Rectangulares
Criterio para mejor sección transversal hidráulica (para canal rectangular):
415
Ejemplo 4.
Determine la sección óptima que deberá tener un canal de tierra para transportar
12 m3/s a una velocidad máxima de 0.9 m/s. ¿Cuál deberá ser la pendiente?
1. Traducción.
2.-Planteamiento.
2.1.- Caudal.
2.2.- Sección óptima.
Del examen de las ecuaciones anteriores se desprende que el caudal será el
máximo si el radio hidráulico es el máximo. El radio hidráulico será el máximo
cuando el perímetro mojado sea el mínimo.
416
Área: A =bXy
; perímetro = Pm= 2y+b
Por lo tanto Pm= 2y+ A/y
Derivando Pm con respecto a y:
Igualando a cero:
Por lo tanto:
Pero by =2y2 por lo tanto y=b/2
Así pues, la profundidad es la mitad de la anchura y por lo tanto el radio hidráulico
óptimo será:
=
El radio hidráulico óptimo es la mitad de la profundidad o tirante.
3.- Cálculos.
3.1.- Sección
;
b=5.163 m
3.2.- Pendiente.
Para este caso n =0.025; rH= 1.29 m,
4.- Resultados. La pendiente es de 3.605 X 10-4 m/m. El área de flujo es de 13.33
m2, la anchura es de 5.163m y la profundidad de 2.58 m.
Canales Trapezoidales.
Para canales trapezoidales se toman los mismos criterios para la sección
hidráulica más eficiente:
417
Como conclusión se puede decir que la mejor sección transversal hidráulica para
un canal abierto es la que tiene el máximo radio hidráulico o, proporcionalmente, la
que tiene menor perímetro mojado para una sección transversal especifica.
ENERGIA EN CANALES ABIERTOS.
En hidráulica se sabe que la energía total del agua en metros-kilogramos por
kilogramos de cualquier línea de corriente que pasa a través de una sección de
canal puede expresarse como la altura total en pies de agua, que es igual a la
suma de la elevación por encima del nivel de referencia, la altura de presión y la
altura de velocidad.
Energía de un flujo gradualmente variado en canales abiertos.
Por ejemplo, con respecto al plano de referencia, la altura H de una sección 0 que
contiene el punto A en una línea de corriente del fluido de un canal de pendiente
alta, puede escribirse como:
418
De acuerdo con el principio de conservación de energía, la altura de energía total
en la sección 1 localizada aguas arriba debe de ser igual a la altura de energía
total en la sección 2 localizada aguas abajo más la pérdida de energía hf entre las
dos secciones, ver figura.
Esta ecuación es aplicable a flujos paralelos o gradualmente variados. Para un
canal de pendiente pequeña, esta se convierte en
ENERGIA ESPECÍFICA.
La energía específica en una sección de canal se define como la energía de agua
en cualquier sección de un canal medida con respecto al fondo de este.
O, para un canal de pendiente pequeña y =1, la ecuación se convierte en
La cual indica que la energía específica es igual a la suma de la profundidad del
agua más la altura de velocidad. Para propósitos de simplicidad, el siguiente
análisis se basará en un canal de pendiente pequeña. Como u=Ca/A, puede
escribirse como:
Puede verse que, para una sección de canal y caudal Ca determinados, la energía
específica en una sección de canal sólo es función de la profundidad de flujo.
Cuando la profundidad de flujo se gráfica contra la energía para una sección de
canal y un caudal determinados, se obtiene una curva de energía específica, como
se muestra en la siguiente figura. Esta curva tiene dos ramas, AC y BC. La rama
419
AC se aproxima asintóticamente al eje horizontal hacia la derecha. La rama BC se
aproxima a la línea OD a medida que se extiende hacia arriba y hacia la derecha.
La línea OD es una línea que pasa a través del origen y tiene un ángulo de
inclinación. Para un canal de pendiente alta, el ángulo de inclinación de la línea
OD será diferente de 45°. En cualquier punto P de esta curva, la ordenada
representa la profundidad y la abscisa representa la energía específica, que es
igual a la suma de la altura de presión "y" y la altura de velocidad
Curva de energía especifica
La curva muestra que, para una energía específica determinada, existen dos
posibles profundidades, la profundidad baja y1 y la profundidad alta y2. La
profundidad baja es al profundidad alterna de la profundidad alta, y viceversa. En
el punto C, la energía específica es mínima. Por consiguiente, en el estado crítico
es claro que las dos profundidades alternas se convierten en una, la cual es
conocida como profundidad crítica yc. Cuando la profundidad de flujo es mayor
que la profundidad crítica, la velocidad de flujo es menor que la velocidad crítica
para un caudal determinado y, por consiguiente, el flujo es subcrítico. Cuando la
profundidad de flujo es menor que la profundidad crítica, el flujo es subcrítico. Por
tanto, y1 es la profundidad de un flujo supercrítico y y2 es la profundidad de un
flujo supercrítico. Si para un flujo dado la profundidad es mayor a la crítica, el flujo
es tranquilo y para profundidades menores que la crítica el flujo es rápido
Para canales rectangulares el tirante crítico está definido por aquel que produzca
la energía mínima, es decir:
Para un canal rectangular A = b x y
Por lo tanto:
420
Por lo tanto:
Igualando la derivada a cero y re arreglando queda:
De donde:
En donde b es el ancho del canal.
Ejemplo 5.
Un canal rectangular de 9 metros de ancho transporta 10 m 3/s de agua con un
tirante de 1 m. ¿Cuál es la energía específica? ¿Qué tipo de flujo se presenta?
1.- Planteamiento.
1.1.- Energía específica.
1.2.- Tirante crítico.
2.- Cálculos.
2.1.- Energía específica.
2.2.- Tirante crítico.
3.- Resultado. La energía específica es de 1.06 kgm /kg, el tirante crítico es de
0.501 m, por lo tanto el flujo es rápido.
Ejemplo 6.
Una alcantarilla formada por tubos de acero tiene un diámetro de 1 metro. La
alcantarilla está llena de agua hasta una altura de 0.7 m, si la pendiente es de
0.007 m/m, encuentre el caudal que lleva la alcantarilla. ¿Cuál será la energía
específica? Determine también el tipo de flujo que se presenta.
1.- Planteamiento.
1.1.- Velocidad y caudal.
421
1.2.- Energía específica.
1.3.- Tirante crítico.
2.- Cálculos.
2.1.- radio hidráulico.
La obtención del radio hidráulico requiere del área de flujo y del perímetro mojado.
Ambas se pueden obtener por trigonometría. La práctica más común es la de
consultar tablas como la que se presenta a continuación.
De la tabla se obtiene que dado que y = 0.7 d, el radio hidráulico es 0.2962 d=
0.2962 m y el área de flujo es de 0.5872 d2 =0.5872 m2.
2.1.- Coeficiente de Manning.
De la tablas: n= 0.011
=
2.3.-Velocidad y caudal.
=3.37 m
422
=3.37
2.4.- Velocidad específica.
2.5.-Tirante crítico.
Si se supone un canal cuadrado, entonces. A =0.5872 m 2 y el lado o sea la base
sería = 0.7662 m
Entonces:}
3.- Resultados.
El caudal será de 1.984 m3/s, la energía específica de 1.28 y de acuerdo con el
tirante crítico estimado el flujo será tranquila.
Interpretación de fenómenos locales.
En los canales abiertos es muy común apreciar cambios en el estado del flujo, (de
supercrítico a subcrítico, o viceversa, tales cambios se dan con un
correspondiente cambio en la profundidad del flujo. Si el cambio ocurre de forma
rápida, a lo largo de una distancia considerablemente corta, el flujo es
rápidamente
variado
y
se
conoce
como
Fenómeno
Local.
Dentro de este tipo de fenómenos encontramos la caída hidráulica y el resalto
hidráulico:
1. Caída Hidráulica: un cambio rápido en la profundidad de un flujo de nivel alto a
un nivel bajo, resultará en una depresión abrupta de la superficie del agua. Por lo
general este fenómeno es consecuencia de un cambio brusco de pendiente o de
la sección transversal del canal. En la región de transición de la caída, suele
aparecer una curva invertida que conecta las superficies del agua antes y después
de dicha caída. El punto de inflexión de la curva, indica la Posición aproximada de
la profundidad crítica para la cual la energía es mínima y el flujo pasa de ser
subcrítico a supercrítico. Cuando existe una discontinuidad en el fondo de un canal
plano, ocurre una caída hidráulica especial, conocida como caída libre. A medida
que la caída avanza en el aire en forma de lámina, no existirá curva invertida en la
superficie del agua hasta que esta choque con algún obstáculo en la elevación
más baja. Es sabido que si no se añade energía externa, la superficie del a gua
buscará siempre la posición más baja posible, la cual corresponde al menor
contenido de disipación de energía. Si la energía específica en una sección
localizada aguas arriba es E, como se muestra en la curva, la energía continuará
disipándose en el recorrido hacia aguas abajo hasta alcanzar una energía mínima
Emín. La curva indica que la sección crítica (sección de energía mínima) debe
ocurrir en el borde de la caída. La profundidad en el borde no puede ser menor
que la profundidad crítica debido a que una disminución adicional en la
423
profundidad implicaría un incremento en la energía específica lo cual es imposible
a menos que se suministre energía externa compensatoria.
Interpretación de Caída libre mediante una curva de energía específica.
Por otro lado, es importante mencionar, a modo de aclaración que, si el cambio en
la profundidad de flujo desde un nivel alto a un nivel bajo se da de forma gradual,
este se convierte en un flujo gradualmente variado, el cual tiene una curva inversa
prolongada en la superficie del agua, sin embargo este fenómeno no es
considerado local.
2. Resalto Hidráulico: este fenómeno ocurre cuando el cambio de profundidad
del flujo es desde un nivel bajo a un nivel alto. Si el cambio de profundidad es
pequeño, se denominará resalto ondulatorio, puesto que el agua no subirá de
manera abrupta y obvia, sino que pasara de un nivel a otro, a través de una serie
de ondulaciones que van disminuyendo gradualmente de tamaño. Si por el
contrario el cambio de profundidad es grande, se conoce como resalto directo.
Este involucra una pérdida de energía relativamente grande mediante la disipación
en el cuerpo turbulento de agua dentro del resalto. En consecuencia el contenido
de energía en el flujo después del resalto es considerablemente menor que el
contenido antes del mismo.
Interpretación de Resalto Hidráulico mediante la curva de energía específica.
424
RESALTO HIDRAULICO O SALTO HIDRAULICO.
El resalto hidráulico es el ascenso brusco del nivel del agua que se presenta en un
canal abierto a consecuencia del retardo que sufre una corriente de agua que fluye
a elevada velocidad. Este fenómeno presenta un estado de fuerzas en equilibrio,
en el que tiene lugar un cambio violento del régimen de flujo, de supercrítico a
subcrítico.
Este involucra una pérdida de energía relativamente grande mediante disipación
en el cuerpo turbulento de agua dentro del resalto. En consecuencia, el contenido
de energía en el flujo después del resalto es apreciablemente menor que el de
antes del mismo.
La profundidad antes del resalto es siempre menor que la profundidad después del
resalto. La profundidad antes del resalto se conoce como profundidad inicial y1, y
después del resalto se conoce como profundidad final y2.
Para flujo supercrítico en un canal horizontal, la energía de flujo se disipa a través
de la resistencia a la fuerza de fricción a lo largo del canal, dando como resultado
un descenso en la velocidad y un incremento en la profundidad en la dirección del
flujo. El resalto hidráulico se formará en el canal si el número de Froude F1 del
flujo, la Profundidad de flujo y1 y la profundidad y2 aguas abajo satisfacen la
ecuación de razón de profundidades:
425
El número de Froude siempre es mayor que la unidad antes del resalto y menor
que la unidad después de él.
Si F1 > 1 Flujo Supercrítico.
Ejemplo 7.
Un canal rectangular de 6 m de ancho transporta 11 m3/s de agua y descarga en
un canal de 6 m de ancho, de pendiente nula a la velocidad de 6 m/s. ¿Cuál es la
altura del resalto hidráulico? ¿Cuáles son las pérdidas de energía?
1.- Traducción.
2.- Planteamiento.
2.1.- Resalto hidráulico.
2.2.-Pérdidas.
=
3.- Cálculos.
3.1.- Altura en la posición (1)
426
3.2.- Altura en la posición (2)
=1.355 m
Altura del resalto 1.355-0.306 = 1.0494 m
3.3.- Pérdidas por fricción.
4.- Resultados. La altura aguas abajo es de 1.355m. La altura del resalto es de
1.0494 m. Las pérdidas son de 0.6916 kgm /kg.
Medidores de flujo en canales. Vertederos.
Fundamento teórico.
Se llama vertedero a la estructura hidráulica sobre la cual se efectúa una descarga
a superficie libre. El vertedero puede tener diversas formas según las finalidades a
las que se destine. Si la descarga se efectúa sobre una placa con perfil de
cualquier forma pero de arista aguda, el vertedero se llama de pared delgada;
cuando la descarga se realiza sobre una superficie, el vertedero se denomina de
pared gruesa. Ambos tipos pueden utilizarse como dispositivos de aforo en el
laboratorio o en canales de pequeñas dimensiones. El vertedero de pared gruesa
se emplea además como obra de control o de excedencias en una presa y como
aforador en grandes canales.
Los vertederos de paredes delgadas son vertederos hidráulicos, generalmente
usados para medir caudales. Para obtener resultados fiables en la medición con el
vertedero de pared delgada es importante que:



tenga la pared de aguas arriba vertical,
esté colocado perpendicularmente a la dirección de la corriente, y,
la cresta del vertedero sea horizontal o, en el caso de que esta sea
triangular, la bisectriz del ángulo esté vertical.
Además, debe cuidarse de mantener la presión atmosférica debajo de la lámina
vertida; el canal aguas arriba debe ser recto y estar desobstruido. La carga h,
427
sobre la cresta del vertedero debe ser medida a una distancia suficiente, aguas
arriba, para no tener influencia de la curvatura de la superficie líquida en la
proximidad del vertedero. Para mantener la presión del aire, y evitar que este se
vea succionado, acercando la lámina de agua al aliviadero, se instalan sistemas e
aireación (generalmente tubos a los lados por donde entra el aire).
Vertedero rectangular.
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre el punto 1 y el 2.
De donde:
Si el ancho del vertedero es b, Z2 es variable.
dCa=b u dZ2
Y por lo tanto:
Si
Entonces: dH=-dZ2
Y
dH
Para un canal rectangular el ancho del canal b es constante, por lo que la
ecuación puede integrarse. Los límites escogidos son:
Z2=0
; Z 2 = Z1
428
Ca=
Despreciando u1 o sea la velocidad de acercamiento y si no existe fricción
En donde generalmente Cd = 0.62
Por lo que
Fórmula de Francis
Ca es el caudal en m3/ s ; b el ancho del canal en metros
Z1 = altura del líquido en metros. Esta altura de ser medida aguas arriba del
vertedero a una distancia comprendida entre 5 Z1 y 10 Z1.

.
Ejemplo 8.
Un vertedero rectangular sin contracciones da una altura de agua sobre el
vertedero (carga) de 20 cm. Si el ancho del vertedero o longitud de cresta es de
1m. ¿Cuál será el flujo volumétrico?
429
1.- Traducción.
2.- Planteamiento.
2.1.- Ecuación para el vertedero. Rectangular sin contracciones.
3.- Cálculos.
3.1.- Caudal.
4.- Resultado. El caudal es de 164.3 L /s.
Las características del tipo de flujo que afectan Cd pueden ser definidas por h y
Donde:

Hd = altura del vertedero en m
Los valores de Cd se encuentran en la tabla siguiente
Hd/h h=0.05 h=0.10 h=0.20 h=0.40 h=0.60 h=0.80 h=1.00 h=1.50
0.5
2.316 2.285 2.272 2.266 2.263 2.262 2.262 2.261
1.0
2.082 2.051 2.037 2.030 2.027 2.026 2.025 2.024
2.0
1.964 1.933 1.919 1.912 1.909 1.908 1.907 1.906
10.0 1.870 1.839 1.824 1.817 1.815 1.814 1.813 1.812
\infty 1.846 1.815 1.801 1.793 1.791 1.790 1.789 1.788
Vertedero triangular.
Para medir caudales muy pequeños (menos de 6 litros por segundo), se obtiene
mejor precisión utilizando aliviaderos de pared delgada de sección triangular, pues
la presión varía con la altura, dándose un gran gradiente de velocidad entre la
parte inferior del triángulo y la superior. El caudal sobre un aliviadero triangular es
dado por la fórmula:
430
Dónde:


β = ángulo del vértice del triángulo
Cd= aproximadamente a 0.58 variando ligeramente con la carga y el ángulo
de la abertura.
En general los vertederos triangulares más usados son los que forman un
triángulo isósceles, siendo los más usuales los de 90 °. Para estos vertederos se
aplica la fórmula de Thompson.
En donde Z es la altura del líquido en el vertedero.
Ejemplo 9.
El caudal a través de un vertedero triangular de 90 ° es de 0.05 m 3/s. Determine la
altura de líquido sobre el vertedero.
431
1.- Traducción.
2.- Planteamiento.
2.1.- Ecuación para vertedero triangular.
3.- Cálculos.
3.1. Altura.
Z=0.2637 m
4.- Resultado. La altura deberá ser de 0.2637 m.
Vertederos circulares situados sobre una pared vertical.
Para estos vertederos el caudal se mide como:
Ejemplo 10.
¿Cuál es el caudal que sale por el siguiente vertedero?
1.- Planteamiento.
1.1.- Ecuación para el vertedero circular.
2.- Cálculos.
2.1.- Caudal.
3.- Resultado. El caudal es de 3.363 m3/s.
432
Apéndice
Consumo de agua en litros
Bebida, cocina, limpieza, etc. Por persona por
día
Lavado de ropa, por persona, día
Excusados por cada descarga, de 8 L, por
persona día
Una ducha por persona
Lavado de dientes, manos, persona , día
Lavado de un coche
Riego de patios, jardines y aceras, por metro
cuadrado, cada vez
Consumo medio por habitante
aproximadamente
20-30
10-15
20-30
40-80
8-10
20
2
200 L
Ejercicios sugeridos de autoevaluación.
1.- ¿Cuál será la velocidad a la cual se desplaza el agua en un canal de concreto
u hormigón de 1 m de ancho y con una pendiente de 0.01m/m si la altura en el
canal es de 0.5 m?
R.-La velocidad es de 3.5 m/s.
2.-Determine el ancho que debe tener un canal rectangular de tierra cuando el
caudal es de 132 L/s, la altura del líquido es de 0.3 m y la pendiente de 0.1.
R.- El ancho del canal debe ser de 62.53 cm
3.-Obtenga el radio hidráulico, el área de flujo y el perímetro mojado de un canal
trapezoidal semejante al ilustrado. ¿Cuál será la velocidad y el caudal si la
pendiente es de 0.0005?
R.- El área es de 192m2, el perímetro de 46.8 m y el rH de 4.1 m la velocidad es
de 3.209 m /s y el caudal de 616.25 m3/s.
5.- Una alcantarilla para desagüe de lluvias deberá dar paso a un caudal de 500
L/s. La pendiente es de 0.005. Determine el diámetro requerido si ese caudal
funciona con la sección totalmente llena.
433
R.- El diámetro es de dos pies.
6.- Determine el gasto y la velocidad en un tubo redondo de alcantarillado de 0.6
m de diámetro si está lleno hasta una altura igual al 75 % del diámetro y la
pendiente es de 0.005.
R.-La velocidad será de 1.55 m/s y el caudal de 0.354 m 3/s.
7.- Una canal rectangular de 10 m de ancho transporta un caudal de 7 m 3/s con
una profundidad de i m. Calcule la energía específica y la tirante crítica. ¿Qué tipo
de flujo se tiene?
R.- La energía específica es de 1.025 kgm /kg, la tirante crítica es de 0.368 m. El
flujo es tranquilo.
8.- El caudal a través de un vertedero triangular de 90 ° es de 0.05 metros cúbicos
sobre segundo. Determine la altura sobre el vertedero.
R.-La altura es de 0.26 m.
9.- En un canal de sección rectangular de 2.5 m de ancho con un caudal de 0.25
m3/s se forma un resalto hidráulico. Si el tirante aguas arriba es de 0.9 m ¿Cuál es
la altura del resalto?
R.- La altura del resalto es de 0.47 m
10.- Un canal de sección trapezoidal de tierra tiene una pendiente de 0.0004. El
ancho del fondo es de 2m, el tirante es de 1.2 m y el ancho superior de 4 m.
Determine la velocidad media en el canal, el caudal y la posibilidad de que el canal
se deteriore debido a la velocidad.
R.-La velocidad es de 0.636 m /s. La velocidad en los canales sin revestimiento
oscila entre 0.4 y 0.8 m/s, por lo que el canal descrito no presentará ni arrastre ni
enfangamiento.
434
Capítulo 16
Agitación.
435
Agitación.
La agitación se refiere a forzar un fluido por medios mecánicos para que adquiera
un movimiento circulatorio en el interior de un recipiente. Los objetivos de la
agitación pueden ser:
 Mezcla de dos líquidos miscibles (ej.: alcohol y agua)
 Disolución de sólidos en líquido (ej.: azúcar y agua)
 Mejorar la transferencia de calor (en calentamiento o enfriamiento)
 Dispersión de un gas en un líquido (oxígeno en caldo de fermentación)
 Dispersión de partículas finas en un líquido
 Dispersión de dos fases no miscibles (grasa en la leche)
Generalmente el equipo consiste en un recipiente cilíndrico (cerrado o abierto), y
un agitador mecánico, montado en un eje y accionado por un motor eléctrico. Las
proporciones del tanque varían ampliamente, dependiendo de la naturaleza del
problema de agitación. El fondo del tanque debe ser redondeado, con el fin de
eliminar los bordes rectos o regiones en las cuales no penetrarían las corrientes
del fluido. La altura del líquido, es aproximadamente igual al diámetro del tanque.
Sobre un eje suspendido desde la parte superior, va montado un agitador. El eje
está accionado por un motor, conectado a veces, directamente al mismo, pero con
mayor frecuencia, a través de una caja de engranajes reductores.
El agitador crea un cierto tipo de flujo dentro del sistema, dando lugar a que el
líquido circule por todo el recipiente y vuelva de vez en cuando al agitador.
Mezcladores de corrientes.
En este tipo de mezclador, se introducen los materiales casi siempre por medio de
una bomba y la mezcla se produce por interferencia de sus flujos corrientes. Solo
se emplean en los sistemas continuos o circulantes para la mezcla completa de
fluidos miscibles. Rara vez se usan para mezclar dos fases, cuando se desea una
gran intimidad.
436
AGITADORES PARA TANQUES CERRADOS Y TANQUES ABIERTOS DE
MONTAJE FIJO.
Estos tipos de agitadores son recomendados para su aplicación, y todo depende
de los requisitos de su proceso. Los hay de acoplados directo, estos están
diseñados para aplicaciones de baja viscosidad, o volúmenes pequeños, o
aplicaciones en que se requiere trituramiento del producto. Los agitadores de
acoplado de engranaje (caja reductora), son eficientemente usados en productos
con más alta viscosidad o aplicaciones con un volumen más elevado.
437
Estos agitadores varían desde 1/4 a 5 caballos de fuerza (HP), y son disponibles
con siete diferentes velocidades, y con una variedad de hélices. Estos agitadores
son disponibles ya sea con motor eléctrico, o motores de aire, así como también
pueden ser equipados con variador de velocidades.
Beneficios claves: Fabricados para operación continua
Agitadores de este tipo son equipados con ANSI cobertura, con selladores de
empaquetaduras o mecánicos, para uso con tanques cerrados. También son
disponibles con base cuadrada para ser montados en tanques abiertos donde
selladores no son necesarios, esta montadura también las hay en ángulo para dar
una mayor eficiencia a la aplicación.
Engranaje helicoidales, con un alto factor de servicio, y lubricación de por vida.
438
TIPOS DE AGITADORES:
Los agitadores se dividen en dos clases: los que generan corrientes paralelas al
eje del agitador y los que dan origen a corrientes en dirección tangencial o radial.
Los primeros se llaman agitadores de flujo axial y los segundos agitadores de flujo
radial.
Los tres tipos principales de agitadores son, de hélice, de paletas, y de turbina.
Cada uno de estos tipos comprende muchas variaciones y subtipos que no
consideraremos aquí. En algunos casos también son útiles agitadores especiales,
pero con los tres tipos antes citados se resuelven, quizás, el 95% de los
problemas de agitación de líquidos.
Agitadores De Hélice
Un agitador de hélice, es un agitador de flujo axial, que opera con velocidad
elevada y se emplea para líquidos pocos viscosos. Los agitadores de hélice más
439
pequeños, giran a toda la velocidad del motor, unas 1.150 ó 1.750 rpm; los
mayores giran de 400 a 800 rpm. Las corrientes de flujo, que parten del agitador,
se mueven a través del líquido en una dirección determinada hasta que son
desviadas por el fondo o las paredes del tanque. La columna de remolinos de
líquido de elevada turbulencia, que parte del agitador, arrastra en su movimiento al
líquido estancado, generando un efecto considerablemente mayor que el que se
obtendría mediante una columna equivalente creada por una boquilla estacionaria.
Las palas de la hélice cortan o friccionan vigorosamente el líquido. Debido a la
persistencia de las corrientes de flujo, los agitadores de hélice son eficaces para
tanques de gran tamaño. Para tanques extraordinariamente grandes, del orden de
1500m3 se han utilizado agitadores múltiples, con entradas laterales al tanque.
El diámetro de los agitadores de hélice, raramente es mayor de 45 cm,
independientemente del tamaño del tanque. En tanques de gran altura, pueden
disponerse dos o más hélices sobre el mismo eje, moviendo el líquido
generalmente en la misma dirección. A veces dos agitadores operan en sentido
opuesto creando una zona de elevada turbulencia en el espacio comprendido
entre ellos.
Agitadores De Paletas.
Para problemas sencillos, un agitador eficaz está formado por una paleta plana,
que gira sobre un eje vertical. Son corrientes los agitadores formados por dos y 3
paletas. Las paletas giran a velocidades bajas o moderadas en el centro del
tanque, impulsando al líquido radial y tangencialmente, sin que exista movimiento
vertical respecto del agitador, a menos que las paletas estén inclinadas. Las
corrientes de líquido que se originan se dirigen hacia la pared del tanque y
después siguen hacia arriba o hacia abajo. Las paletas también pueden adaptarse
a la forma del fondo del tanque, de tal manera que en su movimiento rascan la
superficie o pasan sobre ella con una holgura muy pequeña. Un agitador de este
tipo se conoce como agitador de ancla. Estos agitadores son útiles cuando se
desea evitar el depósito de sólidos sobre una superficie de transmisión de calor,
como ocurre en un tanque enchaquetado, pero no son buenos mezcladores.
Generalmente trabajan conjuntamente con un agitador de paletas de otro tipo, que
se mueve con velocidad elevada y que gira normalmente en sentido opuesto.
440
Los agitadores industriales de paletas giran a una velocidad comprendida entre 20
y 150 rpm. La longitud del rodete de un agitador de paletas es del orden de 50 al
80% del diámetro interior del tanque. La anchura de la paleta es de un sexto a un
décimo de su longitud. A velocidades muy bajas, un agitador de paletas produce
una agitación suave, en un tanque sin placas deflectoras o cortacorrientes, las
cuales son necesarias para velocidades elevadas. De lo contrario el líquido se
mueve como un remolino que gira alrededor del tanque, con velocidad elevada
pero con poco efecto de mezcla.
Agitadores De Turbina.
La mayor parte de ellos se asemejan a agitadores de múltiples y cortas paletas,
que giran con velocidades elevadas sobre un eje que va montado centralmente
dentro del tanque. Las paletas pueden ser rectas o curvas, inclinadas o verticales.
El rodete puede ser abierto, semicerrado o cerrado. El diámetro del rodete es
menor que en el caso de agitadores de paletas, siendo del orden del 30 al 50% del
diámetro del tanque.
Los agitadores de turbina son eficaces para un amplio intervalo de viscosidades;
en líquidos poco viscosos, producen corrientes intensas, que se extienden por
todo el tanque y destruyen las masas de líquido estancado. En las proximidades
del rodete existe una zona de corrientes rápidas, de alta turbulencia e intensos
esfuerzos cortantes. Las corrientes principales son radiales y tangenciales. Las
componentes tangenciales dan lugar a vórtices y torbellinos, que se deben evitar
por medio de placas deflectoras o un anillo difusor, con el fin de que el rodete sea
más eficaz.
441
El agitador de turbina semiabierto, conocido como agitador de disco con aletas, se
emplea para dispersar o disolver un gas en un líquido. El gas entra por la parte
inferior del eje del rodete; las aletas lanzan las burbujas grandes y las rompen en
muchas pequeñas, con lo cual se aumenta grandemente el área interfacial entre el
gas y el líquido.
Tipos de Flujo en Tanques Agitados.
El tipo de flujo que se produce en un tanque agitado, depende del tipo de rodete,
de las características del fluido y del tamaño y proporciones del tanque, placas
deflectoras y agitador. La velocidad del fluido en un punto del tanque tiene tres
componentes y el tipo de flujo global en el mismo, depende de las variaciones de
estas tres componentes de la velocidad, de un punto a otro. La primera
componente de velocidad es radial y actúa en dirección perpendicular al eje del
rodete. La segunda es longitudinal y actúa en dirección paralela al eje. La tercera
es tangencial o rotacional, y actúa en dirección tangencial a la trayectoria circular
descrita por el rodete.
Para el caso corriente de un eje vertical, las componentes radial y tangencial están
en un plano horizontal y la componente longitudinal es vertical. Las componentes
442
radial y longitudinal son útiles porque dan lugar al flujo necesario para que se
produzca la mezcla. Cuando el eje es vertical y está dispuesto en el centro del
tanque, la componente tangencial de velocidad es generalmente perjudicial para la
mezcla. El flujo tangencial sigue una trayectoria circular alrededor del eje y crea un
vórtice en la superficie del líquido que debido a la circulación en flujo laminar, da
lugar a una estratificación permanente en diferentes niveles, de substancias sin
mezclar, sin que exista flujo longitudinal de un nivel a otro. Si están presentes
partículas sólidas, las corrientes circulatorias tienden a lanzar las partículas contra
la pared del tanque, debido a la fuerza centrífuga, desde donde caen
acumulándose en la parte central del fondo del tanque. Por consiguiente en vez de
mezcla, se produce la acción contraria.
En un tanque sin placas deflectoras, el flujo circulatorio es inducido por todos los
tipos de rodete, tanto si el flujo es axial como radial. Si los remolinos son intensos,
el tipo de flujo dentro del tanque es esencialmente el mismo, independientemente
del diseño del rodete. Para velocidades de giro del rodete elevadas, la profundidad
del vórtice puede ser tan grande que llegue al rodete mismo, dando lugar a que en
el líquido se introduzca el gas que está encima de él, lo cual normalmente debe
evitarse.
Formas de evitar remolinos:
 Colocando el agitador fuera del eje central del tanque. En tanques
pequeños se debe colocar el rodete separado del centro del tanque, de tal
manera que el eje del agitador no coincida con el eje central del tanque. En
tanques mayores el agitador puede montarse en forma lateral, con el eje en un
plano horizontal, pero no en la dirección del radio.
 Instalando placas deflectoras. Estas son placas verticales perpendiculares a
la pared del tanque. En tanques pequeños son suficientes 4 placas deflectoras,
para evitar remolinos y formación de vórtice. El ancho de las placas no debe
ser mayor que un doceavo del diámetro del tanque. Cuando se usan
agitadores de hélice, el ancho de la placa puede ser de un octavo del diámetro
del tanque. Si el eje del agitador está desplazado del centro o inclinado, no se
necesitan placas deflectoras.
Cuando no se presentan remolinos, el tipo de flujo específico depende del tipo de
rodete:


Los agitadores de hélice impulsan el líquido hacia el fondo del tanque, desde
donde la corriente se extiende subiendo por las paredes y retornando hacia la
hélice. Se emplean cuando se desean intensas corrientes verticales, por
ejemplo para mantener en suspensión partículas sólidas pesadas. No se
emplean cuando la viscosidad del líquido es superior a los 5.000 centipoises.
Los agitadores de paletas producen un flujo radial intenso en el plano próximo
a las palas, pero prácticamente no dan lugar a corrientes verticales. Estos
agitadores no son eficaces para mantener sólidos en suspensión.
443

Los agitadores de turbina impulsan al líquido radialmente contra las paredes
laterales del tanque, desde donde la corriente se divide, una parte fluye hacia
arriba y otra parte hacia el fondo, retornando ambas al rodete. Por lo que
producen dos corrientes de circulación separadas. Dan excelentes resultados
en la mezcla de líquidos que tienen aproximadamente la misma densidad
relativa.
Consumo de Potencia.
Las variables que pueden ser controladas y que influyen en la Potencia consumida
por el agitador son:



Dimensiones principales del tanque y del rodete: Diámetro del tanque (D t),
Diámetro del rodete (Da), altura del líquido (H), ancho de la placa deflectora
(J), distancia del fondo del tanque hasta el rodete (E), y dimensiones de las
paletas.
Viscosidad () y densidad () del fluido.
Velocidad de giro del agitador (N).
El cálculo de la potencia consumida se hace a través de números adimensionales,
relacionando por medio de gráficos el número de Reynolds y el Número de
Potencia. Estas gráficas dependerán de las características geométricas del
agitador y de si están presentes o no, las placas deflectoras.
Da 2 N
Re 

Número de Reynolds = esfuerzo de inercia / esfuerzo cortante
Número de Potencia = esfuerzo de frotamiento / esfuerzo de inercia
N po 
P
N 3 D a 5
Número de Froude = esfuerzo de inercia / esfuerzo gravitacional
N Fr
N 2Da

g
Para bajos números de Reynolds (Re <10) el flujo es laminar, la densidad deja de
ser un factor importante y la potencia puede encontrarse como:
P  K L N 2 D a 2
444
En tanques con placas deflectoras y para números de Reynolds superiores a
10.000, la función de potencia es independiente del número de Reynolds y la
viscosidad deja de ser un factor. Las variaciones del Número de Froude tampoco
influyen.
Representación del Reynolds contra el número de potencia.
La agitación puede llevarse a cabo en tanques con deflectores de mamparas o sin
éstas. Si el tanque no tiene mamparas se presenta el vórtice.
445
Cuando se presenta el vórtice se requiere del número adimensional de Froude.
Son muchas las correlaciones empíricas para estimar los requerimientos de la
potencia requerida. Una forma simple de presentar estas correlaciones es
agruparlas en gráficas de Potencia contra Reynolds tal como la mostrada. En
estas correlaciones se requiere saber además la posición del agitador, la relación
del agitador al diámetro del tanque, etc. Para ello se deben usar las tablas que
indican las condiciones en que trabaja cada correlación.
Si no se encuentra el diseño requerido, se puede corregir la potencia leída en la
gráfica mediante:
Cuando hay deflectores en la gráfica se lee:
Si hay vórtices en la gráfica se debe obtener el número:
Ejemplo 1.
Calcule la potencia requerida para un agitador de tres palas con paso de hélice =
2Da y con 40 cm de diámetro y que gira a 300 RPM dentro de una solución de
sosa caústica al 30 %. La solución está a 20 ° C. El tanque tiene un diámetro de
1.5 m y está provisto con 4 deflectores de 15 cm. La hélice está colocada a 0.5 m
del fondo y el tanque está lleno de solución hasta 1.5 m de altura.
446
1. Traducción.
2.- Cálculos.
2.1.- Datos.
Densidad de la solución de sosa caústica al 30% 0 1297 kg /m 3; viscosidad de la
solución 13 cps.
2.2.- Relaciones.
=1.25
2.3.- Número de Reynolds.
2.4.- Potencia.
En la gráfica el problema corresponde al caso número 15. De la gráfica se obtiene
que:
De donde 𝒫= 143.38 kgm/s
2.5.- Corrección por condiciones deseadas.
447
=143.8
2.6.- Potencia del agitador.
Suponiendo una eficiencia del motor del 70%, la potencia al freno sería de 230
kgm/s, o sea alrededor de 3 HP.
3.- Resultados. Se requiere una potencia de 3 H.P.
Ejemplo 2.
Si en el problema anterior el tanque no tuviera deflectores ¿Cuál sería la potencia
necesaria?
1.- Planteamiento.
EL tanque y las condiciones de operación permanecen iguales, por lo tanto el
Reynolds es el mismo y las relaciones son semejantes.
1.3.- Froude.
1.2.- Potencia.
El tanque sin mamparas se asemeja ahora al caso de la curva 21 en donde:
a = 1.7 y b= 18
A partir del Reynolds y la curva 21 se obtiene:
𝒫=118.6 kgm/s
1.3.- Corrección.
=118.6
1.4.- Potencia del agitador.
Suponiendo una eficiencia del 70 % la potencia será de 180 kgm/s = 2.5 HP.
2.- Resultado.- La potencia será de alrededor de 2.5 H.P.
448
449
450
451
Consumo de potencia en los agitadores cuando están sumergidos en
fluidos no-newtonianos.
El tipo de flujo en un sistema no newtoniano dependerá del tipo de fluido. Se
espera que para un fluido pseudoplástico casi todo el mezclado se dé en una
pequeña región cercana al impulsor debido a que el esfuerzo cortante decrece al
aumentar la distancia desde el impulsor, por lo que la viscosidad aumentará y el
flujo decrecerá.
Para los fluidos dilatantes habrá una tendencia del fluido cercano al impulsor a
solidificarse, así que el efecto de mezclado será equivalente a si se hubiera
aumentado el tamaño del impulsor.
Para los materiales viscoelásticos la turbulencia se suprime por la naturaleza
elástica del fluido.
Por lo anterior la predicción del consumo de potencia para un fluido no newtoniano
es más compleja que para un fluido simple.
Forestei y Lui presentaron una correlación que es aplicable a los fluidos
seudoplásticos en la región laminar (Re<10) para varios tipos de impulsores que
incluyen a las turbinas, anclas y hélices.
Los datos de estos autores
ecuación:
se correlacionan adecuadamente mediante la
En donde A es una constante empírica = 50., H es la profundidad del líquido y C
la altura del impulsor sobre el fondo del tanque.
Calderbank y Moo Young extendieron esa correlación en un rango mayor,
empleando un número de r Reynolds generalizado modificado.
El Reynolds utilizado por estos autores fue:
El número de potencia modificado (Npo’) está dado por:
En donde ΔW es el factor de proximidad del recipiente. Cuando DT/Da>1.3
entonces ΔW = 3.33
452
Para agitadores de ancla
B y E son los números de hojas del agitador y el número efectivo de ejes de las
hojas, E tiene un valor de 2 para las anclas y de 1 para los demás impulsores.
El factor:
Se basa en la longitud periférica efectiva. Las fórmulas para calcular ese factor
son:
Le y De se evalúan a partir de las siguientes figuras:
453
: k’ es una constante empírica.
a) Para todos los impulsores, excepto los de anclas si n>1, Dt/Da >1.5, nb =4;
J/DT =0.1, k’=11; J =ancho de las mamparas.
Si n>1, DT/Da >3, nb =4; J /DT =0.1
b) Para agitadores de ancla n<1, DT/Da <1.4
c)
454
Ejemplo 3.
Determine la potencia requerida para la agitación, con una turbina de seis hojas
planas, de un líquido no newtoniano que tiene las características siguientes: n=
0.7; K = 5.94 Pa sn y densidad igual a 963 kg /m3. La turbina es de 2 pies de
diámetro con una altura de las hojas de 6 pulgadas y opera a 150 RPM dentro de
un tanque cilíndrico. El diámetro del recipiente es de 6 pies y la altura del líquido
en el tanque es de 6 pies. El impulsor está situado a 2 pies por arriba del fondo del
tanque. El tanque cuenta con 4 mamparas de seis pies de alto por 7 pulgadas de
ancho.
1.- Traducción.
455
2.- Planteamiento.
2.1.- Método de M.B. Moo-Young.
Para n<1 DT/Da >1.5 y k’ =11
3.- Cálculos.
3.2.- Número de potencia.
De la figura de Moo-Young.
N’po = 0.42
456
E =1; Le = L = 0.5; De = D =2
Por lo tanto:
ΔW =3.33
B =6
𝒫=
=8.54 H.P
4.- Resultado. La potencia es de 8.54 H.P.
457
Ejercicios propuestos de autoevaluación.
1.- Calcule la potencia requerida por un agitador de hélice de tres palas y paso
igual a su diámetro el cual tiene 40 cm de diámetro y gira a 300 RPM dentro de
una solución de sosa caústica al 30 % en peso y 20 ° C dentro de un tanque sin
deflectores de 3 m de diámetro. La profundidad del líquido es de 2.4 m.
R.-Se requieren 414 W.
2.- En el tanque que se muestra a continuación se instaló un agitador de turbina
de aspas planas. El diámetro del tanque Dt es de 1.83 m, el diámetro de la turbina
Da es de 0.61 m y el ancho de las aspas A de 0.122m. El tanque tiene 4
deflectores, todos ellos con un ancho W de 0.025 m. La turbina opera a 90 RPM y
el líquido en el tanque tiene una viscosidad de 10 cps y una densidad de 929 kg
/m3. Calcule los kW requeridos por el mezclador.
R.- La potencia teórica es de 1.324 kW.
3.- En un tanque de 1.2 m de diámetro y 1.5 m de altura sin deflectores se agita
una mezcla de 1600 kg /m3 de densidad y 20 cps de viscosidad. El líquido ocupa
el 75% del volumen en el tanque. Se desea agitar a 3 RPM con un agitador de
propela marina de 3 aspas, con espaciamiento de dos diámetros entre cada aspa.
El diámetro de la propela es de 36 cm. ¿Cuál es la potencia requerida?
R.- La potencia es de 259 W.
4.-Calcule la potencia requerida para la agitación si se usa un impulsor de tipo
hélice de 3 hojas de 60 cm de diámetro y espaciamiento de 60 cm operando a 100
RPM, en un tanque sin mamparas que contiene agua a 20° C. El diámetro del
tanque es de 1.8 m con un nivel de líquido hasta 1.8 m y el impulsor está colocado
a 60 cm del fondo del tanque.
458
R.- Se requiere una potencia de 120 W.
5.-En un tanque se instala un agitador de turbina de seis paletas. El tanque tiene 2
m de diámetro, el diámetro de la turbina es de 60 cm. El tanque está lleno con una
solución de sosa caústica al 50% hasta una altura de 2m. La solución está a 20 °
C. La turbina opera a 90 RPM. Calcule la potencia requerida si el tanque tiene 4
deflectores de 20 cm de ancho.
R.- La potencia es de 2.5 kW
459
Capítulo XVII
Flujo a dos fases sistema gas-líquido.
460
INTRODUCCIÓN.
El conocimiento del flujo en corriente paralela de gases y líquidos es esencial para
el diseño y la operación de tuberías donde se presenta este fenómeno, así como
en el diseño y operación de muchos equipos empleados en el procesamiento de
materiales.
Los reactores químicos, los re hervidores, condensadores parciales y aparatos de
contacto de masa son ejemplos típicos de equipos en los cuales el gas y el líquido
fluyen en corrientes paralelas. El diseño de estos equipos de proceso también
requiere del conocimiento de las caídas de presión, pero a su vez se necesita
predecir los coeficientes de transferencia de calor y de masa para su adecuado
desempeño.
En el diseño de tuberías con flujo a dos fases, el ingeniero se preocupa
principalmente por el cálculo de la caída de presión, la cual puede estimarse con
bastante precisión. Desde hace años se reconoció que para mejorar la predicción
de los diferentes parámetros constituyentes de este fenómeno, los cuales son la
fracción volumétrica de cada fase (holdup), la caída de presión, la transferencia de
calor y masa, así como otros parámetros hidráulicos, era necesario considerar la
estructura detallada de la configuración del flujo. A estas configuraciones, las
cuales están relacionadas con la distribución de las fases dentro de la tubería, se
les denomina patrones o regiones de flujo.
Se han efectuado muchos trabajos experimentales y teóricos para predecir la
caída de presión y el tipo de patrón de flujo producido en las tuberías, pero hasta
ahora no se ha encontrado una correlación general, similar a las gráficas del factor
de fricción vs. El número de Reynolds, muy útiles para calcular la caída de presión
para el flujo a una fase. Esto se debe a la existencia de un cierto número de
complicaciones que dificultan el uso de una sola correlación. La mayor de ellas en
el flujo a dos fases es la variedad de patrones de flujo que pueden presentarse. El
tipo de patrón de flujo encontrado depende de las propiedades de los fluidos, los
gastos y la geometría del equipo.
Aunque no se ha encontrado una correlación general aplicable a todos los tipos de
flujo, se han desarrollado correlaciones para patrones de flujo específicos. Uno de
los primeros en hacer una clasificación visual de los patrones de flujo fue Alves1.
Los patrones de flujo son correlacionados empíricamente en función de los gastos
y de las propiedades de los fluidos. El mecanismo de la transferencia de
moméntum varía con el patrón de flujo, pero falta por esclarecerse si la
descripción visual del patrón es suficiente para identificar las regiones en donde
estos mecanismos cambian. Los límites o fronteras entre los patrones no son
precisos pues existe un cambio gradual y, en muchos casos, estas fronteras
dependen de las interpretaciones particulares de los diferentes investigadores.
La predicción de la caída de presión se efectúa mediante correlaciones de
diferente índole. Los primeros en proponer una de ellas fueron Lockhart y
Martinelli27, la cual depende del tipo de flujo. Actualmente se cuenta con
461
correlaciones semiempíricas independientes del patrón de flujo presente en la
tubería, lo cual nos acerca al desarrollo de un modelo general del flujo bifásico
gas-líquido en un futuro quizá no lejano.
PATRONES DE FLUJO EN TUBERÍAS HORIZONTALES.
Existen básicamente siete tipos generales de patrones de flujo en las tuberías
horizontales (figura 1). Estos patrones, arreglados en orden creciente de flujo de
gas a un flujo de líquido constante, son los siguientes:
Flujo Burbuja (Bubble flow): Este flujo se caracteriza por burbujas de gas
dispersas en el líquido, las cuales se mueven en la parte superior de la tubería a
aproximadamente la misma velocidad del líquido. Se presenta con velocidades
superficiales de gas de 0.3 a 3 m/s y velocidades superficiales de líquido entre 1.5
y 5 m/s. Si la velocidad del líquido es alta, las burbujas se dispersan a través de
todo el tubo, conociéndose a este patrón como flujo espuma (froth flow) o flujo
burbuja dispersa.
Flujo Tapón (Plug flow: Se presentan tapones o pistones alternados de líquido y
de gas. El gas se mueve en la parte superior de la tubería debido a la fuerza de
gravedad. Se da a velocidades superficiales de gas menores a 0.9 m/s y
velocidades superficiales de líquido inferiores a 0.6 m/s. También se le suele
llamar flujo de burbuja alargada (elongated bubble flow) o flujo pistón.
Flujo Estratificado (Stratified flow): En este caso el líquido fluye en la parte
inferior de la tubería y el gas en la parte superior, produciéndose una interface
gas-líquido suave y uniforme. Se da cuando la velocidad superficial del líquido es
menor a 0.15 m/s y la del gas fluctúa entre los 0.6 y 3 m/s. También se le conoce
como flujo estratificado suave (stratified smooth flow).
Flujo Onda (Wave flow): Es similar al estratificado, sólo que en este caso hay
ondas u olas viajando en la dirección del flujo. Se presenta cuando la velocidad
superficial del líquido es menor a 0.3 m/s y la del gas superior a 5 m/s. También se
le suele llamar flujo estratificado ondulado (stratified wavy flow).
Flujo Ariete (Slug flow): Al aumentar aún más la velocidad del gas, la altura de
las olas aumenta hasta el punto en que tocan la superficie interna superior del
tubo y forman un ariete espumoso. La velocidad de estos arietes es mayor que la
velocidad promedio del líquido.
Los arietes de líquido causan severas vibraciones en el equipo usado debido al
impacto del líquido a alta velocidad contra las conexiones y retornos. También
causa erosión en las paredes internas del sistema por donde fluye. Por ello debe
evitarse este tipo de flujo. Se presenta en un amplio rango de velocidades
superficiales tanto del gas como del líquido. Se le conoce también como flujo
picos, flujo pulsante o flujo con golpeteo.
462
Flujo Anular (Annular flow): El líquido fluye formando una película alrededor de
la pared interna del tubo, con el gas en el centro. Una parte del líquido es
arrastrada en forma de pequeñas gotas por el centro gaseoso. Ocurre a
velocidades superficiales de gas mayores a 6 m/s. Se le conoce también como
flujo película (film flow).
Flujo Disperso (Dispersed flow): En este patrón de flujo prácticamente todo el
líquido es arrastrado en forma de gotitas en el gas. Se produce a velocidades
superficiales de gas superiores a 60 m/s. También se le suele denominar flujo
neblina (mist flow o fog flow) o flujo rocío (spray flow). Cuando algunas porciones
de la pared interna del tubo están cubiertas por una fina película de líquido, se le
conoce como flujo anular-neblina.
Flujo Burbuja
Flujo Tapón
Flujo Estratificado
Flujo Onda
Flujo Ariete
Flujo Anular
Flujo Disperso
Figura 1.- Patrones de flujo a dos fases sistema gas-líquido en tuberías horizontales.
A estos patrones de flujo se les clasifica en grupos de acuerdo a la distribución de
las fases:
Flujo Segregado: cada fase fluye en forma de capa o lámina: flujos estratificados,
onda y anular.
463
Flujo Intermitente: cada fase fluye de manera alternada y periódica: flujos tapón y
ariete.
Flujo Distribuido: una fase se encuentra dispersa en la otra, la cual fluye de
manera continua: flujos burbuja y disperso.
PREDICCIÓN DE
HORIZONTALES.
LOS
PATRONES
DE
FLUJO
EN
TUBERÍAS
El cálculo de la caída de presión en el flujo a dos fases depende del patrón de
flujo, por ello la primera etapa del cálculo requiere de la predicción de ese patrón.
La identificación de los patrones de flujo es quizá una de las áreas de flujo de
fluidos en dos fases que ha causado más controversia, debido a la dependencia
en la técnica utilizada en la experimentación (éstas pueden variar desde visuales,
pasando por fotografía de alta velocidad, video de alta resolución, hasta
detectores de fluctuaciones de presión). Se han preparado numerosas cartas para
predecir aproximadamente el patrón a partir de las condiciones del flujo, las
propiedades de los fluidos y la geometría del tubo. A partir de esas cartas, también
llamadas mapas de patrones de flujo, el ingeniero puede predecir con un cierto
grado de aproximación qué tipo de flujo se presenta en un problema determinado.
Baker3 presentó uno de esos mapas para el flujo horizontal elaborado a partir de
los datos proporcionados por varios autores (figura 2).
Los bordes, fronteras o límites entre los patrones de flujo presentes en este mapa,
son mostrados como funciones de la masa velocidad de la fase gaseosa y del
cociente de flujos másicos de ambas fases. Estas fronteras no son en realidad
líneas sino zonas de transición entre los diferentes patrones de flujo. Al utilizarlo,
el diseñador debe tener en cuenta que el mapa proporciona una idea aproximada
del patrón de flujo más probable de obtenerse.
El mapa de la figura 2 fue elaborado a partir de datos de aire y agua a presión
atmosférica y a temperatura ambiente. Con la finalidad de emplearlo para
cualquier otro sistema, Baker utilizó factores de corrección que ajustaran las
propiedades físicas del agua y del aire a las de otros fluidos y a otras condiciones
de presión y temperatura.
Los datos usados por Baker corresponden a experimentos efectuados en tuberías
cuyo diámetro va de 1 pulgada hasta 4 pulgadas. Las regiones de los diferentes
patrones de flujo no cambian significativamente para diámetros de tubería
mayores a 4 pulgadas, pero para diámetros menores a 1 pulgada, la región del
flujo onda tiende a desaparecer, modificando las áreas correspondientes a los
flujos estratificado y anular.
464
100000
DISPERSO
ONDA
ANULAR
BURBUJA
By
10000
ARIETE
ESTRATIFICADO
1000
TAPÓN
100
0.1
1
10
100
1000
10000
Bx
Figura 2.- Mapa de patrones de Baker para flujo horizontal en sistemas gas-líquido. (1954)
Para determinar el patrón de flujo empleando el mapa de Baker, se deben calcular
primero los parámetros de Baker (Bx y By), con los cuales se determina en la
gráfica el tipo de flujo esperado:
1
1
W  2 3
Bx  0.0341 L G 1L
WG   6
L L
By  7.092
WG
A  G L
cp 13 


 lb 
 2
 h ft 
(1)
(2)
En donde:
Bx y By = abscisa y ordenada del mapa de Baker.
L = densidad del líquido en kg/m3.
G = densidad del gas en kg/m3.
L = viscosidad del líquido en centipoise.
L = tensión superficial del líquido en kgf/m.
A = área transversal de flujo del tubo en m2.
WL = flujo másico del líquido en kg/h.
WG = flujo másico del gas en kg/h.
Nótense las unidades de cada una de las coordenadas y las unidades de
las variables ahí presentes. Para transformar dina/cm a kgf/m, multiplicar por
1.02x10-4.
465
Ejemplo 1.
¿Cuál será el patrón de flujo esperado en una tubería horizontal de 6 pulgadas cédula 40
por la cual fluyen 2800 kg/h de líquido con una densidad de 834 kg/m3, viscosidad de 0.1
cps y tensión superficial de 6.25 dinas/cm? Por la tubería fluyen además 9800 kg/h de
vapor con 30.75 kg/m3 de densidad y una viscosidad de 0.01 cp.
1.-Traducción.
WL = 2800 kg/h
GAS – LÍQUIDO
WG = 9800 kg/h
6” Ced. 40
2.-Planteamiento.
2.1.-Discusión
Se deberá encontrar el tipo de flujo presente mediante el empleo de los parámetros y el
mapa de Baker.
2.2.-Parámetros de Baker
1
1
W  2 3
Bx  0.0341 L G 1L
WG   6
L L
cp 13 


