MODELACIÓN DE SISTEMAS DINÁMICOS CONTROL AUTOMÁTICO MEC284-C02 TODOS SOMOS INGENIERÍA 1. Modelos Matemáticos Modelación de Sistemas Dinámicos ○ Tipos, Simulaciones ○ Modelos sistemas mecánicos ○ Modelos de sistemas energéticos 2. Linealización 3. Aplicación de la Transformada de Laplace 4. Función de Transferencia 5. Diagrama de bloques PUCP TODOS SOMOS INGENIERÍA Modelos matemáticos Fuente: Hurel, J., (2017). Modelado Físico y Matemático del Sistema de Suspensión de un Cuarto de Vehículo PUCP TODOS SOMOS INGENIERÍA Modelos matemáticos OBJETIVOS ● Definir que es un modelo y su uso para responder preguntas relacionadas a un sistema. ● Introducir los conceptos de estado, dinámica, entradas y salidas. ● Proveer ejemplos de técnicas de modelado existentes: ecuaciones diferenciales, ecuaciones en diferencias finitas, autómata estado finito. ● Describir el uso de EDOs en el modelado y proveer ejemplos del tipo de análisis que se puede realizar PUCP TODOS SOMOS INGENIERÍA Modelos matemáticos ¿Para qué sirven? Tipos y usos: ● Representación aproximada de la realidad, esto a través de ecuaciones que relacionan variables de interés y representan adecuadamente su comportamiento. ● Modelos: físicos, cualitativos, cuantitativos,… ● Usos: diseño, entrenamiento, decisiones,... En síntesis, un modelo es una descripción cualitativa o cuantitativa de un proceso/sistema ● PUCP ¿Cómo generarlos, resolverlos, utilizarlos, validarlos? TODOS SOMOS INGENIERÍA Modelos matemáticos METODOLOGÍAS Método Caja Negra (también model-free methods) Métodos basados en Modelos (model-based methods) Aprendizaje basado en observación o entrenamiento (ejemplos: redes neuronales, lógica difusa) Modelos basados en ecuaciones diferenciales (PDEs, ODEs) (ejemplos: reguladores óptimos linealización exacta) Ventajas: ● No necesita modelaje complejo o base física ● Trabaja bien en el caso de controladores que sustituyen a un ser humano experto Desventajas: ● No existen herramientas formales para investigar estabilidad y desempeño ● No trabaja bien en sistema que requiere de gran desempeño con dinámica complicada Ventajas: ● Trabaja bien con sistemas multivariables altamente acoplados ● Existen herramientas rigurosas para análisis de estabilidad y desempeño Desventajas ● Herramientas disponibles solo para una clase de sistemas (ejm. LTI) ● Requiere modelos físicos orientados al control; no muy fácil de obtener PUCP TODOS SOMOS INGENIERÍA Modelos matemáticos Modelos en Ingeniería ● Usualmente teórico, forma de ecuaciones matemáticas y relaciones ● Mejoras en HW y SW han permitido uso de modelos matemáticos para analizar gran variedad de problemas de ingeniería. ● Uso para estudiar el comportamiento de sistemas existentes e identificar posibles mejoras que pueden ser realizadas. ● Pueden ser usados para proponer un sistema que todavía no existe. PUCP Modelos Físicos ● Versiones simplificadas de los sistemas de ingeniería reales, modelos a escala. Fuente: Planning and Design of Engineering Systems, Dandy ● Construidos en laboratorio y probados de forma que simulen las condiciones bajo las cuales operaría el sistema real. ● Los resultados son interpretados de forma que predicen el comportamiento del sistema real. TODOS SOMOS INGENIERÍA Modelos matemáticos Modelado y análisis para predecir el comportamiento de sistemas Simplificación o idealización del sistema real Análisis para un conjunto de entradas y condiciones de operación Operación del sistema real, bajo las mismas condiciones y entradas asumidas en el análisis (B) Fuente: Planning and Design of Engineering Systems, Dandy PUCP Observación de simplificaciones