Wawy
Irwa
tlsu .$añafo
fr.
León Tflavnani
tlsa 4llar**ni
Roxana
L.
Failfuino,,,.'.'..i,,:aa;t:',,.
.:,,,,
.
Centro de la esfera
:o
Nivel
de agua
W,ndex $uxmdn
W. forqi;
,..,¡-.:'
'$yak
Luis* T. Tillasetde Rettu¿Ea
tttaabeth WL, Zea Íorrets
J
arge
Docentes del Departameqto Acadén:- ;
de Matemáticas y Estadística
Ijniversidad Nacional de San -\s:. :
_--,.*
-=--=o -:;-:+
-
-:
CALGUT-ü
EN I.¡NA VARIAtsLE
GUÍA DE PRÁCTICA
TERCERA EDIGIÓN
Tercera impresión
*t
*r+
A-jgX -f@¡-1 )ar=j31I .f(*t)Ar
i=l
"-*
i=I
Docentes del Departamento Académico
de Matemáticas y Estadística
Universidad Nacional de San Agustin
\
l¿e* ¡ e:
:-r¡ra
Contenido
Variabie
Contenido
C-\PITLLO 1: Números Reales y Funciones
I
2
3
1
I
Números Reales
Plano Coordenado
9
16
Función
1.4 Algebra y Composición de Funciones
1.5 Funciones Inyectiva y Sobreyectiva
1.6 Funciones Trascendentes
Elercicios Propuestos
3
75
Ió
Límites Trigonornétricos
Límites Infinitos Y al Infinito
Continuidad de Funciones
81
92
101
Elercicios Propuestos
to7
CAPÍTULO 3: La Derivada
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
La Derivada
Reglas de Derivación
Derivada de Funciones Trascendentes
Derivadas de Orden SuPerior
Derivación ImPlicita
Derivación Logarítmica
Frazón de Cambio
Formas Indeterminadas y la Regla de L'Hépital
Ejereicios Propuestos
4.1 Valores Máximos Y Minimos
4.2 Funciones Crecientes y Decrécientes
4.3 Criteno de la Primera y Segturda Derivada para valores Exfremos
4.4 Máximos y Mínimos de Funciones Contiuuas en Intervalos Cerrados
4.5 Problemas de Aplicación de Máximos y Mínimos
4.6 Concavidad. Puntss delnflexión y Gráfrca de Funciones
4.7 Incremento, Diferencial y Aproximaciones Lineales
4.8 Método de Newton para determinar Raices Reales
Ejercicios Propuestos
5.1 La Antiderivada, la lntegrai Indefinida
5.2 Integración por Susfitución
5.3 Cá1eulo de Áreas de Regiones Planas Mediante Sumas de Aproximacíón
5.4 Sumas de fuemann, Integral Definida, Propiedades
5.5 Integración Numérica
Ejercicios Propuestos
Método de Integración por Partes
Ejercicios Propuestos
119
11','
t26
t29
135
139
145
t47
r52
155
157
166
169
172
r75
t83
186
196
20a
245
za7
ztt
CAPÍTULO 6: Técnicas de Integracién
I
lt0
114
183
CAPÍTULO 5: La Integral
6.2 Integrales Trigonométrtcas
6.3 Método de Integración mediante
6.4 Sustitución Trigonométrica
6.5 Integrales Impropias
I07
t45
C-{PÍTULO 4: Aplicaciones de la Derivada
6.
55
6'7
2.2 Límiteslaterales
2.4
2.5
12
67
CAPÍTULO 2: Límites y Continuidad
2 | Límite de una función
2
?7
34
2lt
215
Fracciones Parciales
219
224
22"7
?31
I
de Matemáticas y Estadística
-
UNSA
CAPÍTULO 7: Apticaciones de la Integral
7.1 Valor Promedio de una Función
7.2 Áreas de Regiones planas
7.3 Volúmenes de Sólidos
7.4 Longitud de Arco. Áreas de Superficie
237
238
245
de Revolución
Ejercicios Propuestos
26A
CAPÍTULO 8: Coordenadas polares y Secciones Cónicas
8.1 Coordenadaspolares
8.2 Gráficas de Ecuaciones en Coordenadas polares
8.3 Cálculo de Áreas en Coordenarlas polares
8.4 Secciones Cónicas
Problemas Propuestos
CAPÍTULO 9: Sucesiones y Series
9.1 Sucesión
9.2 Lírnite de una Sucesión
9.3 Sumatorias y Series
9.4 Criterio de Convergencia
9.5 Serie de Potencias
Problemas Propuestos
Bibliografía
254
265
265
269
275
280
291
295
295
296
297
de las Series
300
302
305
:
Capítulo
Cálculo en una
I-
Números Reales y Funciones
Gapítulo
I
hlúmeros Reales y Funciones
Objetivos
-
Aplicar conceptos teóricós, propiedades y técnicas ciel sistema Ce :!rs nufi':eros reales para la solución de problernas.
Hallar el dominio de una función reai.
Evaluar y esbozar la gráfica de una función en forma eficiente.
1.1
Números Reales
Sistema de Números Reales. El sistema de números reaies es un coniunto -il4 no vacío,
en el cual se define las operaciones: adición (+), mulupücación (r); una ¡elación de orden
< , Que se lee "menor gue"; y un axiom a lJ.amado "axioma del suprem a" , para los cuaies las
siguientes leyes o axiomas son válidas:
a+beB y aobeS
2. LeyConmutativa:Sía,be fr,entonces a+b=b+a y a.b=bta
3. LeyAsociativa: Si a,b,c€fr, entonces a+(b+c)=(a+b)+c y ao(boc)=(aob)e c
4. Neutro aditrvo; Existe un número real "cero", denotado por 0, tal que la ecuación
a*0=A+a=a se cumplepata cualquier a€fi, es decir:
1.
Ley de Clausuta: Si
a,befr,
Ya
5.
entonces
effi,l! 0e fi I a+0 -- 0+ a = a
Neutro Multiplicativo: Existe un número real "uno", denotado por 1, (1+ 0), tai que la
ecuación üol=1oa=d se cumplepata cualquier aeffi, es decit:
- lo cI - 6
un elemento óe fr, tal que d*b=b*a=0.
Va e fr,3! I e fr, 1 *0 f aol
6.
Inverso Adiúvo: Pal.a cada aef/., existe
El elemento b es denotado por - a y se llama opuesto de ¿.
7.
Inverso Multiplicativo: Para cada aeW, a +0, existe un eiemento ce fr, tal que
a.c=c.a=1. Elelemento c,denotado po, o-t ysellamarecíprocode a"
8.
Leyes Distributivas: Sí a,b,c e
fr,
entonces
so(b+c)=a¡b+s¡c y (a+b)os=a.c+btc
9. Ley de Tdcotomía: Si a,b e fr, entonces una y sólo una de las siguientes relaciones se
cumple a1b, a=b, b<a.
10.
LeyTransitiva: Si a< b y
b
<c, entóflces a<c.
11.Ley deMonotoníaen1a Suma: Si
a<á, entoilces d+c <b+c, Vcefr.
delaMonotr:níaenelProductoi a.b y 0<c implica a.c<b.c
a<b y c<0 impiica bcc<a.c
13. Axioma del Supremo: Todo conjunto de números reales A+Q, acotado
12.Ley
te, tiene una menor cota superior llamada supremo de A.
superiormen-
(
Definiciones:
1.
La üferencia de númetos
a,befr
se define
2. EI cociente de númercs o,¿€fr, ó*0,
sea: a, b-l = ..?-
como: a-b = a+ (-b).
se defíne como
a.ó-/ y se denota por f,,
o
.
b
3.
La telación de otden "mayor que" se define: Ya,b
ef',
a>
he
b<a
Observaciones
a
Debemos resaltar que no existe la drvisión entre el número ceto, es decir,
f, no está
definido.
tr
Podemos interpretar los axiomas como si fueran ias reglas de un ¡uego, cr"ralquier opetación que se haga respetando los axiomas será una operación váüda.
D
En este trabajo denotaremos el producto de dos números reales
ah.
an&
simplemente por
Propiedades adicionales de números reales
Si a,b,c,d
efi
, entonces:
1) -(-a) = a
2) a(-bJ = (a)b = -(ab)
3) (-a)(-b)= s6
4) ab=ac irnplica b=c, si a+0
L=d
5)
Si
a* 0 y
6)
Si
!*!
a*0 y
"*0, entonr." üC
7)
si
a*a y b*0,' entonc., l¿J-' -"b
\a)
8)
Si a *
9)
Si a+b=a*c,entonces b=c
"*0,entoncr" ac
0 , entonces
si y sólo sí bc = ad
bc+ad
;6
la ecuación cx = b fiene como únrca solución x = a
10) Va e E, tenemos a0 = 0c = 0
lnl
fr,con a*A,secumple a^t+0
72) Va,b eB,con a*0 y b+0, tenefiIos ab+0
13) ab=0 siysólosi a=0 v ó=0
11) Vce
14) ararara....ün = 0 si i' sólo si at
15) Si b*0,entonces
16)
a<b > -b<-a
17)a<óea-b<0
18)
=0 v
a2
* = 0 ,i y sólo si a =Q
¡')
a+c<b+c = a<b
=La
=0 v ... v on=O
S:
.rt
.c
"Se
Pc
Po
. fnf
Capítulo 1 - Números Reales y Funciones
Cálculo en una Variable
19) Si
¿>0 y b>0, entonces a+b> 0 y
cb
>0
20) Si ü7A, entonces o-l >0
21) Si al0,entonces a-t <0
22) Si
a+0, entonces az >0
23) az =0,siysólosi, a=0
(a <b\n(c <d). entonces c+ c <b+ d
24)/ Si
€l*}áik_-€tu¿'{¡
2q A<a<b n 0< c<d =
26) Si ab>O, entonces
ac<bd
a<b e a-t >b-1
27) sb.V.o_e ((q >-o)^(b
28) qb-< 0 e ((" t o)^(á
>
0))v ((a < 0) 4(b
< 0))
<
0))v((a.
> 0))
0)
^(á
zy'\¿(!>o n ¿+o') e
@>o n á>0)
v (a<o n ,:0,
(L<0 n b*ol .r
n¡'\-ó
fu>O n ó<0)
v (a<o
)
)
31) a2 =b
n b>0<+
e
33) a2 <b e
32) q2>b
n b>0)
o=Jb, o=-J6
n(orJl u o.-"6)
(á>o) A f O. o.Ju)
(b>o)
.e a>b, si a>0? á>0
35) a2 <bz e a1b, sí a> 0 Y ó>0
3q J; <"lo a a1h, si ¿>0 n ó>0
34) a2 >b2.
3T
'f;.Jl o a<b,
si a>o
n á>0
38) Si t? es un número entelo positivo impar, entonces se cumplen las siguientes pfopiedades:
a)
ü <<ll-
b) fi":!\
e a<b
c) \fár-a c* a>o
*
d) <lá<o e c6o
a_<b
lntervalos
Si a,b e E con aSb, considetemos los siguientes tipos de intervalos;
. Abie*o: (o,bl = {x efila. , . bl
@
*co
a
bat
.
-(n
ü
b*,
-co
ü
l-t
Cettado: [a,t]= {x e I / a < x < b}
. Serniabierto
Por la Izquierda; {a,bl={x e m I a < x <b\
Porladetecha: l",t!=fue
m
.Infinito: (o,*)={xe fr lx>a\
la<x<b\
bq
-coa
-oo
A
"o
.- -
-
'-c
=.,(
.\-41
.-:...:'=,.r=fi
f
<Cl|
{l
aa
t"l(*)
{-"o, dj = {x € lt / x < ai
Observación:
jl = (- cc. o:).
6 =fa. af
.
Valor Absofuto
Deiin¡cron. ¡,i vaior absoluto
de un
numero fea 1 x, denotado por
t,
ltl= I
<
[-.r,
j,r]
se define
x>o
x<o
Obserr,'ación:
1,. Geométricamentc, el valor al-rsoluto de x sc puedc interpret',rr como la distancia del
punto x al origen 0.
I'l
-.r)
2. La d-tstancia enue dos puntos a,b effi
está dado
Propiedades. Para todo a,á e !1 se cumpie
1,.
l"l-0
2. l"l=l-"1
3. lol=r'7
4 l,,l=iol'
,=
.t
0
-.v
.n
por la -Ul=lO-al
1o siguiente:
5.
abl =l allbl
6.
,lr
OI IC¿I
-l=r---b
lbl
7.
a+
b+l)
I
bl <l al +lb
|
(desigualclai trtangular)
o,
S,nurc
Fropiedades para resolv€r ecuaciones
inecuaciones con l'alor atrsoluto
1) 14=b €'(á>o n{a=bv a=-ó))
2) lol=,nl o(o =b v a* -b)
4) ).qi,>b e1¿r> fi ",' a<-b)
3) l1i=r' e(á>0 n -á <üsb)
l"l.b a(b>0 n -h<acb)
5) r.rll ,4,,.=, a7 sb2
loirl €(¿r>bv a<-b)
Dernuesire que sl d3
-
b3
=4 y a+b=2, en¡.¡irces (tr-b)2
4
=-l
Solución.
Ccmo {a -
b's2 = s
-
,a
Solucir
Ejerciclos Resueltos
1"tr"l
1. 1.
2ab + á2 , ne cesitamos dcterminar estos elementos:
Cálculo en una Variable
1
d*b=2 +
=3 :)
(a+é¡3
s3
* Números
Reales
a3 +b3 +3a2b+3ab2 =B
.+
+bi +3ab(a+b)=8
4+3cb(2)=B ::)
AD=
)
J
a*b=2 =
=4 =)
(a+b72
Luego, (a-b)2 =q2 +b2 -zab =9
a
¿La afirmación que ({*)'
y pat^ cuáIes es falsaP
=4-2ab=+-Z(?\ :)
\3/
a2'+ b2
8
=-J
-! =!
a
JJJ
1.1,2
a2 +b2
=x
¡'
es verdadera
o
,
falsa?
¿pataqué valotes es verdadera
Solución.
Para que exista ú t" ,Jebe cumpiir que x ) 0 , eritonces
x ) 0, pero en general V x e E no se verifica tal igualdad,
I.1.3
,F =x
¿La afirmación que
es ve¡dadera
es verdaderuy p^ta cuáles es falsa?
la afitrnación
es verdaclera si
o falsa? En todo caso, ¿paraqué valores
Solución.
