Institut für Fluiddynamik
Prof. Dr. T. Rösgen
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Fluiddynamik I
Testatübung 1, 16. April 2007
Aufgabe 1
Ein masseloser Stab der Länge L sei an einem Ende fest eingespannt, während das andere frei
beweglich ist. Übt man axial eine Kraft F auf das freie Ende aus und erhöht diese stetig, so
gibt es eine kritische Last Fc unter der der Stab einknickt.
Fc ist eine Funktion des Flächenträgheitsmoments I ([I] = m4 ), des Elastizitätsmoduls E
([E] = N/m2 ) und der Länge L.
Fc = f (I, E, L)
a) Stellen Sie die Dimensionsmatrix für obige Beziehung auf.
b) Bestimmen Sie einen vollständigen Satz von dimensionslosen Variablen
c) Die tatsächliche Gesetzmässigkeit lautet
√
Fc = c E I
4
L
√
−2
I
Wobei c eine dimensionslose Konstante ist. Drücken Sie diese Beziehung mit Hilfe der
von Ihnen ermittelten dimensionslosen Parameter aus. Skizzieren Sie das Resultat indem
Sie die dimensionslosen Parameter gegeneinander auftragen.
Aufgabe 2
Gegeben ist das instationäre Geschwindigkeitsfeld:
u1 =
1
x1
tc + t
u2 =
vc
u3 =
0
Wobei tc = const, vc = const.
a) Geben Sie die Gleichung der Stromlinie an, die zur Zeit t durch den Punkt (x10 , x20 , x30 )
läuft.
b) Wie lautet die Gleichung der Bahnlinie des Flüssigkeitsteilchens mit den Anfangskoordinaten x(t = 0) = ξ0 = [ξ10 , ξ20 , ξ30 ]T ?
c) Ermitteln Sie die Geschwindigkeit des Flüssigkeitsteilchens längs seiner Bahn.
d) Was geschieht mit den Teilchen, die die Anfangskoordinaten ξ10 = 0, ξ30 = 0 haben?
Aufgabe 3
Die Geschwindigkeitsverteilung einer eindimensionalen instationären Strömung
x
u=2
− a0
t
und das Dichtefeld
−2
x
ρ = ρ0 2 −
t a0
sind gegeben.
a) Zeigen Sie, dass für die substantielle Änderung der Dichte gilt
−3 D
x
2
x
ρ = −2ρ0 2 −
−
Dt
t a0
t t2 a0
b) Überprüfen Sie die Gültigkeit der Kontinuitätsgleichung
D
∂u
ρ+ρ
=0
Dt
∂x
für dieses Strömungsfeld.
c) Welche Änderung der Dichte empfindet ein Schwimmer, der mit c = u+a oder c = u−a
durch das Strömungsfeld schwimmt? Verwenden Sie die Beziehung
− 1
a
ρ
2
=
a0
ρ0