y aproximaciones introducidas en el modelo para identificar diferencias entre modelo conceptual y sistema real complejo TODOS SOMOS INGENIERÍA Modelos matemáticos Modelado y análisis para predecir el comportamiento de sistemas y u Proce so tiempo ym tiempo Modelo Matemático tiempo PUCP TODOS SOMOS INGENIERÍA Modelos matemáticos Procesos Continuos y Discretos q h PUCP Continuos: Variables evolucionan continuamente en el tiempo y pueden tomar cualquier valor en un rango dado. ● Descritos por EDOs o EDPs. ● Interés: trayectoria de algunas variables Discretos: Variables solo cambian en instantes discretos y pueden tomar solo un número finito de valores. ● Descritos por secuencias de actividades. ● Interés: comportamiento estadístico de algunas variables. TODOS SOMOS INGENIERÍA Modelos matemáticos Procesos Estáticos y Dinámicos Modelos estáticos ● Representan situaciones de equilibrio ● Descritos mediante ecuaciones algebraicas ● Orientados a diseño Modelo estático: Relaciona variables en un estado de equilibrio Modelos dinámicos en tiempo continuo ● Representan la evolución temporal ● Descritos mediante EDO y EDP ● Uso más general: control, entrenamiento,... PUCP Modelo dinámico: Relaciona variables a lo largo del tiempo TODOS SOMOS INGENIERÍA TODOS SOMOS INGENIERÍA o Modelos matemáticos ¿Cómo obtener modelos? y tiempo ym 1. Basados en la Experiencia: Mediante experimentación y análisis de datos tiempo PUCP 2. Basados en el Conocimiento: Mediante razonamientos, usando leyes de física, química, etc TODOS SOMOS INGENIERÍA Modelos matemáticos Experimental: Un modelo se puede obtener de datos experimentales de entrada-salida. U Y U Y Proceso t t Modelo “Identificación de sistemas” PUCP TODOS SOMOS INGENIERÍA Modelos matemáticos Por Conocimiento: ■ Se obtienen por: razonamiento y aplicación de principios (conservación de masa, energía, momento, etc.) y otras leyes del dominio de la aplicación. ■ Requieren conocimiento del proceso y de las leyes físicoquímicas. ■ Tienen validez general. PUCP TODOS SOMOS INGENIERÍA Modelos matemáticos Simulación de Modelos ● Modelos predicen la evolución de los estados del sistema a partir de una condición inicial dada (resuelven la ecuación para los estados). Modelos simples presentan una solución exacta. ○ Modelos más complejos usan simulación para obtener la solución ● Modelos Sistemas Mecánicos ○ ○ ○ Sistemas masa-resorte en paralelo, en serie. Sistema resorte-amortiguador-masa Sistema masa-resorte-amortiguador en rotación. ○ ● Modelos Sistemas Energéticos ○ ○ ○ PUCP Sistemas eléctricos Sistemas de fluidos Sistemas térmicos TODOS SOMOS INGENIERÍA Modelos matemáticos Respuesta Dinámica a) sistema con dinámica «rápida» b) sistema con dinámica «relevante» c) sistema con dinámica «lenta» PUCP TODOS SOMOS INGENIERÍA Modelos matemáticos PUCP TODOS SOMOS INGENIERÍA Modelos matemáticos Elementos básicos para modelamiento de sistemas - CONSERVACIÓN DE MASA Acumulación de masa en el tiempo = Fi - F0 + G - C Fi : Masa que entra por unidad de tiempo F0: Masa que sale por unidad de tiempo G : Masa que se genera por unidad de tiempo C : Masa que se consume por unidad de tiempo Fi F0 G m C PUCP TODOS SOMOS INGENIERÍA Modelos matemáticos Elementos básicos para modelamiento de sistemas - DEPÓSITO q Asume A y ρ cte h F q: flujo de entrada F: flujo de salida h: nivel PUCP k: constante A: sección transversal ρ: densidad Ecuación diferencial no-lineal Ecuación algebraica TODOS SOMOS INGENIERÍA Modelos matemáticos Elementos básicos para modelamiento de sistemas - HIPÓTESIS ci q c: concentración c q h F Mezcla perfecta PUCP h F Flujo pistón