МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА” ЧАБАН ЗОРЯНА ІВАНІВНА УДК 004.9.05+519.718 МЕТОДИ АНАЛІЗУ СТАТИЧНОЇ СТІЙКОСТІ ВИКОНАВЧИХ КОМПОНЕНТІВ КОМП’ЮТЕРНИХ СИСТЕМ 05.13.05 – комп’ютерні системи та компоненти АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук Львів – 2014 Дисертацією є рукопис. Робота виконана в Національному університеті “Львівська політехніка” Міністерства освіти й науки України. Науковий керівник – доктор технічних наук, професор Скоропад Пилип Ізидорович проф. кафедри інформаційно-вимірювальниж технологій Національного університету “Львівська політехніка” Офіційні опоненти – доктор технічних наук, професор Кондратенко Юрій Пантелійович проф. кафедри інтелектуальних інформаційних систем Чорноморського державного університету ім. Петра Могили (м. Миколаїв) доктор технічних наук, професор Саченко Анатолій Олексійович зав. кафедри інформаційно-обчислювальних систем та управління Тернопільського економічного університету (м. Тернопіль) Захист відбудеться 31 жовтня 2014 р. о 16.30 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д. 35.052.08 у Національному університеті “Львівська політехніка” (79013, м. Львів, вул. С. Бандери, 12) З дисертацією можна ознайомитимя в науково-технічній бібліотеці Національного університету “Львівська політехніка” (79013, м. Львів, вул. Професорська, 1). Автореферат розісланий 24 вересня 2014 р. Учений секретар спеціалізованої вченої ради, доктор технічних наук, професор Я. Луцик ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ Актуальність теми. Основним компонентом замкнутої комп’ютеризова– ної системи управління є об'єкт управління, а ще алгоритм управління та функціональне програмне забезпечення комп'ютера (рис. 1). Більшість досліджень привячена об'єктам управління з лінійними алгоритмами управління. Однак результати таких досліджень є малоефективні для об'єктів управління з нелінійними алгоритмами, що показано в (Ідентифікація об’єктів керування та синтез контролерів з використанням штучних нейронних мереж / Наконечний М. А. // Автореф. на здобуття наук. ступеня докт. техн. наук, Львів, 2013). Перш за все це стосується стійкості системи. Тому розробка методів забезпечення стійкості аналог цифр. Комп’ютер Спеціальна програма давач n АЦП мотор цифр. n Рис. 1. ЦАП аналог и функціонування об'єктів управління з нелінійними алгоритмами управління є надзвичайно актуальна. . Автор названого дослідження прийшов до правильного висновку, що аналіз комп’ютерної системи управління треба перенести з позачасової в часову область. Як один з виходів він пропонує використання апарата штучних ней– ронних мереж. Ми ж пропонуємо використати для цієї мети найновіші надбання загальної теорії нелінійних диференціальних рівнянь. Задача аналізу статичної стійкості періодичних усталених станів неліній– них систем у літературі є найменш опрацьованою. Основною перешкодою тут є не тільки трудність розв’язання двоточкової крайової задачі для диференціа– льних рівнянь стану як самоцілі одержання усталеного процесу, а розв’язання її методами, які б виводили на можливість аналізу асимптотичної стійкості сис– теми в цьому стані на підставі спільного математичного апарата в часовій обла– сті. Як показав наш досвід, задача надто ускладнюється, коли досліджуються фізичні процеси різного походження: електромагнетні, механічні, термодина– мічні, гідравлічні тощо. Особливе місце тут посідають електромеханічні про– цеси, які з одного боку є найзатребуваніші з точки зору практики, а з другого найскладніші з точки зору математичного моделювання. Тож тут особливо гос– тро постає проблема перегляду низки традиційних підходів до побудови й розробки нових математичних моделей, які б максимально вписувались у су– часні можливості обчислювальної математики. Наша задача аналізу статичної стійкості періодичних процесів досліджу– ваних виконавчих електромеханічних компонентів розглядається як невідділь– на від решти попередніх етапів – аналізу перехідних і усталених процесів. Зв‘язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема роботи відповідає науковому напрямку кафедри інформаційно-вимірювальної техніки «Пошук шляхів покращання метрологічних і експлуатаційних харак– теристик вимірювальних термоперетворювачів на основі застосування нових матеріалів, фізичних ефектів та сучасних технологій» РК № 0107U008806 (2007 –2009). ДБ/НАН РК № 0111U001225 «Дослідження сенсорів, перетворювачів фізичних величин і актуаторів, побудованих з використанням нанотехнологій у інформаційно-вимірювальній техніці» по замовленню Міністерства освіти і на– уки України (2011–2012). Мета й задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розроблення методів аналізу асимптотичної стійкості усталених періодичних станів привідних нелінійних комп’ютерних систем із зосередженими та розподіленими параметрами, математичні моделі яких описуються змішаними нелінійними диференціальними рівняннями зі звичайними й частинними похідними. Аби продемонструвати одержані результати, нами вибрані найуживаніші на прак– тиці електромеханічні компоненти. Їх вибір продиктований двома причинами: важливістю для практики в зв’язку широким застосуванням і складністю фізич– них процесів, що мають місце в їхній роботі, а, значить і складністю побудови відповідних математичних моделей. А це переконливо засвідчує працездатність запропонованих методів у найскладніших умовах. Відповідно до поставленої мети треба було розв’язати такі задачі. 1. Здійснити оптимальний вибір відомих і розробити нові математичні моделі досліджуваних пристроїв, які б максимально відповідали загальній меті розроблення математичного апарата й комп’ютерних програм аналізу статичної стійкості їхніх усталених періодичних станів. 2. З метою максимального спрощення аналізу представити нелінійні диференціальні рівняння стану досліджуваних пристроїв у нормальній формі Ко– ші, не залежно від складності й деталізації врахування фізичного процесу. Бо це значно спрощує розв’язання задачі Коші для нелінійних диференціальних рівнянь стану. 3. Розв’язати двоточкову крайову задачу для нелінійних диференціальних рівнянь стану методом побудови моделі чутливості до початкових умов, як таким, що спирається на побудову матриці монодромії системи, необхідної для обчислення матриці Якобі в ітераційному процесі Ньютона. 