Hogeschool Toegepaste Natuurwetenschappen
Technologie deel 2 voor AS1
Uitwerkingen
Versie 1, november 2022
Auteurs: de technologiedocenten
1
Week 1: Hydrostatische wet
1.
De druk op de bodem is in alle vaten hetzelfde.
2.
De drukbijdrage van het water: ∆𝑃 = 𝜌𝑔∆ℎ = 1000 ∙ 9.81 ∙ (0.40 − 0.21) = 1862 Pa
Berekenen met hoeveel cm tetra dit overeenkomt:
∆𝑃
1862
∆ℎ = 𝜌𝑔 = 1590∙9.81 = 0.12m = 12 cm
Dus de hoogte van het tetraniveau in het rechterbeen is 21 + 12 = 33 cm
3.
∆𝑃 = 𝜌𝑔∆ℎ dus 1.01 ∙ 105 = 1000 ∙ 9.81 ∙ (ℎ − 0)
Hieruit volgt dat ℎ = 10.3 m
Als de atmosferische druk 30% van 1.01 ∙ 105 is, dan is de hoogte 0.3 ∙ 10.3 = 3.09 m
4.
De druk op de bodem van de U-buis is hetzelfde in het linker- en rechterbeen.
Linkerbeen: 𝑃𝐿 = 𝜌1 𝑔ℎ1 = 𝜌1 𝑔 ∙ 0.25
Rechterbeen: 𝑃𝑅 = 𝜌1 𝑔ℎ1,𝑟 + 𝜌2 𝑔ℎ2 = 𝜌1 𝑔 ∙ 0.13 + 1000 ∙ 9.81 ∙ 0.18
Gelijkstellen: 𝜌1 𝑔 ∙ 0.25 = 𝜌1 𝑔 ∙ 0.13 + 1000 ∙ 9.81 ∙ 0.18
Hieruit volgt dat 𝜌1 = 1500 kg/m3
5.
𝑃 = 𝜌𝑔ℎ = 1000 ∙ 9.81 ∙ 25 = 245250 Pa
6.
𝑃𝑏𝑜𝑑𝑒𝑚 = 𝑃0 + 𝑃𝑔 + 𝜌𝑔ℎ = 105 + 0.5 ∙ 105 + 720 ∙ 9.81 ∙ 0.8 ∙ 10 = 206506 Pa = 2.1 bar
7.
Links: vacuum: 𝑃𝑔𝑎𝑠 = 𝜌𝑔ℎ = 13600 ∙ 9.81 ∙ 0.10 = 13342 Pa
Rechts: open manometer: 𝑃𝑔𝑎𝑠 = 𝑃0 + 𝜌𝑔ℎ = 105 + 13600 ∙ 9.81 ∙ 0.10 = 113342 Pa
8.
𝑃1 = 𝑃2 = 𝜌𝑔ℎ = 13600 ∙ 9.81 ∙ 0.73 = 97394 Pa = 97 kPa
𝑃3 = 0 Pa (vacuum)
9.
𝑃2 = 𝑃1 + 𝜌𝑔ℎ = −3000 + 1000 ∙ 9.81 ∙ 0.2 = −1038 Pa
10. 𝑃𝐵 = 𝑃𝐶 = 𝑃0 + 𝜌𝑘𝑤𝑖𝑘 𝑔ℎ1+2 = 105 + 13600 ∙ 9.81 ∙ 0.70 = 193391 Pa
Én
𝑃𝐵 = 𝑃𝐴 + 𝜌𝑤𝑎𝑡𝑒𝑟 𝑔ℎ1 = 𝑃𝐴 + 1000 ∙ 9.81 ∙ 0.45
Samenvoegen van de vergelijkingen en omschrijven geeft
𝑃𝐴 = 193391 − 4414.5 = 188976.5 Pa = 1.9 ∙ 105 Pa
11. 𝑃𝐵 = 𝑃𝐶 = 𝑃0
Én
𝑃𝐵 = 𝑃𝐴 + 𝜌𝑤𝑎𝑡𝑒𝑟 𝑔ℎ1 + 𝜌𝑘𝑤𝑖𝑘 𝑔ℎ2 = 𝑃𝐴 + 1000 ∙ 9.81 ∙ 0.15 + 13600 ∙ 9.81 ∙ 0.25
Samenvoegen en omschrijven geeft
𝑃𝐴 = 105 − 1471.5 − 33354 = 65174.5 Pa = 65 kPa
2
Week 2: de continuiteitsvergelijking
1. 𝑑𝑛𝑎𝑎𝑙𝑑 = 0.2 mm
𝑚𝑚
𝑑𝑠𝑝𝑢𝑖𝑡 = 12 mm en 𝑣𝑠𝑝𝑢𝑖𝑡 = 2 𝑠
𝜌1 𝑣𝑛𝑎𝑎𝑙𝑑 𝐴𝑛𝑎𝑎𝑙𝑑 = 𝜌2 𝑣𝑠𝑝𝑢𝑖𝑡 𝐴𝑠𝑝𝑢𝑖𝑡 , constante dichtheid, dus 𝑣1 𝐴1 = 𝑣2 𝐴2
𝜋
𝜋
𝑣𝑛𝑎𝑎𝑙𝑑 ∙ 4 ∙ 0.22 = 2 ∙ 4 ∙ 122
𝑣𝑛𝑎𝑎𝑙𝑑 = 7200
2.
𝑚𝑚
𝑠
= 7.2
𝑚
𝑠
𝑉𝑧𝑤𝑒𝑚𝑏𝑎𝑑 = 12 ∙ 25 ∙ 2.8 = 840 𝑚3
𝜋
𝑉̇ = 𝑣 ∙ 𝐴 = 1.2 ∙ ∙ 0.102 = 9.42 ∙ 10−3
𝑡=
𝑉𝑧𝑤𝑒𝑚𝑏𝑎𝑑
𝑉̇
4
840
9.42∙10−3
=
𝑚3
𝑠
= 89127 𝑠 = 24 𝑢 45 min 36𝑠
3. 𝑉1̇ = 𝑉̇2 dus verhoudingen debieten is 1
𝑣
𝑑2
2.52
𝑣1 𝐴1 = 𝑣2 𝐴2 ⇔ 𝑣1 𝑑12 = 𝑣2 𝑑22 dus 𝑣1 = 𝑑22 = 5.02 = 0.25
2
1
Of: diameter halveren = snelheid*4
𝜋
2
4. 𝑉̇𝑏𝑙𝑜𝑒𝑑𝑣𝑎𝑡 = 𝑉̇𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑙𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒𝑛 = 𝑛𝑉1̇ 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑙𝑙𝑎𝑖𝑟 = 𝑛𝑣𝑐𝑎𝑝 4 𝑑𝑐𝑎𝑝
(dichtheid bloed constant)
𝜋
4
10.0 = 𝑛 ∙ 0.100 ∙ ∙ 0.0012
10.0
𝑛 = 7.85∙10−8 = 1.3 ∙ 108
5. 𝜌1 𝑣1 𝐴1 = 𝜌2 𝑣2 𝐴2 + 𝜌3 𝑣3 𝐴3 en 𝜌1 = 𝜌2 = 𝜌3
𝜋
𝜋
𝜋
𝑣1 𝑑12 = 𝑣2 𝑑22 + 𝑣3 𝑑32
4
4
4
𝑣1 ∙ 0.052 = 2.3 ∙ 0.0402 + 3.0 ∙ 0.0402
𝑚
𝑣1 = 3.39 𝑠
6.
