Introducción a las Prácticas
de Laboratorio de Física I
Mediciones, incertidumbres e instrumentos
Nota preliminar
Este apunte pretende ser un apoyo o guía con las pautas necesarias para que el
alumno pueda realizar los laboratorios y sus correspondientes informes. Su objetivo es
introducir la notación de resultados numéricos obtenidos en experimentos, así
como la descripción detallada y sintética de los procedimientos seguidos en el
laboratorio. Se agregan además las descripciones de algunos instrumentos de
medida utilizados en las experiencias Si se quiere ahondar en conceptos y definiciones
vertidos aquí, se recomienda consultar la bibliografía detallada al final.
En lo que sigue se supone conocido el concepto de “modelo teórico”. De aquí
en más nos referiremos a éste directamente como “modelo”.
1.1 Concepto de práctica de laboratorio
“Abandonen toda esperanza aquellos que cruzan estas puertas.”
- Dante - Divina Comedia
El conocido Lord de Kelvin J.J. Tompson afirmaba que poco se conocía de un
fenómeno si no podía darse un número que lo cuantificara. Esta aseveración, hoy día,
tal vez sea controversial en Física, pero es sin duda motivadora en este ámbito. El
contraste (comparación) entre los resultados dados por los modelos provistos por
la teoría y las mediciones de variables obtenidas en la evolución de fenómenos que
estos se proponen describir, es motivo suficiente para realizar la experimentación en el
laboratorio
El contraste modelo-experimento puede indicar que el modelo predice un
resultado y las medidas otro. Esta discrepancia, ¿significa que medimos en forma
incorrecta? ¿Significa que el modelo falla?
Como ejemplo, si alguien midiera el tiempo de caída de una hoja de papel
desplegada y al elaborar el modelo no considerara la fuerza de roce, al calcular la
sumatoria de fuerzas actuante sobre el papel estaría aplicando una hipótesis
insatisfactoria, que verificaría al realizar las medidas por falta de coincidencia entre
los resultados, no importa cuanto se esmere en combinar los mejores instrumentos y
cuidados en realizar sus medidas.
Alternativamente si se quisiera determinar la densidad de un líquido y olvidara
descontar de la masa medida, la correspondiente al recipiente (con el que se
determinó el volumen de líquido posiblemente) ahora el modelo no dará un resultado
fallido, la falla seria atribuible al procedimiento de medida.
Intuitivamente nadie intentaría medir el largo de una calle con un calibre. En
cada caso tenemos que utilizar el instrumento apropiado. Ya discutiremos qué
características instrumentales permiten determinar su rango de uso.
Si el experimentador arroja repetidamente un proyectil con un dispositivo (por
ejemplo una catapulta a escala) las medidas de distancia posiblemente varíen cada
57
vez. Por su parte el modelo arrojará una predicción ¿Cómo comparar los resultados?
¿Cuántas veces se debe medir?
Se aclara que esos pocos ejemplos con situaciones críticas no agotan las
posibilidades y sólo sirven para contextualizar la actividad.
1.2 Consideraciones previas a elaborar el informe de
laboratorio
El objetivo primordial de todas las prácticas de laboratorio será elaborar un
registro de las variables medidas correspondientes a un fenómeno estudiado
previamente en forma teórica.
La comprensión de la Física implica en parte, saber como se deben medir las
distintas magnitudes y como dijimos, expresar numéricamente esos resultados.
Para satisfacer exitosamente estas necesidades y poder resolver las situaciones
criticas ya comentadas, conviene presentar ordenadamente esa información. Damos
aquí algunas pautas acerca de los ítems que debemos reconocer claramente.
a) Sistema bajo estudio: esto es, qué fracción del universo vamos a estudiar,
aislando u “olvidando” intencionalmente todo lo que sea ajeno a ésta.
b) Modelo teórico del sistema: se supone que el sistema tiene determinado
comportamiento, responde a ciertas leyes físicas y ecuaciones asociadas de
manera tal que es posible predecir su comportamiento (al menos en parte).
c) Variables relevantes del sistema: qué vamos a medir, basándonos en el
modelo elegido y en qué nos interesa caracterizar del sistema bajo estudio.
d) Instrumental: Selección de los instrumentos que se utilizarán para medir la/s
variable/s de interés. Es importante que el instrumento que vayamos a utilizar,
sea el adecuado a la magnitud que esperamos; por eso debemos definir:
Rango: valor máximo y mínimo de la escala en la que esta graduado.
