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Ph sique
MÉCANIQUE
René Lafrance
Avec la collaboration de
Jean Parent
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Ph sique
MÉCANIQUE
René Lafrance
Avec la collaboration de
Jean Parent
Révision scienti?que des épreuves
Maxime Verreault, Cégep de Sainte-Foy
Rédaction des capsules « Un peu d’histoire »
Jean-Louis Trudel, CIRST et Université d’Ottawa
Rédaction des dé?s animés en ligne
Jean Parent, Collège de Bois-de-Boulogne
Rédaction des problèmes synthèse en ligne
Alexandre April, Cégep Garneau
Olivier Tardif-Paradis, Cégep Garneau
Rédaction des solutionnaires en ligne
Michel Bisson-Viens, Cégep de Sainte-Foy
René Lafrance, Collège de Bois-de-Boulogne
Maxime Verreault, Cégep de Sainte-Foy
François Vervaet, Collège Lionel-Groulx
Physique 1
Mécanique
Le matériel complémentaire mis en ligne dans notre
site Web est réservé aux résidants du Canada, et ce,
à des fins d’enseignement uniquement.
René Lafrance
© 2014 TC Média Livres Inc.
Conception éditoriale : Sophie Gagnon
Édition : Martine Rhéaume et Marie Victoire Martin
Coordination : Jean-Pascal Baillie, Célia Chalfoun et Alexandra Soyeux
Recherche iconographique : Marc-André Brouillard
Révision linguistique : Ginette Laliberté
Correction d’épreuves : Marie Le Toullec et Zérofôte
Conception graphique : Pige Communication
Illustrations : Michel Rouleau
Conception de la couverture : Micheline Roy
Impression : TC Imprimeries Transcontinental
Coordination éditoriale du matériel
complémentaire Web : Martine Rhéaume
Coordination du matériel complémentaire Web : Célia Chalfoun
Catalogage avant publication
de Bibliothèque et Archives nationales du Québec
et Bibliothèque et Archives Canada
Lafrance, René, 1968Physique
Comprend un index.
Sommaire : 1. Mécanique – 2. Électricité et magnétisme – 3. Ondes,
optique et physique moderne.
Pour les étudiants du niveau collégial.
ISBN 978-2-7650-3357-8 (vol. 1)
ISBN 978-2-7650-3546-6 (vol. 2)
ISBN 978-2-7650-3726-2 (vol. 3)
1. Physique – Manuels d’enseignement supérieur. i. Lafrance, René,
1968. Mécanique. ii. Lafrance, René, 1968. Électricité et
magnétisme. iii. Lafrance, René, 1968. Ondes, optique et physique
moderne. i. Titre. ii. Titre : Mécanique. iii. Titre : Électricité et
magnétisme. iv. Titre : Ondes, optique et physique moderne.
QC21.3.L33 2014
530
C2014-940299-6
TOUS DROITS RÉSERVÉS.
Toute reproduction du présent ouvrage, en totalité ou en partie,
par tous les moyens présentement connus ou à être découverts, est interdite sans l’autorisation préalable de TC Média
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Toute utilisation non expressément autorisée constitue une
contrefaçon pouvant donner lieu à une poursuite en justice
contre l’individu ou l’établissement qui effectue la reproduction
non autorisée.
ISBN 978-2-7650-3357-8
Dépôt légal : 1er trimestre 2014
Bibliothèque et Archives nationales du Québec
Bibliothèque et Archives Canada
Imprimé au Canada
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Nous reconnaissons l’aide financière du gouvernement du Canada par
l’entremise du Fonds du livre du Canada (FLC) pour nos activités d’édition.
Gouvernement du Québec – Programme de crédit d’impôt pour l’édition de
livres – Gestion SODEC.
L’achat en ligne est réservé aux résidants du Canada.
Avant-propos
Mon but, en écrivant cette collection de manuels de physique, a été d’obtenir un
texte scientifique à la fois accessible et rigoureux. J’ai donc utilisé un style simple,
avec des explications concises et précises, et de nombreux schémas et encadrés
pour bien faire ressortir les résultats importants. Les concepts sont expliqués un
à la fois, et les exemples sont placés immédiatement après ces explications.
La physique repose sur quelques principes de base qui sont ensuite généralisés à des situations complexes. Pour cette raison, j’emploie une méthode par
intégration. La théorie est bâtie graduellement à partir de notions déjà vues
en utilisant une suite logique. De même, on mentionne au lecteur que des
notions déjà abordées sont reprises plus loin dans le manuel. La méthode par
intégration permet d’établir les liens entre les concepts, tout en revenant sur les
notions déjà vues.
Le texte et les équations mathématiques suivent une formulation rigoureuse. Les
explications reposent sur une notation mathématique intuitive et complète.
Les quantités scalaires et les quantités vectorielles sont bien différenciées, autant
dans le texte que dans les équations. Les vecteurs sont toujours exprimés à l’aide
de vecteurs unitaires adaptés à la situation (vecteurs cartésiens, vecteurs polaires
pour le mouvement de rotation, vecteurs textuels comme vers la droite).
La physique est aussi une discipline idéale pour développer une méthode de résolution de problèmes. Je suis conscient qu’il n’existe pas une méthode universelle pour
résoudre tous les problèmes. Par contre, je trouve important qu’un étudiant puisse
avoir un modèle, pour ensuite développer sa propre stratégie, selon le type de problème. Bien des étudiants arrivant du secondaire ont l’impression que les problèmes
de physique se résolvent « quand on connaît la bonne formule ». Pour contrer cela, je
mets d’abord l’accent sur l’analyse qualitative, par l’entremise d’un schéma ou d’un
diagramme. La stratégie de résolution ne se termine pas avec la réponse, mais par la
validation, c’est-à-dire par un jugement critique porté sur le résultat.
Le tome 1 de cet ouvrage traite de la mécanique newtonienne, ce qui correspond à la physique macroscopique. Dans ce tome, j’utilise une méthode « du
concret vers l’abstrait ». Dans un premier temps, les notions sont abordées en se
référant à des situations quotidiennes. Ensuite, l’analyse est entreprise en dégageant les lois et les principes. Il est alors possible de généraliser les concepts afin
de considérer des situations plus complexes ou plus abstraites. Le livre commence par une étude qualitative du mouvement, pour que l’étudiant comprenne
bien la notion d’accélération. Les lois de Newton sont analysées une à la fois. Le
concept d’énergie est étudié avec précaution en expliquant bien la notion de système, essentielle à la compréhension des principes de conservation. La nature
vectorielle des quantités angulaires est aussi expliquée.
IV
Avant-propos
Remerciements
Je tiens d’abord à remercier Jean-François Bojanowski, qui m’a invité avec un
groupe de professeurs de physique à réfléchir au projet de publication d’une
collection de livres de physique. Je remercie les membres de ce groupe : Yves
Carbonneau, André De Bellefeuille, Alexandre Fortier, Jean Parent, ainsi que
Pierre Lafleur pour sa participation. Dans ce groupe, nous avons réfléchi et
échangé des idées sur ce que devrait contenir un bon manuel de physique pour
l'enseignement collégial. La structure de la collection est le résultat de ces discussions. Parmi ce groupe d’enseignants, je remercie particulièrement André De
Bellefeuille pour m’avoir encouragé à commencer l’écriture du livre de mécanique, et pour avoir révisé les premiers chapitres.
J’ai profité de discussions avec un grand nombre de collègues physiciens enseignants durant ma carrière, particulièrement Jacques Bridet, Tommaso Donato,
Daniel Fortier, Olivier Major, Normand Painchaud, Donald Pelletier, Julie
Quenneville et Vincent Stelluti. Je remercie aussi grandement mes collègues du
Collège de Bois-de-Boulogne qui ont utilisé et commenté des versions préliminaires de l’ouvrage : Adama Diallo, Merlin Delaval-Lebel, Christian Gervais,
Oliver Langlois, Jonathan Laverdière, Alexandre Lemerle et Martin Périard. Je
remercie aussi les étudiants qui ont fait des commentaires et des suggestions
sur les versions préliminaires et qui ont permis d’améliorer cette collection. De
plus, je tiens à remercier particulièrement mes collègues Delphine Quievy et
Marie-Josée Lim pour leurs commentaires et leurs encouragements continus.
Finalement, ce travail n’aurait pas été possible sans la rétroaction constante de
mon collaborateur Jean Parent, qui a été présent dès le début du projet.
Je remercie Sophie Gagnon, éditrice conceptrice chez Chenelière Éducation,
qui a cru à ce projet très rapidement et qui a permis que cette collection voie le
jour. Je veux la remercier pour tous ses efforts. Je remercie aussi Marie Victoire
Martin qui a travaillé au début du travail d’édition et Martine Rhéaume qui a
pris le relais avec brio, ainsi que toute son équipe de coordination éditoriale,
dirigée par Dominique Lefort et assurée par Jean-Pascal Baillie, Alexandra
Soyeux et Célia Chalfoun.
Plusieurs personnes se sont greffées à la réalisation du projet final. Je veux
remercier Mohammed-Hedi Boukhatem, Yves Carbonneau, Geneviève Caron,
Sophie Descoteaux, Richard Haince, Jean Lacombe et Guillaume Trudel qui
ont évalué les versions préliminaires et qui ont fait des suggestions pour améliorer le texte. Merci à Jean-Louis Trudel pour la rédaction des rubriques historiques. Je remercie également Geneviève Caron et Maxime Verreault pour leur
collaboration dans la révision, les exercices et les solutionnaires. Je remercie
aussi François Vervaet, Michel Bisson-Viens, Alexandre April et Oliver TardifParadis pour avoir collaboré à l’élaboration du matériel complémentaire.
Pour terminer, j’ai travaillé plusieurs années sur ce projet. La réalisation de ce
dernier n’a été possible qu’avec le soutien de ma famille. Je tiens à dire un gros
merci à mes filles Angélique, Marie, Geneviève et Charlotte, qui ont accepté
d’avoir un papa qui travaille tout le temps, et qui ont donné de leur temps pour
prendre des photos et faire des commentaires sur des versions préliminaires.
Finalement, mon épouse Catherine Bergeron a été essentielle, pour son soutien
moral et grammatical. Sans toi Catherine, il n’y aurait que du papier blanc.
Merci de tout cœur.
Présentation du manuel
Ouverture de chapitre
Une photographie accompagnée
d’une légende illustre une situation
que la matière du chapitre permet
d’expliquer.
Buts du chapitre
Les buts du chapitre indiquent clairement les objectifs
d’apprentissage visés. Ils facilitent le premier contact avec
la matière et la révision.
Préalables
Les préalables précisent quelles
notions doivent être maîtrisées
ou révisées afin de pouvoir comprendre la matière et d’atteindre
les objectifs d’apprentissage. Ainsi,
le lecteur peut rapidement mettre
à jour ses connaissances et établir
des liens entre les notions.
Rubriques
Stratégie
La rubrique Stratégie expose et
précise la stratégie de résolution de
problème qui est utilisée dans tous
les exemples résolus. Elle présente
au lecteur une approche systématique de la résolution de problème
qui favorise son autonomie.
Technique
La rubrique Technique présente
l’explication de certaines tâches
précises, qui sont ensuite illustrées
dans un exemple. Elle permet de
préciser certaines étapes de la
stratégie de résolution de problème
dans des contextes particuliers.
VI
Présentation du manuel
Exemple
Dans chaque exemple, présenté en
détail, la stratégie de résolution de
problème est utilisée. Les exemples
sont souvent illustrés de façon réaliste et de façon schématique.
Figures réalistes et figures
schématiques
Des figures réalistes permettent au
lecteur d’ancrer la situation dans
le concret, tandis que les figures
schématiques permettent de poursuivre la résolution de problème
en tenant compte de l’essentiel.
Lorsque c’est nécessaire, certaines
figures contiennent des annotations
qui viennent compléter l’explication
de la légende.
Remarques et mises en garde
Aux endroits appropriés, des
remarques sont ajoutées afin de
fournir une information complémentaire, alors que des mises
en garde préviennent des
erreurs courantes.
Formules et définitions
Formules encadrées
Les équations essentielles sont
encadrées afin d’attirer l’attention
du lecteur.
Définitions
Des termes en marge sont définis
dans des encadrés, à l’aide de
mots ou d’équations, annonçant
au lecteur un terme important.
Présentation du manuel
Tableaux et encadrés
Tableaux
Des tableaux mettent en relation
certaines données dont le lecteur
pourra se servir pour résoudre
les problèmes.
Encadrés
Les résultats importants et les
limites des modèles et des approximations sont mis en relief dans des
encadrés colorés.
Résumé
Les résumés de fin de chapitre,
sur une seule page, constituent
une synthèse de la matière. Les
concepts importants du chapitre
y sont repris de façon succincte
et sont regroupés par types ; ils
s’avèrent des outils de compréhension et de révision très utiles.
Un peu d’histoire
Une capsule historique est présentée
au début de quatre chapitres. Elle met
en évidence les contextes de certaines
découvertes et souligne l’importance
de la contribution de personnalités de
la physique.
VII
VIII
Présentation du manuel
Exercices de niveaux variés
Chaque chapitre contient plusieurs exercices
de niveaux variés, qui couvrent l’ensemble de
la matière. En voici les différents types :
Testez votre compréhension
Ces questions qualitatives simples sont insérées
à des endroits opportuns dans les chapitres ;
elles permettent de tester la compréhension des
notions qui viennent tout juste d’être vues.
Solutions aux tests
de compréhension
Les solutions aux tests de compréhension sont disponibles à la fin de
chaque chapitre. Le lecteur peut
donc évaluer sa compréhension
lui-même et revenir sur les notions
moins bien maîtrisées, au besoin.
Défis animés
On trouve parfois en marge une question en lien avec la matière. Pour
y répondre, l’étudiant est appelé à se rendre sur
interactif pour réaliser la manipulation nécessaire. Il s’agit d’une manipulation dirigée des
simulations interactives de l’Université de Boulder au Colorado.
Questions, exercices et problèmes
À la fin des chapitres, les exercices
sont divisés en quatre niveaux de difficulté : les questions qualitatives (Q), les
exercices simples (E), les problèmes (P)
et les problèmes récapitulatifs (R). Les
réponses, y compris les schémas, se
trouvent en fin de manuel.
Solutions disponibles à l’étudiant
Pour certaines questions et certains
exercices et problèmes, les solutions
complètes et détaillées sont disponibles pour l’étudiant sur
interactif. Elles reprennent la démarche de
résolution de problème utilisée dans
tout le manuel.
Table des matières
Partie 1 • La description du mouvement
Chapitre 01
Chapitre 02
Chapitre 03
Chapitre 04
Une introduction au mouvement
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2
1.1 L’enregistrement de la position ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1.2 Les propriétés des vecteurs ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1.3 Le déplacement ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1.4 La vitesse moyenne ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1.5 L’accélération moyenne ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1.6 Le diagramme complet du mouvement ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1.7 Le système international d’unités ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1.8 La stratégie de résolution de problèmes ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Résumé ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Questions, exercices et problèmes ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
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Les vecteurs
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2.1 Les vecteurs à deux dimensions ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2.2 Les vecteurs à trois dimensions ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2.3 L’algèbre vectorielle ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2.4 Le produit scalaire ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2.5 Le produit vectoriel ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Résumé ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Questions, exercices et problèmes ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
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Le mouvement rectiligne
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3.1 Les vecteurs en une dimension ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
3.2 La position et le déplacement ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
3.3 La vitesse moyenne ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
3.4 La vitesse instantanée ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
3.5 Le mouvement uniforme ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
3.6 L’accélération ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
3.7 Le mouvement uniformément accéléré ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
3.8 La chute libre ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
3.9 Le mouvement le long d’un plan incliné ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Résumé ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Questions, exercices et problèmes ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
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Le mouvement à deux dimensions
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4.1 La cinématique à deux et à trois dimensions ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
4.2 Le mouvement uniformément accéléré ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
4.3 Le mouvement du projectile ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
4.4 Le mouvement circulaire uniforme ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
4.5 Le mouvement circulaire non uniforme ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
4.6 Le mouvement relatif ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Résumé ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Questions, exercices et problèmes ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
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Table des matières
Partie 2 • Les forces
Chapitre 05
Les forces et la deuxième loi de Newton
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 128
5.1 La force ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
5.2 Un répertoire de forces ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
5.3 Le diagramme des forces ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
5.4 La première loi de Newton ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
5.5 La masse ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
5.6 La deuxième loi de Newton ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
5.7 La force gravitationnelle et le poids ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
5.8 La force de frottement ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
5.9 La traînée ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Résumé ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Questions, exercices et problèmes ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Chapitre 06
Les interactions et la troisième loi de Newton
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 174
6.1 Les interactions ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
6.2 L’identification des paires ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
6.3 La troisième loi de Newton ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
6.4 Les cordes et les poulies ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Résumé ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Questions, exercices et problèmes ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Chapitre 07
La dynamique du mouvement circulaire
130
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139
142
147
148
152
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199
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 206
7.1 La dynamique du mouvement circulaire uniforme ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
7.2 La loi de la gravitation universelle ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
7.3 Le mouvement orbital ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
7.4 La dynamique du mouvement circulaire non uniforme ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
7.5 Les référentiels non inertiels ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Résumé ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Questions, exercices et problèmes ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
208
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217
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223
227
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Partie 3 • L’énergie et la quantité de mouvement
Chapitre 08
L’énergie cinétique et le travail
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 232
8.1 Un exemple de conservation ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
8.2 L’énergie cinétique ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
8.3 Le travail d’une force constante ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
8.4 Le théorème de l’énergie cinétique ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
8.5 Le travail d’une force variable ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
8.6 Le travail effectué par un ressort ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
8.7 La puissance ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Résumé ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Questions, exercices et problèmes ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
234
235
236
239
244
246
250
253
254
Table des matières
Chapitre 09
Chapitre 10
XI
L’énergie potentielle et les transformations d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . .
260
9.1 L’énergie potentielle gravitationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Les forces conservatives et les forces non conservatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 La détermination de l’énergie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 L’énergie mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5 Les diagrammes d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6 La variation de l’énergie mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.7 L’énergie thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Questions, exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
263
266
268
271
275
279
283
288
289
La quantité de mouvement et les collisions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
10.1 L’impulsion et la quantité de mouvement ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
10.2 Le centre de masse ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
10.3 Le mouvement du centre de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 La conservation de la quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5 Les collisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.6 Les collisions parfaitement inélastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.7 Les collisions élastiques frontales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.8 Les collisions élastiques dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Questions, exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
298
303
308
311
314
317
319
323
327
328
Partie 4 • La rotation et la gravitation
Chapitre 11
La cinématique et l’énergie cinétique de rotation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
11.1 Les variables angulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 La rotation à accélération angulaire constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Les relations entre variables linéaires et variables angulaires . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4 L’énergie cinétique de rotation et le moment d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5 La conservation de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.6 Le roulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.7 La transmission de la rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Questions, exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 12
La dynamique de rotation
340
346
349
353
360
361
366
368
369
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
12.1 Le moment de force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 La deuxième loi de Newton en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3 La dynamique du roulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4 Le travail et la puissance en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5 Le moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6 Le principe de conservation du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.7 L’équilibre statique des corps rigides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.8 La précession du gyroscope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9 Une récapitulation de la rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Questions, exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
378
385
390
393
396
400
405
410
412
414
415
XII
Table des matières
Chapitre 13
La gravitation
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 426
13.1 La loi de la gravitation universelle ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
13.2 Le champ gravitationnel ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
13.3 La gravitation près de la surface de la Terre ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
13.4 Les lois de Kepler et le mouvement planétaire ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
13.5 L’énergie potentielle gravitationnelle ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
13.6 L’énergie mécanique et les orbites des satellites ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
13.7 Un aperçu de la relativité générale ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Résumé ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Questions, exercices et problèmes ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
429
433
434
439
444
449
451
454
455
Annexes ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
460
A
B
C
D
E
F
G
Le système international d’unités ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Les constantes fondamentales ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Les données utiles ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Quelques données astronomiques ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Les formules mathématiques ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Les propriétés des éléments ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Le tableau périodique des éléments ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
460
463
464
465
466
470
472
Réponses aux questions et exercices ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Crédits ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Index ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
473
488
489
Table des matières
XIII
Liste des techniques
et des stratégies
Techniques
1.1
1.2
1.3
1.4
2.1
4.1
5.1
6.1
9.1
10.1
11.1
La somme graphique de vecteurs ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Le vecteur accélération en un point quelconque ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Le diagramme du mouvement ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Les calculs avec les chiffres significatifs ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Les composantes d’un vecteur ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
L’orientation de l’accélération ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
La construction d’un diagramme des forces ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
L’identification des paires action-réaction ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Les diagrammes d’énergie ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Les collisions élastiques lorsqu’une cible est en mouvement ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Le moment d’inertie d’un objet ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
8
13
14
22
31
91
139
180
278
321
357
Stratégies
1.1
3.1
4.1
5.1
5.2
6.1
7.1
8.1
9.1
9.2
10.1
11.1
12.1
12.2
12.3
13.1
La résolution des problèmes? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Le mouvement à accélération constante ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Le mouvement d’un projectile? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Les problèmes d’équilibre ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Les problèmes de dynamique ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Les objets en interaction ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
La dynamique du mouvement circulaire ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
La méthode du travail ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
La conservation de l’énergie mécanique ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
L’énergie mécanique et le travail extérieur ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
La conservation de la quantité de mouvement ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
La rotation à accélération angulaire constante ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
La dynamique de rotation ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
La conservation du moment cinétique ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
L’équilibre statique ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
La force gravitationnelle résultante ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
21
70
101
144
149
183
209
241
272
280
312
347
385
401
406
431
Chapitre
2
Une introduction
au mouvement
Buts du chapitre
Dans ce chapitre, on étudie de façon qualitative la description du mouvement.
Après l’étude de ce chapitre, vous serez en mesure :
• de définir les notions de déplacement, de vitesse et d’accélération ;
• de construire et interpréter un diagramme complet du mouvement ;
• d’additionner les vecteurs de façon graphique ;
• d’utiliser le système international d’unités ;
• de faire des conversions d’unités.
3
Des cyclistes roulent
à vive allure.
4
CHAPITRE 01 — Une introduction au mouvement
Tous les jours, nous observons des objets en mouvement. Un oiseau
qui vole, une voiture qui passe devant nous, les feuilles des arbres qui
oscillent à cause du vent. Les objets qui semblent immobiles sont aussi en mouvement. Cette feuille ne bouge pas selon vous, mais elle est constituée d’atomes
qui vibrent sous l’effet de la température.
Nous commençons l’étude de la mécanique par la description du mouvement,
qu’on appelle la cinématique. Le présent chapitre vise à vous donner une idée
qualitative du mouvement et à introduire une méthode simple pour visualiser
ce dernier. C’est la méthode du diagramme complet du mouvement. Ce chapitre
présente les quantités essentielles de la cinématique : le déplacement, la vitesse et
l’accélération. Nous reportons au chapitre 3 l’étude quantitative du mouvement.
On peut regrouper le mouvement des objets en trois grandes classes, qui sont
présentées à la figure 1.1 : la translation, la rotation et l’oscillation. Dans le
mouvement de translation, présenté à la figure 1.1a, toutes les parties de l’objet
se déplacent de la même façon. Nous commençons notre étude de la mécanique
avec ce type de mouvement. Pour le décrire, il est inutile de connaître le mouvement de toutes ses parties ou sa forme exacte. On remplace l’objet par un point.
C’est le modèle de la particule.
Dans un mouvement de rotation, les parties de l’objet tournent autour d’un
axe, comme les parties de la toupie de la figure 1.1b. Ce type de mouvement
sera étudié à partir du chapitre 11. Le mouvement de la corde de guitare de la
figure 1.1c est un mouvement d’oscillation, un mouvement de va-et-vient autour
d’une position d’équilibre. Cette classe de mouvement sera étudiée dans le tome 3.
Un mouvement complexe peut parfois être remplacé par la superposition de
plusieurs mouvements. Par exemple, nous verrons au chapitre 11 que le mouvement d’une roue qui roule est la superposition d’un mouvement de translation
et d’un mouvement de rotation.
(a)
(b)
(c)
FIGURE 1.1
Les trois classes de mouvement : (a) le ballon en translation, (b) la rotation d’une toupie,
(c) l’oscillation d’une corde de guitare.
1.1
L’enregistrement de la position
En attendant l’autobus, vous voyez passer un cycliste devant vous. Comment
peut-on analyser son mouvement ? La première étape consiste à enregistrer
sa position en fonction du temps, c’est-à-dire à connaître les endroits où il se
trouve à différents instants.
L’enregistrement de la position d’un objet peut se faire de différentes façons.
On peut par exemple filmer l’objet en mouvement. La caméra prend alors des
1.1 — L’enregistrement de la position
photographies à intervalles réguliers. On peut obtenir le même résultat à l’aide
d’un appareil photographique qui fonctionne en rafale. La figure 1.2 illustre la
superposition de photos d’un cycliste qui se déplace à vitesse constante, c’està-dire qu’il parcourt la même distance entre chaque photographie.
Dans les prochains chapitres, nous nous intéresserons uniquement au mouvement de translation. Seul le mouvement de l’objet dans son ensemble est
étudié. Pour simplifier, on remplace le cycliste par un point, comme si l’on peignait un point noir sur le cadre de la bicyclette (le tracé au bas de la figure 1.2
illustre le diagramme de base du mouvement du cycliste). On remarque que
les points sont équidistants, car le cycliste parcourt la même distance entre
chaque photographie.
FIGURE 1.2
L’enregistrement du mouvement
d’un cycliste
Le mouvement des objets peut être plus complexe. La figure 1.3 présente trois
exemples de diagrammes d’objets se déplaçant vers la droite. La pierre de curling illustrée à la figure 1.3a ralentit graduellement ; le diagramme est composé
de points entre lesquels la distance diminue. La figure 1.3b illustre une voiture
qui accélère ; la distance entre les points augmente. Finalement, la figure 1.3c
illustre le mouvement d’un ballon de soccer qui atteint une certaine hauteur
avant de descendre. Même si ces diagrammes sont simples, ils contiennent l’information nécessaire à l’analyse du mouvement des objets.
(a)
(b)
FIGURE 1.3
Trois exemples de diagrammes
d’objets en mouvement.
(a) Une pierre de curling qui se
déplace vers la droite, qui ralentit.
(b) Une voiture qui se déplace vers
la droite, qui accélère.
(c)
(c) Un ballon de soccer en
mouvement.
5
6
CHAPITRE 01 — Une introduction au mouvement
La position
Un diagramme du mouvement donne la position d’un objet à des intervalles réguliers. Chaque point des diagrammes représente la position de l’objet à un temps
précis. Prenons par exemple le diagramme du mouvement du ballon de soccer, qui
est repris à la figure 1.4, en conservant uniquement les points. On peut numéroter
chaque point en commençant par le point 0. Le temps correspondant à un point peut
être obtenu simplement en multipliant le numéro du point par l’intervalle de temps
utilisé. Supposons par exemple que l’intervalle de temps entre chaque point est
de 0,2 s. Le point 4 représente alors la position du ballon au temps t = 4 × 0,2 s = 0,8 s.
FIGURE 1.4
La position du point 4 est donnée
par sa coordonnée (7 m ; 3 m)
ou par le vecteur position
à 23°.
REMARQUE
Le point 0 est la position à l’instant t = 0, le temps initial. Ce temps
est le moment où l’on a mis le chronomètre en marche. Le ballon
peut se déplacer avant cet instant. Le temps avant l’instant initial est
indiqué à l’aide d’un nombre négatif.
Pour mesurer la position du ballon, il faut ajouter un système de coordonnées
cartésiennes dans le diagramme du mouvement, comme nous l’avons fait à la
figure 1.4. Pour chaque point du diagramme, on lit sa coordonnée (x ; y). Par
exemple, la position du point 4 est (x 4, y4) = (7 m ; 3 m).
Une façon équivalente de présenter la position d’un point est de relier ce point à
l’origine pour construire le vecteur position . À la figure 1.4, nous avons représenté le vecteur
à 23° par rapport à la partie positive de l’axe des x.
Le vecteur position d’un point est équivalent à ses coordonnées. Il est par contre
plus efficace de travailler avec le vecteur position dans l’étude de la cinématique.
Les unités de mesure
Dans ce volume, nous utilisons le système international d’unités (SI), qui est le
système le plus utilisé dans le monde. Les détails et les définitions du SI sont
donnés dans la section 1.7 et à l’annexe A. Les distances et les positions sont mesurées en mètres (m), et le temps est mesuré en secondes (s).
1.2
Les propriétés des vecteurs
Dans la section précédente, nous avons rencontré des quantités comme le temps
et la distance. Ces quantités sont décrites par un nombre accompagné d’une unité.
On parle par exemple d’une distance de 4 m ou d’un intervalle de temps de 8 s.
Ces quantités sont appelées des quantités scalaires ou simplement des scalaires.
Nous avons aussi vu le vecteur position . Pour le décrire, il faut donner un
nombre accompagné d’une unité et d’une orientation. Il existe plusieurs autres
quantités ayant des orientations, comme la vitesse, l’accélération et la force. Ce
sont des quantités vectorielles, ou simplement des vecteurs.
Les vecteurs ont des propriétés différentes des scalaires. Ils n’obéissent pas à
l’algèbre ordinaire mais à l’algèbre vectorielle. Au chapitre 2, nous présenterons
une méthode algébrique pour effectuer les opérations vectorielles. À ce stade,
nous avons besoin d’une méthode graphique pour les opérations élémentaires.
Les éléments d’un vecteur
Une quantité vectorielle est souvent représentée par une flèche d’une certaine longueur. Dans ce manuel, nous utilisons des flèches comme celle-ci
1.2 — Les propriétés des vecteurs
pour représenter les vecteurs. La longueur de la flèche est proportionnelle au
module du vecteur, appelé aussi la norme, la grandeur ou l’intensité du vecteur.
Le module est un scalaire toujours positif. L’orientation de la flèche donne
l’orientation du vecteur. L’orientation comprend deux éléments : la direction,
qui correspond au segment de droite et le sens, qui est indiqué par la flèche.
Prenons par exemple le vecteur déplacement illustré à la figure 1.5. Sa direction est verticale, et son sens est vers le haut. On dit alors que son orientation
est verticale vers le haut.
FIGURE 1.5
Le vecteur a un module de 2 m
et il est orienté verticalement vers
le haut.
La relation de proportionnalité entre la longueur de la flèche et le module du
vecteur est indiquée par une échelle. Selon la figure, la longueur de la flèche
est deux fois plus grande que la marque de l’échelle, et le module du vecteur est
r = 2 × 1 m = 2 m.
Pour indiquer l’orientation, on peut procéder comme pour le vecteur
de la
section précédente : on ajoute un système de coordonnées et on donne l’angle
entre le vecteur et un axe. On peut utiliser le système de coordonnées cartésiennes ou le système de coordonnées géographiques. La figure 1.6 illustre deux
façons équivalentes d’écrire l’orientation du vecteur .
(a)
(b)
FIGURE 1.6
(a) L’orientation du vecteur
de 67° à l’est du nord.
est de 23° au-dessus de l’axe des x. (b) L’orientation de
est
REMARQUE
Dans ce volume, nous utilisons des symboles en caractères gras
surmontés d’une flèche pour indiquer qu’une quantité est vectorielle. Pour les quantités scalaires, un caractère en italique est
employé. Pour indiquer le module d’un vecteur , nous utilisons la
même lettre A, mais sans flèche.
Les vecteurs égaux
Deux vecteurs et sont égaux s’ils ont le même module et la même orientation. La figure 1.7 illustre deux vecteurs égaux. L’origine d’un vecteur n’a pas
d’importance. On peut le déplacer sans le changer si l’on conserve son module
et son orientation.
MISE EN GARDE
Lorsqu’on utilise le symbole « = » dans une équation, le membre de
gauche et le membre de droite doivent être du même type, c’est-à-dire
deux scalaires ou deux vecteurs, mais jamais un scalaire et un vecteur.
Donc, si une flèche apparaît sur un symbole du côté gauche de l’égalité, alors une quantité vectorielle doit aussi apparaître du côté droit.
FIGURE 1.7
Les vecteurs
.
et
sont égaux
7
8
CHAPITRE 01 — Une introduction au mouvement
L’addition de vecteurs
Les vecteurs n’obéissent pas à l’algèbre ordinaire. On peut additionner deux vecteurs et quelconques par des méthodes graphiques. Le résultat de la somme
de vecteurs est appelé la résultante. La figure 1.8 illustre deux méthodes : dans
la méthode du triangle, on trace les vecteurs l’un au bout de l’autre ; la résultante
est le vecteur qui relie l’origine du premier vecteur et l’extrémité du second.
Selon la méthode du parallélogramme, les deux vecteurs sont tracés avec la même
origine ; ils forment les bases d’un parallélogramme. La résultante est la diagonale issue de l’origine des vecteurs. Ces deux méthodes sont équivalentes.
Lorsqu’il faut additionner plusieurs vecteurs, la méthode du triangle se généralise pour devenir la méthode du polygone, expliquée dans la technique 1.1 :
on trace les vecteurs bout à bout, puis on obtient la résultante en reliant par
un vecteur l’origine du premier vecteur à l’extrémité du dernier vecteur. Si les
vecteurs forment déjà un polygone fermé, la résultante est égale au vecteur .
(a)
(b)
(c)
FIGURE 1.8
(a) La méthode du triangle pour calculer
. (b) La méthode du parallélogramme pour
calculer
. (c) La méthode du polygone pour calculer
.
TECHNIQUE 1.1
La somme graphique de vecteurs
Pour additionner les vecteurs
:
, en gardant son orientation et en choisissant une échelle pratique.
1. Tracer le vecteur
2. Tracer le vecteur
à l’extrémité du vec­
teur , en conservant son orientation et en
utilisant la même échelle que pour .
Tracer le vecteur
du vecteur .
à l’extrémité
. Ce
jusqu’à l’extrémité
3. Tracer le vecteur résultant
vecteur va de l’origine de
de .
1.2 — Les propriétés des vecteurs
La somme vectorielle est commutative
(1.1)
et associative
(1.2)
Ces deux propriétés peuvent être démontrées simplement par les méthodes graphiques. Des quantités ayant une orientation doivent respecter ces conditions
pour être des vecteurs.
L’opposé d’un vecteur
La figure 1.9 montre un vecteur et son opposé, qu’on dénote
. L’opposé
d’un vecteur est un vecteur ayant le même module et la même direction, mais
avec un sens opposé. Lorsqu’on additionne un vecteur et son opposé, on obtient
un vecteur dont le module est égal à zéro, le vecteur :
FIGURE 1.9
Un vecteur
et son opposé
La soustraction
La soustraction vectorielle est définie comme l’addition du vecteur opposé. La
figure 1.10 illustre la méthode pour calculer le vecteur
:
on calcule le vecteur opposé
et on utilise la méthode du triangle pour obtenir le vecteur .
(a)
(b)
FIGURE 1.10
(a) Les vecteurs
et . (b) La méthode du triangle pour calculer
.
La multiplication par un scalaire
Un vecteur quelconque
un nouveau vecteur
• Le module de
• La direction de
peut être multiplié par un scalaire réel m pour donner
. On trouve le vecteur de la façon suivante :
est
alors que si
est la même que celle de
• Le sens de est le même que celui de
de si m < 0.
.
si m > 0, et il est opposé à celui
FIGURE 1.11
La figure 1.11 illustre la multiplication du vecteur
par 0,5 et par –2.
La multiplication par un scalaire
9
10
CHAPITRE 01 — Une introduction au mouvement
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 1.1
Le vecteur a un module de 3 m et le vecteur , un module de 4 m. On
calcule la résultante
.
a. Quel est le module maximal de
par rapport à
b. Quel est le module minimal de
par rapport à
1.3
? Quelle est alors l’orientation de
?
? Quelle est alors l’orientation de
?
Le déplacement
Lorsqu’un objet change de position, il se déplace. On définit le déplacement comme
le vecteur donnant le changement de position d’un objet. Pour bien comprendre
la notion de déplacement, prenons un exemple simple : un joueur de football est
en mouvement ; sa position change du point 0 (la position initiale) au point 1 (la
position finale). La figure 1.12 montre d’abord le parcours utilisé par le joueur à
l’aide d’une vue en plongée. C’est la trajectoire. On a illustré sa position initiale
et sa position finale . Le vecteur déplacement est le vecteur
qui relie la position
initiale et la position finale. Le déplacement ne dépend pas de la trajectoire, mais
seulement des points initial et final. Une autre trajectoire commençant au point 0
et se terminant au point 1 donne le même vecteur déplacement.
Dans la figure 1.12, on remarque que les vecteurs ,
On peut écrire, selon la méthode du triangle :
et
forment un triangle.
(1.3)
En isolant
, on obtient
(1.4)
Déplacement
REMARQUE
Le symbole ∆ (la lettre grecque delta majuscule) est souvent utilisé
pour indiquer la variation d’une quantité. Pour cette raison, la variation de la position est dénotée . Le symbole
forme un tout ; on
ne peut simplifier ∆.
Comme le déplacement est un vecteur, on peut calculer la résultante de plusieurs déplacements successifs en calculant la somme vectorielle.
FIGURE 1.12
La trajectoire et le déplacement d’un joueur de football
1.4 — La vitesse moyenne
EXEMPLE 1.1
11
Une promenade en forêt
À partir d’un chalet, Pierre effectue les déplacements suivants :
– un déplacement de 2,0 km vers le nord ;
– un déplacement de 1,5 km à 20° au sud de l’ouest ;
– un déplacement de 1,0 km à 55° à l’est du sud.
Calculez le déplacement résultant.
SOLUTION
Illustrer la situation
La figure 1.13 montre les trois vecteurs déplacement,
tracés à l’origine d’un système de coordonnées géographiques. L’échelle correspondant à 1 km est aussi
illustrée.
Pour calculer cette somme, nous utilisons la technique 1.1 : nous traçons les vecteurs bout à bout
(voir la figure 1.14). Le vecteur résultant
est le vecteur qui va de l’origine du premier vecteur à l’extrémité du dernier vecteur, ce qui forme un polygone.
FIGURE 1.14
Le calcul du déplacement résultant par la
méthode du polygone
FIGURE 1.13
Résoudre le problème
Les déplacements de Pierre
Le déplacement résultant est la somme vectorielle
des déplacements :
En mesurant avec une règle et en comparant avec
l’échelle, nous obtenons le module ∆r = 1,1 km, et
l’orientation est obtenue à l’aide d’un rapporteur
d’angle : 57° au nord de l’ouest. Donc,
(i)
. (réponse)
Identifier la clé
REMARQUE
Dans l’exemple précédent, nous avons ajouté une flèche au-dessus
de « 57° au nord de l’ouest ». Nous utilisons cette notation pour indiquer de façon explicite la nature vectorielle d’une quantité.
Le diagramme du mouvement
Revenons au diagramme du mouvement du ballon, présenté à la figure 1.4
de la page 6. Il est assez simple de tracer le vecteur déplacement entre chaque
point : il s’agit de relier les points successifs. On obtient alors la figure 1.15.
Il n’est plus nécessaire de numéroter les points ; le sens des vecteurs donne le
sens du mouvement du ballon.
1.4
La vitesse moyenne
Lorsqu’on observe des objets en mouvement, on remarque que certains objets
sont lents alors que d’autres sont rapides. La vitesse de l’objet représente une
façon de quantifier la lenteur ou la rapidité d’un mouvement.
FIGURE 1.15
Le diagramme du mouvement
simple d’un ballon
12
CHAPITRE 01 — Une introduction au mouvement
Prenons un objet qui se déplace de
entre deux points durant un intervalle
de temps ∆t. La vitesse moyenne représente le taux de variation moyen de la
position durant cet intervalle :
(1.5)
Vitesse moyenne
La vitesse moyenne est un vecteur, parallèle au vecteur déplacement. On me ­
sure la vitesse moyenne en mètres par seconde – m/s (unité du SI), en kilomètres
par heure – km/h ou en toute autre unité définie avec une unité de distance
divisée par une unité de temps.
FIGURE 1.16
Le diagramme du mouvement
du ballon. Un vecteur vitesse relie
chaque point successif.
On peut inclure la vitesse moyenne dans un diagramme du mouvement. Comme
chaque point est séparé du même intervalle de temps ∆t, on remplace simple­
ment les vecteurs
par les vecteurs
, en utilisant une échelle différente.
Par exemple, la figure 1.16 montre le diagramme du mouvement du ballon de
soccer. On relie les points par des vecteurs vitesse moyenne. Le module du vec­
teur indique si l’objet est lent ou rapide, et l’orientation du vecteur donne l’orien­
tation du mouvement. Plus la longueur de la flèche est grande et plus l’objet
se déplace rapidement.
REMARQUE
Habituellement, pour alléger, on omet l’indice « moy » dans les dia­
grammes du mouvement.
L’équation 1.5 peut être réécrite de la façon suivante :
(1.6)
On peut donc calculer la position finale d’un objet à partir de sa position initiale
et de sa vitesse moyenne.
FIGURE 1.17
Deux marcheurs qui ont des vitesses
moyennes de même module, mais
d’orientations différentes.
Il est important de bien comprendre la nature vectorielle de la vitesse. Prenons par
exemple deux marcheurs (Louis et Caroline) qui partent d’un même point pour
suivre un trajet (voir la figure 1.17). Supposons que
et
que
Pendant un intervalle de temps de 60 s, les deux mar­
cheurs parcourent une distance de 60 m, mais ils ne sont pas au même endroit
à la fin. Leurs vitesses sont différentes. Deux vitesses sont identiques si elles ont
le même module et la même orientation.
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 1.2
Un objet se déplace du point 1 au point 2. Tracez le vecteur vitesse
moyenne de l’objet.
1
2
1.5 — L’accélération moyenne
1.5
L’accélération moyenne
Pour décrire le mouvement, il manque un concept : l’accélération. L’accélération
indique comment le vecteur vitesse change et s’il change rapidement ou non.
Comme la vitesse est un vecteur, il y a accélération lorsque :
• le module de la vitesse change ; ou
• l’orientation de la vitesse change.
Pour une variation de vitesse
, durant un intervalle de temps , l’accé ­
lération moyenne, qui représente le taux de variation moyen de la vitesse, est
défini ainsi :
(1.7)
Accélération moyenne
Dans le système international, l’accélération se mesure en (m/s)/s = m/s2 ; une
accélération de 1 m/s2 indique que la vitesse change de 1 m/s chaque seconde.
Le vecteur accélération moyenne a la même orientation que le vecteur . Pour
obtenir l’orientation de l’accélération en un point, on doit soustraire vectoriel­
lement la vitesse avant le point de la vitesse après le point. La technique 1.2
indique comment procéder.
TECHNIQUE 1.2 Le vecteur accélération en un point quelconque
Pour obtenir le vecteur accélération au point n :
1. Tracer le vecteur
. C’est le vecteur vitesse qui
suit le point n.
. À l’extrémité de
, tracez
le vecteur
, qui est l’opposé du vecteur vitesse qui
précède le point n.
2. Tracer le vecteur
. Tracez ce vecteur de l’origine
jusqu’à l’extrémité du vecteur
.
a la même orientation que .
3. Tracer le vecteur
du vecteur
Le vecteur
4. Retourner au diagramme du mouvement.
Tracez le vecteur sur le point n. (L’échelle de
est différente de l’échelle des vitesses.)
REMARQUE
À l’étape 4 , on a tracé le vecteur accélération à côté des vecteurs
vitesse, pour montrer l’accélération au point illustré. L’échelle uti­
lisée pour le vecteur est différente de l’échelle pour les vecteurs
vitesse, car les unités sont différentes. Par contre, dans le présent
cas, puisqu’on veut connaître uniquement l’orientation du vecteur ,
on trace habituellement la flèche de de la même longueur que la
flèche de .
Défi animé 1.1
Pouvez-vous diriger un objet vers
un point en contrôlant seulement
son accélération ?
13
14
CHAPITRE 01 — Une introduction au mouvement
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 1.3
La figure suivante représente l’accélération d’une balle de tennis en un
instant ainsi que la vitesse moyenne avant cet instant. Tracez la vitesse
après l’instant.
1.6
Le diagramme complet du mouvement
Nous avons maintenant tous les éléments pour construire un diagramme du
mouvement relatif à une situation. La technique suivante résume les étapes
décrites jusqu’à maintenant.
TECHNIQUE 1.3 Le diagramme du mouvement
1. Tracer la position de l’objet. À l’aide de points, dessinez la posi-
tion de l’objet pour des intervalles de temps égaux. Tracez cinq ou
six points, pour obtenir un diagramme clair, sans le surcharger. Les
mouvements plus complexes peuvent nécessiter un plus grand nombre
de points.
2. Tracer les vecteurs vitesse moyenne. Reliez les points à l’aide des
vecteurs vitesse moyenne. Il y a un vecteur vitesse qui relie chacun des
points successifs. Si l’objet se met en mouvement à un endroit, indiquez
départ, et s’il s’arrête à un endroit, écrivez arrêt. Inscrivez vis-à-vis
de la série de vecteurs vitesse.
3. Tracer le vecteur accélération moyenne à chaque point, en utilisant
la technique 1.2. Inscrivez
indiquez
EXEMPLE 1.2
près du point. Si l’accélération est nulle,
Un cycliste en descente
Un cycliste roule à vitesse constante sur le plat. Ensuite, il descend une côte, ce qui fait augmenter
le module de sa vitesse. Tracez le diagramme complet du mouvement du cycliste.
SOLUTION
Illustrer la situation
Voici les différentes étapes :
1. Dans la première partie du mouvement, le
module de la vitesse du cycliste étant constant,
nous traçons des points équidistants. Lorsque
le cycliste se met à descendre, les points sont
de plus en plus éloignés les uns des autres et ils
suivent la pente.
2. Nous relions les points successifs par les vecteurs
vitesse. Remarquez que la longueur des vecteurs
est constante dans la première partie et que la longueur des vecteurs augmente lorsque le cycliste
descend la côte.
3. Pour obtenir le vecteur accélération, nous
devons calculer
. Le calcul vectoriel est
fait pour trois points différents au-dessous
du diagramme du mouvement. Remarquez
1.6 — Le diagramme complet du mouvement
que lorsque le vecteur vitesse ne change pas,
l’accélération est nulle (ce qui est indiqué par ).
Dans la descente, le vecteur vitesse et le vecteur accélération sont dans le même sens. Cela
15
produit une augmentation du module de la
vitesse.
La figure 1.18 illustre le diagramme complet du
mouvement.
FIGURE 1.18
Le diagramme complet du mouvement d’un cycliste
L’exemple précédent illustre un résultat important, qui est une conséquence de
la définition de l’accélération, donnée à l’équation 1.7.
• Lorsque seul le module de la vitesse augmente, le vecteur accélération et
le vecteur vitesse ont le même sens.
• Lorsque seul le module de la vitesse diminue, le vecteur accélération est
de sens opposé au vecteur vitesse. C’est ce qu’on appelle dans la vie de
tous les jours une décélération.
• Lorsque la vitesse est constante, l’accélération est nulle.
MISE EN GARDE
De façon courante, une accélération fait référence à une situation où
le module de la vitesse augmente, alors qu’une décélération renvoie
à une situation où le module de la vitesse diminue. En physique, ces
deux situations correspondent à une accélération. Chaque fois que
le vecteur vitesse change, il y a accélération.
EXEMPLE 1.3
Une haute chandelle
Au cours d’une partie de baseball, un joueur frappe la balle directement vers le haut.
La balle ralentit graduellement, s’arrête, puis redescend avant d’être attrapée par le receveur.
Tracez le diagramme complet du mouvement de la balle durant son déplacement dans les airs.
SOLUTION
Illustrer la situation
Nous voulons obtenir le diagramme du mouvement
de la balle lorsque celle-ci est dans les airs. Alors,
nous laissons tomber le moment où elle est frappée
et le moment où elle est attrapée. Nous utilisons les
étapes de la technique 1.3.
1. Au
départ, la balle se déplace verticalement vers le haut ; le module de sa vitesse
diminue graduellement. Donc, la distance
entre les points diminue graduellement. La
balle doit s’immobiliser au point le plus
haut de la trajectoire. Ensuite, la balle redescend. Nous décalons vers la droite les points
16
CHAPITRE 01 — Une introduction au mouvement
de la descente pour que le diagramme soit plus
clair.
2. Nous relions les points pour obtenir les vecteurs
vitesse moyenne
. Lorsque la balle monte,
la vitesse est orientée vers le haut ; par contre,
lorsque la balle redescend, la vitesse est orientée
vers le bas. La figure 1.19a illustre le diagramme
avec les vitesses.
(a)
3. Pour obtenir l’accélération, il faut calculer
.
Nous faisons le calcul pour les points 1, 4 et 7
à la figure 1.19b. Remarquez que le vecteur
accélération est orienté vers le bas pour tout
le mouvement, y compris pour le point le plus
haut.
Le diagramme complet du mouvement est présenté
à la figure 1.19c.
(b)
(c)
FIGURE 1.19
Le diagramme complet du mouvement d’une balle frappée vers le haut. (a) Les vitesses.
(b) Le calcul de l’accélération. (c) Le diagramme complet.
EXEMPLE 1.4
Un petit tour de grande roue
Dans un parc d’amusement, Geneviève monte dans la grande roue. Lorsque la grande
roue fonctionne, les passagers se déplacent le long d’un cercle vertical, avec une vitesse
de module constant. Tracez le diagramme complet du mouvement de Geneviève.
SOLUTION
Illustrer la situation
Voici les étapes pour obtenir le diagramme du
mouvement.
1. Pour construire le diagramme du mouvement,
nous traçons d’abord des points formant
un cercle. Comme le module de la vitesse
de Geneviève est constant, les points sont
équidistants.
2. Nous relions les points avec les vecteurs vitesse .
Remarquez que les vecteurs vitesse sont des
lignes droites et non des courbes, car les vec-
teurs déplacement
ne sont pas identiques à la
trajectoire de Geneviève.
3. Le module de la vitesse de Geneviève est cons-
tant, mais Geneviève accélère quand même parce
que l’orientation de sa vitesse change. Pour
obtenir le vecteur accélération, nous calculons
Le bas de la figure montre comment est obtenu pour le point inférieur.
Vous remarquerez que le triangle est un triangle isocèle, car
et
ont le même module. De plus,
est vertical, ce qui implique que le vecteur accélération est orienté vers le centre du cercle. Un calcul
1.7 — Le système international d’unités
équivalent pour les autres points montre que pour
tous les points, le vecteur est orienté vers le centre
du cercle. Le diagramme complet du mouvement est
illustré à la figure 1.20.
FIGURE 1.20
Le diagramme complet du mouvement de Geneviève dans une grande roue
Dans ce dernier exemple, l’accélération est perpendiculaire à la trajectoire.
Lorsque l’accélération est perpendiculaire à la trajectoire, l’orientation
de la vitesse change, mais son module demeure constant.
1.7
Le système international d’unités
Dans ce volume, nous exprimons principalement les mesures dans le système
international d’unités (SI). Ce système est constitué de sept unités de base, présentées au tableau 1.1, associées à des étalons. Les autres unités du système sont
des unités dérivées, c’est-à-dire qu’elles sont définies à partir des unités de base.
L’unité pour la vitesse en est un exemple : à partir de l’unité mètre et de l’unité
seconde, l’unité de vitesse mètres par seconde est définie.
TABLEAU 1.1
Les unités de base du SI
Quantité
Nom
Symbole
seconde
s
mètre
m
kilogramme
kg
ampère
A
Température thermodynamique
kelvin
K
Quantité de matière
mole
mol
Intensité lumineuse
candela
Cd
Temps
Longueur
Masse
Courant électrique
17
CHAPITRE 01 — Une introduction au mouvement
18
TABLEAU 1.2
Les préfixes courants du SI
Facteur
Préfixe
Symbole
12
téra
T
10
9
giga
G
10
6
méga
M
10
3
kilo
k
10
−1
déci
d
10
−2
centi
c
10
−3
milli
m
10
−6
micro
μ
10
−9
nano
n
10
−12
pico
p
10
−15
femto
f
10
Le système international inclut les unités avec les symboles, écrits en caractères
droits ou romains. Le système inclut aussi des préfixes servant de multiples.
Lorsqu’on ajoute le préfixe milli à une unité (par exemple mm ou ms), on multiplie l’unité par un millième. Les préfixes usuels sont présentés au tableau 1.2.
Vous devez connaître ces préfixes et leurs symboles, car ils seront souvent utilisés dans cet ouvrage.
L’unité de temps
Le temps est utilisé pour deux raisons : soit pour ordonner les événements (le
cours de physique est à 8 h 30 et le cours de français est à 11 h 00) ou pour
mesurer la durée d’un événement (le cours de physique dure l h 30). Pour mesurer le temps, on a besoin d’un phénomène périodique, c’est-à-dire d’un phénomène qui se répète de façon régulière.
L’unité de temps est la seconde, dont le symbole est s (et non sec). La rotation
de la Terre a longtemps été utilisée pour établir un étalon de temps. La seconde
était définie comme 1/86 400 de la durée d’un jour moyen. Dans les années 1960, les travaux sur les horloges atomiques ont permis d’établir une nouvelle définition beaucoup plus précise :
La seconde est la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation
correspondant à la transition entre les deux niveaux hyperfins de l’état
fondamental de l’atome de césium 133.
Il existe d’autres unités de temps en usage avec le SI, qu’on utilise de façon
courante. Elles sont données au tableau 1.3. Pour des temps plus petits que la
seconde, il est d’usage d’utiliser les préfixes du tableau 1.2.
TABLEAU 1.3
Les unités de temps en usage avec le SI
Nom
minute
Symbole
Valeur
min
1 min = 60 s
h
1 h = 60 min = 3 600 s
j ou d
1 j = 24 h = 86 400 s
a
1 a ≈ 365,242 j
heure
jour
année
L’unité de longueur
L’unité de longueur et de distance du SI est le mètre (m). La définition du mètre
a changé plusieurs fois pour respecter le degré de précision de plus en plus
grand des appareils de mesure. La première définition date de 1792 (au début
de la République française) : le mètre est le dix millionième de la distance entre
le pôle Nord et l’équateur le long du méridien qui passe par Paris. C’est une
belle définition, mais qui a dû être remplacée parce qu’elle était difficile à mettre
en pratique. On a utilisé entre autres un mètre étalon en platine iridié. Depuis
1983, la définition du mètre est la suivante :
Le mètre est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière
pendant une durée de 1/299 792 458 de seconde.
1.7 — Le système international d’unités
Il existe plusieurs unités de distance utilisées dans des domaines spécialisés
de la physique. En astronomie, on utilise l’unité astronomique ua (la distance
moyenne Terre-Soleil), l’année-lumière al (la distance parcourue par la lumière
dans le vide en une année) et le parsec (défini à l’exercice E18). Le tableau 1.4
présente quelques unités et leur valeur en mètres.
TABLEAU 1.4
Quelques unités de longueur utilisées avec le SI. (Ce tableau est aussi présenté
à l’annexe C.)
Nom
Valeur
unité astronomique (ua)
1,496 × 1011 m
année-lumière (al)
9,461 × 1015 m
parsec (pc)
3,086 × 1016 m
angström (Å)
mille marin
1 × 10 –10 m
1 852 m
L’unité de masse
L’unité de masse est l’autre unité de base que nous utilisons dans le cours de
mécanique. Nous verrons au chapitre 5 la définition de la masse en fonction
de l’inertie. Cette définition sera remplacée dans le tome 3 pour être conforme
à la théorie de la relativité restreinte d’Einstein.
L’unité de la masse dans le SI est le kilogramme (kg). Un kilogramme représente la masse de l’étalon kilogramme (un cylindre de platine iridié) conservé au
Bureau international des poids et mesures situé en France. Les pays participant
au SI ont une copie de l’étalon. L’étalon du Canada, illustré à la figure 1.21, est
conservé au Conseil national de recherches à Ottawa.
Deux autres unités de masse accompagnent le SI : la tonne (t), appelée parfois la
tonne métrique, représente une masse de 1 000 kg. Dans le monde atomique,
la masse d’un kilogramme représente une masse beaucoup trop grande. Il est
très difficile de comparer la masse d’un atome à la masse du kilogramme étalon. On utilise plutôt comme étalon un atome de carbone 12. L’unité de masse
atomique (u), aussi appelée le dalton (Da), est définie de telle sorte que l’atome
de carbone 12 a une masse de 12 u. Alors,
Ce facteur de conversion a une incertitude, car il doit être mesuré.
Les conversions d’unités
Pour diverses raisons, les mesures ne sont pas toujours exprimées dans le SI.
Dans la vie de tous les jours, les unités avec préfixe (comme le centimètre), les
unités secondaires (comme la minute) et les unités du système anglais (comme
la livre) sont couramment utilisées. On doit convertir ces unités en unités du SI
avant de faire les calculs.
FIGURE 1.21
Le kilogramme étalon gardé
à Ottawa
19
20
CHAPITRE 01 — Une introduction au mouvement
La méthode la plus efficace consiste à multiplier par un facteur de conversion
égal à 1. Prenons par exemple le temps de 50 min qu’on veut convertir en
secondes. On sait que 60 s = 1 min. On peut ainsi écrire :
On multiplie le temps de 50 min par 1, sans changer le résultat :
Remarquez que les unités min se simplifient. Le facteur de conversion doit être
utilisé pour que les unités de départ se simplifient, ce qui laisse les unités désirées. Lorsqu’il y a plusieurs unités à convertir, on utilise la méthode en chaîne.
EXEMPLE 1.5
Sur l’autoroute
Au Québec, la limite de vitesse sur les autoroutes est de 100 km/h. Quelle est cette limite
en mètres par seconde ?
SOLUTION
Décortiquer le problème
Résoudre le problème
Nous obtenons
Il y a deux conversions à effectuer : les km en m
avec le facteur de conversion 1 = 1 000 m/km, puis
les heures en secondes en considérant qu’il y a
60 min dans 1 h et 60 s dans 1 min.
(réponse)
Valider la réponse
Nous remarquons qu’à cette vitesse, un automobiliste se déplace d’une distance de 27,8 m chaque
seconde.
Il existe une méthode équivalente pour convertir les unités : on remplace directement l’unité à remplacer par son équivalent dans l’unité désirée. L’exemple
suivant illustre cette deuxième méthode.
EXEMPLE 1.6
La conversion d’une masse volumique
Dans un cours de chimie, une étudiante mesure la masse volumique de l’aluminium. Son résultat
est ρ = 2,7 g/cm3. Quelle est la masse volumique de l’aluminium dans l’unité du SI, le kg/m3 ?
SOLUTION
Décortiquer le problème
Valider la réponse
Dans la masse volumique, nous remplaçons g par
0,001 kg et cm par 0,01 m.
Nous pouvons vérifier cette réponse à l’aide de la
méthode des facteurs de conversion :
Résoudre le problème
Nous obtenons
(réponse)
À première vue, ce résultat semble très grand,
mais il est correct : un cube d’aluminium de 1 m
de côté est un très gros bloc, qui a une masse
de 2 700 kg.
1.8 — La stratégie de résolution de problèmes
1.8
La stratégie de résolution
de problèmes
Un des buts de ce manuel est de vous présenter une stratégie de résolution de
problèmes. Cette stratégie est basée sur cinq étapes et elle sera utilisée dans tout
le manuel. Il est important que vous l’utilisiez ; elle vous permettra de résoudre
les problèmes de physique.
STRATÉGIE 1.1
La résolution des problèmes
Illustrer la situation
Après avoir lu le problème, illustrez la situation à l’aide d’un schéma. Ce
schéma doit inclure un système de coordonnées. II peut être accompagné
d’un diagramme (comme le diagramme du mouvement) ou d’un graphique.
Décortiquer le problème
À l’aide d’un tableau, identifiez les quantités connues et les quantités
recherchées. Vous devez utiliser les symboles appropriés.
Identifier la clé
Les clés sont les définitions, les lois et les équations générales relatives au
problème que vous voulez résoudre.
Résoudre le problème
Dans la plupart des cas, vous obtenez une équation ou un système d’équations. La résolution vous donne les quantités recherchées.
Valider la réponse
Cette étape est souvent négligée. Vous devez porter un jugement sur la
réponse. D’abord, est-ce que vous répondez bien à la question ? Est-ce
que l’ordre de grandeur a du sens ? Est-ce que le signe est bon ? Les unités
sont-elles correctes ?
La stratégie 1.1 sera adaptée en fonction des sujets, mais elle comportera les
cinq mêmes étapes.
Les chiffres significatifs
À la base, la physique et les sciences en général sont basées sur des mesures de
quantités. Ces mesures ne peuvent être infiniment précises. Elles comportent
nécessairement un certain degré d’imprécision. Dans les laboratoires, on
indique de façon explicite l’incertitude. Par contre, dans les volumes, l’incertitude est indiquée de façon implicite par la méthode des chiffres significatifs.
Supposons par exemple que vous écrivez une distance d = 3,3 m. Cela indique
que la mesure est probablement entre 3,2 m et 3,4 m. Si vous écrivez d = 3 m,
alors vous indiquez une valeur moins précise que celle que vous connaissez. De
même, si vous écrivez d = 3,32 m, alors un lecteur supposera que la mesure est
plus précise que la mesure réelle. On dit que la mesure d = 3,3 m possède deux
chiffres significatifs. Plus une mesure possède de chiffres significatifs, plus elle
est précise. Habituellement, le dernier chiffre peut varier de 1 ou de 2 unités.
Il faut faire attention à la signification des zéros. Un zéro placé à gauche
n’est pas significatif, car il indique seulement la position de la virgule. Par
21
22
CHAPITRE 01 — Une introduction au mouvement
exemple, une mesure d = 0,042 m est équivalente à la mesure d′ = 42 mm. Les
deux mesures ont deux chiffres significatifs. Par contre, un zéro placé à droite
implique une plus grande précision et il est significatif. En effet, une mesure
L = 0,520 m = 52,0 cm indique que la mesure est probablement entre 0,519 m
et 0,521 m, alors que L′ = 0,52 m indique une mesure entre 0,51 m et 0,53 m.
Il est évident que lorsqu’on fait des calculs avec des valeurs imprécises, le résultat ne peut être plus précis. Dans ce volume, nous utilisons les règles suivantes :
TECHNIQUE 1.4
Les calculs avec les chiffres significatifs
1. Dans le cas d’une multiplication, d’une division ou d’une puissance,
le résultat doit avoir le même nombre de chiffres significatifs
que le nombre qui en a le moins.
2. Dans une addition ou une soustraction, le résultat doit avoir le même
nombre de décimales que le nombre qui en a le moins.
3. Lorsqu’un résultat final contient trop de chiffres, la réponse finale doit
être arrondie.
Il est d’usage d’utiliser plus de chiffres que le nombre nécessaire dans les calculs
et d’arrondir à la fin. Il est important d’attendre au résultat final avant d’éliminer des chiffres pour ne pas faire d’erreur d’arrondi. À partir d’ici, nous utilisons
la technique 1.4 dans les calculs des exemples et des exercices.
EXEMPLE 1.7
Le calcul d’une vitesse
Dans une expérience, un étudiant mesure les positions initiale x i = 0,005 m et finale x f = 0,780 m
d’un chariot. L’intervalle de temps est ∆t = 2,4 s. Calculez la vitesse moyenne du chariot.
SOLUTION
Illustrer la situation
Pour bien situer le problème, on trace le schéma de
la situation à la figure 1.22, qui présente le chariot
au temps initial et au temps final, avec un axe des x
orienté vers la droite.
Identifier la clé
La clé est que la vitesse moyenne est donnée par l’équation 1.5. Comme le mouvement du chariot est parallèle à l’axe des x, le vecteur déplacement est
simplement
Résoudre le problème
On obtient
(réponse)
FIGURE 1.22
Le schéma de la situation pour l’exemple 1.7
Décortiquer le problème
Valider la réponse
Dans la soustraction, on doit garder trois décimales.
Pour la division, le résultat doit avoir deux chiffres
significatifs, car le dénominateur n’a que deux
chiffres significatifs. Pour cette raison, la réponse a
été arrondie à deux chiffres.
1.8 — La stratégie de résolution de problèmes
23
La notation scientifique et la notation ingénieure
Pour représenter les grands nombres ou les petits nombres, il est habituel
d’utiliser des puissances de 10 selon deux méthodes courantes. Dans la
notation scientifique, l’exposant de 10 est choisi pour que le nombre qui le
multiplie soit compris entre 1 et 10. Par exemple, la vitesse de la lumière est
environ 300 000 000 m/s = 3,00 × 108 m/s. Cette notation permet aussi d’ajuster le nombre de chiffres significatifs. La vitesse de la lumière précédente a été
écrite avec trois chiffres significatifs.
Dans la notation ingénieur, la puissance de 10 est un multiple de 3, et le
nombre qui la multiplie est entre 1 et 1 000. Cette notation permet d’utiliser facilement les préfixes du tableau 1.2 de la page 18. Dans cette notation,
la vitesse de la lumière s’écrit 300 × 106 m/s. Les calculatrices scientifiques
peuvent afficher les nombres dans les deux notations.
EXEMPLE 1.8
En un clin d’œil
Calculez le temps pour que la lumière parcoure une distance de 50,0 cm si le module
de sa vitesse est de 3,00 × 108 m/s.
SOLUTION
Décortiquer le problème
Résoudre le problème
Nous isolons ∆t :
(réponse)
Identifier la clé
La clé est la définition du module de la vitesse :
MISE EN GARDE
La plupart des calculatrices scientifiques peuvent afficher les nombres
dans la notation à point flottant et dans la notation à point fixe, en
plus des notations scientifique et ingénieure. Le calcul précédent donnerait 0,000 000 001 (sans arrondi) dans le mode à point flottant
et 0,000 000 002 dans le mode à point fixe. Dans les deux cas, ces valeurs sont éloignées de la vraie réponse 1,67 × 10 –9. Il est très important d’utiliser le mode scientifique ou le mode ingénieur lorsqu’on
calcule des petits nombres, sinon le nombre de chiffres significatifs
est insuffisant.
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 1.4
Écrivez les données suivantes avec trois chiffres significatifs en utilisant la
notation scientifique et la notation ingénieur.
a. 300 milliards de kilomètres
b. 31 556 926 s
c. 0,000 000 000 053 m
24
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
RÉSUMÉ
RÉSUMÉ
Dans ce chapitre, nous avons présenté les concepts de base de la cinématique.
LES DÉFINITIONS
• Un scalaire est une quantité décrite par un nombre
et une unité.
• Le déplacement
de l’objet.
• Un vecteur est une quantité décrite par un module
(un scalaire positif) et une orientation (une direction
et un sens).
• La vitesse moyenne :
indique le changement de position
• L’accélération moyenne :
Il y a accélération lorsque :
• La position d’un objet indique où est l’objet par rapport à un système de coordonnées.
• le module de la vitesse change ;
• l’orientation de la vitesse change.
LES TECHNIQUES ET STRATÉGIES
Le diagramme complet du mouvement pour aider à
visualiser le mouvement et pour obtenir l’orientation de
l’accélération moyenne s’effectue comme suit.
1. Tracer la position de l’objet.
2. Tracer les vecteurs vitesse moyenne.
3. Tracer le vecteur accélération moyenne.
La stratégie de résolution de problèmes
Illustrer la situation Après avoir lu le problème, illustrez
la situation à l’aide d’un schéma qui inclut un système de
coordonnées.
Décortiquer le problème À l’aide d’un tableau, identifiez les quantités connues et les quantités recherchées.
Identifier les clés Les clés sont les définitions, les lois
et les équations générales relatives au problème que vous
voulez résoudre.
Résoudre le problème La résolution des équations vous
donne les quantités recherchées.
Valider la réponse Vous devez porter un jugement sur
la réponse.
LES VECTEURS (MÉTHODE GRAPHIQUE)
addition (triangle)
addition (parallélogramme)
soustraction
multiplication par un scalaire
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
25
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
Q questions qualitatives • E exercices simples • P problèmes •
solution disponible
Section 1.2 Les propriétés des vecteurs
E7 Un enfant fait rouler une bille le long d’un plan incliné.
El Une fourmi effectue les trois déplacements sui­
vants : 4,5 m vers le nord, 2,5 m vers le sud­est, puis 5,0 m
à 20˚ au sud de l’ouest. Calculez son déplacement total.
La bille ralentit graduellement, s’arrête, puis redescend la
pente. Tracez le diagramme complet du mouvement de
la bille.
E2 Trois vecteurs sont illustrés à la figure 1.23. Leurs
E8 À partir d’un belvédère, une touriste lance une pierre
modules sont A = 5,0 m, B = 4,5 m et C = 3,0 m. Soit le vec­
teur
. Calculez graphiquement le vecteur .
vers le haut. Celle­ci monte verticalement, s’immobilise,
puis tombe dans la vallée. Tracez le diagramme complet du
mouvement de la pierre.
E9 Vous utilisez un ascenseur pour monter au troisième
étage d’un édifice. L’ascenseur accélère vers le haut pendant
1 s, ensuite il se déplace à vitesse constante pendant 4 s
avant de ralentir et de s’arrêter en 1 s. Tracez le diagramme
complet du mouvement de l’ascenseur.
P10 Au soccer, le ballon est frappé vers la droite par
un joueur. La figure 1.26 montre la position du ballon à
intervalle régulier. Tracez le diagramme complet du mou­
vement du ballon.
FIGURE 1.23 • Exercice 2
Section 1.6 Le diagramme complet du mouvement
Q3 La figure 1.24 illustre les vecteurs vitesse d’un mar­
cheur entre les points 0 et 2. Tracez le vecteur accélération
moyenne au point 1.
FIGURE 1.26 • Problème 10
P11 Une automobiliste prend une sortie d’autoroute en quart
FIGURE 1.24 • Question 3
de cercle (voir la figure 1.27). Elle freine graduellement
pour s’immobiliser à la fin du virage. Tracez le diagramme
complet du mouvement de l’automobile.
Q4 À l’aide d’un marqueur à étincelles, une étudiante
obtient la position d’un chariot à des instants successifs
(voir la figure 1.25). Tracez le diagramme complet du mou­
vement du chariot.
FIGURE 1.25 • Question 4
E5 À l’occasion d’une course de 60 m, une coureuse
part du repos et accélère pendant 3 s. Elle court ensuite à
vitesse constante pendant 4 s. Tracez le diagramme com­
plet du mouvement de la coureuse.
E6 À partir du repos, une voiture accélère uniformément pen­
dant 4 s, puis elle se déplace à vitesse constante pendant 4 s,
avant de ralentir et de s’arrêter à un feu rouge en 2 s. Tracez le
diagramme complet du mouvement de la voiture.
FIGURE 1.27 • Problème 11
26
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
Section 1.7 Le système international d’unités
E12 Pour mesurer la masse des diamants, on utilise
habituellement le carat : un diamant de 1 carat a une
masse de 200 mg. Quelle est la masse d’un diamant
de 0,22 carat monté sur une bague de fiançailles ?
Exprimez votre réponse en kilogrammes.
E13 Un cours de physique dure 50,0 min. Exprimez ce
temps en microsiècles.
E14 À la Bourse, le pétrole est transigé en barils. Un baril
équivaut à 42,00 gallons américains. Si un gallon américain contient 3,785 L, combien de barils contient un mètre
cube ? (1 L = 1 dm3).
FIGURE 1.28 • Exercice 17
E18 En astrophysique, les distances sont mesurées en
parsec (pc), unité définie de la façon suivante : un parsec
est la distance à laquelle une unité astronomique sous-tend
un angle de 1″ (l°/3 600), comme il est indiqué à la figure 1.29.
Exprimez le parsec en années-lumière (1 ua = 1,496 × 1011 m,
1 al = 9,461 × 1015 m).
E15 Le calendrier grégorien est basé sur une année
de 365 j plus une journée intercalaire dans les années
bissextiles. On ajoute une journée (le 29 février) au
calendrier lorsque :
• l’année est divisible par 4 mais pas par 100, ou
• l’année est divisible par 400.
a. Calculez le nombre de jours moyen dans une année selon
le calendrier grégorien.
b. Selon les mesures précises, l’année 2000 a duré
365,242 190 509 j. Calculez le nombre de secondes de
différence entre l’année grégorienne moyenne calculée
en a. et l’année 2000 réelle.
E16 L’année-lumière est définie comme la distance parcou-
rue par la lumière dans le vide en une année. L’étoile Alpha
du Centaure est située à 4,2 al.
a. À l’aide de la vitesse de la lumière, vérifiez que
1 al = 9,461 × 1015 m.
b. Exprimez la distance de l’étoile Alpha du Centaure
en mètres.
E17 En navigation, on utilise le mille marin (ou mille nautique)
comme unité de distance et le nœud comme unité de vitesse.
a. Le mille marin est défini comme la distance le long d’un
méridien terrestre équivalant à un déplacement angulaire
de 1′ (l°/60) (voir la figure 1.28), pour un rayon terrestre
RT = 6 367 km. Exprimez le mille marin en mètres.
b. Le nœud est défini comme une vitesse d’un mille marin
par heure. Un bateau se déplace à une vitesse dont le
module est de 12,5 nœuds. Exprimez le module de
cette vitesse en mètres par seconde.
FIGURE 1.29 • Exercice 18
E19 Le rayon moyen de la Terre est de 6,37 × 103 km,
et sa masse est de 5,97 × 1024 kg. En modélisant la Terre
comme une sphère parfaite, calculez sa masse volumique.
Exprimez votre réponse en kg/m3 et en g/cm3.
E20 Avant l’introduction du système international, les terres
agricoles étaient mesurées en arpents dans certaines régions
du Québec. L’arpent faisait partie des mesures en cours
durant le Régime français, comme indiqué ci-dessous.
Dans le système international, la superficie des terres est
mesurée en hectares (ha), ce qui équivaut à la superficie
d’un carré de 100 m de côté.
a. Exprimez l’arpent en mètres.
b. Exprimez l’hectare en mètres carrés.
c. Calculez la superficie en hectares d’une terre de 2,00 ar pents par 20,0 arpents.
TABLEAU 1.5
Les mesures dans le Régime français
1 lieue = 84 arpents
1 arpent = 10 perches
1 perche = 3 toises
1 toise = 6 pieds français
1 pied français = 0,324 8 m
SOLUTIONS AUX TESTS DE COMPRÉHENSION
27
SOLUTIONS AUX TESTS DE COMPRÉHENSION
1.1 a. 7 m ;
que
b. 1 m ;
Pour trouver la résultante, il faut tracer les vecteurs l’un au bout de
l’autre. La résultante est maximale lorsque les deux vecteurs ont la même
orientation : dans cette situation, on additionne les modules.
a la même orientation
.
est de sens opposé à
.
Le module de la résultante est minimal lorsque les vecteurs sont de sens
opposés. Dans ce cas, on soustrait les modules. Remarquez que le
module est toujours positif.
1.2
On obtient la vitesse moyenne en traçant le vecteur du point 1 au point 2.
1.3
Le vecteur est parallèle à
la vitesse après l’instant :
du triangle donne
1.4 a. 3,00 × 1011 km ; 300 × 109 km
b. 3,16 × 107 s ; 31,6 × 106 s
c. 5,30 × 10 –11 m ; 53,0 × 10 –12 m
On peut isoler
La méthode
Chapitre
28
Les vecteurs
Buts du chapitre
Dans ce chapitre, on présente une méthode algébrique pour effectuer les
opérations vectorielles. Après l’étude de ce chapitre, vous serez en mesure :
• de calculer les composantes d’un vecteur ;
• d’exprimer un vecteur en fonction des vecteurs unitaires ;
• de calculer de façon algébrique les opérations vectorielles de base ;
• de calculer le produit scalaire et le produit vectoriel de deux vecteurs.
Préalables
Ce chapitre porte sur les vecteurs. Revoyez la section 1.2.
29
Une girouette indique
l’orientation de la vitesse
du vent.
30
CHAPITRE 02 — Les vecteurs
Lorsque le bulletin météo annonce que la température est de −10 °C ou
qu’il est tombé 5 cm de neige la veille, il fait référence à des quantités scalaires, une quantité scalaire étant définie par un nombre et une unité. Le temps,
la distance, la masse et l’énergie sont d’autres exemples de scalaires.
Le même bulletin météo peut aussi mentionner que le vent souffle de l’ouest
à 10 km/h. La vitesse du vent est un exemple d’une quantité vectorielle. On
doit donner le module, toujours positif (10 km/h) et l’orientation (de l’ouest
vers l’est) pour spécifier complètement un vecteur. Au chapitre précédent, vous
avez vu les vecteurs tels que le déplacement, la vitesse et l’accélération. Dans les
prochains chapitres, d’autres quantités vectorielles comme la force, la quantité
de mouvement et le moment de force seront abordées.
Dans le présent chapitre, nous développons une méthode algébrique pour calculer les opérations vectorielles. Nous généralisons les vecteurs au monde à
trois dimensions. Nous introduirons aussi deux types de produits de vecteurs :
le produit scalaire, qui sera utilisé à partir du chapitre 8, et le produit vectoriel,
qui sera utilisé à partir du chapitre 12.
2.1
Les vecteurs à deux dimensions
Dans plusieurs situations, les vecteurs nécessaires à l’analyse d’un problème
sont dans un plan.
Le système de coordonnées cartésiennes
Pour donner la position d’un objet, nous avons besoin d’un système de coordonnées. De même, pour donner l’orientation d’un vecteur, un système de
coordonnées est nécessaire. Le vecteur est indépendant du système de coordonnées, mais sa description peut changer. On peut alors choisir un système qui
simplifie le problème.
FIGURE 2.1
La position d’un point P est iden­
tifiée par ses coordonnées (x 1; y 1).
Les vecteurs unitaires et sont
parallèles aux axes des x et des y,
respectivement.
Le système le plus utilisé est le système de coordonnées cartésiennes, constitué
d’un axe des x (habituellement horizontal) et d’un axe des y perpendiculaire à
l’axe des x. Le plus souvent, on choisit le sens de l’axe des x vers la droite et le
sens de l’axe des y vers le haut. Chaque point du plan est identifié par ses coordonnées (x ; y), comme il est indiqué à la figure 2.1.
Un vecteur unitaire est un vecteur dont le module est égal à 1 (sans unité). Il
indique une orientation. Au chapitre 1, nous avons utilisé des vecteurs unitaires
écrits de façon textuelle, comme
. Pour le système de coordonnées
cartésiennes, on utilise des symboles pour représenter les vecteurs unitaires : le
vecteur unitaire indique l’orientation de l’axe des x, et le vecteur unitaire
indique l’orientation de l’axe des y. Ces vecteurs sont illustrés à la figure 2.1.
Les composantes cartésiennes
En deux dimensions, un vecteur peut être écrit comme la somme de deux vecteurs perpendiculaires (voir la figure 2.2) :
FIGURE 2.2
Un vecteur est la somme de ses
composantes vectorielles
et
.
Les vecteurs
et
sont appelés les composantes vectorielles du vecteur .
Le vecteur
est parallèle à l’axe des x, et le vecteur
est parallèle à l’axe
des y. Pour illustrer les composantes vectorielles, nous utilisons une flèche en
traits pointillés comme celle-ci :
.
2.1 — Les vecteurs à deux dimensions
Les composantes vectorielles peuvent être remplacées par les vecteurs unitaires
et et des composantes scalaires, qu’on appelle simplement les composantes.
Selon la figure 2.2, on écrit le vecteur de la façon suivante :
.
(2.1)
Les composantes A x et Ay sont des scalaires positifs ou négatifs, selon le sens de
et de
respectivement, comme l’indique la technique suivante.
TECHNIQUE 2.1 Les composantes d’un vecteur
1. La valeur absolue
de la composante x du vecteur
module de la composante vectorielle .
est égale au
2. Le signe de A x est positif si
de A x est négatif si
a le même sens que l’axe des x. Le signe
a un sens opposé à l’axe des x.
3. La composante Ay est obtenue de façon similaire, en fonction de la
composante vectorielle
et de l’axe des y.
Nous rencontrerons plusieurs vecteurs dans l’étude de la physique. Il est très
important que vous puissiez calculer les composantes d’un vecteur ; il est essentiel aussi d’être capable de reconstruire un vecteur (le module et l’orientation) à
partir de ses composantes.
La figure 2.3 (voir la page suivante) illustre un vecteur
et ses composantes
vectorielles. Ce vecteur a un module A, et son orientation par rapport à la partie
positive de l’axe des x est θ. On remarque que ,
et
forment un triangle rectangle, dont l’hypoténuse est le vecteur . À l’aide de la trigonométrie, on trouve
(2.2)
Composante x
(2.3)
Composante y
Les signes des deux composantes sont positifs, car les deux composantes
vectorielles ont le même sens que leurs axes respectifs. On peut inverser ces
équations pour calculer le module et l’orientation à partir des composantes :
(2.4)
Module d’un vecteur
(2.5)
Orientation d’un vecteur
À la figure 2.4 (voir la page suivante), un vecteur est illustré. Cette fois-ci, l’orientation f est donnée par rapport au sens opposé à l’axe des y. On peut de nouveau
former un triangle rectangle à partir des composantes, avec le vecteur comme
hypoténuse. Cette fois-ci, les composantes Bx et By doivent être négatives selon la
technique 2.1. On obtient alors
31
32
CHAPITRE 02 — Les vecteurs
FIGURE 2.4
FIGURE 2.3
Le vecteur
vectorielles
et ses composantes
et
Le vecteur
vectorielles
et ses composantes
et
Remarquez que la composante x est proportionnelle au sinus de l’angle, car
est opposé à l’angle f. De même, la composante y est proportionnelle au cosinus, car
est adjacent à l’angle f.
Il est possible d’utiliser les équations 2.2 et 2.3 pour évaluer Bx et By en calculant θ par rapport à la partie positive de l’axe des x. Les équations 2.2 et 2.3
donnent automatiquement le bon signe des composantes. Pour le vecteur ,
l’angle θ est θ = −90° − f ; cet angle est négatif parce qu’il est mesuré en sens
horaire (c’est-à-dire dans le sens des aiguilles d’une montre). Vous devez être en
mesure d’utiliser les deux méthodes.
MISE EN GARDE
Il faut faire attention lorsque vous utilisez l’équation 2.5. Les calculatrices scientifiques sont programmées pour donner −90° < θ < 90°
comme réponse de la fonction arctan. Cette réponse ne convient pas
lorsque la composante x du vecteur est négative. Il faut donc ajouter 180° à la réponse de la calculatrice lorsque A x < 0.
EXEMPLE 2.1
La grande traversée
La Traversée internationale du lac St-Jean est une compétition
de natation en eau libre. La course de 32,0 km se déroule entre
Péribonka et Roberval. Le déplacement des nageurs est orienté
à 21,0° à l’ouest du sud (voir la figure ci-contre). Calculez les
composantes du déplacement des nageurs par rapport au
système de coordonnées illustré.
SOLUTION
Illustrer la situation
La figure ci-contre illustre le
déplacement . Nous traçons
ensuite les composantes vectorielles
et .
Décortiquer le problème
Identifier la clé
La clé est que les composantes et le vecteur forment un triangle rectangle. Les composantes
2.1 — Les vecteurs à deux dimensions
sont obtenues à l’aide de la trigonométrie. Il faut
faire attention aux signes. La composante x doit
être négative, car
est dans le sens opposé à
l’axe des x. De même, la composante y doit
être négative, car
est en sens opposé à l’axe
des y. Alors,
33
Résoudre le problème
Nous trouvons
(réponse)
(réponse)
Valider la réponse
Les composantes sont négatives, et leurs valeurs absolues sont plus petites que le module du vecteur .
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 2.1
Tracez les composantes vectorielles des vecteurs suivants et indiquez
le signe des composantes.
a.
c.
b.
d.
Le système de coordonnées polaires
Le système de coordonnées cartésiennes est le principal système de coordonnées
que nous allons utiliser dans ce volume. Nous utilisons aussi à l’occasion le système de coordonnées polaires illustré à la figure 2.5. Ce système est utile entre
autres pour décrire le mouvement d’un objet se déplaçant le long d’un arc de
cercle. Dans ce système, les coordonnées d’un point sont obtenues au moyen de la
distance r entre le point et l’origine et de l’angle θ entre la partie positive de l’axe
des x et le segment reliant le point et l’origine. Les relations entre les coordonnées
cartésiennes et les coordonnées polaires sont obtenues à l’aide de la trigonométrie :
(2.6)
(2.7)
Les relations inverses sont
(2.8)
(2.9)
FIGURE 2.5
Le système de coordonnées
polaires
34
CHAPITRE 02 — Les vecteurs
REMARQUE
Les équations reliant (x ; y) et (r ; θ) sont identiques aux relations
entre les composantes cartésiennes d’un vecteur et le module et son
orientation. Par contre, on ne peut pas dire que A et θ représentent
le vecteur en coordonnées polaires. Pour exprimer un vecteur en
coordonnées polaires, il faut utiliser les vecteurs unitaires, comme
à l’équation 2.10.
Dans le système de coordonnées polaires, on a recours aux vecteurs unitaires
et . Ces vecteurs sont illustrés à la figure 2.6. Le vecteur donne la direction
radiale, et le sens positif est celui qui s’éloigne de l’origine. Le vecteur
indique
la direction tangentielle, et le sens positif est le sens antihoraire.
Un vecteur quelconque
peut être décomposé selon ses composantes vectorielles polaires en écrivant le vecteur comme une somme de deux vecteurs perpendiculaires
et
comme illustré à la figure 2.7. On peut ensuite remplacer
les composantes vectorielles par les composantes polaires A r et Aθ , accompagnées des vecteurs unitaires
et :
(2.10)
Les signes des composantes polaires sont obtenus en appliquant la technique 2.1. Le module du vecteur est
(2.11)
EXEMPLE 2.2
FIGURE 2.6
FIGURE 2.7
Les vecteurs unitaires
et
dans
le système de coordonnées polaires
Un vecteur peut être exprimé en fonction des vecteurs unitaires
et .
Les composantes polaires d’un vecteur
Le vecteur illustré ci-contre a un module de 4,5 m/s2 et il est
orienté avec un angle f = 32,0° par rapport à la direction tangentielle.
Exprimez le vecteur en fonction des vecteurs unitaires polaires.
2.2 — Les vecteurs à trois dimensions
SOLUTION
Illustrer la situation
35
Identifier la clé
La clé est l’équation 2.7 :
Nous traçons les composantes vectorielles polaires
à la figure 2.8 :
est tracé dans la direction
radiale, et
est tracé tangent au cercle.
Les composantes scalaires Ar et Aθ sont calculées à
l’aide de la trigonométrie.
Résoudre le problème
Selon la figure,
est adjacent à l’angle f ; on
calcule Aθ à l’aide du cosinus. Pour Ar , on utilise le
sinus, car
est opposé à l’angle f. Il faut aussi y
ajouter un signe négatif, car
est de sens opposé
au vecteur (qui est orienté vers l’extérieur) :
.
FIGURE 2.8
La décomposition du vecteur
ses composantes polaires
selon
Décortiquer le problème
Le vecteur
est
(réponse)
Valider la réponse
Les signes des composantes sont compatibles avec
les vecteurs tracés à la figure 2.8. De plus, la valeur
absolue de chaque composante est plus petite que le
module du vecteur.
REMARQUE
En comparant les figures 2.6 et 2.8, on observe que l’orientation des
vecteurs unitaires
et
par rapport au plan cartésien dépend de
la position sur le cercle.
2.2
Les vecteurs à trois dimensions
En trois dimensions, le système de coordonnées cartésiennes comprend trois
axes. Il y a plusieurs façons équivalentes d’orienter les axes. La façon la plus utilisée en physique∗ est de placer les axes des x et des y dans un plan horizontal : l’axe
des x est orienté vers l’avant, et l’axe des y est orienté vers la droite. On ajoute un
axe des z orienté vers le haut. La position d’un point P est alors donnée par sa
coordonnée (x; y; z), comme il est indiqué à la figure 2.9 (voir la page suivante).
Pour représenter un vecteur à trois dimensions, on a besoin de trois vecteurs unitaires. Dans le système de coordonnées cartésiennes, on utilise le vecteur orienté
selon l’axe des x, le vecteur unitaire orienté selon l’axe des y et le vecteur unitaire
orienté selon l’axe des z. Les vecteurs unitaires sont illustrés à la figure 2.9.
Un vecteur quelconque a trois composantes vectorielles
est indiqué à la figure 2.10 (voir la page suivante) :
,
et
, comme il
* Pour certaines applications, nous utiliserons un système de coordonnées avec l’axe des x vers
la droite, l’axe des y vers le haut et l’axe des z vers l’avant.
36
CHAPITRE 02 — Les vecteurs
FIGURE 2.9
FIGURE 2.10
Le système de coordonnées cartésiennes
à trois dimensions
Les composantes vectorielles
du vecteur
On peut remplacer les composantes vectorielles par les composantes scalaires en
utilisant la technique 2.1 pour chacune des composantes. Le vecteur s’écrit ainsi :
= A x + Ay + A z
.
(2.12)
Pour calculer le module A à partir des composantes, on peut exprimer le vec ­
teur
comme la somme d’un vecteur horizontal
et du
vecteur vertical . Le module A est alors, selon le théorème de Pythagore,
Le module carré du vecteur
se calcule à l’aide de l’équation 2.4 :
Le module du vecteur est donc
Module d’un vecteur
en trois dimensions
(2.13)
Il existe d’autres systèmes de coordonnées tels que le système de coordonnées
cylindriques (avec deux longueurs et un angle) et le système de coordonnées sphé­
riques (avec une longueur et deux angles). Ces systèmes de coordonnées sont
présentés plus loin dans cet ouvrage.
EXEMPLE 2.3
Viens voir le paysage
Pour atteindre un belvédère en raquettes, Gabrielle parcourt une distance de 1,20 km
à 33,0° à l’est du nord. Le sentier monte d’une hauteur de 150 m. Donnez les compo­
santes du déplacement de Gabrielle.
SOLUTION
Illustrer la situation
Le vecteur est représenté à la figure 2.11a. Pour faci­
liter la visualisation, nous illustrons le déplacement
à l’aide d’une vue de profil à la figure 2.11b (V étant
la direction verticale et H, la direction horizontale)
et par une vue en plongée illustrée à la figure 2.11c.
Décortiquer le problème
La vue de profil permet de décomposer le déplace­
ment en une composante verticale
et en une
composante horizontale
. La vue en plongée
illustre la décomposition de la composante vecto­
rielle horizontale en composantes vectorielles
(orienté vers l’est) et
(orienté vers le nord).
2.2 — Les vecteurs à trois dimensions
37
FIGURE 2.11
(a) Le vecteur
en trois dimensions. (b) Une vue de profil de . (c) Une vue en plongée de
.
Identifier les clés
Résoudre le problème
La première clé est que le vecteur se décompose
en deux composantes vectorielles
et
; le mo­
dule du déplacement est donné par l’équation 2.4, ce
qui nous permet d’isoler dH :
Nous calculons d’abord dH à partir de l’équation (i) :
On obtient les composantes nord et est :
(i)
La deuxième clé est que la composante vectorielle
peut aussi se décomposer en deux composantes
dE et dN. À l’aide de la trigonométrie et de l’angle f,
nous pouvons calculer ces composantes :
Les composantes sont donc
(réponse)
(ii)
(iii)
Les composantes sont positives, car
vers l’est et
est orienté vers le nord.
est orienté
Valider la réponse
Les signes sont conformes aux vecteurs de la
figure 2.11.
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 2.2
Une mouche se déplace de l’origine au point f illustré à la figure
ci­ dessous. Donnez le vecteur déplacement de la mouche.
38
CHAPITRE 02 — Les vecteurs
2.3
L’algèbre vectorielle
À la section 1.2, nous avons vu une méthode graphique pour effectuer les opérations vectorielles simples. Cette méthode est adéquate pour visualiser les
situations. Par contre, elle est fastidieuse dans le cas des calculs précis et difficile à utiliser dans les problèmes à trois dimensions. Cette section présente une
méthode utilisant les composantes. La décomposition des vecteurs selon leurs
composantes permet d’obtenir une méthode algébrique.
Le vecteur nul
Le vecteur nul, dénoté , est un vecteur dont le module est nul. Toutes ses composantes sont nulles :
(2.14)
Les vecteurs égaux
FIGURE 2.12
Les vecteurs
et
sont égaux.
La figure 2.12 illustre deux vecteurs
et
ayant le même module et la
même orientation. Ces vecteurs sont égaux :
= . Comme le montre
la figure, cela implique que les composantes de
doivent être égales aux
composantes de .
Égalité de vecteurs
(2.15)
L’addition
Vous avez vu à la section 1.2 comment additionner et soustraire des vecteurs à
l’aide de la méthode graphique. La figure 2.13 illustre l’addition graphique de
deux vecteurs parallèles au plan des xy :
La figure illustre aussi les composantes vectorielles. On remarque que
FIGURE 2.13
La somme vectorielle
en fonction des composantes
vectorielles
Somme vectorielle
Les composantes vectorielles du vecteur
se calculent en additionnant les
composantes vectorielles de et de . Ce résultat est aussi valide pour les composantes scalaires. De façon générale pour un vecteur à trois dimensions, on
additionne séparément les composantes x, y et z :
(2.16)
L’ordre des termes dans la somme vectorielle n’est pas important, comme on
l’a vu au chapitre 1. Dans le cas d’une somme de trois vecteurs ou plus, l’équation 2.16 se généralise facilement : une composante de la résultante est la somme
des composantes correspondantes.
2.3 — L’algèbre vectorielle
EXEMPLE 2.4
39
De retour en forêt
À l’exemple 1.1, Pierre effectue trois déplacements successifs :
– un déplacement de 2,0 km vers le nord ;
– un déplacement de 1,5 km à 20° au sud de l’ouest ;
– un déplacement de 1,0 km à 55° à l’est du sud.
Calculez le déplacement résultant en utilisant la méthode des composantes.
SOLUTION
Illustrer la situation
Décortiquer le problème
Pour calculer les composantes, les vecteurs sont illustrés à la figure 2.14. Nous avons placé l’axe des y
orienté vers le nord et l’axe des x orienté vers l’est.
Identifier la clé
La clé est donnée par les équations 2.16 :
(i)
.
(ii)
FIGURE 2.14
Les vecteurs déplacement de Pierre, tracés
à l’origine
Résoudre le problème
Nous avons besoin de calculer les composantes de chaque déplacement.
Vecteur
Composante x
Composante y
0,0 km
2,0 km
–1,5 cos(20°) = –1,41 km
–1,5 sin(20°) = –0,51 km
1,0 sin(55°) = 0,82 km
–1,0 cos(55°) = –0,57 km
En insérant les valeurs dans l’équation (i), nous obtenons la composante x du déplacement :
d x = 0,00 km − 1,41 km + 0,82 km = −0,59 km .
De même, l’équation (ii) donne la composante y :
dy = 2,00 km − 0,51 km − 0,57 km = 0,91 km .
Le vecteur déplacement est
(réponse)
Valider la réponse
Nous avons exprimé le déplacement en fonction
des vecteurs unitaires. Cette façon est tout à fait
correcte. Par contre, pour comparer cette réponse
avec celle de l’exemple 1.1, nous devons représenter le vecteur en fonction du module et de
l’orientation.
40
CHAPITRE 02 — Les vecteurs
Le vecteur déplacement est illustré à la figure 2.15.
Nous calculons l’orientation par rapport à l’ouest :
Par rapport aux points cardinaux, l’orientation
est 57° au nord de l’ouest.
FIGURE 2.15
Le déplacement résultant de Pierre
ce qui est bien la réponse obtenue à l’exercice 1.1.
La multiplication par un scalaire
Pour calculer la multiplication d’un vecteur par un scalaire m, on multiplie
chaque composante du vecteur par le scalaire. Si
, alors
(2.17)
Multiplication par un scalaire
Lorsque m > 0, le vecteur a le même sens que
vecteur est de sens opposé à .
, alors que lorsque m < 0, le
L’opposé d’un vecteur
L’opposé d’un vecteur
est
. Le vecteur
est un vecteur de même
module que le vecteur , mais de sens opposé. On peut dire que
est la multiplication de par le scalaire −1. Les composantes de l’opposé sont obtenues
en prenant l’opposé de chaque composante :
(2.18)
Opposé d’un vecteur
Comme nous l’avons vu à la section 1.2, l’addition d’un vecteur avec son inverse
donne le vecteur zéro :
(2.19)
La soustraction
La soustraction est définie comme l’addition de l’opposé du vecteur. Pour
calculer la soustraction
à l’aide des composantes, on soustrait les
composantes :
Soustraction vectorielle
(2.20)
2.3 — L’algèbre vectorielle
EXEMPLE 2.5
41
La vitesse de la grande traversée
Au cours de la Traversée internationale du lac St-Jean en 2007, le Bulgare Petar
Stoychev a gagné la course en parcourant le trajet de Péribonka à Roberval en
6 h 36 min 29 s. En plaçant l’origine d’un système cartésien dans le village de
Saint-Prime, le vecteur position initial et le vecteur position final sont respectivement
et
, où les angles sont mesurés
par rapport à la partie positive de l’axe des x. Calculez la vitesse moyenne du gagnant.
SOLUTION
Illustrer la situation
Décortiquer le problème
Nous avons illustré les positions initiale et finale
et le déplacement à la figure 2.16. Nous avons
aussi tracé la vitesse moyenne
avec la même
orientation que le déplacement.
Identifier les clés
La première clé est l’équation 1.5, qui permet de calculer la vitesse moyenne :
(i)
La deuxième clé est l’équation 2.20 pour effectuer la
soustraction vectorielle:
FIGURE 2.16
(ii)
Les positions et le déplacement au cours
de la Traversée internationale du lac St-Jean
Résoudre le problème
Il faut d’abord calculer les composantes des vecteurs :
Vecteur
Composante x
Composante y
30,95 cos(42,2°) = 22,9 km
30,95 sin(42,2°) = 20,8 km
14,6 cos(−38,4°) = 11,4 km
14,6 sin(−38,4°) = −9,07 km
En insérant les valeurs dans l’équation (ii), nous obtenons les composantes du déplacement :
Δrx = 11,4 km − 22,9 km = −11,5 km
Δry = −9,07 km −20,8 km = −29,9 km .
Le déplacement est
(iii)
42
CHAPITRE 02 — Les vecteurs
L’intervalle de temps doit être converti en heures
décimales :
La vitesse moyenne se calcule en multipliant le
vecteur déplacement par le scalaire (1/Δt) :
(réponse)
Remarquez que nous avons ajouté 180° à l’orientation, car la composante x est négative. Nous pouvons
vérifier que c’est la même orientation que l’orientation
du déplacement, donnée à l’exemple 2.1 : l’orientation par rapport à la partie négative de l’axe des y est
f = 270° − θv = 21°, comme le montre la figure 2.17.
Valider la réponse
Nous répondons bien à la question, car notre
réponse est un vecteur. Les signes des composantes
sont bien ceux qui sont donnés à la figure 2.16, la
vitesse moyenne ayant la même orientation que le
déplacement. Il est utile de représenter la vitesse
par son module et son orientation, à l’aide des
équations 2.4 et 2.5 :
FIGURE 2.17
L’orientation de la vitesse moyenne
Un vecteur unitaire quelconque
Jusqu’à présent, nous avons défini les vecteurs unitaires pour exprimer un vecteur en fonction de ses composantes relatives à un système de coordonnées.
Nous pouvons utiliser d’autres vecteurs unitaires pour indiquer l’orientation
d’un vecteur quelconque. Prenons par exemple un vecteur
Ce vecteur a un module A donné par l’équation 2.13. Le vecteur
est défini
comme le vecteur unitaire ayant la même orientation que le vecteur . On le
calcule en divisant ce vecteur par son module :
(2.21)
EXEMPLE 2.6
Un calcul vectoriel
Soit les vecteurs
a. Calculez le vecteur
b. Calculez le vecteur unitaire
SOLUTION a.
Identifier les clés
Nous passons directement à cette étape de solution, car le problème est simple. Pour calculer le vec teur , nous utilisons comme clés les
équations 2.17 et 2.20 pour chaque composante
séparément :
2.4 — Le produit scalaire
43
Ensuite, nous divisons chaque composante par
ce nombre :
Résoudre le problème
Nous insérons les valeurs :
R x = 3(4,5 m/s) − 2(−2,5 m/s)
= 18,5 m/s
Ry = 3(−2,0 m/s) − 2(3,4 m/s)
= −12,8 m/s
R z = 3(5,3 m/s) − 2(9,0 m/s)
= −2,1 m/s .
Le vecteur
est
Le vecteur unitaire est
(réponse)
(réponse)
Valider la réponse
Valider la réponse
Le résultat est bien un vecteur, et l’unité de
même que celle de et .
est la
SOLUTION b.
Identifier la clé
Nous pouvons vérifier que le module de
égal à 1 :
Le vecteur unitaire n’a pas d’unités.
La clé est l’équation 2.21 :
Résoudre le problème
Nous calculons d’abord le module du vecteur
2.4
:
Le produit scalaire
Le premier type de produit de vecteurs est le produit scalaire, dont le résultat est
un scalaire. Il sera utilisé pour la première fois au chapitre 8 dans la définition
du travail.
Prenons deux vecteurs illustrés à la figure 2.18a (voir la page suivante). On
définit le produit scalaire
(on dit « A point B ») ainsi :
(2.22)
où f est le plus petit angle entre les deux vecteurs lorsque ces derniers ont la
même origine. Le résultat est un scalaire réel. Comme le montre la figure 2.18b
(voir la page suivante), le produit scalaire peut être considéré comme la multiplication du module A et de B cos f, qui correspond à la composante de
parallèle à .
Produit scalaire
est bien
44
CHAPITRE 02 — Les vecteurs
(a)
(b)
FIGURE 2.18
(a) L’angle entre les vecteurs
est B cos f.
et
est f. (b) La projection de
parallèle à la direction de
Le produit scalaire est commutatif :
(2.23)
et distributif :
(2.24)
Selon l’équation 2.22, lorsqu’on calcule le produit scalaire d’un vecteur avec
lui-même, on obtient son module au carré :
(2.25)
Le signe du produit scalaire dépend uniquement de l’angle f entre les vecteurs,
car les modules A et B sont toujours positifs. Les différentes possibilités, illustrées à la figure 2.19, sont les suivantes :
•
lorsque 0° ≤ f < 90° ;
•
lorsque f = 90° ;
•
lorsque 90° < f ≤ 180°.
FIGURE 2.19
Les différentes possibilités
du produit scalaire
Comme pour les autres opérations, le produit scalaire est simple à calculer
lorsque les vecteurs sont exprimés en fonction de leurs composantes cartésiennes et des vecteurs unitaires. D’abord, calculons les produits scalaires des
vecteurs unitaires entre eux, selon l’équation 2.22 :
(2.26)
(2.27)
Prenons deux vecteurs quelconques :
2.4 — Le produit scalaire
Le produit scalaire des deux vecteurs est
La distributivité permet d’écrire ce produit comme la somme de neuf termes :
Les termes croisés sont nuls à cause des équations 2.27. En utilisant les équations 2.26, on obtient
(2.28)
Produit scalaire à l’aide
des composantes
Le produit scalaire est très utile pour calculer l’angle f entre deux vecteurs. En
combinant les équations 2.22 et 2.28, on obtient
(2.29)
EXEMPLE 2.7
L’angle entre deux vitesses
Deux objets ont des vitesses respectives
Calculez l’angle entre les deux vitesses.
SOLUTION
Identifier la clé
La clé est donnée par l’équation 2.29 :
Résoudre le problème
Nous calculons le numérateur :
puis les modules :
Nous obtenons
Valider la réponse
Nous avons arrondi la réponse à deux chiffres
significatifs.
(réponse)
45
46
CHAPITRE 02 — Les vecteurs
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 2.3
Classez par ordre décroissant (du plus positif au plus négatif) le résultat du
produit scalaire entre le vecteur et les autres vecteurs illustrés. Tous les
vecteurs ont le même module.
2.5
Le produit vectoriel
Il existe un autre produit de vecteurs. Le résultat de cette multiplication est un
vecteur : c’est le produit vectoriel. Il sera utilisé à partir du chapitre 12, entre
autres dans l’étude vectorielle de la rotation.
Prenons les deux vecteurs et illustrés à la figure 2.20a. Le vecteur
(on dit « A croix B ») est le résultat du produit vectoriel. Le module de
×
est
(2.30)
Module du produit vectoriel
où f est le plus petit angle entre les deux vecteurs (0 ≤ f ≤ 180°), lorsque ces derniers ont la même origine. Si et ont la même direction (f = 0 ou f = 180°),
le produit vectoriel est nul. En particulier, le produit vectoriel d’un vecteur avec
lui-même est toujours nul
×
Le vecteur est perpendiculaire au plan formé par les vecteurs et . Le sens
du produit vectoriel est donné par la règle de la main droite : on aligne les
doigts de la main droite le long du premier vecteur ( ), avec la paume du côté
du deuxième vecteur ( ). On ferme les doigts vers le deuxième vecteur ( ). Le
résultat est donné par le pouce.
L’ordre des vecteurs est important dans le calcul d’un produit vectoriel. Comme
l’illustre la figure 2.20b, lorsqu’on inverse l’ordre des vecteurs, le produit vectoriel est inversé. Le produit vectoriel n’est pas commutatif ; il est anticommutatif :
×
(2.31)
×
Il faut donc faire très attention à l’ordre des vecteurs.
Le produit vectoriel obéit à la distributivité :
×
×
×
Pour calculer le produit vectoriel à partir des composantes, il faut d’abord déterminer le produit vectoriel des vecteurs unitaires. La figure 2.21 illustre les trois
vecteurs , et . Le module du produit vectoriel d’un vecteur avec lui-même
donne , car l’angle est alors nul :
×
×
×
(2.32)
2.5 — Le produit vectoriel
47
FIGURE 2.20
(a) Le produit vectoriel × donne
un vecteur perpendiculaire, dont
le sens est obtenu par la règle de la
main droite. (b) Le produit vectoriel
× donne un vecteur qui est
opposé à × .
(a)
(b)
Les autres produits vectoriels sont obtenus à partir de la règle de la main droite :
×
×
×
×
×
×
Le produit de
de la distributivité :
(2.33)
(2.34)
.
et de
est évalué à l’aide
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
FIGURE 2.21
Les vecteurs unitaires cartésiens
×
En utilisant les produits vectoriels des équations 2.32 à 2.34, on obtient
×
(2.35)
Produit vectoriel
Le système de coordonnées cartésiennes illustré à la figure 2.21 est un système droit
aussi appelé système direct. Nous utilisons toujours ce type de système de coordonnées. Si un des axes est inversé (par exemple si l’axe des z est orienté vers le bas),
le système de coordonnées est qualifié de système gauche ou système rétrograde.
EXEMPLE 2.8
Un produit vectoriel
Calculez le produit vectoriel 
× , où
et
SOLUTION
Illustrer la situation
Les vecteurs sont illustrés à la figure 2.22. Comme les
vecteurs sont dans le plan des xy, le résultat  doit être
perpendiculaire à ce plan. Selon la règle de la main
droite, le vecteur  est orienté selon l’axe des z.
FIGURE 2.22
Les vecteurs de l’exemple 2.8
48
CHAPITRE 02 — Les vecteurs
Décortiquer le problème
Résoudre le problème
Nous obtenons


(réponse)
Identifier la clé
La clé est l’équation 2.35. Seule la composante  z est
non nulle :

Valider la réponse
L’orientation de  correspond à ce que la règle de la
main droite nous a indiqué précédemment. Le vecteur  est perpendiculaire à et à .
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 2.4
Le module du vecteur est égal à 3 m/s, et le module du vecteur
à 2 m. Quel est l’angle entre les deux vecteurs lorsque :
a. le module de
×
est de 6 m2/s ?
b. le module de
×
est de 0 m2/s ?
est égal
RÉSUMÉ
49
RÉSUMÉ
Dans ce chapitre, nous avons présenté la méthode algébrique du calcul vectoriel. Cette méthode
est basée sur la décomposition des vecteurs selon leurs composantes.
LES DÉFINITIONS
Coordonnées cartésiennes (2D)
Coordonnées polaires
Coordonnées cartésiennes (3D)
LES RÉSULTATS
L’égalité
La somme
La soustraction
Les composantes
sont égales.
On additionne
les composantes.
On soustrait
les composantes.
Le produit scalaire
La multiplication
par un scalaire
On multiplie chaque
composante par le scalaire.
Le produit vectoriel
×
×
×
est perpendiculaire à et à
la règle de la main droite.
; son sens est donné par
50
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
Q questions qualitatives • E exercices simples • P problèmes •
solution disponible
Section 2.1 Les vecteurs à deux dimensions
Q1 Si
, quelle est la relation entre les composantes
des vecteurs ?
E2 Pour les vecteurs suivants, calculez les composantes :
a. Le vecteur a un module de 4,5 m/s2 et forme un angle
de 50° au-dessus de la partie positive de l’axe des x.
b. Le vecteur
a un module de 10 m et forme un angle
de 20 ° à gauche de la partie positive de l’axe des y.
c. Le vecteur a un module de 2,8 m/s et forme un angle
de 15° sous la partie négative de l’axe des x.
E3 Calculez les composantes des vecteurs illustrés à la
figure 2.23. Les modules des vecteurs sont A = 3,2 m,
B = 5,3 m et C = 4,4 m.
FIGURE 2.24 • Exercice 7
E8 Trouvez les coordonnées polaires des points suivants :
a. P 1 = (3,4 ; −2,8) m
b. P 2 = (−3,0 ; −1,5) cm
c. P 3 = (−8,5 ; 4,3) mm
d. P4 = (0,53 ; 0,32) km
E9 Une voiture prend un virage en arc de cercle. Son accé-
lération a un module de 1,05 m/s2 et une orientation illustrée à la figure 2.25. Exprimez l’accélération en fonction des
vecteurs unitaires polaires.
FIGURE 2.23 • Exercice 3
E4 Une automobile se déplace à 90,0 km/h et est
orientée à 25,0° au sud de l’ouest. Exprimez la vitesse
de l’automobile en fonction des vecteurs unitaires
cartésiens. Identifiez l’axe des x avec l’est et l’axe
des y avec le nord.
E5 Exprimez les vecteurs suivants en fonction de leur
module et de leur orientation par rapport à la partie positive de l’axe des x.
FIGURE 2.25 • Exercice 9
P10 Les coordonnées polaires d’un point sont (r ; θ). Montrez
que les relations entre les vecteurs unitaires polaires et les
vecteurs unitaires cartésiens sont
a.
b.
c.
d.
Section 2.2 Les vecteurs à trois dimensions
E6 Pour relier deux villes, un avion parcourt une dis-
E11 Pour ne pas devenir le repas d’Elmer Fudd, Bugs Bunny
tance de 230 km en s’orientant à un angle de 32,5°
à l’est du nord. Quelles sont les composantes du
déplacement ?
E7 Calculez les composantes des vecteurs illustrés à la
figure 2.24. Leurs modules sont F = 40,0 N, T = 75,0 N
et N = 25,6 N.
se déplace de 5,0 m vers le nord, puis de 8,0 m vers l’ouest
pour entrer dans son terrier à 3,0 m de profondeur.
a. En orientant l’axe des x vers l’est, l’axe des y vers le nord et
l’axe des z vers le haut, exprimez le déplacement de Bugs
Bunny en fonction des vecteurs unitaires.
b. Quel est le module du déplacement de Bugs Bunny ?
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
E12 La figure 2.26 illustre une boîte de carton dont les
51
par rapport à la
dimensions sont L = 50 cm, e = 20 cm et h = 30 cm. Une
mouche se déplace d’abord du point A au point B, puis
jusqu’au point C. Quel est le déplacement de la mouche :
partie positive de l’axe des y
a. entre A et B ?
négative de l’axe des x
par rapport à la partie
E19 Calculez la somme des vecteurs suivants. Les orienta-
b. entre B et C ?
tions sont données en fonction de la partie positive de l’axe
des x. Les angles positifs sont mesurés en sens antihoraire,
et les angles négatifs sont mesurés en sens horaire.
c. entre A et C ?
E20 Le vecteur
a un module de 2,8 m/s et il est orienté
vers l’est. Le vecteur a un module de 4,5 m/s et il est
orienté à 40° au sud de l’ouest. Calculez les opérations suivantes, en donnant le module et l’orientation :
FIGURE 2.26 • Exercice 12
a.
P13 Au cours d’une randonnée, une marcheuse se déplace
vers le sud-est sur un sentier qui monte à 6,5° par rapport
à l’horizontale. Elle parcourt une distance de 2,00 km.
Calculez les composantes de son déplacement.
b.
c.
E21 Soit les vecteurs représentant des forces :
Section 2.3 L’algèbre vectorielle
Q14 Quelle est la relation entre les vecteurs
et
suivants :
a.
a. Calculez le module de
b.
b. Calculez le module de
c.
E15 Calculez la somme vectorielle de
et
si
et
a. Exprimez la résultante en fonction des vecteurs unitaires.
b. Quels sont le module et l’orientation de la résultante ?
E16 Un avion parcourt une distance de 500 km à 30,0° au
nord de l’est. Il parcourt ensuite une distance de 250 km
à 15,0° à l’est du nord. Finalement, il parcourt une distance
de 325 km à 32,0° à l’ouest du nord.
c. Déterminez le vecteur
d. Calculez le vecteur unitaire
que
, qui a la même orientation
E22 Trois vecteurs sont illustrés à la figure 2.27. Leurs mo-
dules respectifs sont A = 4,00 m, B = 3,20 m et C = 2,70 m.
Calculez
Exprimez votre réponse selon :
a. les vecteurs unitaires ;
b. le module et l’orientation par rapport à la partie positive
de l’axe des x.
a. Quel est le déplacement résultant de l’avion ?
b. Quel est le déplacement nécessaire pour que l’avion re vienne au point de départ ?
E17 Calculez la somme des trois vecteurs suivants :
et
E18 Calculez la résultante des vecteurs suivants :
par rapport à la partie
positive de l’axe des x
tel que
FIGURE 2.27 • Exercice 22
52
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
E23 La figure 2.28 illustre trois vecteurs en fonction d’un
Q31 Les produits triples suivants sont-ils des scalaires ou
système de coordonnées cartésiennes. Leurs modules sont
respectivement F = 40,0 N, T = 75,0 N et N = 25,6 N. Calculez le vecteur de telle sorte que
des vecteurs ?
a.
×
b.
c.
×
×
×
d.
E32 Soit deux vecteurs
et
a. Calculez
×
b. Quel est l’angle compris entre
et
?
E33 Les vecteurs illustrés à la figure 2.29 sont parallèles
au plan des yz. Calculez
FIGURE 2.28 • Exercice 23
×
si r = 0,55 m et F = 37 N.
Section 2.4 Le produit scalaire
Q24 Si
est-ce que
E25 Calculez
?
si
et
E26 Calculez le produit scalaire du vecteur
et du vecteur
E27 Calculez l’angle entre les deux vecteurs suivants :
et
P28 L’angle entre deux vecteurs
FIGURE 2.29 • Exercice 33
et
est f. On calcule la
résultante
a. À l’aide du produit scalaire, démontrez que le module
de est
E34 Le mouvement d’une particule est caractérisé par
le vecteur position
teur vitesse
×

