GIORNALE DI FISICA
DOI 10.1393/gdf/i2013-10172-4
VOL. LIV, N. 1
Gennaio-Marzo 2013
UNA BILANCIA MOLTO SENSIBILE…
MICROBILANCIA AD ASTA GIREVOLE (*)
Achille Cristallini (a)
ISIS “Archimede”, San Giovanni in Persiceto (BO)
AIF, Sezione di Bologna
Riassunto. Una delle prove sperimentali proposte per le Olimpiadi di Fisica 2010 viene riesaminata per
trovare un modello matematico utilizzabile didatticamente che descriva la relazione tra inclinazione di
un’asta-bilancia, abbassamento della sua estremità superiore e massa applicata. Le espressioni
matematiche trovate non sono elementari ma è possibile approssimarle in modo soddisfacente mediante
semplici sviluppi in serie di Taylor-MacLaurin. Il modello e le sue approssimazioni sono posti a
confronto con i dati sperimentali e brevemente discussi.
Abstract. An experimental proof proposed in the Italian Olympiads of Physics 2010 is re-analysed to
obtain a mathematical model which could be didactically useful to describe the relationship between applied mass and inclination or lowering of a rod-balance. The mathematical expressions one finds are not
elementary, but they may possibly be approximated by means of a simple development in a TaylorMacLaurin series. The model and his approximations are compared with experimental data and briefly
discussed.
In una recente edizione delle Olimpiadi di Fisica italiane è stata proposta la costruzione di una
microbilancia con sensibilità dell’ordine del milligrammo, realizzata utilizzando una cannuccia da
bibita e altri materiali di uso comune (Giochi di Anacleto 2010). La cannuccia, opportunamente
appesantita ad un’estremità, viene posta in equilibrio rotazionale sospendendola su un asse
perpendicolare alla sua lunghezza (e non passante per l’asse baricentrico verticale). Essa giace
allora in un piano perpendicolare all’asse di rotazione e si dispone in posizione inclinata rispetto al
piano orizzontale. In questa situazione di equilibrio stabile l’angolo di inclinazione dipende dalla
distribuzione delle masse lungo la cannuccia.
Per utilizzare la cannuccia come bilancia occorre tararla utilizzando pesetti, la cui massa sia
nota con buona precisione, appoggiati sulla sua estremità superiore. Si misura quindi l’angolo di
inclinazione della cannuccia oppure si misura la differenza d’altezza della sua estremità superiore
rispetto alla posizione di equilibrio a vuoto. Costruito il grafico di questi valori in funzione della
massa dei pesetti, si può utilizzarlo come scala della microbilancia oppure ricavarne numericamente
una funzione di taratura con cui calcolare le masse che si vogliono pesare.
Nelle istruzioni per l’allestimento della prova non è stata fornita alcuna indicazione sul modello
matematico della cannuccia-bilancia. Si sono tuttavia riportati degli esempi di misure realmente
effettuate da cui risultava chiaramente la non linearità della relazione sperimentale tra altezza
dell’estremità superiore della cannuccia e massa posta sulla stessa estremità.
Ho riproposto questa prova ai miei studenti di liceo scientifico PNI con l’obiettivo di studiare
l’equilibrio rotazionale della cannuccia e di costruire un modello matematico del suo
comportamento. Lo sviluppo dettagliato del modello è stato poi affrontato nell’ambito del modulo
didattico dedicato alla dinamica rotazionale del corpo rigido.
1
Equilibrio di un’asta girevole
La misura statica della massa di un corpo si effettua normalmente utilizzando una bilancia a due
bracci. Questo tipo di bilancia è sempre costituito da un’asta rigida imperniata in uno dei propri
punti (fulcro) in modo da poter ruotare liberamente intorno ad esso in un piano verticale passante
per la stessa asta. Il corpo di cui si vuole misurare la massa è posto all’estremità di uno dei bracci
della bilancia mentre lungo l’altro si dispongono le masse tarate. La bilancia funziona grazie alla
forza gravitazionale che associa un peso a ciascuna massa ed alla sua natura di leva del 1° genere:
ogni forza applicata genera un momento di torsione intorno al fulcro della bilancia e questa è in
equilibrio (l’asta è disposta in posizione orizzontale) quando la somma vettoriale dei momenti è
nulla. Dall’equazione di equilibrio dei momenti applicati si ricava il valore della massa incognita.
Una bilancia a due bracci si può realizzare anche senza utilizzare dei pesi tarati, sfruttando una
parte della sua stessa massa come contrappeso. Vi sono fondamentalmente due possibilità: si cerca
l’equilibrio dei momenti applicati spostando in modo opportuno il punto che funge da fulcro oppure
si fissa tale punto (e quindi anche il valore del contrappeso) e si utilizza proprio la rotazione
prodotta dalla massa applicata per calcolarne il valore.
