DISEÑO A TORSIÓN
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2
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8. DISEÑO A TORSION DEL HORMIGÓN ARMADO
8.1 Introducción
Un momento que actúa alrededor del eje longitudinal de un elemento estructural se
denomina “ momento torsor “ o “ torque “ y se denota con la sigla “ T “. En las
estructuras la torsión se origina por: a) la acción de cargas excéntricas en vigas, b) las
deformaciones producidas por la continuidad del sistema y c) el efecto producido por la
conexión lateral de elementos metálicos a vigas o columnas, figura 8.1.
A
P
T
q
mt
A
e
lv
m t= P . e
Figura 8.1 Representación de la torsión de equilibrio
Con frecuencia los elementos estructurales están sometidos a la combinación de flexión
( M ), cortante ( V ) y carga axial ( N ); sin embargo la presencia de fuerzas que
producen torsión ( T ) no son excepcionales y a pesar de no ser tan frecuentes como las
anteriores producen un alabeo típico en los elementos cuando actúa en combinación con
las otras tres tensiones.
Por muchos años la torsión fue considerada como un efecto estructural secundario y por
lo tanto no fue incluida directamente en los diseños por lo que el problema se resolvía
considerando un factor total de seguridad que conservadoramente se incluía en los
cálculos. Sin embargo en las ultimas cuatro décadas del siglo XX los efectos de daños
en estructuras afectadas por sismos mostraron evidencia de que el enfoque utilizado era
incorrecto, además los procedimientos de diseño se mejoraron aumentando la esbeltez
de las secciones y disminuyendo los factores de seguridad y finalmente la ingeniería
practica incremento el uso de estructuras donde la torsión era una tensión importante
como en el caso de puentes curvos, secciones en cajón y escaleras en espiral. Lo
anterior contribuyo a solicitar mayor investigación en este campo.
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Al estudiar la torsión es importante reconocer que existe: “ torsión estática o primaria” y
“ torsión hiperestatica o secundaria”. La primera es denominada como “ torsión de
equilibrio” y se presenta cuando las cargas externas que producen torsión solo se
pueden equilibrar con la capacidad resistente del material. En estos casos la torsión
requerida para mantener el equilibrio es estáticamente determinada. Un ejemplo de este
caso es la losa en voladizo de la figura 8.1 en donde las cargas externas producen
momentos torsores “ mt “ que actúan longitudinalmente en la viga de apoyo “ A-A” y
que son equilibrados por el torsor resistente “ T “ suministrado por las columnas. Sin la
presencia de “ T “ la estructura colapsa. En contraste a esta condición se presenta la “
torsión secundaria “ la cual proviene de la continuidad y compatibilidad de
deformaciones en el interior de los sistemas estructurales. En este caso los momentos
torsores no se pueden hallar solo por equilibrio estático, se debe utilizar una
redistribución interna de tensiones para luego aplicar el equilibrio estático alternativo. Si
se desprecia la continuidad en el diseño se produce una gran fisuración de la estructura
pero por lo general no colapsa. La figura 8.2 ilustra la viga de borde de una losa de piso
de una edificación sometida a torsión secundaria.
A
B
T
mt
B
A
Viga de borde
rígida
Empotramiento
Viga de
borde
fisurada
Articulación
Figura 8.2 Representación de la torsión secundaria
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Si la viga de borde “ A-A “ es suficientemente rígida a torsión y adecuadamente
reforzada y si las columnas pueden soportar el torque “T “ los momentos en la losa se
aproximaran a los de un soporte rígido como se muestra en el primer diagrama de
momentos de la figura 8.1. Sin embargo si la viga tiene poca rigidez torsional y un
refuerzo inadecuado a torsión se presenta su fisuración con la posterior caída de la
rigidez y los momentos en la losa se aproximan a los de un extremo articulado como se
indica en el segundo diagrama de momentos de las figura 8.2. Si la losa se diseña de
acuerdo al diagrama de momentos con viga de borde articulada, que es realmente como
la estructura trabaja, no se presenta el colapso.
Mientras las técnicas modernas para el análisis estructural permiten una evaluación mas
realista del momento torsor ( análisis espacial ) tanto para condiciones estáticamente
determinadas como indeterminadas, por lo general en los diseños se desprecian los
efectos de la torsión secundaria cuando las tensiones a torsión son bajas y es posible
usar el equilibrio estático alternativo. Esto se permite en muchos códigos y
especificaciones de diseño. De otra parte cuando la resistencia a torsión es importante,
como en el caso de puentes, se requiere utilizar un análisis riguroso del problema
incluyendo un detallado completo de refuerzo a torsión como se indicará mas adelante.
La primera recopilación organizada de conocimientos y trabajos sobre la torsión fue
realizada por el ACI y difundida en un simposio en el año 1968 con el nombre de “ La
torsión en el hormigón estructural “. Las memorias del evento se publicaron con el
mismo titulo y se conocen como “ publicación especial SP # 18 del ACI ”. La mayor
parte de las referencias, tomadas en los códigos para estudiar la torsión, provienen de la
teoría clásica de la resistencia los materiales. La primera vez que el código ACI
incorpora recomendaciones detalladas para el diseño a torsión es en la versión 318-71
en donde se basa en toda la información experimental obtenida hasta la fecha.
8.2 La tors ión en la resistencia de materiales
8.2.1 Secciones sólidas
Elemento 1
ô
r
x
dx
T
Figura 8.3 Torsión en secciones sólidas
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En un elemento sometido a torsión, el momento torsor “ mt “ produce
cortantes “ ô “ en su sección transversal tanto radial como tangencialmente.
8.3 ilustra este efecto en una barra empotrada sometida en un extremo a un
torsor “ T “. El resultado es un campo de tensiones cortantes que actúan
similar a la indicada en el elemento diferencial “ 1 “.
tensiones
La figura
momento
en forma
En un elemento de sección circular sólida las tensiones cortantes son nulas en el eje y
máximas en su perímetro aumentando linealmente como se aprecia en la figura 8.3. En
forma similar la sección cuadrada presenta una configuración similar de tensiones
cortantes con el agravante de que las tensiones en el perímetro varían de cero en las
esquinas a un máximo en el centro del borde.
La representación mas clásica de las tensiones cortantes generadas por la torsión la
suministra la teoría de la elasticidad usando la analogía de la película de jabón. Las
ecuaciones para expresar la pendiente de una lamina en forma de cúpula son análogas a
las ecuaciones para las tensiones cortantes producidas por la torsión.
Se concluye por tanto que si se toma una lamina o placa y se hace en su centro una
abertura de forma similar a la sección analizada y se cubre luego la abertura con una
película de jabón, al inflarse la película se forma una superficie curva que repr esenta el
campo de tensiones a torsión. La pendiente máxima en cada punto de la curva es
proporcional a las tensiones cortantes en el punto.
Placa con hueco
circular
Placa con
hueco
rectangular
Figura 8.4 Analogía de la película de jabón en diseño a torsión
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Para obtener la expresión general de la torsión en secciones sólidas, homogéneas,
elásticas e isotrópicas se asumirá un elemento diferencial en forma de disco de espesor “
dx “ y radio “ r “ sometido a un torque “ T “ , figura 8.5. Aislando el disco diferencial de
la sección se tiene que al aplicar un torsor diferencial “ dT “ la cuerda “ a-b ” se
desplaza a “ a´- b´ “ realizando un giro “ dÖ “
r
a
b
dx
a´
b´
ds
dÖ
Figura 8.5 Elemento diferencial de disco a torsión
Para ángulos pequeños se puede considerar: dÖ = ds / r. Considerando la sección abcd:
a
b
ã = tan ã = cc´/ ac = sen ã
ã
cc´= ds y ac = dx
=> ã = ds / dx = ( r dÖ ) / dx = r è
c
c´
d
d´
Se llega a la conclusión de que “ ã = r è “. En el rango elástico se asume que las
tensiones cortantes son proporcionales a las deformaciones por cortante => ô ã è ô =
G. ã Donde G : modulo de cortante
Las tensiones cortantes de un elemento superficial son: ô = G.r. è y para un elemento
interior son : ô = G.ñ. è
Si se incluye ahora el torque externo “ T “ se tiene:
ñ
T = ∫ τ .dA.ρ = ∫ G.ρ .θ .ρ .dA
dA
T = G.θ .∫ ρ 2 dA
∴ T = G.θ .J
dñ
J : Momento polar de inercia
π .r 4
J circ =
2
T
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De las expresiones anteriores igualando valores se obtiene: G.θ =
τ elast. =
τ T
= finalmente:
r J
T .r
J
( 8.1 )
Esta es la expresión reconocida de la resistencia de materiales y determina la tensión
cortante en función del momento torsor y las propiedades geométricas de la sección. Si
se mantiene recto el eje del cilindro y se aumenta gradualmente la deformación en la
sección se aprecia que la región interna cercana al eje permanece en rango elástico
mientras que la zona de los bordes comienza a plastificarse como se muestra en la
figura 8.6. Cuando la sección se plastifica totalmente las tensiones cortantes no son
proporcionales al momento torsor aplicado y se produce la falla para un cortante de =>
τ falla =
3 Tp .r
4 J
( 8. 2 )
ô e , ôp
Anillo plástico
r
Núcleo elastico
Figura 8.6 Distribución de tensiones cortantes por torsión en una sección circular
En una sección rectangular maciza el problema de la torsión es mas complejo. Las
secciones inicialmente planas sufren alabeo bajo la acción de los momentos torsores.
Este momento produce tensiones cortantes axiales y circunferenciales con valores de
cero en las esquinas y el centro del rectángulo y máximas en los puntos medios de los
bordes laterales como se indica en la figura 8.3. Este campo de tensiones hace difícil
presentar una formulación racional similar a las ecuaciones para la sección circular.
Afortunadamente la teoría de elasticidad permite desarrollar la expresión 8.3 para
representar el estado de tensiones cortantes en secciones rectangulares cuya deducción
esta fuera del alcance de este texto.
τ max =
T
α .x 2 . y
( 8.3 )
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En donde T: torque aplicado en la sección, x: lado corto, y : lado largo y á: coeficiente
numérico que depende de la relación ( y / x ). En general se puede utilizar la ecuación
8.4 para hallar en forma aproximada el valor de á.
α=
1
1 .8
3+
(y x )
( 8.4 )
Si ( y / x ) = 1.0 è á = 0.208 y se tiene la sección cuadrada
Si ( y / x ) =
è á = 1 / 3 = 0.333 y se tiene la sección rectangular esbelta
8.2.2 Secciones huecas o en cajón
Si en una estructura la torsión es la tensión predominante la sección tubular es la optima
para resistir el campo de tensiones originado. En el numeral anterior se indico que las
tensiones cortantes originadas por la torsión son mayores en los bordes y prácticamente
nulas en el eje. Esto lleva a la conclusión de que en estos casos el núcleo de las
secciones es inútil para resistir torsión y lo mas lógico es que esta parte no se requiere
para resistir tensiones originando la forma hueca o cajón. La figura 8.7 representa un
cilindro hueco o tubo de un material ideal, elástico, homogéneo e isotropico, el cual esta
empotrado en un extremo y sometido a un torque “ mt “ en el otro.
Cilindro hueco
P
L
Ö
a
P
Figura 8.7 Torsión en secciones huecas
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El momento torsor aplicado es: mt = P.a
El ángulo de giro de la sección es “ Ö “ è ( Ö / L ) = Cte. = è
Fuerza tangencial = ô . t
t
Flujo de cortante: q = ô . t
Tensiones cortantes
ô = Cte.
d
mt ( unit. ) = ô . t . r
r
mt ( tot. ) = ( ô . t . r ) 2.ð.r
mt ( tot. ) = 2.ð.r2. ô . t
Si se define como “ Ao “ el área del radio medio de la sección =>
T = 2 .Ao.τ .t = 2 .Ao.q
( 8.5 )
Comparando las ecuaciones 8.1 y 8.5 se nota como para un mismo torsor las tensiones
cortantes en la sección hueca son mayores que las de la sección maciza. Si por ejemplo
se tiene un cilindro sólido de acero con 50 mm de diámetro sometido a un torsor de 4.0
kN.m => ô = 163 MPa. Si el cilindro es hueco del mismo diámetro y con espesor t = 5
mm se tiene para el mismo torsor aplicado: ô = 251 MPa es decir un 54% mayor que las
tensiones de la sección sólida. Esto lleva a la conclusión de que es mas confiable y
seguro trabajar con la sección hueca para el diseño estructural a torsión. En definitiva se
puede asumir que las tensiones cortantes “ ô “ son constantes a través de un espesor “ t “
en la periferia de la sección por tanto la sección es similar a un tubo de pared delgada en
donde la torsión es resistida por unas fuerzas perimetrales de corte denominadas “ flujo
de corte: q “.
En el caso de una sección rectangular la expresión 8.5 tiene la misma deducción. La
figura 8.8 muestra una sección cajón de dimensiones medias “ X , Y “ sometida a un
momento torsor “ T “.
t
Área sombreada: Ao
Yo
T
Xo
Trayectoria del flujo
de cortante: q
Figura 8.5 Sección hueca rectangular sometida a torsión
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Si se toman momentos alrededor del eje central de la sección se tiene:
 Yo 
 Xo 
T = 2 .q. Xo.  + 2 .q.Yo.
 <==> T = Mom. de q según x + Mom. q según y
 2 
 2 
Resolviendo => T = 2.q.Xo.Yo = 2.q.Ao
Donde Ao = xo.yo : Área de la sección encerrada por el flujo de corte. Esta es la misma
expresión obtenida en la ecuación 8.5.
Si se considera que Ao = Acp / coef. Donde Acp = área exterior de la sección hueca => en
una sección rectangular de b = h / 2 y t = b / 4 se obtiene: Ao (21 / 32 ) Acp es decir
que Ao A cp / 1.5 y en este caso el coeficiente es 1.5
En secciones rectangulares se cumple que t
llega a la conclusión que t = ( 3 / 4 ) ( Acp /Pcp)
h/8yt
b / 4 por cálculos sencillos se
Acp2
3 Acp
 Acp  3 Acp
.τ . .
T = 2. Ao .τ .t = 2. Ao .τ . .
= 2.
= τ.
4 Pcp
Pcp
 1 .5  4 Pcp
T = τ.
Acp
2
( 8.6)
Pcp
La ecuación 8.6 es de tratamiento similar a la 8.5 y a la 8.3.
8.3
Teoría de la Torsión en el hormigón sin refuerzo
Utilizando los conceptos estudiados en el numeral anterior el problema de la torsión en
el hormigón se puede enfocar de dos formas: 1) cuando este no lleva ningún refuerzo
metálico ( sección solo de hormigón ) y 2) cuando lleva refuerzo longitudinal y
transversal en su sección ( hormigón armado).
En el primer caso se pueden considerar así mismo dos procedimientos: el utilizado por
la teoría clásica de elasticidad llamado “ la torsión de Saint Venant “ y el utilizado por
la teoría de plasticidad o la torsión en tubos de pared delgada. En la elasticidad se indica
que las tensiones producidas por la torsió n se distribuyen en la forma indicada en la
figura 8.3 y se calculan usando la expresión 8.3. Estas tensiones se deben convertir
luego en tensiones principales para hallar aquellos puntos de máxima tracción y
compresión y así finalmente definir las líneas de fractura del material. El desarrollo
completo de esta teoría marcó la forma de proceder en la ingeniería Americana hasta
mediados de la década del 90. Se le conoce mas técnicamente como la “ teoría de la
flexión oblicua o teoría de Hsu “. Por el contrario en la teoría de la sección hueca se
utiliza la analogía de la cercha espacial para obtener el campo de tensiones en la sección
llegando a la expresión 8.5. Esta forma de proceder se popularizo primero en Europa y
Canadá para finalmente hacerlo a finales de la década del 90 en Estados Unidos. Se le
conoce como la teoría de la “ cercha espacial o analogía de la cercha”.
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8.3.1 Teoría de la flexión oblicua “ Hsu “
Cuando se somete un elemento de hormigón a torsión pura ( caso ideal ) las fisuras se
presentan cuando las máximas tensiones principales a tracción “ ó t “ alcanzan el valor
de la resistencia a la tracción del hormigón “ f´t “.
ó
ô
T
Estado de tensiones
cortantes debidas a la
torsión
Estado de tensiones
principales por torsión
T
Figura 8.6 Tensiones generadas por la torsión
Ya que las tensiones principales a tracción dependen o son proporcionales a las
tensiones cortantes en cualquier punto del elemento, el torque “ T “ en el momento de la
fisuración puede obtenerse igualando la expresión 8.3 a “ f´ t “.
τ max =
(
)
T
= f t´ ⇒ Tcr = α .x 2 . y . f t ´
α .x 2 . y
Donde: Tcr = Momento torsor de fisuración del hormigón. Si el comportamiento es
elástico => se puede asumir con base en resultados experimentales que á = ( 1 / 3 ) y
que “ f´t = 0.80 [ 0.63 ( f´c )0.5 ]= 0.5 ( f´c)0.5 “. El momento torsor de fisuración se
puede expresar para secciones rectangulares como:
 x2 . y 