Resolución: mínima apreciación que podamos efectuar dentro de la escala.
Estos datos no siempre vienen indicados en los instrumentos, siendo
necesario a veces que el operador, los asigne con algún criterio. Los instrumentos
tienen una resolución finita, definiendo esta en el sentido que, para un dado
instrumento, siempre existe una variación mínima de la magnitud que puede
detectar. Por ejemplo, con una regla graduada en milímetros, no podemos
detectar variaciones menores que una fracción del milímetro. Un tornillo
micrométrico (con una resolución de una centésima de mm) resuelve más que
una regla graduada en milímetros.
e) Método o procedimiento: se refiere a cómo vamos a medir la magnitud o
variable de interés. Es importante dejar constancia de los pasos seguidos
para realizar las medidas, fundamentándonos en
1) Los resultados deben poder reproducirse por otros considerando las
mismas condiciones, cosa imposible si no se registran.
2) La incertidumbre de medida no solo depende del instrumental sino
también del método o procedimiento empleado
f) Resultado: se refiere a cómo organizar los datos que hallamos midiendo y de
qué manera expresar correctamente ese resultado. Debemos elegir un sistema
de unidades adecuado a la magnitud a medir. Todo resultado de medida irá
acompañado de su correspondiente incertidumbre. Esto vale también para
58
todo resultado obtenido como predicción del modelo. Se deben representar las
gráficas que expresen la relación funcional entre variables, indicando las
unidades y la incertidumbre en los puntos medidos. Los valores indicados en
tablas también deben presentar las incertidumbres y si corresponden a múltiples
determinaciones de una variable deberá indicarse su valor promedio y su
desviación estándar (que serán oportunamente definidas).
g) Conclusiones: Una comparación entre el modelo teórico adoptado en (b) y el
resultado de las mediciones (f); comentarios y aclaraciones: ¿funcionó el
modelo? ¿Se debe mejorar el método de medida? Etc.
Vamos a suponer que ya hemos resuelto los tres primeros puntos según el tema
del laboratorio, y nos centraremos en los últimos: la medición en sí y las características
que toda medición conlleva.
1.3 Magnitudes medidas e incertidumbre en las
mediciones
El concepto de magnitud esta asociado el proceso de medición. Para definir el proceso
es necesario especificar cómo debe realizarse la interacción entre
a) Un sistema objeto de la medida.
b) Un instrumento de medida.
c) Un sistema de comparación con la unidad o patrón; ver anexo 2 .y [i]. Ejemplos de
magnitudes son la longitud, la masa, la potencia, la velocidad, etc.
Cuando intentamos medir una magnitud normalmente estamos haciendo una
suposición, ésta es: existe un valor definido a medir. Sin embargo, no siempre existe
un valor bien definido de la magnitud, o aún cuando exista no tenemos posibilidad de
determinarlo. La existencia de un valor bien definido es entonces una idealización
muy útil de la realidad. De esto se concluye que cada vez que tengamos que escribir el
resultado de una medición, este resultado deberá expresar en qué grado suponemos
que nos acercamos a un valor ideal, es decir, con qué grado de incertidumbre
conocemos ese valor.
La disciplina que trata con las forma de expresar las medidas se denomina
metrología diferenciándose actualmente entre la llamada “clásica” y la “moderna”.
Coloquialmente, es usual el empleo del término error como análogo o equivalente
a equivocación. En metrología clásica, el concepto de error tiene un significado
diferente del uso habitual de este término y se refiere a la imposibilidad de acceder al
valor verdadero en la medición, es decir siempre habrá una diferencia entre el valor
verdadero y el medido. Esta diferencia es también incierta dado que se desconoce el
valor verdadero .Es por eso que en metrología moderna se prefiere el término
incertidumbre a error ya que más que un equívoco expresa una imposibilidad.
2 Expresión de resultado de mediciones
"La experiencia no es lo que nos pasa,
sino lo que hacemos con aquello que nos pasa."
