APROVA +
Curitiba 2021
Livro do PROFESSOR | matemática
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© 2021 – SAE DIGITAL S/A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização
por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais.
Catalogação na Publicação (CIP)
Aprova +: matemática: livro do professor / SAE DIGITAL S/A. - 1. ed. - Curitiba, PR : SAE
DIGITAL S/A, 2021.
180 p. : il. ; 28 cm.
ISBN 978-65-5593-751-0
1. Ensino Médio. 2. Matemática. 3. Universidades e faculdades – Vestibular.
I. Título.
CDD: 510
CDU: 37.046.14:51:371.1
Diretoria editorial Lucélia Secco
Gerência editorial Tassiane Aparecida Sauerbier
Coordenação editorial Ednei Leite de Araújo
Edição Eliane Peixoto de Lima, Rodrigo Zeni Stocco, Vanessa Almeida Da Silveira, Vivian de Paula Ribeiro,
Gabrielly Halas, Vanessa Chevitarese de Oliveira
Revisão Everson de Lara Caetano, Gabriele Varão, Juliana Basichetti Martins, Priscila Sousa, Thainara
Gabardo, Victor Truccolo
Cotejo Anna Karolina de Souza, Ludmilla Borinelli, Rafaella Ravedutti, Wagner Revoredo
Coordenação processos Janaina Alves
Processos Janio Lima, Raul Jungles, Vitor Ribeiro
Coordenação qualidade
Qualidade Brunno Freire, Igor Spisila, Mariana Chaves
Supervisão de produção visual Jéssica Suelen de Morais
Iconografia Jhennyfer Pertille
Cartografia Júlio Manoel França da Silva
Ilustrações Carlos Morevi, Deny Machado, Scarllet Anderson, Douglas Lopes Alves de Souza, Flavio Saburo
Munhoz de Oliveira
Arte da capa Guilherme Reginato
Projeto gráfico Thiago Figueiredo Venâncio
Diagramação André Lima, Gustavo Ribeiro Vieira, Jéssica Suelen de Morais, Jéssica Xavier de Carvalho, Leôncio
Santana, Luana Santos, Luisa Piechnik Souza, Mariana Oliveira, Mateus Marcos Bonn, Ralph
Glauber Barbosa, Raphaela Candido, Silvia Santos, Thaísa Werner, Thiago Figueiredo Venâncio
Créditos da capa Pixel-Shot/Shutterstock
Autores Daniela Buscaratti de Souza Tatarin, Alexandre Olsemann, Cione Haires dos Santos Kotlevski,
Enilda das Graças Pacheco, Alessandra Aparecida Domingues, Adriana Sydor de Paula.
Autores Marina Vargas Reis de Paula Gonçalves, Stela Angelozi Leite, Ulysses Teixeira de Deus Bueno
Todos os direitos reservados.
SAE DIGITAL S/A.
R. João Domachoski, 5. CEP: 81200-150
Mossunguê – Curitiba – PR
0800 725 9797 | Site: sae.digital
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IV
Estrutura da coleção
VI
Recursos de aprendizagem
VIII
Trilhas digitais
X
Recursos para o professor
X
Quadros de conteúdos
XI
Conhecimentos de Matemática
XII
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SUMÁRIO
Aprova + SAE Digital
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LIVRO DO PROFESSOR
Aprova + SAE Digital
A Educação Básica brasileira vem, ao longo dos últimos anos, passando por uma série de mudanças que
visam à garantia de uma educação universal, voltada ao desenvolvimento de competências e habilidades
cognitivas, mas também atitudinais. A reforma do Ensino Médio, pautada pela Lei n. 13.415/2017, trouxe mudanças significativas para esse segmento e, com elas, diversos desafios. Dialogando com o Plano Nacional
de Educação (2014), o Novo Ensino Médio é um projeto amplo de reestruturação desse segmento. A nova
proposta tem como objetivo principal estabelecer um ensino com mais qualidade, que considere os interesses dos jovens, diante das exigências do mundo contemporâneo e do dinamismo das novas tecnologias.
As mudanças previstas pela reforma são sustentadas pelos seguintes documentos:
●
Diretrizes curriculares nacionais do Ensino Médio (DCEM), de 2018;
●
Lei de diretrizes e bases (LDB), atualizada em 2017;
●
Base Nacional Comum Curricular (BNCC), de 2018.
Ainda em período de implementação, para a qual estão sendo elaboradas diretrizes, a reforma elucida
a importância dessa etapa de estudos para a definição do futuro dos alunos e a necessidade de os sistemas
de ensino oferecerem meios para
●
o desenvolvimento da autonomia e do protagonismo juvenis;
●
o estímulo à escolha dos jovens na construção de seus projetos de vida.
Considerando esses objetivos, e em consonância com nossa missão: Desbravar o caminho para uma
educação excelente e acessível, que permita a cada aluno e educador escolher e concretizar os próprios sonhos, o SAE Digital concebeu uma solução didática que promove o acesso à ciência, à tecnologia e à cultura
por meio de leituras críticas da realidade, resoluções de situações-problema, hierarquização e sistematização dos objetos de conhecimento. Objetiva-se, desse modo, a consolidação das competências necessárias
para a aprovação dos estudantes nos vestibulares e para o êxito em sua vida acadêmica.
São utilizados como referências didático-pedagógicas de nossa solução:
Matriz de Referência do ENEM, de 2009.
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Base Nacional Comum Curricular, de 2018.
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IV
●
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●
Aprovação
●● Bateria de questões do Enem e de vestibulares para a prática e testagem dos
conhecimentos;
●● Recursos digitais que ampliam a exploração dos temas;
●● Ferramentas de sistematização dos conteúdos estudados;
●● Relatórios de desempenho para os alunos, orientando-os para os próximos passos nos estudos.
●● Solução comentada em vídeo para todas as questões presentes no livro;
●● Ambiente virtual de aprendizagem com mais questões, que contribuem para o
reforço dos estudos;
LIVRO DO PROFESSOR
O ingresso no Ensino Superior é o principal objetivo dos alunos neste momento
de suas vidas. Dessa forma, o SAE Digital se propõe a contribuir para que alcancem
esse sonho oferecendo um conjunto de soluções didáticas diferenciadas, listadas
abaixo, agregadas à apresentação dos principais conteúdos avaliados no Enem e em
vestibulares:
●● Ferramenta digital para a prática de produção de textos.
Esses recursos oferecem importante suporte ao trabalho do professor e, mais do
que isso, garantem a possibilidade de que os alunos se preparem de forma autônoma,
sendo protagonistas na organização de sua rotina de estudos de acordo com suas
principais necessidades.
Objetivando a aprovação nos vestibulares e um excelente desempenho no Enem
oferecemos como parte dessa coleção recursos avaliativos que permitirão acompanhar o desempenho dos alunos, propiciando diagnósticos mais precisos sobre a
aprendizagem de cada conteúdo, permitindo uma intervenção estratégica e pedagógica pelos professores, para direcionar esforços na melhoria no desempenho dos
alunos no Enem e nos vestibulares.
●● Simulados Enem (com correção pelo método TRI e correção de redações pelo
SAE);
●● Simulado Fuvest;
●● Desafios bimestrais;
●● Ferramenta para que os professores gerem suas provas.
Modelo híbrido de Educação
Corroborando para a aprovação plena do aluno, o material do Aprova + promove o
ensino híbrido, pois mescla o estudo presencial com propostas de estudo on-line. Com
base nesse ensino temos o trinômio on school, online e on time, dando mais autonomia e
liberdade para a aprendizagem de cada aluno.
●● On school: o que o aluno faz no espaço da escola na interação entre professores e colegas nas aulas
presenciais.
●● Online: o que o aluno faz junto com a escola, em tempo real, porém com uso de tecnologias de forma
síncrona, como nas aulas on-line.
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V
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●● On time: o que o aluno faz além da escola, de modo autônomo e personalizado conforme seu interesse,
no tempo e espaço que escolher, fazendo uso da tecnologia de forma assíncrona, como na plataforma
do SAE Digital com as trilhas de aprendizagem, Escola Digital, resolução das questões por meio do QR
Code, livro digital, Projeto de Vida.
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Estrutura da coleção
A coleção Aprova + é composta de:
●● 5 livros do aluno organizados em 4 volumes.
●● 5 livros do professor para cada componente curricular organizados em 4 volumes.
LIVRO DO PROFESSOR
●● 1 volume Livro da coordenação.
●● Materiais complementares anuais: Arte, Sociologia, Filosofia e Língua Espanhola.
Volume
Número de
livros
Abordagem
Número de
semanas
1
1
Matriz do Enem e dos
principais vestibulares
8
2
1
Matriz do Enem e dos
principais vestibulares
8
1
Matriz do Enem e dos
principais vestibulares
8
Matriz do Enem e dos
principais vestibulares
4
Revisão anual
4
Matriz do Enem e dos
principais vestibulares
32
3
4
Componentes
curriculares
Língua Portuguesa • Língua
Inglesa • Matemática •
Física • Química • Biologia •
Geografia • História
2
Anual
1
Arte • Filosofia • Sociologia •
Língua Espanhola
Organização por componente curricular
Língua Portuguesa
Língua Inglesa
Matemática
VI
Física
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Número de
frentes
3
1
3
3
Ênfase
Aulas por semana
Língua
2
Leitura e produção de texto
1
Literatura
2
-
2
Álgebra e funções
2
Geometria, grandezas e medidas
2
Trigonometria e contagem
1
Mecânica
2
Ondulatória e termologia
1
Eletricidade
1
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Componente curricular
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O Livro do aluno está organizado em frentes que concentram grandes temas:
Química
Biologia
Geografia
História
Número de
frentes
3
3
Ênfase
Aulas por semana
Matéria e suas transformações
2
Grandezas e cálculos químicos
1
Moléculas e reações orgânicas
1
Seres vivos
1
Ecologia e botânica
1
Citologia, genética e evolução
1
Geografia Geral e do Brasil
2
Geopolítica e regionalização
1
História Geral
2
História do Brasil
1
LIVRO DO PROFESSOR
Componente curricular
2
2
Sociologia
1
-
1
Língua Espanhola
1
-
1
Arte
1
-
1
Filosofia
1
-
1
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VII
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*Na apresentação da programação anual de conteúdos, de cada um dos componentes curriculares, serão evidenciadas as organizações
curriculares, bem como indicado o número de aulas necessárias para o trabalho com cada um dos módulos de conteúdo.
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Recursos de aprendizagem
Os livros apresentam uma organização de conteúdos e propostas de atividade que evidencia a sequência didática da coleção e
oferece ferramentas para auxiliar a prática dos professores e o estudo dos alunos.
LIVRO DO PROFESSOR
Estrutura do material
Objetos digitais: conteúdos explorados digitalmente de
forma interativa, criados por meio de recursos como vídeos,
animações, gamificações e 3D.
Escola digital: para todos os módulos são disponibilizadas, por meio de QR codes, videoaulas dinâmicas que exploram
o conteúdo e permitem que os alunos se preparem para as aulas e tenham a possibilidade de retomar explicações dos assuntos estudados anteriormente.
Remissão às questões: no livro do professor são indicadas algumas questões que podem ser exploradas durante a
explanação teórica, pois auxiliam na compreensão da aplicabilidade do conteúdo.
Conteúdo: retomada dos conteúdos estudados ao longo da vida escolar dos alunos. A abordagem revisional objetiva
o reforço desses temas, bem como o desenvolvimento de relações entre conteúdos e conceitos, e a compreensão de suas
aplicabilidades. Os conteúdos são explorados de forma dinâmica, considerando sempre a abordagem do Enem e dos principais vestibulares do país.
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VIII
Seção Interação: proposta de
atividade na qual são apresentadas
situações relacionadas à realidade do
aluno e exigem a aplicação dos conteúdos estudados para serem solucionadas. Nessa seção são indicadas
as competências e habilidades do
Enem e/ou da BNCC exploradas.
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Seção Fixar: ao final da explicação teórica, os conteúdos são
sistematizados por meio de mapas
mentais, esquemas, fórmulas e definição de conceitos. Os QR codes
presentes nessa seção direcionam a
vídeos explicativos da aplicabilidade
do conteúdo nas atividades.
Médio
Difícil
Fácil
Enem e vestibulares: questões selecionadas das últimas aplicações do Enem e dos principais
vestibulares do país, organizadas por
nível de dificuldade. Nessa seção são
indicadas as competências e habilidades da Matriz do Enem exploradas,
assim como o nível de dificuldade
de cada uma das questões. Todas as
questões possuem um QR code que
direciona a um vídeo explicativo da
resolução.
LIVRO DO PROFESSOR
Sistematização: para os componentes curriculares Matemática,
Física e Química, são apresentados
exercícios que exploram a prática de
raciocínios fundamentais para o desenvolvimento de cada conteúdo, de
forma a contribuir para a fixação de
conceitos básicos do módulo.
Gabarito e solucionário*: podem ser acessados pela leitura dos
QR codes ao final de cada módulo.
Cartão-resposta*: os cartões devem ser preenchidos ao final de cada módulo. Com auxílio de um APP de
leitura, os alunos receberão relatórios de desempenho e
serão direcionados ao AVA para uma trilha digital.
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*Os cartões-respostas permitem o preenchimento
apenas das respostas das questões de múltiplaescolha, para que seja possível a leitura e a geração
dos relatórios. Assim como em provas oficiais, o
preenchimento deve ser feito em caneta azul ou
preta, sem rasuras, para que a leitura seja possível
por meio do aplicativo.
IX
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*Para a seção Interação, os gabaritos podem
apresentar a solução da questão ou um comentário,
caso a questão não tenha uma resposta objetiva.
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Trilhas digitais
LIVRO DO PROFESSOR
Nessa etapa da vida escolar, voltados para o objetivo de ingressar nas universidades, os alunos precisam
de auxílio na organização de seus estudos. É preciso que, ao longo do processo, consigam identificar seus
pontos fortes e seus pontos de desenvolvimento para que consigam atingir seu objetivo.
Com esse intuito, o SAE Digital oferece, como parte fundamental de sua solução didática, recursos digitais que devem fazer parte da rotina de estudos. Esses recursos norteiam a organização do aluno, por meio
de trilhas que permitem o estudo autônomo.
Além do material impresso e das avaliações, a Trilha digital apresenta mais de 400 videoaulas e mais de
400 vídeos na Seção Fixar, que correspondem aos módulos do material impresso. Além disso, os mais de 10
mil exercícios do material têm suas resoluções comentadas em vídeos. Por fim, alunos e professores contarão com mais de 4000 questões no AVA para o acompanhamento e consolidação da aprendizagem.
●● A trilha tem início pelo estudo proposto no livro do aluno e pelo acompanhamento das aulas.
●● As videoaulas da Escola digital e da seção Fixar devem auxiliar os alunos nesse estudo, antes de
darem início à resolução das questões.
●● Após a resolução das questões, e o preenchimento e a leitura do cartão-resposta, os alunos terão
identificado os pontos aos quais devem dedicar maior atenção.
●● Eles devem, então, assistir aos vídeos das resoluções das questões e, no
AVA resolver mais questões referentes aos temas de maior dificuldade.
●● Os desafios e simulados permitem que os alunos analisem o rendimento de seus estudos e identifiquem o que falta para alcançarem
seus objetivos.
Recursos para o professor
Para os professores oferecemos recursos que os auxiliarão na organização e preparação de suas aulas,
permitindo uma análise diagnóstica de suas turmas.
Gerador de provas
O gerador de provas é um instrumento que auxilia o professor a criar, formatar e aplicar atividades e
provas para seus alunos. Com mais de 80.000 questões, é um banco constantemente atualizado, construído
para permitir ao docente inserir itens autorais, fazer adaptações em questões de domínio público e, o mais
importante, agrupar as atividades de forma rápida e eficiente, facilitando a aplicação e o envio aos alunos.
Essa ferramenta foi construída para potencializar e personalizar o processo de ensino e
aprendizagem, além de facilitar algumas tarefas onerosas aos professores: construção,
edição e aplicação de atividades e provas.
GoogleMeet
Em parceria com o Google, o SAE Digital incorporou o Google Meet ao AVA.
Com essa ferramenta, os professores podem realizar aulas on-line por meio de
videochamadas com alta qualidade de imagem, praticidade e segurança.
Esta tecnologia facilita, aproxima e reforça a comunicação entre alunos e
professores, fazendo com que o aprendizado continue acontecendo fora da escola preconizando a autonomia e a aprovação plena dos estudantes.
Durante as aulas on-line é possível:
●● Visualizar todos os alunos participantes;
●● projetar a tela para apresentar conteúdos diversos, como imagens, infográficos, vídeos e jogos educacionais;
As aulas on-line realizadas por meio do Google Meet podem
ser agendadas por turma diretamente pelo AVA, notificando alunos e família sobre a data e horário do encontro virtual. Basta
preencher alguns campos e com poucos cliques a aula on-line
está programada. Dentro da AVA é possível ainda conferir todos
os agendamentos e o histórico de aulas on-line realizadas.
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X
O Google Meet pode ser acessado tanto do computador
quanto de dispositivos móveis, promovendo grande comodidade
na participação dos alunos nas aulas. Tudo isso com o design e
a segurança garantidos pelo Google para assegurar sua privacidade e proteger suas informações em uma experiência de uso
descomplicada.
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●● usar o bate-papo para incentivar a participação dos alunos,
funcionando como um canal de comunicação simples e rápido para perguntas e respostas.
Mark Nazh/Shutterstock
●● compartilhar links e materiais complementares, sendo uma ótima
oportunidade para aproveitar conteúdos interativos; e
Relatórios
O AVA é um grande aliado de toda a comunidade escolar. Os conteúdos disponibilizados estão em conformidade com o material
impresso, oferecendo importantes complementos para o aprendizado dos alunos por meio de atividades, questões e videoaulas.
Esta ferramenta educacional conta com mecanismos de acompanhamento da evolução dos alunos, dos professores e da escola, instrumentalizando os agentes envolvidos para diversificar as atividades, fomentar o comprometimento de todos e o uso de
metodologias ativas.
LIVRO DO PROFESSOR
Dados e relatórios são gerados durante e após a realização de atividades, possibilitando a análise de desempenho de alunos, turmas e componentes curriculares. Com isso, pode-se identificar com maior precisão os pontos fortes e as dificuldades de cada estudante, permitindo ao professor criar planos personalizados de ensino e
programar atividades para cada turma de maneira individual e independente.
Os relatórios disponíveis fornecidos por essa ferramenta possuem três segmentações básicas.
Visão do aluno
●
Coeficiente acadêmico geral, que é um resumo da média de pontuação de todos as suas atividades;
●
Maior pontuação da sua turma;
●
Média de pontuação da sua turma;
●
Sua posição na turma com base na pontuação alcançada.
Com esses indicadores, o aluno pode entender quais conteúdos tem assimilado com mais facilidade e aqueles que
possui maior dificuldade. É mais uma maneira de promover a autonomia e o protagonismo do aluno no seu processo de
ensino-aprendizagem.
Visão do professor
●
Percentual de engajamento dos alunos, ou seja, quantos concluíram as atividades agendadas;
●
Quantidade de acertos e erros obtidos pelos alunos nas atividades realizadas;
●
Índice com a média geral de pontuação de todos os seus alunos;
●
Indicador de turma e componente curricular com melhor e pior desempenho sob sua responsabilidade.
A partir dessas informações, o professor consegue identificar quais são as maiores dificuldades dos seus alunos e elaborar
planos de ação e práticas pedagógicas para atuar nesses pontos específicos, facilitando também o entendimento da eficiência das atividades realizadas.
Visão da coordenação
●
Acompanhamento por aluno com todas as suas pontuações;
●
Acompanhamento das atividades agendadas pelos professores;
●
Relatório de atividades de reforço agendadas;
●
Contabilização de aulas on-line e do tempo que os alunos permaneceram assistindo;
●
Indicador de turma e componente curricular com melhor desempenho.
Um olhar mais abrangente possibilita que coordenadores e gestores possam acompanhar a evolução da escola como um
todo, podendo realizar análises de alunos individualmente, de turmas inteiras e dos componentes curriculares.
Quadros de conteúdos
Os quadros apresentados a seguir destacam a organização dos conteúdos de cada um dos componentes curriculares, em suas
frentes, ao longo do ano letivo de 32 semanas. Intercaladas às semanas de conteúdo, propomos semanas para a aplicação das
avaliações. O calendário com essas informações está no Portal SAE Digital.
o número dos módulos;
●
o tema abordado em cada um deles;
●
os conteúdos foco de cada tema;
●
e o número de aulas previsto para cada um deles.
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XI
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Os quadros trazem informações essenciais para a organização das aulas:
●
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Conhecimentos de Matemática
Dessa forma, a Matemática do Ensino Médio possibilita ao aluno o desenvolvimento de uma visão mais integrada não apenas
dessa ciência, mas também de sua relação com outras áreas e de suas aplicações à realidade. Assim, é possível aplicá-la como instrumento e como maneira de desenvolver habilidades de raciocínio e pensamento crítico.
Os conteúdos estão organizados em três frentes: a frente A tem como foco a álgebra e as funções; a frente B privilegia o trabalho com geometria, matrizes e sistemas lineares; por fim, a frente C contempla o conteúdo de triângulos, trigonometria, contagem,
probabilidade e estatística.
Quadro de conteúdos - Matemática
Frente A: Álgebra e funções
Módulo
3
2
Potenciação,
Radiciação e Equações
quadráticas
Potenciação e Radiciação • Propriedades da potenciação • Notação
científica • Relação entre potenciação e radiciação • Racionalização
de denominadores • Equação do 2.º grau na incógnita x • Fórmula
resolutiva • Interpretação do sinal do discriminante • Forma fatorada
e relações de Girard • Modelagem algébrica de problemas do 2.º grau:
situações cuja modelagem recai em equações do 2.º grau
3
3
Conjuntos
Representação • Pertinência • Subconjuntos • Diagrama de Venn
Operações com conjuntos • Propriedades • Conjuntos numéricos
2
4
Conjuntos numéricos
e relações
Problemas envolvendo conjuntos numéricos • Produto cartesiano •
Propriedades do produto cartesiano • Relação binária
2
Funções do 1.º grau
Conceitos básicos de funções • Funções como relações entre
conjuntos • Representação por diagramas, tabelas e gráficos • Domínio
e contradomínio de uma função • Definição de função • Variável
independente e variável dependente • Raiz (ou zero) da função •
Função afim • Função constante • Gráficos de funções do 1.º grau •
Taxa de variação • Crescimento e decrescimento de uma função •
Inequações do 1.º grau • Sinais de uma função do primeiro grau.
3
Progressão Aritmética
Definição de sequências (recursivas e não recursivas) • Problemas
envolvendo sequências recursivas e não recursivas • Definição
de progressão aritmética • Termo geral • Propriedade de uma P.A.
• Notações particulares • Soma dos termos de uma progressão
aritmética • Termo médio • Soma finita de termos de uma progressão
aritmética • Problemas envolvendo termo médio e soma finita de uma
progressão aritmética.
3
7
Funções do 2.º grau
Definição • Elementos do gráfico da função quadrática • Concavidade
do gráfico da função quadrática • Raízes de uma função do 2.º grau •
Relações entre coeficientes e raízes • Gráfico de uma função do 2.º grau •
Imagem de uma função quadrática • Forma fatorada da função quadrática
• Valor máximo ou mínimo da função quadrática • Estudo do sinal de uma
função do 2.º grau • Transformações geométricas da parábola (simetria e
translação) • Modelagem algébrica envolvendo funções do 2.º grau
3
8
Inequações do 1.º e
2.º grau
Resolução de inequações do 1.º ou do 2.º grau pelo estudo do sinal
2
9
Função modular
Definição • Equações modulares • Inequações modulares
3
10
Composição e
inversão de funções
Paridade • Injetividade • Sobrejetividade • Função inversa • Função
composta • Definição de composição • Domínio/imagem da função
composta
3
11
Inequações produto e
quociente
Inequações produto e quociente • Função definida por várias
sentenças
2
12
Função exponencial
Equações exponenciais • Definição • Gráfico • Modelo exponencial •
Assíntota
3
6
XII
Quantidade
de aulas
Álgebra elementar
5
2
Conteúdos foco
Valor numérico de uma expressão algébrica • Produtos notáveis •
Fator comum • Diferença entre dois quadrados • Trinômio quadrado
perfeito • Equações do 1.º grau • Resolução • Solução • Modelagem
algébrica de problemas do 1.º grau
1
1
Título
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Livro
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LIVRO DO PROFESSOR
A construção da Matemática tem como um de seus focos a investigação dos padrões e das regularidades presentes em diversos contextos, de modo que estes podem ser relacionados até mesmo a outras ciências. Por isso, os conhecimentos matemáticos
estão muitas vezes unidos ao cotidiano, em um coletivo de situações do dia a dia em que a matemática está presente de maneira
evidente e/ou intrínseca.
Módulo
Título
Conteúdos foco
Quantidade
de aulas
13
Logaritmos
Definição de logaritmo • Condições de existência do logaritmo •
Propriedades • Mudança de base
3
14
Função logarítmica
Equação logarítmica • Definição • Gráfico • Propriedades • Inequação
logarítmica
3
15
Aplicações dos
logaritmos
Relações entre funções logarítmicas e exponenciais (logaritmos
no modelo exponencial) • Relações entre funções logarítmicas e
exponenciais (logaritmos no modelo exponencial)
2
16
Progressão
Geométrica
Progressão geométrica: Definição • Termo geral da P.G. • Propriedade
• Notações particulares • Soma dos termos de uma P.G. finita • Soma
dos termos de uma P.G. infinita
3
17
Sequências
Progressão aritmética de segunda ordem • Problemas que envolvem
P.A. e P.G.
2
18
Matemática financeira
Juros simples • Juros compostos • Problemas envolvendo juros simples,
compostos, aumentos e descontos sucessivos
3
19
Números complexos:
definição e operações
na forma algébrica
Conjunto dos números complexos • Forma algébrica • Igualdade
• Nulidade • Imaginário puro • Operações na forma algébrica •
Argumento de um número complexo • Conjugado de um número
complexo • Operações com números complexos • Potências de i
2
20
Números complexos:
forma trigonométrica
e operações
Plano de Argand-Gauss • Módulo • Forma trigonométrica • Operações
na forma trigonométrica
2
21
Polinômios
Definição de polinômio • Grau e valor numérico de um polinômio
• Raiz ou zero de um polinômio • Identidade de polinômios •
Operações com polinômios • Método das chaves • Teorema do resto •
Dispositivo prático de Briot-Ruffini • Teorema do resto • Relação entre
divisibilidade e raízes de polinômios
2
22
Equações algébricas
Relações de Girard • Teorema de D’Alembert • Teorema fundamental
da Álgebra • Multiplicidade de uma raiz • Raízes imaginárias
conjugadas
2
23
Conjuntos e funções
do 1.º e 2.º grau
Conjuntos • Conjuntos numéricos • Definição de função • Funções do
1.º grau • Estudo do sinal de funções do 1.º grau • Função quadrática •
Raízes • Concavidade • Estudo do sinal
2
24
Inequações, funções,
exponencial e
logaritmo
Inequações produto e quociente • Função composta • Função
inversa • Equações exponenciais • Equações logarítmicas • Funções
exponenciais • Funções logarítmicas
2
25
P.A., P.G. e matemática
financeira
Termo geral • Propriedade de uma P.A. e de uma P.G. • Soma dos
termos de uma P.A. e de uma P.G. • Porcentagens • Juros simples •
Juros compostos
2
26
Números complexos e
equações algébricas
Números complexos • Equações algébricas
2
LIVRO DO PROFESSOR
Livro
3
4
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XIII
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PI_EXT21_1_MAT_LP
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Frente B: Geometria, grandezas e medidas
LIVRO DO PROFESSOR
Livro
Módulo
Título
Conteúdos foco
Quantidade
de aulas
1
Razão e proporção
Razão e proporção • Grandezas diretamente e inversamente
proporcionais • Regra de três
2
2
Porcentagens e sistemas
de equações
Porcentagem como razão entre parte e todo • Aumentos e descontos
percentuais e sucessivos • Resolução de sistemas do 1.º grau •
Resolução de sistemas do 2.º grau
2
Geometria euclidiana
Ponto • Reta • Plano • Ângulos • Retas paralelas cortadas por
transversais: Ângulos complementares e ângulos suplementares
• Ângulos congruentes e segmentos proporcionais • Ângulos
opostos pelo vértice • Teorema de Tales
3
Triângulos e polígonos
Classificação e desigualdade triangular • Soma das medidas dos
ângulos internos de um triângulo • Teorema do ângulo externo
• Pontos notáveis do triângulo • Base média de um triângulo •
Teorema da bissetriz interna • Congruência e semelhança de
triângulos • Polígonos: Definição • Cálculo do número de diagonais •
Soma das medidas dos ângulos internos e externos de um polígono
convexo • Ângulos internos • Ângulos externos • Quadriláteros
notáveis • Base média de um trapézio • Congruência de polígonos
3
Áreas de figuras planas
Áreas do triângulo • (Fórmula de Herão e trigonométrica) •
Relações métricas entre áreas • Triângulos com alturas de mesma
medida • Áreas determinadas pela mediana e o baricentro de um
triângulo • Razões entre áreas de figuras semelhantes • Áreas de
figuras planas
3
6
Circunferência, círculo e
polígonos regulares
Arcos • Circunferência: definição e comprimento • Ângulo central e
inscrito • Triângulo retângulo inscrito em uma semicircunferência
• Posição relativa entre retas e circunferência (potência de ponto)
• Círculo: definição • Área do círculo e de setores circulares • Área
de um segmento circular • Polígonos regulares • Apótema de um
polígono regular • Polígonos inscritos e circunscritos • Área de
polígonos regulares
3
7
Geometria de posição
Postulados • Reta perpendicular a um plano • Projeção ortogonal de
um ponto • Teorema das três perpendiculares • Projeção ortogonal •
Planificação da superfície de um sólido geométrico
2
8
Prismas e poliedros
Poliedros convexos • Poliedros regulares • Prismas • Cubo •
Paralelepípedo reto-retângulo • Caso particular do princípio de
Cavalieri • Volume de um prisma • Prismas retos, prismas oblíquos
e prismas regulares
3
9
Pirâmides
Pirâmides • Área da base e área total • Volume de uma pirâmide •
Pirâmides regulares • Tetraedros e octaedros
2
10
Sólidos de revolução
Cilindro • Cone • Cone e cilindro
3
11
Troncos e esfera
Troncos de pirâmide e cone • Esfera
3
12
Sólidos inscritos,
circunscritos e sólidos
semelhantes
Esfera e cubo • Cilindro e esfera • Esfera inscrita em um cone •
Esfera inscrita no tetraedro regular • Esfera inscrita no tronco de
cone • Razões entre volumes de sólidos semelhantes
3
3
1
4
5
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XIV
2
Módulo
Título
Conteúdos foco
Quantidade
de aulas
13
Matrizes
Definição • Generalização (termos aij) • Matriz transposta e matriz
identidade • Operações com matrizes (adição, subtração e
multiplicação por escalar) • Multiplicação de matrizes
3
14
Determinante
Determinante de uma matriz de ordem 2 • Determinante de uma
matriz de ordem 3 • Laplace e Chió • Propriedades • Matriz inversa
3
15
Sistemas lineares
Equações lineares e sistemas lineares • Forma matricial •
Resolução matricial • Resolução de sistemas lineares por meio de
determinantes (Regra de Cramer) • Interpretação geométrica de
sistemas lineares • Discussão de sistemas lineares • Classificação
de um sistema linear • Sistemas escalonados
3
16
Sistema cartesiano
ortogonal
Ponto no plano cartesiano • Distância entre dois pontos • Razão
de segmento • Ponto médio • Condição de alinhamento • Área de
triângulo
2
17
Equações da reta
Coeficiente angular de uma reta • Equação de uma reta paralela
a um dos eixos coordenados • Equação de uma reta não paralela
aos eixos coordenados • Forma reduzida da equação de uma reta
• Forma geral da equação de uma reta • Equação fundamental •
Equação paramétrica • Equação segmentária • Equação do feixe
3
18
Posições relativas e
ângulos entre duas retas
Posições relativas entre duas retas • Paralelismo •
Perpendicularismo
2
19
Distância entre ponto e
reta
Ângulos entre retas
2
20
Equações da
circunferência
Equação reduzida • Equação geral
2
21
Circunferência: posições
relativas
Circunferência: posições relativas
2
22
Cônicas
Parábola • Elipse • Hipérbole
2
23
Geometria euclidiana
Teorema de Tales • Triângulos • Semelhança de triângulos •
Polígonos • Quadriláteros • Circunferência e círculo • Polígonos
regulares • Áreas
2
24
Geometria espacial
Poliedros, prismas e pirâmides • Sólidos de revolução • Esfera •
Sólidos inscritos e circunscritos
2
25
Matrizes determinantes e
sistemas lineares
Matrizes • Determinantes • Sistemas lineares
2
26
Geometria analítica
Equações da Reta • Distância entre ponto e reta • Ângulo formato
por duas retas • Equações da circunferência • Posições relativas
2
3
LIVRO DO PROFESSOR
Livro
4
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XV
PI_EXT21_1_MAT_LP
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Revisão
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Frente C: Trigonometria e contagem
LIVRO DO PROFESSOR
Livro
Módulo
Título
Conteúdos foco
Quantidade
de aulas
1
Múltiplo e divisores
Múltiplos • Divisores • Critérios de divisibilidade • Números primos •
MMC • MDC
2
2
Triângulo retângulo e
razões trigonométricas
Triângulo retângulo: Teorema de Pitágoras e relações métricas •
Triângulo retângulo: razões trigonométricas
2
3
Relações trigonométricas
Razões trigonométricas inversas • Relação fundamental da
trigonometria • Lei dos senos • Lei dos cossenos
2
4
Trigonometria na
circunferência
Medidas de arcos • Ciclo trigonométrico (Seno, cosseno e tangente
de um arco trigonométrico) • Relações inversas na circunferência
(cossecante, secante e cotangente) • Redução ao 1.º quadrante •
Linhas trigonométricas • Arcos côngruos (generalização de um arco)
2
5
Operações com arcos
trigonométricos
Arcos simétricos • Soma de arcos • Arcos duplos • Arco metade e
produto
2
6
Equações trigonométricas
Equações do tipo sen x = k ou cos x = k • (Soluções no primeiro ciclo
e soluções fora do primeiro ciclo) • Outras equações trigonométricas
2
7
Funções trigonométricas
Função seno e cosseno • Transformações obtidas a partir das
funções seno e cosseno • Função tangente e outras funções
2
8
Princípio aditivo e
multiplicativo
Princípio aditivo • Princípio multiplicativo
2
9
Fatorial e permutações
Fatorial • Permutação simples • Permutação com repetição •
Permutação circular
2
10
Arranjos
Arranjos simples • Arranjos com repetição
2
11
Combinações
Combinações
2
12
Binômio de Newton
Triângulo de Pascal
2
13
Probabilidade
Experimento aleatório • Espaço amostral • Espaço amostral
equiprovável • Evento • Probabilidade de ocorrência de um evento •
Probabilidade condicional • Multiplicação de probabilidades •
União de eventos
2
14
Estatística
Estatística: ciência do tratamento de dados em contexto • Tabelas •
Gráficos • Média • Moda • Mediana • Medidas de dispersão
2
15
Triângulos e funções
trigonométricas
Relações métricas no triângulo retângulo • Trigonometria no
triângulo retângulo • Função seno • Função cosseno • Função
tangente • Outras funções trigonométricas
2
16
Análise combinatória,
estatística e
probabilidade
Princípio fundamental da contagem • Permutação com repetição
• Arranjos • Combinações • Medidas de tendência central •
Probabilidade
2
1
2
4
XVI
Revisão
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PI_EXT21_1_MAT_LP
3
21/09/2020 22:11:57
Potenciação, radiciação e
equações quadráticas ................................. 231
Conjuntos ..................................................... 240
Conjuntos numéricos e relações .............. 250
Funções do 1.º grau ....................................261
Progressão aritmética ................................ 272
Geometria, grandezas e medidas
Porcentagens e sistemas
de equações ..................................................291
Geometria euclidiana .................................300
Triângulos e polígonos ...............................309
Áreas de figuras planas .............................. 318
Circunferência, círculo e
polígonos regulares .................................... 329
1
Trigonometria e contagem
Múltiplos e divisores ...................................340
Triângulo retângulo e
razões trigonométricas .............................. 349
Relações trigonométricas ..........................360
Trigonometria na circunferência ..............369
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 221
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Razão e proporção ...................................... 282
SUMÁRIO
Álgebra elementar ...................................... 222
MATEMÁTICA
Álgebra e funções
21/09/2020 18:13:13
Expressões algébricas
Os números e as letras presentes na expressão algébrica agrupam-se em termos. Em
cada termo, as letras, acompanhadas de seus
expoentes, compõem a parte literal, e os números que as multiplicam são o coeficiente
numérico. Cada letra utilizada na expressão
algébrica é conhecida como variável.
mód. 01/26
01
9
Exemplo:
rsto
ck
Separe os termos da expressão algébrica
–5x2y + 4xyz – 1 denotando suas partes literais e
seus coeficientes numéricos.
i s D a n n y / S h u tt e
Os termos da expressão algébrica são –5x2y,
+4xyz e –1. Portanto, temos:
x 2 y , +4


W ho
−5

xyz e

Coeficiente Parte literal Coeficiente Parte literal
−1 .

Coeficiente
Valor numérico
de uma expressão
algébrica
Nº de aulas
03
Dada uma expressão algébrica, ao substituirmos cada variável por um número, obtemos uma
expressão numérica. Resolvendo essa expressão
numérica, encontramos o valor numérico da expressão algébrica.
MAT
9
●
Para x = 15:
(15)2 + 4 · 15 + 1
●
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Podemos interpretar geometricamente o quadrado da soma de dois termos. Observe a seguir
essa representação.
Considere um quadrado de lado a + b. Vamos
calcular a sua área.
b
b2
ab
a
ab
a2
b
a
=
Para x = –1:
Expressão numérica
Valor numérico
= –2
Produtos notáveis
Em situações com duas ou mais expressões
algébricas, podemos utilizar as operações matemáticas entre elas, ou seja, podemos adicionar,
subtrair, multiplicar e até mesmo dividir essas expressões. Quando multiplicamos expressões algébricas, cada um dos termos é denominado fator, e
o resultado é chamado de produto.
Determine os fatores de (2x) · (3y) · (4xy) e calcule o
produto.
2 x 3 y 4 xy 24 x y
2
Fator
Fator
2
Produto
Em alguns casos especiais de multiplicações
entre expressões algébricas, é possível determinar o produto sem calcular cada uma das multiplicações entre os termos separadamente. Esses
casos são chamados de produtos notáveis.
Estão listadas a seguir as multiplicações entre
as expressões algébricas que dão origem aos produtos notáveis.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 222
+
b2
+
ab
A área desse quadrado é dada por (a + b)2.
Podemos decompor esse quadrado em quatro
partes:
●
Um quadrado de lado a e área a2.
●
Um quadrado de lado b e área b2.
●
Dois retângulos de lados a e b e área a · b.
Desse modo, a área do quadrado maior é dada
pela soma das áreas dessas partes, ou seja:
(
a b
)2
2ab
a2
Área do quadrado de lado a + b
Exemplo:
Fator
+
a2
ab
Expressão numérica
(–1)2 + 4 · (–1) + 1
Álgebra elementar
O quadrado da soma de dois termos é igual ao
quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro termo vezes o segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.
Valor numérico
= 286
222
(a + b)2 = (a + b) · (a + b) =
= a · a + a · b + b · a + b · b = a2 + 2ab + b2
Exemplo:
Obtenha o valor numérico da expressão algébrica
x2 + 4x + 1, para x = 15 e x = –1.
9
O primeiro dos produtos notáveis é o quadrado da soma de dois termos. Para dois termos a e
b, o quadrado da sua soma é desenvolvido da seguinte maneira:
Áreas dos retângulos de lados a e b
Área do quadrado de lado a
b2
Área do quadrado de lado b
Quadrado da diferença
de dois termos
Para dois termos a e b, desenvolvemos o quadrado da diferença da seguinte maneira:
(a – b)2 = (a – b) · (a – b) =
= a · a – a · b – b · a + b · b = a2 – 2ab + b2
O quadrado da diferença de dois termos a e b é
igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas
vezes o primeiro termo vezes o segundo termo,
mais o quadrado do segundo termo.
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
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EXT21_1_MAT_A_01
Frente A
Quadrado da soma
de dois termos
EXT21_1_MAT_A_01
Escola Digital
Expressões algébricas são expressões matemáticas compostas de números, letras (representando incógnitas ou variáveis), operações,
parênteses, colchetes e chaves.
Recomenda-se enfatizar com
os alunos que essa é uma forma de interpretar o produto
notável e que não é necessário desenvolver esse artifício
geométrico para resolvê-las.
Podemos representar geometricamente o quadrado da diferença por meio da figura a seguir.
Considere um quadrado de lado a e, dentro dele, um quadrado de lado b. Vamos calcular a área do quadrado de lado a – b.
b
a
ab
b
a
(a – b)2
(a – b)2
=
a2
–
=
a2
–
b2
–
+
ab
2ab
+
b2
A área desse quadrado é dada por (a – b)2. Podemos decompor o quadrado de lado a em quatro partes:
●
Dois retângulos de lados a – b e b e área (a – b) · b.
●
Um quadrado de lado b e área b2.
●
Um quadrado de lado a – b e área (a – b)2.
Desse modo, a área do quadrado de lado a maior é dada
pela soma das áreas dessas partes, ou seja,
2
a
Área do quadrado de lado a
2(a b)b
a b
2
Área do quadrado de lado a-b
Áreas dos retângulos de lados a-b e b
b2
Área do quadrado de lado b
Desenvolvendo os termos e isolando (a – b)2, temos:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Produto da soma pela
diferença de dois termos
O produto da soma pela diferença também é um produto
notável. Observe a seguir o desenvolvimento da expressão.
(a + b) · (a – b) = a · a – a · b + b · a – b · b = a2 – b2
O produto da soma pela diferença de dois termos a e b é
igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do
segundo termo.
(a + b) · (a – b) = a2 – b2
9
Exemplo:
Desenvolva os produtos notáveis a seguir.
●
(a + 5)
2
Neste caso, temos o desenvolvimento do quadrado da soma de
dois termos, portanto:
(a + 5)2 = a2 + 2 · a · 5 + 52 = a2 + 10a + 25
●
(b – 9)2
Neste caso, temos o desenvolvimento do quadrado da diferença
de dois termos, logo:
(b – 9)2 = b2 –2 · b · 9 + 92 = b2 –18b + 81
●
(c + 4) · (c – 4)
Neste caso, temos o produto da soma pela diferença de dois
termos, desse modo:
Cubo da soma de dois termos
O cubo da soma de dois termos pode ser representado
algebricamente pela expressão:
(a + b) 3 = (a + b) · (a + b) · (a + b) = (a + b)2 · (a + b)
Substituindo o produto notável (a + b)2, temos:
(a + b) 3 = (a2 + 2ab + b2) · (a + b) =
=a2 · a + a2 · b + 2ab · a + 2ab · b + b2 · a + b2 · b =
MATEMÁTICA • FRENTE A
Recomenda-se enfatizar com os alunos que essa é uma forma de interpretar o produto notável e que não é necessário desenvolver esse artifício geométrico para resolvê-las.
=a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3 =
=a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
O cubo da soma de dois termos a e b é igual ao primeiro
termo ao cubo, mais três vezes o quadrado do primeiro termo
vezes o segundo termo, mais três vezes o primeiro termo vezes
o quadrado do segundo termo, mais o cubo do segundo termo.
(a + b) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Fatoração de uma
expressão algébrica
Fator comum
Quando encontramos uma expressão algébrica, podemos
fatorá-la, ou decompô-la, escrevendo-a como produto de outras expressões. Para isso, identificamos os fatores comuns
dos termos de uma expressão a fim de colocá-los em evidência. Podemos considerar a fatoração, portanto, como o processo reverso do cálculo do produto entre expressões algébricas.
Observe esta expressão: cxy + cyz.
Ambos os termos apresentam o fator cy em comum.
Podemos, então, colocá-lo em evidência, obtendo a forma fatorada da expressão.
cxy + cyz = cy · (x + z)
Para verificarmos se a fatoração foi realizada de forma
correta, basta calcularmos o produto. Observe a seguir a verificação por meio do cálculo.
cy · x
cy(x + z) = cxy + cyz
cy · z
Observação: a ordem dos fatores não altera o produto.
(c + 4) · (c – 4) = c2 – 42 = c2 – 16
Exemplo:
Calcule o resultado da expressão 4 0962 – 4 0952.
Para calcular o resultado dessa expressão, podemos notar que ela está
no formato do produto da soma pela diferença de dois termos, sendo
os termos 4 096 e 4 095, então:
4 0962 – 4 0952 = (4 096 + 4 095) · (4 096 – 4 095) = 8 191 · 1 = 8 191
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 223
223
EXT21_1_MAT_A_01
EXT21_1_MAT_A_01
9
21/09/2020 18:15:07
Podemos interpretar geometricamente essa fatoração.
Observe a seguir dois retângulos:
●
O primeiro retângulo de lados cy e x e área cxy.
●
O segundo retângulo de lados cy e z e área cyz.
cxy
cyz
x
z
Igualdades entre expressões algébricas são chamadas de
equações. Quando o maior expoente das incógnitas de uma
equação é 1, ela é classificada como uma equação do 1.º grau.
Equações desse tipo são utilizadas para representar ou modelar alguns problemas do cotidiano.
Modelagem algébrica de
problemas do 1.º grau
A Associação Brasileira das Empresas de Benefícios ao
Trabalhador divulga, em tempo real, o preço médio de uma refeição fora de casa em cada cidade do Brasil. Com os dados de
cada cidade, é possível calcular o preço médio nos estados, nas
regiões e, por fim, no país todo.
Quanto custa comer fora de casa no Brasil?
Calculando a área do retângulo maior, de lados cy e x + z,
encontramos cy · (x + z), ou seja:
cxy
cyz
Área do primeiro retângulo
Área do segundo retângulo
cy(x z)
R$32,90
R$33,57
Área do retângulo maior
Trinômio quadrado perfeito
Ponysaurus; grebeshkovmaxim/Shutterstock
MATEMÁTICA • FRENTE A
cy
Equação do 1.º grau
Quando elevamos um binômio ao quadrado, a expressão
encontrada é denominada trinômio quadrado perfeito.
Observe as fatorações dos trinômios a seguir.
R$34,87
(a2 + 2ab + b2) = (a + b)2
R$35,13
(a2 – 2ab + b2) = (a – b)2
9
Exemplo:
R$36,64
Fatore as expressões a seguir.
●
a + 2ab + b
2
2
a2 + 2ab + b2 = a2 + ab + ab + b2 = a · (a + b) + b · (a + b) =
= (a + b) · (a + b) = (a + b)2
c2 – 2cd + d2
9
Exemplo:
Considere um quadrado de área igual a 9x2 + 30x + 25. Que expressão
algébrica representa a medida dos lados desse quadrado?
Reescrevendo a expressão 9x2 + 30x + 25, temos:
9x2 + 30x + 25 = (3x)2 + 2 · 3 · 5 · x + 52 = (3x + 5)2
Brasil (média regional) = R$34,62
Centro-Oeste
R$34,87
Nordeste
R$33,57
Norte
R$32,90
Sudeste
R$35,13
Sul
R$36,64
Portanto, a medida do lado do quadrado é dada pela expressão 3x + 5.
Uma vez identificado um trinômio quadrado perfeito, existe
uma maneira prática de obtermos a forma fatorada desse trinômio: calcular a raiz quadrada de cada um dos termos extremos.
9
Exemplo:
Calcule a forma fatorada do trinômio quadrado perfeito 16x2 + 80x + 100.
16
x 2 80 x 100