Per realizzare in modo semplice questa seconda soluzione consideriamo la situazione mostrata nella
Figura 1. Supponiamo di avere un’asta lunga e sottile, laminare o di forma cilindrica (in modo da
poterla considerare come essenzialmente bidimensionale). Sia L la lunghezza dell'asta, D il suo
spessore (o il diametro), M0 la sua massa. Per semplicità supponiamo anche che essa sia omogenea
e abbia quindi il baricentro nel proprio centro geometrico. Se utilizziamo il sistema di coordinate
cartesiane ortogonali che ha l’origine nel centro dell’estremità destra dell’ asta, come asse x l’asse
baricentrico longitudinale della stessa asta e come asse y la retta verticale passante per l’origine, la
posizione del baricentro è data da: B0    L 2;0 .
Come si verifica facilmente in modo empirico, se l’asta viene sospesa imperniandola nella retta
che passa per il suo baricentro ed è perpendicolare al suo asse longitudinale, essa si trova in una
situazione di equilibrio indifferente e si dispone in modo qualunque nel piano cui appartiene. Se
l’asta è imperniata per un asse passante per un suo punto posto sulla verticale del baricentro, al di
sopra di quest’ultimo, l’equilibrio è stabile, l’asta si dispone in posizione orizzontale e piccole
perturbazioni o spostamenti tendono sempre a riportarla in questa posizione. Se invece l’asta è
imperniata in un qualunque suo punto posto sulla verticale del baricentro, al di sotto di quest’ultimo,
l’equilibrio è instabile ed ogni perturbazione porta il sistema in un’altra situazione di equilibrio
stabile, quella in cui esso è disposto verticalmente. Questa stessa disposizione di equilibrio stabile
viene raggiunta anche quando l’asta è imperniata in un punto appartenente al suo asse longitudinale.
Se infine l’asta è imperniata in un suo punto esterno alla retta verticale passante per il baricentro,
essa si dispone in posizione inclinata nel piano di appartenenza, tale che il fulcro e il baricentro
siano allineati in verticale. Anche questa situazione è di equilibrio stabile [1].
Tutte le disposizioni possibili sono determinate dalla condizione di equilibrio per rotazione di
un corpo rigido esteso: la somma dei momenti di tutte le forze applicate, calcolati rispetto al punto
od all’asse di sospensione, deve essere nulla.
Consideriamo ora proprio la situazione in cui l’asta è imperniata in un suo punto C esterno alla
retta verticale passante per il baricentro ed è sottoposta soltanto al suo peso (applicato nel
baricentro), come mostrato in Figura 2. La condizione di equilibrio è allora:
M 0  CB  g  M 0 CB0 sin   0
M 0  CB  g  M 0 g CB0 sin   0 ,
da cui si ricava:
Figura 1. Asta imperniata nel baricentro
Figura 2. Asta imperniata fuori del baricentro
2
da cui si ricava: CB0  0 oppure sin   0 (dove  è l’angolo tra la direzione della forza-peso e la
direzione del suo braccio CB0 ). In altre parole, l’asta sospesa è in equilibrio quando il fulcro
coincide con il baricentro (equilibrio indifferente) oppure quando l’angolo  è nullo, ovvero fulcro
e baricentro sono allineati verticalmente. Se all’asta sono applicate altre forze-peso, la loro
risultante è comunque applicata nel baricentro del sistema (in generale diverso da quello dell’asta
libera) e la condizione di equilibrio è ancora quella espressa qui sopra.
Vogliamo ora determinare l’angolo di inclinazione dell’asta in funzione delle grandezze
utilizzate per descriverla (L, D, M0 ) e della posizione del’asse di sospensione. Nella Figura 2
abbiamo indicato con C la traccia di quest’ultimo nel piano dell’asta e le sue coordinate cartesiane
sono date da: C  Cx ; C y     L 2   ;d  , intendendo con questa scrittura che la sua posizione è
al di sopra dell’asse baricentrico longitudinale dell’asta  0  d  D 2 ed è spostata verso
l’estremità sinistra rispetto all’ascissa del baricentro  0    L  . La posizione di quest'ultimo è
evidentemente data da: B0    L 2;0 
Per effetto della rotazione dell’asta verso la disposizione di equilibrio stabile inclinata, il
baricentro si sposta verso sinistra e verso il basso rispetto alla sua posizione nella situazione di
equilibrio orizzontale, mentre rimane ovviamente costante la sua distanza dal fulcro. L’angolo di
inclinazione dell’asta è quindi uguale a quello formato dal segmento CB0 con la direzione verticale
ed è espresso da: tan   CB 0x CB 0y   d .
Questo risultato può essere trovato con un procedimento più formale ma anche più utile per gli
sviluppi successivi. L’asta imperniata fuori dal baricentro passa dalla posizione orizzontale a quella
di equilibrio stabile inclinata compiendo una rotazione rigida di ampiezza  intorno al fulcro C.
Questa rotazione corrisponde alla trasformazione geometrica descritta dalle equazioni:


y '    x  C x  sin    y  C y  cos   C y
x '   x  C x  cos   y  C y sin   C x
(1)
dove si è tenuto conto dell’orientamento dell’asta rispetto al sistema di coordinate utilizzato e della
circostanza che la rotazione avviene in senso orario.
Applichiamo tale trasformazione al baricentro dell’asta per trovare le sue coordinate dopo la
rotazione:
L


B0 '    cos   d sin     ;  sin   d cos   d  .
2


La condizione di equilibrio è che il baricentro dell’asta inclinata e il fulcro siano allineati
verticalmente, cioè che si abbia: B0 ' x  C x ovvero  cos   d sin   0 . L’angolo di inclinazione
dell’asta in equilibrio a vuoto è dunque dato da:
tan  0 

d
.
(2)
Come si vede, il valore dell’angolo di inclinazione dell’asta a vuoto è indipendente dalla massa
dell’asta e dalle sue proprietà geometriche e dipende esclusivamente dalla scelta della posizione
dell’asse di sospensione rispetto al baricentro del corpo.
L’estremità superiore sinistra dell’asta nella situazione di equilibrio orizzontale si trova in
H 0    L; D 2  ; quando l’asta è in equilibrio inclinata tale estremità si sposta verso l’alto per
effetto della rotazione. La sua altezza H0’ può essere determinata utilizzando di nuovo la
trasformazione (1), l’espressione (2) e le relazioni goniometriche:
sin  
tan 
1  tan 2 


d2  2
e
cos  
1
1  tan 2 

d
d2  2
(ricordiamo che l’angolo di rotazione dell’asta è sempre acuto). Si trova così:
3


L   D d  2 d2  2
L

D

H 0 '      sin  0    d  cos  0  d 
d .
2

2

2 d2  2
(3)
Come si vede, anche l’altezza a vuoto dell’asta in equilibrio inclinata è indipendente dalla massa del
sistema.
Asta girevole come bilancia
Supponiamo ora che una massa m venga posta sull’estremità superiore dell’asta quando questa
è inclinata nella disposizione di equilibrio stabile a vuoto (vedi la Figura 3). L'asta si abbassa e la
sua inclinazione diminuisce finché il baricentro del sistema e il fulcro non sono di nuovo allineati
verticalmente. Questa situazione di equilibrio stabile coincide con quella che si otterrebbe ponendo
la massa sull’estremità sinistra dell’asta mantenuta in posizione orizzontale e lasciando quindi
quest’ultima libera di ruotare sino all’equilibrio. Se tra il valore della massa m e quello del
corrispondente angolo di inclinazione esiste una relazione biunivoca, allora l’asta può essere
utilizzata come bilancia. Per semplicità supponiamo anche che la massa m sia applicata in modo
che il suo baricentro coincida esattamente con l’estremità superiore dell’asta.
La posizione del baricentro del sistema nel suo complesso è allora data da:
m
 M 0  2m

Bm   
L;
D .
2 M 0  m 
 2  M 0  m
Utilizzando il procedimento ormai consueto, si determina l’ascissa del baricentro dopo la rotazione
intorno al fulcro C descritta dalla trasformazione (1). Imponendo la condizione di equilibrio che
vuole allineati verticalmente il baricentro e il fulcro si ricava l’ equazione:
m
m




   2 M  m L  cos   2 M  m D  d  sin   0 ,
 0  


  0

risolvendo la quale si ottiene la relazione tra massa applicata e inclinazione dell’asta:
tan  m 
 L  2  m  2M 0 .
 D  2d  m  2 M 0 d
(4)
Se in questa relazione si pone m = 0 , si ritrova l’espressione (2) per l’inclinazione dell’asta a
vuoto. Se invece si cerca il valore della massa per la quale si abbia m  0 (l’asta si abbassa fino a
tornare nella disposizione di equilibrio orizzontale), si ottiene:
m
2M 0
.
L  2
(5)
Questa espressione ci dà il massimo valore della massa che si può applicare all’estremità
superiore dell’asta in modo da realizzare una situazione di equilibrio stabile quando l’asse di
sospensione è spostato rispetto al baricentro del sistema. Per qualunque valore della massa applicata
inferiore a quello espresso nella (5), l’asta si dispone ancora in equilibrio stabile inclinata di un
angolo m (con 0   m   0 ). Per valori invece della massa applicata maggiori di (5), l’asta ruota
oltre la posizione
4
orizzontale
e finisce
per come
disporsi
in posizione verticale (equilibrio
stabile).
Figura 3. Asta
girevole
bilancia
Figura
4. Asta girevole con contrappeso
Ad ogni angolo di inclinazione corrisponde l’altezza cui si porta l’estremità sinistra dell’asta.
Essa può essere determinata utilizzando lo stesso procedimento impiegato nel caso dell’asta a
vuoto. Dopo qualche calcolo e con l’obiettivo di mettere in evidenza la dipendenza dell’altezza
dell’asta dalla massa applicata si ottiene l’espressione:
QP m
L

