Elementos de Máquinas
Cálculo de uniones roscadas
Robert Hernández Ortega
Feliberto Fernández Castañeda
Edición: Liset Ravelo Romero
Corrección: Fernando Gutiérrez Ortega
Robert Hernández Ortega y Feliberto Fernández Castañeda, 2012
Editorial Feijóo, 2012
ISBN: 978-959-250-794-4
Editorial Samuel Feijóo, Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas, Carretera a Camajuaní, km
5 ½, Santa Clara, Villa Clara, Cuba. CP 54830
RESUMEN
Las uniones roscadas son elementos de máquinas muy importantes, que tienen sus antecedentes desde
el siglo 300 a.n.e. Se utilizan como elemento de fijación de partes y piezas. En el presente trabajo se
exponen sus características, su clasificación, sus ventajas y sus limitaciones, así como los principales
parámetros geométricos y los materiales utilizados para su construcción. Se explican asimismo las
principales fallas a que están sometidas, y los cálculos de resistencia a la rigidez y a la fatiga requeridos
para su diseño y selección. Por último, se proponen ejercicios de selección y verificación de uniones
roscadas sometidas a diferentes condiciones de cargas.
Índice
Introducción
5

Las uniones roscadas

Principales Ventajas

Principales desventajas
7

Tipos de elementos de unión
7

Clasificación
8

Principales parámetros geométricos
9

Materiales empleados en los elementos roscados
9
6
10
Fallas de las uniones roscadas

Cálculo de las uniones roscadas a cargas estáticas
10

Tensiones admisibles
11
13
Uniones que se arman con tensado previo

Pretensión inicial
18

Momento de torsión de apriete
19

Cálculo del coeficiente de rigidez del sujetador
20

Cálculo del coeficiente de rigidez de las piezas sujetadas
22

Cálculo de resistencia a la fatiga
23

Procedimiento para aumentar la resistencia a la fatiga de las uniones roscadas
25
Cálculo de la carga externa sobre el tornillo más cargado
26
Ejercicios
30

Secuencia para el cálculo de verificación de una unión roscada
30

Uniones roscadas sometidas a cargas externas en el plano de la unión

Uniones roscadas sometidas a cargas externas en los planos perpendiculares al

30
plano de la unión…
34
Uniones roscadas sometidas a cargas externas en los planos perpendiculares al
48
plano de la unión y en el plano de la unión

Ejercicios propuestos
56
Bibliografía
57
Anexos
58
Introducción
Los primeros antecedentes de la utilización de roscas se remontan al tornillo de Arquímedes,
desarrollado por el sabio griego del cual tomó su nombre alrededor del 300 A.C. En aquella
época se empleaban para la elevación de agua en el valle del Nilo. Durante el Renacimiento
las roscas comienzan a emplearse como elementos de fijación en relojes, máquinas de
guerra y en otras construcciones mecánicas. Leonardo da Vinci desarrolla por entonces
métodos para el tallado de roscas; sin embargo, éstas siguieron fabricándose manualmente y
sin ninguna clase de normalización hasta bien entrada la Revolución industrial.6
En 1841 el ingeniero inglés Whitworth definió la rosca que lleva su nombre, haciendo William
Sellers otro tanto en los Estados Unidos en el año 1864. Esta situación se prolongó hasta
1946, cuando la ISO (International Standard Organization) definió el sistema de rosca
métrica, adoptado actualmente en prácticamente todos los países. No obstante en los
EE.UU. se sigue empleando la norma de la SAE (Society of Automotive Engineers).
Las uniones roscadas
Las uniones roscadas se clasifican como uniones desarmables. Consisten en roscar
exteriormente una pieza e interiormente la otra de manera que quedan unidas mediante el
hilo de rosca. Tienen un amplio empleo pues cerca del 60 % de las piezas de las máquinas
son roscadas. Los principales elementos que las conforman son mostrados en la figura 1.
Fig. 1- Principales elementos de la unión roscada
Principales ventajas de las uniones roscadas

Son muy confiables, sobre todo a carga estática.

Presentan fácil montaje y desmontaje.

Se pueden unir diferentes tipos de materiales.

No modifican las propiedades mecánicas de las piezas a unir.

Tienen una amplia estandarización.

Bajo costo debido a su amplia estandarización y procesos de producción muy
productivos.
Principales desventajas

Los agujeros reducen la resistencia de las piezas.

No se logra la hermeticidad de las uniones por soldadura.

Se pueden aflojar o debilitar ante variaciones de la carga o la temperatura.

Suelen requerir elementos adicionales para la fijación

Presentan baja resistencia a cargas variables.
Tipos de elementos de unión
Los principales tipos de elementos de unión se muestran en la figura 2. La unión mediante
perno y tuerca se emplea fundamentalmente cuando el espesor de los elementos a unir no
es muy grande y se permite hacer agujeros pasantes; por el contrario, la unión mediante
tornillo se utiliza cuando uno de los elementos a unir permite hacer un agujero pasante y en
el otro una rosca para enroscar el tornillo. Por último, la unión con espárrago se emplea
cuando no existe espacio para la tuerca o no es posible realizar el agujero roscado en una
pieza o el agujero pasante para el tornillo en la otra.
Fig. 2- Tipos de elementos de unión
Clasificación
De acuerdo a su aplicación: [5]
1) Rosca de sujeción: Se destinan para la fijación de piezas. Generalmente se fabrican de
perfil triangular con los vértices truncados. El perfil triangular posibilita:
a) Rozamiento elevado que asegura un menor peligro de aflojamiento de la rosca
apretada.
b) Resistencia elevada de la rosca.
c) Comodidad de fabricación.
2) Roscas de sujeción y estancas: Se destinan tanto para la sujeción de piezas como para
evitar la salida de gases o líquidos. Son de perfil triangular pero sin juegos radiales con
vértices redondeados.
3) Roscas para la transmisión de movimiento: Se fabrican en forma trapecial con perfil
simétrico y asimétrico (Dientes de sierra) y a veces con perfil rectangular.
De acuerdo a la forma geométrica de la superficie: cilíndrica y cónica.
De acuerdo a la posición de la zona roscada: exterior e interior.
De acuerdo al perfil de la rosca: cuadrada, trapezoidal, triangular, redonda.
De acuerdo al número de filetes: De una y varias entradas.
De acuerdo al sistema de unidades empleado en su fabricación:
- Métrica (Anexo 1): Las dimensiones de la rosca se expresan en milímetros, el ángulo del
perfil es de 60º. Se designan con la letra M seguida del diámetro exterior de la rosca en
milímetros. El paso se indica sólo si es rosca fina. Ejemplo: M10 rosca métrica con diámetro
exterior 10 mm y paso (normal) 1,5 mm, M10x1, rosca métrica con diámetro exterior 10 mm y
paso 1 mm.
- Inglesa: Las dimensiones de la rosca se expresan en pulgadas seguidas del paso de la
rosca en hilos por pulgadas. Ejemplo:
Rosca inglesa con diámetro exterior de
media pulgada (12,7 mm) y paso de 13 hilos en una pulgada. (El paso equivalente en
milímetros es
) UNC significa rosca gruesa.
Rosca inglesa con diámetro exterior de media pulgada (12,7mm) y paso de 20
hilos en una pulgada. (El paso equivalente en milímetros
) UNC significa rosca fina.
La rosca de tubería se designa por el diámetro interior del tubo. (En realidad el diámetro del
tubo resulta un poco mayor debido a que se ha logrado fabricar tubos de paredes más
delgadas). Ejemplo: 1/2
Diámetro interior del tubo de 1/2 pulgada (En realidad es un poco
mayor). El diámetro exterior del tubo así como el paso hay que buscarlo en la norma
correspondiente.
El ángulo del perfil del vértice de la rosca inglesa es 55º.
Por ser la de mayor utilización en Cuba la rosca de sujeción en el sistema métrico es la que
se aborda en el presente trabajo.
Principales parámetros geométricos
Los parámetros geométricos principales se muestran en la figura 3.
- Diámetro exterior (mayúscula para la tuerca): d o D
- Diámetro interior o menor: d1 o D1.
- Diámetro de paso o medio: d2 o D2.
- Paso: t.
- Ángulo de la rosca o filete:
- Angulo de elevación de la rosca:
Fig. 3- Principales parámetros geométricos para roscas métricas
Materiales empleados en los elementos roscados
Los materiales más empleados son aceros al carbono y aceros medianamente aleados, con
y sin tratamiento térmico. (Ver tabla 1)
Fallas de las uniones roscadas
Las fallas en las uniones roscadas se clasifican en: [2]
A carga estática:

Rotura de la rosca (“Irse de rosca”)  A cortante, a aplastamiento y a flexión

Rotura del cuerpo
A carga variable (90 % del total de fallas), producto de la concentración de tensiones.
La rotura se produce en los pernos y tornillos como se indica en la figura 4.

65 % 1ro y 2do filetes de trabajo.

20 % Cambio de sección de la rosca
al cuerpo.

15 % Cambio de sección del cuerpo a
la cabeza.
Fig. 4- Zonas donde se produce la rotura de las uniones roscadas
Cálculo de las uniones roscadas a cargas estáticas
En la figura 5 se muestra un tornillo roscado sin pretensión, es decir, antes de aplicar la
fuerza (Po) en las piezas sujetadas, en el cuerpo del tornillo no actúa ninguna carga.
Fig. 5- Unión roscada no pretensada
Se ha demostrado, mediante gran cantidad de ensayos de tracción en barras cilíndricas
roscadas, que una varilla sin roscar cuyo diámetro es igual al valor medio del diámetro de
paso y del diámetro menor de la rosca tendrá la misma resistencia a la tracción que la varilla
roscada. El área transversal del elemento sin roscar se llama área de esfuerzo de tracción
del elemento roscado.[1]
El tornillo se calcula, entonces, como una barra sometida a tracción.
Para el cálculo de proyecto:
El área de esfuerzo de tracción se puede obtener también por la ecuación siguiente: [3]
La cabeza del tornillo está sometida a cortante y flexión y los hilos de rosca a cortante,
aplastamiento y flexión. Se puede demostrar que para las condiciones de carga crítica de
tracción del tornillo la resistencia de la cabeza del tornillo a cortante se garantiza si su altura
y la resistencia a aplastamiento de la rosca de la tuerca se garantiza si su altura
. Por esa razón los valores normalizados son: K = 0,7d y m = 0,8d. De esta forma se
garantiza aproximadamente igual resistencia en la rosca y en el cuerpo del tornillo, es decir si
el cuerpo del tornillo no falla a tracción, la rosca tampoco fallará.
Tensiones admisibles [1]
La resistencia del perno o tornillo es el factor clave en el diseño o análisis de uniones
atornilladas. La resistencia se expresa enunciando la resistencia mínima a la tracción o
resistencia límite mínima.
La carga límite es la fuerza máxima que un perno puede resistir sin experimentar una
deformación permanente. La resistencia límite es el cociente de la carga límite y el área de
esfuerzo de tracción. La resistencia límite, por lo tanto, corresponde aproximadamente al
límite de proporcionalidad y en forma aproximada se puede considerar el 90 % de la
resistencia de fluencia estimada con desplazamiento de 0,2 %.
Tabla 1. Especificaciones mecánicas para pernos, espárragos y tornillos de acero
Clase
Resistencia
Resistenci
Resistencia
de
Intervalos
permisible a
a límite
de fluencia
resiste
de
la tracción
mínima a
mínima a la
ncia
tamaño
MPa
la tracción
tracción MPa
Marca
Material
cabeza
MPa
(A.B)
Acero
4.6
de
M5-M36
225
400
240
de
mediano o bajo
carbono
4.8
M1,6M16
Acero
310
420
340
de
mediano o bajo
carbono
Acero
5.8
M5-M24
380
520
420
de
mediano o bajo
carbono
Acero
8.8
M16-M36
600
830
660
de
mediano o bajo
carbono templado
y revenido.
Acero
9.8
M1.6M16
650
900
720
de
mediano o bajo
carbono templado
y revenido
Acero
martensítico
10.9
M5-M36
830
1040
940
bajo
templado
de
carbono
y
revenido
12.9
M1.6-
970
1220
1100
Acero
aleación,
de
M36
templado
y
revenido
Las resistencias mínimas son las resistencias superadas por el 99 % de los sujetadores.
La primera cifra A de la clase de resistencia indica la centésima parte de la resistencia a la
tracción en MPa.  .
El producto de las dos cifras de la clase de resistencia
representa la décima parte de la tensión nominal del límite de fluencia.
Uniones que se arman con tensado previo
En las uniones roscadas los tornillos se estiran y las piezas se comprimen. En la figura 6 se
representa el ensamble tornillo y junta como si se tratara de dos resortes, las piezas
mediante un resorte a compresión de constante
tracción de constante
y el tornillo mediante otro resorte a
[2]
Fig.6- Esquema representativo de la unión roscada
Este fenómeno se ilustra en la figura 7, mediante una unión hermética de un recipiente a
presión, donde en a) se tiene la unión ajustada sin carga, en b) se tiene la unión con la
precarga inicial aplicada V donde la fuerza resultante de tracción sobre los tornillos y de
compresión sobre las piezas coinciden con el valor de V y los desplazamientos de estos
elementos dependerán de la rigidez de los mismos, en c) el recipiente contiene el fluido,
produciéndose la carga externa sobre los elementos de la unión lo cual origina un incremento
de la fuerza de tracción y de la deformación
en los tornillos que tiende a separar las
piezas, reduciéndose la deformación de estas en la misma medida en que se deforman los
tornillos. La precarga remanente en la junta V' tiene que garantizar la hermeticidad y solidez
de la unión.
Fig. 7- Esquema representativo de las deformaciones
En la figura 8 se muestra por separado la relación fuerza-desplazamiento para los tornillos y
para las piezas-junta, donde:
VEs la precarga o pretensión inicial que produce la deformación mínima en el tornillo
y la máxima sobre las piezas-junta
.
PEs la carga externa de tracción que produce un incremento de la fuerza sobre el tornillo
y de la deformación del tornillo
deformación
, alcanzando este, cuando P es máximo, la
. Esto a su vez provoca una reducción de la precarga sobre las piezas-junta
disminuyendo la deformación de las piezas y la junta
que se incrementa en los tornillos
de deformación
,
en la misma magnitud en
, alcanzándose en las piezas y junta el valor mínimo
.
V'Es la precarga o pretensión residual mínima con que queda la junta cuando actúa la