.rc r/x' = -r es verdadero es un error muy común entre los estudiantes.
l)ecrr que
Como
")
b)
{x'
es no negaúva, es
Si
¡>0,
Si
.r < 0
firente
entonce"
F =J
, entonceuF
paru,
x=-2,
decir
Vr'
\/
> 0, tenemos;
ll
es verdadero.
= -x es faiso, pues
se tendría
,{7 sería negatrva. particulares decfu y'f= -2, o sea que z=-2,ro
en este .^"o
qur'{@:-2,
cual es ufla contradicción.
Vale recalcar que de (a) y
1.1.4
p)
podemos decir que xJ =
f
Halle el menor número de
M
,F
.
tal que: 6 + 6x - *2 < M
Solución.
Como 6+6x- 12 = -(r2 -6x)+ 6= l5-(.r-3)2 enronces
Vxe fr, ("r-3)2 >0 =) -(-x-3)2 <0 por tanto M =15.
1.1.5
Resuelva t 1-
t5-(_r-3)r
<15
I t .to# >lrz+,>
2
Solución.
Como se tiene doble desigualdad desgiosamos esta, como sigue:
? 5x+14-9,^ ,
3 5.r.14 5.x-14 g,ll-:x<--->-(2+x'¡ :+ ..
ll-:_r
2
3 5'
2
3
3 - 5.-
'
:,, ry-. 5x 1 14 ¡ 25x+ 70 > 27(2 + x)
23
+ 66-9x < lOx+ 28 n 25x+7A>54+Z7x
-)
=>
-19x<-38 zl -2x>-16
19.r > 38
¡' Zx <16
tlepartamen¡o de MatemátÍcas v EstadÍstica
-
UNSA
x>2
x<8
,,rf-6>
_oo
1.1.6
g = (z,s)
2
Resuelva
I x-3
5x+|3
2
Solución.
1 x-3
5 x+l
1 x-3 x-3 2
5 -x+l -x+1 3
_> -4x+16
<0 ¡ x-11
5(x+1)
3(x+l)
2
3
a) Resolvemo,
>
#
x+7-5x+15
<0
n
3x-9-2x-Z
3(x + 1)
5(x+1)
t-ll.o
r.
'-4ro
= x+7
x+l
<0
-<lJ
0, inecuación gqurvalente a (x *4)(x+1) > 0, de donde:
(x-4){x+l)>0 = (r-qr0 n.r+1>0) r (x-4<0 n;r+l<0)
= (x>4 n ,>-l) t (r.4 * r<-1)
3 (r'a) v (x < -1)
.'. St ={xe fr : ¡<-l v x>4}
b)' Resolvemos
y-11
= ("r-ll)(x+1)<0,
T<0
x+I
dc¡ el método anterior, pero
cn/icos, el cual consiste en:
.
inecuación que se puede resolver emplean-
también lo podemos hacer empleando el método de puntas
Igualar a cero cada facto¡ de la desigualdad, obteruéndose los puntos críticos x = 11
., e_1
I - - r'
.
Los puntos críticos se ubican en Ia recta real, así como se muestra en la fi.gura:
(r-ll[:+l)<O
(¡-llX¡+ l) > 0
(r-ll{.r+1)>0
+
oo-lll
Si
.r 1
1l y x> -1
el
producto de sus factores es estdctamente me¡or que 0.
Sz:t.xeS : -l<r<ll)
Luego, la solución es: S =,Sl ñ52
1.1.7 Determine n
={reS:4<x<tt}=(+,tt)
de modo que
menor que 1, donde
la.
taíz de la ecuaciórl con respecto a la vatiable J
4
!
5+2m
x =!.
Solución.
Se debe
encontrar el valor de
4
_ Sm-l
x
que satisface la ecuación, de modoque.r<l.Entonces
.l +
+ ,
x 5+2m =20*B\
5m-1
Puntos cdticos:
2A+8m-Srn+1
5m-I
<0 =, 3n+21
5m-1
-<0
+
m=*7 y m=1f5
-7
.'.
me(-t,tls|
t/5
^
sea
Capftulo 1 - Números Reales y Funciones
Cálculo en una Variable
1.1.8
Resuelva
1a
ecuación lx -
1l
= 1-
t
.
Solución.
absoluto: '
lx-tl=l*x <> l-x>O n (x-l=l*x v .x-1=¡-i) = xll n (-x=1 v 0=0)
;) r<l n (x=l v xe 8) - r<1 " (xe m) > x<l
Empleando ptopiedades para resolvet ecuaciones con valor
."
1.1.9
luego xe (-'",1]
S-{xe!1:"r<1}
Determine el coniunto solución de:
ü '-'l;-,1=,,-*
I.--ll.j'
x*5 x+l
b)
Solución.
a) r-tl;-:l=s'
=2-x.Utrlizandopropiedades:
= tl;-rl =10- 5x = E-rl
12
r=-tl
u ! -3=x-z)
-)-"-= x<z n(1r=s
(2.'- ' 2
8
I
z-x>o
t)
^(I-3=z-*
\a
)
2
/10^)
+.x<Zn[x-':v x=-2) )
x=
-2
(como se muestra en la gráfica)
s={-z}
2
-2
l"-+l < I :
b)
'
x-5
i) x>4
x+l
Pordefinición
10!3
l,-ar
={;_1,',
x-4 x
x-5 ¡+1
-<0
É + r*4x-4-; +5x <0 ::)
='
x>4
t.-4t={;_!,', x<4
:9 4=J-x+1 =
¡*5
(x
5)("r +
-
(x-2=0
I
Puntos críricos:
I
x-5
=0
4-x
¿-
x
x*5 x+l
4-x
(x-5Xx+l)
"
x
<0 = Z(xz - +x -2¡ >0
(x*5)(x+l)
x=5
,S
= S,
,
S, = (- m,-l)
r}--..-l..€
+-----O
H
-+
+-+
-.o -t 2-"16 z+Jo 5
co
' . ((-.o,-l)v lz - S, z + r6']u(5,*) )
. (-.o,4)n ((- *,-,) , [2 - J6 ,2 *"6].r
. s2 = (* *,-i) .b - Ju ,n)
El conjunto soiución es
((-m,-l)u[z,s))
s, = [+,s)
x+l=0 + x=-l
Luego
l+
25
'.
=2tJ6
l¡-5=0 =
I
x-5 x+l
=.
+5x
4x+4-12 *x-x2---<ll
p.c.:
(x-5)(x+1)
-l
Luego' . h, *),.r ((-*,-r) u [z,s) )
=
-2) <0
2(x
4"""-<
x=2
x=5
X:-l
lx+l=0
ii)x<4
x-47 A
x-4<0
qs,
.b-G,t)
*¡
)
-
Departamento de Matemáticas v Estadística
UNSA
1.1.10 Encuentre el conjunto solución cortespondiente a la desigualdad lxl+1<11-"x1.
Solución.
Podemos proceder como sigue:
r
iguelando
e ceto
x=0 n l-x=
.
0
cada valor absoluto:
= x=l
1
0
-oo
cc
Analtzando cada valot absoluto en el intervalo tespectivo, y teemplazando en la inecuación:
r e (*co,0)*l"l= *"
l1-t l= 1*.x, luego -x+1< I -x + 0 < 0 + x e !t
"
(- oo,0)n g = (- "o,0) .
t e [o,l)=l"l: x ,1 I r*tl= 1-x, luego -t+i < 1-x=
S, = h,l) n (- *,0] ={o } .
Luego
S, =
r.[t,*¡=l"l=x
,sr=[t,*)
.
na=e.
Si lxl <3 y
l0 =
x e (-"o,0]
lr-rl=.x-1,luego r+l<'r-1= a<-2=xe a
A
Uniendo las soluciones:
t."t.Il
'r
= S, u S-
,S
,r-112,
t
S, = {- o,0]
io,ué puede decirse de -r?
Solución.
l"i.¡ = *3<.r<3,> x €[-:,¡],
además x> -1f2:>'¿-€
Interceptando los dos inten'alos se tiene que
l.L.lz
(-t¡2,*]'
t € (- tlZ,Zl.
Empleando intervalos exprese el conjunto o
=\*.nfl**21' -zix*21-rs t o]'
Solución.
l*-21'-21**2i-1s>0
-
L
(l
"-21-s)(lr-zl+3)>o
pues lr-Zl+3 >0, V-re!l
luego: x-2>5 v x-2< -5 = x>7 v x<-3 => A=(-*,-3)u(1,*)
1.1"13 Resuelva: ll
q
= l"- 2l-5r0,
x+zl-tl'
t
-sl
I
x+21-il-6=
Í
0
Solución.
Sea
ff
x+21.*1]¡=, , entonces resolvemos la ecuación siguiente
-5r-6=0 = (z-6)(z+1)=0 = z=6 v z=*1, luego
Si e =u, ll" nzl-tl= o = lx+?l-:=6 v l.x+ zl*t=-6 = lx+21=7 v lx+zl=
,2
*
)
si
z=
-t,
:
ll" *21-1 I
-l
(x+ 2=7 v x+2=-7)
v,=5 v x=-9
"
-s
(xeñ)
(absutdo)
..' ,s - {s,-q}
1.L.14 Resuelva
Gn -JIi,z
Ec
Solución.
n x-1>0 = x>-7 ¡ x)l >
debe estar en el intervalo [.*)
Condición: x + 7 20
inecuación
x)l,entonceslasolucióndela
Luego, elevando ambos miembros de la desigualdad al cuadrado "tenemos:
\
Capítulo 1 - Númerglleales y Funcicnes
Cálculo en una Variable
x+7+r-r-zu(ffilr1
>4
-2"JG+?)(r-D >-2x-2 = x2 +6x-7 <x+l
3 x+l>0 n x2 +6x*7 <xz +2x+1
:) ,r> -1 n 4x<8 = x>-l ¡ x<2 = * é t- l,z¡
=
Interceptando con la condición la solución setá: S = [1,Z).
1.2
Plano Coordenado
Distancia entre dos Puntos
Dados dos puntos en elplano coordenado P1=(\,!t)
! P2, reptesentada por d(\,P2) , está definida por;
y Pz=(x2,!z),
La
distancia entre
P1
d(P.P)=J(r, -xr)z +(t, - !r)'
Y
Punto Medio de un Segmento
.\r
Ei punto medio del segmento de recta con extremos P =(x1,!t) V Q=(x2,y2), está definido por
/\
A,4 =[\+
11)l
x2
.!t+ lz
^P=(x2'.i2)
-/
]
La Recta y sus Ecuaciones
La pendiefite m cle una recta no vertical,
que pasa por los puntos 4 = (xr ,y) y
P2 = (x2,y2), está dada por:
m
P, = {xz,yz)
=tan9
f-. -.-.'/..- ''.
m=-aY= lt-lt
Air xz - xl
0
es ei ángulo de
'
---. '.-
¡
lr-_--.1r-Ji
inclinación de lz rccta L.
m>a
m<a
0 ángulo agudo
0
ángulo
obruso
m=0, 0=0o
L recta hc¡rizontai
mnoestádefinida
0=90o
, L
recta vertical
Ecuaciones de Líneas Rectas
o
La ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto (;to,.yo) y tíene pendiente lrl es
Y-Yo=m(x-xa)
4,,
7
Departamenio de Matemáticas y EstadÍstica
r
-
UNSA
La ecuación pendiente-ordenada al origen, de la recta con pendie nte rn y ordenada
es de ia forma
b
,
g
il
m
q
!=mx+'b
c
La ecuación general de la ¡ecta está dada por
ru
Ax+By+C=0
fio
donde A y B son números reales no simultáneañente iguales a cero.
S@
Si
st
l=0 y B;e0,
entonces
y=-9 .,
la ecuación de una¡ecta horizontal.
B
A*0 y B=0,'Aentonces ,x=-9
h ecuación de unarectar.ertical.
",
Rectas Paralelas y Rectas Perpendiculares-
o
Dos rectas Ll Y Lz no verticales con pendientes mt
lelas si y sólo si tienen la misma pendiente, es deci¡"
\
mz, respectivamente, son pafa-
Mp
Lt /l L2 €) tf,i: ñ2
o
Dos rectas Lt y Lz no verticales con pendientes mt T mz, respectivamente, son petpendiculares si y sólo si el producfo de sus pendientes es rgual a - 1 , es decir,
Mp
LtLL2 <+ nt¡-ntt=-l
@gn
'
o
tuf
Dos rectas Lt
y Lz son coincidentes
Intetsección de Rectas. Dos rectas
si d.enen ]a mism. pendiente y un punto común.
se i¡rtersec^n suando
har un único punto (.x,y)
que
satisface ambas ecuaciones de las rectas.
=0 y un punto g=(rc,,Io),la
d(g,L)-
frfr
mllrilú
Distancia de un Punto a una Recta
Dada una recta L: Ax+By+C
recta L está de{inida paÍ:
f.Ll
|
dist¿ncia del punto
Q aIa
ürr
nd
¡¡o +-r'v'' +cl
("q
La Circunferencia
Dado un punto Pa =(h,fr) en el plano coordenado, una circunferencia I ." un conjunto
de puntos P='(x,y) los cuales distan una disancia r del centro pg, es decir, la circunferencia está conformada por punros P tal que
*i1.r-ñ)2
Luego, concluimos que la ci¡cunferend^
confotmada por punros
P:(x,yl
+(y- k)2 =y
?
con cenrlo en el punto (h,k) y radio r está
que sadsfacen la ecuacién (*-h)2 +(y-k)2 =/2 (form^
canónica).
Por otro lado,
1a
t&r 4r,
W
0.ryün
[i;!.f r
I
ecuación general de una citcunferencia está dada por:
7:
Ax2 + By2 +Cx+Dy+
E=A
donde A=
B*0.
br¡tn
Ñ]qq"'t r ¿
lá
Capítulo 1 - Números Reales v Funciones
culc en ,¡na Variabie
Nota: La ecuactón general de una circunferencia se expresa en su forma canónica medianre completación de cuadrados.
Ejercicios Resueltos
1.2.7 Halle la distancia
entte los puntos p =(-1,2) U g=(3,4)
Solución.
Se¿ P =
{x1,!t)
d{p,g)
=
(-1,2) y Q = (x2,lz¡ =(3,4), luego
m
=
=
¡;-fr
.p- +¡ = {T*-f
=
Jñ
=.2J1
punto medio del segrnento de recta que va de Pt = (5,2) a Pr={-5,-4),
encuentre e1 punto medio dei segmento de P¡ a fuí y el punto rnedio del segrnentcr
1.2.2 Si M
es el
deMaP2.
Solución.
El punto medio de P¡ a P2
(<-s ?-4)
t6 =17-t\)'))
es:
El punto medio de P, = (5,2)
a f,1
=(0,-r)
,=
l=(0,-1)
es: *,
=(T,+l
\
El punto rneüo de M = (0,-l)
¿
L
=
/
|,;,+l
\Á
Ll
^ P2=(-5,-4) es: M2=[,+,#l =(+
\Á\&
1.2.3
11
Halle la ecuación de ia recta cuy^ intetsección con el eje Y es (0,5) y cu ya pendiente es 3.
Solución.
Emplearnos
1,2,4
!
= mx+
ó, donde
b=5 A m=3,luego j=3x+5.
Haiie la ecuación de la recta que pasa por elpunto (-1,2) y tiene pendiente
-4.
Solución.
Sea
(x6,yo)=?L,2),teemplazando en
/-lo = m(x -ro), tenemos
y-2= -4(.x+l) + L: 4x+ y+2=A
1.2.5 Halle la ecuación de la tecta que pasa pot los puntos
(3,4)
y (-5,2).
Solución.
2' 1-=l
-5-3 4
Reemplazandoen !*lo=m(x*xa) tenemos: "y-4= llx-3) = L: x-4y+13=0.
4',
Comprobando: Sustituir (3,4) en.x-4y+13=0 s 3-4t4)+13=0 + 0=0
Sustituir (-5,2) en x*4y+13 =0 =) *5-4(2)+13=0 = 0=0
Sea (x1
i
A
=
,!t)=(3,4) y (xz,y)=(-5,2),luego
" *=!-Z:Jt
,2- 11
1.2.6 Halle la ecuación de Ia recta que pasa por el punto (4,*2) y es paralela
11
a la rccta
:8;r+3Y=5'
Solución.
Recta a determinar.
L, cori punto
de paso
(ro,yo)=(4,-2)
- tt-
A,
EnZl:8.r+3y=5
*t=-*.
Como L/l Lt
- m*H1 - *=_\3
' 3'-"^'-"
- 3 3
= /=-:"*l=
Luego
L: y+Z=-3(r-+)
l'2'7
Halle la ecuación de una recta que pasa por el punto medio
dei segmento de recta
quevade P, =(-1,3) a P2=(6,-8) yesperpendicularalsegment" ptp2.
Solución.
sea
z
latecta por determinat,l^ cuar pasa pot
Elpunto medio entre 4 =(-1,3) y pz =(6,-g)
M
es ¡¡ =(! -S\
\;'2)
p, y p2 es
La pendiente del segmento de ¡ecta que pasa por
Como
LLPrl> m.tut=-l- rn--
1
ffit =
*=L,
L: y+:=:f"-:l
' 2 llt, 2)
l'2'8 I{alle el punto de
y tiene pendiente m.
1l'
+
-11
*,' :#
6-(-r) = 7
luegolaecuación d,elarccta
L
es:
L:7x-ny={J
intersección entre
L1:3x-4y+6=0 y L2: x-2y-3:0.
las recras cuyas
ecuaciones son:
Solución.
Deterrninarnos P = Zl ñ Z2 resolviendo el sistema obtenido por sus ecuaciones, es decir,
px-+y=-6:? | 3x-4y=-g
rs
==> Y=-T
\x-2y=3
l-:"*6y=-g
luego x*Zy=j
= x=2y+3 3 "=Z(-tr)*¡
= x=-t2
\ 2)
Por tanto el punto de inrersección es p = (r,r,
= (- tr,-:)
t'2'9
Halle la distancia del punto g = (7 ,9) a ra recta L:3x + 4y
Solución.
yü = (7,9)
Como Q = (xa,
d(Q, L)
-l
-7
=0
entonces
Axo + Bvo + C
^J¿2
I
_13(7)+4(e)-71_
*82
32 +42
3=
5
rOunidades
1,2.10 Determine todos los valores de r tales que la pendiente
de la recta que pasa por
los punros (r,4) y (1, 3-2r) es menor que 5.
Solución.
m=
($-(3 -2r\ <) €) 2r+l
(r) - (1)
r-1
<----.<
<-1
-co
-<5
.-r+>
I
€)
2r
+1-5r
r-l
+5
<
o <+ 3(l-2) , o
r-l
*__'>
r . ((- "o,r)u(2,.o))
t_2-u Determine la distancia perpendrcular entre las rectas panlelas
definidas por
/:5x+1, y =5x+9.
:-es
Cá\cu\o en unaVar\ab\e
e9
/
Solución.
Primera fotma: Como la recta
el punto P¡ = (0,1), apJicarnos la fo
la distancia del punto Po =(xo,ya) ala
12, donde L2:5x * y +9 = 0
Graficando cada
L.7:y=js¡9
L1:y=5¡¡1
| ,axo +
d(Po, L2)
By6 +C
I
A2 +Bz
L:5v+x=5
lslo¡+(-i)(t)+el
= (0,1) = (,rr,.r,r )
JB+l
o
ó
=É-_ * 1.5689
'!26
=5 )'un punto de paso es
P¡ = (0,1). Determinamos la rccta L que pasa por Ps = (0,i) \' üene pendrente m=-115,
Segunda fotma: Obsen'e que la pendiente de 11 es
pues
I
es
perpendiculat a 11, luego:
--f tt*ol =
L: y-r
Obtenemos ?o
de donde
ue
L1
= LnL2resolviendo
y=# y x=-ff,
y L2
h.r"g,r
ei sistema d"
go=l#,{l).
x+5v = 5
.tr+.\1.=)
]
"""^tiottt t- iv*r'=Q
not tanto,
1a di stancia perpenciicular en-
será:
'l(po,QJ=
'1,.2.12
ffiy
t':qY
tt¡ /
. (t-#)'
l-^
=
frv?oor
ro =
ff
ir
= i.568e
Dadas las ecuaciones I¡ :ax+{2-b)y*23=0, L1iÍectl que pasa por el Punto
(0,151á) y es perpendiculata L3:y=1x+3. Halie los valores de a y á para que
tepresenten rectas que pasan por el punto (2,-3)'
Solución.
l-a
pero Lz i h" =) m2=*;,
b
En -L3: m3=;a,
Pof.
Iuego:
aLbb
1.1 '. v
-
l5 1-a
Lr:(l-a)x-by+15 =0
(2,3)eL1 -+ 2a-3(2-b)=23 2s+3b=29
*2a+3b
(2,-3)e L2 => 2{1-a)+ 3á = -15
=-17
=
Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones tenemos que
a
2g-3b+ ü-*23
=-
b=
y D=(i0,1) son vértices
Solución.
Determinaremos las pendientes de los segmentos con extfemos en los puntos dados.
r ()f
n
2+l
AB -2-'l
=
I
--r
3
y
"
L.2,L3 Muest¡e que los puntos tr=(7,-1), B =(-2,2), C=(1,4)
consecutivos de un paralelogramo.
nL-- =
2
ln_=+=-.^14
BC l+2
3'
mCD
l-4
l0*l
I
=_*.__=--
3'
-l-l
DA 7-10
2
3
SA
@
Y
e
Vemos qu,
ñ l/eñ y ñ ltffi,
por lo
ü
que_A, B, C y D son los vértices de ,rn puralelogramo.
l'2'14 Halle la ecuación
(-1,3).
de ra ci¡cunferencia que pasa por er punto (4,r) y üene
centto en
Solución.
C=(h,k)=(-1,3) y p=(4,1)
r = d(c,p) = l(4-(-1))2 + (t -3)2
Sea
=
^!ñ
Como E , @-h)2 +(y-k)2 =12, enroflces:
3 t (x+1)2 +(y-3)2 =2g o
? ,
x2
+2x-6y-ú=A
+yz
l'2'15 sea P=(x¡,!o) un punto de la circunferencia con centro g=(0,0)
y rad.io r. Recuerde que ia recta tangente aIa circunfe¡encia
en P es perpendicular at tadjo Cp.
Demuestre que la ecuación de esta recta tangente
L7 es .16_r + yoy=12.
Solución.
m
r@{
ffi
La ecuación de la circunferencia es: x2 + yz
=y2
ntpc
X
lo
=&+
xo-O- xo =
La ecuación de
Z¡
{
&
,t,, = -xo
yo
es:
Lr: !-lo-m¿r(x-xr)
Lr: l-lo=-ll¡x-xs)
!o
4: yyo-y3=-*rs+rl 3 xxl+yy0=
x3+
t'2'16 Halle el valot de k d.e tal m^netz qr.
ción de una ci¡cunferencia de radio 4.
Solución.
Cornpietando cuadrad,r,
(r-
.r
"2
+
y2
-g_r +
j& = 12
12
...
Ly
: xxs*yy6=72.
+y2 -8x+r0y +k=a representa la ecua-
UL
tñ ffi=
I07 + k = A, tefiemos:
+(y+5)2 =-k+td+ ZS
- (*-4)2 +(y+5)2 =41-k
luego; 41-k=r2 =16 t k=41-16
k=25
4)2
@
=
l'2'17 Halle el centro y tad.io de la circunferencia qlle
Q=(8,1) y R=(6,2).
@&r
pasa
por los puntos p = {3,3)
Solución.
sabemos que la ecuación generai de la circunferencia
,
rrfrilrl!ñmür
:l$=,mr
es 8,
"2
+
y2 + cx + Dy + E = 0 ,
::Dt
*4fl'r'
la
cu'o en una Variable
como los puntos P, Q y R pettenec"n
:e-nemos:
^
I
entonces satisfacen su eculclc:.
:::
lP=¡33¡e?:*9+9+3C+3D+E=0 llCtSo+E=-18
lg=p,-z1u v =>64+4+BC -2D+-E =0 3 lta- 2D+ E=-68
ln=6,2¡ . g =36+4+6c+zD+E=CI lsc*zn+E=_-4a
Resolviendo este sistema de ecuaciones simultáneas, obtenemos: C = -6
,
D = 4, F - _1)
r,reemplazanclo en €, xz +y2 -6x+4y-12=0 =+ (x-3)2+ (y+2)z =2s
obteniendo así el centto (h,k) = (3,-2) y radio r = 5 .
1.2.t9 Grafique la ecuaclon:
.y
=
J4 -G_z)z
Solución.
Esta ecuación considera que 1,>
0 (semrplano superior
solamente), luego:
!2 =4-(*-Z)2, l>o
(* -2)2 + Y2 = 4, Y'0
cuya gtáftca corresponde a la parte de la
circunfetencia de cenlro (2,0) y radio r =2
que se encuentra en el semiplano superior
y>4.
t.z.Ig Halle la ecuación de Ia circunferencia cuyo ceniro está sobte la fecta
L: y-x*1=0 y que es tangente a cada una de las rectas L1'. 4x-3y-15=0 Y
L2'.3x+4Y-10=0.
Solución.
Sea C
=(h,k)
el centro de ia ci¡cunferencia,
coll]o
C
está
sobre
I,
entonces
k-h-l=0
(1)
Además r = d(C, I't) = d(C, Lz), entonces
- | = W!11: Lo
- -Jzs
Jz5
|
+tt
ttc
ts
I
dedonde k-7k=5 v 7h+k=?5
(2)
y (2) se obtiene h=-2
,t=-1,osino, h=3 y k=4.
r=4; Si h=3 y k=4, entonces r=3
Resolr.'iendo (1)
Si /r= -2 y k =-1, entonces
y
Por lo tanto, existen dos circunferencias que cumplen las condiciones, sus ecuaciones vienen dadas por: (;r +2)z +(y+1)2 =16 y ("-3)2 +{y-4)2 =9, respectivamente,
1.2.20 Haile la ecuación de las dos tectas tangentes trazadas desde el punto (2,7) a Ia ctti,3)
cunferenci^ ,2 + y2 = 6x +16
'
,
Solución.
Sea
L7:/=mx+b
una ecuación genética de la recta tangente, como (2,7)e
I¡
entonces:
=Zrn+b =+ b ='l -2m,luega:
Lr : ), = rnx + (7 - 2m), Que al rcemplazar en la cilcunferencia, se obtiene:
7
- 15 -
tu
l;;a1:r::::
oe lla:enát'cas y Esiadíst:ca _ UNSA
;,illll
,) - ¡rrr" - 7 -2nt)2 = 6x +16
Jllidm
(1+m27x2 -Zq2m2 --7m+3)x+(4m2
-2gm+3j) = 0
Aquí aplicamos la condicrón de tangencia: cliscriminante igual a cero
I2m2 -7 m -12 = 0
en - fi(4m+ 3) = 0
rri
=
=m-413 v m=-314
*
!
Así, existen dos rectas que pasando por ei punto
(2,7) son tangentes a 1a circunferencia dada, las cuales son:
"lllfi
Í
!
*rJl,flTlr[
#
3\
-- l(x-2)
r
4)
1.2.21 Grafique la relación definiila pot:
R=t",ift<x2 n y2 '-16
Solución.
t)
8<
x2 + y2
sló,
r2
" l"l+lrl<+l
corresponde a Ia zona de barndo
de la circunferencia *2 + y? - rz desde
hasta
r.
= 16, es clecir,
,
=2$
hasta
r
L.
12
=g
= 4.
ii) y>O:lx[<4*y 0< y<4 y-4<x34-t,
=
^
y(4
n(y<x+
4 ny <-"r+4)
=0s
"y< 0:l
rl
aa + y
=-4ll<0
=
*4 < y<0 n -
y-4 <x ( 4+.1
_" I unc
n (),>--x*4 r,y>.y-4)
1.2,22 Halie la ecuación de la cucunferencia tangente al eje Y, con centro sobre la rccta
L: x* y+3 =0, y que pasa por el punto p =(4,5),
Solución.
Corno g
- (h,k) pertenece a la recta 1,. entonces h-k+3=0
Y
:
(1)
Funció
.\demás, r = d(C,P) = l7, esto irnplica que
(h-q2 +(k-5)2
de donde
k2
*to¡c-s&+
"f {x)
dond
=h
41=a
-/D---
e)
Resclr.iend" (1) ,v (2) se tiene
k2 _ lik+65=o + k:5 v k -13
Si fr = 5 entonces h=2, por otro lado, si É=13 entonces h:10
Su g,
Si a:
Si a.
.
Po¡
Fara gtaftcar
tanto, existen dos cilcunferencias que curnplen las hipótesis, sus ecuaciones están
dadas por: €r: (x-2)2 +(1,- 5)2 =4 y ?r, (_r-10)2 +(y-13)2
=100, respecrivamenre.
1o
-r,-/r= a@_h
Sea A
1.3 Función
Definición' Una función f : D c !1r+ fr , es una rcgla de correspondcncia que asigna a
cada elemeflto .rr e D un unico eiemento
/(-r) e $1.
Observación. Cuando nos refcrimos a una función, debemos denotarla sólo por
f , y no
por /(x), debido a que ./(x) es sólo un valor particular de la función correspondicnte a
=b2 *4,
t o<0,
!
t o¡0,
^=0,
5
Función Va
f(x)=lx
Df =n,
Capítulo 1 - Números Reale! ylg!919!e!_
Cálculo en una Variable
Dominio y Rango
El dominio de una función es un conjunto forrnado por todos los
ylorepresentamos prx D¡ ={;re ffi: f(x)€m}"
xe
!{
tal que /(-r)
e
fr
,
El rango o imagen de una función es el conjunto de todos los ], e fr tal que -/ = f (x), donde ¡e Df .ElrangoesÍepresentadopor n¡=llef-: y=f(x), re D¡l-
Funciones Especiales
1.
Función Constante
c constante
Rf _J-\
f(x)=c,
D-f
2.
=n,
-
TUJ
Función Identidad
f(x)=x
D-,
3.
=n,
,Rr' =St
Función Lineal
f(*)=mx+b, m*a
donde m,b sotTconstantes
Df
4.
=n,
ft,F =
fr
Función Cua,Jráacz
+bx+c
donde a,á,c constantes y
f(x)=*2
a*0
DJ'=n
Su gráfica es una parábola
Si a>0 sedobla Itacia atúba
Si a<0 sedobla b,acia abajo
Pata gta{tcaf una parábola completamos cuadrados, obteniendo la ecu¿ción de la fo¡m¿
y - k = a(x - h)2, así tenemos que el vértice de la parábola es el punto (h,k) .
Sea A
r
t
r
=b2 -4ac el discriminante de la ecuación ax2 +bx*c = 0, tenemos:
A < 0 , No existe inte¡sección entre la gráfr"ca de la patábola con el eje X.
A = 0 , Existe intersección de la parábola con el eje X en un sólo puntc,.
A > 0, Existe intersección de ia parábola con el eje X en dos puntos.
5. F'unción Valor Absoluto
. l-*,
¡<o
I x'
x>o
/(x) =l' x{=
r i
Dl =Vl,
Rf =[0, i-*)
Departamento de Maternáticas v Estadist¡ca
6.
-
UNSA
Función F.úz Cuadrada
l(')=Jl
f@)=J*
D¡ =8t
=[0,+*),
Rf
Nota: La función raíz cuadrada proviene de la patábola t = y2 - y = +$ ,l^ cual no
función, de donde se obtienen dos funciones f (*) = Jt '¡ f (x) = -.J; .
Df:fr6
,
R, = {-
"o,0]
+l'-. --"'
8., Función
Srgno
-x<0
t,
ff(x)=sgn(x)={ 0
-r=0
I'
Dl =9,
¡>0
R, = {-t,O,t}-
d Función h'fáximo Enteto (denotado pot
lt
L
f(x)=Lt-J:tt, ti n1 x <n+1, n eZ
Es decir
:
:
a
/(x) = [x-]=
, -2<-x<-l
-1 , -l<.r<0
0
, 0<x<1
I
, 1<x<2
2
, 2<¡<3
D"f
=8 y Rf =%
Algunas Propiedades de máximo eritero:
4
L'J=t
e
xez
b) l*+")=[xJ+n
.)
L"-l=,
é
x<n+l
d) l*)., e x<n
e) Lr)r-" Q x>n
g ['J' " e
x>n+l
es
f
Cálculo en una Variable
-
Números Rea es
I
F"
10. Función Racional
Es toda función que viene a ser el cociente de dos poünomios
Q@)
Df
b,x n +bn-1xn-| +,..+bg '
11. Funciones definidas a trozos.
=r-{xt
QQ)=01
No siempre el dominio de una función
es un sólo intet-
valo, en general, funciones que represenlan fenómenos reales tienen dominios que
tán compuestos de varios intervalos (trozos).
es-
donde
Dr=DrruOrru'.-vDh y D¡
disjuntos dos a dos
R¡
xeD'
:U
R¡,
12. Otros gráficos Importantes
'1í)
!=x''-
I
¡
Ejercicios Resueltos
I
i
1.3.1
Determine el domi¡io de definición de la
x
a) "f (x):
^5x2 -4x+20
Solución.
a) x2-5x-14>0 > (x-7)(x+2)>0 * D¡=\-*,-2)u(2,"o)'
b) x3 -5x2 -4x+20:0 - (x-2)(x2 -3x-10)=g 3 (x*2){x-5X.r
x=2, )c=5, x =-2.Pot lo tanto, Ds =8-\2,5,-Zl
1.3.2 Detetmlne
a)
ei dominio y
5x -I
J$)=:--=
Jx+ ¿
r n4o de las siguientes
b)
,f(x)=.f;
+2)=A
'
funciones:
c)
' JG)=
1
x"*9
sori
Departamento de Matemáticas y Estadística
-
UNSA
Splución.
. 5x-l
a) JQ)=^-:
3x+ ¿
Dominio: 3x+2*0 t x*-213 , entonces D.f =ffi- {-Ztt\.
5
-RanEo: 'y=- 5x-l =---
13
+2 3
3x
3(3x
r
+2)
(realtzando la división entre polinomios)
Como x * -2 I 3=3x + -2>(3x+2)+ 0=3(3r+ 2) *0
t3
= 3(3x + 2) *o=
luego
R-r
"
3(3x+2)
13
3(3.x+2)
a
-
5
3
13
',,+o
3(3x + 2)
5
3
=ffi-{Sll}.
Para obtener el rango, por ser el dorninio de
der como sigue,
5.r-l
3x-2
v --
'
de donde
5
3
13
- *lr*
*
y(3x+2)= 5.r-l
+
-/
ca-.i
-r(3-r'-5) =
todo S, también
se puede prece-
l+2y
-l -2y = x= 5
-3v
:i
5-3y +0 = )' F 5 r'3. luego ft-¡ = $ - iS
t--'-'=
b) f(x)=,17-x'
= -t2 <l = -1<x<1= ,r. f t,t] = o, =[-t,tl
o<x2<ivo<12.1
Rango: re fl,t]
=-l<;r<1 = -1<x<0 v 0l;r<1= 2.1=
o<.fi17<t
=o< "2 .7 = -1<-r2.0 = 0<1-x
= 0<y<l =+ y. [o,t]
Dominio: 1-x2 >0
Iuego n,
c)
"f
(x) =
= [O,tl
2
x2 +9
Dominio: *2 >0
> ,2 +9>9,
a
Rango:
y=-;-: +
x' +9
9v-2
2*9v ^
y
entonces
yx2 +9y
decir x2 +9
=2 ) x=i
fv=2
y
n,
es
es
siempre positiva, luego
2-9v.
v
,
f :ffi
"/
mtl
luego
&
9(Punrocríuco)
M
219
i.v=o
= (0, Zto)
x+4,
1.3.3
D
Grafique e indique ei dominio y rango de
/(')
rl
-r-rl,
=
{l
'L, "|
x>3
x<-2
-2<x<3
Solución,
Como
(x_ 3,
lt-:l=].Lr-x'
La función queda:
x
x
:: *
l'-31=3-
'' pata x{-2.
@
w*l
l: :- : er .,'na Variable
Capitulo
lfi: x-4.
.f(x)=lf7:3-x,
'1"l
l/'t
Luego,
Df = Dfrw
-2,
1
-
Números Rea¡es y Funciones
"Y>3
x<-2
-2<r<3
DJz u Dy, = fr
.
r x>3 = x+4>'l + ñl.r =[7,.o)
t x<-2 = *x>2 - 3-x>5 >
o -2<x<3
Rf, = [5, oo)
donde Rf = Rl,u R.frrJ R.f, =[S,oo)'*r{ -Z It
de
1.3,4
Halle el dominio, rango y trace la grá{tca de las siguientes
d)
"f(x)=x2 -6x+5
b) f (*\ = 4zx- q
a)
e) f(x)=
f (x) =L. ¡z)
c)
Jlx)=
Solución.
a) Completando cuadrados:
f(x)=*2 *6r+5 3 ,f(x)=1x_3)2 -4
Tomando como base la gtáfi.ca de
!=xz
1a
función
h=3 (h>0) unidades a la
v luego k = -4 (fr < 0) unidades hacia
se desplaza
derecha
abaio.
Como a > 0 el punto más bajo de la parábola es el vérüce V = (3,*4), entonces :
Df
b)
.f
=8,
(x)=
/(ü=e-3)2 -4
R, = f +,*)
Jzx4
= x>2 > Dl =b,*l
Rango: Dado que "y 2.0, Y x e D¡ 3 Rl = h,*)
Elevando al cuadr¿do / se tiene:
y2 =2(x_2) = ,_2=tryt
Dominto: 2x-4>0
la cual es una patábola con V =(2,0), luego
se cofistruye la rzma supetior de la paúbala
'encima del eje X (y > 0 ).
*'.
d
/i.,4
fG)--lxtzl
..
xl 2<n+l = 2n< x <2(n+1)
entonces D¡ = l:' I x el2.n,2(n* l)).n e zl -v
Dominio: Si
[.x I
2)=n =
n<
.
Rango: Obséryese quc aquí los sub-intewalos del dominio de
ble,ycomo
f(x)=¡i
entonces Rf
= Z.
f
son de longitud do-
amentc ce lvlaternáticas
Esiaoís:ica
-
U¡{SA
,,
.\
, -4lx<-2, n=-2
-t , -2<J<0, n=-7
l..t
.ftr)=l:l=
,
,
1
2
Í lxl =
d)
O<.¿')
.a \ 4)
n=0
:<-r<+4<x<6,
n =1
0
L2l
7t=2
fr'-q. .r.<2
llr*2',. *22
Domtnio: En
]'
esta funcrón el dominio se ha drr.idrdo en dos subconjuntos
4
B=
lZ,*), por ello D.f = At-rB
Rango: Sea fi (r) = t2
.r
-4
= fr
={-
ra,Zl
.
(parábola con vértice V = (0,_4))
<l = (,r<0) v (0< x<2) * (rr>0),, (0.12 <4)
=
:+ ft(x)>_4
12
>0 =
12
_4> -4
Sea
.\---
v)?-'.'):
4
./^ [.r
0
¡
R,
2 tt
= [0,
-)
Finalmenre:
ftr.¡ = R,..tl L,R -:
-
_r
R¡ =14,u-)
=
! +. -\- io. -)
\ JG)=---*-_:-¡1 \ G-2)-lt-ll
e,)
l'*21+(x-l)
Eliminando las barras del raior
que en este caso son: x = \1
ab, s
:,lulc :i:'J:2¡¡¡¡j¡ el método de los puntos crítrcos,
1-
r<l
*d)
l;r:-ll=-("r-l)
i
l^i
lx_ll=_1x_2)
Para x
<l
Pan x72
r'-l
(x-2)-(x-1)
t 1'-
'
{2
:y=
-,r)
+-
(x
-
t^-l
-.:.-l
i'-l
L
=-,','-lt
I
x-2
=X-l
cO
1
_ _1
1)
(x-2)+("r-l)
(x-2)+(x-l) -t
Luego:
f
| -r
l
r.,
{x) =
1r";
<l
1<x<2
x>2
x
D,J =ü,ademásn,
Jt
={-ll, n.lt -fl}(''
tulo 1 - Números Reales
Cárculo en una Variable
Para detcrminar el rango f 2
- y o-i-t,t), luego n, = l-t,t)
i <x< 2
tenemos:
2<2x <4
=
Y
Funciones
> -l<2x-3
<1
Por tanto: Rr = {-r}r[-r,r)u'{r}=f t,t]
1.3.5
Sea la
función
f :lt-+tr
definida por
.r-1.r)
=2x2 -3x+5. Halle .f (.x+h)-
f(x).
Solución.
f(x+h)=2(x+h)2 -3(x+h)-5 =2-il - lfu_
2h2
-3.r-3h+5
luego
2
f {x+h)*.f (x)=Q.x +4hx+2li) - 3.r - ji; -\i-l
tal que
calcule
/( s).
"f(3):1,
Sea
1.3.6
/:fr+!4
f
(.x) =
ntx'
b
--
-
J
_r:
-\
^,2 -Jn
-))=+ilx+¿n
(l)- -:
v
f(x+2)=2x2 +5r+c v "f(-l)=8,
de-
ccc r,i
:
:
_.
c(,n:rnr.re
s: sl
f
Solución.
,f(1)= m+b, f(3):3m+b
Resolviendo el si.stema
3
D=--1
m=-.
<lm-b=-2 =
2
2
l3m+h=l
de doncte /(.v)=
/(5)=f (r) -!2 =0.
'2 2r-7.2 Finalmenre ""
2'
L.3.7 Si /:fr-+fr
es una función definida por
termine el r'alor mínimo d. f
.
Solución.
f{x+2)=2x? +5x+c
/(-1)
+
.f(x)=2(x-2}2 +5(x-2)+c
= 2(-3)2 +5(*3)+ c = 8
:)
c=
5
>
.f(x) = 2xz -3x+3
mim:ar'o, el
cornó a =2>ü , entonces \a patibo\a se abre hacit att\bt, ?ot ttr\to úetre '{a\ot
cual se encuentra en el vértice' por lo que ptocedemos como sigue:
luego f (*)=2{x*2)z +5(.r'-2)+5
),=2x2-3x- 3=2(r=-i")"3=2
(.,-*)'*f = r'-f;=2 ("-i)'
de doncle V = Al4, i 5/8)' Por 1o tanto el valor mínimo es 15 8 '
1.3.8
Sea
f
que
f
a b'ta\una función üneal cle pendrente tn , e lfitercepto cofi el eje Y igual
(m+ó+1). Ilalle la función g
{m2 -2b)= f (b+12-2*r) y f {2m+b-2): f
si setiene g(r+4)
-,=t(ry).t(#)
Solución.
Sea
f
la ftrnción lineal 'f (x)= mx + b ' m *
(*2
-2b) = f (b+12*2m?1=
f(2m+b-2)
=
reemplazanda
a
*(*2 -Zb)+b = nt(b+12-2m2)+b *3m(m2 -b'41= g
0 |;
f(m+b+l) = m(Zm+b-2)+b = m(m+ó+l) +b -+ *2 -3*= = = -'
m en(*) resulta: ó = 5 = f(x)=3x+5'
Departamento de Matemáticas y Estadística
Entonces
luego
(m+b\
-
UNSA
/
r\
(
l\
f
fl"''"I l*fl* 6,o'\ l= r\'
l(l) *fl-* l=rftl+s+3[ -+ ].5=12
"(
)'\,
)
\ 3)
\ 3,/
g(x+4j-x=12 + g(-r+4) =x+72=(.r+4)+8 :* g(x)=x+8.
1,3.9 Un cilindto
r y altura h está inscrito
'
circular recto de r.adio
12 y radto de la base 4.
a)
b)
Exptese h como una función de r
Exprese el volumen
V
deI
fr
en un cono de altsta
ffi,m
.
cündro como función de
r.
Solución.
a)
Usando triángulos semejantes:
h 4-r
_=_eh_lZ_3r
124
iuego h(r) =17-3r
b)
Pot tanto:
V
(r) = 3n 12 14- r) , con r e (0-al
.
V = nr2 h = nrz (r2_ 3r) =3nr2 (4- r),
r>0 .,. ft>0. es decir:
r>0¡. l?-3r>0=r>0n r<4=re
además
(0,+)
q¡
únrüfinr
.
1.3.10 Un hombre que dispone de 160 pies de rl'rnbre desea ceÍcat una superficie de
fotma rectangular. Si uno de los lados ao lecesita cerco, cuales deben ser las dimensiones para que el á¡ea 5¿3 rnánrnri
Solucíón.
Sean
x i y lzs dimga5i6ass del terreno
-Le¿ de la superficie: A = x!
(1)
Perímetro por cercar: 2x + y
=
2x
r.r
= 160 :)
í2,i en {1'¡:
Adernás
y-
160
-2x
(2)
A(x)= (160 _ Zx)x =160x-2x2
x>0 ny>0-160-2x >0 = ¡<80,entonces 0<x<80
Luego: A(x)=160x-2x2
,
ff,@lrr
ffinpe
xe(O,AO).
Como la función A(x)=160x-2x2 es,,n' parábo? q". se abre hacia abajo
entonces existe área máxitna y se encuentra en relación al vértice, luego
-1,=160-r-2x2 =-2("2 -80x) =-2{x-40)2 +3200 = y-3200=-2(x-40}2
Pot tanto x = 4}pies, de donde ! =160-2x :160-2(40)
y :80pies.
%,
InW'{@ü@m¡(
:}
(a=-2<0),
1ffi"
I rr.r
)t = -2"
V =(40,3200)
=i! C=
=
1.3.11 Exprese la longitud L de la cuerda de una circunferencia de 8 cm. de radio en función de su distancia r cm. al cent¡o de Ia misma. Determine ei campo de variación
de x.
Er
CO
de
clc
Solución.
Del gráfico tenemos:
I t = ^[d+- ; luego L{x) :2r[64-7
El intersalo de vaúación de x es [O,S] , pues
64-x2 >0 = *2 <64 + -8<xs8, pero x)0 (por
ser longitud), luego r * [O,S].
F
I
I
L
Capíiulo
Cálculc en una Variable
I-
Números
Reglggll,inciqns!-
1.3,12 Exprese la longitud de la arista de un cubo como una función de la longitud d de
la áiagonal dellubo. Luego, exprese eI área de la supetficie y el volumen del cubo
como una función de la longitud de su diagonai.
Solución.
Consideremos el síguiente gráfico
I y ¿l las longitudes del lado v de 1a diagonal del
cubo, respectivamente. Por Pitág<tras vemos que
h2 =L2 +L2 =2L2 * h=LJl, por seÍ L y h no negativos, Adernás cI2=h2+L2 = d=^{¡;t
=rEt' *l = thl] = L$. Es decrr, el laclo clel cubo
Sea
L
como función de la diagonal result¿ de:
,l=L,[l =
)
L=dlJj
L(d): rtlJl
I
.
i
Por otro lado, el área fotal de la superficie del cubo está dada por
r
r
v como el volumen
,i d
,'2
,,2
A(dt=sl
+
L'l
A=6L'=ó' -: I
'
I
la
I' J:1
\ vr.i
del cubo es V =I3, trn.*,rs
( ¿\3
(¿""
A=Lr -i#l = ..l(dJ=
' "lj
i
I
\,'
,,'
i
-1
1.3.13 Se desea elaborar un pequeño recrpiente ctiínC¡rcc )iil::i1: J.l. iel]e::-',-'l-it:len :e
jc r' u--r :c
24ncm3. El -utarial que se usa pan La base cueste lres \-ccrS r'¿: q
emplea pamlaparte cilíndrica. Exprese el costo del matertal cie rabrlcacrór en f:lción ai radio del cilindro.
Solución.
Volumen del cilindro:V =nr7h=24x
=
h=
24
r2
Costo total del cihndro = Costo de la base * Costo de la parte cilíndricz, o C = C t + C z
Sea p el costo por centímetro cuadrado del matedal clue se emplea pata la Parte cuñ'a.
Ct
=3pnr2 A C, = p(2xrh =2pnr(T)' mo."(!)
\r/
= c= 3pnr2.oto^[]) =trn(,'.T), r>0
L,3.I4
:+
C(r) = 3f
(.
n[r'
*;t6) r>0
),
E,n cada uno de los r,érdces de una placa cuadtada de estañc'¡ de 1'2 cm. de 1ado, se
cortan pequeños cuadraclos de x cm. de laclo, dolriárrdose a contlnuación los bor3
una caia abietta. Exprese el volumen V ( cm ) en función de x, y determine ei campo de v¿riacrén de cada una de las varial¡les.
des hacia arrilsa para forma
r
Solución.
base de la ca)a es un cuadrado
(12-2ücm. de ladr¡ v su altura es -x cm'
La
T
I
l2c m
I
1
Voiumen: V = x(12-2r)2 = 4x(6- x)2
Campo de variación de .r: 0<x<6,
Pues
(x>0 n12-2r>0) = (x>0 n x<6)
de
Departamento de Matemáticas y Estadística _ UNSA
1'3'15 Lin tectánguio con base de longitud x esrá inscrito en un círculo
cle radio 2.
prese el árca del rectángulo como una función de x.
F,y.-
Solución.
'
Por el teorema de Pitágoras:
, ,2
',2
2
'
*i¿l
lfl
=22 = ''.*!'=4
\r2)
4
\2)
2
4
= v=+Jl6-x2
-,'2+1l=16
Base del rectángulo: .r >0
Altura del rectángulo: y>A, de donde
_y
Área del rectángulo: 7 = (base)x (altura)
Por tanto, A{x) = *$6-7,
0<x<4
6 .v: . pare 0 <
=.Vl'--._-
* xr-,:1116
-i .
-- -.1
0 < -x < 4
.
1,3.16 Suponga que una caja rectansular tiene un volumen de 324 .m' y una base cuadrada cuyo lado es -{ crlr . El material de la base de \a caja cuesta 2 centavos el centímetro cuadrado y el material pan \a tapa y los cuatro iados cuestan 1 centavo el
centínretro cuadrado. Exprese el costo total de la caja como una función de r.
Solución.
\'-olumen dela czja V =324cm3
i1l
rJ
I- -.r- r' <. 1 = -iJ--. x > 0
-r-
C¡sl.-'t¡t¡l
.le la caja c(-r) = c
:96
r
>
(,')
- ::- _: :t-Ji.-. jc ..: .._
1.3,1;- '--a-r -.rEa .r--::= ::::::.,:- i: j=
--_.L-,-g;¡: e I: una
=-=:,- -.
canaleta para l-Xur-ia i.¡:l¿rd: C-: -¡c-,. :r:.:: :::r:i. ¿- :ri:í--:. q *i q':eie :: perpendrculales ai lesto de h
'ar:¡e. F:"pr¡.e l-. :¡::c:ci:C cr -¡ c¡ni-era e: |;nc-on a
la longitud del doblado.;De cuántos c.:i¡..l.-ii. iebe ser c1 i'-,b,..,jc par:. d¡: a la
canaleia la capacidad márim¿i
_=
(
:
Solución.
.x
32
1¡,
o::te doblada
32-2::: anchc
de la canaieta
-r-:
ancho de
a cada lad.o.
La capacrciad de la canaleta será máxrma cuando el
área de| rectá:rguio con lados de longrtud .1 ]32-2x io sea. luego:
-2x
.f(x) = A(x)
-- x(32
-2.r; = 3^.' -
l,rl, "r . fo,i o]
La función obtenida es una parábola, entonces:
= 32x - 2x2 = -2{"' - I 6x)= -2kx - B)2 - 6+l = -r1 r - 8) I - i 28 =+ y -12g = -2(x - g)2
Por lo tanto, se obtendtá capacidad máxima cuando eI área de dicho rectángulo sea 128
c^2 y se logra cuando el doblado es x = 8 cm,
!
Cr
Si
fir
1.3.18 Se desea construir un tanque de acero con forma cle un ciündro circular recro y
semiesferas en los extremos para almacenar gas propano. Ei costo por pie cuadra-26-
or
Capítulo 1 - Números Reales y Funciones
Cálculo en una Variable
do de los exttemos es el doble del de la pa.rte cilíndtica. Exptese el costo del tanque en función de su radio, si la capacidad deseada es de 10n piess.
Solución.
Sea
a el costo pot pie cuadtado de la pate
ci-
líndrica.
Costo total = Costo (parte cilínclrica)
* Costo (parte esférica)
C=Ct+C2*C
= a (Lnrh) + 2a (4nr2 ) = Zan (rh + 4r2 )
Además V =l}n
= nrzh+lxf
3
c(r)=
=10n
!^'3
= ^=303r' . entorices
¡\
zonf
+ 2i
, aj¿*+rrl =+on(1-?rr*:rrl =+on(1* -r
¡"
\':
J \' ?l
[
J
l
Obteniendo el dornimo de la función costo:
30-413 r>0n h>0= :-:--':-)0=
1r2
15
2t2r3-15)<0
r =-:^
]|'=
=t"'
2
3r2
.--1
- oo A
"
?.il5l2
.'. c(r)
(< ¿ -\
I
=+""1i*1r'), ""(0.
!.4
Algebna y Cornposición de Funciones
e (0.
:"lts¡zl
l
Álgebra de tunciones
Si
,f y EI son funciones con dominio D¡ y
xe
D
¡ n Dr * ñ,
D, , respectivamente, entonces pam
cada
es posible definir:
t (" ' f\,i = c' f (xJ, c constante Dr.f = D "f
. (f + SXx) = .f (x)+ g(x)
D¡+g = D¡ ñDr
' {f-sXr)=f{x)-s(x)
" (f . sy\x) = f (x). g(x)
Dt_r=D,r rt D,
D,r.r = D,
' [*}o=#
^De
o,t, =\', nD)-{,rlg(x)=o}
Composición de funciones
Si I y g' son funciones, la composición de f y S, denotada pot .f o8', es la funcró:
finida mediante la siguiente regla de cortespondencia
("r"sX")
=
Obsetvación. No necesariamente
/
=f*lt.
Df.r
f(s?\),
o
g = go
f
-27
.
-
D, r' g(x) = D ri
;.-
de Matemáticas v Estadistica
-
UNSA
Función Par e lmpar
Funciones pares. Una función
f
es par, si se cumple:
i) xeD¡=>-xeD¡
n¡ fGx)-f(x),YxeD¡
/
Funciones impates. Una funcrón
es impar, si cumple:
r) xeD¡ ->-xe D¡
ü f(-")=*f(x),YxeD¡
Nota:
par cs simétrica con resPecto al eje Y, es dccir, el punto
si y s<ilo si, el punto (-x, y) tarnbién 1o está'
a La gtáfica de una función
(x,y) está enla gráfr.ca,
c La gtáficz de una función impar es simétrica
coll respecro al r:ri.gen,
(x,!) está enla gtá{tca, si y sí;lo si, el punto (--t,-y) tambié' lo está'
En ambos casos, utLavez conocida Iagtáftca
d,a la gráfi,ca.
Función petiódica. Una función
xe D¡ =(.x+ p)e
t
/
a
es decir, el punto
un lado del eie Y, Ya es posible conocel to-
es periódica si existe un
númeto
p*0,
tal que
Dl
n) f$+p)="f(x),YxeD¡.
FJota:
o Al menor número p > 0 se le llama período de la función /
c Geométricamente,la gtáficz de una función periódica trene la propied¡d de ser repetidr.a en cada inten'alo, es decit, se tepite en forma idéntica cad,e p unrdades'
'
1.4.
Soh
Ejercicios Resueltos
t.4.1
si x
Verifique que Irl+l-rl-{o'
L r I J
si
i.-1.
Vern
es un entero
en
-t no es un entelü
for
Solución.
Pata esto usamos la siguiente definrción
1.,
l=
,t -'
I -tt'
de Cos i1:-;:-:.'
1.4.4
note que -(m+1) < -x
Reaüzando la suma
::
- - - : - -- - r
Solucid
. Si .l{: es entero. -,l-- - -- r - = 'r si ¡- no es e:::c:--:--:'l--:: .
Portanto. _r_--- l-= _
1
!1
i-l:=ll
--:'"=
;
'
n pata
- t rj -', ) = -1
j:l
: i:
: ; r:
-:
x+4
*.-r-:-.571
- --!!l-
D,,
.
=
Analjz
Por dr
Cálculo en una Variable
Capitulo 1 - Números Reales v Funciones
a) f (x\=Ltl"L-xJ+i, Df :n,para hallar el rango usaremos
':'
[-1, sl x
L'1.L-"j={ 1'
el ejercicio 1.4.1:
es un entero
no es un entero
Entonces sumando la función constante
c(x)=l ,tenemos:
[],
l(x)=l^
si x es un entero
|.0. si x no es un enlero
dc donde
¡,J' = {o.t }
b) f (x)=JI;]*;,
primeramente hallamos el Dy:
[xJ-x>0
(1)
= n<x<n+l=-n-1<-x<-n,
Como LrJ=n
de aquí
-l<[x.J*x<0
De (1) y (2) obten.*or
Rango: Corno
["]-¡=0,
f(r)=1¡trJ*.r=0,
(2)
lo cual ocutte sólo si x eZ,por tanto D f
=2.
concluimos que R/ = {0}
t2
i
lr
f;
1.4,3
Sean
/(,r)
= 4x
. [0,+]
y
es seccionada
con
- ,2 -2, "
g(.r) =
It, - r <x<2 Halle (,f +
S)G).
1r
) < x<6.
L"!
Solucióa.
Vemos que la función
entonces D-t
g
,r, -l- l,2l y Du, =h,o!, además n,
nDr, =[o,r] y Df nDr, =[2,+]. tu"go
Lf *
*'"-'' r * [o,z)
gX'i ={o*l4x -.r-
f + g y f lg
,.[2,+J
+ l,
r/*\ - r- , xe D¡
1.4.4 Dadas las f..-^:^-^^
unciones .f(x)={#
,
s(x)=l.ñ-tl ,xeDr=[o,q) ,
con sus respectivos dominios.
Solución.
.
/:
6-x
x+4
P,ata
determinamos su dominio
x-6
x+4
lx=6
l¡x=-4
O, = {- +,0)
.
=lo,+7,
Analizamos g(x) = LJ;-,J
Por definición:
-4
halle
r
Depariamento de Matemáticas v EstadÍstica
l-t
LJi-rl= n e
-
UNSA
l; -l < n+l a n+t < Ji < n+2 e (n+1)2 . -, < 1n =2)2
n<
Entonces g(x) = L.f -
t-1
, {n +1)2 < x < (n +2)2 ,es decir
[*t, o<x<1
gix)=] 0, l<x<4
.
Ir,
4<x<9
Reaüzaremos las operaciones pedidas
Vemos que Dy
entonces D.t
=1-+,6], D", =h,1),
-Dr, =h,t), P¡ ñDe,
Dr,. =[t,4)
, Dr, =V ,9),
]; lr.go
Y D¡ ñDs, =
=[1,1)
F=-,.
re:;
r'/
Vx+4 ' '.lo.t\
G:;
(/ + g)(x) =
^l--.
Vx+4 '
r.
v
Para
"f
(x) =
,'
t-
'=l+ .6
lx+4
lo .1
g(x) * 0
[+,a)
1.4.5
'.
tr;
U IüU)
.r
x€11.4)
L't
* r,
,F
Vx+4 ' '. L'
Además D1ns =[o,a]
!x+4'
t_-
y D,tr =[o,r) u[+,0).
y g(x) :3;r,
haüe (,f " sxx) y
(f ' g)(2)
.
Solución.
i(3.r1=(3r)2 = 9x2 o (,f .gXx)=.f (g("))=(s(t))' =(3x)2 =)¡2
1.{.6
3r
S:
i
.r
-r¡= 'i+- 12 . derermrne las funciones /'+ g
i :.-if ecür' -,s d,;n-rilios.
, .f - g , -f 'g ,
Solución.
. ?a:a l-ef st erisr.': h' fl-:ect:.es de -i+g,:f -g, f 'S y glf
determiuamos
D,- ^ Dn'
D¡:2:;-i>0 = -rll.'l =' '.:i; :.t
Dr: 4 - *2 r0 =.,c2 < = -l I -r < I 11
Lf+gX*l =,flx)+
.
1
-',
=
l'-:.:].
entonccs D-¡' Dr =112,21, ltttgo
g(r)=.Eill*i1--;... = [l:':]
=^lTr-1-J+-rt. '=ít¡:.:i
(7 .gXrt = f gyg(;r) = ,lLt1'n14- rt =v'.t -lr-' -3t--1.
f
-g)t"l
=
f$)-
s(n)
x eltlz,z]
f(x)*0.
Para ver si existe
Dfos
={re
l,
f og
1.
Sc
determinamos Dy..
: s(x) e o ¡\ -+
,Jq-"' . [t/2,*)=
b,
S
Jf:}
r.l_ 2,21,'.f-.
>tl2=-4_
lue
[t/2,*¡
t2 >1f 4= x2 <1514=>
-JGlz<r<JGlz
1.4
Cálculo en una
Variable
Capítulo 1 - Números Reales
_
yllngleng!
luego
(.r. g)r") =,r(sr,)) = t(Jl -
1.4.7
Hau.e
fos
).g
I Vts -_t.
Jr5l
x€l--_
'2
1)
f-
;) = J;ffi;
"f si lu)={"-t'
I x .
j
x€t:^i1
, g(")=Ji
x'e\J,)J
Solución.
'
Determinamos primero D.f"gt Vemos que D¡, = [O,Z],
Df ,,r
=Fu
D*
Dr,..r={"=r*
gG).
g(¡)
o¡j=r.
h,-) ,n .ñ.
ruego
,
j., ={S.S]. Or = [0,*)
[0,*) .^ r *
:+x€([0,*¡n[0,+]) => Dr,"r=[0,4]
[0,2]=
-)r
€
[0,+]
€Df,}=".[0,*) ^ Jie (:,s] ]x.[0,*] ^ ,.\v,zsl
:>x€([0.*)-'(o.zs])
entonces
D
=
D
t,.e-{(r.:s]
(,/r.gXx)=./r(S(..)) =,f ,(rG)=2J,r-1 :'(-/:.9Xr)=.,/:(g(.-,))= ¡.{.,1)=-,;
(/"
sx.,-) =
Pata obtener
g"
{z'[-i;
r
I
_f ,
''.
fl1]
i=1e.::l
procedemos como srgue
nrf=re lo.z] zr (2.r-1)€[0,oc)=x=[0.:] ':.t=[i.'¡
=r€[o,zj " r.ft¡2,*)-"=([o,z]n[r/2,*¡) = De.i =il/:,:]
oo)
D
s, t, = b u o r,, f z$). nr )=' e (:,s],., r . i0,
= x . ((:,s]n lo, *) ) ) D g"t,= (3.i]
Ds".f,
=ir.t¡, , f
entonces
Áx)e
(g..f tXx)=t(/,('))= sQ*-t)=J2x-i
Wfx-i.
lucgo (g. /Xx)=1
r
I Vt
1.4.8
'
Si /(x) = x2, calcule
-y
(s"
.f
){*)=r(Jr1x;)=s(")=-F
xclrtz.zl
','^ .
re(].51
f (x+I)-2f (x)+/(x-1), Vx.
Solución.
f(x+1)-{x+1)2 ="2 +2x+1 r, f(x_I)=(x*7)2 ="2 -2x+1, iuego
/"(,r+1)
I.4.9
Sean
-2f
{x)+ f(x-1)="r2 + 2x+1-2(x2¡+rz
*2r+1=2.
/(x) =ax+2, g(r)=x-b, a+A, b+0, si f og: go;f , halle b(a-|).
Solución.
(/"g)(r)
(g
luego (/.SXr)
1"4.10 Si (g.
".fX")
= (S.,f)(.r)
= "i(g(r)) = .f(x-b)= a(x-b)+Z= ax* ah+2
= g("f(r)) = g(ax + 2) = ax + 2 * b
> ax- ab+2= üx+2- b +
ab*b = 0 b(ct-l)=Q
=
f)(x): x+2, halle g(x) tal que f (.x)= *3 +6x2 + 12.r+8.
D,g¡a
(anelio ce Ma:e.¡:a:,:as
Esiacís:¡:¿
3á;u:,
- L\,c¿
Solución.
l,
Como .f (x)=(x+2)i entonces
haciendo u = f(x)
7.4.11 Si
xt2=tt\@,luego S(f@)= x+2=)W
g(u) =tñ,tegresando a la vatiable
=
g(2*x)=.fT
x teflemos:
y (g" -f){x)=Zx-l,hallel¿función
g(;r)
11
po:
=3ü.
5
f(x)'
\-e
tr
Solución.
En
g(2-x)=.Fl
Cambiando
z
hacemos
z=2-x= r =2-z
po- x obtenemos g(x) =
de donde
1
Lx-l
Pot tanto .f (*) = 4x(l- x),
> 0 -=> x>lf2
x>
1f
üj
ror
Luego
^[Fi.
(g /Xr) = Sf (,t)) = .[:7ft) = 2x -1 = - f (x) = 4 x2 - 4x + 1 =
"
con la condición q:ue
=^ll:;
P:¡¡
g(z)=
.f
c)
(x) = 4x(I - x)
No
t
'
ü).
2.
Por
I.4.lZ Si /(x
-Z) = +
x
(,f " .f)(2lx) = 5
,halle el valor de x de modo que
-
d)
-3'
Solución.
En
t).
)
/(x-T=;1
Cambiando de
sel'
variable f (x)
2
ff \
^
z=x-2=x=z+2,entonces
"f{')=
=-?-,
x-1
2
ii)
O.?'r-Z=;
Por
t.4.15
f rl-)) ,( 2 )- ,( 2r_\= 2 = 2(2--!)-=4-21-=s
-'Ii-tJ
fl= l= fl;
fl
ill1l=
u"
'\z-') fi-t 2x-(2-'r) 3x-2
\'J,l
\xr \ A--ll=
* 4*2x =15x-10=x =l4ll7
Si
/
es una
función de
'ariable
real definida por:
/(x)
=
.FlIIil
+
I
Soluciór
.
t[t-], demues-
f :uloa función de variable teal, entonces
1f er+L-tl> o o L-ti > -x,Y x ez
p"ro ["J<t<[n.]+1, Vxe E + L-"i=-x,vxe !B
de (1) y (2) se sigue que L-tl=-re -xeZ $ ¡ = -(-x)e Z
(1)
(2)
-x€V' y ,f(-x)={-'t)2 ='2 = ¡'7x7
1,4.L4 Determine si la función / deda, es par o r-mpar'
c) f(x)={fi|-Tn
a) f{x)=3x2 -"4
1.4.t6
P:
Dado
r)t
ü)J
Supor
x+ px e (- 5's)
entefc
enterc
Solución.
^)
paf.
ü
por tanto Y xeD¡ =V",
Noternos que D¡ : fr, efltonces cumple las siguientes
=
Solución
J'' f {x)=^iG--tr") +x(x)=¡
d) f (x) =l'3 + z'1.
g(x)
Como
En efecto, siendo
b) ,f(r) = ,3 -,
=
Comc
.
Entonces
h(x)
p^t'
Demostración.
ri [x-l-xe Df =Z'
S
L
treque -xeD, Y f(-x)="f(x),VxeD,
luego
i
1""go
/r\
l.4.Li
Ana
dos condi'clones:
Luegc
Por lo
Cálculo en una Variable
lo1-NúmerosReales
Funciones
t r€fr 3 -r€m
ti) ,f(*¡) = "f{x), V xeD¡ pues f(-x)=3(-x)2 -(_r)o
Por tanto,
ir)
.f
Vemos que
D¡ =fr,
Notemos que
_ra =.f(r)
es par.
además
ü xe$l = -xefr
u) f(-x):--f(x), v xeD.¡
Por tanto, / es impar.
4
=3x2
D¡ - ü,
f(x)=13
-x
curnple las siguientes condiciones:
pues f(-x)=(-x)3 *(-x) =**3
¿dem ás
f (x)=i¡r[*f-T
+r=-(r3 -x)= -f(x)
cumple con:
t xES 3 -xeü
n) "f(-*)=-f@), v xeD¡ pues
Por tanto, / es impar.
d)
.f(-x)=1|6if1.'l-;il=-
Ana)tzamos -f {x)+ 2-xf , sabiendo que
fr3
DI =F
ffi1;¡
=-f(x)
5,Sl
r) xeD¡={-5,5) = -5<-,r<5 =) 5>-x>-5 = -r.(-5,5}-*DÍ
ü) "f (-x)=i{*")' +z(-x)l=i-', -zxl=l-41", +2xl=l; +z,l=.f(x)
Pof tanto, J' es pat.
1.4.15 Sí f (x) = yz +x+tr , h(x)= f (x)+ f (-x), g(xj= J'G)*
funciones ft v g, es par y cuáI es impar?
f (*r);
derermine ;cuál de las
Solución.
, h(x\=f(x)+f(-x)=;2 + x+1 * ((-")t +(-x) +t)= + -r + i -.rl -r--l-".-l-1
"z
Como Dn =V: x e D¡
y
h(-x)=2(-x)2 +2=2::) +l=¡7(r;),
=-xeD¡
entonces ft
es
paf.
. g(x)=f(x)-f(-x)=12 +x+r-((-'lt + (-.r) - l)= -,i -,r - I - ,-l - r - I = 2x
Como Ds =8: x e Dr =)-xeD, .I S(--r) =2(-r) = -2,r =
-g(Jr), entonces g es impár.
1.4.76 Pruebe que la.función JQ) = -t-1,r.,
es periódica, halle y
construya su gráfica.
Solución.
a)
l)adc que D-¡ = fr, entonces
I +,r+pe fr
ü) f(x+ p)= x* p*Lr*p-j
supongamos que existe un número p * 0 tai que J'G +
ñ: /(.r) , es decir,
t+ p-lu+p-.J="-1"J, entonces p=Lx+ p)-["-J. co*o la diferencia de dos números
ü
;re
enteros es un número entero, se sigue que p
entel'o Lr o pl =lx )+ p .
(ü): f(x+ p)- x+ p-Lr*pj
Por lo tanto, ;f es una función periódica.
Luego, en
=
e7,. /'demás, por propiedad de mavor
x* p-L"J- p = x-Lrl=,f(r)
lega:¿-ei:¡ le
-:
lJai¿:¡:a: c¿s
Ésiacfs:tca
p>0'
entonces
Sr p =:, corl
-
U¡'lSA
p=minit'z';'"i=1 (longirud
1.4.17 Demuestre que la función f 1x
del rnten-'r'o
=lZ')-2[xl es petiódica'
Solucién.
p*0 elperíodo de f ' pev'
t) xeD¡:!1:>(t+P)eV=Df
Vemosque D7 =fr,sea
ii) /'(x + p)=lzqr+ il)- 21"*pi=[2x+ zp)-z(L'l*p)=lzx-]+ zp-2lx)-?p
Lz'l* zt¿)= I'G)
=
1.5
Función lnyectiva y Sobreyectiva
/ es in1'ectiva si para todo x1 ,x2 e D¡
f(xt)=f(xz)tx¡=x2
Función Inyectiva. una función
Equivalentemcnte,
f {") * f'Qz)
f es tnyectiva si para cualquier
x1
'x2
€
se dene:
Se t1efle
D¡ :OIT f1 *Xt
.
Función Sobreyectiva. Una funcién f : A -+ 'B es sobrevectiva'
V Y e B,3x e A talque Y = f(x)
si
B
En otras palabras, .f : A -+.8 es sobteyectiva si y sólo si Ry = '
Función Biyectiva. una función
f
es biyectiva si ésta es invectiva )'soirtevecnva'
Función lnversa
si f :A->B
pot
f-1,
es una función inyecuva, entonces existe
donde
f-t,B 4
A,definida Por
-t(Y) = x si Y sólo
"f
Es decir, si
/
si
la función inversa de '/' denotada
f (x)=
Y
y I (x) = y ' entonces cuando resoh'emos la ecuade f :
en términos de y, obtenemos la funcrón lnversa
es una función invectiva
ción anteri or püa x
Tener en cuenta que: Dr-r = R.¡ .s' R.ft
"=.¡-1¡-v)'
- Dí
Propiedades
ln\¡efsa sofl:
Algunas proPiedades lmpoftantes de la función
. (f-t " f\*) = x, YxeD¡
. (f. s)-r1x¡ = (r-r " /-'I'l
, (1. f-'\v)
1 \-t
(x) =
. U-'/
,
r
tuio 1 - Números Reales
Cálcuio en una Variable
Y
Funciones
Ejercicios Resueltos
1.5.1
A=lo,b,c,d,el v B ei conjunto
nes ,f, g y h de I en B, Pot:
Sea
de las letras del alfabeto. Definidas ias funcio-
t f{a)=r, f(b)=a, f(c)=2, f(d)=r, f{e)=e
u)
g(¿z)=
ü, g(b)=c, g(c)=e, g(d)=r,
nt) h(a)=2,
8l(e)=s
h(b)=y, h(c)=x^ h(d)=v, h(e)=z
Determine si son o no lnYeclil'as.
Solución.
Téngase efl. cuefita que una función es irvectiva si al considerar clisulltos elementos del
dominio estos tienen disuntas imágenes'
t f
ü) g
noesinyectiva,puesastgna
r tantoaa
comoa i/,esdecir, -f(o)=f7cl¡=r.
es inyectiva.
1.5"2 Determine
si la función
definidapor f (x)
/
x-2
, x + -2, es tn-r'ecti.r-a
Solucién.
Vemos que
D¡
= m * {- Z}
Supongamos que
/
es
.
inyeclva, entonces por delinición tenemos que clados xt,x2 e D ¡
se dene
f (xt) = f Gz\ =) r¡
f {xJ
-
..:3
=
f Oz) * t=
xl+¿ "x2+/
=
luego /(;r)
v-)
=a+ , x*-2
= x2 , rs decir,
rc¡x2 +2x1
-2*2
= xtxz -Zx1 +2x2
=
4x1
= 4xz
}
xt = xz
es inyectiva.
^tL
*4x-5 , x { -1
1.5.3 Demuestte que la función "f (x)=l-
es inyectjva.
Solución.
Por completación de cuadrados
Y x1,x2€D.f
/(x)
*
V
1-
; Entonces
-4x-5
=(-*,*t] + fQr)=f(*z) + 1-tF-Zf-=i-1fio:;t-9
= Jñ -?l
Corno
=
x1,x2e (-.o,-1]
(xr :2)2
:>
x1
-e
=
\G;zf -s > (¡r -z)2 -e =(xz -Uz -s
={rr-Z)'
*
1", -21='lx2*2i
l-l n x2 <*1 + x1-2t-3<0
A
= lr, - 2l=2-xt ^ loz - 2l=2luego 2 -xt=2-*Z ) *rl = -x2 t xt=x2, Vxl , x2eD¡; "'f
x2-2<-3<0
tz
1"5.4 Halle el inten,alo
Yectiva.
más amplio
esinyectiva'
D en que la fórrnula f (x)=t2 dtfinu una función in-
Solución.
D contiene sóio números positivos, o só1o números negatir.os, incluyendo el
cero en ambos casos, la función f setá invectiva. Así D puede ser el inren alo infrnito o
Si el intervalo
(-*,0]
" [0,*).
r.5.5
L)erermrne si ia función .f (x)
minio para que 1o sea.
-2*4x-r2 .,
inyectiva, si no 1o es restringir su
dc¡
Solución.
D¡ =fr por seruna función cund.rática,ailemás -f(x)=6-(x+2)2.
si / es inyectiva; Por definición V x1tx2 €fr si ./(x1)= ¡(xz) debemos demos-
Obsewamos que
Vetemos
tfaf que rl = 12, entonces
6-(xt+2)2 =6-(xr+2)2
= (¡r +2)2 =(x, +2)2 = xr + 2=rz+2 v x1¡)=-(x2+Z)
J.Y!
Como
Df =n
entonces
-/
=.Yl
.'.f¡ = I:-4
no es invectiva, pues -rr trene dos valores.
=1= rl =lv xI=-5*xz.
Como J(t¡=2-4r-.rl ., una parábola, para t)e f
Porejempiosi,r.,
D¡
como
sea inyectiva podemos conside¡ar
los l'alores de ;r que se encuenttanala derecha o izquierda delr.éruce de la pa-
rábola, es decir,
!=2-4x-x2 =6-(-r+2)2 = y-6=-(x+2)2 ) I/ =(*2,6),luego
si D¡ =[-2,a) entonces f es inyecúva o si D¡ =(*a,^2] entonces f
oio: Existen rnuchas otras resrricciones at D¡ parz que f seainyectiva.
1.5.6
Sea
f :(*m,0]-+fr
es inyectiva.
una función definrda por f(x)=5x2 +3. Derermine si
/
es
lnYectlv2'
Solución.
Notemos que
Pcir
D¡
={-oo,0]
definició¡ tenemos que dados x1,x2 €(-*,0] con /'(x¡)
+3=5x22 +3 =>
5x12
Pero
1.5.7
x1 ,
J2 e (-
Sea
f
*,0], entonces
,r,
'-rr' = lr,l=lrrl =
solo se cumple
=
f(x),
x1
=x2
es decir
y xy=-y,
xt = x2, lo que significa que
,f
es inyectiva.
una función definrda por:
l¡1 ,2
f
(x) = ),
/
*
=
[- +,-z)
^lr.;, r € [-z,z]
I l-+,
I
Determine si
-r,
xe (z.o]
es invectiva.
Solución.
Debemos anaitzar la inyectividad de cada una de las subfunciones.
rtG)=.ñ(x) => lx12 +1= *r, 2+1 = ,12=r22 3 l",l=lrri
S
\'
Í
Cáiculo en una Variable
-xI=*x2 = xt=x2
-fz$)-.fz/) * OZ;; =Jtnr, 3 2+x1=2+12
-hb) = .h{x) => 1- } rt =l- } xz -> xt = x2
pefo.rl ,rz€f-4,-2', ,entonces
I .t invectrva.
' /
_)
..J2
.'.
^I_-^2
.'.
es invectn
a
"/i "s tnYectiva.
Además debemos deterrninar los tangos de cada sub¡función:
¡ x€[-0,-rl] -4<x<*2*
=2<ir'.8 +3.to' +1<9 =l(r:)e (:,1]
e .x€ ?z,zl+ -2<x12 *{l< 2+x<4 >0 <"ry*; <2 = frqx¡elo,zl
4<"2 <16
¡ r€(Z,e] + 2<x<6 + 1<i<3 = -3<-j<-l = -2<1_ :<0 = -l.@)e[-Z,O)
Luego n, = (:,1], n, = [0,21 , R.f, = i-Z,O) y no existe interseccic.rnes entre ellc-¡s.
son intrectivas .r,'no esiste r¡rrersección entre ios rangos de las
subfunciones, podemos conciuit que ,/ es inleclir-a.
f, Jzy fr
Por tanto, como
1.5.8
¿Cuáles de las stguientes funciones son sobrei-ecci-a':
a) /:[0,.o)+m
b)
c)
definida Pot
l(.r) =r,'f
¡ :lt,zl+
[0,+] defiruda por f(-r) =.¡r
[0,.o) definida por /(-x)=l.xl
/ :m+
d) f ,fi-{oi*
l-1,1] definida por 7(;r¡ =Ei
Solución.
a.) como
b)
ru 10,*)=
Ji . 10,*) * y e[0,*)= R¡
n,c es sobreyectn-a
Como
r. ft,Z]=
-1 < x t2-:+
A
< x2 < 4
=,"2 .lo,+]= l(x)
+ Rl = [0,+]
.'.
c)
/
-/ "t
sobrel'ectiva.
Sabemos que
:. f
e [0,+]
Vxefr, Itl >0 ) y>0,
iuego R¡ = [0,*)
=
coniunto de
1legada.
es sobteyectiva.
C'; Recordando la definición de r.'alor absoluto
(t
"'x>o
l-'x' x<o =
rrl=f
II
t
lL:L=
]"
I =t,
x
x>o
+
f(x)
llil=.i=-,, x<o
lr
Ir,
l-- r,
x>0
¡<0
rr
Luego,
1.5.9
fi¡
= {-1,1}
:. f
* [-t,t]
no es sobreyectiva'
Sea ./',[t,+]+ fa,Of definida por f(r)="2 -2r+-3 . Pruebe que
halle los valores de a y b pata que -f' sea bi;'ectiva'
Solución.
i,-emos que D = [1.4], además
¡
f
(x) = (x*1)2 +2.
/
es inyecúva
t¡
de Matemáticas y
. /
es inyectrva:
(",
.
v
-l)'
E{qg.l9!$- uN94
x1,x2=
[,4] si /(x¡)
+z=(xz-1)2
+
2
*
f (x) probaremoS Qüe x1 = -xr
(xr-1)2 = ('r-l)' - lt, -tl=lt,
=
Como xy,x2€[,+] entonces 'xr - l=xz-7
= xl =x,'
a,faltaprobar que
ó]'
su conjunto de llegada debe ser [a'
sea
/
Parzqne
sea biyecuv
/
lue8o
-11
es i'n'vectrr-a
del D¡
sobrel'ectiva'Para esto' paftrendo
< 9 => 2<(x-l)2 +2<11
= 0<(r-l)2
2<y<11 * yt[z'tt] (conjuntodellegada)
=> 2<.f(x)sll =>
b=11'
Luego lo,bf=[z,l l], es decir a=2'
0<x-113
<
=h.+l
L) ) => 1 x<4 =>
f)
ve
"---J
1.5.10 Sea
/:fr-+ B
ttna función sobreyectrva definida
por /(x) =lx-21-x ' Haile
el
coniunto B '
Solución.
sabemos .1,re
t
lx -4=\;--'r:.
::',
vemos que D¡ =!1=i_*,2¡r[2,+m).
errtonces
-f
('t =1r,,
.
*>?
-'",. ;.;
Ahora hallamos el conjunto
B=Rf, pof sef -f to-
breyectiva. Pata esto:
2(1--r)'(-2"") - ye (-:'m)
r .r( z => -x>-2* l--x>-1 + 2(1-x)> -2 =>
o x2 2 = y=-2 =).Y€{-2}
n=l-Z'-l'
tanro' f es sobreyectiva cuando
Luego R,, =(-2,"o)u l-Z\--L',*)' Por
si.g:B->c es sobreyectiva entonces la
Demuestrer Si / :A-+ B es sobtevectivay
1.5.11
función (g
"
f):
A -+
C
es también sobrevectrva'
Solución.
Sea c e C . Puesto que
Como
/
g
es sobteyectiva' existe un elemento
es sobtevectiva, existe un elemento
ae
A
tal que
be
B
f(a)=
talque g(b)=c'
b
'
Peto (s , f)(a) = SU @\ = g(b) = c
a€l tal que
que exlste al menos un elemento
Así, para todo c e C queda demostrado
g. / es una función sobrevectiva.
por
19 " i11o1= c .
"onrig..i"rrte
Siendo / inyectt'a' halle
una función definida por /(x)=f3+5'
"l..S.lZ Sea f:fr+fr
J"-1,
ti existe'
Solución.
Como/esinyectivaentoncesexistesuinversaf_',|ocuaiseobtienedespejandox
) f-t(x)=3Jils
+5 t y=.r3 +5 -> ,3 =y-5 ) x=\t'1
f(x)=x3
1.5.13 Sea
A=S-{3} y B=fr*{l}'
Sea
por
la función 'f :A-+B inyectiva definida
f-t.
f(x)=4,hatte
x- J
Solución.
u=*-2 ) yx-3y=x-2 =>'x(y-l)-3y-2
/a
f-J
3y
*2
=) x= y-1
=
3x-¿
f -t 1x1= x-1
db¡5en
fJf,!0
Capítulo 1 - Números Reales y
una Variable
*l ,
Halle y grafique la función invetsa si existe de /(.rc) = x2 -2x
x>2
Furm'cs
.
Solución.
= ,f (x) =
-r*
. ;f inyectiva;
= (x -1)2
-2
Vxl ,x2 e D¡ =b,*1, tal que f (*)=.f (x), implica xt:
*2 -2x
-l
x2
-D2-2=(xz-D2-2 = (xr-l)2=("r_l)t - lt,-11=fr2-11
Como Y x1,x2.[2,*) 3 -r, ] 2 n x2>2 = ir -1>1>0 n x2 -1>1>0
*1
= 1", -11 = r, -1 n l-x2 -11= r,
'. f es inyectiva'
luego .r¡ -l= xz -1 + xt = x2, Vir1, x2 e D¡
f(x)=f(x) +
r
Detertninamos
(xr
f-|
;f es inyectrva
(r*l)2 -y+2 =.r-1=xJV+2:) x-1r^{y+2 => x-t+ffi
ya que
y=1x-1)2-2 *
pr¡€s x>2. Luego ,f*t(r):l*Gnl
.
Hallamos también
D
, es decir R¡
rt
:
,
,.v:
x22 => x-1>1 = (x-l)2 >1
= (x*l)2 -2>-I => y>-1
* R-t:ft,*)
.'. f'-t
L5.15
Sez
=Df^
(x)=1*,[**2, t.[-1,*¡
f
definida pot
/(x)
:*¡7*UU,
xe{-oo,-9]. Encuentre f-t, siexiste.
Solución.
Yeamos primero si
Y
/
es inyectiva. Pata eso hacemos:
x*xre (- "o,-9], f G)
=
f (xr)
+-
xl +Lxr-g -
-
a
-9
x2.
* *l + 8.r, -9 = xl +8x, -9
,l
- ,1+ 8(x, - xr) = 0
= (xr -xr)(xr+x2+8)=0 .+ xt=x2 v x2=-8-t,
Como ¡r €(-oo,-9] + -rr €[g,*) * (-8-xr).|i,*)*(-.o,-9] ] x28(-*,-q] , entonces
solo se cumple xt = x2, 1o que significa qte f es inyectiva en (- *,-9], por lo que ,/-l
existe, entonces:
y=-,[7 +s*-9 =-J;nq'z *25 >
y2 =(x+ 4)2 -?5
=
("r+ 4)2 = y2 +25
Iuego x = -4t ly2 +25
l--
tJyt *25 > 0
por lo que no
xe (-.o,-9],luego consideramos r=
Además
xe{-*,-9]=
4-{7
(x+4)e {--*,-5]
-
f -t (r) - -4 -
,
pues
1am6s
+25
Q+4)z
x+4)z- -25
-¿t e [U,oo/
[0,'o) = Luego
25
podemos considerar x = -4 +
+25, D f-, =(-*,0].