By  7.092
WG
A  G L
 lb 
 2
 h ft 
3.-Cálculos.
3.1.-Parámetros de Baker
Para una tubería de 6” de diámetro nominal cédula 40, su diámetro interno es:
D = 6.065 in = 0.154 m

A = D2 = 0.018639 m2
4
9800
By  7.092
0.018639 m
2
kg
h
kg 
kg 
30 .75 3  834 3 
m 
m 
 23284

L = 6.25 dina/cm = 6.37x10-4 kgf/m
1
kg   30 .75 kg  2 0.1cp 13

 2800

m3 
h  
Bx  0.0341
 12 .83
1
kg 

6
kg 
 4 kgf 
 9800

h  6.37  10 m  834 3 

m 

466
3.2.-Determinación del tipo de flujo
Con los valores de Bx y By, se localiza en el mapa de Baker el patrón de flujo
correspondiente a la intersección de estos valores. Se puede observar que la intersección
se presenta en la región de flujo anular.
4.-Rresultado. El flujo obtenido es anular.
Las fronteras entre los patrones de flujo se pueden aproximar mediante
ecuaciones10 obtenidas con una regresión por el método de mínimos cuadrados,
las cuales se usan como base para determinar el régimen prevaleciente para
cualquier flujo dado y para cualesquier propiedades físicas del líquido y del gas.
Las ecuaciones matemáticas que representan las fronteras de los distintos
regímenes de flujo son:
C1:
C2:
C3:
C4:
C5:
C6:
ln By = 8.67694 – 0.1901(ln Bx)
ln By = 9.774459 – 0.6548(ln Bx)
ln By = 11.3976 – 0.6084(ln Bx) + 0.0779(ln Bx) 2
ln By = 10.7448 – 1.6265(ln Bx) + 0.2839(ln Bx) 2
ln By = 14.569802 – 1.0173(ln Bx)
ln By = 7.8206 – 0.2189(ln Bx)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
En donde C1, C2, C3, C4, C5, C6 corresponden a las líneas representadas en el
gráfico siguiente:
100000
C3
DISPERSO
C2
ONDA
ANULAR
BURBUJA
10000
C4
By
C1
ARIETE
C5
ESTRATIFICADO
1000
C6
TAPÓN
100
0.1
1
10
100
1000
10000
Bx
Figura 3.- Numeración de las fronteras entre patrones de flujo en el mapa de Baker.
Como las fronteras de los distintos patrones de flujo no están muy bien
delimitadas, en la práctica han aparecido algunas versiones modificadas del mapa
467
de Baker, entre ellas una debida a Scott34 en la que se muestran las fronteras de
incertidumbre:
Figura 4.- Mapa de patrones de Scott para flujo horizontal en sistemas gas-líquido. (1963)
En donde:
L
 Bx
G
(9)
G
 By

 
  
   G  L 
 0.075  62 .3 
(10)
1
2
2
 73   62.3  
L 
 
  
 L   L  
1
3
L = masa velocidad de la fase líquida en lb/ (h ft2).
G = masa velocidad de la fase gaseosa en lb/ (h ft2).
L = densidad del líquido en lb/ft3.
G = densidad del gas en lb/ft3.
L = viscosidad del líquido en centipoise.
L = tensión superficial del líquido en dina/cm.
468
(11)
(12)
En los últimos años se han utilizado con mayor frecuencia las gráficas de
velocidades superficiales, en las cuales se presentan con mejor precisión las
fronteras de los diferentes regímenes de flujo. Entre esas gráficas están las de
Govier20, Mandhane28 y Taitel35, en las que se grafica la velocidad superficial del
gas contra la del líquido. Una modificación de esas cartas o mapas es la
presentada por González Ortiz19 (figura 5), la cual fue elaborada a partir de
experimentos realizados con sistemas aire-agua.
10
BURBUJA DISPERSA
TAPÓN
ARIETE
1
vSL (m/s)
ANULARNEBLINA
ESTRATIFICADO
0.1
ONDA
0.01
0.01
0.1
1
10
100
vSG (m/s)
Figura 5.- Mapa de patrones de González Ortiz para flujo horizontal en sistemas gas-líquido. (1995)
Este tipo de mapas surgieron al observar que los factores de corrección de
propiedades respecto al aire y al agua tienen generalmente un valor unitario. De
esta manera, los mapas de velocidades superficiales son aplicables para cualquier
sistema diferente al aire-agua.
La velocidad superficial 12 en flujo a dos fases es aquella que tendría el fluido si
estuviera fluyendo solo por la tubería, por lo tanto es igual al flujo volumétrico o
caudal dividido entre el área transversal de la tubería:
vS 
Q
W

3600 A 3600  A
En donde:
vS = velocidad superficial del fluido en m/s.
469
(13)
Q = flujo volumétrico del fluido en m3/h.
A = área transversal de la tubería en m2.
W = flujo másico del fluido en kg/h.
 = densidad del fluido en kg/m3.
Ejemplo 2.
Una mezcla de líquido y vapor fluye por una tubería horizontal de 3 pulgadas de diámetro
cédula 40. Si el flujo de vapor es de 1350 kg/h y el de líquido de 500 kg/h, evalúe el tipo
de flujo que se presenta si las propiedades de los fluidos son: densidad del vapor = 1.25
kg/m3; densidad del líquido = 1000 kg/m3; viscosidad del líquido = 1 cps; tensión
superficial del líquido = 15 dinas/cm.
1.-Traducción.
GAS – LÍQUIDO
WL = 500 kg/h
3” Ced. 40
WG = 1350 kg/h
2.-Planteamiento.
2.1.-Discusión
Para obtener el patrón de flujo se emplearán los mapas de Baker y de González Ortiz.
2.2.-Parámetros de Baker
1
1
W  2 3
Bx  0.0341 L G 1L
WG   6
L L
cp 13 


By  7.092
WG
A  G L
2.3.-Velocidad superficial
v SG 
WG
3600  G A
m 
s
 
v SL 
WL
3600 L A
3.-Cálculos.
3.1.-Obtención del patrón de flujo mediante el mapa de Baker
D = 3.068 in = 0.0779 m
A = 0.004769 m2
L = 15 dina/cm = 1.53x10-3 kgf/m
Bx = 2.918
470
m 
s
 
 lb 
 2
 h ft 
By = 56777
En el mapa de Baker, las coordenadas Bx y By indican flujo disperso, pero el punto se
encuentra casi sobre el borde limitante con el flujo anular.
3.2.-Obtención del patrón de flujo con el mapa de González Ortiz
kg
m
h
vSG =
 62 .91
s
kg 
s
3600 1.25 3  0.004769 m 2
h
m 
1350


kg
m
h
vSL =
 0.0291
s
kg 
s
3600 1000 3  0.004769 m 2
h
m 
500


En el mapa de González Ortiz, el flujo resultante es anular-neblina, pero la intersección de
las coordenadas se encuentra cerca de la frontera con el flujo onda.
4.-Resultado. El patrón de flujo más probable es el disperso, debido a la coincidencia de
este flujo en ambos mapas, mas no se descarta la posibilidad del desarrollo de los flujos
anular u onda dentro de la tubería.
La distribución de los patrones de flujo del mapa de González Ortiz puede
representarse mediante las ecuaciones siguientes:
C1:
C2:
C3:
C4:
C5:
vSL = 0.1174 vSG2 – 0.7499 vSG + 5.881
vSL = 0.746 vSG3 – 3.3173 vSG2 + 1.7162 vSG + 4.865
vSL = -0.003 vSG3 + 0.0297 vSG2 – 0.4343 vSG + 1.7838
vSL = -4x10-5 vSG3 + 0.0041 vSG2 + 0.0633 vSG – 0.5537
vSL = 6x10-6 vSG3 – 0.0007 vSG2 + 0.015 vSG + 0.203
( 14 )
(15)
(16)
(17)
(18)
En donde C1, C2, C3, C4, C5 son las fronteras entre los patrones de flujo en la
siguiente gráfica:
471
10
C1
BURBUJA DISPERSA
TAPÓN
C2
C4
ARIETE
C3
1
vSL (m/s)
ANULARNEBLINA
C5
ESTRATIFICADO
0.1
ONDA
0.01
0.01
0.1
1
10
100
vSG (m/s)
Figura 6.- Numeración de las fronteras entre patrones de flujo en el mapa de González Ortiz para
flujo horizontal.
Los mapas de Baker y de González Ortiz, entre muchos otros, han sido
elaborados para determinar los diferentes patrones de flujo para sistemas gaslíquido newtoniano. De esta misma manera, Chhabra y Richardson realizaron un
mapa (figura 7), basándose en el de Mandhane 28, para poder incluir al flujo de
sistemas gas-líquido no newtoniano.
Este mapa es una gráfica de velocidades superficiales, como la de González Ortiz,
y aplica para líquidos pseudoplásticos y dilatantes (líquidos cuyo comportamiento
está dado por la ley de la potencia), y para los líquidos viscoelásticos (soluciones
poliméricas), es decir, aplica para líquidos cuya viscosidad no depende del tiempo.
Como los líquidos newtonianos se comportan de acuerdo a la ley de la potencia
(con exponente igual a 1), entonces este mapa también aplica para los sistemas
gas-líquido newtoniano. Para mayores detalles respecto a los líquidos no
newtonianos y su reología, se recomienda al lector consultar las obras de Valiente
Barderas, de Schetz y Fuhs, y de Chhabra y Richardson.
Las fronteras entre los patrones de flujo en el mapa de la figura 7 tampoco son
líneas sino regiones de transición. El flujo intermitente en este mapa abarca a los
flujos tapón y ariete. Para diseñar sistemas donde fluyan mezclas gas-líquido no
newtoniano, empleando este mapa, es recomendable evitar esta región de flujo
472
debido a su inestabilidad y al posible daño a la tubería ocasionado por los tapones
o los arietes. Esto se logra seleccionando adecuadamente las velocidades
superficiales de ambas fases, las cuales son función de los flujos másicos del
líquido y del gas.
10
BURBUJA DISPERSA
1
INTERMITENTE
vSL (m/s)
ANULARNEBLINA
0.1
ONDA
ESTRATIFICADO
0.01
0.001
0.01
0.1
1
10
100
vSG (m/s)
Figura 7.- Mapa de patrones de Chhabra-Richardson para flujo horizontal en sistemas gas-líquido.
(1984)
Para obtener información sobre otros mapas de patrones de flujo horizontal a dos
fases para sistemas gas-líquido, es recomendable consultar las obras de Núñez
Alba y de los hermanos Varela Juárez.
PREDICCIÓN DE LA CAÍDA DE PRESIÓN EN TUBERÍAS HORIZONTALES.
La caída de presión, en general, recibe contribuciones de tres efectos diferentes:
fricción, aceleración y elevación. En el caso del flujo horizontal, este último efecto
no interviene en la caída de presión.
El cálculo más simple de la caída de presión en flujo a dos fases líquido-gas está
basado en los trabajos de Lockhart y Martinelli. Ellos encontraron que la ecuación
general para el cálculo de las pérdidas de presión por fricción en el flujo a dos
fases estaba dada por:
(19)
P2F   2 P1F
En donde:
473
P2F = caída de presión en flujo a dos fases.
P1F = caída de presión en una de las fases.
= función que depende del módulo de Lockhart-Martinelli (X):
 P 
X   L 
 PG 
1
2
(20)
Donde:
X = módulo de Lockhart-Martinelli para flujo a dos fases líquido-gas.
PL = caída de presión en la fase líquida.
Posteriormente otros investigadores se dieron a la tarea de desarrollar modelos
teóricos más detallados y complejos, los cuales brindan al ingeniero una mayor
precisión en el cálculo de caídas de presión en flujo a dos fases.
Correlación de Lockhart-Martinelli.
La idea básica de esta correlación es, que la caída de presión en el flujo
concurrente a dos fases puede ser calculada empleando las ecuaciones y gráficas
comúnmente utilizadas para el cálculo de la caída de presión en el flujo a una sola
fase fluida, una vez conocidas las velocidades individuales de cada fase. Mediante
la suposición de que las dos fases están circulando por la línea totalmente
separadas entre sí, es posible definir sus respectivas velocidades en términos de
un diámetro denominado hidráulico y de un factor de forma. En su artículo, ellos
publican en detalle el análisis del fenómeno y el desarrollo de esta correlación.
Lockhart y Martinelli lanzaron para su análisis dos postulados básicos:
1.- La caída de presión estática para la fase líquida es siempre equivalente a la de
la fase gaseosa sin importar el patrón de flujo adoptado por la mezcla en
movimiento, asimismo no existe una diferencia de presión estática radial
apreciable.
2.- El volumen ocupado por la fase líquida más el volumen ocupado por la fase
gaseosa en cualquier instante y posición, debe ser igual al volumen total de la
tubería.
Estos postulados sugieren la no existencia de un cambio en el modelo de flujo a lo
largo de la tubería. De esta manera, los flujos tapón y ariete quedan eliminados en
esta consideración.
En base a sus observaciones experimentales, Lockhart y Martinelli graficaron  vs.
X de forma semejante a la mostrada en la figura 8. Estos investigadores en
realidad obtuvieron cuatro curvas de  para cada fase, pues definieron los
siguientes regímenes de flujo:
1.- Ambas fases líquido y gas en régimen turbulento (tt).
2.- Flujo turbulento en la fase líquida y flujo viscoso en la fase gas (tv).
474
3.- Flujo viscoso en el líquido y turbulento en la fase gas (vt).
4.- Ambas fases en régimen viscoso (vv).
Las gráficas se hicieron en escala logarítmica con objeto de angostar los datos
esparcidos alrededor de una sola curva de correlación.
100
Lvt
Ltt
Ltv
Gtv
Gtt
10
Gvt
Lvv
Gvv
Ltv
R,
Gvt
Gtv
1
Lvt
RG
0.1
RL
0.01
0.01
0.1
1
10
100
X
Figura 8.- Gráfica de Lockhart-Martinelli para  y R en función de X. (1949)
En esta gráfica, R es la fracción del volumen total de la tubería ocupada por una
de las fases, conocida en inglés como holdup. Calculando el valor de X, se puede
obtener el valor de R para cada fase a partir de la gráfica de la figura 8.
Las ecuaciones de  correspondientes a la fase gaseosa presentadas en la figura
anterior son:
log Gtt = 0.00176 (log X)3 + 0.1148(log X)2 + 0.4821(log X) + 0.6358
(21)
log Gtv = 0.00197(log X)6 + 0.0027(log X)5 – 0.0154(log X)4 – 0.02136(log X)3
+ 0.1531(log X)2 + 0.5493(log X) + 0.5651
( 22)
475
log Gvt = -0.00807(log X)4 + 0.00158(log X)3 + 0.16(log X)2 + 0.4917(log X) + 0.5622
( 23 )
log Gvv = 0.00543(log X) + 0.00335(log X) – 0.0505(log X) – 0.0279(log X)
+ 0.2707(log X)2 + 0.5704(log X) + 0.425
6
5
4
3
(24)
Aunque el método de Lockhart-Martinelli sólo da soluciones aproximadas de las
caídas de presión, la manera como atacan ambos investigadores al problema
basándolo en un modelo físico idealizado es quizás la solución más satisfactoria
disponible y a partir de la cual se han desarrollado numerosos trabajos y
correlaciones.
Método de Lockhart-Martinelli:
1.- Determinar el régimen de flujo de cada fase de acuerdo al criterio de LockhartMartinelli, obteniendo para ello el Reynolds superficial:
Re 
DvS 

(25)
Donde:
D = diámetro interno de la tubería en m.
vS = velocidad superficial de la fase en m/s.
 = densidad de la fase a las condiciones de operación en kg/m 3.
= viscosidad de la fase en kg/ (m s).
Si Re < 1000, el régimen de la fase es viscoso (v).
Si Re > 2000, el régimen de la fase es turbulento (t).
2.- Calcular la caída de presión para cada fase, empleando la ecuación de Darcy:
Para la fase líquida:
PL 
2
fD v SL
L L
2 gC D
 kgf 
 m2 


(26)
Donde:
fD = factor de fricción de Darcy.
vSL = velocidad superficial de la fase líquida en m/s.
L = longitud del tramo de tubería en m.
L = densidad de la fase líquida en kg/m3.
gC = 9.81 m kg/(s2 kgf) = 32.2 ft lb/(s2 lbf)
D = diámetro interno de la tubería en m.
Para convertir kgf/m2 a kgf/cm2, dividir entre 10000, y para convertir de kgf/m 2 a
lbf/in2 o psi, multiplicar por 0.0014.
Para la fase gaseosa:
 f

PG  6.379  10 7 L WG2  5 D 
 D G 
476
 kgf 
 m2 


(27)
Donde:
L = longitud del tramo de tubería en m.
WG = flujo másico del gas en kg/h.
fD = factor de fricción de Darcy.
D = diámetro interno de la tubería en m.
G = densidad de la fase gaseosa en kg/m3.
Si Re < 2100, la fase se encuentra a régimen laminar. El factor de fricción de
Darcy es sólo función del número de Reynolds y se obtiene utilizando la gráfica de
Moody (figuras 9 ó 10) o se calcula mediante la ecuación de Hagen-Poiseuille:
fD 
64
Re
(28)
Si Re > 2100, la fase en cuestión se encuentra en régimen de transición. Si >
10000, la fase fluye a régimen turbulento. Para estos dos últimos regímenes, el
factor de fricción de Darcy es entonces función de la rugosidad relativa de la
tubería (/D) y del número de Reynolds, y puede obtenerse empleando la gráfica
de Moody o mediante la ecuación de Chen9:

 1   1.1098 5.8506 
1

5.0452

 2 log 

log

 
0.8981 
 2.8257  D 
Re
Re
fD
 3.7065 D


(29)
Cabe resaltar la diferencia existente entre este criterio de transición de régimen
laminar a turbulento (Re = 2100), y el de Lockhart-Martinelli definido en el paso 1
del presente método.
Si se emplea la figura 9, el factor de fricción obtenido es el de Fanning (f f), cuyo
valor es la cuarta parte del factor de fricción de Darcy (f D).
3.- Calcular el parámetro X con la ecuación 20, ó con la siguiente ecuación, la cual
aplica sólo para el flujo turbulento-turbulento (tt):
W
X 2  0.0084  L
 WG



1 .8
 G

 L
  L

  G



0 .2
(30)
4.- En la gráfica de Lockhart-Martinelli (figura 8), con X se lee el parámetro G
correspondiente al tipo de flujo (tt, tv, vt ó vv). Se pueden emplear las
ecuaciones 21 a 24 en lugar de la figura 8.
5.- Calcular la caída de presión a dos fases con la ecuación 19, empleando la
caída de presión para la fase gaseosa:
P2F   G2 PG
477
(19)
Figura 9.- Gráfica de Moody del factor de fricción para cualquier tipo de tubería.
478
Figura 10.- Gráfica de Moody del factor de fricción para tuberías de acero comercial y de hierro
forjado.
479
Una forma simplificada de obtener las pérdidas de presión con el flujo a dos fases
es:
a) Calcular primero las caídas de presión como si cada fase estuviera sola
en la tubería.
b) Calcular el módulo de Martinelli.
c) Calcular la caída de presión total:
En donde:
Ecuaciones de Baker y colaboradores.
Empleando la correlación de Lockhart y Martinelli, Baker3 elaboró una serie de
ecuaciones para cada patrón de flujo, en las cuales, relaciona de manera diferente
al parámetro X con el parámetro , de tal modo que su aplicación constituye un
método más exacto para estimar el valor de la caída de presión a dos fases. Cabe
hacer notar que la aplicación del método de Baker está limitada a un solo caso
particular de flujo en dos fases: aquél en el cual ambas fases de la mezcla tienen
un flujo turbulento de acuerdo con la clasificación de Lockhart-Martinelli. Por
consiguiente, la modificación de Baker consiste en sustituir la curva Gtt por las
ecuaciones propuestas por este investigador.
El parámetro Gtt para los diferentes patrones de flujo de acuerdo con Baker está
dado por las siguientes ecuaciones26:
Flujo burbuja:
 Gtt 
Flujo tapón:
 Gtt 
Flujo estratificado:
 Gtt 
16 .64 X 0.75
 WL 


 A 
0.1
35 .766 X 0.855
 WL 


 A 
0.17
54756 X
 WL 


 A 
0 .8
480
( 31 )
(32)
(33)
2629 X 0.815
Flujo ariete:
 Gtt 
Flujo anular:
 Gtt  4.8  12 .303 D X 0.3430.827D 
 WL 


 A 
(34)
0.5
(35)
D = 0.254 m para D >10 in
P2F  9.074  10 12
Flujo onda:
W 
fH  0.0043  L L
 WG  G
fH WG2
D5 G



psi
(36)
0.214
Flujo disperso:
2
3
Gtt  exp 1.4659  0.49138ln X  0.04887ln X  0.000349ln X

(37)

(38)
En donde:
WL = flujo másico del líquido en kg/h.
A = área transversal de la tubería en m2.
D = diámetro interno de la tubería en m.
fH = factor de fricción de Huntington para flujo onda.
WG = flujo másico del gas en kg/h.
G = densidad del gas en kg/m3.
L = viscosidad del líquido en cp.
G = viscosidad del gas en cp.
Para convertir psi en kgf/m2, multiplicar por 703.07.
Método de Lockhart-Martinelli modificado por Baker:
1.- Determinar el patrón de flujo con los parámetros y el mapa de Baker.
2.- Determinar el régimen de flujo para cada fase, calculando el Reynolds
superficial correspondiente con la ecuación 25.
3.- Calcular la caída de presión para la fase gaseosa con la ecuación 27.
4.- Calcular el parámetro X con la ecuación 20. Si el régimen de flujo es
turbulento-turbulento, se puede emplear la ecuación 30.
5.- Obtener el parámetro G correspondiente al régimen de flujo, en la gráfica de
Lockhart-Martinelli (figura 8). Se pueden emplear las ecuaciones 21 a 24 en
481
lugar de la figura 8. Si el régimen es turbulento-turbulento, se pueden usar las
ecuaciones de Baker (ecuaciones 31 a 38).
6.- Calcular la caída de presión a dos fases con la ecuación 19.
Ejemplo 3.
¿Cuáles son las pérdidas por fricción en una tubería horizontal 100 m de longitud y de 4
pulgadas de diámetro cédula 40, por la que pasan 26800 kg/h de un líquido con una
densidad de 500 kg/m3, viscosidad de 0.11 cps y 5.07 dina/cm de tensión superficial? Por
la misma tubería viajan 4250 kg/h de vapores con una densidad de 27 kg/m3 y una
viscosidad de 0.0105 cp.
1.-TRADUCCIÓN.
WL = 26800 kg/h
GAS – LÍQUIDO
WG = 4250 kg/h
4” Ced. 40
2.-PLANTEAMIENTO.
2.1.-Discusión
Para obtener las pérdidas por fricción se requiere determinar primeramente el tipo de
patrón de flujo presente en la tubería. Esto puede lograrse usando el mapa de Baker.
Las pérdidas por fricción se calculan con el método de Lockhart-Martinelli y las
ecuaciones de Baker complementarias correspondientes al parámetro .
3.-CÁLCULOS.
3.1.-Patrón de flujo
Para una tubería de 4” de diámetro nominal cédula 40, su diámetro interno es:
D = 4.026 in = 0.10226 m
A = 8.2x10-3 m2
By = 31585
L = 5.07 dina/cm = 5.17x10-4 kgf/m
Bx = 367
Con estas coordenadas, del mapa de Baker se lee flujo burbuja.
3.2.-Caída de presión en la fase gaseosa
482
v SG 
3600
Re SG
kg
h
4250

s
kg 
3
2
 27 3  8.2  10 m
h m 

m 
kg 

0.10226 m  5.3322   27 3 
s  m 


 1.4  10 6
kg



ms 
 0.001
 0.0105 cp
cp 



 5.3322
m
s
Régimen turbulento
De las figuras 9 y 10:

/D = 0.00045
fD = 0.0165




kg 
0.0165

  62968 kgf
7 
PG  6.379  10  4250  100 m
kg
h

m2
5


 0.10226m  27 3  
 m 

2
3.3.-Caída de presión en la fase líquida
26800
v SL 
3600
Re SL
kg
h

s
kg 
3
2
 500 3  8.2  10 m
h
m 

m 
kg 

0.10226 m 1.8157   500 3 
s 
m 


 8.44  10 5
kg



ms 
 0.001
 0.11cp
cp 



De las figuras 9 y 10:

/D = 0.00045
fD = 0.017
483
 1.8157
m
s
Régimen turbulento
m

0.017 1.8157 
s

PL 

m kg
2  9.81 2
s kgf

2
kg 

 500 3  100 m
kgf
m 

 1397 2

m
 0.10226 m


3.4.-Caída de presión a dos fases
 1397 
X

 62968 
0.5
 0.149
Para flujo turbulento-turbulento y flujo burbuja:
16 .64 0.149 
0.75
 Gtt 
kg 

 26800

h 

 8.2  10 3 m 2 




0.1
 0.89
kgf 
kgf
2
P2F  0.89   62968 2   49877 2
m 
m

4.-RESULTADO. Las pérdidas de presión por fricción serán de 49877 kgf/m2 por cada
100 m de longitud de tubo.
Ejemplo 4.
¿Cuál será la caída de presión esperada en una tubería horizontal de 6 pulgadas de
diámetro cédula 40 y 10 m de longitud, por la cual fluyen 2800 kg/h de líquido con una
densidad de 834 kg/m3, viscosidad de 0.1 cps y tensión superficial de 6.25 dina/cm? Por
la tubería fluyen además 9800 kg/h de vapor con 30.75 kg/m3 de densidad y una
viscosidad de 0.01 cp.
1.-TRADUCCIÓN.
WL = 2800 kg/h
GAS – LÍQUIDO
WG = 9800 kg/h
6” Ced. 40
2.-PLANTEAMIENTO.
2.1.-Discusión
Para resolver el problema se debe encontrar el tipo de flujo presente con objeto de poder
seleccionar la correlación de Baker apropiada para el cálculo de la caída de presión.
3.-CÁLCULOS.
484
3.1.-Patrón de flujo
D = 6.065 in = 0.154 m
A = 0.018639 m2
By = 23285
Bx = 12.82
Con estos valores se obtiene flujo anular en el mapa de Baker.
3.2.-Caída de presión a dos fases
ReSG = 2.25x106
Régimen turbulento
De las figuras 9 y 10:
/D = 0.0003
fD = 0.015
PG = 3450.22 kgf/m2
Para calcular el parámetro X, se emplea la ecuación 30:
 2800 
X  0.0084

 9800 
2
1.8
 30.75   0.1 



 834   0.01
0.2
 5.15  105
X  5.15  105  0.0072
Para flujo anular:
 Gtt  4.8  12 .303 0.154 m0.0072 0.3430.8270.154m   1.0026
kgf 
kgf
2
P2F  1.0026   3450 .22 2   3468 .50 2
m 
m

4.-RESULTADO. La caída de presión por fricción es de 3468.50 kgf/m2.
La correlación de Lockhart-Martinelli se debe emplear preferentemente para
tuberías menores a 4 pulgadas, y las ecuaciones de Baker aplican para tuberías
de hasta 10 pulgadas. Baker encontró que las pérdidas de presión por fricción en
tuberías de gran diámetro son menores en hasta un orden de magnitud respecto a
las predichas por el método original de Lockhart-Martinelli.
Además, mediante estos métodos sólo se calcula la caída de presión por fricción,
y por ende, la contribución por aceleración debe ser estimada de manera
485
independiente. La experiencia demuestra que generalmente ésta última no es
significativa, y por tanto, la caída de presión por fricción es aproximadamente igual
a la total, como lo propusieron Lockhart y Martinelli.
Modelos homogéneos.
Así como las correlaciones anteriores, las cuales se pueden llamar semiempíricas,
están basadas en los trabajos de Lockhart y Martinelli relativos a las caídas de
presión mediante un modelo físico de mezcla, es también posible considerar los
fenómenos de flujo de fluidos en dos fases mediante el concepto de flujo
homogéneo 13.
La visualización del flujo en dos fases como mezcla homogénea, supone que el
gas y el líquido se pueden considerar como una sola fase uniforme y por lo tanto
no existe una diferencia entre las velocidades de ambas fases. A la diferencia de
velocidades mencionada, se le conoce comúnmente con el nombre de velocidad
de deslizamiento (slip velocity).
En el modelo homogéneo se parte del postulado esencial de que la velocidad
promedio de la fase líquida es continuamente igual a la velocidad promedio de la
fase gaseosa. De esta manera, no hay diferencia entre las velocidades de ambas
fases, como se mencionó en el párrafo anterior, y por tanto una fase no se desliza
sobre la otra por el hecho de viajar con mayor rapidez, sino más bien fluyen juntas
a la misma velocidad.
Basándose en este postulado, Dukler y colaboradores estudiaron este fenómeno
empleando un análisis de similaridad, cuya premisa básica es: Si dos sistemas de
flujo en una sola fase son dinámicamente similares, entonces los números de
Reynolds y de Euler para cada sistema son iguales. El número de Euler es el
doble del factor de fricción de Fanning, el cual a su vez es la cuarta parte del factor
de fricción de Darcy:
(39)
Eu = 2ff
fD  4 f f
(40)
En forma simplificada, la caída de presión de un fluido homogéneo en una tubería
puede expresarse con la siguiente ecuación:
 P 
 P 
 P 
 P 



 L 




 Total  L  aceleración  L  fricción  L  elevación
(41)
El primer término da la caída de presión por aceleración, el segundo término
corresponde al de las pérdidas de presión por fricción y el tercer término es la
caída de presión por elevación, el cual toma el valor de cero para tuberías
horizontales.
486
Para el estudio de la caída de presión, Dukler propone cuatro casos, siendo dos
los más empleados a saber:
Caso I: Sin deslizamiento y flujo homogéneo.
No hay deslizamiento relativo entre las fases y se considera al flujo en dos fases
como homogéneo. En este caso, las propiedades de la mezcla son obtenidas
mediante relaciones sencillas entre las propiedades de ambas fases, como se
observa a continuación:
NS  L    G 1   
(42)
 NS   L    G 1   
(43)
En donde:
NS = densidad de la mezcla homogénea sin deslizamiento (non slip).
NS = viscosidad de la mezcla homogénea sin deslizamiento (non slip).
= fracción del volumen de la tubería ocupado por la fase líquida sin
deslizamiento:

v SL
QL

QL  QG v SL  v SG
(44)
Q = flujo volumétrico de las fases líquida y gaseosa.
El número de Reynolds puede ser expresado en términos de estas propiedades de
mezcla:
Re NS 
D v NS NS
 NS
(45)
En donde:
vNS = velocidad superficial de la mezcla homogénea sin deslizamiento:
vNS = vSL + vSG
(46)
Para el cálculo del factor de fricción sin deslizamiento de fases, Dukler empleó la
ecuación de Koo16 para el factor de fricción en una sola fase:
fNS  0.0014 
0.125
0.32
Re NS
(47)
La caída de presión por fricción sin deslizamiento entre fases está dada por la
ecuación de Fanning:
2
2 fNS v NS
NS
 PNS 

 L 
gC D

 fricción
487
(48)
Para obtener la caída total de presión suponiendo flujo homogéneo, Dukler
propuso la siguiente ecuación:
 PNS 
 L 
 PNS 

 fricción

 L 
1  AC

 Total
(49)
En donde:
AC = caída de presión por aceleración:
AC 
16 WT WG Pav
 gC D 4 P1 P2  Gav
2
(50)
WT = flujo másico total en kg/s:
WT = W L + W G
(51)
WL y W G = flujos másicos del líquido y del gas, respectivamente, en kg/s.
Pav = presión promedio en el tramo de tubo de longitud L, en kgf/m2.
P1 = presión a la entrada del tramo de tubo en kgf/m2.
P2 = presión a la salida del tramo de tubo en kgf/m2.
Gav = densidad promedio del gas en el mismo tramo de tubo en kg/m 3.
Para transformar atmósferas en kgf/m2, multiplíquese la presión por 10332.7.
La caída de presión en este caso siempre es menor a la caída de presión real
presente en una tubería, por lo tanto, la suposición de un flujo homogéneo sin
deslizamiento entre fases (non slip) permite obtener la caída de presión más baja
posible, proporcionando al ingeniero un caso límite en el diseño de una tubería
con flujo a dos fases gas-líquido.
Caso II: Deslizamiento constante.
En este caso, la razón de la velocidad de las fases a la velocidad promedio es
constante a través de la sección. Cuando las fases fluyen simultáneamente, en
general el gas fluye más rápido que el líquido, causando un incremento en el
volumen de la tubería ocupado por el líquido. A este fenómeno se le conoce como
deslizamiento de las fases (slip), y a la fracción del volumen de la tubería ocupado
por el líquido bajo estas condiciones se le conoce como holdup (RL). Es evidente
que RL no puede ser determinada a partir de los gastos de entrada, por lo cual se
utilizan correlaciones especiales resultado de mediciones experimentales. En su
artículo, Dukler15 recomienda el empleo de la correlación de Hughmark24 para
calcular dicha fracción volumétrica o holdup.
Para este caso, Dukler definió al siguiente parámetro:

L
NS
 2

R
 L
 G

 
NS

488
 1   2 


 R G 
(52)
En donde:
 = fracción volumen de líquido sin deslizamiento entre fases.
R = holdup de las fases líquida y gaseosa.
El número de Reynolds para flujo a dos fases puede expresarse como:
Re 2F 
4 WT

 D  NS
(53)
Para poder calcular la caída de presión por fricción, él definió un factor de fricción
supuesto, basándose en la ecuación de Koo para el factor de fricción en una sola
fase:
0.125
(54)
fO  0.0014 
Re 02.F32
Empleando un banco de datos cuidadosamente seleccionado por él, cuyas fuentes
son los trabajos de investigadores como Lockhart y Martinelli, Baker, Bankoff,
entre otros más, Dukler encontró una relación entre el factor de fricción supuesto
(fO) y el real a dos fases (f), a la que llamó (), los cuales están relacionados
mediante la gráfica de la figura 11.
El comportamiento de la figura 11 puede ser representado por la siguiente
ecuación:
  
f
ln 
 1
2
3
4
fO
1.281  0.478 ln    0.444 ln    0.094 ln    0.00843 ln  
( 55 )
Con todos los parámetros y variables bien definidos, se puede calcular la caída de
presión debida a la fricción en el flujo a dos fases:
2 G 2T fO
 P2F 

 
 L 

 fricción gC D NS
(56)
En donde:
GT = masa velocidad total en kg/ (m2 s):
GT 
WL  WG
3600 A
489
(57)
3
2.5

2
1.5
1
0.5
0.1
1
10
x10
100
1000
-3
Figura 11.- Gráfica de Dukler para (). (1964)
Además de la caída de presión debida exclusivamente a los efectos de la fricción,
es importante considerar las pérdidas por aceleración debidas a la expansión de la
fase gaseosa en la mezcla bifásica, conforme ésta avanza por la tubería
horizontal. La caída de presión por aceleración dada por Dukler es:
 WG2
1
 P2F 


 L 
2

 aceleración gC A L  R G
 1
1  WL2 

 




L RL 
G1 
 G2
(58)
En donde:
RG y RL = holdup de las fases gaseosa y líquida, respectivamente.
G1 = densidad del gas a la entrada del tramo de tubo de longitud L.
G2 = densidad del gas a la salida del mismo tramo de tubo.
La caída total de presión en una tubería horizontal es igual a la suma de los
efectos de fricción y aceleración:
 P2F 
 P 
 P 
  2F 
  2F 
 L 

 Total  L  fricción  L  aceleración
(59)
De esta manera, el efecto de aceleración sólo es importante cuando se manejan
flujos muy grandes o presiones muy bajas.
490
Método de Dukler:
1.- Calcular la fracción del volumen de la tubería ocupada por el líquido sin
deslizamiento entre las fases () con la ecuación 44:

v SL
QL

QL  QG v SL  v SG
(44)
2.- Calcular la densidad sin deslizamiento entre fases con la ecuación 42:
NS  L    G 1   
(42)
3.- Calcular la viscosidad sin deslizamiento entre fases con la ecuación 43:
 NS   L    G 1   
(43)
4.- Calcular el holdup de líquido (RL) mediante el método de Hughmark:
4.1.- Suponer el valor de RL. Un valor inicial puede ser:
RL = 
4.2.- Obtener el Reynolds en función de RL:
Re 
D GT
RL  L  1  RL  G
(60)
4.3.- Calcular el número de Froude:
Fr 
2
v NS
gD
(61)
4.4.- Calcular el parámetro Z de Hughmark:
Z
Re
1
6
Fr
1
8
(62)
1
4
4.5.- Obtener el parámetro K de Hughmark29:
Si Z < 10:
K = -0.163673 + 0.310372 Z – 0.0352491 Z2 + 0.001366 Z3
Si Z > 10:
K = 0.755454 + 0.00358499 Z – 1.43604x10-5 Z2
491
(63)
(64)
4.6.- Calcular RL:
(65)
RL = 1 – (1 –) K
4.7.- Comparar el valor de RL supuesto en el paso 4.1 con el calculado en el
paso 4.6. Si son iguales, continuar con el paso 4.8; y si son diferentes,
regresar al paso 4.2 empleando el RL calculado en el paso 4.6.
4.8.- Calcular RG:
RG = 1 – RL
(66)
5.- Calcular  con la ecuación 52:

L
NS
 2

R
 L
 G

 
NS

 1   2 


 R G 
(52)
6.- Calcular el Reynolds con deslizamiento entre fases empleando la ecuación 53:
Re 2F 
4 WT

 D  NS
(53)
7.- Calcular el factor de fricción supuesto con la ecuación 54:
fO  0.0014 
0.125
Re 02.F32
(54)
8.- Obtener () de la figura 11, ó con la ecuación 55:
  
f
fO
 1
ln 
1.281  0.478 ln    0.444 ln    0.094 ln    0.00843 ln  
2
3
4
(55)
9.- Calcular la caída de presión por fricción con la ecuación 56:
2 G 2T fO
 P2F 

 
 L 

 fricción gC D NS
(56)
10.- Obtener la caída total de presión:
10.1.- Suponer una caída de presión en el tramo de tubería de longitud L.
Un valor inicial puede ser el de la caída de presión por fricción:
 P2F 
 P 
  2F 
 L 

 sup uesto  L  fricción
10.2.- Calcular la presión de salida del tramo de tubo en cuestión:
492
 P 
P2  P1  L  2F 
 L  sup uesto
(67)
10.3.- Obtener las densidades del gas a la entrada y salida del tramo de
tubo.
10.4.- Obtener la caída de presión por aceleración con la ecuación 58:
 WG2
1
 P2F 


 L 
2

 aceleración gC A L  R G
 1
1  WL2 

 


  G2  G1  L RL 
(58)
10.5.- Calcular la caída total de presión con la ecuación 59:
 P2F 
 P 
 P 
  2F 
  2F 
 L 

 Total  L  fricción  L  aceleración
(59)
Si la caída de presión total no es aproximadamente igual a la
supuesta en el paso 10.1, regresar a ese paso y suponer otra presión.
Puede emplearse el valor de la caída de presión total calculado en el paso
10.5, para hacer la nueva suposición.
Ejemplo 5.
Estime la caída de presión en 100 m de tubo de acero de cuatro pulgadas cédula 40, por
el que pasan 2400 kg/h de agua y 950 kg/h de aire a 20°C. La presión inicial en la tubería
es de 7 kgf/cm2. La viscosidad del líquido es de 1 cps y la del gas de 0.018 cp. La
densidad del líquido es de 1000 kg/m3. Utilice el método de Lockhart-Martinelli y el caso I
de Dukler.
1.-TRADUCCIÓN.
P1 = 7 kgf/cm2
WL = 2400 kg/h
WG = 950 kg/h
GAS – LÍQUIDO
4” Ced. 40
2.-PLANTEAMIENTO.
2.1.-Discusión
De acuerdo al enunciado del problema, se emplearán las metodologías de
Lockhart-Martinelli y Dukler Caso I para estimar las caídas de presión.
3.-CÁLCULOS.
493
3.1.-Método de Lockhart-Martinelli
D = 4.026 in = 0.1023 m
A = 0.0082 m2
Caída de presión en la fase líquida:
kg
m
h

