3.
Integrales triples
Consideramos una región finita del espacio Q ⊂ R3 que está contenida en un paralelepı́pedo
P = [a, b] × [c, d] × [u, v] de referencia.
z
Q
[u,v]
[a,b]
[c,d]
y
x
P = [a.b] x [c,d] x [u,v]
Figura 17: La región Q y el paralelepı́pedo de referencia [a, b] × [c, d] × [u, v].
Asimismo una función acotada f : Q → R definida en dicha región. Vamos a introducir el
concepto de integral triple:
ZZZ
f (x, y, z) dV,
Q
como el lı́mite de una sucesión infinita de sumas. Seguimos un proceso enteramente similar al
de la integral doble.
A) Comenzamos por la noción de partición π de P que consiste en descomponer P en una
familia {Pijk } de paralelepı́pedos más pequeños. Para ello se consideran particiones (divisiones)
P1 , P2 , P3 de cada uno de los lados [a, b], [c, d] y [u, v] de P:
P1 = {x0 , . . . , xm }
⇒
a = x0 ≤ · · · ≤ xm = b,
P2 = {y0 , . . . , yn }
⇒
c = y0 ≤ · · · ≤ yn = d,
P3 = {z0 , . . . , zl }
⇒
u = z0 ≤ · · · ≤ zl = v.
Denotamos:
Ii = [xi−1 , xi ]
Jj = [yj−1 , yj ]
Kk = [zk−1 , zk ],
las correspondientes divisiones de los intervalos [a, b], [c, d] y [u, v] por los puntos de las particiones P1 , P2 y P3 . Tienen anchos:
∆xi = xi − xi−1 ,
∆yj = yj − yj−1 ,
∆zk = zk − zk−1 .
Tales divisiones dan lugar a una fragmentación de P en los m×n×l paralelepı́pedos parciales
(Figura 22):
Pijk = Ii × Jj × Kk .
31
D xi
Ii
a
x1
xi-1
xi
x m-1
b
y n-1
d
z l-1
v
D yj
Jj
c
y1
yj-1
yj
D zk
Kk
u
z1
zk-1
zk
Figura 18: División de los intervalos [a, b], [c, d] y [u, v] en m, n y l partes.
Pijk
Dz k
Dx i
Dy j
Figura 19: El paralelepı́pedo Pijk .
Esta familia {Pijk } de paralelepı́pedos constituye por definición una partición π de P. El
volumen de cada paralelepı́pedo de la partción vale:
∆Vijk = vol (Pijk ) = ∆xi ∆yj ∆zk ,
mientras que:
vol (P) = (b − a)(d − c)(v − u) =
X
(i,j,k)
∆Vijk =
X
∆xi ∆yj ∆zk .
(i,j,k)
P
Aquı́ (i,j,k) significa que sumamos los m × n × l términos.
Observamos ahora que en el proceso de definir la integral, el número de divisiones m, n, l de
los intervalos [a, b], [c, d], [u, v] se hace cada vez mayor, requiriendo además que el ancho ∆xi ,
∆yj y ∆zk de los intervalos parciales tienda a cero. Dicho proceso, que abreviaremos diciendo
que:
m → ∞,
n → ∞,
l → ∞ ⇔ m, n, l → ∞,
32
z
Pijk
Dz k
Dx i
Dy j
y
P = [a.b] x [c,d] x [u,v]
x
Figura 20: Partición del paralelepı́pedo P en 3 × 3 × 3 = 9 paralelepı́pedos parciales.
z
Pijk
Dz k
Dy j
Dx i
y
P = [a.b] x [c,d] x [u,v]
x
Figura 21: Partición del paralelepı́pedo P en 3 × 3 × 3 = 9 paralelepı́pedos parciales.
implica que a medida que m, n, l crecen, el número m × n × l de paralelepı́pedos aumenta, en
tanto que sus dimensiones ∆xi , ∆yj , ∆zk tienden a cero.
B) El siguiente paso –que es innecesario si la propia región Q ya es un paralelepı́pedo, es decir
si Q = P– consiste en seleccionar sólo aquellos paralelepı́pedos Pi,jk de π contenidos en Q. A
este nivel se observa que:
X
vol Q = lı́m
vol Pijk .
(3.11)
m,n,l→∞
(i,j,k), Pijk ⊂Q
Para concluir esta fase preliminar de definiciones se elige un punto tijk en cada subparalelepı́pedo Pijk para formar la suma de Riemann sπ de la función:
X
X
sπ =
f (tijk )∆Vijk =
f (tijk )∆xi ∆yj ∆zk
tijk ∈ Pijk . (3.12)
(i,j,k), Pijk ⊂Q
(i,j,k), Pijk ⊂Q
Cada partición π induce una suma de Riemann sπ de suerte que cuando m, n, l → ∞ se forma
una sucesión de números. Se dice que f es integrable en Q cuando sπ converge a un valor s.