- Aldous Huxley –
La valorización y discusión de las incertidumbres, tiene que ser previa a la
realización de las observaciones. De esta manera se pueden optimizar los resultados
59
de una experiencia, especialmente en lo relativo a la elección de instrumentos de
medida. Es importante considerar que los instrumentos tienen asociadas
incertidumbres, por lo tanto, esta elección condiciona de antemano el número de cifras
significativas con que debe darse un resultado.
En conclusión podemos decir que la incertidumbre estará asociada a varios
factores, y la medida no es un número determinado.
El resultado de una medición es un número real y un intervalo de
incertidumbre. Es incorrecto expresar una medida sin asociarla a su
correspondiente incertidumbre.
Más precisamente, lo que procuramos en toda medición es conocer las cotas de
estas incertidumbres. Gráficamente, buscamos establecer un intervalo x − ∆x ≤ x ≤ x
+ ∆x como el de la figura 1.3.1, donde con cierta probabilidad, podamos decir que se
encuentra el valor más probable de la magnitud x. Este valor x es el más
representativo de nuestra medición y al semiancho ∆x lo denominamos la incertidumbre
absoluta de la medición.
Figura 1.3.1Intervalo asociado al resultado de una medición. Notamos que, en lugar de dar un
único número, definimos un intervalo.
La expresión de una medida, finalmente es
X = X ± ∆X
(1)
VALOR MEDIDO = VALOR MEDIO ± INCERTIDUMBRE
Vamos entonces a aprender a determinar los promedios y a clasificar y acotar
los incertidumbres.
2.1 Cálculo del valor medio o Promedio
Estadísticamente, el valor más probable es el promedio. Definimos entonces:
VALOR MEDIO o PROMEDIO: Supongamos que queremos medir la magnitud
X. La medimos n veces, obteniendo los valores x1, x2,……, xn. El valor medio o
promedio aritmético de la serie de observaciones realizadas se calcula como:
n
X = 1 ∑ x
n i=1
i
(2 )
60
2.2 Cálculo de la incertidumbre según el número de
medidas
Dependiendo del experimento a desarrollar dispondremos de una cantidad de
medidas diferentes según el caso.
I. Caso con n=1 (única medida):
Cuando se realizan medidas en el laboratorio según la magnitud que se quiera
determinar se dispone de un numero variable de medidas A veces solo se dispone de
una única medida y otras de varias.
El primer caso se aplica si
1.
el instrumento del que disponemos no nos permite registrar la
fluctuación de esas medidas por lo que es inútil realizar varias
2.
Imposibilidad de realizar muchas medidas
En los casos de única medida, digamos X1, tomamos como valor verdadero la
única medida que pudimos hacer y la incertidumbre viene dada por la apreciación (A)
del instrumento. La apreciación es la mínima diferencia entre dos graduaciones del
instrumento, salvo que se pueda fraccionar en intervalos menores. Así en el caso de
una cinta métrica la menor división es el mm. pero algunos observadores tal vez
apreciarán 0.5 mm.
En algunas oportunidades la apreciación es una información que da el
fabricante del instrumento de medida y su valor depende de la calidad del mismo:
X = X 1 ± A (3)
Ejemplos.
1. Experiencias no repetibles: medir el tiempo que tarda la Luna en pasar por el
cono de sombra de la Tierra durante una eclipse total. En este caso, quizás sólo
podamos tomar una única medida, si el fenómeno no se repite, o esperar mucho
tiempo si el fenómeno es repetible
2. Indicación repetida de una medida Cuando se obtienen medidas repetidas (el
mismo valor) utilizando un instrumento esto no indica que la medida carezca de
incertidumbre, simplemente no podemos apreciar fluctuaciones y en este caso
deberemos asignar como incertidumbre el menor valor que podamos apreciar .
Así cuando en una serie de registros no se aprecie fluctuación en las medidas,
lo mejor es indicar el resultado de una única medida más menos su
incertidumbre que corresponderá a la resolución instrumental
II. Caso con n menor que 10 medidas.
Para determinar magnitud X como resultado de los sucesivos valores
obtenidos de las observaciones, x1, x2,…., xn, se puede obtener el valor medio X
Utilizar (2) . Algunas de las medidas xi serán mayores que X y otras menores:
X
x1
x5
xn
x4
61
Se puede estimar cuanto se aleja cada medida de valor medio; es decir
calcular las diferencias ( X - x1), ( X – x2 ), … ( X – xn ).
