ECOLE CENTRALE CASABLANCA
1ière Année - Semestre 5
Mécanique des Milieux Continus
Travaux Dirigés no 3
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1
Force exercée sur un vase
On considére un liquide de masse volumique ρ, au repos et à température uniforme. Ce dernier est
placé dans un vase cylindrique de rayon R et d’axe (Ox3 ). On admet que le tenseur des contraintes dans
le fluide est de la forme :
¯ = −p(x1 ,x2 ,x3 )¯1̄
σ̄
(1)
1. On suppose que les forces de volume se réduisent à la pesanteur (i.e. f~ = −ρg~e3 ).
(a) Déterminer le champ de pression dans le liquide ; quelle est la forme des surfaces isobares ?
(b) La surface libre du liquide étant une isobare (p = p0 où p0 est la pression atmosphérique), le
volume du liquide étant V0 ; déterminer la surface libre.
(c) Quelle est la pression en un point M du liquide ? Quelle est en ce point le vecteur contrainte
pour une direction unitaire ~n ?
(d) Calculer la densité surfacique d’efforts exercée par le liquide sur les parois latérales et sur le
fond du vase (i.e. x3 = 0).
(e) Calculer le torseur résultant des actions du liquide sur le fond du vase
2. On suppose à présent que le vase est en rotation autour de l’axe (Ox3 ) à la vitesse angulaire
constante ω et que le liquide est entraîné en rotation à cette même vitesse. On se placera dans le
repére tournant (i.e. lié au vase).
(a) Donner le champ de forces de volume s’exerçant sur le fluide.
(b) Reprendre les questions de la partie précédente.
2
Meule en rotation
On considère une meule cylindrique, de section annulaire, de rayon interne A, de rayon externe B et
de hauteur H << A. Dans tout le problème, on
travaillera dans un systéme de coordonnées cylindriques (~er ,~eθ ,~ez ) et on se placera dans le cadre
de l’hypothèse des petites perturbations. Cette
meule a un mouvement circulaire uniforme d’axe
(0x3 ), de vitesse angulaire ω autour de son axe. Les
forces volumiques d’inertie s’écriront donc dans le
repère tournant :
f~ = ρgω 2 r~er , ∀r ∈ [A,B]
~ez
~eθ
~ey
O
B
r
θ
~er
M
~ex
A
ω
(2)
On se propose de déterminer le champ des contraintes et le champ des déplacements, sous la forme :


σrr (r)
0
0
¯ (r) =  0
σθθ (r) 0
(3)
σ̄
0
0
0
et ~u(r) = rg(r)~er
(4)
et qui vérifie les équations d’équilibre. On supposera que les contraintes et les déformations sont reliées
par :

E

σrr = 1−ν 2 (εrr + νεθθ )
E
(5)
σθθ = 1−ν
2 (νεrr + εθθ )


ν
εzz = − E (σrr + σθθ)
où E et ν sont des constantes positives données.
1. Ecrire l’équation d’équilibre local ainsi que les conditions aux frontières (i.e. en r = A et r = B)
¯ (r).
vérifiées par σ̄
2. Exprimer les composantes de εrr et εθθ du tenseur des déformations en fonctions de g(r).
3. En déduire qu’à l’équilibre la fonction g(r) vérifie l’équation différentielle :
r
ν2 − 1
∂g
∂2g
=
rρω 2
+
3
∂r 2
∂r
E
4. Résoudre l’équation (6) en tenant compte des conditions aux frontières de la question 1.
5. Déterminer ν pour que le mouvement soit incompressible.
(6)