 0.0813
s
kg 
s
3600 1000 3  0.0082 m 2
h
m 
2400
v SL
Re SL


m 
kg 

0.1023 m  0.0813  1000 3 
s 
m 


 8317
kg



ms 
 0.001
 1 cp
cp 



Régimen turbulento
/D = 0.00045
fD = 0.032
2
m 
kg 

0.032  0.0813  1000 3  100 m
kgf
s 
m 

PL 
 10 .54 2

m
m kg 
 0.1023 m
2  9.81 2

s kgf 

Caída de presión en la fase gaseosa:
G 
PM

RT



atm  
kg
 0.9678
  29
kgf

  kgmol
cm2 

m 3 atm
20  273 .15 K
0.082
kgmol K
kgf
7
cm2
 8.173
kg
m
h

 3.938
s
kg 
s
3600  8.173 3  0.0082 m 2
h
m 
950
v SG




494

kg
m3
Re SG
m 
kg 

0.1023 m  3.938   8.173 3 
s 
m 


 1.83  10 5
kg



ms 
 0.001
 0.018 cp
cp 



Régimen turbulento
/D = 0.00045
fD = 0.0185




kg 
0.0185

  11630.86 kgf
7 
PG  6.379  10  950  100 m
kg  
h 
m2
5

 0.1023m  8.173 3  
m 


Parámetro X:
2
 10.54 
X

 11630.86 
0.5
 0.0301
Para flujo turbulento-turbulento:
log Gtt = 0.00176(log 0.0301)3 + 0.1148(log 0.0301)2 + 0.4821(log 0.0301) + 0.6358
log Gtt = 0.1619
Gtt = 1.4516
Caída de presión por fricción a dos fases:
kgf 
kgf
2
P2F  1.4516  11630 .86 2   24507 .88 2
m 
m

3.2.-Caso I de Dukler

NS  1000
0.0813
m
s
m
m
0.0813  3.938
s
s
 0.0202
kg
0.0202   8.173 kg3 1  0.0202   28.208 kg3
3
m
m
m
 NS  1cp 0.0202   0.018 cp 1  0.0202   0.038 cp
495
vNS = 0.0813
Re NS
m
m
m
 3.938  4.019
s
s
s
m 
kg 

0.1023 m  4.019   28 .208 3 
s 
m 


 305198
kg



ms 
0.038 cp  0.001

cp 



fNS  0.0014 
0.125
305198 0.32
 0.003597
2
PNS
m 
kg 

2 0.003597 4.019   28.208 3  100 m
kgf
s
m 

 

 326.61 2
m kg
m
0.1023m
9.81 2
s kgf
4.-RESULTADO. Con el método de Lockhart-Martinelli se obtiene una caída de presión
de 24507.88 kgf/m2 por cada 100 m de tubo, y mediante el caso I de Dukler se obtiene
una caída de presión de 326.61 kgf/m2 por cada 100 m de tubo. Recordando que el caso I
de Dukler proporciona la mínima caída de presión real posible, la caída de presión
calculada con el método de Lockhart-Martinelli es válida, pues da un valor superior al del
caso I de Dukler.
Ejemplo 6.
Por una tubería lisa de 100 m de longitud y de 1 pulgada de diámetro cédula 40, fluyen
450 kg/h de agua y 7 kg/h de aire. La entrada de la tubería está a 1.4 atm y el sistema es
isotérmico a 20°C. Encuentre la caída de presión por el método de Dukler.
Las propiedades físicas de los fluidos son: L = 1000 kg/m3; G = 1.4 kg/m3; L = 1 cp; G =
0.018 cp.
1.-TRADUCCIÓN.
P1 = 1.4 atm
WL = 450 kg/h
WG = 7 kg/h
AIRE – AGUA
1” Ced. 40
L = 100 m
2.-PLANTEAMIENTO.
2.1.-Discusión
Se empleará el método de Dukler para obtener la caída total de presión en el
tramo de tubería.
496
3.-CÁLCULOS.
3.1.-Cálculo de las propiedades de mezcla sin deslizamiento entre fases (non slip)
D = 1.049 in = 0.0266 m
A = 5.576x10-4 m2
450
v SL 
3600
kg
h

s
kg 
4
2
1000 3  5.576  10 m
h
m 

 0.2242
m
s
kg
m
h

 2.4909
s
kg 
s
3600 1.4 3  5.576  10 4 m 2
h
m 
7
v SG


NS  1000

0.2242
m
s
m
m
0.2242  2.4909
s
s
 0.0826
kg
0.0826   1.4 kg3 1  0.0826   83.853 kg3
3
m
m
m
 NS  1cp 0.0826   0.018 cp 1  0.0826   0.0991 cp
3.2.-Obtención del holdup mediante el método de Hughmark
Primera iteración:
RL = 
kg
kg
7
h
h  819584 kg 
GT 
4
5.576  10 m 2
m2 h
450


kg   1h 

0.0266 m  819584 2  
m h   3600 s 

Re 
 8026
kg




0.75 1cp  1  0.75 0.018 cp 0.001 m s 
cp 



vNS = 0.2242
m
m
m
 2.4909  2.7151
s
s
s
497
2
m

 2.7151 
s

Fr 
 28 .25
m
9.81 2 0.0266 m
s
Z
8026 16 28.25 18
0.0826 14
 12.67  10
K = 0.755454 + 0.00358499 (12.67) – 1.43604x10-5 (12.67)2 = 0.799
RL = 1 – (1 –) (0.799) = 0.267  0.75
Segunda iteración:
RL = 0.267
Re = 21583
Z = 14.94 > 10
K = 0.755454 + 0.00358499 (14.94) – 1.43604x10-5 (14.94)2 = 0.806
RL = 1 – (1 –) (0.806) = 0.26  0.267
Por lo tanto: RL = 0.26
RG = 1 – 0.26 = 0.74
3.3.-Cálculo de la caída de presión por fricción
kg
m3

kg
83 .853 3
m
1000
kg
1.4 3
 0.0826 2 
m


 0.26  83 .853 kg
m3
WT = 450
Re 2F
 1  0.0826 2 

  0.332
0.74


kg
kg
kg
 7  457
h
h
h
kg   1h 


4  457  
h   3600 s 

0.332   20353

kg



ms 
 0.0266 m0.0991 cp 0.001

cp 



498
fO  0.0014 
  
0.125
 0.0066
20353 0.32
f
fO
ln 0.0826
 1
1.281  0.478 ln 0.0826   0.444 ln 0.0826   0.094 ln 0.0826   0.00843 ln 0.0826 
 2.451
2
3
2

kg   1h 
 100 m0.0066 
2  819584 2  
m h   3600 s 


P2F fricción 
2.4510.332   2554 .24 kgf2
m kg
m
0.0266 m 83 .853 kg3 
9.81 2
s kgf
m 

3.4.-Cálculo de la caída de presión por aceleración
[P2F]supuesto = 2555 kgf/m2
P1 = 1.4 atm = 14466 kgf/m2
P2 = 14466 kgf/m2 – 5110 kgf/m2 = 9356 kgf/m2 = 0.91 atm

kg 

1.4 atm  29
kgmol 
kg

1 
 1.69 3
3
m atm
m
20  273.15K
0.082
kgmolK

kg 

0.91atm  29
kgmol 
kg

2 
 1.10 3
3
m atm
m
20  273.15K
0.082
kgmolK
P2F aceleración 
9.81

1
m kg
5.576  10 4 m 2
2
s kgf
2

 kg 


7 

1
1
h





2

kg
kg

  3600 s  0.74  1.10 3 1.69 3
m
m

h
 
2
2

kg 


450




h



2

 
s
kg 

  3600  1000


0
.
26

 
h 

m3 
P2F aceleración  20.23 kgf2
m
499

4
3.5.-Cálculo de la caída total de presión
P2F Total  2554 .24 kgf2
m
 20 .23
kgf
kgf
 2574 .47 2
2
m
m
Como este valor es cercano al supuesto para obtener la caída de presión por aceleración,
entonces los cálculos están correctos.
4.-RESULTADO.
La caída de presión estimada por el caso II de Dukler es de 2574.47 kgf/m2 por 100 m de
longitud de tubo. Mediante el caso I de Dukler, se obtiene una caída total de presión de
2404.22 kgf/m2 por 100m de tubo, la cual es menor a la obtenida mediante el caso II y por
tanto es válido este ejemplo.
El método de Dukler es el mejor que existe hasta la fecha, pues predice con una
mayor precisión (de ± 15% a ± 20% de error) las caídas de presión a dos fases
gas-líquido en tuberías horizontales, respecto a otras metodologías. Sin embargo,
el método de Lockhart-Martinelli es aún el más empleado debido a su simplicidad
de cálculo, a pesar de su menor precisión (de hasta ± 50% de error).
A través de los años han aparecido muchas otras correlaciones para encontrar las
caídas de presión y el holdup de líquido para flujo horizontal a dos fases gaslíquido. El lector interesado puede consultar entre ellas las de Hoogendoorn23,
Bertuzzi7, Baxendell5, Eaton17, Beggs6, Bankoff4, entre otras metodologías.
PATRONES DE FLUJO EN TUBERÍAS VERTICALES.
En las tuberías verticales se pueden presentar dos direcciones de flujo:
ascendente y descendente. La serie de patrones de flujo existente en el flujo
ascendente es diferente a la presente en el flujo descendente. En ambas
direcciones, los patrones de flujo presentan un eje de simetría, el cual coincide con
el de la tubería, pues el efecto de la fuerza de gravedad actúa sobre este eje, a
diferencia del flujo horizontal, en donde esta fuerza actúa perpendicularmente al
eje de simetría del tubo. Aunque presentan similitudes los patrones de flujo
ascendente con su contraparte en flujo descendente, se les suele tratar de manera
independiente.
Patrones de flujo vertical ascendente.
Nicklin y Davidson clasificaron visualmente estos patrones en cinco categorías
(figura 12). Una breve descripción de cada uno de ellos es la siguiente:
Flujo Burbuja (Bubble flow): El líquido fluye hacia arriba conformando a la fase
continua, y el gas se encuentra disperso en el líquido en forma de burbujas
individuales. Estas burbujas se hallan distribuidas en toda la sección transversal
de la tubería, e incrementan su número, tamaño y velocidad al aumentar el flujo de
gas. La velocidad de una burbuja difiere enormemente de la velocidad de la fase
500
líquida. Ocurre a velocidades superficiales de gas inferiores a 0.6 m/s. También se
le conoce como flujo aereado (aerated flow).
Flujo Bala (Plug flow o Slug flow): Al aumentar el flujo del gas, las burbujas se
fusionan entre sí formando tapones alargados de gas en forma de bala, de ahí el
nombre de flujo bala, cuya punta superior es parabólica. A estos tapones
alargados se les denomina burbujas de Taylor, y se encuentran rodeadas por una
fina película de líquido. Estos tapones están separados por tapones o pistones de
líquido, en el cual generalmente hay burbujas más pequeñas en forma dispersa.
Al ascender los tapones de gas, el líquido desciende por la película en torno a
ellos, hasta llegar al pistón de líquido inmediatamente inferior a la burbuja de
Taylor. Los tapones de líquido ascienden a una menor velocidad respecto a la del
gas. Se da para velocidades superficiales de gas de entre 0.6 y 9 m/s. También se
le suele llamar flujo tapón, flujo pistón o flujo ariete.
Flujo Revuelto (Churn flow): Al aumentar la velocidad del gas, el líquido en
descenso alrededor de los tapones de gas prácticamente se detiene, ocasionando
inestabilidad en las burbujas de Taylor y su consiguiente ruptura. El líquido
comienza a fluir en forma turbulenta y oscilatoria. Ambas fases fluyen en forma de
una mezcla turbulenta, cuyos elementos estructurales se encuentran en un
proceso continuo de colapso y reformación. Se presenta en un amplio rango de
velocidades superficiales de gas. También se le conoce como flujo espuma (froth
flow) o flujo transición (transition flow).
Flujo Anular (Annular flow): El líquido fluye hacia arriba como una película sobre
las paredes internas de la tubería, formando un anillo, por cuyo centro asciende el
gas. Como la velocidad de la fase gaseosa es mayor a la de la fase líquida, el gas
arrastra una porción del líquido en forma de gotitas, las cuales fluyen a la
velocidad del gas. Al aumentar la velocidad del gas, el arrastre del líquido en
forma de gotas aumenta y, a su vez, el grosor de la película de líquido disminuye.
Se da con velocidades superficiales de gas mayores a 9 m/s y con velocidades
superficiales de líquido menores a 0.6 m/s. Se le suele denominar también como
flujo película (film flow) o flujo película ascendente (climbing film flow).
Flujo Neblina (Mist flow): A velocidades de gas muy altas, la cantidad de líquido
arrastrada por la fase gaseosa aumenta hasta desaparecer la película de líquido.
Entonces la fase líquida fluye en forma de gotitas dispersas en el gas, el cual
constituye la fase continua. Se presenta a velocidades superficiales de gas de 20
m/s a 30 m/s. También se le llama flujo disperso (dispersed flow), flujo niebla (fog
flow), flujo rocío (spray flow) o flujo gota (droplet flow).
501
Flujo Burbuja
Flujo Bala
Flujo Revuelto
Flujo Anular
Flujo Neblina
Figura 12.- Patrones de flujo ascendente a dos fases sistema gas-líquido en tuberías verticales.
Patrones de flujo vertical descendente
Oshinowo y Charles clasificaron visualmente a los patrones obteniendo seis tipos
de flujo, tres de los cuales se encuentran comprendidos en una sola categoría
(figura 13). De esta manera, los patrones de flujo pueden ser reagrupados como
sigue:
Flujo Burbuja Nucleada (Coring-bubble flow): La fase gaseosa se encuentra
dispersa en la fase líquida, en forma de burbujas individuales. Estas burbujas
descienden junto con el líquido, pero a diferencia del flujo burbuja ascendente, no
están dispersas en la sección transversal de la tubería. Al descender, las burbujas
migran hacia el eje de simetría del tubo formando un núcleo de burbujas de
diferentes formas y tamaños.
Flujo Bala Burbujeante (Bubbly-slug flow): La fase gaseosa desciende en
tapones con forma de bala, es decir, formando burbujas de Taylor, cuyo extremo
superior es redondeado y está libre de burbujas más pequeñas, y su extremo
inferior forma una pequeña estela de espuma, ocasionada por el drene del líquido.
De esta manera, los tapones de líquido presentan un gran número de burbujas
pequeñas, concentrándose principalmente en el extremo superior del tapón de
líquido.
Al incrementarse la velocidad del gas, las burbujas de Taylor se distorsionan en un
movimiento en espiral hacia abajo, más cercano a las paredes internas del tubo.
502
Flujo Espuma (Froth flow): Este patrón de flujo es similar al flujo revuelto
ascendente, pues los tapones de gas son muy inestables y se revuelven con los
de líquido. La mezcla de las fases es turbulenta, pero no se presenta tan agitada
como la de su contraparte ascendente.
Flujo Película Descendente (Falling film flow): Es similar al flujo anular
ascendente, pues el líquido desciende por las paredes del tubo en forma de una
película, y el gas desciende por el centro del tubo. La superficie del líquido es
ondulada y una porción de éste es arrastrada por el gas en forma de gotitas. A
velocidades muy bajas de gas y de líquido, se presentan ocasionalmente puntos
secos en la pared interna del tubo. A velocidades altas de líquido, la película
contiene pequeñas burbujas de gas y su grosor aumenta.
Este patrón de flujo abarca al flujo película burbujeante descendente (falling
bubbly-film flow) y al flujo anular (annular flow), descritos por Oshinowo y Charles.
Flujo Neblina (Mist flow): Su descripción es similar al flujo neblina ascendente, ya
que el líquido fluye en forma de finas gotitas dispersas en el gas, el cual constituye
la fase continua. Fue descrito por Oshinowo y Charles como un caso límite del
flujo película descendente, en donde el gas fluye a una velocidad suficientemente
alta como para arrastrar a todo el líquido, formando una neblina o una lluvia de
gotitas. Por esta razón, estos investigadores lo denominaron también flujo anularneblina (annular-mist flow).
Flujo Burbuja
Nucleada
Flujo Bala
Burbujeante
Flujo Espuma
Flujo Película
Descendente
Flujo Neblina
Figura 13.- Patrones de flujo descendente a dos fases sistema gas-líquido en tuberías verticales.
503
Los patrones de flujo vertical también pueden ser clasificados en grupos de
acuerdo a la distribución de las fases, de la misma manera que a los patrones de
flujo horizontal:
Flujo Segregado: cada fase fluye en forma de capa o lámina. En flujo
ascendente: flujo anular. En flujo descendente: flujo película
descendente.
Flujo Intermitente: cada fase fluye de manera alternada y periódica. En flujo
ascendente: flujos bala y revuelto. En flujo descendente: flujos
bala burbujeante y espuma.
Flujo Distribuido: una fase se encuentra dispersa en la otra, la cual fluye de
manera continua. En flujo ascendente: flujos burbuja y
neblina. En flujo descendente: flujos burbuja nucleada y
neblina.
PREDICCIÓN DE LOS PATRONES DE FLUJO EN TUBERÍAS VERTICALES.
Basándose en los trabajos de Griffith y Wallis, Oshinowo y Charles correlacionaron
los patrones de flujo mediante grupos adimensionales, obteniendo un mapa de
patrones de flujo ascendente adimensional (figura 14), el cual fue probado con los
datos experimentales propios y de otros investigadores. Además, extendieron su
método para obtener un mapa de patrones de flujo descendente adimensional
(figura 15), al cual probaron sólo con sus propios datos experimentales, pues en la
literatura no existía hasta entonces un estudio similar para flujo a dos fases
descendente.
Para determinar el tipo de flujo empleando los mapas de Oshinowo-Charles,
primero deben ser calculados los parámetros de Oshinowo-Charles (Ox y Oy), los
cuales son:
Ox 
Fr2F

Oy  R V
(68)
(69)
En donde:
Ox y Oy = abscisa y ordenada de los mapas de Oshinowo-Charles.
Fr2F = número de Froude para flujo a dos fases:
Fr2F 
v 22F
gD
(70)
v2F = velocidad superficial de la mezcla en m/s:
v2F = vSL + vSG
D = diámetro interno de la tubería en m.
504
(71)
 = grupo adimensional de corrección de propiedades del líquido:

   L
 W
  W

 L
  W

 L



3




1
4
(72)
L y W = viscosidades del líquido y del agua, respectivamente.
L y w = densidades del líquido y del agua, respectivamente.
L y W = tensiones superficiales del líquido y del agua, respectivamente.
RV = relación de los volúmenes del gas y del líquido:
RV 
Q G WG L

QL
WL  G
(73)
QG y QL = flujos volumétricos del gas y del líquido, respectivamente.
WG y W L = flujos másicos del gas y del líquido, respectivamente.
El uso del número de Froude en estos mapas se debe a que éste grupo
adimensional relaciona las fuerzas de inercia y de gravedad actuantes sobre los
fluidos en movimiento dentro de las tuberías verticales. De esta manera, el número
de Froude indica el dominio de alguna de las fuerzas mencionadas sobre la otra.
Las fronteras entre los diferentes patrones de flujo vertical en ambos mapas
(figuras 14 y 15) no son líneas sino bandas de transición gradual, de manera
similar a las fronteras del mapa de Baker (figura 2). Por lo tanto, estos mapas
proporcionan una idea aproximada del patrón de flujo probable de encontrarse en
tuberías verticales por donde fluyen mezclas gas-líquido.
Para construir estos mapas, Oshinowo y Charles trabajaron con sistemas aireagua y aire-glicerina acuosa, además emplearon datos correspondientes a
sistemas vapor de agua-agua, aire-heptano, gas natural-petróleo crudo y
nitrógeno-mercurio. En consecuencia, el intervalo de propiedades físicas para
cada fase es muy amplio, radicando allí la gran aplicabilidad de estos mapas para
cualquier sistema bifásico gas-líquido.
A diferencia de los parámetros de Baker, cuyos factores de corrección por
propiedades generalmente están muy cercanos a 1, los factores de corrección
presentes en los parámetros de Oshinowo-Charles difieren significativamente de la
unidad, corrigiendo realmente las propiedades físicas de los fluidos diferentes al
aire y al agua.
Oshinowo y Charles investigaron además los patrones de flujo presentes en las
conexiones, especialmente en los codos en U. Ellos encontraron patrones de flujo
similares a los anteriormente mencionados para el flujo vertical. La única
diferencia entre estos patrones y los hallados en las conexiones es la influencia de
las fuerzas centrífuga y gravitacional, las cuales ocasionan la aparición de zonas
505
secas en la pared de la conexión, la inversión de la película de líquido en los flujos
anular ascendente y descendente, y la migración de las burbujas hacia la pared
con radio de curvatura menor en los flujos burbuja ascendente y descendente.
Para predecir el tipo de flujo presente en las conexiones, ellos descubrieron que el
patrón de flujo en estos accesorios depende del patrón desarrollado en la tubería
recta previa a la conexión. Por lo tanto, se les puede predecir mediante los mapas
de Oshinowo-Charles de las figuras 14 y 15.
La predicción de los patrones de flujo ascendente también puede hacerse a partir
de mapas de velocidades superficiales, como la gráfica presentada por González
Ortiz18 (figura 16), en la cual se grafica la velocidad superficial del gas contra la del
líquido. Este investigador y sus colaboradores elaboraron su mapa de patrones de
flujo basándose en mapas anteriores y en experimentos realizados con sistemas
aire-agua. El flujo espuma descrito por ellos, es un caso particular de flujo revuelto
donde el líquido fluye a casi la misma velocidad del gas.
100
ANULAR
10
BALA
ESPUMOSO
Oy
BALA
DISPERSO
ESPUMA
1
BALA
TRANQUILO
BURBUJA
0.1
0.1
1
10
100
1000
10000
Ox
Figura 14.- Mapa de patrones de Oshinowo-Charles para flujo vertical ascendente en sistemas gaslíquido. (1974)
506
100
PELÍCULA
DESCENDENTE
ANULAR
10
Oy
PELÍCULA
BURBUJEANTE
DESCENDENTE
ESPUMA
BALA
BURBUJEANTE
1
BURBUJA
NUCLEADA
0.1
0.1
1
10
100
1000
10000
Ox
Figura 15.- Mapa de patrones de Oshinowo-Charles para flujo vertical descendente en sistemas
gas-líquido. (1974)
507
10
BURBUJA DISPERSA
ESPUMA
vSL (m/s)
1
0.1
BURBUJA
BALA
REVUELTO
ANULAR
0.01
0.001
0.01
0.1
1
10
100
vSG (m/s)
Figura 16.- Mapa de patrones de González Ortiz para flujo vertical ascendente en sistemas gaslíquido. (1992)
En la obra de Núñez Alba son mostrados los mapas de Oshinowo-Charles (figuras
14 y 15) en coordenadas de velocidades superficiales. Asimismo, se presentan
otros mapas de patrones de flujo vertical ascendente y descendente.
PREDICCIÓN DE LA CAÍDA DE PRESIÓN EN TUBERÍAS VERTICALES.
De manera similar al flujo en tuberías horizontales, en el flujo vertical existen
correlaciones o modelos semiempíricos para calcular las caídas de presión, y
también hay modelos teóricos con el mismo propósito. Ambas clases de modelos
están basados en los trabajos de los investigadores que desarrollaron las
correlaciones para el flujo horizontal. En el caso de los modelos semiempíricos, el
trabajo de Lockhart y Martinelli es la base, y en los modelos teóricos, la suposición
de flujo homogéneo es fundamental en el desarrollo de nuevos modelos.
Correlaciones Semiempíricas. Siguiendo los planteamientos de Lockhart,
Martinelli y Baker, Kern26 propone la correlación de Davis11 para encontrar las
pérdidas por fricción en flujo a dos fases gas-líquido vertical.
508
En su correlación, Davis modificó al módulo de Lockhart-Martinelli de la siguiente
forma:
0.185
(74)
XD  0.19 X Fr
En donde:
XD = módulo de Lockhart-Martinelli modificado por Davis.
X = módulo de Lockhart-Martinelli.
Fr = número de Froude:
Fr 
2
vM
gD
(75)
vM = velocidad de la mezcla:
WL WG

L
G
vM 
3600 A
(76)
Método de Davis:
1.- Determinar el régimen de flujo calculando el número de Reynolds para cada
fase y empleando los criterios de Lockhart-Martinelli:
Si Re > 2000:
Si Re < 1000:
Régimen turbulento
Régimen viscoso
2.- Obtener el parámetro X de Lockhart-Martinelli con la ecuación 20. Si el régimen
de flujo es turbulento-turbulento, se puede emplear la ecuación 30.
3.- Calcular la velocidad de la mezcla constituida por las fases líquida y gaseosa,
con la ecuación 76.
4.- Calcular el número de Froude con la ecuación 75.
5.- Obtener el parámetro XD de Davis con la ecuación 74.
6.- Calcular el parámetroG de Lockhart-Martinelli mediante la ecuación de Davis:
G = exp {1.4659 + 0.49138 (ln XD) + 0.04887 (ln XD)2 – 0.000349 (ln XD)3 }
(77)
7.- Calcular la caída de presión por fricción con la ecuación 19.
Ejemplo 7.
¿Cuál es la caída de presión por metro de tubo vertical obtenida en una tubería de 18
pulgadas cédula 40, si por ella pasan hacia arriba 275000 kg/h de líquido con una
densidad de 537 kg/m3, viscosidad de 0.1 cps y 5.7 dinas/cm de tensión superficial?
Además, por la tubería pasan 325000 kg/h de vapores con densidad de 32 kg/m3 y
viscosidad de 0.01 cp.
509
1.-TRADUCCIÓN.
WL = 275000 kg/h
GASLÍQUIDO
WG = 325000 kg/h
18” Ced. 40
2.-PLANTEAMIENTO.
2.1.-Patrón de flujo
Se puede obtener mediante el mapa de González Ortiz o usando el de Oshinowo-Charles
para flujo ascendente.
2.2.-Caída de presión
Se utilizará la correlación de Davis para obtener las pérdidas de presión por fricción.
3.-CÁLCULOS.
3.1.-Patrón de flujo
D = 16.876 in = 0.4287 m
A = 0.1443 m2
Mapa de González Ortiz:
325000
vSG =
kg
h

s
kg 
3600  32 3  0.1443 m 2
h m 
275000
vSL =
kg
h



 19 .55
m
s
 0.986
m
s
s
kg 
2
 537 3  0.1443 m
h
m 
El flujo es espuma y se encuentra muy cerca de las fronteras con los flujos revuelto y
anular.
3600
Mapa de Oshinowo-Charles:
510
v2F = 0.986
m
m
m
 19.55  20.54
s
s
s
2
m

 20 .54 
s

Fr2F 
 100 .28
m
9.81 2 0.4287 m
s
Las propiedades del agua se obtienen de tablas, para lo cual se considera una
temperatura de 20°C, por ser una temperatura ambiente promedio.

kg
 997 3

 0.1cp  
m

  

 1cp   537 kg

m3

Ox 

dina
  72 .75
cm

dina

  5.7
cm







3






1
4
 0.788
100 .28
 112 .96
0.788
kg 
kg 
 537 3 
h 
m 
RV 
 19 .83
kg 
kg 
275000
 32

h  m3 
325000
Oy  19 .83  4.45
El flujo es bala espumosa y se encuentra cerca de la frontera con el flujo espuma.
En conclusión, el patrón de flujo determinado mediante estos mapas es un flujo espumoso
en la transición de los flujos bala y revuelto.
3.2.-Caída de presión
El método de Davis, aplicado a continuación, no necesita del cálculo del patrón de flujo
presente en la línea vertical. Sólo fue determinado el patrón de flujo con la finalidad de
mostrar el uso de los mapas de patrones de flujo vertical.
Caída de presión en la fase líquida:
Re SL
m 
kg 

0.4287 m  0.986  537 3 
s 
m 


 2.27  10 6
kg



ms 
 0.001
 0.1cp
cp 



De las figuras 9 y 10:
511
Régimen turbulento
/D = 0.00013
fD = 0.0125
2
m 
kg 

0.0125  0.986   537 3  1m
kgf
s 
m 

PL 
 0.776 2


m
m kg
 0.4287 m
2  9.81 2

s kgf 

Caída de presión en la fase gaseosa:
Re SG
m 
kg 

0.4287 m 19 .55   32 3 
s  m 


 2.68  10 7
kg



ms 
 0.001
 0.01cp
cp 



Régimen turbulento
De las figuras 9 y 10:
/D = 0.00013
fD = 0.0122




kg 
0.0122

  1774 kgf
7 
PG  6.379  10  325000  1m
kg  
h 
m2
5

 0.4287m  32 3  
 m 

Parámetro X:
2
 0.776 
X

 1774 
0.5
 0.0209
Parámetro XD:
kg
kg
325000
h 
h
kg
kg
537 3
32
m
h
m
 20 .54
2
s
3600 0.1443 m
275000
vM 


2
m

 20 .54 
s

Fr 
 100 .28
m
9.81 2 0.4287 m
s
512
XD  0.19 0.0209100.28
0.185
 0.00932
Caída de presión a dos fases:
G = exp{ 1.4659 + 0.49138 (ln 0.00932) + 0.04887 (ln 0.00932)2 – 0.000349 (ln 0.00932)3}
G = 1.313
kgf 
kgf
2
P2F  1.313  1774 2   3059 2
m 
m

4.-RESULTADO. La caída de presión por fricción es de 3059 kgf/m2 por metro de tubo.
Cabe resaltar la no dependencia de la correlación de Davis en el patrón de flujo
desarrollado en la tubería, como puede ser observado en el método aplicado a
este ejemplo.
Modelos homogéneos.
Basándose en el modelo de flujo homogéneo 14, Hughmark y Pressburg25
propusieron la siguiente ecuación de balance para evaluar las pérdidas de presión
en flujo a dos fases en tuberías verticales:
L WL  WG 
 P1  P2   P2F  0
WL WG

L
G
(78)
El primer término de esta ecuación corresponde al cambio de presión debido a la
energía potencial. El segundo término corresponde a la caída de presión total para
flujo a dos fases vertical ascendente. El tercer término es la caída de presión
debida a la fricción. Esta última es producida por dos mecanismos:
1.- La fricción ejercida por el fluido sobre las paredes del tubo.
2.- La turbulencia existente entre las dos fases, la cual es función de la velocidad
de deslizamiento entre fases (slip velocity):
vSLIP = vG – vL
(79)
En donde:
vSLIP = velocidad de deslizamiento entre las dos fases.
vG = velocidad real de la fase gaseosa.
vL = velocidad real de la fase líquida.
Hughmark y Pressburg definieron el siguiente parámetro para relacionar las
propiedades físicas del líquido con la masa velocidad total de la mezcla:
513
1

 L0.147
(80)
 L0.194 G 0T.70
En donde:
L = viscosidad del líquido en cp.
L = tensión superficial del líquido en dina/cm.
GT = masa velocidad total de la mezcla en lb/(ft2 s). (Ecuación 57)
Suponiendo que el líquido fluye solo por la tubería, estos investigadores
elaboraron la gráfica de la figura 17, en la cual relacionaron la caída de presión por
fricción a dos fases con la velocidad de deslizamiento y el parámetro .
Asimismo, Hughmark y Pressburg presentan una gráfica para calcular el holdup de
líquido para el flujo a dos fases vertical ascendente (figura 18). Para elaborar esta
gráfica, definieron un parámetro donde relacionan las propiedades físicas de las
fases y sus flujos másicos:
W
x   L
 WG



0 .9
2.75
 L0.19  L0.205  0G.70  G
(81)
G0T.435 L0.72
En donde:
WL y W G = flujos másicos del líquido y del gas, respectivamente, en lb/s.
L y G = densidades del líquido y del gas, respectivamente, en lb/ft 3.
Método de Hughmark-Pressburg:
1.- Calcular la caída de presión debida a la diferencia de energía potencial:
L WL  WG 
Ppotencial 
WL WG

L
G
 kgf


m2 
 m 




(82)
2.- Calcular el parámetro x de Hughmark-Pressburg con la ecuación 81.
3.- Obtener el holdup de líquido mediante la gráfica de la figura 18.
4.- Calcular la velocidad real de cada una de las fases:
vL 
vG 
WL
1097 .28 R L L A
WG
1097 .28 1  R L  G A
 ft 
s
 
 ft 
s
 
Donde:
WL y W G = flujos másicos del líquido y del gas en kg/h.
L y G = densidades del líquido y del gas en kg/m3.
514
(83)
(84)
A = área transversal de la tubería en m2.
5.- Calcular la velocidad de deslizamiento entre las fases con la ecuación 79.
6.- Calcular el parámetro  de Hughmark-Pressburg con la ecuación 80.
7.- Obtener
P2F  PL
mediante la gráfica de la figura 17, empleando la velocidad
L
de deslizamiento entre las fases y el parámetro . Nótense las unidades de las
coordenadas: la abscisa está en ft/s y la ordenada en (lbf / ft 2) / ft.
8.- Calcular la caída de presión de la fase líquida, suponiendo que ocupa todo el
volumen de la tubería:
PL
f G2
 3.182  10 3 D T
L
D L
 lbf 2 
 ft 
 ft 


(85)
Donde:
GT = masa velocidad total de la mezcla (ecuación 57) en kg/(m2 s).
D = diámetro interno de la tubería en m.
L = densidad del líquido en kg/m3.
9.- Calcular la caída de presión por fricción:
P2F PL  P2F  PL 



L
L
L


lbf
Para convertir
ft 2 a
ft
 lbf 2 
 ft 
 ft 


(86)
kgf
m 2 , multiplicar por 16.0185.
m
10.- Obtener la caída total de presión:
 P 
PT otal  P1  P2   Ppotencial  L  2F 
 L 
515
 kgf 
 m2 


(87)
Figura 17.- Gráfica de Hughmark-Pressburg para la caída de presión por fricción. (1961)
Figura 18.- Gráfica de Hughmark-Pressburg para el holdup de líquido. (1961)
Ejemplo 8.
516
Si el ejemplo anterior se resolviera por el método planteado por Hughmark y Pressburg,
¿cuál sería la caída de presión?
3.-CÁLCULOS.
3.1.-Holdup de líquido
GT 
kg
kg
 325000
h
h  1155 kg  4158004 kg  236 .56 lb
2
3600 0.1443 m
m2 s
m2 h
ft 2 s
275000


L = 537 kg/m3 = 33.5 lb/ft3
G = 32 kg/m3 = 2 lb/ft3

 275000
x

 325000

kg 

h 
kg 

h 
0 .9
0.1cp0.19  5.7 dina 

0.205
cm 

lb 
 236 .56


ft 2 s 

 lb 
2 3 
 ft 
0.435
0.70
0.01cp2.75
lb 

 33 .5 3 
ft 

 3.02  10 8
0.72
En la figura 18, la gráfica de RL vs. x es asintótica a valores muy pequeños del
parámetro x. Por tanto:
RL = 0.05
3.2.-Velocidad de deslizamiento entre fases
kg
ft
h
vL 
 64 .69
kg 
s

1097 .28 0.05  537 3  0.1443 m 2
m 

275000


kg
ft
h
vG 
 67 .52
kg 
s

1097 .28 1  0.05  32 3  0.1443 m 2
 m 
325000


ft
ft
ft
v SLIP  67.52  64.69  2.83
s
s
s
3.3.-Caída de presión por fricción
1

0.1cp0.147  5.7 dina 

cm 
0.194

lb 
 236 .56


ft 2 s 

De la figura 17:
517
0.70
 0.0218
P2F  PL
 12
L
lbf
ft 2
ft

kg 
0.4287 m 1155 2 
m s
D GT

Re L 

 4.951  10 6
kg
L



ms 
0.1cp  0.001

cp 



De las figuras 9 y 10:

/D = 0.00013
fD = 0.0123
2
PL
 3.182  10 3
L

kg 
0.0123 1155 2 
lbf
m s

ft 2
 0.2268
kg 
ft

0.4287 m  537 3 
m 

kgf
lbf
lbf
lbf
2
2
2
P2F
ft
ft
ft
m2
 0.2268
 12
 12.2268
 195.85
L
ft
ft
ft
m
4.-RESULTADOS. La caída de presión por fricción es de 195.85 kgf/m2 por metro de tubo,
valor poco más de diez veces menor al obtenido con el método de Davis.
Nótese que la correlación de Hughmark-Pressburg no toma en cuenta el patrón de
flujo presente en la tubería.
Posterior a Hughmark y Pressburg, Orkiszewski31, basándose en el trabajo de
Griffith y Wallis21, desarrolló una correlación para predecir la caída de presión en
pozos petroleros y en tuberías con flujo a dos fases vertical ascendente. Al
estudiar este fenómeno, Orkiszewski encontró una fuerte dependencia de la caída
de presión en dos factores: la diferencia en las velocidades de ambas fases (la
velocidad de deslizamiento entre las fases), y la geometría de las dos fases (el
patrón de flujo).
Los patrones de flujo ascendente considerados por Orkiszewski en su correlación
son:
1.- Flujo burbuja.
2.- Flujo bala.
3,- Flujo transición.
4.- Flujo anular-neblina.
Según este autor, la caída de presión total está dada por:
518
 P2F 
 L 


 f   2F sen 
g
gC
(88)
1  AC
En donde:
L = altura del tramo de tubería.
f = caída de presión por fricción.
2F = densidad de la mezcla.
 = ángulo de inclinación de la tubería.
AC = caída de presión por aceleración:
AC 
GT v SG
gC Pav
(89)
GT = masa velocidad de la mezcla (ecuación 57):
WL  WG
3600 A
GT 
(57)
vSG = velocidad superficial del gas.
Pav = presión promedio en el tramo de tubería.
El ángulo de inclinación para flujo ascendente es de 90°, y para flujo descendente
es de 270° ó -90°.
Para determinar el patrón de flujo, Orkiszewski definió a los siguientes parámetros
adimensionales:
Q
Gv  G
A
 L

 g  L gC
Lb  1.071  0.2218



1
4
2
v NS
 0.13
D
Ls  50  36 Gv
QL
QG

Q 
Lm  75  84  Gv L 
QG 

(90)
(91)
(92)
0.75
(93)
En donde:
Gv = velocidad adimensional del gas.
Lb = número del flujo burbuja ascendente, define a la frontera entre los
flujos burbuja y bala.
Ls = número del flujo bala ascendente, define a la frontera entre los flujos
bala y transición.
Lm = número del flujo neblina ascendente, define a la frontera entre los
519
flujos transición y neblina.
QG y QL = flujo volumétrico de las fases gas y líquido en m3/h.
A = área transversal de la tubería en m2.
L = densidad del líquido en kg/m3.
L = tensión superficial del líquido en kgf/m.
g = aceleración de la gravedad = 9.81 m/s2
gC = 9.81 m kg/(s2 kgf)
D = diámetro interno de la tubería en ft.
vNS = velocidad de la mezcla en ft/s (ecuación 46):
vNS = vSL + vSG
(46)
Los patrones de flujo fueron definidos por Orkiszewski como sigue:
Flujo Burbuja:
v SG
 Lb
v NS
Flujo Bala:
v SG
 Lb y Gv  Ls
v NS
(95)
Flujo Transición:
Lm  Gv  Ls
(96)
Flujo Neblina:
Gv  Lm
(97)
(94)
A partir de trabajos anteriores y el suyo propio, este investigador pudo establecer
una serie de correlaciones para calcular la caída de presión por fricción y la
densidad de la mezcla, para cada uno de los patrones de flujo.
Flujo burbuja:
Para este régimen, la densidad de la mezcla y el holdup de líquido están
dados por:
(98)
 2F  R L L  1  R L  G

R L  0.5  0.625 v NS  0.5  0.625 v NS   1.25 v SG
2

1
2
(99)
En donde:
vNS = velocidad de la mezcla en ft/s. (Ecuación 46)
vSG = velocidad superficial de la fase gaseosa en ft/s.
La caída de presión por fricción está dada por la ecuación de Darcy:
520
v 
f2F L  SL 
 RL 
f 
2 gC D
2
 kgf


m2 
 m 




(100)
El factor de fricción para flujo a dos fases es calculado mediante la ecuación de
Chen (ecuación 29), o se le obtiene mediante la gráfica de Moody (figuras 9 ó 10),
en donde el número de Reynolds queda definido como:
ReB 
D v SL L
 L RL
(101)
Flujo bala:
La densidad de la mezcla a dos fases está dada en este caso por:
 2F 
G T  L v r
  L
v NS  v r
(102)
En donde:
vr = velocidad de ascenso de las burbujas de Taylor en m/s.
 = coeficiente adimensional de distribución del líquido.
GT = masa velocidad de la mezcla en kg/(s m2). (Ecuación 57)
L = densidad de la fase líquida en kg/m3.
vNS = velocidad de la mezcla en m/s. (Ecuación 46)
El número de Reynolds para este flujo es:
Re S 
D v NS L
L
(103)
Para obtener la velocidad de ascenso de las burbujas de Taylor, DeGance y
Atherton14 definieron los siguientes parámetros:
1

0.04931v NS  2 


N1  0.572  10  0.35   0.1225 
 

D 0.5

 

5
1

0.01849 v NS  2 

N2  0.5721 10  0.546   0.2981
 

D0.5

 

5
En donde:
vNS = velocidad de la mezcla en ft/s. (Ecuación 46)
D = diámetro interno de la tubería en ft.
521
(104)
(105)
La velocidad de ascenso de las burbujas se obtiene entonces mediante las
siguientes ecuaciones:


 ft 
s
 
( 106 )


 ft 
s
 
(107)
Si ReS > N1:
v r  1.985  4.958  10 5 Re S D 0.5
Si ReS < N2:
v r  3.097  4.958  10 5 Re S D 0.5
Si N2 < ReS < N1:
 
13.59  L
v r  0.5     2 
 
L D0.5






0.5





  1.423  4.958  10 5 Re S D 0.5
 ft 
s
 
 ft 
s
 
(108)
(109)
En donde:
D = diámetro interno de la tubería en ft.
L = viscosidad del líquido en centipoises.
L = densidad del líquido en lb/ft3.
El coeficiente de distribución de líquido ( ) depende del tipo de fase líquida
continua, y es determinado mediante la ecuación correspondiente:
Fase líquida continua vNS (m/s) Ecuación
Agua
<3
110
Agua
>3
111
Petróleo
<3
112
Petróleo
>3
113

0.013 log  L 

0.045 log  L 


D1.38
D
(110)
 0.709  0.162 log v NS   0.888 log D
(111)
0.0127 log L  1
0.0274 log  L  1
1.371
D 0.799
 0.681  0.232 log v NS   0.428 log D
D1.415
 0.284  0.167 log v NS   0.113 log D
(112)
 0.01log  L  1

 0.161  0.569 log D  log v NS 
 0.397  0.63 log D
1.571
D


(113)
En donde:
L = viscosidad de la fase líquida en centipoises.
vNS = velocidad de la mezcla en ft/s. (Ecuación 46)
D = diámetro interno de la tubería en ft.
522
Con objeto de eliminar las discontinuidades en la presión entre los regímenes de
flujo, el coeficiente  está sujeto a las siguientes restricciones:
Si vNS < 3 m/s:
  0.065 v NS
Si vNS > 3 m/s:

(114)
v r GT  v NS 
v r  v NS v r  v NS  1
(115)
Donde:
GT = masa velocidad de la mezcla en lb/(s ft2). (Ecuación 57)
vNS = velocidad de la mezcla en ft/s. (Ecuación 46)
La caída de presión por fricción está dada por la siguiente ecuación:
f  v2
 f  2F L NS
2 gC D
 v SL  v r


  
 v NS  v r

 kgf


m2 
 m 




(116)
En donde:
L = densidad de la fase líquida en kg/m3.
vNS = velocidad de la mezcla en m/s.
gC = 9.81 m kg/(s2 kgf)
vSL = velocidad superficial de la fase líquida en m/s.
vr = velocidad de ascenso de las burbujas de Taylor en m/s.
D = diámetro interno de la tubería en m.
El factor de fricción es obtenido mediante la gráfica de Moody (figuras 9 ó
10) ó calculado con la ecuación de Chen (ecuación 29), empleando el Re S.
Flujo transición:
La densidad de la mezcla en este régimen es el promedio de las densidades de
mezcla de los flujos bala y neblina, y se encuentra expresada como sigue:
 2F 
Lm  Gv
2F bala  Gv  Ls 2F neblina
Lm  Ls
Lm  Ls
(117)
De la misma manera, la caída de presión por fricción es el promedio de las
pérdidas por fricción de los flujos bala y neblina:
f 
Lm  Gv
 f bala  Gv  Ls  f neblina
Lm  Ls
Lm  Ls
(118)
En donde  f neblina es calculada empleando la siguiente expresión para el flujo
volumétrico del gas:
 L
Q G  A Lm 
 g  L gC
523



1
4
(119)
Flujo neblina:
El cálculo de los parámetros para este patrón de flujo es similar al del flujo burbuja,
pues la densidad de mezcla y la caída de presión por fricción están dados por:
 2F  R L L  1  R L  G
(98)
 v
f2F  G  SG
 1  RL
f 
2 gC D



2
 kgf


m2 
 m 




(120)
Debido a la inexistencia de un deslizamiento entre las fases, el holdup de líquido
es en este caso:
RL 
QL
QL  Q G
(121)
Para obtener el factor de fricción se emplea la gráfica de Moody o la ecuación de
Chen, utilizando un número de Reynolds definido por:
ReM 
D v SG G
G
(122)
La rugosidad relativa es determinada a través del número de Weber:
v 
We   SG L
  L gC
2
 G

 L
(123)
Si We < 0.005:
 L gC

 34
2
D
 G v SG
D
( 124 )
Si We > 0.005:
 g We 0.302

 174 .8 L C 2
D
 G v SG D
(125)
Para este patrón de flujo:
10 3 

 0.5
D
Método de Orkiszewski:
1.- Determinar el patrón de flujo presente en la tubería, calculando para ello los
parámetros adimensionales con las ecuaciones 90 a 93 y empleando las
definiciones 94 a 97.
2.- Calcular la caída de presión por fricción empleando las ecuaciones
correspondientes al patrón de flujo determinado en el paso 1.
En el caso del flujo bala, para calcular la velocidad vr se siguen estos pasos:
2.1.- Calcular el número de Reynolds con la ecuación 103.
524
2.2.- Calcular los parámetros N1 y N2 con las ecuaciones 104 y 105.
2.3.- Calcular vr con las ecuaciones 106 a 109.
3.- Obtener la caída de presión por aceleración con la ecuación 89.
4.- Calcular la caída total de presión con la ecuación 88.
Ejemplo 9.
Por una tubería vertical de acero de 6 pulgadas cédula 40 asciende una mezcla de
hidrocarburos a 42 atm y 13°C. La mezcla está formada por 63 kg/s de líquido y 107 kg/s
de vapor. La densidad del líquido es de 806 kg/m3 y la del vapor de 36 kg/m3. La
viscosidad del líquido es de 0.8148 cps y la del vapor 0.0115 cps; la tensión superficial del
líquido es de 18 dinas/cm. Encuentre la caída de presión por metro de tubería.
1.-TRADUCCIÓN.
GASLÍQUIDO
WL = 63 kg/s
6” Sed. 40
WG = 107 kg/s
P = 42 atm
T = 13°C
2.-PLANTEAMIENTO.
2.1.-Discusión
El problema será resuelto por el método de Orkiszewski.
3.-CÁLCULOS.
3.1.-Patrón de flujo
D = 6.065 in = 0.1541 m = 0.5054 ft
A = 0.01864 m2
L = 18 dina/cm = 1.84x10-3 kgf/m
525
QG = 2.97 m3/s
QL = 0.0782 m3/s
vSL = 4.19 m/s
vSG = 159.33 m/s
vNS = 163.52 m/s = 536.48 ft/s

kg
m

806 3
2.97

s
m
Gv 

0.01864 m 2 
m
3 kgf
 9.81 s 1.84  10 m

3




m kg  
 

  9.81 2
s kgf  

1
4
2
 1308 .75
ft 

 536 .48 
s
Lb  1.071  0.2218 
 126307 .7  0.13
0.5054 ft
Lb = 0.13
m3
s  1290.54
Ls  50  36 1308.75
m3
2.97
s
0.0782

m3

0.0782
s
Lm  75  84 1308.75

m3
2.97

s

Definiciones de los patrones de flujo:
m
s  0.974  0.13

m
163 .52
s
159 .33
1308.75  1290.54
1269.70  1308.75  1290.54
1308 .75  1269 .70
El régimen de flujo obtenido es neblina.
526






