‫‪1‬‬
‫פתרון תרגיל בית ‪ - 1‬לוגיקה בסיסית ושיטות הוכחה‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫נקודות ‪15‬‬
‫‪ -P‬יש לדני מחברת‬
‫‪ -Q‬יש לדני קלמר‬
‫‪ -R‬דני ילך לבית הספר‬
‫טענה ‪:1‬‬
‫טענה ‪:2‬‬
‫‪(𝑃 ∧ ~Q) → R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪P‬‬
‫‪(~𝑃 ∧ ~Q) → ~R‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪F‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪F‬‬
‫‪T‬‬
‫‪F‬‬
‫‪T‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪F‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪F‬‬
‫‪T‬‬
‫‪F‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫‪T‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫נקודות ‪15‬‬
‫הוכיחו‪ /‬הפריכו‪:‬‬
‫א‪ .‬יהיו ‪ n,m‬מספרים שלמים המקיימים ש ‪ 𝑛 + 𝑚 -‬מתחלק ב‪ 3-‬ללא שארית‪ .‬אזי גם 𝑚 ‪ 𝑛 −‬מתחלק ב‪ 3-‬ללא‬
‫שארית‪.‬‬
‫ב‪ .‬יהיו ‪ n,m‬מספרים שלמים המקיימים ש ‪ 𝑛 − 𝑚 -‬מתחלק ב‪ 3-‬ללא שארית‪ .‬אזי גם 𝑚 ‪ 𝑛 +‬מתחלק ב‪ 3-‬ללא‬
‫שארית‪.‬‬
‫ג‪ .‬יהיו ‪ n,m‬מספרים שלמים המקיימים ש ‪ 𝑛 − 𝑚 -‬מתחלק ב‪ 3-‬ללא שארית‪ .‬אזי ל‪ n‬ול‪ m‬אותה שארית חלוקה‬
‫ב‪.3-‬‬
‫ד‪𝑚𝑖𝑛(𝑎, min(𝑏, 𝑐)) = min(min(𝑎, 𝑏) , 𝑐) .‬‬
‫פתרון שאלה ‪2‬‬
‫א‪ .‬הטענה לא נכונה‪ ,‬לדוגמא‪ 6=5+1 :‬מתחלק ב‪ 3-‬ללא שארית אבל ‪ 5-1=4‬לא מתחלק ב‪ 3-‬ללא שארית‪.‬‬
‫ב‪ .‬הטענה לא נכונה‪ ,‬לדוגמא‪ 7-1=6 :‬מתחלק ב‪ 3-‬ללא שארית אבל ‪ 7+1=8‬לא מתחלק ב‪ 3-‬ללא שארית‪.‬‬
‫ג‪ .‬הטענה נכונה‪ .‬הוכחה‪ :‬עבור כל מספר‪ ,‬שארית החלוקה שלו ב‪ 3‬היא ‪ .x%3‬לפי נתון‪ ,‬מתקיים ‪ ,n-m=3q‬אזי‬
‫‪ .n=3q+m‬כלומר שארית החלוקה של ‪ n‬ב‪ 3-‬היא ‪ .m%3‬מההגדרה של שארית חלוקה‪ ,‬זוהי גם השארית של‬
‫‪ m‬בחלוקה ב‪.3-‬‬
‫ד‪ .‬נוכיח בצורה ישירה ע"י חלוקה למקרים‪:‬‬
‫‪ .a‬אם ‪ a<=b<=c‬אז )‪min(a, min(b,c))=min(a, b)=a=min(a,c)=min(min(a,b),c‬‬
‫‪ .b‬אם ‪ a<=c<=b‬אז )‪min(a, min(b,c))=min(a, c)=a=min(a,c)=min(min(a,b),c‬‬
‫‪ .c‬אם ‪ b<=a<=c‬אז )‪min(a, min(b,c))=min(a, b)=b=min(b,c)=min(min(a,b),c‬‬
2
min(a, min(b,c))=min(a, b)=b=min(b,c)=min(min(a,b),c) ‫ אז‬b<=c<=a ‫ אם‬.d
min(a, min(b,c))=min(a, c)=c=min(a,c)=min(min(a,b),c) ‫ אז‬c<=a<=b ‫ אם‬.e
min(a, min(b,c))=min(a, c)=c=min(b,c)=min(min(a,b),c) ‫ אז‬c<=b<=a ‫אם‬
.f
15 ‫נקודות‬
3 ‫שאלה‬
‫סעיף א‬
( P  Q )  R P ~ Q
~ ( ( P ~ Q )  ~ R )
P
Q
R
~R
PQ
T
T
T
F
T
T
T
T
T
F
T
F
F
T
T
T
F
T
T
F
T
T
F
T
F
F
T
F
T
T
T
T
T
T
F
T
T
T
T
F
T
F
F
T
F
F
T
F
F
T
F
T
T
T
F
T
F
F
F
T
T
T
T
F
.‫ למשל שתי השורות המובלטות בטבלת האמת סותרות את השקילות הלוגית‬,‫ הם לא שקולים לוגית‬,‫לא‬
‫סעיף ב‬
P
Q
~Q
PQ