P35 Démontrez que
et par le vecCalculez le vecteur
×
est un vecteur perpendicu-
laire à .
b. Démontrez que le module du vecteur
du triangle :
respecte l’inégalité
P36 On forme un parallélogramme à partir des vecteurs
et , comme il est indiqué à la figure 2.30. Démontrez que
l’aire du parallélogramme est égale à ×
P29 À l’aide du produit scalaire, démontrez que deux vec-
teurs ont le même module si leur somme est perpendiculaire à leur différence.
Section 2.5 Le produit vectoriel
Q30 Sans faire de calcul complet, à quoi est égal
et
×
si
FIGURE 2.30 • Problème 36
SOLUTIONS AUX TESTS DE COMPRÉHENSION
53
SOLUTIONS AUX TESTS DE COMPRÉHENSION
2.1
a.
b.
c.
d.
2.2
La mouche se déplace de 1 m à l’opposé de l’axe des x, de 4 m dans le même sens que
l’axe des y et de 2 m dans le sens de l’axe des z.
2.3
Le résultat d’un produit scalaire est égal à la multiplication des modules des vecteurs
et du cosinus de l’angle entre eux. Ici, tous les vecteurs ont le même module. Donc,
l’ordre est le même que celui du cosinus de l’angle.
2.4 a. 90°
Le module du produit vectoriel est rv sin f = 6 sin f ; le sinus de l’angle étant égal à 1,
f = 90°.
b. 0° ou 180°
Le module du produit vectoriel est rv sin f = 0, ce qui implique que le sinus de l’angle
est nul. Donc, f = 0° ou 180°.
Chapitre
54
Le mouvement
rectiligne
Buts du chapitre
Dans ce chapitre, on étudie le mouvement qui se fait le long d’une ligne droite.
Après l’étude de ce chapitre, vous serez en mesure :
• d’obtenir les relations mathématiques entre le déplacement, la vitesse
et l’accélération ;
• d’utiliser une représentation graphique du mouvement ;
• de résoudre les problèmes de mouvement rectiligne uniformément accéléré ;
• de comprendre la chute libre et le mouvement le long de plans inclinés.
Préalables
Ce chapitre porte sur le mouvement rectiligne. Revoyez :
• le diagramme du mouvement, présenté aux sections 1.3 à 1.6 ;
• les vecteurs, en particulier les composantes cartésiennes étudiées
à la section 2.1 ;
• la stratégie de résolution de problèmes, qui est expliquée à la section 1.8.
55
Des nageuses se déplacent en
ligne droite dans la piscine.
UN PEU D’HISTOIRE
Quand le mouvement change : la nouvelle science de Galilée
La chute d’une pomme aurait mis Newton sur la piste
de la gravitation universelle. Dans le cas de Galilée,
c’est une averse de grêle qui a fait de lui un rebelle.
Alors qu’il est étudiant à l’Université de Pise, Galilée
(1564-1642) observe que des petits et gros grêlons
frappent le sol en même temps. Or, selon Aristote
(de –384 à –322), la vitesse d’un corps qui tombe
est une fonction de sa taille : plus un grêlon est gros,
plus il est rapide. Pour arriver au sol en même temps
qu’un petit grêlon, un gros devrait tomber de plus
haut ou avoir commencé sa chute plus tard. Galilée
refuse de croire cette affirmation et met en doute la
physique d’Aristote.
Galilée mettra des années à formuler une meilleure
théorie. Il se tourne d’abord vers le concept médiéval
de l’impetus pour expliquer l’accélération des corps
qui tombent. Un corps lourd prend de la vitesse en
commençant sa chute vers le bas, puis cette vitesse
imprime au corps un élan supplémentaire, comme
si une main invisible le lançait vers le bas. Cet élan
donne au corps un surcroît de vitesse qui lui imprime
un nouvel élan, et ainsi de suite. Vers 1586, alors que
Galilée a mis fin à ses études, il soutient que les corps
de même composition qui tombent dans un même
milieu tombent avec la même vitesse, quelle que soit
leur masse, parce qu’il croit désormais que la différence
de densité du corps et du milieu est déterminante.
Quand il retourne à Pise comme professeur, il aurait
procédé à une expérience célèbre vers 1589. Selon
son biographe, il aurait laissé tomber des corps de
même composition, mais de masses différentes, du
haut de la Tour de Pise pour démontrer par l’expérience qu’Aristote avait tort. Ce n’était pas nouveau.
Un ingénieur néerlandais, Simon Stevin, en avait fait
autant en 1586. Mais ce n’était pas encore la preuve
que tous les corps en chute libre subissent la même
accélération.
L’expérience est évoquée des années plus tard dans
l’ouvrage de Galilée, qui fonde la cinématique, Discours et démonstrations mathématiques concernant
deux sciences nouvelles (1638). Dans ce livre, le
vieux savant a trouvé la réponse à ses interrogations
de jeunesse. L’équivalence de tous les corps en chute
libre n’est qu’un acquis parmi d’autres. La décomposition des vitesses lui permet d’analyser la trajectoire des boulets de canon et de fonder la relativité
galiléenne qui pose que les lois du mouvement sont
les mêmes, quelle que soit la vitesse (uniforme) de
l’observateur.
Pourquoi Galilée a-t-il mis si longtemps? Tout se
bouscule dans sa vie. Pionnier de l’expérimentation,
hérétique, professeur, martyr de la science, astronome, ingénieur, courtisan et même musicien à ses
heures comme son père : il est tout cela. Vers 1603,
Galilée entreprend des expériences avec un plan
incliné sur lequel il fait rouler des corps. En 1604,
il est convaincu que la « vitesse » est proportionnelle
à la distance parcourue par un corps qui tombe. Ce
n’est qu’en 1609 qu’il adopte notre vision moderne
qui fait de la vitesse de chute une fonction du temps.
L’astronomie détournera Galilée de la cinématique.
En 1604, une supernova apparaît dans le ciel, et
Galilée participe aux débats provoqués par un phénomène contraire aux théories d’Aristote. En 1609,
il perfectionne la lunette astronomique. Quand il
prend parti pour le système de Copernic, il entame
le combat de sa vie. L’Église catholique le condamne
en 1633 à la réclusion, et c’est alors qu’il fera enfin
publier sa théorie achevée du mouvement.
Galilée (1564-1642)
3.1 — Les vecteurs en une dimension
57
Le chapitre 1 porte sur la cinématique, c’est-à-dire l’étude de la description du mouvement, et s’attarde particulièrement sur les aspects qualitatifs. Il est aussi important d’obtenir des résultats numériques qui peuvent être
comparés à des mesures. Nous développons maintenant une méthode quantitative d’analyse des problèmes liés au mouvement des objets.
Pour commencer cette étude, nous nous limitons au mouvement rectiligne qui
se produit le long d’une ligne droite. Les courses de natation sont des exemples
de mouvement rectiligne : chaque nageur suit un corridor et effectue un certain
nombre de longueurs de piscine. Un autre exemple est la chute libre des corps.
Lorsqu’on lance une balle verticalement vers le haut, la balle monte jusqu’à une
certaine hauteur, puis elle redescend en suivant la même ligne.
3.1
Les vecteurs en une dimension
Vous avez vu au chapitre 1 que pour décrire le mouvement de translation d’un
objet, il faut trois quantités : la position , la vitesse et l’accélération . Ces
quantités sont des quantités vectorielles, caractérisées par un module, une direction et un sens. Lorsqu’un objet se déplace en ligne droite, la direction des vecteurs doit être celle du mouvement. Il reste à donner le module et le sens. Pour
décrire les vecteurs, nous ajoutons un axe parallèle au mouvement. Lorsque le
mouvement est horizontal ou oblique, l’axe utilisé est l’axe des x. Lorsque le mouvement est vertical, il est d’usage d’utiliser l’axe des y.
REMARQUE
Le sens de l’axe peut être choisi arbitrairement. Dans ce manuel,
nous préférons choisir l’axe des x orienté vers la droite et l’axe des y
orienté vers le haut. On pourrait faire le choix inverse sans changer
les résultats. Par contre, dans la solution d’un problème, il faut garder le même sens durant toute la solution.
Dans les calculs algébriques, on décompose les vecteurs selon leurs composantes. Pour un mouvement horizontal, les vecteurs n’ont qu’une composante x :
ils sont orientés vers la droite ou vers la gauche.
La composante des vecteurs est suffisante pour décrire un vecteur en une dimension : le signe donne le sens du vecteur, et la valeur absolue donne le module.
Lorsqu’un vecteur a le même sens que l’axe, sa composante est positive, tandis
que lorsque le sens d’un vecteur est opposé à l’axe, sa composante est négative.
REMARQUE
Pour alléger le texte, on peut remplacer le vecteur complet d’une
quantité par sa composante unique : on parle de la vitesse vx même
si la vitesse est
Ceci est acceptable pour le mouvement rectiligne. Nous allons suivre cette voie dans ce chapitre.
Prenons l’exemple de la nageuse au premier plan, illustrée dans la photo d’ouverture du chapitre : elle fait un aller-retour dans une piscine. Sa position, sa
vitesse et son accélération sont nécessairement horizontales. La figure 3.1 illustre
FIGURE 3.1
Le diagramme du mouvement de la
nageuse qui fait un aller-retour dans
une piscine
58
CHAPITRE 03 — Le mouvement rectiligne
le diagramme du mouvement, avec l’axe des x vers la droite. Entre le point 0 et le
point 4, la nageuse se déplace vers la droite. La composante vmoy,x est positive.
Ensuite, entre les points 4 et 8, elle se déplace vers la gauche ; la composante vmoy,x
est négative. En ce qui concerne l’accélération, on remarque que la composante
amoy,x est positive aux points 1 et 7, alors qu’elle est négative aux points 3 et 5.
Il est très important que vous compreniez la signification du signe associé aux
composantes de la position, de la vitesse et de l’accélération. L’encadré suivant
donne le sens du signe des composantes pour chacun des vecteurs décrivant le
mouvement lorsqu’on choisit d’orienter l’axe des x vers la droite.
• Le signe de la position indique où est l’objet.
x > 0 : l’objet est à droite de l’origine.
x < 0 : l’objet est à gauche de l’origine.
• Le signe de la vitesse indique le sens du mouvement.
vx > 0 : le mouvement est vers la droite.
vx < 0 : le mouvement est vers la gauche.
• Le signe de l’accélération indique le sens du vecteur .
a x > 0 : l’accélération est vers la droite.
a x < 0 : l’accélération est vers la gauche.
MISE EN GARDE
Le signe de l’accélération n’indique pas si le module de la vitesse augmente ou diminue. On ne peut pas dire qu’une accélération positive
indique une augmentation du module de la vitesse et qu’une accélération négative indique une diminution du module de la vitesse. Il faut dire
que le signe de l’accélération indique le sens du vecteur accélération.
Pour obtenir le sens de l’accélération, il faut construire un diagramme du mouvement et utiliser la technique 1.2 de la page 13. Prenons par exemple un objet qui
se déplace vers la droite et dont le module de la vitesse augmente. La figure 3.2a
illustre le diagramme du mouvement. L’accélération est positive (a x > 0) parce
que le vecteur est orienté vers la droite, et non parce que le module de la
vitesse de l’objet augmente. Vous pouvez comparer cette situation à celle qui
est illustrée à la figure 3.2b, où un objet se déplace vers la gauche et ralentit.
L’accélération de l’objet de la seconde situation est aussi positive (a x > 0), même
si l’objet subit une décélération.
(a) x > 0, vx > 0, a x > 0
(b) x > 0, vx < 0, a x > 0
FIGURE 3.2
(a) Un objet dont le module de la vitesse augmente. (b) Un objet dont le module de la vitesse
diminue. Dans les deux cas, a x est positive.
3.2 — La position et le déplacement
59
Pour le mouvement rectiligne :
• le module de la vitesse augmente si vx et a x ont le même signe ;
• le module de la vitesse diminue si vx et a x ont des signes opposés ;
• le module de la vitesse est constant seulement si a x = 0.
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 3.1
Un train se déplace en direction est-ouest. On choisit l’axe des x orienté
vers l’est. Quel est le signe de son accélération moyenne dans les situations
suivantes ?
a. Il se déplace vers l’est avec un module de vitesse croissant.
b. Il se déplace vers l’est avec un module de vitesse décroissant.
c. Il se déplace vers l’ouest avec un module de vitesse croissant.
d. Il se déplace vers l’ouest avec un module de vitesse décroissant.
3.2
La position et le déplacement
Prenons un cycliste se déplaçant en ligne droite. Le diagramme du mouvement
est illustré à la figure 3.3. Dans ce diagramme, chaque point est séparé de 10 s.
On a aussi orienté l’axe des x vers la droite. On remarque que la position du
cycliste change. Le cycliste a un déplacement ayant une composante x :
Le déplacement est régulier pour les 20 premières secondes, puis le cycliste
ralentit et ensuite il reprend un déplacement régulier.
Dans le mouvement rectiligne, la position d’un objet est donnée simplement par
sa coordonnée x, car
On peut représenter le mouvement du cycliste en
traçant un graphique de sa position en fonction du temps (voir la figure 3.4a).
On obtient une série de points. Cette série de points est incomplète : le cycliste
ne saute pas d’un point à l’autre ; il se déplace de façon continue entre les points.
Pour cette raison, on trace habituellement une courbe reliant les différents
points, comme à la figure 3.4b.
(a)
(b)
FIGURE 3.4
(a) Le graphique de la position mesurée en fonction du temps. (b) La position en fonction
du temps avec une courbe d’interpolation.
FIGURE 3.3
Le diagramme du mouvement d’un
cycliste. L’intervalle de temps entre
chaque point est de 10 s.
60
CHAPITRE 03 — Le mouvement rectiligne
Contrairement au diagramme du mouvement, le graphique de la position
en fonction du temps illlustré à la figure 3.4 est une méthode abstraite permettant de représenter le mouvement. Ce graphique ne représente pas la
trajectoire.
Le changement de position d’une coordonnée initiale x i à une coordonnée x f est
le déplacement. Pour un mouvement rectiligne, ce vecteur n’a qu’une composante x :
avec
(3.1)
Déplacement
Le module du déplacement représente la distance entre les points initial et
final, alors que le signe représente le sens du déplacement. Pour Δx > 0,
l’objet s’est déplacé dans le même sens que l’axe alors que pour Δx < 0, le
déplacement est dans le sens opposé à l’axe. Si l’objet revient à sa position
initiale (xi = xf), le déplacement est nul ; cependant, la distance parcourue par
l’objet ne l’est pas.
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 3.2
Voici quatre paires de positions initiales et finales d’une particule qui
se déplace en ligne droite, sans changer de sens : (i) −4 m et 5 m, (ii) 3 m
et −10 m, (iii) 2 m et −2 m, (iv) 1 m et 5 m.
a. Classez les paires selon la composante de leur déplacement, de la plus
négative à la plus positive.
b. Classez les paires par ordre croissant de distance parcourue.
3.3
FIGURE 3.5
La vitesse moyenne entre deux
points est la pente de la droite
reliant les deux points.
Vitesse moyenne
La vitesse moyenne
Revenons au cycliste en mouvement de la figure 3.3. Les vecteurs reliant
les points successifs représentent la vitesse moyenne entre les points.
Comme nous l’avons définie à la section 1.4, la vitesse moyenne indique
si la position de l’objet change rapidement ou non. Dans le mouvement
rectiligne, la vitesse moyenne n’a qu’une composante, définie à partir du
déplacement Δx :
(3.2)
Le signe de la vitesse moyenne est le même que le signe du déplacement Δx. La
signification du signe est la même : pour un mouvement ayant le même sens que
l’axe, le signe est positif et vice-versa.
Il est possible de calculer la vitesse moyenne lorsque le graphique de la position
en fonction du temps est connu. Pour calculer la vitesse moyenne du cycliste
entre t i = 10 s et tf = 40 s, on relie ces points du graphique à l’aide d’un segment
de droite, comme dans la figure 3.5. Ce segment fait partie de la sécante qui
coupe la courbe aux temps t i et tf. La vitesse moyenne est la pente du segment
de droite : vmoy,x = Δx/Δt = (110 m)/(30 s) = 3,7 m/s.
3.4 — La vitesse instantanée
61
REMARQUE
Nous rencontrerons fréquemment des graphiques tels que ceux qui
sont illustrés dans la figure 3.4 ou la figure 3.5, où l’abscisse représente le temps. En effet, le temps est la variable indépendante en
physique, tandis qu’en mathématiques on utilise souvent x comme
variable indépendante.
Dans certaines situations, la vitesse moyenne ne donne pas une information
utile sur le mouvement. Supposons que vous vous entraînez à la course à pied en
courant sur une piste ovale de 400 m. Vous voulez évaluer votre performance
en comparant votre vitesse moyenne à chacun des tours effectués. Comme vous
revenez à votre position initiale, x f = x i, la vitesse moyenne est toujours nulle. Il
est plus utile de comparer votre vitesse scalaire moyenne à chaque tour ; cette
vitesse est définie à partir de la distance d parcourue :
(3.3)
Vitesse scalaire moyenne
La vitesse scalaire moyenne est une quantité scalaire positive, car elle est définie
à partir d’un scalaire positif, la distance. En général, la vitesse scalaire moyenne
est bien différente du module de la vitesse moyenne.
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 3.3
Au cours des Jeux olympiques de 2004 à Athènes, la compétition de
natation de 100 m style libre a été gagnée par le Néerlandais Pieter
van den Hoogenband en 48,17 s. Les nageurs doivent faire un allerretour d’une piscine de 50,00 m.
a. Quelle est la vitesse moyenne du champion ?
b. Quelle est la vitesse scalaire moyenne du champion ?
3.4
La vitesse instantanée
Les deux vitesses précédentes sont définies à partir d’un intervalle de temps Δt.
La vitesse instantanée, ou simplement la vitesse, est définie à un instant t précis,
pour avoir une information sur ce qui se passe à cet instant. Par exemple, lorsque
l’indicateur de vitesse d’une voiture indique 50 km/h, cela indique que si la voiture continue à se déplacer à ce rythme, elle va parcourir 50 km dans la prochaine
heure. La voiture peut changer de rythme dans 0,003 s ou 2 h plus tard, ce qui
n’influe pas sur la vitesse instantanée à cet instant précis. La figure 3.6 montre un
cyclomètre, qui indique le module de la vitesse instantanée (en haut) et la vitesse
scalaire moyenne (en bas à droite) de la bicyclette en mouvement.
FIGURE 3.6
Un cyclomètre indique le module
de la vitesse, la distance, le temps
écoulé et la vitesse scalaire
moyenne d’une bicyclette
en mouvement.
La vitesse instantanée correspond à la vitesse moyenne calculée pour un intervalle
de temps Δt le plus petit possible : on prend la limite lorsque Δt tend vers zéro.
(3.4)
Cette limite est appelée la dérivée de x par rapport à t et on la symbolise par
Vitesse instantanée
62
CHAPITRE 03 — Le mouvement rectiligne
La vitesse instantanée a une signification géométrique dans le graphique de la
position en fonction du temps. La figure 3.7a illustre la position en fonction du
temps d’un objet. Pour calculer vx au temps t, on calcule la vitesse moyenne
entre P et Q dans la limite où Δt → 0, c’est-à-dire lorsque Q s’approche de P. La
sécante tend alors vers la tangente. Donc, la vitesse est obtenue en calculant la
pente de la tangente qui passe par le point P, comme le montre la figure 3.7b.
Le signe de la vitesse est le même que le signe de la pente de la tangente,
comme le montre la figure 3.7c.
(a)
(b)
(c)
FIGURE 3.7
(a) Lorsque Δt → 0, le point Q tend vers le point P et la sécante tend vers la tangente au point P. (b) La pente
de la tangente donne v x . (c) Le signe de la pente de la tangente donne le signe de v x .
En résumé, la vitesse a les caractéristiques suivantes :
• Le signe de la composante vx donne le sens du mouvement de la particule : vx > 0
indique que la particule se déplace dans le sens de l’axe, alors que vx < 0 indique
que le mouvement de la particule est dans le sens opposé à celui de l’axe.
• L’unité de la vitesse est obtenue en divisant une unité de longueur par une
unité de temps. Dans le SI, la vitesse est mesurée en mètres par seconde (m/s).
• À partir d’un graphique de la position en fonction du temps, la pente de
la tangente en un point de la courbe correspond à la vitesse à ce point.
Ceci est illustré à la figure 3.7b.
• Le module de la vitesse v est donné par |v x|, c’est-à-dire la composante vx
à laquelle on a enlevé le signe.
EXEMPLE 3.1
La vitesse moyenne et la vitesse instantanée
La position d’une particule se déplaçant parallèlement à l’axe des x est donnée par
x = 3,0t − t 3,
où la position est exprimée en mètres et le temps, en secondes.
a. Calculez la vitesse moyenne entre 0,0 s et 2,0 s.
b. Calculez la vitesse à t = 0,50 s.
c. Calculez la vitesse à t = 2,0 s.
SOLUTION
Décortiquer le problème
On trouve les valeurs de x i et de x f en remplaçant les
temps correspondants dans l’équation de la position
en fonction du temps.
3.4 — La vitesse instantanée
63
Le numérateur de l’équation (ii) se calcule en soustrayant l’équation (iii) de l’équation (iv) :
SOLUTION a.
Identifier la clé
La vitesse moyenne est donnée par l’équation 3.2 :
(i)
(v)
Résoudre le problème
On remplace les valeurs obtenues de l’équation de la
position en fonction du temps.
En remplaçant ce résultat dans l’équation (ii), nous
obtenons
(réponse)
Valider la réponse
La vitesse moyenne négative indique que la particule
s’est déplacée dans le sens opposé à celui de l’axe
dans cet intervalle.
SOLUTION b.
Identifier la clé
(vi)
Ceci est le résultat de la dérivée. Il ne reste qu’à remplacer t par 0,50 s :
Nous obtenons la vitesse par un calcul de limite :
(réponse)
(ii)
Il faut d’abord calculer la limite et ensuite remplacer
le temps par 0,50 s.
REMARQUE
Valider la réponse
Le signe indique qu’à t = 0,50 s, la particule se dé place dans le même sens que le sens de l’axe des x.
SOLUTION c.
Résoudre le problème
L’expression mathématique de la vitesse est donnée
à l’équation (vi). Il ne reste qu’à remplacer le temps
par 2,0 s :
La notation x(t) symbolise une fonction x
évaluée au temps t et non une multiplication de x par t.
(réponse)
Résoudre le problème
Selon l’équation de la position en fonction du temps :
(iii)
. (iv)
Valider la réponse
Le signe négatif indique que la particule se déplace
dans le sens opposé à l’axe à 2,0 s. Remarquez que
la vitesse moyenne entre 0,0 s et 2,0 s est différente
de la vitesse à 2,0 s.
L’utilisation de la dérivée
Dans vos cours de mathématiques, vous verrez qu’il y a des formules simples
pour calculer la dérivée. Avec l’exemple qui précède, on peut deviner que la
dérivée d’une puissance est
(3.5)
où A et n sont des constantes. En particulier, la dérivée d’une constante est
nulle. De plus, la dérivée d’une somme est la somme des dérivées :
(3.6)
Les formules de dérivées plus complexes apparaissent dans l’annexe E.
64
CHAPITRE 03 — Le mouvement rectiligne
Le déplacement à partir de la vitesse
Le graphique de la position en fonction du temps permet de trouver la vitesse à
un instant précis : on calcule la pente de la tangente. Il est possible d’effectuer
l’opération inverse : calculer le déplacement à partir du graphique de la vitesse
en fonction du temps.
Pour comprendre la méthode, commençons par le cas le plus simple, lorsque la
vitesse est constante. Le graphique de la vitesse en fonction du temps, illustré à
la figure 3.8a, est une droite horizontale. Dans ce cas précis, la vitesse est égale
à la vitesse moyenne (vx = vmoy,x ), et l’équation 3.2 permet d’écrire
Géométriquement, ceci est l’aire du rectangle, dont la hauteur est vx et la base est Δt.
Lorsque la vitesse varie, on ne peut utiliser directement l’équation précédente.
On peut par contre diviser l’intervalle de temps Δt en petits intervalles réguliers
Δtj, où j = 1, 2, . . . est un indice pour identifier les intervalles. On obtient un
ensemble de petits rectangles, comme cela est fait à la figure 3.8b. Le déplacement correspondant à un petit intervalle de temps Δtj est
c’est-à-dire l’aire du petit rectangle. Pour obtenir le déplacement total, il faut
faire la somme de tous les petits déplacements, donc faire la somme des aires
des petits rectangles. La valeur exacte du déplacement est obtenue en réduisant
au maximum la largeur des petits rectangles : on prend la limite Δtj → 0. Le
déplacement est alors égal à l’aire sous la courbe, illustrée à la figure 3.8c :
(3.7)
Δx = l’aire sous la courbe.
La limite précédente est appelée l’intégrale (symbolisée par ∫ ) et représente
l’aire sous la courbe du graphique de la vitesse en fonction du temps, entre les
temps t i et tf. L’intégrale (l’aire sous la courbe) est l’opération inverse de la dérivée (la pente de la tangente).
(a)
(b)
FIGURE 3.8
(a) Lorsque la vitesse est constante, le déplacement est égal à l’aire du rectangle. (b) Lorsque la vitesse varie, on
divise la courbe en petits rectangles. Un petit déplacement Δx j est égal à l’aire d’un petit rectangle. (c) Le déplacement
total est l’aire sous la courbe, entre t i et tf .
(c)
3.5 — Le mouvement uniforme
MISE EN GARDE
L’aire sous la courbe représente l’aire entre la courbe et l’axe des t.
Lorsque la courbe est sous l’axe des t, l’aire et le déplacement sont
négatifs (voir la figure 3.9).
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 3.4
Le graphique suivant illustre la vitesse en fonction du temps d’un objet,
dont la position initiale est x i = 5,0 m.
(a)
a. Quel est le déplacement ?
b. Où est la particule à 20 s ?
c. Tracez qualitativement le graphique de la position en fonction du temps.
(b)
FIGURE 3.9
3.5
(a) L’aire est positive. (b) L’aire
est négative.
Le mouvement uniforme
Lorsqu’un objet se déplace avec une vitesse constante (module et orientation),
on dit que son mouvement est un mouvement uniforme. Le graphique de la
position en fonction du temps est une droite, comme l’indique la figure 3.10a.
De plus, la vitesse est égale à la vitesse moyenne :
En remplaçant Δx par x f − x i et en isolant x f, on obtient l’équation du mouvement uniforme :
(3.8)
MISE EN GARDE
L’équation 3.8 est une équation valide seulement lorsque la vitesse
est constante.
(a)
(b)
FIGURE 3.10
Les graphiques du mouvement uniforme : (a) la position en fonction du temps ; (b) la vitesse
en fonction du temps.
Équation du mouvement uniforme
65
66
CHAPITRE 03 — Le mouvement rectiligne
EXEMPLE 3.2
Oh ! Le train pour Sainte-Adèle...
Le parc linéaire Le P’tit Train du Nord est une piste cyclable, longue de 200 km, entre
Saint-Jérôme et Mont-Laurier. Alexandra part de Saint-Jérôme (le kilomètre zéro), et Maxime
part de Mont-Laurier (au kilomètre 200). Ils partent en même temps à 8 h 00. Le module
de la vitesse de Maxime est de 25,0 km/h, alors qu’Alexandra roule à une vitesse
dont le module est de 20,0 km/h.
a. À quelle heure vont-ils se rencontrer ?
b. À quelle distance de Saint-Jérôme vont-ils se rencontrer ?
SOLUTION
Illustrer la situation
Le diagramme du mouvement des deux cyclistes
apparaît à la figure 3.11. Nous avons orienté l’axe
des x de Saint-Jérôme vers Mont-Laurier, avec l’origine
à Saint-Jérôme. Nous ajoutons les indices A et M aux
symboles pour différencier les données d’Alexandra
et de Maxime.
Décortiquer le problème
Selon l’orientation de l’axe des x, la vitesse d’Alexandra est positive, alors que la vitesse de Maxime
est négative. Lorsque Alexandra et Maxime se rencontrent, ils ont la même position (xAf = x Mf = x f ).
En se rencontrant, ils ont la même position xAf = x Mf.
Nous obtenons
(iii)
Résoudre le problème
Nous isolons Δt dans l’équation (iii) :
(iv)
ce qui correspond à environ 4 h et 27 min. Comme ils
ont commencé leur randonnée à 8 h 00, ils se rencontrent à
(réponse)
SOLUTION b.
Résoudre le problème
Nous trouvons la position (par rapport à Saint-Jérôme)
en remplaçant le temps trouvé à l’équation (iv) dans
l’équation (i) ou dans l’équation (ii) :
(réponse)
SOLUTION a.
Identifier la clé
La clé est que la position finale des cyclistes est obtenue à l’aide de l’équation 3.8 :
(i)
(ii)
Valider la réponse
La position finale est comprise entre 0 km et
200 km. Selon une carte du parc, on trouve qu’ils
se rencontrent à Mont-Tremblant, à temps pour
le dîner.
FIGURE 3.11
Le diagramme du mouvement d’Alexandra et de Maxime
3.6 — L’accélération
3.6
L’accélération
L’accélération moyenne
La figure 3.12a représente le graphique de la vitesse d’un objet en fonction du
temps. On remarque que la vitesse augmente jusqu’au temps t 1, puis diminue.
L’objet accélère car sa vitesse change. On définit la composante de l’accélération
moyenne dans un intervalle Δt = tf − t i par
(3.9)
Accélération moyenne
Cette définition est analogue à celle de la vitesse moyenne, donnée à l’équation 3.2. À partir du graphique de la vitesse en fonction du temps, on peut
calculer l’accélération moyenne entre un temps initial t i et un temps final tf : on
relie ces points par un segment de droite, l’accélération moyenne est la pente de
ce segment.
Dans le SI, l’accélération se mesure en mètres par seconde au carré (m/s2). Par
définition, une accélération de 1 m/s2 indique que la vitesse change de 1 m/s
chaque seconde. Parfois, on exprime l’accélération en g :
(3.10)
L’accélération instantanée
Pour calculer l’accélération à un instant précis, il faut calculer l’accélération
moyenne pour un intervalle de temps Δt qui tend vers zéro. Ceci donne l’accélération instantanée, qu’on appelle simplement l’accélération :
(3.11)
Dans un graphique de la vitesse en fonction du temps, on détermine l’accélération à un instant en calculant la pente de la tangente qui passe par ce temps. La
figure 3.12b illustre ce procédé.
(a)
(b)
FIGURE 3.12
(a) Pour obtenir l’accélération moyenne entre deux points, on calcule la pente du segment
reliant ces deux points. (b) Pour obtenir l’accélération instantanée en un point, on calcule la
pente de la tangente qui passe par ce point.
Accélération
67
68
CHAPITRE 03 — Le mouvement rectiligne
Il est possible de calculer la variation de vitesse Δvx à partir du graphique de
l’accélération en fonction du temps, de la même manière qu’on a calculé le
déplacement à partir du graphique de la vitesse : on calcule l’aire sous la courbe.
l’aire sous la courbe
EXEMPLE 3.3
(3.12)
L’accélération par la méthode graphique
Le graphique ci-contre illustre la vitesse en fonction du temps d’un
objet qui se déplace le long de l’axe des x. Tracez le graphique de
l’accélération en fonction du temps.
Le graphique de l’accélération en fonction du temps
est le suivant :
SOLUTION
Identifier la clé
Pour obtenir l’accélération à partir du graphique de
la vitesse en fonction du temps, il faut calculer la
pente.
Résoudre le problème
Entre 0 s et 10 s, la vitesse est constante ; l’accélération est nulle. C’est le même résultat entre 40 s
et 50 s. Pour calculer la pente entre 10 s et 40 s, il faut
choisir deux points sur le graphique, par exemple
(10 s ; 4 m/s) et (40 s ; −2 m/s). La pente est
(réponse)
Valider la réponse
En calculant l’aire sous la courbe, nous obtenons
Δvx = (−0,2 m/s2)(40 s − 10 s) = −6 m/s, ce qui correspond aux données de l’énoncé.
3.7
Défi animé 3.1
Tracez les graphiques de position, de
vitesse et d’accélération en fonction du
temps pour un mouvement rectiligne.
Le mouvement uniformément accéléré
Dans plusieurs situations, l’accélération d’un objet est une constante (ou approximativement une constante). Par exemple, lorsqu’une automobile accélère à partir
d’un feu qui change au vert, l’accélération est approximativement constante pendant les premières secondes. De même, lorsque l’automobiliste freine pour s’arrêter au feu rouge suivant, la décélération produite par les freins est constante. Dans
ces situations, on dit que le mouvement est un mouvement uniformément accéléré.
Dans cette section, nous allons trouver des équations algébriques mettant
en relation la position, la vitesse, l’accélération et le temps, dans les situations où l’accélération est constante. Pour démontrer ces équations, nous
commençons par le graphique de l’accélération en fonction du temps. Ce graphique, illustré à la figure 3.13a, montre que la fonction a x (t) est une droite
3.7 — Le mouvement uniformément accéléré
69
horizontale. Selon l’équation 3.12, la variation de vitesse Δv x est donnée par
l’aire sous la courbe :
(3.13)
Pour alléger la notation, nous laissons tomber les indices i et f. Nous allons
plutôt numéroter les instants de façon séquentielle (0, 1, ...). Les données initiales sont dénotées par un indice 0, et les données finales sont dénotées sans
indices. De plus, nous posons que l’étude du mouvement commence à ti = 0.
Le tableau 3.1 donne le changement de notation. L’équation précédente s’écrit
alors, après avoir isolé vx ,
TABLEAU 3.1
Le changement de notation
(3.14)
Cette équation est une équation linéaire : le graphique de la vitesse en fonction
du temps est une droite, dont la pente est a x et l’ordonnée à l’origine est v 0x. Le
graphique de vx(t) est illustré à la figure 3.13b.
Pour obtenir une équation de la position en fonction du temps, on calcule l’aire sous
la courbe du graphique de la vitesse en fonction du temps. Celle-ci peut être divisée en
deux : l’aire d’un rectangle (de hauteur v0x) et celle d’un triangle (de hauteur Δvx = axt) :
En remplaçant Δx par x − x 0 et en isolant x, on obtient
(3.15)
Équation du mouvement
Cette équation montre que la fonction x(t) est une parabole (voir la figure 3.13c).
Le signe de l’accélération donne le sens de la parabole : pour a x > 0, la parabole
est concave vers le haut et pour a x < 0, la parabole est concave vers le bas. L’équation 3.15 est l’équation la plus importante, car elle donne la position en fonction
du temps à partir des données initiales. On l’appelle l’équation du mouvement.
À partir des équations 3.14 et 3.15, on peut trouver deux autres équations.
Ces équations permettront de résoudre des problèmes plus rapidement. Par
exemple, les deux équations précédentes incluent le temps t. Parfois, le temps
n’est pas donné et n’est pas demandé.
(a)
(b)
FIGURE 3.13
Les graphiques du mouvement uniformément accéléré. (a) Le graphique de l’accélération en fonction du temps
est une droite horizontale. (b) Le graphique de la vitesse en fonction du temps est une droite. (c) Le graphique
de la position en fonction du temps est une parabole.
(c)
70
CHAPITRE 03 — Le mouvement rectiligne
On trouve une équation sans le temps en isolant d’abord t dans l’équation 3.14 :
et on insère ce résultat dans l’équation 3.15 :
En regroupant les termes, on obtient
(3.16)
De la même façon, on peut obtenir une équation dans laquelle l’accélération
n’apparaît pas : on isole a x dans l’équation 3.14 et on substitue le résultat dans
l’équation 3.15. L’équation obtenue est la suivante :
(3.17)
La stratégie ci-dessous vous aidera à résoudre les problèmes de mouvement à
accélération constante.
STRATÉGIE 3.1
Le mouvement à accélération constante
Illustrer la situation
Vous devez faire un schéma de la situation, où vous dessinez l’objet et les
principales parties du mouvement, et où vous tracez l’axe des x parallèle
au mouvement. Numérotez par ordre croissant les instants importants. Le
schéma doit être simple ; ne perdez pas de temps à faire une œuvre d’art.
Il est parfois utile de tracer un diagramme du mouvement ou un graphique de la position ou de la vitesse en fonction du temps.
Décortiquer le problème
Créez un tableau où vous indiquez les quantités connues et la quantité
recherchée.
Identifier la clé
La clé se trouve dans l’une des équations suivantes :
(3.14)
(3.15)
(3.16)
(3.17)
Les quantités connues et la quantité recherchée doivent apparaître dans
l’équation. Pour simplifier, on peut placer l’origine à la position initiale
d’un des objets, pour que x 0 = 0 m.
3.7 — Le mouvement uniformément accéléré
71
Résoudre le problème
Isolez la quantité recherchée et remplacez les valeurs connues dans
l’équation.
Valider la réponse
Vérifiez le signe, les unités et l’ordre de grandeur de vos réponses numériques. Vérifiez aussi que vous répondez bien à la question.
EXEMPLE 3.4
On décolle !
Un petit avion a besoin d’accélérer sur une distance
de 400 m pour décoller. L’accélération est constante,
et la vitesse à la fin de l’accélération est de 110 km/h.
a. Quelle est l’accélération ?
b. Calculez le temps de l’accélération.
SOLUTION
Illustrer la situation
SOLUTION a.
Identifier la clé
Le schéma de la situation et le diagramme du mouvement de l’avion sont illustrés à la figure 3.14. Le
point initial est dénoté par 0, et le point final est
dénoté par 1.
Pour obtenir l’accélération à partir des données
connues, la clé est l’équation 3.16 :
REMARQUE
Lorsque vous faites un schéma de la
situation, vous pouvez remplacer l’objet (ici l’avion) par un simple rectangle.
Résoudre le problème
En remplaçant les valeurs, nous trouvons
(réponse)
SOLUTION b.
Identifier la clé
(a)
FIGURE 3.14
(b)
(a) Le schéma de la
situation de l’avion.
(b) Le diagramme du
mouvement de l’avion.
Pour trouver le temps, nous pouvons utiliser l’une
ou l’autre des équations de la stratégie 3.1. L’équation 3.17 est celle qui fait uniquement intervenir les
données connues au départ :
Décortiquer le problème
Nous avons placé l’origine à la position initiale de
l’avion : x 0 = 0,0 m. La vitesse finale de 110 km/h
doit être convertie en mètres par seconde :
Résoudre le problème
En remplaçant les valeurs connues, nous obtenons
(réponse)
Valider la réponse
Nous répondons bien aux questions, les unités sont
correctes, ainsi que les signes.
72
CHAPITRE 03 — Le mouvement rectiligne
EXEMPLE 3.5
Allez-y, c’est vert !
Une motocyclette est arrêtée à un feu rouge. Lorsque le feu passe au vert, le motocycliste accélère avec une accélération constante de 2,50 m/s2. Au même moment,
une automobile dépasse la motocyclette à une vitesse constante de 12,0 m/s.
a. Quel temps est nécessaire à la motocyclette pour rattraper l’automobile ?
b. Quelle est alors la vitesse de la motocyclette ?
SOLUTION
Illustrer la situation
Résoudre le problème
Le schéma de la situation est illustré à la figure 3.15.
D’après le diagramme du mouvement, on remarque
que l’automobile devance d’abord la motocyclette,
mais que celle-ci la rattrape au point x 1.
Décortiquer le problème
Nous utilisons les indices « a » pour l’automobile et
« m » pour la motocyclette.
En rendant les équations (ii) et (iii) égales, nous
obtenons
(iv)
L’équation (iv) a deux solutions : t = 0 et 1,25t − 12,0
= 0. La première est la solution triviale, c’est-à-dire
la solution qui donne le départ (le premier moment
où les deux objets ont la même position). La solution
intéressante est la deuxième :
(réponse)
SOLUTION b.
Identifier la clé
Nous calculons la vitesse finale de la motocyclette
à l’aide de l’équation 3.14 :
SOLUTION a.
Identifier les clés
La première clé est que les deux véhicules ont la
même position lorsque la moto rattrape l’auto :
(i)
(v)
Résoudre le problème
Nous obtenons
La deuxième clé est l’équation du mouvement
(l’équation 3.15) pour chaque véhicule :
(ii)
(iii)
(réponse)
Valider la réponse
La vitesse finale de la moto est plus grande que celle
de l’auto, comme il se doit.
FIGURE 3.15
(a) Le schéma de la situation. (b) Le diagramme du mouvement de la moto et de l’auto.
3.7 — Le mouvement uniformément accéléré
EXEMPLE 3.6
73
Un changement de vitesse
En entrant dans un village, une automobiliste, roulant à 90 km/h, ralentit graduellement
jusqu’à 50,0 km/h en 8,0 s. Elle roule ensuite pendant 30,0 s à cette vitesse.
a. Calculez l’accélération de l’automobiliste lorsque celle-ci arrive dans le village.
b. Calculez le déplacement total durant les 38,0 s.
SOLUTION
Illustrer la situation
La figure 3.16 illustre le schéma de la situation. Il y a
trois instants importants : l’instant initial t 0 = 0 s,
l’instant de la fin de l’accélération t 1 = 8,0 s et l’instant final t 2 = 38,0 s. On place l’origine à la position
initiale de l’automobiliste.
Résoudre le problème
Nous remplaçons les données :
(réponse)
SOLUTION b.
Identifier la clé
La clé est que le mouvement se divise en deux parties. La position au temps t 1 se calcule en utilisant
l’équation 3.17 :
FIGURE 3.16
Le schéma de la situation pour l’exemple 3.6
(i)
Décortiquer le problème
Nous devons diviser le mouvement en deux : entre
le temps t 0 et le temps t 1, il y a une accélération a1x
inconnue ; entre les instants t 1 et t 2, le mouvement
est uniforme, avec a2x = 0,0 m/s2.
À partir du temps t 1, l’accélération est nulle, et le
mouvement est uniforme. Nous trouvons alors x 2 en
utilisant l’équation 3.8, qui est équivalente à l’équation 3.15 avec a x = 0 :
(ii)
Résoudre le problème
Nous calculons la position intermédiaire x 1 en remplaçant les valeurs dans l’équation (i) :
REMARQUE
Lorsque l’accélération change durant le
mouvement, il faut séparer le mouvement
en deux et remplacer t par Δt = t 1 − t 0
ou par Δt = t 2 − t 1, selon la partie du
mouvement.
Avec cette valeur, nous déterminons la position x 2 à
l’aide de l’équation (ii) :
(réponse)
SOLUTION a.
Identifier la clé
Pour calculer l’accélération, nous utilisons l’équation 3.14 entre les temps t 0 et t 1 :
Valider la réponse
L’accélération entre t 0 et t 1 est bien négative. Le déplacement est exprimé en kilomètres pour respecter les
chiffres significatifs.
74
CHAPITRE 03 — Le mouvement rectiligne
L’utilisation de l’intégrale
Nous avons obtenu les équations du mouvement uniformément accéléré en utilisant une méthode graphique. Il est aussi possible d’obtenir ces équations de
façon algébrique en utilisant le calcul intégral. Comme nous l’avons dit précédemment, l’intégrale permet de calculer l’aire sous la courbe et elle correspond
à l’opération inverse de la dérivée :
Étant donné que la dérivée d’une constante est nulle, il faut ajouter une
constante arbitraire C, qu’on nomme constante d’intégration, au résultat
d’une intégrale.
On peut inverser l’équation 3.6. On obtient que l’intégrale d’une somme est la
somme des intégrales :
(3.18)
De même, en inversant l’équation 3.5, on obtient l’intégrale d’une puissance :
(3.19)
où A est une constante (qu’on peut « sortir de l’intégrale »), et n est une constante
différente de −1. Dans le cas où n = −1, vous verrez dans votre cours de mathématiques que
(3.20)
D’autres formules d’intégrales apparaissent à l’annexe E.
Selon l’équation 3.11 de la page 67, l’accélération est la dérivée de la vitesse. On
obtient alors que la vitesse est l’intégrale de l’accélération. Dans un mouvement
rectiligne uniformément accéléré, on obtient
Pour trouver la valeur de la constante d’intégration, on utilise les conditions
initiales, c’est-à-dire le fait qu’à t = 0, vx = v 0x :
ce qui donne l’équation 3.14, la première équation du mouvement uniformément accéléré :
(3.21)
On obtient la deuxième équation du mouvement uniformément accéléré en
calculant de nouveau l’intégrale. En effet, comme la vitesse est la dérivée de la
position, la position est l’intégrale de la vitesse. Dans un mouvement uniformément accéléré, la vitesse est donnée par l’équation 3.21.
3.8 — La chute libre
où est une nouvelle constante d’intégration. Pour obtenir sa valeur, on utilise
la condition initiale : à t = 0, x = x 0. Alors,
Ceci donne bien l’équation 3.15, l’équation du mouvement :
(3.22)
À partir de ces deux équations, on peut obtenir les deux autres à l’aide de l’algèbre. Il est intéressant de remarquer qu’en dérivant l’équation 3.22 par rapport
au temps, on obtient l’équation 3.21.
3.8
La chute libre
Prenons un objet compact, une balle de baseball par exemple. On la lance verticalement vers le haut, comme il est indiqué à la figure 3.17. La balle ralentit
graduellement et atteint une hauteur maximale. À ce point, elle est momentanément immobile. Ensuite, elle redescend, avec une vitesse orientée vers le bas de
plus en plus grande. Le diagramme du mouvement apparaissant à la figure 3.17b
indique que l’accélération est orientée vers le bas pour la trajectoire complète, y
compris le point de hauteur maximale. Si le mouvement ne dure pas trop longtemps, le frottement de l’air peut être négligé et l’accélération est alors constante.
Le mouvement décrit ci-dessus est la chute libre. L’accélération est uniquement
causée par la force gravitationnelle exercée par la Terre sur l’objet (cette force
sera étudiée en détail au chapitre 5). On parle de chute libre lorsque seule la
(a)
(b)
FIGURE 3.17
(a) Une balle est lancée vers le haut. Au point le plus haut, elle est immobile. (b) Le diagramme
du mouvement de la balle indique que l’accélération est constante durant tout le mouvement.
75
76
CHAPITRE 03 — Le mouvement rectiligne
force gravitationnelle agit sur un objet ; il faut que la force de frottement de l’air
soit négligeable. On peut négliger la résistance de l’air lorsque l’objet est compact (une balle, mais pas une feuille de papier) et que le mouvement s’effectue
en un court laps de temps (quelques secondes).
Lorsqu’on fait l’expérience avec des objets différents, on remarque que l’accélération de la chute libre est la même pour tous les objets, quelles que soient leur
masse, leur forme ou leur composition. Cette accélération constante est appelée l’accélération gravitationnelle et on dénote son module par g. Ce résultat
important est le principe d’équivalence ; il a été découvert par le physicien italien Galilée (1564-1642) (voir la figure 3.18) :
Principe d’équivalence de Galilée
Tout corps subit la même accélération dans un mouvement de chute
libre. Cette accélération est orientée vers le bas (le centre de la Terre), et son
module est a = g.
La valeur de g varie légèrement en fonction de la latitude (plus élevée aux pôles)
et de l’altitude (plus élevée au niveau de la mer). Nous reparlerons de cette variation au chapitre 13. Dans ce manuel, nous utilisons la valeur g = 9,81 m/s2.
Pour analyser le mouvement de la chute libre d’un objet, nous devons utiliser
un axe parallèle au mouvement. Dans ce manuel, nous choisissons l’axe des y
orienté vers le haut. Avec ce choix, le vecteur accélération a une composante
négative ay = −g. L’origine de l’axe des y peut être placée de façon arbitraire.
Nous allons habituellement choisir le sol comme origine. Le mouvement de la
chute libre est un mouvement rectiligne à accélération constante, et les équations présentées dans la stratégie 3.1 de la page 70 peuvent être utilisées.
REMARQUE
FIGURE 3.18
Galileo Galilei, dit Galilée : physicien
et astronome italien (1564-1642)
Le symbole g représente le module de l’accélération gravitationnelle.
C’est un nombre positif. Lorsqu’on donne la composante ay, on
ajoute un signe négatif (ay = −g) pour indiquer que le sens est opposé
au sens de l’axe des y lorsque celui-ci est orienté vers le haut.
FIGURE 3.19
Regardons en détail le mouvement de la balle illustré par le diagramme du
mouvement de la figure 3.17b. Lorsque la balle quitte la main, sa vitesse est
orientée vers le haut (v 0y > 0). Quand elle monte, le module de sa vitesse diminue graduellement, ce qui est causé par une accélération vers le bas ay = −g.
Lorsque la vitesse est nulle, la balle est à son point le plus haut. Son accélération
n’est pas nulle : la balle ne demeure pas à cet endroit en flottant dans les airs.
La balle se déplace ensuite vers le bas, avec une vitesse vy < 0. Le module de la
vitesse augmente, ce qui veut dire que la vitesse devient de plus en plus négative.
La figure 3.19 illustre le graphique de la vitesse vy en fonction du temps. Ce
graphique est une droite, dont la pente est ay = −g.
Le graphique de la vitesse en
fonction du temps pour un objet
en chute libre
En résumé, pour résoudre les problèmes de chute libre, on utilise la stratégie 3.1
de la page 70 avec les changements décrits ci-dessous.
• On utilise l’axe des y, orienté vers le haut, plutôt que l’axe des x.
• Les vecteurs , et ont une composante y. On remplace les indices x
par des indices y, et le sens positif des vecteurs est le haut.
• L’accélération est ay = −g = −9,81 m/s2.
3.8 — La chute libre
77
MISE EN GARDE
La composante de l’accélération est ay = −9,81 m/s2 durant tout le
mouvement de la chute libre : la montée, l’arrêt momentané et la
descente. Lorsque l’objet est à sa hauteur maximale, sa vitesse est
nulle, mais son accélération est ay = −g = −9,81 m/s2.
REMARQUE
Lorsqu’on lance un objet, la chute libre commence tout de suite,
au moment où celui-ci quitte la main, et elle se poursuit jusqu’au
moment où l’objet frappe le sol ou qu’il est attrapé. La vitesse initiale
et la vitesse finale ne sont pas nécessairement nulles.
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 3.5
Un enfant lance un caillou vers le haut. Une seconde plus tard, sa sœur
laisse tomber un autre caillou. Quel caillou subit la plus grande accélération, celui qui monte ou celui qui descend ?
EXEMPLE 3.7
Une balle lancée vers le haut
Sam lance une balle verticalement vers le haut, avec une vitesse initiale de 10,0 m/s.
La balle quitte la main de Sam à une hauteur de 1,35 m par rapport au niveau du sol.
a. Quelle est, par rapport au sol, la hauteur maximale atteinte par la balle ?
b. Quelle est la vitesse lorsque la balle se retrouve à 3,00 m par rapport au sol ?
c. Après combien de temps la balle touche-t-elle le sol ?
SOLUTION
Illustrer la situation
La figure 3.20 illustre la situation. La trajectoire a
quatre points importants, numérotés de 0 à 3 : la
position initiale, le point le plus haut de la trajectoire,
le point où la position est de 3,00 m et la position
finale quand la balle touche le sol. Nous choisissons l’axe des y orienté vers le haut, avec le sol
comme origine.
Décortiquer le problème
FIGURE 3.20
Le schéma de la situation pour l’exemple 3.7
SOLUTION a.
Identifier la clé
Pour trouver la position y1, la clé est l’équation 3.16,
car le temps t 1 n’est pas connu :
78
CHAPITRE 03 — Le mouvement rectiligne
Résoudre le problème
Valider la réponse
Nous isolons y1 :
Le module de la vitesse est plus faible que le module
de la vitesse initiale, car la balle est plus haute que la
position initiale.
SOLUTION c.
Identifier la clé
(réponse)
Cette fois-ci, nous utilisons l’équation 3.15 entre les
points 0 et 3 :
Valider la réponse
La hauteur maximale doit être plus élevée que la
position initiale.
Le temps est la racine d’une équation quadratique :
SOLUTION b.
Identifier la clé
Nous utilisons de nouveau l’équation 3.16, mais
cette fois-ci, entre les points 0 et 2 :
La solution négative n’est pas une solution physique :
la balle ne peut arriver au sol avant d’être lancée.
Donc, le temps pour que la balle arrive au sol est
(réponse)
(réponse)
Il y a deux solutions mathématiques. Dans ce cas,
il faut se demander si ces solutions sont des solutions physiquement valables. Dans notre situation,
la balle passe deux fois à la hauteur de 3,00 m : en
montant (avec une vitesse positive) et en descendant (avec une vitesse négative). Les deux solutions
sont donc valables.
EXEMPLE 3.8
Valider la réponse
L’ordre de grandeur et le signe sont corrects.
REMARQUE
Il est inutile de diviser le problème en
deux, soit la montée puis la descente, car
l’accélération est constante durant tout
le mouvement.
Petit délai...
À partir d’un balcon, un homme lance une balle avec une vitesse de 5,50 m/s vers le haut.
Il laisse tomber un caillou après 0,500 s. Calculez le temps entre le lancer de la balle et
l’instant où la distance entre la balle et le caillou est de 2,50 m.
SOLUTION
Illustrer la situation
Le schéma de la situation est illustré à la figure 3.21.
Nous avons identifié trois points importants : le lancer de la balle (0), le moment où le caillou commence à tomber (1) et l’instant où la distance entre
les deux objets est de 2,50 m (2). Par hypothèse,
nous supposons que la balle est au-dessus du caillou. Si nous obtenons une solution insensée, cela
indiquera que notre hypothèse est mauvaise. Nous
avons placé l’origine à la position de départ des
deux objets.
FIGURE 3.21
Le schéma de la situation pour l’exemple 3.8
3.9 — Le mouvement le long d’un plan incliné
79
Décortiquer le problème
(ii)
Nous voulons calculer t 2 pour que
(iii)
Identifier la clé
Résoudre le problème
La clé est l’équation du mouvement (l’équation 3.15)
appliquée à chaque objet, car nous voulons calculer
le temps à partir de positions.
En insérant les équations (i) et (ii) dans l’équation (iii), nous obtenons
Pour la balle,
(réponse)
(i)
Comme la roche est lancée au temps t 1, nous devons
remplacer t par Δt = t 2 − t 1 dans son équation du
mouvement. Nous obtenons
3.9
Valider la réponse
Nous obtenons un temps positif, ce qui indique que
l’hypothèse de départ est bonne. Remarquez que la
réponse finale ne contient que deux chiffres significatifs, car un chiffre a été perdu lorsque nous avons
soustrait 5,50 et 4,905.
Le mouvement le long d’un plan incliné
Un skieur descend une pente glacée. Il subit une accélération, comme le montre
le diagramme du mouvement de la figure 3.22a. Si l’on peut négliger le frottement, on remarque que l’accélération est constante et orientée parallèlement à la
pente. De nouveau, cette accélération est produite par la force gravitationnelle
de la Terre sur le skieur, mais aussi par la pente qui oblige le skieur à suivre
celle-ci. Il est aussi possible d’étudier le mouvement le long d’un plan incliné
dans un laboratoire en utilisant un rail incliné sur lequel glisse un chariot.
Pour analyser le mouvement le long d’un plan incliné, on place l’axe des x parallèlement à la pente. L’accélération gravitationnelle est partiellement annulée
(a)
(b)
FIGURE 3.22
(a) Le diagramme du mouvement d’un skieur qui descend une pente glacée.
(b) Le module de l’accélération est a = g sin θ.
80
CHAPITRE 03 — Le mouvement rectiligne
par la pente ; seule la composante parallèle au plan est non nulle. On voit, selon
la figure 3.22b, que le module de l’accélération est
(3.23)
Module de l’accélération
où g = 9,81 m/s2 est le module de l’accélération gravitationnelle et θ, l’angle du
plan incliné par rapport à l’horizontale.
Peu importe que l’objet se déplace vers le haut ou vers le bas, l’accélération est
orientée vers le bas du plan incliné. L’accélération étant constante, on utilise
la stratégie 3.1 de la page 70, en plaçant l’axe des x parallèlement au plan.
La composante de l’accélération est a x = ±g sin θ ; le signe dépend du sens de
l’axe choisi. Pour le skieur de la figure 3.22a, la composante a x est positive, car
a le même sens que l’axe des x.
EXEMPLE 3.9
Au laboratoire de mécanique
Dans une expérience de physique, on incline un rail de 1,000 m en plaçant un morceau
de bois de 5,00 cm d’épaisseur à son extrémité. À partir du repos, on laisse rouler un chariot
sur une distance de 85,0 cm.
a. Combien de temps dure la descente du chariot ?
b. Quelle est sa vitesse finale ?
SOLUTION
Illustrer la situation
SOLUTION a.
Identifier la clé
Le schéma de la situation apparaît à la fi­
gure 3.23. Comme le montre la figure, l’accélération
est positive, car
est orienté dans le même sens
que l’axe des x.
La clé est l’équation 3.15 nous permettant de cal­
culer le temps :
Résoudre le problème
Nous remplaçons les valeurs et nous isolons t :
FIGURE 3.23
Le schéma de la situation pour l’exemple 3.9
Nous choisissons la valeur positive et nous l’arron­
dissons à trois chiffres significatifs :
Décortiquer le problème
(réponse)
SOLUTION b.
Identifier la clé
La clé pour obtenir la vitesse finale est l’équation 3.14 :
Résoudre le problème
Nous remplaçons les valeurs déjà obtenues et utili­
sons la valeur non arrondie de t :
Le mouvement le long d’un plan incliné est un
mouvement uniformément accéléré avec une
accélération :
(réponse)
Valider la réponse
Le signe et l’ordre de grandeur des réponses sont
valables.
RÉSUMÉ
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
81
RÉSUMÉ
Dans ce chapitre, nous avons appliqué les concepts de base de la cinématique aux objets qui se déplacent en ligne
droite. Nous avons obtenu des relations algébriques entre la position, la vitesse et l’accélération.
LES DÉFINITIONS
Dans le mouvement rectiligne, les vecteurs n’ont qu’une
composante. Lorsque l’axe des x est orienté vers la droite :
Le signe de x indique où est l’objet.
•
• x > 0 : l’objet est à droite de l’origine.
• x < 0 : l’objet est à gauche de l’origine.
•
Le signe de vx indique le sens du mouvement.
• v x > 0 : le mouvement est vers la droite.
• v x < 0 : le mouvement est vers la gauche.
est vers la droite.
• a x < 0 si
est vers la gauche.
•
•
Le signe de ax indique l’orientation du vecteur accélération et non si l’objet accélère ou décélère.
• a x > 0 si
La cinématique donne les relations entre la position x, la
vitesse v x et l’accélération a x.
l’aire sous la courbe
•
•
Le module de la vitesse augmente lorsque v x et a x ont le
même signe ; le module de la vitesse diminue lorsque v x et
a x ont des signes opposés.
•
l’aire sous la courbe
LES RÉSULTATS
Le mouvement uniforme est caractérisé par une vitesse constante
(vmoy,x = v x).
Le mouvement uniformément accéléré est caractérisé par une accélération a x constante.
LES APPLICATIONS
La chute libre est un mouvement
uniformément accéléré vertical.
Le mouvement le long d’un plan incliné est un mouvement uniformément
accéléré.
82
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
Q questions qualitatives • E exercices simples • P problèmes •
solution disponible
Section 3.3 La vitesse moyenne
Section 3.4 La vitesse instantanée
Q1 La figure 3.24 montre le trajet de quatre particules se
Q6 Le graphique de la figure 3.26 donne la vitesse d’une
fourmi se déplaçant parallèlement à l’axe des x orienté vers
déplaçant durant le même temps. En utilisant un ordre croissant (du plus négatif au plus positif), classez les particules
selon :
a. leur vitesse vmoy,x ;
b. leur vitesse scalaire moyenne.
la droite.
a. Dans quel sens se déplace la fourmi au départ ?
b. Le déplacement de la fourmi change-t-il de sens ?
c. Quel est le signe de l’accélération ?
FIGURE 3.26 • Question 6
FIGURE 3.24 • Question 1
E2 Une règle de sécurité en automobile consiste à gar-
der 2,0 s par rapport à l’automobile qui nous précède.
Lorsque vous roulez à 100 km/h, à quelle distance êtesvous de l’automobile devant vous si cette dernière vous
devance de 2,0 s ?
E3 La Terre tourne autour du Soleil sur une orbite quasi
circulaire ayant un rayon de 1,50 × 1011 m. Elle accomplit
une rotation en 365,26 jours (l’année sidérale). Calculez
la vitesse scalaire moyenne de la Terre.
E7 La position d’une particule est donnée par x(t) = 1,50
+ 2,00t − 0,400 t2, où x est exprimé en mètres et t, en
secondes.
a. Quelle est la vitesse moyenne entre 0,00 s et 4,00 s ?
b. Quelle est la vitesse à t = 3,00 s ?
c. À quel instant sa vitesse est-elle nulle ?
E8 La vitesse d’un objet est donnée par le graphique de la
figure 3.27. Calculez la position de l’objet à 50 s si sa position initiale est égale à 10 m.
E4 Au cours d’une randonnée de ski, Mathilde se déplace
sur 10 km à 9,5 km / h, puis pendant 85 min à 10,2 km / h.
Quelle est sa vitesse scalaire moyenne durant toute sa
randonnée ?
P5 La position d’un objet est donnée par le graphique de
la figure 3.25.
a. Calculez la vitesse moyenne entre 0,0 s et 10,0 s.
b. Calculez la vitesse scalaire moyenne entre 0,0 s et 10,0 s.
FIGURE 3.27 • Exercice 8
E9 Le graphique de la figure 3.28 représente la composante x
de la vitesse d’un objet en fonction du temps qui est initialement à l’origine.
a. Trouvez le déplacement de l’objet durant les trois premières secondes.
FIGURE 3.25 • Problème 5
b. À quel instant le mouvement de l’objet change-t-il de sens ?
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
c. Quelle est la vitesse moyenne de l’objet pendant les six
premières secondes ?
d. Tracez qualitativement le graphique de x en fonction de t.
83
Q15 Pour le graphique de la position en fonction du temps
présenté à la figure 3.29, donnez le signe de l’accélération
aux points indiqués.
FIGURE 3.29 • Questions 14, 15 et 16
Q16 Référez-vous au graphique de la position en fonction
du temps présenté à la figure 3.29.
a. Pour quel point le mouvement change-t-il de sens ?
FIGURE 3.28 • Exercice 9
P10 La position d’une particule est donnée par x(t) = −2,5
+ 1,4t − 0,50t 3, où x est exprimé en mètres et t, en secondes.
b. Pour quel point le chien est-il à l’origine ?
c. Qu’est-ce qui se passe au point d ?
Q17 Le graphique de la figure 3.30 représente la position
b. Quelle est la vitesse à t = 2,0 s ?
d’un objet effectuant un mouvement rectiligne le long de
l’axe des x. Déterminez les instants ou les intervalles
de temps pour lesquels :
c. À quel instant la position est-elle maximale ?
a.
d. Quelle est la position maximale de la particule ?
b.
a. Quelle est la vitesse à t = 0,0 s ?
Section 3.5 Le mouvement uniforme
E11 Un cycliste roule pendant 2,00 min à 6,00 m/s vers le
c.
d.
nord. Quel est le module de son déplacement ?
e.
P12 Une course à vélo contre la montre s’effectue sur une
f.
route rectiligne. Yan roule à 37,0 km/h et il commence
le parcours 30,0 s avant Christophe. Ce dernier roule à
38,9 km/h.
a. Combien de temps après le départ de Yan Christophe
va-t-il le rejoindre ?
b. À quelle distance du départ Christophe va-t-il rejoindre
Yan ?
P13 Pour se rendre à la station de ski, Charles roule 90,0 km
en automobile. À l’aller, il se déplace à une vitesse de
75,0 km/h durant la première moitié du temps et à
100 km/h durant la deuxième moitié du temps. Au retour,
il parcourt la moitié de la distance à 100 km/h et l’autre
moitié à 75,0 km/h.
a. Quelle est la vitesse scalaire moyenne pour l’aller ?
b. Quelle est la vitesse scalaire moyenne pour le retour ?
Section 3.6 L’accélération
Q14 La figure 3.29 illustre la position d’un chien en fonc-
tion du temps. Donnez le signe de la vitesse aux points indiqués sur le graphique.
FIGURE 3.30 • Question 17
E18 Durant un entraînement visant à évaluer l’effet
de l’accélération, en 1954 (avant l’invention des mannequins d’essai), le colonel John P. Stapp, de l’armée
américaine, s’est arrêté en 1,4 s alors qu’il filait à une
vitesse de 1 018 km/h. Calculez le module de son accélération moyenne, exprimée en g.
Voir la vidéo sur les expérimentations du colonel
Stapp.
84
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
E19 Le graphique de la figure 3.31 représente la compo-
sante x de la vitesse d’un objet en fonction du temps.
vitesse initiale et le signe de l’accélération constante : (i) (+; +),
(ii) (+; −) (iii) (−; +) (iv) (−; −) Dans quelles situations :
a. Déterminez l’accélération moyenne durant les premières 5,0 s.
a. l’objet croise-t-il nécessairement l’origine ?
b. Calculez l’accélération à t = 2,0 s.
b. le mouvement de l’objet change-t-il de sens ?
c. Tracez qualitativement le graphique de a x en fonction de t.
c. l’objet ne peut-il croiser l’origine ?
E24 Un automobiliste qui arrive dans un village ralentit
de 90,0 km/ h à 50,0 km/h en 6,0 s. Calculez son accéléra-
tion constante.
E25 Un électron, initialement immobile, a une accélération
de 5,9 × 1015 m/s2 sur une distance de 3,0 cm. Quel est le
module de sa vitesse finale ?
E26 Une balle de fusil quitte le canon à une vitesse de
400 m/s. En supposant une accélération constante, calculez le temps que la balle passe dans le canon si celui-ci a une
longueur de 45,0 cm.
FIGURE 3.31 • Exercice 19
E20 À t = 0, une particule se déplace à une vitesse de 2,5 m/s
vers la droite. Après 5,0 s, elle se déplace à une vitesse de
2,0 m/s vers la gauche. Quelle est son accélération moyenne ?
E27 À partir du repos, un cycliste accélère à 1,25 m/s 2
sur une distance de 10,0 m. Combien de temps dure
l’accélération ?
E28 Un automobiliste tente d’éviter une contravention en
E21 La vitesse d’une particule est donnée par le graphique
freinant de 130 km/h à 100 km/h. Ses freins produisent
une accélération dont le module est de 4,00 m/s2.
de la figure 3.32.
a. Quelle est la durée du freinage ?
a. Calculez l’accélération moyenne entre 10 s et 40 s.
b. Quel est le déplacement de l’automobile durant le freinage ?
b. Quelle est l’accélération à 5,0 s ?
E29 Une automobile peut freiner avec une accélération
c. Quelle est l’accélération à 40 s ?
dont le module est de 4,00 m/s2.
a. Calculez la distance de freinage jusqu’à l’arrêt si l’automo bile se déplace à 50,0 km/h.
b. Si l’automobile se déplace à 60,0 km/h, quel est le module
de sa vitesse après avoir freiné sur la distance calculée
dans la partie précédente ?
P30 À partir du repos, un cycliste accélère à 1,10 m/s 2
pendant 8,5 s. Il se déplace ensuite à vitesse constante pendant 60,0 s. Finalement, il s’immobilise en 7,0 s. Calculez
son déplacement total.
P31 Un motocycliste, roulant à 50,0 km/h, accélère sur
FIGURE 3.32 • Exercice 21
P22 La position d’un objet est donnée par l’équation
x(t) = 1,00 − 2,50t − 0,900t 2 + 0,450t 3, où x est exprimé en
mètres et t, en secondes.
a. Calculez la vitesse à t = 1,00 s.
b. Quelle est l’accélération moyenne entre 0,00 s et 1,00 s ?
c. Quelle est l’accélération à t = 0,500 s ?
d. À quel instant l’accélération est-elle nulle ?
Section 3.7 Le mouvement uniformément accéléré
une distance de 105 m. Son accélération est constante
et elle est égale à 5,00 m/s2. Combien de temps dure
l’accélération ?
P32 Dans une expérience de physique, un chariot se déplace
le long d’un rail rectiligne avec une accélération constante.
Pour mesurer le module de sa vitesse, on utilise des portes
optiques distantes de 60,0 cm (voir la figure 3.33). Le chariot est lâché à une certaine distance à gauche de la première
porte optique. Il franchit la distance entre les deux portes en
0,563 s, et le module de sa vitesse vis-à-vis de la deuxième
porte optique est de 1,50 m/s.
Q23 La position initiale d’un objet est x 0 = 5,0 m. On donne
a. Quelle est sa vitesse vis-à-vis de la première porte optique ?
quatre situations différentes, caractérisées par le signe de la
b. Quelle est l’accélération du chariot ?
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
c. Quelle est la distance entre le point de départ et la première
porte optique ?
85
la décélération de l’automobile pour tout juste éviter la
collision.
P38 Très en colère, Homer veut attraper Bart. Celui-ci se
FIGURE 3.33 • Problème 32
trouve initialement à une distance de 3,00 m d’Homer.
Bart, voulant s’enfuir, se met à courir en ligne droite 2,00 s
avant qu’Homer commence sa course. Le graphique de
la figure 3.34 illustre la vitesse de chacun en fonction du
temps. Combien de temps faudra-t-il à Homer pour rattraper Bart ?
P33 Un cycliste roulant à 7,00 m/s voit avec horreur une
portière d’automobile s’ouvrir devant lui, à une distance
de 11,0 m. Son temps de réflexe (le temps pour apercevoir
la portière et actionner les freins) est de 0,400 s.
a. Quelle doit être son accélération pour tout juste éviter
la collision ?
b. En combien de temps franchit-il la distance de 11,0 m ?
P34 Une automobiliste roule à une vitesse constante
de 53,0 km/h dans une zone scolaire où la limite de vitesse
est de 30 km/h. Elle passe devant un policier arrêté. Celuici démarre sa voiture et commence à accélérer à 3,50 m/s2,
0,700 s après que la femme l’a dépassé.
FIGURE 3.34 • Problème 38
a. Combien de temps après avoir dépassé le policier l’automobiliste se fait-elle rattraper ?
Q39 Du haut d’un édifice, une personne lance une balle
b. Quel est le déplacement du policier ?
Section 3.8 La chute libre
vers le haut. Donnez le signe de y 0, de v 0y et de ay selon les
trois axes suivants :
P35 Au cours d’une compétition cycliste, le meneur roule à
une vitesse constante dont le module est de 40,0 km/h. Il
passe vis-à-vis de la banderole « 10,0 km à faire » avec une
avance de 1,50 min, c’est-à-dire que les poursuivants arrivent
à cette banderole 1,50 min plus tard. Lorsque ceux-ci traversent la banderole, ils décident d’accélérer de 40 km/h à
48,0 km/h en 3,00 min.
a. Combien de temps après le passage du meneur sous la
banderole celui-ci se fait-il rattraper par le peloton ?
b. À quelle distance de l’arrivée s’effectue la rencontre ?
P36 Un motocycliste brûle un feu rouge et continue à rouler
à vitesse constante dont le module est égal à 50,0 km/h. Un
policier immobile, bien positionné, se met à sa poursuite
lorsque le motocycliste passe vis-à-vis lui. Le policier accélère à
2,50 m/s2 jusqu’à ce que sa vitesse ait un module de 75 km/h.
Il continue ensuite la poursuite à cette vitesse constante.
(a)
(b)
(c)
Q40 On lance un caillou verticalement vers le haut. Le
caillou passe vis-à-vis de deux fenêtres de même dimension, comme l’indique la figure 3.35. On mesure le
temps pour que le caillou passe devant chaque fenêtre.
a. Pour quelle fenêtre le temps de passage est-il plus long ?
b. Vis-à-vis de quelle fenêtre l’accélération est-elle plus petite ?
a. Combien de temps faut-il au policier pour rattraper le
motocycliste ?
b. Quelle est la distance parcourue par le policier au moment
où il rattrape le motocycliste ?
FIGURE 3.35 • Question 40
P37 Un automobiliste roule à 80,0 km/h sur une route
de campagne. Après un long virage, il aperçoit à 50,0 m
devant lui un tracteur qui ne roule qu’à 20,0 km/h dans le
même sens. Il doit freiner pour éviter la collision, car des
voitures arrivent en sens inverse. Calculez le module de
Q41 À partir d’un pont, un homme lance simultanément une
pierre (A) vers le haut et une pierre (B) vers le bas. On oriente
l’axe des y vers le haut. Tracez qualitativement, sur le même
graphique, les vitesses des pierres en fonction du temps.
86
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
E42 Un glaçon tombe du haut du toit d’un édifice, d’une
P49 Sophie se trouve au troisième étage d’un édifice, et
hauteur de 10,0 m.
Mathieu se trouve au sol. Il lance une balle à une vitesse
de 15,50 m/s vers le haut, à une hauteur de 1,40 m du
sol. Après un temps de 0,500 s, Sophie lance un ballon à
une vitesse de 1,50 m/s vers le bas, à partir d’une hauteur
de 11,0 m par rapport au sol.
a. Quel est le module de la vitesse du glaçon au moment où
celui-ci touche le sol ?
b. Combien de temps dure la chute ?
E43 À quelle vitesse doit-on lancer une balle pour que celle-
ci atteigne une hauteur de 5,00 m ?
E44 Sur un pont, un enfant laisse tomber un caillou. Le
caillou parcourt une distance de 8,7 m avant de toucher
l’eau. Combien de temps dure la chute du caillou ?
E45 Pour effrayer un oiseau, une femme lance un caillou à
une vitesse de 9,74 m/s vers le haut. Le caillou quitte la main
de la femme à une hauteur de 1,60 m. (Les hauteurs sont
mesurées par rapport au sol dans ce problème.)
a. À quelle hauteur du sol les objets vont-ils se rencontrer ?
b. Quelles seront leurs vitesses lorsque les objets vont se
rencontrer ?
P50 Un modèle réduit de fusée accélère vers le haut
à 3,80 m/s2 à partir du sol. Le petit moteur marche pendant 9,40 s avant de tomber en panne. La fusée continue
selon un mouvement de chute libre jusqu’à sa collision avec
le sol.
a. Quelle est la hauteur maximale du caillou ?
a. Quelle est la vitesse de la fusée lorsque celle-ci tombe
en panne ?
b. Combien de temps faut-il au caillou pour que celui-ci
atteigne une hauteur de 5,00 m ?
b. Quelle est son altitude maximale ?
c. À quelle vitesse le caillou touche-t-il le sol ? (La femme
s’est déplacée pour ne pas le recevoir sur la tête.)
P46 Une montgolfière se déplace à une vitesse de 7,50 m/s
vers le haut. Lorsqu’elle est à une altitude de 125 m, un
passager laisse tomber une clé.
a. Quelle est la hauteur maximale de la clé ?
c. Quelle est le temps de vol total ?
P51 On laisse tomber une roche dans un puits. En frappant
l’eau, la roche produit un son qui revient vers la surface à une
vitesse constante de 340 m/s. Le temps entre le début de la
chute et le retour du son est de 1,40 s. Quelle est la distance
parcourue par la roche lorsque celle-ci frappe l’eau ?
b. Après combien de temps la clé touche-t-elle le sol ?
Section 3.9 Le mouvement le long d’un plan incliné
P47 Un parachutiste saute à partir d’un avion et tombe
E52 Au laboratoire, un rail est incliné à 5,0°. Un chariot
en chute libre sur une distance verticale de 75 m. Il ouvre
son parachute et décélère à 1,8 m/s2. Il touche le sol 20 s
plus tard.
est lancé à une vitesse de 1,2 m/s vers le bas du plan.
Quel est le module de la vitesse du chariot après que celui-ci
a parcouru une distance de 1,00 m ?
a. Quelle est la composante verticale de la vitesse du parachutiste lorsque celui-ci ouvre son parachute ?
E53 À partir du repos, un skieur descend une pente glacée,
b. Quelle est la composante verticale de la vitesse du parachutiste lorsque celui-ci touche le sol ?
a. Combien de temps dure sa descente ?
c. Quelle est l’altitude initiale du parachutiste ?
P48 Maxime se trouve au deuxième étage d’un édifice,
et Sarah se trouve au sol. Maxime lance une balle à une
vitesse de 3,50 m/s vers le bas en même temps que Sarah
lance une balle à une vitesse de 7,60 m/s vers le haut. La
hauteur initiale de la balle de Maxime est de 8,00 m,
et la hauteur initiale de la balle de Sarah est de 1,45 m.
a. À quelle hauteur les balles se rencontrent-elles ?
b. Quelle est la vitesse de la balle de Maxime au point
de rencontre ?
c. Quelle est la vitesse de la balle de Sarah au point de
rencontre ?
inclinée à 10,5°. Sa vitesse en bas de la pente est de 11,3 m/s.
b. Quelle est la longueur de la pente ?
E54 Un patineur à roues alignées se déplace à 4,7 m/s
lorsqu’il se retrouve face à un plan incliné qui monte.
Sans patiner, il monte le plan sur une distance maximale de
10,9 m. Quel est l’angle d’inclinaison du plan ?
P55 Un skieur descend une pente glacée, dont la hauteur
est de 7,77 m et l’inclinaison, de 15,0°. En bas de la pente,
la surface horizontale est couverte de neige molle qui ralentit
le skieur à 2,00 m/s2. La vitesse initiale du skieur est nulle.
a. Calculez le module de la vitesse en bas de la pente.
b. Combien de temps dure la descente ?
c. Quelle est la distance totale parcourue par le skieur ?
SOLUTIONS AUX TESTS DE COMPRÉHENSION
87
SOLUTIONS AUX TESTS DE COMPRÉHENSION
3.1 a. amoy,x > 0
L’accélération a le même signe que la vitesse, car le module de la vitesse
augmente ; la vitesse est positive, car le train se déplace dans le même
sens que l’axe des x.
b. amoy,x < 0
L’accélération et la vitesse ont des signes opposés, car le module de
la vitesse diminue ; la vitesse est positive, car le train se déplace dans
le même sens que l’axe des x.
c. amoy,x < 0
L’accélération et la vitesse ont le même signe, car le module de la vitesse
augmente ; la vitesse est négative, car le train se déplace dans le sens
opposé au sens de l’axe des x.
d. amoy,x > 0
L’accélération et la vitesse ont des signes opposés, car le module de la
vitesse diminue ; la vitesse est négative, car le train se déplace dans le
sens opposé au sens de l’axe des x.
3.2 a. Δx (ii) < Δx (iii) < Δx (iv) < Δx (i)
b. d (iii) = d (iv) < d (i) < d (ii)
3.3 a. vmoy,x = 0,00 m/s
b. vscal = 2,076 m/s
3.4 a. Δx = −20 m
Le déplacement se calcule par Δx = x f − x i. Les déplacements sont :
(i) 9 m ; (ii) −13 m ; (iii) −4 m ; (iv) 4 m.
La distance parcourue est un scalaire positif. Comme le mouvement de la
particule ne change pas de sens, d = |Δx|.
La vitesse moyenne se calcule à partir du déplacement. Le déplacement
est nul, car le nageur revient à sa position initiale.
Pour calculer la vitesse scalaire moyenne, on divise la distance parcourue
(100,0 m) par le temps de parcours (48,17 s).
Le déplacement correspond à l’aire sous la courbe :
(−3 m/s)(10 s) + (1 m/s)(10 s) = −20 m
b. x f = −15 m
Pour trouver la position finale, on additionne la position initiale et le
déplacement : x f = x i + Δx.
c.
À t = 10 s, le déplacement est −3 × 10 = −30 m. La position est
x = 5 − 30 = −25 m. De même, à t = 20 s, la position est −15 m.
Entre 0 s et 10 s, la pente du graphique x(t) est constante, et elle est
égale à −3 m/s. Entre 10 s et 20 s, la pente du graphique x(t) est constante,
et elle est égale à 1 m/s.
3.5 Ils ont la même accélération.
Tous les objets compacts ont la même accélération
que les objets montent, qu’ils descendent ou qu’ils soient à leur
hauteur maximale.
Chapitre
88
Le mouvement à
deux dimensions
Buts du chapitre
Dans ce chapitre, on fait l’étude du mouvement dans le plan et dans l’espace.
Après l’étude de ce chapitre, vous serez en mesure :
• d’obtenir les relations générales entre la position, la vitesse et l’accélération ;
• d’analyser le mouvement d’un projectile ;
• d’analyser le mouvement circulaire uniforme et le mouvement circulaire
non uniforme ;
• d’étudier le mouvement relatif.
Préalables
Ce chapitre permet d’intégrer la plupart des notions abordées dans les
chapitres précédents. Revoyez :
• les définitions du déplacement, de la vitesse et de l’accélération, formulées
dans les sections 1.3 à 1.6 ;
• les vecteurs, présentés à la section 2.1 ;
• le mouvement uniformément accéléré, étudié à la section 3.7, et la chute
libre, étudiée à la section 3.8.
89
L’eau issue de la fontaine de
Tourny (située à Québec) suit
une trajectoire courbe à deux
dimensions.
90
CHAPITRE 04 — Le mouvement à deux dimensions
Les mouvements que nous avons analysés au chapitre précédent étaient
limités à une dimension. Cela nous a permis d’obtenir les relations entre
la position, la vitesse et l’accélération, et de représenter le mouvement à l’aide
de graphiques. Ces mouvements à une dimension sont intéressants, mais les
mouvements des objets qui nous entourent sont encore plus riches et plus
complexes. En général, les objets ont des trajectoires dans un plan (mouvement à deux dimensions) ou dans l’espace (mouvement à trois dimensions).
Par exemple, au basketball, lorsqu’on lance un ballon vers un panier, la trajectoire du ballon est une courbe. La même courbe est tracée par un jet d’eau sortant d’une fontaine, comme on le voit sur la photo de la page précédente. Un
autre exemple de trajectoire courbe est celui d’un satellite qui tourne autour
de la Terre ; sa trajectoire forme un cercle.
Dans ce chapitre, nous généralisons les notions présentées au chapitre 3 pour
pouvoir analyser le mouvement à deux dimensions et à trois dimensions. L’ingrédient essentiel est l’algèbre vectorielle, que nous avons vue au chapitre 2.
Nous allons décomposer les vecteurs position, vitesse et accélération selon leurs
composantes ; un mouvement curviligne complexe sera alors remplacé par la
superposition de plusieurs mouvements plus simples.
4.1
La cinématique à deux
et à trois dimensions
Le diagramme du mouvement
Pour commencer, nous allons étudier le mouvement d’une voiture qui se déplace
sur une route de campagne. Celle-ci est horizontale et possède plusieurs virages.
Le diagramme du mouvement de la voiture est illustré à la figure 4.1.
(a)
(b)
FIGURE 4.1
(a) La route empruntée par la voiture. (b) Le diagramme du mouvement de la voiture en circuit fermé.
La construction du diagramme du mouvement est décrite à la section 1.6 :
chaque point représente la position de l’objet à intervalles réguliers ; en reliant
les points, on obtient la vitesse moyenne
; l’orientation de l’accélération
moyenne
est la même que celle de ∆ . Ce diagramme illustre les trois
situations possibles pour l’orientation du vecteur accélération.
4.1 — La cinématique à deux et à trois dimensions
TECHNIQUE 4.1
L’orientation de l’accélération
1. Pour un mouvement rectiligne, l’accélération est parallèle à la vitesse.
Lorsque et ont la même direction, cela indique que le module de
la vitesse change. Dans le présent exemple, au point 1, le module de la
vitesse diminue, et l’accélération est de sens opposé au sens de la vitesse.
2. Lorsque la vitesse change d’orientation mais ne change pas de module,
l’accélération est perpendiculaire au mouvement. Au point 2, le vecteur accélération est orienté vers le centre du virage.
3. Lorsque la vitesse change de module et d’orientation, l’accélération
a deux composantes vectorielles
, comme au point 7 : la
composante est parallèle à et indique la variation du module de
la vitesse ; la composante
est perpendiculaire à et indique la variation de l’orientation de la vitesse.
Ces résultats sont importants pour bien visualiser l’accélération d’un objet
lorsque celui-ci se déplace dans le plan ou dans l’espace.
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 4.1
La figure ci-dessous illustre la vitesse et l’accélération d’un objet. Comment
vont changer sa trajectoire et le module de sa vitesse ?
La position et le déplacement
Le but de la cinématique est de décrire le mouvement des objets. La première
étape consiste à donner la position en fonction du temps pour un objet qui
nous intéresse. Prenons par exemple une particule (comme un joueur de football) qui décrit la trajectoire horizontale illustrée dans la vue en plongée de la
figure 4.2 (en vue de se démarquer et d’attraper une passe). Nous utilisons un
système de coordonnées cartésiennes. La position à un temps t 1 particulier est
FIGURE 4.2
La trajectoire d’une particule qui passe au point 1 au temps t 1 et au point 2 au temps t 2.
91
92
CHAPITRE 04 — Le mouvement à deux dimensions
donnée par le vecteur . Ce vecteur est construit en reliant l’origine à la position
de la particule. Ses composantes sont simplement les coordonnées (x 1 ; y1) du
point, ce qui nous permet d’écrire le vecteur position de la façon suivante :
(4.1)
Position
Le vecteur déplacement indique le changement de position de la particule. Le
vecteur déplacement entre les points 1 et 2 est le vecteur Δ qui relie ces points.
Selon l’équation 1.4, on obtient ce vecteur en calculant la différence des vecteurs position :
(4.2)
Déplacement
Les composantes cartésiennes du déplacement sont Δ x et Δ y respectivement.
On voit que ces composantes sont indépendantes l’une de l’autre.
La vitesse
La deuxième étape de la cinématique consiste à obtenir la vitesse. Au chapitre 1,
nous avons défini la vitesse moyenne d’un objet par l’équation 1.5 : on divise le
déplacement Δ par l’intervalle de temps Δt.
On définit la vitesse de la même façon qu’au chapitre 3, c’est-à-dire en prenant
la limite Δt → 0 :
(4.3)
Lorsqu’on exprime un vecteur selon ses composantes cartésiennes, la dérivée
du vecteur se calcule en prenant la dérivée des composantes cartésiennes :
(4.4)
Vitesse
Étant donné que
ainsi :
, on peut exprimer les composantes de la vitesse
(4.5)
Chaque composante se calcule en dérivant la composante correspondante de la
position. Les deux composantes de la vitesse sont indépendantes l’une de l’autre.
La vitesse moyenne
est un vecteur parallèle au déplacement Δ . La figure 4.3
montre qu’à mesure que l’intervalle de temps Δt diminue, Δ s’approche de la
tangente de la trajectoire. On obtient alors le résultat suivant :
Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire.
4.1 — La cinématique à deux et à trois dimensions
93
Soit θ l’orientation du vecteur , c’est-à-dire l’angle entre et la partie positive
de l’axe des x. L’angle θ est l’orientation du mouvement à cet instant. Les composantes de la vitesse sont données par les expressions :
(4.6)
Composantes de la vitesse
La figure 4.4 illustre ce résultat. En combinant ces deux équations, on obtient
l’orientation du mouvement de l’objet par rapport à la partie positive de l’axe des x:
(4.7)
FIGURE 4.3
FIGURE 4.4
La vitesse de l’objet au point P est
tangente à la trajectoire.
La vitesse est décomposée selon ses
composantes v x et vy à l’aide de θ,
l’orientation du mouvement.
Orientation du mouvement
MISE EN GARDE
La signification de la pente dépend du type de graphique. Au chapitre 3, nous avons vu que la pente du graphique de x en fonction
du temps donne la composante vx. Dans le présent chapitre, les graphiques sont des courbes représentant des trajectoires (y en fonction
de x). La pente donne l’orientation du vecteur vitesse. Cette pente ne
donne pas le module de la vitesse v.
L’accélération
Pour compléter l’étude du mouvement, on a besoin de l’accélération. La figure 4.5 montre la trajectoire dans un plan horizontal d’un objet. La vitesse
est illustrée aux points 1 et 2 : le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire.
Ces points sont séparés par un intervalle de temps Δt. L’accélération moyenne
indique la variation de vitesse dans cet intervalle de temps. Selon
l’équation 1.7,
(4.8)
Le vecteur
a la même orientation que Δ ; on obtient l’orientation de l’accélération par la soustraction vectorielle de et , comme le montre la figure 4.5.
FIGURE 4.5
L’accélération moyenne
les points 1 et 2
entre
94
CHAPITRE 04 — Le mouvement à deux dimensions
Pour obtenir l’accélération instantanée à un instant précis, on calcule l’accélération moyenne pour un intervalle de temps qui tend vers zéro :
(4.9)
Contrairement à la vitesse qui est toujours tangente à la trajectoire, l’accélération a une composante , parallèle à la trajectoire, et une composante ,
perpendiculaire à la trajectoire :
(4.10)
La figure 4.6a illustre cette décomposition. La composante parallèle est parallèle à la vitesse et elle indique de quelle façon le module de la vitesse change. La
composante
est perpendiculaire à la vitesse et elle indique de quelle façon
l’orientation de la vitesse change.
La décomposition de l’accélération donnée à l’équation 4.10 a un désavantage :
à mesure que la particule se déplace, les orientations parallèle et perpendiculaire changent. Pour cette raison, dans certaines situations, il est plus simple
de décomposer le vecteur selon ses composantes cartésiennes. En écrivant
l’équation 4.9 devient
(4.11)
Accélération
Les composantes de l’accélération sont obtenues en dérivant les composantes
de la vitesse :
(4.12)
On remarque de nouveau que les composantes sont indépendantes l’une de
l’autre. La figure 4.6b illustre la décomposition du vecteur selon ses composantes cartésiennes.
(a)
(b)
FIGURE 4.6
La décomposition du vecteur : (a) selon les composantes parallèle et perpendiculaire ; (b) selon
les composantes cartésiennes.
4.1 — La cinématique à deux et à trois dimensions
EXEMPLE 4.1
95
La vitesse et l’accélération
Un mobile se déplace dans le plan des xy selon le vecteur position :
où le temps est mesuré en secondes et la position, en centimètres. À t = 2,5 s,
a. calculez la vitesse ;
c. donnez l’orientation du mouvement ;
b. déterminez le module de la vitesse ;
d. calculez l’accélération.
SOLUTION
Décortiquer le problème
Nous décomposons le vecteur position
composantes cartésiennes.
Résoudre le problème
Nous obtenons
selon ses
(réponse)
SOLUTION c.
Identifier la clé
L’orientation du mouvement est donnée par l’orien­
tation de la vitesse, que nous calculons à l’aide de
l’équation 4.7 :
SOLUTION a.
Identifier la clé
(iii)
La clé pour obtenir le vecteur est de calculer ses
composantes à l’aide de l’équation 4.6 :
(i)
(ii)
Les dérivées ont été calculées à l’aide des équa­
tions 3.6 et 3.5 de la page 63.
Résoudre le problème
Résoudre le problème
L’équation mathématique (iii) a deux solutions :
un angle θ entre 0° et −90° et un angle θ entre 90°
et 180°. Pour choisir la bonne solution, nous tra­
çons le vecteur
à la figure 4.7 ; la composante
vectorielle
est vers la gauche car vx < 0, et la
composante vectorielle
est vers le haut car
vy > 0. Dans notre cas, il faut choisir la deuxième
solution (la composante vx est négative). Nous ajou­
tons 180° au résultat obtenu à l’aide d’une calcula­
trice scientifique :
Nous remplaçons t par sa valeur de 2,5 s :
(réponse)
La vitesse est alors
(réponse)
SOLUTION b.
Identifier la clé
Nous calculons le module d’un vecteur à l’aide de
l’équation 2.4 de la page 31 :
FIGURE 4.7
Nous traçons le vecteur pour
trouver son orientation θ.
96
CHAPITRE 04 — Le mouvement à deux dimensions
SOLUTION d.
Identifier la clé
Résoudre le problème
Nous calculons les composantes de l’accélération en
dérivant les composantes de la vitesse données aux
équations (i) et (ii) :
(iv)
(v)
Nous insérons ensuite la valeur de t = 2,5 s dans
l’équation (v) :
Le vecteur accélération est
(réponse)
Valider la réponse
Nous répondons aux questions : en a., la vitesse est un
vecteur. En d., l’accélération est aussi un vecteur. Nous
avons arrondi les réponses à deux chiffres significatifs.
La cinématique en trois dimensions
Lorsqu’une particule se déplace dans l’espace, on utilise un système de coordonnées en trois dimensions, comme le système cartésien xyz. Il est plus difficile de
visualiser le mouvement, surtout si on veut le tracer sur une feuille. Par contre,
du point de vue mathématique, la description reste simple : on ajoute une composante z aux vecteurs. Les vecteurs décrivant le mouvement ont trois composantes.
Prenons une abeille dont la trajectoire est illustrée à la figure 4.8. Au point 1, sa
position est donnée par le vecteur
et au point 2, sa position
est
. Le déplacement du point 1 au point 2 est
(4.13)
FIGURE 4.8
Une abeille se déplace du point 1 au point 2 le long d’une trajectoire curviligne.
La vitesse de l’abeille en un point est obtenue en dérivant la position :
(4.14)
Cette équation est une généralisation de l’équation 4.4. Étant donné que
on obtient les composantes de la vitesse :
(4.15)
4.2 — Le mouvement uniformément accéléré
Chaque composante est la dérivée de la composante correspondante de
la position. Comme en deux dimensions, le vecteur est toujours tangent à la
trajectoire. La vitesse de l’abeille au point 2 est tracée sur la figure 4.8.
En dérivant la vitesse, on obtient l’accélération :
(4.16)
L’accélération est aussi un vecteur à trois composantes ; chacune des composantes est calculée par la dérivée par rapport au temps de la composante correspondante de la vitesse :
(4.17)
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 4.2
L’abeille de la situation précédente se déplace du point 1 (2 ; −3 ; 5) au
point 2 (−1 ; 6 ; 1), où les coordonnées sont exprimées en mètres. Quel
est son déplacement, exprimé en fonction des vecteurs unitaires ?
4.2
Le mouvement uniformément accéléré
Lorsque l’accélération d’un objet a un module et une orientation constants, les
composantes cartésiennes de l’accélération sont constantes. Comme on l’a déjà
remarqué, les composantes sont indépendantes. Cela permet d’utiliser la stratégie 3.1 de la page 70 pour chaque composante séparément. Les équations 3.14
et 3.15 sont valides pour chaque composante :
composante x
composante y
composante z
(4.18)
(4.19)
REMARQUE
Le mouvement se décompose en trois mouvements indépendants :
la composante x du mouvement n’a aucune influence sur la composante y du mouvement. Cependant, les trois mouvements se font
simultanément, avec le même temps t.
EXEMPLE 4.2
Une fusée miniature
Initialement au repos, un modèle réduit d’une fusée est lancé du sol. Son accélération est
constante et elle est égale à
a. En combien de temps la fusée atteint-elle une hauteur de 100 m par rapport au sol ?
b. Quelle est alors sa vitesse ?
c. Quelle est l’orientation de son mouvement à cet instant ?
97
98
CHAPITRE 04 — Le mouvement à deux dimensions
Le temps doit être positif : la fusée ne peut être à une
hauteur de 100 m avant d’être lancée.
SOLUTION
Illustrer la situation
Le schéma de la situation est illustré à la figure 4.9.
Nous utilisons un système de coordonnées cartésiennes. Nous avons indiqué deux points importants : le point initial 0 (à l’origine) et le point 1 (à une
hauteur de 100 m), sans nous préoccuper des points
intermédiaires.
(réponse)
SOLUTION b.
Identifier la clé
La vitesse est un vecteur. Nous calculons ses composantes à l’aide de l’équation 4.18 :
(ii)
Résoudre le problème
Nous avons calculé le temps t à la partie a. Nous
obtenons
FIGURE 4.9
Le schéma de la situation pour l’exemple 4.2
La vitesse au point 1 est
Décortiquer le problème
On divise le problème selon les composantes x et y :
(réponse)
SOLUTION c.
Identifier la clé
L’orientation du mouvement est donnée par
l’orientation de la vitesse. On trouve l’angle θ1
de la vitesse par rapport à l’horizontale à l’aide de
l’équation 4.7 :
SOLUTION a.
Identifier la clé
L’accélération est constante, ce qui nous permet
d’utiliser la composante y de l’équation 4.19 pour
mettre en relation y1, ay et t :
Résoudre le problème
Nous obtenons
(réponse)
Valider la réponse
Résoudre le problème
En isolant t et en remplaçant les valeurs, nous
obtenons
(i)
Le temps t a une valeur positive, et la vitesse obtenue est un vecteur. L’orientation du mouvement est
bien entre 0° et 90°, comme l’indique le schéma de
la situation.
4.3 — Le mouvement du projectile
4.3
99
Le mouvement du projectile
On appelle projectile un objet qui est lancé de façon oblique. Une fois lancé,
l’objet décrit une courbe. Le mouvement est en deux ou en trois dimensions.
Il est influencé par la force gravitationnelle qu’exercent la Terre et la force de
résistance de l’air. Plusieurs sports nous donnent d’autres exemples : au tennis, la balle que s’échangent les joueurs est un projectile. La trajectoire est une
courbe plus ou moins arquée, selon la vitesse que la raquette imprime à la
balle. Dans les épreuves de lancer du poids et du marteau (voir la figure 4.10),
l’athlète doit lancer un projectile le plus loin possible.
En général, l’air exerce une force, la traînée, opposée à la vitesse du projectile
dans l’air. Cette force ralentit le projectile et diminue son déplacement. L’air
peut aussi produire une force perpendiculaire à la vitesse, qu’on appelle la portance. Cette force augmentera le déplacement du projectile. La portance est la
force permettant aux avions de voler. La force résultante de l’air est complexe ;
elle dépend de la forme et de la vitesse du projectile.
Pour commencer l’étude du mouvement du projectile, on néglige l’effet de l’air.
On étudie seulement l’effet de la force gravitationnelle de la Terre sur le projectile. Cette force s’exerce de la même façon sur tous les objets, quelles que soient
la forme ou la vitesse. On obtiendra une approximation du mouvement réel
d’un projectile. Cette approximation est bonne lorsque l’effet de l’air demeure
petit, c’est-à-dire pour les objets compacts qui se déplacent lentement. Nous
étudierons la force de traînée dans le chapitre 5.
La figure 4.11 montre une balle qui a été lancée à une vitesse , formant un
angle θ0 avec l’horizontale. On a tracé la balle à des instants réguliers, avec sa
vitesse (qui est tangente à la trajectoire). Remarquez que la composante horizontale de la vitesse demeure constante : chaque seconde, la balle parcourt le
même déplacement horizontal. Par contre, la composante verticale de la vitesse
diminue graduellement. Ceci montre que la balle doit subir une accélération
constante orientée vers le bas, sans composante horizontale.
FIGURE 4.11
Une balle est lancée à un angle θ 0. Elle décrit un mouvement parabolique ; la composante vy
varie, mais la composante v x demeure constante.
FIGURE 4.10
Lors du lancer du marteau, le poids
décrit le mouvement du projectile.
100
CHAPITRE 04 — Le mouvement à deux dimensions
Compte tenu du système de coordonnées xy de la figure, l’accélération est
(4.20)
Accélération du projectile
C’est la même accélération que celle obtenue à la section 3.8 lors de l’étude de
la chute libre. L’analyse du mouvement est simplifiée en décomposant le mouvement selon les composantes décrites ci-après.
Le mouvement du projectile peut être divisé en deux mouvements
indépendants :
• la composante horizontale du mouvement est un mouvement uniforme,
avec ax = 0 ;
• la composante verticale du mouvement est un mouvement uniformément
accéléré. Lorsque l’axe des y est orienté vers le haut,
(un mouvement de chute libre).
Les deux mouvements se déroulent en même temps, avec le même t.
La composante horizontale du mouvement
Pour analyser le mouvement d’un projectile, nous utilisons un système de coordonnées cartésiennes orienté selon la convention habituelle. Le projectile est
lancé avec une vitesse initiale , comme il est illustré à la figure 4.11. À partir
de l’orientation initiale θ0, on calcule la composante x de la vitesse initiale :
(4.21)
Comme le montre la figure 4.11, la composante vx est constante, car la composante de l’accélération ax est nulle. On peut dire que la composante x du
mouvement est un mouvement uniforme. La position horizontale est donnée
par l’équation 3.8 :
(4.22)
FIGURE 4.12
La composante x du mouvement de
la balle est un mouvement uniforme.
La figure 4.12 montre les composantes horizontales de la position et de la
vitesse en fonction du temps.
La composante verticale du mouvement
La figure 4.11 montre que la composante y du mouvement est identique au
mouvement de la chute libre : la composante vy diminue graduellement jusqu’à
zéro (le point de hauteur maximal), puis en redescendant, la composante vy
devient de plus en plus négative. L’accélération est
, et la
vitesse initiale est
(4.23)
On utilise les équations du mouvement uniformément accéléré, données dans
la stratégie 3.1 de la page 70 :
(4.24)
(4.25)
4.3 — Le mouvement du projectile
101
(4.26)
(4.27)
La figure 4.13 illustre les graphiques de y en fonction du temps et de vy en fonction du temps pour la balle de la figure 4.11.
L’équation de la trajectoire
Dans plusieurs situations, on veut connaître la trajectoire de la particule, sans
s’intéresser au temps nécessaire. On a alors besoin d’une équation qui met en relation x et y. On peut trouver cette relation en isolant le temps dans l’équation 4.22 :
FIGURE 4.13
La composante y du mouvement
de la balle est un mouvement de
chute libre.
On insère ensuite ce résultat dans l’équation 4.25 :
(4.28)
avec
C’est l’équation d’une parabole concave vers le bas. Cette équation
montre que la courbe de la trajectoire présentée à la figure 4.11 est bien une
parabole. Dans la plupart des cas, on peut placer l’origine pour que x 0 = 0.
Les équations précédentes permettent de résoudre les problèmes relatifs au
mouvement d’un projectile lorsque les effets de l’air sont négligeables. La stratégie à utiliser est la suivante :
STRATÉGIE 4.1
Le mouvement d’un projectile
Illustrer la situation
Vous devez dessiner un schéma de la situation en traçant l’objet avec les points
importants de sa trajectoire. Numérotez ces points de façon séquentielle. Ajoutez un système de coordonnées cartésiennes, en situant clairement l’origine.
Décortiquer le problème
Créez un tableau dans lequel vous inscrirez les données connues. Séparez
le tableau selon les composantes x et y. Lorsque l’axe des y est orienté
vers le haut,
et
pour un projectile.
Calculez les composantes de la vitesse initiale ainsi :
Indiquez aussi les données inconnues.
Équation de la trajectoire
Défi animé 4.1
La résistance de l’air est-elle vraiment
négligeable pour tous les projectiles ?
102
CHAPITRE 04 — Le mouvement à deux dimensions
Identifier la clé
La clé figure parmi les équations suivantes :
composante x
composante y
Lorsque le temps n’est pas important dans le problème, l’équation de la
trajectoire peut être utilisée :
Résoudre le problème
Vous devez résoudre l’équation ou le système d’équations pour trouver
les quantités inconnues.
Valider la réponse
Vérifiez si vous répondez bien à la question, si la réponse est sensée, si
les unités et le signe sont corrects.
EXEMPLE 4.3
Une bille lancée horizontalement
Une bille est lancée sur une table horizontale, d’une hauteur de 1,10 m par rapport au sol.
La bille tombe à une distance horizontale de 2,00 m par rapport au bout de la table.
a. Pendant combien de temps la bille reste-t-elle dans les airs ?
b. Quelle est la vitesse de la bille lorsque celle-ci quitte la table ?
SOLUTION
Illustrer la situation
Le schéma de la situation est illustré à la figure 4.14.
L’origine du système de coordonnées est placée au
sol, vis-à-vis de la position de la bille lorsque celle-ci
perd contact avec la table. La bille effectue un mouvement de projectile.
Décortiquer le problème
La vitesse initiale de la bille a seulement une
composante x, car elle roule sur une table
horizontale.
SOLUTION a.
Identifier la clé
FIGURE 4.14
Le schéma de la situation pour l’exemple 4.3
Le temps apparaît dans la composante x et dans
la composante y du mouvement. Ici, nous avons plus
4.3 — Le mouvement du projectile
d’information dans la composante y. Nous obtenons
le temps à partir de l’équation 4.25 :
103
SOLUTION b.
Identifier la clé
La vitesse initiale est
nous savons
déjà que
Pour calculer la composante v0x, nous utilisons l’équation 4.22 et le temps
calculé précédemment :
Résoudre le problème
Nous pouvons isoler facilement t, étant donné que
Résoudre le problème
Nous obtenons
Nous choisissons la solution positive, car la bille
arrive au sol après son départ :
(réponse)
La vitesse est alors
(réponse)
Valider la réponse
Nous avons trouvé un temps positif, la vitesse initiale
est un vecteur et les unités sont correctes.
La portée, symbolisée par la lettre R, est la distance horizontale franchie par le
projectile. En général, elle dépend de la vitesse initiale du projectile, mais aussi
de la hauteur finale. La figure 4.15 illustre la portée d’une balle.
FIGURE 4.15
La portée R est la distance horizontale parcourue par un projectile. Elle dépend de la hauteur
finale du projectile.
EXEMPLE 4.4
On a golfé sur la Lune
Au cours de la mission Apollo 14 en 1971, Alan Shepard a été le premier golfeur lunaire. La balle a été frappée avec une vitesse dont le module était v0 et
l’orientation, θ0. L’accélération gravitationnelle sur la Lune est g L.
a. Calculez la portée en fonction de v 0 et θ0.
b. Montrez que la portée est maximale pour θ0 = 45,0°.
Défi animé 4.2
L’angle qui permet d’avoir la portée
maximale est-il toujours de 45°, peu
importe la hauteur initiale à laquelle
débute le tir ?
104
CHAPITRE 04 — Le mouvement à deux dimensions
où nous avons utilisé l’identité trigonométrique
SOLUTION
Illustrer la situation
Le schéma de la situation est présenté à la figure 4.16.
Valider la réponse
La réponse est donnée en fonction des données initiales, v0, θ0 et gL. La réponse est positive. Il est intéressant de voir que l’équation de la portée donne le
même résultat pour des angles θ0 complémentaires,
comme le montre la figure 4.17.
FIGURE 4.16
Le schéma de la situation pour l’exemple 4.4.
Décortiquer le problème
FIGURE 4.17
La portée est la même pour des angles
complémentaires.
MISE EN GARDE
SOLUTION a.
Identifier la clé
Comme le temps n’est pas une quantité importante,
nous utilisons l’équation de la trajectoire, avec x = R :
(i)
Résoudre le problème
L’équation (i) peut être écrite de la façon suivante :
(ii)
L’équation obtenue est une équation valable uniquement lorsque y = y0, dans le
cas où le projectile revient à sa hauteur
initiale.
SOLUTION b.
Identifier la clé
La portée est maximale lorsque la fonction sinus
est égale à 1, c’est-à-dire lorsque l’argument du
sinus est égal à 90°. Donc,
(réponse)
L’équation (ii) a deux solutions. R = 0 est la solution triviale, c’est-à-dire la position initiale. La
solution intéressante est obtenue en rendant l’expression entre parenthèses égale à zéro.
Valider la réponse
Voir la vidéo d’Alan Shepard golfant sur la Lune.
REMARQUE
La portée est maximale à θ0 = 45° uniquement lorsque y = y0. Quand la position
finale est y > y0, la portée est maximale
pour θ0 > 45°, tandis que lorsque y < y0,
la portée est maximale pour θ0 < 45°.
(réponse)
4.3 — Le mouvement du projectile
EXEMPLE 4.5
105
Un lancer de trois points
Une joueuse de basketball lance le ballon vers le panier, avec une vitesse
de 9,28 m/s orientée à un angle de 60,0° par rapport à l’horizontale, et réus­
sit à marquer. Le panier se trouve à une hauteur de 3,05 m du sol. Lors du
lancer, la joueuse est à une distance horizontale de 6,80 m du panier.
a. Pendant combien de temps le ballon reste­il dans les airs avant
d’entrer dans le panier ?
b. À quelle hauteur par rapport au sol le ballon est­il lancé ?
c. Quelle est la hauteur maximale du ballon par rapport au sol ?
SOLUTION
Illustrer la situation
SOLUTION a.
Identifier la clé
Le schéma de la situation est illustré à la figure 4.18.
Nous avons identifié trois points importants : le point
initial (point 0), le point de hauteur maximale (point 1)
et le point où le ballon entre dans le panier (point 2).
Le temps apparaît dans les équations des compo­
santes x et y. Ici, il est possible d’obtenir t à partir de
la composante x :
Résoudre le problème
Nous remplaçons les valeurs pour obtenir
(réponse)
Valider la réponse
FIGURE 4.18
Le schéma de la situation pour l’exemple 4.5
Décortiquer le problème
Nous décomposons les vecteurs selon leurs
composantes. Les composantes de la vitesse
initiale sont
Au point le plus haut, la composante v1y est nulle.
L’ordre de grandeur a du sens. Nous avons arrondi la
réponse à trois chiffres significatifs, selon la conven­
tion d’écriture des chiffres significatifs.
SOLUTION b.
Identifier la clé
La composante y de la position initiale se calcule à
l’aide de l’équation 4.25 en utilisant le temps t2 :
Résoudre le problème
Nous trouvons
(réponse)
Valider la réponse
Cette hauteur a du sens.
106
CHAPITRE 04 — Le mouvement à deux dimensions
Nous obtenons
SOLUTION c.
Identifier la clé
Au point 1, le temps est inconnu, mais nous connaissons la composante v1y. Nous utilisons alors l’équation 4.26 :
(réponse)
Valider la réponse
Nous trouvons une hauteur plus grande que celle du
panier.
4.4
Le mouvement circulaire uniforme
Lorsqu’un objet se déplace le long d’un cercle (ou d’un arc de cercle) avec une
vitesse dont le module est constant, on dit qu’il décrit un mouvement circulaire
uniforme. Par exemple, lorsqu’une automobile prend un virage circulaire sans
changer le module de sa vitesse, elle décrit un mouvement circulaire uniforme.
Certains satellites tournent autour de la Terre sur des orbites circulaires. Les
centrifugeuses sont des appareils qui font tourner des objets dans des mouvements circulaires uniformes. On trouve des centrifugeuses autant dans une
cuisine (pour essorer la laitue) que dans des laboratoires médicaux (pour séparer le plasma des globules du sang) ou dans les installations nucléaires (pour
augmenter la concentration de l’uranium 235, l’isotope qui est fissible).
La période et la fréquence
Une particule se déplace le long d’un
cercle de rayon r, avec une vitesse
dont le module v est constant.
La figure 4.19 illustre une particule se déplaçant sur un cercle de rayon r, avec
une vitesse dont le module est constant et égal à v. La vitesse est toujours tangente à la trajectoire, ce qui implique qu’elle est perpendiculaire au rayon du
cercle. La période, symbolisée par la lettre T, représente le temps nécessaire
pour que la particule effectue une révolution. Comme une révolution représente
une distance d’une circonférence 2π r, la période est obtenue par l’expression :
Période
(4.29)
FIGURE 4.19
On définit aussi la fréquence f comme le nombre de révolutions effectuées par
seconde. Cette quantité est l’inverse de la période :
Fréquence
(4.30)
Dans le SI, l’unité de la période est la seconde (la période est un intervalle de
temps). Pour la fréquence, l’unité du SI est le hertz (Hz), en l’honneur du physicien allemand Heinrich Hertz. Selon l’équation 4.30,
(4.31)
Dans la vie courante, la fréquence est souvent exprimée en révolutions
par minute (on utilise parfois l’abréviation anglaise rpm). Dans les
4.4 — Le mouvement circulaire uniforme
107
calculs, il faut habituellement utiliser les unités du SI. On obtient le fac­
teur de conversion :
La distance parcourue
Dans le mouvement circulaire, la distance parcourue est une quantité plus inté­
ressante que le déplacement, car lorsque la particule effectue un nombre entier
de révolutions, elle revient à son point de départ et son déplacement est nul.
Nous allons dénoter par Δs la distance parcourue le long du cercle. Le module de
la vitesse étant constant, on calcule la distance parcourue dans un intervalle
de temps Δt comme on l’a fait pour obtenir le déplacement dans le mouvement
rectiligne uniforme, à l’aide de l’équation 3.8 :
(4.32)
Lorsque la particule se déplace seulement sur un arc de cercle, comme à la
figure 4.20, la distance Δs est reliée à l’angle Δθ de l’arc de cercle :
(4.33)
MISE EN GARDE
L’équation 4.33 est valide uniquement lorsque l’angle Δθ est mesuré
en radians. Si l’angle est exprimé en degrés, vous devez le convertir,
avec 1° = 2π rad/360.
L’accélération centripète
Une particule décrivant un mouvement circulaire uniforme subit une accé­
lération, même si le module de la vitesse est constant. En effet, la vitesse
change d’orientation. Dans l’exemple 1.4 de la page 16, nous avons tracé
le diagramme du mouvement d’une personne dans une grande roue. Le
diagramme du mouvement, qui est illustré de nouveau à la figure 4.21a,
(a)
(b)
FIGURE 4.21
(a) Le diagramme du mouvement d’une particule qui décrit un mouvement circulaire uniforme.
(b) La vitesse est tangente au cercle, et l’accélération est vers le centre.
FIGURE 4.20
Une particule se déplace le long
d’un arc de cercle et parcourt une
distance Δs.
108
CHAPITRE 04 — Le mouvement à deux dimensions
montre que l’accélération est orientée vers le centre du cercle. Pour cette
raison, on l’appelle l’accélération centripète. Le mot centripète veut simplement dire vers le centre.
Durant tout le mouvement, l’accélération
est orientée vers le centre
du cercle, comme l’indique la figure 4.21b. Le module de l’accélération
est constant, et on le dénote par ac pour indiquer qu’il s’agit d’une accélération centripète.
On peut démontrer que le module de l’accélération centripète est
(4.34)
Accélération centripète
On peut aussi exprimer l’accélération centripète en fonction de la période, en
isolant v dans l’équation 4.29 et en remplaçant dans l’équation 4.34. On obtient
(4.35)
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 4.3
La figure ci-dessous montre un objet se déplaçant selon un mouvement
circulaire uniforme dans le sens horaire. Tracez la vitesse et l’accélération
de l’objet, aux points 1 et 2.
La démonstration de l’équation
de l’accélération centripète
Pour démontrer l’équation 4.34, on considère une particule qui décrit un mouvement circulaire uniforme en se déplaçant à vitesse . La trajectoire de l’objet
est illustrée à la figure 4.22, avec la vitesse aux instants 1 et 2. L’accélération est
donnée par l’équation 4.9 :
(4.36)
On ajoute un système de coordonnées cartésiennes, de telle sorte que l’axe
des x divise en deux parties égales l’arc de cercle entre les points 1 et 2. Dans
l’intervalle Δt, la particule décrit un arc de cercle de longueur Δs = r(2θ). Comme
Δs = v Δt, on peut écrire
(4.37)
4.4 — Le mouvement circulaire uniforme
FIGURE 4.22
FIGURE 4.23
Les vitesses
et
qui
permettent de calculer
l’accélération centripète
On montre que l’angle entre le
vecteur et la verticale est θ, car
α et θ sont complémentaires.
La figure 4.23 montre que le vecteur
forme un angle θ par rapport à la verticale. L’angle entre
et la verticale est aussi θ. On calcule les composantes des
vitesses à l’aide de la figure 4.22 :
On remarque qu’en calculant
la composante x est
la composante y est nulle, alors que
L’accélération moyenne est
Pour obtenir l’accélération, il faut prendre la limite
Lorsque
le
point 1 et le point 2 se rapprochent de l’axe des x et l’angle θ tend vers 0. Comme
pour un petit angle, alors
lorsque
Le module de
l’accélération est
Il s’agit bien de l’équation 4.34. L’accélération est orientée en sens opposé de
l’axe des x, c’est-à-dire vers le centre du cercle :
(4.38)
Si la particule est ailleurs sur le cercle, on peut de nouveau choisir
l’axe des x pour que celui-ci coupe en deux parties égales l’arc de cercle
entre deux points rapprochés. Notre démonstration est donc valide de
manière générale.
109
110
CHAPITRE 04 — Le mouvement à deux dimensions
EXEMPLE 4.6
Une petite salade en entrée ?
Pour égoutter la laitue, un cuisinier utilise une essoreuse qui tourne à une fréquence
de 7,20 Hz ; le rayon de l’appareil est de 11,3 cm.
a. Calculez le module de la vitesse de rotation de la laitue dans l’essoreuse.
b. Calculez le module de l’accélération centripète de la laitue.
SOLUTION
Décortiquer le problème
SOLUTION b.
Identifier la clé
Le module de l’accélération centripète est donné par
l’équation 4.34 :
SOLUTION a.
Identifier la clé
Résoudre le problème
Pour calculer le module de la vitesse, nous utilisons
l’équation 4.30 :
(réponse)
Valider la réponse
Résoudre le problème
En remplaçant les valeurs, nous obtenons
(réponse)
EXEMPLE 4.7
Nous trouvons
À première vue, l’accélération semble trop élevée
pour avoir du sens, mais notre réponse est correcte.
En effet, le mouvement circulaire peut produire des
accélérations très élevées.
On oublie trop souvent qu’on est en mouvement
À cause de la rotation de la Terre sur elle-même, tous les objets à sa surface décrivent
un mouvement circulaire uniforme autour de son axe de rotation. La période de rotation
de la Terre est de 23 h 56 min (ce qu’on appelle le jour sidéral). Calculez le module de
l’accélération des objets situés aux endroits suivants :
a. à l’équateur ;
b. au pôle Nord ;
c. à Saint-François-de-l’Île-d’Orléans, dont la latitude est de 47,0°.
SOLUTION
Illustrer la situation
La figure 4.24 illustre la trajectoire d’un objet quelconque situé à la latitude j, sur la surface de la Terre.
Le rayon de la Terre est RT, et le rayon du cercle est r.
FIGURE 4.24
Le schéma de la situation pour
l’exemple 4.7
4.5 — Le mouvement circulaire non uniforme
111
Décortiquer le problème
SOLUTION b.
Le rayon moyen de la Terre est donné à l’annexe D.
Au pôle Nord, la latitude est j = 90,0°, et le rayon du
cercle est nul. Un objet situé exactement à l’un des pôles
ne tourne pas du tout, car il est sur l’axe de rotation. Le
module de l’accélération centripète est donc nul :
(réponse)
Identifier la clé
Nous calculons le module de l’accélération centripète ac à l’aide de l’équation 4.35 :
SOLUTION c.
Résoudre le problème
Le rayon du cercle pour un objet situé à SaintFrançois-de-l’Île-d’Orléans est
(i)
Le rayon dépend de la latitude j. Selon la figure 4.24,
nous obtenons le rayon en utilisant la trigonométrie :
ce qui donne une accélération centripète dont le
module est
(ii)
(réponse)
SOLUTION a.
Résoudre le problème
Il faut exprimer la période en secondes :
Valider la réponse
(iii)
À l’équateur,
les valeurs, nous obtenons
En remplaçant
(réponse)
4.5
L’accélération centripète a un module plus grand
lorsque la latitude est faible, car le rayon du cercle est
alors plus grand et la période est constante. Les accélérations sont orientées vers le centre du cercle, c’està-dire vers l’axe de rotation. C’est une des raisons qui
font que la Terre n’est pas exactement sphérique, mais
qu’elle est légèrement aplatie aux pôles. Nous reviendrons sur ce sujet dans le chapitre 13.
Le mouvement circulaire non uniforme
Lorsqu’un objet se déplace le long d’un cercle (ou d’un arc de cercle) et que sa
vitesse change de module, l’objet décrit un mouvement circulaire non uniforme.
Par exemple, c’est le cas lorsque vous négociez le virage d’une bretelle d’autoroute et que vous appuyez sur l’accélérateur ou sur le frein. On obtient aussi un
mouvement circulaire non uniforme lorsqu’on fait tourner un objet au bout d’une
corde en décrivant un cercle vertical. La figure 4.25 montre un autre exemple de
mouvement circulaire non uniforme, pour les gens aimant les sensations fortes.
La figure 4.26a (voir la page suivante) illustre un objet qui décrit un mouvement
circulaire non uniforme. La vitesse est tangente au cercle, et son module varie. Le
système de coordonnées polaires est bien adapté à la description du mouvement
circulaire. Nous avons vu ce système de coordonnées à la section 2.1 de la page 30.
Les vecteurs unitaires polaires et sont aussi illustrés. Remarquez que l’orientation des vecteurs unitaires varie durant le mouvement. La vitesse a uniquement
une composante tangentielle :
(4.39)
Pour obtenir l’accélération, on doit calculer la dérivée de l’équation 4.39 par
rapport au temps. Il faut tenir compte du fait que vθ varie et que
varie aussi,
FIGURE 4.25
Dans des montagnes russes,
une voiture décrit un mouvement
circulaire non uniforme
112
CHAPITRE 04 — Le mouvement à deux dimensions
car le vecteur unitaire change d’orientation. Le résultat est que l’accélération a
deux composantes dans le mouvement circulaire non uniforme :
(4.40)
(a)
(b)
FIGURE 4.26
Le mouvement circulaire non uniforme. (a) La vitesse et les vecteurs unitaires polaires.
(b) L’accélération et les vecteurs unitaires polaires.
On a tracé l’accélération et les vecteurs unitaires à la figure 4.26b. L’accélération
n’est ni parallèle ni perpendiculaire à la vitesse. Comme on l’a vu à la technique 4.1 de la page 91, la composante de l’accélération parallèle à la vitesse
est responsable de la variation du module de . Dans le présent cas, cette composante est , la composante tangentielle de l’accélération. On peut alors écrire
(4.41)
Cette définition est équivalente aux définitions des composantes cartésiennes de
l’accélération présentées à l’équation 4.12. Le sens de
par rapport à celui
de indique si le module de la vitesse augmente ou diminue :
• Le module de la vitesse augmente lorsque
• Le module de la vitesse diminue lorsque
et
et
ont le même sens.
ont des sens opposés.
L’autre composante de l’accélération est la composante , perpendiculaire à la
vitesse . On voit que c’est la composante radiale
qui joue le rôle consistant
à faire varier l’orientation de . Cette composante est en fait la composante centripète qu’on a obtenue à la section 4.4. La composante centripète est toujours
orientée vers le centre du cercle, et son module est donné par l’équation 4.34. Le
vecteur unitaire est défini afin qu’il soit orienté vers l’extérieur plutôt que vers
le centre. Il faut alors ajouter un signe négatif pour indiquer que l’accélération
radiale (vers le centre) est opposée au vecteur unitaire (orienté vers l’extérieur) :
(4.42)
On obtient l’accélération d’un objet décrivant un mouvement circulaire non
uniforme en fonction des vecteurs unitaires polaires :
Accélération du mouvement
circulaire non uniforme
(4.43)
4.5 — Le mouvement circulaire non uniforme
113
Il est aussi possible d’exprimer l’accélération par son module a et son orientation f par rapport à l’orientation tangentielle (qui correspond à l’orientation de
la vitesse). À l’aide de la figure 4.27, on obtient
(4.44)
Module de l’accélération
(4.45)
Orientation de l’accélération
(par rapport à la vitesse)
Remarquez que lorsque le module de la vitesse est constant,
et l’accélération n’a qu’une composante centripète. On se retrouve alors avec les mêmes
résultats qu’à la section précédente.
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 4.4
Le manège Bateau Pirate de la Ronde effectue un mouvement de vaet-vient le long d’un arc de cercle illustré à la figure ci-dessous. Au
point identifié, le module de la vitesse diminue. Tracez les composantes tangentielle et radiale de l’accélération. À l’aide des ces
composantes, tracez l’accélération.
EXEMPLE 4.8
FIGURE 4.27
Le calcul du module et de l’orienta­
tion de l’accélération
Un virage en faisant du patin
Une enfant patine sur la glace. Elle effectue un grand virage en se laissant aller.
Son accélération durant le virage est illustrée ci-contre. Le module de son
accélération est de 1,50 m/s2, et le rayon de l’arc de cercle est de 10,0 m.
a. Calculez les composantes radiale et tangentielle de son accélération.
b. Quel est le module de sa vitesse ?
SOLUTION
Illustrer la situation
Décortiquer le problème
La figure 4.28 illustre la décomposition de l’accélération selon ses composantes vectorielles polaires :
et .
SOLUTION a.
Identifier la clé
La clé est que l’accélération est un vecteur. Selon la
trigonométrie,
FIGURE 4.28
La décomposition de selon
ses composantes polaires
Un signe négatif a été ajouté à aθ , car la composante vectorielle
est de sens opposé à . En ce
114
CHAPITRE 04 — Le mouvement à deux dimensions
qui concerne ar , la composante est toujours négative, car
est orienté vers l’extérieur alors que
est toujours orienté vers le centre.
Résoudre le problème
SOLUTION b.
Identifier la clé
La clé est donnée par l’équation 4.42. En isolant v,
nous obtenons
Nous remplaçons les valeurs :
(réponse)
Résoudre le problème
À partir du résultat précédent, nous obtenons
(réponse)
Valider la réponse
Les composantes sont plus petites que le module
de l’accélération. Les signes respectent le sens des
composantes vectorielles selon la figure 4.28.
(réponse)
Remarquez que v est positif ; il s’agit d’un module.
Valider la réponse
L’ordre de grandeur est correct.
Le mouvement circulaire à accélération
tangentielle constante
Lorsque l’accélération tangentielle est constante, il est possible d’utiliser les
équations du mouvement uniformément accéléré pour les composantes tangentielles du mouvement, c’est-à-dire
(4.46)
(4.47)
(4.48)
EXEMPLE 4.9
Pour entrer sur la 20
Un automobiliste utilise une bretelle en quart de cercle pour entrer sur l’autoroute. Le module
de sa vitesse augmente régulièrement de 12,0 m/s à 25,0 m/s en 5,20 s.
a. Calculez le module de la vitesse de l’automobile au centre du virage.
b. Calculez le module et l’orientation de l’accélération de l’automobile au centre du virage.
SOLUTION
Illustrer la situation
Dans le schéma de la situation de la figure 4.29,
nous illustrons trois positions importantes : la position initiale (0), la position au centre du virage (1) et
la position à la fin du virage (2).
FIGURE 4.29
Le schéma de la situation pour l’exemple 4.9
4.5 — Le mouvement circulaire non uniforme
115
Décortiquer le problème
(iii)
(iv)
SOLUTION a.
Identifier la clé
Résoudre le problème
La clé est que la composante tangentielle de l’ac­
célération est constante. Nous pouvons alors utiliser
les équations du mouvement uniformément accé­
léré pour cette composante.
Résoudre le problème
Nous calculons d’abord l’acc élération tangentielle à
l’aide de l’équation 4.46 :
(i)
Nous ne connaissons ni le temps pour que l’auto­
mobile se rende au centre du virage (ce n’est pas la
moitié du temps total) ni la distance parcourue Δs1.
Cependant, cette distance est la moitié de la distance
totale Δs2. La distance totale parcourue se calcule à
l’aide de l’équation 4.47 :
Nous avons besoin des composantes tangentielle et
radiale de l’accélération. Pour calculer ar au point 1,
nous utilisons l’équation 4.34 :
(v)
Nous avons besoin du rayon du virage et de la vitesse
au point 1. Pour trouver le rayon, nous remarquons
qu’un quart de cercle correspond à un angle de π/2.
L’équation 4.33 nous donne une relation entre le
rayon et la distance parcourue Δs2 :
(vi)
Nous calculons la composante radiale de l’accéléra­
tion à l’aide des équations (iv) et (v) ainsi que de la
réponse obtenue à la partie a. :
(vii)
(ii)
Nous pouvons finalement calculer le module de
l’accélération :
Nous obtenons le module de la vitesse au point 1, en
utilisant l’équation 4.48, avec
Nous trouvons
(réponse)
et l’orientation
tangentielle :
par
rapport
à
l’orientation
(réponse)
SOLUTION b.
Identifier la clé
Valider la réponse
La clé est qu’on calcule le module de l’accélération à
partir de l’équation 4.44 et de son orientation par rap­
port à la vitesse avec l’équation 4.45 :
Le module est plus grand que les composantes.
L’angle f est supérieur à 45°, car la composante radiale
est plus grande que la composante tangentielle.
116
CHAPITRE 04 — Le mouvement à deux dimensions
4.6
Le mouvement relatif
Jusqu’à présent, nous avons analysé le mouvement des objets à l’aide de systèmes de coordonnées immobiles. Cela signifie que nous avons observé des
objets en mouvement, mais que notre point d’observation était toujours immobile. Il est aussi possible d’observer des objets lorsque nous sommes en mouvement. Par exemple, supposons que vous vous déplacez à bicyclette l’automne et
que vous apercevez une volée de canards. Le mouvement que vous observez est
différent de celui d’un ornithologue immobile. Dans cette section, nous voulons
établir un lien entre les mesures de position et de vitesse que peuvent prendre
des observateurs en mouvement uniforme l’un par rapport à l’autre.
Qu’on soit en mouvement ou immobile, on a besoin d’un point de référence
pour décrire le mouvement d’un objet. On rattache donc un système de coordonnées à ce point de référence. Un référentiel est constitué d’un point de
référence et d’un système de coordonnées. Chaque observateur qui mesure le
mouvement d’un objet a besoin d’un référentiel pour y parvenir. Un référentiel inertiel ou référentiel de Galilée est un référentiel qui se déplace à vitesse
constante. Dans cette section, on suppose que tous les référentiels sont des
référentiels inertiels.
Pour bien illustrer le phénomène, voici un exemple de la vie de tous les jours.
Durant une petite averse, vous utilisez un parapluie, comme à la figure 4.30a.
La vitesse de la pluie est verticale. Vous décidez de courir. Dans votre
référentiel, la vitesse de la pluie n’est plus verticale mais oblique, et vous
devez incliner le parapluie pour ne pas être mouillé (voir la figure 4.30b).
La vitesse de la pluie dépend du référentiel.
(a)
(b)
FIGURE 4.30
(a) La personne est immobile. La pluie a une vitesse verticale par rapport au sol
rapport au sol
, elle doit incliner le parapluie, car la pluie a une vitesse oblique
. (b) Lorsque la personne court à une vitesse par
par rapport à la personne.
Supposons que deux personnes, Ariane et Benoît, observent un pigeon qui vole.
Ariane est assise sur un banc de parc, alors que Benoît se déplace à bicyclette
sur une piste cyclable (il n’est pas recommandé d’avoir la tête dans les nuages
4.6 — Le mouvement relatif
à vélo, particulièrement à l’heure de pointe parmi les voitures). Ariane utilise
le référentiel A immobile, et Benoît utilise le référentiel B en mouvement pour
décrire le mouvement du pigeon P. La figure 4.31 illustre la situation. Selon
cette figure, on voit que les trois vecteurs position forment un triangle, ce qui
représente une somme vectorielle :
(4.49)
L’ordre des indices utilisé ici est important :
veut dire « la position de P
par rapport à A ». Le premier indice représente l’objet et le deuxième, le
point de référence. Remarquez aussi l’ordre des indices dans l’équation 4.49 :
P/A = P/B + B/A. Cette équation est valide si les indices respectent cet ordre.
MISE EN GARDE
Lorsqu’on inverse les indices, on obtient le vecteur opposé :
comme le montre la figure 4.32. Par exemple, si le
professeur est devant le tableau, alors le tableau est derrière lui.
FIGURE 4.31
FIGURE 4.32
Le point P est observé à l’aide du référentiel A
immobile et du référentiel B qui se déplace à
une vitesse
par rapport au référentiel A.
Lorsque les indices sont inversés, le
vecteur est inversé
On obtient la relation entre les vitesses en dérivant l’équation 4.49 par rapport
au temps :
Comme la dérivée de la position est la vitesse, on obtient l’équation
(4.50)
Il est important de respecter l’ordre des indices dans l’équation 4.50. Cette
équation étant une équation vectorielle, on doit utiliser la méthode graphique
ou la méthode des composantes.
On peut aussi trouver une relation entre les accélérations du pigeon mesurées
par Ariane et Benoît en dérivant l’équation 4.50 par rapport au temps :
Transformation des vitesses
117
118
CHAPITRE 04 — Le mouvement à deux dimensions
Cette fois-ci, la dérivée de la vitesse donne l’accélération. De plus, on suppose
que les référentiels sont des référentiels inertiels, c’est-à-dire que
est une
constante. On obtient
(4.51)
Transformation des accélérations
On peut donc formuler le principe suivant :
L’accélération d’un objet en mouvement est la même, quel que soit le
référentiel inertiel.
Nous reviendrons sur ce résultat au chapitre 5 lorsque nous étudierons la relation entre les forces appliquées sur un objet et son accélération.
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 4.5
Le tableau ci-dessous présente les composantes des vitesses mesurées par
Ariane et Benoît lorsqu’ils ont observé le pigeon. Complétez le tableau.
composante x
composante y
EXEMPLE 4.10
3 m/s
–1 m/s
5 m/s
3 m/s
La petite traversée
Simon veut traverser la rivière des Prairies en kayak, de façon perpendiculaire aux rives, de
Montréal à Laval. La largeur de la rivière est de 275 m, et la vitesse du courant est de 1,20 m/s.
Simon se déplace par rapport au courant à une vitesse ayant un module de 3,20 m/s.
a. À quel angle par rapport à l’orientation du courant d’eau Simon doit-il orienter son kayak ?
b. Combien de temps dure la traversée ?
SOLUTION
Illustrer la situation
Le schéma de la situation est illustré à la figure 4.33.
Nous ajoutons un système de coordonnées
cartésiennes avec l’axe des x orienté dans le sens de
la vitesse de l’eau par rapport au sol
, et l’axe
des y est orienté perpendiculairement aux rives.
Décortiquer le problème
Nous décomposons les vecteurs selon leurs composantes cartésiennes. Pour que Simon se déplace perpendiculairement aux rives, il faut que sa vitesse par
rapport au sol ait une composante
FIGURE 4.33
Le schéma de la situation pour l’exemple 4.10
4.6 — Le mouvement relatif
119
SOLUTION a.
Identifier la clé
SOLUTION b.
Identifier la clé
La clé est l’équation 4.50, car l’angle du kayak
est le même que la vitesse de celui-ci par rapport à
l’eau
On décompose cette équation selon les
composantes. Selon le schéma de la situation, l’orientation de
est θ :
La clé est que l’accélération de Simon est nulle.
Son déplacement est parallèle à l’axe des y. Nous
utilisons alors l’équation du mouvement rectiligne
uniforme, obtenue à partir de l’équation 3.8 de la
page 65 :
(iii)
L’ordre des indices est respecté :
(i)
(ii)
Il s’agit d’un système d’équations à deux inconnues
(θ et
).
La largeur de la rivière Δy est une mesure faite dans
le référentiel du sol. Ceci implique que la composante
de la vitesse qui apparaît dans l’équation (iii) est
qui est déterminée à l’aide de l’équation (ii).
Résoudre le problème
À l’aide des équations (iii) et (ii), nous trouvons
Résoudre le problème
(réponse)
Nous pouvons isoler θ à partir de l’équation (i) :
Valider la réponse
(réponse)
Valider la réponse
L’angle se situe bien entre 90° et 180°, comme le
montre le schéma de la situation. Simon pagaie légèrement contre le courant pour se rendre directement
en face de son point de départ.
Nous répondons bien aux questions. L’ordre de grandeur du temps Δt a du sens.
120
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
RÉSUMÉ
RÉSUMÉ
RÉSUMÉ
Dans ce chapitre, nous avons étudié le mouvement curviligne, incluant le mouvement du projectile, le
mouvement circulaire uniforme, le mouvement circulaire non uniforme, ainsi que le mouvement relatif.
LES DÉFINITIONS
Dans le mouvement à deux ou à trois dimensions :
• Le déplacement
indique le changement de position.
Un référentiel est un point de référence avec un système
de coordonnées.
Un référentiel inertiel est un référentiel qui se déplace à
vitesse constante.
• La vitesse est toujours tangente à la trajectoire.
La position, la vitesse et l’accélération d’un point P mesurées dans les référentiels inertiels A et B sont reliées par
• L’accélération indique la variation de vitesse.
indique si le module de la vitesse change et
l’orientation de la vitesse change.
, si
LES RÉSULTATS
Un mouvement uniformément accéléré est un mouvement pour lequel l’accélération
est constante.
LES APPLICATIONS
Le mouvement du projectile
Le mouvement circulaire uniforme
(Le module de la vitesse est constant.)
Un mouvement circulaire non uniforme (Le module de la vitesse change.)
L’accélération a deux composantes :
• Le mouvement horizontal est un
mouvement uniforme, avec ax = 0.
• Le mouvement vertical est un mouvement uniformément accéléré avec
ay = −g = −9,81 m/s2.
• Les deux mouvements sont simultanés, avec le même temps t.
La période T est le temps requis pour
effectuer une révolution. La fréquence f
est le nombre de révolutions par seconde.
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
121
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
Q
Q questions
questions qualitatives
qualitatives •• E
E exercices
exercices simples
simples •• P
P problèmes
problèmes ••
À moins d’avis contraire, l’axe des x est horizontal et
orienté vers la droite, et l’axe des y est vertical et orienté
vers le haut.
Section 4.1 La cinématique à deux et à trois dimensions
Q1 La figure 4.34 montre trois situations où la vitesse et
l’accélération d’un objet sont illustrées. Dans quelle situation :
a. le module de la vitesse augmente-t-il ?
solution
solution disponible
disponible
c. Calculez la vitesse à 1,20 s.
d. Calculez le module de l’accélération à 1,20 s.
P6 Un objet se déplace parallèlement au plan des xy. Sa posi-
tion en fonction du temps est
où les distances sont en mètres, et le temps est en secondes.
a. Quelle est sa vitesse initiale ?
b. Quelle est l’orientation de son mouvement à t = 0,50 s ?
b. le module de la vitesse diminue-t-il ?
c. Quelle est son accélération ?
c. la direction de la vitesse change-t-elle ?
d. la direction de la vitesse demeure-t-elle constante ?
P7 Pour t > 0, une poussière se déplace dans l’atmos-
phère avec une vitesse donnée par
la vitesse est mesurée en millimètres par seconde, et le temps est mesuré en secondes.
a. Donnez l’expression de l’accélération en fonction du
temps.
b. Quelle est l’accélération lorsque la composante v x est
nulle ?
FIGURE 4.34 • Question 1
E2 Un train roule 50 km à 20° au nord de l’est pendant
Section 4.2 Le mouvement uniformément accéléré
30 min. Il roule ensuite 80 km à 40° à l’est du sud pen dant 40 min. Quelle est la vitesse moyenne du train ?
E8 Un voilier, se déplaçant à une vitesse de 3,5 m/s orien-
E3 À t = 0, un objet se trouve à la position
et se déplace à une vitesse
3,2 s, il se trouve à la position
est
Après
et sa vitesse
tée à 10° au sud de l’est, subit une brusque accélération
constante causée par une rafale de vent. Si l’accélération est
égale à 2,3 m/s2 orientée à 40° au nord de l’est et qu’elle
dure 0,80 s, quelle est la nouvelle vitesse du bateau ?
E9 Un objet se trouve à l’origine et il est immobile à t = 0,0 s.
a. Calculez la vitesse moyenne ; exprimez votre réponse en
fonction du module et de l’orientation.
Son accélération est
b. Calculez l’accélération moyenne ; exprimez votre réponse
en fonction du module et de l’orientation.
b. Quelle est sa vitesse à t = 4,0 s ?
E4 À
t
=
à la position
0,
un
objet se trouve à la position
et se déplace à une vitesse
Après 10,5 s, il se trouve
et sa vitesse est
a. Quelle est sa position à t = 4,0 s ?
c. Tracez sa trajectoire entre t = 1,0 s et t = 4,0 s.
E10 Une particule quitte l’origine à t = 0 avec une vitesse
de
Son accélération constante est de
Après un temps t, la particule croise
l’axe des y.
a. Calculez sa vitesse moyenne.
a. Calculez le temps t (autre que le temps initial).
b. Quel est le module de la vitesse moyenne ?
b. Quelle est sa coordonnée y à cet instant ?
c. Calculez l’accélération moyenne.
c. Quelle est sa vitesse à cet instant ?
d. Quel est le module de l’accélération moyenne ?
P11 Au
temps
P5 La position d’une particule se déplaçant horizontalement
est donnée par
où les distances sont exprimées en mètres, et le temps est
en secondes.
initial,
une particule se trouve à
et elle a une vitesse de
Elle subit une accélération
constante de
a. Quelle est sa coordonnée y minimale ?
a. Quel est le déplacement entre 0,00 s et 2,40 s ?
b. Quelle est sa position à cet instant ?
b. Quelle est la vitesse moyenne entre 0,00 s et 2,40 s ?
c. Quel est le module de sa vitesse à cet instant ?
122
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
P12 Un
objet quitte l’origine au temps initial avec
une vitesse
et une accélération constante
a. Calculez le temps nécessaire pour que l’objet atteigne une
position y maximale.
E17 Au baseball, le lanceur lance la balle avec une vitesse
horizontale dont le module est égal à 155 km/h. Le frappeur est situé à une distance de 18,4 m.
a. En combien de temps la balle se rend-elle jusqu’au
frappeur ?
b. À cet instant, quelle est sa position ?
b. Quel est le déplacement vertical de la balle entre le lanceur
et le frappeur ?
c. À cet instant, quelle est sa vitesse ?
E18 Un ballon de soccer est frappé à une vitesse dont le
d. Tracez la trajectoire de l’objet entre t = 0,0 s et t = 4,0 s.
module est de 15,0 m/s et l’orientation, de 25,0° au-dessus
de l’horizontale.
Section 4.3 Le mouvement du projectile
a. Calculez le déplacement après 0,50 s.
Dans cette section, négligez les effets de la résistance de
l’air, même si ce n’est pas justifiable physiquement. Vos
réponses seront des approximations.
b. Calculez le déplacement après 1,00 s.
Q13 Vous lancez une balle avec un angle θ0. Après un cer-
tain temps, sa vitesse est
atteint sa hauteur maximale ?
Q14 On lance un caillou avec une vitesse
La balle a-t-elle
orientée à un
angle θ0, avec 0° < θ0 < 90°.
a. Dans sa trajectoire ascendante, il passe devant deux
fenêtres identiques, comme le montre la figure 4.35. Visà-vis de quelle fenêtre le temps de passage est-il plus long ?
b. Dans sa trajectoire descendante, le caillou passe devant
deux autres fenêtres identiques. Vis-à-vis de quelle fenêtre
le temps de passage est-il plus long ?
P19 Au cours de la mission Apollo 14 en 1971, Alan
Shepard a été le premier golfeur lunaire. Supposez que
la balle franchit 200 m, alors qu’elle était frappée à une
vitesse formant un angle de 30,0° par rapport à l’horizontale. L’accélération gravitationnelle est six fois plus petite
sur la Lune que sur la Terre.
Voir la vidéo d’Alan Shepard golfant sur la Lune.
a. Quel était le module de la vitesse initiale de la balle ?
b. Combien de temps après avoir été frappée, la balle
a-t-elle touché le sol lunaire ?
P20 On lance un projectile à partir du sol avec une vitesse
dont le module est v 0, et son orientation par rapport à
l’horizontale est θ0. Trouvez la hauteur maximale du
projectile.
P21 On lance, à partir du sol, un projectile avec une vitesse
dont le module est de 7,50 m/s et l’orientation, de 35,0°.
Calculez la hauteur maximale du projectile.
P22 Un ballon est frappé à partir du sol à t = 0,0 s. La figure 4.36
illustre le module de sa vitesse en fonction du temps.
a. Quelle est la vitesse initiale du ballon ?
b. Quelle est la portée du ballon ?
FIGURE 4.35 • Question 14
c. Quelle est la hauteur maximale atteinte par le ballon ?
Q15 Trois balles sont lancées successivement vers un
mur situé à une distance d inconnue. Les vitesses initiales sont :
et
Les trois balles frappent le mur à
une hauteur h différente.
a. Classez les trois balles par ordre croissant du temps
de vol.
b. Classez les trois balles par ordre croissant de la hauteur h.
E16 On lance une fléchette avec une vitesse horizontale
sur une cible. La fléchette prend 0,150 s
pour atteindre la cible.
a. Calculez le déplacement vertical de la fléchette.
b. À quelle distance se trouve la cible de la position initiale ?
FIGURE 4.36 • Problème 22
P23 Un enfant s’amuse à lancer un ballon sur le mur de son
école. Il se place à 6,50 m du mur et il lance le ballon à une
vitesse de 9,50 m/s, formant un angle de 41,0° au-dessus
de l’horizontale. Le ballon quitte la main de l’enfant à une
hauteur de 1,00 m au-dessus du sol.
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
a. À quelle hauteur le ballon frappe-t-il le mur ?
b. Quelle est la vitesse du ballon lorsque celui-ci frappe
le mur ?
c. Le ballon a-t-il atteint sa hauteur maximale ?
P24 Une balle a besoin de 3,50 s pour effectuer un dépla-
cement dont la composante horizontale est égale à 35,0 m
et la composante verticale, à 15,0 m. Quelle est la vitesse
initiale ? Exprimez votre réponse en fonction du module
et de l’orientation.
P25 Un ballon est lancé à partir du sol avec une vitesse
de 20,0 m/s selon un angle de 60,0° par rapport à l’horizontale. Quelle est sa vitesse lorsque sa hauteur est de 8,00 m ?
P26 Un avion luttant contre un feu de forêt doit larguer
de l’eau près des flammes. L’avion vole à 90 km/h à une
altitude constante de 180 m. L’eau doit être larguée lorsque
le pilote voit le début de l’incendie à un angle f sous l’horizontale (voir la figure 4.37). Calculez l’angle f.
123
vers un joueur se trouvant à une distance de 85,0 m de la
balle lorsque celle-ci est frappée.
a. Quelle est la distance horizontale parcourue par la balle
lorsque celle-ci arrive au sol ?
b. À quelle vitesse moyenne doit courir le joueur pour pouvoir attraper la balle au niveau du sol ?
P30 Un ballon est frappé à partir du sol. À une hauteur
de 3,70 m, sa vitesse est
a. Quelle est la vitesse initiale du ballon ?
b. Quelle est la hauteur maximale du ballon ?
c. Quelle est la portée du ballon ?
d. À quel angle le ballon frappe-t-il le sol ?
P31 Un bloc de glace initialement immobile se met à glisser le
long d’un toit, comme le montre la figure 4.38. Le bloc glisse
sans frottement sur une distance d = 5,00 m avant de quitter la
bordure du toit, qui se trouve à une hauteur h = 3,50 m.
a. Quelle est la vitesse du bloc lorsque celui-ci quitte le toit ?
b. À quelle distance horizontale de la maison touche-t-il le sol ?
c. Quelle est l’orientation du mouvement du bloc juste avant
que celui-ci touche le sol ?
FIGURE 4.37 • Problème 26
P27 Au volleyball, le filet a une hauteur de 2,43 m et il est
situé à une distance de 9,00 m du serveur. Ce dernier frappe
le ballon à une vitesse de 12,4 m/s, formant un angle de 24,0°
au-dessus de l’horizontale et à une hauteur de 2,20 m.
a. À quelle hauteur au-dessus du filet le ballon passe-t-il ?
FIGURE 4.38 • Problème 31
b. Donnez le module et l’orientation de la vitesse à ce
moment.
P32 Une fusée miniature est lancée du sol. Le moteur de la
c. À quelle distance du filet le ballon frappe-t-il le sol ?
P28 Au football canadien, le botteur tente un placement de la
ligne de 50 verges. Pour réussir, il doit frapper le ballon à partir
du sol, et le ballon doit passer au-dessus d’une barre horizontale d’une hauteur de 3,05 m et à une distance de 50 verges
(45,72 m). Le ballon quitte le sol avec un angle de 48,0°.
a. Quel est le module de la vitesse minimum pour que le
placement soit réussi ?
b. Si le ballon est plutôt frappé à 45,0°, avec le même mo dule de vitesse, à quelle hauteur de la barre le ballon
passe-t-il ?
c. Si le ballon est plutôt frappé à 60,0°, avec le même mo dule de vitesse, à quelle hauteur de la barre le ballon
passe-t-il ?
P29 Au baseball, la balle est frappée d’une hauteur de
90,0 cm à une vitesse de 30,0 m/s, formant un angle
de 70,5° au-dessus de l’horizontale. La balle se dirige
fusée fonctionne pendant 5,00 s avant de tomber en panne.
Lorsque le moteur est en marche, l’accélération de la fusée
est de 2,25 m/s2 à 75,0° par rapport à l’horizontale. Après
la panne, la fusée poursuit un mouvement de projectile
jusqu’au sol.
a. Quelle est la vitesse de la fusée après 2,00 s ?
b. Quelle est la hauteur maximale atteinte par la fusée ?
c. Combien de temps la fusée reste-t-elle dans les airs ?
d. À quelle distance de son point de départ la fusée frappet-elle le sol ?
P33 Au football canadien, un botteur tente un place-
ment de 53 verges ou 48,46 m. Le ballon est frappé à
partir du sol et doit passer au-dessus d’une barre horizontale, située à une hauteur de 3,05 m. Le botteur frappe le
ballon avec une vitesse dont le module est de 23,0 m/s.
Quel intervalle d’angles θ0 du botté, par rapport à l’horizontale, permet de réussir le placement ? (Indice : Utilisez
l’identité trigonométrique
)
124
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
P34 Un sauteur à ski arrive au bout du tremplin à une
E39 Un coureur parcourt un demi-cercle d’une longueur
vitesse dont le module est de 25,0 m/s. Comme le montre
la figure 4.39, la fin du tremplin est horizontale et la pente
suivant le tremplin est inclinée à 30,0°. En négligeant la
résistance de l’air, calculez la distance horizontale parcourue par le sauteur lorsque celui-ci touche le sol. (En réalité,
l’air a un effet important ; les sauteurs placent leurs skis
en V pour mieux flotter dans l’air.)
de 100 m en 21,5 s. Quel est le module de son accélération centripète ?
P40 Une table tournante tourne dans le sens antihoraire
avec une période de 12,0 s. Un petit objet est placé à une
distance de 15,0 cm du centre. À t = 0, l’objet passe par
l’origine O, ce qui est illustré à la figure 4.41. Exprimez les
vecteurs suivants selon leur module et leur orientation par
rapport à la partie positive de l’axe des x.
a. Quelle est la position à t = 2,0 s ?
b. Quelle est la position à t = 3,0 s ?
c. Quelle est la position à t = 6,0 s ?
d. Quel est le déplacement entre t = 6,0 s et t = 12,0 s ?
FIGURE 4.39 • Problème 34
e. Quelle est la vitesse moyenne entre t = 6,0 s et t = 12,0 s ?
f. Quelle est la vitesse à t = 6,0 s ?
Section 4.4 Le mouvement circulaire uniforme
g. Quelle est la vitesse à t = 12,0 s ?
Q35 Trois objets a, b et d décrivent des mouvements circu-
h. Quelle est l’accélération à t = 6,0 s ?
laires uniformes différents.
i. Quelle est l’accélération à t = 12,0 s ?
a. Si va = 2vb et ra = 2rb, quel est le rapport aca/a cb ?
b. Si Ta = 2Td et ra = 2rd, quel est le rapport aca/a cd ?
E36 Le London Eye est une grande roue permettant de
voir la ville de Londres d’un point de vue différent (voir
la figure 4.40). Inaugurée le 31 décembre 1999, cette
grande roue est la plus grande d’Europe avec un diamètre
de 135 m, et sa vitesse de rotation a un module de 26 cm/s.
a. Quelle est la période de rotation ?
FIGURE 4.41 • Problème 40
b. Quel est le module de l’accélération d’un point sur la
circonférence ?
P41 Une automobile, se déplaçant à 18,0 m/s, franchit
un virage en arc de cercle en 5,00 s. Le virage sous-tend un
angle de 30,0°, comme le montre la figure 4.42, et la vitesse
a un module constant. Quelle est l’accélération au centre du
virage ? (Utilisez les vecteurs unitaires cartésiens.)
FIGURE 4.40 • Exercice 36
E37 Un cycliste roulant à 20,0 km/h prend un virage
de 55,0 m de rayon. Quel est le module de son accélération
centripète ?
E38 La Lune tourne autour de la Terre sur une orbite cir-
culaire dont le rayon est égal à 384 × 103 km et la période,
de 27,3 j.
a. Calculez le module de la vitesse de la Lune.
b. Calculez le module de son accélération centripète.
FIGURE 4.42 • Problème 41
P42 Une pierre est attachée à une corde de 45,0 cm de lon-
gueur. Un enfant fait tourner la corde au-dessus de sa tête,
de telle sorte que la pierre effectue un mouvement circulaire
uniforme horizontal à une fréquence de 2,30 Hz. Lorsque
l’enfant lâche la corde, la pierre devient un projectile avec
une vitesse initiale horizontale. Si la pierre a une hauteur
initiale de 1,60 m, quel est le déplacement horizontal de la
pierre quand celle-ci touche le sol ?
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
P43 Une table tournante effectue un mouvement circulaire
dans le sens horaire avec une fréquence de 45,0 tr/min.
Une pièce de monnaie est placée à une distance de 25,0 cm
du centre de la table tournante. À t = 0, la vitesse de la pièce
de monnaie est
Pour t = 0,50 s, calculez :
a. la distance parcourue ;
125
vitesse augmente à un taux constant de 0,350 m/s2, et la
particule effectue plusieurs révolutions.
a. À partir du départ, combien de temps faut-il pour que la
particule effectue deux révolutions ?
b. Quel est le module de la vitesse après deux révolutions ?
b. la vitesse ;
c. Quelle est l’accélération après deux révolutions ? (Utilisez
les vecteurs unitaires polaires.)
c. l’accélération.
P49 Une automobiliste accélère graduellement de 30 km/h
Section 4.5 Le mouvement circulaire non uniforme
à 70 km/h dans un virage, formant un angle de 80,0° ; le
rayon est de 80,0 m.
Q44 Vous roulez en automobile sur l’autoroute. Que
pouvez-vous faire pour accélérer ?
Q45 On attache un objet au bout d’une corde et on le fait
tourner selon un cercle vertical. Le module de la vitesse est
maximal au point le plus bas et minimal au point le plus
haut du cercle.
a. Quelle est l’accélération tangentielle au point le plus bas ?
b. Quelle est l’accélération tangentielle au point le plus haut ?
c. Quelle est l’orientation de l’accélération au point le
plus bas ?
d. Quelle est l’orientation de l’accélération au point le plus
haut ?
E46 L’accélération et la vitesse d’un objet décrivant un
mouvement circulaire sont données à la figure 4.43. Le
module de l’accélération est égal à 2,45 m/s2, et le rayon du
cercle est égal à 5,00 m.
a. Calculez le module de l’accélération centripète.
b. Calculez le module de l’accélération tangentielle.
c. Calculez le module de la vitesse.
a. Calculez le module de l’accélération au milieu du virage.
b. Quelle est l’orientation de l’accélération au milieu du virage ?
Section 4.6 Le mouvement relatif
Q50 Un jeune garçon lance une bille vers le haut lorsqu’il
est dans un train se déplaçant à une vitesse constante. Pour
une personne à côté de la voie ferrée, à quoi va ressembler
la trajectoire de la bille ?
E51 La
pluie tombe doucement à une vitesse de
1,20 m/s verticalement vers le bas. Vous marchez à une
vitesse horizontale dont le module est de 1,50 m/s. À quel
angle devez-vous incliner votre parapluie pour éviter
d’être mouillé ?
E52 Un nageur traverse une rivière en nageant à une vitesse
de 0,500 m/s vers le nord. La rivière a une largeur de 30,0 m
et elle coule à une vitesse de 1,50 m/s vers l’est.
a. Combien de temps faut-il au nageur pour traverser la rivière ?
b. Quel est alors son déplacement ?
P53 Un pêcheur veut traverser une rivière en bateau et
se rendre directement à l’ouest de son point de départ. La
rivière a une largeur de 500 m, et son courant a une vitesse
de 4,0 m/s vers le nord. La vitesse du bateau par rapport à
l’eau a un module de 12,0 m/s.
a. Quelle est l’orientation de la vitesse du bateau par rapport
à l’eau ?
b. Combien de temps dure la traversée ?
FIGURE 4.43 • Exercice 46
E47 À un certain instant dans un virage de 75,0 m de rayon,
une automobile se déplace à une vitesse de 11,5 m/s en freinant, et le module de son accélération centripète est 1,75 fois
plus grand que le module de son accélération tangentielle.
a. Quel est le module de son accélération ?
b. Quelle est l’orientation de son accélération ?
c. Si le module de l’accélération tangentielle est constant,
quel sera le module de sa vitesse après 0,850 s ?
P48 Une particule initialement immobile est accélérée
le long d’un cercle de 12,3 m de rayon. Le module de la
P54 Un pilote d’avion veut se rendre en 80,0 min de la
ville a à la ville b, située à 150 km au nord de la ville a.
Le vent souffle à une vitesse de 50,0 km/h à 25,0° au sud
de l’ouest. Quelle est la vitesse de l’avion par rapport à
l’air ?
P55 Sur un rail, un chariot a et un chariot b sont lancés l’un
vers l’autre, comme on peut le voir à la figure 4.44 à la page
suivante. Jeanne est immobile ; selon ses mesures, le chariot a se déplace à 1,5 m/s et le chariot b, à 2,0 m/s. Durant
cet expérience, Nicolas se déplace par rapport à Jeanne à
une vitesse constante de
a. Quelle est la vitesse du chariot a pour Nicolas ?
b. Quelle est la vitesse du chariot b pour Nicolas ?
126
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
Les deux chariots entrent en collision. Après la collision, Nicolas,
qui n’a pas changé de vitesse, observe que la vitesse du chariot a
est de
et que la vitesse du chariot b est de
c. Quelle est la vitesse du chariot a après la collision,
selon Jeanne ?
d. Quelle est la vitesse du chariot b après la collision,
selon Jeanne ?
P56 Une personne veut traverser une rivière de 260 m de lar-
geur en bateau. Elle veut se rendre en un point situé à 110 m
en aval (voir la figure 4.45). Pour ce faire, elle doit orienter
le bateau à 40,0° par rapport à la direction perpendiculaire
aux rives. La vitesse du bateau par rapport à la rivière est de
8,00 km/h.
a. Calculez le module de la vitesse du courant.
b. Combien de temps va durer la traversée ?
FIGURE 4.44 • Problème 55
FIGURE 4.45 • Problème 56
SOLUTIONS AUX TESTS DE COMPRÉHENSION
127
SOLUTIONS AUX TESTS DE COMPRÉHENSION
4.1 La particule se déplace plus rapide-
ment, et sa trajectoire courbe vers
le haut.
L’accélération a une composante dans le même sens que ce qui fait
augmenter le module de la vitesse. De plus, la composante
est vers le
haut, ce qui indique que la trajectoire va se courber vers le haut.
4.2
Les composantes du vecteur
sont obtenues en calculant la variation
des coordonnées : Δ x = −1 m − 2 m = −3 m, Δ y = 6 − (−3 m) = 9 m et
Δ z = 1 m − 5 m = −4 m.
4.3
La vitesse est tangente au cercle, et son sens indique une rotation horaire.
L’accélération est vers le centre du cercle.
4.4
La composante tangentielle
est dans le sens opposé à la vitesse , car
le module de la vitesse diminue. La composante radiale
est toujours
vers le centre du cercle. L’accélération est obtenue avec la méthode du
parallélogramme.
4.5
x
3 m/s 2 m/s
5 m/s –2 m/s
y
4 m/s –1 m/s
3 m/s 1 m/s
En respectant l’ordre des indices, on peut écrire l’équation 4.50 de
la façon suivante :
Pour la dernière colonne
du tableau, lorsqu’on inverse les indices, on multiplie le vecteur
par
Chapitre
128
Les forces
et la deuxième
loi de Newton
Buts du chapitre
Ce chapitre a pour objet l’étude de la dynamique. Après l’étude de ce chapitre,
vous serez en mesure :
• de comprendre les notions d’inertie, de masse et de force ;
• d’apprendre à tracer un diagramme des forces ;
• de résoudre des problèmes de statique à l’aide de la première
loi de Newton ;
• de résoudre des problèmes de dynamique à l’aide de la deuxième
loi de Newton.
Préalables
Dans ce chapitre, vous allez utiliser les vecteurs et la cinématique. Revoyez :
• les vecteurs à deux dimensions, étudiés à la section 2.1 ;
• l’algèbre vectorielle, présentée à la section 2.3 ;
• le mouvement uniformément accéléré, étudié à la section 3.7.
129
Un skieur prend une position
pour minimiser la force
de traînée.
130
CHAPITRE 05 — Les forces et la deuxième loi de Newton
En utilisant les notions de la cinématique que nous avons étudiées dans
les chapitres précédents, nous pouvons décrire le mouvement des objets,
par exemple dans le cas d’un skieur descendant une pente. Il suffit de tracer le
diagramme de mouvement de l’objet et de relier mathématiquement ou graphiquement les vecteurs position, vitesse et accélération avec le temps. La cinématique nous permet donc de décrire comment les objets bougent, mais elle ne
nous précise pas les causes de ce mouvement. L’étude des causes du mouvement
d’un objet se nomme la dynamique.
Lorsque la vitesse d’un objet change, en module ou en orientation, on sait que
cette variation de vitesse (ou accélération) doit avoir une cause. En effet, l’expérience de tous les jours montre qu’une variation de vitesse est nécessairement
attribuable à une interaction entre l’objet et son environnement. Le skieur est attiré vers le bas de la pente par la force gravitationnelle. La surface de la pente et
la résistance de l’air influencent aussi son mouvement.
C’est Isaac Newton (voir la figure 5.1) qui a formulé les fondements de la dynamique en 1687 dans son ouvrage intitulé Principia*. La mécanique newtonienne repose sur trois principes qu’on appelle les « lois de Newton », la notion
principale étant la force. Dans ce chapitre, nous verrons comment les forces
exercées sur un objet influencent son mouvement. Nous continuons à étudier le
mouvement de translation, ce qui implique que nous remplaçons les objets par
des particules, sans forme précise. Les situations où des objets interagissent,
c’est-à-dire qu’ils exercent des forces l’un sur l’autre, seront examinées dans le
chapitre 6.
FIGURE 5.1
Isaac Newton : physicien et mathématicien anglais (1642-1727)
La dynamique newtonienne ne s’applique pas à toutes les situations. Lorsque
les objets en interaction ont des vitesses qui se rapprochent de la vitesse de la
lumière, on doit remplacer la dynamique newtonienne par la théorie de la relativité d’Einstein, qui s’applique à toutes les vitesses. Si les corps qui interagissent
sont à l’échelle de la structure atomique (par exemple des électrons à l’intérieur
d’un atome), on a recours à la mécanique quantique. Ces deux théories seront
étudiées dans le tome 3.
5.1
La force
Pour changer le mouvement d’un objet, il faut le pousser ou le tirer. Il faut pousser un clou avec un marteau pour qu’il s’enfonce dans un morceau de bois. Une
locomotive tire sur les wagons pour les faire avancer. La poussée et la traction
sont deux exemples de force. On définit la force de la façon suivante :
Force
Une force est une action d’un agent sur un objet.
Cette définition est très importante. Examinons en détail chacun de ses éléments. Comme exemple, prenons un joueur de soccer qui frappe un ballon dans
les airs ; ce mouvement est appelé « la bicyclette » (voir la figure 5.2).
* On peut trouver une version française de Principia dans l’ouvrage de Stephen HAWKING,
Sur les épaules des géants, Paris, Dunod, 2003, 934 p.
5.1 — La force
131
La force est une action, c’est-à-dire une poussée ou une traction. Par exemple,
une force peut être la poussée exercée par votre pied sur un ballon afin de le
projeter au loin ou bien la traction exercée par une locomotive sur un wagon.
Une force agit sur un objet. Une poussée ou une traction agit toujours
sur un objet, comme la poussée qui agit sur le ballon ou encore la traction
qui agit sur les wagons. On dit que la force est exercée sur un objet. Il peut
y avoir plusieurs forces qui sont exercées simultanément sur le même objet.
Une force est produite par un agent. L’agent est celui qui cause la force
et qui est responsable de cette force. Cet agent est toujours un autre objet
que celui sur lequel la force agit. Par exemple, la force agissant sur le ballon
(l’objet) est produite par le pied (un autre objet) qui est donc l’agent. Chaque
force qui s’exerce sur un objet possède toujours un agent. Vous devez toujours être en mesure d’identifier l’agent qui produit la force sur un objet.
La trajectoire du ballon de la figure 5.2 dépend de l’intensité du coup de pied,
mais aussi de l’orientation donnée par le pied. La force du pied sur le ballon a un
module et une orientation. La force possède les caractéristiques d’une quantité
vectorielle. Pour confirmer cette affirmation, il faut vérifier que la force obéit
à l’algèbre vectorielle. Prenons par exemple une caisse sur une surface glacée.
On tire la caisse comme à la figure 5.3a, en exerçant deux forces
et (voir
la figure 5.3b). Le mouvement de la caisse sera le même si on remplace les
deux forces par la force résultante, dénotée
, comme le montre la figure 5.3c. La force est bien une quantité vectorielle : lorsqu’un objet est soumis
à plusieurs forces , , ..., le résultat est le même que s’il est soumis à la force
résultante
, qu’on obtient en calculant la somme vectorielle :
(5.1)
FIGURE 5.2
Lorsqu’on frappe un ballon, le pied
exerce une force sur le ballon.
Force résultante
Une seule force, la force résultante, caractérisée par son module et son orientation, a exactement le même effet sur l’objet que l’ensemble des forces individuelles. Cette caractéristique de pouvoir remplacer toutes les forces appliquées
sur un objet par une seule porte le nom de principe de superposition des forces.
La force résultante sur la boîte de la figure 5.3a est représentée à la figure 5.3c.
Comme tous les autres vecteurs, une force ou une force résultante possède une
ou des composantes qui dépendent du système de coordonnées choisi.
FIGURE 5.3
(a) Deux forces exercées sur une boîte. (b) La représentation des forces. (c) La représentation de la force résultante.
132
CHAPITRE 05 — Les forces et la deuxième loi de Newton
Il reste maintenant à utiliser un étalon pour obtenir l’unité de la force. On
sait qu’une force peut mettre en mouvement un objet initialement au repos ;
la force provoque l’accélération de l’objet. Le système international (SI) se
base sur ce fait pour définir l’unité de force newton, dont l’abréviation est N.
Sur une surface sans frottement, on prend un objet dont la masse est de 1 kg,
c’est-à-dire une copie parfaite de l’étalon illustré dans la figure 1.21 (voir la
page 19). On exerce sur lui une force de telle sorte qu’on arrive à lui imprimer,
par tâtonnements, une accélération mesurée de 1 m/s2. Cette force a alors un
module de 1 N. Les nombreuses expériences indiquent que si on multiplie
la force par un certain facteur, l’accélération est multipliée par exactement le
même facteur.
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 5.1
Les figures ci-dessous montrent deux situations où deux forces sont appliquées sur un objet. Tracez la force résultante dans chacun des cas.
5.2
Un répertoire de forces
Cette section est une introduction à quelques types de forces qui sont souvent
considérées dans le domaine de la mécanique. Il convient de bien connaître les
caractéristiques de ces forces dans la résolution de problèmes de dynamique.
Ces forces se divisent en deux catégories. Les forces de contact sont les forces
où l’agent doit avoir un contact avec l’objet pour que la force s’exerce. Lorsqu’on
pousse une porte, on doit avoir un contact avec la porte.
Pour certaines forces, le contact entre l’agent et l’objet n’est pas nécessaire pour
que la force s’exerce. Ce sont des forces à distance. En mécanique, la force
gravitationnelle est la force à distance que l’on va rencontrer très souvent. Un
autre exemple simple est la force magnétique exercée par un aimant sur un objet
aimanté : un aimant peut pousser ou tirer un autre aimant sans y toucher.
La force gravitationnelle
La force gravitationnelle , aussi appelée « force de gravité », est la force à distance qui tire vers le sol un objet qui tombe (voir la figure 5.4a). La force gravitationnelle agit également sur les objets au repos (voir la figure 5.4b) ou sur les
objets en mouvement qui reposent sur le sol (voir la figure 5.4c).
Dans les premiers chapitres de ce manuel, on ne traite pas de la nature de cette
force et, en général, on examine des situations où les objets sont près de la surface de la Terre (ou d’une autre planète). La forme générale de cette force sera
étudiée à la section 7.2.
5.2 — Un répertoire de forces
FIGURE 5.4
(a) Un objet en chute libre. (b) Un objet au repos sur le sol. (c) Un objet glisse le long d’un plan
incliné. Dans les trois cas, la force gravitationnelle
attire les objets vers le centre de la Terre.
On définit la force gravitationnelle
qui s’exerce sur un objet comme l’attraction vers le centre de la Terre ou d’un autre objet. Ainsi, lorsqu’il est question de
la force gravitationnelle qui s’exerce sur un objet, il s’agit d’une force qui le tire
toujours vers le centre de la Terre – c’est-à-dire directement vers le bas, comme
l’illustrent les trois situations de la figure 5.4. L’agent de la force gravitationnelle est la sphère terrestre au complet ; c’est toute la Terre qui attire l’objet, pas
seulement le sol. Cette force est appliquée sur toutes les parties de l’objet ou, de
façon équivalente, elle est appliquée au centre géométrique de l’objet lorsqu’un
objet a une masse volumique uniforme.
Le module de la force gravitationnelle est proportionnel à la masse de l’objet
(qui sera définie à la section 5.5) et à l’accélération gravitationnelle g. La force
gravitationnelle est
(5.2)
Force gravitationnelle
Nous allons reparler en détail de la force gravitationnelle exercée par la Terre
sur les objets à la section 5.7. Nous allons aussi étudier la forme générale de la
force gravitationnelle au chapitre 7.
La force élastique
Les ressorts exercent des forces sur les objets placés à leurs extrémités lorsqu’ils
sont étirés ou comprimés. La force qu’exerce un ressort est une force de contact
qu’on appelle force élastique. Un ressort étiré tire sur l’objet (voir la figure 5.5b
à la page suivante), alors qu’un ressort comprimé pousse sur l’objet (voir la
figure 5.5c à la page suivante).
On trouve expérimentalement que le module de la force est proportionnel à la
déformation du ressort ∆L, c’est-à-dire à la variation de sa longueur par rapport
à sa longueur naturelle :
(5.3)
La direction de la force élastique est toujours parallèle au ressort, et son sens dépend
du type de déformation : un ressort comprimé pousse l’objet et un ressort étiré tire
l’objet. Pour cette raison, la force élastique est une force de rappel. La constante k
est appelée la constante de rappel ou constante d’élasticité du ressort. Dans le SI,
Force élastique (loi de Hooke)
133
134
CHAPITRE 05 — Les forces et la deuxième loi de Newton
FIGURE 5.5
(a) Le ressort est à sa longueur naturelle. Il n’exerce pas de force. (b) Le ressort est étiré ; il tire l’objet vers
la gauche. (c) Le ressort est comprimé ; il pousse l’objet vers la droite.
elle est mesurée en newtons par mètre (N/m). Un ressort très rigide (comme celui
d’une suspension d’automobile) a une constante de rappel très élevée, alors qu’un
ressort peu rigide (comme un Slinky) a une constante de rappel très faible.
L’équation 5.3 est appelée la loi de Hooke, car elle a été découverte par le physicien
anglais Robert Hooke (1635-1703). Elle est valide tant que la déformation ∆L
demeure faible ; lorsqu’un ressort est étiré au-delà d’une certaine limite (la limite
élastique), il se déforme de façon permanente et l’équation 5.3 n’est plus valable.
FIGURE 5.6
Un dynamomètre muni d’un ressort
Les ressorts sont utilisés dans la fabrication des instruments de mesure de force,
qu’on appelle dynamomètres. Il s’agit de placer un curseur au bout du ressort
et une règle graduée sur le boîtier, comme le montre la figure 5.6. On fixe une
extrémité de l’appareil et on applique une force à l’autre extrémité. L’étirement
du ressort est proportionnel au module de la force appliquée. Pour étalonner
l’instrument, on utilise une force de module connu. L’appareil peut ensuite servir à mesurer des forces dont le module est inconnu.
Nous allons étudier plus en détail la force exercée par les ressorts et la loi de
Hooke à la section 8.6.
La force normale
Lorsque vous vous reposez sur votre lit, les ressorts du matelas se compriment et
ils exercent sur vous une force vers le haut. Si vous vous couchez sur le plancher de
bois, celui-ci va aussi se comprimer : le bois est plus rigide qu’un matelas, mais ses
molécules vont se rapprocher très légèrement et pousser sur vous vers le haut. Si
vous mettez à la place un piano (voir la figure 5.7), la compression va augmenter
et le plancher va exercer une force normale plus grande (à moins qu’il ne cède).
FIGURE 5.7
Lorsqu’un piano se trouve sur un
plancher, il comprime les atomes
du plancher. Cette compression
produit une force vers le haut, qu’on
appelle la « force normale ».
5.2 — Un répertoire de forces
Chaque fois qu’on place un objet sur une surface, celle-ci se comprime
et exerce sur l’objet une force perpendiculaire à la surface. Cette force
est appelée la force normale; on désigne cette force par .
Force normale
Le qualificatif « normal », qui tire son origine des mathématiques, indique que
cette force est toujours perpendiculaire à la surface. La compression des
molécules de la surface est habituellement très faible et difficile à mesurer. Pour
cette raison, le module de la force normale est habituellement calculé à l’aide
des autres forces exercées sur l’objet.
La figure 5.8 illustre trois situations : dans le premier cas, la table exerce sur la
lampe une force
orientée vers le haut. Dans le deuxième cas, la surface est
inclinée. Cette surface exerce sur la caisse une force normale perpendiculaire
à la surface, donc une force oblique. Dans la figure 5.8c, une personne pousse
sur un mur. La personne subit deux forces normales : une force normale exercée
par le plancher (celui-ci est comprimé par la personne) et par le mur (il est comprimé parce que la personne pousse dessus).
FIGURE 5.8
Un objet est soumis à une force normale perpendiculaire à la surface, qu’il soit : (a) placé sur le dessus d’une table,
(b) appuyé sur une surface inclinée ou (c) appuyé contre un mur.
Le frottement
Au hockey, les joueurs s’échangent facilement la rondelle en la faisant glisser sur la
glace. Lorsqu’on pratique ce sport dans un gymnase, la rondelle ne glisse plus
suffisamment. Quelle est la différence entre la glace et le plancher d’un gymnase ? Dans les deux cas, la rondelle est ralentie dans son mouvement par une
force qu’on appelle la force de frottement cinétique, , illustrée à la figure 5.9
à la page suivante. La rondelle glisse plus facilement sur la patinoire que sur le
plancher, car la force de frottement exercée par la patinoire est plus faible que la
force exercée par le plancher sur la rondelle.
Lorsque la force de frottement est très faible, comme dans le cas de la rondelle
sur la patinoire, on peut négliger cette force ; on dit alors que la surface est « sans
frottement ». Dans les laboratoires de physique, on utilise parfois des tables à
coussin d’air ; l’objet ne glisse pas sur la table, mais il flotte sur un coussin d’air.
On peut aussi diminuer le frottement en faisant rouler l’objet plutôt qu’en le
faisant glisser : pour jouer au hockey dans un gymnase, on remplace la rondelle
par une balle.
135
136
CHAPITRE 05 — Les forces et la deuxième loi de Newton
Force de frottement cinétique
La force de frottement cinétique est une force de contact exercée
par la surface sur un objet qui glisse. Cette force est toujours parallèle à la
surface, et son sens est opposé au sens de la vitesse de l’objet par rapport à la surface.
La surface peut aussi exercer une force de frottement lorsque l’objet est immobile par rapport à la surface. Par exemple, plaçons la rondelle sur une table
légèrement inclinée. La rondelle reste immobile, car la surface exerce une force
de frottement statique , comme le montre la figure 5.10. Si on incline suffisamment la table, la rondelle se met à glisser, ce qui montre que la force de
frottement statique a une limite.
Force de frottement statique
Une surface exerce sur un objet une force de frottement statique ,
parallèle à la surface, pour le garder immobile par rapport à la surface.
Cette force est une force de contact.
Le frottement est étudié plus en détail à la section 5.8. Pour l’instant, il suffit de
comprendre qualitativement cette force.
FIGURE 5.9
FIGURE 5.10
La force de frottement cinétique sur
la rondelle est opposée à la vitesse
de la rondelle par rapport à la surface.
La force de frottement statique est exercée
par la table sur la rondelle, pour garder la
rondelle immobile par rapport à la table.
La force de tension et la force de compression
Une corde peut être utilisée pour tirer un objet. Les objets flexibles comme les
câbles, les fils et les cordes tendus exercent une force de contact, qu’on appelle
force de tension , sur les objets attachés à leur extrémité. La figure 5.11 illustre
une corde tirant un traîneau. La tension T dans la corde représente le module
de la force .
Pour comprendre comment est produite la force de tension, il faut regarder la
corde à très petite échelle (voir la figure 5.12). Cette corde est composée de
molécules liées ensemble. Lorsqu’on tire sur la corde, les molécules s’éloignent
les unes des autres. Les liaisons moléculaires se comportent comme de petits
ressorts étirés. Dans son ensemble, la corde s’étire très légèrement et, comme
un ressort, elle exerce une force de traction. C’est cette force qu’on appelle la
« force de tension ».
5.2 — Un répertoire de forces
Une corde exerce une force de tension sur les objets attachés à une
extrémité. Cette force est une force de contact qui est toujours parallèle à la
corde, et il s’agit d’une force de traction. Le module de cette force est appelé
la «tension T » dans la corde.
FIGURE 5.12
FIGURE 5.11
La corde exerce une force de tension
le traîneau.
Force de tension
sur
Les molécules de la corde se comportent
comme des ressorts étirés, ce qui produit la
force de tension, qui est parallèle à la corde.
On peut aussi exercer une force à l’aide d’un objet rigide comme une tige. La
figure 5.13a illustre un chariot muni d’une tige tirée vers la droite. En tirant sur
la tige, celle-ci s’étire très légèrement (les liaisons moléculaires se comportent
comme des ressorts étirés). La tige exerce une force de tension sur le chariot,
équivalente à la force d’une corde.
Lorsqu’on pousse sur la tige, comme à la figure 5.13b, la tige se comprime,
c’est-à-dire que les molécules se rapprochent très légèrement et se comportent
comme des ressorts comprimés. La force de la tige sur le chariot est alors une
force de compression .
Un objet rigide comprimé exerce une force de compression . Cette
force est une force de contact qui est une poussée. Le module de cette force
est appelé la «compression C » de l’objet.
FIGURE 5.13
(a) La tige étirée exerce une force de tension sur le chariot. (b) La tige comprimée exerce une force
de compression sur le chariot.
Force de compression
137
138
CHAPITRE 05 — Les forces et la deuxième loi de Newton
La traînée
Lorsqu’une balle se déplace dans l’air (voir la figure 5.14) ou un autre fluide
comme l’eau, elle subit une force de résistance. Cette force est appelée la
traînée . C’est une force de contact exercée par les molécules du fluide sur
l’objet en mouvement. La traînée est toujours opposée à la vitesse de l’objet
par rapport au fluide. Habituellement, cette force est considérée comme négligeable. Elle sera étudiée à la section 5.9.
FIGURE 5.14
FIGURE 5.15
Une balle dans les airs subit la force de
traînée .
Un objet dans l’eau subit la poussée
d’Archimède .
La poussée d’Archimède
Certains objets flottent sur l’eau. Les objets dans un fluide subissent une force vers
le haut qu’on appelle la poussée d’Archimède (voir la figure 5.15). Cette force est
une force de contact exercée par les molécules du fluide, dont la pression augmente
avec la profondeur. Lorsqu’un objet est dans un fluide, la poussée d’Archimède est
(5.4)
Poussée d’Archimède
où est la masse volumique du fluide exprimée en kilogrammes par mètre
cube (kg/m3), et Vim est le volume de l’objet immergé exprimé en mètres cubes (m3).
Si tout l’objet est dans le fluide, Vim représente le volume complet de l’objet. Cependant, lorsque l’objet flotte, Vim représente le volume du fluide déplacé par l’objet.
Les interactions fondamentales
Les forces vues jusqu’à maintenant sont des forces macroscopiques : elles
s’exercent sur des objets à une échelle humaine. Nous avons expliqué les forces
de contact comme étant le résultat de forces entre les atomes et les molécules.
Les forces de contact ne sont pas des forces fondamentales, mais plutôt le résultat des interactions au niveau atomique.
En étudiant les constituants de la matière, les physiciens ont trouvé qu’il y a
quatre forces (ou interactions) fondamentales entre ces constituants (voir la
figure 5.16). La première force est la force gravitationnelle. Cette force peut être
exercée sur tous les objets et même sur la lumière (la lumière provenant d’une
étoile est déviée lorsqu’elle passe tout près du Soleil). Le Soleil exerce sur la Terre
une force gravitationnelle, ce qui maintient la Terre dans le système solaire.
FIGURE 5.16
Les forces fondamentales
La deuxième force fondamentale est la force électromagnétique. Cette force
s’exerce entre les particules ayant une propriété appelée la «charge électrique »
(qui peut être positive ou négative). L’interaction entre des aimants, ou celle
entre les cheveux après les avoir frottés à un ballon de fête, sont deux exemples
de la force électromagnétique. Les atomes sont constitués d’un noyau positif
et d’électrons négatifs. La force électromagnétique entre le noyau et les électrons assure la cohésion des atomes. La force entre les molécules est aussi
5.3 — Le diagramme des forces
la force électromagnétique ; les forces de contact sont donc en fait de nature
électromagnétique. Les interactions électromagnétiques sont le sujet principal
du tome 2 de ce manuel.
Les deux autres forces fondamentales ne s’observent qu’à très petite échelle, celle
du noyau atomique. Ce noyau est constitué de protons et de neutrons. Ceux-ci
sont aussi constitués de particules appelées «quarks ». L’interaction forte est la
force entre les quarks, qui les lie ensemble, et de façon résiduelle lie les protons
et les neutrons ensemble dans le noyau. L’électron ne subit pas l’interaction forte.
La dernière force fondamentale est appelée l’interaction faible. Elle est exercée
sur les quarks, sur les électrons et aussi sur des particules appelées «neutrinos ».
Même si cette interaction est plus faible, elle est importante au niveau du noyau.
Elle produit par exemple la désintégration du neutron libre. Certains physiciens
ont aussi formulé l’hypothèse que cette interaction serait la clé pour expliquer
que l’Univers est composé de matière plutôt que d’un mélange de matière et
d’antimatière. Nous reparlerons de l’interaction forte et de l’interaction faible lors
de l’étude de la physique moderne dans le tome 3.
Plusieurs chercheurs travaillent à comprendre ces interactions en essayant
de trouver une symétrie pouvant les relier. Cette quête date du 19e siècle,
lorsque James Clerk Maxwell a montré que la force électrique et la force magnétique étaient en fait deux aspects de la même force fondamentale. Dans les
années 1960, les physiciens Sheldon Glashow, Steven Weinberg et Abdus Salam
ont montré que la force électromagnétique et l’interaction faible étaient en fait
deux facettes d’une interaction plus fondamentale qu’on appelle l’« interaction électrofaible ». Les recherches se poursuivent pour unir l’interaction électrofaible
avec l’interaction forte et avec la force gravitationnelle. Cependant, pour l’instant,
on demeure encore au stade des hypothèses.
5.3
Le diagramme des forces
La première étape pour obtenir le mouvement d’un objet à partir de la dynamique consiste à connaître les forces appliquées sur cet objet. Comme les forces
sont des vecteurs, il est très important de les représenter correctement avant
d’essayer d’écrire les équations.
Un système est composé d’un objet ou d’un regroupement d’objets qu’on veut
étudier. Tous les objets à l’extérieur du système se retrouvent dans son environnement. Le mouvement d’un objet ou d’un système est déterminé par l’ensemble
des forces que son environnement exerce sur lui. La première étape, avant de se
lancer dans les calculs pour déterminer le mouvement d’un système, est donc
d’identifier toutes les forces agissant sur celui-ci. On a recours à ce qu’on
appelle un diagramme des forces qui représente le système qui est étudié comme
une particule avec toutes les forces agissant sur lui.
TECHNIQUE 5.1
La construction d’un diagramme des forces
1. Tracer un schéma de la situation. Dessinez (sans faire une œuvre
d’art) le système et tous les objets de son environnement qui le
touchent, comme une corde ou une surface.
2. Tracer une courbe fermée autour du système pour bien identifier
l’objet ou le système.
139
140
CHAPITRE 05 — Les forces et la deuxième loi de Newton
4. Localiser sur cette courbe les points de contact où un objet de
3.
l’environnement touche le système. Ces points de contact sont les
endroits où l’environnement exerce des forces de contact sur le système.
. Si l’orientation de
posez-en une, et si l’accélération est nulle, inscrivez
4. Tracer le vecteur accélération
est inconnue,
.
5. Représenter le système (l’objet) dans un deuxième schéma.
Encore une fois, ce schéma n’a pas à être une œuvre d’art. À la limite,
un simple rectangle suffit.
6. Identifier toutes les forces agissant sur le système et tracer les
vecteurs correspondants. Les vecteurs des forces de contact sont
tracés au point de contact correspondant. Il y a au moins une force de
contact à chaque point de contact. Dans ce premier tome, la seule force
à distance à laquelle les objets sont soumis est la force gravitationnelle.
Tracez le vecteur
au centre de l’objet. Identifiez chaque vecteur par
son symbole. S’il y a lieu, utilisez des indices pour distinguer des forces
de même type.
7. Tracer un système de coordonnées cartésiennes.
EXEMPLE 5.1
Dans un ascenseur
Une personne est dans un ascenseur qui se déplace vers le haut. Tracez le diagramme
des forces de la personne lorsque le module de la vitesse de l’ascenseur diminue.
SOLUTION
Illustrer la situation
Dans la deuxième partie du diagramme, nous représentons la personne sous la forme d’un rectangle
(voir la figure 5.17). La vitesse est orientée vers le
haut. Comme le module de la vitesse diminue, l’accélération est opposée à la vitesse, donc elle est orientée vers le bas.
Les points de contact de l’objet avec l’environnement
sont les pieds. Les forces de contact sont les forces
normales
et
, et la force gravitationnelle (une
force à distance) est également présente.
REMARQUE
On pourrait remplacer les deux forces
normales par une force normale résultante
FIGURE 5.17
Le diagramme des forces de la personne dans l’ascenseur
5.3 — Le diagramme des forces
EXEMPLE 5.2
Une enseigne suspendue
Une enseigne de restaurant est suspendue à l’aide de deux
cordes (voir l’illustration ci-contre). Tracez le diagramme
des forces pour l’enseigne.
SOLUTION
Illustrer la situation
Nous ajoutons les indices 1 et 2 aux forces de tension pour les distinguer (voir la figure 5.18).
FIGURE 5.18
Le diagramme des forces de l’enseigne
EXEMPLE 5.3
Vive l’hiver…
Dans un centre de glissade sur tube, un enfant, assis sur un tube, est tiré à vitesse cons ­
tante par un remonte­pente sur une surface inclinée avec frottement. Construisez le
diagramme des forces pour le système composé de l’enfant assis et du tube.
SOLUTION
Illustrer la situation
Ici, le système est l’enfant avec le tube. Nous dessi­
nons la courbe fermée autour de l’enfant et du tube.
Le diagramme des forces est présenté à la figure 5.19
(voir la page suivante).
REMARQUE
Observez bien l’orientation des forces
dans le diagramme des forces de la fi­
gure 5.19. La force gravitationnelle
n’est pas parallèle à l’axe des y puisqu’elle
doit être orientée vers le centre de la Terre.
De plus, la force normale est perpendi­
culaire à la surface sur laquelle s’appuie le
tube, et la force de frottement cinétique
est parallèle à la surface.
141
142
CHAPITRE 05 — Les forces et la deuxième loi de Newton
FIGURE 5.19
Le diagramme des forces du système enfant-tube
Lorsqu’on analyse un système, il est important de distinguer les forces exercées
par l’environnement sur le système des forces exercées par un élément du système sur un autre élément. Dans le dernier exemple, le diagramme des forces ne
comprend aucune force exercée par le tube sur l’enfant. Toute force qui s’exerce
sur un objet du système provenant d’un élément de son environnement est appelée force extérieure. Si les objets du système sont reliés de façon rigide, on peut
considérer le système comme une particule, et la force résultante
qui agit
sur lui correspond à la somme vectorielle de toutes les forces extérieures. La
force résultante d’un système ne comprend pas les forces internes, c’est-à-dire
les forces qui s’exercent entre deux objets à l’intérieur d’un même système.
5.4
La première loi de Newton
Prenons par exemple une rondelle de hockey sur un plancher de bois horizontal.
La rondelle est immobile au départ. Si on ne fait rien, elle restera immobile. Supposons maintenant qu’on la pousse en exerçant une force de courte durée. Elle
se mettra en mouvement ; elle va ensuite ralentir graduellement pour s’arrêter. Il
faut une force pour mettre en mouvement un objet.
FIGURE 5.20
La rondelle a une vitesse constante
lorsque la force résultante est nulle.
Première loi de Newton
(principe de l’inertie)
Si on recommence l’expérience avec la même rondelle, mais sur une patinoire,
elle ralentira beaucoup moins rapidement. Dans les deux cas, la force de frottement cinétique exercée par la surface sur la rondelle arrête celle-ci. Si on suppose une surface dont le frottement est négligeable (voir la figure 5.20), alors
une fois lancée, la rondelle ne subira aucune force résultante et elle ne ralentira
pas. Elle se déplacera en ligne droite avec une vitesse constante. Aucune force
n’est nécessaire. On peut maintenant énoncer la première loi de Newton, aussi
appelée le principe de l’inertie :
Tout objet demeure dans son état de repos ou son état de mouvement
rectiligne uniforme, à moins de subir une force résultante non nulle.
Pour qu’un objet accélère, il faut lui appliquer une force résultante. Si la force
résultante sur l’objet est nulle
, l’accélération est nulle. Dans ce cas, si
l’objet est immobile, il restera immobile, et s’il se déplace selon un mouvement
rectiligne uniforme, il conservera son mouvement rectiligne uniforme. La première loi de Newton s’énonce schématiquement comme suit :
5.4 — La première loi de Newton
143
, l’objet reste immobile (équilibre statique),
Si
, alors
, l’objet se déplace à vitesse constante,
donc en ligne droite (équilibre dynamique).
Différentes forces peuvent agir simultanément sur un objet, mais si leur somme vectorielle est nulle, l’objet reste immobile ou se déplace à vitesse constante. Dans de
tels cas, les forces agissant sur l’objet s’équilibrent. On dit que l’objet est à l’équilibre.
De façon courante, on dit aussi que ces forces s’annulent mutuellement. Toutefois,
le terme «annuler » est trompeur ; il ne signifie pas que les forces cessent d’exister.
Les forces agissent toujours sur l’objet ; c’est leur somme vectorielle qui s’annule.
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 5.2
La figure ci-dessous représente une rondelle glissant sur un plancher.
Trois forces horizontales sont appliquées ; les forces et
sont illus trées. La force a un module de 10 N, et la force , un module
de 6 N. Quelle est la force si :
a. la rondelle est immobile ?
b. la rondelle se déplace vers la gauche à vitesse constante ?
Les référentiels inertiels
Revenons à l’exemple de la rondelle qui glisse sur une surface sans frottement
à vitesse constante . Qu’observe-t-on si on patine en ligne droite à vitesse
constante , à côté de la rondelle, comme dans la figure 5.21 ? Est-ce que la
rondelle a une accélération ? On établit que la rondelle a une vitesse constante
(selon l’équation 4.50 de la page 117) ; l’accélération de la rondelle est nulle dans les deux référentiels. La première loi de Newton est valide
lorsqu’on utilise un référentiel inertiel.
FIGURE 5.21
La première loi de Newton s’applique aussi pour un patineur qui se déplace à une
vitesse constante.
Défi animé 5.1
Qu’arrive-t-il au mouvement d’un objet
qui accélère si vous ajoutez une force de
manière à ce que la force résultante sur
l’objet soit nulle ?
144
CHAPITRE 05 — Les forces et la deuxième loi de Newton
Supposons maintenant que vous conduisez une automobile et que vous roulez
à vitesse constante (donc en ligne droite). Une bille se trouve sur le tableau de
bord. La bille est immobile parce que la force résultante exercée sur elle est
nulle. Tout à coup, vous appliquez les freins. La bille entre alors en collision avec
le pare-brise. Vous observez que la bille accélère vers l’avant, même si aucune
force ne l’a poussée. Dans un référentiel accéléré (un référentiel non inertiel), la
première loi de Newton ne s’applique pas. Pour pouvoir analyser le mouvement
de la bille avec la première loi de Newton, un observateur doit se trouver à l’extérieur de la voiture. Pour lui,
sur la bille, et celle-ci se déplace à vitesse
constante. Cependant, il y a une force appliquée sur la voiture, qui la ralentit.
C’est pour cette raison qu’une collision se produit entre la bille et le pare-brise.
La première loi de Newton permet de vérifier si un référentiel est inertiel :
Un référentiel inertiel est un référentiel pour lequel la première loi de
Newton peut être utilisée. C’est un référentiel qui n’est pas accéléré.
En général, on utilise le sol comme référentiel. S’agit-il d’un référentiel inertiel ?
Non, car la Terre tourne sur elle-même, de même qu’elle tourne autour du Soleil.
Le sol a une accélération centripète. C’est l’une des raisons pour lesquelles le
module de l’accélération en chute libre g change en fonction de la latitude :
l’accélération centripète est plus grande à l’équateur. Pour obtenir un référentiel
inertiel, il faut se baser sur les étoiles lointaines. Par contre, pour la plupart des
calculs, l’effet de la rotation de la Terre peut être négligé. Nous étudierons plus
en détail les référentiels non inertiels à la section 7.5.
La première loi de Newton est utile pour résoudre des problèmes concernant
des objets à l’équilibre. Vous devez procéder systématiquement lorsque vous
voulez résoudre ces problèmes. Voici donc la stratégie à appliquer.
STRATÉGIE 5.1
Les problèmes d’équilibre
Illustrer la situation
Vous devez tracer le diagramme des forces en vous référant aux sept
étapes présentées dans la technique 5.1 de la page 139. Pour simplifier la
décomposition des forces, choisissez l’orientation du système de coordonnées afin qu’une ou plusieurs forces soient parallèles aux axes.
Décortiquer le problème
À l’aide d’un tableau, faites ressortir les quantités connues et celles qui
sont recherchées. Décomposez aussi les vecteurs selon leurs composantes
cartésiennes à l’aide du diagramme des forces.
Identifier la clé
Utilisez la première loi de Newton,
.
(5.5)
Cette équation étant vectorielle, elle est équivalente, dans les situations
à deux dimensions, aux équations scalaires suivantes :
5.4 — La première loi de Newton
145
Résoudre le problème
Résolvez votre système d’équations afin de trouver les quantités inconnues
recherchées.
Valider la réponse
Vérifiez le signe, les unités et l’ordre de grandeur des réponses numériques
que vous avez obtenues.
EXEMPLE 5.4
Une enseigne suspendue par des cordes
Une enseigne de restaurant de 2,40 kg est suspendue à l’aide
de deux cordes, comme illustré ci-contre. Calculez la tension
dans chaque corde.
SOLUTION
Illustrer la situation
Décortiquer le problème
Nous commençons par dessiner le diagramme des
forces qui apparaît à la figure 5.22. Il y a trois forces :
les forces de tension
et
(des forces de contact),
et la force gravitationnelle
(une force à distance). Remarquez que l’angle entre les deux forces
de tension est 55,0° + 48,0° = 103,0°. Nous pouvons choisir l’orientation du système de coordonnées. Pour simplifier la résolution des équations,
nous choisissons d’orienter l’axe des y afin qu’il soit
parallèle à . Avec ce choix,
est oblique et forme
un angle de 55° avec la partie négative de l’axe des y.
La masse de l’enseigne permet de calculer le
module de la force gravitationnelle à l’aide de l’équation 5.2 de la page 133 :
.
(i)
Nous ne connaissons pas le module des forces
et , mais nous connaissons leur orientation. Ainsi,
nous pouvons décomposer les forces selon leurs composantes cartésiennes en utilisant la trigonométrie.
FIGURE 5.22
Le diagramme des forces de l’enseigne suspendue
146
CHAPITRE 05 — Les forces et la deuxième loi de Newton
Force
Composante x
Composante y
(v)
. (vi)
Identifier la clé
La clé est la première loi de Newton, car l’enseigne
est à l’équilibre. L’équation 5.5, appliquée au présent
problème, s’écrit
C’est un système d’équations. Le choix judicieux de
l’orientation du système de coordonnées fait en sorte
que l’équation (v) n’a qu’une seule inconnue. Nous
isolons T2 :
(ii)
Nous réécrivons cette équation selon les composantes cartésiennes :
(iii)
(iv)
(réponse)
Nous insérons ensuite ce résultat dans l’équation (vi)
pour obtenir T1 :
MISE EN GARDE
Les deux équations précédentes représentent la somme des composantes x et y. On
ne doit pas mettre de signe négatif, sinon
il ne s’agirait plus d’une somme. Les signes sont déterminés quand on développe
les composantes en fonction du module
et de l’orientation du vecteur.
Résoudre le problème
Nous remplaçons les valeurs du tableau des composantes dans les équations (iii) et (iv) :
EXEMPLE 5.5
(réponse)
Valider la réponse
Nous répondons à la question, car la tension représente le module d’une force. Les réponses sont positives parce que les modules sont toujours positifs.
L’ordre de grandeur des tensions est le même que
celui du module de la force gravitationnelle. Nous
aurions pu utiliser un système de coordonnées similaire à celui de l’exemple 5.2.
Gare aux icebergs !
Un iceberg est un morceau de glace flottant sur l’océan. La masse volumique de la glace
est égale à 917 kg/m3, alors que la masse volumique de l’eau de mer est de 1 024 kg/m3. Calculez le pourcentage du volume de l’iceberg qui se trouve au-dessus de l’eau.
SOLUTION
Illustrer la situation
Décortiquer le problème
Le diagramme des forces est illustré à la figure 5.23.
Nous voulons calculer la fraction du volume de l’iceberg hors de l’eau, Vh /V , exprimée en pourcentage.
FIGURE 5.23
Le diagramme des forces de l’iceberg
5.5 — La masse
147
Nous obtenons
Identifier les clés
La première clé est que le volume total de l’iceberg
est égal à la somme de la partie hors de l’eau et de la
partie immergée :
(i)
La deuxième clé est la première loi de Newton parce
que l’iceberg est à l’équilibre :
(ii)
ce qui représente la fraction du volume immergé dans
l’eau. En divisant les deux membres de l’équation (i)
par le volume V , nous obtenons
(iii)
(5.6)
Les forces n’ont que des composantes verticales :
(5.7)
Résoudre le problème
Le module de la poussée d’Archimède est donné
par l’équation 5.4 de la page 138, et le module de
la force gravitationnelle est donné par l’équation 5.2
de la page 133. La masse de l’iceberg est calculée à
l’aide de la masse volumique de la glace et du volume
de l’iceberg (m = ρ iV).
5.5
(réponse)
Valider la réponse
Nous répondons bien à la question en donnant un
pourcentage.
La masse
Supposons qu’on prend deux objets différents, tels qu’une balle de baseball
et une boule de quilles, et qu’on applique la même force à chacun. Pour ce
faire, on peut utiliser un ressort que l’on comprime de la même distance
avant de le placer contre chacun des objets. La balle de baseball aura une
accélération beaucoup plus grande que celle de la boule de quilles (voir
la figure 5.24). Ces deux accélérations diffèrent parce que la masse de la
balle est différente de celle de la boule. Mais qu’est-ce que la masse, plus
exactement ?
L’expérience précédente démontre que, pour une même force appliquée,
l’objet possédant la plus grande masse (la boule) aura la plus petite accélération, c’est-à-dire le plus faible taux de variation de sa vitesse. Cette propriété
que possède un objet à résister aux variations de sa vitesse se nomme l’inertie. Les objets veulent conserver leur vitesse. Pour changer la vitesse d’un
objet, il faut exercer une ou des forces sur l’objet. Plus la masse de l’objet
est grande, plus grande est son inertie, car plus il résiste aux variations de
sa vitesse.
FIGURE 5.24
On applique la même force à une balle de baseball et à une boule de quilles.
148
CHAPITRE 05 — Les forces et la deuxième loi de Newton
Masse
La masse d’un objet est la mesure de son inertie, c’est-à-dire la mesure de
la résistance d’un objet à toute variation de sa vitesse.
Cette définition* plus précise de la masse indique qu’il s’agit d’une propriété intrinsèque d’un objet, c’est-à-dire d’une caractéristique qui apparaît
automatiquement avec l’existence de l’objet. La masse est une quantité
scalaire, puisqu’elle ne possède pas d’orientation. Comme nous l’avons
vu à la sec tion 1.7 de la page 17, l’unité de la masse dans le SI est le
kilogramme (kg).
5.6
La deuxième loi de Newton
Selon la première loi de Newton, un objet se déplace à vitesse constante
(incluant une vitesse nulle) si aucune force résultante n’est appliquée sur celuici. Qu’arrive-t-il si une force est exercée sur l’objet ? Sa vitesse va changer (en
module ou en orientation), c’est-à-dire que l’objet va accélérer. De plus, le résultat de l’expérience de la section précédente indique que l’accélération de l’objet
sera grande si sa masse (son inertie) est petite. Ces deux résultats mènent à la
deuxième loi de Newton, qu’on appelle aussi parfois le « principe fondamental
de la dynamique » :
La force résultante exercée sur un objet est égale au produit de sa masse
et de son accélération.
Pour un objet dont la masse est m et l’accélération est
tante
est
Deuxième loi de Newton
(principe fondamental
de la dynamique)
, la force résul-
(5.8)
L’accélération est causée par la force résultante exercée par son environnement.
Les forces sur un objet sont la cause du changement de son mouvement, ce que
nous avons vu de façon intuitive au début de ce chapitre.
Il est important de remarquer que
représente la force résultante exercée
sur l’objet par son environnement, ce qui n’inclut pas les forces que peut exercer l’objet sur son environnement. De plus, si nous analysons le mouvement
d’un système, la force résultante est la somme des forces extérieures au système. Les forces exercées par un membre du système sur un autre membre ne
contribuent pas à la force résultante.
* Cette définition, valable en mécanique newtonienne, est différente en mécanique relativiste.
5.6 — La deuxième loi de Newton
La deuxième loi de Newton est une équation vectorielle. Pour l’utiliser, nous
allons décomposer les vecteurs selon leurs composantes et remplacer l’équation 5.8 par trois équations scalaires :
(5.9)
Chaque composante est indépendante des autres : pour connaître la composante x de l’accélération, il suffit de connaître les composantes x des forces.
La deuxième loi de Newton justifie la définition de l’unité de la force dans le SI.
Lorsqu’on applique une force résultante de 1 N sur un objet de 1 kg, son accélération a un module de 1 m/s2 :
(5.10)
La résolution des problèmes de dynamique requiert plusieurs étapes. Pour vous
guider, nous vous présentons la stratégie suivante.
STRATÉGIE 5.2
Les problèmes de dynamique
Illustrer la situation
Vous devez tracer les diagrammes des forces en vous référant aux sept
étapes décrites dans la technique 5.1 de la page 139. Pour simplifier la
décomposition des forces, choisissez l’orientation du système de coordonnées afin que l’accélération soit parallèle à l’un des axes.
Décortiquer le problème
À l’aide d’un tableau, faites ressortir les quantités connues et celles qui
sont recherchées. Décomposez aussi les vecteurs selon leurs composantes
cartésiennes à l’aide du diagramme des forces.
Identifier la clé
Utilisez la deuxième loi de Newton,
(5.8)
Cette équation étant vectorielle, elle est équivalente aux équations
scalaires suivantes :
(5.9)
Résoudre le problème
Résolvez votre système d’équations afin de trouver les quantités inconnues
recherchées.
Valider la réponse
Vérifiez le signe, les unités et l’ordre de grandeur des réponses numériques.
149
150
CHAPITRE 05 — Les forces et la deuxième loi de Newton
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 5.3
Une rondelle se déplace à une vitesse sur une table horizontale sans
frottement. Trois forces horizontales sont exercées sur la rondelle, comme
le montre la vue en plongée, avec les vecteurs tracés à l’échelle, illustrée
ci-dessous. Quelle est l’orientation de l’accélération de la rondelle ?
Défi animé 5.2
Pouvez-vous établir un lien entre
la force résultante qui agit sur un
objet et la variation de sa vitesse ?
EXEMPLE 5.6
La deuxième loi de Newton est très importante, car elle permet de déterminer
le mouvement d’un objet à l’aide des forces exercées sur celui-ci. On doit utiliser un référentiel inertiel pour appliquer cette loi. Puisque cette loi est souvent
utilisée, quelques problèmes de dynamique, résolus à l’aide des cinq étapes de
la stratégie, sont présentés à la fin de cette section.
Déplacer un fauteuil
Une femme pousse un fauteuil de 30,0 kg avec une force
de 195 N, orientée à 15,0° sous l’horizontale (voir la figure
ci-contre). La force de frottement cinétique entre le fauteuil
et le sol est de de 170 N.
a. Quelle est l’accélération du fauteuil ?
b. Quel est le module de la force normale ?
SOLUTION
Illustrer la situation
Le diagramme des forces du fauteuil est présenté à
la figure 5.25. Il y a trois forces de contact : la force
de poussée , exercée par la femme, la force de frottement cinétique et la force normale, exercées par
FIGURE 5.25
Le diagramme des forces du fauteuil
le plancher. Il y a aussi la force gravitationnelle .
Le plancher contraint l’accélération à être horizontale. Par hypothèse, nous traçons l’accélération vers
la droite.
5.6 — La deuxième loi de Newton
151
SOLUTION a.
Résoudre le problème
Décortiquer le problème
Nous trouvons l’accélération en isolant ax dans
l’équation (i) :
Nous pouvons calculer le module de la force gra­
vitationnelle à partir de la masse : Fg = mg.
Ensuite, nous décomposons les vecteurs selon leurs
composantes :
Vecteur
L’accélération est donc
Composante x
Composante y
Fp cos q
−Fp sin q
−fc
0
SOLUTION b.
Résoudre le problème
0
N
0
−mg
Pour trouver le module de la force normale, nous
isolons N dans l’équation (ii) :
ax
0
(réponse)
Identifier la clé
(réponse)
Selon la deuxième loi de Newton,
REMARQUE
ce qui donne les équations
(i)
(ii)
EXEMPLE 5.7
Le module de la force normale est diffé­
rent du module de la force gravitation­
nelle :
Valider la réponse
Nous répondons bien aux questions : est un vecteur
et N est un scalaire positif, car on demande le module.
L’ordre de grandeur des réponses est correct.
Un enfant glisse le long d’une pente
Un enfant de 20,0 kg est assis sur une luge de 1,00 kg. Il glisse le long d’une pente
inclinée à 15,0°. La force de frottement cinétique entre la luge et la pente a un module de 45,0 N.
a. Quel est le module de l’accélération de l’enfant sur la luge ?
b. Si l’enfant est initialement au repos, quel est le module de sa vitesse après qu’il a glissé
sur une distance de 20,0 m ?
SOLUTION
Illustrer la situation
Le système comprend l’enfant et la luge. Le dia­
gramme des forces est présenté à la figure 5.26 à la
page suivante. Remarquez que le système de coor­
données est orienté pour que l’axe des x soit paral­
lèle à l’accélération. Avec ce choix,
est parallèle à
l’axe des y, est parallèle à l’axe des x et
forme
un angle q (le même angle que celui du plan incliné
par rapport à l’horizontale) par rapport à la partie
négative de l’axe des y.
Décortiquer le problème
La masse du système est
Nous décomposons
composantes :
les
vecteurs
selon
leurs
152
CHAPITRE 05 — Les forces et la deuxième loi de Newton
FIGURE 5.26
Le diagramme des forces de l’enfant sur la luge
Vecteur
Composante x
Composante y
−fc
0
0
N
ax
0
Le module de l’accélération est
(réponse)
SOLUTION b.
Identifier la clé
La clé est la suivante : pour obtenir le module
de la vitesse finale, il faut utiliser les équations de
la cinématique présentées dans la stratégie 3.1 à la
page 70. À l’aide de l’équation 3.16, nous obtenons
SOLUTION a.
Identifier la clé
Selon la deuxième loi de Newton,
(iii)
qui s’écrit, selon les composantes cartésiennes,
(i)
(ii)
Résoudre le problème
Résoudre le problème
Puisque nous cherchons le module de la vitesse,
nous prenons la valeur absolue de l’équation (iii). En
insérant les valeurs, nous obtenons
Pour trouver le module de l’accélération, nous iso­
lons ax dans l’équation (i) [l’équation (ii) n’est pas utile
dans ce problème] :
(réponse)
Valider la réponse
Une vitesse dont le module est de 4,0 m/s est rai­
sonnable pour un petit enfant qui glisse. Ses parents
n’auront pas à s’inquiéter. En a., la réponse n’a que
deux chiffres significatifs à cause de la soustraction
qui fait perdre un chiffre.
5.7
La force gravitationnelle et le poids
La chute libre
À la section 3.8, nous avons analysé le mouvement de chute libre d’un objet,
et nous avons trouvé que lorsque la résistance de l’air est négligeable, tous les
objets ont une accélération
Nous voulons véri­
fier que la deuxième loi de Newton est conforme à ce résultat.
5.7 — La force gravitationnelle et le poids
153
La figure 5.27 illustre le diagramme des forces d’une balle en chute libre. Seule
la force gravitationnelle est exercée sur l’objet. Selon la deuxième loi de Newton
(l’équation 5.9),
(5.11)
dans laquelle on a utilisé l’équation 5.2 de la page 133 pour obtenir la force gravitationnelle. L’équation 5.11 correspond bien à l’accélération de la chute libre.
Cela montre que l’équation 5.2 donne bien la force gravitationnelle exercée par
la Terre sur un objet de masse m.
Le plan incliné
On peut aussi vérifier le résultat de la section 3.9, lorsque nous avons analysé le
mouvement d’un objet qui glisse sans frottement le long d’un plan incliné. Nous
avions trouvé que le module de l’accélération est
et que celle-ci est
orientée vers le bas du plan incliné.
FIGURE 5.27
Le diagramme des forces
d’une balle en chute libre
La figure 5.28 illustre une boîte qui glisse sur une surface sans frottement. Il y
a deux forces : la force normale exercée par le plan et la force gravitationnelle
orientée vers le centre de la Terre. L’accélération doit être parallèle au plan.
On oriente le système de coordonnées pour que l’axe des x soit parallèle au
plan. Selon la deuxième loi de Newton,
FIGURE 5.28
Le diagramme des forces d’une
caisse qui glisse le long d’un plan
incliné.
On obtient alors
c’est-à-dire que l’accélération est
le résultat qui est obtenu dans la section 3.9.
. C’est bien
Le poids
Jusqu’à présent, on a appelé « force gravitationnelle » la force
exercée par la
Terre sur les objets. Cette force est ressentie par tous les objets. Contrairement
aux forces de contact, on ne ressent pas la force de traction ou la poussée exercées par la Terre. Mais comment fait-on pour mesurer cette force à distance ?
Comment fait-on pour se rendre compte que cette force existe réellement ?
Pour mesurer le module de la force gravitationnelle, on utilise un dynamomètre
(qu’on appelle habituellement une « balance ») et on recourt à la première loi de
Newton. La figure 5.29 illustre cette méthode. Il y a deux forces appliquées sur
l’objet : la force du ressort étiré
(vers le haut) et la force gravitationnelle
vers le bas. Si l’objet n’accélère pas, alors le module de la force élastique est égal
au module de la force gravitationnelle :
=0
(5.12)
FIGURE 5.29
On mesure le poids d’un objet à
l’aide d’un dynamomètre. L’accélération doit être nulle.
Le dynamomètre ne donne que le module de la force gravitationnelle. Ce module
est appelé le poids de l’objet :
(5.13)
Poids
154
CHAPITRE 05 — Les forces et la deuxième loi de Newton
Un pèse-personne mesure le poids en mesurant la compression d’un ressort,
plutôt que l’étirement. L’unité du poids est le newton (N), car c’est le module
d’une force.
REMARQUE
Pour certains auteurs, le poids est une force qui correspond à la force
gravitationnelle près de la surface de la Terre. Dans ce manuel, On
utilise plutôt la définition utilisée dans la vie de tous les jours : le
poids est le module de la force gravitationnelle. Personne ne donne
une orientation si on lui demande son poids. On utilise explicitement
le terme force gravitationnelle pour parler de la force exercée par la
Terre, y compris l’orientation de cette force.
MISE EN GARDE
De manière courante, les pèse-personnes sont gradués en kilogrammes (l’unité de la masse) plutôt qu’en newtons. Dans le
domaine de la physique, on ne doit pas confondre la masse d’un
objet (la mesure de son inertie) et son poids (le module d’une force).
La masse est une propriété intrinsèque de l’objet, alors que le poids
dépend de l’endroit où on le mesure : sur la Lune, le poids d’un objet
est six fois plus petit (l’attraction gravitationnelle y est plus petite
que sur Terre), tandis que la masse ne change pas.
Une balance affiche la mesure du poids uniquement lorsque le système n’accélère pas et qu’il n’y a pas d’autre force appliquée sur l’objet. Sinon, la mesure de
la balance est appelée le poids apparent.
Supposons qu’une personne se pèse dans un ascenseur qui accélère vers le haut,
comme à la figure 5.30a. on doit utiliser la deuxième loi de Newton pour analyser la situation. La mesure de la balance correspond encore au module de la
force
exercée par le ressort de la balance. On obtient
(5.14)
FIGURE 5.30
Deux exemples où le poids apparent est différent du poids : (a) une personne dans un ascenseur
qui accélère vers le haut ; (b) une personne dans une piscine.
5.7 — La force gravitationnelle et le poids
Dans cette situation, le poids apparent s’avère plus grand que le poids (P = mg).
Lorsque l’accélération de l’ascenseur est vers le bas, l’analyse est semblable, avec
ay < 0, et le poids apparent est plus faible que le poids.
La figure 5.30b illustre une autre situation où le poids apparent est différent
du poids. Lorsqu’un objet est dans l’eau (ou un autre fluide), l’eau exerce sur
l’objet une poussée d’Archimède . Pour un objet immobile, la première loi de
Newton permet de calculer la force exercée par le ressort de la balance :
(5.15)
Le poids apparent est plus faible que le poids (P = mg) dans cette situation. On
dit couramment qu’on pèse moins dans l’eau, c’est-à-dire que le poids apparent diminue lorsqu’on est dans l’eau.
Dans les exemples précédents, on se sert d’une balance pour obtenir le poids
apparent. Cependant, le poids apparent d’un objet existe même si on n’utilise
pas de balance. De façon générale, on définit le poids apparent de la façon
suivante :
Le poids apparent d’un objet est le module de la force de contact nécessaire pour le supporter. C’est le résultat de la mesure d’une balance à ressort
et il correspond à notre sensation du poids.
Poids apparent
La force de contact peut être la force normale (pour un objet sur une surface)
ou la force de tension (pour un objet suspendu par une corde). Lorsque le poids
apparent est nul, l’objet est en état d’apesanteur.
EXEMPLE 5.8
Gagner et perdre du poids rapidement
Une personne de 65,0 kg se trouve dans un ascenseur qui se déplace vers le bas. Calculez
le poids apparent de la personne lorsque :
a. l’ascenseur accélère à un taux de 1,60 m/s2 ;
b. l’ascenseur se déplace à vitesse constante ;
c. l’ascenseur ralentit à un taux de 1,60 m/s2.
SOLUTION
Illustrer la situation
Dans les trois situations, l’accélération est verticale
(ou nulle). Nous choisissons un axe des y orienté vers
le haut. Le diagramme des forces est présenté à la
figure 5.31.
FIGURE 5.31
Le diagramme des forces de la personne
dans l’ascenseur
155
156
CHAPITRE 05 — Les forces et la deuxième loi de Newton
SOLUTION b.
Résoudre le problème
Décortiquer le problème
Comme la vitesse est constante, l’accélération est
nulle (ay = 0). Le poids apparent est
Identifier la clé
La clé est que le poids apparent correspond ici au
module de la force normale
, car c’est la
force de contact qui supporte la personne. Selon
la deuxième loi de Newton,
(i)
(réponse)
Valider la réponse
Le poids apparent est égal au poids, car il n’y a pas
d’accélération.
SOLUTION c.
Résoudre le problème
SOLUTION a.
Résoudre le problème
La vitesse est orientée vers le bas, et son module
augmente. L’accélération est orientée vers le bas,
ce qui implique que
. En isolant
N dans l’équation (i), nous obtenons
Comme la vitesse est orientée vers le bas et que
l’ascenseur ralentit, l’accélération est opposée à la
vitesse, donc elle est vers le haut : ay = 1,60 m/s2.
En insérant ce résultat dans l’équation (i), nous
obtenons
(réponse)
(réponse)
Valider la réponse
Valider la réponse
Le poids apparent est plus faible que le poids. La personne se sentira plus légère.
Cette fois-ci, la personne se sentira comprimée, car
son poids apparent est plus grand que son poids.
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 5.4
Dans l’exemple précédent, quel est le poids apparent de la personne si
le câble de l’ascenseur se rompt et que ce dernier tombe en chute libre ?
(N’essayez pas cela à la maison.)
Le principe d’équivalence
Nous avons vu à la section 5.5 que la masse m d’un objet est une mesure de son
inertie, c’est-à-dire de sa capacité à résister au changement de mouvement. Ce
paramètre apparaît dans la deuxième loi de Newton :
On parle alors
de la masse inertielle mi de l’objet.
La masse joue aussi un autre rôle. Elle est la source de la force gravitationnelle.
En effet, le module de la force gravitationnelle exercée par la Terre sur un objet
est Fg = mg. Cette équation diffère totalement de la deuxième loi de Newton.
Lorsqu’on calcule la force gravitationnelle, on a besoin de sa masse gravitationnelle mg. À première vue, rien n’indique que la masse inertielle mi d’un objet
devrait être égale à sa masse gravitationnelle.
Qu’est-ce qui arriverait si ces masses étaient différentes ? Dans le cas d’un objet
en chute libre, pour lequel la résistance de l’air est négligeable, seule la force
gravitationnelle est exercée, et la deuxième loi de Newton donne
5.8 — La force de frottement
Selon le résultat de Galilée que nous avons vu à la page 76, tous les objets en
chute libre ont la même accélération. Cela implique que le rapport mg/mi doit
être le même pour tous les objets. Il est alors possible de choisir le même étalon
pour les deux types de masse, ce qui donne
(5.16)
L’expression ci-dessus est la formulation de Newton du principe d’équivalence.
Newton a été le premier à vérifier que la masse inertielle et la masse gravitationnelle étaient identiques en utilisant des pendules. Les résultats de Newton
ont montré que
Depuis ce temps, les méthodes et la précision des mesures ont été grandement
améliorées, de telle sorte que l’écart relatif expérimental des masses est de l’ordre
de
. Il est donc inutile de faire la différence entre la masse inertielle et
la masse gravitationnelle d’un objet.
Les formulations du principe d’équivalence par Galilée et par Newton sont
équivalentes. Pour Newton, le principe d’équivalence est un hasard de la nature.
Cependant, ce principe a guidé Einstein vers la découverte de la théorie de la
relativité générale, la théorie de la gravitation ayant un domaine d’application
beaucoup plus grand que la théorie de Newton. Nous verrons un bref aperçu de
cette théorie au chapitre 13.
5.8
La force de frottement
Nous avons analysé dans les dernières sections plusieurs situations où le frottement était négligeable. Dans la vie de tous les jours, puisque la force de frottement
est souvent présente, cette section présente un modèle simple pour tenir compte
de cette force. Cette dernière est importante : sans frottement, on ne pourrait pas
se déplacer en marchant, les automobiles non plus ne pourraient avancer. La
force de frottement est aussi importante pour freiner différents appareils.
Pour débuter, supposons qu’une personne veut pousser un réfrigérateur sur
un plancher rugueux (voir la figure 5.32 à la page suivante). Le réfrigérateur
demeure immobile à cause du frottement. La force de frottement statique est
une force de contact exercée par le plancher sur le réfrigérateur, qui équilibre le
réfrigérateur. La personne pousse de plus en plus fort, mais le réfrigérateur ne
bouge pas. Celui-ci demeure à l’équilibre, ce qui indique que le module de la force
de frottement statique augmente lorsque le module de la force
augmente
Principe d’équivalence de Newton
157
158
CHAPITRE 05 — Les forces et la deuxième loi de Newton
FIGURE 5.32
(a) Une personne pousse un réfrigérateur avec une force
. Le réfrigérateur reste immobile
à cause de la force de frottement statique . (b) Le diagramme des forces du réfrigérateur. La
force est orientée de telle manière que le réfrigérateur reste immobile par rapport à la surface.
Comme la tension et la force normale,
a un module qui change selon les
autres forces appliquées. Cette force est toujours parallèle à la surface, et son
sens est celui qui est nécessaire pour que la caisse demeure immobile par rapport à la surface.
Si la personne pousse très fort (ou si la personne a de l’aide), le réfrigérateur se
met à glisser. Ce résultat indique que le module de la force de frottement statique atteint une valeur maximale fsmax. On trouve empiriquement (par l’expérience) que fsmax est proportionnel au module de la force normale, mais qu’il ne
dépend pas de l’aire de la surface de l’objet :
Module maximal de la force
de frottement statique
(5.17)
Le paramètre ms est le coefficient de frottement statique. Ce coefficient est sans
unité et il dépend de la surface de l’objet et de la surface qui exerce la force.
Lorsque les surfaces sont lisses, le coefficient est faible ; par contre, lorsque
les surfaces sont rugueuses, le coefficient est élevé. Les valeurs de ms pour
quelques surfaces sont présentées dans le tableau 5.1.
TABLEAU 5.1
Les coefficients de frottement typiques pour différentes surfaces. Ces valeurs
sont approximatives et ne sont données qu’à titre indicatif.
Surfaces
ms
mc
Acier sur acier (non lubrifié)
0,8
0,6
Acier sur acier (lubrifié)
0,10
0,05
0,25-0,50
0,2
Caoutchouc sur béton sec
1,0
0,8
Caoutchouc sur béton mouillé
0,7
0,5
Glace sur glace
0,1
0,03
Bois sur bois
5.8 — La force de frottement
159
On peut donc écrire une inégalité pour exprimer le module de la force de frottement statique :
(5.18)
Module de la force
de frottement statique
L’égalité correspond à la situation où l’objet est sur le point de glisser.
Lorsque le réfrigérateur glisse sur le plancher, ce dernier exerce sur le réfrigérateur une force de frottement cinétique . Cette force de contact est toujours
parallèle à la surface, et elle est opposée à la vitesse de l’objet par rapport
à la surface, comme le montre la figure 5.33. On trouve empiriquement que le
module fc est aussi proportionnel au module de la force normale (et ne dépend
pas de l’aire de la surface de l’objet) :
(5.19)
La constante de proportionnalité mc est le coefficient de frottement cinétique.
Il s’agit d’un facteur sans unité qui dépend des deux surfaces en contact. Les
valeurs de mc pour quelques surfaces sont présentées dans le tableau 5.1. Notez
que le coefficient de frottement cinétique est plus faible que le coefficient de frottement statique. Cela indique qu’une fois l’objet en mouvement, il est plus facile
de le garder en mouvement : la force de poussée nécessaire pour que l’objet se
déplace à vitesse constante est plus faible que la force nécessaire pour le mettre
en mouvement.
FIGURE 5.33
Une personne pousse, avec une force
, un réfrigérateur qui se déplace à la vitesse .
La force est parallèle à la surface et opposée à la vitesse du réfrigérateur par rapport
à la surface.
Module de la force
de frottement cinétique
Défi animé 5.3
Si la force résultante change de sens,
le mouvement change-t-il de sens
immédiatement ?
160
CHAPITRE 05 — Les forces et la deuxième loi de Newton
En résumé, il y a trois possibilités lorsqu’un objet se trouve sur une surface
rugueuse :
• L’objet est immobile par rapport à la surface. La force est orientée de
manière à garder l’objet immobile par rapport à la surface ; on utilise
la première ou la deuxième loi de Newton pour la calculer.
• L’objet est sur le point de glisser.
, et est orientée de manière à
garder l’objet immobile par rapport à la surface.
• L’objet glisse.
, et
rapport à la surface.
est opposée à la vitesse de l’objet par
La figure 5.34 résume ces situations lorsqu’on applique à un objet une poussée
qui augmente.
REMARQUE
Les équations 5.18 et 5.19 ne sont pas des lois, mais des résultats
empiriques approximatifs. Ils donnent des résultats corrects. Pour
obtenir des résultats plus précis, il faudrait faire intervenir plus de
facteurs, comme le module de la vitesse, la température et le degré
d’humidité.
FIGURE 5.34
Le module de la force de frottement
lorsque la poussée sur un objet aug­
mente graduellement.
EXEMPLE 5.9
La mesure de µs
Une pièce de monnaie est placée sur une planche horizontale. On incline lentement la
planche. Lorsque l’angle entre la planche et l’horizontale atteint 14°, la pièce se met à
glisser. Calculez le coefficient de frottement statique entre la pièce et la planche.
SOLUTION
Illustrer la situation
Le diagramme des forces de la pièce est présenté à
la figure 5.35. La pièce est sur le point de glisser
lorsque
. L’accélération est nulle. Les composantes de la force gravitationnelle
sont illustrées
ci-contre.
FIGURE 5.35
Le diagramme des forces de la pièce
Décortiquer le problème
Identifier les clés
La première clé est que lorsque la pièce est sur le
point de glisser,
Nous décomposons les forces selon leurs composantes cartésiennes :
Force
Composante x
Composante y
0
N
0
(i)
La deuxième clé est la première loi de Newton, car la
pièce n’accélère pas tout à fait :
(ii)
(iii)
5.8 — La force de frottement
Résoudre le problème
161
REMARQUE
L’équation (iii) permet de calculer N :
Il n’est pas nécessaire de connaître la
masse de la pièce de monnaie pour cal­
culer le coefficient de frottement statique.
Si on ne vous donne pas la masse dans
l’énoncé d’un problème, écrivez la
deuxième loi de Newton avec une masse
inconnue m. Dans plusieurs situations,
comme celle qui fait partie du présent
exemple, la masse va se simplifier.
Nous pouvons alors utiliser les équations (i) et (ii),
et isoler μs :
(réponse)
Valider la réponse
Le signe est correct. L’ordre de grandeur de notre
réponse est le même que l’ordre de grandeur des
valeurs présentes dans le tableau 5.1.
EXEMPLE 5.10
On monte, avant de redescendre
Un enfant tire son traîneau avec une force de 6,00 N, à l’aide d’une corde, le long d’une
pente inclinée à 15,0°. Le traîneau a une masse égale à 1,00 kg, la corde forme un angle
de 25,0° par rapport au plan, et le coefficient de frottement cinétique entre le traîneau
et la neige est de 0,150. Calculez l’accélération du traîneau.
SOLUTION
Illustrer la situation
L’objet est le traîneau.
Nous traçons d’abord le
diagramme des forces,
présenté à la figure 5.36.
FIGURE 5.36
Le diagramme des forces du traîneau
Décortiquer le problème
Nous utilisons q pour désigner l’angle de la pente
et f pour exprimer l’orientation de .
Les composantes des vecteurs sont les suivantes :
Vecteur
Composante x
Composante y
0
N
0
0
162
CHAPITRE 05 — Les forces et la deuxième loi de Newton
Identifier les clés
La première clé est que la force de frottement est
une force de frottement cinétique, donnée par
l’équation 5.19, car le traîneau glisse sur la neige :
Nous insérons ce résultat dans l’équation (ii) et nous
isolons ax :
(i)
La deuxième clé est la deuxième loi de Newton,
qu’on écrit pour chaque composante :
(ii)
(iii)
Donc, l’accélération du traîneau est
Résoudre le problème
Les équations (ii) et (iii) forment un système d’équations à deux inconnues (ax et N). Nous pouvons isoler N dans l’équation (iii) :
Valider la réponse
La réponse est un vecteur, car on demande l’accélération (un vecteur). L’ordre de grandeur a du sens.
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 5.5
La figure ci-dessous représente un bloc sur un plancher rugueux, soumis successivement à une poussée
différente. Classez les situations
dans l’ordre croissant du module de la force de frottement exercée par le
plancher sur le bloc.
Les causes du frottement
Pour mieux comprendre comment une surface peut exercer une force de frottement statique ou cinétique sur un objet, on doit regarder de plus près l’objet
sur la surface. Comme le montre la figure 5.37, même si les surfaces semblent
planes, elles présentent plutôt des aspérités. Lorsque les surfaces sont grossies,
on remarque des pics et des creux. Les deux surfaces se touchent seulement à
quelques endroits.
Si on pouvait voir les surfaces d’encore plus près, on verrait des atomes composant l’objet et la surface. Aux points de contact, les atomes de l’objet et de
la surface sont suffisamment rapprochés pour produire des liaisons moléculaires. Pour que l’objet se mette à glisser, ces liaisons doivent être brisées.
Si la force de poussée n’est pas assez grande, l’objet reste immobile par rapport à la
surface. La force de frottement statique maximale augmente lorsqu’on augmente
la force normale, car cela rapproche les atomes de l’objet des atomes de la surface.
5.9 — La traînée
FIGURE 5.37
(a) Un réfrigérateur sur un plancher. (b) Une vue agrandie, où on voit qu’il y a certains points de
contact entre les surfaces. (c) Au niveau atomique, des liaisons moléculaires sont formées.
Lorsque l’objet glisse, la surface exerce une force de frottement cinétique. Les
atomes de l’objet et ceux de la surface s’attirent lorsque l’objet et la surface
passent à faible distance l’un de l’autre. La force de frottement cinétique est plus
faible que la force de frottement statique, car les atomes se déplacent trop rapidement pour que les liaisons puissent se former.
5.9
La traînée
À la section 3.8, nous avons étudié la chute verticale en négligeant la résistance
de l’air. Dans certaines situations, cette simplification est injustifiée. On doit
alors analyser la situation en ajoutant une force. Cette force de résistance est
appelée la traînée. On expérimente cette force dans la vie de tous les jours
quand on court ou qu’on fait de la bicyclette.
De façon générale, la traînée est exercée sur un objet qui se déplace dans un
fluide (un gaz ou un liquide). Cette force a les propriétés suivantes :
• La force de traînée
au fluide.
est opposée à , la vitesse de l’objet par rapport
• La force de traînée augmente avec le module de la vitesse : plus le module
de la vitesse est élevé, plus la force est grande.
Pour un objet qui se déplace dans un fluide immobile, l’expérience montre que
le module de la traînée est
(5.20)
Ici, rf est la masse volumique du fluide (pour l’air*, rair = 1,21 kg/m3). Le
facteur A représente l’aire de la section efficace de l’objet, c’est-à-dire l’aire de la
* La valeur indiquée est valable à une température de 20 °C et à une pression atmosphérique
de 101,325 kPa.
Module de la traînée
163
164
CHAPITRE 05 — Les forces et la deuxième loi de Newton
FIGURE 5.38
La section efficace de différents objets
TABLEAU 5.2
Les valeurs typiques
du coefficient de traînée
Objet
Cx
Sphère
0,5
Cube
0,8
Disque
1,1
Balle de fusil
0,3
Personne debout
1,0­1,3
Cycliste sur un vélo
0,9­1,1
Skieur
1,1­1,3
Toyota Prius (2010)
0,25
Honda Civic (2005)
0,36
Citroën 2CV (1948)
0,48
Boeing 747
0,031
projection de l’objet perpendiculaire à la vitesse. La figure 5.38 montre la section
efficace de quelques objets simples. Finalement, CX est un coefficient sans
unité qu’on appelle le coefficient de traînée. Sa valeur dépend de la forme exacte
de l’objet et de facteurs complexes comme le type d’écoulement. Plus ce facteur
est petit, plus l’objet est aérodynamique ; ce facteur doit être mesuré expérimen­
talement. Les constructeurs de voiture mesurent le coefficient de traînée de
leurs voitures en réalisant des essais en soufflerie. Le tableau 5.2 donne quelques
valeurs typiques.
On peut revenir à la chute d’un objet en tenant compte de la résistance de l’air.
La figure 5.39 illustre le diagramme des forces d’un objet qui tombe vertica­
lement dans l’air (on néglige la poussée d’Archimède). Selon la deuxième loi
de Newton,
Lorsqu’on laisse tomber l’objet, sa vitesse est nulle et la traînée est égale
à zéro. L’objet accélère vers le bas. À mesure que le module de la vitesse
augmente, la traînée augmente et le module de l’accélération diminue. Après
un certain temps, la vitesse atteint une valeur limite pour laquelle l’accéléra­
tion est nulle. Le module de la traînée est alors égal au module de la force
gravitationnelle :
FIGURE 5.39
Un objet en chute vers le bas
Module de la vitesse limite
(chute verticale)
(5.21)
5.9 — La traînée
165
Cette équation montre que plus la masse de l’objet est élevée, plus sa vitesse
limite sera grande. La figure 5.40 montre la composante y de la vitesse en fonction du temps pendant la chute.
Pour un objet qui glisse sur un plan incliné, le résultat est équivalent : la vitesse
limite augmente avec la masse et diminue avec l’aire de la section efficace. Pour
cette raison, à l’occasion d’une épreuve de descente de ski, un skieur ayant
une grande masse est favorisé par rapport à un skieur de faible masse. De plus,
le skieur doit diminuer le plus possible l’aire de sa section, en prenant par
exemple la position arrondie.
FIGURE 5.40
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 5.6
Le module de la vitesse limite d’une balle de ping-pong est de 9 m/s. À partir du haut d’un édifice, on lance une balle de ping-pong avec une vitesse
de 20 m/s vers le bas. Tracez le graphique de composante vy de la balle en
fonction du temps, en supposant que l’axe des y est orienté vers le haut.
EXEMPLE 5.11
Le graphique de la composante
de la vitesse d’un objet en chute
verticale en fonction du temps
Un risque d’orage fort
Durant certains orages forts, il tombe de la grêle plutôt que de la pluie, ce qui peut provoquer
des dommages matériels. Une goutte de pluie a un rayon de 1,5 mm, alors qu’un gros grêlon
a un rayon de 1,0 cm. Tous les deux sont des sphères (on néglige la déformation) composées
d’eau, dont la masse volumique est de 1,00 × 103 kg/m3. Le coefficient de traînée d’une sphère
lisse est égal à 0,50.
a. Calculez le module de la vitesse limite dans le cas de la goutte de pluie.
b. Calculez le module de la vitesse limite dans le cas du grêlon.
SOLUTION
Illustrer la situation
Le diagramme des forces apparaît dans la figure 5.41.
Identifier la clé
La clé est celle-ci : lorsque la vitesse atteint la valeur
limite, l’objet est à l’équilibre, et le module de la
vitesse limite est donné par l’équation 5.21 :
FIGURE 5.41
(i)
Le diagramme des forces d’une sphère qui tombe
Décortiquer le problème
Nous utilisons l’indice p pour désigner la goutte de
pluie et l’indice g pour désigner le grêlon.
L’aire de la section efficace d’une sphère est A = pR 2 ,
comme l’indique la figure 5.38. Dans le cas de la
masse, il faut la calculer en fonction de la masse
volumique et du volume d’une sphère
(ii)
166
CHAPITRE 05 — Les forces et la deuxième loi de Newton
En insérant l’équation (ii) ainsi que la valeur de l’aire
dans l’équation (i), nous obtenons
SOLUTION b.
Résoudre le problème
De même, pour le grêlon,
(iii)
(réponse)
SOLUTION a.
Résoudre le problème
Valider la réponse
Remplaçons les valeurs :
(réponse)
Les unités sont correctes. Nous avons exprimé
toutes les quantités avec les unités du SI. On re ­
marque que le module de la vitesse limite aug­
mente selon la racine carrée du rayon pour
une sphère.
RÉSUMÉ
167
RÉSUMÉ
Dans ce chapitre, nous avons étudié la dynamique relative à un objet. Nous avons vu comment trouver
le mouvement d’un objet à partir des forces appliquées sur lui.
LES DÉFINITIONS
LES LOIS ET PRINCIPES
• La force est une action d’un agent sur un autre.
• La masse est une mesure de l’inertie d’un objet.
• Un référentiel inertiel est un référentiel qui se
déplace à vitesse constante. La première et la deuxième lois de Newton peuvent être appliquées
dans ces référentiels.
• La première loi de Newton : Tout objet demeure dans
son état de repos ou son état de mouvement rectiligne uniforme, à moins de subir une force résultante non nulle.
• La deuxième loi de Newton :
• Le principe d’équivalence : La masse est la mesure
de l’inertie et la source de force gravitationnelle .
LES FORCES
La construction d’un diagramme des forces pour bien
identifier les forces et calculer leurs composantes :
•
•
1. Tracer un schéma de la situation.
•
•
est parallèle à la surface, pour garder l’objet immobile par rapport à celle-ci.
•
est opposée à , la vitesse de l’objet par rapport à la surface.
2. Tracer une courbe fermée autour du système.
3. Localiser, sur cette courbe, les points de contact où
un objet de l’environnement touche le système.
4. Tracer le vecteur accélération .
5. Représenter le système (l’objet) dans un deuxième
•
schéma.
•
6. Identifier toutes les forces agissant sur le système et
•
est opposée à , la vitesse de l’objet
par rapport au fluide.
tracer les vecteurs correspondants.
7. Tracer un système de coordonnées cartésiennes.
•
LES RÉSULTATS
• Le poids est le module de la force gravitationnelle :
• Le poids apparent est le module de la force de contact
qui soutient l’objet.
• Un objet en chute verticale atteint une vitesse limite
dont le module est :
168
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
Q questions qualitatives • E exercices simples • P problèmes •
solution disponible
Section 5.3 Le diagramme des forces
El Un ballon est frappé avec un angle q par rapport à l’hori-
zontale. Tracez le diagramme des forces du ballon dans les
airs, en négligeant la résistance de l’air.
E2 Un câble, attaché à un ascenseur, fait déplacer ce der-
nier vers le haut à vitesse constante. Tracez le diagramme
des forces de l’ascenseur.
E3 Une caisse glisse le long d’un plan incliné. La surface
du plan est rugueuse. Tracez le diagramme des forces de
la caisse dans les situations suivantes :
FIGURE 5.43 • Exercice 9
E10 On attache un bloc à deux ressorts (voir la figure 5.44).
Le bloc est sur une surface sans frottement. Le ressort de
gauche est étiré, et le ressort de droite est comprimé. Tracez
le diagramme des forces du bloc.
a. la caisse se déplace vers le haut du plan incliné ;
b. la caisse se déplace vers le bas du plan incliné.
E4 Une personne pousse un piano avec une force
orientée selon un angle q sous l’horizontale. Le plancher
est horizontal, et le piano demeure immobile. Tracez le diagramme des forces du piano.
E5 Une femme pousse un chariot d’épicerie pour monter
FIGURE 5.44 • Exercice 10
Section 5.4 La première loi de Newton
un plan incliné. Le chariot se déplace à vitesse constante.
La force de frottement est négligeable à cause des roulettes.
Tracez le diagramme des forces du chariot.
Q11 Une voiture est immobile. Subit-elle une force ?
E6 Une boîte est déposée sur le plancher d’un camion. Le
Q13 On attache un poids de 1,0 kg à un dynamomètre
frottement produit une force suffisante pour que la boîte ne
glisse pas sur le plancher. Tracez le diagramme des forces
de la boîte lorsque :
a. le camion se déplace à vitesse constante ;
b. le camion accélère vers la droite.
Q12 Un objet peut-il être en mouvement si la force résul-
tante est nulle ?
dans les trois situations illustrées à la figure 5.45. Dans
les deuxième et troisième situations, on utilise une poulie
pour changer l’orientation de la force de tension. Comme
le frottement dans la poulie est négligeable, la tension est
uniforme dans la corde. Classez les situations dans l’ordre
croissant de la valeur indiquée par le dynamomètre.
E7 Un bibelot, placé contre un mur, est retenu par un
homme qui exerce une poussée
le diagramme des forces du bibelot.
horizontale. Tracez
E8 Un pendule simple est constitué d’un objet, attaché à
une corde légère, qui suit un mouvement de va-et-vient dans
un plan vertical (voir la figure 5.42). Tracez le diagramme
des forces du pendule lorsque la corde forme un angle q par
rapport à la verticale.
FIGURE 5.45 • Question 13
FIGURE 5.42 • Exercice 8
E9 On attache un bloc à des ressorts (voir la figure 5.43).
Le bloc glisse sur une surface sans frottement, et les ressorts
sont étirés. Tracez le diagramme des forces du bloc dans
chacun des cas.
Q14 La figure 5.46 illustre, au moyen d’une vue en plon-
gée, quatre situations où un bloc sur une surface sans frottement est soumis à des forces horizontales. Le module de
chaque force peut être varié.
a. Déterminez la ou les situations dans lesquelles le bloc peut
être immobile.
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
b. Déterminez la ou les situations dans lesquelles le bloc peut
se déplacer à vitesse constante.
169
P20 Une bille d’acier de 200 g est suspendue au bout d’une
corde. On approche un aimant sans que celui-ci touche la
bille. L’aimant attire la bille au moyen d’une force magnétique horizontale. La bille est en équilibre lorsque la corde
forme un angle de 10,0° par rapport à la verticale.
a. Calculez la tension de la corde.
b. Calculez le module de la force magnétique.
P21 Une poutre d’acier ayant une masse de 500 kg est sou-
tenue par deux câbles (voir la figure 5.48). Calculez la tension dans chaque corde.
FIGURE 5.46 • Question 14
E15 Une particule soumise à trois forces se déplace
FIGURE 5.48 • Problème 21
à vitesse constante. Les forces sont
et une force
.
P22 Une commerçante veut suspendre une affiche de
E16 Trois cordes sont attachées à un anneau de masse
1,50 kg à une hauteur de 50,0 cm sous une tige de soutien.
Elle utilise une corde de 1,200 m (la corde 1) et une autre
corde de 80,0 cm (la corde 2), comme on l’indique dans la
figure 5.49. Calculez la tension dans chaque corde.
Calculez la force
.
négligeable (voir la figure 5.47). La tension T1 est égale
à 10,0 N, et la tension T2 est égale à 25,0 N.
a. Calculez l’angle θ .
b. Calculez la tension T3.
FIGURE 5.47 • Exercice 16
FIGURE 5.49 • Problème 22
E17 Une sphère d’aluminium repose au fond d’une piscine.
Section 5.6 La deuxième loi de Newton
Son rayon est de 10,0 cm. La masse volumique de l’eau est de
1,00 × 103 kg/m3 et celle de l’aluminium, de 2,70 × 103 kg/m3.
Calculez le module de la force normale exercée par le plancher
de la piscine sur la sphère.
P18 Un livre de 750 g est placé sur une table, inclinée
à 15,0°. Le livre demeure immobile.
a. Calculez le module de la force de frottement statique.
b. Calculez le module de la force normale.
P19 Un bloc de 1,50 kg glisse à vitesse constante le long
d’un plan incliné à 20,0°.
a. Calculez le module de la force de frottement cinétique.
b. Calculez le module de la force normale.
Q23 La figure 5.50 à la page suivante présente quatre situa-
tions où une rondelle glisse sur une surface horizontale sans
frottement. Les forces appliquées et la vitesse de la rondelle
sont illustrées. Donnez les signes des composantes cartésiennes de l’accélération dans chacune des quatre situations.
E24 Une rondelle de 150 g glisse sur une patinoire et par-
court une distance de 30,0 m avant de s’arrêter. Si le module
de sa vitesse initiale est de 10,5 m/s, quel est le module de la
force de frottement exercée sur la rondelle ?
E25 Une pierre de 200 g se déplace dans l’espace avec
une accélération
deux forces
et
. Elle subit
, sans force gravitationnelle. Si
, calculez la force .
170
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
P29 Une femme pousse un chariot d’épicerie dont la masse
totale est de 20,0 kg. Pour monter un plan incliné à 4,50°
par rapport à l’horizontale, elle exerce une force horizontale
dont le module est Fp = 25,0 N.
a. Calculez le module de l’accélération.
b. Calculez le module de la force normale.
P30 Un pendule est attaché au plafond d’une voiture.
Quelle est l’accélération de la voiture lorsque la corde du
pendule forme un angle de 17,9° par rapport à la verticale,
et qu’elle est orientée vers l’arrière de la voiture, par rapport
au point d’attache ?
Section 5.7 La force gravitationnelle et le poids
Q31 Un objet dont le poids est de 30 N est suspendu à l’aide
FIGURE 5.50 • Question 23
E26 Une voiture roulant à 50,0 km/h heurte une camion-
nette immobile. Durant la collision, l’avant de la voiture
se déforme pour amortir le choc. Le conducteur, qui porte
sa ceinture de sécurité, se déplace de 90,0 cm, vers l’avant
durant la collision (par rapport à la route). Le passager, qui
ne porte pas sa ceinture de sécurité, est ralenti uniquement
par le coussin gonflable sur une distance de 10,0 cm. Le
conducteur et le passager ont chacun une masse de 65,0 kg.
d’une corde dans un ascenseur. L’ascenseur se déplace vers le
bas. Dans les situations suivantes, déterminez si la tension de
la corde est égale, supérieure ou inférieure à 30 N.
a. Le module de la vitesse de l’ascenseur est constant.
b. Le module de la vitesse de l’ascenseur augmente.
c. Le module de la vitesse de l’ascenseur diminue.
E32 Un astronaute a un poids de 700 N sur la Terre. Sur la
Lune, l’accélération gravitationnelle est égale à 1,67 m/s2.
a. Quel est le poids de l’astronaute sur la Lune ?
b. Quelle est la masse de l’astronaute sur la Lune ?
a. Quel est le module de la force exercée sur le conducteur ?
c. Quelle est la masse de l’astronaute sur la Terre ?
b. Quel est le module de la force exercée sur le passager ?
E33 On plonge une sphère d’acier dans une piscine d’eau. Le
E27 Un disque de 2,50 kg, se déplaçant sur une surface
horizontale, subit les forces illustrées dans la figure 5.51.
Les modules des forces sont F1 = 10,0 N, F2 = 17,0 N,
F3 = 20,0 N et F4 = 22,0 N. Calculez le module et l’orientation de l’accélération.
diamètre de la sphère est égal à 10,00 cm (reau = 1,00 g/cm3,
racier = 7,9 g/cm3).
a. Quel est le poids de la sphère ?
b. Quel est son poids apparent ?
P34 Une personne se pèse avec un pèse-personne dans un
ascenseur. Lorsque l’ascenseur se met en mouvement, le
pèse-personne indique 621,5 N. Quand l’ascenseur ralentit,
le pèse-personne indique 456,5 N. Dans les deux situations,
l’accélération a le même module.
a. Quelle est la masse de la personne ?
b. Quelle est l’accélération lorsque l’ascenseur se met en
mouvement ?
c. Quelle est l’accélération lorsque l’ascenseur ralentit ?
FIGURE 5.51 • Exercice 27
P28 Une femme pousse un chariot d’épicerie dont la masse
totale est m. Pour monter un plan incliné à un angle f par
rapport à l’horizontale, elle exerce une force horizontale
dont le module est Fp.
Section 5.8 La force de frottement
Q35 Une boîte repose sur une surface horizontale. Les forces
et
sont appliquées, comme le montre la figure 5.52.
La boîte demeure immobile. Le module de la force
augmente graduellement.
a. Déterminez le module de l’accélération.
a. Comment le module de la force de frottement statique
change-t-il ?
b. Déterminez le module de la force normale.
b. Comment le module de la force normale change-t-il ?
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
c. Comment le module de la force de frottement statique
maximale change-t-il ?
Q36 Une boîte glisse vers la droite sur une surface hori-
zontale. Les forces
et
sont appliquées, comme le
montre la figure 5.52. Le module de la force
diminue
graduellement. Comment la force de frottement c inétique
change-t-elle ?
171
E40 Sur une patinoire, une rondelle glisse sur une distance
totale de 90 m lorsque sa vitesse initiale a un module de
9,3 m/s.