0.75
 1269.70
Empleando el mapa de Oshinowo-Charles para comparar:
Ox = 12332.48
Oy = 6.167
El patrón es el caso límite de flujo anular cuando el gas fluye a alta velocidad, es decir, el
flujo es neblina.
3.2.-Caída de presión por fricción
Para flujo neblina:
RL 
0.0782
m3
s
m3
m3
0.0782
 2.97
s
s
 0.0257
kg 
kg 
kg


 2F  0.0257  806 3   1  0.0257  36 3   55 .75 3
m 
m

 m 
m 
kg 

0.1541 m 159 .33   36 3 
s  m 

ReM 
 76860792
kg



ms 
0.0115 cp  0.001

cp 



2

kg




m
ms  
 159 .33 0.8148 cp 0.001

s
cp   36 kg






m 3  2.31  0.005
We  

kg
kgf 
m kg 

 806 3
 9.81

1.84  10 3
m


m 
s 2 kgf 







 174 .8
D

m kg 
 9.81
 2.310.302
2

s kgf 

 2.885  10 5  10 3
2
kg 
m
36 3 159 .33  0.1541 m
s
m 
1.84  10 3
kgf
m

 10 3
D
f2F = 0.0195
527
2
m

 159 .33 
kg  

s 
0.0195  36 3 


1

0
.
0257
m


kgf




m2
f 
 6209 .34
m

m kg 
 0.1541 m
2  9.81 2
s kgf 

3.3.-Caída total de presión.
GT = 9120.17 kg/(m2 s)
Pav = 42 atm = 433974 kgf/m2
kg 
m
159 .33 
2
s
m s
AC 
 0.341
m kg 
kgf 
9.81 2
 433974 2 
s kgf 
m 
9120 .17
 P2F 
 L 


6209 .34
 kgf
kgf
kg
 55 .75 3 sen90 1
3
m
m
 kg
1  0.341

kgf

  9506 .97
m2
m
4.-RESULTADO. La caída total de presión es de 9506.97 kgf/m2 por metro de longitud de
tubo, equivalente a una caída de 0.92 atm por cada metro de tubo.
Ejemplo 10. Una mezcla de hidrocarburos asciende por una tubería de acero de 5
pulgadas cédula 80. La presión es de 40 atm y la temperatura de 13°C. La masa
velocidad total de la mezcla es de 17.9 kg/m2s. La velocidad superficial del líquido es de
0.0061 m/s y la del gas de 0.338 m/s, siendo la densidad del líquido de 810 kg/m3, y su
viscosidad de 0.8086 cp. La tensión superficial de la fase líquida es de 18 dina/cm. La
densidad del vapor es de 36 kg/m3 y su viscosidad de 0.0115 cp. La velocidad no slip o de
no deslizamiento es de 0.344 m/s. Encuentre la caída esperada de presión por metro de
longitud del tubo.
528
1.-TRADUCCIÓN.
GASLÍQUIDO
2
GT = 17.9 kg/(m s)
5” Ced. 80
vSL = 0.0061 m/s
P = 40 atm
vSG = 0.338 m/s
T = 13°C
2.-PLANTEAMIENTO.
2.1.-Discusión
El cálculo de la caída de presión se hará mediante el método de Orkiszewski.
3.-CÁLCULOS.
3.1.-Patrón de flujo
D = 4.813 in = 0.1223 m = 0.4011 ft
A = 0.011738 m2
L = 18 dina/cm = 1.84x10-3 kgf/m
vNS = 0.344 m/s = 1.13 ft/s

kg

810 3
m
m
Gv  0.338 
s
m
3 kgf
 9.81 s 1.84  10 m





m kg  
 

9
.
81

s 2 kgf  

2
ft 

1.13 
s
Lb  1.071  0.2218 
 0.365  0.13
0.4011 ft
m
s  51 .8
Ls  50  36 2.78 
m
0.338
s
0.0061
529
1
4
 2.78
m

0.0061 

s 
Lm  75  84  2.78
m 

0.338


s 

0.75
 83 .9
Definiciones de los patrones de flujo:
m
s  0.983  0.365

m
0.344
s
0.338
2.78  51 .8
El régimen de flujo obtenido es bala.
Utilizando a los parámetros y el mapa de Oshinowo-Charles:
Ox = 0.0633
Oy = 7.44
El patrón de flujo determinado es bala disperso.
Empleando el mapa de González Ortiz se determina flujo bala, lo cual coincide con el
mapa de Oshinowo-Charles y las definiciones de Orkiszewski.
3.2.-Caída de presión por fricción
Velocidad de ascenso de las burbujas de Taylor:
m 
kg 

0.1223 m  0.344   810 3 
s 
m 

Re S 
 42144
kg



ms 
0.8086 cp  0.001

cp 



1

2


ft






0.049311.13 
s 


5 
N1  0.572  10  0.35   0.1225 
 6222.31
0.4011ft 0.5  


 


 

530
1



ft   2 



0.018491.13  
s 


5 
N2  0.5721 10  0.546   0.2981
0.5
   1682.24


0
.
4011
ft


 


 

ReS = 42144 > N1 = 6222.31


v r  1.985  4.958  10 5 42144 0.4011ft 
0.5
 2.58
ft
m
 0.787
s
s
Parámetro :
vNS = 0.344 m/s < 3 m/s
Para la mezcla de hidrocarburos corresponde la ecuación 112 para petróleo:

0.0127 log0.8086 cp  1
0.1223 m
1.415
 
m 
 0.284  0.167 log 0.344   0.113 log0.1223 m
s 
 
m

  0.4006  0.065  0.344   0.0224
s

 = -0.0224
Gradiente de presión por fricción:
De las figuras 9 y 10:

/D = 0.00035
f2F = 0.023
2
kg  
m

0.023  810 3   0.344 
s
m 

f 

m kg 
 0.1223 m
2  9.81 2
s kgf 

m
m


kgf
 0.0061  0.787

s
s
m2

  0.0224   0.624
m
m


m
 0.344  0.787

s
s


3.3.-Caída total de presión
17.9
 2F 
kg
kg 
m
 810 3  0.787 
2
s
kg 
kg
m s
m 

  0.0224 810 3   561.3 3
m
m
m 
m

0.344  0.787
s
s
531
Pav = 40 atm = 413309 kgf/m2
kg 
m
 0.338 
2
s
m s
AC 
 1.49  10 6
m kg 
kgf 
9.81 2
 413309 2 
s kgf 
m 
17 .9
 P2F 
 L 


0.624
 kgf
kgf
kg
 561 .3 3 sen90 1
3
m
m
 kg
6
1  1.49  10

kgf

  561 .94
m2
m
4.-RESULTADO. La caída de presión es de 561.94 kgf/m2 por cada metro de longitud de
tubería, equivalente a 0.054 atm por metro de tubo, o a 0.799 psi por metro.
La correlación de Orkiszewski es la mejor para calcular las caídas de presión en
flujo a dos fases vertical ascendente, pues su precisión es del orden de ± 10%. Sin
embargo, la correlación de Davis es la más empleada debido a su sencillez y a su
similitud con la correlación de Lockhart-Martinelli.
Además de las correlaciones aquí presentadas, en la literatura sobre el tema se
pueden encontrar muchas otras; para el lector interesado se le recomienda revisar
las de Hagedorn22, Aziz2, Beggs6 y Oshinowo-Charles33.
CONSIDERACIONES GENERALES.
Dependiendo del patrón de flujo, el líquido contenido en el tubo puede ser
acelerado hasta alcanzar la velocidad de la fase gaseosa. En ciertos casos, esta
velocidad es mayor de la deseable en las tuberías de proceso. Las velocidades
altas producen un fenómeno conocido como erosión-corrosión, en donde la
velocidad de corrosión del material del tubo es acelerada debido a la fuerza
erosiva del líquido a altas velocidades.
Un índice basado en las cargas o cabezas de velocidad indica si la erosióncorrosión puede ser importante a una cierta velocidad en particular, y se le utiliza
para determinar el intervalo de densidad y velocidad de mezcla dentro del cual no
se produce la erosión-corrosión. Este índice es10:
M v M2  15000
(126)
En donde la densidad de la mezcla es:
M 
WL  WG
WL WG

L
G
 kg 
 m3 
 
Y la velocidad de la mezcla está dada por la ecuación 46:
532
(127)
v M  v SL  v SG
m 
s
 
(46)
Para el caso general, la velocidad de la mezcla debe ser menor a 15 m/s, pues la
experiencia ha demostrado que la erosión se presenta cuando se excede ese
valor.
Además de mantener el producto de velocidad-densidad dentro del intervalo
aceptable, se debe también mantener el régimen de flujo apropiado en las líneas.
Sobre todo se debe evitar el flujo ariete, porque causa problemas mecánicos y de
proceso graves, este último debido a la intermitencia en la entrada de líquido y de
gas a un equipo.
El flujo disperso o neblina12 es una mezcla casi homogénea de fase líquida en fase
gaseosa, y por tanto se comporta en forma similar a un fluido compresible. Sin
embargo, a pesar de la bondad de este flujo para el diseño de tuberías, en los
tanques flash y en las columnas de destilación causa problemas de separación,
debido al arrastre de líquido. Una vez adquirido este patrón de flujo en un sistema,
es prácticamente imposible separar las fases, ya que se requiere alcanzar
velocidades imposibles de obtener en la gran mayoría de los sistemas de flujo.
El flujo estratificado y onda se utilizan sólo para tuberías horizontales largas. Los
flujos tapón y bala12 son raros a la hora del diseño, debido a su intermitencia. El
anular o película es indeseable porque causa erosión en las paredes de las
tuberías.
Ejercicios de autoevaluación propuestos.
Problema 1.
Por una línea horizontal de una pulgada cédula 40, fluyen agua y aire a razón de 990 kg/h
y de 6 kg/h, respectivamente, y con unas condiciones de flujo tales que las propiedades
medias del líquido y del gas son: L = 1 cp; L = 1000 kg/m3; L = 73 dinas/cm; G = 1.25
kg/m3. Encuentre el patrón de flujo esperado.
Resultado. En el mapa de Baker, el flujo resultante es ariete. En el mapa de González
Ortiz, el flujo está cerca de la frontera entre los flujos estratificado y ariete. En el mapa de
Chhabra-Richardson, el patrón esperado es el de flujo intermitente. Por lo tanto, el patrón
de flujo es ariete.
Problema 2.
¿Cuál será el patrón de flujo si se manejan 0.08 m3/min de vapor de agua, con 0.5 m3/min
de agua líquida, por una tubería horizontal de 2 pulgadas cédula 80 a 120°C y 2 atm? La
tensión superficial del agua a estas condiciones es de 56.7 dina/cm.
Resultado. En el mapa de Baker, el patrón es flujo burbuja, aunque se aproxima a la
región del flujo tapón. En el mapa de González Ortiz, el patrón es flujo tapón y se
encuentra próximo a los flujos ariete y burbuja dispersa. En el mapa de ChhabraRichardson, el patrón corresponde al flujo burbuja dispersa, pero está muy cerca del flujo
intermitente. Por lo tanto, el patrón más probable es el de flujo burbuja.
533
Problema 3.
Por una tubería horizontal fluyen 200000 kg/h de líquido y 300000 kg/h de gas. Las
propiedades de los fluidos son:
Para el líquido: densidad = 700 kg/m3; viscosidad = 0.1 cps; tensión superficial = 5
dinas/cm.
Para el gas: densidad = 30 kg/m3 y viscosidad = 0.01 cp.
Obtener el patrón de flujo esperado en la tubería.
Resultado. En el mapa de Baker, el patrón corresponde al flujo disperso. En el mapa de
González Ortiz, el patrón de flujo es anular-neblina, pero por encontrarse fuera del mapa
puede considerarse exclusivamente flujo neblina. En el mapa de Chhabra-Richardson, el
flujo es burbuja dispersa pero se encuentra cerca del flujo anular-neblina. Se puede
concluir que el patrón de flujo es neblina o disperso.
Problema 4.
¿Cuál es la caída de presión en 100 m de tubo, si se maneja a 100°C y 2 atm una mezcla
de 0.06 m3/min de vapor de agua con 0.03 m3/min de agua líquida, por una tubería
horizontal de 2 pulgadas cédula 40? La tensión superficial es de 59.98 dina/cm.
Resultado. Empleando al método de Lockhart-Martinelli modificado por Baker, la caída
de presión por fricción es de 1525.99 kgf/m2 por cada 100 m de longitud de tubo, siendo el
patrón de flujo tapón.
Problema 5.
Por una tubería horizontal de 5 cm de diámetro interno y una rugosidad relativa (/D)
equivalente a 0.0006, circula agua a 100°C con un caudal másico de 8 kg/s. Las burbujas
de vapor formadas en su seno representan un 0.01 % del caudal másico total. Si la
presión a la entrada es de 3 atm, calcule la caída de presión en 50 metros de tubería. La
tensión superficial del agua líquida a estas condiciones es de 59.98 dina/cm.
Resultado. El Reynolds superficial del vapor es de 1509, por lo cual no entra dentro de
los criterios de Lockhart-Martinelli. Considerándolo en régimen viscoso, la caída de
presión por fricción obtenida con el método original de Lockhart-Martinelli es de 75263.23
kgf/m2.
Problema 6.
Calcule la caída de presión por 100 metros de tubería horizontal de 2 pulgadas cédula 40,
por la que fluyen 1000 kg/h de una mezcla formada en la fase líquida por 20% de tolueno
y 80% de n-octano en mol. El líquido está a su temperatura de burbuja y por la tubería
circula 50 % de líquido y 50 % de vapor en masa. (El vapor está en equilibrio con el
líquido). La presión de operación es de 700 mm de Hg. Las ecuaciones de Antoine para
ambos componentes son:
Log P°n-octano = 6.845 – 1203.53/(222.86 + T)
Log P°tolueno = 6.923 – 1355.13/(209.52 + T)
Donde: P° está en mmHg y T está en °C.
Resultado. Empleando al método de Lockhart-Martinelli modificado por Baker, para el
flujo disperso la caída de presión por fricción es de 38.294 kgf/cm2 en 100 m de longitud
de tubo. Con el caso I de Dukler se obtienen unas pérdidas de presión por fricción de
0.277 kgf/cm2, y mediante el caso II de Dukler, la caída de presión por fricción es de 0.428
kgf/cm2, ambos en 100 metros de tubo.
534
Problema 7.
¿Cuál es la caída de presión en una línea horizontal de 100 m de longitud y 18 pulgadas
de diámetro cédula 40, en la que fluyen 275685 kg/h de líquido y 325730 kg/h de gas?
Datos
Líquido
Gas
Peso molecular
78.8
75
Densidad
535 kg/m3
32 kg/m3
Viscosidad
0.1 cps
0.01 cps
Tensión superficial 5.81x10-4 kgf/m
Resultado. La caída total de presión empleando al método de Lockhart-Martinelli
modificado por Baker es de 33.69 kgf/cm2, y mediante el caso II de Dukler es de 0.488
kgf/cm2, ambos en 100 metros de tubo. El patrón determinado con el mapa de Baker es el
de flujo disperso.
Problema 8.
Para el problema anterior, ¿cuál sería la caída de presión esperada, si la tubería fuera
vertical?
Resultado. La caída total de presión empleando al método de Davis, contraparte vertical
del método de Lockhart-Martinelli, es de 30.75 kgf/cm2, y mediante el método de
Orkiszewski, contraparte vertical del método de Dukler, es de 8.52 kgf/cm2, ambos
resultados en 100 metros de tubo. El patrón determinado con el método de Orkiszewski
es el de flujo bala.
Problema 9.
¿Cuál es la caída de presión por cada 100 metros producida en una línea horizontal de 18
pulgadas cédula 40, por la cual fluyen 300000 kg/h de líquido y 400000 kg/h de gas?
Datos
Líquido
Gas
Peso molecular
78
76
Densidad
600 kg/m3
32 kg/m3
Viscosidad
0.3 cps
0.02 cps
Tensión superficial
5.81x10-4 kgf/m
Resultado. La caída total de presión obtenida con el caso II de Dukler es de 0.73
kgf/cm2 en 100 m de longitud de tubería.
Problema 10.
Calcule la caída de presión para una mezcla que está a 61 atm y 13°C, la cual fluye por
una línea horizontal de 1 km de longitud y de 24 pulgadas de diámetro cédula 80, a razón
de 2240 kg/h de gas y 230000 kg/h de líquido. La densidad del líquido es de 802 kg/m3 y
la del gas de 52 kg/m3, la viscosidad del líquido es de 0.8 cps y la del gas de 0.012 cp.
Resultado. Empleando el caso II de Dukler se obtiene una caída total de presión de
175.11 kgf/m2 por kilómetro de tubo.
Problema 11.
Calcule el gradiente de presión por cada metro de longitud, producido por el flujo de una
mezcla líquido-vapor de hidrocarburos, que fluye por una tubería horizontal de 24
pulgadas de diámetro cédula 40, a 38 atm y 13°C. La velocidad superficial del líquido es
de 0.26 m/s, la del gas de 0.17 m/s, la densidad del líquido es de 834 kg/m3, la del gas de
32 kg/m3, la viscosidad del líquido es de 0.84 cps, la del gas de 0.012 cps, el gasto de
líquido de 226000 kg/h y el del gas de 5850 kg/h.
535
Resultado. La caída de presión por fricción obtenida con el caso I de Dukler es de 0.156
kgf/m2 por metro de tubo, y mediante el caso II de Dukler, las pérdidas de presión por
fricción son de 0.201 kgf/m2 por metro de tubo.
Problema 12.
Estime la caída de presión para el ejemplo 5 empleando el método de Dukler.
Resultado. Utilizando al caso I de Dukler, la caída de presión por fricción es de
11344.27 kgf/m2. Con el caso II de Dukler, las pérdidas de presión por fricción son de
11722.21 kgf/m2.
536
Capítulo XXIII
Flujo a dos fases.
Sistema líquido-sólido.
537
INTRODUCCIÓN.
El fenómeno del flujo concurrente de líquidos y sólidos granulares o particulados
(conocido en inglés como slurry flow) no debe ser ignorado por la ingeniería
química, pues su campo de aplicaciones en la industria es vasto y extenso. Al
igual que en los sistemas gas-sólido, el diseño de equipos cuyo principal
componente es el flujo de líquidos y sólidos en paralelo, era un arte desconocido
para todo ingeniero ajeno a estos sistemas.
En sus inicios en 1906, los sistemas de flujo líquido-sólido comprendían casi
exclusivamente a los drenajes citadinos e industriales, los cuales eran diseñados y
construidos por los ingenieros civiles. Con el diseño y construcción de los grandes
ductos de transporte de carbón por agua, a principios de la década de 1950 en
diversas partes del mundo, la investigación del flujo bifásico líquido-sólido se
intensificó, y de esta manera la ingeniería química pudo vislumbrar un mejor futuro
gracias a la conversión de esta disciplina en ciencia.
Además de las tuberías para transporte hidráulico de materiales sólidos, existen
otros equipos donde se presentan condiciones de flujo paralelo de líquidos y
partículas sólidas, como son reactores catalíticos, filtros prensa, equipos de
intercambio iónico, decantadores, mezcladores, calentadores y enfriadores,
bombas para manejo de suspensiones, entre otros más.
En el diseño de los sistemas líquido-sólido, la preocupación del ingeniero se
centra en la determinación de la caída de presión, la cual depende del patrón de
flujo, de la velocidad del líquido transportador, y de las propiedades de ambas
fases. La velocidad de la fase líquida es una variable crítica pues determina la
velocidad de las partículas sólidas. Una mala selección de la velocidad del líquido
provoca erosión de las paredes internas de las tuberías y equipos con flujo
bifásico líquido-sólido, y por consiguiente la falla de los mismos. A diferencia del
flujo de mezclas gas-sólido, no existe el riesgo de explosión ni de incendio, pero el
fenómeno de la erosión conlleva a la corrosión de los tubos y de los equipos.
Aunque para acarrear partículas sólidas puede emplearse tanto un gas como un
líquido, el comportamiento de ambos flujos bifásicos fluido-sólido tiene diferencias
importantes. En el flujo gas-sólido, las interacciones entre partículas y entre las
partículas y la pared del tubo dominan sobre las interacciones entre el fluido y las
partículas. En el flujo líquido-sólido, las interacciones fluido-partícula y entre
partículas dominan sobre las existentes entre las partículas y la pared de la
tubería. Cabe resaltar también la gran similitud entre ambos fenómenos,
destacándose los patrones de flujo y la serie de variables de las que depende su
comportamiento.
Para poder optimizar el diseño de estos sistemas y mejorar su operabilidad, es
necesario conocer en mayor detalle al fenómeno del flujo líquido-sólido. A pesar
de las investigaciones realizadas en este campo, aún no ha sido posible
desarrollar un modelo general, pues las correlaciones existentes a la fecha
dependen del patrón de flujo. No obstante, gracias a las semejanzas con el flujo
gas-sólido, una gran cantidad de esas correlaciones son aplicables para ambos
tipos de flujo bifásico, lo cual nos puede llevar en un futuro hacia un modelo
general de flujo a dos fases.
538
CLASIFICACIÓN DE LAS PARTÍCULAS SÓLIDAS.
La fluidización de lechos de partículas puede presentarse de dos modos, de
manera homogénea o con la aparición de burbujas, dependiendo del tamaño de
las partículas y de la densidad de las mismas. De acuerdo con estos patrones de
fluidización, Gibilaro, Hossain y Foscolo clasificaron a las partículas en tres grupos
(figura 31), presentándolos en una gráfica similar a la de Geldart (figura 19).
12
8
AGREGATIVA
-
3
3
|P -  L| (x10 kg/m )
10
6
4
AGREGATIVA Y
PARTICULADA
2
PARTICULADA
0
0
1
2
3
4
5
dP (mm)
Figura 31.- Mapa de clasificación de partículas de Gibilaro-Hossain-Foscolo. (1986)
Este mapa fue construido basándose en datos de fluidización con agua a
condiciones atmosféricas. Para otros líquidos y otras condiciones de presión y
temperatura, Di Felice desarrolló un mapa de clasificación (figura 32), similar al de
Grace para sistemas gas-sólido (figura 20), basándose en los criterios de
clasificación propuestos por él, Gibilaro y Foscolo, y cuyas coordenadas son
adimensionales. Las coordenadas del mapa de Di Felice son:
     g 
dP *  dP  L P 2 L 
L


De 
1
3
 Ar
1
3
L
P
Donde:
dP* = diámetro adimensional de partícula.
De = cociente de las densidades de ambas fases.
dP = diámetro de partícula en m.
L = densidad del líquido en kg/m3.
539
(183)
(184)
P = densidad de las partículas sólidas en kg/m3.
g = aceleración de la gravedad = 9.81 m/s2.
L = viscosidad del líquido en kg/ (m s).
Ar = número de Arquímedes, también llamado número de Galileo (Ga):
Ar 
dP3 L P  L g
3
 dP * 
2
L
(185)
1
PARTICULADA
De
PARTICULADA
Y
AGREGATIVA
AGREGATIVA
0.1
1.E+01
1.E+02
1.E+03
1.E+04
1.E+05
1.E+06
1.E+07
Ar
Figura 32.- Mapa de clasificación de partículas de Di Felice. (1995)
Al lector interesado en conocer más sobre caracterización de partículas sólidas, se
le recomienda consultar las obras de Valiente Barderas, de Leva, de Kunii y
Levenspiel, de Fan y Zhu, y de Shook y Roco.
PATRONES DE FLUJO EN TUBERÍAS HORIZONTALES.
Existen cinco patrones de flujo bifásico líquido-sólido en tuberías horizontales
(figura 33), los cuales arreglados en orden decreciente de velocidad del líquido
son los siguientes:
Flujo Homogéneo (Homogeneous flow): Las partículas sólidas están
completamente suspendidas en el líquido y se encuentran distribuidas
uniformemente en toda el área de flujo de la tubería. La presencia de las partículas
afecta la reología del líquido. Si la concentración de los sólidos es inferior al 5% en
volumen, el comportamiento del flujo es de tipo newtoniano, y si la concentración
540
es mayor, el flujo se comporta como un fluido no newtoniano. Este régimen de
flujo se presenta a velocidades superficiales de líquido muy altas. Por semejar una
sola fase homogénea, se le suele denominar flujo pseudohomogéneo
(pseudohomogeneous flow).
Flujo Heterogéneo (Heterogeneous flow): Al disminuir la velocidad del líquido, las
partículas más grandes y pesadas descienden para ser transportadas por la fase
líquida en la porción inferior del tubo. Aún se encuentran suspendidas las
partículas, por lo que no hay sedimento en el fondo de la tubería. Se le conoce
también como suspensión heterogénea (heterogeneous slurry).
Flujo con Dunas (Dune flow): Disminuyendo aún más la velocidad de la fase
líquida, a un valor inferior a la velocidad de sedimentación, las partículas
comienzan a precipitarse, con lo cual se forman sedimentos cuya transportación
se efectúa en forma de dunas o montículos. La velocidad del líquido determina el
tipo de dunas presente, las cuales son similares a las existentes en el flujo a dos
fases gas-sólido:
Flujo con Dunas Longitudinales (Longitudinal dune flow): Inmediatamente por
debajo de la velocidad de sedimentación, las
partículas forman dunas alargadas, paralelas a
la tubería, que avanzan en la dirección del
flujo. El ancho de estas dunas es de
aproximadamente 0.1 veces el diámetro de la
tubería, y su longitud es de 1 a 3 veces el
diámetro del tubo. También se le conoce como
flujo de estrías de sedimento (stria of sediment
flow), flujo en bandas (ribbon flow) o flujo en
saltos (saltation flow).
Flujo con Dunas Transversales (Transverse dune flow): A una menor velocidad
del líquido, las partículas forman dunas
perpendiculares a la tubería, las cuales avanzan
en el sentido del flujo. Su apariencia es la de
islas o de cúmulos de partículas bien definidos.
Al disminuir la velocidad de la fase líquida, la
longitud de las dunas disminuye y su altura
aumenta. Este patrón de flujo es el clásico flujo
de dunas, también conocido como flujo
estratificado (stratified flow).
Flujo Onda (Ripple flow): A velocidades de líquido más bajas, las partículas
forman un lecho estacionario en la parte inferior de la tubería. En la porción media,
las partículas avanzan lentamente, deslizándose sobre el lecho estacionario. En la
parte superior, el líquido se encuentra fluyendo libremente a una mayor velocidad
respecto al lecho estacionario, con lo cual acarrea partículas que forman olas u
541
ondas que se desplazan en el sentido del flujo a modo de dunas transversales. Se
le suele llamar flujo con lecho estacionario (flow with stationary bed).
Flujo con Lecho Móvil (Moving bed flow): Disminuyendo más la velocidad
superficial de la fase líquida, las partículas ocupan por completo al área de flujo de
la tubería, con lo cual la porción superior fluye lentamente y la porción inferior
permanece estacionaria. Si la velocidad del líquido baja aún más, el movimiento
de las partículas cesa ocasionando el bloqueo de la línea. Se le denomina también
flujo en fase densa continua (continuous dense phase flow).
Flujo Homogéneo
Flujo Heterogéneo
Flujo con Dunas Longitudinales
Flujo con Dunas Transversales
Flujo Onda
Flujo con Lecho Móvil
Figura 33.- Patrones de flujo a dos fases sistema líquido-sólido en tuberías horizontales.
A estos patrones de flujo se les clasifica de acuerdo a la concentración de
los sólidos en el área de flujo de la tubería, como sigue:
Flujo en fase diluida: la concentración de las partículas es relativamente baja,
pues la velocidad superficial del líquido es mayor a la de
sedimentación de los sólidos, los cuales se encuentran
dispersos en la fase líquida; también se le conoce como
542
transporte hidráulico en fase diluida: flujos homogéneo y
heterogéneo.
Flujo en fase densa: la velocidad superficial del líquido es menor a la de
sedimentación de las partículas, ocasionando una
acumulación de partículas en la tubería; también es
conocida como transporte hidráulico en fase densa: flujos
con dunas, onda y con lecho móvil.
PREDICCIÓN DE
HORIZONTALES.
LOS
PATRONES
DE
FLUJO
EN
TUBERÍAS
La determinación del patrón de flujo a dos fases líquido-sólido presente en una
línea de transporte es el primer paso para su dimensionamiento. De manera
similar a la identificación de patrones de flujo horizontal en sistemas gas-sólido, en
los sistemas líquido-sólidos esta identificación es independiente de la técnica
usada por los investigadores, pues los patrones de flujo son reconocidos por el
perfil de caída de presión en el cual se presentan.
Uno de los primeros mapas de patrones de flujo horizontal fue desarrollado por
Newitt y sus colaboradores, basándose en el trabajo de Durand y Condolios, y
empleando datos de transporte de arena, grava, óxido de manganeso y carbón
con agua. Posteriormente, otros mapas han aparecido en la literatura, destacando
entre ellos el de Turian y Yuan, con la desventaja de ser específicos para un
sistema en particular y a unas ciertas condiciones de flujo.
El único mapa generalizado existente hasta la fecha es aquél desarrollado por
Thomas (figura 34), el cual está basado en consideraciones teóricas y en datos
experimentales. Como se vio en los sistemas gas-sólido, los datos empleados por
Thomas corresponden principalmente a sistemas agua-sólido, aunque fueron
usados algunos datos pertenecientes a sistemas aire-sólido.
A continuación se muestra al mapa de Thomas correspondiente a los sistemas
líquido-sólido, junto con su metodología para determinar el patrón de flujo
horizontal. La distribución de los patrones en esta gráfica es similar a la del mapa
de Thomas correspondiente a los sistemas gas-sólido. El mapa mostrado abajo
fue construido para un cociente (P - L)/L de 1.65, el cual es un valor promedio
frecuente en los sistemas líquido-sólido y fue utilizado originalmente por Thomas
al elaborar su mapa. Para mayores detalles en cuanto a las características del
mapa y de la metodología, referirse al capítulo anterior.
543
Figura 34.- Mapa de patrones de Thomas para flujo horizontal en sistemas líquido-sólido. (1964)
La fracción de huecos o holdup de líquido está dada por la siguiente ecuación:

WL
L
QL

WL WP
QL  QP

L
P
(186)
Donde:
QL y QP = flujos volumétricos de las fases líquida y sólida en m3/h.
Método de Thomas para determinar patrones de flujo horizontal:
1.- Obtener la velocidad terminal de las partículas utilizando la gráfica de la figura
23, y la ecuación 139:
   g 
v t  u t *   2 
  
1
3
2.- Calcular el Reynolds superficial de partícula:
544
m 
s
 
(139)
Re SP 
dP v SL L
L
(187)
3.- Determinar el factor de fricción de Fanning con la ecuación 132, empleando el
Reynolds superficial de partícula y el diagrama de Moody (figura 9 ó 10), o
bien, utilizando las ecuaciones de Hagen-Poiseuille (ecuación 28) o la de Chen
(ecuación 29) dependiendo del régimen de flujo (laminar o turbulento,
respectivamente):
f
(132)
ff  D
4
Régimen Laminar:
fD 
64
Re
(28)
Régimen Turbulento:

 1   1.1098 5.8506 
1

5.0452
 (29)
 2 log 

log

 
0.8981 
 2.8257  D 
Re
Re
fD
 3.7065 D


4.- Calcular la velocidad friccional a dilución infinita con la siguiente ecuación:
v f 0  v SL
ff
2
(188)
5.- Obtener las coordenadas del mapa de Thomas con las ecuaciones siguientes,
y determinar el patrón de flujo presente en la tubería:
Abscisa 
dP v f 0 L
L
Ordenada 
vt
v f0
(189)
(130)
Ejemplo 19.
Determinar el patrón de flujo presente en una línea horizontal de 4 pulgadas cédula 40 por
la que fluyen 1500 kg/h de agua, a una temperatura de 25°C, transportando partículas de
arena cuyo diámetro promedio es de 175 m y su densidad de 2650 kg/m3.
1.-TRADUCCIÓN.
545
AGUA – ARENA
WL = 1500 kg/h
4” Sed. 40
T = 25°C
2.-PLANTEAMIENTO.
2.1.-Discusión.
Para encontrar el patrón de flujo deben conocerse los parámetros de Thomas, los cuales
serán empleados en su mapa de patrones de flujo de la figura 34.
2.2.-Coordenadas de Thomas
Abscisa 
dP v f 0 L
L
Ordenada 
vt
v f0
3.-CÁLCULOS.
3.1.-Velocidad terminal de partícula.
Las propiedades del agua a 25°C son:
L = 997.08 kg/m3
L = 0.8937 cp = 8.937x10-4 kg/ (m s)

  997 .08 kg  2650  997 .08  kg

m3 
m3
dP *  175  10 6 m  
2

 4 kg 

 8.937  10


m s 




m  

9
.
81


s2  





1
3
 4.77
Con este valor del diámetro adimensional se obtiene en la gráfica de velocidad terminal de
partículas en fluidos (figura 23):
ut* = 0.95

kg 
m 
 4 kg 
 2650  997.08 3  9.81 2  
  8.937  10
ms 
m 
s 
v t  0.95  
2


kg 



997
.
08


m3 



1
3
 0.023
m
s
3.2.-Velocidad friccional a dilución infinita.
Para una tubería de 4” de diámetro nominal cédula 40, su diámetro interno es de:
546
D = 4.026 in = 0.1023 m
A=
 2
D = 0.008213 m2
4
kg
m
h

 0.051
s
kg 
s
3600  997 .08 3  0.008213 m 2
h
m 
1500
v SL

175  10
Re SP 


m 
kg 

m  0.051   997 .08 3 
s 
m 

 9.96
kg
8.937  10  4
ms
6
fD 
64
 6.43
9.96
ff 
6.43
 1.61
4
v f 0  0.051
Régimen laminar
m 1.61
m
 0.046
s
2
s
3.3.-Coordenadas de Thomas.
175  10
Abscisa 
6

m 
kg 

m  0.046   997 .08 3 
s
m 


 8.98
 4 kg
8.937  10
ms
m
s  0.50
Ordenada 
m
0.046
s
0.023
Con estas coordenadas, se ubica en el mapa de Thomas (figura 34) el patrón de flujo
correspondiente a la intersección de estos valores, observándose ésta última en la región
de flujo con dunas longitudinales.
4.-RESULTADO. El patrón desarrollado en la tubería corresponde al flujo con dunas
longitudinales.
PREDICCIÓN DE LA CAÍDA DE PRESIÓN EN TUBERÍAS HORIZONTALES.
Para completar el proceso de dimensionamiento de tuberías de transporte
hidráulico de partículas, es necesario determinar la caída de presión en las
mismas. En la actualidad no se cuenta con un modelo general capaz de predecir
547
correctamente las pérdidas de presión en sistemas líquido-sólido. Aunque han
sido desarrolladas correlaciones empíricas para poder calcular las caídas de
presión, ninguna de ellas es aplicable a otros sistemas fuera del rango de datos
experimentales con los cuales se construyó la correlación.
Las correlaciones basadas en consideraciones de tipo teórico predicen de mejor
manera las pérdidas de presión en las tuberías, entre las cuales destaca la debida
a Molerus y Wellmann, quienes empleando un análisis dimensional y basándose
en un amplio espectro de datos experimentales, desarrollaron el mejor modelo
semiempírico existente a la fecha para las caídas de presión en tuberías
horizontales.
Correlación de Molerus-Wellman.
En general, la caída total de presión en los sistemas líquido-sólido es la suma de
las caídas de presión para cada una de las fases, y queda expresada de la
siguiente manera:
P2F  PL  PP
(190)
En donde:
P2F = caída de presión total a dos fases en kgf/m2.
PL = caída de presión de la fase líquida en kgf/m2.
PP = caída de presión de la fase sólida en kgf/m2.
El primer término de esta ecuación puede ser determinado mediante la ecuación
de Darcy:
PL 
2
fL L v M
L
2 D gC
 kgf 
 m2 


(191)
En donde:
fL = factor de fricción de Darcy para la fase líquida.
vM = velocidad promedio de la mezcla en m/s:
vM 
v SL  v SP
2
(192)
L = longitud del tramo de tubería en m.
D = diámetro de la tubería en m.
gC = 9.81 m kg/ (s2 kgf).
vSL = velocidad superficial de la fase líquida en m/s:
v SL 
WL
3600 L A
m 
s
 
(193)
vSP = velocidad superficial de la fase sólida en m/s:
v SP 
WP
3600 P A
548
m 
s
 
(194)
Molerus y Wellmann desarrollaron una expresión para determinar la caída de
presión para la fase sólida:
PP
x *   P  L gL  v M 

2
v 
 t 
gC
 kgf 
 m2 


(195)
En donde:
x* = caída de presión adimensional (parámetro de Molerus-Wellmann).
 = fracción volumen de sólidos respecto al volumen total de mezcla:
WP
P

WL WP

L
P
(196)
Para obtener el valor del parámetro x*, Molerus y Wellmann definieron tres
variables, resultado de su análisis dimensional:
vt
Frt 
g D S  1
FrP 
vM
g dP S  1
(197)
(198)
2
 v SLIP 


 v M 0
x0 
v

1   SLIP 
 v M 0
(199)
En donde:
Frt = número de Froude terminal.
FrP = número de Froude de partícula.
S = cociente de densidades:
S
P
1

L De
(200)
x0 = caída de presión adimensional independiente de la concentración.
(vSLIP / vM)0 = velocidad de deslizamiento adimensional independiente de la
Concentración de los sólidos.
vSLIP = velocidad de deslizamiento entre las fases (slip velocity) en m/s:
v SLIP  v L  v P
vL = velocidad real del líquido en m/s.
549
m 
s
 
(201)
vP = velocidad real de las partículas en m/s.
La velocidad de deslizamiento es, como en todos los sistemas de flujo a dos fases,
el principal parámetro en el mecanismo de transporte y disipación de la energía,
ya que la fuerza de arrastre ejercida por el fluido sobre la partícula (o gota en el
caso de sistemas gas-líquido) depende de la velocidad relativa existente entre
ambas fases. El fluido siempre avanza con mayor rapidez respecto a las
partículas, ocasionándose una cierta fricción entre las fases y, por ende, una
pérdida de energía cinética.
Para poder determinar la velocidad slip, Molerus y Wellmann elaboraron una
gráfica donde esta velocidad es función de los números de Froude terminal y de
partícula, como se muestra en la figura 35.
El parámetro x* depende de la fracción volumétrica  de la siguiente forma:
Para 0 ≤  ≤ 0.25:
Para  > 0.25:
x*  x 0
x*  x 0  0.1Frt2   0.25 
(202)
(203)
Método de Molerus-Wellmann:
1.- Calcular los números de Froude terminal y de partícula con las ecuaciones 197
y 198.
2.- Determinar la velocidad de deslizamiento adimensional empleando la gráfica
de la figura 35.
3.- Calcular los parámetros x0 y  con las ecuaciones 199 y 196, respectivamente.
4.- Obtener el parámetro x* con las ecuaciones 202 y 203.
5.- Calcular la caída de presión de la fase sólida con la ecuación 195.
6.- Calcular la caída de presión de la fase líquida con la ecuación 191.
7.- Determinar la caída total de presión con la ecuación 190.
550
Figura 35.- Gráfica de Molerus-Wellmann para determinar la velocidad slip adimensional. (1981)
551
Ejemplo 20.
Obtener la caída total de presión en una tubería horizontal de 6 pulgadas cédula 40 que
transporta partículas de carbón mineral a razón de 30000 kg/h. Estas partículas son
arrastradas por 100000 kg/h de agua a 20°C, tienen un diámetro promedio de 5200 m y
una densidad de 1270 kg/m3. La longitud de la tubería es de 350 m.
1.-TRADUCCIÓN.
WL = 100000 kg/h
WP = 30000 kg/h
AGUA – CARBÓN MINERAL
6” Ced. 40
L = 350 m
T = 20°C
2.-PLANTEAMIENTO.
2.1.-Discusión
Para obtener la caída de presión en la línea se emplea el método de Molerus-Wellmann,
el cual no necesita de la determinación del patrón de flujo.
3.-CÁLCULOS.
3.1.-Velocidad de deslizamiento adimensional
Las propiedades del agua a 20°C son:
L = 998.23 kg/m3
L = 1.005 cps = 1.005x10-3 kg/ (m s)
dP* = 71.82
Con este valor del diámetro adimensional se obtiene en la gráfica de velocidad terminal de
partículas en fluidos (figura 23):
ut* = 13
vt = 0.181 m/s
kg
m 3  1.27
S
kg
998 .23 3
m
1270
Para una tubería de 6” de diámetro nominal cédula 40, su diámetro interno es de:
D = 6.065 in = 0.1541 m
552
A = 0.0186388 m2
v SL 
kg
h
100000
v SP 
30000


kg
h
 0.35
s
kg 
3600 1270 3  0.0186388 m 2
h
m 
vM 
FrP 
Frt 
1.49

m
s
m
s
m
m
 0.35
s
s  0.92 m
2
s
0.92

 1.49

s
kg 
3600  998 .23 3  0.0186388 m 2
h
m 
m
s

m
9.81 2 5200  10 6 m 1.27  1
s
m
0.181
s
m
9.81 2 0.1541m1.27  1
s
 7.84
 0.283
Frt2  0.283  8  102
2
Con el Froude de partícula (FrP) y el cuadrado del Froude terminal (Frt2), de la gráfica de
Molerus-Wellmann (figura 35) se obtiene:
 v SLIP 

  0.15
 v M 0
3.2.-Caída de presión de la fase sólida
x0 
0.15 2
1  0.15
553
 0.0265
kg
h
kg
1270 3
m

 0.191  0.25
kg
kg
100000
30000
h 
h
kg
kg
998 .23 3 1270 3
m
m
30000
x* = 0.0265
2
m 

 0.92

kg
s   12438 .5 kgf
PP  0.0265 0.1911270  998 .23  3 350 m
m

m
m2
 0.181 
s 

3.3.-Caída de presión de la fase líquida.
Re SL
m 
kg 

0.1541 m 1.49   998 .23 3 
s 
m 


 228062
kg
1.005  10 3
ms
Régimen turbulento
De las figuras 9 y 10:
/D = 0.0003
fL = fD = 0.0175
kg  
m

0.0175  998 .23 3   0.92 
s
m 

PL 

kg m
2 0.1541 m 9.81
kgf s 2

2
350 m




 1711 .6
kgf
m2
3.4.-Caída total de presión.
P2F  1711 .6
kgf
kgf
kgf
 12438 .5 2  14150 .1 2
2
m
m
m
4.-RESULTADO. La caída total de presión es de 14150.1 kgf/m2.
Este método no considera al patrón de flujo presente en la línea, pues el
fundamento teórico empleado por estos investigadores lleva implícita la aparición
o ausencia de sedimento en el fondo de la tubería.
El método de Molerus-Wellmann predice las caídas de presión a dos fases líquidosólido en tuberías horizontales con un error máximo de ± 10%, y está basado en
554
datos experimentales cuyos intervalos son los siguientes: 25 mm ≤ D ≤ 315 mm
(1’’ ≤ D ≤ 12’’), 12 m ≤ dP ≤ 5200 m, 1270 kg/m3 ≤ P ≤ 5250 kg/m3.
Existen otras metodologías de cálculo de caídas de presión en flujo horizontal a
dos fases líquido-sólido. El lector interesado puede consultar las correlaciones de
Durand-Condolios66,
Newitt-Richardson-Abbott-Turtle73,
Condolios-Chapus62,
54
77
Rose-Duckworth , Turian-Yuan , entre otras más.
PATRONES DE FLUJO EN TUBERÍAS VERTICALES.
A diferencia del flujo gas-sólido, los patrones existentes en el flujo bifásico líquidosólido vertical ascendente y descendente son prácticamente los mismos, debido a
la gran influencia de la viscosidad y de la densidad del líquido sobre las
interacciones fluido-partícula, las cuales dominan junto con las interacciones
partícula-partícula sobre las existentes entre las partículas y la pared de la tubería,
como se mencionó con anterioridad. La única diferencia entre ambos tipos de flujo
es el movimiento real de las partículas, por esta razón serán expuestos a
continuación los patrones de flujo ascendente de manera separada de los
correspondientes al flujo descendente.
Patrones de flujo vertical ascendente.
Existen tres patrones de los cuales uno es de flujo a dos fases y los otros dos son
de fluidización (figura 36). Estos últimos, junto con el de lecho fijo, son expuestos
solamente para proporcionar una visión más amplia del fenómeno. Arreglados en
orden creciente de velocidad de líquido, los patrones de flujo son:
Lecho Fijo (Fixed bed): Como se vio en los sistemas gas-sólido, este régimen de
flujo no es un patrón real de flujo a dos fases líquido-sólido, tampoco de
fluidización, pues las partículas permanecen inmóviles mientras el líquido asciende
por los huecos existentes entre las mismas. Este tipo de lecho se presenta a
velocidades superficiales de líquido inferiores a la velocidad mínima de fluidización
(minimum fluidization velocity). También se le denomina lecho empacado (packed
bed).
Fluidización Particulada (Particulate fluidization): El lecho se expande conforme
la velocidad superficial del líquido se incrementa. La fase líquida fluye por los
intersticios existentes entre las partículas, los cuales aumentan de tamaño
uniformemente con la expansión. De esta manera, no hay inhomogeneidades en
el lecho, como burbujas o balas de líquido en su interior. Se da a velocidades
superficiales de líquido mayores a la mínima de fluidización y menores a la
velocidad terminal de descenso de las partículas (terminal settling velocity).
Fluidización Agregativa (Aggregative fluidization o Aggregate fluidization): En
este patrón de fluidización aparecen inhomogeneidades en el lecho, como lo es la
formación de burbujas de líquido en el seno del lecho de partículas sólidas, dando
a éste un aspecto de estar hirviendo. Las burbujas de líquido son semejantes a las
de su contraparte gaseosa, en la fluidización con burbujeo en sistemas gas-sólido,
pues presentan una estela de partículas en su porción inmediata inferior. También
puede darse la formación de balas de líquido, de manera similar al flujo bala en
555
sistemas gas-sólido, o la aparición de estrías o bandas de líquido, las cuales se
desplazan ascendentemente. Este régimen de fluidización ocurre sólo con
aquellas partículas pertenecientes al grupo cuya fluidización es de este tipo, y a
velocidades superficiales de líquido mayor a la mínima de fluidización pero
menores a la velocidad terminal de descenso de las partículas.
Transporte Hidráulico (Hydraulic conveying): Este es el único patrón real de flujo
bifásico observado en líneas verticales ascendentes, pues se caracteriza por el
arrastre de las partículas desde la porción inferior de la tubería hacia la superior. A
bajas velocidades del líquido, las partículas de sólido están dispersas de manera
homogénea en toda el área de flujo de la tubería. A velocidades de líquido
mayores, las partículas tienden a fluir preferentemente por el centro del tubo,
ocasionando la formación de un anillo de líquido, el cual contiene una pequeña
cantidad de partículas en su seno. Se presenta a velocidades superficiales de
líquido mayores a la velocidad terminal de descenso de las partículas.
Lecho Fijo
Fluidización
Particulada
Fluidización
Agregativa
Transporte
Hidráulico
Figura 36.- Patrones de flujo ascendente a dos fases sistema líquido-sólido en tuberías verticales.
Patrones de flujo vertical descendente: Este tipo de flujo es poco frecuente pero
se le puede hallar en líneas provenientes de tanques de almacenamiento y en
drenajes. Arreglados en orden creciente de velocidad de deslizamiento entre
fases, los patrones de flujo son los siguientes (figura 37):
Flujo en Lecho Empacado (Packed bed flow): El descenso de las partículas se
efectúa a modo de lecho empacado, en donde el líquido fluye a través de los
556
intersticios existentes entre las partículas. Ocurre a velocidades de deslizamiento
menores a la velocidad relativa mínima de fluidización.
Flujo en Lecho con Fluidización Particulada (Fluidized bed flow): Este patrón
de flujo se caracteriza por el descenso de las partículas sólidas a modo de lecho
con fluidización particulada. Es similar a su contraparte en sistemas gas-sólido, y
se presenta a velocidades de deslizamiento mayores a la velocidad relativa
mínima de fluidización.
Flujo en Lecho con Fluidización Agregativa (Aggregate fluidized bed flow): Se
caracteriza por el flujo descendente de una masa de partículas a modo de lecho
con fluidización agregativa. Es similar al flujo en lecho fluidizado con burbujeo de
los sistemas gas-sólido, pero se presenta sólo con las partículas cuya fluidización
es agregativa, a velocidades de deslizamiento mayores a la velocidad relativa
mínima de fluidización.
Flujo en Lecho
Empacado
Flujo en Lecho
con Fluidización
Particulada
Flujo en Lecho
con Fluidización
Agregativa
Flujo 37.- Patrones de flujo descendente a dos fases sistema líquido-sólido en tuberías verticales.
PREDICCIÓN DE LOS PATRONES DE FLUJO EN TUBERÍAS VERTICALES.
Gracias a la enorme similitud entre los sistemas gas-sólido y líquido-sólido, el
estudio y caracterización de los patrones de flujo vertical líquido-sólido es
efectuado mediante el empleo del mismo tipo de variables y correlaciones usadas
en el caso del flujo gas-sólido. Uno de los primeros intentos en este sentido fue
llevado a cabo por Creasy64, quien propuso un mapa con coordenadas
adimensionales donde hizo una distinción entre las fluidizaciones particulada y
557
agregativa. Posteriormente, Molerus71 elaboró un mapa donde se ubican los
lechos fijo y con fluidización particulada, cuyas coordenadas son grupos
adimensionales bien conocidos.
Retomando el mapa de Molerus, Grace42 construyó el suyo propio mediante el
empleo del diámetro adimensional de partícula y de la velocidad adimensional del
fluido. Este mapa (figura 38) es similar al correspondiente para flujo vertical
ascendente gas-sólido, y por ser el más general será mostrado a continuación.
Figura 38.- Mapa de patrones de Grace para flujo vertical ascendente en sistemas líquido-sólido.
(1986)
Donde:
dP* = diámetro adimensional de partícula.
u* = velocidad superficial adimensional de la fase líquida:
558