33
Definición 6 Una función acotada f : Q → R se dice integrable en P si existe el lı́mite:
s=
lı́m
m,n,l→∞
sπ .
En ese caso dicho valor s constituye la integral de f extendida a Q:
ZZZ
s=
f (x, y, z) dV.
Q
Observación 3 A efectos de procesos como el cambio de variable conviene denotar la integral
en las siguientes formas:
ZZZ
ZZZ
f (x, y, z) d(x, y, z)
ó
f (x, y, z) dx dy dz.
Q
Q
Observación 4 La relación (3.11) lleva a considerar que:
ZZZ
vol Q =
1 dV.
Q
Para ello hace falta que podamos integrar la función f = 1 en Q. Eso será posible en las regiones
elementales que definimos ahora.
3.1.
Condiciones suficientes de integrabilidad
La definición de integral triple es inmanejable en la práctica. Se presentan entonces tres
cuestiones:
Decidir qué condiciones debe reunir f para ser integrable.
Qué clase de regiones Q son admisibles en el proceso.
Un criterio práctico que reduzca la integración a integrales de una variable.
z
z
y = z 1(x,z)
z = z 2(x,y)
Q
Q
z = z 1(x,y)
y = z 2(x,z)
D
y
x
y
D
x
Figura 22: Regiones simples de tipo I y tipo II.
Para responder paulatinamente a estas preguntas introducimos la noción de región elemental.
34
Sea D ⊂ R2 una región simple del tipo 1,
D = {(x, y) : φ1 (x) ≤ y ≤ φ2 (x), a ≤ x ≤ b}
(3.13)
D = {(x, y) : ψ1 (y) ≤ x ≤ ψ2 (y), c ≤ y ≤ d},
(3.14)
o bien del tipo 2,
φi , ψj funciones continuas. Sean asimismo ζ1 , ζ2 : D → R funciones continuas.
Definición 7 Una región simple de tipo I es aquella de la forma:
Q = {(x, y, z) : ζ1 (x, y) ≤ z ≤ ζ2 (x, y), (x, y) ∈ D}.
(3.15)
Observación 5 De manera análoga se definen otras dos clases de regiones simples, las de tipo
II y tipo III, al intercambiar los papeles de x, y, z. Especı́ficamente:
De tipo II: Q = {(x, y, z) : ζ1 (x, z) ≤ y ≤ ζ2 (x, z), (x, z) ∈ D}, D simple en el plano xz.
De tipo III: Q = {(x, y, z) : ζ1 (y, z) ≤ x ≤ ζ2 (y, z), (y, z) ∈ D}, D simple en el plano yz.
De tipo IV: las que son a la vez de tipo I, II y III.
El elipsoide Q:
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 ≤ 1,
a2
b
c
pertenece a las tres clases distintas y es por tanto de tipo IV. De hecho Q se expresa:
r
r
x2 y 2
x2 y 2
x2 y 2
− 1 − 2 − 2 ≤ z ≤ 1 − 2 − 2 , donde (x, y) cumple 2 + 2 ≤ 1,
a
b
a
b
a
b
y todavı́a en otras dos formas alternativas.
El tetraedro Q = {0 ≤ z ≤ 1 − x − 1, (x, y) ∈ D}, D = {x + y ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0} también
es de tipo IV.
Obviamente un paralelepı́pedo también pertenece a todas las clases de regiones simples.
Podemos dar ya una respuesta sencilla a las dos primeras cuestiones.
Teorema 6 Sea Q la unión de un número finito de regiones simples Q1 , . . . , Qm tales que:
vol Qi ∩ Qj = 0,
para i 6= j.
Si f es continua en Q entonces f es integrable.
Como la función f (x, y, z) = 1 es continua la siguiente definicón es coherente.
Definición 8 El volumen de una región Q en las condiciones del Teorema 6 se define como:
ZZZ
vol Q =
1 dV.
Q
35
3.2.
Propiedades elementales
Las propiedades básicas son similares a las de la integral doble.
Teorema 7 Sean f, g funciones continuas en una region Q ⊂ R3 que cumple las condiciones
del Teorema 6. Se satisfacen las siguientes propiedades.
i) [Linealidad de la integral]
ZZZ
ZZZ
ZZZ
(αf (x, y, z) + βg(x, y, z)) dV = α
f (x, y, z) dV + β
g(x, y, z) dV.
Q
Q
Q
ii) El producto f g es una función integrable en Q.
iii) [Signo de la integral] Si f ≥ 0 en Q entonces:
ZZZ
f (x, y, z) dV ≥ 0.
Q
Más aún
RRR
Q
f (x, y, z) dV > 0 salvo que f sea idénticamente nula.
iv) [La integral preserva el orden] Si f (x, y, z) ≤ g(x, y, z) en Q entonces:
ZZZ
ZZZ
g(x, y, z) dV.
f (x, y, z) dV ≤
Q
Q
e1 , . . . Q
em una familia de regiones que verifican
v) [Aditividad en el dominio de integración] Sean Q
las condiciones del Teorema 6 tales que:
ei ∩ Q
e j = 0,
vol Q
e=Q
e1 ∪ · · · Q
em entonces:
Si Q
ZZZ
ZZZ
f (x, y, z) dV =
e
Q
3.3.
para i 6= j.
ZZZ
f (x, y, z) dV + · · · +
e1
Q
f (x, y, z) dV.
em
Q
Integrales iteradas
Vamos a tratar ahora de las integrales iteradas de una función f en un paralelepı́pedo
P = [a, b] × [c, d] × [u, v].
Para obtener una integral iterada procedemos ası́. Tomamos el rectángulo R = [a, b] × [c, d] y
en él fijamos un punto (x, y) ∈ R. Queda entonces libre la variable z. Al integrar f respecto de
z en [u, v] deducimos la función de x, y:
Z v
h(x, y) =
f (x, y, z) dz.
u
Integrando h sobre R obtenemos:
ZZ
Z Z Z
I=
h(x, y) dA =
R
R
36
u
v
f (x, y, z) dz
dA.
v
P
z
u
y
(x,y)
x
R
Figura 23: Integración iterada en P.
La integral I se obtiene tras iterar (= ‘repetir’) el proceso de integración. Si aplicamos a I el
teorema de Fubini como integral doble resulta:
Z b Z d Z v
I=
f (x, y, z) dz dy dx.
a
c
u
Todas las integrales existen con tal que f sea una función continua. Esta integral se escribe
también:
Z bZ dZ v
f (x, y, z) dz dy dx.
a
c
u
Nótese que hay seis integrales iteradas de la función que necesariamente coinciden. Una de ellas
es:
Z Z Z
Z Z Z
v
b
d
v
b
d
f (x, y, z) dy dx dz =
u
a
c
f (x, y, z) dy dx dz.
u
a
c
El siguiente resultado da el primer paso para responder a la tercera cuestión de la página
34 y viene a concluir que la integral triple es en realidad una integral iterada.
Teorema 8 (Teorema de Fubini: paralelepı́pedos) Sea f una función continua en P =
[a, b] × [c, d] × [u, v]. Entonces la integral triple:
Z bZ
ZZZ
d
Z
v
f dV =
Q
f (x, y, z) dz dy dx.
a
c
u
La igualdad es cierta sustituyendo la integral del segundo miembro por cualquiera de las otras
integrales iteradas.
Cuando integramos en una región simple Q en lugar del paralelepı́pedo P el resultado
precedente es cierto si las integrales iteradas se adaptan adecuadamente a la forma de la región.
Especı́ficamente, si Q es de tipo I y fijamos (x, y) ∈ D, se llega a la función h(x, y) tras integrar
f respecto de z en el intervalo variable ζ1 (x, y) ≤ z ≤ ζ2 (x, y):
Z
ζ2 (x,y)
h(x, y) =
f (x, y, z) dz.
ζ1 (x,y)
37
Notamos que ahora los lı́mites de integración dependen de (x, y) ∈ D. Al integrar h sobre D
obtenemos la integral iterada:
)
ZZ
Z Z (Z
ζ2 (x,y)
I=
h(x, y) dA =
f (x, y, z) dz
D
D
dA.
ζ1 (x,y)
Una expresión más detallada de la integral I depende de la forma precisa de la región plana D.
z
z2 (x,y)
Q
z1 (x,y)
y
x
(x,y)
D
Figura 24: Integración iterada en Q.
Teorema 9 (Teorema de Fubini: regiones simples) Sea f : Q → R una función continua
definida en una región simple Q de la forma (3.15). Entonces:
a) La integral triple sobre Q se expresa en la forma:
ZZZ
Z Z (Z
)
ζ2 (x,y)
f (x, y, z) dV =
f (x, y, z) dz
Q
D
dA.
ζ1 (x,y)
b) Si la región simple D es de la forma (3.13) entonces:
)
)
ZZZ
Z b (Z φ2 (x) (Z ζ2 (x,y)
f (x, y, z) dV =
f (x, y, z) dz dy dx.
