Cálculo Vectorial
6
_________________________________________________________________________
CAPÍTULO 2
CURVAS PLANAS, ECUACIONES
PARAMÉTRICAS
Y COORDENADAS POLARES
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
7
_________________________________________________________________________
UNIDADES DE APRENDIZAJE
COMPETENCIA ESPECÍFICA
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
Establece ecuaciones de curvas
Representar mediante un modelo físico las curvas planas, en
planas, en coordenadas
coordenadas rectangulares, polares o en forma paramétrica.
rectangulares, polares, o en
forma paramétrica, para brindarle
Localizar e identificar curvas en el entorno del estudiante.
herramientas necesarias para el
Utilizar juegos didácticos para el cálculo de operaciones
estudio de curvas más sofisticadas.
vectoriales.
Investigar en diferentes fuentes de información el uso de las
coordenadas polares para casos reales.
Elaborar un cuadro comparativo sobre las ecuaciones en
coordenadas rectangulares, polares y paramétricas de un conjunto
de curvas dadas y establecer conclusiones sobre ventajas y
desventajas.
Leer la bibliografía recomendada para los diferentes subtemas y
participar en las discusiones grupales para establecer conclusiones.
Proponer un conjunto de curvas en el plano y en el espacio, para
que el estudiante encuentre las ecuaciones en forma rectangular,
polar o paramétrica que les correspondan.
Resolver ejercicios que permitan al estudiante el dominio
procedimental asociado a los contenidos de este tema.
Utilizar TIC’s para la representación geométrica de curvas planas.
Utilizar TIC’s para aplicar las propiedades de las operaciones con
ecuaciones paramétricas.
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
8
_________________________________________________________________________
2.1
ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE ALGUNAS CURVAS PLANAS
Y SU REPRESENTACIÓN GRÁFICA.
Estudio detallado de los diferentes tipos de superficies.
Hasta el momento en las secciones 1.4 y 1.5 ya estudiamos la recta y el plano, el cual
en esta unidad 2 lo analizaremos con más detalle. Iniciamos introduciendo las definiciones y
características del cilindro, de las superficies cuadráticas y las definiciones de algunos
conceptos importantes que se presentan a continuación:

Trazas. Son las intersecciones de las superficies que queremos graficar con los planos
coordenados. De otra forma, son las curvas que se obtienen al rebanar las superficies lineales
o cuadráticas con los planos coordenados.

Curvas de nivel. En general si una función de dos variables está dada por 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦),
entonces las curvas definidas por 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐, para una c apropiada, reciben el nombre de
curvas de nivel de 𝑓. La palabra nivel proviene del hecho de que podemos interpretar
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐, como la proyección sobre el plano xy de la curva de intersección o traza de 𝑧 =
𝑓(𝑥, 𝑦) y el plano horizontal o de nivel 𝑧 = 𝑐 (Zill, D. et al., 2011).
Entendamos que las curvas de nivel son las distintas curvas que se obtienen al proyectar sobre
el plano 𝑥𝑦 las trazas formadas por la intersección de la curva 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐 y los planos
paralelos, o de nivel z = c, donde c es una constante.

Cilindros y esferas. En el espacio bidimensional la gráfica de la ecuación 𝑥 2 + 𝑦 2 =
1 es una circunferencia centrada en el origen del plano 𝑥𝑦, ver figura 2.1.1 inciso a. Sin
embargo en el espacio tridimensional se interpreta la gráfica como el conjunto {(𝑥, 𝑦, 𝑧)|𝑥 2 +
𝑦 2 = 1, 𝑧 𝑎𝑟𝑏𝑖𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑎}, el cual representa una superficie que es el cilindro circular recto que
se muestra en el inciso b de la figura 2.1.1, (Zill, D. et al., 2011).
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
9
_________________________________________________________________________
Figura 2.1.1. Interpretación de la ecuación de una circunferencia en los espacios bidimensional y tridimensional.
De la sección 1.4, se sabe que la gráfica de una ecuación lineal 3𝑥 + 4𝑦 = 6, es
una recta en el espacio bidimensional representada en el inciso a) de la figura 2.02 (en el
plano 𝑥𝑦), sin embargo, en el espacio tridimensional esa misma ecuación está formada por
el
conjunto
{(𝑥, 𝑦, 𝑧)| 3𝑥 + 4𝑦 = 6, 𝑧 𝑎𝑟𝑏𝑖𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑎}, la cual
representa el
plano
perpendicular al plano 𝑥𝑦 paralelo al eje 𝑧, que se muestra en el inciso b de la figura 2.1.2
Figura 2.1.2. Interpretación de la ecuación de una recta en los espacios bidimensional y tridimensional.

A las superficies ilustradas en las figuras 2.1.1 inciso b y 2.1.2 inciso b se les llama
Cilindros, cuyo nombre es aplicado en un sentido más general que el de un cilindro circular
recto. Especificando, si C es una curva en un plano y L una recta no paralela al plano,
entonces el conjunto de todos los puntos (𝑥, 𝑦, z) generados al mover una línea que recorra a
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
10
_________________________________________________________________________
C paralela a L, se denomina cilindro. La curva C se denomina directriz del cilindro y a las
rectas que forman la superficie con el trazo de más rectas paralelas a L y que pasan por la
curva dada se les llama generatrices, ver figura 2.1.3. (Stewart, J., 2002).
Figura 2.1.3. Ejemplo de un cilindro parabólico con Curva directriz 𝑦 2 = 𝑥 y recta generatriz L.
Observa que una característica de las ecuaciones que representan un cilindro es la
ausencia de una de las variables, es decir, si falta una de las variables x, y o z, en la ecuación
de una superficie, entonces la superficie es un cilindro. Hay diferentes tipos de cilindros
dependiendo de la curva que los genere, pueden ser: circulares, elípticos, parabólicos,
hiperbólicos, entre otros.
Para dibujar cilindros paralelos a los ejes coordenados, es conveniente seguir los pasos
siguientes recomendados por Finney, T. (1999):
1) Marca los 3 ejes coordenados tenuemente.
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
11
_________________________________________________________________________
2) Señala tenuemente la traza del cilindro en el plano coordenado de las 2 variables que
aparecen en la ecuación del cilindro.
3) Señala tenuemente las trazas en planos paralelos a cada lado y Agrega bordes exteriores
paralelos al eje ausente, para dar la definición de la forma.
4) Si se requiere una mayor definición, oscurecer las partes ocultas. Usa líneas punteadas
cuando sea posible. En la figura 2.1.4 se presenta como ejemplo el cilindro Hiperbólico.
Figura 2.1.4. Ejemplo de Cilindro Hiperbólico 𝑧 2 − 𝑥 2 = 1.
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
12
_________________________________________________________________________

Esfera. Como la circunferencia, una esfera puede definirse por medio de la fórmula
de la distancia, es el conjunto de todos los puntos 𝑃 (𝑥, 𝑦, 𝑧) en el espacio tridimensional que
son equidistantes de un punto fijo llamado centro. Si r es el radio o distancia fija de la esfera
y si el centro es 𝑃1 (𝑎, 𝑏, 𝑐), entonces un punto 𝑃 (𝑥, 𝑦, 𝑧) está sobre la esfera si y sólo sí:
[𝑑 (𝑃1 𝑃)]2 = 𝑟 2 , o sea (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 + (𝑧 − 𝑐)2 = 𝑟 2

Una Superficie cuadrática es la gráfica de una ecuación de segundo grado con 3
variables 𝑥, 𝑦, 𝑧, cuya ecuación general es:
A𝑥 2 + 𝐵𝑦 2 + 𝐶𝑧 2 + 𝐷𝑥𝑦 + 𝐸𝑦𝑧 + 𝐹𝑥𝑧 + 𝐺𝑥 + 𝐻𝑦 + 𝐼𝑧 + 𝐽 = 0, donde A,𝐵, 𝐶, …, J son
constantes, sin embargo por rotación y traslación se pueden convertir en una de las 2 formas:
A𝑥 2 + 𝐵𝑦 2 + 𝐶𝑧 2 + 𝐽 = 0
ó
A𝑥 2 + 𝐵𝑦 2 + 𝐼𝑧 = 0
Las superficies cuadráticas que se presentan en la siguiente figura 2.1.5 son la
analogía tridimensional de las secciones cónicas en el plano, las cuales son: elipsoide,
hiperboloide de una hoja, hiperboloide de 2 hojas, cono elíptico, paraboloide elíptico,
paraboloide hiperbólico.
Superficie
Ecuación
𝑥2 𝑦2 𝑧2
+
+ =1
𝑎2 𝑏 2 𝑐 2
Todas las trazas son elipses
Traza
Plano
Elipse
Paralelo al plano 𝑥𝑦
Elipse
Paralelo al plano 𝑥𝑧
Elipse
Paralelo al plano 𝑦𝑧
Si 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 ≠ 0, entonces el
elipsoide es una esfera.
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
13
_________________________________________________________________________
𝑥 2 𝑦2 𝑧2
+
− =0
𝑎2 𝑏 2 𝑐 2
Las trazas horizontales son elipses
(planos paralelos al plano 𝑥𝑦).
Las trazas verticales en los planos
𝑥 = 𝑘 y 𝑦 = 𝑘 son hipérbolas si 𝑘 ≠
0, pero son pares de rectas si 𝑘 = 0.
El eje del cono corresponde a la
variable cuyo coeficiente es
negativo.
𝑧 𝑥 2 𝑦2
=
+
𝑐 𝑎2 𝑏 2
Las trazas horizontales son elipses
(planos paralelos al plano 𝑥𝑦)
Las trazas verticales son parábolas
(planos paralelos a los planos 𝑥𝑧 y
𝑦𝑧
La variable elevada a la primera
potencia es el eje del paraboloide
𝑥 2 𝑦2 𝑧2
+
− =1
𝑎2 𝑏 2 𝑐 2
Las trazas horizontales son elipses
(planos paralelos al plano 𝑥𝑦)
Las trazas verticales son hipérbolas
(planos paralelos a los planos 𝑥𝑧 y
𝑦𝑧
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
14
_________________________________________________________________________
El eje de simetría corresponde a la
variable cuyo coeficiente es
negativo.
𝑧 𝑥 2 𝑦2
=
−
𝑐 𝑎2 𝑏 2
Las trazas horizontales son
hipérbolas (planos paralelos al plano
𝑥𝑦)
Las trazas verticales son parábolas
(planos paralelos a los planos 𝑥𝑧 y
𝑦𝑧.
Se ilustra el caso donde c < 0
El Eje corresponde a la variable
elevada a la primera potencia.
−
𝑥 2 𝑦2 𝑧2
−
+ =1
𝑎2 𝑏 2 𝑐 2
Las trazas horizontales son elipses
en z = k si k > c o k < -c. Las trazas
verticales son hipérbolas (planos
paralelos a los planos 𝑥𝑧 y 𝑦𝑧.
Los dos signos menos indican dos
hojas.
El eje corresponde a la variable cuyo
coeficiente es positivo. No hay traza
en el plano coordenado
perpendicular a este eje.
Figura 2.1.5. Superficies Cuádricas. Fuente: Stewart, J., (2002).
Enseguida se presentan dos ejemplos resueltos y 5 propuestos para ejercitarse en el
manejo de superficies, las cuales son requisito importante para la adecuada comprensión de
los temas de esta unidad.
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
15
_________________________________________________________________________
Ejemplo 1. Bosquejo del paraboloide elíptico.
