Tomado del folleto "Cálculo diferencial e integral",
de Luis Alejandro Acuña.
Capı́tulo 8
Repaso de técnicas de integración
Las técnicas para calcular una integral indefinida se pueden resumir en cinco. Cuando usted integre
una función, se recomienda que recorra estos cincos casos en el orden en que aquı́ se presentan.
8.1
Integración inmediata
Algunas integrales pueden convertirse en una forma que permita su integración inmediata.
Ejemplo 1
Z
La integral
(2t + 1)2
dt no es inmediata, pero desarrollando el cuadrado y dividiendo se
3t
obtiene
4t2 + 4t + 1
4
4 1
= t + + t−1
3t
3
3 3
que se integra inmediatamente:
Z 4
4 1 −1
2
4
1
t+ + t
dt = t2 + t + ln |t| + C
3
3 3
3
3
3
Calcule
Z
1.
4
(5r + csc r cot r) dr
(t3 − 3t ) dt
Z
6x − 4 · 15x
dx
32x
Z
12
p
du
9 − (3u)2
4.
Z
(2v − 1)2
√
dv
3 v3
5.
Z
3.
(w2 − 2)(w2 + 2)
dw
4w3
6.
8.2
Integración por sustitución
2.
Z
Recuerde que si u es una función de x entonces el diferencial de u es du = u0 dx.
Generalmente se recomienda el método de sustitución cuando se necesita integrar una función
compuesta, tomando u igual a la parte interna de la composición.
Luego de integrar, recuerde regresar a la variable original1 .
1
Esto puede no ser necesario en las integrales definidas, pero aquı́ estamos interesados solamente en las integrales
indefinidas.
142
Capı́tulo 8. Repaso de técnicas de integración
Ejemplo 2
Z
p
5 − x3 dx se puede intentar la sustitución u = 5 − x3 (la parte
√
interna de la función compuesta 5 − x3 ). Ası́ tenemos
Para calcular I =
x2
u = 5 − x3
⇒
du = −3x2 dx
⇒
1
x2 dx = − du
3
por lo que la integral es
Z
Z
Z p
√
1
1 u3/2
1
5 − x3 x2 dx =
u (− du) = −
u1/2 du = −
+C
3
3
3 3/2
2
= − (5 − x3 )3/2 + C
9
I=
Ejemplo 3
Z
En la integral J =
cos4 u sen u du está la función compuesta cos4 u, lo que sugiere tomar
y = cos u, con dy = − sen u du. Entonces
Z
Z
1
y5
4
J = cos u sen u du = y 4 (−dy) = − + D = − cos5 u + D
5
5
Ejemplo 4
Z
y
y
√ dz.
dy tomamos z = y + 4, con dz = dy, ası́ que K =
z
y+4
El numerador, y, se despeja de la definición z = y + 4 y resulta ser y = z − 4. Entonces
Z
z−4
√ dz
K=
z
Z
Para K =
√
que, aunque no es inmediata, se descompone como la integral del Ejemplo 1:
Z K=
=
4
z
√ −√
z
z
dz =
Z z 1/2
z 3/2
z 1/2 − 4z −1/2 dz =
−4
+E
3/2
1/2
p
2p
3
y+4 −8 y+4+E
3
8.3. Fracciones parciales
143
Calcule
Z
7.
Z
8.
12y 2 (6y 3 − 7)4 dy
15.
x2
dx
(2 − x3 )2
16.
Z
ln(p + 1)
dp
p+1
Z
sen5 x dx
Z
sen2 β cos2 β dβ
Z
√
(sec2 α) 5 + 2 tan α dα
Z
sec2 x
dx
4 + tan x
Z
tan2 α sec2 α sen α dα
Z
1
dz
1 − sen z
Z
24q
dq
4q 2 + 7
Z 3
3z
10.
dz
−
z2 z2 + 1
Z
11.
e3p−1 dp
9.
√
Z
12.
8.3
2
√ dt
t
Z
3 sec2 u (tan u + 5) du
Z
6 dw
5 − 12w + 9w2
13.
