GRAFOS
DEFINICIÓN 01
Un grafo es una estructura que está formada por los dos conjuntos
finitos siguientes:
1) Un conjunto no vacío 𝑉 de vértices o nodos, y
2) Un conjunto 𝐸 de aristas, donde cada arista une dos
vértices o un mismo.
EJEMPLO 01
La figura siguiente es un grafo:
Los
nodos
están
representados por puntos: 𝑣1 ,
𝑣2 , 𝑣3 . Las aristas son las
líneas que unen a los vértices:
Para
𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 , 𝑒4 , 𝑒5 , 𝑒6 .
trabajar con la teoría de
grafos,
es
familiarizarse
necesario
con
los
términos siguientes.
Figura 01: representación de nodos y aristas.
DEFINICIÓN 02
Cuando un vértice está unido consigo mismo. En la figura
anterior, son lazos las aristas 𝑒6 y 𝑒3 .
DEFINICIÓN 03
Ramas o Aristas Paralelas: Son aquellas que unen al mismo
par de vértices. En la figura, son aristas paralelas 𝑒1 y 𝑒2 .
DEFINICIÓN 04
Vértice Aislado: Vértice que no está unido a otro o así mismo.
DEFINICIÓN 05
Grafo Simple: Es aquel que no tiene aristas paralelas ni lazos.
DEFINICIÓN 06
Valencia o Grado de un Vértice: Sea 𝐺 un grafo y 𝑣 un
vértice de 𝐺. El grado de 𝑣, denotado por 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑣) es el número
de aristas que salen de 𝑣.
OBSERVACIÓN 01.
Una arista que sea un lazo se cuenta dos veces.
Ejemplo 01
En la figura que nos está sirviendo de ejemplo, observamos que:
𝒈𝒓𝒂𝒅(𝒗𝟏 ) = 𝟓
𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑣3 ) = 2
𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑣2 ) = 5
DEFINICIÓN 07
Grafos Completos: Sea 𝑉 un conjunto de 𝑛 vértices. El grafo
completo sobre 𝑉 de orden 𝑛, que se denota 𝐾𝑛 , es un grafo no
dirigido sin lazos tal que para todos 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑉, 𝑎 ≠ 𝑏, existe una arista
{𝑎, 𝑏}. Es decir, un grafo simple es completo si y sólo si todos sus
vértices distintos están conectados entre sí por exactamente una
arista.
Ejemplo 02
Figura 02: Grafo completo 𝐾3 .
Figura 03: Grafo completo 𝐾4 .
DEFINICIÓN 08
Grafos Bipartitos: Es el que se puede dividir en dos conjunto
ajenos 𝑉1 y 𝑉2, de modo que cada arista de dicho grafo conecte a
dos vértices, uno que esté en 𝑉1 y el otro en 𝑉2. Si cada vértice de
𝑉1 está unido con los vértices de 𝑉2, se tiene un grafo bipartito
completo. En el caso de que 𝑉1 tenga 𝑚 vértices y 𝑉2 contenga 𝑛
vértices, entonces usaremos el símbolo 𝐾𝑚,𝑛 .
EJEMPLO 03
En las figuras siguientes se muestran los grafos bipartitos 𝐾2,3 y 𝐾3,3. Obsérvese como se
advierten dos conjuntos de vértices 𝑉1 = {𝑎, 𝑏} y 𝑉2 = {𝑐, 𝑑, 𝑒}, para el primer caso. Cabe
aclarar que en este caso ambos ejemplos son grafos bipartitos completos; pero quitando las
aristas {𝑏, 𝑒} y {𝑏, 𝑑} (probar esto), del primer grafo, seguiría siendo un grafo bipartito, aunque
ya no sería grafo bipartito completo.
Figura 04: Grafo bipartito completo 𝐾2,3.
Figura 05: Grafo bipartito completo 𝐾3,3.
TALLER 03
[1] Dado el grafo de la figura, se solicita lo siguiente.
a) Escribir el conjunto de aristas
b) Hallar los vértices.
c) Hallar los vértices aislados.
d) Hallar los lazos.
e) Hallar las aristas paralelas
[2] Dibujar un grafo simple con cuatro vértices y seis aristas si es que es posible.
Se puede argumentar de una manera sencilla la veracidad del siguiente resultado: Sea 𝐺
un grafo con vértices 𝑣1 , 𝑣2 , ⋯ , 𝑣𝑛 .. Entonces la suma de los grados de todos los vértices
𝐺 es igual a dos veces el número de aristas en 𝐺, es decir, ∑ 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑣𝑖 ) = 2∗ (número de
aristas de 𝐺). Según este resultado, ¿Se puede dibujar un grafo G con tres vértices
𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 donde 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑣1 ) = 1, 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑣2 ) = 2, 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑣3 ) = 2 ?