Bosqueja el paraboloide elíptico 𝑦 = 2𝑥 2 + 𝑧 2 , determina su eje, sus trazas en los planos
coordenados y en los planos paralelos al plano xz.
Solución.
El eje del paraboloide elíptico es el eje y, debido a que es la variable lineal de la ecuación
𝑦 = 2𝑥 2 + 𝑧 2 (ver figura 2.1.6)
En el Plano 𝑥𝑧, como y = 0 → 2𝑥 2 + 𝑧 2 = 0 determina un punto P (0, 0, 0).
En la ecuación 𝑦 = 2𝑥 2 + 𝑧 2 :
Si 𝑥 = 0 → y = 𝑧 2 determina una parábola en el plano yz, con eje y, V(0,0,0) abierta hacia
la parte positiva del eje y, extendiéndose a lo largo del eje z
Si 𝑧 = 0 → y = 2𝑥 2 determina una parábola en el plano xy, con eje y, V(0,0,0) abierta hacia
la parte positiva el eje y, extendiéndose a lo largo del eje x
En los planos y = k:
Si k = 1 → y = 1 → 1 = 2𝑥 2 + 𝑧 2 , es decir,
x2
1⁄
2
+
z2
1
=1
Representa una elipse en el plano y = 1 (paralelo al plano 𝑥𝑧), con C (0, 1, 0); eje mayor
paralelo al eje z, con magnitud 2 ; eje menor paralelo al eje x, con magnitud 2√1⁄2 puesto
1
que si 𝑎2 = 1 → 𝑎 = ±1 y si 𝑐 2 = → 𝑐 = ±√1⁄2
2
Si k = 2 → y = 2 → 2 = 2 𝑥 2 + 𝑧 2 , es decir, x2 +
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
z2
2
=1
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
16
_________________________________________________________________________
Representa una elipse en el plano y = 2 (paralelo al plano xz), con C(0, 2, 0); eje mayor
paralelo al eje z, con magnitud 2√2 ; eje menor paralelo al eje x, con magnitud 2 puesto que
si 𝑎2 = 2 → 𝑎 = ±√2 y si 𝑏 2 = 1 → 𝑏 = ±1
Figura 2.1.6. Gráfica del paraboloide elíptico.
Ejemplo 2. Bosquejo del cono elíptico.
Bosqueja el cono elíptico 𝑦 2 = 4𝑥 2 + 9𝑧 2 determina su eje, las trazas generadas en los 3
planos coordenados y en los planos 𝑦 = 𝑘 (planos paralelos al plano 𝑥𝑧).
Solución.
Como 𝑦 2 = 4𝑥 2 + 9𝑧 2 → si obtenemos la ecuación canónica 4𝑥 2 − 𝑦 2 + 9𝑧 2 = 0 podemos
observar que el eje y es el eje del cono porque es la variable con el coeficiente negativo (ver
figura 2.1.7).
Para obtener las trazas utilizamos las intersecciones de la superficie cuadrática con
los planos coordenados
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
17
_________________________________________________________________________
Si y = 0 → 4𝑥 2 + 9𝑧 2 = 0 determina un punto en el origen del sistema tridimensional
Si x = 0 → 9𝑧 2 − 𝑦 2 = 0 determina un par de líneas rectas en el plano yz:
{
3𝑧 − 𝑦 = 0 → 𝑦 = 3𝑧
3𝑧 + 𝑦 = 0 → 𝑦 = −3𝑧
Si z = 0 → 4𝑥 2 − 𝑦 2 = 0 determina un par de líneas rectas en el plano xy:
{
2𝑥 − 𝑦 = 0 → 𝑦 = 2𝑥
2𝑥 + 𝑦 = 0 → 𝑦 = −2𝑥
Si y = - 2 → 4𝑥 2 + 9𝑧 2 = 4 →
𝑥2
1
𝑧2
+ 4 = 1, representa una elipse en el plano y = - 2 con
⁄9
C (0, - 2, 0), eje mayor paralelo al eje x con magnitud 2; eje menor paralelo al eje z con
4
2
magnitud 4⁄3, debido a que si: 𝑎2 = 1 → 𝑎 = ±1 y si 𝑐 2 = 9 → 𝑐 = ± 3
Si y = 2→ 4𝑥 2 + 9𝑧 2 = 4 →
𝑥2
1
𝑧2
+ 4 = 1 representa una elipse en el plano y = 2, con
⁄9
C
(0, 2, 0), eje mayor paralelo al eje x con magnitud 2 eje menor paralelo al eje z con magnitud
4⁄ debido a que si: 𝑎2 = 4 → 𝑎 = ±2 y si 𝑐 2 = 4 → 𝑐 = ± 2
3
9
3
Figura 2.1.7. Gráfica del cono elíptico.
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
18
_________________________________________________________________________
Ejercicios propuestos del estudio detallado de los diferentes tipos de superficies.
1) ¿Qué representa la ecuación 𝑦 = 𝑥 2 en R2 y en R3 ?
2) Describe y traza las superficies: a) 𝑦 2 + 4 𝑧 2 = 4; b) 𝑧 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥
3) Bosqueja el paraboloide elíptico 𝑥 = 2𝑦 2 + 𝑧 2 , determina su eje, sus trazas en los planos
coordenados y en los planos paralelos al plano 𝑦𝑧.
4) Bosqueja el cono elíptico 𝑥 2 = 4𝑦 2 + 9𝑧 2 determina su eje, las trazas generadas en los
3 planos coordenados y en los planos 𝑥 = 𝑘 (planos paralelos al plano 𝑦𝑧).
5) Utiliza una computadora con software de gráficas de 3 dimensiones para graficar la
superficie siguiente 𝑧 = 3𝑥 2 − 5𝑦 2
De acuerdo con Larson et al. (2009) una Curva plana establece que si 𝑓 y 𝑔 son
funciones continuas de 𝑡 en un intervalo I, las ecuaciones 𝑥 = 𝑓(𝑡); 𝑦 = 𝑔(𝑡) se
denominan ecuaciones paramétricas y 𝑡 se llama el parámetro. Al conjunto de puntos (𝑥, 𝑦)
obtenido cuando 𝑡 varía en el intervalo I se le llama gráfica de las ecuaciones paramétricas.
El par formado por las ecuaciones paramétricas y su gráfica recibe el nombre de
Curva plana y se denota por C.
El uso de la variable 𝑡, nos permite saber cuándo ha estado el objeto en algún punto
de una curva (en la trayectoria de 𝑟⃗), además del dónde tradicional de las coordenadas
rectangulares. Así que la variable 𝑡 conocida como parámetro, permite expresar a 𝑥 e 𝑦 como
funciones de 𝑡, el ejemplo 3 clarifica lo anterior.
Ejemplo 3. Gráficas rectangular y paramétrica de 𝒚 = 𝟑𝒙 – 𝟒.
Dada la función 𝑦 = 3𝑥 − 4, elabora las tablas respectivas para obtener su gráfica
mediante Graficación rectangular y paramétrica.
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
19
_________________________________________________________________________
Solución.
La función 𝑦 = 3𝑥 − 4, función escalar 𝑓: R → R representa en el sistema rectangular, a
la recta con ecuación canónica pendiente ordenada al origen 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, con pendiente
𝑚 = 3 y ordenada al origen 𝑏 = − 4. En coordenadas rectangulares, para hallar la gráfica
de una recta basta utilizar 2 puntos como los que se muestra en la tabla 2.1.8 y en la figura
2.1.8
𝑥
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 3 𝑥 − 4
𝑃(𝑥, 𝑦)
0
𝑓(0) = 3(0) – 4 = −4
(0, -4)
1
𝑓(1) = 3(1) − 4 = −1
(1, -1)
Tabla 2.1.1 Puntos para la Gráfica Rectangular de la Recta 𝑦 = 3𝑥 − 4
Figura 2.1.8. Gráfica rectangular de la recta.
Parametrización de la recta.
La ecuación rectangular de una recta puede parametrizarse dejando cada variable en
función del parámetro 𝑡, es decir: sea 𝑥 = 𝑡, entonces 𝑦 = 3 𝑡 – 4.
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
20
_________________________________________________________________________
Se puede observar en la tabla 2.1.2, y en la figura 2.1.9 que cada par de coordenadas
(𝑥, 𝑦) está determinado por un valor seleccionado del parámetro 𝑡 de acuerdo al dominio de
la función.
𝑡
𝑥 = 𝑡
𝑦 = 𝑓(𝑡) = 3 𝑡 − 4
𝑃(𝑥, 𝑦)
< 𝑥, 𝑦 >
0
0
𝑓(0) = 3(0) – 4 = −4
(0, -4)
𝑢
⃗⃗ = < 0, - 4 >
1
1
𝑓(1) = 3(1) − 4 = −1
(1, -1)
𝑣⃗ =<1, - 1>
Tabla 2.1.2. Vectores generados para graficar en forma paramétrica la Recta f (t) = 3t – 4
Al ir marcando los puntos resultantes para valores crecientes de t, se trazan los
vectores de posición correspondientes a cada punto y al unir todos los puntos terminales de
dichos vectores, se genera la curva en un sentido concreto, a esto se le llama orientación de
la curva.
Figura 2.1.9. Gráfica parametrizada de la recta.
Stewart, J.(2002), comenta para entender más acerca de las Curvas definidas por
ecuaciones paramétricas que si imaginamos una partícula que se mueve a lo largo de una
curva plana C, es imposible describir C mediante una ecuación de la forma 𝑦 = 𝑓(𝑥) porque
C no siempre pasa la prueba de la vertical. Pero la abscisa 𝑥, y la ordenada 𝑦 de la partícula
son funciones del tiempo t, podemos escribir 𝑥 = 𝑥 (𝑡); 𝑦 = 𝑦 (𝑡). Un par de ecuaciones
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
21
_________________________________________________________________________
como éstas son convenientes para describir una curva (con ecuaciones paramétricas), pues
son funciones de una tercera variable 𝑡 llamada parámetro. Cada valor de 𝑡 determina un
punto (𝑥, 𝑦) que podemos graficar en un plano de coordenadas. Al variar 𝑡, el punto (𝑥, 𝑦) =
(𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡)) cambia de posición y describe una curva C, llamada curva paramétrica.
Es importante considerar que el parámetro t no siempre representa el tiempo, aunque
sí es utilizado en muchas aplicaciones como tal; se puede interpretar a
(𝑥, 𝑦) = (𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡)) como la posición de una partícula en el instante t.
Por su parte Zill, et al (2008), afirman que el concepto de curvas paramétricas se
extiende al espacio 3D. Definen una curva paramétrica en el espacio o curva espacial como
un conjunto de tripletas ordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧), donde 𝑥 = 𝑓 (𝑡), 𝑦 = 𝑔 (𝑡), 𝑧 = ℎ (𝑡) las
cuales son continuas en un intervalo a ≤ 𝑡 ≤ 𝑏, misma condición en 2D.
Procedimiento para eliminar el parámetro de las ecuaciones paramétricas .
Ejemplo 4. Eliminación del parámetro y gráfica paramétrica.
𝑡
Dadas las ecuaciones paramétricas 𝑥 = 𝑡 2 – 4, 𝑦 = 2; a) Elimina el parámetro t (obtener
la ecuación rectangular); b) Bosqueja la curva plana definiendo su orientación.