4 x
2
=10 2
Devemos verificar se 2 · 4x · 10 equivale ao termo restante do trinômio;
nesse caso, 80x.
Portanto, 16x2 + 80x + 100 = (4x + 10)2.
Diferença entre dois quadrados
A diferença entre dois quadrados também é um método de
fatoração que tem como base um produto notável.
a – b = (a – b)(a + b)
224
2
EXT21_1_MAT_A_01.indd 224
2
Fonte: ABBT
Com base no infográfico, é possível observar que no Brasil o
valor médio de uma refeição fora de casa é R$34,62.
Isso significa que, em média, um brasileiro gasta, em uma
refeição, R$34,62. Desse modo, em duas refeições um brasileiro gasta, em média, R$69,24, e assim por diante.
Ao esquematizar esses valores, podemos perceber que o
gasto médio é diretamente proporcional ao número de refeições.
Número de refeições
Gasto médio total
0
R$0,00
1
R$34,62
2
R$69,24
3
R$103,86
4
R$138,48
5
R$173,10
05/02/2021 10:34:12
EXT21_1_MAT_A_01
c2 – 2cd + d2 = c2 – cd – cd + d2 = c · (c – d) – d · (c – d) =
= (c – d) · (c – d) = (c – d)2
EXT21_1_MAT_A_01
●
Podemos generalizar o valor que uma pessoa gasta, em média, comendo fora de casa relacionando as variáveis número
de refeições fora de casa e gasto médio total por meio da
equação dada por:
x
Particularmente, se b = 0, então:
ax = 0
gasto médio total = 34,62 · número
de refeições fora de casa
x=0
9
Exemplo:
Encontre a solução da equação
Isolando x, temos:
y = 34,62 · x
1
4
x 0.
3
5
1
4
x=
3
5
Podemos, também, representar graficamente essa equação. Observe-a a seguir.
x
y
4 3 12
5
5
Logo, a solução da equação é x =
173,1
Para resolvermos uma situação-problema, podemos seguir
estes passos:
138,48
103,86
69,24
9
34,62
1
2
3
4
5
●
Encontrar o modelo matemático que representa a situação enunciada.
●
Organizar a equação, deixando todos os termos dependentes de variável no primeiro membro e todos os termos independentes de variável no segundo membro.
●
Encontrar uma solução numérica para a equação.
Exemplo:
Recomenda-se fazer os exercícios 11 e 12 da seção Sistematização.
João nasceu 6 anos antes de Pedro. Neste ano, ele tem 4 vezes a idade
de Pedro. Qual a idade de cada um deles neste ano?
x
0
12
.
5
MATEMÁTICA • FRENTE A
Chamando de x o número de refeições e de y o gasto médio
total, podemos reescrever a equação como:
207,72
b
a
Primeiramente, denotamos como J a idade de João. Logo, como Pedro
tem 6 anos a menos que João, sua idade é dada por J – 6.
6
Neste ano João tem 4 vezes a idade de Pedro, portanto J = 4(J – 6).
Vale ressaltar que o gráfico está fora de escala, para que seja enfatizado o crescimento do valor em relação ao número de refeições. Esse tipo de artifício pode ser usado ao relacionar variáveis em um gráfico.
Partindo do valor do gasto médio total, podemos calcular o
número de refeições feitas por um brasileiro.
J = 4J – 24
Considere um gasto médio total de R$415,44. Para calcular
o número de refeições feitas, substituímos a variável y por esse
valor na equação. Obtemos, portanto:
J=8
=
x
415, 44
= 12
34 , 62
Nesse caso, foram 12 refeições, as quais custaram, ao todo,
R$415,44.
A equação usada para modelar o gasto médio de um brasileiro em determinado número de refeições fora de casa é uma
equação do 1.º grau.
Equações do tipo ax1 + b = 0, com a ≠ 0 e a, b ∈ , são
denominadas equações do 1.º grau.
Resolução de uma
equação do 1.º grau
EXT21_1_MAT_A_01
A solução de uma equação do 1.º grau depende do número
de variáveis ou incógnitas que essa equação apresenta. Para
equações do 1.º grau com apenas uma incógnita, temos uma
solução numérica única.
Desse modo, para uma equação do 1.º grau dada por
ax + b = 0, podemos escrever sua solução manipulando seus
elementos. Observe a generalização a seguir.
ax + b = 0
ax = –b
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 225
Portanto, neste ano João tem 8 anos, e Pedro tem 2 anos.
9
Exemplo:
Um vendedor recebe o valor de R$42,00 por produto vendido, porém
todo mês deve pagar R$150,00 de taxas diversas. Quantos produtos ele
precisa vender em um mês para ter um lucro de R$60,00?
Como o vendedor recebe R$42,00 a cada produto vendido, se ele vender
x produtos, receberá 42 · x no total. No entanto, deve pagar R$150,00
de taxas. Desse modo, denominando y como o lucro no mês, a equação
que representa esse lucro é:
y = 42x – 150
Como precisamos saber a
quantidade x de produtos
para que o lucro seja
R$60,00, substituímos
y por R$60,00 na
equação, obtendo:
•$ •
$
••
60 = 42x – 150
210 = 42x
x=5
O vendedor, portanto, deve vender 5 produtos para obter R$60,00 de lucro.
225
Dividindo os dois lados da equação por 34,62, encontramos
o valor de x.
3J = 24
Freepik
415,44 = 34,62 · x
EXT21_1_MAT_A_01
Resolvendo a equação, obtemos:
21/09/2020 18:15:53
FIXAR
Quadrado da soma de dois termos
Expressão
algébrica
Substituindo as
incógnitas por números
s
ois termo
d
e
d
a
ç
n
e
r
e
dif
Quadrado da
el
Produto notáv
MATEMÁTICA • FRENTE A
Produto notável
Valor numérico da
expressão algébrica
(a + b)2 = a2 + 2ab + b
2
Produto da so
ma pela difer
ença de dois
Produto notá
vel
2 – 2ab + b
2
(a – b) = a
2
io quadrado
trinôm
Fatoração do
Fatoração do trinômio quadrado perfeito
(a + b)(a –
perfeito
Cubo da soma de dois termos
Produto notável
(a + b)3 = a3 +3a2b + 3ab2 + b3
termos
b) = a 2 – b 2
Fatoração da
di
ferença entre
dois quadrado
s
Equação do 1.º grau
ax + b = 0, com a ≠ 0 e a, b ∈ 
A solução é dada por
b
x
a
Interação
1.
Leia o texto a seguir.
Pressão: Altos e baixos
O corpo humano é preparado para viver em condições normais de pressão, mas consegue se adaptar a extremos de altitude e profundidade.
Como qualquer outro ser vivo, o homem evoluiu para viver em determinadas condições de clima e pressão atmosférica – mas não consegue
se conformar só com seu hábitat. Impulsionado pela vontade de superar
limites, ele testa sua capacidade de sobrevivência em ambientes inóspitos
como nenhum outro animal faria. Aventurar-se no alto de uma montanha
ou no fundo do mar exige que o organismo humano se acostume às diferenças no comportamento do gás essencial à vida, o oxigênio. [...]
Nível do mar
Aqui, você tem uma coluna de ar sobre a cabeça, que corresponde a
1 atmosfera, a unidade de medida da pressão atmosférica.
–10 metros – Mergulhar de cabeça
A cada 10 metros que você desce, a pressão aumenta em 1 atmosfera.
O tímpano, a membrana do ouvido, pode ser empurrado para dentro,
provocando dor. Para que ele não se rompa, é preciso fazer a chamada
“manobra de Valsalva”: tape o nariz e a boca e faça força para expirar
até que as pressões se igualem. [...]
Com base nas informações apresentadas no texto, responda às questões
a seguir.
a) Qual pressão, em atmosfera, um mergulhador sofre ao descer 25
metros em relação ao nível do mar?
b)
Se chamarmos de y a pressão, em atmosfera, e de x a distância de
descida, em metros, em relação ao nível do mar, que fórmula nos
permite calcular y em função de x?
c)
Em 2003, Francisco Ferreras bateu um recorde de mergulho ao atingir
certa distância a uma pressão de 18,1 atmosferas. Com base nessas informações, a que distância em relação ao nível do mar Francisco chegou?
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 226
21/09/2020 18:17:40
EXT21_1_MAT_A_01
Sergiy Zavgorodny/Shutterstock
226
LISBÔA, Lívia. Pressão: Altos e baixos. Superinteressante. São
Paulo, 31 out. 2016. Disponível em: https://super.abril.com.br/
saude/pressao-altos-e-baixos/. Acesso em: 14 jul. 2020.
Sistematização
1.
8.
Calcule as soluções das equações do 1.º grau a seguir.
Calcule os valores numéricos das expressões algébricas a seguir
utilizando x = 3, y = 4, z = 0 e w = 1 onde for pertinente.
2x + 3y – 7z + w2
b)
x3 + 90z – w
c)
(x – 2w)2 + 4y
d)
x + y2 + z3 + w4
2.
(5x + 9)
b)
(4 – 3x)2
c)
(3 – a) · (3 + a)
2
4.
4x + 5 = 12 – 4x
Analise os itens a seguir.
I.
(2x + 1)3 = 8x3 + 12x2 + 6x + 1
II.
(2x – 1)2 = 4x2 –4x + 1
III. (a + 3)(a – 3) = a2 + 9
Sobre as asserções, é correto afirmar que:
a) todas estão corretas.
Calcule os produtos notáveis a seguir.
a)
10x + 67 = 17
c)
9.
Se T = x2 – 1, determine T2 – 2T + 1 em função de x.
3.
7 – x = 98
b)
b)
apenas I está correta.
c)
apenas II está correta.
d)
apenas I e II estão corretas.
e)
apenas II e III estão corretas.
10.
Sabendo que, se x2 = 4, então x + y = 5, podemos afirmar que:
Calcule os cubos dos seguintes binômios.
a)
y é exatamente 7.
b)
y é exatamente 3.
a)
3
(3x + 1)
c)
y é exatamente 1.
b)
(3x + 2a)
d)
y = 7 ou y = 3.
3
e)
y = 7 ou y = 0.
2
3
a
b
3
5.
11.
Em um restaurante, a gorjeta dos serviços prestados é calculada
e aplicada diretamente na conta. Considerando x o valor total
gasto em alimentação no restaurante e y o valor final da conta
com a gorjeta, calcule a expressão que modela essa situação se:
Fatore os trinômios quadrados perfeitos a seguir.
a)
x2 + 12xy + 36y2
b)
9x2 + 12x + 4
c)
y6 – 14ay3 + 49a2
2
1
x 2 + xy + y 2
7
49
d)
6.
a)
a gorjeta consiste em 5% do valor total.
b)
a gorjeta consiste em 10% do valor total.
c)
a gorjeta consiste em 10% do valor total dos pratos e é cobrada uma
taxa fixa a mais de R$25,00.
12.
Assinale a alternativa que apresenta a solução para esta equa-
Nesse mesmo restaurante, considere que ele cobra 10% de
gorjeta em cima do valor total dos pratos e uma taxa fixa de
R$25,00. Então:
a)
1 2 ção do 1.º grau: 13 x 5 .
2 4 a)
x=3
b)
x=5
1
x=
2
5
x=
3
c)
d)
7.
se um casal gastou R$135,00 nesse restaurante, calcule:
● o valor total gasto nos pratos.
● o valor da gorjeta.
b)
se um grupo de pessoas gastou R$355,00 nesse restaurante, calcule:
● o valor total gasto nos pratos.
● o valor da gorjeta.
13.
Assinale a alternativa que apresenta a expansão correta da
expressão algébrica T = (x – 3)2.
a)
T = x2 – 9
b)
T = x2 –6x + 9
c)
T = 2x + 6
d)
T = 2x –6x + 9
e)
T = –x2 –6x –9
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 227
Um aplicativo de delivery de alimentos dá um desconto de
R$10,00 em compras no valor de R$25,00 ou mais e cobra uma
taxa fixa de entrega, no valor de R$7,00, para moradores de
uma certa região. Sendo y o valor total pago e x o valor dos
alimentos comprados, assinale a alternativa que apresenta a
relação dessas grandezas para x < 25 e para x ≥ 25, respectivamente.
a) y = 7x e y = 7x – 10
b)
y = x + 7 e y = x + 18
c)
y=x+7ey=x–3
d)
y = x + 17 e y = x + 18
e)
y = 7 e y = x + 25
227
c)
EXT21_1_MAT_A_01
MATEMÁTICA • FRENTE A
a)
a)
21/09/2020 18:17:53
8.
27
d)
49
31
e)
54
c)
38
2.
Fácil
C3:H12 (CESMAC-2018) O pediatra britânico James M. Turner
criou, nos anos 60, uma fórmula para estimar até que altura
uma criança vai crescer, tomando como parâmetros as alturas
dos pais. Para meninas, a fórmula é
a)
mp
6, 5
2
c)
167,5 cm
b)
a)
181
d)
321
b)
191
e)
421
c)
221
d)
10.
11.
Fácil
C5:H19 (IFSC-2017) Considerando a equação –5(3x – 8) = –45,
é CORRETO afirmar que ela é equivalente a
a)
–15x + 5 = 0
b)
–15x + 85 = 0
c)
–8x – 32 = 0
d)
–15x – 53 = 0
e)
–8x – 58 = 0
5.
25,8 cm
d)
25,2 cm
b)
25,6 cm
e)
25,0 cm
c)
25,4 cm
a)
1006
d)
855
b)
996
e)
805
c)
990
Fácil
12.
Médio
a)
x 2 25
C1:H4 (IFSULDEMINAS-2017) Se x = 1001, então
é
x5
igual a:
C4:H16 (EBMSP-2016) Um estudante dispõe de até duas horas
para executar determinadas tarefas de Matemática e Biologia.
Sabe-se que para completar a tarefa de Matemática precisará
de um tempo superior ou igual ao dobro do tempo necessário
para completar a tarefa de Biologia.
Nessas condições, pode-se afirmar que o tempo máximo disponível para
completar a tarefa de Biologia é de
a) 30 minutos
b)
20 minutos
c)
40 minutos
d)
1 hora e 30 minutos
e)
1 hora
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 228
a)
10
b)
12
C1:H4 (Unicamp-2019) A representação decimal de certo
número inteiro positivo tem dois algarismos.
Se o triplo da soma desses algarismos é igual ao próprio número, então o produto dos algarismos é igual a
c) 14
d)
16
C4:H17 (Enem-2015) Num campeonato de futebol de 2012,
um time sagrou-se campeão com um total de 77 pontos (P)
em 38 jogos, tendo 22 vitórias (V), 11 empates (E) e 5 derrotas
(D). No critério adotado para esse ano, somente as vitórias e
empates têm pontuações positivas e inteiras. As derrotas têm
valor zero e o valor de cada vitória é maior que o valor de cada empate.
Um torcedor, considerando a fórmula da soma de pontos injusta, propôs
aos organizadores do campeonato que, para o ano de 2013, o time derrotado em cada partida perca 2 pontos, privilegiando os times que perdem
menos ao longo do campeonato. Cada vitória e cada empate continuariam
com a mesma pontuação de 2012.
Qual a expressão que fornece a quantidade de pontos (P), em função do número de vitórias (V), do número de empates (E) e do número de derrotas (D),
no sistema de pontuação proposto pelo torcedor para o ano de 2013?
a) P = 3V + E
d) P = 3V + E – 2D
b)
P = 3V – 2D
c)
P = 3V + E – D
e)
P = 3V + E + 2D
C1:H2 (UERJ-2016) Em um sistema de codificação, AB representa os algarismos do dia do nascimento de uma pessoa e
CD, os algarismos de seu mês de nascimento. Nesse sistema,
a data trinta de julho, por exemplo, corresponderia a:
A = 3, B = 0, C = 0, D = 7
Admita uma pessoa cuja data de nascimento obedeça à seguinte condição:
A + B + C + D = 20
O mês de nascimento dessa pessoa é:
a) Agosto
c) Outubro
b)
13.
Médio
Fácil
C3:H12 (CESMAC-2016) A fórmula que relaciona o comprimento c, em cm, do pé e o número de calçado, n, que uma
pessoa usa é dada por 4n = 5c + 28. Admitindo essa fórmula,
qual o comprimento do pé de uma pessoa que calça 39?
6.
Fácil
c)
166,5 cm
C1:H4 (UTFPR-2015) A soma de três números consecutivos é
igual a 36. O dobro do menor número somado com o quadrado
do maior número é:
4.
7.
e)
210.
bc
ca
b+c
a+b
2a c
ca
bca
ab
Médio
168,0 cm
d)
C5:H19 (EPCAr-2018) Ao fatorar e efetuar as simplificações na
ab2 b2 c bc2 ac2 a2 c a2b
, considerando sua
a2 c 2abc b2 c a3 2a2b ab2
devida existência, obtém-se
Médio
b)
3.
126.
fração
com h sendo a altura máxima que a menina vai crescer e m e p sendo as
alturas respectivas da mãe e do pai. Todas as medidas são dadas em centímetros. Se um pai tem altura de 1,78 m e uma mãe tem altura de 1,72 m,
até que altura vai crescer uma filha dos dois, segundo a fórmula de Turner?
d) 167,0 cm
a) 168,5 cm
Fácil
MATEMÁTICA • FRENTE A
h
228
b)
9.
Setembro
d)
Novembro
C3:H13 (Vunesp-2017) Uma peça pode ser fabricada pelo
técnico A, com moldagem manual, ou pelo técnico B, com
impressora 3D. Para fabricar a peça com moldagem manual,
gastam-se 4 horas de trabalho do técnico A e R$ 40,00 de
material. O valor da hora de trabalho do técnico A é R$ 17,00.
Quando feita com impressora 3D, a mesma peça é fabricada em 3 horas
de trabalho do técnico B, com gasto de R$ 12,00 com material.
A fabricação dessa peça é mais cara com impressora 3D se o valor da hora
de trabalho do técnico B for, no
a) mínimo, superior a R$ 32,00.
b)
mínimo, R$ 32,00.
c)
mínimo, superior a R$ 24,00.
d)
máximo, R$ 32,00.
e)
máximo, inferior a R$ 24,00.
21/09/2020 18:18:11
EXT21_1_MAT_A_01
a)
b)
EXT21_1_MAT_A_01
Fácil
C1:H4 (IFAL-2017) Determine o valor do produto (3x + 2y)2,
sabendo que 9x2 + 4y2 = 25 e xy = 2.
C1:H4 (UECE-2020) Os participantes de uma reunião ocuparam
a totalidade dos lugares existentes em mesas que comportavam sete ocupantes cada uma. Entretanto, para melhorar o
conforto, foram trazidas mais quatro mesas e os presentes
redistribuíram-se, ficando em cada uma das mesas exatamente
seis pessoas. Assim, é correto afirmar que o número de participantes na
reunião era
c) 168.
a) 84.
Médio
1.
Fácil
Enem e vestibulares
x
2
49 2a 2b 7x 49 35
d)
138
b)
69
e)
483
c)
36
para x = 966.
Médio
C1:H3 (Unicamp-2020) Em uma família, cada filha tem o mesmo
número de irmãs e irmãos, e cada filho tem um número de
irmãs igual ao dobro do número de irmãos. O número total
de filhos e filhas dessa família é igual a
a)
11
c)
7
b)
9
d)
5
16.
a)
igual à idade atual do seu filho.
b)
o dobro da idade atual do seu filho.
c)
menor que a idade atual do seu filho.
d)
3 anos a menos que a idade atual do seu filho.
e)
igual à idade que terá seu filho daqui a 3 anos.
22.
C3:H12 (Enem-2015) A expressão “Fórmula de Young” é utilizada para calcular a dose infantil de um medicamento, dada
a dose do adulto:
C1:H3 (Fuvest-2019) Em uma família, o número de irmãs de
cada filha é igual à metade do número de irmãos. Cada filho
tem o mesmo número de irmãos e irmãs.
O número total de filhos e filhas da família é
Médio
Médio
14 x 2 49 x ax bx 7a 7b a)
15.
17.
3
C1:H3 (ESPM-2019) Daqui a 3 anos, a idade de um pai será a
soma das idades que terão sua esposa e seu filho. Quando a
esposa nasceu, a idade do pai era:
a)
4
d)
10
b)
5
e)
15
c)
7
C1:H3 (UEMG-2019) No ano de 2018, foi realizada uma pesquisa
utilizando-se questionários sobre educação. Nessa pesquisa,
João, Alfredo e Eneias tabularam as respostas dos questionários, respondidos pelos usuários de uma determinada universidade. Sabendo-se que João tabulou um quarto do total de
questionários, Alfredo tabulou três quintos do que sobrou e Eneias tabulou
os 1020 questionários restantes, a diferença entre os números de questionários tabulados por Eneias e João foi de:
a) 170.
c) 120.
b)
150.
18.
d)
idade da criança em anos idade da criança emanos +12 dose do adulto
dose de criança = Uma enfermeira deve administrar um medicamento X a uma criança inconsciente, cuja dosagem de adulto é 60 mg. A enfermeira não consegue
descobrir onde está registrada a idade da criança no prontuário, mas
identifica que, algumas horas antes, foi administrada a ela uma dose de 14
mg de um medicamento Y, cuja dosagem de adulto é 42 mg. Sabe-se que
a dose da medicação Y administrada à criança estava correta.
Então, a enfermeira deverá ministrar uma dosagem do medicamento X,
em miligramas, igual a
a) 15.
d) 36.
100.
Médio
C5:H21 (UEG-2019) Para a inauguração da Sorveteria “Picolé
Gelado”, foi feita a seguinte promoção:
PICOLÉ GELADO
PROMOÇÃO DE INAUGURAÇÃO
b)
20.
c)
30.
23.
e)
40.
C5:H19 (Mackenzie-2018) Se x e y são números reais não nulos
x
tais que xy x y , o valor de x + y é igual a:
y
Difícil
Dia: 12/12/18
Moças R$5,00 e Rapazes R$7,00
MATEMÁTICA • FRENTE A
x
21.
Difícil
Médio
C5:H19 (UFSC-2016) Guardadas as condições iniciais de
existência, determine o valor numérico da expressão
Difícil
14.
Válido até as 15 horas
EXT21_1_MAT_A_01
EXT21_1_MAT_A_01
Difícil
20.
c)
160 e 182
e)
160 e 148
C5:H21 (UEFS-2018) Um restaurante tem 30 funcionários, sendo
que alguns deles são garçons e os demais ocupam outros
cargos. Em certo dia, as gorjetas foram divididas de maneira
que R$180,00 foram distribuídos igualmente entre os garçons
e R$180,00 foram distribuídos igualmente entre os demais
funcionários. Se o valor recebido por cada garçom foi R$15,00, o valor recebido por cada um dos demais funcionários foi
a) R$ 5,00.
d) R$ 20,00.
b)
R$ 10,00.
c)
R$ 15,00.
e)
R$ 25,00.
C1:H3 (Unicentro-2016) Foram realizadas duas etapas para a
classificação de uma equipe de nadadoras. Amanda totalizou
24 pontos; Bia, 25 pontos; Catarina, 26 pontos; Dora, 27 pontos;
e Elis, 28 pontos. No final, uma tinha o dobro de pontos que
tinha feito na primeira etapa; outra tinha o triplo; outra, o
quádruplo; outra, o quíntuplo; e outra, o sêxtuplo.
Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, quem fez mais pontos
na primeira etapa.
a) Amanda
d) Dora
b)
Bia
c)
Catarina
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 229
e)
24.
Difícil
152 e 200
Elis
−
3
2
d)
1
2
b)
−
1
2
e)
3
2
c)
0
C5:H19 (PUC-Campinas-2017) Na equação 7x – 5 = 5 · (x + 9)
− 28, o equilíbrio (a igualdade) se estabelece entre os dois
membros na presença de um valor determinado de x, usualmente chamado de solução da equação.
Atribuindo a x, não o valor que corresponde à solução da equação, mas
um valor 6 unidades menor que a solução dessa equação, obtém-se uma
diferença numérica entre os dois membros da equação original, que, em
valor absoluto, é igual a:
d) 5
a) 23
b)
0
c)
17
25.
e)
12
C5:H22 (IFCE-2020) Se a e b são números reais positivos, então
2
a
b
a expressão M a
b
é equivalente a:
b
a Difícil
Médio
19.
b)
a)
a)
a b3
+ + 2ab
b3 a
d)
a3 b3
+ + 2a3b3
b a
b)
a3 b3
+ + 2a2b
b a
e)
a3 b3
+ + 2ab
b a
c)
a3 b3
+ + 2ab3
b a
229
Após o encerramento da promoção, verificou-se que 312 pessoas haviam
comprado os ingressos e a arrecadação total foi de R$ 1.880,00. O número
de moças e de rapazes que compraram os ingressos nesse dia foi, respectivamente, igual a
a) 148 e 150
d) 152 e 160
21/09/2020 18:18:39
26.
Difícil
a)
2008010
d)
2044145
b)
2012061
e)
2052061
c)
2034145
C1:H3 (UNCISAL-2016) Se todos tivessem comparecido ao trabalho, cada funcionário de uma empresa de entregas ficaria encarregado de 96 encomendas. Como três funcionários faltaram, cada
servidor presente ficaria responsável por 8 encomendas a mais.
Se, considerando a sobrecarga, a empresa terceirizou a entrega
de 864 pacotes, quantas encomendas cada funcionário presente entregou?
a) 72
d) 104
80
c)
96
Difícil
30.
128
C5:H21 (FATEC-2019) Entre as tarefas de um professor, está a
elaboração de exercícios. Professores de Matemática ainda
hoje se inspiram em Diofanto, matemático grego do século
III, para criar desafios para seus alunos. Um exemplo de problema diofantino é: “Para o nascimento do primeiro filho, o
pai esperou um sexto de sua vida; para o nascimento do segundo, a espera
foi de um terço de sua vida. Quando o pai morreu, a soma das idades do
pai e dos dois filhos era de 240 anos. Com quantos anos o pai morreu?”
Considerando que, quando o pai morreu, ele tinha x anos, assinale a equação matemática que permite resolver esse problema.
a)
29.
e)
Difícil
b)
Adaptado de: http://www.valor.com.br/brasil/4055142/funcionariosdeobras-para-olimpiada-2016-entram-em-greve-no-rio.
x
5x 2 x
240
6 3
b)
x x
x 240
3 6
c)
4 x 3x
x
240
5
4
d)
e)
x 3x
x 240
6 2
x
6 x 3x
240
5 4
31.
Difícil
28.
Difícil
MATEMÁTICA • FRENTE A
Difícil
27.
“Decidimos iniciar a greve [...] e caso não ocorra um acordo ficaremos
parados por tempo indeterminado.”, declarou o diretor do sindicato.
Ele ainda afirmou que a paralisação por um tempo maior pode gerar
problemas na entrega das obras. “Caso não haja acordo, a greve pode
afetar os prazos de entrega. Isso ainda pode gerar até um custo maior
para as empresas, como ocorreu na reforma do Maracanã para a Copa do
Mundo, onde na fase final tiveram que dobrar o número de funcionários
para concluir a obra.”
Entre as reivindicações dos trabalhadores estão o aumento no valor da cesta
básica de R$ 310 para R$ 350 e um reajuste no valor do salário de 8,5%.
[...] Renilda Cavalcante, que representa as empresas responsáveis pelas
obras, afirma que a adesão à greve foi de cerca de 30%.
C5:H22 (IME-2017) Se X e Y são números naturais tais que
X2 – Y2 = 2017, o valor de X2 + Y2 é:
C5:H21 (UFPR-2010) João viaja semanalmente de ônibus e a
esposa costuma ir de automóvel a seu encontro na estação
rodoviária de Matinhos, onde ele chega pontualmente, e
ambos se encontram exatamente às 18h. Um dia, João chega
às 17h30min e resolve andar em direção a sua casa pelo caminho que costuma seguir com a sua mulher, mas sem avisá-la. Encontram-se no caminho, ele sobe no carro e os dois voltam para casa, chegando
10min antes do horário de costume. Supondo que sua esposa viajou com
velocidade constante e que saiu de casa no tempo exato para encontrar o
marido às 18h na estação rodoviária, assinale a alternativa que apresenta
o tempo, em minutos, que João andou antes de encontrar-se com ela.
d) 25.
a) 10.
b)
e)
20.
C5:H21 (Insper-2016) Considere que:
- T é o tempo que resta para a obra ser concluída, a partir do
início da greve;
- p é o percentual, em relação a T, correspondente ao tempo
que durar a greve;
- a partir do momento em que a greve terminar, serão contratados funcionários adicionais suficientes para que a obra seja finalizada dentro do
prazo, para trabalharem em todo o período restante;
- a produtividade de cada trabalhador na ativa é sempre a mesma, independentemente do período.
Para que o impacto no período subsequente ao fim da greve seja o mesmo
da reforma do Maracanã, o valor de p deve ser aproximadamente igual a
d) 77%.
a) 44%.
b)
55%.
c)
66%.
e)
88%.
C5:H21 (FGV-2010) A Lei de Execução Penal brasileira n.º 7.210,
de 1984, em seu Art. 126, parágrafo 1.º, diz que o condenado
que cumpre pena em regime fechado ou semifechado poderá
remir, pelo trabalho, parte do tempo de execução da pena.
Essa lei determina que a contagem do tempo será feita à razão
de 1 (um) dia de pena por 3 (três) de trabalho, o que significa que, a cada
três dias trabalhados, o condenado terá direito à redução de 1 dia em sua
pena.
Sem considerar os anos bissextos, responda às questões seguintes:
a) Se um réu for condenado a 8 anos de prisão e trabalhar por 3 anos,
quanto tempo permanecerá na prisão?
b)
Sabendo que um réu foi condenado a uma pena de 11 anos e que ele
trabalhará todos os dias em que permanecer na prisão, sua pena será
reduzida para quantos dias?
c)
Considere um réu condenado a uma pena P, que trabalha a metade
do tempo, em dias, que estiver preso. Encontre uma expressão matemática que determine o tempo que o réu permanecerá na prisão,
em função de P.
15.
c) 30.
Texto para a próxima questão:
Funcionários de obras para Olimpíada 2016 entram em greve no Rio
GABARITOE ONLINE
GABARITO
SOLUCIONÁRIO ONLINE
Façaoodownload
downloaddodo
aplicativo
Questões
ou qualquer aplicativo
1. Faça
aplicativo
SAE SAE
Questões
ou qualquer
de leituradeQRleitura
Code.
aplicativo
QR Code.
Abraooaplicativo
aplicativo
e aponte
o QRQRCode
2. Abra
e aponte
parapara
um dos
Codesaoaolado.
lado
acessardeste
o gabarito
ou o será
solucionário
módulo.
3. para
O gabarito
módulo
exibidodeste
em sua
tela.
18/05/2015 às 20h23
RIO - Funcionários das principais obras para a Olimpíada de 2016, no Rio,
entraram em greve nesta segunda-feira. [...]
1
A
B
C
D
E
9
A
B
C
D
E
17
A
B
C
D
E
25
A
B
C
D
E
2
A
B
C
D
E
10
A
B
C
D
E
18
A
B
C
D
E
26
A
B
C
D
E
3
A
B
C
D
E
11
A
B
C
D
E
19
A
B
C
D
E
27
A
B
C
D
E
4
A
B
C
D
E
12
A
B
C
D
E
20
A
B
C
D
E
28
A
B
C
D
E
5
A
B
C
D
E
13
A
B
C
D
E
21
A
B
C
D
E
29
A
B
C
D
E
6
A
B
C
D
E
14
A
B
C
D
E
22
A
B
C
D
E
30
A
B
C
D
E
7
A
B
C
D
E
15
A
B
C
D
E
23
A
B
C
D
E
8
A
B
C
D
E
16
A
B
C
D
E
24
A
B
C
D
E
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 230
EXT21_1_MAT_A_01
230
Cartão-resposta
21/09/2020 18:18:50
Inúmeros avanços e descobertas da ciência foram possíveis por meio da manipulação de cálculos envolvendo potências e raízes. Na Física, por exemplo, abordamos em diversos momentos a importância de
operar com números de grandeza astronômica. Supõe-se que no universo observável existam em torno
de 200 bilhões de galáxias e que, na Via Láctea, existam de 200 a 400 bilhões de estrelas.
A seguir, vamos relembrar conceitos e propriedades da potenciação e da radiciação que podem facilitar diversos cálculos em situações oriundas da própria Matemática ou de outras áreas do conhecimento.
Potenciação
van van/Shutterstock
Potenciação e radiciação
Nº de aulas
03
Uma potência de grau n ∈  de um número a é o produto de n fatores iguais a a, ou seja,
an a
a a
a
a
n vezes
Neste caso, a é a base da potência e n é o expoente da potência, que determina seu grau.
1
Se a ≠ 0, então a n a
Expoente negativo
Potência
n
Escola Digital
Expoente nulo
am an a
mn
Multiplicação
a n bn a b n
Potências de mesmo expoente
Operações com potências
a n m
Potência de potência
a
n m
Potências de mesma base
am
m n
a
an
Potências de mesmo expoente
an a bn b Divisão
99 Exemplo:
EXT21_1_MAT_A_02
Calcule as potências a seguir.
●●
(–1)2 = (–1) · (–1) = 1
●●
2
3
●●
2 3 ●●
5 2 5 4 5
●●
52
4
5
2
3 4
3 4 ( 4 ) 3 4 4 30 1
3 4
●●
1 1
5 3
●●
3
15 3 15 3 27
53 5 ●●
2 2
3
9
4
2
3
1 1
23 8
3
●●
2 4 3
1 1
5 3
3
1 15 3
3
5 2 2 4 5
3
1
1
5 2 25
5 2 4
5 3
Observação: 22
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 231
6
3
3
2
3
n
MAT
Potências de mesma base
Potenciação, radiciação
e equações quadráticas
Se a ≠ 0, então a0 = 1
26 64
15 3 3 375
Frente A
mód. 02/26
02
518
3
22 . Nesse caso, 22
3
3
8
22 3 26 64 e 22= 2=
256 .
231
21/09/2020 18:19:09
Notação científica
Note que n, b e a têm nomenclaturas diferentes na potenciação e na radiciação.
Utilizamos a notação científica para que possamos reduzir a
quantidade de algarismos utilizados para representar um número. Dessa forma, o escrevemos utilizando as potências de base 10.
99 Exemplo:
Considere a3 = 64. Para calcularmos o valor de a, podemos utilizar a
relação entre a potenciação e a radiciação do seguinte modo:
Um número está escrito em notação científica quando se
apresenta na forma a · 10n, com 1 ≤ a < 10 e n ∈ Z.
Para representarmos, no Sistema de Numeração Decimal,
o número aproximado de estrelas na Via Láctea, seriam necessários 12 algarismos; já para representarmos a massa de um
próton, em kg, seriam necessários 28 algarismos. Em notação
científica, essas grandezas ficam representadas da seguinte
forma:
MATEMÁTICA • FRENTE A
Número aproximado de estrelas na Via Láctea: 4 · 1011
Massa de um próton: 1,673 · 10 –27 kg
Portanto, utilizar a notação científica é escrever um número
de forma que sua apresentação esteja simplificada. Veja alguns
números escritos no Sistema de Numeração Decimal e sua representação em notação científica.
a 3 64 a 3 64 a 4
Potência de expoente racional
Sejam a ∈ , m, n ∈ , tal que n ≠ 0. Temos:
m
a n = n am
Propriedades das potências
de expoente racional
Com base nas propriedades da potenciação e na sua relação com a radiciação, existem propriedades que facilitam o cálculo de uma potência.
99 Exemplo:
●●
1 000 000 000 = 1 · 109
●●
0,001 =
Se n é par
1
1
10 3
1000 10 3
●●
0,0000000001 = 1 · 10−9
●●
0,273 = 2,73 · 10−1
n
an
Se n é ímpar
Raiz enésima
Ao calcularmos, por exemplo, a raiz quadrada de 9, estamos procurando um número não negativo, tal que ele vezes ele
mesmo seja igual a 9. Nesse caso, como 3 · 3 = 9, temos 9 = 3 .
n
an = a
n
n
an = a
1
1
a b n a n b
é igual a
a b n a n b n
a na
=
b nb
é igual a
a n a n
1
b
bn
a
é igual a
a n akm
é igual a
De forma similar ao cálculo da raiz quadrada de um número, podemos pensar em uma generalização para calcularmos
uma raiz enésima.
n
A raiz enésima de um número qualquer b ∈ , com n ∈ ,
pode ser expressa por:
1
1
1
1
=
a
=
b bn
n
Neste caso, dizemos que n é o índice, b é o radicando e a é
a raiz enésima de b.
am n
m
n
1
m n
m
an
Por definição, se n é par, a raiz enésima de um número não
negativo deve ser um número não negativo.
Calcular a raiz enésima de um número b é encontrar um número x, tal que x ... x b .
16 = 2
3
1 1 1 1 1
3
De maneira geral, a potenciação e a radiciação se relacionam da seguinte forma:
índice
expoente
an = b
base
potência
n .p
n
p
am · p = n am
1
m p n p
a 1
am n
p
m
p
a = n am
é igual a
1
mp n
a am n
a= nb
raiz
radicando
n m
Observação: quando n é par, a expressão
b ≥ 0.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 232
é igual a
m
1
k n1 a amk n
n
b só existe se
a
m n
a
é igual a
1
m1 n m1n a a Recomenda-se fazer os exercícios
1, 2 e 3 da seção Sistematização.
21/09/2020 18:19:25
EXT21_1_MAT_A_02
4
Relação entre potenciação
e radiciação
232
m
k
EXT21_1_MAT_A_02
●●
n
nvezes
99 Exemplo:
●●
a
Racionalização de
denominadores
Desse modo:
3
●●
Racionalização de denominadores
compostos de uma raiz quadrada
●●
a
Seja um número representado pela fração
. Para rab
cionalizarmos o seu denominador, devemos multiplicá-lo por
b. Para não alterarmos o valor da fração, devemos multiplicar
também seu numerador por b. Desse modo:
b
a
b
b 
b
a b
b2
a b
b
.
a b 1
1 3
1
2 3
1
1 3
1 3 1 3
1
2 3
●●
3
3
3
3
2 3
3
9
a
Seja um número representado pela fração
. Para rabp
cionalizarmos o seu denominador, devemos multiplicá-lo por
n
bn − p . Para não alterarmos o valor da fração, devemos multi-
plicar também seu numerador por
a
n
bp
n
a
n
bn p
n np
bp b
n
a n bn p
n
1
b b n p
p
n
bp n p
a n bn p
n
bn
a n bn p
Se n for par, temos
. Se n for ímpar, temos
n p
b
b
a
a n bn p
.
n p
b
b
a
99 Exemplo:
●●
3
5
5
2
3
5
5
2
5
5 52
5
52
5
3
5
5
2
5
53
5
3
5
3 5 125
5
Desse modo:
k a b
ab
a b
a b Em frações cujo denominador seja do tipo a b , deve-
EXT21_1_MAT_A_02
EXT21_1_MAT_A_02
k
.
a b a b
mos multiplicar tanto o numerador quanto o denominador da
fração por
a b .
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 233
2 3
23
2 3
2 3
1
ax2 + bx + c = 0
ax2 + bx + c = 0
ax2 + bx + c = 0
Equação incompleta
com c = 0
Equação
incompleta com b = 0
Equação
incompleta com
b= c=0
Podemos colocar o x em
evidência e escrever a
equação ax2 + bx = 0 na
forma:
x(ax + b) = 0
Desse modo, haverá duas
raízes reais, x1 e x2, tais que
x1 = 0 e (ax2 + b) = 0.
b
Logo, as raízes serão 0 e − .
a
Podemos isolar
o x no primeiro
membro. Neste caso,
vale destacar que:
c
se < 0, haverá duas
a
raízes reais diferenc
c
tes, , e, se > 0,
a
a
não haverá raiz real.
Neste caso,
podemos isolar
x no primeiro
membro, obtendo
x1 = 0 e x2 = 0.
É importante retomar com os alunos a propriedade do elemento nulo
da multiplicação. Se o produto de dois fatores é nulo, então um dos
fatores necessariamente é nulo.
Determine as raízes das seguintes equações do segundo grau.
●●
4x2 – 9 = 0
Podemos encontrar as raízes da seguinte maneira:
a b .
k
Recomenda-se fazer
o exercício 6 da seção Sistematização.
Resolução de equações do
2.º grau incompletas
4 x 2 9 x 2 a b , deve-
mos multiplicar tanto o numerador quanto o denominador da
fração por
2 3
3 1
2
O valor x0 é chamado de raiz da equação do 2.º grau
ax2 + bx + c = 0 se
99 Exemplo:
Denominador composto de soma ou
subtração entre raízes quadradas
Em frações cujo denominador seja do tipo
2 3
2
Uma equação é dita do 2.º grau se, para a, b, c ∈  e a ≠ 0, ela
pode ser escrita como ax 2 + bx + c = 0.
bn − p . Desse modo:
a n bn p
1 3
3
As equações do 2.º grau têm sempre duas raízes, ou seja,
para cada equação do 2.º grau, existem dois valores que, ao
serem substituídos na variável x, fazem a igualdade ser verdadeira. Nem sempre as raízes de uma equação do 2.º grau são
reais, afinal podem ser complexas. Elas, também, nem sempre
são números distintos, pois podem ser iguais – caso em que
dizemos se tratar de uma raiz dupla.
2 3
Racionalização de denominadores
compostos de outras raízes
n
1 3 1 ax 20 bx 0 c 0 99 Exemplo:
2
a
Equação do 2.º grau
1
2
k a b
ab
b
a b
9
9
x 4
4
3
3
Temos, portanto, x1 = e x2 .
2
2
●●
2x2 + 7x = 0
Podemos encontrar as raízes fatorando o primeiro membro da equação:
x(2x + 7) = 0. Como o produto entre os dois fatores é nulo, um dos fatores
7
necessariamente é nulo. Logo, x1 = 0 ou 2x2 + 7 = 0, implicando x2 .
2
2
●● x + 5 = 0
Neste caso, temos x2 = –5. Como não existe algum número real que,
elevado ao quadrado, resulte em –5, concluímos que essa equação não
possui raízes reais.
233
a
a b k
99 Exemplo:
3 2
é igual a
.
2
2
plo, a perceber imediatamente que
MATEMÁTICA • FRENTE A
A racionalização de denominadores é um procedimento
que ajuda na uniformização da representação de frações que
apresentam raízes no denominador. Ela ajuda-nos, por exem-
k
21/09/2020 18:19:53
Forma fatorada da equação do
2.º grau
Para o caso em que a equação do 2.º grau é completa, podemos utilizar a estratégia da fatoração. Sendo x1 e x 2 as raízes da
equação do 2.º grau ax 2 + bx + c = 0, sua forma fatorada pode ser
escrita da seguinte forma:
a(x – x1)(x – x 2) = 0
Exemplo:
MATEMÁTICA • FRENTE A
A forma fatorada da equação do 2.º grau x2 – x – 6 = 0 é:
(x – 3)(x + 2) = 0
Note que, dada uma equação do 2.º grau em sua forma fatorada, é
possível extrair rapidamente suas raízes. Nesse caso, se o produto entre
(x – 3) e (x + 2) é nulo, então (x – 3) é nulo ou (x + 2) é nulo. Desse modo,
conclui-se que as raízes dessa equação são x1 = 3 e x2 = –2.
Fórmula resolutiva
As relações de Girard para equações do 2.º grau são também conhecidas como relações de soma e produto entre as raízes. Observe a seguir quais são elas.
Sejam x1 e x2 as raízes de uma equação do 2.º grau da forma ax2 + bx + c = 0. As relações de Girard para essa equação são:
b
● x1 x 2 a
●
6
5
5, e o produto dessas raízes deve ser = 6. Buscando
1
1
nos divisores inteiros de 6, encontramos algumas possibilidades, entre elas:
raízes deve ser ∆ = b2 – 4ac
Interpretação do sinal do discriminante
(–3) · (–2) = 6
Como (–3) + (–2) = –5, concluímos que ambas as relações de Girard estão
satisfeitas. Portanto, podemos dizer que x1 = –3 e x2 = –2 são as raízes
de x2 + 5x + 6 = 0.
Por meio da análise do sinal do discriminante ∆, podemos
identificar características das raízes de uma equação do 2.º grau.
●
Se ∆ = 0, há duas raízes reais iguais.
●
Se ∆ < 0, há duas raízes complexas não reais distintas.
Descobertas as raízes, é possível escrever a forma fatorada da equação inicial.
Com isso, considerando o universo dos números reais, podemos escrever o conjunto solução de uma equação do 2.º grau
das seguintes maneiras:
●
Se ∆ > 0, então S = {x1, x2}.
●
Se ∆ = 0, então S = {x1}.
●
Se ∆ < 0, então S = ∅.
9
As equações do 2.º grau aparecem em diversos modelos
aplicados a situações cotidianas, nas mais diversas áreas do
conhecimento. Vejamos na prática como utilizar esse tipo de
modelo na resolução de um problema.
Exemplo:
Um terreno retangular apresenta uma área igual a 800 m2. Sabendo
que a medida de um dos lados do terreno excede a medida do outro
lado em 20 m, calcule quantos metros de arame serão necessários para
cercar o terreno.
Sejam x e x + 20 as medidas dos lados do terreno. Da informação de sua
área, podemos escrever:
b 2a
x(x + 20) = 800
x2 + 20x – 800 = 0
O discriminante dessa equação é:
Desse modo, as raízes da equação são:
x1 (x – (–3))(x – (–2)) = 0
(x + 3)(x + 2) = 0
9
A fórmula resolutiva da equação do 2.º grau é dada por:
x
Exemplo:
Vamos considerar a equação do 2.º grau x2 + 5x + 6 = 0. A soma das suas
Considerando uma equação do 2.º grau da forma
ax 2 + bx + c = 0, definimos o discriminante da equação como:
Se ∆ > 0, há duas raízes reais distintas.
b b e x 2 2a
2a
∆ = 202 – 4 · 1 · (– 800) = 400 + 3200 = 3600
Como ∆ > 0, sabemos que há duas raízes reais e distintas. Podemos usar
a fórmula resolutiva para encontrá-las.
Exemplo:
Calculemos as raízes da equação do segundo grau dada por 0 = x2 + 4x – 12.
Logo:
Temos a = 1, b = 4 e c = –12. Calculando o discriminante, obtemos:
x
∆ = b2 – 4ac
∆ = 42 – 4 · 1 · (–12) = 16 + 48 = 64
Nesse caso, como o discriminante é positivo, a equação 0 = x2 + 4x – 12
possui duas raízes reais e distintas.
Utilizando a fórmula resolutiva, obtemos:
b x1 2a
x1 4 64
2 1
x1 4 8
2
234
x1 =
4
2
x1 = 2
Logo, as raízes são x1 = 2 e x2 = –6.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 234
c
a
Podemos utilizar essas relações para resolvermos uma
equação do 2.º grau. Veja o exemplo a seguir.
9
●
x1 x 2 x1 20 3600 20 60
2 1
2
20 60 40
20 60 80
20 e x2 40
2
2
2 2
não convém , pois x é a medida
de um dos lados do terreno
b x2 2a
Para encontrar as raízes dessa equação, podemos também utilizar as
relações de Girard. Nesse caso, procuramos valores de x1 e x2 cuja soma
seja –20 e cujo produto seja –800. Dessa forma, também se encontram
os valores x1 = 20 e x2 = –40.
4 64
2 1
Descobertas as raízes, podemos, então, calcular o perímetro do terreno,
em metros, como descrito a seguir.
x2 x2 4 8
2
12
2
x2 = –6
x2 2(x + x + 20) = 2(20 + 20 + 20) = 120
São necessários, portanto, 120 m de arame para cercar o terreno.
EXT21_1_MAT_A_02
9
Relações de Girard
21/09/2020 18:20:15
FIXAR
Potenciação
1
Se a ≠ 0, então a n a
Se a ≠ 0, então a0 = 1
•
•
•
m
n
a a a
n
m
a
m n
a
an
•
•
a n bn a b n
•
m n
an a bn b n
•
a •
Notação científica
n m
a n m
a · 10n, com 1 ≤ a < 10 e n ∈ 
Radiciação
•
m
•
a = a
•
Se n é par, então
n
n
Se n é ímpar, então
•
an = a
n
n
n
a =a
a ·b = n a · n b
•
n
•
n
a na
=
b nb
am •
a
n
m
•
a
n
n .p
k
m
a
n
am · p = n am
km
•
•
n
p
m
a p = n am
m n
a = m·n a
Racionalização de denominadores
•
Para racionalizar
•
Para racionalizar
•
Para racionalizar
•
Para racionalizar
a
, multiplica-se a fração por
b
a
n
bp
b
b
, multiplica-se a fração por
k
a
k
a
n
b
n−p
n
b
n−p
b , multiplica-se a fração por
b , multiplica-se a fração por
MATEMÁTICA • FRENTE A
m
n
b b
b a b
a
a
a
Equação do 2.º grau
∆ > 0 ⇒ duas raízes reais distintas
ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0
∆ = 0 ⇒ duas raízes reais iguais
∆ = b2 – 4ac
∆ < 0 ⇒ duas raízes complexas não reais distintas
Forma fatorada: a(x – x1)(x – x2) = 0.
b 2a
b
c
Relações de Girard: x 1 x 2 ; x 1 x 2 a
a
Fórmula resolutiva: x Interação
Ao longo da história, muitas foram as tentativas de calcular
certas medidas da Terra. Eratóstenes, por exemplo, é lembrado
até hoje por conseguir, usando trigonometria, chegar muito
próximo da medida do raio do nosso planeta. Atualmente,
sabemos que o raio da Terra mede 6,371 · 106 metros.
Com o avanço da ciência, foi possível encontrar outras medidas, como a
massa da Terra, 5,97 · 1024 kg, e a constante de gravitação universal, que
equivale a 6,67 · 10–11 N · m2/kg2.
Quando queremos descobrir se é possível lançar um objeto para fora
da atmosfera, por exemplo, é preciso usar essas medidas, as quais se
relacionam em uma equação que calcula a velocidade de escape, ou seja,
a velocidade mínima necessária para que um objeto possa sair da órbita
2 G M
, na qual G é a
R
constante de gravitação universal e M e R são, respectivamente, a massa
e o raio do planeta.
Quando um objeto atinge uma velocidade maior que a velocidade de escape do planeta, ele realiza uma trajetória hiperbólica ao sair da atmosfera.
Com base nessas informações, observe as alternativas a seguir. Qual delas
apresenta uma velocidade que levaria um foguete a realizar uma trajetória
hiperbólica ao sair da Terra?
a) 3 000 m/s
b)
7 000 m/s
c)
11 000 m/s
d)
15 000 m/s
de um planeta. Essa equação é dada por v escape PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 235
235
EXT21_1_MAT_A_02
EXT21_1_MAT_A_02
1.
21/09/2020 18:20:44
Sistematização
1.
8.
Considere a equação 10x2 + bx + 2 = 0. Para que valor(es) de
b essa equação do 2.º grau tem duas raízes reais e iguais?
9.
Determine, em função de m, as raízes da equação do 2.º grau
x2 + 2mx – x + m2 – m – 12 = 0.
10.
Quanto vale a soma das raízes da equação
Assinale a alternativa que corresponde à simplificação da
expressão a seguir.
1
27
T 23 5 53
2 2
20
3
a)
T 2
b)
T = 23
c)
T 2
d)
T = 40 2
e)
T=1
40
3
2.
Simplifique a expressão a seguir e assinale a alternativa que
apresenta a correta simplificação.
A 6 34 3
a)
A=63
b)
A = 4 27
c)
A = 6 27
d)
A= 9
e)
A=69
2
2 3 x 2 x 2 3 0?
4
Com base nas propriedades de potenciação e radiciação,
simplifique a expressão Z 2
23 23 27 516
.
a)
0
b)
3 2+ 3
c)
2− 3
d)
2+ 3
e)
2 2+ 3
4.
Escreva B = 0,00000056 em notação científica.
5.
Analise os itens a seguir.
A = 1,2 · 102 e B = 31,4 · 10–3.
I.
a)
5x2 + 3 = 7
b)
3x2 + 2x = 0
C = 0,5 · 10–1 e D = 1,2 · 10–1.
c)
x2 = –x
d)
(x + 1) · (x – 1) = –1
II.
III. E = 3,6 · 1010 e F = 1,22 · 10–4.
Qual(is) dos itens apresenta(m) seus valores em notação científica?
a) Apenas o item I.
11.
Resolva as equações do 2.º grau a seguir.
1
As duas soluções de uma equação do 2.º grau são − e 1.
2
Então a equação é:
12.
b)
Apenas o item II.
c)
Apenas o item III.
d)
Apenas os itens I e II.
a)
3x2 – x – 1 = 0
e)
Apenas os itens II e III.
b)
3x2 + x – 1 = 0
Assinale a alternativa que corresponde à simplificação da
expressão numérica a seguir.
c)
4x2 + 2x – 1 = 0
d)
4x2 – 2x – 2 = 0
1
3
2 3 33
e)
3x2 – x + 1 = 0
6.
4
Sobre a equação do 2.º grau x 2 5x 3 0 , responda:
3
13.
a)
3+ 2+3 9
b)
3 23 9
c)
3 23 3
a)
Qual o sinal do discriminante?
d)
3 2 9
b)
Quantas raízes reais essa equação possui?
e)
3+ 2+3 3
c)
Quais são as raízes?
d)
Qual a forma fatorada dessa equação?
3
7.
Os números m e n são as raízes da equação 4x2 + 4rx + r2 – 9 = 0.
Qual, então, é o valor de m + n?
a)
–r
b)
r
c)
–2r
d)
r
e)
r–3
2
EXT21_1_MAT_A_02.indd 236
14.
Considere uma equação de 2.º grau com raízes x1 e x2. Sabendo
7
2
que x1 x 2 e x1 x 2 . Calcule:
3
3
a)
uma equação do 2.º grau que possui essas raízes.
b)
as raízes x1 e x2.
c)
A forma fatorada dessa equação do 2.º grau.
21/12/2020 14:01:13
EXT21_1_MAT_A_02
3.
236
x 2x
EXT21_1_MAT_A_02
MATEMÁTICA • FRENTE A
1
Em notação científica, o diâmetro interno do vírus influenza, em mm, é
a) 1,1 · 10–1
1,1 · 10–2
c)
1,1 · 10–3
d)
1,1 · 10
e)
1,1 · 10
56,25 metros
c)
65,75 metros
d)
67,50 metros
3.
Fácil
2
b)
3
c)
4
d)
5
e)
6
Fácil
Fácil
EXT21_1_MAT_A_02
EXT21_1_MAT_A_02
Fácil
6.
3 3
b)
3
d)
0
a)
1500.
b)
2000.
c)
3500.
d)
4000.
e)
4500.
Médio
C1:H4 (IFSC-2018) Analise as afirmações seguintes:
C3:H10 (Enem-2017) Uma das principais provas de velocidade
do atletismo é a prova dos 400 metros rasos. No Campeonato
Mundial de Sevilha, em 1999, o atleta Michael Johnson venceu
essa prova, com a marca de 43,18 segundos.
Esse tempo, em segundo, escrito em notação científica é
a) 0,4318 × 102
b)
4,318 × 101
c)
43,18 × 100
d)
431,8 × 10–1
e)
4 318 × 10–2
C5:H22 (CPS-2019) Suponha que um terreno retangular de
área 4.225 km2 será delimitado para se tornar uma nova
Reserva Extrativista.
Se o comprimento do terreno excede em 100 km sua largura
(x), uma equação que permite determinar essa largura (x) é
a) x2 + 100x + 4.225 = 0
b)
x2 – 100x + 4.225 = 0
c)
x2 + 100x – 4.225 = 0
d)
x2 + 4.225x – 100 = 0
e)
x2 – 4.225x + 100 = 0
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 237
5
2
I.
52 16 10 :
II.
35 : 3 81 23 1 2 10
17
Assinale a alternativa correta.
a) Todas são verdadeiras.
b)
Apenas I e III são verdadeiras.
c)
Todas são falsas.
d)
Apenas uma das afirmações é verdadeira.
e)
Apenas II e III são verdadeiras.
10.
a)
3
C3:H10 (Unisinos) Em uma cultura de bactérias, a população
dobra a cada duas horas. Sabendo-se que, no início de uma
experiência, há 500 bactérias, quantas haverá depois de 6
horas?
III. Efetuando-se 3 5 3 5 , obtém-se um número múltiplo de 2.
C5:H19 (CEFET-MG-2018) Se x y z 4 9 e x y z 3,
então o valor da expressão x2 + 2xy + y2 – z2 é
c)
64
C1:H4 (IFAL-2017) Determine o valor de k na equação
x2 – 12x + k = 0, de modo que uma raiz seja o dobro da
outra:
Médio
a)
75
c)
9.
C5:H19 (IFAL-2019) Sendo x1 e x2 as raízes da equação x2 – 5x
+ 6 = 0, o resultado do produto x1 · x2 é:
4.
5.
Fácil
–5
b)
83
e)
8.
–4
C5:H22 (FAMP-2019) Sejam A e B os valores, respectivamente,
da soma das raízes e da multiplicação das raízes da equação
8x2 – 100x + 36 = 0. Se o muro de minha casa possuir de
comprimento um valor, dado em metros, igual ao valor da
multiplicação de A por B, qual o valor do comprimento do
muro de minha casa?
a) 52,5 metros
d)
68
a)
18
b)
28
c)
12
d)
32
e)
24
11.
C3:H10 (Enem-2015) As exportações de soja do Brasil totalizaram 4,129 milhões de toneladas no mês de julho de 2012 e
registraram um aumento em relação ao mês de julho de 2011,
embora tenha havido uma baixa em relação ao mês de maio
de 2012.
Médio
Fácil
2.
b)
72
b)
Disponível em: www.noticiasagricolas.com.br. Acesso em: 2 ago. 2012.
A quantidade, em quilogramas, de soja exportada pelo Brasil no mês de
julho de 2012 foi
a) 4,129 · 103
b)
4,129 · 106
c)
4,129 · 109
d)
4,129 · 1012
e)
4,129 · 1015
12.
C1:H4 (EPCAr-2019) Sobre o conjunto solução, na variável x,
x ∈ , da equação
x 2 x2 2 4 x2 8x 2
pode-se dizer que
a)
é vazio.
b)
possui somente um elemento.
c)
possui dois elementos de sinais iguais.
d)
possui dois elementos de sinais opostos.
237
Disponível em: www gripenct.pt. Acesso em: 2 nov. 2013 (adaptado).
a)
Fácil
C3:10 (Enem-2019) A gripe é uma infecção respiratória aguda
de curta duração causada pelo vírus influenza. Ao entrar no
nosso organismo pelo nariz, esse vírus multiplica-se disseminando-se para a garganta e demais partes das vias respiratórias, incluindo os pulmões.
O vírus influenza é uma partícula esférica que tem um diâmetro interno
de 0,00011 mm.
C1:H3 (ESPM-2019) Quando eu nasci, meu pai tinha 32 anos.
Hoje, o produto das nossas idades é igual a 900. A soma das
nossas idades atuais é igual a:
Médio
Fácil
1.
7.
MATEMÁTICA • FRENTE A
Enem e vestibulares
21/09/2020 18:22:03
C3:H10 (Enem-2017) Medir distâncias sempre foi uma necessidade da humanidade. Ao longo do tempo fez-se necessária
a criação de unidades de medidas que pudessem representar
tais distâncias, como, por exemplo, o metro. Uma unidade de
comprimento pouco conhecida é a Unidade Astronômica (UA),
utilizada para descrever, por exemplo, distâncias entre corpos celestes. Por
definição, 1 UA equivale à distância entre a Terra e o Sol, que em notação
científica é dada por 1,496 · 102 milhões de quilômetros.
Na mesma forma de representação, 1 UA, em metro, equivale a
a) 1,496 · 1011 m
b)
1,496 · 1010 m
c)
1,496 · 10 m
d)
1,496 · 106 m
e)
1,496 · 105 m
2m
2m
x
Médio
2m
–26
d)
22
b)
–22
e)
26
c)
–1
a)
C3:H10 (CEFET-RJ-2020) Uma bactéria tem massa aproximada de
0,000005 g e seu comprimento estimado em 0,00018 mm. Os
vírus são menores que as bactérias. Um deles tem massa aproximada de 1/3 da massa da bactéria descrita acima. A massa, em
gramas, aproximada de uma população de 10000 destes vírus é:
1,33 × 10–2
c) 1,67 × 10–2
b)
1,67 × 10–3
2
Médio
4 2
e)
5 2
c)
2
21.
C1:H4 (IFCE-2019) Simplificando a expressão
Difícil
2⋅ 3 2 ⋅ 3 2⋅ 2
1
4
2
b)
c)
23.
d)
23.
d)
3
e)
1
2
2
22.
50.
C3:H10 (Fuvest-2019) Forma‐se uma pilha de folhas de papel,
em que cada folha tem 0,1 mm de espessura. A pilha é formada
da seguinte maneira: coloca‐se uma folha na primeira vez e,
em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já houverem
sido colocadas anteriormente. Depois de 33 dessas operações,
a altura da pilha terá a ordem de grandeza
a) da altura de um poste.
, obtemos o número:
26
a)
C5:H22 (CPII-2019) Nas salas de aula do Colégio Pedro II serão
colocados pisos conforme a figura a seguir:
b)
d)
3 2
1
Cada piso é formado por quatro retângulos iguais de lados 10 cm e
(x + 10) cm, respectivamente, e um quadrado de lado igual a x cm.
Sabendo-se que a área de cada piso equivale a 900 cm2, o valor de x, em
centímetros, é
a) 10.
c) 24.
18.
2 2
C1:H4 (UTFPR-2018) É dada a equação do segundo grau 3x2
– 20x + 12 = 0.
Assinale a alternativa que apresenta o conjunto solução da
equação dada.
a)
2
6 , 3
d)
1
3, 2
b)
1
3, 3
e)
3
2, 2
c)
1
6 , 3
C1:H3 (EPCAr-2018) Numa doceria comprei dois tipos de doce:
do primeiro tipo, 6 unidades de determinado valor unitário;
do segundo tipo, cujo valor unitário é 3 reais mais caro que o
primeiro, comprei uma quantidade que equivale ao dobro do
valor unitário do primeiro tipo. Entreguei seis notas de 50 reais
para pagar tal compra e recebi 30 reais de troco.
Dos dois tipos de doce que comprei, gastei com o mais caro, em reais,
um total de
c) 162
a) 216
b)
24.
198
d)
146
C1:H4 (FGV-2018) A equação quadrática x2 –2x + c = 0, em que
x
c é uma constante real, tem como raízes x1 e x2. Se 1 2 ,
x2
então 3 c será
b)
da altura de um prédio de 30 andares.
c)
do comprimento da Av. Paulista.
a)
um múltiplo de 3.
d)
–2.
d)
da distância da cidade de São Paulo (SP) à cidade do Rio de Janeiro (RJ).
b)
racional não inteiro.
e)
2.
e)
do diâmetro da Terra.
c)
irracional.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 238
21/09/2020 18:22:54
EXT21_1_MAT_A_02
17.
a)
b)
Difícil
c)
1
16
e)
1
4
Difícil
b)
1
−
4
d)
4+ 3
C1:H4 (IFCE-2019) A solução real positiva de x 2 2 x 12 0
é o número:
Difícil
Médio
1
16
e)
1,72 × 10–3
1 1
a e b, então o valor de é:
a b
−
2+ 3
1+ 3
20.
C1:H4 (UFRGS-2020) Se a equação x2 + 2x – 8 = 0 tem as raízes
a)
b)
c)
EXT21_1_MAT_A_02
16.
d)
D
C
Se o total da área decorada com cada um dos tipos de papel é o mesmo,
então x, em metros, é igual a
d) 2 + 2 3
a) 1+ 2 3
Difícil
a)
15.
Difícil
2m
C1:H4 (UFRGS-2018) As raízes da equação 2x2 + bx + c = 0 são
3 e –4. Nesse caso, o valor de b – c é:
Médio
MATEMÁTICA • FRENTE A
C5:H22 (Unesp-2016) Renata pretende decorar parte de uma
parede quadrada ABCD com dois tipos de papel de parede, um
com linhas diagonais e outro com riscos horizontais. O projeto
prevê que a parede seja dividida em um quadrado central, de
lado x, e quatro retângulos laterais, conforme mostra a figura.
A
B
8
14.
238
19.
Difícil
Médio
13.
25.
I.
x2 –1x –2 = 0
II.
x2 + 0x –1 = 0
Na Figura (2), o símbolo de (+) indica que aquele saco recebeu alguns
quilogramas de café, descritos logo à frente do símbolo, bem como o de
(–) indica que dele foram retirados alguns quilogramas de café, também
descritos logo à frente do símbolo.
Para não perder as contas, Gabriel anotou, também, que:
● o produto da quantidade retirada do saco (II) pela quantidade retirada
do saco (IV), em kg, é igual a 165;
● depois de acrescentar ou retirar café dos sacos, todos passaram a ter
a mesma quantidade, em kg.
Dessa forma, sendo { x , y , m, n} ⊂ *, é correto afirmar que
a) a maior quantidade que foi retirada de um dos sacos de café foi
superior a 30 kg.
III. x2+ 1x + 0 = 0
IV. x2 + 2x + 1 = 0
................
As raízes da oitava equação dessa sequência são
a) 1 e 5.
c) 2 e 3.
b)
d)
–2 e –3.
C1:H4 (FGV-RJ-2017) Na resolução de um problema que recaía
em uma equação do 2º grau, um aluno errou apenas o termo
independente da equação e encontrou como raízes os números 2 e –14. Outro aluno, na resolução do mesmo problema,
errou apenas o coeficiente do termo de primeiro grau e encontrou como raízes os números 2 e 16.
As raízes da equação correta eram:
a) –2 e –14
d) –2 e –16
b)
–4 e –8
c)
–2 e 16
27.
e)
29.
Difícil
C1:H4 (EPCAr-2019) Considere as equações:
I.
x2 – bx + 15 = 0 (b∈ ) cujas raízes são os números reais
α e b (α < b)
II.
x2 + kx + 15 = 0 (k ∈ )
Sabe-se que as raízes da equação (I) são, cada uma, 8 unidades menores
do que as raízes da equação (II).
Com base nessas informações, marque a opção correta.
a) b3 – k é um número negativo.
O valor absoluto da diferença entre as raízes da equação (I) é 1.
c)
As raízes da equação (II) NÃO são números primos.
d)
α2 – b2 é um número que é divisor de 8.
C1:H4 (EPCAr-2019) Gabriel, depois de uma longa temporada
de dedicação aos estudos, foi descansar na casa de seus avós,
no interior. Lá chegando, percebeu que muitas coisas de sua
infância ainda permaneciam intocáveis. Exemplo disso foi a
“venda” de seu avô... uma verdadeira bagunça!
Para ajudar na organização da “venda”, Gabriel aplicou conhecimentos de
matemática básica. Assim, ele pegou os quatro sacos de café que ficavam à
frente do balcão, pesou-os e etiquetou-os conforme ilustra a Figura (1), em kg.
na Figura (1), a diferença de peso entre os sacos (III) e (I) era de 82 kg.
c)
x+y=m
m
>2
n
C1:H4 (EPCAr-2017) Um grupo de n alunos sai para lanchar e
vai a uma pizzaria. A intenção do grupo é dividir igualmente
a conta entre os n alunos, pagando, cada um, p reais.
Entretanto, 2 desses alunos vão embora antes do pagamento
da referida conta e não participam do rateio. Com isso, cada
aluno que permaneceu teve que pagar (p + 10) reais.
Sabendo que o valor total da conta foi de 600 reais, marque a opção
INCORRETA.
a) O valor que cada aluno que permaneceu pagou a mais corresponde
a 20% de p.
b) n é um número maior que 11.
c) p é um número menor que 45.
d) O total da despesa dos dois alunos que saíram sem pagar é maior
que 80 reais.
30.
C1:H4 (ITA-2018) Para que o sistema
x y 1
3 3
2
x y c
Difícil
Difícil
28.
b)
b)
d)
4 e 14
Difícil
Difícil
26.
–1 e –5.
MATEMÁTICA • FRENTE A
Difícil
C1:H2 (CPII-2018) Observe atentamente a sequência de equações do 2º grau a seguir, nas quais os coeficientes b e c variam
de acordo com um padrão:
admita apenas soluções reais, todos os valores reais de c
pertencem ao conjunto
1
1 d) , .
a) , .
4
2 b)
1 1 , 4 4 , .
c)
1 1
2 , 4 .
e)
1 1 , 2 2 , .
GABARITOE ONLINE
GABARITO
SOLUCIONÁRIO ONLINE
Façaoodownload
downloaddodo
aplicativo
Questões
ou qualquer aplicativo
1. Faça
aplicativo
SAE SAE
Questões
ou qualquer
de leituradeQRleitura
Code.
aplicativo
QR Code.
Abraooaplicativo
aplicativo
e aponte
o QRQRCode
2. Abra
e aponte
parapara
um dos
Codesaoaolado.
lado
acessardeste
o gabarito
ou o será
solucionário
módulo.
3. para
O gabarito
módulo
exibidodeste
em sua
tela.
Em seguida, com o total de peso que obteve, retirou ou colocou, em kg,
café em cada saco, e anotou numa folha de papel, como mostra a Figura (2).
1
A
B
C
D
E
9
A
B
C
D
E
17
A
B
C
D
E
25
A
B
C
D
E
2
A
B
C
D
E
10
A
B
C
D
E
18
A
B
C
D
E
26
A
B
C
D
E
3
A
B
C
D
E
11
A
B
C
D
E
19
A
B
C
D
E
27
A
B
C
D
E
4
A
B
C
D
E
12
A
B
C
D
E
20
A
B
C
D
E
28
A
B
C
D
E
5
A
B
C
D
E
13
A
B
C
D
E
21
A
B
C
D
E
29
A
B
C
D
E
6
A
B
C
D
E
14
A
B
C
D
E
22
A
B
C
D
E
30
A
B
C
D
E
7
A
B
C
D
E
15
A
B
C
D
E
23
A
B
C
D
E
8
A
B
C
D
E
16
A
B
C
D
E
24
A
B
C
D
E
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 239
239
EXT21_1_MAT_A_02
EXT21_1_MAT_A_02
Cartão-resposta
21/09/2020 18:23:15
W.Commons/Reprodução
Escola Digital
Nº de aulas
02
Teoria dos conjuntos
No campo dos números e das operações, a afirmação 1 + 1 = 2 não se discute. No entanto, será que
essa igualdade é sempre verdadeira, mesmo quando
corresponde a verdades relacionadas ao mundo físico? Por exemplo, se juntarmos uma gota de água com
outra gota de água, obteremos duas gotas de água? E
o que obtemos ao juntar um átomo de carbono com
um átomo de oxigênio? Por meio desses exemplos, é
possível perceber que nem sempre 1 mais 1 é igual a
2. Para evitar conclusões equivocadas, é necessário
que esteja definido o contexto no qual estamos trabalhando. O estudo da teoria dos conjuntos esclarece
essa definição, tendo sua fundamentação em questionamentos que vão contra o senso comum.
Georg Cantor (1845-1918) foi um matemático
russo que viveu na Alemanha. Desde cedo, Cantor
demonstrou bastante interesse por estudos sobre a
teologia e a teoria do infinito. Durante sua carreira,
estudou teoria de números, chegando a abordar de
maneira inovadora os números irracionais a partir
dos racionais. Com seu trabalho revolucionário referente à teoria dos conjuntos e à teoria do infinito,
criou um ramo da matemática que permeia quase
todas as outras vertentes dessa ciência. Até os dias
de hoje é conhecido como o pai da teoria dos conjuntos, definindo-os da seguinte forma:
Note que, nas duas últimas representações, há
um conjunto maior no qual os estados da Região Sul
estão inseridos, o Brasil. Quando tratamos de conjuntos numéricos e queremos representá-los sem listar cada um dos elementos, usamos essa estratégia.
9
Seja P o conjunto dos números naturais pares. Podemos
representar P de algumas formas:
P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}
P = {x ∈  | x é par}
P = {x ∈  | x = 2k, para k∈ }
MAT
9
Exemplo:
Como vimos anteriormente, podemos representar um conjunto de diversas formas; por exemplo,
listando cada um de seus elementos. No entanto,
em casos nos quais não é possível listar todos os
elementos de um conjunto, recorremos a outras formas de expressar a existência de determinado elemento nesse conjunto. Observe-as a seguir.
9
Exemplo:
Seja A o conjunto dos estados da Região Sul do Brasil.
Desse modo:
●
Paraná pertence ao conjunto A, ou seja, Paraná ∈ A.
●
Goiás não pertence ao conjunto A, ou seja, Goiás ∉ A.
Seja P o conjunto dos números naturais pares. Desse modo:
●
1
∉ P, pois não é um número natural.
2
●
7 ∉ P, apesar de ser um número natural, 7 não é par.
●
8 ∈ P, pois é um número natural e é par.
Além das formas de denotar que um elemento
pertence ou não a um conjunto, existem também as
formas de denotar que um conjunto está contido ou
não em outro. Nesses casos, dizemos que o conjunto é ou não um subconjunto do outro.
9
Seja A o conjunto dos estados da Região Sul do Brasil.
Podemos representar A de algumas formas:
A = {Paraná, Santa Catarina, Rio Grande do Sul}
Exemplo:
O conjunto A dos estados da Região Sul do Brasil está contido no conjunto de todos os estados do Brasil, que, por sua
vez, está contido no conjunto de todos os estados do mundo.
Chamando de B o conjunto de todos os estados do Brasil
e de M o conjunto de todos os estados do mundo, temos:
A = {x é um estado do Brasil | x está na Região Sul}
grebeshkovmaxim/Shutterstock
Conjuntos
Essa forma de representação dos números
pares foi retomada no
módulo 1 da Frente C.
Relações em conjuntos
“Por conjunto entendemos uma coleção de
objetos definidos e distintos de nossa intuição ou
de nosso pensamento.”
Essa forma de definir conjuntos, embora seja
rica, é muito ampla. Por esse motivo, foram gerados
paradoxos relevantes até hoje, os quais, com a contribuição de outros matemáticos, foram contornados.
Por serem tão abrangentes, podemos definir e construir conjuntos em inúmeros contextos.
Exemplo:
A⊂B⊂M
Portanto, A é subconjunto de B, B é subconjunto de M e A
é subconjunto de M.
Como todos os elementos do conjunto dos números naturais
pares – o conjunto P – estão em , temos:
P⊂
A
Portanto, P é subconjunto do conjunto dos números naturais.
Frente A
mód. 03/26
Cantor inicia seus
estudos sobre a Teoria dos Conjuntos
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 240
Fim do séc. XIX
Inicia-se a unificação
das filosofias da Matemática
1906
Maurice Fréchet
inaugurou o estudo da geometria
com a abordagem
de conjuntos
Séc. XX
Os conceitos relacionados
às funções foram solidificados e generalizados, sendo
posteriormente vistos como
princípio fundamental e unificador da Matemática
Atualmente
Estudamos a Matemática de maneira
unificada
21/09/2020 18:27:08
EXT21_1_MAT_A_03
240
1874
EXT21_1_MAT_A_03
03
Considere P o conjunto dos números naturais pares. Dessa forma, o
conjunto universo será o conjunto dos números naturais; logo:
Exemplo:
Considere os conjuntos M = {0, 1, 2, 3} e N = {1, 2, 3, 4}. Nesse caso, o
conjunto M está contido em N?
Podemos representar os conjuntos M e N utilizando um diagrama.
Observe-o a seguir.
1
2
3
N
M não está contido em N, ou seja, M ⊄ N. Isso acontece porque há um
elemento em M que não está em N. Nesse caso, temos 0 ∈ M, porém 0 ∉ N.
9
| x é par }
Operações em conjuntos
Na análise de dois conjuntos, é possível fazer operações entre eles. Essas operações levam em consideração os elementos
de cada um dos conjuntos. Observe-as a seguir.
4
M
Conjunto universo
União
Dados dois conjuntos E e F, a união de E e F é o conjunto
cujos elementos são de E ou de F. Denotamos a união da seguinte forma:
Exemplo:
Sejam os conjuntos T = {x ∈ |x é ímpar} e Q = {..., –5, –3, –1, 1, 3, 5, ...}.
Desse modo, como todos os elementos de T estão em Q, podemos dizer
T ⊂ Q. Por outro lado, como todos os elementos de Q estão em T, também
podemos dizer T ⊃ Q. Dessa forma, considerando que todos os elementos
de T estão em Q e que todos os elementos de Q estão em T, temos T = Q,
ou seja, temos uma igualdade entre conjuntos.
E F x | x E ou x F
9
Exemplo:
Sejam os conjuntos X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e Y = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Desse
modo: X Y { 0 ,1, 2 , 3 , 4 , 5 ,6 ,7 , 8 ,9 ,10 }.
Um conjunto pode ser elemento de outro conjunto.
9
Considere os conjuntos G = {1, 2} e H = {{1, 2}, 3, 4}. Nesse caso, G é um
elemento de H, portanto G ∈ H.
Vazio e universo
8
Seja R o conjunto dos números primos pares maiores que 2. Como não
existem números primos pares maiores que 2, temos R = ∅.
Seja S o conjunto dos números negativos maiores que 0. Como não
existem números negativos maiores que 0, temos S = ∅.
Observação: O conjunto vazio está contido em todos os
conjuntos.
O conjunto que contém todos os elementos dos conjuntos de uma situação é chamado de conjunto universo.
9
9
3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10
X
No estudo de conjuntos, notamos dois conjuntos especiais
– o conjunto vazio e o conjunto universo –, os quais estão presentes em todas as situações relacionadas a conjuntos.
Exemplo:
5
2
Para fixar melhor as ideias apresentadas nesse
exemplo, é importante resolver com os alunos
os exercícios 2 e 3 da seção Sistematização.
Se um conjunto não possui elementos, ele é chamado de
conjunto vazio, denotado por ∅ ou { }.
7
4
1
Observação: É importante diferenciarmos os termos pertencer e estar contido. O primeiro, pertencer, trata apenas de um
termo ser elemento de um conjunto, enquanto o segundo, estar
contido, trata de um conjunto estar dentro de outro.
9
6
0
Exemplo:
MATEMÁTICA • FRENTE A
0
P {x
Y
X∪Y
Note que X ∪ Y possui elementos que são apenas de X, elementos que são
apenas de Y e elementos que são de X e Y.
9
Exemplo:
Considere os conjuntos:
●
A = {x é um estado do Brasil | x está na Região Sul}
●
B = {x é um estado do Brasil | x está na Região Sudeste}
●
C = {x é um estado do Brasil | x está na Região Centro-Oeste}
●
D = {x é um estado do Brasil | x está na Região Nordeste}
●
E = {x é um estado do Brasil | x está na Região Norte}
●
A ∪ B ∪ C ∪ D ∪ E = Brasil.
E
D
Exemplo:
grebeshkovmaxim/Shutterstock
9
Voltemos ao conjunto A, que representa o conjunto dos estados da
Região Sul do Brasil. Nesse caso, o conjunto universo será o conjunto de
todos os estados do Brasil. Note que, quando denotamos o conjunto A
anteriormente, citamos o conjunto universo.
A = { x é um estado
do
Brasil
| x está na Região Sul }
Conjunto universo
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 241
A
B
A
241
EXT21_1_MAT_A_03
EXT21_1_MAT_A_03
U
grebeshkovmaxim/Shutterstock
C
21/09/2020 18:28:44
Intersecção
Dados dois conjuntos E e F, a intersecção de E e F é o conjunto composto dos elementos de E e F simultaneamente.
Denotamos a intersecção da seguinte forma:
Complementar
Considere um conjunto E e o conjunto universo U. Nesse caso,
o conjunto complementar ao conjunto E (Ec) é dado por U – E.
U
E F x | x E e x F
E
99 Exemplos:
Sejam os conjuntos X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e Y = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Desse
modo: X ∩ Y = {4,5}.
99 Exemplo:
6
MATEMÁTICA • FRENTE A
0
4
1
7
4
8
5
2
3
5
9
P c { x | x é ímpar } T
T c { x | x é par } P
Observação: O complementar do complementar de um
conjunto é ele mesmo, ou seja, (XC ) C = X.
10
X
Sejam P e T os conjuntos dos números naturais pares e ímpares, respectivamente. Nesse caso, como o conjunto universo é o conjunto dos
números naturais, temos:
Y
X∩Y
99 Exemplo:
Considere os conjuntos P x | x é par e T x | x é ímpar.
Nesse caso, como não existem elementos que pertencem ao conjunto P
e ao T simultaneamente, tem-se P ∩ T = ∅.
Quando a intersecção entre dois conjuntos é vazia, dizemos que eles são disjuntos.
Com base no número de elementos de dois conjuntos, podemos calcular diretamente o número de elementos no conjunto união ou intersecção por meio da equação:
Observação: O complementar do vazio é o conjunto universo e vice-versa, ou seja, ∅C = U e UC = ∅.
Diagrama de Venn
Os diagramas de Venn foram elaborados por John Venn,
matemático inglês que viveu de 1834 a 1923. Seu objetivo era
facilitar as relações de união e intersecção entre conjuntos.
Esses diagramas apresentam um caráter imprescindível na organização de dados obtidos em pesquisas, por exemplo.
99 Exemplo:
A empresa de bolos Alfa realizou uma pesquisa sobre a preferência de
seus consumidores em relação a seus três sabores: abacaxi, chocolate
e maracujá.
Os resultados indicaram que:
n(E ∪ F) = n(E) + n(F) – n(E ∩ F)
●●
65 pessoas compram bolo de abacaxi.
●●
85 pessoas compram bolo de chocolate.
●●
170 pessoas compram bolo de maracujá.
●●
50 pessoas compram bolos de abacaxi e de maracujá.
n X Y n X n Y n X Y ●●
30 pessoas compram bolos de abacaxi e de chocolate.
n X Y 6 7 2 11
●●
60 pessoas compram bolos de chocolate e de maracujá.
●●
20 pessoas compram bolos de todos os sabores.
●●
50 pessoas não compram bolos dessa empresa.
99 Exemplo:
Sejam os conjuntos X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e Y = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Como
já conhecemos X ∩ Y = {4,5}, podemos calcular o número de elementos
em X ∪ Y da seguinte forma:
Diferença
A diferença entre dois conjuntos E e F (E – F) é o conjunto dos elementos que pertencem ao conjunto E e não pertencem ao conjunto F. Outra forma de denotar esse conjunto é
E F x | x E e x F.
E
Podemos utilizar o diagrama de Venn para calcular alguns dados sobre
essa situação, como o número de pessoas que responderam a essa pesquisa, a quantidade de pessoas que compram apenas bolos de chocolate
e maracujá ou até o número de pessoas que compram apenas bolos de
abacaxi. Para isso, esquematiza-se o diagrama com três círculos que se
cruzam, como mostra a imagem a seguir.
F
Abacaxi
Chocolate
65 – 60 = 5
30 – 20 = 10
85 – 70 = 15
20
= 30
60 – 20
= 40
170 – 90 = 80
242
50
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 242
Maracujá
21/09/2020 18:28:54
EXT21_1_MAT_A_03
Sejam os conjuntos X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e Y = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Desse
modo: X – Y = {0, 1, 2, 3}.
50 – 20
EXT21_1_MAT_A_03
99 Exemplos:
Leis de De Morgan
Para o cálculo simultâneo de uniões ou intersecções com
complementares, podemos utilizar as leis de De Morgan.
●●
A B
c
c
●●  ..., 3, 2, 1, 0
●● * ..., 3, 2, 11
, , 2, 3,...
c
A B
A
B
U
●●  0,1, 2, 3,...
Observação: Quando combinamos dois sinais dos subconjuntos especiais, estamos calculando suas intersecções, por
exemplo: * *  é o conjunto dos inteiros negativos.
Números racionais
Como vimos anteriormente, ao dividirmos dois números naturais, nem sempre encontramos como resultado um número natural. Isso também acontece com os números inteiros. Por esse
motivo, há a necessidade de descrever quantidades não inteiras.
A B
c
c
A B
A
B
U
Apresenta-se, portanto, o conjunto dos números racionais,
que compreendem as quantidades que podem ser representadas como a razão de duas quantidades inteiras. Dessa forma,
denotamos o conjunto dos números racionais como:
p
p , q , q 0 q
3 2 1 0 1 2 3 Considerando  ..., , , , , , , ,... , tem-se
1 1 1 1 1 1 1  ⊂  ⊂ .
99 Exemplo:
Sejam os conjuntos P x | x é par e T x | x é ímpar. Nesse
caso, podemos calcular (P ∩ T)C de duas formas:
●●
Primeiramente, calculamos P ∩ T, que é ∅, portanto (P ∩ T)C = ∅C = .
●●
Sabemos que ( P T )c P c T c , então, como Pc = T e Tc = P, temos
P c T c T P .
Conjuntos numéricos
Entre os diversos grupos que podemos estudar, destacam-se os conjuntos numéricos. São eles os conjuntos dos números
naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.
Números naturais
Os números naturais surgiram da necessidade de os seres
humanos controlarem seus bens. A quantidade é representada
por símbolos, também chamados de algarismos. A cada uma
dessas quantidades é associado um símbolo que representa
um número natural. Dessa forma, o conjunto dos números naturais é dado por:
 = {0,1, 2, 3, 4 , 5,...}
Observação: Denotamos o conjunto dos números naturais
sem o 0 por  *.
Note que, ao multiplicarmos ou adicionarmos dois números
naturais, temos sempre como resultado um número natural. No
entanto, quando subtraímos ou dividimos dois números naturais,
não necessariamente temos como resultado um número natural.
99 Exemplo:
●●
8 – 13 = –5 ∉ .
Números inteiros
●●
3
1, 5 .
2
Partindo dos números naturais, surgem questões: Como
representar uma perda numa quantidade? Como representar o
resultado de uma diferença ou de uma subtração quando estamos subtraindo mais do que temos?
=
●● 1,25
●●
125 5
=
, portanto 1,25 ∈ ;
100 4
0 ,666... =
2
, portanto 0,666 ∈ .
3
Alguns subconjuntos dos números racionais, assim como dos inteiros,
têm uma notação especial. São eles:
●●
* é o conjunto dos racionais diferentes de zero.
●●
+ é o conjunto dos racionais não negativos.
●●
– é o conjunto dos racionais não positivos.
Observação: Quando combinamos dois sinais dos subconjuntos especiais, estamos calculando suas intersecções, por
exemplo:  *+ =  * ∩  + é o conjunto dos racionais positivos.
Números irracionais
Há uma classe de números não racionais que surgem em situações diversas, como ao calcular a diagonal de um quadrado
de lado 1 2 , a diagonal de um cubo de lado 1 3 , a divisão
do comprimento de uma circunferência pelo seu diâmetro (π).
Para esses casos, temos o conjunto dos números irracionais, denotado por , composto dos números reais que não podem ser representados pela razão entre dois números inteiros.
99 Exemplos:
●●
●●
3 ,1415926... 
3 1,7320508... 
●●
2 1, 4142135... 
e 2 ,7182818... 
●●
Observação: Pela definição de números irracionais, temos
  .
Números reais
Definimos os números reais como a união entre conjuntos
dos números racionais e dos números irracionais. Dessa forma,
esse conjunto pode ser representado por:
=∪
Podemos representá-lo em diagramas da seguinte forma:

Dessa forma, denotamos o conjunto dos números inteiros
como:
 ..., 3, 2, 1, 0,1, 2, 3,...




Logo, tem-se  ⊂  .
Alguns subconjuntos dos números inteiros têm uma notação especial. São eles:
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 243
Com base
 ⊂  ⊂  ⊂ .
no
diagrama,
notam-se
estas
relações:
243
EXT21_1_MAT_A_03
EXT21_1_MAT_A_03
Podemos responder a essas perguntas utilizando o conjunto dos números inteiros. Com eles podemos representar os
opostos das quantidades do conjunto dos números naturais, de
forma que, se adicionarmos um número a seu oposto, temos 0.
99 Exemplos:
MATEMÁTICA • FRENTE A
●●
c
21/09/2020 18:29:18
FIXAR
Contido e não contido
Conjunto X
X
a
b
c
d
U
B
s
Operações com conjunto
MATEMÁTICA • FRENTE A
a
c
e
a
b
e
f
c
d
Leis de De M
organ
a
b
b
d
f
(X ∩ Y) C =
X
X–Y
X∪Y
Y) – n(X ∩ Y)
n(X ∪ Y) = n(X) + n(
X∩Y
X C ∪ YC
Y
c
d
so
Conjuntos numéricos

Xc

U Complementar e univer
X
C⊄A
C
Conjunto que não possui elementos
Conjunto que possui todos os elementos
∅
U
Y
X
B⊂A
A
Elementos do conjunto X
a∈X
c∈X
b∈X
d∈X
 
(X ∪ Y) C =
U
X
X C ∩ YC
Y
U

Interação
b)
1.
Quantos conjuntos infinitos cabem
dentro de um conjunto infinito?
E se chegasse um ônibus com infinitos passageiros, o que o gerente
poderia fazer para alocá-los?
Embora possa parecer abstrato, Cantor provou que, se
conseguimos enumerar os elementos de um conjunto, ou seja, determinar
o primeiro elemento, o segundo, o terceiro etc., ele possui o mesmo número
de elementos que o conjunto dos números naturais.
Além disso, se temos dois conjuntos enumeráveis, podemos fazer uma
correspondência entre um deles com os elementos do outro.
A ideia de enumeração de um conjunto infinito pode ser ilustrada pela
situação hipotética a seguir, conhecida ao longo da história da Matemática
como Hotel de Hilbert, elaborada por David Hilbert.
O Hotel de Hilbert é um famoso hotel que nunca deixou um viajante
sem quarto. Isso ocorria por ter infinitos quartos e um engenhoso gerente.
Os quartos do hotel são todos numerados utilizando-se os inteiros positivos.
Num certo dia, o hotel tinha todos os quartos ocupados, e um turista,
que não tinha feito reserva, chegou ao hotel e solicitou um quarto. Não
sabendo como proceder, o recepcionista chamou o gerente.
DESAFIO: Hotel de Hilbert. Clubes de Matemática da OBMEP. Disponível em: http://
clubes.obmep.org.br/blog/desafio-hotel-de-hilbert/. Acesso em: 21 jul. 2020.
EXT21_1_MAT_A_03
Como o gerente poderia resolver o problema do recepcionista?
244
a)
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 244
21/09/2020 18:29:29
Analise as afirmações a seguir.
O conjunto {0, 1, 2, 3, ...} pode ser representado pela
I.
notação *.
II.
O conjunto {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, ...} pode ser representado pela notação .
III. O conjunto {x | x é um número par} pode ser representado pela
notação .
Assinale a alternativa correta.
a) Apenas I é verdadeira.
d) Apenas I e II são verdadeiras.
b)
Apenas II é verdadeira.
c)
Apenas III é verdadeira.
2.
e)
Em muitas cidades brasileiras, o comércio fecha as portas
apenas em três datas do ano: Natal (25/12), Ano-novo (01/01)
e Dia do Trabalhador (01/05). Em um supermercado da capital
paulista, a gerência decidiu não fechar a loja em nenhuma das
três datas, contudo os funcionários trabalhariam em número
reduzido. Para organizar essa escala, o gerente montou uma tabela com a
quantidade de funcionários que trabalhará em cada um desses feriados.
Alguns funcionários que queriam fazer hora extra ofereceram-se para
trabalhar em dois dos feriados. Nenhum funcionário será dispensado de
trabalhar nos feriados e nenhum deles trabalhará nos três feriados.
a∈A
II.
{b} ⊂ A
IV. ∅ ⊂ A
Agora, assinale a alternativa correta.
a) Apenas a afirmação I é verdadeira.
b)
Apenas as afirmações I e II são verdadeiras.
c)
Apenas as afirmações II e IV são verdadeiras.
d)
Apenas as afirmações I, III e IV são verdadeiras.
e)
Todas as afirmações são verdadeiras.
a)
∅
d)
{4}
b)
{0}
e)
{0, 1, 2, 3, {4, 5}}
c)
{2, 3}
a)
{b}
d)
{a, b, c, e}
b)
{a, b, c}
e)
{a, c, d, e}
c)
{a, b, c, d, e}
45
25
Natal e Dia do Trabalhador
35
255
c)
360
e)
465
Imagine que 158 estudantes brasileiros fizeram intercâmbio
fora do Brasil. Observe a seguir os destinos.
●
27 estudantes foram apenas para o Canadá.
68 estudantes foram para os Estados Unidos da América.
●
55 estudantes foram para a Itália.
●
2 estudantes fizeram intercâmbio nos 3 países.
●
11 estudantes fizeram intercâmbio no Canadá e nos EUA.
●
10 estudantes fizeram intercâmbio nos EUA e na Itália.
● 8 estudantes fizeram intercâmbio no Canadá e na Itália.
Quantos estudantes fizeram intercâmbio no Canadá?
a) 44
d) 35
Considere os conjuntos A = {banana, maçã, pera}, B = {tomate,
melancia, carambola}, C = {carambola, amora, uva, banana,
pera}. Assinale a alternativa que apresenta ((A – C) – (B – A))C.
{banana, pera, tomate, melancia, carambola, uva, amora}
a)
b)
27
c)
45
e)
●
O café pode ser consumido de três maneiras diferentes: frio,
em bebidas com sorvete; em temperatura ambiente, no
preparo de doces; quente, como bebida. Uma pesquisa, feita
com 500 pessoas, revelou que:
109 pessoas consomem café frio.
●
203 pessoas consomem café quente.
●
162 pessoas consomem café em temperatura ambiente.
●
25 pessoas consomem, às vezes, café frio e, às vezes, café quente.
●
28 pessoas consomem, às vezes, café frio e, às vezes, café em temperatura ambiente.
●
41 pessoas consomem, às vezes, café quente e, às vezes, café em
temperatura ambiente.
5 pessoas consomem café nas três versões.
68
b)
{melancia, carambola, uva, maçã, {carambola, amora}}
c)
{banana, pera, tomate, melancia, carambola}
d)
{banana, tomate, amora}
●
e)
{maçã}
● 115 pessoas não consomem café.
Qual é o número de pessoas que consomem café de pelo menos duas
temperaturas diferentes?
a) 150
d) 99
6.
EXT21_1_MAT_A_03
130
Natal e Ano-novo
b)
10.
7.
110
●
Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {b, c, d} e C = {a, c, d, e}, o
conjunto (A – C) ∪ (C – B) ∪ (A ∩ B ∩ C) é:
5.
Ano-novo
Dia do Trabalhador
Ano-novo e Dia do Trabalhador
9.
Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 3, {4, 5}}. Assinale a alternativa
que não apresenta um subconjunto de A.
4.
120
Quantos funcionários trabalham nesse supermercado?
a) 275
d) 55
III. {a,b} ∈ A
3.
Número de funcionários
Natal
Apenas II e III são verdadeiras.
Obser ve as afirmações a seguir sobre o conjunto
A a, b,b , c ,a, b.
I.
Feriados
a)
37
b)
56
c)
62
Suponha que, em um grupo de entrevistados, 25 pessoas
queiram comprar um carro, 37 queiram comprar uma moto e
6 queiram comprar um carro e uma moto. Quantos entrevistados querem comprar um carro ou uma moto?
d) 68
e)
74
Uma pesquisa feita em Genebra, na Suíça, avaliou o chocolate
preferido dos consumidores naquela região. Das 300 pessoas
pesquisadas, constatou-se que 100 pessoas preferem chocolate mais amargo, 150 gostam do chocolate ao leite e 40
pessoas gostam de ambos. O número de pessoas consultadas
que não gostam nem do chocolate amargo nem do chocolate ao leite é:
a) 90
d) 30
b)
50
c)
110
EXT21_1_MAT_A_03.indd 245
e)
10
MATEMÁTICA • FRENTE A
1.
8.
11.
b)
115
c)
84
e)
61
Russel encontrou na definição de conjuntos de Cantor um
problema, o qual ele enunciou da seguinte forma:
Seja M o conjunto de todos os conjuntos que contêm a si mesmos e N o conjunto de todos os conjuntos que não contêm a
si próprios. N é um membro de N ou M?
Russel também enunciou seu paradoxo da seguinte forma:
“Um barbeiro de uma pequena cidade decidiu que fará a barba de todas
as pessoas da cidade que não faziam a própria barba. Quem fará a barba
do barbeiro?”
Qual foi o paradoxo encontrado por Russel?
Ao trabalhar a definição de conjuntos e as relações entre eles, aborde esse paradoxo de
forma que possa explicitar como a definição de Cantor não era perfeita, fato citado no
início do módulo.
245
Sistematização
21/12/2020 14:11:17
Enem e vestibulares
60
b)
80
d)
75
C1:H3 (IFRN-2018) Um grupo de 200 torcedores foi consultado
sobre quais são suas seleções preferidas para a Copa do
Mundo de 2018. Verificou-se que 55 torcedores preferem a
seleção brasileira, 42 preferem a seleção alemã e 120 preferem
outras seleções. O número de torcedores que torce ao mesmo
tempo pela seleção brasileira e pela alemã é
a) 22
b)
27
c)
17
d)
32
C1:H3 (FASA-2017) Uma grande rede de fast-food aproveitou
os Jogos Olímpicos do Rio de Janeiro, ocorridos no período
de 05 a 21 de agosto de 2016, e realizou uma pesquisa para
saber o tipo de fast food que os espectadores comem em uma
mesma refeição. O resultado foi o seguinte:
Fácil
Fácil
C1:H3 (UECE-2018) Em um grupo de 200 estudantes, 98 são
mulheres, das quais apenas 60 não estudam comunicação. Se
do total de estudantes do grupo somente 60 estudam comunicação, o número de homens que não estudam essa disciplina é
c) 85
Fast Food
Número de espectadores
Pizza
46
Sanduíche
46
Batatas fritas
30
Pizza e sanduíche
0
Pizza e batatas fritas
12
Sanduíche e batatas fritas
10
Pizza, sanduíche e batatas fritas
0
9.
16
e)
8
C1:H3 (UEFS-2016) Em um grupo de 30 jovens, 2 já assistiram
a todos os filmes X, Y e Z, e 10 ainda não viram nenhum. Dos
14 que viram Y, 5 também assistiram a X, e 6 também viram
Z. Ao todo, 11 jovens assistiram a X.
Com base nessas informações, é correto concluir que, nesse grupo,
a) ninguém assistiu apenas a X.
b)
ninguém assistiu apenas a Z.
c)
alguém assistiu a Z, mas não viu Y.
d)
nem todos os que assistiram a Z viram Y.
e)
todos os que assistiram a X também viram Z.
C1:H3(UEFS-2018) Em uma empresa com 33 funcionários, 22
são fluentes em italiano, 14 são fluentes em alemão e 27 são
fluentes em francês. Sabe-se que todos os funcionários são
fluentes em pelo menos uma dessas línguas e que, no total,
18 desses funcionários são fluentes em exatamente duas
dessas línguas. O número de funcionários nessa empresa que são fluentes
nessas três línguas é
d) 5.
a) 2.
b)
3.
c)
4.
10.
e)
6.
C1:H3 (FACERES-2017) Uma pesquisa sobre preferência de
gênero musical foi feita em uma faculdade A, tendo sido verificados os seguintes resultados:
●●
320 pessoas preferem sertanejo;
●●
250 pessoas preferem samba;
●●
400 pessoas preferem outros gêneros;
●● 800 pessoas responderam à pesquisa.
Quantas pessoas preferem, ao mesmo tempo, os gêneros sertanejo e samba?
d) 800
a) 170
b)
240
c)
80
Com base nos dados da pesquisa, quantos espectadores foram
entrevistados?
a) 90
a)
C1:H3 (Unemat-2016) Em um grupo de 30 pessoas, 21 gostam
de dançar. Três homens não gostam de dançar e 12 mulheres
gostam de dançar.
Quantas mulheres do grupo não gostam de dançar?
3 mulheres
b)
100
b)
9 mulheres
c)
96
c)
8 mulheres
d)
98
d)
6 mulheres
e)
12 mulheres
6.
C1:H3 (CESMAC-2017) Observando as carteiras de vacinação
das 276 crianças de uma creche, verificou-se que 30 não foram
vacinadas, 183 receberam a vacina contra sarampo, e 161
receberam a vacina Sabin. O número de crianças que recebeu
as duas vacinas é:
11.
Médio
Fácil
a)
20
10
c)
12.
e)
570
96
b)
97
c)
98
d)
99
b)
9
100
c)
25
Fácil
a)
C1:H3 (PUCRS-2016) Nas Olimpíadas de 2016, foram disputadas
306 provas com medalhas, que foram distribuídas entre competidores de esportes masculinos, femininos e, ainda, de esportes
mistos. Sabe-se que o total de competições femininas e mistas
foi 145. Sabe-se, também, que a diferença entre o número de
provas disputadas somente por homens e somente por mulheres foi 25.
Então, o número de provas mistas foi
a) 3
d) 136
e)
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 246
e)
161
21/09/2020 18:29:42
EXT21_1_MAT_A_03
3.
d)
8.
b)
EXT21_1_MAT_A_03
13
5.
246
250
C1:H3 (FALBE-2018) Um grupo de 180 turistas estão hospedados em um mesmo hotel no estado de São Paulo. As regiões
Norte, Sul e Sudeste são as regiões do Brasil que já foram visitadas por pelo menos um desses turistas. Desses turistas, 89
já estiveram na Região Sul e 78 já estiveram na Região
Norte. Sabendo que 33 desses turistas só conhecem a Região Sudeste, o
número desses turistas que já estiveram nas regiões Norte e Sul é
c) 17
a) 10
b)
4.
e)
Fácil
150
Fácil
100
c)
C1:H3 (UDESC-2017) Uma pesquisa sobre os fatores que influenciam a escolha de um livro para leitura foi realizada em
um grupo de 80 pessoas. Elas foram questionadas se, na hora
de escolher um livro, levavam em consideração o gênero de
sua preferência, a indicação de amigos ou as listas dos mais
vendidos, sendo que poderiam optar por uma, duas ou as três opções.
Ninguém respondeu ser influenciado apenas por listas dos mais vendidos,
mas 20 pessoas responderam levar esse fator em consideração. Além disso,
28 responderam considerar apenas o gênero de sua preferência, enquanto
5 disseram que as três opções influenciam suas decisões.
Sabendo, ainda, que o número de pessoas que se baseiam apenas nas indicações dos amigos é igual ao das que disseram levar em consideração apenas as
indicações dos amigos e o gênero de sua preferência, então pode-se afirmar
que a quantidade de pessoas que seguem apenas as indicações de amigos é:
d) 32
a) 13
Médio
b)
Fácil
MATEMÁTICA • FRENTE A
Fácil
2.
C1:H3 (FAI-2019) Numa pesquisa sobre a preferência em relação a dois jornais, foram consultadas 470 pessoas e o resultado
foi o seguinte: 250 delas leem o jornal A, 180 leem o jornal B
e 60 leem os jornais A e B.
Represente em um diagrama as informações e calcule o número de pessoas
que não leem jornais.
a) 50
d) 200
Médio
Fácil
1.
7.
285
b)
570
c)
760
d)
950
e)
1330
a)
A–B=∅
b)
A e B são disjuntos.
c)
B está contido em A.
d)
A está contido em B.
15.
Médio
C1:H1 (IFAL-2018) Sobre a Teoria dos Conjuntos, assinale a
alternativa incorreta. Se um número é natural, ele também é:
20.
C1:H1 (FAI-2019) Determine o conjunto X tal que:
I.
{a, b, c, d} ∪ X = {a, b, c, d, e}
a)
{a, b}
II.
{c, d} ∪ X = {a, c, d, e}
III.
{b, c, d} ∩ X = {c}
b)
{a, c, e}
racional.
c)
{b, d, e}
c)
irracional.
d)
{c, d, e}
d)
real.
e)
{a, b, c, d}
e)
complexo.
20 dias.
b)
21 dias.
c)
22 dias.
d)
23 dias.
e)
24 dias.
24
c)
8
d)
4
e)
12
I.
A ∪ B tem mais elementos que A.
II.
A ∩ B tem menos elementos que A.
III. A – B tem menos elementos que A.
Entre as afirmativas acima, é(são) necessariamente verdadeira(s)
a) apenas I e III.
C1:H3 (IFPE-2019) Numa turma do segundo período do Curso
Técnico Subsequente em Cozinha do IFPE campus Cabo de
Santo Agostinho, 60% dos alunos foram aprovados na disciplina de Cozinha Pernambucana; 30% dos alunos foram
aprovados na disciplina de Habilidades e Técnicas Culinárias
II; e 30% não foram aprovados em nenhuma dessas duas disciplinas.
Sabendo que nessa turma existem 40 alunos, quantos alunos foram aprovados apenas na disciplina de Cozinha Pernambucana?
a) 16
b)
C1:H1 (IFCE-2019) Sobre os conjuntos finitos e não vazios A e
B, são feitas as seguintes afirmativas:
C1:H2 (IFCE-2019) Sejam x e y números tais que os conjuntos
{0, 7, 1} e {x, y, 1} são iguais, é correto afirmar que
a)
x = y.
b)
x = 0 e y = 7.
c)
x = 0 e y = 1.
d)
X + 2y = 7.
e)
x + y = 7.
C1:H3 (CEFET-RJ-2019) Uma pequena indústria detectou falhas
em seu maquinário que afetaram a produção de algumas
peças no tamanho e no peso. Para determinar o prejuízo
decorrente dessas falhas, submeteu 180 peças produzidas a
2 testes. No teste de tamanho, 120 peças foram consideradas
adequadas, enquanto, no teste de peso, 80 peças foram consideradas
adequadas. Apenas 40 peças foram consideradas perfeitas, isto é, aprovadas
em ambos os testes, e as peças reprovadas em ambos os testes foram
descartadas.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 247
b)
nenhuma delas.
c)
apenas I e II.
d)
apenas II e III.
e)
I, II e III.
22.
C1:H3 (FATEC-2019) Entre as pessoas que compareceram à
festa de inauguração da FATEC Pompeia, estavam alguns dos
amigos de Eduardo. Além disso, sabe-se que nem todos os
melhores amigos de Eduardo foram à festa de inauguração.
Difícil
a)
21.
Difícil
C1:H3 (IFCE-2020) Pedro e Marta são os pais de Ana. A família
quer viajar nas férias de julho. Pedro conseguiu tirar suas férias
na fábrica do dia 4 ao dia 27. Marta obteve licença no escritório
de 5 a 30. As férias de Ana na escola vão de 2 a 25. A família
poderá viajar sem faltar às suas obrigações por
Médio
Médio
Daldo
inteiro.
Médio
Médio
EXT21_1_MAT_A_03
Caldo
d)
b)
18.
EXT21_1_MAT_A_03
Baldo
c)
a)
16.
19.
b)
Difícil
Médio
C1:H1 (FMO-2019) Sejam dois conjuntos A e B, tais que
A ∩ B = A. Desse modo, pode-se inferir que
MATEMÁTICA • FRENTE A
Médio
a)
14.
17.
Os resultados dos testes foram entregues a 4 alunos do curso de
Administração do CEFET-RJ para uma análise do fenômeno que afetou a
produção. Cada aluno fez uma afirmação, conforme reproduzido a seguir:
Aldo: “Das peças aprovadas em pelo menos um teste, apenas 20% são
perfeitas”.
Baldo: “O número de peças descartadas corresponde a 20% do número de
peças aprovadas em pelo menos um teste”.
Caldo: “Exatamente 12% das peças submetidas aos testes são perfeitas”.
Daldo: “Aproximadamente 11% das peças submetidas aos testes foram
descartadas”.
O aluno que fez a afirmação correta ganhou um estágio remunerado na
indústria, no cargo de analista de produção.
O aluno que ganhou o estágio foi:
a) Aldo
C1:H3 (Cotuca-2020) Em uma escola, 35% dos alunos leem
jornal e 55% leem revista. Sabe-se que 25% não leem jornal
nem revista e que a escola possui 3800 alunos.
Qual é o número de alunos que leem jornal e revista?
Considere:
F: conjunto das pessoas que foram à festa de inauguração.
E: conjunto dos amigos de Eduardo.
M: conjunto dos melhores amigos de Eduardo.
Com base nessas informações, assinale a alternativa que contém o diagrama
de Euler-Venn que descreve corretamente a relação entre os conjuntos.
a)
M
E
b)
F
F
E
M
247
13.
21/09/2020 18:29:47
c)
M
MATEMÁTICA • FRENTE A
C
múltiplos de 5
( ) A 6 andares desse prédio, chegam, exatamente, 2 elevadores.
M
F
( ) Se a x andares desse prédio chega apenas 1 elevador, então x é
menor que 7.
Sobre as proposições, tem-se que
a) apenas uma afirmação é verdadeira.
e)
E
b)
apenas duas afirmações são verdadeiras.
c)
todas as afirmações são verdadeiras.
d)
nenhuma afirmação é verdadeira.
26.
Difícil
C1:H1 (ITA-2020) Dado a ∈ , defina p = a + a2 e q = a + a3 e
considere as seguintes afirmações:
I.
se p ou q é irracional, então a é irracional.
II.
b)
26
c)
12
d)
20
e)
34
C1:H3 (EPCAr-2020) Uma pesquisa foi realizada com um grupo
de Cadetes da AFA.
Esses Cadetes afirmaram que praticam, pelo menos, uma
entre as modalidades esportivas: voleibol, natação e atletismo.
Obteve-se, após a pesquisa, os seguintes resultados:
I. Dos 66 Cadetes que praticam voleibol, 25 não praticam outra modalidade esportiva.
II.
Dos 68 Cadetes que praticam natação, 29 não praticam outra modalidade esportiva.
III. Dos 70 Cadetes que praticam atletismo, 26 não praticam outra modalidade esportiva.
IV. 6 Cadetes praticam as três modalidades esportivas.
Marque a alternativa FALSA.
A quantidade de Cadetes que
a) pratica pelo menos duas das modalidades esportivas citadas é 59.
Difícil
25.
b)
foram pesquisados é superior a 150.
c)
pratica voleibol ou natação é 113.
d)
pratica exatamente duas das modalidades esportivas citadas é um
número primo.
C1:H3 (EPCAr-2020) Em um jogo de videogame há uma etapa
em que o personagem, para se livrar do ataque de monstros,
precisa subir pelo menos 1 dos 20 andares de um prédio,
utilizando, necessariamente, um elevador.
O personagem encontra-se no térreo e pode escolher e acionar um dos
3 elevadores ali existentes. Todos eles estão em perfeito funcionamento
e são programados de modo a parar em andares diferentes, conforme
esquema a seguir:
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 248
27.
Difícil
Difícil
Difícil
24.
C1:H3 (UDESC-2019) Foi solicitado que um grupo de 64 pessoas escolhesse um número natural maior do que 3. Após
análise das escolhas, constatou-se que: 12 pessoas escolheram
um número primo; 30, um número par; 14, um múltiplo de 3;
e 6, um múltiplo de 6.
O número de pessoas que escolheu um número ímpar, não múltiplo de
3, foi igual a:
a) 14
se p e q são racionais, então a é racional.
III. se q é irracional, então p é irracional.
É(são) verdadeira(s)
a) apenas I.
M
23.
248
múltiplos de 3
Analise cada proposição abaixo quanto a ser (V) Verdadeira ou (F) Falsa,
apenas para os andares de 1 até 20.
( ) Não há possibilidade de um mesmo andar receber os três elevadores
P, T e C.
E
F
pares
T
b)
apenas II.
c)
apenas I e II.
d)
apenas I e III.
e)
todas.
C1:H1 (EPCAr-2020) Para dinamizar suas aulas no 8º ano, a
professora Luíza organizou um jogo distribuindo duas fichas
contendo operações com os números reais.
Dois alunos participaram da 1ª rodada do jogo: Lucas e Mateus.
Ao jogarem, esses alunos receberam as seguintes fichas:
Aluno
Lucas
Mateus
Ficha 1
0
2 5 0, 7 9 4 A
3
1
0 , 5 4 2 2 C
4
(0 , 333)3 1 2, 2
5
11333
,