𝑉̇𝑏𝑢𝑖𝑠 = 𝑉̇𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑔𝑎𝑎𝑡𝑗𝑒𝑠 = 𝑛𝑉1̇ 𝑔𝑎𝑎𝑡𝑗𝑒 (dichtheid water is constant)
𝜋 2
𝜋 2
𝑣𝑏𝑢𝑖𝑠 4 𝑑𝑏𝑢𝑖𝑠
= 𝑛𝑣𝑔𝑎𝑎𝑡𝑗𝑒 4 𝑑𝑔𝑎𝑎𝑡𝑗𝑒
𝑣𝑔𝑎𝑎𝑡𝑗𝑒 =
1.2∙0.0252
−3 2
= 15
50∙10
Extra: Bernoulli
∆𝑃
𝜌
1
+ 2 𝑚∆𝑣 2 + 𝑔∆ℎ = 0 met
Punt 1 (kop)
105
15
0
P
v
h
𝑚
𝑠
Punt 2 (lucht)
105
0 (op max hoogte staat stil)
?
1
Invullen: 0 + 2 ∙ (0 − 152 ) + 9.81 ∙ (ℎ2 − 0) = 0
1
1
ℎ2 = 2 ∙ 152 ∙ 9.81 = 11.47 𝑚
7. 𝑉̇𝑎𝑜𝑟𝑡𝑎 = 𝑉̇𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑏𝑙𝑜𝑒𝑑𝑣𝑎𝑎𝑡𝑗𝑒𝑠 = 𝑛𝑉1̇ 𝑣𝑎𝑎𝑡𝑗𝑒 (dichtheid bloed is constant)
3
𝜋
𝜋
𝜋
2
2
2
𝑣𝑎𝑜𝑟𝑡𝑎 4 𝑑𝑎𝑜𝑟𝑡𝑎
= 𝑛𝑣𝑣𝑎𝑎𝑡𝑗𝑒 4 𝑑𝑣𝑎𝑎𝑡𝑗𝑒
met 𝑛 ∙ 4 𝑑𝑣𝑎𝑎𝑡𝑗𝑒
= 𝐴𝑚𝑖𝑙𝑗𝑎𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑣𝑎𝑎𝑡𝑗𝑒𝑠 = 0.2 𝑚2
𝜋
0.3 ∙ 4 ∙ 0.022 = 𝑣𝑣𝑎𝑎𝑡𝑗𝑒 ∙ 0.2
𝑣𝑣𝑎𝑎𝑡𝑗𝑒 = 4.7
8.
= 0.47
𝑚𝑚
𝑠
𝑉̇𝑖𝑛𝑔𝑎𝑛𝑔 = 𝑉̇𝑢𝑖𝑡𝑔𝑎𝑛𝑔 (dichtheid olie constant)
𝜋 2
𝜋 2
𝑣𝑖𝑛𝑔𝑎𝑛𝑔 4 𝑑𝑖𝑛𝑔𝑎𝑛𝑔
= 𝑣𝑢𝑖𝑡𝑔𝑎𝑛𝑔 4 𝑑𝑢𝑖𝑡𝑔𝑎𝑛𝑔
𝑣𝑢𝑖𝑡𝑔𝑎𝑛𝑔 =
9.
𝑚
𝑠
𝑡=
𝑉̇
𝑉
=
2.0∙0.32
0.12
= 18
10000∙10−3
𝜋
18∙ ∙0.012
𝑚
𝑠
= 70.7 𝑠
4
Dus 71 s.
10. a) 𝑉̇ = 60
𝐿
𝑚𝑖𝑛
=
60∙10−3 𝑚3
𝜋
b) 𝑉̇ = 𝑣𝑘𝑟𝑎𝑎𝑛 𝑑2𝑘𝑟𝑎𝑎𝑛
60
𝑠
= 10−3
𝑚3
𝑠
4
𝑣𝑘𝑟𝑎𝑎𝑛
10−3
= 𝜋∙∙0.012 = 12.73 𝑠
4
c) 𝑚̇ = 𝜌𝑤𝑎𝑡𝑒𝑟 𝑉̇ = 1000 ∙ 10−3 = 1.0
𝑘𝑔
𝑠
𝜋
𝐿
4
𝑚𝑖𝑛
11. 𝑉̇ = 𝑣𝑙𝑒𝑖𝑑𝑖𝑛𝑔 𝑑2𝑙𝑒𝑖𝑑𝑖𝑛𝑔 met 𝑉̇ = 5.0
=
5.0∙10−3 𝑚3
𝑉̇
𝑣𝑙𝑒𝑖𝑑𝑖𝑛𝑔 = 𝜋
𝑑2
4 𝑙𝑒𝑖𝑑𝑖𝑛𝑔
60
𝑠
= 8.3333 ∙ 10−5
𝑚3
𝑠
8.3333 ∙ 10−5
𝑚
= 𝜋
= 0.12
𝑠
∙ 0.032
4
12. 𝑉̇ = 𝑉̇𝟐 + 𝑉̇𝟑 + 𝑉̇𝟒 + 𝑉̇𝟓 (dichtheid water constant)
maar de buizen hebben allemaal dezelfde diameter, dus ook dezelfde snelheid en kan er
gesteld worden dat
𝑉̇ 1 = 4 ∙̇ 𝑉2
𝜋
𝜋
𝑣1 𝑑21 = 4 ∙ 𝑣2 𝑑22
4
4
1
𝑣1 𝑑21
4
2
𝑑2
𝑣2 = ∙
=
2.0∙0.402
4∙0.10
2
= 8.0
𝑚
𝑠
Week 3: Kenmerken van stroming
3
1.
3
𝜋 2
𝑚
−3 𝑚
𝑉̇ = 𝑣 4 𝑑𝑝𝑖𝑗𝑝
met 𝑉̇ = 10
=
2.78
∙
10
ℎ
𝑠
4
2
𝑑𝑝𝑖𝑗𝑝
=
2.78∙10−3
𝜋
4
∙2.0
= 1.77 ∙ 10−3 𝑚2
𝑑𝑝𝑖𝑗𝑝 = 0.042 𝑚 = 4.2 𝑐𝑚
𝜌𝑣𝑑
𝜂
𝑅𝑒 =
2.
=
1000∙2.0∙0.042
10−3
= 84000 >3000, dus turbulent
𝐿
𝜋
2
𝑣 uit 𝑉̇ = 𝑣 𝑑𝑝𝑖𝑗𝑝
met 𝑉̇ = 900 =
ℎ
4
𝑣=
2.5∙10−4 ∙4
𝜋∙0.0672
𝑅𝑒 =
𝜂
𝜌
𝜌𝑣𝑑
𝜂
=
3.
