ASPECTOS BÁSICOS DE
DISCRETIZACIÓN
MECÁNICA DE FLUIDOS AVANZADA
UNIVERSIDAD CONTINENTAL
Mg. Harry Yapu M.
DISCRETIZACIÓN

La discretización es un proceso matemático mediante el
cual vamos a obtener resultados aproximados de la
ecuación diferencial del problema.

Las soluciones analíticas de ec. diferenciales parciales
implican expresiones de forma cerrada que dan la
variación de las variables dependientes de forma continua
en todo el dominio.

Las soluciones numéricas dan respuestas en solo puntos
discretos del dominio, llamados PUNTOS DE CUADRÍCULA
(Grid points).
PUNTOS DE CUADRÍCULA DISCRETOS
INTRODUCCIÓN A LAS DIFERENCIAS
FINITAS
La representación mas común para una ec. dif. Parcial por el
método de diferencias finitas, es la representación por medio
de una serie de Taylor. Por ejm, para la velocidad “u”
(componente de velocidad x).
EJEMPLO
Para una la función f(x) la
evaluación exacta es (punto 1):
Para evaluar f(x+∆x) donde
∆x=0.22 la función exacta es
(punto 2):
Con el desarrollo de la serie
de Taylor con 1 término
tenemos:
Con el desarrollo de la
serie de Taylor con 2
términos tenemos:
Con el desarrollo de la
serie de Taylor con 3
términos tenemos:
Precisión de primer orden
Diferencia directa de primer orden
Diferencia inversa de primer orden
Diferencia central de segundo orden
EXPRESIONES PARA LAS DERIVADAS
RESPECTO A “y”
Diferencia central finita para la segunda
derivada con respecto a “x”
Diferencia central de segundo orden
para la derivada mixta
VENTAJAS Y DESVENTAJAS LA PRECISION
DE ORDEN SUPERIOR

Diferencias de precisión de orden superior, al requerir mas
puntos de cuadrícula, trae como consecuencia el uso de mas
tiempo computacional para cada paso de tiempo o espacio.
Ejm para precisiones de cuarto orden.
VENTAJAS Y DESVENTAJAS LA PRECISION
DE ORDEN SUPERIOR

Diferencias de precisión de orden superior, pueden
requerir que el número total de puntos de cuadrícula en
una solución de flujo para obtener una precisión general
comparable.

Diferencias de precisión de orden superior, pueden
generar una “alta calidad” en la solución, como para
capturar las ondas de choque que son mas nítidas y muy
distintas. Esto es una materia en la investigación actual.
¿Qué pasa en los límites o
fronteras?
¿Y para una precisión de segundo orden?
 Para
2’
no
se
tiene
información porque está fuera
del dominio computacional,
una
solución
fue
u2’=u2
llamada “Reflexión de limite
de frontera” pero es mas
inexacta que la diferencia
directa de primer orden.
EJEMPLO

No es usual ver precisiones de mayor orden como 4 o 5 diferencias
unilaterales, pero en algunas aplicaciones donde los efectos viscosos
son importantes o la transferencia de calor es sobre un flujo sobre una
pared.
EJEMPLO
DIFERENCIAS DE PRIMER ORDEN
DIFERENCIAS DE SEGUNDO ORDEN
DIFERENCIAS DE TERCER ORDEN
VALOR EXACTO
RESUMIENDO RESULTADOS Y CALCULADO
EL ERROR
ECUACIÓN DIFERENCIAL

Ya revisamos la representación de una derivada parcial de lo que
significa un cociente algebraico de diferencia finitas.

Cuando todas las ec. de derivadas parciales son reemplazadas por los
cocientes de diferencias finitas, el resultado de la ecuación algebraica
es llamada ECUACIÓN DIFERENCIAL.
EC. DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR, NO ESTACIONARIA, UNIDIMENSIONAL
CON LA DIFUSIVIDAD TÉRMICA CONSTANTE
ENFOQUE IMPLÍCITO Y EXPLÍCITO

ENFOQUE EXPLÍCITO
“T” conocido en
todos los puntos
de n
Una incógnita
aparece.
Cond. Frontera
ENFOQUE IMPLÍCITO
Diferencia espacial en términos del “promedio” de propiedades
entre (n) y (n+1)
Método de Crank-Nicolson: Se usa frecuentemente para hallar
soluciones en diferencias finitas de la capa límite.
¡Incógnitas!
ENFOQUE IMPLÍCITO
Fronteras
conocidas