. [zs, *) =
,l@e=
Í^
[(x
e
+
(-
4)' -zs]e [0,*)
m,0]
=
y €(-.o,0]= R,
-
Departaryrsnto de Matgmáticas y Estadística
1,5.16
Sea
f
UNSA
lafuncióndefrnida por
f-l
r.[O,t].Determ¡ne
f(x)=4Jl-x,
,riexiste.
Solución.
Para que
4^ll
f
tenga inr.ersa debe ser invecttva,
'h = 4{l -x2
f-t
para esto debe cumplir que
V x1,x2 = [O.t] l(.rr) = .f (x) => xt = x2
i= a(Jx¡ -J..r,)-(rr -.r:)=0 :> [1t' - Jrr)\q-
Como x, e[o,t] entonces
tanta
r
4*J;-,la *0, por 1o que Jt-
existe, luego
=0
^E
=
Jt' - ^lrr)=0
x1
=x2.
Pot lo
y=f(x)=4J;-x=-(x -4ir--[tJi -42 -o] - ]'=4-(./'-z)t de donde
6[*-Z¡2 -4-y = Ji :2x"[4-, =) n- Qt^{f¡1'
pr", *=b* W)'? 1amás pertenecerá
Como
consideramos x= (r-W)',
"e[o,t],
intervalo [0,t].
Además hallamos R¡ por ser este el
".
[o,t]
> r; . [0,1] = 6[;
-2) e[-2,-r]=]
=[+- (J; - z¡2]. [0,:]+
En conclus ión
1.5.17 Halle
Drt:
"y
€
(J;
-2)2 .[t,+]
=
-(ü
-z]2
.[-+,-t]
[0,:]= R, = [0,31 = D r-,
f -1 (") = (2 - J4 - x)'?, " . [0,:].
/-1,
si existe, si
/
está definida
por /(x)
= (l
"-5 j+i+.r,)"'r=
Solución.
Ciaramente
D¡ =(-
co,5], entonces
l"-sl=-x+5
Se r,e
nlca que
,f es inyectiva,
luego
luego tiene inversa. Como
D
Ldemá= de .r
I-
rnalrnente,
n,
xe (*'o,5]
= [0, oo) , entonces
fi, = [0,.o).
f-, =
=-'i.r)= 6ll- = !=',8;
:'
.f(x)=6rll;,
= *=5-x - r- t-*
) j-'".j 6 t=lo.*).
(.r =
1.5.18 Halle la función inr-ersa. sr existe, pare
lx+41
f 1t)=;'.^,f|,
lx-rl-r
xe (*2,0)u(0,1)
Solución.
Como D¡ ={-2,0)u(0,1), entonces l;r+al
=Íi4 f
lt.-11= t-x,luego
'+! -x+4 --r- !x = .f t.r)=-t-!.
r\{(x\=
' l-x-l
x
-x
Se verifica que ,f es inyectiva, por lo tanto existe /-l' Despelando x se obtiene
-0, f-ttr¡=4.
,= y+l
=
irrl
Además:
xeD¡ =(*2,0)u{0,1} = ,€(-2,0) v xe (o,t) + -2<;r<0 v0<x<1
ai
Capltulo 1
Cálculo en una Var¡able
-
NúrnerosSeAle!
-- !.-1 u'!tl=' -!rzu-!<-4=> ¡-!>lv-lx2xxxl'x
= f {r)>1 v f(x}< -5 +
Luego
Funcion*
l'_t
R¡ =(-<.,-S)u'{t' at)= Dr-'
t . ((- "o,-5) u (i, "o) )'
f -t (r) = #,
=2a-3b y f-|(5)=3a+5ó. Halle f'-t(o-3b).
=t*too,.f-t(¡)
)
1.5.19 si /(x)
Solución.
Notamos que
f
ft (l) =ry
f-r rsl -25
+
es
inyectiva Por ser lineal,luego exist.
2a -9b = t5
= 2a -3b
=
= 3a + 5b
= 5a +15b = 25
4a
a
J
f-l
-9b =15
[o* 3b=5
l¿a
resolviendo el sistema obtenemos: a = 6, b =' rl3, luego
f -t (a-%)
=
=+
f '1(T -3s !24
JJ
L.5,20 Sean /
Halle
yg
entonces
a-3b= 7
entonces
.
funciones biyecti.vas, tales que
a) s-t Ql2) b) (.f "
g-t)(112)
(.r.")g)= Z,
f(?):*,f'L.):+
.
Solución.
Ambas funciones tienen funciones inversas por ser biyectivas'
a) De
f^(])=t = ¡ti)=i
y ¿.
u"s) (?)=r(*(?)=+ =r{i)- r(s(+)=¡(+)= se)=
b) (f . s
t)(+)=
1.5.21 Sean
¡(r-'
/(x)=*3
{+})=
+
2,
i-
s'(})=?
¡(?)= + > (.fos-r)(+):+
g(x)=#, ri g-r (f -1(o))=-:,
halle
g-t
(a+5)'
Solución.
Las funcion
r" f y g
-t
son inyectivas, por lo que determinamos .f
t:x3 +2 = r=3W +.f-t@)=\[li
5
r=:-:>.x+l=-5*=.x-J--3
tu='12=rl- Y
1- Y
x+3 x+3=l- ' *+3
como
s' (f-' (a)) = -+
-{
¿ t-{ul
luego
g-1
(a+5)
:
#-3
3J;J
1d;r¡
=3
3
g-1(-6+5) = g-r(-l)
=
=-2
--
|-z
=
--
t-
y
g-'
= g-t(x)=-!--3
t-x
#r=t1
- a-2=-8 = a=-6
-+,'
'
r
Departamento de Matemáticas y Estadistica
1.6
-
UNSA
Funciones Trascendentes
Función Exponencial
Una función exponencial de base a es aquella cuya regla de correspondencia es í[x)
con a>0 y a;e1, dcind, D-f =!1 y R¡ =(0,oo).
Respecto ala gráficaconsj.deremos dos casos, cu¿ndo 0 < a <1 y cuando a > 1
:
c1-',
:
Y
(0,i)
Propiedades
1) a*+! = a" al
3)
a\
1)
-) Qr-y
5)
/
=-
(ab)x = s'6x
_r1
a'
I
a'
- \r
6)
_Tl
\a^ l
-u
/
es rnyectrva, es
decir
a'
= 612
1 ¡=¿
Función Logarítrnica
Si a>0 y a+1,
entonces la función
a, curo D7 =(0,"o)
v Rf =8
j(..)
t- se cumple
= logo
¡
-r
se llama iuncrón logantmo de base
= logo -r c> c'] -,':
.
La función iogaritmo es la función inversa de la función exponenciai.
Patala gáfica consideremos dos casos:
)'=
logo x
0<a<1
Pro piedades
(ry) = logo x + logu y
log"a ,
,lo96a =;*
(cambio de base)
1.
logo
2.
log,la l= logo x_ logo y
\Y)
B,
los x
a "u =x, x>U
logo xn = nToga x
9.
ln(e') = ;s
=l
4.
logo a
5.
logo(at) = ¡
6.
los
. x=-los
"ob
7.
logc 0
,lnx - x, x>a
11. lne=1, ln(l)=g
1.2. La función l<;garitmo es inyectiva,
decir: logox=logo z t x- z
10.
1
h "o
x
-42-
es
Capítuio 1
Cálculo en una Variable
-
Números Reales y Funciones
Observación:
.
f (x\ = ex,
es una fúnción exponencial de base
e o función exponencial natutal, donde
e =2.7182818284....
f (x)= 1og" x = lnx, es unx función logaritmo
t. f (x) = logl0 x = logx, es la función logaritmo
a
Fu
de base
e o logaritmo natural
decimai (de base 10)'
nciones Trigonométricas
En ia fi.guta, el ángulo 0 se denomina ángulo central r
la porción de la circunferencia entre los lados del ángu1o se conoce como arco subtendido.
Si el ángulo central subuende un arco de longitud igual
zl radict de1 círculo, se dice entonces que el ángulo riene
una medida de un ndia¡.
Si la medida del arco es i/360 de la longitud de la circunferencta, entonces la medida del
ángulo es un grado sexagesimal ( 1")
Como la longitud de la circunferencia es
I = 2nr, decknos que una resolucrón
compieta
es: 360o= 2n radianes
luego
1o= Ungrado=
{rad
180 ,
lradian=ry
grados =57.29578...grados
n
La lrlraciin entte ios grados sexagesimales y radianes
tL
es-
,,s,R
bof'
lB0 -Tt
-donde ,S = -ly'o de grados sexagesimales
R = N" radianes
Por otro lado, la medida del ángulo centtal (en radianes)
d,2d,2,
'
f
de la figura es: a = 0 y el área de la región sombreada
r
es
$=
,29 rL
22
,
donde 0
se
mide en radianes.
Razones Trigonométricas Elementales
y) el punto donde el lado terminal
t2+y2*12. Entonces teriemos:
Sea P(x,
1)
sen0 =
4)
Z
r
^x
cos0=r
IJ
JI
tan 0
=ix
Note que si
csc0 =
sen 0
r=1,
cot0=
0
(rrredida en radianes) interseca al círculo
x
v
5)
sec0= L
ó)
r
csc0 =
de
Plr r,\
/
/),
a\
\
X
o
v
entcnces sen0=/, cos0=x,
^ I
- sen0 cotx=cosO
. secU=tan0-cos0
sen0'
cos0'
/
artarnento de Matemáticas v Estadística
-
UNSA
ldentidades Trigonométricas
1)
2)
3)
4)
5)
6
'
')
"or2e+sen20=1
l+fan2 0 = sec2 0
1+cot2 e = csc2 e
sen (a t F) = sen c{, ' cos B + cos o ' sen B
cos(cr + F)
:
tan(a+ fJ)
--
cot(cr. + B) =
cosc¿ ' cos $ T sen cr ' senB
tan
c¿
+ tan F
lTtanutanB
cot a cot PT
--
. t)
+ cos20
1
B)
cos'
e)
Sen'0 =#
10)
sen20=2sen 0cos0
=
2
?- l-cos20
2
11) cos 20 = cos2 0 -sen20
-_-;i-tan" cr
1
cotF+cots
2 tan ct
tL) tan(24) = -
I a\
cot2
13) cot(24) =
cr
-
1
2 col ct
Funciones Tri gonométricas
Función serlo. Definida Por
,f(x) = sen -r
Función cosefro. Definrda Por
D.r
Df =fr, R/ =l-t,t]
/(")
= cos
=8,
Rr'
-"
=[-t't]
Y
F
t¿
Función tangente. Definrda Pot
-/(x) = tan x
D.t
=8-\nn+
xf
2:
n
eZ\, R, =rn
Función cotangente. Definida Por
'
f(x) = cotx
D-, = tl *{nn t n ev'\, R-¡ = fr
Y
+
a
-4
Fu:
Función secante. Definida Pot
'/(x) = sec x
Dl =8*{nn+nfT: nez
R¡
=
(- *.-
l]u.'
[, -)
Función cosecarite. Definrda Por
sec
t
Df=v-\nn"ne-Li
R¡ = (- *,-t]u [t. o)
..f(.x) = csc
Y
+
-(
CapÍiulo 1 - Números Reales y Funciones
Cálculo en una Variable
Funciones Trigonométricas lnversas
Las funciones trigonométdcas son periódicas, v por lo tanto no son inyecúvas. Sin embatgo, testrtngiendo el dominio de cada una de ellas convenientemente se puede conseguit
que lo sean. Luego, en esa restricción la función trigonométrica admrte inversa.
Función seno inverso (arco seno)
-y=afosenrc € X=S€lll
Dominio: [Rango:
1,1]
Función coseno inverso (arco coseno)
y = arccos.r
<+
Dorninio: [-
1,1]
Rungr:' [0,r]
l-:,;l
Función tangente inversa (arco
tangente)
Función cotangente inversa (atco
cotangente)
Dominio: E
"y=arccotx €
Dominio; fr
Rango:
Rango: {0,r)
y=atctanx <+ x=tan!
\-:,tJ
Función secante inversa (atco
x=coty
Función cosecante invetsa (atco
cosecante
secante)
y=arCSeCx
x = cos /
(}
-x=S€C-/
. Dominio (- *,- t] u [t, .o)
Rango la,"¡z¡w(xlz,nf
y=arccscrf
Dominio
g
J=csc-/
(-*,-t]u[t, *)
Rango [- xl z,a) u(a, n¡ z]
Y
Iil
1
-*->x
i6
-7t/2
d
I
Funciones Hiperbóllcas
Las funciones hiperbóücas tienen como característica combinaciones de potenci.a= de b¿se
e
,talescomo e" y e-*,aparecenenlasaphcacionesavanzadasdelcáiculo.Suspropie<ia-
des son similares a las que tienen las funciones trigonométricas. Estas funciones son
sigurcntcs:
Función seno hiperbólico.
E,s
la fun-
Función coseno hipetbólico. Es
1/
'le' -e -')
= 2'
D", =n, R,r = fr
= senhx
..f
, =:b. u u-')
(x) = cosh
D-f
=8, Rr =[i,*)
Y
Y
Función taúgente hiperbóüca.
Es la
función definida por:
f
la
función definida por:
ción definida por
f(x)
1as
Función
hiperbólica.
cotangente
Función definida
coshx
senh 'r
: - n-'- cosh-r
" + e-t
et
D.'=:Ti. R- = -l.l
-f(x)=coth-x-
(x') =tanh 'r
senh x
D¡ :r-\oj,
=+
et + e-"
x -x
e -e
Rt = n-f
r,r]
E
Y
l
1i
t.
I
I
I
I
Función secarite hiperbólica. Es
I
'
f(x\=sechx=
'
coshx
=n,
R,
Función cosecante hipetbólica. Función clefinida por:
función definrda por:
Df
Ia
Sr
e^ +e
1.6,
i (r)= cscltx =
^
= (o,t]
l,
I
senn-x
e^
-e
"
=n-{o}, nr:n-{o}
Y
^il
rl \
-i
-+X
)t.
\
:tr-+\-,r---$'-".
\i'
ii
Sol
<,tr
tl¡
¿J
1,.6.:
SoIu