La belleza en las matemáticas ¿teoría o práctica?
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Índice
Introducción………………………………………………………………….3
Marco teórico…………………………………………………………………4
Proceso e interpretación de los datos………………………………….6
Conclusiones……………………………………………………………… 15
Referencias bibliográficas…………………………………………………17
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Introducción
Esta investigación surge de mi gusto por la fotografía, siempre que puedo me pongo
a ver las fotos que he tomado para ver cómo puedo mejorar mi técnica. En cierta
ocasión me percate que algunas me llamaban más la atención que otras, esto me
parecía curioso ya que a simple vista algunas de estas no se diferenciaban de otras,
de hecho le pregunté a algunas personas cuáles de las fotos que había tomado les
parecían más atractivas para ellas y al momento de argumentar el porqué, no obtenía
una respuesta clara, de esta manera estuve investigando y encontré las denominadas
reglas de composición fotográfica, estas consisten en elementos que se utilizan para
guiar la atención del espectador hacia un objeto o sujeto para que éste capte su
atención, o en otras palabras que las fotos sean atractivas para el espectador. Así
pues de tantas reglas conocí la denominada composición áurea, está viene de una
proporción con su misma denominación (la proporción áurea) con base en
fundamentos matemáticos como la simetría y patrones, además de tener su propio
número y aplicaciones, en cuanto a lo anterior esta proporción se asocia comúnmente
a la belleza y la fascinación visual gracias a la “armonía” que esta refleja, siendo esta
referenciada no solo en la fotografía, sino también varias áreas como la anatomía, la
estética, la arquitectura, el diseño (“para muchos diseñadores y artistas como un
elemento clave dentro del proceso artístico” (Seguí, 2016)), entre otras áreas, Así
surgió mi duda de si lo que se denomina como bello o atractivo es algo enteramente
subjetivo o tiene un trasfondo y bases matemáticas. Por ese motivo me pregunté
¿Existe una verdadera relación entre la proporción aurea y lo que se considera
atractivo o bello?
Esta investigación tiene como objetivo principal analizar por medio de datos y modelos
estadísticos (análisis de variables cualitativas) como se presenta el número phi y la
proporción áurea en medios visuales y en base a los resultados obtenidos generar
una respuesta a la pregunta de investigación.
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Marco Teórico
● La sucesión de Fibonacci
El matemático Leonardo Pisano o más conocido como Fibonacci, dentro de sus
investigaciones quiso resolver una duda, sobre cómo se aparean los conejos,
diseñando un modelo matemático conocido como sucesión para resolver el problema,
así este afirmó que la cantidad de parejas de conejos que se tiene en un mes dado
es la suma de las parejas de conejos que se tuvo en cada uno de los dos meses
anteriores (BBC, 2021), como resultado surge la siguiente sucesión para explicar esta
situación.
𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2
Además cabe aclarar que se deben tener una condiciones iniciales para que esta
sucesión se cumpliera tales que: 𝑎0 = 0 y 𝑎1 = 1, de esta manera se obtienen los
números de esta sucesión:
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34 . ..
● El número áureo o phi
Si se analiza a fondo la sucesión de Fibonacci, se puede encontrar un resultado
común, esto parte de la idea de que si dividimos un término de la sucesión 𝑎 con su
anterior término 𝑏 como resultado dará un número cercano en todos los casos, siendo
este 1.61803 o el número áureo, representado por la letra griega 𝜙 (BBC, 2021).
𝑎
𝑏
≈ 1.61803 = 𝜙
21
13
34
21
= 1.615 = 𝜙
= 1.619 = 𝜙
● Rectángulo áureo
Si se dibuja un rectángulo y este se divide para que se obtenga el cuadrado más
grande posible, como resultado se obtendrá un rectángulo equivalente al rectángulo
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original, entonces esta sucesión se podrá realizar infinitas veces, ya sea dividiendo la
figura original o sumándole figuras equivalentes
Figura 1: Representación geométrica
del rectángulo áureo
Entonces el lado menor será llamado 1 y el mayor será 𝑥, de esta situación se puede
obtener la ecuación:
𝑥
1
=
1 (𝑥 − 1)
Esta misma se puede reorganizar para obtener una formula cuadrática:
𝑥2 − 𝑥 − 1 = 0
=
−(−1) ± √(−1)2 − 4(1)(−1)
2(1)
𝑥1 = 1.61803
𝑥2 = −1.601803
Así pues se observa que si el lado mayor de cualquier rectángulo es 𝜙 veces mayor
que su lado menor se obtendrá la proporción áurea y una figura llamada por sus
propiedades rectángulo áureo. Así mismo si se proyecta un arco de circunferencia
entre dos vértices opuestos de cada uno de los cuadrados obtenidos utilizando como
centro de la misma otro de los vértices del mismo cuadrado a 90° se obtiene lo que
se conoce como espiral de Durero o Aurea (Marca Optimizada, 2020).