Q
a
φ1 (x)
ζ1 (x,y)
c) Si en cambio D es del tipo (3.14) entonces:
ZZZ
Z d (Z ψ2 (y) (Z
f (x, y, z) dV =
Q
c
ψ1 (y
)
ζ2 (x,y)
f (x, y, z) dz
)
dx
dy.
ζ1 (x,y)
d) Si se satisfacen las condiciones de b) y c) a la vez:
Z b (Z
ZZZ
φ2 (x)
(Z
f (x, y, z) dV =
Q
)
ζ2 (x,y)
f (x, y, z) dz
a
φ1 (x)
)
dy
dx
ζ1 (x,y)
Z
d
(Z
ψ2 (y)
(Z
)
ζ2 (x,y)
=
f (x, y, z) dz
c
ψ1 (y
38
ζ1 (x,y)
)
dx
dy. (3.16)
Observación 6 En las dos versiones del teorema de Fubini se se deduce que la integral doble no
cambia al invertir el orden de integración.
Teorema 10 (Teorema del valor medio) Sean f : Q → R una función continua y Q una
región simple. Entonces existe q = (ξ, η, ζ) ∈ Q tal que:
ZZZ
1
f (q) =
f (x, y, z) d(x, y, z).
vol Q
Q
Observación 7 Como en los casos anteriores el segundo miembro se denomina el promedio de
f en la región Q.
Ejemplo 33 (Volumen del elipsoide por integrales triples) Calculemos vol Q siendo
x2 y 2 z 2
Q = (x, y, z) : 2 + 2 + 2 ≤ 1 .
a
b
c
Se tiene:

Z Z Z
ZZZ
1 d(x, y, z) =
vol Q =
D
Q

q
2
2
c 1− x2 − y2
a
b
q
2
2
−c 1− x2 − y2
a
b


dz d(x, y)

q
2
b 1− x2
ZZ r
r
Z aZ
a
x2 y 2
x2 y 2
= 2c
1 − 2 − 2 d(x, y) = 2c
1
−
− 2 dydx
q
2
a
b
a2
b
D
−a −b 1− x2
a
q
Z Z
Z a Z b 1− x22 r
a
x2 y 2
4c a B p 2
1 − 2 − 2 dydx =
B − y 2 dydx,
= 4c
a
b
b
−a 0
−a 0
q
2
donde B = b 1 − xa2 . Ası́:
8c
vol Q =
b
Z
a
B
0
2
Z
1
√
Z
1 − τ 2 dτ dx = 2πbc
0
Ejemplo 34 Calculamos
0
Z √π Z √π Z
2
2
I=
0
a
x2
4
1 − 2 dx = πabc.
a
3
3
sen y 2 dz dy dx,
1
x
cambiando el orden de integración. La región Q es:
r
π
Q = 0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤
, 1≤z≤3 .
2
Entonces:
Z
3
Z
π
2
Z
I=
1
0
y
sen y 2 dx dy dz = 1.
0
Ejemplo 35 Calculamos el volumen de la región Q que en el primer octante tiene base la region
D = {x + y ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0} y está rematada por la superficie z = 1 − y 2 . Tal volumen es:
ZZZ
Z Z Z 1−y2
Z 1 Z x Z 1−y2
1
dV =
dz dA =
dz dy dx = .
4
Q
D 0
0
0
0
39
Ejemplo 36 El volumen de la región Q limitada inferiormente por el paraboloide z = x2 + y 2 y
superiormente por la esfera x2 + y 2 + z 2 = 6 viene dado por la integral triple:
Z √6−x2 −y2
ZZ
√
11
vol Q =
dz dA = 2π 2 3 −
.
3
{x2 +y2 }≤2 x2 +y2
3.4.
Cambio de variables
Las ideas que vamos a desarrollar son similares a las del caso de integrales dobles. Se trata
de transformar integrales triples mediante cambios de variable. Esto involucra en particular
la delicada cuestión de transformar los dominios de integración. Más precisamente, si en la
integral:
ZZZ
f (x, y, z) d(x, y, z),
Q
introducimos el cambio de variable:

 x = g1 (u, v, w)
y = g2 (u, v, w)

z = g3 (u, v, w),
ó bien


x = x(u, v, w)
y = y(u, v, w)


z = z(u, v, w),
(3.17)
es decir pasamos de las variables x, y, z a nuevas variables u, v, w, entonces la integral muta su
aspecto para adoptar la forma:
ZZZ
ZZZ
f (x, y) d(x, y, z) =
f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))J(u, v, w) d(u, v, w).
Q∗
Q
El nuevo dominio Q∗ es la región preimagen de Q dada por:
Q = g(Q∗ ).