presión pmax. V' tiene que garantizar la hermeticidad o solidez de la unión.
PoEs la fuerza de tracción total sobre el tornillo.
Fig. 8- Relación fuerza-desplazamiento en la unión roscada
De acuerdo con la ley de Hooke se puede obtener la ecuación que permite el cálculo de la
rigidez K:
Para el tornillo:
=tan
Para las piezas sujetadas:
=tan
Constante de rigidez o constante elástica del tornillo.
Constante de rigidez o constante elástica de las piezas y junta.
Del gráfico de la figura 8 se puede ver que la carga externa P se reparte de la forma
siguiente:
Donde:
Reducción de la precarga en la zona de unión de las piezas, el valor menor de la
precarga es V'.
Es el incremento de la carga en el tornillo.
La fuerza máxima en el tornillo Po y la fuerza de precarga mínima en la junta V' vienen dadas
por la expresión:
La variación del desplazamiento o deformación será entonces:
De donde se obtiene:
y
Relacionando estas expresiones se obtiene:
Donde:
De un análisis similar se puede obtener también:
C  Constante de la unión. (Fracción de la carga externa P que actúa sobre el tornillo.).
Generalmente el valor de C está alrededor de 0,2 lo que significa que las piezas sujetadas
toman aproximadamente el 80 % de la carga.
Entonces se puede expresar en función de C
La carga total sobre el tornillo:
La pretensión inicial y la residual:
Las tensiones de tracción en el tornillo:
De donde se puede obtener la ecuación para comprobar la resistencia del perno a carga
estática calculando un coeficiente n que representa cuántas veces hay que aumentar la
carga externa P para que las tensiones en el tornillo se igualen a las tensiones permisibles:
[1]
De donde:
Cualquier valor de n > 1 en esta ecuación asegura que el esfuerzo en el perno es menor que
la resistencia limite.
En una unión roscada se debe garantizar también que con la acción de la fuerza externa P
las piezas sujetadas no se separen. Si ocurre la separación, la carga externa total será
impuesta al perno y la pretensión residual en las piezas es igual a cero. Sea
el valor de la
carga externa que originaría la separación de la junta.
El factor de seguridad que previene contra la separación de la unión: [1]
Otra condición que debe cumplir la unión roscada es garantizar que las piezas sujetadas no
se deslicen una respecto a otra. Esta comprobación se realiza en aquellas uniones donde la
fuerza resultante en el plano de la unión Q es diferente de cero, los tornillos se han montado
con holgura y no existen elementos de descarga tales como chavetas, pines, escalones y
otros. Si se consideran las fuerzas de rozamiento en el empalme aplicadas en los ejes de los
tornillos el factor de seguridad que previene contra el deslizamiento de las piezas se puede
calcular por la ecuación: [5]
Donde:
Número de superficies de empalme
Coeficiente de fricción entre las piezas de la unión. Para las superficies secas de los
elementos de máquinas
de hierro fundido y acero
, para superficies no
trabajadas
Fuerza transversal sobre el tornillo más cargado.
Pretensión inicial V
Si la resistencia total del perno no se utiliza en el desarrollo del pretensado, entonces la junta
será ineficaz y débil. Los pernos de buena calidad pueden ser precargados en el intervalo de
plasticidad para desarrollar más resistencia. El alargamiento real del perno debe usarse
siempre que sea posible, en especial con carga a la fatiga para estimar la precarga. Se
recomienda, tanto para cargas estáticas como para cargas de fatiga, que los valores
siguientes se utilicen para la precarga inicial: [1]
Para conexiones no permanentes, tornillos reutilizables
Para conexiones permanentes
Donde:
es la carga límite obtenida de la ecuación:
son las tensiones admisibles obtenidas de la tabla 1.
En el caso de otros materiales un valor aproximado es
Momento de torsión de apriete
Una parte del momento de apriete del perno ocasiona torsión en el mismo, lo que aumenta el
esfuerzo de tracción principal. Sin embargo, tal efecto de torsión se mantiene solo por la
fricción en la cabeza del perno y la tuerca y en el transcurso del tiempo se relaja y reduce
ligeramente la tensión del perno. En consecuencia, como regla, un perno se fracturará
durante el apriete, o no sufrirá ruptura en ningún momento. [1]
El momento de torsión de apriete define la precarga que se desea obtener en la unión
roscada. Existen diferentes medios para asegurar que se desarrolle tal precarga. Si la
longitud total del sujetador se pudiera medir con un micrómetro después de hecha la unión,
el alargamiento del perno debido a la precarga V se calcula mediante la ecuación:
Entonces solo resta apretar la tuerca hasta que el perno se alargue en la distancia
Esto
aseguraría haber obtenido la precarga deseada. Sin embargo, por lo general no se puede
medir el alargamiento del sujetador ya sea porque su extremo roscado queda dentro de un
agujero ciego o porque es difícil acceder a él. En tales casos debe estimarse el momento de
torsión requerido para desarrollar la precarga especificada. Luego puede utilizarse una llave
torsiométrica, un dispositivo neumático de impacto o el método simple de giro de tuerca.
Una relación aproximada entre el par torsional T y la fuerza de pretensión V es:
Donde:
Coeficiente de torsión.
Depende de los materiales del tornillo, de la tuerca, y de las piezas sujetadas, de la
lubricación, y en general de las condiciones de explotación. Considera la fricción en la rosca
y en la cara de apoyo de la cabeza del tornillo o la tuerca. Para las condiciones comerciales
promedio se maneja, si existe alguna lubricación, K=0,15, si las roscas están bien limpias y
secas K = 0,2. La siguiente tabla muestra los valores de K para algunos casos de aplicación
en la industria.
Tabla 2. Coeficiente de torsión
Condición del perno
Sin revestimiento, acabado negro
0,3
Con revestimiento de zinc (galvanizado)
0,2
Con lubricación
0,18
Con revestimiento de cadmio
0,16
Cálculo del coeficiente de rigidez del sujetador. [1]
La constante de rigidez
es la relación entre la fuerza aplicada al sujetador y la deformación
producida.
El agarre en una junta con perno es el grosor total del material sujetado. En la tabla 3 figura
a) el agarre es la suma de los espesores de ambos elementos y ambas arandelas. En la
figura b) el agarre es el espesor de la parte superior más el de la arandela.
La rigidez de la porción de un perno o tornillo que está dentro de la zona de sujeción consta
de dos partes: la de la porción no roscada
o espiga y la de la porción roscada
tanto, la constante de rigidez del perno es equivalente a la de dos resortes en serie.
. Por lo
Rigidez de la parte roscada del perno o tornillo:
Rigidez de la parte no roscada del perno o tornillo:
Longitud de la parte roscada del perno o tornillo.
Área de la parte no roscada del perno o tornillo.
Longitud de la parte no roscada del perno o tornillo.
Es la rigidez estimada del perno o tornillo en la zona de agarre.
Tabla 3. Dimensiones de la zona de agarre
a)
b)
Diámetro exterior de la rosca.
Longitud del agarre.
Longitud de la zona roscada
Longitud del agarre efectivo.
L  Longitud del sujetador.
Longitud de la zona no roscada.
Longitud de la zona roscada dentro del
Longitud de la zona roscada útil
agarre.
Cálculo del coeficiente de rigidez de las piezas sujetadas [1]
Puede haber más de dos elementos abarcados por el agarre del sujetador. Todos ellos
actúan como resortes de compresión en serie, y por tanto, la constante elástica total de los
elementos de la unión es:
Si una de las piezas es una empaquetadura suave, su rigidez en relación con las otras
generalmente es tan pequeña, que en la práctica el efecto de estas últimas se puede
despreciar y solo se debe considerar la rigidez del empaque. Si no existe dicha
empaquetadura, la rigidez de los elementos es difícil de evaluar, excepto por
experimentación, debido a que la compresión se extiende progresivamente entre la cabeza
del perno y la tuerca y, en consecuencia, el área no es uniforme. Sin embargo, hay algunos
casos en los que esta área puede ser determinada.
Los resultados experimentales muestran que la presión permanece elevada hasta una
distancia aproximadamente igual a 1,5 veces el radio del perno o tornillo. Sin embargo, la
presión decrece a mayor distancia del mismo. Cuando la carga está restringida a una zona
anular de la cara de arandela (acero templado, hierro fundido o aluminio), el ángulo del cono
de presión  se encuentra en un intervalo de 25° a 33°. Aquí se asume un valor medio de
30°.
Fig. 9- Compresión de las piezas sujetadas
Aplicando el cálculo infinitesimal se puede demostrar que la rigidez del tronco de cono (Ver
figura 9) para un ángulo del cono de presión de 30º
Esta ecuación debe resolverse por separado para cada porción troncocónica de la junta.
Cálculo de resistencia a la fatiga. [1]
Las uniones de perno con carga de tracción, sometidas a la acción de fatiga, se pueden
analizar directamente por los métodos estudiados en el curso de resistencia de materiales.
La tabla 4 contiene valores medios de factores de reducción de resistencia a la fatiga,
correspondientes al entalle bajo la cabeza del perno, y al principio de la rosca en la espiga
del mismo.
Tabla 4. Coeficiente de reducción de la resistencia a la fatiga para elementos roscados
Clase de resistencia
Método
.
de Entalle
elaboración
Laminado Por corte
3,6 a 6,8
2,2
2,8
2,1
6,6 a 10,9
3,0
3,8
2,3
La mayor parte de las veces, el tipo de carga de fatiga encontrado en el análisis de uniones o
juntas con pernos, es uno en el cual la carga aplicada exteriormente fluctúa entre cero y
alguna fuerza máxima P. Esta sería la situación en un cilindro hermético, por ejemplo, donde
puede existir o no una presión.
Entonces:
y
Por consiguiente la componente alternante del esfuerzo del perno es:
y el esfuerzo medio:
El análisis de esta ecuación muestra que se compone de un término constante
esfuerzo alternante
, y el
. Una precarga elevada en uniones atornilladas sometidas a cargas de
fatiga tiene especial importancia debido a que hace que el primer término de dicha ecuación
sea relativamente pequeño en comparación con el segundo, que es la pretensión inicial.
El factor de seguridad de acuerdo con el criterio de Goodman [1] se puede calcular por la
ecuación:
Después de evaluar el factor de seguridad que previene contra una falla por fatiga, se debe
comprobar también la posibilidad de fluencia:
En la tabla 5 se muestran límites de fatiga totalmente corregidos para los pernos IS0 más
utilizados con este fin. Los valores indicados incluyen el efecto del Coeficiente de reducción
sobre la resistencia a la fatiga
Tabla 5. Límites de fatiga corregidos totalmente para pernos y tornillos con rosca laminada
Clase
Intervalos de
Límite de fatiga
dimensiones
(MPa)
ISO 8.8
M16-M36
129
ISO 9.8
M1,6-M16
140
ISO 10.9
M5-M36
162
ISO 12.9
M1,6-M36
190
Procedimiento para aumentar la resistencia a la fatiga de las uniones roscadas [2]
Una vez elegido el material, que tiene una influencia importante en la resistencia a carga
variable, el aumento de la resistencia a la fatiga se puede lograr:
Disminuyendo
para un valor de
constante, el ciclo se aproxima a uno de tensiones
constantes. Esto se puede lograr disminuyendo la rigidez del tornillo (tornillos más largos
huecos, etc.) y aumentando la rigidez de las piezas (eliminando la utilización de juntas o