L2
u*  v SL 

 L P  L g 
1
3
 Ly
1
3

Re SP
Ar
1
3
(204)
Ly = número de Lyaschenko, también llamado número de similaridad (M):
Ly 
v 3SL L2
L P  L g
(205)
Para determinar el tipo de fluidización (particulada o agregativa), debe usarse
cualquiera de los mapas de clasificación de partículas (figuras 31 y 32),
dependiendo del tipo de fluido empleado en el sistema.
En este mapa, a diferencia del mapa de la figura 28, las fronteras de transición
entre los patrones de flujo o de fluidización no dependen de la masa velocidad de
la fase sólida, tampoco del diámetro de la tubería. El criterio de transición para la
frontera entre el lecho fijo y el lecho fluidizado es la velocidad mínima de
fluidización, y el correspondiente a la frontera entre el lecho fluidizado y el
transporte hidráulico es la velocidad terminal.
A continuación se muestra un mapa generalizado de patrones de flujo vertical
descendente (figura 39), basado en los criterios de transición de Grace y en los
propuestos por Rhodes para sistemas fluido-sólido.
La ordenada en este mapa es la diferencia de velocidades superficiales (o
velocidad de deslizamiento) entre ambas fases, y queda definida por la siguiente
ecuación:
v SL  v SP *  v SL  v SP


L2


 L P  L g 
1
3
(206)
A semejanza con la figura 38, para distinguir los flujos en lecho con fluidización
particulada y en lecho con fluidización agregativa, debe emplearse cualquiera de
los mapas de clasificación de partículas mostrados en las figuras 31 y 32. Si el
sistema es agua-sólido, se usa la figura 31, y si es cualquier otro sistema, se
utiliza el mapa de Di Felice (figura 32).
En el mapa de la figura 39, el criterio de transición entre los flujos en lecho
empacado y en lecho fluidizado corresponde a la velocidad mínima de fluidización,
pero cuya ordenada está dada por la ecuación 206.
559
100
FLUJO EN LECHO
CON FLUIDIZACIÓN
10
PARTICULADA
O AGREGATIVA
|vSL-vSP|*
1
0.1
0.01
FLUJO EN
LECHO
EMPACADO
0.001
0.0001
1
10
100
1000
dP*
Figura 39.- Mapa de patrones generalizado para flujo vertical descendente en sistemas líquidosólido. (2004)
Ejemplo 21.
¿Cuál será el patrón de flujo esperado en una tubería vertical de 4 pulgadas cédula 40 por
la cual ascienden 1000 kg/h de agua a través de un lecho formado por granos de trigo? La
temperatura del agua es de 25°C, el diámetro promedio de los granos es de 4.8 mm y la
densidad de estos es de 750 kg/m3.
560
1.-TRADUCCIÓN.
WL = 1000 kg/h
AGUA – TRIGO
T = 25°C
4” Ced. 40
2.-PLANTEAMIENTO.
2.1.-Discusión
El patrón de flujo es determinado empleando el mapa de Grace para sistemas
líquido-sólido (figura 38).
2.2.-Coordenadas de Grace
1
3
     g 
dP *  dP  L P 2 L 
L




L2
u*  v SL 

 L P  L g 
1
3
3.-CÁLCULOS.
3.1.-Velocidad superficial de la fase líquida
Las propiedades del agua a 25°C son:
L = 997.08 kg/m3
L = 0.8937 cp = 8.937x10-4 kg/(m s)
Para una tubería de 4” de diámetro nominal cédula 40, su diámetro interno es de:
D = 4.026 in = 0.1023 m
A = 0.008213 m2
kg
m
h

 0.0339
s
kg 
s
3600  997 .08 3  0.008213 m 2
h
m 
1000
v SL

561

3.2.-Patrón de flujo


 997 .08 kg 997 .08  750  kg  9.81 m  

m3
m3 
s2  
dP *  4.8  10 3 m 

2

 4 kg 


 8.937  10



ms 





1
3
 69 .43
2


kg 



 997.08 3 
m

m 


u*   0.0339 

s 
kg 
kg 
m 

 997.08  750 3  9.81 2  
  8.937  10 4
ms 
m 
s  
 
1
3
 2.61
En el mapa de Grace de la figura 38, estas coordenadas se intersectan en la región
correspondiente a la fluidización. Para poder determinar el tipo de fluidización presente en
el lecho de trigo, a continuación será empleado el mapa de Di Felice de clasificación de
partículas (figura 32):
Ar  69.43  334689
3
kg
m 3  1.33
De 
kg
750 3
m
De acuerdo con el mapa de Di Felice, la fluidización del lecho es de tipo particulada.
997 .08
4.-RESULTADO. El patrón desarrollado en el lecho es el de fluidización particulada.
Ejemplo 22.
Determinar el patrón de flujo presente en una tubería vertical de 6 pulgadas cédula 40 por
la cual descienden 500 kg/h de carbón mineral y 300 kg/h de agua a 25°C. Las partículas
de carbón tienen un diámetro promedio de 12.7 mm y una densidad de 720 kg/m3.
562
1.-TRADUCCIÓN.
WP = 500 kg/h
AGUA – CARBÓN MINERAL
WL = 300 kg/h
6” Ced. 40
T = 25°C
2.-PLANTEAMIENTO.
2.1.-Discusión
Para obtener el patrón de flujo se utiliza el mapa de patrones generalizado para flujo
vertical descendente (figura 39).
3.-CÁLCULOS.
3.1.-Velocidad superficial de la fase líquida
Las propiedades del agua a 25°C son:
L = 997.08 kg/m3
L = 0.8937 cp = 8.937x10-4 kg/(m s)
Para una tubería de 6” de diámetro nominal cédula 40, su diámetro interno es de:
D = 6.065 in = 0.1541 m
A = 0.0186388 m2
kg
m
h

 0.0045
s
kg 
s
3600  997 .08 3  0.0186388 m 2
h
m 
300
v SL

3.2.-Velocidad superficial de la fase sólida
563

500
v SP 
3600
kg
h

s
kg 
2
 720 3  0.0186388 m
h
m 

 0.0103
m
s
3.3.-Patrón de flujo


 997 .08 kg 997 .08  720  kg  9.81 m  

m3
m3 
s2  
dP *  12 .7  10 3 m 

2

kg 


 8.937  10 4



ms 




v SL

1
3
 190 .84
2


kg 



 997.08 3 
m
m
m 


 v SP *  0.0045  0.0103

s
s 
kg 
kg 
m 
 997.08  720 3  9.81 2  
  8.937  10 4
ms 
m 
s  
 
1
3
 0.43
En el mapa generalizado para flujo vertical descendente de la figura 39, estas
coordenadas se intersectan en la región correspondiente al flujo en lecho empacado.
4.-RESULTADO. El patrón es el de flujo en lecho empacado.
PREDICCIÓN DE LA CAÍDA DE PRESIÓN EN TUBERÍAS VERTICALES.
La caída de presión en tuberías verticales con flujo a dos fases líquido-sólido, al
igual que en el flujo gas-sólido, depende del patrón de flujo. A continuación serán
expuestas las correlaciones semiempíricas más usadas en el diseño de tuberías y
equipos, de acuerdo con el patrón de flujo.
Transporte hidráulico.
En tuberías verticales, según Kopko, Barton y McCormick, la caída total de presión
está dada por la siguiente sumatoria:
P2F 
 L v L2 1  P v P2  L L g sen 1   P L g sen fL v L2 L




2 gC
2 gC
gC
gC
2 D gC
 kgf 
 m2 


(207)
En donde:
 = fracción de huecos o holdup de líquido.
 = ángulo de inclinación de la tubería.
564
Los dos primeros términos corresponden a la caída de presión por aceleración, los
siguientes dos términos son caídas de presión por elevación, y el último es la
pérdida de presión por fricción entre la fase líquida y las paredes de la tubería. El
ángulo de inclinación para flujo ascendente es 90° y para flujo descendente es de 90° ó 270°.
Cabe resaltar la ausencia de un término correspondiente a la caída de presión por
fricción entre las partículas sólidas y las paredes de la tubería. Newitt y
colaboradores74 estudiaron las pérdidas totales de presión por fricción y
concluyeron que éstas son ligeramente superiores a las ocasionadas por la
fricción entre el líquido y la pared del tubo, cuando la velocidad del líquido es baja
y la velocidad terminal de las partículas se encuentra en régimen transicional o
turbulento. Para velocidades de líquido muy altas, la caída de presión por fricción
entre las partículas y la pared de la tubería es idéntica a la caída de presión por
fricción entre el líquido y la pared.
Newitt y sus colaboradores descubrieron una migración de las partículas hacia el
eje de simetría de la tubería cuando la velocidad del líquido es muy alta. De esta
manera, se forma un anillo de líquido el cual fluye sobre las paredes internas del
tubo y, por lo tanto, evita el contacto directo de las partículas con la pared de la
tubería. En consecuencia, las pérdidas de presión por fricción entre los sólidos y
las paredes internas de la línea son despreciables respecto a la caída total de
presión por fricción.
Las velocidades reales de las fases líquida y sólida se calculan mediante las
siguientes ecuaciones:
vL 
v SL

m 
s
 
(208)
vP 
v SP
1 
m 
s
 
(209)
La fracción de huecos o holdup de la fase líquida puede ser determinada mediante
el uso de la ecuación 186:

WL
L
QL

WL WP
QL  QP

L
P
(186)
Donde:
QL y QP = flujos volumétricos de las fases líquida y sólida en m3/h.
Método de Kopko-Barton-McCormick:
1.- Determinar el patrón de flujo mediante el mapa de Grace (figura 38). Si el tipo
de flujo determinado corresponde al transporte hidráulico, se debe continuar
con el método.
2.- Calcular la fracción de huecos o holdup de líquido con la ecuación 186.
565
3.- Calcular las velocidades reales de ambas fases con las ecuaciones 208 y 209.
4.- Calcular el factor de fricción de Darcy del líquido empleando la gráfica de
Moody (figuras 9 ó 10), o con las ecuaciones de Hagen-Poiseuille (ecuación
28) o la de Chen (ecuación 29) dependiendo del régimen de flujo (laminar o
turbulento, respectivamente).
5.- Determinar la caída total de presión con la ecuación 207.
Ejemplo 23.
Por una tubería vertical de 4 pulgadas cédula 40 ascienden 15000 kg/h de agua a 30°C, y
100 kg/h de partículas de dióxido de manganeso, las cuales tienen un diámetro promedio
de 1.57 mm y una densidad de 4100 kg/m3. Calcular la caída total de presión si la longitud
del tubo es de 25 m.
1.-TRADUCCIÓN.
WP = 100 kg/h
AGUA – DIÓXIDO DE MANGANESO
WL = 15000 kg/h
4” Ced. 40
T = 30°C
L = 25 m
2.-PLANTEAMIENTO.
2.1.-Discusión
Para determinar el patrón de flujo se empleará el mapa de Grace para sistemas líquidosólido (figura 38), y para calcular la caída de presión en la línea, se empleará el método
de Kopko-Barton-McCormick, siempre y cuando el patrón de flujo corresponda al
transporte hidráulico.
3.-CÁLCULOS.
3.1.-Patrón de flujo
Las propiedades del agua a 30°C son:

L = 995.68 kg/m3
L = 0.8007 cp = 8.007x10-4 kg/ (m s)
566
Para una tubería de 4” de diámetro nominal cédula 40, su diámetro interno es de:
D = 4.026 in = 0.1023 m
A = 0.008213 m2
vSL = 0.51 m/s
dP* = 56.78
u* = 17.54
En el mapa de Grace de la figura 38, estas coordenadas indican la presencia de un
transporte hidráulico en el interior de la tubería.
3.2.-Velocidad real de cada fase
kg
h
kg
995 .68 3
m

 0.9984
kg
kg
15000
100
h 
h
kg
kg
995 .68 3 4100 3
m
m
15000
m
s  0.511 m
vL 
0.9984
s
0.51
kg
m
h

 8.249  10 4
s
kg 
s
3600  4100 3  0.008213 m 2
h
m 
100
v SP

vP 

m
s  0.516 m
1  0.9984
s
8.249  10 4
3.3.-Caída total de presión
m 
kg 

0.1023 m  0.511   995 .68 3 
s 
m 

Re L 
 65005
kg
8.007  10  4
ms
567
Régimen turbulento
De las figuras 9 y 10:
/D = 0.00045
fL = fD = 0.021
2
P2F
kg  
m

1  0.9984  4100 kg3   0.516 m 
0.9984  995 .68 3   0.511 
s
s
m 
m 






kg m 
kg m 


2  9.81
2  9.81
2 
kgf s 
kgf s 2 


2
kg 
kg 


 0.9984  995 .68 3  25 msen90   1  0.9984  4100 3  25 msen90 
m 
m 


2
m 
kg 

0.021  0.511   995 .68 3 
s 
m 



kg m 

2 0.1023 m 9.81
kgf s 2 

P2F  25032 .2
kgf
m2
4.-RESULTADO. La caída total de presión es de 25032.2 kgf/m2.
Aunque los lechos fijos y con fluidización están fuera del alcance de este texto, por
no constituir un flujo a dos fases verdadero, serán expuestos brevemente con la
única finalidad de proporcionar mayores elementos para el diseño de sistemas
líquido-sólido. Para profundizar más en el tema de los lechos de partículas, se le
recomienda al lector consultar las obras de Davidson y Harrison, de Kunii y
Levenspiel, de Leva, de Valiente Barderas, y las dos de Rhodes.
Fluidización.
De manera similar a los sistemas gas-sólido, la caída de presión total para este
régimen no tiene contribuciones por aceleración, y entonces está dada por la
ecuación propuesta por Foscolo y Gibilaro:
P2F 
 L  1   P g L
gC
 kgf 
 m2 


(210)
La fracción de huecos es calculada mediante la ecuación de Richardson-Zaki,
pues la correlación obtenida por estos autores sólo es aplicable para lechos fijos y
fluidizados:
v
   SL
 vi
568



1
n
(211)
En donde:
n = exponente de Richardson-Zaki.
vi = velocidad terminal ajustada en m/s:
v i  v t 10

dP
D
m 
s
 
(212)
Rowe76 desarrolló una ecuación explícita para determinar el valor de este
exponente, el cual está en función del Reynolds terminal y queda dado por la
ecuación:
 2  0.175 Re 3 4 
P t 
n  2.35 
3 

4
 1  0.175 ReP t 
(213)
Donde:
(ReP)t = Reynolds terminal de partícula:
ReP t
d v 
 P t L
L
(214)
Estas ecuaciones son aplicables a las fluidizaciones particulada y agregativa, para
el flujo ascendente. Para el caso de flujo descendente, la fracción de huecos o
holdup de líquido para los flujos en lecho con fluidización particulada y con
fluidización agregativa, es calculado mediante la ecuación 186, pues no son en
realidad lechos fluidizados en cuyo caso serían válidas las ecuaciones de
Richardson-Zaki y de Rowe:

WL
L
QL

WL WP
QL  QP

L
P
(186)
Ejemplo 24.
Determinar la caída de presión en una línea vertical de 8 pulgadas cédula 40 por la que
ascienden 100 kg/h de agua a través de un lecho formado por 300 kg de dióxido de
uranio. La temperatura del agua es de 25°C, la profundidad del lecho es de 2.5 m, el
diámetro de las partículas es de 152 m y su densidad es de 3520 kg/m3.
569
1.-TRADUCCIÓN.
MP = 300 kg
WL = 100 kg/h
AGUA – DIÓXIDO DE URANIO
T = 25°C
8” Ced. 40
L = 2.5 m
2.-PLANTEAMIENTO.
2.1.-Discusión
El patrón de flujo se determina mediante la gráfica de Grace de la figura 38, y la caída de
presión es obtenida empleando la ecuación 210, siempre y cuando el patrón corresponda
al de lecho fluidizado.
3.-CÁLCULOS.
3.1.-Patrón de flujo
Las propiedades del agua a 25°C son:
L = 997.08 kg/m3
L = 0.8937 cp = 8.937x10-4 kg/ (m s)
Para una tubería de 8” de diámetro nominal cédula 40, su diámetro interno es de:
D = 7.981 in = 0.2027 m
A = 0.032275 m2
vSL = 8.632x10-4 m/s
dP* = 4.77
u* = 0.031
En el mapa de Grace, estas coordenadas se cruzan en la región correspondiente a la
fluidización. Para poder determinar el tipo de fluidización presente en el lecho de
partículas de dióxido de uranio, se debe utilizar el mapa de Di Felice de clasificación de
partículas (figura 32):
570
Ar = 108.5
De = 0.28
De acuerdo con este último mapa, la fluidización del lecho es de tipo particulada.
3.2.-Caída total de presión
La velocidad terminal de las partículas es obtenida empleando la figura 23, que está en el
capítulo 2. Con dP* = 4.77, se observa lo siguiente:
ut* = 1
vt = 0.02813 m/s
ReP t
152  10

6

m 
kg 

m  0.02813   997 .08 3 
s 
m 

 4.77
kg
8.937  10  4
ms
m 

v i   0.02813 10
s

152106 m
0.2027m
 0.02808
m
s
 2  0.175 4.773 4 
  3.85
n  2.35 
3
 1  0.175 4.77 4 

4 m 
 8.632  10

s

m 

 0.02808

s 

1
3.85
 0.4048

kg 
kg


P2F  0.4048  997 .08 3   1  0.4048  3520 3
m 
m



kgf

 2.5 m  6246 .81 2
m

4.-RESULTADO. La caída total de presión a lo largo del lecho fluidizado es de 6246.81
kgf/m2.
Lecho fijo.
Basándose en consideraciones teóricas, Gibilaro, Di Felice, Waldram y Foscolo
modificaron la ecuación de Ergun (ecuación 174) para ser aplicable a sistemas
líquido-sólido, quedando como sigue:
571
  v2
P  17 .3
 
 0.336  L SL 1      4.8
L
 Re SP
 dP g C
 kgf


m2 
 m 




(215)
En donde:
 = fracción de huecos.
ReSP = Reynolds superficial de partícula:
Re SP 
dP v SL L
L
(187)
La fracción de huecos es determinada mediante las ecuaciones de RichardsonZaki (ecuaciones 211 y 212) y de Rowe (ecuación 213), para lecho fijo con flujo
ascendente de gas.
La ecuación de Gibilaro y colaboradores puede ser empleada para flujo
descendente (flujo en lecho empacado) sustituyendo la velocidad superficial del
líquido por la velocidad relativa o de deslizamiento entre fases:
v rel 
v SL v SP


1 
m 
s
 
(216)
La fracción de huecos para flujo vertical descendente se obtiene mediante la
ecuación 186, por no tratarse de un lecho fijo verdadero:

WL
L
QL

WL WP
QL  QP

L
P
(186)
Ejemplo 25.
Obtener la caída de presión en una tubería de 6 pulgadas cédula 40, en la cual se halla
un lecho empacado de partículas de antracita, cuya profundidad es de 2 m. El diámetro
promedio de las partículas es de 1.32 mm y su densidad es de 1400 kg/m 3. Por los
intersticios del lecho ascienden 100 kg/h de agua a 20°C.
572
1.-TRADUCCIÓN.
WL = 100 kg/h
AGUA – ANTRACITA
T = 20°C
6” Ced. 40
L=2m
2.-PLANTEAMIENTO.
2.1.-Discusión
Para corroborar la existencia de un lecho empacado se empleará el mapa de Grace
(figura 38). La fracción de huecos será obtenida mediante las ecuaciones de RichardsonZaki y de Rowe. La caída de presión será determinada empleando la ecuación de
Gibilaro-Di Felice-Waldram-Foscolo.
3.-CÁLCULOS.
3.1.-Patrón de flujo
Las propiedades del agua a 20°C son:
L = 998.23 kg/m3
L = 1.005 cps = 1.005x10-3 kg/ (m s)
Para una tubería de 6” de diámetro nominal cédula 40, su diámetro interno es de:
D = 6.065 in = 0.1541 m
A = 0.0186388 m2
vSL = 0.001493 m/s
dP* = 20.77
u* = 0.0942
En el mapa de Grace de la figura 38, estas coordenadas comprueban la existencia del
lecho fijo en el interior de la tubería.
3.2.-Fracción de huecos
573
La velocidad terminal de las partículas es obtenida empleando la figura 23 del capítulo 2.
Con dP* = 20.77, se observa lo siguiente:
ut* = 5.7
vt = 0.0903 m/s
ReP t
1.32  10
3


m 
kg 

m  0.0903   998 .23 3 
s 
m 

 118 .39
kg
1.005  10 3
ms
m 

v i   0.0903 10
s

1.32103 m
0.1541m
 0.0885
m
s
 2  0.175 118.393 4 
  2.67
n  2.35 
3
 1  0.175 118.39 4 
m

 0.001493 
s

m 

 0.0885

s 

1
2.67
 0.2168
3.3.-Caída total de presión
1.32  10
3
Re SP 

m 
kg 

m  0.001493   998 .23 3 
s
m 


 1.96
3 kg
1.005  10
ms
2
kg 
m
 0.001493 
3
17
.
3
s


m 
1  0.2168 0.2168  4.8 2 m  3792 .63 kgf2
P  
 0.336 

m
 1.96

kg m 

1.32  10 3 m  9.81
kgf s 2 

998 .23


4.-RESULTADO. La caída total de presión a lo largo del lecho es de 3792.63 kgf/m2.
El método de Kopko-Barton-McCormick predice las caídas de presión a dos fases
líquido-sólido en tuberías verticales con un error no mayor a ± 20%. La ecuación
de Gibilaro y colaboradores predice con gran precisión las pérdidas de presión en
lechos empacados.
Existen otras correlaciones semiempíricas para el cálculo de caídas de presión,
entre las cuales se recomienda revisar las de Newitt-Richardson-Gliddon,
Condolios-Chapus, Aude et al, entre otras.
574
CONSIDERACIONES GENERALES.
En el diseño de sistemas de flujo líquido-sólido, es importante considerar la
erosión producida por la colisión incesante de las partículas sólidas contra las
paredes internas de los equipos y líneas. Este fenómeno representa un gran costo
anual debido a la sustitución frecuente de piezas de equipo y accesorios, como lo
son bombas y válvulas, y de tramos de tubería dañados por el flujo de las
partículas. La erosión a su vez provoca la aparición del fenómeno de la corrosión,
debido al contacto entre el líquido y el metal expuesto por la erosión.
La erosión puede ser disminuida seleccionando adecuadamente la velocidad del
líquido, la cual debe ser lo suficientemente mayor a la velocidad de sedimentación
de las partículas, correspondiente a la velocidad de transición entre los patrones
de flujo horizontal heterogéneo y con dunas, o a la velocidad terminal para el caso
de tuberías verticales. De esta manera, la corrosión en la superficie erosionada
puede ser evitada.
Asimismo, el patrón de flujo presente en la tubería puede seleccionarse con la
finalidad de fijar la velocidad superficial de la fase líquida. Generalmente, se
recomienda una velocidad de entre 1 m/s y 2 m/s (4 ft/s y 7 ft/s) por economía. La
erosión ocurre a velocidades de líquido entre 2.4 m/s y 3 m/s (8 y 10 ft/s),
agravándose a mayores velocidades. Para el flujo heterogéneo se sugieren
velocidades superficiales de líquido mayores a 2 m/s, pero debe tenerse cuidado
con la erosión. También es recomendable transportar las partículas sólidas a una
concentración de entre 10% y 40% en volumen.
Para el dimensionamiento de tuberías horizontales se recomiendan los flujos
homogéneo y con dunas transversales, por su relativa estabilidad. Deben evitarse
los flujos heterogéneo y con dunas longitudinales por su elevada tendencia a la
sedimentación, y por ende, porque son patrones de flujo muy erosivos. Asimismo,
no es recomendable el flujo en lecho móvil, pues tiende a bloquear las líneas. En
el caso de líneas verticales, el patrón de transporte hidráulico ascendente y los
tres patrones de flujo descendente no presentan mayores inconvenientes.
En cuanto al sistema de flujo, deben emplearse codos de radio largo y extra-largo
para minimizar la erosión producida por los cambios de dirección de las partículas.
Se recomienda el empleo de válvulas de bola, las cuales deben instalarse junto
con las conexiones necesarias para su drene y limpieza, evitando así la
acumulación de partículas sólidas en la válvula. Las tuberías y líneas de
transporte, por lo general, están hechas de acero ordinario o alguna aleación
especial de acero, hierro colado, hule, plástico o de acero recubierto con hule o
algún otro polímero. El material de las líneas por donde el líquido fluya a
velocidades mayores a 4.5 m/s (15 ft/s) debe ser concreto o plástico, los cuales
resisten mejor la erosión.
Problemas propuestos.
Problema 25.
Determinar el patrón de flujo esperado en una línea horizontal de 4 pulgadas cédula 40, a
través de la cual 300 kg/h de agua acarrean arena, cuyas partículas tienen un diámetro
promedio de 70 m y una densidad de 2650 kg/m3. La temperatura del agua es de 25°C.
575
Resultado. El patrón obtenido en el mapa de Thomas es el de flujo con dunas
longitudinales.
Problema 26.
¿Cuál es el patrón de flujo presente en una tubería horizontal de 4 pulgadas cédula 40, si
40000 kg/h de agua arrastran partículas de mineral de hierro? La temperatura del agua es
de 20°C, el diámetro promedio de las partículas de mineral de hierro es de 32 m y su
densidad es de 5250 kg/m3.
Resultado. El patrón desarrollado en la tubería corresponde al flujo homogéneo.
Problema 27.
Por una tubería horizontal de 4 pulgadas cédula 40 fluyen arena y agua a 20°C. Obtener
el patrón de flujo si el diámetro promedio de las partículas de arena es de 558.8 m, su
densidad es de 2643 y el flujo másico de agua es de 800 kg/h.
Resultado. El patrón presente en la línea es el de flujo con dunas transversales.
Problema 28.
Determinar la caída de presión en una tubería de 6 pulgadas de diámetro cédula 40 y 150
m de longitud, si por ella fluyen 55000 kg/h de agua a 25°C, y 900 kg/h de chícharos.
Estos últimos tienen un diámetro promedio de 7.5 mm y una densidad de 1387 kg/m3.
Resultado. La caída de presión en la línea es de 1120.11 kgf/m2.
Problema 29.
Por una tubería horizontal de 6 pulgadas cédula 40 fluyen 50 kg/h de grava, con un
diámetro promedio de partícula de 4 mm y una densidad de 2600 kg/m3. La grava es
acarreada por agua, la cual fluye con una velocidad superficial de 2.5 m/s, cuya densidad
es de 997.08 kg/m3 y su viscosidad de 0.8937 cp. Determinar el patrón de flujo presente
en la línea y calcular la caída total de presión si la longitud de la línea es de 500 m.
Resultado. El patrón de flujo es heterogéneo y la caída de presión es de 4338.7 kgf/m2.
Problema 30.
Obtener el patrón de flujo esperado en el interior de una línea vertical de 8 pulgadas
cédula 40, en el cual se encuentra un lecho de partículas de dióxido de torio, por cuyos
intersticios asciende agua a razón de 5000 kg/h y a una temperatura de 20°C. Las
propiedades de las partículas sólidas son: diámetro promedio = 2 m; densidad = 10000
kg/m3.
Resultado. En el mapa de Grace, el patrón corresponde al de transporte hidráulico.
Problema 31.
Determinar el patrón de flujo en una tubería vertical de 8 pulgadas cédula 40 que contiene
un lecho de frijoles de soya, por cuyos intersticios asciende agua a razón de 0.24 m/s. La
temperatura del agua es de 25°C, el diámetro promedio de los frijoles de soya es de 6.35
mm y su densidad es de 1171 kg/m3.
Resultado. El patrón desarrollado en la línea es el de transporte hidráulico.
Problema 32.
Obtener el patrón de flujo esperado y la caída total de presión en una tubería vertical de 6
pulgadas cédula 40 de 2 m de longitud, por la cual ascienden 25000 kg/h de un líquido a
través de un lecho formado por 105 kg de partículas sólidas. Las propiedades de ambas
576
fases son: densidad de la fase líquida = 769 kg/m3; viscosidad de la fase líquida = 0.894
cps; diámetro promedio de las partículas sólidas = 2.3 mm; densidad de la fase sólida =
6240 kg/m3.
Resultado. El patrón de flujo esperado es el de fluidización agregativa, y la caída total de
presión es de 2672.35 kgf/m2.
Problema 33.
Calcular la caída de presión en una línea vertical de 6 pulgadas cédula 40 de 40 m de
largo, por la cual ascienden 65000 kg/h de líquido y 250 kg/h de partículas sólidas. La
densidad del líquido es de 893 kg/m3 y su viscosidad de 0.956 cps; el diámetro promedio
de las partículas es de 748 m y su densidad de 2410 kg/m3.
Resultado. La caída total de presión es de 35866.58 kgf/m2, correspondiente al patrón
de transporte hidráulico.
Problema 34.
Por una tubería vertical de 6 pulgadas cédula 40 ascienden 1000 kg/h de agua a 20°C, a
través de un lecho formado por 60 kg de cuentas de vidrio, cuyo diámetro promedio es de
587 m y su densidad de 2483 kg/m3. ¿Cuál es la caída total de presión y el lecho tiene
una profundidad de 3 m?
Resultado. La caída total de presión a lo largo del lecho con fluidización particulada es
de 5157.0 kgf/m2.
Problema 35.
Determinar el patrón de flujo esperado en una tubería vertical de 4 pulgadas cédula 40 por
la que descienden 150 kg/h de bauxita y 500 kg/h de agua. Las propiedades de ambas
fases son: densidad del agua = 995.68 kg/m3; viscosidad del agua = 0.8007 cps; diámetro
promedio de partícula = 105 m; densidad de las partículas de bauxita = 1440 kg/m3.
Resultado. El patrón corresponde al de flujo en lecho con fluidización particulada.
Problema 36.
Calcular la caída de presión en una tubería vertical de 6 pulgadas cédula 40 por la cual
descienden agua y partículas de bentonita a razón de 760 kg/h y 200 kg/h,
respectivamente. La temperatura del agua es de 25°C, el diámetro promedio de las
partículas es de 76 m y su densidad de 1040 kg/m3.
Resultado. La caída total de presión es de 1005.7 kgf/m2 por cada metro de longitud de
tubería, correspondiente a un patrón de flujo en lecho con fluidización particulada.
577
Capítulo XIX
Flujo a dos fases.
Sistema gas-líquido.
578
INTRODUCCIÓN.
Los sistemas donde entran en contacto gases y sólidos en partículas, granos o
polvo, han sido empleados en la industria por casi un siglo. En sus comienzos en
1926, el diseño de estos sistemas era todo un arte, cuyo desconocimiento podía
arruinar al equipo, en el mejor de los casos, o cobrar vidas en el peor escenario.
Por estas razones, la ingeniería química se dio a la tarea de investigar el
comportamiento de los sistemas gas-sólido para poder comprender su
funcionamiento y diseñar equipos como reactores catalíticos, líneas de transporte
neumático de sólidos, silos, tolvas, filtros prensa, ciclones, secadores continuos y
por lotes, mezcladores, calentadores y enfriadores de partículas, entre otros más,
y así convertir el arte del manejo de polvos y partículas de sólidos en una ciencia.
Los sólidos particulados se comportan como un líquido cuando se encuentran
contenidos en un recipiente, cuya forma adoptan, mas no ocupan la totalidad de
su volumen. Otra similitud con los líquidos es la de mantener un nivel horizontal
aunque irregular en el recipiente, además de presentar un gradiente de presión
hidrostática a lo largo de una columna de partículas, la cual es proporcional a la
densidad de las mismas y a la altura de la columna. Por estas semejanzas, se
afirma que las partículas sólidas pueden fluir como un líquido si se les arrastra
mediante una corriente de gas o de líquido.
En el diseño de los sistemas gas-sólido, el ingeniero se preocupa no sólo por el
cálculo de la caída de presión, sino también por la determinación de la velocidad
del gas necesaria para la operabilidad de un sistema de flujo en particular. La
práctica industrial ha recomendado intervalos de velocidades de operación para
cada tipo de sistema, los cuales han sido representados en gráficas similares a los
mapas de patrones de flujo para los sistemas gas-líquido.
Para obtener un óptimo diseño de los equipos, no basta con determinar la
velocidad del gas y la caída de presión, también se requiere caracterizar el tipo de
sólido a manejar, de acuerdo a su comportamiento ante una corriente de gas.
Asimismo, se necesitan conocer los márgenes de inflamabilidad y explosividad de
las mezclas gas-sólido, pues en la industria se sabe de incendios y explosiones
muy potentes cuando se manejan polvos finos, como es el caso de azúcar,
harinas, productos farmacéuticos, partículas metálicas, carbón pulverizado, entre
muchas más. La acumulación de cargas eléctricas en los equipos debido al
rozamiento de sus paredes con las partículas, puede dar lugar a siniestros, o al
menos a perturbaciones en el adecuado funcionamiento del equipo.
Se han efectuado numerosas investigaciones teóricas y experimentales para
predecir la caída de presión y el patrón de flujo, este último dependiente de la
velocidad del gas y del tipo de sólido. Como resultado de estos trabajos se han
desarrollado diversas correlaciones. Hoy en día, no se ha llegado a un modelo
general aplicable a todos los sistemas de flujo, pues los desarrollados son
empleados para ciertos tipos de flujo y para determinadas condiciones de
operación. Diversos grupos de investigadores siguen estudiando los mecanismos
de flujo de las partículas sólidas, para al menos comprender en su totalidad el
funcionamiento de las diferentes operaciones de manejo de flujos bifásicos gassólido.
579
CLASIFICACIÓN DE LAS PARTÍCULAS SÓLIDAS.
Tras observar los diferentes patrones de flujo presentes en los lechos de
partículas, sobre los que fluye un gas, Geldart clasificó a los sólidos granulares en
cuatro grupos principales, de acuerdo con el diámetro de la partícula y la
diferencia de densidades existente entre el sólido y el gas. Los grupos de Geldart,
en orden creciente de tamaño de partícula, son los siguientes:
Grupo C: son partículas cohesivas, cuya fluidización es extremadamente difícil,
pues dan lugar a la formación de canales por donde fluye el gas. En
tuberías de diámetro pequeño, forman tapones que impiden el libre
flujo de la fase gaseosa. La dificultad en la fluidización se debe a la
gran atracción existente entre las partículas, resultado de las cargas
electrostáticas, la humedad o de partículas pequeñas unidas mediante
fuerzas de van der Waals. El diámetro de partícula es generalmente
menor a 20 m, y como ejemplos están el almidón, azúcar, harinas y
cemento.

Grupo A: son partículas aereables, cuya fluidización está libre de burbujas, por
lo cual, al incrementarse la velocidad del gas, el lecho se expande
considerablemente antes de la aparición de la primera burbuja. Las
partículas finas actúan como lubricante, permitiendo una mejor
fluidización y evitando la acumulación de gas en forma de burbujas. El
intervalo típico de diámetros de partícula va de 30 a 100 m, y como
ejemplo principal se tiene a los catalizadores utilizados para cracking.
Grupo B: son partículas arenosas, cuya fluidización se presenta con un burbujeo
continuo. Estas burbujas se unen entre sí (coalescen) al ascender,
incrementando su tamaño, y explotan al llegar a la superficie del lecho.
No existe un límite máximo en el tamaño de las burbujas, el cual es
independiente del diámetro de partícula. En lechos poco profundos, el
gas puede ser inyectado a chorro, como se verá más adelante, sin
presentarse el colapso de la interfase gas-sólido. El intervalo
aproximado de diámetros de partícula es de 40 a 500 m, y se tienen
como ejemplos típicos la arena y la sal de mesa.

Grupo D: son partículas grandes y densas, cuya fluidización es efectuada
comúnmente mediante la inyección de un chorro de gas. Estos sólidos
permiten una mayor estabilidad de la interfase gas-sólido en el chorro,
debido a su mayor tamaño, lo cual resulta en lechos fluidizados a
chorro muy profundos. Su mayor densidad y diámetro dificulta el
desarrollo de un patrón de fluidización como el presente en los grupos
A y B, por tanto, si la distribución del gas hacia el lecho se realiza de
forma inadecuada, puede presentarse una canalización, como en el
grupo C, o un burbujeo violento y errático. De esta manera, la
inyección de un chorro de gas es el mecanismo más adecuado para
580
fluidizarlas. Su diámetro de partícula es mayor a 1 mm, y como
ejemplos se tienen los chícharos, granos de café, arroz, trigo,
fragmentos de hulla (carbón mineral) y de minerales metálicos.
Geldart propuso un diagrama o mapa (figura 19) donde graficó las fronteras de
transición entre los grupos de partículas. Este mapa está basado en datos de
fluidización con aire a condiciones atmosféricas. La ordenada de la figura 19 es la
diferencia de densidades entre las partículas sólidas y el gas, y la abscisa es el
diámetro promedio de partícula.
GRUPO D
3
(P - G) (x10 kg/m )
10
3
GRUPO B
1
GRUPO A
GRUPO C
0.1
10
100
1000
dp (x10
-6
10000
m)
Figura 19.- Mapa de clasificación de partículas de Geldart. (1973)
Geldart fue el primero en clasificar de manera práctica y objetiva a las partículas
sólidas, pues diversos autores habían propuesto categorías arbitrarias o basadas
exclusivamente en la aparición de burbujas en los lechos fluidizados. En cambio,
el criterio de Geldart para clasificar a las partículas consiste en agruparlas de
acuerdo a su tipo de fluidización. Él encontró cuatro tipos de fluidización, mientras
los otros autores en realidad sólo distinguían a dos de ellos.
Empleando datos de fluidización con aire, nitrógeno, dióxido de carbono, helio,
argón y freón 12, a diferentes condiciones de temperatura y presión, Grace
generalizó el mapa de Geldart mediante el uso de grupos adimensionales como
coordenadas (figura 20).
581
100000
10000
1000
GRUPO C
GRUPO AC

GRUPO D
GRUPO B
GRUPO A
100
10
0.1
1
10
100
dp*
Figura 20.- Mapa de clasificación de partículas de Grace. (1986)
Donde:
 = diferencia de densidades entre la partícula sólida y el gas en kg/m 3.
 = densidad del gas en kg/m3.
dP* = diámetro adimensional de partícula:
   g 
dP *  dP  2 
  
1
3
(128)
dP = diámetro de partícula en m.
g = aceleración de la gravedad = 9.81 m/s2.
 = viscosidad del gas en kg/ (m s).
Basado en el criterio de Molerus, el cual sólo toma en cuenta el efecto de las
fuerzas de van der Waals sobre la cohesividad de las partículas finas, Grace
propuso una región transicional entre los grupos C y A, a la cual se le suele
denominar Grupo AC, pues la fluidización de esas partículas es como la del grupo
A, y al interrumpirse el flujo de gas (defluidización) dan lugar a la formación de
tapones como en el grupo C.
Para el lector interesado en conocer más sobre clasificación y caracterización de
las partículas sólidas, se le recomienda consultar las obras de Kunii y Levenspiel,
de Leva, de Valiente Barderas, y de Fan y Zhu.
582
PATRONES DE FLUJO EN TUBERÍAS HORIZONTALES.
Existen siete tipos generales de patrones de flujo en tuberías horizontales (figura
21). Arreglados en orden decreciente de velocidad del gas, los patrones de flujo
son los siguientes:
Flujo Homogéneo (Homogeneous flow): En este patrón de flujo, las partículas
sólidas se encuentran suspendidas completamente en el gas y están
uniformemente distribuidas en la sección transversal de la tubería. Se presenta a
velocidades superficiales de gas muy altas, y a flujos de partículas muy bajos.
También se le conoce como flujo en suspensión diluida (dilute suspension flow),
flujo uniforme suspendido o transporte homogéneo en fase diluida (dilute phase
homogeneous conveying).
Flujo Heterogéneo (Heterogeneous flow): Al disminuir la velocidad del gas, las
partículas sólidas más grandes y pesadas son transportadas por la fase gaseosa
en la porción inferior de la tubería. No se presenta aún la sedimentación de las
partículas, pues la velocidad del gas es mayor a la velocidad de sedimentación
(saltation velocity), sólo existe un gradiente vertical de concentración de sólidos.
Se le suele llamar también flujo en suspensión heterogénea (heterogeneous
suspension flow), flujo no uniforme suspendido o transporte heterogéneo en fase
diluida (dilute phase heterogeneous conveying).
Flujo con Dunas (Dune flow): Al disminuir la velocidad superficial de la fase
gaseosa a valores por debajo de la velocidad de sedimentación, las partículas
comienzan a precipitarse dando lugar a la formación de dunas en la porción
inferior de la tubería. En este tipo de flujo, las partículas se trasladan de una duna
hacia otra en un movimiento periódico de aceleración y desaceleración.
Dependiendo de la velocidad del gas, se presentan dos tipos de flujo de dunas, los
cuales son:
Flujo con Dunas Longitudinales (Longitudinal dune flow): Inmediatamente por
debajo de la velocidad de sedimentación, las
partículas forman dunas alargadas, paralelas a
la tubería, que avanzan en la dirección del
flujo. El ancho de estas dunas es de
aproximadamente 0.1 veces el diámetro de la
tubería, y su longitud es de 1 a 3 veces el
diámetro del tubo. También se le conoce como
flujo de estrías de sedimento (stria of sediment
flow) o flujo en bandas (ribbon flow).
Flujo con Dunas Transversales (Transverse dune flow): A una menor velocidad
del gas, las partículas forman dunas
perpendiculares a la tubería, las cuales avanzan
en el sentido del flujo. Su apariencia es la de
islas o de cúmulos de partículas bien definidos.
583
Al disminuir la velocidad de la fase gaseosa, la
longitud de las dunas disminuye y su altura
aumenta. Este patrón de flujo es el clásico flujo
de dunas, también conocido como flujo
estratificado (stratified flow).
Flujo Pistón (Plug flow): Este patrón de flujo se caracteriza por la acumulación
excesiva de partículas sobre las dunas, dando lugar a la formación de tapones o
pistones sólidos. El flujo de ambas fases es intermitente, pues se da en forma de
tapones alternos de gas y de sólido. Se presenta sólo con las partículas del grupo
C, las cuales por su cohesividad, forman tapones con gran facilidad. También se le
suele llamar flujo tapón.
Flujo Ariete (Slug flow): Al disminuir la velocidad del gas, las partículas se
acumulan en mayor cantidad en las dunas, incrementándolas de tamaño hasta
ocupar la totalidad del área de flujo de la tubería. Este mecanismo produce la
formación de arietes de sólidos, cuyo movimiento es en la dirección de flujo, de
manera alterna con el flujo de la fase gaseosa. Se presenta con partículas de los
grupos A, B y D.
Flujo Onda (Ripple flow): A velocidades superficiales de gas relativamente
menores, las partículas ocupan la mayor parte del espacio de la tubería,
avanzando lentamente en la porción media del tubo y permaneciendo
estacionarias en la parte inferior del mismo. En la parte superior, la velocidad real
del gas es mayor debido a la contracción del área de flujo, por lo que arrastra
partículas, las cuales forman pequeñas olas u ondas cuyo comportamiento es
similar al de las dunas transversales descritas con anterioridad. Se presenta sólo
con las partículas de los grupos A y B.
Flujo con Lecho Móvil (Moving bed flow): Disminuyendo aún más la velocidad
superficial del gas, las partículas ocupan la totalidad de la tubería, fluyendo
lentamente en la fase gaseosa, mientras la porción inferior puede permanecer
estacionaria dependiendo de la velocidad del gas. Se presenta con partículas de
los grupos A, B y D. También se le conoce como flujo en fase densa continua
(continuous dense phase flow).
Flujo Homogéneo
Flujo Heterogéneo
584
Flujo con Dunas Longitudinales
Flujo con Dunas Transversales
Flujo Pistón
Flujo Ariete
Flujo Onda
Flujo con Lecho Móvil
Lecho Empacado
Figura 21.- Patrones de flujo a dos fases sistema gas-sólido en tuberías horizontales.
Lecho Empacado (Packed bed): Este no es un patrón de flujo bifásico, pues se
caracteriza por la completa inmovilidad de las partículas y el flujo exclusivo de la
fase gaseosa a través de los intersticios presentes entre ellas. Este lecho
estacionario se presenta a velocidades superficiales de gas inferiores a la
velocidad terminal de las partículas. También es conocido como bloqueo de línea
(blockage of pipe o pipe plugged), pues la finalidad del flujo a dos fases es el
transporte de sólidos por una corriente de gas.
A estos patrones de flujo se les clasifica de la siguiente manera de acuerdo a la
concentración de los sólidos en la sección de flujo de la tubería:
585
Flujo en fase diluida: la velocidad superficial del gas es mayor a la velocidad de
sedimentación, por tanto, los sólidos se encuentran
“disueltos” en el gas; también se le conoce como
transporte neumático en fase diluida: flujos homogéneo y
heterogéneo.
Flujo en fase densa: la velocidad superficial del gas es menor a la velocidad de
sedimentación, por tanto, los sólidos se encuentran
acumulados en una determinada porción de la tubería;
también se le conoce como transporte neumático en fase
densa o flujo extrusión: flujos con dunas, pistón, ariete,
onda y lecho móvil.
PREDICCIÓN DE
HORIZONTALES.
LOS
PATRONES
DE
FLUJO
EN
TUBERÍAS
Para poder dimensionar una línea de transporte de partículas sólidas, y por ende
diseñar un sistema de flujo a dos fases gas-sólido, se requiere conocer primero el
patrón de flujo presente en la línea. A diferencia de la identificación de patrones de
flujo horizontal en sistemas gas-líquido, en los sistemas gas-sólido esta
identificación no depende de la técnica empleada en la experimentación, pues los
patrones son reconocidos de acuerdo al perfil de caída de presión en el cual se
presentan. Aunque diversos investigadores han realizado estudios sobre el tema,
sólo han sido bien delimitados los patrones de interés industrial. Existen muchos
tipos de flujo cuyas fronteras no son claras o se desconocen. En la actualidad,
ingenieros y científicos continúan investigando los mecanismos por los cuales se
desarrollan los diferentes patrones de flujo, mientras siguen descubriéndose
nuevas aplicaciones para cada uno de ellos.
El primero en desarrollar una gráfica donde son reconocidos los patrones de flujo
horizontal fue Zenz, quien elaboró un esquema cualitativo relacionando la caída de
presión con la velocidad superficial de la fase gaseosa. La gráfica de Zenz es
totalmente experimental y es aplicable sólo a un sistema en particular, por lo cual
no constituye un mapa general de patrones de flujo.
Basándose en consideraciones de tipo teórico y en datos experimentales, Thomas
elaboró el único mapa generalizado de patrones de flujo horizontal (figura 22). Los
datos empleados corresponden principalmente a sistemas agua-sólido, pero
también se incluyen datos provenientes de sistemas aire-sólido.
Este mapa fue construido para un cociente (P – G)/G de 100, valor promedio
frecuente en los sistemas gas-sólido, y aplica para partículas de los grupos A, B y
D. Sus fronteras se presentan con gran precisión por considerar efectos
friccionales para la identificación de los diferentes patrones de flujo. En el flujo con
dunas transversales están incluidos los flujos ariete y onda, los cuales se
presentan muy cerca de la frontera con el flujo con lecho móvil, preferentemente
ubicados en la región de la ley intermedia.
Las coordenadas del mapa de Thomas son las recomendadas por von Karman,
siendo las siguientes:
(129)
586
dP v f 0 G
G
v
Ordenada  t
v f0
Abscisa 
(130)
En donde:
dP = diámetro de partícula en m.
vf0 = velocidad friccional a dilución infinita en m/s:
v f 0  v SG
ff
2
(131)
vSG = velocidad superficial del gas en m/s, dada por la ecuación 13:
v SG 
QG
WG