14.
t
17.
18.
19.
20.
21.
Fracciones parciales
Para integrar una fracción racional propia (un cociente de polinomios donde el grado del numerador
es menor que el grado del denominador), se puede intentar factorizar al máximo el denominador.
Entonces la fracción total se descompone como suma de fracciones parciales, una para cada factor del
denominador, ası́:
• Para un factor lineal no repetido2 , (ax + b), corresponde una fracción parcial de la forma
A
.
ax + b
• Para un factor lineal repetido k veces, (ax + b)k , corresponden k fracciones parciales de la forma
A1
A2
Ak
+
+ ··· +
2
ax + b (ax + b)
(ax + b)k
• Para un factor cuadrático irreducible no repetido, ax2 + bx + c, corresponde una fracción parcial
Ax + B
de la forma
.
ax2 + bx + c
En los tres casos, las letras A y B representan constantes por determinar.
Si una fracción racional es impropia (el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador), primero deben dividirse los polinomios para conseguir la suma de un polinomio y una fracción
propia.
2
Que no sea repetido significa que la factorización del denominador no contiene otro factor lineal con el mismo cero.
Por ejemplo, los factores (3t − 6) y (2t − 4), sin ser iguales, son “repetidos” porque tienen el mismo cero, t = 2.
144
Capı́tulo 8. Repaso de técnicas de integración
Ejemplo 5
1 + 4z 2
dz (donde la fracción es propia) empezamos por descomz(1 − 2z)2
Z
Para calcular I =
poner
1 + 4z 2
A
B
C
= +
+
z(1 − 2z)2
z
1 − 2z (1 − 2z)2
Cancelando denominadores tenemos 1 + 4z 2 = A(1 − 2z)2 + Bz(1 − 2z) + Cz. Ahora
sustituimos:
z=0
z=
1
2
⇒
1 = 1A + 0B + 0C
⇒
A=1
⇒
1
2C
⇒
C=4
2 = 0A + 0B +
5 = 1A − 1B + 1C
⇒ B =A+C −5=0
Z 1
4
+
dz. La primera parte es inmediata, y para la segunda
Entonces I =
z (1 − 2z)2
tomamos u = 1 − 2z, con du = −2dz:
z=1
⇒
du
u−1
= ln |z| − 2
+ D = ln |z| + 2(1 − 2z)−1 + D
−2
−1
(note que la constante de integración no debe llamarse C, porque en este procedimiento C
es una constante que ya se determinó que tiene valor 4).
Z
I = ln |z| +
4u−2
Ejemplo 6
6w − 4
dw, la fracción es propia y el denominador no se
− 12w + 13
factoriza (en los números reales). Como solo hay un factor, la fracción no se descompone
y se integra como está. El procedimiento es ası́:
Z
En la integral J =
4w2
• Completar el cuadrado en el denominador: 4w2 − 12w + 13 = (2w − 3)2 + 4.
• Sustituir la expresión al cuadrado: tomamos x = 2w − 3, con dx = 2 dw.
• Aplicar el cambio de variable en el resto de la integral (usando w = x+3
2 ):
Z
Z x+3
6 2 − 4 dx
1
3x + 5
J=
=
dx
x2 + 4 2
2
x2 + 4
• Separar la fracción y calcular dos integrales separadas:
Z
Z
1
3x
1
5
J=
dx +
dx
2
2
2
x +4
2
x +4
La primera integral se calcula Rcon la sustitución y = x2 + 4, dy = 2x dx; la segunda
1
1
x
es inmediata (recordando que x2 +a
2 dx = a arctan a ):
Z
Z
1
3 dy 5
1
3
5 1
x
J=
+
dx = ln |y| + · arctan + C
2
2
y 2
2
x +4
4
2 2
2
3
5
x
= ln |x2 + 4| + arctan + C
4
4
2
8.4. Sustitución trigonométrica
145
• Devolver la sustitución:
J=
3
5
2w − 3
ln(4w2 − 12w + 13) + arctan
+C
4
4
2
Calcule
Z
22.