Figura 2: rectángulo
áureo junto con el
espiral áureo
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Proceso e interpretación de los datos
● Diseño
Con el fin de representar la proporción áurea en un medio visual, tuve la idea de
realizar distintos logotipos o ilustraciones que
tuvieran bases en esta, utilice el programa
Imagen 1: escala
Adobe Illustrator para la elaboración de los
del rectángulo
diseños, de este modo empecé realizando un
áureo
rectángulo áureo con las proporciones de 𝜙,
utilizando la herramienta escala y aplicándola
a un cuadrado, seguidamente este se duplico
con la tecla alt+click seleccionado la figura
original, en este punto se formó un rectángulo entre los cuadrados y de ahí lo siguiente
fue dibujar un cuadrado desde este y así seguidamente hasta formar un rectángulo
áureo que tenga 6 cuadrados dentro de este. A partir de esto con la herramienta elipse
se generaron distintos círculos, partiendo del centro de los cuadrados dibujándolos y
luego seleccionándolos para sacarlos de ahí, los cuales al ponerse unos sobre otros
y utilizando la herramienta combinar
forma, que como su nombre lo dice, esta
unió esos círculos y conformaron el
boceto de los logotipos.
Figura 3: Representación geométrica de los
círculos áureos
Figura 4: logo hecho a partir de los
círculos áureos
Ya que el logo estaba terminado, realice dos más, sin embargo, estos no contaban
con una relación de proporcionalidad como el logo original, esto con el fin de analizar
si estas proporciones tenían efecto en el agrado del público.
Por lo que se refiere al análisis de los datos obtenidos por medio de una encuesta
realizada a través de la aplicación de google forms, se utilizó la prueba estadística del
chi cuadrado para analizar los resultados, debido que esta permite relacionar dos
variables en cuanto si estas tienen una relación no independiente o independiente,
así pues se establecieron dos hipótesis, la primera fue la hipótesis nula 𝑯𝟎 : la
selección del logo es independiente de la edad y por otro lado esta la hipótesis
6
alternativa 𝑯𝟏 : la selección del logo no es independiente de la edad. El primer
paso fue organizar los datos obtenidos en una tabla de frecuencias observadas 𝑓𝑒
que relacione las variables y al mismo tiempo muestre sus respectivos valores totales.
Logo Áureo 𝑓𝑜
Edad Opción 1 Opción 2 Opción 3 Totales
1-31
20
17
16
53
32-61
6
7
7
20
Total
26
24
23
73
Tabla 1:
Frecuencias
observadas
logo áureo
Posteriormente se calcularon los valores de las frecuencias esperadas, teniendo en
cuenta que 𝑟 es el valor total de una fila, 𝑐 corresponde al valor total de una columna
y 𝑡𝑐 equivale al valor total de personas encuestas, teniendo en cuenta que el
procedimiento se tiene que realizar con cada casilla de la tabla, esto deriva en la
siguiente formula:
𝑓𝑒 =
𝑓𝑒 =
(𝑟)(𝑐)
𝑡𝑐
(26)(53)
= 18.9
73
De esta manera se genera una nueva tabla, esta denominada tabla de frecuencia
esperadas, es importante mencionar que los valores de las frecuencias esperadas
tienen que cumplir con ciertas condiciones para que se pueda continuar con el estudio
estadístico, estos serian que: 𝑓𝑒 > 1 y que 𝑓𝑒 ≥ 5. En el caso de esta investigación
en un primer escenario los valores esperados se encontraban entre 1 y 5 así, surgió
la necesidad de combinar filas con el fin de obtener datos válidos, en el proceso
modificando los rangos de edad presentados.