SOLUCIÓN
No, ya que 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑣1 ) + 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑣2 ) + 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑣3 ) = 1 + 2 + 2 = 5 que es un número impar.
Entonces, por el teorema anterior, ese grafo no existe.
AHORA: Intente hacer un grafo con las siguientes características
𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑣1 ) = 2,
𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑣2 ) = 1,
𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑣3 ) = 3
[3] Dibujar un grafo completo 𝐾5 .
[4] Haga el dibujo del grafo bipartito 𝐾4,2. También haga el dibujo del grafo bipartito
completo 𝐾4,2.
REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE GRAFOS
Si 𝐺 es un grafo no dirigido de 𝑛 vértices y 𝑘 aristas, usamos las siguientes matrices para
representar 𝐺.
Sea 𝑉 = {𝑣1 , 𝑣2 , ⋯ , 𝑣𝑛 }, definimos la matriz de adyacencia 𝑨 =
(𝒂𝒊,𝒋 )
donde 𝑎𝑖,𝑗 = 1, si {𝑣𝑖 , 𝑣𝑗 } ∈ 𝐸 (𝐸 conjunto de aristas, donde
𝒏×𝒏
cada arista une a dos vértices o a un mismo vértice) y 𝑎𝑖,𝑗 = 0 en
otros casos.
Si 𝐸 = {𝑒1 , 𝑒2 , ⋯ , 𝑒𝑘 }, la matriz de incidencia 𝐼 es la matriz 𝑛 × 𝑘
𝑩 = (𝒃𝒊,𝒋 )
talque 𝑏𝑖,𝑗 = 1 si 𝑏𝑖,𝑗 = 1 si 𝑣𝑖 = 1 es un vértice en la
DEFINICIÓN 09
𝒏×𝒌
arista 𝑒𝑗 y 𝑏𝑖,𝑗 = 0 en otro caso.
EJEMPLO 04
Encuentre las matrices de adyacencia e incidencia asociadas con el grafo de la figura.
(𝑣1 , 𝑣4 ) ∉ 𝐸
(𝑣2 , 𝑣2 ) ∉ 𝐸
Figura 06: Grafo asociado a matrices.
SOLUCIÓN
a) La matriz 𝑨 de adyacencia es
𝑣1
𝑣2
𝑣3
𝑣4
𝑣5
𝑣1
0
1
1
0
1
𝑣2
1
0
1
1
1
𝑣3
1
1
1
1
1
𝑣4
0
1
1
0
1
𝑣5
1
1
1
1
1
Es decir se puede leer en el lenguaje matricial estudiado en las sesiones de clase como:
𝒗𝟏
𝒗𝟐
𝒗𝟑
𝒗𝟒
𝒗𝟓
𝒗𝟏
𝑎1,1 = 0
𝑎1,2 = 1
𝑎1,3 = 1
𝑎1,4 = 0
𝑎1,5 = 1
𝒗𝟐
𝑎2,1 = 1
𝑎2,2 = 0
𝑎2,3 = 1
𝑎2,4 = 1
𝑎2,5 = 1
𝒗𝟑
𝑎3,1 = 1
𝑎3,2 = 1
𝑎3,3 = 1
𝑎3,4 = 1
𝑎3,5 = 1
𝒗𝟒
𝑎4,1 = 0
𝑎4,2 = 1
𝑎4,3 = 1
𝑎4,4 = 0
𝑎4,5 = 1
𝒗𝟓
𝑎5,1 = 1
𝑎5,2 = 1
𝑎5,3 = 1
𝑎5,4 = 1
𝑎5,5 = 1
Por lo tanto,
{
(𝑣1 , 𝑣2 ); (𝑣1 , 𝑣3 ); (𝑣1 , 𝑣5 ); (𝑣2 , 𝑣1 ); (𝑣2 , 𝑣3 ); (𝑣2 , 𝑣4 ); (𝑣2 , 𝑣5 ); (𝑣3 , 𝑣1 ); (𝑣3 , 𝑣2 ); (𝑣3 , 𝑣3 );
}∈𝐸
(𝑣3 , 𝑣4 ); (𝑣3 , 𝑣5 ); (𝑣4 , 𝑣2 ); (𝑣4 , 𝑣3 ); (𝑣4 , 𝑣5 ); (𝑣5 , 𝑣1 ); (𝑣5 , 𝑣2 ); (𝑣5 , 𝑣3 ); (𝑣5 , 𝑣4 ); (𝑣5 , 𝑣5 )
porque todas tienen una arista que las conecta, y
{(𝑣1 , 𝑣1 ); (𝑣1 , 𝑣4 ); (𝑣2 , 𝑣2 ); (𝑣4 , 𝑣1 ); (𝑣4 , 𝑣4 )} ∉ 𝐸, pues no tienen aristas que las conectan
b) La matriz de incidencia 𝑰 viene dada por:
𝑒1
𝑒2
𝑒3
𝑒4
𝑒5
𝑒6
𝑒7
𝑒8
𝑒9
𝑒10
𝑒11
𝑣1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
𝑣2
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
𝑣3
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
𝑣4
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
𝑣5
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
(𝑣1 , 𝑒7 ) ∉ 𝐸
(𝑣5 , 𝑒10 ) ∈ 𝐸
OBSERVACIÓN 02.
