52° Congresso Nazionale AIF, Mondovì 23-26 ottobre 2013
Achille Cristallini
Docente in pensione di Matematica e Fisica
AIF, Sezione di Bologna
EQUILIBRIO DI UN’ ASTA SOSPESA
(dai Giochi di Anacleto 2013)
Riassunto.
di Anacleto
d’indagine
matematico
laboratorio
scientifico.
Il problema sperimentale proposto per i Giochi
2013 viene riesaminato ampliando le possibilità
del sistema fisico considerato. Il modello
ottenuto è applicato alle situazioni realizzate in
e ai dati raccolti da alcune classi di liceo
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i punti A, B, P e O sono allineati secondo l’asse baricentrico longitudinale dell’asta
si trascurano le forze d'attrito presenti nei perni A e O e le (eventuali) componenti
orizzontali delle reazioni vincolari negli stessi punti
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•
obiettivo proposto: caricare l’asta con diversi valori della massa aggiuntiva
M mantenendo costante la sua inclinazione (angolo α oppure altezza H) e
trovare la correlazione tra M e il valore della tensione T misurata dal
dinamometro; suggerimento:
T = k1 M + k 0
•
•
perché mantenere costante l’inclinazione ?
l’operazione richiede un aggiustamento continuo del supporto del
dinamometro e molta attenzione da parte degli studenti
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equilibrio:
T − M 0 g − Mg + R = 0

  −Tx A + M 0 g ( L − x0 ) + Mgx  cos α = 0

L − x 0 ) M 0 + xM
(
g
T =
xA

R = M + M g −T
( 0
)

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L − x0 ) M0 + xM
(
T=
g = k M +k
xA
1
0
la tensione misurata dal dinamometro non dipende (esplicitamente)
dall’inclinazione dell’asta
asta senza massa aggiuntiva:
L − x0
T0 =
M0g
xA
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lasciando variare liberamente l’inclinazione dell’asta …
H −h
sin α =
xA
e sostituendo nella condizione di equilibrio
L − x0 ) M0 + xM
(
T=
g sin α
H −h
3 variabili dipendenti!
T, α, H
che non sono … indipendenti
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nell’ipotesi che per ogni carico applicato (asta + massa aggiuntiva) la molla del
dinamometro si allunghi rispettando la cosiddetta Legge di Hooke, si ha
T = k ∆H = k ( H D − H )
(k è la costante elastica di allungamento della molla e HD l’altezza del gancio
del dinamometro a vuoto)
con l’asta senza massa aggiuntiva si ha
T0 = k ( H D − H 0 )
e quindi la costante elastica del dinamometro può essere espressa in funzione
dei parametri fisici e geometrici del sistema:
T0
L − x0
k=
M0g
=
H D − H0 ( H D − H0 ) xA
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L − x0 ) ( H D − h − x A sin α )
(
T=
M0 g
xA ( H D − H0 )
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H0 − h x ( HD − H0 )
sinα =
M
−
xA
xA ( L − x0 ) M0
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queste relazioni non sono lineari!
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ponendo: Y = sin α
e scegliendola come definizione operativa di inclinazione …
L − x0 ) ( H D − h − x AY )
(
T=
M0 g
xA ( H D − H0 )
x ( H D − H0 )
H0 − h
Y=
M
−
xA
x A ( L − x0 ) M 0
che sono lineari !
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Risultati sperimentali:
asta con inclinazione costante
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asta con inclinazione variabile
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asta con inclinazione variabile
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conclusioni:
•
•
le misure con inclinazione costante risultano più difficoltose
nell’esecuzione e meno affidabili nei risultati
le misure con inclinazione variabile consentono uno studio più ampio del
sistema e l’uso del best fit dei dati sperimentali per ricavare i valori dei
parametri geometrici dell’asta
•
sono possibili approfondimenti sulle tecniche e sul significato pratico
dell’approssimazione di una funzione
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Ringraziamenti
Ringrazio la Prof.a Giuliana Cavaggioni, cui è dovuto il suggerimento di approfondire la prova di laboratorio proposta per i Giochi di Anacleto 2013.
Ringrazio il Prof. Stefano Accorsi, dell’ISIS “Archimede” di San Giovanni in
Persiceto, e i suoi studenti del biennio di liceo scientifico, che mi hanno consentito di utilizzare per questo lavoro i propri dati di laboratorio.
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