Logo Áureo (𝑓𝑒)
Edad Opción 1 Opción 2 Opción 3 Totales
1-31
18.9
17.4
16.7
53
32-61
7.12
6.58
6.31
20
Total
26
24
23
73
Tabla 2: Frecuencias
esperadas logo áureo
A continuación se calculó el valor de 𝑋 2 por medio de la fórmula:
(𝑓𝑜 − 𝑓𝑒)2
𝑋 =∑
𝑓𝑒
2
7
(20 − 18.9)2 (17 − 17.4)2 (16 − 16.7)2 (6 − 7.12)2 (7 − 6.58)2
𝑋 =
+
+
+
+
18.9
17.4
16.7
7.12
6.58
(7 − 6.31)2
+
≈ 0.381
6.31
2
Seguidamente se calculó el grado de libertad 𝑔𝑙 en base a 𝑛𝑟 siendo el número de
filas y 𝑛𝑐 el número de columnas de la tabla dando como resultado
𝑔𝑙 = (𝑛𝑟 − 1)(𝑛𝑐 − 1)
𝑔𝑙 = (2 − 1)(3 − 1) = 2
Asimismo, se eligió una fiabilidad el 95% 0 0.95, con el objetivo de utilizar este y el
grado de libertad para encontrar el valor crítico con base a una tabla que contiene
valores críticos y finalmente comparar el valor de 𝑋 2 con este para rechazar o aceptar
una de las hipótesis.
Imagen tomada de:
(Studocu, 2021)
Con base a los resultados y dado que 0.381 > 0.103 se rechazó la hipótesis nula, así
pues se comprobó que efectivamente la elección del logo si depende de la edad de
la persona. A primera instancia los resultados servirían para evidenciar que la belleza
si logra ser percibida por medio de las matemáticas siendo está relacionada con phi
y sus componente, sin embargo es importante resaltar que aunque los resultados
demuestran que los jóvenes y adultos les resulta más llamativo el logo realizado con
los círculos áureos en comparación con el segundo grupo de estudio (de forma que
este los resulta más atractivo o bello para estos), los resultados podrían verse
limitados tanto por el número de personas encuestadas como el número de veces que
realizo la encuesta, otro aspecto a tener en cuenta es el tamaño de los logotipos, ya
que este no fue el mejor, esto debido a limitaciones del programa en el que realizo la
encuesta, como es el hecho de que este comprime las imágenes alterando sus
dimensiones para que se ajusten a un forma que este utiliza por defecto.
En consecuencia, cabe la posibilidad que el análisis de los encuestados no fue de
una forma muy adecuada, de ser así se podría reafirmar o negar la hipótesis
planteada en un futuro estudio generando un cambio en los ideales planteados
anteriormente. De esta manera estos resultados no son del todo útiles para lograr
responder la pregunta de investigación a primera vista siendo una tercera variable
agregada como es la edad, esta quizás tenga un efecto en la concepción de la belleza
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
Fotografía
Como mencione anteriormente la fotografía
es un campo que me llama la atención,
entonces esta no se iba a quedar fuera de
la
investigación,
para
realizar
la
experimentación en esta área utilice
fotografías similares sin embargo en una de
ellas estaba aplicada la composición áurea.
Figura 5: Bosquejo rectángulo
áureo
Con adobe illustrator se diseñó un cuadrado
de 1 cm x 1cm, para luego con base a este
crear un rectángulo de 34x34, en el cual se dividieron secciones para construir
posteriormente un rectángulo áureo siguiendo los términos de la sucesión de
Fibonacci
Luego se repitió el proceso 3 veces más para obtener rectángulos áureos en
secciones diferentes del rectángulo original y se proyectaron espirales áureas en
estos, es importante mencionar que este tipo de geometría tiene una característica
fractal siendo esta infinita, en el caso de esta exploración matemática el rectángulo
original era de 34cmx34cm, sin embargo este pudo haberse realizado con términos
más grandes de la sucesión de Fibonacci siendo esta infinita, como resultado se
generaría una espiral más grande con valores más exactos hacia phi, no obstante
para fines prácticos se utilizaron solo los primeros 9 términos de la sucesión.
Se dibujaron líneas tanto verticales
como horizontales sobre los
vértices de los cuadrados en los
cuales los espirales terminaban,
generando así una cuadricula que
se conoce comúnmente como
cuadricula aurea.