𝜐=
=
10
850
4.
a) 𝑅𝑒 =
𝜌𝑣𝑑
𝜂
900∙10−3 𝑚3
= 0.071
𝑠
𝑚3
𝑠
𝑚
𝑠
830∙0.071∙0.067
4.2∙10−3
= 0.01176
3600
= 2.5 ∙ 10−4
= 938.9 < 2100, dus laminair
𝑚2
𝑠
𝑚2
𝑠
= 0.012
𝜂
en 𝜐 = 𝜌, dus 𝑅𝑒 =
𝑣𝑑
𝜐
=
2.00∙0.048
848∙10−6
= 113
b) de stroming is laminair want Re<2100
5.
𝑅𝑒 =
𝑣𝑑
,
𝜐
⇔𝑑=
invullen: 2100 =
2100∙0.0073∙10−4
20∙10−2
20∙102 ∙𝑑
0.0073∙10−4
= 0.0077 m = 0.77 cm
6.
𝑅𝑒 =
𝜌𝑣𝑑
𝜂
=
1090∙8.0∙0.0276
1.0∙10−3
7.
𝑅𝑒 =
𝜌𝑣𝑑
𝜂
met d gevraagd en 𝑣 onbekend
= 2.4 ∙ 105
𝜋
𝑣 uit 𝑚̇ = 𝜌𝑣𝐴 = 𝜌𝑣 4 𝑑2 , met 𝑚̇ =
𝑣=
118 𝑘𝑔
60 𝑠
= 1.97
𝑘𝑔
𝑠
𝑚̇
𝜋 2
𝜌 𝑑
4
𝑚̇
Invullen in Reynolds: 𝑅𝑒
Omschrijven geeft voor
=
𝜌 ( 𝜋 2)𝑑
𝜌 𝑑
4
4𝑚̇
𝑑=
𝜋𝜂𝑅𝑒
𝜂
=
=
4𝑚̇
𝜋𝑑𝜂
4∙1.97
𝜋∙1.2∙10−3 ∙5.0∙104
= 0.0418 m = 4.18 cm
5
Week 4: De wet van Bernoulli
1.
Zet alle gegevens in een tabel.
Punt 1
Punt 2
𝑣
𝑣
𝑣
𝑧
0
0.5
𝑃
3 ·10
5
?
Start met de wet van Bernoulli:
𝑃2 − 𝑃1
1
(
) + 2(𝑣22 − 𝑣12 ) + 𝑔(𝑧2 − 𝑧1 ) = 0
𝜌
Vul de gegevens in (𝜌𝑤𝑎𝑡𝑒𝑟 = 1000 𝑘𝑔⁄𝑚3 ):
𝑃2 − 300 000
(
) + 9.81(0.5) = 0
1000
Omwerken geeft: 𝑃2 = 300 000 − 4905 = 295095 Pa = 2.95 Bar
2. Ga ervan uit dat de stroming horizontaal is. De dichtheid verandert niet. Volgens de
continuïteitsvergelijking geldt: volumedebiet A1 = volumedebiet A2 :
1
1
𝐴1 𝑣1 = 𝐴2 𝑣2 ⟹ 4 𝜋(0.01)2 ∙ 0.06 = 4 𝜋(0.003)2 ∙ 𝑣2 ⟹ 𝑣2 = 0.667 𝑚/𝑠 .
Omdat de dichtheid niet verandert geldt volgens de wet van Bernoulli :
𝑃1 − 𝑃2
1
(
) + 2(𝑣12 − 𝑣22 ) + 𝑔(𝑧1 − 𝑧2 ) = 0
𝜌
Omdat de stroming horizontaal is, geldt: 𝑧1 = 𝑧2 ;
𝑃 −𝑃
( 2 𝜌 1 ) + 12(𝑣22 − 𝑣12 ) = 1029 ∙ (0.6662 − 0.062 ) = 226.8 𝑃𝑎
In doorsnede A2 is de overdruk 227 Pa lager. Dit kan ernstige gevolgen hebben, zoals het
dichtklappen van de ader.
3.
Punt 1
0.0007
0
𝑃1
𝑣
𝑧
𝑃
𝑃2 −𝑃1
) + 12(𝑣22
𝜌
(
Punt 2
850
0
𝑃2
− 𝑣12 ) + 𝑔(𝑧2 − 𝑧1 ) = 0
Er is geen hoogteverschil, dus
𝑃 −𝑃
( 2 𝜌 1 ) + 12(𝑣22 − 𝑣12 ) = 0
1
2
1
2
𝑃2 − 𝑃1 = − ∙ 𝜌 ∙ (𝑣22 − 𝑣12 ) = − ∙ 1000 ∙ (8502 − 0.00072 ) = −361250000 Pa = −3613 bar
De absolute druk op punt 1 : 𝑃1 = 𝑃2 + 3613 = 3614 bar
6
4.
Punt 1
3.0
0
𝑃1
𝑣
𝑧
𝑃
𝑃2 −𝑃1
) + 12(𝑣22
𝜌
(
Punt 2
1.0
0.8
𝑃2
− 𝑣12 ) + 𝑔(𝑧2 − 𝑧1 ) = 0
(𝑃2 − 𝑃1 ) = −12∙𝜌(𝑣22 − 𝑣12 ) − 𝑔(𝑧2 − 𝑧1 ) = −
(𝑃2 − 𝑃1 ) = 4000 − 7848 = −3848 Pa
1000
2
(1.02 − 3.02 ) − 1000 ∙ 9.81 ∙ 0.8
De druk is het grootst in punt 1, omdat het drukverschil door de zwaartekracht (7840 Pa) groter
is dan het drukverschil dat te maken heeft met verschillen in stroomsnelheid (4000 Pa).
5.
Punt 1
0
𝑧1
𝑃0
𝑣
𝑧
𝑃
Punt 2
𝑣2
0
𝑃0
𝑃2 − 𝑃1
1
(
) + 2(𝑣22 − 𝑣12 ) + 𝑔(𝑧2 − 𝑧1 ) = 0
𝜌
1
2
Invullen geeft: ∙ 𝑣22 + 𝑔(−𝑧1 ) = 0
𝑣2 = √2𝑔𝑧1 , hoe langer de afvoerpijp (hoe groter z1), hoe groter v2
6.
a)
𝑣
𝑧
𝑃
Punt 1,
boven in vat
0
𝑧1
𝑃0
Punt 2,
gat
𝑣𝑔𝑎𝑡
0
𝑃0
𝑧1 berekenen uit het volume: 𝑉 =
4∙𝑉
4∙5
1
4
∙ 𝜋 ∙ 𝑑2 ∙ 𝑧 met 𝑉 = 5000 𝐿 = 5 𝑚3 en 𝑑 = 2.50 𝑚
𝑧1 = 𝜋∙𝑑2 = 𝜋∙2.52 = 1.02 m
𝑃2 − 𝑃1
1
(
) + 2(𝑣22 − 𝑣12 ) + 𝑔(𝑧2 − 𝑧1 ) = 0
𝜌
1
Invullen: 0 + 2 ∙ 𝑣22 + 𝑔 ∙ (−𝑧1 ) = 0
Geeft: 𝑣2 = √2𝑔𝑧1 = √2 ∙ 9.81 ∙ 1.02 = 4.47
𝑚
𝑠
b) 𝑉̇ = 𝐴𝑔𝑎𝑡 ∙ 𝑣 = 4.00 ∙ 10−4 ∙ 4.47 = 0.0018 = 1.18 ∙ 10−3
𝑚3
𝑠
7
7. Volgens de continuïteitsvergelijking geldt: volumedebiet links = volumedebiet rechts :
1
1
𝐴1 𝑣1 = 𝐴2 𝑣2 ⟹ 4 𝜋(0.05)2 ∙ 1.0 = 4 𝜋(0.04)2 ∙ 𝑣2 ⟹ 𝑣2 = 1.5625 𝑚/𝑠 .
