Школа №26
ПРОЕКТ
По математике
По теме: «Задачи на переливание»
Выполнил:
Егоров Александр Александрович
Ученик 5 «А» класса
Проверил:
Жигунов Владимир Олегович
Нижнекамск, 2022
СОДЕРЖАНИЕ:
1) Введение
2) Теоретическая часть.
3) Практическая часть
4) Вывод
2
ВВЕДЕНИЕ
Задачи на переливание — это задачи, в которых с помощью сосудов
известных емкостей требуется отмерить некоторое количество жидкости. Эти
задачи возникли много веков назад, но до сих пор вызывают интерес у
любителей математики и их часто можно встретить в олимпиадных заданиях.
ЦЕЛИ:
1) Изучить способы решения задач на переливание.
2) Научиться решать задачи на переливание, применяя найденные
способы решения.
3) Развивать свое логическое мышление.
4) Подготовить подборку наиболее интересных задач
ТЕОРИТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Суть их сводится к следующему: имея несколько сосудов разного
объема, один из которых наполнен жидкостью, требуется разделить ее в
каком-либо отношении или отлить какую-либо ее часть при помощи других
сосудов за наименьшее число переливаний. В задачах на переливания
требуется указать последовательность действий, при которой осуществляется
требуемое переливание и выполнены все условия задачи. Если не сказано
ничего другого, считается, что - все сосуды без делений, - нельзя переливать
жидкости "на глаз", - невозможно ниоткуда добавлять жидкости и никуда
сливать. Мы можем точно сказать, сколько жидкости в сосуде, только в
следующих случаях:
• знаем, что сосуд пуст;
• знаем, что сосуд полон, а в задаче дана его вместимость;
• в задаче дано, сколько жидкости в сосуде, а переливания с
использованием этого сосуда не проводились;
3
• в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно,
сколько было жидкости, и после переливания вся жидкость поместилась в
один из них;
• в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно,
сколько было жидкости, известна вместимость того сосуда, в который
переливали, и известно, что вся жидкость в него не поместилась: мы можем
найти, сколько ее осталось в другом сосуде.
Все задачи на переливания принципиально делятся на 2 типа.
«Открытая система» — задачи, в которых необходимо получить
некоторое количество жидкости с помощью нескольких пустых сосудов из
бесконечного источника, из которого можно наливать жидкость, и в который
ее можно выливать.
«Закрытая система» — задачи, в которых необходимо разделить
жидкость в большей емкости с помощью нескольких меньших по объему
емкостей, жидкость можно только переливать из одной емкости в другую.
Выбор наиболее рационального способа решения зависит от условий
задачи и осуществляется в каждом конкретном случае индивидуально.
При решении задач первого типа можно применить следующий
алгоритм:
- наполнить большую емкость жидкостью из бесконечного источника;
- перелить из большей емкости в меньшую;
- вылить жидкость из меньшей емкости;
- повторить действия 2-3 до тех пор, пока большая емкость не станет пустой;
- повторить действия 1-3 до тех пор, пока не будет получено обозначенное в
условии задачи количество жидкости.
При решении задач второго типа используется такой алгоритм:
- из большей емкости наполнить емкость промежуточного объема;
- перелить жидкость из промежуточной емкости в самую маленькую емкость;
- перелить жидкость из самой маленькой в самую большую емкость;
4
- повторять действия 2-3 до тех пор, пока емкость промежуточного объема не
станет пустой;
- если емкость промежуточного объема опустела, то повторить действия 1-5
до тех пор, пока не будет получено обозначенное в условии задачи количество
жидкости.
В задачах на переливания требуется указывать последовательность
действий, при которой осуществляется требуемое переливание и выполнены
все условия задачи. Если не сказано ничего другого, считается, что все сосуды
без делений и нельзя переливать жидкости «на глаз».
Существует несколько методов решения задачи: метод компьютерного
моделирования,
метод
блок-схем,
метод
бильярдного
шара,
метод
рассуждений, метод таблиц.
Метод таблицы – основной прием, который используется при решении
задач на переливание. При решении задач на переливание методом таблиц
рассуждения записываются в таблицу по ходу решения. В первой строке (или
наоборот – столбце) указываются объемы данных сосудов, а в каждом
следующем — результат очередного переливания. Таблицы позволяют
наглядно представить условие задачи или ее ответ, а также помогают делать
правильные логические выводы в процессе решения задачи. Такой способ
решения более компактный и наглядный.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ
Задача №1
Для приготовления компота маме нужно налить в 5- литровую кастрюлю
4 литра воды. Как маме справиться с этой задачей, если у мамы есть кроме
этой кастрюли ещё 3-литровая банка, водопроводный кран и раковина, куда
можно выливать воду?
5
Решение:
Кастрюля 5л
Банка 3л
0
3
3
0
3
3
5
1
0
1
1
0
1
3
4
0
Задача №2
У Марьи есть 2 кувшина объёмом 8 и 3 литра. В восьмилитровом
кувшине налит весь имеющийся у Марьи кисель. Как отмерить 2 литра киселя?
Все излишки киселя можно отдать Коту, который просто обожает это
лакомство.
Решение:
Кувшин 8л
Кувшин 3л
8
0
5
3
5
0
2
3
Задача №3
Рядом с лабораторией протекает бурная река. Как при помощи двух
бочек объёмом 30 и 50 литров отмерить ровно 40 литров речной воды?
6
Решение:
Бочка 30л
Бочка 50л
0
50
30
20
0
20
20
0
20
50
30
40
МОИ ЗАДАЧИ:
Задача №1
В кастрюле налито 8 литров супа. Есть также пустые 3-х и 5-литровая
банки. Требуется отмерить 4 литра супа. Как это сделать, если суп нельзя
проливать?
Решение:
Кастрюля 8 л Банка 3 л
Банка 5 л
8
0
0
5
3
0
5
0
3
2
3
3
2
1
5
7
1
0
7
0
1
4
3
1
Задача №2
Как-то волшебнику удалось в одном сосуде собрать и смешать 8 мл
зелья. Но в чашу с заклинанием нужно добавить только 4мл. Как ему это
сделать, если есть два пустых флакона объёмом 2 и 3 мл
7
Решение:
Сосуд 8мл
Флакон 2мл
Флакон 3мл
Чаша
5
0
3
0
5
2
1
0
5
2
0
1
2
2
3
1
2
2
0
4
Задача№3
Как набрать из речки 4 л воды, если у тебя имеются 3л и 5л ведерки?
Решение:
Ведро 3л
Ведро 5л
0
5
3
2
0
2
2
0
2
5
3
4
ВЫВОД
Изучив данную тему, я пришел к выводу что многие задачи имеют как
минимум два способа решения, одно из которых всегда более рационально, но
для того, чтобы установить, какое, надо рассмотреть разные варианты
решений.
Процесс решения задач на переливание был очень увлекательным,
крайне полезным для меня. Умение решать такие задачи не только развивает
логику, но еще имеет практическое значение, такие задачи заставляют
задумываться и подходить к решению проблемы с разных сторон, учат
выбирать наиболее рациональный способ решения.
8