Lo que se utilizó consiguientemente
para la aplicación de esta
cuadricula fue el programa adobe
Figura 6: Bosquejo de la retícula aurea
Photoshop, el cual tiene la opción
de sobreponer la cuadricula aurea en fotografías, de esta manera se observó en
cuales si se cumplía con lo establecido.
9
Caso 1
En la primera aplicación de la retícula áurea se utilizará una regla empleada por
fotógrafos, que consiste en hacer coincidir la cuadricula con líneas verticales u
horizontales naturales que aparecen en la
imagen, Así pues, esta se utilizó en la
fotográfica de un paisaje para generar una
proporción entre el cielo y la tierra, en el
encuadré alineando la línea horizontal
inferior con las montañas esto para colocar
el horizonte más arriba o más abajo en la
foto para conseguir una mejor estética
(Gonzales, 2022). Por otro lado, la
segunda fotografía se tomó sin seguir esta
composición
Caso 2
Imagen 2: fotografía del Caso 1 en la
cual se aplicó la retícula phi
La segunda aplicación de esta regla se basa en el método para dar armonía a la
imagen, que según Nicholas Tinelli fotógrafo profesional de viajes y retratos, se debe
tratar de posicionar el sujeto u objeto en uno de los llamados puntos fuertes estos
siendo definidos por la intercesión de la línea, de esta manera se presentan 4 de estos
puntos al momento de tomar una
fotografía (Tinelli, 2021), ahora pues
en el caso de la investigación se utilizó
la cuadricula para resaltar al sujeto
ubicándolo en dos de los vértices del
cuadrado central, el primero es el de la
parte superior izquierda, enfocado en
el rostro del sujeto, el segundo vértice
resalta el torso del sujeto, este ubicado
en la parte inferior izquierda. Por el
contrario, la segunda imagen ubico al
sujeto fuera del rectángulo central.
Imagen 3: fotografía del Caso 2 en la
cual se aplicó la retícula phi
Con relación al análisis de los datos, se realizaron dos graficas circulares para agrupar
los datos y realizar tanto una observación de estos como una confrontación de los
resultados obtenidos.
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Grafica 1: resultados del Caso 1
En cuanto al Caso 1: se logró observar que más del 50% de los encuestados se
inclinaron hacia la opción 1, siendo esta la fotografía en la cual se le aplico la
cuadricula aurea, este resultado apoya el argumento de la importancia de usar a phi
en las fotografías de paisajes generando una belleza visual, con ayuda de la
proporcionalidad y simetría en la fotografía, sin embargó como es visto la opción 2 no
esta tan alejada de su contraparte, así pues el argumento anteriormente mencionado
queda en tela de juicio siendo este puesto a prueba en futuros estudios por medio de
más repeticiones y/o cantidad de datos obtenidos, de forma que este resultado ayuda
a obtener una aproximación desde un enfoque de la simetría del espacio hacia el
concepto de belleza. ayudando a construir una idea más amplia y no tan generalizada
como se llegaría a pensar por ese concepto de universalidad que se asocia
comúnmente a las matemáticas
Grafica 2: resultados del Caso 2
Ahora, en el caso 2: los datos se inclinan hacia la opción 2, que en el estudio realizado
esta era la fotografía a la que no se le aplico la cuadricula phi, de esa forma este
resultado funge como un contraargumento a la idea propuesta por parte de Tinelli y a
su vez genera un cuestionamiento de la relación entre la belleza y las matemáticas
11
de forma que devela una perspectiva contraria a la que se nos dio en el caso 1
ayudando a construir una idea más amplia y no tan generalizada como se llegaría a
pensar por ese concepto de universalidad que se asocia comúnmente a las
matemáticas. Por otro lado, se debe tener en cuenta que pudieron existir otros
factores que alteraron la decisión de los encuestados, uno de estos pudo ser el mismo
encuadre de la foto, que aunque tiene un sujeto al cual se le quiso focalizar o centrar
en la fotografía, esto no se hizo de la mejor manera, teniendo objetos y formas que
no generan mucha armonía visual ,además de que no todas las composiciones
(entendiendo esto como la forma en la que se encuadran y se ubican los objetos) son
funcionales para que esta regla se utilice (Vijayakumar, 2022). En el caso de futuras
investigaciones se podría realizar fotografías con mejores elementos visuales y varias
tomas en las cuales se aplique el método utilizado en esta exploración desde varios
ángulos o poses.

