Unidad
Divisores
AY multiplos
DIVISIBILIDAD
Múltiplos de un número
Para determinar los múltiplos de un número dado, debemos multiplicarlo por cualquier númern
ero
natural, es decir, por 0; 1; 2; 3; 4.
ejemplo, calculamos los múltiplos del número 6.
Para esto, multiplicamos los números naturales por 6; es decir
30..
6 x0 0; 6 x 1 6; 6 x 2 12; 6 x 3 18; 6 x 4 =24; 6 x 5
Por
=
=
Entonces, los múltiplos de 6 son {0; 6; 12; 18; 24; 30...).
También podemos hallar los múltiplos de 6 si contamos de 6 en 6 a partir del cero (0). Observa.
18
12
Definición. El
múltiplo de
un
número es
+6
+6
+6
+6
+6
+6
30
24
aquel que lo contiene
una
cantidad exacta de
veces.
Por ejemplo
PARA REPRESENTAR
35 contiene al número 7 cinco veces, pues 3 5 7 5.
Por lo tanto, 35 es un múltiplo de 7. Se expresa así:
=
35 7
y
Pero también 35
Calculamos los
significa que
es
los múltiplos de un número
dodo 'n',se utizo
| 35 es un múltiplo de7
35
múltiplo de 5,
múltiplos del
es
divisible entre
entonces 35
la siguiente notación n
n se lee múltiplo de n
7
=5.
Por ejemplo
12 =3 (12 es mltiplbde3
número 2
18 6
(18 es múltiplo de 6
multiplicamos los números naturales por 2, es decir:
0; 2x 1 2; 2x2 4; 2x3 = 6; 2x4 =8; 2x5 10..
Para ello,
2x0
Entonces, los múltiplos de 2 son {0; 2; 4; 6; 8; 10..
También podemos calcularlos si contamos de 2 en 2 a partir del cero (0). Fíjate.
+2
0
+2
2
+2
+2
6
8
10
Podemos escribir los múltiplos de 2 de la siguiente manera: M(2) = {0; 2;4; 6; 8, 10.
de actividades
Texto escolar 4.° grado
Revisa las páginas 80 a 103 de tu libro de activiue
No
D
gue
D
D
II
SD
Ediciones Lexicom S. A. C. Prohibida su reproducción. D. Leg. N. 822
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co
N
D
U10
8
D
5
OA
O
C
X
m
Divisibilidad. Criterios de divisibilidad
Divisibilidad por 2
Un número dado es divisible por 2 si su última cifra
Pon mucha atención a los siguientes
es cero
ejemplos:
94
Es
múltiplo
de 2, pues
su
última cifra
es
par (4).
382
Es
múltiplo
de 2, pues
su
última cifra
es
par
443
No
es
múltiplo de 2,
pues
su
última cifra
Un número dado
divisible por 4 si sus dos
últimas cifras son ceros (00) o forman un
número múltiplo de 4.
par
siguientes ejemplos:
537
Al sumar todas sus cifras resulta
5+3+7 15.
formado por sus dos últimas cifras
(12)
124
3
Notamos que 15 es múltiplo de 3,
pues 15 +3 = 5.
múltiplo de 4, es decir
(es una división exacta).
Por lo tanto, 537 es mútiplo de 3.
894No es múltiplo de 4, pues el número
5465Al sumartodas sus cifras resulta
5+4+6 +5 20.
Notamos que 20 no es múltiplo de 3.
formado por sus dos útimas cifras
-(94) no es mútiplo de 4, es decir:
944
(3).
Un número es divisible por 3 si la suma de
todas sus cifras
es un número múltiplo de 3.
Veamos los siguientes ejemplos:
712Sí es múltiplo de 4, ya que el número
es un
número par (2; 4; 6: 8).
Divisibilidad por 3
es
Mira atentamente los
o un
(2).
no es
Divisibilidad por 4
(0)
Pues 20+3 = 6 y sobran 2 unidades.