Z
23.
Z
24.
Z
25.
Z
26.
8.4
u−8
du
2
u − 2u − 8
27.
5
dr
1 − r − 6r2
28.
8 − 10w2 − w3
dw
8w + 2w2 − w3
29.
87 − 43s − 77s2 − 15s3
ds
(s2 + s − 2)(s2 − 9)
30.
Z
532 − 182q
dq
(3q 2 − 10q − 8)2
Z
2y 5 − 60y 2 + 150y − 125
dy
(4 − y 2 )(2y − 5)3
Z
18v 4 − 59v 2 − 31v
dv
3v 3 + 7v 2 + 5v + 1
q2
q−1
dq
+ 2q + 2
Z
8t3 + 10
dt
4t2 − 4t + 5
Z
9r + 3 r + 6
dr
9r − 3r − 2
31.
Sustitución trigonométrica
Recuerde:
Para integrar una
función con. . .
√
2
2
√a − x
2
2
√a + x
2
x − a2
intente la
sustitución. . .
x = a sen t
x = a tan t
x = a sec t
que resulta en. . .
√
2
2
√a − x = a cos t
2
2
√a + x = a sec t
2
x − a2 = ±a tan t
(+ si x > 0, o − si x < 0)
Ejemplo 7
5x3
dx no contiene ninguna de las formas mencionadas, pero
4x2 + 1
si sacamos el coeficiente 4 de la raı́z tendremos
Z
5x3
p
I=
dx
2 x2 + 1/4
Z
La función en I =
√
que coincide con el segundo caso, con a = 1/2. Entonces tomamos x =
p
obtenemos x2 + 1/4 = 21 sec t y dx = 12 sec2 t dt. De aquı́ que
Z
I=
5( 81 tan3 t) 1
5
sec2 t dt =
2
sec t
16
Z
tan3 t sec t dt
1
2
tan t, de donde
146
Capı́tulo 8. Repaso de técnicas de integración
Podemos escribir tan3 t sec t dt = tan2 t (tan t sec t dt) = (sec2 t − 1)(tan t sec t dt), y tomando u = sec t tendremos la integral de (u2 − 1)du. Ahora
Z
5
5 u3
5
5
2
I=
(u − 1)du =
−u +C =
sec3 t −
sec t + C
16
16 3
48
16
p
√
y como sec t = 2 x2 + 1/4 = 4x2 + 1, llegamos finalmente a
I=
3
5p 2
5p 2
4x + 1 −
4x + 1 + C
48
16
El ejemplo anterior ilustra la técnica de sustitución trigonométrica, pero podrı́a ser más fácil
calcular esa integral haciendo el cambio de variable u = 4x2 + 1.
Calcule
Z
32.
Z
33.
Z
34.
8.5
Z
p
2y
9 − y 2 dy
3
35.
dx
x 25 − x2
√
(4x2
Z
(q 2 − 100)−3/2 dq
Z
dm
√
(m + 1) m2 + 2m
36.
dr
√
2
r 9r2 + 1
dx
− 4x + 5)2
37.
Partes
Z
La fórmula de integración por partes,
Z
u dv = uv −
v du, puede usarse para integrar productos
de funciones.
Ejemplo 8
Z
Para calcular K =
v 2 arctan v dv podemos tomar x = arctan v y dy = v 2 dv:
x = arctan v
dy = v 2 dv
⇒
dx =
⇒
y=
dv
+1
v2
v3
3
Z
v3
v3
Entonces K =
arctan v −
dv. Ahora hacemos la sustitución z = v 2 + 1,
3
3(v 2 + 1)
dz = 2v dv, con lo que
Z
Z
Z
Z
v3
v2
z−1 1
1
dv =
v dv =
· dz =
(1 − z −1 )dz
3(v 2 + 1)
3(v 2 + 1)
3z
2
6
1
1
= z − ln |z| = v 2 + 1 − ln(v 2 + 1)
6
6
8.6. Repaso general
147
Finalmente,
K=
v3
1
arctan v − v 2 + 1 − ln(v 2 + 1) + C
3
6
Calcule
Z
38.