a. Quel est le module de l’accélération de la rondelle ?
b. Quel est le coefficient de frottement cinétique entre la rondelle et la patinoire ?
E41 Un bloc de 2,00 kg est contre un mur et initialement
immobile. Le coefficient de frottement statique est de 0,520,
et le coefficient de frottement cinétique est de 0,300. Une
poussée horizontale
est exercée sur le bloc, comme l’indique la figure 5.55. Le module de la poussée est de 50,0 N.
a. Calculez l’accélération du bloc.
FIGURE 5.52 • Questions 35 et 36
b. Quelle est la force exercée par le mur sur le bloc ? Le module
de la poussée
est réduit à 30,0 N.
Q37 Une boîte repose sur une surface horizontale. Une
c. Calculez la nouvelle accélération du bloc.
force
est appliquée comme l’indique la figure 5.53. La
boîte demeure immobile. On augmente graduellement
l’orientation q de la force, sans changer son module.
d. Quelle est la nouvelle force exercée par le mur sur le bloc ?
a. Comment le module de la force de frottement statique
change-t-il ?
b. Comment le module de la force normale change-t-il ?
c. Comment le module de la force de frottement statique
maximale change-t-il ?
FIGURE 5.55 • Exercice 41
P42 Une caisse de masse m repose sur un plancher. Le coef-
FIGURE 5.53 • Question 37
FIGURE 5.54 • Question 38
Q38 Une boîte repose sur une surface horizontale. Une
force est appliquée, comme l’indique la figure 5.54. La
boîte demeure immobile. On augmente graduellement
l’orientation q de la force, sans changer son module.
ficient de frottement statique entre la caisse et le plancher
est ms . Un employé exerce une force formant un angle q
par rapport à l’horizontale. Calculez le module minimal de
la force pour que la caisse se mette en mouvement dans
les situations suivantes :
a. l’employé pousse la caisse, comme à la figure 5.56a ;
b. l’employé tire la caisse, comme à la figure 5.56b.
a. Comment le module de la force de frottement statique
change-t-il ?
b. Comment le module de la force normale change-t-il ?
c. Comment le module de la force de frottement statique
maximale change-t-il ?
E39 Un meuble, dont la masse est de 50,0 kg, est immobile
sur un plancher horizontal. Un homme pousse le meuble
avec une force horizontale. Le coefficient de frottement statique entre le plancher et le meuble est de 0,48, et le coefficient de frottement cinétique est de 0,35.
a. Quel est le module de la force de poussée nécessaire pour
mettre le meuble en mouvement ?
b. Quel est le module de l’accélération du meuble une fois
que celui-ci est en mouvement si l’homme continue de
pousser avec la force calculée en a. ?
FIGURE 5.56 • Problèmes 42 et 43
P43 Une caisse de 70,0 kg repose sur un plancher. Le coeffi-
cient de frottement statique entre la caisse et le plancher est
de 0,550. Un employé exerce une force formant un angle
q = 26,0° par rapport à l’horizontale. Calculez le module
minimal de la force pour que la caisse se mette en mouvement dans les situations suivantes :
a. l’employé pousse la caisse, comme à la figure 5.56a ;
b. l’employé tire la caisse, comme à la figure 5.56b.
172
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
P44 Un père tire son enfant dans un traîneau, à l’aide d’une
corde, le long d’une pente inclinée à un angle θ = 18,5° (voir
la figure 5.57). La masse de l’enfant est de 15,0 kg, et la
masse du traîneau est de 1,2 kg. Le coefficient de frottement
statique entre le traîneau et la neige est de 0,250, et le coefficient de frottement cinétique est de 0,150. La corde forme
un angle f = 25,0° par rapport à la pente.
a. Quelle doit être la tension minimale dans la corde pour
empêcher le traîneau de descendre la pente ?
b. Quelle doit être la tension minimale pour mettre en mouvement le traîneau vers le haut de la pente ?
c. Quelle doit être la tension minimale pour que le traîneau
se déplace vers le haut de la pente à vitesse constante ?
b. Quelle est la distance d parcourue par la rondelle avant
que celle-ci redescende ?
c. Quelle est l’accélération de la rondelle lorsque celle-ci
redescend ?
d. Quel est le module de la vitesse de la rondelle lorsque
celle-ci arrive au bas du plan incliné ?
P47 Une caisse est tirée à l’aide d’une corde le long d’un plan
incliné selon un angle θ = 20,0°. La caisse a une masse
de 1,50 kg, le coefficient de frottement statique est égal à
0,300 et le coefficient de frottement cinétique est égal à
0,150. La corde forme un angle f = 30,0° par rapport au
plan incliné (voir la figure 5.59), et la caisse est initialement
immobile. Calculez l’accélération de la caisse si la tension
dans la corde est
a. T = 7,00 N ;
b. T = 10,0 N ;
c. T = 1,00 N.
FIGURE 5.59 • Problème 47
FIGURE 5.57 • Problème 44
P45 Un bloc est poussé le long d’un plan incliné à
= 20,0°, avec une force horizontale, comme le montre la
figure 5.58. Le module de la force est F = 14,7 N, et la masse
du bloc est de 850 g. Initialement au repos, le bloc acquiert
une vitesse de 8,00 m/s vers le haut du plan, en 1,53 s. Calculez le coefficient de frottement cinétique.
Section 5.9 La traînée
E48 Un parachutiste de 65,0 kg atteint une vitesse limite
dont le module est de 45,0 m/s.
a. Quelle est l’accélération du parachutiste lorsque celui-ci
saute de l’avion ? (Négligez la vitesse de l’avion.)
b. Quelle est la force de traînée lorsque sa vitesse a un
module égal à 20,0 m/s ?
c. Quelle est l’accélération du parachutiste lorsque sa vitesse
a un module égal à 20,0 m/s ?
P49 On laisse tomber une bille d’acier de 2,00 cm de
FIGURE 5.58 • Problème 45
P46 Une rondelle de bois est lancée à une vitesse de 7,50 m/s
vers le haut, à partir du bas d’un plan incliné à 16,0°. Le
coefficient de frottement cinétique entre la rondelle et le plan
est de 0,25. La rondelle parcourt une distance d avant de
s’arrêter, puis redescend vers le bas du plan.
a. Quelle est l’accélération de la rondelle lorsque celle-ci
monte le plan incliné ?
diamètre dans un lac. La masse volumique de l’acier est égale à
7,90 g/cm3, celle de l’eau est égale à 1,00 g/cm3 et le coefficient de traînée de la bille est de 0,500. Calculez le module
de la vitesse limite de la bille dans l’eau.
P50 Un skieur de 70,0 kg descend une pente inclinée à
28,0°. Le coefficient de frottement cinétique entre ses skis et
la neige est de 0,100. Calculez le module de la vitesse limite
du skieur si l’aire de sa section efficace est de 1,44 m2, que
son coefficient de traînée est de 0,80 et que la masse volumique de l’air est de 1,34 kg/m3.
SOLUTIONS AUX TESTS DE COMPRÉHENSION
173
SOLUTIONS AUX TESTS DE COMPRÉHENSION
5.1 a.
b.
5.2 a.
La force résultante est la somme vectorielle de et de . Nous plaçons
les deux vecteurs bout à bout.
est le vecteur qui va de l’origine de
jusqu’à l’extrémité de .
On trace les vecteurs avec leurs origines sur le cercle représentant l’objet.
La force résultante est obtenue par la méthode du parallélogramme : les
forces et
forment les bases d’un parallélogramme.
est la diagonale issue de l’origine des vecteurs et .
L’objet est immobile, donc
La somme de
et de
On peut alors écrire
donne une force de
L’opposé de cette force est
b.
L’objet se déplace à vitesse constante, donc
même situation qu’en a.
.
.
C’est la
5.3
L’accélération a la même orientation que la force résultante, selon la
deuxième loi de Newton. Nous avons calculé
à l’aide de la méthode
du polygone. La vitesse de l’objet ne sert pas à trouver l’accélération.
5.4
Dans la chute libre,
et l’équation (i) donne
. Physiquement, l’ascenseur tombe en même temps que la personne ; il n’y a pas
de contact entre le plancher et la personne.
5.5
En (ii), la force de frottement est nulle, car il n’y a pas d’autre force ayant
une composante horizontale. Aux situations (i) et (iv), le bloc glisse, alors
. En (iii), la force de frottement est égale à la force de frottement
statique maximale
, dont le module est
. En
général,
, et alors
.
5.6
Le module de la vitesse initiale est plus grand que le module de la vitesse
limite. Alors, le module de la traînée est plus grand que le module de
la force gravitationnelle. La force résultante est vers le haut, ce qui
donne une accélération avec une composante positive ay > 0 (la pente
de la courbe est positive). Cette accélération est opposée à la vitesse,
ce qui diminue le module de la vitesse graduellement, jusqu’à ce que
la vitesse limite soit atteinte.
Chapitre
174
Les interactions
et la troisième loi
de Newton
Buts du chapitre
Ce chapitre porte sur l’étude de la dynamique des systèmes en interaction.
Après l’étude de ce chapitre, vous serez en mesure :
• d’identifier les paires action-réaction ;
• de comprendre et utiliser la troisième loi de Newton ;
• d’utiliser les deuxième et troisième lois de Newton pour résoudre
des problèmes faisant intervenir des systèmes en interaction ;
• de résoudre des problèmes faisant intervenir des cordes et des poulies.
Préalables
Ce chapitre est la suite du chapitre précédent. Revoyez :
• le répertoire de forces, présenté à la section 5.2 ;
• les diagrammes des forces, expliqués à la section 5.3 ;
• la force de frottement, présentée à la section 5.8.
175
Les joueurs de football
adverses exercent l’un sur
l’autre des forces d’interaction.
UN PEU D’HISTOIRE
Le dernier mot et le premier mot : Newton formule
les lois mathématiques de la physique
Au moment où il publie ses Principia en 1687 (dont le
titre complet se traduit par Principes mathématiques
de la philosophie naturelle), le physicien, mathématicien et astronome Isaac Newton (1642-1727) est déjà
professeur à Cambridge, au Royaume-Uni, depuis
1669. C’est une période de grandes avancées scientifiques, alors que la génération précédente, dont
notamment Galilée et Kepler, a établi des observations et des calculs qui servent de base aux travaux
scientifiques subséquents.
De fil en aiguille, Newton complète donc ses calculs
et développe des démonstrations qui lui permettront
d’accoucher d’un ouvrage fondateur : ses fameux
Principia. L’importance de ce livre, c’est qu’il établit
le lien entre la pratique et la théorie, mais aussi entre le
passé et le futur, entre la géométrie et le calcul infinitésimal, et entre la mécanique et la physique.
Les savants de l’époque sont souvent des hommes
pratiques. Galilée (1564-1642) perfectionne la
lunette astronomique. Son étude du mouvement
s’inspire de ses tentatives d’analyser la trajectoire des boulets de canon, tandis que ses travaux sur la résistance des matériaux s’enracinent
dans un autre défi militaire : la construction de
galères géantes à Venise, qui exige une meilleure
compréhension des caractéristiques des rames
requises par ces nouveaux vaisseaux de guerre.
Isaac Newton (1642-1727)
Quant à Newton, il fabrique le premier télescope
astronomique ; plus tard, il dirigera la Monnaie
royale d’Angleterre, où il mènera la vie dure aux
faux-monnayeurs.
Si ces savants connaissent bien le monde des objets,
ils vivent aussi dans le monde des chiffres, de la
géométrie pure et de la logique abstraite. Galilée
et Newton citent souvent des expériences et des
exemples concrets : navires, plans inclinés, pendules... Mais ils appartiennent aussi à une tradition
intellectuelle qui remonte à Aristote (−384 à −322).
L’étude du mouvement des corps sous l’influence
des forces qui s’exercent sur eux n’a pas été inventée par Newton. Le texte latin des Principia et les
démonstrations géométriques rattachent l’ouvrage
au passé, mais l’usage du calcul infinitésimal prépare l’avenir.
En effet, Newton découvrira alors la loi de la gravitation universelle, qu’on peut décrire comme une
force responsable de la chute des corps et du mouvement des corps terrestres. L’attraction qu’exerce une
planète comme la Terre sur son satellite naturel, la
Lune, ou sur des objets près de sa surface, s’explique
par cette loi.
Ce qui fait la grandeur de la dynamique de Newton,
c’est qu’elle part d’axiomes élémentaires pour
aboutir à la gravitation universelle. Les Principia
unifient la mécanique (associée aux mouvements
produits par des actions humaines) et la physique
(associée aux mouvements naturels, comme la
chute des corps). La troisième loi est la plus originale, puisque les deux premières étaient redevables
à Galilée, à Descartes et à Huygens. Elle s’avère
également cruciale pour élaborer le concept d’attraction mutuelle entre les corps célestes, ce qui
permet à Newton de démontrer que l’opération
de cette force entre la Terre et la Lune possède les
mêmes caractéristiques que la gravité, responsable de
la chute des corps sur Terre. La gravitation est donc
universelle et la dynamique terrestre s’étend désormais aux phénomènes célestes.
6.1 — Les interactions
Dans le chapitre précédent, nous avons résolu des problèmes de dynamique :
pour connaître l’accélération d’un objet, nous identifions les forces exercées sur l’objet, puis nous appliquons la deuxième loi de Newton. Cette méthode
fonctionne très bien dans le cas d’objets isolés, mais comment faire pour trouver
les forces lorsque plusieurs objets exercent des forces l’un sur l’autre ? Quand, au
football, le joueur en foncé pousse le joueur en blanc (voir l’ouverture du chapitre),
de quelle façon son mouvement est-il modifié ? Le joueur en blanc pousse aussi le
joueur en foncé. Les deux joueurs de football sont en interaction : ils exercent une
force l’un sur l’autre.
Il existe plusieurs autres exemples de systèmes en interaction : lorsqu’on frappe
un clou avec un marteau, ce dernier exerce une force sur le clou pour l’enfoncer, et
le clou exerce une force sur le marteau pour l’arrêter. De même, la Terre attire la
Lune, ce qui la fait tourner autour de la Terre ; et la Lune attire la Terre, ce qui produit les marées. La deuxième loi de Newton n’étant pas suffisante pour étudier les
systèmes en interaction, la troisième loi de Newton est présentée dans ce chapitre.
Celle-ci est également connue sous le nom de « principe d’action-réaction ».
6.1
Les interactions
La figure 6.1 illustre un marteau qui frappe un clou. Le marteau exerce une
force vers la droite sur le clou pour l’enfoncer. En même temps, le marteau
s’arrête rapidement. Le marteau subit une force qui provoque cette grande décélération. C’est le clou qui exerce cette force vers la gauche. Le marteau et le clou
interagissent ; ils exercent une force l’un sur l’autre.
Les forces viennent toujours par paires, comme le montre la figure 6.2. Pour
bien distinguer les deux forces formant une paire, on utilise dans ce manuel une
notation à deux indices séparés par une flèche vers la gauche. Le premier indice
désigne l’objet qui subit la force, la flèche vers la gauche est présente pour se
souvenir que la force est exercée sur l’objet, et le deuxième indice désigne l’agent
qui applique la force.
se lit ainsi : la force sur A par B. Lorsque la force
est exercée sur un corps A par un corps B, une force
est toujours exercée
simultanément sur l’objet B par l’objet A. Pour faciliter l’analyse, on appelle A
l’objet et la force
est l’action, alors que l’objet B est l’agent et la force
est appelée la réaction. Les deux forces formant une paire action-réaction, on dit
que les deux objets sont en interaction. Comme le montre la figure 6.2, l’action
et la réaction sont des forces opposées. De plus, elles sont de même nature : si
est une force de frottement, alors
est aussi une force de frottement.
FIGURE 6.1
Un marteau frappe (l’action) un
clou, et le clou exerce une force
(la réaction) sur le marteau.
On peut dire ceci : dans la situation où le marteau frappe le clou, l’action est la
force que le marteau (l’agent) exerce sur le clou (l’objet). Il y a donc nécessairement une force de réaction que subit le marteau et qui est causée par le clou. On
peut inverser la situation et dire ce qui suit : l’action est la force que le clou
exerce sur le marteau, et la réaction est la force que le marteau exerce sur le
clou. Les deux interprétations sont valables et tout à fait équivalentes. En général, on choisit l’interprétation qui convient le mieux au point de vue adopté.
MISE EN GARDE
Dans une paire action-réaction, la force d’action et la force de réaction s’exercent toujours sur des systèmes différents, par exemple
l’action qui s’exerce sur le clou et la réaction sur le marteau, ou
inversement. De plus, elles sont de même nature.
FIGURE 6.2
Deux situations où les forces
et
forment une paire
action-réaction.
177
178
CHAPITRE 06 — Les interactions et la troisième loi de Newton
La propulsion
Lorsqu’on marche, on exerce une poussée sur le sol, comme le montre la
figure 6.3a. Cette poussée est une force de frottement statique
, exercée
sur le sol par le marcheur, et elle est orientée vers l’arrière. En réaction, le sol
exerce sur le marcheur une force
, la force sur le marcheur par le sol, vers
l’avant. C’est la force qui permet au marcheur d’avancer, car elle est exercée sur
lui. La force exercée sur le sol est une force de frottement statique ; le pied ne
glisse pas sur le sol lorsqu’on marche. Si la surface est glissante, comme un trottoir gelé, il est alors difficile d’avancer parce que la force de frottement statique
maximale est faible.
Une automobile qui avance (voir la figure 6.3b) exerce aussi une force de frottement statique
sur le sol, vers l’arrière. La force qui fait avancer est la
réaction de cette force, soit la force de frottement statique
exercée sur l’automobile par le sol. Le point de contact entre le pneu et la route est immobile.
Nous reviendrons en détail sur ce point lorsque nous étudierons le mouvement
de roulement au chapitre 11.
Une fusée volant dans les airs ne s’appuie pas sur le sol. Pour accélérer vers le
haut, elle propulse à grande vitesse des gaz vers le bas avec une force
. En
réaction, les gaz exercent sur la fusée une force
orientée vers le haut (voir
la figure 6.3c), qui propulse la fusée.
FIGURE 6.3
(a) Un marcheur pousse le sol vers
l’arrière ; le sol le pousse vers
l’avant.
(b) Une automobile pousse le sol
vers l’arrière ; le sol pousse
l’automobile vers l’avant.
(c) Une fusée pousse des gaz vers
le bas ; les gaz poussent la fusée
vers le haut.
6.2 — L’identification des paires
6.2
179
L’identification des paires
À partir de la figure 6.4a, qui montre un livre reposant sur une étagère, regardons en détail les forces exercées sur le livre (l’objet). Le diagramme des forces
du livre est illustré à la figure 6.4b. Dans le cas présent, il est important de bien
identifier l’objet et l’agent d’une force. Pour ce faire, on utilise la notation avec
indices afin d’indiquer clairement l’objet et l’agent. L’expression
désigne
la force normale exercée sur le livre, et
désigne la force gravitationnelle
exercée sur le livre par la Terre. Dans cet exemple, la force normale et la force
gravitationnelle sont opposées. Peut-on dire que ces forces forment une paire
action-réaction ? Non, car elles s’exercent toutes les deux sur le même objet (le
livre) et ne sont pas de même nature.
Pour trouver la réaction de la force normale
, il faut inverser l’objet et l’agent.
Cette réaction est la force normale sur l’étagère par le livre
; elle est opposée
à
, c’est-à-dire vers le bas. Donc, le livre pousse sur l’étagère avec une force
orientée vers le bas. La réaction de la force gravitationnelle
est la force gravitationnelle
. Cette force est exercée sur le centre de la Terre et est orientée
vers le haut (opposée à
). La Terre est attirée vers le haut par le livre.
FIGURE 6.4
(a) Un livre repose sur une étagère.
(b) Le diagramme des forces du livre,
incluant les paires action-réaction.
REMARQUE
Pour déterminer si deux forces constituent bien une paire actionréaction, vérifiez si les indices des deux forces sont les mêmes, mais
dans le sens inverse.
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 6.1
Dans la situation illustrée à la figure 6.4, l’étagère subit aussi une force
normale
, exercée vers le haut par le sol. Parmi les forces suivantes,
déterminez quelle est la réaction de cette force et quelle est l’orientation
de cette réaction :
(i)
, orientée vers le bas ;
(ii)
, orientée vers le haut ;
(iii)
, orientée vers le bas ;
(iv)
, orientée vers le bas.
180
CHAPITRE 06 — Les interactions et la troisième loi de Newton
Il est important de pouvoir identifier toutes les paires action-réaction dans une
situation donnée. La technique 6.1, présentée ci-dessous, décrit la procédure
à suivre.
TECHNIQUE 6.1 L’identification des paires action-réaction
1. Dessiner les objets séparément. Respectez leur position relative.
N’oubliez pas les objets comme le sol ou le centre de la Terre. Faites
une légende pour bien associer les symboles aux objets.
2. Tracer toutes les forces en respectant leurs points d’application. Uti-
lisez les symboles usuels
, avec les indices désignant l’objet
et l’agent : la force
est la force exercée sur A par B.
3. Regrouper les paires dans un tableau. Les membres d’une paire
sont des forces de même nature, avec des orientations opposées ; elles
ont le même symbole avec des indices inversés.
EXEMPLE 6.1
Une pièce de monnaie qui glisse
La figure ci-contre montre une pièce de monnaie qui glisse vers
la droite sur le sol horizontal rugueux (avec frottement). Identifiez
toutes les paires action-réaction relativement à la pièce de monnaie.
Considérez que la force qui a mis la pièce en mouvement n’est plus
appliquée sur celle-ci.
SOLUTION
Illustrer la situation
1. Il y a trois objets : la pièce (p), le sol (s) et le centre
de la Terre (T).
2. La pièce subit trois forces : la force normale
et la force de frottement cinétique
,
toutes les deux exercées par le sol, et la force
gravitationnelle
exercée par la Terre. Le
sol subit les forces exercées par la pièce
et
. Finale ment, le centre de la Terre subit
la force gravita tionnelle
, qui est exercée
par la pièce. La figure 6.5 présente l’identification des paires. Les membres d’une paire
sont tracés avec la même couleur pour faciliter
l’identification.
3. La figure 6.5 présente les trois paires action-
réaction.
Valider la réponse
Toutes les forces font partie d’une paire. Les membres
d’une paire sont des forces opposées.
FIGURE 6.5
L’identification des paires pour une pièce
qui glisse
Paires
6.3 — La troisième loi de Newton
EXEMPLE 6.2
La protection du quart arrière
Un joueur de football de ligne pousse un joueur adverse
pour l’empêcher de se rendre jusqu’au quart arrière. Identifiez les paires action-réaction.
SOLUTION
Illustrer la situation
1. Il y a quatre objets : le joueur offensif (o)
en rouge, le joueur défensif (d) en bleu, le
sol (s) et la Terre (T).
2. Chaque joueur pousse le sol vers l’ar-
rière et pousse l’autre joueur vers l’avant.
Donc, chaque joueur est poussé par l’adversaire (vers l’arrière) et il est poussé
par le sol (vers l’avant). Chaque joueur
subit une force normale, exercée par le
sol, et une force gravitationnelle, exercée
par la Terre. Les forces sont illustrées à la
figure 6.6.
FIGURE 6.6
L’identification des paires lorsque deux joueurs de football se poussent
3. Il y a sept paires action-réaction, illus-
trées par des couleurs différentes dans la
figure 6.6 :
Valider la réponse
Toutes les forces font partie d’une paire.
Les membres d’une paire sont des forces
opposées.
6.3
La troisième loi de Newton
Dans les sections précédentes, nous avons vu que chaque force fait toujours
partie d’une paire action-réaction. L’action et la réaction sont des forces de
sens opposés qui s’appliquent sur des objets différents. Pour résoudre les problèmes d’interaction, nous avons aussi besoin de connaître la relation entre les
modules d’une paire. C’est Isaac Newton qui a établi cette relation. Dans son
ouvrage Principia, il écrit :
L’action est toujours égale et opposée à la réaction ; c’est-à-dire que les
actions de deux corps l’un sur l’autre sont toujours égales, et dans des
sens contraires.
Pour arriver à cet énoncé, Newton a réalisé des expériences où des pendules
entraient en collision. La figure 6.7 présente un extrait de son ouvrage dans
lequel il explique les manipulations effectuées à l’aide d’un schéma.
FIGURE 6.7
Un extrait de Principia
181
182
CHAPITRE 06 — Les interactions et la troisième loi de Newton
On peut donc dire que, selon la troisième loi de Newton, si un objet A subit une
force d’action
par l’agent B, alors l’agent B subit une force de réaction
par l’objet A (voir la figure 6.8) ; les deux objets sont en interaction. Les forces
et
forment une paire action-réaction ayant les propriétés suivantes :
• Les forces
FIGURE 6.8
Lorsque A et B sont en interaction,
les forces
et
ont le même
module et des sens opposés.
et
s’appliquent sur des objets différents.
• Les forces ont le même module :
• Les forces ont la même direction et des sens opposés.
On peut résumer l’information contenue dans cet encadré à l’aide de l’équation
vectorielle suivante :
Troisième loi de Newton (le
principe d’action-réaction)
(6.1)
Le signe négatif indique que les forces sont de sens opposés.
Dans le diagramme des forces, l’orientation de chaque force est indiquée, et on
en tient compte lorsqu’on applique la deuxième loi de Newton. Ainsi, on insère
un signe « moins » si la composante de la force est opposée au sens de l’axe. Cette
stratégie permet de trouver l’orientation des forces dans le diagramme des forces.
Quand on résout des problèmes d’interaction, il ne reste qu’à appliquer la troisième
loi de Newton pour mettre en relation les modules d’une paire action-réaction :
(6.2)
Troisième loi de Newton (modules)
REMARQUE
Dans la notation
, la flèche vers la gauche en indice est utilisée pour
indiquer clairement que la force est exercée sur l’objet A par l’agent B.
Cette notation est utile lorsque les deux objets en interaction font partie
du problème. Lorsqu’on a besoin uniquement du module de la force, la
distinction entre l’objet et l’agent n’est plus essentielle, car le module de
l’action et le module de la réaction sont égaux. On peut alors simplifier
la notation en enlevant la flèche vers la gauche en indice.
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 6.2
Un livre (l) est placé sur une étagère (é) qui
se trouve dans l’ascenseur (voir l’illustration
ci-contre). L’ascenseur accélère vers le haut.
Classez les forces suivantes dans l’ordre croissant de leur module :
On peut résoudre les problèmes qui font intervenir des objets en interaction à
l’aide de la stratégie suivante, dans laquelle on utilise les deuxième et troisième
lois de Newton.
6.3 — La troisième loi de Newton
STRATÉGIE 6.1
183
Les objets en interaction
Illustrer la situation
Tracez un schéma de la situation dans laquelle vous identifiez les objets
ou les systèmes d’intérêt. Pour chaque objet, tracez le diagramme des
forces, selon la technique 5.1 de la page 139. Identifiez les paires actionréaction. Vous pouvez choisir un système de coordonnées différent pour
chacun des objets.
Décortiquer le problème
Identifiez les quantités connues et inconnues. Décomposez les forces
selon leurs composantes.
Identifier les clés
La première clé est la deuxième loi de Newton, écrite séparément
pour chaque objet. Utilisez des indices pour ne pas confondre les
masses et les accélérations. La deuxième clé est la troisième loi de
Newton. Pour chaque paire identifiée, les modules des forces sont
égaux :
(6.2)
Résoudre le problème
Insérez les équations de la troisième loi de Newton dans les équations obtenues avec la deuxième loi de Newton. Résolvez le système
d’équations.
Valider la réponse
Vérifiez que vous répondez bien à la question. Est-ce que l’ordre de
grandeur a du sens ? Est-ce que les vecteurs ont l’orientation prévue ?
EXEMPLE 6.3
Attention, c’est glissant !
Une femme marche sur un trottoir glacé incliné selon un angle de 5,0°. Le coefficient de frottement statique est de 0,10. Calculez le module de l’accélération maximale de la femme.
SOLUTION
Illustrer la situation
Pour avancer, la femme pousse le trottoir avec
une force de frottement statique
, orientée vers
FIGURE 6.9
Le diagramme des forces pour la femme
l’arrière. La force de réaction est la force de frottement statique
, exercée sur la femme par le
trottoir. La figure 6.9 présente le diagramme des
forces de la femme.
184
CHAPITRE 06 — Les interactions et la troisième loi de Newton
Décortiquer le problème
Résoudre le problème
Nous pouvons isoler Nft dans l’équation (ii) :
(iv)
Identifier les clés
La première clé est la troisième loi de Newton : la
femme pousse sur le trottoir avec une force de frottement statique
, vers l’arrière. La réaction du
trottoir est une force de frottement
, exercée sur
la femme, vers l’avant.
C’est cette force qui fait avancer la femme. La deuxième
clé est la deuxième loi de Newton, appliquée à la
femme :
En insérant ce résultat et l’équation (iii) dans l’équation (i), nous obtenons
La masse de la femme se simplifie (le principe d’équivalence est encore en œuvre ici). Nous obtenons le
module de l’accélération a :
(i)
(réponse)
(ii)
Puisque nous cherchons la plus grande accé lération possible, la troisième clé est que la force
de frottement statique doit être égale à sa valeur
maximale :
(iii)
EXEMPLE 6.4
Valider la réponse
La réponse obtenue est positive, car un module est
toujours une quantité positive. Le module de l’accélération est très faible, parce qu’il est difficile d’avancer sur un trottoir glacé. Ce résultat est indépendant
de la masse de la femme.
Deux boîtes en contact
Une boîte A de 3,0 kg est placée contre une boîte B de 1,5 kg. Les deux boîtes sont sur un
plancher sans frottement. On applique une force
vers la droite sur la boîte A.
a. Calculez l’accélération de la boîte A.
b. Calculez la force de la boîte B sur la boîte A.
c. Calculez la force de la boîte A sur la boîte B.
SOLUTION
Illustrer la situation
Nous devons faire un diagramme des forces
pour chaque boîte (voir la figure 6.10). Comme les
boîtes sont en contact, elles exercent l’une sur l’autre
des forces d’interaction
et
; ces forces
forment une paire action-réaction. La boîte A pousse
la boîte B vers la droite, ce qui implique que la boîte B
pousse la boîte A vers la gauche.
Décortiquer le problème
Dans ce problème, nous limitons l’analyse à la
composante x, car les inconnues sont des vecteurs
ayant uniquement une composante horizontale.
6.3 — La troisième loi de Newton
185
FIGURE 6.10
Le diagramme des forces pour chaque boîte
Il est important de remarquer ici que les boîtes sont
en contact, ce qui implique qu’elles ont la même
accélération, ce que nous notons ax :
(i)
Si les accélérations étaient différentes, soit la boîte A
entrerait dans la boîte B, soit la boîte B se déplacerait
plus rapidement que la boîte A et il n’y aurait plus
de contact.
SOLUTION a.
Résoudre le problème
En additionnant les équations (ii) et (iii) et en utilisant les équations (i) et (iv), nous obtenons
L’accélération de la boîte A est donc
Identifier les clés
La première clé est la deuxième loi de Newton, appliquée aux deux boîtes séparément :
(boîte A)
(ii)
(boîte B)
(iii)
(réponse)
SOLUTION b.
Résoudre le problème
Nous insérons le résultat précédent dans l’équation (ii) :
REMARQUE
Lorsqu’on applique la deuxième loi de
Newton à la boîte A, on doit utiliser la
masse de la boîte A dans le membre droit de
l’équation. On procède de la même façon
avec la boîte B: dans la deuxième équation,
c’est la masse de la boîte B qui se retrouve
dans le membre droit de l’équation.
La force sur A par B est donc
(réponse)
SOLUTION c.
Résoudre le problème
Selon l’équation (iii) et le diagramme des forces de la
figure 6.10, la force exercée sur B par A est
MISE EN GARDE
est appliquée uniquement sur l’objet A.
(réponse)
La deuxième clé est la troisième loi de Newton. Les
forces
et
forment une paire action-réaction.
Selon l’équation 6.2, leurs modules sont égaux :
(iv)
Valider la réponse
Les réponses sont des vecteurs horizontaux ; l’ordre
de grandeur des réponses a du sens. Les réponses
sont données avec deux chiffres significatifs, car les
masses ne comportent que deux chiffres significatifs.
186
CHAPITRE 06 — Les interactions et la troisième loi de Newton
La contrainte d’accélération
L’exemple précédent fait intervenir un résultat important dans l’étude des objets en
interaction. Lorsqu’un objet A a le même déplacement qu’un objet B à tout instant,
ces objets ont la même vitesse à tout instant et donc ils ont la même accélération :
(6.3)
On obtient le même résultat quand les objets sont reliés de façon rigide, comme
la locomotive et le wagon illustrés dans la figure 6.11 : l’accélération de la locomotive est égale à l’accélération du wagon.
FIGURE 6.11
L’accélération de la locomotive est égale à l’accélération du wagon.
Il y a aussi une contrainte pour l’accélération lorsque deux objets exercent
l’un sur l’autre une force de frottement statique. La figure 6.12 montre un
camion qui transporte une boîte. La force de frottement statique exercée par
le camion sur la boîte est suffisante pour que celle-ci demeure immobile par rap port au camion. Même si le camion accélère, la boîte a la même accélération :
Cependant, si la boîte se met à glisser, alors son accélération ne sera plus égale
à celle du camion.
FIGURE 6.12
L’accélération de la boîte et l’accélération du camion sont égales si la boîte ne glisse pas.
6.3 — La troisième loi de Newton
EXEMPLE 6.5
187
Jeu d’hiver
Un enfant tire son traîneau le long d’une surface horizontale à l’aide d’une
corde horizontale. Il a placé un bloc de neige de 1,50 kg dans le traîneau. La masse du
traîneau est de 1,00 kg. Le coefficient de frottement statique entre le traîneau et le bloc
de neige est de 0,20, et le coefficient de frottement cinétique entre le traîneau et le sol
est de 0,10. Lorsque l’enfant tire le traîneau, le bloc de neige est sur le point de glisser
dans le traîneau. Quelle est la tension dans la corde ?
SOLUTION
Illustrer la situation
Décortiquer le problème
Le diagramme des forces du traîneau et du bloc de
neige est présenté dans la figure 6.13. Le sens de la
force de frottement statique sur le bloc de neige est
vers l’avant de manière à ce que celui-ci ne glisse
pas vers l’arrière par rapport au traîneau.
Le bloc de neige ne glisse pas sur le traîneau. Il a le
même déplacement que le traîneau. Donc, les deux
objets ont la même accélération, qui est horizontale :
FIGURE 6.13
Le diagramme des forces du bloc de neige et du traîneau
Identifier les clés
La première clé est la deuxième loi de Newton, appliquée séparément au bloc de neige et au traîneau :
(bloc)
(traîneau)
La deuxième clé est la troisième loi de Newton :
(i)
(ii)
La troisième clé est que le module de la force de frottement est relié au module de la force normale. Nous
obtenons, pour la force de frottement cinétique exercée sur le traîneau :
(v)
(iii)
De plus, le bloc de neige est sur le point de glisser. La
force de frottement statique sur le bloc est égale à
la force de frottement statique maximale :
(iv)
(vi)
Résoudre le problème
La tension T apparaît dans l’équation (iii),
mais cette équation contient plusieurs inconnues.
188
CHAPITRE 06 — Les interactions et la troisième loi de Newton
Nous utilisons les autres équations pour trouver
ces inconnues. D’abord, l’équation (ii) permet de
calculer Nbt :
En insérant les résultats des équations (v), (vii), (viii)
et (ix) dans l’équation (iii), nous obtenons
(vii)
L’équation (i) permet de calculer ax, après avoir utilisé l’équation (vi) :
(viii)
L’équation (iv) permet de calculer Nts :
Valider la réponse
Nous trouvons bien une valeur positive pour la tension, car la tension représente le module d’une force.
L’ordre de grandeur est correct. Remarquez que
nous avons omis d’utiliser la flèche vers la gauche en
indice pour alléger les équations.
(ix)
Les forces internes
Un système peut être constitué de plusieurs objets. Quand les objets ont tous la
même accélération, il est possible d’analyser le mouvement du système comme
un seul objet. Les forces d’interaction entre les éléments du système n’ont pas
à être incluses dans les équations du système complet, car ce sont des forces
internes. Cette analyse permet par exemple de calculer l’accélération du système (égale à l’accélération des objets formant le système). Par contre, si on veut
calculer une force d’interaction, alors il faut analyser un élément du système
de telle sorte que la force inconnue apparaisse dans le diagramme des forces,
mais pas sa réaction. L’exemple suivant illustre comment un choix approprié de
l’objet à analyser simplifie le calcul.
EXEMPLE 6.6
Prochaine station...
Une rame de métro est constituée de trois voitures, ayant chacune une masse
de 3,0 × 104 kg (incluant les passagers). La voiture de tête est une voiture motrice,
qui pousse la voie ferrée vers l’arrière avec une force de 43 kN.
a. Calculez le module de l’accélération de la voiture motrice.
b. Calculez la force exercée sur la voiture du centre par la voiture motrice.
SOLUTION a.
Illustrer la situation
La voiture motrice (m), la voiture centrale (c) et la
voiture de queue (q) ont la même accélération qui
est l’accélération de la rame de métro. Nous pouvons trouver cette accélération en choisissant la rame
complète comme objet. Le diagramme des forces est
présenté à la figure 6.14.
Décortiquer le problème
La masse du système est la masse totale de la rame :
(i)
6.3 — La troisième loi de Newton
189
FIGURE 6.14
Le diagramme des forces de la rame de métro contient une seule force horizontale :
sur la voiture motrice par le sol.
Identifier les clés
La première clé est la deuxième loi de Newton, appliquée au système. Seule la composante x est utile :
(ii)
La deuxième clé est la troisième loi de Newton : la
voiture motrice pousse la voie ferrée avec une force
. La force exercée par la voie ferrée sur la voiture
motrice est
, et son module est
(iii)
Résoudre le problème
Nous isolons l’accélération dans l’équation (ii) :
, la force
SOLUTION b.
Illustrer la situation
Pour calculer la force
exercée sur la voiture centrale par la voiture motrice, nous pouvons analyser
le mouvement de la voiture centrale. Cependant, le
diagramme des forces de la voiture centrale, illustré à
la figure 6.15, donne une équation avec deux inconnues : la force de la voiture motrice
et la force
exercée par la voiture de queue
. À la place, nous
analysons le mouvement de la voiture motrice. La voiture centrale exerce la force
, la réaction de
(la force de voiture motrice sur la voiture centrale). Le
diagramme des forces de la voiture motrice apparaît
à la figure 6.15.
Décortiquer le problème
Le module de l’accélération de la voiture motrice est
donc :
Cette fois-ci, il faut utiliser seulement la masse de la
voiture centrale, car c’est l’objet qui nous intéresse.
(réponse)
FIGURE 6.15
Le diagramme des forces pour la voiture centrale et pour la voiture motrice
190
CHAPITRE 06 — Les interactions et la troisième loi de Newton
Identifier les clés
Selon la deuxième loi de Newton pour la composante x,
La voiture motrice tire sur la voiture centrale. Alors,
(réponse)
(iv)
De plus, selon la troisième loi de Newton,
Valider la réponse
(v)
Résoudre le problème
Avec l’accélération calculée dans la partie a., nous in­
sérons l’équation (v) dans l’équation (iv), et nous
isolons Fcm :
6.4
Nous avons bien répondu aux questions. L’ordre de
grandeur des réponses semble correct. Si nous avi­
ons analysé chaque objet séparément dans la par­
tie a., nous aurions eu trois diagrammes des forces
avec un système de trois équations à trois inconnues.
Dans la partie b., nous aurions aussi pu analyser
le système constitué des deux dernières voitures. La
seule force extérieure horizontale est alors
.
Les cordes et les poulies
Une corde permet de relier deux objets en interaction. À la section 5.2 (voir la
page 132), nous avons vu qu’une corde tendue exerce une force de tension. Il y
a une force de tension aux deux extrémités. La figure 6.16 illustre un gymnaste
aux anneaux. Chaque anneau est relié au plafond à l’aide d’une corde. Lorsque
la corde est tendue, elle exerce une force
sur l’anneau. La corde exerce
aussi une force
sur le plafond, à l’autre extrémité. Ces deux forces sont
différentes : la figure montre qu’elles n’ont pas le même sens. Par contre, on
peut dire que ces deux forces exercées par la même corde ont le même module
lorsque les conditions suivantes sont respectées :
• la masse de la corde est négligeable par rapport aux autres objets ;
• l’étirement de la corde est négligeable.
FIGURE 6.16
La corde exerce une force
sur l’anneau et une force
le plafond.
sur
On dit alors que la corde est idéale. Si la masse de la corde est importante, il faut
alors l’analyser comme un objet en soi. Si la corde s’étire, alors elle se comporte
comme un ressort.
Les poulies fixes
Une poulie fixe est une poulie dont l’axe de rotation reste immobile. Elle permet
de changer l’orientation d’une corde. Par exemple, dans la figure 6.17, la corde
tire le bloc 1 vers la droite avec une force
, et elle tire le bloc 2 vers le haut avec
une force
. La tension de la corde est la même sur toute la longueur de la corde
(
) si la corde est idéale et que les conditions suivantes sont
respectées :
FIGURE 6.17
La corde exerce une force
une extrémité et une force
à l’autre extrémité.
à
• la masse de la poulie est négligeable ;
• la poulie tourne sans frottement autour de son axe.
6.4 — Les cordes et les poulies
À moins d’avis contraire, on suppose que toutes ces conditions sont respectées. On dit alors que la poulie est « idéale ». Dans le chapitre 11, au moment
d’étudier la rotation, la masse de la poulie ne sera plus considérée comme
négligeable.
Les deux objets reliés par la poulie n’ont pas le même mouvement. Les
accélérations des deux objets ne sont pas égales parce qu’elles n’ont pas
la même orientation. Cependant, elles ont le même module. À partir du
mouvement des deux objets, on peut trouver une relation entre les composantes des accélérations. Par exemple, à la figure 6.18a, l’objet 1 monte
(
), alors que l’objet 2 descend (
). Les accélérations ont le
même module, alors
Dans la figure 6.18b, le mouvement de l’objet 1 s’effectue vers la droite, et le
mouvement de l’objet 2 s’effectue vers le bas. On obtient
FIGURE 6.18
Lorsqu’une poulie fixe est utilisée, les accélérations des objets ont le même module.
EXEMPLE 6.7
La machine d’Atwood
Pour illustrer l’application des lois de Newton, le physicien britannique George
Atwood (1745-1807) a inventé un appareil appelé la machine d’Atwood. Une machine d’Atwood est
constituée de deux objets, de masses m1 et m2, respectivement, reliés à l’aide d’une corde
idéale qui passe par une poulie fixe. Si m2 > m1, calculez :
a. l’accélération de l’objet 1 ;
b. l’accélération de l’objet 2 ;
c. la tension de la corde.
191
192
CHAPITRE 06 — Les interactions et la troisième loi de Newton
SOLUTION
Illustrer la situation
La figure 6.19 montre le schéma de la situation ainsi
que le diagramme des forces de chaque objet. Nous
avons choisi un axe des y orienté vers le haut pour
les deux objets.
Décortiquer le problème
Les deux objets sont reliés par une corde, et les
modules de leurs accélérations sont égaux. Comme
m2 > m1, l’objet 2 va accélérer vers le bas (a2y < 0),
et l’objet 1 va accélérer vers le haut (a1y > 0). La
contrainte d’accélération est
(i)
De plus, les deux forces de tension ont le même mo­
dule, car les deux objets sont reliés par la même corde,
si les conditions précédentes sont respectées :
(ii)
FIGURE 6.19
Le schéma de la situation et le diagramme des forces pour
l’exemple 6.7
Identifier la clé
La clé est la deuxième loi de Newton appliquée aux
deux objets séparément :
(objet 1)
(iii)
(objet 2)
(iv)
SOLUTION a.
Résoudre le problème
Nous avons un système d’équations. En insérant
l’équation (i) dans l’équation (iii) et en isolant T1
(égal à la tension de la corde T ), nous trouvons
(v)
Sachant que T2 = T, nous insérons l’équation (v) dans
l’équation (iv), en plus de la contrainte d’accéléra­
tion (i). Nous obtenons
(vi)
ce qui correspond au module des accélérations des
deux objets. L’objet 1 a une accélération vers le haut :
(réponse)
SOLUTION b.
Résoudre le problème
L’objet 2 a une accélération vers le bas :
(réponse)
SOLUTION c.
Résoudre le problème
Pour trouver la tension, nous insérons l’équation (vi)
dans l’équation (v) :
6.4 — Les cordes et les poulies
(réponse)
Valider la réponse
Nous trouvons que le module des accélérations est
une fraction plus petite que 1 multipliant g. Dans le
cas limite où
, alors a = 0, les objets sont en
EXEMPLE 6.8
193
équilibre et
Dans l’autre cas limite
où
, nous obtenons
c’està-dire que l’objet 2 tombe en chute libre, l’objet 1
ayant un effet négligeable sur lui. Toutes les réponses
sont exprimées en fonction des paramètres de
l’énoncé et de g.
Attention en bas !
Une boîte de m1 = 4,50 kg est reliée par une corde à un poids de
m2 = 1,70 kg qui tombe, comme le montre la figure ci-contre. La
corde est idéale et passe par une poulie sans masse ; le frottement
du roulement est négligeable. Le coefficient de frottement cinétique
entre le plancher et la boîte est
La surface ainsi que
la partie de la corde entre la boîte et la poulie sont horizontales.
Calculez l’accélération de la boîte.
SOLUTION
Illustrer la situation
Nous devons tracer un diagramme des forces
pour chaque objet. Ce diagramme apparaît à la
figure 6.20.
Décortiquer le problème
Les forces de tension
et
sont exercées par la
même corde. Leurs modules sont égaux
,
car la masse de la corde et celle de la poulie sont
négligeables, comme le frottement du roulement de
la poulie.
Identifier les clés
La première clé est la deuxième loi de Newton appliquée à chaque objet :
La boîte accélère vers la droite lorsque le poids accélère vers le bas. La poulie est fixe. La contrainte d’accélération est
(boîte 1)
(poids 2)
(i)
FIGURE 6.20
Le diagramme des forces pour la situation de l’exemple 6.8
(ii)
(iii)
(iv)
194
CHAPITRE 06 — Les interactions et la troisième loi de Newton
La deuxième clé est celle-ci : la force de frottement est une force de frottement cinétique dont
le module est donné par l’équation 5.19 de la
page 159 :
(v)
Résoudre le problème
L’équation principale est l’équation (ii). Nous trouvons fc à l’aide des équations (v) et (iii) :
(vi)
Nous obtenons la tension en isolant T dans
l ’équation (iv) et en insérant la contrainte d’accélération (i) :
(vii)
Nous insérons ces résultats dans l’équation (ii) et
nous isolons a1x :
Donc,
(réponse)
Valider la réponse
La réponse est un vecteur. L’ordre de grandeur est
correct. Selon l’équation algébrique obtenue, si nous
augmentons la masse de la boîte, l’accélération sera
plus faible, car le frottement sera ainsi augmenté.
Selon cette même relation, si
, l’accélération sera nulle et la boîte glissera à vitesse constante.
REMARQUE
Dans le dernier exemple, nous avons utilisé le même système de
coordonnées cartésiennes pour analyser le mouvement des deux
objets. Quand l’un des objets se déplace le long d’un plan incliné,
il est préférable d’utiliser deux systèmes de coordonnées : le système
des x 1y1 avec un axe parallèle au mouvement de l’objet 1 et le système des x 2 y2 avec un axe parallèle au mouvement de l’objet 2.
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 6.3
La figure ci-contre illustre des blocs
suspendus par des cordes. Dans le pre mier cas, la masse est immobile, alors que
dans le deuxième cas, la masse de 1 kg
accélère vers le haut. Classez les tensions
dans l’ordre décroissant.
Les poulies mobiles
Une poulie mobile est une poulie qui n’est pas attachée et dont l’axe de rotation
peut se déplacer. La figure 6.21 montre une situation où une corde, attachée
à une extrémité à un point fixe, passe par une poulie mobile. Lorsque l’objet 1 descend, il entraîne la poulie mobile et l’objet 2 vers le haut. La poulie fixe
est utilisée afin de changer l’orientation de la corde. Pour trouver la contrainte
d’accélération entre les deux objets, il faut regarder attentivement le mouvement
de ceux-ci. Lorsque l’objet 1 se déplace vers le bas d’une distance d1, la corde se
raccourcit de chaque côté de la poulie mobile, de telle sorte que la corde monte
d’une distance
6.4 — Les cordes et les poulies
FIGURE 6.21
Lorsque l’objet 1 descend d’une hauteur d1, la poulie mobile et l’objet 2 montent d’une
distance
On calcule la contrainte d’accélération en prenant la dérivée seconde de la position des objets. Ainsi, les modules des accélérations sont liés dans la même
relation que les distances :
(6.4)
Dans la figure 6.21, on a choisi un axe des y orienté vers le haut. Le sens du
mouvement des objets implique que
Pour étudier la dynamique d’une situation avec une poulie mobile, nous devons
tracer le diagramme des forces du système formé de la poulie mobile et de l’objet
accroché à celle-ci. Lorsque la corde est idéale et que les conditions énoncées à
la page 190 sont respectées, la tension dans la corde a la même valeur tout le
long de cette dernière. La figure 6.22 illustre le diagramme des forces du système poulie-objet 2. La corde a deux contacts avec la poulie ; elle exerce deux
forces de tension égales à , orientées vers le haut. La force vers le haut, qui est
exercée sur l’objet 2, est différente de . L’exemple suivant montre comment
analyser ce système.
Il existe d’autres enroulements possibles de la corde autour d’une poulie mobile. Il faut adapter la présente méthode en fonction de l’enroulement : obtenir
la contrainte d’accélération, puis tracer le diagramme des forces.
EXEMPLE 6.9
FIGURE 6.22
La corde tire de chaque côté
de la poulie avec une force .
Un multiplicateur de force
Un objet de masse
est attaché à l’aide d’une corde à un système de
poulie comme celui de la figure 6.21. Le deuxième objet de masse
est relié
à la poulie mobile. Les poulies ont une masse négligeable et tournent sans frottement.
a. Calculez l’accélération de chaque objet.
b. Calculez la tension dans la corde.
195
196
CHAPITRE 06 — Les interactions et la troisième loi de Newton
SOLUTION
Illustrer la situation
Décortiquer le problème
Nous analysons les forces agissant sur deux systèmes : l’objet 1 et le système constitué de l’objet 2
et de la poulie mobile. Le diagramme des forces est
présenté à la figure 6.23.
FIGURE 6.23
Le diagramme des forces pour l’objet 1 et pour le système poulie mobile
et objet 2
Nous formulons l’hypothèse que l’accélération
de l’objet 1 est orientée vers le bas et, de ce fait,
que l’accélération de l’objet 2 est orientée vers le
haut. Nous verrons à la fin de l’exercice si cette
hypothèse est correcte. Lorsque l’objet 1 descend
d’une distance d, la poulie mobile monte d’une dis tance d/2. Alors, le module de l’accélération de
l’objet 1 est deux fois plus élevé que le module
de l’accélération de l’objet 2. La contrainte d’accé lération est
,
(i)
où le signe est nécessaire puisque les accélérations
sont de sens opposés. Les forces de tension ,
et sont exercées par la même corde. Étant donné que
les masses des poulies sont négligeables et qu’elles
tournent sans frottement, ces forces ont le même
module :
(ii)
Identifier la clé
La clé est la deuxième loi de Newton appliquée à
chaque système. Nous insérons dès maintenant
l’équation (ii) pour simplifier les équations :
(objet 1)
(iii)
(système 2)
(iv)
SOLUTION a.
Résoudre le problème
Les équations (i), (iii) et (iv) forment un système d’équations à trois inconnues. Nous pouvons d’abord isoler T dans l’équation (iii) :
(v)
où nous avons aussi inséré l’équation (i). En remplaçant T dans l’équation (iv), nous trouvons la composante a2y :
6.4 — Les cordes et les poulies
197
SOLUTION b.
Résoudre le problème
En remplaçant la valeur de a2y dans l’équation (v),
nous trouvons
(réponse)
Valider la réponse
Ce résultat positif indique que l’objet 2 a une accélération ayant le même sens que l’axe des y, donc vers le haut :
(réponse)
Nous trouvons l’accélération de l’objet 1 à l’aide de
l’équation (i) :
La tension est une valeur positive, car c’est le module
d’une force. L’hypothèse de départ était bonne, mais
la solution serait valide même si les accélérations
étaient opposées. En effet, si m2 > 2m1, a2y < 0, l’objet 2 aurait une accélération vers le bas, et l’objet 1
aurait une accélération vers le haut.
(réponse)
REMARQUE
Le système de l’exemple précédent permet de soulever une masse
de 0,750 kg par la chute d’une masse de 0,500 kg. On peut l’utiliser
pour soulever de lourdes charges avec une plus petite force. La force
appliquée sur l’objet 2 est multipliée par 2 parce que la corde exerce
deux forces de tension sur la poulie. Cette multiplication a un prix :
l’objet 2 a un déplacement deux fois moins grand. Nous verrons
dans le chapitre 8 que le produit d’une force par un déplacement
représente un transfert d’énergie, qu’on nomme « travail », d’un système vers un autre.
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 6.4
Quelles sont les contraintes d’accélération entre les deux objets dans les deux
systèmes de poulies ci-contre ? Supposez que l’axe des y est orienté vers
le haut.
198
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
RÉSUMÉ
RÉSUMÉ
Dans ce chapitre, nous avons étudié la dynamique des objets en interaction. La troisième loi de Newton
donne la relation entre les forces d’interaction entre deux objets.
LES LOIS ET PRINCIPES
La troisième loi de Newton : Si un objet A subit une
force d’action
par l’agent B, alors l’agent B subit
une force de réaction
par l’objet A :
L’identification des paires
1. Dessiner les objets séparément. Respectez leur
position relative.
2. Tracer toutes les forces en respectant leurs
• Les forces
et
s’appliquent sur des objets
différents et sont de même nature.
• Les forces ont le même module :
points d’application. Utilisez la notation
force
est la force sur A par B.
: la
3. Identifier les paires action-réaction. Les membres
d’une paire action-réaction sont des forces de même
nature, avec des orientations opposées.
• Les forces ont la même direction et des sens opposés.
LES APPLICATIONS
• Une corde permet de relier deux objets en interaction
en exerçant une force de tension.
• Une poulie fixe permet de changer l’orientation d’une
force de tension.
• Une poulie mobile permet d’exercer une force différente de la tension sur un objet.
La tension dans la corde est uniforme tout le long de la
corde
si :
• la masse de la corde est négligeable par rapport aux
autres objets ;
• l’étirement de la corde est négligeable ;
• la masse de la poulie est négligeable ;
• la poulie tourne sans frottement autour de son axe.
La contrainte d’accélération
Lorsque deux objets sont reliés par une corde idéale
(directement ou à l’aide d’une poulie fixe) ou qu’ils sont
en contact sans glissement, alors leurs accélérations ont le
même module :
Selon le système de coordonnées utilisé, il existe une
relation entre les composantes des accélérations, par
exemple
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
199
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
Q questions qualitatives • E exercices simples • P problèmes •
solution disponible
Section 6.2 L’identification des paires
E6 Une femme pousse un chariot vers le haut d’un plan
Pour effectuer les exercices de cette section, vous devez tra-
cer les diagrammes des forces et identifier toutes les paires
action-réaction.
incliné. Le chariot est muni de roues, ce qui rend le frottement
négligeable. Identifiez les paires action-réaction. Considérez la
femme et le chariot comme deux objets distincts.
E1 Une lampe est suspendue au plafond à l’aide d’une corde
E7 Un bol est placé sur une planche de bois qui repose
verticale. Identifiez les paires action-réaction.
E2 Une rondelle est frappée vers la droite par un bâton de
hockey. Le frottement est négligeable. Identifiez les paires
action-réaction.
E3 Un ballon de basketball, qui se déplace verticalement
sur une surface sans frottement, comme le montre la fi gure 6.26. Le frottement entre la planche et le bol n’est pas
négligeable. Une force horizontale
est exercée sur le
bol, ce qui fait glisser le bol vers la droite sur la planche.
Identifiez les paires action-réaction, en considérant le bol
et la planche comme deux objets distincts.
vers le bas, rebondit sur un plancher. Identifiez les paires
action-réaction.
E4 Dans une épreuve de souque à la corde, deux personnes
tirent horizontalement sur une corde pour déséquilibrer l’autre
(voir la figure 6.24). Le concours s’effectue sur une surface glacée, où le frottement est faible mais non négligeable. Chaque
personne pousse la glace vers l’avant, afin de reculer et d’entraîner l’autre personne avec elle. En supposant que les personnes
sont immobiles, identifiez les paires action-réaction si on considère les personnes et la corde comme trois objets distincts.
FIGURE 6.24 • Exercice 4
E5 Une boîte est déposée sur la plate-forme d’un ca-
mion (voir la figure 6.25). Le camion accélère vers l’avant
à cause de la traction de ses roues avant. La force de frottement entre la boîte et le camion empêche celle-ci de glisser.
Identifiez les paires action-réaction, en considérant la boîte
et le camion comme deux objets distincts.
FIGURE 6.26 • Exercice 7
E8 Un bol est placé sur une planche de bois qui repose
sur une surface sans frottement, comme le montre la figure 6.27. Le frottement entre la planche et le bol n’est pas
négligeable. Une force horizontale
est appliquée sur la
planche. Cette dernière glisse sur la surface vers la droite,
et le bol glisse par rapport à la planche. Identifiez les paires
action-réaction, en considérant le bol et la planche comme
deux objets distincts.
FIGURE 6.27 • Exercice 8
Section 6.3 La troisième loi de Newton
Q9 Un marin utilise un grand ventilateur pour faire avan-
cer son voilier. Comment doit-il orienter son ventilateur
pour que le voilier avance ?
Q10 Un homme pousse un chariot d’épicerie vers l’avant.
En réaction, le chariot d’épicerie pousse l’homme vers l’arrière. Pourquoi, dans ce cas, l’homme est-il capable de faire
accélérer le chariot ?
Q11 Un camion entre en collision avec une petite voiture
initialement immobile.
a. Quel véhicule subit la force d’impact ayant le plus grand
module ?
FIGURE 6.25 • Exercice 5
b. Quel véhicule subit l’accélération ayant le plus grand
module ?
200
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
Q12 Trois boîtes sont en contact, comme le montre la fi­
gure 6.28. Une force horizontale est appliquée sur la boîte
de gauche. Classez les boîtes, dans l’ordre croissant, selon :
a. leurs accélérations ;
b. la force résultante qu’elles subissent.
FIGURE 6.28 • Question 12
E13 Deux blocs (
et
) se trou­
vent sur une surface horizontale sans frottement (voir
la figure 6.29). Une force de 25,0 N est appliquée selon
un angle q = 15,0° sous l’horizontale.
a. Calculez l’accélération du bloc de droite.
b. Calculez la force
FIGURE 6.30 • Exercice 16
P17 Un train est composé d’une locomotive et de 20 wagons.
La locomotive a une masse de 1,35 × 105 kg, et chacun des
wagons a une masse de 3,10 × 104 kg. Le frottement dû
au roulement des roues est négligeable. Le train accélère
à 0,800 m/s2 vers le nord.
a. Quelle est la force exercée par la locomotive sur les rails ?
b. Quelle est la force exercée sur la locomotive par le premier
wagon ?
c. Quelle est la force exercée sur le dernier wagon par l’avant­
dernier wagon ?
FIGURE 6.29 • Exercice 13
P18 Une chaîne verticale est composée de quatre maillons
E14 Un homme pousse un chariot à roulettes sur lequel se
identiques, chacun ayant une masse de 0,125 kg. Une force
est appliquée sur le premier maillon (le mail­
lon du haut), ce qui fait accélérer la chaîne vers le haut (voir
la figure 6.31).
trouve un téléviseur. La force de l’homme sur le chariot forme
un angle de 30,0° sous l’horizontale. La masse du chariot est
de 10,0 kg, et la masse du téléviseur est de 2,50 kg. Le coeffi­
cient de frottement statique entre la surface du chariot et le télé­
viseur est de 0,70. Le frottement entre les roues et le plancher
est négligeable. Calculez le module de la force maximale exer­
cée par l’homme de manière à ce que le téléviseur ne glisse pas.
E15 Une voiture de 1 500 kg tire une remorque de 500 kg.
a. Quelle est l’accélération de la chaîne ?
b. Calculez la force exercée par le deuxième maillon sur le
troisième maillon.
c. Calculez la force exercée par le quatrième maillon sur le
troisième maillon.
Elle monte à vitesse constante une pente inclinée selon un
angle de 5,70°.
a. Calculez la composante parallèle à la pente de la force
exercée par la voiture sur le sol.
b. Calculez la force exercée par la voiture sur la remorque.
E16 Une petite fille de 20,5 kg se tient en équilibre en pous­
sant horizontalement sur un cadre de porte, comme le montre
la figure 6.30. Le coefficient de frottement statique entre ses
pieds et le bois est de 0,80, et le coefficient de frottement sta­
tique entre ses mains et le bois est de 0,70. Si la force de pous­
sée exercée par les pieds est deux fois plus grande que celle qui
est exercée par les mains, quel est le module de la poussée d’un
pied sur le bois lorsque la petite fille est sur le point de glisser ?
FIGURE 6.31 • Problème 18
P19 Un bol est placé sur une planche de bois. On exerce
une force horizontale
sur la planche, comme le montre la
figure 6.32. La planche a une masse de 1,40 kg, et le bol, une
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
masse de 300 g. Le frottement entre la planche et le sol est négligeable. Le coefficient de frottement statique entre la planche et
le bol est de 0,50, et le coefficient de frottement cinétique est
de 0,25. Calculez le module de l’accélération du bol et le module de l’accélération de la planche dans les cas suivants :
a.
P22 Un bloc de masse m1 = 1,40 kg est poussé contre un
bloc de masse m2 = 3,30 kg avec une force horizontale
(voir la figure 6.34). La surface horizontale est sans frottement, mais le coefficient de frottement statique entre les
deux blocs est µs = 0,600. Le module de la force est tout
juste suffisant pour que le premier bloc ne glisse pas.
a. Calculez le module de
b.
201
.
b. Quelle est l’accélération des blocs ?
P23 Un homme de 65,0 kg pousse un chariot de 20,0 kg le long
FIGURE 6.32 • Problème 19
P20 Une boîte ayant une masse de 5,00 kg est placée sur un
traîneau de 1,50 kg. Le traîneau se trouve sur une surface
horizontale dont le coefficient de frottement cinétique est
de 0,200. Le coefficient de frottement cinétique entre le traîneau
et la boîte est de 0,300. Une force
est appliquée sur le traîneau, comme l’indique la figure 6.33.
La boîte glisse par rapport au traîneau.
d’une pente inclinée selon un angle q = 15,0°. La poussée de
l’homme sur le chariot forme un angle f = 30,0° par rapport à
la pente (voir la figure 6.35). Le coefficient de frottement cinétique entre la pente et le chariot est de 0,300, et le coefficient
de frottement statique entre les pieds de l’homme et la pente
est de 0,700. En demeurant immobile, l’homme pousse le
plus fort qu’il peut avec ses bras, sans que ses pieds glissent.
a. Quel est le module de la force de l’homme sur le chariot ?
b. Quelle est l’accélération du chariot ?
c. Quelle est la force de l’homme sur le sol ?
a. Quelle est l’accélération de la boîte ?
b. Quelle est l’accélération du traîneau ?
c. Quelle est la force exercée sur la boîte par le traîneau ?
FIGURE 6.35 • Problème 23
FIGURE 6.33 • Problème 20
P24 Un bloc de masse m est placé sur un coin de masse M.
P21 Un bloc de masse m1 est poussé contre un bloc de masse m2
avec une force horizontale
(voir la figure 6.34). La
surface horizontale est sans frottement, mais le coefficient de
frottement statique entre les deux blocs est . Le module
de la force est tout juste suffi sant pour que le premier bloc
ne glisse pas.
a. Calculez le module de
Une force horizontale
est appliquée sur le coin, comme
le montre la figure 6.36. Le frottement est négligeable sur
toutes les surfaces. Quel est le module de la force
si le
bloc ne glisse pas sur le coin ?
.
b. Quelle est l’accélération des blocs ?
FIGURE 6.36 • Problème 24
Section 6.4 Les cordes et les poulies
FIGURE 6.34 • Problèmes 21 et 22
Dans cette section, toutes les cordes ont une masse et un
étirement négligeables. De plus, les poulies ont une masse
négligeable et tournent sans frottement.
202
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
Q25 La figure 6.37 illustre deux objets reliés par une corde
E28 Deux blocs sont reliés au moyen d’une corde qui passe
qui passe par une poulie. L’objet 2 descend, et l’objet 1
monte sans frottement le plan incliné. Classez dans l’ordre
décroissant les modules suivants : (1) la composante parallèle au plan de la force gravitationnelle
sur l’objet 1 ;
(2) la force gravitationnelle
sur l’objet 2 ; (3) la force
de tension
sur l’objet 1.
par une poulie, comme le montre la figure 6.40. Les surfaces sont sans frottement. Le bloc 1 a une masse m1, et le
bloc 2, une masse m 2. Le plan est incliné selon un angle q.
a. Quelle est l’accélération du bloc 1 ?
b. Quelle est la tension dans la corde ?
a. Les objets se déplacent à vitesse constante.
b. L’objet 2 accélère vers le bas.
FIGURE 6.40 • Exercices 28 et 29
E29 Deux blocs sont reliés au moyen d’une corde qui
FIGURE 6.37 • Question 25
E26 Deux blocs sont reliés par une corde de masse négligeable.
Une force est appliquée sur le bloc 2, comme le montre la
figure 6.38. Le module de la force est de 12,3 N, la masse
du bloc 1 est de 1,30 kg, et la masse du bloc 2, de 3,70 kg.
a. Quelle est la force de tension sur le bloc 1 ?
b. Quelle est la force de tension sur le bloc 2 ?
passe par une poulie, comme le montre la figure 6.40.
Les surfaces sont sans frottement. Le bloc 1 a une masse
de 4,50 kg, et le bloc 2, une masse de 2,50 kg. Le plan
est incliné selon un angle q = 22,5°.
a. Quelle est l’accélération du bloc 1 ?
b. Quelle est la tension dans la corde ?
P30 Deux blocs sont reliés au moyen d’une corde qui passe
par une poulie. Une force
est appliquée sur le premier
bloc (voir la figure 6.41). Les surfaces sont sans frottement.
Les masses des blocs sont
et
, et le
plan est incliné selon un angle
FIGURE 6.38 • Exercice 26
a. Calculez la tension dans la corde si le module de
est égal à 0,800 N.
E27 Un poids est attaché à un chariot au moyen d’une ficelle
b. Calculez le plus petit module de
ne soit pas tendue.
qui passe par une poulie, comme le montre la figure 6.39. Le
chariot glisse sans frottement sur la surface horizontale. Sa
masse est de 405,0 g, et celle du poids, de 50,0 g.
pour que la corde
a. Quelle est l’accélération du chariot ?
b. Quelle est la tension dans la corde ?
c. Le chariot étant d’abord au repos, quelle est sa vitesse
après qu’il a parcouru 50,0 cm ?
FIGURE 6.41 • Problème 30
P31 Une caisse de 10,5 kg est immobile sur un plan
FIGURE 6.39 • Exercice 27
incliné selon un angle q = 25,0° par rapport à l’horizontale. Le coefficient de frottement statique est de 0,600,
et le coefficient de frottement cinétique est de 0,300. On
veut mettre la caisse en mouvement. Pour y arriver, on
attache la caisse, au moyen d’une corde qui passe par une
poulie, à un contrepoids de masse m2, comme le montre
la figure 6.42.
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
203
a. Quelle est la plus petite masse du contrepoids pour que la
caisse se mette en mouvement ?
b. Avec la masse m 2 obtenue en a., calculez le module
de l’accélération de la caisse lorsque celle-ci est en
mouvement.
FIGURE 6.44 • Problème 33
P34 Deux blocs sont reliés ensemble, comme le montre la
FIGURE 6.42 • Problème 31
P32 Une caisse est placée sur un plan incliné formant un
angle f = 22,0° par rapport à l’horizontale. La caisse est
reliée au moyen d’une corde, qui passe par une poulie, à
une masse m2 = 150 g. La caisse a une masse m1 = 650 g.
Une force supplémentaire
est appliquée sur la caisse,
comme le montre la figure 6.43. Cette force forme un angle
q = 30,0° par rapport au plan. Le coefficient de frottement
cinétique entre la caisse et le plan est mc = 0,400. L’accélération de la masse suspendue est égale à 1,24 m/s2 vers le
haut et celle-ci se déplace
figure 6.45. Le bloc 1 a une masse m1 = 450 g, et le bloc 2,
une masse m2 = 250 g. Le bloc 1 glisse le long d’un plan
incliné selon un angle f 1 = 35,0°, et le bloc 2 glisse le long
d’un plan incliné selon un angle f 2 = 55,0°. Le coefficient
de frottement cinétique entre les blocs et la surface des plans
inclinés est de 0,340. Calculez l’accélération du bloc 1 dans
les cas suivants :
a. le bloc 1 monte ;
b. le bloc 1 descend.
a. Calculez la tension dans la corde.
b. Calculez le module de la force
.
FIGURE 6.45 • Problème 34
P35 Un bloc de 3,40 kg est placé sur un deuxième bloc
FIGURE 6.43 • Problème 32
de 5,80 kg. Le premier bloc est attaché à un mur au moyen
d’une corde (voir la figure 6.46). Une force
est appliquée sur le deuxième bloc, qui se déplace vers la droite.
Son module est de 40,0 N, et la force forme un angle
q = 35,0° par rapport à l’horizontale. Le coefficient de frottement cinétique est de 0,250 sur toutes les surfaces.
a. Quelle est la tension dans la corde ?
P33 Un bloc, dont la masse est m1 = 580 g, est tiré vers le
b. Quelle est l’accélération du bloc inférieur ?
haut d’un plan incliné par une force
dont le module
est de 11,0 N et qui forme un angle q = 25,0° par rapport
au plan. De plus, le bloc est relié à un deuxième bloc dont
la masse est de 880 g, comme le montre la figure 6.44.
Le coefficient de frottement cinétique entre les blocs et
le plan est égal à 0,300. Le plan est incliné selon un angle
f = 33,0°.
a. Quelle est l’accélération du bloc 2 ?
b. Quelle est la tension dans la corde ?
FIGURE 6.46 • Problème 35
204
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
P36 Un bloc de 1,65 kg est placé sur un deuxième bloc
P38 Une poulie est attachée à un bloc. Celui-ci est placé sur
de 3,80 kg. Les deux objets sont aussi reliés au moyen d’une
corde qui passe par une poulie (voir la figure 6.47). Une
force horizontale
est appliquée sur le deuxième bloc.
Son module est de 30,0 N. Le coefficient de frottement cinétique est de 0,250 sur toutes les surfaces. (Indice : il y a une
contrainte d’accélération.)
une surface horizontale, dont le coefficient de frottement cinétique est mc . Le montage de la figure 6.49 contient le premier
bloc et un second bloc suspendu. La masse du premier bloc (y
compris la poulie) est m1, et la masse du deuxième bloc est m2.
a. Quelle est l’accélération du bloc supérieur ?
a. Quelle est l’accélération du premier bloc ?
b. Quelle est l’accélération du deuxième bloc ?
b. Quelle est l’accélération du bloc inférieur ?
c. Quelle est la tension dans la corde ?
FIGURE 6.47 • Problème 36
FIGURE 6.49 • Problème 38 et 39
P37 Un homme de 70,0 kg est assis sur un siège suspendu
P39 Une poulie est attachée à un bloc. Celui-ci est placé
au moyen d’une corde qui passe dans une poulie, comme
le montre la figure 6.48. Le siège a une masse de 5,0 kg.
sur une surface horizontale, dont le coefficient de frottement cinétique est mc = 0,100. Le montage de la figure 6.49
contient le premier bloc et un deuxième bloc suspendu. La
masse du premier bloc est de 506 g, et la masse du second
bloc, de 200,0 g.
a. Dans la figure 6.48a, l’homme tire sur la corde. Quelle
force l’homme exerce-t-il sur la corde s’il monte avec
une accélération de 1,00 m/s2 ?
b. Dans la figure 6.48b, un autre homme tire sur la corde.
Quelle force cet homme exerce-t-il sur la corde pour
que le premier homme monte avec une accélération
de 1,00 m/s 2 ?
a. Quelle est l’accélération du premier bloc ?
b. Quelle est l’accélération du deuxième bloc ?
P40 Le montage de la figure 6.50 comprend un bloc
m1 = 1,20 kg sur une surface horizontale (ms = 0,600 et
mc = 0,200) et un deuxième bloc. Le système est initialement immobile. Calculez l’accélération du bloc 1 dans les
cas suivants :
a. m 2 = 0,50 kg ;
b. m 2 = 1,50 kg.
FIGURE 6.48 • Problème 37
FIGURE 6.50 • Problème 40
SOLUTIONS AUX
6.4 —
TESTS
Les DE
cordes
COMPRÉHENSION
et les poulies
205
SOLUTIONS AUX TESTS DE COMPRÉHENSION
6.1 (iii)
, orientée vers le bas
La réaction doit être une force de même nature que l’action, une force
normale dans le cas présent. Il faut aussi inverser l’objet et l’agent. Donc,
la réaction de la force normale sur l’étagère par le sol est la force normale
sur le sol par l’étagère
. La réaction est opposée à l’action :
est
vers le haut, et
est vers le bas.
6.2
Les forces sur le livre sont
vers le haut et
vers le bas. Comme
le livre accélère vers le haut, le module de la force normale doit être plus
grand. Selon la troisième loi de Newton,
6.3
Dans une corde, la tension est la même en tout point. Donc,
. Dans le deuxième cas, la masse de 1 kg accélère vers le haut,
ce qui indique que la tension T3 est plus grande que le module de la
force gravitationnelle sur ce bloc. Dans le premier cas,
, car
le bloc est immobile.
6.4 a.
Il y a deux poulies mobiles. Lorsque l’objet 1 descend d’une distance d1,
ceci raccourcit la corde de chaque côté de la poulie mobile supérieure, et
elle monte d’une distance d1 /2. En montant, cette poulie mobile réduit la
corde de chaque côté de la poulie mobile inférieure. Cette deuxième pou­
lie mobile monte alors de la moitié de la distance parcourue par la poulie
mobile supérieure, donc de d1/4. Par conséquent, le module de l’accéléra­
tion de l’objet 1 est quatre fois plus grand que le module de l’accélération
de l’objet 2. Les accélérations sont opposées.
b.
La même corde est en contact en trois points avec la poulie mobile.
Lorsque l’objet 1 descend d’une distance d, la poulie mobile monte d’une
distance d/3. Le module de l’accélération de l’objet 1 doit être trois fois
plus élevé que celui de l’objet 2. Les accélérations sont opposées.
Chapitre
206
La dynamique
du mouvement
circulaire
Buts du chapitre
Dans ce chapitre, on étudie la dynamique des objets dont la trajectoire est
circulaire. Après l’étude de ce chapitre, vous serez en mesure :
• d’appliquer les lois de Newton aux objets qui décrivent un mouvement
circulaire ;
• de comprendre le mouvement orbital simple ;
• de comprendre qualitativement la dynamique dans les référentiels
en rotation.
Préalables
Ce chapitre porte sur l’application de la deuxième loi de Newton au mouvement
circulaire, étudiée dans le chapitre 4. Revoyez :
• le mouvement circulaire uniforme, étudié à la section 4.4, et le mouvement
circulaire non uniforme, étudié à la section 4.5 ;
• les référentiels inertiels, abordés à la section 5.4 ;
• la deuxième loi de Newton, vue à la section 5.6 ;
• la force gravitationnelle, étudiée à la section 5.7.
207
Le satellite de communication
Anik F2 tourne autour de la
Terre sur une orbite circulaire.
208
CHAPITRE 07 — La dynamique du mouvement circulaire
Les deux derniers chapitres vous ont permis d’apprendre comment, à
partir des forces exercées sur un objet, on peut calculer l’accélération de
cet objet. Dans les situations étudiées jusqu’à présent, les forces et l’accélération
avaient des orientations constantes.
Lorsqu’une voiture prend un virage, sa vitesse change d’orientation et elle a
une accélération orientée vers le centre du virage. Nous avons vu au chapitre 4
la façon de calculer cette accélération centripète. Il est possible de calculer la
force qui produit l’accélération centripète à l’aide de la dynamique et des lois de
Newton. Pour que l’accélération soit vers le centre, il faut qu’une ou plusieurs
forces aient une composante orientée vers le centre du cercle. À mesure que la voiture avance dans le virage, les forces changent d’orientation par rapport au système de coordonnées cartésiennes. Pour cette raison, ce système de coordonnées
sera remplacé par un système semblable au système de coordonnées polaires.
On rencontre aussi des mouvements circulaires lorsqu’on étudie le mouvement des
planètes autour du Soleil et le mouvement de la Lune autour de la Terre. La dynamique céleste est d’abord contrôlée par la force gravitationnelle. La compréhension
de ces mouvements circulaires nous permettra de mieux connaître cette force.
La Terre nous entraîne dans son mouvement de rotation. Le présent chapitre
aborde les effets de cette rotation, effets qui ont été négligés jusqu’à maintenant.
7.1
La dynamique du mouvement
circulaire uniforme
Pour comprendre la façon d’analyser les forces en jeu dans un mouvement circulaire, prenons une rondelle sur une patinoire (une surface horizontale sans
frottement). On attache la rondelle à une corde de longueur r, et on fixe l’autre
extrémité de la corde. On pousse la rondelle pour que celle-ci se déplace à
une vitesse dont le module est v. Elle va décrire un mouvement circulaire uniforme, comme le montre la figure 7.1. La trajectoire forme un cercle de rayon r,
et la vitesse a un module v constant.
FIGURE 7.1
Une rondelle attachée à une
corde décrit un mouvement
circulaire uniforme.
Comme on l’a vu à la section 4.4 de la page 106, la rondelle a une accélération
orientée vers le centre du cercle, l’accélération centripète
Selon la
deuxième loi de Newton, cette accélération doit être causée par une force résultante orientée vers le centre :
(7.1)
Dans le cas de la rondelle, la force de tension de la corde tire continuellement
la rondelle vers le centre. On qualifie cette force de force centripète.
MISE EN GARDE
La force centripète n’est pas une nouvelle force. Le qualificatif
centripète indique seulement qu’une force est orientée vers le centre
du cercle, comme le qualificatif verticale indique qu’une force est
orientée vers le haut ou vers le bas.
Dans les situations plus complexes avec plusieurs forces appliquées, on décompose les forces selon leurs composantes. Le système de coordonnées cartésiennes
7.1 — La dynamique du mouvement circulaire uniforme
209
n’est pas bien adapté à la situation, car l’orientation de la force centripète par rapport aux axes change continuellement. Il est plus utile d’utiliser un système qui
se rapproche du système de coordonnées polaires, présenté à la section 2.1 de la
page 30. La figure 7.2 illustre les vecteurs unitaires dont on se servira lorsque le
cercle est dans le plan des xy : le vecteur
vers le centre, le vecteur
tangent
au cercle dans le sens antihoraire. On ajoute l’axe des z et le vecteur unitaire
pour tenir compte des forces perpendiculaires au plan du cercle.
FIGURE 7.2
On utilise les vecteurs unitaires
ment circulaire.
,
et
pour décomposer les forces dans un mouve-
Avec ce choix, la deuxième loi de Newton
équations scalaires :
est décomposée en trois
(7.2)
Ces équations sont valables pour un mouvement circulaire uniforme, c’està-dire un mouvement circulaire lorsque le module de la vitesse est constante.
Nous généraliserons ces équations pour le mouvement circulaire non uniforme
à la section 7.3.
REMARQUE
Dans la présente section, nous utilisons le vecteur unitaire
orienté
vers le centre du cercle plutôt que le vecteur unitaire , orienté vers
l’extérieur (comme à la section 2.1 de la page 30). On évite ainsi
d’ajouter des signes négatifs dans la première équation 7.2.
La stratégie suivante illustre les étapes à suivre pour résoudre les problèmes de
dynamique du mouvement circulaire.
STRATÉGIE 7.1
La dynamique du mouvement circulaire
Illustrer la situation
Tracez d’abord un schéma de la situation qui montre bien la trajectoire
circulaire. Tracez ensuite un diagramme des forces selon la technique 5.1
de la page 139. Dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme, orientez
votre diagramme pour que la vitesse de l’objet soit perpendiculaire à la
page. Indiquez où est le centre du cercle et ajoutez le vecteur unitaire
(vers le centre) et le vecteur (vers le haut).
Deuxième loi de Newton (mouvement
circulaire uniforme)
210
CHAPITRE 07 — La dynamique du mouvement circulaire
Décortiquer le problème
À l’aide d’un tableau, faites ressortir les quantités connues et celles qui
sont recherchées. Décomposez aussi les vecteurs selon leurs composantes
parallèles à ,
et , à l’aide du diagramme des forces.
Identifier la clé
Utilisez la deuxième loi de Newton, écrite sous la forme des trois
équations scalaires suivantes :
(7.2)
Résoudre le problème
Résolvez votre système d’équations afin de trouver les quantités inconnues
recherchées.
Valider la réponse
Vérifiez le signe, les unités et l’ordre de grandeur de vos réponses numériques.
EXEMPLE 7.1
Et ça tourne...
Une table horizontale tourne à 45,0 tr/min. Un morceau de carton de 2,20 g est placé sur
la table. La force de frottement statique exercée par la table fait tourner le morceau de carton
sans que celui-ci glisse sur la table. Le coefficient de frottement statique est μs = 0,50.
a. Le morceau est d’abord placé à une distance de 15,0 cm du centre. Quelle est la force
de frottement exercée par la table sur la pièce ?
b. Jusqu’à quelle distance peut-on éloigner le morceau de carton du centre
sans que celui-ci glisse ?
SOLUTION
Illustrer la situation
Décortiquer le problème
La figure 7.3a illustre une vue en plongée de la situation, avec la trajectoire du morceau de carton et les
vecteurs unitaires et
La figure 7.3b montre une
vue de face du diagramme des forces du morceau de
carton. Sur ce diagramme, les vecteurs unitaires
et sont illustrés.
Le morceau de carton décrit un mouvement circulaire avec une vitesse dont le module estv. Le module
de la vitesse se calcule à l’aide de l’équation 4.30 de la
page 106, car dans une révolution, le carton parcourt
une distance 2πr dans un temps T = 1/f:
(i)
La fréquence f = 45,0 tr/min doit être convertie
en s−1 = Hz :
(a)
(b)
FIGURE 7.3
(a) Une vue en plongée de la trajectoire. (b) Une vue de
face du diagramme des forces.
Dans ce problème, la force de frottement statique
est la force centripète. Elle est orientée vers le centre
du cercle, car si le frottement était négligeable, la
7.1 — La dynamique du mouvement circulaire uniforme
rondelle glisserait en se déplaçant en ligne droite et
quitterait la table tournante.
211
SOLUTION b.
Résoudre le problème
Nous voulons calculer le rayon r de la trajectoire
lorsque le morceau de carton est sur le point de
glisser. Il faut alors que la force de frottement sta­
tique soit égale à sa valeur maximale, donnée par
l’équation 5.17 de la page 158 :
MISE EN GARDE
Évitez de confondre la fréquence f et le mo­
dule de la force de frottement statique fs.
Identifier la clé
La clé est la deuxième loi de Newton, écrite comme
à l’équation 7.2 :
(ii)
(v)
Nous calculons N à partir de l’équation (iii) : N = mg.
En insérant ce résultat et l’équation (v) dans l’équa­
tion (iv), nous obtenons
(iii)
où nous avons laissé de côté la composante tan­
gentielle, car aucune force n’est appliquée dans
cette direction.
(réponse)
SOLUTION a.
Résoudre le problème
Valider la réponse
Dans la solution a., la force de frottement statique
L’équation (ii) donne le module de la force de frot­
tement statique après avoir inséré le module de la
vitesse donné par l’équation (i) :
est plus petite que la force de frottement maximale
et c’est une force
centripète. Dans la solution b., le rayon calculé est
plus grand que le rayon initial. En éloignant le mor­
ceau de carton, la force de frottement doit augmen­
ter, car selon l’équation (iv), la force centripète est
proportionnelle au rayon de la trajectoire lorsque
la fréquence demeure constante. Remarquez que
le rayon maximal ne dépend pas de la masse de l’ob­
jet qui tourne.
(iv)
La force de frottement statique est alors
(réponse)
EXEMPLE 7.2
Le pendule conique
Un pendule conique est constitué d’un objet au bout d’une corde de longueur L,
qui tourne le long d’un cercle horizontal avec une vitesse dont le module v est
constant. Puisque la corde forme un angle φ par rapport à la verticale, elle trace
la surface d’un cône, comme le montre la figure ci­contre.
a. Quel est le module de la vitesse ?
b. Quelle est la période de révolution Trév ?
SOLUTION
Illustrer la situation
À la figure 7.4 (voir la page suivante), nous repré­
sentons le schéma de la situation et une vue de
face du diagramme des forces, avec les vecteurs
unitaires
vers le centre et vers le haut. Nous
utilisons le symbole
pour exprimer la force de
tension et le symbole Trév pour la période de révolu­
tion pour éviter de les mélanger.
212
CHAPITRE 07 — La dynamique du mouvement circulaire
Résoudre le problème
L’équation (iii) nous donne la tension :
(iv)
Nous insérons ce résultat dans l’équation (ii) :
(a)
(b)
FIGURE 7.4
(a) Le schéma de la situation pour l’exemple 7.2. (b) Une
vue de face du diagramme des forces.
où nous avons remplacé le rayon à l’aide de l’équation (i).
Décortiquer le problème
SOLUTION b.
Identifier la clé
La clé est que la période de révolution est donnée
par l’équation 4.29 de la page 106 :
Dans le présent cas, il n’y a aucune force orientée
directement vers le centre. Par contre, la force de
tension a une composante centripète F T,c, comme le
montre la figure 7.4. C’est cette composante qui produit le mouvement circulaire. Le rayon de la trajectoire est obtenu à l’aide du schéma de la situation :
(v)
Résoudre le problème
En insérant l’équation (i) et la réponse précédente
dans l’équation (iv), nous obtenons
(i)
(réponse)
SOLUTION a.
Identifier la clé
Valider la réponse
La clé est la deuxième loi de Newton :
(ii)
(iii)
EXEMPLE 7.3
Nous remarquons que plus la longueur de la corde
est grande, ou plus l’angle φ est grand, plus la
vitesse doit avoir un module élevé pour obtenir un
pendule conique, ce qui a du sens. Les unités dans
les réponses algébriques sont correctes. Les résultats
sont indépendants de la masse.
Faire preuve de prudence en hiver
Une voiture prend un virage dont le rayon de courbure est de 100 m. La route est inclinée latéralement
à 10,0°, le coefficient de frottement statique est de 0,250, et le coefficient de frottement cinétique
est de 0,150, car la route est glacée. Calculez le module de la plus grande vitesse de la voiture pour
que celle-ci prenne le virage en demeurant à la même hauteur et sans glisser.
SOLUTION
Illustrer la situation
Nous présentons le schéma de la situation à la figure 7.5a et la vue de face du diagramme des forces
à la figure 7.5b. La voiture doit rester à la même
hauteur. Par conséquent, sa trajectoire est un arc de
cercle horizontal, et son accélération centripète est
aussi horizontale. Les roues tournent mais ne glissent
pas. La force de frottement qui s’applique est la force
de frottement statique ; elle empêche la voiture de
glisser vers l’extérieur. C’est pour cette raison qu’elle
est orientée vers le bas du virage ( doit être parallèle à la surface de la route). La force normale
est
perpendiculaire à la surface de la route, et la force
gravitationnelle est vers le bas.
7.1 — La dynamique du mouvement circulaire uniforme
Décortiquer le problème
213
Résoudre le problème
Nous obtenons un système de deux équations
à deux inconnues (N et v). Nous isolons N dans
l’équation (iii) :
(iv)
Nous insérons ensuite ce résultat dans l’équation (ii),
pour isoler v :
(a)
(b)
FIGURE 7.5
(a) La vue en plongée du schéma de la situation. (b) Une
vue de face du diagramme des forces.
(v)
La voiture est sur le point de glisser. Le module
de la force de frottement doit être égal à la valeur
maximale :
(i)
Nous décomposons les forces selon leurs composantes centripète et verticale.
Force
Composante c
Composante z
Valider la réponse
0
Identifier la clé
La clé est la deuxième loi de Newton, avec les forces
décomposées selon
et :
(ii)
(iii)
Le module de la vitesse obtenue est de 75 km/h, ce
qui a du sens. À partir de l’équation algébrique (v),
nous pouvons aussi calculer le module de la vitesse
maximale dans différentes situations. Pour une route
sèche avec μs = 0,80, vmax = 120 km/h, une vitesse
au-dessus de la limite pour une autoroute au Québec.
Les conditions de la route réduisent d’une façon significative le module de la vitesse maximale. Si la route
glacée n’était pas inclinée (φ = 0,0°), la vitesse maximale serait vmax = 56 km/h. Le fait que la route soit
inclinée accroît la sécurité dans le virage.
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 7.1
Une rondelle est placée sur une table tournante, à une distance r du
centre. La rondelle tourne sans glisser sur la surface. De quelle façon
la force de frottement statique change-t-elle dans les situations suivantes
si la rondelle continue de tourner sans glisser ?
a. On éloigne la rondelle du centre en gardant constant le module
de sa vitesse.
b. On éloigne la rondelle du centre en gardant la période de
rotation constante.
214
CHAPITRE 07 — La dynamique du mouvement circulaire
Le mouvement hélicoïdal
Dans les exemples précédents, la trajectoire est contenue dans un plan. Il est
possible d’avoir une trajectoire plus complexe en trois dimensions, qui est la
superposition d’un mouvement circulaire dans un plan et d’un mouvement
uniforme perpendiculairement à ce plan. Ce mouvement est un mouvement hélicoïdal : l’objet décrit une hélice, comme le montre la figure 7.6. Ce
mouvement représente le mouvement général d’une particule chargée dans un
champ magnétique uniforme, un sujet qui sera abordé dans le tome 2.
FIGURE 7.6
Le mouvement hélicoïdal d’une particule, avec un rayon r et un pas p
Pour analyser ce mouvement, on décompose le mouvement en deux parties :
un mouvement circulaire parallèle au plan des xy (avec une vitesse ) et un
mouvement uniforme dans la direction de l’axe des z (avec une vitesse ). Les
vecteurs unitaires ,
et , illustrés à la figure 7.7, sont utilisés. La vitesse a
une composante tangente au cercle et une composante perpendiculaire au
cercle. On peut exprimer la vitesse de la façon suivante :
(7.3)
où φ est l’angle entre la vitesse et la partie positive de l’axe des z. Le mouvement circulaire fait intervenir la composante vθ, tangente au cercle. C’est à
partir de cette composante qu’on calcule la période de révolution
(7.4)
et l’accélération centripète
(7.5)
FIGURE 7.7
Les vecteurs unitaires utilisés pour
décrire le mouvement hélicoïdal
La composante vz produit un déplacement vertical. Le pas de l’hélice p correspond à la distance perpendiculaire au cercle parcourue lorsque la particule a
effectué une révolution :
(7.6)
L’étude de la dynamique du mouvement hélicoïdal se fait de la même façon que
pour le mouvement circulaire uniforme : l’accélération n’a qu’une composante,
orientée vers le centre du cercle. On peut donc écrire la deuxième loi de Newton
comme à l’équation 7.2, en remplaçant v par vθ = v sin θ :
(7.7)
EXEMPLE 7.4
Un électron dans un champ magnétique
−6
Un électron décrit un mouvement hélicoïdal. Le rayon de la trajectoire est de 9,16 × 10 m,
la période est de
et le pas de l’hélice, de
a. Quelle est la force résultante subie par l’électron ?
b. Quel est le module de la vitesse de l’électron ?
c. Quel est l’angle entre la vitesse et la direction perpendiculaire au cercle ?
7.2 — La loi de la gravitation universelle
SOLUTION
Décortiquer le problème
215
Résoudre le problème
Nous calculons les valeurs :
La masse de l’électron est donnée à l’annexe B.
Nous calculons le module en appliquant la méthode
habituelle :
SOLUTION a.
Identifier la clé
Pour trouver la force résultante, la clé est la deuxième
loi de Newton appliquée au mouvement circulaire
uniforme, c’est-à-dire l’équation 7.7 :
(i)
Nous pouvons exprimer la vitesse tangentielle en
fonction de la période en utilisant l’équation 7.4 :
(réponse)
SOLUTION c.
Illustrer la situation
La figure 7.8 illustre le vecteur vitesse et ses
composantes.
(ii)
Résoudre le problème
Nous obtenons la force résultante en insérant l’équation (ii) dans l’équation (i) :
FIGURE 7.8
La vitesse et ses composantes
Résoudre le problème
Nous calculons l’angle φ :
(réponse)
SOLUTION b.
Identifier la clé
(réponse)
Pour trouver le module de la vitesse, la clé consiste à
calculer ses composantes. Nous avons déjà la composante vθ grâce à l’équation (ii). Le pas de l’hélice nous
donne la composante vz (à l’aide de l’équation 7.6) :
(iii)
7.2
Valider la réponse
Le module de la vitesse est élevé, mais il est quand
même plus petit que le module de la vitesse de la
lumière c = 3 × 108 m/s, qui représente la plus grande
vitesse qui peut être atteinte. L’angle φ doit être plus
grand que 45°, car vθ > vz.
La loi de la gravitation universelle
Un objet à la surface de la Terre subit une force gravitationnelle vers le centre
de la Terre. Cette force est exercée par la Terre en entier. Si l’objet n’est pas à
la surface, subit-il encore une force ? Par exemple, est-ce que la Lune subit une
force gravitationnelle exercée par la Terre ?
216
CHAPITRE 07 — La dynamique du mouvement circulaire
Isaac Newton a trouvé les réponses à ces questions et les a énoncées dans son
ouvrage Principia. Il est arrivé à la conclusion que tous les objets exercent une
force gravitationnelle les uns sur les autres (voir la figure 7.9) :
Un objet exerce sur un autre objet une force gravitationnelle attractive ;
cette force est proportionnelle au produit des masses et à l’inverse du carré
de la distance qui les sépare.
FIGURE 7.9
Deux objets exercent l’un sur l’autre
une force gravitationnelle . Cette
force est toujours attractive.
Newton est arrivé à cette conclusion en étudiant le mouvement de la Lune
autour de la Terre, le mouvement des planètes autour du Soleil et le mouvement des satellites jovians autour de Jupiter. La force gravitationnelle s’applique à tous les objets ; elle est universelle. De plus, à partir du mouvement
de la Lune autour de la Terre, Newton a prouvé que la force qui fait orbiter la
Lune autour de la Terre est la même que la force qui fait tomber les objets à
la surface terrestre.
Si deux objets, de masse m1 et m2 respectivement, sont séparés par une distance r,
ils exercent l’un sur l’autre une force gravitationnelle attractive dont le module est
(7.8)
Loi de la gravitation universelle
La constante de proportionnalité G est la constante gravitationnelle (aussi appelée la constante de Newton). Dans le SI, sa valeur est
(7.9)
La valeur de G est très faible ; il faut une grande masse pour que la force soit
importante. La force gravitationnelle entre deux objets à l’échelle humaine est
négligeable. Pour qu’elle devienne importante, il faut que la masse ait la taille
d’une planète comme la Terre.
EXEMPLE 7.5
Un quartier de lune
Calculez la force résultante exercée sur la Lune lorsqu’on l’observe dans son quartier,
c’est-à-dire lorsque la Terre et le Soleil sont dans des directions perpendiculaires.
Exprimez la réponse en fonction du module et de l’orientation.
SOLUTION
Illustrer la situation
Le diagramme des forces est présenté à la figure 7.10.
Le Soleil attire la Lune avec une force
et la Terre
attire la Lune avec une force
Décortiquer le problème
Nous avons besoin des masses des objets ainsi que
de la distance Terre-Lune et de la distance LuneSoleil. Cette dernière est pratiquement la même que
la distance Terre-Soleil. Ces données sont présentées
dans l’annexe D.
FIGURE 7.10
Le diagramme des forces sur la Lune
7.3 — Le mouvement orbital
217
Nous calculons le module à l’aide de la méthode
habituelle, car nous venons de calculer les composantes de la force résultante :
Identifier les clés
La première clé est que la force résultante correspond à la somme vectorielle des forces :
La deuxième clé est la loi de la gravitation universelle, donnée par l’équation 7.8 :
Nous calculons l’orientation par rapport à l’axe des x
illustré à la figure 7.10, c’est-à-dire par rapport à la
direction Lune-Terre :
La force résultante est donc
Résoudre le problème
vers le Soleil.
Nous calculons les modules des forces :
(réponse)
Valider la réponse
À première vue, il peut sembler bizarre que la
force exercée par le Soleil soit plus grande que
la force exercée par la Terre, mais c’est bien la
réalité. La Lune tourne autour de la Terre, mais
le système Terre-Lune tourne autour du Soleil.
Notre réponse est bien une force, avec un module
et une orientation.
7.3
Le mouvement orbital
Les objets du système solaire tournent autour du Soleil à cause de la force gravitationnelle exercée par le Soleil. En général, les orbites sont elliptiques. Cependant, la plupart des orbites des planètes se rapprochent beaucoup de cercles. On
peut donc faire l’approximation que le mouvement des planètes est un mouvement circulaire uniforme et que la force centripète est la force gravitationnelle.
Il en va de même pour le mouvement de la Lune et de certains satellites autour
de la Terre : leur mouvement est un mouvement circulaire uniforme.
La figure 7.11 illustre un satellite de masse m qui orbite autour d’une masse
centrale M. Le satellite a une vitesse . La force centripète est la force gravitationnelle exercée par la masse centrale sur le satellite :
(7.10)
FIGURE 7.11
Un satellite orbite autour d’une
masse centrale sur une orbite
circulaire.
218
CHAPITRE 07 — La dynamique du mouvement circulaire
Cette équation permet d’obtenir le module de la vitesse orbitale :
(7.11)
Module de la vitesse orbitale
On remarque que plus le satellite est éloigné de la masse centrale, plus sa vitesse
est faible. On remarque aussi que ce résultat est indépendant de la masse du
satellite. Ceci est le résultat du principe d’équivalence de Newton que nous
avons vu à l’équation 5.16 de la page 157 : la masse est à la fois responsable de
la force gravitationnelle (le membre gauche de l’équation 7.10) et de l’inertie (le
membre droit de l’équation 7.10) d’un objet.
Il est plus facile de mesurer la période d’un satellite. On obtient une équation
reliant la période et le rayon de l’orbite en remplaçant le module de la vitesse par
la période, soit
(c’est l’équation 4.29 de la page 106) :
On peut isoler le terme
aux orbites circulaires :
. On obtient alors la troisième loi de Kepler, appliquée
(7.12)
Troisième loi de Kepler
Cette équation a été découverte par l’astronome allemand Johannes Kepler
(1571-1630) en 1618 (avant la naissance de Newton) en analysant la cinématique des orbites des planètes. La loi de la gravitation universelle de Newton est
vérifiée expérimentalement, car elle implique une relation déjà obtenue pour la
cinématique des planètes.
Défi animé 7.1
Lorsqu’une planète tourne
autour d’une étoile, celle-ci
reste-t-elle immobile ?
La troisième loi de Kepler est très utile aux astrophysiciens, car elle permet
de calculer la masse d’un corps céleste si on connaît la période et le rayon de
l’orbite d’un de ses satellites. Dans l’exemple suivant, on calcule la masse du
Soleil à l’aide des données orbitales de la Terre. Nous étudierons les autres lois
de Kepler au chapitre 13.
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 7.2
Le tableau suivant présente les données relatives à des planètes qui
orbitent autour d’une étoile.
Planète
Masse (MJ )
Rayon orbital (ua)
5
8
13
38
68
24
I
II
III
Classez les planètes par ordre croissant :
a. de leur période orbitale ;
b. du module de leur vitesse orbitale.
7.3 — Le mouvement orbital
EXEMPLE 7.6
219
Tu fais tourner la Terre...
La Terre tourne autour du Soleil avec une période de 1,00 a sur une orbite dont le rayon moyen
est
En vous basant sur ces données, calculez la masse du Soleil.
SOLUTION
Décortiquer le problème
Résoudre le problème
En insérant les valeurs dans l’équation (ii), nous
trouvons
La période doit être exprimée en secondes :
(réponse)
(i)
Identifier la clé
Pour calculer la masse du Soleil, la clé est la troisième loi de Kepler (l’équation 7.12) pour le mouvement de la Terre :
Valider la réponse
Le présent exemple illustre bien la méthode employée
pour obtenir la masse d’un corps céleste. Si on veut
calculer la masse de la Terre, on peut utiliser les données orbitales de la Lune.
(ii)
EXEMPLE 7.7
Anik F2 en orbite
Le satellite Anik F2, qu’on peut voir sur la photo en début de chapitre (voir la page 207),
est un satellite géostationnaire. Un satellite géostationnaire est un satellite dont l’orbite est
circulaire et dont la période de révolution autour de la Terre est égale à la période de rotation
de celle-ci, c’est-à-dire 23 h et 56 min. De cette façon, le satellite garde la même position dans
le ciel par rapport à un observateur sur Terre.
a. Calculez l’altitude de ce satellite.
b. Quel est le module de la vitesse du satellite ?
SOLUTION
Décortiquer le problème
SOLUTION a.
Identifier la clé
Nous avons besoin de la masse et du rayon moyen de
la Terre, donnés à l’annexe D.
La clé est la troisième loi de Kepler (l’équation 7.12).
En isolant r, on trouve
Résoudre le problème
Nous calculons le rayon de l’orbite :
La période doit être exprimée en secondes :
(i)
220
CHAPITRE 07 — La dynamique du mouvement circulaire
Pour calculer l’altitude, il faut soustraire le rayon terrestre R T. Nous obtenons
Résoudre le problème
En considérant le résultat de l’équation (i), nous
trouvons
(réponse)
(réponse)
SOLUTION b.
Identifier la clé
Valider la réponse
La clé est l’équation 4.29 de la page 106 :
Nous pouvons aussi utiliser l’équation 7.11, qui
donne la vitesse orbitale d’un satellite.
Les satellites géostationnaires sont des satellites en
haute altitude. Remarquez la très grande vitesse du
satellite. Il est à noter que la Terre a besoin de 23 h
et 56 min et non de 24 h pour effectuer une rotation complète. C’est ce qu’on appelle le jour sidéral.
Cette différence est causée par la révolution de la
Terre autour du Soleil.
L’apesanteur en orbite
La figure 7.12 montre un astronaute dans la Station spatiale internationale. Ce
dernier flotte dans les airs. Pourtant, la force gravitationnelle n’est pas nulle.
L’astronaute est toujours attiré par la Terre.
L’astronaute et tous les objets de la station spatiale sont en mouvement orbital autour de la Terre avec la même accélération. La force gravitationnelle fait
orbiter la station spatiale et tous les objets à l’intérieur de celle-ci. Aucune force
supplémentaire n’est nécessaire pour supporter les objets, car ces derniers se
déplacent avec la même accélération que la station. Le poids apparent des objets
est nul. Les objets sont en état d’apesanteur.
FIGURE 7.12
L’astronaute de l’Agence spatiale
canadienne, Chris Hadfield, flotte en
apesanteur dans la Station spatiale
internationale.
Si la Terre attire les objets, pourquoi ne tombent-ils pas vers la Terre ? La force
gravitationnelle attire le satellite, mais celui-ci a une grande vitesse. Le résultat
est la trajectoire circulaire. Sans la force gravitationnelle, le satellite se déplacerait en ligne droite. On peut donc dire que le satellite tombe en chute libre vers
la Terre en effectuant le mouvement orbital. La figure 7.13 illustre ce résultat.
FIGURE 7.13
La force gravitationnelle attire le satellite, ce qui produit le mouvement orbital.
7.4 — La dynamique du mouvement circulaire non uniforme
7.4
221
La dynamique du mouvement
circulaire non uniforme
La figure 7.14 illustre une force
exercée sur un objet dont la trajectoire est
un arc de cercle. Cette force peut être décomposée selon une composante centripète , orientée vers le centre, et une composante tangentielle . La composante
centripète est responsable de l’accélération centripète
qui fait tourner l’objet.
La composante tangentielle est responsable de l’accélération tangentielle
qui modifie le module de la vitesse.
Pour analyser le mouvement d’un objet décrivant un mouvement circulaire non
uniforme, on applique la deuxième loi de Newton en décomposant les forces
selon leurs composantes centripète, tangentielle et perpendiculaire au plan du
cercle (la composante z) :
(7.13)
FIGURE 7.14
Une force est appliquée sur un
objet en mouvement circulaire.
Deuxième loi de Newton (mouvement
circulaire non uniforme)
Il y a plusieurs situations où un objet décrit un mouvement circulaire avec une
vitesse qui change de module. Par exemple, lorsqu’on attache un objet à
une corde et qu’on le fait tourner en formant un cercle vertical, le module de la
vitesse change à cause de la force gravitationnelle. Le module de la vitesse est
maximal en bas du cercle et il est minimal en haut du cercle. Il s’agit d’un mouvement circulaire non uniforme. Un autre exemple est une voiture qui prend un
virage en augmentant ou en diminuant le module de sa vitesse.
EXEMPLE 7.8
L’eau restera-t-elle dans le seau ?
Un professeur courageux fait tourner un seau rempli d’eau le long d’un cercle vertical. Le rayon
du cercle est de 30,0 cm, et le seau a une masse de 1,50 kg.
a. Quelle est la composante de l’accélération tangentielle sur l’eau lorsque le seau forme
un angle θ par rapport à la verticale ?
b. Quel est le module de la vitesse minimale de l’eau au sommet de la trajectoire pour que l’eau
reste dans le seau ?
SOLUTION a.
Illustrer la situation
Le diagramme des forces de l’eau est illustré à
la figure 7.15. La force normale
est orientée vers le centre (perpendiculaire à la surface du
seau), et la force gravitationnelle
est orientée
vers le bas.
FIGURE 7.15
Le diagramme des forces de l’eau à un angle θ
222
CHAPITRE 07 — La dynamique du mouvement circulaire
Décortiquer le problème
Selon le diagramme des forces, la force a une composante centripète et une composante tangentielle
qui sont toutes les deux négatives. La force normale
n’a qu’une composante centripète.
Identifier la clé
Pour trouver la composante de la force tangentielle, la clé est la deuxième loi de Newton exprimée
en fonction de la composante tangentielle :
FIGURE 7.16
Le diagramme des forces sur le seau
lorsque celui-ci est au point le plus haut.
Identifier les clés
La première clé est la deuxième loi de Newton selon
la composante centripète :
(réponse)
Valider la réponse
Lorsque le seau monte, 0 < θ < 180°, et l’eau ralentit
(aθ < 0). Lorsque le seau redescend, 180° < θ < 360°,
et le module de la vitesse de l’eau augmente. Remarquez que l’accélération tangentielle est nulle au sommet (vitesse minimale) et au point le plus bas (vitesse
maximale).
(i)
La deuxième clé est que la vitesse est minimale
lorsque l’eau est sur le point de perdre contact avec
le seau. La force normale est alors nulle, car c’est une
force de contact.
Résoudre le problème
Nous isolons v dans l’équation (i), avec N = 0 :
SOLUTION b.
Illustrer la situation
Le diagramme des forces de l’eau est illustré à la
figure 7.16. Au point le plus haut, la force gravitationnelle et la force normale sont orientées vers
le centre.
Valider la réponse
À cette vitesse, l’eau ne tombe pas sur le professeur,
car elle a une vitesse perpendiculaire à l’accélération.
Elle tombe vers le bas mais en même temps, elle se
déplace horizontalement, ce qui lui permet de rester
dans le seau.
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 7.3
On fait tourner un objet au bout d’une corde selon un cercle vertical.
La corde se brise lorsqu’elle est horizontale. Quelle trajectoire suivra l’objet ?
7.5 — Les référentiels non inertiels
7.5
Les référentiels non inertiels
La formulation de la dynamique à partir des lois de Newton nécessite l’utilisation d’un référentiel inertiel, c’est-à-dire un référentiel dans lequel la première
loi de Newton s’applique : un objet reste immobile lorsque aucune force n’est
appliquée sur celui-ci. Un tel référentiel se déplace à vitesse constante par rapport à un autre référentiel inertiel. Il est aussi possible d’utiliser un référentiel accéléré pour décrire la dynamique. Dans la présente section, nous allons
voir les modifications qu’il faut apporter aux lois de Newton. La méthode
utilisée est la comparaison des observations d’un même mouvement faites par
un référentiel inertiel et par un référentiel accéléré. Cela nous permettra entre
autres d’obtenir les effets de la rotation de la Terre lorsqu’on utilise le sol
comme référentiel.
Les forces fictives
Pour débuter, supposons qu’un ballon est immobile à l’arrière d’un camion
qui se déplace à vitesse constante. Une personne (Antoine) se trouve à côté du
ballon, et une autre personne (Isabelle) est sur la route (voir la figure 7.17a).
Lorsque le camion (et Antoine) freine avec une accélération
par
rapport à Isabelle, celle-ci observe que le ballon continue à vitesse constante
vers l’avant
en conformité avec la première loi de Newton. Antoine
observe un résultat différent : pour lui, le ballon se rapproche de lui en accélèrant
vers l’avant
comme le montre la figure 7.17b. Cependant, aucune
force n’est appliquée sur le ballon, car rien ne le pousse vers l’avant. Pour
utiliser la deuxième loi de Newton, Antoine doit ajouter une force fictive
La force fictive est nécessaire, car Antoine utilise un référentiel accéléré (le camion). Elle n’est exercée par aucun agent. De plus, elle ne
fait pas partie d’une paire action-réaction.
En général, lorsqu’on utilise un référentiel non inertiel pour analyser la dynamique d’un objet, on doit ajouter des forces fictives. Ces forces sont proportionnelles à la masse de l’objet. Malgré son nom, une force fictive est bel et
bien observée par un observateur dans un référentiel accéléré. Cette sensation
est le résultat de l’inertie. Pour cette raison, les forces fictives sont aussi appelées forces d’inertie.
(a)
(b)
FIGURE 7.17
(a) Le camion se déplace à vitesse constante. Antoine et Isabelle mesurent que l’accélération du ballon est nulle.
(b) Le camion freine avec une accélération
par rapport à Isabelle. Celle-ci observe que le ballon continue
à vitesse constante (
), alors qu’Antoine mesure une accélération
orientée vers l’avant.
223
224
CHAPITRE 07 — La dynamique du mouvement circulaire
La force centrifuge
Lorsque nous sommes dans une voiture qui effectue un virage, nous subissons
une accélération centripète. Nous avons la sensation qu’une force est appliquée
vers l’extérieur du virage. Ce phénomène se produit parce que la voiture tourne
et que nous tendons à demeurer en ligne droite, à cause de notre inertie. Si
nous choisissons la voiture comme référentiel, nous devons considérer une force
fictive appelée la force centrifuge.
Pour comprendre ce qui précède, prenons une plate-forme en rotation et les
deux observateurs : Antoine, qui est assis sur la plate-forme et Isabelle, qui est
immobile à côté. L’expérience est la suivante : un bloc lisse est attaché à une
corde ; l’autre extrémité est fixée au centre de la plate-forme. Pour Isabelle (voir
la figure 7.18a), le bloc décrit un mouvement circulaire uniforme, et la force
centripète est la force de tension
orientée
vers le centre, avec T, la période de rotation de la plate-forme et r, la distance
entre le bloc et le centre de la plate-forme. Antoine est immobile par rapport à
la plate-forme ; par rapport à Isabelle, il est en mouvement circulaire uniforme
avec une accélération
Pour Antoine (voir la figure 7.18b), le
bloc est immobile, même si ce dernier subit une force de tension
Selon
la deuxième loi de Newton, Antoine peut exercer une force vers l’extérieur, la
force centrifuge
C’est une force fictive, car
aucun objet ne pousse le bloc vers l’extérieur. Cette force fictive dépend de la
masse de l’objet et de sa distance par rapport au centre de rotation. Elle est
nécessaire uniquement dans un référentiel en rotation.
Jusqu’à présent, nous avons négligé la rotation de la Terre sur elle-même et
l’avons utilisée comme référentiel inertiel. Lorsqu’on veut en tenir compte
et garder le sol comme référentiel, il faut ajouter une force centrifuge,
orientée vers l’extérieur. Cette force fait varier l’accélération en chute libre
(mesurée par rapport au sol) en fonction de la position sur Terre. C’est aussi
cette force qui a produit la forme aplatie de la Terre. Nous reviendrons sur ce
sujet au chapitre 13.
(a)
(b)
FIGURE 7.18
(a) Pour Isabelle, le bloc subit la force de tension
l’extérieur, la force centrifuge
(b) Pour Antoine, le bloc subit la force
et une force vers
7.5 — Les référentiels non inertiels
225
La force de Coriolis
Une autre force fictive doit être considérée lorsqu’on utilise un référentiel en
rotation. La force de Coriolis (découverte par le mathématicien et ingénieur
français Gustave-Gaspard Coriolis, 1792-1843) est une force fictive qui agit sur
un objet ayant une vitesse .
Reprenons les deux observateurs : Antoine, qui est sur la plate-forme en rotation et Isabelle, qui est immobile à côté. Cette fois-ci, supposons qu’Antoine,
situé au centre, lance un ballon vers l’extérieur en visant un panier (voir la
figure 7.19a). Le ballon rate la cible. Pour Isabelle, cet échec est simplement
le résultat de la rotation de la plate-forme : le panier s’est déplacé durant le
déplacement du ballon (voir la figure 7.19b). Pour Antoine, le panier est
fixe par rapport à lui. S’il veut comprendre le mouvement du ballon, il doit
ajouter une force fictive
perpendiculaire à la vitesse, comme le montre
la figure 7.19c. La force fictive
est la force de Coriolis. Cette force est
proportionnelle à la masse et à la vitesse du ballon ainsi qu’à la période de
rotation de la plate-forme. C’est une force fictive, car rien ne pousse vraiment
le ballon vers la droite.
(a)
(c)
(b)
FIGURE 7.19
(a) Antoine lance le ballon vers le panier. (b) Pour Isabelle, le ballon rate la cible parce que la cible tourne.
(c) Pour Antoine, le ballon rate la cible parce qu’il y a une force de Coriolis vers la droite sur le ballon.
La force de Coriolis doit être ajoutée lorsqu’on utilise le sol comme référentiel.
Son effet n’est pas négligeable pour des objets qui se déplacent sur de longues
distances (comme un missile) ou pour des objets très étendus (comme les systèmes météorologiques). Dans l’hémisphère nord, cette force fictive est vers la
droite par rapport à la vitesse
d’un objet alors que dans l’hémisphère sud,
la force fictive est vers la gauche par rapport à la vitesse d’un objet.
La figure 7.20 illustre le déplacement de l’air autour d’une basse pression.
Sans effet Coriolis, l’air se déplacerait vers le centre de la basse pression. L’effet
FIGURE 7.20
Dans l’hémisphère nord, l’effet
Coriolis fait tourner les courants d’air
en sens antihoraire autour d’une
dépression.
226
CHAPITRE 07 — La dynamique du mouvement circulaire
Coriolis produit une déviation vers la droite (dans l’hémisphère nord). Le résultat est que l’air tourne en sens antihoraire autour de la dépression. Ceci est
facilement observé dans le cas des ouragans (voir la figure 7.21). Dans l’hémisphère sud, la force de Coriolis est vers la gauche par rapport à la vitesse d’une
particule, ce qui fait tourner l’air en sens horaire autour d’une dépression.
FIGURE 7.21
L’ouragan Katrina, le 29 août 2005
Voir la vidéo sur le pendule
de Foucault.
L’effet Coriolis a permis de montrer dès 1851 que la Terre tournait sur
elle-même, sans référence à des observations astronomiques. Le physicien
français Jean Bernard Léon Foucault (1819-1868) a fait une démonstration
publique à l’aide d’un long pendule accroché à la voûte du Panthéon de
Paris. La force de Coriolis s’exerce perpendiculairement à la vitesse, vers la
droite. Comme le montre la figure 7.22, cette force produit une rotation du
plan d’oscillation en sens horaire dans l’hémisphère nord (en sens opposé
dans l’hémisphère sud). Il est possible de montrer que la période de rotation
à une latitude λ est
Il existe plusieurs pendules de Foucault dans le monde, entre autres à l’Université
de Montréal et à l’École de Technologie Supérieure.
FIGURE 7.22
Une vue en plongée de la trajectoire d’un pendule de Foucault. Le déplacement
nord-sud est ici grandement exagéré.
RÉSUMÉ
227
RÉSUMÉ
Dans ce chapitre, nous avons étudié la dynamique des objets qui décrivent un mouvement circulaire.
Nous avons aussi vu la forme générale de la force gravitationnelle, responsable du mouvement orbital.
LES LOIS ET PRINCIPES
LES APPLICATIONS
• Selon la loi de la gravitation universelle, les objets
exercent les uns sur les autres une force gravitationnelle attractive, dont le module est
La constante
gravitationnelle.
est la constante
La force gravitationnelle est responsable du mouvement
orbital des planètes. Les orbites les plus simples sont circulaires. La période T et le rayon r de l’orbite sont reliés
par la troisième loi de Kepler :
Le module de la vitesse orbitale est
• Pour appliquer la deuxième loi de Newton dans un
référentiel accéléré, il faut ajouter des forces fictives, proportionnelles à la masse des objets.
LES RÉSULTATS
Pour le mouvement circulaire
uniforme, le module de la vitesse
est constant.
Pour le mouvement circulaire non
uniforme, le module de la vitesse
change.
Le mouvement hélicoïdal est la superposition d’un mouvement circulaire et d’un mouvement uniforme
perpendiculaire au cercle.
228
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
Q questions qualitatives • E exercices simples • P problèmes •
solution disponible
Section 7.1 La dynamique du mouvement circulaire uniforme
P8 Un virage incliné a un rayon de 180 m. Il est conçu
Q1 Les passagers d’une grande roue se déplacent en décri-
pour qu’une voiture à 70,0 km/ h puisse le négocier même
si le coefficient de frottement est nul. Quel est l’angle d’inclinaison du virage par rapport à l’horizontale ?
vant un cercle vertical avec une vitesse dont le module est
constant.
a. À quel endroit le module de la force centripète sur un passager est-il le plus grand ?
b. À quel endroit le module de la force normale du siège sur
un passager est-il le plus grand ?
c. À quel endroit le module de la force normale du siège sur
un passager est-il le plus petit ?
P9 Un avion effectue un virage horizontal à une vitesse
dont le module est constant. Pour ce faire, l’avion incline
ses ailes à un angle φ = 30,0°, comme le montre la figure
7.23. L’air exerce une force appelée la portance, perpendiculairement aux ailes. Quel est le module de la vitesse de
l’avion si le rayon de la trajectoire est de 4,00 km ?
E2 Un disque attaché à une corde de 25,0 cm décrit
un mouvement circulaire uniforme horizontal sur une
table sans frottement. La masse du disque est de 350 g,
et celui-ci fait 5,0 tr en 12,5 s. Calculez la tension dans
la corde.
E3 Lorsqu’un électron se déplace dans un champ magné-
tique, il subit une force centripète dont le module est
de
L’électron décrit en sens horaire un
cercle dont le rayon est de 0,250 mm.
FIGURE 7.23 • Problème 9
a. Quelle est l’accélération de l’électron ?
comme à l’exemple 7.3. Le rayon du virage est de 75,0 m.
La trajectoire du camion est un arc de cercle horizontal.
Avec une vitesse de 70,0 km/h, le camion est sur le point
de glisser et de manquer le virage. Calculez le coefficient de
frottement entre la route et les pneus du camion.
b. Quelle est sa vitesse ?
c. Quelle est la durée d’une révolution ?
Exprimez vos réponses en fonction des vecteurs unitaires
et .
E4 Une voiture prend un virage plat dont le rayon est r.
Lorsque le module de la vitesse est v, la conductrice
remarque que les pneus sont sur le point de glisser. Quel
est le coefficient de frottement statique ?
E5 Une voiture prend un virage plat dont le rayon est
de 95 m. Lorsque le module de la vitesse est de 100 km/h,
la conducteur remarque que les pneus sont sur le point de
glisser. Quel est le coefficient de frottement statique ?
P10 Un petit camion prend un virage incliné à 5,00°,
P11 Au Québec, certains virages sont inclinés dans le mau-
vais sens, c’est-à-dire que l’inclinaison produit une force
ayant une composante vers l’extérieur du virage. L’auto
illustrée à la figure 7.24 se déplace à une vitesse dont le
module est constant, le long d’un arc de cercle horizontal. Le coefficient de frottement statique est de 0,250, et le
coefficient de frottement cinétique est de 0,150. Le virage
a un rayon de 120 m et il est incliné à un angle φ = 7,00°.
Calculez le module de la vitesse maximale pour que les
pneus ne glissent pas.
E6 Un spectromètre de masse est un appareil qui mesure la
masse des ions. Un faisceau d’ions se déplace à une vitesse ayant
un module de 30,461 4 km/s. Il est dévié par une force magnétique centripète dont le module est de
Les ions décrivent un arc de cercle de 1,313 1 m de diamètre.
Calculez la masse des ions. Exprimez votre réponse en unités
de masse atomique (u).
P7 Un pendule conique est constitué d’une bille de 150 g
attachée à une corde de 0,850 m. La période de révolution
est égale à 1,50 s.
FIGURE 7.24 • Problème 11
a. Quelle est la tension dans la corde ?
P12 Un proton décrit un mouvement hélicoïdal en sens
b. Quel est l’angle entre la corde et la verticale ?
horaire et vers le haut, avec une vitesse dont le module est
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
229
de
La vitesse forme un angle de 30,0° avec
le plan du cercle. La force centripète responsable de ce mouvement est
(Vous trouverez la masse
du proton à l’annexe B de la page 463.)
a. Exprimez la vitesse du proton en fonction des vecteurs
unitaires
et
b. Quel est le rayon du cercle ?
c. Quelle est la période de révolution du proton ?
FIGURE 7.26 • Problème 17
d. Quel est le pas de l’hélice ?
Section 7.3 Le mouvement orbital
Section 7.2 La loi de la gravitation universelle
E18 Les mesures du télescope spatial Hubble ont permis
E13 À partir des données de la Terre, calculez le module
de la force gravitationnelle exercée sur un objet de 1,00 kg
situé aux endroits suivants :
a. à la surface de la Terre ;
b. à une altitude de 350 km (approximativement l’altitude de
la Station spatiale internationale) ;
c. à une altitude de 3,58 × 104 km (l’altitude d’un satellite
géostationnaire comme Anik F2) ;
de mesurer la vitesse de rotation d’un nuage de gaz autour
du centre de la galaxie M87 (voir la figure 7.27). Selon les
mesures, le module de la vitesse est de 5,5 × 102 km/s et
le rayon orbital, de 1 × 102 al. Calculez la masse du centre
de cette galaxie. Exprimez votre réponse en fonction de
la masse du Soleil (MS = 1,99 × 1030 kg). Cette mesure
suggère fortement que le centre de la galaxie M87 est un
trou noir.
d. à une distance de 3,84 × 10 5 km du centre de la Terre (le
rayon de l’orbite de la Lune).
E14 Un objet m1 = 350 kg est placé à l’origine. Un autre
objet m2 = 600 kg est placé à la position x = 5,00 m,
sur l’axe des x. Calculez la force gravitationnelle exercée
sur l’objet 2 par l’objet 1.
E15 Un objet se trouvant entre le Soleil et la Terre subit
une force résultante nulle. À partir des données du système
solaire, calculez la distance entre la Terre et l’objet.
FIGURE 7.27 • Le centre de la galaxie M87
P16 Trois sphères sont placées à chacun des sommets d’un
E19 Dans le dessin animé Les douze travaux d’Astérix,
triangle équilatéral ayant des côtés de longueur a, comme
il est indiqué à la figure 7.25. Calculez la force gravitationnelle résultante exercée sur l’objet de masse m par les deux
autres objets.
Obélix lance un javelot à une telle vitesse que celui-ci fait
le tour de la Terre. Supposez que le javelot se comporte
comme un satellite avec un rayon orbital égal au rayon terrestre R T = 6,38 × 103 km et que la résistance de l’air est
nulle (ce qui est possible dans un dessin animé).
a. Quel est le module de la vitesse du javelot ?
b. Après combien de temps le javelot revient-il vis-à-vis
d’Obélix ?
E20 Ganymède est le plus gros satellite de Jupiter. Sa
FIGURE 7.25 • Problème 16
période orbitale est de 7,154 j, et le rayon de son orbite est
de 1,07 × 106 km. En vous basant sur ces données, calculez
la masse de Jupiter.
P17 Trois sphères sont placées comme à la figure 7.26. Leurs
E21 La Station spatiale internationale orbite autour de la
masses sont respectivement m1 = 3,00 kg, m2 = 5,00 kg
et m3 = 8,00 kg.
Terre à une altitude moyenne de 333 km.
a. Quelle est sa période orbitale ?
a. Calculez la force résultante exercée sur la sphère 1 par les
deux autres sphères.
b. Quel est le module de sa vitesse orbitale ?
b. Calculez la force résultante exercée sur la sphère 2 par les
deux autres sphères.
c. Si un véhicule sur Terre pouvait se déplacer à cette vitesse,
combien de temps faudrait-il pour qu’il franchisse la distance
de 900 km, qui équivaut au parcours Montréal-Gaspé ?
230
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
Section 7.4 La dynamique du mouvement circulaire
non uniforme
E22 On fait tourner selon un cercle vertical une sphère de
780 g au bout d’une corde de 55,0 cm de longueur. Quel est
le module de la vitesse minimale au sommet de la trajectoire ?
E23 Une enfant de 22,0 kg s’amuse sur une balançoire de
parc, dont la masse est égale à 1,0 kg. La balançoire est
soutenue par deux chaînes de 2,50 m de longueur. Lorsque
l’enfant est à son point le plus bas, le module de sa vitesse
est de 2,88 m/s. Calculez la tension dans chacune des
chaînes au point le plus bas.
P24 Un cycliste de 65,0 kg se déplace sur la route acciden-
tée illustrée à la figure 7.28. La route est constituée d’arcs
de cercle dont les rayons sont respectivement r B = 90,0 m
et rC = 50,0 m. Le module de sa vitesse varie de 28,0 km /h au
point A à 53,0 km/h au point B et à 28,0 km/h au point C.
Calculez le poids apparent du cycliste aux points A, B et C.
FIGURE 7.29 • Problèmes 25 et 26
P26 Un pendule simple est composé d’un objet compact ayant
une masse de 100 g au bout d’une corde dont la longueur est
L = 80,0 cm, qui oscille en formant un arc de cercle vertical
(voir la figure 7.29). Lorsque l’angle par rapport à la verticale
est φ = 10,0°, le module de la vitesse est égal à 1,50 m/s.
a. Calculez la tension dans la corde.
b. Quel est le module de l’accélération tangentielle du
pendule ?
Section 7.5 Les référentiels non inertiels
Q27 Vous êtes assis à l’arrière d’un autobus municipal. Des poi-
gnées pendent librement du plafond pour aider les gens debout
à garder leur équilibre. Vous remarquez que ces poignées sont
inclinées vers la gauche. Quel est le mouvement de l’autobus ?
Q28 Comme la Terre tourne sur elle-même, le poids appa-
rent d’un objet dépend de sa position sur la Terre. Le poids
apparent est-il plus faible au pôle Nord ou à l’équateur ?
FIGURE 7.28 • Problème 24
P25 Un pendule simple est composé d’un objet compact
de masse m au bout d’une corde de longueur L, qui oscille
en formant un arc de cercle dans le plan vertical (voir la
figure 7.29). Lorsque l’angle par rapport à la verticale est φ,
le module de la vitesse est v.
a. Calculez la tension dans la corde.
b. Quel est le module de l’accélération tangentielle du
pendule ?
Q29 Un boulet de canon est lancé directement vers le nord
pour atteindre une cible. Le boulet rate la cible. Vers quel
point cardinal le boulet est-il dévié si le lancer est fait :
a. dans l’hémisphère Sud ?
b. dans l’hémisphère Nord ?
Q30 On laisse tomber un objet à partir du point d’obser-
vation de la tour du CN à Toronto. En tenant compte de la
rotation de la Terre mais en négligeant la résistance de l’air,
indiquez à quel endroit tombera l’objet par rapport au point
directement au-dessous du point initial.
SOLUTIONS AUX TESTS DE COMPRÉHENSION
231
SOLUTIONS AUX TESTS DE COMPRÉHENSION
7.1 a.
diminue.
La force
augmente.
Si la période demeure constante, alors le module de la vitesse augmente :
Le module de la force centripète
augmentera.
7.2 a. TIII < TI < TII
Selon la troisième loi de Kepler, plus la planète est loin de l’étoile, plus sa
période est grande. La masse de la planète n’a aucune influence.
b.
b. vII < vI < vIII
7.3 La trajectoire b.
est la force centripète. Le module de la force centripète est
Ici, v est constant, et r augmente.
Selon l’équation 7.11, plus la planète est éloignée, plus le module de sa
vitesse orbitale est petit.
Lorsque la corde se brise, l’objet a une vitesse vers le haut. De plus, seule
la force gravitationnelle s’exerce sur l’objet. Le résultat est donc le même
que si on lançait un objet vers le haut.
Chapitre
232
L’énergie cinétique
et le travail
Buts du chapitre
Dans ce chapitre, on étudie la relation entre le travail et l’énergie cinétique.
Après l’étude de ce chapitre, vous serez en mesure :
• de calculer l’énergie cinétique d’un objet en mouvement ;
• de calculer le travail effectué par une force constante
et par une force variable ;
• d’utiliser le théorème de l’énergie cinétique pour résoudre des problèmes ;
• de calculer la puissance produite par un agent.
Préalables
Ce chapitre porte sur une nouvelle méthode qui permet de résoudre
des problèmes de mécanique. Revoyez :
• le mouvement uniformément accéléré, étudié à la section 3.7 ;
• la deuxième loi de Newton, vue à la section 5.6 ;
• le produit scalaire entre deux vecteurs, présenté à la section 2.4.
233
Les chiens effectuent un
travail sur le traîneau parce
qu’ils exercent une force en
le déplaçant.
234
CHAPITRE 08 — L’énergie cinétique et le travail
La méthode utilisée dans les trois derniers chapitres permet de calculer
le mouvement d’un objet. Ainsi, à partir des forces appliquées sur l’objet
on trouve l’accélération de celui-ci à l’aide des lois de Newton. Cette méthode
est générale, et on peut en principe obtenir le mouvement des objets qui se
déplacent sur des trajectoires simples ou complexes.
Dans les deux prochains chapitres, nous étudions le mouvement des objets à
l’aide d’une nouvelle quantité, l’énergie. Ce terme est utilisé dans le langage
courant : on parle de voitures qui consomment beaucoup ou peu d’énergie, de
moyens de réduire la consommation d’énergie, d’énergie solaire ou éolienne.
Mais précisément, qu’est-ce que l’énergie ?
L’énergie est une quantité abstraite, difficile à définir de façon simple. De façon
vague, on peut dire que l’énergie est une quantité scalaire qui décrit l’état d’un
système. Il existe plusieurs types d’énergie, notamment l’énergie cinétique (liée
au mouvement), l’énergie potentielle (liée à la position relative des éléments d’un
système), l’énergie électrique, l’énergie lumineuse ou l’énergie chimique.
L’importance de l’énergie vient du principe suivant : l’énergie est une grandeur
physique qui se conserve. Si un système est isolé (sans interaction avec son environnement), son énergie ne varie pas ; l’énergie peut être transformée d’une forme
à une autre, mais la somme de tous les types d’énergie ne varie pas. Si un système n’est pas isolé, son énergie augmente (ou diminue) si l’énergie de l’environnement diminue (ou augmente). L’énergie peut être transférée de l’environnement
vers le système (ou du système vers l’environnement). Le principe de conservation
de l’énergie est l’un des principes les plus importants en physique et en sciences
en général. Nous allons le considérer comme un fait expérimental, sans essayer
de le démontrer ; même si notre étude se limite à la mécanique newtonienne, son
champ d’application dépasse celui des lois de Newton.
Dans le présent chapitre, nous étudions l’énergie cinétique, soit l’énergie que peut
avoir un objet en mouvement. Nous étudierons aussi la façon de transférer de l’énergie au moyen d’une force appliquée par un agent de l’environnement sur l’objet.
Dans cette étude, nous allons voir que certains problèmes de dynamique sont plus
faciles à résoudre si on recourt au concept de l’énergie plutôt qu’aux lois de Newton.
8.1
Un exemple de conservation
Pour bien illustrer le principe de conservation de l’énergie, nous reprenons une
analogie que le physicien américain Richard Feynman a utilisée*. Supposons
qu’un petit garçon s’amuse avec des blocs de construction dans une salle de jeu
fermée. Au début de la journée, le garçon a 28 blocs. Après une heure, sa mère
vient le voir et compte le nombre de blocs dans la pièce : il y en a 28. Le nombre
de blocs ne varie pas ; la grandeur physique est conservée.
L’enfant continue de jouer avec ses blocs jusqu’au dîner. À ce moment, la mère
compte les blocs dans la pièce : il y en a 25. La mère sait que les blocs n’ont pu
disparaître. Elle remarque que la fenêtre est ouverte et, en regardant dehors, elle
trouve les 3 blocs manquants. Le nombre de blocs dans la pièce peut diminuer
si des blocs se retrouvent à l’extérieur. La mère remet les blocs à l’intérieur.
* R.P. Feynman, R.B. Leighton et M.L. Sands. The Feynman Lectures on Physics, vol. 1,
Addison-Wesley, Reading, 1963.
8.2 — L’énergie cinétique
235
Après le dîner, le garçon invite un ami à venir jouer avec lui. La mère vient
les voir après une demi-heure et elle compte 35 blocs. L’ami a apporté avec
lui 7 blocs pour s’amuser. Donc, le nombre de blocs peut augmenter si un ami
en apporte dans la salle de jeu.
L’énergie d’un objet se comporte comme le nombre de blocs : c’est une grandeur
physique qui se conserve.
L’énergie est une grandeur physique qui se conserve.
• L’énergie d’un système isolé demeure constante.
Conservation de l’énergie
• Lorsqu’un système est en interaction, son énergie augmente si l’environnement lui en donne, et son énergie diminue si le système en cède
à l’environnement.
Dans ce chapitre, nous analysons la variation de l’énergie cinétique d’un objet
produite par une force extérieure. Ce type de transfert d’énergie est appelé le
travail, et on le dénote par W. Le travail sera positif (W > 0) si l’environnement
donne de l’énergie à l’objet, et le travail sera négatif (W < 0) si c’est l’objet qui
cède de l’énergie à l’environnement (voir la figure 8.1).
8.2
FIGURE 8.1
L’énergie cinétique
Lorsqu’un objet est en mouvement, il a de l’énergie cinétique K. Lorsque l’objet
est immobile, son énergie cinétique doit être nulle. Si l’objet se déplace plus
rapidement, son énergie doit augmenter. Pour un objet dont la masse est m et
qui se déplace avec une vitesse de module v, son énergie cinétique est
(8.1)
Un travail positif fait augmenter
l’énergie de l’objet, et un travail
négatif fait diminuer l’énergie
de l’objet.
Énergie cinétique
L’énergie cinétique, comme toutes les formes d’énergie, est une quantité scalaire.
Elle ne dépend pas de l’orientation de la vitesse, mais seulement de son module.
Dans le SI, l’unité pour toutes les formes d’énergie est le joule (J), nommée en
l’honneur du physicien anglais James Prescott Joule (1818-1889), qui a contribué à la découverte du principe de conservation de l’énergie. L’équation 8.1
permet d’exprimer le joule en fonction des unités de base du SI :
(8.2)
EXEMPLE 8.1
Une balle courbe
Au baseball, une balle de 145 g est lancée vers le frappeur. À un point de sa trajectoire,
sa vitesse est
Quelle est l’énergie cinétique de la balle ?
SOLUTION
Décortiquer le problème
Identifier la clé
La clé est la définition de l’énergie cinétique donnée
par l’équation 8.1 :
(i)
236
CHAPITRE 08 — L’énergie cinétique et le travail
Nous pouvons calculer le module de la vitesse au
carré à partir de ses composantes, selon l’équation 2.13 de la page 36 :
Résoudre le problème
En insérant les données dans les équations (i) et (ii),
nous obtenons
(ii)
(réponse)
Valider la réponse
La réponse est un scalaire positif, exprimé en joules.
8.3
Le travail d’une force constante
Lorsqu’on lance une balle (comme le lanceur à la figure 8.2), on exerce une force
sur la balle. La force produit une accélération, c’est-à-dire un changement de
vitesse. Dans le présent cas, le module de la vitesse change, donc l’énergie cinétique va changer. En lançant la balle, le joueur transfère de l’énergie à l’objet au
moyen d’une force. En physique, on appelle travail ce type de transfert d’énergie :
Un travail W est un transfert d’énergie, d’un agent vers un objet, au
moyen d’une force. Le travail est positif lorsque l’énergie est reçue par
l’objet, et le travail est négatif lorsque l’énergie est cédée par l’objet.
L’expression du travail
FIGURE 8.2
Le lanceur effectue un travail
sur la balle.
Pour trouver la relation exacte entre le travail et la force appliquée, prenons un
disque ayant une masse m, placé sur une table à coussin d’air horizontale. La
force de frottement est négligeable, et la force gravitationnelle est équilibrée par
la force normale. Supposons qu’une force constante est appliquée sur le disque
qui se déplace (avec
comme le montre la figure 8.3). Supposons également que le module de la vitesse du disque varie de vi à vf durant ce déplacement.
FIGURE 8.3
Une force est appliquée sur un disque qui effectue un déplacement
travail W = F cos f ∆r.
La force effectue un
On peut exprimer vfx en fonction de vix et de ∆x à l’aide de l’équation 3.16 de la
page 70, une équation que nous avons rencontrée lors de l’étude de la cinématique à accélération constante :
L’accélération a x peut être calculée à l’aide de la deuxième loi de Newton. En
effet, l’accélération est produite par la composante x de la force :
8.3 — Le travail d’une force constante
237
On obtient alors
Le module de la vitesse change, ce qui indique que l’énergie cinétique change
aussi. On multiplie par m/2 chacun des termes de la dernière équation et on
laisse de côté les indices x. On obtient
(8.3)
Le membre de gauche de l’équation représente la variation de l’énergie cinétique de la
rondelle. Le membre de droite doit représenter le travail effectué par la force Pour
un déplacement rectiligne dont le module est ∆r, le travail de la force constante est
(8.4)
Travail d’une force constante
(déplacement rectiligne)
où f représente l’angle entre la force et le déplacement
Cette équation
permet de calculer le travail effectué par une force constante sur un objet qui
se déplace en ligne droite. Elle sera généralisée dans les prochaines sections
afin de l’appliquer quand la force n’est pas constante ou que le déplacement n’est
pas rectiligne.
L’équation 8.4 indique qu’un objet doit se déplacer pour qu’une force effectue
un travail. Si vous poussez contre un mur, vous n’effectuez aucun travail, car le
mur reste immobile. En effet, vous ne transférez pas d’énergie au mur.
Le travail est une quantité scalaire. L’unité du travail est le joule parce qu’il s’agit
d’un transfert d’énergie. L’équation 8.4 montre que
Le travail peut être positif, négatif ou nul, selon l’angle f entre la force et le
déplacement. L’énoncé suivant indique les différentes possibilités.
Le signe du travail dépend de l’angle f entre la force
et le déplacement
0° ≤ f < 90°
W>0
L’objet
acquiert
de l’énergie.
f = 90°
W=0
L’énergie
de l’objet
est constante.
90° < f ≤ 180°
W<0
L’objet cède
de l’énergie.
:
Défi animé 8.1
Déterminez l’allure du graphique du
travail fait par chaque force sur un objet
qui effectue un aller-retour sur un plan
incliné rugueux.
238
CHAPITRE 08 — L’énergie cinétique et le travail
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 8.1
Dans un chantier de construction, une grue soulève une poutre verticalement. La poutre subit la force gravitationnelle et une force de tension
exercée par un câble. La force effectue un travail Wg, et la force effectue un travail W T . Parmi les énoncés suivants, lequel est vrai ?
(i) Wg > 0 et W T > 0
(ii) Wg < 0 et W T < 0
(iii) Wg < 0 et W T > 0
(iv) Wg > 0 et W T < 0
EXEMPLE 8.2
Le travail d’un enfant
Un enfant tire un chariot avec une force le long d’une surface horizontale. La force a un
module de 12,0 N et est orientée à un angle de 25,0° par rapport à l’horizontale. Calculez
le travail effectué par l’enfant sur le chariot lorsque ce dernier se déplace d’une distance de 50,0 m.
SOLUTION
Illustrer la situation
Identifier la clé
À la figure 8.4, nous présentons le schéma de la situation à l’état initial et à l’état final. Nous avons aussi
ajouté la force .
et
Résoudre le problème
En insérant les valeurs, nous obtenons
Décortiquer le problème
L’angle entre
La clé est la définition du travail donnée par
l’équation 8.4 :
est f = 25,0°.
(réponse)
Valider la réponse
La valeur positive indique que l’enfant fournit de
l’énergie au chariot.
FIGURE 8.4
Le schéma de la situation pour l’exemple 8.2
Le travail et le produit scalaire
Le travail effectué par une force sur un objet est une quantité scalaire calculée à
partir de deux vecteurs : la force appliquée et le déplacement
de l’objet. Le
membre droit de l’équation 8.4 est en fait le produit scalaire entre et
(pour
un rappel du produit scalaire, voir la section 2.4 de la page 43) :
Travail d’une force constante
(8.5)
8.4 — Le théorème de l’énergie cinétique
EXEMPLE 8.3
239
Le travail avec le produit scalaire
Une force
est appliquée sur un objet qui se déplace le long
d’un plan incliné. Son déplacement est
Calculez le travail effectué
par la force sur l’objet.
SOLUTION
Décortiquer le problème
Résoudre le problème
En remplaçant les valeurs, nous obtenons
(réponse)
Identifier la clé
La clé est l’équation 8.5, que nous pouvons écrire
à l’aide des composantes des vecteurs, comme à
l’équation 2.28 de la page 45 :
Valider la réponse
Le signe positif indique que la force donne de l’énergie à l’objet.
MISE EN GARDE
Les équations 8.4 et 8.5 peuvent être utilisées pour calculer le travail
effectué sur un objet seulement lorsque la force est constante et que
l’objet a un déplacement rectiligne.
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 8.2
La figure suivante représente quatre situations où une force est
appliquée sur un objet. Dans les quatre cas, l’objet a le même déplacement
Classez ces situations dans l’ordre décroissant du travail
effectué par la force.
(i)
8.4
(ii)
(iii)
(iv)
Le théorème de l’énergie cinétique
La section précédente nous a permis de calculer le travail effectué par une force
constante sur un objet qui se déplace. Nous pouvons maintenant étudier les
situations où plusieurs forces effectuent un travail et calculer la variation d’énergie cinétique correspondante.
240
CHAPITRE 08 — L’énergie cinétique et le travail
La figure 8.5 illustre un objet qui se déplace de
et qui est soumis aux
forces
. Chaque force effectue un certain travail sur l’objet. On
définit le travail net comme la somme de tous les travaux effectués sur un objet :
(8.6)
FIGURE 8.5
Un objet est soumis à plusieurs forces. Chaque force effectue un travail sur l’objet.
Le produit scalaire obéit à la distributivité (voir l’équation 2.24 de la page 44).
On peut donc mettre en évidence le déplacement dans l’équation 8.6 :
Le terme entre parenthèses correspond à la force résultante exercée sur l’objet.
Donc, lorsqu’un objet est soumis à plusieurs forces
le travail net est
Travail net
(8.7)
Le travail net effectué sur un objet est la somme de tous les travaux. C’est
aussi le travail effectué par la force résultante exercée sur l’objet.
En dynamique, on remplace les différentes forces exercées sur un objet par
la force résultante, et on applique la deuxième loi de Newton pour obtenir
l’accélération de l’objet. Avec la méthode du travail, on calcule le travail net,
c’est-à-dire le travail de la force résultante. Le problème comportant n forces est
remplacé par une situation équivalente où il n’y a qu’une force (la force résultante) exercée sur l’objet. Selon l’équation 8.3, la variation de l’énergie cinétique
est produite par le travail de la force résultante, soit le travail net :
Théorème de
l’énergie cinétique
(8.8)
Cette équation, appelée le théorème de l’énergie cinétique, est très utile pour
connaître le module de la vitesse finale. Lorsque Wnet > 0, cela indique que la
force résultante a une composante dans le même sens que le déplacement, ce
qui fait augmenter le module de la vitesse. Lorsque Wnet < 0, alors la force résultante a une composante dans le sens opposé au sens du déplacement, ce qui fait
8.4 — Le théorème de l’énergie cinétique
diminuer le module de la vitesse. Lorsque Wnet = 0, alors la force résultante est
nulle ou elle est perpendiculaire au déplacement. Dans le dernier cas, la force
est une force centripète qui change l’orientation de la vitesse sans changer le
module de celle-ci.
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 8.3
La vitesse d’une particule varie de
a. Son énergie cinétique augmente-t-elle ou diminue-t-elle ?
b. Quel est le signe du travail net ?
La vitesse d’une deuxième particule varie de
c. Son énergie cinétique augmente-t-elle ou diminue-t-elle ?
d. Quel est le signe du travail net ?
La stratégie suivante explique la méthode du travail qui permet de résoudre des
problèmes faisant appel à des forces appliquées sur un objet. Cette méthode
peut être utilisée à la place de la méthode de la dynamique. Elle est plus simple,
car elle utilise des scalaires. Elle est aussi plus efficace lorsqu’on veut obtenir
le module de la vitesse finale.
STRATÉGIE 8.1
La méthode du travail
Illustrer la situation
Dessinez un schéma de la situation, avec l’objet à son état initial et à son
état final. Ajoutez les forces appliquées et le déplacement de l’objet. Tracez
un système de coordonnées cartésiennes et orientez un des axes parallèlement au déplacement, afin de simplifier la solution.
Décortiquer le problème
À l’aide d’un tableau, faites ressortir les quantités connues et celles
qui sont recherchées. Identifiez bien l’angle entre chaque force et le
déplacement.
Identifier la clé
Calculez le travail de chaque force
et le travail net,
c’est-à-dire la somme de tous les travaux. Utilisez ensuite le théorème de
l’énergie cinétique :
(8.8)
Résoudre le problème
Résolvez l’équation pour obtenir l’inconnue. La méthode du travail
permet de trouver des quantités scalaires. Si on vous demande une quantité vectorielle, ajoutez l’orientation en utilisant le schéma de la situation
comme guide.
Valider la réponse
Vérifiez le signe, les unités et l’ordre de grandeur de vos réponses
numériques.
241
242
CHAPITRE 08 — L’énergie cinétique et le travail
EXEMPLE 8.4
Vers la Yukon Quest ?
Un traîneau à chiens, avec le musher et un passager,
a une masse de 145 kg. Il est tiré par des chiens au
moyen de deux câbles. Chaque câble exerce une
force de tension de 200 N orientée à 5,00° par rapport à l’horizontale. Le coefficient de frottement cinétique entre la neige et le traîneau est de 0,200.
a. Calculez le travail effectué par chaque force lorsque le traîneau se déplace de 25,0 m.
b. Si le traîneau est initialement immobile, quel est le module de sa vitesse après 25,0 m ?
SOLUTION
Illustrer la situation
L’objet est le traîneau avec le musher et le passager.
Le schéma de la situation est illustré à la figure 8.6.
Cinq forces sont appliquées : les deux tensions
identiques, la force de frottement cinétique
la force normale
et la force gravitationnelle
Décortiquer le problème
Le déplacement s’effectue vers la droite. La force de
frottement cinétique est opposée au déplacement,
donc ff = 180°. La force normale et la force gravitationnelle sont perpendiculaires au déplacement,
alors fg = fN = 90°.
Pour le travail de la force de frottement, il faut d’abord
calculer le module fc avec la deuxième clé, c’est-à-dire
que fc est proportionnelle à la force normale :
(ii)
La force normale est aussi inconnue. Nous la trouvons à l’aide de la deuxième loi de Newton appliquée
à la composante y :
(iii)
Résoudre le problème
Nous calculons les différents travaux :
(réponse)
(réponse)
(réponse)
SOLUTION a.
Identifier les clés
Pour calculer le travail, la première clé est l’équation 8.4 :
(i)
FIGURE 8.6
Le schéma de la situation pour l’exemple 8.4
(réponse)
8.4 — Le théorème de l’énergie cinétique
Valider la réponse
Résoudre le problème
Les tensions effectuent un travail positif, car les
chiens font accélérer le traîneau. La force de frot­
tement effectue un travail négatif parce que cette
force s’oppose au mouvement. La force normale et
la force gravitationnelle n’effectuent pas de travail,
car elles sont perpendiculaires au déplacement.
Le travail net est
243
Nous insérons ce résultat et l’expression vi = 0,0 m/s
dans l’équation (iv), puis nous isolons vf pour obtenir
SOLUTION b.
Identifier la clé
La clé est le théorème de l’énergie cinétique :
(réponse)
Valider la réponse
(iv)
EXEMPLE 8.5
Le module de la vitesse est un scalaire positif. L’ordre
de grandeur a du sens. Les unités sont correctes.
Un enfant glisse le long d’une pente
Un enfant de 20,0 kg sur une luge de 1,00 kg glisse le long d’une pente inclinée à 15,0°. Le coef­
ficient de frottement cinétique entre la luge et la pente est de 0,226. Si l’enfant est initialement
au repos, quel est le module de sa vitesse après qu’il a glissé sur une distance de 20,0 m ?
SOLUTION
Illustrer la situation
Identifier la clé
La clé est le théorème de l’énergie cinétique :
Le schéma de la situation est présenté à la figure 8.7.
Décortiquer le problème
Selon le schéma, l’angle entre
et
est l’angle
complémentaire à l’inclinaison de la pente : fg = 90°
− 15,0° = 75,0°. La force normale est perpendi­
culaire au déplacement, et son travail est nul. Pour
la force de frottement cinétique, ff = 180°.
FIGURE 8.7
Le schéma de la situation pour l’exemple 8.5
(i)
Nous devons calculer la force de frottement à partir
du module de la force normale, fc = µc N, avec
(ii)
Résoudre le problème
Calculons chaque travail et le travail net :
244
CHAPITRE 08 — L’énergie cinétique et le travail
Valider la réponse
Comme K = mv2/2 et que vi = 0,0 m/s, nous obtenons
(réponse)
Le module de la vitesse a une valeur raisonnable
pour un enfant. Le travail de la force gravitationnelle est positif, car c’est cette force qui fait ac célérer l’enfant. Nous avons résolu ce type de
problème à l’exemple 5.7 en utilisant la méthode de
la dynamique.
REMARQUE
Comme le montrent les deux exemples précédents, la méthode du
travail est un outil efficace pour calculer le module de la vitesse
finale. Par contre, elle ne peut être utilisée pour calculer une force
perpendiculaire au déplacement. Dans les derniers exemples, on doit
utiliser la deuxième loi de Newton pour calculer la force normale.
8.5
Le travail d’une force variable
Le mouvement rectiligne
La section 8.3 décrit la façon de calculer le travail d’une force lorsque celle-ci est
constante. La figure 8.8 reprend le cas de la rondelle sur une surface sans frottement de la figure 8.3, mais cette fois-ci, on suppose que la force est variable.
On a choisi d’orienter le système de coordonnées pour que
. Le graphique de la figure 8.9a indique de quelle manière la composante
change lorsque la rondelle se déplace de xi à xf.
FIGURE 8.8
Une rondelle se déplace ; une force
variable effectue un travail.
Pour calculer le travail, on divise le déplacement total en petits déplacements ∆xj. Durant un petit déplacement, la composante de la force Fjx est approximativement constante ; le travail durant ce petit déplacement est
Géométriquement, ceci correspond à l’aire du petit rectangle jaune de la figure 8.9b. Pour obtenir le travail effectué durant le déplacement total ∆x, on
additionne tous les petits travaux Wj. On obtient la formule exacte en prenant
la limite ∆xj → 0. Le travail est alors donné par l’aire sous la courbe (l’intégrale)
de Fx en fonction de x, entre x i et x f :
Travail d’une force variable
(8.9)
8.5 — Le travail d’une force variable
(a)
(b)
245
(c)
FIGURE 8.9
(a) La composante Fx varie durant le déplacement entre x i et x f. (b) Pour un déplacement ∆ x j,
le travail correspond à l’aire du petit rectangle. (c) Le travail effectué par la force correspond
à l’aire sous la courbe.
MISE EN GARDE
Il faut faire attention au signe lorsqu’on utilise l’équation 8.9. Pour
xf > xi, le travail est positif lorsque la courbe est au-dessus de l’axe
des x, et il est négatif lorsque la courbe est sous l’axe des x. Pour
xf < xi, le déplacement est inversé : le travail est négatif si la courbe
est au-dessus de l’axe des x et positif si la courbe est sous l’axe des x.
Un mouvement quelconque
Jusqu’à présent, on a calculé le travail pour un objet qui se déplace en ligne
droite. Lorsque la trajectoire est courbe, comme à la figure 8.10, il faut diviser
la trajectoire en déplacements infinitésimaux
La force
effectuant le travail est
L’équation 8.9 devient
(8.10)
FIGURE 8.10
Pour calculer les trois intégrales entre le point i et le point f, on utilise l’équation
exacte de la trajectoire. L’intégrale est appelée une intégrale de ligne. En général, le résultat dépend de la trajectoire utilisée. Si l’objet change de trajectoire, le
travail sera différent, même si les points initial et final sont les mêmes.
Le théorème de l’énergie cinétique en général
Pour compléter l’étude du travail effectué par des forces variables, il faut démontrer que le théorème de l’énergie cinétique, donné par l’équation 8.8, demeure
valide. Pour ce faire, supposons qu’un objet se déplace le long d’une trajectoire
courbe, comme celle de la figure 8.10, et qu’il subit plusieurs forces
Le travail net est le travail de la force résultante :
Selon la deuxième loi de Newton,
Alors,
où on a remplacé l’accélération par la dérivée de la vitesse par rapport au temps
et le déplacement par
Le produit scalaire est commutatif. On peut écrire
le terme entre parenthèses de la façon suivante :
Un objet se déplace le long d’une
trajectoire courbe, entre un point
initial et un point final.
246
CHAPITRE 08 — L’énergie cinétique et le travail
Le travail s’écrit ainsi :
(a)
Par conséquent, le théorème de l’énergie cinétique demeure valide, quelle que
soit la trajectoire, pour des forces variables quelconques.
8.6
Le travail effectué par un ressort
Les ressorts exercent une force qui dépend de leur étirement ou de leur compression, comme nous l’avons vu à la section 5.2. Si on attache un objet à un ressort
étiré et qu’on le lâche, l’objet va subir une force variable parce que l’étirement du
ressort va changer. Le ressort exerce donc une force variable.
(b)
La loi de Hooke
La figure 8.11a illustre un bloc attaché à un ressort qui n’est ni étiré ni comprimé. Le ressort a sa longueur naturelle. Il exerce une force nulle sur le
bloc. Pour simplifier l’analyse, on ajoute un axe des x parallèle au ressort,
en plaçant l’origine vis-à-vis de la position d’équilibre. Lorsque le ressort est
étiré jusqu’à une position x > 0 (voir la figure 8.11b), l’étirement est ∆L = x ; la
force exercée par le ressort a un module k ∆L = kx et elle est orientée vers
la gauche. Donc,
(c)
FIGURE 8.11
(a) Le ressort est à sa longueur
naturelle. (b) Le ressort est étiré
jusqu’à x (x > 0). (c) Le ressort
est comprimé jusqu’à x (x < 0).
(8.11)
On sait que la constante k est la constante de rappel du ressort, exprimée en N/m.
Lorsque le ressort est comprimé jusqu’à une position x < 0 (voir la figure 8.11c),
le module de la force est k|x | et celle-ci est orientée vers la droite. L’équation
demeure valide. On voit que le signe négatif dans l’équation indique que la force
est opposée au déplacement de l’extrémité du ressort par rapport à sa longueur
naturelle.
Le travail de la force élastique
Supposons qu’un bloc est attaché à un ressort, comme à la figure 8.12a. À la
suite d’une poussée extérieure brève, le bloc se déplace à une vitesse
lorsque
le ressort est étiré jusqu’à x i. Le bloc continue son mouvement ; quand l’étirement du ressort est x f, le bloc se déplace à une vitesse
(voir la figure 8.12b).
Le ressort ralentit le bloc en effectuant un travail. Pour calculer le travail de la
force élastique sur le bloc, on doit calculer l’aire sous la courbe illustrée à
la figure 8.13.
(a)
Wél = l’aire sous la courbe,
(b)
ce qui correspond à l’aire d’un trapèze. On trouve
FIGURE 8.12
(a) L’état initial du bloc. (b) L’état final
du bloc.
Travail élastique
(8.12)
Le travail de la force élastique peut être positif, négatif ou nul, selon la position
initiale et la position finale de l’objet attaché à l’extrémité du ressort.
8.6 — Le travail effectué par un ressort
247
• Wél > 0 si |x i| > | x f | ; la force élastique a le même sens que le déplacement.
Le ressort donne de l’énergie à l’objet.
• Wél < 0 si |x i | < | x f | ; la force élastique est opposée au déplacement. L’objet
cède de l’énergie au ressort.
• Wél = 0 si |xi | = |xf | ; il n’y a pas d’échange net d’énergie entre le ressort et l’objet.
La force élastique a une caractéristique spéciale : le travail ne dépend pas de la
trajectoire exacte du bloc, mais seulement des points initial et final. Nous reviendrons sur cette caractéristique au chapitre 9.
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 8.4
FIGURE 8.13
Un bloc est attaché à un ressort dont la longueur naturelle correspond
à x = 0. Classez les situations qui suivent dans l’ordre décroissant du
travail de la force élastique.
Le travail Wél correspond à l’aire
sous la courbe de Fél,x en fonction de x.
(i) x i = 7 cm et x f = −7 cm
(ii) x i = 7 cm et x f = 5 cm
(iii) x i = 5 cm et x f = −7 cm
(iv) x i = 5 cm et x f = 7 cm
EXEMPLE 8.6
Le travail effectué pour étirer un ressort
Un bloc est attaché à un ressort dont la constante de rappel est k = 25,0 N/m. Il est
sur une surface horizontale sans frottement. Le système est initialement immobile
à sa position d’équilibre. Calculez le travail effectué par une force extérieure pour
déplacer le bloc de 20,0 cm en étirant le ressort si la vitesse finale du bloc est nulle.
l’état initial et l’état final est nulle, car vi = vf :
SOLUTION
Illustrer la situation
La figure 8.14 illustre le schéma de la situation initiale
et de la situation finale. Un diagramme des forces
simple est aussi illustré.
Décortiquer le problème
(i)
Comme le déplacement est horizontal, la force
normale et la force gravitationnelle n’effectuent
pas de travail. Alors,
(ii)
La deuxième clé est l’équation 8.12, qui permet
de calculer le travail de la force élastique :
Identifier les clés
La première clé est le théorème de l’énergie
cinétique. La variation d’énergie cinétique entre
(a)
(iii)
(b)
(c)
FIGURE 8.14
(a) La situation initiale. (b) La situation finale. (c) Le diagramme des forces appliquées sur le bloc.
248
CHAPITRE 08 — L’énergie cinétique et le travail
Résoudre le problème
Valider la réponse
En insérant les valeurs dans les équations (ii) et (iii),
nous obtenons
Le travail qu’il faut effectuer pour étirer un ressort
est positif, car la force extérieure a le même sens
que le déplacement. Dans la présente situation,
l’énergie cinétique du bloc ne change pas ; le travail
positif de la force extérieure est transmis au ressort.
(réponse)
EXEMPLE 8.7
Un ressort et du frottement
Une caisse de 20,0 kg glisse sur un plancher horizontal dont le coefficient de frottement
cinétique est de 0,30. Lorsque la caisse a une vitesse de 2,70 m/s vers la gauche, elle
entre en contact avec un ressort initialement à sa longueur naturelle. La constante de
rappel du ressort est de 600 N/m.
a. Quelle est la compression maximale du ressort ?
b. Quelle est la vitesse de la caisse lorsque le ressort revient à sa position naturelle
et que la caisse n’a plus de contact avec le ressort ?
SOLUTION
Décortiquer le problème
Il y a trois instants importants : l’instant 0 où la
caisse entre en contact avec le ressort, l’instant 1
où le ressort est comprimé au maximum et la
caisse momentanément immobile, et l’instant 2 où
le ressort est à nouveau à sa longueur naturelle et la
caisse se déplace vers la droite.
SOLUTION a.
Illustrer la situation
Pour cette partie, nous considérons l’instant 0 comme
instant initial et l’instant 1 comme l’instant final.
La figure 8.15 illustre la situation ainsi que le diagramme des forces simple.
Décortiquer le problème
Le ressort ralentit graduellement le bloc, jusqu’à une
vitesse nulle, où la compression est maximale. La
force de frottement cinétique est opposée à la vitesse,
donc opposée au déplacement.
FIGURE 8.15
Le schéma de la situation pour l’instant 0 et pour l’instant 1, avec
le diagramme des forces.
8.6 — Le travail effectué par un ressort
249
Identifier les clés
Valider la réponse
La première clé est le théorème de l’énergie cinétique. Comme la surface est horizontale, uniquement
la force élastique et la force de frottement cinétique
effectuent un travail :
Nous remarquons que les deux travaux sont négatifs,
car les deux forces sont opposées au déplacement.
Nous avons arrondi la réponse à deux chiffres parce
que µc n’a que deux chiffres significatifs.
(i)
La deuxième clé est l’équation 8.12, qui permet de
calculer le travail de la force élastique :
(ii)
car x 0 = 0. La troisième clé réside dans le fait que
la force de frottement est une force constante. Son
travail est
SOLUTION b.
Illustrer la situation
Maintenant, nous considérons l’instant 1 comme
l’instant initial et l’instant 2 comme l’instant final.
Le déplacement et la force de frottement ont changé
de sens par rapport à la partie a. Le schéma de la
situation est présenté à la figure 8.16.
Décortiquer le problème
La position initiale x 1 est négative, car le ressort
est comprimé.
(iii)
avec d = | ∆x | = |x 1 |, la distance parcourue par le
bloc. L’équation (i) devient
Résoudre le problème
En remplaçant les valeurs, nous obtenons une équation quadratique :
Identifier les clés
Les clés sont les mêmes que dans la partie a. Selon
le théorème de l’énergie cinétique,
(iv)
Nous avons posé d comme étant la valeur absolue
de la position finale. Il faut donc choisir la solution
positive :
compression = 40 cm .
car v1 = 0,0 m/s. Le travail de la force élastique entre
les instants 1 et 2 est
(réponse)
FIGURE 8.16
Le schéma de la situation pour l’instant 1 et pour l’instant 2, avec
le diagramme des forces.
250
CHAPITRE 08 — L’énergie cinétique et le travail
Le travail du frottement est le même que celui qui
est donné à l’équation (iii). Nous obtenons l’équation
suivante :
La vitesse de la caisse, lorsque celle-ci n’est plus en
contact avec le ressort, est donc
(réponse)
Valider la réponse
Résoudre le problème
En isolant v2 et en remplaçant les valeurs, nous
obtenons
8.7
Nous avons gardé uniquement la racine positive
dans le calcul de v2, car c’est un module, qui est
toujours positif. Pour donner la vitesse, il faut ajouter l’orientation. La vitesse obtenue a un module
plus faible que le module de la vitesse à l’instant 0,
car la force de frottement diminue l’énergie cinétique
de la caisse. Le ressort n’a pas d’effet net puisque
x 0 = x 2.
La puissance
Le travail représente un transfert d’énergie de l’environnement vers un objet.
Ce transfert peut se faire rapidement ou lentement selon la situation. Lorsqu’on
veut connaître la rapidité du transfert de l’énergie, on calcule la puissance de la
force, c’est-à-dire le taux de transfert d’énergie.
Soit une force qui effectue un travail W sur un objet (ce qui change l’énergie de
l’objet de ∆E) durant un intervalle de temps ∆t. La puissance moyenne est
(8.13)
Puissance moyenne
On définit la puissance instantanée (ou simplement la puissance) comme la
limite lorsque l’intervalle de temps est très court :
(8.14)
Puissance (instantanée)
Si le travail est effectué de façon constante, alors la puissance moyenne et la
puissance instantanée sont égales. Sinon, on doit savoir comment W varie dans
le temps pour calculer la puissance instantanée à un instant précis. La puissance
a le même signe que le travail : la puissance est positive lorsque la force donne
de l’énergie à l’objet, et la puissance est négative lorsque l’objet cède l’énergie à
l’agent responsable de la force.
Comme
module de la force :
on peut calculer la puissance directement à partir du
(8.15)
où f est l’angle entre la force
et la vitesse
8.7 — La puissance
251
Dans le SI, la puissance est mesurée en watts (W), en l’honneur de l’ingénieur
écossais James Watt (1736-1819). Watt a amélioré grandement la machine à
vapeur, un élément essentiel de la révolution industrielle. Selon la définition de
la puissance, 1 W représente la puissance d’une force qui a besoin de 1 s pour
effectuer un travail de 1 J :
(8.16)
Il existe d’autres unités de puissance utilisées dans la vie de tous les jours. En
Amérique du Nord, la puissance des moteurs qui sont alimentés par un combustible comme l’essence est donnée en horse-power (hp), une unité définie par
James Watt :
1 hp = 745,7 W .
Le cheval-vapeur (ch) existe aussi en France, mais la définition est légèrement
différente :
1 ch = 735,5 W .
Lorsqu’on multiplie la puissance par le temps, on obtient le travail. Cela signifie
qu’en multipliant l’unité de puissance par une unité de temps, on obtient une
unité d’énergie. Par exemple, le kilowattheure (kWh) est une unité d’énergie, utilisée entre autres par Hydro-Québec dans la facturation de l’énergie électrique :
(8.17)
EXEMPLE 8.8
La puissance pour remonter
Dans un parc comportant une glissade, un enfant, assis sur un tube, se fait tirer
par un remonte-pente à une vitesse constante ayant un module de 4,00 m/s.
L’enfant et le tube ont une masse combinée de 25,0 kg, la pente est inclinée
à 10,0° par rapport à l’horizontale et le coefficient de frottement cinétique est
de 0,200. Calculez la puissance instantanée du remonte-pente si le câble tirant
l’enfant est parallèle à la pente.
SOLUTION
Illustrer la situation
Pour calculer la puissance du remonte-pente,
nous avons besoin de la force exercée par le remonte-
pente sur le système enfant-tube. Nous avons donc
besoin du diagramme des forces sur le système, présenté à la figure 8.17.
FIGURE 8.17
Le diagramme des forces du système enfant-tube
252
CHAPITRE 08 — L’énergie cinétique et le travail
Décortiquer le problème
Résoudre le problème
Nous isolons N dans l’équation (iii) pour l’insérer
dans l’équation (ii), et nous isolons T :
La puissance du remonte-pente est la puissance
de la force de tension . Cette force est parallèle à la
vitesse donc f = 0,00°.
La puissance est alors
Identifier la clé
Pour obtenir la puissance à partir de la force et de la
vitesse, la clé est l’équation 8.15 :
(i)
Nous calculons T en utilisant la première loi de
Newton, car le système se déplace à vitesse constante.
De plus,
(ii)
(iii)
(réponse)
Valider la réponse
La puissance est positive, car la tension et la
vitesse ont le même sens. Nous répondons bien
à la question.
RÉSUMÉ
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
253
RÉSUMÉ
Dans ce chapitre, nous avons étudié la variation d’énergie cinétique des objets produite par le travail.
LES DÉFINITIONS
LES LOIS ET PRINCIPES
• L’énergie est une quantité scalaire qui décrit l’état d’un
système. Il existe plusieurs types d’énergie.
• L’énergie cinétique est l’énergie d’un objet en
mouvement :
• Le travail W est un transfert d’énergie, d’un agent vers
un objet, au moyen d’une force. Le travail est positif
lorsque l’énergie est reçue par l’objet, et le travail est
négatif lorsque l’énergie est cédée par l’objet :
• Le principe de conservation de l’énergie
– L’énergie d’un système isolé demeure constante.
– Lorsqu’un système est en interaction, son énergie augmente si l’environnement lui en donne,
et son énergie diminue si le système en cède à
l’environnement.
• Le théorème de l’énergie cinétique pour un objet est
où Wnet est la somme des travaux effectués sur l’objet,
ce qui est équivalent au travail de la force résultante
sur l’objet :
• La puissance représente le taux de transfert d’énergie :
.
LES RÉSULTATS
• Un ressort étiré ou comprimé exerce une force élastique,
selon la loi de Hooke :
• Le travail exercé par un ressort se calcule ainsi :
254
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
Q questions qualitatives • E exercices simples • P problèmes •
solution disponible
Section 8.2 L’énergie cinétique
Q1 Quatre particules ayant la même masse ont les vitesses
suivantes :
et
Classez les particules
dans l’ordre croissant de leur énergie cinétique.
Q2 La figure 8.18 illustre le graphique de la position de
quatre rondelles de hockey en fonction du temps. Les rondelles sont identiques et se déplacent en ligne droite sur une
patinoire. Classez les rondelles dans l’ordre croissant de
leur énergie cinétique.
FIGURE 8.19 • Question 6
FIGURE 8.20 • Question 7
Q8 Une rondelle de masse m est placée sur une table à cous-
sin d’air horizontale. On la fait tourner au bout d’une corde
sur une trajectoire circulaire horizontale à une vitesse
dont le module est constant. Quel est le travail effectué par
la corde après que la rondelle a effectué une révolution ?
Q9 Deux blocs identiques (de masse m) glissent sur des
plans inclinés sans frottement, ayant des inclinaisons différentes, mais des hauteurs h identiques (voir la figure 8.21).
Chaque bloc glisse jusqu’en bas de son plan incliné respectif. Pour quel bloc le travail de la force gravitationnelle est-il
le plus grand ? Expliquez votre réponse.
FIGURE 8.18 • Question 2
E3 Un ballon de basketball de 624 g est lancé à une vitesse
de 15,0 m/s, à un angle de 65° au-dessus de l’horizontale.
Quelle est son énergie cinétique ?
E4 Dans un microscope électronique, des électrons sont
accélérés afin qu’ils atteignent une énergie cinétique de
4,005 × 10−17 J. Quel est le module de leur vitesse ?
E5 La vitesse d’une particule de 1,78 kg varie de
à
.
FIGURE 8.21 • Question 9
a. Calculez son énergie cinétique initiale.
b. Calculez son énergie cinétique finale.
E10 Une force
est appliquée sur une
c. Quelle est sa variation d’énergie cinétique ?
particule dont le déplacement est
Quel est le travail effectué par la force ?
Section 8.3 Le travail d’une force constante
E11 Un père promène son enfant dans une poussette en
Q6 La figure 8.19 illustre un objet qui se déplace vers le
haut dans le sens de l’axe des y. Donnez le signe des travaux
effectués par les forces illustrées.
exerçant une force de 15,0 N orientée à 25,0° sous l’horizontale. Calculez le travail effectué par le père après une
promenade de 500 m.
Q7 Trois rondelles glissent en ligne droite sur une patinoire
E12 Une balle de tennis de 57,0 g est lancée verticalement
horizontale. Chaque rondelle subit une force. La figure 8.20
illustre la position en fonction du temps des rondelles.
vers le haut. Elle parcourt une distance verticale de 33,4 m
avant de se déplacer vers le bas. Calculez le travail effectué
par la force gravitationnelle :
a. Classez les rondelles dans l’ordre décroissant du travail
effectué sur elles par la force.
b. Quelle rondelle a une énergie cinétique constante ?
a. entre le départ de la balle et le point le plus haut ;
b. entre le point de départ et le retour à la hauteur initiale.
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
P13 Un enfant tire son traîneau de 700 g jusqu’en haut d’une
pente au moyen d’une corde qui forme un angle j = 20,0° par
rapport à la pente (voir la figure 8.22). Cette pente est inclinée à θ = 15,0°, elle est haute de h = 10,0 m et le coefficient de
frottement cinétique est égal à 0,170. La tension dans la corde
est de 3,00 N. Calculez le travail effectué par :
255
a. Calculez le module de la force de freinage.
b. Si la même voiture roule plutôt à 60,0 km / h, quel sera le
module de sa vitesse après avoir freiné sur une distance de
11,3 m avec la force calculée en a ?
E17 Une grue soulève une poutre sur une distance de
b. la force gravitationnelle ;
8,50 m. La poutre a une masse de 5 000 kg, sa vitesse initiale est nulle et sa vitesse finale est de 1,00 m/s. Quel est le
travail effectué par la grue ?
c. la force normale ;
E18 Une patineuse se déplaçant à une vitesse de 14,0 km / h
a. l’enfant ;
sur une surface plane arrive au bas d’une pente inclinée
à 5,00°. Elle se laisse aller sur son élan pour monter cette
pente. Quelle est la longueur de la pente si la patineuse se
déplace à une vitesse de 6,00 km/ h lorsqu’elle est rendue en
haut ? Supposez que le frottement est négligeable.
d. la force de frottement cinétique.
P19 La figure 8.24 illustre une vue en plongée d’un chariot qui
roule le long d’un rail rectiligne, placé parallèlement à l’axe des
x. Le module des forces illustrées est F1 = 1,40 N, F2 = 1,26 N
et F3 = 0,840 N. Le chariot a une masse de 212 g, sa vitesse initiale est de
et son déplacement est
a. Quel est le travail net effectué sur le chariot ?
b. Quelle est la vitesse finale du chariot ?
FIGURE 8.22 • Problème 13
Section 8.4 Le théorème de l’énergie cinétique
Q14 Le tableau suivant présente les données relatives à
quatre paquets différents qui sont soulevés à l’aide d’une
corde sur une hauteur ∆y, comme le montre la figure 8.23.
Dans chaque cas, la vitesse initiale et la vitesse finale du
paquet sont nulles. Classez les travaux effectués par la force
extérieure dans l’ordre décroissant.
FIGURE 8.24 • Problème 19
P20 Un bloc est lancé avec une vitesse dont le module est vi
m (kg)
(i)
1
∆y (m)
3
(ii)
2
2
(iii)
3
1
(iv)
2
3
FIGURE 8.23 • Question 14
vers le haut d’un plan incliné à un angle θ (voir la figure 8.25).
Le coefficient de frottement statique est m s, et le coefficient de
frottement cinétique entre le bloc et le plan est m c.
a. Quelle est la distance parcourue par le bloc avant de
s’immobiliser ?
b. Quel est le module de la vitesse du bloc lorsque celui-ci
revient à sa position initiale ?
E15 Une skieuse de 71,0 kg (avec son équipement) arrive au bas
d’une pente à une vitesse dont le module est de 9,56 m/s. Elle
est alors ralentie par la neige molle de la surface horizontale, qui
exerce une force de freinage, opposée à la vitesse. Cette force a
un module de 280 N. Calculez la distance d’arrêt de la skieuse.
E16 La distance d’arrêt d’une voiture qui roule à 50,0 km / h
est de 11,3 m. La masse de la voiture avec ses occupants est
de 1 200 kg.
FIGURE 8.25 • Problèmes 20 et 21
256
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
P21 Un bloc est lancé à 3,67 m/s vers le haut d’un plan
E24 Une particule de 400 g a une vitesse
incliné à un angle θ = 15,0° (voir la figure 8.25). Le coefficient de frottement statique est de 0,250, et le coefficient
de frottement cinétique entre le bloc et le plan est de 0,150.
lorsqu’elle se trouve à la position x = 2,0 m. Elle subit
une force variable parallèle à l’axe des x, dont le graphique
en fonction de la position est illustré à la figure 8.28.
a. Quelle est la distance parcourue par le bloc avant de
s’immobiliser ?
a. Quel est le travail effectué sur la particule entre x = 2,0 m
et x = 5,0 m ?
b. Quel est le module de la vitesse du bloc lorsque celui-ci
revient à sa position initiale ?
b. Quelle est la vitesse de la particule à x = 5,0 m ?
P22 Une caisse de 110 kg descend une rampe inclinée à 21,0°.
Un ouvrier ralentit la descente en exerçant une force de 100 N
orientée à un angle de 32,0° par rapport au plan, comme le
montre la figure 8.26. Le coefficient de frottement cinétique entre
la caisse et la rampe est de 0,200, et le coefficient de frottement
statique est de 0,300. La rampe a une hauteur h = 1,50 m.
c. À quelle position l’énergie cinétique de la particule est-elle
maximale ?
d. Quelle est la valeur maximale de l’énergie cinétique ?
a. Quel est le travail de l’ouvrier sur la caisse ?
b. Quelle est la variation d’énergie cinétique de la caisse ?
c. Calculez le module de la vitesse de la caisse en bas de la
rampe si la caisse était immobile en haut de la rampe.
FIGURE 8.28 • Exercice 24
P25 La force résultante exercée sur une particule qui se
déplace verticalement est
où y est
exprimé en mètres. La particule a une masse de 300 g, sa
position initiale est y = 0 m et sa vitesse initiale est nulle.
a. Quel est le travail net exercé sur la particule lorsque celleci se déplace de y = 0,000 m à y = −0,500 m ?
FIGURE 8.26 • Problème 22
Section 8.5 Le travail d’une force variable
E23 Le graphique de la figure 8.27 illustre la force résul-
tante exercée sur un traîneau en fonction du module du
déplacement. Les forces sont exercées par les chiens, la
neige et l’air. La masse totale du traîneau avec ses occupants
est de 155 kg, et sa vitesse initiale est nulle.
b. Quel est le module de la vitesse de la particule lorsque sa
position est y = −0,500 m ?
P26 Une force horizontale variable est appliquée sur un bloc
qui glisse en ligne droite sur une surface horizontale. La force
est
où x est exprimé en mètres, et en newtons. La masse du bloc est de 0,500 kg. Lorsque la particule
se trouve à x = 3,00 m, sa vitesse est
a. À quelles positions le bloc est-il immobile ?
b. Quel est le module de la vitesse du bloc à la position
x = 2,00 m ?
P27 Montrez que le travail de la force gravitationnelle exer-
cée sur un objet de masse m est Wg = −mg ∆y. On suppose
que ∆y est la variation de hauteur de la particule et que ce
travail ne dépend pas de la trajectoire de la particule.
Section 8.6 Le travail effectué par un ressort
FIGURE 8.27 • Exercice 23
E28 Un pèse-personne est composé d’un ressort dont
a. Quel est le travail net effectué sur le traîneau lorsque celuici se déplace de x = 0 m à x = 300 m ?
la constante de rappel est de 325 kN/m. On place un
objet sur le pèse-personne, ce qui comprime le ressort
de 1,50 mm. Quelle est la masse de l’objet ?
b. Quel est le travail net effectué sur le traîneau lorsque celuici se déplace de x = 300 m à 600 m ?
E29 Lorsqu’on suspend un objet de 1,70 kg à un ressort
c. Quel est le module de la vitesse du traîneau à x = 600 m ?
vertical, celui-ci s’étire de 4,50 cm. Quelle est la constante
de rappel du ressort ?
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
E30 Un bloc de 600 g est attaché à un ressort dont la
constante de rappel est de 175 N/m. Le bloc se trouve
sur une surface horizontale sans frottement. Quel est le travail effectué par une force extérieure qui déplace le bloc de
sa position d’équilibre jusqu’à une position où le ressort est
étiré de 35,0 cm si le module de la vitesse finale est égal au
module de la vitesse initiale ?
E31 Un pistolet à fléchettes est muni d’un ressort dont la
257
est initialement au repos. Le ressort pousse le bloc jusqu’à
sa position naturelle. Le bloc continue ensuite son mouvement vers le haut du plan incliné.
a. Quel est le module de la vitesse du bloc lorsque celui-ci
perd contact avec le ressort ?
b. Jusqu’à quelle hauteur par rapport à sa hauteur initiale
le bloc se rend-il avant de s’immobiliser ?
constante de rappel est de 200 N/m. Pour armer le pistolet,
on place une fléchette de 110 g au bout du ressort (à sa position naturelle) et on comprime ce dernier de 4,0 cm.
a. Quel est le travail nécessaire pour armer le pistolet ?
b. Quel est le module de la vitesse de la fléchette lorsque
celle-ci quitte le pistolet et est lancée horizontalement ?
P32 Un bloc de masse m se déplaçant vers le bas frappe un
ressort vertical (voir la figure 8.29) dont la constante de
rappel est k. Le bloc comprime le ressort d’une distance d
avant de s’immobiliser.
FIGURE 8.30 • Problème 34
a. Quel est le travail effectué par la force gravitationnelle sur
le bloc durant la compression du ressort ?
et il est attaché à un ressort dont la constante de rappel est
de 21,2 N/m (voir la figure 8.31). Le coefficient de frottement entre le bloc et la surface est de 0,150. Une force
variable
est appliquée sur le bloc. Au départ, le bloc est
immobile, et le ressort est comprimé de 40,0 cm. Le bloc
se déplace sur une distance de 1,20 m le long du plan ; le
module de sa vitesse est alors de 2,30 m/s. Calculez le travail effectué par :
b. Quel est le travail effectué par le ressort sur le bloc ?
c. Quelle est la vitesse du bloc juste avant qu’il touche le
ressort ?
P35 Un bloc de 670 g est placé sur un plan incliné à θ = 15,0°
a. le ressort ;
b. la force gravitationnelle ;
c. la force de frottement ;
d. la force
.
FIGURE 8.29 • Problèmes 32 et 33
P33 Un bloc de 475 g se déplaçant vers le bas frappe un
ressort vertical (voir la figure 8.29) dont la constante
de rappel est de 3,85 N/cm. Le bloc comprime le ressort de
16,0 cm avant de s’immobiliser.
a. Quel est le travail effectué par la force gravitationnelle sur
le bloc durant la compression du ressort ?
b. Quel est le travail effectué par le ressort sur le bloc ?
c. Quelle est la vitesse du bloc juste avant qu’il touche le
ressort ?
P34 Le long d’un plan incliné à θ = 20,0°, un bloc est
placé contre un ressort qui est comprimé de 17,3 cm (voir la
figure 8.30). Le bloc n’est pas attaché au ressort. Le ressort
a une constante de rappel de 2,53 N/cm, le bloc a une masse
de 720 g et le coefficient de frottement cinétique entre le
bloc et la surface est de 0,240. On laisse aller le système qui
FIGURE 8.31 • Problème 35
Section 8.7 La puissance
Q36 La figure 8.32 (voir la page suivante) illustre quatre
situations où des caisses sont tirées par une force
le long
d’un plan incliné sans frottement. Chaque caisse est tirée
sur la même distance d, et la force est parallèle au plan. Les
vitesses initiales et finales des caisses sont nulles. Classez
les situations dans l’ordre décroissant selon :
a. le travail effectué par la force extérieure ;
b. la puissance moyenne produite par la force extérieure.
258
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
est de 78,0 kg et le coefficient de frottement cinétique est de
0,250. Quelle est la puissance requise si le skieur se déplace
à une vitesse constante dont le module est de 4,50 m /s ?
P42 Initialement au repos, une automobile de 1 270 kg
m = 100 g, θ = 10°,
∆t = 5 s
(i)
m = 100 g, θ = 30°,
∆t = 5 s
(ii)
est soumise à une accélération constante pendant 9,50 s.
À la fin de cette accélération, la voiture a une vitesse de
90,0 km / h.
a. Quel est le travail net effectué sur l’automobile ?
b. Quelle est la
l’accélération ?
m = 200 g, θ = 10°,
∆t = 10 s
(iii)
puissance
nette
moyenne
pendant
c. Quelle est la puissance nette après 4,75 s ?
m = 200 g, θ = 30°,
∆t = 12 s
(iv)
d. Quelle est la puissance nette lorsque la voiture a parcouru
la moitié de la distance d’accélération ?
P43 Un bloc de 434 g est attaché à un ressort dont la
FIGURE 8.32 • Question 36
E37 Une grue soulève verticalement une poutre de 500 kg
sur une distance de 10,0 m en 5,0 s. Quelle est la puissance
moyenne de la grue si la poutre est immobile au début et à
la fin ?
E38 Un homme pousse un chariot qui se déplace à une
vitesse de 3,2 m/s vers la droite. La force exercée par
l’homme sur le chariot est de 35 N et elle est orientée à
un angle de 25° sous l’horizontale. Quelle est la puissance
effectuée par l’homme sur le chariot ?
E39 À un instant donné, une particule se déplace à
constante de rappel est de 4,50 N/cm. Comme le montre
la figure 8.33, le système est horizontal. De plus, la
force de frottement exercée sur le bloc est négligeable.
On tire le bloc de 10,0 cm pour étirer le ressort. On
lâche alors le bloc qui accélère vers la gauche. Calculez la puissance du ressort dans les situations décrites
ci-dessous.
a. Le ressort est étiré de 3,5 cm, et le bloc se déplace vers
la gauche.
b. Le ressort est à sa position d’équilibre, et le bloc se dé place
vers la gauche.
Elle subit la force
c. Le ressort est comprimé de 2,5 cm, et le bloc se déplace
vers la gauche.
a. Quelle est la puissance produite par la force à cet instant ?
d. Le ressort est comprimé de 2,5 cm, et le bloc se déplace
vers la droite.
une vitesse
b. Quel est l’angle entre la force et la vitesse ?
P40 Un ascenseur rempli à capacité a une masse de
2,3 × 103 kg. Un contrepoids de 1,0 × 10 3 kg et un moteur
le font s’élever de 30,0 m en 11,0 s. Quelle est la puissance
moyenne du moteur ?
P41 Un skieur est tiré vers le haut d’une pente par un
remonte-pente qui le tire avec une force parallèle à la
pente. Cette pente est inclinée à 12,0°, la masse du skieur
FIGURE 8.33 • Problème 43
SOLUTIONS AUX TESTS DE COMPRÉHENSION
259
SOLUTIONS AUX TESTS DE COMPRÉHENSION
8.1 (iii)
La poutre se déplace vers le haut.
vers le bas, alors fg = 180°.
8.2 (i) > (ii) > (iii) > (iv)
Le travail effectué par une force est W = F ∆r cos f. Dans les quatre
situations, le déplacement est le même. Les travaux sont Wi = 5 ∆r,
Wii = 8 ∆r cos(60°) = 4 ∆r, Wiii = 0 parce que f = 90° et Wiv < 0
parce que f > 90°.
8.3 a. K augmente.
Le module de la vitesse augmente de 2 m/s à 3 m/s, et l’énergie cinétique
augmente.
est vers le haut, donc
est
b. Wnet > 0
Selon le théorème de l’énergie cinétique, lorsque l’énergie cinétique augmente,
cela est causé par un travail net positif.
c. K est constante.
Le module de la vitesse ne change pas, alors l’énergie cinétique ne change pas.
d. Wnet = 0
La variation de l’énergie cinétique est nulle, alors le travail net est nul.
8.4 (ii) > (i) > (iii) = (iv)
Pour (ii), | xi | > |xf | et le travail est positif. Pour (i), | x i | = |x f | et le travail est
nul. Pour (iii) et (iv), | x i | < |xf | et le travail est négatif. Les travaux, dans les
situations (iii) et (iv), sont égaux, car les positions initiales sont égales et
les positions finales ont la même valeur absolue.
Chapitre
260
L’énergie
potentielle et les
transformations
d’énergie
Buts du chapitre
Après l’étude de ce chapitre, vous serez en mesure :
• de calculer l’énergie potentielle gravitationnelle et l’énergie potentielle
élastique associée à un système ;
• de comprendre la différence entre les forces conservatives et les forces
non conservatives ;
• d’appliquer le principe de conservation de l’énergie aux systèmes conservatifs ;
• d’associer le travail d’une force dispersive à une variation
de l’énergie thermique.
Préalables
Ce chapitre poursuit l’étude du principe de conservation de l’énergie, commencée au chapitre précédent. Revoyez :
• le travail, sujet présenté dans les sections 8.3 et 8.6 ;
• le théorème de l’énergie cinétique, étudié à la section 8.4.
261
En se laissant tomber, le
sauteur en bungee gagne
de l’énergie cinétique, car
l’énergie potentielle du système
sauteur-Terre diminue.
UN PEU D’HISTOIRE
Comprendre les collisions – l’échec de Descartes
« Heureux l’étudiant qui, comme la rivière, suit son
cours dans son lit. » Ce dicton ne s’est jamais aussi bien
appliqué qu’à René Descartes (1596-1650). Durant ses
études au Collège Henri-IV de La Flèche, collège français
où enseignent les jésuites, Descartes jouit d’un privilège
que son père lui obtient à cause de sa santé fragile. Ses
maîtres acceptent de le laisser faire la grasse matinée au
lieu de se lever à cinq heures du matin comme les autres
élèves. L’adolescent profite de ces heures de repos pour
réfléchir, entre autres à des problèmes mathématiques
ou scientifiques. Des années plus tard, devenu adulte,
il garde le goût de ces réflexions matinales et note les
conclusions auxquelles il parvient.
Le xviie siècle est troublé par de nombreux déchirements religieux en Europe. L’Église catholique réprimande Galilée pour avoir contredit le pape. L’Espagne
catholique fait la guerre aux Pays-Bas protestants. Le
jeune Descartes s’engage comme soldat volontaire et
assiste aux premiers affrontements de la guerre qui
oppose, pendant 30 ans, les catholiques et les protestants de l’Allemagne. Mais qui dit vrai ? Qui a raison ?
Descartes abandonne la carrière militaire pour se
consacrer à la recherche des bases d’une « philosophie
plus certaine ». Il fait d’abord preuve de génie en géométrie et en mathématiques. Ses succès lui inspirent
une méthode déductive qu’il espère infaillible pour
aboutir à des résultats certains. Dans son fameux
Discours de la méthode (1637), Descartes cherche à
acquérir une connaissance approfondie du monde qui
permettra aux humains d’exploiter la force du feu, de
l’eau, de l’air et de tous les autres corps, pour « nous
rendre comme maîtres et possesseurs de la nature ».
Ancien élève des jésuites, Descartes reste un croyant.
Dans ses Principes de philosophie (1644), il déduit
la conservation de la quantité de mouvement d’une
conviction religieuse : qu’un Dieu immuable n’interviendra pas pour modifier sa création, ce qui contredirait son immutabilité. Sa troisième loi du mouvement
affirme donc que si deux corps s’entrechoquent, le premier doit perdre la quantité de mouvement même qu’il
donne à l’autre, et réciproquement. Le produit de la
taille et du mouvement des corps est toujours conservé.
Ainsi, à partir de cette loi, sept règles permettraient de
déduire les conséquences de collisions variées.
Malheureusement, Descartes est trop sûr de lui. Il ne
s’appuie pas sur des expériences systématiques. Six
des sept règles qu’il propose pour des cas précis sont
fausses. Si Descartes a bien vu que le mouvement est
un état d’un corps, et non un simple changement de
position, il n’a pas saisi l’importance de la direction
du mouvement ou de la relativité de celui-ci.
Moins de deux ans après la mort de Descartes, un de
ses admirateurs, le jeune savant hollandais Christiaan
Huygens (1629-1695), entreprend de réviser la théorie cartésienne des collisions. Quand il prend connaissance du principe de relativité de Galilée, publié en
1638, le jeune homme de 23 ans résout ce qui avait
échappé au philosophe français. Il comprend qu’il
faut tenir compte du centre de masse et de la conservation de la quantité de mouvement. Toutefois, Huygens
ne publiera jamais son traité sur les collisions rédigé
en 1656. Élève d’un professeur gagné à la cause cartésienne et fils d’un ami de Descartes, Huygens répugne
peut-être à critiquer si vite l’œuvre du défunt.
En 1650, la reine de Suède invite Descartes à lui
donner des cours particuliers. Comme la reine est
une femme très occupée, elle impose à Descartes de
se lever à cinq heures du matin pour la rencontrer.
Par une froide nuit de février, Descartes prend froid
et meurt 10 jours plus tard. On dit que le climat
rigoureux de Stockholm et l’horaire matinal que lui
imposait la reine auraient eu raison de sa santé.
René Descartes (1506-1650)
9.1 — L’énergie potentielle gravitationnelle
263
Nous avons étudié au chapitre précédent le transfert d’énergie entre un
agent et un objet au moyen d’une force. Le travail net sur un objet modifie
son énergie cinétique. Dans ce chapitre, nous allons plus loin dans l’étude de
l’énergie en définissant l’énergie potentielle. Cette énergie est associée à un système plutôt qu’à un seul objet. Pour la calculer, nous avons besoin de la position
relative des éléments du système.
Prenons l’exemple d’un sauteur en bungee. Le sauteur a une petite énergie cinétique au début de sa chute. Si on englobe le sauteur dans un système qui inclut
aussi la Terre, on dit qu’au début du saut, le système a de l’énergie potentielle.
Lorsque la hauteur du sauteur diminue, son énergie cinétique augmente parce
que l’énergie potentielle diminue. C’est un exemple de transformation d’énergie :
l’énergie potentielle se transforme en énergie cinétique.
Nous allons aussi considérer l’énergie thermique d’un système. Lorsqu’un bloc
glisse sur une surface rugueuse horizontale, le bloc perd graduellement de
l’énergie cinétique. En étudiant le système bloc-surface, nous verrons que l’énergie cinétique est alors transformée en énergie thermique, liée à la température.
9.1
L’énergie potentielle gravitationnelle
Nous commençons l’étude des transformations d’énergie en observant le mouvement d’un pendule. Comme le montre la figure 9.1, celui-ci est composé d’un
objet compact au bout d’un fil d’une longueur L qui est fixé à son autre extrémité. On déplace le pendule d’un angle θi et on le laisse aller. Le pendule se met
à osciller, c’est-à-dire que son mouvement est un va-et-vient autour de la position la plus basse. Si la résistance de l’air est négligeable, le pendule va monter
de chaque côté à la même hauteur y. À cette position, la vitesse est nulle, et le
pendule n’a pas d’énergie cinétique. Par contre, lorsque la corde est verticale,
le module de la vitesse et l’énergie cinétique sont maximaux.
Si on analyse seulement le mouvement de l’objet à l’aide de la méthode du travail, on trouve que la force gravitationnelle effectue un travail positif lorsque
le pendule se déplace vers le bas et un travail négatif lorsque le pendule se
déplace vers le haut. La tension dans la corde n’effectue pas de travail ici, car
cette force est perpendiculaire au déplacement de l’objet.
FIGURE 9.1
Un pendule oscille. La hauteur
est la même de chaque côté.
On peut aussi étudier le système composé du pendule (l’objet et le fil) et de la
Terre. Ces deux objets sont en interaction, car ils exercent l’un sur l’autre une
force gravitationnelle. Il n’y a pas de force extérieure effectuant un travail sur le
système si la résistance de l’air est négligeable. Selon le principe de conservation
de l’énergie, l’énergie du système doit être conservée. Lorsque le pendule monte
et que son énergie cinétique diminue, il faut que cette énergie se transforme en
un autre type. Lorsque le pendule descend et que son énergie cinétique augmente, il faut qu’une forme d’énergie du système diminue en se transformant
en énergie cinétique. Cette forme d’énergie est l’énergie potentielle gravitationnelle, associée à la position du pendule par rapport à la Terre.
Pour obtenir l’expression de l’énergie potentielle gravitationnelle, on analyse
un mouvement plus simple : on lance vers le haut une balle de masse m (voir la
figure 9.2). Lorsque sa hauteur est y1, sa vitesse a un module v1. Pour obtenir
le module de la vitesse de la balle à une hauteur y2, on utilise le théorème de
FIGURE 9.2
Une balle est lancée d’une hauteur
avec une vitesse .
264
CHAPITRE 09 — L’énergie potentielle et les transformations d’énergie
l’énergie cinétique, donné par l’équation 8.8 de la page 240. Le travail net est
le travail de la force gravitationnelle :
On peut réarranger l’équation de la façon suivante :
(9.1)
Maintenant, analysons le problème en fonction du système balle-Terre. L’équation 9.1 indique que la quantité K + mgy ne change pas durant le mouvement de la balle. On interprète alors le terme mgy comme l’énergie potentielle
du système :
(9.2)
Énergie potentielle gravitationnelle
On peut aussi écrire la conservation de l’énergie du système ainsi :
(9.3)
Cela indique que lorsque l’énergie cinétique de la balle diminue (en montant),
l’énergie potentielle du système augmente. De même, lorsque l’énergie cinétique
de la balle augmente (en descendant), l’énergie potentielle du système diminue.
Le dernier exemple est un cas particulier, mais le résultat est général. Lorsqu’un
objet de masse m est à une hauteur y, l’énergie potentielle du système objet-Terre
est donnée par l’équation 9.2. Le mouvement du pendule précédent est plus
complexe, mais le résultat est le même : dans ce mouvement, l’énergie cinétique
se transforme en énergie potentielle, et inversement.
REMARQUE
(a)
Il est tentant d’oublier la Terre et de parler de l’énergie potentielle
d’un objet, car la Terre ne change pas de position. Cependant, sans
la Terre, il n’y a pas de force gravitationnelle sur l’objet. Pour cette
raison, l’énergie potentielle est toujours associée à un système. Dans
la solution d’un problème, on doit bien identifier le système.
Le point de référence
(b)
FIGURE 9.3
(a) L’énergie potentielle du système
balle-Terre est nulle, car la balle
est vis-à-vis du point de référence.
(b) La balle est sous le point de
référence ; l’énergie potentielle du
système balle-Terre est négative.
Pour calculer l’énergie potentielle d’un système, on a besoin de la position
verticale y de l’objet par rapport à la Terre. Dans l’équation 9.2, on utilise
implicitement un axe des y vertical orienté vers le haut. Par contre, l’origine
peut être placée à une position arbitraire au début du problème. Comme
l’indique l’équation 9.3, la variation d’énergie cinétique dépend de la variation d’énergie potentielle, qui est indépendante de la position de l’origine. La
position de l’origine correspond à la position du point de référence pour le
calcul de l’énergie potentielle. Habituellement, on place le point de référence
au niveau du sol, mais il est possible de faire un choix différent pour simplifier l’analyse dans certains problèmes. Pour cette raison, il faut bien indiquer
la position du point de référence avant de calculer l’énergie potentielle
d’un système.
9.1 — L’énergie potentielle gravitationnelle
265
Contrairement à l’énergie cinétique, l’énergie potentielle gravitationnelle peut
être négative. Prenons l’exemple de la figure 9.3 où une balle est sur une table,
et plaçons l’origine de l’axe des y vis-à-vis de la surface de la table. Le système balle-Terre a une énergie potentielle nulle. Supposons que la balle tombe
jusqu’au sol. L’énergie potentielle du système balle-Terre diminue en se transformant en énergie cinétique. L’énergie potentielle devient négative lorsque la
balle est sous le point de référence.
MISE EN GARDE
En cinématique et en dynamique, on pouvait choisir l’orientation de
l’axe des y pour simplifier l’analyse. Cependant, lorsqu’on calcule
l’énergie potentielle gravitationnelle à l’aide de l’équation 9.2, on
doit choisir un axe des y vertical orienté vers le haut.
EXEMPLE 9.1
Un pendule en mouvement
Un pendule est composé d’une sphère de 100 g attachée à une corde de 55,0 cm.
On tire sur la sphère de côté jusqu’à ce que la corde forme un angle de 20,0° par rapport
à la verticale et on la laisse aller. Le pendule se met à osciller. On suppose que la résistance de l’air
est négligeable. Quel est le module de la vitesse de la sphère lorsque la corde est verticale ?
SOLUTION
Illustrer la situation
Identifier la clé
La figure 9.4 illustre la situation initiale et la situation finale. Pour simplifier, nous choisissons le point
de référence vis-à-vis du point supérieur de la corde.
Comme le frottement est négligeable, la clé est que
l’énergie du système est conservée :
(i)
avec Ug donnée par l’équation 9.2,
(ii)
Nous obtenons alors
initial
final
FIGURE 9.4
Résoudre le problème
En remplaçant les valeurs et en isolant vf, nous
obtenons
Le schéma de la situation pour l’exemple 9.1
Décortiquer le problème
(réponse)
Valider la réponse
Le système est constitué du pendule et de la Terre. La
corde n’effectue pas de travail, car la tension est perpendiculaire au déplacement. Avec le point d’attache
de la corde comme choix du point de référence,
L’ordre de grandeur a du sens. Le module est une
valeur positive. Remarquez que ce problème serait
beaucoup plus difficile à résoudre avec la deuxième
loi de Newton et la cinématique, car les composantes des forces changent et le mouvement n’est pas
un mouvement uniformément accéléré.
266
CHAPITRE 09 — L’énergie potentielle et les transformations d’énergie
9.2
Les forces conservatives et les forces
non conservatives
La force gravitationnelle a une caractéristique spéciale. Le travail de cette force sur un
objet ne dépend pas de la trajectoire, mais seulement du point initial et du point final
de cette trajectoire. On peut le montrer en calculant le travail effectué sur une balle
qui se déplace entre le point a et le point b illustrés à la figure 9.5. Pour la trajec­
toire (i), la balle se déplace d’abord horizontalement de Δx, puis verticalement vers
le haut de Δy. Le travail de la force gravitationnelle effectué sur cette trajectoire est
(9.4)
Calculons maintenant le travail effectué par la force gravitationnelle lorsque la
balle suit la trajectoire (ii), en ligne droite :
FIGURE 9.5
Le travail Wg est le même pour les
trajectoires (i) et (ii).
Selon une identité trigonométrique (voir l’annexe E), on a cos(θ + 90°) = − sin θ.
Le travail effectué pour la deuxième trajectoire est
(9.5)
où on a utilisé la géométrie illustrée à la figure 9.5 pour remplacer Δr sinθ par Δy.
On voit que le travail est bien le même pour les deux trajectoires. On pourrait aussi
montrer que le même résultat est obtenu pour une trajectoire courbe quelconque.
Seules quelques forces ont la propriété précédente. On les appelle les forces
conservatives.
Le travail effectué par une force conservative sur un objet ne dépend
pas de la trajectoire de cet objet, mais seulement des points initial et final
de cette trajectoire.
La figure 9.6a illustre deux trajectoires quelconques utilisées par une particule. La
force est conservative si le travail effectué est le même pour les deux trajectoires :
(a)
(b)
FIGURE 9.6
(a) Pour une force conservative, le
travail est le même pour les deux
trajectoires. (b) Le travail est nul
pour une trajectoire fermée lorsque
la force est conservative.
On obtient un deuxième critère équivalent en inversant le sens de la deuxième
trajectoire, comme à la figure 9.6b. Cette opération inverse le signe du travail
sur la deuxième trajectoire
, et le travail net effectué sur la tra­
jectoire fermée est nul :
Le travail effectué par une force conservative sur un objet est nul lorsque
la trajectoire est fermée.
La force élastique est aussi une force conservative. Comme on l’a obtenu à
l’équation 8.12 de la page 246, le travail fait par un ressort sur un bloc attaché
à l’une de ses extrémités dépend seulement des points initial et final : lorsque le
bloc se déplace de xa à xb, le travail de la force élastique est
9.2 — Les forces conservatives et les forces non conservatives
267
Ce travail ne dépend pas de la trajectoire. De plus, si le bloc revient au point a
(xb = xa), alors le travail effectué par la force élastique est nul.
La plupart des forces sont des forces non conservatives, car le travail dépend de
la trajectoire de la particule. C’est le cas de la force de tension d’une corde, de la
force de frottement cinétique, de la traînée, de la force de traction ou de poussée
faite par une personne.
Supposons qu’un bloc se déplace sur une table horizontale entre les points a
et b en subissant entre autres une force de frottement cinétique . La figure 9.7
illustre une vue en plongée et deux trajectoires possibles : la trajectoire (i) est
constituée d’un déplacement de Δx suivi d’un déplacement perpendiculaire Δy,
alors que la trajectoire (ii) est un déplacement en ligne droite. La force de frot­
tement a un module constant fc = μc N, et son orientation est opposée au déplace­
ment. Les travaux pour chacune des trajectoires sont
Étant donné que
le travail effectué par la force de
frottement dépend de la trajectoire : plus la trajectoire est longue et plus le tra­
vail est grand. Cette force est donc non conservative.
Il est important de faire la différence entre les forces conservatives et les
forces non conservatives, car on peut associer une énergie potentielle uni­
quement aux forces conservatives. On peut remplacer le travail effectué par
une force conservative par une variation d’une énergie potentielle du sys­
tème, car ce travail dépend uniquement de la position. Nous avons déjà
défini l’énergie potentielle gravitationnelle, associée à la force gravitation­
nelle. Nous allons étudier aussi l’énergie potentielle élastique, associée à la
force élastique exercée par un ressort. Dans les deux cas, l’énergie poten­
tielle sera une fonction de la position relative des éléments d’un système qui
interagissent à l’aide d’une force conservative. Il n’est pas possible de définir
une énergie potentielle associée à la force de frottement cinétique.
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 9.1
La figure suivante illustre une particule qui se déplace sur une tra­
jectoire fermée, en passant par les points a, b, c et d. Cette particule
subit entre autres une force durant la trajectoire complète. Les tra­
vaux effectués par la force pour chacune des parties de la trajectoire
sont Wa→b = 10 J, W b→c = −7 J, Wc→d = −5 J et Wd→a = 3 J. La force
est­elle conservative ?
FIGURE 9.7
Le bloc se déplace du point a au
point b selon deux trajectoires.
268
CHAPITRE 09 — L’énergie potentielle et les transformations d’énergie
9.3
La détermination de l’énergie
potentielle
Dans cette section, on obtient les relations mathématiques permettant de calculer l’énergie potentielle associée à la force gravitationnelle et associée à la force
élastique. Pour commencer, on détermine la relation générale, qui sera ensuite
appliquée aux deux forces conservatives.
La formule générale
Le système illustré à la figure 9.8 est constitué de deux objets qui interagissent
par l’entremise d’une force conservative
Pour simplifier, supposons que l’objet A est immobile et que l’objet B se déplace d’une position initiale i à une position finale f en utilisant la trajectoire illustrée à la figure 9.8. L’objet A effectue
un travail Wc sur l’objet B par l’entremise de la force conservative
Il n’y a pas
d’autres forces sur le système.
FIGURE 9.8
L’objet A effectue un travail lorsque
l’objet B se déplace du point i au
point f.
L’énergie cinétique de l’objet B va changer, car un travail est effectué sur celui-ci
par l’objet A :
(9.6)
Par contre, l’énergie du système ne peut changer, car il n’y a pas de travail extérieur effectué sur le système. On ajoute alors l’énergie potentielle ΔU. L’énergie
du système est la somme de l’énergie cinétique de l’objet B et de l’énergie potentielle du système :
(9.7)
Le travail de la force conservative peut être remplacé par la variation de l’énergie potentielle du système. Selon les équations 9.6 et 9.7, on obtient la relation
générale suivante :
Variation de l’énergie potentielle
(9.8)
L’indice c indique que cette définition est possible uniquement pour une force
conservative.
FIGURE 9.9
Pour calculer l’énergie potentielle
lorsque B est au point P, on calcule
le travail entre le point de référence
O et le point P.
La présente définition donne seulement la variation de l’énergie potentielle
ΔU. La fonction énergie potentielle U n’est pas complètement fixée, car on
peut ajouter une même constante à U f et à U i sans changer le travail. Pour
simplifier l’analyse d’un problème, on choisit habituellement un point de
référence O, pour lequel U(O) = 0. On peut choisir n’importe quel point
comme point de référence, de la même façon qu’on choisit la position de
l’origine d’un système de coordonnées cartésiennes. La fonction énergie
potentielle, lorsque l’objet est au point P, est alors une fonction de la
position de l’objet B par rapport à O : U(P) représente l’opposé du travail
effectué par la force conservative pour déplacer l’objet B du point O au
point P (voir la figure 9.9) :
(9.9)
9.3 — La détermination de l’énergie potentielle
REMARQUE
Comme la force est conservative, le travail ne dépend pas de la trajectoire utilisée ; on peut calculer le travail en utilisant n’importe
quel parcours entre le point de référence et le point P. Ce parcours
n’est pas nécessairement la trajectoire réelle de l’objet.
L’énergie potentielle gravitationnelle
Ayant déjà obtenu la relation pour l’énergie potentielle gravitationnelle, on vérifie l’équation 9.9 en calculant l’énergie potentielle d’un objet de masse m à une
hauteur y par rapport à un point de référence O, l’origine de l’axe des y (voir la
figure 9.10). Soit le système constitué de la Terre et de l’objet : on calcule le
travail effectué par la force gravitationnelle exercée par la Terre sur l’objet. On
choisit un parcours composé d’un déplacement horizontal suivi d’un déplacement vertical. De cette façon, la trajectoire est composée de segments de droite
et on peut utiliser l’équation 8.4 de la page 237 pour calculer Wg :
FIGURE 9.10
Le calcul de Ug
ce qui est bien l’équation 9.2. Remarquez que l’énergie du système objet-Terre
dépend uniquement de la coordonnée y de l’objet et non de sa coordonnée x.
L’énergie potentielle élastique
La figure 9.11 illustre un ressort (de constante de rappel k) fixé à une extrémité
et relié à un bloc à l’autre extrémité. On considère le système constitué du ressort et du bloc. Pour simplifier le calcul, on place l’axe des x parallèlement au
ressort avec l’origine vis-à-vis du bloc lorsque le ressort est à sa longueur naturelle. C’est le point de référence, où Uél = 0.
Pour calculer l’énergie potentielle élastique du système lorsque le bloc est à la
position x, on calcule le travail de la force élastique quand le bloc se déplace de
x i = 0 à la position x f = x. À l’aide de l’équation 8.12 de la page 246, on obtient
(9.10)
(a)
Énergie potentielle élastique
(b)
FIGURE 9.11
(a) L’énergie potentielle est nulle lorsque le ressort est à sa position naturelle. (b) L’énergie potentielle est positive
lorsque le ressort est étiré ou (c) lorsque le ressort est comprimé.
(c)
269
270
CHAPITRE 09 — L’énergie potentielle et les transformations d’énergie
Avec le choix de point de référence, Uél n’est jamais négatif. Remarquez aussi
que l’énergie potentielle élastique a la même valeur, qu’il s’agisse d’un ressort
étiré (x > 0) ou d’un ressort comprimé (x < 0).
MISE EN GARDE
Pour utiliser l’équation 9.10, l’axe des x doit obligatoirement être
parallèle au ressort avec l’origine placée à la position correspondant
à la longueur naturelle du ressort.
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 9.2
Un bloc est attaché à un ressort horizontal. Classez les configurations
suivantes par ordre croissant de l’énergie potentielle élastique du système :
(i) le ressort est comprimé de 10 cm ;
(ii) le ressort est étiré de 5,0 cm ;
(iii) le ressort est étiré de 15 cm ;
(iv) le ressort est comprimé de 5,0 cm.
EXEMPLE 9.2
Un ressort vertical
Un ressort ayant une constante de rappel k = 15,0 N/m et une longueur de 52,0 cm est fixé
au plafond. On attache une boîte de 600 g à son extrémité. On tire la boîte vers le bas d’une
distance de 80,0 cm. Calculez la variation d’énergie potentielle des systèmes suivants :
a. le système boîte-Terre ;
b. le système boîte-ressort ;
c. le système boîte-ressort-Terre.
SOLUTION
Illustrer la situation
Nous traçons un schéma de la situation pour la situation initiale et la situation finale (voir la figure 9.12).
L’axe des y est orienté vers le haut pour calculer Ug.
Nous ajoutons un axe des x parallèle au ressort. Nous
devons choisir le point de référence pour Ug. Le sol
n’est pas un choix intéressant, car nous ne connaissons
pas la hauteur du plafond. Nous choisissons plutôt la
hauteur finale comme point de référence de Ug.
FIGURE 9.12
Le schéma de la situation pour l’exemple 9.2
9.4 — L’énergie mécanique
SOLUTION a.
Décortiquer le problème
271
Résoudre le problème
Nous obtenons
Le système boîte-Terre interagit par l’entremise de la
force gravitationnelle. L’énergie potentielle du système est donc de l’énergie potentielle gravitationnelle.
(réponse)
Valider la réponse
Identifier la clé
La clé est l’équation 9.2, qui permet de calculer la
variation d’énergie potentielle :
(i)
L’énergie potentielle élastique augmente, car le ressort est étiré à la fin et il était à sa longueur naturelle
au départ. Le signe est correct.
SOLUTION c.
Décortiquer le problème
Résoudre le problème
En remplaçant les valeurs, nous obtenons
Identifier la clé
(réponse)
Valider la réponse
L’énergie potentielle gravitationnelle diminue, car la
boîte s’est approchée du centre de la Terre. Le signe
est correct.
La clé est que le système boîte-ressort-Terre a deux
formes d’énergie potentielle : Ug et Uél. La variation
d’énergie potentielle du système est alors
(iii)
Résoudre le problème
SOLUTION b.
Décortiquer le problème
Nous obtenons
(réponse)
Valider la réponse
Le système boîte-ressort interagit à cause de la force
élastique. L’énergie potentielle associée au système
est l’énergie potentielle élastique.
Le fait que l’énergie potentielle augmente indique
qu’il y a eu transformation d’énergie entre la situation initiale et la situation finale. En tirant sur la
boîte, la force extérieure a effectué un travail positif sur le système boîte-ressort-Terre.
Identifier la clé
La clé est l’équation 9.10, qui permet de calculer
ΔUél :
(ii)
9.4
L’énergie mécanique
Soit un système isolé constitué de particules qui interagissent uniquement par
l’entremise des forces conservatives. Le système peut posséder deux formes
d’énergie : l’énergie cinétique liée au mouvement des particules, et l’énergie
potentielle associée aux forces conservatives et liée à la position relative des
particules. On définit l’énergie mécanique du système comme la somme de
l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle :
(9.11)
Énergie mécanique
272
CHAPITRE 09 — L’énergie potentielle et les transformations d’énergie
Selon le principe de conservation de l’énergie, l’énergie du système ne peut
changer car celui-ci est isolé. Dans le présent cas, l’énergie du système est l’énergie mécanique.
L’énergie mécanique d’un système est constante lorsque ce système
est isolé et que les forces internes sont seulement des forces conservatives. L’énergie cinétique se transforme en énergie potentielle,
et inversement.
Cet énoncé peut être écrit de deux façon différentes :
Conservation de l’énergie mécanique
(9.12)
Défi animé 9.1
Pour un système dans lequel seulement
la force gravitationnelle agit sur l’objet,
la masse influence-t-elle la vitesse
maximale atteinte par l’objet ?
Dans la dernière équation, l’énergie cinétique correspond à la somme des énergies cinétiques des éléments du système, et l’énergie potentielle est la somme
des différentes énergies potentielles associées aux forces conservatives.
REMARQUE
L’équation 9.12 est un cas particulier du principe de conservation de
l’énergie. Pour l’utiliser, il faut que le système ne subisse aucun travail extérieur (il est isolé) et que toutes les forces d’interaction entre
les éléments du système soient conservatives.
Défi animé 9.2
L’énergie cinétique peut-elle être plus
grande que l’énergie mécanique
pour un système isolé ?
La conservation de l’énergie mécanique est un résultat très utile. Elle peut être
utilisée pour résoudre des problèmes qui font intervenir la force gravitationnelle ou la force élastique. La stratégie suivante vous aidera à bien structurer
vos solutions.
STRATÉGIE 9.1
La conservation de l’énergie mécanique
Illustrer la situation
Tracez un schéma de la situation illustrant la situation initiale et la situation finale du système. Ajoutez un axe des y orienté vers le haut pour
évaluer l’énergie potentielle gravitationnelle et un axe des x parallèle
au ressort pour calculer l’énergie potentielle élastique.
Décortiquer le problème
Identifiez bien le système et assurez-vous que celui-ci est bien isolé (aucun
travail extérieur) et que toutes les forces sont conservatives (pas de force
de frottement cinétique, par exemple). Indiquez correctement les quantités
connues et inconnues.
Identifier la clé
La clé est l’équation 9.12 :
Calculez les différentes énergies de la situation initiale et de la situation
finale. Ici, K représente l’énergie cinétique du système, donc la somme des
énergies cinétiques des éléments du système.
9.4 — L’énergie mécanique
273
Résoudre le problème
Résolvez l’équation pour obtenir la quantité inconnue. La présente
méthode permet d’obtenir des quantités scalaires. Si vous cherchez une
quantité vectorielle, ajoutez l’orientation en vous aidant du schéma de
la situation.
Valider la réponse
Vérifiez le signe, les unités et l’ordre de grandeur de la réponse
numérique.
EXEMPLE 9.3
Des montagnes russes
Dans des montagnes russes, une voiture se déplace à
1,00 m/s lorsque celle-ci est au sommet de la descente illustrée ci-contre. Elle descend ensuite le long de la piste courbe.
Calculez le module de la vitesse au bas de la descente, située
30,0 m plus bas que le point de départ. Supposez que le
frottement et la résistance de l’air sont négligeables.
SOLUTION
Illustrer la situation
Nous traçons le schéma de la situation à la figure 9.13.
L’axe des y est orienté vers le haut, avec l’origine
(le point de référence) vis-à-vis du bas de la piste.
Identifier la clé
La clé est la conservation de l’énergie mécanique, car
le frottement et la résistance de l’air sont négligeables :
(i)
L’énergie potentielle gravitationnelle est donnée par
l’équation 9.2 :
On obtient
(ii)
Résoudre le problème
FIGURE 9.13
Le schéma de la situation pour l’exemple 9.3
Nous ne connaissons pas la masse du train, mais
celle-ci se simplifie dans l’équation (ii). En remplaçant yf par 0,0 m et en isolant vf, nous obtenons
(réponse)
Décortiquer le problème
Le système est composé du train, de la piste et de la
Terre. Le train et la Terre interagissent par l’entremise de la force gravitationnelle, et la force normale
est perpendiculaire au déplacement (aucun travail).
Valider la réponse
Nous avons directement calculé la racine carrée positive, car un module est toujours positif.
Remarquez que la forme exacte de la piste n’a pas
d’importance ; le module de la vitesse ne dépend
pas de la forme de la piste. Il est évident que dans
les montagnes russes réelles, la résistance de l’air
ne peut être négligée.
274
CHAPITRE 09 — L’énergie potentielle et les transformations d’énergie
EXEMPLE 9.4
Le saut en bungee
Une personne de 70,0 kg effectue un saut à l’élastique à partir d’une plate-forme située
à 54,0 m au-dessus d’un plan d’eau. Elle attache à ses chevilles un élastique qui a une
constante de rappel k = 100 N/m et une longueur naturelle de 25,0 m. L’autre extrémité
de l’élastique est fixée à la plate-forme. La résistance de l’air est négligeable. Quelle est
la distance entre les pieds de la personne et le cours d’eau lorsque l’élastique est étiré
au maximum ?
La vitesse est nulle au départ et à la fin.
SOLUTION
Illustrer la situation
Le schéma de la situation, présenté à la figure 9.14,
illustre les trois instants importants : l’instant initial
où la personne est sur la plate-forme, un instant intermédiaire où l’élastique commence à s’étirer et l’instant final où l’élastique est étiré au maximum. L’axe
des x est parallèle à la corde étirée, avec l’origine visà-vis de l’instant intermédiaire. Pour calculer l’énergie potentielle gravitationnelle, nous plaçons l’axe
des y orienté vers le haut. Nous choisissons comme
point de référence la position de la personne à l’instant intermédiaire.
Décortiquer le problème
Le système est composé de la personne, de l’élastique
et de la Terre. Il y a deux types d’énergie potentielle :
l’énergie potentielle gravitationnelle Ug et l’énergie
potentielle élastique Uél. La personne est immobile
au point initial et au point final. La position initiale
yi correspond à la longueur naturelle de l’élastique.
Nous cherchons la distance d illustrée à l’instant
final de la figure 9.13 :
(i)
FIGURE 9.14
Le schéma de la situation pour l’exemple 9.4
Identifier les clés
La première clé est que l’énergie mécanique du système est conservée, car les forces sont conservatives :
(ii)
La deuxième clé est qu’à l’instant initial, l’élastique
est à sa longueur naturelle et Uél,i = 0. Nous obtenons alors (en insérant aussi vi = vf = 0) :
(iii)
Cette équation a deux inconnues, mais ces dernières sont liées par une contrainte : selon la figure,
x f = −yf.
9.5 — Les diagrammes d’énergie
Résoudre le problème
En remplaçant les valeurs, nous obtenons une équation quadratique :
275
Nous gardons la solution négative, car le point final
est sous le point de référence. La distance entre le
cours d’eau et les pieds de la personne est
(réponse)
(iv)
Valider la réponse
La distance trouvée est une quantité positive, qui est
plus petite que la hauteur de la tour. La personne ne
se mouillera pas.
Les deux solutions sont
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 9.3
Quatre blocs identiques tombent en chute libre ou glissent sur les
pentes sans frottement, comme il est illustré ci-dessous. Chaque bloc a
une vitesse initiale nulle. Classez les blocs selon le module de la vitesse
finale, en utilisant un ordre croissant.
(i)
9.5
(ii)
(iii)
(iv)
Les diagrammes d’énergie
L’énergie potentielle est une forme d’énergie qui dépend de la position relative
des éléments du système : l’énergie potentielle gravitationnelle dépend de la hauteur d’un objet par rapport à la Terre, et l’énergie potentielle élastique dépend
de l’étirement ou de la compression du ressort. Il est donc facile de représenter
la fonction énergie potentielle par un graphique de U en fonction de la position.
On obtient alors un diagramme d’énergie. Ce type de diagramme est analysé
dans les cas ne comportant qu’une dimension.
La détermination de la force conservative
On connaît maintenant la façon de calculer la variation d’énergie potentielle d’un
système lorsqu’une particule se déplace d’un point i à un point f, ce qui est l’opposé du travail effectué par la force conservative. On cherche la relation inverse :
à partir de la fonction U(x), on veut calculer la force conservative associée.
Supposons que ces deux points sont rapprochés, de telle sorte que la force
conservative change très peu. Alors,
On isole Fc,x et on prend la limite où Δx → 0 :
(9.13)
Donc, dans un diagramme d’énergie, la force représente l’opposé de la pente.
Force conservative
276
CHAPITRE 09 — L’énergie potentielle et les transformations d’énergie
L’énergie potentielle et l’énergie mécanique
Pour illustrer les diagrammes d’énergie, prenons l’énergie potentielle élastique
associée à un système constitué d’un bloc attaché à un ressort. La fonction énergie potentielle est une parabole, illustrée à la figure 9.15.
FIGURE 9.15
La fonction énergie potentielle
élastique
Supposons qu’on pousse le bloc jusqu’à la position x 1 pour comprimer le ressort, de telle sorte que l’énergie potentielle est égale à 4 J (voir la figure 9.16a).
On laisse aller le système à partir d’une vitesse nulle. L’énergie cinétique à ce
moment est nulle, et l’énergie mécanique est égale à 4 J. Comme l’énergie mécanique du système est constante, on la représente sur le diagramme par une
droite horizontale.
Le bloc ne peut se trouver à gauche de x 1, car il faudrait que son énergie cinétique soit négative. Il va donc se déplacer vers la droite. Lorsqu’il est situé à la
position x 2 (voir la figure 9.16b), son énergie potentielle est égale à 1 J. Son énergie cinétique correspond à l’écart entre la ligne horizontale représentant E méc et
la courbe de U(x), c’est-à-dire 3 J. Lorsque le bloc est au point x 3 (voir la fi ­
gure 9.16c), l’énergie potentielle est minimale, ce qui implique que l’énergie cinétique est maximale. À cet endroit, la pente de la fonction U(x) est nulle. Selon
l’équation 9.13, la force est nulle à cet endroit. Le point x 2 est un point d’équilibre.
(a)
(b)
(c)
FIGURE 9.16
Le mouvement d’un système bloc-ressort et le diagramme d’énergie à trois instants
Le mouvement se poursuit, comme il est illustré à la figure 9.17. La force sur le
bloc est maintenant orientée vers la gauche (la pente devient positive), ce qui
ralentit le bloc. Au point x 4 (voir la figure 9.17a), l’énergie cinétique a diminué
à 3 J. Au point x 5 (voir la figure 9.17b), la courbe U(x) rencontre de nouveau
la ligne de l’énergie mécanique à 4 J. À cet endroit, le bloc est arrêté. Les deux
points x 1 et x 5, où U(x) = E méc, sont appelés les bornes.
Si le ressort avait été comprimé différemment au départ, ou si on avait donné
une vitesse initiale au bloc, le niveau d’énergie mécanique aurait été à une
hauteur différente, et les bornes x 1 et x 5 seraient à des positions différentes.
9.5 — Les diagrammes d’énergie
(a)
(b)
FIGURE 9.17
Le mouvement d’un système bloc-ressort et le diagramme d’énergie à deux instants
Cependant, la courbe U(x) ne changerait pas, car elle dépend des propriétés du
système (la constante de rappel du ressort).
Les points d’équilibre
La figure 9.18 illustre une fonction énergie potentielle quelconque. Aux points
x 1, x 2 et x 3, la pente de U(x) est nulle. Ce sont des endroits où U(x) est maximal
ou minimal localement. À ces endroits, la force est nulle, et il y a des points
d’équilibre. Supposons que l’énergie mécanique du système E méc,1 est légèrement au-dessus du minimum à x 1. La particule va rester très près de la position x 1, car la force sera orientée vers le point d’équilibre. On dit que pour un
minimum de la fonction U(x), on a un point d’équilibre stable et la force est une
force de rappel. Ceci est équivalent à une situation où une bille est dans un bol
circulaire. Si on place la bille près du fond, elle y reste.
Au point x 2, la fonction U(x) a un maximum. Cette fois-ci, si l’énergie mécanique est égale à E méc,2, le sens de la force sera tel que celle-ci va éloigner la
particule du point d’équilibre. Si la particule est légèrement à gauche, la force
sera vers la gauche et si la particule est légèrement à droite, la force sera vers la
droite. Le point x 2 est un point d’équilibre instable, car c’est un maximum de
U(x). Ceci est équivalent à une situation où une bille est placée sur un ballon
de basket-ball. La bille ne reste pas au sommet du ballon.
FIGURE 9.18
Les types de point d’équilibre
277
278
CHAPITRE 09 — L’énergie potentielle et les transformations d’énergie
Finalement, le point x 3 est un point d’équilibre neutre, car si la particule est
légèrement à côté, la force reste nulle. Ceci est équivalent à une situation où une
bille est placée sur une table horizontale. La bille reste sur la table.
La technique suivante résume ce qu’on vient d’apprendre sur les diagrammes
d’énergie.
TECHNIQUE 9.1 Les diagrammes d’énergie
1. L’énergie potentielle du système est illustrée par une courbe U en fonc-
tion de la position. La pente de cette courbe représente l’opposé de la
force conservative.
2. L’énergie mécanique E méc est représentée par une ligne horizontale
appelée le niveau d’énergie.
3. L’énergie cinétique à une position donnée est la différence entre l’éner-
gie mécanique et l’énergie potentielle.
4. Les points où la courbe U rencontre la ligne de l’énergie mécanique
représentent les bornes. À ces positions, le mouvement change de sens.
5. Un minimum de la fonction U est la position d’un équilibre stable. Un
maximum de la fonction U est la position d’un équilibre instable.
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 9.4
La figure suivante illustre l’énergie potentielle d’un système en fonction
de la position d’une particule. La particule peut se déplacer de manière
horizontale et parallèle à l’axe des x, qui est orienté vers la droite. Donnez
le sens de la force conservative pour les différentes régions.
EXEMPLE 9.5
Le potentiel de Higgs
La figure ci-contre illustre l’énergie potentielle d’un système
composé d’une particule immobile et d’une particule qui peut
se déplacer le long de l’axe des x. Cette particule a une masse
de 200 g. L’énergie mécanique du système est égale à 1,0 J.
a. Quel est le module de la vitesse maximale de la particule ?
b. À quels endroits le mouvement change-t-il de sens ?
9.6 — La variation de l’énergie mécanique
Décortiquer le problème
279
Résoudre le problème
On isole v :
SOLUTION a.
Décortiquer le problème
Lorsque l’énergie potentielle est minimale, l’énergie
cinétique (et le module de la vitesse) est maximale.
Identifier la clé
La clé est la définition de l’énergie mécanique donnée par l’équation 9.11. L’énergie cinétique est
(réponse)
SOLUTION b.
Identifier la clé
La clé est que le mouvement change de sens visà-vis des bornes, c’est-à-dire aux endroits où la
courbe U(x) rencontre la ligne E méc.
Résoudre le problème
Selon le graphique, les points où le mouvement
change de sens sont environ
(réponse)
Valider la réponse
Nous répondons bien aux questions. Le module est
une quantité positive, comme il se doit.
9.6
La variation de l’énergie mécanique
L’énergie potentielle gravitationnelle et l’énergie potentielle élastique sont associées à des forces conservatives. On a augmenté la taille du système pour que
la force gravitationnelle et la force élastique soient des forces internes. De cette
façon, l’énergie mécanique du système est conservée lorsque l’environnement
n’effectue pas de travail.
Pour la force de frottement et les autres forces non conservatives, il n’est
pas possible d’utiliser une énergie potentielle, car le travail effectué par ces
forces dépend de la trajectoire de l’objet. On laisse donc ces forces à l’extérieur du système pour voir comment elles vont changer l’énergie mécanique
du système.
Prenons par exemple un bloc qui glisse vers le bas d’un plan incliné, illustré à
la figure 9.19. Le système comprend le bloc et la Terre, mais pas le plan incliné.
La force de frottement exercée par la surface du plan sur le bloc effectue un
travail extérieur Wext. Quand le bloc glisse vers le bas, une partie de l’énergie potentielle se transforme en énergie cinétique, mais il y a aussi une partie
de l’énergie potentielle qui est transférée à la surface. Le travail extérieur change
l’énergie mécanique du système.
Pour calculer cette variation d’énergie mécanique, on étudie d’abord le bloc
comme système. Il y a deux forces qui effectuent un travail : la force gravitationnelle effectue un travail Wc et la force de frottement, un travail Wext. Selon le
théorème de l’énergie cinétique,
FIGURE 9.19
La force de frottement fait diminuer
l’énergie mécanique du bloc.
280
CHAPITRE 09 — L’énergie potentielle et les transformations d’énergie
Maintenant, augmentons la taille du système en incluant la Terre. Le travail Wc est remplacé par la variation d’énergie potentielle du système bloc-Terre :
ΔU = −Wc. On obtient alors
(9.14)
Variation de l’énergie mécanique
L’exemple du bloc qui descend le plan est seulement utilisé pour illustrer
la situation. L’équation 9.14 est une équation générale. S’il y a plusieurs
forces extérieures qui effectuent un travail, Wext représente le travail net
des forces extérieures.
L’équation 9.14 indique que l’énergie mécanique d’un système change lorsqu’un
travail extérieur est effectué sur le système : un travail positif fait augmenter
l’énergie mécanique, alors qu’un travail extérieur négatif fait diminuer l’énergie
mécanique. Les forces extérieures peuvent être des forces comme le frottement,
mais aussi une poussée qu’une personne exerce sur un objet. La stratégie suivante est une version modifiée de la stratégie 9.1. Il convient de l’utiliser lorsque
des forces extérieures modifient l’énergie mécanique d’un système.
STRATÉGIE 9.2
L’énergie mécanique et le travail extérieur
Illustrer la situation
Vous devez tracer un schéma de la situation illustrant la situation initiale
et la situation finale du système. Placez un axe des y orienté vers le
haut pour déterminer l’énergie potentielle gravitationnelle et un axe
des x parallèle au ressort pour calculer l’énergie potentielle élastique.
Ajoutez aussi un diagramme des forces permettant de calculer le travail
des forces extérieures.
Décortiquer le problème
Identifiez bien le système et assurez-vous que les forces non conservatives
sont exercées par des agents qui ne font pas partie du système. Indiquez
correctement les quantités connues et inconnues.
Identifier la clé
La clé est l’équation 9.14 :
Calculez les énergies de la situation initiale et de la situation finale. Calculez le travail de chaque force extérieure et le travail net extérieur.
Résoudre le problème
Résolvez l’équation pour obtenir la quantité inconnue. La présente méthode
permet d’obtenir des quantités scalaires. Si vous cherchez une quantité
vectorielle, ajoutez l’orientation en vous aidant du schéma de la situation.
Valider la réponse
Vérifiez le signe, les unités et l’ordre de grandeur de la réponse
numérique.
9.6 — La variation de l’énergie mécanique
EXEMPLE 9.6
281
Un déménagement
Un déménageur pousse un réfrigérateur de 175 kg vers le haut d’une rampe
inclinée à 8,00° pour le placer dans un camion dont la plate­forme est à 70,0 cm du sol.
ll exerce une force horizontale de 500 N. Le réfrigérateur est muni de roulettes, et la force de
frottement a un module de 177 N lorsque le déménageur pousse l’appareil. Calculez le module
de la vitesse du réfrigérateur en haut de la rampe si celui­ci était immobile au départ.
SOLUTION
Illustrer la situation
Le schéma de la situation est illustré à la fi­
gure 9.20. Nous avons aussi tracé un diagramme des
forces pour le calcul de Wext.
Décortiquer le problème
Le système est constitué du réfrigérateur et de la Terre.
Les forces extérieures effectuant un travail sont la force
du déménageur
et la force de frottement .
forme un angle de 8,00° par rapport au déplacement
(voir le diagramme de forces).
Pour le travail du frottement, la force est opposée au
déplacement :
Nous calculons ensuite les énergies cinétiques et
potentielles :
Le module du déplacement du réfrigérateur se calcule
à partir de la hauteur finale et de l’angle de la rampe :
Résoudre le problème
Identifier la clé
En insérant les valeurs obtenues dans l’équation (i),
nous obtenons
La clé est l’équation 9.14 :
(i)
Il y a deux forces extérieures qui effectuent un travail :
la force du déménageur et la force de frottement. Alors,
(ii)
Le déplacement du réfrigérateur est parallèle à la
rampe. Par conséquent, la force du déménageur
FIGURE 9.20
Le schéma de la situation pour l’exemple 9.6
(réponse)
Valider la réponse
La réponse est bien un module, car elle est positive.
L’ordre de grandeur a du sens.
282
CHAPITRE 09 — L’énergie potentielle et les transformations d’énergie
EXEMPLE 9.7
Le travail extérieur et deux objets
Un bloc de 100 g est attaché à un ressort et il est relié à un deuxième
bloc de 450 g au moyen d’une corde qui passe par une poulie. Le ressort et le premier bloc se trouvent sur un plan incliné à 25,0°, comme
le montre la figure ci-contre. Le coefficient de frottement entre le bloc
et le plan est de 0,300, et la constante de rappel du ressort est de
50,0 N/m. Au départ, les blocs sont immobiles, et le ressort est à
sa position naturelle. On laisse aller le système : le bloc 1 monte le
long du plan incliné, et le bloc 2 tombe vers le bas. Calculez l’étirement maximal du ressort.
SOLUTION
Illustrer la situation
Identifier la clé
Dans le diagramme des forces (voir la figure 9.21),
nous illustrons et , qui sont nécessaires pour calculer . L’axe des y′ est perpendiculaire au plan. Il est
différent de l’axe des y.
Décortiquer le problème
Le système est composé des deux blocs, de la corde,
du ressort et de la Terre. La seule force extérieure qui
effectue un travail est la force de frottement cinétique.
La force de tension exercée par la corde ne change
pas l’énergie du système ; elle ne fait que transférer de
l’énergie du bloc 2 au bloc 1. Comme les blocs sont
reliés par une corde, ils se déplacent sur la même distance, qui correspond à l’étirement maximal du ressort
(|Δy2 | = xf ). Lorsque le ressort est étiré au maximum,
les blocs sont immobiles (v2f = v1f = 0). Selon l’illustration de la situation finale, nous avons
(i)
La clé est l’équation 9.14 :
(ii)
Le travail extérieur est celui de la force de frottement. Nous obtenons le module de à l’aide du diagramme des forces :
Le travail de cette force est
Il n’y a pas de variation d’énergie cinétique, car
v1i = v1f et v2i = v2f. Pour l’énergie potentielle gravitationnelle, nous n’avons pas choisi de point de
référence, car nous ne connaissons pas exactement
la hauteur initiale de chaque bloc. Cependant, il est
possible de calculer la variation d’énergie potentielle
gravitationnelle à l’aide des variations de hauteur de
chaque bloc. Alors,
FIGURE 9.21
Le schéma de la situation et le diagramme des forces pour l’exemple 9.7
9.7 — L’énergie thermique
REMARQUE
ΔUg1 > 0 parce que la hauteur du bloc
augmente, alors que ΔUg2 < 0 parce que
la hauteur du bloc 2 diminue.
283
Il y a deux solutions possibles à cette équation :
xf = 0 ou 25,0xf −3,733 = 0. La solution xf = 0 représente le début du mouvement, où les deux blocs sont
immobiles et l’étirement est nul. La solution intéressante est la deuxième :
Nous calculons ensuite la variation de l’énergie potentielle élastique, avec x i = 0,00 m :
(réponse)
Valider la réponse
Résoudre le problème
En remplaçant les résultats dans l’équation (ii), nous
obtenons
9.7
La réponse est positive, puisque le ressort est
étiré.
L’énergie thermique
Nous voulons maintenant comprendre la transformation d’énergie qui se produit par l’entremise de la force de frottement cinétique. La figure 9.22 montre
un bloc qui glisse sur une surface rugueuse. La vitesse du bloc diminue graduellement jusqu’à ce que ce dernier s’immobilise. Supposons que le système
est composé du bloc, de la surface et de la Terre. Le système est isolé : l’énergie
du système doit être constante. Cependant, l’énergie cinétique du bloc diminue graduellement. Elle se transforme en un autre type : l’énergie thermique.
Pour comprendre cette forme d’énergie, nous devons regarder le mouvement des
molécules constituant le bloc et la surface.
Le mouvement des molécules
Pour commencer, prenons un bloc immobile sur une surface, comme il est
illustré à la figure 9.23. Au niveau macroscopique, le bloc et la surface ont une
énergie cinétique nulle. Si on pouvait voir les molécules, on constaterait que
chaque molécule a un mouvement désordonné ; certaines se déplacent vers la
droite, d’autres vers la gauche ; certaines se déplacent vers le haut, d’autres vers
le bas. Le mouvement résultant est nul, car il y a autant de molécules qui se
déplacent vers la droite que vers la gauche. Cependant, elles ont une énergie
FIGURE 9.23
(a) Un objet est immobile ; l’énergie cinétique macroscopique est nulle. (b) Les molécules de cet
objet ont des mouvements désordonnés ; l’énergie cinétique microscopique n’est pas nulle.
FIGURE 9.22
L’énergie cinétique du bloc se transforme en énergie thermique du bloc
et de la surface.
284
CHAPITRE 09 — L’énergie potentielle et les transformations d’énergie
cinétique. Elles ont aussi une énergie potentielle de liaison entre elles. L’énergie thermique représente la somme de cette énergie cinétique et potentielle
microscopique :
(9.15)
Selon les résultats de la thermodynamique, l’énergie thermique est proportionnelle à la température du corps, exprimée en kelvins. Plus la température d’un
objet est élevée, plus l’énergie thermique associée au mouvement désordonné de
ses atomes ou de ses molécules est élevée.
REMARQUE
L’énergie associée au mouvement désordonné des molécules n’est
pas appelée la chaleur, mais bien l’énergie thermique. En physique,
le mot chaleur a une définition bien spécifique, qui est expliquée un
peu plus loin.
Supposons maintenant que l’objet glisse sur une surface rugueuse, comme à
la figure 9.24. Comme on l’a vu à la section 5.8 de la page 157, la force de
frottement cinétique est produite lorsque les molécules de l’objet et celles de la
surface deviennent liées temporairement. Une petite partie de l’énergie cinétique
de l’objet est transformée en énergie potentielle de liaison. Lorsque la liaison
se brise, les molécules sont libérées avec une vitesse différente de la vitesse de
l’objet. De ce fait, le mouvement désordonné des molécules de l’objet et de la surface s’accroît, ce qui fait augmenter l’énergie thermique de l’objet et de la surface.
On peut l’observer par l’augmentation de la température des surfaces en contact.
Par exemple, si vous frottez vos mains ensemble, elles deviennent plus chaudes :
l’énergie cinétique (macroscopique) est transformée en énergie thermique.
FIGURE 9.24
(a) Un objet glisse à une vitesse
sur une surface. (b) Lorsqu’il y a liaison, l’énergie potentielle
est emmagasinée. (c) L’énergie potentielle se transforme en énergie cinétique microscopique
quand les liaisons se brisent.
Les forces dissipatives
La force de frottement cinétique et la traînée sont des forces qui s’opposent toujours au mouvement d’un objet par rapport à un autre. On les appelle des forces
dissipatives. Une force dissipative est toujours non conservative. C’est une force
qui fait augmenter l’énergie thermique d’un système. La figure 9.25 montre de
9.7 — L’énergie thermique
285
nouveau le bloc qui glisse sur un plancher. Si on analyse l’énergie du bloc, on
obtient que seule la force de frottement cinétique effectue un travail. Selon le
théorème de l’énergie cinétique, son énergie cinétique varie :
où Wdiss est le travail de la force dissipative, la force de frottement cinétique.
Maintenant, supposons que le système est constitué du bloc et du plancher.
L’énergie du système ne peut changer, car il n’y a aucun travail extérieur. L’énergie cinétique se transforme en énergie thermique :
FIGURE 9.25
Le travail Wdiss transforme l’énergie
cinétique en énergie thermique du
système.
En remplaçant ΔK par Wdiss, on obtient
(9.16)
Variation de l’énergie
thermique
Le travail d’une force dissipative est toujours négatif, car la force dissipative
est opposée au déplacement. Ceci implique qu’une force dissipative fait toujours augmenter l’énergie thermique d’un système. L’énergie thermique est
associée au système constitué des deux objets qui glissent l’un sur l’autre ;
la température des deux objets va augmenter. Pour savoir jusqu’à quel point la
température augmentera, il faut connaître les propriétés thermodynamiques
des deux objets.
On peut généraliser l’équation 9.14 pour un système dans lequel une des forces
internes est une force dissipative. L’énergie du système E sys variera si un travail
extérieur est effectué sur celui-ci :
(9.17)
Variation de l’énergie
du système
La figure 9.26 résume les transformations d’énergie que nous avons étudiées
dans les deux derniers chapitres. L’énergie d’un système augmente lorsqu’un
travail positif est effectué sur celui-ci. Son énergie diminue si un travail négatif
est effectué, c’est-à-dire lorsque le système effectue un travail sur son environnement. À l’intérieur du système, il peut y avoir des transformations d’énergie
entre l’énergie cinétique, l’énergie potentielle et l’énergie thermique.
FIGURE 9.26
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 9.5
Un pompier glisse vers le bas le long d’un poteau à vitesse constante.
Relativement au système pompier-poteau-Terre, lequel des énoncés
suivants est vrai ?
(i) Ug devient K, et E méc est conservée.
(ii) Ug devient E th, et E sys est conservée.
(iii) Ug devient E th, et E méc est conservée.
(iv) K devient E th, et E sys est conservée.
(v) Wext devient E th.
Les transferts et les transformations
d’énergie dans un système
286
CHAPITRE 09 — L’énergie potentielle et les transformations d’énergie
Et on glisse...
EXEMPLE 9.8
Une enfant de 16,0 kg glisse le long d’une glissade d’une hauteur de 2,00 m. Sa vitesse
initiale est nulle. L’enfant arrive en bas avec une vitesse dont le module est de 4,60 m/s.
Calculez la variation d’énergie thermique du système enfant-glissade.
SOLUTION
Illustrer la situation
Le schéma de la situation est présenté à la figure 9.27.
FIGURE 9.27
Le schéma de la situation pour l’exemple 9.8
Décortiquer le problème
Le système est l’enfant, la glissade et la Terre. Le
système est isolé, car il n’y a pas de force extérieure.
Il y a une force de frottement cinétique entre l’enfant
et la glissade. Cette force va faire augmenter l’énergie thermique du système enfant-glissade.
La variation d’énergie potentielle est
La variation d’énergie thermique est alors
Identifier la clé
La clé est l’équation 9.17 avec Wext = 0 :