Aluno
Lucas
Mateus
1
Ficha 2
B
3
2
8 0 ,6 4 2
1 49 9
9 0 ,5
1
2
1
1
3
2 2 0
1 2 1 D 0 , 6 6
3 1, 33 1
2
Depois de resolverem as operações, cada aluno deveria associar corretamente os resultados obtidos em cada ficha a somente um dos conjuntos abaixo.
P=–
W =  – +*
X = –* ∩ –*
T =  – +
21/09/2020 18:29:57
EXT21_1_MAT_A_03
d)
P
EXT21_1_MAT_A_03
E
Programado para parar apenas
nos andares de números
Elevador
F
●● Mateus afirmou que C ∈ X e D ∈ T.
Se Lucas e Mateus acertaram as operações nas suas duas fichas, então
a) Lucas e Mateus acertaram todas as correspondências entre os números
calculados e os conjuntos.
c)
Lucas e Mateus erraram uma das correspondências, cada.
d)
Lucas acertou as duas correspondências, e Mateus errou a correspondência de um dos números C ou D.
C1:H1 (UEFS-2018) Sejam A, B e C conjuntos contidos no
conjunto dos números naturais, tais que A é o conjunto dos
números menores do que 250, B é o conjunto dos números
múltiplos de 4 e C é o conjunto dos números pares. Sendo Ac,
Bc e Cc os conjuntos complementares respectivamente de A,
B e C, o número 33 pertence a
a) (A C B) CC
b)
A C ∩ BC ∩ C C
c)
(A B) (A C CC )
d)
(A C BC ) (BC CC )
e)
( A BC ) C
I.
C1:H3 (Fuvest-2018) Entre os candidatos que fizeram provas
de matemática, português e inglês num concurso, 20 obtiveram nota mínima para aprovação nas três disciplinas. Além
disso, sabe-se que:
14 não obtiveram nota mínima em matemática;
II.
16 não obtiveram nota mínima em português;
Difícil
29.
b)
todos os tradutores que falam alemão também falam coreano.
c)
pelo menos um tradutor que fala inglês também fala coreano.
d)
nenhum dos tradutores fala japonês e também russo.
e)
nenhum dos tradutores fala russo e também alemão.
32.
C1:H3 (UECE-2019) Seja U o conjunto de todos os números
inteiros positivos menores do que 200. Se
Difícil
Difícil
28.
Mateus acertou as duas correspondências e Lucas errou a correspondência de um dos números A ou B.
C1:H3 (Insper-2014) Dentro de um grupo de tradutores de
livros, todos os que falam alemão também falam inglês, mas
nenhum que fala inglês fala japonês. Além disso, os dois únicos
que falam russo também falam coreano. Sabendo que todo
integrante desse grupo que fala coreano também fala japonês,
pode-se concluir que, necessariamente,
a) todos os tradutores que falam japonês também falam russo.
X2 {n ∈ U tal que n é múltiplo de 2},
X3 {n ∈ U tal que n é múltiplo de 3} e
X5 {n ∈ U tal que n é múltiplo de 5},
então, o número de elementos de X2 ∪ X3 ∪ X5 é
a) 140.
b)
135.
c)
150.
d)
145.
33.
C1:H1 (UEPG-2018) Com relação aos conjuntos abaixo, assinale
o que for correto.
Difícil
b)
Difícil
31.
III. 12 não obtiveram nota mínima em inglês;
A { x  || x | 10 }
IV. 5 não obtiveram nota mínima em matemática e em português;
B { x  | x 2 2x 3}
V.
D { x  | x 2 5x 4 0 }
3 não obtiveram nota mínima em matemática e em inglês;
VI. 7 não obtiveram nota mínima em português e em inglês e
(1)
VII. 2 não obtiveram nota mínima em português, matemática e inglês.
A quantidade de candidatos que participaram do concurso foi
a) 44.
b)
46.
c)
47.
d)
48.
e)
49.
30.
MATEMÁTICA • FRENTE A
Os resultados obtidos por Lucas e Mateus foram os seguintes:
●● Lucas afirmou que A ∈ T e B ∈ W.
A–B=D
(2) (A B) D { x  | x 2 5x 6 0}
(3)
D⊄A eB⊂A
(4) B D { x  | 2x 7 5}
(5)
O conjunto D admite exatamente 16 subconjuntos.
Difícil
C1:H3 (UDESC-2012) Considere em um conjunto universo,
com 7 elementos, os subconjuntos A, B e C, com 3, 5 e 7 elementos, respectivamente. É correto afirmar que:
a)
(A ∩ B) ∩ C tem no máximo 2 elementos.
GABARITOE ONLINE
GABARITO
SOLUCIONÁRIO ONLINE
b) (A ∩ B) ∩ C tem no mínimo 1 elemento.
c)
B ∩ C tem 3 elementos.
d)
A ∩ C tem no mínimo 2 elementos.
e)
A ∩ B pode ser vazio.
1. Faça
Façaoodownload
downloaddodo
aplicativo
Questões
ou qualquer aplicativo
aplicativo
SAE SAE
Questões
ou qualquer
de leituradeQRleitura
Code.
aplicativo
QR Code.
Abraooaplicativo
aplicativo
e aponte
o QRQRCode
2. Abra
e aponte
parapara
um dos
Codesaoaolado.
lado
acessardeste
o gabarito
ou o será
solucionário
módulo.
3. para
O gabarito
módulo
exibidodeste
em sua
tela.
1
A
B
C
D
E
9
A
B
C
D
E
17
A
B
C
D
E
25
A
B
C
D
E
2
A
B
C
D
E
10
A
B
C
D
E
18
A
B
C
D
E
26
A
B
C
D
E
3
A
B
C
D
E
11
A
B
C
D
E
19
A
B
C
D
E
27
A
B
C
D
E
4
A
B
C
D
E
12
A
B
C
D
E
20
A
B
C
D
E
28
A
B
C
D
E
5
A
B
C
D
E
13
A
B
C
D
E
21
A
B
C
D
E
29
A
B
C
D
E
6
A
B
C
D
E
14
A
B
C
D
E
22
A
B
C
D
E
30
A
B
C
D
E
7
A
B
C
D
E
15
A
B
C
D
E
23
A
B
C
D
E
31
A
B
C
D
E
8
A
B
C
D
E
16
A
B
C
D
E
24
A
B
C
D
E
32
A
B
C
D
E
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 249
249
EXT21_1_MAT_A_03
EXT21_1_MAT_A_03
Cartão-resposta
21/09/2020 18:30:40
99 Exemplo:
Imagine que duas pessoas foram a um restaurante e, no
final, a conta ficou R$97,00.
Para pagá-la, cada uma entregou uma cédula de R$50,00
e, como troco, receberam 3 moedas de R$1,00. Cada uma,
então, ficou com uma moeda, e a terceira foi entregue como
gorjeta para o manobrista do carro.
No final das contas, como sobraram dois reais para elas,
supõe-se que cada uma tenha gastado R$49,00. Logo,
R$49,00 + R$49,00 + R$1,00 (gorjeta) = R$99,00.
Escola Digital
Como elas deram R$100,00 como pagamento... onde ficou
o outro R$1,00?
Analisando a situação, tem-se que o valor da conta, por
Nº de aulas
02
97
= 48 , 5, ou seja, cada pessoa gastou
2
R$48,50 + R$0,50 = R$49,00. Observe que essa situação envolveu uma divisão entre dois números naturais, resultando
em um quociente decimal. É importante ressaltar com os alunos
pessoa, foi igual a
Conjuntos numéricos
e relações
MAT
99 Exemplo:
a ideia de crescimento linear, ou seja, a ideia de que o
percentual tenha aumentado de modo igual a cada ano
compreendido no período entre 2047 e 2060.
A população brasileira está envelhecendo. Por isso, é cada
vez mais necessário entender o processo de envelhecimento
para respeitar e valorizar os idosos.
Observe o gráfico a seguir, que ilustra essa trajetória de
envelhecimento.
Trajetória de envelhecimento
233,2
milhões
228,3
milhões
9,5%
20,5%
25,5%
2018
2047
2060
208,5
milhões
mód. 04/26
04
250
Como só é possível acionar a descarga um número natural
de vezes, se a descarga for acionada 55 vezes, sobrará água
na caixa-d’água. Por isso, é preciso acionar a descarga, no
mínimo, 56 vezes.
Dízimas periódicas simples são aquelas cuja
parte periódica aparece logo após a vírgula.
99 Exemplo:
●● 15,3333... ou 15 , 3 (a parte periódica é 33333...)
●● 0,1111... ou 1,1 (a parte periódica é 1111...)
●● 0,32323... ou 0 , 32 (a parte periódica é 32323...)
●● 2,32153215321... ou 2 , 3215 (a parte periódica é 3215...)
Dízimas periódicas compostas são aquelas
que apresentam, entre o período e a vírgula, uma
parte não periódica.
99 Exemplo:
●● 15,43333... ou 15 , 43 (a parte não periódica é 4, e a
parte periódica é 3333...)
●● 0,221111... ou 0 , 221 (a parte não periódica é 22, e a
parte periódica é 1111...)
●● 0,3143232... ou 0 , 31432 (a parte não periódica é 314,
e a parte periódica é 32323...)
Observe no exemplo a seguir como podemos
determinar a fração geratriz de uma dízima periódica composta.
99 Exemplo:
Calcule a fração geratriz da dízima 2,321212...
Multiplicamos toda dízima por potências de 10 até encontrarmos dois valores com partes periódicas iguais
Idosos
Seja x = 2,321212..., então
I. Multiplicando por 10: 10x = 23,21212...
II. Multiplicando por 100: 100x = 232,1212...
III. Multiplicando por 1 000: 1 000x = 2321,21212...
Comparando o percentual de idosos entre 2047 e 2060 e
supondo que a trajetória de envelhecimento seja linear nesse
período, qual o aumento, em porcentagem, no número de
idosos em cada ano, entre 2047 e 2060?
Para encontrar esse percentual, precisamos observar que,
entre 2047 e 2060, houve um aumento de 5%. Supondo que
o crescimento tenha sido linear nesse período, tem-se que,
5
a cada ano, houve o aumento de
= 0 , 38%.
13
Algumas frações não têm representação decimal exata. Isso significa que, numa fração desse
tipo, o número originado da divisão do numerador
pelo denominador apresenta repetição periódica e
infinita de um ou mais algarismos. Esse tipo de número recebe o nome de dízima periódica.
Numa dízima periódica, os algarismos que se repetem infinitamente constituem seu período. As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples
e compostas.
99 Exemplo:
O abastecimento de água foi interrompido numa residência
que dispõe de uma caixa-d’água de 500 litros de água.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 250
500
≅ 55 , 55... O resultado dessa divisão é um número
9
decimal infinito e periódico.
seja,
N. de
brasileiros
Dízimas periódicas
Frente A
Para resolvermos esse problema, é preciso dividir a capacidade da caixa-d’água pela capacidade de cada descarga, ou
As partes periódicas de (I) e (III) são iguais:
Logo, 1 000x – 10x = (2321,21212... – 23,21212....)
990x = 2 321 – 23 = 2 298
2298
990
2298
Logo,
é a fração geratriz.
990
99 Exemplo:
x=
Um grupo de amigos foi a um restaurante e, quando a
conta chegou, o valor foi igualmente dividido entre eles. No
entanto, essa divisão resultou na dízima periódica 33,3333...
c
Sendo a a quantidade de amigos, c o valor da conta e
a
a fração geratriz na forma simplificada, quantos amigos
foram ao restaurante e qual foi o valor da conta?
Para resolver esse problema, precisamos encontrar a fração
geratriz da dízima 33,333...
Sendo x = 33,333..., então 10x = 333,333...
10x – x = 333,333... – 33,333...
9x = 300
=
x
300 100
=
9
3
Portanto, 3 amigos foram ao restaurante e dividiram o
valor de R$100,00.
21/09/2020 18:31:26
EXT21_1_MAT_A_04
A resolução de situações que envolvem conhecimentos numéricos está presente em nosso cotidiano. Na matemática financeira, por exemplo,
trabalham-se a representação decimal e as frações
decimais nos percentuais, nas taxas de juros e no
próprio valor do dinheiro.
Uma descarga do vaso sanitário dessa casa utiliza 9 litros
toda vez que é acionada. Quantas vezes, no mínimo, essa
descarga deveria ser acionada para esvaziar completamente
a caixa-d’água?
EXT21_1_MAT_A_04
Jat306/Shutterstock
Problemas que envolvem
conhecimentos
numéricos
Desigualdades
99 Exemplo:
Tabela de alíquota IRPF a deduzir (rendimento mensal)
Base do cálculo (R$)
Alíquota
Parcela a deduzir
do IRPF (R$)
ab a 2 b2
2ab a 2 b2 0 a 2 b2 2ab
2
2
Essa desigualdade é caracterizada pelo sinal ≤. Isso significa que podemos encontrar uma infinidade de valores de a e de b que satisfazem a
inequação 0 ≤ a2 + b2 – 2ab.
–
–
De 1.903,99 até 2.826,65
7,5%
142,80
De 2.826,66 até 3.751,05
15,0%
354,80
0 a 2 b2 2ab 0 3 2 12 2 3 1
De 3.751,06 até 4.664,68
22,5%
636,13
0 9 12 6 0 4
Acima de 4.664,68
27,5%
869,36
Além disso, fatorando a inequação, obtemos 0 ≤ (a – b)2, o que equivale
a afirmar que um número ao quadrado sempre é maior ou igual a zero.
Ao analisar a tabela, chamando de S o salário de uma pessoa,
podemos representar as faixas salariais por meio de desigualdades. Consideremos, neste momento, os salários isentos do IRPF.
A inequação que representa esse conjunto de salários é:
S ≤ 1 903,98
Quando a = 3 e b = 1, tem-se:
Intervalos
Ao representar uma desigualdade geometricamente, surgem os intervalos. Entre dois números reais existem infinitos
números reais. Para representar um conjunto infinito de números reais ordenados, podemos utilizar intervalos numéricos.
Esses intervalos podem ser classificados e representados de
diferentes maneiras conforme a inclusão dos extremos.
Na representação dos intervalos numéricos, tem-se que:
2.º membro
Sinal de desigualdade
Observe que há uma infinidade de valores que satisfazem
essa desigualdade.
●● Se o extremo está incluso no intervalo, ele é representado por meio da bola fechada (pintada).
●● Se o extremo não está incluso no intervalo, ele é representado pela bola aberta (em branco).
Sendo a e b dois números reais que validam a inequação
a < b, observe no quadro a seguir as possíveis representações
de desigualdades.
[a, b] = {x ∈  | a ≤ x ≤ b}
Ambos os extremos são representados com bola fechada.
a
b
]a, b[ = (a, b) = {x ∈  | a < x < b}
Ambos os extremos são representados com bola aberta.
a
b
a
b
a
b
[a, b[ = [a, b) = {x ∈  | a ≤ x < b}
Extremo esquerdo incluso, representado com bola fechada, e
extremo à direita não incluso, representado com bola aberta.
]a, b] = (a, b] = {x ∈  | a < x ≤ b}
Extremo esquerdo não incluso, representado com bola aberta,
e extremo à direita incluso, representado com bola fechada.
[a, +∞[ = [a, +∞) = {x ∈  | x ≥ a}
Extremo esquerdo incluso, representado com bola fechada, e
não há extremo à direita.
]a, +∞[ = (a, +∞) = {x ∈  | x > a}
Extremo esquerdo não incluso, representado com bola aberta,
e não há extremo à direita.
]–∞, a] = (–∞, a] = {x ∈  | x ≤ a}
Extremo direito incluso, representado com bola fechada, e não
há extremo à esquerda.
]–∞, a[ = (–∞, a) = {x ∈  | x < a}
Extremo direito não incluso, representado com bola aberta, e
não há extremo à esquerda.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 251
a
a
a
a
251
1.º membro
EXT21_1_MAT_A_04
1 1
1, então para todo par de
p q
a p bq
números reais a e b não negativos é válida a desigualdade ab .
p
q
Para p = q = 2, temos:
tivos que tornam verdadeira a equação
Até 1.903,98
Fonte: Receita Federal.
EXT21_1_MAT_A_04
A desigualdade de Young afirma que, se p e q são números reais posi-
MATEMÁTICA • FRENTE A
O contribuinte, no cálculo do valor devido à Receita Federal,
pode conferir o percentual e o desconto a serem aplicados sobre seus rendimentos por meio da tabela do Imposto sobre a
renda das pessoas físicas (IRPF), apresentada a seguir.
21/09/2020 18:31:31
99 Exemplo:
99 Exemplo:
Represente o conjunto que possui os elementos do intervalo a seguir.
4
10
Temos um intervalo entre os números 4 e 10, sendo que o extremo 4 é
representado pela bola aberta, ou seja, o valor exato 4 não pertence ao
intervalo. Já o extremo 10 é representado pela bola fechada, ou seja, o
valor exato 10 faz parte do intervalo. Desse modo, escrevemos:
{x ∈  | 4 < x ≤ 10}
99 Exemplo:
Iniciamos a representação considerando um dos casos. Temos x > 10, ou
seja, 10 não está incluso nesse intervalo. Representamos essa situação
da seguinte forma:
(–2, 1)
(1, 1)
(2, 1) (3, 1)
(–2, –1)
(1, –1) (2, –1) (3, –1)
A × B = {(x, y) ∈ 2 | x = −2, 1, 2 ou
x = 3, –1 ≤ y ≤ 1}
Se os dois conjuntos são intervalos contínuos, seu produto
cartesiano será uma região do plano.
99 Exemplo:
Se X = {x ∈  |–2 ≤ x ≤ 3} e Y = {y ∈  | –1 ≤ y ≤ 1}, então o produto
cartesiano será escrito como:
X × Y = {(x, y) ∈ 2 |–2 ≤ x ≤ 3, –1 ≤ y ≤ 1}
Representando-o geometricamente, temos:
y
10
Além disso, temos x < –1, ou seja, –1 não está incluso nesse intervalo.
Representamos essa situação da seguinte forma:
(–2, 1)
(3, 1)
(–2, –1)
(3, –1)
x
–1
x < –1
–1
–1
x > 10
10
x > 10 ou x < –1
99 Exemplo:
Um número y pertence ao conjunto dos números reais de forma que
satisfaz as desigualdades y < 10 e y ≥ –1. Represente por meio de uma
reta numérica os possíveis valores para y.
Para obter a representação no caso y < 10 e y ≥ –1, precisamos realizar
uma intersecção entre as duas desigualdades. Dessa forma:
10
99 Exemplo:
No ponto A = (2, 3), 2 é a coordenada correspondente ao eixo x e 3 é
a coordenada correspondente ao eixo y. Logo, o ponto A graficamente
representa-se como:
y
5
y < 10
10
4
Dados dois conjuntos A e B, o produto cartesiano de A
por B é definido como o conjunto formado por todos os pares
(a, b), chamados pares ordenados, cujo primeiro elemento a
pertence ao A e o segundo elemento b pertence ao B. Simbolicamente, A × B = {(a, b) | a ∈ A e b ∈ B}. Lê-se A cartesiano B.
Se A tem m elementos e B tem n elementos, então A × B
possui m · n elementos. Dessa forma, se A e B são conjuntos
com um número finito de elementos, teremos que A × B será
um conjunto com um número finito de elementos.
99 Exemplo:
Se A = {−2, 1, 2, 3} e B = {−1, 0, 1, 3}, vemos que o conjunto A tem 4
elementos e o conjunto B tem 4 elementos. Dessa forma, A × B possui
4 · 4 = 16 elementos. Podemos listar os pares ordenados desta maneira:
A × B = {(−2, −1), (−2, 0), (−2, 1), (–2, 3), (1,–1), (1, 0), (1, 1), (1, 3), (2, −1),
(2, 0), (2, 1), (2, 3), (3, –1), (3, 0), (3, 1), (3, 3)}.
Se A ou B apresentam infinitos elementos, A × B terá também infinitos elementos. Note que, se um dos dois conjuntos é
um intervalo contínuo e o outro, um conjunto de pontos, seu
cartesiano será composto de segmentos de reta ou retas.
A
3
2
1
–1 ≤ y < 10
Produto cartesiano
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 252
Se A =  e B =  , temos A × B =  ×  = 2, ou seja, A × B é o
plano cartesiano completo. Representamos geometricamente
seus pares ordenados como pontos no plano cartesiano, cujo
primeiro elemento representa a coordenada correspondente ao eixo x e cujo segundo, a coordenada correspondente ao
eixo y. Os pares são usualmente representados por (x, y).
y ≥ –1
–1
–1
Plano cartesiano
–5 –4 –3 –2 –1
1 2 3 4 5
x
–1
–2
–3
–4
–5
Podemos representar vários pontos em um mesmo plano
cartesiano. Observe os pontos a seguir.
y
B
5
4
3
2
–5 –4 –3 –2 –1
–1
C –2
A
1
1 2 3 4 5
x
–3
–4
–5
D
O ponto A tem coordenadas A = (2, 3). O ponto B tem coordenadas B = (–4, 5). O ponto C tem coordenadas C = (–2, –1), e o
ponto D tem coordenadas D = (3, –4).
21/09/2020 18:31:31
EXT21_1_MAT_A_04
Para obter a solução no caso x > 10 ou x < −1, precisamos realizar uma
união entre as duas desigualdades. Desse modo:
10
252

EXT21_1_MAT_A_04
MATEMÁTICA • FRENTE A
Um número x pertence ao conjunto dos números reais de modo que
pode ser x > 10 ou x < –1. Represente, por meio de uma reta numérica,
os possíveis valores para x.
Graficamente, temos:
Se A = {−2, 1, 2, 3} e
B = {b ∈ |–1 ≤ b ≤ 1}, então o
produto cartesiano será escrito
como:
Relação binária
99 Exemplo:
Denotamos essa relação como uma relação de X em Y.
99 Exemplo:
Sejam A = {1, 2, 3} e B = {1, 4, 9}. O conjunto R = {(1, 1), (1,4), (1, 9)} está
contido em A × B, portanto é uma relação em A × B.
Partindo da relação, temos D(R) = , Cd(R) =  e, como pertencem à
imagem de R apenas os inteiros maiores ou iguais a zero, Im(R) = .
Conforme o modo como os conjuntos se relacionam, uma
relação R em X × Y pode ser injetora, sobrejetora ou bijetora.
●● R é uma relação injetora se, para todo y ∈ Im(R), existe
apenas um x ∈ X relacionado a esse y.
X
Outra relação em A × B, dessa vez com a lei de formação b = a2, é
R1 = {(a, b) ∈ A × B | b = a2}. Explicitando os termos de R1, temos:
R
x1
R1 = {(1, 1), (2, 4), (3, 9)}.
1
B
b=a
2
1
2
4
3
9
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
99 Exemplo:
Seja a relação R = {(x, y) ∈ X × Y | y = –x}, com X = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e Y = {0,
–1, –2, –3, –4, –5, –6, –7, –8, –9, –10}. Calcule o domínio, o contradomínio
e a imagem dessa relação.
Esquematizando a relação, temos:
EXT21_1_MAT_A_04
EXT21_1_MAT_A_04
4
6
8
10
Y
0
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
–10
Portanto, D(R) = X, Cd(R) = Y e Im(R) = {0, –2, –4, –6, –8, –10}.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 253
Y
R
y1
y2
y3
y4
x5
y5
x6
y6
x7
●● R é uma relação bijetora se é, ao mesmo tempo, injetora
e sobrejetora.
Y
X
x1
●● O conjunto imagem de R, denotado por Im(R), é o conjunto dos elementos de Y que estão relacionados com algum
elemento de X.
2
y6
x4
●● O contradomínio de R, denotado por Cd(R), é o conjunto
dos elementos de Y, ou seja, o próprio conjunto Y.
0
y5
x3
●● O domínio de R, denotado por D(R), é o conjunto dos elementos de X, ou seja, o próprio conjunto X.
R
y4
x2
Suponha uma relação R em X × Y, desse modo:
X
x3
x1
D
2
y3
X
A relação é dada por R = {(c, d) ∈ C × D | d = 2c}, portanto seus elementos
são {2, 4, 6, 8, 10, 12}.
d = 2c
x2
●● R é uma relação sobrejetora se todos os elementos de Y
estão relacionados a algum elemento de X.
Sejam C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Quais
são os elementos da relação R em C × D com a lei de formação d = 2c,
com c ∈ C e d ∈ D?
1
y2
x4
99 Exemplo:
C
y1
R
y1
x2
y2
x3
y3
x4
y4
99 Exemplo:
A relação R = {(x, y) ∈  ×  | y = x2} é bijetora?
R não é injetora, pois (–1)2 = 1 e 12 = 1, ou seja, temos dois elementos
do primeiro conjunto que se relacionam com o mesmo elemento do
segundo conjunto.
R não é sobrejetora, pois não existe um número real x que satisfaça a
igualdade x2 = – 1, ou seja, todos os números negativos do segundo conjunto não estão relacionados com algum elemento do primeiro conjunto.
Desse modo, R não é bijetora.
253
A
Y
MATEMÁTICA • FRENTE A
Uma relação binária R em X × Y é um subconjunto qualquer de pares ordenados desse produto cartesiano. Esses pares
podem estar relacionados por uma regra ou lei de formação.
Seja a relação R = {(x, y) ∈  ×  | y = |x|}. Calcule o domínio, o contradomínio e a imagem dessa relação.
21/09/2020 18:31:31
FIXAR
Intervalos
a≤b
[a, b] = {x ∈  | a ≤ x ≤ b}
MATEMÁTICA • FRENTE A
2.º membro
1.º membro
sinal de desigualdade
a
b
a
[a, b[ = [a, b) = {x ∈  | a ≤ x < b}
Relação
binária
Domínio de
R = D(R) = X
a
Contradomínio de
R = Cd(R) = Y
Imagem de
R = Im(R) = o conjunto
dos elementos de Y que
estão relacionados com
algum elemento de X.
b
]a, b] = (a, b] = {x ∈  | a < x ≤ b}
b
a
[a, +∞[ = [a, +∞) = {x ∈  | x ≥ a}
R em X × Y
]a, b[ = (a, b) = {x ∈  | a < x < b}
b
]a, +∞[ = (a, +∞) = {x ∈  | x > a}
a
a
]–∞, a] = (–∞, a] = {x ∈  | x ≤ a}
]–∞, a[ = (–∞, a) = {x ∈  | x < a}
a
R é injetora se:
X
x1
R é sobrejetora se:
Y
R
X
x1
x2
x3
x4
x5
y1
x2
y2
x3
y3
R
Produto cartesiano
}
X = {x1, x2, x3} e Y = {y1, y2, y3
X × Y = {(x1, y1), (x1, y2),
), (x3, y1), (x3, y2), (x3, y3)}
(x , y ), (x , y1), (x2, y2), (x2, y3
1
3
a
2
y2
y3
y4
X
R
x1
Y
y1
y2
x2
x3
y3
Plano cartesiano
y
5
4
3
2
1
–5 –4 –3 –2 –1
1 2 3 4 5
–1
–2
–3
–4
–5
x
254
 ×  = 2
Y
y1
R é bijetora se:
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 254
21/09/2020 18:31:44
Interação
1.
Consumo cresce em ritmo menor em 2019 com mercado de trabalho ainda frágil
[...] O consumo das famílias cresceu pelo terceiro ano seguido em 2019 e ajudou a sustentar, mais uma vez, a expansão do Produto
Interno Bruto (PIB). Porém, as compras perderam um pouco de fôlego de um ano para o outro, diante da baixa confiança das pessoas no
mercado de trabalho.
Em 2019, o consumo das famílias cresceu 1,8%, a menor taxa em três anos. Por outro lado, o componente avançou acima da expansão de 1,1% do
PIB total do ano passado. Os dados foram divulgados nesta quarta-feira (4) pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE).
Compras desaceleram em 2019
6
6,2
4,8
3,5
4
3,5
2,3
2
2
2,1
1,8
MATEMÁTICA • FRENTE A
Variação anual do consumo das
famílias
8
0
–2
–4
–4,3
–3,8
–6
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
Fonte: IBGE.
SILVEIRA, Daniel; SALATI, Paula. Consumo cresce em ritmo menor em 2019 com mercado de trabalho ainda frágil. G1. São Paulo, 4 mar. 2020. Disponível em: https://
g1.globo.com/economia/noticia/2020/03/04/consumo-cresce-em-ritmo-menor-em-2019-com-mercado-de-trabalho-ainda-fragil.ghtml. Acesso em: 20 jul. 2020.
Analise as informações apresentadas e esquematize, por meio de diagramas, a relação binária R: ano × variação anual do consumo das famílias.
b)
Quais elementos compõem o conjunto domínio e o conjunto imagem dessa relação?
c)
A relação binária ano × variação anual do consumo das famílias é bijetora? Justifique sua resposta.
d)
Pesquise a variação anual do consumo das famílias entre 2019 e 2020 e observe se o padrão de desaceleração permaneceu ou não. Que fatores
podem ter influenciado essa variação?
255
EXT21_1_MAT_A_04
a)
TAW4/Shutterstock
EXT21_1_MAT_A_04.indd 255
21/12/2020 14:21:12
Sistematização
1.
0,545454...
b)
4,563563...
c)
7,584444...
Represente com desigualdades as faixas salariais da tabela do
Imposto de Renda presente neste módulo. Depois, represente
em uma mesma reta cada um dos intervalos.
4.
Represente os intervalos dos possíveis valores de x.
a)
b)
0≤x<5
3
3
x2e x2
4
4
c)
3
3
x 2 e 2 x 4
4
d)
x<
O domínio da relação binária é o conjunto K.
III. A relação R tem 1 elemento.
Sobre as afirmações, está(ão) correta(s):
a) apenas a I.
Um galão com 17 L de água pode encher, no máximo, quantos
copos com capacidade de 300 mL?
3.
A imagem da relação binária é o conjunto J.
II.
b)
apenas a II.
c)
apenas a III.
d)
apenas a I e a II.
e)
apenas a II e a III.
Sejam os conjuntos A x |1 x 3 e B x | 2 x 2.
A representação geométrica de A × B é dada por:
10.
a)
5 pontos.
b)
4 retas.
c)
um retângulo.
d)
um segmento de reta paralelo ao eixo x.
e)
um segmento de reta paralelo ao eixo y.
11.
O consumo de cafeína para uma pessoa adulta é de aproximadamente 400 mg por dia. Cada xícara de 30 mL de café
expresso corresponde a aproximadamente 80 mg de cafeína.
Quantos mililitros de café expresso uma pessoa precisa consumir para ingerir o equivalente a 200 mg de cafeína?
12.
Os números x e y são tais que 20 ≤ x ≤ 30 e 5 ≤ y ≤ 10. O maior
y
valor possível de é:
x
7
9
ex<
3
2
5.
Represente em uma reta os intervalos a seguir.
a)
,0 a)
b)
5
3 ,10 b)
c)
1
1, 2
6.
c)
Considere os conjuntos A { x  | 3 x 4 },
B { x  | 3 x 8} e a relação binária dada por
R x , y A B | 2x y 1. É verdade afirmar que:
a)
R possui 5 pares ordenados.
b)
o domínio de R pode ser representado por D(R) = {–1, 0, 1, 2}.
c)
a imagem de R pode ser representada por Im(R) = {5, 4, 3, 2}.
d)
o domínio de R pode ser representado por D(R) = {–2, –1, 0, 1}.
e)
a imagem de R pode ser representada por Im(R) = {5, 2, 1, 0}.
Sejam os conjuntos A x |0 x 2 e
B x  | 2 x 10. O conjunto imagem da relação
R x , y A B | x y 5 é dado por:
7.
a)
Im = {4, 5, 6}
b)
Im = {4}
c)
Im = {2, 3, 4}
d)
Im = {4 ,5}
e)
Im = {1}
Sejam os conjuntos A x | 2 x 2 e
B x |2 x 5. O conjunto domínio da relação
R x , y A B | x y 5 é dado por:
8.
d)
e)
1
6
1
4
1
3
1
2
1
13.
Um concurso público recebeu 339173 inscrições. Desse total,
55,5% são mulheres, mais de 60% possuem renda mensal
familiar de até três salários mínimos, 69,5% são solteiros e
cerca de 45% têm entre 19 e 25 anos. Quantas pessoas inscritas
nesse concurso público, no mínimo, são solteiras?
14.
Se designarmos por [3, 4] o intervalo fechado, em , de extremidades 3 e 4, é correto afirmar que:
a)
{3, 4} = [3, 4]
b)
{3, 4} ∈ [3, 4]
c)
{3, 4} ⊂ [3, 4]
d)
{3, 4} ⊃ [3, 4]
15.
Entre os números apresentados a seguir, o único que é racional
é:
a)
12,444...
b)
0,020020002...
a)
D = {1}
b)
D = {–2}
c)
D = {–2, –1, 0}
d)
D {}
d)
2
5
π
e)
D = {0, 1}
e)
1,17869342235...
EXT21_1_MAT_A_04.indd 256
c)
21/12/2020 14:22:25
EXT21_1_MAT_A_04
a)
I.
EXT21_1_MAT_A_04
MATEMÁTICA • FRENTE A
Sejam os conjuntos K = {1, 5}, J = {–1, 0, 1} e a relação binária
R x , y K J| x 2y 1. Analise as asserções a seguir.
Calcule as frações geratrizes das dízimas periódicas a seguir.
2.
256
9.
Enem e vestibulares
y
E=0
d)
E = 16
5
b)
E=1
e)
E = 34
4
c)
E=9
2.
Fácil
C1:H1 (IFCE-2020) Para x = 2,02, y = 4,31 e z = 7/3, temos
a)
z < x < y.
b)
y < x < z.
c)
x < z < y.
d)
y < z < x.
e)
x < y < z.
Fácil
EXT21_1_MAT_A_04
EXT21_1_MAT_A_04
Fácil
6.
O
L
S
–4
–5
4,55
c)
5,55
b)
6,55
d)
3,55
A direção norte-sul é a mesma do eixo y, sendo que o sentido norte é o
sentido de crescimento de y, e a direção leste-oeste é a mesma do eixo x,
sendo que o sentido leste é o sentido de crescimento de x.
Em seguida, esse aluno deu os seguintes comandos de movimentação
para o robô: 4 norte, 2 leste e 3 sul, nos quais os coeficientes numéricos
representam o número de saltos do robô nas direções correspondentes, e
cada salto corresponde a uma unidade do plano cartesiano.
Depois de realizar os comandos dados pelo aluno, a posição do robô, no
plano cartesiano, será
a) (0; 2).
d) (1; 4).
C1:H1 (UPE-SSA-3-2018) Um ciclista estabeleceu a meta de
percorrer a distância entre duas cidades durante três dias. No
primeiro dia, percorreu um terço da distância. No dia seguinte,
mais um terço do que faltava. Que fração da distância ele
necessita percorrer no terceiro dia para atingir sua meta?
a)
1
3
d)
4
9
b)
2
3
e)
5
9
c)
2
9
C1:H1 (CPII-2020) Em um campus do Colégio Pedro II, foi
realizada uma pesquisa para saber quais eram as redes sociais
preferidas por 180 estudantes com idades entre 9 e 15 anos,
sendo que cada estudante deveria citar uma única rede. Os
1
resultados apontaram que desses estudantes preferia uti4
1
lizar o Facebook, , o Instagram, e o restante dos entrevistados preferia
utilizar o Twitter. 3
A fração que corresponde à quantidade de estudantes que declararam
preferência pelo Twitter é:
2
a)
7
b)
(0; 3).
c)
(1; 2).
8.
9.
e)
(2; 1).
C1:H1 (UFJF-2012) Define-se o comprimento de cada um dos
intervalos [a, b], ]a, b[, ]a, b] e [a, b[ como sendo a diferença (b – a).
Dados os intervalos M = [3, 10], N = ]6, 14[, P = [5, 12[, o comprimento do intervalo resultante de M P P N é igual a:
Fácil
Fácil
a)
1.
d)
7.
b)
3.
e)
9.
c)
5.
b)
5
7
c)
5
12
C1:H3 (Enem-2009) No calendário utilizado atualmente, os anos
são numerados em uma escala sem o zero, isto é, não existe o
ano zero. A era cristã se inicia no ano 1 depois de Cristo (d.C.) e
designa-se o ano anterior a esse como ano 1 antes de Cristo
(a.C.). Por essa razão, o primeiro século ou intervalo de 100 anos
da era cristã terminou no dia 31 de dezembro do ano 100 d.C., quando haviam
decorrido os primeiros 100 anos após o início da era. O século II começou
no dia 1.º de janeiro do ano 101 d.C., e assim sucessivamente.
Como não existe o ano zero, o intervalo entre os anos 50 a.C. e 50 d.C., por
exemplo, é de 100 anos. Outra forma de representar anos é utilizando-se
números inteiros, como fazem os astrônomos. Para eles, o ano 1 a.C.
corresponde ao ano 0, o ano 2 a.C. ao ano −1, e assim sucessivamente. Os
anos depois de Cristo são representados pelos números inteiros positivos,
fazendo corresponder o número 1 ao ano 1 d.C.
Considerando o intervalo de 3 a.C. a 2 d.C., o quadro que relaciona as duas
contagens descritas no texto é:
d)
7
12
a)
C5:H19 (Enem-2016) Observou-se que todas as formigas de
um formigueiro trabalham de maneira ordeira e organizada.
Foi feito um experimento com duas formigas e os resultados
obtidos foram esboçados em um plano cartesiano no qual os
eixos estão graduados em quilômetros. As duas formigas
partiram juntas do ponto O, origem do plano cartesiano xOy. Uma delas
caminhou horizontalmente para o lado direito, a uma velocidade de 4 km/h.
A outra caminhou verticalmente para cima, à velocidade de 3 km/h.
Após 2 horas de movimento, quais as coordenadas cartesianas das posições
de cada formiga?
a) (8;0) e (0;6).
d) (0;8) e (6;0).
b)
(4;0) e (0;6).
c)
(4;0) e (0;3).
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 257
e)
(0;4) e (3;0).
Fácil
Fácil
5.
x
–3
a)
4.
N
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
–1
–2
n
C1:H1 (UECE-2018) A soma de todas as frações da forma
,
n +1
onde n é um elemento do conjunto {1, 2, 3, 4, 5}, é
3.
Direções
3
P 2
1
MATEMÁTICA • FRENTE A
a)
b)
c)
Calendário
atual
3 a.C.
2 a.C.
1 a.C.
1 d.C.
2 d.C.
Cômputo dos
astrônomos
−1
0
1
2
3
Calendário
atual
3 a.C.
2 a.C.
1 a.C.
1 d.C.
2 d.C.
Cômputo dos
astrônomos
−2
−1
0
1
2
Calendário
atual
3 a.C.
2 a.C.
1 a.C.
1 d.C.
2 d.C.
Cômputo dos
astrônomos
−2
−1
1
2
3
257
Fácil
C1:H1 (Cotuca-2020) Calcule o valor numérico da expressão
1 5 11 E 12 32 .
3 6 12 C5:H20 (Enem-PPL-2014) Alunos de um curso de engenharia
desenvolveram um robô “anfíbio” que executa saltos somente
nas direções norte, sul, leste e oeste. Um dos alunos representou a posição inicial desse robô, no plano cartesiano, pela letra
P, na ilustração.
Fácil
1.
7.
21/09/2020 18:35:45
3 a.C.
2 a.C.
1 a.C.
1 d.C.
2 d.C.
Cômputo dos
astrônomos
Para atender às restrições especificadas, o vidraceiro deverá comprar a
placa de espessura, em centímetro, igual a
a) 0,75.
d) 1,20.
−3
−2
−1
1
2
b)
0,95.
c)
1,05.
Calendário
atual
3 a.C.
2 a.C.
1 a.C.
1 d.C.
2 d.C.
Cômputo dos
astrônomos
−3
−2
−1
0
1
Médio
C5:H20 (Enem-2014) Uma pesquisa do Instituto de Pesquisa
Econômica Aplicada (Ipea) investigou qual área faz a economia
crescer mais e quais os maiores responsáveis pela diminuição
da desigualdade na distribuição de renda.
C1:H1 (UFJF-2020) Sejam A o conjunto formado pelos números
pares que pertencem ao intervalo 10 2 , 20 3 e B o conjunto
formado pelos múltiplos de três que pertencem ao intervalo
5 3 ,10 5 .
Quantos elementos possui o conjunto formado pelos elementos que
pertencem a B, mas que não pertencem a A?
a) 3
d) 7
b)
4
c)
5
C1:H3 (Enem-PPL-2019) O boliche é um esporte cujo objetivo
é derrubar, com uma bola, uma série de pinos alinhados em
uma pista. A professora de matemática organizou um jogo de
boliche em que os pinos são garrafas que possuem rótulos
com números, conforme mostra o esquema.
Médio
MATEMÁTICA • FRENTE A
14.
O aluno marca pontos de acordo com a soma das quantidades expressas
nos rótulos das garrafas que são derrubadas. Se dois ou mais rótulos representam a mesma quantidade, apenas um deles entra na contagem dos
pontos. Um aluno marcou 7,55 pontos em uma jogada. Uma das garrafas
que ele derrubou tinha o rótulo 6,8.
A quantidade máxima de garrafas que ele derrubou para obter essa
pontuação é igual a
d) 5.
a) 2.
Revista Nova Escola, ed. 240, mar. 2011 (adaptado).
Considerando apenas as áreas que contribuem para o crescimento econômico mais do que o investimento em exportação, qual delas é a que mais
influencia para a maior igualdade?
a) Bolsa Família.
Investimento em construção civil.
d)
Previdência Social.
e)
Saúde.
C1:H1 (IFPE-2019) Rosângela levou seu filho, que estava doente,
ao pronto-socorro. Ao examinar a criança, o médico receitou
uma medicação. Na receita médica constava o seguinte:
Tomar 1/4 do comprimido, 3 vezes ao dia e durante 5 dias.
Com base na informação que constava na receita, qual é o número mínimo
de comprimidos que Rosângela precisa comprar para que possa garantir
o tratamento prescrito pelo médico?
a) 2
d) 3
b)
1
c)
4
12.
e)
15.
b)
3.
c)
4.
5
Espessura
do vidro
Médio
258
O vidraceiro precisa de uma placa de vidro de maior espessura possível, tal
que deixe uma folga total de pelo menos 0,2 cm, para que o vidro possa
escorregar na canaleta, e no máximo 0,5 cm, para que o vidro não fique
batendo com a interferência do vento após a instalação. Para conseguir
essa placa de vidro, esse vidraceiro foi até uma loja e lá encontrou placas de
vidro com espessuras iguais a: 0,75 cm; 0,95 cm; 1,05 cm; 1,20 cm; 1,40 cm.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 258
6.
C
250
C1:H3 (Enem-PPL-2019) Um vidraceiro é contratado para colocar uma porta de vidro que escorregará em uma canaleta
de largura interna igual a 1,45 cm, como mostra a figura.
Largura
interna
e)
C5:H20 (Enem-2016) O sódio está presente na maioria dos
alimentos industrializados, podendo causar problemas cardíacos em pessoas que ingerem grandes quantidades desses
alimentos. Os médicos recomendam que seus pacientes diminuam o consumo de sódio.
Com base nas informações nutricionais de cinco marcas de biscoitos (A, B,
C, D e E), construiu-se o gráfico, que relaciona quantidades de sódio com
porções de diferentes biscoitos.
Quantidade de sódio
por porção (mg)
Educação.
c)
Médio
Médio
11.
b)
9
e)
E
200
150
A
100
D
B
50
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Porção de biscoitos (g)
Qual das marcas de biscoito apresentadas tem a menor quantidade de
sódio por grama do produto?
a) A
d) D
b)
B
c)
C
e)
E
21/09/2020 18:35:53
EXT21_1_MAT_A_04
10.
13.
1,40.
e)
EXT21_1_MAT_A_04
e)
Calendário
atual
Médio
d)
Considere A o conjunto formado pelos números utilizados no sistema de
contagem dos Waimiri Atroari, ou seja, A = {1, 2, 3, 4, 5}. Nessas condições,
o número de elementos da relação R1 x , y A A y x é igual a:
a) 5.
d) 20.
140
II
100
(kcal)
20.
III
120
IV
V
80
60
40
I
20
5
10
15
20
25
30 Tempo (min)
Qual dessas atividades físicas proporciona o maior consumo de quilocalorias por minuto?
a) I
C5:H20 (UFRN-2013) O jogo da velha tradicional consiste em
um tabuleiro quadrado dividido em 9 partes, no qual dois
jogadores, alternadamente, vão colocando peças (uma a cada
jogada). Ganha o jogo aquele que alinhar, na horizontal, na
vertical ou na diagonal, três de suas peças.
Uma versão chamada JOGO DA VELHA DE DESCARTES, em homenagem
ao criador da geometria analítica, René Descartes, consiste na construção
de um subconjunto do plano cartesiano, no qual cada jogador, alternadamente, anota as coordenadas de um ponto do plano. Ganha o jogo aquele
que primeiro alinhar três de seus pontos. A sequência abaixo é o registro da
sequência das jogadas de uma partida entre dois jogadores iniciantes, em
que um anotava suas jogadas com a cor preta e o outro, com a cor cinza.
Eles desistiram da partida sem perceber que um deles havia ganhado.
((1, 1), (2, 3), (2, 2), (3, 3), (4, 3), (1, 3), (2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 2)).
c)
III
d)
IV
e)
V
b)
preta, em sua terceira jogada.
c)
cinza, em sua quarta jogada.
d)
preta, em sua quarta jogada.
C5:H20 (Enem-2016) A economia no consumo de combustível
é um fator importante para a escolha de um carro. É considerado mais econômico o carro que percorre a maior distância
por litro de combustível.
O gráfico apresenta a distância (km) e o respectivo consumo de gasolina
(L) de cinco modelos de carros.
21.
30
e)
20
10
C
A
100
B
c)
C
d)
D
e)
E
18.
200
300
400
500
C1:H3 (Enem (Libras)-2017) Na bula de um analgésico, encontra-se o quadro com a dosagem desse remédio, de acordo
com a massa corporal do paciente.
a)
2.
c)
4.
b)
3.
d)
5.
C1:H1 (UEPA-2014) As atividades de comunicação humana
são plurais e estão intimamente ligadas às suas necessidades
de sobrevivência. O problema de contagem, por exemplo, se
confunde com a própria história humana no decorrer dos
tempos. Assim como para os índios Mundurucu do sul do Pará,
os Waimiri Atroari contam somente de um até cinco, adotando os seguintes
vocábulos: awynimi é o número 1, typytyna é o 2, takynyma é o 3, takynynapa é o 4, e, finalmente, warenypa é o 5.
Texto Adaptado: Scientific American – Brasil, Etnomatemática.
Edição Especial, Nº 11, ISSN 1679-5229
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 259
Massa corporal
(kg)
600
C1:H1 (UECE-2018) A quantidade de números inteiros positivos
3 n 2
n que satisfazem a desigualdade < < é
7 14 3
Médio
∅
22.
Quantidade de
gotas por dose
Dosagem máxima diária (gota)
16 a 23
5 a 15
60
24 a 30
8 a 20
80
31 a 45
10 a 30
90
46 a 53
15 a 35
100
Acima de 54
20 a 40
120
Estão relacionados alguns pacientes e suas respectivas massas corporais,
quantidade de gotas por dose e quantidade de vezes que tomaram o
remédio em um determinado dia:
Paciente I: 16 kg, 15 gotas, 5 vezes ao dia.
Paciente II: 24 kg, 80 gotas, uma vez ao dia.
Paciente III: 40 kg, 45 gotas, 2 vezes ao dia.
Paciente IV: 46 kg, 15 gotas, 3 vezes ao dia.
Paciente V: 60 kg, 60 gotas, uma vez ao dia.
Qual paciente tomou o remédio de acordo com a bula, levando em consideração a relação de dependência entre a massa corporal, quantidade de
gotas por dose e dosagem máxima diária?
a) I
d) IV
b)
II
c)
III
e)
V
259
E
Médio
Consumo de gasolina (L)
B
Distância percorrida (km)
b)
2
, 3
2
b) , 3
2
c) , 3
d) 
D
40
C1:H1 (UPF-2018) Considere os seguintes conjuntos de números reais:
A { x  : 4 3x 6 } e B { x  : x 2 2 x 8 }
Qual dos conjuntos abaixo representa o conjunto A ∩ B ?
a)
O carro mais econômico em relação ao consumo de combustível é o modelo
a) A
Médio
25.
Com base nessas informações, é correto afirmar que o jogador que ganhou
a partida foi o que anotava sua jogada com a cor
a) cinza, em sua terceira jogada.
0
EXT21_1_MAT_A_04
e)
II
50
EXT21_1_MAT_A_04
15.
b)
60
19.
10.
c)
Médio
Médio
17.
b)
MATEMÁTICA • FRENTE A
C5:H20 (Enem-2019) Os exercícios físicos são recomendados
para o bom funcionamento do organismo, pois aceleram o
metabolismo e, em consequência, elevam o consumo de
calorias. No gráfico, estão registrados os valores calóricos, em
kcal, gastos em cinco diferentes atividades físicas, em função
do tempo dedicado às atividades, contado em minuto.
Médio
Médio
16.
21/09/2020 18:36:10
b)
36%
c)
52%
24.
e)
Quais afirmações estão corretas?
a) Apenas I
c)
–1
–2
d)
0
25.
9
d)
12
b)
11
e)
15
c)
10
26.
Difícil
c)
–3 < x < 2
b)
2≤x≤3
d)
–3 ≤ x ≤ 2
Difícil
c)
5
4
d)
6
28.
1
n
2
p
F–V–V
a)
C1:H1 (FMP-2018) Considere x e y dois números reais e seja
xy
M
.
2
É necessariamente verdade que
|x| < |M| < |y|
b)
|M – x| = |M – y|
c)
M
30.
d)
V–F–V
|xy|
2
| M |
|xy|
2
|x||y|
2
31.
C1:H4 (UFRGS-2018) Sendo a e b números reais quaisquer,
considere as seguintes afirmações:
Difícil
0
b)
e)
C1:H1 (CEFE T-MG) Nos conjuntos P = {0, 1, 2} e
R = {(x, y) ∈ P × P | x + y < 3}, o número de elementos do
conjunto R é igual a
3
–1
m−n
não é um número real.
p
( ) (p + m) pode ser um número inteiro.
p
( ) é, necessariamente, um número racional.
n
A sequência correta é
c) F – F – F
a) V – V – F
C1:H4 (UEPB) Os conjuntos A e B têm, respectivamente, 5 – x
e 3x elementos, e A × B tem 8x + 2 elementos. Então, se pode
admitir como verdadeiro que:
Difícil
–2 < x < 3
b)
I, II e III
( )
d) | M |
a)
a)
Apenas I e II
C1:H4 (EPCAr-2018) Na reta dos números reais abaixo, estão
representados os números m, n e p.
m
C1:H1 (CEFET-MG) Sendo A um ponto de coordenadas
(2x + 4, 3x – 9) do quarto quadrante do plano cartesiano, é
correto afirmar que x pertence ao intervalo real
27.
d)
e)
Analise as proposições a seguir e classifique-as em V (VERDADEIRA) ou
F (FALSA).
C1:H1 (UFV) Os pares ordenados (1, 2), (2, 6), (3, 7), (4, 8) e
(1, 9) pertencem ao produto cartesiano A x B. Sabendo-se que
A x B tem 20 elementos, é correto afirmar que a soma dos
elementos de A é:
a)
Apenas III
Difícil
Difícil
–3
c)
–2
C1:H1 (IFSul-2016) Considere o intervalo real [–5, 5], multiplique-o por 3 e some-o a –5.
Qual é a razão entre o menor e o maior número desse
intervalo?
b)
Apenas II
29.
42%
a)
b)
Difícil
C1:H3 (ESPM-2017) O banco estatal de um certo país abriu
uma linha especial de financiamento para aquisição da casa
própria por famílias de baixa renda. Para ter direito a esse financiamento, a família não poderia ter casa própria nem renda
total acima de 4 salários mínimos e, além disso, ter filhos em
idade escolar matriculados e cursando. Um levantamento comprovou que
48% das famílias desse país já possuíam casa própria e que 35% das famílias
desse país tinham renda acima de 4 salários mínimos, sendo que 20% destas
ainda não possuíam casa própria. Além disso, ficou comprovado que, entre
as famílias que atendiam aos critérios de renda e de propriedade de casa
própria, apenas 20% não tinham seus filhos matriculados na escola.
De acordo com o texto, podemos concluir que a porcentagem de famílias
que tinham direito ao financiamento era de:
a) 48%
d) 28%
Difícil
MATEMÁTICA • FRENTE A
Médio
23.
a)
A tem cinco elementos
d)
A tem mais de seis elementos
b)
B tem quatro elementos
e)
B tem menos de três elementos
c)
B tem seis elementos
GABARITOE ONLINE
GABARITO
SOLUCIONÁRIO ONLINE
I.
Façaoodownload
downloaddodo
aplicativo
Questões
ou qualquer aplicativo
1. Faça
aplicativo
SAE SAE
Questões
ou qualquer
de leituradeQRleitura
Code.
aplicativo
QR Code.
Abraooaplicativo
aplicativo
e aponte
o QRQRCode
2. Abra
e aponte
parapara
um dos
Codesaoaolado.
lado
acessardeste
o gabarito
ou o será
solucionário
módulo.
3. para
O gabarito
módulo
exibidodeste
em sua
tela.
(a – b)2 ≥ 0
Se a > b, então a3 > b3
1 1
III. Se a > b > 1, então > > 1
a b
II.
1
A
B
C
D
E
9
A
B
C
D
E
17
A
B
C
D
E
25
A
B
C
D
E
2
A
B
C
D
E
10
A
B
C
D
E
18
A
B
C
D
E
26
A
B
C
D
E
3
A
B
C
D
E
11
A
B
C
D
E
19
A
B
C
D
E
27
A
B
C
D
E
4
A
B
C
D
E
12
A
B
C
D
E
20
A
B
C
D
E
28
A
B
C
D
E
5
A
B
C
D
E
13
A
B
C
D
E
21
A
B
C
D
E
29
A
B
C
D
E
6
A
B
C
D
E
14
A
B
C
D
E
22
A
B
C
D
E
30
A
B
C
D
E
7
A
B
C
D
E
15
A
B
C
D
E
23
A
B
C
D
E
31
A
B
C
D
E
8
A
B
C
D
E
16
A
B
C
D
E
24
A
B
C
D
E
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 260
EXT21_1_MAT_A_04
260
Cartão-resposta
21/09/2020 18:36:26
Nesse caso, x é a variável livre (ou independente), e y é a variável dependente, pois seu valor depende do valor de x.
Leia o texto a seguir, divulgado em 2018.
Representações de funções
Brasil gasta R$ 3,48 por dia com a saúde
de cada habitante, diz CFM
Levantamento do Conselho Federal de Medicina
(CFM) revela que o Brasil gasta R$ 3,48 per capita
por dia para cobrir as despesas com saúde de seus
mais de 207 milhões de habitantes. O valor, segundo o estudo, inclui ações e serviços prestados pelo
governo em seus três níveis de gestão – federal,
estadual e municipal – ao longo da última década.
LABOISSIÈRE, Paula. Brasil gasta R$ 3,48 por dia com a
saúde de cada habitante, diz CFM. Agência Brasil. Brasília,
13 nov. 2018. Disponível em: https://agenciabrasil.ebc.com.
br/saude/noticia/2018-11/brasil-gasta-r-348-por-dia-comsaude-de-cada-habitante-diz-cfm. Acesso em: 23 jul. 2020.
Existem algumas formas de representarmos
uma função. Observe-as a seguir.
●● Diagrama.
f(x1)
x2
f(x2)
x3
f(x3)
x4
f(x4)
x
f(x)
x1
f(x1)
x2
f(x2)
x3
f(x3)
x4
f(x4)
y
f(x2)
f(x1)
Para representarmos graficamente o comportamento dessa relação entre essas duas grandezas,
esquematizamos alguns valores na tabela a seguir.
x1
f
x
f
0
R$0,00
x1
1
R$3,48
x2
2
R$6,96
x3
3
R$10,44
x4
4
R$13,92
X
Y
y1
Essa função relaciona todos os pontos de X a um
único ponto de Y, por isso é dita constante, cuja lei
de formação é f(x) = y1.
99 Exemplo:
Seja a função f:  →  com a lei de formação f(x) = 2x + 1.
Podemos representá-la das seguintes formas.
Diagrama.
...
–1
–1
0
1
1
3
2
5
...

Frente A
mód. 05/26
f
...
●●
...
Denotamos uma função de X em Y da seguinte
forma:
x4
Considere a função dada pelo diagrama a seguir.
Valor gasto (f(x) = 3,48 · x)
Uma função é uma relação binária entre dois
conjuntos X e Y, que relaciona um elemento x ∈ X
a apenas um elemento y = f(x) ∈ Y. A forma como a
função relaciona os elementos é chamada de lei de
formação da função, que pode ser dada algebricamente, como no exemplo anterior.
x3
99 Exemplo:
Tempo em dias (x)
Conceitos básicos
de funções
x2
MAT
f(x4)
f(x3)
f(x) = 3,48 · x e R = {(x, y) | y = 3,48 · x}
EXT21_1_MAT_A_05
03
as
Como essa equação relaciona os valores de x e
y, podemos afirmar que y está em função de x. Por
esse motivo, é possível reescrever essa equação explicitando a relação binária da seguinte forma:
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 261
Nº de aulas
●● Gráfico.
y = 3,48 · x
f: X Y
x  y f (x)
Escola digital
Funções do 1.º grau
algebricamente
Y
x1
●● Tabela.
Essa relação pode ser explicitada algebricamente, como apresentado no módulo 1.
Relacionando, portanto,
grandezas, temos:
f
X
Essa situação, em que se apresenta um custo
médio em saúde por dia para cada habitante, permite que sejam estimados os gastos em dois dias,
três dias e meio ou qualquer outra quantidade de
dias. Dessa forma, podemos relacionar as grandezas tempo em dias e valor gasto.
Com isso, temos, então, a relação binária
R = {(x, y) | x = tempo em dias, y = valor gasto}.
Budimir Jevtic/Shutterstock
Funções

05
261
21/09/2020 18:36:43
Tabela.
Graficamente:
x
f(x)
–1
–1
1
2
0
●
0
1
1
3
2
5
2
1
3 ,0 2 –2
Gráfico.
MATEMÁTICA • FRENTE A
5
–1
Considere uma função f: X → Y. Definimos o domínio, o contradomínio e a imagem dessa função da seguinte forma:
2
1
●
Domínio (D(f)): o conjunto do qual a função “está saindo”,
ou seja, X.
●
Contradomínio (Cd(f)): o conjunto ao qual a função “chega”, ou seja, Y.
●
Imagem (Im(f)): o conjunto dos pontos do contradomínio
que estão relacionados com algum elemento do domínio;
dessa forma: lm(f) ⊂ Y.
x
0
1
2
f
–1
f
f
1
Domínio, contradomínio e imagem
3
–1
0
3
Podemos observar no gráfico que o valor f é onde o
2
gráfico da função intersecta o eixo x.
y
4
–2
x
–1
D(f) = X
Y = Cd(f)
y1
Observação: Note que cada tipo de representação tem a
sua utilidade. Além disso, uma representação pode levar a outra; por exemplo, esquematizar por meio de uma tabela pode
facilitar a construção do gráfico.
Raiz ou zero de uma função
x1
f(x1)
x2
f(x2)
x3
f(x3)
x4
A raiz de uma função é o valor de x que torna verdadeira
a igualdade f(x) = 0.
Voltemos à função f(x) = 3,48 · x. Observe a seguir seu gráfico.
y
y3
f(x4)
y4
A forma como uma função f: X → Y relaciona dois conjuntos
pode ter características específicas. Observe-as a seguir.
(1, 3,48)
Se, para todo x1 ≠ x2, temos f(x1) ≠ f(x2), então a função é
dita injetora.
f
3
X
2
0
ff
1
2
●
X
x=0
Portanto, a raiz da função f(x) = 3,48 · x é x = 0.
262
f(x1)
x2
f(x2)
x4
Considere a função f(x) = 3x + 2. Calculando sua raiz, temos:
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 262
Y
x1
x3
Exemplo:
2
3
Se, para todo y ∈ Y, existe x ∈ X tal que f(x) = y, então a
função é sobrejetora.
f
3,48 · x = 0
x
f(x3)
3
–1
3x + 2 = 0
y1
x3
Para calcular a raiz da função f(x) = 3,48 · x, trocamos o valor
f(x) por 0. Dessa forma:
9
f(x2)
x2
x
–1
Y
f(x1)
x1
1
–2
Im(f)
Propriedades das funções
●
4
y2
●
f(x3) = f(x4)
Se a função for injetora e sobrejetora, então ela é uma
função bijetora.
21/09/2020 18:36:48
EXT21_1_MAT_A_05
−
y
EXT21_1_MAT_A_05
●
f
X
Y
x1
f(x1)
x2
f(x2)
x3
f(x3)
x4
f(x4)
Ao apresentar os três
diagramas, ressalte
aos alunos que o primeiro diagrama não é
de uma função sobrejetora e que o segundo diagrama não é de
uma função injetora.
Representando essa função graficamente, temos:
y
4
3
2
1
Função afim
x
Como apresentado anteriormente, podemos definir algebricamente a lei de formação de uma função. Com base em como
é definida essa lei de formação, podemos classificar a função.
f(x) = ax + b, em que a ≠ 0.
Em que a é o coeficiente angular e b, o coeficiente linear da
b
função, cuja raiz é dada por x .
a
Entre as funções afins, podemos identificar dois tipos especiais. Observe-os a seguir.
●
Função linear: quando a ≠ 0 e b = 0, ou seja, quando
f(x) = ax.
–2
–1
0
1
2
3
–1
g
–2
Note a igualdade f(0) = 3, que indica que a reta representante da função intersecta o eixo y em seu coeficiente linear.
O coeficiente linear b determina onde a reta que representa a função afim intersectará o eixo y.
O coeficiente angular determina a inclinação do gráfico da
função, sendo a relação entre a variação em y sobre a variação
em x.
Podemos entendê-lo como a tangente do ângulo alfa α, representado a seguir.
MATEMÁTICA • FRENTE A
Quando a lei de formação de uma função é dada por uma
equação de 1.º grau, dizemos que a função é uma função afim
ou uma função de 1.º grau. Nesse caso, tem o seguinte formato:
–3
y
y
y2
∆y
x
α
y1
∆x
x
x1
x2
a tan y y 2 y1
x x 2 x1
f
Observação: Uma função linear sempre passará pela origem do plano cartesiano.
●
Função identidade: quando a = 1 e b = 0, ou seja, quando
f(x) = x.
y
Crescimento e decrescimento
de uma função afim
2
1
x
–2
–1
0
1
2
–1
f
Coeficientes de uma função afim
uma função afim f é crescente se f(x1) < f(x2) quando x1 < x2.
y
f(x2)
f(x1)
x
x1
x2
Exemplo:
Consideremos a função g(x) = –3x + 3. Nessa função, a = –3 e
b
3
b = 3, portanto sua raiz é x 1.
a
3
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 263
Observação: Nesse caso, o coeficiente angular a é positivo.
263
EXT21_1_MAT_A_05
Os coeficientes angular e linear de uma função afim influem
sobre o gráfico dessa função, determinando tanto o ponto no
qual a função cortará os eixos quanto sua inclinação.
EXT21_1_MAT_A_05
●
–2
Observação: A função identidade é também linear.
9
Como apresentado anteriormente, o gráfico de uma função
afim é uma reta. Dessa forma, podemos dizer que:
21/09/2020 18:36:54
●
y
uma função afim f é decrescente se f(x1) > f(x2) quando
x1 < x2.
15 (0, 15)
10
10)
y
3 ,0 2 f(x1)
x
0
f(x2)
f
MATEMÁTICA • FRENTE A
Sinal de uma função afim
x
x1
x2
f
Observação: Nesse caso, o coeficiente angular a é negativo.
9
Exemplo:
Aluguel de carro para drive-in? Diversão na quarentena reforça mercado de aluguel de veículos
[...] O formato drive-in se consolida como única alternativa de entretenimento ao ar livre na quarentena causada pelo
coronavírus. Mas, para aproveitá-lo, é preciso ter carro, certo?
Não é bem assim. Na corrida por diversão em meio à pandemia, já é possível pegar as quatro rodas emprestadas. [...]
Pequenas e médias empresas de aluguel de veículos viram no
formato uma oportunidade. Elas investem em serviços online
que possibilitam empréstimos por períodos mais curtos. Tempo
suficiente para pegar um cineminha ou assistir a um show. [...]
O pagamento é feito online, via cartão de crédito. Os valores
começam em R$ 10 por hora, mas o preço final depende da empresa escolhida, do modelo do veículo, da duração do aluguel e
da quilometragem rodada.
PRADO, Carol. Aluguel de carro para drive-in? Diversão na quarentena
reforça mercado de aluguel de veículos. G1. São Paulo, 22 jul. 2020.
Disponível em: https://g1.globo.com/pop-arte/noticia/2020/07/22/
aluguel-de-carro-para-drive-in-diversao-na-quarentena-reforcamercado-de-aluguel-de-veiculos.ghtml. Acesso em: 23 jul. 2020.
Quando estudamos o sinal de uma função, procuramos
descobrir para quais valores de x em seu domínio f(x) tem valor
positivo ou negativo. No estudo do sinal de uma função afim,
nos deparamos com inequações do 1.º grau.
Uma inequação é uma desigualdade entre expressões algébricas, portanto uma inequação do 1.º grau é uma desigualdade
entre equações do 1.º grau.
Para resolver uma inequação, podemos utilizar os mesmos
princípios das equações com as mesmas regras das desigualdades.
9
Exemplo:
Resolva a inequação dada por x + 3 > 2x – 5.
x + 3 > 2x – 5
x + 3 + (–x) > 2x – 5 (–x)
3>x–5
3+5>x–5+5
8>x
Portanto, os valores de x que respeitam a inequação são
todos os números reais menores que 8. Esse conjunto pode ser
representado como {x ∈  | x < 8}.
O conjunto dos valores de x que respeitam uma desigualdade
é chamado de conjunto solução da inequação, denotado por S.
A análise dos sinais de uma função afim é feita com base na
raiz e no fato de ela ser crescente ou decrescente. Observe a
seguir a análise conforme o comportamento da função.
●
Função crescente.
y
Suponha que uma empresa cobra uma taxa inicial de R$15,00 para o
aluguel de um veículo mais R$10,00 por hora. Que função afim modela
o gasto do aluguel desse veículo em relação ao tempo?
−
Como a taxa inicial do aluguel é R$15,00, temos f(0) = 15, portanto b = 15.
f
b
a
f(x) > 0
f(x) < 0
Depois de uma hora, a pessoa gastará R$15,00 + R$10,00 =
= R$25,00, então:
x
f(x) = ax + 15
f(1) = a · 1 + 15
Nesse caso, f(x) < 0 quando x 25 = a + 15
●
a = 10
Portanto, a função que modela o gasto desse aluguel é f(x) = 10x + 15.
Função decrescente.
f
b
b
e f(x) > 0 quando x .
a
a
y
Para representarmos graficamente essa função, primeiramente vamos
analisar seus elementos:
Como a = 10 > 0, essa função é crescente.
●
Como b = 15, a função corta o eixo y em 15.
●
264
●
b
15
3
A raiz da função é x .
a
10
2
Porém, notemos que essa função só faz sentido para x > 0, afinal
x representa o tempo durante o qual a pessoa ficou com o carro.
Com esses dados, podemos representar graficamente a função. Observe-a a seguir.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 264
−
f(x) > 0
b
a
f(x) < 0
Nesse caso, f(x) > 0 quando x x
b
b
e f(x) < 0 quando x .
a
a
EXT21_1_MAT_A_05
●
21/09/2020 18:37:03
FIXAR
f função de X em Y
• Injetora: se x1 ≠ x2, então f(x1) ≠ f(x2).
• Sobrejetora: Se, para todo y ∈ Y, existe
x ∈ X que satisfaz a igualdade f(x) = y.
y
• Bijetora: se é injetora e sobrejetora.
f
X
f(x1)
f(x2)
f(x3)
f(x4)
x1
x2
x3
x4
Y
f(x4)
f(x1)
x1
f
f(x2)
f(x3)
x2
x3
MATEMÁTICA • FRENTE A
Y
f: X x  y f( x )
x
x4
Função afim
Raiz: x b
a
Coeficiente
linear
f(x) = ax + b
Onde a função corta o eixo x
Onde a função
corta o eixo y
• a > 0: a função é crescente.
Coeficiente angular
• a < 0: a função é decrescente.
Interação
1.
O conceito de taxa de variação é utilizado em diversos contextos nos quais é preciso investigar e modelar algum fenômeno físico ou biológico. Em 2020, o Brasil foi um dos países
com uma das maiores taxas de contágio pela pelo novo coronavírus. Por isso, para modelar essa situação, entram em
aplicação diversos conceitos matemáticos, como taxas de variação e intervalos de crescimento e decrescimento de um gráfico. Para essas análises,
é utilizada a fórmula a seguir, a qual mostra que a variação no número total
de casos (∆N) pelo tempo em dias (∆t) é proporcional ao número total de
casos (N), multiplicado por um fator de proporcionalidade (a), que é a taxa
de infecção diária.
N
aN
t
b)
Pesquise o total de casos nos meses de julho, agosto e setembro de
2020 e calcule a taxa de infecção diária em cada um deles.
c)
Represente graficamente os dados de junho, julho, agosto e setembro
e responda às questões a seguir.
●
Nesses períodos, a taxa de infecção diária aumentou ou diminuiu?
●
A variação entre os meses pode ser representada por uma função afim?
●
O que significa o fator de proporcionalidade estar próximo de zero?
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 265
265
EXT21_1_MAT_A_05
EXT21_1_MAT_A_05
No Brasil, no dia 1.º de junho de 2020, foi registrado um total de 526 447
casos. No dia 1.º de julho de 2020, o total de casos acumulados foi 1 448 753.
a) Qual foi a taxa de infecção diária verificada nesse período?
21/09/2020 18:37:11
Sistematização
1.
5.
Encontre a solução para a inequação do primeiro grau
x 3x 1
1.
4
6
Qual é a raiz (zero da função) de f(x) = 2x – 1?
6.
b)
1
x=
2
x=2
c)
x
d)
e)
a)
●●
x+1>5
●●
2y + 5 < 8 – y
x=0
a)
x = –2
S x , y  | x 4 e y 1
b)
1
2
MATEMÁTICA • FRENTE A
2.
Analise o diagrama a seguir e assinale a alternativa que apresenta a lei de formação da função f.
f
a)
f(x) = 2x + 1
b)
f(x) = x + 1
c)
f(x) = 2x – 1
1
f x x 1
2
f(x) = 2x
d)
e)
3.
1
3
2
5
3
7
c)
d)
e)
3
2
5
3
{0, 3, 5, 7, 10}
b)
{3, 5}
c)
{3, 5, 7}
d)
{1, 2, 3}
e)
∅
S x , y  | x 4 e y 1
S x , y  | x 6 e y 1
2x
7 e determine o
3
intervalo em que ela é positiva e o intervalo em que ela é
negativa.
8.
Analise as afirmações a seguir sobre a função afim f(x) = 3x + 4.
I.
O coeficiente angular da função f é igual a 3.
II.
O coeficiente linear da função f é igual a 4.
III. A função f possui uma raiz (zero da função) real.
Agora, assinale a alternativa correta.
a) Apenas a afirmação I está correta.
b)
Apenas a afirmação II está correta.
c)
Apenas a afirmação III está correta.
d)
I, II e III estão corretas.
e)
Nenhuma afirmação está correta.
9.
Considere as alternativas a seguir sobre a função afim
3
4
f x x e assinale a correta.
4
3
7
10
a)
S x , y  | x 6 e y 1
Analise o sinal da função afim f x Analise o diagrama a seguir e assinale a alternativa que apresenta a imagem da função f.
f
1
S x , y  | x 4 e y 1
7.
0
4.
Resolva as inequações a seguir e assinale a alternativa que
apresenta o conjunto solução correspondente.
a)
b)
c)
d)
e)
Calcule os coeficientes a e b da função afim representada no
gráfico a seguir.
10.
4
A função f tem coeficiente angular igual a − .
3
3
A função f tem coeficiente linear igual a .
4
16
A função f tem raiz igual a .
9
A função f tem raiz igual a 0.
4
A função f tem coeficiente angular igual a .
3
Considerando os pontos A = (4, 7) e B = (0, 2) e uma função
afim f que passa por A e B, responda às perguntas a seguir.
y
3
2
1
a)
Analisando apenas os pontos, essa função é crescente ou decrescente?
b)
Qual o coeficiente a de f?
c)
Qual o coeficiente b de f?
d)
Essa função é linear? É constante? Justifique sua resposta.
(0.2, 1)
–1
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 266
1
2
3
21/09/2020 18:39:32
EXT21_1_MAT_A_05
266
0
EXT21_1_MAT_A_05
x
–1
Enem e vestibulares
Distância percorrida (km)
A expressão algébrica que relaciona a quantidade de combustível no
tanque e a distância percorrida pelo automóvel é
x
d) y 50
a) y = –10x + 500
10
x
b) y 50
x
e) y 500
10
10
x
c) y 500
10
Fácil
C5:H20 (Enem-2017) Em um mês, uma loja de eletrônicos começa a obter lucro já na primeira semana. O gráfico representa
o lucro (L) dessa loja desde o início do mês até o dia 20. Mas
esse comportamento se estende até o último dia, o dia 30.
60
c)
75
e)
300
C4:H17 (Enem-2016) O pacote de salgadinho preferido de
uma menina é vendido em embalagens com diferentes quantidades. A cada embalagem é atribuído um número de pontos
na promoção:
“Ao totalizar exatamente 12 pontos em embalagens e acrescentar mais R$
10,00 ao valor da compra, você ganhará um bichinho de pelúcia”.
Esse salgadinho é vendido em três embalagens com as seguintes massas,
pontos e preços:
Massa da
embalagem (g)
Pontos da
embalagem
Preço (R$)
50
2
2,00
100
4
3,60
200
6
6,40
A menor quantia a ser gasta por essa menina que lhe possibilite levar o
bichinho de pelúcia nessa promoção é
a) R$ 10,80.
d) R$ 22,00.
6.
Fácil
2.
b)
Lucro (real)
3 000
b)
R$ 12,80.
c)
R$ 20,80.
e)
R$ 22,80.
C5:H20 (Enem-2018) Na intenção de ampliar suas fatias de
mercado, as operadoras de telefonia apresentam diferentes
planos e promoções. Uma operadora oferece três diferentes
planos baseados na quantidade de minutos utilizados mensalmente, apresentados no gráfico. Um casal foi à loja dessa
operadora para comprar dois celulares, um para a esposa e outro para o
marido. Ela utiliza o telefone, em média, 30 minutos por mês, enquanto
ele, em média, utiliza 90 minutos por mês.
Conta (R$)
MATEMÁTICA • FRENTE A
5.
Fácil
C5:H20 (Enem-2018) Uma indústria automobilística está testando
um novo modelo de carro. Cinquenta litros de combustível são
colocados no tanque desse carro, que é dirigido em uma pista
de testes até que todo o combustível tenha sido consumido. O
segmento de reta no gráfico mostra o resultado desse teste, no
qual a quantidade de combustível no tanque é indicada no eixo y (vertical) e
a distância percorrida pelo automóvel é indicada no eixo x (horizontal).
y
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
100
200
300
400
500 x
Combustível no tanque (L)
Fácil
1.
Considerando as informações dadas, após 8 anos, qual será a diferença
entre os valores monetários, em dólar, desses bens?
a) 30
d) 240
105
90
75
0
20
Tempo (dia)
–1 000
A representação algébrica do lucro (L) em função do tempo (t) é
d) L(t) = 200t – 1000
a) L(t) = 20t + 3000
L(t) = 200t
b)
R$ 0,40
c)
R$ 0,38
Valor monetário (dólar)
Tempo (min)
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Com base nas informações do gráfico, qual é o plano de menor custo
mensal para cada um deles?
a) O plano A para ambos.
7.
R$ 0,30
0
10
Tempo (ano)
Uma pessoa adquiriu dois bens, A e B, pagando 1 200 e 900 dólares,
respectivamente.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 267
Plano C
L(t) = 200t + 3000
C5:H20 (Enem-2017) Um sistema de depreciação linear, estabelecendo que após 10 anos o valor monetário de um bem
será zero, é usado nas declarações de imposto de renda de
alguns países. O gráfico ilustra essa situação.
Fácil
EXT21_1_MAT_A_05
e)
Plano B
30
0
C4:H17 (Unifor-2020) Uma pessoa pegou um táxi para ir ao
trabalho. A distância de casa ao trabalho é de 12 km. Na ida,
ela pagou R$ 29,10, na bandeira 1. Na volta para casa à noite,
ela pegou um táxi novamente e pagou R$ 33,90, na bandeira
2, pelo mesmo trajeto.
O acréscimo, por quilômetro rodado, da bandeira 1 para a bandeira 2 foi de
a) R$ 0,45
d) R$ 0,35
4.
EXT21_1_MAT_A_05
e)
45
b)
O plano B para ambos.
c)
O plano C para ambos.
d)
O plano B para a esposa e o plano C para o marido.
e)
O plano C para a esposa e o plano B para o marido.
C5:H20 (Enem-2018) A raiva é uma doença viral e infecciosa,
transmitida por mamíferos. A campanha nacional de vacinação
antirrábica tem o objetivo de controlar a circulação do vírus da
raiva canina e felina, prevenindo a raiva humana. O gráfico
mostra a cobertura (porcentagem de vacinados) da campanha,
em cães, nos anos de 2013, 2015 e 2017, no município de Belo Horizonte, em
Minas Gerais. Os valores das coberturas dos anos de 2014 e 2016 não estão
informados no gráfico e deseja-se estimá-Ios. Para tal, levou-se em consideração que a variação na cobertura de vacinação da campanha antirrábica,
nos períodos de 2013 a 2015 e de 2015 a 2017, deu-se de forma linear.
267
L(t) = 20t + 4000
c)
Plano A
15
Fácil
Fácil
3.
b)
60
21/09/2020 18:39:42
e)
65,5%
C5:H21 (Enem-2017) No primeiro ano do ensino médio de
uma escola, é hábito os alunos dançarem quadrilha na festa
junina. Neste ano, há 12 meninas e 13 meninos na turma, e
para a quadrilha foram formados 12 pares distintos, compostos de uma menina e um menino. Considere que as meninas
sejam os elementos que compõem o conjunto A e os meninos, o conjunto B,
de modo que os pares formados representem uma função f de A em B.
Com base nessas informações, a classificação do tipo de função que está
presente nessa relação é
a) f é injetora, pois para cada menina pertencente ao conjunto A está
associado um menino diferente pertencente ao conjunto B.
b)
f é sobrejetora, pois cada par é formado por uma menina pertencente
ao conjunto A e um menino pertencente ao conjunto B, sobrando um
menino sem formar par.
c)
f é injetora, pois duas meninas quaisquer pertencentes ao conjunto A formam par com um mesmo menino pertencente ao conjunto B,
para envolver a totalidade de alunos da turma.
d)
f é bijetora, pois dois meninos quaisquer pertencentes ao conjunto B formam par com uma mesma menina pertencente ao conjunto A.
e)
f é sobrejetora, pois basta que uma menina do conjunto A forme
par com dois meninos pertencentes ao conjunto B, assim nenhum
menino ficará sem par.
C5:H21 (Enem-2017) Uma empresa de entregas presta serviços
para outras empresas que fabricam e vendem produtos. Os fabricantes dos produtos podem contratar um entre dois planos
oferecidos pela empresa que faz as entregas. No plano A, cobra-se uma taxa fixa mensal no valor de R$ 500,00, além de uma
tarifa de R$ 4,00 por cada quilograma enviado (para qualquer destino dentro
da área de cobertura). No plano B, cobra-se uma taxa fixa mensal no valor de
R$ 200,00, porém a tarifa por cada quilograma enviado sobe para R$ 6,00.
Certo fabricante havia decidido contratar o plano A por um período de 6
meses. Contudo, ao perceber que ele precisará enviar apenas 650 quilogramas
de mercadoria durante todo o período, ele resolveu contratar o plano B.
Qual alternativa avalia corretamente a decisão final do fabricante de
contratar o plano B?
a) A decisão foi boa para o fabricante, pois o plano B custará ao todo
R$500,00 a menos do que o plano A custaria.
b)
A decisão foi boa para o fabricante, pois o plano B custará ao todo
R$1.500,00 a menos do que o plano A custaria.
c)
A decisão foi boa para o fabricante, pois o plano B custará ao todo
R$1.000,00 a mais do que o plano A custaria.
d)
A decisão foi boa para o fabricante, pois o plano B custará ao todo
R$1.300,00 a mais do que o plano A custaria.
e)
A decisão foi boa para o fabricante, pois o plano B custará ao todo
R$6.000,00 a mais do que o plano A custaria.
Pontuação (%)
48
2007
12.
b)
58,50%.
c)
60,60%.
268
1250
1500
72,00%.
Analise a seguinte situação:
Corridas de 50 metros, geralmente, são para provas de aptidão física
(concursos da polícia, guarda civil etc.), nas quais o candidato deverá correr
50 m em um tempo mínimo. Quanto menor o tempo, melhor será a sua
classificação. Num concurso público para Guarda Municipal, um determinado candidato realizou o Teste de Aptidão Física, percorrendo o espaço
e o tempo, de acordo com o gráfico representado a seguir.
Analise o gráfico que mostra o desempenho do candidato. Para tanto,
considere S, em metros, e t, em segundos.
S (m)
50
40
30
20
A
10
B
0
3 Tempo (h)
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 268
e)
2500
t (s)
20
20
20
20
20
20
De acordo com o gráfico de desempenho do candidato, a função horária
correspondente é igual a
a) S = –5t
d) S = 3t
13.
Médio
1
Qual é a vazão, em litro por hora, da bomba que foi ligada no início da
segunda hora?
a) 1000
d) 2000
c)
e)
Fonte: http://www.bibliotecadigital.ufmg.br
C
b)
Ano
C5:H20 (UEMA-2019) Texto para responder à questão.
Na sociedade contemporânea, as representações visuais
como os gráficos, as tabelas, os diagramas e as outras formas
de inscrições são consideradas ferramentas comuns para
aplicações que apresentam informações quantitativas.
Destaca-se a utilização dos gráficos para descrever o comportamento de
grandezas que são tratadas no ensino de Física. Essa disciplina faz uso de
gráficos na totalidade dos assuntos por ela abordados, principalmente no
estudo do movimento – a Cinemática. Dessa forma, a aprendizagem do
uso da linguagem gráfica torna-se fundamental para a compreensão de
fenômenos tratados pela Física e por outras ciências.
Volume (L)
0
2011
Suponha que foi mantida, para os anos seguintes, a mesma taxa de crescimento registrada no período 2007-2011.
A estimativa para o percentual de brasileiros conectados à internet em
2013 era igual a
a) 56,40%.
d) 63,75%.
C5:H20 (Enem-2016) Uma cisterna de 6 000 L foi esvaziada em
um período de 3 h. Na primeira hora foi utilizada apenas uma
bomba, mas nas duas horas seguintes, a fim de reduzir o
tempo de esvaziamento, outra bomba foi ligada junto com a
primeira. O gráfico, formado por seis segmentos de reta,
mostra o volume de água presente na cisterna, em função do tempo.
6 000
5 000
27
b)
S = –4t
c)
S = 4t
e)
S = 5t
C5:H21 (FAI-2019) Em fevereiro, o governo da Cidade do
México, metrópole com uma das maiores frotas de automóveis
do mundo, passou a oferecer à população bicicletas como
opção de transporte. Por uma anuidade de 24 dólares, os
usuários têm direito a 30 minutos de uso livre por dia. O ciclista
21/09/2020 18:39:44
EXT21_1_MAT_A_05
Médio
10.
63,5%
C5:H20 (Enem-2016) O percentual da população brasileira
conectada à internet aumentou nos anos de 2007 a 2011.
Conforme dados do Grupo IPSOS, essa tendência de crescimento é mostrada no gráfico.
Brasileiros conectados à internet
EXT21_1_MAT_A_05
Médio
9.
63,0%
c)
Médio
MATEMÁTICA • FRENTE A
Médio
8.
b)
11.
Médio
Qual teria sido a cobertura dessa campanha no ano de 2014?
a) 62,3%
d) 64,0%
pode retirar em uma estação e devolver em qualquer outra e, se quiser
estender a pedalada, paga 3 dólares por hora extra.
Com base nos gráficos, o veículo que mais se desvalorizou por ano foi:
a) I
c) III
b)
Revista Exame. 21 abr. 2010.
f(x) = 27
e)
f(x) = 3x – 24
C4:H17 (UFPR-2020) Uma malharia produz camisetas personalizadas para eventos esportivos. Cada novo modelo possui
um custo fixo de R$ 450,00 mais R$ 9,00 por camiseta
produzida.
Sabendo que cada camiseta será vendida por R$ 20,00, a desigualdade
que permite calcular o número de camisetas a serem vendidas para que
se tenha um lucro de no mínimo R$ 1.000,00 é:
a) 20n + 9(50 + n) ≤ 1000.
b)
10(2n – 45) – 9n ≤ 1000.
c)
9(50 + n) – 20n ≥ 1000.
d)
10(45 + 2n) – 9n ≥ 1000.
e)
20n – 9(50 + n) ≥ 1000.
15.
É correto afirmar que:
a) o coeficiente angular da função é 3.
b)
R$ 150,00
c)
R$ 200,00
Médio
a)
C5:H21 (Unicentro-2019) Em uma empresa, tem-se o custo fixo
de produção orçado em R$ 100.000,00 por ciclo produtivo. A
cada 100 unidades produzidas necessita-se de custo adicional
de R$ 15.000,00 em insumos. Qual é o custo de produção, por
unidade, para produzir 1.000 unidades num ciclo produtivo?
R$ 115,00
d) R$ 215,00
16.
e)
R$ 250,00
Médio
C4:H17 (Enem-PPL-2019) Em um município foi realizado um
levantamento relativo ao número de médicos, obtendo-se os
dados:
424
c)
437
o gráfico da função f é paralelo ao gráfico da funçãoh :   , h( t ) t 3.
c)
o gráfico da função f é perpendicular ao gráfico da função
p :   , p( t ) 2t 2.
d)
o gráfico da função f intercepta o gráfico da função g :   , g( x ) t 5
no ponto (2, 7).
e)
f(3) = 0.
C4:H17 (Enem PPL-2019) Em um município foi realizado um
levantamento relativo ao número de médicos, obtendo-se os
dados:
Ano
Médicos
Ano
Médicos
1980
137
1980
137
1985
162
1985
162
1995
212
1995
212
2010
287
2010
287
Tendo em vista a crescente demanda por atendimento médico na rede
de saúde pública, pretende-se promover a expansão, a longo prazo, do
número de médicos desse município, seguindo o comportamento de
crescimento linear no período observado no quadro.
Qual a previsão do número de médicos nesse município para o ano 2040?
a) 387
e)
711
C5:H20 (UERJ-2018) Os veículos para transporte de passageiros
em determinado município têm vida útil que varia entre 4 e
6 anos, dependendo do tipo de veículo. Nos gráficos está
representada a desvalorização de quatro desses veículos ao
longo dos anos, a partir de sua compra na fábrica.
b)
424
c)
437
d)
574
e)
711
20.
C5:H20 (Enem-2016) Um reservatório é abastecido com água por
uma torneira e um ralo faz a drenagem da água desse reservatório. Os gráficos representam as vazões Q, em litro por minuto,
do volume de água que entra no reservatório pela torneira e do
volume que sai pelo ralo, em função do tempo t, em minuto.
Médio
Médio
b)
b)
19.
Tendo em vista a crescente demanda por atendimento médico na rede
de saúde pública, pretende-se promover a expansão, a longo prazo, do
número de médicos desse município, seguindo o comportamento de
crescimento linear no período observado no quadro.
Qual a previsão do número de médicos nesse município para o ano 2040?
a) 387
d) 574
17.
IV
MATEMÁTICA • FRENTE A
f(x) = 24
c)
d)
C5:H20 (UFMS-2020) O gráfico da função f :   mostra o
faturamento f(t), em milhares de reais, de um restaurante, em
função do tempo (t), desde o dia de sua inauguração:
Médio
Médio
14.
b)
18.
Médio
A expressão que relaciona o valor f pago pela utilização da bicicleta por
um ano, quando se utilizam x horas extras nesse período, é:
a) f(x) = 3x
d) f(x) = 3x + 24
II
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 269
b)
De 5 a 10.
c)
De 5 a 15.
d)
De 15 a 25.
e)
De 0 a 25.
269
EXT21_1_MAT_A_05
EXT21_1_MAT_A_05
Em qual intervalo de tempo, em minuto, o reservatório tem uma vazão
constante de enchimento?
a) De 0 a 10.
21/09/2020 18:39:52
21.
Difícil
Difícil
24.
e)
3y – x ≥ 0; 2y – x ≤ 0; y ≤ 9; x ≤ 8.
70
d)
4y – 9x ≤ 0; 8y – 3x ≥ 0; y ≤ 8; x ≤ 9.
e)
4y – 9x ≤ 0; 8y – 3x ≥ 0; y ≤ 9; x ≤ 8.
60
C4:H17 (CESMAC-2019) O gerente de uma firma analisou suas
vendas e concluiu que seus clientes irão comprar 15% a mais
de seus produtos se houver uma redução de R$ 10,00 no preço
unitário. Ao preço atual de R$ 120,00 do produto, a firma vende
500 unidades. Se a firma pretende vender 725 unidades desse
produto, qual deverá ser o preço unitário? Admita que o número de unidades vendidas do produto é uma função afim do preço unitário.
a) R$ 90,00
b)
R$ 88,00
c)
R$ 86,00
d)
R$ 84,00
e)
R$ 82,00
26.
C5:H20 (Enem-2018) Para criar um logotipo, um profissional
da área de design gráfico deseja construí-lo utilizando o conjunto de pontos do plano na forma de um triângulo, exatamente como mostra a imagem.
y
15
10
5
C4:H17 (UFMG) Em 2000, a porcentagem de indivíduos brancos
na população dos Estados Unidos era de 70%, e outras etnias
– latinos, negros, asiáticos e outros – constituíam os outros
30% restantes. Projeções do órgão do governo norte-americano encarregado do censo indicam que, em 2020, a porcentagem de brancos deverá ser de 62%. (Newsweek International, 29/04/2004)
Admite-se que essas porcentagens variam linearmente com o tempo.
Com base nessas informações, é correto afirmar que os brancos serão
minoria na população norte-americana a partir de:
d) 2040
a) 2050
b)
2060
c)
2070
e)
x
–15
5
0
5
10
15
–10
2025
–15
C4:H17 (PUC-Minas-2016) Duas fábricas de roupa apresentavam em outubro de 2014 o seguinte quadro: a fábrica A
produzia 3000 peças por mês, e a fábrica B produzia 1200
peças por mês. A partir de janeiro de 2015, em face de uma
crise financeira, essas duas fábricas vêm diminuindo mensalmente sua produção: a fábrica A em 250 peças e a fábrica B em 70 peças.
Com base nessas informações, pode-se estimar que a produção mensal
da fábrica B ficou igual à produção mensal da fábrica A, em número de
peças, no mês de:
a) Agosto de 2015
b)
Setembro de 2015
c)
Outubro de 2015
d)
Novembro de 2015
25.
C5:H20 (Enem-2016) Uma região de uma fábrica deve ser
isolada, pois nela os empregados ficam expostos a riscos de
acidentes. Essa região está representada pela porção de cor
cinza (quadrilátero de área S) na figura.
Difícil
Para construir tal imagem utilizando uma ferramenta gráfica, será necessário escrever algebricamente o conjunto que representa os pontos
desse gráfico.
Esse conjunto é dado pelos pares ordenados (x ; y) ∈  × , tais que
a) 0 ≤ x ≤ y ≤ 10
27.
y
b)
0 ≤ y ≤ x ≤ 10
c)
0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 10
d)
0 ≤ x + y ≤ 10
e)
0 ≤ x + y ≤ 20
C4:H17 (Enem-2019) O slogan “Se beber, não dirija”, muito
utilizado em campanhas publicitárias no Brasil, chama a
atenção para o grave problema da ingestão de bebida alcoólica por motoristas e suas consequências para o trânsito. A
gravidade desse problema pode ser percebida observando
como o assunto é tratado pelo Código de Trânsito Brasileiro. Em 2013, a
quantidade máxima de álcool permitida no sangue do condutor de um
veículo, que já era pequena, foi reduzida, e o valor da multa para motoristas
alcoolizados foi aumentado. Em consequência dessas mudanças, observou-se queda no número de acidentes registrados em uma suposta rodovia
nos anos que se seguiram às mudanças implantadas em 2013, conforme
dados no quadro.
9
S
3
0
270
–10
–5
Difícil
Difícil
Difícil
MATEMÁTICA • FRENTE A
23.
720
90
4
8
x
Para que os funcionários sejam orientados sobre a localização da área
isolada, cartazes informativos serão afixados por toda a fábrica. Para confeccioná-los, um programador utilizará um software que permite desenhar
essa região a partir de um conjunto de desigualdades algébricas.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 270
Ano
2013
2014
2015
Número
total de
acidentes
1050
900
850
Suponha que a tendência de redução no número de acidentes nessa rodovia para os anos subsequentes seja igual à redução absoluta observada
de 2014 para 2015.
Com base na situação apresentada, o número de acidentes esperados
nessa rodovia em 2018 foi de
a) 150.
b)
450.
c)
550.
d)
700.
e)
800.
21/09/2020 18:39:55
EXT21_1_MAT_A_05
c)
d)
3y – x ≤ 0; 2y – x ≥ 0; y ≤ 9; x ≤ 8.
c)
EXT21_1_MAT_A_05
b)
120
b)
Difícil
a)
22.
As desigualdades que devem ser utilizadas no referido software, para o
desenho da região de isolamento, são
a) 3y – x ≤ 0; 2y – x ≥ 0; y ≤ 8; x ≤ 9.
C1:H1 (URCA-2020) Sabendo que A = {1, 2, 3} e B = {2, 4, 6, 8,
10, 12}, quantas funções f: A → B injetoras existem?
Difícil
29.
O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento realizado.
C4:H17 (Enem-2019) Uma empresa tem diversos funcionários.
Um deles é o gerente, que recebe R$ 1 000,00 por semana. Os
outros funcionários são diaristas. Cada um deles trabalha 2
dias por semana, recebendo R$ 80,00 por dia trabalhado.
Chamando de X a quantidade total de funcionários da empresa, a quantia
Y, em reais, que esta empresa gasta semanalmente para pagar seus funcionários é expressa por
a) y = 80x + 920
número de bolas (x)
nível da água (y)
5
6,35 cm
10
6,70 cm
15
7,05 cm
b)
y = 90x + 1000
c)
y = 80x + 1080
Disponível em: www.penta.ufrgs.br. Acesso em: 13 jan. 2009 (adaptado).
d)
y = 160x + 840
e)
y = 160x + 1000
Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da água (y) em
função do número de bolas (x)?
a) y = 30x.
C1:H1 (Atenas-2019) Marcinho é um aluno bastante estudioso
e tem verdadeira paixão por Matemática. Os professores que
lecionam essa disciplina para ele sempre se preparam com
grande afinco, pois sabem que surgirão perguntas com alto
grau de dificuldade devido ao elevado nível de conhecimento
do aluno Marcinho. Certo dia, Ricardo, um dos professores de matemática
do Marcinho, apresentou um desafio a ele:
b)
y = 25x + 20,2.
c)
y = 1,27x.
d)
y = 0,7x.
e)
y = 0,07x + 6.
MATEMÁTICA • FRENTE A
Difícil
28.
A 2 2 2 2 B 5 5. 5. 5
A função afim formada pela reta que intercepta os pontos 1 (A, B) e 2 (B, A) é:
a) f(x) = –x + 15
d) f(x) = –x + 17
Difícil
30.
b)
f(x) = –x + 16
c)
f(x) = –x + 14
e)
f(x) = –x + 18
C4:H17 (Enem-2009) Um experimento consiste em colocar
certa quantidade de bolas de vidro idênticas em um copo com
água até certo nível e medir o nível da água, conforme ilustrado na figura a seguir. Como resultado do experimento,
concluiu-se que o nível da água é função do número de bolas
de vidro que são colocadas dentro do copo.
GABARITOE ONLINE
GABARITO
SOLUCIONÁRIO ONLINE
Façaoodownload
downloaddodo
aplicativo
Questões
ou qualquer aplicativo
1. Faça
aplicativo
SAE SAE
Questões
ou qualquer
de leituradeQRleitura
Code.
aplicativo
QR Code.
Abraooaplicativo
aplicativo
e aponte
o QRQRCode
2. Abra
e aponte
parapara
um dos
Codesaoaolado.
lado
acessardeste
o gabarito
ou o será
solucionário
módulo.
3. para
O gabarito
módulo
exibidodeste
em sua
tela.
1
A
B
C
D
E
9
A
B
C
D
E
17
A
B
C
D
E
25
A
B
C
D
E
2
A
B
C
D
E
10
A
B
C
D
E
18
A
B
C
D
E
26
A
B
C
D
E
3
A
B
C
D
E
11
A
B
C
D
E
19
A
B
C
D
E
27
A
B
C
D
E
4
A
B
C
D
E
12
A
B
C
D
E
20
A
B
C
D
E
28
A
B
C
D
E
5
A
B
C
D
E
13
A
B
C
D
E
21
A
B
C
D
E
29
A
B
C
D
E
6
A
B
C
D
E
14
A
B
C
D
E
22
A
B
C
D
E
30
A
B
C
D
E
7
A
B
C
D
E
15
A
B
C
D
E
23
A
B
C
D
E
8
A
B
C
D
E
16
A
B
C
D
E
24
A
B
C
D
E
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 271
271
EXT21_1_MAT_A_05
EXT21_1_MAT_A_05
Cartão-resposta
21/09/2020 18:39:59
Sequências
mód. 06/26
06
Nº de aulas
Progressão aritmética
MAT
03
Atualmente, representamos os dias da semana e os meses de maneira sequencial e cíclica. Por
exemplo, em uma semana, a cada 7 dias voltamos
ao início do ciclo.
Domingo
a1
a2
.
.
.
an
.
.
.
Se conseguimos determinar o último elemento
de uma sequência, ela é finita. Já quando não é possível determinar o último elemento, ela é infinita.
9
Exemplo:
Considere a sequência de números naturais, sem o zero,
múltiplos de 8.
(8, 16, 24, 32, 40, ...)
Denotamos os elementos de acordo com suas posições.
Dessa forma:
Segunda-feira
( 8 ,16
 , 32
 , 24
 , 40
 ,...)
a1
Terça-feira
Quarta-feira
a3
a4
a5
Como essa sequência é infinita, não conseguimos determinar o último termo.
Podemos calcular os elementos dessa sequência de duas
formas:
●
a partir do primeiro elemento:
Quinta-feira
Nesse caso, pegamos o primeiro elemento, 8, a ele
adicionamos 8 para calcular o próximo elemento, e
assim sucessivamente. Nesse caso, precisamos sempre
calcular o termo ai para encontrar o termo ai + 1.
Sexta-feira
Quando interpretamos uma sequência dessa forma,
dizemos que ela é recursiva.
●
Sábado
Quando determinamos uma forma de enumerar
os elementos de um conjunto – ou seja, determinamos o primeiro elemento, o segundo, o terceiro
etc. –, esse conjunto forma uma sequência.
Sinalizamos a enumeração da seguinte forma:
a1 primeiro termo
a2 segundo termo