disminuyendo su espesor, mejorando el acabado superficial de las superficies de las piezas
que se unen, etc.).
Disminuyendo la concentración de tensiones aumentando la calidad de fabricación de la
rosca. (Rosca rectificada o laminada)
Mejorando la distribución de la carga a lo largo de la rosca (tuercas de tracción).
Cálculo de la carga externa sobre el tornillo más cargado [5]
Hasta ahora se ha estudiado el cálculo de una unión roscada suponiendo que se conoce la
carga externa P que actúa sobre el perno o tornillo más cargado. Si los tornillos están
uniformemente distribuidos en el área de la unión, como se muestra en la figura 10, se
recomienda la secuencia siguiente para el cálculo de dicha fuerza:
Fig. 10- Cuerpo sujetado por 6 tornillos
1) Se determinan las coordenadas del centro geométrico de la unión. Generalmente se
encuentra en la intersección de los dos ejes de simetría del grupo de tornillos. Si los tornillos
no se han colocado simétricamente se calcula por las ecuaciones siguientes:
Donde:
Es el área de la sección transversal de cada tornillo:
Son las coordenadas del centro geométrico del grupo de tornillos en el sistema de
coordenadas auxiliar
Después de determinado el centro geométrico se ubica, en él, el origen del sistema de
coordenadas. (figura 11)
2) Se trasladan las cargas externas al centro geométrico de la unión. Se recomienda hacer el
análisis por planos. Un plano (X, Y) que coincide con el plano de la unión y otros dos planos
(Z, Y y Z, X) perpendiculares, entre si y al plano de la unión. En el caso más general se
tienen tres fuerzas y tres momentos. (figura 11)
Fig. 11- Cargas en el centro de la unión
3) Se determina la fuerza axial resultante P sobre el tornillo más cargado (Tornillo 1 figura
12) en los planos verticales al plano de la unión.
Fig. 12- Carga total sobre el tornillo
Carga total de tracción sobre el tornillo o perno más
cargado.
Donde:
Carga de tracción en el tornillo o perno debido a la acción de la resultante
de
las fuerzas externas.
Carga de tracción en el tornillo o perno debido a la acción del momento
resultante My
Carga de tracción en el tornillo o perno debido a la acción del momento
resultante Mx
Número de tornillos.
Mx y My Momentos resultantes respecto a los ejes X e Y.
y
y
Coordenadas del tornillo que se analiza respecto a los ejes X y Y.
Coordenadas de cada tornillo i respecto a los ejes X y Y.
Cantidad de tornillos en cada posición
o
4) Se determina la fuerza transversal resultante sobre el tornillo más cargado atendiendo a
las fuerzas que actúan en el plano de la unión (Tornillo 5 figura 12) y sobre el tornillo más
cargado en el plano vertical al plano de la unión (Tornillo 1 figura 12). En este caso:
a) Si la unión se ha realizado con elementos de descarga (Pines, chavetas, etc.) Q = 0
b) Si no existen elementos de descarga la carga total transversal sobre el tornillo más
cargado se calcula por la ecuación:
Donde:
y
Carga transversal sobre el perno o tornillo en el eje X debido a la acción de la
resultante Rx de las fuerzas externas.
Carga transversal sobre el perno o tornillo en el eje Y debido a la acción de la
resultante Ry de las fuerzas externas.
Carga transversal sobre el tornillo o perno debido a la acción del momento
resultante Mz de las fuerzas externas respecto al eje Z. En el caso general esta fuerza hay
que descomponerla en sus componentes en el eje x
y en el eje y
.
Posición del tornillo que se analiza respecto al centro geométrico de la unión.
Posición del tornillo i respecto al centro geométrico de la unión.
Cantidad de tornillos en cada posición
Ejercicios
Secuencia para el cálculo de verificación de una unión roscada
1. Se determinan las cargas externas longitudinal P y transversal Q sobre los tornillos más
cargados.
2. Se calculan las constantes de rigidez del tornillo y de las piezas y la constante de la
unión C si la carga total de tracción es diferente de cero
3. Se determina la pretensión inicial V.
4. Se calcula el factor de seguridad de la unión para cargas estáticas.(n>1)
5. Se calcula el factor de seguridad que previene contra la separación de la unión (n>1)
6. Si Q
, los tornillos se han montado con holgura y no se utilizan elementos de descarga
se calcula el factor de seguridad que previene contra el deslizamiento de las piezas.
7. Si Q
y los tornillos se han montado con ajuste se calculan al cizallamiento y al
aplastamiento. Esta comprobación se realiza por los métodos estudiados en el curso de
resistencia de materiales.
8. Se calcula el factor de seguridad que previene contra la falla por fatiga.
9. Se calcula el factor de seguridad que previene contra la posibilidad de fluencia.
Uniones roscadas sometidas a cargas externas en el plano de la unión
Ejercicio 1: Verifique las uniones roscadas que se muestran en las figuras 13, 14 y 15.
Fig. 13- Acoplamiento rígido de bridas [4]
Fig. 14- Sprocket unido al núcleo por
una unión roscada
Fig. 15- Polea unida al núcleo por una
unión roscada.
Considere la carga constante y la unión permanente.
El torque que se transmite T=250N.m
Clase de los tornillos 4,8
Coeficiente de fricción entre las bridas
Los tornillos se montan con holgura.
Solución:
Observe que en los tres casos se tiene la misma unión roscada. Los tornillos y las piezas
sujetadas tienen las mismas dimensiones. La unión roscada está cargada solamente con un
momento T en el plano de la unión.
Cálculo de las fuerzas externas P y Q
1) El centro geométrico de la unión coincide con el eje de rotación. Se selecciona un sistema
de coordenadas como se muestra en la figura 13. Observe que el plano de la unión está
formado por los ejes X y Y. Los
planos perpendiculares al plano de la unión son los