Volgens de wet van Bernoulli:
𝑃2 − 𝑃1
1
(
) + 2(𝑣22 − 𝑣12 ) + 𝑔(𝑧2 − 𝑧1 ) = 0
𝜌
Omdat de stroming horizontaal is, geldt: 𝑧1 = 𝑧2 , dus
𝑃2 − 𝑃1
1
(
) + 2(𝑣22 − 𝑣12 ) = 0
𝜌
𝑃1 = 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ𝑜𝑜𝑔𝑡𝑒 𝑣𝑙𝑜𝑒𝑖𝑠𝑡𝑜𝑓𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑖𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡 1
Hoogte vloeistofkolom in punt 1 is 20 cm.
𝑃2 = 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ𝑜𝑜𝑔𝑡𝑒 𝑣𝑙𝑜𝑒𝑖𝑠𝑡𝑜𝑓𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑖𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡 2
Hoogte vloeistofkolom in punt 2 is X cm.
1
Dus 9.81 ∙ 𝑋 − 9.81 ∙ 0.20 + (1.56252 − 12 ) = 0
2
Hieruit volgt, dat X = 0.127 m = 12.7 cm
8. a) A en B liggen op dezelfde stroomlijn. A en D liggen op verschillende stroomlijnen.
b) drukafname aan de bovenkant van de vleugel:
1
1
∆𝑃 = 2 ∙ 𝜌 ∙ (𝑣𝐵2 − 𝑣𝐴2 ) = 2 ∙ 1.3 ∙ (552 − 502 ) = 341 𝑃𝑎
c) drukafname aan de onderkant van de vleugel:
1
2
1
2
∆𝑃 = ∙ 𝜌 ∙ (𝑣𝐷2 − 𝑣𝐶2 ) = ∙ 1.3 ∙ (512 − 502 ) = 66 𝑃𝑎
d) drukverschil tussen de bovenkant en onderkant van de vleugel is 341-66=275 Pa.
e) 𝐹 = ∆𝑃 ∙ 𝐴 = 275 𝑃𝑎 ∙ 5 𝑚2 = 1375 𝑁
Week 5: Toepassingen van de wet van Bernoulli I
1.
𝑣
𝑧
𝑃
Punt 1 (oppervlak)
0
𝑧1
𝑃0
𝑃2 −𝑃1
) + 12(𝑣22
𝜌
(
Punt 2 (gat)
5.00
0
𝑃0
− 𝑣12 ) + 𝑔(𝑧2 − 𝑧1 ) = 0
8
1
2
∙ 𝑣22 + 𝑔(−𝑧1 ) = 0
1 𝑣22
𝑔
𝑧1 = 2 ∙
1 5.002
9.81
=2∙
= 1.27 m
2.
a) De eerste vraag is een hydrostatisch probleem. We kiezen punt a en punt b
Gebruik de formule uit HC1 of gebruik Bernoulli (zonder snelheidstermen). Dit geeft dezelfde
formule: 𝑃𝑏 − 𝑃𝑎 = 𝜌𝑔(𝑧𝑎 − 𝑧𝑏 )
Invullen van de gegevens:
𝑃𝑏 − 100 000 = 1000 ∙ 9.81 (0.6 − 0) = 5886
𝑃𝑏 = 105 886 Pa
b) We kiezen punt a en e. Zet alle gegevens in een tabel:
Punt a
Punt e
𝑣
0
𝑣𝑒
𝑧
0
0
𝑃
1 ∙ 105
1 ∙ 105
Start met de wet van Bernoulli:
𝑃𝑒 −𝑃𝑎
) + 12(𝑣𝑒2
𝜌
(
− 𝑣𝑎2 ) + 𝑔(𝑧𝑒 − 𝑧𝑎 ) = 0
Vul de gegevens in, de drukterm valt weg:
𝑚
Omwerken geeft: 𝑣𝑒 = √17.66 = 4.2 𝑠
Van v naar volumedebiet:
m3
𝑉̇ = 𝑣𝑒 𝐴 = 4.2 ∙ 1𝜋𝑑2 = 7.42 ∙ 10−4
4
1
2
(𝑣𝑒2 − 0) + 9.81(−0.9) = 0
s
c) We kiezen punt a en c. Zet alle gegevens in een tabel:
Punt a
𝑣
0
𝑣𝑐
𝑧
0
0
𝑃
1 ∙ 105
𝑃𝑐
𝑃𝑐 −𝑃𝑎
) + 12(𝑣𝑐2
𝜌
(
Punt c
− 𝑣𝑎2 ) + 𝑔(𝑧𝑐 − 𝑧𝑎 ) = 0
Vul de gegevens in, de hoogteterm valt weg:
𝑃𝑐 −100 000
) + 12(𝑣𝑐2 )
1000
(
=0
We hebben twee onbekenden in deze vergelijking. Er is een 2e vergelijking nodig! Stel
continuïteitsvergelijking op tussen punten c en e:
9
𝑑2
0.0152
𝜋𝑑𝑐2 𝑣𝑐 = 14 𝜋𝑑𝑒2 𝑣𝑒 → 𝑣𝑐 = 𝑑𝑒2 𝑣𝑒 = 0.0302 ∙ 4.2 = 1.05
1
4
𝑐
m
s
De snelheid op punt c invullen in de Bernoulli vergelijking:
𝑃𝑐 −100 000
) + 12(1.052 )
1000
(
=0
Nu kan de gevraagde druk in punt c worden uitgerekend:
(𝑃𝑐 − 100 000) + 500(1.052 ) = 0
𝑃𝑐 = 100 000 − 551.25 = 99 449 Pa
d) We kiezen punt c en d. Zet alle gegevens in een tabel:
Punt c
Punt d
𝑣
1.05
1.05
𝑧
0
0.2
𝑃
𝑃𝑑
99449
𝑃𝑐 −𝑃𝑑
) + 12(𝑣𝑐2
𝜌
(
− 𝑣𝑑2 ) + 𝑔(𝑧𝑐 − 𝑧𝑑 ) = 0
Vul de gegevens in:
99449−𝑃𝑑
)+
1000
(
9.81(−0.2) = 0
Uitwerken: 99449 − 𝑃𝑑 − 1962 = 0
𝑃𝑑 = 97487 Pa
3.
a) Als A1 de doorsnede van het vat is en A2 de doorsnede van de kraan, en v1 de
snelheid waarmee het niveau van het bieroppervlak daalt en v2 de uitloopsnelheid aan de
kraan dan is:
𝑣
𝑧
𝑃
Punt 1
0
5.0
𝑃0
𝑃2 −𝑃1
) + 12(𝑣22
𝜌
(
Punt 2
𝑣2
0
𝑃0
− 𝑣12 ) + 𝑔(𝑧2 − 𝑧1 ) = 0
1
2
∙ 𝑣22 + 𝑔(−𝑧1 ) = 0
𝑣 = √2𝑔ℎ = 9.9 𝑚⁄𝑠
b) Invullen van de continuïteitsvergelijking 𝑣1 𝐴1 = 𝑣2 𝐴2
𝜋
𝜋
𝜇𝑚⁄
𝑣1 ∙ 4 32 = 9.9 ∙ 4 0.012 ; hieruit volgt: 𝑣1 = 1.10 ∙ 10−4 𝑚⁄𝑠 = 110
𝑠.