Anatomía
Se dice que el rostro perfecto no existe, sin embargo, los cirujanos plásticos intentan
acercarse lo más posible a un ideal de rostro, en esta sección se modificará un rostro
humano, para que este tenga una proporción de acuerdo al número áureo y averiguar
si este se aplica en lo que se denomina belleza
Imagen 5: Escala
en pixeles y cm
Imagen 4: distancia
media en pixeles
Primero, se tomó la foto del rostro con un metro, como medida de referencia y con el
programa imageJ se tomó la distancia de 1cm en la imagen para obtener una escala
basada en pixeles. Posteriormente se tomaron medidas del ancho de la boca, el
ancho del tronco de la nariz, la distancia entre los ojos y la distancia entre las cejas,
así pues, se calcularon dos proporciones una entre la boca y la nariz y la segunda
entre los ojos y las cejas siendo las medidas de Lenght la que son de interés.
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Imagen 6: Resultados
medidas del rostro original
Ancho boca
≈ 1,47
Ancho nariz
Distancia entre los ojos
≈ 1,47
Distancia entre las cejas
Seguidamente la imagen original se modificó en el programa Adobe Photoshop,
utilizando la opción de filtro y seleccionando la categoría de modificar rostro, esta tiene
las opciones para modificar las pociones entre partes del rostro y el ancho de estos.
Entonces se modificó el ancho de la boca y la nariz además de la distancia entre los
ojos, seguidamente se reprodujo el mismo procedimiento para medir las distancias
que se le aplicó al rostro original para comprobar que se había generado
efectivamente un cambio entre las distancias y por ende en las proporciones
obtenidas. Como resultado se obtuvieron dos rostros similares con una variación en
sus proporciones son respecto a phi.
Imagen 7: Rostro original
Imagen 8: Rostro modificado
Es importante resaltar que las medias obtenidas en el rostro áureo son cercanas a Φ
y no el numero en sí, esto por dos razones, siendo la primera el redondeo de cifras
significativas de los decimales y la segunda seria en términos de proporcionalidad
visual, esto surge debido a limitaciones del programa ya que no se pude modificar los
valores de las facciones con valores exactos a phi, así pues, es importante tener en
cuenta que esto puede llegar a generar efecto en los resultados en términos de
exactitud y fiabilidad.
Imagen 9: Resultados medidas
rostro modificado
3
4
Ancho boca
≈ 1,64
Ancho nariz
Distancia entre los ojos
≈ 1,61
Distancia entre las
cejas
13
Por lo que se refiere al análisis de las variables y el desarrollo de una conclusión, para
la pregunta de investigación, se sometieron los datos obtenidos a través de una
encuesta a la prueba estadística del chi cuadrado para evaluar si existe una relacion
entre el género y la apreciación de phi en el rostro, asi pues la hipotesis nula es 𝑯𝟎 :
La elección del rostro es independiente del género, mientras que la hipotesis
alternativa dice 𝑯𝟏 : La eleccción del rostro no es independiente del género. Más
adelante se calcularon los valores de las frecuencias esperadas con base en las
frecuencias observadas y se organizaron en dos tablas por separado.
Tabla 3: frecuencias
observadas rostro áureo
Tabla 4: frecuencias
esperadas rostro áureo
Rostro Áureo 𝑓𝑜
Rostro Áureo 𝑓𝑒
Opción 1 Opción 2 Totales
Opción 1 Opción 2 Totales
Masculino
14
8
22
Masculino
14
08.05
15
Femenino
12
7
19
Femenino
12.1
6.95
14
Totales
26
15
41
Totales
22
7
29
Posteriomente se utilizo la ecuacion del 𝑋 2 y se obtuvo el resultado:
𝑋2 = ∑
(𝑓𝑜 − 𝑓𝑒)2
𝑓𝑒
(14 − 14)2 (8 − 8.05)2 (12 − 12.1)2 (7 − 6.95)2
𝑋 =
+
+
+
+≈ 0.0014
14
8.05
12.1
6.95
2
Ya calculado el valor de chi cuadrado, se encontró el valor de los grados de libertad,
sabiendo que 𝑛𝑟 es el número de filas y 𝑛𝑐 el número de columnas de la tabla dando
como resultado:
𝑔𝑙 = (𝑛𝑟 − 1)(𝑛𝑐 − 1)
𝑔𝑙 = (2 − 1)(2 − 1) = 1
Finalmente se escogió un nivel de fiabilidad del 95%, que, en conjunto con el grado
de libertad calculado, ayudaron a encontrar el valor critico en base a la tabla de chi
cuadrado.