4. Розробити універсальні алгоритми й комп’ютерні програми аналізу перехідних і усталених періодичних процесів, а заодно визначення статичної стійкості одержаних усталених процесів досліджуваних об’єктів на підставі загальної теорії нелінійних диференціальних рівнянь, яка об’єднує аналіз усіх цих трьох етапів воєдино, як невіддільних один від одного й взаємопов’язаних. Виконати симуляційні дослідження, які б засвідчували правильність теоретичних результатів за співставленням з відомими результатами класичної теорії. Об’єкт дослідження – асимптотична стійкість усталених електромеханічних періодичних процесів виконавчих пристроїв комп’ютерної системи. Предмет дослідження – створення математичних моделей і розроблення методу аналізу асимтотичної стійкості усталених періодичних процесів електромеханічних виконавчих компонентів комп’ютеризованої системи управління в часовій області. Методи дослідження. Використано теорію нелінійних диференціальних рівнянь, методи: теорії електромагнетних кіл і електромагнетного поля, аналі– тичної механіки, диференціального й інтегрального числень, числові методи, алгоритмічні мови, обчислювальну комп’ютерну техніку. Наукова новизна отриманих результатів. 1. Уперше запропоновано методи аналізу асимптотичної стійкості уста– лених періодичних станів електромеханічних виконавчих компонентів замкну– тих нелінійних комп’ютеризованих систем управління із зосередженими й роз– поділеними параметрами, що дало змогу розрахувати комп’ютерними засобами близькі до оптимальних робочі стани. 2. Уперше здійснено приведення змішаних диференціальних рівнянь електромеханічного стану виконавчих компонентів нелінійних комп’ютерних систем управління та доведено, що такі системи є правильні в смислі Ляпунова. 3. Уперше запропоновано математичну модель виконавчого компонента (асинхронного мотора) в однофазному стані, що дає змогу досліджувати неси– метричні стани комп’ютерних систем управління, у тому числі при розривних функціях струмів. 4. Уперше для аналізу статичної стійкості побудовано варіаційні рівняння від змішаних нелінійних диференціальних рівнянь електромеханічного стану виконавчих компонентів нелінійних комп’ютерних систем управління, на під– ставі яких обчислюється матриця монодромії, як кінцева ціль розрахунку показників стійкості. Практичне значення отриманих результатів: – розроблені математичні моделі аналізу статичної стійкості нелінійних привідних систем можуть бути використані для розв’язання практичних задач аналізу окремих електромеханічних пристроїв, а також у випадку функціювання їх як елементів комп’ютерної системи; – розроблені математичні моделі аналізу статичної стійкості привідних нелінійних систем можуть бути використані для розв’язання практичних задач аналізу не тільки стійкості, але й перехідних і усталених процесів досліджу– ваних пристроїв; – розроблені математичні моделі і метод аналізу статичної стійкості усталених періодичних станів повністю відповідають вимогам систем автоматизованого проектування, їх використання підвищить якість проектування, зменшить його собівартість, скоротить термін розробки проектів, а також кількість зайнятих спеціалістів-проектувальників; – розроблена математична модель трифазного виконавчого мотора, що живиться від однофазного джерела живлення може бути використана не тільки для аналізу перехідних і усталених процесів, статичної стійкості, але, що най– важливіше, для відтворення несиметричних станів усієї системи. – розроблений метод визначення матриці монодромії може знайти ефективне застосування не лише при розв’язуванні задач електромеханіки, а й механіки, гідравліки, теплотехніки та інших галузей народного господарства. Отримані результати роботи використані в АТ ЗТ НВО «Термоприлад ім. В. Лаха» і в навчальному процесі Національного університету “Львівська полі– техніка” при підготовці студентів за спеціальностями “Системна інженерія” й “Основи термометрії”. Особистий внесок здобувача. Більшість теоретичних та експериментальних досліджень виконана автором самостійно. У роботах у співавторстві здобувачу належить: 1, 2, 3, 5, 6, 13,15-18 – розроблення математичних моделей визначення асимптотичної стійкості усталених періодичних станів досліджуваного пристрою із зосередженими параметрами, постановка числового експерименту; 6, 7, 11 – розроблено алгоритм комп’ютерної програми аналізу статичної стійкості усталених періодичних станів досліджуваного пристрою; 8, 12, 14 – Розроблено нову математичну модель досліджуваного пристрою в однофазному стані. 9, 10 – розроблення математичних моделей визначення асимптотичної стійкості усталених періодичних станів досліджуваного пристрою з розподіленими параметрами. Апробація результатів роботи. Більшість результатів дисертаційної роботи була обговорена й отримала позитивну оцінку на таких науково-технічних конференціях і симпозіумах: Міжнародні наукові конференції The 9, 10 and 12-th International Modelling Schools of AMSE-UAPL, 12-17 September 2004, 2005 and 2007, Alushta, Ukraine, Міжнародна наукова конференція Dynamical system modelling and stability investigation. Kyiv, may 22-25, 2007. Міжнародна наукова конференція Dynamical system modelling and stability investigation. Kyiv, Мay 22-25, 2009. ІІІ міжнародна наук.-техн. конференція Підвищення рівня ефективності енергоспоживання в електротехнічних пристроях і системах, Луцьк, 28-30 червня 2010. Міжнародні наукові конференції The 15, 16, 17 and 18-th International Modelling Schools of AMSE-UAPL, 05–10 September 2010, 2011, 2012 and 2013, Alushta, Ukraine. Публікації. Результати дисертаційної роботи опубліковані у 18 статтях у наукових журналах. З них – 1 у філадельфійському списку, 7 – у фахових наукових публікаціях (1 без співавторів), а також розділ (chapter) у зарубіжній англомовній монографії. Структура й обсяг дисертації. Робота складається зі вступу та чотирьох розділів, висновків і списку використаної літератури (133 назви). Повний обсяг роботи – 146 с., з них 134 с. основного тексту, 12 с. рисунків. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ У вступі обґрунтовано актуальність і доцільність розв’язання поставленої наукової задачі висвітлено її зв’язок з науковими програмами й темами, сфор– мульовано мету й задачі дослідження, а також показано наукову новизну та практичне значення одержаних результатів. Перший розділ присвячено огляду літературних джерел стану проблеми моделювання статичної стійкості технічних систем. Показано недоліки тради- ційних методів аналізу стійкості періодичних систем із зосередженими й розподіленими параметрами. Показана неможливість застосування методів позачасової і багатьох методів часової області для розрахунку електромеханічних періодичних процесів і доцільність використання для цієї мети методу побудови моделі чутливості до початкових умов. Другий розділ містить загальні теоретичні положення дисертаційної роботи, що будуються на підставі загальної теорії нелінійних диференціальних рівнянь, теорії електричних і електромагнетних кіл. Зокрема показані основні прийоми розв’язання задачі Коші і двоточкової крайової задачі для диференціальних рівнянь. Показано, як результат розв’язання останньої задачі виводить на розв’язання задачі асимптотичної стійкості одержаних періодичних роз– в’язків звичайних диференціальних рівнянь електромеханічного стану. Подаю– ться оптимальні числові методи розв’язання поставлених у дисертації задач, у тому числі й визначення мультиплікаторів Флоке матриці монодромії системи. Рівняння стану електромагнетного кола. В електромеханічних прист– роях структура електричного субкола дуже проста: воно складається в біль– шості з електрично відокремлених котушок, заживлених електричними напру– гами. Диференціальні рівняння його отримаємо за другим законом Кірхгофа d Ψ ik = uik − rik iik ; dt iik = αik (Ψ ik − wik Φ k ) , (1) де Ψ ik , uik , iik – повне потокозчеплення; електрична напруга; струм обмотки; rik – опір; αik – обернена індуктивність розсіяння; wik – число витків. Індекси i, k вказують на причетність до і-го елементу k-ї магнетної вітки. Невідомі магнетні потоки знаходимо з рівнянь магнетного субкола, яке має дещо складнішу структуру в порівнянні зі структурою електричного субкола. Для чого запишемо структурні рівняння магнетного субкола для головних перетинів (вузлів) і головних контурів за першим і другим законами Кірхгофа ∑ Φ k =0 ; k ∑Vk = 0 , (2) k де Vk – магнетна напруга k-ї вітки m n s m ' Vk = ∑ αik wik Ψ ik − ∑ αik wik2 + ∑ ρik Φ + ( k ) ∑ ρik Φ k . =i 1 = i 1 =i 1 =i 1 (3) Рівняння (1)–(3) утворюють повну систему алгебро-диференціальних рівнянь стану електромагнетного кола. Нелінійне алгебраїчне рівняння (3) на кожному часовому кроці інтегрування диференціальних рівнянь (1) необхідно розв’язувати ітераційними методами. Тому цю систему доцільно розв’язувати неявними методами числового інтегрування, які використовують ітераційні цикли. Диференціюючи (3) за часом, згідно з (1), (2) отримуємо рівняння diik d Φk = αik uik − rik iik − wik ; dt dt n s m d Φk d Φk d Ψ ik m 2 ′′ − ∑ αik wik + ∑ ρik ( Φ k ) + ∑ ρik = 0; ∑ ∑ αik wik 0. (4) ∑= dt k dt = k i 1 = i 1 =i 1 =i 1 dt У (3), (4) використані статичний і диференціальний магнетні опори, які знаходяться за характеристиками намагнечування магнетопроводів V= V ( Φ ) = ρ′ ( Φ ) V (Φ) dV ( Φ ) ; = ρ′′ ( Φ ) . Φ dΦ (5) Тепер диференціальні рівняння (4) утворюють повну систему рівнянь стану електромагнетного кола, яку доцільно інтегрувати явними числовими методами. На підставі (1)–(3) або (4) з одного боку і рівнянь механічного стану з другого боку будуються математичні моделі електротехнічних приcтроїв. Рівняння (1)–(3) репрезентують так звану N-модель, призначену для реалізації неявними методами числового інтегрування, рівняння (4) – так звану А-модель, призначену для реалізації явними методами числового інтегрування. При наявності обертових контурів задача розв’язується в області кординатних перетворень. Кут повороту γ – знаходиться з рівнянь механічного руху, одержаних на підставі енергетичного принципу за рівнянням Гамільтона-Остроградського, Ji d ωi d γi = M i − c( γ i − γ k ) − ν(ωi − ωk ); = ωi , i, k = 1,2,..., n, dt dt (6) причому γ, ω – кут повороту й кутова швидкість; М – зовнішній прикладений електромагнетний момент; с , ν – коефіцієнти штивності й затухання. Двоточкова крайова задача для звичайних диференціальних рівнянь. Оскільки наша основна задача – визначення статичної стійкості усталених станів електромеханічних пристроїв, то перш, ніж підійти до її розв’язання, необхідно описати метод знаходження цих станів. З математичної точки зору – це двоточкова крайова задача для диференціальних рівнянь електромеханічного стану пристрою. Є багато способів розв’язання такої задачі, але нас влаштовує лише один з них – це метод побудови моделі чутливості до початкових умов. Запишемо диференціальні рівняння електромеханічного стану пристрою (4), (6) у загальному вигляді в нормальній формі Коші (А-модель завше дає таку можливість!) dx (7) = f1 ( x, t ) , dt де f1 ( x, t ) – Т-періодична; x = ( x1 , x2 ,, xn )t , f1 = ( f11 , f12 , f1n )t – вектор і вектор-функція невідомих: причому xi – змінні стану (i = 1,2, , n ); t – час. Т-періодичний розв’язок (7) мусить задовольняти рівнянню періодичності f ( x ( 0)) = x ( 0 ) − x ( ( 0 ) ,T ) = 0, (8) де x ( 0 ) – початкові умови входження в періодичний розв’язок. Диференціальні рівняння (7) і граничні умови (8) становлять двоточкову Т– періодичну крайову задачу для диференціальних рівнянь стану. Найбільшу інформацію про досліджуваний об’єкт дає метод побудови моделі чутливості до початкових умов. Метод побудови моделі чутливості до початкових умов. Основна ідея цього методу полягає в розв’язанні трансцендентного рівняння періодичності (8) ітераційним методом Ньютона. x ( 0) ( k +1) ( = x ( 0) − f ' x ( 0) (k ) ) ( k ) −1 ( ⋅ f x ( 0) (k ) ). (9) Матрицю Якобі f ' ( x ( 0 ) ) отримаємо диференціюванням за x ( 0 ) рівняння цілі (8) (10) f ' ( x ( 0 ) ) = 1 − Φ (T ); Φ (T ) = ∂x ( x ( 0 ) , T ) / ∂x ( 0 ) . Матриця Φ (T ) називається фундаментальною матрицею, або матрицею монодромії, рідше – матрицею переходу станів. Визначення її є складним. Порів– няно недавно був розроблений метод знаходження її на підставі диферен–ціа– льних рівнянь першої