3600 A 3600  G A
(13)
ff = factor de fricción de Fanning, considerando sólo el flujo de gas:
ff 
fD
4
(132)
fD = factor de fricción de Darcy, obtenido del diagrama de Moody.
G = densidad del gas en kg/m3.
G = viscosidad del gas en kg/ (m s).
vt = velocidad terminal de las partículas en m/s.
Para transformar centipoise a kg/ (m s), multiplicar por 0.001.
Nótese el empleo de la velocidad superficial del gas en lugar de su velocidad real
y la ausencia de algún parámetro dependiente de la cantidad de partículas
presentes en la tubería. Debido a que los sólidos no fluyen por sí mismos en una
tubería horizontal, su transporte depende exclusivamente de la cantidad de gas de
arrastre, expresada en forma de velocidad superficial, la cual considera que el gas
ocupa la totalidad del área de flujo de la tubería. De esta manera, el mapa de
Thomas indica la velocidad superficial de gas necesaria para inducir un cierto
comportamiento de las partículas y, por ende, desarrollar un determinado patrón
de flujo.
587
Figura 22.- Mapa de patrones de Thomas para flujo horizontal en sistemas gas-sólido. (1964)
Las fronteras de transición lecho móvil-dunas transversales, dunas transversalesdunas longitudinales y dunas longitudinales-homogéneo, son independientes del
diámetro de la tubería y de la cantidad de partículas, esta última expresada como
fracción de huecos. La posición de las fronteras dunas longitudinales-heterogéneo
y heterogéneo-homogéneo varía respecto al diámetro de la tubería, descendiendo
en el mapa al aumentar el diámetro del tubo. También se muestra en el mapa la
dependencia de la frontera dunas longitudinales-heterogéneo respecto a la
fracción de huecos, la cual está dada por la siguiente ecuación:
WG
QG
G


WG WP
Q G  QP

G
P
(133)
En donde:
QG y QP = flujos volumétricos de las fases gaseosa y sólida en m 3/h.
La velocidad terminal depende del régimen de sedimentación de las partículas, el
cual es determinado mediante el número de Reynolds terminal de partícula:
ReP t

dP v t  G
G
588
(134)
Si (ReP)t < 1, se cumple la ley de Stokes:
vt 
g P   G dP2
18  G
m 
s
 
(135)
Donde:
g = aceleración de la gravedad = 9.81 m/s2.
P = densidad de la partícula sólida en kg/m3.
Si 1 < (ReP)t < 500, se cumple la ley intermedia:
0.153 g0.71 d1P.14 P  G 
0.71
vt 
0G.29  0G.43
m 
s
 
(136)
Si (ReP)t > 500, se cumple la ley de Newton:
v t  1.74
g dP P   G 
G
m 
s
 
(137)
Una manera rápida de obtener esta velocidad se encuentra en el apéndice LVI del
libro de Valiente Barderas y en la página 81 de la obra de Kunii y Levenspiel, la
cual emplea al diámetro adimensional de partícula y a la gráfica de la figura 23,
mostrada más adelante, donde sus coordenadas están dadas por:
   g 
dP *  dP  2 
  
1
3
 2 
ut *  v t 

   g 
1
3
(128)
(138)
En donde:
dP* = diámetro adimensional de partícula.
ut* = velocidad terminal adimensional.
dP = diámetro de partícula en m.
vt = velocidad terminal en m/s.
 = densidad del gas en kg/m3.
 = diferencia de densidades entre ambas fases en kg/m 3.
 = viscosidad del gas en kg/ (m s).
g = aceleración de la gravedad = 9.81 m/s2.
Aunque la velocidad terminal depende también de la esfericidad de las partículas,
si ésta es desconocida se puede suponer que las partículas son esféricas. La
velocidad terminal obtenida de esta manera es la más alta posible para una
partícula cayendo en el seno de un fluido, sea líquido o gas.
589
100
10
ut *
1
0.1
0.01
0.001
0.0001
0.1
1
10
100
1000
10000
dP*
Figura 23.- Velocidad terminal de partículas esféricas en fluidos.
Método de Thomas para determinar patrones de flujo horizontal:
1.- Obtener la velocidad terminal de las partículas utilizando la gráfica de la figura
23:
   g 
v t  u t *   2 
  
1
3
m 
s
 
(139)
2.- Calcular el Reynolds superficial de partícula:
Re SP 
dP v SG  G
G
590
(140)
3.- Determinar el factor de fricción de Fanning con la ecuación 132, empleando el
Reynolds superficial de partícula y el diagrama de Moody (figuras 9 ó 10), o
bien, utilizando las ecuaciones de Hagen-Poiseuille (ecuación 28) o la de Chen
(ecuación 29) dependiendo del régimen de flujo (laminar o turbulento,
respectivamente):
Régimen Laminar:
fD 
64
Re
(28)
Régimen Turbulento:

 1   1.1098 5.8506 
1

5.0452
 (29)
 2 log 

log

 
0.8981 
 2.8257  D 
Re
Re
fD
 3.7065 D


4.- Calcular la velocidad friccional a dilución infinita con la ecuación 131.
5.- Obtener las coordenadas de Thomas con las ecuaciones 129 y 130, y
determinar el patrón de flujo presente en la tubería con el mapa de la figura 22.
Las líneas punteadas inclinadas presentes en la figura 22, separan los diferentes
regímenes de sedimentación de las partículas, mientras que las verticales indican
los límites en el diámetro de las partículas relativo al espesor de la película con
flujo laminar, definidos por von Karman mediante el siguiente parámetro:

5 G
G v f 0
(141)
En donde:
 = espesor de la película laminar postulado por von Karman.
Si dP < , el régimen de flujo de las partículas es laminar. En el mapa de Thomas,
este régimen corresponde a:
dP v f 0  G
5
G
(142)
Si  < dP < 6, el régimen de flujo de las partículas es transicional. En el mapa
mencionado, este régimen se presenta entre:
5
dP v f 0  G
 30
G
(143)
Si dP > 6, el régimen de flujo de las partículas es turbulento. En el mapa de
Thomas, este régimen corresponde a:
591
dP v f 0 G
 30
G
(144)
Ejemplo 11.
¿Cuál será el patrón de flujo esperado en una tubería horizontal de 4 pulgadas cédula 40
por la cual fluyen 20000 kg/h de aire a una presión de 1.5 atm y 25°C de temperatura?
Por el tubo son transportadas partículas de hulla (carbón mineral), cuyo diámetro
es de 200 m, con una densidad de 640 kg/m3.
1.-TRADUCCIÓN.
WG = 20000 kg/h
AIRE – HULLA
P = 1.5 atm
4” Sed. 40
T = 25°C
2.-PLANTEAMIENTO.
2.1.-Discusión
Para encontrar el patrón de flujo deben conocerse los parámetros de Thomas y
posteriormente emplear su mapa de patrones de flujo (figura 22).
2.2.-Coordenadas de Thomas
Abscisa 
dP v f 0 G
G
Ordenada 
vt
v f0
3.-CÁLCULOS.
3.1.-Velocidad terminal de partícula
G = 0.0183 cp = 1.83x10-5 kg/ (m s) @ 25°C, 1.5 atm

kg 

1.5 atm  29
kgmol 
kg

G 
 1.78 3
3
m atm
m
25  273.15K
0.082
kgmolK


 1.78 kg  640  1.78  kg  9.81 m  

m3 
m3 
s2  
dP *  200  10 6 m  

2

5 kg 


1.83  10



ms 





592
1
3
 6.43
Con este valor del diámetro adimensional se obtiene en la gráfica de velocidad
terminal de partículas en fluidos (figura 23):
ut* = 1.5

kg 
m 
5 kg 
 640  1.78 3  9.81 2  
 1.83  10
ms 
m 
s 
v t  1.5  
2


kg 



1
.
78


m3 



1
3
 0.50
m
s
3.2.-Velocidad friccional a dilución infinita
Para una tubería de 4” de diámetro nominal cédula 40, su diámetro interno es de:
D = 4.026 in = 0.1023 m
A=
 2
D = 0.008213 m2
4
20000
v SG 
3600
200  10
kg
h

s
kg 
2
1.78 3  0.008213 m
h
m 

 380 .02

m 
kg 

m  380 .02  1.78 3 
s 
m 

 7393
kg
1.83  10 5
ms
6
Re SP 
/D = 0.00045
fD = 0.034
ff 
0.034
 0.0085
4
v f 0  380 .02
m 0.0085
m
 24 .77
s
2
s
3.3.-Coordenadas de Thomas
200  10
Abscisa 

m 
kg 

m  24 .77  1.78 3 
s
m 


 481 .9
5 kg
1.83  10
ms
6
m
s
593
Régimen turbulento
m
s  0.020
Ordenada 
m
24 .77
s
0.50
Con estas coordenadas, se ubica en el mapa de Thomas de la figura 22 el patrón de flujo
correspondiente a la intersección de estos valores, observándose ésta última en la región
de flujo homogéneo.
4.-RESULTADO. El flujo obtenido es homogéneo en fase diluida.
PREDICCIÓN DE LA CAÍDA DE PRESIÓN EN TUBERÍAS HORIZONTALES.
Para dimensionar las líneas de transporte neumático de partículas se requiere del
cálculo de caída de presión a lo largo de la línea. La ingeniería ha desarrollado
para ello correlaciones y metodologías aplicables a cada patrón de flujo. A la
fecha, no se cuenta con un modelo teórico general capaz de predecir
correctamente la caída de presión, por lo cual se exponen a continuación las
correlaciones semi empíricas más empleadas en la industria por su simplicidad y
precisión.
Transporte neumático en fase diluida.
En general, la caída de presión en tuberías horizontales recibe contribuciones por
aceleración y fricción. Para los flujos homogéneo y heterogéneo en fase diluida se
tiene la siguiente expresión:
P2F 
 G v G2 1   P v P2

 Fgw L  Fpw L
2 gC
2 gC
 kgf 
 m2 


(145)
En donde:
P2F = caída de presión total a dos fases en kgf/m2.
 = fracción de huecos o holdup de la fase gaseosa.
vG = velocidad real del gas en m/s:
vG 
v SG

m 
s
 
(146)
vP = velocidad real de las partículas sólidas en m/s:
vP 
GP
P 1   
m 
s
 
GP = masa velocidad de la fase sólida en kg/m2s:
594
(147)
GP 
WP
A
 kg 
 2 
m s 
(148)
WP = flujo másico de partículas en kg/s.
A = área de flujo de la tubería en m2.
gC = 9.81 m kg/(s2 kgf)
Fgw = fuerza de fricción entre el gas y la pared en kgf/m3.
Fpw = fuerza de fricción entre las partículas y la pared en kgf/m 3.
L = longitud de tramo de tubería en m.
El primer término corresponde a la caída de presión por aceleración del gas, el
segundo a la caída de presión por aceleración de las partículas, el tercero es la
pérdida de presión por fricción entre el gas y la pared de la tubería, y el cuarto es
la caída de presión por fricción entre las partículas y la pared del tubo.
El término correspondiente a la fricción entre el gas y la pared puede ser
determinado mediante la ecuación de Fanning:
Fgw
2f  v2
 G G G
D gC
 kgf


m2 
 m 




(149)
En donde:
fG = factor de fricción de Fanning del gas.
D = diámetro de la tubería en m.
Para determinar el último término de la caída de presión total, Hinkle 43
propuso la siguiente ecuación:
Fpw
2 f 1   P v P2
2f G v
 P
 P P P
D gC
D gC
 kgf


m2 
 m 




(150)
En donde:
fP = factor de fricción de las partículas sólidas:

3
fP  CD  G
8
 P
 D
 
  dP
  vG  vP 
 

  vP 
2
(151)
CD = coeficiente de arrastre de las partículas.
El coeficiente de arrastre es función del Reynolds de partícula de deslizamiento
entre fases y de la esfericidad de las partículas. Para obtener este coeficiente se
emplea la gráfica mostrada en la figura 24, donde:
ReP slip  dP v G  v P G
G
595
(152)
Figura 24.- Coeficiente de arrastre en función del Reynolds de partícula de deslizamiento.
A partir de datos experimentales, Hinkle obtuvo una correlación para predecir la
velocidad real de las partículas, la cual es:

v P  v SG 1  0.0638 dP0.3 P0.5

m 
s
 
(153)
Empleando los datos de Hinkle, Yang58 modificó la ecuación del factor de fricción
de los sólidos para obtener una mayor precisión en el cálculo de la caída de
presión total para flujo homogéneo. El factor de fricción entonces queda dado por:
ReP t
1   
fP  0.117 3 1   
ReP slip
 
vG 

gD 
1.15
(154)
En donde:
(ReP)t = Reynolds de partícula terminal dado por la ecuación 134.
(ReP)slip = Reynolds de partícula de deslizamiento entre fases dado por la
ecuación 152:
596
ReP slip  dP v G  v P G
G
(152)
Método de Hinkle:
1.- Determinar el patrón de flujo mediante el mapa de Thomas (figura 22). Si el
flujo es homogéneo o heterogéneo, se debe proseguir con este método.
2.- Calcular la velocidad real de las partículas con la ecuación 153.
3.- Obtener la fracción de huecos o holdup de gas con la siguiente ecuación:
  1
GP
P v P
(155)
4.- Calcular la velocidad real del gas con la ecuación 146, empleándola para
obtener el factor de fricción del gas.
5.- Determinar la caída de presión por fricción entre el gas y la pared con la
ecuación 149.
6.- Calcular el factor de fricción de los sólidos con las ecuaciones 151 ó 154.
7.- Obtener la caída de presión por fricción entre las partículas y la pared con la
ecuación 150.
8.- Determinar la caída de presión total con la ecuación 145.
Ejemplo 12.
¿Cuál es la caída de presión total en una línea horizontal de 4 pulgadas cédula 40 por la
que pasan 500 kg/h de aire, a una presión de 3 atm y una temperatura de 15°C? Esta
tubería transporta cemento de forma diluida, el cual es alimentado al sistema mediante
una tolva a una razón de 5700 kg/h, y cuyas partículas tienen un diámetro de 81 m y una
densidad de 1240 kg/m3. La longitud de la tubería es de 100 m.
1.-TRADUCCIÓN.
597
Cemento
Aire
3 atm, 15°C
4” Ced. 40
L = 100 m
2.-PLANTEAMIENTO.
2.1.-Discusión
Para determinar la caída de presión, es necesario identificar primero al patrón de flujo
mediante el mapa de Thomas. Posteriormente, se calculan las pérdidas de presión
usando el método de Hinkle.
3.-CÁLCULOS.
3.1.-Patrón de flujo
Las propiedades del aire a 3 atm y 15°C son:
G = 3.68 kg/m3
G = 0.0175 cp = 1.75x10-5 kg/ (m s)
dP* = 4.26
Con el diámetro adimensional de partícula se obtiene en la gráfica de velocidad terminal
(figura 23):
ut* = 0.8
vt = 0.20 m/s
D = 4.026 in = 0.1023 m
A = 0.008213 m2
vSG = 4.60 m/s
ReSP = 78
Régimen laminar
598
fD 
64
 0.820
78
ff = 0.205
vf0 = 1.47 m/s
Abscisa = 25.0
Ordenada = 0.136
El patrón de flujo es homogéneo.
3.2.-Fracción de huecos
0.3 
m
kg 
v P  4.60 1  0.0638 81  10 6 m 1240 3 
s 
m 



5700
GP 
3600

kg
h
s
0.008213 m 2
h

 192 .8
0.5

m
  3.99
s

kg
m2 s
kg
m2 s
  1
 0.961
kg 
m
1240 3  3.99 
s
m 
192 .8
3.3.-Caída de presión por fricción entre el gas y la pared
m
s  4.79 m
vG 
0.961
s
4.60
Re G 
0.1023 m 4.79 m   3.68 kg3 

s 
kg
1.75  10 5
ms
m 
 103044

De las figuras 9 y 10:

/D = 0.00045
fD = 0.020
599
Régimen turbulento
fG = ff = 0.005
2
Fgw
kg  
m

kgf
2 0.005  3.68 3   4.79 
s
m 

m2

 0.841
m

m kg 

0.1023 m  9.81 2

s kgf 

3.4.-Caída de presión por fricción entre las partículas y la pared
ReP t
ReP slip 
81 10

81 10
6

m 
kg 

m  0.20   3.68 3 
s 
m 

 3.41
5 kg
1.75  10
ms
6

m
kg 
 3.68 3 
s
m 
 13 .6
kg
ms
m 4.79  3.99 
1.75  10 5


m
4.79


1  0.961 1  0.961 3.41
s

fP  0.117

13 .6
m
0.9613 
9.81 2 0.1023 m 

s


Fpw
1.15
 0.174

kg  
m
kgf
2 0.174192.8 2   3.99 
s
m s 

m2

 266.8
m


0.1023m 9.81 m2 kg 
s kgf 

3.5.-Caída total de presión
2
P2F
2
kg  
m

1  0.9611240 kg3   3.99 m 
0.961 3.68 3   4.79 
kgf 
s
s

m 
m 

 


  0.841 3  100 m


m 

m kg 
m kg 

 9.81

2  9.81 2
2
2

s kgf 
s kgf 


kgf 
kgf

  266.8 3  100 m  26807.5 2
m 
m

4.-RESULTADO. La caída total de presión en la línea de transporte neumático es de
26807.5 kgf/m2.
600
Transporte neumático en fase densa.
En el caso de los patrones de flujo con dunas (transversales y longitudinales),
pistón, ariete, onda y con lecho móvil, Klinzing y Mathur propusieron dos
ecuaciones para la caída de presión total, dependiendo del Reynolds real de
partícula:
dP v G  G
(156)
ReP 
G
Si ReP ≤ 1, la fase gaseosa fluye alrededor de las partículas como en un medio
poroso, aplicándose la ley de Darcy para este tipo de flujo:
P2F  G v G  v P  fP v P2 B


L
K gC
D gC
 kgf


m2 
 m 




(157)
m 
(158)
En donde:
K = permeabilidad en m2:
K  3.28  10
14 
W
 P
 WG



0.48
dP0.43
D 0.73
2
WP y W G = flujos másicos de las fases sólida y gaseosa en kg/s.
B = densidad de bulto de las partículas en kg/m3:
B  1   P
 kg 
 m3 


(159)
El primer término corresponde a la caída de presión por flujo en medio poroso, y el
segundo es la caída de presión por fricción.
El factor de fricción recomendado es el obtenido por Yang para flujo en fase
densa:
ReP t 
1   
fP  0.0410 3 1   

ReP slip 
 
1.021
(160)
Si ReP > 1, Klinzing y Mathur desarrollaron una ecuación de caída de presión para
flujo denso turbulento, la cual es:
 kgf


m2 
 m 




P2F

v G  v P 2

L
gC
(161)
En donde:
 = parámetro de Klinzing-Mathur:
  6.59  10
4
 WP

 WG
601



3.15
D 0.36
dP0.84
(162)
Estos investigadores utilizaron la siguiente expresión para la velocidad real de las
partículas en este tipo de transporte neumático:

v P  v SG 1  0.68 dP0.93 P0.5  G0.2 D 0.54

m 
s
 
(163)
Método de Klinzing-Mathur:
1.- Determinar el patrón de flujo mediante el mapa de Thomas (figura 22). Si el
flujo es con dunas longitudinales, dunas transversales o lecho móvil, prosígase
con este método.
2.- Calcular la velocidad real de partícula con la ecuación 163.
3.- Obtener la fracción de huecos con la ecuación 155.
4.- Calcular la velocidad real del gas con la ecuación 146.
5.- Calcular el Reynolds real de partícula con la ecuación 156.
6.- Determinar la caída de presión total con las ecuaciones 157 ó 161,
dependiendo del Reynolds real de partícula.
Ejemplo 13.
Determinar la caída total de presión en una tubería horizontal de 6 pulgadas cédula 40 y 6
m de longitud, por la cual fluyen 1200 kg/h de dióxido de carbono, a una temperatura de
25°C y 5 atm de presión. Por la línea son transportados 50000 kg/h de trigo. Los granos
tienen un diámetro promedio de 4.8 mm y su densidad es de 750 kg/m3.
1.-TRADUCCIÓN.
Trigo
Dióxido de
carbono
6” Ced. 40
L=6m
25°C, 5 atm
2.-PLANTEAMIENTO.
602
2.1.-Discusión
El patrón de flujo es determinado con el mapa de Thomas de la figura 22, y la caída de
presión es calculada mediante el método de Klinzing-Mathur.
3.-CÁLCULOS.
3.1.-Patrón de flujo
Las propiedades del dióxido de carbono a 5 atm y 25°C son:
G = 9.00 kg/m3
G = 0.0148 cps = 1.48x10-5 kg/ (m s)
dP* = 321
Con el diámetro adimensional de partícula se obtiene en la gráfica de velocidad terminal
(figura 23):
ut* = 30
vt = 3.30 m/s
D = 6.065 in = 0.1541 m
A = 0.018639 m2
vSG = 1.99 m/s
ReSP = 5809
Régimen turbulento
De las figuras 9 y 10:
/D = 0.00030
fD = 0.036
ff = 0.009
vf0 = 0.13 m/s
Abscisa = 379.5
Ordenada = 25.4
El patrón obtenido es el de flujo con lecho móvil.
3.2.-Fracción de huecos
603
v P  1.99
0.93 
m
kg 
1  0.68 4.8  10 3 m
 750 3 
s 
m 



0.5
kg 

 9.00 3 
m 

0.2

0.1541 m0.54   1.53 m

s
GP = 745.15 kg/ (m2 s)
kg
m2 s
  1
 0.35
kg 
m
750 3 1.53 
s
m 
745 .15
3.3.-Caída de presión total
m
s  5.69 m
vG 
0.35
s
1.99
4.8  10
Re P 

m   kg 

m  5.69   9 3 
s  m 

 16609 > 1
kg
5
1.48  10
ms
3
kg 

 50000

h 
  6.59  10 4 
kg 

 1200

h 

3.15
0.1541 m0.36
4.8  10
2
P2F
3
m

0.84
 3772 .1
3772 .1 
m
m

 5.69  1.53  6 m  39925 .7
m kg 
s
s
9.81 2
s kgf
kgf
m2
m
4.-RESULTADO. La caída total de presión en la línea de transporte neumático de granos
de trigo es de 39925.7 kgf/m2.
Los métodos de Hinkle y de Klinzing-Mathur predicen las caídas de presión a dos
fases gas-sólido en tuberías horizontales con un error de ± 20%. Ambos métodos
son muy simples, comparados con otros cuyo procedimiento es iterativo y de
respuesta dudosa.
Existen otras correlaciones semi empíricas para encontrar las caídas de presión
en flujo horizontal a dos fases gas-sólido. El lector interesado puede consultar las
correlaciones de Mehta-Smith-Comings49, Vogt-White57, Rose-Duckworth54,
Chari38, entre otras más.
604
PATRONES DE FLUJO EN TUBERÍAS VERTICALES.
Hay diferentes patrones de flujo cuando ambas fases avanzan en sentido
ascendente o descendente. Esta diferencia en el número y características de los
patrones de flujo se debe a la resistencia de los sólidos a ser desplazados en
sentido contrario a la gravedad, en el flujo ascendente, y a la facilidad de flujo de
las partículas en el flujo descendente. Aunque presentan similitudes entre sí, con
frecuencia son tratados por separado.
Patrones de flujo vertical ascendente.
En este tipo de flujo, existe la mayor cantidad de estudios y de aplicaciones
respecto a los demás sistemas de flujo bifásico gas-sólido. Los investigadores han
encontrado en el flujo ascendente de partículas un área amplia de aplicación a
diversas operaciones y procesos unitarios. Como ejemplos se tienen los procesos
de secado de materiales, recubrimiento de partículas, combustión, cracking
catalítico, transporte neumático de sólidos, entre otros más. Existen tres patrones
de flujo a dos fases y siete patrones de fluidización (figura 25). Aunque estos
últimos y el de lecho fijo no son patrones reales de flujo bifásico, serán descritos
con la finalidad de proporcionar una visión más amplia del fenómeno. Arreglados
en orden creciente de velocidad de gas, los patrones de flujo son:
Lecho Fijo (Fixed bed).
Este no es un patrón de flujo a dos fases gas-sólido, pues la fase gaseosa
asciende a través de los intersticios y huecos presentes entre las partículas, las
cuales permanecen inmóviles. Este lecho se da a velocidades superficiales de gas
inferiores a la velocidad mínima de fluidización (minimum fluidization velocity). En
caso de tratarse de partículas del grupo D, si el gas penetra por un solo orificio en
la parte inferior del lecho, se da a velocidades superficiales de gas inferiores a la
velocidad de chorro mínima (minimum spouting velocity). También se le suele
llamar lecho empacado (packed bed).
Lecho con Chorro (Spouted bed o Spouting).
Este patrón de fluidización ocurre cuando una corriente de gas es inyectada
verticalmente a una alta velocidad a través de una pequeña abertura u orificio en
la parte inferior del lecho. Este chorro de gas penetra en el lecho, arrastrando con
ello algunas partículas hacia arriba, y formando así una región tubular de flujo
diluido. Al llegar estas partículas arrastradas a la superficie del lecho, ascienden y
luego descienden en un movimiento parabólico, conformando de esta manera una
fuente de partículas, las cuales caen sobre la porción del lecho conocida como
región anular, localizada entre la pared y el chorro de gas.
Las partículas de la región anular se mueven hacia abajo y recirculan hacia el
chorro de gas, constituyendo un patrón circular de flujo de sólidos. El mezclado de
las partículas es más regular y cíclico respecto al existente en otros patrones de
fluidización, debido a que es axialmente inducido por el flujo de gas a chorro. Se
presenta a velocidades superficiales de gas mayores a la velocidad de chorro
mínima, típicamente con partículas del grupo D, pero también puede darse con
partículas del grupo B en lechos poco profundos (shallow beds). También se le
conoce como fluidización a chorro.
605
Canalización (Channeling).
Se caracteriza por el flujo de gas en forma de canales, los cuales van desde el
distribuidor del gas, en la parte inferior del lecho, hasta la superficie del mismo. En
este patrón de fluidización, la magnitud de las fuerzas de contacto entre partículas
es mayor a la de sus fuerzas inerciales, causando la agregación de los sólidos y
evitando la distribución uniforme de la fase gaseosa en la totalidad del lecho. De
esta manera, las partículas no alcanzan a ser separadas lo suficiente por el gas
como para ser soportadas por las fuerzas de arrastre y de empuje ascendentes de
la fase gaseosa. El comportamiento de los canales es consecuencia de la
densidad, tamaño y forma de las partículas. Además de la formación de canales,
pueden aparecer resquebrajamientos en el lecho e incluso tapones sólidos de
ascenso limitado. Se presenta sólo con partículas del grupo C, a velocidades
superficiales de gas mayores a la velocidad mínima de fluidización. También
puede ocurrir en lechos de partículas no cohesivas con una pobre y no uniforme
distribución de gas.
Fluidización Particulada (Particulate fluidization o Smooth fluidization).
El gas fluye a través de los intersticios existentes entre las partículas del lecho, sin
la formación de burbujas. Al incrementarse la velocidad superficial del gas, el
espacio entre partículas aumenta, provocando la expansión uniforme del lecho. Se
presenta sólo con partículas del grupo A, a velocidades superficiales de gas
mayores a la velocidad mínima de fluidización pero menores a la velocidad mínima
de burbujeo (minimum bubbling velocity). También se le suele llamar fluidización
sin burbujeo (non-bubbling fluidization).
Fluidización con Burbujeo (Bubbling fluidization).
Este patrón de fluidización se caracteriza por la formación de burbujas de gas en
el seno del lecho de partículas, por cuyos intersticios fluye la fase gaseosa a una
velocidad diferente a la de las burbujas. La región del lecho que no constituye una
burbuja, sino se encuentra en un estado similar a la fluidización particulada, es
conocida como emulsión. En este régimen aparecen los fenómenos de ruptura y
coalescencia de burbujas, favoreciéndose este último al aumentar la velocidad
superficial del gas.
Las burbujas son esféricas o elipsoidales, en cuya parte inferior se forma una
estela de partículas más separadas entre sí respecto a la emulsión. Al llegar a la
superficie del lecho, las burbujas se revientan aventando a las partículas
constituyentes de su interfase superior. Si la velocidad de las burbujas es mayor a
la del gas en la emulsión, la burbuja presenta una interfase similar a la estela
conocida como nube o nubosidad, por la cual circula el gas saliente de la burbuja,
contorneándola desde su parte superior hasta la estela para volver a alimentarla.
Si la velocidad de las burbujas es menor a la superficial del gas, la burbuja carece
de nube.
Este patrón se presenta con partículas de los grupos A, B y D, a velocidades
superficiales de gas mayores a la velocidad mínima de burbujeo, para el grupo A,
o mayores a la velocidad mínima de fluidización, para los grupos B y D. En el caso
de lechos de partículas del grupo D, se presenta un burbujeo muy violento si el
606
distribuidor de gas es convencional, es decir, si tiene múltiples orificios a diferencia
del empleado para la fluidización a chorro.
Flujo Bala (Slug flow o Slugging).
Al incrementarse el tamaño de las burbujas a más de la tercera parte del diámetro
del lecho, su velocidad de ascenso es controlada por las dimensiones del mismo,
adquiriendo forma de bala. Se presenta sólo en lechos fluidizados de diámetro
pequeño y/o de un gran cociente altura/diámetro, con partículas de los grupos A, B
y D, a velocidades superficiales de gas mayores a la velocidad mínima de flujo
bala (minimum slugging velocity). A velocidades de gas muy altas, las burbujas se
rompen instaurándose en el lecho el régimen de fluidización turbulenta, en el caso
de partículas del grupo A, o el de fluidización rápida para los otros dos grupos de
sólidos. Este patrón también puede desarrollarse si no hay una buena distribución
de la fase gaseosa en el lecho.
Por su forma, existen tres tipos de burbuja en este patrón de fluidización:
Bala de punta redonda (round-nosed slug): ocurre en sistemas de partículas
relativamente finas (grupos A y B).
Bala de pared (wall slug): ocurre en lechos de paredes muy rugosas, de
partículas grandes (grupos B y D) de forma angular, y a altas
velocidades de gas. Este tipo de burbuja se presenta en la parte
superior del lecho, donde fluye sobre la pared del tubo. Su
forma es similar a la de punta redonda, pero por estar sobre la
pared sólo se presenta una mitad. Por esta razón, también se le
conoce como media bala (half slug).
Bala cuadrada (square-nosed slug): ocurre en lechos de partículas muy grandes
(grupo D). El flujo de este tipo de burbujas es mejor conocido
como flujo tapón (plug flow).
Fluidización Turbulenta (Turbulent fluidization o Churning fluidization).
Este régimen se caracteriza por la no diferenciación existente entre las burbujas y
la emulsión, pues la suspensión de las partículas es prácticamente homogénea. A
diferencia de la fluidización con burbujeo, la ruptura de las burbujas es favorecida
al incrementarse la velocidad superficial del gas, resultando en una reducida
presencia de burbujas grandes. La superficie del lecho se vuelve difusa, pues una
cierta cantidad de material es proyectada constantemente. Se presenta con
partículas de todos los grupos, a velocidades superficiales de gas mayores a la
velocidad mínima de fluidización turbulenta (onset of turbulent fluidization).
Fluidización Rápida (Fast fluidization).
Se caracteriza por la presencia de una región densa en el fondo del lecho y por
una diluida sobre el lecho, con una interfase de transición difusa entre ambas
regiones. Existe un flujo descendente de partículas por las paredes del tubo en la
región diluida. Se presenta con partículas de todos los grupos, con una masa
velocidad de partículas menor a 200 kg/m2 s, y a velocidades superficiales de gas
607
mayores a la velocidad de transporte (transport velocity). Si el régimen anterior es
flujo bala, la velocidad de transición entre ese patrón y la fluidización rápida es la
velocidad de estrangulamiento del flujo (choking velocity). El fenómeno de
estrangulamiento del flujo consiste en la precipitación súbita de todas las
partículas acarreadas por la fase gaseosa, debida a la disminución de la velocidad
superficial del gas. Es similar al fenómeno de sedimentación de las partículas para
formar dunas en tuberías horizontales, y se presenta en la transición de
fluidización rápida a flujo bala.
Este régimen es un patrón incipiente de flujo, pues comienza un limitado
transporte neumático de partículas muy finas, debido a su facilidad de acarreo. Por
esta razón, también es conocido como flujo colapsado (collapsed flow).
Transporte Denso Ascendente (Dense suspension upflow).
El flujo de las partículas sólidas es ascendente, encontrándose dispersas en la
corriente de gas. La interacción entre partículas es grande aún, pues la
concentración de los sólidos en la sección de flujo de la tubería es alta. A
diferencia de la fluidización rápida, no presenta regiones segregadas en la tubería
ni un flujo descendente de partículas por las paredes del tubo. Proviene del
régimen de fluidización turbulenta, al aumentar la velocidad superficial del gas. Se
presenta sólo con partículas de los grupos A y B, a velocidades superficiales de
gas muy altas y a una masa velocidad de partículas mayor a 200 kg/m 2 s, con una
fracción de huecos superior a 0.75 e inferior a 0.90. Se le suele denominar
transporte neumático en fase densa (dense phase pneumatic conveying).
Flujo Anular (Core-annulus flow).
Existe un flujo descendente de partículas sobre las paredes de la tubería,
constituyendo una región con forma de anillo por cuyo centro asciende la fase
gaseosa. Esta fase arrastra partículas sólidas, transportándolas hacia la parte
superior del tubo y conformando así una región central de transporte en fase
diluida. Se presenta con partículas de todos los grupos, a velocidades
superficiales de gas muy altas pero inferiores a la velocidad de mínima caída de
presión (minimum pressure drop velocity). El punto mínimo en una gráfica de
caída de presión marca la transición hacia el transporte neumático en fase diluida.
Este mínimo se da al balancearse las fuerzas de fricción y las gravitacionales
actuantes sobre las partículas. A velocidades superficiales de gas inferiores a este
punto, las fuerzas gravitacionales dominan sobre la fase sólida, mientras que a
velocidades mayores, las fuerzas de fricción controlan el comportamiento de las
partículas. Por esta razón, el anillo de sólidos fluye hacia abajo. A este patrón de
flujo también se le conoce como flujo heterogéneo en fase diluida (heterogeneous
dilute phase flow) o flujo transición (transition flow).
608
Lecho Fijo
Lecho con
Chorro
Canalización
Fluidización
Particulada
Fluidización con
Burbujeo
Flujo Bala de
punta redonda
Flujo Bala
cuadrada
Fluidización
Turbulenta
Fluidización
Rápida
Transporte
Denso
Ascendente
609
Flujo Anular
Transporte en
Fase
Diluida
Figura 25.- Patrones de flujo ascendente a dos fases sistema gas-sólido en tuberías verticales.
Transporte en Fase Diluida (Dilute phase conveying).
Las partículas se encuentran dispersas en la corriente de gas, de forma similar a
su contraparte horizontal, es decir, al flujo homogéneo. A diferencia del transporte
denso ascendente, la interacción entre partículas es prácticamente inexistente
debido a la gran separación entre ellas y a su baja concentración a lo largo y
ancho de la tubería. Se presenta con partículas de todos los grupos, a velocidades
superficiales de gas mayores a la velocidad de mínima caída de presión, y con
fracciones de huecos superiores a 0.99. Se le suele denominar flujo homogéneo
en fase diluida (homogeneous dilute phase flow) o simplemente transporte
neumático (pneumatic transport o pneumatic conveying).
A esta serie de patrones de flujo y fluidización ascendentes se les clasifica de
acuerdo a la concentración de los sólidos en la tubería, como sigue:
Fluidización en fase diluida: la velocidad superficial del gas es mayor a la de
estrangulamiento del flujo, por lo cual los sólidos
son acarreados por el gas; se le suele llamar
transporte neumático ascendente o flujo en fase
diluida (dilute phase flow o lean phase flow):
fluidización rápida, transporte denso ascendente,
flujo anular y transporte en fase diluida.
610
Fluidización en fase densa: la velocidad superficial del gas es menor a la de
estrangulamiento del flujo, por lo que las partículas
sólidas permanecen en el lecho; se le designa
genéricamente como lecho fluidizado: lecho con
chorro, canalización, flujo bala y fluidizaciones
particulada, con burbujeo y turbulenta. Al conjunto
formado por el flujo bala y las fluidizaciones con
burbujeo y turbulenta es también conocido como
fluidización agregativa.
Patrones de flujo vertical descendente.
Este tipo de flujo se encuentra principalmente en los tubos de descarga de silos y
tolvas, y en columnas de contacto gas-sólido por etapas. Existen tres patrones de
flujo a dos fases (figura 26), los cuales son similares a los lechos fluidizados con
flujo ascendente de la fase gaseosa. Arreglados en orden creciente de velocidad
de deslizamiento entre fases, los patrones de flujo son los siguientes:
Flujo en Lecho Empacado (Packed bed flow).
Este patrón de flujo se caracteriza por el descenso de una masa de partículas a
modo de lecho empacado, a través de cuyos intersticios fluye la fase gaseosa. Se
presenta con partículas de los grupos A, B y D, a velocidades de deslizamiento
absolutas menores a la velocidad relativa mínima de fluidización. También se le
conoce como transporte en lecho móvil (moving bed transport).
Flujo en Lecho Fluidizado sin Burbujeo (Fluidized bed flow).
Se caracteriza por el flujo descendente de partículas a modo de lecho con
fluidización particulada, existiendo un mayor espacio entre partículas respecto al
flujo en lecho empacado. Se presenta sólo con partículas del grupo A, a
velocidades de deslizamiento absolutas mayores a la velocidad relativa mínima de
fluidización. También se le suele llamar transporte en suspensión (suspension
transport).
Flujo en Lecho Fluidizado con Burbujeo (Bubbling fluidized bed flow).
Este patrón de flujo es similar al anterior, pero con la formación de burbujas a
modo de lecho fluidizado con burbujeo. Si la velocidad superficial del gas es
menor a la de las partículas, las burbujas ascienden, pero si es mayor, entonces
las burbujas descienden por la tubería. Se presenta con partículas de los grupos
A, B y D, a velocidades de deslizamiento absolutas mayores a la velocidad relativa
mínima de burbujeo, si se trata de partículas del grupo A, o mayores a la velocidad
relativa mínima de fluidización, en el caso de partículas de los grupos B y D.
611
Flujo en Lecho
Empacado
Flujo en Lecho
Fluidizado sin
Burbujeo
Flujo en Lecho
Fluidizado con
Burbujeo
Figura 26.- Patrones de flujo descendente a dos fases sistema gas-sólido en tuberías verticales.
PREDICCIÓN DE LOS PATRONES DE FLUJO EN TUBERÍAS VERTICALES.
En el transcurso del siglo XX, diversos mapas de patrones de flujo vertical
ascendente fueron desarrollados, algunos cualitativos y específicos para un
sistema en particular, otros cuantitativos con inclusión de rangos de aplicación
industrial típicos o recomendables. Zenz fue el primero en desarrollar uno de esos
mapas cualitativos, similar al suyo propio para flujo horizontal, sin realizar algún
intento de generalización. El primer mapa cuantitativo generalizado fue el de Reh,
en el cual se muestran zonas de condiciones de operación típicas de lechos
fluidizados y de líneas de transporte neumático ascendente. Las coordenadas de
este mapa son grupos adimensionales bien conocidos.
Basándose en este último mapa y en datos experimentales, Grace desarrolló un
mapa de patrones de flujo más amplio que el de Reh y más generalizado (figura
27), pues los gases empleados para su elaboración son aire, nitrógeno, dióxido de
carbono, helio, freón 12 y tetracloruro de carbono, y los intervalos de temperatura
y presión son de 20°C a 300°C y de 0.9 atm a 84 atm, respectivamente.
612
Las coordenadas del mapa de Grace también son adimensionales y fueron
obtenidas mediante un análisis dimensional. Las coordenadas de Grace están
dadas por las siguientes ecuaciones:
     g 
dP *  dP  G P 2 G 
G




 G2
u*  v SG 

  G P   G g 
1
3
1
3
 Ar
1
3
1
3
Re SP
 Ly

Ar
(164)
1
3
(165)
En donde:
dP* = diámetro adimensional de partícula.
u* = velocidad superficial adimensional de la fase gaseosa.
Ar = número de Arquímedes, también llamado número de Galileo (Ga):
Ar 
dP3  G P   G g
 G2
(166)
Ly = número de Lyaschenko, también llamado número de similaridad (M):
Ly 
v 3SG G2
 G P  G g
(167)
Las áreas correspondientes al transporte neumático, fluidización rápida, lecho con
burbujeo y lecho fijo fueron tomadas directamente del mapa de Reh, pues éste
último graficó los puntos de operación industrial de los diferentes equipos de
manejo de mezclas gas-sólido. Es decir, estas áreas son recomendaciones de
operación de acuerdo a la experiencia. No son áreas determinadas teóricamente
ni están basadas en criterios de transición semi empíricos.
Grace presentó otras áreas adicionales a las de Reh basándose en datos
experimentales, y menciona la posibilidad de extensión de todas las regiones por
él mapeadas, aunque en la industria los equipos operan regularmente dentro de
esas áreas enmarcadas.
613
100
TRANSPORTE
NEUMÁTICO
FLUIDIZACIÓN
RÁPIDA
FLUIDIZACIÓN
TURBULENTA
10
1
LECHO CON
CHORRO
u*
LECHO CON
BURBUJEO
0.1
FLUIDIZACIÓN
MÍNIMA
VELOCIDAD
TERMINAL
0.01
LECHO
FIJO
GRUPO C
GRUPO AC
0.001
GRUPO A
GRUPO B
GRUPO D
0.0001
0.1
1
10
100
1000
dP*
Figura 27.- Mapa de patrones de Grace para flujo vertical ascendente en sistemas gas-sólido.
(1986).
Basado en el mapa de Grace y en correlaciones semi empíricas para las
transiciones entre patrones de flujo y regímenes de fluidización, en el presente
texto se propone el siguiente mapa generalizado de patrones de flujo vertical
ascendente.
614
Figura 28.- Mapa de patrones generalizado para flujo vertical ascendente en sistemas gas-sólido.
(2004)
Este mapa emplea las mismas coordenadas del de Grace, pero las regiones de
patrones de flujo son más amplias por estar delimitadas mediante criterios de
transición semiempíricos. Debido a que algunos de estos criterios varían de
acuerdo a las características particulares de cada sistema o a la definición de
algunos investigadores, las fronteras entre patrones no son líneas sino regiones
de transición gradual.
615
Los gases empleados para su elaboración son aire, nitrógeno y dióxido de
carbono, por ser los más comunes. No se utilizaron las propiedades del freón 12
por ser una sustancia prohibida a nivel internacional por el Protocolo de Montreal.
El intervalo de temperaturas va de 15°C a 100°C, y el de presiones va de 1 atm a
30 atm.
Este mapa utiliza la velocidad superficial de la fase gaseosa debido a que la
fluidización de las partículas dependen exclusivamente de la velocidad de flujo del
gas, por lo cual no se requiere conocer la cantidad de partículas presentes en la
tubería vertical. De esta manera, el mapa generalizado de patrones de flujo
vertical ascendente muestra la velocidad superficial de gas necesaria para
desarrollar a cada patrón de fluidización en el interior de la tubería.
A diferencia de la fluidización, el transporte neumático de las partículas depende
además de la masa velocidad de las mismas, lo cual se muestra en la siguiente
gráfica complementaria al mapa anterior.
Figura 29.- Gráfica complementaria al mapa de patrones generalizado para flujo vertical
ascendente. Las fronteras entre los patrones de transporte neumático
están en función de la masa velocidad de los sólidos. (2004)
En el mapa generalizado, el patrón de fluidización a chorro se encuentra
sobrepuesto a los de lecho fijo, fluidización con burbujeo, flujo bala y fluidizaciones
turbulenta y rápida. Este régimen sólo se presenta en lechos cuyo distribuidor de
gas tiene un solo orificio central. A condiciones de operación por fuera de la
región, este tipo de lechos presentan los patrones de flujo mostrados alrededor de
la región mencionada.
616
El área correspondiente al patrón de fluidización con flujo bala está encima de los
de fluidización con burbujeo y fluidización turbulenta. Sólo se presenta en lechos
muy profundos o cuyo diámetro es muy pequeño. Fuera de esta región, se
desarrollan los patrones circunvecinos en el seno de este tipo de lechos.
En el mapa de la figura 28, la región de transporte denso ascendente se encuentra
sobrepuesta a la de fluidización rápida, presentándose sólo cuando la masa
velocidad de los sólidos es mayor a 200 kg/m 2s, como se muestra en la gráfica de
la figura 29.
La curva de velocidad terminal es mostrada como referencia. Falta un mayor
número de estudios experimentales sobre ciertas regiones del mapa, como la de
transporte denso ascendente, y sobre flujo anular, cuya frontera de transición
hacia transporte en fase diluida no ha sido estudiada por completo. En el presente
mapa, este último patrón de flujo se encuentra muy cerca de la frontera entre los
patrones de fluidización rápida y transporte en fase diluida.
De manera similar, se presenta a continuación un mapa generalizado de patrones
de flujo vertical descendente (figura 30).
10
FLUJO
LECHO CON
BURBUJEO
|vSG - vSP|*
1
0.1
FLUJO
LECHO SIN
FLUJO
LECHO
EMPACADO
BURBUJEO
0.01
GRUPO
A
0.001
1
GRUPO
B
10
GRUPO
D
100
1000
dP*
Figura 30.- Mapa de patrones generalizado para flujo vertical descendente en sistemas gas-sólido.
(2004)
617
La ordenada es el valor absoluto de la diferencia de velocidades superficiales
entre ambas fases, debiéndose a la posibilidad de ascenso de la fase gaseosa, lo
que se interpreta en este tipo de flujo como una velocidad negativa. Esta ordenada
queda definida entonces como:
v SG  v SP *  v SG  v SP


 G2


  G P   G g 
1
3
(168)
Los criterios de transición son los propuestos originalmente por Rhodes, y
corresponden a las mismas correlaciones empleadas para el mapa de flujo
ascendente pero utilizando esta última ordenada en su desarrollo. Los gases e
intervalos de temperatura y presión son los mismos del mapa anterior.
Ejemplo 14.
Obtener el patrón de flujo presente en una tubería vertical de 6 pulgadas cédula 40
empleada para secar chícharos con aire, el cual pasa a través del único orificio central del
distribuidor, localizado en la entrada al tubo. El flujo de aire es de 500 kg/h, a una presión
de 1 atm y 35°C de temperatura. La densidad de los chícharos es de 1387 kg/m 3, y su
diámetro individual es de 7.5 mm.
1.-TRADUCCIÓN.
WG = 500 kg/h
AIRE – CHÍCHAROS
P = 1 atm
6” Ced. 40
T = 35°C
2.-PLANTEAMIENTO.
2.1.-Discusión.
Para determinar el patrón de flujo se emplea el mapa de patrones generalizado para flujo
vertical ascendente (figura 28).
3.-CÁLCULOS.
3.1.-Velocidad superficial de la fase gaseosa.
Las propiedades del aire a 1 atm y 35°C son:
G = 1.15 kg/m3
G = 0.0185 cp = 1.85x10-5 kg/ (m s)
618
Las propiedades de la tubería son:
D = 6.065 in = 0.1541 m
A = 0.018639 m2
kg
m
h

 6.48
s
kg 
s
3600 1.15 3  0.018639 m 2
h
m 
500
v SG


3.2.-Patrón de flujo


1.15 kg 1387 kg  1.15 kg   9.81 m  

m3 
m3
m3  
s2  
dP *  7.5  10 3 m 

2

5 kg 


1.85  10



m
s





1
3

2


kg 

1
.
15




m

m3 


u*   6.48  

s 
kg  
kg
kg  
m 

 1387 3  1.15 3   9.81 2  
 1.85  10 5
ms 
m
m 
s  
 
 268 .1
1
3
 11.3
Se ubican estas coordenadas en el mapa de patrones generalizado para flujo ascendente
de la figura 28, presentándose su intersección en el área correspondiente al patrón de
fluidización rápida.
4.-RESULTADO. El patrón de flujo obtenido es el de fluidización rápida, a pesar de que el
distribuidor de aire esté diseñado para operar en el régimen de fluidización a chorro. Este
resultado se debe a la alta velocidad del aire.
Ejemplo 15.
¿Cuál es el patrón de flujo presente en una tubería vertical de 8 pulgadas cédula 40 por la
cual descienden 10500 kg/h de arena, con un diámetro promedio de partícula de 1.5 mm y
una densidad de 2643 kg/m3? Por la misma tubería ascienden 200 kg/h de aire a 1 atm y
25°C.
619
1.-TRADUCCIÓN.
WP = 10500 kg/h
WG = -200 kg/h
AIRE – ARENA
P = 1 atm
8” Ced. 40
T = 25°C
2.-PLANTEAMIENTO.
2.1.-Discusión.
El patrón de flujo será determinado empleando el mapa de patrones generalizado para
flujo vertical descendente (figura 30).
3.-CÁLCULOS.
3.1.-Velocidad superficial de la fase gaseosa.
Las propiedades del aire a 1 atm y 25°C son:
G = 1.19 kg/m3
G = 0.0183 cp = 1.83x10-5 kg/ (m s)
Las propiedades de la tubería son:
D = 7.981 in = 0.2027 m
A = 0.032275 m2
vSG = -1.446 m/s
Nótese el signo negativo de la velocidad superficial del gas. Esta velocidad es negativa
debido al ascenso del aire por el tubo, lo cual va en sentido contrario al descenso de las
partículas.
3.2.-Velocidad superficial de la fase sólida.
620
10500
v SP 
3600
kg
h

s
kg 
2
 2643 3  0.032275 m
h
m 

 0.0342
m
s
3.3.-Patrón de flujo.