Tcr = 0.50 f c´ .
 3 
( N.mm )
( 8.7 )
Si la sección esta compuesta por varios rectángulos la expresión 8.7 se puede
generalizar de la siguiente forma:
 ∑ x 2 .y 

Tcr = 0.50 f c´ .

 3 
( N.mm )
( 8.8 )
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Por ejemplo si se tiene una sección cuadrada de hormigón con b = h = 300 mm y f´c =
21 MPa y el momento torsor de fisuración es:
 300 2 × 300 
 = 20 .6 × 10 6.N .mm = 20 .6 kN.m
Tcr = 0 .50 21.
3


Un aspecto importante de esta teoría es conocer porque la torsión se traduce en una
flexión oblicua. Para ello es necesario estudiar como es la superficie de falla producida
por este estado de tensiones. La figura 8.7 muestra como la fisura a torsión es una
espiral que envuelve la sección y cuando completa un ciclo de 360° genera una
superficie de falla inclinada cuyo ángulo se puede considerar para propósitos de análisis
como de 45°. Esta superficie inclinada es mas una falla por flexión que por cortante.
x
4
4
3
T
y
T
Tb
3
1
45°
Tt
1
2
2
Figura 8.7 Flexión oblicua por torsión
Utilizando la geometría de la sección “ 1234 “ se tiene:
Sen(45 ) =
Tb Tt
= = Cos(45 ) ⇒ Tb = T .Cos(45 )
T
T
El momento torsor “ Tb “ es realmente un momento flector que actúa alrededor del eje
a-a ( flexión oblicua ) por tanto produce tensiones por flexión de la siguiente magnitud:
f =
M.y M
T
=
⇒ f tb = b
I
z
z
El valor de “ z “ se puede obtener como: z =
Reemplazando en “ ftb “ => f tb =
( )
I
x. y3 /12 x.y 2
=
=
y
y /2
6
T .Cos(45 )
6.T (0 .707 ).(0 .707 ) 3.T
=
=
2
x. y 6 / sen(45 )
x. y 2
x. y 2
(
)
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∴ f tb =
T
x. y2 3
(
)
Esta expresión es similar a la obtenida en 8.3 con el valor de á = 1 / 3.
8.3.2 Teoría de la cercha espacial
De forma similar al planteamiento realizado en 8.3.1 cuando se somete una sección de
hormigón a un torsor “ T “ la analogía del tubo de pared delgada permite estimar como
las tensiones cortantes generadas se pueden expresar mediante la ecuación 8.5 la cual se
T
puede escribir como: τ =
. Cuando las tensiones principales a tracción alcanzan la
2 .Ao .t
magnitud de la resistencia a tracción del hormigón el elemento se fisura. En esta teoría
se considera conservadoramente que f´t = 0.34 x ( f´c )0.5 igualando términos y
despejando se obtiene el momento torsor de fisuración:
Tcr = 0 .34 . f c´ .(2 Ao .t ) = 0.34 . f c´ .
Acp2
Pcp
( N.mm )
( 8.9 )
Aplicando 8.8 al mismo ejemplo anterior se obtiene la torsión de fisuración:
 (300 × 300 )2
Tcr = 0 .34 × 21 × 
 4 × 300

 = 10 .5 × 10 6.N .mm = 10 .5 kN.m


El resultado es un torsor de fisuración un 50% inferior al que predice la teoría clásica de
elasticidad. Esto en definitiva hace mas confiable y seguro el segundo método sumado
al hecho de que la teoría de la sección hueca permite incluir los problemas del
pretensado no tenidos en cuenta en la teoría clásica.
8.4 Torsión pura en el hormigón armado
Cuando la magnitud de la torsión externa “ T “ es mayor o igual a la torsión de
fisuración del hormigón “ Tcr “ se hace necesario suministrar un refuerzo adecuado al
hormigón que soporte el exceso o toda la solicitación indicada. Por lo general este
refuerzo consiste en estribos cerrados ( a diferencia del estribo abierto en forma de U
usado en cortante ) espaciados convenientemente, mas unas barras longitudinales,
adicionales a las de flexión, que permiten mejorar el comportamiento estructural del
elemento. Numerosos ensayos indican que la presencia de solo barras longitudinales en
una sección de hormigón incrementan su resistencia a torsión en aproximadamente un
15% debido a la acción de dovela que ejerce este acero, impidiendo la falla por
hendimiento del material. En este sentido se puede decir que la capacidad a torsión del
hormigón armado sin refuerzo transversal se puede considerar en forma conservadora
como la expresada por las ecuaciones 8.8 y 8.9.
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A´s
A´s
T
T
AL
Av
As
As
Figura 8.8 Torsión en el hormigón armado
En el caso general, cuando la sección tiene acero longitudinal y transversal
adecuadamente detallado, como se ilustra en la figura 8.8, se puede decir que en el
instante que T
T cr el hormigón se fisura e inmediatamente su resistencia a torsión
disminuye en un 50% mientras que el acero de refuerzo comienza a trabajar soportando
la torsión excedente. Esta redistribución de tensiones internas permite entender el
porque se presenta una etapa de fluencia en la curva torsión-giro ( T vs è ) del material.
Cuando la sección alcanza su máxima resistencia la capa de hormigón que recubre el
refuerzo comienza a desintegrarse desprendiéndose de la sección lo que finalmente se
traduce en la perdida de aporte de resistencia a torsión del hormigón.
Al igual que en el caso del hormigón sin refuerzo existen dos teorías que permiten
resolver el problema de la torsión en el hormigón armado: La teoría de Hsu ( clásica ) y
la teoría de la cercha espacial ( moderna).
8.4.1 Teoría de Hsu o de la flexión oblicua
Este enfoque fue el propuesto por el ACI-318 desde el año 1971 hasta el año 1989 y se
basa en los primeros resultados experimentales de los ensayos realizados en los Estados
Unidos para tratar de proponer una metodología racional a la solución del problema de
la torsión en el hormigón armado. En este enfoque se parte de la hipótesis de que tanto
el hormigó n como el refuerzo aportan resistencia a torsión en una sección, considerando
la torsión nominal como la suma de las dos contribuciones:
Tn = Tc + Ts
( 8.10 )
Tc : Resistencia a torsión suministrada por el hormigón
Ts : Resistencia a torsión suministrada por el refuerzo
Tn : Resistencia a torsión nominal del hormigón armado
Experimentalmente se ha obtenido el valor de “ Tc “ indicando que este es una fracción
del “ Tcr “ ya que al fisurar el hormigón se pierde parte de su capacidad para resistir
torsión. Se puede considerar conservadoramente que T c = ( 0.40 ) Tcr
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
∑ x 2. y  = 0.2. f c´ . ∑ x 2.y
Tc = 0 .40 . 0 .50 . f c´ .
3 
3

( 8.11)
El valor de “ Ts “ se determina utilizando el equilibrio estático de una sección fisurada
por torsión. La figura 8.9 muestra un elemento de hormigón armado con refuerzo
transversal sometido a torsión “ T “.
Considerando nuevamente la superficie de falla inclinada estudiada en el numeral
anterior se puede hacer nuevamente el equilibrio de fuerzas y estimar el valor de “ Ts “
algebraicamente.
x
4
3
Estribos cerrados
cada “ s ”
yo
y
T
1
2
xo
Figura 8.9 Sección de hormigón armado sometida a torsión
Utilizando el mismo enfoque de la sección de hormigón sin refuerzo, cuando la sección
se fisura se genera una superficie de falla inclinada similar a la de la figura 8.7 pero
ahora se incluye la presencia del acero longitudinal y transversal.
En cada cara, la fisura es cruzada por un determinado numero de estribos “ n “ mientras
en la zona comprimida de la sección se genera una resultante horizontal que debe ser
equilibrada por refuerzo longitudinal.
Al analizar la cara inferior de la sección “ 1-2 “ se concluye que el numero de estribos “
x .cot (φ )
nh “ que la cortan es: n h = o
donde Ö es el ángulo de inclinación de la fisura
s
como se muestra en la figura 8.10. De la misma forma el numero de estribos “ nv “ que
y .Cot(φ )
corta la fisura en la cara 2-3 vertical esta dado por: nv = o
.
s
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yo
Ö
xo
nv.s
nh.s
Tan(φ ) =
xo
y
x .Cot(φ )
y .Cot(φ )
= o ⇒ nh = o
⇒ nv = o
n h .s nv .s
s
s
Figura 8.10 Estribos que corta la fisura horizontal y vertical
Experimentalmente se ha comprobado que en la falla las ramas verticales de los estribos
entran en fluencia mientras que las ramas horizontales permanecen en rango elástico. En
consecuencia el par que produce giro debido a las fuerzas horizontales es:
Para una rama del estribo
Th = S h .yo = (At . f sh ). yo
Sh
yo
Para varias ramas del estribo
Th = S h .nh . yo = ( At . f sh ).n h . yo
∴ Th = At . f sh .
xo . yo
.Cot(φ )
s
Si se define K h = Cot(φ ).
f sh
è
fy
xo .yo
s
Es la torsión producida por las ramas horizontales de los estribos. Para la torsión
producida por las ramas verticales “ Tv “ se usa el mismo procedimiento:
Th = K h . At . f y .
Para una rama del estribo
Sh
yo
xo
Tv = Sv .xo = At . f sh .xo
Para varias ramas del estribo
Tv = S v .nv .xo = ( At . f sh ).nv .xo
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_________________________________________________________________________________________________________
∴ Tv = At . f sh .
xo . yo
.Cot(φ )
s
Si se define K v = Cot(φ ).
Tv = K h .At . f y .
f sh
è
fy
xo . yo
s
Las ecuaciones para “ Th “ y “ Tv “ son idénticas excepto en el valor de los coeficientes
“ Kh “ y “ Kv “. Al estado de conocimientos a que llego esta teoría fue prácticamente
imposible lograr obtener un valor adecuado para estas dos constantes. Sin embargo el
recurso experimental permitió resolver el problema así: Sea Ts = Th + Tv è
x .y 
x .y

Ts = (K h + Kv ). At . f y . o o  = α t .At . f y . o o
s 
s

( 8.12 )
En este caso el valor de “ át “ fue observado experimentalmente llegando a la
conclusión de que este depende fundamentalmente de la relación dimensional entre los
lados de la sección, y se puede calcular con la expresión 8.13.
α t = (0 .66 + 0 .33
yo
) ≤ 1 .50
xo
( 8.13 )
Conocido el valor de “ Tc “ y “ Ts “ se puede estimar por esta teoría cual es la capacidad
resistente a torsión de una secció n de hormigón armado.
La deducción de las expresiones 8.12 y 8.13 parte del hecho de que “ Tn “ se puede
obtener siempre y cuando la sección este reforzada con estribos cerrados espaciados
correctamente de tal forma que la superficie de falla intercepte un numero adecuado de
estribos. Por esta razón en esta teoría se especifica un espaciamiento máximo para
estribos a torsión.
En esta teoría también se especifica que el refuerzo longitudinal no tiene un papel bien
definido en la resistencia a torsión. Sin embargo la evidencia experimental indica que
solo se puede alcanzar el valor indicado de “ Tn “ si se suministra un adecuado refuerzo
longitudinal. Este refuerzo longitudinal, adicional al de flexión, permite anclar mas
seguramente los estribos en la sección, ayudar en la resistencia a torsión por la acción de
dovela y controla el alabeo y la fisuración en torsión del material. Se especifica que para
lograr alcanzar el “ Tn “ se requiere que el volumen total de acero longitudinal en una
longitud unitaria del elemento adquiera un valor entre 0.7 y 1.5 veces el volumen total
de estribos en la misma sección. Una primera aproximación puede ser igualando estos
dos volúmenes => Vol. Acero long. = Vol. Acero estr. ( en una longitud “ s “ ).
∴ Asl .s = 2. At .( xo + yo )
Asl = 2. At .
Despejando el valor de “ Asl “ è
xo . yo
s
( 8.14 )
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8.4.2 Teoría de la cercha espacial
En este caso, en forma similar a la teoría anterior, cuando la torsión producida por las
cargas externas “ T “ es mayor que la torsión de fisuración del hormigón “ Tcr “ se
presenta un patrón de fisuración en espiral que hace necesario la utilización de un
refuerzo transversal y longitudinal adecuado en la sección. Cerca de la resistencia
ultima la contribución del hormigón es nula por lo que por hipótesis en esta teoría se
considera que “ Tc = 0 “ y por tanto “ Tn = Ts “.
Después de la fisuración el área encerrada por el flujo de cortante es “ xo.yo “ medidos
desde los centroides del acero. Se define: Ao = xo.yo y P o = 2 ( xo + yo ). El modelo
físico que se utiliza para el análisis es una armadura espacial en donde unos elementos
están en tracción y otros en compresión. Los primeros son los estribos y barras
longitudinales y los segundos el hormigón.
d´
c´
T
d
c
Puntales de hormigón
a compresión
b´
d
è
a
b
V2
a
c
V1
V4
V3
yo
b
xo
Figura 8.11 Modelo de cercha espacial. Fisuración en espiral
En la figura 8.11 se aprecia como cada cara lateral aporta resistencia a torsión. La cara
donde actúa “ V 4 “ aporta una torsión:
T4 =
V4 .xo
2
Ahora V4 es la cortante que actúa en la cara “ cc´bb´ “ es equilibrada por la resultante a
tracción de cada una de las ramas verticales de los estribos que cortan las fisuras.
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Aislando la cara “ cc´bb´ “, figura 8.12 y considerando que la rama vertical del estribo
entra en fluencia cuando se alcanza la resistencia a torsión se tiene:
s
c
è
c´
yo
V4
b
Fi = At.fyb
Puntales de hormigón a
compresion
b´
yo Cot ( Ö )
Figura 8.12 Equilibrio de cara lateral en el modelo de la cercha espacial
∑F
y
= 0 ⇒ V4 − n.(At . f yv ) = 0
Donde V4 es la cortante en la cara “ cc´bb´ “; At = Sección transversal de una rama del
estribo; n es el numero de estribos que cortan la fisura y fyv = resistencia a tracción en
fluencia del estribo. De la figura 8.12 se deduce que:
Cot(θ ) =
n.s
y .Cot(θ )
⇒n= o
yo
s
Reemplazando “ n “ en la ecuación de equilibrio:
 y .Cot(θ ) 
V4 =  o
. At . f yv
s


La torsión resistente en la cara “ cc´bb´ “ es : T4 = V4 .
T4 = At . f yv .
xo
è
2
xo. yo
.Cot(θ )
2.s
Repitiendo el procedimiento anterior en las restantes tres caras del elemento y sumando
luego los efectos de cada una se obtiene la resistencia nominal a torsión de una sección
de hormigón armado sometida a un momento torsor “ T “.
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Tn =

4
∑T = 4. A . f
i
t
yv
1
.
xo .yo
A

.Cot(θ ) = 2. At . f yv . o .Cot(θ )
2.s
s

( 8.15)
En donde “ Ao = xo.yo “ es el área de la sección encerrada por los estribos y “ è “ el
ángulo de inclinación de la fisura. En general el valor de “ è “ puede variar entre 30° y
60°, el ACI recomienda que para hormigón armado se use un “ è = 45° “ y para
pretensado “ è = 37.5° “.
En el equilibrio anterior no se considero el aporte de los puntales de hormigón a
compresion en cada cara. La figura 8.13 ilustra gráficamente como es el trabajo de estos
bloques bajo la acción de un torsor “ T “.
N4 / 2
è
N4 / 2
N4 / 2
V4
yo
V4
è
N4
V4
N4 / 2
è
yo.Cot è
D4
Figura 8.13 Accion de los puntales a compresion
La fuerza cortante “ V4 “ se puede descomponer en dos fuerzas, una en dirección de los
puntales “ D4 “ y la otra longitudinal “ N4 “.
N 4 = V4 .Cot(θ )
D4 = V4 Sen(θ )
La componente horizontal “ N4 “ debe equilibrarse con un acero a tracción longitudinal.
Reemplazando y sumando las contribuciones para los cuatro lados:
N total = N1 + N 2 + N3 + N 4 =
At . f yv
s
.Cot2 (θ )(
. xo + xo + yo + yo )
En donde “ Po = 2 ( xo + yo ) “ es el perímetro de la línea central de los estribos.
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N=
At . f yv
s
.Po .Cot2 (θ ) =
T .Po
Cot(θ )
2.Ao
( 8.16 )
Ya que “ N “ es la fuerza horizontal que genera la torsión debe equilibrarse con acero
longitudinal que aporta una fuerza de: “ Asl fyl “ => N = Asl.fyl => reemplazando en 8.16:
 A   f yv 
Asl =  t .Po .
.Cot 2 (θ )


 s   f yl 
( 8.17 )
Este es el refuerzo longitudinal por torsión que se debe colocar en la sección para
equilibrar las componentes horizontales de los puntales de hormigón a compresion.
Tabla 8.1 Resumen de las ecuaciones de diseño a torsión del hormigón armado
Teoría de la flexión
oblicua
Tcr
Tc
Ts
Asl
 ∑ x 2. y 

0 .50 . f c´ .

 3 
∑ x 2. y
0.20 . f c´ .
3
xo . yo
α t .At . f y .
s
x .y
2 .At . o o
s
Teoría de la cercha
espacial
0 .34 . fc´ .
Acp2
Pcp
)
0.0
2 .At . f yv .
 At  
 .Po .
 s  
Ao
.Cot(θ )
s
f yv 
.Cot 2 (θ )
f yl 
8.5 Interacción torsión – cortante- flexión en el hormigón armado
En la practica la torsión se encuentra acompañada de otras tensiones que actúan
simultáneamente como la flexión, la cortante y la fuerza axial. En estos casos se debe
considerar la interacción entre las tensiones actuantes. En el caso mas típico de cortante
mas torsión los procedimientos de diseño también consideran dos enfoques diferentes:
el utilizado por la teoría de la flexión oblicua ( clásico ) y el recomendado por la
analogía de la cercha ( moderno ).
8.5.1 Torsión - cortante en la teoría de la flexión oblicua
La figura 8.14 ilustra los resultados de ensayos a cortante y torsión en elementos de
hormigón armado de diferentes forma de secciones ( rectangular en T y L ) sin refuerzo
transversal. Si se define “ Vo , To “ como la resistencia pura a cortante y a torsión de la
sección y “ Vc , Tc “ como la resistencia en la interacción a cortante y a torsión se puede
apreciar como el modelo matemático que rige el comportamiento del campo de
tensiones resultante es la ecuación de un circulo de radio r = 1.0 ( x2 + y2 =1.0 ).
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2
2
 Vc   Tc 
  +   = 1 .0
 Vo   To 
( 8.18 )
Si se asume que esta misma expresión se puede utilizar en el hormigón armado con
estribos, situación que la evidencia experimental considera razonable y segura, se puede
determinar por simples cálculos numéricos cual es el valor de “ Vc “ y “ Tc “ en el
diseño a torsión mas cortante.
 Tc

 To



.
1.0
0.6
0.2
0.2
...
Resultados experimentales
. . . .
... . . ..
2
2
. . . ... .
 Vc   Tc 
  +   = 1 .0
V  T 
. .. ... ..
 o  o
. .. .... ..
... .. . . .
..
.. .
.
.. .
..
... .
 Vc 
 
 Vo 
0.6
1.0
Figura 8.14 Representación grafica de la interacción torsión-cortante
De la ecuación 8.18 se tiene:
 Tc

T
 o
Tc =




2
2
 V  2  T  2 
T 
1
 c  . o  + 1 = 1 ⇒  c  =
2
 V   T 2 
 Vo   Tc 

 To 
 c  . o  + 1
 Vo   Tc 

T0
  V 2  T
1 +  c  . o
  Tc   Vo



2
( 8.19 )



De la misma forma despejando Vc =>
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Vc =
Vo
V 
1 +  o 
 To 
2
 Tc 
 
 Vc 
( 8.20)
2
Utilizando las expresiones obtenidas estadísticamente para representar la resistencia
pura del hormigón a cortante: Vcr = Vo = 0.17 fc´ bwd y la resistencia pura del hormigón
a torsión Tcr = To = 0.07 f c´ ∑ x2 y se tiene:
´
2
To 0.07 f c ∑ x y
∑ x2 y
=
= 0.4
Vo
bwd
0 .17 f c´ bwd
Sea => CT =
bw d
T
0 .4
V
⇒ o =
y o = 2 .5CT
2
∑ x y Vo CT To
Se puede asumir que la relación cortante – torsión en la interacción ( Vc / Tc ) es
aproximadamente igual a la relación cortante – torsión producida por las cargas externas
mayoradas ( Vu / Tu ). Utilizando estas definiciones las ecuaciones 8.19 y 8.20 quedan:
Tc =
0 .07 f c´ ∑ x2 y
  0.4.V
u
1 + 
C
T
  T u




2
( 8.21 )



De la misma forma despejando Vc =>
Vc =
0 .17 f c´ bwd

T
1 +  2.5.CT u
Vu




( 8.22)
2
El uso de las ecuaciones 8.21 y 8.22 debe considerar las mismas unidades de medida
para CT y Tu. La resistencia nominal a torsión “ Tn “ se obtiene de la contribución del
hormigón “ Tc “ y del refuerzo “ Ts “.
8.5.2 Torsión - cortante en la teoría de la cercha espacial
En forma similar al enfoque utilizado en la teoría clásica, cuando actúan
simultáneamente la cortante y la torsión estas tensiones se superponen aumentando la
posibilidad de falla diagonal en la sección. Se sabe que las tensiones cortantes están
V
representadas por la expresión: τ v =
mientras que las tensiones cortantes
bw d
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T
. En las caras
2.t .Ao
verticales de la sección estas tensiones se suman algebraicamente. En una sección de
T .Pcp
hormigón armado fisurado se tiene que Ao = 0.85 Acp y t = Acp / Pcp => τT =
2
1 .7 Acp
La tensión cortante máxima en la sección es la suma:
generadas por la torsión se evalúan con la expresión 8.5: τT =
τ = τV + τ T =
T .Pcp
V
+
bw d 1 .7 Acp2
( 8.23 )
La expresión 8.23 esta bien ajustada para secciones huecas sin embargo su uso en
sólidas es conservador porque en realidad toda la sección ayuda a la resistencia a
cortante “ ô v “. En estos casos se recomienda utilizar la raíz media cuadrática de la
resultante de las dos tensiones:
 V
τ = 
 bw .d
2
  T .Pcp 

 +
  1 .7 A2 
 
cp 
( 8.24 )
8.5.3 Torsión - flexión
En muchas situaciones practicas la torsión esta acompañada de flexión. Tanto la teoría
de la flexión oblicua como la cercha espacial brindan aproximaciones validas para
resolver el problema.
Nsup,T =
TPo
Cot (θ )
4. Ao
N
sup, F
=
M
yo
N sup = −
M T .Po
+
Cot(θ )
yo 4.Ao
=
+
yo
N inf, T =
TPo
Cot(θ )
4. Ao
Torsión
N inf, F =
M
yo
Flexión
N inf =
M T .Po
+
Cot(θ )
yo 4 .Ao
Torsión + Flexión
Figura 8.15 Fuerzas longitudinales producidas por la flexión y la torsión
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En resumen la figura 8.15 muestra como el momento “ M “ produce unas fuerzas de
tracción “ M / yo “ en el borde inferior de la sección y una fuerza igual a compresión en
el borde superior ( despreciando el aporte del hormigón a compresión ). De otra parte el
momento torsor “ T “ produce una fuerza total a tracción “ N “ en el acero longitudinal.
Cuando se alcanza la resistencia de la sección se presentan igualmente dos modos de
falla: a) cuando se presenta fluencia tanto en el acero longitudinal colocado en el borde
inferior de la sección como en el refuerzo transversal y b) cuando la fluencia se da
simultáneamente en el acero longitudinal colocado en el borde superior de la sección y
el acero transversal. Cuando las cuantías de refuerzo superior e inferior son iguales es
decir que “ As = A´s “ el modelo teórico se puede aproximar a la ecuación 8.25 en donde
“Tn “ es la resistencia a torsión en la interacción, “ To “ es la resistencia a torsión pura, “
M n “ es la resistencia nominal a flexión en la interacción y “ M o “ es la resistencia a
flexión pura.
2
 Tn  M n
  +
=1
 To  M o
( 8.25 )
Tn
To
A´s
As = A´s
As
1.0
2
 Tn  M n
  +
=1
T
M
 o
o
0.6
0.2
0.2
0.6
1.0
Mn
Mo
Figura 8.16 diagrama de interacción flexión-torsión para As = A´s
En el caso de que el refuerzo “ A´s “ sea inferior al “ As “ se produce un efecto benéfico
en la resistencia a torsión de la sección porque la fuerza resultante a compresión trata de
contrarrestar el efecto de la fuerza que produce la torsión. Este efecto alcanza un
máximo cuando ambos aceros entran en fluencia. En estos casos la ecuación de
interacción es diferente a la 8.25 y varia de acuerdo con cual acero longitudinal inicia la
fluencia. Si el refuerzo inferior inicia la fluencia =>
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2
 Tn

 To
 Mn 1
 +
. =1
 Mo r
( 8.26 )
Cuando el refuerzo superior es el primero que inicia la fluencia =>
 Tn

 To
2
 Mn 1
 −
. =1
 Mo r
(8.27 )
En estos casos r = ( As.fy ) / ( A´s. fy ). Ya que por lo general As > A´s la resistencia a
torsión en la interacción no se reduce por la presencia de la flexión. Por ejemplo para r
entre 0.33 y 0.50 la resistencia a torsión aumenta.
8.5.4 Torsión – cortante - flexión
El efecto de la aplicación simultanea de las tres tensiones puede analizarse mas
fácilmente utilizando una superficie de interacción. Varios investigadores han propuesto
gráficos representativos del problema por ejemplo Hsu, Mirza y McCutcheon, VíctorFergusson y el modelo de Collins que en definitiva es la aproximación mas racional de
la superficie variando esta de acuerdo al modo de falla de la sección bajo tensiones
combinadas. La figura 8.17 representa el modelo de Collins.
Modo de falla 3
Fluencia del
refuerzo negativo.
Superficie e f g
Tn
To
f
e
g
d
Modo de falla 1
Fluencia del
refuerzo positivo.
Superficie a b h f
Modo de falla 2
Fluencia en caras
laterales.
Superficie d e f h
Modo de falla 4
Falla a cortante.
Superficie b c d h
h
c
a
Mn
Mo
Vn
Vo
b
Figura 8.17 Superficie de interacción T- V – M con A´ s < As
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Un análisis de la figura 8.17 permite concluir los siguientes puntos respecto a la
interacción de la flexión, cortante y torsión:
§
§
§
La interacción entre la torsión y la cortante puede representarse, para la mayoría
de los casos prácticos ( As < A´s ), como un cuarto de circulo y se ve afectada
muy poco por la aplicación simultanea de un momento flector cuya magnitud
varié entre ( 1 / 3 ) y ( 1 / 2 ) de la resistencia nominal a flexión pura.
Cuando se utilizan iguales cantidades de acero a tracción y a compresión en la
sección se puede utilizar todavía, en la interacción cortante- torsión, el cuarto de
circulo, pero a medida que se aumenta el momento flector se disminuye la
resistencia de la sección.
La evidencia experimental indica que la interacción lineal cortante- torsión se
puede usar teniendo en cuenta que los resultados son conservadores.
En el modo de falla 1, cuando el acero a tracción y los estribos entran en fluencia la
superficie de interacción es la siguiente:
 M n   Vn

 + 
 M o   Vo
2
2

T 
 R +  n  R = 1

 To 
( 8.28 )
Cuando el refuerzo a compresión y los estribos entran en fluencia, definiendo el modo
de falla 3, la expresión para la ecuación de interacción es:
M
−  n
 Mo
2
2
 1  Vn   Tn 
 +   +   = 1
 R  Vo   To 
( 8.29 )
Donde “ R “ es la relación entre la fuerza longitudinal debida a la torsión “ NT ” y la
fuerza longitudinal debida a la flexión “ NF “ ( R = NT / N F )
8.6
Recomendaciones del ACI para el diseño a torsión
8.6.1 Generalidades
De la misma forma como se procede cuando se diseña una sección de hormigón armado
a flexión y a cortante, se realiza el diseño a torsión. La ecuación básica es de la forma:
Tu ≤ φTn
( 8.30 )
En donde “ Tu “ es la torsión producida por las cargas externas mayoradas, “ Ö “ es el
coeficiente de minoración de resistencia que para este caso es 0.75 y “ Tn “ es la
resistencia nominal a torsión de la sección.
8.6.2 Comportamiento estructural a torsión. Torsión mínima
Al inicio del capitulo se indico que los momentos torsores que actúan en un elemento
estructural, como por ejemplo en una viga de borde en un edificio, pueden determinarse
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_________________________________________________________________________________________________________
usando los procedimientos convencionales del análisis estructural. De otra parte el
diseño de estos elementos se realiza con base en el estado limite de falla de la
estructura. Esta filosofía de diseño es la recomendada por los códigos internacionales y
esta respaldada por una gran cantidad de evaluaciones experimentales y la observación
del comportamiento de las estructuras sometidas a cargas reales.
En el caso de la torsión, una vez fisurada la sección se pueden identificar dos
comportamientos estructurales bien definidos: a ) que las tensiones internas producidas
por la torsión no se redistribuyan a otros elementos del sistema estructural y b ) que si se
presente una redistribución de tensiones.
En el primer caso se tiene la torsión de equilibrio cuya representación típica es la viga
de borde en la cubierta de la figura 8.18. En este caso la viga debe diseñarse para resistir
el momento torsor externo total que producen las cargas mayoradas. Si no es así la
estructura colapsa, iniciándose la falla por la viga que no soporta las tensiones internas
producidas por el torque externo.
Viga de Borde
sometida a torsión
Figura 8.18 ejemplo típico de torsión de equilibrio
En sistemas estáticamente indeterminados el efecto de la continuidad y redistribución de
tensiones permiten disminuir el efecto de las tensiones cortantes resultantes de la torsión
producida por las cargas externas mayoradas siempre y cuando haya una redistribución
de tensiones entre los elementos adyacentes. El ACI recomienda en estos casos utilizar
un momento torsor reducido localizado a una distancia “ d “ de la cara del apoyo cuyo
valor esta indicado por la ecuación 8.31 en donde “ Acp “ es el área de la sección del
elemento ( bh ), “ Pcp “ es el perímetro exterior de la sección ( 2b + 2h ).
2
φ . f c´ Acp
T =
.
3
Pcp
( 8.31 )
r
u
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φ. f c´
x2 y
∑ 3
3
No tener en cuenta el momento torsor externo en el diseño no significa que la estructura
pueda colapsar bajo carga, sin embargo si se presenta una fuerte fisuración en el
elemento si el valor obtenido con 8.26 es significativamente mas bajo que el momento
torsor externo. La figura 8.18 muestra un sistema de piso típico donde la torsión en la
viga de borde AB es estáticamente indeterminada.
En la teoría de la flexión oblicua el valor correspondiente es de: Tur =
Si las vigas intermedias B2 están conectadas rígidamente en los puntos 1 y 2 a la viga de
borde AB se producen en estos puntos momentos torsores de magnitud “ Tu “. La
rigidez relativa de las vigas que se cortan en estos puntos determina la rotación en estos
nudos. La formación de las rotulas plásticas se inicia cerca de los puntos A y B lo que
indica que en la intersección de las vigas B2 con la viga de borde no se transmiten
totalmente los momentos torsores a las columnas. Lo anterior significa que la
transferencia de tensiones afecta principalmente las conexiones 1 y 2, 3 y 4 y los
momentos en la mitad de la luz de la viga B2. El valor de “ Tu “ en la viga de borde y a
una distancia “ d “ de la cara del apoyo esta dada por la ecuación 8.26.
Viga de
borde
Viga de
borde
Figura 8.18 Sistema de piso que representa la torsión estáticamente indeterminada
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Si el momento torsor mayorado debido a las vigas B2 es menor que el de la expresión
8.26, la viga debe diseñarse para el menor valor de la torsión. En el caso de que la
torsión producida por las cargas externas mayoradas sea menor que el valor indicado en
la expresión 8.32 esta se puede despreciar.
φ . f c´ Acp2
Tu , min =
.
12 Pcp
( 8.32 )
1
x2 y
En el caso de la flexión oblicua este valor es de: Tu , min = φ . . f c´ ∑
( N.mm).
8
3
8.6.3 Secciones huecas y con aletas
En secciones “ T “ cuando los estribos son cerrados y se llevan hasta la aleta, se puede
considerar en los cálculos parte de la aleta como contribución a la capacidad resistente a
torsión de la sección. El ACI en el numeral 11.6.1 indica que la longitud de aleta a
considerar a cada lado del alma debe ser la menor de: a) la proyección de la viga por
encima o por debajo de la losa la que sea mayor, b) cuatro veces el espesor de la losa.
En cualquier caso el valor de “ Acp “ representa el área exterior de la sección.
Una vez la sección se fisura a torsión, el torsor externo es resistido por aquella parte de
la sección representada por “ Ao ” que significa el área encerrada por la línea central de
los estribos. El valor de “ Ao “ se representa en la figura 8.19 para secciones sólidas,
huecas y con aletas.
x
yo
y
xo
x
y
yo
xo
xo
Figura 8.19 Definición de las propiedades de la sección sometida a torsión
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8.6.4 Limitación en las tensiones cortantes
Por lo general la sección transversal de los elementos es seleccionada de tal forma que
se evite una gran fisuración del elemento y la falla de la superficie del hormigón por
efecto de la fisuración inclinada de la combinación torsión-cortante ( ecuaciones 8.23 y
8.24 ). Los resultados experimentales indican que bajo cargas de servicio el problema se
puede evitar si se cumple la expresión 8.33 para secciones sólidas y 8.34 para huecas.
En caso contrario se deben aumentar las dimensiones de la sección.
 Vu

b d
 w
2
2
´
V
  Tu Po 
 c + 2 fc
 +

≤
φ
.
  1 .7 A2 
 bwd
3
 
o 

V
2 f c´
Vu
TP
+ u o 2 ≤ φ . c +
 bwd
bwd 1.7 Ao
3









( 8.33 )
( 8.34 )
Adicionalmente el código ACI en el numeral 11.6.3 indica que si el espesor de la pared
de una sección hueca varia alrededor del perímetro, la ecuación 8.34 debe evaluarse en
los puntos donde el lado izquierdo de la expresión es máximo. Además si “ t “ es menor
que el valor asumido en la expresión 8.23 se debe utilizar su valor real en el calculo de
la tensiones cortantes por torsión. En consecuencia el segundo termino del lado
Tu
izquierdo de la ecuación 8.29 puede considerarse como:
. Donde “ t “ es el
1.7 Ao t
espesor de la pared en el punto en consideración.
8.6.5 Refuerzo por torsión
El refuerzo por torsión consiste tanto de acero transversal, en forma de estribos
cerrados, como de acero longitudinal dispuesto en el perímetro de la sección. Para
lograr un aporte equitativo en la resistencia a torsión de una sección es practico asumir
igual volumen de refuerzo longitudinal y transversal. Sobre este principio se
fundamentan las recomendaciones del ACI. Si “ s “ es el espaciamiento de los estribos,
“ AL “ es el área total del refuerzo longitudinal y “ At “ es la sección transversal de una
rama de los estribos, el refuerzo transversal a torsión se debe basar en el valor de la
resistencia a torsión “ Tn “ equivalente a “ Tu / Ö “ de acuerdo a la ecuación 8.25.
§
§
En el método de la cercha espacial la ecuación de diseño del refuerzo
A
transversal es la 8.15: Tn = 2. At . f yv . o .Cot(θ )
s
En el método de la flexión oblicua la ecuación tiene en cuenta el aporte del
x2y
x y
hormigón ( 8.11 ) y del acero ( 8.12 ):Tn = 0 .2 f c´
+ α t At f y o o
3
s
Se debe aclarar que la resistencia del refuerzo transversal “ fy “ no debe exceder a de
420 MPa. El área encerrada por el flujo de cortante “ Ao “ debe ser determinada por
análisis, aunque el ACI permite utilizar al aproximación “ Ao = 0.85 Acp “ cuando no se
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quiera realizar tal análisis. Combinando las ecuaciones anteriores el refuerzo transversal
se puede expresar de la siguiente forma:
§
§
Cercha espacial:
At
Tu
≥
s
2φ . f yv AoCot(θ )
 Tu
x2y 
 − 0 .2 f c´

3 
At  φ
Flexión oblicua:
≥
s
α t f y xo yo
( 8.35 )
( 8.36 )
Este refuerzo debe ser adicionado al refuerzo por cortante cuando la estructura este bajo
los efectos simultáneos cortante torsión. En estos casos la cantidad de estribos requerida
por unidad de longitud “ s “ es:
A
 Av+ t  Av
+2 t

=
s
 s  s
( 8.37 )
Losa de
confinamiento
Ganchos a
135°
Figura 8.20 Disposición del refuerzo transversal por torsión en el hormigón armado
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Los estribos para torsión, a diferencia de los usados en cortante que son abiertos, deben
ser cerrados y tienen la forma típica indicada en la figura 8.20. En la construcción los
estribos cerrados son difíciles de ensamblar por lo que se prefieren dos tramos de
estribos abiertos para conformar el refuerzo indicado a torsión. El anclaje de este
refuerzo debe prevenir el desprendimiento del hormigón de recubrimiento cuando la
sección esta en condiciones de servicio. El ACI-318 ( NSR-98 ) recomienda que los
estribos deben anclarse con un gancho a 135° alrededor de las barras longitudinales, a
menos que el hormigón de la zona de anclaje este confinado por aletas ( sección T )
caso en el cual el gancho puede ser de 90°.
Con el fin de controlar la fisuración en forma de espiral producida por la torsión es
importante limitar la separación de los estribos a 300 mm o la octava parte del perímetro
del área encerrada por el flujo de cortante “ P o / 8 “. En secciones sometidas a torsióncortante el área mínima de estribos es el mayor valor de las expresiones 8.38 y 8.39.
( Av + 2At ) ≥ 0.35bws
( 8.38 )
fy
( Av + 2At ) ≥
1
16
f c´
bws
f yv
( 8.39 )
El área de refuerzo longitudinal por torsión esta dado por la expresión 8.14 para la teoría
de la flexión oblicua y 8.17 para la teoría de la cercha espacial. La separación de estas
barras debe ser menor que 300 mm y se deben distribuir alrededor del perímetro de la
sección. El refuerzo mínimo longitudinal esta dado por 8.40 para la teoría de la flexión
oblicua y 8.41 para la cercha espacial.
El refuerzo requerido por torsión se debe combinar con el requerido por cortante y
flexión para suministrar el acero exigido por las solicitaciones externas. Según el ACI el
refuerzo a torsión se debe prolongar una longitud igual a “ b + d “ mas allá del punto
donde teóricamente ya no se requiere. Este punto corresponde a un momento torsor de :
(
)
Tu < φ f c´ Acp2 / Pcp , el cual es aproximadamente un 25% del torsor de fisuración del
hormigón.


 2 .8 xs
 x + y 
Tu
o
Al (min ) = 
.
− 2 At . o

 f y T + Vu
 s 
u


3Ct
Al (min) =
5 f c´ Acp
12 f yl
−
f
At
Po yv
s
f yl
(mm2)
( 8.40 )
(mm2)
(8.41)
Donde “ At / s “ no debe ser menor que “ 0.175 bw / fyv”.
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8.7 Procedimiento paso a paso para el diseño a torsión. Ejemplos
Por lo general el diseño se realiza en forma paralela al diseño a flexión y a cortante
teniendo en cuenta simultáneamente los criterios que rigen para cada caso respecto al
refuerzo y dimensiones de las secciones. Los pasos a seguir se pueden resumir así:
1. Seleccionar las dimensiones b y h con base en los requisitos de flexión. Si hay
torsión es conveniente seleccionar la sección cuadrada. Determinar el área de
refuerzo requerido por flexión.
2. Definir los diagramas envolventes definitivos para momento, cortante y torsión.
3. Determinar si se debe o no considerar la torsión. La torsión es importante si el
valor de “ Tu “ excede:
1
x2y
§ φ . . fc´ ∑
en el caso de la flexión oblicua,
8
3
2
φ . f c´ Acp
§
.
para la cercha espacial.
12 Pcp
4. Definir si se trata de torsión de equilibrio o torsión de compatibilidad. En el caso
de torsión de compatibilidad “ Tu “ se puede reducir al valor dado en 8.31. Al
realizar esta reducción los momentos y las cortantes en los elementos adyacentes
se deben modificar convenientemente.
5. Revisar si las dimensiones de la sección son adecuadas por torsión y cortante
utilizando las ecuaciones 8.33 y 8.34.
6. Determinar el refuerzo transversal requerido a) por torsión utilizando las
ecuaciones 8.35 o 8.36 de acuerdo al método y b) por cortante. Combinar las
áreas de refuerzo según 8.37.
7. Verificar si se cumplen los requisitos de refuerzo transversal mínimo para
torsión y para cortante. Verificar espaciamientos máximos y área mínima de
estribos.
8. Determinar el refuerzo longitudinal requerido por torsión “ Al “ y distribuirlo en
el perímetro de la sección. Verificar que se cumple el mínimo.
Ejemplo 8.1 Se requiere diseñar a torsión utilizando la teoría de la cercha espacial la
sección de hormigón armado de la figura 8.21. Se debe usar hormigón de f´c = 28 MPa
y refuerzo de fy = 420 MPa. Utilizar además los siguientes datos para el diseño:
Vu = 190 kN, Tu = 30 kN.m , el refuerzo de flexión es As = 2050 mm2. Considerar
estribos # 4 de dos ramas y usar un recubrimiento de 40 mm.
Solución: Este ejercicio se comienza desde el paso 3 porque los datos del análisis
estructural ya están dados ( As , Vu y Tu ).
§
Consideración de la torsión:
Acp = 350 × 650 = 227500.mm2
Pcp = 2 × (350 + 650 ) = 2000 .mm
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0.75 28 (227500 )
Tu , min =
×
= 8.6 × 10 6 N .mm = 8 .6.kN.m
12
2000
2
Se concluye que “ Tu = 30 kN.m >> Tu,min = 8.6 kN.m “ y la torsión es importante en el
diseño estructural de la sección.
xo
Al = 5 # 4
585 mm
yo
650 mm
As = 4 # 8
Estribos # 4
350 mm
Figura 8.21 Sección de estructura del ejemplo 8.1
§
Determinación de los parámetros de la sección hueca:
12 .7 

xo = 350 − 2 ×  40 +
 = 257 .3mm
2 

12 .7 

yo = 650 − 2 ×  40 +
 = 557 .3mm
2 

Ao = (257 .3 × 557 .3 ) = 143393 .mm 2 Po = 2 × (257 .3 + 557 .3) = 1629 mm
Utilizando barras # 8 como refuerzo de flexión => d = 585 mm
§
Revisión del tamaño de la sección por torsión:
Vc = 0.17 28 × 350× 585 = 184184N = 184.kN
2
2
 190 × 10 3   30 × 10 6 × 1629 

 + 
 = 1.68 .N / mm 2
2
 350 × 585   1.7 × (143393 ) 
 184 × 10 3 2 28 
 = 3.32 .N / mm 2
0 .75 × 
+

350
×
585
3


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Se cumple que 1.68 MPa << 3.32 MPa y la sección es adecuada.
§
Refuerzo transversal requerido por torsión
At
30 × 10 6
=
= 0 .391 .mm 2 / mm Para una rama de estribo
s
2 × 0 .75 × (0 .85 × 143393 ) × 420 × 1.0
§
Refuerzo transversal por cortante
Av (190 − 0.75 × 184 )× 10 3
=
= 0.282 .mm 2 / mm
s
0.75 × 420 × 585
§
Para dos ramas de estribo
Refuerzo transversal por cortante mas torsión
Av+ t
= 0 .282 + 2 × 0.391 = 1 .064 mm 2 / mm
s
Para dos ramas de estribo
Si se utilizan estribos # 4 => s = 258 / 1.064 = 242 mm. El espaciamiento máximo de
los estribos es “ 1629 / 8 = 204 mm “ => Se deben colocar cada 200 mm
El refuerzo mínimo es: 0 .35 ×
350 × 200
= 58 .mm 2 y se tienen 258 mm2 è cumple.
420
Se deben colocar estribos # 4 cada 200 mm como refuerzo transversal.
§
Refuerzo longitudinal por torsión
Al = 0 .332 × 1629 ×
Al ,min =
420
× 1 .0 2 = 540 .mm 2
420
5 28 227500
420
×
− 0 .391 × 1629 ×
= 557 .mm 2
12
420
420
Se debe colocar un refuerzo longitudinal adicional al de flexión equivalente a 557 mm2
en las caras later ales de la sección. Si se consideran las dos caras laterales y la superior
el refuerzo a colocar es “ 557 / 129 = 4.3 => Usar 5 barras # 4 “ . Ver figura 8.21.
Ejemplo 8.2 La viga en voladizo que se indica en la figura 8.22 soporta además de su
propio peso una carga concentrada muerta de 90 kN mas una carga concentrada viva en
el mismo lugar de 86 kN. La viga tiene una longitud de 1.35 m y las cargas
concentradas actúan a una distancia de 0.15 m del extremo de la viga y a 0.15 m
medidos perpendicularmente a su eje longitudinal. Diseñar a flexión-cortante y torsión
la estructura. Usar f´c = 21 MPa y fy = 420 MPa.
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P
Eje
longitudinal
0.15 m
Pm = 91 kN
Pv = 91 kN
0.15 m
1.20 m
Figura 8.22 Estructura en voladizo del ejemplo 8.2
Solución: En este caso la estructura representa la aplicación practica de un voladizo
sometido a torsión. En este ejemplo la estructura esta bajo tensiones M+V+T.
1. Determinación de las dimensiones iniciales de la estructura
Las dimensiones preliminares de la sección se determinan por requisitos de flexión,
cortante y torsión despreciando el efecto del peso propio. La carga de diseño es:
Pu = 1.2 × 90 + 1 .6 × 86 = 246 .kN
Dimensiones por flexión: El momento máximo es: M A = 246×1.2 = 295.kN.m
Para este momento, usando una cuantía de refuerzo de “ ñ = 0.010 “ se puede obtener
las dimensiones preliminares de la sección:
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bd 2 =
246 × 10 6.N .mm
= 74 × 10 6.mm 3
0 .010 × 420 

0 .90 × 0 .010 × 420 × 1 − 0 .59 ×

21


Si se asume una sección aprox. cuadrada con “ b / d = 1.0 “ => b = 420 mm => Sea “ b
= 400 mm “ y la altura efectiva es: d = ( 74 x 106 / 400 )0.5 = 430 mm
La cantidad de acero de refuerzo es: “ As = 0.010 x 400 x 430 = 1720 mm2 “ la cual se
puede cubrir con seis barras de ¾( 6 # 6 ) para “ A s = 6 x 284 = 1704 mm2 “.
a=
1704 × 420
100
c 118
= 100 .mm ⇒ c =
= 118 .mm ∴ =
= 0.274 < 0.300
0.85 × 21 × 400
0.85
d t 430
En conclusión las dimensiones iniciales de la sección son: b = 400 mm y h = 500 mm.
La carga por peso propio es: 0.40 x 0.50 x 2400 x 9.8 = 4704 N / m = 4.7 kN / m.
El momento de diseño teniendo en cuenta el peso propio es:
M u = 1.2 ×
4 .7 × 1 .22
+ 246 × 1 .2 = 299 .kN.m
2
Es decir un 2% mayor al inicialmente estimado lo que no justifica repetir los cálculos
realizados para obtener las dimensiones y el refuerzo de la estructura.
Por cortante: Vu = 5.6 × 1.2 + 246 = 253 .kN
La cortante que puede atender la sección usando la cantidad máxima de refuerzo
transversal es: φ .Vn = 0.75 × (0 .67 × 21 + 0.17 21 ) × 400 × 430 = 497 × 10 3 N = 497 .kN
Se concluye que “ ÖVn > Vu “ y las dimensiones asumidas cumplen cortante.
Por cortante - torsión: Tu = 246 × 0 .15 = 37 .kN.m
2
2
6
 252000   37 × 10 × 1400 
 = 1 .47 2 + 2.12 2 = 2 .6 .MPa

 + 
2
 400 × 430   1 .7 × (300 × 400 ) 
(
)
0 .75 × 0 .17 21 + 0 .67 21 = 2 .9 .MPa
Se cumple que 2.6 MPa < 2.9 MPa y las dimensiones son correctas.
2. Diagramas de momento, cortante y torsión. Estos diagramas se muestran en la figura
8.23 con las tensiones obtenidas del análisis estructural.
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qu = 5.6 kN / m
Pu= 246 kN
A
B
MA = 299 kN.m
MB = 0.06 kN.m
MC = 0.00 kN.m
d = 430 mm
M
MA
VA
VA = 253 kN
VB = 247 kN
VC = 0.00 kN
V
TA
C
TA = 37 kN.m
TB = 37 kN.m
TC = 0.00 kN.m
T
Figura 8.23 Diagramas de momento, cortante y torsión del ejemplo 8.2
A partir de este paso se puede resolver el ejercicio ya sea por teoría de la flexión oblicua
o por cercha espacial. En este caso se utilizara la teoría de la cercha espacial.
3. Consideración de la torsión. La torsión mínima se obtiene de la ecuación 8.27
0.75 × 21
(400 × 500 ) = 6.4 × 106.N .mm = 6.4.kN.m
×
12
(2 × 400 + 2 × 500 )
2
§
Tu , min =
Ya que “ Tu = 37 kN.m “ es mucho mayor que “ Tu,min = 6.4 kN.m ” se debe considerar
esta tensión como importante en el diseño.
4.
Definición del tipo de torsión. La estructura es un ejemplo típico de torsión de
equilibrio ya que no existe forma de redistribución de tensiones cuando se inicie la
fisuración. En este caso se debe utilizar toda la torsión externa en el diseño.
5. Determinación del refuerzo transversal.
§
Por cortante: la cortante a una distancia “ d = 430 mm “ de la cara del apoyo es
de “ Vud = 5.6 x ( 1.2 - 0.43 ) + 246 = 250 kN “ è
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(
)
Av
250000 − 0.75 × 0 .17 × 21 × 400 × 430
=
= 1 .10 .mm 2 / mm
s
0.75 × 420 × 430
Es decir por cada 100 mm de distancia se deben colocar 110 mm2 de refuerzo por cara.
En otras palabras colocar estribos # 3 de dos ramas ( 142 mm2 ) cada 130 mm.
§
Por torsión. La torsión a una distancia “ d = 430 mm “ de la cara del apoyo es
“ Tu = 37 kN.m “ è
At
37 × 10 6
=
= 0 .46 .mm 2 / mm
s
2 × 0 .75 × 420 × 310 × 410 × Cot(45 )
Este refuerzo equivale a una rama de # 3 cada 154 mm equivalente a un 80% del
refuerzo requerido por cortante ( recordar que en cortante son dos ramas ).
§
Refuerzo combinado torsión mas cortante:
Av+ t
= 1.10 + 2 × 0.46 = 2.02 .mm 2 / mm
s
Este refuerzo se puede cubrir con estribos cerrados # 3 de dos ramas cada 70 mm en
todos los 1.20 m de longitud de la viga.
6. Verificación del refuerzo mínimo y los espaciamientos máximos.
0 .35 × 400
 Av+ t 
= 0.33 .mm 2 / mm < 2.02 mm2 /mm è Cumple requisito

 =
s
420

min
P

 2 × (310 + 410 )

S max. = menor. o ,300 mm  = menor.
,300  = (180 ,300 ) = 180 .mm
8
8



El refuerzo seleccionado de estribos cerrados # 3 de dos ramas cada 70 mm cumplen
satisfactoriamente los requisitos mínimos exigidos por las normas ACI y NSR-98.
7. Refuerzo longitudinal por torsión
Al = 0 .46 × [2 × (310 + 410 )] ×
Al (min) =
420
× Cot2 (45 ) = 662 .mm 2
420
5 21 × 400 × 500
420
− 0 .46 × [2 × (310 + 410 )]×
= 247 .mm 2
12 × 420
420
El “ Al = 662 mm2 “ es mayor que el mínimo “ Al,min = 247 mm2
“ Al = 2 # 4 + 2 # 5 = 658 mm2 colocadas como se indica en la figura 8.24.
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_________________________________________________________________________________________________________
xo = 310 mm
Estribos # 3 cada 70
mm en toda la longitud
de la viga
6#6
y o = 410 mm
2#4
h = 500 mm
2#5
b = 400 mm
Figura 8.24 Sección definitiva del ejemplo 8.2
Ejemplo 8.3 Diseñar la estructura del ejemplo 8.2 utilizando la teoría de la flexión
oblicua. Comparar los resultados obtenidos por ambos procedimientos.
Solución. Los pasos uno y dos son similares para ambos procedimientos. El ejercicio se
inicia prácticamente en el paso 3.
3. Consideración de la torsión
Tu , min = 0.75 × 0 .125 × 21 ×
400 2 × 500
= 11 .5 × 10 6 N .mm = 11 .5 .kN.m
3
“ Tu = 37 kN.m “ >> “ Tu,min = 11.5 kN.m “ => Se debe considerar la torsión.
4.
Verificación de las dimensiones de la sección por torsión. Aunque esto se realizo en
el en ejemplo 8.1, se evaluara aquí nuevamente por la teoría de la flexión oblicua.
Se debe cumplir que “ Tu ≤ 5φTc “. Utilizando la ecuación 8.21
Tc =
0 .07 f c´ ∑ x2 y
  0.4V 
u
1 + 

C
T
  T u 
2



=
(
0 .07 21 400 2 × 500
)




3
0
.
4
×
250
×
10

1+ 
 400 × 430
6
× 37 × 10 

 400 2 × 500

2
= 16 × 10 6 N .mm = 16 .kN.m
è Se cumple que “ Tu = 37 kN.m “ < “ 5 x 0.75 x 16 = 60 kN.m “
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5. Determinación del refuerzo transversal por cortante
Vc =
0 .17 21 × 400 × 430

37 × 10 

1 +  2 .5 × 0.00215 ×
250 × 10 3 

6
Vs =
2
= 105 × 10 3 N = 105 .kN
250
− 105 = 228 .kN
0.75
Vs (max) = 0.66 × 21 × 400× 430 = 520 ×103 N = 520.kN > 228.kN
Se cumple el requisito de cortante máxima y la sección es adecuada para suministrar
una cantidad razonable de estribos.
Av 228 × 10 3
=
= 1.26 .mm 2 / mm
s
420 × 430
6. Determinación del refuerzo transversal por torsión
Ts =
37
− 16 = 33 .kN.m
0.75
α t = 0.66 + 0 .33 ×
410
= 1.1 < 1.5 ⇒ Bien
310
At
33 × 10 6
=
= 0.56 .mm 2 / mm
s 1 .1 × (310 × 410 ) × 420
7.
Refuerzo total transversal en la sección
AV + T
= 1 .26 + 2 × 0.56 = 2 .38 .mm 2 / mm
s
Si se utilizan estribos cerrados constituidos por barras # 3 de dos ramas el área de
refuerzo suministrado es 142 mm2 => Colocar estribos # 3 cada “ 142 / 2.38 = 60 mm “
en toda la longitud de la viga.
8. Verificación de estribos mínimos a cortante mas torsión
400
 AV + T 
= 0.33 .mm 2 / mm

 = 0.35
s
420

min
El área suministrada de 2.38 mm2 /mm es mayor que el mínimo 0.33 mm2 /mm.
El espaciamiento máximo por cortante es: “ d / 2 = 430 / 2 = 215 mm “ Y por torsión es
de “ ( 310 + 410 ) / 4 = 180 mm “ , controlando “ smax = 180 mm “.
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El refuerzo colocado cumple satisfactoriamente los requisitos indicados.
9. Determinación del refuerzo longitudinal por torsión
Al = 2 × 0 .56 × (310 + 410 ) = 806 .mm 2