Solución.
a) Despejamos 𝑡 de la ecuación de 𝑦 → 𝑡 = 2 𝑦, luego sustituimos este valor de t en 𝑥,
entonces 𝑥 = (2𝑦)2 – 4
1
𝑥 = 4𝑦 2 – 4, luego 4𝑦 2 = 𝑥 + 4 → y2 = 4 (x + 4) representa una parábola horizontal en
el plano 𝑥𝑦, con 𝑉(−4, 0), que se abre hacia la derecha (ver figura 2.1.10).
b) Primero hallamos los puntos de la curva plana, ver tabla 2.1.3 a continuación.
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
22
_________________________________________________________________________
𝑡
-2
𝑥 = 𝑡 2 – 4;
𝑡
2
𝑃(𝑥, 𝑦)
−2
= −1
2
−1⁄
2
(0, −1)
𝑦 =
𝑥 = (−2)2 − 4 = 0
𝑦 =
(-3, −1⁄2)
-1
-3
0
-4
0
(-4, 0)
1
-3
1⁄
2
(-3, 1⁄2)
2
0
1
(0, 1)
3
5
3⁄
2
(5, 3⁄2)
Tabla 2.1.3. Puntos para el bosquejo de la curva plana, del ejemplo 4
Con los puntos ya obtenidos se procede a graficar la curva que se puede observar en
la figura 2.1.10.
Figura 2.1.10. Bosquejo de la Curva plana del ejemplo 4.
Ejemplo 5. Eliminación del parámetro.
Dadas las ecuaciones paramétricas 𝑥 =
1
𝑡
; 𝑦 = 𝑡+1., elimina el parámetro 𝑡 (obtener la
√𝑡+1
ecuación rectangular).
Solución.
Para 𝑥 =
1
√𝑡+1
(I),
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
23
_________________________________________________________________________
𝑡
Para 𝑦 = 𝑔(𝑡) = 𝑡+1
(II),
La ecuación vectorial es: 𝑟⃗ (𝑡) =
1
√𝑡+1
𝑡
𝑖⃗ + 𝑡+1 ⃗j
Para eliminar el parámetro conviene utilizar la ecuación (I), que al elevarla al cuadrado
1
queda: 𝑥 2 = 𝑡+1 … (III) y luego al aplicarle la propiedad de las proporciones obtenemos.
1
t + 1 = 𝑥 2 , despejando t y simplificando resulta que
1
𝑡 = 𝑥2 − 1 =
1−𝑥 2
𝑥2
…(IV)
Sustituyendo (III) y (IV) en (II), tenemos:
𝑡
𝑦 = 𝑡+1
1
𝑦 = 𝑡 (𝑡+1) =
1−𝑥 2
𝑥2
𝑥 2 → 𝑦 = 1 − 𝑥 2 Ecuación rectangular.
Ejemplo 6. Parametrización trigonométrica.
Dada la ecuación de la circunferencia 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑎2 con C (0, 0) y radio = a, como está en
forma implícita, utilizar la parametrización rectangular para elaborar su gráfica resulta muy
dificultoso, pues si 𝑥 = 𝑡 ⟹ 𝑦 = ±√𝑎2 − 𝑡 2 .
Solución.
Para la parametrización del círculo considerar a 𝑡 como el ángulo central, es decir, un ángulo
con vértice en el origen y el lado inicial que coincida con el eje 𝑥 positivo, como se
muestra en la figura 2.1.11, (Zill, D. et al., 2011).
Para la elaboración de la gráfica de la circunferencia se consideraron los puntos incluidos en
la siguiente tabla.
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
24
_________________________________________________________________________
t
0
𝜋⁄
2
𝜋
3𝜋⁄
2
2𝜋
𝑥 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑡
a
𝑦 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑡
0
0
a
-a
0
0
a
-a
0
Tabla 2.1.4. Puntos para la elaboración de la circunferencia 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑎2
Figura 2.1.11. Gráfica de la Circunferencia 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑎2 del ejemplo 6.
Para eliminar el parámetro.
𝑥 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑡 ⟹ 𝑥 2 = 𝑎2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡
𝑦 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑡 ⟹ 𝑦 2 = 𝑎2 𝑠𝑒𝑛2 𝑡, al sumar ambas ecuaciones cuadráticas, miembro a
miembro, tenemos: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑎2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 + 𝑎2 𝑠𝑒𝑛2 𝑡
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑎2 (𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑡), la ecuación rectangular es 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑎2
La ecuación vectorial: 𝑟⃗(𝑡) = (𝑎 cos 𝑡)𝑖⃗ + (𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑡)𝑗⃗.
Si en lugar de a los coeficientes de las ecuaciones paramétricas fueran a y b, entonces se
trataría de una elipse.
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
25
_________________________________________________________________________
Ejemplo 7. Parametrización en 𝐑𝟑 .
Dibuja la curva en el espacio representada por la función vectorial
𝑟⃗(𝑡) = 4 cos 𝑡 𝑖 + 4 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑗 + 𝑡𝑘, 0 ≤ 𝑡 ≤ 4𝜋.
Solución.
De las dos ecuaciones paramétricas 𝑥 = 4 cos 𝑡 y 𝑦 = 4 𝑠𝑒𝑛 𝑡, se obtiene:
𝑥 2 + 𝑦 2 = 16, ecuación rectangular. Esto significa que la curva se encuentra en un cilindro
circular recto de radio 4, centrado en el eje 𝑧. Para localizar en este cilindro la curva, se usa
la tercera ecuación paramétrica 𝑧 = 𝑡. En la figura nótese que a medida que 𝑡 crece de 0 a
4 𝜋, el punto (𝑥, 𝑦, 𝑧) sube en espiral por el cilindro describiendo una hélice. Un ejemplo de
hélice lo encontramos en la doble hélice de la estructura del ADN (ver figura 2.1.12).
Figura 2.1.12. Gráfica de la función vectorial 𝑟⃗(𝑡) = 4 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝒊 + 4 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝒋 + 𝑡𝒌, 0 ≤ 𝑡 ≤ 4𝜋
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
26
_________________________________________________________________________
Ejercicios propuestos de la sección 2.1
1) Dadas las ecuaciones paramétricas 𝑥 = 2 + 9 𝑐𝑜𝑠 𝑡; 𝑦 = 5 + 4 𝑠𝑒𝑛 𝑡 . a) Elimina el
parámetro 𝑡 (obtener la ecuación rectangular); b) Elabora la tabla con diferentes vectores
de posición; c) Bosqueja la curva plana definiendo su orientación.
2) Dadas las ecuaciones paramétricas x = 2 + 9 sec t; y = 4 + 4 𝑡𝑔 𝑡. a) Elimina el parámetro
t (obtener la ecuación rectangular); b) Elabora la tabla con diferentes vectores de
posición; c) Bosqueja la curva plana definiendo su orientación.
3) Elimina el parámetro del conjunto dado de ecuaciones paramétricas y obtén una ecuación
rectangular que tenga la misma gráfica: a) 𝑥 = 𝑡 2 ; 𝑦 = 𝑡 4 + 3𝑡 2 − 1; b) 𝑥 = 𝑡 3 ; 𝑦 =
3 ln 𝑡, 𝑡 > 0
4) Movimiento de un proyectil. Considera un proyectil que se lanza a una altura de h pies
sobre el suelo y a un ángulo 𝜃 con la horizontal. Si la velocidad inicial es 𝑣0 pies por
segundo, la trayectoria del proyectil queda descrita por las ecuaciones paramétricas
𝑥 = (𝑣0 𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑡 y 𝑦 = ℎ + (𝑣0 𝑠𝑒𝑛𝜃)𝑡 − 16𝑡 2 .
La cerca que delimita el jardín central de un parque de beisbol tiene una altura de 10 pies
y se encuentra a 400 pies del plato de home. La pelota es golpeada por el bate a una altura
de 3 pies sobre el suelo. Si la pelota se aleja del bate con un ángulo de 𝜃 grados con la
horizontal a una velocidad de 100 millas por hora (ver imagen adjunta).
Da un conjunto de ecuaciones paramétricas para la trayectoria de la pelota.
a) Usa la graficadora para representar la trayectoria de la pelota si 𝜃 = 15°. Es el golpe
un home run?
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
27
_________________________________________________________________________
b) Usa la graficadora para representar la trayectoria de la pelota si 𝜃 = 23°. ¿Es el golpe
un home run?
c) Halla el ángulo mínimo al cual la pelota debe alejarse del bate si se quiere que el
golpe sea un home run.
2.2
DERIVADA DE UNA CURVA EN FORMA PARAMÉTRICA.
Dadas las ecuaciones paramétricas de una curva.
𝑥 = 𝑓(t) … (1)
𝑦 = 𝑔(t) … (2)
Se pueden expresar por eliminación del parámetro utilizando la forma
𝑦 = 𝐹(x) … (3), al sustituir (1) y (2) en (3):
𝑔 (t) = 𝐹(𝑓(t)), por lo que si 𝑔, 𝐹 y 𝑓 son diferenciables, la Regla de la Cadena establece que
𝑔’(t) = 𝐹’(𝑓(t)) 𝑓’(t) = 𝐹’(𝑥) 𝑓’(t), si 𝑓 ’(t) ≠ 0, podemos despejar 𝐹’(𝑥). Así:
𝑑𝑦
𝑔′(𝑡)
𝐹 ′ (𝑥) = 𝑑𝑥 = 𝑓′(𝑡) =
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
si
𝑑𝑥
𝑑𝑡
≠0
Ejemplo 8. Derivada paramétrica.
Halla
𝑑𝑦
𝑑𝑥
, dadas las siguientes ecuaciones paramétricas: 𝑥 = 1 − 𝑡; 𝑦 = 𝑡 2
Solución.
Como
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑔′(𝑡)
=
𝑓′(𝑡)
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
entonces
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑦
2𝑡
= 2𝑡 y 𝑑𝑡 = −1, así 𝑑𝑥 = −1 = −2𝑡
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
28
_________________________________________________________________________
Ejemplo 9. Derivada paramétrica.
Halla
𝑑𝑦
𝑑𝑥
, dadas las siguientes ecuaciones paramétricas: 𝑥 = cos 𝜃; 𝑦 = 𝑐𝑡𝑔 𝜃
Solución.
Como
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝜃
𝑑𝑥
𝑑𝜃
𝑑𝑦
entonces 𝑑𝜃 = − 𝑐𝑠𝑐 2 𝜃 y
𝑑𝑥
𝑑𝜃
= −𝑠𝑒𝑛 𝜃 , así
𝑑𝑦
𝑑𝑥
−𝑐𝑠𝑐 2 𝜃
= − 𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
1
𝑠𝑒𝑛2 𝜃
𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑑𝑦
1
=
= csc 3 𝜃
𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛3 𝜃
Ejercicios propuestos de la sección 2.2
𝑑𝑦
1) Halla 𝑑𝑥 , dadas las siguientes ecuaciones paramétricas:
a) 𝑥 = 𝑡 2 − 𝑡 + 2; 𝑦 = 𝑡 3 − 3𝑡
b) 𝑥 = 3 cos 𝜃; 𝑦 = 3 𝑠𝑒𝑛 𝜃
c) 𝑥 = √𝑡; 𝑦 = 5 − 𝑡; 𝑡 ≥ 0
d) 𝑥 = 𝑒 𝑡 ; 𝑦 = 𝑒 3𝑡 ; 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑙𝑛2
2.3
TANGENTES A UNA CURVA.
Para hallar las tangentes a una curva con ecuaciones paramétricas se tiene que seguir
cierto procedimiento dependiendo si se quiere obtener una tangente horizontal o vertical.