10
Opmerking: Om beide snelheden exact uit te rekenen dient de wet van Bernoulli gebruikt te
worden.
c) De uitstroomtijd is: 𝑡 =
𝑉
𝑉̇𝒈𝒆𝒎𝒊𝒅𝒅𝒆𝒍𝒅
1
𝑉 = 4 ∙ 𝜋 ∙ 32 ∙ 5 = 35.34 𝑚3
9.9+0.0
1
𝑉̇𝒈𝒆𝒎𝒊𝒅𝒅𝒆𝒍𝒅 = 𝑣𝑔𝑎𝑡,𝑔𝑒𝑚 ∙ 𝑐 ∙ 𝐴𝑔𝑎𝑡 = 2 ∙ 0.95 ∙ 4 𝜋 ∙ 0.012 = 3.7 ∙ 10−4
35.34
𝑚3
𝑠
𝑡 = 3.7∙10−4 = 9.55 ∙ 104 𝑠 = 26.5 𝑢𝑢𝑟
4.
a) De druk in punt 1 is gelijk aan de druk in punt 2, dus
𝑃1 = 𝑃2 . Invullen in de wet van Bernoulli geeft:
𝑚
𝑣2 = √2𝑔ℎ = √2 ∙ 9.81 ∙ 0.5 = 3.13 𝑠
b) Er geldt nu niet dat v1 = 0
Continuïteitsvergelijking: 𝐴1 𝑣1 = 𝐴2 𝑣2 → 𝑑12 𝑣1 = 𝑑22 𝑣2
𝑑2
Dus 𝑣1 = 𝑑22 𝑣2 = 0.04𝑣2
1
𝑃2 −𝑃1
) + 12(𝑣22
𝜌
Bernoulli vergelijking: (
− 𝑣12 ) + 𝑔(𝑧2 − 𝑧1 ) = 0
Invullen geeft (drukterm valt weg): 12(𝑣22 − 𝑣12 ) + 9.81(0 − 0.5) = 0
Combineren van vergelijkingen:
1
(𝑣22 − (0.04𝑣2 )2 ) = 4.905
2
(𝑣22 − 1.6 ∙ 10−3 𝑣 2 ) = 9.81
0.9984𝑣 2 = 9.81 ⟹ 𝑣2 = 3.13 𝑚/𝑠
5.
a)
𝑣
𝑧
𝑃
Punt 1
0
𝑧1
𝑃0
Punt 2
4.00
0
𝑃0
Volgens de wet van Bernoulli:
𝑃2 − 𝑃1
1
(
) + 2(𝑣22 − 𝑣12 ) + 𝑔(𝑧2 − 𝑧1 ) = 0
𝜌
1 2
∙ 𝑣 + 𝑔 ∙ (−𝑧1 ) = 0
2 2
1 𝑣22
𝑔
𝑧1 = 2 ∙
= 0.815 m
𝑣
+𝑣
b) 𝑉̇ = 𝑣𝑔𝑎𝑡,𝑔𝑒𝑚𝑖𝑑𝑑𝑒𝑙𝑑 ∙ 𝐴𝑔𝑎𝑡 ∙ 𝐶 met 𝑣𝑔𝑎𝑡,𝑔𝑒𝑚𝑖𝑑𝑑𝑒𝑙𝑑 = 𝑔𝑎𝑡,𝑒𝑖𝑛𝑑𝑒 2 𝑔𝑎𝑡,𝑏𝑒𝑔𝑖𝑛 =
3
4.00+0.00
2
= 2.00
𝑚
𝑠
𝑚
𝑉̇ = 2.00 ∙ 2.00 ∙ 10−4 . 0.80 = 3.2 ∙ 10−4 𝑠
11
6.
a) er wordt gevraagd naar de hoogte van het gat zodat de snelheid bij dat gat gelijk is
aan de helft van de snelheid van een gat in de bodem.
Situatie 1: gat in de bodem
Punt 1
Punt 2
0
𝑣2,𝑏𝑜𝑑𝑒𝑚
𝑣
0
𝑧
12
𝑃
𝑃0
𝑃0
Volgens de wet van Bernoulli:
𝑃2 − 𝑃1
1 2
(
) + 2(𝑣2,𝑏𝑜𝑑𝑒𝑚
− 𝑣12 ) + 𝑔(𝑧2 − 𝑧1 ) = 0
𝜌
1 2
∙𝑣
+ 𝑔 ∙ (−𝑧1 ) = 0
2 2,𝑏𝑜𝑑𝑒𝑚
𝑣2,𝑏𝑜𝑑𝑒𝑚 = √2𝑔𝑧1 = 15.34
𝑚
𝑠
Situatie 2: gat op hoogte z
1
1
𝑣2,ℎ𝑜𝑜𝑔𝑡𝑒 𝑧 = ∙ 𝑣2,𝑏𝑜𝑑𝑒𝑚 = ∙ 15.34 = 7.67
2
𝑣
𝑧
𝑃
Punt 1
0
𝑧1
𝑃0
2
𝑚
𝑠
Punt 2
7.67
0
𝑃0
Volgens de wet van Bernoulli:
𝑃2 − 𝑃1
1 2
(
) + 2(𝑣2,𝑏𝑜𝑑𝑒𝑚
− 𝑣12 ) + 𝑔(𝑧2 − 𝑧1 ) = 0
𝜌
1 2
∙𝑣
+ 𝑔 ∙ (−𝑧1 ) = 0
2 2,ℎ𝑜𝑜𝑔𝑡𝑒 𝑧
2
1 𝑣2,ℎ𝑜𝑜𝑔𝑡𝑒
𝑧
𝑧1 = ∙
= 2.998 𝑚 = 3.00 𝑚
2
𝑔
De uitstroomsnelheid bij een leeg vat is nu niet gelijk aan nul. De overdruk in het vat
zorgt voor een verhoogde uitstroom.
7.
𝑣
𝑧
𝑃
Punt 1
0
7
5.00 ∙ 105
Punt 2
𝑣2
0
105
12
𝑃2 −𝑃1
2
) + 12(𝑣2,𝑏𝑒𝑔𝑖𝑛
𝜌
− 𝑣12 ) + 𝑔(𝑧2 − 𝑧1 ) = 0
(
𝑣2,𝑏𝑒𝑔𝑖𝑛 = √2𝑔𝑧1 + 2 (
𝑃1 −𝑃0
𝜌
) = √2 ∙ 9.81 ∙ 7.00 + 2 (
5.01∙105 −1.01∙105
1000
) = 30.6 𝑚/𝑠
Voor de uitstroomsnelheid bij hoogte h=0 geldt (net voordat het vat leeg is):
𝑃1 −𝑃0
𝑣2,𝑒𝑖𝑛𝑑 = √0 + 2 (
⟨𝑣⟩ =
𝑣𝑏𝑒𝑔𝑖𝑛 +𝑣𝑒𝑖𝑛𝑑
2
𝜌
1
5.01∙105 −1.01∙105
) = √2 (
1000
) = 28.3 𝑚/𝑠
= 2 (30.6 + 28.3) = 29.5 𝑚/𝑠
3
1
𝑉̇𝒈𝒆𝒎𝒊𝒅𝒅𝒆𝒍𝒅 = 29.5 ∙ 0.70 ∙ 4 𝜋(0.08)2 = 0.10 𝑚 ⁄𝑠
𝑡=
8.