D

H m      sin  m    d  cos  m  d 
d,
2

2

2 P m 2  2Q m  R
(6)
dove si è posto:


P  L2  D 2  4 L   D d  d 2   2


Q  2M 0 L   D d  2 d 2   2




R  4M 02 d 2   2 .
Si può facilmente verificare che per m = 0 si trova H m  H 0 ' , cioè l’altezza dell’asta a vuoto in
equilibrio inclinata già espressa dalla (3). D’altro canto, se m prende il proprio valore massimo dato
dalla (5), si trova H m  D 2  H 0y , cioè l’altezza dell’asta nella disposizione di equilibrio
orizzontale.
Asta con contrappeso
L’intervallo di valori della massa che l’asta girevole è in grado di misurare è sempre piuttosto
ristretto in condizioni fisiche reali, come si vede dall’espressione (5). Esso può tuttavia essere
ampliato con un piccolo artificio: se l’estremo destro dell’asta viene appesantito senza introdurre
modifiche sostanziali nella geometria del sistema, il baricentro dell’asta si sposta verso tale estremo,
la lunghezza della parte di asta che ospita la massa da pesare di fatto si allunga e il valore massimo
che tale massa può assumere cresce di conseguenza.
Supponiamo che all’estremità destra dell’asta sia fissato un contrappeso di massa M,
M
  M 0  il cui baricentro coincida esattamente con il centro di tale estremità (vedi Figura 4). La
posizione del baricentro dell’asta con il contrappeso è allora data da:
M0


BM   
L ; 0 .
 2 M0  M 

Come fulcro prendiamo ancora un punto spostato verso l’alto e a sinistra rispetto al baricentro
del sistema:
M0


CM   
L  ; d .
 2 M0  M 

(7)
L’asta con il contrappeso raggiunge la propria posizione di equilibrio stabile inclinata ruotando
di un angolo  intorno al fulcro. Per determinare il valore di questo angolo troviamo innanzitutto
la posizione del baricentro del sistema dopo la rotazione, utilizzando come al solito la
trasformazione (1):
M0


BM '    cos   d sin  
L   ;  sin   d cos   d  .
2 M0  M 


Dalla condizione di equilibrio: BM ' x  CMx si ricava l’equazione:  cos   d sin   0 , la cui
soluzione tan    d è identica a quella espressa dalla (2) per l’asta senza contrappeso. Si
5
conferma dunque che il valore dell’angolo di inclinazione dell’asta a vuoto è indipendente dalla
distribuzione delle masse presenti nel sistema e dipende esclusivamente dalla scelta della posizione
del punto di sospensione.
L’altezza dell’estremità superiore dell’asta cambia rispetto a quella raggiunta senza contrappeso.
Utilizzando ancora lo stesso procedimento impiegato per trovare le espressioni (3) e (6), si ottiene
infatti:
HM 
 M 0  M   L   D d  2  d 2   2   M
L
2 M0  M  d 2   2
d.
(8)
Ponendo M = 0 si ritrova l’espressione (3) per l’asta senza contrappeso.
Collochiamo ora una massa m sull’estremità superiore sinistra dell’asta, con la stessa modalità
vista nella sezione precedente. Il baricentro del sistema si sposta in una nuova posizione e l’asta si
abbassa ruotando per raggiungere la situazione di equilibrio stabile. Le coordinate cartesiane del
baricentro del sistema sono date da:
M 0  2m
m


B  m   
L;
D .
2  M 0  M  m 
 2  M 0  M  m
(9)
Se tali coordinate sono trasformate attraverso la rotazione (1) e si impone la consueta condizione di
equilibrio che vuole allineati verticalmente il baricentro e il fulcro CM , si ottiene l’equazione:


 M 0  2M  m
m


L  cos   
D  d  sin   0 ,
  

2  M 0  M  M 0  M  m  

 2M 0  M  m

risolvendo la quale si trova la relazione tra massa applicata e inclinazione dell’asta con contrappeso:
 M 0  M   L  2   M L  m  2  M 0  M  
tan   m   
 M 0  M   D  2d  m  2  M 0  M  d 
2
(10)
Questa espressione è matematicamente simile alla (4) per l’asta senza contrappeso. Per m = 0 si
ritrova:   0   arctan  d    0 , mentre ponendo  (m) = 0 si ottiene:
2 M0  M  
2
mmax 
 M 0  2M  L  2  M 0  M  
,
(11)
che rappresenta il valore massimo della massa che l’asta-bilancia con contrappeso è in grado di
misurare in funzione dei parametri fisici e geometrici che caratterizzano il sistema. Ponendo M = 0
questa espressione si riduce alla (5) trovata nel caso dell’asta senza contrappeso. In ogni situazione
fisica il valore massimo (11) è maggiore di quello espresso dalla (5).
Possiamo determinare l’altezza raggiunta dall’asta utilizzando ancora la trasformazione (1).
Con qualche calcolo algebrico e goniometrico si trova:
QP m
H  m 
2  M 0  M  Pm2  2Q m  R
d ,
(12)
dove si è posto:
P
 M 0  M  2  D  2d  2    M 0  2 M  L  2  M 0  M   
Q  2M0  M 
2
 M
0