Z
3
p ln p dp
Z
39.
Z
40.
w+1
dw
ew
43.
q 2 e3q−1 dq
44.
Z
41.
p ln(p + 5) dp
8.6
42.
w 3 8w
2 +1
dw
Z
(1 + ln u)2 du
Z
2q cos q dq
Z
ln z
dz
(z + 1)2
Z
dq
q 2 (q 2 + 8)3/2
Z
6 dw
5 − 12w + 9w2
Z
ln2 (y + 1)
dy
y+1
Z
ev − 2
dv
3ev + 5 − 6v
Z
3 cos2 (πw) sen(πw) dw
Z
(2y − 2y )2 dy
Z
e3p−1 dp
Z
z e3z dz
Z
1 + sen t
dt
cos t
45.
Repaso general
Calcule
Z
46.
Z
47.
Z
48.
Z
49.
Z
50.
Z
51.
Z
52.
√
dq
6q − 5
5z 3 − z 2 + 4z + 4
dz
(z 2 + z)(z 3 − z)
q+1
dq
q3 + q
sen4 3u du
√
5x3
dx por sustitución algebraica
4x2 + 1
56.
57.
58.
59.
t et
dt
(t + 1)2
60.
(w2 − 2)(w2 + 2)
dw
4w3
61.
es − 2
53.
ds
es + 1
Z
p
54.
(s3 + 4s) s2 + 4 ds
Z
55.
62.
63.
148
Capı́tulo 8. Repaso de técnicas de integración
Z
64.
sen x e
Z
65.
Z
66.
Z
67.
cos x
dx
Z
10 cot6 y sec5 y dy
Z
2t2 + 3t − 2
dt
3t4 − 2t3
Z
tan4 θ dθ
68.
(5r4 + csc r cot r) dr
69.
log(5y 2 − 4y) dy
v
3
(e − 2) dv
70.
Apéndice A
Sugerencias
8. Repaso de técnicas de integración
5 6x /32x = (2/3)x , y 15x /32x = (5/3)x .
6 Saque 9 como factor común de la raı́z.
14 Complete cuadrado en el denominador y tome z = 3w − 2.
15 Tome u = ln(p + 1).
18 Puede tomar u = 5 + 2 tan α.
20 Convierta a senos y cosenos.
21 Multiplique numerador y denominador por 1 + sen z, y separe la fracción resultante.
31 Tome u = 3r (entonces 9r = u2 ).
32 Puede ser más fácil tomar u = 9 − y 2 .
34 Tome u = 3r.
41 Antes (o después) de integrar por partes, haga la sustitución t = p + 5.
42 Primero sustituya x = w2 + 1.
45 Use integración por partes con u = ln z, y después fracciones parciales.
51 Tome u = tet y dv = (t + 1)−2 dt.
54 s3 + 4s = s(s2 + 4)