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑣𝑙𝑜𝑒𝑖𝑠𝑡𝑜𝑓
𝑉̇𝒈𝒆𝒎𝒊𝒅𝒅𝒆𝒍𝒅
=
1
∙𝜋(3.00)2 ∙7.00
4
0.10
= 495 𝑠
Volgens de wet van Bernoulli:
𝑃2 − 𝑃1
1
(
) + 2(𝑣22 − 𝑣12 ) + 𝑔(𝑧2 − 𝑧1 ) = 0
𝜌
Kies de punten op de stroomlijn, die midden door de buis loopt. Neem aan, dat de dichtheid in
alle punten onveranderd blijft.
Omdat de stroming horizontaal is, geldt: 𝑧1 = 𝑧2 , dus
𝑃2 − 𝑃1
1
(
) + 2(𝑣22 − 𝑣12 ) = 0
𝜌
Hoogte vloeistofkolom in punt 1 is 20 cm, dus
𝑃1 = 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ𝑜𝑜𝑔𝑡𝑒 𝑣𝑙𝑜𝑒𝑖𝑠𝑡𝑜𝑓𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑖𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡 1 = 1000 ∙ 9.81 ∙ 0.20 = 1962 𝑃𝑎
Hoogte vloeistofkolom in punt 2 is 10 cm.
𝑃2 = 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ𝑜𝑜𝑔𝑡𝑒 𝑣𝑙𝑜𝑒𝑖𝑠𝑡𝑜𝑓𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑖𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡 2 = 1000 ∙ 9.81 ∙ 0.10 = 981 𝑃𝑎
13
Verder is gegeven, dat 𝑣1 = 2.0 𝑚/𝑠
Invullen in wet van Bernoulli:
1962 − 981
1
(
) − (𝑣22 − 2.02 ) = 0
1000
2
Hieruit volgt: 𝑣22 = 5.962 ⟹ 𝑣2 = 2.44 𝑚/𝑠
De diameter volgt uit de continuïteitsvergelijking:
1
1
𝐴1 𝑣1 = 𝐴2 𝑣2 ⟹ 4 𝜋(0.05)2 ∙ 2.0 = 4 𝜋(𝑑2 )2 ∙ 2.44 ⟹ 𝑑2 = 0.045 𝑚 = 4.5 𝑐𝑚
9.
𝑣̇
a) Uit de continuïteitsvergelijking volgt: 𝑣𝑏 = 𝐴 =
𝑣𝑛 =
𝑣̇
=
𝐴𝑛
84∙10−6
0.503∙10−4
Punt 1
1.67
0
𝑃𝑣
𝑣
𝑧
𝑃
𝑃𝑏 −𝑃𝑣
) + 12(𝑣22
𝜌
(
𝑏
84∙10−6
6∙10−4
= 0.14 𝑚 ∙ 𝑠 −1 en
= 1 .67 𝑚 ∙ 𝑠 −1 .
Punt 2
0.14
0
𝑃𝑏
− 𝑣12 ) + 𝑔(𝑧2 − 𝑧1 ) = 0
1
∆𝑃 = − 2 𝜌(𝑣22 − 𝑣12 ) = −1426 Pa.
1
b) Het volumedebiet = 84 ∙ 10−6 𝑚3 ∙ 𝑠 −1 = 𝑣 ∙ 4 𝜋 ∙ 𝑑 2 .
84∙10−6
𝑣̇
Hieruit volgt: 𝑣 = 𝐴 =
0.503∙10−4
1
ρ∙v∙d
Re =
η
=
1.67∙1.03∙103 ∙0.80 ∙10−2
4∙10−3
= 1.67 m𝑠 −1
= 3440 ; omdat dit groter is dan 3000, is de stroming
turbulent.
c) Re =
ρ∙v∙d
η
= 1050 , 𝑑𝑢𝑠 1050 =
hieruit volgt: 𝑣 =
1.03 ∙103 ∙𝑣∙𝑑
4∙10−3
.
4.078∙10−3
𝑑
1
Het volumedebiet: 𝑉̇ = 𝑣 ∙ ∙ 𝜋 ∙ 𝑑 2 = 84 ∙ 10−6 𝑚3 ∙ 𝑠 −1 .
hieruit volgt: 𝑣 =
𝑉̇
𝐴𝑛
=
4
84∙10−6 ∙
1
𝜋∙𝑑2
4
.
oplossen van beide vergelijkingen:
84∙10−6 ∙
1
𝜋∙𝑑2
4
=
4.078∙10−3
𝑑
of
84∙10−6 ∙
1
𝜋
4
=
4.078∙10−3
𝑑
∙ 𝑑2 wordt
84∙10−6 ∙
1
𝜋
4
= 4.078 ∙ 10−3 ∙ 𝑑
𝑑 = 0.026 𝑚 = 2.6 𝑐𝑚
14
Week 6: Toepassingen van de wet van Bernoulli II
1
1. ∆𝑃 = 2 ∙ 𝜌 ∙ (𝑣12 − 𝑣22 ) = −24 000 𝑃𝑎
𝑣2 = 10
𝑚
𝑠
1
2
−24000 = ∙ 1200 ∙ (𝑣1 2 − 102 ) ⟹ 𝑣12 = 60 ⟹ 𝑣1 =7.75 = 7.8 𝑚⁄𝑠
1
2. ∆𝑃 = 𝑃1 − 𝑃2 = 2 ∙ 𝜌 ∙ (𝑣12 − 𝑣22 )
𝑣1 = 2.0 𝑚⁄𝑠 ; 𝐴1 = 50 𝑐𝑚2 ; 𝐴2 = 10 𝑐𝑚2
𝑣1 𝐴1 = 𝑣2 𝐴2 ⟹ 2.0 ∙ 50 ∙ 10−4 = 𝑣2 ∙ 10 ∙ 10−4 ⟹ 𝑣2 = 10 𝑚⁄𝑠
1
∆𝑃 = 2 ∙ 1000(100 − 4) = 48000 𝑃𝑎 = 4.8 ∙ 104 𝑃𝑎
3
3. 𝑣̇ = 30 𝐿⁄𝑚𝑖𝑛 = 5.0 ∙ 10−4 𝑚 ⁄𝑠
𝑑1 = 0.1 𝑚 ; 𝑑2 = 0.07 𝑚
1
𝑣̇ = 𝑣1 𝐴1 ⟹ 5.0 ∙ 10−4 = 𝑣1 ∙ 4 ∙ 𝜋(0.1)2 ⟹ 𝑣1 = 6.37 ∙ 10−2 𝑚/𝑠
1
𝑣̇ = 𝑣2 𝐴2 ⟹ 5.0 ∙ 10−4 = 𝑣2 ∙ ∙ 𝜋(0.07)2 ⟹ 𝑣2 = 0.129 𝑚/𝑠
4
1
∆𝑃 = 𝑃1 − 𝑃2 = 2 ∙ 𝜌 ∙ (𝑣22 − 𝑣12 ) = 500 ((0.129)2 − (0.0637)2 )
∆𝑃 = 6.41 = 6.4 𝑃𝑎
4. Pitot buis: hoogteverschillen verwaarloosbaar dus 𝑧1 = 𝑧2 ; 𝑣2 = 0, want in punt 2 wordt de
statische druk gemeten. Volgens de wet van Bernoulli:
1
2∗∆𝑃
.