 2.8 × 400
Al (min ) = 
 420



37 × 10 6
×

250 × 10 3
6
37
×
10
+

3 × 0.00215





 − 2 × 0.56  × (310 + 410 ) = 131 .mm 2





El refuerzo cumple el requisito mínimo y el acero longitudinal a torsión puede
suministrarse con 2 # 6 + 2 # 4 = 826 mm2.
6# 6
2#4
2#6
# 3 @ 0.06 m
Figura 8.25 Disposición en corte del refuerzo en el ejemplo 8.3
Conclusiones: Los resultados obtenidos indican que tanto el refuerzo transversal como
el longitudinal requerido usando la teoría de la flexión oblicua es en promedio un 15%
mayor que el obtenido con la cercha espacial. Esto en definitiva no significa mayor
seguridad en el método clásico sino la falta de correlación de algunas de sus hipótesis
con los modelos matemáticos que explican el comportamiento estructural de la torsión.
El uso del método de la cercha espacial es simple, rápido y con resultados satisfactorios
desde el punto de vista experimental, además es útil para secciones sólidas y huecas y
hormigón armado y pretensado lo que finalmente se traduce en la mejor aproximación
para el diseño estructural a torsión.
Método
Cercha espacial
Av / s
( mm2 / mm)
1.10
At / s
( mm2 / mm)
0.46
Av+t / s
( mm2 / mm)
2.02
Al
( mm2 )
662
Flexión oblicua
1.26
0.56
2.38
806
Diferencia
13%
18%
15%
18%
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Ejemplo 8.4 El sistema de piso aligerado de la figura 8.26 soporta las siguientes
cargas mayoradas: muerta de 7 kN / m2 y viva de 9 kN / m2. Diseñar el tramo AB de la
viga de borde del eje 1 considerando que sobre ella actúa además una carga total
mayorada de 17 kN / m la cual incluye el peso propio. Utilizar para el análisis
estructural del sistema el método de los coeficientes del ACI. f´c = 28 MPa y fy = 420
MPa.
Columnas exteriores
de 600 x 600 mm
Columnas interiores
de 600 x 600 mm
1
2
A
Aligerante de 0.75 x 9.15 m
7.15 m
B
9.80 m
450 mm
Figura 8.26 Sistema estructural del ejemplo 8.4 ( sin escala )
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Solución: Este sistema de piso es típico en la construcción de edificios. Esta constituido
por vigas y losa trabajando monolíticamente para transferir las cargas al sistema de
soporte vertical conformado por columnas.
1. Dimensionamiento y análisis estructural. Un análisis inicial de la estructura indica
que la altura de los nervios debe ser mayor o igual a 9.125 / 21= 0.43 m es decir h = 450
mm con un ancho de nervio b = h / 3 = 150 mm. Requisitos constructivos y de
formaleteria obligan a utilizar vigas del mismo espesor de los nervios con anchos
mayores que la columna. Las dimensiones de la viga de borde son: b = 650 mm, h = 450
mm.
Aunque los nervios le transmiten la carga a la viga de borde en cada punto de contacto
por simplicidad se asumirá que esta carga es uniformemente distribuida. La reacción en
cada extremo del nervio es:
Rn =
q u l (7 .0 + 9.0 ) × 9 .15
=
= 73 .kN / m
2
2
La carga total en la viga de borde es q uv = 73 + 17 = 90 .kN / m
90 × 6 .55 2
= − 241 .kN.m
16
Momento negativo borde exterior “ A “ :
Mu = −
Momento positivo “ A-B “ :
Mu =
Momento negativo borde interior “ B “ :
Mu = −
Cortante en borde exterior “ A “ :
Vu =
Cortante en borde interior “ B “ :
Vu = −1 .15 ×
90 × 6 .55 2
= 276 .kN.m
14
90 × 6 .55 2
= − 386 .kN.m
10
90 × 6.55
= 295 .kN
2
90 × 6 .55
= −339 .kN
2
El análisis de la torsión es mas elaborado. Cada nervio le transmite a la viga de borde un
momento y una cortante como se aprecia en la figura 8.27. Estos valores se dan por
unidad de longitud de la viga:
M u ,n = −
16 × 9 .15 2
= −56 .kN.m
24
Vu ,n =
16 × 9.15
= 73 .kN
2
El momento actúa como torsor en la viga y la cortante en la cara de contacto es una
fuerza excéntrica que también produce torsión. Por sumatoria de momentos alrededor
del centroide de la columna se obtiene el torsor en la viga de borde:
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∑M
c
= 56 + 73× 0.35 + 17 × 0.025 = 82.kN.m/ m
650 mm
Vu,n = 73 kN / m
Viga borde
Pu = 17 kN/ m
450 mm
Nervio
0.025 m
Pc = 90 kN / m
M u,n = 56 kN.m / m
Mc
Columna
600 mm
Figura 8.27 Fuerzas que actúan en la conexión losa-viga-columna del ejemplo 8.4
Para el diseño a torsión de la viga de borde se requiere determinar el torsor alrededor del
eje longitudinal de la viga. Si se toman momentos respecto al centroide de la viga =>
tu = 82 − 90 × 0 .025 = 80 .kN.m / m
650 mm
350 mm
100 mm
Pt= 90 kN / m
450 mm
M = 80 kN.m /m
350 mm
0.025 m
M c = 82 kN.m / m
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Si los dos extremos de la viga están conectados rígidamente con la columna impidiendo
así su rotación cuando actúa el torsor “ Tu “ el torque en cada extremo de la viga se
puede expresar como:
Tu =
tu l 80 × 6.55
=
= 262 .kN.m
2
2
Tud =
tu (l − d ) 80 × (6.55 − .385 )
=
= 247 .kN.m
2
2
Los diagramas de momento- cortante y torsión se representan en la figura 8.28.
6.55 m
276 kN.m
A
B
-241 kN.m
3.275 m
Vu = 295 kN
-386 kN.m
Vud = 260 kN
3.77 m
262 kN.m
247 kN.m
Vud = - 304 kN
Vu = -339 kN
262 kN.m
Figura 8.28 Diagramas de momento- cortante y torsión del ejemplo 8.4
2. Verificación de si se debe o no considerar la torsión.
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Utilizando primero la teoría de la flexión oblicua se debe inicialmente estimar el valor
máximo de
x2y dividiendo convenientemente en rectángulos la sección de la viga. La
figura 8.29 muestra las dos únicas formas de fraccionar la sección en rectángulos y para
cada una el valor de
x2y. El máximo valor es: 135 x 106 mm3.
Tu , min = 0 .75 × 0.125 × 28 ×
135 × 10 6
= 22 .3 × 10 6 N .mm = 22 .kN.m
3
En este caso el torsor externo es de 262 kN.m el cual excede considerablemente el valor
mínimo por lo tanto se debe considerar importante la torsión.
950 mm
100 mm
350 mm
450 mm
350 mm
650 mm
650 mm
x2y en secciones a torsión
Figura 8. 29 Determinación del valor máximo de
Si se realiza la verificación utilizando la cercha espacial => El ancho efectivo de aleta
en torsión es equivalente a la proyección de viga por debajo de la losa = 350 mm.
28
(450 × 650 + 100 × 350) = 15.4 × 106.N .mm = 15.kN.m
×
12 (450 + 650 + 350 + 100 + 750 )
2
Tu , min = 0 .75 ×
Este valor es un 30 % menor que el obtenido por la teoría de la flexión oblicua. En
ambos casos el torsor externo supera el torsor mínimo.
3.
Evaluación del tipo de torsión en la estructura. El torque que produce una
excentricidad de 25 mm entre los ejes de la columna y la viga es necesario para
mantener el equilibrio del sistema ( 90 x 0.025 x 6.55 / 2 = 7.4 kN.m) y este se
denomina torsión de equilibrio. De otra parte la conexión de los nervios con la viga de
borde produce un torque de compatibilidad porque la viga tiene una determinada rigidez
a torsión. Si esta rigidez disminuye a cero desaparece la torsión. La torsión de
compatibilidad es:
Flexión oblicua:
Tur =
0 .75 × 28 135 × 10 6
×
= 60 × 10 6 N .mm = 60 .kN.m
3
3
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Tur =
Cercha espacial:
0 .75 . 28 (327500 )
.
= 62 × 10 6 N .mm = 62 .kN.m
3
2300
2
La torsión reducida no debe ser menor que la torsión de equilibrio de la conexión viga
columna, por lo tanto cumple ( 60 kN.m >>> 7.4 kN.m ). Igualmente la torsión reducida
alcanza solo una fracción del 25% de la torsión externa mayorada en la viga lo que
afecta significativamente el diseño estructural ( 60 kN.m <<<262 kN.m ).
Viga exterior
Viga interior
Nervio
9.15 m
0.325 m
122 kN.m / m
1
2
-56 kN.m / m
-134 kN.m / m
9.15 / 2
50 kN.m
10 kN.m
24 kN.m
47 kN.m
5.7 m
30 kN.m
262 kN.m
Figura 8.30 Diagramas de momento y torsión modificados del ejemplo 8.4
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El valor de “ Tu,r = 60 kN.m “ se localiza en la secció n critica a torsión, es decir a una
distancia de la cara del apoyo igual a: “ d = 450 – 65 = 385 mm “. Esta modificación
significa reducir el torque distribuido a:
tu =
60
= 19 .5 .kN.m /m
 (6.55 − 0.385 )


2


Es decir a un “ 19.5 / 80 x 100 = 24 % “ del torque del análisis estructural. Esta
reducción afecta el comportamiento a flexión de los nervios que llegan a la viga por lo
tanto se deben realizar las modificaciones respectivas.
Los momentos en los nervios se determinan con el método de los coeficientes:
−
Momento negativo exterior: M ext
=−
+
Momento máximo positivo: M max
=
qu l 2
16 × 9.15 2
=−
= − 56 .kN.m / m
24
24
qu l 2 16 × 9.15 2
=
= 122 .kN.m / m
11
11
−
Momento negativo interior: M int
=−
qul 2
16 × 9.15 2
=−
= −134 kN.m / m
10
10
Si el torque ultimo de la viga-losa se disminuye de 80 kN.m / m a 19.5 kN.m / m la
diferencia entre ambos valores se debe distribuir igualmente a los extremos de la viga.
è ½x ( 80 – 19.5) = 30 kN.m. El torque en el borde exterior queda en 80 – 30 = 50
kN.m / m en todo el eje central de la viga. En el borde interior en el eje de la viga el
torque es 30 kN.m / m.
Por semejanza de triángulos se obtienen los torques en la cara de la viga en el borde
exterior “ 47 kN.m / m “ y en el borde interior “ 24 kN.m / m “.
En la mitad de la luz el torque se modifica en “ 10 kN.m / m “ valor que se obtiene de
las relaciones geométricas de la figura 8.30.
El tercer diagrama de momentos de la figura 8.30 es el resultante para el diseño
estructural de los nervios. Se recomienda colocar en el borde exterior del nervio un
refuerzo equivalente al momento obtenido del análisis estructural ya que el de la
redistribución por torsión generalmente da menor que el momento de fisuración del
hormigón lo que indicaría no colocar refuerzo.
4. Revisión de la capacidad a torsión de la sección.
Se debe cumplir que “ Tu ≤ 5φTc “ ==> Vud = 304 kN ( El mayor ) y Tu = 60 kN.m
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Tc =
0.07 28 × 135 × 10 6

 0 .4 × 304 × 10 3
1+ 
 650 × 385
× 60 × 10 6

6
 135 × 10






=
2
0 .07 28 × 135 × 10 6
 0.4 × 304 × 10 3
1 + 
6
 0 .00185 × 60 × 10



2
= 34 × 10 6 N .mm
è Se cumple que “ Tu = 60 kN.m “ < “ 5 x 0.75 x 34 = 128 kN.m “ y la sección es
adecuada para resistir la torsión externa.
5. Área de estribos requeridos por cortante.
En la determinación del valor de “ Vc “ usando la ecuación 8.22 es necesario usar una
relación variable de “ Tu / Vu “ ya que ambos valores cambian a lo largo de la viga.
Como este procedimiento es largo y complejo se asumirá para esta relación un valor
constante equivalente al de la sección critica de la viga. Al usar este valor se obtendrá el
“ Vc “ mas pequeño el cual es un resultado conservador en cualquier punto de la
estructura. En la sección critica en el borde exterior de la viga punto “ A “ se tiene ==>:
“ V ud = 260 kN y Tud = 60 kN.m “.
3.275 m
1
2
Vud = 260 kN
1.31 m
ÖVc = 118 kN
ÖVc / 2 = 59 kN
1.58 m
0.385 m
Av
= 1.2mm2 / mm
s
Zona de estribos
ÖVc / 2 = 59 kN
0.66 m
ÖVc = 118 kN
Vud = 304 kN
Av
= 1 .5 mm2 / mm
s
Zona de estribos
Figura 8.31 Diagrama de cortante de la viga “ 1-2 “ y refuerzo transversal. Ejemplo 8.4
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_________________________________________________________________________________________________________
Vc =
0 .17 28 × 650 × 385

60 × 10 6
1 +  2.5 × 0.00185 ×
260 × 10 3




2
= 157 × 10 3 N = 157 .kN
Av Vu − φVc
V − 0.75 × 157
=
= u
Esto significa que los valores
s
φ. f y .d
0.75 × 420 × 385
del refuerzo por cortante varían de acuerdo a “ Vu “. Considerando el grafico de la
figura 8.31 se tiene:
En todas las secciones:
Para “ V ud = 260 kN “ =>
Av (260 − 118 ) × 10 3
=
= 1 .20 .mm 2 / mm
s
0.75 × 420 × 385
Para “ V ud = 304 kN “ =>
Av (304 − 118 )× 10 3
=
= 1 .5 .mm 2 / mm
s
0.75 × 420 × 385
6. Área de estribos requeridos por torsión
T ud = 60 kN
Zona de estribos
ÖTc = 25.5 kN
0.385 mm
1.50 m
1.39 m
3.275 mm
At
= 0.46 .mm 2 / mm
s
Figura 8.32 Diagrama de torsión y distribución del refuerzo por torsión. Ejemplo 8.4
En la figura 8.32 se muestra el grafico de “ Tu – ÖTc “. Al determinar “ Tc “ es necesario
seleccionar la relación adecuada para “ Vu / Tu “ que se usara en la ecuación 8.21. En el
51
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paso 5 fue seleccionado la sección critica a una distancia “ d “ de la cara del apoyo
donde “ Vu / Tu “ tiene el mayor valor y por lo tanto es menor “ Tc “. Este criterio es
contrario al usado en el paso anterior sin embargo se hace por simplicidad y para
A
Tu − φ .Tc
garantizar valores conservadores en los cálculos. “ t =
”
s φ.α t .xo .yo . f y
Si se utilizan estribos # 4 de dos ramas ( Av = 258 mm2 y db = 9.5 mm) como se indica
en la figura 8.33 y un recubrimiento de 40 mm se obtienen los siguientes resultados:
xo = 450 − 2 × 45 = 360 .mm
α t = 0.66 + 0 .33 ×
yo = 650 − 2 × 45 = 560 .mm
560
= 1 .17 < 1 .50 ⇒ Cumple
360
El valor de la cantidad de acero por torsión se obtiene para “ Tu = 60 kN “ è
40 mm
100 mm
360 mm
450 mm
560 mm
Figura 8.33 Sección transversal de la viga “ 1-2 “ del ejemplo 8.4
(60 − 25.5)× 106
At
=
= 0 .46.mm 2 / mm
s
0.75 × 1.17 × 360 × 560 × 420
7. Estribos por cortante y torsión ( Av + t )
Av +t Av
A
=
+ 2. t La figura 8.34 muestra el refuerzo por “ V+T ”.
s
s
s
52
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Av+t / s ( mm 2 /mm)
# 4 @ 100
# 4 @ 200
0.92
Av+t min =1.29
1.5
1.885 m
1.43 m
5
1.18 m
0.66 m
3.275 m
Figura 8.34 refuerzo requerido por cortante - torsión del ejemplo 8.4
Los espaciamientos máximos son: “ d / 2
200 mm “ o “ ( 360+560) / 4 = 230 mm ”.
Por lo tanto controla “ d / 2 “. Los estribos deben prolongarse una distancia igual al
valor “ d + b = 385+ 650= 1.03 m “ a partir del punto donde no se requiere refuerzo
transversal.
13 estribos # 4 @ 100 mm
8 estribos # 4 @ 200 mm
1.20 m
1.40 m
5
3.27 m
Figura 8.35 Colocación del refuerzo transversal en el ejemplo 8.4
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0 .35 × 650
A 
El refuerzo mínimo transversal es:  v+ t  =
= 0.54 .mm 2 / mm Este valor
420
 s min
equivale a colocar estribos # 4 @ 480 mm. Ya que la máxima separación es “ 200 mm “
el refuerzo mínimo debe ser “ # 4 @ 200 mm “ que representa un valor de “ Av+t / s =
1.29 mm2 / mm superior al valor mínimo indicado.
Si se utilizan # 4 @ 100 mm el valor de “ Av+t / s = 2.58 mm2 / mm “ el cual es
suficiente para las dos cortantes “ Vud “. De la misma forma si se usan # 4 @ 125 mm
el valor del refuerzo es: 2.06 mm2 /mm el cual no cumple ningún valor de “ Vud”. La
figura 8.35 muestra la distribución longitudinal de este refuerzo.
8. Determinación del refuerzo longitudinal
Al = 2.
At
.(xo + yo ) = 2 × 0.46 × (360 + 560 ) = 846 .mm 2
s
Este refuerzo no debe ser inferior a:

 2.8 × 650
Al (min ) = 
 420



60 × 10 6
×

260 × 10 3
6
 60 × 10 +
3 × 0 .00185





 − 2 × 0 .46  × (360 + 560 ) = 1392 .mm 2





Este refuerzo mínimo controla el diseño y equivale a 5 barras # 6 = 1420 mm2 que se
colocan en el perímetro de la sección, figura 8.35.
Ejemplo 8.5 La viga de la figura 8.36 soporta además de su propio peso una losa en
voladizo de 1.8 m de longitud que trabaja monolíticamente con la viga. La carga viva
sobre la viga es de 12.65 kN/m y actúa sobre su eje longitudinal. La carga viva sobre la
losa es de 2.33 kN/m2 y se distribuye uniformemente sobre la losa. La altura efectiva del
refuerzo a flexión es d = 545 mm y la distancia del borde de la viga al centroide de los
estribos es de 45 mm. Los materiales son: f´c = 35 MPa y fy = 420 MPa. Diseñar el
refuerzo a torsión y cortante de la viga.
Solución: Este tipo de estructura es similar a la situación presentada en estructuras tipo
cubiertas como las de la figura 8.18. En este caso la losa del voladizo somete a torsión
la viga de apoyo generando en ella un campo de tensiones a flexión, cortante y torsión.
El procedimiento a seguir es similar al de los ejemplos anteriores.
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a
a
L = 8.5 m
1.8 m
150 mm
545 mm
1.65 m
600 mm
45 mm
Sección a-a
300 mm
Figura 8.36 Vista longitudinal y corte de la estructura del ejemplo 8.5
1. Determinación delas cargas de diseño
Peso de la losa: q pp (losa) = 0 .15 × 2 .4 × 9.8 = 3.5.kN / m 2 Esta carga se puede concentrar
en el eje central de la losa obteniendo => q pp (losa) = 3.5 × 1.65 = 5.8 .kN / m
Carga viva en losa: q v (losa) = 2.33 kN / m 2 . De igual forma esta carga se puede
concentrar en el eje central => q v (losa) = 2.33 × 1 .65 = 4.1 .kN / m
Carga mayorada total en losa: q u (losa) = 1.2 × 5.8 + 1 .6 × 3 .85 = 13 .1.kN / m
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qpp= 3.5 kN/ m2
qpp= 5.8 kN/ m
0.825 m
0.975 m
Figura 8.37 Cargas en la losa y en la viga del ejemplo 8.5
Peso propio de la viga: q pp (viga) = 0.30 × 0 .60 × 2.4 × 9.8 = 4.2.kN / m
Carga viva en la viga: q v (viga) = 13 .5 .kN / m
Carga mayorada total en viga: q u (viga) = 1.2 × 4 .2 + 1.6 × 12 .65 = 25 .3.kN / m
qu = 25.3 kN/ m
qu = 13.1 kN/ m
qu = 38.4 kN/ m
Tu = 12.8 kN.m
ó
0.975 m
Figura 8.38 Equivalencia estática de las cargas sobre la viga. Ejemplo 8.5
2. Análisis estructural de la viga. La figura 8.37 muestra los diagramas de cortante y
torsión para la viga del ejemplo 8.5.
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L = 8.5 m
qu = 38.4 kN / m
Tu = 12.8 kN. m
4.25 m
Vu = 163 kN
Vud = 142 kN
0.545 m
Tu = 54.4 kN.m
T ud = 47.4 kN.m
Figura 8.37 Diagrama de cortante y torsión para estructura del ejemplo 8.5
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3. Revisión de la torsión mínima. Se debe cumplir que “ Tud > Tu
tengan en cuenta los efectos de la torsión en el diseño de la viga.
min
“ para que se
hf = 150 mm
h = 600 mm
El menor de:
h – hf = 600 –150 = 450 mm
4 x hf = 4 x 150 = 600 mm
bw = 300 mm
Acp = 300 × 600 + 150 × 450 = 247500 .mm 2
Pcp = 600 + 300 + 450 + 600 + 750 = 2700 .mm
35 (247500 )
×
= 8.4 × 10 6 N .mm = 8.4.kN.m
12
2700
2
Tu , min = 0.75 ×
Se concluye que “ Tud = 47.4 kN.m >>> Tu,min = 8.4 kN.m “ y la torsión es importante
en este diseño.
4. Revisión del tipo de torsión.
Ya que la estructura de la figura 8.36 representa una losa en voladizo soportada por una
viga de borde se concluye que la torsión es primaria porque no hay como distribuirla las
tensiones a los restantes elementos estructurales. En este caso se requiere la rigidez total
de la viga para resistir la torsión producida por las cargas externas.
5. Revisión de las dimensiones de la viga por torsión
De acuerdo a la ecuación 8.34 se debe cumplir:
V
2 f c´
Vu
TP
+ u o 2 ≤ φ . c +
 bwd
bwd 1.7 Ao
3





Por seguridad se recomienda que en estos casos, donde la sección es con aletas, es
aconsejable no tener en cuenta el aporte de las aletas en la disminución de la fisuración
de la sección. Si se asume un recubrimiento al centroide del refuerzo transversal “ d´=
45 mm “ el valor de la altura y área efectiva de la sección es:
d = 600 − 45 = 555 .mm
bwd = 300 × 555 = 166500 .mm 2
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300 mm
xo = 300 − 2 × 45 = 210 mm
yo = 600 − 2 × 45 = 510 mm
600 mm
yo
Ao = 210 × 510 = 107100 mm 2
Aoh = 0 .85 × 107100 = 91035 mm 2
Po = 2 × (210 + 510 ) = 1440 mm
xo
2
 142 × 10 3   47 .4 × 10 6 × 1440 

 + 
 =
2
 166500   1.7 × 107100 
(
(0.85)2 + (3.50 )2
= 3 .6 .MPa
)
0 .75 × 0 .17 × 35 + 0 .66 × 35 = 3 .7 .MPa
De donde se cumple que “ 3.6 MPa < 3.7 MPa “ y la sección es adecuada para torsión.
6. Determinación del refuerzo refuerzo transversal:
§
Por torsión:
At
47 .4 × 10 6
=
= 0 .83 .mm 2 / mm
s
2 × 0.75 × 91035 × 420 × 1
§
Para una rama de estribo
Por cortante
φ.Vc = 0.75× 0.17 × 35 × 300× 545 = 123328.N = 123.kN
Av (142 − 123 )× 10 3
=
= 0.111 mm 2 / mm
s
0 .75 × 420 × 545
§
Para dos ramas de estribo
Total: cortante mas torsión
Av+ t
= 0 .111 + 2 × 0 .83 = 1.771 mm 2 / mm
s
Es decir en la región de mayor tensión se deben suministrar un refuerzo transversal
equivalente a 1.77 mm2 /mm. Si se utilizan barras # 4 de dos ramas ( 258 mm2 ) la
separación en esta zona es de: 258 / 1.77 = 146 mm.
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7. Revisión del refuerzo transversal mínimo y los espaciamientos máximos
Se debe cumplir que “ s < 545 / 2 = 272 mm “ o “ s < 1440 / 8 =180 mm “. Se tienen
146 mm => cumple la exigencia del código ACI y NSR.
0 .35 × 545
A 
El refuerzo mínimo transversal es:  v+ t  =
= 0.454 .mm 2 / mm Este valor
420
 s min
equivale a colocar estribos # 4 @ 568 mm. Ya que la máxima separación es “ 180 mm “
el refuerzo mínimo debe ser “ # 4 @ 180 mm “ que representa un valor de “ Av+t / s =
1.43 mm2 / mm superior al valor mínimo indicado.
8. Determinación del refuerzo longitudinal, AL
Al = 0 .83 × [2 × (210 + 510 )]×
Al (min) =
420
× Cot2 (45 ) = 1195 .mm 2
420
5 35 × 300 × 600
420
− 0 .83 × [2 × (210 + 510 )]×
= −139 .mm 2
12 × 420
420
Comprobando este refuerzo por la teoría de la flexión oblicua ya que el mínimo da
negativo se tiene:
Al = 2 ×
At
× (xo + yo ) = 2 × 0 .83 × (210 + 510 ) = 1195 .mm 2 => bien
s
Este refuerzo no debe ser inferior a:


 2.8 × 300 
47 .4 × 10 6
Al (min ) = 
×

140 × 10 3
 420
6
47
.
4
×
10
+


3 × 0 .00303





 − 2 × 0.83  × (210 + 510 ) = −108 .mm 2





è AL = 1195 mm2 controla el diseño y equivale a 4 barras # 6 = 1136 mm2 que se
colocan en el perímetro de la sección.
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EJERCICIOS
8.1 Las secciones de hormigó n armado de la figura E.8.1 no llevan refuerzo transversal
y están sometidas a un momento torsor de equilibrio. Cual es su capacidad resistente a
torsión si el hormigón es de f´c = 28 MPa y el acero es de fy = 420 MPa.
350 mm
100 mm
440 mm
500 mm
550 mm
300 mm
5#9
4#8
200 mm
400 mm
100 mm
100 mm
150 mm
400 mm
400 mm
100 mm
550 mm
390 mm
3 # 10
60 mm
350 mm
8.2 Si la sección rectangular sólida del problema 8.1 tiene b = 350 mm y h = 600 mm
determinar cual es su capacidad resistente en torsión.
8.3 Resolver la sección T del problema 8.1 si la resistencia del hormigón es de f´c = 21
MPa conservando similares los otros datos.
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8.4 Para la viga en voladizo de la figura determinar cual es la altura mínima teórica
requerida para no colocar refuerzo a torsión. El voladizo esta sometido a una carga
concentrada en su borde libre y a un lado del eje central de la viga.
f´c = 28 MPa y fy = 420 MPa. El recubrimiento libre es de 40 mm
Pm = 90 kN
Pv = 70 kN
Despreciar peso propio
2.45 m
8.5 Una viga de borde de un edificio de sección rectangular como se indica en la figura
esta sometida a un Vu = 145 kN y un Tu = 14 kN.m. determinar el refuerzo transversal
requerido a una distancia “ d “ de la cara del apoyo si se utilizan estribos # 3 de dos
ramas. El recubrimiento libre es de 40 mm y f´c = 28 MPa , fy = 420 MPa.
460 mm
500 mm
4#9
300 mm
8.6 La sección de viga T de la figura esta sometida a un Tu = 35 kN.m y Vu = 410 kN.
Determinar el refuerzo transversal requerido en la sección critica de la viga si: f´c = 21
MPa, fy = 420 MPa, recubrimiento libre de 40 mm y estribos # 4.
2.0 m
150 mm
800 mm
8 # 10
45 mm
45 mm
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8.7 La viga simplemente apoyada de la figura esta sometida a un momento torsor
mayorado a una distancia “ d “ de la cara del apoyo de : Tud ( carga muerta ) = 34 kN.m
y de Tud (carga viva) = 40 KN.m. Si se asume que la torsión disminuye linealmente
desde el apoyo al centro de la viga determinar el refuerzo transversal y longitudinal por
cortante y torsión si se utilizan estribos # 3, f´c = 25 MPa, fy = 420 MPa y el
recubrimiento libre de 40 mm.
qum = 10 kN / m
quv = 25 kN / m
700 mm
5 # 10
L = 7.0 m
450 mm
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