TODOS SOMOS INGENIERÍA Modelos matemáticos Elementos básicos para modelamiento de sistemas - FORMULACIÓN Hipótesis: - Mezcla perfecta - ρ constante PUCP TODOS SOMOS INGENIERÍA Modelos matemáticos Elementos básicos para modelamiento de sistemas - COMPATIBILIDAD PUCP TODOS SOMOS INGENIERÍA Modelos matemáticos Elementos básicos para modelamiento de sistemas - CONSERVACIÓN DE ENERGÍA V P V P ¿Cuáles son variables y cuáles son parámetros? PUCP TODOS SOMOS INGENIERÍA Modelos matemáticos Elementos básicos para modelamiento de sistemas - CONSERVACIÓN DE ENERGÍA Ecuación diferencial no-lineal PUCP TODOS SOMOS INGENIERÍA Modelos matemáticos Elementos básicos para modelamiento de sistemas - CONSERVACIÓN DEL MOMENTO F m x Sistema de referencia PUCP TODOS SOMOS INGENIERÍA Modelos matemáticos Elementos básicos para modelamiento de sistemas - MASA SUSPENDIDA Si la posición x=0 corresponde a donde la masa está en equilibrio, el peso estará considerado en la fuerza del resorte kx En ingeniería de control analizamos el CAMBIO. PUCP TODOS SOMOS INGENIERÍA Modelos matemáticos Elementos básicos para modelamiento de sistemas - VEHÍCULOS ACOPLADOS k: coef. resorte f : coef. fricción viscosa PUCP TODOS SOMOS INGENIERÍA Modelos matemáticos Elementos básicos para modelamiento de sistemas - GRÚA UNIDIMENSIONAL Posición de la masa M: x Posición de la masa m : x + L sen θ Dos grados de libertad: x, θ Fricción viscosa Deslizamiento sin fricción Modelar posición de la masa “m” y el carro “M” PUCP TODOS SOMOS INGENIERÍA Modelos matemáticos Elementos básicos para modelamiento de sistemas - GRÚA UNIDIMENSIONAL Conservación del momento lineal PUCP TODOS SOMOS INGENIERÍA Modelos matemáticos Elementos básicos para modelamiento de sistemas - GRÚA UNIDIMENSIONAL Conservación del momento angular referido al eje móvil. “Respecto a ejes fijos: aparece aceleración d2x/dt2 en dirección horizontal” PUCP TODOS SOMOS INGENIERÍA Modelos matemáticos Elementos básicos para modelamiento de sistemas - FLUJO EN UNA TUBERÍA Conservación de cantidad de movimiento Ecuación diferencial no-lineal q: flujo a: apertura de la válvula p: presión A: sección transversal PUCP ρ: densidad h: altura TODOS SOMOS INGENIERÍA Modelos matemáticos Elementos básicos para modelamiento de sistemas - PRESIÓN EN UN RECIPIENTE PUCP TODOS SOMOS INGENIERÍA Modelos matemáticos Elementos básicos para modelamiento de sistemas: CIRCUITO R-C Impedancia infinita I2 =0 PUCP ⇒ TODOS SOMOS INGENIERÍA Modelos matemáticos Elementos básicos para modelamiento de sistemas: CIRCUITO R-C ⇒ PUCP Ecuación diferencial lineal TODOS SOMOS INGENIERÍA Elementos básicos para modelamiento de sistemas: Circuito R-L-C PUCP TODOS SOMOS INGENIERÍA Modelos matemáticos Elementos básicos para modelamiento de sistemas: MOTOR CC T : par externo k2 ω: f.e.m Excitación independiente PUCP TODOS SOMOS INGENIERÍA Modelos matemáticos Elementos básicos para modelamiento de sistemas: PROCESO DISTRIBUTIVO PUCP TODOS SOMOS INGENIERÍA Modelos matemáticos Elementos básicos para modelamiento de sistemas: PROCESO DISTRIBUTIVO Ts Ti-1 T(x,t) x Ti Ti+1 F Δx Se divide proceso en celdas de ancho Δx, en las que T pueda considerarse uniforme. Balance de energía en un elemento Límite cuando Δx → 0 PUCP TODOS SOMOS INGENIERÍA Modelos matemáticos Elementos básicos para modelamiento de sistemas: PROCESO DISTRIBUTIVO Balance energético Ecuaciones en derivadas parciales Ver también capítulos 3 y 4 del libro de Ogata. PUCP 39 TODOS SOMOS INGENIERÍA Modelos matemáticos PUCP TODOS SOMOS INGENIERÍA Modelos matemáticos ¿Cómo modelarlo matemáticamente? Instagram: @joohanlink PUCP TODOS SOMOS INGENIERÍA