Tangente Horizontal. La curva tiene una tangente horizontal si
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=0 y
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0, siempre que
≠0
Tangente Vertical. La curva tiene una tangente vertical si
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= ∞, siempre que
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
29
_________________________________________________________________________
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=0 y
𝑑𝑦
𝑑𝑡
≠0
La primera derivada se relaciona con las tangentes a la curva. La segunda derivada con la
concavidad de dicha curva.
𝑑2 𝑦
𝑑
𝑑𝑦
{𝑑𝑥 2 = 𝑑𝑥 [𝑑𝑥 ] =
𝑑[
𝑑𝑦
]
𝑑𝑥
𝑑𝑥
=
𝑑 𝑑𝑦
[ ]
𝑑𝑡 𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑
𝑑𝑦
𝑑𝑥
} = 𝑑𝑡 [𝑑𝑥 ] ÷ 𝑑𝑡 =
𝑑
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑2 𝑦
[ ] . = 𝑑𝑥 2
𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑥
La curva tendrá rectas tangentes con inclinación a la derecha si la pendiente
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
> 0 y hacia la izquierda si 𝑑𝑥 < 0.
Ejemplo 10. Pendiente, puntos de tangencia y concavidad de una curva.
1
Dada la curva con ecuaciones paramétricas 𝑥 = √𝑡; 𝑦 = 4 (𝑡 2 − 4); t≥ 0. Halla:
a) la pendiente y la concavidad en el punto (2, 3); b) Bosquejo de la gráfica; c) los puntos de
tangencia horizontal y vertical si los hay; d) las intersecciones con los ejes coordenados.
Solución.
𝑑𝑦
a) Para hallar la pendiente necesitamos la fórmula: 𝑑𝑥 =
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
, así que como
𝑥 = √𝑡 →
𝑑𝑥
𝑑𝑡
1
=2
√𝑡
1 −1⁄
2
= 2𝑡
𝑑𝑦 1
1
= (2𝑡) = 𝑡
𝑑𝑡 4
2
𝑑𝑦
⟹ 𝑑𝑥 =
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
1
= 12
2
𝑡
1
−
𝑡 2
=𝑡
3⁄
2.
Para el punto (2, 3) el valor de t es: 2 = √𝑡 → 𝑡 = 4
1
1
Comprobando: si t = 4 satisface a 𝑦 = 4 (𝑡 2 − 4), o sea, 3 = 4 (42 − 4) = 3
𝑑𝑦
Así para t = 4, la pendiente m(4)= 𝑑𝑥 |
t =4
3⁄
3
2 =[22 ] ⁄2= 8, la primera derivada es positiva,
= 4
la curva está creciendo casi vertical.
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
30
_________________________________________________________________________
𝑑2 𝑦
Para la concavidad utilizamos la ecuación de la segunda derivada 𝑑𝑥 2 =
𝑑2 𝑦
Si t = 4 → la concavidad 𝑑𝑥 2 |
t =4
𝑑 𝑑𝑦
[ ]
𝑑𝑡 𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
1
3𝑡 ⁄2
2
1
−
𝑡 2
2
= 3𝑡
= 3(4) = 12, la segunda derivada es positiva, entonces la
concavidad es hacia arriba.
Para eliminar el parámetro
1
1
1
𝑥 = √𝑡 → 𝑥 2 = 𝑡 → 𝑡 2 = 𝑥 4 , así: 𝑦 = 4 (𝑡 2 − 4) = 4 (𝑥 4 − 4) → 𝑦 = 4 𝑥 4 − 1, con x ≥ 0
debido a 𝑥 = √𝑡
b) Bosquejo de la gráfica. En la figura 2.3.1 que se presenta a continuación se muestra el
bosquejo de la gráfica.
1
Figura 2.3.1. Gráfica de la curva con ecuaciones paramétricas x = √t; y = (t 2 − 4); t≥ 0.
4
c)
Puntos de tangencia Horizontal y Vertical.
Si hacemos igual a cero la primera derivada, estaríamos buscando los puntos de tangencia
𝑑𝑦
horizontal, es decir, 𝑑𝑥 = 0 ↔
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=0 ↔
1
2
𝑡 = 0 ↔ 𝑡 = 0 → 𝑥 = √0 = 0;
1
𝑦 = 4 (02 − 4) = −1, así que el punto de tangencia horizontal es (0, -1)
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
31
_________________________________________________________________________
𝑑𝑦
Para hallar el punto de tangencia vertical se debe cumplir que 𝑑𝑥 = ∞, esto se logra haciendo
el denominador igual a cero, es decir,
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=0 ↔
1 −1⁄
𝑡 2
2
=0↔
1
1
𝑡 ⁄2
= 0, que no tiene
sentido, pues no es igual a cero. Así que no existe punto de tangencia vertical.
d)
Intersecciones con los ejes coordenados.
1
Con el eje x: 𝑦 = 0 → 0 = 4 (𝑡 2 − 4) ↔ 𝑡 2 − 4 = 0 ↔ 𝑡 ± 2, pero como t ≥ 0, entonces el
punto de intersección es (√2, 0)
Con el eje y: 𝑥 = 0 → 0 = √𝑡 → 𝑡 = 0, el punto de intersección es (0, -1)
Ejemplo 11. Puntos de tangencia horizontal y vertical.
Dada la curva con ecuaciones paramétricas 𝑥 = sec 𝜃; 𝑦 = 𝑡𝑔 𝜃; Halla: a) los puntos de
tangencia horizontal y vertical si los hay, b) la ecuación de la concavidad y la ecuación
rectangular eliminando el parámetro
Solución.
𝑥 = sec 𝜃
𝜋
𝜋
𝑦 = 𝑡𝑔 𝜃, el dominio de la función es 𝐷𝑓 = 𝑅 − { 2 + 𝑛𝜋} = 𝑅 − { 2 (1 + 2𝑛)} (son todos
𝜋
los números reales, menos los múltiplos impares de 2
a) Para hallar los puntos de tangencia horizontales
𝑑𝑦
𝑑𝑦 𝑔′(𝜃) 𝑑𝜃
=
=
𝑑𝑥 𝑓′(𝜃) 𝑑𝑥
𝑑𝜃
𝑑(𝑡𝑔𝜃)
1
𝑑𝑦
𝑠𝑒𝑐 2 𝜃
𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃
1
𝑑𝜃
=
=
=
=
=
= 𝑐𝑠𝑐𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑑𝑥 𝑑(𝑠𝑒𝑐𝜃) 𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑡𝑔𝜃
𝑡𝑔𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑑𝜃
𝑑𝑦
𝑑𝑥
1
= 0 ↔ 𝑐𝑠𝑐𝜃 = 0 ↔ 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0, ∴ No hay puntos de tangencia horizontal (1≠ 0)
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
32
_________________________________________________________________________
𝑑𝑦
Para hallar los puntos de tangencia vertical hacemos 𝑑𝑥 = ∞ ↔
1
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑑𝑥
𝑑𝜃
= 0 ↔ 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑔𝜃 = 0
𝑠𝑒𝑛𝜃
↔ 𝑐𝑜𝑠𝜃 . 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0 ↔ 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 = 0 ↔ 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0, ∴ 𝜃 = 0 + 𝑛𝜋, la curva tendrá puntos de
tangencia verticales cuando 𝜃 = 0 + 𝑛𝜋
b) Ecuación de la Concavidad.
𝑑 𝑑𝑦
𝑑
−1 𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝑐𝑜𝑠𝜃
3
𝑑 2 𝑦 𝑑𝜃 [𝑑𝑥 ] 𝑑𝜃 (𝑐𝑠𝑐𝜃) −𝑐𝑠𝑐𝜃 𝑐𝑡𝑔𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑠𝑒𝑛2 𝜃 = − 𝑐𝑜𝑠 𝜃
=
=
=
=
=
1 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥 2
𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑡𝑔𝜃
𝑠𝑒𝑛3 𝜃
(𝑠𝑒𝑐𝜃)
2
𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑑𝜃
𝑑𝜃
𝑐𝑜𝑠 𝜃
= −𝑐𝑡𝑔3 𝜃
Para eliminar el parámetro.
𝑥 = sec 𝜃 → 𝑥 2 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃
𝑦 = 𝑡𝑔 𝜃 → 𝑦 2 = 𝑡𝑔2 𝜃
𝑥 2 − 𝑦 2 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 − 𝑡𝑔2 𝜃
𝑥 2 − 𝑦 2 = 1 ecuación rectangular
Ejercicios propuestos de la sección 2.3
1) Encuentra la pendiente de la recta tangente en el punto correspondiente al valor indicado
del parámetro t
a)
𝑥 = 𝑡 3 − 𝑡 2 ; 𝑦 = 𝑡 2 + 5𝑡 para 𝑡 = −1
b)
𝑥 = √𝑡 2 + 1; 𝑦 = 𝑡 4 para 𝑡 = √3
c)
𝑥 = 𝑒 2𝑡 ; 𝑦 = 𝑒 −4𝑡 para 𝑡 = 𝑙𝑛 2
d)
𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡; 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 para t = 6
𝜋
2) Encuentra una ecuación de la recta tangente a la curva 𝑥 = 2𝑡 + 4; 𝑦 = 𝑡 2 + 𝑙𝑛 𝑡 en el
punto correspondiente al valor de t = 1
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
33
_________________________________________________________________________
3) Una curva C tiene ecuaciones paramétricas 𝑥 = 𝑡 2 ; 𝑦 = 𝑡 3 + 1. En qué punto sobre C
está la recta tangente dada por 𝑦 + 3𝑥 − 5 = 0
4) Determina los puntos sobre la curva dada en los cuales la recta tangente es horizontal o
vertical.
a) 𝑥 = 𝑡 3 − 𝑡; 𝑦 = 𝑡 2
b) 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡; 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 3𝑡; 0 ≤ t ≤ 2𝜋
5) Dada la curva 𝑥 =
1 3
𝑡
8
+ 1; 𝑦 = 𝑡 2 − 2𝑡, determina los puntos de tangencia horizontal
y vertical si los hay, así como los intervalos en los que la curva es cóncava hacia arriba y
hacia abajo.
2.4
ÁREA Y LONGITUD DE ARCO.
Recordemos que para hallar el área bajo la curva formada por una función 𝑓(𝑥)
continua, positiva y limitada entre las rectas 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏, el eje 𝑥 y además 𝑓(𝑥) derivable
en el intervalo [𝑎 , b], hacemos uso de la fórmula de la integral definida mediante el Primer
𝑏
Teorema Fundamental del Cálculo ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥)|𝑏𝑎 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) , siendo F’(x) =
𝑓(𝑥) (ver figura 2.4.1)
Figura 2.4.1. Área bajo la curva y = f(x) en el intervalo [𝑎 , b].
Ejemplo 12. Área bajo una curva.
Halla el área bajo la curva de 𝑦 = 𝑥 2 en el intervalo [0,1]
Solución.
Dado que 𝑦 = 𝑥 2
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
34
_________________________________________________________________________
1
1
1
1
A=∫0 𝑥 2 𝑑𝑥 = 3 𝑥 3 |10 = 3 [13 − 03 ] = 3 , ver la siguiente figura.
Figura 2.4.2. Área bajo la curva de y =𝑥 2 en el intervalo [0,1].
Antes de entrar al tema de longitud de arco, hagamos un breve estudio de la curva
suave.