Aquı́ g es la aplicación asociada al cambio de variables:
g:
R3
(u, v, w)
−→
7−→
R3
,
(x, y, z) = g(u, v, w)
la cual se abrevia por sus ecuaciones (3.17).
A fin de obtener la expresión del factor J(u, v, w) (ver Teorema 12) necesitamos las condiciones 1), 2), 3) de la página 19 sobre la transformación g. Se dice en particular que g es
continuamente diferenciable –de clase C 1 para abreviar– si las componentes gi de g admiten
derivadas parciales primeras respecto de sus variables y tales funciones son continuas.
La matriz Jacobiana g0 (q) de g en el punto q = (u, v, w) se define como:
 0
 

g1 u g1 0v g1 0w
xu xv xw
g0 (q) = g2 0u g2 0v g2 0w  =  yu yv yw  .
g3 0u g3 0v g3 0w
zu zv zw
El determinante Jacobiano de g en q se define como:
g1 0u g1 0v g1 0w
xu xv x w
J = det(g (q)) = g2 0u g2 0v g2 0w = yu yv yw .
g3 0u g3 0v g3 0w
zu zv zw
0
40
Suele usarse también la notación:
det g0 =
∂(x, y, z)
∂(u, v, w)
en donde se entiende que x, y, z son funciones de u, v, w a través de las relaciones (3.17).
Ejemplo 37 (Aplicaciones lineales y afines) Tienen la forma:
x = g1 (u, v, w) = a11 u + a12 v + a13 w + c1
y = g2 (u, v, w) = a21 u + a22 v + a23 w + c2
z = g3 (u, v, w) = a31 u + a32 v + a33 w + c3 ,
que abreviadamente pueden escribirse:
p = g(q) = Aq + c.
La matriz Jacobiana es


a11 a12 a13
g0 = A = a21 a22 a23  ,
a31 a32 a33
y el determinante Jacobiano:
det g0 =
∂(x, y, z)
= det(A).
∂(u, v, w)
Una propiedad análoga al caso bidimensional es la siguiente.
Propiedad 1 Una transformación afı́n g(q) = Aq + c es inyectiva si y sólo si
det A 6= 0.
Ejemplo 38 (Cambio de escala) La aplicación afı́n básica viene definida por el cambio de escala:


x = au
a, b, c > 0,
y = bv


z = cw,
con Jacobiano det g0 = abc.
Ejemplo 39 (Coordenadas esféricas) Tienen la forma:
x = g1 (r, θ, φ) = r sen φ cos θ
y = g2 (r, θ, φ) = r sen φ sen θ
z = g3 (r, θ, φ) = r cos φ,
p
donde r = x2 + y 2 + z 2 , φ es el ángulo que forma el vector de posición r = (x, y, z) con el
vector e3 , θ es el ángulo que forma la proyección r0 = (x, y, 0) con el vector e1 (Figura 25).
Nótese que 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ π. La matriz Jacobiana y determinante Jacobianos son1 :


sen φ cos θ −r sen φ sen θ r cos φ cos θ
g0 = sen φ sen θ r sen φ cos θ r cos φ sen θ ,
cos φ
0
−r sen φ
1
Es importante memorizar la expresión del determinante que no es fácil de calcular.
41
det g0 =
∂(x, y, z)
= −r2 sen φ.
∂(r, θ, φ)
z
z
(x,y,z)
(x,y,z)
f
r
y
y
q
q
x
r
x
Figura 25: Coordenadas esféricas: r > 0, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ π. A la derecha las coordenadas
cilı́ndricas: r > 0, 0 ≤ θ ≤ 2π
Ejemplo 40 (Coordenadas cilı́ndricas) Tienen la forma:
x = g1 (r, θ, z) = r cos θ
y = g2 (r, θ, z) = r sen θ
z = g3 (r, θ, z) = z.
p
donde r = x2 + y 2 , θ es el ángulo que forma la proyección r0 = (x, y, 0) con el vector e1
(Figura 25). Nótese que 0 ≤ θ ≤ 2π.
La matriz y determinante Jacobianos:


cos θ −r sen θ 0
∂(x, y, z)
g0 = sen θ r cos θ 0
&
det g0 =
= r.
∂(r, θ, z)
0
0
1
Se recuerda que una aplicación g es inyectiva si para q 6= q 0 se tiene g(q) 6= g(q 0 ). Por otro
lado, dada una región Q∗ la región transformada por medio de g se define como:
Q = g(Q∗ ) = {(x, y, z) = g(u, v, w) : (u, v, w) ∈ Q∗ }.
Un resultado básico es el que sigue.
