COGNOME ......................................... NOME ................................. Matricola ................. II corso Prof. Camporesi
Esame di ANALISI MATEMATICA II - 28 Giugno 2012
A
ESERCIZIO 1.
(5 punti)
1. Studiare la convergenza della serie
n
∞ X
1
1
.
+
log 2 n
n=1
2. Determinare il raggio di convergenza R della serie di potenze
n
∞ X
1
1
+
xn .
log
2
n
n=1
3. Determinare l’insieme di convergenza A della serie di potenze del punto 2.
ESERCIZIO 2.
(5 punti)
Calcolare il massimo e il minimo assoluti della funzione
f (x, y) = log 1 + x2 + y 4
nell’insieme D = (x, y) : x2 + y 2 ≤ 1 .
ESERCIZIO 3.
(5 punti)
Calcolare
Z Z
x3 ey dxdy
D
dove D = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ 1 .
ESERCIZIO 4.
(5 punti)
(
y (4) + y 000 = 0
1. Risolvere il problema di Cauchy
y(0) = y 0 (0) = y 00 (0) = 0, y 000 (0) = 1.
2. Calcolare una soluzione particolare dell’equazione differenziale y (4) + y 000 = 2e−x .
COGNOME ......................................... NOME ................................. Matricola ................. II corso Prof. Camporesi
Esame di ANALISI MATEMATICA II - 28 Giugno 2012
B
ESERCIZIO 1.
(5 punti)
1. Studiare la convergenza della serie
n
∞ X
1
1
.
+
log 3 n
n=1
2. Determinare il raggio di convergenza R della serie di potenze
n
∞ X
1
1
+
xn .
log
3
n
n=1
3. Determinare l’insieme di convergenza A della serie di potenze del punto 2.
ESERCIZIO 2.
(5 punti)
Calcolare il massimo e il minimo assoluti della funzione
f (x, y) = log 1 + x4 + y 2
nell’insieme D = (x, y) : x2 + y 2 ≤ 1 .
ESERCIZIO 3.
(5 punti)
Calcolare
Z Z
y 3 ex dxdy
D
dove D = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ 1, y 2 ≤ x ≤ 1 .
ESERCIZIO 4.
(5 punti)
(
y (4) − y 000 = 0
1. Risolvere il problema di Cauchy
y(0) = y 0 (0) = y 00 (0) = 0, y 000 (0) = 1.
2. Calcolare una soluzione particolare dell’equazione differenziale y (4) − y 000 = 3ex .
SOLUZIONI
ESERCIZIO 1.
1. Applicando il criterio della radice otteniamo
lim
√
n
lim
√
n
n→∞
n→∞
Dunque la serie
an =
an =
1
log 2
>1
(compito A),
1
log 3
<1
(compito B).
n
n
∞ ∞ X
X
1
1
1
1
+
diverge, mentre la serie
+
converge.
log 2 n
log 3 n
n=1
n=1
2. Dal punto precedente si ha R = log 2 (compito A), R = log 3 (compito B).
3. Per x = R la serie di potenze diventa
n
n
∞ ∞ X
X
1
1
log 2
n
(log 2) =
+
1+
log 2 n
n
n=1
n=1
(compito A),
n
n
∞ ∞ X
X
1
1
log 3
+
(log 3)n =
(compito B).
1+
log 3 n
n
n=1
n=1
n
n
log 2
log 3
log 2
Essendo lim 1 +
= e
= 2 6= 0, lim 1 +
= elog 3 = 3 6= 0, la serie non converge (per la
n→∞
n→∞
n
n
condizione necessaria di convergenza). Per x = −R otteniamo invece la serie
n
n
∞ ∞
X
X
1
1
log 2
+
(− log 2)n =
(−1)n 1 +
(compito A),
log 2 n
n
n=1
n=1
n
n
∞
∞ X
X
1
1
log 3
n
n
+
(− log 3) =
(−1) 1 +
log 3 n
n
n=1
n=1
(compito B).
Poichè in generale an → 0 ⇔ |an | → 0, di nuovo il termine n-esimo della serie non tende a zero, dunque la serie non
può convergere. Concludiamo in ogni caso che l’insieme di convergenza della serie di potenze è A = (−R, R).
ESERCIZIO 2.
• Compito A. Cerchiamo prima i punti critici liberi interni a D. Scrivendo il sistema ∇f = 0 otteniamo
(
∂x f = 1+x2x
2 +y 4 = 0
∂x f =
4y 3
1+x2 +y 4
= 0,
la cui unica soluzione è x = y = 0. Si ha f (0, 0) = log 1 = 0. È evidente che (0, 0) è un punto di minimo assoluto per
f , infatti si ha log(1 + x2 + y 4 ) ≥ log 1, ∀(x, y) ∈ R2 .
(
∇f = λ∇g
Cerchiamo ora i punti critici vincolati sulla frontiera di D, cioè le soluzioni del sistema
, dove g(x, y) =
g=0
x2 + y 2 − 1. Il sistema ∇f = λ∇g diventa
 (
1
2x
2x
−
λ
=0
=
2λx
2
4
1+x2 +y 4
1+x 2+y
cioè
4y 3
2y
2y
1+x2 +y 4 = 2λy
1+x2 +y 4 − λ = 0.
2
Dalla prima equazione si ha x = 0 oppure λ = 1+x12 +y4 . Dalla seconda equazione si ha y = 0 oppure λ = 1+x2y2 +y4 . Se
x = 0 sostituendo nel vincolo si ottiene y = ±1. Analogamente se y = 0 si ottiene x = ±1. Se invece x 6= 0 e y 6= 0
uguagliando i valori di λ si ottiene
2y 2
1
1+x2 +y 4 = 1+x2 +y 4 ,
√
√
da cui 2y 2 = 1 e y = ± 2/2. Sostituendo nel vincolo si ha x = ± 2/2. In definitiva otteniamo i seguenti 8 punti
critici vincolati su ∂D:
√ √ √
√ (0, ±1), (±1, 0), ± 22 , 22 , ± 22 , − 22 .
Essendo
f (0, ±1) = log 2 = f (±1, 0),
√
f (±
√
2
2
,
±
2
2 )
= log(1 +
1
2
+ 14 ) = log
7
4
< log 2,
concludiamo che
M = max f = log 2, min f = 0.
D
D
• Compito B. È analogo al compito A, basta scambiare la x con la y.
ESERCIZIO 3.
• Compito A. L’insieme D è la regione del piano al di sopra della parabola y = x2 e al di sotto della retta y = 1 con
0 ≤ x ≤ 1. Integrando per verticali otteniamo
Z Z
Z 1 Z 1
x3 ey dy dx
x3 ey dxdy =
x2
0
D
1
Z
x3 e − ex
=
2
dx
0
e
4
=
=
=
4 1
x 0−
e
4
−
e
4
−
1
2
1
2
1
Z
2
x3 ex dx = (sostituendo x2 = t, xdx = 21 dt)
0
1
Z
t et dt
0
t
1
te − et 0 =
Integrando invece per orizzontali si ottiene
Z Z
Z
3 y
x e dxdy =
D
√
1
Z
=
=
1
4
− 21 .
!
y
x3 ey dx dy
0
0
1
4
e
4
1
Z
y 2 ey dy
0
1
2 y
y e − 2yey + 2ey 0 = 41 (e − 2),
come sopra.
• Compito B. È analogo al compito A scambiando la x con la y. L’insieme D è la regione del piano al di sotto della
parabola x = y 2 e a sinistra della retta x = 1 con 0 ≤ y ≤ 1. Integrando per verticali si ottiene
!
Z Z
Z 1 Z √x
Z 1
3 x
3 x
y e dy dx = 41
y e dxdy =
x2 ex dx,
D
0
0
0
che è lo stesso integrale ottenuto prima integrando per orizzontali. Analogamente integrando per orizzontali si ottiene
Z Z
Z 1 Z 1
Z 1 2
y 3 ex dxdy =
y 3 ex dx dy =
y 3 e − ey dy,
D
0
y2
0
cioè lo stesso integrale ottenuto prima integrando per verticali.
ESERCIZIO 4.
1. Il polinomio caratteristico è p(λ) = λ4 + λ3 = λ3 (λ + 1) (compito A), p(λ) = λ4 − λ3 = λ3 (λ − 1) (compito B). Le
radici sono λ = 0 con molteplicità 3, e λ = −1 (compito A) oppure λ = 1 (compito B), con molteplicità 1. L’integrale
generale dell’equazione omogenea è
y(x) = ae−x + b + cx + dx2
x
(a, b, c, d ∈ R) (compito A),
2
(a, b, c, d ∈ R) (compito B).
y(x) = ae + b + cx + dx
Si calcola
y 0 (x) = −ae−x + c + 2dx,
0
x
y (x) = ae + c + 2dx,
y 00 (x) = ae−x + 2d,
00
x
y (x) = ae + 2d,
y 000 (x) = −ae−x
000
y (x) = ae
x
(compito A),
(compito B).
Imponendo le condizioni iniziali si ottengono i seguenti sistemi lineari 4 × 4:


a+b=0


a + b = 0



−a + c = 0
a + c = 0
compito A:
compito B:
a + 2d = 0

a + 2d = 0






−a = 1
a=1
,
le cui soluzioni sono


a = −1

b = 1
compito A:
c = −1



d = 21


a = 1

b = −1
compito B:
c = −1



d = − 21
.
La soluzione del problema di Cauchy è
compito A: y(x) = −e−x + 1 − x + 21 x2 ,
compito B: y(x) = ex − 1 − x − 21 x2 .
2. Poichè il termine forzante (2e−x nel compito A, 3ex nel compito B) è già soluzione dell’omogenea (corrispondente ad
una radice semplice del polinomio caratteristico), l’equazione non omogenea ha una soluzione particolare della forma
yp (x) = axe−x (compito A),
yp (x) = axex (compito B),
con a ∈ R. Si calcola
yp0 (x) = e−x (a − ax),
yp0 (x) = ex (a + ax),
yp00 (x) = e−x (ax − 2a),
yp00 (x) = ex (ax + 2a),
y 000 (x) = e−x (3a − ax),
y 000 (x) = ex (3a + ax),
y (4) (x) = e−x (ax − 4a) (compito A),
y (4) (x) = ex (ax + 4a) (compito B).
Sostituendo nell’equazione non omogenea si ottiene facilmente a = −2 (compito A), a = 3 (compito B), da cui
yp (x) = −2xe−x
(compito A),
yp (x) = 3xex
(compito B).