𝜌
a) 𝑃1 + 2 𝜌𝑣12 = 𝑃2 ⇔ 𝑣1 = √
b) 𝑉̇𝒈𝒆𝒎𝒊𝒅𝒅𝒆𝒍𝒅 = 𝐴𝑏𝑢𝑖𝑠 ∗ 𝑣1 =
0.0804
m3
s
5. 𝑣 = 30
∗ 1020
m
s
kg
m3
𝜋
4
Invullen geeft 𝑣1 = √
∗ (0.16 m)2 ∗ 4
m
s
2∗8160 Pa
= 0.0804
kg
1020 3
m
m3
.
s
= 4.0 m/s
Dit komt overeen met
= 82.03 kg/s = 295320 kg/hr
, ∆𝑃 = 360 ∗ 103 Pa
2 ∗ ∆𝑃
2 ∗ ∆𝑃
2 ∗ ∆𝑃
2 ∗ 360 ∗ 103
kg
2
𝑣= √
⇔ 𝑣 =
⇔ ρ=
=
= 800 3
𝜌
𝜌
𝑣2
302
m
15
6. 𝑉̇ = 977 𝐿⁄ℎ = 0.27 ∙ 10−3 𝑚3 ⁄𝑠
2 · ∆𝑃
𝑉̇ = 𝑣 ∙ 𝑐 ∙ 𝐴 = 𝑐 ∙ 𝐴 ∙ √
𝜌
𝑉̇ = 0.27 ∙ 10−3 𝑚3 ⁄𝑠 = 0.90 ∙
𝜋
2 · ∆𝑃
∙ (0.012 )2 · √
4
1000
Hieruit volgt, dat ∆𝑃 = 3515 𝑃𝑎
1
7. a) Uit de continuïteitsvergelijking volgt: 𝑣̇ = 𝑣𝑘𝑒𝑒𝑙 ∙ 𝐴𝑘𝑒𝑒𝑙 ⟹ 1.0 ∙ 10−2 = 𝑣𝑘𝑒𝑒𝑙 𝜋 ∙
(3.5 ∙ 10−2 )2 .
4
Hieruit volgt, dat de snelheid in de venturi 10.394 m/s is.
b) De druk volgt uit het toepassen van de wet van Bernoulli, (formule voor een venturi geeft een
incorrect getal, omdat de snelheid in het brede gedeelte van de buis niet verwaarloosd mag
worden). Let op dat je de buissnelheid eerst moet uitrekenen, gebruikmakende van de
continuïteitsvergelijking. Hieruit volgt dat
1
1
𝑣𝑏𝑢𝑖𝑠 = 5.1 𝑚/𝑠 . ∆𝑃 = 𝑃1 − 𝑃2 = 2 𝜌𝑣22 − 2 𝜌𝑣12 = 602.5 ∗ (10.394)2 − 602.5 ∗ (5.1)2 =
65091 − 15671 = 49420 𝑃𝑎.
c) Het kental 𝑅𝑒 =
𝜌∙𝑣∙𝑑
𝜂
= 151159. Dit volgt uit het invullen van de buis (!) gegevens. Dus de
stroming is turbulent. Turbulent regime Re > 3000.
Week 7: Pompen en compressoren
1.
𝑣
𝑧
𝑃
Punt 1
𝑣1
0
𝑃1
Punt 2
4.0
15
1.0 ∙ 105
v1 zoeken via continuïteitsvergelijking: 𝑉̇𝟏 = 𝑉̇𝟐
𝜋
m3
𝑉̇𝟐 = 𝐴2 · 𝑣2 = ∗ (0.020)2 · 4 = 1.257 · 10−3
4
s
m3
𝜋
1.257 · 10−3
2
(0.080)
= 𝐴1 · 𝑣1 = ∗
· 𝑣1 ⇔ 𝑣1 = 𝜋
= 0.25 m/s
s
4
(0.08)2
∗
4
Invullen van Bernoulli:
𝑉̇𝟏 = 1.257 · 10−3
1
1
𝑃1 + 𝜌𝑣12 + 𝜌𝑔ℎ1 = 𝑃2 + 𝜌𝑣22 + 𝜌𝑔ℎ2
2
2
1
1
𝑃1 + · 1200 · 0.252 + 0 = 105 + · 1200 · 42 + 1200 · 9.81 · 15
2
2
𝑃1 = 2.86 · 105 Pa
16
2.
Water stroomt van punt 1 (laagste punt) naar punt 2 (de kraan). Neem punt 1 op de
nullijn.
Punt 1
Punt 2
2.00
𝑣
𝑣1
0
40.0
𝑧
𝑃1,𝑝𝑜𝑚𝑝
𝑃
1.00 ∙ 105
Neem aan 𝜌 = 1000 𝑘𝑔⁄𝑚3 ;
Via de continuiteitsvergelijking:
1
1
𝑣1 𝐴1 = 𝑣2 𝐴2 ⟹ 𝑣1 ∙ 4 𝜋 (2 ∙ 10−2 )2 = 2.0 ∙ 4 𝜋 (8 ∙ 10−3 )2
𝑣1 = 0.32 𝑚/𝑠; gegevens invullen in
𝑃1 + 𝜌1 ∙ 𝑔 ∙ ℎ1 +
1
2
∙ 𝜌1 ∙ 𝑣12 = 𝑃2 + 𝜌2 ∙ 𝑔 ∙ ℎ2 +
1
2
∙ 𝜌2 ∙ 𝑣22
1
1
𝑃1 + 2 ∙ 1000 ∙ 0.322 = 1.00 ∙ 105 + 1000 ∙ 9.81 ∙ 40 + 2 ∙ 1000 ∙ 2.02
Hieruit volgt de druk die de pomp moet leveren: 𝑃1 = 494349 𝑃𝑎 = 4.94 ∙ 105 𝑃𝑎.
3.
Punt 1
0
3
𝑃0
𝑣
𝑧
𝑃
Punt 2
𝑣2
0
𝑃0
De snelheid in de leiding volgt uit de continuïteitsvergelijking:
𝑉̇
𝑣2 = 𝐴 = 1
𝑉̇
𝜋𝑑 2
= 0.707 𝑚⁄𝑠
4
De weerstand in de leiding volgt uit de Fanningvergelijking:
1
𝑙
𝑤𝑓 = 𝑓 2 𝑣 2 𝑑 = 208.5 𝐽⁄𝑘𝑔
𝑃2 − 𝑃1
1
(
) + 2(𝑣22 − 𝑣12 ) + 𝑔(𝑧2 − 𝑧1 ) = 𝑤𝑓 − 𝑤𝑠
𝜌
1 2
𝑤𝑠 van de pomp volgt uit:
𝑣 + 𝑔(−𝐻) = 𝑤𝑠 − 𝑤𝑓
2 2
Hieruit volgt: 𝑤𝑠 = 179.32 𝐽/𝑘𝑔
Vermogen van pomp in [W] is: 𝑤𝑠 ∙ 𝑚̇/𝜂 = 448 𝑊
4.
a) Kies punt 1 op het wateroppervlak en punt 2 bij de uitstroomopening van de slang.