 M  D d  2 d2  2


   M
0
2
 2M  L 

R  4M0  M  d 2   2 .
4
6
L’espressione (12) è matematicamente simile alla (6), relativa al caso dell’asta senza contrappeso, e
7
si riduce a quella ponendo M = 0. Quando per m si prende il valore massimo (11), l’altezza dell’asta
ha il valore proprio della disposizione di equilibrio orizzontale H m   D 2  H 0y . Se invece si
pone m = 0, si ritrova l’espressione (8).
Il modello matematico
Le espressioni (10) e (4) mostrano che l’inclinazione dell’asta è una funzione relativamente
semplice della massa applicata (la dipendenza è di tipo iperbolico), mentre le espressioni (12) e (6)
per l’altezza cui si porta la sua estremità superiore non sono funzioni elementari di m. Entrambe le
grandezze hanno tuttavia un comportamento matematico relativamente semplice se ci si limita a
considerarle entro il loro dominio di interesse fisico, dominio che si ricava dall’espressione (11):
2 M0  M  
2
0m
 M 0  2M  L  2  M 0  M  
.
(13)
L’andamento dell’inclinazione dell’asta, in generale e all’interno di questo intervallo, è mostrato
nella Figura 5, relative ad aste effettivamente utilizzate in laboratorio. Come si vede, la funzione
tan (m) nel dominio espresso dalla (13) si comporta in modo sostanzialmente lineare, con un
andamento decrescente con la massa applicata. La portata dell’asta-bilancia dipende dalla lunghezza
e
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 5. Grafici teorici
(a) tan   m, M  in generale (b) tan   m, M  nel dominio fisico
(c) tan   m, d  in generale (d) tan   m, d  nel dominio fisico
8
(a)
(c)
(b)
(d)
Figura 6. Grafici teorici
(a) H  m, M  in generale (b) H  m, M  nel dominio fisico
(c) H  m, d  in generale (d) H  m, d  nel dominio fisico
dalla massa dell’asta, dalla massa del contrappeso e dall’ascissa del fulcro ma non dall’ordinata di
quest’ultimo; la sua inclinazione invece, a parità di massa applicata, dipende da tutti i parametri
fisici e geometrici del sistema (vedi Figure 5c e 5d).
La situazione è meno semplice nel caso dell’altezza dell’asta che, anche ristretta al dominio di
interesse fisico, ha un andamento fortemente non-lineare pur se ancora monotòno decrescente.
Nella Figura 6 è mostrato il comportamento di H(m) relativamente alle stesse aste e alle stesse
situazioni considerate nella Figura 5. Il comportamento non-lineare di H(m) si attenua soltanto al
crescere dell’ordinata del fulcro (d) e al diminuire della sua ascissa (), mentre su di esso non ha
un’influenza significativa la massa del contrappeso.
Come si vede, all’interno del dominio di interesse fisico sia l’inclinazione che l’altezza dell’asta
sono funzioni monotòne decrescenti, quindi biunivoche, e questo rende possibile utilizzare il
sistema come bilancia. La presenza del contrappeso incrementa in modo significativo il campo delle
masse che possono essere misurate.
Approssimazioni
9
Dal punto di vista sperimentale il comportamento dell’asta-bilancia può essere studiato
misurando o la sua inclinazione o l’altezza della sua estremità sottoposta a carico, al variare di
quest’ultimo.
In ogni caso dai dati sperimentali si ottengono tabelle di taratura dalle quali è possibile ricavare
mediante interpolazione il valore della massa di altri corpi quando questi siano applicati all’asta. Se
invece da queste tabelle si vogliono costruire delle curve di taratura e quindi delle funzioni
empiriche che descrivono il comportamento dell’asta-bilancia, occorre fare uso di un metodo di best
fit. Quando le variabili fondamentali che descrivono un sistema fisico sono soltanto due ed una di
esse è caratterizzata da incertezze sperimentali sostanzialmente identiche e trascurabili rispetto a
quelle dell’altra, la tecnica di best fit prevalentemente utilizzata è quella cosiddetta del metodo dei
minimi quadrati [2]. Nei fogli elettronici e nei software matematici normalmente disponibili nelle
scuole questa tecnica è sempre presente, anche in forme semplificate e di facile utilizzazione.
Il metodo dei minimi quadrati, tuttavia, non determina la funzione migliore che descrive la
correlazione esistente in un insieme di coppie di dati sperimentali ma piuttosto valuta la “bontà”
statistica di una funzione scelta a priori per tale scopo. Non tutte le funzioni matematiche possono
però essere utilizzate: oltre alla proprietà della derivabilità, esse devono generare all’interno del
metodo un sistema di equazioni che sia risolubile e che produca una sola soluzione. Le funzioni più
semplici da utilizzare sono allora quelle polinomiali e quelle esponenziali, forme nelle quali si
possono scrivere molte altre funzioni per mezzo di opportune trasformazioni di variabili.
Come abbiamo visto dalla Figura 5, l’inclinazione dell’asta, espressa da tan   m  , può essere
approssimata con una funzione lineare:
tan   m   K1m  K0 ,
(14)
i cui coefficienti si ricavano uguagliando tra loro le espressioni (10) e (14) e utilizzando il principio
di identità dei polinomi. Si trova:
K1 
 M 0  M  D    M 0  2M  L d
2
2 M0  M  d 2
K0 