варіації. Варіаційні рівняння одержуємо в результаті диференціювання за вектором початкових умов x ( 0 ) вихідного диференційного рівняння (7) d Φ ∂f1 ( x, t ) = ⋅Φ. ∂x dt (11) Рівняння (11) є лінійним параметричним, змінні якого є елементи матриці монодромії. Інтегруючи його разом із нелінійним диференціальним рівнянням стану (7) на часовому інтервалі [0,T], одержуємо матрицю Якобі (10). А це визначає праву частину ітераційної формули (9), що дає змогу знайти уточнене ( k +1) значення початкових умов x ( 0 ) , що виключають перехідну реакцію. На жаль, побудова варіаційного рівняння у вигляді (11) в задачах електромеханіки практично нездійсненна Саме із-за цього метод не зразу прижився в практичному аналізі. Але безвихідь тривала недовго, бо був запропонований ефективний метод побудови допоміжної моделі чутливості до початкових умов, згідно з яким матрицю монодромії записуємо у вигляді добутку (12) Φ (T ) = Α(T ) S (T ), причому A ( x, t ) – матриця коефіцієнтів нелінійних диференціальних рівнянь (7), а матрицю S ( x, t ) одержуємо в результаті інтегрування допоміжного варіаційного рівняння в полі y = y ( x ) – аргументу деякого допоміжного диференціального рівняння, змінні стану якого функціонально зв’язані зі змінними ста- ну вихідного рівняння (7). Кожен рядок матриці Φ (T ) можна розглядати як градієнт певної змінної у просторі початкових умов, а кожен її стовпчик характеризує чутливість усієї множини змінних до однієї і тієї ж початкової умови. Визначення статичної стійкості. Покажемо, як і цю на перший погляд складну задачу обчислювальних методів у часовій області можна розв’язати достатньо просто, не вдаючись до громіздких спеціальних методів. Нехай початковим умовам= t t0= , x x0 відповідає розв’язок диференціального рівняння = (7) x x ( t ) ( 0 ≤ t ≤ ∞ ) , який називатимемо незбуреним. Розв’язок рівняння (7) за інших початкових умов = t t0= , x x0 називатимемо збуреним. За Ляпуновим, незбурений розв’язок x ( t ) називається стійкий, якщо при безмежно малій зміні початкових умов збурений розв’язок залишається в безмеж– ній близькості від незбуреного протягом усього подальшого часу max ( x ( t ) − x ( t ) ) t0 ≤t ≤∞ → 0 , якщо x0 − x0 → 0 . (13) Якщо умова (13) не виконується, то незбурений розв’язок називається не– стійким за Ляпуновим. Розв’язок x ( t ) називається асимптотично стійкий, якщо, крім (13), при достатньо малих x0 − x0 буде обов’язково виконуватися умова x ( t ) − x ( t ) t →∞ → 0. (14) Стійкість періодичного розв’язку визначатимемо, виходячи з рівняння першої варіації – моделі чутливості до початкових умов (11) Ф = ∂x / ∂x0 . При виконанні умови d et ( Ф ( t ) ) ≠ 0 Ф називається фундаментальною матрицею системи. Початкові умови для (11) Ф ( t0 ) = E . У роботі показано, що матрицю монодромії можна представити через деяку сталу матрицю М Ф (T ,0 ) = eTM . (15) Після логарифмування одержуємо M = ln ( Ф (T ,0 ) ) / T . (16) Формула (16) свідчить, що для того, щоб усі розв’язки варіаційного рівняння (11) простували до нуля при t → ∞ , необхідно й достатньо, щоб усі власні числа матриці М (16) мали від’ємну дійсну частину, тобто, щоб усі власні числа матриці монодромії Ф (T ,0 ) згідно з (15), (16) були за модулем меншими за одиницю. Власні числа матриці монодромії називаються мультиплікаторами. Ітераційні методи визначення мультиплікаторів є в матзабезпеченні більшості уомп’ютерів. У роботі приведено повний алгоритм аналізу перехідних і уста– лених процесів, і визначення статичної стійкості згідно з (7)–(16). Перехідний процес одержуємо без будь-яких застережень за умови T → ∞. У третьому розділі на основі теоретичних положень другого розділу бу– дуються математичні моделі розрахунку усталених періодичних процесів електромеханічних пристроїв із зосередженими електричними й механічними параметрами і визначення їх асимптотичної стійкості. Розроблено відповідні алгоритми, за якими просимульовано як асимптотично стійкі, так і нестійкі стани. А-моделі. За основний об’єкт дослідження взято виконавчий трифазний асинхронний мотор. Але цей компонент комп’ютерної системи управління на– ми вибраний не тільки із-за його найчастішого використання на практиці, але й із-за сузір’я тих теоретичних складностей аналізу, на які ще вказував сам Ля– пунов, а ще які виникли в процесі найновіших досліджень: 1. нелінійність системи (сам рух уже привносить значну нелінійність); 2. параметричність диференціальних рівнянь, зумовлена залежністю коефіцієнтів від кута повороту електричних контурів; 3. правильність (приводимість системи); 4. наявність розподілених параметрів; 5. наявність змінних різної природи (електричних і механічних). А ще, що дуже важливо, наявність експериментальних даних і прозоре фізичне трактування одержаних результатів, завдяки класичній електромеханіці. Лише працездатність розроблених алгоритмів при врахуванні всіх цих фак– торів дає право стверджувати, що запропонований метод є загальним. Диференцiальнi рiвняння А-моделі згаданого виконавчого мотора на підста– ві (4), (6) за умови с = 0 , ν = 0 набирають вигляду dI dω = A( I )(U − ΩΨ − RI ), = p0 ( M E − M ) / J . dt dt (17) де h(h = Ψ ,U , I ) = (hSA , hSB , hRA , hRB )t – кoлонки повних потoкозчеплень, напруг i струмiв обмоток статора ( S) і ротора (R): R – матриця резистивних опoрiв; А(І) – матриця магнетних опорів; Ω – матриця частоти обертання; M E – електро– маґнетний момент; M – механiчний момент; J – момент iнерцiї; p 0 – кiлькiсть пар магнетних полюсiв. Елементи матриці А обчислюються за характеристи– кою намагнечування ψ m (im ) . Вхідними сигналами є електричні напруги живлення статора і механічний момент М на валу ротора U S = (U m sin(ω0 t ), U m sin(ω0 t − 1200 ))t ; U R = 0; M = M (ω), (18) де U m , ω0 – амплiтуда й кругова частота напруги статора. Крім того, в роботі одержано відповідні (17) математичні моделі кондесаторного мотора і оригінальну математичну модель трифазного мотора при однофазному живленні. Варіаційні рівняння. Матрицю монодромії подамо згідно з (12) так ∂Ψ ∂ω = ; w . (19) ∂x(0) ∂x(0) Ваpiацiйнi piвняння для обчислення субматpиць S i w одеpжуємо дифе– pенцiюванням по х(0) рівнянь електpомеханiчного стану (17) = Φ ( AS= , w)t ; S ∂Ω dS =−(Ω′ + RΑ) S + wΨ; ∂ω