Teoremi sulle funzioni continue
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Teoremi sulle funzioni continue
Teorema di Weierstrass
Se f è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b], allora essa assume, in tale
intervallo, un valore minimo e un valore massimo (assoluti).
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Controesempi
Se le ipotesi del teorema di Weierstrass non sono verificate, il risultato non è più vero.
L’intervallo è aperto
La funzione non è continua
L’intervallo è illimitato
f non ha massimo e minimo in ]2,5[
f non ha massimo in [1, 3]
f non ha minimo in [1, +∞[
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Teorema dei valori intermedi
Se f è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b], allora essa assume almeno
una volta tutti i valori compresi fra il minimo e il massimo (assoluti).
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Teorema di esistenza degli zeri
Se f è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b] e negli estremi di tale
intervallo assume valori di segni opposto, allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo
in cui f si annulla, ossia f (c) = 0.
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Controesempi
Vediamo alcuni controesempi in cui non sono verificate tutte le ipotesi del teorema.
L’intervallo considerato è aperto
La funzione non è continua
non esiste alcun punto c ∈]1, 5] in cui f (c) = 0
non esiste alcun punto c ∈ [−4, 3] in cui f (c) = 0
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