(réponse)
Valider la réponse
Résoudre le problème
La variation d’énergie cinétique est
L’énergie thermique augmente, car il y a une force de
frottement cinétique entre l’enfant et la glissade.
La chaleur
Revenons à la situation du bloc qui glisse sur un plancher, qui est illustrée à
nouveau à la figure 9.28. L’énergie cinétique initiale du bloc se transforme en
énergie thermique du système bloc-surface. La température des deux surfaces
en contact augmente. Cependant, cette température revient rapidement à la
9.7 — L’énergie thermique
FIGURE 9.28
La chaleur est transférée du système vers l’environnement.
température de l’environnement. L’énergie thermique du système diminue. Où
va cette énergie ? Le système, étant plus chaud que l’air, perd de l’énergie sous
forme de chaleur.
La chaleur Q est un transfert d’énergie thermique, entre un objet chaud
et un objet froid, qui ne fait pas intervenir un déplacement macroscopique.
Chaleur
De la même façon, lorsque vous faites chauffer de l’eau dans une bouilloire,
celle-ci transmet de la chaleur à l’eau. L’énergie thermique de l’eau augmente,
et on observe une augmentation de la température de l’eau. Il y a donc deux
façons de transférer de l’énergie à un système : en effectuant un travail Wext
ou en transmettant de la chaleur Q. L’équation générale de la conservation de
l’énergie est donc
(9.18)
Premier principe de la
thermodynamique
Cette équation est connue sous le nom du premier principe de la thermodynamique. L’énergie du système E est la somme de toutes les formes d’énergie.
Jusqu’à maintenant, on a vu l’énergie mécanique et l’énergie thermique ; il faut
ajouter toutes les autres formes d’énergie, par exemple l’énergie chimique, l’énergie lumineuse et l’énergie au repos.
De façon expérimentale, on remarque que lorsqu’un objet chaud est placé en
contact avec un objet froid, la chaleur est transmise de l’objet chaud à l’objet froid
mais jamais le contraire, à moins d’effectuer un travail. Pourtant, le premier principe de la thermodynamique n’indique pas un sens particulier pour l’échange de
la chaleur. Le principe de conservation de l’énergie serait quand même valide si
l’objet froid devenait plus froid et que l’objet chaud devenait plus chaud. Il faut
introduire un autre principe : le deuxième principe de la thermodynamique.
Lorsque deux objets sont en contact, la chaleur est transmise de façon
spontanée de l’objet chaud vers l’objet froid.
Les deux énoncés sont les principes de base de la thermodynamique, une partie
de la physique qui étudie l’énergie de façon générale, y compris les différentes
transformations d’un type à l’autre.
Deuxième principe de la
thermodynamique
287
288
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
RÉSUMÉ
RÉSUMÉ
Dans ce chapitre, nous avons abordé l’énergie potentielle du système et avons analysé les transformations d’énergie.
LES DÉFINITIONS
• Une force conservative est une force pour laquelle
le travail ne dépend pas de la trajectoire. Le travail de
cette force sur une trajectoire fermée est nul.
LES LOIS ET PRINCIPES
Le principe de conservation de l’énergie
• Une force dissipative est une force qui est opposée à
la vitesse.
• L’énergie potentielle est associée à une force conservative et dépend de la position :
• gravitationnelle :
• Si le système est isolé (Wext = 0) :
• Si le système est isolé et conservatif
• élastique:
Le premier principe de la thermodynamique :
• L’énergie mécanique d’un système :
• L’énergie thermique E th est l’énergie associée au
mouvement désordonné des atomes et des molécules :
• La chaleur Q est un transfert d’énergie thermique entre
un objet chaud et un objet froid qui sont en contact.
LES APPLICATIONS
• L’énergie potentielle du système est illustrée par une
courbe U en fonction de la position. La pente de cette
courbe représente l’opposé de la force conservative.
• L’énergie mécanique E méc est représentée par une ligne
horizontale appelée le niveau d’énergie.
• L’énergie cinétique à une position donnée est la différence entre l’énergie mécanique et l’énergie potentielle.
• Les points où la courbe U rencontre la ligne de l’énergie
mécanique représentent les bornes. À ces positions, le
mouvement change de sens.
• Un minimum de la fonction U est la position d’un équilibre stable. Un maximum de la fonction U est la position d’un équilibre instable.
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
289
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
Q questions qualitatives • E exercices simples • P problèmes • R problèmes récapitulatifs •
solution disponible
Section 9.1 L’énergie potentielle gravitationnelle
E5 Un enfant lance un ballon de 625 g verticalement vers
Q1 La figure 9.29 illustre quelques positions d’un pen-
le haut. Le ballon quitte les mains de l’enfant à une hauteur de 1,20 m du sol et à une vitesse dont le module est
de 5,60 m/s. En négligeant la résistance de l’air et en choisissant le sol comme point de référence, calculez l’énergie
potentielle du système ballon-Terre et l’énergie cinétique du
ballon aux endroits suivants :
dule qui oscille. Le pendule est à sa hauteur maximale aux
points (i) et (v).
a. À quel endroit l’énergie cinétique du pendule est-elle
maximale ?
b. À quel endroit l’énergie potentielle du système penduleTerre est-elle maximale ?
a. à une hauteur de 1,50 m ;
b. à une hauteur de 2,50 m ;
c. à la hauteur maximale.
P6 Un pendule est formé d’une bille attachée à une corde
de 50,0 cm ; celle-ci est fixée à son autre extrémité. Lorsque
la corde est verticale, le module de la vitesse de la bille est
de 1,20 m/s.
FIGURE 9.29 • Question 1
Q2 À partir d’une tour, on lance des balles avec des vitesses
ayant le même module, mais des orientations différentes.
Les orientations par rapport à l’horizontale sont indiquées
ci-dessous.
a. Par rapport au point le plus bas, quelle est la hauteur
maximale de la bille ?
b. Quel est l’angle entre la corde et la verticale lorsque la
bille est momentanément arrêtée ?
P7 Au baseball, le frappeur envoie une balle à une
(iii) θ = −20°
vitesse qui forme un angle de 35,0° au-dessus de l’horizontale et avec un module de 28,0 m/s. La balle est
frappée à une hauteur de 1,10 m du sol. Négligez la
résistance de l’air et utilisez le principe de conservation
de l’énergie.
(iv) θ = 40°
a. Quelle est la hauteur maximale de la balle ?
Classez les orientations selon un ordre décroissant du
module de la vitesse des balles lorsque celles-ci frappent le
sol. Supposez que le sol est plat autour de la tour et que la
résistance de l’air est négligeable.
b. Quel est le module de la vitesse de la balle lorsque celle-ci
frappe le sol ?
(i) θ = 0°
(ii) θ = 20°
Q3 À partir d’une tour, on lance des balles avec les vitesses
initiales qui suivent.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(Indice : La composante horizontale de la vitesse demeure
constante, car la résistance de l’air est négligeable.)
Section 9.3 La détermination de l’énergie potentielle
Q8 La figure 9.30 illustre une particule de masse m pou-
vant se déplacer d’un point i vers quatre autres points en
suivant les trajectoires illustrées. L’axe des x est horizontal, et l’axe des y est vertical. Classez les points par ordre
décroissant, selon la variation de l’énergie potentielle du
système particule-Terre.
Classez les situaitons selon un ordre décroissant du module
de la vitesse des balles lorsque celles-ci frappent le sol. Supposez que le sol est plat autour de la tour et que la résistance de l’air est négligeable.
E4 Dans une étape du Tour de Beauce, les cyclistes vont de
Saint-Georges-de-Beauce (à une altitude de 173 m) jusqu’au
sommet du mont Mégantic, à une altitude de 1 088 m.
Calculez la variation de l’énergie potentielle du système
cycliste-vélo-Terre si un cycliste et son vélo ont une masse
combinée de 80,0 kg.
FIGURE 9.30 • Question 8
290
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
Q9 Un bloc est attaché à un ressort horizontal, qui
P13 La figure 9.32 illustre un bloc de 0,850 kg placé
est initialement comprimé de 5 cm par rapport à sa
longueur naturelle. Une force extérieure agit sur le système
bloc-ressort pour changer la compression. Quatre possibilités de configuration finale du ressort sont indiquées
ci-dessous.
contre un ressort, sans y être attaché. Le ressort a une
masse négligeable, et sa constante de rappel est égale à
150 N/m. Le plan est incliné à un angle de f = 33,0°.
Le ressort est initialement comprimé de 12,0 cm. On
laisse aller le ressort, qui pousse le bloc vers le haut du
plan incliné. Lorsque le bloc s’est déplacé de 20,0 cm,
calculez :
(i) une compression de 7 cm
(ii) une compression de 3 cm
a. la variation d’énergie potentielle du système bloc-Terre ;
(iii) un étirement de 5 cm
b. la variation d’énergie potentielle du système bloc-ressort ;
(iv) un étirement de 7 cm
Classez les situations par ordre décroissant, selon la variation de l’énergie potentielle du système bloc-ressort.
c. la variation d’énergie potentielle du système bloc-ressortTerre.
E10 Un système possède un ressort dont la constante de
rappel est de 150 N/cm. De quelle distance doit être étiré
le ressort pour que le système ait une énergie potentielle
élastique de 3,40 J ?
E11 Un bloc de 400 g glisse d’une distance de 1,50 m vers
le bas le long d’un plan incliné, comme le montre la figure 9.31. L’angle d’inclinaison du plan est f = 28,0°. Calculez la variation d’énergie potentielle du système bloc-Terre.
FIGURE 9.32 • Problème 13
Section 9.4 L’énergie mécanique
Q14 On laisse aller sans vitesse initiale un bloc sur
une piste sans frottement ; cette situation est illustrée à la
figure 9.33.
a. Sur quel sommet le module de la vitesse du bloc est-il le
plus grand ?
b. Déterminez le plus haut sommet que le bloc peut franchir.
FIGURE 9.31 • Exercice 11
P12 Un ressort a une constante de rappel de 25,0 N/m, une
longueur naturelle de 20,0 cm et une masse négligeable.
On attache une extrémité au plafond et à l’autre extrémité,
on attache une masse de 125 g, en la retenant pour qu’elle
demeure immobile. On choisit le plafond comme point de
référence de l’énergie potentielle gravitationnelle du système masse-ressort-Terre.
a. Quelle est
système ?
l’énergie
potentielle
gravitationnelle
du
b. Quelle est l’énergie potentielle élastique du système ?
On descend tranquillement la masse jusqu’à ce que le système soit à l’équilibre.
c. Quel est l’étirement du ressort ?
d. Quelle est
système ?
l’énergie
potentielle
gravitationnelle
du
FIGURE 9.33 • Question 14
E15 Une voiture de 1 100 kg se déplace à 20,0 m/s vers la
colline illustrée à la figure 9.34, lorsqu’elle tombe en panne
d’essence.
a. Déterminez le module de sa vitesse au point A, en haut de
la colline.
e. Quelle est l’énergie potentielle élastique du système ?
b. Déterminez le module de sa vitesse au point B, en bas de
la colline.
f. Quelle est la variation d’énergie potentielle du système ?
Négligez toute forme de frottement.
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
291
P20 Un ressort a une longueur naturelle de 10,0 cm,
une masse négligeable et une constante de rappel de
70,4 N/m. On le place verticalement et on le comprime
de 4,70 cm. On dépose ensuite une bille de 62,7 g,
comme le montre la figure 9.36. On laisse aller le
système.
FIGURE 9.34 • Exercice 15
a. Quelle est la vitesse de la bille lorsque le ressort revient à
sa position naturelle ?
E16 Un bloc glisse sur une piste sans frottement, comme le
b. Quelle est la hauteur maximale de la bille, mesurée par
rapport au sol ?
montre la figure 9.35. Au point A, il a une vitesse de 4,60 m/s.
Le point C représente le point de hauteur maximale, où le bloc
s’arrête momentanément avant de redescendre à la gauche.
a. Quel est le module de la vitesse du bloc au point B ?
b. Quelle est la hauteur du point C par rapport au point le
plus bas de la piste ?
FIGURE 9.36 • Problème 20
P21 Sur un plan sans frottement incliné à un angle φ, un
FIGURE 9.35 • Exercice 16
bloc de masse m est placé contre un ressort, sans y être attaché (voir la figure 9.37). La constante de rappel du ressort
est k. Le ressort est initialement comprimé d’une distance
x i. On laisse aller le ressort, qui pousse le bloc vers le haut
du plan. Quelle est la distance parcourue par le bloc avant
de s’immobiliser ?
E17 Un pistolet jouet lance des fléchettes de 12,5 g
au moyen d’un ressort de masse négligeable et dont la
constante de rappel est égale à 75 N/m. Lorsque le pistolet
est chargé, le ressort est comprimé de 5,0 cm. Calculez le
module de la vitesse de la fléchette lorsque cette dernière
quitte le pistolet quand celui-ci est placé horizontalement.
P18 Un acrobate de 80 kg saute à partir d’un tremplin vers
un trampoline, à une vitesse initiale verticale de 3,5 m/s
de module. La surface du trampoline est à une distance de
2,5 m sous le tremplin qui se comporte comme un ressort.
FIGURE 9.37 • Problèmes 21 et 22
a. Quel est le module de la vitesse de l’acrobate lorsque celuici touche le trampoline ?
φ = 25,0°, un bloc de 2,50 kg est placé contre un ressort,
sans y être attaché (voir la figure 9.37). La constante de
rappel du ressort est égale à 5,00 N/cm. Le ressort est initialement comprimé de 15,0 cm. On laisse aller le ressort,
qui pousse le bloc vers le haut du plan. Quelle est la distance parcourue par le bloc avant de s’immobiliser ?
b. Quelle est la constante de rappel si l’acrobate s’arrête
momentanément à une distance de 25 cm sous la position
initiale du trampoline ?
P19 Un bloc de 350 g, initialement immobile, tombe vers
un ressort situé à 70,0 cm sous la position initiale du bloc.
La constante de rappel du ressort est de 25,0 N/m.
a. Quel est le module de la vitesse du bloc quand celui-ci
frappe le ressort ?
b. Quelle est la compression maximale du ressort ?
P22 Sur un plan sans frottement incliné à un angle
P23 Une caisse de 4,50 kg est lancée à une vitesse de
5,00 m/s vers le haut d’un plan incliné à 15,0° (voir la
figure 9.38 à la page suivante). La caisse se déplace d’une
distance de 3,50 m avant de frapper un ressort à sa longueur naturelle. Le ressort a une constante de rappel de
450 N/m. Quelle est la compression maximale du ressort ?
292
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
FIGURE 9.38 • Problème 23
FIGURE 9.40 • Problèmes récapitulatifs 25 et 26
R24 Dans un laboratoire de physique, une expérience est
menée sur le mouvement d’un projectile. On utilise un pis­
tolet à ressort pour lancer une bille d’acier. Le pistolet est
placé sur une table et il est incliné à un angle de 30,0° par
rapport à l’horizontale. Le ressort a une constante de rappel
de 130 N/m, et la bille a une masse de 28,0 g. On arme
le pistolet en comprimant le ressort de 4,00 cm. La bille
quitte le pistolet lorsque le ressort retourne à sa position
d’équilibre ; la hauteur de la bille par rapport au plancher
est alors de 1,20 m (voir la figure 9.39).
R26 Une piste sans frottement est constituée d’un plan
a. Quelle est la vitesse de la bille lorsque celle­ci quitte le
pistolet ?
R27 Une rondelle est placée au sommet d’une hémisphère
b. Quelle est la hauteur maximale de la bille par rapport au
plancher ?
c. Quelle est la portée du tir ?
incliné et d’un cercle de rayon R, comme le montre la fi­
gure 9.40. On place un bloc de masse m à une hauteur ini ­
tiale h. On laisse le bloc glisser vers le bas, à partir d’une
vitesse initiale nulle.
a. Quelle est la hauteur h si le bloc est sur le point de perdre
contact au point P, situé au sommet de la boucle ?
b. Quel est alors le poids apparent du bloc au point Q ?
glacée ayant un rayon R. À la suite d’une très légère pous­
sée, la rondelle se déplace vers le bas de la surface glacée.
Elle perd contact avec la surface à un angle θ, comme le
montre la figure 9.41. Calculez l’angle θ. (Indice : Lorsque
la rondelle perd contact, la force normale est nulle.)
FIGURE 9.41 • Problème récapitulatif 27
Section 9.5 Les diagrammes d’énergie
Q28 La figure 9.42 illustre l’énergie potentielle d’un sys­
FIGURE 9.39 • Problème récapitulatif 24
tème. Classez les différentes régions selon un ordre crois­
sant du module de la force conservative.
R25 Un bloc de 0,680 kg est placé à une hauteur
h = 1,25 m sur la piste illustrée à la figure 9.40. Cette piste
sans frottement est constituée d’un plan incliné et d’un arc
de cercle de rayon R = 30,5 cm. On laisse le bloc glisser
vers le bas, à partir d’une vitesse initiale nulle.
a. Quel est le module de la vitesse du bloc au point S ?
b. Quel est le module de la force centripète exercée sur le
bloc au point S ?
c. Quel est le module de la force tangentielle exercée sur le
bloc au point S ?
FIGURE 9.42 • Question 28
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
Q29 La figure 9.43 illustre la courbe d’énergie potentielle
d’un système, ainsi que l’énergie mécanique et des points
particuliers. Déterminez les points correspondant :
a. aux bornes ;
293
une hauteur de 1,30 m. Quel est le travail nécessaire si le
contrepoids est immobile au début et à la fin ?
E32 Quel travail faut-il exercer pour étirer un ressort
b. à la position d’équilibre instable ;
horizontal, de sa longueur naturelle jusqu’à une longueur
de 12,4 cm, si la constante de rappel est de 80,0 N/cm ?
c. à la position d’équilibre stable.
E33 Un pompier de 80,0 kg glisse le long d’un poteau ver-
d. À quel point le module de la vitesse est-il maximal ?
e. À quel point le module de la vitesse est-il minimal ?
tical entre deux étages, d’une hauteur de 5,00 m. Il est initialement au repos et, lorsque ses pieds touchent le sol, sa
vitesse a un module de 4,50 m/s.
a. Quelle est la variation d’énergie cinétique du pompier ?
b. Quelle est la variation d’énergie potentielle du système
pompier-Terre ?
c. Quelle est la variation d’énergie mécanique du système
pompier-Terre ?
E34 Au baseball, une balle de 145 g est frappée à une hau-
FIGURE 9.43 • Question 29
E30 L’énergie potentielle d’un système en fonction de la
position d’un objet est illustrée à la figure 9.44. La masse
de l’objet est de 1,25 kg. Lorsque l’objet est situé à 3,0 cm,
le système est immobile.
a. Dans quel sens l’objet va-t-il se déplacer ?
b. Quelle est l’énergie mécanique du système ?
c. Quel est le module de la vitesse lorsque l’objet se trouve à
la position x = 0 ?
d. À quel endroit l’objet est-il immobile, si on exclut la position initiale ?
teur de 1,10 m du sol à une vitesse de 30,0 m/s, formant
un angle de 34,0° au-dessus de l’horizontale. La balle est
attrapée à une hauteur de 30,0 cm. Sa vitesse est alors de
23,5 m/s, avec un angle de 38,0° sous l’horizontale. Calculez le travail de l’air sur le système balle-Terre.
P35 Un bloc de 645 g est placé (sans y être attaché) contre un
ressort horizontal dont la constante de rappel est de 130 N/m
et qui est à sa longueur naturelle (voir la figure 9.45). On
pousse le bloc pour comprimer le ressort de 8,00 cm. On
laisse aller le système. Le bloc quitte le ressort et glisse sur
une surface horizontale sans frottement, puis sur une surface
rugueuse dont le coefficient de frottement est de 0,230.
a. Quel est le travail nécessaire pour comprimer le ressort
dans la première étape ?
b. Quel est le module de la vitesse lorsque le bloc quitte le
ressort ?
c. Quelle distance le bloc parcourt-il sur la surface rugueuse
avant de s’arrêter ?
FIGURE 9.45 • Problème 35
P36 Le système de la figure 9.46 (voir la page suivante) est
FIGURE 9.44 • Exercice 30
Section 9.6 La variation de l’énergie mécanique
E31 Une horloge à pendule utilise un contrepoids de 600 g
qui descend graduellement. Pour que l’horloge fonctionne,
il faut remonter le contrepoids, à partir du sol jusqu’à
composé d’un bloc de masse m1 et d’un poids de masse m2
qui sont reliés par une corde de masse négligeable. La corde
passe par une poulie de masse négligeable, qui tourne sans
frottement. Le coefficient de frottement cinétique entre le
bloc et la surface est μc. Le bloc et le poids sont initialement
immobiles. Calculez le module de la vitesse du bloc lorsque
celui-ci s’est déplacé d’une distance d.
294
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
de frottement cinétique entre le bloc et la surface est de
0,450. On comprime d’abord le ressort de 20,0 cm. On
laisse ensuite aller le bloc.
a. Quel est le module de la vitesse du bloc lorsque le ressort
revient à sa position naturelle pour la première fois ?
b. Quel est l’étirement maximal du ressort ?
P40 Le système de la figure 9.48 est composé du bloc 1
FIGURE 9.46 • Problèmes 36 et 37
P37 Le système de la figure 9.46 est composé d’un bloc de
masse m1 = 300 g et d’un poids de masse m2 = 125 g qui
sont reliés par une corde de masse négligeable. Celle-ci passe
par une poulie de masse négligeable, qui tourne sans frottement. Le coefficient de frottement cinétique entre le bloc et la
surface est μc = 0,400. Le bloc et le poids sont initialement
immobiles. Calculez le module de la vitesse du bloc lorsque
celui-ci s’est déplacé d’une distance de 70,0 cm.
P38 Un bloc de 800 g est placé en haut d’un plan incliné,
comme le montre la figure 9.47. À partir du repos, il glisse
sur une distance d avant de frapper un ressort. Le ressort
a une constante de rappel de 180 N/m, le plan est incliné
à θ = 40,0° et le coefficient de frottement entre la surface
et le bloc est de 0,340. Le module de la vitesse du bloc est
de 1,75 m/s lorsque celui-ci frappe le ressort.
(m1 = 450 g), du bloc 2 (m2 = 700 g) et d’un ressort (k
= 8,00 N/m). Le coefficient de frottement entre les blocs
et la surface est de 0,150, et l’inclinaison du plan est
θ = 20,0°. Le bloc 2 est attaché au ressort. Au départ,
le ressort est comprimé de 15,0 cm, et les deux blocs
sont immobiles.
a. Quelle est la vitesse du bloc 2 lorsque le ressort revient à
sa longueur naturelle pour la première fois ?
b. Quel est l’étirement maximal du ressort ?
c. Quelle est la vitesse du bloc 2 lorsque le ressort revient à
sa position naturelle pour la deuxième fois ?
a. Quelle est la distance d ?
b. Quelle est la compression maximale du ressort ?
FIGURE 9.48 • Problème 40
Section 9.7 L’énergie thermique
E41 On tire une balle de fusil de 3,0 g à une vitesse de
510 m/s vers un morceau de bois bien fixé. La balle passe à
travers le bois et en sort avec une vitesse dont le module est
de 340 m/s. Quelle est la variation d’énergie thermique du
système balle-morceau de bois ?
FIGURE 9.47 • Problème 38
P39 Un bloc de 1,30 kg est attaché à un ressort dont la
constante de rappel est égale à 470 N/m. Le système est
placé sur une surface horizontale rugueuse ; le coefficient
E42 Un pompier de 80,0 kg glisse le long d’un poteau ver-
tical entre deux étages, d’une hauteur de 5,00 m. Il est initialement au repos et, lorsque ses pieds touchent le sol, sa
vitesse a un module de 4,50 m/s. Quelle est la variation de
l’énergie thermique du système pompier-poteau ?
SOLUTIONS AUX TESTS DE COMPRÉHENSION
295
SOLUTIONS AUX TESTS DE COMPRÉHENSION
9.1 La force n’est pas conservative.
Le travail net sur la trajectoire complète (la somme des travaux) est égal
à 1 J. Pour que la force soit conservative, il faut que le travail sur une
trajectoire fermée soit nul.
9.2 Uii = Uiv < Ui < Uiii
L’énergie potentielle d’un système bloc-ressort est U = kx 2/2.
9.3 Les modules des vitesses finales sont
La variation de l’énergie potentielle gravitationnelle est la même dans
chaque situation, car les masses sont égales et les blocs ont la même
variation de hauteur. Comme l’énergie cinétique est nulle au départ
pour chacun, les blocs ont la même énergie cinétique finale et donc
le même module de vitesse.
tous égaux.
9.4
(i) La force est nulle.
(ii) La force est vers la gauche.
La force correspond à l’opposé de la pente. Lorsque la pente est
positive, alors Fx < 0 et la force est vers la gauche. Lorsque la pente
est négative, alors Fx > 0 et la force est vers la droite.
(iii) La force est nulle.
(iv) La force est vers la droite.
(v) La force est vers la droite.
9.5 L’énoncé (ii)
L’énergie cinétique est constante, car la vitesse est constante. Le pompier
se déplace vers le bas, ce qui diminue l’énergie potentielle. La force de
frottement cinétique entre les mains et le poteau fait augmenter l’énergie
thermique. L’énergie du système est constante, car le système est isolé.
Chapitre
296
La quantité de
mouvement et
les collisions
Buts du chapitre
Dans ce chapitre, on fait l’étude des systèmes de particules et des collisions.
Après l’étude de ce chapitre, vous serez en mesure :
• de calculer la quantité de mouvement d’une particule et l’impulsion appliquée ;
• de déterminer les propriétés du centre de masse d’un système ;
• d’utiliser le principe de conservation de la quantité de mouvement pour
étudier les systèmes et les collisions ;
• de reconnaître les différents types de collisions.
Préalables
Ce chapitre permet d’intégrer plusieurs notions de cinématique, de dynamique
et d’énergie. Revoyez :
• le mouvement du projectile, analysé à la section 4.3 ;
• le mouvement relatif, étudié à la section 4.6 ;
• la deuxième loi de Newton, présentée à la section 5.6 ;
• la troisième loi de Newton, présentée à la section 6.3 ;
• l’énergie mécanique, définie à la section 9.4.
297
Lors de la casse, au billard, les
billes entrent en collision.
298
CHAPITRE 10 — La quantité de mouvement et les collisions
Le principe de conservation de l’énergie est un principe général : l’énergie
peut être transférée d’un objet à l’autre, mais l’énergie d’un système fermé
demeure constante. Dans le présent chapitre, nous allons étudier un autre principe de conservation : le principe de conservation de la quantité de mouvement.
Lorsqu’une bille de billard frappe une autre bille, la force d’interaction entre les
deux est intense, mais de très courte durée, car le contact entre les billes dure
une fraction de seconde. Cet événement est appelé une collision. Les explosions
font aussi intervenir des forces d’interaction intenses. Nous verrons dans ce chapitre qu’il existe une quantité vectorielle conservée lors d’une collision et d’une
explosion : la quantité de mouvement.
L’étude des collisions est un sujet important en physique. À partir des principes
de conservation, il est possible d’obtenir des données précédant une collision en
se basant sur des mesures prises après celle-ci. Ces méthodes sont utilisées par
les policiers enquêtant sur les lieux d’un accident de la route. De même, dans les
grands accélérateurs de particules, les physiciens découvrent les propriétés de
la matière et des interactions à très petite échelle en étudiant les collisions
de particules lancées à des vitesses très près de la vitesse de la lumière.
Dans les chapitres 6 à 9, nous avons étudié les systèmes qui sont constitués de
plusieurs objets. Ces systèmes étaient composés soit d’objets ayant des vitesses
de même module, soit d’objets immobiles. Pour étudier les systèmes contenant des objets se déplaçant à des vitesses différentes, nous allons définir le
centre de masse. Nous verrons que le mouvement de translation de ce point peut
être obtenu en recourant aux méthodes étudiées dans les chapitres précédents.
10.1
L’impulsion et la quantité
de mouvement
Lorsque deux objets entrent en collision, ils exercent l’un sur l’autre une force
variable de courte durée. Prenons par exemple une balle qui rebondit sur
le plancher, comme il est illustré à la figure 10.1. Tout juste avant de toucher le
sol, la balle se déplace à une vitesse
orientée vers le bas. Lorsqu’elle le frappe,
la balle se déforme ; le plancher exerce une force
, orientée vers le haut.
Cette force est exercée dans un intervalle de temps Δt = tf − ti, le temps que dure
le contact avec le plancher. Tout juste après le contact, la balle se dirige vers le
haut avec une vitesse . On veut trouver une relation entre les vitesses avant la
collision et les vitesses après la collision.
FIGURE 10.1
Une balle rebondit sur un plancher. (a) Avant le contact. (b) Il y a contact entre la balle
et le plancher. (c) Après le contact.
10.1 — L’impulsion et la quantité de mouvement
299
La force exercée sur la balle par le plancher est une force variable, c’est-à-dire
qu’elle change durant le contact. La figure 10.2 illustre la composante de la force
Fy en fonction du temps. C’est une force très intense, mais qui dure un court intervalle de temps. On appelle forces d’impact les forces qui ont ces caractéristiques.
Pour commencer l’analyse des forces d’impact, on examine une situation plus simple
où un objet est soumis à plusieurs forces constantes durant un intervalle de temps
Δt = tf − ti (voir la figure 10.3). La vitesse initiale de l’objet est et la vitesse finale,
On définit l’impulsion
l’intervalle de temps :
d’une force constante par le produit de la force et de
(10.1)
FIGURE 10.2
La composante Fy de la force sur la balle
par le plancher en fonction du temps
Impulsion (force constante)
La somme vectorielle des impulsions exercées sur un objet est l’impulsion
résultante :
(a)
(b)
FIGURE 10.3
(a) Un objet est soumis à trois forces au temps t i. (b) Au temps tf, la vitesse de l’objet a changé.
Selon la deuxième loi de Newton
tante de la façon suivante :
on peut écrire l’impulsion résul-
(10.2)
où on a considéré le fait que l’accélération est constante lorsque la force résultante est constante, et donc que
L’équation 10.2 est une équation qui a
la forme du théorème de l’énergie cinétique (voir l’équation 8.8 de la page 240) :
le membre de droite est la variation d’une quantité reliée à la vitesse, et le membre
de gauche est une quantité établie à partir de la force résultante. Le produit de la
masse et de la vitesse d’un objet est appelé la quantité de mouvement de l’objet :
(10.3)
C’est une équation vectorielle, équivalente à une équation pour chacune des
composantes :
(10.4)
La quantité de mouvement d’une particule est un vecteur parallèle à la vitesse
(comme le montre la figure 10.4), car la masse m est un scalaire positif. Dans
le SI, l’unité de la quantité de mouvement est kg · m/s.
FIGURE 10.4
La quantité de mouvement a la
même orientation que la vitesse.
Quantité de mouvement
300
CHAPITRE 10 — La quantité de mouvement et les collisions
Avec cette définition, l’équation 10.2 s’écrit
(10.5)
Théorème de l’impulsion
Cette équation est appelée le théorème de l’impulsion.
Revenons maintenant à l’exemple de la balle qui rebondit sur le plancher.
Durant l’impact, la force du plancher est variable, et la force gravitationnelle
est négligeable. Comment fait-on pour calculer l’impulsion de la force du plancher ? Cette force n’a qu’une composante y. La composante y de l’impulsion
est obtenue en calculant l’aire sous la courbe (ou l’intégrale), comme le montre
la figure 10.5a :
(10.6)
Dans le cas général d’une force avec plusieurs composantes, l’impulsion est un
vecteur donné par l’expression :
(10.7)
Impulsion (force variable)
On peut remplacer la force d’impact par une force constante, de même
durée, qui aura la même impulsion (voir la figure 10.5b). Cette force est la
force moyenne :
(10.8)
(a)
(b)
FIGURE 10.5
(a) Pour une force variable, la composante y de l’impulsion correspond à l’aire sous la courbe.
(b) La force moyenne est une force constante qui a la même impulsion que la force réelle.
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 10.1
On laisse tomber une balle de 0,100 kg sur le plancher. Le module de
sa vitesse avant de rebondir est de 5 m/s, et le module de sa vitesse est
de 3 m/s après le rebond.
a. Quelle est la variation de sa quantité de mouvement ?
b. Quelle est l’impulsion résultante sur la balle ?
10.1 — L’impulsion et la quantité de mouvement
La deuxième loi de Newton et la quantité de mouvement
Lorsque Newton a formulé la deuxième loi dans Principia, il a en fait utilisé
la quantité de mouvement et non l’accélération. En effet, Newton* énonce sa
deuxième loi ainsi :
Les changements qui arrivent dans le mouvement sont proportionnels à
la force motrice, et se font dans la ligne droite dans laquelle cette force
a été imprimée. (LOI II)
De façon plus moderne, on écrit :
Le taux de variation de la quantité de mouvement d’un objet est égal à la
force résultante exercée sur celui-ci.
L’expression mathématique de cette loi est la suivante :
(10.9)
Deuxième loi de Newton
Pour obtenir la forme habituelle de la deuxième loi de Newton (voir l’équa ­
tion 5.8 de la page 148), on dérive
en tenant compte du fait que la masse
d’un objet est constante :
L’équation 10.9 est plus générale que l’équation 5.8, car elle s’applique lorsque
la masse d’un objet change en fonction du temps, comme c’est le cas des fusées
qui éjectent des gaz pour se propulser.
Le théorème de l’impulsion est en fait la deuxième loi de Newton écrite de façon
différente. En effet, on peut inverser l’équation 10.9 en effectuant l’intégration par rapport au temps de chaque côté :
EXEMPLE 10.1
On s’arrête au milieu de la côte
Une voiture de 1 400 kg se déplace à une vitesse de 20,0 m/s en descendant une pente
inclinée à θ = 5,50°. La conductrice freine pour s’immobiliser. Calculez le temps nécessaire
pour que la voiture s’immobilise, si la force de freinage a un module de 6 400 N.
SOLUTION
Illustrer la situation
Le diagramme des forces de la voiture est présenté à la
figure 10.6. Nous orientons l’axe des x parallèlement
à la pente et l’axe des y perpendiculairement à celleci. Les forces normales
et
sont exercées sur les
roues avant et les roues arrière, respectivement.
FIGURE 10.6
Le diagramme des forces de la voiture
* On peut trouver une version française de Principia dans l’ouvrage de : Stephen Hawking,
Sur les épaules des géants, Paris, Dunod, 2003.
301
302
CHAPITRE 10 — La quantité de mouvement et les collisions
Décortiquer le problème
Résoudre le problème
En insérant l’équation (ii) dans l’équation (i) et en
isolant Δt, nous obtenons
Identifier la clé
La clé est le théorème de l’impulsion (l’équation 10.5)
appliqué à la composante x :
(i)
(réponse)
avec l’impulsion obtenue à l’aide de l’équation 10.1 :
Valider la réponse
(ii)
EXEMPLE 10.2
L’ordre de grandeur est correct, et le signe est positif,
comme il se doit.
Je prends mon élan et je rentre dans le mur
Une balle de tennis de 57,0 g est lancée sur un mur. La figure ci-contre montre
une vue en plongée de la trajectoire de la balle. Le module de sa vitesse est
de 15,0 m/s tout juste avant de toucher le mur ainsi que tout juste après la
collision. La balle reste en contact avec le mur pendant 50,0 ms.
a. Quelle est l’impulsion du mur sur la balle ?
b. Quel est le module de la force moyenne exercée par le mur sur la balle ?
SOLUTION
Illustrer la situation
SOLUTION a.
Identifier la clé
La figure 10.7 montre le schéma de la situation : la
balle avant que celle-ci touche le mur (situation initiale) et la balle après la collision avec le mur (situation finale).
Pour calculer l’impulsion du mur sur la balle, la clé
est l’équation 10.5. Nous négligeons l’impulsion
de la force gravitationnelle, car la force du mur est
une force d’impact ayant un module beaucoup plus
grand que le module de la force gravitationnelle :
(i)
Cette équation est une équation vectorielle, que nous
décomposons selon les composantes cartésiennes :
FIGURE 10.7
Le schéma de la situation de la balle qui frappe le mur
Décortiquer le problème
Résoudre le problème
Nous remplaçons les valeurs :
10.2 — Le centre de masse
Le vecteur impulsion est alors
(réponse)
(réponse)
SOLUTION b.
Identifier la clé
La clé est l’équation 10.8. Le module de la force
moyenne est
Résoudre le problème
En remplaçant les valeurs, nous obtenons
10.2
303
Valider la réponse
L’impulsion est vers la gauche, car le mur exerce une
force vers la gauche sur la balle. La force moyenne
exercée par le mur est beaucoup plus grande que
la force gravitationnelle exercée sur la balle. En effet,
le module de la force gravitationnelle est environ
55 fois plus petit que le module de la force moyenne
du mur.
Le centre de masse
Les systèmes que nous avons étudiés au chapitre 9 étaient constitués d’un objet
en mouvement et d’objets immobiles comme la Terre. Dans des situations plus
générales, nous avons besoin d’analyser des systèmes dont les membres se
déplacent à des vitesses différentes. L’analyse du mouvement de tous les objets
est complexe. Pour simplifier, nous allons d’abord étudier un seul point, qu’on
appelle le centre de masse.
Prenons par exemple le marteau illustré à la figure 10.8, lancé dans les airs en lui
imprimant un mouvement de rotation. Chaque partie du marteau a un mouvement complexe et différent du mouvement d’une autre partie du marteau. Cependant, il existe un point dont le mouvement est celui du projectile qui a été étudié
à la section 4.3. Ce point est le centre de masse du marteau. Le centre de masse
se comporte comme si toute la masse du marteau était concentrée à ce point.
FIGURE 10.8
Le mouvement du marteau est complexe, mais celui du centre de masse (le point rouge) correspond au mouvement parabolique du projectile.
On établit maintenant une équation donnant la position du centre de
masse d’un système. On commence par un système simple constitué uniquement de deux particules pour ensuite généraliser la situation à un plus grand
nombre de particules, puis à un objet solide.
304
CHAPITRE 10 — La quantité de mouvement et les collisions
REMARQUE
Le point rouge de la figure 10.8 est en fait le centre de gravité du
marteau, c’est-à-dire le point d’application de la force gravitationnelle. Comme l’accélération gravitationnelle est uniforme pour tous
les points du marteau, le centre de masse et le centre de gravité sont
situés au même endroit.
Le centre de masse des systèmes de particules
La figure 10.9 illustre un système constitué de deux petits objets de masses m1
et m2. On a placé un système de coordonnées cartésiennes de telle sorte que les
deux particules se situent le long de l’axe des x. La coordonnée horizontale du
centre de masse est alors
(10.10)
FIGURE 10.9
Le centre de masse est situé entre
les deux masses.
Regardons d’abord quelques cas limites de l’équation 10.10. Si m2 = 0, xcm = x 1 ;
le système n’a qu’une seule particule, et le centre de masse est à la position de
cette particule. De même, si m1 = 0, xcm = x 2, ce qui correspond à la position
de la seconde particule. Si les deux masses sont identiques (m1 = m2 = m), alors
l’équation 10.10 donne
ce qui correspond à la position à mi-chemin entre les deux masses. En règle
générale, on peut dire que le centre de masse du système est situé entre les deux
particules et plus près de la particule ayant la plus grande masse.
Si les particules ne se trouvent pas sur l’axe des x (comme à la figure 10.10), il
faut calculer la coordonnée y et la coordonnée z du centre de masse avec des
équations équivalentes à l’équation 10.10 :
(10.11)
(10.12)
FIGURE 10.10
Le centre de masse a des coor­
données (x cm ; ycm).
Il est possible de regrouper ces équations en une équation vectorielle à l’aide
du vecteur position de chaque particule
(10.13)
où
Lorsque le système est composé de n particules, la méthode est la même. La
position du centre de masse du système peut être calculée à partir de la position
et de la masse de chaque particule constituant le système. L’équation 10.13 se
généralise de façon évidente :
Position du centre de masse
(10.14)
10.2 — Le centre de masse
305
où M est la masse du système :
On peut aussi écrire l’équation 10.14 comme trois équations, une pour chacune
des composantes :
(10.15)
REMARQUE
Nous utilisons la notation suivante : les minuscules représentent les
paramètres relatifs aux constituants du système, alors que les majuscules représentent les paramètres relatifs au système.
EXEMPLE 10.3
Le centre de masse de trois particules
Un système est composé de trois particules dont la masse et la position sont les suivantes :
m1 = 1,20 kg et
et
et
Calculez le vecteur position du centre de
masse du système.
SOLUTION
Illustrer la situation
Identifier la clé
La figure 10.11 montre la position des particules.
La clé est l’équation 10.14, que nous écrivons pour
chaque composante :
(i)
(ii)
Résoudre le problème
Nous insérons les valeurs :
FIGURE 10.11
La position des particules
Décortiquer le problème
Le tableau suivant présente les données de chaque
particule.
mi (kg)
x i (m)
yi (m)
1
1,20
0,300
0,500
2
0,800
1,30
-0,800
3
1,50
-0,200
-0,200
La masse totale est M = 3,50 kg. On cherche
Le vecteur position est donc
(réponse)
Valider la réponse
Le centre de masse se trouve entre les trois objets,
plus près de m3 puisque c’est l’objet qui a la plus
grande masse.
306
CHAPITRE 10 — La quantité de mouvement et les collisions
Le centre de masse des objets solides
Le marteau illustré à la figure 10.8 est un objet solide, constitué d’un grand
nombre de particules. Pour calculer le centre de masse d’un objet solide, il faut
le diviser en masses ponctuelles infinitésimales dm, ayant une position donnée,
par le vecteur (comme à la figure 10.12). La somme sur toutes les masses
ponctuelles devient une intégrale :
(10.16)
FIGURE 10.12
Pour calculer le centre de masse,
on divise l’objet en éléments dm.
Avant de calculer l’intégrale, il faut trouver une relation entre la masse et la
position, afin de n’avoir qu’une seule variable. Cette relation est obtenue à l’aide
de la masse volumique ρ, c’est-à-dire de la masse par unité de volume. Les objets
homogènes sont des objets dont la masse volumique est uniforme. Si dV représente le volume d’une masse infinitésimale dm, on obtient
(10.17)
où V représente le volume de l’objet en entier. L’équation 10.16 s’écrit alors, pour
les objets homogènes,
(10.18)
Cette équation vectorielle peut être écrite comme trois équations, une pour
chacune des composantes :
(10.19)
(a)
(b)
FIGURE 10.13
(a) Le centre de masse d’une sphère
homogène est à son centre. (b) Le
centre de masse d’un cône homogène est sur son axe de symétrie.
On peut simplifier le calcul de la position du centre de masse en recourant à la
symétrie. En effet, si un objet homogène possède un centre de symétrie, alors le
centre de masse correspond à ce point. C’est le cas pour une sphère : le centre
de masse est au centre de la sphère (voir la figure 10.13a). De même, si l’objet
a un axe de symétrie, alors le centre de masse doit se trouver sur cet axe. Par
exemple, le centre de masse d’un cône homogène se situe sur l’axe du cône
(voir la figure 10.13b).
Lorsqu’un objet est composé d’éléments symétriques, on peut calculer la position du centre de masse en remplaçant les éléments symétriques par une masse
ponctuelle située à leur centre de masse respectif. Cette méthode permet de
remplacer l’objet par un système de masses ponctuelles.
REMARQUE
Le centre de masse d’un objet solide peut être à l’extérieur de l’objet,
comme c’est le cas pour un beigne (le centre de masse se trouve dans
le trou central).
10.2 — Le centre de masse
307
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 10.2
La figure ci-dessous illustre une plaque homogène rectangulaire, centrée à
l’origine. On y découpe un carré.
a. Quelle est la position du centre de masse dans la situation initiale ?
b. Quelle est la position du centre de masse dans la situation finale ?
Répondez en fonction de l’origine, d’un axe ou d’un quadrant.
EXEMPLE 10.4
Le centre de masse d’une plaque trouée
Une plaque rectangulaire homogène a une longueur de
30,0 cm, une largeur de 10,0 cm et une épaisseur uniforme.
On perce un trou circulaire de 4,00 cm de rayon. Le centre de
celui-ci est à une distance de 10,0 cm à gauche du centre de la
plaque, comme le montre la figure ci-contre. Quelle est la position du centre de masse de la plaque trouée, par rapport au
centre de celle-ci ?
SOLUTION
Illustrer la situation
La plaque trouée peut être décomposée en deux
objets symétriques : un rectangle plein et un trou.
Dans la figure 10.14, nous remplaçons le rectangle
et le trou par deux masses ponctuelles situées respectivement au centre du rectangle et du cercle.
Le trou est une masse qu’on a enlevée, ce qui équivaut à une masse négative. La masse de la plaque
trouée n’est pas donnée, mais elle est uniforme. Nous
pouvons alors exprimer les masses en fonction de la
masse volumique ρ, de l’aire A et de l’épaisseur e :
Décortiquer le problème
FIGURE 10.14
La plaque trouée est équivalente à une masse à l’origine et une masse à 5,00 cm
à gauche de l’origine.
308
CHAPITRE 10 — La quantité de mouvement et les collisions
Identifier les clés
Résoudre le problème
La première clé est que l’axe des x est un axe de
symétrie. Ceci implique que le centre de masse doit
être sur cet axe, c’est-à-dire que ycm = 0,0 m. La
deuxième clé est l’équation 10.14, exprimée en fonction de la composante x :
Nous obtenons
La position du centre de masse est alors
Valider la réponse
Remarquez que la masse volumique et l’épaisseur
se simplifient.
10.3
Le centre de masse est bien à droite de l’origine, car
la masse est plus importante de ce côté.
Le mouvement du centre de masse
Lorsque les objets constituant un système sont en mouvement, la position du
centre de masse va changer. La figure 10.15 montre un système constitué de
trois particules qui interagissent entre elles et qui subissent des forces extérieures. Les forces d’interaction sont
alors que les forces
extérieures sont ,
et , appliquées sur chaque particule respectivement.
Selon l’équation 10.14, on a :
FIGURE 10.15
Les objets du système subissent
des forces extérieures ,
et ; ils exercent aussi les
uns sur les autres des forces
d’interaction
où M est la masse du système.
On obtient la vitesse du centre de masse en dérivant, par rapport au temps, les
deux membres de l’équation précédente :
(10.20)
Le membre de droite de la dernière équation représente la somme des quantités
de mouvement, c’est-à-dire la quantité de mouvement résultante du système.
Donc, la quantité de mouvement du système peut être calculée à partir de la
masse du système et de la vitesse du centre de masse :
(10.21)
On obtient l’accélération du centre de masse en dérivant de nouveau, par rapport au temps, l’équation 10.20 :
(10.22)
10.3 — Le mouvement du centre de masse
309
On applique ensuite la deuxième loi de Newton à chaque particule :
ce qui donne
Cette équation peut être simplifiée à l’aide de la troisième loi de Newton. En effet,
les forces d’interaction forment des paires action-réaction. Ainsi,
et
Les forces d’interaction s’annulent lorsqu’on étudie le mouvement du centre de masse. On obtient alors
(10.23)
Deuxième loi de Newton
(systèmes)
où
représente la résultante des forces extérieures appliquées sur les membres
de système. L’équation 10.23 est la deuxième loi de Newton appliquée au système.
Le mouvement de translation d’un système est obtenu en remplaçant le
système par une masse ponctuelle de masse M placée au centre de masse
du système. La deuxième loi de Newton est appliquée en utilisant seulement les forces extérieures qui sont exercées sur le système par des agents
de l’environnement.
Ce résultat est important. Il montre que les forces internes n’ont pas d’influence
sur le mouvement du centre de masse d’un système. Prenons par exemple une
fusée de feu d’artifice qui explose, comme à la figure 10.16. Cette explosion propulse des débris dans toutes les directions. Cependant, on peut obtenir le mouvement du centre de masse très facilement : la seule force extérieure appliquée
sur le système (en négligeant la résistance de l’air) est la force gravitationnelle.
Le centre de masse va donc poursuivre le mouvement de projectile de la fusée
avant l’explosion, jusqu’à ce qu’un des débris frappe le sol (ce qui applique une
nouvelle force extérieure sur le système).
Si la résultante des forces extérieures agissant sur un système est nulle, le centre
de masse ne subit aucune accélération, c’est-à-dire que le centre de masse
se déplace à vitesse constante.
EXEMPLE 10.5
FIGURE 10.16
L’explosion ne change pas le mouvement du centre de masse, car elle
produit des forces internes entre
les débris.
Une simple explosion
Un projectile de 15,0 kg est lancé à partir du sol avec une vitesse de 16,7 m/s formant
un angle de 40,0° au-dessus de l’horizontale. Durant le vol, une explosion brise le projectile
en deux morceaux. À t = 1,50 s après le lancer, on observe qu’un des morceaux de 5,00 kg
se situe à une hauteur de 6,50 m et à une distance horizontale de 8,20 m par rapport
à la position de tir. Quelle est la position du deuxième fragment à cet instant ?
310
CHAPITRE 10 — La quantité de mouvement et les collisions
SOLUTION
Illustrer la situation
(ii)
La figure 10.17 montre le schéma de la situation,
avec l’instant initial i, et l’instant f où l’objet 1 est
observé.
La deuxième clé est que la position du centre de
masse correspond à la position du projectile si ce
dernier n’avait pas explosé. Selon les équations
relatives au projectile (voir la stratégie 4.1 de la
page 101),
(iii)
(iv)
FIGURE 10.17
Le schéma de la situation pour l’exemple 10.5
Résoudre le problème
Décortiquer le problème
La seule force extérieure au système appliquée est la
force gravitationnelle. Ceci implique que le centre de
masse a un mouvement parabolique.
Nous calculons d’abord la position du centre de
masse :
Ensuite, nous calculons les composantes de la position à l’aide des équations (i) et (ii) :
La position du deuxième fragment est donc
Identifier les clés
La première clé est l’équation 10.13. Celle-ci nous
donne la position du centre de masse du système,
que nous écrivons pour chaque composante :
(réponse)
Valider la réponse
(i)
EXEMPLE 10.6
Le centre de masse se situe bien entre les deux
fragments.
Avancer sur des roulettes
Une personne de 55,0 kg se trouve sur un chariot, à son extrémité gauche. Le chariot
a une longueur de 1,50 m, une masse de 20,0 kg et son centre de masse est situé
au centre du chariot. Il est muni de roues, ce qui limite la force de frottement
exercée par le sol. La personne se déplace jusqu’à l’autre extrémité du chariot.
Quelle est la distance parcourue par le chariot par rapport au sol ?
10.4 — La conservation de la quantité de mouvement
311
SOLUTION
Illustrer la situation
Nous présentons le schéma de la situation initiale
et de la situation finale à la figure 10.18. Le chariot a
une masse m1, et la personne a une masse m2.
Identifier la clé
La clé est qu’étant donné que le sol n’effectue aucune
force horizontale, la position horizontale du centre
de masse ne change pas :
(i)
Résoudre le problème
Nous pouvons calculer la position du centre de
masse initiale à l’aide de l’équation 10.10 :
(ii)
De même, la position finale du centre de masse est
(iii)
FIGURE 10.18
Le schéma de la situation pour l’exemple 10.6
Selon l’équation (i), nous obtenons la relation :
Décortiquer le problème
Nous choisissons comme système le chariot avec la
personne. Nous plaçons l’origine du système de
coordonnées à la position initiale de la personne.
Lorsque celle-ci avance d’une distance de 1,50 m par
rapport au chariot, celui-ci recule d’une distance d.
Par rapport au sol, la position finale de la personne
est xf = 1,50 m − d.
10.4
(réponse)
Valider la réponse
La personne avance de 1,50 m − 1,10 m = 0,40 m
par rapport au sol. Le centre de masse se retrouve de
nouveau entre la personne et le centre de masse du
chariot, plus près de la personne puisque celle-ci a
une masse plus élevée.
La conservation de la quantité
de mouvement
Lorsqu’une fusée de feu d’artifice explose, chaque débris subit des forces
d’interaction très intenses, exercées par les autres débris, et la force gravitationnelle. Si on analyse le système constitué de la fusée qui explose en
débris, la seule force extérieure est la force gravitationnelle. Durant l’explosion, cette force est beaucoup plus faible que les forces d’interaction, de
312
CHAPITRE 10 — La quantité de mouvement et les collisions
telle sorte qu’on peut la négliger. Selon la deuxième loi de Newton (l’équation 10.23), on obtient
Ceci implique que la quantité de mouvement du système (la somme vectorielle
des quantités de mouvement de chaque élément du système) ne change pas. Elle
est conservée :
Principe de conservation de
la quantité de mouvement
(10.24)
C’est le principe de conservation de la quantité de mouvement, qui est valide
pour tout système fermé soumis à une force extérieure nulle.
La quantité de mouvement d’un système isolé (qui n’est soumis à aucune
force extérieure) ne change pas.
Défi animé 10.1
La quantité de mouvement d’un
système est-elle toujours conservée
lorsque des impacts se produisent :
entre des disques sur une table à
coussin d’air ; entre les disques et
les contours de la table ?
On peut aussi appliquer ce principe dans le cas de systèmes soumis à des forces
extérieures si celles-ci sont beaucoup plus petites que les forces internes. C’est
le cas pour la fusée de feu d’artifice : la force gravitationnelle est négligeable
par rapport aux forces internes durant l’explosion. On peut donc dire que la
quantité de mouvement est conservée entre le début et la fin de l’explosion.
L’équation 10.24 est une équation vectorielle qui indique que chacune des composantes de la quantité de mouvement est conservée, de façon indépendante
des autres composantes.
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 10.3
Une explosion se produit dans un tuyau horizontal. Trois débris sont éjectés
par les extrémités du tuyau. Un premier débris sort par l’extrémité gauche
du tuyau avec une vitesse dont le module est v0. Un deuxième débris, ayant
une masse deux fois plus élevée, sort par l’extrémité droite avec une vitesse
dont le module est v0/3. De quel côté sort le troisième débris ?
La stratégie suivante explique la méthode à utiliser pour résoudre les problèmes
faisant appel à la conservation de la quantité de mouvement.
STRATÉGIE 10.1
La conservation de la quantité de mouvement
Illustrer la situation
Dessinez un schéma illustrant la situation initiale et la situation finale.
Ajoutez un système de coordonnées cartésiennes.
Décortiquer le problème
Identifiez bien le système et vérifiez qu’il est bien isolé, c’est-à-dire que les
forces externes sont nulles ou négligeables. Décomposez les vitesses selon
les composantes cartésiennes. Indiquez les quantités connues et inconnues.
Identifier la clé
La clé est le principe de conservation de la quantité de mouvement :
qui correspond à trois équations scalaires :
10.4 — La conservation de la quantité de mouvement
313
Résoudre le problème
Résolvez l’équation ou le système d’équations pour obtenir les quantités
inconnues.
Valider la réponse
Vérifiez que vous répondez bien à la question et qu’elle a du sens.
EXEMPLE 10.7
La radioactivité naturelle
Le radon est un gaz radioactif qui est présent dans la nature. Un de ses isotopes
se désintègre en polonium en émettant un noyau d’hélium (qu’on appelle aussi
une particule alpha) de la façon suivante :
Un noyau de radon est initialement immobile. En se désintégrant en polonium,
il émet un noyau d’hélium avec une vitesse de 1,63 × 107 m/s vers la droite.
Les masses des particules sont les suivantes : mRn = 222,02 u, mPo = 218,01 u
et mHe = 4,002 6 u.
a. Calculez la vitesse du noyau de polonium.
b. Quelle est l’énergie libérée par la désintégration ?
SOLUTION
Illustrer la situation
SOLUTION a.
Identifier la clé
La figure 10.19 illustre la situation. Le noyau d’hélium (m1) se déplace vers la droite, ce qui implique
que le noyau de polonium (m2) doit se déplacer vers
la gauche.
La clé est le principe de conservation de la quantité
de mouvement. Dans ce problème, c’est la composante x qui est intéressante :
Décortiquer le problème
Le système est le noyau de radon, qui devient un noyau
d’hélium et un noyau de polonium. Dans l’énoncé,
les masses sont exprimées en unités de masse atomique ; selon l’annexe B, 1 u = 1,660 5 × 10−27 kg.
(i)
Résoudre le problème
Nous isolons v2x après avoir inséré Vx = 0,00 m/s :
La vitesse du noyau de polonium est alors
(réponse)
FIGURE 10.19
Le schéma de la situation de l’exemple 10.7
314
CHAPITRE 10 — La quantité de mouvement et les collisions
Valider la réponse
Le noyau de polonium se déplace bien vers la gauche.
Remarquez que nous n’avons pas eu besoin d’exprimer les masses en kilogrammes, car la vitesse est
proportionnelle au rapport des masses.
Résoudre le problème
En remplaçant les valeurs, nous obtenons
SOLUTION b.
Décortiquer le problème
L’énergie libérée correspond à la variation d’énergie cinétique, c’est-à-dire l’énergie cinétique du système dans la situation finale, le système n’ayant pas
d’énergie cinétique dans la situation initiale. Cette
fois-ci, il faut exprimer les masses en kilogrammes
pour calculer l’énergie en joules :
Identifier la clé
Valider la réponse
Vous avez peut-être remarqué que la masse du noyau
de radon est légèrement plus grande que la somme
des masses de l’hélium et du polonium. Ceci est
une conséquence de la célèbre relation d’Einstein
E 0 = mc 2, qui relie la masse à une forme d’énergie,
appelée l’énergie au repos. Dans le cas présent, il
y a transformation d’énergie au repos en énergie
cinétique. L’énergie au repos sera étudiée en détail
dans le tome 3.
La clé est la définition de l’énergie cinétique, donnée
par l’équation 8.1 de la page 235 :
10.5
Les collisions
À la section 10.1, nous avons étudié l’impulsion exercée sur un objet lors de collisions ; la quantité de mouvement de l’objet change en fonction de l’impulsion
appliquée. À présent, nous allons étudier les collisions en fonction du système
des particules en interaction. Pour commencer, nous définissons une collision
comme une interaction de courte durée entre deux objets faisant intervenir une
force d’interaction très intense. On rencontre des collisions à toutes les échelles. Au
niveau macroscopique, des collisions se produisent entre les billes de billard ; certains accidents entre voitures sont aussi provoqués par des collisions. À très petite
échelle : dans les collisionneurs de particules comme le LHC en Suisse, les physiciens étudient les débris formés par la collision de protons à très haute énergie.
La figure 10.20 illustre deux billes de billard qui s’entrechoquent. Lors du choc,
les deux billes exercent l’une sur l’autre une force d’interaction très importante,
de telle sorte que les autres forces sont négligeables. Le système constitué des
deux billes est un système isolé, sans force extérieure ; la quantité de mouvement
du système est conservée. Elle est la même avant la collision et après celle-ci :
(10.25)
L’équation 10.25 est une équation générale qui ne dépend pas de la force d’interaction entre les particules. On l’utilise pour établir un lien entre les mesures
avant la collision et après celle-ci. Par exemple, des policiers enquêteurs peuvent
calculer la vitesse des voitures avant une collision s’ils connaissent la masse et
la vitesse de chacune après la collision.
10.5 — Les collisions
avant
pendant
après
FIGURE 10.20
Une collision entre deux billes de billard. Le point orange représente le centre de masse.
La figure 10.20 montre aussi le mouvement du centre de masse du système.
Comme le système est isolé, la vitesse du centre de masse est constante. Ceci est
valable pour toutes les collisions :
Dans une collision, le centre de masse du système se déplace à
vitesse constante.
Les types de collisions
On classifie les collisions selon la variation d’énergie cinétique du système, en
fonction des critères suivants.
• Les collisions élastiques sont les collisions pour lesquelles l’énergie
cinétique du système ne change pas durant la collision. L’énergie ciné tique du système après la collision est égale à l’énergie cinétique avant
cette collision :
(collisions élastiques) .
(10.26)
Au niveau macroscopique, une collision ne peut être élastique lorsque deux
objets entrent en contact, car le choc convertit une partie de l’énergie cinétique en énergie thermique et en énergie sonore. Il faut qu’intervienne une
force d’interaction à distance, comme la force magnétique entre deux aimants,
pour obtenir une collision élastique.
• Dans le cas des collisions inélastiques, l’énergie cinétique finale du système
est plus faible que l’énergie cinétique initiale :
(collisions inélastiques) .
Une partie de l’énergie cinétique est transformée en une autre forme. La
collision entre deux billes de billard est inélastique : une partie de l’énergie cinétique se transforme en énergie thermique (les points de contact se
réchauffent) et en énergie sonore (on entend un son). Il arrive parfois que la
conversion d’énergie cinétique soit très faible ; dans ce cas, on a une collision
approximativement élastique.
Dans certaines collisions, les deux objets restent liés ensemble après la
collision. Les deux objets n’en forment plus qu’un, qui est équivalent au
centre de masse du système. On parle alors de collisions parfaitement
inélastiques. Dans ces collisions, un maximum d’énergie cinétique est
Défi animé 10.2
Le type de collision influence-t-il
le mouvement du centre de masse
après l’impact ?
315
316
CHAPITRE 10 — La quantité de mouvement et les collisions
convertie en d’autres formes, tout en gardant le centre de masse en mouvement uniforme.
• Lorsqu’une collision explosive se produit, l’énergie cinétique du système
après la collision est plus grande que l’énergie cinétique avant la collision.
Il y a une forme d’énergie qui s’est transformée en énergie cinétique lors de
la collision :
(collisions explosives) .
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 10.4
Deux chariots entrent en collision sur un rail à air horizontal. Le tableau
suivant présente des situations différentes. Indiquez les informations
manquantes.
p 1i,x
p2i,x
p 1f,x
p2f,x
a.
b.
c.
d.
EXEMPLE 10.8
Le curling
Durant une partie de curling, une pierre, qui a une masse de 18,0 kg et qui se déplace
à une vitesse de 2,50 m/s, entre en collision avec une autre pierre initialement immobile,
dont la masse est de 20,0 kg. Après la collision, la première pierre se déplace à une vitesse
de 1,00 m/s, formant un angle de 35,0° par rapport à l’orientation initiale.
a. Quelle est la vitesse de la deuxième pierre après la collision ? Exprimez
le résultat en fonction du module et de l’orientation.
b. De quel type est cette collision ?
SOLUTION
Illustrer la situation
SOLUTION a.
Identifier la clé
La figure 10.21, à la page suivante, illustre la situation. Nous avons placé l’axe des x parallèlement à la
vitesse initiale de la première pierre.
La clé est le principe de conservation de la quantité
de mouvement, donné par l’équation 10.24, car le
système ne subit pas de force résultante extérieure
durant la collision. Cette équation vectorielle est
équivalente à deux équations :
Décortiquer le problème
Le système est constitué des deux pierres.
(i)
(ii)
où nous avons inséré les valeurs nulles. Il est plus
facile de trouver les composantes cartésiennes de
avant son module et son orientation.
10.6 — Les collisions parfaitement inélastiques
initial
317
final
FIGURE 10.21
Le schéma de la situation pour l’exemple 10.8
Résoudre le problème
Valider la réponse
Nous isolons les composantes v2f,x et v2f,y dans les
équations (i) et (ii) :
Le module a du sens ; l’orientation doit être sous l’axe
des x. La réponse obtenue est bien un vecteur.
SOLUTION b.
Identifier la clé
Pour déterminer le type de collision, la clé consiste à
calculer la variation de l’énergie cinétique :
(iii)
La collision est élastique si ΔK = 0, inélastique si
ΔK < 0 et explosive si ΔK > 0.
Résoudre le problème
Nous calculons ΔK :
Nous utilisons la méthode décrite dans le chapitre 2
pour obtenir le module et l’orientation du vecteur
(voir les équations 2.4 et 2.5 de la page 31) :
La collision est inélastique.
(réponse)
Valider la réponse
La vitesse finale de la seconde pierre est alors
(réponse)
10.6
Il est normal que la collision soit inélastique parce
que nous entendons un son lorsque les pierres se
frappent. Il y a aussi une partie de l’énergie qui est
transformée en énergie thermique.
Les collisions parfaitement
inélastiques
La collision parfaitement inélastique est une collision dans laquelle les deux
objets restent liés ensemble après la collision ; ils ne forment plus qu’un
seul objet. C’est le cas dans certains accidents de voiture où les deux véhicules
restent accrochés l’un à l’autre.
318
CHAPITRE 10 — La quantité de mouvement et les collisions
Dans le cas quelconque de la figure 10.22, deux objets ont des vitesses respectives
et
avant la collision. Après la collision, le système a une vitesse .
Le principe de conservation de la quantité de mouvement implique que
(10.27)
Cette équation permet de calculer la vitesse finale si on connaît la masse et la
vitesse initiale des objets. Après la collision, il ne reste qu’un seul objet dans le
système, équivalent au centre de masse ayant une masse M = m1 + m2.
FIGURE 10.22
Une collision parfaitement
inélastique
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 10.5
La figure suivante montre deux objets de masse identique qui se déplacent
vers la droite. L’objet 1 a une vitesse
et l’objet 2, une vitesse
La collision est parfaitement inélastique. Quelle est la vitesse
de l’ensemble après la collision ?
EXEMPLE 10.9
Le pendule balistique
Le pendule balistique a été inventé en 1742 par Benjamin Robins. C’est un dispositif
qui permet de mesurer le module de la vitesse d’un projectile d’arme à feu.
Une balle de 1,80 g est lancée et pénètre dans un bloc de bois de 0,500 kg, qui est suspendu
par deux cordes. La balle s’immobilise dans le bloc, et le système oscille. Après la collision,
le centre de masse atteint une hauteur de 3,20 cm par rapport à sa hauteur minimale.
Quel est le module de la vitesse de la balle tout juste avant la collision ?
SOLUTION
Illustrer la situation
Décortiquer le problème
Entre les instants a et b, nous choisissons comme système la balle et le bloc. L’interaction entre la balle et le
bloc est très intense et de très courte durée. Les autres
forces sont négligeables. Entre les instants b et c, nous
choisissons comme système la balle avec le bloc et la
Terre. L’énergie mécanique de ce système est conservée,
car la tension dans la corde n’effectue pas de travail.
La figure 10.23 illustre les trois instants importants :
(a) l’instant juste avant la collision ; (b) l’instant où
la balle est immobile par rapport au bloc, et l’ensemble se déplace à une vitesse
; (c) l’instant où
l’ensemble est momentanément immobile à une hauteur yc = 3,20 cm.
(a)
FIGURE 10.23
Le schéma de la situation pour l’exemple 10.9
(b)
(c)
10.7 — Les collisions élastiques frontales
319
Résoudre le problème
L’équation (ii) permet de calculer la vitesse du système balle-bloc juste après la collision :
Identifier les clés
La première clé est le principe de conservation de la
quantité de mouvement pour le système balle-bloc,
entre les instants a et b:
Avec ce résultat, nous obtenons la composante x
de la vitesse de la balle tout juste avant la collision
à l’aide de l’équation (i) :
(i)
La deuxième clé est la conservation de l’énergie
mécanique du système balle-bloc-Terre entre les instants b et c (selon l’équation 9.12 de la page 272) :
Le module de la vitesse de la balle avant la collision est
(réponse)
Valider la réponse
(ii)
10.7
Le résultat a du sens. La réponse obtenue est bien
un module.
Les collisions élastiques frontales
Nous avons vu à la section 10.5 qu’il est très rare de rencontrer des collisions
élastiques au niveau macroscopique, car les impacts entre les objets transforment une partie de l’énergie en énergie thermique. Cependant, lorsque les objets
sont très durs, comme des sphères d’acier, la diminution d’énergie cinétique
peut être très faible. On obtient alors une bonne approximation en considérant
la collision comme élastique. On trouve beaucoup plus souvent des collisions
élastiques au niveau des atomes et des électrons.
Dans une collision frontale, les objets suivent une ligne droite, avant et après la
collision. On trace l’axe des x afin que les vitesses soient parallèles à cet axe. Il
est alors suffisant de travailler uniquement avec les composantes x.
La cible immobile
La figure 10.24 montre une collision élastique frontale entre une balle ayant une
masse m1 et une vitesse initiale
(le projectile) et une balle de masse
m2 initialement immobile (la cible).
Le système, constitué du projectile et de la cible, est un système fermé et isolé ;
la quantité de mouvement du système est conservée. Cela implique pour les
composantes x des vitesses
(10.28)
De même, la collision est élastique, et l’énergie cinétique du système est
conservée :
(10.29)
FIGURE 10.24
Une collision frontale élastique entre
deux balles
320
CHAPITRE 10 — La quantité de mouvement et les collisions
Si on connaît la masse des deux balles et la vitesse initiale du projectile,
ces deux équations permettent de calculer la vitesse finale des deux balles, car
avec deux équations, on peut trouver deux inconnues.
On isole d’abord v1f,x dans l’équation 10.28 :
(10.30)
On remplace cette relation dans l’équation 10.29, après avoir simplifié les
facteurs 1/2 :
Cette équation est un peu lourde, mais les premiers termes de chaque membre
se simplifient, et l’équation se réduit à
(10.31)
FIGURE 10.25
L’équation 10.31 a deux solutions. La première solution est v2f,x = 0. C’est la
solution triviale : la cible demeure immobile si le projectile passe à côté sans
la frapper. La seconde solution est obtenue lorsque la partie entre crochets est
nulle. En isolant v2f,x, on obtient
Trois cas de collisions frontales
élastiques
On trouve finalement v1f,x en remplaçant v2f,x dans l’équation 10.30. La
solution finale est
Collisions élastiques
frontales (cible immobile)
(10.32)
Remarquez que la vitesse de la cible après la collision a toujours le même sens
que la vitesse initiale du projectile. Par contre, le sens de la vitesse du projectile après la collision dépend de la masse : si m1 < m2, la vitesse du projectile
change de sens après la collision alors que si m1 > m2, la vitesse du projec tile ne change pas de sens. Trois cas particuliers sont illustrés à la figure 10.25,
à l’aide de boules de pétanque.
• m1 = m2, une boule de pétanque frappe une deuxième boule. L’équation 10.32
donne
Il y a échange de vitesse entre la boule 1 et la boule 2.
• m1  m2 lorsqu’une boule frappe le cochonnet (la petite boule de bois). On
peut négliger la masse m2 par rapport à m1. On obtient
10.7 — Les collisions élastiques frontales
321
La collision change très peu la vitesse de la grosse boule, alors que la petite
boule acquiert une vitesse deux fois plus grande que celle de la grosse boule.
• m1  m2 lorsque le cochonnet frappe une boule. Cette fois-ci, c’est la masse m1
qu’on néglige dans l’équation 10.32 :
La petite boule rebondit sur la grosse boule, alors que cette dernière reste à
peu près immobile.
MISE EN GARDE
Les résultats obtenus sont valides uniquement pour des collisions élastiques frontales, lorsque la cible est immobile avant la collision.
La cible en mouvement
Dans le cas d’une collision élastique comme celle qui est présentée à la
figure 10.26, la cible est initialement en mouvement. Pour obtenir la vitesse des
objets après la collision, il faut refaire le développement mathématique décrit
dans la sous-section précédente. Il existe aussi une méthode plus simple mathématiquement, dans laquelle on utilise un changement de référentiel inertiel,
ainsi que la méthode des vitesses relatives qui a été appliquée à la section 4.6
de la page 116. Le principe permettant de calculer la vitesse des objets après la
collision est expliqué dans la technique suivante.
TECHNIQUE 10.1
Les collisions élastiques lorsqu’une cible
est en mouvement
1. Avant la collision, l’objet 1 se déplace vers l’objet 2. Les vitesses sont
données dans le référentiel S, qu’on appelle aussi le référentiel du
laboratoire. Le référentiel S′ est le référentiel qui se déplace à la même
vitesse que la cible (
).
2. Dans le référentiel S′, l’objet 2 est immobile, et la composante x de la
vitesse de l’objet 1 est
On dénote par v′ les composantes des vitesses par rapport au référentiel S′.
3. On calcule les composantes x des vitesses des objets après la colli-
sion à l’aide de l’équation 10.32. Ces vitesses sont exprimées dans
le référentiel S′.
FIGURE 10.26
Une collision élastique entre deux
objets en mouvement
322
CHAPITRE 10 — La quantité de mouvement et les collisions
4. On transforme ces vitesses pour retourner dans le référentiel du labora-
toire S. Comme
on fait la transformation inverse
de celle qui est effectuée à l’étape 2 :
MISE EN GARDE
La collision fait changer la vitesse de la particule 2, mais pas la vitesse
du référentiel S′ par rapport à S. Les référentiels utilisés sont des référentiels inertiels, c’est-à-dire qu’ils se déplacent à vitesse constante.
L’exemple suivant illustre cette technique.
EXEMPLE 10.10
Une collision sur un rail
Au laboratoire, on lance un chariot de 340 g à une vitesse de 3,0 m/s vers la droite
et un deuxième chariot de 250 g à une vitesse de 5,0 m/s vers la gauche. Les deux
chariots se déplacent l’un vers l’autre le long d’un rail à coussin d’air, pour que la force
de frottement soit négligeable. Les deux chariots sont munis d’aimants, de telle sorte
que la collision est élastique. Calculez la vitesse des deux chariots après la collision.
SOLUTION
Illustrer la situation
La figure 10.27 illustre les deux chariots avant la collision. Dans le référentiel du laboratoire (S), les deux
chariots se dirigent l’un vers l’autre. Dans le référentiel S′, le chariot 2 est immobile.
FIGURE 10.27
Le schéma de la situation avant la collision pour l’exemple 10.10
10.8 — Les collisions élastiques dans le plan
Décortiquer le problème
323
Résoudre le problème
La figure 10.28 illustre les chariots après la collision.
Pour obtenir les vitesses dans le référentiel S, on soustrait aux vitesses la vitesse
Le système est composé des deux chariots. La composante x de
est négative, car le chariot 2 se
déplace vers la gauche. Le référentiel S′ se déplace
donc vers la gauche
Dans
S′, nous avons
Les vitesses des chariots après la collision sont
(réponse)
(réponse)
(i)
Identifier la clé
La clé est que la collision est élastique et que dans S′,
le chariot 2 est immobile. Nous pouvons obtenir les
vitesses après la collision dans le référentiel S′ à l’aide
des équations 10.32 :
Valider la réponse
Nous pouvons vérifier que la quantité de mouvement
du système est conservée dans le référentiel S :
La collision ne change pas la quantité de mouvement
du système.
FIGURE 10.28
Le schéma de la situation après la collision pour l’exemple 10.10
10.8
Les collisions élastiques dans le plan
Dans la section précédente, nous avons analysé une collision élastique particulière, la collision frontale. Lorsque la collision n’est pas frontale, les vitesses
des deux objets sont dans un plan et non le long d’une ligne. Nous allons nous
limiter aux collisions dans lesquelles l’objet 2 (la cible) est immobile. Si l’objet 2
est en mouvement, on peut utiliser la technique 10.1 pour changer de référentiel
afin que l’objet 2 soit initialement immobile dans le nouveau référentiel.
La figure 10.29 (voir la page suivante) illustre la situation avant et après la collision
de deux objets. Les objets ont respectivement des masses m1 et m2. Pour simplifier
les équations, on a choisi le système de coordonnées cartésiennes en orientant
324
CHAPITRE 10 — La quantité de mouvement et les collisions
l’axe des x parallèlement à , la vitesse initiale de l’objet 1. De plus, après la collision, l’objet 1 se déplace à un angle θ1 par rapport à l’axe des x (0° ≤ θ1 ≤ 180°)
et l’objet 2, à un angle θ2 par rapport au même axe (0° ≤ θ2 ≤ 180°).
Pour le système constitué des deux objets, les forces extérieures sont négligeables
pendant la collision. La quantité de mouvement du système est donc conservée :
(10.33)
On peut écrire la dernière équation en fonction des composantes cartésiennes,
selon le système de coordonnées illustré à la figure 10.29 :
(10.34)
(10.35)
FIGURE 10.29
Une collision élastique non frontale
Dans le cas particulier où la collision est élastique, la conservation de l’énergie
cinétique du système implique une troisième équation :
(10.36)
Les principes de conservation nous donnent trois équations indépendantes, ce
qui permet de trouver trois inconnues. Contrairement aux collisions frontales,
il n’est pas possible de calculer la vitesse des objets
et
après la collision
uniquement à partir des masses et des vitesses initiales, car cela fait intervenir quatre inconnues (les composantes des vitesses). Il faut savoir comment se
frappent exactement les objets ou obtenir un paramètre de la situation après la
collision (la composante, le module ou l’orientation d’une des vitesses).
EXEMPLE 10.11
Vers la découverte du noyau
En 1909, Ernest Rutherford et ses étudiants, Hans Geiger et Ernest Marsden ont réalisé
une expérience dans laquelle des particules alpha (des noyaux d’hélium) bombardent
une feuille d’or. Ils observent que des noyaux d’hélium sont diffusés à différents angles,
y compris des angles approchant 180°. Cette expérience a mené Ernest Rutherford à poser
l’hypothèse que l’atome est composé d’un noyau compact et massif.
Soit une particule alpha déviée par un noyau d’or à un angle de 140° lors d’une collision
élastique. Le module de la vitesse de la particule alpha avant la collision est de 1,60 × 107 m/s.
La masse de la particule alpha est de 4,00 u et celle du noyau d’or, de 197 u.
a. Calculez la vitesse de la particule alpha après la collision.
b. Calculez la vitesse du noyau d’or après la collision.
SOLUTION
Illustrer la situation
La figure 10.30 de la page suivante illustre le schéma
de la situation.
Décortiquer le problème
Le système est constitué de la particule alpha et du
noyau d’or. Il n’est pas nécessaire d’exprimer les
masses en kg ; on peut les laisser en u.
10.8 — Les collisions élastiques dans le plan
325
FIGURE 10.30
Le schéma de la situation pour l’exemple 10.11
Identifier les clés
La première clé est le principe de conservation de la
quantité de mouvement, car lors de la collision, les
forces extérieures au système sont négligeables. Se ­
lon l’équation 10.33,
SOLUTION a.
Résoudre le problème
Nous commençons d’abord par décomposer l’équa­
tion (i) selon les composantes x et y :
(i)
La deuxième clé est que la collision est élastique.
L’énergie cinétique du système est conservée :
(ii)
(iii)
(iv)
Nous pouvons obtenir
en mettant au carré les équations (iii) et (iv), en les additionnant
et en utilisant l’identité trigonométrique cos2 θ + sin 2 θ = 1 :
(v)
Nous insérons ensuite l’équation (v) dans l’équation (ii), tout en enlevant les facteurs 1/2 :
(vi)
Nous regroupons ensuite les termes afin d’obtenir une équation quadratique pour v1f :
326
CHAPITRE 10 — La quantité de mouvement et les collisions
Il ne reste qu’à remplacer les valeurs et qu’à résoudre l’équation quadratique :
Comme v1f représente le module de la vitesse de la particule alpha, nous conservons uniquement
la valeur positive :
(réponse)
SOLUTION b.
Résoudre le problème
Nous trouvons
en remplaçant la valeur de
dans l’équation (i) :
(réponse)
Cette réponse est acceptable, car c’est une façon de représenter le vecteur. Nous pouvons
aussi calculer le module et l’orientation à l’aide des équations 2.2 et 2.3 de la page 31 :
(réponse)
Valider la réponse
Le module de la vitesse de la particule alpha a
diminué lors de la collision. La particule alpha se
déplace vers la partie positive de l’axe des y, alors
que le noyau d’or se déplace vers la partie négative. Le noyau d’or se déplace vers la partie positive
de l’axe des x, car il a été poussé par la particule
alpha lors de la collision.
Il faut trouver une expression pour
afin de pouvoir la remplacer dans l’équation (ii). Pour ce faire, il
faut « mettre au carré » l’équation (vii) en utilisant le
produit scalaire :
Autre solution possible : Pour résoudre le système
d’équations (i) et (ii), il est plus simple d’utiliser
l’équation vectorielle et le produit scalaire. Nous isolons d’abord la vitesse
dans l’équation (i) :
(viii)
(vii)
où le produit croisé du membre de droite donne
car l’angle entre la
vitesse
et la vitesse
est θ1. L’équation (viii)
est la même que l’équation (v) ; nous pouvons
reprendre la solution à cet endroit.
RÉSUMÉ
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
327
RÉSUMÉ
Dans ce chapitre, nous avons examiné la quantité de mouvement et le centre de masse
pour étudier les systèmes de particules et les collisions.
LES DÉFINITIONS
• La quantité de mouvement :
• Le centre de masse d’un système de n particules :
• L’impulsion d’une force :
(force constante)
(en général)
où M = m1 + · · · + mn : la masse totale du système.
LES LOIS ET LES PRINCIPES
LES RÉSULTATS
• Le théorème de l’impulsion:
• On obtient le mouvement de translation d’un système
en remplaçant le système par une masse ponctuelle de
masse M placée au centre de masse du système.
Cette équation est équivalente à la deuxième loi
de Newton :
La deuxième loi de Newton est appliquée seulement
avec les forces extérieures.
• Pour un système isolé,
LES APPLICATIONS
Une collision est une interaction de courte durée. Les
forces extérieures au système sont alors négligeables. Le
centre de masse du système se déplace en ligne droite.
Avant
Dans le cas d’une collision frontale, les objets suivent
une ligne droite. Lorsque la collision est élastique et que la
cible est initialement immobile :
Aprés
• Dans une collision élastique, K f = K i .
• Dans une collision inélastique, K f < K i .
• Dans une collision parfaitement inélastique, les
deux objets restent liés.
• Dans une collision explosive, K f > K i .
Si la cible est initialement en mouvement, on transforme la
collision dans le référentiel où elle est immobile.
328
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
Q questions qualitatives • E exercices simples • P problèmes • R problèmes récapitulatifs •
solution disponible
Section 10.1 L’impulsion et la quantité de mouvement
a. Quel est le module de sa vitesse tout juste après la collision ?
Q1 La figure 10.31 illustre les composantes horizontales
b. Quel est le module de l’impulsion exercée par le mur ?
de quatre forces variables exercées sur un objet entre t = 0 s
et t = 2 s.
a. Classez par ordre croissant les forces selon l’impulsion
qu’elles exercent sur l’objet.
b. Si les forces sont exercées simultanément sur l’objet,
quelle est la variation de la composante horizontale de
la quantité de mouvement de celui-ci ?
(i)
c. Quel est le module de la force moyenne exercée par le mur
si le ballon reste en contact avec le mur pendant 4,7 ms ?
E6 La figure 10.32 illustre la composante horizontale de la
force résultante exercée sur un ballon de 420 g en fonction
du temps. À t = 0, la vitesse du ballon est de
Calculez la vitesse du ballon à t = 5,0 ms si les autres
composantes de la force résultante sont nulles.
(ii)
FIGURE 10.32 • Exercice 6
(iii)
(iv)
FIGURE 10.31 • Question 1
Q2 Une bille de fer a une masse deux fois plus grande
qu’une bille d’aluminium.
a. Si les deux billes ont la même énergie cinétique, quel est le rapport entre les modules des quantités de mouvement des billes ?
b. Si les billes ont la même quantité de mouvement, quel est
le rapport entre les énergies cinétiques ?
E3 Au tennis, on frappe une balle de 57,4 g initialement
au repos. La balle atteint une vitesse de 23,0 m/s en 25 ms.
a. Quel est le module de la variation de la quantité de
mouvement ?
b. Quel est le module de l’impulsion de la raquette ?
c. Quel est le module de la force moyenne exercée par la ra quette sur la balle ?
E4 Une balle de 34,7 g rebondit verticalement sur le plan-
P7 Une joueuse de volleyball reçoit le ballon avec une vitesse
de 11,5 m/s à 47,6° sous l’horizontale. Elle le retourne en sens
opposé avec une vitesse de 9,43 m/s à un angle de 73,0° audessus de l’horizontale. Le ballon a une masse de 265 g et il
reste en contact avec la joueuse pendant 0,050 s.
a. Quelle est l’impulsion exercée sur le ballon ?
b. Quel est le module de la force moyenne exercée par la
joueuse ?
P8 Une femme pousse un chariot de 5,80 kg pour monter
un plan incliné à 5,0°. La force exercée par la femme est exercée
à un angle de 20,0° par rapport au plan incliné, et le chariot
est muni de roulettes qui rendent le frottement négligeable.
Quel est le module de la force exercée par la femme si le
chariot, initialement immobile, atteint 0,90 m/s en 0,70 s ?
P9 Un chariot de 600 g glisse vers le bas d’un plan incliné
à 15,0°. Le coefficient de frottement cinétique est de 0,200.
Calculez le temps nécessaire pour que le module de la vitesse passe de 1,00 m/s à 2,50 m/s.
cher. Le module de sa vitesse est de 15,0 m/s juste avant
le contact avec le sol, et il est de 11,0 m/s juste après. La
balle reste en contact avec le sol pendant 5,3 ms. Quelle est
l’impulsion exercée par le plancher sur la balle ?
P10 La force exercée sur un ballon est donnée par
E5 Un ballon de 320 g est lancé sur un mur. Juste avant de
a. Quelle est l’impulsion de la force ?
frapper le mur, le module de sa vitesse est de 14,0 m/s. Le
ballon rebondit, ce qui inverse sa vitesse. Il perd 55,0 % de
son énergie cinétique lors de la collision.
avec Fx = 4,00 × 106 t − 1,00 × 109t 2. La force est exercée
pendant 4,00 ms, la masse du ballon est de 430 g et celui-ci
est immobile à t = 0.
b. Quelle est la force moyenne exercée sur le ballon ?
c. Quel est le module de la vitesse finale du ballon ?
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
329
R11 On laisse tomber une balle d’une hauteur de 1,200 m
E16 Des plaques carrées identiques de céramique pour
du sol. La balle rebondit et remonte jusqu’à une hauteur de
90,0 cm. La masse de la balle est de 75,6 g, et celle-ci reste
en contact avec le sol pendant 7,3 ms.
plancher sont placées comme le montre la figure 10.35. Les
plaques sont homogènes, ont des côtés de 30,0 cm et une
épaisseur uniforme. Donnez la position du centre de masse
par rapport au système de coordonnées illustré.
a. Quelle est la vitesse de la balle tout juste avant le contact
avec le sol ?
b. Quelle est la vitesse de la balle tout juste après le contact
avec le sol ?
c. Calculez la force moyenne exercée par le sol sur la balle.
d. Calculez la variation relative d’énergie mécanique produite par le contact.
Section 10.2 Le centre de masse
E12 Calculez la distance entre le centre de masse du sys-
tème Terre-Lune et le centre de la Terre. Exprimez votre
réponse en fonction du rayon de la Terre. (Vous trouverez
les données nécessaires à l’annexe D.)
E13 Calculez la position du centre de masse du système
illustré à la figure 10.33 si m1 = 1,1 kg, m2 = 2,3 kg et
m3 = 0,850 kg.
FIGURE 10.35 • Exercice 16
P17 Une plaque homogène a une longueur de 80,0 cm, une
largeur de 45,0 cm et une épaisseur uniforme. On découpe
deux morceaux carrés, de 15,0 cm de côté, comme il est
illustré à la figure 10.36. Calculez la position du centre de
masse par rapport au centre de la plaque.
FIGURE 10.36 • Problème 17
FIGURE 10.33 • Exercice 13
P18 Une pièce mécanique est fabriquée en assemblant
masse de ce système est situé à l’origine, et sa masse est
de 1,6 kg. La première particule a une masse de 0,60 kg,
et sa position est
la particule 2 a une masse de 0,50 kg, et sa position est
Quelle est la position de la troisième
particule ?
une plaque d’aluminium (largeur de 18,0 cm, profondeur
de 25,0 cm et épaisseur de 5,00 cm) et un cylindre de laiton (rayon de 3,00 cm et longueur de 25,0 cm). Comme
le montre la figure 10.37, le cylindre est placé vis-à-vis d’un
coin de la plaque. La masse volumique de l’aluminium est
de 2,70 g/cm3 et celle du laiton, de 8,80 g/cm3. Trouvez la
position du centre de masse :
E15 On forme un E à l’aide de quatre tiges minces et homo-
a. de la plaque ;
gènes (voir la figure 10.34). Les trois tiges horizontales ont
une masse m et une longueur /2, alors que la tige verticale
a une masse 2m et une longueur . À quel endroit est le
centre de masse du E ?
b. du cylindre ;
FIGURE 10.34 • Exercice 15
FIGURE 10.37 • Problème 18
E14 Trois particules constituent un système. Le centre de
c. de la pièce complète.
330
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
P19 Trouvez la position du centre de masse de la plaque
triangulaire illustrée à la figure 10.38.
d. Par rapport au sol, quel est le déplacement du chariot ?
e. Par rapport au sol, quel est le déplacement de la femme ?
E22 Une particule de 1,5 kg a une vitesse
Une deuxième particule a une masse de 2,8 kg
et une vitesse
a. Quelle est la vitesse du centre de masse du système ?
b. Quelle est la quantité de mouvement du système ?
R23 Un système est constitué de deux disques glissant
FIGURE 10.38 • Problème 19
Section 10.3 Le mouvement du centre de masse
Q20 La figure 10.39 montre une vue en plongée de quatre
particules formant un système ainsi que les forces appliquées
sur chacune. Déterminez la force si le centre de masse :
a. est immobile ;
b. se déplace vers la droite à vitesse constante ;
c. accélère vers la gauche.
sur une surface horizontale sans frottement. Le premier
disque a une masse de 600 g et le deuxième, une masse
de 470 g. À t = 0, le premier disque est à l’origine et sa
vitesse est
alors que la position
du deuxième disque est
et sa vitesse
est
Le premier disque subit une
force constante
et le deuxième, une force
constante
a. Calculez l’accélération du centre de masse.
b. Quelle est la position du centre de masse à t = 0 ?
c. Quelle est la position du centre de masse à t = 1,5 s ?
E24 Deux patineurs se tiennent aux extrémités d’une tige
de bois de 3,00 m de long et de masse négligeable. Le patineur de gauche a une masse de 60,0 kg, et le patineur de
droite a une masse de 95,0 kg. Les deux patineurs tirent sur
la tige jusqu’à ce qu’ils se rencontrent. Quelle distance le
patineur de 95,0 kg parcourt-il ?
FIGURE 10.39 • Question 20
Q21 Une femme se trouve à l’extrémité d’un chariot de
longueur L, muni de roulettes pour que le frottement soit
négligeable (voir la figure 10.40). La masse du chariot
est égale à la masse de la femme. Le centre de masse
du chariot se trouve au centre de celui-ci.
a. Par rapport au centre du chariot, quelle est la position horizontale du centre de masse du système femme-chariot ?
La femme avance lentement vers la droite, jusqu’à l’extrémité
du chariot. Elle s’immobilise une fois rendue à l’extrémité.
b. Par rapport au sol, quel est le déplacement du centre de masse ?
P25 Sébastien et Hélène sont dans un canot sur un
lac en eau calme. Ils sont séparés d’une distance de
4,00 m, à égale distance du centre de masse du canot.
La masse de Sébastien est de 78,0 kg et celle d’Hélène,
de 52,0 kg. Ils décident d’échanger leurs places. Durant
l’échange, le bateau se déplace de 67,8 cm. Calculez la
masse du canot.
P26 Un pêcheur se trouve dans une chaloupe, sur un
lac en eau calme. L’homme a une masse de 70,0 kg, et la
chaloupe a une masse de 14,5 kg. Le pêcheur décide de se
déplacer lentement d’une distance de 1,50 m par rapport
au bateau, vers l’avant de celui-ci. Calculez le déplacement
de la chaloupe par rapport à la surface de l’eau.
c. Par rapport au centre du chariot, à quel endroit est le
centre de masse du système femme-chariot ?
R27 À partir d’une hauteur de 10,00 m du sol, un obus
FIGURE 10.40 • Question 21
a. Quelle est la vitesse de l’obus tout juste avant l’explosion ?
est lancé avec une vitesse
de 40,0 m/s, formant un
angle de 30,0° par rapport à l’horizontale. L’obus explose
en deux morceaux lorsqu’il se trouve au sommet de sa
trajectoire (voir la figure 10.41). Le premier fragment a
une vitesse nulle tout de suite après l’explosion ; il tombe
alors en chute libre verticale. Le deuxième fragment a une
masse deux fois plus élevée que le premier, et il continue
sa course le long d’une trajectoire parabolique. Les deux
fragments touchent le sol en même temps. On néglige la
résistance de l’air.
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
b. À quelle distance horizontale du canon se trouve le centre
de masse du système constitué des deux fragments lorsque
ceux-ci frappent le sol ?
c. À quelle distance horizontale du canon le premier fragment atterrit-il ?
d. À quelle distance horizontale du canon le deuxième fragment atterrit-il ?
Section 10.4 La conservation de la quantité de mouvement
Q30 Sur un rail à air, on relie deux chariots par un res-
sort comprimé. On lance l’ensemble pour que celui-ci ait
une quantité de mouvement
(voir la figure 10.43a).
Après 1,0 s, un mécanisme débloque le ressort (voir la
figure 10.43b). Le tableau suivant donne les mesures (en
kg · m/s) de quatre essais faits à des vitesses initiales différentes. Remplissez le tableau qui suit.
Px
p 1x
a.
4
−2
b.
−2
d.
p2x
3
c.
FIGURE 10.41• Problème récapitulatif 27
331
−7
0
3
3
R28 Un poids de masse m2 est attaché à un bloc de
masse m1 à l’aide d’une corde idéale qui passe par une
poulie, comme le montre la figure 10.42. Le bloc peut glisser sans frottement sur la surface horizontale ; la masse
de la corde et la masse de la poulie sont négligeables.
De plus, la poulie peut tourner sans frottement. À t = 0,
on laisse aller le système à partir du repos.
a. Quelle est l’accélération du bloc ?
b. Quelle est l’accélération du poids ?
(a)
c. Quelle est l’accélération du centre de masse du système
constitué du bloc et du poids ?
d. À un temps t, quelle est la quantité de mouvement du système constitué du bloc et du poids ?
(b)
FIGURE 10.43 • Question 30
FIGURE 10.42 • Problèmes récapitulatifs 28 et 29
R29 Un poids de 400 g est attaché à un bloc de 700 g à l’aide
d’une corde idéale qui passe par une poulie, comme le montre
la figure 10.42. Le bloc peut glisser sans frottement sur la surface horizontale ; la masse de la corde et la masse de la poulie
sont négligeables. De plus, la poulie peut tourner sans frottement. À t = 0, on laisse aller le système initialement au repos.
a. Quelle est l’accélération du bloc ?
b. Quelle est l’accélération du poids ?
c. Quelle est l’accélération du centre de masse du système
constitué du bloc et du poids ?
d. À un temps t = 1,20 s, quelle est la quantité de mouvement
du système constitué du bloc et du poids ?
E31 Un canon de 2 500 kg, muni de roues, est sur une sur-
face horizontale. Il lance un boulet de 21,0 kg horizontalement. Après le tir, le canon a une vitesse de recul dont le
module est de 1,30 m/s. Quel est le module de la vitesse
du boulet ?
E32 Un homme de 80,0 kg tient une balle de 125 g. Il
glisse à une vitesse constante de 7,50 m/s vers la droite sur
une patinoire. Il lance la balle vers la droite à une vitesse de
22,0 m/s, mesurée par rapport à la patinoire. Quelle est la
vitesse de l’homme après le lancer ?
E33 Un wagon ouvert de 8 000 kg se déplace à une vitesse
de 1,5 m/s vers le sud. On y laisse tomber un chargement
de 2 000 kg de terre. Calculez la vitesse du wagon tout de
suite après que le chargement est terminé.
332
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
P34 Une fusée, composée de deux étages, se déplace à une
vitesse de 9,30 km/s dans l’espace. L’étage 1 a une masse
de 120 kg et l’étage 2, une masse de 400 kg. Un dispositif
sépare les deux étages, en leur donnant une vitesse relative
de 0,700 km/s. L’étage 1 est alors lancé vers l’avant. Supposez que tout le mouvement est rectiligne.
a. Quel est le module de la vitesse de l’étage 1 après la séparation ?
b. Quel est le module de la vitesse de l’étage 2 après la séparation ?
c. Quelle est l’énergie libérée par le mécanisme de séparation ?
P35 Le
14
C est un isotope radioactif du carbone utilisé
pour dater des objets composés de matière organique. Cet
isotope se désintègre en azote en émettant un électron et
une particule subatomique appelée neutrino ( ) :
Ce type de désintégration est appelée désintégration β−.
Dans une certaine désintégration où l’atome de carbone
est initialement immobile, l’électron et le neutrino sont
émis à angle droit. Le module de la quantité de mouve ment de l’électron est de 1,23 × 10−22 kg · m/s, et le mo dule de la quantité de mouvement du neutrino est de 5,69
× 10−23 kg · m/s. Calculez le module de la vitesse du noyau
d’azote si sa masse est de 14,00 u.
P36 Un bloc de 2,000 kg, initialement immobile, se
brise en trois après une explosion, comme le montre la figure 10.44. Le premier fragment de 0,700 kg a une vitesse
dont le module est de 16,0 m/s, et le deuxième fragment a
une masse de 0,500 kg et une vitesse dont le module est
de 14,0 m/s. Calculez la vitesse du troisième fragment.
b. Quelle est la vitesse du centre de masse des deux morceaux après l’explosion ? Exprimez votre réponse en fonction du module et de l’orientation.
c. Quelle est l’énergie libérée dans l’explosion ?
Section 10.5 Les collisions
Q38 La figure 10.45 illustre quatre trajectoires de deux
particules qui entrent en collision, ainsi que leur centre de
masse. Indiquez quelles sont les situations physiquement
impossibles.
(i)
(iii)
(ii)
(iv)
FIGURE 10.45 • Question 38
E39 À l’occasion d’un essai balistique, une balle de fusil
de 20 g est tirée horizontalement à 600 m/s sur un bloc de
bois de 2,40 kg qui est immobile sur une surface horizontale sans frottement. La balle traverse le bloc et en sort à
350 m/s. Calculez le module de la vitesse du bloc après que
la balle l’a traversé.
E40 Un chariot de 500 g se déplace à 5,6 m/s vers la droite
le long d’un rail horizontal sans frottement. Un deuxième
chariot de 200 g se déplace à 3,5 m/s vers la gauche. Ils
entrent en collision. Après la collision, le premier chariot se
déplace à une vitesse de 0,40 m/s vers la droite.
a. Quelle est la vitesse du deuxième chariot après la
collision ?
FIGURE 10.44 • Problème 36
P37 Un disque de 1,80 kg se déplace sur une surface sans
b. Quelle est la variation d’énergie cinétique du système
constitué des deux chariots ?
c. De quel type de collision s’agit-il ?
frottement. Une explosion le brise en deux morceaux.
Le premier morceau se déplace à 20,0° à l’ouest du sud à
25,0 m/s, alors que le deuxième se déplace à 31,0° au sud
de l’est à 18,0 m/s. Le premier morceau a une masse deux
fois plus petite que celle du deuxième.
E41 Une voiture de 1 500 kg, roulant à 80,0 km/h, entre
a. Calculez la vitesse du disque avant l’explosion. Exprimez
votre réponse en fonction du module et de l’orientation.
a. Quel est le module de la vitesse du camion tout juste après
la collision ?
en collision avec l’arrière d’un camion de 4 000 kg se déplaçant dans le même sens à 50,0 km/h. Tout de suite après
la collision, l’automobile se déplace à 55,0 km/h, dans le
même sens que le sens initial.
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
b. Quelle est la variation d’énergie cinétique du système
formé par les deux véhicules ?
P42 Un disque de 630 g se déplace à une vitesse
333
bloc 2, de 8 kg · m/s. La collision est parfaitement inélastique. Dans quel sens le système va-t-il se déplacer
après la collision ?
Un deuxième disque, ayant une
masse de 850 g, a une vitesse
Les deux disques entrent en collision. Après la collision, la
vitesse du premier disque est
a. Quelle est la vitesse du deuxième disque après la collision ?
b. Quelle est la variation d’énergie cinétique du système
formé des deux disques ?
FIGURE 10.46 • Question 46
c. De quel type de collision s’agit-il ?
E47 Un chariot de 0,400 kg se déplace avec une vitesse
P43 Une particule alpha est lancée à 1,20 × 105 m/s vers
un noyau de carbone initialement immobile. La masse de
la particule alpha est de 4,00 u et celle du noyau de carbone, de 12,00 u. La particule alpha est déviée à un angle de
60,0° par rapport à son orientation initiale, et le module de
sa vitesse après la collision est de 8,00 × 104 m/s. Quelle est
la vitesse du noyau de carbone après la collision ? Exprimez
votre réponse en fonction du module et de l’orientation par
rapport à l’orientation initiale de la particule alpha.
R44 Une voiture de ma = 1 600 kg est immobile à un feu
rouge lorsqu’elle se fait frapper par derrière par une seconde
voiture de mb = 2 000 kg. Les deux conducteurs gardent les
freins enfoncés. Les deux voitures glissent en ligne droite et
laissent des traces sur la route. La voiture a laisse une trace
de 2,49 m, alors que la voiture b laisse une trace de 1,02 m.
Le coefficient de frottement cinétique entre les roues et la
route est de 0,800.
constante de 2,90 m/s vers la droite. On y laisse tomber
une balle de jongleur de 110 g. Celle-ci reste dans le chariot
sans rebondir. Calculez la vitesse du chariot transportant
la balle.
E48 Sur un rail horizontal sans frottement, deux chariots
sont lancés l’un vers l’autre, comme le montre la figure 10.47.
Le chariot 1 a une masse de 650 g et une vitesse initiale de
5,40 m/s vers la droite, alors que le chariot 2 a une masse
de 475 g et une vitesse initiale de 4,30 m/s vers la gauche.
La collision est parfaitement inélastique.
a. Calculez la vitesse du système composé des deux chariots
après la collision.
b. Quelle est la variation d’énergie cinétique des deux chariots causée par la collision ?
a. Calculez le module de la vitesse de la voiture a tout juste
après la collision.
b. Calculez le module de la vitesse de la voiture b tout juste
après la collision.
c. Quel est le module de la vitesse de la voiture b tout juste
avant la collision ?
Section 10.6 Les collisions parfaitement inélastiques
Q45 Un objet entre en collision parfaitement inélastique
avec un deuxième objet immobile. Après la collision, les
deux objets restent liés et se déplacent à une certaine vitesse. Une collision parfaitement inélastique est une collision où un maximum d’énergie cinétique est transformée
en une autre forme d’énergie. Pourquoi l’énergie cinétique
ne peut-elle être complètement transformée en une autre
forme, de telle sorte que les deux particules soient immobiles après la collision ?
Q46 Deux blocs se déplacent l’un vers l’autre sur
une surface horizontale sans frottement (voir la fi ­
gure 10.46). Avant la collision, le module de la quantité
de mouvement du bloc 1 est de 6 kg · m/s et celui du
FIGURE 10.47 • Exercice 48
E49 Une balle de fusil de 2,50 g est lancée horizontale -
ment dans un bloc de bois de 700 g, formant un pendule
balistique. Le module de la vitesse initiale de la balle est
de 650 m/s.
a. Quel est le module de la vitesse de la balle lorsque celle-ci
s’immobilise par rapport au bloc ?
b. Quelle est la variation de hauteur du centre de masse du
système constitué de la balle et du bloc ?
c. Quelle est la variation d’énergie mécanique du système
balle-bloc lors de la collision ?
P50 Une bille de 300 g est attachée à une corde de 60,0 cm,
dont l’autre extrémité est fixée. Un bloc de 550 g est lui
aussi attaché à une corde dont l’autre extrémité est fixe.
Comme le montre la figure 10.48 (voir la page suivante),
on déplace la bille jusqu’à ce que la corde forme un angle
de 50,0° par rapport à la verticale, et on la laisse aller. Au
point le plus bas, la bille frappe le bloc et y reste collée.
334
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
Après la collision, quel est l’angle maximal entre les cordes
et la verticale ?
a. Quelle est la vitesse des deux chariots lorsque la compression du ressort est maximale ?
b. Quelle est la compression maximale du ressort ?
FIGURE 10.50 • Problème 54
FIGURE 10.48 • Problème 50
P51 Au football, le quart-arrière court vers l’ouest à une vitesse
dont le module est de 6,00 m/s. Un joueur de l’équipe adverse,
courant à 2,50 m/s à 35,0° à l’est du nord, le rejoint et le
plaque en l’entourant. Le quart-arrière a une masse de 86,0 kg
et le joueur adverse, une masse de 114 kg. Calculez la vitesse
des deux joueurs tout de suite après le contact. Exprimez votre
réponse en fonction du module et de l’orientation.
Section 10.7 Les collisions élastiques frontales
Q55 Un bloc de masse m1 entre en collision élastique
frontale avec un deuxième bloc de masse m2 initialement
immobile. Le graphique de la figure 10.51 montre la position en fonction du temps du premier bloc dans quatre
situations différentes. Pour chacune des situations, donnez
la relation entre m1 et m2.
P52 Une balle de masse m se déplace verticalement vers
le haut avec une vitesse
lorsqu’elle frappe un bloc
de masse M, initialement immobile, comme le montre la
figure 10.49. La balle s’immobilise par rapport au bloc, et
le tout monte jusqu’à une hauteur h par rapport à la hauteur
initiale du bloc. Trouvez la hauteur h.
FIGURE 10.49 • Problèmes 52 et 53
P53 Une balle de 8,50 g se déplace verticalement vers le
haut avec une vitesse
lorsqu’elle frappe un
bloc de 1,30 kg, initialement immobile, comme le montre
la figure 10.49. La balle s’immobilise par rapport au bloc,
et le tout monte jusqu’à une hauteur h par rapport à la hauteur initiale du bloc. Calculez la hauteur h.
P54 Un chariot a de 600 g se déplace à une vitesse de
3,00 m/s vers la droite sur une surface horizontale. Un
deuxième chariot b de 490 g se déplace vers le premier chariot avec une vitesse de 2,50 m/s vers la gauche, comme le
montre la figure 10.50. Le second chariot est muni d’un ressort dont la constante de rappel est de 15,0 N/cm. Lors de
la collision, le ressort se comprime jusqu’à ce que les deux
chariots aient la même vitesse. Le frottement et la masse du
ressort sont négligeables.
a.
b.
c.
d.
FIGURE 10.51 • Question 55
E56 Une sphère de 300 g se déplace à 3,50 m/s vers
la gauche lorsqu’elle entre en collision élastique frontale
avec un bloc de 460 g initialement immobile. Calculez la
vitesse des deux objets après la collision.
E57 Dans un réacteur nucléaire, la fission de l’uranium
est induite par l’absorption de neutrons lents. Une fission produit des neutrons rapides qui doivent être ralentis
pour produire de nouvelles fissions. On obtient alors une
réaction en chaîne. Une méthode usuelle est de placer un
modérateur comme le carbone. Les neutrons perdent de
l’énergie cinétique par collisions élastiques avec les noyaux
de carbone. Supposons qu’un neutron ayant une énergie
cinétique de 1,60 × 10−14 J entre en collision élastique
frontale avec un noyau de carbone initialement immobile.
La masse du neutron est de 1,01 u et celle du noyau de
carbone, de 12,0 u.
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
335
a. Quel est le module de la vitesse du neutron avant la
collision ?
b. Quel est le module de la vitesse du neutron après la
collision ?
c. Calculez la variation relative d’énergie cinétique du neutron causée par la collision, c’est-à-dire ΔK/K i.
E58 Un chariot de 240 g se déplace vers la droite à 5,30 m/s
le long d’un rail horizontal. Il frappe un deuxième chariot,
initialement immobile. La collision est une collision élastique frontale. Après la collision, le premier chariot se
déplace à une vitesse de 3,78 m/s vers la gauche.
a. Quelle est la masse du deuxième chariot ?
b. Quelle est la vitesse du deuxième chariot après la
collision ?
P59 Un objet de masse m1 se déplace à une vitesse
Il entre en collision élastique frontale avec un deuxième
objet ayant une masse m2 et une vitesse
avant la
collision. Démontrez que les vitesses après la collision sont
respectivement :
FIGURE 10.52 • Problème 61
R62 Une démonstration populaire consiste à laisser
tomber sur un plancher dur un ballon de basketball et
une balle de tennis au-dessus du ballon et d’observer le
rebond. La masse du ballon de basketball est de 600 g et
celle de la balle de tennis, de 58,0 g. On place le ballon à
une hauteur de 1,000 m et la balle à quelques millimètres
au-dessus du ballon. On laisse aller le tout. Le ballon re bondit de façon élastique sur le plancher (sa vitesse a le
même module avant et après le rebond sur le plancher) ;
la balle de tennis entre alors en collision élastique avec le
ballon qui se déplace vers le haut (voir la figure 10.53).
Négligez le diamètre du ballon et celui de la balle ; faites
l’approximation que toutes les collisions sont élastiques
et négligez la résistance de l’air.
a. Quelle est la vitesse du ballon tout juste avant la collision
avec la balle ?
P60 Un bloc de 1,30 kg, se déplaçant vers la gauche
à 1,64 m/s, entre en collision élastique frontale avec un
deuxième bloc. Ce dernier a une masse de 1,90 kg ; il se
déplaçait vers la gauche à 1,10 m/s avant la collision. Les
blocs glissent sur une surface horizontale sans frottement.
a. Quelle est la vitesse du premier bloc après la collision ?
b. Quelle est la vitesse du second bloc après la collision ?
b. Quelle est la vitesse de la balle tout juste avant la collision
avec le ballon ?
c. Quelle est la vitesse du ballon tout juste après la collision
avec la balle ?
d. Quelle est la vitesse de la balle tout juste après la collision
avec le ballon ?
e. Quelle est la hauteur atteinte par la balle après la collision ?
c. Quelle est la vitesse du centre de masse du système constitué par les deux blocs après la collision ?
P61 La sonde Voyager 2 a profité d’une assistance gra-
vitationnelle lorsqu’elle a survolé certaines planètes
extérieures du système solaire. Lors de son passage
près de Saturne, elle a contourné la planète (voir
la figure 10.52), profitant de la force gravitationnelle
de celle-ci pour augmenter le module de sa vitesse par
rapport au Soleil. Par rapport au Soleil, la vitesse de la
sonde avait un module v Vi = 16 km/s avant le survol de
la planète, alors que le module de la vitesse de Saturne
est v S = 9,7 km/s. Calculez le module de la vitesse de
Voyager 2 après sa rencontre avec Saturne. (Indice :
Ce phénomène peut être modélisé comme une collision élastique ; la masse de la sonde est négligeable par rapport à la masse de Saturne.)
FIGURE 10.53 • Problème récapitulatif 62
R63 Une sphère de 400 g est attachée à une corde de
80,0 cm de long, avec l’autre extrémité fixe. On laisse tomber la bille lorsque la corde forme un angle de 56,0° par
rapport à la verticale. Au point le plus bas, la sphère entre
en collision élastique frontale avec un bloc de 250 g initialement immobile, comme le montre la figure 10.54 (voir la
page suivante). Après la collision, le bloc se déplace sur une
336
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
table horizontale sans frottement, avant de tomber sur le
plancher, à une distance R de la table.
a. Quel est le module de la vitesse de la sphère tout juste
après la collision ?
c. Quel est l’angle entre la vitesse de la deuxième
bille après la collision et l’orientation initiale de la
première bille ?
b. Quel est l’angle maximal entre la corde et la verticale,
après la collision ?
c. Quel est le module de la vitesse du bloc tout juste après la
collision ?
d. Calculez la distance R si la hauteur de la table est de
90,0 cm.
FIGURE 10.55 • Problèmes 64 et 65
P65 Un neutron frappe un noyau de carbone lors d’une
collision élastique, comme à la figure 10.55. La vitesse
du neutron avant la collision est de
Il est
dévié à un angle θ1 = 80,0° par rapport à son orientation
initiale. La masse du noyau de carbone est de 12,0 u et celle
du neutron, de 1,01 u.
a. Quelle est la vitesse du neutron après la collision ?
FIGURE 10.54 • Problème récapitulatif 63
Section 10.8 Les collisions élastiques dans le plan
P64 Une bille de billard se déplace à une vitesse
vers une deuxième bille de même masse (voir la figure 10.55).
La collision est élastique, et la première bille est déviée à un
angle θ1 = 63,0° par rapport à l’axe des x.
a. Quel est le module de la vitesse de la première bille après
la collision ?
b. Quel est le module de la vitesse de la deuxième bille après
la collision ?
b. Quelle est la vitesse du noyau de carbone après la
collision ?
c. Quelle est la variation d’énergie cinétique relative (ΔK/K i)
du neutron ?
P66 Une rondelle de hockey se déplace à une vitesse
lorsqu’elle frappe une deuxième rondelle ayant la même
masse dans une collision élastique non frontale. Démontrez que les vitesses des deux rondelles après la collision
sont perpendiculaires. (Indice : Utilisez la conservation de
la quantité de mouvement sous sa forme vectorielle et le
produit scalaire.)
SOLUTIONS AUX TESTS DE COMPRÉHENSION
337
SOLUTIONS AUX TESTS DE COMPRÉHENSION
10.1 a.
b.
10.2 a. À l’origine
b. Dans le deuxième quadrant
La variation de la quantité de mouvement est
La vitesse
initiale est vers le bas
et la vitesse finale est vers le haut
L’impulsion résultante est égale à la variation de la quantité de mouvement.
Le centre de masse d’un objet homogène et symétrique est au centre géométrique de celui-ci.
Le centre de masse est du côté où la masse est plus importante, c’est-à-dire
en haut de l’axe des x et à gauche de l’axe des y.
10.3 Par l’extrémité droite
La quantité de mouvement du système est conservée. Puisque la quantité est
nulle avant l’explosion, elle doit être nulle après. Ainsi, après l’explosion, on a
Pfx = −m 0 v0 + (2m 0)(v0/3) + m3v3x = 0 , où m 0 est la masse du premier débris.
Cette équation implique que v3x > 0, c’est-à-dire que le troisième débris se
déplace vers la droite.
10.4 a. 8 kg · m/s
La quantité de mouvement est conservée : p1i,x + p2i,x = p1f,x + p2f,x.
b. 1 kg · m/s
c. −6 kg · m/s
d. −7 kg · m/s
10.5
Dans une collision parfaitement inélastique, les deux objets n’en forment
qu’un seul après la collision. Selon le principe de conservation de la quantité
de mouvement :
car les masses des deux objets sont
identiques.
Chapitre
338
La cinématique et
l’énergie cinétique
de rotation
Buts du chapitre
Dans ce chapitre, on commence l’étude de la rotation par la cinématique et
l’énergie cinétique. Après l’étude de ce chapitre, vous serez en mesure :
• d’analyser le mouvement de rotation à l’aide du déplacement angulaire, de la
vitesse angulaire et de l’accélération angulaire ;
• de relier les variables angulaires aux variables linéaires ;
• d’analyser le mouvement du roulement ;
• de calculer l’énergie cinétique associée à la rotation et au roulement d’un objet.
Préalables
Ce chapitre porte sur la cinématique et l’énergie cinétique. Revoyez :
• les définitions de la cinématique linéaire et le mouvement uniformément
accéléré, étudiés aux sections 3.2 à 3.7 ;
• le mouvement circulaire uniforme et le mouvement circulaire non uniforme,
présentés aux sections 4.4 et 4.5 ;
• l’énergie cinétique, étudiée à la section 8.2 ;
• la conservation de l’énergie mécanique, analysée à la section 9.4.
339
Le roulement des roues est
une superposition d’une
translation et d’une rotation.
340
CHAPITRE 11 — La cinématique et l’énergie cinétique de rotation
Depuis le début de cet ouvrage, nous avons étudié le mouvement des objets
dont toutes les parties se déplacent en même temps. C’est le mouvement de
translation. Dans les deux prochains chapitres, nous étudierons la deuxième classe
de mouvement : le mouvement de rotation. Il y a de nombreux exemples de mouvement de rotation dans la vie de tous les jours. Un couvercle sur un bocal de
cornichons qu’on dévisse, le disque dur d’un ordinateur qui tourne ou les roues
utilisées dans la plupart des moyens de transport terrestre comme l’automobile ou
la bicyclette. De plus, les moteurs font intervenir des pièces rotatives. La rotation
se retrouve aussi à très petite échelle au niveau des atomes et des molécules, et à
très grande échelle au niveau des planètes, des étoiles et des galaxies.
Dans le présent chapitre, nous commençons l’étude de la rotation par la cinématique. Nous verrons que la description de la rotation se fait simplement lorsqu’on
a recours à des quantités angulaires. Avec ces quantités, les méthodes d’analyse
sont semblables à celles que nous avons utilisées pour l’étude du mouvement
de translation. Nous allons limiter notre étude aux objets rigides. Ces objets,
comme les tiges, les roues et les essieux, ne se déforment pas, contrairement,
par exemple, à un plongeur exécutant un salto arrière carpé.
Un objet qui tourne autour d’un axe ou qui roule a de l’énergie cinétique, car
ses parties sont en mouvement. Nous verrons que pour calculer cette énergie,
nous devons définir une nouvelle quantité, le moment d’inertie, qui remplace la
masse comme facteur d’inertie durant la rotation.
Nous porterons ensuite notre attention sur le mouvement d’un objet qui roule
sans glisser. Ce mouvement de roulement combine une translation et une rotation. Nous allons aussi étudier la transmission du mouvement de rotation, qui a
lieu par exemple dans le cas d’une bicyclette, entre le pédalier et la roue arrière.
11.1
Les variables angulaires
Pour analyser le mouvement de translation, on a remplacé les objets par des
points, car toutes les parties de l’objet se déplacent de la même façon. C’est
le modèle de la particule. Durant une rotation, les parties de l’objet ne se
déplacent pas tous de la même façon. La figure 11.1 montre une roue suspendue qui tourne. Les points près du centre se déplacent peu pendant la prise de
photo, et ils sont bien définis ; alors que les points loin du centre sont flous, car
ils se sont déplacés pendant la prise de photo.
FIGURE 11.1
Une roue en rotation
Pour analyser le mouvement de rotation, on suppose que les objets en rotation
sont des objets rigides : ils ne se déforment pas, c’est-à-dire que la distance entre
chaque partie ne change pas. Ceci est un modèle de la réalité, car il n’existe pas
d’objets ayant cette caractéristique. Par contre, le modèle de l’objet rigide est une
bonne approximation dans de nombreuses situations.
Dans le cas de la roue de la figure 11.1, tous les points tournent autour d’un axe
qui passe par le centre de la roue. C’est l’axe de rotation. Dans ce chapitre, nous
allons étudier uniquement les rotations d’objets rigides autour d’un axe de rotation fixe. Nous allons cependant utiliser une méthode qui peut être facilement
généralisée aux situations dans lesquelles l’axe de rotation change.
La position angulaire et le déplacement angulaire
Lorsqu’un objet est en rotation, ses différents points décrivent un mouvement
circulaire autour de l’axe de rotation, comme le montre la figure 11.2a. Le
11.1 — Les variables angulaires
341
déplacement, la vitesse et l’accélération sont différents pour chaque point, car le
rayon de leur trajectoire est différent. Par contre, durant un temps Δt, ils décrivent
des arcs de cercle ayant le même angle Δθ. C’est ce que montre la figure 11.2b.
Pour cette raison, on définit des quantités angulaires pour décrire la rotation.
Ces quantités sont les mêmes pour toutes les parties de l’objet en rotation.
En premier lieu, on a besoin de donner la position pour un temps donné. Pour
ce faire, on ajoute une ligne de référence sur l’objet en rotation. Cette ligne est
une ligne imaginaire, qui va de l’axe de rotation vers la périphérie de l’objet. Elle
joue le même rôle en rotation que le point noir qu’on a peint sur un objet pour
marquer sa position (voir la page 5 du chapitre 1). La figure 11.3a, à la page
suivante, montre cette ligne de référence sur la roue de bicyclette. C’est comme
si on avait peint en vert un rayon de la roue.
En plus de la ligne de référence, on ajoute un système de coordonnées cartésiennes ; la roue est située dans le plan des xy, et l’axe de rotation correspond
à l’axe des z. On définit alors la position angulaire comme l’angle θ entre la
ligne de référence et l’axe des x. L’unité SI de la position angulaire est le radian
(rad) ; dans la vie courante, on utilise aussi le degré (°) ou le tour (tr), avec les
facteurs de conversion :
(a)
(b)
FIGURE 11.2
(a) Deux points identifiés décrivent
un mouvement circulaire lorsque la
roue tourne dans le sens antihoraire.
(b) Les deux points se déplacent
d’une distance différente, mais
d’un angle Δθ égal.
Il est à noter que θ ne revient pas à zéro après une rotation complète.
Supposons qu’à un temps initial ti, la position angulaire de la roue est θi et qu’à
un temps tf, la position angulaire est θf. On définit le déplacement angulaire Δθ
comme la variation d’angle (voir la figure 11.3b à la page suivante) :
(11.1)
Le déplacement angulaire est une caractéristique du mouvement de rotation
de la roue au complet, mais aussi de chacune de ses parties : chaque partie a le
même déplacement angulaire.
Lorsqu’on a étudié la cinématique de translation, on a inclus un signe dans
la définition du déplacement Δx pour préciser le sens du déplacement (vers la
gauche ou la droite). On procède de la même façon pour le déplacement angulaire. Dans ce manuel, nous adoptons la convention suivante :
Le déplacement angulaire est positif lorsque la rotation est dans le sens
opposé à la rotation des aiguilles d’une montre (sens antihoraire), et le
déplacement angulaire est négatif si la rotation est dans le même sens
que la rotation des aiguilles d’une montre (sens horaire).
Le choix du sens positif du déplacement est une convention. Il est possible
d’utiliser un choix différent, mais le choix effectué est mieux adapté à la notation vectorielle que nous allons présenter plus loin.
MISE EN GARDE
La valeur de Δθ ne revient pas à zéro après une rotation complète.
Déplacement angulaire
342
CHAPITRE 11 — La cinématique et l’énergie cinétique de rotation
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 11.1
Un disque peut tourner autour de son axe central. Voici quatre paires de
positions angulaires initiales et finales du disque. Indiquez, dans chacune
des situations, si la rotation est en sens horaire ou en sens antihoraire.
a. θi = 0,54 rad et θf = 0,20 rad
b. θi = −0,34 rad et θf = −0,10 rad
c. θi = 1,5 tr et θf = −0,50 tr
(a)
d. θi = 2π rad et θf = −2π rad
La vitesse angulaire
La roue de la figure 11.3b se trouve dans le plan des xy ; sa position angulaire
change en fonction du temps. On dit qu’elle a une vitesse angulaire ω (prononcez « oméga »). Si la position angulaire est θi au temps ti et la position angulaire
est θf au temps tf, alors la vitesse angulaire moyenne est
(b)
FIGURE 11.3
(a) La position angulaire θ est l’angle
entre la ligne de référence et l’axe des x.
(b) Le déplacement angulaire Δθ est
l’angle balayé entre deux instants.
(11.2)
Comme dans le cas de la vitesse en cinématique de translation, on définit la
vitesse angulaire instantanée (ou simplement la vitesse angulaire) en prenant
la limite lorsque Δt → 0 :
(11.3)
Vitesse angulaire
La vitesse angulaire instantanée représente le taux de variation de la position
angulaire à un instant précis. On obtient la vitesse angulaire ωz lorsque l’on
connaît θ(t) en calculant la dérivée. Le signe de ωz est le même que celui de Δθ :
une rotation en sens antihoraire implique une vitesse angulaire positive, alors
qu’une rotation en sens horaire donne une vitesse angulaire négative.
Dans le SI, la vitesse angulaire est mesurée en radians par seconde (rad/s). Dans
la vie de tous les jours, on utilise les tours par minute (tr/min) (ou l’abréviation
anglaise rpm pour revolution per minute) :
L’indice z indique que ces définitions correspondent à la composante z des
vecteurs ωmoy et ω. Ces vecteurs seront abordés à la fin de la présente section.
REMARQUE
Pour alléger, nous procédons comme au chapitre 3 dans le cas des
vecteurs n’ayant qu’une composante : nous remplaçons le vecteur
par sa composante. Ainsi, nous pouvons parler de la vitesse angulaire ωz, même si le vecteur vitesse angulaire est réellement ω
11.1 — Les variables angulaires
L’accélération angulaire
Si la vitesse angulaire change, il y a une accélération angulaire. Lorsque la
vitesse angulaire est ωi,z au temps ti et qu’elle est ωf,z au temps tf, alors l’accélération angulaire moyenne est
(11.4)
L’accélération angulaire instantanée (ou simplement l’accélération angulaire) se
calcule en prenant la limite d’un intervalle de temps qui tend vers zéro :
(11.5)
L’unité de l’accélération angulaire dans le SI est le rad/s2. Une accélération
de 1 rad/s2 représente une variation de vitesse angulaire de 1 rad/s à chaque
seconde. Comme pour la vitesse angulaire, αz représente plus précisément la
composante z du vecteur accélération angulaire α, qui sera définie sous peu.
La signification des signes de ωz et de αz est semblable à celle des signes de vx et de ax
pour le mouvement de translation, formulée au chapitre 3 : le signe donne le sens de
la composante. Un signe positif indique le sens antihoraire, alors qu’un signe négatif
donne le sens horaire. Pour savoir si la rotation s’accélère ou ralentit, il faut obtenir
la variation du module de la vitesse angulaire, c’est-à-dire ω = |ωz|. Le résultat est
semblable à celui qu’on a obtenu au chapitre 3 pour le mouvement de translation :
• La rotation s’accélère (ω augmente) si ωz et αz ont le même signe.
• La rotation ralentit (ω diminue) si ωz et αz ont des signes différents.
• La rotation ne change pas si αz = 0.
On peut inverser les équations 11.3 et 11.5 en calculant l’intégrale, qui correspond à l’aire sous la courbe :
(11.6)
(11.7)
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 11.2
Un disque dans le plan des xy tourne autour d’un axe fixe. Donnez le
signe de son accélération angulaire dans les situations décrites ci-dessous.
a. La rotation est en sens horaire, et le disque tourne de plus en plus
rapidement.
b. La rotation est en sens horaire, et le disque tourne de moins en moins
rapidement.
c. La rotation est en sens antihoraire, et le disque tourne de plus en plus
rapidement.
d. La rotation est en sens antihoraire, et le disque tourne de moins en
moins rapidement.
Accélération angulaire
343
344
CHAPITRE 11 — La cinématique et l’énergie cinétique de rotation
EXEMPLE 11.1
Un ventilateur qui s’arrête
La position angulaire d’une pale d’un ventilateur est donnée, pour t ≥ 0, par l’expression :
où le temps est mesuré en secondes et l’angle, en radians.
a. Quelle est la vitesse angulaire moyenne entre t = 0,00 s et t = 10,0 s ?
b. Quelle est l’accélération angulaire moyenne entre t = 0,00 s et t = 10,0 s ?
c. Combien de tours fait la pale avant de s’arrêter ?
SOLUTION a.
Décortiquer le problème
Résoudre le problème
Nous trouvons la position angulaire de la pale en
remplaçant le temps dans l’équation pour θ(t) :
Nous remplaçons les valeurs :
Nous calculons la vitesse angulaire à ti = 0,00 s et
à tf = 10,0 s :
(réponse)
SOLUTION c.
Décortiquer le problème
Identifier la clé
Pour calculer la vitesse angulaire moyenne, la clé est
l’équation 11.2 :
(i)
Le nombre de tours correspond au déplacement
angulaire.
Identifier la clé
La clé est que la pale est arrêtée lorsque ωz = 0,0 rad/s.
L’équation (iii) est alors une équation quadratique :
Résoudre le problème
(iv)
Nous remplaçons les valeurs :
Résoudre le problème
(réponse)
La solution de cette équation quadratique est
SOLUTION b.
Identifier les clés
La première clé est l’équation 11.4 :
(ii)
La deuxième clé consiste à calculer la vitesse angulaire en dérivant l’expression de la position angulaire :
(iii)
Nous gardons uniquement la valeur positive, car
t ≥ 0 selon l’énoncé. Nous remplaçons ensuite cette
valeur dans l’équation de la position :
11.1 — Les variables angulaires
Le déplacement angulaire est donc (avec θi = 0,00 rad) :
345
Valider la réponse
L’ordre de grandeur des réponses a du sens. Le signe
de αmoy,z indique que la pale ralentit, car ωz > 0 .
(réponse)
Les vecteurs vitesse angulaire et accélération angulaire
De façon générale, l’axe d’un objet en rotation n’est pas nécessairement fixe.
L’axe d’une toupie qui tourne décrit un mouvement de précession : il tourne
lui-même. Dans ces cas plus généraux, il est essentiel de considérer la vitesse
angulaire et l’accélération angulaire comme des vecteurs.
Prenons le disque de la figure 11.4. On définit le vecteur vitesse angulaire ω de
la façon suivante :
• Le module de ω correspond à la valeur absolue de la vitesse angulaire
ω
• la direction de ω correspond à la direction de l’axe de rotation ;
• le sens de ω est donné par la règle de la main droite : on tourne les doigts
de cette main dans le sens de la rotation, et le pouce donne le sens de ω.
Comme on le voit à la figure 11.4a, lorsque le disque est dans le plan des xy,
une rotation en sens antihoraire est indiquée par un vecteur ω orienté dans le
sens de l’axe des z, ce qui signifie que ωz > 0. Dans le cas d’une rotation en sens
horaire (comme à la figure 11.4b), le vecteur ω est orienté dans le sens opposé
au sens de l’axe des z et ωz < 0.
Il peut sembler bizarre au départ de décrire un mouvement de rotation avec un
vecteur. Le vecteur ω n’indique pas directement l’orientation du mouvement de
l’objet. Il marque plutôt l’axe de rotation. De plus, ce vecteur obéit à l’algèbre
vectorielle, traitée à la section 2.3. L’accélération angulaire est aussi un vecteur
construit de la même façon que le vecteur vitesse angulaire. Nous verrons l’utilité
de la notation vectorielle pour α lors de l’étude de la dynamique de rotation à la
section 12.2.
(a)
Lorsque l’axe est fixe, la direction des vecteurs ω et α ne change pas. Il est possible de choisir le système de coordonnées pour que l’axe des z soit parallèle à
l’axe de rotation. De cette façon, les vecteurs ω et α n’ont qu’une composante z.
REMARQUE
Pour simplifier les figures en deux dimensions, le vecteur ω est illustré par une flèche en sens antihoraire (ωz > 0) ou horaire (ωz < 0).
Vous devez vous rappeler que le vecteur ω est perpendiculaire à la
page, et que son sens est donné par la règle de la main droite.
Contrairement à la vitesse angulaire et à l’accélération angulaire, le déplacement angulaire n’est pas un vecteur. Il est possible de construire une quantité
afin de représenter le déplacement angulaire, avec un module pour indiquer la
(b)
FIGURE 11.4
Le sens de ω est donné par la
règle de la main droite. (a) Pour
une rotation en sens antihoraire,
ωz > 0. (b) Pour une rotation en
sens horaire, ωz < 0.
346
CHAPITRE 11 — La cinématique et l’énergie cinétique de rotation
valeur absolue de l’angle et une orientation selon la règle de la main droite.
Cependant, cette quantité ne respecte pas l’algèbre vectorielle, particulièrement
la commutativité de l’addition. En effet, la rotation en trois dimensions n’est
pas commutative, sauf dans le cas de rotations infinitésimales.
À la figure 11.5a, on tourne d’abord le livre de 90° en sens antihoraire, autour
de l’axe des y, puis on fait une deuxième rotation de 90° en sens antihoraire,
mais cette fois, autour de l’axe des x. À la figure 11.5b, on commence d’abord
par la rotation autour de l’axe des x, puis on fait la rotation autour de l’axe
des y. Remarquez que le livre n’a pas la même orientation finale en (a) qu’en (b).
Lorsqu’on fait deux déplacements angulaires consécutifs, le résultat dépend de
l’ordre utilisé. Ceci ne peut être représenté par une quantité vectorielle, car la
somme vectorielle doit être commutative.
11.2
FIGURE 11.5
(a) Le livre est tourné de 90° au­
tour de l’axe des y, puis de 90°
autour de l’axe des x. (b) Le livre
est tourné de 90° autour de l’axe
des x, puis de 90° autour de
l’axe des y.
La rotation à accélération
angulaire constante
À la section 3.7, nous avons trouvé des relations entre la position, la vitesse et
l’accélération dans le cas du mouvement de translation uniformément accéléré.
Ce type de mouvement est un cas particulier important ; lorsque la force résultante est constante, l’accélération est constante. Ces équations nous ont permis
d’analyser entre autres la chute libre.
Pour la rotation avec un axe fixe, on trouve plusieurs situations où l’accélération angulaire est constante. Il est possible d’obtenir les équations reliant alors
la position angulaire, la vitesse angulaire et l’accélération angulaire, car les
définitions reliant ces quantités ont la même forme que les relations reliant la
position, la vitesse et l’accélération dans le cas du mouvement de translation.
Les équations relatives au mouvement de translation (voir les équations 3.14
à 3.17 aux pages 69 et 70) peuvent être « transformées » en équations concernant la rotation avec x → θ, vx → ωz et ax → αz.
(11.8)
(11.9)
(11.10)
(11.11)
Défi animé 11.1
Déterminer l’allure des graphiques
de la position angulaire, de la vitesse
angulaire et de l’accélération angulaire
en fonction du temps pour un
mouvement de rotation.
L’indice 0 indique l’instant initial. Ces équations sont valides à condition que
l’accélération angulaire αz soit constante et que l’axe soit fixe. Si l’accélération
change, il est possible de diviser le problème en plusieurs intervalles de temps,
de telle sorte que l’accélération angulaire soit constante dans chacun des intervalles. Le tableau 11.1 montre la similitude entre les équations de la translation
et les équations de la rotation.
Les problèmes de rotation à accélération angulaire constante se font de la même
façon que les problèmes de mouvement rectiligne à accélération constante. Pour
vous rafraîchir la mémoire, voici la stratégie à suivre.
11.2 — La rotation à accélération angulaire constante
TABLEAU 11.1
Les équations de la cinématique à accélération constante
Cinématique de translation
Cinématique de rotation
STRATÉGIE 11.1 La rotation à accélération angulaire constante
Illustrer la situation
Vous devez dessiner un schéma de la situation avec l’objet dans le plan
des xy et l’axe de rotation parallèle à l’axe des z.
Décortiquer le problème
Créez un tableau présentant les quantités connues et les inconnues. On
peut souvent choisir θ0 = 0 rad. Exprimez les angles en radians (convertissez au besoin les tours en radians), les vitesses angulaires en rad/s et
l’accélération en rad/s2. N’oubliez pas les signes : positif pour le sens antihoraire et négatif pour le sens horaire.
Identifier la clé
La clé est l’une des équations suivantes :
Résoudre le problème
Isolez la quantité inconnue et remplacez les valeurs connues dans
l’équation.
Valider la réponse
Vérifiez le signe, les unités, l’ordre de grandeur de votre réponse numérique. Vérifiez aussi que vous répondez bien à la question.
REMARQUE
Lorsque le sens de rotation n’est pas indiqué, vous pouvez supposer
qu’il est en sens antihoraire, de telle sorte que Δθ soit positif.
347
348
CHAPITRE 11 — La cinématique et l’énergie cinétique de rotation
EXEMPLE 11.2
Ça fait du bien lorsqu’il fait chaud
Lorsqu’on met en marche un ventilateur, ses pales font 5,0 tr en 1,50 s. Supposez que
l’accélération angulaire est constante.
a. Quel est le module de l’accélération angulaire ?
b. Quel est le module de la vitesse angulaire 1,50 s après la mise en marche ?
SOLUTION
Illustrer la situation
Le sens de rotation n’est pas indiqué dans l’énoncé.
Nous choisissons le système de coordonnées pour
que la rotation soit en sens antihoraire. La figure 11.6
illustre le schéma de la situation. Nous plaçons la
ligne de référence pour que θ0 = 0.
Résoudre le problème
Nous remplaçons les valeurs :
Le module de l’accélération angulaire est
(réponse)
SOLUTION b.
Identifier la clé
Pour trouver ω z, la clé la plus simple est l’équa­
tion 11.8 :
FIGURE 11.6
Le schéma de la situation
pour l’exemple 11.2
Résoudre le problème
Nous obtenons
Décortiquer le problème
Le module de la vitesse angulaire est
(réponse)
SOLUTION a.
La clé est l’équation 11.9 :
EXEMPLE 11.3
Valider la réponse
Nous répondons bien aux questions. L’ordre de
grandeur semble correct, même s’il est plus difficile
de juger de l’ordre de grandeur d’un mouvement de
rotation que de celui d’un mouvement de translation.
Nous avons arrondi les réponses à deux chiffres signi­
ficatifs, selon la convention d’écriture habituelle.
Un changement dans la rotation
Une turbine, tournant initialement à 5 000 tr/min, a une vitesse angulaire qui diminue
jusqu’à 3 000 tr/min en 35,0 s. Elle tourne ensuite à vitesse angulaire constante.
a. Quelle est l’accélération angulaire entre 0,0 s et 35,0 s ? Exprimez la réponse en rad/s2.
b. Combien de tours la turbine effectue­t­elle entre 0,0 s et 60,0 s ?
11.3 — Les relations entre variables linéaires et variables angulaires
SOLUTION
Décortiquer le problème
349
SOLUTION b.
Identifier la clé
L’accélération change à t = 35,0 s. La clé est qu’il
faut diviser l’intervalle en deux parties. Entre 0,0 s
et 35,0 s, le déplacement angulaire est obtenu à
l’aide de l’équation 11.11 :
(ii)
Il y a trois instants importants : l’instant initial
t 0 = 0, l’instant où la turbine arrête son freinage
t 1 = 35,0 s et l’instant final t 2 = 60,0 s. L’accélération
angulaire est constante entre les instants t 0 et t 1, et
l’accélération est nulle entre les instants t 1 et t 2.
Nous convertissons les tr/min en rad/s :
Ensuite, la vitesse angulaire est constante. Nous trouvons la position angulaire à 60,0 s à l’aide de l’équation 11.9 avec une accélération angulaire nulle :
(iii)
Résoudre le problème
Nous calculons la position à t 1 = 35,0 s en remplaçant les valeurs dans l’équation (ii) :
Avec cette valeur, nous obtenons la position à 60,0 s :
θ2 = 1,466 × 104 + 314,2 (60 − 35) = 2,25 × 104 rad .
Comme on demande le nombre de tours, il faut
convertir θ2 :
SOLUTION a.
Identifier la clé
Pour obtenir αz, la clé est l’équation 11.8 :
(i)
Résoudre le problème
Nous remplacons les valeurs :
(réponse)
11.3
(réponse)
Valider la réponse
L’accélération obtenue en a. est négative, car elle doit être
de signe opposé à celui de la vitesse angulaire durant un
freinage. En b., la réponse est bien le nombre de tours.
Remarquez que cet exemple est un problème de rotation
analogue à l’exemple 3.6 de la page 73 sur la translation.
Les données et les symboles sont différents, mais nous
avons utilisé la même méthode.
Les relations entre variables linéaires
et variables angulaires
La figure 11.7a (voir la page suivante) montre une table tournante sur laquelle
on a placé un point jaune. Tous les éléments de la surface de la table ont la
même vitesse angulaire ω et la même accélération angulaire α. De plus, chaque
élément effectue un mouvement circulaire autour de l’axe de rotation, avec une
vitesse et une accélération . Nous voulons relier les paramètres du mouvement
de rotation de l’objet aux paramètres du mouvement circulaire du point jaune.
Nous avons déjà étudié le mouvement circulaire des particules au chapitre 4 ;
les notions vues aux sections 4.4 et 4.5 sont utilisées dans le présent contexte.
350
CHAPITRE 11 — La cinématique et l’énergie cinétique de rotation
Les quantités associées au mouvement de translation sont appelées les variables
linéaires, pour les différencier des variables angulaires abordées à la section 11.1. Par exemple, la vitesse linéaire est simplement la vitesse du mouvement de translation.
Le déplacement
(a)
Revenons à la table tournante et à son point jaune. La figure 11.7b montre le
point jaune à deux instants différents, séparés d’un intervalle de temps Δt. Dans
cet intervalle de temps, la table tournante a effectué un déplacement angulaire Δθ.
Il est possible de relier la distance parcourue Δs par le point jaune et le déplacement angulaire :
(11.12)
(b)
FIGURE 11.7
(a) Le point jaune décrit un mouvement circulaire, avec une vitesse
et une accélération . (b) Lorsque la
table tournante tourne de Δθ, le point
jaune parcourt une distance Δs.
Cette équation découle simplement de la définition du radian : un angle mesuré
en rad correspond au rapport entre la mesure de l’arc de cercle et celle du rayon.
La relation 11.12 est la première reliant une quantité linéaire à une quantité
angulaire. On a calculé la valeur absolue de Δθ, car Δs est une distance, un
scalaire positif.
REMARQUE
L’unité rad est équivalente à m/m = 1, car elle est définie comme
le rapport de deux longueurs. On peut l’ajouter ou l’enlever sans
rien changer.
La vitesse
On trouve une relation entre le module de la vitesse linéaire et la vitesse angulaire à l’aide d’une dérivée :
(11.13)
où ω = |ωz|, le module de la vitesse angulaire. Il est important de remarquer que
cette relation est établie entre deux modules et non entre les vecteurs et ω.
Les éléments d’un objet rigide en rotation ont tous la même vitesse
angulaire ; plus ils sont éloignés de l’axe de rotation, plus le module de
leur vitesse linéaire est grand.
Lorsque la vitesse angulaire est constante, chaque élément de la table tournante effectue un mouvement circulaire uniforme (avec le module de la vitesse
constant pour un élément). On considère la période T (le temps pour effectuer
un tour) et la fréquence (le nombre de tours par unité de temps), aussi définies à
la section 4.4 de la page 106. Ces paramètres sont reliés à la vitesse angulaire :
(11.14)
(11.15)
11.3 — Les relations entre variables linéaires et variables angulaires
Pour décrire complètement la vitesse, il faut aussi tenir compte de l’orientation.
Comme on l’a vu à la section 4.5 de la page 111, le système de coordonnées cartésiennes n’est pas bien adapté au mouvement circulaire, car la vitesse change
continuellement d’orientation. On utilise plutôt le système de coordonnées
polaires, avec les vecteurs unitaires
et , illustrés à la figure 11.8. Le vecteur
unitaire radial
est orienté vers l’extérieur (dans le sens de l’augmentation de
la coordonnée r), et le vecteur unitaire tangentiel
est orienté en sens antihoraire, quel que soit le sens de rotation.
La vitesse est toujours tangente à la trajectoire. La vitesse d’un élément situé à
une distance r de l’axe de rotation est donc parallèle au vecteur :
351
FIGURE 11.8
Pour une rotation en sens antihoraire,
ωz > 0 et a le même sens que .
(11.16)
Remarquez que pour une rotation en sens antihoraire, ωz > 0 et la vitesse a le
même sens que le vecteur
(voir la figure 11.8), alors que pour une rotation en
sens horaire, ωz < 0 et la vitesse a un sens opposé au vecteur (voir la figure 11.9).
L’accélération
On trouve l’accélération du point jaune en dérivant l’équation 11.16 par rapport
au temps. Lorsque la vitesse angulaire varie en fonction du temps, le point jaune
décrit un mouvement circulaire non uniforme. Selon les résultats obtenus à la
section 4.5 de la page 111, l’accélération a deux composantes :
La composante aθ est la composante tangentielle, associée au changement de
module de la vitesse. On obtient
où la distance r est une constante pour le point jaune. Comme
= αz, on
obtient une relation entre l’accélération tangentielle et l’accélération angulaire :
(11.17)
Si l’accélération angulaire αz est nulle, l’accélération tangentielle est nulle et le
mouvement du point jaune est un mouvement circulaire uniforme.
La deuxième composante de l’accélération est la composante radiale, associée
au changement d’orientation de la vitesse. Le module de cette composante est
égal à l’accélération centripète. Un objet qui tourne autour d’un point a une
accélération orientée vers le centre, opposée au vecteur unitaire . La composante ar est donc négative, et son module est donné par l’équation 4.34 de la
page 108. La composante ar est donc
(11.18)
Le signe négatif est présent pour indiquer le sens : le vecteur
est orienté vers
l’extérieur, alors que l’accélération centripète est vers le centre.
FIGURE 11.9
Pour une rotation en sens horaire,
ωz < 0 et a le sens opposé à .
352
CHAPITRE 11 — La cinématique et l’énergie cinétique de rotation
La figure 11.10 montre l’accélération et ses deux composantes polaires. On
trouve le module de l’accélération par la méthode habituelle :
(11.19)
MISE EN GARDE
FIGURE 11.10
L’accélération a deux composantes :
la composante tangentielle
indique le changement de module
de la vitesse, et la composante
radiale indique le changement
de l’orientation de la vitesse.
EXEMPLE 11.4
Pour toutes les équations reliant une quantité linéaire et une quantité angulaire, les angles doivent être exprimés en radians, car ces
équations ont été démontrées à partir de l’équation 11.12, qui est
valide pour θ en radians. Donc, ωz doit être exprimée en rad/s et αz
doit être exprimée en rad/s2.
Une imprimante laser
Dans une imprimante laser, le papier avance grâce à la rotation de rouleaux de 2,0 cm de
rayon. Le module de la vitesse du papier est constant, et il est égal au module de la vitesse
des points à la circonférence des rouleaux. L’imprimante imprime une page ayant une longueur
de 279 mm en 6,30 s.
a. Quel est le module de la vitesse angulaire d’un rouleau ?
b. Quel est le module de l’accélération d’un point à la surface d’un rouleau ?
SOLUTION
Illustrer la situation
SOLUTION a.
Identifier la clé
Le schéma de la situation est présenté à la figure 11.11.
La clé pour trouver le module de la vitesse angulaire
d’un rouleau est l’équation 11.13 :
(ii)
Résoudre le problème
Nous trouvons
(réponse)
FIGURE 11.11
Le schéma de la situation pour
l’exemple 11.4
Valider la réponse
Décortiquer le problème
Le module de la vitesse du papier est constant. Nous
le calculons de la façon suivante :
(i)
C’est aussi le module de la vitesse des points sur la
surface des rouleaux en rotation.
Nous avons arrondi la réponse finale pour respecter
l’écriture des chiffres significatifs. Remarquez aussi
que l’unité rad n’apparaît pas dans le membre de
gauche de l’équation. Nous l’ajoutons dans la réponse
pour indiquer clairement que celle-ci est une vitesse
angulaire. Nous obtenons bien une valeur positive
pour un module.
SOLUTION b.
Identifier la clé
La vitesse angulaire est constante, l’accélération d’un
point de la surface d’un rouleau n’a qu’une composante radiale (centripète). La clé est donc
(iii)
11.4 — L’énergie cinétique de rotation et le moment d’inertie
353
Résoudre le problème
Valider la réponse
Nous remplaçons les valeurs :
Cette fois-ci, l’unité rad disparaît de la réponse, car
l’unité de l’accélération est le m/s2 et non le m · rad2 /s2.
Nous aurions pu utiliser l’équation ac = v2 /r et obtenir le même résultat.
(réponse)
11.4
L’énergie cinétique de rotation
et le moment d’inertie
Au chapitre 8, nous avons étudié l’énergie cinétique, associée au mouvement
d’un objet. Lorsqu’un objet de masse m a une vitesse dont le module est v, son
énergie cinétique est K = mv2 /2. Un objet en rotation a de l’énergie cinétique,
car chacune de ses parties se déplace en effectuant un mouvement circulaire.
Pour calculer cette énergie cinétique, on doit diviser l’objet en éléments et faire
la somme de l’énergie cinétique de tous les éléments.
On analyse d’abord l’énergie cinétique d’un système en rotation constitué de
particules, c’est-à-dire des objets dont les dimensions sont négligeables par
rapport à la distance qui les sépare. La figure 11.12 montre un système de trois
particules reliées par des tiges de masse négligeable. Le système tourne autour
de l’axe illustré. Chaque particule a une masse mi et décrit un cercle de rayon ri
avec une vitesse dont le module est vi = riω.
FIGURE 11.12
L’énergie cinétique d’un système
en rotation est liée au mouvement
circulaire de ses éléments.
(11.20)
On a fait la somme de tous les éléments du système. Dans l’équation 11.20,
nous avons sorti de la somme le module de la vitesse angulaire au carré, car
tous les éléments d’un corps rigide en rotation ont la même vitesse angulaire.
Le terme entre parenthèses dans l’équation 11.20 est un paramètre important
du mouvement de rotation. On l’appelle le moment d’inertie de l’objet par rapport à l’axe de rotation. Pour un système composé de N particules,
(11.21)
Moment d’inertie
(système de particules)
(11.22)
Énergie cinétique
de rotation
Avec cette définition, l’énergie cinétique de l’objet en rotation s’écrit
L’unité SI du moment d’inertie est le kg · m2. De plus, comme on a utilisé la
relation vi = riω, le module de la vitesse angulaire doit être exprimée en rad/s
pour que l’énergie cinétique soit calculée en joules.
L’équation 11.22 est l’équivalent angulaire de l’équation
permettant
de calculer l’énergie cinétique d’une particule en mouvement. Si on compare
les deux équations, on remarque le même facteur . De plus, le module de la
vitesse v est remplacé par le module de la vitesse angulaire ω. Finalement, on
remarque que la masse m est remplacée par le moment d’inertie I. Ceci nous
354
CHAPITRE 11 — La cinématique et l’énergie cinétique de rotation
permet de comprendre le rôle de I. Le moment d’inertie représente l’inertie de
rotation, c’est-à-dire que plus I est élevé, plus il est difficile de mettre l’objet en
mouvement de rotation, car cela demande un transfert d’énergie plus important.
Il est logique de voir que le moment d’inertie dépend de la masse de l’objet.
Le moment d’inertie dépend aussi de la répartition de cette masse autour de l’axe :
si la masse est éloignée, il est plus difficile d’atteindre une certaine vitesse angulaire
ayant un module ω. Plus la masse est éloignée de l’axe de rotation, plus le
moment d’inertie est élevé.
Le moment d’inertie sera aussi une quantité importante au chapitre 12 lorsque
nous allons étudier la dynamique de rotation. Le tableau 11.2 montre les quantités équivalentes en rotation qui ont été décrites dans ce chapitre.
TABLEAU 11.2
Les quantités équivalentes entre la translation et la rotation
Translation
Rotation
position (m)
position angulaire (rad)
q
vitesse (m/s)
vitesse angulaire (rad/s)
ω
accélération (m/s2)
accélération angulaire (rad/s2)
masse (kg)
m
énergie cinétique (J)
α
2
moment d’inertie (kg · m )
énergie cinétique (J)
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 11.3
La figure suivante montre quatre haltères. Chacun est composé de deux
masses identiques reliées par une tige de masse négligeable. Classez les
haltères selon un ordre croissant de leur moment d’inertie par rapport
à un axe vertical qui passe par leur centre de masse.
EXEMPLE 11.5
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Un petit système en rotation
La figure ci-contre illustre deux particules m1 = 1,30 kg et m2 = 0,800 kg
reliées par une tige de 1,50 m et de masse négligeable. Le système tourne
autour d’un axe, perpendiculaire à la tige et perpendiculaire au plan de
la page, à une vitesse angulaire de 2,50 rad/s en sens horaire.
a. Calculez l’énergie cinétique de l’objet si l’axe de rotation passe par la masse m1.
b. Calculez l’énergie cinétique de l’objet si l’axe de rotation passe
par le centre de masse du système.
11.4 — L’énergie cinétique de rotation et le moment d’inertie
355
SOLUTION a.
Illustrer la situation
La figure 11.13 illustre le schéma de la situation,
y compris l’axe de rotation.
FIGURE 11.14
Le schéma de la situation pour
l’exemple 11.5b
FIGURE 11.13
Décortiquer le problème
Le schéma de la situation pour
l’exemple 11.5a
L’axe de rotation passe par la masse m1. Nous avons
alors r 1 = 0,00 m et r 2 = L = 1,50 m.
Il faut d’abord calculer la position du centre de
masse. Celui-ci doit se trouver sur la tige, entre les
deux masses, plus près de m1. Nous plaçons m1 à
l’origine et m2, à la position x2 = L. Selon l’équation 10.10 de la page 304, la position du centre
de masse est
Identifier la clé
Nous calculons ensuite la distance entre les masses
et le centre de masse :
Décortiquer le problème
La clé est l’équation 11.22, qui permet de calculer
l’énergie cinétique d’un système en rotation :
(i)
Identifier la clé
où le moment d’inertie est donné par l’équation 11.21 :
(ii)
La clé est la même que dans la partie a.
Résoudre le problème
Nous calculons le nouveau moment d’inertie :
Résoudre le problème
Selon l’équation (ii), le moment d’inertie est
L’énergie cinétique est alors
Nous calculons ensuite l’énergie cinétique :
(réponse)
Valider la réponse
(réponse)
SOLUTION b.
Illustrer la situation
Le schéma de la situation est illustré à la figure 11.14.
Le moment d’inertie change lorsque l’axe de rotation
change. Remarquez que le moment d’inertie est plus
faible lorsque l’axe de rotation passe par le centre de
masse. Nous verrons plus loin que ceci est un résultat général.
356
CHAPITRE 11 — La cinématique et l’énergie cinétique de rotation
Le moment d’inertie des objets solides
Lorsque l’objet est un objet solide, comme un disque ou une sphère, il faut
diviser l’objet en petits éléments infinitésimaux, chacun de masse dm et
séparé de l’axe de rotation par une distance r (voir la figure 11.15). Pour
un axe qui coïncide avec l’axe des z, la distance entre l’élément dm et l’axe
de rotation est
Le moment d’inertie se calcule à l’aide d’une
intégrale :
FIGURE 11.15
Pour calculer le moment d’inertie,
on divise l’objet en éléments infinitésimaux dm.
(11.23)
Cette intégrale peut être assez complexe, surtout pour des objets irréguliers. Le
tableau 11.3 donne le résultat pour différents objets homogènes de masse M
lorsque l’axe passe par le centre de masse de l’objet.
TABLEAU 11.3
Le moment d’inertie de quelques solides homogènes de masse M pour un axe de rotation passant par le centre
de masse. (Ce tableau est aussi présenté à l’annexe C.)
cerceau
par rapport à son axe
cerceau
par rapport à son diamètre
cylindre creux
par rapport à son axe
cylindre
par rapport à son diamètre central
cylindre (disque)
par rapport à son axe
tige mince
par rapport à son diamètre central
sphère pleine
par rapport à son diamètre
sphère creuse
par rapport à son diamètre
Icm = MR 2
plaque
(axe perpendiculaire)
11.4 — L’énergie cinétique de rotation et le moment d’inertie
Le théorème des axes parallèles
Comme on l’a vu à l’exemple 11.5, le moment d’inertie est plus faible lorsque l’axe
passe par le centre de masse de l’objet. Lorsque l’on connaît le moment d’inertie Icm
par rapport à un axe qui passe par le centre de masse, on peut trouver le moment
d’inertie I par rapport à un axe parallèle en utilisant le théorème des axes parallèles:
(11.24)
Théorème des axes
parallèles
où M est la masse de l’objet, et h est la distance entre le centre de masse et l’axe
de rotation (voir la figure 11.16). Il est essentiel que les deux axes soient parallèles. La démonstration est faite à la fin de la présente section.
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 11.4
La figure ci-dessous montre une plaque rectangulaire homogène et
quatre axes de rotation différents. Chaque axe est perpendiculaire à
la surface de la plaque. Classez les axes selon un ordre croissant du
moment d’inertie correspondant.
Il est possible de décomposer un objet en plusieurs éléments pour calculer son
moment d’inertie, comme le montre la technique suivante.
TECHNIQUE 11.1
Le moment d’inertie d’un objet
1. On divise l’objet en parties simples, comme les solides dans le tableau 11.3.
2. Pour chacune des parties, on calcule le moment d’inertie par rapport à
son centre de masse, selon le tableau 11.3. Pour une particule, Icm = 0,
car ses dimensions sont négligeables.
3. Pour chacune des parties, on utilise le théorème des axes parallèles
(l’équation 11.24) afin de calculer son moment d’inertie par rapport
à l’axe réel.
4. Le moment d’inertie de l’objet est la somme de tous les moments
d’inertie des parties.
EXEMPLE 11.6
Le moment d’inertie d’un maillet
Un maillet est constitué d’une tige ayant une longueur L = 30,0 cm et
une masse de 150 g et d’un cylindre ayant un rayon R = 5,00 cm de
rayon et une masse de 920 g. On fait tourner le maillet par rapport à un
axe perpendiculaire à la tige et parallèle à l’axe du cylindre (voir la figure
ci-contre). Calculez le moment d’inertie du maillet par rapport à l’axe choisi.
FIGURE 11.16
La distance h est la distance
entre le centre de masse et l’axe
de rotation.
357
358
CHAPITRE 11 — La cinématique et l’énergie cinétique de rotation
SOLUTION
Illustrer la situation
1. Le maillet peut être divisé en deux parties : une
tige de longueur L et un cylindre de rayon R. La
figure 11.17 illustre les deux parties, avec leur
centre de masse et l’axe de rotation.
Il faut faire attention de prendre le moment d’inertie du cylindre pour un axe parallèle à celui qui
apparaît dans l’énoncé.
Identifier la clé
3. La première clé est le théorème des axes paral-
lèles (l’équation 11.24) :
(iii)
(iv)
4. La deuxième clé est que le moment d’inertie du
maillet est la somme des moments d’inertie de la
tige et du cylindre :
FIGURE 11.17
(v)
Le maillet est divisé en deux parties.
Les moments d’inertie doivent être calculés par
rapport à l’axe choisi avant de les additionner.
Décortiquer le problème
Résoudre le problème
Nous obtenons
2. Selon le tableau 11.3,
(réponse)
(i)
(ii)
EXEMPLE 11.7
Valider la réponse
Remarquez que c’est le cylindre qui contribue le plus
au moment d’inertie, car il est plus massif et que son
centre de masse est plus éloigné de l’axe de rotation.
Le moment d’inertie d’une tige
Une tige homogène a une masse M, une longueur L et un rayon négligeable. Montrez que le
moment d’inertie par rapport à un axe qui passe par son centre de masse est Icm = ML 2 /12.
SOLUTION
Illustrer la situation
La figure 11.18 montre la tige dans le plan des xy,
avec l’axe de rotation qui coïncide avec l’axe des z.
FIGURE 11.18
Le schéma de la tige
11.4 — L’énergie cinétique de rotation et le moment d’inertie
Décortiquer le problème
Nous décomposons la tige en éléments infinitésimaux
dm, ayant une longueur dx, situés aux coordonnées
(x; 0 ; 0). La distance entre un élément et l’axe de rotation est
de telle sorte que r2 = x2. La tige est
homogène, ce qui signifie que la masse par unité de
longueur est constante et égale à la masse totale divisée par la longueur totale de la tige :
359
où nous avons utilisé l’équation (i) pour exprimer dm
en fonction de dx. Les bornes de l’intégrale correspondent aux limites de la tige.
Résoudre le problème
Nous sortons le terme entre parenthèses, car il s’agit
d’une constante. Ensuite, nous calculons l’intégrale :
Nous obtenons alors la masse de l’élément dm :
(i)
(réponse)
Les limites de la tige sont x = −L/2 et x = L/2.
Identifier la clé
Valider la réponse
2
2
La clé est l’équation 11.23, avec r = x :
(ii)
Nous obtenons le résultat demandé, qui est l’expression présentée au tableau 11.3. Si l’axe ne passait
pas par le centre de masse, les bornes d’intégration
seraient différentes.
La démonstration du théorème des axes parallèles
L’objet solide de la figure 11.19 tourne autour d’un axe situé au point de coordonnées (a ; b), à une distance
du centre de masse, qu’on a placé
à l’origine. On décompose l’objet en éléments dm, dont les coordonnées sont
(x ; y). La distance au carré r2 entre l’axe et l’élément dm est r 2 = (x − a)2 + (y − b)2.
Le moment d’inertie est alors
FIGURE 11.19
La première intégrale correspond au moment d’inertie par rapport au centre de
masse, car x 2 +y2 est la distance au carré entre l’élément et le centre de masse. La
quatrième intégrale donne tout simplement M, la masse totale. Les deuxième et
troisième intégrales sont proportionnelles à la position du centre de masse (voir
l’équation 10.16 de la page 306) :
Comme le centre de masse est à l’origine, xcm = ycm = 0. Nous obtenons alors
Le centre de masse est à l’origine,
et l’axe de rotation est au point
de coordonnées (a ; b), à une
distance h du centre de masse.
360
CHAPITRE 11 — La cinématique et l’énergie cinétique de rotation
11.5
La conservation de l’énergie
Au chapitre 9, nous avons analysé le mouvement de systèmes soumis à la force
gravitationnelle et à la force élastique exercée par un ressort. Pour des systèmes
isolés dont les forces internes exerçant un travail sont des forces conservatives,
nous avons vu que l’énergie mécanique du système est conservée :
(11.25)
où U est l’énergie potentielle du système et K, l’énergie cinétique du système. On
peut analyser le mouvement du système en utilisant la stratégie 9.1 de la page 272.
Si le système possède un membre en mouvement de rotation, alors on doit utiliser
l’équation 11.22 pour calculer l’énergie cinétique de ce membre. Par exemple,
pour un système ayant une poulie dont la masse est importante, son énergie cinétique de rotation devra être considérée dans l’énergie cinétique du système.
FIGURE 11.20
Une tige tourne autour d’un axe
horizontal qui ne passe pas par
son centre de masse.
EXEMPLE 11.8
La figure 11.20 montre une autre situation où la conservation de l’énergie mécanique est utile. Une tige est en rotation autour d’un axe horizontal qui ne passe
pas par son centre de masse. Durant la rotation, son centre de masse va changer
de hauteur, car l’axe ne passe pas par son centre de masse. L’énergie potentielle
du système tige-Terre change durant la rotation.
L’effet de la masse d’une poulie
Le système de la figure ci-contre est composé d’un bloc de masse m1
et d’un poids de masse m2 qui sont reliés par une corde de masse
négligeable. La corde passe par une poulie de masse M et tourne
sans frottement. Le bloc peut glisser sans frottement sur la surface
horizontale. Le bloc et le poids sont initialement immobiles, et la
poulie est équivalente à un disque plein. Calculez le module de la
vitesse du bloc lorsque celui-ci s’est déplacé d’une distance d.
SOLUTION
Illustrer la situation
La figure 11.21 montre le schéma de la situation à
l’instant initial et à l’instant final. Nous avons choisi
un axe des y vertical, avec l’origine placée à la position finale du poids.
FIGURE 11.21
Le schéma de la situation pour l’exemple 11.8
Décortiquer le problème
Le système est constitué du bloc, de la poulie, du poids,
de la corde et de la Terre. La surface horizontale ne
fait pas de travail, car la force normale est perpendiculaire au déplacement du bloc, et la force de frottement
est négligeable. Il y a une force de frottement statique
entre la corde et la poulie pour faire tourner cette dernière, mais comme la corde ne glisse pas, cette force
11.6 — Le roulement
n’accomplit pas de travail. Nous trouvons le moment
d’inertie de la poulie en consultant le tableau 11.3,
afin d’obtenir le moment d’inertie d’un disque :
361
au module de la vitesse de la corde (qui est égal au
module de la vitesse du bloc). Alors, selon l’équation 11.13, nous avons la contrainte suivante :
(iii)
Résoudre le problème
où R est le rayon de la poulie.
Nous insérons le moment d’inertie ainsi que les
équations (ii) et (iii) dans l’équation (i) :
Identifier les clés
Le système est isolé, et la seule force d’interaction (la
force gravitationnelle) est une force conservative. La première clé est la conservation de l’énergie mécanique :
(i)
La deuxième clé est que le bloc et le poids sont reliés
par une corde qui ne s’étire pas. Leurs vitesses ont
alors le même module :
(ii)
La troisième clé est que la corde ne glisse pas sur
la poulie. Ceci implique que le module de la vitesse
d’un point de la circonférence de la poulie est égal
11.6
(réponse)
Valider la réponse
Remarquez que le rayon de la poulie n’a pas d’importance. Par contre, la masse de la poulie diminue le
module de la vitesse du bloc et du poids, car une partie de l’énergie potentielle est transformée en énergie
cinétique de rotation.
Le roulement
Lorsqu’une bicyclette avance, il y a une rotation des roues en plus d’une translation de toute la bicyclette. Le centre de masse d’une roue a un mouvement de
translation pure. Le mouvement des autres points de la roue est plus complexe.
La figure 11.22 montre la trajectoire de la valve, située près de la circonférence
de la jante de la roue. Son mouvement est composé d’une translation vers la
droite et d’une rotation en sens horaire.
FIGURE 11.22
Lorsqu’un objet roule, le centre de masse (point noir) se déplace en ligne droite, alors qu’un point
sur la circonférence (point rouge) a une trajectoire plus complexe, appelée cycloïde.
On veut étudier le roulement régulier, c’est-à-dire le mouvement d’un objet
qui roule sans glisser. La figure 11.23 (voir la page suivante) montre une roue qui
avance vers la droite. Le centre de masse a un déplacement
orienté vers la droite. En même temps, une ligne de référence a un déplacement
angulaire Δθ, en sens horaire. Comme la roue ne glisse pas, les deux déplacements sont proportionnels. En effet, le déplacement du centre de masse est égal
à la distance parcourue par un point sur la circonférence de la roue :
(11.26)
362
CHAPITRE 11 — La cinématique et l’énergie cinétique de rotation
FIGURE 11.23
Pour un roulement régulier, le centre de masse a un déplacement
cement angulaire est Δθ.
pendant que le dépla­
où R est le rayon de la roue. Cette équation est valable avec des valeurs absolues ; l’orientation des déplacements dépend du sens du mouvement de la roue et
de l’orientation du système de coordonnées. Si la roue effectue un tour complet,
son centre de masse se déplace de 2πR, c’est-à-dire d’une circonférence.
En dérivant l’équation 11.26 par rapport au temps, on trouve le module de la
vitesse, puis en dérivant de nouveau l’équation, on trouve le module de l’accélération du centre de masse de la roue :
(11.27)
(11.28)
où ω = |ωz| est le module de la vitesse angulaire et α = |αz|, le module de l’accélération angulaire. Notez qu’encore une fois, il faut exprimer l’angle en radians
pour que ces équations soient valides.
Pour un point sur la circonférence de la roue, la vitesse peut être décomposée
en deux parties. Par rapport au centre de masse, un point de la circonférence a
une vitesse de rotation
en plus de la vitesse de translation de la
roue entière
La présence du signe négatif dans la vitesse de rotation s’explique ainsi : dans la
figure 11.23, le déplacement de la roue vers la droite implique une rotation horaire.
Regardons trois points particuliers de la circonférence de la roue, illustrés à la
figure 11.24. Pour le point au sommet de la roue (le point 1), la vitesse associée
à la rotation
est vers la droite, comme la vitesse de translation. La vitesse
résultante est donc
Ce point a une vitesse deux fois plus grande que le centre de masse de la roue.
FIGURE 11.24
La vitesse de trois points sur la
circonférence de la roue
Pour le point 2 situé à la même hauteur que le centre de la roue, la vitesse
est orientée vers le bas ; la vitesse résultante est
11.6 — Le roulement
363
Pour ce point, la vitesse est orientée à 45° sous l’horizontale.
Finalement, pour le point en contact avec le sol (le point 3), la vitesse
vers l’arrière et la vitesse résultante est
est
Ce point est momentanément immobile par rapport au sol, ce qui est toujours
le cas lorsque la roue roule sans glisser. Nous verrons au prochain chapitre
que le roulement régulier est causé par une force de frottement statique, car le
point de contact est immobile par rapport au sol.
Il est possible de considérer le roulement d’une autre façon. Selon la figure 11.24,
le point de contact est immobile. Le centre de masse, situé à une distance R, a
une vitesse dont le module est vcm = Rω. Le point 1 est situé à une distance 2R
du point de contact, et le module de sa vitesse est v1 = 2Rω. De plus, pour
chaque point, on peut démontrer que la vitesse est perpendiculaire à la ligne qui
le relie au point de contact avec le sol. De façon momentanée, tous les points
décrivent un mouvement circulaire autour du point de contact. On peut donc
dire que le roulement est équivalent à une rotation pure autour du point de
contact, comme le montre la figure 11.25.
Si la roue glisse, alors il n’y a pas de relation générale entre le déplacement
linéaire et le déplacement angulaire. Le point de contact n’est pas immobile
dans cette situation. La force en cause sera la force de frottement cinétique.
EXEMPLE 11.9
FIGURE 11.25
Le roulement est équivalent à
une rotation pure autour du
point de contact.
On ralentit dans un village
En entrant dans un village, une automobiliste, roulant à 90 km/h, ralentit graduellement
jusqu’à 50,0 km/h en 8,0 s. Les pneus ont un diamètre de 75,0 cm et roulent sans glisser.
a. Calculez le module de l’accélération angulaire des pneus.
b. Combien de tours les pneus effectuent-ils durant le freinage ?
constante. Les équations du tableau 11.1 peuvent
être utilisées. L’accélération est obtenue à l’aide de la
première équation :
SOLUTION
Décortiquer le problème
(ii)
Résoudre le problème
Selon l’équation (ii), nous obtenons
SOLUTION a.
Identifier les clés
La clé est que les roues roulent sans glisser. Nous
pouvons alors calculer le module de l’accélération
angulaire à l’aide de l’équation 11.28 :
(i)
De plus, le changement de vitesse est graduel, ce
qui implique que l’accélération de la voiture est
Dans l’équation (i), nous avons besoin du module de
l’accélération a = | ax | = 1,39 m/s2. Nous trouvons le
module de l’accélération angulaire :
(réponse)
364
CHAPITRE 11 — La cinématique et l’énergie cinétique de rotation
SOLUTION b.
Identifier la clé
Résoudre le problème
La première clé est la quatrième équation du mouvement de translation dans le tableau 11.1 :
Nous trouvons le déplacement linéaire en remplaçant les valeurs dans l’équation (iii) :
(iii)
Le déplacement angulaire est alors
La deuxième clé est l’équation 11.26, qui met en
relation le déplacement linéaire et le déplacement
angulaire :
(réponse)
Valider la réponse
(iv)
Nous répondons bien aux questions, en donnant un
module pour l’accélération et le déplacement angulaire en tours.
L’énergie cinétique d’un objet qui roule
Un objet en rotation a de l’énergie cinétique
Pour trouver l’énergie
cinétique d’un objet qui roule, on peut considérer le roulement comme une
rotation pure autour du point de contact. La figure 11.26 indique une roue qui
se déplace à vitesse en roulant sans glisser. Le point P est le point de contact.
Si on analyse le mouvement comme une rotation autour de ce point, l’énergie
cinétique est, selon l’équation 11.22,
(11.29)
FIGURE 11.26
Le roulement d’une roue de rayon R
est équivalent à une rotation pure
autour du point de contact P.
où IP est le moment d’inertie par rapport au point P. Selon le théorème des axes
parallèles, IP = Icm + MR 2, car la distance entre le centre de masse et le point P
est le rayon R de la roue. L’énergie cinétique est alors
(11.30)
Or, Rω = vcm, le module de la vitesse du centre de masse de la roue. On obtient donc
Énergie cinétique
(roulement régulier)
(11.31)
L’énergie cinétique se divise en deux termes : le premier terme correspond
à l’énergie cinétique de rotation autour du centre de masse, et le deuxième terme
correspond à l’énergie cinétique de translation du centre de masse.
EXEMPLE 11.10
Une course classique
Une démonstration populaire dans les cours de physique consiste à faire rouler vers le bas
d’un plan incliné des objets homogènes de différentes formes. Soit une sphère pleine, un
cylindre plein et un cerceau, qu’on laisse aller en même temps à partir du repos. Les trois
objets qui ont le même rayon R et la même masse M, roulent sans glisser. Le plan incliné
a une hauteur h. Classez les objets par ordre d’arrivée au bas du plan.
11.6 — Le roulement
365
SOLUTION
Illustrer la situation
La figure 11.27 illustre le schéma de la situation
pour la sphère. Les autres objets se comportent de
la même façon.
(iii)
Décortiquer le problème
On analyse le mouvement de chaque objet séparément. Le système est constitué de l’objet et de la
Terre. La différence entre les trois objets vient de
leurs moments d’inertie, donnés au tableau 11.3.
Remarquez qu’il est possible d’écrire I = cMR 2
pour chaque objet, où c est le coefficient particu lier pour chaque forme. L’objet qui arrive le premier
est celui dont la vitesse du centre de masse est la
plus grande.
L’équation indique que plus c est élevé, plus le module de la vitesse finale du centre de masse est faible.
Selon les valeurs de c, les modules des vitesses sont
Donc,
la sphère arrive la première, puis le
cylindre et finalement le cerceau.
Identifier la clé
La clé est la conservation de l’énergie mécanique :
(réponse)
Valider la réponse
(i)
De plus, le roulement est régulier, car les objets ne
glissent pas :
(ii)
Résoudre le problème
Nous insérons l’équation (ii) dans l’équation (i), et
nous isolons vcm :
FIGURE 11.27
Le schéma de la situation pour l’exemple 11.10
Remarquez que la masse et le rayon n’ont pas d’importance, car ces paramètres se simplifient. Seule la
forme est importante. La sphère a la masse qui est
répartie le plus près du centre de masse. Pour cette
raison, la proportion d’énergie cinétique de rotation est plus faible, et la proportion d’énergie cinétique de translation est plus grande. Remarquez
aussi que les vitesses sont plus faibles que pour un
objet qui glisserait le long d’un plan sans frottement de même hauteur, car pour ce dernier, toute
l’énergie potentielle serait transformée en énergie
cinétique de translation.
366
CHAPITRE 11 — La cinématique et l’énergie cinétique de rotation
11.7
La transmission de la rotation
Pour faire avancer une bicyclette, un cycliste fait tourner les pédales. Ce mouvement de rotation est transmis à la roue arrière à l’aide d’une chaîne et de roues
dentées. De même, dans un moteur électrique, le mouvement de rotation est
transmis au moyen d’engrenages ou de courroies.
FIGURE 11.28
La figure 11.28 montre deux roues qui partagent le même essieu. On dit qu’elles
sont solidaires. Elles ont alors la même vitesse angulaire :
Deux roues solidaires ont la même
vitesse angulaire.
ω
(11.32)
ω
La rotation peut être aussi transmise en plaçant deux roues en contact, comme à
la figure 11.29. Dans ce cas, le point de contact entre les deux roues se déplace
à la même vitesse. Comme v = Rω pour un point de la circonférence d’une roue,
on obtient une relation entre les vitesses angulaires :
FIGURE 11.29
Lorsque deux roues sont en
contact, les vitesses linéaires
aux points de contact sont les
mêmes.
FIGURE 11.30
Pour deux poulies reliées par une
courroie ou une chaîne, les points
de la circonférence ont le même
module de vitesse linéaire.
Selon la figure, les deux roues doivent tourner en sens inverse. On peut le préciser
en écrivant une relation entre les vecteurs vitesse angulaire, avec un signe négatif :
ω
(11.33)
ω
Donc, la vitesse angulaire de la plus petite roue est plus grande que la vitesse
angulaire de la grande roue. Ceci est une méthode pour changer la vitesse angulaire d’un endroit à l’autre.
Dans le cas de la bicyclette, la rotation est transmise au moyen d’une chaîne
qui relie deux roues : une première roue (le plateau) solidaire du pédalier et une
deuxième roue (le pignon) solidaire de la roue arrière. La figure 11.30 illustre
une façon équivalente utilisant deux poulies et une courroie. Encore une fois, les
points de la circonférence des deux poulies doivent avoir des vitesses linéaires
de même module, car la courroie ne glisse pas sur les poulies. Tous les points de
la courroie, y compris ceux qui sont en contact avec la poulie, ont le même
module de vitesse. On obtient alors
On remarque, sur la figure, que les deux poulies tournent dans le même sens :
leurs vitesses angulaires sont parallèles :
ω
ω
.
(11.34)
Encore une fois, le module de la vitesse angulaire de la petite poulie sera plus
grand que le module de la vitesse angulaire de la grande poulie.
FIGURE 11.31
Dans un engrenage, le nombre de
dents est proportionnel au rayon.
De façon pratique, les roues sont souvent remplacées par des engrenages,
comme celui de la figure 11.31. On obtient les mêmes résultats. Pour que les
engrenages s’emboîtent correctement, il faut que les dents soient de la même
grandeur pour les deux roues dentées. C’est aussi le cas pour la transmission
par chaîne : les dents doivent bien s’insérer dans les maillons de la chaîne. Le
rayon des roues est proportionnel au nombre de dents N. On obtient alors, pour
les modules des vitesses angulaires :
(11.35)
11.7 — La transmission de la rotation
EXEMPLE 11.11
367
Le vent dans le dos
Un cycliste pédale à un rythme de 100 tr/min sur un vélo muni de roues ayant un diamètre
de 684 mm. Le pédalier a une roue (le plateau) de 50 dents qui est reliée au moyen d’une
chaîne à une petite roue dentée (le pignon) de 15 dents, elle-même solidaire de la roue
arrière. Quel est le module de la vitesse du cycliste ? Exprimez votre réponse en km/h.
SOLUTION
Illustrer la situation
La figure 11.32 illustre le schéma de la situation avec
les trois roues importantes : la roue du pédalier qui
tourne à une vitesse angulaire ω , le pignon de la
roue arrière (la petite roue dentée) qui a une vitesse
angulaire ω et la roue arrière complète, qui a une
vitesse angulaire ω .
Identifier les clés
Le problème se divise en trois parties. D’abord, la
roue 1 et la roue 2 sont reliées par une chaîne. La
première clé est l’équation 11.35 permettant de trouver le module de la vitesse angulaire du pignon :
(i)
Ensuite, la deuxième clé est que le pignon est solidaire de la roue arrière. Donc, la roue complète a la
même vitesse angulaire que le pignon :
(ii)
Finalement, la troisième clé est que la roue effectue
un roulement régulier. La vitesse du cycliste est celle
du centre de masse de la roue. Nous utilisons alors
l’équation 11.27 :
FIGURE 11.32
(iii)
Le schéma de la situation pour l’exemple 11.11
Résoudre le problème
Décortiquer le problème
En remplaçant les valeurs, nous obtenons
Il n’est pas important de donner le sens de rotation. Pour cette raison, nous utilisons seulement
les modules.
Valider la réponse
L’équation (iii) montre les facteurs importants pour
rouler rapidement en bicyclette : nous devons avoir
une bonne vitesse angulaire du pédalier, un grand
plateau au pédalier, un petit pignon sur la roue
arrière et de bonnes jambes.
368
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
RÉSUMÉ
RÉSUMÉ
Dans ce chapitre, nous avons commencé l’étude de la rotation des objets par la cinématique
et l’énergie cinétique. Nous avons aussi étudié le mouvement de roulement.
LES DÉFINITIONS
• Pour un objet en rotation, toutes les parties ont les
mêmes variables angulaires :
• L’énergie cinétique d’un objet en rotation est
Le moment d’inertie représente l’inertie de rotation
d’un objet :
Lorsque Icm est connu, le moment d’inertie par rapport
à un axe parallèle est calculé à l’aide du théorème des
axes parallèles :
• Le vecteur ω est parallèle à l’axe de rotation, et son sens
est donné par la règle de la main droite.
LES RÉSULTATS
• Lorsque l’accélération angulaire est constante, les équations du mouvement sont
• Une particule située à une distance r
de l’axe de rotation effectue un mouvement circulaire :
ω augmente
ω diminue
LES APPLICATIONS
Le roulement
Pour un objet qui roule sans glisser,
La transmission de rotation
ω
ω
ω
Pour une particule sur l’objet, située à
une distance r du centre de masse,
ω
ω
ω
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
369
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
Q questions qualitatives • E exercices simples • P problèmes • R problèmes récapitulatifs •
solution disponible
Section 11.1 Les variables angulaires
Q1 La figure 11.33 illustre la position angulaire d’une table
tournante en fonction du temps.
où θ est mesuré en radians et t, en secondes.
a. Quel est le sens de rotation initial ?
a. Calculez la vitesse angulaire moyenne entre 1,00 s
et 3,00 s.
b. À quel instant le disque s’immobilise-t-il momentanément ?
c. Quel est le signe de l’accélération angulaire ?
b. Quelle est la vitesse angulaire à 2,00 s ?
c. Quelle est l’accélération angulaire moyenne entre 1,00 s
et 3,00 s ?
P5 Une turbine, initialement immobile, est mise en marche
entre t = 0,00 s et t = 10,0 s. Sa position angulaire est donnée par l’expression :
où θ est mesuré en radians et t, en secondes.
FIGURE 11.33 • Question 1
E2 Une pièce rotative dans un moteur a une vitesse angu-
a. Combien de tours la turbine effectue-t-elle entre 0,00 s
et 10,0 s ?
b. Quelle est la vitesse angulaire à t = 5,00 s ?
laire en fonction du temps donnée par le graphique de la
figure 11.34. À t = 0, une ligne de référence a une position
angulaire de 1,25 rad.
c. À quel instant la vitesse angulaire est-elle maximale ?
a. Quelle est la position angulaire de la ligne de référence
à t = 5,0 s ?
effectue 1,50 tr avant de toucher l’eau. Il quitte le tremplin avec une vitesse de 1,50 m/s vers le haut. Calculez le
module de sa vitesse angulaire moyenne.
b. Quelle est l’accélération angulaire de la pièce rotative
à t = 1,0 s ?
d. Quelle est la vitesse angulaire maximale ?
R6 Dans l’épreuve du tremplin de 3,00 m, un plongeur
Section 11.2 La rotation à accélération angulaire constante
E7 Une scie circulaire tourne à 5 000 tr/min lorsqu’on
coupe le moteur. Elle s’arrête en 5,5 s. L’accélération angulaire est constante.
a. Quel est le module de l’accélération angulaire ?
b. Combien de tours la scie effectue-t-elle avant de s’arrêter ?
E8 Une table tournante a besoin de 14,0 tr pour que sa
vitesse angulaire passe de 12,0 rad/s à 20,4 rad/s lorsque
celle-ci subit une accélération angulaire constante.
FIGURE 11.34 • Exercice 2
a. Quelle est l’accélération angulaire de la table tournante ?
E3 Une montre analogique a des aiguilles dont le mouve-
b. Combien de temps faut-il pour que la vitesse angulaire
atteigne 18,0 rad/s ?
ment est continu. Calculez la vitesse angulaire moyenne, en
exprimant vos réponses en radians par seconde,
E9 Une roue, tournant initialement à une vitesse de
a. de l’aiguille des secondes ;
1,50 rad/s en sens horaire, subit une accélération angulaire
constante de 0,500 rad/s2 en sens antihoraire.
b. de l’aiguille des minutes ;
a. Après combien de temps la roue s’immobilise-t-elle ?
c. de l’aiguille des heures.
b. Quel est le déplacement angulaire à cet instant ?
E4 La position angulaire d’un disque en rotation est don-
c. À quel instant la roue revient-elle à sa position angulaire
initiale ?
née par l’expression :
370
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
P10 Un ventilateur, initialement au repos, prend 6,00 s
pour atteindre une vitesse angulaire de 100 tr/min, avec
une accélération angulaire constante. Ensuite, sa vitesse
angulaire est constante.
temps. La table tournante est illustrée à la figure 11.35. Le
point noir sur la figure représente une mouche qui se trouve
sur la table tournante. Classez les instants (i), (ii), (iii) et (iv)
par ordre décroissant selon :
a. Quelle est l’accélération angulaire entre 0,00 s et 6,00 s ?
a. le module de la vitesse de la mouche ;
b. Quelle est la vitesse angulaire à t = 3,00 s ?
b. le module de l’accélération tangentielle de la mouche ;
c. Combien de tours le ventilateur effectue-t-il entre t = 0,00 s
et t = 9,00 s ?
c. le module de l’accélération radiale de la mouche.
P11 Une roue, initialement immobile, subit une accéléra-
tion angulaire de 1,40 rad/s2. Dans un certain intervalle
de 2,50 s, elle effectue 5,00 tr.
a. Quelle est la vitesse angulaire au début de l’intervalle
de 2,50 s ?
b. À quel instant l’intervalle de 2,50 s débute-t-il ?
P12 Au temps initial, la position angulaire d’un tourniquet
est de 1,50 rad, et sa vitesse angulaire est de 2,50 rad/s.
À t = 5,80 s, sa position angulaire est de −1,20 rad. L’accélération angulaire est constante.
FIGURE 11.36 • Question 14
a. Quelle est sa vitesse angulaire à t = 5,80 s ?
b. Quelle est l’accélération angulaire ?
1,20 s pour atteindre une vitesse de 33,3 tr/min. Une pièce
de monnaie est placée sur la table, à une distance de 25,0 cm
du centre.
c. Quelle est la position angulaire maximale du tourniquet ?
a. Quel est le module de l’accélération angulaire de la table ?
d. À quel instant la position angulaire du tourniquet est-elle
de 0,00 rad ?
b. Quel est le module de la vitesse de la pièce de monnaie
à t = 0,50 s ?
Section 11.3 Les relations entre variables linéaires
et variables angulaires
c. Quelle est la distance parcourue par la pièce entre 0,00 s
et 1,20 s ?
Q13 La figure 11.35 montre une vue en plongée d’une table
E16 Une meule a un rayon de 10,0 cm, et elle tourne à une
tournante en rotation horaire, qui est en train de ralentir.
Le point noir de la figure est une mouche qui se trouve sur
la table, à une distance r de l’axe de rotation. En fonction
des vecteurs unitaires
donnez l’orientation des
vecteurs suivants :
a. la vitesse angulaire de la table tournante ;
b. l’accélération angulaire de la table tournante ;
E15 Une table tournante, initialement au repos, prend
vitesse de 500 tr/min en sens horaire lorsqu’on coupe le
moteur. Elle prend 48,9 s pour s’immobilier complètement.
a. Quelle est la vitesse initiale d’un point sur la circonférence
de la meule ?
b. Quelle est l’accélération à t = 48,0 s pour un point de
la circonférence de la meule ?
c. la vitesse linéaire de la mouche ;
c. Quel est le module de l’accélération d’un point sur la circonférence de la meule à t = 48,0 s ?
d. l’accélération radiale de la mouche ;
P17 Un pulsar est une étoile à neutrons, tournant très rapi-
e. l’accélération tangentielle de la mouche.
dement sur elle-même. Il émet ainsi un faisceau radio, de
la même manière qu’un phare émet de la lumière. On peut
alors mesurer la période de rotation d’un pulsar très précisément en mesurant le temps entre deux pulsations. Le
système binaire PSR B1913+16 contient un pulsar dont la
période de rotation est de 0,059 029 997 9 s. Cette période
augmente très légèrement en fonction du temps à un taux
de 2,722 5 × 10−10 s/an.
FIGURE 11.35 • Questions 13 et 14
Q14 La figure 11.36 montre le graphique de la vitesse
angulaire d’une table tournante horizontale en fonction du
a. Quel est présentement le module de la vitesse angulaire de
ce pulsar ?
b. Quel est le module de l’accélération angulaire de ce pulsar ?
c. Si l’accélération angulaire restait constante, combien de
temps serait-il nécessaire pour que sa rotation soit arrêtée ?
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
371
Ce système binaire a permis de vérifier la théorie de la relativité générale d’Einstein avec une grande précision. Il a été
découvert par Russel Hulse et Joseph Taylor en 1974. Ces
derniers ont reçu le prix Nobel de physique en 1993 pour
cette importante découverte.
E23 Une molécule de Cl2 est constituée de deux atomes de
Section 11.4 L’énergie cinétique de rotation
et le moment d’inertie
a. Quel est le moment d’inertie de la molécule par rapport à
l’axe qui passe par son centre de masse ?
Q18 La figure 11.37 montre un système constitué de trois
b. Quel est le module de la vitesse angulaire de la molécule ?
sphères de masse identique reliées par des tiges identiques
de masse négligeable. La figure montre aussi quatre axes
autour desquels on peut faire tourner le système. Classez
les axes dans l’ordre croissant du moment d’inertie du système par rapport à ces axes.
c. Quel est le module de la vitesse linéaire de chaque atome
autour du centre de masse ?
chlore séparés d’une distance de 0,199 nm. Elle a une énergie cinétique de rotation de 4,19 × 10−24 J lorsque les deux
atomes tournent autour du centre de masse de la molécule.
La masse d’un atome de chlore est de 35,5 u.
E24 Un mètre en bois a une masse de 90,0 g. Calculez le
moment d’inertie par rapport à un axe perpendiculaire au
mètre et qui passe par la marque de 75,0 cm.
E25 Le système de la figure 11.39 est constitué de trois
petites masses ayant chacune une masse m reliées par deux
tiges de longueur L et de masse M. Quel est le moment
d’inertie par rapport à l’axe illustré, situé au centre de la
tige de gauche ?
FIGURE 11.37 • Question 18
E19 On donne une énergie cinétique de 0,670 J à un objet
en le faisant tourner autour de son centre de masse. Il tourne
alors avec une vitesse angulaire de 3,50 rad/s. Quel est le
moment d’inertie de cet objet par rapport à l’axe choisi ?
E20 En considérant la Terre comme une sphère pleine, cal-
culez son énergie cinétique de rotation.
E21 Le système de la figure 11.38 tourne autour de l’axe
des z (qui passe au centre de la masse c) avec une vitesse
angulaire de 10,2 rad/s. Les tiges ont une masse négligeable.
a. Quel est le moment d’inertie du système ?
b. Quelle est l’énergie cinétique du système ?
FIGURE 11.39 • Exercice 25
P26 Un volant comporte un disque plein central ayant un
rayon de 5,00 cm et une masse de 270 g, un cerceau ayant
un rayon de 10,0 cm et une masse de 100 g, et trois tiges identiques ayant chacune une longueur de 5,00 cm et une masse
de 50,0 g (voir la figure 11.40). Le volant tourne autour de son
centre de masse à une vitesse angulaire de 1,20 tr/s.
a. Quel est le moment d’inertie du volant par rapport à l’axe
illustré ?
b. Quelle est l’énergie cinétique de rotation du volant ?
FIGURE 11.40 • Problème 26
FIGURE 11.38 • Exercices 21 et 22
P27 Démontrez que le moment d’inertie d’un cerceau de
masse M et de rayon R par rapport à son axe est I = MR 2.
E22 On fait tourner le système de la figure 11.38 autour d’un
axe oblique, qui passe par la masse b et la masse c, et qui est
dans le plan des xy, à une vitesse angulaire de 90,0 tr/min.
a. Quel est le moment d’inertie du système par rapport à
l’axe choisi ?
b. Quelle est l’énergie cinétique du système ?
P28 On fait tourner un cerceau autour de son diamètre.
Le cerceau a un rayon R et une masse M. Montrez que le
moment d’inertie est I = MR 2 /2.
P29 Un disque plein a un rayon R et une masse M. On le
fait tourner autour d’un axe perpendiculaire qui passe par
son centre (voir la figure 11.41 à la page suivante). Pour
372
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
calculer le moment d’inertie, on peut diviser le disque en
cerceaux de rayon r et d’épaisseur dr.
a. le module de sa vitesse angulaire ;
b. le module de la vitesse du point a marqué sur la figure.
a. Montrez que la masse d’un cerceau est
b. À l’aide d’une intégrale, montrez que le moment d’inertie
est I = MR 2 /2.
FIGURE 11.43 • Problème 32
P33 On enroule une corde sur un cylindre ayant un rayon
FIGURE 11.41 • Problème 29
Section 11.5 La conservation de l’énergie
P30 Une tige de longueur L est libre de tourner autour d’un
pivot sans frottement qui passe par son extrémité gauche.
Le pivot est fixé à un mur, et la tige est initialement horizon­
tale (voir la figure 11.42). On la laisse aller. Lorsque la tige
est verticale, déterminez :
R = 15,0 cm et une masse M = 700 g. On attache au bout
de la corde un poids m = 180 g, comme le montre la fi­
gure 11.44. Le système est initialement immobile. On laisse
tomber le bloc sur une distance de 1,10 m. Le cylindre
tourne autour de son centre de masse.
a. Quelle est la vitesse du poids à la fin de sa chute ?
b. Quel est le module de la vitesse angulaire du cylindre à la
fin de la chute du poids ?
c. Combien de tours le cylindre a­t­il effectué ?
a. la vitesse angulaire ;
b. la vitesse d’un point à son extrémité libre.
FIGURE 11.44 • Problème 33
R34 Un pendule d’une horloge grand­père est composé
FIGURE 11.42 • Problèmes 30 et 31
P31 Une tige d’une longueur de 1,50 m est libre de tour­
ner autour d’un pivot sans frottement qui passe par son
extrémité gauche. Le pivot est fixé à un mur, et la tige est
initialement horizontale (voir la figure 11.42). On la laisse
aller. Lorsque la tige est verticale, déterminez :
a. la vitesse angulaire ;
b. la vitesse d’un point à son extrémité libre.
P32 Un disque de 30,0 cm de diamètre est libre de tourner
autour d’un axe qui passe par un point de sa circonférence.
Au départ, le disque est à sa position la plus haute. On
lui donne une petite poussée pour qu’il se mette à tourner
autour de l’axe (voir la figure 11.43). Lorsqu’il est à sa posi­
tion la plus basse, calculez :
d’une tige de longueur L = 29,76 cm ayant une masse
m = 1,20 kg et d’une sphère creuse de rayon R = 5,00 cm et
de masse m identique à celle de la tige (voir la figure 11.45).
Le pendule peut tourner sans frottement autour d’un pivot,
situé à l’extrémité de la tige. Lorsque le pendule forme un
angle de 5,00°, il est momentanément immobile.
a. Par rapport au pivot, calculez la position du centre de
masse du pendule.
b. Calculez le moment d’inertie du pendule par rapport à
l’axe qui passe par le pivot.
c. Calculez le module de la vitesse angulaire du pendule
lorsque celui­ci est vertical.
d. Calculez le module de la vitesse linéaire du centre de
masse lorsque le pendule est vertical.
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
373
distance de 9,50 m avec une accélération constante. Les
pneus ne dérapent pas durant le freinage.
a. Quelle est la vitesse angulaire initiale des roues de la
bicyclette ?
b. Quelle est l’accélération angulaire des roues durant le
freinage ?
c. Combien de temps le freinage dure-t-il ?
FIGURE 11.45 • Problème récapitulatif 34
Section 11.6 Le roulement
Q35 Un rolla bolla est un accessoire d’équilibriste qui
consiste en une planche placée sur un cylindre de rayon R
(voir la figure 11.46). Le cylindre effectue un tour en roulant sans glisser. La planche ne glisse pas sur le cylindre.
Déterminez la distance que parcourt :
a. le cylindre, par rapport au sol ;
b. la planche, par rapport au cylindre ;
c. la planche, par rapport au sol.
E38 Un cylindre de 10,0 cm de rayon et ayant une masse
de 1,10 kg se déplace en roulant sans glisser vers la droite
avec une vitesse dont le module est de 3,05 m/s.
a. Quel est le module de la vitesse angulaire du cylindre ?
b. Quelle est son énergie cinétique ?
c. Quel est le rapport entre l’énergie cinétique de rotation et
l’énergie cinétique de translation ?
E39 Une balle de ping-pong (une sphère creuse) roule sans
glisser sur une surface horizontale, puis rencontre un plan
incliné vers le haut à 12,0° par rapport à l’horizontale. Elle
roule sur une distance de 1,25 m le long du plan avant de
s’immobiliser momentanément. Quel était le module de sa
vitesse lorsque la balle roulait sur la surface horizontale ?
P40 On place une sphère pleine ayant un rayon r à l’inté-
rieur d’un bol en forme d’hémisphère de rayon R. On laisse
aller la sphère, initialement au repos, à la position indiquée
sur la figure 11.48. Quel est le module de la vitesse angulaire de la sphère lorsque celle-ci se trouve au point le plus
bas du bol ?
FIGURE 11.46 • Question 35
Q36 Une sphère pleine a une masse m1 = m, et un bloc a une
masse m2 = m. On les laisse aller à partir de la même hauteur, le long de deux plans inclinés ayant le même angle θ
(voir la figure 11.47). Le bloc glisse sans frottement, alors
que la sphère roule sans glisser.
a. Quel objet a le plus d’énergie cinétique au bas du plan
incliné ?
b. Quel objet a la plus grande vitesse linéaire au bas du plan
incliné ?
FIGURE 11.48 • Problèmes 40 et 41
P41 On place une sphère pleine, ayant un rayon r = 1,00 cm,
à l’intérieur d’un bol en forme d’hémisphère de rayon
R = 50,0 cm. On laisse aller la sphère, initialement au repos,
à la position indiquée sur la figure 11.48, avec φ = 70,0°.
Elle roule sans glisser vers le bas du bol. Quel est le module
de la vitesse linéaire de la sphère lorsque celle-ci se trouve
au point le plus bas du bol ?
R42 Un ballon de basketball se trouve initialement immo-
FIGURE 11.47 • Question 36
E37 Une bicyclette roule initialement à 25,0 km/h vers la
droite. Les roues ont un diamètre de 700 mm et tournent
en sens horaire. Le cycliste freine et s’immobilise sur une
bile sur un toit de maison incliné à θ = 28,0° (voir la fi ­
gure 11.49 à la page suivante). Il se met à rouler sans glisser
sur une distance L = 4,50 m avant d’arriver au bout du toit.
Il continue sa trajectoire jusqu’au sol. Le bord du toit se
trouve à une hauteur h = 4,00 m par rapport au sol. Le ballon peut être considéré comme une sphère creuse.
374
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
a. Quel est le module de la vitesse du ballon lorsque celui-ci
arrive au bord du toit ?
Section 11.7 La transmission de la rotation
b. À quelle distance horizontale d du bord du toit le ballon
arrive-t-il au sol ?
reliant la Basse-Ville et la Haute-Ville de Québec. Pour que
cette montée soit plus facile, la bicyclette doit avoir une
faible vitesse.
c. À quel angle le ballon frappe-t-il le sol ?
Q45 Une cycliste veut monter la côte de la Pente-Douce
a. La roue dentée du pédalier doit-elle avoir un grand rayon
ou un petit rayon ?
b. La roue dentée de la roue arrière doit-elle avoir un grand
rayon ou un petit rayon ?
E46 Un cycliste utilise une roue de 40 dents sur son péda-
lier et une roue de 19 dents sur la roue arrière. Le diamètre
de la roue arrière est de 700 mm. Le cycliste se déplace à
une vitesse de 23,0 km/h.
FIGURE 11.49 • Problème récapitulatif 42
R43 Dans un billard électronique (communément appelé
machine à boules), un piston à ressort est utilisé pour
lancer une bille d’acier de 2,50 cm de diamètre dont
la masse est de 64,4 g, le long d’un plan incliné à 8,00°
(voir la figure 11.50). Le ressort a une constante de rappel
k = 90,5 N/m. Il est comprimé de 4,00 cm durant le lancer.
Après celui-ci, la bille roule vers le haut sans glisser et le
piston reste immobile. Quel est le module de la vitesse de la
bille après que celle-ci a parcouru une distance de 40,0 cm,
après avoir perdu contact avec le piston ?
a. Quel est le module de la vitesse angulaire du pédalier,
exprimé en tr/min ?
b. Le cycliste garde la même vitesse angulaire du pédalier,
mais il change la roue dentée de la roue arrière pour une
roue avec 17 dents. Quel est le module de la nouvelle
vitesse du cycliste ?
E47 Un moteur tourne à 1 200 tr/min. La rotation est
transmise au moyen d’un engrenage composé de deux
roues dentées. La roue solidaire du moteur a un rayon de
12,0 mm, et l’autre roue a un rayon de 20,0 cm.
a. Quel est le module de la vitesse angulaire de la deu xième
roue ?
b. Quel est le module de la vitesse linéaire d’un point à la
circonférence de la deuxième roue ?
P48 Initialement au repos, un moteur prend 4,50 s pour
FIGURE 11.50 • Problème récapitulatif 43
R44 Un cylindre plein de rayon r est placé, immobile, sur
la piste inclinée de la figure 11.51. Au bas, la piste forme un
arc de cercle de rayon R  r. Quelle est la hauteur initiale h
du cylindre pour que celui-ci soit sur le point de perdre
contact au point P ?
FIGURE 11.51 • Problème récapitulatif 44
que sa vitesse angulaire atteigne 800 tr/min. Une poulie
de 1,50 cm de diamètre est reliée à l’arbre du moteur. Une
courroie relie la première poulie à une deuxième poulie
ayant un diamètre de 10,0 cm. La courroie ne glisse pas.
a. Quel est le module de l’accélération angulaire du moteur ?
b. Quel est le module de l’accélération angulaire de la
deuxième poulie ?
c. Combien de tours le moteur effectue-t-il durant ces 4,50 s ?
d. Combien de tours la deuxième poulie effectue-t-elle durant
ces 4,50 s ?
SOLUTIONS AUX TESTS DE COMPRÉHENSION
375
SOLUTIONS AUX TESTS DE COMPRÉHENSION
11.1 a. en sens horaire
b. en sens antihoraire
La rotation est en sens antihoraire si Δθ = θf − θi est positif, et la rotation est
en sens horaire si Δθ est négatif.
c. en sens horaire
d. en sens horaire
11.2 a. αz < 0
ωz < 0 en sens horaire, et αz a le même signe que ωz parce que la rotation
s’accélère.
b. αz > 0
ωz < 0 en sens horaire, et αz a le signe opposé à ωz parce que la rotation
ralentit.
c. αz > 0
ωz > 0 en sens antihoraire, et αz a le même signe que ωz parce que la rotation
s’accélère.
d. αz < 0
ωz > 0 en sens horaire, et αz a le signe opposé à ωz parce que la rotation
ralentit.
ce qui donne I(i) = 2mr 2,
11.3 (i) < (iii) < (ii) < (iv)
Le moment d’inertie se calcule par
I(ii) = 8mr 2, I(iii) = 4mr 2 et I(iv) = 16mr 2.
11.4 (ii) < (iii) < (i) = (iv)
Les axes sont parallèles. Selon le théorème des axes parallèles, plus l’axe est
éloigné du centre de masse, plus le moment d’inertie est grand.
Chapitre
376
La dynamique
de rotation
Buts du chapitre
Dans ce chapitre, on continue l’examen de la rotation en considérant la dynamique et le principe de conservation du moment cinétique. Après l’étude de ce
chapitre, vous serez en mesure :
• de calculer le moment de force généré par une force ;
• de calculer le moment cinétique d’une particule en mouvement ou d’un objet
en rotation ;
• d’appliquer la deuxième loi de Newton à la rotation autour d’un axe fixe ;
• de calculer le travail effectué et la puissance produite par un moment de force ;
• d’appliquer le principe de conservation du moment cinétique ;
• d’étudier l’équilibre statique des objets rigides.
Préalables
Dans ce chapitre, on étudie l’effet des forces dans la rotation. Revoyez :
• le produit vectoriel, présenté à la section 2.5 ;
• le diagramme des forces et la deuxième loi de Newton, étudiés aux
sections 5.3 et 5.6 ;
• le travail et la puissance, décrits dans les sections 8.3, 8.4 et 8.7 ;
• la conservation de la quantité de mouvement, analysée à la section 10.4 ;
• les variables angulaires, définies à la section 11.1 ;
• l’énergie cinétique de rotation, étudiée à la section 11.4.
377
Pour augmenter la vitesse
angulaire, les plongeuses
prennent une position carpée.
378
CHAPITRE 12 — La dynamique de rotation
Dans ce chapitre, nous poursuivons l’étude du movement de rotation.
Nous analyserons les causes de celle-ci, c’est-à-dire la dynamique de rotation. Nous verrons que pour qu’un objet ait une accélération angulaire, on doit
lui appliquer une force. Contrairement au mouvement de translation, l’effet de la
force sur l’objet dépend du point d’application de la force, en plus du module et
de l’orientation. Nous aurons besoin d’ajouter une quantité angulaire associée
à la force, appelée le moment de force. Cette quantité est construite à partir du
module, de l’orientation et de la position du point d’application de la force.
Au chapitre 8, nous avons défini le travail comme un transfert d’énergie d’un
agent vers un objet. Ce transfert est aussi possible pour un objet en rotation, car
celui-ci possède de l’énergie cinétique. Nous verrons comment calculer le travail et la puissance transférés à un objet en rotation. Par exemple, un moteur
électrique fait tourner un disque dur d’ordinateur en effectuant un travail sur le
disque qui tourne.
Les plongeuses de la photographie de l’ouverture du chapitre tournent rapidement autour de leur centre de masse. Elles adoptent une position où les jambes
sont très près du corps. Lorsqu’elles s’approchent de l’eau, elles doivent étendre
les bras et les jambes pour ralentir la rotation. Nous verrons comment ces plongeuses peuvent changer leur vitesse angulaire à partir d’un autre principe de
conservation, celui du moment cinétique. Le moment cinétique est une autre
quantité angulaire que nous devons présenter. Il est l’équivalent en rotation de
la quantité de mouvement.
12.1
Le moment de force
Selon la deuxième loi de Newton, un objet accélère lorsqu’une force résultante
est appliquée sur celui-ci. L’accélération a une cause. Pour un objet en rotation,
l’accélération angulaire doit aussi avoir une cause. Cette cause est une quantité
angulaire associée à la force qu’on appelle le moment de force.
FIGURE 12.1
Une vue en plongée d’une porte sur
laquelle on exerce successivement
les forces illustrées.
Prenons par exemple une porte qu’on veut fermer. La porte est fixée au mur par
des charnières. Elle peut tourner autour d’un axe vertical qui passe par celles-ci.
La figure 12.1 illustre une vue en plongée d’une porte, sur laquelle sont exercées
une à la fois les forces illustrées. Toutes les forces ont le même module.
Si vous exercez uniquement la force , la porte ne bougera pas. Une force parallèle
à la porte ne peut la faire tourner. Par contre, la force fera tourner la porte, car
elle est perpendiculaire à la porte. Vous pouvez aussi fermer la porte en exerçant
les forces ou , mais la tâche sera plus difficile. La force est oblique, ce qui
diminue son efficacité à produire une rotation. De même, la force est moins efficace pour faire tourner la porte, car elle est appliquée près du pivot (les charnières).
FIGURE 12.2
La force est appliquée à une
distance r de l’axe.
Le moment de force est la capacité d’une force à produire une rotation
d’un objet autour d’un axe. Cette quantité dépend du module de la force, de
son orientation et de la position de son point d’application.
La figure 12.2 illustre une force quelconque appliquée sur un objet rigide. Le
moment de force, représenté par la lettre grecque τ (se prononce « tau »), est
Moment de force
(12.1)
12.1 — Le moment de force
379
où r est la distance entre le point d’application de la force et l’axe de rota­
tion, et f est l’angle entre la force et la direction radiale (avec 0° ≤ f ≤ 180°).
Le point d’application de la force est mis en évidence à la figure 12.2. Le
signe du moment de force dépend du sens de rotation : selon la conven­
tion présentée au chapitre 11 à la page 341, le signe + est utilisé lorsque
le moment de force produit une rotation antihoraire, et le signe − est
utilisé pour une rotation horaire. Dans la figure 12.2, τ z > 0. Un indice z
est ajouté, car cette définition donne en fait la composante z du vecteur
moment de force τ , notion qui sera abordée sous peu.
La définition peut être formulée de façon différente. La figure 12.3a montre
que F sin f = Fθ représente la composante tangentielle de la force. Le moment
de force s’écrit
(12.2)
La figure 12.3b montre une autre façon de calculer le moment de force. La ligne
d’action de la force correspond à la direction de la force . La distance (perpen­
diculaire) entre cette ligne et l’axe est appelée le bras de levier r⊥ = r sin f. Le
moment de force s’écrit
(12.3)
(a)
(b)
FIGURE 12.3
(a) Le moment de force peut être calculé à partir de la force tangentielle Fθ = F sin f. (b) Le
moment de force peut être calculé à partir du bras de levier r⊥ = r sin f.
Vous devez être capable d’utiliser l’une ou l’autre des façons pour calculer le
moment de force. Selon la situation, l’une des équations peut être plus facile
à utiliser.
Revenons à l’exemple de la porte, illustré de nouveau à la figure 12.4. La force
ne produit pas de rotation, car son moment de force est nul. En effet, cette force
est radiale (f = 0°). De façon équivalente, la ligne d’action passe par la char­
nière, ce qui fait que son bras de levier est nul. La force
est la plus efficace,
car son moment de force est le plus grand. En effet, sa composante tangentielle
est plus grande que la composante tangentielle de . En outre, le bras de levier
de est plus grand que le bras de levier de la force .
Il est important de comprendre que le moment de force est défini par rapport
à un axe. Si l’axe change, le moment de force va changer. Dans le SI, l’unité du
moment de force est le newton­mètre (N · m). Celui­ci a les mêmes dimensions
que le joule, l’unité d’énergie. Cependant, l’unité J est utilisée exclusivement
pour l’énergie.
FIGURE 12.4
Une vue en plongée d’une porte sur
laquelle on exerce successivement
les forces illustrées.
380
CHAPITRE 12 — La dynamique de rotation
REMARQUE
Comme au chapitre 11, lorsque l’axe est fixe, nous choisissons habituellement le système de coordonnées pour que l’axe des z soit parallèle à l’axe de rotation. De plus, nous ne faisons pas de différence
entre un vecteur τ
et sa composante τz lorsque ce vecteur n’a
qu’une seule composante. Ceci permet d’alléger l’écriture.
EXEMPLE 12.1
Un écrou à visser
Pour visser un écrou, on applique une force verticale de 150 N
sur la clé, comme il est indiqué dans la figure ci-contre. La clé
est inclinée à un angle de 20,0° par rapport à l’horizontale. La
distance entre le point d’application de la force et le centre
de l’écrou est de 16,0 cm. Calculez le moment de force par
rapport à un axe qui passe par le centre de l’écrou.
Selon le schéma de la situation,
SOLUTION
Illustrer la situation
Le schéma de la situation est illustré à la figure 12.5.
Nous y avons tracé l’angle f.
Identifier la clé
La clé pour calculer le moment de force est l’équation 12.1. La force produit une rotation horaire, donc
le moment de force est négatif :
Résoudre le problème
En remplaçant les valeurs, nous obtenons
FIGURE 12.5
(réponse)
Le schéma de la situation pour l’exemple 12.1
Valider la réponse
Décortiquer le problème
Il faut faire attention à l’angle : f est l’angle entre la
direction radiale et la force. Il faut un moment de
force négatif pour obtenir une rotation horaire et visser l’écrou.
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 12.1
La figure de la page suivante illustre une vue en plongée d’un mètre en
bois placé à l’horizontale sur une table. Le mètre peut pivoter autour de
la marque de 30 cm. On applique successivement les forces illustrées,
qui ont toutes le même module. La position sur le mètre des points
d’application est indiquée en centimètres.
a. Classez selon un ordre croissant les modules des moments de force
générés par les forces illustrées.
b. Indiquez le signe des moments de force.
12.1 — Le moment de force
Le moment de force résultant
La figure 12.6 illustre une situation où un objet est soumis à plusieurs forces
L’objet peut tourner autour d’un pivot. Le pivot exerce aussi une
force
afin que l’objet n’ait pas de mouvement de translation. Chaque force
exerce un moment de force τ1z, τ2z, . . . La force du pivot génère un moment
de force nul parce qu’elle est exercée sur l’axe, ce qui implique que son
bras de levier est nul (r⊥ = 0). Le moment de force est une quantité vectorielle ;
les moments de force peuvent être remplacés par un moment de force résultant :
(12.4)
FIGURE 12.6
Plusieurs forces produisent un
moment de force résultant.
C’est le principe de superposition pour le moment de force.
Le moment de force de la force gravitationnelle
Contrairement à une force de poussée, la force gravitationnelle est une force à
action répartie, c’est-à-dire qu’elle s’applique sur chaque partie d’un objet. Pour
calculer le moment de force qu’exerce la force gravitationnelle, on doit diviser
l’objet en parties et calculer le moment de force résultant.
À la figure 12.7, un objet est libre de tourner autour d’un pivot. Pour obtenir
le moment de force généré par la force gravitationnelle, on divise l’objet en plusieurs parties. On a placé l’origine du système de coordonnées à la position du
pivot. On a aussi illustré deux parties (m1 à la coordonnée x 1 et m2 à la coordonnée x 2) avec leur bras de levier (r 1⊥ et r 2⊥). La force Fg1 génère un moment
de force positif (en sens antihoraire), alors que la force
génère un moment de
force négatif (en sens horaire). Ceci implique que le signe du moment de force
sur la particule i est opposé au signe de sa coordonnée. On obtient
Le moment de force résultant est la somme des moments de force générés sur
chaque partie :
Selon la définition du centre de masse, donnée à l’équation 10.15 de la page 305,
la somme est proportionnelle à la position du centre de masse :
Le moment de force résultant de la force gravitationnelle est
(12.5)
FIGURE 12.7
La force gravitationnelle exerce
un moment de force sur toutes
les parties de l’objet.
381
382
CHAPITRE 12 — La dynamique de rotation
Or, xcm représente la distance entre le centre de masse et le pivot, et Mg représente le module de la force gravitationnelle résultante sur l’objet complet.
On obtient le même résultat que si toute la masse de l’objet était concentrée
au centre de masse. Le signe négatif indique que dans la présente situation,
le centre de masse est à droite du pivot, ce qui produit un moment de force en
sens horaire. On obtient le résultat général suivant.
Moment de force gravitationnel
Le moment de force de la force gravitationnelle sur un objet étendu de
masse M est équivalent au moment de force de la force
dont le point d’application est le centre de masse de l’objet. On calcule le
moment de force gravitationnel en remplaçant l’objet par une masse M
concentrée au centre de masse.
Ce résultat nous donne une méthode expérimentale pour trouver le centre de
masse d’un objet. On place l’objet sur un pivot, puis on déplace le pivot pour
que l’objet soit en équilibre. À cet endroit, le moment de force de est nul, ce
qui implique que xcm = 0, c’est-à-dire que le pivot est vis-à-vis du centre de masse.
EXEMPLE 12.2 Le moment de force sur un madrier
Un madrier a une longueur de 2,430 m et une masse de 17,6 kg. Il est supporté par un pivot
situé à une distance de 40,6 cm de son extrémité droite, et il touche au sol à son extrémité
gauche. Il est incliné à 10,0° par rapport à l’horizontale. Calculez le moment de force de la
force gravitationnelle par rapport au pivot.
L’angle entre
SOLUTION
Illustrer la situation
Nous illustrons à la figure 12.8 le madrier et la force
gravitationnelle qui est exercée au centre de masse,
c’est-à-dire au centre du madrier. Nous indiquons
aussi la distance r entre le pivot et le point d’application de la force gravitationnelle.
et le madrier est
(ii)
La force gravitationnelle tend à faire tourner le
madrier en sens antihoraire.
Identifier la clé
La clé pour calculer le moment de force est l’équation 12.1, avec un signe positif, car le moment de
force est en sens antihoraire :
(iii)
Résoudre le problème
Nous obtenons
FIGURE 12.8
Le schéma de la situation pour l’exemple 12.2
(réponse)
Décortiquer le problème
Valider la réponse
La distance entre le point d’application de
pivot est
et le
(i)
Remarquez que le sol exerce aussi un moment de
force, car il exerce une force normale vers le haut. Le
madrier est alors en équilibre statique. Nous étudierons en détail l’équilibre statique des corps rigides à
la section 12.7.
12.1 — Le moment de force
Le vecteur moment de force
La figure 12.9a montre une partie d’un disque dans le plan des xy. On applique
une force pour le faire tourner autour d’un axe qui passe par le point O. On trace
le vecteur qui va de l’axe O jusqu’au point d’application de la force. Le vecteur τ
est défini à l’aide des vecteurs et , de telle sorte que son module soit donné
par τ = rF sin f. Ceci est obtenu par le produit vectoriel des deux vecteurs :
τ
(12.6)
×
(a)
(b)
FIGURE 12.9
(a) Une force est exercée sur un disque, et le vecteur va de l’axe O au point d’application
de la force. (b) Le vecteur τ est le résultat du produit vectoriel de et .
Le produit vectoriel a été défini à la section 2.5. Pour calculer le résultat d’un
produit vectoriel, il faut d’abord placer les deux vecteurs de façon à ce qu’ils
aient la même origine, comme à la figure 12.9b. Le module de τ est
(12.7)
τ
où f est le plus petit angle entre les deux vecteurs. Le vecteur τ est perpendiculaire à et à . Dans la situation illustrée à la figure 12.6b, les vecteurs et
sont dans le plan des xy, ce qui implique que τ a la même direction que l’axe
des z. Pour obtenir le sens de τ , on utilise la règle de la main droite : on oriente les
doigts selon le premier vecteur (ici, c’est ), on tourne les doigts vers le deuxième
vecteur (ici, c’est ). Le pouce donne le sens de τ (voir la figure 12.9b).
Remarquez que dans la situation illustrée à la figure 12.9a, la force produit une
rotation antihoraire. Lorsqu’on applique la règle de la main droite, du vecteur
vers le vecteur , les doigts tournent en sens antihoraire et le pouce a le même
sens que l’axe des z (donc τz > 0). Si les doigts tournaient en sens horaire, alors τ
serait opposé au sens de l’axe des z (donc τz < 0).
Il est aussi possible de calculer le produit vectoriel à partir des composantes
des vecteurs et , comme il est expliqué à la section 2.5 de la page 46. Dans
le cas général, le vecteur et le vecteur s’expriment en fonction des vecteurs
unitaires de la façon suivante :
On trouve le produit vectoriel entre chaque paire des vecteurs unitaires :
×
×
×
×
×
×
×
×
×
Moment de force
383
384
CHAPITRE 12 — La dynamique de rotation
Le moment de force est alors, selon le résultat de l’équation 2.35 de la page 47,
(12.8)
τ
La définition du moment de force donnée par l’équation 12.6 permet de calculer le moment de force dans n’importe quelle situation, avec un axe fixe
quelconque ou un axe qui change d’orientation. Lorsque l’axe est fixe, on
choisit habituellement un système de coordonnées cartésiennes avec l’axe
des z parallèle à l’axe de rotation pour que tous les moments de force n’aient
qu’une composante z.
MISE EN GARDE
Le produit vectoriel n’est pas commutatif. Il faut respecter l’ordre
×
des vecteurs τ
Pour le moment de force, le premier vecteur
est toujours .
EXEMPLE 12.3
Le moment de force sur une sphère
Une force
N est appliquée sur une sphère à la position
par rapport au centre de la sphère. Calculez le
moment de force par rapport au centre de la sphère.
SOLUTION
Illustrer la situation
Résoudre le problème
Nous remplaçons les valeurs :
Nous traçons à la figure 12.10 une projection dans le
plan des xy du schéma de la situation.
τ
(réponse)
Valider la réponse
Nous pouvons vérifier l’orientation du moment de
force à l’aide de la règle de la main droite, comme
le montre la figure 12.11. En plaçant et avec la
même origine, nous tournons les doigts de vers .
Le pouce est alors vers le bas, c’est-à-dire que τ
est orienté dans le sens opposé à l’axe des z.
FIGURE 12.10
Le schéma de la situation pour l’exemple 12.3
Décortiquer le problème
τ
FIGURE 12.11
La validation de l’orientation de τ
Identifier la clé
Comme nous avons les vecteurs en fonction des vecteurs unitaires, la clé est l’équation 12.8 :
τ
×
(i)
12.2 — La deuxième loi de Newton en rotation
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 12.2
Un objet est soumis à une force dont le point d’application est placé sur
l’axe des y, à une coordonnée positive. Une force parallèle à l’un des axes
des coordonnées est appliquée. Déterminez l’orientation de la force si le
moment de force par rapport à l’origine est :
a. nul ;
b. orienté dans le même sens que l’axe des z ;
c. orienté dans le sens opposé de l’axe des x.
12.2
La deuxième loi de Newton
en rotation
La section précédente a décrit la façon de calculer le moment de force dans différentes situations. Le moment de force est l’équivalent en rotation de la force
dans le mouvement de translation. Il est essentiel de calculer le moment de force généré par chaque force pour utiliser la dynamique de rotation.
Au chapitre 11, nous avons vu que, pour le mouvement de rotation, l’accélération angulaire αz jouait le rôle de l’accélération et que le moment d’inertie I
jouait le rôle de la masse. On peut alors obtenir l’équivalent de la deuxième
loi de Newton (
) pour le mouvement de rotation autour d’un axe fixe
(qu’on place de manière à ce qu’il soit parallèle à l’axe des z) : on remplace
par τrés,z, et on remplace m par I et par αz :
(12.9)
Cette équation est aussi valide lorsque l’objet tourne autour d’un axe de symétrie de l’objet, même si cet axe est en mouvement. On peut donc utiliser l’équation 12.9 pour analyser le roulement à la section 12.3.
Les problèmes de dynamique de rotation se résolvent de la même façon que les
problèmes de dynamique de translation. Voici la stratégie à suivre.
STRATÉGIE 12.1 La dynamique de rotation
Illustrer la situation
Tracez un diagramme des forces selon la technique 5.1 présentée à la
page 139. Placez bien les forces à la position où elles s’exercent ( est exercée au centre de masse). Identifiez bien l’axe autour duquel l’objet tourne.
Décortiquer le problème
• Identifiez bien les quantités connues et recherchées.
•
Indiquez les contraintes, s’il y a plusieurs objets qui interagissent.
•
Calculez le moment d’inertie, selon le tableau 11.3 de la page 356 et le
théorème des axes parallèles (voir l’équation 11.24 de la page 357).
•
Calculez le moment de force pour chacune des forces identifiées au
diagramme des forces.
Deuxième loi de Newton
(rotation autour d’un axe fixe)
385
386
CHAPITRE 12 — La dynamique de rotation
Identifier la clé
La clé est la deuxième loi de Newton pour la rotation autour d’un axe fixe :
Si des objets ont un mouvement de translation, on utilise aussi comme clé
la deuxième loi de Newton pour la translation :
Résoudre le problème
Résolvez le système d’équations.
Valider la réponse
Vérifiez que vous répondez bien à la question et que les unités de votre
réponse sont correctes. Vérifiez aussi le signe et l’ordre de grandeur.
EXEMPLE 12.4
On s’amuse au parc
Une balançoire à bascule est composée d’un madrier de bois dont la masse est de 20,0 kg
et la longueur, de 3,00 m. Le madrier repose sur un pivot placé vis-à-vis de son centre. Un
garçon est assis à une distance de 1,40 m à gauche du pivot, et une fillette est assise de
l’autre côté, à une distance de 1,20 m du pivot. Lorsque le madrier est incliné à 20,0°, la fillette exerce une force de 185 N vers le bas. Le garçon pousse le sol avec ses pieds de telle
sorte qu’il exerce sur le madrier une force vers le sol, perpendiculairement au madrier,
ayant un module de 145 N. Calculez l’accélération angulaire du madrier à cet instant.
SOLUTION
Illustrer la situation
La figure 12.12 illustre le schéma de la situation et le
diagramme des forces exercées sur le madrier.
Décortiquer le problème
exercée perpendiculairement au madrier par le garçon et la force exercée vers le bas par la fillette.
Le madrier est considéré comme une tige, car sa longueur est beaucoup plus grande que son épaisseur.
L’axe passe par son centre de masse. Selon le tableau 11.3 de la page 356, le moment d’inertie est
(i)
Nous analysons le mouvement de rotation du
madrier. Il y a quatre forces appliquées sur celui-ci :
la force gravitationnelle et la force du pivot sont
appliquées à la position du pivot ; elles ne génèrent
donc pas de moment de force. Il y a ensuite la force
Nous calculons ensuite les moments de force exercés par
et .
exerce un moment de force en
sens antihoraire (positif) et selon le diagramme des
forces, f1 = 90,0° :
FIGURE 12.12
Le schéma de la situation et le diagramme des forces appliquées sur le madrier
(ii)
12.2 — La deuxième loi de Newton en rotation
Pour F2, le diagramme des forces montre que
f2 = θ + 90,0° = 110,0°. De plus, le moment de
force est horaire (négatif). Alors,
387
Résoudre le problème
Nous obtenons, en utilisant les résultats des équations (i), (ii) et (iii) :
(réponse)
(iii)
Identifier la clé
La clé est la deuxième loi de Newton en rotation :
(iv)
Valider la réponse
L’accélération angulaire négative indique qu’elle est en
sens horaire, ce qui est normal, car le garçon pousse
le sol pour remonter. Nous avons gardé seulement
un chiffre significatif à cause de la soustraction des
moments de force qui en fait perdre plusieurs.
La contrainte pour une poulie
À la section 6.4, nous avons analysé des systèmes comportant des poulies dont la
masse était négligeable. Lorsque la masse d’une poulie n’est pas négligeable, son
moment d’inertie est non nul et il faut un certain moment de force résultant pour
lui donner une accélération angulaire. On doit donc analyser la poulie séparément
du mouvement des autres objets. La tension de chaque côté de la poulie sera
différente, car il faut un moment de force résultant pour faire tourner la poulie.
Prenons la figure 12.13 illustrant deux blocs reliés par une corde qui passe par
une poulie. Si la corde ne glisse pas sur la poulie, il y a alors une contrainte
reliant le module de la vitesse de la corde et le module de la vitesse angulaire
de la poulie. En effet, comme la corde ne glisse pas, la vitesse des points de la
circonférence de la poulie par rapport à la corde est nulle, c’est-à-dire que les
points de la poulie en contact avec la corde ont la même vitesse que celle-ci. Il
en est de même pour l’accélération de la corde et l’accélération des points de la
poulie en contact avec la corde. Si la poulie a un rayon R, alors, selon les équations 11.13 (voir la page 342) et 11.17 (voir la page 351),
(12.10)
(12.11)
MISE EN GARDE
Les équations de contrainte sont des relations entre les modules.
Lorsque vous utilisez ces équations, vous devez ajouter un signe
selon le sens du mouvement et le système de coordonnées utilisé.
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 12.3
Un bloc est relié à un poids par une corde idéale qui passe par une
poulie dont la masse est non négligeable, comme à la figure suivante.
Le poids accélère vers le bas, et la
corde ne glisse pas sur la poulie.
Sur la figure, les forces de tension
et
sont illustrées.
a. Quel est le sens de l’accélération
angulaire de la poulie ?
b. Quelle tension est la plus grande ?
FIGURE 12.13
Le module de la vitesse de la corde
est relié au module de la vitesse
angulaire de la poulie lorsque la
corde ne glisse pas.
388
CHAPITRE 12 — La dynamique de rotation
EXEMPLE 12.5
La machine d’Atwood, encore une fois
Une machine d’Atwood est composée d’un bloc m1 = 300 g et d’un autre bloc m2 = 400 g,
reliés par une corde qui passe par une poulie. La poulie a une masse M = 100 g, un rayon
R = 3,00 cm, et son moment d’inertie est égal à celui d’un cylindre de même masse et de
même rayon. La corde est idéale, elle ne glisse pas sur la poulie, et la poulie tourne sans
frottement.
a. Quelle est l’accélération du premier bloc ?
b. Quelle est l’accélération du deuxième bloc ?
c. Quelle est l’accélération angulaire de la poulie ?
SOLUTION
Illustrer la situation
Le système comporte trois objets : le bloc 1, le bloc 2
et la poulie. Le diagramme des forces est présenté à la
figure 12.14. Quatre forces sont appliquées sur la poulie : les forces de tension et de chaque côté, la force
gravitationnelle et la force du pivot, appliquées au centre
de celle-ci. Les deux dernières forces sont importantes
seulement si on veut analyser le mouvement de translation de la poulie. On pourrait les omettre ici, car elles
n’exercent pas de moment de force.
α
Avec le choix du système de coordonnées, nous
avons a1y > 0, a2y < 0 et αz < 0. Alors,
(i)
La corde ne s’étire pas, ce qui implique que
MISE EN GARDE
La tension n’est pas la même de chaque côté
de la poulie (T1 ≠ T2), car il faut un moment de
force résultant pour la faire tourner.
La poulie se comporte comme un cylindre qui
tourne par rapport à son centre de masse. Selon le tableau 11.3 de la page 356, nous obtenons
(ii)
Décortiquer le problème
Le bloc 1 ayant une plus petite masse, il va monter,
et le bloc 2 va descendre, ce qui fait tourner la poulie
en sens horaire. Il y a contrainte entre les accélérations, car la corde est idéale (elle n’a pas de masse et
ne s’étire pas) et elle ne glisse pas sur la poulie :
Les forces de tension sont appliquées à une distance R de l’axe de la poulie. De plus, ces force sont
tangentes à la poulie (f = 90,0°). Les moments de
force sur la poulie sont
FIGURE 12.14
Le diagramme des forces pour l’exemple 12.5
12.2 — La deuxième loi de Newton en rotation
389
Identifier la clé
La clé est la deuxième loi de Newton. Pour la poulie,
c’est la version angulaire :
(ix)
(iii)
où nous avons remplacé le moment d’inertie par son
expression donnée à l’équation (ii). Pour les blocs,
c’est la version linéaire pour la composante y qui est
utile :
(bloc 1)
(iv)
(bloc 2)
(v)
Comme a1y > 0, alors
est orientée dans le même
sens que l’axe des y, c’est-à-dire vers le haut. L’accélération du bloc 1 est donc
(réponse)
SOLUTION b.
Résoudre le problème
Selon l’équation (i), l’accélération du bloc 2 est opposée à l’accélération du bloc 1 :
SOLUTION a.
Résoudre le problème
Il faut procéder avec méthode pour trouver . Nous
remplaçons les contraintes dans les équations (iii),
(iv) et (v) pour obtenir des équations avec uniquement a1y :
(réponse)
SOLUTION c.
Résoudre le problème
Encore une fois, nous utilisons la contrainte, c’està-dire l’équation (i) pour obtenir le résultat :
(vi)
(vii)
(viii)
En insérant les équations (vii) et (viii) dans l’équation (vi), nous obtenons une équation avec seulement a1y comme inconnue :
Donc, l’accélération angulaire de la poulie est en
sens horaire :
α
(réponse)
Valider la réponse
La masse de la poulie diminue le module de l’accélération des blocs, car elle ajoute de l’inertie au système
(comparez l’équation (ix) et la réponse de l’exemple 6.7
de la page 191). Les orientations sont les mêmes que
celles qui sont posées dans le diagramme des forces.
La vérification de l’équation 12.9
On vérifie maintenant que la deuxième loi de Newton (
) implique la verα dans le cas d’une rotation autour d’un axe fixe. Pour ce
sion angulaire τ
faire, on étudie la rotation d’un système simple, constitué de deux particules, de
masse m1 et m2 respectivement, reliées par une tige de masse négligeable (voir la
figure 12.15 à la page suivante). La tige est fixée à un axe, de telle sorte qu’elle est
libre de tourner autour de l’axe, mais elle ne peut pas avoir de mouvement de translation. Lorsque le système tourne autour de l’axe, les particules décrivent un mouvement circulaire non uniforme, le long de trajectoires de rayon r1 et r2 respectivement.
390
CHAPITRE 12 — La dynamique de rotation
Le système est soumis à trois forces extérieures : est exercée sur la particule 1,
est exercée sur la particule 2 et le pivot exerce une force si bien que la tige ne
change pas de position. La rotation du système est produite par les composantes
tangentielles des forces et . On applique alors la deuxième loi de Newton selon
cette composante pour chaque particule (voir l’équation 7.13 à la page 221) :
(particule 1)
(particule 2)
FIGURE 12.15
Les forces sur le système génèrent
un moment de force résultant.
Le système est un objet rigide, ce qui implique que toutes les parties ont la
même accélération angulaire : αz = a1θ /r 1 = a2θ /r 2. Il est plus simple d’exprimer
les accélérations en fonction de l’accélération angulaire du système :
(particule 1)
(particule 2)
On calcule ensuite le moment de force résultant sur le système, sachant que le
moment de force de est nul, car cette force est appliquée à la position de l’axe.
Alors,
(12.12)
L’expression entre parenthèses dans l’équation 12.12 représente le moment
d’inertie du système par rapport à l’axe illustré
On obtient alors
Il s’agit bien de l’équation 12.9. La démonstration peut être généralisée à un
système composé de plusieurs particules ou pour un objet solide rigide, tant que
l’axe est fixe. Nous verrons à la section 12.5 une méthode plus générale dans les
situations où l’axe change.
12.3
La dynamique du roulement
Nous avons étudié la cinématique du roulement à la section 11.6. Pour un roulement régulier, c’est-à-dire lorsque l’objet roule sans glisser, le point de contact
est immobile. De plus, il y a une contrainte reliant le module de l’accélération
du centre de masse de l’objet et le module de l’accélération angulaire (donnée
par l’équation 11.28 de la page 362) :
(12.13)
Pour faire accélérer l’objet, il faut un moment de force pour produire l’accélération
angulaire. Ce moment de force est généré par la force de frottement statique du sol
sur l’objet. Cette force est nécessaire pour que l’objet ne glisse pas par rapport au sol.
La figure 12.16a illustre une roue initialement immobile. On applique
une force
vers la droite au centre de masse de la roue, pour l’accélérer. Cette
force ne génère pas de moment de force par rapport au centre de masse. Au
point de contact, la roue a tendance à glisser vers la droite. Le sol exerce une
force de frottement statique , vers la gauche, pour empêcher la roue de glisser.
Cette dernière force génère un moment de force sur la roue parce qu’elle est exercée sur la circonférence de la roue avec un bras de levier non nul. La force
,
12.3 — La dynamique du roulement
la force gravitationnelle et la force normale ne produisent pas de moment de
force, car chacune a un bras de levier nul. Le résultat est une accélération vers
la droite et une accélération angulaire en sens horaire.
(a)
(b)
FIGURE 12.16
(a) La force
est appliquée au centre de masse ; la force de frottement statique est vers
l’arrière. (b) La force
est appliquée au-dessus du centre de masse ; la force de frottement
statique est vers l’avant.
Le sens de la force de frottement statique est obtenu de telle sorte que le point
de contact ne glisse pas. La figure 12.16b illustre la situation de la roue arrière
d’une bicyclette. On exerce une force sur une roue dentée à l’aide de la chaîne
pour accélérer la roue vers la droite. Cette force n’est pas appliquée au centre
de masse ; elle génère un moment de force en sens horaire. Le point de contact
a tendance à glisser vers l’arrière. La force de frottement statique est alors vers
l’avant et fait avancer le système constitué de la bicyclette et du cycliste. Dans
le présent cas,
produit un moment de force en sens horaire et produit un
moment de force en sens antihoraire.
Selon les résultats de la section 5.8, le module de la force de frottement ne peut
pas dépasser une certaine valeur. En effet, selon l’équation 5.18 de la page 159,
(12.14)
où N est le module de la force normale et μs, le coefficient de frottement statique. Si la force nécessaire pour garder le point de contact immobile excède
cette valeur, la roue va glisser. Le roulement n’est plus régulier, l’équation 12.13
n’est plus valide et il y a une force de frottement cinétique opposée à la vitesse
du point de contact par rapport à la surface.
Pour analyser le roulement à l’aide des forces appliquées, on utilise la straté gie 12.1 en appliquant la deuxième loi de Newton
au mouvement
de translation du centre de masse et la deuxième loi de Newton τrés,z = I αz
au mouvement de rotation autour du centre de masse. L’axe de rotation est
donc le centre de masse. De plus, lorsque le roulement est régulier, on ajoute la
contrainte donnée à l’équation 12.13.
EXEMPLE 12.6
Pierre qui roule...
Une roue de 1,20 kg roule sans glisser vers le bas d’un plan incliné à 8,00° avec
une accélération de 0,90 m/s2 vers le bas du plan. La roue a un rayon de 30,0 cm.
a. Quelle est la force de frottement statique exercée par le plan sur la roue ?
b. Quel est le moment d’inertie de la roue ?
c. Quel est le plus petit coefficient de frottement statique permettant à la roue de rouler sans glisser ?
391
392
CHAPITRE 12 — La dynamique de rotation
SOLUTION
Illustrer la situation
(iii)
Le diagramme des forces est présenté à la fi­
gure 12.17. La roue a tendance à glisser vers le bas
du plan. La force est donc orientée vers le haut du
plan incliné.
(iv)
SOLUTION a.
Résoudre le problème
Nous obtenons fs à partir de l’équation (ii) :
Décortiquer le problème
La force de frottement statique est donc
(réponse)
SOLUTION b.
Résoudre le problème
Le roulement est régulier : il y a une contrainte
(i)
car selon le diagramme, ax > 0 et αz < 0. Seule pro­
duit un moment de force. Celui­ci est négatif (en sens
horaire). Les composantes des forces et les moments
de force sont :
Forces
x
y
τz
M g sin θ
−M g cos θ
0
0
N
0
Nous insérons d’abord la contrainte dans l’équa­
tion (iv), puis nous isolons I :
(réponse)
SOLUTION c.
Identifier la clé
Pour obtenir le coefficient de frottement statique,
nous avons besoin d’une autre clé:
0
(v)
Identifier la clé
La clé est la deuxième loi de Newton, pour la trans­
lation du centre de masse et pour la rotation autour
du centre de masse :
(ii)
Résoudre le problème
Le module de la force normale est obtenu à l’aide de
l’équation (iii) :
(vi)
FIGURE 12.17
Le diagramme des forces pour la roue de l’exemple 12.6
12.4 — Le travail et la puissance en rotation
393
Nous obtenons alors
Valider la réponse
Donc, la valeur minimale du coefficient de frotte­
ment statique est
Nous répondons bien aux questions. Nous avons
gardé deux chiffres significatifs pour , car la sous­
traction fait perdre un chiffre significatif. Le coeffi­
cient de frottement statique nécessaire est très faible,
ce qui indique que la roue va rouler dans la plupart
des situations.
(réponse)
12.4
Le travail et la puissance en rotation
Pour faire tourner les pales d’un ventilateur, un moteur électrique est utilisé. Le
moteur transfère de l’énergie aux pales en exerçant une force, ce qui génère un
moment de force. Le moteur effectue un travail sur les pales. On peut utiliser
la relation pour calculer le travail en rotation par analogie avec le mouvement
de translation. Au chapitre 8, on a obtenu l’équation suivante pour le calcul
du travail d’une force constante :
Pour obtenir le travail en rotation, on remplace la force par le moment de force τz
et le déplacement, par le déplacement angulaire Δθ. Pour un moment de force uni­
forme, on obtient
(12.15)
Lorsque le moment de force change en fonction de l’angle, on doit utiliser une
intégrale pour calculer le travail :
(12.16)
Il est important de respecter la convention de signes pour τz et pour Δθ. Selon
les signes respectifs de τz et de Δθ, on obtient les possibilités suivantes :
• Si τz et Δθ ont le même signe, W > 0 et l’objet acquiert de l’énergie
de l’agent.
• Si τz et Δθ sont de signes opposés, W < 0 et l’objet cède de l’énergie
à l’agent.
Lorsque plusieurs moments de force sont appliqués sur un objet, le théorème de
l’énergie cinétique peut être utilisé pour obtenir la variation d’énergie cinétique
de l’objet :
Dans cette équation, le travail net est la somme des travaux, ce qui correspond
au travail du moment de force résultant :
(12.17)
Ainsi, l’énergie cinétique d’un corps en rotation se calcule avec l’équation 11.22
de la page 353 :
(12.18)
Travail en rotation
394
CHAPITRE 12 — La dynamique de rotation
Le théorème de l’énergie cinétique s’écrit alors, pour un objet en rotation soumis
à des moments de force,
Théorème de l’énergie
cinétique
(12.19)
Au chapitre 8, on a aussi défini la puissance instantanée comme le taux de
travail, c’est-à-dire la dérivée du travail par rapport au temps. Dans le cas du
mouvement de rotation, on obtient
La dérivée de la position angulaire correspond à la vitesse angulaire ωz, selon
la définition de la vitesse angulaire donnée à l’équation 11.3 de la page 342. La
puissance est alors donnée par l’expression :
Puissance en rotation
τ ω
(12.20)
MISE EN GARDE
Pour que le travail soit exprimé en joules et la puissance, en watts,
les unités du SI doivent être utilisées. Donc, Δθ doit être exprimé en
rad et ω, en rad/s.
EXEMPLE 12.7
La puissance d’un moteur
Un petit moteur électrique est monté sur l’arbre d’une poulie qui tourne sans frottement. La
poulie a une masse négligeable et un rayon de 3,00 cm. On enroule un fil idéal autour de la poulie et on le relie à un poids de 300 g. Lorsque le moteur est mis en marche, la poulie tourne
en sens horaire à 4,00 tr/s et le poids est soulevé. Quelle est la puissance du moteur ?
SOLUTION
Illustrer la situation
Nous représentons un schéma de la situation accompagné d’un diagramme des forces pour la poulie et
pour le poids à la figure 12.18. Pour la poulie, nous
avons illustré la force de la tension de la corde ainsi
que le moment de force du moteur τ mot comme un
vecteur horaire.
FIGURE 12.18
Le schéma de la situation et le diagramme des forces pour l’exemple 12.7
12.4 — Le travail et la puissance en rotation
395
Le moment de force du moteur est négatif, car celuici doit s’opposer au moment de force de la corde pour
que la poulie tourne à vitesse angulaire constante.
Nous trouvons la tension à l’aide de la première loi
de Newton appliquée au mouvement de translation
du poids :
Décortiquer le problème
(iv)
(poids)
L’accélération angulaire de la poulie et l’accélération
du poids sont nulles. Comme le fil est idéal,
. Le
moment de force généré par la corde sur la poulie est
(i)
Résoudre le problème
Nous insérons les équations (iii) et (iv) dans l’équation (ii) et nous remplaçons les valeurs :
Identifier la clé
Pour calculer la puissance du moteur, la clé est
l’équation 12.20 :
(ii)
Comme l’accélération angulaire de la poulie est
nulle, on calcule le moment de force du moteur à
l’aide de la première loi de Newton. Pour le mouvement de rotation, nous obtenons
(réponse)
Valider la réponse
La puissance est positive, car le moteur transfère de
l’énergie au poids pour que celui-ci monte à vitesse
constante. L’énergie potentielle gravitationnelle du système poids-Terre augmente lorsque le poids monte.
(iii)
La preuve de l’équation 12.15
Pour démontrer l’équation donnant le travail en rotation, on applique une force
quelconque sur un objet qui peut tourner autour d’un axe, comme le montre
la figure 12.19. Lorsque l’objet tourne d’un angle infinitésimal dθ, le travail
effectué par la force est
Lorsque la rotation s’effectue, le déplacement de l’objet est tangentiel :
Le travail est alors
FIGURE 12.19
Lorsque l’objet tourne de dθ, la
force effectue un travail dW .
Selon l’équation 12.2, rFθ représente le moment de force τz généré par la force.
Alors,
Pour obtenir le travail lorsque l’objet tourne de θi à θf, on calcule l’intégrale, ce
qui donne l’équation 12.16 :
Si le moment de force demeure constant durant la rotation, alors celui-ci peut
être sorti de l’intégrale, ce qui donne l’équation 12.15 :
396
CHAPITRE 12 — La dynamique de rotation
12.5
Le moment cinétique
Au chapitre 10, nous avons défini la quantité de mouvement (
), qui s’est
révélée très importante dans l’étude des explosions et des collisions, car, dans
ce type de situation, la quantité de mouvement est conservée. Nous voulons
maintenant définir une quantité de mouvement angulaire.
Prenons d’abord une roue suspendue, libre de tourner autour de son centre
de masse. On la fait tourner en exerçant un moment de force bref, puis on la
regarde tourner. Le mouvement de rotation de la roue continue longtemps. Elle
ralentit graduellement à cause de la force de traînée exercée par l’air et par la
force de frottement dans l’essieu. Si la résistance de l’air et celles dans l’essieu
étaient négligeables, elle continuerait son mouvement très longtemps.
Les plongeuses illustrées au début du chapitre sont un autre exemple intéressant de conservation. Lorsqu’un plongeon est exécuté, la vitesse angulaire de la
plongeuse augmente quand celle-ci place ses membres près de son corps. Il n’y
a pas de moment de force pour produire cette augmentation de vitesse angulaire, car la plongeuse est dans les airs. Elle ne reçoit pas de poussée. De même,
lorsqu’elle s’approche de l’eau, elle allonge les bras et les jambes pour réduire
au maximum sa vitesse angulaire afin de compléter le plongeon. Durant tout
le plongeon, il y a une quantité conservée qu’on appelle le moment cinétique.
Le moment cinétique d’une particule
On s’intéresse d’abord au moment cinétique d’une particule qui se déplace le
long d’une trajectoire, comme à la figure 12.20a. Lorsque la particule se trouve à
la position par rapport à l’origine O, sa quantité de mouvement est
. Le
moment cinétique de cette particule par rapport à O est défini par l’expression :
Moment cinétique