Definición de una Curva suave. Una curva C representada por 𝑥 = 𝑓(𝑡) y 𝑦 = 𝑔(𝑡)
en un intervalo I se dice que es suave si 𝑓′ y 𝑔′ son continuas en I y no son
simultáneamente cero, excepto posiblemente en los puntos terminales de I. La curva
C se dice que es suave a trozos si es suave en todo subintervalo de alguna partición
de I, (Larson et al., 2009).
Ejemplo 13. Verificación de curva suave.
Dadas las ecuaciones paramétricas 𝑥 = cos 𝜃 y 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛2 𝜃 en el intervalo
0 < 𝜃 < 𝜋 determina qué curva representan, su orientación y si es suave o no.
Solución.
Dado que 𝑥 = cos 𝜃 → 𝑥 2 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃
𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛2 𝜃 →
𝑦
2
𝑦
𝑦
= 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 ; así 𝑥 2 + 2 = 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃, o sea 𝑥 2 + 2 = 1 ↔
2𝑥 2 + 𝑦 = 2 ↔ 𝑦 = 2 − 2𝑥 2 ↔ 𝑦 = 2(1 − 𝑥 2 ), representa una parábola vertical que se
abre hacia abajo, subida 2 unidades sobre el eje y, para −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 [puesto que cos(0) = 1
y cos(𝜋) = −1], con orientación de derecha a izquierda (ver figura 2.4.3).
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
35
_________________________________________________________________________
𝑦 ′ = 4 𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜃, entonces 𝑟⃗ ′ (𝑡) =< −𝑠𝑒𝑛 𝜃, 4 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 >.
𝑥 ′ = − sen 𝜃,
Así
𝑟⃗ ′ (0) =< −𝑠𝑒𝑛 0, 4 𝑠𝑒𝑛 0 cos 0 > = < 0, 0 >, como es en un punto terminal, la curva es
suave.
Figura 2.4.3. Gráfica de la curva con ecuación rectangular
𝑦 = 2(1 − 𝑥 2 ) en −1 ≤ 𝑥 ≤ 1.
La longitud de arco.
Anteriormente se ha explicado cómo pueden emplearse las ecuaciones paramétricas para
describir la trayectoria de una partícula que se mueve en el plano. Enseguida se desarrollará
una fórmula para determinar la distancia recorrida por una partícula a lo largo de su
trayectoria.
La fórmula para hallar la longitud de arco de una curva C dada por 𝑦 = ℎ(𝑥) en el
𝑥
𝑥
0
0
𝑑𝑦 2
intervalo [𝑥0 , 𝑥1 ] es s =∫𝑥 1 √1 + [ℎ′(𝑥)]2 𝑑𝑥 = ∫𝑥 1 √1 + [𝑑𝑥 ] 𝑑𝑥
Si C está representada por las ecuaciones paramétricas 𝑥 = 𝑓(𝑡) y 𝑦 = 𝑔(𝑡), 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏
y si 𝑑𝑥⁄𝑑𝑡 = 𝑓 ′ (𝑡) > 0, se puede escribir.
2
𝑑𝑥 2
𝑑𝑦 2
𝑑𝑦
) + ( ) 𝑑𝑥
𝑥1
𝑥1
𝑏 (
⁄
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑡) 𝑑𝑥 = ∫ √ 𝑑𝑡
𝑠 = ∫ √1 + ( ) 𝑑𝑥 = ∫ √1 + (
𝑑𝑡
2
𝑑𝑥⁄
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑥0
𝑥0
𝑎
𝑑𝑡
( )
𝑑𝑡
2
2
2
𝑏
𝑏
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑠 = ∫𝑎 √( 𝑑𝑡 ) + ( 𝑑𝑡 ) 𝑑𝑡 = ∫𝑎 √[𝑓′(𝑡)]2 + [𝑔′(𝑡)]2 𝑑𝑡
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
36
_________________________________________________________________________
Teorema 2.4.1. Longitud de arco en forma paramétrica.
Si una curva suave C está dada por 𝑥 = 𝑓(𝑡) y 𝑦 = 𝑔(𝑡) y C no se corta a sí misma en
el intervalo 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 (excepto quizá en los puntos terminales), entonces la longitud de
arco de C en ese intervalo está definida por:
𝑏
𝑠 = ∫ √(
𝑎
𝑏
𝑑𝑥 2
𝑑𝑦 2
) + ( ) 𝑑𝑡 = ∫ √[𝑓′(𝑡)]2 + [𝑔′(𝑡)]2 𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑎
En forma vectorial donde C está dada por la ecuación.
𝑟⃗(𝑡) = 𝑓(𝑡)𝑖⃗ + 𝑔(𝑡)𝑗⃗ = 𝑥(𝑡)𝑖⃗ + 𝑦(𝑡)𝑗⃗, se puede expresar esta longitud de arco como:
𝒃
𝑠 = ∫𝒂 ‖𝑟 ′ (𝑡)‖𝑑𝑡La ecuación de la curva en forma vectorial está dada por 𝑟⃗(𝑡) = 𝑓(𝑡)𝑖⃗ +
𝑑𝑠
𝑔(𝑡)𝑗⃗ = 𝑥(𝑡)𝑖⃗ + 𝑦(𝑡)𝑗⃗ y la rapidez se define como s’(t) = ‖𝑣⃗(𝑡)‖, es decir 𝑑𝑡 = ‖𝑣⃗(𝑡)‖,
entonces también se puede encontrar la longitud de arco mediante:
𝒕
𝒕
𝟎
𝟎
ds = ‖𝑣⃗(𝑡)‖𝑑𝑡 → ∫ 𝑑𝑠 = ∫𝒕 𝟏‖𝑣⃗(𝑡)‖𝑑𝑡 → 𝑠 = ∫𝒕 𝟏 ‖𝑣⃗(𝑡)‖𝑑𝑡
La fórmula vectorial para la longitud de arco de una curva plana tiene una extensión
natural a una curva suave en el espacio, como se establece en el siguiente teorema.
Teorema 2.4.2. Longitud de arco de una curva en el espacio
⃗⃗ , en un intervalo,
Si C es una curva suave dada por 𝑟⃗(𝑡) = 𝑥(𝑡)𝑖⃗ + 𝑦(𝑡)𝑗⃗ + 𝑧(𝑡)𝑘
[𝑎, 𝑏], entonces la longitud de arco de C en el intervalo es:
𝑏
𝒃
𝑠 = ∫𝑎 √[𝑥′(𝑡)]2 + [𝑦′(𝑡)]2 + [𝑧′(𝑡)]2 𝑑𝑡 = ∫𝒂 ‖𝑟 ′ (𝑡)‖𝑑𝑡
Ejemplo 14. Calcular la longitud de arco.
Halla la longitud de arco para la curva con ecuaciones paramétricas:
𝑥 = 𝑒 −𝑡 cos 𝑡; 𝑦 = 𝑒 −𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 en el intervalo 0 ≤ 𝑡 ≤
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
𝜋
2
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
37
_________________________________________________________________________
Solución.
𝑑𝑥
= 𝑥 ′ = 𝑒 −𝑡 (−𝑠𝑒𝑛 𝑡) − 𝑒 −𝑡 cos 𝑡 = −𝑒 −𝑡 (𝑠𝑒𝑛 𝑡 + cos 𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑦
= 𝑦 ′ = 𝑒 −𝑡 (𝑐𝑜𝑠 𝑡) − 𝑒 −𝑡 sen 𝑡 = 𝑒 −𝑡 (𝑐𝑜𝑠 𝑡 − sen 𝑡)
𝑑𝑡
𝜋⁄
2 √𝑒 −2𝑡 (𝑠𝑒𝑛2 𝑡
𝑠 = ∫0
𝜋⁄
2
𝑠 = ∫0
+ 2𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡) + 𝑒 −2𝑡 (𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 − 2𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑡) d𝑡
𝜋⁄
2 𝑒 −𝑡
√2 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 = √2 (−1) ∫0
−𝜋
⁄
(−𝑑𝑡) = −√2 [𝑒 −𝑡 ]𝜋 2=−√2[𝑒 ⁄2 − 𝑒 0 ] =
0
𝑠 = −√2 [𝑒
−𝜋⁄
2
− 1]
Ejercicios propuestos de la sección 2.4
1) Encuentra la longitud de la curva dada, en el intervalo indicado
a) 𝑥 =
5 3
𝑡
3
+ 2; 𝑦 = 4𝑡 3 + 6 en 0 ≤ t ≤ 2
b) 𝑥 = 𝑒 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡; 𝑦 = 𝑒 𝑡 cos 𝑡 en el intervalo 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋
2) Utiliza una computadora para trazar la gráfica de la curva con ecuaciones paramétricas
𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑡; 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 3𝑡; 𝑧 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡. Halla la longitud total de su curva aproximada con
cuatro decimales.
3) Determina toda diferencia entre las curvas de las ecuaciones paramétricas siguientes,
¿son iguales las gráficas?, son iguales las orientaciones?, ¿son suaves las curvas?
a) 𝑥 = 𝑡, 𝑦 = 2 𝑡 + 1
b) 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃, 𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 1
c) 𝑥 = 𝑒 −𝑡 , 𝑦 = 2𝑒 −𝑡 + 1
d) 𝑥 = 𝑒 𝑡 , 𝑦 = 2𝑒 𝑡 + 1
¿Son iguales las gráficas?, son iguales las orientaciones?, ¿son suaves las curvas?
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
38
_________________________________________________________________________
2.5
CURVAS PLANAS Y GRAFICACIÓN EN COORDENADAS POLARES.
En la sección 2.1 se dio inicio al proceso para la graficación de curvas planas, ahora
se verá el procedimiento para graficar curvas planas incluyendo el uso de coordenadas
polares.
Para formar el Sistema de Coordenadas Polares en el plano, se fija un punto O llamado
Polo u Origen y a partir de O, se traza un rayo inicial llamado Eje Polar, la distancia 𝑂𝑃 =
𝑟 se llama distancia dirigida, 𝜃 es el ángulo dirigido, medido a partir del eje polar hasta r en
sentido antihorario cuando es positivo y en sentido horario en caso de ser negativo, como se
muestra en la figura 2.5.1, que se presenta a continuación, (Larson et al., 2009).
Figura 2.5.1. Sistema de coordenadas polares.
Las coordenadas del Polo son O (0, 𝜃), donde 𝜃 puede ser cualquier ángulo. En
coordenadas rectangulares cada punto (𝑥, 𝑦) tiene una representación única. Esto no sucede
en coordenadas polares. Por ejemplo (r, 𝜃) y (r, 2𝜋 + 𝜃) representan el mismo punto
Como r es una distancia dirigida, las coordenadas (r, 𝜃) y (-r, 𝜃 + 𝜋) representan el
mismo punto (ver inciso c de la figura 2.5.2).
En General, el punto (r, 𝜃) = (r, θ + 2nπ) ó (r, 𝜃) = (−r, θ + [2n + 1]π), donde n ∈
Z, n pertenece al conjunto de los números enteros.
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
39
_________________________________________________________________________
Figura 2.5.2. Ejemplos de las gráficas de distintos puntos en Coordenadas Polares.
Cómo graficar puntos en coordenadas polares.
Es recomendable iniciar con la ubicación del ángulo, en una retícula de
circunferencias concéntricas cortadas por rectas radiales que pasan por el polo, en dichas
rectas radiales, se ubicará el punto dependiendo del signo de la distancia dirigida, es decir, si
r es positiva el punto se ubicará directamente en la recta radial que funge como lado terminal
del ángulo y si es r negativa, primero se identifica el ángulo y luego se ubica el punto en el
extremo opuesto de la recta radial que funge como lado terminal del ángulo como se muestra
en el inciso c del ejemplo 15.