Como primera aproximación a la incertidumbre, podemos tomar:
∆X = X − Xm
( 4)
donde xm es el valor que más se aleja del valor medio. Esta estimación es, desde el
punto de vista estadístico, poco probable y en consecuencia bastante pesimista, ya
que considera el error más grande que se pueda cometer.
III. Caso con n mayor que 10 medidas.
En este caso debemos trabajar con las diferencias entre cada valor y el valor
medio. Dado que dichas diferencias resultan positivas y negativas, es conveniente
eliminar los signos elevándolas al cuadrado: ( X - x1)2, ( X – x2 )2, … ( X – xn )2 , y todas
la diferencias cuadráticas las vamos a promediar definiendo el error medio cuadrático
(repetimos: vale si n>10) σ2 como:
σ
2
1
=
n
n
∑
(X − x i )2
(5 )
i =1
Notemos que σ2 tiene unidades de X al cuadrado. Para que estos cálculos
tengan sentido n debe ser mayor o igual que 10. Entonces:
1
n
σ =
n
∑
(X − x i ) 2
(6 )
i =1
El próximo paso que vamos a proponer sin demostrar, proviene de una larga
demostración de la teoría estadística:
σ
n -1
=
σ
n −1
(7 )
Entonces la magnitud X que estábamos interesados en medir resulta:
X = X ± σ ± error sistemático (8)
Notemos que el error sistemático es positivo o negativo. Y que la mayoría de las
veces no lo consideraremos, o bien lo descontamos desde el principio y luego
trabajamos con los errores casuales, quedando:
X = X ±σ
(9)
62
Como en general la cantidad de muestras es baja conviene indicar los dos
valores el desvío σ de la muestra calculado en (6) y el desvió de la media calculado
como en (7)
Para ejemplificar el uso de σ, podemos graficar los valores correspondientes a
un gran número de medidas (en este caso tomaremos aprox. 440 mediciones). Para
hacer esto deberíamos dividir el intervalo de la figura 2.1 en sub intervalos más
pequeños o “intervalos de clase” y acumular las medidas. Cada acumulación se suele
representar en forma de barra cuya altura es proporcional al número de medidas que
“cayeron” en el intervalo de clase. Es decir estamos “apilando” las medidas. El
resultado que obtendríamos presenta la mayor acumulación (barra de mayor altura)
cerca del valor promedio X=5 con 50 mediciones en el intervalo 5+/-0.1 lo que indica
que es el más probable (el que más veces se obtuvo a lo largo de las mediciones o
dicho de otra manera el que más frecuencia tiene), mientras los menos probables se
encuentran en los extremos del intervalo.
El valor de σ es menos pesimista que tomar los extremos como incertidumbre.
Este valor hallado no es arbitrario sino que representa el 68% de la totalidad de las
medidas
.
50
Numero de medidas
40
30
20
10
0
2
3
4
5
6
7
8
<X>
<X>+∆x
<X>-∆x
Figura 2.1 Histograma correspondiente a un conjunto de medidas. La base del
rectángulo es 2 σ
63
Resumen: Incertidumbres y número de mediciones
X: resultado de la medida
Si n=1
X = X 0 ± ∆X
n: número de medidas
Xo: indicación del instrumento
∆X: resolución del instrumento
n
Si n<
<10
∑x
X = X ± ∆X
X =
i
i =1
n
∆X =
x máx − x mín
n
n
Si n>
>10
∑ (x
X = X ± ∆X
∆X = σ n −1 =
i
− X )2
i =!
n −1
2.3 Cifras significativas
Cuando realizamos una medición con una regla graduada en milímetros, si somos
cuidadosos, podremos asegurar nuestro resultado hasta la cifra de los milímetros o, en
el mejor de los casos, con una fracción del milímetro, pero no más.
Nuestro resultado de la medición, que como vimos anteriormente es un intervalo,
en consecuencia tiene, entonces, una manera de expresarse correctamente.
Escribiremos el mejor valor, seguido de su incertidumbre, de la siguiente manera:
L = (95.2 ± 0.5) mm, o bien L = (95 ± 1) mm.
En el primer caso decimos que nuestra medición tiene tres cifras significativas y
en el segundo caso sólo dos. El número de cifras significativas es igual al número de
dígitos contenidos en el resultado de la medición que están a la izquierda del primer
dígito afectado por el error, incluyendo este dígito.