Sean 𝑥 y 𝑦 vértices, no necesariamente distintos, de un grafo no dirigido. Un camino de 𝑥 a
𝑦 en dicho grafo es una sucesión alternada finita y sin lazos de vértices y aristas del grafo que
comienza en el vértice 𝑥 y termina en el vértice 𝑦.
DEFINICIÓN 10
La longitud de un camino es igual al número de aristas que hay
en el camino.
OBSERVACIÓN 03.
Se puede demostrar que la potencia 𝑛 de la matriz de adyacencia 𝐴𝑛 , es una matriz cuya
entrada 𝑎𝑖,𝑗 proporciona el número de caminos de longitud 𝑛 que van del vértice 𝑖 al vértice
𝑗.
EJEMPLO 05.
Si asumimos como 𝐴 la matriz del Ejemplo 04,
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
3
2
3
3
3
2
4
4
2
4
3
4
5
3
5
3
2
3
3
3
3
4
5
3
5
Tendremos que 𝐴2 , es
La cual indica, por ejemplo, que hay 4 caminos de longitud 2 entre el vértice 𝑣2 y 𝑣3 . En
efecto, dichos caminos son: 𝑣2 𝑣1 𝑣3 ; 𝑣2 𝑣4 𝑣3 ; 𝑣2 𝑣3 𝑣3 ; 𝑣2 𝑣5 𝑣3 .
Además en la matriz de adyacencia, la suma de cada columna, en el caso de que no haya
lazos en el vértice correspondiente a la columna, es igual al grado de dicho vértice; en el caso
de que haya lazos,
𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑣) = {( 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑣) − 1] + 2( 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑧𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑣).
Tomemos (en la matriz A) como ejemplo 𝑣3
𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑣3 ) = [(⏟𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑣3 ) − 1] + 2( ⏟
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑧𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑣3 ).
1
1+1+1+1+1=5
𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑣3 ) = [5 − 1] + 2(1) ⟹ 𝒈𝒓𝒂𝒅(𝒗𝟑 ) = 𝟔.
Esto es evidente ya que las aristas son: 𝒆𝟏 , 𝒆𝟓 , 𝒆𝟖 , 𝒆𝟏𝟎 , 𝟐𝒆𝟏𝟏 .
Por último, la suma de cada columna de 𝐼, la matriz de incidencia, es igual a 1 para un lazo
y 2 para una arista que no sea un lazo. ¿Puede decir por qué?
TALLER 04
[1] Obtenga las matrices de adyacencia 𝐴 y de incidencia 𝐼 para el grafo que se ve en la
figura:
Además obtenga 𝐴2 y diga cuántos y cuáles son los caminos de longitud 2 del vértice 𝑣2
y 𝑣3 .
[2] Sea 𝐴 la matriz de Adyacencia de un multígrafo 𝐺 con vértices {𝑣1 , ⋯ , 𝑣𝑛 } y sea 𝑎23 =
3 una de las entradas de 𝐴. entonces se puede afirmar,
a) Existe un camino con tres vértices entre 𝑣2 y 𝑣3 .
b) Hay tres aristas con extremos en los vértices 𝑣2 y 𝑣3 .
c) Hay tres vértices adyacentes con 𝑣2 y 𝑣3 .