Teorema 11 Sean Q∗ una región cerrada y acotada, g : Q∗ → R3 continua e inyectiva y
Q = g(Q∗ ). Entonces Q es una región cerrada y acotada cuyo contorno C = g(C ∗ ) donde C ∗
es el contorno de Q∗ .
42
Como en el plano, determinar Q a partir de Q∗ –ó al contrario, Q∗ a partir de Q– es una
operación delicada. Sólo la llevaremos a la práctica en casos muy especiales como el de las
coordenadas esféricas o cilı́ndricas. El teorema sugiere que se debe encontrar primero C y a
partir de ahı́, Q.
Consideramos a continuación cómo se transforman ciertas regiones particulares Q∗ mediante
las coordenadas esféricas.
p
Ejemplo 41 Para la esfera Q = { x2 + y 2 + z 2 ≤ a2 } (Figura 26),
Q∗ = [0, a] × [0, 2π] × [0, π].
p
Ejemplo 42 Para el anillo esférico Q = {a2 ≤ x2 + y 2 + z 2 ≤ b2 } (Figura 26),
Q∗ = [a, b] × [0, 2π] × [0, π].
p
Ejemplo 43 Para la semiesfera superior Q = { x2 + y 2 + z 2 ≤ a2 , z ≥ 0} (Figura 27),
π
Q∗ = [0, a] × [0, 2π] × [0, ].
2
p
Ejemplo 44 En el caso de la semiesfera inferior Q = { x2 + y 2 + z 2 ≤ a2 , z ≤ 0} (Figura 27),
π
Q∗ = [0, a] × [0, 2π] × [ , π].
2
p
Ejemplo 45 En el primer octante de esfera Q = { x2 + y 2 + z 2 ≤ a2 , x ≥ 0, y ≥ 0, z ≤ 0}
(Figura 28),
π
π
Q∗ = [0, a] × [0, ] × [0, ].
2
2
p
p
Ejemplo 46 En el sector cónico de esfera Q = { x2 + y 2 + z 2 ≤ a2 , z ≥ x2 + y 2 } (Figura
28),
π
Q∗ = [0, a] × [0, 2π] × [0, ].
4
z
z
y
y
x
x
Figura 26: Ejemplos 41 y 42.
En el siguiente teorema se suponen la existencia de regiones simples Q∗ , Q, y una aplicación
inyectiva y continuamente diferenciable g : Q∗ → Q, con Jacobiano no nulo:
det g0 (q) 6= 0,
que transforma Q∗ en Q, es decir Q = g(Q∗ ).
Teorema 12 (Teorema del cambio de variable) En las condiciones establecidas para Q, Q∗
y g se considera una función continua f definida en Q. Entonces: si y sólo si la función:
ZZZ
ZZZ
f (x, y, z) d(x, y, z) =
f (g(u, v, w)) |det g0 (u, v, w)| d(u, v, w).
Q
Q∗
43
z
z
y
y
x
x
Figura 27: Ejemplos 43 y 44.
z
z
y
y
x
x
Figura 28: Ejemplos 45 y 46.
3.5.
Ejemplos de cálculo
p
Ejemplo 47 Sea Q el interior de la esfera de radio a, Q = { x2 + y 2 + z 2 ≤ a2 }. Llamemos
Q− la semiesfera en x ≤ 0, Q+ la parte en x ≥ 0. Comprobamos que:
ZZZ
ZZZ
2 m
x y dV =
x2 y m dV,
m ∈ N.
Q+
Q−
En efecto, el cambio:
x = −u,
y = v,
z = w,
transforma Q− en Q+ con J = 1 por ello:
ZZZ
ZZZ
2 m
x y dV =
Q+
x2 y m dV,
Q−
pues Q+ = Q∗− . Lo mismo ocurre si reemplazamos x2 por cualquier potencia par de x.
Por contra, el mismo cambio muestra que la integral cambia de signo si sustituimos x2 por
una potencia impar como x3 . En efecto:
ZZZ
ZZZ
3 m
x y dV = −
x3 y m dV.
Q+
Q−
Como Q = Q+ ∪ Q− esto implica en particular que:
ZZZ
ZZZ
ZZZ
3
3 m
x y dV =
x y dV +
Q
Q+
x3 y m dV = 0.
Q−
Ejemplo 48 El volumen del elipsoide se deduce del de la esfera unidad si notamos que:
2
x
y2 z2
Q=
+ 2 + 2 ≤ 1 = g(Q∗ ),
Q∗ = u2 + v 2 + w2 ≤ 1,
a2
b
c
44
donde g es el cambio de escala:
x = au,
ası́:
y = bv,
ZZZ
z = cw,
J = abc,
ZZZ
vol Q =
d(x, y, z) =
abc d(u, v, w) =
Q∗
Q
4π
abc.