d
(15)
.
Nella Figura 7 sono mostrati due esempi (relativi a situazioni studiate in laboratorio) in cui sono
posti a confronto gli andamenti della funzione tan   m  e quello della sua approssimazione lineare
al variare della massa del contrappeso utilizzato. Come si può osservare, l’approssimazione lineare
è soddisfacente in tutte le situazioni di interesse fisico, peggiorando solo lievemente al crescere
della massa dell’asta utilizzata e dei carichi che le vengono applicati.
Eseguendo il best-fit dei dati sperimentali con la retta (14) si ricava una funzione empirica di
taratura dell’asta-bilancia ed è anche possibile ottenere una stima del valore di quei parametri che
non
10
(a)
(b)
Figura 7. Confronto tra i valori di tan   m  e quelli della sua approssimazione lineare
è possibile di solito misurare direttamente con buona
precisione, in particolare le coordinate del fulper due diverse aste
cro utilizzato. Risolvendo infatti le equazioni (15) rispetto alle variabili d e si ha:
 M 0  M  K 0 D   M 0  2M  L
2
2  M 0  M  K1
  M 0  M  K 0 D   M 0  2M  L  K 0

2
2 M0  M  K
d
(16)
.
La funzione H(m) non appartiene alla categoria di quelle utilizzabili con il metodo dei minimi
quadrati ed essa non può neppure essere trasformata in una forma polinomiale elementare. Il suo
comportamento relativamente semplice nel dominio di interesse fisico suggerisce tuttavia la
possibilità di sostituirla con una sua approssimazione, valida dal punto di vista numerico e adatta
all’uso del metodo dei minimi quadrati. Poiché H(m) è derivabile indefinitamente rispetto alla
variabile m, può essere sviluppata in una serie di TaylorMacLaurin [3] (quindi in forma
polinomiale) prendendo come punto iniziale dello sviluppo il valore m = 0. I calcoli sono alquanto
laboriosi e per il loro svolgimento può essere utile un software di manipolazione algebrica. In ogni
caso, lo sviluppo in serie dell’espressione (12) produce polinomi che approssimano in modo
soddisfacente la funzione originale solo per insiemi particolari di valori dei parametri dell’asta (vedi
Figura 8).
In generale, i polinomi di Taylor di grado inferiore al 5° costituiscono un’approssimazione
accettabile di H(m) solo quando  < d (ovvero quando l’asse di sospensione dell’asta è
longitudinalmente molto vicino al baricentro). Nelle altre situazioni, soprattutto quando la massa da
pesare è vicina ai valori massimi consentiti dall’asta utilizzata, è necessario ricorrere ai polinomi di
Taylor di 5° grado o superiore. Non è invece praticamente mai possibile utilizzare
un’approssimazione lineare come per l’inclinazione. Va anche sottolineato che in quei pochi casi in
cui è possibile approssimare H(m) con polinomi di 2° o 3° grado, questi non consentono di ottenere
un best-fit realmente affidabile dei dati sperimentali, poiché la bontà dell’approssimazione varia
significativamente sul dominio di interesse fisico della massa applicata e in generale peggiora
rapidamente al crescere di quest’ultima.
Confronto con i dati sperimentali
Invece dell’inclinazione dell’asta e dell’altezza della sua estremità superiore, può risultare
comodo misurare l’abbassamento dell’asta dalla propria altezza massima a vuoto, espressa dalla
(8), in funzione della massa applicata. Questa era anche la scelta proposta dai Giochi di Anacleto.
11
(a)
(b)
Figura 8. Confronto tra i valori di H  m  e quelli della sue approssimazione polinomiali
L’espressione di tale abbassamento si ricava
per due
immediatamente
diverse aste dal modello matematico, ottenendo:
H  m   H M  H  m  
 M 0  M   L   D d  2  d 2   2   M L 