~ ( P  Q)
P ~ Q
T
T
F
T
F
F
T
F
T
F
T
T
F
T
F
T
F
F
F
F
T
T
F
F
.‫ כפי שמוכיחה טבלת האמת‬,‫כן‬
‫סעיף ג‬
P
Q
~P
PQ
( ~ P)  ( P  Q)
QP
~ (Q  P )
T
T
F
T
F
T
F
T
F
F
F
F
T
F
F
T
T
T
T
F
T
F
F
T
T
T
T
F
.‫שוויון‬-‫ השורה האחרונה (המסומנת) מובילה לאי‬,‫לא הם לא שקולים לוגית‬
‫‪3‬‬
‫נקודות ‪40‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫טענה ‪1‬‬
‫טענה‪∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ∖ ℤ, 𝑥𝑦 ∈ ℤ :‬‬
‫שלילה‪∃𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ∖ ℤ, 𝑥𝑦 ∉ ℤ :‬‬
‫נקודות ‪4‬‬
‫נקודות ‪4‬‬
‫‪~(𝑥𝑦 ∈ ℤ) ⇒ ~(𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ∖ ℤ) ≡ 𝑥𝑦 ∉ ℤ ⇒ (𝑥 ∉ ℝ ∖ ℤ ∨ 𝑦 ∉ ℝ ∖ ℤ ) :contrapositive‬‬
‫שלילה מילולית‪ :‬קיימין שני מספר ממשיים שאינם שלמים כך שמכפלתם אינה מספר שלם‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נראה דוגמה נגדית (כלומר שטענת השלילה היא אמת)‪.𝑥 = 0.5, 𝑦 = 0.5 :‬‬
‫הפרכה‬
‫נקודות ‪4‬‬
‫נקודות ‪4‬‬
‫נקודות ‪4‬‬
‫טענה ‪2‬‬
‫טענה‪∃𝑥 ∈ (0,1), ∀𝑦 ∈ (0,1), 𝑥 ≤ 𝑦 :‬‬
‫נקודות ‪5‬‬
‫שלילה‪∀𝑥 ∈ (0,1), ∃𝑦 ∈ (0,1), 𝑥 > 𝑦 :‬‬
‫נקודות ‪5‬‬
‫שלילה מילולית‪ :‬בקבוצת הממשיים הקטנים ממש מ‪ 1-‬וגדולים ממש מ‪ 0-‬לא קיים מספר שקטן או שווה מהשאר‪ .‬נקודות ‪5‬‬
‫הפרכה‪ :‬הטענה לא נכונה‪ ,‬נפריך ע"י הוכחה בשלילה‪ .‬נניח שקיים מספר שקטן או שווה מהשאר ונסמן אותו ב‪ .𝑥 -‬אזי‬
‫𝑥‬
‫𝑥‬
‫𝑥‬
‫בפרט עבור ‪ 𝑦 = 10‬נקבל כי 𝑥 ≥ 𝑦 ומכך נובע ש‪ , 10 ≥ 𝑥 > 10 -‬וזאת סתירה‪.‬‬
‫נקודות ‪5‬‬
‫נקודות ‪15‬‬
‫שאלה ‪5‬‬
‫נסמן ב‪ 𝑋 -‬את קבוצת הסטודנטים שלומדים בטכניון‪ ,‬וב‪ 𝑥 -‬סטודנט כלשהו מתוך קבוצה זו‪ .‬ניתן להניח כי 𝑋 מונה יותר‬
‫מסטודנט אחד‪.‬‬
‫נסמן את הפסוקים הבאים‪:‬‬
‫)𝑥(𝑃 ‪ -‬התלמיד ה‪ 𝑥 -‬יודע לוגיקה‪.‬‬
‫)𝑥(𝑄 ‪ -‬התלמיד ה‪ 𝑥 -‬יודע קומבינטוריקה‪.‬‬
‫)𝑥(𝑅 ‪ -‬התלמיד ה‪ 𝑥 -‬מצליח במבחן במתמטיקה דיסקרטית‪.‬‬
‫כתבו מילולית את הפסוקים הבאים‪:‬‬
‫א‪.∀𝑥 ∈ 𝑋: ~ 𝑃(𝑥) ∧ ~Q(𝑥) ⇒ ~𝑅(𝑥) .‬‬
‫ב‪.∃𝑥 ∈ 𝑋: ~𝑃(𝑥) ⇒ 𝑄(𝑥) .‬‬
‫ג‪.∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, 𝑥 ≠ 𝑦: (𝑃(𝑥) ∧ 𝑄(𝑥)) ∧ ~(𝑃(𝑦) ∧ 𝑄(𝑦)) ⇒ 𝑅(𝑥) ∨ ~𝑅(𝑦) .‬‬
‫פתרון שאלה ‪5‬‬
‫א‪ .‬עבור כל תלמיד בטכניון מתקיים שאם התלמיד לא יודע לוגיקה וקומבינטוריקה אז הוא לא מצליח במבחן‬
‫במתמטיקה דיסקרטית‪.‬‬
‫ב‪ .‬קיים תלמיד בטכניון אשר לא יודע לוגיקה ולכן (כן) יודע קומבינטוריקה‪.‬‬
‫ג‪ .‬לכל זוג תלמידים שונים בטכניון‪ ,‬אם התלמיד הראשון יודע לוגיקה וקומבינטוריקה והתלמיד השני לא יודע‬
‫לוגיקה וקומבינטוריקה יחדיו (כלומר‪ ,‬לא יודע גם לוגיקה וגם קומבינטוריקה) אז מתקיים כי התלמיד הראשון‬
‫מצליח במבחן במתמטיקה דיסקרטית ו\או שהתלמיד השני לא מצליח בו‪.‬‬