dt dw p ∂Ψ ∂i ∂Ψ SB ∂i ∂M (ω) = 0 3 p0 ( SA iSB + Ψ SA SB − iSA + Ψ SB SA ) − w . (20) dt J ∂x(0) ∂x(0) ∂x(0) ∂x(0) ∂ω Частиннi похiднi ∂Ψ SA / ∂x(0), ∂Ψ SB / ∂x(0), ∂iSA / ∂x(0), ∂iSB / ∂x(0) є елементами матриць S, AS, тому вони вiдомі. Звернемо увагу: всi матричнi операцiї, пов’язанi з диференцiюванням по колонцi х(0), призводять до об’ємних просторових 3-матриць. Якщо частинні похідні по електричних елементах лягають у певній площині, то похідні по механічних елементах лягають у площині, перпендикулярній до неї. Однак, якщо виконати матричний добуток wΨ у (20), то подальший аналiз здiйснюється за правилами планарних матриць. При наявності конденсаторів матриця (21) уск– ладнюється за рахунок появи їхніх диференціальних рівнянь, а при однофаз– ному живленні, навпаки, спрощується за рахунок меншого числа струмів. Визначення статичної стійкості. У роботі розглянуто багато прикла– дів на знаходження різноманітних стійких і нестійких усталених періодичних станів модельного виконавчого компонента при три- , дво- й одно фазному живленні при наявності й відсутності конденсаторів у колі статора. Але найці– кавіша з усіх цих задач – задача знаходження періодичних розв’язків диференціальних рівнянь однофазного асинхронного мотора. Тут їх можна одержати до восьми, а то й більше, а крім того, можлива поява субгармонічних коливань, що впливає на тривалість періоду невідомих. Разом з тим однофазний стан трифазного асинхронного мотора – достатньо частий випадок в практиці експлуатації. Він може бути наперед передбачуваний, за відсутності трифазного джерела живлення, а може бути як аварійний у робочому стані за трифазного живлення. На рис. 2–4 показано окремі можливості розробленого нами алгоритму одночасного аналізу перехідних і усталених процесів, а заодно визначення асимптотичної статичної стійкості останніх. Рис. 2. Перехідні процеси трифазного виконавчого мотора при однофазному живленні. Залежності ω = ω(t ) при ω(0) = 200 c −1 (праворуч) 0 (ліворуч) і ω(0) = Рис. 3. Часові залежності швидкості ω = ω(t ) на п’яти ітераціях формули Ньютона (9), що привели до усталеного стану модельного однофазного виконавчого асинхронного мотора 309,9 с-1 (моторний стан) (зліва) і часові залежності швидкості ω = ω(t ) на семи ітераціях формули Ньютона, що привели до усталеного стану модельного однофазного виконавчого асинхронного мотора -319,2 с-1 (генераторний стан) (справа) Нижче подаємо значення матриці монодромії (19) для одного з усталених станів виконавчого асинхронного мотора при трифазному живленні без конденсатора. Елементи матриці монодромії Φ (T ,0) у цьому стані такі Φ (T ,0) = -10,81767873 46,76397949 11,41470559 -46,86615675 8,403323079 -10,87105003 41,28733791 10,85545189 -40,7896755 16,21726797 -11,44473031 46,80988969 12,04184099 -46,91228522 8,430879034 -10,87186112 40,79056233 10,85628377 -40,29323169 16,26278383 0,211675804 4,01610487 -0,214488785 -4,026289098 0,711567178 Числові значення мультиплікаторів, що відповідають цій матриці, такі. 0.543598514652410 ± 0.592951866364887i; λ1,2 = λ3 =0.641785144097634; 0.600426744535285 ± 0.023158057414303i; λ 4,5 = Як бачимо, модулі всіх п’яти мультиплікаторів завідомо менші за одиницю. А це значить, що знайдений усталений стан модельного виконавчого асинхронного мотора є асимптотично стійкий. Запишемо числові значення матриці Φ (T ,0)1 і Φ (T ,0) 2 для усталених станів, показаних на рис. 3, відповідно Φ (T ,0)1 = 0,806732 -0,564930 0,846253 -1,755190 -0,81100 0,733444 -0,97624 0,454244 -1,52743 1,203326 -1,73477 2,198475 0,000352 -0,011890 -0,000920 -0,301600 Числові значення мультиплікаторів, що відповідають цій матриці, такі. -0.354832485471118 ± 0.099726389318011i; λ1,2 = λ3 =0.101906428332874; λ 4 =0.111558473020821. Як бачимо, модулі всіх чотирьох мультиплікаторів завідомо менші за одиницю. Отже, маємо усталений стан модельного виконавчого компонента асимптотично стійкий. Φ (T ,0) 2 = 1,238724 -1,320390 1,036032 2,206206 2,208169 -2,46199 2,022933 3,034865 0,997888 -1,158440 1,021675 0,918113 0,062731 -0,071950 0,058673 -0,267660 Числові значення мультиплікаторів її. -0.339488215449038 ± 0.148135878277776i; λ1,2 = λ3 =0.102913409312265; λ 4 =0.106817894062979. Як бачимо, модулі всіх чотирьох мультиплікаторів також завідомо менші за одиницю. Отже, і цей усталений стан теж асимптотично стійкий. Про дослідження стійкості трифазного виконавчого асинхронного мотора при однофазному живленні окрема розмова. Тут метод аналізу, на відміну від усіх розглянутих до того задач, не спрацьовує в голому вигляді. У зв’язку з чим довелося модифікувати цільову функцію (8) до такого вигляду f ( x(0)) =x(0) − x(3T ) =0, (21) що зумовлено появою третьої субгармоніки в струмах мотора. Тобто, тут на кожній ітерації формули Ньютона (9) доводиться інтегрувати рівняння стану й рівняння першої варіації не на одному часовому періоді Т, а на трьох – 3Т! У четвертому розділі теоретичні результати другого й третього розділів узагальнюються на системи з розподіленими електричними параметрами, електромеханічний стан яких описується змішаною системою нелінійних дифе– ренціальних рівнянь зі звичайними й частинними похідними. Відповідні мате– матичні моделі будуються на концепції поєднання методів теорії електромаг– нетних кіл і теорії електромагнетного поля. Просимульовано усталені періодичні процеси й визначено асимптотично стійкі і нестійкі стани пристрою з розподіленими параметрами, що описується системою високого порядку диференціальних рівнянь стану. Як об’єкт дослідження використано все той же виконавчий трифазний асинхронний мотор, але з глибокими пазами обмотки ротора, в яких проявляється інтенсивний поверхневий ефект, який виконує безпосередні робочі функції. А тому мусить бути врахований з належною точністю. У такому разі понят- тя зосередженого опору й зосередженої індуктивності у зазначеній частині струмопровода втрачають фізичний сенс, і доводиться звертатись до теорії електромагнетного поля. Поверхневий ефект у глибокому прямокутному пазу описується системою рівнянь квазістаціонарного електромагнетного поля ∂H ν 0 ∂ 2 H 1 ∂H = ; E =− ; 0 ≤ z ≤ h, 2 ∂t γ ∂z γ ∂z (22) де H – поперечна проекція вектора напруженості магнетного