a n-ésimo termo
n
Em outras palavras, uma sequência pode ser vista como uma função com domínio  *, conforme o
diagrama a seguir.
a partir da posição do elemento:
Nesse caso, notemos as relações: a1 = 8 · 1; a2 = 2 · 8 = 16;
a3 = 3 · 8 = 24; ...
Dessa forma, podemos calcular qualquer elemento
sem calcular os anteriores com base na igualdade:
ai = i · 8
Quando interpretamos uma sequência dessa forma, dizemos que ela é não recursiva.
Observação: Uma sequência pode ser recursiva
e não recursiva ou apenas um dos dois.
Portanto, para identificar se uma sequência é
recursiva ou não recursiva, é necessário reconhecer
a lei de formação dessa sequência ou o seu padrão
de comportamento.
A lei de formação de uma sequência pode ser geral, de forma que, ao aplicá-la, termo a termo, é possível encontrar qualquer elemento da sequência,
caracterizando-a como não recursiva. Entretanto,
a lei também pode ser uma regra que depende de
termos anteriores; nesse caso, refere-se a uma sequência recursiva.
t
hu
/S
-A
-M
O
R-
272
a2
rs
te
ck
to
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 272
21/09/2020 18:40:40
EXT21_1_MAT_A_06
Frente A
1
2
.
.
.
n
.
.
.
EXT21_1_MAT_A_06
Escola Digital
A recorrência de situações é muito importante
para a vida do ser humano, e é possível observar
sequências em diversas situações do nosso cotidiano, sejam elas cíclicas, sejam com algum padrão em
seus elementos. Antigamente, por exemplo, quando os egípcios tinham de plantar à beira do rio Nilo,
eles observavam o ciclo de cheias desse rio, pois,
dessa forma, saberiam os meses nos quais as terras
eram inundadas. Nesses meses, apesar de as cheias
tornarem as terras férteis, a plantação era inviável.
Quando o nível da água baixava, era preciso plantar
e colher antes da próxima cheia.
Os números triangulares são aqueles que podem ser representados na
forma de triângulos equiláteros, conforme as figuras a seguir.
A sequência numérica composta dos valores do desperdício acumulado
será (10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, ...). Note que, a cada elemento,
há um aumento de 10. Desse modo, essa sequência forma uma P.A. de
razão 10.
...
Portanto, em uma progressão aritmética de razão r, temos:
3
6
10
a n + 1 = a n + r, com n ∈  *
15
Essa sequência, se construída geometricamente, é dita uma
sequência recursiva, pois, para encontrar o n-ésimo termo, é
preciso encontrar seus elementos anteriores.
Classificação
Progressões aritméticas podem ser:
No entanto, interpretando essa sequência numericamente,
ou seja, como a sequência (1, 3, 6, 10, 15, ...), podemos, com
n(n 1)
base na equação an , encontrar o valor do n-ésimo ter2
mo sem calcular os anteriores. Dessa forma, ela é vista como
uma sequência não recursiva.
Da mesma maneira, os números quadrangulares podem
ser representados na forma de quadrados, como mostram as
figuras a seguir. A dedução dessa fórmula será dada ao final do módulo, a partir da
fórmula da soma dos termos de uma P.A.
...
1
4
9
16
25
9
●
Crescentes: quando cada termo, a partir do segundo, é
maior do que o anterior. Nesse caso, a razão da P.A. é
positiva (r > 0).
●
Decrescentes: quando cada termo, a partir do segundo,
é menor do que o anterior. Nesse caso, a razão da P.A. é
negativa (r < 0).
●
Constantes: quando todos os termos são iguais. Nesse
caso, a razão da P.A. é nula (r = 0).
Exemplo:
Determine a razão das progressões aritméticas a seguir e classifique-as.
●
Para calcular a razão, selecionamos dois elementos subsequentes e
subtraímos o posterior do anterior. Nesse caso:
Essa sequência, se construída geometricamente, é recursiva, uma vez que, para encontrar o n-ésimo termo, é necessário
encontrar os termos anteriores.
Por outro lado, quando vista como uma sequência numérica, isto é, como a sequência (1, 4, 9, 16, 25, ...), podemos calcular
o n-ésimo termo a n da seguinte forma:
r = a2 – a1 = 13 – 7 = 6
Como r > 0, a P.A. é crescente.
●
Portanto, selecionamos dois elementos subsequentes e subtraímos
um do outro. Nesse caso, utilizaremos o quarto e quinto termos:
Desse modo, a sequência pode ser vista como não recursiva.
r = a5 – a4 = (–1) – 1 = –2
Como r < 0, a P.A. é decrescente.
●
Progressão aritmética
Um tipo especial de sequência numérica é a progressão
aritmética (P.A.). Nela, os elementos têm uma variação constante. Isso significa que, se do primeiro termo para o segundo há
um aumento r, do segundo termo para o terceiro também haverá um aumento r. Essa característica vale para decrescimento e
para uma sequência cujos elementos são todos iguais.
Dessa forma, uma progressão aritmética é uma sequência numérica na qual a diferença entre dois de seus termos sequenciais é constante. Essa diferença constante é chamada de
razão da progressão aritmética.
9
Exemplo:
No encanamento de uma casa, há um vazamento que desperdiça uma
quantidade constante de água a cada unidade de tempo.
Considere, por exemplo, que o vazamento proporciona um desperdício de
10 litros de água por dia. Caso a situação não seja corrigida, é possível
escrever uma sequência numérica que represente a evolução do desperdício da seguinte forma:
Dia
2
3
4
5
6
7
8
9
10 20 30 40 50 60 70 80 90
EXT21_1_MAT_A_06
EXT21_1_MAT_A_06
Desperdício
acumulado (L)
1
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 273
...
...
(7, 5, 3, 1, –1, ...)
Para calcular a razão, utilizamos a relação an + 1 = an + r, que pode
ser vista como r = an + 1 – an.
a n = a2
Em uma sequência numérica, a lei de formação que determina os elementos de uma sequência não recursiva normalmente relaciona algebricamente o índice que denota a posição
do elemento com seu valor.
(7, 13, 19, 25, 31, ...)
MATEMÁTICA • FRENTE A
1
Exemplo:
1 1 1 1 , , , ,... 3 3 3 3 Para calcular a razão, selecionamos dois elementos subsequentes e
subtraímos um do outro. Nesse caso:
r a2 a1 1 1
0
3 3
Como r = 0, a P.A. é constante.
Como progressões aritméticas são um tipo especial de sequência numérica, elas também são funções que têm como
domínio os números naturais diferentes de zero. Desse modo,
podemos utilizar o sistema de coordenadas cartesianas para
representá-las.
Termo geral
Consideremos (a n) uma progressão aritmética de razão r. Dessa forma, podemos listar seus elementos como
(a1, a2 , a 3 , ..., a n , ...).
Então:
a1
a 2 = a1 + r
a 3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r
a 4 = a 3 + r = a1 + r + r + r = a1 + 3r
...
a n = a1 + (n – 1)r
Portanto, podemos determinar qualquer termo de uma P.A.
algebricamente, com base na sua posição, se conhecemos o primeiro elemento e a razão dessa progressão.
273
9
21/09/2020 18:40:43
99 Exemplo:
Também é possível representá-la graficamente.
Determine o termo geral da P.A. (10, 20, 30, 40, ...).
Podemos determinar o termo geral dessa P.A. partindo da fórmula do
termo geral.
an = a1 + (n – 1)r
Considere a P.A. (3, 5, 7, 9, 11, ...), em que r = 2 e a1 = 3.
A expressão para o seu termo geral pode ser escrita da seguinte maneira:
an = a1 + (n – 1)r
a3
3/2
a2
5/4
1
3/4
an = 3 + (n – 1)2
a1
1/2
an = 2n + 1
Considerando a P.A. em que a1 = 4 e r = –3, qual o valor do 10.º termo?
1/4
*
0
1
a10 = 4 + (10 – 1) · (–3)
a10 = 4 – 27 = – 21
99 Exemplo:
3
Em um cinema drive-in, as filas de carros aumentam a cada fileira de
forma que, quanto mais distantes estão da tela, maior é a quantidade
de carros na fileira. Nesse cinema é possível formar 10 fileiras de carros,
cada fileira tem dois carros a mais que a anterior e na primeira cabem
7 carros. Considerando essas informações, quantos carros cabem na
última fileira desse cinema?
11/4
Notemos que as quantidades de carros em cada fileira formam uma
progressão aritmética crescente, em que seu primeiro elemento é 7 e
sua razão é 2.
3/2
Para calcularmos a quantidade de carros na décima fileira, podemos
usar a equação do termo geral para encontrar o décimo termo dessa P.A.
3/4
an = a1 + (n – 1)r
1/4
a10 = 7 + (10 – 1)2
Portanto, cabem 25 carros na última fileira.
1 5 11 Consideremos a P.A. , , 2 , ,... .
4 2 4
Primeiramente, vamos calcular a razão dessa progressão.
5 1 3
0
4 2 4
A fórmula do termo geral dessa progressão é dada por:
an = a1 + (n – 1)r
2
3
7/4
a2
5/4
1
1/2
a1
*
1
2
3
4
3
1
x .
4
4
Comparando a lei de formação da função com a fórmula do termo
geral da P.A., temos:
f( x) 3
1
3
1
x e an n 4
4
4
4
Propriedades de uma P.A.
Pela forma como as progressões aritméticas são construídas, podemos determinar outras relações entre seus elementos.
Portanto, se quisermos somar três termos sequenciais de
uma P.A., teremos:
a – r + a + a + r = 3a
1
2
5
4
Portanto, se quisermos somar cinco termos sequenciais de
uma P.A., teremos:
2
.
.
.
11
4
.
.
.
274
a3
2
●● Cinco elementos consecutivos de uma progressão podem ser representados por (a – 2r, a – r, a, a + r, a + 2r),
em que a é o elemento intermediário e r é a razão da P.A.
4
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 274
9/4
●● Três elementos consecutivos de uma progressão podem
ser representados por (a – r, a, a + r), em que a é o elemento intermediário e r é a razão da P.A.
Sabemos que essa progressão é uma sequência, que, por sua vez, é uma
função com domínio *, por isso podemos representá-la por meio de
um diagrama de flechas.
1
a4
Como o domínio da função que determina a progressão é * e * ⊂  = D(f),
nos pontos que fazem parte do domínio das duas funções, elas são iguais.
Como r > 0, essa P.A. é crescente.
3
1
n
4
4

A função afim que passa por esses pontos é dada por f ( x ) 99 Exemplo:
an 4
5/2
0
a10 = 7 + 9 · 2 = 7 + 18 = 25
1
3
( n 1)
2
4
3
Como a progressão é crescente, se traçarmos uma reta que ligue os
pontos, ela será o gráfico de uma função afim também crescente.
a10 = 4 + 9 · (–3)
an 2
a – 2r + a – r + a + a + r + a + 2r = 5a
Essa relação pode ser generalizada para qualquer quantidade ímpar de elementos sequenciais de uma P.A.
21/09/2020 18:40:52
EXT21_1_MAT_A_06
MATEMÁTICA • FRENTE A
5/2
7/4
an = 10n
r
a4
11/4
2
an = 10 + (n – 1)10
●●

9/4
a1 = 10, r = 10
●●
3
EXT21_1_MAT_A_06
●●
Considere três termos consecutivos de uma P.A. com razão 5 cuja soma
é 45. Determine esses três termos da P.A.
Se temos 3 termos sequenciais e a razão da P.A. é 5, podemos escrevê-los
na forma a – 5, a, a + 5.
Essa é a expressão geral para a soma dos n primeiros termos de uma P.A. Para utilizá-la, é necessário que
conheçamos o número de termos que serão somados, o
primeiro desses termos e o último desses termos.
9
Portanto, os três termos dessa P.A. são (15 – 5, 15, 15 + 5) = (10, 15, 20).
●
A soma de dois termos equidistantes ao termo central de
uma progressão aritmética finita é igual à soma dos termos extremos.
Vamos, então, calcular quantos carros cabem no drive-in.
Para isso, precisamos somar, fileira a fileira, todas as vagas de carros
desse cinema.
Observe a progressão aritmética a seguir.
0
 ,4

 ,6
 ,2
 ,8
 ,10
 ,12
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 Sn Então, podemos calcular:
2
10 7 25 S10 a2 + a 6 = 2 + 10 = 12
Portanto, esse cinema tem capacidade para 160 carros.
9
a 4 + a 4 = 6 + 6 = 12
●
...
3
6
10
15
Podemos notar que o número de elementos adicionados a cada etapa da
construção forma uma P.A., pois no primeiro elemento temos 1 bolinha
adicionada, no segundo elemento adicionam-se 2 bolinhas, no terceiro
adicionam-se 3 bolinhas, e assim sucessivamente.
Escolhendo o termo a 5 , temos:
Dessa forma, o número de bolinhas adicionadas forma a P.A. (1, 2, 3, 4,
5, ...), que tem 1 como primeiro termo e 1 como razão.
(a4 a6 ) 12 18 30
15
2
2
2
Para calcular o n-ésimo termo da sequência de números triangulares,
precisamos somar os termos adicionados aos elementos desde o início.
Isso significa que, para calcular o número de bolinhas no terceiro termo da
sequência, por exemplo, calculamos a soma 1 + 2 + 3; para calcular o número de bolinhas no quarto termo dessa sequência, somamos 1 + 2 + 3 + 4.
Dessa maneira, estamos somando os termos da P.A. (1, 2, 3, 4, 5, ...).
(a a7 ) 9 21 30
a5 3
15
2
2
2
Escolhendo o termo a 4 , temos:
a4 (a3 a5 ) 9 15 24
12
2
2
2
a4 (a2 a6 ) 6 18 24
12
2
2
2
da soma dos termos de uma P.A.: Sn a4 (a1 a7 ) 3 21 24
12
2
2
2
Logo, substituindo os termos, temos an Dessa forma, podemos notar que, para calcular o número de bolinhas
no n-ésimo termo an da sequência geométrica, podemos usar a fórmula
Podemos generalizar essa propriedade da seguinte forma:
an Consideremos uma progressão aritmética de razão r dada
por (a1, a2 , a 3 , ..., a n , ...).
Denotamos a soma dos n primeiros termos dessa progressão por S n .
Portanto, S n = a1 + a2 + a3 + ... + an ou S n = an + an−1 + an−2 + ... + a1.
Somando essas equações, temos:
an an1 an2 a1
a1 a2 a3 an
an a2 an1 an a1 a1
n somas
Como a soma dos termos equidistantes é sempre a mesma,
temos:
(a1 + a n) = (a2 + a n – 1) = ... = (a n + a1)
Portanto, 2S n = n(a1 + a n), então Sn PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 275
n a1 an 2
9
n a1 an 2
n 1 n 2
.
.
Exemplo:
Um esportista percorre em um dia sempre 100 metros a mais que a
distância percorrida no dia anterior. Sabendo que, ao final de 15 dias, ele
correu o total de 67 500 metros, calcule o número de metros percorridos
no primeiro dia.
ani ani
, para i < n.
2
Soma dos termos de uma P.A.
Sn
Sn
2Sn
5 32 160
Exemplo:
1
3
 ,15

