Çàäà÷à î ñâîáîäíîì ýëåêòðîíå è îòîíå
Áóëûãèí Â.Ñ.
2 íîÿáðÿ 2012 ã.
Ïîêàçàòü, ÷òî ñâîáîäíûé ýëåêòðîí íå ìîæåò íè ïîãëîòèòü, íå èçëó÷èòü îòîí (çàäà÷à 8.66).
Ïîãëîùåíèå îòîíà ñâîáîäíûì ýëåêòðîíîì.
Ýëåêòðîí ïðè âñåõ ýêñïåðèìåíòàëüíî äîñòóïíûõ ñåãîäíÿ ýíåðãèÿõ (ïîðÿäêà ñîòåí ýâ, ýíåðãèÿ
ïîêîÿ ýëåêòðîíà ∼ 0,5 Ìýâ) ÿâëÿåòñÿ áåññòðóêòóðíîé ÷àñòèöåé, â êîòîðîé íå ìîãóò âîçáóæäàòüñÿ íèêàêèå âíóòðåííèå ñòåïåíè ñâîáîäû, ïîýòîìó çäåñü ýëåêòðîí ìîæíî ñ÷èòàòü
p ÷àñòèöåé
2
ñ ýíåðãèåé, îïðåäåëÿåìîé âûðàæåíèåì mc γ (è ðåëÿòèâèñòñêèì èìïóëüñîì mc γ 2 − 1).
Ïåðåéä¼ì â ñèñòåìó îòñ÷¼òà, ãäå ýëåêòðîí ñíà÷àëà ïîêîèëñÿ.
E
m
m
b
E
p = c
Ee = mc2 γ
p
pe = mc γ 2 − 1
Èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè E + mc2 = mc2γ ñëåäóåò:
èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà
E = mc2 (γ − 1) ,
p
E
p = pe , èëè c = mc γ 2 − 1
(1)
ïîëó÷àåì:
(2)
Ïðèðàâíÿâ (1) è (2) ïîñëå âîçâåäåíèÿ â êâàäðàò ïîëó÷àåì: γ 2 − 2γ + 1 = γ 2 − 1, îòêóäà
íàõîäèì, ÷òî åäèíñòâåííûé êîðåíü ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ γ = 1, ò. å., ñîãëàñíî (1) è (2),
çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè è èìïóëüñà ìîãóò îäíîâðåìåííî âûïîëíÿòüñÿ â ýòîì ïðîöåññå
òîëüêî ïðè E = 0 ïðè îòñóòñòâèè îòîíà.
Äàííûé ðåçóëüòàò ìîæíî ïîëó÷èòü è áåç âû÷èñëåíèé, åñëè ðàññìàòðèâàòü ïðîöåññ ïîãëîùåíèÿ îòîíà ýëåêòðîíîì â ñèñòåìå îòñ÷¼òà, â êîòîðîé ýëåêòðîí ïîêîèòñÿ ïîñëå ïîãëîùåíèÿ
îòîíà. Òàê êàê îòîí äâèãàåòñÿ (è, ñëåäîâàòåëüíî, èìååò èìïóëüñ) â ëþáîé ñèñòåìå îòñ÷¼òà,
òî â âûáðàííîé ñèñòåìå îòñ÷¼òà ïî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà (ñóììàðíûé èìïóëüñ ðàâåí
íóëþ) ýëåêòðîí äî ïîãëîùåíèÿ îòîíà òàêæå äîëæåí äâèãàòüñÿ. Ïîýòîìó ýíåðãèÿ ñèñòåìû
ýëåêòðîí+îòîí äî ïîãëîùåíèÿ îòîíà áóäåò áîëüøå (äàæå áåç ó÷¼òà ýíåðãèè îòîíà), ÷åì
ýíåðãèÿ ïîñëå ïîãëîùåíèÿ îòîíà çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè è èìïóëüñà íå ìîãóò îäíîâðåìåííî âûïîëíÿòüñÿ, ïðîöåññ íåâîçìîæåí.
E = mc2
p
γ2 − 1 .
1
Èçëó÷åíèå îòîíà ñâîáîäíûì ýëåêòðîíîì.
Çäåñü òàêæå ìîæíî ïðîâåñòè ðàññóæäåíèÿ, àíàëîãè÷íûå òîëüêî ÷òî ïðèâåä¼ííûì.
Ôîòîí äâèãàåòñÿ â ëþáîé ñèñòåìå îòñ÷¼òà, ïîýòîìó, î÷åâèäíî, ÷òî åñëè ñîáûòèå: èçëó÷åíèå
îòîíà ñâîáîäíûì ýëåêòðîíîì, ïðîèñõîäèò (èëè íå ïðîèñõîäèò) â êàêîé-ëèáî ñèñòåìå îòñ÷¼òà,
òî îíî ïðîèñõîäèò (èëè íå ïðîèñõîäèò) è â ëþáîé äðóãîé ñèñòåìå îòñ÷¼òà.
àññìîòðèì ñèñòåìó îòñ÷¼òà, â êîòîðîé ýëåêòðîí ïîêîèëñÿ äî èçëó÷åíèÿ îòîíà. Èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà ñëåäóåò, ÷òî ýëåêòðîí ïîñëå èçëó÷åíèÿ îòîíà äîëæåí äâèãàòüñÿ,
ïîýòîìó ýíåðãèÿ ñèñòåìû ýëåêòðîí+îòîí ïîñëå èçëó÷åíèÿ îêàçûâàåòñÿ áîëüøå, ÷åì ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà äî èçëó÷åíèÿ çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè è èìïóëüñà íå ìîãóò âûïîëíÿòüñÿ
îäíîâðåìåííî, è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðîöåññ èçëó÷åíèÿ íåâîçìîæåí â ëþáîé ñèñòåìå îòñ÷¼òà.
Ñâÿçü ìåæäó Epè p ñëåäóåò èç îáùåé ñâÿçè ìåæäó ýíåðãèåé è èìïóëüñîì ðåëÿòèâèñòñêîãî îáúåêòà E = c p2 + m2c2, (m = 0) è äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû áûëà ïîëó÷åíà åù¼
Ìàêñâåëëîì.
 îòäåëüíîì íåðåëÿòèâèñòñêîì ðàññìîòðåíèè äàííîé çàäà÷è íåò íåîáõîäèìîñòè. Êëàññè÷åñêàÿ ìåõàíèêà ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíûì ÷àñòíûì ñëó÷àåì ðåëÿòèâèñòñêîé ìåõàíèêè, è åñëè
êàêîé-ëèáî èçè÷åñêèé ïðîöåññ íåâîçìîæåí èç-çà íàðóøåíèÿ ðåëÿòèâèñòñêèõ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè è èìïóëüñà, òî ýòîò çàïðåò áóäåò àáñîëþòíûì è íå ìîæåò áûòü ñíÿò ïðèìåíåíèåì êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè.