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Libro Sistemas de control digital
Book · April 2021
DOI: 10.35707/9789587543643
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1 author:
Oscar Barrero Mendoza
Universidad de Ibagué
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Universidad de Ibagué
Facultad de Ingeniería
Sistemas de control digital
Oscar Barrero Mendoza
Ibagué, Colombia
2021
629.8.
B272 Barrero Mendoza, Oscar.
Sistemas de Control Digital / Oscar Barrero Mendoza.
Ibagué: Universidad de Ibagué, 2021
217 p. 23 centímetros
ISBN Digital 978-958-754-364-3
Descriptores: Control digital; Sistemas SISO; Modelamiento matemático; Diseño de compensadores en tiempo discreto; Lugar geométrico de las raíces; Respuesta en frecuencia; Diseño
de controladores por realimentación del vector de estado; Diseño de observadores.
Universidad de Ibagué
Facultad de Ingeniería
Abril de 2021
© Universidad de Ibagué, 2021
Oscar Barrero Mendoza, 2021
Recibido: Junio de 2020
Aceptado: Julio de 2020
Publicado: Abril de 2021
Cómo citar esta obra: Barrero Mendoza, O. (2021). Sistemas de control digital.
Ibagué, Colombia: Ediciones Unibagué. https://doi.org/10.35707/9789587543643
Dirección editorial: Ediciones Unibagué
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Contenido
Prefacio ....................................................................................................................15
Capítulo 1. Análisis de sistemas de control en tiempo discreto....................17
1.1 Adquisición de señales en tiempo discreto.............................................17
1.1.1 Muestreo de señales..........................................................................18
1.1.2 Reconstrucción de señales muestreadas.........................................20
1.1.3 Retención de señales.........................................................................24
1.2 La transformada z.......................................................................................25
1.3 La función de transferencia pulso............................................................25
1.3.1 Función de transferencia pulso de sistemas conectados
en cascada..........................................................................................27
1.3.2 Función de transferencia pulso de sistemas en lazo cerrado.......28
1.4 Análisis de estabilidad en tiempo discreto..............................................30
1.4.1 Sistema estable...................................................................................30
1.4.2 Sistema inestable................................................................................31
1.4.3 Sistema oscilatorio.............................................................................32
1.5 Estabilidad absoluta en sistemas en tiempo discreto.............................32
1.5.1 Sistema estable en tiempo discreto..................................................33
1.5.2 Sistema inestable en tiempo discreto..............................................33
1.5.3 Sistema oscilatorio.............................................................................34
1.6 Análisis de error en estado estable...........................................................35
1.6.1 Respuesta de estado estable ante una entrada paso......................35
1.6.2 Respuesta de estado estable ante una entrada rampa...................36
1.6.3 Respuesta de estado estable ante una entrada parabólica............37
1.7 Respuesta a perturbaciones.......................................................................37
1.7.1 Respuesta a perturbaciones para ruido de proceso W(z)............38
5
1.7.2 Respuesta a perturbaciones para ruido de medición....................39
1.8 Problemas propuestos..................................................................................39
Capítulo 2. Métodos clásicos de diseño de compensadores
en tiempo discreto para sistemas siso................................................................43
2.1 Modelamiento de sistemas dinámicos.....................................................44
2.1.1 Modelos basados en principios físicos fundamentales.................44
2.1.2 Modelos basados en datos de entrada-salida.................................45
2.1.3 Modelos basados en los principios físicos fundamentales
y datos de entrada-salida.................................................................45
2.2 Validación....................................................................................................48
2.2.1 Validación cualitativa........................................................................48
2.2.2 Validación cuantitativa.....................................................................48
2.3 Análisis de la respuesta de un sistema de segundo orden.....................49
2.4 Diseño de compensadores basados en la respuesta en el tiempo.........51
2.4.1 Problema.............................................................................................52
2.4.2 Desarrollo del método de diseño....................................................53
2.4.3 Diseño de controladores pid basados en la respuesta
en el tiempo........................................................................................73
2.5 Problemas propuestos................................................................................80
2.6 Diseño basado en la respuesta en frecuencia..........................................86
2.6.1 Transformada bilineal y el plano w.................................................86
2.6.2 Análisis de estabilidad relativa.........................................................88
2.6.3 Parámetros de diseño........................................................................89
2.6.4 Métodos de diseño............................................................................93
2.7 Problemas propuestos..............................................................................131
Capítulo 3 Métodos modernos de diseño de sistemas de control
en tiempo discreto para sistemas siso..............................................................137
3.1 Introducción..............................................................................................137
3.2 Representación de un modelo matemático en espacio de estado......138
3.2.1 Estado................................................................................................138
3.2.2 Variables de estado..........................................................................138
3.2.3 Vector de estado...............................................................................139
3.2.4 Espacio de estado.............................................................................139
3.3 Sistema de control por realimentación de variables de estado
en tiempo discreto....................................................................................144
6
3.4
3.5
3.6
3.3.1 Controlabilidad................................................................................144
Sistemas de control por realimentación de variables de estado
con seguimiento de trayectoria ..............................................................153
3.4.1 Seguimiento de trayectoria usando estrategia de control
por compensación (feedforward).................................................153
3.4.2 Seguimiento de trayectoria usando la estrategia
de realimentación de variables de estado con acción
integradora.......................................................................................159
Sistemas de control por realimentación de estados usando
observadores para sistemas siso.............................................................168
3.5.1 Observabilidad.................................................................................169
3.5.2 Cálculo de la ganancia del observador de orden completo.......171
3.5.3 Observador de Luenberger de orden reducido...........................174
3.5.4 Análisis de la dinámica del sistema de control
en conjunto con observadores......................................................176
Problemas propuestos..............................................................................182
Referencias .............................................................................................................189
7
Figuras
Figura 1.1
Figura 1.2
Figura 1.3
Figura 1.4
Figura 1.5
Figura 1.6
Figura 1.7
Figura 1.8
Figura 1.9
Figura 1.10
Figura 1.11
Figura 1.12
Figura 1.13
Figura 1.14
Figura 1.15
Figura 1.16
Figura 1.17
Figura 1.18
Figura 1.19
Figura 1.20
8
Sistema de Control en Tiempo Discreto.........................................17
Muestreador de señales por tren de impulsos...............................18
Modulador de señales basado en tren de impulsos..................19
Magnitud del espectro en frecuencia señal original y(t)..............20
Espectro en frecuencia señal muestreada y*(t)..............................21
Espectro en frecuencia de la señal muestreada
a la frecuencia de Nyquist.................................................................21
Efecto de traslape, cuando se muestrea la señal por debajo
de la frecuencia de Nyquist. La línea continua
representa el espectro resultante...................................................22
Efecto del traslape en el tiempo.......................................................22
Respuesta paso de un sistema de primer orden.............................23
Respuesta paso de un sistema de segundo orden..........................24
Efecto del retenedor de orden cero.................................................24
Sistema muestreado mediante impulsos.........................................25
Representación en z del sistema mostrado en la Figura 1.12......26
Conexión de sistemas muestreados en cascada.............................27
Conexión de sistemas muestreados en cascada.............................28
Sistema típico de control digital en lazo cerrado...........................29
a) Respuesta de un sistema estable. b) Ubicación
de los polos de un sistema estable en el plano s.............................31
a) Respuesta de un sistema inestable. b) Ubicación
de los polos de un sistema inestable en el plano s.........................31
a) Respuesta de un sistema oscilatorio. b) Ubicación
de los polos de un sistema oscilatorio en el plano s......................32
Mapeo del plano s al plano z............................................................33
Figura 1.21 a) Respuesta de un sistema estable. b) Ubicación
de los polos de un sistema estable...................................................33
Figura 1.22 a) Respuesta de un sistema inestable. b) Ubicación
de los polos de un sistema inestable en el plano z.........................34
Figura 1.23 a) Respuesta de un sistema oscilatorio. b) Ubicación
de los polos de un sistema oscilatorio en el plano z......................34
Figura 1.24 Sistema de control de lazo cerrado en tiempo discreto................35
Figura 1.25 Sistema de control en lazo cerrado con ruido
de proceso y de medición ...............................................................38
Figura 1.26 Esquema en lazo cerrado de la respuesta a perturbaciones
tipo ruido de proceso........................................................................38
Figura 1.27 Esquema en lazo cerrado de la respuesta a perturbaciones
tipo ruido de medición.....................................................................39
Figura 1.28 Magnitud del espectro de la señal x(t)............................................39
Figura 1.29 Problema 1.7.4....................................................................................40
Figura 1.30 Lazo cerrado de control en tiempo discreto..................................41
Figura 1.31 Zona de estabilidad plano s..............................................................42
Figura 2.1 Respuesta paso típica de un sistema de segundo orden...............43
Figura 2.2 Circuito serie rlc..............................................................................44
Figura 2.3 Modelo de caja blanca del circuito rlc...........................................44
Figura 2.4 Modelo de caja negra del circuito rlc............................................45
Figura 2.5 Modelo de caja gris del circuito rlc...............................................45
Figura 2.6 Sistema de parámetros concentrados..............................................47
Figura 2.7 Sistema de parámetros distribuidos................................................48
Figura 2.8 Prueba para la validación cualitativa de un modelo
matemático.........................................................................................49
Figura 2.9 Respuesta de un sistema de segundo orden ante una entrada.....50
Figura 2.10 Ubicación en el plan s de los polos del sistema
de segundo orden..............................................................................51
Figura 2.11 Diagrama de bloques sistema de control discreto
en lazo cerrado...................................................................................52
Figura 2.12 Respuesta paso sistema en lazo cerrado.........................................58
Figura 2.13 Respuesta paso sistema en lazo cerrado.........................................64
Figura 2.14 Respuesta paso sistema en lazo cerrado.........................................70
Figura 2.15 Respuesta paso en lazo cerrado del motor dc
con un controlador pid.....................................................................77
9
Figura 2.16
Figura 2.17
Figura 2.18
Figura 2.19
Figura 2.20
Figura 2.21
Figura 2.22
Figura 2.23
Figura 2.24
Figura 2.25
Figura 2.26
Figura 2.27.
Figura 2.28
Figura 2.29
Figura 2.30
Figura 2.31
Figura 2.32
Figura 2.33
Figura 2.34
Figura 2.35
Figura 2.36
Figura 2.37
10
Problema 2.5.1....................................................................................80
Problema 2.5.8....................................................................................81
Problema 2.5.10.................................................................................82
Problema 2.5.11.................................................................................83
Problema 2.5.13.................................................................................84
Problema 2.5.20.................................................................................85
Mapeo del plano s al plano z y del z a w.........................................87
Sistema en lazo cerrado correspondiente a la función
de transferencia
.........................................................88
Análisis de estabilidad relativa de un sistema de tercer
orden con dos polos complejos conjugados...................................88
Gráfica polar de
donde se muestra el margen
de fase . a) Margen de fase de un sistema estable (
),
b) margen de fase de un sistema inestable
. .....................90
Gráfica polar de
donde se muestra el margen de ganancia
. a) Margen de ganancia de un sistema estable (Kg > 1),
b) margen de ganancia de un sistema inestable (Kg < 1).............90
Diagrama de Bode del margen de fase y de ganancia
de un sistema estable.
.........................................91
Diagrama de Bode del margen de fase y de ganancia
de un sistema inestable.....................................................................91
Gráfica de magnitud del Diagrama de Bode..................................92
Lazo cerrado de un sistema de control en el plano w...................93
Diagrama de Bode de un compensador en adelanto
en el plano w.......................................................................................94
Diagrama de Bode de
realizado a través del
comando margin de Matlab.............................................................97
Diagrama de Bode de
donde se ubica la frecuencia
rad/s en la cual la magnitud es 20log(α) = −7.21dB....98
Diagrama de Bode del sistema compensado en lazo abierto
C(w)G(w). Margen de fase y el margen
de ganancia Kg = 14.9dB..................................................................99
Diagrama de bloques del sistema de control discreto
en lazo cerrado.................................................................................100
Respuesta paso del sistema de control en lazo cerrado..............100
Diagrama de Bode de un compensador en atraso
en el plano w.....................................................................................103
Figura 2.38
Figura 2.39
Figura 2.40
Figura 2.41
Figura 2.42
Figura 2.43
Figura 2.44
Figura 2.45
Figura 2.46
Figura 2.47
Figura 2.48
Figura 2.49
Figura 2.50
Figura 2.51
Figura 2.52
Figura 2.53
Figura 2.54
Figura 2.55
Figura 2.56
Figura 3.1
Figura 3.2
Figura 3.3
Figura 3.4
Figura 3.5
Figura 3.6
Esquema sistema de tanque de agua.............................................104
Diagrama de Bode de G(w)/w.......................................................105
Gráfica de Bode de G(w)/w............................................................107
Diagrama de Bode de C(w)G(w)...................................................108
Respuesta paso unitario sistema de control en lazo cerrado.....109
Diagrama de Bode de
.....................................................114
Respuesta paso del sistema de control en lazo cerrado..............114
Diagrama de Bode de un compensador adelanto-atraso...........117
Diagrama de Bode de
y cálculo de la frecuencia
ficticia ...........................................................................................119
Diagrama de Bode de C(w)G(w) para la validar
el diseño del compensador adelanto-atraso.................................121
Respuesta paso en lazo cerrado del sistema
de control diseñado.........................................................................122
Respuesta paso en lazo cerrado del sistema
de control en tiempo continuo......................................................128
Respuesta paso del sistema de control en lazo cerrado..............130
Problema 2.7.4..................................................................................133
Problema 2.7.6..................................................................................133
Problema 2.7.7..................................................................................134
Diagrama de Bode problema 2.7.7................................................134
Diagrama de Bode problema 2.7.8................................................135
Diagrama de Bode problema 2.7.9................................................136
Tanques en cascada.........................................................................140
Esquema sistema de control en lazo abierto................................142
Respuesta paso del sistema de tanques en cascada
en lazo abierto en tiempo continuo...............................................143
Estrategia de control por realimentación de variables
de estado...........................................................................................144
Esquema de control por compensación (feedforward)
para seguimiento de referencia y por realimentación
de variables de estado......................................................................153
Esquema Simulink del sistema de control por realimentación
de variables de estado con acción compensadora
para el seguimiento de referencias................................................157
11
Figura 3.7
Figura 3.8
Figura 3.9
Figura 3.10
Figura 3.11
Figura 3.12
Figura 3.13
Figura 3.14
Figura 3.15
Figura 3.16
Figura 3.17
Figura 3.18
Figura 3.19
Figura 3.20
Figura 3.21
12
Respuesta paso sistema en lazo cerrado de control por
realimentación de variables de estado y acción compensadora,
mostrada por el scope de Simulink...............................................157
Esquema de control con acción integradora para seguimiento
de referencia por realimentación de variables de estado............160
Esquema de control por realimentación de variables
de estado con acción integradora..................................................160
Esquema Simulink del sistema de control por realimentación
de variables de estado con acción integradora.............................163
Respuesta paso del sistema de control del ejemplo 11
mostrado por el scope de Simulink...............................................163
Diagrama esquemático en Simulink de los dos sistemas de
control por realimentación de variables de estado diseñados...167
Comparación de la respuesta paso sin perturbación
de los esquemas de control con acción compensadora
e integradora.....................................................................................167
Comparación de la respuesta paso con perturbación
de los esquemas de control con acción compensadora
e integradora.....................................................................................168
Esquema de un sistema de control por realimentación
de estados con entrada de referencia, acción integradora
y observador de estados de orden completo................................169
Esquema Simulink del sistema de control con acción
integradora y observador de orden completo..............................178
Comparación de las respuestas de los niveles de la planta
con los valores
estimados por el observador..........180
Respuesta a la señal cuadrada de periodo 30 segundos
y amplitud unitaria del sistema de control con acción
integradora y observador de orden completo..............................181
Problema 3.6.1..................................................................................182
Sistema problema 3.6.13.................................................................185
Esquema filtro activo problema 3.6.17.........................................186
Tablas
Tabla 1.1
Tabla 3.1
Transformada s a z ............................................................................26
Matrices del problema de control y de estimación .....................171
13
Prefacio
Los procesos de producción modernos cada vez demandan un mejor desempeño de los sistemas de control automático, debido entre otros factores a: 1. Mejora continua en la calidad de los productos. 2. Eficiencia. 3. Seguridad industrial.
4. Flexibilidad de los sistemas de producción.
Por otro lado, la permanente evolución de los sistemas de computación
ha permitido el desarrollo de nuevas técnicas de control capaces de resolver
problemas que la industria actual presenta. Es así como en las últimas décadas
han aparecido estrategias de control tales como control por redes neuronales,
control difuso, control adaptivo, control predictivo, control óptimo, etc. Adicionalmente, la aparición de potentes herramientas de diseño y simulación de
sistemas de control, como es el Matlab de Mathworks y el LabView de National
Instruments, entre otros, han permitido que se puedan hacer aplicaciones de
gran complejidad, de una manera rápida y confiable. Una de las estrategias
más usadas en el diseño de controladores es la que se basa en modelos matemáticos dinámicos, lo cual implica obtener el modelo matemático de un sistema con el fin de poder diseñar y validar su controlador. Es por esto que la
modelación y simulación de sistemas dinámicos tiene una gran importancia
en este proceso de diseño, aspecto que el libro aborda como parte fundamental
en todo su contenido.
El principal objetivo de este libro es que el lector al final tenga el conocimiento suficiente y necesario para resolver e implementar soluciones a
problemas de control en tiempo discreto para sistemas siso (Single-Input
Single-Output), usando técnicas clásicas y modernas de la ingeniería de control. En este orden de ideas, el libro en su primer capítulo hace una introducción a los sistemas de control en tiempo discreto, en el que se analizan
las implicaciones de trabajar con este tipo de controladores en conjunto con
Sistemas de control digital
15
procesos en tiempo continuo. Una vez presentados y analizados los requerimientos que se deben tener en cuenta para diseñar correctamente un sistema
de control digital, se introduce el concepto de función de transferencia pulso
con base en la transformada z. Luego, se hace una comparación y análisis de
estabilidad absoluta y relativa de los sistemas de control en tiempo continuo
y discreto, para así finalmente y previo al diseño de los compensadores, analizar las condiciones que debe tener un lazo cerrado de control para garantizar
un error cero en estado estable ante diferente tipo de entradas de referencia.
Adicionalmente, se estudia el efecto en estado estable de perturbaciones tanto
en la entrada, ruido de proceso, como en la realimentación de la salida, ruido
de medición. Todo esto con el fin de establecer unas condiciones mínimas,
que el diseñador debe tener en cuenta al momento de iniciar el diseño de un
compensador, con el fin de garantizar que el sistema de lazo cerrado sea capaz
de seguir una entrada de referencia en estado estable, y que este sea capaz de
atenuar las perturbaciones externas.
Después de establecer estas condiciones iniciales en el diseño de los compensadores, se introducen los métodos clásicos de diseño de compensadores
basados en la respuesta en el tiempo y la frecuencia (Ogata, 1998), con base en
la metodología de solución de problemas se desarrollan los métodos de diseño
y se muestran los códigos de programación para el software Matlab. Los métodos modernos de control se basan en la representación en espacio de estado
(Williams II & Lawrence, 2007), es por esto que el libro dedica su capítulo final
al diseño de controladores por realimentación de variables de estado, partiendo
desde cómo representar correctamente un modelo en espacio de estado, hasta
presentar diversas soluciones a los problemas de control. De otro lado, uno
de los problemas de la implementación de los sistemas de control en espacio
de estado, es que se debe conocer el valor de todas las variables de estado en
cada instante de muestreo, de allí la necesidad de desarrollar estimadores de
variables de estado (observadores), los cuales permitan estimar el valor de las
variables que en principio no puedan ser medidas directamente. Es por esto
que en este capítulo se dedican varias secciones a desarrollar el tema del diseño
y la implementación de observadores en conjunto con los sistemas de control.
16
Oscar Barrero Mendoza
Capítulo 1
Análisis de sistemas de control
en tiempo discreto
Cuando se habla de sistemas de control en tiempo discreto es muy importante
tener en cuenta los efectos y consideraciones para el muestreo y procesamiento
de las señales involucradas en el sistema. Por lo tanto, en este capítulo se comenzará estudiando la adquisición de señales en tiempo discreto, para después
hacer al respectivo análisis de los sistemas de control en el plano complejo z.
1.1 Adquisición de señales en tiempo discreto
La adquisición de señales en tiempo discreto es de gran importancia cuando hablamos del diseño de sistemas de control digital o en tiempo discreto, debido a
que el éxito de un sistema de control digital depende de que la información del
sistema sea muestreada de una forma correcta. En la Figura 1.1 se muestra un
diagrama de bloques de un sistema de control en tiempo discreto de lazo cerrado.
Figura 1.1. Sistema de Control en Tiempo Discreto
Fuente: el autor
Sistemas de control digital
17
Se puede observar claramente que este tipo de sistemas está compuesto
de una parte que funciona en un espacio de tiempo discreto, que es donde
se encuentra el sistema de control, y otra en un espacio en tiempo continuo,
donde se encuentra el proceso que queremos controlar. Ahora, para hacer el
acople entre estos dos sistemas se debe usar una interfaz que nos permita, sobre
una base de tiempo constante que se conoce como tiempo de muestreo, muestrear las señales del proceso y enviar las acciones de control al actuador. Este
dispositivo de interfaz se llama tarjeta de adquisición de datos o en ingles Data
AcQuisition Card - daq. Básicamente las daq están compuestas por un sistema
de retención y muestreo (en inglés sample and hold) y conversores de señales análogas a digitales (D/A) y digitales a análogas (A/D). A continuación, se
describe en detalle cada una de estas etapas, y la connotación que estas tienen
dentro del sistema de control digital.
1.1.1 Muestreo de señales
Para hacer el análisis correspondiente al proceso de muestreo de las señales del
proceso se asume que el muestreador es un interruptor ideal que toma muestras
sobre una base de tiempo constante T, tal y como se muestra en la Figura 1.2:
Figura 1.2. Muestreador de señales por tren de impulsos
Fuente: el autor
La señal de salida del muestreador, y∗(t) es equivalente al producto entre
un tren de impulsos y la señal que se quiere muestrear; por lo tanto, el muestreador se puede tomar como un modulador donde la entrada y(t) es la señal
moduladora y el tren de impulsos δT (t) la señal portadora, ver Figura 1.3.
18
Oscar Barrero Mendoza
Figura 1.3. Modulador de señales basado en tren de impulsos
Fuente: el autor
Así, la señal muestreada puede ser expresada matemáticamente como:
Transformando la señal de salida y∗(t) al dominio de Laplace se tiene:
Ahora, comparando la ecuación (1.3) con la ecuación de la transformada
z de una función del tiempo y(t) o de la secuencia de valores y(kT), donde k es
un entero positivo y T el tiempo de muestreo, la cual está definida como:
Se puede concluir que la transformada z de una función y(t) o de la secuencia de valores y(kT), es igual a la transformada de Laplace de una función
muestreada mediante un tren de impulsos y∗(t), si hacemos:
Sistemas de control digital
19
En consecuencia, podemos concluir que:
Esta relación es importante para el análisis de estabilidad absoluta y relativa de un sistema en tiempo discreto, porque sirve para mapear las condiciones de estabilidad de un sistema en tiempo continuo, definido en el dominio
de Laplace en s, a un sistema en tiempo discreto, definido en el dominio de z,
como se verá en el capítulo 2 más adelante.
1.1.2 Reconstrucción de señales muestreadas
Cuando se habla de control digital o en tiempo discreto, el tiempo de muestreo
es un parámetro importante; por lo tanto, debemos tener mucho cuidado al
momento de escogerlo. Si el tiempo de muestreo es muy pequeño comparado
con la dinámica de la planta, podemos terminar muestreando señales de ruido
que nos da poca información sobre la dinámica del sistema, y sí nos puede generar confusión al momento de hacer cualquier tipo de análisis. Por otro lado,
si tomamos el tiempo de muestreo muy grande perdemos información importante sobre la dinámica del proceso, algo que debemos evitar. Por lo tanto, en
esta sección se presentan un par de métodos para muestrear una señal continua en el tiempo, con el fin de poder reconstruirla digitalmente de una forma
correcta. Suponiendo que el espectro de una señal en tiempo continuo y(t) es
el que se muestra en la Figura 1.4, ahora si esta señal se muestrea mediante un
tren de impulsos tenemos y′(t), donde la magnitud de su espectro es el que se
muestra en la Figura 1.5. Como se puede observar en la Figura 1.5, el espectro.
Figura 1.4. Magnitud del espectro en frecuencia señal original y(t)
Fuente: el autor
20
Oscar Barrero Mendoza
De la señal muestreada está compuesta por réplicas del espectro de y(t)
de menor amplitud, donde la frecuencia angular central de estas réplicas son
múltiplos de la frecuencia angular de muestreo .
Figura 1.5. Espectro en frecuencia señal muestreada y*(t)
Fuente: el autor
Figura 1.6. Espectro en frecuencia de la señal muestreada a la frecuencia de Nyquist
Fuente: el autor
En la Figura 1.6 se observa claramente que si se muestrea una señal a
una frecuencia menor a 2 veces su frecuencia máxima
también conocida
como frecuencia de Nyquist, se obtiene un espectro distorsionado como el
mostrado en la Figura 1.7; este fenómeno es conocido como traslape (Franklin,
Powell, & Workman, 1998; Shannon, 1949).
El efecto del traslape puede ser descrito más claramente analizando una
señal en el tiempo, como el mostrado en la Figura 1.8. En esta se puede ver
como una señal senoidal al ser muestreada a una frecuencia menor a la de Nyquist, es reconstruida como una señal triangular de menor frecuencia.
Sistemas de control digital
21
Figura 1.7. Efecto de traslape, cuando se muestrea la señal por debajo
de la frecuencia de Nyquist
La línea continua representa el espectro resultante
Fuente: el autor
Por lo tanto, en la práctica se recomienda definir el tiempo de muestreo
T con base a una frecuencia diez veces mayor al ancho de banda (Astrom &
Wittenmark, 1997), en el caso de conocer el ancho de banda; en caso contrario,
como suele suceder a menudo en la práctica, se puede tomar como referencia
la respuesta paso del sistema en lazo abierto y proceder como se explica en la
siguiente sección.
Figura 1.8 Efecto del traslape en el tiempo
Fuente: el autor
22
Oscar Barrero Mendoza
La señal de línea continua es la señal original, y la señal de línea discontinua es la muestreada con una frecuencia menor a la frecuencia de Nyquist.
1.1.2.1 Respuesta paso similar a la de un sistema de primer orden
Cuando se tiene una respuesta paso como la mostrada en la Figura 1.9, donde
τ es la constante de tiempo del sistema y se define como el tiempo que tarda la
respuesta en alcanzar el 62.3 % de su valor final. De aquí, el tiempo de muestreo
T se puede establecer mediante la siguiente ecuación:
Figura 1.9. Respuesta paso de un sistema de primer orden
Fuente: el autor
1.1.2.2 Respuesta paso similar a la de un sistema de primer orden
Ahora, cuando se tiene una respuesta como la mostrada en la Figura 1.10, donde es el tiempo de una oscilación de la respuesta paso, el tiempo de muestreo
T se puede establecer mediante la siguiente ecuación:
Es importante anotar que
es el periodo de una oscilación senoidal
amortiguada, y está relacionado con la frecuencia natural amortiguada
como sigue:
Sistemas de control digital
23
Figura 1.10. Respuesta paso de un sistema de segundo orden
Fuente: el autor
1.1.3 Retención de señales
El sistema de retención de datos es el encargado de convertir una señal en tiempo discreto u(kT) a tiempo continuo h(t). Para realizar este proceso, el retenedor extrapola los datos de la señal discreta con base a un polinomio definido de
la siguiente manera:
Donde 0 ≤ τ < T. Si el retenedor usa un polinomio de n orden, entonces
decimos que tenemos un retenedor de enésimo orden. El retenedor más común
es el de orden cero, o sea cuando n = 0 en la ecuación (1.10); por lo tanto, la
salida del retenedor h(t) va a ser una señal constante cuyo valor es igual a u(kT)
para kT ≤ t < (k + 1)T como se muestra en la Figura (1.11).
Figura 1.11. Efecto del retenedor de orden cero
Fuente: el autor
24
Oscar Barrero Mendoza
Finalmente, se puede demostrar (Ogata, 1996), que la función de transferencia de un retenedor de orden cero esta dada por la ecuación (1.11).
1.2 La transformada z
Así como la transformada de Laplace es una herramienta fundamental para el
análisis y diseño de sistemas lineales de control en tiempo continuo, el método
de la transformada z es una herramienta fundamental para el análisis y diseño
de sistemas lineales de control en tiempo discreto. La transformada z de una
función en el tiempo x(t), donde t > 0, o de la secuencia de valores x(kT), donde
k = 0,1,2, 3... y T el tiempo de muestreo, está definida como:
La transformada z expresada de acuerdo a la ecuación (1.12) se conoce
como la transformada z unilateral, porque está definida solo para t > 0. Para conocer más detalles sobre la transformada z existe mucha literatura al respecto,
recomiendo el libro Señales y Sistemas de Oppenheim & Willsky (1996). A continuación, en la Tabla 1.1 se muestra un listado de pares de transformada s y z.
1.3 La función de transferencia pulso
La función de transferencia pulso es la relación que existe entre la salida y la
entrada muestreadas de un sistema dinámico.
Figura 1.12. Sistema muestreado mediante impulsos
Fuente: el autor
Donde y∗(t) y x∗(t) son las señales muestreadas de y(t) y x(t) respectivamente,
y están definidas como:
Sistemas de control digital
25
De aquí, el sistema mostrado en la Figura 1.12 se puede representar como
se muestra en la Figura 1.13.
Figura 1.13 Representación en z del sistema mostrado en la Figura 1.12
Fuente: el autor
Teniendo en cuenta la relación que existe entre el dominio de Laplace s y
z, la cual se demostró en la sección 1.1.1
Por lo tanto, la función de transferencia pulso del sistema está dada por:
Tabla 1.1 Transformada s a z
Dominio de Laplace s
26
Dominio z
Oscar Barrero Mendoza
Dominio de Laplace s
Dominio z
Fuente: el autor
1.3.1 Función de transferencia pulso de sistemas conectados en cascada
Cuando se tienen varios sistemas conectados en cascada, la función de transferencia pulso depende del lugar donde se ubiquen los muestreadores, por ejemplo:
Figura 1.14 Conexión de sistemas muestreados en cascada
Fuente: el autor
Donde:
De aquí,
Como estamos buscando es la relación de la salida muestreada con la entrada muestreada, muestreamos a ambos lados en la ecuación (1.17), por lo
tanto, obtenemos:
Donde GH(s) es la función de transferencia resultante del producto G(s)
H(s). Nótese que antes de muestrear, debemos verificar que no haya términos
en s que se pueden operar antes de muestrearlos, esto porque la transformada
z no es asociativa, o sea la transformada z de G(s)H(s) no es igual a la transformada z del producto de G(z) y H(z),
Sistemas de control digital
27
Adicionalmente, al muestrear una señal ya muestreada como X∗(s), el resultado es el mismo término. Finalmente transformando a z tenemos:
Ahora, si en el ejemplo anterior ponemos un muestreador entre H(s) y
G(s) obtenemos el siguiente sistema:
Figura 1.15. Conexión de sistemas muestreados en cascada
Fuente: el autor
En este caso, observemos que como hay un muestreador entre H(s) y G(s),
la función de transferencia pulso se halla de la siguiente manera:
De aquí y aplicando lo mismo que en el ejemplo anterior tenemos:
Por lo tanto:
Nótese que el hecho de ubicar un muestreador entre H(s) y G(s) hace que
la función de transferencia pulso cambie con respecto a la ecuación (1.18).
1.3.2 Función de transferencia pulso de sistemas en lazo cerrado
En la Figura 1.16 se muestra un sistema típico de control digital en lazo cerrado.
28
Oscar Barrero Mendoza
Figura 1.16. Sistema típico de control digital en lazo cerrado
Donde
es la respuesta de la planta,
la acción de control que pasa a través de un retenedor
de orden cero (ZOH)
Fuente: el autor
En este caso, la función de transferencia pulso Y (z)/R(z) se puede definir
como sigue:
Ahora, sustituyendo la ecuación (1.19) en (1.20), obtenemos:
En consecuencia, debemos definir Y *(s) para poder reemplazarla en la
ecuación (1.23). Es importante anotar que, antes de muestrear una señal, debemos agrupar todos los términos posibles en s de esta, por lo tanto, de (1.22) y
(1.21) tenemos que:
Donde
Luego, remplazamos (1.23) en (1.24)
Finalmente, obtenemos que:
Sistemas de control digital
29
Este resultado es muy importante, puesto que la función de transferencia
pulso descrita en la ecuación (1.25), sirve como base para el diseño de compensadores digitales en el caso de que la estructura de lazo cerrado coincida con la
mostrada en la Figura 1.16, lo cual es cierto en la mayoría de las aplicaciones de
control digital. Nótese también que G(z) es la función de transferencia pulso de
una planta
que está afectada por un retenedor de orden cero, por lo tanto,
G(z) se puede definir en forma general como sigue:
1.4 Análisis de estabilidad en tiempo discreto
El término estabilidad en sistemas dinámicos se refiere a la forma en que los
sistemas responden ante una excitación externa. De aquí que podemos hablar de dos tipos de estabilidad, a saber: estabilidad absoluta y relativa. En
la estabilidad absoluta se analiza si un sistema es estable, inestable u oscilatorio; mientras que en la estabilidad relativa se analiza cómo es la respuesta
transitoria del sistema. Cuando se requiere analizar la estabilidad de sistemas
dinámicos, un método muy común consiste en analizar la ubicación de los
polos del sistema. Para hacer el análisis de estabilidad en tiempo discreto nos
basaremos en el análisis de estabilidad en tiempo continuo. A continuación,
algunas definiciones:
1.4.1 Sistema estable
Es aquel sistema cuya respuesta ante una entrada impulso se estabiliza en un
valor constante. Este tipo de sistemas en tiempo continuo se caracteriza por
tener negativa la parte real de todos sus polos, o sea ubicados en el semiplano
complejo izquierdo del plano s.
30
Oscar Barrero Mendoza
Figura 1.17. a) Respuesta de un sistema estable. b) Ubicación de los polos
de un sistema estable en el plano s
Fuente: el autor
1.4.2 Sistema inestable
Es aquel sistema cuya respuesta ante una entrada impulso crece o decrece indefinidamente. Este tipo de sistemas en tiempo continuo se caracteriza por tener
por lo menos unos de sus polos con la parte real positiva, o sea en el semiplano
complejo derecho del plano s.
Figura 1.18. a) Respuesta de un sistema inestable. b) Ubicación de los polos
de un sistema inestable en el plano s
Fuente: el autor
Sistemas de control digital
31
1.4.3 Sistema oscilatorio
Es aquel sistema cuya respuesta ante una entrada impulso se mantiene oscilatoria
entre dos valores. Este tipo de sistemas se caracteriza por tener todos sus polos
con la parte real igual a cero, o sea ubicados sobre el eje imaginario j del plano s.
Figura 1.19. a) Respuesta de un sistema oscilatorio. b) Ubicación de los polos de un
sistema oscilatorio en el plano s
Fuente: el autor
1.5 Estabilidad absoluta en sistemas en tiempo discreto
Basados en el análisis de estabilidad en tiempo continuo en el dominio de
Laplace, podemos extender estos resultados al tiempo discreto en el dominio z
usando la ecuación (1.5):
En la Figura 1.20 podemos observar cómo la zona rectangular rayada en
el plano s, que corresponde al ancho de banda de la señal muestreada, mapea
a la parte interna de un círculo en el plano z de radio uno. En consecuencia,
podemos hacer el siguiente análisis con respecto a la estabilidad absoluta en
sistemas en tiempo discreto:
32
Oscar Barrero Mendoza
Donde
Figura 1.20. Mapeo del plano s al plano z
es la frecuencia de muestreo y el tiempo de muestreo
Fuente: el autor
1.5.1 Sistema estable en tiempo discreto
Es aquel sistema cuya respuesta ante una entrada impulso se estabiliza en un
valor constante. Este tipo de sistemas en tiempo continuo se caracteriza porque
todos sus polos tienen una magnitud menor o igual a uno, o sea ubicados dentro o sobre el círculo unitario en el plano z.
Figura 1.21. a) Respuesta de un sistema estable. b) Ubicación de los polos de un
sistema estable
Fuente: el autor
1.5.2 Sistema inestable en tiempo discreto
Es aquel sistema cuya respuesta ante una entrada impulso crece o decrece indefinidamente. Este tipo de sistemas se caracteriza por tener por lo menos unos
Sistemas de control digital
33
de sus polos con magnitud mayor que uno, o sea por fuera del circulo unitario
en el plano z.
Figura 1.22. a) Respuesta de un sistema inestable. b) Ubicación de los polos
de un sistema inestable en el plano z
Fuente: el autor
1.5.3 Sistema oscilatorio
Es aquel sistema cuya respuesta ante una entrada impulso se mantiene oscilatoria entre dos valores. Este tipo de sistemas se caracteriza por tener todos sus
polos con magnitud igual a uno, o sea ubicados sobre el círculo unitario en el
plano z.
Figura 1.23. a) Respuesta de un sistema oscilatorio. b) Ubicación de los polos
de un sistema oscilatorio en el plano z
Fuente: el autor
34
Oscar Barrero Mendoza
1.6 Análisis de error en estado estable
El análisis del error de estado estable nos sirve para determinar las condiciones
mínimas que un sistema en lazo cerrado debe tener para garantizar un error
cero en estado estable. En la Figura 1.24 se muestra un esquema tópico de un
lazo de control en lazo cerrado.
Figura 1.24. Sistema de control de lazo cerrado en tiempo discreto
Fuente: el autor
Donde:
Aplicando el teorema del valor final en z, tenemos que el valor del error en
estado estable está definido como:
1.6.1 Respuesta de estado estable ante una entrada paso
La entrada paso unitario en z está definida como:
De aquí el
ante una entrada paso está dado por:
Ahora, si definimos:
Sistemas de control digital
35
Donde es la constante de error de posición estática, el error de estado
estable queda definido por la siguiente expresión:
En consecuencia, como estamos buscando condiciones para garantizar un
ess = 0, proseguimos con el siguiente análisis:
Para que el
observamos lo siguiente:
. Si analizamos las condiciones para que
,
O sea que para que
el límite cuando z → 1 de la función de transferencia pulso C(z)G(z) debe tener por lo menos un polo en z = 1. Este es un
resultado bastante importante en teoría de control, puesto que estamos demostrando que cuando tenemos un sistema tipo 0 (sin polos en z = 1), nuestro
controlador debe tener un polo en z = 1 para garantizar un
ante una
entrada paso, esto es mejor conocido como una acción integradora.
1.6.2 Respuesta de estado estable ante una entrada rampa
La entrada rampa en z está definida por:
De aquí el
ante una entrada rampa esté dado por:
Ahora, si definimos:
Donde es la constante de error de velocidad estática, el error de estado
estable queda definido por la siguiente expresión
36
Oscar Barrero Mendoza
De aquí, para que,
. Haciendo un análisis similar al del
punto anterior, podemos concluir que para que el límite cuando z → 1 de la
función de transferencia C(z)R(z) debe tener por lo menos dos polos en z = 1.
1.6.3 Respuesta de estado estable ante una entrada parabólica
La entrada rampa en z está definida por:
De aquí el
ante una entrada parabólica está dado por:
Ahora, si definimos:
Donde es la constante de error de aceleración estática, el error de estado estable queda definido por la siguiente expresión:
De aquí, para que
. Haciendo un análisis similar al del
punto anterior, podemos concluir que para que
el límite cuando
de la función de transferencia
debe tener por lo menos tres polos en
.
1.7 Respuesta a perturbaciones
Además de garantizar error cero de estado estable, en un sistema de control en
lazo cerrado se deben conocer las condiciones para las cuales el sistema tiene
un mejor rechazo a las perturbaciones. En la Figura 1.25 se puede observar
dos tipos de perturbaciones tópicas en un sistema de control de lazo cerrado, a saber; ruido de proceso -W(z)- y ruido de medición V (z). El ruido de
proceso está relacionado con las entradas externas desconocidas al sistema e
Sistemas de control digital
37
incertidumbres en parámetros del modelo o dinámicas no modeladas. De otro
lado, el ruido de medición (V (z)) está relacionado con el error que presenta el
instrumento de medición y el ruido que del ambiente se puede inducir en este.
Figura 1.25. Sistema de control en lazo cerrado con ruido de proceso y de medición
Fuente: el autor
1.7.1 Respuesta a perturbaciones para ruido de proceso W(z)
Para analizar las condiciones que se deben dar en el sistema, con el fin de que
la respuesta Y (z) se vea afectada lo mínimamente posible por un ruido de
proceso, tomaremos el sistema mostrado en la Figura 1.26, que corresponde al
esquema de la Figura 1.25 con R(z) = 0 y V (z) = 0:
Figura 1.26. Esquema en lazo cerrado de la respuesta a perturbaciones tipo ruido de
proceso
Fuente: el autor
De aquí, la función de transferencia pulso es la siguiente:
Por lo tanto, para que la ganancia de la función de transferencia
tienda a cero, la ganancia del controlador C(z) debe tender a infinito, o sea ser grande.
38
Oscar Barrero Mendoza
1.7.2 Respuesta a perturbaciones para ruido de medición
Para analizar las condiciones que se deben dar en el sistema, con el fin de que
la respuesta Y (z) se vea afectada lo mínimamente posible por un ruido de medición, tomaremos el sistema mostrado en la Figura 1.27, que corresponde al
esquema de la Figura 1.25 con R(z) = 0 y W(z) = 0:
Figura 1.27. Esquema en lazo cerrado de la respuesta a perturbaciones
tipo ruido de medición
Fuente: el autor
De aquí, la función de transferencia pulso es la siguiente:
Por lo tanto, para que la ganancia de la función de transferencia Y (z)/V
(z) tienda a cero, la ganancia de G(z)C(z) debe tender a cero, o sea la ganancia
del controlador debe ser pequeña.
1.8 Problemas propuestos
1.8.1 Basados en la magnitud del espectro de la señal x(t) que se muestra en la
Figura 1.28.
Figura 1.28 Magnitud del espectro de la señal x(t)
Fuente: el autor
Sistemas de control digital
39
1.8.2 La frecuencia de muestreo para evitar el efecto de traslape debe ser:
a.
b.
c.
d. Ninguna de las anteriores
1.8.3 Cuál de las siguientes relaciones es la correcta:
a.
b.
c.
1.8.4 Considere la región del plano s que se muestra en la Figura 1.29. Dibuje
las regiones correspondientes en el plano z. El periodo de muestreo T es 0.3
segundos.
1.8.5 Explique en qué consiste el efecto de traslape (aliasing) y dé una solución
para evitarlo.
Figura 1.29. Problema 1.8.4
Fuente: el autor
1.8.6 Defina la región en el plano z donde la ubicación de los polos en el plano
s corresponde a ζ ≤ 0.5.
1.8.7 En un análisis de estado estacionario de un sistema de control digital realimentado, la constante de error de velocidad estática Kv está dada por:
a.
40
Oscar Barrero Mendoza
b.
c.
1.8.8 Demuestre que:
1.8.9 Demuestre que para garantizar que el error en estado estacionario ante
una entrada paso del sistema en lazo cerrado mostrado en la Figura 1.30 sea
cero, es suficiente con que el producto de
tenga un polo en z = 1.
Figura 1.30. Lazo cerrado de control en tiempo discreto
Fuente: el autor
1.8.10 Los modelos basados en datos de entrada-salida, son conocidos como:
a. Modelos de caja gris
b. Modelos de caja rosada
c. Modelos de caja negra
d. Modelos de caja blanca
1.8.11 La función de transferencia de un retenedor de orden cero es:
a.
b.
c.
d.
1.8.12 Considere la región del plano s que se muestra en la Figura 1.31. Hallar
la región correspondiente en el plano z, teniendo en cuenta que
. El periodo de muestreo T = 0.3 s. De acuerdo a la región mapeada, indique la zona
de estabilidad, inestabilidad y críticamente estable.
Sistemas de control digital
41
Figura 1.31. Zona de estabilidad plano s
Fuente: el autor
1.8.13 Defina la región en el plano z donde la ubicación de los polos en el plano
s corresponde a ζ ≤ 0.5
42
Oscar Barrero Mendoza
Capítulo 2
Métodos clásicos de diseño de compensadores
en tiempo discreto para sistemas siso
En este capítulo trataremos el tema del diseño de compensadores o controladores usando métodos clásicos para sistemas siso basados en modelos representados en función de transferencia (Astrom & Wittenmark, 1997; Phillips
& Nagle, 1994). Es importante anotar que el objetivo principal de estos controladores es manipular la respuesta transitoria en lazo cerrado, puesto que en
ese instante es en el que se puede hacer una gran diferencia en el desempeño
del sistema en lazo cerrado, ver Figura 2.1. Por ejemplo, si la respuesta se puede hacer más rápida, podemos ahorrar energía, disminuir los tiempos de producción, evitar el desgaste de las piezas de un sistema, etc. Todo esto redunda
en que finalmente el proceso que se está interviniendo va a ser más eficiente,
amigable con el medio ambiente, con productos de altos estándares de calidad,
entre otros aspectos, que es lo que finalmente le interesa al dueño del proceso.
Figura 2.1. Respuesta paso típica de un sistema de segundo orden
Fuente: el autor
Sistemas de control digital
43
Es importante resaltar que los diseños de los controladores que se tratan
en este libro se desarrollan con base a modelos matemáticos de sistemas dinámicos; por lo tanto, en la siguiente sección se dará una introducción al tema.
1.2 Modelamiento de sistemas dinámicos
Como se mencionó, el modelamiento de los sistemas dinámicos es una etapa
muy importante en el diseño de controladores basados en modelos matemáticos, tanto así que se estima que, en el diseño de sistemas de control, la obtención de un buen modelo matemático se toma entre el 60 % al 80 % del trabajo
total. Por lo tanto, en esta sección describiremos los tipos de modelamiento
y algunas de las clases más usadas de modelos matemáticos (Friedlan, 2005).
Desde el punto de vista de los métodos de modelamiento y tomando como
ejemplo el circuito rlc mostrado en la Figura 2.2, podemos resumirlos en tres:
Figura 2.2 Circuito serie rlc
Fuente: el autor
2.1.1 Modelos basados en principios físicos fundamentales
También conocidos como modelos de caja blanca (Kulakowski, Gardner, &
Shearer, 2007). En este caso, los parámetros de las ecuaciones diferenciales tienen un significado físico, que son R, resistencia; L, inductancia y C capacitancia, ver Figura 2.3.
Figura 2.3. Modelo de caja blanca del circuito rlc
Fuente: el autor
44
Oscar Barrero Mendoza
2.1.2 Modelos basados en datos de entrada-salida
También conocidos como modelos de caja negra (Ljung, 1999). En este caso,
los parámetros de las ecuaciones que son a1, b1 y b2 no tienen ningún significado
físico, estos son obtenidos ajustando la respuesta dinámica del modelo a los
datos de entrada-salida, ver Figura 2.4.
Figura 2.4. Modelo de caja negra del circuito rlc
Fuente: el autor
2.1.3 Modelos basados en los principios físicos fundamentales y datos de entrada-salida
También conocidos como modelos de caja gris (Bohlin, 2006). En este caso,
algunos de los parámetros del modelo son obtenidos al ajustar la respuesta del
modelo a los datos de entrada-salida usando técnicas de optimización o ajuste
de curvas, y otros son obtenidos de los principios físicos fundamentales. Es
importante anotar que el conjunto de ecuaciones diferenciales que caracterizan
el sistema, también son obtenidos basados en principios físicos, ver Figura 2.5.
Figura 2.5. Modelo de caja gris del circuito RLC
Fuente: el autor
Por otro lado, se debe tener en cuenta cuál es el uso final de los modelos
para así mismo tener claridad sobre cuál es el tipo de modelo matemático que
se necesita. Entre los diferentes tipos de modelos se tiene:
2.1.3.1 Modelo determinístico
Es aquel que representa un sistema dinámico con base a relaciones exactas entre sus variables y se expresa sin incertidumbre, por ejemplo:
Sistemas de control digital
45
Donde x(t) es la variable dinámica, u(t) la entrada y a y b, parámetros del
sistema. En este ejemplo, al resolver la ecuación diferencial se puede determinar exactamente el valor de x(t) para cualquier instante de tiempo t, algo que
no ocurre con un modelo estocástico.
2.1.3.2 Modelo estocástico
Es aquel que representa un sistema dinámico usando relaciones determinísticas y aleatorias entre sus variables, por ejemplo:
Donde x(t) es la variable dinámica, u(t) la entrada, a y b parámetros del
sistema y w(t), una variable aleatoria. En este ejemplo, al resolver la ecuación
diferencial no es posible conocer el valor exacto de x(t) para un instante de
tiempo dado t, debido a la variable aleatoria w(t). En este caso, aunque no es
posible saber el valor exacto de x(t), sí se puede expresar esta en función de sus
propiedades estadísticas, como son el valor promedio y la desviación estándar,
en el caso de una distribución gaussiana.
2.1.3.3 Modelo estático
Es aquel que se basa solo en información presente de las variables, y está descrito por una ecuación algebraica.
2.1.3.4 Modelo dinámico
Es aquel que se basa en información presente y pasada de las variables, y está
descrito por una ecuación diferencial.
2.1.3.5 Modelo en tiempo continuo
Es aquel que nos permite tener información de las variables en cualquier instante de tiempo.
46
Oscar Barrero Mendoza
2.1.3.6 Modelo en tiempo discreto
Es aquel que nos permite tener información de las variables solo en los instantes de tiempo k. Estos modelos se caracterizan por tener un tiempo de muestreo constante, Ts.
2.1.3.7 Modelo de parámetros concentrados
Es aquel en el cual se asume que las propiedades físicas de un sistema se pueden concentrar en un solo punto y su variación solo depende del tiempo. Este
tipo de modelo se caracteriza por ser representado por ecuaciones diferenciales
ordinarias (ode).
Figura 2.6. Sistema de parámetros concentrados
Fuente: el autor
Donde T es temperatura, k es el coeficiente de transferencia de calor.
2.1.3.8 Modelo de parámetros distribuidos
Es aquel en el cual se asume que las propiedades físicas de un sistema se pueden
distribuir espacialmente y su variación depende del tiempo y el espacio. Este
tipo de modelo se caracteriza por estar representado por ecuaciones diferenciales parciales (pde).
Sistemas de control digital
47
Figura 2.7. Sistema de parámetros distribuidos
Fuente: el autor
Donde T es el calor y α es la difusividad térmica.
2.2 Validación
Después de obtener el modelo matemático es importante saber cuál es la calidad del modelo, o sea que también representa la dinámica del sistema real, para
esto se pueden hacer dos tipos de validaciones, a saber, validación cuantitativa
y validación cualitativa.
2.2.1 Validación cualitativa
Esta validación consiste en hacer un análisis visual sobre la respuesta del modelo ante una excitación externa. Este análisis se hace con base en el conocimiento
previo que tiene el modelador sobre el comportamiento dinámico que debe
tener el sistema.
2.2.2 Validación cuantitativa
Esta validación consiste en definir un índice numérico que nos permita valorar
el ajuste de la respuesta del modelo con respecto al sistema original. Entre los
indicadores más usados tenemos:
• La raíz cuadrada del error medio cuadrático, o en inglés Root Mean
Square Error (rmse)
donde n es el número de datos, y y es la señal de salida del sistema.
48
Oscar Barrero Mendoza
• El error medio cuadrático, o en inglés Mean Square Error (mse)
Por lo tanto, para calcular estos índices es necesario hacer pruebas y capturar datos de la respuesta del sistema real, para luego repetir estas mismas pruebas en el modelo, y así poder obtener la información necesaria
para el cálculo de los índices de ajuste, ver Figura 2.8
Figura 2.8. Prueba para la validación cualitativa de un modelo matemático
Fuente: el autor
2.3 Análisis de la respuesta de un sistema de segundo orden
Cuando se diseña un sistema de control en lazo cerrado, se busca es que la
respuesta transitoria del sistema ante una entrada paso tenga un comportamiento predominantemente de segundo orden, ver Figura 2.9. Por esta razón
es muy importante estudiar esta respuesta antes de entrar a explicar los métodos de diseño.
Sistemas de control digital
49
Figura 2.9. Respuesta de un sistema de segundo orden ante una entrada
Fuente: el autor
En la Figura 2.9 observamos la respuesta típica de un sistema de segundo
orden ante una entrada paso, donde:
• tp = Tiempo en el que ocurre el pico máximo de amplitud.
• tr = Tiempo de elevación, que es el tiempo que la respuesta tarda de ir del
10 % al 90 %.
• ts = Es el tiempo de establecimiento, que es el tiempo que la respuesta
tarda en entrar en la banda de tolerancia, que está entre el 1 y 2 % del
valor de la respuesta de estado estable.
• Mp = Sobreimpulso, es la diferencia entre el valor máximo de la respuesta
y el valor de estado estable.
por:
La función de transferencia de un sistema de segundo orden está dada
O sea que los polos son:
Y se pueden graficar en el plano s, como se muestra en la Figura 2.10:
50
Oscar Barrero Mendoza
Figura 2.10. Ubicación en el plan s de los polos del sistema de segundo orden
Fuente: el autor
Donde
, se denomina frecuencia natural amortiguada,
frecuencia natural no amortiguada y ζ coeficiente de amortiguamiento. En
consecuencia, podemos relacionar la ubicación de los polos s1 y s2 con la respuesta transitoria del sistema de segundo orden de la siguiente manera:
•
•
•
•
, criterio con banda de tolerancia del 1 %.
•
, criterio con banda de tolerancia del 2 %.
•
Como resultado del análisis anterior, podemos relacionar las características de la respuesta deseada en el tiempo con los polos de la función de transferencia de un sistema de segundo orden. Se debe anotar que esta es la base para
los métodos de diseño que se introducirán a continuación.
2.4 Diseño de compensadores basados en la respuesta en el tiempo
Con el fin de introducir el método de diseño, se empezará enunciando el problema que se quiere resolver:
Sistemas de control digital
51
2.4.1 Problema
Dado un sistema de control en lazo cerrado, como el mostrado en la Figura
2.11, cuya función de transferencia es:
Figura 2.11. Diagrama de bloques sistema de control discreto en lazo cerrado
Fuente: el autor
(2.1.)
Se requiere diseñar un compensador cuya función de transferencia pulso
C(z), haga que los polos de la función de transferencia en lazo cerrado
,
sean los propuestos por el diseñador de acuerdo a la respuesta transitoria en el
tiempo deseada para el sistema.
Solución
Como se mencionó anteriormente, la estabilidad relativa depende de la ubicación de los polos en el plano complejo de Laplace s de un sistema. Adicionalmente, la estabilidad relativa es la que nos define cómo es la respuesta transitoria de un sistema, Figuras 2.9 y 2.10. Como nuestro objetivo es diseñar un
sistema de control tal que la respuesta completa, estado estacionario y estable
sea la especificada por el diseñador, empezaremos analizando la ecuación característica del sistema en lazo cerrado, ecuación (2.1), o sea:
que:
Por lo tanto, con el fin de que Gcl(z) tenga los polos deseados, se debe dar
En consecuencia, el método de diseño consiste en hallar un C(z) tal que se
cumplan las siguientes condiciones:
52
Oscar Barrero Mendoza
Condición de Fase:
Condición de Magnitud:
2.4.2 Desarrollo del método de diseño
Como se vio en la sección anterior, el método de diseño consiste básicamente
de dos pasos, los cuales desarrollaremos a continuación empleando un ejemplo:
Ejemplo 1
Se desea diseñar un compensador C(z) tal que la planta descrita por la función
de transferencia en tiempo continuo:
Que tenga una respuesta en lazo cerrado con las siguientes características:
, con el criterio del 1%, y ζ = 0.6.
Pasos del método
Cálculo del tiempo de muestreo T
Con base en la frecuencia natural amortiguada , la cual se puede tomar aproximadamente como el ancho de banda de la señal de respuesta en lazo cerrado,
ecuación (1.9), se calcula el tiempo de muestreo T para el sistema teniendo en
cuenta la siguiente restricción:
Donde Td se define como:
Sistemas de control digital
53
Entonces:
De aquí que:
0.3415 s ≤ T ≤ 1.0244s.
Por lo tanto, se puede tomar T = 0.5 s, por facilidad en los cálculos siguientes:
Cálculo de los polos deseados
Para calcular los polos deseados en lazo cerrado, lo primero que tenemos que
definir o especificar son las características de la respuesta dominante en lazo
cerrado. Estas características se deben basar en la respuesta paso de un sistema
de segundo orden, como se presentó en la sección 2.3. Así para nuestro ejemplo, como conocemos , ζ y los polos deseados están definidos como:
Primero debemos calcular
:
Y luego los polos deseados:
Condición de fase
Para hacer cumplir la condición de fase de acuerdo a la expresión (2.2), se debe
tener en cuenta tanto la respuesta en estado estable como la de estado estacionario. Así, lo primero que se debe verificar es si la función de transferencia
pulso de la planta
posee por lo menos un polo en z = 1, como se vio en
la sección 1.5, con el fin de garantizar un error cero en estado estable ante una
54
Oscar Barrero Mendoza
entrada paso. En consecuencia, comenzaremos con discretizar la función de
transferencia
de la planta:
De la Tabla 1.1 tenemos:
Entonces:
En consecuencia, como no tiene ningún polo en z = 1 se debe garantizar
esto, haciendo que la función de transferencia pulso del controlador
sí lo
tenga. De aquí se define:
De tal forma que el producto:
O sea que si se evalúa el producto
ecuación (2.3) se obtiene:
Sistemas de control digital
para cuando
en la
55
Para escoger el signo de 180◦ se debe tener en cuenta que
ser mayor a ±180◦ para facilidad en los cálculos, de aquí:
no debe
En consecuencia, como la compensación en fase necesitada es positiva, la
función de transferencia C′(z) tendrá la siguiente forma:
Luego, si se hace
se puede calcular
como sigue:
Finalmente, la función de transferencia pulso del controlador
hace cumplir la condición de fase es:
que
Como se puede observar, en C(z) aún falta por definir la ganancia K, este
valor se obtiene haciendo cumplir la condición de magnitud.
56
Oscar Barrero Mendoza
Condición de magnitud
La condición de magnitud sirve para calcular la ganancia K del controlador;
entonces, de acuerdo a la expresión (2.4) se puede hallar K como sigue:
De aquí se obtiene:
K = 1.5328
Por lo que la función de transferencia pulso del controlador queda definida como:
Validación del diseño
Para la validación del diseño, se calculan los polos en lazo cerrado del sistema;
si entre los polos en lazo cerrado se encuentran los polos deseados , el diseño
está correcto, de lo contrario no, y habría que revisar los pasos anteriores para
encontrar el error de cálculo. Por consiguiente, primero se calcula la función de
transferencia pulso en lazo cerrado
:
A continuación se hallan los polos en lazo cerrado, que son las raíces de
la ecuación característica de
, los cuales nos dan igual a 0.6018 ± j0.1906.
Comparando este resultado con los polos deseados , podemos concluir que el
diseño está correcto, como así también lo confirma la respuesta paso de
que se muestra en la Figura 2.12. Aquí se puede observar que el
s y con
un sobre impulso correspondiente a un ζ = 0.6, como se especificó al comienzo
del problema.
Sistemas de control digital
57
Figura 2.12. Respuesta paso sistema en lazo cerrado
Fuente: el autor
Una vez validado el diseño, se debe definir la ecuación en diferencia del
controlador para su implementación en un dispositivo digital. Entonces, como
se sabe que:
Del esquema de la Figura 2.11, donde E(z) es el error y U(z) la acción de
control, la ecuación en diferencia la hallamos de la siguiente manera:
Multiplicando a ambos lados por
potencias negativas se tiene:
para dejar los términos de z con
Finalmente, la ecuación en diferencia del controlador es:
58
Oscar Barrero Mendoza
A continuación, se muestra el código en Matlab usado para el diseño del
compensador basado en la respuesta en el tiempo.
Código de Matlab
Diseño de Compensador Basado en la Respuesta en el Tiempo
%% Definición función de transferencia
%% planta en tiempo continuo
>> Gps=tf(1,[1 0.1])
Gps =
1
-----s + 0.1
%% Definición del tiempo de muestreo con base a la
%% respuesta de lazo cerrado
>> zeta=0.6;
>> ts=10;
>> wn=4.6/(zeta*ts);
>> wd=wn*sqrt(1-zeta^2);
>> Td=2*pi/wd;
%%% Td/30 < T < Td/10
>> T=0.5;
%% Discretización de la planta
>> Gz=c2d(Gps,T)
0.4877
-----------z - 0.9512
%% Cálculo de los polos deseados en lazo cerrado >> zd = exp(-zeta*wn)*(cos(T*wd)+j*sin(T*wd))
zd = 0.6018 + 0.1906i
%% Cálculo de la fase de la planta con polo en
%% z=1 evaluado en z=zd
>> z=zd
>> alfa=angle(0.4877/((z-1)*(z-0.9512)))*180/pi alfa =
54.1885
%% Cálculo de la compensación en fase que debe
%% aportar C’(z) >>
theta=180-alfa theta =
125.8115
Sistemas de control digital
59
%% Cálculo de z1
>> z1=-imag(zd)/tand(theta)+real(zd) z1 =
0.7393
%% Cálculo de la ganancia del controlador C(z)
>> K=1/abs(0.4877*(z - z1)/((z-0.9512)*(z-1)))
K = 1.5328
%% Definición de la función de transferencia pulso
%% del controlador C(z)
>> Cz=tf(K*[1 -z1],[1 -1],T)
Cz =
1.533 z - 1.133
-------------------z-1
Sample time: 0.5 seconds
Discrete-time transfer function.
%% Cálculo de la función de transferencia pulso
%% en lazo cerrado Gcl(z)
>> Gclz=feedback(Gz*Cz,1);
>> zpk(Gclz) ans =
0.74755 (z-0.7393)
---------------------------(z^2 - 1.204z + 0.3985)
Sample time: 0.5 seconds
Discrete-time zero/pole/gain model.
%% Cálculo de los polos en lazo cerrado de Gcl(z)
>> pole(Gclz) ans =
0.6018 + 0.1906i
0.6018 - 0.1906i
%% Generar figura de la respuesta paso del sistema
%% en lazo cerrado
>> step(Gclz)
Ejemplo 2
Se desea diseñar un compensador
para controlar la velocidad angular del
rotor
de un motor DC con excitación independiente, con base al voltaje de
armadura
La función de transferencia en tiempo continuo del motor es:
60
Oscar Barrero Mendoza
Se desea que el sistema en lazo cerrado tenga una respuesta con las siguientes características
Pasos del método
Cálculo del tiempo de muestreo T
Como se vio en la sección 2.3, el sobre impulso
la siguiente manera:
se puede relacionar con ζ de
De aquí ζ = 0.5912. Para el cálculo de
, se toman las ecuaciones
de la sección 2.3. Como resultado se obtiene
3.0034 s. Por lo tanto, el tiempo de muestreo T puede estar en el
rango:
Por lo que se toma el tiempo de muestreo T = 0.2 s.
1. Cálculo de los polos deseados
Los polos deseados en lazo cerrado
se calculan de acuerdo a:
Condición de fase
Para hacer cumplir la condición de fase de acuerdo a la expresión (2.2), se debe
tener en cuenta tanto la respuesta en estado estable como la de estado estacionario. Así, lo primero que tenemos que verificar es si la función de transferencia pulso de la planta
posee por lo menos un polo en z = 1, como se vio en
la sección 1.5, con el fin de garantizar un error cero en estado estable ante una
entrada paso. En consecuencia, primero se discretiza la función de transferencia
de la planta:
Sistemas de control digital
61
Como este término no se encuentra en las tablas de transformada s a z, se
puede hacer una expansión en fracciones parciales:
Entonces:
Luego, discretizando cada término y manipulándolos algebraicamente se
obtiene:
En consecuencia, como
no tiene ningún polo en
se debe garantizar esto, haciendo que la función de transferencia pulso del controlador
sí lo tenga. De aquí definimos:
De tal forma que el producto:
O sea que si se evalúa el producto
ecuación (2.3) se obtiene:
62
para cuando
en la
Oscar Barrero Mendoza
Para escoger el signo de 180◦ se debe tener en cuenta que
ser mayor a ±180◦, de aquí:
no debe
En consecuencia, como la compensación en fase necesitada es positiva, la
función de transferencia C′(z) tendrá la siguiente forma:
Luego, si se hace
se puede calcular
como sigue:
Finalmente, la función de transferencia pulso del controlador C(z) que
hace cumplir la condición de fase es:
Como se puede observar, en C(z) aún falta por definir la ganancia K, este
valor se obtiene haciendo cumplir la condición de magnitud.
Condición de magnitud
La condición de magnitud nos sirve para calcular la ganancia K del controlador; entonces, de acuerdo a la expresión (2.4) se puede hallar K como sigue:
Finalmente, la función de transferencia pulso del controlador queda definida como:
Sistemas de control digital
63
Validación del diseño
Para la validación del diseño, se calculan los polos en lazo cerrado del sistema;
si entre los polos en lazo cerrado se encuentran los polos deseados zd, el diseño
está correcto, de lo contrario no, y habría que revisar los pasos anteriores para
encontrar el error de cálculo. Por consiguiente, primero se calcula la función de
transferencia pulso en lazo cerrado Gcl(z)
A continuación se hallan los polos en lazo cerrado, que son las raíces de
la ecuación característica de Gcl(z), los cuales nos dan igual a 0.6724±0.2990i,
0.0303. Comparando este resultado con los polos deseados zd, se concluye que
el diseño está correcto, como así también lo confirma la respuesta paso de Gcl(z)
que se muestra en la Figura 2.13. Aquí se puede observar que el ts = 3 s como
se especificó al comienzo del diseño; sin embargo, el sobre impulso es del 25 %
que es superior al 10 % que se propuso, este comportamiento no deseado se
debe a los ceros y el polo adicional en z = 0.0303, que aunque no son dominantes influencian la respuesta transitoria del sistema.
Figura 2.13. Respuesta paso sistema en lazo cerrado
Fuente: el autor
A continuación, se muestra el código en Matlab usado para el diseño del
compensador basado en la respuesta en el tiempo.
64
Oscar Barrero Mendoza
Código de Matlab
Diseño de Compensador Basado en la Respuesta en el Tiempo
%% Definición de la función de transferencia de
%% la planta en tiempo continuo
>> num =40.7591.
>> den =[1.0000 105.5094 54.0575].
>> Gps=tf(num,den).
%% Definición del tiempo de muestreo
>> ts=3. % Tiempo de establecimiento [seg]
>> Mp= 0.1. % Sobreimpulso
>> zeta=-log(Mp)/sqrt(pi^2+log(Mp)^2).
>> wn=4.6/(zeta*ts).
>> wd=wn*sqrt(1-zeta^2).
>> Td=2*pi/wd.
%% Td/30 < T < Td/10 => 0.1001 < T < 0.3003
>> T=0.2.
%% Cálculo de los polos deseados
>> zd=exp(-T*zeta*wn)*(cos(T*wd)+j*sin(T*wd))
zd =
0.6724 + 0.2990i
%% Discretización planta
>> Gz=c2d(Gps,T,’zoh’).
>> zpk(Gz)
ans =
0.070425 (z+0.0476)
-----------------------z (z-0.9022)
%% Cálculo fase de la planta con acción
%% integradora, polo en z=1 evaluado en z=zd
>> z=zd.
>> alfa=angle((z+0.0476)/((z-1)*z*...
(z-0.9022)))*180/pi
alfa = 93.4237
%% Cálculo de la compensación en fase que debe
%% aportar C’(z)
>> theta=180-alfa.
Sistemas de control digital
65
%% Cálculo de z1
>> z1=-0.2990/tand(theta)+0.6724
z1 = 0.6545
%% Cálculo de la ganancia del controlador C(z)
>> K=1/abs(0.070425*(z-z1)*(z+0.0476)/((z-1)*...
z*(z-0.9022)))
K = 7.4838
%% Definición de la función de transferencia
%% pulso del controlador C(z)
>> Cz=tf(K*[1 -z1],[1 -1],T).
>> zpk(Cz)
ans =
7.4838 (z-0.6545)
----------------------(z-1)
Sample time: 0.2 seconds
Discrete-time zero/pole/gain model.
%% Cálculo de la función de transferencia pulso
%% en lazo cerrado Gcl(z)
>> Gclz=feedback(Gz*Cz,1).
>> zpk(Gclz)
ans =
0.52704 (z-0.6545) (z+0.0476)
-----------------------------------------(z-0.03032) (z^2 - 1.345z + 0.5415)
Sample time: 0.2 seconds
Discrete-time zero/pole/gain model.
%% Cálculo de los polos en lazo cerrado de Gcl(z)
>> pole(Gclz)
ans =
0.6724 + 0.2990i
0.6724 - 0.2990i
0.0303
%% Generar figura de la respuesta paso del
%% sistema en lazo cerrado
>> step(Gclz)
66
Oscar Barrero Mendoza
Ejemplo 3
Diseñar un compensador para controlar el ángulo de rotación de una antena
parabólica con las siguientes especificaciones de diseño: ζ = 0,8, y ts = 10 s. La
función de transferencia del sistema es:
Solución
Cálculo del tiempo de muestreo T
Basados en las especificaciones de diseño calculamos primero el periodo de la
frecuencia natural amortiguada
Luego, se calcula T de tal forma que este en el rango
o sea 0.6071 ≤ T ≤ 1.8212, por facilidad en los cálculos se toma T = 1 s
,
Cálculo de los polos deseados
Los polos deseados en lazo cerrado se calculan de acuerdo a:
Condición de fase
Primero se necesita discretizar la planta Gp(s):
En este caso se observa que
tiene un polo en
, por lo tanto, el
compensador
no necesita tener este polo, como sí se hizo en los ejemplos
Sistemas de control digital
67
anteriores. Ahora, se verifica cuál es la compensación en fase que se necesita
hacer por el compensador de tal forma que se cumpla la condición de fase, que
consiste en evaluar la ecuación (2.3) como sigue:
Analizando la compensación en fase que debe hacer
, se puede pensar en que como la compensación es positiva, el compensador debería tener la
siguiente estructura:
Pero es importante notar que este tipo de función de transferencia pulso
corresponde a un sistema no causal, o sea que la respuesta ocurre primero que
la excitación, algo que no corresponde con la realidad de los procesos físicos.
Por lo tanto, es importante mencionar que en toda función de transferencia
pulso el orden del polinomio del numerador debe ser menor o igual al del denominador para evitar que el sistema sea no causal. En consecuencia, se propone una nueva estructura:
Con esta nueva estructura, para hacer cumplir la condición de fase se tendrían dos incógnitas, los ángulos de
y
; por lo tanto, se debe
fijar uno y con el otro hacer cumplir la condición de fase. En consecuencia, se
puede hacer p1 igual a un cero de la planta, se recomienda uno que este lejos del
círculo unitario para evitar problemas de estabilidad. Como en nuestro ejemplo no hay sino uno en
, tomaremos este así:
68
Oscar Barrero Mendoza
De aquí que la condición de fase queda:
Luego, se calcula
Como resultado tenemos:
Condición de magnitud
Haciendo cumplir la condición de magnitud, se puede calcular la ganancia k
del compensador:
Como resultado, la función de transferencia pulso del compensador C(z)
es la siguiente:
Validación del diseño
Para la validación del diseño se deben calcular los polos en lazo cerrado del
sistema y compararlos con los polos dominantes deseados en lazo , cerrado
si estos son iguales, el diseño está correcto, por lo tanto:
Sistemas de control digital
69
De aquí los polos en lazo cerrado son: −0.9672, y 0.5941 ± j0.2135, donde
estos últimos corresponden a los polos dominantes deseados zd, por lo que se
puede concluir que el diseño quedó correcto y debe cumplir con las especificaciones de diseño, como se observa en la Figura 2.14.
Figura 2.14. Respuesta paso sistema en lazo cerrado
Fuente: el autor
A continuación, se muestra el código en Matlab usado para el diseño del
compensador basado en la respuesta en el tiempo.
Código de Matlab
Diseño de Compensador Basado en la Respuesta en el Tiempo
%% Definición de la función de transferencia de
%% la planta en tiempo continuo
>> num =1.
>> den =[10 1 0].
>> Gps=tf(num,den).
>> s=tf(‘s’).
>> Gps=1/(s*(10s+1))
%% Definición del tiempo de muestreo
>> ts=10. % Tiempo de establecimiento [seg]
>> zeta=0.8.
>> wn=4.6/(zeta*ts).
>> wd=wn*sqrt(1-zeta^2).
>> Td=2*pi/wn.
70
Oscar Barrero Mendoza
Td= 18.2121
%% Td/30 < T < Td/10 => 0.6071 < T < 1.8212
>> T=1.
%% Cálculo de los polos deseados
>> zd=exp(-T*zeta*wn)*(cos(T*wd)+j*sin(T*wd))
zd =
0.5941 + 0.2135i
%% Discretización planta
>> Gz=c2d(Gps,T,’zoh’).
>> zpk(Gz)
ans =
0.048374 (z+0.9672)
-------------------------(z-1) (z-0.9048)
Sample time: 1 seconds
Discrete-time zero/pole/gain model.
%% cálculo fase de la planta con acción
%% integradora, polo en z=1 evaluado en z=zd
>> z=zd.
>> alfa=angle(0.048374/((z-1)*(z-0.9048)))...
*180/pi
alfa = 62.2367
%% Cálculo de la compensación en fase que debe
%% aportar C’(z) en grados
>> theta=180-alfa
theta = 117.7633
%% Cálculo de z1 tomando theta como theta/2,
%% para tener los dos ceros en z=z1
>> z1=-imag(zd)/tand(theta)+real(zd)
z1 = 0.7065
Sistemas de control digital
71
%% Cálculo de la ganancia del controlador C(z)
>> K=1/abs(0.048374*(z-z1)/((z-1)*(z-0.9048)))
K = 14.8143
%% Definición de la función de transferencia
%% pulso del controlador C(z)
>> Cz=tf(K*[1 -z1],[1 0.9672],T).
>> zpk(Cz)
ans =
14.8143 (z-0.7065)
-----------------------(z+0.9672)
Sample time: 1 seconds
Discrete-time zero/pole/gain model.
%% Cálculo de la función de transferencia pulso
%% en lazo cerrado Gcl(z)
>> Gclz=feedback(Gz*Cz,1).
>> zpk(Gclz)
ans =
0.71663 (z+0.9672) (z-0.7065)
------------------------------------------(z+0.9672) (z^2 - 1.188z + 0.3985)
Sample time: 1 seconds
Discrete-time zero/pole/gain model.
%%Cálculo de los polos en lazo cerrado de Gcl(z)
>> pole(Gclz)
ans =
-0.9672
0.5941 + 0.2135i
0.5941 - 0.2135i
%% Generar figura de la respuesta paso del
%% sistema en lazo cerrado
>> step(Gclz)
72
Oscar Barrero Mendoza
2.4.3 Diseño de controladores pid basados en la respuesta en el tiempo
Los controladores pid son los más populares en la industria debido a su fácil
ajuste, flexibilidad y robustez. Se dice que en los procesos industriales aproximadamente el 90 % de los controladores instalados son del tipo pid, es por
esta razón que es muy importante analizarlos. En esta sección se introducirá
un método de ajuste a la familia de controladores pid basados en la respuesta
en el tiempo (Goodwin, Graebe, & Salgado, 2001). La ecuación general de un
controlador pid en tiempo discreto se puede expresar de la siguiente forma:
Donde es la ganancia proporcional, la ganancia integral y
la ganancia derivativa. Como se puede observar en la ecuación (2.5) este controlador depende de tres acciones, a saber:
• Acción proporcional: Es la encargada de aproximar rápidamente la salida
de la planta al valor deseado. Su acción de control es proporcional al
error.
• Acción integral: Es la encargada de hacer el error en estado estable igual
a cero, o sea que la salida siga una referencia constante en estado estable.
Su acción de control es proporcional a la integral del error.
• Acción derivativa: Es la encargada de hacer reaccionar rápidamente el
sistema y corregir el error de la salida de este ante perturbaciones. Esta
acción es muy sensible al ruido de medición, así que si los sensores que
se usan tienen muchas perturbaciones, se recomienda usar una acción
derivativa con filtro pasa-bajos, para garantizar una correcta acción de
control. Su acción de control es proporcional a la derivada del error.
La ecuación (2.5) se puede reescribir de la siguiente manera:
Sistemas de control digital
73
Esta nueva ecuación (2.6) se puede comparar con el siguiente compensador:
De tal forma que:
Como resultado se pueden obtener los parámetros
en función
de los ceros
, y la ganancia k de la función de transferencia del compensador C(z), como se muestra a continuación:
De igual manera se puede hacer para un controlador PI o PD, de la siguiente manera:
2.4.3.1 Controlador PI
La función de transferencia pulso de un controlador PI es la siguiente:
Cuyo compensador equivalente es:
74
Oscar Barrero Mendoza
Por comparación tenemos que:
2.4.3.2 Controlador PD
La función de transferencia pulso de un controlador PD es la siguiente:
Cuyo compensador equivalente es:
Por comparación tenemos que:
Después de haber definido los compensadores equivalentes para los controladores pid podemos diseñarlos usando el método basados en la respuesta
en el tiempo.
Ejemplo 4
Diseñar un controlador pid con las mismas especificaciones y sistema del ejemplo 2. Por lo tanto, se pueden tomar los siguientes datos: Función de transferencia pulso de la planta:
Los polos deseados son
y el tiempo de muestreo T
= 0.2 s. Por otro lado, para el diseño del controlador pid se toma el siguiente
compensador equivalente:
Sistemas de control digital
75
Condición de fase
Para hacer cumplir la condición de fase, reescribiremos la función de transferencia pulso del controlador de la siguiente manera:
Así, evaluando el producto C(z)G(z) para cuando
guiente:
se obtiene lo si-
En consecuencia,
Ahora, como
que hacer cada cero
tanto:
76
la compensación de fase que tiene
puede ser la mitad de , de aquí que
, por lo
Oscar Barrero Mendoza
Como resultado C(z) queda definida como:
Condición de magnitud
Para calcular la ganancia k del controlador debemos hacer cumplir la condición de magnitud:
Finalmente, la función de transferencia pulso del controlador C(z) queda
definida como:
Cálculo de las ganancias del controlador pid
Las ganancias del controlador pid serán las siguientes:
En la Figura 2.15 se muestra la respuesta paso del sistema en lazo cerrado.
Figura 2.15. Respuesta paso en lazo cerrado del motor dc con un controlador pid
Fuente: el autor
Sistemas de control digital
77
A continuación, se muestra el código en Matlab usado para el diseño del
compensador basado en la respuesta en el tiempo.
Código de Matlab
Diseño de Controlador PID Basado en la Respuesta en el Tiempo
%% Definición de la función de transferencia de
%% la planta en tiempo continuo
>> num =40.7591;
>> den =[1.0000 105.5094 54.0575];
>> Gps=tf(num,den);
%% Definición del tiempo de muestreo
>> ts=3; % Tiempo de establecimiento [seg]
>> Mp= 0.1; % Sobreimpulso
>> zeta=-log(Mp)/sqrt(pi^2+log(Mp)^2);
>> wn=4.6/(zeta*ts);
>> wd=wn*sqrt(1-zeta^2);
>> Td=2*pi/wn;
%% Td/30 < T < Td/10 => 0.001 < T < 0.3003
>> T=0.2;
%% Cálculo de los polos deseados
>> zd=exp(-T*zeta*wn)*(cos(T*wd)+j*sin(T*wd))
zd = 0.6724 + 0.2990i
%% Discretización planta
>> Gz=c2d(Gps,T,’zoh’);
>> zpk(Gz)
ans =
0.070425 (z+0.0476)
------------------------z (z-0.9022)
%% Cálculo fase de la planta con acción
%% integradora, polo en z=1 evaluado en z=zd
>> z=zd;
>> alfa=angle((z+0.0476)/((z-1)*z^2*...
(z-0.9022)))*180/pi
alfa = 69.4507
%% Cálculo de la compensación en fase que debe
%% aportar C’(z)
>> theta=180-alfa;
%% Cálculo de z1 tomando theta como theta/2,
%% para tener los dos ceros en z=z1
78
Oscar Barrero Mendoza
>> z1=-0.2990/tand(theta/2)+0.6724
z1 = 0.4652
%% Cálculo de la ganancia del controlador C(z)
>> K=1/abs(0.070425*(z-z1)^2*(z+0.0476)/...
((z-1)*z^2*(z-0.9022)))
K = 12.4639
%% Definición de la función de transferencia
%% pulso del controlador C(z)
>> Cz=tf(K*conv([1 -z1],[1 -z1]),[1 -1 0],T);
>> zpk(Cz)
ans =
12.4639 (z-0.4652)^2
---------------------------z (z-1)
Sample time: 0.2 seconds
Discrete-time zero/pole/gain model.
%% Cálculo de las ganancias del controlador pid
>> kp=K*(2*z1-2*z1^2)
kp = 6.2017
>> ki=K*(1-2*z1+z1^2)
ki = 3.5653
>> kd=K*z1^2
kd = 2.6969
%% Cálculo de la función de transferencia pulso
%% en lazo cerrado Gcl(z)
>> Gclz=feedback(Gz*Cz,1);
>> zpk(Gclz)
ans =
0.87777 (z-0.4652)^2 (z+0.0476)
--------------------------------------------------------(z+0.2549) (z+0.06548) (z^2 - 1.345z + 0.5415)
Sample time: 0.2 seconds
Discrete-time zero/pole/gain model.
%% Cálculo de los polos en lazo cerrado de
%% Gcl(z)
>> pole(Gclz)
ans =
0.6724 + 0.2990i
0.6724 - 0.2990i
Sistemas de control digital
79
-0.2549
-0.0655
%% Generar figura de la respuesta paso del
%% sistema en lazo cerrado
>> step(Gclz)
2.5 Problemas propuestos
Diseñar el compensador en tiempo discreto C(z) para el sistema mostrado en la
Figura 0.16, tal que los polos de lazo cerrado sean
Figura 2.16. Problema 2.5.1
Fuente: el autor
2.5.2 Hallar la ecuación en diferencia del compensador diseñado en el punto 1.
2.5.3 Un motor dc con excitación independiente tiene la siguiente función de
transferencia pulso:
a. Diseñar un compensador digital que haga que el sistema en lazo cerrado
tenga las siguientes características: ts = 3s (1 %), Mp = 10 % y un tiempo
de muestreo T = 0.2s.
b. Escribir la ecuación en diferencia del compensador obtenido.
2.5.4 Diseñe un controlador digital para el sistema servo posicionador de una
antena parabólica, tal que Mp < 10%, tr < 80s. La ecuación de movimiento es la
siguiente:
. Donde J = 600.000 kg − m2, B = 20.000 N-m-s. Tome
como entrada y
como salida.
2.5.5 Diseñe un controlador P-D digital para la planta
. Se desea
que el factor de amortiguamiento relativo ζ de los polos dominantes en lazo
cerrado sea de 0.7 y la frecuencia natural no amortiguada ωn sea 4 rad/s.
80
Oscar Barrero Mendoza
2.5.6 Un sistema de una máquina de herramientas tiene la siguiente función de
transferencia pulso:
a. Diseñar un compensador digital que haga que el sistema en lazo cerrado
tenga las siguientes características ts = 12s (1 %), Mp ≤ 16% y un tiempo
de muestreo T = 1s.
b. Escribir la ecuación en diferencia del compensador obtenido.
2.5.7 Escriba la ecuación en diferencia del controlador pid discreto, tomando
como salida y como entrada.
2.5.8 Diseñe un sistema de control en tiempo discreto para el sistema mostrado
en la Figura 2.17, tal que Mp < 10% y un tiempo de establecimiento ts = 3 s. La ecuación diferencial que describe el comportamiento dinámico del desplazamiento
x(t) de la masa m del sistema es la siguiente:
con m = 1 kg, b = 0.5 N-m/rad-s, k = 1 kg/s2.
Figura 2.17. Problema 2.5.8
Fuente: el autor
2.5.9 Dada la función de transferencia pulso de la planta G(z) y la del compensador C(z), hallar el tiempo de establecimiento de la respuesta en lazo cerrado.
Tome el tiempo de muestreo T = 1 s y ωd = 0.345 rad/s
Sistemas de control digital
81
2.5.10 El modelo lineal del sistema de levitación mostrado en la Figura 2.18
está dado por:
donde, m = 0.02 kg, k1 = 20 N/m, k2 = 0.4 N/A, R = 50Ω y L = 100 mH.
a. Encuentre la función de transferencia X(s)/V (s) Tomando un tiempo de
muestreo T = 0.02 s, calcule la F.T. discreta del sistema, asumiendo que
el muestreo se hace con un zoh.
b. Diseñe un controlador digital para controlar la posición x(t) de la bola
que cumpla las siguientes especificaciones tr < 0.1s, ts < 0.4s y Mp < 20 %.
Figura 2.18. Problema 2.5.10
Fuente: el autor
2.5.11 Hallar la función de transferencia
del sistema de suspensión
de un vehículo, como se muestra en la Figura 2.19.
82
Oscar Barrero Mendoza
Figura 2.19. Problema 2.5.11
Fuente: el autor
5.2.12 Para el sistema del problema 2.5.11.:
a. ¿Qué valores debe tomar el coeficiente de fricción viscosa b para que el
sistema sea oscilatorio?
b. Halle b y k para que la respuesta del sistema tenga un coeficiente de
amortiguamiento ζ = 0.7 y ωn = 1 rad/s con una masa m = 1000kg. Donde la función de transferencia de un sistema de segundo orden está dada
por:
2.5.13 Hallar la función de transferencia que relacione el nivel del tanque con
el flujo de agua de entrada
al tanque del sistema mostrado en la Figura
2.20.
2.5.14 Diseñe un compensador en tiempo discreto para una antena cuya función de transferencia es:
Con las siguientes especificaciones de diseño: sobre impulso Mp < 16 %,
tiempo de establecimiento ts < 10s y tiempo de muestreo T = 0.5s. Adicionalmente, encuentre la ecuación en diferencia del controlador.
2.5.15 Dada la función de transferencia de la velocidad de un motor de un carro
de carreras:
Sistemas de control digital
83
Diseñar un controlador tal que el tiempo de establecimiento ts = 1s (criterio 1 %), el sobre impulso máximo Mp = 3% y el tiempo de muestreo T = 0.1 s.
2.5.16 Diseñar un sistema de control digital para sistema descrito por la función de transferencia:
Se requiere que el tiempo de establecimiento ts = 0.6 s con un sobre impulso Mp = 5 % ante una posición deseada r(t).
Figura 2.20. Problema 2.5.13.
Fuente: el autor
2.5.17 Diseñe un controlador digital para el sistema servo posicionador de una
antena parabólica, tal que
s. La función de transferencia
pulso del sistema con un tiempo de muestreo T = 10 s es:
2.5.18 Un motor de dc con excitación independiente, tiene las siguientes ecuaciones diferenciales que modelan su comportamiento dinámico:
84
Oscar Barrero Mendoza
Con = 100Ω, = 500 mH,
= 1 v-s, J = 0.1 kg-m2 y b = 1 × 10−3 Nm/
rad-s. conde
es el voltaje de armadura,
la corriente de armadura,
el voltaje de la fuerza contra electromotriz, ω(t) la velocidad angular,
el torque del motor, J el momento de inercia del eje del motor, la resistencia
de armadura, la inductancia de armadura,
la constante del motor, b el coeficiente de fricción viscosa. Diseñar un compensador digital para la velocidad
angular del motor tal que el tiempo de establecimiento = 3 s y ζ = 0.8. Tome
como entrada el voltaje de armadura
. Grafique el diagrama de bloques del
sistema de control diseñado y encuentre la ecuación en diferencia.
2.5.19 Dado el siguiente controlador pi discreto, encuentre la F.T equivalente de
un compensador para este controlador y la relación de sus parámetros con las
ganancias y del controlador pi.
2.5.20 De acuerdo al sistema descrito en la Figura 2.21 donde las ecuaciones
que describen su comportamiento dinámico son:
Figura 2.21. Problema 2.5.20
Fuente: el autor
Sistemas de control digital
85
Donde g = 9,8 m/s2, A1 = A2 = 1 m2, R1 = R2 = 100 m−2s−2 y ρ = 1 kg/m3.
Hallar la F.T
.
2.6 Diseño basado en la respuesta en frecuencia
El método de respuesta en frecuencia es una alternativa de diseño, la cual se
centra, como su nombre lo dice, en la respuesta en frecuencia del sistema a controlar. Se basa en el diagrama de Bode, por esto principalmente es un método
gráfico que originalmente se creó para sistemas en tiempo continuo. De aquí,
el uso en sistemas en tiempo discreto no es directo, debido al hecho de que en
sistemas en tiempo discreto la respuesta en frecuencia es confinada a la mitad
de la frecuencia de muestreo
. Por lo tanto, es necesario mapear la respuesta en frecuencia del sistema en tiempo discreto a otro plano que permita usar
el método original, para esto se usa una transformación bilineal que mapea el
plano z al plano w (James, 2002; Spiegel, Lipschutz, Schiller, & Spellman, 2009),
como se muestra en la Figura 2.22, en la que la respuesta en frecuencia, que
ahora se llamará frecuencia ficticia, está definida desde −∞ hasta ∞.
2.6.1 Transformada bilineal y el plano w
La transformada bilineal permite mapear la función de transferencia pulso del
plano z al plano w. La razón del porqué se quiere tal mapeo, es porque en el plano w la respuesta en frecuencia de la función de transferencia pulso se expande
de
a
, donde se llamará frecuencia angular
ficticia, y la frecuencia angular. Esta respuesta en el plano es equivalente a
la respuesta en frecuencia del sistema tiempo continuo, como se muestra en la
Figura 0.22. Así, el método de diseño de controladores basados en la respuesta
en frecuencia se puede extender a sistemas en tiempo discreto (Ogata, 1996).
La transformada bilineal de z a w se define como:
Donde T es el tiempo de muestreo y w es una variable compleja. La transformada inversa se define como:
86
Oscar Barrero Mendoza
Figura 2.22. Mapeo del plano s al plano z y del z a w.
Donde
es la frecuencia de muestreo y T el tiempo de muestreo. Donde v es llamada la frecuencia
angular ficticia y ω la frecuencia angular
Fuente: el autor
Por lo tanto, la transformada bilineal de una función de transferencia pulso está definida como:
Y la transformada inversa,
Adicionalmente, una propiedad importante de la transformada w y que
nos será útil en el diseño de controladores, es la del teorema del valor final el
cuál definimos como:
Sistemas de control digital
87
2.6.2 Análisis de estabilidad relativa
La estabilidad relativa se refiere a las características de la respuesta transitoria
de un sistema. Por lo tanto, para el método de respuesta en frecuencia, esta se
analizará usando trazas polares de la función de transferencia en lazo abierto
G(s) haciendo
cerca del punto −1 + j0, (Dorf & Bishop, 2010; Ogata,
1998). Esto se debe a que la forma como esta gráfica polar pasa por el punto
−1 + j0 tiene una relación directa con la respuesta transitoria del sistema en
lazo cerrado
, como se muestra en la Figura 2.24. Allí se puede observar
como a medida que los polos complejos conjugados de
se acercan al eje
complejo , las trazas polares se acercan al punto −1 + j0 sin sobrepasarlo y a
su vez, la respuesta transitoria en lazo cerrado se hace más oscilatoria.
Vale la pena anotar que si la parte real de los polos complejos de
se
hace positiva, la gráfica polar sobrepasaría el punto −1+j0 y en consecuencia se
tendría un sistema en lazo cerrado inestable.
Figura 2.23. Sistema en lazo cerrado correspondiente a la función de transferencia
Fuente: el autor
Figura 2.24. Análisis de estabilidad relativa de un sistema de tercer orden
con dos polos complejos conjugados
88
Oscar Barrero Mendoza
Diagrama Polar G(jω)
Donde
Respuesta Paso Lazo Cerrado G(s)/[1 + G(s)]
varían alrededor del punto −1 + j0, basados en gráficos polares de la función de
transferencia en lazo abierto G(jω).
Fuente: el autor
2.6.3 Parámetros de diseño
De acuerdo a lo anterior, vamos a definir un par de parámetros que nos ayuden
a caracterizar la respuesta en frecuencia de
de tal manera que esta se pueda relacionar con la respuesta transitoria del sistema en lazo cerrado
.
Estos parámetros son el margen de fase
y el margen de ganancia ( ).
2.6.3.1 Margen de fase
El margen de fase se define como la diferencia entre la fase del sistema en lazo
abierto
cuando la magnitud de esta es igual a uno, y la fase del punto −1
+ j0, o sea 180◦:
Nótese que, si el margen de fase es positivo, el sistema en lazo cerrado
es estable, de lo contrario es inestable, ver Figura (2.25).
Sistemas de control digital
89
Figura 2.25. Grafica polar de
de fase de un sistema estable (
donde se muestra el margen de fase . a) Margen
), b) margen de fase de un sistema inestable
.
Fuente: el autor
2.6.3.2 Margen de ganancia
El margen de ganancia se define como la relación entre uno y la magnitud de
cuando la fase es igual a 180◦, tal y como se muestra en la Figura (2.26) y
se puede calcular como:
Es importante anotar que si
, o sea que el punto de cruce por 180◦
de la magnitud de
es menor que uno, el sistema es estable de lo contrario
es inestable.
Figura 2.26 Gráfica polar de
donde se muestra el margen de ganancia . a)
Margen de ganancia de un sistema estable (Kg > 1), b) margen de ganancia de un
sistema inestable (Kg < 1)
Fuente: el autor
90
Oscar Barrero Mendoza
Otra forma de analizar los márgenes de fase y ganancia es usando el diagrama de Bode (Dorf & Bishop, 2010; Ogata, 1998), como se muestra en las
Figuras (2.27, 2.28). Este diagrama tiene la ventaja de que muestra en gráficos
separados el comportamiento de la magnitud y fase en función de la frecuencia
angular, razón por la cual estos son usados para el diseño de compensadores
basados en la respuesta en frecuencia. En la Figura (2.27) se observa el diagrama de Bode correspondiente al gráfico polar de las Figuras a) de 2.25, 2.26, los
cuales representan a un sistema estable en lazo cerrado; y en la Figura (2.28)
se observa el diagrama de Bode correspondiente al gráfico polar de las Figuras
b) de 2.25, 2.26, los cuales representan a un sistema inestable en lazo cerrado.
Figura 2.27. Diagrama de Bode del margen de fase y de ganancia de un sistema
estable.
Fuente: el autor
Figura 2.28. Diagrama de Bode del margen de fase y de ganancia de un sistema inestable
Fuente: el autor
Sistemas de control digital
91
Relación de la respuesta en frecuencia con la respuesta en el tiempo
En la Figura 2.29 se muestra el gráfico de magnitud de un diagrama de Bode,
típico de un sistema de segundo orden.
Figura 2.29. Gráfica de magnitud del Diagrama de Bode
Fuente: el autor
Las relaciones más importantes que tenemos son las siguientes:
Donde
es la magnitud pico de resonancia y
el ancho de banda de
la respuesta en frecuencia. Adicionalmente, el margen de fase y el coeficiente
de amortiguamiento se relacionan en forma directa de acuerdo a la siguiente
ecuación (Ogata, 1998, p.5551),
Para el rango entre 0 ≤ ζ ≤ 0.6 esta relación la podemos aproximar a:
92
Oscar Barrero Mendoza
O sea que un margen de fase de 50◦ corresponde a un sistema con un coeficiente de amortiguamiento de 0.5.
2.6.4 Métodos de diseño
Luego de la introducción realizada en las secciones anteriores, se pueden describir los métodos de diseño basados en la respuesta en frecuencia, esto debido
al hecho de que existen básicamente tres tipos de compensadores: adelanto,
atraso y adelanto-atraso, para cada uno de ellos hay un método diferente, como
se analizará a continuación.
Figura 2.30. Lazo cerrado de un sistema de control en el plano w
Fuente: el autor
Donde C(w) es la función de transferencia del compensador en w y G(w)
la de la planta que se quiere controlar.
2.6.4.1 Compensadores en adelanto
La función de transferencia de un compensador en adelanto en el plano w se
puede representar de la siguiente manera:
De aquí que el diagrama de Bode sea el que se muestra en la Figura 2.31,
en la que
es la fase máxima que se puede dar a la frecuencia ficticia , donde es la frecuencia ficticia central, que corresponde a la media geométrica
entre las frecuencias ficticias de corte
y
, o sea:
Para esta misma frecuencia, la magnitud esta dada por:
Sistemas de control digital
93
En dB se puede expresar como 20log(1/√α).
Figura 2.31. Diagrama de Bode de un compensador en adelanto en el plano w
Fuente: el autor
Otra relación importante para el diseño de estos compensadores es la de
con
la cual se obtiene evaluando la fase del compensador en adelanto,
ecuación (2.11), para
, por lo tanto:
Donde.
. Ahora, si tomamos la
tangente en ambos lados de la ecuación (2.14) se obtiene:
Luego, usando identidades trigonométricas, se tiene que:
Ahora, de (2.13) se puede deducir que
,
adicionalmente reemplazando (2.12) en las relaciones anteriores nos da que
y
. Por lo tanto, al sustituir estos términos en
(2.15) se tiene que:
94
Oscar Barrero Mendoza
Finalmente, despejando α de (2.16) da como resultado:
Una vez definidos estos parámetros, se puede empezar a describir el método de diseño para este tipo de compensadores, pero esto se hará desarrollando
un ejemplo. Es importante anotar que el diseño se hace todo en el plano w,
luego se lleva al plano z la función de transferencia obtenida del compensador
en el plano w.
Ejemplo 5
Diseñar un compensador en adelanto en el plano w para controlar el ángulo de
rotación de una antena parabólica con las siguientes especificaciones de diseño:
γd = 50◦, Kgd > 10dB, tiempo de muestreo T = 1s y una constante de error estático
de velocidad Kv = 0,5s−1. La función de transferencia de la planta es:
Solución
Como el diseño se realiza en el plano w, lo primero que se debe hacer es transformar la función de transferencia de la planta a este plano. Para esto primero
se transforma
a
y luego
a
como sigue:
Luego, de acuerdo a (2.7) se tiene que:
Sistemas de control digital
95
Una vez se tenga transformada la función de transferencia de la planta al
plano w, se procede a hacer cumplir con la condición de . Por lo tanto, se tiene que adicionar una ganancia a la función de transferencia del compensador
ecuación (2.11), de aquí tenemos:
Por definición:
De aquí podemos calcular la ganancia K de la siguiente manera:
Ahora evaluando el límite se tiene:
Acá es importante anotar que si la función de transferencia de la planta
no tuviera el polo en w = 0, que es equivalente con una acción integradora,
el límite no se podría evaluar a no ser que se le adicione un polo en w = 0 al
compensador.
Se debe tener en cuenta que el margen de fase y ganancia se miden sobre
el diagrama de Bode de la función de transferencia en tiempo continuo
,
ver Figura (2.23), que corresponde para nuestro caso en el plano w al producto
, ver Figura (2.30). En consecuencia, el margen de fase y ganancia deseados se deben hacer cumplir en el diagrama de Bode del producto
.
Entonces, con el fin de diseñar el compensador en adelanto, cuya función de
transferencia en w está definida en (2.11), se procede de la siguiente manera: se
grafica el diagrama de Bode del producto
sin tener en cuenta
,
que para el caso del problema en cuestión es
, Figura 2.32.
En esta Figura se puede observar como parte del título dos valores, el primero son las siglas en inglés para Gain margin, o margen de ganancia, y el
96
Oscar Barrero Mendoza
segundo para Phase margin, margen de fase. Para el margen de ganancia se
tiene
y para el de fase
, el subíndice 0 corresponde a
margen de fase y ganancia sin compensador
Una vez se conocen los valores de margen de fase y ganancia sin compensador, se procede a calcular la fase máxima que debe aportar el compensador en función de las especificaciones de diseño propuestas. Entonces:
Figura 2.32. Diagrama de Bode de
realizado a través
del comando margin de Matlab
Bode Diagram
Gm = 12.2 dB (at 0.451 rad/s) , Pm = 19.1 deg (at 0.213 rad/s)
Fuente: el autor
Donde FA es un factor de ajuste que se puede escoger entre 0 ≤ FA ≤ 12◦.
Este factor sirve para contrarrestar el corrimiento a la derecha del cruce por
0dB en magnitud del diagrama de Bode de
, cuando se adicione el efecto
del compensador sin ganancia . El valor de FA depende de la pendiente de la
curva de fase hacia la derecha del punto actual de cruce por 0dB. Para nuestro
ejemplo, como está es pronunciada tomaremos un
, en caso de que al
final del diseño nos desviemos mucho del margen de fase deseado , se puede
ajustar este valor a prueba y error hasta obtener los valores deseados. Como
resultado tenemos que:
Sistemas de control digital
97
Ahora, con
se puede calcular usando (2.17):
Figura 2.33. Diagrama de Bode de
donde se ubica la frecuencia
rad/s en la cual la magnitud es 20log(α) = −7.21dB
Bode Diagram
Gm = 12.2 dB (at 0.451 rad/s) , Pm = 19.1 deg (at 0.213 rad/s)
Fuente: el autor
Ahora, los parámetros que se deben calcular para definir el compensador son α y τ, como ya se conoce α, se halla τ. Para calcular τ, se parte del hecho de que la magnitud del compensador en dB sin ganancia K, para,
es
, ver Figura (2.31). Luego, es importante resaltar el
hecho de que la máxima compensación en fase
se da a la frecuencia ficticia ,
en consecuencia, a esa misma frecuencia se debe dar el cruce por 0dB de la magnitud del Bode de Cf(w)G(w) para poder así garantizar el margen de fase deseado. Por lo tanto, para hallar vc se debe buscar sobre la magnitud del gráfico de
Bode de KG(w) el valor contrario al que aporta el compensador, o sea 20log(√α) =
98
Oscar Barrero Mendoza
−7.2133dB, y se toma el valor de la frecuencia en ese punto como . En la Figura
(2.33), podemos observar dentro del recuadro de la gráfica de magnitud el punto
donde
= −7.21dB, tomado manualmente con la ayuda del Data Cursor
de la ventana de figuras del Matlab. En este punto podemos leer que la frecuencia
ficticia
0.334rad/s Luego, usando la ecuación (2.12) se calcula τ como sigue:
Finalmente, la ecuación de transferencia del compensador en adelanto en
el plano w queda definida como:
Para validar el diseño se realiza el diagrama de bode de C(w)G(w) y se
verifica si se cumple con el margen de fase y ganancia deseados.
Figura 2.34. Diagrama de Bode del sistema compensado en lazo abierto C(w)G(w).
Margen de fase
y el margen de ganancia Kg = 14.9dB
Bode Diagram
Gm = 14.9 dB (at 1.2 rad/s) , Pm = 50.2 deg (at 0.334 rad/s)
Fuente: el autor
Sistemas de control digital
99
Como se puede observar en la Figura (2.34), el margen de fase γ = 50.2◦ a
una frecuencia vc = 0.334rad/s y el margen de ganancia Kg = 14.9dB, indica que
el diseño esta correcto.
Finalmente, se transforma del plano w al z el controlador diseñado, esto se
hace usando la ecuación (2.8) como sigue:
Ahora, simulamos la respuesta en lazo cerrado en el tiempo ante una entrada paso unitario, ver Figura (2.36).
Figura 2.35. Diagrama de bloques del sistema de control discreto en lazo cerrado
Fuente: el autor
Figura 2.36. Respuesta paso del sistema de control en lazo cerrado
Fuente: el autor
100
Oscar Barrero Mendoza
Código de Matlab
Diseño de Compensadores en Adelanto Basados en la Respuesta en Frecuencia
%% Definición planta en s
Gps=tf(1,[10 1 0]).
zpk(Gps)
ans =
0.1
---------s (s+0.1)
Continuous-time zero/pole/gain model.
%% Discretización ZOH con T = 1s
T=1. % Tiempo de muestreo
Gz=c2d(Gps,T).
zpk(Gz)
ans =
0.048374 (z+0.9672)
------------------------(z-1) (z-0.9048)
Sample time: 1 seconds
Discrete-time zero/pole/gain model.
%% Transformación de G(z) a G(w) usando la
%% transformada bilineal
Gw=d2c(Gz,’tustin’).
zpk(Gw)
ans =
-0.00041625 (s+120) (s-2)
------------------------------(s+0.09992)
% aunque la respuesta que se muestra matlab
% está en s, estamos en el plano w.
%% Grafico diagrama de bode de KG(w) para
%% conocer el margen de fase y ganancia sin
%% compensador
K=0.5.
margin(K*Gw)
%% Cálculo de máxima compensación en fase phi_m
gamma_d=50.
gamma_0=19.1.
Sistemas de control digital
101
FA=12.
phi_m=gamma_d-gamma_0+FA
phi_m = 42.9000
%% Cálculo de alfa
alfa=(1-sind(phi_m))/(1+sind(phi_m))
alfa = 0.1900
%% Cálculo de la magnitud del compensador sin
%% ganancia en v=v_c en dB
20*log10(sqrt(alfa))
ans = -7.2133
vc=0.334
%% Cálculo de tao
tao=1/(vc*sqrt(alfa))
tao = 6.8817
%% Validación del diseño
Cw=tf(K*[tao 1],[alfa*tao 1]).
CwGw=Gw*Cw.
margin(CwGw)
%% Transformación del plano w al z del
%% controlador diseñado
Cz=c2d(Cw,T,’tustin’).
zpk(Cz)
ans =
2.0422 (z-0.8645)
--------------------(z-0.4467)
Sample time: 1 seconds
Discrete-time zero/pole/gain model.
%% Respuesta paso unitario del sistema
%% controlado en lazo cerrado
Gclz=feedback(Gz*Cz,1). %% Cálculo de la F.T
%% en lazo cerrado
step(Gclz).
2.6.4.2 Compensadores en atraso
La función de transferencia en el plano w de un compensador en atraso es igual
que la de uno en adelanto, ecuación (2.11), la diferencia radica en que el valor
de es mayor a uno, así tendremos:
102
Oscar Barrero Mendoza
Figura 2.37. Diagrama de Bode de un compensador en atraso en el plano w
Fuente: el autor
El diagrama de Bode de este compensador es el que se muestra en la Figura (2.37), como se puede apreciar en esta figura, el hecho de que α sea mayor
que 1 implica un cambio en la posición del polo y cero de la función de transferencia del compensador, cambiando totalmente su respuesta en frecuencia.
Ahora, la compensación es negativa, por eso el nombre de compensador en
atraso, debido a esto el método de diseño es totalmente diferente al del compensador en adelanto, como se analizará a continuación. Debido al hecho que
la máxima compensación en fase es negativa, si se quisiera usar este compensador como uno en adelanto, el efecto sería que el margen de fase se haría más
negativo volviendo el sistema en lazo cerrado inestable, algo que no se quiere
que pase. De aquí, el método de diseño debe evitar usar el efecto de la fase cerca
del punto de cruce por cero dB y así evitar que el sistema se haga inestable. Por
lo tanto, lo que se hace es tomar la gráfica de fase del sistema sin compensar y
ubicar el margen de fase deseado. Luego, con ayuda de la gráfica de magnitud
del compensador hacer que el cruce por cero dB ocurra a la frecuencia del
margen de fase deseado. Para esto, debemos primero analizar cuál es el valor
de la magnitud del compensador para frecuencias muy altas, mucho mayores
que la de la máxima compensación de fase negativa, para esto se resuelve el
siguiente límite:
Sistemas de control digital
103
Una vez analizado este límite, se puede empezar a describir el método de
diseño a través de un ejemplo.
Figura 2.38. Esquema sistema de tanque de agua
Fuente: el autor
Ejemplo 6
Se desea diseñar un compensador en atraso para controlar el nivel de agua en
un tanque cilíndrico como el mostrado en la Figura (2.38), la función de transferencia del tanque es la siguiente:
Donde R = 20000kg/(m4−s) es la resistencia hidráulica, A = 0.5m2 el área
transversal del tanque, ρ = 1000kg/m2 la densidad del agua, g = 9.8m/s2 la gravedad, Fin el flujo volumétrico de entrada de agua y H la altura del nivel de agua en
el tanque. Las especificaciones de diseño para el controlador son que el margen
de fase deseado γd sea de 50◦ y el de ganancia Kg mayor a 10dB. Tome un tiempo
de muestreo T = 0.1s.
1. Igual que para el diseño del compensador en adelanto, el diseño se debe
hacer en el plano w, razón por la cual, lo primero que se debe realizar es transformar la planta del plano s al z y luego al w.
104
Oscar Barrero Mendoza
2. Luego, se debe definir la estructura del compensador, o sea si se necesita
ganancia K o un polo en w = 0. Como en este problema no existe ninguna especificación para la constante de error estático de velocidad Kv, a la función de
transferencia del compensador no se le agrega ganancia K. Sin embargo, para
garantizar error cero en estado estable, como ya se vio en capítulos anteriores el
producto entre C(w)G(w) debe tener un polo en w = 0, se debe agregar un polo
en w = 0, puesto que esta premisa no se cumple en el actual problema, como
resultado se tiene:
3. Una vez definida la función de transferencia del compensador, se procede a
graficar el Bode de G(w)/w que corresponde a la función de transferencia del
producto C(w)G(w) sin la estructura básica del compensador Cb(w), ecuación
(2.19).
Figura 2.39. Diagrama de Bode de G(w)/w
Gm = 19.8 dB (at 4.43 rad/s) , Pm = 34.3 deg (at 1.26 rad/s)
Fuente: el autor
Sistemas de control digital
105
4. A diferencia del compensador en adelanto, para ubicar el nuevo punto de
cruce por cero dB, se ubica el margen de fase deseado sobre la gráfica de fase
del Bode del punto anterior, más un factor de ajuste FA que puede estar entre
5◦ y 12◦, esto para corregir el efecto de la fase del compensador en atraso que en
ese punto es leve, pero existe. Por lo tanto, la ecuación para calcular el margen
de fase de diseño es:
En el problema se pide un margen de fase deseado de 50◦, y si se toma un
se tiene que:
Este corresponde sobre la gráfica de fase a como se muestra en la Figura
(2.40). En este punto, se lee la frecuencia
rad/s y con este dato se
calcula la frecuencia de corte mayor del compensador que corresponde a
,
que debe ser estar ubicada una década menor a , entonces:
106
Oscar Barrero Mendoza
Figura 2.40. Gráfica de Bode de G(w)/w donde se muestra la selección
del margen de fase deseado
Gm = 19.8 dB (at 4.43 rad/s) , Pm = 34.3 deg (at 1.26 rad/s)
Fuente: el autor
5. Luego se calcula el valor de α. Para esto, se toma la ecuación (2.20), la cual
indica que el valor de la magnitud del compensador en atraso para frecuencias
muy altas es igual a 1/α. En consecuencia, como se necesita que el nuevo cruce
por cero dB esté ubicado en la frecuencia vi, la suma en decibelios de la magnitud del compensador, ecuación (2.19), y de G(w)/w en vi debe ser igual a cero,
de aquí, la magnitud del compensador para vi, donde vi es mucho mayor a 1/τ
por lo que se pueda considerar muy alta, debe ser igual a 1/α, como resultado
de este análisis se obtiene la siguiente expresión:
Para obtener el valor de en el problema, se lee el valor de magnitud para vi
en la Figura (2.40) y se remplaza en (2.22), o sea:
Sistemas de control digital
107
despejando para se tiene:
6. Una vez calculados
, se procede a validar el diseño. Para la validación
se dibuja el diagrama de Bode de
y se observa si el margen de fase
y ganancia cumplen con las especificaciones de diseño. En la Figura (2.41) se
muestran el margen de fase y ganancia obtenidos de
que son respectivamente
. Este resultado indica que el diseño cumple con las
especificaciones de diseño.
Figura 2.41. Diagrama de Bode de C(w)G(w) para validación del diseño del
compensador en atraso
Gm = 27.8 dB (at 4.33 rad/s) , Pm = 51 deg (at 0.652 rad/s)
Fuente: el autor
108
Oscar Barrero Mendoza
7. Después de ser validado el diseño, se transforma C(w) a C(z) usando (2.8),
como resultado se obtiene:
La respuesta paso unitario del sistema de control en lazo cerrado se muestra en la Figura (2.41). Ahí se puede observar que la respuesta es lenta en estabilizarse en el valor deseado, este es el efecto de correr el cruce por cero dB
hacia la derecha, puesto que esto disminuye el ancho de banda del sistema,
haciendo la respuesta lenta, pero muy robusta ante perturbaciones o ruidos de
alta frecuencia.
Figura 2.42. Respuesta paso unitario sistema de control en lazo cerrado
Fuente: el autor
Sistemas de control digital
109
Código de Matlab
Diseño de Compensadores en Atraso Basados en la Respuesta en Frecuencia
%% Función de transferencia en tiempo continuo
Gps=tf(2,[1 0.98]).
zpk(Gps)
ans =
2
--------(s+0.98)
%% Discretización de la planta con un tiempo
%% de muestreo T = 0.1 s.
T=0.1.
Gz=c2d(Gps,T).
zpk(Gz)
ans =
0.19051
-----------(z-0.9066)
%% Transformación de G(z) al plano w
Gw=d2c(Gz,’tustin’).
zpk(Gw)
ans =
-0.09992 (s-20)
------------------(s+0.9792)
%% Diagrama de Bode de G(w)/w
Cw_integrador=tf(1,[1 0]). % integrador
margin(Gw*Cw_integrador)
%% De la gráfica de Bode de G(w)/w se leen
%% v1 y mag_v1 para calcular alfa y tao.
v1=0.649. % Frec. del nuevo cruce por 0 dB
tao=10/v1 % 1/tao=v1/10
tao = 15.4083
mag_v1=8.35. % Mag. en dB para la frec. v1
alfa=10^(mag_v1/20)
110
Oscar Barrero Mendoza
alfa = 2.6152
%% Validación del diseño
% compensador sin integrador C_b(w)
C_bw=tf([tau 1],[alfa*tau 1]).
% compensador completo
Cw=(Cw_integrador*C_bw).
zpk(Cw)
ans =
0.38238 (s+0.0643)
----------------------s (s+0.02459)
margin(Cw*Gw).
%% Transformación de G(w) a G(z)
Cz=c2d(Cw,T,’tustin’).
zpk(Cz)
ans =
0.019157 (z+1) (z-0.9936)
------------------------------(z-1) (z-0.9975)
Sample time: 0.1 seconds
%% Respuesta paso en lazo cerrado
Gclz=feedback(Cz*Gz,1)
step(Gclz)
2.6.4.3 Diseño de compensadores usando el método analítico en tiempo discreto
El método analítico se fundamenta en una representación diferente de la función de transferencia en el plano w de un compensador (How & Frazzoli, 2010),
como se muestra en (2.23).
Ahora, comparándola con la ecuación original de un compensador
Sistemas de control digital
111
Se pueden establecer las siguientes relaciones:
Por lo tanto, en este método de diseño se deben seguir los siguientes pasos:
Establecer la frecuencia ficticia de cruce por cero de acuerdo a las especificaciones de ancho de banda. Es importante anotar que el aporte en fase para
la seleccionada , no sea mayor a 60°.
Una vez definidos y , hallar
Luego se calculan z y p,
Finalmente, se calcula K tal que se garantice que la ganancia de cruce por
cero dB (ganancia igual a uno) del producto de la planta por el controlador,
, en
, sea igual a uno, de aquí que se debe satisfacer la siguiente
ecuación:
Ejemplo 6a
En este ejemplo se resolverá el problema del ejemplo 6 pero usando el método
analítico, por lo tanto, partimos de la función de transferencia de la planta en
el plano w:
112
Oscar Barrero Mendoza
Al igual que en el ejemplo 6, a la estructura del compensador se le agrega
un polo en w = 0 para garantizar un error de estado estable igual a cero, de aquí:
Ahora se grafica el diagrama de Bode de
para seleccionar un
de tal forma que el ancho de banda sea lo mayor posible, esto con el fin de reducir el tiempo de establecimiento de la respuesta en lazo cerrado. En la Figura
2.41 se observa el diagrama de Bode, en el que se puede apreciar que se puede
tomar cuando la fase es 180o, debido a que el aporte en fase del compensador,
en ese punto sería de 50°. Así, la frecuencia coincide con la frecuencia del
margen de ganancia que es 4.43 rad/s. Ahora se calcula
:
Finalmente, se calcula la ganancia K:
Como resultado, la función de transferencia en el plano w y z son,
respectivamente:
En la Figura 2.43 se muestra el diagrama de Bode resultante del producto
de
, donde se puede observar que el diseño cumple con las especificaciones de diseño.
Sistemas de control digital
113
Figura 2.43. Diagrama de Bode de
Fuente: el autor
La Figura 2.44 muestra la respuesta paso del sistema en lazo cerrado, se
puede observar cómo mejora la velocidad de la respuesta comparada con la de
los diseños de los ejemplos 5 y 6, esto es debido a que se escogió una mayor
que la de los ejemplos anteriores.
Figura 2.44. Respuesta paso del sistema de control en lazo cerrado
Fuente: el autor
114
Oscar Barrero Mendoza
Código Matlab
Diseño de Compensadores Usando el Método Analítico para la Respuesta en Frecuencia
%% Función de transferencia en tiempo continuo
s=tf(‘s’)
Gps=2/(s+0.98).
zpk(Gps)
ans =
2
--------(s+0.98)
%% Discretización de la planta con un tiempo de muestreo T = 0.1 s.
T=0.1.
Gz=c2d(Gps,T).
zpk(Gz)
ans =
0.19051
-----------(z-0.9066)
%% Transformación de G(z) al plano w
Gw=d2c(Gz,’tustin’).
zpk(Gw)
ans =
-0.09992 (s-20)
-----------------(s+0.9792)
%% Diagrama de Bode de G(w)/w
Cw_integrador=1/s. % integrador
margin(Gw*Cw_integrador)
%% Diseño del compensador Método Analítico
%%
fi_m=50.
vc=4.43.
alfa=(1-sind(fi_m))/(1+sind(fi_m)).
z = vc*sqrt(alfa).
p = vc/sqrt(alfa).
Sistemas de control digital
115
Caw=(s+z)/(s+p).
K=abs(evalfr(1/(Gw*Cw_integrador*Caw),j*vc))
Cw=Cw_integrador*K*(s+z)/(s+p).
zpk(Cw)
ans =
26.978 (s+1.612)
-------------------s (s+12.17)
%% Validación del diseño
margin(Cw*Gw).
%% Transformación de Gc(w) a Gc(z)
Cz=c2d(Cw,T,’tustin’).
zpk(Cz)
ans =
0.90619 (z+1) (z-0.8508)
---------------------------(z-1) (z-0.2433)
Sample time: 0.1 seconds
%% Respuesta paso en lazo cerrado
Gclz=feedback(Cz*Gz,1)
step(Gclz)
2.6.4.4 Compensadores en adelanto-atraso
Otro tipo de compensador que combina tanto las características como los métodos de diseño de los anteriores, es el de adelanto-atraso. La función de transferencia en el plano w es la siguiente:
Claramente se puede observar en (2.25) que esta función de transferencia
está compuesta por un compensador en adelanto y otro en atraso. El diagrama de Bode para este compensador se puede observar en la Figura (2.45). Un
parámetro importante para el diseño es la magnitud
del compensador en
116
Oscar Barrero Mendoza
, ver Figura 2.45,
como sigue:
de acuerdo a esta Figura, se puede relacionar con
El método de diseño se describirá a través de un ejemplo. A continuación,
se tomará el problema del ejemplo 6 para desarrollar y explicar el método en
el ejemplo 7.
Figura 2.45. Diagrama de Bode de un compensador adelanto-atraso
El valor de la magnitud en dB para
es
Fuente: el autor
Ejemplo 7
En este ejemplo, se tomará la función de transferencia de la planta del ejemplo
6, ecuación (2.21), al igual que las especificaciones de diseño. Adicionalmente,
se incluirán en las especificaciones que el error estático de velocidad Kv = 40 s−1.
Solución
Lo primero que se debe hacer es transformar la función de transferencia al plano w, por lo tanto, del ejemplo 6, se tiene:
Ahora, como está el requerimiento de , se debe adicionar una ganancia
K al controlador para poder hacer cumplir este requisito. De otro lado, para
Sistemas de control digital
117
garantizar un error cero de estado estable, el producto entre
y G(w)
debe tener un polo en w = 0, en consecuencia, como la planta no lo tiene, se
le debe adicionar este a la función de transferencia del controlador, como
resultado la función de transferencia del controlador modificada C(w) es la
siguiente:
Una vez definida la función de transferencia modificada del compensador, se puede calcular la ganancia K, usando la definición de Kv,
Despejando para K se obtiene:
K =19.5997.
, Figura 2.46, para poLuego, se dibuja el diagrama de Bode de
der diseñar la parte básica del compensador que corresponde a la función de
transferencia
ecuación (2.25).
118
Oscar Barrero Mendoza
Figura 2.46. Diagrama de Bode de
y cálculo de la frecuencia ficticia
Gm = −6.02 dB (at 4.43 rad/s) , Pm = −8.94 deg (at 6.37 rad/s)
Fuente: el autor
Después, se calcula el valor de α2 correspondiente al compensador en adelanto. Para esto se toma como referencia el cruce de la fase por 180◦ en la Figura
2.46, en este punto la compensación en fase debe ser de 50◦, igual que el margen
de fase deseado menos un factor de ajuste (fa) que puede estar entre 5 y 12
grados. Este fa se utiliza para compensar el margen de fase adicional que se
origina por el corrimiento del cruce por cero dB hacia la izquierda, al momento
de hacer la compensación en magnitud. En consecuencia, para este ejemplo se
puede tomar
, así:
Con el
sador.
se puede calcular la magnitud
Sistemas de control digital
para
en el compen-
119
Entonces, para calcular el se busca en el gráfico de magnitud el valor
negativo de y en ese punto se toma el valor de
, Figura 2.46.
Calculado , se procede a calcular
de la siguiente manera: Para
, con base en las ecuaciones del compensador en adelanto se tiene:
Para calcular
se toma que:
Finalmente, para , como se requiere que la magnitud para valores altos
de frecuencia del compensador en atraso sea de −20dB, y conociendo que la
magnitud bajo estas condiciones es igual a
, sección 2.6.4, se tiene:
De donde se obtiene
Una vez calculados todos los parámetros del compensador adelanto-atraso, se procede a hacer la validación del diseño; para esto se grafica el diagrama
de Bode de C(w)G(w) y se compara el margen de fase y ganancia obtenidos con
los especificados en el problema. La función de transferencia del compensador
diseñado es la siguiente:
La Figura 2.47 muestra el diagrama de Bode para a validación del diseño.
En esta gráfica se puede observar que el diseño se ajusta muy bien a lo especificado en el problema. Otro aspecto importante de este diseño, es que no hubo
una gran disminución del ancho de banda, lo que garantiza una respuesta rápida, como se muestra en la respuesta paso unitario, Figura 2.48.
120
Oscar Barrero Mendoza
Figura 2.47. Diagrama de Bode de C(w)G(w) para la validar el diseño
del compensador adelanto-atraso
Fuente: el autor
Finalmente, después de validado el diseño se procede a transformar a z la
función de transferencia del compensador en w, en consecuencia:
Como prueba final, se simula la respuesta paso del sistema para observar
su comportamiento en el tiempo, ver Figura 2.48, en la que se puede corroborar
el buen desempeño del sistema de control.
Sistemas de control digital
121
Figura 2.48. Respuesta paso en lazo cerrado del sistema de control diseñado
Fuente: el autor
Código de Matlab
Diseño de Compensadores en Adelanto-Atraso Basados en la Respuesta en Frecuencia
%% Función de transferencia en tiempo continuo
Gps=tf(2,[1 0.98]).
zpk(Gps)
ans =
2
--------(s+0.98)
%% Discretización de la planta con un tiempo de
%% muestreo T = 0.1 s.
T=0.1.
Gz=c2d(Gps,T).
zpk(Gz)
ans =
0.19051
----------(z-0.9066)
122
Oscar Barrero Mendoza
%% Transformación de G(z) al plano w
Gw=d2c(Gz,’tustin’).
zpk(Gw)
ans =
-0.09992 (s-20)
----------------(s+0.9792)
%% Cálculo de la constante K
Kv=40.
w=0.
lim_Gw=-0.09992*(w-20)/(w+0.9792)
K=Kv/lim_Gw
%% Diagrama de Bode de K/w*G(w)
Cw_integrador=tf(K,[1 0]). % integrador
margin(Gw*Cw_integrador)
%% Calculamos alfa_2 para el compensador en adelanto
%% basados en el Bode de K/w*Gw
FA=8.
gamma_d=50.
fi_m=gamma_d-FA
fi_m = 42.0
alfa_2=(1-sind(fi_m))/(1+sind(fi_m))
alfa_2 = 0.1982
%% Valor de la magnitud (Mc) del compensador
%% atraso-adelanto para v=vc
Mc=-20-20*log10(sqrt(alfa_2))
Mc = -12.9717
%% Sobre la gráfica de magnitud del Bode buscamos
%% el valor de menos Mc y tomamos el valor de
%% frecuencia v=vc, y calculamos tao_2, tao_1 y
%% alfa_1
vc=2.92
tao_2=1/(vc*sqrt(alfa_2))
tao_2 = 0.7692
Sistemas de control digital
123
tao_1=10*tao_2
tao_1 = 7.6919
alfa_1=10.
%% Construcción del compensador
% compensador en adelanto
C_fw=tf([tao_1 1],[alfa_1*tao_1 1]).
% compensador en atraso
C_bw=tf([tao_2 1],[alfa_2*tao_2 1]).
% compensador Cw
Cw=C_fw*C_bw*Cw_integrador.
zpk(Cw)
ans =
9.8874(s+1.3)(s+0.13)
--------------------------s(s+6.558)(s+0.013)
%% Validación del diseño
margin(Cw*Gw).
%% Transformación de G(w) a G(z)
Cz=c2d(Cw,T,’tustin’).
zpk(Cz)
ans =
0.39881(z+1)(z-0.9871)(z-0.8779)
-------------------------------------(z-1)(z-0.9987)(z-0.5061)
Sample time: 0.1 seconds
%% Respuesta paso en lazo cerrado
Gclz=feedback(Cz*Gz,1)
step(Gclz)
2.6.4.5 Emulación
Este método de diseño (Franklin et al., 1998) tiene como característica que se
hace el diseño del compensador en tiempo continuo, para finalmente discretizar la función de transferencia obtenida haciendo un mapeo de polos, ceros
y ganancia, usando la relación
, donde T es el tiempo de muestreo.
124
Oscar Barrero Mendoza
El desempeño de los sistemas de control diseñados bajo este esquema puede
no ser tan bueno como uno diseñado con los métodos anteriores, esto debido
al hecho de que al diseñar un compensador en tiempo continuo no se está
teniendo en cuenta dos aspectos importantes: 1) los efectos de la conversión
análoga-digital-análoga de las señales y 2) que la información dinámica solo se
conoce en instantes discretos de tiempo; fenómenos que sí se tienen en cuenta
en los otros métodos y por ende estos presentan mayores desempeños. De otro
lado, el mapeo de polos, ceros y ganancia de una función de transferencia del
plano s al z se hace teniendo en cuenta las siguientes indicaciones:
1. Los polos se mapean usando la relación
2. Los ceros finitos se mapean usando la relación
3. Los ceros en el infinito,
, se mapean haciendo
. Conociendo que un cero es un valor que toma la variable s de tal forma que la
magnitud de la función de transferencia se hace cero. Por lo tanto, en
un sistema en el que el orden del numerador es menor que el del denominador, siempre se tendrán ceros en el infinito. Por ejemplo, dada la
siguiente función de transferencia:
Se tiene un cero en el infinito porque el orden del numerador es uno y el
del denominador dos, así la diferencia es uno. Esto se puede demostrar
si aplicamos el límite a H(s) cuando s tiende a infinito, entonces:
Dividiendo el numerador y denominador por s y resolviendo el límite se
tiene que:
Sistemas de control digital
125
Entonces cuando s → ∞, H(s) → 0 por lo que se puede decir que se tiene
un cero en el infinito. En general, para saber cuántos ceros en el infinito
tiene una función de transferencia, se resta el orden del polinomio del
numerador al del denominador. Los ceros en el infinito se mapean de la
siguiente manera: dado, por ejemplo:
Caso 1. Dado:
• Se calcula el número de ceros en el infinito como la diferencia entre el
orden del denominador menos la del numerador. Para C(s) el número de
ceros en el infinito es dos.
• Luego, se mapean ceros en el infinito en z = −1, hasta hacer que el orden
del numerador de C(z) sea igual a n − 1, donde n es el orden del denominador, por lo tanto, solo se mapea un cero en el infinito:
Caso 2: Dado:
• El número de ceros en el infinito son dos, se mapea solo un cero en el infinito porque el orden del numerador debe ser n − 1 = 2, como resultado
se obtiene:
Caso 3: Dado:
• Tenemos un cero en el infinito, no se mapea ningún cero porque el orden
del numerador ya es igual a n − 1 = 1, por lo tanto:
126
Oscar Barrero Mendoza
Caso 4: Si no se tienen ceros en el infinito se mapean todos los polos y cero
finitos normalmente:
Se mapea a:
Aquí no hay problema con que el orden del numerador sea igual al del
denominador.
La ganancia del compensador en z se calcula evaluando la siguiente
igualdad:
A continuación, se desarrolla un ejemplo de diseño.
Ejemplo 8
Se desea diseñar un compensador por el método de emulación tal que el coeficiente de amortiguamiento ζ sea de 0.5 y el tiempo de establecimiento de 7 s.
La función de transferencia de la planta es la siguiente:
Como resultado de usar el método basado en la respuesta en el tiempo
para diseñar el compensador en tiempo continuo, se obtuvo la siguiente función de transferencia
del compensador:
Una vez se tiene la función de transferencia del compensador en tiempo
continuo, se procede a discretizarla siguiendo los pasos descritos arriba, como
se muestra a continuación:
Sistemas de control digital
127
1. Se calcula el tiempo de muestreo basado en la medición de un periodo
de oscilación de la respuesta paso del sistema en lazo cerrado , Figura
2.49. Para este ejemplo es de 6 s, por lo tanto, se puede tomar un tiempo de muestreo T = 0.3 s.
2. Luego se mapean los polos usando la relación
. Por lo tanto:
3. Ahora los ceros finitos:
Para esta función de transferencia no existen ceros en el infinito, se recuerda que el número de ceros en el infinito es igual a la diferencia entre
el orden del polinomio del numerador con el del denominador.
Figura 2.49. Respuesta paso en lazo cerrado del sistema de control en tiempo
continuo
Fuente: el autor
4. El cálculo de la ganancia la hacemos usando la ecuación (2.29), pero primero se debe definir la función de transferencia pulso del compensador
G(z). Para hacer esto, se tiene en cuenta el número de ceros y polos definidos en los puntos anteriores, así el compensador discretizado tendrá la
siguiente estructura:
128
Oscar Barrero Mendoza
Una vez definido G(z), se puede calcular la ganancia K de la siguiente
manera:
Para este caso no se puede calcular K, debido a que al evaluar el límite
cuando s → 0 de Gc(s) nos daría como resultado infinito. En consecuencia, se debe aproximar el límite para cuando s → 0 al límite s → 1 × 10−3,
lo que implica que el límite para cuando z → 1 debe cambiar al límite z →
1.0003, teniendo en cuenta que z = eTs. Como resultado tenemos:
Ahora, evaluando los límites y despejando para K se obtiene,
Finalmente, la función de transferencia del compensador discretizado
queda definida como:
La Figura 2.49 muestra la respuesta paso en lazo cerrado usando el compensador en tiempo continuo (línea discontinua) y en tiempo discreto
(línea continua). Como se puede observar, las respuestas son similares
con una pequeña diferencia en el sobre impulso, algo que es normal debido al error que introduce el método de diseño, lo cual ya fue explicado
en la introducción de esta sección.
Sistemas de control digital
129
Figura 2.50. Respuesta paso del sistema de control en lazo cerrado
La línea discontinua corresponde a la respuesta del controlador en tiempo continuo
y la continua en tiempo discreto.
Fuente: el autor
Código de Matlab
Diseño de Compensadores por Emulación
%% Función de transferencia de la planta
Gps=tf(2,conv([1 1],[1 3]))
zpk(Gps)
ans =
2
------------(s+3) (s+1)
%% Función de transferencia del controlador diseñad
%% en tiempo continuo
Gcs=tf([1 2.16],[1 0])
Gcs =
s + 2.16
--------s
%% Cálculo de la función de transferencia en lazo
%% cerrado
Gcls=feedback(Gcs*Gps,1)
zpk(Gcls)
130
Oscar Barrero Mendoza
ans =
2 (s+2.16)
------------------------------------(s+2.754) (s^2 + 1.246s + 1.569)
%% De la respuesta paso en lazo cerrado podemos
%% obtener aproximadamente el valor de Td para
%% calcular el tiempo de muestreo T
step(Gcls)
Td=6.
T=Td/20.
%% Discretización del controlador
%% Gc(z)=K(z-z1)/(z-p1)
%% Mapeo de polos
z1=exp(T*-2.16)
z1 = 0.5231
%% Mapeo de ceros finitos en cero
p1=exp(T*0)
p1 = 1
%% Cálculo de la ganancia K del controlador
%% Gc(z)
s=1e-3.
z=exp(T*s)
K=(s+2.16)*(z-p1)/(s*(z-z1))
%% El controlador discretizado Gc(z)
Gcz=tf(K*[1 -z1],[1 -p1],T)
zpk(Gcz)
Gz=c2d(Gps,T).
Gclz=feedback(Gz*Gcz,1)
step(Gclz)
hold on
step(Gcls)
2.7 Problemas propuestos
2.7.1 Diseñe un compensador digital usando el método de emulación para una
antena cuya función de transferencia es:
Sistemas de control digital
131
Con las siguientes especificaciones de diseño: Mp < 16%, ts < 10 s y tiempo
de muestreo T = 0.5s.
2.7.2 Demostrar que la magnitud de un compensador en atraso evaluada cuando la frecuencia ω tiende a infinito es igual a 1/α, donde la función de transferencia del compensador está dada por:
2.7.3 Demostrar que en un compensador en adelanto:
2.7.4 Dado el diagrama de Bode en el plano, Figura 2.51, diseñar un compensador, adelanto o atraso, tal que el margen de fase γD = 60o y el margen de ganancia
Kg > 12 dB.
2.7.5 Demostrar que el círculo unitario del plano complejo
, mapea
al semiplano complejo izquierdo del plano
, usando la transformada bilineal:
2.7.6 Diseñar un compensador discreto método de respuesta en frecuencia con
emulación tal que el margen de fase deseado
,
y un tiempo
de muestreo T = 0.1 s, para el siguiente sistema:
El diagrama de Bode de la planta
132
se muestra en la Figura 2.52.
Oscar Barrero Mendoza
Figura 2.51. Problema 2.7.4.
Fuente: el autor
Figura 2.52. Problema 2.7.6.
Fuente: el autor
Sistemas de control digital
133
2.7.7 Dado el diagrama de bloques (Figura 2.53), diseñar el controlador tal que
el margen de fase
, luego, con el controlador diseñado calcule el margen de ganancia Kg basados en la respuesta en frecuencia mostrado en la Figura
2.54.
Figura 2.53. Problema 2.7.7.
Fuente: el autor
Figura 2.54. Diagrama de Bode problema 2.7.7
Fuente: el autor
134
Oscar Barrero Mendoza
2.7.8 Dada la función de transferencia de la velocidad de un motor de un carro
de carreras:
Diseñar un controlador tal que el margen de fase sea de 60o y el margen de
ganancia Kg > 10 dB. El diagrama de Bode de la planta se muestra en la Figura
2.55.
Figura 2.55. Diagrama de Bode problema 2.7.8
Fuente: el autor.
2.7.9 Dada la función de transferencia de una planta en el plan w, G(w), diseñar
un compensador tal que el
y la frecuencia ficticia de cruce por cero
decibeles sea 10 rad/s, Figura 2.56.
2.7.10 Usar el método de emulación para hallar su equivalente discreto C(z).
Tome el tiempo de muestreo T = 0,5 s. Finalmente expresar C(z) como una
ecuación en diferencia.
Sistemas de control digital
135
2.7.11 Dada la función de transferencia en el planto w de un compensador en
atraso
Demostrar que su magnitud para frecuencias mucho mayores a 1/τ es
igual a 1/α.
Figura 2.56. Diagrama de Bode problema 2.7.9.
Fuente: el autor
136
Oscar Barrero Mendoza
Capítulo 3
Métodos modernos de diseño de sistemas de
control en tiempo discreto para sistemas siso
3.1 Introducción
Gracias a los grandes avances en los sistemas de cómputo, hoy se pueden resolver en menor tiempo problemas matemáticos más complejos y multivariables. Esta evolución ha permitido la aparición de nuevas teorías y métodos de
solución en la ingeniería de control, como son, entre otros: el control óptimo
(Dorf & Bishop, 2010), predictivo (Camacho & Bordon-Alba, 2007), adaptativo
(Astrom & Wittenmark, 2008), fuzzy (Passino & S., 1997), redes neuronales
(Miller, Sutton, & Werbos, 1995) y modos deslizantes (Edwards & Spurgeon,
1998). Esta es una gran diferencia con los métodos clásicos tratados en este
libro hasta ahora basados en función de transferencia, en los que el problema
de control se ha enfocado en sistemas de una entrada y una salida (siso - Single
Input - Single Output). Estos métodos modernos se basan en la representación
de los modelos matemáticos en espacio de estado, la cual presenta mejores características para representar tanto sistemas lineales como no lineales y multivariables (mimo: Multiple Inputs - Multiple Outputs) (Friedlan, 2005; Williams
II & Lawrence, 2007).
Sistemas de control digital
137
3.2 Representación de un modelo matemático en espacio de estado
Donde representa una función no lineal, se denominan variables de
estado, son las entradas al sistema, t es el tiempo, n el número de variables
de estado, que es equivalente al orden del sistema, y p el número de entradas al
sistema. La solución de este conjunto de ecuaciones diferenciales representa el
comportamiento dinámico del sistema. Adicionalmente se tiene que las ecuaciones de salida, las cuales están definidas como sigue:
Donde representa una función no lineal, se denominan variables de
salida y m es el número de estas variables. Estos dos conjuntos de ecuaciones
diferenciales y algebraicas, representan por completo el comportamiento y la
respuesta de un sistema dinámico multivariable ante excitaciones externas. Antes de continuar se presentan algunas definiciones (Ogata, 1996):
3.2.1 Estado
El estado de un sistema dinámico es el conjunto más pequeño de variables,
llamadas variables de estado, tales que el conocimiento de dichas variables en
junto con las entradas para
, determinan por completo el comportamiento del sistema para cualquier tiempo
3.2.2 Variables de estado
Las variables de estado de un sistema dinámico son las que conforman el conjunto más pequeño de variables que determinan el estado del sistema dinámico.
Si para describir en su totalidad el comportamiento de un sistema dinámico, se
requiere de por lo menos n variables
(de tal forma que una vez dada
la entrada para
y el estado inicial en
, el estado futuro del sistema
138
Oscar Barrero Mendoza
queda completamente determinado), entonces dichas n variables se consideran
un conjunto de variables de estado.
3.2.3 Vector de estado
Es el vector que determina en forma única el estado del sistema para cualquier
tiempo
, una vez dado el estado en t = t0 y especificada la entrada u(t) para
Este vector x(t) está compuesto con las n variables de estado.
3.2.4 Espacio de estado
Es el espacio de n dimensiones cuyos ejes coordenados están formados por las
variables de estado
. Por lo tanto, cualquier estado puede representarse como un punto dentro del espacio de estado.
3.2.4.1 Representación lineal del espacio de estado
Para sistemas lineales en tiempo continuo la representación es espacio de estado, que se puede escribir de la siguiente manera en forma matricial:
Donde,
es el
vector de estado, que contiene las variables de estado,
es el vector
de entradas y
el vector de salidas del sistema. La ecuación (3.1) se
conoce como la ecuación dinámica del sistema y (3.2) como la de salida. Ahora,
para sistemas lineales en tiempo discreto se tiene:
Donde,
el
vector de estado en tiempo discreto, donde el instante actual es k y un instante
adelante es k +1. Para obtener las matrices en tiempo discreto (3.3) con base en
las de tiempo continuo (3.1, 3.2), haciendo una discretización y teniendo en
cuenta el retenedor de orden cero, se puede demostrar que (Ogata, 1996 p. 312):
Sistemas de control digital
139
Con T el tiempo de muestreo.
Ejemplo 9
Se desea modelar el sistema de la Figura 3.1 usando la representación de espacio de estado lineal, este sistema consiste de dos tanques conectados en cascada, a través de los cuales se desea controlar el flujo de agua de salida
.
Figura 3.1. Tanques en cascada
Fuente: el autor
Para modelar este sistema, se usará la técnica del balance de masas en cada
uno de los tanques, así se obtienen las siguientes ecuaciones diferenciales: Para
el tanque 1:
Esta ecuación expresa de una forma dinámica que la variación de la cantidad de masa de agua dentro del tanque uno con respecto al tiempo, es igual
al flujo másico de agua que entra menos el que sale. Ahora, como la cantidad
de masa depende de la densidad ρ y el volumen, donde la densidad del agua es
constante y el área del tanque también, se puede reescribir la ecuación (3.5) de
la siguiente manera:
140
Oscar Barrero Mendoza
así:
Luego, se puede relacionar el flujo másico
con el flujo volumétrico F,
Remplazando (3.7) en (3.6) y manipulando un poco las ecuaciones, se
tiene:
El flujo F12 se puede aproximar como:
Donde la diferencia de presión
esta dada por:
Donde g es la gravedad. Finalmente, la ecuación dinámica para el tanque
uno queda como:
A continuación, haciendo un análisis similar para el tanque dos, tenemos:
Donde:
Como resultado de remplazar (3.10) en (3.9) se obtiene que:
Observando detenidamente las ecuaciones (3.8) y (3.10), se puede establecer que estas ecuaciones son lineales, por lo tanto, las ecuaciones dinámicas
Sistemas de control digital
141
del modelo matemático de este sistema en espacio de estado, se pueden escribir
en forma matricial como sigue:
Para la ecuación de salida, primero definimos que variables son de interés, para este ejemplo se tomaran h1(t) y h2(t), en consecuencia, la ecuación de
salida será:
Una vez se tiene el modelo matemático, se define el valor de los parámetros
del sistema y se puede simular usando el toolbox de control de Matlab u otra herramienta de software que tenga esta funcionalidad como son los software libres
Scilab (www.scilab.org/) u Octave (https://www.gnu.org/software/octave/).
Para el ejemplo anterior se definen los siguientes valores para poder simular
la respuesta paso del sistema en lazo cerrado:
,
,
,
,
,
,
.
Figura 3.2. Esquema sistema de control en lazo abierto
Fuente: el autor
142
Oscar Barrero Mendoza
Figura 3.3 Respuesta paso del sistema de tanques en cascada en lazo abierto
en tiempo continuo
Gráfica obtenida con el software Matlab. La superior es la respuesta paso del tanque 1,
y la inferior la del tanque 2
Fuente: el autor
Código de Matlab
Simulación Respuesta Paso sistema de dos tanques conectados en cascada
%% Definición de parámetros del modelo.
rho=1000. % [kg/m^3]
g = 9.8. % [m/s^2]
A1= 5. % [m^2]
A2 = 3. % [m^2]
R1 = 10000. % [Pa-s/m^3]
R2 = 5000. % [Pa-s/m^3]
%% Definición de las matrices del espacio de estado
A=[-rho*g/(A1*R1) rho*g/(A1*R1)....
rho*g/(A2*R1) -rho*g/A2*(1/R1+1/R2)].
B=[1/A1.0].
C=eye(2).
D=zeros(2,1)
%% Definición del sistema en espacio de estado
SS_tanques=ss(A,B,C,D)
%% Respuesta paso del sistema
step(SS_tanques)
Sistemas de control digital
143
3.3 Sistema de control por realimentación de variables de estado
en tiempo discreto
En los sistemas de control por realimentación de variables de estado el objetivo
principal es hallar un vector de ganancias K que haga que el sistema descrito
por las matrices (AD,BD, CD, DD) (Figura 3.4), sea asintóticamente estable manipulando la entrada a la planta uk. Donde
para sistemas siso, y una
variable relacionada con la entrada de referencia.
Figura 3.4. Estrategia de control por realimentación de variables de estado
Fuente: el autor
De otro lado, antes de estudiar los métodos de diseños de los sistemas de
control por realimentación de variables de estado, se introducirá un concepto
muy importante relacionado con las características que debe poseer un sistema
para que este pueda ser controlado: Controlabilidad.
3.3.1 Controlabilidad
Se dice que un sistema es totalmente controlable, si es posible transferir este de
un estado inicial cualquiera a un estado final deseado, en un periodo de tiempo
finito. En otras palabras, si es posible llevar todas las variables de estado de una
condicional inicial cualquiera a una final deseada, mediante alguna acción de
control no restringida en un tiempo finito. Si se evalúa el espacio de estado en
tiempo discreto,
144
Oscar Barrero Mendoza
Para la enésima muestra del vector se obtiene:
Por lo tanto, se puede concluir que para que exista el vector U, que contiene las acciones de control, tal que el sistema vaya de una condición inicial arbitraria a una final deseada, la matriz de controlabilidad
debe tener
rango n, donde n es el orden del sistema.
3.3.1.1 Diseño de controladores por realimentación de variables de estados usando ubicación de polos
Al igual que los métodos clásicos de control, el objetivo de esta estrategia es la
de hallar la forma de manipular los polos de un sistema en lazo cerrado representado en espacio de estado. Para esto es muy importante tener claro dónde
se encuentran los polos de un sistema representado en espacio de estado, para
esto hallaremos la función de transferencia de un sistema basados en la representación en espacio de estado, así transformando a z:
Se obtiene:
Luego, remplazando (3.12) en la ecuación de salida tomando a DD = 0, se
tiene que:
Como resultado, en (3.13) se puede observar que los polos del sistema
son las raíces de la ecuación característica definida por el determinante de
. Aquí es importante resaltar que estas raíces son también los valores
Sistemas de control digital
145
propios de la matriz AD. Por lo tanto, en espacio de estado, los polos son los
valores propios de la matriz AD.
En la representación en espacio de estado, los polos son los valores propios de la matriz AD.
3.3.1.2 Problema de control
De la Figura 3.4 tomando
, se tiene que:
Ahora, remplazando la ecuación (3.14) en (3.11) nos da que:
Esta nueva representación que es el espacio de estado en lazo cerrado,
ecuación (3.15), se puede observar que la respuesta dinámica de las variables de
estado, depende de los valores propios de la matriz AD − BDK, los cuales son los
polos del sistema en lazo cerrado, como ya se demostró en la sección anterior.
En consecuencia, el problema de control que se tiene que resolver consiste en
hallar una matriz K, tal que la matriz AD − BDK obtenga unos valores propios
iguales a los polos deseados en lazo cerrado del sistema, los cuales como se
sabe, están directamente relacionados con la respuesta transitoria en lazo cerrado del sistema. En las siguientes secciones se presentarán tres métodos que
se pueden usar para resolver este problema.
3.3.1.3 Método basado en la transformada de similitud
Antes de presentar el método, primero se tiene que definir la transformada de
similitud. Una transformación de similitud de un sistema en espacio de estado
es un cambio lineal de las coordenadas de las variables de estado:
Donde T es una matriz de transformación lineal tal que TT−1 = T−1T = I.
qk es el vector de estado transformado al nuevo eje de coordenadas y xk el vector
de estado original. Remplazando (3.16) en (3.3) se tiene como resultado una
representación es espacio de estado transformada:
146
Oscar Barrero Mendoza
Donde:
Aquí es importante resaltar que, aunque el espacio de estado está transformado, la relación dinámica que existe entre la entrada y la salida no se
alteran, o sea la función de transferencia del sistema transformado es igual a la
del original, como sigue:
Esto significa que la representación es espacio de estado para un sistema
en particular no es única, existen infinitos conjuntos de matrices AD, BD, CD,
y DD que pueden representar la relación dinámica de las variables de entrada-salida de un sistema. Una de las representaciones más importantes recibe
el nombre de la forma canónica controlable y sus matrices se estructuran de la
siguiente forma:
Que se obtiene de la siguiente función de transferencia:
La demostración se puede encontrar en Ogata (1996, p. 336).
Sistemas de control digital
147
Solución del problema de control
Retomando el problema de control, en el que se quiere hallar una ganancia K
tal que los valores propios de la matriz AD − BDK sean los polos deseados en lazo
cerrado, podemos plantear lo siguiente:
1. Una vez conocidos los n polos deseados en lazo cerrado
la ecuación
característica de lazo cerrado (ecla) se puede escribir como:
donde los son los coeficientes de la ecla.
2. Como lo que se quiere es que los valores propios de la matriz dinámica
del sistema en lazo cerrado AD − BDK sean iguales a los polos deseados,
se puede establecer que:
como se demostró en la ecuación (3.13).
Para hallar K, se necesita resolver el conjunto de n ecuaciones que se
generan en (3.24). Esta solución presenta el problema que, para grandes
valores de n, el problema se vuelve numéricamente difícil de resolver. De
otro lado, usando una transformada de similitud que haga que el sistema
original sea llevado a la forma canónica controlable, ecuación (3.23), el
problema se puede resolver fácilmente para cualquier orden de sistema,
como se muestra a continuación:
Si se toma un sistema de segundo orden en (3.24):
resolviendo el determinante:
148
Oscar Barrero Mendoza
Ahora, por comparación se obtiene que:
Dando como resultado:
En consecuencia, si se extiende este resultado para un sistema de orden
n se tiene:
Donde los coeficientes αi son los coeficientes de la ecuación característica de lazo cerrado, y ai son los coeficientes de la ecuación característica
de lazo abierto
3. La matriz es la ganancia del controlador en la forma canónica controlable, por lo tanto debemos transformarla al espacio original, para esto
se analiza la relación entre:
y K: Tomando el sistema en el espacio original, tomando uk = −Kxk se
tiene que:
luego, transformando a la forma canónica controlable usando la transformada de similitud
, da como resultado:
Como resultado obtenemos que
donde TC es la matriz de
transformación de similitud a la forma canónica controlable y está definida como
. La matriz se conoce como la matriz de controlabilidad definida como:
Sistemas de control digital
149
Y la matriz W definida como:
donde ai son los coeficientes de la ecuación característica obtenida de
|zI − AD|. Como resultado:
4. Finalmente, el diseño debemos validarlo, para esto se calculan los valores propios de la matriz AD − BDK, los cuales deben de ser iguales a los
polos deseados en lazo cerrado βi.
3.3.1.4 Método basado en la fórmula de Ackerman
Otro método muy conocido para calcular la matriz K, es la fórmula de Ackerman, que se presenta a continuación:
Donde φ(AD) es una función definida como:
Demostración
Partiendo del teorema de Cayley-Hamilton, que afirma que toda matriz cuadrada A anula a su polinomio característico. O sea, si
es el polinomio
característico de A, entonces
. Para la demostración la matriz de interés es
, por lo tanto, su polinomio característico es:
Lo cual ya se había establecido en (3.24). Entonces:
150
Oscar Barrero Mendoza
Ahora, evaluando
para 1 ≤ k ≤ n se tiene:
Y remplazando en (3.25), se obtiene:
Como interesa despejar K, se pre multiplican ambos lados por [0 0 ··· 1]
en (3.26), y tomando por simplicidad que
, se obtiene como
resultado:
3.3.1.5 Método basado en la ecuación de Sylvester
La ecuación de Sylvester es una solución al problema de control que se basa en
la descomposición de valores propios. Entonces, como el problema de control
plantea hallar una matriz K tal que los valores propios de la matriz AD −BDK
tenga unos valores propios iguales a los polos deseados de lazo cerrado, se puede escribir la siguiente ecuación que describe la descomposición de valores
propios de la matriz AD − BDK:
Sistemas de control digital
151
donde
es la matriz de vectores propios y
es la matriz de valores propios que contiene los polos deseados de lazo cerrado. Ahora,
multiplicando (3.28) por V
y organizando esta ecuación se tiene:
Luego, definiendo
como una matriz aleatoria, de tal forma que:
y remplazándola en (3.29) se obtiene la siguiente ecuación:
La ecuación (3.31) se conoce como la ecuación de Sylvester. Finalmente,
al resolver (3.31) se obtiene V, una vez conocido V se puede hallar K de (3.30)
como K = GV−1. En resumen, estos son los pasos del método de diseño:
1. Definir la matriz de valores propios Λ. Si se tienen los siguientes polos deseados, a saber:
, y los polos reales
, la matriz se escribe de la siguiente forma:
2. Luego se genera aleatoriamente la matriz G y se resuelve la ecuación de
Sylvester para hallar V.
3. Finalmente se calcula K como K = GV−1.
Es importante notar que la matriz K obtenida, será siempre la misma
independiente de la matriz aleatoria G que se escoja.
152
Oscar Barrero Mendoza
3.4 Sistemas de control por realimentación de variables de estado con
seguimiento de trayectoria
En la sección anterior se planteó una solución asumiendo una entrada de referencia igual a cero, o sea que el controlador diseñado nos garantiza una respuesta dinámica de acuerdo a la ubicación de los polos, pero no está diseñado
para que en estado estable pueda seguir una referencia. En consecuencia, en
esta sección mostraremos dos estrategias que nos permitan resolver este problema adicional del sistema de control. Es importante resaltar que este diseño
complementario, no afecta el diseño de la sección anterior, sino que lo complementa.
3.4.1 Seguimiento de trayectoria usando estrategia de control por compensación (feedforward)
El objetivo de esta estrategia de control, es hallar la ganancia de la acción de
control por compensación N, tal que en estado estable la salida de la planta
sea igual a la entrada de referencia . Para esto se plantea el siguiente esquema:
Solución
De acuerdo a la Figura 3.5 la acción de control
remplazando en (3.3) se tiene que:
, entonces,
transformando a z y despejando X(z):
Figura 3.5. Esquema de control por compensación (feedforward) para seguimiento de
referencia y por realimentación de variables de estado
Fuente: el autor
Sistemas de control digital
153
Luego remplazando X(z) en la ecuación de salida y tomando
tenemos:
,
Ahora, como se necesita es hallar la ganancia N que garantice que en estado estable la salida
siga la referencia
, o sea que
, se
hace un análisis de estado estable en el dominio de z. Como sabemos, en estado
estable la frecuencia de la respuesta del sistema es aproximadamente cero, por
lo que la variable compleja
se puede tomar igual a cero. En consecuencia, como
entonces para s = 0, z = 1. Finalmente, de la ecuación (3.32)
se puede despejar N como sigue:
Una desventaja de este método consiste en que si el modelo matemático
de la planta no es preciso, como casi siempre es el caso, se va a tener una desviación de la acción de control necesaria para garantizar un error cero de estado
estable. Esta desviación se debe a que la acción por compensación N depende
directamente de las matrices de la representación en espacio de estado del modelo del sistema (3.33).
Ejemplo 10
Diseñar un sistema de control en tiempo discreto por realimentación de variables de estado para el sistema de tanques en cascada del ejemplo 9. Se requiere
controlar el nivel del agua en el tanque uno de tal forma que, ante un cambio de
referencia en el nivel, este logre estabilizarse en el nuevo valor en 10 segundos
con el menor sobre paso posible.
Solución
Lo primero que se debe hacer es definir los polos deseados dominantes de lazo
cerrado, para esto se toma como base la información de la respuesta deseada
en lazo cerrado: Para una respuesta con un bajo sobre impulso, se puede tomar
154
Oscar Barrero Mendoza
un ζ = 0.8 y
amortiguada
s, con este dato se puede calcular la frecuencia natural no
y amortiguada .
Ahora, con el valor de
se puede estimar un tiempo de muestreo
adecuado con base al periodo de oscilación de la respuesta amortiguada
, por lo tanto, el tiempo de muestreo T se puede tomar
entre
, o sea 0.6 ≤ T ≤ 1.8, por lo que se puede tomar T = 1 s. Así,
los polos deseados en tiempo discreto se pueden calcular como sigue:
También, una vez definido el tiempo de muestreo se debe discretizar la
planta teniendo en cuenta el efecto del zoh de acuerdo a las ecuaciones (3.4),
y que la variable a controlar es , por lo que la matriz cambia con respecto
a la del ejemplo 9.
Una vez se tienen los polos deseados en tiempo discreto
y la planta
discretizada, se puede continuar con el cálculo de ganancia del controlador de
realimentación de variables de estado K. Para este ejemplo se usará la ecuación
de Ackerman, ver (3.27). Para poder usar la ecuación de Ackerman se debe
calcular la matriz
de acuerdo a la ecuación (3.25), por lo tanto, se deben
hallar primero los coeficientes de la ecuación característica deseada de lazo cerrado , como el sistema es de segundo orden, la ecuación característica para
este problema tendrá dos coeficientes :
Sistemas de control digital
155
con los coeficientes
definidos, se puede hallar la matriz φ(AD)
ahora, se calcula la matriz de controlabilidad y su inversa,
Finalmente se puede calcular la matriz de ganancia del controlador como
sigue:
Ahora se debe validar el diseño verificando si los polos deseados del lazo
cerrado del sistema de control son iguales a los polos deseados, para esto se
calculan los valores propios de la matriz AD − BDK y se comparan con los polos
deseados , entonces:
Como se puede observar, el cálculo de la ganancia K es correcto debido
a que los valores propios de la matriz AD − BDK son iguales a los polos deseados . Una vez se haya calculado y validado la ganancia del controlador K, se
puede hallar la ganancia de la acción de control por compensación N, ecuación
(3.33)
156
Oscar Barrero Mendoza
Figura 3.6. Esquema Simulink del sistema de control por realimentación de variables
de estado con acción compensadora para el seguimiento de referencias
Fuente: el autor
Figura 3.7. Respuesta paso sistema en lazo cerrado de control por realimentación
de variables de estado y acción compensadora, mostrada por el scope de Simulink
El eje ’x’ es el tiempo en segundos, el eje ’y’ es el nivel del tanque en metros
Fuente: el autor
Como se puede observar en la Figura (3.7), la respuesta del sistema de
control en lazo cerrado cumple con las especificaciones de diseño, o sea un bajo
sobre impulso y un tiempo de establecimiento de diez segundos, por lo tanto, se
puede concluir que el diseño quedó correcto.
Sistemas de control digital
157
Código de Matlab
Diseño Controlador por Espacio de Estado por Realimentación de Variables de Estado
con Acción Compensadora del Sistema de Dos Tanques Conectados en Cascada
%% Definición de parámetros del modelo.
rho=1000. % [kg/m^3]
g = 9.8. % [m/s^2]
A1= 5. % [m^2]
A2 = 3. % [m^2]
R1 = 10000. % [Pa-s/m^3]
R2 = 6000. % [Pa-s/m^3]
%% Definición de las matrices del espacio de estado
A=[-rho*g/(A1*R1) rho*g/(A1*R1)....
rho*g/(A2*R1) -rho*g/A2*(1/R1+1/R2)].
B=[1/A1.0].
C=[1 0].
D=0.
%% Definición del sistema en espacio de estado
SS_tanques_c=ss(A, B, C, D)
%% Respuesta paso del sistema
step(SS_tanques_c).
%% Diseño del controlador %%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Cálculo de los polos deseados dominante
ts=10. % [s]
zita= 0.8.
wn=4.6/(zita*ts). % [rad/s]
wd=wn*sqrt(1-zita^2).% [rad/s]
sD=-zita*wn+j*wd.
% Cálculo del tiempo de muestreo
Td=2*pi/wd. % [s]
Td_max=Td/10.
Td_min= Td/30.
T=1. % [s]
% Discretización de los polos dominantes
zD=exp(T*sD).
% Discretización de la planta
158
Oscar Barrero Mendoza
SS_tanques_d=c2d(SS_tanques_c,T).
Ad=SS_tanques_d.a.
Bd=SS_tanques_d.b.
Cd=SS_tanques_d.c.
Dd=SS_tanques_d.d.
%% Cálculo de la ganancia del controlador usando el método de %% Ackerman
% Cálculo de los coeficientes alfa_i
alfa_i=conv([1 -zD],[1 -zD’])
alfa=alfa_i(2:3).
phi_Ad=Ad^2+alfa(1)*Ad+alfa(2)*eye(2)
% Cálculo de la matriz de controlabilidad
Co=ctrb(Ad,Bd)
Co_inv=inv(Co)
K=[0 1]*Co_inv*phi_Ad
% Validación del cálculo de la ganancia del controlador
eig(Ad-Bd*K)
zD
% Cálculo de la ganancia del controlador por compensación
N=inv(Cd*(eye(2)-Ad+Bd*K)^(-1)*Bd)
Fuente: el autor
3.4.2 Seguimiento de trayectoria usando la estrategia de realimentación de
variables de estado con acción integradora
Aunque la estrategia por compensación descrita en la sección anterior es una
buena solución, la garantía de que la respuesta del sistema siga a la entrada de
referencia en estado estable, depende de la validez del modelo, como ya se expuso anteriormente. Por lo tanto, la estrategia que se propone es esta sección es
más robusta frente a los errores de modelamiento, que ocurren con frecuencia
en los sistemas reales. El esquema de la estrategia de control con acción integradora es el siguiente (Bemporad, 2010).
Sistemas de control digital
159
Figura 3.8. Esquema de control con acción integradora para seguimiento de referencia
por realimentación de variables de estado
Fuente: el autor
Solución
El objetivo de este diseño es hallar la ganancia del controlador K y la de la acción integradora KI. Para esto se comienza con definir una nueva variable de
estado, la integral del error que se puede definir en z como:
O sea que el esquema de la Figura 3.8 se puede representar de la siguiente
manera:
Figura 3.9. Esquema de control por realimentación de variables de estado con acción
integradora
Fuente: el autor
160
Oscar Barrero Mendoza
De la ecuación (3.34) se puede despejar
como sigue:
Esta nueva variable de estado xI influencia la respuesta dinámica del sistema en lazo cerrado; por lo tanto, a la representación original del sistema se
le debe agregar este nuevo estado, dando como resultado una representación
en espacio de estado aumentada en una variable. Esta nueva representación se
puede expresar de la siguiente manera:
Ahora, como se desea diseñar un controlador cuya acción de control sea
, se toma = 0. Como resultado se obtiene el siguiente espacio de estado
aumentado:
Donde
de rescribir como:
según el esquema de la Figura 3.9, que se pue-
Con:
Como se puede observar en (3.36) y (3.37), el problema de control es igual
al original, solo que ahora se tiene un espacio de estado aumentado, en consecuencia, la solución del problema es igual a los planteados en la sección anterior, pero ahora hay que tener en cuenta que la ganancia
.
Sistemas de control digital
161
Ejemplo 11
En este ejemplo se resolverá el mismo problema del ejemplo 10, pero usando el
esquema de la acción integradora. Luego, se hará un análisis de los resultados
obtenidos y se compararan con los resultados de los dos problemas.
Solución
El cálculo de la ganancia del controlador
se hará usando la solución de la
ecuación de Sylvester presentada en la sección 3.3.5. Por lo tanto, primero se
define la matriz de valores propios Λ del sistema aumentado en lazo cerrado,
en este caso se debe tener en cuenta que el sistema es de tercer orden; por lo
tanto, los polos de lazo cerrado serán los dos deseados y un tercer polo no
dominante dinámicamente, por lo que se puede tomar un valor real cerca al
origen, en consecuencia:
Luego se escoge una matriz
aleatoriamente y se resuelve la ecuación de Sylvester para el sistema aumentado, ecuación (3.36), usando Matlab de
acuerdo a (3.31), como resultado se tiene:
Finalmente, se calcula la ganancia del controlador,
A continuación, en la Figura 3.10 se muestra el diagrama Simulink para
un sistema de control por realimentación de variables de estado con acción
integradora y la respuesta paso del diseño.
162
Oscar Barrero Mendoza
Figura 3.10. Esquema Simulink del sistema de control por realimentación de variables
de estado con acción integradora
Fuente: el autor
Figura 3.11. Respuesta paso del sistema de control del ejemplo 11 mostrado
por el scope de Simulink.
El eje ’x’ es el tiempo en segundos, el eje ’y’ es el nivel del tanque en metros
Fuente: el autor
Sistemas de control digital
163
Código de Matlab
Diseño Controlador por Espacio de Estado por Realimentación de Variables de Estado
con Acción Integradora del Sistema de Dos Tanques Conectados en Cascada
%% Definición de parámetros del modelo.
rho=1000. % [kg/m^3]
g = 9.8. % [m/s^2]
A1= 5. % [m^2]
A2 = 3. % [m^2]
R1 = 10000. % [Pa-s/m^3]
R2 = 5000. % [Pa-s/m^3]
%% Definición de las matrices del espacio de estado
A=[-rho*g/(A1*R1) rho*g/(A1*R1)....
rho*g/(A2*R1) -rho*g/A2*(1/R1+1/R2)].
B=[1/A1.0].
C=[1 0].
D=0.
%% Definición del sistema en espacio de estado
SS_tanques_c=ss(A,B,C,D)
%% Respuesta paso del sistema
step(SS_tanques_c).
%% Diseño del controlador %%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Cálculo de los polos deseados dominante
ts=10. % [s]
zita= 0.8.
wn=4.6/(zita*ts). % [rad/s]
wd=wn*sqrt(1-zita^2).% [rad/s]
sD=-zita*wn+j*wd.
% Cálculo del tiempo de muestreo
Td=2*pi/wd. % [s]
Td_max=Td/10.
Td_min= Td/30.
T=1. % [s]
% Discretización de los polos dominantes
zD=exp(T*sD).
164
Oscar Barrero Mendoza
% Discretización de la planta
SS_tanques_d=c2d(SS_tanques_c,T).
Ad=SS_tanques_d.a.
Bd=SS_tanques_d.b.
Cd=SS_tanques_d.c.
Dd=SS_tanques_d.d.
%% Cálculo de la ganancia del controlador usando el método de Sylvester
% Definición de las matrices del espacio de estado aumentado
Ada=[Ad zeros(2,1).-Cd 1].
Bda=[Bd.0].
Cda=[Cd 0].
Dda=Dd.
% Definición de la matriz de valores propios y aleatoria
Lambda=[real(zD) imag(zD) 0....
-imag(zD) real(zD) 0....
0
0
0.01].
G=[1 0 1].
% Solución de la ecuación de Sylvester
V=sylv(Ada,-Lambda,Bda*G).
% Cálculo de la ganancia aumentada del controlador
Ka=G*inv(V).
K=Ka(1:2).
Ki=Ka(3).
% Validación del cálculo de la ganancia del controlador
eig(Ada-Bda*Ka)
zD
Ejemplo 12
En este ejemplo se comparará el desempeño de los dos esquemas de control,
analizados en esta sección, cuando están sometidos a perturbaciones externas.
Para esto, se toman las ganancias de los respectivos controladores ya diseñadas
sin modificación, y luego se simula una perturbación cambiando el valor de la
resistencia hidráulica R2 del sistema. Por lo tanto, vamos a simular un pequeño
bloqueo en la salida de agua del tanque dos, algo que podemos simular aumentando R2 en un 20 %, por lo que R2 = 6 kPa/m3.
Sistemas de control digital
165
Para el esquema del controlador con acción compensadora las ganancias
del controlador son las siguientes:
Para el controlador con acción integradora son las siguientes:
El esquema Simulink para hacer la comparación de los dos sistemas se
puede apreciar en la Figura 3.12.
En la Figura 3.13 se muestra la respuesta paso unitario de los dos sistemas
de control sin perturbación, como se puede observar las dos estrategias cumplen con las especificaciones de diseño. Sin embargo, cuando se perturba el
sistema cambiando la resistencia hidráulica de salida se puede observar una
diferencia en la respuesta de los dos sistemas, ver Figura 3.14. ¿Por qué ocurre
esto?, la respuesta radica en la forma en que funcionan los dos esquemas de
control; la acción de control del sistema de control con acción compensadora depende de las ganancias obtenidas con base al modelo matemático, matrices AD, BD, CD, DD, mientras que la del sistema con acción de control integradora aunque depende del modelo, también depende de la integral del error, lo que
lo hace más robusto, menos sensible, a las perturbaciones externas. Por eso se
observa en la Figura 3.14 cómo la respuesta del control con acción compensadora no es capaz de seguir la referencia, esto es debido a que su funcionamiento
depende solo de las ganancias N y K, así cuando ocurre una perturbación en
el sistema y el comportamiento dinámico de la planta se ve afectado este no es
capaz de detectar ese cambio.
Por otro lado, como el controlador con acción integradora está monitoreando el error, que se define como la diferencia entre la respuesta de la planta
y el valor deseado de la respuesta, puede detectar si hay diferencias entre estas,
de tal modo que puede modificar la acción de control y así compensar el efecto
de la perturbación.
166
Oscar Barrero Mendoza
Figura 3.12. Diagrama esquemático en Simulink de los dos sistemas de control
por realimentación de variables de estado diseñados
Fuente: el autor
Figura 3.13. Comparación de la respuesta paso sin perturbación de los esquemas
de control con acción compensadora e integradora.
La línea continua representa la respuesta del sistema de control con acción compensadora, la línea rayada
la del sistema de control con acción integradora. El eje ’x’ es el tiempo en segundos, el eje ’y’ es el nivel del
tanque en metros.
Fuente: el autor
Sistemas de control digital
167
Figura 3.14. Comparación de la respuesta paso con perturbación de los esquemas
de control con acción compensadora e integradora
La línea continua representa la respuesta del sistema de control con acción compensadora, la línea rayada
la del sistema de control con acción integradora. El eje ’x’ es el tiempo en segundos, el eje ’y’ es el nivel del
tanque en metros
Fuente: el autor
3.5 Sistemas de control por realimentación de estados usando observadores
para sistemas siso
En la implementación de los sistemas de control por realimentación del vector
de estado, se deben medir todas las variables de estado con el fin de calcular la
acción de control uk, la cual es igual al producto de la ganancia del controlador
K por el vector de estado xk, como se presentó en la ecuación 3.14. Sin embargo,
esto no es siempre posible debido entre muchas razones a: 1) la no existencia de
un sensor para medir una variable física, b) difíciles condiciones ambientales
o físicas, donde no se puede instalar un sensor en el lugar adecuado y c) que
no se tiene el sensor o el costo de este es muy elevado (Fadali & Visioli, 2013).
Debido a lo anterior, el científico matemático estadounidense David Gilbert
Luenberger en su libro Introduction to Dynamic Sistems, Theory, Models and
Applications (Luenberger, 1979), propuso un algoritmo por medio del cual se
pueden estimar las variables de estado de un sistema dinámico, garantizando
que el error de estimación converja asintóticamente a cero, suponiendo que el
sistema es determinístico. El esquema de esta estrategia se puede observar en la
Figura (3.15). Este tipo de algoritmos es mejor conocido dentro de la ingeniería de control como observador; o sea que un observador es un estimador de
168
Oscar Barrero Mendoza
v­ ariables de estado. Por lo tanto, el método de estimación que se estudiará en
esta sección se conoce como el Obsevador de Luenberger.
Antes de continuar es importante introducir el concepto de Observabilidad, el cual está relacionado con las propiedades que debe tener un modelo
matemático en espacio de estado para que sus variables puedan ser estimadas.
3.5.1 Observabilidad
Un sistema es completamente observable, si cualquier estado inicial
puede determinarse a partir de la observación de sus salidas medidas en un
periodo finito de tiempo. Si se evalúa la salida del espacio de estado en tiempo
discreto, asumiendo
en:
En la enésima muestra se tiene que:
Por lo tanto, para poder determinar con base a las salidas medidas, la
matriz de observabilidad
debe ser de rango n, donde n es el orden
del sistema.
Figura 3.15. Esquema de un sistema de control por realimentación de estados con
entrada de referencia, acción integradora y observador de estados de orden completo
Fuente: el autor
Sistemas de control digital
169
3.5.1.1 Observador de Luenberger de orden completo en tiempo discreto para
sistemas siso
Un observador de orden completo es aquel que estima todas las variables de
estado sin importar si ya conocemos el valor de algunas de ellas (Luenberger,
1979, Anderson & Moore, 1979). Luenberger planteó la siguiente ecuación
(3.40) como base del estimador de variables de estados de orden completo:
Donde
son el vector de estado y la salida del sistema estimados en
el instante k,
son las variables de entrada y salida medidas en el instante
k.
es la ganancia del observador de Luenberger. Las matrices AD, BD,
CD y DD son las matrices de la representación en espacio de estado del sistema
en tiempo discreto. Como se puede ver en (3.40), la ecuación del observador
de Luenberger se basa en el modelo matemático; por lo tanto, se debe tener
un buen modelo matemático para que el observador funcione correctamente
y sus estimaciones sean confiables. La ecuación (3.40) se puede reescribir de
la siguiente forma para tener como salida del espacio de estado , lo que se
define como un observador estimador, porque estima los valores de usando
información tomada en el instante k:
De otro lado, para garantizar que el observador estime las variables de
estado de una forma confiable, asumiendo un sistema lineal y determinístico,
se hace el siguiente análisis: Si se define κ como el error de estimación del observador,
Entonces:
170
Oscar Barrero Mendoza
De donde finalmente se obtiene:
La ecuación (3.44) describe el comportamiento dinámico del error de estimación. En consecuencia, nuestro problema de estimación consiste en hallar
el vector de ganancias L tal que haga que el error de estimación tienda a cero
asintóticamente. Para lograr esto, se debe hallar una vector de ganancias L tal
que los valores propios de la matriz
sean iguales a los polos del
comportamiento deseado para el error de estimación. Para solucionar este problema, se puede tomar como apoyo las soluciones encontradas al problema de
control de la sección anterior, puesto que estos problemas son análogos, como
se muestra en la Tabla 3.1:
Tabla 3.1. Matrices del problema de control y de estimación
Matriz Problema de Control
Matriz Problema de Estimación
Fuente: el autor
Por lo tanto, si trasponemos la matriz del problema de estimación se tiene,
Que es una matriz similar a la del problema de control ecuación (3.45),
por lo tanto, para la solución del problema de estimación, podemos usar las
soluciones del problema de control, tomando:
3.5.2 Cálculo de la ganancia del observador de orden completo
Ahora, así como en la solución del problema de control, para el problema de
estimación existen muchos métodos de solución, a continuación, se presentan
algunos de ellos.
Sistemas de control digital
171
3.5.2.1 Método basado en la transformada de similitud
Con base en la solución del problema de control, donde:
Con los coeficientes de la ecuación característica deseada en lazo cerrado del observador
, y los coeficientes de la ecuación característica de lazo abierto del observador
. Ahora, remplazando por las
relaciones presentadas en (3.46) se tiene que:
Donde
es la ganancia del observador,
la ganancia
del observador en la forma canónica observable,
es la matriz de
transformación a la forma canónica observable. Ahora, recordemos que la matriz de controlabilidad está definida como:
Reescribiéndola en función de la relación análoga con el problema de control, se obtiene una nueva matriz, que se define como OT tal que:
La matriz se conoce como la matriz de observabilidad. Finalmente, la
ganancia del observador L se puede calcular como sigue:
172
Oscar Barrero Mendoza
3.5.2.2 Método basado en la fórmula de Ackerman
La solución para la ganancia del controlador según la fórmula de Ackerman,
ecuación (3.27), está dada por:
Ahora, usando las matrices análogas se tiene:
Finalmente, el cálculo de la matriz de ganancia del observador usando la
ecuación de Ackerman es:
3.5.2.3 Método basado en la ecuación de Sylvester
Igual que las soluciones anteriores, se parte de la ecuación de Sylvester para el
caso del problema de control ecuaciones (3.31), (3.30):
Donde
es una matriz aleatoria. Ahora, usando las relaciones
análogas con el problema de estimación tenemos:
Por lo tanto, para el cálculo de la ganancia del observador, primero se halla V de la ecuación de Sylvester para el observador, ecuación (3.49), y luego de
(3.50) se despeja L como sigue:
Sistemas de control digital
173
3.5.3 Observador de Luenberger de orden reducido
El observador de orden reducido es un estimador que solo estima las variables
de estado no medibles en función de las variables de estado medibles y la entrada del sistema. Una variable de estado no medible es aquella cuya información
no está disponible en la instrumentación de la planta que se quiere controlar.
Por lo tanto, para diseñar este tipo de observador, el objetivo es poder reescribir
el espacio de estado del sistema original de tal forma que el vector de estado
solo contenga las variables de estado no medibles, una vez reescrito el sistema
de esta manera, la solución será igual al observador de orden completo. En
consecuencia, lo primero que se debe hacer es reorganizar el vector de estado
del sistema original de la siguiente manera:
Donde
es la parte vector de estado que contiene las na variables de estado medibles,
la parte del vector de estado que contiene
las nb variables de estado no medibles,
. Ahora, si se toma de (3.51) los dos
subsistemas y se reescriben independientemente, se tiene que:
Como lo que se busca es reescribir el espacio de estado de tal forma que
el nuevo vector de estado solo contenga las variables de estado no medibles, se
toma como ecuación base, para el nuevo espacio de estado, la ecuación (3.51),
adicionalmente, el vector de estado se convierte en una entrada adicional a
para el observador, en consecuencia:
Renombrando las variables de las ecuaciones (3.54) y (3.55) de la siguiente forma:
174
Oscar Barrero Mendoza
Se puede reescribir el nuevo espacio de estado en función de las variables
no medibles, como sigue:
En (3.56) se puede observar que la formulación del nuevo espacio de estado se ajusta claramente a la general del espacio de estado, por lo tanto, la
ecuación y solución del observador de orden completo se pueden tomar para
esta representación, así la ecuación del observador de orden reducido se puede
escribir:
Aquí es importante resaltar que para hallar L¯ se puede usar cualquier
método visto en la sección del observador de orden completo. Para la implementación de (3.57) se debe tener en cuenta que x¯ˆk+1 está en función de
y¯k = xak+1, o sea en función de mediciones futuras de las variables de estado
medibles, algo que en la práctica no es posible; en consecuencia y con el fin de
resolver este inconveniente, se debe atrasar una muestra la ecuación en diferencia, obteniendo:
Sistemas de control digital
175
Ahora remplazando por las variables originales:
La ecuación (3.58) muestra la ecuación del observador de orden reducido
en función de las variables originales del espacio de estado.
3.5.4 Análisis de la dinámica del sistema de control en conjunto con
observadores
En esta sección se analizará cómo la integración del observador afecta la dinámica del sistema de control en lazo cerrado. Para esto, se reescribe el espacio de
estado del sistema de control, Figura (3.4), incluyendo el observador de orden
completo, como sigue:
Remplazando en (3.3) se tiene:
Ahora, en (3.43) se definió κ como el error de estimación, en consecuencia, se obtiene:
Finalmente, la representación del espacio de estado del sistema de control,
(ecuación (3.60)), con el observador de orden completo, (ecuación (3.44)), se
puede escribir de una forma compacta de la siguiente manera:
176
Oscar Barrero Mendoza
La ecuación (3.61) describe el comportamiento dinámico del sistema de
control por realimentación de variables de estado y del error de estimación; por
lo tanto, si queremos investigar cómo el observador puede afectar el desempeño del controlador podemos analizar los polos del sistema total. Para esto se
define la ecuación característica del sistema como sigue:
De donde se obtiene:
En (3.62) se puede observar que los polos del sistema acoplado son la
suma de los polos del sistema de control más los del observador; en consecuencia, se puede concluir que el observador no altera la dinámica del sistema
de control y por lo tanto no afecta el desempeño de este. Cabe la pena resaltar
que lo único que se debe tener en cuenta en la implementación de este tipo de
sistemas, es que el sistema de control debe entrar a operar una vez el error del
observador sea cero, o sea que el observador entregue valores confiables de
estimación de las variables de estado.
Ejemplo 13
En este ejercicio se desea diseñar un sistema de control por realimentación de
variables de estado con acción integradora para el problema del ejemplo 11,
suponiendo que el nivel del agua en el tanque uno , no se puede medir. Por
lo tanto, se requiere diseñar un observador con el fin de poder implementar
el sistema de control. En la Figura (3.16) se muestra el esquema Simulink del
sistema de control en conjunto con el observador.
Sistemas de control digital
177
Figura 3.16. Esquema Simulink del sistema de control con acción integradora
y observador de orden completo
Fuente: el autor
Para el diseño del observador, se debe tener en cuenta la dinámica del
controlador; en consecuencia, el tiempo de establecimiento para el observador
debe ser menor que el del controlador que es ts = 10 s, y por lo menos cinco
veces mayor al tiempo de muestreo T = 1 s, así se escoge un tiempo de establecimiento para el observador tos = 5 s, y un coeficiente de amortiguamiento
= 0,8 para que la convergencia sea suave y no oscilatoria. Con estos parámetros se pueden calcular los polos deseados dominantes para el observador en
tiempo discreto:
Luego, para calcular la ganancia del observador se usará el método de
transformación de similitud; por lo tanto, se debe calcular primero los coeficientes de las ecuaciones características de lazo abierto y lazo cerrado :
Una vez calculados los coeficientes podemos hallar la ganancia del observador en la forma canónica observable LO, entonces:
178
Oscar Barrero Mendoza
Ahora se calcula la matriz de transformación a la forma canónica controlable TO:
Una vez calculadas las matrices TO y LO se puede hallar la ganancia del
observador:
Finalmente, el diseño es validado calculando los valores propios de la matriz AD − LCD:
Como los valores propios de AD −LCD son iguales a los polos deseados
del observador
se valida que el diseño es correcto. Con el fin de analizar
el desempeño del observador, a la planta se le dan valores iniciales diferentes
de cero,
, mientras que las condiciones iniciales del observador se hacen cero. En la Figura 3.17 se muestra cómo las estimaciones
del observador convergen después de cinco segundos, como se especificó en el
diseño, luego se puede observar que los valores estimados y del modelo siguen
siendo iguales. En consecuencia, es importante anotar que cuando se trabaja
con observadores, se debe esperar un tiempo adecuado para que los valores de
Sistemas de control digital
179
las estimaciones se estabilicen antes de empezar a usar estos en los sistemas de
control o monitoreo.
Figura 3.17. Comparación de las respuestas de los niveles de la planta
con los valores
estimados por el observador.
La línea solida representa , la línea solida con rombos
y la línea rayada con cuadros .
, la línea rayada
Fuente: el autor
En la Figura 3.18 se puede observar la respuesta del sistema de control con
observador. En la respuesta del primer paso se puede observar cómo el error de
la estimación afecta el desempeño del controlador, haciendo que la respuesta
tenga más sobre impulso y mayor tiempo de establecimiento. En el segundo
paso, una vez el observador ya ha convergido, la respuesta del controlador se
ajusta a la esperada, confirmando el hecho de que, al iniciar un sistema de control con observador, se debe dar un tiempo de espera para que el observador
estabilice su estimación y luego sí empezar a hacer control.
180
Oscar Barrero Mendoza
Figura 3.18. Respuesta a la señal cuadrada de periodo 30 segundos y amplitud
unitaria del sistema de control con acción integradora y observador de orden
completo
Fuente: el autor
Código de Matlab
Diseño Observador de Orden Completo para el Controlador del Ejemplo 11
%% Diseño del observador de orden completo
ts_o=6.
zita_o= 0.8.
wo_n=4.6/(zita_o*ts_o).
wo_d=wo_n*sqrt(1-zita_o^2).
zo_d=exp(-T*zita_o*wo_n)*(cos(T*wo_d)+j*sin(T*wo_d)).
% Método de la transformada de similitud
% Cálculo de los coeficientes de la ecuación característica de
% lazo cerrado
alfa=conv([1 -zo_d],[1 -zo_d’]).
alfa_i=alfa(2:3).
% Cálculo de los coeficientes de la ecuación característica de
% lazo abierto
l=eig(Ad). % Calculo de los valores propios de lazo abierto que
% son iguales a los polos
a=conv([1 -l(1)],[1 -l(2)]).
a_i=a(2:3).
Sistemas de control digital
181
% Cálculo de la ganancia en la forma canónica observable
Lo=[fliplr(alfa_i)-fliplr(a_i)]’.
% Cálculo de la matriz de transformación a la forma canónica
% observable
Ob=obsv(Ad,Cd).
W=[a_i(1) 1. 1 0].
To=inv(W*Ob).
L=To*Lo
Ado= Ad-L*Cd.
Bdo=[L Bd-L*Dd].
3.6 Problemas propuestos
3.6.1 Un modelo lineal de un sistema de levitación, mostrado en la Figura 3.19,
está dado por:
Donde, m = 0.02 kg, = 20 N/m,
= 0.4 N/A, R = 50Ω y L = 100 mH.
Figura 3.19. Problema 3.6.1
Fuente: el autor
a. Escriba la representación en espacio de estado en tiempo discreto con un
tiempo de muestreo T = 0.02 s, donde la entrada es la corriente i(t) y la
salida la posición x(t).
b. Diseñe un controlador de realimentación de variables de estados con
entrada de referencia, que cumpla con las siguientes especificaciones
s, < 0.4 s y
< 20 %.
182
Oscar Barrero Mendoza
c. Ahora si solo se puede medir la posición de la bola x(t), modifique el
diseño del punto b, de tal forma que el controlador sea implementable
bajo las nuevas condiciones.
3.6.2 Qué es una transformada de similitud y cuáles son sus propiedades.
3.6.3 En una representación de espacio de estado, si definimos la entrada uk
= −Kxk, demuestre que los polos en lazo cerrado son los valores propios de la
matriz A − BK.
3.6.4 En el diseño de un observador completo de estados, demuestre que:
L =TOLO
Donde LO es la ganancia del observador en forma canónica observable, L
la ganancia del observador y TO la matriz de transformación a la forma canónica controlable.
3.6.5 ¿Cuál es la diferencia entre un observador predictor y un estimador?
3.6.6 En un observador de orden reducido, reescriba las ecuaciones del observador para el caso en el cual solo se tiene acceso a mediciones hasta el
instante k.
3.6.7 En un sistema de control por realimentación de variables de estado con
entrada de referencia, demuestre que
Para el sistema en lazo abierto:
Encontrar las ganancias del controlador de realimentación de variables de
estado K y del observador L, tal que los polos en lazo cerrado del controlador
sean
, y los del observador
. Usar un esquema con entrada de referencia.
3.6.8 Dado el siguiente sistema en espacio de estados en tiempo continuo:
Sistemas de control digital
183
Calcule el vector de ganancias K para un sistema de control en lazo cerrado discreto, con tiempo de muestreo T = 0.1 s., usando el método de ubicación
de polos con la ecuación de Sylvester. Use los siguientes polos como los deseados en lazo cerrado:
3.6.9 En la solución para el control por realimentación de variables de estado
usando ubicación de polos con la ecuación de Sylvester, el vector de ganancias
K obtenido:
a. Es independiente de la matriz G
b. Es diferente para cada matriz G
c. Depende de los valores propios de la matriz G
Donde la ecuación de Sylvestre está definida como: AX − XΛ = BG.
3.6.10 Demuestre que para un sistema en espacio de estado no existe una representación única. Sugerencia: use la transformada de similitud.
3.6.11 Dado el siguiente sistema en espacio de estados en tiempo discreto:
a. Encuentre manualmente el vector de ganancias K para un sistema de
control en lazo cerrado discreto, con tiempo de muestreo T = 0,1 s, usando el método de la transformada de similitud. Use los siguientes polos
como los deseados en lazo cerrado:
b. Encuentre la ganancia L de un observador de oscilaciones muertas de
orden completo por el método de Ackerman.
3.6.12 Para un sistema de dos tanques con agua conectados en cascada, ver
3.20, se tiene el siguiente conjunto de ecuaciones en diferencia que describen su
comportamiento dinámico, con un tiempo de muestreo T = 0.4s:
Donde es el nivel del tanque 1, nivel del tanque 2,
el flujo volumétrico de entrada. Para este sistema se desea diseñar un sistema de control
184
Oscar Barrero Mendoza
por realimentación del vector de estado para controlar el nivel del tanque dos
con una acción feedforward (N), de tal forma que la respuesta ante una
entrada paso tenga un
y un tiempo de establecimiento ts = 5 s. Tenga en
cuenta que, para la implementación de este controlador, solo se cuenta con la
medición del nivel del taque dos. Grafique el diagrama de bloques del sistema
de control diseñado.
Figura 3.20. Sistema problema 3.6.13
Fuente: el autor
3.6.13 Para el siguiente sistema:
Donde representa las variables de estado no medibles y las medibles,
hallar la fórmula de Ackerman para un observador de orden reducido para
3.6.14 Diseñar un controlador de realimentación de variables de estado con
acción integradora en tiempo discreto para el siguiente sistema:
Donde los polos deseados en lazo cerrado son
Tome un tiempo de muestreo T = 0.1 s.
Sistemas de control digital
.
185
3.6.15 Demostrar que la matriz de controlabilidad es:
Donde n es el orden del sistema.
3.6.16 Obtener del sistema mostrado en la Figura 3.21 la representación de las
matrices A, B, C, D de la representación en espacio de estado en tiempo continuo. Tome
como la entrada y
como la salida del sistema.
Figura 3.21. Esquema filtro activo problema 3.6.17
Fuente: el autor
3.6.17 Diseñar un controlador por realimentación de variables de estado con
acción integradora para el sistema del punto anterior, tome el tiempo de muestreo T = 20 ms y los polos deseados de lazo cerrado
.
3.6.18 En un proyecto de ingeniería, se le pregunta al ingeniero de control sobre
la posibilidad de diseñar un sistema de control para el sistema representado por
el siguiente modelo:
Si usted fuera ese ingeniero de control, ¿qué respondería? Sí o No, justifique su respuesta.
3.6.19 En una representación en espacio de estado, si definimos la entrada
, demuestre que los polos en lazo cerrado son los valores propios
de la matriz A − BK.
186
Oscar Barrero Mendoza
3.6.20 Dada la siguiente ecuación diferencial:
Donde M = 5 kg, b = 3 kg/s y k = 1 kg/s2.
a. Hallar la representación en espacio de estado del sistema.
b. Discretizar el sistema usando el método del zoh y tomando un tiempo
de muestreo T = 1 s.
c. Diseñar un controlador por realimentación de variables de estado que
pueda seguir una entrada de referencia, con los siguientes requerimientos, ts = 2 s y ζ = 0.7.
3.6.21 Qué condición se debe cumplir para que un sistema sea totalmente observable. Demostrar.
Sistemas de control digital
187
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