 ,6
 ,9
 ,12
 ,18
 , 21
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a5 2
Voltemos à sequência geométrica dos números triangulares, dada por
Um termo de uma progressão aritmética pode ser visto
como a média aritmética de termos equidistantes a ele.
Consideremos a progressão aritmética a seguir.
EXT21_1_MAT_A_06
n a1 an a1 + a7 = 0 + 12 = 12
a 3 + a 5 = 4 + 8 = 12
EXT21_1_MAT_A_06
Exemplo:
Voltemos ao cinema drive-in, exemplo mostrado anteriormente. Ele comporta 10 fileiras de carros, sua primeira fileira é composta de 7 carros,
cada fileira tem dois carros a mais que a anterior e, como calculamos, a
última fileira comporta 25 carros.
Como a soma desses três termos é 45, então 3a = 45, ou seja, a = 15.
MATEMÁTICA • FRENTE A
Exemplo:
Notemos que as distâncias percorridas a cada dia pelo esportista formam
uma P.A. de razão 100 e Sn = 67 500. Portanto, usando a fórmula de
soma dos termos de uma P.A., temos:
Sn n a1 an 67500 2
15 a1 a15 2
a1 + a15 = 9 000
Pela fórmula do termo geral, a15 = a1 + 14r = a1 + 14 · 100 = a1 + 1 400.
Então:
a1 + a1 + 1 400 = 9 000
2a1 = 7 600
a1 = 3 800
Portanto, o esportista percorreu 3 800 metros no primeiro dia.
.
275
9
21/09/2020 18:41:09
FIXAR
Se, para calcular um termo, é necessário
calcular os termos anteriores
Recursiva
Sequência
Não recursiva
a1
an
MATEMÁTICA • FRENTE A
Elementos
1.º termo
n-ésimo termo
n
número de termos
r
razão
A soma de dois termos equidistantes ao
termo central de uma progressão aritmética
finita é igual à soma dos termos extremos.
n a1 an soma de n termos
Sn 2
an + 1 = an + r, com n ∈ *
Fórmula do
termo geral
Classificação
Se existe uma lei de formação
que determina seus elementos
an = a1 + (n – 1)r
Propriedades:
r>0
P.A. crescente
r<0
P.A. decrescente
r=0
P.A. constante
Um termo de uma progressão aritmética
pode ser visto como a média aritmética de
termos equidistantes a ele.
an an i an i
, para i < n.
2
.
Interação
1.
Um treinador de esportistas de alto desempenho começou a
treinar três ciclistas para competir na modalidade velocidade
por equipes das Olimpíadas. A prova masculina é disputada
em três voltas, e cada equipe é composta de três atletas pedalando um atrás do outro. A cada volta, o ciclista que lidera
a equipe retira-se, deixando o seguinte na liderança da equipe. Ganha a
equipe que completa as voltas em menor tempo. O ciclista responsável
pela última volta precisa ter bastante resistência, pois deve manter a velocidade alta durante as três voltas.
Para determinar a ordem da liderança, o treinador resolveu testá-los, estudando o desempenho de cada ciclista ao longo de três voltas.
Nesse teste, o treinador encontrou os seguintes resultados:
● O atleta 1 iniciou a 1.ª volta com velocidade de 50 km/h, e a cada volta
sua velocidade diminuiu em 2 km/h.
●
O atleta 2 iniciou a 1.ª volta com velocidade de 52 km/h, e a cada volta
sua velocidade diminuiu em 4 km/h.
●
Com base no gráfico, qual seria a ordem ideal de liderança em cada
volta?
EXT21_1_MAT_A_06
b)
276
O atleta 3 iniciou a 1.ª volta com velocidade de 55 km/h, e a cada volta
sua velocidade diminuiu em 7 km/h.
Para que pudesse comparar os desempenhos, o treinador resolveu dispor
graficamente os dados.
a) Represente no plano cartesiano bidimensional a variação das velocidades dos ciclistas a cada volta, no teste preparado pelo treinador.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 276
21/09/2020 18:41:20
Sistematização
1.
(3, 4, 5, 6, 7)
d)
(1, 2, 3, 4, 5)
e)
(5, 6, 7, 8, 9)
7.
8.
9.
14.
Uma família parte de férias para uma cidade distante 500 km
de onde moram. Como eles estão fazendo várias paradas em
pontos turísticos em locais de alimentação, percorreram 20
km na primeira hora, 22,5 km na segunda hora, 25 km na
terceira hora e assim por diante. Após 10 horas de viagem e
mantendo esse padrão crescente na distância percorrida por hora, quantos
quilômetros ainda faltarão para a família chegar à cidade de destino?
15.
Um cinema ampliará o total de assentos e ficará com uma
capacidade de 632 lugares. Para essa ampliação, foi contratada
uma empresa que, no primeiro dia de trabalho, instalou
apenas duas cadeiras. Como foram contratadas mais pessoas
para fazer essa instalação, no segundo dia, foram colocadas
sete cadeiras, no terceiro dia, doze, e assim por diante. Logo, pode-se afirmar
que o trabalho de instalação de poltronas foi concluído em
a) 32 dias.
Considere a sequência com lei de formação an = 3n, n ∈ *.
Em seguida, analise as afirmações a seguir e assinale a alternativa que apresenta as informações corretamente.
a)
É uma P.A. e a1 + a4 = 15.
b)
É uma P.A. e a1 + a4 = 18.
c)
Não é uma P.A. e a1 + a4 = 15.
d)
Não é uma P.A. e a1 + a4 = 12.
e)
É uma P.A. e a1 + a4 = 12.
Considere a progressão aritmética com lei de formação
an = –37 + 6n, com n ∈ *. Calcule a razão e os três primeiros
termos dessa sequência.
Escreva a P.A. cujo 4.º termo vale 24 e o 9.º termo vale 79.
16.
Determine a P.A. que respeita as seguintes condições:
●
O 10.º termo é 48.
A soma do 5.º termo com o 20.º termo é igual a 121.
A soma de três termos consecutivos de uma P.A. é igual a 78.
Calcule o termo intermediário desses três termos.
b)
16 dias.
c)
110 dias.
d)
127 dias.
e)
316 dias.
Uma concessionária de pedágio irá instalar marcadores luminosos em uma rodovia com muitas curvas. Atualmente,
existem marcadores apenas no quilômetro 3 e no quilômetro
88, mas, por conta do alto número de acidentes, deverão ser
instalados mais 16 marcadores luminosos ao longo da rodovia,
mantendo-se sempre a distância entre dois marcadores. Em qual quilômetro deverá ser instalado o décimo primeiro marcador?
a) 5.
b)
8.
c)
13.
d)
33.
e)
53.
17.
Determine o 21.º elemento e a soma dos termos da seguinte
progressão aritmética: (2, 7, 12, 17,...).
18.
Uma secretária recebeu a tarefa de organizar os arquivos de
uma empresa em apenas uma semana. Se ela começou no
domingo organizando 15, na segunda-feira 23 e assim por
diante até terminar, quantos arquivos ela organizou no
total?
Calcule o valor de x para a P.A. dada por (x, 4 – x, 5x).
Calcule o valor de x em (–6 – x, x + 3, 5x) de forma que essa
sequência seja uma progressão aritmética.
Dada a P.A. (28, 36, 44, 52, ...), determine a soma dos seus 25
primeiros termos.
a)
32
b)
237
c)
220
d)
273
e)
63
19.
EXT21_1_MAT_A_06
10.
11.
MATEMÁTICA • FRENTE A
(2, 4, 6, 8, 10)
c)
●
6.
A soma dos termos quarto e oitavo de uma P.A. é 20 e o trigésimo primeiro termo é o dobro do décimo sexto termo.
Determine o primeiro termo e a razão dessa P.A.
Calcule a soma dos 10 primeiros termos da P.A. (1, –6, –13,
–20, ...).
7 13 11 Calcule as leis de formação da P.A. , , 2, ,... e da
6 3 6
Em um programa de condicionamento físico, um atleta corre
sempre 300 metros a mais do que correu no dia anterior.
Sabe-se que no segundo dia ele correu um quilômetro. Então,
no décimo dia, ele correrá:
a)
3 700 metros.
b)
3 100 metros.
c)
3 400 metros.
d)
4 000 metros.
e)
2 800 metros.
função afim que passa pelos pontos dos elementos da P.A.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 277
277
5.
13.
(1, 3, 5, 7, 9)
b)
2.
4.
Determine o valor da soma dos cinquenta primeiros termos
da P.A. (1, 3, 5, 7, ...).
Calcule os cinco primeiros termos da sequência cujo termo
geral é an = n + 4, n ∈ *. Em seguida, assinale a alternativa
que apresenta corretamente os respectivos elementos.
a)
3.
12.
21/09/2020 18:41:24
O último dia de treino será aquele em que o atleta correr 42 km.
O total percorrido pelo atleta nesse treinamento, do primeiro ao último
dia, em quilômetros, corresponde a:
a) 414
c) 456
Enem e vestibulares
43
d)
49
e)
52
Fácil
d)
8
6
e)
9
c)
7
C5:H21 (UP-2019) Em uma progressão aritmética (a1, a2, ...,
an, ...), tem-se a2 = 3 e a8 = 18. Qual é o valor de a33?
a)
82,5.
d)
52,5.
a)
30.
b)
80,5.
e)
48,0.
b)
10.
c)
62,0.
c)
– 15.
d)
– 20.
9.
C5:H21 (FAMP-2019) Seja a progressão de números (32, 80,
128, 176, ...). Qual o valor da soma dos 100 primeiros números
dessa progressão?
a)
240800
b)
210300
c)
220500
d)
230600
Etapa 1
Fácil
Ano
Médicos
1980
137
1985
162
1995
212
2010
287
10.
Tendo em vista a crescente demanda por atendimento médico na rede
de saúde pública, pretende-se promover a expansão, a longo prazo, do
número de médicos desse município, seguindo o comportamento de
crescimento linear no período observado no quadro.
Qual a previsão do número de médicos nesse município para o ano 2040?
a) 387
c)
437
d)
574
e)
711
5.
Fácil
121
c)
122
a)
PA (–8, –6, –2, 2)
b)
PA (–6, –2, 10, –18)
c)
PA (–18, –10, –2, –6)
d)
PA (–6, 2, 10, 18)
e)
PA (–4, 2, 10, 16)
Etapa 3
e)
124
C5:H21 (Enem-2016) Sob a orientação de um mestre de obras,
João e Pedro trabalharam na reforma de um edifício. João
efetuou reparos na parte hidráulica nos andares 1, 3, 5, 7, e
assim sucessivamente, de dois em dois andares. Pedro trabalhou na parte elétrica nos andares 1, 4, 7, 10, e assim sucessivamente, de três em três andares. Coincidentemente, terminaram seus
trabalhos no último andar. Na conclusão da reforma, o mestre de obras
informou, em seu relatório, o número de andares do edifício. Sabe-se que,
ao longo da execução da obra, em exatamente 20 andares, foram realizados
reparos nas partes hidráulica e elétrica por João e Pedro.
Qual é o número de andares desse edifício?
a) 40
b)
60
c)
100
d)
115
e)
120
11.
C5:H21 (Unicentro-2018) Assinale a única alternativa correta
para a PA de quatro termos em que o 1º termo é a1 = –6 e a
razão é r = 8.
6.
b)
C5:H21 (EsPCEx-2019) Uma fábrica de tratores agrícolas, que
começou a produzir em 2010, estabeleceu como meta produzir 20.000 tratores até o final do ano de 2025. O gráfico
abaixo mostra as quantidades de tratores produzidos no
período 2010-2017.
Médio
424
Etapa 2
Na etapa n, serão utilizados 245 palitos. Nessas condições, n é igual a
a) 120
d) 123
C5:H21 (Enem-2019) Em um município foi realizado um levantamento relativo ao número de médicos, obtendo-se os dados:
b)
C5:H21 (UFRGS-2020) Considere o padrão de construção de
triângulos com palitos, representado nas figuras abaixo.
Fácil
3.
4.
Fábrica Boa Safra
Quantidade anual de tratores fabricados
720
790
800
1 210
1 070 1 140
1
000
930
C5:H21 (UERJ-2017) Um fisioterapeuta elaborou o seguinte
plano de treinos diários para o condicionamento de um maratonista que se recupera de uma contusão:
Fácil
278
5
b)
8.
C5:H21 (Unicamp-2020) Considere que (a, b, 3, c) é uma progressão aritmética de números reais e que a soma de seus
elementos é igual a 8.
O produto dos elementos dessa progressão é igual a
Fácil
MATEMÁTICA • FRENTE A
2.
a)
●●
primeiro dia – corrida de 6 km;
●●
dias subsequentes – acréscimo de 2 km à corrida de cada dia imediatamente anterior.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 278
2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017
Desenho ilustrativo fora de escala
21/09/2020 18:41:33
EXT21_1_MAT_A_06
c)
484
C5:H21 (Univesp-2017) Em uma progressão aritmética (P.A.),
a soma dos três primeiros termos é igual a 117. Sabendo que
o primeiro termo é 30, a razão dessa P.A. é
EXT21_1_MAT_A_06
39
d)
438
Fácil
b)
b)
7.
Fácil
C5:H21 (Unifor-2020) Após recuperar-se de uma cirurgia, o
treinador da corredora Andrea estipulou um plano de treinamento diário: correr 500 metros no primeiro dia e aumentar
200 metros por dia, a partir do segundo, até que ela atinja 10
km. Andrea pretende correr 10 km na maratona do Rio de
Janeiro, no início do próximo ano.
Em quantos dias de treinamento Andrea atingirá 10 km?
a) 35
Fácil
Fácil
1.
Dia da
semana
Segunda
Distância
(m)
4800
Terça
Quarta
Quinta
Sexta
16.
6600
O número de voltas na piscina que esse atleta nadou na sexta-feira foi:
a) 134.
b)
144.
c)
158.
d)
168.
13.
Médio
C5:H21 (Unifor-2017) Observe bem as três figuras que são
mostradas abaixo. Todas elas são formadas por quadrinhos
de mesmo tamanho.
C5:H21 (ACAFE-2019) O proprietário de um cinema está organizando as poltronas para um evento especial. Para atender
à demanda desse evento, serão necessárias 540 poltronas.
Em função da estrutura da apresentação do evento, foi solicitado que as poltronas fossem distribuídas da seguinte forma: 8 poltronas
na primeira fila, 12 poltronas na segunda fila, 16 na terceira fila, e assim
por diante.
Com base nessas informações, é correto afirmar:
a) A soma das poltronas da primeira e oitava filas é diferente do número
de poltronas da décima fila.
b)
Seguindo a distribuição solicitada, a décima fila terá mais de 44
poltronas.
c)
Serão necessárias 20 filas para organizar as 540 poltronas de acordo
com a solicitação do evento.
d)
Seguindo a distribuição solicitada, a última fila será composta de 64
poltronas.
C5:H21 (FGV-2019) Pensando em sua futura poupança, Roberto
decidiu, no final de janeiro de 2018, investir no mercado de
ações, adquirindo 100 ações da empresa VP. Seu plano foi, em
cada um dos finais dos próximos 59 meses, comprar duas ações
da mesma empresa a mais do que comprou no mês anterior.
Logo após sua última compra, a ser feita no final de dezembro de 2022,
seu investimento resultará em um total de N ações.
Supondo que no período considerado não haja proventos que resultem em
aumento no número de ações, pode-se afirmar que N é igual a:
a) 9 440
b)
9 640
c)
9 240
d)
9 540
e)
9 340
17.
C5:H21 (UNEB-2016) De um livro com 20 páginas, todas numeradas, retira-se uma folha. Sabendo-se que a soma dos
números das páginas restantes do livro é 171, pode-se afirmar
corretamente que a folha retirada foi a
Médio
,
1ª figura
,
,...
2ª figura
3ª figura
Então, podemos afirmar que, nessa ordem, o número de quadrinhos
escuros da 11ª figura será
a) 42.
44.
c)
46.
d)
48.
e)
50.
18.
Médio
b)
14.
Médio
C5:H21 (Enem-2016) Em um trabalho escolar, João foi convidado
a calcular as áreas de vários quadrados diferentes, dispostos em
sequência, da esquerda para a direita, como mostra a figura.
MATEMÁTICA • FRENTE A
C5:H21 (UFVJM-2017) Um atleta de natação treina, habitualmente, cinco vezes por semana em uma piscina de 50 metros de
comprimento de um clube. Com o objetivo de melhorar seu
condicionamento físico, ele decide iniciar seu treino na segunda-feira nadando 4800 metros, nadando mais a cada dia da
semana, em progressão aritmética. A tabela a seguir mostra as distâncias que
ele nadou na segunda-feira e na quinta-feira de uma determinada semana.
Médio
Médio
12.
15.
Médio
Admitindo que a quantidade de tratores produzidos evolua nos anos
seguintes segundo a mesma razão de crescimento do período 2010-2017,
é possível concluir que a meta prevista
a) deverá ser atingida, sendo superada em 80 tratores.
b) deverá ser atingida, sendo superada em 150 tratores.
c) não deverá ser atingida, pois serão produzidos 1.850 tratores a menos.
d) não deverá ser atingida, pois serão produzidos 150 tratores a menos.
e) não deverá ser atingida, pois serão produzidos 80 tratores a menos.
a)
décima nona.
b)
décima quarta.
c)
décima segunda.
d)
décima.
e)
nona.
C5:H21 (Unesp-2020) Em seu artigo “Sal, saúde e doença”, o
médico cancerologista Drauzio Varella aponta que o Ministério
da Saúde recomenda que a ingestão diária de sal não ultrapasse
5 g, quantidade muito abaixo dos 12 g, que é a média que o
brasileiro ingere todos os dias. Essa recomendação do Ministério
da Saúde é a meta que a Organização Mundial da Saúde estabeleceu para
até 2025. Além disso, o ministério estima que, para cada grama de sal reduzido
na ingestão diária, o SUS economizaria R$ 3,2 milhões por ano.
Dados extraídos de: “Sal, saúde e doença”. Disponível em: https://
drauziovarella.uol.com.br, 24 maio 2019. Adaptado.
Considere que a ingestão média diária de sal no Brasil reduza-se de 12 g,
em 2019, para 5 g, em 2025, de forma linear, ano a ano.
Nesse cenário, o SUS economizaria, até o final do ano de 2025, um valor entre
a) R$ 65 milhões e R$ 70 milhões.
3
4
5
6
EXT21_1_MAT_A_06
EXT21_1_MAT_A_06
O primeiro quadrado da sequência tem lado medindo 1 cm, o segundo
quadrado tem lado medindo 2 cm, o terceiro quadrado tem lado medindo 3
cm, e assim por diante. O objetivo do trabalho é identificar em quanto a área
de cada quadrado da sequência excede a área do quadrado anterior. A área
do quadrado que ocupa a posição n, na sequência, foi representada por an.
Para n ≥ 2, o valor da diferença an – an – 1, em centímetro quadrado, é igual a
a) 2n – 1
b)
2n + 1
c)
–2n + 1
d)
(n – 1)
e)
n –1
2
2
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 279
19.
R$ 75 milhões e R$ 80 milhões.
c)
R$ 15 milhões e R$ 20 milhões.
d)
R$ 20 milhões e R$ 25 milhões.
e)
R$ 55 milhões e R$ 60 milhões.
C5:H21 (FAMERP-2020) Dado um número real x, o símbolo
x indica o maior número inteiro que é menor ou igual a x.
Por exemplo, 11/4 = 2, π = 3 e 5 = 5.
Utilizando-se essa definição, a soma dos termos da sequência –4 + –3,9 + –3,8 + –3,7 + –3,6 + ... + 2 é igual a
a) –92.
b)
–34.
c)
–88.
d)
–52.
e)
–90.
279
2
Difícil
1
b)
21/09/2020 18:41:37
20.
Difícil
C5:H21 (ITA-2019) Considere as seguintes afirmações:
1
1
1 1
.
n 1 n 2
2n 2
se n é um número natural, então
II.
1 1
3
2
se x é um número real e x x 1 0 , então x 6 0
x x
26.
Difícil
I.
III. se a, b e c são números reais positivos que formam, nessa ordem, uma
progressão aritmética, então
1
1
1
,
,
formam,
b+ c c+ a a+ b
b)
apenas I e II.
c)
apenas I e III.
d)
apenas II e III.
e)
todas.
21.
62.
c)
65.
d)
68.
maior do que 130.
C5:H21 (ITA-2020) A cada aniversário, seu bolo tem uma
quantidade de velas igual à sua idade. As velas são vendidas
em pacotes com 12 unidades e todo ano é comprado apenas
um novo pacote. As velas remanescentes são guardadas para
os anos seguintes, desde o seu primeiro aniversário. Qual a
sua idade, em anos, no primeiro ano em que as velas serão insuficientes?
a) 12.
d) 36.
b)
23.
c)
24.
27.
e)
38.
C5:H21 (Fuvest-2020) O cilindro de papelão central de uma
fita-crepe tem raio externo de 3 cm. A fita tem espessura de
0,01 cm e dá 100 voltas completas.
a)
menor do que 2 490.
b)
maior do que 2 500.
c)
2 494.
d)
2 496.
e)
2 498.
0,01 cm
12
b)
14
b)
11,0 m.
c)
16
c)
18,8 m.
d)
18
d)
22,0 m.
e)
15
e)
25,1 m.
●●
C5:H21 (IME-2020) Diversos modelos de placas de identificação
de veículos já foram adotados no Brasil. Considere os seguintes
modelos de placas e a descrição de sua composição
alfanumérica:
Modelo 1: AB123 (duas letras seguidas de três números)
●●
Modelo 2: AB1234 (duas letras seguidas de quatro números)
●●
Modelo 3: ABC1234 (três letras seguidas de quatro números)
Difícil
a)
Considerando que, a cada volta, o raio externo do rolo é aumentado no valor
da espessura da fita, o comprimento total da fita é de, aproximadamente,
Note e adote: π ≅ 3,14.
a) 9,4 m.
C5:H21 (FAMERP-2016) Observe as três primeiras linhas de um
padrão, que continua nas linhas subsequentes.
1ª linha
1 + 2 = 12 + (12 + 1) = 3
2ª linha
4 + 5 + 6 = 22 + (22 + 1) + (22 + 2) = 7 + 8
3ª linha
9 + 10 + 11+ 12 = 32 + (32 + 1) + (32 + 2) + (32 + 3) = 13 + 14 + 15
Na 30ª linha desse padrão, o maior número da soma em vermelho, indicada
dentro do retângulo, será igual a
a) 929
b)
930
c)
959
d)
1029
e)
960
C5:H21 (UECE-2019) Se (a1, a2, a3, ..., a7) são os ângulos internos
de um heptágono convexo e se as medidas desses ângulos
formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, então a
medida, em graus, do ângulo a4 é um número
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 280
28.
●●
Modelo 4: ABC1C23 (três letras seguidas de um número, uma letra e
dois números)
Sejam c1, c2, c3 e c4 as quantidades das combinações alfanuméricas possíveis para os modelos 1, 2, 3 e 4, respectivamente. Os números c1, c2, c3 e
c4 são termos de uma progressão aritmética com infinitos termos com a
maior razão possível. A soma dos algarismos da razão dessa progressão é:
Observação:
– considere o alfabeto com 26 letras.
a) 11
b)
12
c)
14
d)
16
e)
19
21/09/2020 18:41:47
EXT21_1_MAT_A_06
C5:H21 (FAAP-2017) A sequência (6; 5 + a; b) é uma Progressão
Aritmética de razão 3, e a soma de a + b representa o índice
de uma escala de violência urbana.
Qual é o valor de a + b?
EXT21_1_MAT_A_06
Difícil
C5:H21 (UNCISAL-2018) Os termos da sequência (–1, 4, 1, 7, 3,
10, 5, 13, ...) obedecem a uma lei de formação. Sabendo-se
que essa sequência tem 1000 termos, a soma de seus dois
últimos termos é
24.
Difícil
entre 129 e 130.
d)
m
59.
23.
280
entre 128 e 129.
c)
3c
a)
b)
22.
25.
menor do que 128.
b)
C5:H21 (UEFS-2018) Uma progressão aritmética (PA) possui
17 termos, todos positivos. A diferença entre o maior termo
(a17) e o menor termo (a1) dessa PA é igual a 48. Sabendo que,
entre os números primos que ocorrem nessa PA, 13 é o menor
e 43 é o maior, o valor de a1 + a17 é
Difícil
MATEMÁTICA • FRENTE A
nessa ordem, uma progressão aritmética.
É(são) VERDADEIRA(S)
a) apenas I.
a)
29.
Com relação a essa tabela de números:
a) Escolha um quadrado 3 × 3 e, exibindo a soma de seus 9 números,
verifique que o resultado é múltiplo de 9.
Difícil
(UFJF-PISM-2019) Pedro começou a listar sequencialmente
todos os números inteiros positivos, dispondo-os em linhas,
conforme indicado na figura abaixo:
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
b)
Um quadrado com 16 números tem por soma de todos esses números
o valor de 1.056 (mil e cinquenta e seis). Descubra o menor número
desse quadrado.
c)
A soma de todos os números de um quadrado n × n com menor
número igual a 4 é de 108.000 (cento e oito mil). Qual é o valor de n?
A primeira linha é formada pelos quatro primeiros números inteiros positivos e, a partir da segunda linha, listam-se sempre dois números inteiros
a mais do que haviam sido listados na linha anterior.
O número inteiro que ocupará a décima posição na 101.ª linha será
a) 10 410
d) 212
b)
10 310
c)
213
30.
111
e)
MATEMÁTICA • FRENTE A
Difícil
(UFRGS-2017) Quadrados iguais de lado 1 são justapostos,
segundo padrão representado nas figuras das etapas
abaixo.
Mantido esse padrão de construção, o número de quadrados de lado 1
existentes na figura da etapa 100 é
d) 5 100.
a) 1 331.
e) 5 151.
b) 3 050.
c) 5 050.
31.
Difícil
C5:H21 (Fuvest-2020) A figura apresenta uma parte de uma
tabela na qual cada linha e cada coluna seguem de acordo
com o padrão representado.
...
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
...
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
...
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
...
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
...
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
...
GABARITOE ONLINE
GABARITO
SOLUCIONÁRIO ONLINE
Façaoodownload
downloaddodo
aplicativo
Questões
ou qualquer aplicativo
1. Faça
aplicativo
SAE SAE
Questões
ou qualquer
de leituradeQRleitura
Code.
aplicativo
QR Code.
Abraooaplicativo
aplicativo
e aponte
o QRQRCode
2. Abra
e aponte
parapara
um dos
Codesaoaolado.
lado
acessardeste
o gabarito
ou o será
solucionário
módulo.
3. para
O gabarito
módulo
exibidodeste
em sua
tela.
...
10
...
9
...
8
...
7
...
6
...
5
...
4
...
3
...
2
...
1
1
A
B
C
D
E
9
A
B
C
D
E
17
A
B
C
D
E
25
A
B
C
D
E
2
A
B
C
D
E
10
A
B
C
D
E
18
A
B
C
D
E
26
A
B
C
D
E
3
A
B
C
D
E
11
A
B
C
D
E
19
A
B
C
D
E
27
A
B
C
D
E
4
A
B
C
D
E
12
A
B
C
D
E
20
A
B
C
D
E
28
A
B
C
D
E
5
A
B
C
D
E
13
A
B
C
D
E
21
A
B
C
D
E
29
A
B
C
D
E
6
A
B
C
D
E
14
A
B
C
D
E
22
A
B
C
D
E
30
A
B
C
D
E
7
A
B
C
D
E
15
A
B
C
D
E
23
A
B
C
D
E
8
A
B
C
D
E
16
A
B
C
D
E
24
A
B
C
D
E
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 281
281
EXT21_1_MAT_A_06
EXT21_1_MAT_A_06
Cartão-resposta
21/09/2020 18:41:51
Razão e proporção
Expressar dois números em quociente é conveniente e vantajoso em múltiplas situações. A origem
dessa representação numérica data do Antigo Egito,
3 000 a.C., quando surgiu o conceito de número racional. Muito mais do que as partes de um inteiro,
a representação racional também pode simbolizar
grandezas, variações e taxas. A seguir, vamos relembrar os conceitos de razão e proporção, suas propriedades e aplicações, variações
Uma grandeza é
de grandezas e regras de três.
algo que pode ser
medido.
Razão
mód. 01/26
01
Define-se a razão entre dois números reais a
e b como
Em sistemas de medidas decimais, são utilizadas
razões com potências de 10 para determinar seus
múltiplos e submúltiplos.
a
, desde que b ≠ 0
b
Nº de aulas
02
Podemos denotá-la também como a:b.
9
9
Exemplo: Qual é a razão entre 7 e 4 e como podemos
denotá-la?
Solução:
7
A razão entre 7 e 4 é 1,75 e pode ser denotada como
4
ou 7:4.
lady-luck/Shutterstock
Razão e proporção
Figura original
sc
ul
pi
es
/S
hu
t
te
rs
to
ck
MAT
A figura abaixo exibe a ampliação de um desenho. Observe que, para obtermos o comprimento da
figura maior, basta multiplicarmos o comprimento da
menor por 1,5, ou seja, 12 · 1,5 = 18. A razão entre
qualquer outra medida da figura maior e a respectiva medida da figura menor vai resultar em 1,5. Nesse
caso, a razão entre essas figuras é a constante r = 1,5.
12 cm
282
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 282
18 cm
Figura ampliada
Quando realizamos medições, estamos atribuindo um valor para uma grandeza. Tomando o metro
como unidade de medida de comprimento padrão,
qualquer outra unidade de medida de comprimento
pode ser encontrada a partir do metro. Se a grandeza medida for menor que um metro, podemos usar
os submúltiplos decímetro, centímetro e milímetro,
obtidos do quociente entre 1 e, respectivamente, 10,
100 e 1 000.
Exemplo: Qual é a razão que representa 1 mililitro
em litros?
Solução:
1mL =
1
L.
1000
A velocidade e a vazão são grandezas dadas por
razões cujo denominador é o tempo. No caso da
velocidade, o numerador é o deslocamento. Para a
vazão, o numerador pode ser o volume ou a massa
de um fluido.
A porcentagem também é um tipo de razão,
pois ocorre quando comparamos uma grandeza
com a centena na mesma unidade de medida. Além
das unidades de medida e porcentagem, há outros
elementos matemáticos que são determinados por
razões.
Proporção
Duas frações são ditas equivalentes quando representam a mesma parte do todo. Por exemplo,
10
2
1
é equivalente a e ambas equivalem a
, logo
20
4
2
1 2 10
. Quando é possível comparar duas ra= =
2 4 20
zões distintas pelo sinal de igualdade, dizemos que
estas são proporcionais, ou seja, elas formam uma
proporção.
Dizemos que os números a, b, c e d, nessa ordem, formam uma proporção se vale a igualdade
a c
=
b d
Os números a, b, c e d são chamados de termos
da proporção.
a c
Nesse caso, se calcularmos as divisões e , obb d
teremos a mesma constante C, denominada constante de proporcionalidade.
21/09/2020 18:42:52
EXT21_1_MAT_B_01
Frente B
Exemplos de aplicações
EXT21_1_MAT_B_01
Escola Digital
Se tivesse ocorrido uma redução, isto é, se a
12 2
figura original fosse a maior, a razão seria=
r = .
18 3
Tanto na redução quanto na ampliação, a razão
de semelhança é o quociente entre a medida da figura modificada e a medida da figura original.
Também existem a quarta e a terceira proporcionais:
Quarta proporcional
É o quarto termo de uma proporção.
9
Determine a quarta proporcional dos números a, b e c, para a e b não
nulos.
Solução:
m
= 7 , 8 , ou seja,
Em 20 litros teremos uma quantidade m, assim,
20
m = 156 g.
9
Exemplo: Uma das formas utilizadas pelas grandes marcas para atender
às necessidades dos consumidores é ofertar seu produto em embalagens
de tamanhos e capacidades diferentes. O preço também varia de acordo
com o tamanho, o que confunde alguns consumidores. Comparando as
duas embalagens a seguir de um mesmo produto, qual embalagem é
a mais vantajosa?
Embalagem
Preço
300 g
R$ 7,99
800 g
R$ 16,00
Solução:
16 ,00
= 0,02. Multiplicando
800
esse preço por 300, obtemos 0,02 · 300 = 6 reais, isto é, na embalagem
menor o preço por grama é maior. Então, vale a pena levar mais unidades da embalagem maior. No entanto, como consumidores conscientes,
devemos levar em conta outros fatores além do preço, pois as embalagens
grandes podem gerar desperdício, e as embalagens pequenas, em grandes
quantidades, resultam em um volume maior de lixo.
Na embalagem maior, o preço por grama é
Propriedades
As proporções herdam as propriedades dos números racionais e da igualdade entre eles.
a c
Suponha que aconteça a proporção = . (Lê-se: a está
b
d
para b assim como c está para d.)
Solução:
a c
bc
x
b x
a
Terceira proporcional
Dados dois números não nulos a e b, denomina-se terceira
a b
proporcional de a o número x, tal que = .
b x
9
Solução:
4 6
6 6
x
9
6 x
4
Ao comparar duas grandezas, dizemos que elas são diretamente proporcionais quando elas variam na mesma razão.
Assim, sendo R e S grandezas diretamente proporcionais,
R
o quociente entre R e S é constante e vale = C para alguma
S
constante C.
9
Tempo (s)
a c
= também nos garante:
b d
●
ab c d ab c d
e
, para a e c não nulos.
a
c
a
c
●
a ac c a ac c
e , para b + d e b – d não nulos.
b bd d b bd d
Exemplo: No atletismo, uma das provas mais exigentes é a dos 400 metros, que equivale a uma volta completa na pista oficial. O recorde mundial
da modalidade pertence ao sul-africano Wayde van Niekerk e aconteceu
nos jogos olímpicos do Rio de Janeiro em 2016. O atleta percorreu os
400 m em 43,03 segundos!
A velocidade média de van Niekerk durante a prova foi de aproximadamente 9,3 m/s. Se alguém percorresse um trecho reto com essa velocidade,
a cada segundo ela percorreria 9,3 metros. Veja os dados na tabela:
Chamamos esse resultado de propriedade fundamental
da proporção.
ab c d ab c d
e
.
b
d
b
d
9,3
2
18,6
10
93
40
372
A razão entre a distância percorrida e o tempo é constante, igual a 9,3
372
18 ,6 9 , 3
m/s, e forma uma proporção, isto é, = 
=
= = 9 ,3 .
40
2
1
O conjunto de grandezas que estão relacionadas pela proporção direta é vasto, porém, não contempla todas as relações
de proporção, como veremos a seguir.
t
Fo
e
hrg
Ru
o-
b ie t
tterstock
/Shu
1 5
1, 618,
618 , o
2
“número de ouro”. Nessas pirâmides, esse número pode ser encontrado calcu-
porção áurea. A constante de proporcionalidade nesse caso é EXT21_1_MAT_B_01
Distância percorrida (m)
1
As pirâmides de Gizé, no Egito, respeitam uma proporção que ficou famosa: a pro-
EXT21_1_MAT_B_01
4 6
=
6 x
Grandezas diretamente
proporcionais
a c
= ⇔a·d=b·c
b d
●
Exemplo:
Determine a terceira proporcional x de 4 em
Como b e d não são nulos,
A proporção
Exemplo:
MATEMÁTICA • FRENTE B
Exemplo: Uma solução aquosa é aquela obtida quando dissolvemos
uma substância em água. A concentração C dessa solução é a razão
entre a massa m em gramas da substância dissolvida e o volume líquido
m
V da solução em litros, isto é, C = . Então, se para uma substância a
V
concentração é C = 7,8 g/L, qual será a quantidade em 20 litros?
lando a razão entre o apótema da pirâmide e o apótema da base da pirâmide,
medidas que serão retomadas posteriormente.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 283
283
9
21/09/2020 18:44:22
A variação de duas grandezas pode ser inversa, ou seja, quando uma aumenta, a
outra diminui. Um exemplo é a relação entre o número de casos de difteria e o número
de pessoas que foram vacinadas contra essa doença, isto é, quanto maior é o número
de pessoas que tomam a vacina, menor é o número de pessoas que ficam doentes.
Coef. de incidência por difteria e
cobertura vacinal com DTP e DTP+HIB (Brasil. 1990 a 2017*)
-0,5
120
-0,4
100
80
-0,3
60
-0,2
Cobertura vacinal (%)
Coef. incidência
40
-0,1
20
Coef. incidência/100.000 hab.
Cobertura vacinal
2017
2016
2015
2014
2013
2012
2011
2010
2005
2000
1995
-0,0
1990
MATEMÁTICA • FRENTE B
DIFTERIA
0
*Em 2013-2017 - Vacina Pentavalente
Quando duas grandezas são inversamente proporcionais, também podemos compará-las pela regra de três
simples. Para determinar a grandeza incógnita é necessário que as outras três
sejam conhecidas. É preciso ter atenção
para colocar a incógnita na proporção em
que ela ocorre e garantir que a igualdade
representa a proporção inversa. A maioria dos erros ocorre na hora de montar a
igualdade com base nos dados extraídos
da situação-problema.
Um trabalho pode ser concluído mais
rapidamente se houver mais pessoas trabalhando nele. Isso indica que o tempo t
gasto para realizar certo trabalho é inversamente proporcional ao número de pessoas que estão trabalhando nele.
99 Exemplo: Se uma pessoa leva duas horas
para cumprir uma tarefa, qual é o tempo t
que 5 pessoas levarão para cumprir a mesma tarefa?
Solução:
Tempo
Pessoas
2
1
t
5
Difteria - Incidência x cobertura vacinal, de 1990 a 2017. Sociedade Brasileira de Imunizações
(SBIm). Disponível em: https://familia.sbim.org.br/vacinas. Acesso em: 20 ago. 2020.
Observe na tabela como o número de infectados diminui conforme aumenta o
percentual de pessoas vacinadas.
Ano
% de pessoas vacinadas
(aprox.)
1990
N° de infectados
(aprox.)
70%
450 000
1995
85%
11 000
2000
100%
5 000
Duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando variam inversamente em uma mesma razão. Assim, sendo R e S inversamente proporcionais, o valor
de S diminui na metade se o valor de R dobra, ou seja, R ⋅ S é sempre constante.
Regra de três
Os conteúdos apresentados até aqui servem de base para realizar as questões 1,
2 e 4 da seção Sistematização e 1, 2, 3 e 4 da seção Enem e vestibulares.
Nas situações-problema envolvendo razões e proporções, frequentemente é preciso obter o valor de uma incógnita. O método prático para resolver tais problemas é
a regra de três.
Regra de três simples
A regra de três simples é um mecanismo para resolver problemas de comparação
entre grandezas e razões que são diretamente ou inversamente proporcionais, com a
mesma constante de proporcionalidade.
Vamos rever um caso de grandezas diretamente proporcionais:
99 Exemplo: A velocidade média de van Niekerk durante a prova de atletismo foi de aproximadamente
9,3 m/s. Quanto tempo van Niekerk demoraria para percorrer 500 m a uma velocidade constante
de 9,3 m/s?
Solução: Para resolver esse problema, vamos dispor os dados em uma tabela, a fim de facilitar
nossa interpretação.
Tempo (s)
Distância (m)
1
9,3
x
500
284
1 9,3
x 9 , 3 1 500 x 53 ,76
x 500
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 284
2
= 0 , 4 horas ou 24 min. Nessas
5
situações considera-se a produtividade de
todos os trabalhadores igual.
t
Logo, =
Se a grandeza A é inversamente proporcional à grandeza B e a constante de
proporcionalidade é C, então A será direC
tamente proporcional a . No exemplo,
B
a constante de proporcionalidade era
C = 2. Então o tempo T é diretamente
2
proporcional a , sendo N o número de
N
pessoas que estão trabalhando.
Diretamente
Tempo
Distância
1
9,3
x
500
Inversamente
Tempo
Pessoas
2
1
t
5
21/09/2020 18:44:29
EXT21_1_MAT_B_01
Grandezas inversamente proporcionais
EXT21_1_MAT_B_01
Sugere-se destacar que outras variáveis, incluindo as socioeconômicas, podem estar envolvidas na relação “nº de pessoas
vacinadas × nº de pessoas que ficam doentes”. Aqui, abordamos a ideia de grandezas inversamente proporcionais desconsiderando as demais variáveis.
Regra de três composta
Vamos apresentar agora uma situação genérica
com 4 grandezas para compreender a teoria necessária para resolver a maioria das questões de vestibulares
relacionadas ao assunto. Sejam R, S, T e U grandezas tais
que R é diretamente proporcional a S e a T e inversamente
proporcional a U. Em um contexto mais amplo, cada uma
dessas grandezas pode ser uma razão, isto é,
Quando uma situação-problema abrange mais de duas
relações de proporcionalidade, devemos raciocinar cada uma
das relações por uma regra de três e depois compor os resultados. Essa união de métodos é conhecida como regra de três
composta e é apenas uma extensão das outras regras de três já
apresentadas.
Vamos examinar a seguinte situação: 15 m3 é a quantidade
de água necessária para abastecer uma residência onde habitam 4 pessoas durante 30 dias. Isso quer dizer que elas podem
consumir por dia em média 0,5 m3 de água. Quanto mais dias se
passam, maior é a quantidade de água utilizada. Isso indica que
essas grandezas são diretamente proporcionais.
Volume de água (m3) ↑
1
0,5
5
2,5
10
5
Para determinar um dos valores, alocamos todos esses
valores de acordo com a tabela:
R
R1
R2
Denotando por G a quantidade que queremos determinar,
G 6 15
segue que
, isto é, G 15 6 1 11, 25.
15 4 30
4 2
O cálculo que acabamos de fazer é a composição entre
duas regras de três. O resultado pode ser obtido diretamente
pela multiplicação, pois todas as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais.
Número de pessoas ↓
Duração (número de dias) ↑
6
20
4
30
1
120
Temos uma proporção inversa e o produto entre número de
pessoas e número de dias é sempre igual a 120.
Avaliando a variação dessas grandezas e a relação de proporcionalidade entre elas, podemos determinar, por exemplo,
o número D de dias que 10 m3 de água abastecem uma residência com 5 pessoas. Começamos montando a tabela com algumas das informações que conhecemos e a incógnita D. Perceba
que o sentido das flechas é o mesmo quando elas são diretamente proporcionais e contrário quando são inversamente
proporcionais.
Número de dias
↑
Volume de água
(m3) ↑
Número de
pessoas ↓
30
15
4
D
10
5
O número de dias é diretamente proporcional ao volume de água e inversamente proporcional ao número de pes-
T
T1
T2
U
U1
U2
R↑
R1
R2
S↑
S1
S2
T↑
T1
T2
U↓
U1
U2
R1 S1 T1 U2
R 2 S2 T2 U1
Depois, é só isolar a incógnita para obter o seu valor.
Problemas das torneiras
O nome desta classe de problemas vem do seu representante mais famoso. Trata-se de um tanque de certa capacidade
que receberá líquido vindo de duas ou mais torneiras, cada uma
delas com uma vazão diferente. Elas podem também ficar abertas por períodos distintos.
Comumente deseja-se saber qual porção do tanque foi ocupada pelo líquido, quanto tempo as torneiras devem jorrar para
atingir a capacidade máxima do tanque, qual é a vazão de uma
das torneiras etc. Quando as torneiras agem em momentos
distintos, pode ser mais fácil avaliar os casos separadamente
aplicando regra de três simples e inversa, em vez de utilizar a
regra de três composta.
9
Exemplo: Um reservatório pode ser totalmente abastecido pela torneira A
em 4 horas e pela torneira B em 6 horas, e totalmente escoado pela torneira C em 12 horas. Vamos determinar o tempo T para encher o tanque
na seguinte situação: as torneiras A e B são abertas quando esse tanque
está vazio, e duas horas depois a torneira C é acionada para esvaziar.
Vejamos, em uma hora, A e B preenchem juntas uma fração correspon5 10
1 1 5
do tanque. Após duas horas, 2 partes do
dente a 12 12
4 6 12
tanque estarão cheias. Neste momento, a torneira C é acionada, então a
1 1 1
4
.
cada hora a fração do tanque que é cheia equivale a 4 6 12 12
2
Então, para preencher as
partes do tanque que faltam, é necessária
12
1
mais
hora. Portanto, o tempo T procurado é igual a 2h30min.
2
30 15 5
.
D 10 4
Simplificando as frações e isolando D, obtemos D = 16 dias.
Problemas dessa categoria exigem bastante atenção, por
isso duas das técnicas mais usadas são a organização dos dados em tabelas e a indicação do tipo de proporcionalidade por
flechas.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 285
285
EXT21_1_MAT_B_01
EXT21_1_MAT_B_01
soas, portanto a regra de três composta nos dá
S
S1
S2
Feito isso, devemos identificar qual das grandezas contém a incógnita, o valor que se procura, e a ela associar uma
flecha orientada para cima ou para baixo. Sendo assim,
vamos supor que R é a grandeza que contém a incógnita e
associar a ela a flecha orientada ↑. Então, associamos ↑ às
grandezas diretamente proporcionais e ↓ às inversamente
proporcionais a R e invertemos as frações referentes às inversamente proporcionais. Observe:
Se em 30 dias 4 pessoas gastam 15 m3 de água, quanto de
água 6 pessoas vão gastar em 15 dias?
Vamos examinar agora a situação em que o volume de água
é fixo e igual a 15 m3. Se o número de pessoas na residência
diminui, o número de dias com água será cada vez maior.
R1
S1
T1
U
=
,S =
,T
,U = 1
R2
S2
T2
U2
MATEMÁTICA • FRENTE B
Número de dias ↑
=
R
21/09/2020 18:44:39
FIXAR
quociente
constante
a c
=
b d
R
=C
S
MATEMÁTICA • FRENTE B
R· S = C
em que a · d = b · c
Inversamente
proporcionais
Diretamente
proporcionais
Igualdade de razões
Razão
a
b
produto
constante
Proporção
Regra de 3 simples
Regra de 3 composta
Diretamente ↑ ↑
S↑
T↑
U↓
S1
T1
U1
S2
T2
U2
R↑
S↑
R1
S1
R2
S2
Inversamente ↑ ↓
R↑
U↓
R1
U1
R2
U2
Interação
b)
Se o download desse arquivo levou 12 minutos para ser concluído,
qual foi a velocidade média da internet nesse período, se S = 10 GB =
8 000 Mb?
c)
A versão digital do livro Os irmãos Karamázov de Fiódor Dostoiévski
possui 364 153 palavras de 64 bits. Quantos downloads desse arquivo
uma internet de velocidade 100 Mbps é capaz de fazer por minuto?
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 286
Fique atento! A maioria dos pacotes de dados vendidos pelas
operadoras não discrimina, inicialmente, a velocidade de upload. Isso
ocorre porque a taxa de downloads feitos pelos usuários é maior do que
a taxa de uploads, já que normalmente os usuários recebem mais dados
do que enviam. Assim, as operadoras podem induzir o consumidor a
pensar que as duas velocidades são iguais. No entanto, a relação entre
download e upload pode ser de até 10:1. Isso significa que em um plano
de 100 Mbps, aproximadamente 9 Mbps são reservados para upload.
Essa velocidade é baixa para quem precisa enviar arquivos grandes.
d)
Qual é o tempo máximo de upload de um arquivo de 10 GB em uma
internet banda larga de velocidade 200 Mbps?
EXT21_1_MAT_B_01
286
Viver em um mundo conectado exige a posse de aparelhos
eletrônicos e acesso à internet. Cada vez mais pessoas estão
trabalhando ou estudando em casa, consumindo serviços de
streaming e incorporando tecnologias à sua rotina. Todas
essas facilidades dependem da transferência de dados via
internet. No caso da banda larga residencial, os pacotes de internet são
comercializados de acordo com a velocidade média de download, medida
em megabits por segundo (Mbps). Um megabit (Mb) equivale a 106 bits,
então, contratar uma velocidade de 100 Mbps significa poder baixar 108 bits
a cada segundo. Comparando um megabyte (MB), que na base binária
corresponde a 2 20, com um Mb verificamos que ocorre a relação
1 Mb = 0,125 MB.
O tempo de download é inversamente proporcional à velocidade da internet. Quanto mais lenta, maior vai ser o tempo gasto para baixar um arquivo.
Pensando nesse tempo T como uma função da velocidade V, temos que
S
, sendo S o tamanho do arquivo que se deseja baixar. Com base
=
T T=
(V)
V
no que você aprendeu sobre proporcionalidade, responda às questões:
a) Qual é a velocidade de internet que faz o tempo de download desse
arquivo ser de 5 minutos, se S = 10 GB = 8 000 Mb?
21/09/2020 18:44:50
8.
Sistematização
1.
Uma máquina produz, em 5 horas, um total de 8 000 parafusos.
Quantos parafusos a mesma máquina produzirá em
10 horas?
Em uma barraca de feira, o caldo de cana é vendido em cinco
tamanhos diferentes.
Parafusos
Tempo
CALDO DE
CANA
R$ 1,20
COPO MÉDIO
R$ 1,40
COPO GRANDE
R$ 1,60
GARRADA PEQUENA
R$ 2,50
GARRAFA GRANDE
R$ 4,00
(300 mL)
(500 mL)
(700 mL)
(1 L)
(1,5 L)
9.
Com velocidade de 9 km/h, Luís faz uma caminhada de
40 minutos. Se a sua velocidade fosse de 6 km/h, quanto tempo
ele gastaria nessa caminhada?
Velocidade
10.
Se 10 toneladas de cana produzem 850 litros de álcool, quantos
litros de álcool produzirão 15 toneladas de cana?
Se uma pessoa quer comprar um caldo de cana no recipiente em que o
valor por litro é o menor possível, ela deve optar por qual opção?
2.
As fotos oficiais para documentos são na proporção 3 cm por
4 cm. Se desejo ampliar uma foto dessas de maneira que o
lado maior meça 24 cm, quanto deve medir o lado menor da
foto ampliada?
12.
Se dizemos que 19 de 25 pessoas preferem chocolate ao leite
a chocolate branco, qual porcentagem essas 19 pessoas
representam?
13.
Um caminhoneiro percorre 1 680 km em 3 dias, conduzindo
cargas durante 8 horas por dia. Supondo que suas horas diárias
aumentem para 9 horas e 30 minutos, em quantos dias esse
profissional percorrerá 2 500 km?
Verifique se cada par de sequências abaixo é formado por
números inversamente proporcionais.
(5, 4, 2) e (8, 10, 20)
b)
(4, 6, 8) e (8, 12, 16)
Um objeto foi desenhado utilizando a escala 1:20.000. Dessa
forma, 10 cm do desenho corresponderão a quantos cm do
objeto real?
sharptoyou/Shutterstock
A largura de uma fotografia era igual a 25 cm. A fim de visualizá-la com mais qualidade, ela foi reimpressa com uma redução nas suas medidas, de forma que a razão entre a largura
antiga e a largura nova é 5:2. Sendo assim, qual é a largura
atual da foto?
Km
14.
EXT21_1_MAT_B_01
O estoque de um restaurante tem o suficiente para servir refeições para 200 pessoas por dia durante 45 dias. Se a clientela
aumentar para 250 pessoas por dia, o estoque durará mais ou
menos do que seis semanas? Explique.
Pessoas
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 287
Tempo
Horas por dia
Uma torneira despeja 24 litros de líquido por minuto em um
reservatório cuja capacidade é de 4,5 m3. Em quanto tempo
2
do reservatório estará cheio?
3
15.
b)
25 cm
Dias
Para calcular a velocidade média de um automóvel, utilizou-se
S
a fórmula Vm , em que ∆S e ∆t são, respectivamente, o
t
deslocamento e o intervalo de tempo. Diante disso, responda
e explique cada um dos itens abaixo.
Considerando somente o deslocamento constante, o que podemos
afirmar sobre a proporcionalidade entre a velocidade média e o
intervalo de tempo?
Agora, supondo que somente o valor da velocidade média do veículo
seja constante, pode-se considerar que esse valor é uma constante de
proporcionalidade?
16.
Em quantos dias 10 máquinas funcionando 8 horas por dia
podem produzir 50 000 objetos, sabendo que em outro momento 8 dessas máquinas, funcionando durante 6 horas por
dia, durante 20 dias, produziram 38 000 objetos?
17.
Verifique que, se
a c
ac c
= , então
.
b d
bd d
287
a)
a)
7.
Litros
11.
Calcule os valores de a e b, sabendo que as sequências são
diretamente proporcionais: (20; 15; 35) e (4; a; b).
4.
6.
Toneladas
Os termos de uma proporção são, nesta ordem, 36, 45, 60 e G.
Determine G.
3.
5.
Tempo
MATEMÁTICA • FRENTE B
COPO PEQUENO
21/09/2020 18:45:07
A dose diária, em miligramas, que esse felino deverá receber é de
a) 0,624
C4:H16 (UERJ-2020) Admita que, para escovar os dentes, seja
necessário, em média, 1 litro de água. Caso a torneira permaneça aberta durante toda a escovação, serão gastos, em média,
11 litros, havendo desperdício de 10 litros. Considere uma
família de quatro pessoas que escovam os dentes três vezes
ao dia, mantendo a torneira aberta. Em 365 dias, o desperdício de água
dessa família, em litros, será igual a:
a) 21 900
b)
52,0
c)
156,0
d)
750,0
e)
1 201,9
65 700
d)
87 600
2.
b)
c)
3
4
d)
4
3
3.
Fácil
5.
30%
c)
45%
d)
60%
e)
65%
Fácil
7.
C3:H11 (Enem-PLL-2019) Em um trabalho escolar, um aluno
fez uma planta do seu bairro, utilizando a escala 1:500, sendo
que as quadras possuem as mesmas medidas, conforme a
figura.
20 cm
9 cm
8 cm
Ponte
a)
C4:H16 (UFPR-2020) No ano de 2018, a densidade populacional
da cidade de Curitiba foi estimada em 4 406,96 habitantes por
quilômetro quadrado. Supondo que a área territorial da cidade
seja de 435 km², o número que mais se aproxima da população
estimada de Curitiba em 2018 é:
1 916 610
b)
1 916 760
O professor constatou que o aluno esqueceu de colocar a medida do
comprimento da ponte na planta, mas foi informado por ele que ela media 73 m. O valor a ser colocado na planta, em centímetros, referente ao
comprimento da ponte deve ser
a) 1,46.
c)
1 917 027
b)
6,8.
d)
1 917 045
c)
14,6.
e)
1 917 230
d)
68.
e)
146.
Fácil
Fácil
4.
1
5
1
2
b)
Médio
a)
C4:H16 (CESMAC-2019) Guaifenesina xarope é uma droga
utilizada como expectorante para adultos e crianças. A quantidade recomendada, para adultos e para crianças maiores de
12 anos, é de 15 ml a cada 4 horas. Um médico receitou guaifenesina a um paciente por um período de quatro dias.
Quantos mL o paciente deve adquirir da droga?
a) 350 mL
b)
360 mL
c)
320 mL
d)
330 mL
e)
340 mL
C3:H12 (Enem-2015) Alguns medicamentos para felinos são
administrados com base na superfície corporal do animal. Foi
receitado a um felino pesando 3,0 kg um medicamento na
dosagem diária de 250 mg por metro quadrado de superfície
corporal. O quadro apresenta a relação entre a massa do felino,
em quilogramas, e a área de sua superfície corporal, em metros
quadrados.
8.
Médio
MATEMÁTICA • FRENTE B
Fácil
C4:H16 (UERJ-2020) Admita que, em dezembro de 2014, uma
filha tinha 20 anos e seu pai, 50. Em dezembro de 2024, a razão
entre as idades da filha e do pai será de:
C4:H16 (Etec-2019) Um escritório utiliza uma fragmentadora
de papéis, que corta em tiras muito finas documentos cujo
conteúdo não se deseja tornar público. Suponha que a fragmentadora desse escritório só aceite uma folha por vez, sendo
capaz de fazer sua função a uma velocidade de 3 metros por
minuto. Sendo assim, para que um documento com 25 folhas seja fragmentado, levando em consideração que cada folha desse documento tem
comprimento de 30 cm, o tempo mínimo para realizar a completa fragmentação desse documento é de:
a) 1 min 40 s.
b)
2 min 20 s.
c)
2 min 30 s.
d)
3 min 50 s.
e)
3 min 40 s.
9.
C4:H16 (Unicamp-2015) A tabela abaixo informa alguns valores
nutricionais para a mesma quantidade de dois alimentos, A e
B.
Relação entre a massa de um felino
e a área de sua superfície corporal
Alimento
A
B
Área (m )
Quantidade
20 g
20 g
1,0
0,100
Valor energético
60 kcal
80 kcal
2,0
0,159
Sódio
10 mg
20 mg
3,0
0,208
Proteína
6g
1g
4,0
0,252
5,0
0,292
288
Massa (kg)
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 288
2
Considere duas porções isocalóricas (de mesmo valor energético) dos alimentos A e B. A razão entre a quantidade de proteína em A e a quantidade
de proteína em B é igual a
a) 4
c) 8
b)
6
d)
10
21/09/2020 18:45:22
EXT21_1_MAT_B_01
43 800
c)
C4:H16 (Unifor-2014) Uma torneira T1 enche um tanque de
volume V em 6 horas. A torneira T2 enche o mesmo tanque
em 8 horas, e a torneira T3 esvazia esse mesmo tanque em
4 horas. Se o tanque está vazio e todas as torneiras foram
abertas ao mesmo tempo, o percentual do volume do tanque
em 6 horas é de:
a) 25%
EXT21_1_MAT_B_01
b)
6.
Médio
Fácil
1.
Enem e vestibulares
c)
18,3 km
386
d)
503
C3:H12 (UDESC-2019) João precisará percorrer um trajeto de
200 km. O limite de velocidade em um trecho de 55 km é de
110 km/h; para 85 km do percurso o limite é de 100 km/h, e
no restante do trajeto o limite é de 80 km/h. Se João andar
exatamente no limite em cada trecho e não fizer nenhuma
parada, o tempo que ele levará para percorrer todo o trajeto é de :
a) 2 horas e 20 minutos.
400 kg.
C3:H11 (IFCE-2019) Foi confeccionada a maquete de um centro
de esportes aquáticos na escala 1:400. Para simular água na
piscina K, o modelo foi preenchido com 10 mililitros de um
gel transparente. A capacidade real da piscina K em litros é de
a)
400 000
d)
1 200 000
b)
640 000
e)
40 000
c)
16 000
C4:H16 (IFPE-2017) Karla, Luisa e Raquel são as funcionárias
que mais venderam no último ano na empresa em que trabalham. Ao final do ano, a chefia liberou um bônus de R$6.000,00
para ser divido entre as três de modo diretamente proporcional
ao total de vendas de cada uma e inversamente proporcional
à quantidade de faltas que cada uma teve, conforme a tabela abaixo.
Funcionária
Karla
Luisa
Raquel
Vendas (em reais)
220 000
210 000
180 000
Faltas (em dias)
2
3
3
Com base nas informações, assinale a alternativa CORRETA.
a) Raquel receberá 250 reais a menos que Karla.
c)
4 horas e 30 minutos.
b)
Luisa receberá 500 reais a mais que Raquel.
d)
4 horas e 50 minutos.
c)
Karla receberá 1 000 reais a mais que Luisa.
e)
2 horas e 6 minutos.
d)
Raquel receberá 1 000 reais a menos que Luisa.
e)
Karla receberá mais que Luisa e Raquel juntas.
C4:H16 (Enem-PLL-2019) Para a compra de um repelente
eletrônico, uma pessoa fez uma pesquisa nos mercados de
seu bairro. Cada tipo de repelente pesquisado traz escrito no
rótulo da embalagem as informações quanto à duração, em
dias, associada à quantidade de horas de utilização por dia.
Essas informações e o preço por unidade foram representados no
quadro.
18.
Tipo
Duração
em dias
Horas por dia de
utilização
Preço em
real
I
30
12
12,00
C4:H16 (FGV-2017) As torneiras A, B e C que operam com vazão
constante podem, cada uma, encher um reservatório vazio
em 60 horas, 48 horas e 80 horas, respectivamente. Para encher
esse mesmo reservatório vazio, inicialmente abre-se a torneira
A por quatro horas e, em seguida, fecha-se a torneira A e
abre-se a torneira B por quatro horas. Por fim, fecha-se a torneira B e abre-se
a torneira C até que o reservatório se encha por completo.
De acordo com o processo descrito, o tempo necessário e suficiente para
encher o reservatório por completo e sem transbordamento é de
d) 64 horas.
a) 84 horas.
II
32
9
9,00
b)
76 horas.
c)
72 horas.
40
10
10,00
44
8
11,00
V
48
8
12,00
19.
b)
II.
c)
III.
e)
V.
C4:H16 (Cesgranrio-2020) Produtores buscam alternativas aos
caminhões.
[...] O Mato Grosso produz 60 milhões de toneladas de
soja e milho e depende, basicamente, do modal rodoviário.
[...] Enquanto o mundo paga U$ 30,00 para transportar uma
tonelada por mil quilômetros, nós pagamos de U$ 80,00 a U$ 100 – observou Fernando Cadore, vice-presidente da Aprosoja – MT.
Um produtor contratou, pelo preço mínimo cobrado no Mato Grosso, um
frete para o transporte de 15 toneladas de soja por 2,5 mil km. No momento
do contrato, um dólar estava cotado a R$ 3,80. Considerando-se os dados
apresentados, qual foi o custo, em reais, desse frete?
d) 4,27 mil
a) 14,25 mil
b)
11,40 mil
c)
9,12 mil
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 289
e)
3,00 mil
20.
e)
60 horas.
C3:H12 (Enem-2018) Os tipos de prata normalmente são 975,
950 e 925. Essa classificação é feita de acordo com a sua pureza.
Por exemplo, a prata 975 é a substância constituída de 975
partes de prata pura e 25 partes de cobre em 1 000 partes da
substância. Já a prata 950 é constituída de 950 partes de prata
pura e 50 de cobre em 1 000; e a prata 925 é constituída de 925 partes de
prata pura e 75 partes de cobre em 1 000. Um ourives possui 10 gramas de
prata 925 e deseja obter 40 gramas de prata 950 para produção de uma
joia. Nessas condições, quantos gramas de prata e de cobre, respectivamente, devem ser fundidos com os 10 gramas de prata 925?
a) 29,25 e 0,75
b)
28,75 e 1,25
c)
28,50 e 1,50
d)
27,75 e 2,25
e)
25,00 e 5,00
C4:H16 (UFPR-2019) Suponha que a carga suportada por uma
viga seja diretamente proporcional à sua largura e ao quadrado
de sua espessura e inversamente proporcional ao seu comprimento. Sabendo que uma viga de 2 m de comprimento, 15 cm
de largura e 10 cm de espessura suporta uma carga de 2 400 kg,
qual é a carga suportada por uma viga de 20 cm de largura, 12 cm de espessura e 2,4 m de comprimento?
a) 2 880 kg
b)
3 200 kg
c)
3 456 kg
d)
3 840 kg
e)
4 608 kg
289
III
IV
Difícil
Médio
EXT21_1_MAT_B_01
d)
2 horas e 10 minutos.
Disponível em: https://www.portosenavios.com.br/hoticias/geral/
produtores-buscam-alternativa-aos-caminhoes. Acesso em: 18 jan. 2019.
EXT21_1_MAT_B_01
250 kg.
b)
A pessoa comprará aquele que apresentar o menor custo diário, quando
ligado durante 8 horas por dia. Nessas condições, o repelente eletrônico
que essa pessoa comprará é do tipo
a) I.
d) IV.
14.
b)
Médio
17.
Médio
Médio
Médio
13.
a)
16.
C4:H16 (UERJ-2019) Casos de febre amarela desde o início de
2017:
●●
Confirmados: 779
●●
Suspeitos: 435
●● Mortes entre os casos confirmados: 262
Suponha que todos os casos suspeitos tenham sido comprovados, e que
a razão entre o número de mortes e o de casos confirmados permaneça
a mesma. Nesse caso, com as novas comprovações da doença, o número
total de mortos por febre amarela estaria mais próximo de
a) 365
c) 408
b)
12.
0,183 km
Difícil
Médio
11.
e)
C3:H12 (CP2-2020) Um feirante compra laranjas pagando
R$7,50 para cada 2 kg e as revende ao preço de R$30,00 para
cada 6 kg. Para obter um lucro de R$500,00 com essas laranjas,
esse comerciante deve comprar e revender
120 kg.
c) 340 kg.
MATEMÁTICA • FRENTE B
183 km
15.
Médio
b)
Médio
a)
C3:H11 (UP-2019) Em um mapa de escala 1:100 000, a rodovia
que une duas cidades possui um traçado de 18,3 centímetros.
Qual é a distância real a ser percorrida para que se vá de uma
cidade a outra?
1 830 km
d) 1,83 km
Médio
10.
21/09/2020 18:45:28
C4:H16 (FBD-2017) Calcular a margem de lucro é uma forma
de medir a eficiência de uma empresa durante o processo de
produção, após pagar os custos diretos e direitos relativos a
essa produção. A margem percentual de lucro pode ser calculada, tanto sobre a despesa quanto sobre a receita, pelas ex100lucro 100lucro
pressões
e
, respectivamente.
despesa
receita
24.
MATEMÁTICA • FRENTE B
25.
Difícil
lucro percentual
50
40
30
20
10
0
1
2
3
4
5
Difícil
23.
e)
130
c)
245
e)
24 m
c)
18 m
e)
0
C4:H16 (UEL-2019) Leia o texto a seguir.
No Brasil, o sistema de voto proporcional funciona assim:
aplicam-se os chamados quocientes eleitoral e partidário. O
quociente eleitoral é definido pela soma do número de votos
válidos (V) – que são os votos de legenda e os votos nominais,
excluindo-se os brancos e os nulos – dividida pelo número de cadeiras
em disputa (C).
A partir daí, calcula-se o quociente partidário, que é o resultado do
número de votos válidos obtidos pelo partido isolado ou pela coligação,
dividido pelo quociente eleitoral. O quociente partidário é um número
fundamental, pois ele indica quantas cadeiras poderão ser ocupadas pelos
candidatos aptos do respectivo partido ou coligação.
b)
2e3
c)
2e4
26.
315
C3:H11 (FGV-RJ-2015) Na feira de ciências deste ano, Pedro
desenhou, no pátio da escola, uma miniatura em escala do
sistema solar. Ele sabia que a distância da Terra ao Sol é de 150
milhões de quilômetros e que a distância de Netuno (o planeta
mais afastado) ao Sol é de 4,5 bilhões de quilômetros. Se, no
seu modelo, Pedro desenhou a Terra a 60 cm do Sol, a distância de Netuno
ao Sol era de
a) 20 m
d) 15 m
b)
e)
Considere que a eleição para vereador em Amado Florêncio funciona como
descrito anteriormente. Suponha que existam 12 cadeiras em disputa e que
nesta eleição para vereador a soma do número dos votos válidos seja de
3 996. A coligação “Por uma Nova Amado Florêncio” obteve 333 votos válidos. Já a coligação “Amado Florêncio Renovada” obteve 666 votos válidos.
Assinale a alternativa que apresenta, correta e respectivamente, o quociente partidário dessas coligações: “Por uma Nova Florêncio” e “Amado
Florêncio Renovada”.
a) 1 e 2
d) 3 e 6
4:5
C4:H16 (IFPR-2017) Ao finalizar a inscrição do processo seletivo
dos cursos subsequentes do IFRR em 2016.2, a coordenação
do processo explica que a razão entre o número total de inscritos no curso de Licenciatura em Matemática e o número de
candidatos que não fizeram a prova, nessa ordem, é de 9 para
7. A coordenação ainda informou que 70 candidatos fizeram a prova. Com
base nessas informações, pode-se afirmar, corretamente, que o número
total de inscritos do curso de Licenciatura em Matemática no processo é:
d) 270
a) 90
b)
64
a)
80.
b)
78.
d)
27.
12 m
e)
4e8
C4:H16 (UECE-2017) Um fazendeiro tem reserva suficiente para
alimentar suas 16 vacas durante 62 dias. Após 14 dias, o fazendeiro vendeu 4 vacas e continuou a alimentar as restantes
seguindo o mesmo padrão inicial. Quantos dias, no total, durou
sua reserva de ração?
c) 82.
Difícil
2:3
24
c)
76.
C4:H16 (ESPM-2018) Juntas, as torneiras A e B enchem um
tanque em 24 min. Se apenas a torneira A estiver aberta, o
tempo de enchimento é de 1 h. Podemos concluir que, se
apenas a torneira B estiver aberta, esse tanque ficaria cheio em:
Difícil
Difícil
22.
1:2
32
b)
Adaptado da Revista Eletrônica da Escola Jurídica Eleitoral. Número 5. Ano 3.
No gráfico estão representadas as margens percentuais do lucro anual
sobre as despesas, obtidas por uma determinada empresa em um período
de seis anos. Sabendo-se que as despesas nos anos 3 e 6 foram iguais, é
correto afirmar que a razão entre as receitas obtidas nos anos 3 e 6 é igual a:
a) 1:1
d) 3:4
c)
a)
6
anos
b)
C4:H16 (Faceres-2018) A emergência de um hospital consegue
atender 90 pacientes utilizando 8 leitos em 24 horas. Se o
hospital desejar, através de uma reforma, ter capacidade para
atender 540 pacientes a cada 36 horas, quantos leitos extras
devem ser construídos para satisfazer a nova demanda?
d) 16
Difícil
Difícil
21.
a)
30 min.
b)
40 min.
c)
20 min.
d)
36 min.
e)
42 min.
GABARITOE ONLINE
GABARITO
SOLUCIONÁRIO ONLINE
Façaoodownload
downloaddodo
aplicativo
Questões
ou qualquer aplicativo
1. Faça
aplicativo
SAE SAE
Questões
ou qualquer
de leituradeQRleitura
Code.
aplicativo
QR Code.
Abraooaplicativo
aplicativo
e aponte
o QRQRCode
2. Abra
e aponte
parapara
um dos
Codesaoaolado.
lado
acessardeste
o gabarito
ou o será
solucionário
módulo.
3. para
O gabarito
módulo
exibidodeste
em sua
tela.
1
A
B
C
D
E
8
A
B
C
D
E
15
A
B
C
D
E
22
A
B
C
D
E
2
A
B
C
D
E
9
A
B
C
D
E
16
A
B
C
D
E
23
A
B
C
D
E
3
A
B
C
D
E
10
A
B
C
D
E
17
A
B
C
D
E
24
A
B
C
D
E
4
A
B
C
D
E
11
A
B
C
D
E
18
A
B
C
D
E
25
A
B
C
D
E
5
A
B
C
D
E
12
A
B
C
D
E
19
A
B
C
D
E
26
A
B
C
D
E
6
A
B
C
D
E
13
A
B
C
D
E
20
A
B
C
D
E
27
A
B
C
D
E
7
A
B
C
D
E
14
A
B
C
D
E
21
A
B
C
D
E
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 290
EXT21_1_MAT_B_01
290
Cartão-resposta
21/09/2020 18:45:34
O símbolo % derivou da abreviação p100, de “por
cento”, pois o 100, assim como hoje, era base para
cálculos monetários. Dito isso, uma porcentagem é
uma comparação de uma certa grandeza em relação
a um cento do mesmo elemento.
Por definição a porcentagem é a razão
a
em que b = 100
b
Também pode ser entendida como equivalente
a outra fração com denominador 100, por exemplo,
c
para algum c.
100
9
Exemplo:
Em um grupo de 100 pessoas, 51 delas se identificam com
o sexo feminino. Quantas delas não se identificam?
Solução:
As outras 49 pessoas do grupo vão representar 49% dele.
A porcentagem pode ser usada inclusive em
comparações de valores maiores do que 100. Aliás,
é muito conveniente, pois permite expressar informações envolvendo grandes números sem utilizar
muitos dígitos ou a notação científica. Por esse motivo, as manchetes estão repletas do símbolo %, e
nesse caso devemos transformar a fração em uma
equivalente cujo denominador seja 100.
9
Exemplo:
Em um milhão de mudas de plantas, 400 000 foram
resistentes a um fungo. Qual é o percentual de plantas
resistentes?
9
Escola Digital
Exemplo:
No rótulo de alimentos industrializados é obrigatória a
apresentação das informações nutricionais e o percentual
do valor diário (%VD) de uma porção. Este percentual indica
a proporção entre uma porção do alimento rotulado e o
consumo diário recomendado (2 000 kcal). Observe algumas
informações nutricionais de um chocolate:
Informação nutricional
(Porção de 16 g; 1 unidade):
(%VD)
Valor energético
87 kcal = 365 kJ
(4%)
Carboidratos
8,3 g
(3%)
Gorduras saturadas
3,1 g
(14%)
Frente B
mód. 02/26
02
Nº de aulas
02
Qual é a porcentagem de gordura saturada que uma pessoa, cuja necessidade diária é 1 600 kcal, ingere quando
come uma porção desse chocolate?
Solução:
Percebemos que nesse caso a porcentagem representa mais do que 14%. Vejamos: denotando por P essa
porcentagem, note que 14% de 2 000 calorias é igual a
14
2 000 0 ,14 2 000 280 . Considerando 1 600 kcal
100
igual a 100% do valor de P, pode-se obter pela regra de três:
28 000
P
100
P P 17 , 5%
280 1600
1600
O cálculo pode ser feito usando a forma decimal da porcentagem, isto é, em vez de 14% utiliza-se 0,14, e em vez
de 100% utiliza-se 1.
Os conteúdos apresentados até aqui servem de base para realizar as
questões 1 e 2 da seção Sistematização.
Solução:
400 000
40
, então a mesma
=
1 000 000 100
informação pode ser posta da seguinte forma: 40% das
mudas resistiram ao fungo.
Basta fazer a razão entre
MAT
As porcentagens são essenciais nas áreas de estatística e finanças, surgindo em notícias, em temas
associados à saúde e ao bem-estar etc. Quem nunca
se deparou com o símbolo %?
A porcentagem é diretamente proporcional à
quantidade que ela representa em relação ao todo.
Dessa forma, essa característica permite usar a regra de três como ferramenta para resolver problemas que envolvam porcentagem.
Porcentagens e
sistemas de equações
Porcentagem
como razão entre
parte e todo
EXT21_1_MAT_B_02
Monster Ztudio/Shutterstock
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 291
291
21/09/2020 18:45:46
●● Se incide sobre V um aumento de i%, então
VA V i V VA V 1 i
MATEMÁTICA • FRENTE B
●● Se incide sobre V um desconto de i%, então
VA V i V VA V 1 i
99 Exemplo: Um comerciante oferece 15% de desconto no preço de um
produto que custa R$350,00 se o pagamento for feito à vista. Depois de
aplicar o desconto, qual será o preço do produto?
Solução:
15
= 0 ,15 . Assim,
100
VA 350(1 0 ,15 ) 350 0 , 85 297 , 5 VA R$297 , 50
Para determinar o valor VA , tomamos V = 350 =
ei
VA 350(1 0 ,15 ) 350 0 , 85 297 , 5 VA R$297 , 50
99 Exemplo: Um condômino esqueceu de pagar seu boleto do condomínio
na data de vencimento e deverá pagar multa de 6,5% sobre o valor original
de R$470,00. Qual será o valor corrigido a ser pago?
Solução:
6 ,5
Para determinar o valor VA, tomamos V = 470 =
e i = 0 ,065 , logo
100
VA 470 1,065 500 , 55 , ou seja, ele deverá pagar R$500,55.
Outro aumento que pode incidir sobre valores monetários
são os juros. O dinheiro, assim como qualquer outro item de
valor, é um bem que pode ser emprestado ou alugado. Por
consequência, os juros correspondem ao valor que se paga
para utilizar esse bem. Existem muitas formas de cobrar juros.
Vamos examinar algumas delas:
99 Exemplo: Um celular de R$2.000,00 é vendido em certa loja com 20%
de desconto à vista ou em até dez vezes sem juros. Qual é a porcentagem
de juros embutidos no pagamento a prazo?
Solução:
Como a existência de juros não está evidente, o consumidor é levado
a pensar que o pagamento parcelado é uma opção tão boa quanto o
pagamento à vista. Contudo, “sem juros” nesse anúncio significa que o
preço final do pagamento independe do número de parcelas (no máximo
10) e será sempre igual a R$2.000,00. Em contrapartida, se consideramos
que o preço original do celular é o preço à vista (R$2.000,00 – 20%), isto
é, R$1.600,00, então os juros embutidos no pagamento a prazo correspondem a R$400,00, ou seja, 25% do valor original.
O consumidor consciente e informado é capaz de detectar
as armadilhas contidas em anúncios de descontos. Por isso, o
consumidor deve usar os conhecimentos em matemática para
ter menos prejuízo nas compras.
Os aumentos e descontos podem recair sobre o valor original de forma progressiva, não somente de uma vez. Imagine
que o valor original de um bem sofreu um desconto, que sobre
o novo valor pode suceder outro desconto, e depois outro e assim por diante. Formalmente, o valor original V se transformará
no valor atualizado VA depois de sucessivos descontos percentuais i1, i2 , ..., in , pela equação:
292
VA V 1 i1 1 i2 1 in PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 292
Solução:
VA 150 1 0 ,15 1 0 , 25 150 1 0 ,15 0 , 25 0 ,15 0 , 25 150 1 0 , 3625 150 0 ,6375 95 ,625
Note que o valor atualizado de R$95,625 é dado pelo produto entre o valor
original e os dois fatores de desconto (1 − 0,15) e (1 − 0,25). Esse produto
gera o fator (1 − 0,3625), o que indica que o desconto acumulado é de
36,25%. O resultado do produto não se altera se a ordem desses fatores
for invertida. Isso significa que o resultado seria o mesmo se primeiro
fosse aplicado o desconto de 25% e depois o de 15%.
No caso do exemplo, se tivéssemos aumentos sucessivos
de 15% e 25% sobre o preço original, o valor atualizado seria:
VA 150 (1 0,15) (1 0, 25) 150 (1 0, 4375) 215, 625 . Esse valor atualizado é obtido do original por um aumento acumulado
de 43,75%.
Algumas características devem ser ressaltadas:
●● Os fatores 1 i1 , 1 i2 , , 1 in são chamados de fatores de variação.
●● O produto de fatores de variação também é um fator de
variação que chamaremos de fator de variação resultante
ou acumulado.
99 Exemplo: Um item sofreu três aumentos consecutivos de 20% por
conta da alta demanda. Qual é o percentual de aumento em relação
ao preço original?
Solução:
O fator de variação resultante desses aumentos consecutivos é
(1 + 0,2) · (1 + 0,2) · (1 + 0,2) = (1,2)3=1,728. Se o preço original desse item era R$25,00, então o valor atualizado é igual a 25 · 1,728
= 43,2 reais. Observe que o fator resultante pode ser escrito como
1,728 = (1 + 0,728) , o que mostra que os três aumentos consecutivos
equivalem a um único aumento de 72,8% sobre o preço original, em vez
de somente somarmos 20 + 20 + 20 = 60%.
Conforme as variações de mercado, o preço dos produtos
é alterado. Pode subir em momentos de grande demanda e diminuir quando a oferta é grande. Quando há aumentos sucessivos, o fator resultante representa o aumento acumulado; se
houver descontos sucessivos, temos a queda acumulada.
Quando há alternância entre aumento e desconto, o fator
de variação resultante ainda é dado pelo produto entre os resOs conteúdos apresentados até aqui servem
pectivos fatores de variação. de base para realizar as questões 3, 4, 5 e 6 da
Resolução de sistemas
do 1.º grau
seção Sistematização.
Com sistemas de equações pode-se modelar todos os tipos
de situações reais relevantes, em múltiplas áreas e com diferentes níveis de dificuldade. Este assunto está fortemente ligado
ao desenvolvimento e uso de algoritmos e aplicativos, presente
em quase tudo que fazemos atualmente.
A solução de uma equação linear é o conjunto de valores que, quando ocupam o lugar das variáveis, tornam a
igualdade válida.
99 Exemplo: Qual é a solução da equação 3x − 2 = − 5?
Solução:
Note que fazendo x = −1 a igualdade é mantida, isto é
3(−1) − 2 = − 3 − 2 = −5.
21/09/2020 18:45:56
EXT21_1_MAT_B_02
Pagar contas é uma responsabilidade que quase todas as
pessoas têm que assumir. Tanto desconto quanto aumento podem ser calculados com base em uma porcentagem do valor
original. Precisamente, se V é o valor original a ser pago, VA é o
valor a ser pago depois de incidir desconto ou aumento e i é o
percentual de desconto ou aumento na forma decimal, então:
99 Exemplo: Qual é o desconto acumulado de dois descontos sucessivos
de 15% e 25%, respectivamente, sobre o preço de um produto que custa
R$150,00?
EXT21_1_MAT_B_02
Aumentos e descontos
sucessivos
9
Exemplo: Quais as soluções da equação x − y = 12?
Solução:
9
3x 2 y 1 Exemplo: Qual é a solução do sistema linear ?
x 0, 5y 0, 7 y
Uma delas é x = 15 e y = 3, pois 15 − 3 = 12. Substituindo x = −2 e
y = −14 a equação também é satisfeita. Aliás, qualquer par x = p + 12
e y = p, com p sendo um número real, é solução desta equação. Todas
as infinitas soluções desse sistema podem ser representadas no plano
cartesiano por uma reta:
2
–2 0
–2
4
0,5y – x = 0,7
3
3x + 2y = 1
2
9 31 1 35 , 35 y
2
4
6
8 10 12 14 x
–4
–3
–2
0
–1
1
2
3
4
x
–4
–6
–10
–12
9
–14
3 x 2 y 1
Exemplo: Qual é a solução do sistema linear ?
1, 5 x y 7
4
As equações lineares de mais de duas variáveis também
possuem infinitas soluções.
3x + 2y = 1
–4
–3
Sistema Possível e Determinado, ou SPD: quando possuem apenas uma solução;
●
Sistema Possível e Indeterminado, ou SPI: quando possuem infinitas soluções;
●
Sistema Impossível, ou SI: quando não possuem solução.
Exemplo: As equações 3x – 2 = y e 5 – x = 2y caracterizam duas retas
em 2. Quantas soluções em comum estas duas equações possuem?
9
EXT21_1_MAT_B_02
EXT21_1_MAT_B_02
2
3
4
5
4 y
3
3x + 2y = 1
2
–6x – 4y = –2
–5
–4
–3
–2
1
–1 0
–1
1
2 x
A solução de um sistema linear pode ser encontrada algebricamente, como mostra o esquema a seguir.
Resolução algébrica
Substituição
Avaliando cada equação separadamente, podemos obter infinitas solu-
Geometricamente, a solução de um sistema linear de duas
incógnitas é formada pelos pontos de intersecção entre as retas geradas por cada uma das equações que compõem o sistema. Três situações podem acontecer:
x
1
3 x 2 y 1
Exemplo: Qual é a solução do sistema linear ?
6 x 4 y 2
Solução:
ções para ambas, mas elas possuem uma solução em comum quando
9
13
x = e y = . No plano cartesiano, esta solução representa o ponto de
7
7
intersecção entre as duas retas.
–1 0
–1
Deve-se isolar
uma das variáveis em uma
das equações
e substituir na
outra equação.
Adição
Comparação
Deve-se
multiplicar as
equações por
valores adequados para
eliminar uma
das incógnitas
por adição
das duas
equações.
Deve-se
isolar uma
das incógnitas
em ambas as
equações e,
em seguida,
igualar as duas
expressões.
Existe apenas um ponto de intersecção (SPD).
Sugere-se retomar com os alunos as estratégias de como representamos
geometricamente retas no plano cartesiano.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 293
293
9
●
–2
Existem infinitos pontos de intersecção (SPI).
Classificação dos
sistemas de 1.º grau
Os sistemas de 1.º grau são classificados de acordo com a
quantidade de soluções que apresentam. Com isso, podem ser
classificados como:
2
1
Um sistema de equações é qualquer conjunto de equações
vinculadas. A seguir, cada equação possui duas variáveis x e y,
em que a, b, c, d, e e f são números reais fixos:
O objetivo é encontrar os valores de x e y que tornam as
igualdades verdadeiras de forma simultânea.
–1,5x – y = –7
3
Até agora, tratamos de equações que, separadas, podem
possuir um conjunto de soluções. Quando juntamos várias
equações em um sistema, podemos encontrar soluções comuns a todas elas.
ax + by = e
cx + dy = f
y
MATEMÁTICA • FRENTE B
Não existe ponto de intersecção (SI).
–8
21/09/2020 18:46:08
9
60 y
2 x 3 y 4
.
Exemplo: Resolva o sistema 3 x 2 y 11
Solução:
40
Substituição – Na primeira equação, vamos isolar x:
2x 3y 4 2x 4 3y x 4 3y
2
Em seguida, na segunda equação, substituímos x por
4 3y Então, 3 2 y 11 12 9 y 4 y 22 y 2
2 20
B
4 + 3y
.
2
–6
–2
–2 0 A
–20
–4
2
2
4
4
6
6
f
8 x
8
Substituindo o valor de y na expressão obtida para x: 2x – 3 · 2 = 4 ⇒ x = 5
Comparação – Vamos isolar x na primeira e na segunda equação
igualá-las:
MATEMÁTICA • FRENTE B
x
4 3 y 2 y 11
12 9 y 4 y 22 y 2
2
3
Assim como no método anterior, substituímos o valor de y e encontramos
que x=5.
Adição - Analisando as equações, notamos que podemos multiplicar
a primeira equação por (–2) e a segunda por 3. Depois, somamos as
4 x 6 y 8
equações. 9 x 6 y 33 x = 5, substituindo o valor de x em uma das
5 x 25
equações, obtemos 2 · 5 – 3y = 4 ⇒ 10 – 3y = 4 ⇒ –3y = –6 ⇒ y = 2
Os conteúdos apresentados até aqui servem de base para realizar as questões 7 e 8 da
seção Sistematização.
Resolução de sistemas
do 2.º grau
Uma equação quadrática deve estar na forma ax + bx + c = 0
(a, b e c números reais e a ≠ 0) e possui no máximo duas soluções. Estas soluções são as raízes da equação quadrática, dadas
por x 2
b b2 4ac
.
2a
Um sistema de equações do 2.º grau é aquele formado apenas por pelo menos uma equação de grau 2 e as outras de grau
menor ou igual a 2. Trabalharemos com sistemas de duas equações e duas incógnitas de dois tipos:
I.
Formados por uma equação quadrática e outra linear.
I.
Formados por duas equações quadráticas.
Essas coordenadas podem ser obtidas sem o auxílio dos
gráficos: basta substituir y = x – 2 no lugar do y da equação
y = x 2 + x – 2. Assim, obtemos x 2 x 2 x 2 x 2 0 x 0.
Então, a abcissa do ponto de intersecção é x = 0 e, substituindo
esse valor na parábola ou na reta, obtemos a ordenada y = −2.
Vamos agora avaliar mais a fundo os sistemas do tipo (II).
A representação no plano cartesiano vai contar com duas
parábolas.
9
Exemplo: A altura h de um triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5 divide
a hipotenusa em dois segmentos de tamanho x e 5 − x.
As incógnitas h e x satisfazem o sistema de equações do segundo grau
2
2
x h 9
. Qual é a solução desse sistema?
2
2
( 5 x ) h 16
Primeiro devemos desenvolver a segunda equação, assim,
( 5 x ) 2 h2 16 h2 x 2 10 x 9. Subtraindo a primeira da segunda,
9
segue que x = . Substituindo esse valor em qualquer uma das equações,
5
12
obtemos o valor de h = . Esse sistema possui uma única solução.
5
Ambas as incógnitas do problema 2 têm grau 2. Dessa forma, podemos
classificar o sistema como sendo do tipo (ll).
Quando esboçamos o gráfico das duas equações que compõem o sistema
2
y x 2 x 3
, obtemos a figura a seguir. A intersecção entre as curvas
2
Os conteúdos apresentados até aqui
y 1 x
servem de base para realizar as quesocorre nos pontos A e B.
tões 3, 4, 5 e 6 da seção Sistematização.
2 y
Em ambos os casos, pode ser que não haja intersecção entre as duas curvas. Também pode acontecer apenas um ponto
de intersecção e no máximo 2.
Na figura a seguir, temos a representação de um sistema do
tipo (I) das equações f(x) = –2(x + 4) e g(x) = x 2 + x – 2, que não
possui solução independentemente do contexto.
2
1
A
–2
–1
0
x
1
2
3
–1
y
–2
–4
–2
0
2
x
–2
–4
–3
B
–4
Para obter as coordenadas de A e B, igualamos as duas equações, assim
( 1) ( 1) 2 4 1 ( 2 ) 1 9
,
2 1
2
isto é, x = 2 e x = –1. Substituindo esses valores de x nas equações, encontramos B = (2, –3) e A = (–1, 0).
294
A figura a seguir é a representação gráfica do sistema linear
2
y x x 2
.
y x 2
Nela podemos ver que há apenas um ponto de intersecção,
o ponto A = (0, –2). As coordenadas do ponto A são as soluções
x e y do sistema.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 294
Quando o gráfico de duas equações são duas parábolas e
não há pontos de intersecção entre elas, temos um caso do tipo
(II), mas sem solução.
EXT21_1_MAT_B_02
1–x2=x2–2x–3 ⇒ x2–x–2=0 . Então x 21/09/2020 18:46:33
FIXAR
Porcentagem
fração de
denominador
igual a 100.
Sistemas de
equações
VA V 1 i desconto
um ponto de intersecção
com equações
do 1.º grau
com equações
do 2.º grau
VA V 1 i aumento
uma única solução
Solução gráfica
nenhum ponto
de intersecção
ax by k 1
cx dy k
2
a solução é dada pelos pontos
de intersecção dos gráficos
infinitos pontos
de intersecção
sem solução
MATEMÁTICA • FRENTE B
c
100
infinitas soluções
Interação
Ranking parcial de emissores de CO2
1. China
10 065
2. EUA
5 416
3. Índia
2 654
...
...
14. Brasil
457
Total Mundial
36 574
Fonte: Global Carbon Atlas (http://www.globalcarbonatlas.org/en/CO2-emissions)
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 295
1. Calcule a contribuição percentual de cada um dos países presentes no
Ranking de 2018.
2. A tabela a seguir descreve o valor da temperatura global média anual em
diversas décadas:
Temperatura Global Média Anual
(valor médio em cada década)
Década
Graus Celsius
1880
13,73
1970
14,00
1990
14,31
2000
14,51
Fonte: https://www.currentresults.com/EnvironmentFacts/changes-in-earth-temperature.php
a)
Calcule a taxa de crescimento da temperatura entre as décadas de
1990 e 2000.
b)
Denote por “x” a taxa encontrada no item (a). Supondo que essa taxa
de crescimento se mantenha constante nas próximas décadas, calcule
a temperatura global média na década de 2090. Note que, neste caso,
a temperatura na década t será dada pela fórmula Tt+1 = (1+x)Tt.
c)
Calcule a diferença entre a resposta encontrada no item (b) e a temperatura global média na década de 1880. O valor resultante é inferior
a 2,0 graus Celsius, isto é, a meta do Acordo de Paris será atingida?
295
EXT21_1_MAT_B_02
EXT21_1_MAT_B_02
A Revolução Industrial, iniciada em meados do século XVIII,
foi marcada pela introdução das máquinas a vapor, que tinham como base a queima de carvão mineral. Desde então,
o uso de combustíveis fósseis (como carvão, petróleo e gás
natural) tem crescido de maneira exponencial. Atualmente,
esses combustíveis são as principais fontes de energia no mundo. A queima
de combustíveis fósseis gera vários gases, entre eles o dióxido de carbono
(CO2). Na atmosfera, o CO2 soma-se a outros gases capazes de absorver
parte do calor irradiado pela superfície e refleti-lo de volta, amplificando,
assim, o efeito estufa. Com o aumento de CO2 na atmosfera, espera-se um
aumento da temperatura da superfície terrestre, o qual, de fato, vem sendo
observado.
Segundo o Painel Intergovernamental sobre Mudanças Climáticas
(IPPC, na sigla em inglês), se o aquecimento global ultrapassar 1,5 grau
Celsius, acima de níveis pré-industriais, veremos a extinção de espécies,
ondas de calor mais frequentes, um aumento do nível do mar, uma queda
na produção de alimentos, entre outros eventos extremos.
A tonelada métrica de dióxido de carbono equivalente (MtCO2) é a
medida padrão utilizada para quantificar as emissões de CO2. A tabela
abaixo contém um ranking parcial de países quanto às emissões de dióxido
de carbono (em MtCO2) no ano de 2018.
21/09/2020 18:46:45
Sistematização
12% de x.
b)
115% de x.
c)
A qual percentual corresponde 117?
d)
A qual percentual corresponde 300?
Resolva o sistema de equações a seguir e classifique-o:
13.
Uma pessoa gastou 35% do que tinha e ainda ficou com
R$935,00.
Quanto, aproximadamente, essa pessoa gastou?
3.
Obtenha o valor resultante VA a partir do valor inicial V sobre
o qual incide aumento ou desconto de i%.
I.
V = R$540,00, aumento de 16%
II.
V = R$23.540,00, desconto de 5,5%
a
2 2b 3
a b 5
3
14.
lapiseiras?
15.
Um celular custava R$1.000,00 e passou a custar R$1.200,00.
a)
Qual foi o percentual de aumento do preço?
b)
Se o celular custava R$2.000,00 e passou a custar R$1.700,00, qual foi
o percentual de desconto?
a)
V = R$845,00; aumentos consecutivos de 5% e 13%.
b)
V = R$1.100,00; descontos consecutivos de 1%, 2% e 3%.
c)
V = R$2.400,00; aumento de 10% seguido de desconto de 25%.
6.
O preço de um item aumentou 21%. Em seguida, teve que
ser reduzido novamente em 21%, passando a custar
R$334,00. Qual era o preço inicial desse produto?
7.
Classifique cada um dos sistemas lineares e determine a solução, quando ela existir:
I.
x y 2
y 2x 3
II.
2x y 5
3x 1, 5y 7, 5
Em um estacionamento há 40 veículos, entre carros e motos.
O total de rodas, não contando com os estepes, é de 130.
a)
Monte um sistema que represente as sentenças acima, utilizando C
para a quantidade de carros e M para a quantidade de motos.
b)
Quantos veículos há de cada tipo?
16.
Depois dos aumentos ou descontos sucessivos indicados,
obtenha o valor resultante VA a partir do valor inicial V:
Encontre o conjunto solução do sistema:
2x y 0
2
x 4 y 15 0
17.
Um quadrado possui área 2x + 2 e lado x – 3. Qual é o valor de
x?
x–3
18.
Quais são os números x e y, ambos reais, cuja diferença e o
produto são 6?
Enem e vestibulares
1.
3x 3y 6
III. x y 4
Marta compra canecas coloridas e depois as revende com
estampas personalizadas. Em um mês ela personalizou, no
total, 50 canecas amarelas e azuis, e depois vendeu cada uma
por R$40,00 e R$45,00, respectivamente. Considerando que
Marta obteve R$2.100,00 com essas vendas, qual foi a quantidade de canecas azuis estampadas?
C4:H15 (ENEM-2017) Chegando ao destino de uma mesma
viagem, os turistas X e Y alugarão, cada um deles, um carro.
Fizeram, previamente, cotações com as mesmas três locadoras
de automóveis da região. Os valores dos aluguéis estão representados pelas expressões dadas no quadro, sendo K o número
de quilômetros percorridos e N o número de diárias pagas pelo aluguel.
Obtenha a solução do sistema
y x
2
y x 7x 5.
Obtenha a solução do sistema
296
2
2
y 1 x
2 2
y x 2y .
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 296
Valor cobrado, em real, pelo
aluguel do carro
Empresa
2
10.
Ao comprar parte do material escolar de seus filhos, Pedro e
Joana gastaram R$60,00 comprando 8 itens, divididos igualmente entre lapiseiras e canetas. Sabendo que uma lapiseira
custava o dobro de uma caneta, quanto gastaram com o
conjunto de canetas e quanto gastaram com o conjunto de
I
100 N + 0,8 K
II
70 N + 1,2 K
III
120 N + 0,6 K
O turista X alugará um carro em uma mesma locadora por três dias e percorrerá 250 km. Já a pessoa Y usará o carro por apenas um dia e percorrerá
120 km. Com o intuito de economizarem com as locações dos carros, e
mediante as informações, os turistas X e Y alugarão os carros, respectivamente, nas empresas
a) I e II.
c) II e II.
e) III e I.
b)
I e III.
d)
II e III.
21/09/2020 18:47:05
EXT21_1_MAT_B_02
5.
Encontre o conjunto solução utilizando o método da
substituição:
EXT21_1_MAT_B_02
4.
9.
12.
ev 7
4 e 11v 28
a)
2.
8.
A diferença entre dois números é 21 e o produto entre eles é
396. Quais são esses números?
Para x = 235, calcule:
Fácil
MATEMÁTICA • FRENTE B
1.
11.
c)
20 garrafas.
3.
23 garrafas.
C4:H15 (EAM-2019) Para vender seus produtos, um comerciante reduziu os preços dos brinquedos em 10%. Depois que
houve uma recuperação nas vendas, decidiu restaurar o valor
antigo. Sendo assim, o novo preço deve ser aumentado aproximadamente em:
Fácil
a)
9%
b)
11%
c)
13%
d)
15%
e)
17%
C4:H15 (ENEM-2019) Segundo o Instituto Brasileiro de
Geografia e Estatística (IBGE), o rendimento médio mensal dos
trabalhadores brasileiros, no ano 2000, era de R$1 250,00. Já
o Censo 2010 mostrou que, em 2010, esse valor teve um aumento de 7,2% em relação a 2000. Esse mesmo instituto
projeta que, em 2020, o rendimento médio mensal dos trabalhadores
brasileiros poderá ser 10% maior do que foi em 2010.
6%
C4:H15 (Fuvest-2020) Se, em 15 anos, o salário mínimo teve
um aumento nominal de 300% e a inflação foi de 100%, é
correto afirmar que o aumento real do salário mínimo, nesse
período, foi de
a)
50%.
b)
100%.
c)
150%.
d)
200%.
e)
250%
10.
C1:H3 (Unioeste-2017) Sobre o sistema de equações lineares
3x 5y 7
, é correto afirmar que
3x y 7
a)
Possui uma única solução, qualquer que seja b.
b)
Possui infinitas soluções, qualquer que seja b.
c)
Possui ao menos uma solução, qualquer que seja b.
d)
Só tem solução se b = 5.
e)
É impossível se 5.
11.
Médio
C4:H15 (FAMEMA-2019) Em um grupo de 150 estudantes, 25%
das mulheres e 50% dos homens falam espanhol. Sabendo
que 34% dos estudantes desse grupo falam espanhol, o número de mulheres desse grupo que falam espanhol é
R$ 1 349,00
c)
R$ 1 375,00
a)
38.
d)
R$ 1 465,00
b)
51.
e)
R$ 1 474,00
c)
45.
d)
24.
e)
54.
Fácil
C4:H15 (UERJ-2019)
11,8
milhões
12.
80%
b)
25%
84%
c)
40%
d)
60%
e)
80%
7,1
milhões
7
milhões
2013
Médio
76%
c)
média anual
b)
C4:H17 (ENEM-2019) Uma pessoa, que perdeu um objeto
pessoal quando visitou uma cidade, pretende divulgar nos
meios de comunicação informações a respeito da perda desse
objeto e de seu contato para eventual devolução. No entanto,
ela lembra que, de acordo com o Art. 1 234 do Código Civil,
poderá ter que pagar pelas despesas do transporte desse objeto até sua
cidade e poderá ter que recompensar a pessoa que lhe restituir o objeto
em, pelo menos, 5% do valor do objeto. Ela sabe que o custo com transporte
será de um quinto do valor atual do objeto e, como ela tem muito interesse
em reavê-lo, pretende ofertar o maior percentual possível de recompensa,
desde que o gasto total com as despesas não ultrapasse o valor atual do
objeto. Nessas condições, o percentual sobre o valor do objeto, dado como
recompensa, que ela deverá ofertar é igual a
a) 20%
2012
8,6
milhões
6,7
milhões
2014
2015
2016 ano
Fonte: IBGE
A partir do gráfico, o aumento da média anual de desempregados de 2014
para 2016 está mais próximo do seguinte percentual:
a) 68%
Médio
6.
a)
46%
b)
54%
c)
56%
Médio
7.
a)
a∈
b)
a=2
c)
a=1
C4:H17 (FMC-2019) Admita que 150 pessoas precisem de um
transplante e que exatamente 69 delas ainda não conseguiram
um doador. O percentual das pessoas que já conseguiram um
doador é de
d) 69%
e)
81%
C1:H3 (UFRGS-2020) Para que o sistema de equações lineares
x y 7
seja possível e determinado, é necessário e sufi
ax 2y 9
ciente que
d) a ≠ 1
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 297
e)
13.
Médio
d)
EXT21_1_MAT_B_02
10,5%
d)
b)
5.
EXT21_1_MAT_B_02
12,5%
c)
9.
IBGE. Censo 2010. Disponível em: www.ibge gov.
br. Acesso em: 13 ago. 2012 (adaptado).
Supondo que as projeções do IBGE se realizem, o rendimento médio mensal
dos brasileiros em 2020 será de
a) R$ 1 340,00
36%
b)
C4:H17 (USS-2020) A caixa d’água de uma descarga acoplada
a um vaso sanitário contém dois dispositivos A e B que, acionados, liberam no vaso, respectivamente, 10 ou 5 litros de
água. Durante uma semana, eles foram acionados individualmente, num total de 240 vezes, gastando 2 100 litros de água.
A quantidade de vezes que o dispositivo B foi acionado é:
a) 60
b)
80
c)
120
d)
180
a≠2
297
Fácil
4.
e)
a)
MATEMÁTICA • FRENTE B
18 garrafas.
C4:H15 (USS-2020) Em uma promoção relâmpago, um produto
tem um desconto de 20% sobre o preço de tabela. Para quem
tem o aplicativo dessa loja no celular, o desconto é de 30%
sobre o preço tabelado. O desconto do aplicativo em relação
ao preço da promoção relâmpago é:
Médio
b)
8.
Médio
C4:H15 (UFPR-2018) O preço de uma garrafa de água em um
determinado supermercado é R$1,60. Além disso, a cada
conjunto de 5 garrafas compradas, o cliente ganha uma extra,
ou seja, leva 6 garrafas pelo preço de 5. De acordo com essas
informações, qual é o maior número de garrafas que um cliente
pode levar gastando no máximo R$30,00?
a) 15 garrafas.
d) 21 garrafas.
Médio
Fácil
2.
21/09/2020 18:47:17
R$1 000,00
d)
R$1 125,00
e)
R$1 036,80
15.
58
C1:H4 (UERJ-2017) Um comerciante, para aumentar as vendas
de seu estabelecimento, fez a seguinte promoção para determinado produto:
COMPRE 4 UNIDADES E LEVE 5
Essa promoção representa um desconto de x% na venda de 5 unidades.
O valor de x é igual a:
a) 10
Loja 1: 20% de desconto, que equivale a R$720,00 mais R$70,00 de
frete;
●●
Loja 2: 20% de desconto, que equivale a R$740,00 mais R$50,00 de
frete;
b)
15
Loja 3: 20% de desconto, que equivale a R$760,00 mais R$80,00 de
frete;
c)
20
d)
25
20.
C1:H4 (FGV-2016) Uma loja reajustou em 20% o preço de certo
modelo de televisão. Todavia, diante da queda nas vendas, a
loja pretende dar um desconto sobre o preço reajustado, de
modo a voltar ao preço inicial. Expresso em porcentagem, esse
desconto é igual a
Médio
Loja 4: 15% de desconto, que equivale a R$710,00 mais R$10,00 de
frete;
●● Loja 5: 15% de desconto, que equivale a R$690,00 sem custo de frete.
O produto foi comprado na loja que apresentou o menor preço total.
O produto foi adquirido na loja
a) 1.
a)
17,33%
b)
20%
b)
2.
c)
19,33%
c)
3.
d)
18%
d)
4.
e)
16,67%
e)
5.
21.
Médio
C1:H4 (Enem-2019) Para construir uma piscina, cuja área total
da superfície interna é igual a 40 m2, uma construtora apresentou o seguinte orçamento:
I.
R$10.000,00 pela elaboração do projeto;
II.
R$40.000,00 pelos custos fixos;
Médio
16.
25,0%
c)
50,0%
d)
87,5%
e)
100,00%
C1:H4 (FGV-2018) Rita compra bijuterias para revender. Em
julho, ela comprou 3 pulseiras iguais e 10 colares iguais, pagando, no total,R$ 87,00. Em agosto, ela comprou 10 das
mesmas pulseiras, com desconto de 10%, e 25 dos mesmos
colares, com acréscimo de 10%, gastando, nessa compra,
R$243,00. Em julho, o preço de cada colar superava o preço de cada pulseira
em
a) 30%
d) 40%
b)
32%
c)
36%
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 298
e)
44%
Desconto (%)
até 1 900,00
Isento
de 1 900,01 até 2 800,00
7,5
de 2 800,01 até 3 750,00
15,0
de 3 750,01 até 4 665,00
22,5
acima de 4 665,00
27,5
Segundo a tabela, um ganho mensal de R$2.100,00 corresponde a R$15,00
de imposto. Admita um contribuinte cujo ganho total, em determinado
mês, tenha sido de R$3.000,00. Para efeito do cálculo progressivo do imposto, deve-se considerar esse valor formado por três parcelas: R$1.900,00,
R$900,00 e R$200,00. O imposto de renda, em reais, que deve ser pago
nesse mês sobre o ganho total é aproximadamente igual a:
a) 55
22.
Difícil
b)
C1:H4 (UERJ-2016) No Brasil, o imposto de renda deve ser pago
de acordo com o ganho mensal dos contribuintes, com base
em uma tabela de descontos percentuais. Esses descontos
incidem, progressivamente, sobre cada parcela do valor total
do ganho, denominadas base de cálculo, de acordo com a
tabela a seguir.
Base de cálculo aproximada (R$)
III. R$2.500,00 por metro quadrado para construção da área interna da
piscina.
Após a apresentação do orçamento, essa empresa decidiu reduzir o valor de
elaboração do projeto em 50%, mas recalculou o valor do metro quadrado
para a construção da área interna da piscina, concluindo haver a necessidade de aumentá-lo em 25%. Além disso, a construtora pretende dar um
desconto nos custos fixos, de maneira que o novo valor do orçamento seja
reduzido em 10% em relação ao total inicial.
O percentual de desconto que a construtora deverá conceder nos custos
fixos é de
a) 23,3%
Médio
40
e)
●●
●●
298
29
d)
19.
C1:H4 (Enem-PPL-2019) Deseja-se comprar determinado
produto e, após uma pesquisa de preços, o produto foi encontrado em 5 lojas diferentes, a preços variados.
●●
17.
24
c)
b)
98
c)
128
d)
180
C4:H17 (UFJF-PISM-2019) Em um edifício de 20 andares, há
alguns andares com somente dois apartamentos, e os demais
andares possuem três apartamentos cada. No total são 54
apartamentos.
21/09/2020 18:47:20
EXT21_1_MAT_B_02
c)
b)
EXT21_1_MAT_B_02
R$900,00
C1:H3 (Enem-2018) Uma loja vende automóveis em N parcelas
iguais sem juros. No momento de contratar o financiamento,
caso o cliente queira aumentar o prazo, acrescentando mais
5 parcelas, o valor de cada uma das parcelas diminui R$200,00.
Se ele quiser diminuir o prazo, com 4 parcelas a menos, o valor
de cada uma das parcelas sobe R$232,00. Considere ainda que, nas três
possibilidades de pagamento, o valor do automóvel é o mesmo, todas são
sem juros e não é dado desconto em nenhuma das situações.
Nessas condições, qual é a quantidade N de parcelas a serem pagas de
acordo com a proposta inicial da loja?
a) 20
Médio
b)
18.
Médio
C4:H17 (PUCPR-2019) O gerente da loja “Ponto Quente” comprou um lote de fogões idênticos pagando por cada um deles
o preço unitário que constava no catálogo do fornecedor e os
anunciou por um valor 75,23% acima do preço de custo. Numa
das vendas esse gerente autorizou um desconto de 20% e,
devido ao desconto, o fogão foi vendido por R$1000,00. Ao negociar a
compra de um segundo lote, com o mesmo fornecedor, esse gerente
conseguiu comprar cada fogão por um valor 20% abaixo do custo unitário
quando da aquisição do lote anterior e passou a anunciá-los com um
acréscimo de 75,23% em relação ao novo preço de custo. Então, o cliente
da loja “Ponto Quente” que conseguir um desconto de 10% sobre o novo
valor anunciado pagará, pelo referido fogão, a quantia de
a) R$800,00
Médio
MATEMÁTICA • FRENTE B
Médio
14.
Difícil
Difícil
25.
Difícil
26.
d)
14
e)
27
C4:H16 (UCS-2015) Em um condomínio de um prédio de
apartamentos houve uma despesa extra de R$7.200,00. Cinco
condôminos não se dispuseram a pagar as suas partes desse
extra e, devido a isso, para integralizar o total, os demais foram
obrigados a pagar R$120,00 a mais cada um. Quantos são os
condôminos desse prédio?
a) 15
b)
20
c)
30
d)
60
e)
120
300.
c)
320.
d)
260.
e)
280.
3,7%
c)
4,0%
d)
4,2%
e)
4,5%
6,6 milhões.
d)
3,96 milhões.
e)
16,5 milhões.
27.
C4:H17 (FALBE-2016) Saulo sacou R$75,00 do caixa eletrônico
de um Banco num dia em que este caixa emitia apenas cédulas
de R$5,00 e R$10,00. De quantos modos poderiam ter sido
distribuídas as cédulas que Saulo recebeu?
a)
6
b)
7
c)
8
d)
Mais do que 8.
C4:H15 (CN-2017) Dois aumentos consecutivos de i% e 2i% correspondem a um aumento percentual igual a:
a)
(i+i²)%
i2 b) 3i %
50 c) (2i)²%
2i d) 3i %
100 e) (3i)%
29.
C4:H17 (UEFS-2017) Em uma semana, a cotação do dólar, em
relação ao real, sofreu grande variação: na quarta-feira, o valor
do dólar subiu 10% em relação ao de segunda-feira e, na
sexta-feira, baixou 5% em relação ao de quarta-feira. Nessas
condições, o aumento da cotação do dólar, na sexta-feira, em
relação à segunda-feira, correspondeu a
a) 3,2%
b)
8,6 milhões.
c)
28.
C4:H16 (FAMEMA-2017) Um laboratório comprou uma caixa
de tubos de ensaio e, ao abri-la, constatou que 5% deles
apresentavam defeitos e não poderiam ser utilizados. Dos
tubos sem defeitos, 36 foram utilizados imediatamente, 60%
dos demais foram guardados no estoque e os 92 tubos restantes foram colocados nos armários do laboratório. O número total de
tubos de ensaio da caixa era
a) 240.
b)
b)
Difícil
12
Difícil
24.
10
c)
Difícil
Difícil
23.
b)
A partir dos dados da notícia, é possível concluir que o número de brasileiros
adultos que nunca fizeram exame de colesterol é de, aproximadamente,
a) 2,64 milhões.
C4:H17 (FAMERP-2019) Uma pesquisa realizada pela Sociedade
Brasileira de Cardiologia (SBC) constatou que os níveis elevados de colesterol atingem cerca de quatro em cada dez brasileiros adultos. Isso corresponde a cerca de 60 milhões de
pessoas adultas. O estudo ainda revelou que aproximadamente 11% da população adulta brasileira nunca fez exame de colesterol.
MATEMÁTICA • FRENTE B
Nesse edifício, a quantidade de andares que possuem três apartamentos é:
a) 8
C4:H17 (UEL-2020) Um agricultor tinha uma quantidade M de
mudas de hortaliças para replantar em uma quantidade C de
canteiros. Pensou em plantar 8 mudas de hortaliças em cada
um dos canteiros, mas, dessa forma, sobrariam 32 mudas de
hortaliças sem plantar. Tentou reorganizar o pensamento simulando o plantio de 12 mudas de hortaliças em cada um dos canteiros.
Desse modo, todas as hortaliças seriam plantadas, porém, sobrariam 8
canteiros sem muda alguma plantada. Finalmente, organizou o plantio da
seguinte forma: 10 mudas de hortaliças de cor verde-escuro por canteiro,
ocupando metade da quantidade de canteiros, e 8 mudas de hortaliças de
cor verde-claro por canteiro, ocupando a outra metade da quantidade de
canteiros. Assim, todas as mudas de hortaliças seriam plantadas e nenhum
canteiro ficaria vazio.
A partir das informações desse problema, determine a quantidade de
mudas de hortaliças de cor verde-escuro e de cor verde-claro.
Apresente os cálculos realizados na resolução desta questão.
GABARITOE ONLINE
GABARITO
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de leituradeQRleitura
Code.
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Abraooaplicativo
aplicativo
e aponte
o QRQRCode
2. Abra
e aponte
parapara
um dos
Codesaoaolado.
lado
acessardeste
o gabarito
ou o será
solucionário
módulo.
3. para
O gabarito
módulo
exibidodeste
em sua
tela.
https://noticiais.r7.com,08.08.2018. Adaptado.
1
A
B
C
D
E
9
A
B
C
D
E
17
A
B
C
D
E
24
A
B
C
D
E
2
A
B
C
D
E
10
A
B
C
D
E
18
A
B
C
D
E
25
A
B
C
D
E
3
A
B
C
D
E
11
A
B
C
D
E
19
A
B
C
D
E
26
A
B
C
D
E
4
A
B
C
D
E
12
A
B
C
D
E
20
A
B
C
D
E
27
A
B
C
D
E
5
A
B
C
D
E
13
A
B
C
D
E
21
A
B
C
D
E
28
A
B
C
D
E
6
A
B
C
D
E
14
A
B
C
D
E
22
A
B
C
D
E
29
A
B
C
D
E
7
A
B
C
D
E
15
A
B
C
D
E
23
A
B
C
D
E
8
A
B
C
D
E
16
A
B
C
D
E
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 299
299
EXT21_1_MAT_B_02
EXT21_1_MAT_B_02
Cartão-resposta
21/09/2020 18:47:25
Elementos geométricos
fundamentais
●
Um segmento de reta é uma parte da reta
com ponto final e ponto inicial. Se esses pontos são B e A, denotamos o segmento por AB.
B
O ponto, a reta e o plano são os pilares da geomeA
tria. A compreensão da natureza desses elementos se dá conforme estudamos os resultados
delas, principalmente no espaço, local onde
toda a geometria se desenvolve e tem signiPlanos são elementos geométricos que têm duas
ficado. A percepção de nós mesmos e do
nosso entorno também se dá no espaço, dimensões e são representados por letras gregas.
logo, compreender essa teoria permite
Um plano também pode ser entendido como um
compreender melhor o universo.
conjunto de pontos ou de retas. Uma reta qualquer
contida no plano o divide em dois semiplanos.
Plano
Nº de aulas
03
A
A
B
α
C
α
Reta
E
D’
Uma reta é composta de infinitos
pontos e se estende indefinidamente em duas direções opostas. As retas são representadas por letras
minúsculas.
Geometria euclidiana
MAT
B
Frente B
mód. 03/26
03
A
r
Há dois entes derivados da reta:
●
Uma semirreta é uma parte da reta que tem
ponto final (ou inicial). Assim, um ponto qualquer
sobre uma reta determina duas semirretas.
Axiomas são afirmações aceitas sem demonstração que visam fundamentar uma teoria, no caso
da geometria euclidiana, eles foram criadas com
base nos elementos básicos (ponto, reta e plano).
Após os séculos XIX e XX, matemáticos reformularam os axiomas de Euclides, tornando-os o que conhecemos hoje.
Axioma 1: Entre dois pontos distintos existe
uma única reta.
B
B
A
A
r
É comum denotar uma reta pelos dois pontos
que a determinam.
Por exemplo, na figura é exibida
a reta AB (ou BA ).
Axioma 2: Dado um único ponto, existem infinitas retas que passam por esse ponto.
Já imaginou folhear um livro que foi escrito
há mais de 2 300 anos? Seria algo muito especial e
delicado. Ainda assim, temos acesso a livros que foram escritos há muito tempo, que são reproduções
do livro original. A obra Os Elementos foi escrita por
Euclides, matemático que viveu em Alexandria por
volta do ano 300 a.C. Nessa obra, ele demonstrou
resultados da geometria, da teoria dos números e
da álgebra elementar.
Linha do tempo da Geometria
BABIL Ô N IA
Por volta de 2000 a.C.
300
Axiomas
Os babilônios sabiam que triângulos
retângulos semelhantes possuem lados
correspondentes proporcionais; e que a
altura (não usavam esse termo) de um
triângulo isósceles divide a base em duas
partes iguais.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 300
E G I TO
Papiro de Moscou
Papiro de Rhind
Por volta de 1850 a.C.
Em torno de 1650 a.C.
O Papiro de Moscou continha
problemas matemáticos: área
do triângulo e do retângulo,
área de uma superfície curva,
volume de uma pirâmide
truncada, equações lineares.
O Papiro de Rhind apresenta 84 (ou 85)
problemas matemáticos: frações,
equações simples, progressões, medição
de áreas de triângulos, cálculo de
volumes etc.
21/09/2020 18:48:09
EXT21_1_MAT_B_03
Escola Digital
Ponto
Um ponto não
possui comprimento, largura ou
altura, mas indica
um lugar exato.
Os pontos são representados por
letras maiúsculas.
EXT21_1_MAT_B_03
Romolo Tavani/Shutterstock
Axioma 3: Toda reta possui pelo menos dois pontos distintos.
Retas concorrentes
Dito de outro modo, esse axioma afirma que a reta e o
ponto são coisas diferentes, que a reta não é um conjunto de
apenas um ponto. Esse axioma diz ainda que, em uma reta, há
infinitos pontos.
s
r
Axioma 4: Dada uma reta, existe pelo menos um ponto que
não pertence a ela.
P
Por esse axioma podemos perceber que um plano é mais
do que uma reta.
C
B
Axioma 5: Três pontos não colineares determinam um único plano que os contém.
MATEMÁTICA • FRENTE B
A
No plano, se não existe ponto de interseção algum entre r
e s, então as retas são ditas paralelas. Também classificamos
como paralelas duas retas r e s que coincidem em todos os pontos, neste caso, r e s são coincidentes.
Retas paralelas
D
A
C
s
r
α
Retas coincidentes
Por outro lado, se existe uma reta que passa por três pontos
distintos, dizemos que eles são colineares.
C
A
D
α
O conteúdo acima se refere à questão 1 da seção
Sistematização e às questões 13, 21 e 23 da seção Enem
e vestibulares.
r // s
Posição relativa entre retas
Considere as retas r e s no espaço. Podemos classificar a posição dessas retas por comparação. Quando ambas pertencem
ao mesmo plano α, elas são ditas coplanares. As classificações a
seguir são válidas tanto para retas coplanares quanto para não
coplanares. Para facilitar a visualização, as figuras foram feitas
para retas coplanares.
Se as retas r e s não são concorrentes e nem paralelas, elas
também não serão coplanares, nesse caso dizemos que elas
são reversas.
r
As retas r e s são ditas concorrentes quando possuem apenas um ponto de interseção.
α
s
b
A LE X A N D R I A
Tales de Mileto
Pitágoras
Platão
Euclides
(640 a.C.-564 a.C.)
(por volta de 572 a.C)
(427 a.C.-347 a.C)
(300 a.C.)
Formulou o Teorema
de Pitágoras, ideia que
outros povos já
utilizavam, como é o
caso dos egípcios.
Apresentou uma
descrição dos cinco
poliedros regulares.
Possibilitou a conclusão
de que, em um plano, a
intersecção de retas
paralelas por retas
transversais originam
segmentos proporcionais.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 301
Escreveu Os Elementos,
formalizando a geometria
euclidiana.
301
EXT21_1_MAT_B_03
EXT21_1_MAT_B_03
GR ÉC IA
21/09/2020 18:48:09
Ângulos
●
O conceito de ângulo é utilizado para denotar a região compreendida entre duas semirretas de mesma origem. Considere,
por exemplo, duas semirretas r e s no mesmo plano, ambas de
origem O, que passam respectivamente pelos pontos P e R.
 o ângulo compreendido entre os segmentos
Denotaremos POR
OP e OR.
Axioma 2: Se uma semirreta OD divide o ângulo PÔR,
a medida de θ é igual à soma das medidas de PÔD e DÔR.
R
r
D
α
O
R
θ
β
P
MATEMÁTICA • FRENTE B
O
α
P
s
Medição dos ângulos
Em particular, quando a semirreta OD divide θ em duas partes iguais, ela é chamada de bissetriz de θ.
Dizemos que dois ângulos são:
●
Consecutivos se compartilham o mesmo vértice e apenas
um dos lados. Nesse caso, podem haver pontos internos
em comum.
●
Adjacentes se são consecutivos e não há pontos internos
em comum.
Os ângulos podem ser medidos, e essa medida é dada de
acordo com o axioma a seguir.
●
Axioma 1: Todo ângulo corresponde a um único número
real maior ou igual a zero. Esse número é zero se e somente se os lados do ângulo coincidem.
Na figura, os ângulos α e b também são consecutivos e adjacentes. Já os ângulos α e θ são apenas consecutivos, assim
como b e θ.
Classificação dos ângulos
Alguns ângulos recebem nomes especiais dependendo da
medida que possuem. São eles:
●
Reto: quando a medida é igual a 90°. Neste caso, as semirretas que formam o ângulo são ditas perpendiculares.
●
Agudo: se a medida do ângulo for menor que 90°.
●
Obtuso: se sua medida é maior que 90° e menor que 180°.
●
Raso: quando a medida é igual a 180°.
●
Côncavo: quando a medida é maior que 180° e menor
que 360°.
●
Pleno: se a medida for igual a 360°.
chriswalley07/Shutterstock
A unidade de medida padrão para ângulos é o grau (°). Para
medir um ângulo usando o transferidor, usamos a definição
pela rotação no sentido anti-horário.
Os ângulos também podem
ser medidos em radianos. Essa
unidade de medida está associada ao comprimento do arco de
circunferência que o ângulo produz quando sua origem coincide
com o centro da circunferência. O
ângulo de 360° corresponde a 2π
radianos, então um radiano equivale a aproximadamente 57,3°.
obtuso
raso
côncavo
agudo
O
reto
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 302
complementares: se α + b = 90°. Neste caso, b é o complemento de α e vice-versa.
●
suplementares: se α + b = 180°. Aqui b é o suplemento de
α e vice-versa.
●
replementares: se α + b = 360°. Neste caso, dizemos que
um deles é replemento do outro.
Os conteúdos desta página auxiliam o aluno a resolver as questões 3, 4 e 5 da
seção Sistematização e as questões 12 e 15 da seção Enem e vestibulares.
21/09/2020 18:48:39
EXT21_1_MAT_B_03
302
Em Topografia
e Engenharia, usa-se
o teodolito para medição de ângulos horizontais e verticais.
●
EXT21_1_MAT_B_03
De acordo com a soma de dois ângulos α e b, eles podem ser
classificados como:
Ângulos congruentes e opostos pelo
vértice
Duas figuras planas são congruentes se seus lados e ângulos correspondentes possuem a mesma medida. De acordo
com essa definição:
a θ e b é congruente a γ, pois ambos os pares são alternos internos. A soma resulta no ângulo raso, então, também vale 180 .
B
s
θ
γ
Dois ângulos congruentes são ângulos que possuem
a mesma medida.
φ
r
A
β
Como α = b, r é a bissetriz
do ângulo AÔB.
O
β
α
r
α
A
A
C
 e ABC
 são congruentes,
Na figura a seguir, os ângulos ADE


assim como AED e ACB. Portanto, há uma proporção entre as
| AD| | AB|
medidas dos segmentos, dada por
.
=
| AE| | AC |
A
Um caso particular de congruência entre dois ângulos distintos é quando eles são opostos pelo vértice (OPV).
α
=
E
D
β
MATEMÁTICA • FRENTE B
B
α
C
B
O
β
A generalização deste resultado é o Teorema de Tales.
O conteúdo pode ser encontrado nas questões 8 e 10 da seção
Sistematização e nas questões 8 e 16 da seção Enem e vestibulares.
Retas paralelas cortadas
por uma transversal
Teorema de Tales
Os alunos podem recorrer a esse conteúdo para responder às questões 7 e 8
da seção Sistematização e às questões 11
e 16 da seção Enem e vestibulares.
Se três ou mais retas paralelas são cortadas por duas transversais, os segmentos determinados nas duas transversais são
proporcionais.
Quando duas retas paralelas r e s são intersectadas por uma
transversal t, podemos relacionar os ângulos que se formam.
r
s
A
D a
t
A1
A2
r
A3
B
A4
C
B1
B2
s
B3
B4
●
Os pares de ângulos ditos externos, ou seja, a medida de
A1 é igual a medida de B3, e a medida de B4 é igual a medida de A2.
●
Os pares de ângulos ditos alternos internos, assim, a medida de B2 é igual à de A4, e a medida de B1 é igual à de A3.
F
b
c
Assim, se as transversais r e s cortam as paralelas a, b e c em
| AB| |DE|
A, B, C e D, E, F, respectivamente, então
.
=
|BC | |EF |
9
Exemplo:
Determine o valor de x
10
4
x
3
São suplementares os pares de ângulos:
●
A3 e B2, A4 e B1, chamados de colaterais internos;
●
A2 e B3, A1 e B4, chamados de colaterais externos.
Solução:
10 4
4 x 30 x 7 , 5
x 3
Em um triângulo com base paralela à reta s, podemos verificar algumas congruências de ângulos. O ângulo α é congruente
303
EXT21_1_MAT_B_03
Perceba que, pela definição de congruência, A1 e B1 são congruentes, A 2 e B2 são congruentes e assim sucessivamente. Eles
também podem ser chamados de correspondentes. Além desses, são também congruentes:
EXT21_1_MAT_B_03
E
Este conteúdo será encontrado na seção Interação, na questão 9 da seção Sistematização e
nas questões 5, 6, 7, 10, 14, 17, 18, 19 e 20 da seção Enem e vestibulares.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 303
21/09/2020 18:48:48
FIXAR
Euclides
Retas paralelas
cortadas por uma
transversal
Retas
Posição entre retas
Elementos
fundamentais
t
Retas concorrentes
Retas paralelas
r
MATEMÁTICA • FRENTE B
Ângulos
α
=
A4
A3
r
P
�PV
A1
A2
Axiomas
Teorema
de Tales
Retas coincidentes
B1
B2
B4
B3
Congruentes
r
s
A
D a
B
θ
β
se possuem a
mesma medida
α
O
β
B
C
E
F
b
γ
φ
c
β
α
A
C
Classificação
complementares α + b = 90º
suplementares α + b = 180º
replementares se α + b = 360º
| AB | | DE |
=
| BC | | EF |
obtuso
raso
côncavo
agudo
O
A soma dos
ângulos internos
do triângulo é
igual a 180º
reto
Interação
O método científico é um conjunto de etapas para produzir
conhecimento científico, ou seja, ao fazer um experimento ou
provar uma teoria, seguir tais passos pode auxiliar na prova do
que se deseja. Na Idade Antiga, a crença de que a Terra era plana
foi comum a vários povos, incluindo os gregos. Nos exercícios a
seguir, você terá a chance de avaliar a hipótese da “Terra Plana” à luz do método
científico e das propriedades matemáticas que acabamos de estudar.
2. Vamos agora investigar a seguinte hipótese:
H2: A Terra é plana e os raios de luz solar não incidem paralelamente sobre
a sua superfície.
Nesse caso, as observações de Eratóstenes podem ser representadas pela
Figura 2, na qual o ponto A representa o Sol, | BA | é a distância entre Siene
e o Sol e | CD | é o comprimento da sombra do obelisco em Alexandria.
A
1. Considere duas varetas, com comprimentos iguais, dispostas perpendicular-
α
mente ao solo em cidades diferentes. Vamos investigar a seguinte hipótese:
H1: A Terra é plana e os raios de luz solar incidem paralelamente sobre a
sua superfície.
Esse cenário é representado na Figura 1, onde os segmentos AB e A ’B ’
representam as sombras das varetas.
C'
E
β obelisco
C
D C
Alexandria
B
Siene
Figura 2
Na Figura 2, qual é a relação entre os ângulos α e b? Com base nesse
| CE | | BA | resultado, o que podemos afirmar sobre a diferença ?
| CD | | BD | b) Eratóstenes estimou b = 7,2°. Sabendo que a distância entre Alexandria
e Siene (atualmente Assuã) é de 843 km, e ignorando o comprimento
| CD | da sombra do obelisco, use o item (a) para estimar a distância
| BA | entre Siene e o Sol.
B'
A'
B
A
304
Figura 1
a)
Com base nos seus conhecimentos sobre retas paralelas cortadas por
uma transversal, ângulos e segmentos proporcionais, o que é possível
afirmar sobre os comprimentos das sombras | AB | e | A ’B ’|?
b)
Por volta de 240 a.C., o astrônomo grego Eratóstenes notou que ao
meio-dia do solstício de verão, na cidade de Siene, a luz do Sol incidia
perpendicularmente sobre o solo, sem gerar sombras em obeliscos.
Enquanto isso, na mesma hora do mesmo dia, obeliscos em Alexandria
projetavam sombras. Essas observações de Eratóstenes são consistentes com a previsão que você obteve no item (a)? Diante desse resultado,
o que podemos concluir sobre a hipótese H1?
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 304
c)
Quando estão mais próximos, a distância entre a Terra e o Sol é de
aproximadamente 147,1 milhões de km. Essa observação é consistente
com a previsão que você obteve no item (b)? Diante desse resultado,
o que podemos concluir sobre a hipótese H2?
3. Com base nos resultados obtidos nos exercícios 1 e 2, o que podemos
afirmar sobre a hipótese “Terra plana”?
21/09/2020 18:49:14
EXT21_1_MAT_B_03
a)
8.
Sistematização
Dado que r//s e t//u, calcule x, y e z e classifique x e 2y quanto
às propriedades apresentadas neste módulo.
Observe o cubo a seguir e responda às questões 1 e 2.
L
I
B
u
t
D
(4z + 6)°
A
x°
K
r
2y°
106°
s
H
J
F
9.
E
1.
Encontre e escreva um exemplo de:
a) Pontos colineares e pontos não coplanares.
b)
2.
3.
Três lojas têm frente para a rua A e para rua B, como na figura.
As divisas laterais são perpendiculares à rua A. Considerando
x + y + z = 180 m, calcule a medida de frente para a rua B de
cada loja.
Rua B
x
Se o triângulo LBA é reto em B , calcule, em graus, os demais
ângulos agudos desse triângulo, dado que eles são
congruentes.
A medida de um ângulo é três vezes a medida do seu complemento. Que ângulo é esse?
z
y
Segmento de retas reversas e segmentos de retas
ortogonais.
40 m
30 m
20 m
Rua A
10.
MATEMÁTICA • FRENTE B
G
De acordo com a figura a seguir, encontre a medida, em graus,
dos ângulos indicados por a, b e c.
c
4.
A diferença entre as medidas de dois ângulos suplementares
é igual a 36°. Encontre as medidas desses ângulos.
5.
O dobro do suplemento de um ângulo vale sete vezes o seu
complemento. Calcule a medida desse ângulo.
b
a – 74o
2x + 15o
5x – 9o
a
6.
 . Calcule DAE
 saA semirreta AD é a bissetriz do ângulo CAB


bendo que a soma e a diferença entre os ângulos CAB e EAB
são, respectivamente, 165° e 75°.
C
E
11.
D
Na figura abaixo, o segmento DE é paralelo ao segmento BC.
Determine o valor de x aplicando a proporcionalidade entre
segmentos paralelos cortados por segmentos transversais.
B
2x – 2
α
A
7.
2x + 6
B
α
D
Dado que r//s, calcule x, y e z e classifique x e z quanto às
propriedades apresentadas neste módulo.
E
3
2
C
A
2y°
r
z°
90°
2x°
x°
s
12.
No triângulo a seguir, considere AB = 4 m, HI = 3 m e IB = 3 m.
Sabendo que os segmentos HJ, IK e BC são paralelos e que AC
mede 26 m, determine o comprimento do segmento AJ.
A
H
B
I
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 305
K
C
305
EXT21_1_MAT_B_03
J
21/09/2020 18:49:28
Tal área foi dividida em terrenos ABB’A’, BCC’B’ e CDD’C’, todos na forma
trapezoidal, com bases paralelas às avenidas tais =
que AB 40
=
m, BC 30 m
e CD = 20 m.
De acordo com essas informações, a diferença, em metros, de A ’B ’ − C ’D ’
é igual a
a) 20.
c) 15.
Enem e vestibulares
1.
Fácil
C3:H7 (UTFPR-2015) Calcule o valor de x, em graus, na
figura:
b)
5.
3x – 10o
Fácil
x
x
16°
10°
c)
20°
d)
58°
e)
32°
2.
45.
C3:H7 (UEG-2019) Três ruas paralelas são cortadas por duas
avenidas transversais nos pontos A, B e C da Avenida 1 e nos
pontos D, E e F da Avenida 2, de tal forma que AB = 90 m,
BC = 100 m, DE = x e EF = 80 m.
Nessas condições, o valor de x é
a) 62 m
d) 74 m
b)
60 m
c)
72 m
e)
6.
C3:H7 (EEAR-2018) O complemento do suplemento do ângulo
de 112° mede
Fácil
d)
68 m
C3:H7 (IFSul-Minas-2015) Como mostra a figura abaixo, três
terrenos que estão entre as Ruas A e B foram divididos. As
divisões laterais são perpendiculares à Rua A. Qual a medida
da frente para a Rua B do Lote 1?
75
Fácil
b)
Rua B
a)
18°
c)
12°
b)
28°
d)
22°
3.
C3:H7 (UFMS-2019) A figura a seguir mostra parte do mapa da
cidade de Campo Grande-MS, no qual se leem os nomes de
algumas ruas e avenidas.
Fácil
MATEMÁTICA • FRENTE B
a)
30.
Lote 1
Lote 2
Lote 3
40 m
30 m
20 m
Rua A
Fácil
7.
Fazendo uma análise das vias como segmentos de retas, são paralelas e
concorrentes, respectivamente:
a) R. Tupã e R. Anhanguera, R. Gabinete e R. Arica.
b)
R. Bertioga e R. das Guianas, R. Bertioga e R. Pasteur.
c)
R. Tupã e R. Nove de Julho, R. Bertioga e R. Pasteur.
d)
R. Bertioga e R. Pasteur, R. Bertioga e R. das Guianas.
e)
R. Bertioga e R. Nove de Julho, R. Tupã e R. Nove de Julho.
4.
a)
70
b)
80
c)
90
d)
100
e)
110
C3:H7 (ETEC-2019) Sem dispor de uma trena de comprimento
suficiente, um pedreiro determinou a medida do desnível (d)
de um terreno, valendo-se da propriedade da propagação
retilínea da luz. Observou que, em determinado momento do
dia, um muro vertical de 1,5 m de altura, construído na parte
alta do terreno, projetava uma sombra de 0,4 m sobre a parte superior do
terreno, que era plana e horizontal. No mesmo instante, o desnível do
terreno projetava sobre a parte mais baixa, igualmente horizontal, uma
sombra de 1,6 m, conforme a figura.
raios de sol
Muro
Fácil
C3:H7 (UFU-2018) Uma área delimitada pelas Ruas 1 e 2 e pelas
Avenidas A e B tem a forma de um trapézio ADD’A’ com
AD = 90 m e A ’D ’ = 135 m, como mostra o esquema da figura
abaixo.
0,4 m
d
Rua 2
Avenida A
306
Rua 1
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 306
b)
8,0 m.
c)
10,0 m.
e)
14,0 m.
21/09/2020 18:49:43
EXT21_1_MAT_B_03
Com suas observações, você foi capaz de deduzir corretamente que o
desnível do terreno era de
a) 6,0 m.
d) 12,0 m.
EXT21_1_MAT_B_03
1,6 m
terreno
Avenida B
20°
b)
35°
2°
c)
12°
b)
8°
d)
24°
a)
(IFRN-2017) Em determinada hora do dia, um casal de indígenas, observando suas sombras projetadas pelos raios solares,
percebem que elas têm 2 m e 2,2 m de comprimento. Sabendose que a índia tem 1,50 m de altura e que projeta a menor
sombra, a altura do índio é
c) 1,65 m.
1,55 m.
b)
1,60 m.
Médio
11.
Médio
a)
57,4 m
b)
52,8 m
c)
49,3 m
d)
47,1 m
25 cm.
e)
C3:H7 (Enem-2017) A imagem apresentada na figura é uma
cópia em preto e branco da tela quadrada intitulada O peixe,
de Marcos Pinto, que foi colocada em uma parede para exposição e fixada nos pontos A e B. Por um problema na fixação
de um dos pontos, a tela se desprendeu, girando rente à parede. Após o giro, ela ficou posicionada como ilustrado na figura, formando
um ângulo de 45° com a linha do horizonte.
a
60o
s
a)
52°
d)
67°
b)
60°
e)
59°
c)
61°
13.
Para recolocar a tela na sua posição original, deve-se girá-la, rente à parede,
no menor ângulo possível inferior a 360°. A forma de recolocar a tela na
posição original, obedecendo ao que foi estabelecido, é girando-a em
um ângulo de
a) 90° no sentido horário.
d) 270° no sentido anti-horário.
Médio
C3:H7 (CFTMG-2017) Sejam dois ângulos x e y tais que (2x) e
(y + 10°) são complementares e (5x) e (3y – 40°) são suplementares. O ângulo x mede
a)
5°
c)
15°
b)
10°
d)
20°
14.
Médio
C3:H7 (UEA-2018) Considere dois planos paralelos α e β. Sejam
P e Q dois pontos distintos tais que PQ , Q. Desse
modo, pode-se afirmar que
a)
a reta PQ é paralela ao plano α.
b)
o ponto P pertence ao plano α.
c)
a reta PQ não está contida no plano β.
d)
P ∉ β.
e)
b)
135° no sentido horário.
c)
180° no sentido anti-horário.
17.
C3:H7 (UNITINS-2016) Na figura a seguir, as retas r e s são
paralelas. Sabendo que o valor de x é determinado por
2 4
e que os valores de α, β e γ correspondem a ân 25
gulos internos do triângulo ADE, o valor de x será igual a:
x
b
PQ Q
C3:H7 (UNIFOR-2018) A figura a seguir mostra um armário de
banheiro que tem o formato de um trapézio. A altura total do
armário é de 42 cm e ele está dividido em três compartimentos.
As medidas de um dos lados de cada compartimento estão
indicadas na figura.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 307
315° no sentido horário.
e)
B
r
a
γ
A
150o
C
130o
a)
40°
d)
32°
b)
24°
e)
20°
c)
16°
s
307
r
Médio
18 cm.
C3:H7 (IFPE-2018) Eva é aluna do curso de Construção Naval
do campus Ipojuca e tem mania de construir barquinhos de
papel. Durante a aula de desenho técnico, resolveu medir os
ângulos do último barquinho que fez, representado na imagem a seguir. Sabendo que as retas suportes, r e s, são paralelas,
qual a medida do ângulo α destacado?
67o
EXT21_1_MAT_B_03
14 cm.
c)
1,70 m.
Difícil
Médio
d)
16.
b)
C3:H7 (FAMP-2018) A sombra de um prédio em determinada
hora do dia é igual a 56 m. Sabendo que no mesmo momento
uma régua, de comprimento igual a 50 cm, possui sombra
igual a 53 cm, qual é o valor aproximado da altura desse
prédio?
61o
EXT21_1_MAT_B_03
Desprezando a espessura das divisórias, podemos afirmar que no compartimento do meio podemos colocar um produto com altura máxima de
a) 10 cm.
d) 21 cm.
Médio
Médio
a)
10.
15.
2x
80°
 e B são congruentes. Sendo
C3:H7 (EEAR-2016) Os ângulos A
 = 2x + 15° e B = 5x – 9°. Assinale a alternativa que representa
A
corretamente o valor de x.
9.
12.
d)
3x
MATEMÁTICA • FRENTE B
a)
x
C3:H7 (IFSul-2015) Duas retas paralelas “r” e “s” cortadas por
uma transversal “t” formam ângulos colaterais internos, dos
quais um excede o outro em 20°.
O ângulo colateral interno agudo mede
c) 55°
42 c m
Médio
8.
21/09/2020 18:49:59
b)
12 metros
Difícil
a)
C3:H7 (UNESC-2017) Uma rampa de inclinação constante tem
5 metros de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo
começado a subi-la, nota que após caminhar 12 metros sobre
a rampa está a 2 metros de altura com relação ao solo. Calcule
quantos metros tem a rampa até atingir seu ponto mais alto.
18 metros
c) 27 metros
e) 30 metros
19.
d)
21.
C3:H7 (CESMAC-2016) Três lotes em um terreno plano têm a
forma de trapézios retângulos. Uma frente dos terrenos fica
voltada para a Rua A, e a outra para a Rua B, como na ilustração
a seguir.
Difícil
18.
Rua A
36 m
9 metros
60 m
48 m
Difícil
C3:H7 (CEFET-2015) Na figura a seguir, as retas r, s, t e w são
paralelas, e a, b e c representam medidas dos segmentos tais
que a + b + c = 100.
r
15
6
Ru m
aB
a
18
s
b
MATEMÁTICA • FRENTE B
24
t
As frentes dos lotes voltadas para a Rua A medem 36 m, 60 m e 48 m.
A soma das medidas das frentes dos lotes voltadas para a Rua B mede
156 m. Encontre as medidas, em m, das frentes dos lotes voltadas para a
Rua B e indique a maior.
a) 65 m
d) 68 m
c
w
Conforme esses dados, os valores de a, b e c são, respectivamente, iguais a
c) 26, 30 e 44.
a) 24, 32 e 44.
b)
Difícil
20.
24, 36 e 40.
d)
26, 34 e 40.
b)
66 m
c)
67 m
22.
C3:H7 (IFPR-2016) Foi doado a duas famílias em Roraima um
loteamento com dois terrenos. Às famílias informaram as
medidas das frentes de cada terreno, 60 m e 40 m, e a medida
total dos fundos dos terrenos, de 120 m. Sabendo que as laterais dos terrenos são paralelas, quais os valores do fundo de
cada terreno?
F2
F1
Se dois planos são paralelos, qualquer reta que intersecta um deles
intersecta o outro.
b)
Se dois planos são paralelos, toda reta paralela a um deles é paralela
ao outro.
c)
Se dois planos distintos são paralelos, qualquer reta de um deles é
paralela ao outro.
d)
Dois planos paralelos a uma reta são paralelos entre si.
e)
Se dois planos são paralelos, então toda reta que é paralela a um deles
é paralela ou está contida no outro.
Difícil
C3:H7 (ESPCEX-AMAN-2018) Considere dois planos α e β
perpendiculares e três retas distintas r, s e t tais que r ⊂ α, s ⊂ β
e t = α ∩ β.
Sobre essas retas e os planos, é correto afirmar que
As retas r e s somente definirão um plano se forem concorrentes com
t em um único ponto.
a)
a)
F1 = 75 m e F2 = 45 m.
b)
F1 = 48 m e F2 = 72 m.
c)
F1 = 60 m e F2 = 60 m.
d)
F1 = 70 m e F2 = 50 m.
e)
F1 = 72 m e F2 = 48 m.
40 m
69 m
a)
23.
60 m
e)
C3:H7 (UNICENTRO-2018) Das afirmações abaixo, assinale a
única alternativa INCORRETA.
Difícil
33
b)
As retas r e s podem definir um plano paralelo à reta t.
c)
As retas r e s são necessariamente concorrentes.
d)
Se r e s forem paralelas, então elas definem um plano perpendicular
a α e β.
e)
O plano definido por r e t é necessariamente paralelo a s.
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1. Faça
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Code.
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QR Code.
Abraooaplicativo
aplicativo
e aponte
o QRQRCode
2. Abra
e aponte
parapara
um dos
Codesaoaolado.
lado
acessardeste
o gabarito
ou o será
solucionário
módulo.
3. para
O gabarito
módulo
exibidodeste
em sua
tela.
1
A
B
C
D
E
7
A
B
C
D
E
13
A
B
C
D
E
19
A
B
C
D
E
2
A
B
C
D
E
8
A
B
C
D
E
14
A
B
C
D
E
20
A
B
C
D
E
3
A
B
C
D
E
9
A
B
C
D
E
15
A
B
C
D
E
21
A
B
C
D
E
4
A
B
C
D
E
10
A
B
C
D
E
16
A
B
C
D
E
22
A
B
C
D
E
5
A
B
C
D
E
11
A
B
C
D
E
17
A
B
C
D
E
23
A
B
C
D
E
6
A
B
C
D
E
12
A
B
C
D
E
18
A
B
C
D
E
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 308
EXT21_1_MAT_B_03
308
Cartão-resposta
21/09/2020 18:50:01
Triângulos
Cada ângulo possui um lado oposto no triângulo, por exemplo
AC éretângulo
oposto a b. Como a soma
dos acutângulo
Triângulo
Triângulo
ângulos internos de um triângulo é 180°, temos que
180. Dessa forma, cada um desses ânguc
a
los deve ser menor que 180° e pelo menos dois
c dos
a
ângulos devem
c ser agudos, pois, caso contrário, seria impossível ter o terceiro ângulo.
Um triângulo é uma forma geométrica plana
formada por três pontos não colineares, pelos segmentos definidos por estes três pontos e pela região
interna que estes pontos delimitam. Indicaremos o
triângulo gerado pelos pontos A, B e C por triângulo
ABC ou ABC :
α =90°
Relacionando as classificações quanto aos lados
b
e aos ângulos temos: b
A
Triângulo obtusângulo
obtuso
a >b +c
2
2
b
Frente B
mód. 04/26
04
a
Triângulo retângulo
C
Triângulo acutângulo
agudo
c
Os pontos A, B e C são os vértices desse triângulo,
b
b
C
De acordo com o comprimento dos lados de um
a
triângulo, ele pode ser classificado como:
β
b
b
Triângulo retângulo Triângulo obtusângulo
Triângulo acutângulo
reto
b
ccateto
a 2 = b2 + c 2
c
β
c
De acordo com os ângulos
de um triângulo,
a ele
pode ser classificado como:
α =90°
c
a
obtusângulo se possui bum ângulo obtuso
b
e vale a desigualdade a² > b² + c², sendo a o
Triângulo obtusângulo
maior lado do triângulo;
● acutângulo se os três ângulos sãob aguc
dos e Valem as desigualdades a2 < b2 + cβ2,
2
2
2
2
2
2
b <a +c ec <a +b;
a a
● retângulo se possui um ângulo reto e vale
igualdade a² = b² + c² (Teorema de Pitágoras).
Quando o triângulo é retângulo, o lado oposto
ao ângulo reto é chamado de hipotenusa, letra a, e
os lados que formam o ângulo reto são chamados
de catetos, letras b e c.
Pongsak14/Shutterstock
●
equilátero se
todos os lados possuem
o mesmo
comprimento;
a
α =90°
c
a
isósceles
se dois dos
lados tiverem
o mesmo
comprimento;
03
c
MAT
A
c
hipotenusa
a
c
Triângulo obtusângulo
cateto
B
Triângulo acutângulo
Triângulos e
polígonos
C
a 2 < b2 + c 2
Triângulo retângulo
Nº de aulas
α =90°
Como A não pertence à reta
gerada pelos pontos
B e C, vale a desigualdade BC BA
b AC , conhecida
como desigualdade triangular.
A
a
c
e os segmentos AB, BCe CA são osa lados. Nesse moc
mento, consideramos que AB = BA , CA = AC e BC=CB.
Podemos também traçar o prolongamento dos
lados, obtendo novos ângulos denominados ângulos
externos.
escaleno
se todos os
lados tiverem
comprimentos diferentes
entre si.
A
Podemos analisar também os ângulos dos
triângulos:
A
α
β
EXT21_1_MAT_B_04
c
β
2
B
B
Escola Digital
B
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 309
γ
C
α
B
θ
C
β
Na figura, os ângulos internos do triân, B
 e C
 ) são suplementares a α, b
gulo (A
 ) e θ, respectivamente. Segue que ( A