El primer dígito, o sea el que está más a la izquierda, es el más significativo (9 en
nuestro caso) y el último (más a la derecha) el menos significativo, ya que es en el que
tenemos “menos seguridad”. Nótese que carece de sentido expresar el resultado como
L = (95.321 ±1) mm., ya que si tenemos incertidumbre del orden de 1 mm., mal
podemos asegurar el valor de las décimas, centésimas y milésimas del milímetro. Si el
valor de L proviene de un promedio y el error es del orden del milímetro, se debe
redondear el dígito donde primero cae el error.
Es usual expresar las incertidumbres con una sola cifra significativa, y solo en
casos excepcionales y cuando existe fundamento para ello, se pueden usar más.
También es usual considerar que la incertidumbre en un resultado de medición afecta
a la última cifra si es que no se la indica explícitamente. Por ejemplo, si sólo
disponemos de la información que una longitud es L = 95 mm., podemos suponer que
la incertidumbre es del orden del milímetro.
Una posible fuente de ambigüedad se presenta con el número de cifras
significativas cuando se hace un cambio de unidades. Si en el último ejemplo
deseamos expresar L en micrómetros, el resultado sería L = (95000±1000) µm.
¿Cuántas cifras significativas tenemos en este resultado? Claramente dos, igual que
64
antes, ya que la última cifra significativa sigue siendo 5. Para evitar estas
ambigüedades se emplea la notación científica. Podemos escribir la siguiente igualdad:
9.5 x101 mm. = 9.5 x 104 µm. Notemos que los números en ambos miembros de la
igualdad tienen igual número de cifras significativas, siendo la única diferencia las
unidades usadas.
Ejemplos: Si la medición es de 92.81 con un error de 0.3 debiera redondearse a
92.8 ± 0.3. Si el error es 3, la misma respuesta debiera redondearse a 93 ± 3, y si el
error es 30, la respuesta debiera ser 90 ± 30.
Por tanto:
Regla para escribir los resultados
La última cifra significativa del resultado debe ser del mismo orden de magnitud
(estar en la misma posición decimal) que el error.
92.8 ± 0.3
Las incertidumbres deben ser redondeadas en la mayor parte de los casos a una
sola cifra significativa.
En el caso de operaciones con números aproximados la incertidumbre que acompaña
al resultado nunca será inferior a la de cada uno de los operandos
Determinación de cifras significativas en constantes notables (ej π )
El número de cifras, contado desde la izquierda, hasta la primera cifra afectada por la
incertidumbre, inclusive, se denomina número de cifras significativas “y utilizaremos la
notación NS.
Se quiere calcular el volumen de un cilindro circular recto de radio r y de altura h.
Se miden estos valores y se obtienen las siguientes cantidades:
r=(4,5 ±0,1) cm.
h=(55,7±0,1) cm.
el volumen a calcularse es V= π r2h. Aparece aquí un número irracional, π =3,14159....El
radio r tiene un número de cifras significativas Nsr=2, mientras que la altura tiene Nsh=3,
por lo que es suficiente utilizar π con Νsπ>3, o sea es suficiente tomar π=3,14 de lo
contrario si tomáramos para π el valor 3,1 estaríamos calculando el volumen con un
error adicional indeseado, evitable y en ningún caso de carácter experimental.
Entonces, tomando π =3,14 , el volumen será calculado con NsV=2 . No se disminuye la
in certidumbre de V si no disminuimos la incertidumbre de la medida del radio r .En
este caso utilizando Nsv=Nsv(Nsr, Nsh, Nsπ)=Nsv(2;3;3;)=2
Cifras significativas de un producto.
Uso del símbolo “?”
Si se efectúa el producto entre el numero A: 7.35 Ns =3 y B: 27,1153 Ns=6 el resultado
R tiene que ser un número con 3 cifras significativas así :
2 7, 1 1 5 3 ? A
x
7, 3 5 ?
B
(? ?) ? ? ? ? ?
1 3 5 5 7 6 5 ?
8 1 3 4 5 9 ?
1 8 9 8 0 7 1 ?