3
Ejemplo 49 La integral triple:
ZZ
(x2 + y 2 + z 2 ) dV,
Q
2
2
sobre el cilindro Q = {x + y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 1} se calcula como sigue:
Z √2 ZZ
Z 2π Z √2 Z 1
8π
r
2
2
2
2
2
3
(r + z )r dz dr dθ = 2π
dr =
.
r +
(x + y + z ) dV =
3
3
0
0
0
Q
0
Ejemplo
50 Consideramos ahora el volumen de la región Q limitada por las superficies z =
p
x2 + y 2 y z = x2 + y 2 . Usamos para ello coordenadas cilı́ndricas:
ZZZ
Z π/2 Z 1 Z r
Z 1
π
vol Q =
dV = 4
r dz dr dθ = 2π
(r2 − r3 ) dr = .
6
D
0
0
r2
0
RRR
Ejemplo 51 Calculamos I =
exp(x2 + y 2 + z 2 )3/2 dV , donde Q es la bola unitaria en R3 .
Q
Usando coordenadas esféricas:
Z 2π Z π Z 1
4
3
I=
er r2 sen φ dr dφ dθ = π(e − 1).
3
0
0
0
RRR 2
Ejemplo 52 Evaluamos I =
z dV , donde Q es el sólido limitado por las superficies z =
Q
p
x2 + y 2 y x2 + y 2 + z 2 = 2 en el primer octante.
Procedemos primero usando coordenadas cilı́ndricas:
Z
Z π/2 Z 1 Z √2−r2
π 1
π √
2
z r dz dr dθ =
(r(2 − r2 )3/2 − r4 )dr = (2 2 − 1).
I=
6 0
15
r
0
0
Cambiamos ahora a coordenadas esféricas:
Z π/2 Z π/4 Z √2
π √
I=
r4 cos2 φ sen φ dr dφ dθ = (2 2 − 1).
15
0
0
0
3.6.
Valor medio
El valor medio de una función de tres variables f (x, y, z) en una región Q viene dado por
ZZZ
1
f¯ = RRR
f (x, y, z) dV.
dV
Q
Q
Ejemplo 53 Se supone que la temperatura en los puntos del cubo Q = [−1, 1] × [−1, 1] × [−1, 1]
es proporcional al cuadrado de la distancia al origen:
T = c(x2 + y 2 + z 2 ).
45
a) La temperatura media vale:
ZZZ
Z Z Z
1
3c 1 1 1 2
2
2
2
Tm =
z dxdydz = c.
c(x + y + z )dV =
8
8 −1 −1 −1
Q
b) Determinamos los puntos del cubo donde la temperatura es igual a la temperatura promedio:
c(x2 + y 2 + z 2 ) = c
3.7.
⇒
x2 + y 2 + z 2 = 1.
Centro de masas
Un sólido Q, donde Q es una región limitada del espacio, con densidad ρ(r) ≥ 0 –una
función integrable definida en Q– es un “continuo de partı́culas” en el que un pequeño volumen
dV = d(x, y, z) localizado en el punto r = (x, y, z) tiene masa:
dm = ρ(r) ddV.
Empleando la definición de integral como lı́mite de sumas de Riemann se concluye que una
expresión razonable para la masa de Q es:
ZZZ
M=
ρ(x, y, z) d(x, y, z).
Q
Si el sólido es homogéneo, lo que significa ρ = ρ0 = constante, entonces:
M = ρ0 vol (Q).
Por otro lado, el centro de masas de un sistema finito de N partı́culas con masas mi localizadas
en los puntos ri = (xi , yi , zi ) se define como:
rC =
N
X
mi
1
M
ri
M=
N
X
mi .
1
En el caso del sólido Q y razonando con la definición de integral se deduce que una definición
natural del centro de masas para Q es:
ZZZ
ZZZ
ZZZ
1
1
1
rC = (x̄, ȳ, z̄) =
xρ dV,
yρ dV,
zρ dV .
M
M
M
Q
Q
Q
Si el sólido es homogéneo con densidad ρ = ρ0 = constante, el centro de masas vale:
ZZZ
ZZZ
ZZZ
1
1
1
rC = (x̄, ȳ, z̄) =
x dV,
y dV,
z dV .
vol (Q)
vol (Q)
vol (Q)
Q
Q
Q
En este caso, rC depende enteramente de la geometrı́a (forma) de Q. Nótese que por ejemplo
la coordenada xC de rC es el promedio de las coordenadas x0 s de los puntos r de Q.