Imagen tomada de:
(Studocu, 2021)
14
De esta forma se llegó al resultado de la prueba estadística, rechazando la hipótesis
Grafica 3: resultados del rostro áureo
nula y aceptando la hipótesis alternativa dado que 0.004 > 0.0014, mejor dicho, la
selección del rostro no es dependiente del genero siendo pues esta una elección
parcial y neutra con respecto a factores de género, así pues para futuras
exploraciones se debe considerar que el género es una variable con poca importancia
para determinar la selección del rostro y su relación que se encuentra en la belleza
de este, a su vez se podrían postular otras con más relevancia y con un grado de
dependía mas alto. Cabe resaltar que la elección de los encuestados estuvo
mayormente direccionada hacia el rostro original, siendo esta una elección contra
intuitiva desde el punto de vista de la matemática aurea y agrega una postura más
frente a la pregunta de investigación.
Esto puede demostrar que se prefiere un rostro considerado natural frente a uno
creado artificialmente con matemáticas, sin embargo, esto se puede explicar desde
la perspectiva de que el método utilizado para aplicar la proporción aurea en el rostro
humano no fue el mejor, esto a comparación de métodos quirúrgicos que también
utilizan a Φ como referencia como es la máscara de Marquardt que utiliza geometría
basada en la proporción aurea y las distancias entre de elementos faciales para
generar una máscara que fue popularizada por cirujanos estéticos (Cortés, 2018), de
modo que en términos de morfología facial la matemática aurea no se asocia del todo
con lo que se considera bello y por el contrario esta cuestión se puede inclinar más
hacia variables como la simetría la cual no fue tomada en cuenta en esta investigación
,además de variables como imperfecciones afectan en la decisión de los encuestados.
15
Conclusión
En conclusión, se logró llegar a relacionar los aspectos de la matemática de Fibonacci
y Φ con lo que se considera la belleza en varios ámbitos. De forma que se aplicaron
distintos métodos tanto geométricos como algebraicos que dieron como resultado una
aplicación de la proporción aurea en la vida cotidiana.
Una de las consecuencias más inmediatas con respecto a los resultados de la
investigación, fue la clara veracidad de los argumentos a favor de phi como elemento
universal en implicaciones estéticas y de proporcionalidad, esto claro con sus
excepciones mostradas durante esta investigación y que en un futuro pueden ser
desmentidas o reafirmadas por medio de metodologías y/o enfoques distintos.
Gracia a esto, esta investigación matemática actúa como un parteaguas hacia una
amplia gama de aplicaciones en cuanto se utilicen las matemáticas para el desarrollo
de la metodología empleada en esa área. Terrenos como el arte o la arquitectura
pueden llegar a utilizar las distintas técnicas para aplicar phi y lograr resaltar sus obras
y construcciones de forma distintiva y universal.
Esta investigación logra demostrar que el concepto de belleza puede llegar a
considerarse objetivo desde una perspectiva matemática, en términos de diseño y
fotografía, sin embargo no se aplica esta propuesta del todo al ámbito de la estética
facial y corporal, así pues, se puede considerar la de querer establecer reglas o
ideales universales de conceptos que a primera vista no tienen una clara relación las
matemáticas, pero que irónicamente se podrían llegar a argumentar por medio de
esta área.
Personalmente la realización de la exploración y el desarrollo de la pregunta fue un
desafío del cual surgieron varios problemas, el principal fue ¿qué método matemático
utilizaría para el análisis de los datos?, cuando empecé la investigación no conocía la
prueba del chi cuadrado, pero al final de ésta logre una total comprensión, así mismo
un problema inicial al cual me enfrente fue: ¿cuál sería el método de aplicación de phi
en un contexto real? De modo que tuve que investigar y adquirir habilidades nuevas
como el uso de programas de ilustración y edición de fotografía. En términos
generales este trabajo me ayudo a ver como en verdad las matemáticas no son solo
parte de un mundo teórico y si se pueden llevar a contextos reales siendo estas una
parte esencial para entender el mundo que nos rodea.
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Bibliografía
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Tutorial informativo. PROPORCIONES ÁUREAS ¿Por qué las utilizo? | Tutorial
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