formados por los ejes Z y Y y Z y X.
2) y 3) En los planos perpendiculares al plano de la unión no actúan cargas. La única carga
externa es el momento torsor y actúa en el plano de la unión. Entonces la carga externa P =
0
4) Como no existen elementos de descarga la carga total transversal sobre el tornillo más
cargado es:
Donde:
y
Carga transversal sobre el perno debido a la acción del momento resultante
Mz=T En este caso todos los tornillos están igualmente cargados debido a que se
encuentran a igual distancia del centro geométrico de la unión.
Observe que no es necesario descomponer en los ejes X y Y la carga transversal sobre los
tornillos debido a la acción del momento torsor ya que es la única que existe.
Se tiene entonces la fuerza transversal en cada uno de los tornillos:
5) Se determina la pretensión inicial V.
Para conexiones permanentes
Donde es la carga límite obtenida de la ecuación
Son las tensiones admisibles obtenidas de la tabla 1 para la clase 4.8.
Área de resistencia obtenida del anexo 1 para tornillo M10.
=17980N
6) Se calcula el factor de seguridad de la unión para cargas estáticas. (P=0)
7) Se calcula el factor de seguridad que previene contra la separación de la unión:
8) Como
y los pernos se han montado con holgura se calcula el factor de seguridad que
previene contra el deslizamiento de las piezas.
Como la carga es constante y P = 0 no es necesario comprobar la resistencia a la fatiga de
los pernos.
Uniones roscadas sometidas a cargas externas en los planos perpendiculares al plano
de la unión
Ejercicio 2: En la figura 16 se muestra la unión de la tapa de un recipiente que se empleará
para almacenar un fluido a una presión que varía entre 0 y 18 MPa. Verifique la unión si se
conoce además:
Cantidad de pernos 12
Clase de los pernos 10,9
Material de las piezas: Acero
Fig. 16. Recipiente a presión
Fig.18- Cono de deformación y dimensiones
Fig.17- Dimensiones del tornillo y tuerca
de los elementos de la unión
Solución:
1) El centro geométrico de la unión coincide con el centro de la tapa.
2) El punto de aplicación de la resultante de la carga externa sobre los pernos se encuentra
en el centro geométrico de la unión, o sea en el centro de la tapa. Todos los pernos resultan
igualmente cargados con una fuerza externa máxima igual a:
y una fuerza mínima P=0
En resumen, la resultante de las fuerzas externas actúa en el plano perpendicular al plano de
la unión (traccionando los pernos) y su punto de aplicación coincide con el centro
geométrico. En el plano de la unión no actúan cargas. (Q=0)
3) Se calculan las constantes de rigidez del perno
y de las piezas
en la zona de agarre y
la constante de la unión C.
Rigidez del perno:
Rigidez de la parte roscada del perno:
Longitud de la parte roscada del perno.(Tabla 3 y figura 17).
Área de esfuerzo de tracción o área de resistencia (anexo1).
Rigidez de la parte no roscada del perno:
Área de la parte no roscada del perno.
Longitud de la parte no roscada del perno. (Figura 17)
La rigidez total del perno:
Rigidez de las piezas sujetadas:
Hay 3 elementos abarcados por el agarre del sujetador (Figura 18), pero como los tres son
de acero resultan dos conos exactamente iguales. La constante elástica total es:
Aquí
figura 18,
figura 17, d=12 figura 16
La constante de la unión
4) Se determina la pretensión inicial V.
Para conexiones permanentes
La carga límite
Tensiones admisibles de la tabla 1 para la clase 10.9
Área de resistencia del anexo 1 para tornillo M12.
5) Se calcula el factor de carga de la unión para cargas estáticas.
6) Se calcula el factor de seguridad que previene contra la separación de la unión
7) El factor de seguridad que previene contra la falla por fatiga de acuerdo al criterio de
Goodman.
Donde:
Tabla 5 para tornillo M12 y clase 10.9
Tabla 1 para tornillo clase 10.9
7) El factor de seguridad que previene contra la posibilidad de fluencia
Donde:
La componente alternante del esfuerzo:
y el esfuerzo medio:
Tabla 1
Ejercicio 3: Verifique la unión roscada que se utiliza para la fijación del reductor de
engranajes cilíndricos de un paso [4] que se muestra en las figuras19 y 20.
Se conocen los siguientes datos:
Considere los espárragos clase 8,8.
Considere la carga variable.
El cuerpo del reductor es de hierro fundido y la plancha donde se fija es de acero.
Momento torsor en el árbol de entrada
Momento torsor en el árbol de salida
Fig.19- Reductor de engranajes de un paso
Fig. 20- Cono de deformación y dimensiones de la unión
Solución:
1) El centro geométrico de la unión se encuentra en la intersección de los dos ejes de
simetría. (Ver figura 19)
2) Las cargas externas se componen de los momentos en cada árbol. El
momento
resultante es la suma de los dos y actúa en el plano (Z,Y) perpendicular al plano de la unión
(X, Y).
3) Los tornillos más cargados son los 2 de la izquierda y la fuerza externa P que actúa sobre
cada uno de ellos:
4) En el plano de la unión, aunque no existen elementos de descarga
ya que no hay
cargas en ese plano.
5) Se calculan las constantes de rigidez del perno y de las piezas
en la zona de agarre y
la constante de la unión C.
Rigidez del espárrago:
Rigidez de la parte roscada del espárrago:
Donde:
La longitud de la parte roscada del espárrago dentro de la zona de agarre (Tabla 3 y figuras
20 y 21).
Área de resistencia del anexo 1 para tornillo M20.
Rigidez de la parte no roscada del espárrago:
Longitud de la parte no roscada del perno. (figura 20)
La rigidez total del perno:
Fig. 21- Partes del cono de deformación
Para
de la tabla 3 la longitud de la zona de agarre es:
Rigidez de las piezas sujetadas:
El cono de deformación en la zona de agarre se compone de las partes que se indican en la
figura 21.