𝑃2 −𝑃1
) + 12(𝑣22
𝜌
(
− 𝑣12 ) + 𝑔(𝑧2 − 𝑧1 ) = −𝑤𝑓
De linker situatie wordt gebruikt om de frictiefactor van de slang te berekenen. Gegeven is: de
druk in punt 1 is gelijk aan de druk in punt 2, dus
17
Punt 1
0
0.66
𝑃0
𝑣
𝑧
𝑃
Punt 2
3
0
𝑃0
𝑃2 −𝑃1
) + 12(𝑣22
𝜌
Invullen in: (
1
2
− 𝑣12 ) + 𝑔(𝑧2 − 𝑧1 ) = −𝑤𝑓
∙ 9 + 9.81 ∙ −0.66 = −𝑤𝑓 ⟹ 𝑤𝑓 = 1.97 𝐽/𝑘𝑔
1
𝑙
1
1.0
𝐽
𝑤𝑓 = 𝑓 2 ∙ 𝑣22 ∙ 𝑑 = 𝑓 2 ∙ 9 ∙ 0.01 = 1.97 𝑘𝑔 ⟹ 𝑓 = 0.0044
In de rechtersituatie geldt:
𝑣
𝑧
𝑃
Punt 1
0
0.66
𝑃0
Punt 2
𝑣2
0
𝑃0
𝑃2 −𝑃1
) + 12(𝑣22
𝜌
Invullen in: (
− 𝑣12 ) + 𝑔(𝑧2 − 𝑧1 ) = −𝑤𝑓
1
𝑙
1
9.0
𝐽
𝑤𝑓 = 𝑓 𝑣 2 = 0.0044 ∙ ∙ 𝑣22 ∙
= 1.98 𝑣22
2 𝑑
2
0.01
𝑘𝑔
𝑃2 −𝑃1
) + 12(𝑣22
𝜌
Invullen in: (
− 𝑣12 ) + 𝑔(𝑧2 − 𝑧1 ) + 𝑤𝑓 = 0
1 2
∙ 𝑣 + 9.81 ∙ −0.66 + 1.98 𝑣22 = 0 ⟹ 𝑣2 = 1.61 𝑚⁄𝑠
2 2
b) Nu geldt:
1 2
∙ 𝑣 + 9.81 ∙ −0.66 = 0 ⟹ 𝑣2 = 3.6 𝑚⁄𝑠
2 2
5.
a) Het maximale vermogen is: 𝑃 = 𝑉 ∙ 𝜌 ∙ 𝑔̇ ∙ ℎ = 0.750 ∙ 1000 ∙ 9.81 ∙ 60 = 441450 𝑊𝑎𝑡𝑡
(P niet te verwarren met druk)
b) Gegeven is: lengte leiding l = 200 m, diameter leiding d = 0.5 m; hieruit volgt dat de snelheid
van het water in de leiding is via de continuiteitsvergelijking:
4∙𝑉̇
4∙0.750
=
= 3.82 𝑚/𝑠
𝜋∙𝑑 2
𝜋∙0.52
1 2 𝑙
1
200
𝑤𝑓 = 𝑓 𝑣 ∙ = 0.03 ∙ ∙ 3.822 ∙
2
𝑑
2
0.5
𝑣=
= 87.55 𝐽/𝑘𝑔
Als gevolg van wrijving gaat er 𝑤𝑓 ∙ 𝑚̇ = 87.55 ∙ 750 = 65662
𝐽
𝑠
𝐽
𝑠
verloren.
Er blijft dus 441450 − 65662 = 375788
over voor de turbine. Het rendement is
het werkelijke of nuttige vermogen is 𝑃 = 0.8 ∙ 375788 = 300630 𝐽/𝑠
80 %, dus
18
6.
a)
b) De druk is vlak na de pomp maximaal. De druk daalt als de hoogte toeneemt en is minimaal
op het hoogste punt van de heuvel.
De snelheid is constant (continuïteit).
17
c) 17 mm Hg komt overeen met:
∙ 1.013 ∙ 105 = 2270 𝑃𝑎 (𝑃2 )
760
Verder is het volgende gegeven: 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟 𝑣𝑎𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑒𝑖𝑑𝑖𝑛𝑔: 𝑑 =
0.1524 𝑚 , 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑐ℎ𝑖𝑙 𝑡𝑢𝑠𝑠𝑒𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡 1 𝑒𝑛 2: ℎ = 762 𝑚,
3
𝐿
𝑉̇ = 568 𝑚𝑖𝑛 = 9.47 ∙ 10−3 𝑚 ⁄𝑠, 𝑃1 (𝑖𝑛𝑙𝑎𝑎𝑡 𝑝𝑜𝑚𝑝) = 1.00 𝑏𝑎𝑟,
𝑤𝑓 = 0 (𝑔𝑒𝑒𝑛 𝑤𝑟𝑖𝑗𝑣𝑖𝑛𝑔), 𝑣1 = 𝑣2 .
Toepassen uitgebreide Bernoulli vergelijking tussen pomp en punt 2:
𝑃2 −𝑃1
) + 12(𝑣22
𝜌
(
− 𝑣12 ) + 𝑔(𝑧2 − 𝑧1 ) + 𝑤𝑓 = 𝑤𝑠
2270−100000
) + 12(0)
1000
(
+ 9.81(762 − 0) + 0 = 𝑤𝑠 ⟹
𝑤𝑠 = 7377 𝐽/𝑘𝑔
De pomp dient een vermogen te leveren: 𝑃 = 𝑤𝑠 ∙ 𝜌 ∙ 𝑉̇ = 7377 ∙ 1000 ∙ 9.47 ∙ 10−3 = 69860 𝑊𝑎𝑡𝑡
Omdat het rendement van de pomp 78 % is, dient een pomp met een vermogen van 89564
Watt =89.6 kW geïnstalleerd te worden.
7.
1
𝑙
Fanningvergelijking: 𝑤𝑓 = 𝑓 ∙ 2 ∙ 𝑣 2 ∙ 𝑑
1
𝑙
𝑑 = 𝑓 ∙ 2 ∙ 𝑣2 ∙ 𝑤
𝑓
𝑘𝑔
,
𝑚𝑠2
𝐽
6.5 𝑘𝑔
Met 𝑤𝑓 = 5.2 𝑘𝑃𝑎 = 5200
 𝑤𝑓 =
5200 𝑘𝑔
800 𝑚𝑠2
𝑚3
∙ 𝑘𝑔 =
staat nog niet in de juiste eenheid:
19
1
2
Invullen geeft: 𝑑 = 𝑓 ∙ ∙ 𝑣 2 ∙
𝑙
𝑤𝑓
1
2
= 0.028 ∙ ∙ 1.252 ∙
29.5
6.5
= 0.099 𝑚 = 100 𝑐𝑚
20