×
(12.21)
×
Le moment cinétique est un vecteur, perpendiculaire aux vecteurs et . Son
sens est donné par la règle de la main droite, comme le montre la figure 12.20b :
on trace et avec la même origine, on place les doigts selon et on les tourne
vers ; le sens du vecteur  est donné par le pouce. Le module du moment
cinétique est
(12.22)
où f est l’angle illustré à la figure 12.20a. Dans le SI, le moment cinétique est
exprimé en kg · m2 /s.
(a)
(b)
FIGURE 12.20
(a) La particule se déplace dans le plan des xy. (b) Le calcul du moment cinétique par rapport à O.
12.5 — Le moment cinétique
Lorsque la particule se déplace dans le plan des xy, le moment cinétique est
un vecteur parallèle à l’axe des z. Si la particule décrit un mouvement circulaire, alors le moment cinétique par rapport au centre du cercle est simplement
car dans ce cas f = 90°.
REMARQUE
Le moment cinétique est la quantité angulaire analogue à la quantité de mouvement, de la même façon que le moment de force est
la quantité angulaire analogue à la force. Remarquez la similitude
× et la définition du
entre la définition du moment de force τ
moment cinétique 
×
Au chapitre 10, nous avons exprimé la deuxième loi de Newton en fonction de
la quantité de mouvement :
La version angulaire de la deuxième loi de Newton s’exprime en fonction
du moment cinétique. En effet, calculons la dérivée par rapport au temps du
moment cinétique :
×
×
×
La dérivée de la position correspond à la vitesse de la particule, alors que la
dérivée de la vitesse correspond à l’accélération de la particule. On obtient alors