Ejemplo 15. Gráfica de puntos en coordenadas polares.
𝜋
Graficar los puntos: a) P (4, 6 )
b) Q (2,
−𝜋
4
)
c) R (-2,
3𝜋
4
)
Solución.
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
40
_________________________________________________________________________
Para poder realizar los cambios de un sistema rectangular a polar o viceversa, es
necesario establecer una relación entre coordenadas polares y rectangulares haciendo
coincidir el eje polar con el eje x positivo y el polo con el origen, como puede apreciarse en
la figura 2.5.3
Figura 2.5.3. Relación entre las Coordenadas Rectangulares y Polares de un punto.
Puesto que (x, y) se encuentra en un círculo de radio r, se tiene que 𝑟 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 .
Para r > 0, la definición de las funciones trigonométricas implica que
𝑦
𝑥
tan 𝜃 = 𝑥 , cos 𝜃 = 𝑟
y
𝑦
sen 𝜃 = 𝑟 ; si r < 0, estas relaciones son válidas.
Transformación o cambio de coordenadas.
Las coordenadas polares (𝑟, 𝜃) de un punto están relacionadas con las coordenadas
rectangulares (𝑥, 𝑦) de ese punto como sigue:
De polar a rectangular
De rectangular a polar
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃
tan 𝜃 = 𝑥 → 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 (𝑥 )
𝑦 = 𝑟 sen 𝜃
𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2
𝑦
𝑦
Ejemplo 16. Transformación de coordenadas de un punto.
𝜋
Dado el punto (r, 𝜃) = (2, 6 ), halla las coordenadas rectangulares.
Solución.
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
41
_________________________________________________________________________
𝜋
√3
𝜋
1
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 → 𝑥 = 2 cos 6 = 2 ( 2 ) = √3
𝜋
𝑦 = 𝑟 sen 𝜃 → 𝑦 = 2 sen 6 = 2 (2) = 1 ∴ (r, 𝜃) = (2, 6 ) = (𝑥, 𝑦) = (√3, 1)
𝜋
Figura 2.5.4.Gráfica del punto (r, 𝜃) = (2, ).
6
Ejemplo 17. Transformación de coordenadas de un punto.
Dado el punto del segundo cuadrante (𝑥, 𝑦) = (-1,1), halla las coordenadas polares del mismo.
Solución.
𝑦
1
Como el punto está ubicado en el segundo cuadrante (𝑥, 𝑦) = (-1, 1) → tan 𝜃 = 𝑥 = −1 =
−1 → 𝜃 =
3𝜋
4
y como 𝜃 se eligió en el mismo cuadrante que (𝑥, 𝑦), se debe usar un valor
positivo para 𝑟, así 𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2 = √(−1)2 + 12 = √2, en base a lo ya expuesto, un
conjunto de coordenadas polares (𝑟, 𝜃) = (√2,
3𝜋
4
), puesto que la representación polar de
ese punto admite las coordenadas tales como (−√2,
7𝜋
4
)
Figura 2.5.5.Coordenadas polares del punto (−1, 1).
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
42
_________________________________________________________________________
Para transformar ecuaciones rectangulares a polares y viceversa, se utilizan las
ecuaciones de equivalencia establecidas en el rubro de transformación o cambio de
coordenadas, como veremos en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 18. Ecuación rectangular en ecuación polar.
Halla la ecuación polar que tenga la misma gráfica que la ecuación de la elipse
3𝑥 2 + 𝑦 2 = 6𝑥
Solución.
Para resolver este ejercicio tomamos las ecuaciones de equivalencia: 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃,
𝑦 = 𝑟 sen 𝜃, 𝑟 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 y las sustituimos en la ecuación dada, así 3𝑥 2 + 𝑦 2 = 6𝑥 →
3 𝑟 2 (cos 𝜃)2 + 𝑟 2 (sen 𝜃)2 = 6 𝑟 cos 𝜃 ↔
3(𝑟 cos 𝜃)2 + (𝑟 sen 𝜃)2 = 6 (𝑟 cos 𝜃) ↔
3𝑟 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 + 𝑟 2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 = 6 𝑟 cos 𝜃 ↔ 𝑟 2 (3𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2 𝜃) = 6 𝑟 cos 𝜃
↔ 𝑟 2 (3𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 + 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃) = 6 𝑟 cos 𝜃 ↔ 𝑟 2 (2𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 + 1) = 6 𝑟 cos 𝜃
Ejemplo 19. Ecuación polar a rectangular.
Halla una ecuación rectangular que tenga la misma gráfica que la ecuación polar 𝑟 = 6 𝑐𝑜𝑠𝜃
Solución.
Como 𝑟 = 6 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 cos 𝜃 =
𝑟=6
𝑥
𝑟
al sustituir el cos 𝜃 en la ecuación inicial tenemos
𝑥
→ 𝑟 2 = 6𝑥 ↔ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 6𝑥 ↔ 𝑥 2 − 6𝑥 + 𝑦 2 = 0
𝑟
↔ (𝑥 2 − 6𝑥 + 9) + 𝑦 2 = 9 ↔ (𝑥 − 3)2 + 𝑦 2 = 9, circunferencia con C (3, 0) y radio 3
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
43
_________________________________________________________________________
Gráficas de ecuaciones polares.
La gráfica de una ecuación polar 𝑟 = 𝑓(𝜃) afirman Zill, D., et al. (2011) que es el
conjunto de puntos P con al menos un conjunto de coordenadas polares que satisfacen la
ecuación, muchas de las gráficas en coordenadas polares reciben nombres especiales.
Se facilita la graficación al sobreponer el sistema de coordenadas rectangulares en el
sistema de coordenadas polares.
Es importante considerar para el trazo de la gráfica de una ecuación polar, además de
los puntos a trazar, la simetría de aquella, cuyas reglas se presentan a continuación.
Pruebas de simetría de la gráfica de una ecuación polar.
La gráfica de una ecuación polar es simétrica respecto:

Al eje 𝑦 si al sustituir (𝑟, 𝜃) por (𝑟, 𝜋 − 𝜃) resulta la misma ecuación

Al eje 𝑥 si al sustituir (𝑟, 𝜃) por (𝑟, −𝜃) resulta la misma ecuación

Al origen si al sustituir (𝑟, 𝜃) por (−𝑟, 𝜃) resulta la misma ecuación (ver figura 2.5.6).
Como en coordenadas polares la descripción de un punto no es única, la gráfica de
una ecuación polar aún debe tener un tipo particular de simetría, incluso cuando es posible
que falle la prueba para la misma. Por ejemplo, si al sustituir (𝑟, 𝜃) por (𝑟, −𝜃) no se produce
la ecuación polar original, la gráfica de esa ecuación debe seguir teniendo simetría con
respecto al eje 𝑥. Por lo tanto, si una de las pruebas anteriores no produce la misma ecuación
polar, lo mejor que podemos afirmar es “no hay conclusión”.
Recordemos que para hallar los puntos de intersección (𝑥, 𝑦) entre dos gráficas en
coordenadas rectangulares, procedemos igualando los valores de 𝑦: 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) y la
solución real de la ecuación nos daría todos los valores de 𝑥 correspondientes a los puntos de
intersección, en el sistema polar se puede proceder de manera similar, pero pueden surgir
problemas debido a que un punto no tiene una representación única.
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
44
_________________________________________________________________________
Figura 2.5.6. Simetrías de una gráfica polar. Fuente: Zill, D., et al., (2011).
Ejemplo 20. Gráfica de una curva polar.
¿Cuál es la curva que representa la ecuación polar 𝑟 = 4?
Solución.
La curva consta de todos los puntos (𝑟, 𝜃) que tienen 𝑟 = 4. Dado que r denota la distancia
del punto al polo, la curva r = 4 se refiere al círculo cuyo centro es O y su radio es 4. El
ángulo 𝜃 puede tomar cualquier valor en los puntos con dicha medida del radio, puesto que
como se ha mencionado, se trata de un círculo con radio igual a 4. En forma genérica una
ecuación polar r = a, siendo a constante y 𝑎 ≠ 0 representa un círculo de radio |𝑎| con centro
en el origen, como puede notarse en la figura 2.5.7.
Figura 2.5.7 Gráfica de la curva polar r = 4
Ejemplo 21. Gráfica de una curva polar.
Traza la gráfica de la curva cuya ecuación polar es 𝜃 =
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
𝜋
6
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
45
_________________________________________________________________________
Solución.
𝜋
Esta curva consta de todos los puntos (r, 𝜃) tales que el ángulo polar 𝜃 𝑒𝑠 6 . Es la recta que
pasa por el origen O y forma un ángulo de
𝜋
6
radianes con el eje polar. Observa en la figura
𝜋
2.5.8, que se presenta a continuación que los puntos (r, 6 ) sobre la recta cuando r > 0, están
en el primer cuadrante, mientras que aquellos con r < 0, se hallan en el tercer cuadrante.
Figura 2.5.8. Gráfica de la curva con ecuación polar 𝜃 =
𝜋
6
Ejemplo 22. Gráfica de una curva polar.
Grafica la curva cuya ecuación polar es 𝑟 = 1 + 𝑠𝑒𝑛 𝜃
Solución.
Primero interpretaremos la curva en coordenadas rectangulares para facilitar el trazo, en lugar
de sustituir valores en la ecuación polar. Recordemos que la curva es senoidal desplazada
una unidad hacia arriba, con esto podemos obtener los valores de r que corresponden a los
valores crecientes de 𝜃
Figura 2.5.9. Grafica la curva con ecuación polar r = 1+ sen 𝜃. Fuente: Stewart, J., (2002).
En la figura 2.5.10 se puede observar que cuando 𝜃 crece de 0 a
𝜋
2
, 𝑟 que es la
𝜋
distancia al 0rigen, pasa de 1 a 2. Cuando 𝜃 se incrementa de 2 a 𝜋, 𝑟 disminuye de 2 a 1, así
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
46
_________________________________________________________________________
al trazar la parte correspondiente cuando 𝜃 aumenta de 𝜋 a
finalmente cuando 𝜃 aumenta de
3𝜋
2
3𝜋
2
, 𝑟 disminuye de 1 a 0;
a 2𝜋 , 𝑟 pasa de 0 a 1. Si incrementamos 𝜃 más de 2𝜋 o
lo hacemos menor que 0, solamente retrazaremos la trayectoria.
Al armar las partes de la curva y trazar la curva completa, a ésta se le da el nombre
de cardioide por tener la forma de un corazón.
Figura 2.5.10. Etapas del trazo de la cardiode r = 1+ sen 𝜃. Fuente: Stewart, J., (2002).
Ejercicios propuestos de la sección 2.5
1) Grafica el punto cuyas coordenadas polares se dan en cada ejercicio. Después determina
otros dos pares de coordenadas polares que corresponden a ese punto, uno con r > 0 y el otro
con r < 0
𝜋
a)
(1, 2 )
b)
(-2, 4 )
𝜋
2) Halla las coordenadas cartesianas de los puntos.
a)
(2,
2𝜋
3
)
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
47
_________________________________________________________________________
b)
(-2,
−5𝜋
6
)
3) Halla una ecuación cartesiana de la curva descrita por la ecuación polar dada.
a)
𝑟 2 = 𝑠𝑒𝑛 2𝜃
b)
𝑟=
1
(1+2 𝑠𝑒𝑛 𝜃)
4) Encuentra una ecuación polar que tenga la misma gráfica que la ecuación rectangular dada.
a)
𝑦 2 = −4𝑥 + 4
b)
𝑥2 − 𝑦2 = 1
5) Investiga e identifica por nombre la gráfica de la ecuación polar dada. Después traza la
gráfica de la ecuación.
a)
𝑟 = 4 – 3 𝑠𝑒𝑛 𝜃
b)
r = 4 cos 4𝜃
2.6
CÁLCULO EN COORDENADAS POLARES.