+C
=
(B ) (C ) 3 180 540°, e Como A + B
= 180°, temos que 360, ou seja, a soma
dos ângulos externos de um triângulo é 360°.
Ainda, cada ângulo externo do triângulo é igual à
soma dos dois ângulos internos não adjacentes, isto
C
, A
C
eA
B
. Esse resultado é coé, B
nhecido como Teorema do ângulo externo.
309
O aluno pode encontrar a classificação dos triângulos quanto aos lados e
ângulos na questão 10 da seção Sistematização e nas questões 1, 2, 6, 8 e
15 da seção Enem e vestibulares.
21/09/2020 18:50:36
Elementos do triângulo
e pontos notáveis
A
Uma ceviana de um triângulo é qualquer segmento de reta
que une um vértice à reta suporte do lado oposto a este vértice.
G
baricentro
A
C
●
D4
B
C
incentro (I)
●
ponto de intersecção das bissetrizes do triângulo;
●
é um ponto interno ao triângulo;
●
é equidistante dos lados do triângulo;
●
é o centro da circunferência inscrita no triângulo.
A
D1 D2 D3
x
x
r
Na figura, todos os segmentos que possuem uma extremidade em A e a outra na reta s são cevianas.
r
Algumas cevianas são especiais e servem para determinar
os pontos notáveis de um triângulo:
●
A altura é a ceviana que parte de um vértice e é perpendicular ao lado oposto. Na figura, o segmento AD1 é altura
de ABC.
●
A bissetriz é a ceviana que divide o ângulo em duas par ,
tes iguais. Na figura, o segmento AD2 é bissetriz de BAC
interna ao triângulo ABC.
ortocentro (O)
●
é o ponto de intersecção entre as alturas de um triângulo;
●
podemos identificar a posição do ortocentro de acordo com a classificação do triângulo:
A mediana é a ceviana que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. Na figura, o segmento AD3 é mediana
de ABC.
Além das cevianas, vamos observar outros elementos associados a um triângulo:
●
●
A mediatriz de um lado do triângulo é a reta perpendicular a este lado que passa pelo seu ponto médio. Todos
os pontos pertencentes à mediatriz são equidistantes
das extremidades deste lado. Na figura, o segmento D3D4
é mediatriz de ABC relativo ao lado BC.
A base média é o segmento que une os respectivos pontos médios de dois lados de um triângulo. Um triângulo
qualquer ABC possuirá três bases médias, e elas formam
o que chamamos de triângulo medial. Nele o comprimento de uma base média é igual à metade do comprimento
1
do lado ao qual ela é paralela. |MN|= |BC | .
2
A
●
acutângulo, ortocentro interno;
●
obtusângulo, ortocentro externo;
●
retângulo ortocentro, sobre um vértice.
B
D
B
O
O
A
B
●
310
A
O
C
é o ponto de encontro entre as mediatrizes dos lados
de um triângulo e é equidistante aos três vértices;
A
r
M2
M1
circuncentro
r
r
M3
C
N
●
P
C
Os triângulos possuem pontos notáveis com diversas aplicações. Eles são dados pela intersecção de cevianas específicas.
baricentro (G)
●
é o ponto de intersecção entre as três medianas de
um triângulo;
●
é o centro de massa do triângulo;
●
C
circuncentro (C)
●
Pontos notáveis
●
A
C
B
M
I
2
a distância do vértice ao baricentro é da mediana,
3
1
e o restante é da mediana até o lado do triângulo.
3
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 310
podemos identificar a posição do circuncentro de
acordo com a classificação do triângulo:
●
acutângulo, circuncentro interno;
●
obtusângulo, circuncentro externo;
●
retângulo circuncentro, sobre o ponto médio da
hipotenusa.
Casos especiais dos pontos notáveis
●
Em um triângulo isósceles, todos os pontos notáveis estão alinhados sobre a altura deste triângulo, a qual, neste
caso, coincide com a mediana e com a bissetriz.
●
Em um triângulo equilátero, todos os pontos notáveis
coincidem. É possível encontrar este conteúdo nas questões 2 e 9 da
seção Sistematização
21/09/2020 18:50:54
EXT21_1_MAT_B_04
●
●
incentro
r
EXT21_1_MAT_B_04
MATEMÁTICA • FRENTE B
s
B
Teoremas das bissetrizes
Há dois teoremas que relacionam os comprimentos dos lados dos triângulos com a medida das cevianas:
Teorema da bissetriz interna
Em um triângulo, a bissetriz de um ângulo interno divide o
lado oposto em partes proporcionais aos lados adjacentes. Na
.
figura a seguir, CE é bissetriz do ângulo interno C
BC
A
Os lados são cada um dos segmentos que formam
o polígono.
●
As diagonais são segmentos de reta com extremidades
em vértices não consecutivos.
●
Um ângulo interno é formado por dois lados consecutivos, então um polígono de n lados possuirá n ângulos.
Classificação de polígonos
Um polígono qualquer é classificado como convexo quando
não existe nenhum segmento de reta com extremidades em
seu interior com pontos fora dele. Caso contrário, dizemos que
o polígono é côncavo.
C
CA
●
A
B
E
A
EB
AE EB
=
AC BC
O teorema diz que:
B
Teorema da bissetriz externa
Em um triângulo, quando a bissetriz de um ângulo externo
intersecta o prolongamento do lado oposto, formam-se segmentos proporcionais aos lados adjacentes.
Esses conceitos podem ser vistos na questão 4 da seção Sistematização e nas questões 9,
E
19, 22 e 23 da seção Enem e vestibulares.
M
côncavo
convexo
Um polígono é dito regular quando seus lados são congruentes e todos os seus ângulos internos são congruentes.
Os polígonos possuem nomenclatura própria de acordo com o
número de lados.
α
C
α
CA
BC
A
Nº de
lados
Nomenclatura
Nº de lados
Nomenclatura
3
Triângulo
9
Eneágono
4
Quadrilátero
10
Decágono
5
Pentágono
11
Undecágono
6
Hexágono
12
Dodecágono
7
Heptágono
15
Pentadecágono
8
Octógono
20
Icoságono
D
B
O teorema diz que: AD = BD
AC BC
Polígonos
Consideremos os n segmentos de retas consecutivos, dados por PP
, P2P3 , ,Pn1Pn ,PnP1 , com n ≥ 3, de tal forma que dois
1 2
desses segmentos que tenham uma extremidade em comum
não são colineares, ou seja, não estão contidos em uma mesma
reta.
Nessas condições, a reunião desses n segmentos com sua
área interna determinada recebe o nome de polígono.
Elementos dos polígonos
e propriedades
9
P3 vértice
P1
Podemos calcular diretamente o número de diagonais desses polígonos seguinte forma:
P2
lado
ângulo interno
n (n 3)
2
.
Exemplo: Calcule o número de diagonais do polígono a seguir:
Solução:
P7
P4
diagonal
D6
D6
P6
P5
D6
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 311
311
O vértice é o extremo de dois segmentos consecutivos
que formam o polígono.
EXT21_1_MAT_B_04
EXT21_1_MAT_B_04
n(n 3)
2
6 (6 3)
2
63
2
18
2
9
Dn D6
●
MATEMÁTICA • FRENTE B
AE
21/09/2020 18:51:10
Ângulos de um polígono
O segmento de reta que une o centro do polígono a um dos
lados, formando 90° com este, é chamado de apótema. Em um
polígono regular, todos os apótemas são congruentes.
Dois polígonos são semelhantes quando eles têm os ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes
proporcionais.
A
A'
γ
B'
o ângulo α é
central e o ângulo
b é interno
α
β
O
C'
AB
BC
CA
= =
A 'B ' B ' C ' C ' A '
Cada ângulo interno de um polígono regular de n la-
(n 2) 180
, e a soma destes ângulos é
n
(n 2) 180
(n 2) 180. Em cada vértice pode-se consn
n
truir um ângulo externo que é suplemento do respectivo ângulo interno, assim a soma dos ângulos externos será igual a
n 180 (n 2)180 360.
Si = (n – 2) · 180°
Em particular, os triângulos podem ser classificados como
semelhantes se:
●
Há congruência entre dois pares de ângulos correspondentes.
●
Há proporcionalidade entre dois pares de lados correspondentes e entre o ângulo formado por estes lados.
●
Há proporcionalidade entre todos os pares de lados correspondentes.
Se = 360°
Estes conceitos relacionados a polígonos podem ser encontrados na questão 5 da seção
Sistematização e nas questões 6, 10, 13, 16 e 17 da seção Enem e vestibulares.
Semelhança e congruência
de polígonos
Duas figuras geométricas são congruentes quando uma
delas pode ser convertida na outra por rotação, reflexão e
translação.
Dois polígonos são congruentes quando seus lados
correspondentes e seus ângulos correspondentes são congruentes.
Em particular, a congruência entre dois triângulos pode
ser resumida em quatro casos:
Quadriláteros notáveis
Os polígonos de quatro lados são denominados quadriláteros. A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a
360º e todos apresentam duas diagonais.
As características que permitem distingui-los entre si estão relacionadas aos lados e ângulos opostos, isto é, a dois
lados ou dois ângulos não adjacentes.
●
Um paralelogramo possui os lados opostos paralelos
e congruentes. Há congruência apenas entre os ângulos opostos. Quando um paralelogramo tem todos os
lados congruentes, o chamamos de losango.
●
Um retângulo possui lados opostos congruentes e
paralelos, e os quatro ângulos internos são congruentes e iguais a 90°.
●
LLL (Lado, Lado, Lado) quando há congruência entre
os três pares de lados correspondentes.
●
LAL (Lado, Ângulo, Lado) quando há congruência entre dois pares de lados correspondentes e entre o ângulo formado por estes lados.
●
●
ALA (Ângulo, Lado, Ângulo) quando há congruência
entre dois pares de ângulos correspondentes e há
também no lado comum a estes ângulos.
Um quadrado possui os quatro lados congruentes, os
lados opostos são paralelos e os quatro ângulos internos são congruentes e iguais a 90°.
●
Um trapézio é qualquer quadrilátero que possui um
par de lados paralelos, que são chamados de bases.
●
LAAO (Lado, Ângulo, Ângulo Oposto) quando há
congruência entre dois pares de ângulos correspondentes e o lado que é oposto a um dos ângulos
correspondentes.
A
D
B
C F
(ALA)
E
A
C F
(LAL)
C F
(LLL)
D
B
C F
(LAAO)
312
Losango
Quadrado
Retângulo
E
Esse assunto pode ser visto na questão 3 da seção Sistematização e na questão 11
da seção Enem e vestibulares.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 312
Paralelogramo
Trapézio
E
A
E
Quadriláteros
D
B
D
B
A
Os conceitos referentes a quadriláteros estão presentes nas
questões 6 e 8 da seção Sistematização e nas questões 4, 5, 12,
18, 20 e 21 da seção Enem e vestibulares.
EXT21_1_MAT_B_04
MATEMÁTICA • FRENTE B
C
CÂB ≅ C'Â'B'
ABC ≅ A'B'C'
BĈA ≅ B'Ĉ'A'
F
dos é igual a
B
21/09/2020 18:51:21
FIXAR
Pontos notáveis
incentro
A
I
C
B
C
circuncentro
A
O
D
A
G
B
ortocentro
A
M2 r M1
Cr
r
B
M3
C
B
A
A
B
M D
côncavo
Polígonos
C
MATEMÁTICA • FRENTE B
baricentro
convexo
Diagonais
soma dos ângulos internos =(n–2)180º
Dn n (n 3 )
2
soma dos ângulos externos =360º
Quadriláteros Notáveis
desigualdade triangular
Quadriláteros
BC BA AC
Paralelogramo
Trapézio
Losango
Quadrado
Retângulo
Triângulos
Teorema do ângulo externo
Classificação pelos lados
Classificação pelos ângulos
isósceles
retângulo
equilátero
obtusângulo
escaleno
acutângulo
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 313
L�L
LAL
ALA
LA��
313
EXT21_1_MAT_B_04
EXT21_1_MAT_B_04
congruência
21/09/2020 18:51:33
Interação
3.
MATEMÁTICA • FRENTE B
Em 1905, o físico Albert Einstein propôs a primeira versão da
sua famosa Teoria da Relatividade. Uma das previsões dessa
teoria é o fenômeno da dilatação temporal, no qual observadores que se movem com velocidade constante, um em relação ao outro, obtêm medidas diferentes para a duração de
um mesmo evento. Esse estranho fenômeno é uma consequência da hipótese de que a velocidade da luz é constante para todos os observadores
(com valor c ≈ 300 000 km/s).
Usando o Teorema de Pitágoras, podemos deduzir o fenômeno da dilatação
temporal! Para isso, imagine um pulso de luz que viaja de um espelho A
até um espelho B, e depois é refletido de volta para A, conforme ilustrado
na Figura 1 (à esquerda). Suponha que a distância entre os espelhos seja L,
e que eles estejam em uma nave espacial passando próximo à Terra com
velocidade constante v. Como a velocidade da luz é c, o pulso de luz leva
2D
t segundos para percorrer o trajeto A-B-A, segundo a medição de
c
um astronauta na nave.
Observe os triângulos semelhantes a seguir e encontre o valor
de x:
B
α
F
50
2x+10
x+2
β
A
4.
C
E
α
20
β
G
Observe o triângulo abaixo. Sabendo que QP = QR, utilize o
teorema da bissetriz interna para encontrar o valor de x.
Q
α α
4x + 5
Figura 1: Trajetória da luz vista por observadores diferentes.
B
B
∆t = 2 L/c
∆t' = 2 D/c
L
A
D
L
1/2 v ∆t'
A
A
Por outro lado, devido ao movimento retilíneo da nave espacial, um cientista na Terra observa o mesmo pulso de luz executando uma trajetória
diferente, conforme ilustrado na Figura 1 (à direita). Consequentemente,
2D
segundo o seu cronômetro, o pulso de luz leva t segundos para
c
percorrer o trajeto A-B-A. Pelo Teorema de Pitágoras, temos D>L. Logo,
∆t’>∆t, ou seja, o tempo para o astronauta passa mais devagar que o tempo
para o cientista na Terra.
Considere o ringue de luta livre, que possui a base de um
octógono regular, e responda:
a) Quantas diagonais partem de cada vértice da base do
ringue?
b)
Qual é o número de diagonais desse polígono?
c)
Qual é a soma dos ângulos internos e externos desse
polígono?
Calcule a medida da altura de um trapézio isósceles cujo lado
mede 5 cm e as bases medem 20 cm e 28 cm.
7.
Calcule o valor de x e y, em centímetros, em cada triângulo
retângulo abaixo.
a) Catetos medem 11 cm e 3 cm, e hipotenusa mede x.
b) Hipotenusa e um dos catetos medem, respectivamente,
3 cm e 2 2 cm, e o outro cateto mede y.
t 2.
R
6.
1. Aplicando o Teorema de Pitágoras, determine o comprimento D.
Combinando a resposta com os valores de ∆t e ∆t’ acima, conclua que
t
(equação de Einstein para a dilatação do tempo).
v2
1 2
c
Imagine uma nave espacial partindo da Terra a uma velocidade constante
v 0 , 90 c , rumo à estrela Alpha Centauri, que se encontra a 4,37 anos-luz
da Terra (se a nave viajasse na velocidade da luz, ela levaria 4,37 anos para
chegar ao seu destino, segundo o observador terrestre). Em relação aos
observadores terrestres, quanto tempo a nave levará para chegar ao seu
destino? Usando a fórmula obtida no exercício 1, calcule quanto tempo
terá se passado para os astronautas dentro da nave.
10
A
5.
D
2x
P
B
8.
Considere um paralelogramo com um dos lados medindo o
dobro do outro lado:
a) Calcule as medidas dos lados desse paralelogramo,
sabendo que o perímetro é igual a 96 cm.
b)
9.
Sistematização
Traçando uma das diagonais desse paralelogramo,
obtemos dois triângulos. Qual caso de congruência eles
satisfazem?
No triângulo abaixo, G é o baricentro e DC=21 cm. Calcule o
valor de x e y.
B
Observe a figura abaixo e responda às questões 1 e 2.
P
D
y
x+7
G
E
5
A
110º
A
25º
Q
S
B
R
1.
 e o ângulo externo
Se PQ = PS, calcule os ângulos QS P e SPR
ao triângulo QPR em P.
2.
Suponha que QS = SR . Assim, o segmento de reta PS será:

a) Bissetriz do ângulo QPR
128°
104°
314
b) Mediatriz do triângulo PQS relativa ao lado QP
c)
Mediana do triângulo QPR relativa ao lado QR
d)
Altura do triângulo PSR
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 314
D
A
C
21/09/2020 18:52:31
EXT21_1_MAT_B_04
f
O triângulo isósceles abaixo possui base AC e o ponto D é o
,B
eC
.
incentro. Calcule os ângulos A
EXT21_1_MAT_B_04
10.
C
F
3.
25
C4:H8 (Etec-2020) O empreendedorismo é, para muitos, uma
oportunidade, assim como para Hilda Regina, que decidiu
investir em uma agência de publicidade. Nesse mercado
competitivo, entre seus diferenciais, a empresária decidiu
desenvolver um cartão de visita que tem a forma de um polígono convexo com todos os lados de mesma medida, e apenas quatro
ângulos internos, sendo dois deles agudos e dois obtusos. A figura matemática que é descrita tendo, obrigatoriamente, todos os elementos do
cartão de visita citado é o
a) losango.
b)
pentágono.
c)
quadrado.
60°
d)
retângulo.
b)
45°
e)
triângulo.
c)
36°
d)
83°
e)
51°
centavos
12.
4.
C4:H10 (UNIFENAS-2018) Julgue as seguintes assertivas assinalando V para verdadeiro e F para falso.
Fácil
a)
Os ângulos internos de um quadrilátero medem
2x + 40, x + 10, x + 15 e x − 5 graus. O MENOR ângulo mede:
( ) Quadrados e losangos possuem diagonais que também são bissetrizes
internas.
( ) Retângulos, quadrados e losangos possuem diagonais que se interceptam no ponto médio destes segmentos.
a)
90°
b)
65°
c)
55°
( ) Paralelogramos, trapézios, quadrados e retângulos são polígonos
convexos.
d)
105°
a)
VVFV.
d)
FFFF.
e)
80°
b)
VFFF.
e)
VFVF.
c)
FVVV.
( ) Os ângulos consecutivos de retângulos e trapézios são suplementares.
Enem e vestibulares
Fácil
C4:H8 (EEAR-2016) Um triângulo ABC de base BC = (x + 2) tem
seus lados AB e AC medindo, respectivamente, (3x – 4) e (x +
8). Sendo este triângulo isósceles, a medida da base BC é
5.
C4:H10 (IFAL-2016) Julgue as afirmativas abaixo e assinale a
alternativa correta.
Fácil
1.
I.
Todo paralelogramo é losango.
II.
Se um quadrilátero tem todos os lados com a mesma medida, então
esse quadrilátero é um quadrado.
a)
4
b)
6
c)
8
III. As diagonais de um quadrado são perpendiculares entre si.
d)
10
a)
Só I é verdadeira.
b)
Só II é verdadeira.
c)
Só III é verdadeira.
d)
I e III são verdadeiras.
e)
II e III são verdadeiras.
2.
Fácil
C4:H7 (Enem-2018) O remo de assento deslizante é um esporte
que faz uso de um barco e dois remos do mesmo tamanho. A
figura mostra uma das posições de uma técnica chamada
afastamento.
MATEMÁTICA • FRENTE B
A imagem a seguir representa uma moeda antiga de 25 centavos. Nela é possível observar um heptágono regular. Sendo
assim, a medida mais próxima do ângulo externo desse polígono é:
Fácil
11.
6.
C4:H8 (Mackenzie-2018)
Fácil
P
p
m
M
115º
n
N
Nessa posição, os dois remos se encontram no ponto A e suas outras extremidades estão indicadas pelos pontos B e C. Esses três pontos formam um
triângulo ABC cujo ângulo BÂC tem medida de 170°. O tipo de triângulo
com vértices nos pontos A, B e C, no momento em que o remador está
nessa posição, é
a) retângulo escaleno.
O triângulo PMN acima é isósceles de base MN. Se p, m e n são os ângulos
internos do triângulo, como representados na figura, então podemos
afirmar que suas medidas valem, respectivamente,
a) 50°, 65°, 65°
b)
acutângulo escaleno.
b)
65°, 65°, 50°
c)
acutângulo isósceles.
c)
65°, 50°, 65°
d)
obtusângulo escaleno.
d)
50°, 50°, 80°
e)
obtusângulo isósceles.
e)
80°, 80°, 40°
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 315
315
EXT21_1_MAT_B_04
EXT21_1_MAT_B_04
Disponível em: www.remobrasil.com. Acesso em: 6 dez. 2017 (adaptado).
21/09/2020 18:52:40
C4:H10 (Enem-2019) Construir figuras de diversos tipos, apenas
dobrando e cortando papel, sem cola e sem tesoura, é a arte do
origami (ori = dobrar; kami = papel), que tem um significado
altamente simbólico no Japão. A base do origami é o conhecimento do mundo com base no tato. Uma jovem resolveu
construir um cisne usando a técnica do origami, utilizando uma folha de papel
de 18 cm por 12 cm. Assim, começou por dobrar a folha conforme a figura.
18 cm
A
E
D
12 cm
C
12 cm
b)
C4:H8 (Enem-2016) Pretende-se construir um mosaico com o
formato de um triângulo retângulo, dispondo-se de três peças,
sendo duas delas triângulos retângulos congruentes e a terceira um triângulo isósceles. A figura apresenta cinco mosaicos formados por três peças.
30°
30° 30°
90°
60° 90° 90° 60°
Mos aic o 1
30°
22°
22
30°
Mos aic o 2
b)
78 graus.
c)
204 graus.
d)
102 graus.
90°
Mos aic o 3
60º
120°
90º
90°
65º
50° 65°
25°
30°
30°
Mos aic o 4
60º
a)
116
b)
96
c)
126
d)
106
14.
120°
C4:H8 (IFAL-2016) Na figura a seguir, calcule o ângulo α.
Médio
60º
50° 25º
C4:H8 (UECE-2019) Considere MXYZW um pentágono regular
e XYO um triângulo equilátero em seu interior (o vértice O está
no interior do pentágono). Nessas condições, a medida, em
graus, do ângulo XÔZ é
Médio
90°
90° 44°
68°
68°
30°
30°
42º
Mos aic o 5
α
Na figura, o mosaico que tem as características daquele que se pretende
construir é o
a) 1.
2.
c)
3.
d)
4.
e)
5.
9.
D
B
A
a)
60°
c)
80°
b)
70°
d)
90°
Médio
C4:H8 (URCA-2017) Em um polígono de n lados, a razão entre
o número de diagonais e o número de diagonais que partem
de um vértice vale 7. Então, n é igual a:
a)
35
d)
14
b)
28
e)
7
c)
21
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 316
b)
33°
c)
37°
d)
38°
e)
42°
15.
C4:H7 (UNAERP-2017) Considere as afirmativas e assinale a
opção correta.
Difícil
Médio
C4:H8 (Unicamp-2019) No triângulo ABC exibido na figura a
seguir, AD é a bissetriz do ângulo interno em A, e AD = DB. O
ângulo interno em A é igual a
C
10.
30º
Dica: Use o resultado do ângulo externo de um triângulo.
a) 30°
60º
316
37º
1.
Somente os triângulos equiláteros apresentam bissetriz, mediana,
mediatriz e altura coincidentes em relação à sua base.
2.
Um triângulo obtusângulo apresenta todos os ângulos externos obtusos.
3.
O maior número de segmentos de retas possível de se obter a partir
dos 6 vértices de um poliedro convexo é 15.
a)
Apenas 1 está correta.
b)
Apenas 3 está correta.
c)
Apenas 1 e 2 estão corretas.
d)
Apenas 2 e 3 estão corretas.
e)
1, 2 e 3 estão corretas.
21/09/2020 18:53:16
EXT21_1_MAT_B_04
b)
38º
EXT21_1_MAT_B_04
80°
a)
C4:H7 (UECE-2018) No quadrilátero XYZW, as medidas dos
ângulos internos Z e W são respectivamente 128 graus e 76
graus. Se as bissetrizes dos ângulos internos X e Y cortam-se
no ponto O, pode-se afirmar corretamente que a medida do
 é igual a
ângulo XOY
156 graus.
13.
46°
90°
60°
°
30°
2+
Médio
12 2 cm
30
c)
12.
60° 30°
1 5
5
2
d) 2 5 − 1
12 cm
8.
C
Os triângulos DBC e BCP são semelhantes. A medida de AC, uma das diagonais do pentágono regular, em cm, é igual a
a) 1+ 5
d) 6 5 cm
e)
B
P
b) 6 3 cm
Médio
MATEMÁTICA • FRENTE B
A
Após essa primeira dobradura, a medida do segmento AE é
a) 2 22 cm
c)
C4:H8 (AFA-2018) A figura a seguir é um pentágono regular
de lado 2 cm.
B
D
E
11.
Médio
Médio
7.
20.
α4
E D
F
α7 G H A
α8
α3
C
B
α1
d)
720°
b)
360°
e)
900°
c)
540°
a)
10
b)
12
c)
13
18.
C4:H8 (UESB-2017) Seja n o número de lados de um polígono
convexo P. Sabendo-se que a soma de n – 1 ângulos internos
de P, é 2 004°, é correto afirmar que o número n de lados de P
é
d) 14
e)
C
Difícil
Difícil
M
B
A
O perímetro do trapézio ABCD, em cm, é igual a
a) 8
d) 14
12
19.
e)
15
Difícil
C4:H8 (UECE-2018) Considere um hexágono regular com centro
no ponto O, cuja medida do lado é igual a 2 m. Se U e V são
dois vértices consecutivos desse hexágono, e se a bissetriz do
 intercepta o segmento OV no ponto W, então a
ângulo OUV
medida em metros do perímetro do triângulo UVW é
a)
21
8
b)
27
8
c)
35
8
37
8
a)
115°
b)
145°
c)
125°
C4:H8 (UNITINS-2017) Sabendo que em um triângulo NOP o
ângulo interno do vértice O mede 70° e o ângulo interno do
vértice P mede 30°, a soma do ângulo interno do vértice N
com o ângulo agudo definido pela bissetriz interna do vértice
N e a bissetriz externa do vértice do ângulo P será igual a:
d) 105°
e)
95°
C4:H9 (ITA-2017) Considere o triângulo ABC, em que os segmentos AC, CB e AB medem, respectivamente, 10 cm, 15 cm
e 20 cm. Seja D um ponto do segmento AB de tal modo que
 e seja E um ponto do prolongaCD é bissetriz do ângulo ACB
 = DCB
 . A medida,
mento de CD, na direção de D, tal que DBE
em cm, de CE é
a)
11 6
3
b)
13 6
3
c)
17 6
3
d)
20 6
3
e)
25 6
3
3+ 5
GABARITOE ONLINE
GABARITO
SOLUCIONÁRIO ONLINE
b) 2 + 5
c)
5.
45
8
22.
23.
10
a)
e)
16
D
c)
d)
C4:H8 (ITA-2015) Seja ABCD um trapézio isósceles com base

maior AB medindo 15, o lado AD medindo 9 e o ângulo ADB
reto. A distância entre o lado AB e o ponto E em que as diagonais se cortam é
d)
C4:H8 (FGV-2015) A figura representa um trapézio isósceles
ABCD, com AD = BC = 4 cm. M é o ponto médio de AD, e o
 é reto.
ângulo BMC
b)
15.
Difícil
Difícil
17.
20.
b)
21.
α2
A soma 1 8 vale
a) 180°
a)
Difícil
α6
α5
C4:H8 (UECE-2019) No retângulo OYZW, E é um ponto do lado
 é sete
ZW equidistante de O e Z. Se a medida do ângulo WOE
 , então, a medida, em graus, do
vezes a medida do ângulo ZOY
 é
ângulo EOZ
c) 10.
MATEMÁTICA • FRENTE B
Difícil
(Fuvest-2018) Prolongando-se os lados de um octógono
convexo ABCDEFGH, obtém-se um polígono estrelado, conforme a figura.
Difícil
16.
Façaoodownload
downloaddodo
aplicativo
Questões
ou qualquer aplicativo
1. Faça
aplicativo
SAE SAE
Questões
ou qualquer
de leituradeQRleitura
Code.
aplicativo
QR Code.
Abraooaplicativo
aplicativo
e aponte
o QRQRCode
2. Abra
e aponte
parapara
um dos
Codesaoaolado.
lado
acessardeste
o gabarito
ou o será
solucionário
módulo.
3. para
O gabarito
módulo
exibidodeste
em sua
tela.
3+ 3
d) 2 + 3
1
A
B
C
D
E
7
A
B
C
D
E
13
A
B
C
D
E
19
A
B
C
D
E
2
A
B
C
D
E
8
A
B
C
D
E
14
A
B
C
D
E
20
A
B
C
D
E
3
A
B
C
D
E
9
A
B
C
D
E
15
A
B
C
D
E
21
A
B
C
D
E
4
A
B
C
D
E
10
A
B
C
D
E
16
A
B
C
D
E
22
A
B
C
D
E
5
A
B
C
D
E
11
A
B
C
D
E
17
A
B
C
D
E
23
A
B
C
D
E
6
A
B
C
D
E
12
A
B
C
D
E
18
A
B
C
D
E
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 317
317
EXT21_1_MAT_B_04
EXT21_1_MAT_B_04
Cartão-resposta
21/09/2020 18:56:17
Áreas de figuras planas: introdução
Em geometria, entende-se por área a medida da superfície compreendida dentro de um perímetro.
Intuitivamente entendemos a delimitação de uma figura desde muito cedo, por exemplo, quando aprendemos a colorir um desenho dentro das margens ou até mesmo quando praticamos esportes dividindo os espaços de cada time.
Escola Digital
Nº de aulas
R A
A área é uma grandeza, portanto é associada a uma unidade de medida. No sistema internacional, a área é dada em
metros quadrados (m2), isto é, a unidade-padrão é a região
compreendida por um quadrado cujo lado tem comprimento igual a um metro. Medir a área de uma região R, em m2, é
verificar quantos quadrados de lado 1 m cabem em R.
03
B
2
C
1m
D
4
1m
Áreas de
figuras planas
A unidade de medida de área dependerá da unidade de medida das dimensões. Em algumas situações,
em que a unidade não é apresentada, usamos o termo unidades de área. A transformação de unidades de
medida de área obedece a seguinte ordem:
×100
km2
×100
hm2
÷100
×100
dam2
÷100
m2
÷100
Quadrado
×100
×100
dm2
÷100
9
×100
cm2
÷100
mm2
÷100
Exemplo: Calcule a área do retângulo a seguir:
Observe um quadrado cujo lado mede  metros.
MAT
2m
7m
Solução: A área desse retângulo é 7 · 2 = 14 m2.

Como ele apresenta base igual a , seu lado também será , portanto a área é igual a   2 .
9
Exemplo: Calcule a área do quadrado a seguir:
Frente B
mód. 05/26
05
Paralelogramo
Podemos utilizar áreas já conhecidas para calcular a de outras figuras. No caso do paralelogramo,
basta traçar a altura a partir de um dos vértices. Essa
altura dividirá o paralelogramo em um triângulo retângulo e um trapézio. Realocando esse triângulo,
transformamos o paralelogramo em um retângulo.
Observe a figura a seguir:
B
C
D
A
B
C
h
3
Solução: A área desse quadrado é 3 · 3 = 32 = 9.
smile23/Shutterstock
b
Retângulo
Observe um retângulo cuja medida da base é b
e da altura é h.
A
E
D
E
F
Sendo assim, a área desse paralelogramo de
base b e altura h é também b · h.
9
Exemplo: Calcule a área do paralelogramo a seguir:
2
h
4
318
2
4
v
Solução: A área desse paralelogramo é 4 · 2 = 8.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 318
21/09/2020 18:56:23
EXT21_1_MAT_B_05
Assim, um retângulo, com medidas b e h, compreende em seu interior uma área de b · h.
EXT21_1_MAT_B_05
b
Área do triângulo
O cálculo da área de um triângulo requer uma atenção particular. Já vimos que existem diferentes tipos de triângulos, e
agora descobrir formas de obter a área de cada um deles.
●
Já em situações nas quais são conhecidas as medidas de
apenas dois dos lados do triângulo, c e b, e o ângulo interno θ
entre eles:
Triângulo retângulo
c
Os triângulos retângulos ocupam a área equivalente à metade de um retângulo de base e altura congruentes aos catetos
do triângulo. Observe a figura:
a
h
θ
h
b
Neste caso, um dos catetos do triângulo coincide com a altura h. Se chamarmos a base desse triângulo de b e a altura de
h, a área será
●
(b ⋅ h)
2
.
Triângulos não retângulos
Os conteúdos apresentados até aqui
servem de base para realizar as questões 1, 2, 3 e 7 da seção Sistematização
e as questões 2, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 19
e 22 da seção Enem e Vestibulares.
A área dos triângulos não retângulos também será dada por
(b ⋅ h)
2
.
Observe a figura com triângulos variados com mesma medida de base e mesma medida de altura.
h
Se a área desse triângulo deve ser calculada pela expres(b ⋅ h)
são
, para determinar a altura podemos usar as relações
2
h
trigonométricas de um triângulo retângulo. Como sen →
c
1
→ h c sen → A c b s e n .
2
Essa relação é conhecida como Fórmula Trigonométrica da
área de triângulos.
Se o triângulo for equilátero, a área pode ser
calculada da seguinte forma:
Os alunos podem encontrar os conceitos relacionados às áreas de triângulos não retângulos nas questões 4 e 9 da seção Sistematização e nas questões 1, 3, 17 e 21 da seção
Enem e vestibulares.
Relação entre área, mediana e
baricentro de um triângulo
Vimos anteriormente que a área de um triângulo não se altera quando sua base permanece fixa e o terceiro vértice percorre uma reta paralela à base. Como consequência, a mediana
relativa à base de um triângulo dividirá sua área em duas partes
iguais. Quando duas figuras têm a mesma área, elas são ditas
figuras equivalentes, portanto a mediana divide um triângulo
em dois triângulos equivalentes. Considere o triângulo ABC, a
seguir, onde AM é a mediana relativa à base BC.
A
b
Todos esses triângulos terão a mesma área, ou seja, uma
vez fixada a base e a altura relativa a essa base, a área de qualquer triângulo com essas medidas coincide. Assim, a área de
cada triângulo é igual a
(b ⋅ h)
2
M
B
C
a
.
Em alguns casos, a altura do triângulo não é dada. Se as medidas dos lados a, b e c do triângulo são conhecidas, a área A
pode também ser calculada pela Fórmula de Herão:
A p (p a) (p b) (p c)
Onde p é o semiperímetro do triângulo, ou seja, p 9
2 3
.
4
MATEMÁTICA • FRENTE B
b
Exemplo: Calcule a área do triângulo a seguir:
(a b c )
.
2
As bases BM e MC de ABM e AMC, respectivamente, são congruentes pela definição de mediana. Esses dois triângulos têm
a mesma altura h do triângulo ABC. Então, se BC = a, segue que
a
a⋅h
BM
= MC
=
e a área do triângulo ABC é
, assim as áreas de
2
2
a⋅h 1
ABM e AMC valem A=
⋅ .
2 2
O baricentro de um triângulo é o ponto de interseção entre as suas medianas, ou seja, elas dividem o triângulo em seis
triângulos menores, como mostra a figura a seguir.
A
6
4
N
G
P
5
15 7
A
9 , 92
4
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 319
M
C
O segmento GP é mediana no triângulo AGC, GM é mediana
de BGC e GN é mediana de BGA. Temos que as áreas dos seis
1
triângulos menores são iguais e valem da área de ABC.
6
Estes conceitos estão presentes na questão 9 da seção Sistematização e
na questão 7 da seção Enem e vestibulares.
319
EXT21_1_MAT_B_05
EXT21_1_MAT_B_05
B
( 4 5 6 ) 15
15
15
15 15
Solução: p →A
4 5 6=
2
2
2 2
2
2
21/09/2020 18:56:38
Razões entre áreas de
figuras semelhantes
Trapézio
Sabemos que as figuras semelhantes são aquelas que apresentam ângulos congruentes e proporção entre as medidas dos
lados. Assim como os lados e ângulos, há uma relação entre as
áreas das figuras.
●
9
A razão entre as áreas de figuras semelhantes é igual ao
quadrado da razão de semelhança.
O trapézio é um quadrilátero que possui dois lados paralelos, chamados de bases. A medida da base maior é denotada
por B e a medida da menor, por b. A altura h do trapézio é o segmento de reta com extremos nas bases menor e maior, sendo
perpendicular a ambas as bases.
A base média de um trapézio é o segmento que une os pontos médios dos lados do trapézio.
D
Exemplo:
Considere os quadrados a seguir. Determine a área do quadrado maior,
sendo que a razão de semelhança entre eles é igual a dois e a área do
polígono menor mede 4 m2.
h
b
C
M
N
B
MATEMÁTICA • FRENTE B
A
I2
A1
I1
A2
Solução:
Como todos os quadrados são semelhantes dois a dois, existe uma constante c (a razão de semelhança), tal que a razão entre os lados é igual a
l2
= c, então, ao calcular a razão entre a área A2
l1
A2 l2 2
e a área A1, conseguimos =
= c 2.
A1 l12
c. Precisamente, temos
Em nosso exemplo, podemos então substituir os valores dados da razão
e das áreas:
c2 Losango
B
No trapézio ABCD, os pontos médios dos lados do trapézio
são M e N. O segmento MN é a base média do trapézio e sua
Bb
medida é dada por bM 2
Para determinar a área, tomamos os dois triângulos ADC
e ABC, ambos de altura h, mas as bases são diferentes, como
mostra a figura.
Assim, a área A do trapézio é a soma das áreas dos triângulos ADC e ABC, ou seja,
A
9
h
(B b)
2
B h b h
2
2
Exemplo: Calcule a área do trapézio a seguir:
8
A2
A
2 2 2 A2 16
A1
4
10
Um losango é um quadrilátero que possui os quatro lados
congruentes. Se traçarmos suas diagonais, ele será dividido em
quatro triângulos retângulos (figura 1). Realocando esses triângulos, transformamos o losango em um retângulo de medidas
conforme a figura 2.
Então, a área do losango será a soma desses triângulos.
Figura 2
Figura 1
d
→
D
12
10
(12 8 ) 5 20 100
Solução: A 2
Os conteúdos relacionados à área do
trapézio podem ser
encontrados nas questões 1, 3 e 6 da seção
Sistematização e nas
questões 10 e 22 da seção Enem e vestibulares.
Área de um polígono regular
Existem aplicações variadas que tornam o estudo da área
de polígonos regulares interessante por si só.
d
2
d
2
D
2
Observe que a base do retângulo formado com esses triângulos coincide com a metade maior diagonal (D) do losango.
Além disso, a altura desse retângulo é formada por duas metades das diagonais menores. Portanto, a área A do losango será
As abelhas, por exemplo, quando fabricam o mel, precisam
guardá-lo em compartimentos individuais de tal maneira que
formem um mosaico sem lacunas, pois têm que aproveitar ao
máximo o espaço. Tais mosaicos podem ser feitos utilizando-se
triângulos, quadrados e hexágonos. Ainda que esses três polígonos possam ter o mesmo perímetro, o mais difícil de construir é o hexágono; mesmo assim, as abelhas optam por ele.
(D ⋅ d)
.
2
A
D d d D
(d) 2 2 2 2
9
Exemplo: Calcule a área do losango a seguir:
M
K
12
12 8 96
48 .
Solução: A 2
2
L
Os conceitos relacionados a área do losango podem ser encontrados na questão 2 de
Sistematização.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 320
21/09/2020 18:56:48
EXT21_1_MAT_B_05
320
J
EXT21_1_MAT_B_05
8
Lembre-se de que um polígono regular possui todos os lados e ângulos internos congruentes. Tais propriedades são importantes para determinar a área dessas figuras.
L
Dado o raio r da circunferência, seu comprimento C é dado
por C = 2πr. Assim como nas formas planas anteriores, a medida do contorno da forma serve de instrumento para o cálculo
da área. O primeiro passo para determinarmos a área é dividir
o círculo em partes iguais a partir de diâmetros e depois reordená-las de modo que uma fique do lado da outra. A figura a
seguir mostra o processo quando a divisão é em seis partes.
2πr
a
Note que, ao traçar as diagonais do hexágono, ele fica dividido em 6 triângulos congruentes, e a soma de suas áreas resultará na área do hexágono. A área de cada triângulo depende
da base e da altura, as quais coincidem respectivamente com
o lado do polígono e com o apótema. Esse raciocínio nos leva a
concluir que, se dividirmos um polígono de n lados em n triângulos equiláteros e se a medida do lado desse polígono regular
é L e a do apótema é a, então a área A deste polígono satisfaz a
igualdade A n MATEMÁTICA • FRENTE B
L
πr
r
(L a)
.
2
Um hexágono regular de lado L pode ser dividido em
6 triângulos equiláteros congruentes. A altura h de cada um
deles coincide com o apótema e é dada pelo Teorema de
L 3
. Assim, a área do hexágono regular é
Pitágoras por h =
2
L L 3 3 3 2
A 6 L .
2 2
2
Perceba que sua base mede metade do comprimento da
circunferência. Para aproximar esse recorte do formato de um
triângulo, podemos dividir a circunferência em várias partes e
reordená-las como fizemos anteriormente:
A estratégia de dividir uma figura plana em partes menores
também é eficiente para calcular a área de figuras compostas.
Na figura a seguir, em (a) temos um polígono não regular de 5
lados cuja área é a soma da área de um trapézio com a área de
um triângulo. Em (b) temos uma composição de retângulos e
um quadrado, e a soma das suas áreas resultará na área total
da figura. O aluno poderá aplicar os conceitos sobre área de polígonos regulares na
2πr
questão 8 da seção Sistematização e na questão 4 da seção Enem e vestibulares.
πr
r
Área do círculo
(b)
EXT21_1_MAT_B_05
EXT21_1_MAT_B_05
Uma circunferência é o conjunto de todos os pontos do plano que equidistam de um ponto central fixo, portanto ela delimita uma região do plano chamada de círculo. Se o diâmetro D
de uma circunferência aumenta, então deve aumentar também
o comprimento C. Essa relação entre C e D é uma proporção
C
direta, logo existirá uma constante fixa k tal que = k . Este k é
D
o tão famoso número Pi, 3,1416 .
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 321
Quanto maior é o número de divisões, mais próxima a área
da figura obtida fica da área do retângulo de base r e altura r.
Assim, a área do círculo A circ é a área daquele retângulo, ou seja,
A r2
.
Os conceitos relacionados à área do círculo podem ser
encontrados na questão 5 da seção Sistematização e nas
questões 14, 15 e 23 da seção Enem e vestibulares.
321
(a)
21/09/2020 18:56:54
FIXAR
(b h )
2
A p (p a ) (p b ) (p c )
A
h
b.h
b

2
retângulo
MATEMÁTICA • FRENTE B
quadrado
paralelogramo
D⋅d
2
d
losango
A
10
(D d )
2
A n
(L a )
2
polígono regular de n lados
Áreas
D
8
triângulo
b.h
círculo
A r2
trapézio
conversão de medidas
razão de áreas
12
A razão entre as áreas de figuras
semelhantes é igual ao quadrado da
razão de semelhança
×100
km2
×100
hm2
÷100
÷100
×100
dam2
÷100
m2
×100
dm2
÷100
×100
cm2
÷100
×100
mm2
÷100
Interação
Georg Alexander Pick foi um famoso matemático nascido em
1859 na Áustria e morto em 1942 em um campo de concentração nazista na antiga Checoslováquia. Sua contribuição
mais conhecida (o “Teorema de Pick”) consiste em uma fórmula que permite o cálculo da área (A) de um polígono
construído sobre uma grade de pontos equidistantes. Especificamente, o
f
Teorema de Pick afirma que A i 1, em que i é o número de pontos da
2
grade interiores ao polígono, e f é o número de pontos da grade localizados
sobre o polígono. Por exemplo, considere o polígono descrito na Figura 1.
Figura 1
a)
Sabendo que a base do retângulo que delimita o mapa corresponde
a uma distância de 820 metros, determine a área de cada quadrado.
b)
Contando o número de retângulos com alguma intersecção com a região verde, obtenha uma estimativa A1 para a área do Jardim Botânico.
c)
Seja P o polígono de maior área que pode ser formado tendo como
vértices os pontos interiores ao Jardim Botânico, calcule a área aproximada A2 de P usando o Teorema de Pick.
A A2 . Compare o resultado encontrado com o vaCalcule A 1
2
lor aproximado da área do Jardim Botânico de Curitiba, que é de
278 000 m2.
d)
Nesse caso, temos i = 39 e f = 14. Logo, pelo Teorema de Pick,
14
1 45.
2
Ligando os pontos da grade por meio de segmentos verticais e horizontais,
obtemos um conjunto de quadrados, todos com a mesma área. Essa área
define a unidade na qual a resposta acima é dada. Ou seja, a área do polígono na Figura 1 é igual a 45 unidades de área. Em particular, se a área de
cada quadrado fosse igual a 1 m2, a área do polígono seria igual a 45 m2.
Nesse contexto, responda:
1. Usando as fórmulas para a área de retângulos e triângulos, calcule a área do
322
polígono na Figura 1. Sua resposta está de acordo com o Teorema de Pick?
2. A Figura 2 apresenta um mapa da região do Jardim Botânico de Curitiba, so-
breposto por uma grade de pontos equidistantes. Resolva os seguintes itens:
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 322
Figura 2
Fonte: Google Maps. https://www.google.com/maps/place/
Jardim+Bot%C3%A2nico+de+Curitiba/@-25.4420753,-49.2409591,17z/
data=!3m1!4b1!4m5!3m4!1s0x94dce500d5e96635:0x1a2d
5ec5fddc5654!8m2!3d-25.4420753!4d-49.2387704
21/09/2020 18:57:15
EXT21_1_MAT_B_05
A 39 b)
Sistematização
1.
Área da sala de estar:
Cada quadrado da malha tem 1 cm2 de área. Determine a área
de cada figura:
c)
4.
Área total dos dois cômodos.
Determine a área de cada triângulo abaixo. Use 3 = 1, 73.
MATEMÁTICA • FRENTE B
2.
5,7 m
10 m
b)
a)
Calcule a área das seguintes figuras planas:
a)
8 cm
5 cm
a)
7 cm
b)
11 km
10 cm
12 km
120°
b)
5 cm
5.
No centro de uma praça será construído um chafariz em formato circular, com 6,8 m de diâmetro. Diante disso, calcule a
área e o perímetro da praça destinados ao chafariz.
6.
Calcule a área total A das figuras a seguir. Utilize π=3,14.
D=6m
d= 2 m
a)
3.
A fim de mobiliar alguns cômodos de uma casa, um projetista
desenhará, separadamente, dois deles, conforme os esboços
a seguir. Em cada caso, calcule as informações necessárias para
a execução do projeto.
a)
10 mm
b)
Área e perímetro da cozinha:
3,2 m
5m
4,3 m
1m
135°
5,9 m
1,5 m
1,8 m
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 323
323
EXT21_1_MAT_B_05
5m
21/09/2020 18:57:23
Um engenheiro desenhou uma área de plantio em formato
triangular. Sabe-se que as medidas no projeto são semelhantes
às reais, tal que a razão entre as áreas é 400 e a área real mede
25 m². Diante disso, qual é a área da região desenhada?
8.
Calcule a área dos polígonos regulares abaixo. Considere
s e n72 0 , 95.
a) Pentágono inscrito numa circunferência de raio 2,5cm
com raio de 2,5 cm.
b)
9.
2.
C2:H7 (UERJ-2019) O Tangram é um quebra-cabeça chinês que
contém sete peças: um quadrado, um paralelogramo e cinco
triângulos retângulos isósceles. Na figura, o quadrado ABCD
é formado com as peças de um Tangram.
Fácil
7.
D
C
P
Octógono com apótema de 2 cm e lado 1,6 cm.
R
Observe os triângulos ABD e ADC de áreas 25 m² e 10 m²,
respectivamente. Calcule os itens a seguir.
N
A
MATEMÁTICA • FRENTE B
S
C
B
D
A
C
A razão entre os comprimentos BD e DC.
b)
Supondo o caso de BD
= DC
= 5 m e a altura do triângulo ABC = 7 m,
qual seria a área do triângulo ADC?
●
B
AM – lado do paralelogramo;
● CDR e ADR – triângulos congruentes, bem como CNP e RST.
A razão entre a área do trapézio AMNP e a área do quadrado ABCD equivale a:
3
a)
32
5
b)
32
3
c)
16
5
d)
16
Supondo ainda o caso do item b) e um ponto P como baricentro do
triângulo ABC, qual seria a área do triângulo BPD?
10.
M
Observe os seguintes componentes da figura:
● NP – lado do quadrado;
a)
c)
T
O rendimento de cada litro de uma tinta para superfícies externas é de 25 m2 por demão. Quantos litros serão necessários
para dar duas demãos nas regiões a seguir?
a)
Fácil
3.
15 m
8m
C2:H7 (Atenas Sete Lagoas-2019) Heron de Alexandria foi um
grande matemático que dentre seus trabalhos desenvolveu
uma fórmula capaz de determinar a área de um triângulo
somente através das medidas dos lados. Essa fórmula descarta
a utilização da altura do triângulo, o que as outras expressões
matemáticas não aceitam. Observe a expressão formulada por Heron de
Alexandria e calcule a área da figura: A p(p a) (p b) (p c )
A
15 m
7 cm
5 cm
b)
8m
5m
B
10 m
C
8 cm
O resultado do cálculo é de:
a) 2 2cm2
b) 10 2 cm2
c)
Fácil
4.
22,5 cm2
C2:H8 (Enem-2018) Uma pessoa possui um terreno em forma
de um pentágono, como ilustrado na figura.
Fácil
C2:H7 (UECE-2019) Se as medidas dos comprimentos dos lados
de um triângulo são respectivamente 4 m, 6 m e 8 m, então,
a medida da área desse triângulo, em m2, é
a)
5 6
B
C
A
D
324
b) 3 15
c)
6 5
d)
4 15
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 324
E
21/09/2020 18:58:00
EXT21_1_MAT_B_05
1.
e)
EXT21_1_MAT_B_05
14 m
Enem e vestibulares
10 3cm2
d) 20 3cm2
816
e)
1 632
C2:H8 (Enem Libras-2017) Uma empresa de manutenção
de jardins foi contratada para plantar grama em um campo
de futebol retangular cujas dimensões são 70 m x 100 m.
A grama que será utilizada é vendida em tapetes retangulares de dimensões 40 cm x 125 cm. Quantos tapetes de
grama, no mínimo, serão necessários para cobrir todo o campo de
futebol?
a) 103
b)
140
c)
7 000
d)
10 303
e)
14 000
6.
a)
2x
b)
3x
c)
6x
11.
10x
C5:H8 (Unicamp-2019) No triângulo ABC exibido na figura a
seguir, M é o ponto médio do lado AB, e N é o ponto médio
do lado AC.
A
N
C
M
C2:H7 (UNEMAT-2019) A medida da área do hexágono regular da figura abaixo é 24 3 cm2. As diagonais AD e BE
definem dois losangos congruentes e simétricos inscritos
no hexágono.
Fácil
e)
E
B
D
Se a área do triângulo MBN é igual a t, então a área do triângulo ABC é igual a
a) 3t
c) 4t
F
b)
C
2 3t.
12.
B
D
Sabendo-se que as diagonais AD e BE medem 8 cm, assinale a alternativa
correta que corresponde à área ocupada pelos losangos.
a) 16 3 cm2
d)
8 3 cm2
16 3
cm2
3
18 3 cm2
e)
6 3 cm2
c)
7.
Fácil
22
b)
32
c)
62
d)
58
e)
46
a)
C2:H8 (UPE-2020) Um retângulo tem comprimento com
medida (x + 2), largura com medida (x − 1) e sua área mede
108 m2. Qual será o valor da medida da área desse retângulo, se aumentarmos em 5% a medida do seu comprimento e em 10% a medida de sua largura?
113,40 m2
b)
118,80 m2
c)
124,20 m2
d)
124,74 m2
e)
168,00 m2
Fácil
B
A razão entre a área do quadrilátero EFGD e a área do quadrado ABCD é
1
1
c)
a)
4
3
2
b) 1
d)
3
2
e) 1
13.
Médio
C5:H7 (URCA-2020) A área da figura abaixo é:
A 1 L
1
J
1 I
H
2
7
G
D
2
C
B
d)
79
3
26
82
3
29
e)
Nenhuma das anteriores
a)
b)
a)
13
c)
44
b)
19
d)
84
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 325
F 1 E
4
C2:H7 (EEAR-2019/1) Um trapézio tem 12 cm de base média
e 7 cm de altura. A área desse quadrilátero é ______ cm2.
Fácil
EXT21_1_MAT_B_05
EXT21_1_MAT_B_05
E
A
a)
9.
C
F
C2:H8 (UTFPR-2015) Um terreno retangular tem 704 m2 de
área. A medida de um lado é 10 metros menor que a do
outro. Nesse caso, a medida do maior lado, em metros, é:
8.
G
c)
325
b)
3 2t.
C5:H14 (UFRGS-2019) Considere o quadrado ABCD da figura
a seguir, em que G é o ponto médio de CD, F é o ponto médio
AC
de AC e AE
= EF
=
4
Médio
A
d)
MATEMÁTICA • FRENTE B
700
c)
C5:H8 (CN-2019) O perímetro do triângulo ABC mede x unidades. O triângulo DEF é semelhante ao triângulo ABC e sua
área é 36 vezes a área do triângulo ABC. Nessas condições, é
correto afirmar que o perímetro do triângulo DEF é igual a:
d) 9x
Médio
Fácil
5.
b)
10.
Médio
Sabe-se que a diagonal AD mede 50 m e é paralela ao lado BC, que mede
29 m. A distância do ponto B a AD é de 8 m e a distância do ponto E a AD é
de 20 m. A área, em metros quadrados, deste terreno é igual a
a) 658
d) 1 132
21/09/2020 18:58:39
Médio
C5:H14 (UERJ-2018) Considere na imagem abaixo:
●● os quadrados ACFG e ABHI, cujas áreas medem, respectivamente, S1 e S2;
●● o triângulo retângulo ABC;
●● o trapézio retângulo BCDE, construído sobre a hipotenusa
BC, que contém o ponto X.
17.
C5:H14 (FAMERP-2019) Considere os pontos da malha quadriculada da figura.
Médio
14.
D
C
F
E
X
MATEMÁTICA • FRENTE B
A soma das áreas dos polígonos indicados em vermelho é igual a 16 cm²,
então, a medida do segmento de reta indicado em verde é igual a
B
A
G
I
H
Sabendo que CD = CX e BE = BX, a área do trapézio BCDE é igual a:
b)
Médio
15.
S1 + S2
2
S1 + S2
3
c)
S1 ⋅ S2
d)
(S1 )2 + (S2 )2
18.
Médio
a)
C5:H14 (Enem-2019) Uma administração municipal encomendou a pintura de dez placas de sinalização para colocar em
seu pátio de estacionamento. O profissional contratado para
o serviço inicial pintará o fundo de dez placas e cobrará um
valor de acordo com a área total dessas placas. O formato de
cada placa é um círculo de diâmetro d = 40 cm, que tangencia lados de um
retângulo, sendo que o comprimento total da placa é h = 60 cm, conforme
ilustrado na figura. Use 3,14 como aproximação para p.
d

E
h
PROIBIDO
ESTACIONAR
e)
C2:H8 (FATEC-2019) Uma artesã borda, com lã, tapetes com
desenhos baseados em figuras geométricas. Ela desenvolve
um padrão retangular de 20 cm por 40 cm. No padrão, serão
bordados dois triângulos pretos e quatro triângulos na cor cinza
e o restante será bordado com lã branca, conforme a figura.
Médio
b)
4 2 cm
e)
c)
3 3
cm
4
4 2
cm
3
4 3
cm
3
C2:H9 (Enem-2019) Em um condomínio, uma área pavimentada, que tem a forma de um círculo com diâmetro medindo
6 m, é cercada por grama. A administração do condomínio
deseja ampliar essa área, mantendo seu formato circular, e
aumentando, em 8 m, o diâmetro dessa região, mantendo o
revestimento da parte já existente. O condomínio dispõe, em estoque, de
material suficiente para pavimentar mais 100 m2 de área. O síndico do
condomínio irá avaliar se esse material disponível será suficiente para
pavimentar a região a ser ampliada.
Utilize 3 como aproximação para p.
A conclusão correta a que o síndico deverá chegar, considerando a nova
área a ser pavimentada, é a de que o material disponível em estoque
a) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede
21 m2.
b)
será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede
24 m2.
c)
será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede
48 m2.
d)
não será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada
mede 108 m2.
e)
não será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada
mede 120 m2.
C2:H7 (EsPCEx-2020) Um trapézio ABCD, retângulo em A e D,
possui suas diagonais perpendiculares. Sabendo-se que os
lados AB e CD medem, respectivamente, 2 cm e 18 cm, então
a área, em cm2, desse trapézio mede
Médio
66 240
28 560
16.
d)
a)
120.
d)
30.
b)
60.
e)
240.
c)
180.
20.
C2:H8 (Enem-2015) Uma carga de 100 contêineres, idênticos
ao modelo apresentado na Figura 1, deverá ser descarregada
no porto de uma cidade. Para isso, uma área retangular de
10 m por 32 m foi cedida para o empilhamento desses contêineres (Figura 2).
Médio
c)
22 280
3 2
cm
4
19.
Qual é a soma das medidas das áreas, em centímetros quadrados, das
dez placas?
a) 16 628
d) 41 120
b)
a)
40 cm
6,4 m
20 cm
b)
456
c)
582
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 326
e)
780
2,5 m
Figura 1
21/09/2020 18:59:00
EXT21_1_MAT_B_05
326
Cada triângulo preto é retângulo e isósceles com hipotenusa 12 2cm. Cada
triângulo cinza é semelhante a um triângulo preto e possui dois lados de
medida 10 cm.
Assim posto, a área no padrão bordada em branco é, em cm2,
a) 344
d) 628
EXT21_1_MAT_B_05
2,5 m
490 cm
32 m
490 cm
Área para
armazenar
contêineres
580 cm
580 cm
Esquema II: área restritiva a partir de 2010
Difícil
21.
Figura 2
b)
aumento de 75 400 cm².
De acordo com as normas desse porto, os contêineres deverão ser empilhados de forma a não sobrar espaços nem ultrapassar a área delimitada.
Após o empilhamento total da carga e atendendo à norma do porto, a
altura mínima a ser atingida por essa pilha de contêineres é
a) 12,5 m
c)
aumento de 214 600 cm².
17,5 m
c)
25,0 m
d)
22,5 m
e)
32,5 m
diminuição de 63 800 cm².
e)
diminuição de 272 600 cm².
23.
C5:H8 (CMRJ-2020) A sargento Gisele vai construir uma casa.
O desenho mostra a planta da casa, que terá uma sala e um
banheiro quadrados, e os demais espaços retangulares. A área
total da construção, incluindo quarto, sala, cozinha, banheiro
e quintal, somará 144 m².
Difícil
b)
d)
C2:H7 (Unifor-2015) O Mundo Unifor é um evento realizado pela
Universidade de Fortaleza que promove a produção científica,
cultural e tecnológica da universidade. A foto abaixo representa
o logotipo do Mundo Unifor realizado em 2011, em que se
observam um quadrado, um círculo e um triângulo equilátero.
Suponhamos que o lado do quadrado, o diâmetro da circunferência e o lado
do triângulo equilátero sejam iguais a L. Qual das expressões abaixo representa a soma das áreas dessas três figuras geométricas planas?
Sala
25m2
Quarto
30m2
MATEMÁTICA • FRENTE B
Após executadas as modificações previstas, houve uma alteração na área
ocupada por cada garrafão, que corresponde a um(a)
a) aumento de 5 800 cm².
Quintal
Banheiro
16m2
Cozinha
delespsm.blogspot.com, set./2019
De acordo com as informações da planta, a área do quintal e o perímetro
da cozinha são, respectivamente,
a) 20 m² e 22 m
L2
1 3
4
b)
L2
4 2 3
4
2
Médio
28 m² e 24 m
e)
45 m² e 22 m
24.
c)
L
1 2 3
4
d)
L2
4 4 3
4
e)
22.
42 m² e 24 m
d)
C5:H14 (UFJF-2019) Uma folha de papel retangular (Figura 1)
é dobrada conforme indicado na Figura 2 abaixo:
Difícil
40 m² e 24 m
c)
Figura 1
6 cm
L2
1 4 3
4
C5:14 (Enem-2015) O esquema I mostra a configuração de uma
quadra de basquete. Os trapézios em cinza, chamados de
garrafões, correspondem a áreas restritivas.
580 cm
600 cm
7 cm
9 cm
A área do triângulo cinza escuro na Figura 2, formado após a dobra da
folha, mede, em centímetros quadrados,
a) 31,50
d) 63,00
580 cm
360 cm
360 cm
600 cm
b)
34,65
c)
47,25
EXT21_1_MAT_B_05
Difícil
25.
EXT21_1_MAT_B_05
Figura 2
Esquema I: área restritiva antes de 2010
Visando atender às orientações do Comitê Central da Federação
Internacional de Basquete (Fiba) em 2010, que unificou as marcações das
diversas ligas, foi prevista uma modificação nos garrafões das quadras, que
passariam a ser retângulos, como mostra o Esquema II.
490 cm
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb
327
490 cm
a)
25
b)
49
c)
36
e)
189,00
C5:H14 (IFCE-2019) O triângulo ABC é retângulo em A e tem
catetos medindo 12 cm e 24 cm. Os pontos D, E e F são tomados
em AB, BC e AC, respectivamente, de tal forma que ADEF é um
quadrado. A área desse quadrado, em cm², vale
d) 64
e)
81
327
a)
b)
21/09/2020 18:59:17
C5:H14 (UECE-2019) Considere um terreno com a forma de
um triângulo retângulo cuja medida dos dois menores lados
são respectivamente 30 m e 40 m. Deseja-se cercar um quadrado no interior do terreno com um dos vértices sobre o
maior lado e os demais sobre os outros lados do terreno.
Nessas condições, a medida da área do quadrado, em m2, será, aproximadamente, igual a
c) 290
a) 294
302
27.
d)
e)
C5:14 (EPCAr-2020) Isabel confecciona envelopes a partir de
folhas retangulares de papel A4, conhecido por ter medidas
21 cm por 29,7 cm e 75 g/m².
Difícil
A4
C
29,7 cm
O processo de preparação de cada envelope envolve:
●● dobrar a folha ao meio tanto no sentido da maior medida quanto no
da menor medida;
F
D
A área do triângulo GCE supera a do triângulo GAF em aproximadamente:
a) 27%
d) 11%
b)
25%
c)
21%
70%
298
E
A
e)
6%
C5:14 (Enem-2016) A distribuição de salários pagos em uma
empresa pode ser analisada destacando-se a parcela do total
da massa salarial que é paga aos 10% que recebem os maiores
salários. Isso pode ser representado na forma de um gráfico
formado por dois segmentos de reta, unidos em um ponto P,
cuja abscissa tem valor igual a 90, como ilustrado na figura.
No eixo horizontal do gráfico tem-se o percentual de funcionários, ordenados de forma crescente pelos valores de seus salários, e no eixo vertical
tem-se o percentual do total da massa salarial de todos os funcionários.
100
Massa salarial
acumulada (%)
Difícil
60%
29.
G
MATEMÁTICA • FRENTE B
20%
c)
(FGV-SP-2019) O paralelogramo ABCD, indicado na figura, é
AD
BC
tal que BE = , DF =
e G é a intersecção de EF com AC.
3
4
B
28.
b)
21 cm
b)
Para atingir a meta desejada, o percentual deve ser
a) 40%
d) 30%
Difícil
Difícil
26.
●●
com a folha aberta e a determinação do seu centro, tomar, a partir
deste, sobre a dobra maior, 8 cm para a esquerda e 8 cm para a direita,
e, sobre a dobra menor, 3 cm para cima e 3 cm para baixo, determinando um retângulo;
●●
sobre as menores dimensões deste retângulo, desenhar dois triângulos
equiláteros;
●●
sobre uma das maiores dimensões do retângulo, tomar um triângulo
isósceles de altura 6 cm;
●●
sobre a outra das maiores dimensões do retângulo, desenhar um
trapézio isósceles, cuja medida do ângulo da base maior é igual a 45°
e a altura é igual a 3 cm.
A figura abaixo é uma planificação total de um dos envelopes.
P
Considere 3=1,7
Se o pacote de papel A4 é vendido com 500 folhas e se for confeccionado
apenas um envelope com cada uma das folhas de um pacote, a quantidade
gasta, em gramas, de papel é maior que
a) 800.
B
0
50
90 100
Quantidade de
funcionários (%)
O índice de Gini, que mede o grau de concentração de renda de um deA
terminado grupo, pode ser calculado pela razão
, em que A e B são as
A
+B
medidas das áreas indicadas no gráfico.
b)
750 e menor que 800.
c)
700 e menor que 750.
d)
650 e menor que 750.
A empresa tem como meta tornar seu índice de Gini igual ao do país, que
é 0,3. Para tanto, precisa ajustar os salários de modo a alterar o percentual
que representa a parcela recebida pelos 10% dos funcionários de maior
salário em relação ao total da massa salarial.
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GABARITO
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Façaoodownload
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aplicativo
Questões
ou qualquer aplicativo
1. Faça
aplicativo
SAE SAE
Questões
ou qualquer
de leituradeQRleitura
Code.
aplicativo
QR Code.
Abraooaplicativo
aplicativo
e aponte
o QRQRCode
2. Abra
e aponte
parapara
um dos
Codesaoaolado.
lado
acessardeste
o gabarito
ou o será
solucionário
módulo.
3. para
O gabarito
módulo
exibidodeste
em sua
tela.
Disponível em: www.ipea.gov.br. Acesso
em: 4 maio 2016 (adaptado).
1
A
B
C
D
E
9
A
B
C
D
E
17
A
B
C
D
E
25
A
B
C
D
E
2
A
B
C
D
E
10
A
B
C
D
E
18
A
B
C
D
E
26
A
B
C
D
E
3
A
B
C
D
E
11
A
B
C
D
E
19
A
B
C
D
E
27
A
B
C
D
E
4
A
B
C
D
E
12
A
B
C
D
E
20
A
B
C
D
E
28
A
B
C
D
E
5
A
B
C
D
E
13
A
B
C
D
E
21
A
B
C
D
E
29
A
B
C
D
E
6
A
B
C
D
E
14
A
B
C
D
E
22
A
B
C
D
E
7
A
B
C
D
E
15
A
B
C
D
E
23
A
B
C
D
E
8
A
B
C
D
E
16
A
B
C
D
E
24
A
B
C
D
E
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 328
EXT21_1_MAT_B_05
328
Cartão-resposta
21/09/2020 18:59:29
Circunferência, círculo
e polígonos regulares
Circunferência e círculo
Considere um ponto C do plano,
uma circunferência de centro C e raio R é o conjunto de
todos os pontos do plano que
estão a uma distância R de C.
Perceba que só faz sentido considerar R > 0
e, sendo assim, o centro não é um ponto da
circunferência.
Um círculo é a região limitada do plano formada
pela circunferência e pela região interna a ela.
Um ponto cuja distância até o centro é menor
que R é interior à circunferência e pertencente ao
círculo. Se a distância é maior que R, então ele será
exterior tanto ao círculo quanto à circunferência.
Observe o exemplo:
Stonehenge, monumento do período neolítico formado por
círculos concêntricos de pedras que chegam a ter cinco
metros de altura e a pesar quase cinquenta toneladas.
A
Nº de aulas
03
<R
B
>R
C
R
Escola Digital
A distância do ponto A até o centro é < R, a distância do ponto B até o centro é = R e a distância do
ponto D até o centro é > R.
Elementos da
circunferência
Circunferência
Corda
Diâmetro
Centro
EXT21_1_MAT_B_06
Raio
Os círculos e as circunferências apresentam
infinitos eixos de simetria. Na antiguidade, essas
formas também representavam os astros, as divindades e os calendários.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 329
Frente B
mód. 06/26
06
Pedra do Sol asteca.
Já vimos que o comprimento da circunferência é 2π e pode ser obtido por aproximação do
perímetro de um polígono regular quando o número de lados desse polígono é muito grande.
Arquimedes de Siracusa (278-212 a.C.) conseguiu
estimar o valor de π como sendo a razão entre
o comprimento da circunferência e seu diâmetro, obtendo 3,140845 < π < 3,142857. Foi em
1768 que o matemático suíço Johann Heinrich
Lambert provou que π é um número irracional,
ou seja, que sua representação decimal é infinita e não periódica. No entanto, em cálculos manuais é comum utilizar 3,14 , a aproximação
mais conhecida de π, que aliás determinou a escolha do Dia do Pi, comemorado em 14 de março por causa da notação norte-americana para
essa data (3/14).
Fishman64/Shutterstock
Uma corda é qualquer segmento de reta que une
dois pontos de uma circunferência. Se uma corda
passa pelo centro C, ela é chamada de diâmetro D
e seu comprimento será o dobro do comprimento
do raio R.
MAT
D
O símbolo (π) é uma letra grega minúscula,
a primeira da palavra περίµετρος, que significa
“perímetro” (em português).
Dia do Pi é comemorado no mundo inteiro. IMPA. 14 mar.
2018. Disponível em: https://impa.br/noticias/dia-do-pi-ecomemorado-no-mundo-inteiro/. Acesso em: 24 ago. 2020.
329
21/09/2020 18:59:49
Arcos
Radiano
Considere uma circunferência e dois pontos A e B contidos
nela. Esses dois pontos dividem a circunferência em duas par . Um arco também pode
tes chamadas de arcos e a notação é AB
ser entendido como a porção da circunferência compreendida
entre dois raios.
A

Arco maior BA
C

Arco menor AB
Há uma relação entre um ângulo central da circunferência
e o comprimento do arco que esse ângulo delimita. Considere
que uma circunferência de centro C foi dividida em 360 arcos
iguais. Cada um desses arcos é gerado por dois raios e o ângulo
entre eles é 1°, então, o comprimento de cada um deles será
1
2r . Portanto, um ângulo α medido em graus produzirá
360
1
r
2r .
um arco de comprimento 180
360
Agora podemos definir o radiano, outra unidade de medida
para ângulos.
 de comprimento R. A
Considere na figura a seguir o arco AB
MATEMÁTICA • FRENTE B
 corresponde a 1 radiano (1 rad).
medida do ângulo BCA
B
B
Já a região do círculo compreendida entre dois raios é chamada de setor. Observe a figura:
R
A
R
C