2 M0  M  d 2   2
QP m
2  M 0  M  Pm 2  2Q m  R

(17)
,
dove i coefficienti P, Q e R sono ancora quelli definiti nell’espressione (12).
Nella Figura 9 sono mostrati alcuni esempi di comportamento della funzione H(m), nel
dominio di interesse fisico e relativamente a situazioni effettivamente misurate. Com’è ovvio, tutte
le osservazioni fatte sulla funzione H(m) e sulla possibilità di sostituirla con un’approssimazione
polinomiale valgono anche per l’abbassamento H(m).
(a)
(b)
Figura 9. Confronto tra i valori di H(m) e quelli della sue approssimazione polinomiali
(a) esempi di diverse aste (b) approssimazioni cubiche
La misura dell’inclinazione dell’asta sembra tuttavia preferibile a quella dell’altezza o della sua
variazione, perché la prima può essere espressa in funzione dei parametri fisici dell’asta utilizzando
un’approssimazione lineare estremamente semplice, cosa che facilita notevolmente il confronto del
modello matematico con i dati sperimentali, mentre le seconde possono essere approssimate solo in
alcuni casi e comunque in forme meno elementari.
Avendo a disposizione un software di calcolo numerico o di simulazione matematica (ad
esempio DERIVE  o MATLAB ) è possibile effettuare un fit euristico dei dati sperimentali
utilizzando direttamente le funzioni (10) e (12) oppure (17) per descrivere il comportamento
dell’asta-bilancia e facendo variare i valori misurati (di solito rozzamente) delle coordinate del
fulcro entro un intervallo limitato. Il fit può essere ottimizzato scegliendo quei valori di d e  che
rendono minimo lo scarto quadratico medio tra i valori calcolati e quelli misurati dell’inclinazione
e/o della variazione d’altezza.
Negli esperimenti con aste reali (costruite utilizzando cannuccia da bibita o altri oggetti di
forma simile e di piccola massa) occorre tenere conto della presenza di vari effetti che concorrono a
rendere il comportamento fisico del sistema (almeno) in parte diverso da quello del modello
matematico. A titolo puramente indicativo segnaliamo:
12

disomogeneità fisiche o geometriche dell’asta

non coincidenza del baricentro del contrappeso con l’estremità inferiore dell’asta

non coincidenza del baricentro della massa applicata con l’estremità superiore dell’asta

asse di sospensione non perpendicolare all’asse baricentrico longitudinale dell’asta

asse di sospensione di dimensioni non trascurabili rispetto alla sua distanza
dal baricentro dell’asta

attrito tra asse di sospensione e superficie di appoggio

spostamenti dell’asse di sospensione sulla superficie di appoggio

non perfetta orizzontalità della superficie d’appoggio

effetto della spinta di Archimede nell’aria sul sistema (la densità delle aste utilizzabili
in laboratorio è di solito piuttosto piccola…)

effetti dovuti all’elettrizzazione per strofinio o per induzione del PVC (ben visibili negli
esperimenti con le cannucce).
Sono state eseguite numerose prove sperimentali con aste-bilancia costruite con cannucce da
bibita, cilindretti di materiale plastico e asticelle di compensato (un esempio è mostrato nella Figura
10). In tutti i casi l’asse di sospensione è stato realizzato mediante sottili spilli d’acciaio senza testa.
Le masse di taratura, dell’ordine di grandezza di qualche milligrammo, sono state ricavate (come
proposto dai Giochi di Anacleto) ritagliando da un foglio di carta quadrettata pezzetti rettangolari di
varia estensione e calcolandone la massa relativamente a quella dell’intero foglio attraverso il
rapporto delle rispettive superfici.
Le misure effettuate sono state sia di inclinazione che di variazione di altezza dell’ asta in
funzione della massa applicata e si è anche verificato che l’angolo di inclinazione dell'asta a vuoto
(con
e senza contrappeso) avesse il valore espresso
dalla (2). Gli strumenti utilizzati sono stati regoli
millimetrati e calibri ventesimali per le
lunghezze, bilance elettroniche con sensibilità di
0,01 g per le masse e goniometri con sensibilità
di 0,5° per gli angoli. Per ciascuna prova sono
state realizzate le tabelle di correlazione tra
inclinazione, variazione d’altezza e massa
applicata e costruiti i grafici corrispondenti. E’
stato poi eseguito il best-fit dei dati sperimentali
con il metodo dei minimi quadrati, utilizzando
polinomi di 1° grado per l’inclinazione dell’asta e
di 2° o 3° grado per l’ altezza.
Riportiamo qui a titolo esemplificativo i risulFigura 10. Esempio di asta-bilancia
tati di due delle prove effettuate in laboratorio.
13
(a)
(b)
Figura 11. Risultati sperimentali e best-fit
(a) tan   m  (b) H(m)