поля; E – поздовжня проекція вектора напруженості електричного поля; γ – питома електропровідність; z – просторова координата вздовж глибини h. Крайові умови для рівняння (22) задаємо, виходячи з закону Ампера, H ( 0) = i / a ; H ( h ) = 0 . (23) Володіючи часовою функцією i = i (t ) , за крайових умов (23) можемо проінтегрувати рівняння (22) і знайти просторово-часову функцію H ( z , t ) , а відтак – просторово-часовий розподіл функції E ( z , t ) . Інтегральною характеристикою поверхневого ефекту в провіднику на довжині l є значення = u E ( 0) ⋅ l . (24) Оскільки обмотка ротора мотора описується в області координатних перетворень, то розрахункові диференціальні рівняння квазістаціонарного електромагнетного поля (22), записані для окремих фаз А і В, необхідно теж записати в цій самій області ∂H A ν 0 ∂ 2 H A ω ∂H B ν 0 ∂ 2 H B ω = − H + H = − 2 ; ( 2H A + H B ). ( A B) ∂t γ ∂z 2 ∂t γ ∂z 2 3 3 (25) Відповідно до них згідно з (24) адаптується одна з колонок (18) U R = (lE A (0), lEB (0)). (26) Значення E A (0), EB (0) у (26) отримуємо внаслідок дискретизації похідної за відомою триточковою схемою правого рівняння (22) Ei (0) = 1 ( −3iRi / a + 4 H i1 − H i 2 ) ; i = A, B. 2 γ∆z (27) Диференціальні рівняння (17), (25) становлять математичну модель глибо– копазного виконавчого мотора. Матриця монодромії (19) із-за наявності рівнянь (25) ускладнюється Φ = ( ΑS , w, m, s )t ; m= ∂H A0 ∂H B 0 ; s= , ∂x(0) ∂x(0) (28) де H A0 , H B 0 – колонки дискретних значень напруженостей магнетного поля у вузлах просторової сітки H i 0 = H i 2, H i 3 ,...H in −1 ) , i (= t A, B , причому n – кіль- кість вузлів просторової сітки; H AГ 0 , H BГ 0 – колонки значень напруженостей магнетного поля у граничних вузлах: H iГ 0 = с ( iRi / a,0,,0 )t ; С – матриця про- сторової дискретизації рівнянь (25). Елементи матриці С визначаються тим чи іншим різницевим шаблоном просторових похідних у методі скінчених різниць, або тими чи іншими глобальними матрицями в методі скінчених елементів. Ваpiацiйнi piвняння для обчислення субматpиць (28) одеpжуємо дифеpенцiюванням по х(0) рівнянь електpомеханiчного стану (17) i рiвнянь квазi– стацiонаpного електромаґнетного поля (25). Дифеpенцiюючи по х(0) (17), одеpжуємо (20), але перше з них ускладню– ється dS ∂U ∂Ω (29) = − (Ω + R Α) S + wΨ. dt ∂x(0) ∂ω Перша похідна по х(0) у (29) згiдно з (26), (27) буде ∂H A1 ∂H A 2 3 ∂iRB ∂H B1 ∂H B 2 ∂U l 3 ∂iRA = +4 − +4 − 0,0, − ,− . ∂x(0) 2 γ∆z ∂x(0) ∂x(0) a ∂x(0) ∂x(0) ∂x(0) a ∂x(0) (30) Решту субматриць (28) одержуємо дифеpенцiюванням по х(0) (25) ∂H AΓ 0 1 2 dm ω ( H A0 + 2 H B 0 ) w − ; s+ =(C − ⋅ 1)m − dt ∂x(0) 3 3 3 ∂H BΓ 0 1 2 ds ω (2 H A0 + H B 0 ) w + . m+ = (C − ⋅ 1) s + dt ∂x(0) 3 3 3 (31) Похiднi ∂H iΓ 0 / ∂x(0) будуть ∂H iΓ 0 c ∂iRi ,0,...,0 . = ∂x(0) a ∂x(0) t (32) Частинні похiднi ∂iSi / ∂x ( 0 ) , ∂iRi / ∂x ( 0 ) , ∂Ψ Si / ∂x ( 0 ) , ∂H ik / ∂x(0) , де i = А, В; k = 1, 2, є елементами матриць z, AS, q, s, тому вони відомі. Таким чином, побудова матриці монодромії глибокопазного асинхронного мотора вимагає інтегрування рівнянь першої варіації (20), (29), (31). Для одержання усталених процесів за ітераційною формулою Ньютона (9) варіаційні рівняння (20), (29), (31) необхідно інтегрувати разом з рівняннями електромеханічного стану (17), (25) на часовому інтервалі [ 0,T ] . Зазвичай ітераційний процес при прийнятній заданій точності закінчується за декілька іте– рацій (від двох до семи). Результати комп’ютерної симуляції усталених станів модельного виконавчого мотора для випадку дискретної сітки розбиття зони паза по глибині n = 8 показані на рис. 4. Рис. 4. Розрахункові криві струму фази А статора на 2-й, 3-й, 5-й ітераціях, що призвели до періодичного процесу глибокопазного мотора А 12-52-8А в номінальному стані (зліва) й розрахункові криві кутової швидкості на 2-й, 3-й, 5-й ітераціях, що призвели до періодиного процесу глибокопазного мотора АК 12-52-8А в номінальному стані Визначення статичної стійкості. У роботі розглянуто приклади стійких і нестійких усталених періодичних станів модельного виконавчого глибокопазного мотора. Але оскільки тут матриці монодромії Φ (T ,0) порівняно високого порядку – 17 × 17 , то ми числових значень їх не подаватимемо, а подамо лише числові значення їхніх мультиплікаторів Флоке. В усталеному процесі, показаному на рис. 3 (номінальний стан) значення мультиплікаторів такі: 0.675248647294062 ± 0.237107080780043i; λ1,2 = λ3 =0.809098517070400; λ 4 =0.201589924856333; λ5 =0.197523571565171; λ 6 =-0.004103228493651; 0.001804754311725 ± 0.000087253072570i; λ 7,8 = λ9 =0.001204248912980; 0.000001437380426 ± 0.000000042970634i; λ10,11 = λ12 =0.000000193966749; λ13 =0.000000018420710; -0.000000001449801 ± 0.000000007266467i; λ14,15 = λ16 =0.000000001829154; -0.000000002200649. λ17 = Як бачимо, модулі всіх 17 мультиплікаторів завідомо менші одиниці. А це значить, що знайдений усталений стан модельного виконавчого асинхронного мотара є асимптотично стійкий. Розглянемо інший усталений електромеханічний стан пристрою – стан ко– роткого замикання. Мультиплікатори Флоке матриці монодромії Φ (T ,0) у цьому стані мають інші числові значення: - 3.1372 ± 2.2346i; λ1,2 = - 0.2549 ± 0.5997i; λ11,12 = - 2.7005 ± 0.6108i; λ3,4 = - 0.7770 ± 1.9146i; λ5,6 = - 0.7630 ± 2.0066i; λ 7,8 = λ9 =- 1.4937; λ10 =0.7297; λ13 =0.2854; - 0.7023; λ14 = λ15 =- 0.0261; λ16 =- 0.1345; - 1.0036. λ17 = Як бачимо, модулі 10 мультиплікаторів із числа 17 завідомо більші за оди– ницю. А це значить, що знайдений усталений стан модельного виконавчого асинхронного мотара є асимптотично нестійкий. Стійкий і нестійкий стани досліджуваного пристрою цілком узгоджуються з фізикою процесу. ВИСНОВКИ В дисертації розв’язана науково-прикладна задача математичного моделювання статичної стійкості усталених періодичних станів виконавчих еле– ментів комп’ютерних систем управління із зосередженими й розподіленими електричними параметрами. При цьому отримано такі результати: 1. Огляд літературних джерел, присвячених методам аналізу статичної стійкості нелінійних технічних систем, показав, що відомі методи визначення статичної стійкості усталених електромеханічних станів виконавчих компо– нентів комп’ютерних систем управління є далекі від свого завершення й по– требують подальших досліджень. 