Arco maior BA
A

C setor menor Arco menor AB
setor maior
Como o comprimento da circunferência é 2πR , temos que
360° correspondem a 2π rad. Para determinar a medida em
graus de um 1 rad, procedemos da seguinte maneira:
B
Lembre-se de que dois segmentos de reta não coincidentes de
mesma origem determinam um ângulo. Quando esses segmentos
são os raios de uma circunferência, eles formam um ângulo central
α. Se um ângulo b é formado por duas cordas da circunferência de
mesma origem, ele é chamado de ângulo inscrito.
Quando um ângulo central (α) e um inscrito (b) de uma circunferência determinam o mesmo arco sobre ela, temos que
2
.
O aluno poderá encontrar os conceitos apresentados acima nas questões
1, 2 e 4 e 10 da seção Sistematização e nas questões 1 e 15 da seção Enem
e vestibulares.
ângulo inscrito
β
C
ângulo central
α
9
180
57,2958°
Exemplo: Transforme 45° em radianos.
Solução:
A medida de 45° em radianos pode ser obtida por regra de três simples.
Se 360° correspondem a 2 π rad, aplicando a regra de três, temos que
45 2 45° corresponderão a
rad.
360
4
Áreas
Área de polígono inscrito
em uma circunferência
B
D
180 rad rad A
Dizemos que um polígono convexo está inscrito em uma
circunferência quando todos os vértices desse polígono pertencem a ela e todos os lados estão no interior dela, isto é, no círculo que essa circunferência determina. No caso de polígonos
regulares, a medida do raio da circunferência coincide com a
distância entre o centro do polígono e seu vértice.
Na figura a seguir, o ângulo inscrito é reto e delimita um arco
 de 180°. Assim, o segmento de reta AB coincide com o diâAB
metro da circunferência. O triângulo ABC é retângulo e o ponto
médio da hipotenusa AB é o centro. Perceba que nesse caso a mediana OC, relativa à hipotenusa, é um raio dessa circunferência.
C
R
b
a
330
A
a
b
r
O
r
B
Nesse caso, dizemos que o triângulo está inscrito em
uma semicircunferência.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 330
L
a
A área de um polígono de n lados é dada por A= n ⋅ L ⋅ , sendo
2
a o comprimento do apótema e L o comprimento do lado desse
polígono. Em um polígono regular, todos os lados têm o mesmo
a
comprimento, logo, A= n L p a, sendo p o seu semiperímetro.
2
21/09/2020 19:00:23
EXT21_1_MAT_B_06
r
EXT21_1_MAT_B_06
a
Área do círculo
A área do círculo corresponde à medida da superfície dessa figura. Levando em conta a medida de seu raio (r), a área A do
círculo é dada por A r 2 .
Área de setor circular
A área de um segmento circular de duas bases é a diferença
entre a área do segmento maior e a do menor.
área de um
segmento
circular S
área de um
segmento
circular maior S1.
área de um
segmento
circular menor S2.
A área de um setor circular será uma fração da área do círculo de acordo com o ângulo que gerou o setor.
A
–
=
S = S1 – S2
R
Área da coroa circular
B
Uma volta completa na circunferência corresponde a 360°,
então, a área do setor pode ser calculada multiplicando a área
α
R 2
da circunferência por
, ou seja, A= R 2 .
360 360
360
9
Esta técnica de calcular a área de uma região a partir da diferença entre outras duas ou mais áreas conhecidas é útil para
determinar a área da coroa circular, a figura plana formada por
duas circunferências de mesmo centro (concêntricas) e os pontos exteriores à circunferência interna que não ultrapassam a
circunferência externa.
setor de coroa circular
Exemplo: Calcule a área do setor circular em destaque.
A
A
MATEMÁTICA • FRENTE B
α
1 cm
α = 72°
α
R
r
B
Solução:
Se α = 72° e o raio da circunferência é 1 cm, segue que a área
72 12 daquele setor será
cm2.
360
5
Área de segmento circular
Um segmento circular é a interseção de um círculo com o
semiplano definido por uma corda e que não contém o centro
do círculo. Qualquer corda da circunferência divide o círculo em
dois segmentos circulares. Observe a figura:
A
Note ainda que a área do setor de coroa circular será uma
fração da área da coroa inteira de acordo com o ângulo central
do setor.
O cálculo das áreas descritas no conteúdo acima pode ser encontrado nas questões 6, 8
e 9 da seção Sistematização e nas questões 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 17, 18, 19, 20
da seção Enem e vestibulares.
R
Posição relativa entre
retas e circunferência
EXT21_1_MAT_B_06
EXT21_1_MAT_B_06
Reta secante
O cálculo da área de um segmento circular é feito de maneira indireta. Primeiramente, observe que os extremos da corda
que limita o segmento circular são pontos da circunferência. Por
isso, traçando os raios que ligam cada um dos pontos ao centro da circunferência, podemos notar que a área do segmento
circular é a diferença entre a área do setor e o triângulo formado pelos raios e pela corda. Para calcular a área do segmento
da figura, basta conhecer o ângulo e o raio da circunferência; a
partir daí, a área do triângulo é calculada pela fórmula trigonoR 2 R 2 sin métrica. Se α é dado em graus, a área é A ; para
360
2
2
2
2
R R sin R
α em radianos, temos A ( sin ).
2
2
2
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 331
Uma reta que intersecta a circunferência
em dois pontos quaisquer é dita secante à
circunferência. Ou seja,
essa reta possui apenas
dois pontos em comum
com a circunferência.
A
t
B
s
O
A reta s é secante à
circunferência de centro O e determina uma corda de extremidades
em A e B dessa circunferência. Note que a reta t
que passa por O e é perpendicular a s obrigatoriamente intersecta o ponto médio de AB .
331
α
Se o círculo maior tem raio R, sua área é πR 2; se o raio do menor é r, a área será πr2 e, logo, a área da coroa é igual a π(R 2 – r2).
21/09/2020 19:00:30
Reta tangente
Observe que pot(P) > 0 se P é exterior à circunferência,
pot(P) < 0 se P é interior e pot(P) = 0 se P pertence à circunferência.
Uma reta que intersecta a circunferência em um único ponto é dita tangente à circunferência.
N
Relação entre cordas
Na circunferência a seguir, temos duas cordas, AB e CD, que
se cortam em um ponto P, distinto do centro O.
t
A
D
O
P
MATEMÁTICA • FRENTE B
C
A reta t e a circunferência de centro O têm apenas o ponto
N em comum. Note também que o raio que liga o centro O ao
ponto N é perpendicular a t.
Se duas retas tangentes a uma circunferência nos pontos A
e B se intersectam em um ponto externo P, os segmentos AP e
BP são congruentes.
A
B
Se P é o ponto de interseção entre duas cordas AB e CD, então
PA PD
PA PB PC PD = constante
PC PB
Portanto, se duas cordas de uma mesma circunferência se
intersectam, o produto das medidas das duas partes de uma das
cordas é igual ao produto das medidas das duas partes da outra.
P
O
9
Exemplo: Determine o valor de x
x
1
B
x+5
Potência de um ponto
16
Considere diversas secantes a uma mesma circunferência,
todas passando pelo mesmo ponto P.
B1
Solução:
A1
B2
1· (x +5) = x · 16 ⇒ x + 5 = 16x ⇒ ⇒ 15x = 5 ⇒ x= 3
A2
P
A3
A mesma proporção que vimos na relação entre cordas
ocorre se P é externo e comum a duas secantes à circunferência:
A4
B3
Relação entre secantes
B4
A
B
Podemos escrever:
P
PA 1 PB1 PA 2 PB2 ... constante
D
Essa relação indica que o produto entre a medida do segmento da secante e a medida de sua parte externa é sempre
constante. A essa relação damos o nome de potência de um ponto em relação a uma circunferência expressa por pot P PA PB.
C
Se P é externo e obtido do prolongamento das cordas AB e
Cálculo da potência
A figura nos mostra uma reta secante à circunferência, passando pelo centro com a distância d entre o ponto P e o centro
da circunferência.
CD, então: PA PD PA PB PC PD .
PC PB
9
Exemplo: Determine o valor de x
8
10
r
O
r
A
P
x
d
EXT21_1_MAT_B_06
B
11
332
Solução:
Como já vimos, pot P PA PB e PA d r e PB d r, temos
então: pot P d r d r → pot P d2 r 2.
18 · 10 = (11 + x) · x ⇒ 180 = 11x + x2
x2 + 11x – 180 = 0 encontrando as raízes, temos que x = 9
Os conceitos relacionados à posição relativa entre retas serão encontrados na questão
7 da seção Sistematização e nas questões 9, 14, 16, 21 e 22 da seção Enem e vestibulares.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 332
21/09/2020 19:00:43
FIXAR
A r 2
R
R 2
360
R
a
Área de um
setor circular
Círculo
α
B
R 2 R 2 sin 360
2
R2
A ( sin )
2
A
A
Área de
segmento circular
Área da coroa
circular
α
(R 2 r 2 )
r
O
R
A
rad B
B
d
A
Circunferência
R
MATEMÁTICA • FRENTE B
Área de círculo
a
n ⋅L ⋅
2
A
Área
Polígono inscrito
s
O
180°
57,2958°
Reta secante
Relações
entre retas e
circunferência
Potência de um ponto
B1
A1
A2
A3
B2
B3
Circunferência
Corda
Elementos
P
A4
B4
pot P PA PB
Arco
maior BA
A
Arco
C setor
menor menor AB
setor maior
Reta tangente
B
D
C
O
Relação entre cordas
B
β
t
A
α
D
P
A
Relação entre cordas
C
EXT21_1_MAT_B_06
EXT21_1_MAT_B_06
ângulo inscrito b
ângulo central α
2
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 333
B
PA PD
PA PB PC PD
PC PB
A
C
B
D
P
333
Diâmetro
Centro
Raio
21/09/2020 19:01:05
Interação
1.
Eclipse lunar é o fenômeno que ocorre quando a Lua passa
atrás da sombra da Terra. A Figura 1 mostra a sequência completa de um eclipse lunar.
4.
O raio das rodas de um automóvel é igual a 34 cm. Que distância percorreu o automóvel depois que cada roda completou
16 000 voltas?
5.
Um piloto de automobilismo descreve um arco de 1 000° sobre
a circunferência da pista, cujo raio mede 1 km. Calcule a distância percorrida pelo atleta nesse trecho.
6.
Um ângulo inscrito de 90° gera um triângulo retângulo inscrito
na semicircunferência de centro C e seus catetos têm medida
1 cm e 2 cm. Determine o comprimento da mediana relativa
à hipotenusa desse triângulo.
F
α
sol
Veranika _Alferava, stockish/Shutterstock
MATEMÁTICA • FRENTE B
Note que a fronteira da sombra da Terra projetada na Lua tem a forma de
um arco de circunferência. No século IV a.C., o filósofo grego Aristóteles
interpretou essa observação como evidência de que a Terra é esférica. Cerca
de um século depois, o astrônomo grego Eratóstones conseguiu estimar o
comprimento da circunferência terrestre combinando observações simples
com noções básicas de geometria. Especificamente, Eratóstenes notou
que ao meio-dia do solstício de verão, na cidade de Siene (atual Assuã,
no Egito), a luz do Sol incidia perpendicularmente ao solo. Ao mesmo
tempo, obeliscos na cidade de Alexandria projetavam sombras, conforme
ilustrado a seguir.
α = 90°
2 cm
1 cm
C
G
7.
H
As áreas de dois círculos concêntricos são, respectivamente,
1 386 cm2 e 1 886,5 cm2. Sobre a coroa circular formada por
esses dois círculos, calcule:
a)
O raio dessa coroa.
b)
A área do setor dessa coroa correspondente ao ângulo
π
rad.
6
A região ABC será coberta por duas marquises nas regiões
tracejadas, conforme a imagem abaixo. Considerando a altura
 reto, calcule a área onde será
OC igual a 1,5 m e o ângulo ACB
instalada a cobertura.
8.
C
α
a)
Por que os ângulos indicados na ilustração têm ambos a mesma
medida α?
b)
Eratóstenes estimou α = 7,2 graus. Sabendo que a distância entre
Alexandria e Siene é de 843 km, qual o comprimento da circunferência
da Terra?
c)
Atualmente sabe-se que a circunferência terrestre tem 40 075 km. Qual
o erro na estimativa obtida no item b)?
A
9.
B
O
Calcule o raio r da circunferência inscrita no trapézio retângulo.
30
r
Sistematização
50
Nas questões a seguir, considere 3,14.
( ) Uma corda que passa pelo centro de uma circunferência
é um diâmetro.
2.
334
3.
60
10.
Serão inaugurados cinco estabelecimentos em uma praça de
formato circular, conforme a imagem a seguir.
( ) Um ângulo central tem o centro da circunferência como vértice e seus
lados contêm dois raios dela.
D
( ) Dois círculos são círculos concêntricos se e somente se tiverem raios
congruentes.
8
Deseja-se construir duas pistas esportivas no formato circular,
uma com o comprimento igual a 5 km e outra com raio igual
a 0,5 km. A pista com menor comprimento ficará na região
interna do local, e a maior, na área externa. Diante disso, encontre o comprimento da menor pista.
Um ângulo inscrito em uma circunferência de raio 10 cm
produz um arco de medida igual a 6 cm. Calcule a medida
deste ângulo.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 334
Bx C
A
16
5
E
Determine o comprimento x, em metros, do segmento BC, ou seja, a distância entre os estabelecimentos B e C.
21/09/2020 19:01:22
EXT21_1_MAT_B_06
Julgue as sentenças como verdadeiras ou falsas:
( ) Qualquer segmento de reta que une dois pontos de uma
circunferência é um raio.
EXT21_1_MAT_B_06
1.
Para a realização de um evento, uma praça circular será cercada.
Para isso, serão gastos R$10,50 por metro de material.
Considerando que o diâmetro dessa praça é de 40 metros,
qual será o valor gasto com a cerca nesse evento?
a)
R$1.601,40
d)
R$1.600,00
b)
R$2.637,60
e)
R$2.494,20
c)
R$1.318,80
12.
4.
C6:H7 (PUCRS-2016) Uma pracinha com formato circular ocupa
uma área de 100 π m2. No terreno dessa área, foram colocados
3 canteiros em forma de setor circular, cada um formado por
um ângulo central de 30°, como na figura. A área total ocupada
pelos canteiros é, em m2,
Fácil
11.
α = 45°
d)
50 π
3π
e)
75 π
c)
25 π
d)
157 cm
b)
83,55 cm
e)
139,25 cm
c)
78,5 cm
Fácil
30 cm
314 cm
Enem e vestibulares
a)
1 413
b)
1 884
c)
2 826
Fácil
6.
C6:H10 (EEAR-2016) Um carrinho de brinquedo que corre em
uma pista circular completa 8 voltas, percorrendo um total de
48 m.
Fácil
π
b)
5.
a)
1.
a)
a)
5 2
C6:H7 (IFAL-2017) Um estudante do Curso de Mecânica do IFAL
dispõe de uma placa metálica quadrada de lado 60 cm. Qual
será a área de um círculo inscrito nessa placa em centímetros
quadrados? Use π = 3,14.
d) 5 652
e)
C6:H7 (Unicentro-2019) Considerando um círculo de raio R1
igual a 10 cm e, em seu interior, outro círculo concêntrico de
raio R2, assinale a alternativa que contempla o valor de R2, de
forma que a área da coroa formada entre os círculos concêntricos seja igual à área do círculo inscrito.
d) 6,5
e)
b) 5 3
c)
Fácil
C6:H7 (FMP-2019) A figura abaixo mostra um círculo que representa uma região cuja área mede 600 m2 No círculo está
destacado um setor circular, definido por um ângulo central
que mede 24°
Desprezando a largura da pista e considerando π = 3, o seu raio é, em
metros, igual a
a) 0,8
c) 1,2
b)
1,0
2.
d)
10
6
7.
R
11 304
MATEMÁTICA • FRENTE B
Um setor circular a seguir possui ângulo igual a 45° e raio igual
a 30 cm. Qual é o perímetro desse setor circular?
24°
2,0
a)
4
d)
6 3
b)
4 3
e)
12
c)
8
3.
Fácil
C6:H7 (FMP-2019) A figura abaixo mostra um círculo que representa uma região cuja área mede 600 m2. No círculo está
destacado um setor circular, definido por um ângulo central
que mede 24°.
Quantos metros quadrados mede a área da região representada pelo
setor circular?
a) 25
d) 48
8.
Fácil
Fácil
C6:H7 (EAM-2019) Sendo um hexágono regular inscrito em
um círculo de raio 2, calcule a medida da diagonal maior desse
hexágono e assinale a opção correta.
b)
40
c)
24
e)
20
C2:H8 (Enem-2018) A rosa dos ventos é uma figura que representa oito sentidos, que dividem o círculo em partes iguais.
N
NE
NO
24°
Quantos metros quadrados mede a área da região representada pelo
setor circular?
a) 25
d) 48
b)
40
c)
24
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 335
e)
20
L
SE
SO
S
Uma câmera de vigilância está fixada no teto de um shopping e sua lente
pode ser direcionada remotamente, através de um controlador, para
335
EXT21_1_MAT_B_06
EXT21_1_MAT_B_06
O
21/09/2020 19:01:33
qualquer sentido. A lente da câmera está apontada inicialmente no sentido
Oeste e o seu controlador efetua três mudanças consecutivas, a saber:
- 1.ª mudança: 135° no sentido anti-horário;
- .ª mudança: 60° no sentido horário;
- 3.ª mudança: 45° no sentido anti-horário.
Após a 3.ª mudança, ele é orientado a reposicionar a câmera, com a menor
amplitude possível, no sentido Noroeste (NO) devido a um movimento
suspeito de um cliente.
Qual mudança de sentido o controlador deve efetuar para reposicionar
a câmera?
a) 75° no sentido horário.
b)
105° no sentido anti-horário.
c)
120° no sentido anti-horário.
d)
135° no sentido anti-horário.
O comprimento de uma correia tensionada que envolve externamente as
seis circunferências mede, em cm,
a) 18 + 3π
d) 60 + 10π
e)
165° no sentido horário.
b)
30 + 10π
c)
18 + 6π
●
22% dos alunos usam tênis.
●
30% dos alunos usam sapatos.
12.
36 + 6π
C6:H7 (PUCPR-2020) A figura a seguir representa um setor
circular e um quadrado RSTV inscrito nesse setor. A razão entre
 e o comprimento do arco BD
 é:
o comprimento do arco TV
Médio
●
C6:H7 (UNIFOR-2020) Uma indústria calçadista fez uma pesquisa com 450 alunos de um colégio estadual para saber os
tipos de calçados mais usados pelos alunos do referido colégio.
A pesquisa apresentou os seguintes dados:
48% dos alunos usam sandália.
Médio
MATEMÁTICA • FRENTE B
9.
e)
D
R
Tênis
(ângulo b)
A
Sandália
(ângulo α)
V
60°
S
Sapato
(ângulo θ)
T
B
O resultado acima foi representado pelo gráfico de setores, como mostra
a figura. Sendo assim, podemos afirmar que o ângulo θ mede:
a) 95°
100°
c)
105°
d)
108°
e)
110°
10.
c)
13.
C6:H10 (Enem-2018) Um brinquedo chamado pula-pula,
quando visto de cima, consiste de uma cama elástica com
contorno em formato de um hexágono regular.
Médio
b)
A
L
B
1
2
1
3
1
4
d)
1
5
e)
1
C6:H10 (Fac. Albert Einstein-2019) Já funciona no extremo sul
da costa brasileira um radar capaz de detectar e identificar
embarcações em alto-mar depois da curvatura da Terra. Feito
com apoio da Marinha, o radar OTH chega a acompanhar o
tráfego de navios a cerca de 370 km da costa.
Médio
b)
a)
http://revistapesquisa.fapesp.br, 24.08.2018. Adaptado.
O feixe de ondas desse radar fornece uma cobertura de 120 graus a partir
da antena transmissora, conforme exemplificado na ilustração:
O
Se a área do círculo inscrito no hexágono é 3π metros quadrados, então a
área do hexágono, em metro quadrado, é
a) 9
9 2
d)
12
Considere que a área de cobertura indicada na figura represente um setor
circular no plano. De acordo com os dados, a área de cobertura desse radar
é um valor entre
a) 40 000 km² e 50 000 km².
e) 12 3
Médio
336
11.
C6:H10 (ITA-2017) Seis circunferências de raio 5 cm são tangentes entre si duas a duas e seus centros são vértices de um
hexágono regular, conforme a figura abaixo.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 336
b)
140 000 km² e 150 000 km².
c)
230 000 km² e 240 000 km².
d)
310 000 km² e 320 000 km².
e)
420 000 km² e 430 000 km².
21/09/2020 19:01:57
EXT21_1_MAT_B_06
6 3
c)
EXT21_1_MAT_B_06
b)
http://revistapesquisa.fapesp.br. Adaptado.
14.
Médio
C6:H10 (UFMS-2019) Para o projeto de reforma de uma casa,
foi planejada a troca do piso da cozinha. Foi escolhido um
modelo de piso representado pela Figura 1. No momento de
assentar o piso, unindo quatro peças e invertendo a posição
de três delas, obtém-se a Figura 2.
r
A
C
10 cm
A
B
D
F
C
Figura 2
Figura 1
Figura 2
Os lados da Figura 1 medem 2 cm cada. A estampa do piso é formada por
arcos de circunferência, com centros nos pontos E, C e F, de tal forma que
BE = EC e DF = FC. Quanto mede a área escura da Figura 2?
a) 6 – πcm2
d) π – 2 cm2
20 – 2π cm2
c)
4π – 8 cm2
15.
e)
24 – 4π cm2
Médio
C6:H7 (Unicamp-2018) A figura abaixo exibe um setor circular
dividido em duas regiões de mesma área. A razão a/b é igual a
62π cm
b)
102π cm
c)
(42π+ 20)
d)
(82π+ 20) cm
e)
[2(11 14 ) 20] cm
18.
C2:H7 (UECE-2019) Um losango está circunscrito a uma circunferência cuja medida do raio é igual a 4,8 m Se a medida da área
do losango é igual a 96 m, então, é correto concluir que o
comprimento do lado desse losango, em metros, é igual a
Médio
b)
a)
b
a)
9.
c)
11.
b)
8.
d)
10.
19.
C2:H7 (EEAR-2019) O segmento AT é tangente, em T, à circunferência de centro O e raio R = cm. A potência de A em
relação à circunferência é igual a ______ cm2.
Médio
a
MATEMÁTICA • FRENTE B
E
B
T
a)
3 +1
c)
3
b)
2 +1
d)
2
16.
30º
Médio
C6:H7 (EEAR-2018) Considere o quadrilátero ABCO, de vértices
A, B e C na circunferência e vértice O no centro dela. Nessas
condições, x mede
A
O
B
A 50°
50°
x C
O
a)
16
c)
192
b)
64
d)
256
20.
Difícil
C6:H7 (Fac. Albert Einstein-Medicina-2018) Uma circunferência
tangencia o lado BC de um triângulo ABC no ponto F e intersecta os lados AB e AC desse triângulo nos pontos E e D, respectivamente, conforme mostra a figura.
220°
BE = 4cm B
30°
c)
55°
b)
45°
d)
60°
E
BF = 8cm
C6:H10 (UNAERP-2016) A figura 1 é a visão frontal de um vaso
de jardim sustentado por um suporte de ferro que não está
ilustrado. Sabendo que essa figura é simétrica com r, seu eixo
 , arco da circunferência de centro C, qual é o
de simetria, e AB
perímetro da figura?
F
A
D
CD = 4cm
CF = 6cm
C
Sabendo que essa circunferência passa pelo ponto A, a distância entre os
pontos D e E, em cm, é igual a
a) 10,5.
Figura 1
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 337
b)
10,9.
c)
11,3.
d)
11,7.
337
EXT21_1_MAT_B_06
EXT21_1_MAT_B_06
Médio
17.
a)
21/09/2020 19:02:14
21.
Difícil
C6:H10 (UECE-2019) Se a distância entre os centros de duas
circunferências cujas medidas dos raios são respectivamente
6 m e 8 m é igual a 10 m, então, a medida, em metros, do
comprimento da corda comum às duas circunferências é
a)
Medição 2
Medição 3
Fiscal 1
3
3
4
Fiscal 2
2
4
5
9,4.
b)
9,8.
c)
9,2.
d)
9,6.
22.
Difícil
C6:H7 (EEAR-2018) O triângulo ABC está inscrito na circunferência. Se BC = 8, a medida do raio é
A
MATEMÁTICA • FRENTE B
Medição
B
45°
45°
22
, assinale a alterna7
tiva que apresenta, corretamente, a quantidade de pessoas que estiveram
presentes na manifestação naquele trecho.
a) 11 mil
Considerando essa metodologia e a aproximação π ≈
C
a)
4 2
b) 2 2
b)
22 mil
c)
4
c)
27 mil
d)
2
d)
31 mil
e)
33 mil
23.
C6:H7 (CN-2018) Observe a figura a seguir.
C6:H7 (FGV-SP-2016) A figura indica um semicírculo de centro
C e diâmetro DE = 24 cm, e um triângulo retângulo ABC. A área
sombreada no semicírculo é igual a 69π cm2.
Difícil
Difícil
25.
120°
D
A
α
Essa figura representa um triângulo equilátero, inscrito numa circunferência maior, e circunscrito a uma outra circunferência menor de raio igual a
2 cm, onde destacou-se a região com ângulo central de 120°. Sendo assim,
é correto afirmar que a área total correspondente à parte sombreada
mede, em cm2:
10 π
a)
3
15π
b)
4
16 π
c)
3
17π
d)
5
13π
e)
3
Estabelece-se a área A (em m2) da região delimitada pelo trecho da
manifestação;
2.
Posicionam-se alguns fiscais que ficam responsáveis, cada um, por
uma sub-região fixa e exclusiva do trecho urbano, a fim de coletar, de
maneira simultânea e periódica, quantas pessoas se encontram em
sua sub-região no momento de cada medição;
338
3.
Calcula-se a média M de todas as medições realizadas por todos os
fiscais;
4. Ao final, declara-se que há A · M pessoas presentes na manifestação.
Suponha que uma manifestação ocorreu na região hachurada dada pelo
setor de uma coroa circular de centro O (conforme figura) e que foi observada por 3 medições com 2 fiscais cada, cujas tabelas dos dados coletados
encontram-se a seguir.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 338
b)
75,5°.
c)
82°.
26.
e)
85°.
C6:H7 (UFRGS-2015) As circunferências do desenho abaixo
foram construídas de maneira que seus centros estão sobre a
reta r e que uma intercepta o centro da outra. Os vértices do
quadrilátero ABCD estão na interseção das circunferências
com a reta r e nos pontos de interseção das circunferências.
D
A
C
B
r
21/09/2020 19:02:35
EXT21_1_MAT_B_06
1.
 , denotado por α, é igual a
Nas condições descritas, a medida do ângulo CAB
a) 75°.
d) 82,5°.
EXT21_1_MAT_B_06
Difícil
C6:H10 (UEL-2017) Com a finalidade de se calcular a quantidade
de pessoas presentes em manifestações sociais em determinado trecho urbano, são utilizadas diferentes metodologias,
sendo que uma delas consiste em quatro etapas:
B
E
Difícil
24.
f
C
Se o raio de cada circunferência é 2, a área do quadrilátero ABCD é:
3
2
b) 3 3
a)
3
c)
6 3
d)
8 3
e) 12 3
27.
Difícil
C6:H7 (EPCAr-2018) Um artista plástico providenciou uma peça
de decoração com características matemáticas conforme representado no croqui a seguir.
C
D
B
E
A
MATEMÁTICA • FRENTE B
O
F
G
A1
Considere que:
OA
= OB
= OC
= OD
= OE
= OF
= OG
= OH
= R.
, BC
, CD
, DE
, EF
, FG
, GH
, HA
ora têm centro
Os arcos de circunferência AB
no ponto médio de cada uma das cordas AB, BC , CD, DE , EF, FG, GH, HA,
respectivamente, ora têm centro no ponto O.
π=3
2 = 1, 4
A área hachurada do croqui, em função da medida R, é igual a:
a) 1,4 R2
c) 1,8 R2
b)
1,6 R2
28.
d)
2 R2
Difícil
C6:H7 (UFRGS-2015) Quatro círculos de raio r foram traçados
de forma que sejam tangentes entre si dois a dois, como na
figura abaixo. As distâncias entre os centros de dois círculos
não tangentes entre si têm a mesma medida.
GABARITOE ONLINE
GABARITO
SOLUCIONÁRIO ONLINE
A distância entre os centros de dois círculos não tangentes entre si é
a) 2r.
d) 2r 2.
b)
r2.
c)
r 2.
e)
Façaoodownload
downloaddodo
aplicativo
Questões
ou qualquer aplicativo
1. Faça
aplicativo
SAE SAE
Questões
ou qualquer
de leituradeQRleitura
Code.
aplicativo
QR Code.
Abraooaplicativo
aplicativo
e aponte
o QRQRCode
2. Abra
e aponte
parapara
um dos
Codesaoaolado.
lado
acessardeste
o gabarito
ou o será
solucionário
módulo.
3. para
O gabarito
módulo
exibidodeste
em sua
tela.
r2 2.
1
A
B
C
D
E
8
A
B
C
D
E
15
A
B
C
D
E
22
A
B
C
D
E
2
A
B
C
D
E
9
A
B
C
D
E
16
A
B
C
D
E
23
A
B
C
D
E
3
A
B
C
D
E
10
A
B
C
D
E
17
A
B
C
D
E
24
A
B
C
D
E
4
A
B
C
D
E
11
A
B
C
D
E
18
A
B
C
D
E
25
A
B
C
D
E
5
A
B
C
D
E
12
A
B
C
D
E
19
A
B
C
D
E
26
A
B
C
D
E
6
A
B
C
D
E
13
A
B
C
D
E
20
A
B
C
D
E
27
A
B
C
D
E
7
A
B
C
D
E
14
A
B
C
D
E
21
A
B
C
D
E
28
A
B
C
D
E
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 339
339
EXT21_1_MAT_B_06
EXT21_1_MAT_B_06
Cartão-resposta
21/09/2020 19:02:55
02
Qual é o conjunto dos divisores inteiros de 75?
Com o desenvolvimento da tecnologia, as funcionalidades da internet também se modificaram, de
maneira que, hoje, conseguimos facilmente realizar
transações online, ação que já faz parte de nosso
cotidiano. Para que houvesse segurança ao fornecer
dados pessoais e bancários, senhas e números de cartões de crédito pela internet, foi necessário criar ferramentas de criptografia que garantissem a privacidade
dos usuários. Por trás das mais avançadas técnicas de
segurança digital estão os números primos.
Toda vez que efetuamos uma compra online é
gerado um número com muitos dígitos, normalmente formado pelo produto de dois números primos.
Embora tal número seja público, somente quem tem
acesso a esses dois primos usados na multiplicação
pode decifrar a mensagem com os dados da compra.
Quanto maior o número primo, mais difícil é decifrar
a mensagem, por isso empresas que trabalham com
segurança online têm muito interesse na descoberta de números primos cada vez maiores, chegando a
pagar prêmios milionários para quem os descobrir.
Para compreender melhor os números primos,
precisamos primeiramente definir os conceitos de
múltiplos e divisores.
Múltiplos
Múltiplos e divisores
MAT
Se p e q são números inteiros quaisquer e existe
um número inteiro k tal que p = k · q, então p é múltiplo de q.
99 Exemplo:
Qual é o conjunto dos múltiplos naturais de 7?
Calculamos os múltiplos naturais de 7 multiplicando esse
número por números naturais. Com isso, obtemos o conjunto dos múltiplos de 7 da seguinte forma:
M( 7 ) {0 , 7 ,
0 7 1 7
14 ,
2 7
21,
37
28 ,
4 7
35 ,
5 7
42 , 49 ,
6 7 7 7
...}
...
99 Exemplo:
Qual é o conjunto dos múltiplos inteiros de 9?
mód. 01/16
01
M( 9 ) {..., 27 , 18 , 9 ,
0, 9,
... 3 9 2 9 1 9 0 9 1 9
Divisores
Se p e q são inteiros, p divide q se existir um inteiro k tal que q = p · k.
Denotamos p ser divisor de q como p|q.
Qual é o conjunto dos divisores naturais de 30?
D( 30 ) {1,
2,
3,
5,
6,
10 ,
15 ,
30 }
30 30 30 15 30 10 30 6 30 5 30 3 30 2 30 1
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 340
q é múltiplo
de p
p divide q
Critérios de Divisibilidade
Para facilitar a verificação de divisibilidade entre
alguns números, existem critérios de divisibilidade.
●● Divisibilidade por 2: Um número é divisível
por 2 quando o algarismo das unidades for 0,
2, 4, 6 ou 8, ou seja, quando o número for par.
●● Divisibilidade por 3: Um número é divisível
por 3 quando a soma dos valores de seus algarismos for divisível por 3.
●● Divisibilidade por 4: Um número é divisível
por 4 se o número formado pelos algarismos
da dezena e da unidade, juntos, formam um
número divisível por 4.
●● Divisibilidade por 5: Um número é divisível
por 5 se o algarismo da unidade for 0 ou 5.
●● Divisibilidade por 6: Um número é divisível
por 6 se for divisível simultaneamente por 2
e 3.
●● Divisibilidade por 7: Um número é divisível
por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo,
resultar em um número divisível por 7. Se o
número obtido ainda for grande, repete-se o
processo até que seja possível verificar a divisão por 7.
●● Divisibilidade por 9: Para que um número
seja divisível por 9, a soma dos algarismos
desse número deve ser divisível por 9.
Paridade em 
Para fixar alguns dos critérios de
divisibilidade, recomenda-se fazer
o exercício 2 da seção
Sistematização.
Seja n um inteiro:
18 , 27 , ...}
2 9 3 9 ...
99 Exemplo:
340
{ 1,
3 ,
5 ,
15 ,
25 ,
75 }
75 ( 75 ) 75 ( 25 ) 75 ( 15 ) 75 ( 5 ) 75 ( 3 ) 75 ( 1)
Para calcular os múltiplos de 9, multiplicamos esse número por números inteiros. Com isso, obtemos o seguinte
conjunto:
Observação: Quando tratamos de múltiplos e de divisores, é importante especificar
o conjunto numérico com que se trabalha. Por
exemplo, se é o conjunto dos números naturais
 ={0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} ou o conjunto dos números
inteiros ={..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.
Frente C
D( 75 ) É par
É ímpar
Se n terminar em
0, 2, 4, 6 ou 8.
Se n terminar em
1, 3, 5, 7 ou 9.
Então podemos
escrevê-lo como
n = 2k, com k inteiro.
Então podemos
escrevê-lo como
n = 2k + 1,
com k inteiro.
Para verificar a paridade do resultado envolvendo a soma e o produto entre números pares e ímpares, podemos esquematizar os possíveis resultados.
+
Par
Ímpar
×
Par
Ímpar
Par
Par
Ímpar
Par
Par
Par
Ímpar
Ímpar
Par
Ímpar
Par
Ímpar
21/09/2020 19:03:35
EXT21_1_MAT_C_01
Nº de aulas
Múltiplos e divisores
EXT21_1_MAT_C_01
everything possible/Shutterstock
Escola Digital
99 Exemplo:
Números Primos
9
Decomponha 140 em fatores primos.
Definição: Um número p inteiro é primo se, e somente se,
dispor de exatamente quatro divisores distintos. Esses divisores devem ser 1, –1, p e –p.
140 2
70 2
35 5
7 7
1
O conjunto no qual definimos os números primos é o
conjunto dos números inteiros. Caso definíssemos no
conjunto dos números naturais, haveria apenas 2 divisores distintos: 1 e p;
●
Pela definição, 0, 1 e –1 não são primos.
9
Exemplo:
Decomponha 1 100 em fatores primos.
1100 2
550 2
275 5
55 5
11 11
1
aziz
Números primos entre 1 e 500.
No início do módulo, afirmamos que os números primos
são importantes para a segurança online. Observe o número
a seguir:
282 589 933 – 1
Esse é um número primo que tem 24 862 048 dígitos. Só foi
descoberto no ano de 2019.
Mesmo utilizando supercomputadores, é muito difícil descobrir se um número com milhões de dígitos é primo. Por isso,
a criptografia RSA utiliza números primos muito grandes para
codificar mensagens. Assim, somente aqueles que têm os mesmos números podem decodificá-las. Interceptar e decodificar
uma mensagem secreta incluem descobrir um número grande
como esse, o que é um trabalho árduo. E, para tornar ainda
mais difícil a interceptação de uma mensagem, a escolha dos
números é randômica, ou seja, dificilmente são usados os mesmos números.
Os números primos são como os átomos do conjunto dos
números inteiros. Fazendo o produto de números primos,podemos formar qualquer outro número desse conjunto. O teorema
a seguir formaliza essa ideia.
Teorema Fundamental da Aritmética: Todo número
natural maior ou igual a 2 é primo ou pode ser decomposto
como produto de números primos, sendo essa decomposição única, independentemente da ordem dos fatores.
Decomposição em fatores primos
EXT21_1_MAT_C_01
EXT21_1_MAT_C_01
Como todo número inteiro pode ser decomposto em fatores primos, ou seja, pode ser escrito como produto de fatores
primos, vamos retomar o uso de uma ferramenta para calcular
a fatoração. Para a utilizarmos, selecionamos o número que
queremos decompor e o dividimos por todos os números primos divisores dele, um a um. Fazemos esse processo até que o
resultado da divisão seja igual a 1. Para facilitar, usamos os critérios de divisibilidade, assim poupamos tempo em descobrir
se um número é divisível pelo primo.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 341
Então, 1 100 = 2 · 2 · 5 · 5 · 11 = 22 · 52 · 11.
Divisores de um número
Com base na ferramenta utilizada para decompor um número inteiro em fatores primos, obtemos dois algoritmos que
servem para calcular os divisores de um número inteiro.
●
MATEMÁTICA • FRENTE C
O número 2 é o único primo par;
Algoritmo para encontrar a quantidade de divisores.
1.º Fatoramos o número.
90 2
45 3
15 3
5 5
1
2.º Destacamos os expoentes dos fatores primos.
90 = 21 · 32 · 5 1
3.º Acrescentamos 1 a cada um dos expoentes e multiplicamos os resultados.
(1 + 1) · (2 + 1) · (1 + 1) = 12
Portanto, o número 90 tem 12 divisores naturais e 24
inteiros.
Observação: Por que somar 1 a cada expoente?
Se um número for divisor de 90, ele estará na forma
2 x · 3 y · 5z. Analisando os possíveis valores de x, y e z, temos
que x 0, 1, y 0, 1, 2 e z 0, 1.
O valor de 1, que é adicionado à quantidade de cada expoente, representa a possibilidade de o expoente ser 0.
341
●
Portanto, a decomposição de 140 em fatores primos é dada por
2 · 2 · 5 · 7 = 22 · 5 · 7.
Mertsaloff/Shutterstock
●
Exemplo:
21/09/2020 19:03:48
●● Algoritmo para encontrar todos os seus divisores.
A segunda luz pisca em seu primeiro momento quando ligada, 10 segundos depois, 20 segundos depois e assim sucessivamente. Listando, temos:
1.º Fatoramos o número.
{0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, ...}
90 2
45 3
15 3
5 5
1
Note que o conjunto dos momentos em que a primeira luz pisca é o
conjunto dos múltiplos de 6 (M(6)), enquanto o conjunto dos momentos
em que a segunda luz pisca é o conjunto dos múltiplos de 10 (M(10)).
Como queremos descobrir o primeiro momento em que as luzes voltam
a piscar simultaneamente, precisamos encontrar o mínimo múltiplo
comum (MMC) entre 6 e 10. Para isso, neste caso, vamos intersectar os
dois conjuntos.
2.º Colocamos uma barra ao lado dos fatores primos e, na
linha acima do primeiro fator, o número 1 (divisor de qualquer
número).
M ( 6 ) M (10 ) { 0 , 30 ,60 ,...}
O primeiro momento em que as luzes voltam a piscar juntas será 30,
ou seja, após 30 segundos as luzes voltarão a piscar simultaneamente.
90 2
45 3
15 3
5 5
1
Definição: O mínimo múltiplo comum entre dois ou
mais inteiros é o menor número positivo obtido da intersecção dos conjuntos dos múltiplos desses números.
Denotamos o mínimo múltiplo comum entre a e b por
MMC(a, b).
3.º Multiplicamos cada fator primo pelos números que estão acima e à direita dele.
Para calcular o MMC, é preciso comparar as decomposições
dos números. Para isso, existem dois algoritmos.
1
90 2 2
45 3 3; 6
15 3 9; 18
5 5 5; 10;15; 30; 45; 90
1
●● Algoritmo da fatoração simultânea.
1.º Fatoramos os termos simultaneamente.
60, 200 2
30, 100 2
15, 50 2
15, 25 3
5, 25 5
1,
5 5
1,
1
Dessa forma, é possível exibir os divisores naturais de 90.
D 90 1,2,3,5,6,9,10,15,18,30,45,90
Para exibirmos os divisores inteiros de 90, incluímos os números negativos.
D 90 1,2,3,5,6,9,10,15,18,30,45,90
2.º Multiplicamos os primos encontrados na fatoração.
2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 5 = 23 · 3 · 52 = 600
Mínimo Múltiplo Comum
Portanto, MMC(60, 200) = 600.
●● Algoritmo da forma fatorada.
Em algumas situações, além de buscarmos o múltiplo de
um número inteiro, precisamos encontrar um múltiplo simultâneo de dois ou mais números. Assim, obtendo o menor múltiplo
comum, conseguiremos encontrar todos eles.
1.º Fatoramos cada um dos números separadamente, dispondo-os em sua forma fatorada.
60 22 3 5
3
2
200 2 5
99 Exemplo:
Duas luzes distintas piscam, respectivamente, a cada 6 segundos e a
cada 10 segundos. Se quando ligadas elas piscam juntas, qual é o menor
intervalo de tempo para que voltem a piscar juntas novamente?
2.º Calculamos o MMC multiplicando todos os primos que
aparecem nas duas fatorações, optando sempre pelos maiores
expoentes de fatores comuns.
Para resolver esse problema, precisamos listar os momentos em que as
luzes piscam. Então, como a primeira luz pisca a cada 6 segundos, temos
que a luz piscará quando ligar, 6 segundos depois de ligar, 12 segundos
depois de ligar e assim sucessivamente. Listando os momentos, temos:
MMC(60, 200) = 2 3 · 3 · 52 = 600
O algoritmo da forma fatorada tem maior utilidade quando
aplicado em números muito grandes.
{0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, ...}
Observação: O cálculo do MMC se torna necessário
quando precisamos determinar o menor intervalo ou o próximo momento em que certos fenômenos ocorrerão simultaneamente.
Recomenda-se fazer
os exercícios 7 e 17 da
seção Sistematização.
os números
342
primos?
Para isso usamos o
Crivo de Eratóstenes.
Trata-se de um
algoritmo que
funciona da
seguinte forma:
2.
1.o
3.
o
Listamos o conjunto de números
que queremos verificar. Nesse
caso vamos listar de 1 até 50.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
o
Eliminamos o número 1, que
não é primo, e pintamos o 2,
que é o primeiro primo.
1
2
3
4
5
6
7
8
Marcamos todos os
números divisíveis por 2,
pois não são primos.
9
10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 342
21/09/2020 19:03:53
EXT21_1_MAT_C_01
Como
encontrar
EXT21_1_MAT_C_01
MATEMÁTICA • FRENTE C
1
Máximo Divisor Comum
2.º Marcamos os números que dividiram os termos simultaneamente durante a fatoração.
Assim como para os múltiplos, há situações em que precisamos encontrar divisores simultâneos entre dois ou mais
números.
80, 100 2
40, 50 2
20, 25 2
10, 25 2
5, 25 5
1,
5 5
1,
1
99 Exemplo:
O treinador de futsal de uma escola precisa organizar os treinos com
todos os alunos de duas turmas. A turma dos meninos tem 48 alunos, e a
turma das meninas, 42 alunas. Essa divisão é necessária para considerar
as modalidades oficiais do futsal (masculino e feminino). O técnico precisa
formar grupos com o mesmo número de integrantes, colocando o maior
número de alunos possível em cada grupo, mas não pode misturar os
alunos de uma turma com os da outra.
3.º Calculamos o MDC como o produto dos termos marcados.
Para calcular o número de integrantes do grupo de meninas e do grupo
de meninos, primeiramente precisamos saber quantos jogadores podem
ser colocados nos grupos. Então, para o grupo de meninos, precisamos
encontrar o conjunto dos divisores de 48, dado por:
MDC (80, 100) = 2 · 2 · 5 = 22 · 5 = 20
1.º Fatoramos os números separadamente, dispondo-os em
sua forma fatorada.
D (48) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}
4
80 2 5
2
2
100 2 5
Da mesma forma para a modalidade feminina, determinamos o conjunto
dos divisores de 42, dado por:
D (42) = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}
2.º Multiplicamos os fatores primos comuns, optando sempre pelo menor expoente em cada caso.
Assim, o número de grupos com mesma quantidade de jogadores (meninos e meninas) deve ser uma quantidade pertencente à intersecção dos
dois conjuntos de divisores, dada por:
MDC (80, 100) = 22 · 5 = 20
Assim como para o MMC, o algoritmo da forma fatorada é
mais conveniente quando estamos trabalhando com números
muito grandes.
Recomenda-se fazer os exercícios 8, 9 e 10 da se-
D( 48 ) D( 42 ) {1, 2 , 3 ,6 }
Como procuramos o maior número de alunos, queremos o máximo divisor comum entre 48 e 42, ou seja, o maior número em D( 48 ) ∩ D( 42 ),
que é 6.
ção Sistematização.
Observação: O cálculo do MDC torna-se necessário
quando precisamos efetuar divisões de diferentes quantidades em parcelas iguais.
Portanto, serão formados 8 grupos de 6 meninos e 7 grupos de 6 meninas.
Definição: O máximo divisor comum entre dois ou mais
números inteiros é o maior número positivo obtido na intersecção dos conjuntos dos divisores desses números.
99 Exemplo:
Denotamos o máximo divisor comum entre a e b como
MDC(a, b).
Calcule o MDC entre 15, 30 e 75.
Nesse caso, podemos usar um dos algoritmos apresentados anteriormente
ou notar que, como 15 divide 30 e 75, ele será o máximo divisor comum
entre 15, 30 e 75.
Assim como para o MMC, para calcular o MDC, podemos utilizar dois algoritmos diferentes por meio da decomposição em
fatores primos.
Relação entre MMC e MDC
●● Algoritmo da fatoração simultânea.
1.º Fatoramos os termos simultaneamente.
O mínimo múltiplo comum e o máximo divisor comum entre dois números são relacionados algebricamente por:
80, 100 2
40, 50 2
20, 25 2
10, 25 2
5, 25 5
1,
5 5
1,
1
MMC(a, b) · MDC(a, b) = a · b
99 Exemplo:
Sabendo que MMC(60, 200) = 600, calcule o MDC entre 60 e 200.
Como MMC(60, 200) = 600, temos que:
600 · MDC(60, 200) = 60 · 200
MDC(60, 200) =
5.
o
EXT21_1_MAT_C_01
EXT21_1_MAT_C_01
6.
o
Pintamos o próximo número
não marcado, nesse caso o 3, e
marcamos todos os seus múltiplos.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
60 200
20
600
o
Pintamos o próximo número
não marcado, nesse caso o 5, e
marcamos todos os seus múltiplos.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Repetimos esse processo até que todos os
números fiquem marcados de alguma forma.
Os números que ficaram pintados são primos.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 343
343
4.
MATEMÁTICA • FRENTE C
●● Algoritmo da forma fatorada.
21/09/2020 19:03:56
FIXAR
Teorema Fundamental
UM NÚMERO É DIVISÍVEL POR ...
MATEMÁTICA • FRENTE C
2
3
4
5
6
da Aritmét
ica
Todo número natural ma
ior
ou
igu
al
a 2 é primo
decomposto unicamente
como um produto de fat ou pode ser
ores primos.
quando é par.
quando a soma dos valores dos
algarismos é um múltiplo de 3.
quando a dezena e a unidade
formam um múltiplo de 4.
M�C
1.º Fatoramos os termos simultaneamente.
quando termina em 0 ou 5.
2.º Multiplicamos os primos encontrados na fatoração.
quando for divisível por 2 e 3 ao
mesmo tempo.
7
se o dobro do último algarismo, subtraído do
número sem o último algarismo, resultar em
um número divisível por 7.
9
quando a soma dos algarismos é um
múltiplo de 9.
MDC
1.º Fatoramos os termos simultaneamente.
2.º Marcamos os números que dividiram os termos simultaneamente durante a fatoração.
Seja n um inteiro:
É par
Se n terminar em
0, 2, 4, 6 ou 8.
n = 2k, com k inteiro.
Um número p é
múltiplo de q se existe k
tal que p = k · q
É ímpar
3.º Calculamos o MDC como o produto dos termos marcados.
Se n terminar em 1,
3, 5, 7 ou 9.
M�C(a, b) · MDC(a, b) = a · b
n = 2k + 1,
com k inteiro.
Se p e q são inteiros, p
divide q se existir um
inteiro k tal que q = p · k
344
1.
A modelagem matemática tem como um de seus focos o
sistema predador-presa, trabalhando com uma ferramenta
que descreve as interações entre pragas e inimigos naturais.
O matemático Vito Volterra e o biofísico Alfred J. Lotka, em
1925, desenvolveram estudos sobre modelos de interação
predador-presa, os quais vêm sendo aprimorados desde então, com a inserção de parâmetros relevantes a cada tipo de estudo e a cada caso
específico.
Alguns desses modelos mostram que os números de espécies de presa e
de predador variam juntos. Por isso, ao longo dos anos, algumas espécies
adaptaram seu ciclo de reprodução de maneira a garantir a longevidade
de cada grupo.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 344
Suponha que uma espécie P1 de peixes se adaptou para realizar a reprodução a cada 7 meses e uma de suas reproduções foi em janeiro de 2020.
Nesse mesmo ecossistema, outra espécie P2 de peixes adaptou seu ciclo
de reprodução para a cada 8 meses e uma de suas reproduções foi em
fevereiro de 2020.
Depois de seus ciclos de reproduções em 2020, qual é o próximo ano em
que as duas espécies de peixes irão se reproduzir em meses consecutivos
novamente?
a) 2021
d) 2024
b)
2022
c)
2023
e)
2025
21/09/2020 19:04:26
EXT21_1_MAT_C_01
Interação
Sistematização
b)
c)
3 e 23.
d)
23 e 115.
e)
8 e 52.
2.
156 é divisível por 6?
d)
497 é divisível por 7?
e)
8 490 é divisível por 7?
f)
357 é divisível por 9?
b)
2
e)
319
c)
197
f)
383
b)
87
e)
621
c)
255
f)
c)
352
d)
486
e)
752
f)
861
6.
956
b)
EXT21_1_MAT_C_01
90
d)
124
e)
164
f)
187
e)
65
Calcule o MMC entre
a)
88 e 12.
d)
356 e 72.
b)
95 e 25.
e)
13, 78 e 117.
c)
256 e 42.
f)
14, 38 e 56.
Calcule o MDC entre
a)
56 e 120.
d)
248 e 754.
b)
44 e 136.
e)
11, 77 e 121.
c)
75 e 135.
f)
17, 51 e 119.
9.
Os alunos do Ensino Médio de uma escola planejaram uma
ação beneficente para arrecadar materiais escolares que serão
distribuídos para famílias carentes. Eles conseguiram arrecadar
240 lápis, 120 borrachas e 216 cadernos. Os materiais serão
distribuídos para que o maior número de famílias receba o
mesmo número de cadernos, lápis e borrachas sem que sobrem materiais.
Quantos lápis, borrachas e cadernos cada família vai receber?
10.
A cidade de São Paulo conta com vários pontos turísticos,
incluindo parques, museus e teatros. Sabendo desses atrativos,
36 italianos e 60 espanhóis decidiram formar grupos para visitar esses locais. Cada grupo foi composto de turistas de
mesma nacionalidade, tendo o mesmo número de integrantes,
com a capacidade máxima de pessoas. Quantos turistas havia em cada
grupo?
1 001
Se x = 264 e y = 135, então
a)
O maior número que divide exatamente x e y é:
14.
127
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 345
79
13.
O menor múltiplo comum entre x e y é:
Euclides de Alexandria demonstrou, em sua obra Os elementos,
que existem infinitos números primos. Essa descoberta contribuiu para o surgimento da criptografia da internet, um dos
principais mecanismos de segurança.
Uma das criptografias possíveis consiste em muitas etapas, sendo duas
delas a conversão de letras em números e, em seguida, a escolha de dois
números primos quaisquer, de preferência com o maior número de dígitos. Por exemplo, a mensagem “NÚMEROS PRIMOS” seria codificada para
sequência numérica 2330221427242899252718222428.
Em relação ao próximo passo, qual das alternativas abaixo seria a melhor
escolha?
a) 1 425 e 547.
b)
107 e 540.
c)
479 e 197.
d)
2 e 233.
e)
11 e 13.
15.
Para resolver problemas de divisibilidade, pode-se utilizar o
Teorema Fundamental da Aritmética, ou seja, a representação
do número natural como produto de números primos. Por
exemplo, o número 768, cuja decomposição é 28 · 3 = 23 · 25 · 3,
é divisível por 8, uma vez que 8 = 23 é um dos fatores na decomposição desse número.
Utilizando essa mesma ideia, o número 768 é divisível por 7? Explique.
16.
Em um painel de propaganda, três lâmpadas acendem em
intervalos regulares: a primeira a cada 12 segundos, a segunda
a cada 18 segundos e a terceira a cada 30 segundos. Considere
que, neste instante, as três lâmpadas acenderam ao mesmo
tempo, depois de quanto tempo elas acenderão juntas
novamente?
17.
Três assessores viajam para uma determinada região do Brasil
a fim de fidelizar seus clientes com suporte pessoal e treinamentos. O primeiro viaja a cada 12 dias para suas escolas, o
segundo, a cada 16 dias, e o terceiro, a cada 20 dias. Se todos
os assessores viajarem hoje, calcule daqui a quantos dias eles
viajarão juntos novamente.
18.
Anos bissextos são aqueles em que o mês de fevereiro possui
29 dias, totalizando 366 dias ao invés dos 365 dos anos normais. Uma vez que essa alteração ocorre a cada 4 anos, então
o ano bissexto é um número múltiplo de 4. Diante disso,
quantos serão os anos bissextos entre 2021 e 2050?
19.
Em alguns prédios das grandes cidades, há sobre o telhado
antenas de telefonia que ajudam a propagar ondas de sinal,
tornando o acesso à internet e o telefone mais estáveis e de
maior alcance. Em muitos casos, elas são altas e, por isso, é
importante que haja luzes de sinalização. Suponha que as
luzes de duas antenas piscam em frequências diferentes. A primeira pisca
a cada 5 segundos, e a segunda, a cada 8 segundos. Ao piscarem juntas,
às 8h45m31s, a que horas elas piscarão juntas novamente?
Calcule todos os divisores naturais dos números em cada item
a seguir.
a)
32
c)
7
c)
Para qual valor de x o número 2x · 52 tem somente 9 divisores
positivos?
Calcule o número de divisores de cada número nos itens a
seguir.
a)
82
b)
1
b)
12.
Decomponha em fatores primos os números a seguir.
a)
74
d) 456
5.
a)
Se p e q são inteiros, q é divisível por p se existir um inteiro k
tal que q = p · k. Usando essa definição, quais dos números
abaixo podem ser somados à q = 3 971 para que resulte um
número divisível por p = 9?
d) 943
b)
Quais dos números a seguir são primos?
a)
1
d) 287
4.
8.
852 é divisível por 4?
c)
3.
7.
9 e 72.
Usando os critérios de divisibilidade, responda aos itens a
seguir.
a)
452 é divisível por 4?
b)
11.
MATEMÁTICA • FRENTE C
Quais das alternativas a seguir apresentam números múltiplos
um do outro?
a)
13 e 91.
345
1.
21/09/2020 19:04:29
3.
Fácil
1.
C1:H1 (Enem-2019) Após o Fórum Nacional Contra a Pirataria
(FNCP) incluir a linha de autopeças em campanha veiculada
contra a falsificação, as agências fiscalizadoras divulgaram que
os cinco principais produtos de autopeças falsificados são:
rolamento, pastilha de freio, caixa de direção, catalisador e
amortecedor.
Fácil
Enem e vestibulares
catalisador.
c)
amortecedor.
d)
pastilha de freio
e)
caixa de direção.
2.
54.
c)
60.
4.
20 a 25?
a) 19
6,4 m
77.
C1:H4 (Fuvest-2020) A função E de Euler determina, para cada
número natural n, a quantidade de números naturais menores
do que n cujo máximo divisor comum com n é igual a 1. Por
exemplo, E(6) = 2 pois os números menores do que 6 com tal
propriedade são 1 e 5. Qual o valor máximo de E(n), para n de
d)
24
e)
25
20
c)
22
a)
C1:H2 (FAMEMA-2020) Sílvia e Márcio moram em cidades diferentes no interior. Sílvia vai à capital uma vez a cada 10 dias,
e Márcio vai à capital uma vez a cada 12 dias. A última vez em
que eles se encontraram na capital foi um sábado. O próximo
encontro dos dois na capital ocorrerá em
uma terça-feira.
b)
uma quarta-feira.
c)
um domingo.
5.
C1:H3 (Enem-2015) Uma carga de 100 contêineres, idênticos
ao modelo apresentado na Figura 1, deverá ser descarregada
no porto de uma cidade. Para isso, uma área retangular de
10 m por 32 m foi cedida para o empilhamento desses contêineres (Figura 2).
e)
b)
Fácil
b)
b)
Fácil
Após uma grande apreensão, as peças falsas foram cadastradas utilizando-se a codificação: 1: rolamento, 2: pastilha de freio, 3: caixa de direção,
4: catalisador e 5: amortecedor. Ao final obteve-se a sequência: 5, 4, 3, 2, 1,
2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, ..., que apresenta um padrão de
formação que consiste na repetição de um bloco de números. Essa sequência descreve a ordem em que os produtos apreendidos foram cadastrados.
O 2015º item cadastrado foi um(a)
a) rolamento.
Fácil
MATEMÁTICA • FRENTE C
Disponível em: www.oficinabrasil.com.br. Acesso em: 25 ago. 2014 (adaptado).
C1:H3 (UEFS-2016) Uma equipe de professores corrigiu, em
três dias de correção de um vestibular, números de redações
iguais a 702, 728 e 586. Em cada dia, as redações foram igualmente divididas entre os professores.
O número de professores na equipe é um divisor de
a) 52.
d) 68.
d)
um sábado.
e)
uma segunda-feira.
6.
Médio
C1:H2 (FGV-RJ-2016) Os números nas seis faces de um cubo
são seis múltiplos consecutivos de 3. Além disso, as somas dos
números em faces opostas são todas iguais. A figura, a seguir,
mostra três faces com os números 18, 24 e 27.
2,5 m
2,5 m
A soma dos três números que estão nas faces ocultas do cubo é
a) 66.
d) 36.
b)
72.
c)
84.
7.
8.
2535.
b)
2847.
c)
2769.
d)
2028.
b)
17,5 m.
b)
9.
c)
25,0 m.
c)
10.
d)
22,5 m.
d)
11.
e)
32,5 m.
10 m
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 346
Médio
De acordo com as normas desse porto, os contêineres deverão ser empilhados de forma a não sobrarem espaços nem ultrapassarem a área
delimitada. Após o empilhamento total da carga e atendendo a norma
do porto, a altura mínima a ser atingida por essa pilha de contêineres é
a) 12,5 m.
C1:H3 (EPCAr-2020) Dona Lourdes trabalha em uma livraria,
precisa guardar 200 livros em x caixas e vai utilizar todas elas.
Se em 30 das x caixas ela guardar 4 livros em cada caixa e, nas
demais, guardar 5 livros em cada caixa, então, sobrarão alguns
livros para serem guardados.
Entretanto, se em 20 das x caixas ela guardar 4 livros em cada caixa e 5
livros em cada uma das demais, então, não haverá livros suficientes para
ocupar todas as caixas.
Assim, a soma dos algarismos do número x é igual a
a) 8.
Figura 2
346
a)
21/09/2020 19:04:38
EXT21_1_MAT_C_01
Área para
armazenar
contêiners
48.
C1:H3 (UECE-2019) Seja n um número inteiro positivo. Se os
três menores divisores positivos de n são os números 1, 3 e
13, e se a soma dos três maiores divisores de n é igual a 3905,
então, n é igual a
Médio
32 m
e)
EXT21_1_MAT_C_01
Figura 1
par e não divisível por 4.
c)
ímpar e divisível por 5.
d)
quadrado perfeito.
e)
cubo perfeito.
C1:H1 (ACAFE-2016) Um feirante deseja distribuir 576 goiabas,
432 laranjas e 504 maçãs entre várias famílias de um bairro
carente. A exigência do feirante é que a distribuição seja feita
de modo que cada família receba o mesmo e o menor número
possível de frutas de uma mesma espécie.
A quantidade total de frutas recebida por cada família representa um
número:
a) divisível por 9.
múltiplo de 7.
c)
múltiplo de 12.
d)
entre 40 e 50.
11.
Médio
Tempo de
germinação
(em semanas, após o
plantio)
Tempo de floração
(em semanas, após
a germinação)
Tempo para
única colheita
(em semanas,
após a floração)
V1
5
3
1
V2
3
2
1
V3
2
1
1
Médio
EXT21_1_MAT_C_01
EXT21_1_MAT_C_01
13.
15.
16.
16.
Difícil
18.
d)
C1:H3 (EBMSP-2017) Um grupo de pesquisadores, composto
de 6 médicos e seus 19 orientandos, recebeu, ao final de um
projeto, como bonificação, uma quantia, em notas de
R$ 100,00 a ser dividida entre eles de tal modo que metade
fosse dividida, igualmente, entre os médicos e a outra metade
fosse dividida, igualmente, entre os orientandos.
Com base nessas informações, pode-se afirmar que a diferença entre os
valores recebidos por um médico e um orientando foi, no mínimo, igual a
a) R$ 1300,00.
b)
R$ 1500,00.
c)
R$ 2000,00.
d)
R$ 2400,00.
e)
R$ 3000,00.
Aluno 5
121
242
324
625
784
b)
2, 3 e 5.
c)
1, 3, 4 e 5.
d)
1 e 2.
e)
1 e 4.
C1:H3 (UECE-2016) Ao fatorarmos o número inteiro positivo
n, obtemos a expressão n = 2x · 5y onde x e y são números
inteiros positivos. Se n admite exatamente 12 divisores positivos e é menor do que o número 199, então, a soma x + y é
igual a
a)
5.
b)
6.
c)
7.
d)
8.
C1:H3 (UERJ-2020) Uma gerente de loja e seu assistente viajam
com frequência para São Paulo e voltam no mesmo dia. A
gerente viaja a cada 24 dias e o assistente, a cada 16 dias, regularmente. Em um final de semana, eles viajaram juntos.
Depois de x viagens da gerente e y viagens do assistente sozinhos, eles viajaram juntos novamente.
O menor valor de x + y é
a) 1.
b)
2.
c)
3.
d)
4.
C1:H5 (UPE-SSA-1-2017) Rodrigo estava observando o pisca-pisca do enfeite natalino de sua casa. Ele é composto de
lâmpadas nas cores amarelo, azul, verde e vermelho. Rodrigo
notou que lâmpadas amarelas acendem a cada 45 segundos,
as lâmpadas verdes, a cada 60 segundos, as azuis, a cada 27
segundos, e as vermelhas só acendem quando as lâmpadas das outras
cores estão acesas ao mesmo tempo. De quantos em quantos minutos, as
lâmpadas vermelhas acendem?
a) 6.
b)
9.
c)
12.
d)
15.
e)
18.
17.
C1:H2 (UTFPR-2017) Sendo n um número natural, n ≠ 0, assinale
a alternativa verdadeira.
Difícil
Médio
12.
24.
c)
Aluno 4
Quais alunos apresentaram respostas corretas, obedecendo ao mesmo
princípio utilizado nas operações matemáticas do autor?
a) 3 e 5.
Considere um experimento em que as três variedades serão plantadas
inicialmente no mesmo dia e que, a cada dia de colheita, outra semente
da mesma variedade será plantada.
Com base nos dados da tabela, o número mínimo de semanas necessárias
para que a colheita das três variedades ocorra simultaneamente será
a) 36.
b)
Aluno 3
14.
C1:H5 (G1-CP2-2017) Antônio é um botânico que desenvolveu
em seu laboratório três variedades de uma mesma planta, V1,
V2 e V3. Esses exemplares se desenvolvem cada um a seu tempo,
de acordo com a tabela a seguir.
Variedade
Aluno 2
C1:H4 (Enem-Libras-2017) “Veja os algarismos: não há dois
que façam o mesmo ofício; 4 é 4 e 7 é 7. E admire a beleza com
que um 4 e um 7 formam esta coisa que se exprime por 11.
Agora dobre 11 e terá 22, multiplique por igual número, dá
484 e assim por diante.”
a)
O número n2 + 3 é sempre um número ímpar.
b)
O número n3 é sempre divisível por 3.
c)
O número n · (n – 1) é sempre ímpar.
d)
O mínimo múltiplo comum entre n e 2n é sempre um número par.
e)
O máximo divisor comum entre n e 2n é 2n.
ASSIS, M. Dom Casmurro. Olinda: Livro Rápido, 2010.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 347
347
b)
Aluno 1
MATEMÁTICA • FRENTE C
b)
Médio
Médio
10.
No trecho anterior, o autor escolheu os algarismos 4 e 7 e realizou corretamente algumas operações, obtendo ao final o número 484.
A partir do referido trecho, um professor de matemática solicitou aos seus
alunos que escolhessem outros dois algarismos e realizassem as mesmas
operações. Em seguida, questionou sobre o número que foi obtido com
esse procedimento e recebeu cinco respostas diferentes.
C1:H1 (FATEC-2017) Para a realização de uma atividade, um
professor pretende dividir a sua turma em grupos. O professor
observou que, se dividir a turma em grupos de 3 alunos, exatamente um aluno ficará de fora da atividade; se dividir em grupos
de 4 alunos, exatamente um aluno também ficará de fora.
Considere que nessa turma há N alunos, dos quais 17 são homens, e que
o número de mulheres é maior que o número de homens.
Nessas condições, o menor valor de N é um número
a) primo e não par.
Médio
Médio
9.
21/09/2020 19:04:41
C1:H3 (UFPR-2019) Giovana deseja fazer um painel usando
folhas de papel de tamanhos carta e A4. O painel será composto de duas faixas, cada uma contendo apenas folhas inteiras
de um tipo dispostas lado a lado (sem sobreposição e sem
espaço entre elas), formando uma figura retangular, sem sobras e sem cortes de papel. As folhas do tipo carta (1) serão dispostas na
posição vertical, e as folhas do tipo A4 (2) serão dispostas na posição horizontal, conforme ilustra a figura abaixo:
Carta
1
1
2
A4
...
1
...
2
1
21.
A = {a|a é primo}
B {b|b 2n 1 , n }
p
C c |c , p, q , q 0 q
1
2
Assinale a(s) alternativa(s) correta(s).
(1) A ⊂ B
2
Difícil
19.
c)
21.
d)
57.
e)
88.
(5)
8
c)
7
d)
6
Difícil
10.
d)
11.
(1)
Seja a = MDC(b, c). Então o resto da divisão de b por a e o resto da
divisão de c por a são iguais.
(2)
Se a = 33 · 5 · 7 e b = 22 · 5 · 11, então o MMC(a, b) = 2310.
(3)
A soma dos n primeiros números ímpares naturais é n2.
(4)
Todo número maior que 1, que não é composto, é primo.
C1:H3 (UEL-2017) Os povos indígenas têm uma forte relação
com a natureza. Uma certa tribo indígena celebra o Ritual do
Sol de 20 em 20 dias, o Ritual da Chuva de 66 em 66 dias e o
Ritual da Terra de 30 em 30 dias.
A partir dessas informações, responda aos itens a seguir.
a) Considerando que, coincidentemente, os três rituais ocorram hoje,
determine a quantidade mínima de dias para que os três rituais sejam
celebrados juntos novamente. Justifique sua resposta apresentando
os cálculos realizados na resolução deste item.
Hoje é segunda-feira. Sabendo que, daqui a 3 960 dias, os três rituais
acontecerão no mesmo dia, determine em que dia da semana ocorrerá
esta coincidência. Justifique sua resposta apresentando os cálculos
realizados na resolução deste item.
b)
24.
C1:H3 (ITA-2020) Dizemos que um número natural n é um cubo
perfeito se existe um número natural a tal que n = a3. Determine
o subconjunto dos números primos que podem ser escritos
como soma de dois cubos perfeitos.
Difícil
9.
C1:H3 (UEM-2017) Sobre números naturais e inteiros é correto
afirmar
Entre 0 e 100 existem apenas 4 números cujo resto da divisão por
2, e por 3, e por 5 é 1.
Soma ( )
- divisível por 4;
- é múltiplo de 3 e de 7;
- não é múltiplo de 5;
- está localizado entre 400 e 550.
A soma dos algarismos desse número é igual a
a) 8.
c)
p
(5)
C1:H3 (G1-CP2-2018) A respeito de um número natural, sabe-se
que
b)
2
∈ C.
2
22.
23.
20.
Se C ' ⊂ C é o conjunto dos números , tal que p q n, n , enq
tão C' =  .
Soma ( )
C1:H2 (UERJ-2020) Tem-se que o número a6a5a4a3a2a1 é divisível
por 11, se o valor da expressão (a1 – a2 + a3 – a4 + a5 – a6) também
é divisível por 11.
Por exemplo, 178 409 é divisível por 11 porque:
(9 – 0 + 4 – 8 + 7 – 1 = 11) é divisível por 11.
Considere a senha de seis dígitos 3894xy, sendo x e y pertencentes ao
conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Se essa senha forma um número divisível por 99, o algarismo y é igual a
a) 9
b)
Se b1 e b2 ∈ B, então (b1 b2 ) B.
O conjunto complementar de B em relação ao conjunto  é
D d|d 2n, n  .
Difícil
19.
(2)
(3)
(4)
Difícil
MATEMÁTICA • FRENTE C
Sabendo que as folhas A4 têm tamanho 210 mm por 297 mm e que as
folhas carta têm tamanho 216 mm por 279 mm, a menor quantidade total
de folhas de papel (incluindo A4 e carta) que Giovanna precisa usar para
conseguir atender às exigências do enunciado é
a) 12.
b)
C1:H2 (PAS-UEM-2017) Considere os seguintes subconjuntos
de .
Difícil
Difícil
18.
GABARITOE ONLINE
GABARITO
SOLUCIONÁRIO ONLINE
Façaoodownload
downloaddodo
aplicativo
Questões
ou qualquer aplicativo
1. Faça
aplicativo
SAE SAE
Questões
ou qualquer
de leituradeQRleitura
Code.
aplicativo
QR Code.
2. Abra
Abraooaplicativo
aplicativo
e
aponte
para
o
QR
Code
ao
e aponte para um dos QR Codes aolado.
lado
acessardeste
o gabarito
ou o será
solucionário
módulo.
3. para
O gabarito
módulo
exibidodeste
em sua
tela.
1
A
B
C
D
E
6
A
B
C
D
E
11
A
B
C
D
E
16
A
B
C
D
E
2
A
B
C
D
E
7
A
B
C
D
E
12
A
B
C
D
E
17
A
B
C
D
E
3
A
B
C
D
E
8
A
B
C
D
E
13
A
B
C
D
E
18
A
B
C
D
E
4
A
B
C
D
E
9
A
B
C
D
E
14
A
B
C
D
E
19
A
B
C
D
E
5
A
B
C
D
E
10
A
B
C
D
E
15
A
B
C
D
E
20
A
B
C
D
E
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 348
EXT21_1_MAT_C_01
348
Cartão-resposta
21/09/2020 19:04:48
9
Neste módulo, apresentaremos as principais relações e propriedades do triângulo retângulo, relativas
aos lados e ângulos internos que ele apresenta. Essas
relações, além de formarem um importante elo entre
a geometria e a álgebra, estruturam a trigonometria.
Em virtude dessas ferramentas foi possível desenvolver a navegação, a topografia e até calcular distâncias
inacessíveis, como o raio de nosso planeta e a distância relativa entre a Terra e o Sol. Tais ferramentas também contribuem para a fundamentação da teoria da
relatividade, do físico Albert Einstein.
45º
D
I
45º
I
A diagonal do quadrado divide-o em dois triângulos retângulos, então, aplicando o teorema de Pitágoras:
Relações métricas no
triângulo retângulo
D2 = l2 + l2
D2 = 2l2
D = 2l 2
D=l 2
Exemplo:
Usando o teorema de Pitágoras, calcule a altura h de um
triângulo equilátero em função do seu lado l.
hipotenusa
Escola Digital
30º
cateto
I
Nº de aulas
02
h
60º
l
2
A altura h de um triângulo equilátero divide-o em dois
cateto
Observação 1: A hipotenusa de um triângulo retângulo é o maior lado do triângulo.
l
triângulos retângulos, com hipotenusa l e catetos h e .
2
Portanto, aplicando o teorema de Pitágoras:
Observação 2: Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, os ângulos não retos
são complementares, ou seja, a soma deles é 90°.
l
l 2 h2 2
Teorema de Pitágoras
h2 l 2 a
c
h2 =
3l 2
4
h=
3l 2
4
h=
9
b
Em um triângulo retângulo com hipotenusa a e
catetos b e c, as medidas dos lados são relacionadas
pelo teorema de Pitágoras, que assegura ser o quadrado da medida da hipotenusa igual à soma dos
quadrados das medidas dos catetos, ou seja:
a2 = b2 + c2
Podemos interpretar o teorema de Pitágoras
como a soma de áreas de quadrados, como a seguir.
2
l2
4
l 3
2
Exemplo:
A seguir temos um quadrado ABCD e um triângulo equilátero CDE. Se a diagonal do quadrado mede 20 2 cm, qual
é a distância do ponto E até o segmento AB? (Use 3 = 1,7 )
E
C
D
MAT
9
Triângulo retângulo e
razões trigonométricas
Se um triângulo tem um ângulo de 90° (ângulo
reto), devemos classificá-lo como triângulo retângulo. Seus lados perpendiculares são os catetos e o
lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa.
Exemplo:
Usando o teorema de Pitágoras, calcule o valor da diagonal
D de um quadrado em função de seu lado l.
benjaminec/Shutterstock
Triângulo retângulo
x
20 2
Frente C
a2
EXT21_1_MAT_C_02
c
2
c
a
b
b2
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 349
mód. 02/16
Como a diagonal de um quadrado vale l 2, conclui-se que
02
l 3
I = 20. Como a altura de um triângulo equilátero é
,
2
20 3
=
h = 10 3
temos:
2
A distância solicitada é o lado do quadrado somado com
a altura do triângulo.
349
A
B
x 20 10 3 20 17 37
21/09/2020 19:05:10
Outras relações métricas no
triângulo retângulo
9
Exemplo:
Determine a tripla pitagórica de cada um dos triângulos a seguir.
Em um triângulo retângulo ABC, traçando a altura h relativa à hipotenusa, são determinados internamente outros
dois triângulos retângulos ABH e AHC. As bases m e n desses
triângulos são denotadas como projeções dos catetos c e b,
respectivamente.
a)
30
x
A
c
B
m
24
b
h
n
D
C
Portanto, a tripla pitagórica será (6 · 3, 6 · 4, 6 · 5) ou (18, 24, 30).
MATEMÁTICA • FRENTE C
a
Como os triângulos ABC, ABD e ADC são semelhantes, conseguimos extrair relações entre as medidas de seus lados:
a·h=b·c
9
Como 30 e 24 são múltiplos de 6, podemos decompô-los em 6 · 5 e 6 · 4.
Dessa forma, x também é um múltiplo de 6 e, como os outros dois valores
são 6 · 5 e 6 · 4, x = 6 · 3.
b2 = n · a
c2 = m · a
b)
10
h2 = m · n
Exemplo
24
Um balão suspenso no ar, no ponto A, a uma altura de h metros, tem
sua sombra projetada perpendicularmente no chão, no ponto H. Uma
pessoa está no chão, no ponto B, observando um dos lados do balão a
uma distância de 100 m de H, enquanto outra pessoa, no ponto C, está
observando o balão pelo outro lado, a uma distância de 64 m de H. Se
ABC é um triângulo retângulo, qual é a altura do balão?
Para resolver esse problema, primeiramente, esquematizamos os dados,
desenhando o triângulo retângulo ABC.
AA
x
Como 10 e 24 são múltiplos de 2, podemos decompô-los em 2 · 5 e 2 · 12.
O x também é um múltiplo de 2 e, como os outros dois valores são 2 · 5
e 2 · 12, x = 2 · 13.
Portanto, a tripla pitagórica será (2 · 5, 2 · 12, 2 · 13) ou (10, 24, 26).
Observação: As triplas pitagóricas podem ser generalizadas algebricamente como:
h
a m2 n2
b 2mn
c m2 n2
C
C
H
100 m
64 m
Como BH =100 e HC = 64, podemos usar a relação h2 = m · n para
encontrar a altura h.
B
h2 = 100 · 64 = 6 400
=
h
=
6400 80 m
Triplas pitagóricas
Recomenda-se fazer os
exercícios 1, 2 e 3 da seção Sistematização.
Recomenda-se fazer os
exercícios 5 e 6 da seção
Sistematização.
m2 + n2
2mn
Quando três números naturais a, b e c satisfazem a relação
a2 = b2 + c 2, eles formam uma tripla pitagórica. Esses valores
funcionam como medidas notáveis dos lados de um triângulo retângulo, portanto, se reconhecermos dois dos valores de
uma tripla notável, o terceiro pode ser imediato. Algumas das
triplas pitagóricas mais comuns são (3, 4, 5) e (5, 12, 13).
m2 – n2
Sendo m e n números naturais primos entre si e m > n.
Se (a, b, c) é uma tripla pitagórica, então (ka, kb, kc) também
será, para qualquer número natural k. Portanto, com base nas triplas comuns, temos suas semelhantes (3k, 4k, 5k) e (5k, 12k, 13k).
O método do pedreiro e o teorema
de Pitágoras
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 350
60 cm
21/09/2020 19:07:39
EXT21_1_MAT_C_02
Dmitr1ch, xpixel/Shutterstock
Para cada lado são feitas marcas no
alinhamento, uma com medida de 60 cm
do ponto de encontro com o outro alinhamento; no outro, com medida de 80 cm.
80 cm
EXT21_1_MAT_C_02
350
Para construir paredes em ângulo
reto, muitos pedreiros fazem alinhamentos no chão, usando estacas e cordas,
da seguinte forma:
Trigonometria
Um dos focos da trigonometria são as relações entre as medidas dos lados e dos ângulos de um triângulo. Os estudos dessa
área matemática avançaram muito ao longo da história, tanto que sua aplicabilidade se estende a fenômenos como ondas sonoras,
eletricidade e marés.
O estudo de trigonometria inicia-se com as razões trigonométricas em triângulos retângulos.
As três primeiras razões trigonométricas em um triângulo retângulo são:
hipotenusa
cateto oposto a θ
●
●
θ
catetooposto
hipotenusa
catetoadjacente
cos hipotenusa
catetooposto
tg catetoadjacente
sen MATEMÁTICA • FRENTE C
●
cateto adjacente a θ
Observação: A razão tangente também pode ser definida como tg sen
.
cos
Seno, cosseno e tangente
Observe a seguir três triângulos retângulos com o mesmo ângulo interno α.
Seno
As razões dos catetos opostos ao
ângulo α e as hipotenusas são
iguais, ou seja,
3 6 9
0 , 6 sen
5 10 15
Cosseno
G
5
E
9
5
As razões dos catetos adjacentes
ao ângulo α e as hipotenusas são
iguais, ou seja,
4 8 12
0 , 8 cosseno
5 10 15
C
5
3
B
α
A
6
4
D
4
F
Tangente
As razões dos catetos opostos e os
catetos adjacentes ao ângulo α
são iguais, ou seja,
3 6 9
0 , 75 tangente
4 8 12
4
Isto é, o seno, o cosseno e a tangente de um ângulo dependem apenas da medida do ângulo, e não das medidas dos lados do
triângulo.
Neste momento, recomenda-se fazer os exercícios 7 e 8 da seção Sistematização.
EXT21_1_MAT_C_02
EXT21_1_MAT_C_02
80 cm
60 cm
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 351
1m
Por que esse método funciona?
Essas cordas formam um triângulo e, como as medidas dos lados desse triângulo satisfazem a igualdade 602 + 802 = 1002, esse
triângulo é retângulo. Isso acontece pela recíproca do teorema
de Pitágoras, que pode ser enunciado da seguinte forma:
Se um triângulo com lados a, b e c é tal
que a2 = b2 + c2, então o triângulo é retângulo,
com ângulo reto oposto ao lado a.
351
Depois, com uma corda, mede-se a distância entre as duas extremidades. Se medir 1 m, então o ângulo formado é reto.
21/09/2020 19:07:45
Razões trigonométricas notáveis
●
Esquematizando as razões trigonométricas notáveis:
Ao utilizarmos um triângulo equilátero e um quadrado, podemos encontrar os valores do seno, do cosseno e da tangente
dos ângulos de 30°, 45° e 60°.
Ângulos de 30° e 60°
30°
45°
60°
Seno
1
2
2
2
3
2
Cosseno
3
2
2
2
1
2
Tangente
3
3
1
3
Ao traçar a altura de um triângulo equilátero de lado x o
separamos em dois triângulos retângulos com ângulos internos
de 30° e 60°.
30º
x 3
2
9
60º
x
2
Calculando o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos de
30° e 60°:
●
●
●
●
●
Primeiramente, modelamos a situação geometricamente, formando um
triângulo retângulo.
x
x 1 1
2
sen 30 ;
x 2 x 2
x 3
3
x 3 1
cos 30 2 ;
x
2 x
2
tg 30 x
2
x 3
2
h
1
3
3
x 2
;
2 x 3
3
3 3
Racionalizamos
1
o termo
x 3
3
x 3 1
sen 60 2 ;
x
2 x
2
3
tg 60 45º
45º
●
cos 45 ●
tg 45 x
x 2
1
2
1
2
h
h 324 m
324
sen cos sen cos Observação: A relação é sempre válida para os pares de
ângulos agudos internos de um triângulo retângulo, pois eles
são sempre complementares.
x
x
Calculando o seno, o cosseno e a tangente de 45°:
x
h
324
Quando dois ângulos α e b são complementares, ou seja,
α + b = 90°, então
x 2
x 2
Como queremos descobrir o valor de um dos catetos e sabemos o valor
de outro, usaremos a tangente de 45°. Então,
Ângulos complementares
Ao traçar a diagonal de um quadrado de lado x o separamos
em dois triângulos retângulos com ângulos internos de 45°.
sen 45 324 m
1
x 3
2 x 3 2 3.
x
2 x
2
●
45º
tg 45 x
x 1 1
cos 60 2 ;
x 2 x 2
Ângulo de 45°
352
Para calcular a altura da torre Eiffel, um turista observa o topo desse
monumento formando um ângulo de 45° graus com a linha horizontal
do solo. Sabendo que o turista está a 324 m do centro da torre e desconsiderando a altura que ele tem, que medida aproximada da altura
da torre ele obterá?
2
2
2
2
2
;
2
2
;
2
x
1.
x
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 352
Racionalizamos
1
o termo
2
EXT21_1_MAT_C_02
●
Exemplo:
frantic00/ shutterstock
MATEMÁTICA • FRENTE C
x
21/09/2020 19:08:54
FIXAR
Razões trigonométricas
Teorema de Pitágoras
C
a
A
h2 = m · n
c =m·a
B
2
b
c
B
h
m
D
b2 = n · a
n
a
α
c
sen cos Se α + b = 90º sen cos C
Seno
a·h=b·c
Cosseno
Tangente
30º
45º
60º
2
2
3
2
3
2
2
2
1
2
3
3
1
3
1
2
MATEMÁTICA • FRENTE C
a2 = b2 + c2
b
a
C
c
b
b cos α=
a
b
A
tg α=
c
sen α=
Relações métricas no triângulo retângulo
Interação
1.
Um dos grandes aliados nas investigações criminais é a ciência
forense, que engloba um conjunto de conhecimentos técnicos/científicos usados para esclarecer assuntos legais.
O conhecimento de trigonometria também pode ajudar a
esclarecer algumas situações investigadas pelos especialistas. Por exemplo, se uma gota de algum fluido cai na vertical, formando ângulo reto
com a horizontal, ele deixa uma mancha arredondada no chão. Porém, à
medida que o ângulo de impacto com a horizontal diminui, a mancha fica
cada vez mais longa.
α
Sen α
Cos α
Tg α
31°
0,51
0,85
0,60
37°
0,60
0,80
0,75
53°
0,80
0,60
1,32
59°
0,85
0,51
1,66
74°
0,96
0,28
3,50
Se considerarmos uma gota perfeitamente esférica (redonda) de um fluido
e as descrições citadas na imagem anterior, podemos determinar o ângulo
de impacto dessa gota.
Suponha que um perito forense tenha coletado e organizado a seguinte
amostra de mancha de determinado fluido.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 353
353
EXT21_1_MAT_C_02
EXT21_1_MAT_C_02
Usando a tabela a seguir, determine o ângulo de impacto do fluido com
base na amostra.
21/09/2020 19:09:11
Sistematização
1.
6.
Usando a representação algébrica das triplas pitagóricas,
calcule os lados do triângulo retângulo representado na
imagem a seguir.
Determine as medidas desconhecidas indicadas em cada
triângulo retângulo a seguir.
52 + 92
A
a)
7.
b
7
Calcule o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos agudos
do triângulo a seguir.
α
C
B
MATEMÁTICA • FRENTE C
3
7
b)
3
x+8
x
8.
Observe o triângulo retângulo representado a seguir e faça o
que se pede.
B
B
A
c)
b
C
12
A
y+2
b
8
B
C
y
2.
α= 45º
Determine a medida do lado do losango representado na
imagem a seguir.
A
A
a)
Calcule a medida do cateto oposto ao ângulo α.
b)
Calcule a medida da hipotenusa do triângulo ABC.
9.
B
D
C
b=5
No triângulo retângulo representado a seguir, estão indicadas
a medida de um dos catetos e a medida da hipotenusa.
C
20
b
10
C
16
3.
30º
Em um triângulo retângulo, as projeções dos catetos sobre a
hipotenusa medem 3 cm e 9 cm. Com base nessas informações, faça o que se pede.
a)
Calcule a medida da altura relativa à hipotenusa.
b)
Calcule a medida dos catetos.
4.
Em um triângulo retângulo ABC, a hipotenusa BC mede 100 cm
e o cateto AC, 60 cm. Determine a medida da altura relativa à
hipotenusa (h) e a medida da projeção do cateto BA sobre a
hipotenusa (m).
5.
Calcule as triplas pitagóricas a seguir.
a)
(21, x, 35)
b)
(y, 36, 45)
c)
(z, 144, 156)
x
A
10.
B
a)
Calcule a medida do cateto adjacente ao ângulo β.
b)
Calcule a medida do cateto adjacente ao ângulo α.
Observe os triângulos ABC e DBA representados na imagem
a seguir.
A
b
a
D
354
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 354
30 cm
Calcule a medida dos catetos a e b do triângulo DBA.
C
21/09/2020 19:09:16
EXT21_1_MAT_C_02
b = 45º
B
EXT21_1_MAT_C_02
α = 30º
Fácil
C2:H8 (CP2 – 2017) “Diferente dos balões comuns, os balões
meteorológicos são produzidos com borracha natural usando
um processo de rotomoldagem. Isso quer dizer que toda a
superfície do balão apresenta a mesma espessura, evitando
estouros prematuros.”
C2:H8 (IFCE – 2019) Em um triângulo isósceles, os lados de
mesma medida formam um ângulo de 40° e medem 7 cm
cada. Se denotarmos por w a medida, em cm, do terceiro lado
do triângulo, é verdade que
Fácil
1.
4.
a)
Fonte: http://www.mundoclima.com.br/baloes-meteorologicos/balaometeorologico-de-grande-altitude-600g/. Acesso em: 15 de maio de 2016.
b)
Dois jovens pesquisadores, João e Diogo, decidiram lançar um único balão
meteorológico para fazer um estudo. Após o lançamento, em um dado
momento, João estava a 8 km do balão e Diogo a 15 km. Sabe-se que o
balão subiu verticalmente durante todo o percurso e que a distância entre
os pesquisadores naquele momento era de 17 km.
Observe a figura abaixo, representativa da situação:
c)
d)
e)
Fácil
5.
João
w.
7
w
sen 40 .
7
w
sen 20 .
14
2w
sen 40 .
7
2w
.
sen 20 7
sen 20 C5:H22 (ENEM – 2017) A famosa Torre de Pisa, localizada na
Itália, assim como muitos outros prédios, por motivos adversos, sofrem inclinações durante ou após suas construções. Um
prédio, quando construído, dispunha-se verticalmente e tinha
60 metros de altura. Ele sofreu uma inclinação de um ângulo
α e a projeção ortogonal de sua fachada lateral sobre o solo tem largura
medindo 1,80 metro, conforme mostra a figura.
Diogo
Desconsiderando a curvatura da Terra, pode-se afirmar que a altura aproximada desse balão era de
a) 6 km.
b)
6,5 km.
c)
7 km.
d)
7,5 km.
2.
Prédio
a
1,80 m
O valor do ângulo de inclinação pode ser determinado fazendo-se o uso
de uma tabela como a apresentada.
B
EXT21_1_MAT_C_02
Ângulo α (Grau)
C
Seno
0,0
0,0
a)
22 .
3
1,0
0,017
b)
1,5
0,026
c)
16 .
3
22.
1,8
0,031
d)
16.
2,0
0,034
3,0
0,052
C2:H9 (COTIL – 2019) O mapa abaixo mostra o posicionamento
de três cidades – nomeadas de A, B e C – e as rodovias que as
ligam e se cruzam perpendicularmente na cidade A. Em uma
rodovia, a 60 km de distância de A, encontra-se a cidade B; na
outra, a 80 km de A, encontra-se a cidade C. Um posto policial
deve ser construído na rodovia que liga a cidade B até a C, conforme o
desenho.
80 km
EXT21_1_MAT_C_02
n
H
60 km
Posto Policial
Qual deve ser a distância do posto policial até a cidade B?
a) 20 km
b)
36 km
c)
40 km
d)
47 km
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 355
Uma estimativa para o ângulo de inclinação α, quando dado em grau, é
tal que
a) 0 ≤ α < 1,0.
6.
Fácil
Fácil
3
b)
1,0 ≤ α < 1,5.
c)
1,5 ≤ α < 1,8.
d)
1,8 ≤ α < 2,0.
e)
2,0 ≤ α < 3,0.
C2:H8 (IFPE – 2017) O professor de matemática do Campus
Pesqueira lançou um desafio à turma de Edificações: estimar
a altura da Serra do Ororubá utilizando apenas um transferidor.
Sara, aluna da turma, lembrou que existe uma placa turística
a 1 km de distância da serra de onde se consegue enxergar o
cume da Serra. Chegando a esta placa, Sara, com o transferidor perpendicular ao solo, estimou um ângulo de 50° entre a base e o cume da Serra do
Ororubá. Sabendo que sen 50° = 0,77; cos 50° = 0,64; tg 50° = 1,19 e tomando
como referência o esquema mostrado na figura a seguir, certo de que Sara
não errou os cálculos, qual é a altitude estimada da Serra do Ororubá calculada por ela?
355
Fácil
C2:H8 (EEAR – 2019) Se ABC é um triângulo retângulo em A,
o valor de n é
A
5
3.
MATEMÁTICA • FRENTE C
Enem e vestibulares
21/09/2020 19:09:31
N8
830
N7
N6
Serra do
Ororubá
N5
Figura fora de
escala
N4
N3
50º
N2
N1
b)
640 m
c)
770 m
d)
1 190 m
e)
830 m
7.
Burj Khalifa
b)
N6.
c)
N7.
d)
N4.
e)
N3.
10.
c)
8 cm.
d)
10 cm.
e)
52 cm.
8.
Fácil
C3:H8 (Mackenzie - 2018)
a)
10°.
b)
45°.
c)
90°.
d)
30°.
e)
60°.
C2:H8 (EFOMM – 2019) Foram construídos círculos concêntricos de raios 5 cm e 13 cm. Em seguida, foi construído um
segmento de reta com maior comprimento possível, contido
internamente na região interna ao círculo maior e externa ao
menor.
O valor do segmento é
a) 8,5 cm.
b)
11,75 cm.
c)
19,25 cm.
d)
24 cm.
e)
27 cm.
12.
C2:H8 (CFTMG – 2017) Em um triângulo retângulo, a tangente
de um de seus ângulos agudos é 2. Sabendo-se que a hipotenusa desse triângulo é 5, o valor do seno desse mesmo
ângulo é
Médio
Na figura acima, o triângulo ABC é retângulo em C e sua área vale 6, então
o valor do senB é
3
.
a)
5
b) 1.
a)
4.
5
b)
5.
4
c)
4
.
5
c)
d)
2
.
5
5.
5
d)
e)
1
.
5
2 5.
5
C2:H9 (PUC-Camp – 2017) Burj Khalifa, localizado em Dubai,
é considerado o edifício mais alto do mundo, com cerca de
830 m. A figura ao lado da fotografia representa a extensão
vertical desse edifício altíssimo, dividida em 8 níveis igualmente espaçados.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 356
Médio
13.
356
Médio
9.
300 m
C2:H8 (FMP – 2020) Um triângulo retângulo é tal que o comprimento do seu menor cateto corresponde à metade do
comprimento de sua hipotenusa. O seu menor ângulo interno
mede
Médio
b) 2 13 cm.
Médio
11.
13 cm.
P
Dado: adote 3 = 1, 73 em suas contas finais.
Utilizando os dados fornecidos, um feixe de laser emitido a partir do
ponto indicado na figura por P atingiria a coluna central do Burj Khalifa,
aproximadamente, na marca
a) N5.
C3:H8 (CMRJ - 2019) A figura abaixo apresenta 100 quadrados
de lado medindo 1 cm. Uma formiga saiu do ponto A, passou
pelo ponto B e foi até o ponto C. Se ela tivesse seguido o caminho em linha reta de A até C, teria percorrido
a)
60º
N0
a)
3,36.
b)
3,60.
c)
4,20.
C2:H8 (ITA – 2017) Seja ABC um triângulo cujos lados AB, AC
e BC medem 6 cm, 8 cm e 10 cm, respectivamente. Considere
os pontos M e N sobre o lado BC tais que AM é a altura relativa
a BC e N é o ponto médio de BC. A área do triângulo AMN, em
cm2, é
d) 4,48.
e)
6,72.
21/09/2020 19:10:05
EXT21_1_MAT_C_02
1 000 m
EXT21_1_MAT_C_02
a)
Fácil
MATEMÁTICA • FRENTE C
1 km
C2:H9 (ENEM – 2016) A bocha é um esporte jogado em canchas, que são terrenos planos e nivelados, limitados por tablados perimétricos de madeira. O objetivo desse esporte é
lançar bochas, que são bolas feitas de um material sintético,
de maneira a situá-las o mais perto possível do bolim, que é
uma bola menor feita, preferencialmente, de aço, previamente lançada. A
Figura 1 ilustra uma bocha e um bolim que foram jogados em uma cancha.
Suponha que um jogador tenha lançado uma bocha, de raio 5 cm, que tenha
ficado encostada no bolim, de raio 2 cm, conforme ilustra a Figura 2.
16.
Médio
Médio
14.
C5:H22 (ENEM PPL – 2019) A unidade de medida utilizada
para anunciar o tamanho das telas de televisores no Brasil é
a polegada, que corresponde a 2,54 cm. Diferentemente do
que muitos imaginam, dizer que a tela de uma TV tem X polegadas significa que a diagonal do retângulo que representa
sua tela mede X polegadas, conforme ilustração.
x
A
C
17.
Médio
O
A
B
d
Figura 2
Considere o ponto C como o centro da bocha e o ponto O como o centro do
bolim. Sabe-se que A e B são os pontos em que a bocha e o bolim, respectivamente, tocam o chão da cancha, e que a distância entre A e B é igual a d.
Nessas condições, qual a razão entre d e o raio do bolim?
a) 1.
d)
2 10 .
5
10 .
2
2.
e)
10 .
b)
c)
15.
16,00.
c)
30,48.
d)
40,64.
e)
50,80.
C2:H9 (ENEM – 2019) Construir figuras de diversos tipos,
apenas dobrando e cortando papel, sem cola e sem tesoura,
é a arte do origami (ori = dobrar; kami = papel), que tem um
significado altamente simbólico no Japão. A base do origami
é o conhecimento do mundo por base do tato. Uma jovem
resolveu construir um cisne usando a técnica do origami, utilizando uma
folha de papel de 18 cm por 12 cm. Assim, começou por dobrar a folha
conforme a figura.
18 cm
A
B
D
E
12 cm
12 cm
C
Após essa primeira dobradura, a medida do segmento AE é
a) 2 22 cm.
C2:H9 (ENEM - 2018) Um quebra-cabeça consiste em recobrir
um quadrado com triângulos retângulos isósceles, como
ilustra a figura.
Médio
b)
MATEMÁTICA • FRENTE C
C
O administrador de um museu recebeu uma TV convencional de 20 polegadas, que tem como razão do comprimento (C) pela altura (A) a proporção
4:3, e precisa calcular o comprimento (C) dessa TV a fim de colocá-la em
uma estante para exposição. A tela dessa TV tem medida do comprimento
C, em centímetro, igual a
a) 12,00.
b)
6 3 cm.
c)
12 cm.
d)
6 5 cm.
e) 12 2 cm.
18.
8 dm
Médio
C2:H9 (CMRJ – 2018) A figura a seguir ilustra uma haste AC
articulada em B com as respectivas medidas horizontais e
verticais referentes a uma das suas possíveis configurações.
C
b)
12.
c)
7 2.
d)
6 + 4 2.
e)
6 + 2 2.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 357
12 dm
A
5 dm
15 dm
A maior distância possível entre as extremidades A e C, em decímetros, vale
a) 20 2.
b) 20 3.
c)
24.
d)
30.
e)
32.
357
EXT21_1_MAT_C_02
EXT21_1_MAT_C_02
Uma artesã confecciona um quebra-cabeça como o descrito, de tal modo
que a menor das peças é um triângulo retângulo isósceles cujos catetos
medem 2 cm.
O quebra-cabeça, quando montado, resultará em um quadrado cuja medida do lado, em centímetros, é
a) 14.
B
21/09/2020 19:10:28
19.
Admitindo-se que a distância entre os dois pontos de contato da gangorra
com o chão seja igual a n centímetros e que a tg 40° seja igual a m, o valor
de y, em centímetros, é igual a
Médio
C3:H14 (CP2 – 2018) Para concluir o projeto de pavimentação
das ruas de um bairro, a secretaria de obras de uma prefeitura
usou o trecho de mapa a seguir:
A
C
b)
D
c)
d)
CD = x+ 2
24.
4 dam.
c)
5 dam.
d)
6 dam.
.
C3:H8 (IFPE – 2018) Um famoso rei, de um reino bem, bem
distante, decide colocar um tampo circular para servir de mesa
no salão de reunião. A porta de entrada do salão tem 1 metro
de largura por 2,4 metros de altura.
Qual o maior diâmetro que pode ter o tampo circular da mesa para passar
pela porta do salão? (Dica: o círculo pode passar inclinado).
a) 2,5 m.
2,8 m.
c)
3,0 m.
d)
2,6 m.
e)
2,4 m.
B
Difícil
C2:H8 (ESPCEX (Aman) – 2019) Os centros de dois círculos
distam 25 cm. Se os raios desses círculos medem 20 cm e
15 cm, a medida da corda comum a esses dois círculos é
a)
12 cm.
b)
24 cm.
c)
30 cm.
d)
32 cm.
e)
26 cm.
Difícil
22.
e)
5.
Difícil
23.
40° com ele.
c)
2− 3
3 −1
C5:H22 (ESPM – 2019) Num triângulo retângulo de hipotenusa
a e catetos b e c, a medida da altura relativa à hipotenusa é
a
b
c
igual a 4. O valor da expressão
é igual a
b c a c ab
C5:H22 (CMRJ – 2020) Em um plano cartesiano, os pontos
a)
1.
b)
2.
c)
1.
2
1
.
4
1
.
8
3 , 0 e C(x, 3) formam um triângulo retângulo em
d)
e)
26.
C5:H22 (FGV – SP – 2018) A figura indica uma gangorra apoiada
no chão plano. As medidas x e y estão em centímetros, sendo
que y é maior do que x. Quando encostada com o chão de
um dos lados, a gangorra forma ângulo de 50°. Do outro lado,
quando encostada com o chão, a gangorra forma ângulo de
y
x
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 358
C
1
4
A(0, 3), B
Difícil
4.
4 3.
1
2− 3
25.
3.
d)
b)
e)
b) 3 3 .
c)
2+ 3
d)
B. De acordo com essas informações, o valor de x é
a)
a)
E
C3:H14 (ESPM – 2019) Uma praça tem a forma de um quadrado
de 200 m de lado. Partindo juntas de um mesmo canto P, duas
amigas percorrem o perímetro da praça caminhando em
sentidos opostos, com velocidades constantes. O primeiro
encontro delas se dá em um ponto A, e o segundo, em um
ponto B. Se a medida do segmento PA é 250 m, então, o segmento PB mede
a) 50 m.
b)
100 m.
c)
150 m.
d)
200 m.
e)
250 m.
21/09/2020 19:11:08
EXT21_1_MAT_C_02
b)
Difícil
20.
b)
.
C2:H9 (G1 - COTUCA – 2020) Na figura a seguir, temos três
circunferências de raio 1, tangentes entre si e inscritas no
retângulo ABCD. Sabendo que M é ponto do segmento AD
e que F, G e E são pontos de tangência entre as circunferências e os lados do retângulo, calcule o valor da tangente
 .
do ângulo MEF
A
F
M
G
D
●● AD = x + 9
Dessa forma, o trecho BC, ainda não pavimentado, mede
a) 3 dam.
21.
358
n
1− m2
n .
1+ m
n .
1− m
nm .
1 m
Difícil
BC = x
●●
e)
1+ m2
EXT21_1_MAT_C_02
MATEMÁTICA • FRENTE C
Sabe-se que o segmento BC (pontilhado) representa a única parte que
ainda não está pavimentada. Além disso, os pontos A, B e C estão alinhados.
As medidas dos trechos mostrados no mapa, em decâmetros, são os
seguintes:
●● AB = 10
●●
n
a)
B
Assinale a alternativa que responde à pergunta de Carlos.
a) 230 m
Difícil
C2:H8 (ITA – 2018) Os triângulos equiláteros ABC e ABD têm
lado comum AB. Seja M o ponto médio de AB e N o ponto
médio de CD. Se MN = CN = 2 cm, então a altura relativa ao
lado CD do triângulo ACD mede, em cm,
a)
60
.
3
b)
50
.
3
c)
40
.
3
d)
30
.
3
e)
2 6
.
3
28.
b)
150 m
c)
160 m
d)
250 m
e)
325 m
30.
C2:H8 (UFRGS - 2015) Quatro círculos de raio r foram traçados
de forma que sejam tangentes entre si dois a dois, como na
figura abaixo. As distâncias entre os centros de dois círculos
não tangentes entre si têm a mesma medida.
Difícil
C2:H8 (IFAL – 2017) Determine a altura relativa à hipotenusa
de um triângulo retângulo cujos catetos medem 6 cm e 8 cm.
a)
3,6 cm.
d)
6,4 cm.
b)
4,8 cm.
e)
8,0 cm.
c)
6,0 cm.
29.
A distância entre os centros de dois círculos não tangentes entre si é
a) 2r.
Difícil
C3:H14 (IFSC – 2017) Diante da atual crise de mobilidade pela
qual passam os moradores de sua cidade, Carlos decidiu ir
trabalhar sempre a pé, fazendo a trajetória descrita na figura
a seguir.
b)
r2.
c)
r 2.
d) 22 r 2 .
MATEMÁTICA • FRENTE C
27.
2r 2 .
e)
31.
C5:H22 (Uerj - 2018) Segundo historiadores da matemática, a
análise de padrões como os ilustrados a seguir possibilitou a
descoberta das triplas pitagóricas.
50 m
32.
30 m
Trabalho
100 m
Observe que os números inteiros 32, 42 e 52, representados respectivamente
pelas 2ª, 3ª e 4ª figuras, satisfazem o teorema de Pitágoras. Dessa forma,
(3, 4, 5) é uma tripla pitagórica.
Os quadrados representados pelas 4ª, 11ª e nª figuras determinam outra
tripla pitagórica, sendo o valor de n igual a:
a) 10
50 m
80 m
Casa
100 m
b)
12
c)
14
d)
16
Ao constatar que caminhava uma distância longa até o trabalho, certo
dia pensou:
– Se eu fizesse esse caminho em linha reta, quantos metros a menos
caminharia?
GABARITOE ONLINE
GABARITO
SOLUCIONÁRIO ONLINE
Façaoodownload
downloaddodo
aplicativo
Questões
ou qualquer aplicativo
1. Faça
aplicativo
SAE SAE
Questões
ou qualquer
de leituradeQRleitura
Code.
aplicativo
QR Code.
Abraooaplicativo
aplicativo
e aponte
o QRQRCode
2. Abra
e aponte
parapara
um dos
Codesaoaolado.
lado
acessardeste
o gabarito
ou o será
solucionário
módulo.
3. para
O gabarito
módulo
exibidodeste
em sua
tela.
1
A
B
C
D
E
9
A
B
C
D
E
17
A
B
C
D
E
25
A
B
C
D
E
2
A
B
C
D
E
10
A
B
C
D
E
18
A
B
C
D
E
26
A
B
C
D
E
3
A
B
C
D
E
11
A
B
C
D
E
19
A
B
C
D
E
27
A
B
C
D
E
4
A
B
C
D
E
12
A
B
C
D
E
20
A
B
C
D
E
28
A
B
C
D
E
5
A
B
C
D
E
13
A
B
C
D
E
21
A
B
C
D
E
29
A
B
C
D
E
6
A
B
C
D
E
14
A
B
C
D
E
22
A
B
C
D
E
30
A
B
C
D
E
7
A
B
C
D
E
15
A
B
C
D
E
23
A
B
C
D
E
31
A
B
C
D
E
8
A
B
C
D
E
16
A
B
C
D
E
24
A
B
C
D
E
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 359
359
EXT21_1_MAT_C_02
EXT21_1_MAT_C_02
Cartão-resposta
21/09/2020 19:11:35
Adha Ghazali/Shutterstock
Relações
Trigonométricas
Nos módulos anteriores, trabalhamos relações
que acontecem apenas em triângulos retângulos.
Neste módulo, abordaremos a trigonometria em
triângulos quaisquer, além da relação fundamental
trigonométrica e suas variações. Para iniciar esse
estudo, precisamos primeiramente definir as razões
trigonométricas inversas.
agudo interno e da hipotenusa. Considerando os catetos x e y de um triangulo retângulo, vamos aplicar as
relações seno e cosseno em um triângulo de hipotenusa a e ângulo agudo interno θ.
B
a
y
Observação: Se x é um número real não
nulo, temos que seu inverso, ou inverso multipli1
cativo, é .
x
θ
C
Razões trigonométricas
inversas
●
Nº de aulas
02
●
y
y a sen
a
cos x
x a cos
a
Portanto, podemos descrever os catetos do
triângulo como:
B
a
a·senθ
Observação:
Relações
trigonométricas
MAT
●
sen
, a cotangente pode também ser
cos
cos
definida como cotg .
sen
Como tg 9
a2 a sen a cos ●
Assim como as razões trigonométricas, as inversas
contam com a seguinte propriedade: se α e b
são ângulos agudos tais que α + b = 90°, então
Dividindo toda a igualdade por a2, obtemos a
chamada relação fundamental trigonométrica.
2
sen2θ + cos2θ = 1
9
Exemplo:
mód. 03/16
03
360
2
a2 a2 sen2 a2 cos2 Exemplo:
Qual é o valor de cossec (60°)?
Se α é um ângulo interno de um triângulo retângulo tal que
1
1
2
3 2 3
cossec 60 3
sen 60 3
3 3
2
sen 2 6
é o valor de um dos catetos, determine o valor
5
do outro cateto, dado por cosα.
Exemplo
Usando a relação fundamental sen2α + cos2α = 1, temos:
Qual é o valor de sec (30°)?
2 6 cos 2 1
5 24
cos 2 1
25
2
1
1
2
3 2 3
3
cos 30 3
3 3
2
Exemplo:
cos 2 1 Qual é o valor de cotg (45°)?
Frente C
A
Os valores notáveis das razões inversas vêm dos
valores notáveis já conhecidos.
sec 30 9
a·cosθ
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:
●
cossec sec
sec cossec
9
θ
C
cotg 45 Relação fundamental
trigonométrica
Com o teorema de Pitágoras, conseguimos extrair
o valor da hipotenusa de um triângulo sabendo apenas as medidas de seus catetos. Com as relações trigonométricas, podemos deduzir os valores dos catetos
de um triângulo sabendo apenas o valor de um ângulo
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 360
cos 1
1
1
tg 45 1
24
25
1
25
1
5
1
Como cos α é o valor de um cateto, cos .
5
Exemplo:
1
1
Calcule e simplifique a expressão
sen2 cos 2 1
1
cos 2 sen2 sen2 cos 2 sen2 cos 2 1
cos 2 sen2 sen2 cos 2 ( sen cos ) 2
cos 9
EXT21_1_MAT_C_03
Escola Digital
sen 21/09/2020 19:11:58
EXT21_1_MAT_C_03
A razão inversa ao seno é a cossecante;
1
cossec sen
A razão inversa ao cosseno é a secante;
1
sec cos
A razão inversa à tangente é a cotangente.
1
cotg tg
●
A
x
Casos particulares
se o cateto oposto = 1
Sendo a hipotenusa x, e o cateto adjacente, y:
hipotenusa
cateto
oposto
x
1
θ
cateto adjacente
y
Usando as relações de seno e cosseno:
se o cateto adjacente = 1
se a hipotenusa = 1
Nesse caso, os catetos assumem os
valores sen θ e cos θ e recaímos na relação fundamental trigonométrica.
1
1
x x cossec
x
sen
sen Sendo a hipotenusa x, e o cateto
oposto y:
y
y x cos
x
1 y
cos cotg
sen cos x
y
1
senθ
MATEMÁTICA • FRENTE C
θ
Portanto, as medidas do triângulo
podem ser descritas como:
θ
1
θ
cos Exemplo:
2
Sabendo que sen , 0 < θ < 90°, deter3
mine os valores de cos θ, tg θ, sec θ, cossec
Usando a relação sen2θ + cos2θ=1, temos:
2
1
3 5
sec cos 5
cotg 1
5
tg 2
cotgθ
Aplicando o teorema de Pitágoras,
obtemos uma relação trigonométrica:
Portanto, as medidas do triângulo
podem ser descritas como:
EXT21_1_MAT_C_03
EXT21_1_MAT_C_03
Exemplo:
Se θ é um ângulo interno de um triângulo
retângulo com sen secθ
tgθ
1
, calcule os valores
2
de cotg θ e cossec θ.
Primeiramente, vamos calcular o valor de
θ
cossec θ, como cossec 1
Aplicando o teorema de Pitágoras,
obtemos outra relação trigonométrica:
tg2θ + 1 = sec2θ
9
Utilizando a relação trigonométrica anterior,
tg2b + 1 = sec2b.
3
2
2
1 sec 4 = sec2b
sec b = 2
1
, temos que
sen
cossec θ = 2.
Para calcular cotg θ usamos a relação
cotg2θ + 1 = cossec2θ, dessa forma:
cotg2θ + 1 = 22
cotg2θ = 3
Exemplo:
Se b é um ângulo interno de um triângulo
retângulo tal que tg 3, calcule o valor
de sec b.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 361
cotg2θ + 1 = cossec2θ
9
5
cos 3
2
sen
2 5
tg 3 cos 5
5
3
1
3
cossec sen 2
θ
y
y x sen
x
1 y
sen y tg
cos sen θ e cotg θ.
2
2
cos 1
3
4 5
cos 2 1 9 9
1
1
1
x x sec
x
cos
Recomenda-se fazer
o exercício 1 da seção Sistematização
Portanto, cossec θ = 2 e cotg 3 .
Esquematizando as três principais relações trigonométricas, temos:
sen2 cos2 1
2
2
cotg 1 cossec tg2 1 sec2 361
9
cossecθ
Usando as relações de seno e cosseno:
cosθ
21/09/2020 19:12:12
Trigonometria em um
triângulo qualquer
5
2R
sen45
5
= 2R
2
2
5 = 2R
Assim como em triângulos retângulos, os lados e ângulos
de triângulos quaisquer apresentam relações algébricas, que
esclarecem as proporções entre as medidas dos lados e dos
ângulos.
Lei dos cossenos
R=
Em um triângulo qualquer de lados a, b e c e θ como ângulo
oposto ao lado a, temos a seguinte relação entre suas medidas:
a2 = b2 + c 2 – 2 · b · c · cos θ
A
Recomenda-se fazer junto
com os alunos o exercício
9 da seção Sistematização
MATEMÁTICA • FRENTE C
θ
Seno e cosseno de
ângulos obtusos
No trabalho com as relações trigonométricas em qualquer
tipo de triângulo, podemos nos deparar com o cálculo do seno
e do cosseno de ângulos obtusos. Para isso, basta utilizar as
seguintes relações entre os ângulos e seus suplementos:
sen sen 180 cos cos 180 b
c
5 2
2
9
Exemplo:
Qual é o valor de sen (135°)?
C
B
a
sen 135 sen 180 135 sen 45 9
Qual é o valor de cos (150°)?
Essa relação é chamada de lei dos cossenos.
Lei dos senos
cos 150 cos 180 150 cos 30 9
Em um triângulo ABC qualquer, as medidas a, b e c dos lados são proporcionais aos respectivos senos dos ângulos oposa
b
c
tos a cada lado, ou seja,
.
sen sen sen Como sabemos os valores de dois lados do triângulo e temos o valor
do ângulo entre esses lados, podemos utilizar a lei dos cossenos para
descobrir o valor do terceiro lado. Para calcular cos (120°), começamos
pela relação a seguir.
Recomenda-se fazer
junto com os alunos o
exercício 10 da seção
Sistematização
a
c
γ
Exemplo:
3
2
Um triângulo ABC tem seus lados medindo AB = 20 cm e BC =12 cm.
Se o ângulo do vértice B mede 120°, qual é o valor do terceiro lado do
triângulo?
B
β
Exemplo:
2
2
cos 120 cos 180 120 cos 60 C
1
2
Usando a lei dos cossenos:
2
2
2
AC AB BC 2 AB BC cos B
AC 20 2 12 2 2 20 12 cos 120 2
1
AC 20 2 12 2 2 20 12 2
2
b
α
A
Essa relação é chamada de lei dos senos.
2
A proporcionalidade entre os lados e os ângulos internos
dada pela lei dos senos é igual a uma constante 2R, ou seja,
a
b
c
= =
= 2R. Essa constante equivale à medida do
senB
senC
senA
diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo.
A
AC = 28
9
Exemplo:
Se um triângulo tem um de seus ângulos internos com medida 120° e se
ele está circunscrito em uma circunferência de raio 1, qual a medida do
lado oposto ao ângulo de 120°?
Como temos o valor do raio ao qual o triângulo estará inscrito e o valor
de um ângulo, usaremos a lei dos senos para descobrir a medida do
lado oposto a esse ângulo.
R
Mas, primeiramente, vamos calcular o valor de sen(120°).
b
c
AC 544 240 784
sen(120°) = sen(180° – 120°) = sen(60°)
3
2
Denotando por x o valor da medida do lado oposto ao ângulo de 120°,
temos, pela lei dos senos:
B
9
a
C
Exemplo:
362
Um triângulo ABC tem o lado AB medindo AB = 5 cm. Se o ângulo do vértice
C mede 45°, qual é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo?
Como se trata de um triângulo qualquer e dispomos das medidas de
um ângulo e de seu lado oposto, podemos utilizar a lei dos senos para
descobrir o raio da circunferência.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 362
x
x
2R 2 1
sen 120 3
2
x 3
EXT21_1_MAT_C_03
Então sen 120 21/09/2020 19:12:28
Relação fundamental
Lei dos cossenos
senθ + cosθ = 1
1
θ
senθ
θ
A
cosθ
secθ
1
θ
cotgθ
θ
c
secθ = tgθ + 1
cossecθ = cotgθ + 1
cossecθ
a = b + c – 2 · b · c · cosθ
b
tgθ
1
C
a
B
Lei dos senos
MATEMÁTICA • FRENTE C
FIXAR
a = b + c – 2 · b · c · cosθ
C
1
cossecθ =
senθ
sen 180 =sen
Se 90° < θ < 180° ⇒ cos 180 = cos
secθ =
1
cosθ
cotg =
1
cos
tg sen
a
b
c
A
θ
γ
B
b
a
b
c
2R
sen sen sen
Interação
1.
A localização de algo ou alguém em um espaço é determinada
por duas antenas. O cálculo do posicionamento considera o
ângulo formado entre as distâncias do objeto com as antenas
e, com base nas relações entre os ângulos e as distâncias
formadas pelas antenas e o objeto, a posição é calculada por
triangulação. Uma das técnicas de localização mais conhecidas é a AoA
(Angle of Arrival). Observe uma representação de como ela é utilizada.
d
Na representação, as antenas estão distantes 23,22 cm uma da outra, e o
ângulo formado pela distância entre o objeto e a antena B e a distância
entre as antenas mede 30°. Já o ângulo formado pela distância entre o
objeto e a antena A e a distância entre as antenas mede 45°. Supondo que
essa representação foi construída em uma escala de 1 : 10 000, determine
a distância real aproximada entre o objeto e cada uma das antenas. (use
sen 75° = 0,96 e 2 = 1, 41)
B
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 363
363
EXT21_1_MAT_C_03
EXT21_1_MAT_C_03
A
21/09/2020 19:12:43
10.
Sistematização
1.
2.
3.
MATEMÁTICA • FRENTE C
4.
5.
Demonstre que em um triângulo ABC qualquer, como o da
a
b
c .
imagem a seguir, vale a igualdade =
=
senA senB senC
Com base na relação fundamental trigonométrica
sen 2θ + cos 2θ = 1, obtenha algebricamente as relações
tg2θ + 1 = sec2θ e sec2θ + 1 = cossec2θ.
A
^
A
Se sen α > 0, que valor de sen α satisfaz a equação
3sen α = 2cos2α?
c
1
Determine o valor de senα · cos α, sabendo que sen cos .
3
cos b.
c)
tg b.
d)
cossec b.
e)
sec b.
^
B
^
C
B
A expressão cossec sec é equivalente a
cotg 1
a) sen b.
b)
b
11.
C
a
Utilizando a lei dos cossenos, encontre a medida x da diagonal
do paralelogramo da figura a seguir.
x
5m
120o
10 m
Determine o perímetro do triângulo descrito a seguir.
12.
O triângulo ABC, representado na figura a seguir, corresponde
ao triângulo pitagórico. Segundo a tradição grega, foi por meio
dele que Pitágoras enunciou seu teorema.
C
x+2
x
120°
b
x+1
6.
Um triângulo ABC tem as medidas AC = 3 e AB = 4, e ângulo
 120. Calcule a medida de BC.
interno A
3
7.
O quadrado a seguir tem área de 4 cm2. Sabendo que α = 45°,
b = 30° e γ = 105°, calcule as medidas dos lados do triângulo.
Considere sen 105° = 0,96.
A
α
4
B
Com base nas informações acima e nas definições de seno, cosseno e tangente, assinale (V) para verdadeira ou (F) para falsa nas afirmativas a seguir.
( ) Os valores de senα e cosα são, respectivamente, 0,6 e 0,8.
γ
b
5
α
( ) As medidas senα e cosb são iguais.
( ) O resultado da expressão y = (1 + cosα) · ( 1 – cosα) é 0,36.
( ) cossec2α = cotg2b + 1.
( ) cos(180° – b ) = – cosb e sen(180° – α ) = senα.
13.
Um triângulo ABC tem o lado BC medindo 10 cm. Se o ângulo
do vértice A mede 150°, qual é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo?
105o
x
6m
30
o
C
Demonstre que em um triângulo ABC qualquer, como o da
imagem a seguir, vale a igualdade a2 = b2 + c2 – 2 · b · c · cos α.
Determine o valor da medida do comprimento do segmento AB, sabendo
que haverá uma cerca de 6 m de comprimento na distância AC.
14.
B
c
364
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 364
Na figura, observa-se que a diagonal do quadrado divide
ângulos internos opostos, que são retos, em dois ângulos
congruentes de 45°.
a
d
45o
θ
A
B
b
C
a
B
21/09/2020 19:12:59
EXT21_1_MAT_C_03
9.
EXT21_1_MAT_C_03
8.
Um engenheiro precisa fazer as medições de uma fazenda a
fim de delimitá-la com madeira natural. Esse tipo de muro é
simples e de baixo custo, uma ótima opção para terrenos de
diferentes tamanhos. Observe abaixo o terreno da fazenda.
A
A
Aplicando a definição de seno, cosseno e tangente no quadrado de lados
a e diagonal d, calcule:
I. cossec45°.
II.
y
sec45°.
120°
III. cotg45°.
IV. cossec²45° – cotg²45.
O valor da diagonal em função do lado da figura, usando o teorema
de Pitágoras.
VI. O(s) valor(es) de M para que sen45 1 M2 .
B
No século IX d.C. um astrônomo árabe calculou o comprimento
da sombra de uma barra unitária fincada horizontalmente em
um muro. Isso proporcionou a introdução de novas funções
trigonométricas, além de seno e cosseno.
1
Tipo de material
α
s
Considerando α o ângulo de elevação do sol sobre o horizonte, de que
modo se pode obter o comprimento s da sombra?
Enem e vestibulares
1.
5e 5
2
2
b)
−
3e 3
2
2
c)
−
d)
2e 2
−
2
2
e)
−
1e1
2 2
II.
c)
III.
d)
IV.
e)
V.
4.
I
0<R≤5
II
5 < R ≤ 10
III
10 < R ≤ 15
IV
15 < R ≤ 21
V
21 < R ≤ 40
C2:H7 (UERJ – 2019) A figura ilustra três circunferências, de
raios 1, 2 e 3, tangentes duas a duas nos pontos M, N e P.
B
M
A
C1:H4 (IFPE – 2014) Com relação às razões trigonométricas,
assinale a única alternativa que apresenta uma relação
verdadeira.
Fácil
Fácil
EXT21_1_MAT_C_03
EXT21_1_MAT_C_03
Intervalo de valores
de raio (cm)
P
3e3
4 4
2.
a)
cos b)
tg c)
sec N
C
1
cossec cos sen O comprimento do segmento de reta MN é igual à raiz quadrada de
a) 3,6.
1
cossec d)
sen α = cos (90° – α)
e)
1
sen sec C2:H8 (ENEM – 2017) Uma desenhista projetista deverá desenhar uma tampa de panela em forma circular. Para realizar
esse desenho, ela dispõe, no momento, de apenas um compasso, cujo comprimento das hastes é de 10 cm, um transferidor e uma folha de papel com um plano cartesiano. Para
esboçar o desenho dessa tampa, ela afastou as hastes do compasso de
forma que o ângulo formado por elas fosse de 120°. A ponta seca está representada pelo ponto C, a ponta do grafite está representada pelo ponto
B e a cabeça do compasso está representada pelo ponto A, conforme a
figura.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 365
b)
3,8.
c)
4,2.
d)
4,4.
5.
C2:H8 (UECE – 2018) Se as medidas de dois dos lados de um
triângulo são respectivamente 7 m e 5 ⋅ 2 m, e se a medida
do ângulo entre esses lados é 135 graus, então, a medida, em
metros, do terceiro lado é
Fácil
3.
b)
Fácil
Fácil
−
x
Considere 1,7 como aproximação para 3.
O tipo de material a ser utilizado pelo setor de produção será
a) I.
C1:H3 (UNISINOS – 2017) As funções seno e cosseno de qualquer ângulo x satisfazem a seguinte identidade:
sen2x + cos2x = 1. Se cos x = 0,5 quais são os possíveis valores
do seno deste ângulo x?
a)
3
Após concluir o desenho, ela o encaminha para o setor de produção. Ao
receber o desenho com a indicação do raio da tampa, verificará em qual
intervalo este se encontra e decidirá o tipo de material a ser utilizado na
sua fabricação, de acordo com os dados.
Sol
1
C
0
MATEMÁTICA • FRENTE C
15.
a)
12.
b)
15.
c)
13.
d)
14.
365
V.
21/09/2020 19:13:35
Fácil
C2:H8 (FGV – 2018) Um triângulo isósceles ABC com AB = AC = 1,
é tal que cada ângulo da base BC mede o dobro do ângulo de
vértice A. Se cos 18° = m, então o quadrado de BC é igual a
b)
2 1 m c)
2 – 2m2.
d)
4 – 2m2.
e)
4 – 4m2.
a)
10.
C2:H7 (UFJF-PISM II – 2019) Um terreno plano, em forma de quadrilátero ABCD, possui um de seus lados medindo 90 m, os lados AB e
CD paralelos e dois ângulos opostos medindo 30° e 60°. Além disso,
a diagonal AC desse terreno forma 45° com o lado CD.
B
Médio
6.
1 m .
2 1 m 1 m2 .
7.
2
90 m
Médio
C2:H7 (Unicamp – 2018) Considere que o quadrado ABCD
representado na figura abaixo tem lados de comprimento de
1 cm e que C é o ponto médio do segmento AE.
Consequentemente, a distância entre os pontos D e E será
igual a
E
MATEMÁTICA • FRENTE C
60°
A
45°
C
30°
D
A medida do menor lado desse terreno, em metros, é
45 2
.
2
a)
D
C
45 6
.
2
15 3.
b)
c)
d) 30 3.
90 3.
e)
11.
b)
Médio
A
a)
C2:H7 (Unicamp – 2017) Considere o triângulo retângulo ABD
exibido na figura abaixo, em que AB = 2 cm, BC = 1 cm e
CD = 5 cm Então, o ângulo θ é igual a
B
3 cm.
A
2 cm.
c)
5 cm.
d)
6 cm.
8.
θ
Médio
C1:H3 (Unicamp – 2018) Seja x um número real tal que
sen x cos x 0 , 2. Logo, senx − cos x é igual a
B
a)
0,5.
b)
0,8.
a)
15°.
c)
1,1.
b)
30°.
d)
1,4.
c)
45°.
d)
60°.
9.
C2:H7 (UFRGS – 2020) Na figura abaixo, tem-se um retângulo
D
C2:H7 (UPE-SSA I – 2017) A medida da área do triângulo retângulo representado a seguir é de 12,5 cm². Qual é o valor
aproximado do seno do ângulo “θ”? Considere 2 = 1, 4.
Médio
Médio
ABCD, de lados AB = 3 e AD = 5, e um triângulo equilátero BEC,
construído sobre o lado BC.
A
B
12.
C
θ
E
A medida DE é
a)
34 + 15 2 .
b)
c)
34 − 15 3 .
7.
19.
e)
34 + 15 3 .
366
d)
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 366
x+2
a)
0,45
b)
0,52
c)
0,61
d)
0,71
e)
0,85
21/09/2020 19:14:23
EXT21_1_MAT_C_03
C
EXT21_1_MAT_C_03
D
2x – 1
Médio
C2:H8 (Insper – 2016) Partindo de um ponto A, um avião deslocava-se, em linha reta, com velocidade v (km/h). Após duas horas,
quando se encontrava no ponto B, o avião desviou α graus de
sua rota original, conforme indica a figura, devido às condições
climáticas. Mantendo uma trajetória reta, o avião voou mais uma
hora com a mesma velocidade v (km/h) até atingir o ponto C.
Dados:
18.
C2:H7 (Fuvest – 2017) O paralelepípedo reto-retângulo
ABCDFGH representado na figura tem medida dos lados
AB = 4, BC = 2 e BF = 2.
Difícil
13.
H
7
4
3
cos a =
4
G
sen a =
E
F
C
D
C
A
A
A distância entre os pontos A e C, em quilômetros, é igual a
a) 2v.
b) v 5 .
e)
2v 2 .
Médio
14.
a)
b)
3
C1:H4 (Acafe – 2018) Se x , 2 e sen x cos x 51 , então
2
75
o valor da expressão (sec x cossec x sen x) é:
11
4
.
5
3
− .
5
c)
d)
5
.
4
11
.
60
19.
C2:H7 (ESPM – 2019) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado
e M é ponto médio do lado AD. O valor de tgα é
Difícil
d)
v 6.
v 7.
c)
MATEMÁTICA • FRENTE C
B
B
 é igual a
O seno do ângulo HAF
1
a)
.
2 5
b) 1 .
5
2 .
c)
10
2
d)
.
5
3 .
e)
10
a
C
D
sec2 (x) 1 cossec2 (x) 1
C1:H4 (Udesc – 2017) A expressão 2
tg (x) 1
cot g2 (x) 1
é igual a
Difícil
15.
M
a)
1− 2 cos2 (x).
d)
b) 3 + 2 cos2 (x).
c)
3 + 2 sen (x).
4
4
C1:H4 (IME – 2017) Calcule o valor de sen6 cos6 ,
sen cos 1
sabendo-se que sen cos .
5
b)
c)
22
21
23
22
25
23
d)
e)
13
12
26
25
a)
1.
b)
2.
c)
3.
d)
4.
e)
5.
20.
C2:H7 (UERJ – 2017) Uma pirâmide com exatamente seis arestas
congruentes é denominada tetraedro regular. Admita que a
aresta do tetraedro regular ilustrado a seguir, de vértices ABCD,
mede 6 cm e que o ponto médio da aresta BC é M.
D
B
A
C2:H7 (UFPR – 2017) Considere o triângulo a seguir.
Fácil
a)
Difícil
a
e) 1+ 2 sen2 (x).
2
16.
17.
1.
a
x
A
B
M
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 367
75°
c)
d)
2
.
3
2
.
5
60°
8 cm
a)
Quanto mede o ângulo α?
b)
Quanto mede x?
367
EXT21_1_MAT_C_03
EXT21_1_MAT_C_03
C
 equivale a
O cosseno do ângulo AMD
1
.
a)
2
1
.
b)
3
21/09/2020 19:15:32
Médio
C4:H17 (UEPG – 2014) Se A sec tg e B sec tg com
0 , assinale o que for correto.
2
(1)
(2)
(3)
(4)
24.
C2:H9 (UFU–2017) Um fazendeiro pretende instalar um sistema
de irrigação retilíneo ligando os pontos B e D de sua propriedade rural, representada na figura seguinte pelo quadrilátero
ABCD. Considerando que AB
= AD
= 5 km, ADC 80 e que
BD = BC , qual será o custo total da instalação sabendo que o
custo por quilômetro é de R$ 500,00?
Use 3 = 1, 7
25.
C2:H7 (IME – 2019) Uma corda CD corta o diâmetro AB de um
˘ 30
círculo de raio R no ponto E. Sabendo que o ângulo ABC
e que EC = R 2 , calcule a medida do segmento ED.
Difícil
21.
então B > 0.
3
A · B = 1.
A
sec2 tg2 .
B
2
A B sen Se Se , então B < 0.
6
Soma ( )
(5)
(1)
A medida do cosseno do ângulo oposto ao lado de medida 7 é
17
.
32
3 15
A medida do seno do menor ângulo vale
.
16
igual a
(2)
(3)
A tangente do maior ângulo mede 15 .
(4)
A soma das medidas dos cossenos dos três ângulos internos é
maior que um.
Difícil
C1:H4 (UEPG – 2018) Os lados de um triângulo medem 6, 7 e
8 centímetros. Em relação a esse triângulo, assinale o que for
correto.
Difícil
MATEMÁTICA • FRENTE C
22.
A soma das secantes do maior com o menor ângulo tem medida
maior que cinco.
Soma ( )
(5)
23.
Difícil
C2:H7 (Unicamp – 2020) A figura abaixo exibe um triângulo
isósceles com dois lados de comprimento a = 5 cm e um dos
3
ângulos internos igual a θ, em que cos .
5
θ
a
a
GABARITOE ONLINE
GABARITO
SOLUCIONÁRIO ONLINE
a)
Calcule a área desse triângulo.
b)
Determine o comprimento do raio da circunferência circunscrita a
esse triângulo.
Façaoodownload
downloaddodo
aplicativo
Questões
ou qualquer aplicativo
1. Faça
aplicativo
SAE SAE
Questões
ou qualquer
de leituradeQRleitura
Code.
aplicativo
QR Code.
Abraooaplicativo
aplicativo
e aponte
o QRQRCode
2. Abra
e aponte
parapara
um dos
Codesaoaolado.
lado
acessardeste
o gabarito
ou o será
solucionário
módulo.
3. para
O gabarito
módulo
exibidodeste
em sua
tela.
1
A
B
C
D
E
6
A
B
C
D
E
11
A
B
C
D
E
16
A
B
C
D
E
2
A
B
C
D
E
7
A
B
C
D
E
12
A
B
C
D
E
17
A
B
C
D
E
3
A
B
C
D
E
8
A
B
C
D
E
13
A
B
C
D
E
18
A
B
C
D
E
4
A
B
C
D
E
9
A
B
C
D
E
14
A
B
C
D
E
19
A
B
C
D
E
5
A
B
C
D
E
10
A
B
C
D
E
15
A
B
C
D
E
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 368
EXT21_1_MAT_C_03
368
Cartão-resposta
21/09/2020 19:16:10
Trigonometria na circunferência
Arcos
Define-se como 1 radiano (1 rad) a medida
do ângulo central cujo arco correspondente representa o mesmo comprimento do raio dessa
circunferência.
Em uma circunferência de centro O com os pon é definido como
tos A e B contidos nela, um arco AB
o trecho da circunferência entre os pontos A e B.
A
R
α
O
R
R
B
Donatas Dabravolskas/Shutterstock
Inaugurada em 6 de dezembro de 2019, a Rio Star é a maior roda-gigante da América Latina,
com 88 metros de altura, 54 gôndolas (cabines) e o tempo de 18 minutos para dar uma volta
completa. A análise de movimentos cíclicos e fenômenos periódicos, como os que realizam as
rodas-gigantes, inicia-se com o estudo de medidas de arcos e circunferência trigonométrica,
parte do conteúdo das funções trigonométricas.
(a)
(b)
Escola Digital
Nº de aulas
1 rad
R
Um arco também pode ser definido pelo ângulo
central α, ou seja, pelo ângulo com vértice no centro
da circunferência.
02
Medidas de arcos
(c)
B
Observação: A utilização dos radianos é
mais vantajosa nos momentos em que se deseja
medir o comprimento de um arco.
α
O
R
A
 é um arco de um círculo de raio R, cujo ânSe AB
gulo central mede θ radianos, então o comprimento
deste arco é dado por C arco = R · θ.
9
●
A medida angular (α) de um arco de circunferência consiste na medida do ângulo central
associado a esse arco.
●
A medida linear () de um arco de circunferên.
cia é o comprimento do arco AB
Exemplo:

Em uma circunferência de raio 10 cm, um arco AB
mede 120°. Calcule o comprimento desse arco usando
a aproximação π = 3,14.Esquematizando os dados,
temos:
Unidades de medida
do ângulo
10 cm
120º
EXT21_1_MAT_C_04
Ao dividir uma circunferência em 360 partes,
cada 1 grau (1°) equivale à medida do ângulo central
cujo arco correspondente representa uma dessas
partes da circunferência. Portanto, a circunferência
completa corresponde ao ângulo de 360°.
Observação: Existem dois submúltiplos do
grau: o minuto, em que 1 grau corresponde a 60
minutos (1° = 60’); e o segundo: em que 1 minuto
corresponde a 60 segundos (1’ = 60’’).
Radiano
Outra unidade de medida para os arcos é o radiano, que pode ser definido da seguinte maneira.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 369
A

B
Como o raio da circunferência é 10 cm, o comprimento total é 20π. Denotamos o comprimento do arco
 como  . Dessa forma, como o ângulo central está
AB
em graus, podemos calcular seu comprimento por meio
da regra de três:
20


360
120
120 20
20 3,14

21
360
3
MAT
Como o comprimento de uma circunferência de
raio R é calculado por C = 2πR, pela definição de radiano, que uma volta completa equivale a 2π rad.
Trigonometria na
circunferência

R
(d)
Frente C
mód. 04/16
04
369
21/09/2020 19:16:37
Relação entre grau e radiano
Pelas definições entre grau e radiano, as medidas estão
relacionadas pela equivalência rad 180. A seguir, temos as
medidas notáveis em grau e radiano.
120º 90º
135º
150º
210º
225º
240º
7
6
5
4
Um relógio está marcando exatamente 6:00. Que horas o relógio marcará
após o ponteiro maior ter percorrido um ângulo de 72°?

4
270º
4
3
60º
45º
30º
11
2
3
2
330º
315º
300º
5
3
Primeiramente, note que o valor entre duas marcações consecutivas do
relógio é de 30°.

6
360º
180º

Exemplo:
Converta 225° em radianos.
Usando a regra de três, temos:
180
225
180 · α = 225 · π
225 5
rad
180
4
9
Exemplo:
Converta
7
4
180
7 180 7 180
315
4
4
370
Milkovasa/Shutterstock
7π
rad em graus.
4
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 370
12
1
10
2
9
11
6
30° =
360°
12
3
8
7
4
Qualquer conversão entre grau e radiano pode ser calculada por meio de regra de três simples.
9
Exemplo:
4
7
6
5
Então, às 6 horas, os ponteiros menor e maior estavam, respectivamente, sobre os números 6 e 12 no relógio. O ponteiro maior
percorreu um ângulo de 72°. Sabendo que ele percorre 30° em 5
minutos, usando a regra de três, temos
30°
72°
5 min
x
x=
72 5
12 min
30
Portanto, concluímos que o caminho de 72º equivale a 12 minutos. Logo, o relógio marcará 6h12.
Circunferência trigonométrica
A circunferência trigonométrica é uma circunferência de
raio 1 e centro na origem do plano cartesiano. Os eixos do plano
cartesiano dividem a circunferência em 4 quadrantes, numerados no sentido anti-horário.
Professor, inicie o
tópico resolvendo o
Exercício 1 da seção
Sistematização, que
permite fazer a construção da circunferência trigonométrica explicando as simetrias
e relações entre os arcos do 1° quadrante e
as comparações com
os outros quadrantes.
2.°
1.°
(0, 0)
3.°
4.°
O quadrante é um instrumento
antigo que era utilizado para medir
os ângulos menores que 90°. Inventado por Ptolomeu, era utilizado
para calcular latitude e longitude.
21/09/2020 19:18:51
EXT21_1_MAT_C_04
5
6

3
9
EXT21_1_MAT_C_04
2
3
3
4
MATEMÁTICA • FRENTE C

2
Observação: Para converter radiano em grau, basta
substituir π por 180°.
Para medir ângulos na circunferência, define-se uma orientação na qual o sentido positivo é o anti-horário e o sentido
negativo, o horário.
Primeiro quadrante
Terceiro quadrante
Quando P estiver no 3.º quadrante, sua abscissa e ordenada
serão negativas.
sen
Ao tomar um ponto P na circunferência, podemos comprovar a relação sen2α + cos2α = 1. Para isso, toma-se o segmento
OP como a hipotenusa de um triângulo retângulo com base no
eixo x, como a seguir.
(0, 1)
sen
α
(0, 1)
β
(-1, 0)
P
cos
(1, 0)
cos
(0, -1)
Nesse caso, as coordenadas de P são (cos (α), sen (α)) =
(– cos (α – 180°), – sen (α – 180°)) = (– cos (b), – sen (b)), em que α – b = 180°.
Quarto quadrante
(0, -1)
Dessa forma, o ângulo α, formado por OP e o eixo x, tem seu
cosseno como o valor da abscissa de P e o seno como o valor da
ordenada de P, ou seja, P = (cos α, sen α).
Por fim, quando P estiver no 4.º quadrante, sua abscissa
será positiva e sua ordenada negativa.
sen
(0, 1)
Segundo quadrante
Quando o ângulo α for obtuso, o ponto P estará no segundo
quadrante, portanto sua abscissa será negativa.
α
sen
(-1, 0)
(0, 1)
MATEMÁTICA • FRENTE C
P
α
O
(1, 0)
1
1
(-1, 0)
O
O
β
(1, 0)
cos
1
P
P
1
β
(-1, 0)
(0, -1)
α
O
(1, 0)
cos
(0, -1)
Nesse caso, as coordenadas de P são (cos (α), sen (α))
= (cos (360° – α), – sen (360° – α)) = ( cos (β), – sen (b)), em que
α + b = 360°.
Assim, conseguimos representar as coordenadas de P
em todos os quadrantes e os valores de seno e cosseno para
0 ≤ α ≤ 360°.
As coordenadas de P são (cos (α), sen (α)) =
(– cos (180° – α), sen (180° – α)) = (– cos (b), sen (b)), em que α + b = 180°.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 371
A bússola é utilizada para navegação e orientação. Ela apresenta medidas de ângulos e
possui uma agulha magnetizada
que indica uma direção chamada
Norte Magnético.
371
EXT21_1_MAT_C_04
EXT21_1_MAT_C_04
O Sextante é utilizado
para medir o ângulo entre
dois objetos distantes, a partir
da observação do horizonte
através da luneta.
21/09/2020 19:19:29
9
Exemplo:
9
Exemplo:
Calcule as coordenadas de P = (cos(135°), sen(135°)).
Que arco de ângulo menor que 360° é côngruo ao arco de 780°?
Primeiramente identificamos o quadrante ao qual o ângulo de 135°
pertence. Como ele é maior que 90° e menor que 180°, pertence ao
segundo quadrante.
Dividindo 780° por 360°, obtemos 780° = 60° + 2 · 360°.
Portanto, 780° é equivalente a duas voltas na circunferência mais 60°,
ou seja, é côngruo ao arco de ângulo 60°, pois os dois apresentam a
mesma extremidade.
Portanto:
P = (cos(135°), sen(135°)) = (– cos(180° – 135°), sen(180° – 135°)) =
(–cos(45°), sen(45°))
P
2 2
P ,
2 2 9
780°
Exemplo:
60o
Calcule as coordenadas de P = (cos (300°), sen (300°)).
0
P = (cos(300°), sen (300°)) = (cos(360° – 300°), – sen (360° – 300°)) =
3π
rad corresponde a 270°, portanto P está no eixo y, logo
2
sua abscissa é nula e a ordenada é –1. Assim, P = (0, –1).
O ângulo
Tangente na circunferência
trigonométrica
De modo geral, se α e b são medidas de dois arcos congruentes, então α – b = 360° · k ou α – b = 2π · k, para algum k ∈ .
Em particular, quando b é a menor determinação positiva
de um arco (ângulo em uma volta), então α = b + 360° · k ou α =
b + 2π · k para algum k ∈ .
9
27 π
e, em seguida,
Encontre o menor arco positivo congruente a
4
27 π
calcule o seno, o cosseno e a tangente de
.
4
27 π
como soma de voltas completas na
Primeiramente, decompomos
4
circunferência mais a sua menor determinação positiva.
É possível representar a tangente dos ângulos na circunferência trigonométrica. Primeiramente, traçamos a reta T tangente à
circunferência, prolongando o segmento OP e calculando a ordenada da intersecção desse prolongamento com a reta T.
P
senα
1
27 24 3
3
3
6 3 2 4
4
4
4
4
27 π
3π
Portanto,
corresponde a três voltas completas mais
rad (135°).
4
4
Dessa forma, podemos calcular os valores de seno, cosseno e tangente.
T
tgα
α
0
cosα
Exemplo:
A
2
27 3 sen sen 4 4 2
t
2
27 3 cos cos 2
4 4 27 3 tg tg 1
4 4 Exemplo:
Na representação anterior, o triângulo retângulo de hipotenusa unitária é semelhante (pelo caso AAA) ao triângulo OAT.
Dessa semelhança, temos:
sen
cos
Sempre que for necessário calcular a tangente de um ângulo, usaremos as mesmas relações algébricas do seno e cosseno.
tg Portanto, para todo arco α definido na circunferência trigonométrica existe uma relação simultânea entre senα, cosα e tgα.
Arcos côngruos
Pelo nosso sistema referencial, existe uma infinidade de arcos com a mesma extremidade na circunferência, diferenciados
apenas pelo número de voltas.
Quando a diferença entre a medida de dois arcos, na circunferência trigonométrica, for múltipla de 360° (2π rad), obteremos os chamados arcos côngruos.
9
Qual a menor determinação positiva do arco de 2010°? Calcule o seno,
cosseno e tangente do ângulo referente a essa menor determinação
positiva.
Dividindo 2010° por 360°, encontramos 2010° = 5 · 360° + 210°.
Portanto o arco de 2010° corresponde a cinco voltas completas mais 210°.
Portanto a menor determinação positiva desse arco é 210°, pertencendo
então ao 3.° quadrante.
Calculando seno, cosseno e tangente de 210°, temos:
sen(210°) = –sen(210° – 180°) = –sen(30°)
1
Portanto, sen( 210 ) .
2
cos(210°) = –cos(210° – 180°) = –cos(30°)
Logo, cos( 210 ) E, por fim, tg( 210 ) 372
Então, tg( 210 ) PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 372
3
.
2
3
.
3
sen( 210 )
cos( 210 )
1
2
3
2
21/09/2020 19:20:18
EXT21_1_MAT_C_04
9
1
3
.
= (cos(60°), – sen (60°)) = ,
2
2
Exemplo:
3 3 Calcule as coordenadas de P cos , sen .
2 2 EXT21_1_MAT_C_04
MATEMÁTICA • FRENTE C
O ângulo 300° pertence ao 4.º quadrante, portanto suas coordenadas são:
Outras relações trigonométricas na circunferência
Assim como foi feito para seno, cosseno e tangente, podemos obter as representações da cossecante, secante e cotangente na circunferência trigonométrica por meio da semelhança de triângulos.
●
Cossecante
C
C
α
α
cossecα
B
α
cosα
A
A
1
B
D
A
α
1
senα
B
cosα
D
Pela semelhança AAA, temos
1
1
AC AB
cossec
cossec 1
AB AD
sen
sen
●
Secante
MATEMÁTICA • FRENTE C
1
senα
cossecα
B
C
1
α
B
1
senα
cossecα
α cosα D
secα
A
secα
A
C
B
C
1
α
cosα
A
senα
D
Pela semelhança AAA, temos
1
1
AC AB
sec
sec 1
cos cos AB AD
●
Cotangente
C
B cotgα
C
cotgα
α
α
E
1
A
α
cosα
senα
1
B
D
α
cosα
senα
D
Pela semelhança AAA, temos
1
cos 1
BC AB
cotg
cotg cotg cos sen
sen
tg
AD DE
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 373
373
EXT21_1_MAT_C_04
A
E
1
A
EXT21_1_MAT_C_04
1
21/09/2020 19:20:26
FIXAR
nferência
Trigonometria na circu
Relação entre grau e radiano
3
4
MATEMÁTICA • FRENTE C
5
6

2
2
3

3
120º 90º
135º
150º
5
4

6
270º
4
3
2
330º
315º
300º
5
3
3
2
2.°
1.°
(0, 0)
360º
210º
225º
240º
7
6

4
60º
45º
30º
180º

Circunferência trigonométrica
3.°
4.°
11
6
7
4
Medidas de arcos
Congruência de arcos
B
Arco AB

R
Medida linear
do arco
α
Medida angular
do arco
O
R
Dois arcos α e β
são congruentes
α – β = 360° · k ou
α – β = 2π · k,
para algum  ∈
A
Interação
1.
Confira a seguir alguns regulamentos de corridas de Fórmula 1.
Aparência dos carros
As equipes têm de correr com seus dois carros em condições essencialmente iguais de aparência durante a temporada
e, em caso de maiores mudanças, precisam de uma aprovação prévia da FIA.
Além disso, há uma série de requisitos que se aplicam aos bólidos
e às equipes. Todo carro deve ter um número de corrida do piloto, que
deve estar visível aos expectadores em sua parte frontal. O nome do piloto
também deve aparecer na parte externa do carro. A escuderia, por sua vez,
deve deixar visível seu nome ou emblema no bico do carro.
Para ajudar a diferenciar os dois carros da mesma equipe, as câmeras
de bordo, que ficam na parte superior da estrutura de rolagem, devem
ser coloridas de forma distinta. No primeiro carro, deve ser predominantemente “vermelha fluorescente” e, no segundo, “amarela fluorescente”.
Considere uma corrida de três voltas em uma pista com o formato de circunferência de raio 3 km. Quais são as medidas angular e linear da distância
mínima percorrida por um piloto para ser classificado?
Classificação
EXT21_1_MAT_C_04
374
Todo piloto que completar ao menos 90% da distância total do Grande
Prêmio será classificado, mesmo que não esteja mais na pista quando a
bandeirada final for dada ao vencedor da prova.
Se a prova for suspensa antes de ter sua distância total percorrida, a
classificação válida será aquela ao final de duas voltas antes da paralisação.
Por exemplo, se a corrida é paralisada na volta 60, valerão as posições
alcançadas ao final da volta 58.
Disponível em: https://esporte.ig.com.br/automobilismo/
f1/regulamento/. Acesso em: 24 jul. 2020.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 374
21/09/2020 19:20:37
1.
12.
Maria e Pedro fizeram um arco com a mesma medida do raio
da circunferência que o envolve. Pegaram o transferidor e
acharam um valor, em graus, aproximadamente igual a
quanto?
13.
Um arco de circunferência mede
Construa uma circunferência trigonométrica com os valores
notáveis de seno, cosseno e tangente.
2.
5π
rad e o comprimento é de
3
2km. Qual o número inteiro mais próximo do raio, em
metros?
Transforme em graus as medidas a seguir.
a)
b)
3.
10 π
rad
9
a)
157
d)
628
11π
rad
8
b)
284
e)
764
c)
382
Qual é a medida, em radianos, do menor ângulo central formado pelos ponteiros de um relógio que está marcando 9h30?
π
a) 5π rad
d)
rad
2
12
7π
e) 6 π rad
b)
rad
12
5
π
c)
rad
6
4.
Determine a medida do raio de uma circunferência (em centímetros), sabendo que nela um ângulo central de 15° corresponde a um arco de 30 cm.
14.
O valor máximo assumido por y 15.
a)
4
d)
6
b)
3
e)
5
c)
2
5cosx 3
é igual a:
2
Justifique qual dos números a seguir é maior.
a)
sen(80°) ou sen(1.195°) ?
b)
16.
cos(–170°) ou cos(185°) ?
Dois postes de luz serão instalados em uma praça de formato
circular com raio = 1km. Sabendo que eles estarão nas posições
5 5 L1 = cos , sen e L2 = cos , sen , a dis 4 4 4
4 de:
tância entre eles será
c) 2 km
2
d)
2 km
a)
km
2
2
km
e) 1+
b) 1 km
2
Em cada item, descreva a menor determinação positiva do
arco.
a) 3 000°
b)
–2 025°
c)
13π
2
6.
Uma bicicleta tem as rodas com 80 cm de diâmetro. Quantos
metros uma roda percorre ao dar 5 000 voltas?
7.
Determine o valor das expressões abaixo.
8.
a)
y = 3cos540º -2sen90º+tg180º
b)
7 y 4 sen 5 2 cos 6 sec 4 2 Sendo x cos2x senx
, determine o valor de
x .
2
tg4 x tg 2
3
Considerando sen(x) = , em que x é um arco do 3° quadrante,
4
então o valor de tg(x) é:
17.
a)
3 7
7
c)
b)
−
7
3
d)
18.
Para representar todos os arcos com seno igual a 2 , podemos
2
3
2k usarasexpressões x IR / x 2k ou x IR / x 4
4
, com k ∈ Z .
10.
EXT21_1_MAT_C_04
11.
b)
cosx c)
tgx = 1
4 3
3
3
2
13
, então o valor de cos(x) é:
12
5
13
d)
−
b)
5
12
e)
12
25
c)
−
5
13
5
12
 um arco trigonométrico, tal que A = cos , sen Seja AP
4
4 19.
7 7 e P = cos , sen , então o comprimento desse arco é:
4 4 1
2
senx =
e)
a)
Escreva a expressão geral de x para que
a)
3 7
7
Se sec(x) < 0 e cossec(x) =
3
Dado senx , com 3 x 2 , qual é o valor de tgx?
5
2
9.
−
3
2
a)
π
4
b)
π
c)
2π
d)
π
2
3π
2
Considere o ciclo trigonométrico e complete corretamente as
afirmações a seguir.
a)
cos é negativo no ________ e ________ quadrantes.
e)
20.
O valor de cos(1140°) corresponde à:
a)
sen(60°)
d) – sen(30°)
b)
cos(30°)
c)
– cos(120°)
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 375
e)
cos(45°)
b)
sen é positivo no ________ e ________ quadrantes.
c)
tg é positiva no ________ e ________ quadrantes.
d)
sec é negativa no ________ e ________ quadrantes.
375
5.
MATEMÁTICA • FRENTE C
Sistematização
21/09/2020 19:22:49
Suponha que os objetos se desloquem apenas pelas semirretas e pelas
circunferências dessa malha, não podendo passar pela origem (0,0).
Considere o valor de π com aproximação de, pelo menos, uma casa decimal.
Para realizar o percurso mais curto possível ao longo da malha, do ponto B
até o ponto A, um objeto deve percorrer uma distância igual a
Enem e vestibulares
1.
a)
48°.
b)
54°.
c)
66°.
d)
72°.
2.
a)
108 graus.
b)
107 graus e trinta minutos.
c)
109 graus.
d)
108 graus e trinta minutos.
Médio
2 1 .
8
3
d)
24 .
2
3
b)
2 2 .
6
3
e)
2 5 .
2
3
2 3 .
4
3
C2:H9 (Acafe – 2017) A figura a seguir retrata a circunferência
trigonométrica e as linhas pontilhadas indicam as projeções
ortogonais das extremidades dos arcos de medida 30°, α° e
45° nos eixos coordenados do plano cartesiano. O ponto P
pertence à intersecção de três segmentos de reta, a saber, o
segmento que indica o arco de medida α, o segmento tracejado que indica
a medida de cos 45° e o segmento tracejado que indica a medida de sen
30°. Escolhendo, ao acaso, um valor da tangente de um dos arcos indicados
na figura (30°, α° e 45°), qual a probabilidade desse valor escolhido não ser
igual ao seno ou cosseno de 30°, 45° ou 60°?
b)
105° no sentido anti-horário.
c)
120° no sentido anti-horário.
d)
135° no sentido anti-horário.
e)
165° no sentido horário.
C5:H22 (Enem – 2018) Sobre um sistema cartesiano considera-se uma malha formada por circunferências de raios com
medidas dadas por números naturais e por 12 semirretas com
π
extremidades na origem, separadas por ângulos de rad
6
conforme a figura.
45o
a
a)
1
2
c)
2
3
b)
1
3
d)
1
6.
30o
Fácil
C5:H21 (FCC-2012)No ciclo trigonométrico abaixo estão localizados os ângulos α e β.
A
β
a
O
B
Nessas condições, está correto afirmar que
a) sen α > cos α
c) sen β > cos β
b)
7.
Médio
Uma câmera de vigilância está fixada no teto de um shopping e sua lente
pode ser direcionada remotamente, através de um controlador, para
qualquer sentido. A lente da câmera está apontada inicialmente no sentido
Oeste e o seu controlador efetua três mudanças consecutivas, a saber:
– 1ª mudança: 135º no sentido anti-horário;
– 2ª mudança: 60º no sentido horário;
– 3ª mudança: 45º no sentido anti-horário.
Após a 3ª mudança, ele é orientado a reposicionar a câmera, com a menor
amplitude possível, no sentido Noroeste (NO) devido a um movimento
suspeito de um cliente.
Qual mudança de sentido o controlador deve efetuar para reposicionar
a câmera?
a) 75° no sentido horário.
4.
5.
C2:H9 (Enem – 2018) A rosa dos ventos é uma figura que representa oito sentidos, que dividem o círculo em partes iguais.
Fácil
MATEMÁTICA • FRENTE C
Fácil
C5:H22 (UECE – 2019) Em um relógio analógico circular usual,
no momento em que está registrando 10 horas e trinta e cinco
minutos, a medida do menor ângulo entre os ponteiros indicadores de horas e minutos é
3.
a)
c)
Médio
Fácil
C2:H9 (EEAR – 2019) Gabriel verificou que a medida de um
ângulo é 3π rad . Essa medida é igual a
10
sen α > cos β
d)
sen β > cos α
C5:H22 (Insper – 2016) Na figura, em que está representada a
circunferência trigonométrica, P é a extremidade de um arco
trigonométrico da 1ª. volta cuja medida, em radianos, é igual
a α. Observe que P é um ponto do 2º quadrante localizado no
interior do retângulo ABCD.
y
B
A
P
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 376
D
21/09/2020 19:23:20
EXT21_1_MAT_C_04
376
C
EXT21_1_MAT_C_04
x
11.
2 3
,
B 2 2 2
3
C ,
2 2
2
3
D ,
2
2
c)
2
3
.
3
4
3
5 .
4
6
e)
Médio
C5:H21 (UFGD – 2016) Considere-se 13.
Difícil
igual a
a)
0.
1.
c)
d)
2.
2.
e)
3.
C5:H22 (Mackenzie – 2017) O número de soluções que a
equação 4cos2x – cos2x + cosx = 2 admite no intervalo [0, 2π]
é
Médio
7 .
6
2
3
e tg .
3
2
Pode-se afirmar que o valor da expressão cossec (θ) – sec(θ) é
8.
a)
b)
12.
Assim, é necessariamente verdadeira a desigualdade
5
d)
a) 2 .
.
6
2
3
b)
C5:H22 (UFRGS-2018) Se a e b são ângulos agudos e complementares, o valor da expressão sen2(a + b) – cos2(a + b) é
Médio
2 3
A ,
2 2 3.
2
a)
0.
b)
1.
c)
2.
d)
3.
e)
4.
C2:H8 (PUC-RS – 2011) Em Londres, Tales andou na London
Eye, para contemplar a cidade. Esta roda-gigante de 135 metros de diâmetro está localizada à beira do rio Tâmisa. Suas 32
cabines envidraçadas foram fixadas à borda da roda com espaçamentos iguais entre si. Então, a medida do arco formado
por cinco cabines consecutivas é igual, em metros, a
b)
−
2 13 .
3
a)
c)
−
13 .
6
b)
d)
4 13 .
9
c)
e)
−
2 3
3
d)
9.
sen 30 tg 225
é
sen 60 2
e)
cos
14.
135 .
π
4
675 .
π
32
675 .
π
16
135 .
π
8
135 .
π
32
C2:H8 (EBMSP – 2017)
Difícil
Médio
C5:H22 (Ifal – 2016) O valor da expressão
MATEMÁTICA • FRENTE C
As coordenadas dos vértices do retângulo são dadas por:
a)
b)
1.
1.
2
c)
− 3.
d)
3.
e)
1
− .
2
10.
Latitude
Longitude
P
30° N
45° L
Q
30° N
14° O
Considerando a Terra uma esfera de raio 6.300 km, a medida do menor arco
 sobre a linha do paralelo 30° N é igual a
PQ
a)
1.150 π 3 km.
EXT21_1_MAT_C_04
EXT21_1_MAT_C_04
b) 1.250 π 3 km.
c)
1.050 π 3 km.
d) 1.320 π 3 km.
e)
1.350 π 3 km.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 377
O círculo, na figura, representa, no sistema de coordenadas cartesianas,
uma pista onde uma pessoa P costuma correr, visando os benefícios à
saúde que essa prática traz.
Um determinado dia, P parte do ponto representado por A = (120, 0), de
onde começa a correr no sentido anti-horário, mantendo uma velocidade
de 4 metros por segundo.
Considerando-se π = 3, pode-se afirmar que após 32 minutos de corrida P
estará no ponto de coordenadas x e y, tais que
a) y 3 x.
d) y = 3 x .
y
2
x
b)
e) y = 2 3 x .
.
c)
y= 2x.
377
Médio
C2:H8 (Unesp – 2019) Os pontos P e Q sobre a superfície da
Terra possuem as seguintes coordenadas geográficas:
21/09/2020 19:24:46
C5:H22 (Fuvest – 2019) Um triângulo retângulo com vértices
denominados A, B e C apoia‐se sobre uma linha horizontal,
que corresponde ao solo, e gira sem escorregar no sentido
horário. Isto é, se a posição inicial é aquela mostrada na figura,
o movimento começa com uma rotação em torno do vértice
C até o vértice A tocar o solo, após o que passa a ser uma rotação em torno
de A, até o vértice B tocar o solo, e assim por diante.
19.
C2:H8 (Cefet-MG – 2011) Na circunferência abaixo, o ponto M
representa a imagem de um arco de medida, em radianos,
igual a
Difícil
Difícil
15.
0
M
3 3
3
c)
13
π
6
d)
3 3
2
e)
82 3
3
b)
20.
a)
2.
2
b)
c)
2.
0.
3
2.
2
17.
d)
5π
.
6
21π
.
5
C5:H22 (Epcar-2014) No ciclo trigonométrico da figura abaixo
acrescentou-se as retas r,s,t e z.
Nessas condições, a soma das medidas dos três segmentos em destaque,
AT , TP e PB , pode ser calculado, como função de α por
a) secα
C2:H8 (ITA – 2011) Entre duas superposições consecutivas dos
ponteiros das horas e dos minutos de um relógio, o ponteiro
dos minutos varre um ângulo cuja medida, em radiano, é igual
a
a)
23
π.
11
d)
25 .
π
11
b)
16
π.
6
e)
7 .
π
3
c)
24
π.
11
Fácil
21.
b)
cos sec α
c)
tgα+cotα
d)
cos secα+ secα
C2:H9 (UERJ – 2019) Observe no esquema um círculo de raio
igual a 3,14 cm. Seu maior arco, AB, correspondente ao ângulo
central α, tem comprimento de 15,7 cm.
C5:H21 (Insper – 2014) Considere o produto abaixo, cujos fatores são os cossenos de todos os arcos trigonométricos cujas
medidas, em graus, são números inteiros pertencentes ao
intervalo [91, 269].
P = cos91° · cos92° · cos93° · ... · cos286° · cos269°
Nessas condições, é correto afirmar que
a)
1
1 P .
4
d) 0 < P <
b)
1
P 0.
4
e)
c)
P = 0.
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 378
1
.
2
1
< P < 1.
4
21/09/2020 19:25:44
EXT21_1_MAT_C_04
378
Difícil
c)
C5:H21 (UECE – 2019) Considerando a progressão aritmética
π
π
(xn), cujo primeiro termo x1 é igual a e a razão é igual a ,
4
2
pode-se definir, para cada inteiro positivo n, a soma:
Sn = sen (x1) + sen (x2) + sen (x3) + ... + sen (xn).
Nessas condições, S2019 é igual a
d)
18.
56 .
3
7
.
4
EXT21_1_MAT_C_04
Difícil
16.
b)
a)
Difícil
MATEMÁTICA • FRENTE C
Usando as dimensões indicadas na figura (AB = 1 e BC = 2), qual é o comprimento da trajetória percorrida pelo vértice B, desde a posição mostrada,
até a aresta BC apoiar‐se no solo novamente?
3
a)
π
2
Calcule, em graus, a medida do ângulo α .
22.
Considere os dados:
●● ABCD e A’B’C’D’ são retângulos.
Fácil
C5:H22 (UEM – 2017) Assinale o que for correto.
(1) Para todo x real, temos (sen x + cos x)2 = 1.
●●
(3)
A área do setor circular determinado por um ângulo central de 30º
em uma circunferência de raio 2 cm é igual a π cm2.
(4)
Se em dois triângulos retângulos as hipotenusas têm a mesma medida e se um cateto de um deles tem o mesmo comprimento de
um cateto do outro, então esses triângulos são congruentes.
B’, A’ e E estão alinhados.
●●
C, D e E estão alinhados.

’ C são arcos de circunferências de centro E.
’D e B
●● A
Sabendo que AB = 10 m, BC = 98 m, ED = 30 m, ED’ = 34 m e α = 72°, calcule
o comprimento da pista de A até D’ e, em seguida, calcule a distância FB.
Adote nos cálculos finais π = 3.
(2) Um ângulo de π radianos e um ângulo de 360° têm a
mesma medida.
O valor do seno de qualquer ângulo obtuso é um número real
negativo.
Soma ( )
(5)
Médio
24.
C5:H21 (UniRV – 2018) Classificar cada afirmativa abaixo em
verdadeira (V) ou falsa (F).
( ) O menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio
que marca 2 horas e 45 minutos é de 172,5°.
95
( ) A menor determinação positiva de um arco de rad é o arco
3
π
que mede rad.
6
( ) sen 2 385° é aproximadamente 0,707.
( ) sen x cos x
2
C5:H21 (UEM – 2016) Usando conhecimentos sobre trigonometria, assinale o que for correto.
MATEMÁTICA • FRENTE C
Fácil
23.
(1) Num triângulo isósceles, a base mede 10 e os ângulos
π
da base medem, cada um deles, . Portanto o perímetro des4
se triângulo é 10 + 10 2 .
(2)
2
Vale a igualdade sen .
6 3 2
3
3
cossec
3
2
2 e
Se y cos 0 , então y = 1.
3
2
sen
2
Se tg x = a e cotg x = b, então a . b =1.
cotg
(3)
(4)
1
1
3
(5) Supondo que sen x = e tg x = , então sec x = .
4
2
4
Soma ( )
Difícil
25.
C5:H22 (Unesp –2015) A figura representa duas raias de uma
pista de atletismo plana. Fábio (F) e André (A) vão apostar uma
corrida nessa pista, cada um correndo em uma das raias. Fábio
largará à distância FB da linha de partida para que seu percurso
total, de F até a chegada em C’, tenha o mesmo comprimento
do que o percurso total de André, que irá de A até D’.
Linha de chegada
D'
C'
E
A'
α
Raia de André
A
Linha de
partida
B
D
Raia de
Fábio
F
GABARITOE ONLINE
GABARITO
SOLUCIONÁRIO ONLINE
Façaoodownload
downloaddodo
aplicativo
Questões
ou qualquer aplicativo
1. Faça
aplicativo
SAE SAE
Questões
ou qualquer
de leituradeQRleitura
Code.
aplicativo
QR Code.
Abraooaplicativo
aplicativo
e aponte
o QRQRCode
2. Abra
e aponte
parapara
um dos
Codesaoaolado.
lado
acessardeste
o gabarito
ou o será
solucionário
módulo.
3. para
O gabarito
módulo
exibidodeste
em sua
tela.
B'
Fora de escala
C
1
A
B
C
D
E
6
A
B
C
D
E
11
A
B
C
D
E
16
A
B
C
D
E
2
A
B
C
D
E
7
A
B
C
D
E
12
A
B
C
D
E
17
A
B
C
D
E
3
A
B
C
D
E
8
A
B
C
D
E
13
A
B
C
D
E
18
A
B
C
D
E
4
A
B
C
D
E
9
A
B
C
D
E
14
A
B
C
D
E
19
A
B
C
D
E
5
A
B
C
D
E
10
A
B
C
D
E
15
A
B
C
D
E
20
A
B
C
D
E
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 379
379
EXT21_1_MAT_C_04
EXT21_1_MAT_C_04
Cartão-resposta
21/09/2020 19:27:57
MATEMÁTICA
OLÍMPICA
MATRIZ DE REFERÊNCIA
Conteúdos: Razões e proporções,
conhecimentos algébricos, funções,
geometria plana, sequências e progressões, trigonometria
Eixos: I, III, IV
Competências: 1, 2, 3, 4, 5
Habilidades: 2, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11, 12,
15, 16, 17, 19, 20, 21, 22
Daniel Martins quebra recorde mundial e fica com o ouro nos 400 m
Celso Pupo, dmitry_islentev/Shutterstock
D
epois do título mundial, o ouro. O brasileiro Daniel Martins, 20 anos, mostrou por que domina os 400 m
T12 (para deficientes intelectuais) e garantiu a medalha de ouro na prova, baixando o recorde mundial,
que já pertencia a ele, de 47s78 para 47s22. O venezuelano Luis Arturo Paiva chegou em segundo lugar,
com o tempo de 47s83. Gracelino Tavares Barbosa, de Cabo Verde, completou o pódio, com 48s55.
No Mundial de Atletismo Paralímpico do ano passado, em Doha, no Catar, Daniel fechou a distância em
48s27, tempo suficiente para ficar com o título. No Rio de Janeiro, venceu com sobra: o paulista tomou a frente nos
primeiros metros e não deu chance para que os adversários ameaçassem sua liderança. Tanto é que ele se permitiu
começar a comemoração antes mesmo de cruzar a linha de chegada, tamanha distância que impôs para cima do
segundo colocado.
Daniel está no atletismo desde 2013: depois de começar no futebol, o atleta migrou para as pistas e despontou como
nome a ser batido na prova em que os atletas dão uma volta completa na pista de corrida. A deficiência intelectual
foi constatada durante o tempo de escola, quando Daniel começou a apresentar dificuldade de aprendizado.
Esta é a terceira medalha de ouro do Brasil nos Jogos Paralímpicos do Rio de Janeiro, a segunda no atletismo: ontem
(8), Ricardo Oliveira venceu no salto em distância T11. Odair Santos, correndo nos 5000 m T11, garantiu a prata, primeira medalha dos donos da casa. O Brasil agora contabiliza cinco medalhas, sendo três ouros, uma prata e um bronze.
380
PG21LA411SD00_MIOLO_EXT21_1_LA.indb 380
21/09/2020 21:21:59
EXT21_MAT_CC_L1
EXT21_MAT_CC_L1
MENDES, Nathalia. Daniel Martins quebra recorde mundial e fica com o ouro nos 400m. Agência Brasil. Rio de Janeiro, 9 set. 2016. Disponível em: https://
agenciabrasil.ebc.com.br/rio-2016/noticia/2016-09/daniel-martins-quebra-recorde-mundial-e-fica-com-o-ouro-nos-400m-t20. Acesso em: 19 set. 2020.
TESTE SUAS CONEXÕES
Suponha que Daniel treina em uma praça. Seu trajeto pode ser representado
a seguir no plano cartesiano, em uma escala 1:10 000.
y
5
5
4
4
A
B
A
3
3
B
2
2
C
C
1
1
00
11
22
33
44
55
66
77
88
99
x
Em seu treino, ele passa pelos pontos A, B e C, correndo em linha reta do
ponto A até o B, do B até o C e do C até o A.
Com base nisso e considerando que as distâncias entre os pontos do plano
cartesiano são dadas em centímetros, responda aos itens a seguir.
a) Calcule a distância em metros percorrida por ele em uma volta
completa.
b) Quais são as funções que representam as retas pelas quais Daniel
caminhou?
c) Qual é o giro que Daniel dá ao terminar seu primeiro trecho em linha
reta e começar o segundo?
d) Se Daniel correu o primeiro trecho com uma velocidade de 4,3 m/s e a
cada trecho sua velocidade aumentou em 1,3 m/s, qual é a sua velocidade ao correr no trecho AB novamente?
e) Qual é o tempo aproximado que Daniel demorou para percorrer cada
trecho na primeira volta?
f)
Qual é o tempo que Daniel demorou para percorrer o trecho AB na
segunda volta?
g) Em que trecho ele estará quando ultrapassar a velocidade média percorrida ao bater seu recorde de 2016?
2
BC (3 1)2 ( 7 9)2 8
BC 2 2  2 , 82 cm
Convertendo, tem-se 282 m.
Do ponto C ao ponto A, usa-se também o Teorema
de Pitágoras:
2
AC (3 1) ( 4 9) 29
2
2
AC 29  5, 38 cm
Convertendo, tem-se 538 m.
Portanto, Daniel percorreu 1 120 m.
EXT21_MAT_CC_L1
EXT21_MAT_CC_L1
b) Como Daniel corre em linha reta, as funções que
passam pelos pontos são funções afim.
A função afim que passa pelos pontos A e B é a
função constante f(x) = 3.
Para calcular a função afim que passa pelos pontos
B e C, substitui-se os pontos B e C em g(x) = ax + b,
tem-se:
3 7a b
1 9 a b
Resolvendo o sistema, encontramos a = –1 e b = 10.
Portanto, a função afim que passa pelos pontos B
e C é dada por g(x) = –x + 10.
A função afim que passa pelos pontos C e A é
encontrada resolvendo o sistema a seguir.
3 4a b
1 9 a b
2
Resolvendo o sistema, encontramos a e
5
23
b= .
5
Portanto, a função que passa pelos pontos C e A é
2
23
dada por h( x ) x .
5
5
c) Como os três trechos juntos formam um triângulo e
tem-se as medidas de seus lados, pode-se utilizar a
 .
lei dos cossenos para calcular o ângulo ABC
2
2
2

AC AB BC 2AB BC cos( ABC)
 )
29 9 8 2 3 2 2 cos( ABC
2
cos( ABC) 2
 ) 2
cos(180 ABC
2
 45
180 ABC
 135
ABC
Portanto, Daniel dá um giro de 135°.
d) As velocidades de Daniel em cada um dos trechos
percorridos formam uma P.A. crescente com primeiro elemento 4,3 e razão 1,3. A velocidade de Daniel quando ele percorre, pela segunda vez, o trecho
AB corresponde ao termo a4 dessa P.A., portanto
a4 = a1 + 3 · r
a4 = 4,3 + 3 · 1,3 = 8,2 m/s
Ao percorrer o trecho AB novamente, ele terá a
velocidade de 8,2 m/s.
e) Na primeira volta, Daniel percorreu AB com uma
velocidade de 4,3 m/s, como AB mede 300 metros, ele demorou aproximadamente 70s.
Daniel percorreu BC com uma velocidade de
5,6 m/s, como BC mede, aproximadamente,
282 metros, ele demorou aproximadamente 50s.
Daniel percorreu AC com uma velocidade de
6,9 m/s, como AC mede, aproximadamente,
583 metros, ele demorou aproximadamente 84s.
f) Na segunda volta, Daniel percorreu AB com uma
velocidade de 8,2 m/s, como AB mede 300 metros, ele demorou aproximadamente 37s.
g) Daniel bateu seu recorde percorrendo
400 metros em aproximadamente 47s, o que
corresponde a uma velocidade aproximada de
8,5 m/s. Como ao percorrer o trecho AB pela
segunda vez ele tem uma velocidade de 8,2 m/s,
ele ultrapassará a velocidade do recorde ao percorrer o trecho BC pela segunda vez, com uma
velocidade de 8,2 + 1,3 = 9,5 m/s.
MATEMÁTICA
PG21LP411SDM0_MIOLO_EXT21_1_MAT_LP.indb 381
MAT
a) Do ponto A até o ponto B Daniel percorre
300 metros. Do ponto B ao C, usa-se o Teorema de
Pitágoras para calcular a distância percorrida:
381
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