[3] Sea G un grafo con siete vértices y 𝐶 = {𝑣1 , 𝑣3 , 𝑣2 , 𝑣4 , 𝑣5 , 𝑣7 , 𝑣6, 𝑣1 } un camino en 𝐺,
podemos afirmar
a) 𝐶 es un camino Hamiltoniano
b) 𝐶 es un ciclo Hamiltoniano
c) 𝐶 no está bien definido
[4] Dado el grafo 𝐺 de la figura, se desea saber lo siguiente:
a) 𝐺 es Hamiltoniano
b) 𝐺 es Euleriano
c) 𝐺 es bipartito
[5] Sea 𝐺 un grafo conexo cuyos vértices son {𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , 𝑣4 , 𝑣5 }, la sucesión (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , 𝑣5 , 𝑣1 )
es:
a) Es un camino Euleriano
b) Es un camino Hamiltoniano
c) No es un camino
[6] Sea 𝑀 un mapa cuyas regiones se pueden colorear con sólo:
a) El Pseudomultigrafo dual es bipartito
b) Todos los casos son polígonos con numero par de lados
c) No existen tales mapas
[7] Dado el dígrafo etiquetado ¿Cuál es la distancia entre 𝑥 e 𝑦?
[8] Dado las matrices de Adyacencia 𝐴, 𝐵 y 𝐶 de tres grafos, tal como se muestran podemos
afirmar que
a) A y B son isomorfos
b) A y C son isomorfos
c) B y C son isomorfos
[9] ¿Cuál de los siguientes grafos no se puede dibujar sin levantar el lapiz del papel y sin dibujar
dos veces la misma arista?
A grosso modo, un grafo es conexo si entre dos de sus vértices existe al menos una sucesión
de vértices y aristas que los conectan. En la práctica estos grafos son muy importantes,
por ejemplo, una red de computadoras es una gráfica conexa.
GRAFOS CONEXOS
Sea 𝐺 = (𝑉, 𝐸), un grafo no dirigido. Decimos que 𝐺 es conexo si existe un camino
(trayectoria) simple entre cualesquiera dos vértices distintos de G. Un grafo que no es conexo
es disconexo.
En la práctica estos grafos son muy importantes, por ejemplo, una red de computadoras o
una red de distribución de gas o petróleo, o bien una red de carreteras son una gráfica conexa.
Continuando con nuestro tema de los caminos (trayectorias) entre los vértices de un grafo,
nos conviene analizar las siguientes definiciones, a fin aplicarlas en el estudio de las gráficas
conexas:
TRAYECTORIA: Sean 𝑢 y 𝑣 dos vértices de un grafo 𝐺, una
DEFINICIÓN 11
trayectoria o camino de 𝑢 a 𝑣 es una sucesión alternada de vértices
y aristas de 𝐺. Esta sucesión empieza en 𝑢 y termina en 𝑣.
DEFINICIÓN 12
DEFINICIÓN 13
DEFINICIÓN 14
DEFINICIÓN 15
TRAYECTORIA TRIVIAL: Si 𝑢 y 𝑣 son el mismo vértice, entonces
la trayectoria es trivial, sin aristas, y se denota por 𝑢 o por 𝑣.
TRAYECTORIA SIMPLE: Una trayectoria simple de 𝑢 a 𝑣 es la
que no tiene vértices repetidos.
CIRCUITO O CICLO: Es una trayectoria que empieza y termina en
el mismo vértice y no tiene aristas repetidas.
CIRCUITO SIMPLE: Es una trayectoria que no tiene aristas ni
vértices repetidos excepto el primero y el último.
EJEMPLO 06.
En el grafo de la figura, notamos, por ejemplo que:
a) 𝑣1 𝑒1 𝑣2 𝑒6 𝑣4 𝑒3 𝑣3 𝑒2 𝑣2 , es una trayectoria de 𝑣1 a 𝑣2 . Dicha trayectoria no es simple
porque repite el vértice 𝑣2 .
b) 𝑣5 𝑒5 𝑣1 𝑒8 𝑣4 𝑒3 𝑣3 𝑒2 𝑣2 𝑒6 𝑣4 𝑒4 𝑣5 , es un circuito simple
c) 𝑣2 𝑒2 𝑣3 𝑒3 𝑣4 𝑒4 𝑣5 𝑒5 𝑣1 𝑒1 𝑣2 , este es un circuito simple
d) 𝑣1 𝑒1 𝑣2 𝑒2 𝑣3 𝑒3 𝑣4 𝑒4 𝑣5 , es una trayectoria simple
e) 𝑣1 𝑒8 𝑣4 𝑒3 𝑣3 𝑒7 𝑣1 𝑒8 𝑣4 , es una trayectoria no simple, puesto que se repite 𝑣1