2. Розроблено в часовій області методи аналізу асимптотичної стійкості усталених періодичних електромеханічних станів нелінійних виконавчих ком– понентів одно-, дво- й трифазного живлення (з конденсаторами й без них) замкнутих нелінійних комп’ютерних систем управління із зосередженими й розподіленими параметрами. 3. Здійснено приведення змішаних нелінійних диференціальних рівнянь електромеханічного стану виконавчих компонентів комп’ютерних систем уп– равління та доведено, що такі системи є правильні за визначенням Ляпунова. 4. Розроблено математичну модель виконавчого компонента (асинхрон– ного мотора) в однофазному стані, яка дає змогу досліджувати несиметричні стани комп’ютерних систем управління, у тому числі при знеструмленні фаз. 5. Побудовано варіаційні рівняння змішаних нелінійних диференціальних рівнянь електромеханічного стану виконавчих компонентів комп’ютерних сис– тем управління, на підставі яких обчислюється матриця монодромії, у результаты чого одержуюємо всі показники асимптотичної стійкості. 6. Розроблені методи аналізу статичної стійкості усталених періодичних станів на відміну від існуючих дають змогу здійснювати аналіз у часовій обла– сті, що забезпечує водночас можливість аналізу перехідних і усталених проце– сів з наперед заданою точністю. 7. Розроблено математичну модель однофазного виконавчого компонента (трифазного асинхронного мотора в однофазному стані), яка забезпечує мож– ливість дослідження автономного виконавчого компонента та аналіз несимет– ричних аварійних станів комп’ютерної системи управління в цілому. Для цього в ній передбачено інтегрування рівнянь стану з розривними часовими функці– ями, що виникають у комутаційних процесах. 8. На базі виконаних досліджень розроблено алгоритми, які реалізовано в комп'ютерних програмах і впроваджено в практику. СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ 1. Гоголь З. І. Алгоритм визначення статичної стійкости виконавчих асинхронних моторів / Гоголь З.І.,Чабан В.Й. // Вісник Нац. унів. “Львівська політехніка” Автоматика, вимірювання та керування, № 500. – 2004. – С. 71–75. 2. Гоголь З. Розрахунок статичної стійкости виконавчих асинхронних моторів / Гоголь З., Чабан О., // Proceeding of 9-th International Modelling School of AMSE-UAPL, 12-17 September 2004, Alushta, Ukraine, Р. 49–52. 3. Гоголь З. Алґоритм аналізу комутаційних і перехідних процесів при вимкненні електричних пристроїв у системах / Гоголь З., Чабан В., Лишук В.// Proceedings of The 10-th International Modelling School of AMSE-UAPL, 12–17 September 2005, Alushta, Ukraine, pp. 55–60. 4. Гоголь З. Алґоритм аналізу статичної стійкости в нелінійних системах. – Електроінформ, № 1/ 2007. – С. 19. 5. Гоголь З. Aлґоритм аналізу статичної стійкости усталених станів виконавчих асинхронних моторів / Гоголь З., Скоропад П., Чабан О.// Технічні вісті 2007/1(25), 2(26). – C. 94–95. 6. Гоголь З. Аналіз статичної стійкости в нелінійних системах / Гоголь З., Чабан В. // Dynamical system modelling and stability investigation. Tesis of conference reports, Kyiv, may 22–25, 2007, p. 24. 7. Гоголь З. Дослідження стійкости пристроїв, описаних коло-польовими мАтематичними моделями / Гоголь З., Чабан В. // Dynamical system modelling and stability investigation. Tesis of conference reports, Kyiv, may 27–29, 2009, p. 160. 8. Гоголь З. Алґоритм розрахунку перехідних процесів трифазного асинхронного мотора при однофазному живленні / Чабан В., Гоголь З., Костючко С.// Технічні вісті, 2010/1 (31), 2(32). – С. 66 – 67. 9. Гоголь З. Побудова матриці монодромії глибокопазних асинхронних мо–торів / Гоголь З., Чабан В., Костючко С.// Вісник Нац. унів. “Львівська політехніка” № 671 “Електроенергетичні та електромеханічні системи”. – 2010. – С. 124–128. 10. Гоголь З. Побудова матриці монодромії глибокопазних асинхронних моторів / Чабан В., Костючко С. // Матеріали ІІІ міжнародної наук.-техн. конференції Підвищення рівня ефективності енергоспоживання в електротехнічних при– строях і системах, Луцьк, 28-30 червня. – 2010 – С. 102 –103. 11. Гоголь З. Обчислення матриці монодромії в розбудові алгоритмічних основ автоматизації проектування / Cкоропад П., Чабан В. // Вісник Нац. Унів. Львівська політехніка № 688 «Комп’ютерні системи та мережі», 2011. – С. 204–206. 12. Гоголь З. Математична модель трифазного асинхронного мотора в однофазному стані / Чабан В. // Електротехніка й електромеханіка, 2011, № 3. – С. 43–45. 13. Гоголь З. Алгоритм розрахунку перехідних і усталених процесів асинхронного мотора / Чабан В., Костючко С. // Електротехніка й електромеханіка, 2011, № 3. – С. 46–48. 14. Tchaban Z. About one two-point boundary value problem / Tchaban V., Tchaban. O., Kostiuchko S. // Технічні вісті, 2011/1(33), 2(34) . – С. 9–12. 15. Tchaban Z. Simulation of static stability of tree phase induction motor / Tchaban V. // Przeglad elektrotechniczny, R. 87, NR 9a/2011, pp. 295–297. 16. Чабан З. Симуляція статичної стійкости ферорезонансних станів елект–ричного кола /Скоропад П., Чабан. В.// Технічні вісті, 2012/1(35), 2(36) . – С. 11– 13. 17. Tchaban Z. Auxiliary model of parametric sensitivity / Tchaban V., Kostiuchko S. // Computational Problems of Electrical Engineering, vol. 2, No 1, 2013, pp. 129– 132. 18. Tchaban Z. The theory of electromagnetic circuits / Tchaban V., Tchaban O., Kostiuchko S,. – In monograph: Computing in Sciense and Technology, Rzeszow: Wyd-wo Uniwersytetu Rzeszowskiego, ISBN 978-83-7338-895-6, 2012/13, 172 p. (pp. 34-55). АНОТАЦІЯ Методи аналізу статичної стійкості виконавчих компонентів комп’ю– терних систем. – На правах рукопису. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.13.05 – комп’ютерні системи та компоненти. – Національний університет «Львівська політехніка» Міністерства освіти і науки України, Львів, 2014. Дисертація присвячена розробці методів аналізу статичної стійкості уста– лених періодичних станів електромеханічних виконавчих компонентів комп’ютерних систем управління із зосередженими й розподіленими параметрами. Аналіз здійснюється у часовій області на підставі загальної теорії нелінійних диференціальних рівнянь зі звичайними й частинними похідними. Водночас розв’язується задача Коші і двоточкова крайова задача для диференціальних рівнянь. Стійкість періодичного розв’язку визначається за мультиплікаторами Флоке фундаментальної матриці. Задача розв’язується на підставі поєднання методів теорії електромагнітних кіл, теорії квазістаціонарного електромагнет– ного поля, динаміки механічного руху. Таке поєднання дає можливість найпро– стіше й найповніше врахувати складний фізичний процес і записати при тому диференціальні рівняння системи в нормальній формі Коші, спростивши тим самим комп’ютерну реалізацію дискретної моделі по максимуму. У загально– му алгоритмі задіяні відомі математичні моделі і розроблено нові. Приводять– ся результати комп’ютерної симуляції. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, листа використаних джерел. Ключові слова: компоненти комп’ютерних систем, статична стійкість, математичні моделі, нелінійні електромеханічні системи із зосередженими й розподіленими параметрами, електромагнетні кола, електромагнетне поле, задача Коші й двоточкова крайова задача для диференціальних рівнянь. АННОТАЦИЯ Чабан З. И. Методы анализа статической устойчивости исполнитель– ных элементов компьютерных систем. – На правах рукописи. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.13.05 – компьютерные системы и компоненты. – Национальный университет «Львовская политехника» Министерства образования и науки Украины, Львов, 2014. Диссертация посвящена разработке метода анализа статической устойчи– вости периодических состояний электромеханических исполнительных устройств с сосредоточенными и распределенными параметрами, как составля– ющих компьютерных систем управления. Анализ осуществляется в часовой об– ласти на основании общей теории нелинейных дифференциальных уравнений с обыкновенными и частными производными. Одновременно решается задача Коши и двухточечная краевая задача для дифференциальных уравнений. Устойчивость периодического решения определяется на основании мультиплика– торов Флоке фундаментальной матрицы. Задача решается на основании объе– динения методов теории электромагнитных цепей, теории квазистационарного электромагнитного поля, динамики механического движения. Такое обобщение позволяет наиболее просто и наиболее полно учесть сложный физический про– цесс и записать при этом дифференциальные уравнения системы в нормальной форме Коши, упростив тем самым реализацию дискретной модели на ЭВМ по максимуму. В общем алгоритме задействуются известные математические мо– дели и разработаны новые. Приводятся результаты расчетов на ЭВМ. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, выводов, списка использованных литературных источников. Ключевые слова: составляющие компьютерных систем, статическая ус– тойчивость, математические модели, нелинейные электромеханические систе– мы с сосредоточенными и распределенными параметрами, электромагнитные цепи, электромагнитное поле, Задача Коши и двухточечная краевая задача для дифференциальных уравнений. ABSTRACT Tchaban Z. The methods of analysis of static stability of actuating components of computer systems. – As the manuscript. The dissertation for the degree of candidate of technical sciences, in the speciali– ty 05.13.05 – computer systems and components. – Lviv Polytechnic National Uni– versity, Ministry of Education and Science of Ukraine, Lviv, 2014. The dissertation is devoted to building of method of analysis of static stability of periodical steady-state processes of electromechanical executing devices with con– centrated and distributed parameters as subsystems of computer systems of control. Analysis is realized in time area on base of general theory of non-linear differential equations with ordinary and partial derivatives. There is solved Cauchy problem and two point boundary value problem for differential equations. The stability of perio– dical solution is determined on base of Flock’s multiplicators of fundamental matrix. The problem is solved on base of combination of electromagnetic field theory, elec– tromagnetic circuit’s theory and dynamics of motion. Such combination gives the possibility the simplest and the best to take into consideration complicated physical process and to write down differential equations of system in Cauchy’s form, thanks to simplify computation of discrete model much as possible. In common algorithm is used known mathematical models and created new. The results of computation are given. The work consists: entry, four chapters, conclusions and list of used sources. In entry is shown the actuality of the problems, scientific novelty and practical importance of received results. In the first chapter is made critical analysis of used sources and is shown the expediency to use for static stability solution of method of model of sensitivity to initial condition of differential equations of state. The second chapter consists: theoretical main principles of dissertation which are built on non-linear differential equations general theory, theory of electromagnetic circuits and electromagnetic field. Here is solved Cauchy problem and two point boundary value problem for differential equations of electromechanical state. Here are shown as previous results take on solution of asymptotic stability too. In the third chapter are built mathematical models of analysis of steady-state of electromechanical devices with concentrated electrical and mechanical parameters and determining of asymptotic stability of them. Here are computed stable and unstable steady-state processes. In the fourth chapter the theoretical results of previous two chapters are generalized on systems with distributed electrical parameters. The appropriate mathematical models are built on conception of combination of theories of electromagnetic circuits and electromagnetic field. Here are computed stable and unstable steady-state processes also. Key words: computer systems components, static stability, non-linear electromechanical systems with concentrated and distributed parameters, electromagnetic circuits, electromagnetic field, Cauchy problem and two point boundary value problem for differential equations.