46
3.8.
Distribuciones lineales y planas de masa
Si D es una región plana con densidad ρ(r) ≥ 0, empleando las ideas anteriores se definen
su masa M y centro de masas rC como:
ZZ
M=
ρ(x, y) d(x, y),
D
ZZ
1
1
xρ d(x, y),
yρ d(x, y) ,
rC = (x̄, ȳ) =
M
M
D
D
y en caso de que D sea homogénea:
ZZ
ZZ
1
1
rC =
x d(x, y),
y d(x, y) .
área (D) D
área (D) D
ZZ
Análogamente si L es un intervalo [a, b] en el que se localiza una distribución de masa con
densidad ρ(x) (una varilla) la masa y centro de gravedad se definen como:
Z
Z
1
xρ(x) dµ.
M = ρ(x) dµ
rC =
M
si la varilla es homogénea entoces rc =
3.9.
a+b
.
2
Momento de inercia
Se considera un sólido (rı́gido) Q que rota con velocidad angular ω alrededor de un eje Z.
Su momento de inercia I respecto a Z juega un papel similar al de la masa en dinámica lineal.
Se define como:
ZZZ
I=
d((x, y, z))2 ρ(x, y, z) d(x, y, z).
Q
En particular, los momentos de inercia respecto a los ejes coordenados son
ZZZ
ZZZ
ZZZ
2
2
2
2
(x2 + y 2 ) ρ(p) dV.
(x + z ) ρ(p) dV, Iz =
(y + z ) ρ(p) dV, Iy =
Ix =
Q
Q
Q
Observación 8 Asociada a la noción de momento de inercia está la de radio de giro RZ del
sólido Q alrededor del eje Z. Es la distancia al eje a la que una partı́cula con masa M (la masa
del sólido) tendrı́a momento de inercia I al girar en torno a Z con velocidad angular ω:
I = M RZ2
⇒
RZ2 =
I
.
M
Para láminas planas D con densidad de masa ρ = ρ(x, y) se introduce igualmente la noción
de momento de inercia I como:
ZZ
I=
d(x, y)2 ρ(x, y) d(x, y),
D
donde d mide la distancia al eje, en este caso localizado en el plano xy. Ası́ los momentos Ix ,
Iy al rotar la lámina alrededor de los ejes son:
ZZ
ZZ
2
Ix =
y ρ(x, y) d(x, y)
Iy =
x2 ρ(x, y) d(x, y).
D
D
47
Como sólido en el espacio podemos medir también su momento con respecto al eje z:
ZZ
Iz =
(x2 + y 2 )ρ(x, y) d(x, y) = Ix + Iy .
D
En caso de láminas Iz se suele designar –como se dijo– por I0 (el momento polar). Los correspondientes radios de giro de denotarán por Rx , Ry , Rz .
Ejemplo 54 Hallamos la masa de la porción de Q = {4x2 + 4y 2 + z 2 ≤ 16} por encima del plano
xy, si la densidad en un punto del sólido es proporcional a la distancia al plano xy. Admitimos
para ello que
ρ(x, y, z) = cz,
y entonces:
2π
Z
2
Z
√
Z
16−4r2
2
Z
r(16 − 4r2 )dρ = 16cπ.
zr dz dr dθ = cπ
M =c
0
0
0
0
p
Ejemplo 55 Un sólido homogéneo Q está comprendido entre el cono z = x2 + y 2 y la esfera
x2 + y 2 + z 2 = 9 en la región z ≥ 0. Calculamos su centro de masas. Suponemos para ello que
ρ = 1.
En primer lugar la masa vale:
ZZZ
2π
Z
M=
π
4
Z
Z
dV =
Q
0
0
3
ρ2 sen φ dρ dφ dθ = 9π(2 −
0
Por razones de simetrı́a se sabe que (ver el Ejemplo 47):
ZZZ
ZZZ
x dV =
y dV = 0
⇒
Q
√
2).
x̄ = ȳ = 0.
Q
Por otra parte,
ZZZ
Z
3
2π
Z
Z
z dV =
Q
0
0
Por tanto
π
4
(r cos φ)r2 sen φ dφ dθ dr =
0
81
π.
8
√
9(2 + 2)
z̄ =
.
16
Ejemplo 56 Calculamos el momento de inercia Iz del sólido homogéneo que en el semiespacio
z ≥ 0 está acotado por las superficies z = x2 + y 2 y x2 + y 2 = a2 . Suponemos para ello que
ρ = 1 y entonces:
ZZZ
2
Iz =
2
Z
a
k(x + y )dV =
Q
r
0
48
3
Z
0
2π
Z
0
r2
πa6
dz dθ dr =
.
3