Calcolo del coefficiente convettivo mediante l’analisi dimensionale
Sappiamo che lo scambio convettivo è lo scambio tipico dei fluidi, ove è coinvolto un moto relativo
di materia. La formula per ricavare il flusso termico ottenibile da uno scambio convettivo prende il
nome di equazione di Newton:
Φ = α A (Tp − Tf )
(1)
ove Tp è la temperatura della parete, Tf è la temperatura del fluido che scambia calore con la parete,
mentre α è il coefficiente di scambio convettivo liminare. Il vero problema associato alla (1) è appunto
legato alla determinazione di α. Infatti, esso è un fattore che dipende da diversi e numerosi fattori,
quali:
• Proprietà termofisiche del fluido (ρ, c, λ, µ, . . . );
• Finitura superficiale della parete;
• Stato di moto del fluido (laminare o turbolento);
• Causa del flusso (naturale o forzato);
• Tipo di flusso (confinato o non confinato)
• Geometria del sistema.
La determinazione di α può avvenire secondo due vie principalmente:
• Mediante un modello matematico del fenomeno multifisico, basato su bilanci di energia e di
massa;
• Mediante l’analisi dimensionale delle grandezze fisiche coinvolte nel fenomeno che si sta
studiando, applicando un noto teorema.
Noi procederemo con questa seconda via, facendo riferimento al teorema di Buckingham, o teorema
del Π.
Dalla teoria della metrologia, sappiamo che:
• Ogni grandezza fisica è caratterizzata dall’avere una quantità ed una dimensione (quantità ed
unità di misura);
• In un sistema di misure coerente, come il S.I., ogni grandezza fisica può essere espressa, in
termini di dimensioni, usando un numero finito di [P] grandezze fondamentali;
• Qualunque equazione deve essere omogenea a livello dimensionale;
Detto ciò, introduciamo il teorema di Buckingham.
1
Teorema di Buckingham, o del Π
Sia dato un fenomeno fisico descrivibile mediante k grandezze fisiche, in una equazione del tipo:
F (x1 , x2 , x3 , ..., xk ) = 0.
Se si utilizza un sistema di unità di misure coerente descrivibile da [P] grandezze fondamentali, allora
la funzione di k grandezze può essere ridotta ad una nuova funzione φ, funzione di k − P grandezze,
che sono dei numeri adimensionali, secondo la nuova relazione:
φ(x1 , x2 , x3 , ..., xk−P ).
Il procedimento è suddivisibile in quattro step. Iniziamo a vederli.
Step primo: scelta delle grandezze
Individuazione delle k grandezze fondamentali, utili a descrivere il fenomeno della convenzione. Tali
grandezze sono poi da esprimersi in funzione delle P grandezze fondamentali scelte. Le grandezze
fondamentali che sceglieremo sono: Massa (M), tempo (T), temperatura (θ) e lunghezza (L).Le
grandezze fisiche scelti per la descrizione del fenomeno della convezione sono le seguenti:
2
m
−1 2 −1
L T ;
• cp , ovvero il calore specifico. cp = [ kgJK ] = [ skg
2 kg K ] = θ
2
kg m
1 −3 −1
• α, ovvero il coefficiente liminare. α = [ mW
θ ;
2 K ] = [ m 2 s3 K ] = M T
2
m
1 1 −3 −1
• λ, ovvero la conducibilità termica (del fluido!). λ = [ mWK ] = [ skg
θ ;
3 mK] = M L T
kg
1 −3
• ρ, ovvero la densità. ρ = [ m
;
3] = M L
• L , ovvero una generica lunghezza caratteristica associata alla convezione (diametro del tubo,
o lunghezza della parete).L = [m] = L1 ;
• w, ovvero la velocità media del fluido coinvolto nella convezione. w = [ ms ] = L1 T −1 ;
2
• ν, ovvero la viscosità cinematica. ν = [ ms ] = L2 T −1 .
Notiamo quindi che le grandezze fisiche utili a descrivere il fenomeno sono k = 7: poiché le grandezze
fondamentali sono k − P = 7 − 4 = 3, 3 sono proprio i numeri adimensionali che andremo a trovare.
Step secondo: costruzione dei numeri adimensionali
Scegliamo k-p (tre) tra le k (sette) grandezze fisiche e iniziamo la "costruzione" dei numeri adimensionali. Sceglieremo α, w ed cp . Prima cosa da fare è esprimere un numero dimensionale come prodotto
tra una grandezza scelta (ad esempio α) e tutte le altre quattro grandezze escluse, ciascuna elevata ad
un esponente (diversi tra loro). Ciò che si ottiene è la seguente espressione:
Π1 = α · [L a1 λb1 ν c1 ρd1 ]
(2)
Π2 = w · [L a2 λb2 ν c2 ρd2 ]
(3)
Π3 = cp · [L a3 λb3 ν c3 ρd3 ]
(4)
Di ogni grandezza, nelle tre equazioni sopra scritte, ne scriviamo solo le dimensioni fondamentali,
ovvero quelle riportate nel primo step!
2
Π1 = M 1 T −3 θ−1 · [(L1 )a1 (M 1 L1 T −3 θ−1 )b1 (L2 T −1 )c1 (M 1 L−3 )d1 ]
Π2 = L1 T −1 · [(L1 )a2 (M 1 L1 T −3 θ−1 )b2 (L2 T −1 )c2 (M 1 L−3 )d2 ]
Π3 = θ−1 L2 T −1 · [(L1 )a3 (M 1 L1 T −3 θ−1 )b3 (L2 T −1 )c3 (M 1 L−3 )d3 ]
Sviluppando i calcoli si arriva a:
Π1 = La1 +b1 +2c1 −3d1 M b1 +d1 +1 T −3b1 −c1 −3 θ−b1 −1
(5)
Π2 = La2 +b2 +2c2 −3d2 +1 M b2 +d2 T −3b2 −c2 −1 θ−b2
(6)
Π3 = La3 +b3 +2c3 −3d3 +2 M b3 +d3 T −3b3 −c3 −2 θ−b3 −1
(7)
Poniamo adesso in ultima analisi la somma degli esponenti uguale a 0, per ogni grandezza fisica.
Verranno fuori tre sistemi di equazioni:

a1 + b1 + 2c1 − 3d1 = 0




b +d +1=0

a1 = +1



 b = −1
1
1
1
→


− 3b1 − c1 − 3 = 0
c1 = 0






− b1 − 1 = 0
d1 = 0


a2 = +1
a2 + b2 + 2c2 − 3d2 + 1 = 0








b2 = 0
b2 + d2 = 0
→


c2 = −1
− 3b2 − c2 − 1 = 0






d2 = 0
− b1 = 0


a3 = 0
a3 + b3 + 2c3 − 3d3 + 2 = 0








b3 = −1
b3 + d 3 = 0
→


c1 = +1
− 3b3 − c3 − 2 = 0






d1 = +1
− b3 − 1 = 0
Sostituendo gli esponenti alle equazioni (2), (3) e (4) perveniamo ai seguenti numeri adimensionali:
L
= Nu
λ
L
= Re
Π2 = w
ν
µ
Π3 = cp = P r
ν
Π1 = α
(8)
(9)
(10)
Il numero di Reynolds (Re), essendo definito come rapporto tra forze inerziali e forze viscose, ci
dice se il fluido è in stato laminare o turbolento. Il numero di Nusselt (N u), oltre ad essere utile
per il calcolo di α, essendo rapporto tra resistenza conduttiva e resistenza convettiva, ci dice se sta
prevalendo la convezione o la conduzione. Il numero di Prandt (P r), essendo rapporto tra fenomeno
di trasporto della quantità di moto e fenomeno di trasporto del calore, ci dice se sta prevalendo la
variazione di velocità del fluido o la variazione di temeperatura.
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