23 y sobran 2 unidades (es
Por lo tanto, 5465 no es mútiplo de 3.
una división inexacta).
Divisibilidad por 9
Un número es divisible por 9 si la suma de todas sus cifras
resulta un múltiplo de 9. Observa los siguientes ejemplos:
873
Al sumar todas sus cifras resulta 8 + 7 +3 = 18.
Notamos que 18 es múltiplo de 9, pues 18
Por lo tanto, 873 es mútiplo de 9.
5782Al
sumar todas sus cifras
resulta 5
+
7
9 =2.
+ 8+2 22.
Notamos que 22 no es múltiplo de 9.
Pues 22+ 9 2ysobran 4 unidades.
Por lo tanto, 5782 no es múltiplo de 9.
FEJATE QUE
5782 no es múltiplo de 9,
debido a que la surma de
sus cifras no es pero sí
podemos afirmar que
5782 9 +4
Divisibilidad por 5
Un número es divisible por 5 si su última cifra es cero (0) o
cinco (5). Pon atención a los siguientes ejemplos
30
Texto escolar 4.° grado
pues la Suma de
sus cifras es 9+4.
iConfirmalo!
Ediciones Lexicom
S. A. C.
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Prohibida
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reproducción. D.
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N.° 822
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Leg. N.° 822
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6
D
D
D
Veamos un ejemplo
Mira
mucha atención los siguientes
números y sus
respectivos divisores:
Los divisores de 12 son {1: 2:
3: 4; 6: 12).
Los divisores de 30 son
{1: 2: 3:5; 6: 10; 15; 30).
Los divisores de 24 son
{1: 2: 3; 4; 6: 8; 12; 24).
Comparando los conjuntos, notamos que los divisores
comunes de 12: 30 y 24 son
De todos ellos, el
{1;2; 3, 6
mayor es 6; por lo tanto: MCD(12; 30;
6.
con
24)
=
Cálculo del máximo común divisor
Para determinar el MCD de
varios números se calcula la
descomposición canónica de los
numeros dados y luego se
solo los factores primos comunes
multiplican
que presenten, elevados
al menor exponente.
Por
ejemplo: Calcula el
Descomponiendo
60 2
x
MCD de 60 y 72.
en factores
primos cada número dado, tenemos que
3 x5 y 72
2
x
32
Obtenemos el MCD multiplicando únicamente los factores
comunes;
es
exponente 2) y 3 (con exponente 1), entonces MCD(60; 72) = 22 x3.
decir, 2 (con
Luego: MCD(60; 72) = 4 x3 = 12
OTRO MÉTODO
para determinar el MCD de
varios números lo vemos
en este ejemplo:
Calcula el MCD de los
números 36; 24 y 84.
36
18
24- 8 4 |2
12
42 2
21 3
Luego, el MCD será
MCD
5
2 x 2 x3
MCD
Estos núnmeros son
12
primos entre sl
Problemas de aplicación del MCM y el MCD
Los cálculos del MCMy el MCD nos pueden ayudar a resolver varios problemas.
Ejemplo. La longitud de una manguera
Cuál es la menor longitud de una manguera si se desea dividirla en trozos
de 6 y 9 cm de tal forma que no sobre ni falte?
Resolución:
Calculamos el MCM de 6 (2 Xx 3) y 9 (3*)
MCM(6; 9) 2 x 3 = 18
La longitud de la manguera debe ser tal que,
al dividirla en trozos de 6 cm, no sobre ni falte.
Luego, la longitud debe ser un múltiplo
Lo mismo debe ocurrir al dividirla en trozos
de 9 cm. Entonces, esta longitud debe ser,
simultáneamente, múltiplo de 6 y 9.
de 18.
Longitud = {18; 36; 54; 72.}
Finalmente, la
manguera
34
Texto escolar -4.° grado
es
menor
18
cm.
longitud de
la