56 Complete cuadrado en el denominador y tome z = 3w − 2.
66 Después de integrar por partes, use la sustitución u = 5y − 4.
68 Convierta a senos y cosenos.
70 Escriba tan2 · tan2 = tan2 (sec2 −1).
Apéndice B
Soluciones
8. Repaso de técnicas de integración
1 r5 − csc r + C
20
− 38 v 1/2 − 32 v −1/2 + C
2
8 3/2
9v
3
1 2
8w
4
1 4
4t
5
(2/3)x
4(5/3)x
−
+C
ln(2/3)
ln(5/3)
+ 21 w−2 + C
10 −3z −1 − 23 ln(z 2 + 1) + C
√
3
2
14 2 arctan(3w − 2) + C
ln2 (p + 1) + C
1
2
16
− 15
cos5 x
17
1
8β
−
18
1
3 (5
+
1
32
+
−2 + 75 (2y − 5)−1 −
28 − 14 y + 125
16 (2y − 5)
8
1
15
1
ln
|y
−
2|
+
ln
|y
+
2|
−
4
4
8 ln |2y − 5| + K
2
3
1
2
ln(q 2 + 2q + 2) − 2 arctan(q + 1) + K
30
t2 + 2t − 14 ln(4t2 − 4t + 5) − 41 arctan(t − 12 ) + K
sec2 u + 15 tan u + C
15
25
2 ln |s − 1| − ln |s + 2| + 3 ln |s + 3| − 19 ln |s − 3| + K
29
+C
12 21+ t / ln 2 + C
13
24 w + ln |w| + 2 ln |w + 2| + 9 ln |w − 4| + K
27
(q−4)−1 −10(3q+2)−1 − 12 ln |q−4|+ 12 ln |3q+2|+K
9 3 ln(4q 2 + 7) + C
1 3p−1
3e
ln |u + 2| − 32 ln |u − 4| + K
26 3v 2 − 14v − 5(v + 1)−1 + 3 ln |3v + 1| + K
− 7)5 + C
8 − 13 (x3 − 2)−1 + C
11
5
3
23 ln |1 + 2r| − ln |1 − 3r| + K
− 3t / ln 3 + C
2
3
15 (6y
sec3 α − sec α + C
21 tan z + sec z + C
22
6 4 arcsen u + C
7
1
3
cos3 x
31 2 log3 |3r − 2| + 2 log3 |3r + 1| − 3r + K
p
p
3
5
32 −6 9 − y 2 + 25 9 − y 2 + C
33 − 51 ln (5 +
− cos x + C
√
25 − x2 )/x + C
√
34 − 9r2 + 1/r + C
sen 4β + C
2 tan α)3/2
19 ln |4 + tan x| + C
+C
35
1
2 − 4x + 5) + arctan(x − 1 ) + C
(4x
−
2)/(4x
32
2
p
36 −q/(100 q 2 − 100) + C
152
Apéndice B. Soluciones
54 15 (s2 + 4)5/2 + C
37
√
2
± arcsec(m+1)+C1 = − arccot m + 2m +C2
p
55 −(q 2 + 4)/(32q q 2 + 8) + C
1 4
1 4
38 4 p ln p − 16 p
56 2 arctan(3w − 2) + C
39 −we−w − 2e−w + C
40
1 3q−1
(9q 2
27 e
41
1
2
− 6q + 2) + C
ln(p + 5)(p2 − 25) − 14 p2 + 52 p
42 w2 8w
2 +1
/(2 ln 8) − 8w
2 +1
/(2 ln2 8) + C
57
1
3
ln3 (y + 1) + C
58
1
3
ln 3ev + 5 − 6v + C
59 − π1 cos3 πw + C
43 u + u ln2 u
60
2
4 3
y
y
y
3 y + 4 · 2 / ln 2 + 4 /(2 ln 2) − 4y 2 / ln 2 + C
44 2q (sen q + (ln 2) cos q)/(1 + ln2 2) + C
61
1 3p−1
3e
45 − ln z/(z + 1) + ln z − ln |z + 1| + K
62
1 3z
9 e (3z
46
1√
3 6q
−5+C
+C
− 1) + C
63 ln | sec t + tan t| − ln | cos t| + C
47
4z −1 − 3(z + 1)−1 − 3 ln |z + 1| + 3 ln |z − 1| + K
64 −ecos x + C
48 arctan q + ln |q| − 12 ln(q 2 + 1) + K
65 r5 − csc r + C
49
3
8u
50
5
48
−
√
1
12
sen 6u +
1
96
3
√
4x2 + 1 −
5
16
sen 12u + C
66 y log(5y 2 − 4y) − (2y + 54 ln |5y − 4|)/ ln 10 + C
4x2 + 1 + C
67
51 et /(t + 1) + C
52
1 2
8w
+ 12 w−2 + C
53 3 ln(es + 1) − 2s + K
1 3v
3e
− 3e2v + 12ev − 8v + C
68 −2 csc5 y + C
69 − 21 t−2 − ln |t| + ln |3t − 2| + K
70
1
3
tan3 θ − tan θ + θ + C