×
×
Le premier terme du membre de droite de la dernière équation est nul, car
le produit vectoriel d’un vecteur avec lui-même donne toujours zéro (puisque
f = 0°). Quant au deuxième terme, on peut remplacer
par la force résultante
appliquée sur la particule. On obtient alors la forme générale de la deuxième
loi de Newton pour le mouvement de rotation :
τ
×

(12.23)
Deuxième loi de Newton
(rotation quelconque)
Pour utiliser cette équation, il faut que les moments de force et le moment cinétique soient définis par rapport à la même origine O.
EXEMPLE 12.8
Un aperçu du modèle de Bohr
En 1913, le physicien danois Niels Bohr a proposé un modèle pour l’atome d’hydrogène. Selon ce modèle, l’électron tourne autour du proton le long d’orbites circulaires
pour lesquelles le moment cinétique est quantifié : le module du moment cinétique de
l’électron est donné par  = n , avec n un entier positif qui sert à numéroter les orbites,
et
une constante appelée la constante de Planck réduite. De plus,
le rayon des orbites est donné par r = na 0, avec a0 = 52,9 pm une constante appelée le
rayon de Bohr. Quel est le module de la vitesse de l’électron sur la première orbite ?
397
398
CHAPITRE 12 — La dynamique de rotation
SOLUTION
Illustrer la situation
Identifier la clé
La figure 12.21 montre la trajectoire de l’électron
autour du proton.
La clé est l’équation 12.22 donnant le module du
moment cinétique :
(i)
Résoudre le problème
Nous remplaçons les valeurs :
(réponse)
FIGURE 12.21
La trajectoire de l’électron dans le modèle
de Bohr
Décortiquer le problème
La première orbite correspond à n = 1. La masse
de l’électron est donnée à l’annexe B.
Valider la réponse
Cette vitesse semble grande à première vue, mais
elle demeure plausible, car elle est plus faible que la
vitesse de la lumière (c = 3,00 × 108 m/s). La vitesse
obtenue est 137 fois plus petite que la vitesse de la
lumière. Nous parlerons en détail du modèle de Bohr
dans le tome 3.
Le moment cinétique d’un système de particules
Pour un système composé de N particules, le moment cinétique du système est
la somme vectorielle de tous les moments cinétiques :