Pendiente de una tangente a una gráfica polar.
Zill, D., et al. (2011) comentan que sorprende que la pendiente de la recta tangente a
la gráfica de una ecuación polar 𝑟 = 𝑓(𝜃) no sea la derivada
La pendiente de una recta es
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑟
𝑑𝜃
= 𝑓′(𝜃).
, para obtenerla en un punto (𝑟, 𝜃) de la gráfica de
una curva 𝑟 = 𝑓(𝜃), en la que 𝑓 es una función diferenciable de 𝜃, se requiere utilizar las
relaciones 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 con sus respectivas derivadas, es decir:
𝑟 = 𝑓(𝜃), 𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 → 𝑥 = 𝑓(𝜃)𝑐𝑜𝑠𝜃 → 𝑑𝑥⁄𝑑𝜃 = 𝑓(𝜃)(−𝑠𝑒𝑛𝜃) + 𝑓′(𝜃)𝑐𝑜𝑠𝜃, además
𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜃 → 𝑦 = 𝑓(𝜃)𝑠𝑒𝑛𝜃 →
𝑑𝑦⁄
𝑑𝜃 = 𝑓(𝜃)(𝑐𝑜𝑠𝜃) + 𝑓′(𝜃)𝑠𝑒𝑛𝜃,
al
sustituir
las
𝑑𝑦
anteriores derivadas en la fórmula de derivación paramétrica 𝑑𝑥 se obiene:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦⁄
𝑑𝜃
⁄𝑑𝜃
= 𝑑𝑥
𝑓(𝜃)𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑓′(𝜃)𝑠𝑒𝑛𝜃
= −𝑓(𝜃)𝑠𝑒𝑛𝜃+𝑓′(𝜃)𝑐𝑜𝑠𝜃 , siempre que 𝑑𝑥⁄𝑑𝜃 ≠ 0
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
48
_________________________________________________________________________
Ejemplo 23. Pendiente de la tangente a una curva polar.
𝜋
Halla la pendiente de la recta tangente a la gráfica de r = 4 sen3𝜃 en 6
Solución.
Como 𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 → 𝑥 = 4 sen3𝜃 cosθ y 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 → 𝑦 = 4 sen3𝜃 senθ , entonces
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦⁄
𝑑𝜃
⁄𝑑𝜃
= 𝑑𝑥
derivadas
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
|
𝑑𝑥
𝑑𝑦⁄
𝑑𝑥
𝑑𝜃 y ⁄𝑑𝜃, tenemos:
𝑑𝑦⁄
𝑑𝜃
𝑑𝑥⁄
𝑑𝜃
𝑑𝑦
𝜃=
𝑓(𝜃)𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑓′(𝜃)𝑠𝑒𝑛𝜃
= −𝑓(𝜃)𝑠𝑒𝑛𝜃+𝑓′(𝜃)𝑐𝑜𝑠𝜃, al sustituir en la fórmula de derivación paramétrica las
4 𝑠𝑒𝑛 3𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃+12 cos 3𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
= −4 𝑠𝑒𝑛 3𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃+12 cos 3𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃, por lo tanto
4 𝑠𝑒𝑛 3(𝜋⁄ ) 𝑐𝑜𝑠(𝜋⁄ )+12 cos 3(𝜋⁄6)𝑠𝑒𝑛(𝜋⁄6)
⁄6
⁄6)+12 cos 3(𝜋⁄6)𝑐𝑜𝑠(𝜋⁄6)
6
6
𝜋 =−4 𝑠𝑒𝑛 3(𝜋 ) 𝑠𝑒𝑛(𝜋
6
=
4(1 )(√3⁄2 )+0
−4(1)(1⁄2 )+0
= −√3
Ejemplo 24. Tangente de polar a rectangular.
Halla una ecuación rectangular de la recta tangente a la gráfica del ejemplo 23.
Solución.
𝜋
Si 𝜃= 6 las ecuaciones paramétricas 𝑥 = 4 sen3𝜃 cosθ y 𝑦 = 4 sen3𝜃 senθ producen
respectivamente: 𝑥 = 2√3 y 𝑦 = 2. Las coordenadas rectangulares del punto de tangencia
son (2√3 ,2). Al sustituir el valor de la pendiente hallada en el ejemplo 23 y las coordenadas
del punto de tangencia en la ecuación de la recta punto- pendiente, obtenemos la ecuación de
la recta tangente a la curva como se ilustra en la figura 2.6.1
𝑦 − 𝑦1 = 𝑓′(𝑥)(𝑥 − 𝑥1 )
𝑦 − 2 = −√3(𝑥 − 2√3) ↔ 𝑦 = −√3 𝑥 + 8
Nota. Si sustituimos las relaciones 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 y 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃, en la ecuación rectangular de
la recta encontrada, obtenemos una ecuación polar de la misma, esto es
𝑦 = −√3 𝑥 + 8, entonces
𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = −√3(𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃) + 8 ↔ 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + √3(𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃) = 8
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
49
_________________________________________________________________________
8
↔ 𝑟( 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + √3 cos 𝜃) = 8 ↔ 𝑟 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃+√3 cos 𝜃
Figura 2.6.1. Recta tangente a la gráfica de r = 4 sen3𝜃 en
𝜋
6
Áreas y longitudes en coordenadas polares.
Para encontrar el área de una región cuyo contorno está determinado por una ecuación
1
polar, se necesita aplicar la fórmula de un sector circular A = 2 𝑟 2 𝜃, en la cual como se aprecia
en la figura 2.6.2, 𝑟 es el radio y 𝜃 la medida en radianes, del ángulo central.
Esta fórmula se puede demostrar, considerando que el área de un sector circular es
𝜃
1
proporcional a su ángulo central, de modo que A = (2𝜋) 𝜋𝑟 2 = 2 𝑟 2 𝜃, (Stewart, J., 2002).
Figura 2.6.2. Área de un sector circular. Fuente: Stewart, J., (2002).
Demostración. Sea R la región que aparece en la figura 2.6.3 a, limitada por la curva
con ecuación polar r = 𝑓(𝜃) y los rayos 𝜃 = 𝑎 y 𝜃 = 𝑏, siendo 𝑓 una función positiva y
continua, y 0 < 𝑏 − 𝑎 ≤ 2𝜋. Dividimos el intervalo [𝑎, 𝑏] en subintervalos con extremos
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
50
_________________________________________________________________________
𝜃0 , 𝜃1 , 𝜃2 , … 𝜃𝑛 y la misma longitud ∆𝜃, como puede apreciarse en el inciso b de la figura
2.6.3
Los rayos 𝜃 = 𝜃𝑖 dividen entonces R en n regiones más pequeñas con ángulo central
∆𝜃 = 𝜃𝑖 − 𝜃𝑖−1 . Si elegimos 𝜃𝑖∗ en el i-ésimo subintervalo [𝜃𝑖 − 𝜃𝑖−1 ], entonces el área ∆𝐴𝑖
de la región i-ésima se aproxima al área del sector circular con ángulo central ∆𝜃 y radio
1
𝑓(𝜃𝑖∗ ). Así ∆𝐴𝑖 ≈ 2 [𝑓(𝜃𝑖∗ )]2 ∆𝜃
1
Una aproximación al área total es 𝐴 ≈ ∑𝑛𝑖=1 2 [𝑓(𝜃𝑖∗ )]2 ∆𝜃
Retomando el concepto de aproximación de la Suma de Riemann, cuando n → ∞,
𝑏1
1
tenemos que 𝐴 = lim ∑𝑛𝑖=1 2 [𝑓(𝜃𝑖∗ )]2 ∆𝜃 = ∫𝑎 2 [𝑓(𝜃)]2 𝑑𝜃, aunque frecuentemente la
n →∞
𝑏1
fórmula se escribe: 𝐴 = ∫𝑎 2 𝑟 2 𝑑𝜃, donde 𝑟 = 𝑓(𝜃). Claramente puede notarse que el área
está barrida (formada) por un rayo giratorio que sale de O, el cual inicia con un ángulo a y
termina con el ángulo b.
Figura 2.6.3. Cálculo del Área de un sector circular mediante la suma de Riemann.
Fuente: Stewart, J., (2002).
Ejemplo 25. Área de una curva polar.
Calcula el área encerrada por uno de los 4 pétalos de rosa de la curva 𝑟 = 𝑐𝑜𝑠 2𝜃
Solución.
En la figura 2.6.4, la región encerrada por el pétalo derecho que está barrido por un rayo que
gira desde 𝜃 =
−𝜋
4
(segmento f) hasta 𝜃 =
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
𝜋
4
(segmento g) nos proporciona el área:
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
51
_________________________________________________________________________
𝜋
4
𝜋
𝜋
𝜋
4 1
4 1
4 1
1 2
𝐴=∫
𝑟 𝑑𝜃 = ∫
𝑐𝑜𝑠 2 2𝜃𝑑𝜃 = 2 ∫
𝑐𝑜𝑠 2 2𝜃𝑑𝜃 = ∫
(1 + 𝑐𝑜𝑠4𝜃)𝑑𝜃
−𝜋 2
−𝜋 2
0 2
0 2
4
4
1
𝜋
4
1
1
𝜋
1
𝜋
1
𝐴 = 2 [𝜃 + 4 𝑠𝑒𝑛4𝜃] = 2 [(4 + 4 𝑠𝑒𝑛4( 4 )) − (0 + 4 𝑠𝑒𝑛4(0))]
0
1
𝜋
1
𝐴 = 2 [(4 + 4 𝑠𝑒𝑛 𝜋)) − (0)] =
𝜋
8
Figura 2.6.4. Gráfica la curva r = cos 2𝜃
Ejemplo 26. Área de una región.
Calcula el área de la región interna a ambas curvas: 𝑟 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃, 𝑟 = cos 𝜃
Solución.