1.19 kg  2643 kg  1.19 kg   9.81 m  

m3 
m3
m3  
s2  
dP *  1.5  10 3 m 

2

kg 


1.83  10 5



ms 




1
3

 67 .7
2


kg 



1.19 3 
m
m
m 


v SG  v SP *   1.446  0.0342

s
s 
kg  
kg
kg  
m 
  2643 3  1.19 3   9.81 2  
 1.83  10 5
ms 
m
m 
s  
 
1
3
 2.1
En el mapa de patrones generalizado para flujo vertical descendente de la figura 30, la
intersección de ambas coordenadas ocurre en la región del flujo en lecho con burbujeo.
4.-RESULTADO. El patrón obtenido es el de flujo en lecho con burbujeo.
PREDICCIÓN DE LA CAÍDA DE PRESIÓN EN TUBERÍAS VERTICALES.
Existe un mayor número de estudios realizados en esta área respecto al caso
horizontal, debido a su multiplicidad de aplicaciones tanto en la industria como a
nivel investigación. A pesar de ello, aún no ha sido desarrollada una teoría o
modelo general, por lo que a continuación se exponen las correlaciones semi
empíricas más utilizadas para diseñar líneas y equipos, dependiendo del tipo de
flujo.
Transporte neumático.
En tuberías verticales, la caída de presión total recibe contribuciones por los
efectos de aceleración, fricción y elevación, como sigue:
P2F 
 G v G2 1  P v P2
 L  g sen P L 1  g sen

 Fgw L  Fpw L  G

2 gC
2 gC
gC
gC
 kgf 
 m2 


(169)
En donde:
 = ángulo de inclinación de la tubería.
621
Los cuatro primeros términos son los mismos de la caída de presión para flujo
horizontal (ecuación 145), el quinto corresponde a la caída de presión por
elevación en el gas, y el sexto es la caída de presión por elevación en las
partículas. Para flujo ascendente, el ángulo es 90°, y para flujo descendente, el
ángulo es de -90° (ó de 270°). La evaluación de los tres primeros términos es
similar a la realizada para flujo horizontal. Para obtener el cuarto término, Leung y
Wiles48 recomendaron la expresión propuesta por Hinkle y por Konno y Saito, la
cual está dada por la ecuación 150:
Fpw
2 f 1   P v P2
2f G v
 P
 P P P
D gC
D gC
 kgf


m2 
 m 




(150)
El factor de fricción de las partículas sólidas recomendado por Leung y Wiles es el
desarrollado por Yang, el cual es:
ReP t 
1   
fP  0.0126 3 1   

ReP slip 
 
0.979
(170)
Este factor de fricción es aplicable para líneas operando a presiones cercanas a la
atmosférica. Para líneas a presiones altas menores a 48 atm, Leung y Wiles
sugieren el uso del factor de fricción propuesto por Knowlton y Bachovchin:
 GP
fP  0.02515 
 G v G



0.0415
 vG

 vP



0.859
 0.03
(171)
La fracción de huecos o holdup de la fase gaseosa puede ser determinada
mediante la ecuación 133:
WG
QG
G


W
W
Q G  QP
G
 P
G
P
(133)
En donde:
QG y QP = flujos volumétricos de las fases gaseosa y sólida en m3/h.
En caso de tenerse una fracción de huecos igual a 1, la velocidad real de las
partículas es idéntica a la real de la fase gaseosa.
Método de Leung-Wiles:
1.- Determinar el patrón de flujo mediante el mapa de patrones generalizado para
flujo vertical ascendente (figura 28). Si el tipo de flujo determinado es
fluidización rápida, transporte denso ascendente o transporte en fase diluida,
es decir, algún patrón correspondiente al flujo en fase diluida, se debe
continuar con el método.
622
2.- Obtener la fracción de huecos empleando la ecuación 133. El intervalo típico
para cada patrón de flujo es:
Fluidización rápida:
0.8 a 0.97
0.85 en la región densa
0.97 en la región diluida
Transporte denso ascendente:
0.75 a 0.9
Flujo anular:
0.97 a 0.99
Transporte en fase diluida:
0.99 a 1.0
3.- Calcular las velocidades reales de las fases gaseosa y sólida con las
ecuaciones 146 y 147, respectivamente.
4.- Calcular el factor de fricción de los sólidos con las ecuaciones 170 ó 171,
según la presión de operación. Si se usa la 170, la velocidad terminal puede
ser obtenida del mapa de patrones de flujo (figura 28) o de la figura 23.
5.- Obtener la caída de presión por fricción entre las partículas y la pared con la
ecuación 150.
6.- Calcular la caída de presión por fricción entre el gas y la pared con la ecuación
149.
7.- Determinar la caída de presión total con la ecuación 169.
Ejemplo 16.
Determinar la caída de presión en una línea vertical de 4 pulgadas cédula 40 por la cual
ascienden 250 kg/h de nitrógeno y 100 kg/h de cemento, a 1 atm y 30°C. Las partículas
de cemento tienen un diámetro promedio de 80 m y una densidad de 1240 kg/m3. La
longitud de la línea es de 30 m.
1.-TRADUCCIÓN.
623
WP = 100 kg/h
NITRÓGENO – CEMENTO
WG = 250 kg/h
4” Ced. 40
P = 1 atm
L = 30 m
T = 30°C
2.-PLANTEAMIENTO.
2.1.-Discusión.
Para obtener el patrón de flujo presente en la línea se utilizará el mapa generalizado de la
figura 28, y para calcular la caída de presión en la línea, se empleará el método de LeungWiles, siempre y cuando el patrón corresponda al flujo en fase diluida.
3.-CÁLCULOS.
3.1.-Patrón de flujo.
Las propiedades del nitrógeno a 1 atm y 30°C son:
G = 1.13 kg/m3
G = 0.0180 cp = 1.80x10-5 kg/ (m s)
Las propiedades de la tubería son:
D = 4.026 in = 0.1023 m
A = 0.008213 m2
vSG = 7.48 m/s
dP* = 2.8
u* = 13.5
GP = 3.38 kg/(m2 s)
Ambas coordenadas se intersectan en el área correspondiente al transporte denso
ascendente, pero como la masa velocidad de las partículas es menor a 200 kg/m 2s, el
patrón presente en la línea es el de transporte en fase diluida, como se observa en la
gráfica de la figura 29.
624
3.2.-Factor de fricción de sólidos.
kg
3
h  221 .2 m
QG 
kg
h
1.13 3
m
250
kg
3
h  0.0806 m
QP 
kg
h
1240 3
m
100

221 .2
m3
h
m3
m3
221 .2
 0.0806
h
h
 0.9996
m
s  7.48 m
vG 
0.9996
s
7.48
3.38
vP 
1240
kg
m2 s
kg
1  0.9996 
m3
 6.81
m
s
La velocidad terminal es obtenida con la gráfica de la figura 23. Para dP* = 2.8:
ut* = 0.4

kg
kg  
m 
5 kg  
 1240 3  1.13 3   9.81 2  
 1.80  10
ms 
m
m 
s 
v t  0.4  
2


kg 



1
.
13


m3 



ReP t
ReP slip 
80  10

80  10
6
1
3
 0.22

m 
kg 

m  0.22  1.13 3 
s 
m 

 1.10
kg
1.80  10 5
ms
6

m
m 
kg 

m  7.48  6.81  1.13 3 
s
s 
m 

 3.36
kg
5
1.80  10
ms
625
m
s
0.979

1  0.9996  
1.10 
1  0.9996 
fP  0.0126
 0.0319
3.36 
0.9996 3 
3.3.-Caída de presión por fricción entre las partículas y la pared.
Fpw

kg  
m
kgf
2 0.0319 3.38 2   6.81 
s
m s 

m2

 1.46
m

m kg 

0.1023m  9.81 2

s kgf 

3.4.-Caída de presión por fricción entre el gas y la pared
Re G 
0.1023 m 7.48 m  1.13 kg3 

s 
kg
1.80  10 5
ms
m 
 48038
Régimen turbulento
De las figuras 9 y 10:
/D = 0.00045
fD = 0.0225
fG = ff = 0.0056
2
Fgw
kg  
m

kgf
2 0.0056 1.13 3   7.48 
s
m 

m2

 0.706
m

m kg 

0.1023 m  9.81 2

s kgf 

3.5.-Caída total de presión.
2
P2F
kg  
m

1  0.9996 1240 kg3   6.81 m 
0.9996 1.13 3   7.48 
s
s
m 
m 






m kg 
m kg 


2  9.81 2
2  9.81 2

s kgf 
s kgf 


2
kgf 
kgf 
kg 



  0.706 3  30 m  1.46 3  30 m  1.13 3  30 m0.9996 sen90 
m 
m 
m 



kg 

 1240 3  30 m1  0.9996  sen90 
m 

P2F  118 .14
626
kgf
m2
4.-RESULTADO. La caída de presión en la línea de transporte neumático es de 118.14
kgf/m2.
Aunque los lechos fijos y con fluidización están fuera del alcance de este texto, por
no ser patrones verdaderos de flujo a dos fases, serán expuestos brevemente con
la finalidad de proporcionar al lector mayores elementos para diseñar sistemas
gas-sólido. Para profundizar más en el tema de los lechos de partículas, al lector
se le recomienda consultar las obras de Leva, de Kunii y Levenspiel, de Valiente
Barderas, de Davidson y Harrison, y las dos de Rhodes.
Fluidización en fase densa.
En este régimen de flujo, la caída de presión por fricción es muy pequeña
comparada con la debida al peso de las partículas del lecho. Como no existe una
aceleración de las partículas ni del gas en el lecho, la caída de presión total está
dada por la siguiente ecuación:
P2F 
P 1   gL
gC
 kgf 
 m2 


(172)
Para determinar la caída de presión se requiere conocer la fracción de huecos del
lecho fluidizado, la cual depende del patrón de flujo. Esta fracción es un valor
experimental, pero puede estimarse con la ecuación 133 ó mediante la siguiente
expresión:
  1
MP

 1 B
P A L
P
(173)
En donde:
MP = masa total de partículas en el lecho fluidizado en kg.
A = área de flujo de la tubería donde se encuentra el lecho en m2.
L = profundidad del lecho en m.
Los intervalos más frecuentemente encontrados de la fracción de huecos para
cada patrón de flujo son los siguientes:
Fluidización turbulenta:
0.65 a 0.8
0.45 a 0.6 cerca de la pared
0.75 a 0.8 en la región central de la tubería
Flujo bala:
0.6 a 0.7
0.4 a 0.55 en la emulsión
Fluidización con burbujeo:
0.4 a 0.65
0.4 a 0.55 en la emulsión
Fluidización particulada:
0.4 a 0.7
627
Fluidización a chorro:
0.45 a 0.55 en la región anular
Flujo en lecho con burbujeo:
0.4 a 0.65
0.4 a 0.55 en la emulsión
Flujo en lecho sin burbujeo:
0.4 a 0.7
Ejemplo 17.
¿Cuál es la caída de presión en una tubería vertical de 6 pulgadas cédula 40 por donde
fluyen 3 kg/h de aire con una densidad de 2.4 kg/m3 y una viscosidad de 0.0183 cps? En
la porción inferior del tubo se encuentran 30 kg de sílica gel, cuyo diámetro promedio de
partícula es de 100 m y su densidad es de 900 kg/m3. Estas partículas forman un lecho
de 3 m de profundidad, el cual está soportado por un distribuidor de gas convencional.
1.-TRADUCCIÓN.
MP = 30 kg
AIRE – SÍLICA GEL
WG = 3 kg/h
6” Ced. 40
L=3m
2.-PLANTEAMIENTO.
2.1.-Discusión.
Para determinar la caída de presión se empleará la ecuación 172, siempre y cuando el
patrón corresponda a la fluidización en fase densa. Para conocer estas pérdidas de
presión, se obtiene primero el patrón de fluidización presente en la línea utilizando el
mapa de patrones generalizado para flujo vertical ascendente (figura 28).
3.-CÁLCULOS.
3.1.-Patrón de flujo.
G = 0.0183 cp = 1.83x10-5 kg/ (m s)
D = 6.065 in = 0.1541 m
A = 0.018639 m2
vSG = 0.0186 m/s
628
dP* = 3.98
u* = 0.0613
El patrón de flujo es fluidización particulada.
3.2.-Caída total de presión
  1
900
P2F 
30 kg
 0.404
kg
2
900 3 0.018639m 3 m
m


kg
1  0.404  9.81 m2  3 m
3
kgf
m
s 

 1609 .2 2
m kg
m
9.81 2
s kgf
4.-RESULTADO. La caída de presión total en el lecho fluidizado es de 1609.2 kgf/m2.
Lecho fijo.
Basándose en los trabajos de Darcy, Carman, Blake, Kozeny y de Burke-Plummer,
y en datos experimentales, Ergun40 desarrolló una ecuación general para la caída
de presión en lechos empacados, la cual es:
2
1   2  v
1     G v SG
P
 150 2 3 G2 SG  1.75
L
 S  dP g C
 S  3 dP g C
 kgf


m2 
 m 




(174)
En donde:
S = esfericidad de las partículas sólidas.
El primer término es el componente laminar de la caída de presión, y el segundo
es el componente turbulento. La esfericidad de las partículas y la fracción de
huecos son obtenidas de manera experimental.
Empleando la ecuación de Ergun y basándose en datos obtenidos
experimentalmente por un gran número de investigadores, Chen y Pei 39
desarrollaron una serie de ecuaciones para determinar teóricamente la fracción de
huecos al fluir el gas a la velocidad mínima de fluidización. Esta fracción es
constante mientras las partículas permanecen inmóviles, y comienza a aumentar
al expandirse el lecho con el inicio de la fluidización de los sólidos.
Para correlacionar los datos experimentales, Chen y Pei definieron el siguiente
parámetro adimensional:
E
 S2  2
1   
629
(175)
Las ecuaciones de Chen-Pei son:
Para dP* < 1.26:
E = 0.5
(176)
Para 1.26 < dP* < 27.14:
E = 0.54 (dP*) -0.33
(177)
Para dP* > 27.14:
E = 0.18
(178)
Estas ecuaciones predicen la fracción de huecos con un error de ± 14%,
requiriendo como dato la esfericidad de las partículas. En la tabla 1 se pueden
encontrar las esfericidades típicas de partículas de diferentes materiales y formas.
La ecuación de Ergun puede ser empleada para el flujo lecho empacado
descendente o para el flujo lecho móvil horizontal, sustituyendo la velocidad
superficial del gas por la velocidad relativa o de deslizamiento entre fases:
1   2  G v rel  1.75 1     G v rel
P
 150 2 2
L
 S  dP g C
S 
dP2 gC
2
 kgf


m2 
 m 




(179)
En donde:
|vrel| = valor absoluto de la velocidad relativa o de deslizamiento entre fases:
v rel  v G  v P 
v SG v SP


1 
m 
s
 
(180)
Método de Ergun:
1.- Determinar el patrón de flujo mediante el mapa de patrones generalizado para
flujo vertical ascendente o descendente (figuras 28 y 30 respectivamente),
según sea el caso. Si el tipo de flujo determinado es lecho fijo o flujo en lecho
empacado, respectivamente, se debe continuar con el método.
2.-Si no se cuenta con el dato experimental de esfericidad de partículas,
seleccionar un valor de la tabla 1.
3.- Si no se tiene el dato de fracción de huecos, emplear las ecuaciones de ChenPei (176, 177 ó 178), y luego la siguiente ecuación:
2
E 
E 
E
 2   2   4  2 
S
 S 
 S 

2
4.- Calcular la caída total de presión con las ecuaciones 174 ó 179.
Tabla 1.- Esfericidad de partículas sólidas.
630
(181)
Tipo de Partícula
Esfera
Cubo
Cilindro: h = d
Cilindro: h = 5d
Cilindro: h = 10d
Disco: h = d/3
Disco: h = d/6
Disco: h = d/10
Anillos Raschig
Arena angular
Arena de Ottawa
Arena de playa vieja
Arena de río joven
Arena redonda
Astillas de pedernal
Carbón activado
Carbón bituminoso
Carbón de antracita
Carbón pulverizado
Catalizador de Fischer-Tropsch
Corcho
Hojuelas de mica
Hojuelas de pedernal
Magnetita
Negro de humo esférico
Negro de humo agregado
Óxido de hierro
Polvo de tungsteno
Polvo natural de carbón
Sílica gel
Sillas Berl
Sólidos rotos
Trigo
Vidrio quebrado y astillado
Esfericidad (S)
1.00
0.806
0.87
0.70
0.58
0.76
0.60
0.47
0.3
0.66 – 0.73
0.95
< 0.86
> 0.53
0.83 – 0.86
0.65
0.70 – 0.90
0.63
0.63
0.73
0.58
0.69
0.28
0.43
0.58
0.89
0.55
0.71
0.89
0.65
0.70 – 0.90
0.3
0.63
0.85
0.65
Ejemplo 18.
Determinar la caída de presión en una tubería vertical de 8 pulgadas cédula 40, en la cual
se halla un lecho empacado de partículas de óxido de hierro, cuya profundidad es de 2 m.
El diámetro promedio de las partículas es de 0.57 mm y tienen una densidad de 1520
kg/m3. Por los intersticios del lecho ascienden 36 kg/h de aire a una presión de 2.5 atm y
50°C.
1.-TRADUCCIÓN.
631
WG = 36 kg/h
P = 2.5 atm
AIRE – ÓXIDO DE HIERRO
T = 50°C
8” Ced. 40
L=2m
2.-PLANTEAMIENTO.
2.1.-Discusión.
Empleando el mapa de patrones generalizado para flujo vertical ascendente, se obtendrá
el patrón de flujo para corroborar la existencia de un lecho empacado. La fracción de
huecos será calculada mediante las ecuaciones de Chen-Pei, y para determinar la caída
de presión se usará la ecuación de Ergun.
3.-CÁLCULOS.
3.1.-Patrón de flujo.
G = 2.74 kg/m3
G = 0.0190 cp = 1.90x10-5 kg/ (m s)
D = 7.981 in = 0.2027 m
A = 0.032275 m2
vSG = 0.113 m/s
dP* = 27.6
u* = 0.337
Estas coordenadas corresponden al lecho fijo.
3.2.-Fracción de huecos
De la tabla 1, se obtiene la esfericidad de las partículas de óxido de hierro:
S = 0.71
Para dP* = 27.6 > 27.14:
632
E = 0.18
2
 0.18 



  4  0.18 


 0.712 
0.712  0.712 



 0.445
2
0.18
3.3.-Caída total de presión
1  0.445 
P
 150
L
0.712 0.445 3
2

kg  
m
1.90  10 5
  0.113 
ms 
s

2
m kg 

0.57  10 3 m  9.81 2
s kgf 



2
1  0.445 
 1.75
0.710.445 3
kg  
m

 2.74 3   0.113 
s
m 


m kg
0.57  10 3 m  9.81 2
s kgf



kgf


m2
P   797 .77
m


kgf




 797 .77
m2
m


kgf
 2 m  1595 .54 2
m


4.-RESULTADO. La caída de presión a lo largo del lecho estacionario es de 1595.54
kgf/m2.
El método de Leung-Wiles predice las caídas de presión a dos fases gas-sólido en
tuberías verticales con un error de ± 20%. La ecuación de Ergun predice con gran
exactitud la caída de presión en lechos empacados.
Existen otras correlaciones semi empíricas para encontrar las caídas de presión,
entre las cuales destacan las de Konno-Saito, Capes-Nakamura, Mehta-SmithComings, Rose-Duckworth, Vogt-White, entre otras metodologías, que pueden ser
consultadas por el lector interesado.
CONSIDERACIONES GENERALES.
La dispersión de partículas sólidas en aire puede dar lugar a mezclas cuyo
comportamiento ante una flama, una superficie caliente o una chispa es similar al
de combustibles mezclados con aire, es decir, explotan o se inflaman (incendian).
El desconocimiento de los parámetros de explosividad e inflamabilidad de una
mezcla de polvos con aire puede ocasionar graves daños físicos al equipo y a la
planta de procesamiento. Los parámetros más importantes en la prevención de
incendios y explosiones durante el manejo de sólidos particulados son la
temperatura de auto ignición de la mezcla aire-polvo, la concentración explosiva
mínima, la energía mínima para la ignición, la presión máxima generada por la
633
explosión y la velocidad máxima de aumento de presión durante la explosión. En
la siguiente tabla se muestran valores típicos para diversos materiales
particulados.
Tabla 2.- Parámetros de explosividad e inflamabilidad para polvos dispersos en aire.
Velocidad
Presión
Energía
máxima de
Temperatura Concentración
máxima
mínima
aumento de la
Material
de
explosiva
generada
para la
presión
particulado
autoignición
mínima
por la
ignición
durante la
3
(°C)
(kg/m )
explosión
(mJ)
explosión
(atm)
(atm/s)
Ácido adípico
550
0.035
60
7.9
354
Aluminio
610
0.040
10
12.2
1514
Aserrín fino
430
0.040
40
7.5
375
Azúcar
350
0.035
35
6.0
336
Azufre
190
0.020
15
6.7
551
Café
410
0.085
85
3.4
17
Carbón
610
0.055
55
5.8
148
mineral
Corcho
460
0.035
35
9.5
737
Dextrina
410
0.050
40
8.7
387
Fécula
de
380
0.040
30
10.2
737
maíz
Harina
de
380
0.050
50
6.3
247
trigo
Magnesio
520
0.020
40
17.3
1853
Nylon
500
0.030
20
6.4
266
Poliestireno
490
0.015
15
6.1
474
Polietileno
390
0.020
10
5.3
503
Polvo
de
430
0.055
55
6.5
188
cereales
Zinc
600
0.480
650
3.4
118
2
Para convertir atmósferas en kgf/m , multiplicar por 10332.7.
La velocidad de aumento de la presión durante la explosión depende del volumen
del recipiente donde se encuentre la mezcla aire-polvo. Para proteger a las líneas
y recipientes por donde fluyan este tipo de mezclas, el diseño y/o selección de los
dispositivos de relevo de presión se efectúa empleando la siguiente ecuación:
K
 P 
 St
 t 
1

 máx V 3
 atm 
 s 


(182)
En donde:
[P / t]máx = velocidad de aumento de la presión durante la explosión.
KSt = índice de deflagración en atm m/s.
V = volumen de la línea o recipiente en m3.
El índice de deflagración es un valor experimental propio de cada polvo, y
depende tanto de la naturaleza del sólido como del diámetro promedio de las
partículas, además del gas empleado en su arrastre. Entre más seco sea el gas
634
empleado y entre menor sea la conductividad eléctrica del polvo, mayor será la
probabilidad de explosión de la mezcla gas-sólido.
Una manera de disminuir el riesgo de explosión e incendio es el empleo de gases
inertes en las líneas de transporte neumático. Los gases más comúnmente
empleados en este caso son nitrógeno y dióxido de carbono.
Otra causa de explosión es la generación de electricidad estática en las líneas y
equipos debida al rozamiento de las paredes con las partículas. Este fenómeno es
importante cuando se manejan sólidos cuya energía mínima de ignición es menor
a 25 mJ. Para prevenir desastres por electricidad estática, los equipos y las líneas
deben estar conectados a tierra.
Para mayores detalles sobre el tema de la seguridad en el manejo de mezclas
gas-sólido, se invita al lector a consultar las obras de Cross y Farrer, de Kunii y
Levenspiel, y las dos de Rhodes.
Durante el transporte y fluidización de sólidos pueden presentarse los fenómenos
de agrandamiento de partículas y el de degradación de las mismas. El primero de
ellos se presenta al colisionar las partículas o al haber humedad entre ellas. El
segundo fenómeno consiste en la disminución del tamaño de partícula y ocurre
cuando chocan las partículas entre sí o con la pared del equipo. La degradación
produce partículas más finas, las cuales pueden ser susceptibles de inflamarse o
de hacer explosión si su diámetro de partícula es menor a 200 m, además
pueden producir daños a la salud de los trabajadores si su tamaño va de 0.5 m a
5 m, pues se alojan en los pulmones causando daños irreparables a sus tejidos.
Un fenómeno de particular interés en el diseño de líneas de transporte neumático
es el de la erosión. Casi la totalidad de los materiales transportados son abrasivos,
causando graves daños a las paredes internas de las tuberías. Este fenómeno
depende fuertemente de la velocidad real de las partículas y del material de la
tubería. La velocidad de erosión del material del tubo aumenta al incrementarse la
velocidad real de los sólidos.
Los codos y uniones en U son más vulnerables a la erosión, debido a la
sedimentación de los sólidos causada por la acción de la fuerza centrífuga sobre
las partículas al fluir por estos accesorios. Para evitar o disminuir los efectos de la
erosión en este tipo de uniones, es recomendable emplear Tes ciegas en lugar de
codos, pues en la rama ciega de las Tes se forma un colchón de partículas
sedimentadas. De esta manera, los sólidos que fluyen por la tubería chocan contra
el colchón de partículas al pasar por la te ciega, en lugar de colisionar contra la
pared de un codo. Asimismo, deben evitarse las uniones entre tramos
descendentes y horizontales de tubería, pues existe una gran tendencia de las
partículas a sedimentarse sobre el tramo horizontal, provocando con ello la
erosión de este tubo.
Otro factor importante es el patrón de flujo presente en la línea. Todos los
fenómenos anteriormente citados pueden evitarse o disminuir su efecto si se
selecciona el patrón de flujo adecuado. En líneas horizontales, son recomendables
para diseño los flujos homogéneo y con dunas transversales, debido a su relativa
635
estabilidad. Deben evitarse los flujos heterogéneo y con dunas longitudinales por
su gran tendencia de precipitación de partículas, causando fluctuaciones en la
presión y volviendo al flujo muy inestable. También se sugiere evitar los flujos
tapón y ariete por provocar severas vibraciones en la tubería, con lo cual el
sistema de transporte neumático sufre graves daños; además, tampoco deben
diseñarse las líneas con los flujos onda y lecho móvil, porque son muy inestables y
tienden a bloquear la línea. Generalmente, se recomienda que las líneas de
transporte neumático sean de 4 pulgadas de diámetro, cédula 40 ó 60, por donde
el aire fluya a una velocidad no mayor a 25 m/s, en una proporción másica sólidogas menor a 40.
En líneas verticales ascendentes, son recomendables los transportes en fase
diluida y denso ascendente, por su relativa homogeneidad en el flujo. En caso de
tratarse de lechos fluidizados, se sugieren las fluidizaciones particulada, con
burbujeo y a chorro, debido a su estabilidad y buen mezclado de las partículas.
Deben evitarse el flujo anular y las fluidizaciones rápida y turbulenta, pues son
patrones muy erosivos e inestables; además tampoco es recomendable el flujo
bala, a causa de su intermitencia y de provocar vibraciones en la tubería. El lecho
con canales puede ser evitado mediante un sistema de golpeteo sobre la pared
externa de la tubería, separando de esta manera a las partículas y permitiéndoles
su fluidización. En el caso de líneas verticales descendentes, dos o más patrones
de flujo pueden estar presentes en la tubería, los cuales no presentan mayores
inconvenientes para el diseño.
En general, el transporte neumático de partículas sólidas tiene como ventajas un
diseño simple, económico y automatizable, y sus líneas ocupan poco espacio. La
operación de estas líneas en fase densa tiene la gran ventaja de un bajo
requerimiento de flujo de gas, y por consiguiente, una menor velocidad de las
partículas y una menor erosión. Como desventaja principal está el alto costo en
energía eléctrica de movilización de la mezcla gas-sólido. Esta desventaja queda
superada por la eliminación de los costos de combustible para el transporte de
sólidos en vehículos de carga, además, la cantidad de operarios es mínima
comparada con el acarreo en costales o en vehículos. Esto resulta en un mejor
aprovechamiento de los recursos humanos y económicos, y en una menor
degradación de los sólidos, aumentando de esta manera la producción y las
utilidades de la planta procesadora.
Problemas propuestos.
Problema 13.
¿Cuál será el patrón de flujo esperado si fluyen 8 kg/h de aire, a 1 atm y 25°C, por una
tubería horizontal de 4 pulgadas cédula 40, y en la cual son acarreadas partículas de
carbón mineral, cuyo diámetro es de 210 m y con una densidad de 640 kg/m3?
Resultado. En el mapa de Thomas, el flujo obtenido es dunas transversales.
636
Problema 14.
Determinar el patrón de flujo presente en una tubería horizontal de 6 pulgadas cédula 40
por la cual fluye aire con una velocidad friccional de 4.3 m/s. El aire transporta partículas
de dióxido de uranio, con un diámetro promedio de 150 m y una densidad de 3520
kg/m3. La densidad del aire es de 1.23 kg/m3 y su viscosidad es de 0.0175 cp.
Resultado. El patrón de flujo presente en la línea es homogéneo.
Problema 15.
Por una tubería horizontal de 3 pulgadas cédula 40 fluyen 900 kg/h de arena, con un
diámetro promedio de partícula de 100 m y una densidad de 2500 kg/m3. La arena es
acarreada por aire, el cual fluye con una velocidad superficial de 14.8 m/s, cuya densidad
es de 1.2 kg/m3 y su viscosidad de 1.84x10-5 kg/ (m s). Determinar la caída total de
presión si la longitud del tubo es de 30 m.
Resultado. La caída de presión en la línea es de 4042.66 kgf/m2, correspondiente a flujo
homogéneo.
Problema 16.
Calcule la caída de presión en una tubería horizontal de 1.5 pulgadas de diámetro cédula
40 y 250 m de longitud, por la que fluyen 500 kg/ (m2 s) de cuentas de vidrio cuyo
diámetro promedio de partícula es de 587 m y con una densidad de 2483 kg/m3. Las
cuentas de vidrio son arrastradas por aire, a 5 atm y 25°C, con una velocidad superficial
de 3.2 m/s.
Resultado. La caída total de presión resultante es de 37103.0 kgf/m2, correspondiente a
flujo con dunas longitudinales.
Problema 17.
Un carro-tanque surte trigo a una industria de alimentos. Los granos son transportados
neumáticamente a través de una tubería horizontal de 6 pulgadas cédula 40 a razón de
350 kg/h. El gas de arrastre es nitrógeno cuyo flujo es de 2000 kg/h, y se encuentra a 2
atm y 25°C. Determinar el patrón de flujo y la caída total de presión por cada metro de
tubería si el diámetro promedio de los granos es de 4.8 mm y su densidad de 750 kg/m3.
Resultado. El patrón presente en la línea es el de flujo heterogéneo, y la caída total de
presión es de 25.12 kgf/m2 por cada metro de tubería.
Problema 18.
Por una línea vertical asciende gas a una velocidad superficial de 0.9 m/s, a través de un
lecho de partículas sólidas. La densidad del gas es de 1.5 kg/m3 y su viscosidad es de
0.02 cp. El diámetro promedio de las partículas es de 60 m, con una densidad de 1500
kg/m3. Determinar el patrón de flujo presente en la tubería.
Resultado. El patrón de fluidización turbulenta está presente en la línea vertical.
Problema 19.
Determine el patrón de flujo presente en una tubería vertical empacada con partículas
sólidas, a través de cuyos intersticios asciende un gas con una velocidad superficial de
0.5 m/s. Las propiedades de ambas fases son: densidad del gas = 1 kg/m3; viscosidad del
gas = 0.025 cps; diámetro promedio de las partículas = 450 m; densidad de las
partículas = 1500 kg/m3.
Resultado. El patrón de flujo presente en la línea es el de fluidización con burbujeo. El
punto donde se intersectan las coordenadas cae dentro del área de flujo bala, por lo que
637
pudiera presentarse dependiendo de lo angosto del tubo o de lo profundo del lecho de
partículas.
Problema 20.
Por una línea vertical descendente de 4 pulgadas cédula 40 fluyen 1.5 kg/h de nitrógeno y
250 kg/h de sulfato de sodio en polvo. El gas se encuentra a 1 atm de presión y 25°C de
temperatura. Las partículas del compuesto químico tienen un diámetro promedio de 105
m y una densidad de 1320 kg/m3. ¿Cuál es el patrón de flujo presente en la tubería?
Resultado. El patrón corresponde al flujo en lecho sin burbujeo.
Problema 21.
Determinar la caída de presión en una línea vertical de 4 pulgadas cédula 40 por la que
ascienden 500 kg/h de dióxido de carbono a 1 atm y 25°C. Este gas es empleado para
acarrear 250 kg/h de cemento cuyo diámetro de partícula es de 80 m y su densidad de
1240 kg/m3. La longitud de la tubería es de 35 m.
Resultado. La caída total de presión a dos fases es de 161.43 kgf/m2, correspondiente al
transporte en fase diluida.
Problema 22.
¿Cuál sería la caída de presión en 10 metros de tubo vertical de 3 pulgadas cédula 40,
por la que fluyen 900 kg/h de arena, acarreados por 305 kg/h de aire en ascenso? El
diámetro promedio de las partículas de arena es de 100 m y su densidad es de 2500
kg/m3. La densidad del aire es de 1.2 kg/m3 y su viscosidad de 1.84x10-5 kg/ (m s).
Resultado. La caída total de presión en la tubería es de 137.5 kgf/m2, correspondiente al
patrón de transporte en fase diluida.
Problema 23.
Calcule la caída de presión en un lecho empacado con granos de trigo, contenido en una
tubería de 8 pulgadas cédula 40, y con una profundidad de 2 m. La densidad del trigo es
de 750 kg/m3 y su diámetro de partícula es de 4.8 mm. A través del lecho fluyen 10 kg/h
de aire a 1 atm y 25°C.
Resultado. La caída de presión en el lecho empacado es de 26.20 kgf/m2.
Problema 24.
Determinar la caída de presión y el patrón de flujo desarrollados en una tubería vertical
descendente de 8 m de longitud y 6 pulgadas de diámetro cédula 40, por la cual fluyen
100 kg/h de cemento y 150 kg/h de dióxido de carbono. Las partículas de cemento tienen
un diámetro promedio de 88 m y una densidad de 1440 kg/m3. El gas se encuentra a 1
atm y 25°C.
Resultado. El patrón presente en la línea es el flujo en lecho con burbujeo, y la caída
total de presión desarrollada es de 9.59 kgf/m2.
638
Capítulo XX
Filtración.
639
Introducción.
En los procesos industriales nos encontramos a menudo con la necesidad de la
separación de los sólidos contenidos en una suspensión sólido –fluido. Para ello
se utiliza con frecuencia la filtración.
La filtración es una operación unitaria en la que una mezcla heterogénea de un
fluido con partículas de sólidos en suspensión, tienen que separarse por un medio
filtrante que permite el paso del fluido, pero que retiene las partículas de sólidos.
La filtración podría considerarse como un tamizado por vía húmeda en la cual el
tamiz (de pequeñísima luz de malla) se convierte en la superficie de filtración.
La filtración, se diferencia de las otras formas de separación mecánica tales
como la sedimentación o la centrifugación por el empleo de un medio filtrante. La
filtración puede emplearse para separar sólidos suspendidos en líquidos o sólidos
suspendidos en gases, siendo la primera la más frecuente y a la que nos
referiremos en este capítulo.
OBJETIVO
EQUIPO
Filtros prensa, filtro
Rotatorio, filtro de arena
Filtros de hojas
Condiciones De Operación
Presión, Filtro ayuda
, temperatura, operación
intermitente, continuo
.
LEYES DE LA NATURALEZA
Flujo a través de sólidos.
Caídas de presión.
La filtración se emplea preferentemente para:
a. Clarificar líquido (cuando el contenido de sólidos es bajo).
b. Recuperar los sólidos.
c. Recuperar los líquidos.
d. Recuperar ambas fases.
640
e. Para facilitar otras operaciones tales como: pre secado o lavado de
materiales solubles depositados sobre los sólidos.
Equipos.
Una clasificación de los filtros puede ser:
I.- Los filtros que operan por gravedad.
II.- Los que operan impulsados por una fuerza exterior.
III.- Los que actúan por medio del vacío.
En cada uno de los casos el medio filtrante retiene las partículas de sólido
formando con ellas una torta porosa.
El criterio para la selección del filtro depende de la operación requerida, ya que si
la resistencia a la filtración es pequeña, la fuerza impulsora podría ser
simplemente la gravedad. En caso que la resistencia sea grande, se adiciona a la
fuerza de gravedad el vacío y si aún no es suficiente, se le aplica la presión.
Existen diversos tipos de filtros, entre los más comunes tenemos:
 Filtros rotatorios (generalmente operados al vacío y continuos).
 Filtros de hojas.
 Filtros de arena (filtros intermitentes utilizados para purificar agua).
 Filtros de marcos y placas (filtros prensa, intermitentes).
Un ejemplo típico de filtros por gravedad es el filtro de arena abierto empleado
para purificar agua. Este tipo de filtros son de los más sencillos y antiguos pero de
empleo actual muy extendido. Especialmente en el tratamiento de agua, en donde
se requiere la manipulación de grandes volúmenes con pequeña proporción de
materias en suspensión puesto que normalmente se ha verificado con anterioridad
una sedimentación cuando menos. Consisten en depósitos de varias formas,
tamaños y disposiciones: rectangulares o cilíndricos, de eje vertical u horizontal,
abiertos o cerrados que se construyen en diferentes materiales: mampostería,
cemento, madera y chapa de acero. La masa filtrante es soportada por un fondo
falso que permite la salida del filtrado. La granulometría de la arena desempeña el
papel principal y debe determinarse en función de la naturaleza del líquido, la
velocidad de filtración y la pérdida de presión admisible. Las piedras gruesas,
grava y arena se colocan en ese orden, de abajo a arriba. La capa de arena
retiene entre los poros las impurezas, lo cual hace disminuir el espacio libre para
el flujo del líquido. A medida que progresa la operación, la velocidad de filtración
disminuye y la perdida de presión aumenta hasta que llega un momento en que es
preciso detener la operación y proceder al lavado del filtro regenerando la masa
filtrante.
641
Figura 6.1. Esquema de un filtro abierto de arena.
Dentro de los filtros a presión los más importantes son los filtros de placas, de
hojas y de placas y marcos o filtros prensa.
Un filtro prensa consiste en dos barras horizontales que sirven de soporte a las
placas y los marcos. Entre cada placa y marco se coloca el medio filtrante que
servirá para retener los sólidos. El número de placas y marcos varía de acuerdo
con la capacidad del filtro. El espesor del marco determina a su vez el espesor de
la torta. La suspensión es alimentada al filtro por medio de una bomba que la
introduce a través de los orificios de los marcos. El fluido filtrado pasa a través del
medio filtrante (lonas de telas o de algún material polimérico) y deposita los sólidos
dentro del marco. El filtro prensa es un ejemplo de filtro intermitente.
Figura 6.2. Sección de un filtro prensa de marcos y placas.
De los diversos filtros, el filtro prensa de placas y marcos es probablemente el más
barato por unidad de superficie filtrante y es el que requiere un mínimo de terreno
para su instalación. Otras ventajas son:
1.- Bajo costo inicial.
2.- Mayor área de filtración por metro cuadrado de terreno.
3.- Operación con menor número de operarios.
642
4.- Eficiente lavado de la torta.
5.-.Se puede operar aún con exceso de sólidos.
6.- Trabaja a diferentes condiciones, en caliente, en frío y a alta y baja presión.
Figura 6.3.- Filtro prensa de placas y marcos.
El filtro prensa está formado por una base de hierro cuya forma permite que se
acomoden alternativamente marcos y placas, adaptando lonas de filtración sobre
los lados de cada placa. Dichas placas son de dos clases, placas lavadoras y
placas de filtrado. El conjunto se mantiene acoplado por aplicación del esfuerzo
mecánico de un tornillo o también por medio de una prensa hidráulica. El lavado
de la torta suele hacerse sobre el mismo filtro, haciendo pasar el líquido de lavado
a través de la torta obtenida. Si es necesario secar la torta se puede meter aire a
presión para que expulse el líquido retenido en la torta.
Figura 6.4. Esquema de un filtro prensa.
643
Entre los filtros al vacío el tipo más simple consiste en un tanque de fondo falso
muy parecido al Buckner usado en el laboratorio instrumental. A pesar de que este
filtro es relativamente barato y fácil de operar, su capacidad es muy baja.
Figura 6.5. Esquema de un filtro al vacío.
Para manejar grandes cantidades de suspensión, el filtro de hojas o el filtro de
tambor rotatorio son los más usados.
Figura 6.6. Filtro de hojas de tanque vertical.
Los filtros de hojas están constituidos por un depósito que contiene las bolsas u
hojas filtrantes sumergidas en el líquido a filtrar, el cual pasa a través de estas
bolsas por la acción de la presión reinante en el interior del depósito o por un vacío
producido en el interior de las bolsas. Entre los filtros que operan a presión
tenemos el Sweetland, Kelly, Vallez y Shriver principalmente y entre los de vacío
el Moore.
644
Las bolsas u hojas están constituidas por un cuadro o marco de madera o metálico
que soporta un entramado o tela metálica para impedir que el tejido filtrante que lo
envuelve se colapse. El tejido puede montarse de forma que quede una superficie
lisa (hoja) o bien formando pliegues (bolsa). En este último caso la superficie
filtrante aumenta de forma notable lo que permite recoger grandes cantidades de
sólido suspendido. De todas formas, se produce ya en el depósito una importante
separación de sólidos por simple decantación y por la caída de la torta adherida a
la tela filtrante lo que permite aumentar el rendimiento del filtro.
El filtro de tambor rotatorio de compartimiento múltiple, como su nombre lo indica,
está dividido en diferentes compartimientos, cada uno separado por ductos
especiales y conectados individualmente a la válvula múltiple que controla el ciclo
de operación. El tambor se encuentra suspendido en el interior del tanque de
suspensión a un nivel controlado. La filtración real ocurre en la sección sumergida
del tambor; los sólidos se depositan sobre el medio filtrante y el filtrado se
descarga por líneas especiales a un tanque recolector. El filtro de tambor rotatorio
es un ejemplo de filtración continua.
Figura 6.7. Esquema del funcionamiento de un filtro de tambor rotatorio de
alimentación exterior.
Medios filtrantes.
Las características de un medio filtrante dependen de las propiedades del material
empleado en su confección. La selección del medio filtrante se hace tomando en
cuenta el tamaño de las partículas que se desean retener, la resistencia a la
acción de los productos químicos, la facilidad de limpieza y la resistencia al uso.
Entre los medios filtrantes más empleados están, las telas metálicas, las telas
naturales y sintéticas, las placas de celulosa, las hojas de papel, etc.
Con frecuencia
en la filtración se emplean los llamados filtro ayuda o
coadyuvantes de la filtración, que son materiales inertes finamente divididos, que
no se compactan ni comprimen por la presión .Se emplean cuando el precipitado
es de naturaleza coloidal o gelatinosa y dificulta o llega a imposibilitar la filtración.
645
Para evitar este inconveniente este tipo de material se agrega a las suspensiones
que presentan problemas de compresibilidad en la filtración.
Generalidades.
La filtración es una operación que podría considerarse como un caso especial del
flujo de fluidos a través de lechos empacados estáticos, En la inmensa mayoría de
los procesos, el tamaño de las partículas sólidas es suspensión es muy pequeña y
el flujo del fluido que pasa a través de la torta filtrante suele ser laminar. Por ello
se puede emplear la ecuación de Ergun para calcular la caída de presión:
P
(1  e) 2 
 150
us
L
e 3 D 2 gc
Esa ecuación relaciona la pérdida de presión a través del lecho poroso, con su
espesor L, la velocidad del fluido referida al área de la sección normal del lecho u s,
la densidad y la viscosidad del fluido ρ, μ, la fracción hueca del lecho e y el
diámetro equivalente de las partículas que forman el lecho D.
Teniendo en cuenta que el diámetro equivalente D de la partícula es:
D
6
So
En donde So es la superficie específica de la partícula la ecuación anterior puede
ponerse como:
P
So 2 (1  e) 2 
 4.17
us
L
gc
e3
Como la fracción de huecos y la superficie específica del lecho puede variar dentro
del mismo, se puede dar una mayor generalización a la ecuación anterior
escribiéndola como:
P
So 2 (1  e) 2 
k
us
L
gc
e3
Despejando us se tiene que:
us 
gc e 3
P
L kSo2  (1  e) 2
Pero como, la velocidad us está definida como:
caudal 1 dV
us 

sec ción A d
646
Igualando queda:
gc e
P
caudal 1 dV
= us 

2
sec ción A d
L kSo  (1  e) 2
3
us 
Puede ponerse en la forma:
us 
En donde K =
Pgc
caudal 1 dV
=K

sec ción A d
L
e3
kSo2 (1  e) 2
De acuerdo con esta ecuación, la velocidad referida al área de sección normal al
flujo es directamente proporcional a la diferencia de presiones entre la parte
superior e inferior del lecho, e inversamente proporcional al espesor del lecho y a
la viscosidad del fluido.
La aplicación de esas ecuaciones se limita a fluidos que fluyen a través de lechos
porosos y que presentan una resistencia constante al flujo y en donde el caudal de
fluido es siempre constante para una temperatura y diferencia de presiones dada.
Cuando el fluido que circula a través del lecho lleva partículas sólidas en
suspensión, las que son retenidas por el lecho, la resistencia ofrecida al flujo irá
aumentando progresivamente, a medida que van acumulándose las partículas
sólidas sobre el lecho, con lo cual irá disminuyendo el caudal del fluido, aunque la
temperatura y la diferencia de presiones se mantengan constantes.
Para poder aplicar las ecuaciones anteriores a la filtración es necesario
modificarlas.
L
En la ecuación el término
que representa la resistencia constante al flujo a
K
través del medio poroso se sustituye por dos términos, uno que corresponde a la
resistencia ofrecida por el medio filtrante y otro que corresponde a la resistencia
ofrecida por la torta que se va formando sobre el filtro. La ecuación se transforma
en:
us 
Ptotal gc
caudal 1 dV Ptorta gc Pmedio gc
=



sec ción A d
rtorta
rmedio
rtorta  rmedio
La diferencia de presiones entre la parte superior e inferior de la torta ΔP torta, o la
del medio filtrante ΔPmedio no puede medirse directamente; la única diferencia de
presiones medible, es la existente entre la presión de entrada al sistema de
filtración y la presión de salida o de descarga.
La resistencia del medio filtrante (tela, papel, porcelana porosa, etc.) se considera
que es constante y se representa por:
Rmedio= μRm
647
En general esta resistencia es una fracción muy pequeña de la resistencia total.
La resistencia de la torta depende del espesor y de la naturaleza de la torta y
aumenta con el transcurso de la filtración por ir aumentando el espesor.
L
rtorta   RT   torta
K
El espesor de la torta Ltorta es una variable que no puede determinarse con
exactitud en la práctica de la filtración, pero como es proporcional al volumen
filtrado, puede expresarse en función de este.
La masa del sólido depositada sobre el filtro será igual a la masa del sólido que
estaba contenida en el volumen V de filtrado, más la masa de sólido contenida en
el volumen de suspensión retenida por la torta; es decir:
M  V
s
s
s
(m  1) s
 eLtorta A
 V

M
1 s
1 s
1 s
1 s
También:
M 
s
V  wV
1  ms
Dónde:
ρ= densidad del fluido
 kg sólido 

s= fracción másica del sólido en la suspensión 
kg
suspensión


torta húmeda
m=
torta sec a
w = masa de sólido referida al volumen de filtrado.
La masa de sólido depositada sobre el filtro vendrá dada por:
M = Ltorta A (1 –e) ρs
siendo ρs la densidad del sólido.
Por lo tanto:
M = Ltorta A (1 –e) ρs= M 
Despejando Ltorta
L
s
V  wV
1  ms
s
1
1
V
wV
A(1  e)  s 1  m s
A1  e s
e3
Como K =
kSo2 (1  e) 2
Por lo tanto
RT 
L
wV
kSo2 (1  e) 2

K A(1  e)  s
e3
648
Las propiedades que dependen de las características de la torta se pueden incluir
en un factor.
kSo2 (1  e)
1


3
K s (1  e)
s e
Denominado resistencia específica de la torta (de dimensiones L / M) y que
representa la resistencia ofrecida por unidad de masa de la torta seca depositada
sobre la unidad de área de sección normal al flujo a través de la torta.
 wV  M
Por lo tanto RT 
siendo las unidades de RT las de 1 / L.