(12.24)
REMARQUE
On utilise la même notation qu’au chapitre 10 : la minuscule représente une quantité relative à une particule, et la majuscule représente
une quantité relative au système.
Les éléments du système sont en général soumis à des forces extérieures et à
des forces internes
exercées sur la particule i par la particule j. Toutes ces
forces peuvent générer des moments de force sur les particules et changer leur
moment cinétique. Le moment cinétique du système va alors changer :

τ
Comme les forces internes forment des paires action-réaction, leurs moments de
force vont se simplifier dans la somme. Ceci implique que seuls les moments
de forces extérieurs feront changer le moment cinétique du système :
Deuxième loi de Newton
(système en rotation)
τ
(12.25)
12.5 — Le moment cinétique
où
est le moment de force résultant extérieur. L’équation 12.25 est analogue à
l’équation 10.23 de la page 309
. Il est important d’utiliser la même
origine O pour calculer le moment cinétique du système et les moments de
force servant à calculer τ rés.
Le moment cinétique d’un corps solide en rotation
Le moment cinétique
d’un objet en rotation est l’équivalent angulaire de la
quantité de mouvement
. Pour un objet en rotation autour d’un axe
fixe, on peut penser qu’en changeant la masse m pour le moment d’inertie I et
la vitesse pour la vitesse angulaire ωz, on trouve le moment cinétique d’un
ω. Cette fois-ci,
objet en rotation autour d’un axe fixe L z = Iωz, et donc
l’astuce ne fonctionne pas car, en général, une étude approfondie montre que
et ω ne sont pas toujours parallèles. Il faut alors recourir à un objet mathématique plus complexe appelé tenseur, ce qui dépasse largement le cadre de ce
manuel.
Il y a cependant un cas particulier important où on peut obtenir une relation
simple entre le moment cinétique et la vitesse angulaire : quand un objet tourne
autour d’un axe fixe qui est aussi un axe de symétrie de l’objet, par exemple
lorsqu’une sphère tourne autour de son diamètre. Dans ce cas,
ω
(12.26)
Revenons à la deuxième loi de Newton en rotation en calculant la dérivée du
moment cinétique :
Le moment d’inertie est une constante, et on peut le sortir de la dérivée pour obtenir :
La dernière équation correspond à l’équation 12.9, la version de la deuxième
loi de Newton pour une rotation autour d’un axe fixe. Elle est moins générale
que l’équation 12.25.
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 12.4
La figure suivante montre un cerceau, un cylindre et une sphère
ayant le même rayon et la même masse. Sur chaque objet, on exerce
une force tangentielle pour le mettre en mouvement de rotation. Le
moment de force est constant pendant le même intervalle de temps. Il
n’y a pas d’autres moments de force. Classez les objets suivants selon
un ordre croissant :
a. du module de leur moment cinétique ;
b. du module de leur vitesse angulaire.
Moment cinétique (autour
d’un axe de symétrie)
399
400
CHAPITRE 12 — La dynamique de rotation
12.6
Le principe de conservation
du moment cinétique
Nous avons vu jusqu’à présent deux principes de conservation : le principe de
conservation de l’énergie aux chapitres 8 et 9 ainsi que le principe de conservation de la quantité de mouvement au chapitre 10. Ces principes sont très importants en physique, car ils permettent d’analyser les systèmes sans avoir besoin
de connaître en détail les forces en jeu. Ce sont aussi des principes plus généraux que les lois de Newton parce qu’ils s’appliquent dans des conditions où les
lois de Newton ne s’appliquent pas, comme au niveau de l’atome et du noyau
atomique. Le troisième principe de conservation en mécanique est celui de la
conservation du moment cinétique. Il est aussi très important, tant à l’échelle
humaine qu’à l’échelle astronomique ou à l’échelle atomique.
Prenons un système fermé qui n’est soumis à aucun moment de force extérieur.
Selon la deuxième loi de Newton en rotation (l’équation 12.25),
τ
Ceci implique que le moment cinétique du système est une constante, qu’il est
conservé :
Principe de conservation
du moment cinétique
(12.27)
On peut dire que ce principe de conservation est l’équivalent en rotation du
principe de conservation de la quantité de mouvement. Comme le moment cinétique est un vecteur, le principe de conservation correspond à trois équations
scalaires. Chaque composante doit être conservée séparément.
Le système peut être composé de plusieurs particules ou objets en rotation. Les
éléments du système peuvent exercer les uns sur les autres des forces internes, ce
qui génère des moments de force internes. Le moment cinétique des éléments peut
changer, mais le moment cinétique du système (la somme vectorielle du moment
cinétique de tous les éléments) ne change pas si le moment de force extérieur est nul.
Pour un objet en rotation autour d’un axe fixe (l’axe des z), la composante z du
moment cinétique est obtenue par l’équation 12.26. Le principe de conservation peut s’écrire
Défi animé 12.1
Qu’arrive-t-il à la vitesse angulaire d’un
corps qui ne subit aucun moment de
force extérieur lorsque l’on change
sa masse ou ses dimensions ?
Les plongeuses du début du chapitre illustrent très bien cette équation. Au
début du plongeon, elles poussent sur la plate-forme, ce qui génère un moment
de force. Lorsqu’elles sont dans les airs, elles sont soumises à la force gravitationnelle et à la traînée, mais ces forces ne génèrent pas de moment de force.
Leur moment cinétique doit être conservé. En rapprochant les membres près du
corps, elles diminuent leur moment d’inertie, ce qui fait augmenter leur vitesse
angulaire. En arrivant près de l’eau, elles étendent les membres pour augmenter
leur moment d’inertie, ce qui fait diminuer leur vitesse angulaire et leur permet
d’entrer dans l’eau avec un minimum d’éclaboussures.
Les patineurs artistiques utilisent la même technique en exécutant des sauts :
ils rapprochent les bras de leur corps pour augmenter la vitesse de rotation
12.6 — Le principe de conservation du moment cinétique
lorsqu’ils sont dans les airs, puis ils étendent les bras à la réception pour diminuer la vitesse de rotation. La rotation est arrêtée lorsque le patin touche la
glace, ce qui produit un moment de force extérieur.
Il est possible d’appliquer le principe de conservation du moment cinétique dans
l’analyse de collisions entre une particule et un objet en rotation. Dans ce cas,
on utilise l’équation 12.21 pour calculer le moment cinétique d’une particule.
La stratégie à adopter est semblable à la stratégie 10.1 qui a servi dans les problèmes de conservation de la quantité de mouvement.
STRATÉGIE 12.2
La conservation du moment cinétique
Illustrer la situation
Dessinez un schéma illustrant la situation initiale et la situation finale.
Ajoutez un système de coordonnées cartésiennes.
Décortiquer le problème
Identifiez bien le système et vérifiez qu’il n’y a aucun moment de force
extérieur. Identifiez bien les quantités connues et inconnues. Calculez le
moment cinétique de chaque élément du système par rapport à la même
origine O.
Identifier la clé
La clé est le principe de conservation du moment cinétique :
Résoudre le problème
Résolvez l’équation ou le système d’équations pour obtenir les quantités
inconnues.
Valider la réponse
Vérifiez que vous répondez bien à la question et qu’elle a du sens.
EXEMPLE 12.9
Êtes-vous étourdis ? Moi je le suis
Pour illustrer le principe de conservation du moment cinétique, un professeur se place sur un tabouret avec un haltère
dans chaque main, comme le montre la figure ci-contre. Chaque
haltère a une masse de 2,00 kg, et le tabouret peut tourner facilement. Le moment d’inertie du système professeur-haltèrestabouret est de 7,60 kg · m2. Un étudiant donne une poussée
au professeur, ce qui le fait tourner à une vitesse angulaire de
0,500 tr/s en sens antihoraire. Le professeur rapproche alors les
bras près du corps (voir la figure ci-contre), de telle sorte que le
moment d’inertie du système est égal à 2,10 kg · m2. Considérez que le frottement dans la rotation du tabouret est négligeable.
a. Quelle est la vitesse angulaire du professeur lorsque ses bras
sont près de son corps ?
b. Quelle est la variation d’énergie cinétique du système ?
401
402
CHAPITRE 12 — La dynamique de rotation
SOLUTION
Illustrer la situation
Résoudre le problème
Nous représentons le schéma de la situation à la
figure 12.22, avec l’axe de rotation et le moment cinétique. Nous remplaçons le système par de simples
rectangles. L’axe des z est placé parallèlement à l’axe,
vers le haut.
Nous isolons ωf,z dans l’équation (i) et nous remplaçons les valeurs :
(réponse)
SOLUTION b.
Identifier la clé
Pour calculer l’énergie cinétique d’un corps en rotation autour d’un axe fixe, la clé est l’équation 11.22
de la page 353. La variation d’énergie cinétique est
FIGURE 12.22
(ii)
Le schéma de la situation pour l’exemple 12.9
Résoudre le problème
Décortiquer le problème
Le système est composé du professeur, du tabouret
et des deux haltères. Le système n’est soumis à aucun
moment de force extérieur, car le tabouret peut tourner sans frottement.
Nous remplaçons les valeurs :
(réponse)
Valider la réponse
À la question a., la vitesse angulaire augmente, car le
SOLUTION a.
Identifier la clé
La clé est le principe de la conservation du moment
cinétique :
(i)
EXEMPLE 12.10
moment d’inertie diminue. Nous aurions pu laisser la
vitesse angulaire en tr/s. À la question b., nous devons
exprimer la vitesse angulaire en rad/s pour que l’énergie cinétique soit en joules. Comme l’énergie cinétique
a augmenté, cela signifie qu’il y a eu une transformation
d’énergie lorsque le professeur a ramené les haltères près
de lui. Puisqu’il n’y a pas de force extérieure, l’énergie
totale du système ne peut augmenter. L’énergie cinétique
a augmenté en même temps que l’énergie interne (l’énergie biochimique) du professeur a diminué.
Un changement de rotation à la suite d’une collision
Une tige, de longueur a = 80,0 cm et de masse M, tourne en
sens antihoraire à 4,70 rad/s autour de son centre de masse sur
une surface horizontale sans frottement. Une boule de pâte à modeler de masse M/5 est lancée à 7,30 m/s et frappe la tige, comme
le montre la vue en plongée présentée à la figure ci-contre. La boule
colle à la tige. Calculez la vitesse angulaire de l’ensemble après
la collision.
12.6 — Le principe de conservation du moment cinétique
SOLUTION
Illustrer la situation
La figure 12.23 montre le schéma de la situation,
ainsi que les vecteurs et nécessaires au calcul du
moment cinétique juste avant la collision de la boule
par rapport au centre de masse de la tige.
403
Après la collision, la boule est collée sur la tige. Le
système est constitué d’un seul objet qui tourne à une
vitesse angulaire ω f,z. Le moment cinétique final est
(iv)
où
(v)
Décortiquer le problème
est le moment d’inertie du système. On peut considérer la boule comme une masse ponctuelle, avec un
moment d’inertie Ib = mbr 2. Alors,
ω
Le système est constitué de la tige et de la boule de pâte
à modeler. Il ne subit pas de moment de force extérieur.
Juste avant la collision, nous calculons le moment cinétique du système en additionnant le moment cinétique
de la tige et le moment cinétique de la boule :
(vi)
Identifier la clé
La clé est le principe de conservation du moment
cinétique :
(i)
Nous calculons le moment cinétique de la tige à l’aide
de l’équation 12.26, en utilisant le moment d’inertie
d’une tige donné au tableau 11.3 de la page 356 :
(ii)
Pour la boule, nous utilisons l’équation 12.21, avec
f = 90,0° + 10,0° = 100°. Selon la règle de la main
droite, le moment cinétique de la boule est orienté
dans le sens opposé de l’axe des z. En effet, lorsqu’on
tourne les doigts de vers , ils tournent en sens
horaire. Alors,
(iii)
FIGURE 12.23
Le schéma de la situation pour l’exemple 12.10
Résoudre le problème
En remplaçant les équations (ii), (iii) et (vi) dans
l’équation (iv), nous obtenons
Le signe négatif indique que la rotation est en sens
horaire après la collision. Donc,
ω
(réponse)
Valider la réponse
Dans ce problème, nous ne pouvons utiliser le principe de conservation de la quantité de mouvement,
car le système subit une force extérieure inconnue,
la force du pivot. Le sens de la rotation change, car
juste avant la collision, le moment cinétique de la
boule a un module plus grand que le module du
moment cinétique de la tige en rotation.
404
CHAPITRE 12 — La dynamique de rotation
La quantification du moment cinétique
Le moment cinétique est une quantité très utile pour analyser le mouvement
de rotation de systèmes macroscopiques. Lorsqu’on étudie les atomes, les
molécules et les noyaux atomiques, le moment cinétique devient une quantité
fondamentale.
Les atomes émettent de la lumière sous la forme d’un spectre. Chaque atome
émet un spectre particulier. Comme nous l’avons mentionné à l’exemple 12.8,
le physicien danois Niels Bohr (1885-1962) a proposé en 1913 un modèle pour
expliquer le spectre de l’atome d’hydrogène. Dans ce modèle, un électron « gravite » autour du proton sur des orbites dont le moment cinétique ne prend que
certaines valeurs :
où n est le numéro de l’orbite (un entier positif), et
est une
constante fondamentale appelée la constante de Planck réduite. On dit que le
moment cinétique est quantifié. Selon ce modèle, l’atome émet de la lumière
lorsque l’électron change d’orbite.
TABLEAU 12.1
Orbitale
l
s
0
p
1
d
2
f
3
g
4
…
…
Le nombre quantique orbital
associé aux orbitales
Le modèle de Bohr est une première étape dans la compréhension des atomes.
Des recherches subséquentes du physicien allemand Werner Heisenberg (19011976) et du physicien autrichien Erwin Schrödinger (1887-1961) ont mené à
la théorie acceptée aujourd’hui qu’on appelle la mécanique quantique. Cette
théorie montre que l’électron ne tourne pas réellement autour du proton sur
des orbites semblables aux orbites des planètes autour du Soleil. À la place, la
théorie permet d’établir la probabilité de présence de l’électron, ce qu’on appelle
les orbitales. Ces orbitales ont des valeurs bien précises du module du moment
cinétique. Le module du moment cinétique est
Le facteur est appelé le nombre quantique orbital. Le tableau 12.1 donne la
valeur de correspondant aux orbitales.
Les recherches sur les atomes ont mené à un autre résultat très important. Les
particules subatomiques, comme le proton et l’électron, ont une propriété équivalente à un moment cinétique de rotation, comme s’ils tournaient sur euxmêmes. Ce moment cinétique intrinsèque , aussi appelé le spin, est quantifié :
TABLEAU 12.2
La valeur du spin pour
quelques particules
particule
s
électron
proton
neutron
quark
neutrino
photon
1
gluon
1
Pour l’électron,
On dit que c’est une particule de spin une demie. Le
tableau 12.2 donne les valeurs de s pour différentes particules. Toutes les
par ticules ont un spin avec une valeur de s soit entière (s = 0, 1, 2, ...), soit
demi-entière (
, ...). Cette différence change complètement la façon dont
interagissent les particules entre elles. Les particules de spin demi-entier sont les
constituants de la matière (les électrons, protons, neutrons), alors que les particules de spin entier, comme le photon qui est la particule de la lumière, sont
associées aux interactions.
En combinant le moment cinétique orbital et le spin de l’électron, on explique
l’allure des spectres atomiques. Lorsque l’électron change d’orbitale, l’atome doit
absorber ou émettre de la lumière. Dans cette transition, le moment cinétique
12.7 — L’équilibre statique des corps rigides
du système atome-lumière doit être conservé, car il n’y a pas de moment de force
extérieur. Nous reparlerons des atomes et du moment cinétique intrinsèque
dans le tome 3.
12.7
L’équilibre statique des corps rigides
La statique est un domaine important de l’ingénierie qui étudie les forces appliquées sur les structures immobiles comme les ponts et les bâtiments. La connaissance des forces appliquées permet ensuite à l’ingénieur de choisir les matériaux
qui pourront supporter ces forces de façon sécuritaire. La figure 12.24 montre
le pont de Québec, qui s’est effondré deux fois durant sa construction (en 1907
et en 1916), le premier effondrement ayant été causé par de mauvais calculs sur
le poids réel du pont. Dans cette section, nous présentons la première étape,
celle du calcul des forces sur un objet rigide en équilibre.
FIGURE 12.24
Le pont de Québec est tombé deux fois au cours de sa construction.
Pour que le centre de masse d’un objet soit en équilibre de translation, il faut
que la force résultante exercée sur lui soit nulle. En effet, selon la deuxième loi
de Newton,
Dans ce cas, la quantité de mouvement est constante, le centre de masse est
immobile ou il se déplace à vitesse constante (donc en ligne droite).
Pour qu’un objet soit en équilibre de rotation, son moment cinétique doit être
constant. Selon la deuxième loi de Newton appliquée à la rotation,
τ
τ
Pour qu’un objet soit en équilibre, il faut que les deux conditions soient respectées simultanément :
(12.28)
τ
τ
(12.29)
405
406
CHAPITRE 12 — La dynamique de rotation
On parle d’équilibre statique dans le cas particulier où l’objet est immobile,
(
), c’est-à-dire que son centre de masse a une vitesse nulle et que
l’objet a une vitesse angulaire nulle.
Les conditions d’équilibre énoncées aux équations 12.28 et 12.29 sont des
équations vectorielles qui correspondent chacune à trois équations scalaires :
Équilibre de translation
Équilibre de rotation
Si toutes les forces exercées sur un objet sont dans le même plan, on peut choisir
d’orienter le système de coordonnées cartésiennes de telle sorte que les forces
soient dans le plan des xy. Aucune force n’a alors de composante z. De plus, les
moments de force générés par ces forces sont nécessairement parallèles à l’axe
des z. Il y a alors trois conditions d’équilibre non triviales :
Conditions d’équilibre
(forces coplanaires)
(12.30)
Défi animé 12.2
À l’aide d’un petit jeu, vérifiez
vos connaissances à propos
de l’équilibre statique des
corps rigides.
Un objet en équilibre statique n’a aucun mouvement de rotation autour d’un
axe. Ceci signifie qu’on peut choisir n’importe quel axe, et le moment de force
résultant doit être nul. On peut donc choisir la position de l’axe comme on le
veut. Un bon choix permet de simplifier le système d’équations à résoudre. On
place habituellement l’axe au point d’application d’une force inconnue, de telle
sorte que celle-ci génère un moment de force nul. De cette façon, la troisième
équation d’équilibre sera une équation avec une seule inconnue.
REMARQUE
Comme les conditions d’équilibre correspondent à trois équations,
cela permet de calculer trois inconnues, soit des composantes de
force, des angles ou des positions de point d’application de forces.
La stratégie à adopter est semblable à la stratégie 12.1, utilisée pour la dynamique de rotation autour d’un axe fixe, avec quelques modifications.
STRATÉGIE 12.3 L’équilibre statique
Illustrer la situation
Tracez un diagramme des forces selon la technique 5.1 de la page 139.
Placez bien les forces à la position où elles s’exercent ( est exercée au
centre de masse). Placez l’axe au point d’application d’une force inconnue.
Décortiquer le problème
• Déterminez les quantités connues et recherchées.
• Décomposez les forces identifiées dans le diagramme des forces selon
leurs composantes.
• Calculez leur moment de force.
12.7 — L’équilibre statique des corps rigides
Identifier la clé
La clé est la condition d’équilibre statique qui correspond à trois équations scalaires :
Résoudre le problème
Résolvez le système d’équations.
Valider la réponse
Vérifiez que vous répondez bien à la question, que les résultats ont les
bonnes unités. Vérifiez aussi le signe et l’ordre de grandeur.
EXEMPLE 12.11 Une poutre en équilibre
Une poutre horizontale, de 100,0 kg et de 8,50 m de longueur, est attachée à un mur par
une charnière libre de tourner à son extrémité gauche et est supportée par un câble à l’autre
extrémité. Le câble forme un angle de 30,0° par rapport à la poutre.
a. Quelle est la tension dans le câble ?
b. Quelle est la force exercée par la charnière ?
SOLUTION
Illustrer la situation
Le diagramme des forces est présenté à la figure 12.25. Au point de la charnière, le mur exerce
une force inconnue , que nous décomposons selon
ses composantes cartésiennes
vers la droite et
vers le haut. Ceci est une hypothèse. La solution va nous donner le sens réel de ces composantes.
Nous plaçons l’axe de rotation au point d’application
de cette force, pour que son moment de force soit
nul, ce qui simplifie le système d’équations.
FIGURE 12.25
Le diagramme des forces pour l’exemple 12.11
Décortiquer le problème
Forces
Fx
Fy
FC,x
0
FC,y
−Mg
−T cos 30°
T sin 30°
τz
0
LT sin 150°
407
408
CHAPITRE 12 — La dynamique de rotation
Identifier la clé
La clé est la condition d’équilibre statique pour la
translation et la rotation :
L’équation (ii) permet de calculer la composante y :
(i)
(ii)
Par rapport au système de coordonnées de la fi­
gure 12.25, la force de la charnière est
(iii)
(réponse)
Valider la réponse
SOLUTION a.
Résoudre le problème
Nous calculons T à l’aide de l’équation (iii), qui est
une équation avec une seule inconnue :
(réponse)
Nous répondons bien aux questions en donnant un
module positif pour la tension et une force
expri­
mée en fonction des vecteurs unitaires. À partir des
réponses obtenues, un ingénieur peut choisir la gros­
seur du câble et le type de charnière qui répondra
aux exigences de sécurité.
SOLUTION b.
Résoudre le problème
Avec la valeur de T , nous calculons les composantes
de la force de la charnière. L’équation (i) permet de
calculer la composante x :
EXEMPLE 12.12
Il peut grimper lui-même dans son échelle
Une échelle de 6,00 m et de 8,00 kg est placée contre un mur à un angle de 28,0° par rapport
à la verticale. La surface du mur exerce un frottement négligeable. Un peintre de 70,0 kg monte
dans l’échelle, jusqu’à une hauteur de 4,50 m. Quel est le coefficient de frottement statique
minimal pour que l’échelle ne glisse pas sur le plancher ?
SOLUTION
Illustrer la situation
Le diagramme des forces est donné à la figure 12.26.
La force de frottement statique est vers la droite pour
empêcher l’échelle de glisser vers la gauche. Nous
choisissons comme axe le point de contact entre
l’échelle et le sol, car il y a, à cet endroit, deux forces
inconnues : et
De cette façon, leur moment de
force est nul et le système d’équations sera plus facile
à résoudre.
FIGURE 12.26
Le diagramme des forces pour l’exemple 12.12
12.7 — L’équilibre statique des corps rigides
409
Décortiquer le problème
Dans ce problème, il est plus facile de calculer les
moments de force à partir des bras de levier. Pour
aider à déterminer les bras de levier, nous avons
redessiné l’échelle avec les forces à la figure 12.27.
FIGURE 12.27
Les bras de levier
Force
Fx
Fy
r^
tz
−Nmur
0
L cos 28° = 5,298 m
r^mur Nmur = 5,298 Nmur
0
−Mp g
h tan 28° = 2,393 m
−r^ pMpg = −1 643 N · m
0
−Mé g
sin 28° = 1,408 m
0
Nsol
0
0
fs
0
0
0
−r^ é Mé g = −111 N · m
L’équation (iii) permet de calculer Nsol :
Identifier les clés
La première clé est la condition d’équilibre :
(i)
(vii)
(ii)
Nous obtenons le coefficient de frottement statique
en insérant les résultats des équations (vi) et (vii)
dans l’équation (iv) :
(iii)
Ce système a trois inconnues : fs, Nsol et Nmur. Pour
calculer le coefficient de frottement statique minimal
requis, la deuxième clé est l’équation 5.18 de la
page 159 :
(iv)
Résoudre le problème
Nous commençons par résoudre l’équation (iii), car
elle n’a qu’une inconnue :
(v)
Ceci nous permet de calculer fs à l’aide de
l’équation (i) :
(vi)
Le coefficient de frottement minimal est donc
(réponse)
Valider la réponse
Nous avons fait les calculs avec quatre chiffres signi­
ficatifs puisque nous avons arrondi à la fin à trois
chiffres, pour respecter la précision des données de
l’énoncé. Nous obtenons une réponse qui a du sens.
Selon le tableau 5.1 de la page 158, le peintre devra
faire attention selon la composition de son échelle et du
sol : une échelle de bois sur un plancher de bois pourrait
glisser (0,25 ≤ μs ≤ 0,50). Par contre, une échelle avec
des pattes en caoutchouc sur du béton sera sécuritaire.
Pour plus de sûreté, il est possible d’attacher les pattes
de l’échelle avec un câble, ce qui ajoute une force de
tension à la force de frottement statique.
410
CHAPITRE 12 — La dynamique de rotation
12.8
La précession du gyroscope
Vous avez probablement déjà joué avec une toupie lorsque vous étiez enfants.
Ce jouet de forme conique muni d’une pointe peut être en équilibre sur celle-ci
lorsqu’il tourne. De plus, lorsque la toupie est inclinée par rapport à la verticale,
son axe de rotation n’est pas fixe, mais il effectue un mouvement de rotation
qu’on appelle la précession. Ce mouvement peut être expliqué à l’aide de la
forme générale de la deuxième loi en rotation.
La toupie qui tourne a le même mouvement que le gyroscope. Un gyroscope est
composé d’une roue symétrique qui peut tourner librement autour d’un arbre
central. Lorsqu’un gyroscope ne tourne pas et qu’on le place sur son arbre, la
force gravitationnelle le fait basculer. Par contre, lorsque le gyroscope tourne,
la force gravitationnelle ne le fait pas basculer : elle va plutôt faire tourner son
axe de rotation.
La figure 12.28a montre un gyroscope qui tourne rapidement en sens antihoraire. On incline l’arbre à un angle f par rapport à la verticale. Selon la règle
de la main droite, le moment cinétique est parallèle à l’axe de rotation, avec une
composante vers le haut.
Deux forces sont appliquées sur le gyroscope (si on néglige la force de résistance
de l’air) : la force gravitationnelle exercée au centre de masse et la force normale exercée au point d’appui. Cette dernière force ne génère pas de moment de
force, car son bras de levier est nul. Le moment de force résultant est alors égal
au moment de force gravitationnel. Comme le montre la figure 12.28b, le vecteur est parallèle à l’arbre, donc parallèle au moment cinétique . Le moment
de force résultant doit être perpendiculaire à la fois à (donc perpendiculaire
à ) et à
τ
(a)
τ
(12.31)
×
(b)
FIGURE 12.28
(a) Un gyroscope incliné à un angle f a une vitesse angulaire ω élevée. (b) Les vecteurs nécessaires à l’analyse du mouvement du gyroscope.
12.8 — La précession du gyroscope
Comme la force gravitationnelle est vers le bas, le moment de force est donc
horizontal. Son module est
(12.32)
car sin(180° − f) = sin f. Pour trouver son sens, on utilise la règle de la main
droite. À l’instant présenté à la figure 12.28b, τ a le même sens que l’axe des x.
Le moment de force résultant indique comment le vecteur moment cinétique va changer. Ce changement est perpendiculaire au vecteur .
Nous avons rencontré une situation semblable lors de l’étude du mouvement circulaire uniforme à la section 4.4 de la page 106. Dans un mouvement circulaire uniforme, la dérivée de la vitesse (l’accélération) est
perpendiculaire à la vitesse. Nous avons alors obtenu que la vitesse change
d’orientation, mais pas de module. On obtient le même résultat ici pour
le moment cinétique : le moment de force change l’orientation du moment
cinétique sans changer son module. C’est ce qui produit le mouvement de
précession.
Le moment cinétique est incliné à un angle f par rapport à la verticale. Sa composante verticale demeure constante. En tournant, le moment cinétique trace
un cône. Le rayon du cercle est proportionnel au module de la composante
horizontale de , c’est-à-dire L sin f, comme le montre la figure 12.29a.
On veut calculer la vitesse angulaire de précession ωP du gyroscope. La figure 12.29b illustre la composante horizontale du moment cinétique
à
un temps t, puis à un temps t + dt. Durant ce temps, le vecteur a tourné d’un
angle dθ. Pour un temps infinitésimal,
correspond à la longueur de l’arc
sous-tendu par dθ :
La vitesse angulaire de précession est dθ /dt. On obtient
(a)
(b)
FIGURE 12.29
(a) Le moment de force τ fait tourner le moment cinétique , qui trace un cône. Le rayon
du cercle correspond au module du moment cinétique horizontal. (b) Une vue en plongée
du cercle tracé par la composante .
411
412
CHAPITRE 12 — La dynamique de rotation
Selon l’équation 12.31, la dérivée du moment cinétique correspond au moment
de force résultant, donné à l’équation 12.32. Alors,
On peut remplacer L par Iω pour obtenir :
(12.33)
Fréquence de précession
La dernière équation montre que la vitesse angulaire de précession ne dépend
pas de l’angle d’inclinaison du gyroscope. De plus, elle est inversement proportionnelle au module de la vitesse angulaire du gyroscope. Lorsque le gyroscope
tourne très rapidement, la précession est lente. À mesure que la résistance de
l’air ralentit le gyroscope, la précession se fait plus rapidement.
On a analysé un gyroscope qui tournait en sens antihoraire. La précession est
alors en sens antihoraire. Si le gyroscope tourne en sens horaire, le moment
cinétique est inversé, et la précession sera aussi en sens horaire.
La Terre tourne sur elle-même tout en subissant les forces gravitationnelles du
Soleil et de la Lune. Ces forces génèrent des moments de force et changent le
moment cinétique de la Terre. Le mouvement de l’axe de rotation est complexe,
mais il contient un mouvement de précession. En effet, l’axe de la Terre décrit
une précession lente, avec une période d’environ 26 000 ans. De nos jours, l’axe
de rotation est orienté vers l’étoile Alpha Ursae Minoris, appelée communément
l’étoile Polaire. Dans environ 12 000 ans, l’axe sera plutôt orienté vers l’étoile
Alpha Lyrae (aussi appelée Véga). Ce sera alors l’étoile polaire. Le mouvement
de précession doit être pris en compte dans la règle des années bissextiles, car
la précession réduit d’environ 20 min par année l’année tropique par rapport à
l’année sidérale.
12.9
Une récapitulation de la rotation
Dans les deux derniers chapitres, nous avons étudié le mouvement de rotation
et en particulier le mouvement de rotation autour d’un axe fixe. Pour ce faire,
nous avons eu recours à plusieurs quantités angulaires, similaires aux quantités linéaires qui sont nécessaires à l’étude du mouvement de translation. Nous
avons obtenu des relations pour le mouvement de rotation similaires aux équations pour le mouvement de translation. Il est important de reconnaître les similitudes, mais aussi de se souvenir que certaines de ces équations sont valides
pour des cas particuliers seulement. Le tableau 12.3 compare les quantités et
relations des quantités linéaires à celles qui sont obtenues pour l’étude de la
rotation. Il complète le tableau 11.2.
12.9 — Une récapitulation de la rotation
TABLEAU 12.3
Les quantités équivalentes entre le mouvement de translation et le mouvement de rotation
Translation
Rotation
Position (m)
Position angulaire (rad)
Vitesse (m/s)
Vitesse angulaire (rad/s)
ω
Accélération (m/s2)
Accélération angulaire
(rad/s2)
α
Masse (kg)
m
q
θ
ω
miri2
Moment d’inertie (kg · m 2)
Force (N)
Moment de force (N · m)
τ
×
Quantité de mouvement
d’une particule (kg · m/s)
Moment cinétique d’une
particule (kg · m2 /s)

×
Deuxième loi de Newton
(masse constante)
Deuxième loi de Newton
(axe fixe)
τ
Deuxième loi de Newton
(générale)
Deuxième loi de Newton
(générale)
τ
Quantité de mouvement
pour un système (kg · m/s)
Moment cinétique d’un système en rotation (kg · m2 /s)
Deuxième loi de Newton
pour les systèmes
Deuxième loi de Newton
pour les systèmes
Principe de conservation
pour un système isolé
Principe de conservation
pour un système isolé
Équilibre de translation
Équilibre de rotation
Énergie cinétique (J)
Énergie cinétique (J)
Travail d’une force
constante (J)
Travail d’un moment de
force constant (J) (autour
de l’axe des z)
Travail (J)
Travail (J) (autour
de l’axe des z)
Théorème de l’énergie
cinétique
Puissance (W)
(1)
Wnet = K f − K i
Théorème de l’énergie
cinétique
Puissance (W)
ω est valide uniquement pour une rotation autour d’un axe de symétrie.
α


ω
τ
τ
Wnet = K f − K i
τ ω
413
414
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
RÉSUMÉ
RÉSUMÉ
Dans ce chapitre, nous avons continué l’étude de la rotation des objets à l’aide de la dynamique
et du principe de conservation du moment cinétique.
LES DÉFINITIONS
• Le moment de force est la capacité d’une force à produire une rotation d’un objet autour d’un axe.
• La puissance :
τ ω
τ
×
Le signe + est utilisé lorsque le moment de force produit
une rotation antihoraire, et le signe − est utilisé lorsqu’il
produit une rotation horaire.
• Le travail pour une rotation autour de l’axe des z :
• Le moment cinétique représente la quantité de mouvement angulaire :
– pour une particule, 
×
– pour un système de particules,
×

– pour un objet en rotation autour d’un axe de symétrie,
ω
LES LOIS ET LES PRINCIPES
LES APPLICATIONS
• La deuxième loi de Newton :
Un corps rigide soumis à des forces coplanaires est en
équilibre statique si
τ
• Pour un système qui n’est soumis à aucun moment
de force extérieur, le moment cinétique est conservé :
.
Un gyroscope qui tourne à une vitesse angulaire ω
décrit un mouvement de précession avec une vitesse
angulaire :
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
415
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
Q questions qualitatives • E exercices simples • P problèmes • R problèmes récapitulatifs •
Section 12.1 Le moment de force
Q1 Quatre forces ayant le même module sont exercées sur
une plaque rectangulaire horizontale (voir la figure 12.30).
La plaque est libre de tourner autour du point P. Classez
par ordre croissant le module des moments de force générés par ces forces.
b. le moment de force de
solution disponible
;
c. le moment de force résultant.
FIGURE 12.32 • Exercice 4
E5 Une tige de 6,00 kg dont la longueur est de 1,20 m, est
inclinée à 25,0° par rapport à l’horizontale. Elle est fixée
à ses deux extrémités. Calculez le module du moment de
force gravitationnel par rapport à l’extrémité gauche.
FIGURE 12.30 • Question 1
E6 Une roue est libre de tourner autour d’un axe qui passe
Q2 Un couple de forces correspond à deux forces, exercées
sur le même objet à des points différents, de même module
et de sens opposés. Un couple est exercé sur la tige de la
figure 12.31 par deux forces appliquées aux extrémités
de la tige. La tige peut tourner autour d’un axe qui passe
par son centre.
par son centre. Elle est soumise aux forces illustrées à la
figure 12.33, soit F1 = 14,7 N, r 1 = 5,00 cm, F2 = 8,56 N,
r 2 = 8,00 cm et F3 = 4,90 N.
a. Calculez la composante z du moment de force, par rapport au centre de la roue, généré par chaque force.
b. Calculez τrés,z.
a. Tracez les forces sur la tige pour que le moment de force
résultant soit nul.
b. Tracez les forces sur la tige pour que le module du moment
de force soit maximal, avec un moment de force en sens
antihoraire.
c. Tracez les forces sur la tige pour que le module du moment
de force soit maximal, avec un moment de force en sens
horaire.
FIGURE 12.33 • Exercice 6
P7 Une plaque verticale de 3,50 kg est soumise à deux
FIGURE 12.31 • Question 2
E3 Dans le guide d’utilisation d’une voiture, on indique
que les boulons de roue doivent être serrés avec un moment
de force de 140 N · m. Vous utilisez une clé ayant une longueur de 40,0 cm. Quel est le module de la force minimale
que vous devez effectuer pour obtenir le moment de force
recommandé ?
forces de contact (F1 = 45,3 N et F2 = 39,0 N) en plus de
la force gravitationnelle. La figure 12.34 présente les
dimensions de la plaque et les points d’application
des forces. Calculez le moment de force résultant par rapport au point O.
E4 Deux forces sont appliquées sur la circonférence d’une
poulie dont le rayon est de 3,0 cm, comme le montre la
figure 12.32. La poulie est libre de tourner par rapport à
son centre. La force a un module de 15,0 N, et la force ,
un module de 10,0 N. Calculez :
a. le moment de force de
;
FIGURE 12.34 • Problème 7
416
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
P8 Une tablette est accrochée à un mur. Pour la soutenir,
une corde est attachée à la position
par rapport au centre de masse. La force de tension est
Calculez le moment de
force généré par la force de tension par rapport au centre
de masse de la tablette.
P9 Une force
est appliquée sur un
par rapport
objet, à une position
à un point O.
une masse de 300 g et un diamètre de 30,0 cm. Quel est le
module du moment de force généré par le moteur ?
E13 La figure 12.37 montre un cylindre creux sur
lequel trois forces sont appliquées. Le cylindre a une masse
de 890 g, un rayon intérieur de 34,0 cm et un rayon extérieur de 50,0 cm. Le cylindre peut tourner autour d’un axe
qui passe par son centre de masse et qui est perpendiculaire à la page. Les forces ont comme module F1 = 76,0 N,
F2 = 58,5 N et F3 = 47,0 N.
a. Calculez le moment de force par rapport au point O.
a. Quel est le moment de force résultant ?
b. Quel est le module du moment de force par rapport au
point O ?
b. Quelle est l’accélération angulaire du cylindre ?
Section 12.2 La deuxième loi de Newton en rotation
Q10 La figure 12.35 montre trois disques, de même rayon
et de même masse, pouvant tourner autour d’un axe qui
passe par leur centre. Chaque disque est fait de deux matériaux ayant des masses volumiques différentes. Pour le
disque de gauche, le matériau plus dense est à l’extérieur,
alors que pour les deux autres disques, le matériau plus
dense est au centre. On exerce la même force sur chaque
disque. Classez les disques selon un ordre croissant :
P14 Une porte a une masse de 24,0 kg, une largeur de
a. du moment de force généré ;
75,0 cm et une épaisseur de 3,45 cm. Elle peut tourner
autour de charnières placées à son extrémité (voir la fi ­
gure 12.38). Une femme exerce une force, de module constant, perpendiculairement à sa surface, à l’extrémité opposée des charnières. Initialement immobile, la porte tourne
de 90,0° en 0,900 s. Les charnières exercent un moment
de force de frottement, ayant un module de 1,50 N · m,
opposé à la vitesse angulaire de la porte.
b. du moment d’inertie du disque ;
c. du module de l’accélération angulaire.
(i)
(ii)
FIGURE 12.37 • Exercice 13
(iii)
a. Quel est le module de l’accélération angulaire de la porte ?
FIGURE 12.35 • Question 10
b. Quel est le moment d’inertie de la porte par rapport
aux charnières ?
Q11 La figure 12.36 montre une vue en plongée d’un
c. Quel est le module de la force appliquée par la femme ?
mètre en bois qui est libre de tourner autour d’un pivot. On
applique une force avec un angle f par rapport à la tige et
une force perpendiculairement au mètre. Les deux forces
ont le même module, et le mètre subit une accélération angulaire antihoraire. L’angle f prend les valeurs suivantes :
(i) f = 50°, (ii) f = 90°, (iii) f = 110° et (iv) f = 130°. Classez
les quatre situations dans l’ordre croissant selon le module
de l’accélération angulaire obtenue.
FIGURE 12.36 • Question 11
E12 À partir du repos, un disque est accéléré jusqu’à
2 000 tr/min en 5,00 s à l’aide d’un moteur. Le disque a
FIGURE 12.38 • Problème 14
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
P15 Une tige de masse M et de longueur L est fixée à son
extrémité au moyen d’une charnière. La tige est initialement horizontale.
417
a. Écrivez les équations issues de la deuxième loi de Newton
permettant de calculer l’accélération de la boîte.
a. Calculez le module de son accélération angulaire initiale.
b. Écrivez l’équation issue de la deuxième loi de Newton permettant de calculer l’accélération du poids.
b. Quelle est l’accélération initiale d’un point situé à l’extrémité opposée à la charnière ?
c. Écrivez l’équation issue de la deuxième loi de Newton permettant de calculer l’accélération angulaire de la poulie.
P16 Une tige de 1,20 kg et ayant une longueur de 1,10 m
d. Écrivez les équations de contraintes.
est fixée à son extrémité au moyen d’une charnière. La
tige est initialement horizontale.
e. La tension dans la partie horizontale de la corde est-elle
égale, inférieure ou supérieure à la tension dans la partie
verticale de la corde ? Expliquez votre réponse.
a. Calculez le module de son accélération angulaire initiale.
b. Quelle est l’accélération initiale d’un point situé à l’extrémité opposée à la charnière ?
P17 Pour soulever l’extrémité d’un cabanon, un homme
utilise un madrier comme levier. Celui-ci a une longueur
de 2,00 m et une masse de 15,0 kg. L’extrémité droite du
madrier est placée sous le cabanon, et le pivot est placé
à une distance de 10,0 cm de cette extrémité (voir la
figure 12.39). Initialement, le madrier est incliné à 26,5°.
L’homme exerce une force verticale à l’extrémité gauche du
madrier. Le cabanon exerce une force de 7,50 kN perpendiculairement au madrier.
a. Quel est le moment d’inertie du madrier par rapport
au pivot ?
FIGURE 12.40 • Problèmes 18 et 19
b. Quel est le module de la force initiale exercée par l’homme
pour que le levier ait une accélération angulaire ayant un
module de 0,500 rad/s2 ?
P19 Une boîte de m1 = 4,50 kg est reliée par une corde
à un poids de m 2 = 1,70 kg qui tombe, comme le montre
la figure 12.40. La corde est idéale et elle passe par une
poulie dont le moment d’inertie est de 0,010 0 kg · m 2, le
rayon est de 7,50 cm et dont le roulement a un frottement
négligeable. Le coefficient de frottement cinétique entre la
table et la boîte est μc = 0,300. La surface ainsi que la partie de la corde entre la boîte et la poulie sont horizontales.
a. Calculez l’accélération de la boîte.
b. Calculez l’accélération angulaire de la poulie.
c. Quelle est la tension dans la partie horizontale de
la corde ?
d. Quelle est la tension dans la partie verticale de la corde ?
P20 Pour puiser de l’eau dans un puits, un seau de 0,800 kg
FIGURE 12.39 • Problème 17
P18 Une boîte de masse m1 est reliée par une corde à un poids
de masse m2 qui tombe, comme le montre la figure 12.40.
La corde est idéale et passe par une poulie dont le moment
d’inertie est I, le rayon est R et dont le roulement a un frottement négligeable. Le coefficient de frottement cinétique entre
la table et la boîte est μc. La surface ainsi que la partie de la
corde entre la boîte et la poulie sont horizontales.
est attaché à une corde. La corde est enroulée sur un treuil
composé d’un disque, dont la masse est de 0,200 kg et le
rayon de 7,00 cm, et d’une tige, dont la longueur est de
35,0 cm et la masse de 0,100 kg (voir la figure 12.41 à
la page suivante). La force de frottement sur le treuil est
négligeable, et la corde ne glisse pas.
a. Calculez le moment d’inertie du treuil.
b. On laisse tomber le seau vide dans le puits. Quelle est son
accélération lorsque la tige est horizontale, comme à la
figure 12.41 ?
418
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
c. Une fois le seau rempli de 5,00 kg d’eau, on le remonte en
exerçant une force au bout de la tige perpendiculairement
à celle-ci. Quel est le module de la force appliquée sur la
tige lorsque celle-ci est horizontale pour que le seau monte
à vitesse constante ?
de 350 mm, comme le montre la figure 12.43. La roue
roule sans glisser. Calculez le moment d’inertie de la roue si
son accélération a un module de 1,98 m/s2.
FIGURE 12.43 • Exercice 23
P24 On exerce une force
FIGURE 12.41 • Problème 20
R21 La figure 12.42 montre une machine d’Atwood compo -
sée d’une masse m1 = 1,50 kg et d’une masse m2 = 0,800 kg
reliées par une corde qui passe par une poulie. La corde
ne glisse pas sur la poulie, sa masse est négligeable, et
elle ne s’étire pas. La poulie a un moment d’inertie de
0,003 00 kg · m 2 et un rayon de 10,0 cm. Lorsqu’elle
tourne, le frottement génère un moment de force de
0,150 N · m opposé à la vitesse angulaire de la poulie. Initialement, les masses sont immobiles, et m1 se trouve à une
hauteur h = 1,50 m.
au centre de masse d’un
cylindre plein de 20,0 kg et ayant un rayon de 35,0 cm
(voir la figure 12.44). Le cylindre se trouve sur une surface
horizontale dont le coefficient de frottement statique est μs.
La force
a un module de 100 N et elle forme un angle
de 25,0° par rapport à l’horizontale. Le cylindre roule sans
glisser.
a. Quelle est l’accélération du centre de masse du cylindre ?
b. Quelle est la force de frottement statique exercée sur le
cylindre par le sol ?
c. Quelle est la valeur minimale du coefficient de frottement
statique pour que le cylindre roule sans glisser ?
a. Quelle est l’accélération de m1 ?
b. Quelle est la vitesse de m1 tout juste avant de toucher
le sol ?
c. Après combien de temps la masse m1 touche-t-elle le sol ?
FIGURE 12.44 • Problème 24
P25 On place une sphère creuse au haut d’un plan incliné
à un angle f par rapport à l’horizontale. On la laisse aller à
partir du repos. Montrez que la sphère roulera sans glisser si
le coefficient de frottement statique répond à la condition :
FIGURE 12.42 • Problème récapitulatif 21
R26 Un yo-yo de 38,0 g a une corde dont la longueur est
a. Le cycliste accélère vers la droite.
de 90,0 cm. Celle-ci est enroulée autour d’un essieu de
4,50 cm de rayon. On laisse tomber le yo-yo à partir du
repos en tenant l’extrémité de la corde. Il tombe en tournant
autour de son centre de masse. Le mouvement du yo-yo
est semblable à un roulement, car c’est une superposition
d’une rotation autour du centre de masse et d’une translation du centre de masse, avec la contrainte du roulement
régulier acm = Rα. La corde se déroule en 0,950 s.
b. Le cycliste roule à vitesse constante.
a. Quelle est l’accélération du centre de masse du yo-yo ?
c. Le cycliste freine pour s’arrêter à un feu rouge.
b. Quel est le module de la vitesse angulaire du yo-yo tout
juste avant que la corde soit complètement déroulée ?
Section 12.3 La dynamique du roulement
Q22 Un cycliste roule à bicyclette vers la droite sur une
route horizontale. Indiquez le sens de la force de frottement
statique exercée sur la roue arrière par la route dans les
situations suivantes.
E23 On exerce une force de 6,00 N horizontalement au
centre de masse d’une roue de 1,733 kg et ayant un rayon
c. Quel est le moment d’inertie du yo-yo ?
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
419
P27 Une boule de quilles est lancée le long d’une allée
E31 La figure 12.46 illustre le graphique du moment de
(voir la figure 12.45). Le coefficient de frottement cinétique entre la surface et la boule est de 0,240. La boule est
une sphère pleine de 10,9 cm de rayon. Lorsque la boule
frappe l’allée, elle a une vitesse angulaire nulle et son
centre de masse a une vitesse horizontale de 9,60 m/s.
Elle glisse d’abord sur la surface de l’allée. La force de
frottement cinétique diminue le module de sa vitesse
et génère un moment de force qui augmente le module
de sa vitesse angulaire. La boule glisse pendant un certains temps avant que le roulement soit régulier (lorsque
vcm = Rω).
force appliqué par un moteur en fonction du nombre
de tours effectués lorsque ce moteur est branché à une
meule. La meule est initialement immobile.
a. Quel est le travail effectué par le moteur après une rotation de 500 tr ?
b. Quelle est la puissance moyenne du moteur si la meule a
besoin de 5,4 s pour effectuer 500 tr ?
a. Calculez la composante x de l’accélération linéaire du
centre de masse de la boule.
b. Calculez la composante z de l’accélération angulaire de
la boule.
c. Pendant combien de temps la boule glisse-t-elle ?
d. Quelle est la vitesse finale du centre de masse ?
e. Quelle est la vitesse angulaire finale ?
FIGURE 12.46 • Exercice 31
P32 Pour puiser de l’eau dans un puits, un seau de
FIGURE 12.45 • Problème 27
Section 12.4 Le travail et la puissance en rotation
E28 Un moteur fait tourner un ventilateur à une vitesse
constante de 100 tr/min en générant un moment de force
de 17,0 N · m. Quelle est la puissance exercée par le moteur
sur le ventilateur ?
0,800 kg est attaché à une corde. La corde est enroulée sur
un treuil ayant un rayon de 3,00 cm (voir la figure 12.47).
Le treuil est muni d’une poignée de 35,0 cm de longueur.
La force de frottement sur le treuil est négligeable, et la
corde ne glisse pas. On exerce une force au bout de la
poignée, perpendiculairement à celle-ci. Le seau est rempli
de 3,50 kg d’eau.
a. Quel est le module de la force
vitesse constante ?
pour que le seau monte à
b. Quelle est la vitesse du seau si la force
sance de 50,0 W ?
produit une puis-
E29 Un moment de force résultant de 7,00 × 10−3 N · m est
appliqué sur une table tournante. Sa vitesse angulaire varie
de 0,00 rad/s à 12,0 rad/s après une rotation de 12,0 tr.
a. Quel est le travail net effectué ?
b. Quel est le moment d’inertie de la table tournante ?
E30 Une roue de bicyclette tourne à une vitesse angulaire
de 3,79 tr/s. Son moment d’inertie est de 0,145 kg · m2. On
applique le frein pour arrêter la roue en 0,400 tr. Le frein
exerce une force normale constante sur la jante de la roue.
Le frottement entre la jante et le frein produit une force de
frottement cinétique sur la roue par le frein. Le coefficient
de frottement cinétique est μc = 0,800, et la force de frottement cinétique est exercée à une distance de 33,2 cm de
l’axe de rotation.
a. Quel est le travail effectué par le frein pour arrêter la roue ?
b. Quel est le module de la force normale exercée par le frein
sur la roue ?
FIGURE 12.47 • Problème 32
P33 On exerce une force
et une force
sur
une tige horizontale qui est inclinée initialement à un angle θi
par rapport à l’axe des x, comme le montre la vue en plongée de la figure 12.48 à la page suivante. La tige a une
longueur L, et elle peut tourner autour d’un axe qui passe
par son centre. Les forces ne changent pas d’orientation
lorsque la tige tourne. Calculez le travail effectué sur la
tige lorsque celle-ci tourne jusqu’à un angle θf.
420
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
E39 Une sphère creuse est centrée à l’origine. Elle tourne
autour de l’axe des x à 2,40 rad/s en sens horaire. Sa
masse est de 200 g, et son rayon est de 35,0 cm. Calculez
le moment cinétique de la sphère par rapport à l’origine.
E40 On enroule une corde autour d’une toupie dont le
moment d’inertie est de 0,043 0 kg · m2. On tire sur la
corde, ce qui génère un moment de force constant, dont
le module est de 3,60 N · m, pendant 0,250 s. Calculez le
module de la vitesse angulaire finale de la toupie si elle est
initialement immobile.
FIGURE 12.48 • Problème 33
Section 12.5 Le moment cinétique
P41 Une particule de 1,40 kg se trouve à la position
Q34 Une particule se déplace en ligne droite. Son moment
cinétique par rapport à l’origine est-il nécessairement nul ?
Q35 Dans les situations suivantes, déterminez l’orientation
du moment cinétique des particules par rapport à l’origine.
trouve à la position
sa vitesse est
et a une vitesse
10,0 s plus tard, elle se
et
a. Une particule dont la position est
vitesse,
et la
a. Quel est le moment cinétique initial par rapport à
l’origine ?
b. Une particule dont la position est
vitesse,
et la
b. Quel est le moment cinétique final par rapport à l’origine ?
c. Une particule dont la position est
vitesse,
et la
c. Quel est le moment de force moyen exercé sur la particule ?
d. Une sphère uniforme centrée à l’origine dont l’axe est
parallèle à l’axe des z et qui tourne en sens horaire par
rapport au plan des xy.
Q36 La figure 12.49 montre la composante z du moment
cinétique d’un disque parallèle au plan des xy en fonction
du temps. Classez les intervalles par ordre décroissant du
module du moment de force résultant exercé sur le disque.
P42 La position d’une particule de 1,80 kg en fonction du
temps est donnée par
où le temps
est mesuré en secondes, et la position est donnée en mètres.
a. Trouvez l’expression de la vitesse en fonction du temps.
b. Quel est le moment cinétique par rapport à l’origine à
t = 1,0 s ?
c. Quel est le moment de force par rapport à l’origine à
t = 1,0 s ?
Section 12.6 Le principe de conservation
du moment cinétique
Q43 Dans un terrain de jeu, un enfant se trouve sur un
carrousel qui tourne à une vitesse angulaire initiale ωi.
L’enfant décide de se diriger vers le centre du carrousel de
façon radiale (voir la figure 12.50). Indiquez comment les
quantités suivantes vont changer.
FIGURE 12.49 • Question 36
a. Le moment cinétique du système carrousel-enfant.
b. La vitesse angulaire du carrousel.
E37 Considérez la Terre comme une sphère pleine et
homogène qui tourne autour du Soleil le long d’une orbite
circulaire.
a. Calculez le module de son moment cinétique par rapport
au Soleil, associé à sa révolution autour du Soleil.
b. Calculez le module de son moment cinétique par rapport
à son centre, associé à sa rotation sur elle-même.
FIGURE 12.50 • Question 43
E38 Une particule de 2,40 kg se déplace dans le plan des xy.
Lorsque sa position est (2,0 ; −3,0) m, sa vitesse a un
module de 4,3 m/s et elle est orientée selon un angle de 30°
à gauche par rapport à l’orientation de l’axe des y. Calculez
le moment cinétique de la particule.
Q44 Dans un terrain de jeu, un enfant se trouve sur un car-
rousel qui tourne à une vitesse angulaire initiale ωi. L’enfant
décide de marcher sur le bord du carrousel à une vitesse e/c
(par rapport au carrousel), dans le sens de rotation, comme
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
le montre la figure 12.51. Indiquez comment les quantités
suivantes vont changer.
a. Le moment cinétique du système carrousel­enfant.
b. La vitesse angulaire du carrousel.
c. Le module de la vitesse de l’enfant par rapport au sol.
421
P48 Une comète est un petit corps céleste qui tourne sur
une orbite elliptique très excentrique. La comète de Halley
est la plus connue. Son orbite est illustrée à la figure 12.53.
Sa période orbitale est de 76 ans. Au point de son orbite
le plus près du Soleil (le périhélie), elle se trouve à une dis­
tance de 0,586 ua de celui­ci et sa vitesse orbitale a un mo ­
dule de 54,6 km/s.
a. Montrez que le moment de force de la force gravitation­
nelle du Soleil sur la comète est nul.
b. Calculez le module de la vitesse de la comète lorsque
celle­ci se trouve au point de son orbite le plus éloigné du
Soleil (appelé l’aphélie), situé à une distance de 35,1 ua
du Soleil.
FIGURE 12.51 • Question 44
Q45 Une patineuse tourne sur elle­même à une vitesse ωi
en ayant les bras éloignés de son corps. Elle rapproche
les bras de son corps. Comment sa vitesse angulaire
variera­t­elle ?
E46 Un disque ayant un moment d’inertie I1 = 0,150 kg · m2
tourne à 2,60 tr/s en sens horaire autour d’un axe qui passe
par son centre. Un deuxième disque qui ne tourne pas,
ayant un moment d’inertie I2 = 0,050 kg · m2 et le même
axe que le premier disque, tombe sur ce dernier (voir la
figure 12.52).
a. Calculez la vitesse angulaire finale du système composé
des deux disques.
b. Quelle est la variation d’énergie cinétique de rotation
du système ?
FIGURE 12.53 • Problème 48
P49 Au cours d’une démonstration en classe, un étudiant
est sur une plate­forme qui peut tourner sans frottement.
L’étudiant est initialement immobile. Il tient dans ses
mains une roue qui tourne selon un axe vertical, avec une
vitesse angulaire initiale ω
L’étudiant fait alors pivoter rapidement l’axe de la roue
pour qu’elle tourne en sens horaire à 3,00 tr/s. Le moment
d’inertie combiné de l’étudiant et de la plate­forme est de
2,40 kg · m2, et celui de la roue est de 0,150 kg . m2.
a. Quelle est la vitesse angulaire finale de l’étudiant ?
b. Quelle est la variation d’énergie cinétique du système
étudiant–plate­forme–roue ?
P50 Dans un terrain de jeu, un enfant de 20,0 kg court à
FIGURE 12.52 • Exercice 46
E47 Une plate­forme circulaire en forme de disque de
3,00 kg et ayant un rayon de 450 mm tourne en sens ho ­
raire à 20,5 tr/min. Deux boules de mastic de 50,0 g
tombent simultanément sur la plate­forme, à une distance
de 430 mm de chaque côté du centre, et collent sur la plate­
forme. Le frottement entre la plate­forme et son axe est
négligeable.
une vitesse de 1,75 m/s vers un carrousel qui tourne ini­
tialement à une vitesse angulaire de 12,0 tr/min en sens
horaire (voir la figure 12.54). Le moment d’inertie du car­
rousel est de 60,0 kg · m 2, et il a un rayon de 2,00 m. L’en­
fant saute alors sur le carrousel de telle sorte que sa vitesse
est tangente au carrousel. En négligeant le frottement entre
le carrousel et son axe, calculez la vitesse angulaire finale
du système enfant­carrousel.
a. Quelle est la vitesse angulaire du système après
la collision ?
b. Quel est le module de la vitesse d’une boule de mastic
après la collision ?
FIGURE 12.54 • Problème 50
422
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
R51 Un tourniquet horizontal est fabriqué en fixant deux
sphères pleines aux extrémités d’une tige. Les sphères ont
une masse de 1,50 kg et un rayon de 3,6 cm. La tige a une
longueur de 0,700 m et une masse de 0,400 kg. Le tourniquet est mis en rotation autour d’un axe vertical qui passe par
le centre de la tige, comme le montre la vue en plongée de la
figure 12.55. Le centre de chaque sphère est donc à une distance de 0,386 m de l’axe. La vitesse angulaire du tourniquet
est constante à 0,900 tr/s en sens antihoraire. Une balle
de carabine de 3,50 g est tirée à 450 m/s à un angle de 20,0°
par rapport à la direction perpendiculaire du tourniquet. Elle
frappe le tourniquet à une distance de 30,0 cm du centre de
la tige, lorsque celle-ci est parallèle à l’axe des x. La balle traverse la tige en perdant 90,0 % de son énergie cinétique.
a. Quel est le moment d’inertie du tourniquet par rapport à
l’axe de rotation ?
FIGURE 12.56 • Problème récapitulatif 52
Section 12.7 L’équilibre statique des corps rigides
Q53 La figure 12.57 illustre des poutres soumises à la
force gravitationnelle et à d’autres forces. Quelles sont les
poutres qui peuvent être en équilibre si les modules des
forces sont bien choisis (sans être nuls) ?
b. Quelle est l’énergie cinétique du tourniquet avant la
collision ?
c. Quelle est la vitesse angulaire du tourniquet après la
collision ?
d. Quelle est l’énergie cinétique du tourniquet après la
collision ?
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
e. Quelle est la variation d’énergie thermique ?
FIGURE 12.57 • Question 53
Q54 La figure 12.58 montre quatre tiges identiques attachées
FIGURE 12.55 • Problème récapitulatif 51
à un mur et soutenues par une corde. Classez les situations
selon un ordre croissant de la tension dans la corde.
R52 Une sphère creuse de 200 g dont le rayon est de 6,30 cm
est placée sur une rampe ayant une hauteur h = 38,0 cm. La
sphère roule sans glisser le long de la rampe avant d’entrer
en collision avec une tige verticale et y reste collée (voir la fi ­
gure 12.56). La tige a une longueur de 80,5 cm et une masse
de 170 g. Elle peut tourner sans frottement autour d’un axe
horizontal qui passe par le point O, son extrémité supérieure.
a. Quel est le module de la vitesse de la sphère tout juste
avant la collision ?
b. Quel est le module de la vitesse angulaire du système tigesphère tout juste après la collision ?
c. Par rapport au point O, quelle est la position du centre de
masse du système tige-sphère tout juste après la collision ?
d. Après la collision, le système tourne autour du point O et
s’arrête momentanément à un angle θ. Calculez l’angle θ.
FIGURE 12.58 • Question 54
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
423
E55 Une poutre de 15,0 kg, longue de 5,80 m, est fixée à un
mur par une charnière. Une corde est attachée à son extrémité pour la supporter, comme le montre la figure 12.59.
La corde forme un angle de 50,0° par rapport à l’horizontale. Une caisse de 75,0 kg est placée sur la poutre, à une
distance de 4,00 m du mur.
a. Quelle est la tension dans la corde ?
b. Quelle est la force exercée par la charnière sur la poutre ?
FIGURE 12.61 • Problème 57
P58 Une affiche rectangulaire est suspendue à une tige
FIGURE 12.59 • Exercice 55
P56 À la figure 12.60, une planche de 2,00 kg et de 2,44 m
est placée contre un mur sans frottement, sans y être fixée.
Une corde est attachée à une distance de 1,50 m de l’extrémité gauche. Une boîte de 7,50 kg est placée sur la planche.
Son centre de masse est à une distance d de l’extrémité
droite de la planche. Quelle doit être la distance d pour que
la planche soit en équilibre ?
horizontale, comme le montre la figure 12.62. L’affiche a
une masse de 25,0 kg et elle a une largeur de 1,25 m. La
tige a une longueur de 1,90 m et une masse de 3,00 kg. Elle
est fixée à un mur à l’aide d’une charnière et elle est soutenue à son extrémité par un câble qui est attaché au mur à
une hauteur de 2,55 m au-dessus de la charnière.
a. Quelle est la tension dans le câble ?
b. Quelle est la force exercée par la charnière sur la tige ?
FIGURE 12.62 • Problème 58
P59 Un objet m = 430 kg est suspendu au bout d’une
FIGURE 12.60 • Problème 56
P57 Une femme tient une sphère de 1,36 kg dans la main en
tenant le bras horizontalement (voir la figure 12.61). Le bras
est retenu par l’articulation de l’épaule (qui exerce une force )
et par le deltoïde, un muscle qui exerce une force de tension .
La force du deltoïde est exercée à une distance rd = 15,0 cm
de l’épaule, à un angle de 16,0° par rapport au bras. Le bras
a une masse de 3,34 kg, et son centre de masse est situé à
une distance rg = 27,8 cm de l’épaule. La sphère est située
à une distance rs = 47,0 cm de l’épaule.
poutre, comme il est indiqué à la figure 12.63. La poutre
est attachée à un mur au moyen d’une charnière, en plus
d’être reliée au mur par un câble horizontal. La masse de la
poutre est de 90,0 kg, et sa longueur est de 3,50 m.
a. Quel est le module de la force du deltoïde ?
b. Quelle est la force exercée par l’articulation de l’épaule sur
le bras ?
FIGURE 12.63 • Problème 59
424
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
a. Quelle est la tension du câble ?
b. Calculez la force de la charnière sur la poutre. Exprimez
votre réponse en fonction du module et de l’orientation.
P60 On place quatre pièces de domino identiques l’une
sur l’autre, en laissant dépasser légèrement la pièce du haut
par rapport à la pièce du bas, comme il est illustré à la fi­
gure 12.64. Chaque domino a une longueur L = 51,50 mm.
Calculez les valeurs maximales de d1, d2, d 3 et d 4 pour que
l’ensemble soit en équilibre.
P61 Une échelle de masse m et de longueur L est appuyée
contre un mur. Le plancher et le mur ont le même coeffi­
cient de frottement statique μs. Lorsque l’échelle est inclinée
à un angle de 52,0° par rapport à l’horizontale, elle est sur
le point de glisser. Calculez le coefficient de frottement μs.
Section 12.8 La précession du gyroscope
E62 Un gyroscope a une masse de 0,700 kg, et son centre
de masse est à une distance de 3,50 cm du point d’appui.
Lorsqu’il tourne à une vitesse angulaire de 50,0 tr/s, il effec­
tue une précession à une vitesse angulaire de 1,27 rad/s.
Quel est son moment d’inertie ?
E63 Un gyroscope de démonstration est constitué d’un
FIGURE 12.64 • Problème 60
disque de 40,0 cm de rayon placé au milieu d’une tige de
60,0 cm ayant une masse négligeable. Quel est le module
de la vitesse angulaire de précession lorsqu’il tourne
à 22,5 tr/s ?
SOLUTIONS AUX TESTS DE COMPRÉHENSION
425
SOLUTIONS AUX TESTS DE COMPRÉHENSION
12.1 a. τ1 = τ2 < τ3 < τ5 = τ6 < τ4
b. τ1 z = τ2 z = 0, τ3z > 0, τ4z > 0,
τ5z > 0, τ6z < 0
12.2 a. L’orientation est parallèle
à l’axe des y, dans un sens
ou l’autre.
Le module du moment de force est τ = rF sin f. τ1 = 0 car f = 0°, τ2 = 0
car r = 0. τ3 < τ6 car F3θ < F6θ. τ5 = τ6 car r5 = r6. τ4 > τ6 car r6 > r5.
Le moment de force τz est positif si la force produit une rotation en sens antihoraire, et il est négatif si la force produit une rotation en sens horaire.
Le moment de force est τ
même direction.
b. L’orientation est opposée
à l’axe des x.
×
c. L’orientation est opposée
à l’axe des z.
×
12.3 a. L’accélération est en sens
horaire.
b. T2
12.4 a. Les modules sont tous égaux.
b. Cerceau < cylindre < sphère
donc
donc
×
Le moment de force est nul si
et
ont la
a une composante x négative.
a une composante z négative.
En accélérant vers le bas, le poids tire sur la corde, ce qui fait tourner la poulie
en sens horaire.
La poulie subit deux moments de force : le moment de force généré par
est
antihoraire et le moment de force de
est horaire. Pour que l’accélération
angulaire soit horaire, il faut que τ2 > τ1, donc que T2 > T1, car leurs bras de
levier sont identiques (r⊥ = R).
Pour un moment de force constant, le moment cinétique est
Le
τ
moment de force et l’intervalle de temps sont les mêmes pour les trois objets.
Le module du moment cinétique est L = Iω. Selon le tableau 11.3 de la
page 356, Icerceau > Icyl > Isph. Si le moment d’inertie est grand, alors le
module de la vitesse angulaire est petit.
Chapitre
426
La gravitation
Buts du chapitre
Dans ce chapitre, on étudie en détail la force gravitationnelle. Après l’étude de ce
chapitre, vous serez en mesure :
• de comprendre la loi de la gravitation universelle ;
• de comprendre la notion de champ gravitationnel ;
• d’analyser le mouvement des satellites à l’aide des lois de Kepler ;
• de calculer l’énergie potentielle gravitationnelle d’un système sous sa forme
générale ;
• d’utiliser le principe de conservation de l’énergie dans l’étude du mouvement
des satellites.
Préalables
Les propriétés du mouvement circulaire et du mouvement de rotation sont
utilisées dans ce chapitre. Revoyez :
• la force gravitationnelle, décrite à la section 5.7 ;
• la loi de la gravitation universelle et le mouvement orbital, étudiés aux
sections 7.2 et 7.3 ;
• l’énergie potentielle, présentée aux sections 9.1 et 9.3 ;
• le moment cinétique, traité dans les sections 12.5 et 12.6.
427
Le satellite Io tourne autour
de Jupiter à cause de la force
gravitationnelle.
428
CHAPITRE 13 — La gravitation
UN PEU D’HISTOIRE
L’attraction de la gravitation : un mirage trop convaincant
Pourquoi les planètes tournent-elles autour d’un
centre commun ?
La question est fondamentale. Si Copernic tient
tant à conserver les orbites circulaires de ses prédécesseurs, c’est parce que le grand Aristote a proposé une explication qui permet justement d’éviter
de répondre à cette question. Dans la philosophie
d’Aristote, le mouvement circulaire est le seul qui
peut se perpétuer indéfiniment parce qu’il ne change
jamais. Aucun point d’un cercle ne se distinguant
des autres, une orbite circulaire n’a ni début ni fin.
Par conséquent, il suffit de créer ce mouvement une
seule fois pour que les planètes tournent jusqu’à la
fin des temps.
Cette réponse n’est plus satisfaisante à partir du
moment où l’astronome allemand Johannes Kepler
(1571-1630) démontre que les orbites ne sont pas
des cercles, mais des ellipses. Du coup, la vitesse
d’une planète change tout au long de son orbite. Une
force doit nécessairement agir sur elle pour causer
ces changements de vitesse. Kepler se tourne vers le
Soleil. Copernic a trouvé raisonnable de placer un
astre aussi gros et aussi brillant au centre de son système. Kepler va plus loin, peut-être même trop loin
pour la plupart de ses collègues. S’inspirant d’études
récentes sur le magnétisme terrestre, il propose
qu’une force magnétique capable de guider les planètes émane du Soleil. Toutefois, les philosophes de
l’époque répugnent à admettre qu’une force puisse
s’exercer à distance, sans contact direct, ouvrant la
porte aux influences occultes de la magie. Quand
il aborde le problème, Isaac Newton (1642-1727)
s’efforce d’expliquer l’action d’une telle force d’attraction, entre autres par la circulation de gaz subtils reliant les planètes au Soleil. Malgré tout son
génie, il est incapable de trouver un mécanisme
conforme aux caractéristiques connues du système
solaire.
Ainsi, quand Newton fait paraître les Principia mathe­
matica, il se contente d’énoncer la formule de la gravitation universelle. Le savant anglais ne s’aventure pas
à fournir une explication physique de la force gravitationnelle. Il s’en tient aux principes mathématiques
parce qu’il n’a pas su trouver les principes physiques
permettant de l’expliquer. Dans un passage resté
célèbre, il affirme qu’il ne « fabrique » pas d’hypothèses.
De même, ses successeurs éviteront de chercher des
causes indémontrables.
La relativité générale d’Albert Einstein (1879-1955)
transforme notre conception de la gravitation. Ce
jeune diplômé de l’École polytechnique de Zurich
ne vit pas dans le même monde que Newton. Les
bicyclettes, les trains et les ascenseurs lui fournissent
de nouveaux moyens de considérer le mouvement.
Par exemple, le cas d’une personne enfermée dans un
ascenseur permet d’approfondir son principe d’équivalence. Une personne soumise à une accélération
constante dans un sens observe des objets accélérés
dans l’autre sens de la même manière que si ces derniers étaient soumis à un champ gravitationnel. Après
des années de travail, Einstein en tire la théorie de la
relativité générale qui pose à nouveau la question de
la cause de la gravitation.
Selon Einstein, la force gravitationnelle est une illusion. L’espace-temps est déformé à cause de la présence de concentrations de masse-énergie, ce qui
peut transformer en orbites fermées les trajectoires
des corps en mouvement. La relativité générale rend
compte des écarts de l’orbite de Mercure et fait de la
déviation de la lumière des étoiles une simple conséquence de la géométrie de l’espace-temps.
Johannes Kepler (1571-1630)
13.1 — La loi de la gravitation universelle
429
Nous avons parlé de la force gravitationnelle au chapitre 5. Cette force
est une force à distance exercée sur les objets à la surface de la Terre ou
d’un autre objet céleste. Nous avons aussi vu au chapitre 7 que cette force est
universelle : tous les objets exercent les uns sur les autres une force attractive.
À l’échelle humaine, nous observons la force gravitationnelle exercée par la
Terre sur les objets, mais la force gravitationnelle entre deux objets est négligeable. Nous pouvons aussi observer les effets de la force gravitationnelle exercée par la Lune sur les océans, ce qui engendre les marées (voir la figure 13.1).
La force gravitationnelle du Soleil contribue aussi à la force de marée, parfois en
l’augmentant, parfois en la diminuant.
Nous pouvons aussi observer le résultat de la force gravitationnelle en regardant
le ciel durant plusieurs jours. Nous remarquons alors que parmi les étoiles qui
semblent conserver des positions relatives fixes, il y a des planètes dont la position change. Différents modèles ont été proposés pour décrire le mouvement
des planètes, mais c’est la théorie de la gravitation universelle élaborée par
Newton, qui a permis de comprendre la dynamique du système solaire et
de faire de nouvelles prédictions aujourd’hui vérifiées. Il est possible de prévoir
le mouvement des satellites autour d’un corps céleste en appliquant la mécanique newtonienne.
Les astronomes et les astrophysiciens continuent à scruter le ciel en étudiant
les étoiles, les galaxies et les amas de galaxies. À l’échelle astronomique, la
force gravitationnelle est la force la plus importante. La loi de la gravitation
universelle permet de comprendre de nombreux phénomènes astronomiques.
Cependant, cette théorie est incomplète : dans certaines situations, on doit la
remplacer par la théorie de la relativité générale. Nous verrons à la fin de ce
chapitre quelques résultats issus de cette théorie.
(a)
(b)
FIGURE 13.1
Les marées de la baie de Fundy : (a) la marée haute, (b) la marée basse.
13.1
La loi de la gravitation universelle
Selon Newton, tous les objets s’attirent en exerçant une force gravitationnelle
les uns sur les autres. Cette force est proportionnelle à la masse des objets et
inversement proportionnelle au carré de la distance les séparant. La figure 13.2
montre deux sphères uniformes dont la distance entre les centres est r. Comme
nous avons vu à la section 7.2, chaque objet attire l’autre avec une force gravitationnelle. L’objet 1 subit une force
, alors que l’objet 2 subit une
force
. Ces deux forces forment une paire action-réaction : elles ont le
FIGURE 13.2
Deux objets exercent l’un sur l’autre
une force gravitationnelle.
430
CHAPITRE 13 — La gravitation
même module et des orientations opposées. Le module de ces forces est donné
par la loi de la gravitation universelle :
(13.1)
où G est la constante gravitationnelle, aussi appelée la constante de Newton. C’est
une constante fondamentale, dont la valeur dans le système international est
L’équation 13.1 est valide pour les objets ponctuels, c’est-à-dire des objets dont
les dimensions sont beaucoup plus petites que la distance r. De plus, Newton
a démontré que cette équation est aussi valide pour des sphères. Dans ce cas, la
distance r est la distance entre les centres des sphères.
FIGURE 13.3
Le vecteur
est la différence
entre les vecteurs et .
Pour donner la force gravitationnelle
exercée sur la masse 1 par la masse 2
en incluant aussi son orientation, on a besoin d’ajouter un vecteur unitaire. Ce
vecteur unitaire est le vecteur
, semblable au vecteur unitaire radial (voir
la section 2.1 de la page 30). Nous considérons d’abord le vecteur position
,
le vecteur qui va de la masse 2 (l’agent) vers la masse 1 (l’objet). La position de la
masse 1 est donnée par le vecteur , et la position de la masse 2 est donnée par
le vecteur . Comme le montre la figure 13.3, les vecteurs , et
forment
un triangle :
. On obtient alors
(13.2)
Le vecteur unitaire est obtenu à l’aide de la méthode décrite dans la section 2.3
de la page 38 : on divise le vecteur
par son module :
(13.3)
FIGURE 13.4
La force
uni taire
et le vecteur
La masse 1 est attirée vers la masse 2 par la force gravitationnelle
figure 13.4 montre que le vecteur unitaire
est opposé à la force
La loi de la gravitation universelle s’écrit alors
. La
.
(13.4)
Loi de la gravitation universelle
REMARQUE
On aurait pu définir un vecteur unitaire pour éviter d’avoir besoin
d’un signe négatif dans l’équation 13.4. La présente méthode est
habituellement utilisée pour les forces radiales. Nous utiliserons la
même méthode pour la force électrostatique dans le tome 2.
Lorsque plusieurs agents exercent une force gravitationnelle sur un objet,
la force gravitationnelle résultante est la somme vectorielle des forces
gravitationnelles :
Principe de superposition
(13.5)
C’est le principe de superposition. Cela indique que la force gravitationnelle
exercée par un agent sur un objet ne change pas lorsque d’autres masses sont
13.1 — La loi de la gravitation universelle
présentes dans l’environnement de l’objet. Comme le montre la figure 13.5, on
calcule
en traçant les vecteurs unitaires
,
, . . ., puis on calcule cha­
cune des forces et ensuite la force résultante.
La stratégie suivante donne les étapes importantes pour calculer la force gravi­
tationnelle à partir des vecteurs unitaires.
STRATÉGIE 13.1 La force gravitationnelle résultante
Illustrer la situation
Tracez un schéma de la situation en incluant l’objet et les agents. Encer­
clez l’objet pour bien l’identifier. Tracez les vecteurs unitaires, orientés
des agents vers l’objet, puis les forces gravitationnelles, orientées de l’ob­
jet vers les agents. Ajoutez un système de coordonnées cartésiennes.
Décortiquer le problème
Identifiez bien les quantités connues et inconnues. Calculez les vecteur
position
,
, . . ., orientés des agents vers l’objet et les vecteurs uni­
taires correspondants :
Identifier la clé
La première clé est la loi de la gravitation universelle :
Elle permet de calculer la force gravitationnelle exercée sur l’objet par cha­
cun des agents. La deuxième clé est le principe de superposition :
Résoudre le problème
Remplacez les données connues dans les équations pour obtenir la quan­
tité recherchée.
Valider la réponse
Vérifiez que les forces calculées sont conformes au schéma de la situation
et que la réponse finale a du sens.
EXEMPLE 13.1
La force gravitationnelle résultante
Trois objets sont placés sur une surface horizontale,
comme le montre la figure ci­contre. Calculez la force
résultante sur l’objet 1 si m1 = 10,0 kg, m2 = 20,0 kg,
m3 = 25,0 kg et a = 1,20 cm.
FIGURE 13.5
La force gravitationnelle résultante est la somme des forces
gravitationnelles.
431
432
CHAPITRE 13 — La gravitation
SOLUTION
Illustrer la situation
Identifier la clé
La figure 13.6 illustre la situation avec l’objet (m1),
les agents (m2 et m3), les vecteurs unitaires et les
forces gravitationnelles.
La première clé est la loi de la gravitation universelle,
qui permet de calculer les forces
et
:
(iii)
(iv)
La deuxième clé est le principe de superposition :
(v)
FIGURE 13.6
Le schéma de la situation pour l’exemple 13.1
Résoudre le problème
Nous remplaçons les valeurs dans les équations (iii)
et (iv) :
Décortiquer le problème
Pour déterminer les vecteurs unitaires, nous calculons les vecteurs position. Le vecteur
relie la
masse 2 et la masse 1. De même, le vecteur
relie
la masse 3 et la masse 1 :
Il reste à calculer la somme vectorielle :
(réponse)
Valider la réponse
Les vecteurs unitaires sont
(i)
(ii)
Selon le schéma de la figure 13.6, la force résultante
doit avoir une composante x positive et une composante y positive ; c’est ce que nous avons trouvé. La
réponse est bien un vecteur.
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 13.1
On place 12 masses identiques m vis-à-vis des chiffres d’une horloge circulaire horizontale et une masse M au centre. La distance entre la masse M
et les autres masses est R.
a. Quelle est la force résultante sur la masse du centre ?
b. On enlève la masse vis-à-vis du chiffre 3. Quelle est la nouvelle force
résultante sur la masse au centre ?
13.2 — Le champ gravitationnel
433
La mesure de la constante gravitationnelle
La constante gravitationnelle G est une constante de proportionnalité qu’on
doit mesurer. C’est le physicien et chimiste anglais Henry Cavendish (17311810), qui a été le premier à effectuer cette mesure, en 1798. Il a utilisé un
dispositif appelé balance de torsion. Un schéma simplifié de l’appareil est présenté à la figure 13.7. Deux petites sphères de masse m sont placées aux extrémités d’une tige horizontale. La tige est suspendue par un fil. On approche
deux grosses sphères de masse M près des petites sphères. La force gravitationnelle exercée par les grosses sphères sur les petites sphères produit une
torsion dans le fil.
Les grosses sphères sont placées de telle sorte que le système est en équilibre
lorsqu’elles sont à une distance r des petites sphères. Lorsque le fil est tordu, il
produit un moment de force de rappel, proportionnel à la rotation du système.
La mesure de l’angle de rotation donne alors une mesure du module de la force
gravitationnelle. En variant les masses et la distance, Cavendish a vérifié la loi
de la gravitation universelle et obtenu comme mesure G Cavendish ≈ (6,75 ± 0,05)
−
× 10 11 N · m2 /kg2. Depuis ce temps, les mesures ont été améliorées pour diminuer l’incertitude et éliminer certaines erreurs systématiques. La valeur acceptée aujourd’hui est présentée à l’annexe B :
13.2
FIGURE 13.7
Un schéma de la balance de torsion
de Cavendish pour mesurer la
constante gravitationnelle
Le champ gravitationnel
Nous avons vu au chapitre 5 que la force gravitationnelle est une force à distance. Le physicien anglais Michael Faraday (1791-1867) a imaginé un mécanisme pour expliquer la façon dont se transmet une force à distance. Selon lui,
un objet massif comme la Terre produit un champ gravitationnel dans son
environnement. De plus, lorsqu’un objet se trouve dans un endroit où il y a un
champ gravitationnel, il subit une force gravitationnelle
. Le champ est
le médiateur de la force à distance.
Pour obtenir le champ gravitationnel à un point P, on place une petite masse
test m0. Cette dernière subit alors une force gravitationnelle . Le champ gravitationnel est défini par l’expression :
(13.6)
L’unité du champ gravitationnel est le newton par kilogramme (N/kg), ce qui
est équivalent à m/s2. On peut calculer le champ gravitationnel à une distance r
d’une masse M ponctuelle : on place une petite masse test m0 au point P qui
nous intéresse (voir la figure 13.8a à la page suivante). Selon la loi de la gravitation universelle de Newton, on trouve
(13.7)
où le vecteur
est le vecteur unitaire radial, orienté de la masse M vers le
point P. L’équation 13.7 est aussi valable pour calculer le champ à l’extérieur
d’une sphère, où r est la distance entre le centre de la sphère et le point P.
Champ gravitationnel
434
CHAPITRE 13 — La gravitation
(a)
(b)
FIGURE 13.8
(a) Le calcul du champ gavitationnel au point P. (b) Le champ gravitationnel autour
d’une masse ponctuelle.
Remarquez que le champ gravitationnel est indépendant de la masse test. Cette
masse joue le rôle d’une sonde. Le champ existe sans la présence de cette masse
test ; il est créé par la masse M. La figure 13.8b illustre le champ gravitationnel
à quelques endroits autour de la masse ponctuelle. Il faut noter que le champ
gravitationnel est un vecteur orienté vers la masse M et que son module diminue
pour des points plus éloignés.
Dans le tome 2, nous allons étudier deux autres forces à distance : la force
électrique et la force magnétique. Nous verrons qu’un champ électrique et un
champ magnétique agissent comme médiateurs de ces forces. Nous étudierons alors plus en profondeur la notion de champ associé à une force à distance.
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 13.2
Un satellite est en orbite autour de la Terre à une altitude égale au rayon
terrestre, le long d’une orbite circulaire. Par rapport au champ gravitationnel à la surface de la Terre, quel est le module du champ gravitationnel le
long de l’orbite du satellite ?
13.3
La gravitation près de la surface
de la Terre
Nous pouvons maintenant comparer les prédictions de la loi de la gravitation
universelle et nos observations concernant la force gravitationnelle près de la
surface de la Terre. Nous pouvons en même temps inclure les effets de la rotation de la Terre.
FIGURE 13.9
La chute libre d’un objet de
masse m est produite par la
force gravitationnelle exer­
cée sur l’objet par la Terre.
À la section 5.7, nous avons indiqué que la force gravitationnelle
était la
force responsable de la chute libre. Supposons qu’un objet de masse m se
trouve près de la surface de la Terre (voir la figure 13.9). On suppose d’abord
que la Terre est une sphère parfaite, de rayon R T = 6 371 km (le rayon moyen
de la Terre) et dont la masse est MT = 5,97 × 1024 kg. Selon la loi de la gravitation universelle de Newton (voir l’équation 13.4), la force est dirigée vers le
centre de la Terre :
13.3 — La gravitation près de la surface de la Terre
On remarque que cette équation est équivalente à
module de l’accélération gravitationnelle est donné par l’expression :
si le
Cette valeur correspond à la valeur qui a été utilisée dans ce manuel. Ceci repré­
sente aussi le module du champ gravitationnel de la Terre, défini à la sec ­
tion 13.2 : l’accélération gravitationnelle près de la surface de la Terre est égale
au champ gravitationnel de la Terre à cet endroit.
L’effet de l’altitude
Expérimentalement, on trouve que la valeur de g varie en fonction de la position
sur Terre. D’abord, g diminue en fonction de l’altitude. Ce résultat est facile
à comprendre : lorsqu’un objet est à une altitude h par rapport au niveau de
la mer, il est à une distance r = RT + h du centre de la Terre :
Il est possible d’obtenir une approximation en utilisant l’approximation du
binôme
lorsque | x |  1, voir l’annexe E) :
(13.8)
où g0 représente l’accélération gravitationnelle au niveau de la mer. L’équa­
tion 13.8 montre bien que g diminue avec l’altitude.
L’effet de la rotation de la Terre
On trouve aussi que g est plus faible à l’équateur qu’aux pôles. En effet, on
mesure gp = 9,832 m/s2 aux pôles et ge = 9,780 m/s2 à l’équateur, ce qui donne
une différence g P − ge = 0,052 m/s2, c’est­à­dire une différence de 0,53 %. Cette
différence est faible, mais elle est mesurable. La variation de l’accélération gra­
vitationnelle est le résultat de la rotation de la Terre sur elle­même. La rotation
produit deux effets qui influent sur la valeur de g. La Terre n’est pas parfaite­
ment sphérique : elle est aplatie aux pôles et bombée à l’équateur. De plus, la
surface de la Terre n’est pas un référentiel inertiel : un point de la surface de
la Terre effectue un mouvement circulaire autour de l’axe de rotation.
Pour comprendre l’effet de la rotation de la Terre, supposons d’abord une planète
sphérique homogène, de rayon R, qui tourne sur elle­même avec une période T.
On suppose qu’un objet de masse m, se trouvant à une latitude ϕ, effectue un
mouvement de chute libre près de la surface (voir la figure 13.10a à la page
suivante). L’objet subit une force gravitationnelle exercée par la planète. Cette
force est orientée vers le centre de la planète, comme le montre la figure 13.10b.
À cet endroit, la surface de la planète effectue un mouvement circulaire autour de
l’axe de rotation. Le rayon du cercle est r = R cos ϕ. L’accélération centripète
est orientée vers l’axe de rotation (comme le montre la figure 13.10b à la page sui­
vante), et son module est
où on a utilisé l’équation 4.35 de la page 108, en insérant v = (2π r)/T.
435
436
CHAPITRE 13 — La gravitation
(a)
(b)
FIGURE 13.10
(a) Un objet est en chute libre à la latitude ϕ. (b) L’objet subit la force gravitationnelle
par la planète. La surface a une accélération centripète .
exercée
La surface de la planète n’est pas un référentiel inertiel parce que celle-ci a une
accélération centripète. Pour analyser la situation, on peut utiliser la méthode
présentée à la section 7.5 de la page 223 : on utilise la deuxième loi de Newton,
mais en ajoutant une force fictive
Cette force fictive
est appelée la force centrifuge ; elle est opposée à l’accélération centripète de
la surface de la planète. Le diagramme des forces de l’objet est présenté à la
figure 13.11. On a ajouté les vecteurs unitaires : (orienté vers l’extérieur) et
(orienté vers le pôle). Le diagramme montre que la force fictive forme un angle ϕ
(égal à la latitude) par rapport à .
FIGURE 13.11
Le diagramme des forces de l’objet
en chute libre, dans le référentiel
accéléré
Lorsque l’on considère l’effet de la rotation terrestre en détail, on doit faire
attention à la notation. On note
l’accélération gravitationnelle (égale
au champ gravitationnel) et
, l’accélération en chute libre. Dans le présent cas, on cherche à obtenir
, car c’est cette accélération qu’on mesure lors
d’une chute libre.
Selon la deuxième loi de Newton appliquée pour la composante radiale,
(13.9)
Ce résultat montre que la valeur de l’accélération en chute libre geff diminue
lorsque la latitude diminue. Lorsqu’on insère les valeurs pour la Terre, on
obtient que la différence entre l’accélération en chute libre au pôle nord et celle
à l’équateur est égale à 0,034 m/s2, ce qui est plus petit que la valeur réelle. Il
y a un autre facteur qui a un effet sur geff.
Le diagramme des forces montre que la force fictive a aussi une composante
tangentielle :
Cette composante est orientée vers l’équateur. Pour une planète en rotation, les
éléments de la surface vont subir une force vers l’équateur. Lors de la formation
de la planète, les éléments de la surface se déplacent, ce qui change la force
13.3 — La gravitation près de la surface de la Terre
gravitationnelle, car la surface n’est plus sphérique. On obtient une situation
d’équilibre lorsque la force tangentielle devient nulle. La surface est devenue
bombée à l’équateur et aplatie aux pôles, comme le montre la figure 13.12. Il y
a alors une différence entre la direction verticale (perpendiculaire à la surface)
et la direction du centre de la Terre. Pour un observateur sur Terre, un objet
en chute libre a une accélération
orientée vers le bas, perpendiculairement au sol. Cette accélération est la somme de l’accélération gravitationnelle
(orientée vers le centre de la Terre) et de l’accélération centrifuge due
à la rotation de la Terre. Lorsqu’on inclut la rotation de la Terre et sa forme non
sphérique, on obtient la bonne différence entre l’accélération en chute libre aux
pôles et celle à l’équateur.
Les marées
437
FIGURE 13.12
La Terre n’est pas sphérique.
L’accélération en chute libre n’est
pas vers le centre, mais elle est
perpendiculaire au sol.
Les marées sont un autre phénomène causé par la force gravitationnelle. Cette
fois, c’est l’attraction gravitationnelle de la Lune sur les océans qui les produit,
comme le montre la figure 13.13. Pour comprendre ce phénomène, on doit
d’abord analyser la Terre et la Lune comme un système qui interagit de façon
gravitationnelle. La Lune exerce sur la Terre une force
qui fait tourner la
Terre autour du centre de masse du système. On obtient le mouvement principal
de la Terre en remplaçant celle-ci par une masse ponctuelle en son centre (voir
la figure 13.14a). L’accélération centripète est
où r est la distance entre le centre de la Terre et le centre de la Lune et
vecteur unitaire orienté de la Lune vers la Terre.
, le
On peut analyser les forces appliquées sur un volume d’eau de masse m à la
surface de la Terre. Encore une fois, la Terre n’est pas un référentiel inertiel, mais
un référentiel accéléré. Pour analyser le mouvement de l’eau dans le référentiel
de la Terre, on doit ajouter une force fictive
Pour un objet situé du
côté de la Lune, celle-ci exerce une force gravitationnelle attractive et la force
fictive est opposée, comme le montre le diagramme des forces présenté à la figure 13.14b. La force résultante est appelée la force de marée:
(13.10)
(a)
(b)
FIGURE 13.14
(a) La Terre est remplacée par une masse ponctuelle ; la force
fait tourner la Terre autour
du centre de masse du système. (b) Le diagramme des forces pour les objets 1 et 2 situés de
chaque côté de la Terre, dans le référentiel accéléré de la Terre.
FIGURE 13.13
Une vue au-dessus du pôle nord du
système Terre-Lune. L’interaction
gravitationnelle de la Lune produit
deux hautes marées par jour.
438
CHAPITRE 13 — La gravitation
Il est possible d’obtenir une bonne approximation du résultat de l’équa­
n
tion 13.10 en utilisant l’approximation du binôme ([1 + x] ≈ 1 + nx, voir l’annexe E). En effet,
En insérant ce résultat dans l’équation 13.10, on obtient
(13.11)
La force de marée pour le volume d’eau 1 est orientée vers la Lune. Un calcul
similaire pour le volume d’eau 2, situé à l’opposé, donne une force de marée de
même module, mais opposée à la Lune. En effet, cette fois­ci, la force exercée
par la Lune sur le volume d’eau est plus faible que la force fictive, et la force
résultante est dans le même sens que :
(13.12)
Les équations 13.11 et 13.12 sont des résultats particuliers pour les points étu­
diés, mais ils permettent d’établir le résultat suivant :
La force de marée de la Lune dépend de la masse de la Lune et du cube
de l’inverse de la distance entre la Terre et la Lune.
La figure 13.15 donne le sens de la force de marée selon la position sur Terre, ce
qui produit les renflements des océans.
FIGURE 13.15
L’orientation de la force de marée
selon la position sur Terre
Le Soleil exerce aussi une force de marée sur la Terre. Comme cette force dépend
de 1/r 3, elle est plus faible que la force de marée de la Lune, même si la masse
du Soleil est beaucoup plus grande que celle de la Lune. En effet, la force de
marée du Soleil est environ 2,2 fois plus petite que la force de marée exer­
cée par la Lune. Les deux forces de marée s’additionnent vectoriellement. Le
résultat dépend de la position relative du Soleil et de la Lune par rapport à
la Terre, comme le montre la figure 13.16. Les marées sont plus importantes
FIGURE 13.16
Les marées sont intenses lorsque le Soleil et la Lune sont alignés. Les marées sont faibles
lorsque ces derniers sont dans des directions perpendiculaires.
13.4 — Les lois de Kepler et le mouvement planétaire
(les marées de vives-eaux) lorsque le Soleil et la Lune sont alignés, ce qui se
produit au moment de la nouvelle lune et à celui de la pleine lune. Dans ces cas,
les deux forces de marée sont dans le même sens. Lorsque la Lune est en phase
de premier ou de dernier quartier, la Lune et le Soleil sont dans des directions
perpendiculaires et les marées sont moins intenses (les marées de mortes-eaux),
car les deux forces de marée sont opposées.
13.4
Les lois de Kepler et le mouvement
planétaire
Après l’étude de la gravitation près de la surface de la Terre, nous étudions
maintenant la gravitation au niveau du système solaire. L’observation du mouvement des planètes remonte à l’Antiquité. Contrairement aux étoiles, qui
ont un mouvement apparent identique (le mouvement de la voûte céleste),
les planètes se déplacent par rapport aux étoiles. D’ailleurs, le mot planète
signifie astre errant.
Pour les astronomes de l’Antiquité et du Moyen Âge, le centre du monde était
la Terre. La Lune, le Soleil, les planètes connues et les étoiles tournaient autour
de la Terre sur de grandes sphères appelées sphères célestes. Ce modèle porte
le nom de modèle géocentrique. C’est l’astronome égyptien Claude Ptolémée
qui a conçu le modèle le plus complexe et le plus conforme aux observations
de ce temps. Outre le fait d’être conforme aux observations, ce modèle était
compatible avec la doctrine de l’Église ; pour celle-ci, ce modèle de l’Univers
était la Vérité.
Le premier modèle héliocentrique a été proposé par l’astronome polonais
Nicolas Copernic (1473-1543). Dans ce modèle, c’est le Soleil qui est au centre.
La Terre devient une planète comme une autre. Elle tourne autour du Soleil,
comme toutes les autres planètes, sur une orbite circulaire. Ce modèle a
l’avantage d’être beaucoup plus simple que le modèle de Ptolémée, mais
n’améliore pas la précision. Cependant, au niveau philosophique, ce changement est révolutionnaire. L’humanité n’est plus au centre de l’Univers.
Copernic a attendu à la fin de sa vie pour publier son ouvrage Des révolutions
des orbes célestes, car il avait peur des représailles des autorités de l’Église
catholique.
De meilleures observations ont été obtenues par l’astronome danois Tycho
Brahe (1546-1601). Il a déterminé les positions des différentes planètes.
À cause de ses croyances religieuses, il était un défenseur du modèle géocentrique. Néanmoins, il a montré que les comètes ne se situent pas dans
l’atmosphère, mais qu’elles se déplacent le long d’orbites elliptiques autour
du Soleil. À sa mort, ses mesures ont été récupérées par son assistant, l’astronome allemand Johannes Kepler (1571-1630) (voir la figure 13.17). En
analysant ces données, Kepler a trouvé trois lois empiriques du mouvement
des planètes. Les travaux de Kepler ont mené à l’acceptation du modèle
héliocentrique. Les lois de Kepler ont été découvertes à partir du mouvement des planètes autour du Soleil, mais elles s’appliquent également aux
satellites orbitant autour d’un corps massif central comme la Terre ou une
autre planète.
FIGURE 13.17
Johannes Kepler : astronome
allemand (1571-1630)
439
440
CHAPITRE 13 — La gravitation
La première loi de Kepler
En étudiant le mouvement de Mars, Kepler a trouvé que les orbites des planètes
n’étaient pas des cercles, mais bien des ellipses.
Première loi de Kepler
(la loi des orbites)
Les planètes du système solaire décrivent des trajectoires elliptiques dont
le Soleil occupe l’un des foyers.
La figure 13.18 illustre une trajectoire elliptique et ses caractéristiques. Le demigrand axe est a, et le demi-petit axe est b. L’ellipse possède deux foyers : F et F′.
Chaque foyer est situé de part et d’autre du petit axe, à une distance c du centre.
Le Soleil est situé au foyer F . Il est plus simple de caractériser les orbites par le
demi-grand axe a et par l’excentricité e, définie comme le rapport e = c/a. Pour
une ellipse, 0 ≤ e < 1 ; lorsque e = 0, les deux foyers coïncident et l’ellipse est
alors un cercle. En fonction de l’excentricité, le demi-petit axe est
FIGURE 13.18
Une trajectoire elliptique dont le
demi-grand axe est a, le demi-petit
axe est b et l’excentricité est e. Le
Soleil est à la position d’un foyer F.
Sur la figure 13.18, il y a aussi deux points importants : le périhélie (p) est le point
de l’orbite le plus rapproché du Soleil, et l’aphélie (a) est le point le plus éloigné du
Soleil. Selon la figure 13.18, on obtient les relations géométriques suivantes :
(13.13)
(13.14)
(13.15)
REMARQUE
Le périhélie et l’aphélie sont des points de l’orbite d’objets en révolution autour du Soleil. Lorsqu’un objet est en révolution autour de la
Terre, le point le plus près est appelé le périgée, alors que le point le
plus éloigné est l’apogée. Lorsqu’un satellite est en révolution autour
d’un astre quelconque, le point le plus près est appelé le périastre et
le point le plus éloigné, l’apoastre.
Les orbites des planètes autour du Soleil sont approximativement circulaires.
Comme le montre le tableau 13.1, les excentricités des orbites sont très près
de 0, sauf pour Mercure. D’autres objets tels que les comètes et les planètes
naines (comme Pluton) ont des orbites avec une excentricité importante.
TABLEAU 13.1
Les données orbitales des planètes du système solaire
Planète
Mercure
Demi-grand axe (10 6 km)
57,91
Excentricité
Période orbitale (jours)
0,206
87,97
Vénus
108,2
0,007
224,70
Terre
149,60
0,017
365,26
Mars
227,94
0,093
686,98
Jupiter
778,33
0,048
4 332,71
Saturne
1 429,4
0,056
10 759,5
Uranus
2 870,99
0,047
30 685
Neptune
4 504,3
0,009
60 190
13.4 — Les lois de Kepler et le mouvement planétaire
441
La deuxième loi de Kepler
Kepler a trouvé une autre loi en étudiant l’orbite de Mars :
Le rayon vecteur joignant le Soleil à une planète balaie des aires égales
en des intervalles de temps égaux.
Deuxième loi de Kepler
(la loi des aires)
La figure 13.19 illustre cette loi : durant un intervalle de temps Δt, la planète se
déplace du point A au point B. Plus tard, la planète se déplace du point C au
point D dans le même intervalle de temps Δt. Selon la deuxième loi de Kepler,
les aires SAB et SCD sont égales. Cette loi implique que le module de la vitesse
d’une planète sur une orbite elliptique varie, qu’il est plus grand au périhélie
qu’à l’aphélie.
La deuxième loi de Kepler implique un fait très important : le mouvement orbital est causé par une force orientée vers le Soleil. C’est une découverte qu’a faite
Kepler et qui a guidé Newton pour obtenir la loi de la gravitation universelle.
Il est possible de démontrer qu’une force exercée vers le Soleil (qu’on appelle
une force centrale) implique la deuxième loi de Kepler. On démontre d’abord
que le moment cinétique d’une planète en révolution est conservé lorsque celleci subit une force centrale. La figure 13.20a montre la planète soumise à la force
orientée vers le Soleil (situé à l’origine du système de coordonnées). Le
moment de force est
×
τ
Le produit vectoriel est nul, car
×
et
ont la même direction.
(a)
(b)
FIGURE 13.20
(a) Le moment de force sur la planète est nul, car
temps dt, l’aire balayée par est dA.
et
ont la même direction. (b) Durant un
Selon l’équation 12.23 de la page 397, le moment de force résultant correspond
à la dérivée du moment cinétique orbital  de la planète :