asta: cannuccia da bibita
L = 18,0  0,1 cm D = 0,62  0,01 cm M0 = 0,90  0,01 g
M = 4,70  0,01 g
posizione stimata del fulcro: d = 0,1  0,1 cm ;  = 0,1  0,1 cm
I dati sperimentali ottenuti sono mostrati nella Figura 11, insieme al loro best-fit calcolato per
mezzo di un foglio elettronico.
I dati sperimentali sono descritti dalle approssimazioni polinomiali:
tan   0,9297  2,3026 102 m
H  1,0006 104 m3  6,5919 103 m2  0,1454 m
(con la massa espressa in mg e l’altezza in cm), ai quali corrispondono rispettivamente i
coefficienti di determinazione R2() = 0,9956 e R2(H) = 0,9991.
Da questi best-fit si ricavano le stime numeriche per i parametri geometrici dell’asta:
d = 0,126 cm
= 0,117 cm.
Utilizzando le funzioni di calcolo numerico integrate in DERIVETM e le espressioni (10) e (17) sono
stati calcolati i best-fit euristici dei dati sperimentali (mostrati sempre nelle fig. 11, in colore blu). Se
viene ottimizzato il best-fit dell’inclinazione dell’asta, alle coordinate del fulcro sono attribuiti i
valori:
d = 0,125 cm
= 0,117 cm
(con deviazioni standard ) = 0,016 e (H) = 0,33 cm). Se invece si ottimizza il best-fit della
variazione di altezza, per le coordinate del fulcro si trovano i valori:
d = 0,122 cm
= 0,112 cm
(con deviazioni standard ) = 0,034 e (H) = 0,22 cm).

asta: tubicino di plastica a sezione quadrata
L = 20,3  0,1 cm D = 1,00  0,01 cm M0 = 3,29  0,01 g
M = 11,90  0,01 g
posizione stimata del fulcro: d = 0,3  0,1 cm ;  = 0,2  0,1 cm
I dati sperimentali ottenuti sono mostrati nella Figura 12, insieme al loro best-fit calcolato per mez
14
(a)
(b)
Figura 12. Risultati sperimentali e best-fit
(a) tan   m  (b) H(m)
zo di un foglio elettronico.
I dati sperimentali sono descritti dalle approssimazioni polinomiali:
tan   0,8724  4,1966 103 m
H  7,6998 107 m3  4,0819 105 m2  4,2557 102 m
(con la massa espressa in mg e l’altezza in cm), ai quali corrispondono rispettivamente i coefficienti
di determinazione R2() = 0,9936 e R2(H) = 0,9981.
Da questi best-fit si ricavano le stime numeriche per i parametri geometrici dell’asta:
d = 0,277 cm
= 0,242 cm
Utilizzando le funzioni di calcolo numerico integrate in DERIVETM e le espressioni (10) e (17) sono
stati ottenuti i best-fit euristici dei dati sperimentali (mostrati sempre nelle fig. 12, in colore blu). Se
si ottimizza il best-fit dell’inclinazione, alle coordinate del fulcro sono attribuiti i valori:
d = 0,266 cm
= 0,236 cm
(con deviazioni standard ) = 0,019 e (H) = 0,18 cm). Se invece si ottimizza il best-fit della
variazione di altezza, per le coordinate del fulcro si trovano i valori:
d = 0,266 cm
= 0,231 cm
(con deviazioni standard ) = 0,027 e (H) = 0,14 cm).
Conclusioni
Osserviamo che in entrambi i casi riportati la corrispondenza tra i dati sperimentali, il loro bestfit e il modello matematico è ottima per l’inclinazione dell’asta, mentre è solo in parte soddisfacente
per la variazione d’altezza, come era da attendersi sulla base delle considerazioni riportate nelle
pagine precedenti. Le stime delle coordinate del fulcro ricavata dai best-fit sono in ottimo accordo
tra loro e con i dati misurati. Si conferma anche che l’approssimazione lineare utilizzata per
l’inclinazione peggiora lievemente al crescere delle masse applicate all’asta.
Ringraziamenti
Ringrazio i miei studenti dei corsi PNI , ai quali è dovuta tutta l’attività sperimentale e lo
stimolo per realizzare questo lavoro.
Un ringraziamento particolare va al Prof. Cesare Breveglieri, che ha avuto la pazienza di
leggere il manoscritto e di controllare tutti i calcoli (rimediando a qualche dimenticanza…).
Bibliografia
[1] PALLADINO BOSIA M., Fisica. Metodi e modelli per interpretare la realtà, Vol.
1 (Petrini, Torino) 1997, Cap. 10.
[2] TAYLOR J.R., Introduzione all’analisi degli errori, 2a ed. (Zanichelli, Bologna)
1985, Cap. 8.
[3] LAMBERTI L. - MEREU L. – NANNI A. , Corso di Matematica per i Licei scien-
15
tifici sperimentali, Vol. 3B (ETAS, Milano) 2004.
(a) Electronic mail: achille.cristallini@alice.it
16