A
A
Entonces:
Ptotal gc
1 dV

A d
 w V


 Rm 
 A

La resistencia del medio filtrante Rm se puede poner en función de la resistencia
ofrecida por una capa hipotética de torta que corresponde al volumen V e de filtrado
necesario para formar esa torta hipotética; es decir:
  sVe
 w Ve  M e
Rm 


A(1  ms)
A
A
Siendo Me la masa de sólido depositada por el volumen Ve.
Sustituyendo queda:
Ptotal gc
Ptotal gc
1 dV


A d   w
V  Ve    ( M  M e )
A
A
Tortas compresibles e incompresibles.
En general, el valor de α (resistencia específica de la torta) no permanece
constante a lo largo del proceso de filtración, ya que tanto So como e dependen
de la presión aplicada sobre las partículas que forman la torta y del grado de
floculación de la suspensión. Esto indica que el valor de α empleado en los
cálculos debe ser el valor medio correspondiente. En los lechos de partículas
rígidas, So y e no están afectados por la compresión y por ello α permanece
constante, si este es el caso la torta se denomina incompresible, si α depende de
la presión de filtración la torta se denomina compresible.
El efecto de la presión sobre la resistencia específica de la torta está dado por:
   o P n
649
Siendo αo la resistencia específica a la presión cero, o la resistencia específica de
la torta si fuera totalmente incompresible, y n es el factor de compresibilidad el
cual hay que determinar experimentalmente.
Para determinar el efecto del cambio de presión, es necesario correr varias
pruebas bajo diferentes presiones y calcular α. Al graficar log α frente al log ΔΡ
obtendremos una recta de pendiente n y ordenada al origen αo.
log α
n
log ΔΡ
Filtración a presión constante.
En la práctica la filtración puede efectuarse controlando la diferencia de presiones
de modo que esta permanezca constante durante todo el proceso. Al mantener la
presión constante la velocidad de filtración disminuye al ir aumentando el espesor
de la torta y con ello la resistencia a la filtración. Para el estudio de la filtración en
estas condiciones podemos partir de la ecuación siguiente:
Ptotal gc
1 dV

A d
 w V


 Rm 
 A

Que puede expresarse en la forma:
 w
 Rm
d

V
2
dV PgcA
PgcA
Para tortas incompresibles y filtración a presión constante resulta:
d
 k1V  k 2
dV
Siendo
k1 
  s
Rtorta 
 w


2
2
PgcA
PgcA (1  ms) PgcV A
Y
650
k2 
 Rm
PgcA

 w
PgcA 2
Ve  k1Ve
El cálculo de estas constantes puede efectuarse a partir de los datos
experimentales realizados a presión constante, midiendo el volumen filtrado en
función del tiempo.
d
Si representamos en ordenadas
frente al volumen de filtrado en las abscisas,
dV
obtendremos una recta de pendiente k1 y ordenada al origen k2.
d
dV
k1
k2
V
Ejemplo 1.
En una experiencia de laboratorio efectuada al filtrar una suspensión de Ca CO 3
en agua a 25 ° C y con una diferencia de presiones de 4 atm, un área de filtración
de 0.0439 m2, y una concentración de 23.47 kg /m 3 se obtuvieron los siguientes
resultados:
Tiempo
en Volumen filtrado en
segundos
litros
4.4
0.5
9.5
1
16.3
1.5
24.6
2
34.7
2.5
46.1
3
59
3.5
73.6
4
89.4
4.5
107.3
5
651
Utilizando los datos experimentales calcule α y Rm.
1.- Traducción.
CaCO3 en agua
ΔP= 4 atm.
A = 0.0439 m2
2.- Planteamiento.
2.1.- Constantes de filtración.
d
dV
k1
k2
V
2.2.- Resistencia específica de la torta.
  k1
gcA2 Ptotal
w
2.3.- Rm
k2 
 Rm
PgcA
3.- Cálculos.
3.1.- Constantes de filtración.
Los datos experimentales se deben recalcular en forma de
Tiempo
segundos
en Volumen x 10-3 en Δθ
m3
d
dV
ΔV x 10-3

en
V
s/m3
0
4.4
9.5
16.3
0
0.5
1
1.5
4.4
5.1
6.8
652
0.5
0.5
0.5
8830
10160
13570
24.6
34.7
46.1
59
73.6
89.4
107.3
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
8.3
10.1
11.4
12.9
14.6
15.8
17.9
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
16630
20280
22620
25590
29320
31730
35310
A partir de estos datos se puede construir la gráfica siguiente:
A 25 °C la viscosidad del agua es de 0.8937 cps =8.937 x 10-4 kg / m s.
3.2.- Resistencia específica de la torta.
De la gráfica Kp = k1= 6.28 x 106
gcA2 Ptotal 
  k1
w
6.28  106  9.81 0.04392  4  10333
 2.31 1011
m /kg
23.47  8.937  104
3.2.- Rm de la gráfica
B=5475 = k2 = k1Ve
k2 
por lo tanto Rm= 5475
 Rm
PgcA
4  10333 9.81 0,0439
 1.08  1011 m 1
4
8.937  10
653
4.- Resultados. El valor de la resistencia del medio filtrante Rm es de 1.08 x 10 -1
m-1. El valor de la resistencia específica de la torta α es de 2.31 x 1011 m /kg.
Ejemplo 2.
A partir de experimentos efectuados a 20 ° C, con un filtro de 0.03 m 2 de área,
con una suspensión acuosa que contiene 8 % en peso de sólidos y operando a
diferentes presiones se obtuvieron los siguientes datos:
ΔP , Diferencia de presiones en K1
kg/cm2
0.5
60
1.5
30
3.0
20
A partir de los datos anteriores calcule α en función de ΔP.
2.- Planteamiento.
2.1.- Resistencia específica de la torta.
k1 gcA2 P

w
2.2.- Relación entre α y ΔP.
   0 P n
Por lo que:
log   log  0  n log P
3.-Cálculos.
3.1.- Resistencia específica de la torta.
60  9.81 (0.03) 2
m
 0.5  104  3.31 106
3
kg
1  10  0.08
2
30  9.81 (0.03)
m
2 
 1.5  104  4.96  106
3
kg
1  10  0.08
2
20  9.81 (0.03)
m
3 
 3.0  10 4  6.6  106
3
kg
1  10  0.08
1 
3.2.- Relación con la presión.
Si se grafican los valores de log α frente a los de log ΔP se obtiene una recta de
pendiente n = 0.375 y una ordenada al origen log α 0 =6.64, por lo que α0 = 4.37 x
106 m / kg
De manera que:
  4.37  10 6  P 0.375
654
4.-Resultado. La relación entre α y ΔP es:
  4.37  10 6  P 0.375
Ejemplo 3.
Al efectuar unas pruebas de filtración en el laboratorio a la presión constante de 2
atm con unos lodos que contienen 200 g de sólidos por litro de suspensión, se
encontró que el la torta se comporta como incompresible, que tiene una fracción
de hueco del 30%, una resistencia específica de 4 x 1010 m /kg y una resistencia
del medio filtrante equivalente a 3 mm de espesor de la torta. Calcule el área
requerida para obtener 100 kg /h de torta seca, filtrando una suspensión de
características similares a las empleadas en las pruebas, si la densidad de los
sólidos es de 5000 kg /m3 y si se emplea una diferencia de presiones de 2 atm.
1.- Traducción.
A=?
100 kg
2.- Planteamiento.
2.1.- Filtración a presión constante.
 w
 Rm
d

V
2
dV PgcA
PgcA
Para tortas incompresibles y filtración a presión constante resulta:
d
 k1V  k 2
dV
Siendo
k1 
 w
PgcA
y
k2 
2

  s
PgcA (1  ms)
 Rm
PgcA
2

 w
PgcA 2
3.- Cálculos.
655

Rtorta 
PgcV A
Ve  k1Ve
3.1.- Valor de k1.
Como el líquido es agua.
Ρ= 1000 kg /m3 ; μ=10-3 kg /m s =3.6 kg /h m
s
ms

m
ms  1000   s
 s

m




kg de sólido
200
 0.1724
200  1000  40
kg de suspensión
(1  e)  s  e 0.7  0.5  0.3  1
kg de torta húmeda

 1.085
(1  e)  s
0.7  0.5
kg de torta sec a
w
s
1 m s

kg de sólido
1000 0.1724
 0.212
1  1.085  0.1724
litro de filtrado
m
kg
kg
 3.6
 212 3
11.62 h
kg
mh
m
 
k1 
kgm
kg
A2 m 6
127 106  2  A2 (m 4 )  2 10333 2
kg h
m
4 1010
3.2.-Masa contenida en el
espesor equivalente de 3
mm de torta.
(1  e)  s ALe
Esta masa ha de ser igual a la que deposita un volumen equivalente de filtrado
más la masa que contiene el líquido retenido por la torta de ese espesor:
s 
Ve  wVe
1 m s
Por lo tanto
Ve (1  e)  s Le 0.7  500  3  10 3


 0.0542m
A
w
212
3.3..-Volumen de filtrado que depositan 100 kg de torta seca:
V
1  m s M 100


 0.472m 3
s
w 212
3.4.-Area requerida.
656
A partir de:
d
 k1V  k 2
dV
Para calcular el volumen total de filtrado se ha de integrar la ecuación anterior. Si
consideramos que empezamos a contar el tiempo en el instante en que se ha
formado una torta de espesor tal que la resistencia ofrecida a la filtración sea igual
a la del medio filtrante, o sea cuando el volumen de filtrado sea Ve. El tiempo
necesario para recoger ese volumen Ve será e y sea V el volumen de filtrado
recogido en el instante de tiempo comprendido entre 0 y . Si se prescinde del
volumen de líquido retenido por la torta, entonces:

V Ve
 d  
0
e
k1 (V  Ve )dV
k1
(V  Ve ) 2
2
 e 
Como para  = 0, V = 0 resulta que:

k1Ve
2
2
Y entonces:

k1 2
V  k1VVe
2
Sustituyendo en la ecuación:
5.41
11.62  0.472  0.0542
1  2  0.4722 
A
A
2
A  1.336 m
4.- Resultado. Se requieren 1.336 m2.
Filtración a velocidad constante.
La filtración a velocidad o caudal constante de alimentación al filtro se puede
realizar haciendo que la alimentación se realice por medio de una bomba de
desplazamiento positivo hasta que la presión en la alimentación alcance un valor
límite. La filtración a velocidad constante se inicia a presión baja, la cual va
elevándose a medida que transcurre el proceso (por aumentar el espesor de la
torta y con ello la resistencia a la filtración) para mantener constante la velocidad
de filtración. Este régimen de filtración presenta la desventaja de que al principio,
cuando la resistencia es pequeña y se podrían obtener grandes volúmenes de
filtrado operando a presiones altas, se trabaja a presiones bajas y con ello se
disminuye el rendimiento global del filtro. Para el estudio de la filtración en estas
condiciones podemos partir de la ecuación:
657
Ptotal gc
Ptotal gc
1 dV


A d   w
V  Ve    ( M  M e )
A
A
Que se puede poner como:
  w dV
P  (V  Ve )
gcA2 d
Si la velocidad de filtración permanece constante (
dV
 cte. )
d
Y la torta es incompresible, la ecuación anterior puede escribirse como:
P  k 3V  k 4
Siendo:
k3 
  w  dV 


gcA 2  d  cte
 Rm dV
  w  dV 
 k 3Ve
 Ve 
2 
gcA d
gcA  d  cte
El cálculo de las constantes de filtración de la ecuación anterior puede efectuarse
a partir de los datos experimentales realizados a velocidad de filtración constante,
si se conoce como varía la presión de filtración con el volumen de filtrado.
Una vez determinadas las constantes k3 y k4, puede calcularse el volumen de
filtración en función de la presión aplicando directamente la ecuación:
P
V
 Ve
k3
La relación entre el volumen de filtrado y el tiempo de filtración es:
k4 
 dV 
V 
 
 d  cte
 dV 
V  Ve  
 (   e )
 d  cte
De la ecuación
Ptotal gc
Ptotal gc
1 dV


A d   w
V  Ve    ( M  M e )
A
A
Se obtendrá que:
  w  dV 
P 

    e 
gcA 2  d 
Si la torta es incompresible y la velocidad de filtración es constante.
2
658
P  k 5  k 6
Siendo:
k5 
  w  dV 


gcA 2  d 
2
  w  dV 

  e  k 5 e
gcA 2  d 
2
k6 
Al representar P frente a  se obtiene una pendiente k5 y ordenada en el origen
k6.
Ejemplo 4.
En un filtro de hojas se estudian las características de una suspensión efectuando
una corrida en el laboratorio a velocidad de filtración constante de 1 litro / min. Los
resultados de la corrida son:
Tiempo, 2
4
6
8
10 12
14
min
0.75 1.1. 1.38 1.9 2.2 2.65 3.0
P, atm
Una vez conocidas las características de la suspensión y del filtro, el ciclo de
filtración se realiza de la forma siguiente:
a) Se comienza filtrando a la velocidad constante de 2.5 litros por minutos,
hasta que la diferencia de presiones sea de 2.5 atm.
b) Se continúa después la filtración a la presión constante de 2.5 atm, hasta
que el volumen filtrado sea de 80 litros.
Calcule el tiempo necesario para forma una torta cuya resistencia sea igual a la
ofrecida por el medio filtrante. El volumen de filtrado a velocidad constante y el
tiempo de filtración a presión constante.
1.- Traducción.
P= 2.5 atm
V=2.5 li /min
V=80 litros
659
2.-Planteamiento.
2.1.- Ecuación de filtración a velocidad constante.
P = k5  + k6
2.2.- Tiempo de filtración en el período de presión constante.
d
 k1V  k 2  k1V  k1Ve
dV
Integrando entre las condiciones iniciales y finales:
k
 f   i  1 (V f2  Vi 2 )  k1 (Ve )(V f  Vi )
2
En donde:
 w
k1 
P gcA2
3.- Cálculos.
3.1.- Volumen equivalente.
De acuerdo con la ecuación aplicable a la filtración de tortas incompresibles a
velocidad constante. Si se representa P frente a  obtendremos:
Al representar ΔP frente a θ se obtiene que:
660
e 
k 6 0.375

 2 min utos
k 5 0.187
El volumen equivalente será:
Ve = 1 x 2 = 2 litros.
Para el período de filtración a la velocidad constante de 2.5 litros / minutos el valor
de:
w
Debe ser el mismo que el calculado en las experiencias de laboratorio:
gcA2
atm
min  0.187 atm  min
=
2
2
gcA
litro2
2  litros 
1 

 min 
w
0.1871
Lo que:
atm  min
atm
 litro 
k 5  0.187
 (2.5) 2 
  1.1694
2
min
litro
 min 
2
k6 = k5 θe=1.1.694 θe
3.2.- Para la filtración a velocidad constante de 2.5 litros por minutos.
El volumen equivalente ha de ser el mismo que en el caso de los experimentos,
pero al hacerse 2.5 veces mayor la velocidad de filtración, el valor de θe se hace
2.5 veces más pequeño. Por ello:
2
e 
 0.8 min
2 .5
k6 = 1.1694 (0.8) = 0.935 atm.
3.3.- Volumen de filtración a presión constante.
ΔP = k5 θ + k6
ΔP = 1.1694 θ + 0.935 atm.
El tiempo de filtración para alcanzar la presión de 2.5 atm será:

2.5  0.9355
 1.3 min
1.1694
El volumen de filtrado a velocidad constante es:
V = 2.5 litros / min (1.3 min) = 3.25 litros
661
k1 
 w
P gcA2
=0.1871/2.5=0.075
θf = 0.075 ( 802-3.252)+0.075(2)(80-3.25)+1.3=251.9 min.
4.-Resultado. El tiempo es de 251.9 min.
Lavado de la torta
El lavado de las tortas suele hacerse en el mismo filtro, haciendo pasar el líquido
de lavado a través de la torta obtenida durante la filtración. El lavado se realiza a
presión constante pero el líquido puede pasar a través de la torta siguiendo el
mismo camino que ha seguido el líquido filtrado o siguiendo un camino diferente.
En los filtros de hojas, de gravedad o de vacío el líquido de lavado sigue el mismo
camino, mientras que en los filtros prensa de placas y marcos no sigue la misma
trayectoria, ya que atraviesa toda la torta, mientras que el filtrado solo ha
atravesado la mitad de la misma. En este tipo de filtros el, el área a través de la
cual fluye el líquido de lavado es la mitad de la utilizada en filtración, y la velocidad
de lavado es la cuarta parte de la velocidad final de filtración.
Por ello el tiempo de lavado para los filtros en los que el líquido de lavado sigue
el mismo camino que el filtrado:
 lavaio  Vlavado k1 (V  Ve )
Para los filtros de placas y marcos:
 lavado  Vlavado 4k1 (V  Ve )
Capacidad de filtración
La capacidad de filtración está dada por:
C
V
 ciclo
En donde V es el volumen que se debe filtrar y θ ciclo es el tiempo total del ciclo de
filtrado que es igual a la suma del tiempo de filtrado más el tiempo de lavado, más
el requerido para carga, descarga y limpieza del filtro.
Ejemplo 5.
La velocidad inicial de filtración en un filtro de hojas que trabaja a presión
constante es de 50 litros / minuto y para separar 500 litros de filtrado el tiempo de
filtración es de una hora. Calcule la capacidad de filtración si la torta se lava a la
misma presión con 75 litros de agua y si para la carga, descarga y limpieza del
filtro se emplean 15 minutos.
662
1.- Traducción.
ΔV/Δθ =50
Vlav = 75 litros
C=¿
V= 500 litros
2.- Planteamiento.
2.1.- Velocidad inicial de filtración.
d
 k1V  k 2
dV
2.2.- Tiempo de filtración

k1 2
V  k1VVe
2
2.3.- Tiempo de lavado.
 lav  Vlav k1 (V  Ve )  Vlav (k1V final  k 2 )
2.4.- Capacidad
C= Volumen/ tiempo total del ciclo
3.- Cálculos.
3.1.- Velocidad inicial de filtración.
Para V=0
1
 k 2  k1Ve
50
3.2.-Tiempo de filtración.
60 
k1
1
(500) 2  500
2
50
k1=0.0004
3.3.- Velocidad final de filtración.
663
Cuando el volumen filtrado es de 500 litros
d
1
 0.0004(500) 
 0.22
dV
50
dV
litros
 4.54
d
min
3.4.-Tiempo de lavado.
 lav  75(500  0.0004  0.02)  16.5 min
3.5.- Capacidad.
C
500
litros
 5.18
60  16.5  20
min uto
Rangos típicos de operación de los filtros prensa.







Los filtros prensa son capaces de manejas sólidos finos a diferentes
capacidades. Los límites que pueden considerarse son:
Para más del 30% de sólidos los flujos llegan hasta 4 litros por minuto.
Con concentraciones de sólidos hasta el 10% los flujos pueden llegar a 40
litros por minuto.
Si las concentraciones de sólidos sólo llegan al 1% los flujos pueden ser hasta
de 400 litros por minuto.
Si la concentración de sólidos sólo llega hasta 100 ppm de sólidos entonces los
flujos pueden llegar hasta 2000 litros por minuto.
La siguiente gráfica puede ayudar a entender esto, así como los rangos de
operación de otros tipos de métodos de filtrado.
Las presiones de operación de 7 atm (100 psi) son comunes, pero se pueden
alcanzar presiones de hasta 70 atm en algunos casos.
664
Grafica 1.- Rangos típicos de filtración
Problemas propuestos.
Problema 1.- En un filtro prensa de placas y marcos se trabaja a la presión
constante de 1.8 kg / cm2 para procesar 10 ton / h de una suspensión acuosa que
contiene 3 % en peso de sólidos y que está a 20 ° C. La torta es incompresible y la
resistencia específica de la torta es de 2.5 x 1010 m /kg. La relación de torta
húmeda a torta seca es de 1.5 y la densidad de la torta húmeda es de 1200 kg /
m3.
Si se considera despreciable la resistencia ofrecida por el medio frente a la
ofrecida por la torta, calcule:
a) El número necesario de marcos si sus dimensiones son de 50 x 50 cm.
b) El espesor de los marcos si están completamente llenos al cabo de 2 horas
de filtración.
Problema 2.- Una suspensión acuosa se filtra a presión constante en un filtro
prensa a la temperatura de 20 ° C. Los marcos tardan en llenarse 2.5 horas y
separan 1500 litros de filtrado por metro cuadrado de área de filtración. La torta
formada es incompresible. Si los marcos se sustituyen por otros de la mitad del
espesor, pero si se ponen el doble de marcos, ¿Cuál será la nueva capacidad de
filtración, expresada en litros de filtrado / h m 2 suponiendo las mismas condiciones
de filtración?
Problema 3.- Los ensayos de laboratorio para una filtración de CaCO 3 en agua a
presión constante de 2.5 kg / cm2 han dado los siguientes resultados:
Volumen filtrado V Tiempo
en
segundos
0.2
2
0.4
4.6
665
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
2.8
8.2
12.4
16.9
22.5
29.3
33.7
45.0
53
63.4
74
85
97.5
Los ensayos se hicieron en un filtro prensa con un solo marco de área igual a 0.03
metros cuadrados y 30 mm de espesor. La suspensión contenía 8% en peso de
Ca CO3 y la relación de torta húmeda a torta seca fue de 2.
Si se tratara la misma suspensión en un filtro prensa de 20 marcos con
dimensiones de 60x60x3 cm efectuándose la filtración a 30 ° C y a una diferencia
de presiones de 2.5 kg / cm2 calcule:
La cantidad de suspensión que puede manejarse hasta llenar los marcos y el
tiempo de filtración.
Problema 4.- Una suspensión con 7 % en peso de carbonato de calcio en agua a
20 ° C se filtra manteniendo la presión constante e igual a 2.5 atm. El filtro tiene un
área de 200 cm2, la densidad de la torta seca es de 1600 kg / m 3 y la del
carbonato de calcio sólido es de 2930 kg / m 3. A partir de los resultados
experimentales que se presentan a continuación calcule: La fracción de huecos de
la torta, el volumen Ve, la resistencia específica de la torta, la superficie específica
de la torta.

V en litros Θ
ΔV Δθ
segundos
V
0
0
0.2
2.3
0.2 2.3 11.5
0.4
5.5
0.2 3.2 16.0
0.6
9.8
0.2 4.3 21.5
0.8
14.6
0.2 4.8 24.0
1.0
20.0
0.2 5.4 27.0
1.2
26.7
0.2 6.7 33.5
1.4
34.7
0.2 8.0 40.0
1.6
43.2
0.2 8.5 42.5
1.8
53.3
0.2 10.1 50.5
2.0
63.4
0.2 10.1 50.5
2.2
75.0
0.2 11.6 58.0
666
2.4
2.6
87.4
100.5
0.2
0.2
12.4 62.0
13.1 65.5
Resultados.- La superficie específica de la torta es de 4.14 x 10 6 m2/m3. La
resistencia específica de la torta es de 3.62 x 1010 m /kg. La fracción de huecos es
de 0.454. El volumen de filtrado equivalente a la resistencia ofrecida por el medio
filtrante es de 0.338 litros.
Problema 5.- Al final del ciclo de filtrado del ejemplo 1 se recolecta un volumen
total de filtrado de 3370 litros en un tiempo total de 271.8 segundos. La torta se
lava en el filtro prensa de marcos y placas usando un volumen de agua igual al 10
% del volumen filtrado. Calcule el tiempo de lavado y el tiempo del ciclo total de
filtración suponiendo que el tiempo de carga, descarga y limpieza toma 20
minutos.
R.- El tiempo total del ciclo es de 28 minutos.
Problema 6.- Al filtrarse una solución con una concentración de 23.47 kg de
sólidos / m3 de Ca CO3 en agua a 25 ° C y a la presión de 0.45 kg / cm 2 absolutos
en un filtro con 0.0439 m2 de área se obtuvieron los siguientes resultados en un
filtro prensa de marcos y placas:
Volumen en litros Tiempo
en
segundos
500
17.3
1000
41.3
1500
72
2000
108.3
2500
152
3000
201.7
Calcule las constantes Rm y α
R.-α = 1.095 x 1011 m /kg , Rm = 6.46 x 1010 m-1.
Problema 7.- Al efectuar la filtración con un filtro prensa se obtuvieron los datos
siguientes:
Tiempo en
ΔP en kg /
Filtrado en kg
minutos
cm2
0
1
0.422
4.54
3
0.562
13.63
5
0.703
22.7
6
0.773
27.25
10
1.05
45.4
20
1.76
90.8
30
2.46
136.3
667
Si el aparato debiera funcionar con una diferencia de presiones de 0.7 kg / cm 2 y si
el tiempo necesario para la limpieza y lavado entre ciclo y ciclo es de 20 minutos
¿Cuál sería la duración del ciclo? (Suma de los tiempos de filtración, lavado y de
limpieza).
Problema 8.- Los resultados experimentales durante la filtración de Ca CO 3 en
agua a 19 ° C fueron los siguientes:
Volumen filtrado en
Tiempo en
litros
segundos
0.2
1.8
0.4
4.2
0.6
7.5
0.8
11.2
1.0
15.4
1.2
20.5
1.4
26.7
1.6
33.4
1.8
41
2
48.8
2.2
57.7
2.4
67.8
2.6
77.3
2.8
88.7
Para los experimentos se empleó un filtro prensa con un área de 0.0264m 2 y un
grueso de 3 cm, la suspensión tenía 7.23 5 en peso de carbonato. La densidad de
la torta seca fue de 1600 kg /m3 mientras que la densidad del carbonato es de
2930 kg / m3 .La presión de operación fue de 2.72 atm
Calcule el volumen equivalente Ve la resistencia específica de la torta  , la
superficie específica de la torta y la porosidad de la torta.
R.- La porosidad es de 0.453 ,  =1.61x1011 m/kg.
Problema 9.- Se han obtenido los siguientes resultados al efectuar la filtración con
diferencia de presión de 2.5 kg / cm2 en un filtro de 1 m2
Volumen de filtrado en
m3
12
20
25
32
38
Calcule:
668
Tiempo en
minutos
10
20
30
45
60
El volumen equivalente, El tiempo necesario para lavar la torta formada después
de 1hora de filtración, si la cantidad de agua de lavado es de 3 m 3 a la misma
diferencia de presión de 2.5 kg / cm2. Si el tiempo que se destina a descargar la
torta y en volver a dejar el filtro dispuesto para continuar el trabajo es de 1 hora
¿Cuál es el tiempo en horas del ciclo completo de filtración?
Bibliografía
Perry, John -Chemical engineer’s handbook- Mc Graw Hill- 1963
Ocon y Tojo – Problemas de ingeniería química- Aguilar – 1905.
669
Apéndice I
Capa límite
Capa límite.
Aproximadamente hasta antes de 1860, el interés de la ingeniería por la mecánica
de fluidos se limitaba casi exclusivamente al flujo del agua. La complejidad de los
flujos viscosos, y en particular de los flujos turbulentos, restringió en gran medida
los avances en la dinámica de fluidos hasta que el ingeniero alemán Ludwig
Prandtl observó en 1904 que muchos flujos pueden separarse en dos regiones
principales. La región próxima a la superficie está formada por una delgada capa
límite donde se concentran los efectos viscosos y en la que puede simplificarse
mucho el modelo matemático. Fuera de esta capa límite, se pueden despreciar los
efectos de la viscosidad, y pueden emplearse las ecuaciones matemáticas más
sencillas para flujos no viscosos.
La teoría de la capa límite ha hecho posible gran parte del desarrollo de las alas
de los aviones modernos y del diseño de turbinas de gas y compresores. El
modelo de la capa límite no sólo permitió una formulación mucho más simplificada
de las ecuaciones de Navier-Stokes en la región próxima a la superficie del
cuerpo, sino que llevó a nuevos avances en la teoría del flujo de fluidos no
viscosos, que pueden aplicarse fuera de la capa límite. Gran parte del desarrollo
670
moderno de la mecánica de fluidos, posibilitado por el concepto de capa límite, se
ha debido a investigadores como el ingeniero aeronáutico estadounidense de
origen húngaro Theodore von Kármán, el matemático alemán Richard von Mises y
el físico y meteorólogo británico Geoffrey Ingram Taylor.
En los antecedentes históricos esta datado que a partir de 1860,
aproximadamente, se comenzó el trabajo con otros fluidos, debido al desarrollo de
la industria y el surgimiento de nuevas necesidades en los procesos; lo cual
conlleva al conocimiento del comportamiento de dichos fluidos que comparados
con el agua o el aire son más viscosos. Sin embargo ofrecen gran resistencia a un
objeto que se mueva en su seno.
Ejemplo de capa límite laminar. Un flujo laminar horizontal es frenado al pasar
sobre una superficie sólida (línea gruesa). El perfil de velocidad (u) del fluido
dentro de la capa límite (área sombreada) depende de la distancia a la superficie
(y). Debido al rozamiento, la velocidad del fluido en contacto con la placa es nula.
Fuera de la capa límite, el fluido se desplaza prácticamente la misma velocidad
que en las condiciones iniciales (u0).
En mecánica de fluidos, la capa límite o capa fronteriza de un fluido es la zona
donde el movimiento de éste es perturbado por la presencia de un sólido con el
que está en contacto. La capa límite se entiende como aquella en la que la
velocidad del fluido respecto al sólido en movimiento varía desde cero hasta el
99% de la velocidad de la corriente no perturbada.
La capa límite puede ser laminar o turbulenta; aunque también pueden coexistir en
ella zonas de flujo laminar y de flujo turbulento. En ocasiones es de utilidad que la
capa límite sea turbulenta. En aeronáutica aplicada a la aviación comercial, se
suele optar por perfiles alares que generan una capa límite turbulenta, ya que ésta
permanece adherida al perfil a mayores ángulos de ataque que la capa límite
laminar, evitando así que el perfil entre en pérdida, es decir, deje de generar
sustentación aerodinámica de manera brusca por el desprendimiento de la capa
límite.
El espesor de la capa límite en la zona del borde de ataque o de llegada es
pequeño, pero aumenta a lo largo de la superficie. Todas estas características
671
varían en función de la forma del objeto (menor espesor de capa límite cuanta
menor resistencia aerodinámica presente la superficie: ej. forma fusiforme de un
perfil alar).
La capa límite se estudia para analizar la variación de velocidades en la zona de
contacto entre un fluido y un obstáculo que se encuentra en su seno o por el que
se desplaza. La presencia de esta capa es debida principalmente a la existencia
de la viscosidad, propiedad inherente de cualquier fluido. Ésta es la causante de
que el obstáculo produzca una variación en el movimiento de las líneas de
corriente más próximas a él. La variación de velocidades, como indica el principio
de Bernoulli, conlleva una variación de presiones en el fluido, que pueden dar
lugar a efectos como las fuerzas de sustentación y de resistencia aerodinámica.
Teoría de la capa límite.
En 1904 Ludwig Prandlt indicó que los efectos de la fricción que ejerce un fluido
a altos Reynolds están limitados a una capa delgada cerca del cuerpo sobre el
que se desliza un fluido. Además indicó que no hay cambios significativos de
presión en la capa de separación lo que significa que la presión en esta capa es la
misma que en el fluido que está arriba de la capa.
La capa de separación sobre una placa delgada se muestra en la figura siguiente.
El grueso de esa capa  es tomada arbitrariamente como la distancia desde la
superficie de la placa en la cual la velocidad alcanza el 99% de la velocidad de
fluido libre. En el caso de la transferencia de calor esa capa es igual a la distancia
en donde T =0.99 T0 , siendo la temperatura del fluido T0.
En la siguiente figura se ilustra como aumenta el grueso de la capa al aumentar la
distancia x desde el eje de entrada. A relativamente valores pequeños de x el
flujo dentro de la capa de separación es laminar, y esto se designa como la región
de la capa de separación laminar. A valores mayores de x aparece una región de
transición. Finalmente a un cierto valor de x la capa será turbulenta. En la región
en donde la capa de separación es turbulenta , también existe , como se muestra,
una capa muy delgada de fluido que se mueve a régimen laminar y que se llama
sub capa laminar.
Los criterios para este tipo de capas es la magnitud del número de Reynolds,
672
(Rex )conocido como Reynolds local y que está basado en la distancia desde el
eje de entrada. El número de Reynolds local es:
xv
 Re x

Para el flujo sobre placas planas los datos experimentales indican que:
(a) Re x  2  105 la capa es laminar;
(b) 2  105  Re x  3  106 la capa de separación puede ser o laminar o turbulenta.
( c ) 3  106  Re x la capa de separación es turbulenta.
Para determinar el espesor de la capa y el coeficiente de fricción para flujo
incompresible sobre una superficie plana se deben satisfacer simultáneamente las
ecuaciones de continuidad, de cantidad de movimiento y de energía.
La deducción de la ecuación de transferencia de energía dentro de la capa límite
se efectuó en el capítulo anterior.
De lo anterior se obtiene que las ecuaciones que rigen dentro de la capa límite
son:
u x u y

 0 ecuación de continuidad (1)
x
y
ux
ux
 2ux
ux
 uy
  2 la ecuación de cantidad de movimiento (2)
x
y
y
9
Blausius utilizó las ecuaciones (1) y ( 2 ) para resolver el caso del flujo en la capa
límite laminar. Las condiciones límites son:
9
Richard Heinrich Blasius (1883-1970) ingeniero y catedrático alemán . Su principal área de interés fue el
estudio de las resistencias, en relación al flujo de fluidos.
673
ux u y

0 a
u u
ux
1 a
u
y0
y
ux
1 x  0
u
la semejanza entre las ecuaciones (1 ) y (2) es notoria
Blausius empleó la solución si :
   en donde

  viscosidad cinemática y

Al graficarse u x como función función de si se divide y por el grueso de la capa
hidrodinámica  y u x se divide entre u se obtiene la siguiente curva:
matemáticamente esto es:
ux
 y
 f 
u
 
Con esto la ecuación de momento se reduce a una ecuación diferencial ordinaria
de tercer orden mediante una transformación de variables que combinan a las
variables para formar otra.
1
  u  2
 .
y
 x 
674
La solución del problema para flujo laminar sobre una placa plana con u x , u y como
funciones de x, y las obtuvo Blausius por primera vez reduciendo las ecuaciones
(1) y (2) a una sola ecuación diferencial no lineal la cual resolvió como una serie .
Los detalles de la deducción están fuera de la aplicación de este libro.
Antes de presentar la solución se debe notar que la nueva variable
1
  u  2
 puede manipularse para introducir el Reynolds local definido por:
  y
 x 
u x
multiplicando y dividiendo por x la variable nos da:
Re x  x

1
1
1
 u   2 x y   ux x  2 y
  Re x 2
  y x 
 
x
 x x x  
La
ux
u
figura siguiente muestra la solución presentando la relación funcional entre
1
 y
,   Re x 2 en forma tabular y gráfica:
x
675
El perfil de velocidades mostrado en la figura puede utilizarse para determinar
cómo crece la capa de separación hidrodinámica con la distancia de entrada.
1
u
 y
Se observa que x es igual a 0.99 cuando   Re x 2 es igual a 5.
u
 x
Y puesto que y   cuando u x  0.99u se concluye que:

5x
x
5
u
Re x
El retardo que sufre el fluido al pasar sobre la placa se debe solamente a la
fricción superficial y esta se calcula en función del esfuerzo cortante sobre la
superficie cuando y  0 para cualquier valor de x
 u 
La información de la figura se puede usar para determinar el
 0    x 
 y  y  0
esfuerzo cortante en la pared. De la figura se observa que la pendiente de la
u
función X en la superficie es:
u
u 
 x 
 u  /  0.332
1 y 0
 y
  Re x 2
x
entonces:
1
u x
u 
/ y  0  0.332   Re x 2 (5)
y
 x 
de allí que
676
 0  0.332 u
 u
x
Sin embargo a mayor distancia del objeto la turbulencia aumenta debido a que
dentro de la capa límite se incrementa la velocidad, lo cual se ve reflejado en el
espesor (Distancia del seno o superficie hasta el punto donde la velocidad del
fluido difiere de una velocidad constante o media) de ésta que también crece, que
es explicado por la desaceleración que sufre el fluido a causa del esfuerzo
cortante o sea la viscosidad.
Es este fenómeno el que despertó el interés por el estudio en la manifestación de
la capa límite. Para mayor claridad se pueden analizar los siguientes objetos.
ESPESOR DE LA CAPA LÍMITE.
Ya con estos ejemplos y comentarios es posible entender el por qué este
fenómeno es más complejo que el comportamiento de cualquier otro tipo de flujo;
sin embargo hasta este punto no hemos tocado para nada la parte cuantitativa o
práctica del fenómeno.
Definiendo como capa límite la elevación por encima de la frontera que cubre una
región del flujo donde existe un gradiente de velocidad alto y, en consecuencia,
efectos viscosos que se tienen en cuenta; esta es difícilmente delimitable dentro
de los perfiles que presentan los flujos.
Sin embargo existen varias "definiciones" de la capa límite que son bastante útiles,
como:
677
-Considerar que el espesor es la distancia desde la pared hasta donde la
velocidad del fluido es igual al 99% de la velocidad de la corriente libre.
-El trabajo realizado por Blassius para calcular el espesor de la capa límite laminar
se basó en las ecuaciones de Navier–Stokes y las ecuaciones de continuidad
donde después de una solución analítica encontró:
Haciendo una recopilación de conceptos sobre la capa límite tenemos:

Tiene un espesor muy pequeño del orden de micras.

Se sienten intensamente los efectos de la viscosidad y rozamiento aunque
sea pequeña, ya que el gradiente de velocidades es grande. La resistencia
a la deformación debida a la viscosidad tiene lugar, en todo el seno del
fluido real; pero la viscosidad es pequeña, solo tiene importancia en una
película fina, es decir, se tiene un rozamiento de superficie.

Fuera de esta película, un líquido poco viscoso, como el aire o el agua, se
comportan como un fluido ideal.

Fuera de la capa límite se pueden aplicar todos los métodos matemáticos y
experimentales que permitan trazar las líneas de corriente alrededor del
contorno y obtener la distribución de presiones en las cercanías de las
paredes sólidas del cuerpo.

Utilizando la distribución de velocidades y de presiones por la teoría del
fluido ideal en las vecindades de la pared, se puede determinar la evolución
del fluido en la capa límite y los esfuerzos ejercidos sobre la pared; ya que
la presión se transmite a través de ésta sin cambiar de dirección.
Por último se puede concluir que en la capa límite tienen lugar exclusivamente los
fenómenos de viscosidad en los fluidos poco viscosos, tales como el aire y el
agua.
678
Ejemplo 1.
Se tiene una placa delgada y plana paralela al flujo de aire. La velocidad del aire
es de 2m/s y está a300 K y 1 atm. Calcule el grueso de la capa hidrodinámica de
flujo.
1.- Traducción.
2.- Discusión.
Si se supone el flujo sobre la superficie se puede obtener el grueso de la capa si
se obtiene el Reynolds.
2.1.- Grueso de la capa
3.-Cálculos.
3.1.- Reynolds.
3.2.- Grueso de la capa.
4.-Resultado.
El grueso de la capa de separación es de 5.4 mm. Esto es pequeño comparado
con la longitud de la capa (menos del 4%).
Los fluidos al pasar sobre los sólidos ejercen una fuerza sobre ellos llamada
fuerza de arrastre. Por ejemplo la fuerza de arrastre sobre una placa sería:
En donde L es la longitud y W el ancho de la placa.
El Reynolds que se aplica es:
679
El coeficiente de arrastre CD está definido como:
En donde el coeficiente de arrastre es:
Ejemplo 2.
¿Cuál es la fuerza que ejerce el aire sobre una placa de 70 mm de ancho por 150
mm de profundidad? El aire fluye a 2 m /s a 300 K y 1 atm.
1.- Traducción.
2.- Discusión.
La fuerza de arrastre se ejerce sobre las dos caras.
2.3.- Fuerza.
3.- Cálculos.
3.1.- Coeficiente
=1.328
=1.328(19000)-0.5=0.0096
3.2.- Fuerza por una cara.
3.3.- Fuerza por las dos caras.
F = 4.74 x 10-4 N
Ejercicios de autoevaluación.
1.- ¿Qué velocidad se requiere para tener un grueso de capa de 2mm en la
longitud de la placa de 0.15 m? Hágalo para agua a 15 ° C y 1 atm.
2.-Si fluye agua a la velocidad de 2 m /s sobre una placa de 15 cm de longitud a
15 ° C y 1 atm. ¿Cuál será el espesor de la capa de separación?
680