Rigidez del cono Nº 1
Material acero:
Rigidez del cono Nº 2
Material hierro fundido:
Módulo de elasticidad para la fundición gris
Rigidez del cono Nº 3
Material hierro fundido:
Rigidez del cono Nº 4
Material acero:
La rigidez total de las piezas sujetadas.
La constante de la unión
4) Se determina la pretensión inicial V.
Para conexiones permanentes
La carga límite
Tensiones admisibles de la tabla 1 para la clase 8.8
Área de resistencia del anexo 1 para rosca M20.
5) Se calcula el factor de carga de la unión para cargas estáticas.
6) Se calcula el factor de seguridad que previene contra la separación de la unión
7) El factor de seguridad que previene contra la falla por fatiga de acuerdo al criterio de
Goodman.
Donde:
Tabla 5 para tornillo M12 y clase 8.8
Tabla 1 para tornillo clase 8.8
7) El factor de seguridad que previene contra la posibilidad de fluencia
Donde:
La componente alternante del esfuerzo:
y el esfuerzo medio:
Tabla 1
Ejercicio 4: Verifique la unión roscada que se utiliza para la fijación del motor que se
muestra en las figuras 22 y 23. Se conocen los siguientes datos:
Considere los tornillos clase 8.8
Considere la carga variable, la unión permanente y los materiales de las piezas sujetadas de
acero.
Fig.22- Motor eléctrico
Fig.23- Fijación del motor a la plancha.
Solución:
1) El centro geométrico de la unión se encuentra en la intersección de los dos ejes de
simetría. (Ver figura 22)
2) Las cargas externas se componen solamente de un momento por lo que no es necesario
el traslado de las fuerzas al centro geométrico de la unión.
3) Los tornillos más cargados son los 2 de la izquierda y la fuerza externa P que actúa sobre
cada uno de ellos:
En el plano de la unión, aunque no existen elementos de descarga, Q  0 ya que no hay
cargas en ese plano.
3) Se calculan las constantes de rigidez del perno
y de las piezas
en la zona de agarre y
la constante de la unión C.
Rigidez del perno:
Rigidez de la parte roscada del perno:
Longitud de la parte roscada del perno.(Tabla 3 y figura 23).
Área de esfuerzo de tracción o área de resistencia (anexo1).
Rigidez de la parte no roscada del perno:
Longitud de la parte no roscada del perno. (Figura 23)
La rigidez total del perno:
Rigidez de las piezas sujetadas:
Hay 3 elementos abarcados por el agarre del sujetador (figura 23), la arandela y la plancha
son de acero mientras que el cuerpo del motor es de hierro fundido.
Fig.24- Cono de deformación
Rigidez de las piezas sujetadas:
El cono de deformación en la zona de agarre se compone de las partes que se indican en la
figura 24.
Rigidez del cono Nº 1
Material acero:
Rigidez del cono Nº 2
Material hierro fundido:
Módulo de elasticidad para la fundición gris
Rigidez del cono Nº 3
Material hierro fundido:
Rigidez del cono Nº 4
Material acero:
La rigidez total de las piezas sujetadas.
La constante de la unión
4) Se determina la pretensión inicial V.
Para conexiones permanentes
La carga límite
Tensiones admisibles de la tabla 1 para la clase 8.8
Área de resistencia del anexo 1 para tornillo M12.
5) Se calcula el factor de carga de la unión para cargas estáticas.
6) Se calcula el factor de seguridad que previene contra la separación de la unión
7) El factor de seguridad que previene contra la falla por fatiga de acuerdo al criterio de
Goodman.
Donde:
Tabla 5 para tornillo M12 y clase 8.8
Tabla 1 para tornillo clase 8.8
7) El factor de seguridad que previene contra la posibilidad de fluencia
Donde:
La componente alternante del esfuerzo:
y el esfuerzo medio:
Tabla 1
Uniones roscadas sometidas a cargas externas en los planos perpendiculares al plano
de la unión y en el plano de la unión
Ejercicio 5: Verifique la unión roscada de la chumacera que se muestra en las figuras 25 y
26. Se conocen los datos siguientes:
Material de la chumacera y de la base: Acero
Espárragos clase 9,8
Considere la carga variable
Fig. 25- Chumacera
Fig 26- Cono de deformación y dimensiones
de la unión
Para
de la tabla 3 la longitud de la zona de agarre es:
Solución:
1) Determinación de las coordenadas del centro geométrico de la unión a partir del sistema
de coordenadas de referencia
. (Coincide con la intersección de los dos ejes de
simetría)
Se toma un nuevo sistema de coordenadas que coincide con la intersección de los ejes de
simetría del grupo de tornillos.
2) Para determinar las cargas externas que actúan sobre la unión se realiza el análisis por
planos:
Plano Z-Y
Las fuerzas que actúan sobre la chumacera al ser trasladadas hacia el centro geométrico de
la unión en este plano no producen momentos.
Plano X-Y
Las fuerzas y momentos que actúan en este plano no tienen importancia ya que como se ve
en la figura los tornillos son colocados con pines cónicos que soportan las cargas en este
plano. Q = 0
Plano Z-X
Como se observa en la figura los tornillos más cargados son el 1 y el 2.
Fig. 27- Plano Z, X
Carga total de tracción sobre los espárragos 1 y 2.
3) Se calculan las constantes de rigidez del perno y de las piezas
en la zona de agarre y
la constante de la unión C.
Rigidez del perno:
Rigidez de la parte roscada del perno:
Donde:
La longitud de la parte roscada del espárrago dentro de la zona de agarre (Tabla 3 y figuras
25 y 26).
Área de resistencia del anexo 1 para rosca M16.
Rigidez de la parte no roscada del espárrago:
Longitud de la parte no roscada del espárrago. (figura 26)
La rigidez total del perno:
Rigidez de las piezas sujetadas:
Hay 3 elementos abarcados por el agarre del sujetador (figura 26), pero como los tres son de
acero resultan dos conos exactamente iguales. La constante elástica total es:
Aquí
figura 26,
figura 26
La constante de la unión
4) Se determina la pretensión inicial V.