τ
.
Un moment de force résultant nul implique que le moment cinétique est
constant ; il est conservé :

×
×
(13.16)
Ce résultat signifie que les vecteurs et demeurent dans le même plan, c’està-dire que l’orbite est en deux dimensions. De plus, à l’aphélie et au périhélie, la
FIGURE 13.19
Une illustration de la deuxième loi
de Kepler
442
CHAPITRE 13 — La gravitation
vitesse est perpendiculaire à (ϕ = 90° dans le produit vectoriel), et la conservation du moment cinétique implique la relation importante suivante :
(13.17)
Le module de la vitesse au périhélie vp est plus grand que le module de la vitesse
à l’aphélie va, car le périhélie est plus près du Soleil.
Pour terminer la démonstration de la deuxième loi de Kepler, on suppose qu’une
planète se déplace durant un intervalle de temps infinitésimal dt. Le vecteur
balaie alors une aire dA, comme le montre la figure 13.20b. On remarque que
cette aire correspond à l’aire du triangle ayant comme côtés et
Or,
le module du produit vectoriel entre deux vecteurs correspond à l’aire du parallélogramme formé par ces vecteurs, c’est-à-dire au double de l’aire du triangle.
On a alors

×
où m est la masse de la planète et 
On trouve alors
×
le moment cinétique de la planète.
(13.18)
Comme le moment cinétique de la planète est constant, la dérivée de l’aire
balayée est constante. La deuxième loi de Kepler est équivalente à la conservation du moment cinétique d’un objet en orbite. Remarquez que la deuxième
loi de Kepler serait valide même si la force gravitationnelle ne dépendait pas de
l’inverse de la distance au carré. La seule condition requise par cette loi est que
la force soit une force centrale.
La troisième loi de Kepler
Kepler a eu besoin de 10 années supplémentaires de recherche pour trouver la
troisième loi empirique, décrite ci-dessous.
Le carré de la période de révolution d’une planète est proportionnel au
cube du demi-grand axe de l’orbite elliptique.
Cette loi découle du fait que la force gravitationnelle exercée par le Soleil sur
la planète est proportionnelle à l’inverse du carré de la distance. Comme nous
l’avons vu à la section 7.3 pour les orbites circulaires, la force gravitationnelle
joue le rôle de la force centripète :
En insérant la période de révolution pour une orbite circulaire, T = 2π r/v, on
obtient
13.4 — Les lois de Kepler et le mouvement planétaire
443
Pour les orbites elliptiques, la troisième loi de Kepler est la même, en remplaçant
le rayon du cercle par le demi-grand axe. Donc, pour un objet qui orbite autour
d’une masse centrale M, la troisième loi de Kepler est donnée par l’expression :
(13.19)
Troisième loi de Kepler
(la loi des périodes)
REMARQUE
La période de révolution ne dépend pas de la masse de l’objet qui est
en orbite. La constante de proportionnalité entre T 2 et a3 est fonction
uniquement de la masse centrale, ce qui veut dire que la même constante
peut être utilisée pour tous les objets orbitant autour du Soleil.
EXEMPLE 13.2
La comète de Halley
La comète de Halley est la plus connue des comètes du système solaire. La distance de son
périhélie est de 0,587 ua, et la distance de son aphélie est de 35,33 ua.
a. Calculez le demi-grand axe et l’excentricité de l’orbite de cette comète.
b. Quelle est la période de révolution de cette comète ?
SOLUTION
Décortiquer le problème
(réponse)
L’unité astronomique correspond au demi-grand
axe de l’orbite terrestre et est donnée à l’annexe C :
1 ua = 149,6 × 109 m.
SOLUTION b.
Identifier la clé
La clé est la troisième loi de Kepler :
(iii)
Résoudre le problème
Pour obtenir une période en secondes, nous exprimons le demi-grand axe en mètres :
SOLUTION a.
Identifier les clés
La première clé est l’équation 13.15 : la somme de rp
et ra donne le double du demi-grand axe :
(i)
Nous obtenons alors
De plus, l’excentricité peut être calculée à l’aide de
l’équation 13.13 :
(ii)
Résoudre le problème
En remplaçant les valeurs, nous trouvons
(réponse)
(réponse)
Valider la réponse
L’ordre de grandeur des réponses est correct. De
plus, e < 1, comme il se doit pour une orbite
elliptique. En exprimant T en années, nous obtenons
T = 76,1 ans. Le dernier passage de cette comète près
du Soleil était en 1986. Le prochain passage devrait
être autour de 2062.
444
CHAPITRE 13 — La gravitation
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 13.3
Deux comètes tournent autour d’une étoile. La comète A a une orbite
circulaire dont le rayon est R. La comète B a une orbite elliptique, avec
un demi-grand axe R et une excentricité e = 0,5.
a. Quelle comète a la plus petite période de révolution ?
b. Quelle comète a la vitesse dont le module est le plus grand au
périastre ?
13.5
L’énergie potentielle gravitationnelle
Selon les résultats obtenus au chapitre 9, la force gravitationnelle
à la surface de la Terre est une force conservative : le travail de cette force sur
un objet qui se déplace dépend uniquement des points initial et final, et non
de la trajectoire. Cette propriété nous a permis de définir l’énergie potentielle
gravitationnelle du système objet-Terre Ug = mgy, la position du sol y = 0 étant
le point de référence, où Ug = 0. Cette relation est valable uniquement lorsque
y  RT, c’est-à-dire que la hauteur par rapport au sol est beaucoup plus petite
que le rayon terrestre. Si l’objet n’est pas à la surface de la Terre, la force gravitationnelle n’est pas uniforme ; elle diminue selon l’inverse de la distance au carré,
mais la force gravitationnelle est quand même une force conservative.
La figure 13.21 montre deux masses M et m qui constituent un système
interagissant par la force gravitationnelle. On suppose que la masse M reste
immobile et que la masse m se déplace du point i au point f. Pour obtenir la
variation d’énergie potentielle ΔUg = Ug,f − Ug,i, il faut utiliser l’équation générale donnée à l’équation 9.8 de la page 268 et calculer le travail de la force
FIGURE 13.21
Pour obtenir ΔUg, on calcule le travail lorsque m se déplace du point i
au point f.
Comme la force gravitationnelle est conservative, on peut utiliser n’importe
quelle trajectoire reliant les deux points. On choisit une trajectoire illustrée à la
figure 13.21 : un parcours (I) radial suivi d’un parcours (II) tangentiel.
Pour le parcours (II),
est perpendiculaire au déplacement, ce qui donne un
produit scalaire nul. Dans le parcours (I), la force et le déplacement ont la même
direction et
On obtient alors
Remarquez que la variation de l’énergie potentielle dépend de la distance initiale ri et de la distance finale rf entre les deux masses. De plus, si la masse m
s’éloigne de la masse M (rf > ri), alors ΔUg est positif. C’est aussi le cas lorsqu’un
objet se déplace vers le haut près de la surface de la Terre : il s’éloigne du centre
de la Terre, et l’énergie potentielle du système augmente.
13.5 — L’énergie potentielle gravitationnelle
445
Pour définir complètement la fonction énergie potentielle du système, il reste
à choisir un point de référence O, où l’énergie potentielle est nulle. Le choix le
plus simple dans le cas présent est r → ∞, car à cet endroit, la force gravitationnelle entre les deux masses tend vers zéro. Donc, en prenant ri → ∞ et rf = r,
on obtient l’énergie potentielle gravitationnelle Ug lorsque la distance entre les
deux masses est r :
(13.20)
Énergie potentielle gravitationnelle
REMARQUE
Le signe négatif peut vous sembler bizarre. Il est le résultat de notre
choix du point r → ∞ comme point de référence, où U = 0. L’énergie
potentielle doit être plus faible lorsqu’un objet est près d’un objet
massif que dans le cas où l’objet est très loin de la masse, donc plus
petit que 0.
Lorsqu’un satellite de masse m orbite autour d’une masse centrale M, le système
composé des deux objets est isolé, et la force interne (la force gravitationnelle)
est conservative. L’énergie mécanique du système est alors conservée :
Habituellement, la masse du satellite est beaucoup plus faible que la masse centrale, et on peut négliger le mouvement de la masse centrale :
(13.21)
Cette équation est aussi utile pour calculer le module de la vitesse d’un météorite qui s’écrase sur une planète.
EXEMPLE 13.3
Un futur cratère
Un astéroïde se déplace vers la Lune. À une distance équivalente à 20,0 rayons lunaires, sa
vitesse a un module de 4,5 km/s. Quel est le module de la vitesse de l’astéroïde lorsque celui-ci
frappe la surface de la Lune ?
SOLUTION
Illustrer la situation
Décortiquer le problème
Le schéma de la situation est présenté à la figure 13.22.
Le système astéroïde-Lune est isolé (si nous négligeons les interactions de la Terre et du Soleil). Les
données relatives à la Lune apparaissent à l’annexe D.
FIGURE 13.22
Le schéma de la situation pour l’exemple 13.3
446
CHAPITRE 13 — La gravitation
conservative. De plus, la masse de la Lune est beaucoup plus grande que celle de l’astéroïde, ce qui nous
permet de négliger le mouvement de la Lune. Alors,
(i)
Identifier la clé
La clé est que l’énergie mécanique est conservée, car
les éléments du système interagissent avec une force
Résoudre le problème
La masse de l’astéroïde se simplifie dans l’équation (i). Nous pouvons isoler vf :
(réponse)
Valider la réponse
Nous obtenons une valeur positive, car c’est un module d’un vecteur.
EXEMPLE 13.4
Le module de la vitesse d’une comète
La comète Hale-Bopp (connue sous le nom de grande comète de 1997) a
été découverte en 1995 par les astronomes Alan Hale et Thomas Bopp.
Elle est passée au périhélie le 1er avril 1997, à une distance de 0,91 ua du
Soleil. À son prochain aphélie, elle sera à une distance de 357 ua. Calculez
le module de sa vitesse le 1er avril 1997.
SOLUTION
Décortiquer le problème
Le système est constitué de la comète et du Soleil.
Nous devons exprimer les distances en mètres.
Identifier les clés
La première clé est la conservation de l’énergie
mécanique, car le système est isolé et ses éléments
interagissent par la force gravitationnelle. L’énergie
mécanique au périhélie est égale à l’énergie mécanique à l’aphélie :
(i)
Cette équation possède deux inconnues (vp et va,
alors que m se simplifie). Il nous faut une deuxième
équation. Celle-ci vient de la deuxième clé : le
13.5 — L’énergie potentielle gravitationnelle
moment cinétique de la comète est conservé, car la
force gravitationnelle est une force centrale. Selon
l’équation 13.17,
447
Résoudre le problème
Nous remplaçons l’équation (ii) dans l’équation (i) :
(ii)
Nous isolons finalement vp :
(réponse)
Valider la réponse
Nous avons gardé deux chiffres significatifs, selon le nombre de chiffres présents dans
l’énoncé. L’ordre de grandeur du module de la vitesse est correct.
La vitesse de libération
Supposez que vous êtes au pôle nord et que vous lancez un objet de masse m.
L’objet va monter jusqu’à une certaine hauteur avant de redescendre. Si vous
lancez l’objet avec une très grande vitesse, celui-ci pourra s’échapper de l’attraction de la Terre (tout ce qui monte ne redescend pas nécessairement). On définit
la vitesse de libération vlib comme le module de la vitesse nécessaire pour que
l’objet quitte la Terre et se rende jusqu’à l’infini, où la force exercée par la Terre
tend vers zéro, avec une vitesse nulle. Il est possible de calculer cette vitesse en
utilisant la conservation de l’énergie mécanique (en négligeant la résistance de
l’air du début). En effet, le système objet-Terre est un système isolé qui interagit
uniquement par la force gravitationnelle.
Au point initial, l’objet a une vitesse dont le module est vi = vlib, et il est à une
distance r = R du centre de la Terre. Au point final, la vitesse est nulle (donc
K = 0) et r → ∞ (donc Ug = 0). Alors,
(13.22)
(13.23)
La vitesse de libération ne dépend pas de la masse de l’objet ni de l’orientation
de la vitesse initiale (en supposant qu’il ne frappe pas d’objet), mais seulement
Vitesse de libération
CHAPITRE 13 — La gravitation
448
de la masse et du rayon de la planète. Si vous voulez qu’une sonde spatiale ou
qu’une molécule quitte l’attraction terrestre, il faut leur donner des vitesses de
même module. Si vous lancez un objet à une vitesse ayant un module plus grand
que vlib, alors il aura une certaine énergie cinétique à r → ∞.
TABLEAU 13.2
La vitesse de libération pour
les planètes du système
solaire
Planète
Mercure
vlib (km/s)
4,44
Vénus
10,36
Terre
11,19
Mars
5,03
Pour la Terre, la vitesse de libération est égale à 11,19 km/s. Le tableau 13.2
présente les valeurs de la vitesse de libération pour les planètes du système
solaire (ces données apparaissent aussi à l’annexe D). Ce tableau permet de
comprendre pourquoi la Terre a une atmosphère composée d’azote et d’oxygène, mais avec très peu d’hydrogène et d’hélium, même si ces deux éléments
composent la majeure partie de la masse ordinaire de l’Univers. Selon la théorie
des gaz, le module de la vitesse moyenne des gaz est inversement proportionnel
à la racine carrée de la masse des molécules. Le module de la vitesse moyenne
des molécules d’hydrogène et des atomes d’hélium dépasse la vitesse de libération de la Terre. Ces atomes se sont échappés graduellement de l’attraction de
la Terre. La vitesse moyenne des molécules d’azote et d’oxygène est plus faible
que la vitesse limite de la Terre. Ces molécules demeurent prises par l’attraction
terrestre. Les quatre plus grosses planètes du système solaire ont une vitesse
limite beaucoup plus grande et elles peuvent retenir l’hydrogène et l’hélium.
Jupiter
59,5
Saturne
35,5
Uranus
21,3
Neptune
23,5
EXEMPLE 13.5
Se libérer d’une exoplanète
En janvier 2011, l’équipe de la NASA travaillant pour la mission Kepler a découvert la première
exoplanète rocheuse (appelée Kepler-10b), c’est-à-dire une planète orbitant autour d'une autre
étoile que le Soleil et qui est solide plutôt que gazeuse. Cette exoplanète est en orbite autour
d’une étoile (l’étoile Kepler-10) semblable au Soleil. Selon les mesures prises par l’équipe,
l’exoplanète a un rayon 1,4 fois plus grand que le rayon terrestre et une masse volumique
de 8,8 g/cm3. Calculez la vitesse de libération de cette exoplanète.
SOLUTION
Décortiquer le problème
Résoudre le problème
Nous insérons l’équation (i) dans l’équation (ii) pour
obtenir
La masse de l’exoplanète (de forme sphérique) est
obtenue à l’aide de la masse volumique et du volume
d’une sphère :
(i)
Identifier la clé
La clé pour obtenir la vitesse de libération est l’équation 13.23 :
(ii)
(réponse)
Valider la réponse
Nous avons exprimé toutes les données dans le SI
pour que la réponse soit exprimée en m/s. La vitesse
de libération est un peu plus grande que pour la
Terre, car l’exoplanète a un plus grand rayon et une
masse volumique plus grande que celle de la Terre,
qui est égale à 5,52 g/cm3.
13.6 — L’énergie mécanique et les orbites des satellites
13.6
449
L’énergie mécanique et les orbites
des satellites
Lorsqu’on analyse le mouvement d’une planète autour du Soleil, on peut
négliger les interactions entre la planète et les autres planètes du système
solaire. Dans ce cas, le système planète-Soleil est un système isolé dont les
éléments interagissent par une force conservative, la force gravitationnelle.
L’énergie mécanique du système est alors constante pour tous les points de
l’orbite. On obtient le même résultat lorsqu’on étudie le mouvement de satellites autour de la Terre ou pour un objet quelconque qui orbite autour d’une
masse centrale.
Analysons d’abord un satellite de masse m qui est en révolution autour
d’une masse centrale M sur une orbite circulaire de rayon r, comme le
montre la figure 13.23. On suppose que M  m, de telle sorte qu’on peut
dire que la masse M est approximativement immobile. L’énergie mécanique
du système est
FIGURE 13.23
Un objet de masse m tourne autour
d’une masse centrale M sur une
orbite circulaire.
(13.24)
On calcule le module de la vitesse du satellite en utilisant la méthode
présentée à la section 7.3 : la force gravitationnelle correspond à la force
centripète :
L’énergie cinétique est donc donnée par l’expression :
Remarquez que pour un satellite sur une orbite circulaire, K = −Ug /2. En insérant ce résultat dans l’équation 13.24, on obtient
(13.25)
La figure 13.24 montre les différentes énergies en fonction du rayon
de l’orbite.
FIGURE 13.24
Le graphique des énergies en fonction du rayon de l’orbite circulaire
Le cas des orbites elliptiques est plus complexe mathématiquement, mais le
résultat est simple : le rayon de l’orbite est remplacé par le demi-grand axe :
(13.26)
La dernière équation montre que l’énergie mécanique dépend du demigrand axe, mais non de l’excentricité de l’orbite. De plus, pour changer
l’orbite d’un satellite, on doit changer l’énergie mécanique en effectuant un
travail extérieur.
Énergie mécanique
(orbite elliptique)
450
CHAPITRE 13 — La gravitation
EXEMPLE 13.6
Un voyage en orbite
La Station spatiale internationale est un laboratoire de recherche orbital autour de la Terre.
Son orbite est elliptique, avec une altitude au périgée de 361 km et une altitude à l’apogée
de 437 km. Quel travail faut-il accomplir pour envoyer un astronaute de 80,0 kg de la surface de la Terre à l’orbite de la station ? Négligez la rotation de la Terre.
SOLUTION
Décortiquer le problème
avec
(ii)
(iii)
Le système est constitué de l’astronaute et de la Terre.
Dans l’état initial, l’astronaute se trouve à la surface
de la Terre (ri = RT = 6 378 km), et sa vitesse est nulle.
Dans l’état final, il est en orbite elliptique, celle de la
station spatiale, avec
Résoudre le problème
Nous remplaçons les valeurs :
(i)
où nous avons ajouté le rayon de la Terre aux altitudes données dans l’énoncé pour avoir les distances
par rapport au centre de la Terre.
(réponse)
Valider la réponse
Le travail est positif, car il faut fournir de l’énergie
pour mettre un objet en orbite.
Identifier la clé
Pour mettre en orbite un objet, il faut changer l’énergie mécanique en effectuant un travail extérieur au
système. La clé est l’équation 9.14 de la page 280 :
TESTEZ VOTRE COMPRÉHENSION 13.4
Un vaisseau spatial est en orbite circulaire de rayon R autour d’une planète. Le vaisseau veut s’approcher de la planète tout en restant en orbite.
Pour ce faire, le pilote allume au point P les moteurs pendant un bref
instant pour changer l’énergie mécanique du système vaisseau-planète.
a. Quel est le signe de la variation de l’énergie mécanique ?
b. Dans quel sens doit-il orienter la poussée ?
c. Dessinez la nouvelle trajectoire du vaisseau.
13.7 — Un aperçu de la relativité générale
13.7
Un aperçu de la relativité générale
Les astronautes qui sont dans la Station spatiale internationale sont en état
d’apesanteur, comme le montre la figure 13.25. Tout flotte à l’intérieur de la
station, comme si la Terre n’était pas là. Ceci est le résultat du principe d’équivalence que nous avons vu à la section 5.7 de la page 152 : la masse gravitationnelle (la source de la force gravitationnelle) est égale à la masse inertielle (la
mesure de l’inertie). Les astronautes doivent regarder par le hublot pour s’apercevoir qu’ils tournent autour de la Terre. Pour les observateurs sur la Terre, la
Station spatiale est en chute libre ; elle subit uniquement la force gravitationnelle
exercée par la Terre. On peut donc dire que les effets de la gravité sont absents
dans un référentiel en chute libre.
FIGURE 13.25
Les objets à l’intérieur de la Station spatiale internationale sont dans un référentiel en chute libre.
La gravité semble absente.
Bien avant le lancement d’un satellite, Albert Einstein a été le premier à voir
l’importance du fait qu’un observateur en chute libre ne ressent pas de poids
et que cela devait faire partie intégrante d’une théorie de la gravitation. Il a
énoncé une théorie, appelée la théorie de la relativité générale, qui généralise
la théorie de la gravitation universelle de Newton. Cette théorie repose sur
le principe d’équivalence d’Einstein, qui généralise le principe d’équivalence
de Galilée.
Localement, un champ gravitationnel
référentiel accéléré.
produit les mêmes effets qu’un
La figure 13.26 à la page suivante illustre le principe mentionné ci-dessus. Dans
la partie (a), un physicien est sur Terre et il laisse tomber un objet. L’objet tombe
avec une accélération
Dans la partie (b), le physicien est
Principe d’équivalence
d’Einstein
451
452
CHAPITRE 13 — La gravitation
(a)
(b)
FIGURE 13.26
Deux situations équivalentes : (a) sur Terre, un ballon accélère vers le bas ; (b) dans un vaisseau
qui accélère vers le haut, la personne observe que le ballon accélère vers le bas par rapport à son
référentiel.
plutôt dans un vaisseau qui a une accélération
tout en étant très loin de toute masse importante. Il laisse tomber un objet ;
il va alors observer que dans son référentiel, l’objet a une accélération
Si l’observateur ne peut regarder en dehors du vaisseau, aucune expérience en un point ne pourra lui indiquer qu’il est sur Terre
ou dans un vaisseau qui accélère.
FIGURE 13.27
Deux objets en chute libre près de
la Terre ont des accélérations orientées vers le centre de la Terre.
FIGURE 13.28
Deux bateaux se déplacent vers le
nord le long de méridiens.
Pour faire la différence entre la gravitation et un référentiel accéléré, il faut
analyser le mouvement de deux objets séparés d’une certaine distance. La
figure 13.27 montre deux objets qu’on laisse tomber en chute libre près de
la surface de la Terre. Chaque objet subit une accélération vers le centre de la
Terre (on néglige la rotation de la Terre). L’accélération de l’objet 2 n’est pas
exactement parallèle à l’accélération de l’objet 1. L’objet 2 va se rapprocher
de l’objet 1, comme s’il y avait une force entre les deux. Si on fait la même
expérience dans le vaisseau spatial de la figure 13.26b, les deux objets ne
s’approcheront pas l’un de l’autre. Selon Einstein, cet effet est le résultat de
la courbure de l’espace. Dans la théorie de la relativité d’Einstein, une masse
courbe l’espace autour d’elle.* Les objets dans son environnement se déplacent
dans cet espace courbe le long de lignes appelées géodésiques qui sont les
lignes les plus courtes entre deux points.
Pour comprendre comment la courbure de l’espace peut produire un effet
équivalent à une force, prenons deux bateaux séparés de 1 km et situés à
l’équateur, comme le montre la figure 13.28. Supposons que chaque bateau
se déplace directement vers le nord, le long d’un méridien. Après un certain
temps, on mesure que la distance entre les bateaux est inférieure à 1 km. Y at-il une force à distance entre les bateaux ? Non, la distance a été réduite parce
qu’ils se sont déplacés sur une surface courbe (la surface de la Terre), le long
de géodésiques (les méridiens).
* En fait, une masse courbe l’espace-temps, car selon la relativité restreinte d’Einstein, l’espace
et le temps sont liés ensemble. Nous reviendrons sur ce sujet dans le tome 3.
13.7 — Un aperçu de la relativité générale
FIGURE 13.29
La lumière est déviée par le Soleil. Sur Terre, on observe une position apparente d’une étoile
et non sa position réelle.
On peut résumer l’interaction gravitationnelle entre deux objets selon la théorie
de la relativité générale de la façon suivante :
• un objet courbe l’espace-temps de son environnement ;
• les autres objets qui sont dans son environnement suivent les géodésiques de
l’espace-temps.
Si l’espace autour d’une masse importante est bien courbé, alors la lumière qui
se propage dans cet environnement devrait suivre une géodésique et être courbée, comme si elle était attirée par la masse. C’est une prédiction de la théorie
d’Einstein par rapport à la théorie de Newton. Supposons par exemple que la
lumière émise par une étoile passe tout près du Soleil. Elle sera déviée vers celuici. Vue de la Terre, l’étoile semblera à une position apparente, différente de sa
position réelle, comme le montre la figure 13.29.
Cette prédiction a été vérifiée pour la première fois par une équipe qu’a dirigée
l’astrophysicien anglais Sir Arthur Eddington (1882-1944). De prime abord,
il est très difficile d’observer une étoile dont la lumière passe près du Soleil.
Cela est possible uniquement pendant une éclipse solaire. Eddington a organisé
deux expéditions (une au Brésil et une autre sur l’île de Principe dans le golfe
de Guinée en Afrique) pour observer une éclipse le 29 mai 1919. En comparant la position relative des étoiles par rapport à des images des mêmes étoiles
prises quelques mois plus tard lorsque le Soleil est ailleurs dans le ciel, l’équipe
d’Eddington a montré que la lumière est bien déviée par le Soleil, selon la prédiction de la relativité d’Einstein.
Le Soleil dévie très légèrement la lumière qui passe dans son environnement.
Dans le cas de corps plus massifs, comme une galaxie entière, la lumière peut
être déviée suffisamment pour produire des images multiples ou même un
anneau (appelé anneau d’Einstein). On a alors une lentille gravitationnelle. La
figure 13.30 montre une image d’un anneau double produit par la déviation de
la lumière d’une galaxie par deux autres galaxies plus près. Ce type d’observation pourrait être utile dans l’étude de la matière sombre et de l’énergie sombre,
ainsi que de la courbure de l’Univers.
FIGURE 13.30
Une image d’un anneau double
d’Einstein (SDSSJ0946+1006),
obtenue à l’aide du télescope
Hubble
453
454
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
RÉSUMÉ
RÉSUMÉ
Dans ce chapitre, nous avons étudié en détail la force gravitationnelle.
LES LOIS ET LES PRINCIPES
Tous les objets s’attirent en exerçant les uns sur les autres
une force gravitationnelle
La force gravitationnelle
exercée sur un objet 1 par un objet 2 est donnée par la loi
de la gravitation universelle :
LES RÉSULTATS
Le mouvement orbital d’une planète (ou d’un satellite)
autour d’une étoile (ou d’une planète) de masse M obéit
aux lois de Kepler.
1. La planète (ou le satellite) a une trajectoire elliptique,
et l’étoile (ou la planète) occupe l’un des foyers.
2. Le rayon vecteur joignant l’étoile et la planète balaie
des aires égales en des intervalles de temps égaux.
où G est la constante gravitationnelle :
3. Le carré de la période de révolution d’une planète est pro-
portionnel au cube du demi-grand axe de l’orbite elliptique.
Lorsque plusieurs agents exercent une force gravitationnelle sur un objet, la force gravitationnelle résultante
est obtenue à l’aide du principe de superposition.
La deuxième loi est le résultat de la conservation du
moment cinétique de la planète :

×
×
LES APPLICATIONS
• L’énergie potentielle gravitationnelle d’un système
constitué d’une masse M et d’une masse m séparées
d’une distance r est
• L’énergie mécanique orbitale d’un système constitué
d’une masse centrale M et d’un objet de masse m en
orbite est
• Le champ gravitationnel est le médiateur de la force
gravitationnelle. On le mesure à l’aide d’une masse
ponctuelle test m 0 :
Ce champ est indépendant de la masse test m 0.
• Un objet en chute libre a une accélération en chute
libre
La rotation de la planète produit une
diminution de
par rapport à l’accélération gravitationnelle réelle
• La vitesse de libération est le module de la vitesse né cessaire pour qu’un corps quitte l’attraction gravitationnelle d’une planète de rayon R :
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
455
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
Q questions qualitatives • E exercices simples • P problèmes • R problèmes récapitulatifs •
solution disponible
Au besoin, utilisez les données astronomiques qui apparaissent à l’annexe D. L’unité ua représente l’unité astronomique (1 ua = 1,496 × 1011 m) qui correspond à la distance
moyenne entre le Soleil et la Terre.
E4 Une fusée se déplace de la Terre à la Lune. À quelle distance
Section 13.1 La loi de la gravitation universelle
sommets d’un triangle équilatéral, de côté d, sur une table
horizontale, comme le montre la figure 13.33. Quelle est la
force résultante sur la masse placée sur l’axe des y ?
Q1 On place sur l’axe des x une masse m1 = m et une masse
m2 = 3m (voir la figure 13.31). On veut placer une troisième masse m3 = 2m pour que celle-ci soit en équilibre sans
être à l’infini.
de la surface de la Terre la force gravitationnelle résultante sur la
fusée, exercée par la Lune et par la Terre, sera-t-elle nulle ?
P5 On place trois masses ponctuelles identiques m aux
a. À quel endroit doit-on placer m 3 ? (i) À gauche de m1 ;
(ii) entre m1 et m2 en étant plus près de m1 ; (iii) entre m1
et m 2 en étant plus près de m 2 ; (iv) à droite de m 2.
b. Peut-on placer la masse m 3 ailleurs que sur l’axe des x ?
Expliquez votre réponse.
c. Si on remplace m 3 par une masse m 4 deux fois plus massive, comment la réponse de a. est-elle changée ?
FIGURE 13.33 • Problèmes 5 et 6
P6 On place trois masses ponctuelles identiques m = 3,0 kg
aux sommets d’un triangle équilatéral dont les côtés mesurent
2,50 cm, sur une table horizontale, comme le montre la figure 13.33. Quelle est la force résultante sur la masse placée
sur l’axe des y ?
FIGURE 13.31 • Question 1
Q2 La figure 13.32 montre trois situations où une particule de
masse m est près d’une sphère homogène de masse M. Les trois
sphères ont la même masse mais des rayons différents. Classez
les situations dans l’ordre décroissant du module de la force
gravitationnelle exercée par une sphère sur la masse m.
FIGURE 13.32 • Question 2
E3 Une femme de 55,0 kg se trouve à la surface de la Terre.
Calculez le module de force gravitationnelle exercée par les
objets suivants sur la femme :
a. la Terre ;
b. le Soleil ;
c. la Lune ;
d. Jupiter, lorsque celle-ci est à sa position la plus près de la
Terre, soit 6,29 × 1011 m ;
e. un homme de 90,0 kg situé à 1,00 m (faites l’approximation grossière que les deux personnes peuvent être considérées comme des sphères).
P7 Quatre petites sphères sont placées de la manière indi-
quée à la figure 13.34. Les masses sont m1 = 12,0 kg,
m2 = 15,0 kg, m3 = 8,50 kg et m4 = 25,0 kg. Les distances
illustrées sont a = 18,0 cm et b = 13,0 cm. Calculez la force
gravitationnelle résultante exercée sur la sphère 1.
FIGURE 13.34 • Problème 7
P8 Une sphère de 5,40 kg est située à l’origine. Une
deuxième sphère de 3,60 kg est située à la coordonnée
(3,00 ; −5,00) cm. Une troisième sphère de 8,30 kg est située
à la coordonnée (−6,00 ; −4,00) cm. Calculez la force gravitationnelle résultante exercée sur la sphère située à l’origine. Exprimez votre réponse en fonction du module et de l’orientation.
P9 Une sphère de pâte à modeler a une masse M. On la divise
en deux parties : une de masse m et l’autre de masse M − m.
On remodèle les deux parties en forme de sphère et on les fixe
à une distance d l’une de l’autre. Pour quelle valeur de m le
module de la force gravitationnelle est-il le plus grand ?
456
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
Section 13.2 Le champ gravitationnel
P18 Une étoile à neutrons est le reste du cœur d’une étoile
Q10 Deux planètes ont la même masse volumique. La pla-
E12 Une masse de 3,0 kg est située sur l’axe des x, à 1,5 m
qui s’est effondré après l’explosion en une supernova. Lors de
l’effondrement, les électrons et les protons sont comprimés
les uns sur les autres et se transforment en neutrons. L’étoile
est alors constituée principalement de neutrons, ce qui produit une densité très élevée. L’effondrement gravitationnel
fait aussi augmenter la vitesse angulaire de l’étoile à cause du
principe de conservation du moment cinétique. Une étoile à
neutrons a une masse égale à 1,80 masse solaire, son rayon
est de 15,0 km et elle a une période de rotation de 5,75 ms.
à droite de l’origine. Calculez le champ gravitationnel aux
points suivants :
a. Quel est le module de l’accélération en chute libre au pôle
de l’étoile à neutrons ?
a. à l’origine ;
b. Quel serait le module de la force gravitationnelle sur un
objet de 1,00 kg placé au pôle de l’étoile à neutrons ?
nète A a un rayon deux fois plus grand que la planète B.
Pour quelle planète le champ gravitationnel a-t-il le module
le plus grand à la surface de la planète ?
E11 La Lune a une masse de 7,35 × 1022 kg et un rayon de
1 738 km. Quel est le module du champ gravitationnel à la
surface de la Lune ?
b. au point dont la position est
c. au point sur l’axe des y à 0,50 m au-dessous de l’origine.
P13 Trois sphères sont situées aux sommets d’un rec-
tangle, comme le montre la figure 13.35. Les masses sont
m1 = 10,0 kg, m2 = 12,0 kg, m3 = 25,0 kg. Les distances
illustrées sont a = 15,0 cm et b = 9,00 cm. Calculez le
champ gravitationnel résultant au point P, situé au quatrième coin du rectangle.
c. Quel est le module de l’accélération en chute libre à l’équateur de l’étoile ?
P19 Calculez le rapport entre le module de la force de marée
produite par le Soleil et le module de la force de marée produite par la Lune, sur les océans terrestres.
Section 13.4 Les lois de Kepler et le mouvement
planétaire
E20 L’excentricité de l’orbite terrestre est égale à 0,016 7,
et son demi-grand axe est de 149,6 × 106 km. Le Soleil est
situé à l’un des foyers de l’ellipse. Calculez la distance entre
les deux foyers.
E21 Jupiter possède plusieurs satellites dont Europe, qui a
une orbite avec un demi-grand axe de 671 × 103 km et une
période orbitale de 3,55 j. Calculez la masse de Jupiter à
partir de ces données.
FIGURE 13.35 • Problème 13
E22 La planète Mercure se déplace autour du Soleil sur une
Section 13.3 La gravitation près de la surface de la Terre
E14 Le pilote d’un avion a un poids de 790 N au niveau
orbite dont le demi-grand axe est de 0,387 1 ua. À son périhélie, elle se trouve à une distance de 0,307 5 ua du Soleil,
et le module de sa vitesse est de 58,9 km/s.
du sol. Quel est son poids lorsqu’il est à une altitude
de 10,0 km ? Négligez la rotation de la Terre.
a. Quelle est la distance entre Mercure et le Soleil lorsque
Mercure est à son aphélie ?
E15 La Lune a une masse de 7,35 × 1022 kg et un rayon
b Quel est le module de la vitesse de Mercure à son aphélie ?
de 1 738 km. Une caisse de 20,0 kg se trouve à sa surface.
a. Quel est le module de la force gravitationnelle exercée sur
la caisse par la Lune ?
b. À quelle altitude au-dessus de la surface de la Terre cette
caisse subirait-elle une force gravitationnelle exercée par
la Terre ayant le même module ?
P16 À partir des données de l’annexe D, calculez l’accélé-
ration en chute libre à l’équateur de Saturne, en supposant
que la planète est sphérique.
P17 Une planète est identique à la Terre, mais sa période
de rotation est seulement de 12,0 h.
a. Quel est le module de l’accélération en chute libre au pôle
nord de la planète ?
b. Quel est le module de l’accélération en chute libre à l’équateur de la planète ?
E23 Une sonde spatiale se met en orbite circulaire autour
de la Lune.
a. Quel est le rayon de l’orbite si le satellite effectue une révolution en 6,00 h ?
b. Quel est le module de la vitesse sur cette orbite ?
E24 Une sonde spatiale se place en orbite circulaire de
10,15 × 106 m autour d’une planète inconnue. La période
orbitale est de 10,3 h. La sonde se pose ensuite sur la planète et mesure que l’accélération en chute libre à la surface
est de 3,51 m/s2.
a. Quelle est la masse de la planète ?
b. Quel est le rayon de la planète ?
P25 La planète naine Pluton a une période orbitale de
248,1 ans et l’excentricité de son orbite est de 0,248 8.
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
457
a. Déterminez son demi-grand axe.
Section 13.5 L’énergie potentielle gravitationnelle
b. Calculez la distance de son périhélie.
Q28 La figure 13.38 montre deux sphères identiques de masseM
c. Calculez la distance de son aphélie.
Exprimez vos réponses en unités astronomiques.
R26 La planète naine Pluton possède quelques satellites dont
et fixes. Une masse ponctuelle m se déplace de l’infini jusqu’à
l’un des points marqués (i, ii, iii, iv). Classez les points selon un
ordre croissant de la variation d’énergie potentielle gravitationnelle du système (de la plus négative à la plus positive).
Charon (voir la figure 13.36). La masse de Charon représente
une fraction importante de celle de Pluton, de telle sorte que
les deux objets célestes tournent autour du centre de masse
du système sur des orbites circulaires. La masse de Pluton
est de 1,31 × 1022 kg, celle de Charon est de 1,52 × 1021 kg et
la distance entre eux est de 1,957 × 107 m.
a. Calculez la distance entre Pluton et le centre de masse
du système.
FIGURE 13.38 • Question 28
b. Quelle est la période orbitale de Pluton autour du centre
de masse du système ?
Q29 La figure 13.39 présente une sphère de masse M fixe
c. Quelle est la période orbitale de Charon autour du centre
de masse du système ?
(Indice pour b. et c. : Utilisez la deuxième loi de Newton
pour un mouvement circulaire.)
et une masse ponctuelle m initialement à une distance R de
la sphère. On veut déplacer la masse de sa position initiale
vers un des points illustrés (i, ii, iii, iv).
a. Classez les points selon un ordre croissant de la variation
d’énergie potentielle gravitationnelle du système (de la
plus négative à la plus positive).
b. Classez les points selon un ordre croissant du travail effectué par la sphère sur la masse ponctuelle (du plus négatif au
plus positif).
FIGURE 13.36 • Le système Pluton-Charon
R27 Un système binaire est constitué de deux étoiles de
masse m1 et m2 respectivement. Les étoiles se déplacent
sur des orbites circulaires, de rayons r1 et r2, centrées sur
le centre de masse du système (voir la figure 13.37).
Montrez que chaque étoile a une période de révolution
donnée par l’expression :
FIGURE 13.39 • Question 29
E30 Calculez l’énergie potentielle gravitationnelle du sys-
tème Terre-Lune.
E31 On place trois masses ponctuelles aux sommets d’un
triangle équilatéral, de côté d, sur une table horizontale, comme le
montre la figure 13.40. Calculez l’énergie potentielle du système.
où d = r 1 + r2 est la distance entre les deux étoiles. (Indice :
Le centre de masse reste immobile, car le système est isolé.)
FIGURE 13.40 • Exercice 31
E32 Calculez la vitesse de libération à la surface des corps
célestes suivants :
a. la Terre ;
b. la Lune ;
FIGURE 13.37 • Problème récapitulatif 27
c. Mars.
458
QUESTIONS, EXERCICES ET PROBLÈMES
E33 Un trou noir est un corps céleste tellement massif et
compact qu’il est impossible d’échapper à son attraction
gravitationnelle à partir d’une certaine distance, appelée
l’horizon. À cet endroit, la vitesse de libération est égale à
la vitesse de la lumière, la plus grande vitesse physiquement
possible (nous reviendrons sur ce fait dans le tome 3).
a. Montrez que le rayon de l’horizon (aussi appelé le rayon
de Schwarzschild) d’un trou noir de masse M est donné
par l’expression :
l’autre. Calculez le module de la vitesse de chaque astéroïde
lorsque les deux corps sont sur le point d’entrer en contact.
(Indice : Utilisez deux principes de conservation.)
Section 13.6 L’énergie mécanique et les orbites
des satellites
Q39 Est-il plus facile d’envoyer un satellite à partir du
pôle nord ou à partir de l’équateur de la Terre ? Expliquez
votre réponse.
E40 Le télescope spatial Hubble a une masse de 1,111 × 104 kg,
et il orbite autour de la Terre sur une orbite circulaire à une
altitude de 559 km. Calculez le travail qui a été nécessaire
pour le mettre en orbite, en négligeant la rotation de la Terre.
où c est la vitesse de la lumière.
b. Calculez le rayon de l’horizon d’un trou noir qui aurait
une masse égale à celle du Soleil.
c. Calculez la masse d’un trou noir dont le rayon de l’horizon serait égal au rayon du Soleil.
E41 L’orbite elliptique d’un satellite a un demi-grand axe a.
Le satellite se déplace autour d’une planète de masse M.
Montrez que lorsqu’il se trouve à une distance r de la
planète, le module de sa vitesse est
E34 On lance une fusée à partir du pôle nord de la Terre
en lui donnant une vitesse initiale de 1,50 km/s. À quelle
altitude va-t-elle se rendre avant de retomber vers la Terre ?
Négligez la résistance de l’air.
P35 Une météorite frappe une planète à une vitesse
3
de 7,00 km/s. La planète a un rayon de 3,50 × 10 km
et n’a pas d’atmosphère. Calculez la masse de la planète
si la météorite a une vitesse de 1,20 km/s lorsque celle-ci
se trouve à une distance de 3,40 × 105 km du centre de
la planète.
P36 Éris est la plus grosse des planètes naines du système
solaire. Son périhélie est à une distance de 37,77 ua, et son
aphélie est à une distance de 97,56 ua.
a. Quel est son demi-grand axe ?
b. Déterminez sa période orbitale.
c. Quelle est son excentricité ?
d. Calculez le module de sa vitesse au périhélie.
e. Calculez le module de sa vitesse à l’aphélie.
P37 La comète Swift-Tuttle pourrait un jour entrer en col-
lision avec la Terre ou avec la Lune. Elle est aussi la source
des perséides, une pluie d’étoiles filantes visible au mois
d’août. Son périhélie est à une distance de 0,959 5 ua et
sa vitesse au périhélie a un module de 42,6 km/s.
a. Calculez la distance de son aphélie. (Exprimez votre
réponse en unités astronomiques.)
P42 Une fusée de masse m se déplace le long d’une orbite
circulaire de rayon ri autour d’une planète de masse M.
Les moteurs sont mis en marche pour faire augmenter le
module de la vitesse de 25,0 % rapidement. Le satellite se
déplace alors sur une nouvelle orbite elliptique.
a. Quelle est la nouvelle énergie cinétique de la fusée ?
b. Quel est le demi-grand axe de la nouvelle orbite ?
c. Quelle est la distance du périastre ?
d. Quelle est la distance de l’apoastre ?
P43 Un vaisseau spatial de 7,00 × 104 kg orbite autour
d’une planète sur une orbite circulaire ri = 2,50 × 108 m.
La planète a une masse de 8,50 × 1023 kg. Le vaisseau
veut se rapprocher de la planète et avoir une orbite circulaire rf = 2,50 × 107 m de rayon. Pour ce faire, le vaisseau
allume les moteurs au point A pour ralentir ; le vaisseau suit
alors une orbite elliptique (voir la figure 13.41). Ensuite,
au point B, les moteurs sont de nouveau mis en marche
pour ralentir de nouveau le vaisseau, de telle sorte qu’il suit
l’orbite circulaire désirée.
a. Calculez le travail des moteurs au point A.
b. Calculez le travail des moteurs au point B.
b. Quelle est sa période orbitale ?
R38 Deux astéroïdes sphériques sont séparés d’une
distance de 1,00 × 108 m et sont immobiles. Le premier
astéroïde a une masse m1 = 5,20 × 1018 kg et un rayon
de 62,0 km, alors que le second astéroïde a une masse
m2 = 9,30 × 1018 kg et un rayon de 83,0 km. La force gravitationnelle entre les deux astéroïdes les fait accélérer l’un vers
FIGURE 13.41 • Problème 43
SOLUTIONS AUX TESTS DE COMPRÉHENSION
459
SOLUTIONS AUX TESTS DE COMPRÉHENSION
Les masses opposées exercent des forces de même module et de sens
opposés. La force exercée par la masse située vis-à-vis du 12 est équilibrée par la force exercée par la masse vis-à-vis du 6, et ainsi de suite
pour les autres masses.
13.1 a.
La force exercée par la masse située vis-à-vis du 9 n’est plus équilibrée,
car la masse vis-à-vis du 3 est enlevée.
b.
13.2
Le satellite se trouve à une distance 2R T du centre de la Terre. Comme
le module du champ gravitationnel dépend de l’inverse de la distance du
centre de la Terre au carré, il est quatre fois plus petit qu’à la surface de
la Terre.
13.3 a. Les deux comètes ont la même
Selon la troisième loi de Kepler,
période.
La période est la même, car elles ont le même demi-grand axe.
b. La comète B
13.4 a. ΔE méc est négatif.
La comète A est toujours à la même distance de l’étoile. La comète B se
rapproche : rp = a(1 − e) = 0,5a. La force gravitationnelle va faire un travail positif et augmenter le module de la vitesse, comme dans le cas d’une
balle qui s’approche de la surface de la Terre.
Pour s’approcher de la planète, le vaisseau doit avoir une orbite avec un
demi-grand axe plus petit et E méc,f < Eméc,i, car E méc = −GMm/(2a).
b. Dans le sens opposé à la vitesse
Pour diminuer l’énergie mécanique, il faut un travail extérieur négatif,
c’est-à-dire une force opposée à la vitesse.
c.
La nouvelle orbite est elliptique et passe par le point P.
Annexe A
460
Annexe A
Le système international d’unités
Les données suivantes proviennent du Bureau international des poids et mesures, Le système international d’unités,
8e édition, 2006.
Consulter le site du Bureau international des poids et mesures pour plus de détails.
Les unités de base
Nom
Unité
Symbole
Définition
temps, durée
seconde
s
La seconde est la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre les deux niveaux hyperfins de l’état fondamental de l’atome de césium 133. (1968)
longueur
mètre
m
Le mètre est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière
pendant une durée de 1/299 792 458 de seconde. (1983)
masse
kilogramme
kg
Le kilogramme est l’unité de masse ; il est égal à la masse du prototype
international du kilogramme. (1889)
courant électrique
ampère
A
L’ampère est l’intensité d’un courant constant qui, maintenu dans deux
conducteurs parallèles, rectilignes, de longueur infinie, de section circulaire négligeable et placés à une distance de 1 mètre l’un de l’autre dans le
vide, produirait entre ces conducteurs une force égale à 2 × 10−7 newton
par mètre de longueur. (1948)
température
thermodynamique
kelvin
K
Le kelvin, unité de température thermodynamique, est la fraction
1/273,16 de la température thermodynamique du point triple
de l’eau. (1968)
quantité de matière
mole
mol
La mole est la quantité de matière d’un système contenant autant
d’entités élémentaires qu’il y a d’atomes dans 0,012 kilogramme
de carbone 12. (1971)
intensité lumineuse
candela
cd
La candela est l’intensité lumineuse, dans une direction donnée,
d’une source qui émet un rayonnement monochromatique de fréquence
540 × 1012 hertz et dont l’intensité énergétique dans cette direction est
1/683 watt par stéradian. (1979)
Annexe A
461
Quelques unités dérivées
Grandeur
Unité
angle plan
Symbole
Équivalence
Unité de base
rad
m/m
1
radian
2
aire
mètre carré
m
volume
mètre cube
m3
fréquence
hertz
masse linéique
kilogramme par mètre
m2
m3
Hz
masse volumique
kilogramme par mètre cube
vitesse
mètre par seconde
s
−1
s−1
kg/m
kg/m
3
kg/m
kg/m3
m/s
m/s
2
m/s
m/s2
kg · m/s2
accélération
mètre par seconde carrée
force
newton
N
énergie, travail, chaleur
joule
J
N·m
kg · m2 /s2
puissance
watt
W
J/s
kg · m2 /s3
quantité de mouvement
kilogramme mètre par seconde
vitesse angulaire
radian par seconde
kg · m/s
kg · m/s
rad/s
1/s
2
accélération angulaire
radian par seconde carrée
rad/s
1/s2
moment d’inertie
kilogramme mètre carré
kg · m2
kg · m2
moment de force, couple
newton mètre
N·m
kg · m2 /s2
moment cinétique, spin
kilogramme mètre carré par
seconde
kg · m2 /s
kg · m2 /s
pression, contrainte
pascal
Pa
N/m2
kg/(m · s2)
charge électrique
coulomb
C
A·s
A·s
charge linéique
coulomb par mètre
A · s/m
C/m
2
A · s/m2
A · s/m3
charge surfacique
coulomb par mètre carré
C/m
charge volumique
coulomb par mètre cube
C/m3
potentiel électrique, force
électromotrice
volt
champ électrique
volt par mètre
capacité électrique
farad
V
W/A
kg · m2 /(A · s3)
V/m
N/C
kg · m/(A · s3)
F
C/V
A2 · s4 /(kg · m2)
A/m
2
A/m2
densité de courant
ampère par mètre carré
résistance électrique
ohm
Ω
V/A
kg · m2 /(A2 · s3)
conductance électrique
siemens
S
A/V
A2 · s3/(kg · m2)
champ magnétique
tesla
T
N/(A · m)
kg/(A · s2)
flux magnétique
weber
Wb
T · m2
kg · m2 /(A · s2)
inductance
henry
H
V · s/A
kg · m2 /(A2 · s2)
éclairement énergétique
watt par mètre carré
W/m2
kg/s3
−1
s−1
activité d’un radionucléide
bécquerel
Bq
dose absorbée
gray
Gy
J/kg
m2 /s2
équivalent de dose
sievert
Sv
J/kg
m2 /s2
s
D’autres unités utilisées dans le SI
Grandeur
Unité
minute
temps
superficie
volume
Symbole
min
Valeur
Grandeur
1 min = 60 s
heure
h
1 h = 60 min
jour
d
1 d = 24 h
hectare
litre
ha
L
angle plan
4
1 ha = 1 × 10 m
3
1 L = 0,001 m
2
masse
Unité
Symbole
Valeur
degré
°
1° = (π/180) rad
minute
′
1′ = (1/60)°
seconde
″
1″ = (1/60)′
tonne
t
1 t = 1 000 kg
462
Annexe A
Les préfixes du SI
Facteur
3
Nom
Symbole
Facteur
−3
10
kilo
k
10
106
méga
M
10−6
−9
9
giga
G
10
1012
téra
T
10−12
P
−15
10
15
10
péta
10
Nom
Symbole
Facteur
1
Nom
Symbole
milli
m
10
déca
da
micro
μ
102
hecto
h
nano
n
10
−1
déci
d
pico
p
10−2
centi
c
femto
f
D’autres unités en usage avec le SI
Grandeur
pression
longueur
distance
section efficace
vitesse
logarithme d’un rapport
Unité
bar
millimètre de mercure
ångström
mille marin
barn
nœud
néper
bel
Symbole
Conversion
bar
mmHg
Å
M
1 bar = 100 kPa
1 mmHg = 133,322 Pa
1 Å = 0,1 nm = 100 pm
1 M = 1 852 m
1 b = 100 fm2 = 1 × 10−28 m2
1 kn = (1 852/3 600) m/s
b
kn
Np
B
Les règles d’écriture
• Les symboles des unités sont imprimés en caractères romains (droits), quelle que soit
la police employée dans le texte où ils figurent. En général, les symboles des unités
sont écrits en minuscules, mais, si le nom de l’unité dérive d’un nom propre, la première lettre du symbole est une majuscule. Le symbole du litre constitue une exception à cette règle.
• Si on utilise un préfixe de multiple ou de sous-multiple, ce préfixe fait partie de
l’unité et il précède le symbole de l’unité, sans espace entre le symbole du préfixe
et le symbole de l’unité. Un préfixe n’est jamais utilisé seul, et on n’utilise jamais
de préfixe composé.
• Les symboles d’unités sont des entités mathématiques et non des abréviations. Ils ne
doivent donc pas être suivis d’un point, sauf s’ils se trouvent à la fin d’une phrase.
Ils restent invariables au pluriel, et il ne faut pas mélanger des symboles avec des
noms d’unités dans une même expression, puisque les noms ne sont pas des entités
mathématiques.
Dans l’expression V = 2 V,
V représente le potentiel électrique et V indique des volts.
m pour mètre
N pour newton
Pa pour pascal
L pour litre
5 nm et non 5 mμm
50 cm et non 50 cm.
4 km et non 4 kms
• Les règles classiques de multiplication ou de division algébriques s’appliquent pour
former les produits et quotients de symboles d’unités. La multiplication doit être
indiquée par une espace ou un point à mi-hauteur centré (·), pour éviter que certains
préfixes soient interprétés à tort comme des symboles d’unités. La division est indiquée par une ligne horizontale, une barre oblique (/) ou des exposants négatifs.
45 N · m ou 45 N m, mais pas
45 Nm
ms pour milliseconde
m · s pour mètre seconde
23 m/s ou 23 , ou 23 m · s−1
• Lorsque l’on combine plusieurs symboles d’unités, on doit prendre soin d’éviter toute
ambiguïté, par exemple en utilisant des crochets ou des parenthèses, ou des exposants négatifs. Il ne faut pas utiliser plus d’une barre oblique dans une expression
donnée s’il n’y a pas de parenthèses pour lever toute ambiguïté.
m · kg/(s3 · A), mais pas
m · kg/s3/A ni m · kg/s3 · A
• La valeur d’une grandeur s’exprime comme le produit d’un nombre par une unité ;
le nombre qui multiplie l’unité est la valeur numérique de la grandeur exprimée
au moyen de cette unité. La valeur numérique d’une grandeur dépend du choix
de l’unité. Ainsi, la valeur d’une grandeur particulière est indépendante du choix de
l’unité, mais la valeur numérique est différente selon l’unité choisie.
10 m/s et 36 km/h représentent la même vitesse.
• Les symboles des grandeurs sont en général formés d’une seule lettre en italique,
mais ils peuvent être précisés par des informations complémentaires en indice, en
exposant ou entre parenthèses.
Annexe B
Annexe B
Les constantes fondamentales
Les constantes présentées ici sont les valeurs recommandées de 2010 par le Committee on Data for Science and
Technology (CODATA).
Visiter le site Internet du CODATA.
Les nombres entre parenthèses dans les valeurs recommandées représentent l’incertitude sur les derniers chiffres.
Par exemple, 6,673 84(80) × 10−11 N · m2 / kg2 = (6,673 84 ± 0,000 80) × 10−11 N · m2 / kg2.
Nom
vitesse de la lumière dans le vide
constante magnétique
constante électrique, 1/(cμ0)
constante gravitationnelle
constante de Planck
hc en eV · nm
constante de Planck réduite, h/(2π)
en MeV · fm
charge élémentaire
constante de structure fine,
e2 /(4π 0 c)
inverse
magnéton de Bohr, e /(2me)
en eV/T
magnéton nucléaire, e /(2mp)
en eV/T
constante de Rydberg, α2me c/(2h)
R ∞hc en eV
rayon de Bohr, α/(4πR∞)
masse de l’électron
en u
énergie au repos
longueur d’onde de Compton
(électron), h/me c
masse du proton
en u
énergie au repos
masse du neutron
en u
énergie au repos
masse de l’atome d’hydrogène
masse de la particule alpha ( He)
masse du muon
énergie au repos
nombre d’Avogadro
constante des gaz parfaits
constante de Boltzmann, R/NA
constante de Stefan-Boltzmann
constante de Wien
unité de masse atomique
en MeV/c2
électronvolt
Symbole
c
μ0
0
G
h
hc
e
α
α −1
μB
μN
R∞
R∞ hc
a0
me
me c2
λC
mp
mp c 2
mn
mn c 2
m1H
mα
mμ
mμ c2
NA
R
k
σ
b
u
eV
3,00 × 108
4π × 10−7
8,854 × 10−12
6,674 × 10−11
6,626 × 10−34
1 240
1,055 × 10−34
197,3
1,602 × 10−19
7,297 × 10−3
Valeur approchée
Valeur recommandée
299 792 458
4π × 10−7
8,854 187 817... × 10−12
6,673 84(80) × 10−11
6,626 069 57(29) × 10−34
1 239,841 930(18)
1,054 571 726(47) × 10−34
197,326 971 8(44)
1,602 176 565(35) × 10−19
7,297 352 569 8(24) × 10−3
Unité
m/s
N/A2
F/m
N · m2 / kg2
J·s
eV · nm
J·s
MeV · fm
C
137,0
927,4 × 10−26
5,788 × 10−5
5,05 × 10−27
3,152 × 10−8
1,097 × 107
13,6
5,29 × 10−11
137,035 999 074(44)
927,400 968(20) × 10−26
5,788 381 806 6(38) × 10−5
5,050 783 53(11) × 10−27
3,152 451 260 5(22) × 10−8
10 973 731,568 539(55)
13,605 692 53(30)
5,291 772 109 2(17) × 10−11
J/T
eV/T
J/T
eV/T
m−1
eV
m
9,109 × 10−31
5,486 × 10−4
0,511
2,426 × 10−12
9,109 382 91(40) × 10−31
5,485 799 094 6(22) × 10−4
0,510 998 928(11)
2,426 310 238 9(16) × 10−12
kg
u
MeV
m
1,673 × 10−27
1,007 3
938,3
1,675 × 10−27
1,008 7
939,6
1,007 8
4,001 5
1,883 × 10−28
105,7
1,672 621 777(74) × 10−27
1,007 276 466 812(90)
938,272 046(21)
1,674 927 351(74) × 10−27
1,008 664 916 00(43)
939,565 379(21)
1,007 825 032 1(4)
4,001 506 179 125(62)
1,883 531 475(96) × 10−28
105,658 371 5(35)
kg
u
MeV
kg
u
MeV
u
u
kg
MeV
6,022 × 1023
8,314
1,381 × 10−23
5,670 × 10−8
2,898 × 10−3
1,661 × 10−27
931,5
1,602 × 10−19
6,022 141 29(27) × 1023
8,314 462 1(75)
1,380 648 8(13) × 10−23
5,670 373(21) × 10−8
2,897 772 1(26) × 10−3
1,660 538 921(73) × 10−27
931,494 061(21)
1,602 176 565(35) × 10−19
mol−1
J/(mol · K)
J/K
W/(m2 · K4)
m·K
kg
MeV/c2
J
463
464
Annexe C
Annexe C
Les données utiles
TABLEAU C.1
Quelques unités de longueur utilisées
avec le SI (tableau 1.4).
Nom
Valeur
Unité astronomique (ua)
1,496 × 1011 m
année-lumière (al)
9,461 × 1015 m
parsec (pc)
3,086 × 1016 m
1 × 10−10 m
angström (Å)
mille marin
1 852 m
TABLEAU C.2
Le moment d’inertie de quelques solides homogènes de masse M
pour un axe de rotation passant par le centre de masse (tableau 11.3).
cerceau
par rapport à son diamètre
cylindre creux
par rapport à son axe
cylindre
par rapport à son diamètre central
cylindre (disque)
par rapport à son axe
tige mince
par rapport à son diamètre central
sphère pleine
par rapport à son diamètre
sphère creuse
par rapport à son diamètre
plaque
(axe perpendiculaire)
cerceau
par rapport à son axe
Icm = MR 2
Annexe D
465
Annexe D
Quelques données astronomiques
Les propriétés orbitales
Nom
Rayon moyen (106 km)
Mercure
Période orbitale (jours)
57,91
Inclinaison de l’orbite (°)
Excentricité de l’orbite
87,97
7,00
0,21
Vénus
108,2
224,70
3,39
0,01
Terre
149,60
365,26
0,00
0,02
27,32
5,14
0,05
Lune
0,384
Mars
227,94
686,98
1,85
0,09
Jupiter
778,33
4 332,71
1,31
0,05
Saturne
1 429,4
10 759,5
2,49
0,06
Uranus
2 870,99
30 685
0,77
0,05
Neptune
4 504,3
60 190
1,77
0,01
Les propriétés physiques
Nom
Soleil
Mercure
Rayon équatorial
(km)
6,95 × 105
2 440
Masse (kg)
Masse volumique
(g/cm3)
Période sidérale
de rotation∗ (jours)
1,99 × 1030
1,41
24,6
23
5,43
58,6
24
3,30 × 10
Vénus
6 052
4,87 × 10
5,24
Terre
6 378
5,974 × 1024
5,52
1 738
22
3,34
27,32
23
3,93
1,03
27
1,33
0,41
Lune
Mars
3 397
7,35 × 10
6,42 × 10
−243
0,997 3
Jupiter
71 492
1,90 × 10
Saturne
60 268
5,68 × 1026
0,69
0,45
25 559
25
1,32
−0,72
26
1,64
0,67
Uranus
Neptune
24 766
8,68 × 10
1,02 × 10
∗
Les valeurs négatives de
période orbitale indiquent
une rotation rétrograde.
D’autres données
Nom
Accélération en
Vitesse de
Vitesse orbitale
chute libre† (g) libération (km/s) moyenne (km/s)
Température à la
surface (K)
Pression
(atm)
Mercure
0,378
4,44
47,87
440
0
Vénus
0,907
10,36
35,02
730
93
Terre
1,000
11,19
29,79
287
1
Mars
0,377
5,03
24,13
218
0,007
Jupiter
2,364
59,5
13,06
120
Saturne
0,916
35,5
9,66
88
Uranus
0,889
21,3
6,80
59
Neptune
1,125
23,5
5,44
48
†
À l’équateur de l’astre
466
Annexe E
Annexe E
Les formules mathématiques
Les symboles mathématiques
=
égal
≡
défini par
≠
différent
≈
approximativement égal
<
plus petit
≤
plus petit ou égal
beaucoup plus petit
>
plus grand
≥
plus grand ou égal
La géométrie
Le triangle
Le rectangle
A = bh
beaucoup plus grand
∞
l’infini
∝
proportionnel
∼
du même ordre de grandeur
|x|
valeur absolue de x
!
factorielle
ln
logarithme népérien
loga
logarithme en base a
log
logarithme en base 10
limite lorsque x tend vers a
Le trapèze
Le cercle
C = 2π r
A = π r2
somme
f (x)
une fonction de x
dérivée de f par rapport à x
dérivée partielle de f par rapport à x
dx
différentielle de x
Δx
variation de x
intégrale de f
La boîte
V = abc
Le cylindre
A1 = 2π rl
A 2 = A3 = π r 2
V = π r2l
La sphère
A = 4π r 2
L’équation quadratique
L’équation ax 2 + bx + c = 0 a comme solution :
L’arc de cercle
s = rθ
(θ en radians)
Annexe E
467
Le théorème de Pythagore
(E.14)
(E.15)
sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
(E.16)
cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
(E.17)
Pour un triangle rectangle,
(E.18)
a2 + b2 = c 2 .
Les fonctions trigonométriques
(E.19)
(E.20)
(E.21)
sin θ > 0
cos θ < 0
tan θ < 0
sin θ < 0
cos θ < 0
tan θ > 0
y
(E.22)
sin θ > 0
cos θ > 0
tanθ > 0
sin θ < 0
cos θ > 0
tan θ < 0
Les exposants et les logarithmes
x
xmxn = xm+n
(xm)n = xmn
Les triangles
ln(e x) = x
α + β + γ = 180° = π rad
ln(a) + ln(b) = ln(ab)
δ=α+γ
ln(xn) = n ln x
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ
Les développements en série
et les approximations
Les identités trigonométriques
sin(−θ) = −sin θ
(E.1)
sin(90° − θ) = cos θ
(E.2)
sin(180° − θ) = sin θ
(E.3)
cos(−θ) = cos θ
(E.4)
cos(90° − θ) = sin θ
(E.5)
tan(−θ) = −tan θ
(E.6)
tan(θ + 180°) = tan θ
(E.7)
sin 2 θ + cos2 θ = 1
(E.8)
2
2
sec θ − tan θ = 1
2
L’exponentielle
(E.9)
2
cosec θ − cotan θ = 1
(E.10)
sin(2θ) = 2 sin θ cos θ
(E.11)
2
Le binôme
2
cos(2θ) = cos θ − sin θ
(E.12)
(E.13)
Le logarithme
468
Annexe E
Les dérivées
Les fonctions trigonométriques (θ en rad)
Dans les équations suivantes, a et n représentent des
constantes, alors que u et v représentent des fonctions
quelconques de x.
(E.23)
(E.24)
L’approximation des petits angles
(E.25)
Cette approximation est valable pour | θ | ≤ 5,0°.
(E.26)
Les produits de vecteurs
(E.27)
Le produit scalaire
(E.28)
(E.29)
(E.30)
(E.31)
(E.32)
Le produit vectoriel
(E.33)
(E.34)
(E.35)
(E.36)
×
×
×
(E.37)
(E.38)
Le vecteur est perpendiculaire aux vecteurs
sens est donné par la règle de la main droite.
et . Son
(E.39)
L’alphabet grec
Alpha
A
Êta
H
Bêta
B
Thêta

Gamma
,
Nu
N
Tau
Xi
Ξ
Upsilon
T
Γ
Iota
I
Omicron
O
Phi
Delta
D
Kappa
K
Pi
Π
,
Khi
Epsilon
E
Lambda
Λ
Rhô
Ρ
,
Psi
Y
Zêta
Z
Mu
M
Sigma
Σ
,
Oméga
Ω
,
Φ
f,
Annexe E
469
Les intégrales
Une constante arbitraire doit être ajoutée à chaque intégrale
indéfinie. Les arguments des fonctions trigonométriques
doivent être exprimés en rad. Les lettres a, b et n représentent des constantes, alors que les lettres u et v
représentent des fonctions quelconques de x.
(E.59)
(E.60)
(E.61)
(E.40)
(E.62)
(E.41)
(E.63)
(E.42)
(E.64)
(E.43)
(E.65)
(E.44)
(E.66)
(E.45)
(E.67)
(E.46)
(E.68)
(E.47)
(E.69)
(E.48)
(E.70)
(E.49)
(E.71)
(E.50)
(E.72)
(E.51)
(E.73)
(E.52)
(E.74)
(E.53)
(E.75)
(E.54)
(E.76)
(E.55)
(E.77)
(E.56)
(E.78)
(E.57)
(E.58)
Annexe F
470
Annexe F
Les propriétés des éléments
Le tableau suivant donne le numéro atomique (Z), la masse molaire (M) et la masse volumique (ρ) à 20 °C.
Consulter le site WebElements pour plus de détails.
Symbole
Z
M (g/mol)
ρ (g/cm3)
Symbole
Z
M (g/mol)
ρ (g/cm3)
Actinium
Ac
89
[227]
10,070
Erbium
Er
68
167,26
9,066
Aluminium
Al
13
26,982
2,700
Étain
Sn
50
118,71
7,310
Américium
Am
95
[243]
13,670
Europium
Eu
63
151,96
5,244
Antimoine
Sb
51
121,76
6,697
Fer
Fe
26
55,845
7,874
Argent
Ag
47
107,87
10,490
Fermium
Fm
100
[257]
Argon
Ar
18
39,948
Flerorium
Fl
114
[289]
Arsenic
As
33
74,922
Fluor
F
9
18,998
Astate
At
85
[210]
Francium
Fr
87
[223]
Azote
N
7
14,007
Gadolinium
Gd
64
157,25
7,901
Baryum
Ba
56
137,33
3,510
Gallium
Ga
31
69,723
5,904
Berkélium
Bk
97
[247]
14,780
Germanium
Ge
32
72,61
5,323
Béryllium
Be
4
9,0122
1,848
Hafnium
Hf
72
178,49
13,310
Bismuth
Bi
83
208,98
9,780
Hassium
Hs
108
[270]
Bohrium
Bh
107
[272]
Hélium
He
2
4,0026
Bore
B
5
10,811
Holmium
Ho
67
164,93
Brome
Br
35
79,904
Hydrogène
H
1
1,0079
Cadmium
Cd
48
112,41
8,650
Indium
In
49
114,82
7,310
Calcium
Ca
20
40,078
1,550
Iode
I
53
126,90
4,940
Californium
Cf
98
[251]
15,100
Iridium
Ir
77
192,22
22,650
Carbone
C
6
12,011
2,267
Krypton
Kr
36
83,80
Cérium
Ce
58
140,12
6,689
Lanthane
La
57
138,91
Césium
Cs
55
132,91
1,879
Lawrencium
Lr
103
[262]
Chlore
Cl
17
35,453
Lithium
Li
3
6,941
Chrome
Cr
24
51,996
7,140
Livermorium
Lv
116
[293]
Cobalt
Co
27
58,933
8,900
Lutécium
Lu
71
174,97
9,841
Copernicium
Cn
112
[285]
Magnésium
Mg
12
24,305
1,738
Cuivre
Cu
29
63,546
8,920
Manganèse
Mn
25
54,938
7,470
Curium
Cm
96
[247]
13,510
Meitnerium
Mt
109
[276]
Darmstadtium
Ds
110
[281]
Mendélévium
Md
101
[258]
Dubnium
Db
105
[268]
Mercure
Hg
80
200,59
Dysprosium
Dy
66
162,50
Molybdène
Mo
42
95,96
10,280
Einsteinium
Es
99
[252]
Néodyme
Nd
60
144,24
6,800
Élément
5,727
2,460
8,551
Élément
8,795
6,146
0,535
Annexe F
ρ (g/cm3)
471
ρ (g/cm3)
Élément
Symbole
Z
M (g/mol)
Rutherfordium
Rf
104
[267]
20,45
Samarium
Sm
62
150,36
7,353
58,693
8,908
Scandium
Sc
21
44,956
2,985
41
92,906
8,570
Seaborgium
Sg
106
[271]
No
102
[259]
Sélénium
Se
34
78,960
4,819
Or
Au
79
196,97
19,300
Silicium
Si
14
28,086
2,330
Osmium
Os
76
190,23
22,610
Sodium
Na
11
22,990
0,968
Oxygène
O
8
15,999
Soufre
S
16
32,065
1,960
Palladium
Pd
46
106,42
12,023
Strontium
Sr
38
87,62
2,630
Phosphore
P
15
30,974
1,823
Tantale
Ta
73
180,95
16,650
Platine
Pt
78
195,08
21,090
Technétium
Tc
43
[98]
11,500
Plomb
Pb
82
207,2
11,340
Tellure
Te
52
127,60
6,240
Plutonium
Pu
94
[244]
19,816
Terbium
Tb
65
158,93
8,219
Polonium
Po
84
[209]
9,196
Thallium
Tl
81
204,38
11,850
Potassium
K
19
39,098
0,856
Thorium
Th
90
232,04
11,724
Praséodyme
Pr
59
140,91
6,640
Thulium
Tm
69
168,93
9,321
Prométhium
Pm
61
[145]
7,264
Titane
Ti
22
47,867
4,507
Protactinium
Pa
91
231,04
15,370
Tungstène
W
74
183,84
19,250
Radium
Ra
88
[226]
5,000
Uranium
U
92
238,03
19,050
Radon
Rn
86
[222]
Vanadium
V
23
50,942
6,110
Rhénium
Re
75
186,21
21,020
Xénon
Xe
54
131,29
Rhodium
Rh
45
102,91
12,450
Ytterbium
Yb
70
173,06
6,570
Roentgenium
Rg
111
[280]
Yttrium
Y
39
88,906
4,472
Rubidium
Rb
37
85,468
1,532
Zinc
Zn
30
65,38
7,140
Ruthénium
Ru
44
102,91
12,370
Zirconium
Zr
40
91,224
6,511
Symbole
Z
M (g/mol)
Néon
Ne
10
20,180
Neptunium
Np
93
[237]
Nickel
Ni
28
Niobium
Nb
Nobélium
Élément
Pour les éléments dont tous les isotopes sont instables, la colonne de la masse molaire indique la masse molaire
de l’isotope le plus stable entre crochets.
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
12
11
21
Consulter le site WebElements pour plus de détails.
56
Ba
137,33
55
Cs
132,91
** actinides
* lanthanides
[226]
**
87,62
85,468
[223]
103
Lr
89-102
Sr
Rb
88
38
37
Ra
40,078
39,098
87
Lu
174,97
*
Ca
K
Fr
71
57-70
20
19
22
23
24
25
58
Ce
140,12
90
Th
232,04
57
138,91
89
Ac
[227]
231,04
Pa
91
140,91
Pr
59
Rf
104
178,49
Hf
72
91,224
[267]
La
41
50,942
V
26
42
51,996
43
54,938
27
28
29
30
106
183,64
W
74
95,96
61
[271]
76
101,07
108
190,23
109
192,22
Ir
77
102,91
110
195,08
Pt
78
106,42
32
28,086
47
48
65,38
80
112,41
111
196,97
112
200,59
Au Hg
79
107,87
113
204,38
Tl
81
114,82
In
49
69,723
114
207,2
Pb
82
118,71
Sn
50
72,61
15
115
208,98
Bi
83
121,76
Sb
51
74,922
As
33
30,974
P
238,03
U
92
144,24
62
[272]
63
[270]
64
[276]
65
[281]
94
150,36
95
151,96
96
157,25
97
158,93
[237]
[244]
[243]
[247]
[247]
Np Pu Am Cm Bk
93
[145]
116
[209]
Po
84
121,60
Te
52
78,96
Se
34
32,065
S
16
15,999
O
8
117
[210]
At
85
126,90
I
53
79,904
Br
35
35,453
Cl
17
18,998
F
9
Ne
118
[222]
Rn
86
131,29
Xe
54
83,80
Kr
36
39,948
Ar
18
20,180
66
[280]
67
[285]
68
[284]
69
[289]
70
[288]
[251]
Cf
98
162,50
100
167,26
101
168,93
102
173,06
[252]
[257]
[258]
[259]
Es Fm Md No
99
164,93
[293]
[294] ?
[294]
Bh Hs Mt Ds Rg Cn Uut Fl Uup Lv Uus Uuo
107
186,21
Re Os
75
[98]
46
31
26,982
Cu Zn Ga Ge
58,693 63,546
Ni
14
Si
13
Al
14,007
N
7
Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm Yb
60
[268]
Db Sg
105
180,95
Ta
73
92,906
45
58,933
Co
Ru Rh Pd Ag Cd
44
55,845
Cr Mn Fe
Zr Nb Mo Tc
40
47,867
Ti
[262]
88,906
Y
39
44,956
Sc
24,305
22,990
Na Mg
C
12,011
10,811
B
Be
9,012 2
Li
6,941
5
4
6
10
8
4,002 6
7
3
6
1,007 9
5
2
4
He
3
H
2
1
1
472
Annexe G
Annexe G
Le tableau périodique des éléments
Les symboles des éléments sont ceux qui sont recommandés par l’International Union of Pure and Applied Chemistry.
Réponses aux questions et exercices
473
Réponses aux questions et exercices
CHAPITRE 1
9
1
2
3
4
5
10
11
6
7
8
12
m = 4,4 × 10−5 kg
13
Δt = 0,951 microsiècle
14
1 m3 = 6,290 barils
15
a. 1 an = 365,242 5 j
16
b. Δt = 26,740 0 s
16
b. d = 4,0 × 10
17
a. 1 mille marin = 1 852 m b. v = 6,43 m/s
18
1 pc = 3,26 al
19
ρT = 5,51 × 103 kg/m3 = 5,51 g /cm 3
20
a. 1 arpent = 58,46 m
m
b. 1 ha = 10 000 m 2
c. A = 13,7 ha
CHAPITRE 2
1
Le signe des composantes du vecteur
signe des composantes du vecteur .
2
a. a x = 2,9 m /s2 ; a y = 3,4 m/s2
b. d x = −3,4 m ; dy = 9,4 m
c. vx = −2,7 m/s ; vy = −0,72 m /s
est opposé au
Réponses aux questions et exercices
474
3
A x = 2,8 m ; Ay = 1,5 m B x = −2,2 m ; By = 4,8 m
C x = 0,0 m ; C y = −4,4 m
24
4
5
25
a. p = 4,5 m /s ; θp = −70°
b. r = 3,8 m ; θr = 129°
26
c. s = 1,9 N ; θs = −144°
27
d. u = 0,59 m /s ; θu = 25°
30
6
124 km vers l’est et 194 km vers le nord
7
Fx = −10,4 N ; Fy = −38,6 N
Tx = 73,9 N ; Ty = 13,0 N
Nx = 0,00 N ; Ny = 25,6 N
8
31
32
34
b. P 2 = (3,4 cm ; −153°)
c. P 3 = (9,5 mm ; 153°)
1
9
12
a.
m2 /s, car les vecteurs sont parallèles.
a. Un scalaire
b. N’existe pas
c. Un vecteur
d. Un vecteur
a.
×
b. f = 24°
×

CHAPITRE 3
d. P4 = (0,62 km ; 31°)
a.
f = 84°
33
a. P 1 = (4,4 m ; −39°)
11
Non, cela indique seulement que la composante de
parallèle à est égale à la composante de parallèle à .
a. vmoy2,x < vmoy3,x < vmoy1,x < vmoy4,x
b. vscal 3 < vscal 1 = vscal 2 < vscal 4
b. d = 9,9 m
2
d = 56 m
b.
3
vscal = 29,9 km /s
c.
4
vscal = 9,9 km / h
13
dest = 1,4 km ; dnord = −1,4 km ; dhaut = 0,23 km
5
a. vmoy,x = −0,80 m/s b. vscal = 2,40 m /s
14
a.
et
ont le même sens ;
6
a. Vers la droite
b.
et
sont de sens opposé ;
b. Oui, lorsque vx = 0
c.
et
sont perpendiculaires.
c. a x < 0
a.
= (3,5 + 7,2 ) m
15
7
de l’axe des x
16
c. t = 2,50 s
a.
b.
8
x = 115 m
9
a. Δx = −3,75 m b. t = 2,0 s c. vmoy,x = 1,3 m/s
17
18
a. vmoy,x = 0,400 m/s
b. vx = −0,40 m/s
b. R = 8,0 m ; θR = 64° au-dessus de la partie positive
d.
= 25,1 N
partie négative de l’axe des x
par rapport à la
19
20
a.
b.
c.
21
a.
= 4,1 N
b.
= 8,5 N
c.
10
d.
22
23
a. vx = 1,4 m/s
b. vx = −4,6 m/s
c. t = 0,97 s
d. x = −1,6 m
a.
11
| Δx | = 720 m
b.
12
a. t = 10 min
b. x = 6,3 km
13
a. vscal = 87,5 km / h
b. vscal = 85,7 km / h
Réponses aux questions et exercices
14
a. vx > 0
b. vx = 0
c. vx < 0
d. vx = 0
37
a = 2,78 m/s2
15
a. a x < 0
b. a x < 0
c. a x > 0
d. a x = 0
38
t = 15 s
16
a. Le point b
39
a. y 0 > 0, v 0y > 0, a y < 0
17
b. Le point c
c. Le chien s’arrête et reste arrêté.
b. y 0 = 0, v 0y > 0, a y < 0
a. À 3 s, et entre 11 s et 13 s
c. y 0 = 0, v 0y < 0, a y > 0
b. Entre 0 s et 3 s, et entre 13 s et 18 s
40
a. La fenêtre 2
b. Aucune, car l’accélération est constante.
c. Entre 11 s et 13 s, et entre 16 s et 18 s
d. Entre 7 s et 11 s, et entre 13 s et 16 s
475
41
e. Entre 0 s et 3 s
f.
À3s
18
amoy = 21 g
19
a. amoy,x = 2,0 m/s2
b. a x = 2,5 m/s2
c.
42
a. v = 14,0 m/s
43
v 0y ≥ 9,90 m/s
44
t = 1,3 s
45
a. ymax = 6,44 m
b. t = 1,43 s
b. t = 0,452 s et t = 1,53 s
c. vy = −11,2 m/s
20
amoy,x = −0,90 m/s2
21
a. amoy,x = −0,10 m /s2
a. vx = −2,95 m/s
a. (ii) et (iv)
b. t = 5,87 s
47
a. v 1y = −38 m/s
b. v2y = −2 m/s
c. h = 0,48 km
48
b. amoy,x = −0,45 m/s2
c. a x = −0,45 m/s2 d. t = 0,667 s
23
a. ymax = 128 m
b. a x = 0,30 m/s2
c. a x = −0,20 m /s2
22
46
b. (ii) et (iii)
a. y = 4,23 m
c. v S,y = 1,81 m/s
49
c. (i)
a. y = 10,3 m
b.
2
24
a x = −1,9 m/s
25
v = 1,9 × 107 m/s
26
t = 2,25 ms
27
t = 4,00 s
28
a. t = 2,08 s
b. Δx = 66,6 m
29
a. d = 24,1 m
b. v = 33,2 km / h
30
Δx = 633 m
31
t = 4,27 s
32
a. v 0x = 0,63 m/s
50
a. v 1y = 35,7 m/s
51
d = 9,23 m
52
v = 1,8 m/s
53
a. t = 6,32 s
54
θ = 5,9°
55
a. v = 12,3 m/s
b. x = 35,7 m
b. t = 4,87 s
c. d = 68,1 m
b. a x = 1,5 m/s2
CHAPITRE 4
33
a. a x = −2,99 m /s2 b. Δt = 2,74 s
1
34
a. t = 9,76 s
35
a. t = 10,5 min
b. Δx = 144 m
b. d = 174 m
a. (1), car
a le même sens que .
b. (3), car
est de sens opposé à .
c. (1) et (2), car la composante
d. (3), car
b. À 3,0 km de l’arrivée
a. t = 12,5 s
b. ymax = 233 m
c. Δt = 19,9 s
c. d = 0,13 m
36
b. v M,y = −9,29 m/s
sante
2
est non nulle.
a la même direction que
est nulle.
. La compo-
Réponses aux questions et exercices
476
3
15
a.
a. Les trois balles prennent le même temps, car leurs
vitesses ont la même composante vx.
b. h3 < h2 < h1
b.
4
16
a. Δy = −11,0 cm
b. x = 1,20 m
a.
17
a. t = 0,427 s
b. Δy = −0,896 m
b. vmoy = 0,96 m/s
18
a.
c.
b.
d. amoy = 0,021 m/s2
5
19
20
c.
7
d. a = 2,24 m /s2
21
ymax = 0,943 m
a.
22
a.
b. θ = 127° par rapport au sens positif de l’axe des x
23
a. y = 2,62 m
b. R = 31 m c. h = 11 m
c.
b.
a.
c. Oui, car vy < 0 indique que le ballon est en train de
descendre lorsqu’il frappe le mur.
b.
24
8
9
b. t = 11,9 s
a.
b.
6
a. v 0 = 19,4 m/s
25
a.
b.
c.
26
f = 49,9°
27
a. h = 0,68 m
b. v = 11,7 m/s et θ = 13,6° sous l’horizontale
c. d = 6,4 m du filet
28
a. v 0 = 21,9 m/s = 78,8 km / h
b. h = 7 cm au-dessous de la barre
c. Le ballon frappe le sol à 3,34 m avant la barre.
10
a. t = 2,7 s
b. y = 11,4 m
c.
11
29
a. d = 58,1 m
30
a.
b. ymax = 3,81 m
a. y = 2,9 m
b.
c. R = 15,0 m
c. v = 6,8 m/s
12
b.
a. t = 1,46 s
d. θ = 45,5° sous l’horizontale
b.
31
a.
c.
b. x = 3,40 m
d.
c. θ = 56,0° sous l’horizontale
32
a.
b. y = 33,2 m
38,6° ≤ θ0 ≤ 55,0°
34
R = 73,6 m
35
a. a ca /a cb = 2
b. a ca /a cd = 1/2
b. a c = 1,0 mm/s2
Non, car la composante vy est positive.
36
a. T = 27 min
14
a. Les deux fenêtres ; le temps de passage est le même,
37
ac = 0,561 m/s2
38
a. v = 1,02 km /s
39
ac = 0,680 m/s2
car la composante vx est constante.
plus petit vis-à-vis de cette fenêtre.
est
d. x = 18,1 m
33
13
b. La fenêtre 3, car le module de la composante
c. t = 8,71 s
b. a c = 2,72 mm /s2
Réponses aux questions et exercices
40
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
2
i.
41
42
Δx = 3,71 m
43
a. Δs = 0,59 m
3
a.
b.
c.
44
Pour accélérer, vous devez enfoncer la pédale de l’ac­
célérateur, ou enfoncer la pédale du frein, ou tourner
le volant.
45
a.
46
b.
b.
c.
est orientée vers le haut.
d.
est orientée vers le bas.
a. a c = 1,41 m/s2
b. aθ = 2,01 m/s2
c. v = 2,65 m/s
47
a. a = 2,03 m/s2
b. f = 119,7° par rapport à
4
c. v = 10,6 m/s
48
a. t = 29,7 s
b. v = 10,4 m /s
c.
49
a. a = 3,12 m/s2
50
À une parabole, car la vitesse initiale de la bille par
rapport à la personne a une composante horizontale et
une composante verticale.
b. f = 63,7° par rapport à
51
f = 51,3° de la verticale, vers la pluie
52
a. t = 60,0 s
5
b.
53
a. f = 19,5° au sud de l’ouest
b. t = 44,2 s
6
54
55
56
a.
b.
c.
d.
a. veau = 0,708 m /s
b. t = 153 s
CHAPITRE 5
1
a.
b.
477
Réponses aux questions et exercices
478
7
25
26
a. Fc = 6,97 kN
b. Fp = 62,7 kN
de la partie positive de
27
l’axe des y
8
b. N = Fp sin f + mg cos f
28
a.
29
a. a = 0,476 m /s2
b. N = 198 N
31
a. T = 30 N
b. T < 30 N
32
a. P = 119 N
b. m = 71,4 kg c. m = 71,4 kg
33
a. P = 41 N
b. Papp = 35 N
34
a. m = 54,9 kg
30
9
a.
c. T > 30 N
b.
c.
35
a. Le module de la force demeure constant.
b. Il augmente.
b.
c. Il augmente.
36
La force de frottement cinétique diminue.
37
a. Il diminue.
b. Il diminue.
c. Il diminue.
38
a. Il diminue.
b. Il augmente.
c. Il augmente.
10
11
Oui, la voiture subit plusieurs forces, mais la force
résultante est nulle.
12
Un objet peut avoir un mouvement rectiligne uniforme.
13
Les trois valeurs sont égales.
14
a. 1 et 3
b. 1 et 3
15
a. Fp = 2,4 × 102 N b. a = 1,3 m/s2
40
a. a = 0,48 m /s2
b. μc = 0,049
41
a.
b.
c.
d.
42
a.
b.
43
a. F = 574 N
44
a. T = 16 N
45
μc = 0,507
46
a.
b. d = 5,6 m
c.
d. v = 2,0 m/s
16
a. θ = 66,4°
17
N = 69,9 N
18
a. fs = 1,90 N
b. N = 7,11 N
19
a. fc = 5,03 N
b. N = 13,8 N
b.
20
a. T = 1,99 N
b. Fm = 0,346 N
c.
21
T1 = 2,0 kN et T2 = 3,2 kN
22
a. T1 = 12,9 N
b. T2 = 15,0 N
b.
23
a. a x > 0, ay < 0
b. a x = 0, ay < 0
c.
c. a x < 0, ay > 0
d. a x > 0, a y = 0
24
fc = 0,276 N
b. T3 = 22,9 N
39
47
48
a.
a.
49
vlim = 1,90 m/s
50
vlim = 18 m/s
b. F = 331 N
b. T = 87,1 N
c. T = 75,3 N
Réponses aux questions et exercices
CHAPITRE 6
479
7
1
2
8
3
4
9
Vers l’arrière et non vers la voile
10
Le chariot peut accélérer, car la force résultante sur le
chariot n’est pas nulle. La force du chariot sur l’homme
n’est pas exercée sur le chariot. On ne doit pas l’inclure.
11
a. Les deux véhicules subissent des forces de même
module.
b. La voiture a une accélération plus grande, car sa
masse est plus petite.
5
12
a. a1 = a2 = a 3
13
a.
b. F2 < F1 < F3
b.
14
Fh←c = 99,1 N
15
a.
vers le bas de la pente
b.
16
Nb←p = 87 N
17
a.
b.
6
c.
18
a.
b.
c.
19
a. ab = 2,94 m/s2 ; ap = 2,94 m/s2
b. ab = 2,45 m/s2 ; ap = 6,6 m /s2
20
a.
c.
b.
Réponses aux questions et exercices
480
21
a.
2
FT = 0,55 N
3
a.
b.
b.
c. Δt = 0,983 ns
22
a. Fapp = 32,6 N
b.
4
23
a. Fc←h = 219 N
b.
5
μs = 0,83
6
m = 207,96 u
7
a. FT = 2,24 N
8
f = 12,1°
9
v = 542 km/ h
10
μs = 0,408
11
v = 12,0 m/s ou 43,4 km / h
12
a.
c.
24
Fapp = (M + m) g tan f
25
a. Les modules sont tous égaux.
b. (2) > (3) > (1)
26
a.
b.
27
b. T = 0,437 N
a.
c.
b. r = 916 μm
28
a.
13
b.
b. f = 48,9°
c. T = 45,5 ns
d. p = 3,32 mm
a. Fg = 9,80 N
b. Fg = 8,81 N
c. Fg = 0,224 N
d. Fg = 2,62 mN
14
b. T = 6,03 N
29
a.
30
a. T = 0,38 N
b. Fapp = 2,53 N
31
a. m 2 = 1,27 kg
b. a = 2,38 m/s2
32
a. T = 1,66 N
b. Fapp = 2,29 N
33
a.
34
a.
35
a. T = 8,34 N
36
a.
b.
17
18
M = 2 × 109M S
19
a. v = 7,90 km /s
20
MJ = 1,90 × 1027 kg
21
a. T = 91,2 min
38
a.
b. T = 1,41 h
b. v = 7,71 km /s
c. Δt = 1 min et 57 s
c. T = 6,63 N
a.
a.
b.
b.
37
r = 2,59 × 105 km
16
b. T = 5,15 N
b.
15
b.
22
v = 2,32 m/s
23
T = 151 N
24
a. PappA = 638 N
b. PappB = 794 N
c. PappC = 559 N
b.
39
25
a.
b. |a θ | = g sin θ
b.
40
a.
b.
CHAPITRE 7
1
a.
a. Partout (le module étant constant)
b. En bas de la trajectoire
c. En haut de la trajectoire
b. |a θ | = 1,70 m/s2
26
a. T = 1,25 N
27
Il tourne vers la droite.
28
À l’équateur, car la force centrifuge est vers le haut
à cet endroit.
29
a. Vers l’ouest
30
Vers l’est
b. Vers l’est
Réponses aux questions et exercices
CHAPITRE 8
32
1
Les particules ont toutes la même énergie cinétique.
2
Kb = Kc < Ka = Kd
3
K = 70,2 J
4
v = 9,377 × 106 m/s
5
a. K i = 18 J
6
W1 = 0, W2 < 0, W3 < 0, W4 > 0
7
a. Wa > Wb > Wc
b.
33
b. K f = 42 J
c. ΔK = 24 J
déplacement.
9
Le travail de la force gravitationnelle est égal dans les
deux cas : Wg = mgh.
10
W = 1,61 J
11
W = 6,80 kJ
12
a. Wg = −18,7 J
b. Wg = 0,00 J
13
a. Wenf = 109 J
b. Wg = −68,7 J
c. WN = 0,00 J
d. Wf = −36,8 J
(iv) > (ii) > (i) = (iii)
15
d = 11,6 m
16
a. F = 10,2 kN
17
W = 419 kJ
18
Δr = 7,22 m
19
a. Wnet = 1,90 J
20
a.
b.
b.
b. Wél = −4,93 J
34
a. v = 2,93 m/s
b. h = 0,323 m
35
a. Wél = −5,09 J
b. Wg = −2,04 J
c. Wf = −1,14 J
d. Wext = 10,04 J
36
a. (iv) > (ii) > (iii) > (i)
b. (ii) > (iv) > (i) = (iii)
37
Pmoy = 9,8 kW
38
P = 1,0 × 102 W
39
a. P = −10 W
40
Pmoy = 35 kW
41
P = 1,56 kW
42
a. Wnet = 3,97 × 105 J
b. Pmoy = 41,8 kW
c. P = 41,8 kW
d. P = 59,1 kW
a. P = 47,5 W
b. P = 0,0 W
c. P = −35,1 W
d. P = 35,1 W
43
b. v = 33,2 km / h
a. Wg = 0,746 J
c.
W = 0, car la tension est perpendiculaire au
14
a. Wg = mgd
c.
b. La rondelle b, car sa vitesse est constante.
8
481
b. f = 109°
CHAPITRE 9
1
a. (iii)
b. (i) et (v)
2
Les modules de la vitesse sont tous égaux, car toutes
les balles ont la même variation d’énergie cinétique.
3
(ii) > (iv) > (i) > (iii), car toutes les balles ont la même
variation d’énergie cinétique.
4
ΔUg = 718 kJ
5
a. Ug = 9,20 J ; K = 7,96 J
b. Ug = 15,3 J ; K = 1,8 J
21
a. Δr = 1,70 m
b. vf = 1,95 m/s
22
a. Wt = −355 J
b. ΔK = 376 J
23
a. W = 10 kJ
b. W = −5,0 kJ c. v = 8,0 m/s
24
a. W = −3,5 J
b.
c. x = 2,5 m
25
a. Wnet = 1,845 J
26
a. x = 3,41 m et x = 0,586 m
28
m = 49,7 kg
29
k = 371 N/m
30
Wext = 10,7 J
31
a. Wext = 0,16 J
c. Ug = 17,16 J ; K = 0,00 J
6
a. ymax = 7,34 cm
b. θ = 31,5°
7
a. ymax = 14,2 m
b. vf = 28,4 m/s
8
a > d > c > b, car ΔUg est proportionnelle à Δy.
d. K max = 4,3 J
9
(i) = (iv) > (iii) > (ii)
b. v = 3,51 m /s
10
d = 2,13 cm
11
ΔUg = −2,76 J
12
a. Ugi = −0,245 J
b. Uél,i = 0,00 J
c. x f = 4,91 cm
d. Ugf = −0,305 J
e. Uél,f = 0,030 1 J
f. ΔU = −0,030 J
a. ΔUg = 0,908 J
b. ΔUél = −1,08 J
c. vf = 2,61 m /s
b. v = 2,83 m/s
13
b. v = 1,7 m/s
c. ΔU = −0,17 J
Réponses aux questions et exercices
482
14
a. (ii)
b. (i)
CHAPITRE 10
15
a. vA = 2,8 m/s
b. vB = 27,4 m /s
1
a.
16
a. vB = 6,76 m/s
b. yC = 2,33 m
2
a.
17
vf = 3,9 m/s
18
a. v = 7,8 m/s
b. k = 85 kN/m
3
a.
Δp = 1,32 kg . m /s
c.
a. v = 3,71 m/s
b. |x| max = 59,7 cm
Fmoy = 53 N
19
20
a.
(iii) < (ii) < (i) = (iv)
b. Δpx = 4 kg . m /s
b.
b. J = 1,32 kg . m /s
4
5
b. hmax = 17,9 cm
a. vf = 9,39 m/s
b. J = 7,49 kg . m /s
c. Fmoy = 1,6 kN
6
21
22
d = 54,3 cm
23
|x| max = 24,5 cm
24
a.
7
a.
b. Fmoy = 1,1 × 102 N
b. h = 1,29 m
c. R = 1,49 m
25
a. v = 4,31 m/s
b. Fc = 41,3 N
26
a. h = 5R/2
b. Papp = 6mg
27
θ = 48,19°
28
(ii) = (v) < (iii) = (iv) < (i)
29
a. B et I
30
a. En sens opposé à l’axe des x
c. Fθ = 6,67 N
8
F = 13 N
9
Δt = 2,33 s
10
a.
b.
c. vf = 24,8 m/s
b. F
c. D et G
11
d. D
b.
e. B et I
c.
d.
b. E méc = 1,5 J
c. v = 1,3 m/s
12
d. x = −3,0 cm
31
Wext = 7,65 J
32
Wext = 61,5 J
33
a. ΔK = 810 J
a.
d = 0,732RT
13
14
15
b. ΔU = −3,92 kJ
À
à droite de la tige verticale, le long
de la tige centrale
c. ΔE méc = −3,11 kJ
16
34
Wair = −26,3 J
17
À 2,86 cm à droite et à 1,07 cm en haut du centre
de la plaque
35
a. Wext = 0,416 J
18
a.
b. v = 1,14 m/s c. d = 28,6 cm
b.
36
c.
37
v = 0,402 m/s
38
a. d = 40,8 cm
b. |x| max = 13,5 cm
39
a. v = 3,56 m/s
b. x max = 17,6 cm
40
a.
19
b. x max = 0,114 m
20
ΔE th = 217 J
42
ΔE th = 3,11 kJ
b.
c.
21
a. À L/4 à gauche du centre b. Déplacement nul
c. À L/4 à droite du centre d. L/2 vers la gauche
c. Le ressort ne revient pas à sa position naturelle.
41
a.
e. L/2 vers la droite
22
a.
b.
Réponses aux questions et exercices
23
a.
43
de
la particule alpha, du côté opposé à l’orientation finale
de la particule alpha
44
a. vaf = 6,25 m/s b. vbf = 4,00 m /s
b.
c.
24
d = 1,16 m
25
m canot = 23,4 kg
c. vbi = 9,00 m/s
45
Le centre de masse du système a une vitesse avant la collision (un objet est en mouvement, et le deuxième est immobile). Cette vitesse ne peut changer lors d’une collision.
46
Vers la gauche, car la quantité de mouvement du système est conservée ; avant la collision, elle est orientée
vers la gauche.
26
27
28
483
a.
b. d cm = 157 m
c. d1 = 70,7 m
d. d2 = 200 m
a.
b.
47
c.
d.
29
a.
49
a. v = 2,31 m/s b. Δy = 27,3 cm c. ΔE méc = −526 J
50
θ = 17,2°
52
d.
31
a.
51
b.
c.
30
a. p2x = 6 kg . m /s
b. p 1x = −5 kg . m /s
53
h = 77,4 cm
c. Px = −4 kg . m /s
d. p 1x = −3 kg . m /s
54
a.
55
a. m1 < m 2
v = 155 m/s
56
a. v 1 = 9,84 km /s
b. v2 = 9,14 km /s
c. ΔE = 2 × 107 J
57
38
a. vni = 4,37 × 106 m /s
a.
58
a. m 2 = 1,43 kg b.
60
a.
b.
b.
c. ΔE = 155 J
c.
-(i), car le centre de masse doit se déplacer en ligne
droite lors d’une collision ;
61
v Vf = 35 km /s
62
a.
b.
-(iii) et (iv), car le centre de masse de deux particules
doit être entre ces particules.
39
v = 2,1 m/s
40
a.
c.
d.
e. h = 7,01 m
63
b. ΔK = 0,0 J
c. Une collision élastique, car K f = K i
41
a. vf = 59,4 km / h
42
a.
b. vnf = 3,69 × 106 m /s
c. ΔK/K i = −29 %
v = 5,83 × 103 m/s
36
37
b. m1 > m 2
d. m1 = m2
33
35
b. |x| max = 7,38 cm
c. Impossible, v 1f,x ne peut être plus grand que v 1i,x.
32
34
b. ΔK = −12,9 J
48
b. ΔK = −37 kJ
b. ΔK = −0,15 J
c. Une collision inélastique, car K f < K i
a. v 1f = 0,607 m/s b. θmax = 12,4°
c. v2f = 3,24 m/s
d. Δx = 1,39 m
64
a. v 1f = 3,81 m /s
b. v2f = 7,48 m /s c. θ2 = 27,0°
65
a.
b.
c. ΔK 1 /K 1i = −13 %
Réponses aux questions et exercices
484
CHAPITRE 11
1
a. En sens horaire, car la pente initiale est négative.
22
a. I = 0,001 3 kg . m2
23
a. I = 1,17 × 10−45 kg . m2
b. À t = 2,0 s, où la pente est nulle.
b. ω = 8,47 × 1010 rad /s
c. αz > 0
c. v = 8,43 m/s
2
a. θ = 10,0 rad
3
a. ωz = −0,104 7 rad/s
b. αz = 10 rad/s
2
b. ωz = −1,745 × 10−3 rad /s
4
24
c. ωz = −1,454 × 10−4 rad /s
26
a. I = 0,002 21 kg . m2
a. ωz,moy = 5,5 rad /s
30
a.
b. ωz = 4,90 rad/s
a. Δθ = 3,18 × 103 tr
b. ωz = 3,00 × 103 rad /s
c. t = 5,77 s
d. ωz,max = 3,08 × 103 rad/s
6
ωmoy = 9,92 rad/s
7
a. α = 95 rad/s2
b. Δθ = 2,3 × 102 tr
8
a. αz = 1,55 rad /s2
b. t = 3,88 s
9
a. t = 3,00 s
b. Δθ = −2,25 rad
31
a.
b.
32
a. ω = 13,2 rad/s
b. v = 3,96 m/s
33
a.
b. ω = 18,0 rad/s
c. Δθ = 1,17 tr
34
b. I = 0,182 kg . m2
b. ωz = 5,24 rad/s
a. ωz = 10,8 rad/s
b. t = 7,73 s
12
a. ωz = −3,43 rad/s
b. αz = −1,02 rad/s2
c. θmax = 4,56 rad
d. t = 5,43 s
opposée à ω car la rotation ralentit.
c.
de façon tangentielle
d.
vers le centre du cercle
14
opposée à
36
15
a. α = 2,91 rad/s2
b. v = 0,363 m /s
c. s = 0,523 m
16
37
a. ω
b. α
c. t = 2,74 s
38
a. ω = 30,5 rad/s
b. K = 7,67 J
c. K rot /K tr = 1/2
39
vcm = 1,75 m/s
40
a.
41
v = 2,13 m/s
b.
42
a. v = 4,99 m/s
c. a = 0,14 m /s2
17
a. Les deux objets ont la même énergie cinétique.
son énergie cinétique est de l’énergie cinétique
de translation.
b. (i) > (iii) > (ii) = (iv), car |a θ | = rα et α est la pente.
c. (ii) > (iii) > (i) > (iv), car |a r| = rω2
b. dp/c = 2πR
b. Le bloc a une vitesse linéaire plus grande, car toute
car la rotation ralentit.
a. (ii) > (iii) > (i) > (iv), car v = rω
a. d c/s = 2πR
c. dp/s = dp/c + d c/s = 4πR
selon la règle de la main droite
b.
e.
d. v = 12,2 cm /s
35
11
a.
a.
c. ω = 0,494 rad/s
a. αz = 1,75 rad/s2
c. Δθ = 10,0 tr
13
b. K = 0,062 9 J
b.
c. t = 6,00 s
10
I = 0,013 1 kg . m2
25
c. αz,moy = 4,8 rad /s2
5
b. K = 0,057 J
b. d = 3,06 m
c. f = 64,3° sous l’horizontale
a. ω = 106,440 548 rad /s
43
v = 0,865 m/s
b. α = 1,555 6 × 10−14 rad /s2
44
h = 11R/4
45
a. Un petit rayon
b. Un grand rayon
c. t = 2,168 2 × 108 a
18
(ii) < (i) = (iii) < (iv)
46
a. ωpédalier = 82,8 tr/min
b. v = 25,7 km / h
19
I = 0,109 kg . m2
47
a. ω2 = 72,0 tr/min
b. v2 = 1,51 m/s
48
a. αmot = 18,6 rad /s2
b. α2 = 2,79 rad/s2
c. Δθmot = 30,0 tr
d. Δθ2 = 4,50 tr
29
20
K = 2,57 × 10 J
21
a. I = 0,013 kg . m2
b. K = 0,67 J
Réponses aux questions et exercices
CHAPITRE 12
d. a2y = −a1x et αz = −a1x /R
1
τ1 < τ3 < τ2 < τ4 ; selon la grandeur de leur bras de
levier
2
a.
e. Th < Tv, car αz < 0
19
20
b.
a.
b.
c. Th = 15,2 N
d. Tv = 15,9 N
b.
21
4
a. τ
b. τ
22
a. τ1z = 0,735 N . m, τ2z = 0,644 N . m,
a. τ
10
a. (i) = (ii) < (iii)
b. τ = 31 N . m
b. (ii) = (iii) < (i)
c. (i) < (ii) < (iii)
11
(ii) < (iii) < (i) = (iv)
12
τ = 0,141 N . m
13
a. τ
14
a. α = 3,88 rad/s
24
a.
16
17
18
b.
2
a.
b.
10−4
a. a cm,x = −2,35 m/s2
b. αz = −54,0 rad/s2
c. t = 1,16 s
d.
29
a. Wnet = 0,528 J
b. I = 7,33 × 10−3 kg . m2
30
a. W = −41,1 J
b. N = 61,6 N
31
a. W = 8,8 kJ
b. Pmoy = 1,6 kW
32
a. F = 3,61 N
b.
33
W = F L (cos θi − cos θf )
34
Non, le moment cinétique est nul si
et
ont la
même direction. Le moment cinétique par rapport à
l’origine sera nul seulement si la vitesse est radiale.
35
a. Selon
b. 
2
c. Selon
d. Selon
36
(iv) > (ii) = (iii) > (i), car le moment de force correspond
à la pente du graphique de L z en fonction de t.
37
a. L rév = 2,66 × 1040 kg . m2 /s
b. L rot = 7,09 × 1033 kg . m2 /s
38
a. α = 13,4 rad/s2
39
b.
40
ωf = 20,9 rad/s
41
a. 
a. I = 17,2 kg . m
2

b. Fapp = 376 N
b. 
a.
c. τ
c.
kg . m2
P = 178 W
α
b. I = 4,51 kg . m
b. ω = 42,1 rad/s
a.
b.
b.
est nulle.
28
c. F = 25,3 N
15
est vers la gauche.
b.
e. ω
τ3z = −0,355 N . m
b. τrés,z = 1,023 N . m
9
c.
I = 0,159 kg . m2
27
6
τ
est vers la droite.
c. I = 3,02 ×
5
8
a.
23
26
τg = 32,0 N . m
7
b.
t = 1,21 s
c. μs,min = 0,196
c. τ
τ
F = 10,9 N
a.
c.
c.
F = 350 N
α
a. I = 0,004 57 kg . m2
c.
3
485
42
a.
b. 
c. τ
Réponses aux questions et exercices
486
43
a.
demeure constant.
b.
ω
augmente.
44
a.
demeure constant.
b.
ω
diminue.
c. ve/s augmente.
45
Sa vitesse angulaire va augmenter, car son moment cinéω demeure constant, et son moment d’inertique
tie diminue lorsqu’elle rapproche les bras.
46
a. ω
b. ΔK rot = −5,00 J
47
a. ω
b. v = 0,870 m /s
48
b. va = 0,911 km /s
49
a. ω
(iii) > (i) = (ii) ; dans la situation (iii), m est plus près
du centre de la sphère.
3
a. Ff←T = 539 N
c. Ff←L = 1,83 × 10
b. ΔK = 6,66 J
N
d. Ff←J = 1,76 × 10−5 N
e. Ff←h = 3,30 × 10−7 N
4
d = 3,39 × 105 km
5
6
par rap-
8
port à la partie négative de l’axe des y.
ω
51
a. I = 0,465 kg . m2
b. K i = 7,43 J
c. ω
d. K f = 9,25 J
e. ΔE th = 317 J
9
10
La planète A, car g = GM/R 2 = 4πGρR/3
a. vi = 2,11 m /s
b. ω = 2,04 rad/s
11
g = 1,62 N/ kg
c. ycm = 0,620 m sous O
d. θ = 32,3°
12
a.
53
(ii) et (iii)
54
(iii) < (i) < (ii) < (iv)
55
a. T = 758 N
56
d = 0,87 m
57
a. Fd = 372 N
b.
c.
13
b.
b.
58
a. T = 224 N
59
a. T = 7,20 kN
b.
14
P = 787 N
15
a. Fg,c←L = 32,5 N
16
geff = 8,9 m/s2
17
a. g = 9,80 m/s2
18
a. geff = 1,06 × 1012 m /s2
60
d1 = 25,75 mm, d2 = 12,88 mm, d 3 = 8,583 mm,
d 4 = 47,21 mm
61
μs = 0,344
62
I = 6,02 × 10−4 kg . m2
63
ωP = 0,260 rad/s
CHAPITRE 13
a. (ii), car à cet endroit,
est vers la gauche et
est vers la droite. De plus, m 3 doit être plus
près de m1 (petite masse) pour que les deux forces
aient le même module.
c. La réponse en a. ne change pas, car les forces
et
sont toutes les deux directement
proportionnelles à m 3.
b. geff = 9,67 m/s2
b. Fg = 1,06 × 1012 N
19
20
d = 5,00 × 106 km
21
MJ = 1,90 × 1027 kg
22
a. ra = 0,466 7 ua
b. va = 38,8 km /s
23
a. r = 3,87 × 106 m
b. v = 1,13 km /s
24
a. M = 4,50 × 1023 kg
b. R = 2,92 × 106 m
25
a. a = 39,48 ua
b. rp = 29,66 ua
c. ra = 49,31 ua
26
a. rcm = 2,03 × 106 m
b. Tp = 6,38 jours
c. Tc = 6,38 jours
b. Non, car la force gravitationnelle est radiale. Si m 3
n’est pas sur l’axe des x, les forces n’auront pas la
même direction.
b. h = 9,29 × 106 m
c. geff = 1,04 × 1012 m /s2
b.
1
b. Ff←S = 0,326 N
−3
7
50
52
2
28
(ii) < (i) = (iii) < (iv) car
ΔUg = −GMm/r1 − GMm/r2
avec r 1 et r 2 les distances entre le point final et chacune
des sphères.
Réponses aux questions et exercices
29
a. (i) < (ii) = (iv) < (iii), car
36
ΔUg = −GMm/rf + GMm/R ,
30
c. e = 0, 442
d. vp = 5,82 km /s
e. va = 2,25 km /s
37
a. ra = 50 ua
b. (iii) < (ii) = (iv) < (i), car Wg = −ΔUg.
38
v1 = 74,0 m/s ; v2 = 41,4 m/s
39
De l’équateur, car à cet endroit, la rotation de la Terre
fournit une énergie cinétique initiale au satellite.
40
Wext = 3,75 × 1011 J
42
a.
28
Ug = −7,63 × 10 J
a. vlib,T = 11,2 km /s
b. vlib,L = 2,38 km /s
c. vlib,M = 5,02 km /s
33
b. r h = 2,95 km
34
hf = 117 km
35
b. T = 556,7 ans
où rf est la distance finale entre la sphère et la masse
ponctuelle.
31
32
a. a = 67,665 ua
487
c. M = 4,69 × 10
35
kg
M = 1,26 × 10 kg
b. af = 2,29r i
d. ra = 3,57r i
c. rp = r i
43
24
b. T = 1,3 × 102 ans
9
a. Wext,A = −6,49 × 10 J
b. Wext,B = −6,49 × 1010 J
Crédits
Page couverture : Paul Calver.
Chapitre 1 : p. 3 : Susan Trigg/Getty Images ; p. 4 :
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Chapitre 3 : p. 55 : jeep2499/Shutterstock.com ; p. 56 :
Elena Korsukova/Shutterstock.com ; p. 61 : René Lafrance ;
p. 76 : Portrait de Galilée par Justus Suttermans. Wikipedia
Commons.
Chapitre 4 : p. 89 : Eric Fortin/Wikipedia Commons ;
p. 99 : Diego Barbieri/Shutterstock.com ; p. 111 : Neale
Cousland/Shutterstock.com ; p. 124 : David H. Seymour/
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Chapitre 5 : p. 129 : © technotr/iStockphoto ; p. 130 :
SHEILA TERRY/SCIENCE PHOTO LIBRARY ; p. 131 :
Mike Flippo/Shutterstock.com.
Chapitre 6 : p. 175 : © Erik Isakson/Blend Images/Corbis ;
p. 176 : CCI ARCHIVES/SCIENCE PHOTO LIBRARY ;
p. 200 : René Lafrance.
Chapitre 7 : p. 207 : Boeing Graphics ; p. 220 : Agence
spatiale canadienne ; p. 225 : NASA ; p. 229 : Adam Block,
Mt. Lemmon SkyCenter, U. Arizona.
Chapitre 8 : p. 227 : Kirk Geisler/Shutterstock.com ;
p. 230 : Donald Miralle/Digital Vision/Thinkstock.
Chapitre 9 : p. 261 : © Ludo Kuipers/Corbis ; p. 262 : JeanCharles GUILLO/Wikipedia Commons.
Chapitre 10 : p. 297 : Ramin Nabipour.
Chapitre 11 : p. 339 : © Sabine Lubenow/MaXx Images ;
p. 340 : René Lafrance ; p. 373 : René Lafrance.
Chapitre 12 : p. 377 : Ian MacNicol/Getty Images ; p. 405 :
Ronald Santerre/Getty Images.
Chapitre 13 : p. 427 : NASA ; p. 428 : Kajano/Shutterstock.
com ; p. 429 : Dylan Kereluk from White Rock, Canada/
Wikipedia Commons ; p. 439 : Wikipedia Commons ;
p. 446 : Roger Ressmeyer/Getty Images ; p. 451 : NASA/
Wikipedia Commons ; p. 453 : NASA ; p. 457 : NASA.
Index
A
Accélération
angulaire, 343
et accélération tangentielle, 351
et moment de force, 385
instantanée, 343
moyenne, 343
unité d’, 343
vecteur, 345
centripète, 107, 112, 113
composante parallèle, 94
composante perpendiculaire, 94
contrainte d’, 186, 192
du centre de masse, 308
dans un roulement, 362
en chute libre, 436
en trois dimensions, 96
et force résultante, 148-149
gravitationnelle, 76, 152, 153
effet de l’altitude, 435
effet de la rotation, 435-437
instantanée, 67, 94
moyenne, 13-14, 67, 94
orientation, 91
radiale, 112
et vitesse angulaire, 352
tangentielle, 112
et accélération angulaire, 351
unité d’, 67
Action (force), 177, 181
Alphabet grec, 468
Angström, 19
Anneau d’Einstein, 453
Année, 18, 26 (E15)
Année-lumière, 19, 26 (E16)
Apesanteur, 155
en orbite, 220
Aphélie, 421 (P48), 440
Apogée, 440
Aristote, 56, 176, 428
Assistance
gravitationnelle, 335 (P61)
Atome, 324, 404
modèle de Bohr, 397, 398
Atwood, George, 191
Atwood, machine d’, 191, 388
Axe de rotation, 340
B
Balance de torsion, 433
Baril de pétrole, 26 (E14)
Conditions d’équilibre, 406
Bohr, modèle de, 397, 398, 404
Constante
de Newton, 216, 430
de rappel, 133, 246
gravitationnelle, 216, 430
mesure, 433
Bohr, Niels, 397, 404
Borne, 276
Brahe, Tycho, 439
Bras de levier, 379
C
Carat, 26 (E12)
Cavendish, Henry, 433
Centre de masse, 303-307
accélération, 308
dans un roulement, 362
déplacement lors du roulement, 361
position, 304
objet solide, 306
vitesse, 308
dans un roulement, 362
lors d’une collision, 315
Chaleur, 286
Champ gravitationnel, 433-434
de la Terre, 434-435
Contrainte
d’accélération, 186, 192
pour une poulie, 387
Convention de signes
déplacement angulaire, 341
moment de force, 379
vitesse angulaire, 342
Conversion d’unités, 19-20
Copernic, Nicolas, 56, 428, 439
Corde, 190
idéale, 190
Coriolis, force de, 225, 226
Coriolis, Gustave-Gaspard, 225
Couple de force, 415 (Q2)
Cycloïde, 361
Cheval-vapeur, 251
D
Chiffres significatifs, 21
Degré (°), 341
Chute libre, 75