Para poder visualizar claramente el problema, se convierten ambas ecuaciones polares a
rectangulares, es decir: si 𝑟 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 → 𝑟 =
1
𝑦
𝑟
→ 𝑟2 = 𝑦 → 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑦 = 0
1 2
1
1
→ 𝑥 2 + (𝑦 2 − 𝑦 + 4) = 4 → 𝑥 2 + (𝑦 − 2) = 4, representa una circunferencia con
1
1
centro en C (0, 2) y radio = 2
𝑥
1
1
Si 𝑟 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 → 𝑟 = 𝑟 → 𝑟 2 = 𝑥 → 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑥 → (𝑥 2 − 𝑥 + 4) + 𝑦 2 = 4
1 2
1
1
→ (𝑥 − 2) + 𝑦 2 = 4 representa también una circunferencia con C ( 2 , 0) y radio =
1
2
Para hallar el área interna es importante encontrar los puntos de intersección de las 2
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
52
_________________________________________________________________________
curvas igualando las dos ecuaciones paramétricas, así: 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 ↔
𝑡𝑔 𝜃 = 1 ↔ 𝑡𝑔−1 (1) = 𝜃 ↔ θ =
π
4
ó
θ=
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
=1↔
5π
4
En la siguiente figura se puede notar que las 2 circunferencias tienen sus regiones
internas en el primer cuadrante. Ambas se trazaron como ecuaciones polares en el intervalo
0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋. La escala de los ejes está en decimales. Como la región interna de ambas
ocurre en el primer cuadrante, solamente utilizaremos como límite de la integral para hallar
el área a θ =
π
4
, sin considerar θ =
5π
4
puesto que se requieren radios positivos. Aunque en
la figura se ve la intersección en el Origen, éste no se pudo determinar en la igualación de las
ecuaciones polares de las curvas porque el origen no posee una representación en
coordenadas polares que satisfaga ambas ecuaciones. Observa que si el origen se representa
por (0,0), satisface a 𝑟 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃 no ocurre así con 𝑟 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃 puesto que para satisfacer
π
a 𝑟 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃 tendría que ocurrir con (0, 2 ) ó (0,
3π
2
)
En la siguiente figura 2.6.6, retomando que el área interna ocurre en el primer
cuadrante, se puede notar que la región interna entre ambas funciones trigonométricas ocurre
en el intervalo 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋/2. En el subintervalo 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋/4 solamente aparece la región
interna de la función 𝑠𝑒𝑛 𝑥, la cual “crece” y en el subintervalo 𝜋/4 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋/2 aparece la
región interna de la función 𝑐𝑜𝑠 𝑥 la cual “decrece”, por lo que para hallar el área interna
entre ambas, hay que considerar la suma de 2 integrales.
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
53
_________________________________________________________________________
Figura 2.6.6. Gráfica de la intersección de las funciones sen x y cos x
𝑏1
Dado que 𝐴 = ∫𝑎 2 𝑟 2 𝑑𝜃, entonces para halla el área interna tenemos:
𝜋⁄
4
1
𝐴= ∫
2 0
𝜋
1 ⁄2
(𝑠𝑒𝑛𝜃) 𝑑𝜃 + ∫ (𝑐𝑜𝑠𝜃)2 𝑑𝜃 =
2 𝜋⁄
2
4
𝜋⁄
4
1
𝐴= ∫
4 0
𝜋⁄
4
1
𝐴= ∫
4 0
𝜋
1 ⁄2
(1 − cos 2𝜃) 𝑑𝜃 + ∫ (1 + cos 2𝜃) 𝑑𝜃 =
4 𝜋⁄
4
𝜋⁄
4
1
𝑑𝜃 − ∫
4 0
𝜋
𝜋
1 ⁄2
1 ⁄2
(cos 2𝜃) 𝑑𝜃 + ∫ 𝑑𝜃 + ∫ (cos 2𝜃) 𝑑𝜃
4 𝜋⁄
4 𝜋⁄
4
4
𝐴=
𝜋⁄
𝜋⁄
1 𝜋⁄4
1
1 𝜋⁄
1
𝜃]0 − 𝑠𝑒𝑛 2𝜃]0 4 + 𝜃]𝜋⁄2 + 𝑠𝑒𝑛 2𝜃]𝜋⁄2
4
8
4
4
8
4
𝐴=
1 𝜋
1
𝜋
1
1
𝜋
𝜋
[ ⁄4] − [𝑠𝑒𝑛 (2 ( )) − 0] + [𝜋⁄2 − 𝜋⁄4] + [𝑠𝑒𝑛 (2 ( )) − 𝑠𝑒𝑛 (2 ( ))]
4
8
4
4
8
2
4
𝐴=
𝜋 1
𝜋 1
2𝜋 2 𝜋 1 𝜋 − 2
− (1) +
+ (0 − 1) =
− = − =
16 8
16 8
16 8 8 4
8
Longitud de arco en coordenadas polares.
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
54
_________________________________________________________________________
Tomando como referencia los conceptos ya vistos al inicio de esta sección, se puede
entender que si 𝑟 = 𝑓(𝜃) es la ecuación de una curva C en coordenadas polares y si 𝑓 tiene
derivada continua, entonces las ecuaciones paramétricas: 𝑥 = 𝑓(𝜃) 𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑦 = 𝑓(𝜃) 𝑠𝑒𝑛𝜃,
para 𝛼 ≤ 𝜃 ≤ 𝛽, se pueden derivar directamente para hallar la longitud de arco en
coordenadas polares, esto es:
𝑑𝑥
= 𝑓´(𝜃)𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑓(𝜃)(−𝑠𝑒𝑛𝜃) = 𝑓´(𝜃)𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑓(𝜃)𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑑𝜃
𝑑𝑦
= 𝑓´(𝜃)𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑓(𝜃)𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑑𝜃
Elevando al cuadrado ambas ecuaciones y sumándolas tenemos:
𝑑𝑥 2
( ) = [𝑓´(𝜃)]2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 − 2𝑓 ′ (𝜃)𝑓(𝜃)𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 + [𝑓(𝜃)]2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃
𝑑𝜃
𝑑𝑦 2
(𝑑𝜃) = [𝑓´(𝜃)]2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + 2𝑓 ′ (𝜃)𝑓(𝜃)𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 + [𝑓(𝜃)]2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃, entonces
𝑑𝑥 2
𝑑𝑦 2
( ) + ( ) = [𝑓´(𝜃)]2 (𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃) + [𝑓(𝜃)]2 (𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃)
𝑑𝜃
𝑑𝜃
𝑑𝑥 2
𝑑𝑦 2
𝑑𝑟 2
2
2
2
( ) + ( ) = [𝑓(𝜃)] + [𝑓′(𝜃)] = 𝑟 + ( )
𝑑𝜃
𝑑𝜃
𝑑𝜃
Definición de longitud de arco para gráficas polares.
Sea 𝑓 una función para la cual 𝑓′ es continua sobre un intervalo [𝛼, 𝛽], entonces la
longitud L de la gráfica r = 𝑓(𝜃) sobre el intervalo es:
𝛽
L = ∫ √𝑟 2 + (
𝛼
𝑑𝑟 2
) 𝑑𝜃
𝑑𝜃
Ejemplo 27. Longitud de arco de una curva polar.
Determina la longitud de la cardioide r = 1 + cos 𝜃 para 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋
Solución.
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
55
_________________________________________________________________________
La gráfica de la cardioide r = 1 + cos 𝜃 para 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 se presenta a continuación en la
figura 2.6.7; la derivada
𝑑𝑟
𝑑𝜃
= − 𝑠𝑒𝑛𝜃; 𝑟 2 = (1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)2 = 1 + 2 cos 𝜃 + (𝑐𝑜𝑠𝜃)2 así que
al aplicar la fórmula para hallar L tenemos:
𝛽
L = ∫ √𝑟 2 + (
𝛼
𝑑𝑟 2
) 𝑑𝜃
𝑑𝜃
𝜋
L = ∫ √1 + 2 cos 𝜃 + (𝑐𝑜𝑠𝜃)2 + (−𝑠𝑒𝑛 𝜃)2 𝑑𝜃 =
0
𝜋
𝜋
𝐿 = ∫0 √2 cos 𝜃 + 1 + 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 𝑑𝜃 = ∫0 √2 + 2𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃, se factoriza y simplifica
𝜋
𝐿 = √2 ∫0 √1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 , se utiliza la fórmula del ángulo medio para la raíz del
𝜃
1
𝜃
integrando: 𝑐𝑜𝑠 2 ( 2 ) = 2 (1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃) → 1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 2 𝑐𝑜𝑠 2 ( 2), y se sustituye esta
ecuación en la integral para hallar 𝐿, luego entonces:
𝜋
𝐿 = √2 ∫
0
√2𝑐𝑜𝑠 2 (
𝜋
𝜃
𝜃
𝜃 𝜋
𝜋
) 𝑑𝜃 = 2 ∫ 𝑐𝑜𝑠 ( ) 𝑑𝜃 = 4 𝑠𝑒𝑛 ( )] = 4 𝑠𝑒𝑛 ( ) = 4
2
2
2 0
2
0
Figura 2.6.7. Gráfica de la cardioide r = 1 + cos 𝜃 para 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋
Es importante señalar que hay que considerar las propiedades de las curvas en
coordenadas polares como la simetría, para evitar cometer errores en el cálculo de áreas y de
longitudes. En el anterior ejemplo si hubieran pedido la longitud de toda la curva, al resultado
obtenido 4, se le multiplicaría por 2, por la simetría con respecto al eje 𝑥; si se utilizará la
fórmula de L con límites de la integral de 0 a 2 𝜋, no se obtendría el resultado correcto.
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
56
_________________________________________________________________________
Ejemplo 28. Longitud de arco de una curva polar.
Determina la longitud de la curva descrita por r = 5 cos 𝜃 para 0 ≤ 𝜃 ≤
3𝜋
4
Solución.
𝑟 = 5 cos 𝜃 → 𝑟 2 = 25 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃
𝑑𝑟
𝑑𝑟 2
= −5 𝑠𝑒𝑛 𝜃 → [ ] = 25 𝑠𝑒𝑛2 𝜃
𝑑𝜃
𝑑𝜃
𝛽
L = ∫ √𝑟 2 + (
𝛼
L=∫
3𝜋
4
𝑑𝑟 2
) 𝑑𝜃
𝑑𝜃
√25 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 + 25 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑑𝜃 = ∫
0
3𝜋
4
0
3𝜋
√25 𝑑𝜃 = 5𝜃|04 = 5 [
3𝜋
15𝜋
]=
4
4
Ejercicios propuestos de la sección 2.6
1) Encuentra la pendiente de la recta tangente en el valor indicado de 𝜃
1
a) 𝑟 = ; 𝜃 = 3
𝜃
b) 𝑟 = 4 − 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃; 𝜃 =
c) 𝑟 = 10 cos 𝜃 ; 𝜃 =
𝜋
3
𝜋
4
2) Determina los puntos sobre la gráfica de la ecuación dada en los cuales la recta tangente
es horizontal y los puntos en los que la recta tangente es vertical.
a) 𝑟 = 2 + 2 cos 𝜃
b) 𝑟 = 1 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃
3) Halla la ecuación rectangular de la recta tangente en el punto indicado.
a) 𝑟 = 4 cos 3𝜃 , el punto está en 𝑟 = −4
𝜋
b) 𝑟 = 1 + 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃, el punto está ubicado en 𝜃 = 3 .
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
57
_________________________________________________________________________
4) Encuentra la ecuación polar de cada recta tangente a la gráfica polar en el origen.
a) 𝑟 = 1 + √2 𝑠𝑒𝑛 𝜃
b) 𝑟 = 2 𝑐𝑜𝑠 5𝜃
5) Determina el área de la región descrita.
a) Fuera del círculo 𝑟 = 1 y dentro de la curva de la rosa 𝑟 = 2 𝑐𝑜𝑠 3 𝜃
b) Dentro de la cardiode 𝑟 = 4 − 4 𝑐𝑜𝑠 𝜃 y fuera del círculo 𝑟 = 6
6) Encuentra la longitud de la curva para los valores indicados de 𝜃
a) 𝑟 = 6 𝑐𝑜𝑠 𝜃, gráfica completa
b) 𝑟 = 𝜃, 0 ≤ 𝜃 ≤ 1
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
58
_________________________________________________________________________
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida
Cálculo Vectorial
59
_________________________________________________________________________
M.C. Teresita Yolanda Riegos Cámara
Instituto Tecnológico de Mérida