Para conexiones permanentes
La carga límite
Tensiones admisibles de la tabla 1 para la clase 9.8.
Área de resistencia del anexo 1 para rosca M16.
5) Se calcula el factor de carga de la unión para cargas estáticas.
6) Se calcula el factor de seguridad que previene contra la separación de la unión.
7) El factor de seguridad que previene contra la falla por fatiga de acuerdo al criterio de
Goodman.
Donde:
Tabla 5 para rosca M16 y clase 9.8
Tabla 1 para tornillo clase 9.8
7) El factor de seguridad que previene contra la posibilidad de fluencia
Donde:
La componente alternante del esfuerzo:
y el esfuerzo medio:
Tabla 1
Verifique la unión de la misma chumacera, si en este caso el montaje se realiza sin los
pasadores cónicos.
1) Determinación de las coordenadas del centro geométrico de la unión. Igual al ejercicio
anterior
Fig.28- Plano X, Y
2) En este caso los espárragos más cargados en el plano de la unión son los números 1 y 4,
pero como los números 1 y 2 son los más cargados en los planos perpendiculares (Ver
ejercicio anterior ) la comprobación se le realiza al número 1 que es el más cargado en
general.
La fuerza transversal sobre el espárrago 1
Donde:
y
La fuerza en el espárrago por Rx
La fuerza en el espárrago por Ry
La fuerza en el espárrago por Mz
La componente en el eje x de
La componente en el eje y de
Donde:
La fuerza total en el eje x
La fuerza total en el eje y
.
La fuerza total
3) y 4)
C, V: Igual al ejercicio anterior.
5) y 6) El factor de seguridad de la unión para cargas estáticas, y el factor de seguridad que
previene contra la separación de la unión es igual al ejercicio anterior.
7) Como los tornillos se han montado con holgura se calcula el factor de seguridad que
previene contra el deslizamiento de las piezas.
8) y 9) El factor de seguridad que previene contra la falla por fatiga y el factor de seguridad
que previene contra la posibilidad de fluencia es igual al ejercicio anterior.
Ejercicios propuestos
Ejercicio 6: Resuelva el ejercicio 2 si se coloca una junta entre la tapa y el cuerpo para
asegurar que no ocurra escape de fluido. Considere la rigidez de la junta igual a cero, o sea
el coeficiente de la unión C = 1.
Ejercicio 7: Resuelva el ejercicio 3 si se coloca en el árbol de entrada del reductor una polea
que provoca una fuerza de 4000 N. Considere la dirección de la fuerza 45º respecto a la
horizontal y aplicada en las coordenadas que se indican en la figura 19.
Referencias Bibliográficas
1. Budynas−Nisbett: Shigley’s Mechanical Engineering Design, McGraw−Hill, 2006,
pp.652-758.
2. Dobrovolski. V.: Elementos de Máquinas, Editorial MIR, 1981. pp.128-157.
3. Mott, Robert L.: Diseño de Elementos de Máquinas, Volumen 3, Félix Varela, 2010
pp.711-728.
4. Reshetov, D N.: Atlas de Diseño de Elementos de Máquinas, Pueblo y Educación,
1986, pp.11-21.
5. Reshetov, D N.: Elementos de Máquinas Construcción de Maquinarias, 1989, pp.128190
6. http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Tornillo&oldid=52888566»
Anexo 1. Características de las roscas métricas
d(mm)
1
2
t
3
5
5.
d(mm)
mm
1
0.5
16.1
0.8
14.2
0.5
19.9
2
3
(28
)
5
6
7
8
9
t
d(mm)
mm
1
1
575.2
1.5
555.4
2
536.0
0.7
24.0
0.75
22.0
3
1
663.3
1
20.1
0
1.5
642.1
0.5
33.5
2
621.2
0.75
31.1
(3)
580.5
1
28.9
3.5
560.6
0.5
44.5
1.5
735.1
0.75
41.8
2
712.7
1
39.2
0.7
819.2
1.25
36.6
0.5
57.2
0.75
54.1
1
51.1
(1.25
48.1
71.3
mm
32
1.5
6
2
3
807.4
3
1.5
783.9
2
760.8
(3)
715.6
3.5
693.6
886.3
2568.
4
4
2484.
8
(5.5
2362.
)
0
1.5
2883.
6
62
2
2839.
1
(3)
1
5
2653.
4
3
1.5
2696.
4
0
5
3
2739.
7
5
)
0.5
3
1
674.1
0.5
2
t
2751.
2
(4)
2664.
7
1
3123.
4
64
1.5
3077.
1
2
3031.
1
1
0
11
0.75
67.9
1
965.5
1
64.5
1.5
939.9
1.25
61.2
1.5
3
2
914.5
58.0
3
864.9
0.5
87.1
4
816.7
0.75
83.3
1.5
1051.
1
79.5
(1.25
75.9
6
3
8
1
0.75
1
3
4
9
1.5
2
100.
1
1.25
3
88.1
1.75
84.3
0.5
143.
4
1.5
4
(2)
(3)
138.
1
1.5
129.
4
2
2
124.
6
2
115.
1.5
(4)
1082.
1
1028.
1.5
6
3
2
3
3337.
3
4
3241.
9
6
3055.
3
1.5
1294.
0
3434.
0
1324.
1206.
3482.
9
8
1086.
4
3532.
2
1141.
1264.
2946.
2
3695.
3
2
2
3037.
2
2
0
1.25
(3)
0
134.
3129.
5
5
9
1
2
1109.
1169.
3176.
2
65
8
40
8
1
1.5
1137.
975.8
2676.
0
4
92.1
1.5
0.75
6
4
96.1
2850.
8
9
2
2
4
8
104.
2940.
3
7
)
0.5
3
70
2
3644.
9
3
3545.
2
4
15
(1)
(4)
4.5
1
5
0.75
1
1
1.5
4
183.
2
3
(4)
(1)
4.5
7
1.5
0.5
241.
4
1
8
0.75
1
1.5
4
2
3
(4)
2
2
5
192.
5
0.5
299.
3
4
1.5
6
1.5
1705.
2
2
3
4092.
5
1603.
4
3986.
8
1537.
9
4199.
6
1670.
1818.
4253.
6
75
1
4425.
2
7
6
1.5
4370.
0
2
5
50
3459.
8
1739.
1854.
3658.
1
1306.
1473.
3759.
4
1336.
2
204.
2
2.5
1397.
7
216.
3862.
1
6
228.
6
1.5
2
9
235.
0
1
1460.
0
8
3913.
9
5
191.
0
1.5
72
0
252.
3966.
1
2
156.
7
17
1
7
167.
3
2
1492.
3254.
4
6
178.
2
1.5
6
1524.
5
5
8
6
1120.
8
189.
3446.
9
9
145.
1
0.5
4
9
199.
5
1.5
1148.
4315.
2
3
4206.
7
6
0.75
2
(3)
1
1
271.
2
5
2
1.5
5
2
0
2.5
3
(4)
5
0.75
2
1
1.5
348.
2
(3)
318.
1
2.5
(4)
2
4
1
417.
7
1.5
6
2
352.
1.5
80
3
2
3
4
4
6
4344.
1
(82
9
)
2062.
2
5042.
1
1.5
5488.
2
2381.
2
8
2340.
5
0
4566.
0
2138.
2144.
4679.
1
2216.
7
4793.
5
2255.
2221.
4851.
3
1757.
7
4909.
4
1828.
2300.
4551.
2
1
1900.
8
384.
4
3
5
1.5
400.
9
2
1
426.
3
1973.
7
303.
4
0.75
)
5
333.
1
2
3
2
8
54
4
1.5
(78
8
356.
3889.
3
3
364.
1
22
6
2010.
0
244.
8
0.5
2047.
2
258.
4099.
5
8
285.
4
1.5
4
7
292.
4
0
1748.
2
5426.
8
3
5304.
9
4
5184.
5
6
4947.
8
1.5
6164.
5
1
1.5
2
420.
0
1.5
1
1.5
5
2
7
1
3
4
5.5
495.
7
3
1.5
2
4
2300.
6
1.5
6879.
8
2144.
9
2030.
5
2
6811.
0
3
6674.
5
2515.
4
2473.
6539.
3
6
2904.
6273.
1
1.5
2995.
1
5590.
8
2221.
7
(4)
5842.
3
9
(3)
5970.
1
4
58
459.
4
2340.
0
514.
4
2
3
0
533.
6099.
2
7
543.
5
1.5
2381.
7
475.
1
2
2
90
8
6
0
0.75
3
2
437.
2
2030.
0
454.
7
25
26
5.5
7634.
5
10
0
2
7562.
0
3
7418.
1
4
7275.
6
6
6994.
7