1 9 9 ,? ? ? ? ? ? ? R
65
Los números marcados con “?” no se conocen por lo tanto al sumar en la cuarta
columna (?+3+1+8), se acarreará una o 2 decenas a la 3er columna ( para este
resultado se supuso acarreo de una unidad . En consecuencia el número 199,? tiene
2 cifras seguras (19) e incierta la tercera (9) , No es correcto redondear al número 200
, entonces debemos anotar (27,1153)*(7,35) =199±1.
Desde el punto de vista físico los valores anteriores deben escribirse así
A=27,1153±0.0001 y =7,35±0.01
Se observa que la incertidumbre no excede en una unidad el último orden
Con esto (A) (B) = 199±1.
2.4 Medidas indirectas y propagación de errores
Hasta ahora hemos hablado de la incertidumbre en las mediciones directas de
magnitudes, ej. el peso de un cuerpo, la temperatura del mismo, etc. ¿Qué sucedería
si la magnitud que nos interesa conocer es derivada de otras que se miden
directamente?
Por ejemplo, estamos interesados en conocer la velocidad de un automóvil, y
para ello solo podemos medir longitudes y tiempo. ¿Cómo se transmiten los errores de
la longitud y el tiempo a la velocidad? Lo primero que debemos establecer es la
relación entre nuestras magnitudes, obteniendo una función:
y = f ( x1 , x 2 ,..., x n )
Veremos la justificación para una variable.
El análisis matemático nos provee de una forma de calcular una aproximación de la
incertidumbre de una variable cuando esta es función de otra u otras variables.
Supongamos y= f(t) una función continua en un intervalo dado , donde f puede ser la
relación entre la posición y el tiempo.
Consideremos un punto P arbitrario sobre la función
y tracemos una recta tangente que pase por este
punto. Si a partir de P de coordenadas t;y incrementamos t en ∆t la función evaluada en ese punto
tomará un valor y1. Llamemos Q al punto sobre la
función de coordenadas t+∆t; y1. La recta tangente
en P tomará en t+∆t el valor y+∆y Para evaluar esta
tangente podemos formar el cociente incremental
20
y=6t-9
18
y1=f(t1+∆t1)
Q
f(t)
16
14
y=t
ε
y+∆y
2
∆y
12
10
y=f(t1)
P
∆y
= tg α que será igual a la derivada de
∆t
α
8
3.0
3.5
∆t
4.0
4.5
5.0
t
la función a medida que ∆t tienda a cero. Recordemos que
∆y
f (t + ∆t ) − f (t )
f ´(t ) = lim
= lim
∆t
∆t →0 ∆t
∆t →0
Dado que y1 difiere de y+∆y en un valor ε y a medida que ∆t tienda a cero, ε disminuye,
es posible calcular y1 en forma aproximada como y+∆y.( es decir ε=y1- y+∆t)
66
El incremento ∆y lo calcularemos así:. ∆y = f ' (t )∆t .Volviendo a nuestro ejemplo
supongamos que queremos saber que error se comete al determinar la variable y
(posición) dado que la determinación del tiempo se hace con una incertidumbre ∆t
La relación de y con t es
1
y = at 2
2
En consecuencia la variación ∆y esta dada por
∆y = f ' (t )∆t = at∆t
1
2
La función en Q valdrá y1 = a (t + ∆t ) y la aproximación hecha con la derivada primera
2
1 2
y + ∆y = at + at∆t . La diferencia ε estará dada por y1-(y+∆y)
2
1
1
1
ε = at 2 + at∆t + a(∆t )2 − at 2 − at∆t
2
2
2
Es decir
1
ε = a(∆t )2
2
Este valor es la diferencia entre el incremento exacto de la función y el cálculo
aproximado. Como ∆t es menor que 1 el valor de ε es siempre menor que el de ∆y.
Para varias variables calculamos la incertidumbre de la siguiente manera:
∂f
∂f
∂f
∆y =
.∆x1 +
.∆x 2 + ... +
.∆x n
∂x1
∂x 2
∂x n
Esta fórmula dice que el error de la variable “y” será igual a la suma de las
incertidumbres de cada variable, ponderadas o, dicho de otra manera, sopesadas por
las derivadas de la función. Estas incertidumbres ∆X1, ∆X2… ∆Xn pueden corresponder
a las resoluciones instrumentales para el caso de una única medida o a valores de
desvíos estándar si se trata de múltiples determinaciones
En nuestro ejemplo de la velocidad, sería, simplemente:
x
v = f ( x, t ) =
t
∂v
∂v
∆v = .∆x +
.∆t ;
∂x
∂t
donde ∆x y ∆t son, respectivamente, las incertidumbres en la medición de las
distancias y de los tiempos. Quedando así:
1
x
∆v = .∆x + 2 .∆t
t
t
Ejemplo: Incertidumbre de una diferencia
Cuando se restan dos magnitudes de la misma naturaleza con incertidumbres dadas
para cada una de ellas la incertidumbre de X = A − B es
∆X = ± (∆A + ∆B )
La incertidumbre relativa es
67
∆B 
 ∆A
A
+B


∆X
 ∆A + ∆B 
A
B


= ±
=±
Χ
A− B


 A−B 




∆X
∆A ∆B
 A+ B
= ±
=
= ec resultando
ec = ± F ⋅ ec ; donde F nos
Si se cumple que
Χ
A
B
 A− B
da una idea de la amplificación de la incertidumbre común ec, si F>1. En conclusión, la
incertidumbre relativa de una diferencia aumenta si A es similar a B.
3 Método a seguir en las prácticas de laboratorio - El
informe
“Lo que no me mata me fortalece. .....”
Friedrich Wilhelm Nietzsche. Crepúsculo de los ídolos
Entonces, ¿cómo realizamos la práctica en el laboratorio? Completaremos el
siguiente procedimiento:
1) Definimos nuestro sistema bajo estudio y qué variables (o magnitudes) son
relevantes
2) Buscamos un marco teórico en el cual poner el sistema bajo estudio, de tal
manera de poder predecir, hasta cierto punto, el comportamiento del mismo.
Deberá incluirse una breve descripción, indicándose las formulas de cálculo
3) Describimos los instrumentos a utilizar para realizar las mediciones, indicamos
rango y resolución de cada uno ,
4) Indicamos el procedimiento utilizado para realizar la experiencia y para medir
cada variable. Deben constar esquemas con dispositivos auxiliares y todo
elemento que sirva para comprender la realización
5) Para cada magnitud, tomamos la medida varias veces esto si no conviene una
determinación única, como se explicó, anotando los resultados en una tabla,
con sus unidades correspondientes.
6) Realizamos el promedio de este conjunto de mediciones y lo anotamos también
en la tabla.
Variable X
Variable Y
Variable Z
1
X1
Y1
Z1
2
X2
Y2
Z2
3
…
…
…
…
…
…
…
10
…
…
…
Promedio
Xm
Ym
Zm
7) Determinamos cuál es la incertidumbre en la medición (∆x).
8) Expresamos el resultado de la forma: X = X m ± ∆X
9) Luego de haber tomado todas las medidas, comparamos los resultados con lo
que predecía el modelo teórico que elegimos para el experimento. En el caso
68
del modelo teórico y cualquier otra determinación indirecta deberá aplicarse
propagación de incertidumbres
10) Se discute en el equipo de trabajo las diferencias entre el resultado teórico
esperado y las mediciones. Con esto validamos el modelo o no, y hacemos las
aclaraciones y comentarios que se crean convenientes.
11) Elaboramos el informe, en el que no debe faltar ninguno de estos ítems:
Carátula indicando:
o Número de Laboratorio y título de la experiencia
o Conformación del grupo de trabajo: nombres y nros de alumno
o Ayudante a cargo del laboratorio y de la clase práctica, comisión
Objetivos del Laboratorio (no pedagógicos sino específicos. Ej. medida de
la aceleración de la gravedad )
Breve descripción de la experiencia
Esquema (dibujo) de los dispositivos
Mediciones: cuadros de medidas, valores medios y desvíos
Magnitudes correctamente expresadas y acotadas
Cuadros (si corresponde)
Modelo teórico (fórmulas de cálculo ) y rango de validez del mismo
Conclusiones del trabajo: diferencias entre el resultado teórico esperado y
las mediciones (validación del modelo o no), aclaraciones, comentarios
Una última aclaración sobre las conclusiones: esencialmente son un resumen de
los resultados obtenidos. No deberían contener apreciaciones personales, ni
especulaciones sobre experimentos no realizados.
69