Teorema
intermedi
dei valori
f
:
-
ZEIR
intervallo
<
imff
e
I
:
LL
[
IR
→
snzpf
continua
Zrncf)
LE
>
=
con
cioè Zx
fcx )
2:
E
=L
OSSERVAZIONI
D
Se
2
è
non
ESEMPIO :
f
1913 ULZPJ
:
imff
2) Conseguenza
f
continua
su
f-
è
continua
valori
un
intermedi
intervallo
le
,
,
è
↳ C- Imf
Imf
intervallo
un
su
Imf
dei
LE
è
Zmf
¢
Teorema
del
è
quindi
Se f
•
f-
I
ma
↳ LLL La
e
.
/
0
=
inffl ? L snpf
vale
non
È
R
intervallo
supf =3
se
teorema
è
un
,
→
fate
non
che
il
intervallo
un
un
intervallo
Z
E
IR
allora
,
CZ)
è
intervallo
un
Applicazioni
1)
Per
a
considero
> 1
,
f
IR
:
Sappiamo
0
=
Cim
× →
-
f
o
che
)
k
che
CIR)
=
(
0
strettamente
è
=
f
inff
IR
+ io
=
IR
×
×
Dimostriamo
→
↳ a
,
tu
)
crescente
Cim
+ →
to
fa)
=
.
Quindi
supf
R
¥
>o
y
Quindi
In f
funzione
è
)
ha
Siano
IN
me
-
( che
)
Loy
f
e
[ 0,
:
( 0,
+
a)
a)
→
Io
↳
x
,
)
to
n
×
f-
+
IR
→
tu
,
perchè
esiste
dominio
come
(o
:
dei
)
Coga
inversa
iniettava
Teorema
1mF
E
( O.to
=
yl snpf
112
il
per
y
logo
2)
<
inff
continua
intermedi
valori
f-
che
IR
Inoltre fè
La
fa
si
continua
è
inff
0
=
[ato)
znpf
=
( osservo
+ io
[Qtp)
Imf
Inoltre
f
crescente)
=
è
è
V' xp 1
che
)
lato )
( perchè f
invertibile
è
strettamente
.
Ely
"
Esercizio :
Dimostrare
che
0
se
Ex
Hm 71
La
[
funzione
0
,
)
to
.
f-
inversa
f-
1
:
[ 0,
+
a)
Y
1
ha
→
↳
[
come
0
,
dominio
)
to
%
=
yun
TEOREMI
siano
I EIR
monotona
DI:
Sia
EZO
min
7
{ f- Hot E)
-
f. ( xo
-
-
flxd
,
fcxo)
-
g.
:
fcxd
=
.
E
E
-
))
E
¢
70
se
XOTE
-1842
,
xo
xo
-
,
E
-
EEI
#I
fcxdko
-
-
ly
e
tale
-
gol
che
-
fcxl
I
2
:c:O:c:
xo
xo
co
y
=)
×
L
-
fcxo )
<
o
fcxolto
f fcxot
flx)
<
fcx )
=
ocfcxt
x
E
se
se
quindi
+
crescente
E)
I
E
×
fao
E
x.
continua
è
.
quindi
se
2
.
Imf
E
xot
1
÷
17h
7
se
→
strettamente
.
x. E
870
y
(f)
IR
→
Sia
qualunque
Se
In
:
I
:
strettamente
sia
(f)
.
( eo )
f
f
che
In
E
f-
1
f
,
,
suppongo
yo
Sia
Allora
.
In (f)
su
intervallo
un
xot
<
l
E
E)
flxot E)
xot
E
-740T
( perchè
assurdo
per
E
Xo
In
ogni
In
modo
I
I
ho
che
(y)
-
l
x
avrei
x.
TE EI
assurdo
2 intervallo
XOTE
dimostra
si
E ×
×
a
analogo
<
E
TE
io
"
caso
I f-
XOTE
se
,
.
che
f-tly.de/x-xo/
×
<
>
E
xo
-
E
da
.
Esempi
•
Caga
è
Cato)
:
l
'
(
R
→
R
di
inversa
×
→
↳
a >0
#
a
,
IR
1)
è
crescente
stretto
se
Quindi
•
arctg
logo
IR
:
perchè
è
→
arcsen
arccos
teorema
:
:
se
intervallo
monotona
continua
( ¥ Ia )
→
C- 1,1 ]
→
fè
.
1 e
decrescente
0cal e
coito )
in
a>
.
tale
di
che è
crescente
E- 1,1 ]
1
.
se
.
continua
è
,
l' inversa
strettamente
•
è
stretto
che è
EIR
f-
ÈI ]
[ 0,
continua
,
allora
Ti
è
]
è
continua
continua
e
invertibile
f
è
su
strettamente
un
)
osso:
•
a
In
generale
f
,
invertibile
¥
I
su
stretti
.
intervallo
monotona
¥
00
¥
f :[0,2]
•
f
A
:
→
è
f- 4)
IR
=
{
×
se
←e
?
è
fi
:
E
+
+
se
monotona
f-
[ 0,1]
»
.
.
A
non
continua
¥
2-
µ
0
0
>
»
monotona
intervallo
è
[ 0,23
E
"
e
a
( 2,3 ]
E
1
1-
stretta
non
¥
intervallo
un
'
A
strettamente
'
→
( y)
=
IR
{
f-
se Las]
'
Y
1
-11
non
y
è
e
( 1,2]
continua
in
y
=L
!
→
IR